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Construcciones Geom´ etricas con Regla y Comp´ as Gabriel Rond´on

P

O

A

B


Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

−2−

Construcciones Geom´ etricas con Regla y Comp´ as

Gabriel Alexis Rond´ on Vielma Licenciado en Matem´ aticas y estudiante de Maestr´ ıa en dicha ´ area Universidad de los Andes (M´ erida-Venezuela) Participante del programa de actualizaci´ on docente (PAD)


Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

−i−

´Indice 1. Prologo.

1

2. Algunas construcciones sencillas.

2

3. Dividir un segmento en 4 partes iguales.

4

4. Mediatriz de un segmento.

5

5. Recta perpendicular a otra por un punto P.

6

6. Recta paralela a otra por un punto P.

7

7. Trazado de una circunferencia por tres puntos.

8

8. Circunferencia circunscrita a un tri´ angulo cualquiera.

9

9. Construcci´ on de un tri´ angulo equil´ atero a partir del segmento AB. 10 10. Construcci` on de un tri´ angulo equil´ atero inscrito en una circunferencia dada y que tenga por v´ ertice un punto de la circunferencia dada. 11 11. Trazado de una recta tangente por un punto A de una circunferencia cuyo centro es O. 12 12. Rectas tangentes a la circunferencia por el punto A.

13

13. Pasos para la construcci´ on de una Parabola.

14

14. Pasos para la construcci´ on de una Elipse.

15

15. Pasos para la construcci´ on de una Hiperbola.

16


Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

−ii−

16. Pasos para la biseccion de un ´ angulo.

17

17. Pasos para la triseccion de un ´ angulo recto.

18

18. Incidencia y sistemas de ecuaciones lineales

19

19. ¿Que representa graficamente el m´ etodo de eliminaci´ on por reduccion, para resolver un sistema de ecuaciones lineales? 20 20. Ejercicios.

21

Referencias

22


Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

1.

−1−

Prologo.

El presente libro contiene los procedimientos esenciales que le permitir´an al estudiante aprender sobre construcciones geom´etricas b´asicas por medio de la Regla y el Comp´as. Se trata de una libro general, sin mucho detalle, pero con dichas indicaciones el estudiante estar´ a en condiciones de aprender a utilizar este recurso. La regla y el comp´ as de las construcciones geom´etricas son precisamente las reglas y compases del mundo real. Los mismos, son conceptos matem´aticos abstractos, como lo es un n´ umero, y no instrumentos f´ısicos. En realidad, la regla de la geometr´ıa cl´ asica es un instrumento que nos permite solo trazar rectas, aunque parezca extra˜ no las distancias se miden con el comp´as comparando un segmento con otro considerado como la unidad. En este libro se ha prestado especial inter´es a las partes que, por ser m´as importantes, requieren una mayor pr´ actica (construcciones de c´onicas: elipse, par´abola, hip´erbola). Sabe el lector ¿como construir c´onicas s´olo con regla y comp´as? Por mi experiencia en la ense˜ nanza de esta disciplina, considero que los problemas planteados no s´ olo es suficiente para los estudiantes, sino que le permitir´a al docente hacer una selecci´ on variada de los problemas. Para orientaci´on del estudiante, he usado el m´etodo de presentar paso a paso cada una de las construcciones, de forma tal que el estudiante pueda tomar las ideas esenciales en cada una de ellas. Finalmente, Considero que este material ha de ser de gran inter´es para todos los estudiantes.


−2−

Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

2.

Algunas construcciones sencillas.

Trazado del segmento r por los puntos A y B.

r A

B

r

Punto P de intersecci´ on de las rectas s y r:

s

P

Circunferencia de centro C y radio R:

R

C


−3−

Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

Recta secante a una circunferencia por los puntos A y B:

B

A

Intersecci´on de dos circunferencias por los puntos A y B:

A

B


Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

3.

−4−

Dividir un segmento en 4 partes iguales. 1. Tenemos el segmento AB, y supongamos que se quiere dividir en 4 partes iguales. A partir de uno de los extremos del segmento AB , el A, se traza el rayo AC que no contenga a B. 2. Sobre el segmento AC y a partir de A, con el comp´as se llevan 4 segmentos iguales de longitud arbitraria. 3. El extremo C del segmento AC se une con B y trazamos paralelas a BC, por los puntos 1,2,3. que dividen a AB en el n´ umero de partes iguales que buscabamos.

C 3 2 1 1' A

2'

3'

B

¿Podr´ıa el lector dividir un segmento en 5 partes iguales?. ¿Y en general, en n partes iguales?


Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

4.

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Mediatriz de un segmento.

La mediatriz de un segmento es la recta que pasa por su punto medio y es perpendicular al segmento. 1. Para ello se trazan dos c´ırculos de radio AB, uno con centro en A y el otro con centro en B que se cortan en dos puntos C y D. 2. La mediatriz es la recta que pasa por los puntos C y D. M es el punto medio de AB

C

A

M

D

B


−6−

Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

5.

Recta perpendicular a otra por un punto P. 1. Con centro en P se traza un c´ırculo de manera que corte a la recta r en dos puntos A y B. 2. Luego la mediatriz del segmento AB es la soluci´on.

A

P B

r

¿Podr´ıa el lector dar una construcci´ on diferente a la anterior?


Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

6.

−7−

Recta paralela a otra por un punto P. 1. Se traza un c´ırculo con centro en un punto cualquiera C de la recta r y radio CP. Obtenemos un punto D. 2. Con centro en P y el mismo radio se traza otro c´ırculo C2. 3. Con centro en C y radio PD se traza un c´ırculo C3 y obtenemos Q. La recta P Q es la recta buscada.

C2 Q

P r

C3 C C1

D


Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

7.

−8−

Trazado de una circunferencia por tres puntos. 1. Tenemos tres puntos A,B y C, trazamos las mediatrices de los segmentos AB y BC, estas dos mediatrices se cortan en un punto O. 2. Trazamos una circunferencia con centro en O y que pase por A, esta es la circunferencia que pasa por A,B y C.

C A Mediatriz de BC

O

B Mediatriz de AB

De acuerdo a la construcci´ on anterior, el lector podria asegurar que, ¿por 3 puntos paso una y s´ olo una circunsferencia?


−9−

Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

8.

Circunferencia circunscrita a un tri´ angulo cualquiera.

La circunferencia buscada es la que pasa por los v´ertices del tri´angulo, es decir, la que pasa por los puntos A,B y C. Dicha circunferencia la aprendimos a construir en la p´agina anterior.

A O

C B

¿Podr´ıa el lector dar una construcci´ on diferente a la anterior?


Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

9.

−10−

Construcci´ on de un tri´ angulo equil´ atero a partir del segmento AB. 1. Consideremos el segmento AB, tracemos un c´ırculo con centro en A y radio AB. 2. Trazamos la mediatriz del segmento AB y esta corta a la circunferencia en un punto C . 3. Con la regla unimos los puntos A,B y C. Entonces ABC es el tri´angulo equil´atero buscado.

C

A

B

De acuerdo a lo anterior, ¿C´ omo construir un tri´angulo is´osceles a partir de un segmento?


−11−

Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

10.

Construcci` on de un tri´ angulo equil´ atero inscrito en una circunferencia dada y que tenga por v´ ertice un punto de la circunferencia dada.

1. Con la regla, se prolonga el segmento AO y obtenemos un punto de corte con la circunferencia que llamaremos P. 2. Trazamos la mediatriz del segmento OP que cortar´a a esta circunferencia en los puntos B y C. 3. Unimos los puntos A,B y C. El tri´ angulo ABC es equil´atero.

A

B O

P

C


−12−

Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

11.

Trazado de una recta tangente por un punto A de una circunferencia cuyo centro es O.

1. Con centro en A y radio igual a AO, se traza un c´ırculo que corta a la circunferencia dada en C. −−→ 2. Trazamos el rayo OC y con centro en C se traza un c´ırculo de radio igual a OC y obtenemos el punto D. 3. La recta que pasa por A y por D es la recta tangente buscada.

A

D O

C


−13−

Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

12.

Rectas tangentes a la circunferencia por el punto A.

1. Se une el punto A con el centro B de la circunferencia dada. 2. Llamemos O al punto medio de AB 3. Con centro en O y radio OB, se traza un c´ırculo que corta a la circunferencia dada en dos puntos C y D. 4. Las rectas AC y AD son las rectas tangentes a la circunferencia por el punto A.

C A O B

D


Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

13.

−14−

Pasos para la construcci´ on de una Parabola.

1. La construcci´on esta dada por una recta r y una circunferencia. 2. Trazamos una recta perpendicular a r que pasa por el centro de la circunferencia. 3. La perpendicular a r por el centro de la circunferencia las corta en dos puntos , uno de los cuales se denota por O. 4. Dado un pto cualquiera M de la circunferencia, sea A la proyecci´on de M sobre r 5. Sea B la intersecci´ on de la recta r(O,M) con r. 6. El pto p que es la intersecci´ on de la recta r(O,A) con la paralela a la recta r(M,A) por el ptoB, describe una par´abola al variar M sobre la circunferencia.

A

M O

B

P c

r


Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

14.

−15−

Pasos para la construcci´ on de una Elipse.

1. Sea A un pto de la circunferencia y D un pto interior de ella 2. Sea B el pto de intersecci´ on de la mediatriz del segmento DA con el radio EA. 3. Asi,B describe una elipse cuando A recorre la circunferencia.

E D

B A


Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

15.

−16−

Pasos para la construcci´ on de una Hiperbola.

1. Sea B un punto de la circunferencia y A un punto exterior a ella. 2. Sea P el punto de intersecci´ on de la mediatriz del segmento AB con el radio OB. 3. Luego, P describe una hip´erbola cuando B recorre la circunferencia.

P

O

A

B


Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

16.

−17−

Pasos para la biseccion de un ´ angulo.

1. Consideremos el ´ angulo ABC. 2. Tomemos D un punto cualquiera en AB. 3. Tracemos la circunsferencia de centro B y radio BD. 4. Sea E el punto de interseccion de esta circunferencia con el segmento BC.Luego BD=BE. 5. Usamos la regla para trazar el segmento DE y en DE construimos el tri´angulo equilatero DEF. 6. Finalmente trazamos el segmento BF, el cual bisecta al ´angulo ABC.

A

F

D

B

E

C


Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

17.

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Pasos para la triseccion de un ´ angulo recto.

1. Consideremos el segmento AB. Y tomemos BC perpendicular a AB. 2. Consideremos la mediatriz del segmento AB. 3. Tracemos la circunferencia con centro A y radio AB, llamemos D al punto de interseccion de la mediatriz con esta circunferencia. 4. Trazamos los segmentos AD y BD, que forman dos de los lados del tri´angulo equilatero ABD, con lo que el ´ angulo ABD es 60 y por ende el ´angulo DBC es 30.De esta manera hemos trisecado el ´angulo recto.

A

D 60 B

C

De acuerdo a lo explicado arriba, podr´ıa el lector asegurar que, ¿cualquier angulo se puede trisecar con regla y comp´ ´ as? Sugerencia: analice y construya los ´angulos de 60 y de 90. ¿Qu´e concluye el lector?


Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

18.

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Incidencia y sistemas de ecuaciones lineales

1. El sistema de ecuaciones no tendra soluci´on si, y s´olo si las rectas son paralelas.

2. El sistema de ecuaciones tendra infinitas soluci´on si, y s´olo si, las rectas coinciden.

3. El sistema de ecuaciones tendra una u ´nica soluci´on si, y s´olo si, las rectas son concurrentes.

P


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Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

19.

¿Que representa graficamente el m´ etodo de eliminaci´ on por reduccion, para resolver un sistema de ecuaciones lineales?

Desde el punto de vista geom´etrico, lo que se hace al usar el m´etodo de eleminacion por reducci´on es sustituir, una de las rectas dadas, digamos r2, por una que sea perpendicular a uno de los ejes y que pase por el punto de intersecci´on de ellas, digamos: 1. L1 en caso de que eliminemos el coeficiente de x. 15 L1

r1

10 5

P

-25 -20 -15 -10 -5

5

10 r2

15

-5 -10 -15 -20 2. L2 en caso de que anulemos el coeficiente de y. 50 -25

r1

L2

-150

-100

-50

P

50 r2

-50

-100


Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

20.

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Ejercicios.

1. Halle el punto medio de un segmento de recta. 2. Construir un triangulo dados dos lados y el ´angulo comprendido entre ellos. 3. Construir un triangulo dados un lado y los ´angulos adyacentes a ese lado. 4. Construir un triangulo is´ osceles, dados la altura sobre la base y uno de los lados congruentes. 5. Construir un triangulo is´ osceles dados la altura sobre la base y uno de los ´angulos congruentes. 6. Construir un triangulo equil´ atero dada la altura. 7. Construir un triangulo dados los tres lados. 8. Construir un triangulo rect´ angulo con un ´angulo de 60◦ . 9. Construir un triangulo dada la mediana AM, el lado AB y el ´angulo B. 10. Construir un triangulo dada la altura AH y los lados AB y BC.


Construcciones Geom´etricas con Regla y Comp´ as

Referencias [1] Juan M. Leal G. Geometr´ıa anal´ıtica plana. Editorial Venezolana C.A., agosto 2005 [2] B´arcenas D. Introducci´ on a la Geometr´ıa plana. Consejo de publicaciones, ULA, 1998 [3] Pogor´elov Geometr´ıa plana. CODEPRE-ULA 2003 [4] Aurelio Baldor. Algebra. Culturales de venezuela Ediciones,C.A., mayo 2004

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Construcciones Geométricas con regla y compás