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corso di laurea informatica - a.a. 2007/2008 matematica II (9 c.f.u.)- prof. a.l. amadori prova scritta dell’8 febbraio 2008 traccia M2 (9 c.f.u.) A Candidato (cognome e nome): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Z Esercizio 1. Calcolare l’integrale 0

1

x2 − 2x − 3 dx . x2 − x − 2

Z Risultato

=

Esercizio 2. Risolvere il problema di Cauchy (relativo ad un’equazione a variabili separabili) p ( 0 y = 3 sin x cos2 x 16 + y y(0) = −12. Specificare qual `e l’insieme di definizione della soluzione. Risultato y(x) = per x ∈

Esercizio 3. Si consideri un’urna contenente 4 biglie blu, 6 rosse e 10 verdi. Calcolare la probabilit`a degli eventi: A: estrazione di due biglie rosse su due estrazioni senza reintegro, B: estrazione di due biglie blu su due estrazioni con reintegro, C: estrazione di esattamente due biglie blu su tre estrazioni con reintegro, D: estrazione di almeno due biglie blu su tre estrazioni con reintegro, Risultato

P (A) =

P (B) =

P (C) =

P (D) =

Esercizio 4. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze !n r ∞ X 2n2 − 7n + 1 1 1+ xn . n2 + 3n n n=2

Facoltativo: Precisare qual `e l’insieme di convergenza. raggio di convergenza ρ = insieme di convergenza x ∈

1


Esercizio 5. Sia γ la circonferenza di centro C = (2, 0) e raggio 4, che ha equazione parametrica ( x(t) = 2 + 4 cos t γ(t) : per t ∈ [0, 2π], y(t) = 4 sin t ed equazione cartesiana (x − 2)2 + y 2 = 16. Sia poi K l’insieme delimitato dalla circonferenza γ, ovvero K = {(x, y) : (x − 2)2 + y 2 ≤ 16}. Sia infine data la funzione di due variabili f (x, y) =

(x − 2)2 + y 2 − 16 . y+5

5.a) Determinare e rappresentare graficamente il dominio e la curva di livello 0 della funzione f (x, y). Z 5.b) Rappresentare graficamente la curva γ e calcolare l’integrale curvilineo xf (x, y) ds. γ

5.c) Classificare i punti stazionari della funzione f (x, y) sul suo dominio naturale. 5.d) Rappresentare graficamente l’insieme K e determinare il massimo ed il minimo assoluto della funzione f sull’insieme K. 5.a)

dom(f ) = CL(0) = Z

5.b)

xf (x, y) ds = γ

5.c)

5.d)

P1 =

punto di

max. rel.



min. rel.



sella 

P2 =

punto di

max. rel.



min. rel.



sella 

P3 =

.........

Pm =

punto di min. assoluto di valore min f =

PM =

punto di max. assoluto di valore max f =

K

Rappresentazione di dom(f ), CL(0), γ e K

K


corso di laurea informatica - a.a. 2007/2008 matematica II (9 c.f.u.)- prof. a.l. amadori prova scritta dell’8 febbraio 2008 traccia M2 (9 c.f.u.) B Candidato (cognome e nome): . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Z

0

Esercizio 1. Calcolare l’integrale −1

x2 + x + 2 dx . x2 + 2x − 3

Z Risultato

=

Esercizio 2. Risolvere il problema di Cauchy (relativo ad un’equazione a variabili separabili)  0 p  y = 3 cos x sin2 x 4 + y  y( π ) = −3. 2 Specificare qual `e l’insieme di definizione della soluzione. Risultato y(x) = per x ∈

Esercizio 3. Si consideri un’urna contenente 10 biglie blu, 4 rosse e 6 verdi. Calcolare la probabilit`a degli eventi: A: estrazione di due biglie rosse su due estrazioni senza reintegro, B: estrazione di due biglie blu su due estrazioni con reintegro, C: estrazione di esattamente due biglie blu su tre estrazioni con reintegro, D: estrazione di almeno due biglie blu su tre estrazioni con reintegro, Risultato

P (A) =

P (B) =

P (C) =

P (D) =

Esercizio 4. Calcolare il raggio di convergenza della serie di potenze n ∞  2 X n + 7n + 1 1 cos xn . 3n2 − 2n n n=2

Facoltativo: Precisare qual `e l’insieme di convergenza. raggio di convergenza ρ = insieme di convergenza x ∈


Esercizio 5. parametrica

Sia γ la circonferenza di centro C = (0, −2) e raggio 3, che ha equazione ( γ(t) :

x(t) = 3 cos t y(t) = −2 + 3 sin t

per t ∈ [0, 2π],

ed equazione cartesiana x2 + (y + 2)2 = 9. Sia poi K l’insieme delimitato dalla circonferenza γ, ovvero K = {(x, y) : x2 + (y + 2)2 ≤ 9}. Sia infine data la funzione di due variabili f (x, y) =

x2 + (y + 2)2 − 9 . x−5

5.a) Determinare e rappresentare graficamente il dominio e la curva di livello 0 della funzione f (x, y). Z yf (x, y) ds. 5.b) Rappresentare graficamente la curva γ e calcolare l’integrale curvilineo γ

5.c) Classificare i punti stazionari della funzione f (x, y) sul suo dominio naturale. 5.d) Rappresentare graficamente l’insieme K e determinare il massimo ed il minimo assoluto della funzione f sull’insieme K. 5.a)

dom(f ) = CL(0) = Z

5.b)

yf (x, y) ds = γ

5.c)

5.d)

P1 =

punto di

max. rel.



min. rel.



sella 

P2 =

punto di

max. rel.



min. rel.



sella 

P3 =

.........

Pm =

punto di min. assoluto di valore min f =

PM =

punto di max. assoluto di valore max f =

K

Rappresentazione di dom(f ), CL(0), γ e K

K

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