Issuu on Google+

Упражнение 1. Многочлены Чебышёва. Теоретические вопросы и примеры, используемые в упражнении Многочлены Чебышева Tn ( x ) , где n ∈  0 , определяются рекуррентными соотношениями T0 ( x ) = 1 , T1( x ) = x , Tn +1( x ) = 2 xTn ( x ) − Tn −1( x ) , n ≥ 1 .

Таблица многочленов Чебышева

Теорема 1. Справедливы утверждения. i ) Tn ( x ) - многочлен степени n с целыми коэффициентами, n ≥ 0 . Старший коэффициент многочлена Tn ( x ) равен 2n−1 , n ≥ 1 . ii ) Многочлены T2n ( x ) являются четными, а многочлены T2n +1( x ) - нечетными, n ∈  0 . iii ) Значение многочлена Tn ( x ) , n ∈  0 , для чисел | x |≤ 1 , определяется

равенством Tn ( x ) = cos( n arccos x ) . iv ) Тригонометрическое представление многочленов Чебышева. Tn (cosθ ) = cos nθ , θ ∈  , n ≥ 0 . v ) Если | x |≤ 1 , то | Tn ( x ) |≤ 1 . ■


Теорема. Корни многочлена Чебышева Tn ( x ) , n ∈  0 , определяются равенствами π (2r + 1) zr = cos , r = 0,1,…, n − 1 . 2n Многочлен Tn ( x ) имеет n различных действительных корней. ■ Теорема 3. Значение многочлена Tn ( x ) , n ∈  0 , для чисел | x |≥ 1 , определяется равенством n n 1     2 2 Tn ( x ) =   x + x − 1  +  x − x − 1   . ■ 2      

Теорема. Пусть число n ≥ 1 . Справедливы утверждения. i ) Точками экстремума многочлена Чебышева Tn ( x ) , на отрезке [ −1;1] являются точки

ur = cos

πr n

, r = 0,1,…, n .

ii ) max{| Tn ( x ) | x ∈ [−1;1]} = 1. iii ) Tn (ur ) = ( −1)r , n ≥ 1 , r = 0,1,…, n . ■

Следствие. Пусть число n ≥ 1 . Справедливы утверждения. i ) Точками экстремума многочлена Чебышева Tn ( x ) на множестве  являются точки

ur = cos

πr

, r = 1,2,…, n − 1 . n ii ) На каждом из множеств ( −∞, −1] , [1, +∞) функция Tn ( x ) монотонная.

Если n - четное число, то функция Tn ( x ) убывает на множестве ( −∞, −1] и возрастает на множестве [1, +∞) . Если n - нечетное число, то функция Tn ( x ) возрастает на каждом множестве ( −∞, −1] , [1, +∞) . ■ Практические задания Примеры, помеченные знаком «!» являются обязательными. Примеры, помеченные знаком «?» могут содержать обязательные задания. 1.! Индивидуальные задания. Многочлены Чебышева. Для данного числа n: вычислить многочлен Чебышева Tn ( x ) ;

нарисовать график Tn ( x ) на данном отрезке [a; b] ;


определить является ли многочлен четным или нечетным; найти корни Tn ( x ) (точные и приближенные значения); найти точки экстремума многочлена Tn ( x ) на отрезке [a; b] и на множестве  ; вычислить max{| Tn ( x ) | x ∈ [a; b]} . Проверить, в случае необходимости, полученные ответы с помощью сервиса WolframAlpha . Образец синтаксиса для вычисления и исследования Tn ( x ) .

Образец синтаксиса построения графика.

Образец синтаксиса вычисления max{ f ( x ) x ∈ [a; b]}

1.1. n = 4, n = 15, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−2;2] . 1.2. n = 5, n = 14, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−2;2] . 1.3. n = 6, n = 13, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−2;2] .


1.4. n = 7, n = 12, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−2;2] . 1.5. n = 4, n = 15, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−3;3] . 1.6. n = 5, n = 14, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−3;3] . 1.7. n = 6, n = 13, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−3;3] . 1.8. n = 7, n = 12, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−3;3] . 1.9. n = 4, n = 15, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−2;2] . 1.10. n = 5, n = 14, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−2;2] . 1.11. n = 6, n = 13, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−2;2] . 1.12. n = 7, n = 12, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−2;2] . 1.13. n = 4, n = 15, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−3;3] . 1.14. n = 5, n = 14, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−3;3] . 1.15. n = 6, n = 13, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−3;3] . 1.16. n = 7, n = 12, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−3;3] . 1.17. n = 4, n = 15, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−2;2] . 1.18. n = 5, n = 14, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−2;2] . 1.19. n = 6, n = 13, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−2;2] . 1.20. n = 7, n = 12, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−2;2] . 1.21. n = 4, n = 15, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−3;3] . 1.22. n = 5, n = 14, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−3;3] . 1.23. n = 6, n = 13, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−3;3] . 1.24. n = 7, n = 12, [a; b] = [−1;1] , [a; b] = [−3;3] . 2.? Общее задание. Значения многочленов Чебышева. 1)! Tn ( − x ) = ( −1)n Tn ( x ) , n ≥ 0 . 2)! Tn (1) = 1, Tn ( −1) = ( −1)n , n ≥ 0 . 3)! T2n (0) = ( −1)n , T2n +1(0) = 0 , n ≥ 0 . n  z + 1  z + 1n z = z , n ≥ 0. 4)! Tn   2  2  

5) T2n +1(sin θ ) = ( −1)n sin((2n + 1)θ ) , n ≥ 0 . 3. Общее задание. Произведение и композиция. 1) 2Tm ( x )Tn ( x ) = Tm+ n ( x ) + T|m− n| ( x ) , m, n ≥ 0 .


1 1 1 2) (1 − x 2 )Tn ( x ) = − Tn + 2 ( x ) + Tn ( x ) − T|n − 2| ( x ) , n ≥ 0 . 4 2 4 3)! Tm (Tn ( x )) = Tmn ( x ) , m, n ≥ 0 .

4) Tn ( x )2 − Tn −1( x )Tn +1( x ) = 1 − x 2 , n ≥ 1 , Tn ( x )2 > Tn −1( x )Tn +1( x ) , если −1 < x < 1 . 4) T2n ( x ) = Tn (2 x 2 − 1) = 2Tn ( x )2 − 1 , n ≥ 0 . 5) Tn ( x ) = T2n

(

m

6) x Tn ( x ) = 2

)

(1 + x ) / 2 , n ≥ 0 .

−m

m

 m

∑  r  Tn−m−2r ( x ) , m < n .

r =0 

4. Общее задание. Доказать следующие формулы. n r 2 1) Tn ( x ) = ∑  r  x ( x − 1)(n−r )/2 . r ≡ n (mod 2)   0≤ r ≤ n

 n /2 

2) Tn ( x ) =

( −1)r

r =0

n  n − r  n − 2 r −1 n − 2 r x . 2 n − r  r 

n ( −2)n n ! 2 d 3) Tn ( x ) = (2n )! 1 − x (1 − x 2 )n −1/2 , n = 0,1,2,… n

dx 4) Многочлен Tn ( x ) равен определителю n × n матрицы, x 1 0 … 0 0 x −1 0 … 0 0

Tn ( x ) =

1 2x

1

0

0

0 

1 

2x …  

0 

0 0 =  

0 0

0 0

0 0

… 2x 1 … 1 2x

Доказательство. 1) Имеем

−1 …

0

0

−1 2 x …   

0 

0 . 

−1 2 x

0 0

0 0

0 0

… 2 x −1 … −1 2 x


n n 1     2 2 Tn ( x ) =   x + x − 1  +  x − x − 1   = 2       n   n 1  n n r 2 ( n − r )/2 =  ∑   x ( x − 1) + ∑ ( −1)n − r   x r ( x 2 − 1)( n − r )/2  =  2  r =0  r  r  r =0 

=

 n r 2 ( n − r )/2 .  r  x ( x − 1) r ≡ n(mod 2)  

0≤ r ≤ n

5. Общее задание. Производящая функция многочленов Чебышева. ∞

1 − tx 1 − 2tx + t 2

=

∑ Tr ( x)t r . r =0

6. Общее задание. Дифференцирование многочленов Чебышева. 1) Доказать, что T0′ ( x ) = 0 , T1′( x ) = T0 ( x ) , T2′ ( x ) = 4T1( x ) 2) Доказать, что (1 − x 2 )Tn′ ( x ) = n( xTn ( x ) − Tn +1( x )) , n ≥ 0 , (1 − x 2 )Tn′ ( x ) = n(Tn −1( x ) − xTn ( x )) , n ≥ 1 ,

n Tn −1( x ) − Tn +1( x ) , n ≥ 1. ⋅ 2 1 − x2 3) Доказать, что Tn′ ( x ) = d2 dx 2

Tn ( x ) =

4)

d 2Tn ( x )

5)

d mTn

dx 2 dx m

n ( n + 1)Tn − 2 ( x ) − 2nTn ( x ) + ( n − 1)Tn + 2 ( x ) ⋅ , n ≥ 2. 4 (1 − x 2 )2 4 2 n 4 − n 2 d 2Tn ( x ) n n −n , . x =−1 = ( −1) x =1 = 2 3 3 dx

x =±1 = ( ±1)

n+m

m−1 2

n − r2 ∏ 2r + 1 . r =0

7. Общее задание. Интегрирование многочленов Чебышева. 1) Доказать, что T0 ( x ) = T1′( x ) , T1( x ) = 14 T2′ ( x ) ,


1  T ′ ( x ) Tn′ −1( x )  Tn ( x ) =  n +1 − , n ≥ 2. 2  n +1 n −1  Решение. Для всех n ≥ 2 имеем

■ 2) ∫ T0 ( x )dx = T1( x ) + C , ∫ T1( x )dx = 14 T2 ( x ) + C , 1  Tn +1( x ) Tn −1( x )  T ( x ) dx = − n   + C , n ≥ 2. ∫ 2  n +1 n −1 

3) Выразить через многочлены Чебышева интегралы

∫ Tn ( x )dx , n = 1,2,…,6 . 8. Общее задание. Метод разложения x n в ряд по многочленам Чебышева.

Разложить в ряд по многочленам Чебышева одночлены 1, x, x 2 ,…, x 6 . Указание.


■ Таблица разложений степеней x по многочленам Чебышева Tn ( x ) , n ≥ 0.

8. Общее задание. Разложение функций в ряд по многочленам Чебышева. 0, если m ≠ n, π  1) ∫ cos( mθ )cos( nθ )dθ = π / 2, если m = n = 0, π , если m = n = 0. 0 


1

2)

−1

Tm ( x )Tn ( x )

1 − x2

0, если m ≠ n,  dx = π / 2, если m = n = 0, π , если m = n = 0. 

3) Пусть функция F определена и непрерывна на отрезке [−1, 1] . Тогда F ( x ) может быть разложена в ряд 1 F ( x ) = a0T0 ( x ) + a1T1( x ) + a2T2 ( x ) +… , 2 где an =

2

π

1

F ( x )Tn ( x ) 2

dx , n ≥ 0 .

1− x Теорема. Пусть функция F определена на отрезке [−1;1] , функция −1

F ( m+1) непрерывна на отрезке [−1;1] , Sn ( x ) = 12 a0 +

n

∑ crTr ( x ) , n ≥ 0 . r =1

Тогда для всех x ∈ [−1;1] ,

| F ( x ) − Sn ( x ) |= O ( n − m ) , n → ∞ . ■ 4) Доказать, что 4 ∞ T2 r −1( x ) arccos x = T0 ( x ) − ∑ , x ∈ [−1;1] . 2 π r =1 (2r − 1)2

π

5) Доказать, что ∞

( −1)r ln(1 + x ) = − ln 2 − 2 ∑ Tr ( x ) . r r =1 9. Общее задание. Доказать равенства


1 мн ны чебышева