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Aos estudantes, Se analisarmos friamente uma tribo africana, provavelmente iremos identificar o ritual em que seus jovens passam a ser considerados adultos. Já nesse mundo globalizado em que vivemos, no qual as informações chegam numa velocidade jamais vista, essa característica parece ter desaparecido. Será? É evidente que não vemos nenhum ritual de passagem por aí, mas será que não conseguimos encontrar um momento em que nossos jovens ficam diante de sua primeira grande e difícil decisão, no qual são os únicos responsáveis? Vocês já devem ter percebido que estamos falando do vestibular, o primeiro desafio de muitos jovens. E, nesse momento, embora muitas vezes contem com a ajuda de parentes, esses estudantes sabem que as consequências de uma escolha errada, de um sucesso, ou de um fracasso são exclusivamente suas. E para engrossar um pouco mais esse caldo, nosso “ritual de passagem” vem sofrendo drásticas mudanças. Há alguns anos, os vestibulandos eram obrigados a passar por uma verdadeira maratona de provas ao final do ensino médio. Como vocês já devem saber, uma nova tendência ao acesso ao ensino superior brasileiro está alterando todo esse cenário. O Exame Nacional do Ensino Médio (Enem), por meio de diversas medidas do governo federal, tornou-se o principal vestibular do país, facilitando (e muito) a vida dos candidatos. Nesse novo modelo, a participação no Enem permite concorrer às vagas e bolsas de estudo em inúmeras instituições de ensino superior, além de possibilitar a certificação do Ensino Médio para aqueles que não concluíram seus estudos. Mas não vamos nos deixar confundir. O Enem facilitou a questão do deslocamento e dos gastos que os candidatos tinham, mas não a questão da concorrência. Aliás, essa só aumenta ano após ano. Resumindo: para ingressar no ensino superior, os candidatos precisam estudar e se preparar especificamente para o Enem, já que este se tornou a única porta de acesso para as principais universidades do país. Nós, do infoEnem, notamos ausência de um material que, de fato, prepare esses estudantes para o exame. Da necessidade veio a ideia. Da ideia passamos para o trabalho. E o resultado é esse material que vocês têm em mãos. Apostilas diretas, simples e eficientes que visam treinar e preparar os candidatos para o exame mais importante do Brasil, resolvendo e comentando questões de edições anteriores do próprio Enem. E para isso não poupamos esforços. Procuramos profissionais que realmente pudessem fazer a diferença. Afinal, não almejamos entrar na memória dos momentos felizes desses estudantes. Almejamos ser lembrados como um elemento importante para o sucesso de cada um deles, nesse momento tão decisivo, contribuindo para que estes possam ir em busca de seus sonhos.

Fernando Buglia e Matheus Andrietta Cofundadores do site infoEnem


Orientação aos estudantes Neste momento, antes que você inicie seus estudos através deste material, sugerimos uma metodologia com estratégias para aproveitá-lo da melhor maneira possível. Reforçamos que o estudante deve se preparar basicamente de duas maneiras para uma prova com as características do Enem. A primeira delas é adquirindo e/ou revisando os conteúdos abordados no ensino médio. A segunda se dá através da preparação específica para o modelo da prova. E é justamente nesta última etapa que nosso material entra em ação. Portanto, o foco desta apostila não é o conteúdo exigido, e sim a prova do Enem. Afinal, resolver 180 questões e uma redação, em 10 horas, divididas em dois dias de prova, exige muito mais do que competências e habilidades. Desta forma, o candidato que comprou esta apostila e apenas leu as questões, as resoluções e os comentários, passou longe de otimizar o potencial deste material e consequentemente a sua preparação para o exame. A nossa proposta é que você resolva todas as questões de cada edição da prova, para depois observar a resolução e comentários feitos por nossos professores. Se possível, simule todas as condições que encontrará no dia do exame. Em outras palavras, sente-se numa pequena mesa sozinho, resolva, em média, 45 questões a cada 2 horas, sem se comunicar com ninguém e sem consultar livro algum. Fazendo isso, você sai da sua “zona de conforto” e entende de fato o que é prestar o Enem. Uma prova que, ao mesmo tempo em que se mostra coerente e interdisciplinar, consiste numa verdadeira enxurrada de questões, que exige boa leitura, atenção, interpretação, concentração, calma, paciência, resistência e treino, muito treino. Não pregamos fórmulas mágicas. Partimos do pressuposto que para conseguir a recompensa, seja ela o acesso ao ensino superior ou a Certificação do Ensino Médio, é necessário muito empenho. Temos absoluta certeza que utilizando este material da maneira que recomendamos você potencializará todas as capacidades citadas no parágrafo anterior e aumentará significativamente seu desempenho na próxima edição do Enem. Bons estudos.


Apresentação dos professores – Matemática e suas Tecnologias Todas as questões da Apostila de “Matemática e suas Tecnologias” foram resolvidas e comentadas por dois professores. Segue abaixo breve currículo de cada um deles. 

Luis Gustavo H. M. Grimm: natural de São Paulo, mudou-se para Campinas em 2005, onde se graduou em Matemática pela UNICAMP (Universidade Estadual de Campinas), no ano de 2011. Iniciou sua carreira com aulas em cursinhos comunitários e privados. Também atuou como Coordenador Pedagógico de Ensino Médio em Serra Negra. Hoje trabalha como professor de Matemática e Física nas redes pública e particular de Campinas, preparando estudantes para os vestibulares mais concorridos do país, além de fazer mestrado em Matemática pela Universidade Estadual Paulista (UNESP) de Rio Claro. Casado com Ana Luísa, também professora de Matemática.

Ana Luísa S. Tagliolatto: natural de Campinas, também se formou em Matemática pela UNICAMP (2008) e atualmente faz mestrado em Matemática pela UNESP (Rio Claro). Foi apresentadora e monitora no Museu Exploratório de Ciências da UNICAMP. Atualmente trabalha como professora de Matemática da rede municipal de Campinas e é articuladora do Programa Mais Educação, do Governo Federal. Casada com Luis Gustavo H. M. Grimm, também professor de Matemática.


ÍNDICE Enem 2009 - questões ............................................................................................................... 01 Enem 2009 - resoluções e comentários .................................................................................... 10 Enem 2010 - questões ............................................................................................................... 25 Enem 2010 - resoluções e comentários ................................................................................... 34 Enem 2011 - questões ............................................................................................................... 47 Enem 2011 - resoluções e comentários .................................................................................... 56 Enem 2012 - questões ................................................................................................................ 67 Enem 2012 - resoluções e comentários .................................................................................... 77 Enem 2013 - questões ................................................................................................................ 89 Enem 2013 - resoluções e comentários .................................................................................... 99 Enem 2014 - questões .............................................................................................................. 118 Enem 2014 - resoluções e comentários .................................................................................. 128


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Enem 2009 MATEMÁTICA

E

SUAS

Questão 136. Dados da Associação Nacional de Empresas de Transportes Urbanos (ANTU) mostram que o número de passageiros transportados mensalmente nas principais regiões metropolitanas do país vem caindo sistematicamente. Eram 476,7 milhões de passageiros em 1995, e esse número caiu para 321,9 milhões em abril de 2001. Nesse período, o tamanho da frota de veículos mudou pouco, tendo no final de 2008 praticamente o mesmo tamanho que tinha em 2001. O gráfico a seguir mostra um índice de produtividade utilizado pelas empresas do setor, que é a razão entre o total de passageiros transportados por dia e o tamanho da frota de veículos.

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a 40 km/h, partindo do ponto X, demoraria para chegar até o ponto Y? a) 25 min. d) 1,5 min. b) 15 min. e) 0,15 min. c) 2,5 min. Texto para as questões 138 e 139 A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos países desenvolvidos.

Disponível em: http://www.ntu.org.br. Acesso em 16 jul. 2009 (adaptado).

Supondo que as frotas totais de veículos naquelas regiões metropolitanas em abril de 2001 e em outubro de 2008 eram do mesmo tamanho, os dados do gráfico permitem inferir que o total de passageiros transportados no mês de outubro de 2008 foi aproximadamente igual a a) 355 milhões. b) 400 milhões. c) 426 milhões. d) 441 milhões. e) 477 milhões. Questão 137. O mapa ao lado representa um bairro de determinada cidade, no qual as flechas indicam o sentido das mãos do tráfego. Sabe-se que esse bairro foi planejado e que cada quadra representada na figura é um terreno quadrado, de lado igual a 200 metros.

Disponível em: www.economist.com. Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado).

Questão 138. Suponha que o modelo exponencial , em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre 2010 e 2050. Desse modo, considerando , estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre a) 490 e 510 milhões. b) 550 e 620 milhões. c) 780 e 800 milhões. d) 810 e 860 milhões. e) 870 e 910 milhões. Questão 139. Em 2050, a probabilidade de se escolher, aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, na população dos países desenvolvidos, será um número mais próximo de a) 1/2. d) 1/5. b) 7/20. e) 3/25. c) 8/25. Questão 140.

Desconsiderando-se a largura das ruas, qual seria o tempo, em minutos, que um ônibus, em velocidade constante e igual

O governo cedeu terrenos para que famílias construíssem suas residências com a condição de que no mínimo 94% da área do terreno fosse mantida como área de preservação


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ambiental. Ao receber o terreno retangular ABCD, em que AB = BC/2, Antônio demarcou uma área quadrada no vértice A, para a construção de sua residência, de acordo com o desenho, no qual AE = AB/5 é lado do quadrado.

Nesse caso, a área definida por Antônio atingiria exatamente o limite determinado pela condição se ele a) duplicasse a medida do lado do quadrado. b) triplicasse a medida do lado do quadrado. c) triplicasse a área do quadrado. d) ampliasse a medida do lado do quadrado em 4%. e) ampliasse a área do quadrado em 4%. Questão 141.

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De acordo com as informações do gráfico, a) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas inversamente proporcionais. b) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que não se relacionam. c) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas diretamente proporcionais. d) uma pessoa não fumante certamente nunca será diagnosticada com câncer de pulmão. e) o consumo diário de cigarros e o número de casos de câncer de pulmão são grandezas que estão relacionadas, mas sem proporcionalidade. Questão 143. O gráfico a seguir mostra a evolução, de abril de 2008 a maio de 2009, da população economicamente ativa para seis Regiões Metropolitanas pesquisadas.

Uma resolução do Conselho Nacional de Política Energética (CNPE) estabeleceu a obrigatoriedade de adição de biodiesel ao óleo diesel comercializado nos postos. A exigência é que, a partir de 1.º de julho de 2009, 4% do volume da mistura final seja formada por biodiesel. Até junho de 2009, esse percentual era de 3%. Essa medida estimula a demanda de biodiesel, bem como possibilita a redução da importação de diesel de petróleo. Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 12 jul. 2009 (adaptado).

Estimativas indicam que, com a adição de 4% de biodiesel ao dizer, serão consumidos 925 milhões de litros de biodiesel no segundo semestre de 2009. Considerando-se essa estimativa, para o mesmo volume da mistura final diesel/biodiesel consumida no segundo semestre de 2009, qual seria o consumo de biodiesel com a adição de 3%? a) 27,75 milhões de litros. b) 37,00 milhões de litros. c) 231,25 milhões de litros. d) 693,75 milhões de litros. e) 888,00 milhões de litros. Questão 142. A suspeita de que haveria uma relação causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi levantada pela primeira vez a partir de observações clínicas. Para testar essa possível associação, foram conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre esses, houve o estudo do número de casos de câncer em relação ao número de cigarros consumidos por dia, cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir.

Centers for Disease Control and Prevention CDC-EIS Summer Course – 1992 (adaptado).

Considerando que a taxa de crescimento da população economicamente ativa, entre 05/09 e 06/09, seja de 4%, então o número de pessoas economicamente ativas em 06/09 será igual a a) 23.940. d) 23.940.800. b) 32.228. e) 32.228.000. c) 920.800. Questão 144. A música e a matemática se encontram na representação dos tempos das notas musicais, conforme a figura seguinte.


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Um compasso é uma unidade musical composta por determinada quantidade de notas musicais em que a soma das durações coincide com a fração indicada como fórmula do compasso. Por exemplo, se a fórmula de compasso for 1/2, poderia ter um compasso ou com duas semínimas ou uma mínima ou quatro colcheias, sendo possível a combinação de diferentes figuras. Um trecho musical de oito compassos, cuja fórmula é 3/4, poderia ser preenchido com a) 24 fusas. b) 3 semínimas. c) 8 semínimas. d) 24 colcheias e 12 semínimas. e) 16 semínimas e 8 semicolcheias.

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quadradas e há 8 peças no tabuleiro da figura A e 8 peças no tabuleiro da figura B. As peças são retiradas do tabuleiro da figura B e colocadas no tabuleiro da figura A na posição correta, isto é, de modo a completar os desenhos.

Questão 145. O controle de qualidade de uma empresa fabricante de telefones celulares aponta que a probabilidade de um aparelho de determinado modelo apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da loja com exatamente dois aparelhos defeituosos? a) 2 × (0,2%)4. b) 4 × (0,2%)2. c) 6 × (0,2%)2 × (99,8%)2. d) 4 × (0,2%). e) 6 × (0,2%) × (99,8%). Questão 146. Uma pousada oferece pacotes promocionais para atrair casais a se hospedarem por até oito dias. A hospedagem seria em apartamento de luxo e, nos três primeiros dias, a diária custaria R$ 150,00, preço da diária fora da promoção. Nos três dias seguintes, seria aplicada uma redução no valor da diária, cuja taxa média de variação, a cada dia, seria de R$ 20,00. Nos dois dias restantes, seria mantido o preço do sexto dia. Nessas condições, um modelo para a promoção idealizada é apresentado no gráfico a seguir, no qual o valor da diária é função do tempo medido em número de dias.

Disponível em: http://pt.eternityii.com. Acesso em: 14 jul. 2009.

É possível preencher corretamente o espaço indicado pela seta no tabuleiro da figura A colocando a peça a) 1 após girá-la 90° no sentido horário. b) 1 após girá-la 180° no sentido anti-horário. c) 2 após girá-la 90° no sentido anti-horário. d) 2 após girá-la 180° no sentido horário. e) 2 após girá-la 270° no sentido anti-horário. Questão 148. A tabela mostra alguns dados da emissão de dióxido de carbono de uma fábrica, em função do número de toneladas produzidas.

De acordo com os dados e com o modelo, comparando o preço que um casal pagaria pela hospedagem por sete dias fora da promoção, um casal que adquirir o pacote promocional por oito dias fará uma economia de a) R$ 90,00. d) R$ 150,00. b) R$ 110,00. e) R$ 170,00. c) R$ 130,00. Questão 147. As figuras a seguir exibem um trecho de um quebra-cabeças que está sendo montado. Observe que as peças são

Cadernos do Gestar II, Matemática TP3. Disponível em: www.mec.gov.br. Acesso em: 14 jul. 2009.

Os dados na tabela indicam que a taxa média de variação entre a emissão de dióxido de carbono (em ppm) e a produção (em toneladas) é a) inferior a 0,18.


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b) superior a 0,18 e inferior a 0,50. c) superior a 0,50 e inferior a 1,50. d) superior a 1,50 e inferior a 2,80. e) superior a 2,80. Questão 149. Em Florença, Itália, na Igreja de Santa Croce, é possível encontrar um portão em que aparecem os anéis de Borromeo. Alguns historiadores acreditavam que os círculos representavam as três artes: escultura, pintura e arquitetura, pois elas eram tão próximas quanto inseparáveis.

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Os dados da tabela mostram que, no período considerado, os valores médios dos investimentos da França no Brasil foram maiores que os investimentos do Brasil na França em um valor a) inferior a 300 milhões de dólares. b) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400 milhões de dólares. c) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500 milhões de dólares. d) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600 milhões de dólares. e) superior a 600 milhões de dólares. Questão 151.

Scientific American, ago. 2008.

Qual dos esboços a seguir melhor representa os anéis de Borromeo?

Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00. De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas? a) R$ 14,00. d) R$ 32,00. b) R$ 17,00. e) R$ 57,00. c) R$ 22,00. Questão 152. Técnicos concluem mapeamento do aquífero Guarani

a)

d)

b)

e)

c)

O aquífero Guarani localiza-se no subterrâneo dos territórios da Argentina, Brasil, Paraguai e Uruguai, com extensão total de 1.200.000 quilômetros quadrados, dos quais 840.000 quilômetros quadrados estão no Brasil. O aquífero armazena cerca de 30 mil quilômetros cúbicos de água e é considerado um dos maiores do mundo. Na maioria das vezes em que são feitas referências à água, são usadas as unidades metro cúbico e litro, e não as unidades já descritas. A Companhia de Saneamento Básico do Estado de São Paulo (SABESP) divulgou, por exemplo, um novo reservatório cuja capacidade de armazenagem é de 20 milhões de litros.

Questão 150. Brasil e França têm relações comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a França é a 5.ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10.ª, e ambas se destacam na economia mundial. No entanto, devido a uma série de restrições, o comércio entre esses dois países ainda não é adequadamente explorado, como mostra a tabela seguinte, referente ao período 2003-2007.

Disponível em: http://noticias.terra.com.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).

Comparando as capacidades do aquífero Guarani e desse novo reservatório da SABESP, a capacidade do aquífero Guarani é a) 1,5 x 102 vezes a capacidade do reservatório novo. b) 1,5 x 103 vezes a capacidade do reservatório novo. c) 1,5 x 106 vezes a capacidade do reservatório novo. d) 1,5 x 108 vezes a capacidade do reservatório novo. e) 1,5 x 109 vezes a capacidade do reservatório novo. Questão 153.

Disponível em: www.cartacapital.com.br. Acesso em: 7 jul. 2009.

Suponha que, na escultura do artista Emanoel Araújo, mostrada na figura a seguir, todos os prismas numerados em algarismos romanos são retos, com bases triangulares, e que as faces laterais do poliedro II são perpendiculares à sua própria face superior, que, por sua vez, é um triângulo


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congruente ao triângulo base dos prismas. Além disso, considere que os prismas I e III são perpendiculares ao prisma IV e ao poliedro II.

Disponível em: www.escritosriodearte.com.br. Acesso em: 28 jul. 2009.

Imagine um plano paralelo à face α do prisma I, mas que passe pelo ponto P pertencente à aresta do poliedro II, indicado na figura. A interseção desse plano imaginário com a escultura contém a) dois triângulos congruentes com lados correspondentes paralelos. b) dois retângulos congruentes e com lados correspondentes paralelos. c) dois trapézios congruentes com lados correspondentes perpendiculares. d) dois paralelogramos congruentes com lados correspondentes paralelos. e) dois quadriláteros congruentes com lados correspondentes perpendiculares. Questão 154. A rampa de um hospital tem na sua parte mais elevada uma altura de 2,2 metros. Um paciente ao caminhar sobre a rampa percebe que se deslocou 3,2 metros e alcançou uma altura de 0,8 metro. A distância em metros que o paciente ainda deve caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa é a) 1,16 metros. d) 5,6 metros. b) 3,0 metros. e) 7,04 metros. c) 5,4 metros.

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Questão 156. Para cada indivíduo, a sua inscrição no Cadastro de Pessoas Físicas (CPF) é composto por um número de 9 algarismos e outro número de 2 algarismos, na forma d1d2, em que os dígitos d1 e d2 são denominados dígitos verificadores. Os dígitos verificadores são calculados, a partir da esquerda, da seguinte maneira: os 9 primeiros algarismos são multiplicados pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 (o primeiro por 10, o segundo por 9, e assim sucessivamente); em seguida, calcula-se o resto r da divisão da soma dos resultados das multiplicações por 11, e se esse resto r for 0 ou 1, d1 é zero, caso contrário d1 = (11 – r). O dígito d2 é calculado pela mesma regra, na qual os números a serem multiplicados pela sequência dada são contados a partir do segundo algarismo, sendo d1 o último algarismo, isto é, d2 é zero se o resto s da divisão por 11 das somas das multiplicações for 0 ou 1, caso contrário, d2 = (11 – s). Suponha que João tenha perdido seus documentos, inclusive o cartão de CPF e, ao dar queixa da perda na delegacia, não conseguisse lembrar quais eram os dígitos verificadores, recordando-se apenas que os nove primeiros algarismos eram 123.456.789. Neste caso, os dígitos verificadores d1 e d2 esquecidos são, respectivamente, a) 0 e 9. d) 9 e 1. b)1 e 4. e) 0 e 1. c) 1 e 7. Questão 157. Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio, utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para transportá-las. Sabendo que a capacidade da caixa é de 13.824 cm3, então o número máximo de esferas que podem ser transportadas em uma caixa é igual a a) 4. d) 24. b) 8. e) 32. c) 16. Questão 158. A figura a seguir mostra as medidas reais de uma aeronave que será fabricada para utilização por companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa fazer o desenho desse avião em escala de 1:150.

Questão 155. Um posto de combustível vende 10.000 litros de álcool por dia a R$ 1,50 cada litro. Seu proprietário percebeu que, para cada centavo de desconto que concedia por litro, eram vendidos 100 litros a mais por dia. Por exemplo, no dia em que o preço do álcool foi R$ 1,48, foram vendidos 10.200 litros. Considerando x o valor, em centavos, do desconto dado no preço de cada litro, e V o valor, em R$, arrecadado por dia com a venda do álcool, então a expressão que relaciona V e xé a) V = 10.000 + 50x – x2. b) V = 10.000 + 50x + x2. c) V = 15.000 – 50x – x2. d) V = 15.000 + 50x – x2. e) V = 15.000 – 50x + x2.

Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em centímetros, que essa folha deverá ter? a) 2,9 cm × 3,4 cm. d) 21 cm × 26 cm. b) 3,9 cm × 4,4 cm. e) 192 cm × 242 cm. c) 20 cm × 25 cm.


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Questão 159. Um experimento consiste em colocar certa quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo com água até certo nível e medir o nível da água, conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado do experimento, concluiu-se que o nível da água é função do número de bolas de vidro que são colocadas dentro do copo.

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seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0. Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse comparecido, essa equipe a) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0. b) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10. c) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8. d) permaneceria na terceira posição, independentemente da nota obtida pelo aluno. e) empataria com a equipe Ômega na primeira colocação se o aluno obtivesse nota 9. Questão 162.

O quadro a seguir mostra alguns resultados do experimento realizado.

Disponível em: www.penta.ufrgs.br. Acesso em: 13 jan. 2009 (adaptado).

Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da água (y) em função do número de bolas (x)? a) y = 30x. b) y = 25x + 20,2. c) y = 1,27x. d) y = 0,7x. e) y = 0,07x + 6. Questão 160. Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1.000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25.000,00. Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a cooperativa deveria a) manter sua proposta. b) oferecer 4 máquinas a mais. c) oferecer 6 trabalhadores a mais. d) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias. e) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina. Questão 161. Suponha que a etapa final de uma gincana escolar consista em um desafio de conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe seria dada pela mediana das notas obtidas pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8 pontos,

Uma escola lançou uma campanha para seus alunos arrecadarem, durante 30 dias, alimentos não perecíveis para doar a uma comunidade carente da região. Vinte alunos aceitaram a tarefa e nos primeiros 10 dias trabalharam 3 horas diárias, arrecadando 12 kg de alimentos por dia. Animados com os resultados, 30 novos alunos somaram-se ao grupo, e passaram a trabalhar 4 horas por dia nos dias seguintes até o término da campanha. Admitindo-se que o ritmo de coleta tenha se mantido constante, a quantidade de alimentos arrecadados ao final do prazo estipulado seria de a) 920 kg. d) 600 kg. b) 800 kg. e) 570 kg. c) 720 kg. Questão 163. Segundo as regras da Fórmula 1, o peso mínimo do carro, de tanque vazio, com o piloto, é de 605 kg, e a gasolina deve ter densidade entre 725 e 780 gramas por litro. Entre os circuitos nos quais ocorrem competições dessa categoria, o mais longo é Spa-Francorchamps, na Bélgica, cujo traçado tem 7 km de extensão. O consumo médio de um carro da Fórmula 1 é de 75 litros para cada 100 km. Suponha que um piloto de uma equipe específica, que utiliza um tipo de gasolina com densidade de 750 g/L, esteja no circuito de Spa-Francorchamps, parado no box para reabastecimento. Caso ele pretenda dar mais 16 voltas, ao ser liberado para retornar à pista, seu carro deverá pesar, no mínimo, a) 617 kg. d) 689 kg. b) 668 kg. e) 717 kg. c) 680 kg. Questão 164. Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que contém uma área de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um ficasse com a terça parte da área de extração, conforme mostra a figura.


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Em relação à partilha proposta, constata-se que a porcentagem da área do terreno que coube a João corresponde, aproximadamente, a (considere a) 50%. d) 33%. b) 43%. e) 19%. c) 37%.

= 0,58)

Questão 165.

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Suponha que um passageiro de nome Carlos pegou um avião AII, que seguiu a direção que forma um ângulo de 135º graus no sentido horário com a rota Brasília – Belém e pousou em alguma das capitais brasileiras. Ao desembarcar, Carlos fez uma conexão e embarcou em um avião AIII, que seguiu a direção que forma um ângulo reto, no sentido antihorário, com a direção seguida pelo avião AII ao partir de Brasília-DF. Considerando que a direção seguida por um avião é sempre dada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino do avião, pela descrição dada, o passageiro Carlos fez uma conexão em a) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Curitiba. b) Belo Horizonte, e em seguida embarcou para Salvador. c) Boa Vista, e em seguida embarcou para Porto Velho. d) Goiânia, e em seguida embarcou para o Rio de Janeiro. e) Goiânia, e em seguida embarcou para Manaus. Questão 167. O quadro apresenta informações da área aproximada de cada bioma brasileiro.

Doze times se inscreveram em um torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida, entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o segundo seria o time visitante. A quantidade total de escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser calculadas através de a) uma combinação e um arranjo, respectivamente. b) um arranjo e uma combinação, respectivamente. c) um arranjo e uma permutação, respectivamente. d) duas combinações. e) dois arranjos. Questão 166. Rotas aéreas são como pontes que ligam cidades, estados ou países. O mapa a seguir mostra os estados brasileiros e a localização de algumas capitais identificadas pelos números. Considere que a direção seguida por um avião AI que partiu de Brasília – DF, sem escalas, para Belém, no Pará, seja um segmento de reta com extremidades em DF e em 4.

SIQUEIRA, S. Brasil Regiões. Disponível em: www.santiagosiqueira.pro.br. Acesso em: 28 jul. 2009 (adaptado).

Disponível em: www.ibge.gov.br. Acesso em: 10 jul. 2009 (adaptado).

É comum em conversas informais, ou mesmo em noticiários, o uso de múltiplos da área de um campo de futebol (com as medidas de 120 m x 90 m) para auxiliar a visualização de áreas consideradas extensas. Nesse caso, qual é o número de campos de futebol correspondente à área aproximada do bioma Pantanal? a) 1.400 d) 1.400.000 b) 14.000 e) 14.000.000 c) 140.000 Questão 168. Na tabela, são apresentados dados da cotação mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.

De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações mensais do ovo extra branco nesse período era igual a a) R$ 73,10. d) R$ 83,00. b) R$ 81,50. e) R$ 85,30. c) R$ 82,00.


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seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01, 02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50.

Questão 169. A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na figura I. Neste caso, a vazão da água é de 1.050 m3/s. O cálculo da vazão, Q em m3/s, envolve o produto da área A do setor transversal (por onde passa a água), em m 2, pela velocidade da água no local, v, em m/s, ou seja, Q = Av. Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões especificadas na figura II, para evitar a ocorrência de enchentes.

Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009.

Considere que uma pessoa decida apostar exatamente R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar apenas cinco das seis dezenas da mega sena, justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis dezenas diferentes, que não tenham cinco números em comum, do que uma única aposta com nove dezenas, porque a probabilidade de acertar a quina no segundo caso em relação ao primeiro é, aproximadamente,

a)

vez menor.

b) vezes menor. c) 4 vezes menor.

d) 9 vezes menor. e) 14 vezes menor.

Questão 172.

Disponível em: www2.uel.br.

Na suposição de que a velocidade da água não se alterará, qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta? a) 90 m3/s. d) 1.512 m3/s. 3 b) 750 m /s. e) 2.009 m3/s 3 c) 1.050 m /s. Questão 170.

Nos últimos anos, o volume de petróleo exportado pelo Brasil tem mostrado expressiva tendência de crescimento, ultrapassando as importações em 2008. Entretanto, apesar de as importações terem se mantido praticamente no mesmo patamar desde 2001, os recursos gerados com as exportações ainda são inferiores àqueles despendidos com as importações, uma vez que o preço médio por metro cúbico do petróleo importado é superior ao do petróleo nacional. Nos primeiros cinco meses de 2009, foram gastos 2,84 bilhões de dólares com importações e gerada uma receita de 2,24 bilhões de dólares com as exportações. O preço médio por metro cúbico em maio de 2009 foi de 340 dólares para o petróleo importado e de 230 dólares para o petróleo exportado. O quadro a seguir mostra os dados consolidados de 2001 a 2008 e dos primeiros cinco meses de 2009.

A resolução das câmeras digitais modernas é dada em megapixels, unidade de medida que representa um milhão de pontos. As informações sobre cada um desses pontos são armazenadas, em geral, em 3 bytes. Porém, para evitar que as imagens ocupem muito espaço, elas são submetidas a algoritmos de compressão, que reduzem em até 95% a quantidade de bytes necessários para armazená-las. Considere 1 KB = 1.000 bytes, 1 MB = 1.000 KB, 1 GB = 1.000 MB. Utilizando uma câmera de 2.0 megapixels cujo algoritmo de compressão é de 95%, João fotografou 150 imagens para seu trabalho escolar. Se ele deseja armazená-las de modo que o espaço restante no dispositivo seja o menor espaço possível, ele deve utilizar a) um CD de 700 MB. b) um pendrive de 1 GB. c) um HD externo de 16 GB. d) um memory stick de 16 MB. e) um cartão de memória de 64 MB. Questão 171. A população brasileira sabe, pelo menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase. Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por essa loteria, especialmente quando o prêmio se acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada aposta de

Disponível em: http://www.anp.gov.br. Acesso em: 15 jul. 2009 (adaptado).

Considere que as importações e exportações de petróleo de junho a dezembro de 2009 sejam iguais a 7/5 das importações e exportações, respectivamente, ocorridas de janeiro a maio de 2009. Nesse caso, supondo que os preços para importação e exportação não sofram alterações, qual seria o valor mais aproximado da diferença entre os recursos despendidos com as importações e os recursos gerados com as exportações em 2009? a) 600 milhões de dólares. b) 840 milhões de dólares. c) 1,34 bilhão de dólares. d) 1,44 bilhão de dólares. e) 2,00 bilhões de dólares.


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(TC) e a taxa de atualização de cadastros (TA), em que

Questão 173. Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a base superior de cada bloco é igual à base inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.

, NV é o número de cadastros domiciliares válidos no perfil do CadÚnico, NF é o número de famílias estimadas como público alvo do CadÚnico e NA é o número de cadastros domiciliares atualizados no perfil do CadÚnico. Portaria n° 148 de 27 de abril de 2006 (adaptado).

Suponha que o IcadÚnico de um município específico é 0,6. Porém, dobrando NF o IcadÚnico cairá para 0,5. Se NA + NV = 3.600, então NF é igual a a) 10.000. d) 4.500. b) 7.500. e) 3.000. c) 5.000. Questão 176.

Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo, retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar uma vela? a) 156 cm3 d) 216 cm3 e) 540 cm3 3 b) 189 cm c) 192 cm3 Questão 174. Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d ≤ r sobre a circunferência.

Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por

Joana frequenta uma academia de ginástica onde faz exercícios de musculação. O programa de Joana requer que ela faça 3 séries de exercícios em 6 aparelhos diferentes, gastando 30 segundos em cada série. No aquecimento, ela caminha durante 10 minutos na esteira e descansa durante 60 segundos para começar o primeiro exercício no primeiro aparelho. Entre uma série e outra, assim como ao mudar de aparelho, Joana descansa por 60 segundos. Suponha que, em determinado dia, Joana tenha iniciado seus exercícios às 10h30min e finalizado às 11h7min. Nesse dia e nesse tempo, Joana a) não poderia fazer sequer a metade dos exercícios e dispor dos períodos de descanso especificados em seu programa. b) poderia ter feito todos os exercícios e cumprido rigorosamente os períodos de descanso especificados em seu programa. c) poderia ter feito todos os exercícios, mas teria de ter deixado de cumprir um dos períodos de descanso especificados em seu programa. d) conseguiria fazer todos os exercícios e cumpriria todos os períodos de descanso especificados em seu programa, e ainda se permitiria uma pausa de 7 min. e) não poderia fazer todas as 3 séries dos exercícios especificados em seu programa; em alguma dessas séries deveria ter feito uma série menos e não deveria ter cumprido um dos períodos de descanso. Questão 177.

a)

d)

b)

e)

c) Questão 175. O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico), que compõe o cálculo do Índice de Gestão Descentralizada do Programa Bolsa Família (IGD), é obtido por meio da média aritmética entre a taxa de cobertura qualificada de cadastros

Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal. Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do artesão? a) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de 4 lados. b) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos polígonos tem 4 lados. c) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a interseção de uma face com um plano é um segmento de


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reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono obtido nessa interseção tem 5 lados. d) O número de lados de qualquer polígono obtido como interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces, o polígono tem 5 lados. e) O número de lados de qualquer polígono obtido interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados. Questão 178.

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média de 110 mm, o telhado, retangular, deverá ter dimensões mínimas de a) 6 metros por 5 metros, pois assim teria uma área de m2. b) 15 metros por 20 metros, pois assim teria uma área 300 m2. c) 50 metros por 60 metros, pois assim teria uma área 3.000 m2. d) 91 metros por 30 metros, pois assim teria uma área 2.730 m2. e) 110 metros por 30 metros, pois assim teria uma área 3.300 m2.

as 30 de de de de

João deve 12 parcelas de R$ 150,00 referentes ao cheque especial de seu banco e cinco parcelas de R$ 80,00 referentes ao cartão de crédito. O gerente do banco lhe ofereceu duas parcelas de desconto no cheque especial, caso João quitasse esta dívida imediatamente ou, na mesma condição, isto é, quitação imediata, com 25% de desconto na dívida do cartão. João também poderia renegociar suas dívidas em 18 parcelas mensais de R$ 125,00. Sabendo desses termos, José, amigo de João, ofereceu-lhe emprestar o dinheiro que julgasse necessário pelo tempo de 18 meses, com juros de 25% sobre o total emprestado. A opção que dá a João o menor gasto seria a) renegociar suas dívidas com o banco. b) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação das duas dívidas. c) recusar o empréstimo de José e pagar todas as parcelas pendentes nos devidos prazos. d) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cheque especial e pagar as parcelas do cartão de crédito. e) pegar emprestado de José o dinheiro referente à quitação do cartão de crédito e pagar as parcelas do cheque especial.

Questão 180.

Questão 179.

QUESTÃO 136: Alternativa A

A cisterna é um recipiente utilizado para armazenar água da chuva. Os principais critérios a serem observados para captação e armazenagem de água da chuva são: a demanda diária de água na propriedade; o índice médio de precipitação (chuva), por região, em cada período do ano; o tempo necessário para armazenagem; e a área de telhado necessária ou disponível para captação. Para fazer o cálculo do volume de uma cisterna, deve-se acrescentar um adicional relativo ao coeficiente de evaporação. Na dificuldade em se estabelecer um coeficiente confiável, a Empresa Brasileira de Pesquisa Agropecuária (EMBRAPA) sugere que sejam adicionados 10% ao volume calculado de água. Desse modo, o volume, em m3, de uma cisterna é calculado por Vc = Vd × Ndia, em que Vd = volume de demanda da água diária (m³), Ndia = número de dias de armazenagem, e este resultado deve ser acrescido de 10%. Para melhorar a qualidade da água, recomenda-se que a captação seja feita somente nos telhados das edificações. Considerando que a precipitação de chuva de 1 mm sobre uma área de 1 m2 produz 1 litro de água, pode-se calcular a área de um telhado a fim de atender a necessidade de armazenagem da seguinte maneira: área do telhado (em m2) = volume da cisterna (em litros) /precipitação.

De acordo com as informações fornecidas no enunciado percebemos que uma forma de resolver o problema é primeiro determinarmos o tamanho da frota (F) para os dois períodos em questão, para então determinarmos o total de passageiros (P) transportados. O cálculo será feito através do índice de produtividade (IP) fornecido pelo gráfico. O enunciado nos diz que o IP é a razão entre P e F, logo: . Vamos aos cálculos:

Disponível em: www.cnpsa.embrapa.br. Acesso em: 8 jun. 2009 (adaptado).

Para atender a uma demanda diária de 2.000 litros de água, com período de armazenagem de 15 dias e precipitação

Um médico está estudando um novo medicamento que combate um tipo de câncer em estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos seus componentes, a cada dose administrada há uma chance de 10% de que o paciente sofra algum dos efeitos colaterais observados no estudo, tais como dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos sintomas da doença. O médico oferece tratamentos compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento, de acordo com o risco que o paciente pretende assumir. Se um paciente considera aceitável um risco de até 35% de chances de que ocorra algum dos efeitos colaterais durante o tratamento, qual é o maior número admissível de doses para esse paciente? a) 3 doses. d) 8 doses. b) 4 doses. e) 10 doses. c) 6 doses. RESOLUÇÕES E COMENTÁRIOS - ENEM 2009

Tamanho (F) da frota de veículos, em abril de 2001:

Total (P) de passageiros transportados, em outubro de 2008:

Comentário: Como alternativa para a resolução desta questão o aluno poderia efetuar direto o cálculo do número de passageiros em 2008, sem calcular a frota de veículos, utilizando uma regra de três simples. Sendo então temos que:


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Conteúdos envolvidos: Regra de três simples. QUESTÃO 137: Alternativa D Uma vez que o enunciado nos traz a informação da velocidade do ônibus e pergunta quanto tempo vai demorar a percorrer certa distância, devemos nos lembrar de que o conceito de velocidade está atrelado à taxa de variação do espaço em uma determinada unidade de tempo. A expressão matemática que representa a velocidade de um móvel é: Portanto precisamos primeiro descobrir qual a distância que o ônibus percorrerá para então descobrir quanto tempo levará para a velocidade de 40 km/h. Analisando o mapa do bairro percebemos que só existe um único trajeto para que o ônibus saia do ponto X e chegue ao ponto Y. A figura a seguir indica qual é este trajeto. Desta forma, como cada quarteirão possui 0,2 km (200 m) de comprimento, basta contarmos quantos quarteirões ele irá percorrer do ponto X até o ponto Y e multiplicarmos por 0,2 km.

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Comentário: Efetuando os cálculos exatos, sem usar valores aproximados, o resultado seria 893,11 milhões. Porém como as alternativas apresentam intervalos, temos a liberdade de usar aproximações a fim de facilitar e economizar tempo com os cálculos. Entretanto é preciso bastante cautela e critério para utilizar tais aproximações. Uma passagem importante no cálculo sobre propriedade de potência, que o aluno necessita estar familiarizado é, . Conteúdo envolvido: Funções e propriedade de potência. QUESTÃO 139: Alternativa C Para o cálculo da probabilidade de escolhermos, aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de idade, nos países desenvolvidos precisaremos do número de pessoas com 60 anos ou mais e do número total da população. Esta probabilidade representa exatamente a porcentagem de pessoas com 60 anos ou mais na população. De acordo com o gráfico esta porcentagem está entre 30% e 35%. Logo a probabilidade p procurada é uma fração que está entre estes dois valores:

Comparando as alternativas, aquela que mais se aproxima dentro deste intervalo é:

Comentário: Para esta questão é necessário que o aluno esteja convencido de que a porcentagem trazida pelo gráfico também representa uma probabilidade. Além disso, o aluno poderia intuir que o gráfico está bem próximo de Conteúdos envolvidos: comparação entre frações. As alternativas não trazem esta resposta, porém se convertermos 0,05 horas em minutos, através de uma regra de três, chegaremos à alternativa correta.

Probabilidade,

. porcentagem

e

QUESTÃO 140: Alternativa C A área de um retângulo é dada pelo produto de sua largura pelo comprimento. Diante disto vamos realizar os seguintes cálculos utilizando os dados fornecidos no enunciado: Área do terreno cedido:

Comentário: Caso o aluno quisesse ele poderia trabalhar com a distância em 200 m ao invés de transformá-la em 0,2 km. Porém neste caso, ele precisaria transformar a velocidade de km/h em m/min, efetuando . Desta forma o resultado sairia direto em minutos.

Área limite permitida para construção (6% da área do terreno):

Conteúdos envolvidos: Conceito de velocidade. QUESTÃO 138: Alternativa E

Área demarcada por Antônio:

Utilizando a informação de que x = 0 representa o ano 2000, x = 1 representa 2001, então x = 30 representará 2030. Desta forma para calcularmos a estimativa da população com 60 anos ou mais, devemos efetuar o seguinte cálculo, considerando que , dado no enunciado:

Portanto Antônio pode construir até o limite do triplo da área que ele demarcou.


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Comentário: O ponto chave da questão é entender qual porcentagem do terreno é permitida para ser construída. Como 94% da área do terreno deve ser preservada, logo é permitido construir em 6% dele. Conteúdos envolvidos: Porcentagem e área de retângulos. QUESTÃO 141: Alternativa D Para resolver esta questão iremos utilizar duas regras de três, uma para descobrir o volume da mistura final diesel/biodiesel e outra para descobrir, utilizando o valor obtido, o consumo de biodiesel com a adição de 3% à mistura: Volume da mistura final, em milhões de litros:

Volume de biodiesel para uma mistura de 3%, em milhões de litros:

Comentário: Caso o aluno tenha familiaridade com proporções, o volume de biodiesel para uma mistura de 3% poderia ser mais facilmente obtido dividindo-se os 925 milhões de litros por 4 e em seguida multiplicar o resultado por 3. Ou seja, em milhões de litros:

Conteúdos envolvidos: Regra de três simples. QUESTÃO 142: Alternativa E

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maior consumo de cigarros acarreta um número maior de casos de câncer pulmonar do que em relação a um menor consumo. Alternativa C: para que o consumo diário de cigarros fosse diretamente proporcional ao número de casos de câncer pulmonar, deveríamos observar que ao aumentar-se o número de cigarros diários, o número de casos de câncer pulmonar aumentaria na mesma proporção, o que não ocorre observando o gráfico. Portanto esta alternativa é falsa. Alternativa D: para que uma pessoa não fumante, ou seja, consumo zero de cigarros por dia, nunca fosse diagnosticada com câncer pulmonar o gráfico deveria coincidir com zero casos de câncer pulmonar. Pelo gráfico observamos, ainda que pequeno, existe sim um número maior que zero de casos de câncer pulmonar para um consumo diário de zero cigarros. Portanto esta alternativa é falsa. Alternativa E: pelo gráfico existe sim uma relação entre o consumo de cigarros diários e o número de casos de câncer pulmonar. Isto se dá devido ao fato de que em um intervalo maior de consumo de cigarros o número de casos de câncer pulmonar é maior do que para um intervalo menor de consumo. Logo existe a relação, porém elas não são proporcionais. Comentário: Apesar de não envolver cálculo nenhum a questão exigiu a habilidade do aluno em ler, interpretar e concluir se há ou não, e caso haja, qual a relação entre o número de cigarros consumidos diariamente e o número de casos de câncer pulmonar. Analisando cada alternativa chegamos à correta. Conteúdos envolvidos: Leitura e interpretação de gráficos. QUESTÃO 143: Alternativa D Segundo o gráfico, em 05/09, economicamente ativas é deste número, entre 05/09 e 06/09, número de pessoas economicamente pessoas:

o número de pessoas . Se houve crescimento de 4% então em 06/09 o ativas é dado por, em mil

Como o estilo desta questão consiste em cada alternativa afirmar algo em relação ao gráfico dado, vamos analisar cada uma delas e assim por exclusão chegar à correta:

Comentário: Uma questão bastante simples onde envolvia uma porcentagem de aumento, em relação a um dado obtido por um gráfico.

Alternativa A: para que o consumo diário de cigarros fosse inversamente proporcional ao número de casos de câncer pulmonar, deveríamos observar que ao aumentar-se o número de cigarros diários, o número de casos de câncer pulmonar diminuiria na mesma proporção, o que não ocorre observando o gráfico. Portanto esta alternativa é falsa. Alternativa B: pelo gráfico observamos que nos intervalos de 1 a 14 cigarros diários o número de casos de câncer pulmonar se mantém constante em 20. O mesmo ocorre no intervalo de 15 a 24 cigarros diários, onde o número de casos se mantém constante em torno de 52. Logo percebemos que não existe uma proporção entre as grandezas, porém existe uma relação. Um

Conteúdos envolvidos: Leitura, interpretação de gráficos e porcentagem. QUESTÃO 144: Alternativa D Neste caso vamos analisar cada alternativa e por exclusão chegaremos à alternativa correta. Sendo

compassos de fórmula

ser formado por: Alternativa A: Alternativa B:

então o trecho musical deve

. Vejamos as alternativas:


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Alternativa C:

Dia

Alternativa D:

Preço (R$)

150

150

150

130

110

90

90

90

Alternativa E:

Comentário: Uma questão bastante interessante que aborda como a matemática está presente na música. Nas alternativas D e E, por serem combinações de 2 tipos diferentes de tempos além da multiplicação, efetuamos as somas dos dois tempos. Conteúdo envolvido: Resolução de problemas envolvendo operações básicas.

Logo o valor será:

Valor que será economizado: Comentário: O enunciado desta questão foi bem completo, e trouxe as informações tanto no texto quanto no gráfico. Na verdade o gráfico serviu para representar a situação dada, porém todas as informações necessárias foram obtidas do texto.

QUESTÃO 145: Alternativa C

Conteúdo envolvido: Resolução de problemas envolvendo operações básicas.

Para resolver esta questão algumas considerações devem ser feitas:

QUESTÃO 147: Alternativa C

(i) De início não devemos diferenciar os aparelhos da loja com os que saem da fábrica, isto é, não importa onde sejam vendidos os aparelhos, a probabilidade é a mesma. (ii) Outro ponto importante é como queremos exatamente 2, dos 4, aparelhos com defeito, logo os outros 2 não estarão com defeito. Neste sentido, como a probabilidade de um aparelho apresentar defeito é , logo a probabilidade de um aparelho não apresentar defeito é . Sendo assim teremos uma probabilidade de para cada aparelho defeituoso e para cada aparelho não defeituoso. (iii) E por fim devemos distribuir essas probabilidades entre todas as combinações de, entre os 4 aparelhos, exatamente 2 estarem com defeito. Para isto utilizaremos o Princípio Fundamental da Contagem.

Pelo desenho, percebemos que a figura deve completar o lado esquerdo do quadrado ao lado direito da seta. Logo a figura que buscamos deve possuir o mesmo triângulo cinza claro, que acabará completando o quadrado. E por este motivo podemos concluir que a peça 1 não servirá por não possuir tal triângulo. Logo resta-nos apenas a peça 2. Sendo assim, de início, podemos excluir as alternativas A e B. Para que a peça 2 se encaixe no lugar correto ela deverá girar uma vez 90° no sentido anti–horário. A figura a seguir está representando uma parte da figura A, focando a parte que nos interesse e a peça 2 rotacionando 90° no sentido anti–horário.

Então vamos ao cálculo de fato: Comentário: Os pontos chave desta questão são dois. Primeiro o aluno lembrar-se de eventos complementares e mutuamente exclusivos. Desta forma foi possível encontrar o valor , afinal ou o aparelho é defeituoso ou não. Logo se a probabilidade de apresentar defeito é então a de não apresentar defeito é somando assim dos aparelhos. Segundo que simultaneidade dos eventos, ou seja, os eventos entre aparelhos com e sem defeitos ocorrem ao mesmo tempo, nos sugere que utilizemos o princípio multiplicativo. Daí é que vem a multiplicação de todas as probabilidades. Conteúdos envolvidos: Probabilidade QUESTÃO 146: Alternativa A Como iremos comparar o preço para sete dias fora da promoção com o preço para oito dias dentro da promoção, vamos calcular os dois valores separadamente: Pacote de 7 dias fora da promoção: Pacote de 8 dias dentro da promoção: para o cálculo do valor deste pacote vamos organizar o preço de cada dia em uma tabela:

Comentário: A questão basicamente envolveu o movimento de rotação de figuras planas, uma vez que o aluno observa qual das duas peças satisfaria a pergunta. Conteúdo envolvido: Geometria (rotação de figuras). QUESTÃO 148: Alternativa D Antes de começarmos a resolver a questão, vamos entender o significado de taxa média de variação entre duas grandezas: Taxa média de variação entre duas grandezas A e B é o número que relaciona o quanto a grandeza A varia em relação à variação da grandeza B. Um exemplo aplicável é o conceito de velocidade média, que relaciona o quanto um móvel varia sua posição em relação a uma variação de tempo. Na prática, calculamos esta taxa média dividindo-se a diferença entre os valores final e inicial de uma grandeza pela diferença correspondente final e inicial da outra grandeza.


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Logo o valor pedido no exercício é calculado da seguinte maneira: Média dos investimentos da França no Brasil (em milhões de dólares): O valor encontrado é superior a 1,50 e inferior a 2,80. Comentário: Apesar dos cálculos simples, o aluno, para resolver esta questão, precisa ter bastante claro o conceito de taxa de variação média. Para o cálculo, utilizamos como valores final e inicial, os dados extremos que aparecem na tabela apresentada no enunciado. A título de curiosidade, em uma função afim do tipo , o coeficiente a representa a taxa de variação média de em relação à . Conteúdos envolvidos: Taxa de variação média. QUESTÃO 149: Alternativa E Pelo estilo da questão, vamos analisar cada questão separadamente e encontrar a alternativa correta por exclusão:

Diferença entre os investimentos (em milhões de dólares):

Este valor é superior a 500 milhões de dólares e inferior a 600 milhões de dólares. Comentário: Uma questão simples onde avalia a habilidade do aluno em extrair médias aritméticas de dados obtidos a partir da leitura de uma tabela. Conteúdos envolvidos: Média aritmética. QUESTÃO 151: Alternativa D

Alternativa A: Observando a figura observamos que o anel da esquerda não está preso a nenhum anel, portanto esta alternativa é falsa.

Para resolver a questão iremos elaborar uma equação que represente a situação do acerto. O enunciado diz que ainda faltam ser pagos R$ 510,00, onde 5 pessoas pagarão o valor que será igual para todas as 55 e as demais pessoas pagariam R$ 7,00. Logo a equação será, onde x representa o valor final que cada uma das 55 pessoas pagará, em reais:

Alternativa B: Nesta figura o anel superior está preso ao anel da esquerda, mas não ao anel da direita, portanto esta alternativa também é falsa. Alternativa C: Já nesta figura os anéis, esquerdo e direito, estão presos, porém o anel superior não está preso a nenhum dos outros, portanto a alternativa é falsa. Alternativa D: Esta figura precisa ser analisada com mais calma. Os três anéis estão todos presos entre si, porém não exatamente como nos anéis de Borromeo. Na figura dada o anel superior passa pelo anel direito pela frente e por trás, porém na alternativa ele passa somente por trás. Logo ela é falsa. Alternativa E: Nesta alternativa a figura coincide plenamente com a dos anéis de Borromeo.

Comentário: O importante nesta questão é o aluno entender a simbologia dos anéis que passam pela frente e por trás. Conteúdos envolvidos: Geometria espacial. QUESTÃO 150: Alternativa D Como a questão quer avaliar a diferença entre a média de investimentos basta que calculemos cada uma e efetuemos a subtração: Média dos investimentos do Brasil na França (em milhões de dólares):

Comentário: O ponto chave da questão está em utilizarmos uma variável para representar o valor procurado e assim estabelecer uma relação entre as informações dadas, ou seja, a equação propriamente dita. Conteúdo envolvido: Dedução de equação e resolução de problemas envolvendo operações básicas. QUESTÃO 152: Alternativa E O exercício sugere a comparação entre dois dados que representam a mesma grandeza, capacidade de água de um reservatório, porém em unidades distintas. Desta forma devemos então realizar a conversão de unidades para que os valores fiquem compatíveis. É importante ressaltar que não importa qual será a unidade padrão, desde que ambos os números estejam representados na mesma, cabendo ao aluno escolher aquela que parece mais viável. Transformaremos quilômetros cúbicos em litros, lembrando que : Aquífero Guarani:


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Pelo desenho podemos identificar uma semelhança de triângulos e, portanto a seguinte relação pode ser estabelecida:

:

Reservatório da SABESP:

Para sabermos quantas vezes o aquífero Guarani é maior que o novo reservatório da SABESP, basta dividirmos um pelo outro:

Comentário: A questão envolve bastante conversão de unidades, e o aluno deve dar uma atenção especial à conversão de para . Conteúdo envolvido: Conversão de unidades, regra de três simples e propriedade de potenciação. QUESTÃO 153: Alternativa A A explicação para a resposta da questão está claramente no enunciado, e o aluno, com calma, deve observar a parte que a contém: “(...) todos os prismas numerados em algarismos romanos são retos, com bases triangulares (...)”. Quando o enunciado diz: “(...) imagine um plano paralelo à face do prisma I, mas que passe pelo ponto P (...)” devemos entender que o plano em questão irá cortar os poliedros II e IV de maneira ortogonal, isto é, formando um ângulo reto. Logo a figura resultante da intersecção deste plano imaginário com os dois poliedros II e IV será a mesma que a figura de suas bases, ou seja, um triângulo. A figura ao lado representa o corte ortogonal de um prisma de base triangular, como o da escultura, por um plano:

Uma solução alternativa é identificar a razão entre a hipotenusa e o cateto do triângulo menor que é: . Logo pela semelhança a proporção para o triângulo maior será mantida e a sua hipotenusa será: . Logo o valor procurado será:

.

Comentário: Para a resolução é fundamental que o aluno perceba que a questão refere–se a dois triângulos retângulos e à semelhança entre eles. Uma forma de fazê–lo seria através da construção de um desenho. Feito isso a próxima etapa seria montar a proporção e resolvê–la. Conteúdo envolvido: Semelhança de triângulos. QUESTÃO 155: Alternativa D Antes de começarmos a resolver esta questão devemos nos atentar a três fatos: O valor V arrecadado por dia é obtido multiplicando-se o valor cobrado por litro pela quantidade de litros vendida. O preço do litro por dia será dado por:

;

De acordo com o enunciado, a cada centavo de desconto concedido, vende-se 100 litros a mais por dia, que evidentemente serão somados aos 10.000 L que o posto já vende normalmente. Logo a quantidade de litros vendida por dia será dada por: (10 000+100 x). Portanto, unindo todas as informações, temos que o valor V arrecadado por dia em função do valor x, em centavos, de desconto será dado por:

Comentário: Para resolver esta questão o aluno deve ter familiaridade com cortes de poliedros Conteúdos envolvidos: Geometria espacial (intersecção de planos com poliedros). QUESTÃO 154: Alternativa D Para resolver a questão, vamos esboçar a rampa e as distâncias descritas no enunciado: x 2,2 m

3,2 m

0,8 m .

.

Comentário: Um detalhe importante nessa questão é que o aluno deve tomar cuidado com a forma como está expresso o desconto. O enunciado diz que x é dado em centavos, logo para contabilizá-lo em reais (R$) devemos dividi-lo por 100. Conteúdo envolvido: Dedução de funções


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QUESTÃO 156: Alternativa A Para resolver a questão vamos seguir exatamente a sequência de passos que o enunciado nos traz: 1° Passo: multiplicar os 9 algarismos do CPF um a um pela sequência 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2 começando da esquerda para a direita e somar os resultados. Como o número do CPF de João é 123.456.789 então teremos:

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V de um cubo de aresta a é dado por V= . Logo como o enunciado diz que o volume da caixa cúbica é , logo conseguimos calcular a medida a da aresta do cubo:

6 6 6 6 6

6

6

6

2º Passo: calcular o resto da divisão de 210 por 11:

11 210 11 19 100 99 1 → resto da divisão 3º Passo: como o resto r da divisão foi 1 então d 1 é igual a 0. 4º Passo: aplicar a mesma regra que no 1º passo, porém agora começando pelo segundo algarismo e portanto o último será o d1. Então o número a ser multiplicado será 234.567.890 e então teremos:

Sendo 6 cm o raio da esfera, então o seu diâmetro será 12 cm. Assim caberá uma disposição de 2 camadas de esfera com 4 esferas em cada uma, totalizando 8 esferas. Comentário: O ponto chave da questão é enxergar as esferas em termos de seus diâmetros e não de seus raios. Assim será possível verificar que poderá caber apenas 4 esferas em uma face da caixa. Conteúdos envolvidos: Volume de um cubo. QUESTÃO 158: Alternativa D Primeiramente vamos determinar as dimensões que o avião terá no papel utilizando a escala desejável, para então considerarmos as margens exigidas. Neste sentido vamos ajustar as medidas tanto na largura quanto no comprimento do avião. Mas antes vamos converter as medidas do avião de metros para cm:

11 244 22 22 24 22 2 → resto da divisão

Largura do avião:

5º Passo: como o resto s da divisão não foi nem 1 nem 0 logo d2 será dado por: Portanto d1 e d2 são, respectivamente 0 e 9.

Comprimento do avião:

Comentário: A questão apesar de um pouco trabalhosa, não apresenta cálculos complexos, bastando apenas ao aluno bastante atenção para não errar em nenhuma conta. Conteúdos envolvidos: Resolução de problemas envolvendo operações básicas. QUESTÃO 157: Alternativa B Para esclarecer melhor como ficarão dispostas as esferas dentro da caixa utilizaremos o esboço ao lado. Sabemos que o volume

Comentário: Uma questão bastante simples onde cobrou do aluno a familiaridade com escalas e a conversão de unidades. Conteúdos envolvidos: Escalas de desenho e conversão de unidade


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QUESTÃO 159: Alternativa E Se observarmos atentamente as alternativas veremos que facilmente podemos testá-las a fim de descobrir, por exclusão, qual é a alternativa correta. Pela facilidade dos cálculos vamos tomar o valor para x = 10 da tabela, e assim testar para todas as alternativas aquela em que resulta um valor para y = 6,70. Conteúdos envolvidos: Equação Fundamental da Reta e Sistemas de duas equações com duas incógnitas.

Alternativa A: falsa

QUESTÃO 160: Alternativa D

Alternativa B:

Vamos resolver esta questão por etapas, primeiro verificar qual o gasto e depois quantos hectares serão colhidos, para assim confrontar com as exigências do fazendeiro: falsa

Gastos com trabalhador e com as máquinas, em 6 dias:

Alternativa C: falsa Alternativa D: falsa Alternativa E:

verdadeira Apesar de termos encontrado a alternativa correta, vamos elaborar uma proposta de resolução que permita encontrarmos a expressão do nível da água em função do número de bolas (x). Recordando o conceito da Geometria Analítica acerca da equação fundamental de uma reta temos a seguinte expressão:

Para calcular o valor de m vamos utilizar os dois valores extremos da tabela:

Hectares colhidos, na jornada de 6 horas diárias, durante 6 dias: Como a necessidade do fazendeiro são 180 hectares em 6 dias, seria necessário que fossem colhidos 30 hectares por dia ao invés de 20: hectares por dia. Sendo assim será necessário aumentarmos a jornada de 6 horas. Para calcular quantas horas a mais serão necessárias, podemos utilizar uma regra de três simples:

Portanto para atender às exigências do fazendeiro, a cooperativa deveria aumentar a jornada de trabalho de 6 para 9 horas por dia. Comentário: A questão traz diversos dados e é muito importante que o aluno interprete e organize-os de maneira a não gerar confusão. No mais, os cálculos são bastante simples e não devem trazer dificuldades ao aluno.

Agora, aleatoriamente, vamos escolher os valor x = 10 e y = 6,70.

Conteúdos envolvidos: Resoluções de problemas envolvendo operações básicas. QUESTÃO 161: Alternativa D

Comentário: Esta questão apresentou um nível um pouco mais avançado cobrando do aluno um conhecimento bastante fundamental da Geometria Analítica que é a determinação da equação de uma reta através de dois pontos dados. Contudo existe ainda uma terceira opção de resolução que envolveria sistema de duas equações com duas incógnitas utilizando como expressão geral

Como a questão envolve o conceito de mediana vamos lembrar que, em uma amostra ordenada de dados, mediana é o valor que separa a metade inferior da metade superior. Portanto, antes de analisarmos quem é a mediana, devemos ordenar os números em ordem crescente. A tabela abaixo traz esta ordenação: 1º

10º

0

6

6,5

6,5

7

7

8

8

10

10

Como a amostra tem número par de dados, neste caso devemos encontrar a mediana calculando a média aritmética dos dois termos centrais que no nosso caso são o 5º e o 6º elementos. E assim:


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Desta forma o tempo seria bastante economizado durante a prova. Diante destes dados vamos analisar as alternativas:

Conteúdos envolvidos: Mediana.

Alternativa A: como a nota do aluno foi 0 a equipe Gama teve sua pontuação igual a 7,0, logo a alternativa é falsa.

QUESTÃO 162: Alternativa A Logo de início podemos calcular a quantidade arrecadada pelos 20 alunos dos 10 primeiros dias:

Alternativa B: Se a nota fosse 10 teríamos:

10º

6

6,5

6,5

7

7

8

8

10

10

10

Agora restam 20 dias, o grupo está composto por 50 alunos que trabalharão 4 horas por dia. Como o ritmo da coleta será mantida é evidente pensarmos que a arrecadação diária será maior do que 12 kg, porém não sabemos quanto e será preciso calcular. Uma forma de realizar este cálculo é através de uma regra de três composta, da seguinte maneira:

Pelo enunciado a equipe vencedora teve nota 7,8, logo a equipe Gama não ganharia, e, portanto a alternativa é falsa. Portanto, durante os 20 dias restantes serão arrecadados:

Alternativa C: Se a nota do aluno fosse 8 teríamos

No total, a arrecadação será de:

10º

6

6,5

6,5

7

7

8

8

8

10

10

Logo a mediana não se alteraria e continuaria sendo 7,5. O enunciado diz que a equipe Delta com nota 7,6 ficou em segundo lugar. Portanto a equipe Gama não assumiria a segunda colocação e alternativa é falsa. Alternativa D: A situação mais favorável à equipe seria se o aluno obtivesse a maior nota, no caso 10. No cálculo da alternativa B analisamos esta situação e percebemos que a equipe Gama continuaria na terceira colocação. Portanto independente da nota obtida pelo aluno a equipe permaneceria na terceira colocação e a alternativa está correta.

Comentário: É de fundamental importância que o aluno compreenda a relação entre as grandezas envolvidas, elas são diretamente proporcionais. Caso contrário ele pode se confundir no momento da execução da regra de três composta. Conteúdos envolvidos: Regra de três composta. QUESTÃO 163: Alternativa B O enunciado diz que o peso mínimo do carro sem gasolina é de 605 kg e pergunta qual será, no mínimo, o peso do tanque com combustível suficiente para dar mais 16 voltas. Logo nosso trabalho consiste em calcular o peso de gasolina que isto representa e somar aos 605 kg. Para tanto vamos por etapas: 1ª etapa: distância a percorrer nas 16 voltas, sendo cada uma de 7 km: 2ª etapa: gasolina necessária, sendo o consumo de 75 litros a cada 100 km:

Alternativa E: Se a nota do aluno fosse 9 teríamos:

10º

6

6,5

6,5

7

7

8

8

9

10

10

Pelo enunciado a equipe Ômega obteve nota 7,8 e, portanto a equipe Gama não empataria com ela na primeira colocação. Como já sabíamos, esta alternativa é falsa. Comentário: Em questões como essa é importante que seja feita uma tabela com a ordenação dos números. Isso facilita bastante visualmente a resolução da questão. Apesar de termos feito alternativa por alternativa, o aluno deve observar o comportamento da mediana nas trocas das notas e perceber visualmente que a mediana não se alteraria mais do que 7,5.

3ª etapa: peso do combustível, sendo sua densidade 750 g/L:

Logo o peso do carro será: Comentário: Muitas vezes, como o caso desta questão, é importante que o aluno organize a resolução pensando de onde ele está partindo e aonde ele quer chegar. Em outras palavras, quais são os dados iniciais e qual é o dado pretendido. O intuito deste processo é facilitar a percepção de qual será a sequência de passos necessária para obter-se a resposta.


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Conteúdos envolvidos: Conversão de unidades, regra de três e conceito de densidade. QUESTÃO 164: Alternativa E Como a questão sugere uma comparação, em porcentagem, do terreno que caberá a João em relação ao terreno total, será necessário sabermos a área de ambos. O terreno de João tem o formato de um triângulo retângulo cuja altura coincide com o lado menor do terreno, ou seja, 2 km. Já o terreno tem formato retangular de dimensões 3 km X 2 km. Diante disso vamos aos cálculos das áreas: x km .

Área do terreno total:

João

Área do terreno de João:

2 km

A figura ao lado representa o terreno já com as medidas necessárias ao cálculo. Como a área de extração dá a forma de um quarto de círculo, o ângulo central coincide com o ângulo interno do retângulo que é de 90°. Logo o ângulo em cinza do triângulo é:

30°

Para calcularmos a base x do triângulo usaremos a relação trigonométrica tg 30°

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(iii) Combinação: Dado um conjunto de n elementos, chama-se combinação dos n elementos tomados p a p, qualquer subconjunto de p elementos dentre os n elementos possíveis. Neste caso a ordem dos elementos não importa; Para a escolha do grupo A utilizamos uma combinação, pois se trata de 12 times tomados 4 a 4, onde a ordem dos times no grupo não importa. Já para a escolha do jogo de abertura utilizamos um arranjo, pois se trata de 4 times tomados 2 a 2, onde a ordem dos times no jogo importa, devido ao fato de um jogar no seu próprio campo e o outro será o visitante. Logo a quantidade total de escolhas para o Grupo A e para a escolha do jogo de abertura podem ser calculadas por uma combinação e um arranjo, respectivamente. Comentário: O ponto chave da questão é a ordem dos elementos no grupo se importa ou não, para que possamos diferenciar se será uma combinação ou um arranjo. Conteúdos envolvidos: Análise combinatória. QUESTÃO 166: Alternativa B O enunciado diz que a direção seguida por um avião é sempre orientada pela semirreta com origem na cidade de partida e que passa pela cidade destino. De acordo com as rotas estabelecidas no enunciado podemos estabelecer as seguintes direções para cada trajeto que Carlos fez, seguindo o mapa abaixo:

Logo a área do terreno será:

Porcentagem do terreno de João em relação ao terreno total:

Comentário: Um erro bastante corriqueiro é tentar utilizar todos os dados fornecidos pelo enunciado. É importante ressaltar que muitas vezes as questões trazem informações que para os cálculos são irrelevantes, contudo são de fundamental importância para dar maior realidade e contextualização ao enunciado. Foi o caso desta questão em que utilizamos apenas uma parte dos dados fornecidos. Conteúdos envolvidos: Trigonometria (função tangente), cálculo de área de retângulo e triângulo.

A bordo do avião AII: A rota do avião AII foi de 135° no sentido horário com relação à rota Brasília – Belém. Logo o avião saiu de Brasília e seguiu para a cidade número 13, Belo Horizonte.

QUESTÃO 165: Alternativa A A questão aborda os conceitos de análise combinatória: permutação, arranjo e combinação. Por este motivo vamos relembrar o conceito de cada um deles: (i) Permutação: Dado um conjunto de n elementos, chama-se permutação qualquer sequência ordenada desses n elementos; (ii) Arranjo: Dado um conjunto de n elementos, chama-se arranjo dos n elementos tomados p a p, qualquer sequência ordenada de p elementos dentre os n elementos possíveis. Neste caso a ordem dos elementos importa;

A bordo do avião AIII: A rota do avião AIII foi de um ângulo reto no sentido antihorário em relação à rota Brasília – Belo Horizonte. Logo o avião saiu de Belo Horizonte e seguiu para a cidade número 9, Salvador. Comentário: O importante nesta questão é o aluno compreender como realizar as orientações das rotas utilizando os ângulos dados. Conteúdos envolvidos: Ângulos.


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QUESTÃO 167: Alternativa E

QUESTÃO 169: Alternativa D

Antes de iniciarmos a resolução da questão, precisamos observar que as unidades envolvidas não estão compatíveis e será preciso realizar a conversão. Neste caso escolheremos transformar as dimensões do campo de futebol de metros para quilômetros, para então calcular sua área em quilômetros quadrados. Sendo assim temos:

Como para calcularmos a nova vazão da água precisaremos da velocidade, antes de tudo devemos calculá–la utilizando as informações dadas a respeito da figura I. Canaleta antes da reforma: Área do Trapézio isósceles:

Área de um campo de futebol: A vazão é dada no enunciado, calcular a velocidade da água:

, logo podemos

Comparação da área do bioma Pantanal com a de um campo de futebol:

Canaleta depois da reforma: Entretanto, para não despender tempo durante a prova, o aluno pode transformar os números para uma forma mais conveniente levando-se em conta apenas as suas ordens de grandeza, da seguinte forma:

Área do Trapézio isósceles:

Como a velocidade não se altera, podemos usar o mesmo valor 16,8 m/s:

Comentário: Como a questão nos deu a liberdade para encontrarmos um valor aproximado, não é necessário realizarmos a conta exata, e neste caso, foi preciso apenas saber a ordem de grandeza da comparação.

Outra forma de resolver a questão seria igualarmos as velocidades, já que ela não se altera, porém sem encontrar o seu valor de fato:

Conteúdos envolvidos: Ordem de grandeza e propriedade de potenciação. QUESTÃO 168: Alternativa D Assim como na questão 161, para calcular a mediana da amostra de dados, primeiro devemos ordená–los para depois verificar o termo central. Para isto vamos utilizar a tabela abaixo: 1º

73,10

81,60

82,00

83,00

84,00

84,60

85,30

Comentário: Uma vez que a vazão é uma função linear e a velocidade não se altera, garantido estes dois fatos o aluno poderia concluir que a partir dos valores das áreas do trapézio, uma regra de três simples resolveria a questão. Conteúdos envolvidos: Área de um trapézio e igualdade de equações.

Como o número de termos é ímpar então a mediana é o próprio termo central, ou seja, R$ 83,00. Comentário: Uma questão bastante simples onde o aluno deveria ordenar os números, na forma decimal, em ordem crescente para então encontrar o valor central, ou seja a mediana. Conteúdos envolvidos: Mediana.

QUESTÃO 170: Alternativa E O enunciado diz que cada ponto (pixel) é armazenado em 3 bytes. Como a câmera é de 2 megapixels, o tamanho que uma foto, utilizando a resolução máxima, irá ocupar é:

Se a compressão é de 95% logo restará 5% que será armazenado:


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Se João irá tirar 150 fotos então:

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Conteúdos envolvidos: Princípio Fundamental da Contagem e probabilidade. QUESTÃO 172: Alternativa C

Como o pretendido é restar o mínimo possível de espaço, portanto o dispositivo mais adequado será um cartão de memória de 64 MB. Comentário: Um erro bastante comum em questões envolvendo porcentagem é na interpretação equivocada do aluno ao se deparar com a informação: “(...) compressão, que reduzem em até 95% a quantidade (...)”. Se no momento do cálculo o aluno realizar a multiplicação da quantidade em questão por 95%, ele estará cometendo um erro conceitual de porcentagem. O aluno deve se convencer de que ao ser comprimido 95% do tamanho, a quantidade a ser considerada será de – . Logo ele deverá multiplicar a quantidade desejada por este valor e deste modo estará correto. Conteúdos envolvidos: Porcentagem e potências de base 10.

Das informações do enunciado e da tabela podemos calcular o valor das importações e exportações ocorridas de junho a dezembro de 2009: Importação (em milhões de dólares):

Exportação (em milhões de dólares):

Diferença entre importação e exportação (em milhões de dólares)

QUESTÃO 171: Alternativa C Analisando cada um dos dois casos propostos teremos as seguintes possibilidades, utilizando o Princípio Fundamental da Contagem: 84 apostas de 6 dezenas diferentes:

Comentário: Em questões que envolvem grandes quantidades, números em milhões, bilhões, etc., é aconselhável que o aluno, durante a prova, apenas considere os zeros apenas no final do cálculo. Isto ajuda a não desperdiçar tempo. Outro ponto importante da questão é o aluno não ignorar os gastos com a importação no balanço dos recursos despendidos com importações, assim como a receita gerada com exportação no montante dos recursos gerados com as exportações.

Como a ordem das dezenas não importa, por tratar-se do mesmo jogo, devemos realizar o desconto da quantidade de jogos repetidos. Sendo assim o nosso cálculo será:

Conteúdos envolvidos: Resolução de problemas envolvendo operações básicas. QUESTÃO 173: Alternativa B De início podemos calcular qual é a altura da pirâmide superior, que será a mesma altura de cada um dos quatro blocos:

Aposta única de 9 dezenas:

De forma análoga do cálculo anterior, teremos:

Sendo o espaço amostral o mesmo para os dois casos não há necessidade de calculá-lo e podemos analisar a relação entre os dois casos apenas utilizando as possibilidades encontradas.

Observando a figura, percebemos que para responder a pergunta podemos considerar a pirâmide sem os espaços entre os blocos. Portanto para calcular a quantidade de parafina gasta sem a pirâmide superior basta calcular o volume de ambas as pirâmides e subtrair a menor da maior. Lembrando que o volume de um pirâmide é calculado por:

Volume (V1) da pirâmide total:

O enunciado nos pede a relação do segundo caso para o primeiro, porém esta alternativa não consta: Volume (V2) da pirâmide superior: Entretanto se calcularmos o contrário, o primeiro caso em relação ao segundo teremos: Volume sem a pirâmide superior:

Comentário: O detalhe importante desta questão é o aluno entender o desconto devido à repetição dos jogos, em outras palavras, o porquê da divisão por 5! (lê-se 5 fatorial).

Comentário: O segredo da questão é o aluno, ao ler a seguinte informação: “sendo que a base superior de cada bloco é igual à


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base inferior do bloco sobreposto”, entenda que, para efeito de cálculo, os espaços podem ser removidos para obter–se a pirâmide total e assim calcular o seu volume. Outro ponto importante que o aluno deve ficar atento é o modo de se encontrar o valor da altura da pirâmide menor. Como vimos não foi necessário cálculo envolvendo tronco de pirâmide. Conteúdos envolvidos: Volume de pirâmide. QUESTÃO 174: Alternativa B Observemos a figura abaixo:

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Comentário: Uma questão bastante interessante que une importantes elementos no estudo de trigonometria no triângulo retângulo e de circunferência. Nesta questão são três os pontos chave para a resolução: intuir a construção de um triângulo retângulo, elemento fundamental na solução do problema; observar que a distância pedida na questão pode ser obtida através da subtração do raio da circunferência pela medida do cateto do triângulo; e por último, a capacidade do aluno em relacionar diferentes informações e agrupá-las de maneira conveniente, como foi feito. É importante ressaltar que existem outras formas de resolução, mas em todas elas haverá a construção de um triângulo retângulo. Conteúdos envolvidos: Plano cartesiano, trigonometria (função cosseno) e estudo dos elementos de uma circunferência. QUESTÃO 175: Alternativa C O enunciado diz que o cálculo do ICadÚnico é feito da seguinte maneira:

Logo com os dados fornecidos podemos estabelecer as seguintes relações:

Antes de resolvermos esta questão, vamos recordar alguns conceitos: (i) Na figura 1 devemos observar que o ponto P ao deslocar-se de uma distância d até o ponto P’, no eixo x, ou seja, a projeção do deslocamento, o ponto Q irá movimentar-se para o ponto Q’;

Igualando as equações (I) e (II) temos:

(ii) Ainda na figura 1, podemos observar que a distância que procuramos, que é o deslocamento de Q a Q’, é dada pela medida do raio r da circunferência menos o cateto x do triângulo retângulo: ; (iii) Na figura 2, podemos relacionar o ângulo α, o cateto x e a hipotenusa r, pela função cosseno:

;

(iv) Na figura 3, podemos relacionar o arco d, o ângulo α e o raio r por:

Voltando o valor obtido em (III) na equação (II), temos:

;

Juntando as informações obtidas teremos:

Como

então:


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Voltando na equação (III) para obter o valor de NF pedido:

Comentário: O importante nesta questão, por se tratar de resolver um sistema de 3 incógnitas, é o aluno observar quais serão as substituições necessárias para que seja possível utilizar a informação . No mais, a questão exige a habilidade do aluno com relação à álgebra, ou seja, o desenvolvimento das equações. Conteúdos envolvidos: Álgebra e sistemas de equações.

Comentário: A questão exige do aluno a capacidade de abstração para se enxergar, com um pouco de imaginação, que figura resultará do corte da pirâmide por um plano que intersecte todas as suas faces.

QUESTÃO 176: Alternativa B

Conteúdos envolvidos: Geometria espacial.

Antes de analisarmos as alternativas vamos encontrar quanto tempo se passou desde o início até o fim dos exercícios de Joana e quanto tempo ela gasta para realizar o programa:

QUESTÃO 178: Alternativa E

Tempo em que Joana fez seus exercícios:

Cheque especial:

Tempo para execução do programa:

Total da dívida:

Em aquecimento:

Primeiramente vamos calcular a quantia que João deve ao todo: Cartão de crédito:

Em descanso: Descontos oferecidos pelo gerente para quitação imediata da dívida são:

Em aparelhos:

Tempo total: Cheque especial:

Portanto ela conseguiu realizar todos os exercícios e cumprir rigorosamente com os períodos de descanso especificados em seu programa. Comentário: Um detalhe importante que o aluno deve atentar-se é quanto aos períodos de descanso. Como são 18 séries ao todo logo serão 17 intervalos entre um e outro.

Cartão de crédito:

Total da dívida:

A renegociação da dívida em 18 parcelas fica:

Conteúdos envolvidos: Conversão de unidades e resolução de problemas envolvendo operações básicas. QUESTÃO 177: Alternativa C Analisando as alternativas, podemos descartar logo de início as alternativas A, B e E. Todas as três terminam concluindo que o polígono é formado de quatro lados. Porém sabemos que um pentágono é um polígono formado por cinco lados, logo elas são falsas. A alternativa D é falsa, pois podemos mostrar um contra exemplo que invalida sua afirmação. Se fizermos a interseção de um plano com uma pirâmide, de modo que o plano seja paralelo à sua base, a figura formada será um polígono de quatro lados e não cinco como a alternativa sugere, logo ela também é falsa. Resta-nos, portanto a alternativa C que é a correta, e sua justificativa é perfeita e esclarecedora. Para ilustrar melhor, a figura abaixo ilustra tal construção:

(Alternativa A) Os valores utilizando a ajuda de José serão: (Alternativa B)

(Alternativa D)

(Alternativa E) A alternativa C é referente ao valor de sua dívida, ou seja, . Portanto a opção que dá a João o menor gasto será a de . Comentário: Apesar de serem bastante as informações que o aluno deve trabalhar, os cálculos não apresentam grandes complexidades.


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Conteúdos envolvidos: Porcentagem de aumento e desconto. QUESTÃO 179: Alternativa B Pelas unidades dos dados que foram fornecidos teremos algumas conversões a fazer. Primeiramente vamos calcular o volume (VC) da cisterna utilizando os dados do enunciado, sabendo que :

Através do enunciado podemos entender que a área do telhado, em m2, é calculada através da divisão do volume da cisterna, em litros, pela precipitação de chuva, em metros, ou seja:

Como a área necessária é de 300 m2 então o telhado pode ter as dimensões mínimas de 15 metros por 20 metros. Comentário: A questão traz um assunto que se acredita não ser do conhecimento dos alunos, o cálculo de um telhado e de uma cisterna para a capitação de água. Desta forma, sendo novidade para todos os candidatos, a questão tem dificuldade bem equilibrada. Conteúdos envolvidos: Porcentagem e conversão de unidades. QUESTÃO 180: Alternativa B Após a administração de uma dose, a probabilidade de um paciente apresentar efeito colateral é de 10%, ou seja, a probabilidade de um paciente não apresentar efeito algum é de 90%. Diante disso para calcularmos a probabilidade (p) de cada tratamento em termos do número de doses utilizaremos a seguinte expressão: , onde

representa o número de doses:

Sendo assim a probabilidade de cada tratamento será: Para 3 doses:

Para 4 doses:

Para 6 doses:

Portanto, o maior número admissível de doses para esse paciente é 4. A determinação da expressão dada é assim descrita por não podermos aplicar a probabilidade dos 10% de ocorrer algum

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efeito colateral sucessivas vezes, pois incorreríamos em um erro conceitual. Para explicar melhor vamos ao seguinte exemplo: Tomando um conjunto de 100 pacientes, após a primeira dose, pela probabilidade, 10 terão efeitos colaterais e 90 não terão. Já na segunda dose, destes 90 pacientes, 10% deles terão efeito colateral, ou seja, 9 pacientes. Portanto os demais 81 não apresentarão efeito colateral. Novamente para estes 81 pacientes em 10% deles ocorrerá efeito, ou seja, 8,1 pacientes. E assim por diante. Até aqui, do grupo de 100 pacientes considerado, teremos a probabilidade de 10 terem efeito colateral após a primeira dose, outros 9 pacientes após a segunda dose e outros 8,1 após a terceira dose. Assim, supostamente serão 10 + 9 + 8,1 = 27,1 pacientes acometidos por efeito colateral após três doses de medicamento, ou seja, 27,1 de um total de 100 e, portanto 27,1%, o mesmo valor encontrado utilizando a expressão. Comentário: Muitas vezes em questões de probabilidade o uso do evento complementar é bastante útil dependendo das condições impostas. No caso foi utilizado o complemento do complemento. . Conteúdos envolvidos: Probabilidade.


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-

Enem 2010 MATEMÁTICA

E

SUAS

Questões 136 a 180 Questão 136. Um professor dividiu a lousa da sala de aula em quatro partes iguais. Em seguida, preencheu 75% dela com conceitos e explicações, conforme a figura seguinte.

25

Questão 138. Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura.

Algum tempo depois, o professor apagou a lousa por completo e, adotando um procedimento semelhante ao anterior, voltou a preenchê-la, mas, dessa vez, utilizando 40% do espaço dela. Uma representação possível para essa segunda situação é

A escolha do bebedouro. In: Biotemas. V. 22, n°. 4, 2009 (adaptado).

a)

Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação para o bebedouro 3?

b)

a)

c)

d) b)

e) Questão 137. No monte de Cerro Armazones, no deserto de Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio da superfície terrestre, o Telescópio Europeu Extremamente Grande (E-ELT). O EELT terá um espelho primário de 42 m de diâmetro, “o maior olho do mundo voltado para o céu”. Disponível em: http://www.estadao.com.br. Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado).

Ao ler esse texto em uma sala de aula, uma professora fez uma suposição de que o diâmetro do olho humano mede aproximadamente 2,1 cm. Qual a razão entre o diâmetro aproximado do olho humano, suposto pela professora, e o diâmetro do espelho primário do telescópio citado? a) 1 : 20 d) 1 : 1 000 b) 1 : 100 e) 1 : 2 000 c) 1 : 200

c)

d)


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e)

Questão 139. Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura. Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a a) 5 cm. d) 24 cm. b) 6 cm. e) 25 cm. c) 12 cm. Questão 140. Os dados do gráfico seguinte foram gerados a partir de dados colhidos no conjunto de seis regiões metropolitanas pelo Departamento Intersindical de Estatística e Estudos socioeconômicos (Dieese).

Fonte: IBGE.Disponível em: http://www.ibge.gov.br. Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).

Supondo-se que, no Sudeste, 14 900 estudantes foram entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuíam telefone móvel celular? a) 5 513 d) 8 344 b) 6 556 e) 9 536 c) 7 450 Questão 142. Acompanhando crescimento do filho, um casal constatou que, de 0 a 10 anos, a variação da sua altura se dava de forma mais rápida do que dos 10 aos 17 anos e, a partir de 17 anos, essa variação passava a ser cada vez menor, até se tornar imperceptível. Para ilustrar essa situação, esse casal fez um gráfico relacionando as alturas do filho nas idades consideradas. Que gráfico melhor representa a altura do filho desse casal em função da idade? a)

Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).

Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região metropolitana de Porto Alegre equivale a 250 000, o número de desempregados em março de 2010, nessa região, foi de a) 24 500. d) 223 000. b) 25 000. e) 227 500. c) 220 500. Questão 141. Os dados do gráfico foram coletados por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de Domicílios.

b)


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c)

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a) 13º b) 12º c) 11º

d) 10º e) 9º

Questão 144. A resistência elétrica e as dimensões do condutor

d)

A relação da resistência elétrica com as dimensões do condutor foi estudada por um grupo de cientistas por meio de vários experimentos de eletricidade. Eles verificaram que existe proporcionalidade entre:  resistência (R) e comprimento (l), dada a mesma secção transversal (A);  resistência (R) e área de secção transversal (A), dado o mesmo comprimento (l);  comprimento (l) e área de secção transversal (A), dada a mesma resistência (R). Considerando os resistores como fios, pode-se exemplificar o estudo das grandezas que influem na resistência elétrica utilizando as figuras seguintes.

e)

Disponível em: http://www.efeitojoule.com. Acesso em: abr. 2010 (adaptado).

Questão 143. A classificação de um país no quadro de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número de medalhas de ouro que obteve na competição, tendo como critérios de desempate o número de medalhas de prata seguido do número de medalhas de bronze conquistados. Nas Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o décimo sexto colocado no quadro de medalhas, tendo obtido 5 medalhas de ouro, 2 de prata e 3 de bronze. Parte desse quadro de medalhas é reproduzida a seguir.

As figuras mostram que as proporcionalidades existentes entre resistência (R) e comprimento (l), resistência (R) e área de secção transversal (A), e entre comprimento (l) e área da secção transversal (A) são, respectivamente, a) direta, direta e direta. d) inversa, direta e direta. b) direta, direta e inversa. e) inversa, direta e inversa. c) direta, inversa e direta. Questão 145. Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de desmatamento, conforme gráfico, da chamada Amazônia Legal, integrada por nove estados.

Disponível em: http://www.quadroademedalhas.com.br. Acesso em: 05 abr. 2010 (adaptado).

Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4 de prata e 10 de bronze, sem alteração no número de medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual teria sido a classificação brasileira no quadro de medalhas das Olimpíadas de 2004?

Disponível em: www.folhaonline.com.br. Acesso em: 30 abr. 2010 (adaptado)


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Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu 10,5% em relação aos dados de 2004, o desmatamento médio por estado em 2009 está entre a) 100 km2 e 900 km2. d) 3 300 km2 e 4 000 km2. 2 2 b) 1 000 km e 2 700 km . e) 4 100 km2 e 5 800 km2. 2 2 c) 2 800 km e 3 200 km . Questão 146. A siderúrgica “Metal Nobre” produz diversos objetos maciços utilizando o ferro. Um tipo especial de peça feita nessa companhia tem o formato de um paralelepípedo retangular, de acordo com as dimensões indicadas na figura que segue.

Almanaque Abril 2008. Editora Abril.

Com base no gráfico, o gasto militar no início da guerra no Iraque foi de a) U$ 4.174.000,00. d) U$ 41.740.000.000,00. b) U$ 41.740.000,00. e) U$ 417.400.000.000,00. c) U$ 417.400.000,00. Questão 149.

O produto das três dimensões indicadas na peça resultaria na medida da grandeza a) massa. d) capacidade. b) volume. e) comprimento. c) superfície.

Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir.

Questão 147. A figura I abaixo mostra um esquema das principais vias que interligam a cidade A com a cidade B. Cada número indicado na figura II representa a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se passa na via indicada. Assim, há uma probabilidade de 30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do ponto C ao o ponto B, passando pela estrada E4, e de 50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades são independentes umas das outras.

Que expressão fornece a quantidade de canudos em função da quantidade de quadrados de cada figura? a) C = 4Q D) d) C = Q + 3 b) C = 3Q + 1 e) C = 4Q - 2 c) C = 4Q – 1 Questão 150. A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais.

Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B usando exatamente duas das vias indicadas, percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de engarrafamento possível. O melhor trajeto para Paula é a) E1E3. d) E2E5. b) E1E4. e) E2E6. c) E2E4.

Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm × 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm × 100 cm). O valor da segunda encomenda será a) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. b) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro. c) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram. d) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade. e) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo.

Questão 148.

Questão 151.

O gráfico a seguir apresenta o gasto militar dos Estados Unidos, no período de 1988 a 2006.

Dona Maria, diarista na casa da família Teixeira, precisa fazer café para servir as vinte pessoas que se encontram numa reunião na sala. Para fazer o café, Dona Maria dispõe


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de uma leiteira cilíndrica e copinhos plásticos, também cilíndricos.

retângulo que representa aproximadamente a) 1 mm. b) 10 mm. c) 17 mm.

29 os

4%,

deve

ser

de

d) 160 mm. e) 167 mm.

Questão 154. Com o objetivo de não desperdiçar café, a diarista deseja colocar a quantidade mínima de água na leiteira para encher os vinte copinhos pela metade. Para que isso ocorra, Dona Maria deverá a) encher a leiteira até a metade, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. b) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 20 vezes maior que o volume do copo. c) encher a leiteira toda de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. d) encher duas leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. e) encher cinco leiteiras de água, pois ela tem um volume 10 vezes maior que o volume do copo. Questão 152. Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo, diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse satélite, o valor de r em função de t seja dado por

Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu, representada por S. O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de a) 12 765 km. d) 10 965 km. b) 12 000 km. e) 5 865 km. c) 11 730 km. Questão 153. O jornal de certa cidade publicou em uma página inteira a seguinte divulgação de seu caderno de classificados.

Para que a propaganda seja fidedigna à porcentagem da da área que aparece na divulgação, a medida do lado do

Uma empresa possui um sistema de controle de qualidade que classifica o seu desempenho financeiro anual, tendo como base o do ano anterior. Os conceitos são: insuficiente, quando o crescimento é menor que 1%; regular, quando o crescimento é maior ou igual a 1% e menor que 5%; bom, quando o crescimento é maior ou igual a 5% e menor que 10%; ótimo, quando é maior ou igual a 10% e menor que 20%; e excelente, quando é maior ou igual a 20%. Essa empresa apresentou lucro de R$ 132 000,00 em 2008 e de R$ 145 000,00 em 2009. De acordo com esse sistema de controle de qualidade, o desempenho financeiro dessa empresa no ano de 2009 deve ser considerado a) insuficiente. d) ótimo. b) regular. e) excelente. c) bom. Questão 155. Uma escola recebeu do governo uma verba de R$ 1000,00 para enviar dois tipos de folhetos pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65 enquanto para folhetos do segundo tipo seriam necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem selos de modo que fossem postados exatamente 500 folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de selos que permitisse o envio do máximo possível de folhetos do primeiro tipo. Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados? a) 476 d) 965 b) 675 e) 1 538 c) 923 Questão 156. A figura a seguir é a representação de uma região por meio de curvas de nível, que são curvas fechadas representando a altitude da região, com relação ao nível do mar. As coordenadas estão expressas em graus de acordo com a longitude, no eixo horizontal, e a latitude, no eixo vertical. A escala em tons de cinza desenhada à direita está associada à altitude da região.


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Um pequeno helicóptero usado para reconhecimento sobrevoa a região a partir do ponto X = (20; 60). O helicóptero segue o percurso: Ao final, desce verticalmente até pousar no solo. De acordo com as orientações, o helicóptero pousou em um local cuja altitude é a) menor ou igual a 200 m. b) maior que 200 m e menor ou igual a 400 m. c) maior que 400 m e menor ou igual a 600 m. d) maior que 600 m e menor ou igual a 800 m. e) maior que 800 m. Questão 157. Para construir uma manilha de esgoto, um cilindro com 2 m de diâmetro e 4 m de altura (de espessura desprezível), foi envolvido homogeneamente por uma camada de concreto, contendo 20 cm de espessura. Supondo que cada metro cúbico de concreto custe R$ 10,00 e tomando 3,1 como valor aproximado de π, então o preço dessa manilha é igual a a) R$ 230,40. d) R$ 54,56. b) R$ 124,00. e) R$ 49,60. c) R$ 104,16. Questão 158. No manejo sustentável de florestas, é preciso muitas vezes obter o volume da tora que pode ser obtida a partir de uma árvore. Para isso, existe um método prático, em que se mede a circunferência da árvore à altura do peito de um homem (1,3 m), conforme indicado na figura. A essa medida denomina-se “rodo” da árvore. O quadro a seguir indica a fórmula para se cubar, ou seja, obter o volume da tora em m3 a partir da medida do rodo e da altura da árvore.

Um técnico em manejo florestal recebeu a missão de cubar, abater e transportar cinco toras de madeira, de duas espécies diferentes, sendo 

3 toras da espécie I, com 3 m de rodo, 12 , de comprimento e densidade 0,77 toneladas/m3  2 toras da espécie II, com 4 m de rodo, 10 m comprimento e densidade 0,78 toneladas/m3. Após realizar seus cálculos, o técnico solicitou que enviassem caminhões para transportar uma carga de, aproximadamente, a) 29,9 toneladas. b) 31,1 toneladas. c) 32,4 toneladas. d) 35,3 toneladas. e) 41,8 toneladas.

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Questão 159. Embora o Índice de Massa Corporal (IMC) seja amplamente utilizado, existem ainda inúmeras restrições teóricas ao uso e às faixas de normalidade preconizadas. O Recíproco do Índice Ponderal (RIP), de acordo com o modelo alométrico, possui uma melhor fundamentação matemática, já que a massa é uma variável de dimensões cúbicas e a altura, uma variável de dimensões lineares. As fórmulas que determinam esses índices são:

ARAUJO, C. G. S.; RICARDO, D. R. Índice de Massa Corporal: Um Questionamento Científico Baseado em Evidências. Arq. Bras. Cardiologia, volume 79, nº 1, 2002 (adaptado).

Se uma menina, com 64 kg de massa, apresenta IMC igual a 25 kg/m2, então ela possui RIP igual a a) 0,4 cm/kg1/3. d) 20 cm/kg1/3. b) 2,5 cm/kg1/3. e) 40 cm/kg1/3. c) 8 cm/kg1/3. Questão 160. Um balão atmosférico, lançado em Bauru, (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição. Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.

Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60°; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30°. Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão? a) 1,8 km d) 3,7 km b) 1,9 km e) 5,5 km c) 3,1 km Questão 161. Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios


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dos lados desse triângulo, Conforme pode ser visto na figura, em que as estacas foram indicadas por letras.

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Uma peça deve ser colocada nesse forno quando a temperatura for 48 °C e retirada quando a temperatura for 200 °C. O tempo de permanência dessa peça no forno é, em minutos, igual a a) 100. d) 130. b) 108. e) 150. c) 128.

A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto. Nessas condições, a área a ser calçada corresponde a) à mesma área do triângulo AMC. b) à mesma área do triângulo BNC. c) à metade da área formada pelo triângulo ABC. d) ao dobro da área do triângulo MNC. e) ao triplo da área do triângulo MNC.

Questão 164. A ideia de usar rolos circulares para deslocar objetos pesados provavelmente surgiu com os antigos egípcios ao construírem as pirâmides.

Questão 162. Uma empresa vende tanques de combustíveis de formato cilíndrico, em três tamanhos, com medidas indicadas nas figuras. O preço do tanque é diretamente proporcional à medida da área da superfície lateral do tanque. O dono de um posto de combustível deseja encomendar um tanque com menor custo por metro cúbico de capacidade de armazenamento.

Qual dos tanques deverá ser escolhido pelo dono do posto? (Considere π

BOLT, Brian. Atividades matemáticas.Ed.Gradiva.

Representando por R o raio da base dos rolos cilíndricos, em metros, a expressão do deslocamento horizontal y do bloco de pedra em função de R, após o rolo ter dado uma volta completa sem deslizar, é a) y = R. d) y = 2 R. b) y = 2R. e) y = 4 R. c) y = R. Questão 165.

3)

a) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 1/3. b) I, pela relação área/capacidade de armazenamento de 4/3. c) II, pela relação área/capacidade de armazenamento de 3/4. d) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 2/3. e) III, pela relação área/capacidade de armazenamento de 7/12.

Uma metalúrgica recebeu uma encomenda para fabricar, em grande quantidade, uma peça com o formato de um prisma reto com base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm, 8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve ser vazada de tal maneira que a perfuração na forma de um cilindro circular reto seja tangente às suas faces laterais, conforme mostra a figura.

Questão 163. Nos processos industriais, como na indústria de cerâmica, é necessário o uso de fornos capazes de produzir elevadas temperaturas e, em muitas situações, o tempo de elevação dessa temperatura deve ser controlado, para garantir a qualidade do produto final e a economia no processo. Em uma indústria de cerâmica, o forno é programado para elevar a temperatura ao longo do tempo de acordo com a função O raio da perfuração da peça é igual a a) 1 cm. d) 4 cm. b) 2 cm. e) 5 cm. c) 3 cm. em que T é o valor da temperatura atingida pelo forno, em graus Celsius, e t é o tempo, em minutos, decorrido desde o instante em que o forno é ligado.

Questão 166. O gráfico mostra o número de favelas no município de Janeiro entre 1980 e 2004, considerando que a variação nesse número entre os anos considerados é linear.


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Disponível em: http://www.suapesquisa.com. Acesso em: 23 abr. 2010 (adaptado). Favela Tem Memória. Época. Nº 621, 12 abr. 2010 (adaptado)

Se o padrão na variação do período 2004/2010 se mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas em 2016 será a) menor que 1 150. b) 218 unidades maior que em 2004. c) maior que 1 150 e menor que 1 200. d) 177 unidades maior que em 2010. e) maior que 1 200. Questão 167. Em um casamento, os donos da festa serviam champanhe aos seus convidados em taças com formato de um hemisfério (Figura 1), porém um acidente na cozinha culminou na quebra de grande parte desses recipientes. Para substituir as taças quebradas, utilizou-se um outro tipo com formato de cone (Figura 2). No entanto, os noivos solicitaram que o volume de champanhe nos dois tipos de taças fosse igual.

Considere:

Sabendo que a taça com o formato de hemisfério é servida completamente cheia, a altura do volume de champanhe que deve ser colocado na outra taça, em centímetros, é de a) 1,33. d) 56,52. b) 6,00. e) 113,04. c) 12,00.

A partir dos dados apresentados, qual a mediana das quantidades de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo? a) 6 gols d) 7,3 gols b) 6,5 gols e) 8,5 gols c) 7 gols Questão 169. O Salto Triplo é uma modalidade do atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé, uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o salto com impulsão em um só pé será feito de modo que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual o salto é realizado. Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).

Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova e considerando os seus estudos, a distância alcançada no primeiro salto teria de estar entre a) 4,0 m e 5,0 m. d) 7,0 m e 8,0 m. b) 5,0 m e 6,0 m. e) 8,0 m e 9,0 m. c) 6,0 m e 7,0 m. Questão 170. Marco e Paulo foram classificados em aritmética na pontuação igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o desempate seria em favor da pontuação mais regular. No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois candidatos. Dados dos candidatos no concurso:

Questão 168. O gráfico apresenta a quantidade de gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo desde a Copa de 1930 até a de 2006. Quantidades de Gols dos Artilheiros das Copas do Mundo

O candidato com pontuação mais regular, portanto mais bem classificado no concurso, é a) Marco, pois a média e a mediana são iguais. b) Marco, pois obteve menor desvio padrão. c) Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19 em Português. d) Paulo, pois obteve maior mediana. e) Paulo, pois obteve maior desvio padrão.


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Questão 171.

33

deslocamento entre as cidades. A figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma das cidades.

Um grupo de pacientes com Hepatite C foi submetido a um tratamento tradicional em que 40% desses pacientes foram completamente curados. Os pacientes que não obtiveram cura foram distribuídos em dois grupos de mesma quantidade e submetidos a dois tratamentos inovadores. No primeiro tratamento inovador, 35% dos pacientes foram curados e, no segundo, 45%. Em relação aos pacientes submetidos inicialmente, os tratamentos inovadores proporcionaram cura de a) 16%. d) 48%. b) 24%. e) 64%. c) 32%. Questão 172. Em 2006, a produção mundial de etanol foi de 40 bilhões de litros e a de biodiesel, de 6,5 bilhões. Neste mesmo ano, a produção brasileira de etanol correspondeu a 43 % da produção mundial, ao passo que a produção dos Estados Unidos da América, usando milho, foi de 45%. Disponível em: planetasustentavel.abril.com.br. Acesso em: 02 maio 2009.

Considerando que, em 2009, a produção mundial de etanol seja a mesma de 2006 e que os Estados Unidos produzirão somente a metade de sua produção de 2006, para que o total produzido pelo Brasil e pelos Estados Unidos continue correspondendo a 88% da produção mundial, o Brasil deve aumentar sua produção em, aproximadamente, a) 22,5%. d) 65,5%. b) 50,0%. e) 77,5%. c) 52,3%. Questão 173.

Como João quer economizar, ele precisa determinar qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco clientes. Examinando a figura, percebe que precisa considerar somente parte das sequências, pois os trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele gasta 1min30s para examinar uma sequência e descartar sua simétrica, conforme apresentado. O tempo mínimo necessário para Joao verificar todas as sequências possíveis no problema é de a) 60 min. d) 180 min. b) 90 min. e) 360 min. c) 120 min. Questão 175. O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.

O diretor de um colégio leu numa revista que os pés das mulheres estavam aumentando. Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio, obtendo o quadro a seguir: Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então a) X = Y < Z. d) Z < X < Y. b) Z < X = Y. e) Z < Y < X. c) Y < Z < X. Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela calçar 38,0 é a) 1/3 d) 5/7 b) 1/5 e) 5/14 c) 2/5 Questão 174. João mora na cidade A e precisa visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto ABCDEFA, informa que ele sairá da cidade A, visitando as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras informa o custo do

Questão 176. A disparidade de volume entre os planetas é tão grande que seria possível colocá-los uns dentro dos outros. O planeta Mercúrio é o menor de todos. Marte é o segundo menor: dentro dele cabem três Mercúrios. Terra é o único com vida: dentro dela cabem sete Martes. Netuno é o quarto maior: dentro dele cabem 58 Terras. Júpiter é o maior dos planetas: dentro dele cabem 23 Netunos. Revista Veja. Ano 41, nº 25, 25 jun. 2008 (adaptado).

Seguindo o raciocínio proposto, quantas Terras cabem dentro de Júpiter? a) 406 d) 9 338 b) 1 334 e) 28 014 c) 4 002


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34

Questão 177.

Questão 180.

Um dos grandes problemas da poluição dos mananciais (rios, córregos e outros) ocorre pelo hábito de jogar óleo utilizado em frituras nos encanamentos que estão interligados com o sistema de esgoto. Se isso ocorrer, cada 10 litros de óleo poderão contaminar 10 milhões (107) de litros de água potável.

Para conseguir chegar a um número recorde de produção de ovos de Páscoa, as empresas brasileiras começam a se planejar para esse período com um ano de antecedência. O gráfico a seguir mostra o número de ovos de Páscoa produzidos no Brasil no período de 2005 a 2009.

Manual de etiqueta. Parte integrante das revistas Veja (ed. 2055), Cláudia (ed. 555), National Geographic (ed. 93) e Nova Escola (ed. 208) (adaptado).

Suponha que todas as famílias de uma cidade descartem os óleos de frituras através dos encanamentos e consomem 1000 litros de óleo em frituras por semana. Qual seria, em litros, a quantidade de água potável contaminada por semana nessa cidade? a) 10-2 d) 106 3 b) 10 e) 109 4 c) 10 Questão 178. Um porta-lápis de madeira foi construído no formato cúbico, seguindo o modelo ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é interno, mede 8 cm. Revista Veja. São Paulo: Abril, ed. 2107, nº 14, ano 42.

De acordo com o gráfico, o biênio que apresentou maior produção acumulada foi a) 2004-2005. d) 2007-2008. b) 2005-2006. e) 2008-2009. c) 2006-2007. O volume de madeira utilizado na confecção desse objeto foi de a) 12 cm3. d) 1 216 cm3. 3 b) 64 cm . e) 1 728 cm3. 3 c) 96 cm . Questão 179. Ronaldo é um garoto que adora brincar com números. Numa dessas brincadeiras, empilhou caixas numeradas de acordo com a sequência conforme mostrada no esquema a seguir.

RESOLUÇÕES E COMENTÁRIOS – ENEM 2010 QUESTÃO 136: Alternativa C Transformando 40% em fração teremos: (lousa dividida em 5 partes das quais 2 estarão preenchidas) Comentário: Para esta questão é necessário a compreensão de porcentagem e que fração ela representa. O enunciado, por sua vez, oferece a dica ao aluno que a porcentagem 75% equivale à fração através do desenho da lousa, que está dividida em 4 partes das quais 3 estão preenchidas. Conteúdos envolvidos: Porcentagem e fração. QUESTÃO 137: Alternativa E

Ele percebeu que a soma dos números em cada linha tinha uma propriedade e que, por meio dessa propriedade, era possível prever a soma de qualquer linha posterior às já construídas. A partir dessa propriedade, qual será a soma da 9ª linha da sequência de caixas empilhadas por Ronaldo? a) 9 d) 81 b) 45 e) 285 c) 64

Primeiramente devemos perceber que os dados não estão compatíveis quanto às unidades: 42 m e 2,1 cm. Desta forma devemos deixá-los na mesma unidade, que convenientemente usaremos o centímetro. Como 1 m = 100 cm então 42 m = 42 ⋅ 100 cm = 4200 cm A comparação feita pela professora é que 2,1 cm do olho humano representam os 4200 cm (42m) do telescópio. Ou seja → 2,1 : 4200


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Para a representação da escala devemos saber quanto 1 cm do olho humano representa do telescópio. Para isto basta efetuarmos uma regra de três: ⋅ Comentário: Nesta questão o aluno deve estar familiarizado com conversão de unidades e identificar a necessidade de aplicação de uma regra de três para estabelecer a escala.

35

QUESTÃO 140: Alternativa A Por se tratar de uma taxa devemos entender os números que aparecem no gráfico como porcentagens. Portanto para a cidade de Porto Alegre no ano de 2010 segundo o gráfico, a porcentagem de desemprego foi de 9,8% de um total de 250.000 habitantes.

Conteúdos envolvidos: Conversão de unidades e Regra de três. QUESTÃO 138: Alternativa E Por se tratar de uma figura cilíndrica devemos lembrar que um cilindro pode ser obtido pela rotação de um retângulo sobre um eixo que passa pelo seu centro ao longo de sua altura conforme a figura a seguir. Desta forma, ficam eliminadas as alternativas A e B por não trazerem um retângulo como planificação. Ainda com relação à rotação é preciso notar que os lados de cima e de baixo do cilindro, devido à rotação, formarão circunferências. Entretanto trata-se de um cilindro cortado ao meio, logo tais circunferências estarão cortadas ao meio. Portanto eliminamos as alternativas C e D, logo a alternativa correta é a letra E. Comentário: Para resolver esta questão é necessário o conhecimento e compreensão a respeito de planificações de figuras espaciais, como do cilindro e enxergar o que ocorre ao cortar a figura ao meio.

Para descobrirmos o número de desempregados basta fazermos: ⋅

⋅ Comentário: Nesta questão é imprescindível a habilidade do aluno em interpretar gráfico. Concluído esta etapa bastava o aluno resolver a porcentagem. Conteúdos envolvidos: porcentagem.

Interpretação

de

gráficos

e

QUESTÃO 141 Alternativa D

Conteúdo envolvido: Planificação de sólidos. QUESTÃO 139: Alternativa B Segundo o enunciado, os volumes do paralelepípedo e do cubo são iguais. Porém temos somente as dimensões do primeiro. Desta forma, basta calcularmos o seu volume, igualarmos ao volume de um cubo e então calcular o que é pedido, a aresta do cubo. Para isto devemos conhecer as fórmulas de volume tanto de um paralelepípedo quanto de um cubo: Interpretando o gráfico, lemos que na região Sudeste a porcentagem de estudantes que possuíam telefone celular em 2010, pedida na questão, é de 56%. Sendo um total de 14.900 entrevistados, para encontrar a resposta basta fazermos: ⋅

Comentário: Assim como na questão 140, o aluno deve ser capaz de realizar a leitura correta do gráfico, para então resolver a porcentagem.

Calculando o volume do paralelepípedo temos: ⋅

Conteúdos envolvidos: porcentagem.

Ou seja, o volume do cubo deverá ser 216 cm3, logo:

Interpretação

de

gráficos

e

QUESTÃO 142: Alternativa A Comentário: Para esta questão o aluno deve saber como se calcula o volume de prismas, no caso um paralelepípedo e um cubo. Além de compreender como igualar equações e extrair a raiz cúbica de um número. Conteúdos envolvidos: radiciação.

Geometria

espacial,

equação

e

O gráfico que procuramos deve apresentar uma continuidade, tal qual o crescimento de uma criança em uma situação real, logo saltos discrepantes na curva do gráfico não farão sentido. Diante deste fato podemos eliminar as alternativas C e E. Ainda com relação ao crescimento gradual de uma criança é possível eliminarmos as alternativas B e D, como veremos a seguir.


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36 inversa, quando uma grandeza aumenta outra diminui na mesma proporção e vice-versa.

Analisando cama uma das três relações dadas no enunciado separadamente temos:

Se olharmos com atenção, o gráfico da alternativa B nos mostra que o crescimento de 0 a 10 anos foi regular, cessando até os 17 anos, quando então deu um salto de 148 cm para 171 cm. De acordo com o enunciado poderia fazer algum sentido, porém não é que ocorre na realidade com uma criança. A explicação para a exclusão da alternativa D é bem semelhante à da alternativa B. No intervalo de 0 a 10 anos o crescimento foi muito semelhante ao crescimento durante os 10 anos de idade, o que também não faz sentido para uma situação real. Desta forma, a alternativa A representa tanto a situação imposta no enunciado quanto a situação real.

Resistência (R) → comprimento (l):

A figura dada nos mostra que, para dois fios de mesma área da secção transversal (A), ao dobrarmos o comprimento de l para 2⋅l , a resistência também tem seu valor dobrado de R para 2⋅R. Portanto a proporcionalidade é direta;

Comentário: Nesta questão, além da interpretação dos gráficos de cada alternativa, é necessário que o aluno estabeleça a relação do gráfico com uma situação real. Somente relacionando um gráfico com a condição imposta pelo enunciado poderia levar o aluno ao erro, assinalando, por exemplo, as alternativas B ou D.

Conteúdos envolvidos: Interpretação de gráficos.

QUESTÃO 143: Alternativa B

Por fim a parte mais a direita da figura nos indica que ao dobrarmos o comprimento do fio de l para 2⋅l, a fim de termos a mesma resistência R, devemos também dobrar a área da secção transversal de A para 2⋅A. Sendo assim a proporcionalidade é direta.

O enunciado apresenta duas situações para o número de medalhas do Brasil nas Olimpíadas de 2004: uma real e outra hipotética. Destacando-se as duas temos: Real

Hipotética

Ouro: 5

Ouro: 5 + 4 = 9

Prata: 2

Prata: 2 + 4 = 6

Bronze: 3

Bronze: 3 + 10 = 13

Para encontrarmos a classificação do Brasil, nesta situação hipotética, basta que utilizemos o critério dado no próprio enunciado. Como ocorre empate em número de medalhas de ouro com todos os países da tabela, exceto a Itália, o desempate dar-se-á comparando o número de medalhas de prata. Em caso de novo empate utilizaremos o número de medalhas de bronze como critério de desempate. Tendo o Brasil 6 medalhas de prata, a classificação deverá ser entre Cuba com 7 medalhas e Ucrânia com 5. Portanto o Brasil ficará em 12º lugar. Comentário: Esta questão não exige nenhum conhecimento específico do aluno. Bastava que ele interpretasse corretamente os dados e as informações fornecidas. Conteúdos envolvidos: Resolução de problemas envolvendo as operações básicas. QUESTÃO 144: Alternativa C Primeiramente, nesta questão é necessário ter claro o que significa proporcionalidade direta e inversa. Em resumo, duas grandezas tem proporcionalidade: 

direta, quando uma grandeza aumenta, a outra também aumenta na mesma proporção. O mesmo ocorre na diminuição;

Resistência (R) → Área da secção transversal (A):

A parte central da figura sugere que para dois fios de mesmo comprimento (l), ao dobrarmos a área da secção transversal de A para 2⋅A, a resistência decai pela metade, de R para . Logo a proporcionalidade é inversa; Comprimento (l) → Área da secção transversal (A):

Comentário: Uma questão bastante adequada, estabelecendo uma interdisciplinaridade com a Física. O assunto sobre o valor de um resistor em função de suas característica (material, comprimento e área da secção transversal), a saber, ⋅ , aborda a relação entre grandezas diretamente e inversamente proporcionais. Conteúdo envolvido: Proporcionalidade entre grandezas. QUESTÃO 145: Alternativa C Uma vez que a questão menciona um intervalo médio, devemos entender que não será necessário efetuar o cálculo exato e sim aproximado. Primeiramente vamos realizar o cálculo da média para 2004 e em seguida aplicar a porcentagem de 10,5%:

Para efeito de facilidade nos cálculos, usaremos um aumento de 10% ao invés de 10,5%: ⋅ Comentário: Como curiosidade, sem aproximar, obteríamos o valor de 2915 km2, sendo, portanto a diferença desprezível. Nesta questão o aluno deve ser bastante cauteloso. É possível que a questão leve o aluno a pensar em realizar primeiro o aumento de 10,5% para cada uma das nove regiões de desmatamento, e em seguida efetuar a média. Entretanto este não é um bom caminho e seria gasto muito tempo. Contudo o


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aluno deve estar convencido de que ambos os modos são equivalentes.

37

417,4 bilhões de dólares = U$ 417.400.000.000,00 centena de milhão

A soma, apesar de extensa, não traria, ao aluno, grandes dificuldades de ser realizada durante a prova, haja visto o seu resultado.

unidade de bilhão dezena de bilhão

Conteúdos envolvidos: Porcentagem e média. QUESTÃO 146: Alternativa B

centena de bilhão

Definição: O volume de um paralelepípedo retangular é dado pelo produto das medidas de suas 3 dimensões.

Comentário: A questão, além de exigir do aluno interpretação de gráfico, avalia principalmente a capacidade de escrever um numeral cardinal na forma de número com algarismos.

Comentário: A questão cobra do aluno a definição direta de volume, sem a necessidade de efetuar nenhum cálculo.

Conteúdos envolvidos: Leitura de gráficos, classes e ordens de um número.

Conteúdo envolvido: Volume de um prisma, no caso um paralelepípedo retangular.

QUESTÃO 149: Alternativa B

QUESTÃO 147: Alternativa D Inicialmente devemos recordar de dois conceitos relacionados à probabilidade: 

Eventos simultâneos: a probabilidade de ocorrer eventos simultâneos é igual ao produto de cada um dos eventos envolvidos:

Eventos mutuamente excludentes: A e B são eventos mutuamente excludentes se a ocorrência de um implica a não ocorrência do outro. Logo p(B) = 1 – p(A).

Ao olharmos para a figura I ela nos sugere a necessidade de usarmos 4 canudos e portanto a expressão buscada envolveria o número 4, ou seja, as alternativas A, C ou E, o que está errado. Porém devemos enxergar que a atividade realizada pela professora consiste em formar, com os canudos, quadrados lado a lado. Então, da esquerda para a direita, vemos que 3 canudos compõem um quadrado que será completado pelo quadrado que virá a sua direita, seguindo assim sucessivamente. Por fim 1 canudo completará a figura. Portanto o correto é vermos que para a construção de um quadrado é necessário 3 canudos mais 1 que será aquele que fechará a figura. Portanto teremos: C = 3Q +1

Como o problema sugere 2 eventos mutuamente excludentes, ou a via tem engarrafamento ou não, vamos escrever a figura II com as probabilidades de não pegar engarrafamento:

Comentário: Pela alternativa A, a questão pode confundir o aluno levando-o a uma interpretação incorreta da questão. Porém se aluno fizer a verificação desta alternativa para as demais figuras ele perceberá que ela é falsa, assim como as demais, exceto para a correta que é a letra B. Conteúdos envolvidos: Função e suas leis. Assim as probabilidades de não pegar engarrafamento para os trajetos são: E1E3 = 0,2⋅0,5 = 0,10

E1E4 = 0,2⋅0,7 = 0,14

E2E4 → não é um trajeto possível. E2E5 = 0,3⋅0,6 = 0,18

E2E6 = 0,3⋅0,4 = 0,12

Logo o trajeto com a menor probabilidade de pegar engarrafamento é também o trajeto com a maior probabilidade de não pegar engarrafamento, portanto o trajeto E2E5.

QUESTÃO 150: Alternativa B Como as alternativas comparam os valores das duas encomendas, será necessário calcular o valor de ambas. É preciso compreender que, em relação a um retângulo, a moldura da tela nos remete a um perímetro e a tela à área. Além disso, será preciso transformar as unidades de centímetros para metros. Primeira Encomenda: ⋅

⋅ ⋅

Comentário: A questão exige do aluno o entendimento e a interpretação de eventos mutuamente excludentes além de saber manipular dados probabilísticos.

⋅ ⋅

⋅ ⋅

Conteúdo envolvido: Probabilidade. QUESTÃO 148: Alternativa E Pelo gráfico vemos que o início da Guerra do Iraque se deu no ano de 2003 e foram gastos 417,4 bilhões de dólares. Escrevendo este numeral cardinal em números com algarismos temos:

Segunda Encomenda: ⋅

⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅


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Portanto, o valor da segunda encomenda será maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro. Comentário: A questão tenta confundir o aluno novamente, como na questão 149, com a alternativa A. É preciso que o aluno perceba que dobrando as dimensões do retângulo, o perímetro é dobrado, porém a área é quadruplicada. Logo, como a taxa de entrega é a mesma o valor da segunda encomenda será mais que o dobro e menos que o quádruplo da primeira, chegando então à mesma resposta.

38

Perigeu: ⋅

Apogeu: ⋅

Conteúdos envolvidos: Conversão de unidades, perímetro e área de um retângulo. QUESTÃO 151: Alternativa A Como as alternativas relacionam o volume da leitura com o de um copo, iremos calcular o volume de ambos. Lembrando que: 

O raio (r) de uma circunferência é a metade do seu diâmetro;

A área (A) de uma circunferência é dada por A = π ⋅ r 2;

O volume (V) de um cilindro é dado por V = Ab ⋅ h (Ab → área da base, no caso do cilindro uma circunferência e h → altura do cilindro).

Leiteira

Somando

os

valores

teremos:

Comentário: Apesar de o enunciado e a função dados, aparentemente, serem complexos, o aluno não deve se assustar, até mesmo porque para calcular tal cosseno seria necessário o uso de uma calculadora ou um computador. Porém a questão exigiu a interpretação do aluno em como os valores mínimo e máximo do cosseno afetam os valores também extremos da função dada. Conteúdo envolvido: Trigonometria (mínimo e máximo valor do cosseno) QUESTÃO 153: Alternativa D

Como o dado pedido é um lado do retângulo menor, que por sua vez é uma porcentagem da área da página do jornal, basta encontrarmos a área do retângulo para então calcular o seu lado que falta:

Copo ⋅ ⋅

⋅ ⋅

O enunciado diz que a Dona Maria deseja encher pela metade os 20 copinhos logo o volume de água necessário é: ⋅

π

⋅ π

Logo, queremos saber qual a altura de um retângulo cuja base é 26 mm e a área é 4160 mm2:

π

Podemos ainda perceber que 20 é exatamente a relação entre os volumes da leiteira e do copo. Portanto, para encher pela meta os 20 copos, basta encher a leiteira também até a metade. Comentário: A questão exige que o aluno saiba calcular o volume de um cilindro a partir de suas dimensões e também saiba relacioná-lo com a situação imposta pelo enunciado, encher os 20 copinhos até a metade usando a leiteira.

⋅ Um outro modo é perceber uma regra de três, onde a porcentagem do retângulo está para 100% da página, assim como a área do retângulo está para a área da página, do seguinte modo: ⋅ ⋅

Conteúdo envolvido: Volume de um cilindro. QUESTÃO 152: Alternativa B Como a questão envolve um cosseno e fala em mínimo e máximo, deve-se lembrar de imediato que o cosseno possui um valor mínimo e um valor máximo que são –1 e +1, respectivamente. A rigor temos:

Como r(t) é inversamente proporcional a [1+0,15×cos(0,06t)], ou seja o cosseno está no denominador da fração, então teremos: 

Perigeu no máximo valor do cosseno → cos(0,06t) = +1

Apogeu no mínimo valor do cosseno → cos(0,06t) = -1

Calculando os valores de r(t) teremos:

Comentário: A questão mistura o cálculo de área de um retângulo com porcentagem. Porém, o conceito chave da questão é, de posse da área e um dos lados de um retângulo, encontrar a medida do lado que falta. Conteúdos envolvidos: Área de um retângulo, porcentagem e regra de três. QUESTÃO 154: Alternativa C Nesta questão basta calcularmos qual foi a porcentagem de aumento do lucro de 2008 para 2009 e então verificar em qual intervalo do conceito esta porcentagem se encontra. É importante que o aluno tenha em mente como se trata de um intervalo, ele não precisaria realizar os cálculos de maneira precisa e sim aproximada:


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Comentário: Uma vez obtido o valor 13 000, bastava encontrar qual a porcentagem este valor representa em relação a 132 000. Como 10% significaria 13 200, o valor procurado é um pouco menor de 10% e isto já seria suficiente para encontrar a alternativa correta. Conteúdo envolvido: Cálculo de porcentagem e comparação de valores em um intervalo.

39

Latitude:

Longitude:

Sul (S): –

Oeste (O): –

Norte (N): +

Leste (L): +

Início

Longitude

Latitude

----

20°

60°

0,8° L

+ 0,8°

----

0,5° N

----

+ 0,5°

0,2° O

– 0,2°

----

0,1º S

----

– 0,1º

0,4° N

----

+ 0,4°

0,3° L

+ 0,3°

----

Fim

20,9°

60,8°

QUESTÃO 155: Alternativa C Para resolver esta questão, primeiro é necessário saber quanto será gasto com o envio de folhetos do 2º tipo para depois verificar quanto restará da verba para o folheto do 1º tipo. E por fim calcular quantos selos de R$ 0,65 é possível comprar com esta verba restante: 

Gasto com o envio do folheto tipo 2:

⋅ 

⋅ Verba restante para o envio do folheto tipo 1: A altitude correspondente ao local que o helicóptero pousou é 100 m, que é menor do que 200 m.

Quantidade de folhetos do tipo 1 enviados:

Total de selos de R$ 0,65 comprados:

Comentário: Esta questão estabelece uma interdisciplinaridade com a geografia sobre coordenadas geográficas, onde o aluno deve saber o significado de latitude e longitude, identificando assim, a direção e o sentido do movimento do helicóptero. Feito isso, a próxima etapa seria estabelecer a relação entre as coordenadas geográficas com as coordenadas cartesianas.

Comentário: Esta questão cobrou basicamente a habilidade do aluno calcular os gastos estabelecidos no enunciado e descobrir o que seria possível adquirir com o restante da verba dada inicialmente.

Conteúdos envolvidos: Coordenadas geográficas e plano cartesiano.

Conteúdo envolvido: Resolução de problemas envolvendo as operações básicas.

Para esta questão, o aluno deve enxergar a figura resultante da condição imposta pelo enunciado, um cilindro revestido por concreto. Feito isso, devemos então calcular este volume de concreto, em m3, e calcular o seu preço. Logo aqui iremos converter centímetros em metros. O esquema abaixo representa o cilindro a ser enxergado:

QUESTÃO 156: Alternativa A

Para identificar onde o helicóptero pousou e então verificar qual a altitude correspondente, devemos somar os graus de latitude ou longitude que ele se deslocou. Para isto faremos uma tabela. Mas antes devemos lembrar o sinal + ou – dependendo do sentido adotado:

QUESTÃO 157: Alternativa D

Como o volume de um cilindro é dado por V = Ab ⋅ h, devemos enxergar a base do cilindro como uma coroa circular, e então calcular a sua área: ⋅

⋅ ⋅


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Como o valor do metro cúbico de concreto custa R$ 10,00, o preço dessa manilha é igual a: ⋅ Comentário: O ponto chave desta questão está em torno da figura da base da manilha que é uma coroa circular. Logo, para o cálculo de sua área, é necessário enxergar duas circunferências, uma maior de raio 1,2 m e outra menor de raio 1 m, para então subtrair as áreas.

Comentário: A questão basicamente avalia a habilidade do aluno em trabalhar com radiciação, não apresentando grandes dificuldades nos cálculos.

Conteúdos envolvidos: Conversão de unidades, área de uma coroa circular e volume de cilindros.

Conteúdos envolvidos: Conversão de unidades, cálculo envolvendo raízes quadradas e cúbicas.

QUESTÃO 158: Alternativa A

QUESTÃO 160: Alternativa C

Logo de inicio, o aluno deve perceber que a resposta que o enunciado pede somente poderá ser encontrada porque nele está a informação da densidade de cada espécie de árvore. Afinal, densidade é a grandeza que relaciona a massa de um sólido, no caso medido em toneladas, com o seu volume, no caso medido em metros cúbicos. Desta forma, devemos encontrar os volumes, de acordo com a fórmula apresentada no enunciado, das toras e em seguida transformá-los em massa através da densidade, da seguinte maneira:

Pela natureza do enunciado, podemos utilizar para resolver esta questão trigonometria ou geometria plana. Com a primeira é possível ainda resolver de dois modos. São eles: 1º Modo (trigonometria): Utilizando o valor da tangente de 60º podemos encontrar o valor de h: Balão

Espécie I: ⋅

h

⋅ ⋅

60°

A

1,8 km

Espécie II: ⋅

⋅ ⋅

⋅ ⋅

Somando os valores das massas encontraremos a carga que o técnico deverá solicitar:

2º Modo (trigonometria): Utilizando o valor da tangente de 30º podemos encontrar o

Comentário: Neste exercício as contas tomam um pouco mais de tempo do aluno. Porém a pergunta menciona aproximadamente. Este fato dá a liberdade do aluno utilizar valores que tornam as contas ligeiramente mais simples. Por exemplo,é possível utilizarmos 6,5 ao invés de 6,48, o que resulta na massa da espécie I igual a 15 toneladas aproximadamente. O mesmo pode ser feito com o valor de 9,6 para 9,5 e chegando assim a um resultado de 14,8 toneladas aproximadamente. A soma resulta em 29,8 toneladas, praticamente o mesmo valor encontrado na resolução.

valor de h: Balão

h

30°

Conteúdos envolvidos: Densidade e habilidade em utilizar valores em expressões dadas.

B

5,5 km

QUESTÃO 159: Alternativa E De início, o aluno deve se atentar ao fato de que o exercício utiliza duas unidades diferentes da medida da altura, centímetros e metros. Logo será necessária a conversão das unidades. Além disso, com as informações do enunciado, iremos descobrir a altura da menina, através do IMC e da massa, transformá-la de metros para centímetros para então calcular o RIP. Os cálculos serão:

⋅ ⋅


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3º Modo (geometria plana): Aqui precisamos enxergar que o triângulo mais a direita é isósceles, logo a figura completa está mostrada a seguir:

41

Conteúdos envolvidos: Ponto médio de um segmento, base média e área de um triângulo. QUESTÃO 162: Alternativa D Como todas as alternativas estabelecem uma relação entre a área lateral e o volume de um cilindro vamos criar tal relação.

Desta forma podemos aplicar o Teorema de Pitágoras: Como o preço do tanque é diretamente proporcional à medida de sua área superficial lateral, a relação área/capacidade será: ⋅ Comentário: Exercícios como esse podem ser resolvidos de modos distintos. Aqui colocamos 3 exemplos ficando a cargo do aluno qual a maneira que mais lhe parece familiar.

⋅ ⋅ ⋅

Portanto, a melhor relação área/capacidade é aquela cujo cilindro possuir o maior raio, que é a figura III, com 3 m. Logo,

Conteúdos envolvidos: Trigonometria, geometria plana e Teorema de Pitágoras.

a relação fica:

QUESTÃO 161: Alternativa E

Comentário: Nesta questão, como o aluno pode perceber, para ganho de tempo, é mais vantajoso escrever a relação área/capacidade de maneira literal. Ao invés de calcularmos todos os valores, tanto de área lateral quanto de volume, para cada um dos 3 cilindros e depois encontrar a relação área/capacidade, apenas analisamos o efeito do raio sobre a relação. Como ela se torna inversamente proporcional ao raio do tanque, então quanto maior o raio, menor será a relação.

A fim de facilitarmos a resolução, vamos adotar letras para as medidas dos lados do triângulo utilizando o conceito de ponto médio, conforme a figura abaixo: B

a

2b A

M b

c

N

a c

Conteúdos envolvidos: Manipulação de expressões algébricas, área superficial e volume de um cilindro.

C

QUESTÃO 163: Alternativa D

Deste modo, vamos calcular as áreas dos ΔABC e ΔMNC e, subtraindo uma da outra, estabelecer uma relação com a região ABMN: Área do ΔABC:

Área do ΔMNC:

Como a função da temperatura assume duas expressões, dependendo do intervalo de tempo, devemos verificar qual iremos usar para cada etapa de aquecimento da peça. Como a fronteira entre as duas expressões é o tempo t = 100 s, vamos verificar qual é a temperatura na qual corresponde este tempo:

Δ

Logo, para temperaturas menores do que 160 °C utilizaremos a primeira expressão e para valores superiores a 160 °C utilizaremos a segunda expressão. Área da região ABMN:

No entanto, é preciso enxergar que o enunciado diz que a peça será colocada quando o forno estiver com 48 °C. Portanto, devemos calcular quanto tempo já se passou desde o momento em que ele foi ligado: ⋅

⋅ Logo, podemos perceber a seguinte relação: ⋅ Comentário: Para esta questão o aluno deve entender o significado de ponto médio do lado de um triângulo para então poder calcular as áreas dos dois triângulos assim como da região concretada.

Logo, este é o tempo decorrido sem a peça estar no forno. Agora iremos encontrar quanto tempo se passou até que o forno atingisse a temperatura de 200 °C, utilizando a segunda expressão dada: ⋅

⋅ ⋅


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O valor de t = 50 não convém, pois a expressão utilizada somente é válida para valores de t > 100. Portanto, para chegar a 200 °C, o forno precisou ficar ligado durante 150 minutos. Porém, ele ficou ligado 20 minutos sem que a peça estivesse lá dentro. Sendo assim o tempo de permanência dessa peça no forno é:

O fato de a perfuração ser tangente às faces laterais do prisma implica que os segmentos que unem o centro da perfuração (denominado ponto O) às arestas do triângulo da vista superior são perpendiculares às mesmas. Esses três segmentos são alturas dos AOB, BOC e COA. O aluno deve notar que a medida dessas alturas é a medida do próprio raio da perfuração. Temos que a área do ABC é igual à soma das áreas dos triângulos AOB, BOC e COA. Nesta expressão, o raio da perfuração será a incógnita a ser determinada. Lembrando que a área de um triângulo é dada por: 

Comentário: A questão exige do aluno várias habilidades com relação a funções e equações. Devido ao fator tempo durante a realização da prova, mostramos uma técnica de resolução da equação de segundo grau mais veloz, que foi deixar o coeficiente do termo x2 valendo 1 e depois resolver por soma e produto das raízes. Excetuando-se as contas que são um pouco trabalhosas, a questão se resume a resolução de equação de primeiro e segundo grau. Conteúdos envolvidos: função, equação de primeiro e segundo grau.

O aluno deve notar também que o ABC satisfaz o Teorema de Pitágoras e portanto ele é um triângulo retângulo e consequentemente . Na verdade o triângulo em questão é um múltiplo do triângulo retângulo de lados 3, 4 e 5. No caso o fator de multiplicação é 2. Assim, teremos: 

QUESTÃO 164: Alternativa E Nesta questão o aluno deve atentar-se a dois deslocamentos que ocorrem simultaneamente: 

o deslocamento dos rolos cilíndricos em relação ao ponto de partida no solo, que é igual ao comprimento da circunferência do rolo a cada volta; o deslocamento do bloco em relação aos rolos, que também é igual ao comprimento da circunferência do rolo.

Assim, o deslocamento do bloco em relação ao ponto de partida no solo será o dobro do comprimento da circunferência do rolo. Lembrando que o comprimento de uma circunferência é dado por:

Outra maneira de resolver esta questão seria perceber que existe 6 triângulos semelhantes dois a dois. Isso decorre do fato dos triângulos AOB, AOC e BOC serem isósceles e semelhantes, por terem seus lados comuns e iguais ao raio da perfuração. E perceber ainda o surgimento de um quadrado CDOE de lado r. Pela semelhança dos triângulos é possível estabelecer uma relação entre seus lados e o raio da perfuração da seguinte maneira.

Portanto, a expressão do deslocamento horizontal y será:

Comentário: Um erro comum nesta questão é considerar apenas o deslocamento dos rolos sobre o solo. Neste caso, o aluno marcaria a alternativa D. Ao rolar, o cilindro “empurra” o chão para trás e o bloco para frente simultaneamente, provocando o dobro de deslocamento do bloco em relação ao solo. Conteúdo envolvido: circunferência.

Cálculo

de

comprimento

de

Como o lado AB vale 10 cm então temos:

QUESTÃO 165: Alternativa B Para resolução desta questão, utilizaremos apenas a vista superior da peça.

Comentário: Existem outras soluções possíveis. Elaboramos duas delas e cabe ao aluno identificar aquela que lhe é mais familiar.


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Conteúdos envolvidos: Área de triângulo, decomposição de área, circunferência inscrita, ponto de tangência, semelhança de triângulos, triângulo isósceles e Teorema de Pitágoras.

Vale lembrar que a definição de mediana é: 

QUESTÃO 166: Alternativa C A variação do número de favelas no período de 2004 a 2010 (período de 6 anos) é dada por:

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Mediana: valor que deixa metade da população com valores iguais ou inferiores e a outra metade da população com valores iguais ou superiores.

Como a amostra possui um número par de dados, ou seja 18, iremos tirar a média entre os valores centrais. Estando os dados em ordem crescente, buscamos um valor entre o 9º e o 10º dado, ou seja, entre 6 e 7:

Mantendo o padrão de variação, ou seja, aumento de 218 em 6 anos, em 2016 serão: Comentário: A ordenação dos dados deve ser feita com cuidado. Caso o conjunto tenha um número ímpar de dados, o elemento central será a mediana. Caso o conjunto tenha um número par de dados, tal como nesse exercício, faz–se a média dos dois elementos centrais. Conteúdo envolvido: Conceito de mediana. Comentário: Na questão, é considerado que a variação do número de favelas entre os anos é linear, ou seja, um aumento de 218 favelas em 6 anos. Caso fosse pedido o número de favelas em 2011, por exemplo, calcularíamos a taxa por ano, a saber, a qual somaríamos ao número de favelas existentes em 2010. Conteúdo envolvido: Taxa de variação.

QUESTÃO 169: Alternativa D Seja x o alcance do primeiro salto. Pelo enunciado temos que do segundo para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, ou seja, o alcance do segundo salto é de (x – 1,2), e, do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía 1,5 m, ou seja, o alcance do terceiro salto é de (x – 1,2 – 1,5). Dado que o alcance total é de 17,4 m.

QUESTÃO 167: Alternativa B Como a taça em formato de hemisfério (metade de uma esfera) é servida cheia e a outra taça a ser utilizada tem formato de cone, porém não servida cheia, devemos igualar o volume de bebida de ambas as taças a fim de encontrarmos o valor da altura. As expressões para o cálculo do volume de uma esfera e de um cone são dadas no próprio enunciado. Assim teremos Taça em formato de hemisfério: ⋅

⋅ ⋅

Taça em formato de cone: ⋅

⋅ ⋅

As alternativas oferecem intervalos para o valor do alcance do primeiro salto, assim, o alcance do primeiro salto está entre 7 e 8 metros. Comentário: Nesta questão é preciso ter bastante cuidado com o fato da diminuição dada no terceiro salto ser em relação ao segundo salto (que já tinha um decaimento em relação ao primeiro salto). Conteúdo envolvido: Escrever e resolver expressão algébrica. QUESTÃO 170: Alternativa B

Igualando os volumes temos:

Comentário: A questão trouxe duas informações que facilitaram bastante sua resolução, as fórmulas para o volume tanto da esfera quanto do cone. Bastou ao aluno entendê-las para utilizálas. No caso da esfera, seria importante perceber que deveria ser usado não o volume todo e sim a metade, por tratar-se de um hemisfério. Conteúdo envolvido: Aplicação de valores em uma expressão dada. QUESTÃO 168: Alternativa B Do gráfico, temos o seguinte conjunto de dados (escritos de forma ordenada):

Os dois candidatos obtiveram pontuação média de 15 pontos ficando empatados. O critério de desempate é a maior regularidade na pontuação. Observando a tabela apresentada, temos, desde o início, que as pontuações de Marco estão bem próximas de 15 (valores: 14, 15, 16), já Paulo tem pontuações menos regulares (valores: 8, 19, 18). 

Desvio padrão: valor que quantifica o quanto de variação existe em relação à média

O valor do desvio padrão mostra que o candidato com pontuação mais regular é Marco (desvio padrão: 0,32), já que as pontuações de Paulo têm desvio padrão de 4,97. Comentário: O aluno pode ficar confuso com a informação da mediana, caso não domine este conceito, bem como o conceito de desvio padrão. De antemão, notamos que o candidato com maior regularidade na pontuação é Marco, restando apenas duas alternativas viáveis. Sabendo o conceito de desvio padrão ou de mediana, chegamos à resposta com a justificativa correta. Conteúdo envolvido: Conceito de desvio padrão.


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QUESTÃO 171: Alternativa B

Com os dados do enunciado, temos que dos pacientes com hepatite (100% inicial), após o tratamento tradicional, 40% foram curados, portanto 60% dos pacientes continuaram com a doença. Este grupo que não obteve a cura foi dividido em dois grupos de mesma quantidade, ou seja, cada um com 30% da quantidade inicial de pacientes. Os pacientes que passaram pelo tratamento inovador 1 correspondem a 30% do número de pacientes inicial, assim sendo, 35% de 30% terão alcançado a cura através do tratamento inovador 1. Seguindo o mesmo raciocínio, 45% de 30% terão alcançado a cura através do tratamento inovador 2.

Comentário: O aluno deve perceber que não foi necessário calcular quais quantidades, em litros, correspondem as porcentagens envolvidas. Elas seriam, posteriormente, convertidas em porcentagens novamente e conduziriam a um resultado correto, porém com um investimento maior de tempo. Conteúdos envolvidos: Cálculo de porcentagem/regra de três.

Tratamento 1:

QUESTÃO 173: Alternativa D De acordo com o enunciado, se soubermos que a funcionária tem calçado maior que 36,0, estamos tratando de um universo de 14 funcionárias, a saber, três que calçam 37, dez que calçam 38 e uma que calça 39. Devemos lembrar que probabilidade pode ser obtida da seguinte maneira:

Tratamento 2:

Os tratamentos inovadores proporcionaram cura igual a soma das porcentagens obtidas:

Como a tabela mostra que são 10 funcionárias que calçam 38, a probabilidade de ela calçar este número é calculada da seguinte maneira:

Comentário: Dado que se sabe que a funcionária tem calçado maior do que 36, restringe o universo de pessoas, que passa ser de 14 ao invés de 25; tendo isso em mente, basta calcular a probabilidade de a pessoa calçar 38. Conteúdo envolvido: Conceito de probabilidade. QUESTÃO 174: Alternativa B

Comentário: Deve–se ter clareza de que os pacientes que passaram, por exemplo, pelo tratamento inovador 1 correspondem a 30% do número de pacientes inicial. Assim, 35% dos 30% terão alcançado a cura através do tratamento inovador 1, ou seja, 10,5% da quantidade inicial de pacientes.

QUESTÃO 172: Alternativa C Do enunciado, temos as seguintes informações:

40 bilhões de litros

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ O exercício informa que, ao analisar uma sequência, João já descarta sua simétrica. Logo, o número de sequências que ele precisará verificar será a metade:

Conteúdo envolvido: Porcentagem.

Produção mundial de etanol (2006):

Pelo enunciado, podemos perceber que inicialmente para cada uma das 5 possibilidades de cidade a ser visitada existe 4 possibilidades para a segunda, que por sua vez possui 3 possibilidades, depois 2 e por fim 1. Depois disso ele deverá retornar ao início. Logo esta sequência de possibilidades nos remete a um número fatorial:

45% – EUA 43% – Brasil

Supõe–se que a produção em 2009 mantenha-se igual (40 bilhões de litros). Se a produção dos Estados Unidos for metade da produção de 2006, corresponderá a da produção mundial. Sendo assim, para que o total produzido pelo Brasil e pelos Estados Unidos continue correspondendo a 88% da produção mundial, esses 22,5% da produção mundial que deixaram de ser produzidos pelos Estados Unidos deverão ser produzidos pelo Brasil. Logo o aumento na produção pode ser obtido através da seguinte regra de três:

Como João gasta 1min30s para analisar cada sequência, então o tempo mínimo para verificar todas as sequências possíveis no problema será:

Comentário: A questão pode parecer, em princípio, mais complicada do que realmente é. Os custos de deslocamento apresentados na figura são informações não necessárias para a resolução do problema. Aliás, a única informação relevante trazida pela figura é o fato de não existirem três cidades colineares. Conteúdos envolvidos: permutação/princípio da contagem; conversão de unidade de tempo.


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QUESTÃO 175: Alternativa E Antes de começarmos a resolver a questão vamos relembrar os conceitos envolvidos sobre medidas de posição:  

Média aritmética: Soma de todos os dados de uma amostra, divido pela quantidade de elementos desta amostra. Mediana: ordenados do menor para o maior os dados de uma amostra, a mediana será o valor central desta amostra. Caso ela tenha um número par de elementos a mediana será a média aritmética entre os dois termos centrais. Moda: é o valor que apresenta a maior frequência de ocorrência em uma dada amostra de dados. No caso de não haver moda, a amostra é chamada de amodal, em caso de 1 moda, é chamada de modal, 2 modas de bimodal e 3 modas de trimodal.

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Comentário: Uma questão de nível baixo de dificuldade que cobra a compreensão de dados e aplicação da multiplicação. Conteúdo envolvido: Resolução de problemas envolvendo as operações básicas. QUESTÃO 177: Alternativa E O

dado

central

que

a

questão

traz

é:

Logo, para resolver a questão, basta aplicarmos uma regra de três simples: ⋅ ⋅

Agora sim podemos começar a calcular, tendo em vista que a medida analisada é quantidade de gols marcados em uma única partida. Média: ⋅

Comentário: A habilidade central que a questão avalia do aluno é se ele sabe trabalhar com números escritos em potências de base 10, normalmente adotada para representar grandes quantidades. Este tipo de representação é bastante abordado no estudo da Física, e é de fundamental importância que o aluno saiba como trabalhar com estas potências. Conteúdos envolvidos: Regra de três e propriedades da potenciação.

Mediana:

QUESTÃO 178: Alternativa D O aluno deve perceber que o volume de madeira que será utilizada na fabricação do porta-lápis é dado pela subtração do volume do cubo de aresta maior pelo volume do cubo de aresta menor. Lembrando que o volume de um cubo é calculado elevando-se ao cubo a medida de sua aresta. Assim temos:

Moda:

Colocando em ordem crescente os dados temos:

Volume do cubo maior:

Volume do cubo menor:

Volume do porta-lápis:

Comentário: A questão cobra de maneira bem direta e objetiva os conceitos e aplicação de grandezas estatísticas. Conteúdos envolvidos: Estatística básica (Média, Mediana e Moda) QUESTÃO 176: Alternativa B Como a questão estabelece uma relação de quantas vezes um planeta cabe no outro, precisamos verificar qual será a melhor comparação para encontrar a relação entre os planetas Terra e Júpiter. O enunciado apresenta as seguintes relações: dentro de Netuno cabem 58 Terras; dentro de Júpiter cabem 23 Netunos; Como para cada Netuno cabe 58 Terras, então dentro de Júpiter cabem 23×58 Terras:

Comentário: Nesta questão a dificuldade maior que pode aparecer são as contas, dado que é necessário elevar-se ao cubo os números 12 e 8. A questão mostra um bom motivo para o aluno desenvolver um bom cálculo mental. Conteúdo envolvido: Cálculo do volume de cubo. QUESTÃO 179: Alternativa D Na primeira linha, a caixa central é a com número 1; na segunda linha, a caixa central é a com número 2; na terceira linha, a caixa central é a com número 3; na quarta linha, a caixa central é a com número 4; assim, na nona linha, a caixa central será a de número 9. Devemos observar que as caixas ao lado da central seguem com os números em ordem decrescente. Basta então que consideremos a soma de um dos dois lados e multipliquemos o resultado por 2. Assim, teremos como soma na nona linha:


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É possível perceber que a soma da linha leva ao quadrado do número central. Comentário: Caso fosse pedida a soma da vigésima linha, poderíamos fazer , utilizando a fórmula da soma dos termos de Progressão Aritmética (PA). Por este caminho observamos novamente que foi obtido o quadrado do número central. De maneira geral, na n–ésima linha, a soma será dada por:

Conteúdos envolvidos: Percepção de padrão numérico. QUESTÃO 180: Alternativa E O gráfico apresentado mostra o número de ovos de páscoa produzidos no Brasil de 2005 a 2009 e, segundo ele, o biênio (período de dois anos) que apresentou maior produção acumulada foi 2008–2009. Comentário: Como o aluno pode perceber a questão não exige qualquer cálculo de soma de produção. A informação pedida no exercício pode ser extraída visualmente do gráfico. Conteúdo envolvido: Leitura de gráfico.

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Enem 2011 MATEMÁTICA

E

SUAS

Questão 136. Um mecânico de uma equipe de corrida necessita que as seguintes medidas realizadas em um carro sejam obtidas em metros: a) distância a entre os eixos dianteiro e traseiro; b) altura b entre o solo e o encosto do piloto.

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Questão 139. A Escala de Magnitude de Momento (abreviada como MMS e denotada com Mw), introduzida em 1979 por Thomas Haks e Hiroo Kanamori, substituiu a Escala de Richter para medir a magnitude dos terremotos em termos de energia liberada. Menos conhecida pelo público, a MMS é, no entanto, a escala usada para estimar as magnitudes de todos os grandes terremotos da atualidade. Assim como a escala Richter, a MMS é uma escala logarítmica. Mw e M0 se relacionam pela fórmula:

Onde M0 é o momento sísmico (usualmente estimado a partir dos registros de movimento da superfície, através dos sismogramas), cuja unidade é dina.cm. Ao optar pelas medidas a e b em metros, obtêm-se, respectivamente: a) 0,23 e 0,16. d) 230 e 160. b) 2,3 e 1,6. e) 2 300 e 1 600. c) 23 e 16. Questão 137. O medidor de energia elétrica de uma residência, conhecido por “relógio de luz”, é constituído de quatro pequenos relógios, cujos sentidos de rotação estão indicados conforme a figura:

O terremoto de Kobe, acontecido no dia 17 de janeiro de 1995, foi um dos terremotos que causaram maior impacto no Japão e na comunidade científica internacional. Teve magnitude Mw = 7,3. U.S. GEOLOGICAL SURVEY. Historic Earthquakes. Disponível em: http://earthquake.usgs.gov. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

Mostrando que é possível determinar a medida por meio de conhecimentos matemáticos, qual foi o momento sísmico M0 do terremoto de Kobe (em dina.cm)? a) 10–6,10 d) 1021,65 –0,73 b) 10 e) 1027,00 12,00 c) 10 Questão 140. A figura seguinte mostra um modelo de sombrinha muito usado em países orientais.

Disponível em: http:/www.enersul.com.br. Acesso em: 26 abr 2010.

A medida é expressa em kWh. O número obtido na leitura é composto por 4 algarismos. Cada posição do número é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro. O número obtido pela leitura em kWh, na imagem, é a) 2 614. d) 3 725. b) 3 624. e) 4 162. c) 2 715. Questão 138. O dono de uma oficina mecânica precisa de um pistão das partes de um motor, de 68 mm de diâmetro, para o conserto de um carro. Para conseguir um, esse dono vai até um ferro velho e lá encontra pistões com diâmetros iguais a 68,21 mm; 68,102 mm; 68,001 mm; 68,02 mm e 68,012 mm. Para colocar o pistão no motor que está sendo consertado, o dono da oficina terá de adquirir aquele que tenha o diâmetro mais próximo do que precisa. Nessa condição, o dono da oficina deverá comprar o pistão de diâmetro a) 68,21 mm. d) 68,012 mm. b) 68,102 mm. e) 68,001 mm. c) 68,02 mm.

Disponível em: http://mdmat.psico.ufrgs.br. Acesso em: 1 maio 2010.

Esta figura é uma representação de uma superfície de revolução chamada de a) pirâmide. d) tronco de cone. b) semiesfera. e) cone. c) cilindro. Questão 141. Em 2010, um caos aéreo afetou o continente europeu, devido à quantidade de fumaça expelida por um vulcão na Islândia, o que levou ao cancelamento de inúmeros voos. Cinco dias após o início desse caos, todo o espaço aéreo europeu acima de 6 000 metros estava liberado, com exceção do espaço aéreo da Finlândia. Lá, apenas voos internacionais acima de 31 mil pés estavam liberados. Disponível em: http://www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 21 abr. 2010 (adaptado).


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Considere que 1 metro equivale a aproximadamente 3,3 pés. Qual a diferença, em pés, entre as altitudes liberadas na Finlândia e no restante do continente europeu cinco dias após o início do caos? a) 3 390 pés. d) 19 800 pés. b) 9 390 pés. e) 50 800 pés. c) 11 200 pés.

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Os formatos dos sólidos descartados são a) todos iguais. d) apenas dois iguais. b) todos diferentes. e) iguais dois a dois. c) três iguais e um diferente. Questão 145. Café no Brasil

Questão 142. Em uma certa cidade, os moradores de um bairro carente de espaços de lazer reivindicam à prefeitura municipal a construção de uma praça. A prefeitura concorda com a solicitação e afirma que irá construí-la em formato retangular devido às características técnicas do terreno. Restrições de natureza orçamentária impõem que sejam gastos, no máximo, 180 m de tela para cercar a praça. A prefeitura apresenta aos moradores desse bairro as medidas dos terrenos disponíveis para a construção da praça: Terreno 1: 55 m por 45 m Terreno 2: 55 m por 55 m Terreno 3: 60 m por 30 m Terreno 4: 70 m por 20 m Terreno 5: 95 m por 85 m Para optar pelo terreno de maior área, que atenda às restrições impostas pela prefeitura, os moradores deverão escolher o terreno a) 1. d) 4. b) 2. e) 5. c) 3. Questão 143. Sabe-se que a distância real, em linha reta, de uma cidade A, localizada no estado de São Paulo, a uma cidade B, localizada no estado de Alagoas, é igual a 2 000 km. Um estudante, ao analisar um mapa, verificou com sua régua que a distância entre essas duas cidades, A e B, era 8 cm. Os dados nos indicam que o mapa observado pelo estudante está na escala de a) 1 : 250. d) 1 : 250 000. b) 1 : 2 500. e) 1 : 25 000 000. c) 1 : 25 000. Questão 144. Uma indústria fabrica brindes promocionais em forma de pirâmide. A pirâmide é obtida a partir de quatro cortes em um sólido que tem a forma de um cubo. No esquema, estão indicados o sólido original (cubo) e a pirâmide obtida a partir dele.

O consumo atingiu o maior nível da história no ano passado: os brasileiros beberam o equivalente a 331 bilhões de xícaras. Veja, Ed. 2158, 31 mar. 2010.

Considere que a xícara citada na notícia seja equivalente a, aproximadamente,120 mL de café. Suponha que em 2010 os brasileiros bebam ainda mais café, aumentando o consumo em 1/5 do que foi consumido no ano anterior. De acordo com essas informações, qual a previsão mais aproximada para o consumo de café em 2010? a) 8 bilhões de litros. d) 40 bilhões de litros. b) 16 bilhões de litros. e) 48 bilhões de litros. c) 32 bilhões de litros. Questão 146. Você pode adaptar atividades do seu dia a dia de uma forma que possa queimar mais calorias do que as gastas normalmente, conforme a relação seguinte: – Enquanto você fala ao telefone, faça agachamentos: 100 calorias gastas em 20 minutos. – Meia hora de supermercado: 100 calorias. – Cuidar do jardim por 30 minutos: 200 calorias. – Passear com o cachorro: 200 calorias em 30 minutos. – Tirar o pó dos móveis: 150 calorias em 30 minutos. – Lavar roupas por 30 minutos: 200 calorias. Disponível em: http://cyberdiet.terra.com.br Acesso em: 27 abr. 2010 (adaptado)

Uma pessoa deseja executar essas atividades, porém, ajustando o tempo para que, em cada uma, gaste igualmente 200 calorias. A partir dos ajustes, quanto tempo a mais será necessário para realizar todas as atividades? a) 50 minutos. d) 120 minutos. b) 60 minutos. e) 170 minutos. c) 80 minutos. Questão 147. Para uma atividade realizada no laboratório de Matemática, um aluno precisa construir uma maquete da quadra de esportes da escola que tem 28 m de comprimento por 12 m de largura. A maquete deverá ser construída na escala de 1 : 250.

Os pontos A, B, C, D e O do cubo e da pirâmide são os mesmos. O ponto O é central na face superior do cubo. Os quatro cortes saem de O em direção às arestas , nessa ordem. Após os cortes, são descartados quatro sólidos.

Que medidas de comprimento e largura, em cm, o aluno utilizará na construção da maquete? a) 4,8 e 11,2 d) 28,0 e 12,0 b) 7,0 e 3,0 e) 30,0 e 70,0 c) 11,2 e 4,8


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Questão 148. Uma equipe de especialistas do centro meteorológico de uma cidade mediu a temperatura do ambiente, sempre no mesmo horário, durante 15 dias intercalados, a partir do primeiro dia de um mês. Esse tipo de procedimento é frequente, uma vez que os dados coletados servem de referência para estudos e verificação de tendências climáticas ao longo dos meses e anos. As medições ocorridas nesse período estão indicadas no quadro:

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c) 75 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante. d) 7,5 kg de carne, 7 copos americanos, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cerveja e 10 de espumante. e) 7,5 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante. Questão 150. A participação dos estudantes na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) aumenta a cada ano. O quadro indica o percentual de medalhistas de ouro, por região, nas edições da OBMEP de 2005 a 2009:

Disponível em: http://www.obmep.org.br Acesso em : abr. 2010 (adaptado).

Em relação às edições de 2005 a 2009 da OBMEP, qual o percentual médio de medalhistas de ouro da região Nordeste? a) 14,6% d) 19,0% b) 18,2% e) 21,0% c) 18,4% Em relação à temperatura, os valores da média, mediana e moda são, respectivamente, iguais a a) 17°C, 17°C e 13,5°C d) 17°C, 18°C e 21,5°C b) 17°C, 18°C e 13,5°C e) 17°C, 13,5°C e 21,5°C c) 17°C, 13,5°C e 18°C

Questão 151.

Questão 149.

As frutas que antes se compravam por dúzias, hoje em dia, podem ser compradas por quilogramas, existindo também a variação dos preços de acordo com a época de produção. Considere que, independente da época ou variação de preço, certa fruta custa R$ 1,75 o quilograma.

Observe as dicas para calcular a quantidade certa de alimentos e bebidas para as festas de fim de ano:

Dos gráficos a seguir, o que representa o preço m pago em reais pela compra de n quilogramas desse produto é

• Para o prato principal, estime 250 gramas de carne para cada pessoa. • Um copo americano cheio de arroz rende o suficiente para quatro pessoas. • Para a farofa, calcule quatro colheres de sopa por convidado. • Uma garrafa de vinho serve seis pessoas. • Uma garrafa de cerveja serve duas. • Uma garrafa de espumante serve três convidados. Quem organiza festas faz esses cálculos em cima do total de convidados, independente do gosto de cada um.

a)

d)

b)

e)

Quantidade certa de alimentos e bebidas evita o desperdício da ceia. Jornal Hoje, 17 dez. 2010 (adaptado).

Um anfitrião decidiu seguir essas dicas ao se preparar para receber 30 convidados para a ceia de Natal. Para seguir essas orientações à risca, o anfitrião deverá dispor de a) 120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 15 de cerveja e 10 de espumante. b) 120 kg de carne, 7 copos americanos e meio de arroz, 120 colheres de sopa de farofa, 5 garrafas de vinho, 30 de cerveja e 10 de espumante.

c)


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Questão 152. Um bairro de uma cidade foi planejado em uma região plana, com ruas paralelas e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo tamanho. No plano de coordenadas cartesianas seguinte, esse bairro localiza-se no segundo quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em quilômetros.

50

Uma jovem com IMC = 20 kg/m2 , 100 cm de circunferência dos quadris e 60 kg de massa corpórea resolveu averiguar seu IAC. Para se enquadrar aos níveis de normalidade de gordura corporal, a atitude adequada que essa jovem deve ter diante da nova medida é

a) reduzir seu excesso de gordura em cerca de 1%. b) reduzir seu excesso de gordura em cerca de 27%. c) manter seus níveis atuais de gordura. d) aumentar seu nível de gordura em cerca de 1%. e) aumentar seu nível de gordura em cerca de 27%. Questão 154.

A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento do percurso da linha do metrô subterrâneo que atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No ponto P = (– 5, 5), localiza-se um hospital público. A comunidade solicitou ao comitê de planejamento que fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse maior que 5 km. Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê argumentou corretamente que isso seria automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a construção de uma estação no ponto. a) (–5, 0). d) (0, 4). b) (– 3, 1). e) (2, 6). c) (– 2, 1). Questão 153. O Índice de Massa Corporal (IMC) é largamente utilizado há cerca de 200 anos, mas esse cálculo representa muito mais a corpulência que a adiposidade, uma vez que indivíduos musculosos e obesos podem apresentar o mesmo lMC. Uma nova pesquisa aponta o Índice de Adiposidade Corporal (IAC) como uma alternativa mais fidedigna para quantificar a gordura corporal, utilizando a medida do quadril e a altura. A figura mostra como calcular essas medidas, sabendo-se que, em mulheres, a adiposidade normal está entre 19% e 26%.

Disponível em: http://www. diaadia.pr.gov.br. Acesso em: 28 abr. 2010

O polígono que dá forma a essa calçada é invariante por rotações, em torno de seu centro, de a) 45°. d) 120°. b) 60°. e) 180°. c) 90°. Questão 155. O saldo de contratações no mercado formal no setor varejista da região metropolitana de São Paulo registrou alta. Comparando as contratações deste setor no mês de fevereiro com as da janeiro deste ano, houve incremento de 4 300 vagas no setor, totalizando 880 605 trabalhadores com carteira assinada. Disponível em: http://www.folha.uol.com.br Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado)

Suponha que o incremento de trabalhadores no setor varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros meses do ano. Considerando-se que y e x representam, respectivamente, as quantidades de trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por diante, a expressão algébrica que relaciona essas quantidades nesses meses é a) y = 4 300x d) y = 876 305 + 4 300x b) y = 884 905 x e) y = 880 605 + 4 300x c) y = 872 005 + 4 300x

Disponível em: http://www. folha.uol.com.br. Acesso em: 24 abr. 2011 (adaptado).


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Questão 156.

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mesmo ponto P da praia, no entanto sob um ângulo visual 2α. A figura ilustra essa situação:

A tabela compara o consumo mensal, em kWh, dos consumidores residenciais e dos de baixa renda, antes e depois da redução da tarifa de energia no estado de Pernambuco.

Suponha que o navegante tenha medido o ângulo α = 30° e, ao chegar ao ponto B, verificou que o barco havia percorrido a distância AB = 2000 m. Com base nesses dados e mantendo a mesma trajetória, a menor distância do barco até o ponto fixo P será a) 1 000 m. d) 2 000m. b)

e)

c) Questão 159.

Fonte: Celpe Diário de Pernambuco, 28 abr. 2010 (adaptado).

Rafael mora no Centro de uma cidade e decidiu se mudar, por recomendações médicas, para uma das regiões: Rural, Comercial, Residencial Urbano ou Residencial Suburbano. A principal recomendação médica foi com as temperaturas das “ilhas de calor” da região, que deveriam ser inferiores a 31°C. Tais temperaturas são apresentadas no gráfico:

Considere dois consumidores: um que é de baixa renda e gastou 100 kWh e outro do tipo residencial que gastou 185 kWh. A diferença entre o gasto desses consumidores com 1 kWh, depois da redução da tarifa de energia, mais aproximada, é de a) R$ 0,27. d) R$ 0,34. b) R$ 0,29. e) R$ 0,61. c) R$ 0,32. Questão 157. Um jovem investidor precisa escolher qual investimento lhe trará maior retorno financeiro em uma aplicação de R$ 500,00. Para isso, pesquisa o rendimento e o imposto a ser pago em dois investimentos: poupança e CDB (certificado de depósito bancário). As informações obtidas estão resumidas no quadro:

Para o jovem investidor, ao final de um mês, a aplicação mais vantajosa é a) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 502,80. b) a poupança, pois totalizará um montante de R$ 500,56. c) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,38. d) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 504,21. e) o CDB, pois totalizará um montante de R$ 500,87. Questão 158. Para determinar a distância de um barco até a praia, um navegante utilizou o seguinte procedimento: a partir de um ponto A, mediu o ângulo visual α fazendo mira em um ponto fixo P da praia. Mantendo o barco no mesmo sentido, ele seguiu até um ponto B de modo que fosse possível ver o

Escolhendo, aleatoriamente, uma das outras regiões para morar, a probabilidade de ele escolher uma região que seja adequada às recomendações médicas é a) 1/5. d) 3/5. b) 1/4. e) 3/4. c) 2/5. Questão 160. O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350 000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada. Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas?


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a) 100n + 350 = 120n + 150 b) 100n + 150 = 120n + 350 c) 100(n + 350) = 120(n + 150) d) 100(n + 350 000) = 120(n +150 000) e) 350(n + 100 000) = 150(n + 120 000)

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Questão 165. O gráfico mostra a velocidade de conexão à Internet utilizada em domicílios no Brasil. Esses dados são resultado da mais recente pesquisa, de 2009, realizada pelo Comitê Gestor da Internet (CGI).

Questão 161. O número mensal de passagens de uma determinada empresa aérea aumentou no ano passado nas seguintes condições: em janeiro foram vendidas 33 000 passagens; em fevereiro, 34 500; em março, 36 000. Esse padrão de crescimento se mantém para os meses subsequentes. Quantas passagens foram vendidas por essa empresa em julho do ano passado? a) 38 000 d) 42 000 b) 40 500 e) 48 000 c) 41 000 Questão 162. Uma pessoa aplicou certa quantia em ações. No primeiro mês, ela perdeu 30% do total do investimento e, no segundo mês, recuperou 20% do que havia perdido. Depois desses dois meses, resolveu tirar o montante de R$ 3 800,00 gerado pela aplicação. A quantia inicial que essa pessoa aplicou em ações corresponde ao valor de a) R$ 4 222,22. d) R$ 13 300,00. b) R$ 4 523,80. e) R$ 17 100,0 c) R$ 5 000,00. Questão 163. Muitas medidas podem ser tomadas em nossas casas visando à utilização racional de energia elétrica. Isso deve ser uma atitude diária de cidadania. Uma delas pode ser a redução do tempo no banho. Um chuveiro com potência de 4 800 W consome 4,8 kW por hora.

Disponível em: http://agencia.ipea.gov.br. Acesso em: 28 abr. 2010 (adaptado).

Escolhendo-se, aleatoriamente, um domicílio pesquisado, qual a chance de haver banda larga de conexão de pelo menos 1 Mbps neste domicílio? a) 0,45 d) 0,22 b) 0,42 e) 0,15 c) 0,30 Questão 166. Todo o país passa pela primeira fase de campanha de vacinação contra a gripe suína (H1N1). Segundo um médico infectologista do Instituto Emílio Ribas, de São Paulo, a imunização “deve mudar”, no país, a história da epidemia. Com a vacina, de acordo com ele, o Brasil tem a chance de barrar uma tendência do crescimento da doença, que já matou 17 mil no mundo. A tabela apresenta dados específicos de um único posto de vacinação.

Uma pessoa que toma dois banhos diariamente, de 10 minutos cada, consumirá, em sete dias, quantos kW? a) 0,8 d) 11,2 b) 1,6 e) 33,6 c) 5,6 Questão 164. Cerca de 20 milhões de brasileiros vivem na região coberta pela caatinga, em quase 800 mil km2 de área. Quando não chove, o homem do sertão e sua família precisam caminhar quilômetros em busca da água dos açudes. A irregularidade climática é um dos fatores que mais interferem na vida do sertanejo. Disponível em: http://www.wwf.org.br. Acesso: 23 abr. 2010.

Segundo este levantamento, a densidade demográfica da região coberta pela caatinga, em habitantes por km2, é de a) 250. d) 0,25. b) 25. e) 0,025. c) 2,5.

Disponível em: http://img.terra.com./br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).

Escolhendo-se aleatoriamente uma pessoa atendida nesse posto de vacinação, a probabilidade de ela ser portadora de doença crônica é a) 8%. d) 12%. b) 9%. e) 22%. c) 11%. Questão 167. Em um jogo disputado em uma mesa de sinuca, há 16 bolas: 1 branca e 15 coloridas, as quais, de acordo com a


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coloração, valem de 1 a 15 pontos (um valor para cada bola colorida), O jogador acerta o taco na bola branca de forma que esta acerte as outras, com o objetivo de acertar duas das quinze bolas em quaisquer caçapas. Os valores dessas duas bolas são somados e devem resultar em um valor escolhido pelo jogador antes do início da jogada. Arthur, Bernardo e Caio escolhem os números 12, 17 e 22 como sendo resultados de suas respectivas somas. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de ganhar o jogo é a) Arthur, pois a soma que escolheu é a menor. b) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 4 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio. c) Bernardo, pois há 7 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 4 possibilidades para a escolha de Caio. d) Caio, pois há 10 possibilidades de compor a soma escolhida por ele, contra 5 possibilidades para a escolha de Arthur e 8 possibilidades para a escolha de Bernardo. e) Caio, pois a soma que escolheu é a maior. Questão 168. É possível usar água ou comida para atrair as aves e observá-las. Muitas pessoas costumam usar água com açúcar, por exemplo, para atrair beija-flores, Mas é importante saber que, na hora de fazer a mistura, você deve sempre usar uma parte de açúcar para cinco partes de água. Além disso, em dias quentes, precisa trocar a água de duas a três vezes, pois com o calor ela pode fermentar e, se for ingerida pela ave, pode deixá-la doente. O excesso de açúcar, ao cristalizar, também pode manter o bico da ave fechado, impedindo-a de se alimentar. Isso pode até matá-la. Ciência Hoje das Crianças. FNDE; Instituto Ciência Hoje, a nº 19, n. 166, mar. 1996.

Pretende-se encher completamente um copo com a mistura para atrair beija-flores. O copo tem formato cilíndrico, e suas medidas são 10 cm de altura e 4 cm de diâmetro, A quantidade de água que deve ser utilizada na mistura é cerca de (utilize π = 3) a) 20 mL. d) 120 mL. b) 24 mL. e) 600 mL. c) 100 mL.

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No quadro é apresentada a Escala de Índice de Massa Corporal com as respectivas categorias relacionadas aos pesos.

Nova Escola. N.° 172, maio 2004.

A partir dos dados biométricos de Duílio e Sandra e da Escala de IMC, o valor IMC e a categoria em que cada uma das pessoas se posiciona na Escala são a) Duílio tem o IMC 26,7 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de sobrepeso. b) Duílio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 29,1, estando ambos na categoria de sobrepeso. c) Duílio tem o IMC 27,3 e Sandra tem o IMC 26,6, estando ambos na categoria de sobrepeso. d) Duílio tem o IMC 25,6, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC 24,7, estando na categoria de peso normal. e) Duílio tem o IMC 25,1, estando na categoria de sobrepeso, e Sandra tem o IMC 22,6, estando na categoria de peso normal. Questão 170. O atletismo é um dos esportes que mais se identificam com o espírito olímpico. A figura ilustra uma pista de atletismo. A pista é composta por oito raias e tem largura de 9,76 m. As raias são numeradas do centro da pista para a extremidade e são construídas de segmentos de retas paralelas e arcos de circunferência. Os dois semicírculos da pista são iguais.

Questão 169. A figura apresenta informações biométricas de um homem (Duílio) e de uma mulher (Sandra) que estão buscando alcançar seu peso ideal a partir das atividades físicas (corrida). Para se verificar a escala de obesidade, foi desenvolvida a fórmula que permite verificar o Índice de Massa Corporal (IMC). Esta fórmula é apresentada como IMC = m/h2, onde m é a massa em quilogramas e h é altura em metros.

BIEMBENGUT, M. S. Modelação Matemática como método de ensinoaprendizagem de Matemática em cursos de 1.° e 2.° graus. 1900. Dissertação de Mestrado. IGCE/UNESP, Rio Claro, 1990 (adaptado).

Se os atletas partissem do mesmo ponto, dando uma volta completa, em qual das raias o corredor estaria sendo beneficiado? a) 1 d) 7 b) 4 e) 8 c) 5


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Questão 171. Nos últimos cinco anos, 32 mil mulheres de 20 a 24 anos foram internadas nos hospitais do SUS por causa de AVC. Entre os homens da mesma faixa etária, houve 28 mil internações pelo mesmo motivo. Época. 26 abr. 2010 (adaptado).

Suponha que, nos próximos cinco anos, haja um acréscimo de 8 mil internações de mulheres e que o acréscimo de internações de homens por AVC ocorra na mesma proporção.

Disponível em: http://www.zenite.nu. Acesso em: 1 maio 2010 (adaptado).

De acordo com as informações dadas, o número de homens que seriam internados por AVC, nos próximos cinco anos, corresponderia a a) 4 mil. d) 35 mil. b) 9 mil. e) 39 mil. c) 21 mil.

Se tomarmos uma estrela que tenha temperatura 5 vezes maior que a temperatura do Sol, qual será a ordem de grandeza de sua luminosidade? a) 20 000 vezes a luminosidade do Sol. b) 28 000 vezes a luminosidade do Sol. c) 28 850 vezes a luminosidade do Sol. d) 30 000 vezes a luminosidade do Sol. e) 50 000 vezes a luminosidade do Sol.

Questão 172.

Questão 174.

Uma enquete, realizada em março de 2010, perguntava aos internautas se eles acreditavam que as atividades humanas provocam o aquecimento global. Eram três as alternativas possíveis e 279 internautas responderam à enquete, como mostra o gráfico.

O setor de recursos humanos de uma empresa vai realizar uma entrevista com 120 candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar a lista de números em ordem numérica crescente e usá-la para convocar os interessados. Acontece que, por um defeito do computador, foram gerados números com 5 algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram dígitos pares. Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que tiver recebido o número 75 913 é a) 24. d) 88. b) 31. e) 89. c) 32. Questão 175.

Época. Ed. 619, 29 mar. 2010 (adaptado).

Analisando os dados do gráfico, quantos internautas responderam “NÃO” à enquete? a) Menos de 23. b) Mais de 23 e menos de 25. c) Mais de 50 e menos de 75. d) Mais de 100 e menos de 190. e) Mais de 200.

Um técnico em refrigeração precisa revisar todos os pontos de saída de ar de um escritório com várias salas. Na imagem apresentada, cada ponto indicado por uma letra é a saída do ar, e os segmentos são as tubulações.

Questão 173. A cor de uma estrela tem relação com a temperatura em sua superfície. Estrelas não muito quentes (cerca de 3 000 K) nos parecem avermelhadas. Já as estrelas amarelas, como o Sol, possuem temperatura em torno dos 6 000 K; as mais quentes são brancas ou azuis porque sua temperatura fica acima dos 10 000 K. A tabela apresenta uma classificação espectral e outros dados para as estrelas dessas classes

Iniciando a revisão pelo ponto K e terminando em F, sem passar mais de uma vez por cada ponto, o caminho será passando pelos pontos a) K, I e F. b) K, J, I, G, L e F. c) K, L, G, I, J, H e F. d) K, J, H, I, G, L e F. e) K, L, G, I, H, J e F. Questão 176. O termo agronegócio não se refere apenas à agricultura e à pecuária, pois as atividades ligadas a essa produção incluem fornecedores de equipamentos, serviços para a zona rural, industrialização e comercialização dos produtos.


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O gráfico seguinte mostra a participação percentual do agronegócio no PIB brasileiro:

Centro de Estudos Avançados em Economia Aplicada (CEPEA). Almanaque abril 2010. São Paulo: Abril, ano 36 (adaptado)

Esse gráfico foi usado em uma palestra na qual o orador ressaltou uma queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro e a posterior recuperação dessa participação, em termos percentuais. Segundo o gráfico, o período de queda ocorreu entre os anos de a) 1998 e 2001. d) 2003 e 2007. b) 2001 e 2003. e) 2003 e 2008. c) 2003 e 2006. Questão 177. A resistência das vigas de dado comprimento é diretamente proporcional à largura (b) e ao quadrado da altura (d), conforme a figura. A constante de proporcionalidade k varia de açordo com o material utilizado na sua construção.

Para escolher o investimento com maior rentabilidade anual, essa pessoa deverá a) escolher qualquer um dos investimentos A, B ou C, pois as suas rentabilidades anuais são iguais a 36%. b) escolher os investimentos A ou C, pois suas rentabilidades anuais são iguais a 39%. c) escolher o investimento A, pois a sua rentabilidade anual é maior que as rentabilidades anuais dos investimentos B e C. d) escolher o investimento B, pois sua rentabilidade de 36% é maior que as rentabilidades de 3% do investimento A e de 18% do investimento C. e) escolher o investimento C, pois sua rentabilidade de 39% ao ano é maior que a rentabilidade de 36% ao ano dos investimentos A e B. Questão 179. Uma indústria fabrica um único tipo de produto e sempre vende tudo o que produz. O custo total para fabricar uma quantidade q de produtos é dado por uma função, simbolizada por CT, enquanto o faturamento que a empresa obtém com a venda da quantidade q também é uma função, simbolizada por FT. O lucro total (LT) obtido pela venda da quantidade q de produtos é dado pela expressão LT(q) = FT(q) – CT(q). Considerando-se as funções FT(q) = 5q e CT(q) = 2q + 12 como faturamento e custo, qual a quantidade mínima de produtos que a indústria terá de fabricar para não ter prejuízo? a) 0 d) 4 b) 1 e) 5 c) 3

Considerando-se S como a resistência, a representação algébrica que exprime essa relação é a) S = k . b . d

d)

b) S = b . d2 c) S = k.b.d2

e)

Questão 180. Uma empresa de telefonia fixa oferece dois planos aos seus clientes: no plano K, o cliente paga R$ 29,90 por 200 minutos mensais e R$ 0,20 por cada minuto excedente; no plano Z, paga R$ 49,90 por 300 minutos mensais e R$ 0,10 por cada minuto excedente. O gráfico que representa o valor pago, em reais, nos dois planos em função dos minutos utilizados é

Questão 178. Considere que uma pessoa decida investir uma determinada quantia e que sejam apresentadas três possibilidades de investimento, com rentabilidades líquidas garantidas pelo período de um ano, conforme descritas: Investimento A: 3% ao mês Investimento B: 36% ao ano Investimento C: 18% ao semestre As rentabilidades, para esses investimentos, incidem sobre o valor do período anterior. O quadro fornece algumas aproximações para a análise das rentabilidades:

a)


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b)

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Comentário: Como estamos acostumados com relógio (medida de tempo) de ponteiro que gira no sentido horário, poderíamos adotar esse sentido para leitura do número no relógio de luz e assinalaríamos erroneamente a alternativa B; caso lêssemos todos os algarismos tomando o sentido anti-horário, assinalaríamos a alternativa C; caso invertêssemos os sentidos corretos de leitura, a alternativa escolhida seria a D. Conteúdo envolvido: Valor posicional de algarismo. QUESTÃO 138: Alternativa E

c)

Precisamos de um cilindro com diâmetro mais próximo de 68 mm. Ordenando os diâmetros encontrados, teremos:

Logo, o diâmetro mais próximo de 68 mm é 68,001 mm. Comentário: Caso o exercício pedisse qual dos valores do conjunto: 68 mm, 68,012 mm, 68,02 mm, 68,102 mm, 68,21 mm é mais próximo de 68,001 mm, por exemplo, teríamos que: e , portanto 68 está mais próximo de 68,001.

d)

Conteúdo envolvido: Comparação de números. QUESTÃO 139: Alternativa E O enunciado apresenta a seguinte expressão:

e oferece o valor dada.

para ser substituído na expressão

e)

Comentário:

Pela definição de logaritmo, , com b maior do que 0 e diferente de 1.

Conteúdos envolvidos: Substituição de valor em expressão algébrica e resolução, definição de logaritmo. QUESTÃO 140: Alternativa E

RESOLUÇÕES E COMENTÁRIOS - ENEM 2011 QUESTÃO 136: Alternativa B

A questão pede a identificação de uma figura geométrica espacial com base circular e segmentos com uma extremidade em cada ponto desta base e outra extremidade em um único ponto (vértice). A figura é um cone. Comentário: A questão não requer domínio da definição de cone, mas apenas uma noção do sólido. Conteúdo envolvido: Identificação de sólido geométrico.

Comentário: A questão envolve apenas conversão de unidade de medida. Como 1 metro é igual a 1000 milímetros, poderíamos montar uma regra de três para converter o valor de a de milímetros para metros. Já para converter o valor de b usaríamos que 1 metro é igual a 100 centímetros. Conteúdo envolvido: Conversão de unidade de medida. QUESTÃO 137: Alternativa A Como cada posição é formada pelo último algarismo ultrapassado pelo ponteiro, teremos o número 2614: duas unidades de milhar, 6 centenas, 1 dezena e 4 unidades.


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QUESTÃO 141: Alternativa C

Logo, 2 000 km equivale a 200 000 000 cm.

O resultado pedido é em pés, portanto, é interessante fazer a conversão da medida que é apresentada em metros para esta unidade:

Temos que 8 centímetros no mapa representam 2 000 quilômetros de distância e queremos saber qual é a escala do mapa.

Assim, as altitudes liberadas na Finlândia eram as acima de 31000 pés enquanto que no restante da Europa eram as acima de 19800 pés. Portanto a diferença era de

Portanto cada centímetro no mapa corresponde a 25 000 000 centímetros, ou seja, a escala é de 1 : 25 000 000.

Comentário: Após feita a conversão de 6000 metros para pés, obtemos 19800 pés, que é a alternativa D – porém não é a resposta final do exercício, que pede a diferença (subtração), em pés, entre as altitudes liberadas na Europa e na Finlândia. A alternativa E oferece a soma, em pés, das altitudes; a alternativa A apresenta o resultado, em metros, da diferença pedida; a alternativa B apresenta a conversão de 31000 pés para metros. Conteúdos envolvidos: Regra de três simples e resolução de problema envolvendo operação básica.

Comentário: Todas as alternativas apresentam 25 multiplicado por alguma potência de 10. Isto é natural, pois metro, quilômetro e centímetro relacionam–se através de potências de 10. Conteúdos envolvidos: Escala (proporção) e conversão de unidade de medida. QUESTÃO 144: Alternativa E A sequência de cortes descrita na questão está representada abaixo.

QUESTÃO 142: Alternativa C As restrições são: terreno retangular dentre 5 possibilidades e perímetro máximo de 180 metros. Buscamos o terreno de área máxima que contemple as restrições impostas. 

Terreno 1: 55m x 45m Perímetro: 2.(55)+2.(45) = 200 m. Logo não atende às restrições.

Terreno 2: 55m x 45m Não atende às restrições, pois tem dimensões maiores em relação ao terreno 1, que já não atende a restrição de cerca. (Perímetro: 2.(55)+2.(55) = 220 m)

Terreno 3: 60m x 30m Perímetro: 2.(60)+2.(30) = 180 m. Logo atende às restrições. Área: 60 . 30 = 1800 m2

Terreno 4: 70m x 20m Perímetro: 2.(70)+2.(20) = 180 m. Logo atende às restrições. Área: 70 . 20 = 1400 m2

Terreno 5: 95m x 85m Não atende às restrições, pois tem dimensões maiores em relação ao terreno 1, que já não atende à restrição de cerca. (Perímetro: 2.(95)+2.(85) = 360 m)

Assim, observamos que os dois primeiros sólidos descartados são iguais e os dois últimos sólidos descartados são iguais, ou seja, os sólidos descartados são iguais dois a dois. Comentário: Para esta questão o aluno precisa de um olhar espacial bem atento. Como no momento da prova o aluno não terá à disposição uma pirâmide para facilitar a visualização, um pouco de imaginação será necessária. Conteúdo envolvido: Geometria espacial. QUESTÃO 145: Alternativa E

Portanto o terreno a ser utilizado é o 3. Comentário: Observe que não foi necessário calcular perímetros e área de todos os terrenos e, assim, não investimos tempo em cálculos desnecessários à resolução. Curiosidade: Dado um perímetro fixado, o retângulo de maior área é o quadrado. Assim, seja 180 o perímetro, temos que . Portanto, a maior área possível, dados 180 metros de cerca e terreno retangular (quadrado é um caso particular de retângulo), seria 2025 m2. Conteúdos envolvidos: Área e perímetro de retângulo.

1 litro equivale a 1000 mililitros

O consumo, em litros, no ano de 2009 foi de:

O consumo no ano de 2010 passará por um aumento de , ou seja,

QUESTÃO 143: Alternativa E 

1 quilômetro equivale a 1000 metros (1km = 103m); 2

1 metro equivale a 100 centímetros (1m = 10 cm);

assim, 1 quilômetro equivale a 100 000 centímetros.

Logo, o consumo, em litros, no ano de 2010 será de . Portanto aproximadamente 48 bilhões de litros de café.

serão


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Comentário: Os candidatos que cometerem alguns equívocos encontrarão seu resultado entre as alternativas. Observe que: a alternativa A representa o aumento aproximado, em litros, do ano de 2009; a alternativa C representa o consumo de 2009, diminuído em ; a alternativa D representa o consumo aproximado, em litros, do ano de 2009.

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Comentário: Esta questão pode ser resolvida apenas através de uma observação cuidadosa e um pouco de cálculo mental. Veja:

Atividade

Tempo (min)

Calorias

Ajuste, no tempo, para que a atividade gaste 200 calorias

Conteúdos envolvidos: Conversão de medida em unidade de volume diferente, fração e problema envolvendo operações básicas.

Falar ao telefone/agacha mento

20

100

Dobrar o tempo, pois queremos dobrar o gasto calórico

QUESTÃO 146: Alternativa B

Compras no supermercado

30

100

Dobrar o tempo, pois queremos dobrar o gasto calórico

Cuidar do jardim

30

200

Nenhum

Passear com cachorro

30

200

Nenhum

Tirar pó dos móveis

30

150

Aumentar um terço do tempo, pois queremos aumentar o gasto calórico em um terço

Lavar roupas

30

200

Nenhum

De acordo com as informações do enunciado: Atividade

Tempo (minutos)

Calorias

Falar ao telefone/agachamento

20

100

Compras no supermercado

30

100

Cuidar do jardim

30

200

Passear com cachorro

30

200

Tirar pó dos móveis

30

150

Lavar roupas

30

200

Buscamos descobrir qual tempo deve ser investido em cada atividade a fim de ter um gasto de 200 calorias. Observe que os tempos destinados a cuidar do jardim, passear com cachorro e lavar roupas não deverão ser alterados, pois o gasto calórico com cada atividade é de 200 calorias. 

Falar ao telefone/agachamento

, ou seja, deverá ser feito um total de 40 minutos de agachamento para que se gaste 200 calorias. Assim, observamos que se deve aumentar o tempo de 20 minutos para 40 minutos (aumento de 20 minutos). 

Portanto, serão gastos a mais para realizar todas as atividades gastando igualmente 200 calorias em cada uma delas. Conteúdo envolvido: Proporção. QUESTÃO 147: Alternativa C A escala 1 : 250 relaciona as dimensões da maquete com as dimensões da quadra, assim, 1cm na maquete representa 250cm na quadra. 

Comprimento da centímetros

Largura da quadra: 12 metros = 1200 centímetros

quadra: 28 metros

=

2800

Compras no supermercado

Portanto, o comprimento da maquete será de 11,2 cm e a largura será de 4,8 cm. , ou seja, deverá ser feito um total de 60 minutos de compras no supermercado para que se gaste 200 calorias. Assim, observamos que se deve aumentar o tempo de 30 minutos para 60 minutos (aumento de 30 minutos). 

Tirar pó dos móveis

, ou seja, deverá ser gasto um total de 40 minutos tirando pó dos móveis para que se gaste 200 calorias. Assim, observamos que se deve aumentar o tempo de 30 minutos para 40 minutos (aumento de 10 minutos). Portanto, serão gastos a mais para realizar todas as atividades gastando igualmente 200 calorias em cada uma delas.

Comentário: As alternativas apresentadas incluem: troca entre dimensões (são pedidos comprimento e largura, nessa ordem) – alternativa A; proporção entre maquete e quadra (porém com escala diferente da descrita no exercício) – alternativa D. Conteúdos envolvidos: Escala (proporção) e conversão de unidade de medida. QUESTÃO 148: Alternativa B Média aritmética: Soma de todos os dados de uma amostra, dividido pela quantidade de elementos desta amostra. Mediana: ordenados do menor para o maior os dados de uma amostra, a mediana será o valor central desta amostra. Caso ela tenha um número par de elementos a mediana será a média aritmética entre os dois termos centrais. Moda: é o valor que apresenta a maior frequência de ocorrência em uma dada amostra de dados. No caso de não haver moda, a


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amostra é chamada de amodal, em caso de 1 moda, é chamada de modal, 2 modas de bimodal e 3 modas de trimodal.

20

Dados apresentados

20 21,5

Temperatura observadas (C)

Média 15,5 14 13,5

 18 19,5

Mediana

Como temos 15 observações, a mediana será o 8º valor da lista ordenada, ou seja, a mediana é 18. 

Moda

20 13,5 13,5 18

A temperatura 13,5C apresentou maior frequência de ocorrência (4 vezes), sendo assim a moda. Comentário: Observe que é desnecessário o cálculo da média, pois as cinco alternativas indicam o valor 17. Assim, o aluno não precisa investir tempo neste cálculo. Conteúdos envolvidos: Estatística (média, mediana e moda).

20 18,5 13,5

QUESTÃO 149: Alternativa E Os dados para calcular a quantidade certa de alimentos e bebidas para as festa de final de ano indicadas estão na tabela abaixo. Devemos calcular as quantidades necessárias para servir 30 pessoas.

21,5 QUANTIDADE INDICADA 20 Carne

250g – 1 pessoa

Arroz

1 copo – 4 pessoas

Farofa

4 colheres – 1 pessoa

Vinho

1 garrafa – 6 pessoas

Cerveja

1 garrafa – 2 pessoas

Espumante

1 garrafa – 3 pessoas

16

Ordenando os valores apresentados, temos: Temperatura observadas ordenadas(C) 13,5 13,5

Carne

Arroz

Farofa

Vinho

Cerveja

13,5 13,5 14 15,5 16 18 18 18,5 19,5 20


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Alternativa B:

Espumante

Comentário: Note que após calcularmos a quantidade necessária de carne, temos apenas duas possibilidades de alternativas corretas (D ou E); estas duas alternativas diferenciam–se nas quantidades de arroz e de espumante apenas, sendo assim, calculando um desses dois itens teremos a alternativa correta. Portando a análise das alternativas apresentadas pode reduzir o tempo investido na resolução de uma questão. Conteúdo envolvido: Regra de três simples. QUESTÃO 150: Alternativa C O percentual médio de medalhistas de ouro na região nordeste é dado pela média aritmética dos percentuais de 2005 a 2009:

Comentário: A questão envolve apenas cálculo da média aritmética.

Alternativa C:

Alternativa D:

Alternativa E:

Do teste, vemos que 3 pontos pertencem à reta, porém só um deles atenderá a exigência da população que é a de o hospital não estar a mais de 5 km da estação do metrô. Neste caso, devemos realizar um novo teste a fim de verificar qual dos 3 está a uma distância menor do que 5 em relação ao ponto (–5, 5) que é a coordenada do hospital: Lembrando que a distância é dada por:

de um ponto

a outro

Alternativa B:

Conteúdos envolvidos: Média aritmética. QUESTÃO 151: Alternativa E Pelo enunciado, a fruta custa R$1,75 por quilograma; assim, se o , então , ou seja, o ponto pertence ao gráfico da função procurada.

Alternativa D:

A função de preço por quantidade é afim. Observe ainda que o gráfico é uma reta que passa pela origem, afinal, o preço de 0 quilogramas é R$0,00. Alternativa E:

Portanto a estação que estará no ponto (–3,1) já estará a menos de 5 km do hospital. Comentário: Podemos descrever a função, pois temos informações sobre dois pontos: o preço de 0 quilogramas é R$0,00, o preço de 1 quilogramas é R$1,75; logo . Conteúdo envolvido: Gráfico de função afim. QUESTÃO 152: Alternativa B Como o enunciado diz que já existe uma estação de metrô que atenderá a exigência da população, podemos deduzir que um ou mais, dos pontos apresentados nas alternativas, pertença à reta dada de equação . Por este motivo, basta testarmos cada um deles a fim de verificarmos qual ponto pertence à reta, e assim: Lembrando que a representação em coordenadas de um ponto P é: . Alternativa A:

Comentário: É importante tranquilizar o aluno que durante a prova, o fato da equação da reta ser simples, a verificação de quais pontos pertencem a ela é bastante rápida podendo até ser resolvida mentalmente. Conteúdo envolvido: Equação de reta e distância de ponto a ponto. QUESTÃO 153: Alternativa A Segundo o enunciado, o IAC (índice de adiposidade corporal) é dado por:

Cálculo do IAC de uma jovem de IMC=20 kg/m2, 100 cm de circunferência dos quadris e 60kg: Para o cálculo do IAC precisamos da informação da altura da jovem, que pode ser calculada utilizando–se do IMC (índice que relaciona massa e altura):


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Lembrando que a reta de uma função afim é dada por: , utilizando as informações obtidas e um sistema de duas equações a duas incógnitas, encontramos a expressão algébrica pedida no enunciado:

O enunciado ainda afirma que, em mulheres, a adiposidade normal está entre 19% e 26%; portanto, para enquadrar–se na normalidade de gordura corporal, deve diminuir em cerca de 1% sua adiposidade. Comentário: Observando as informações de raiz dadas no enunciado e sabendo da estatura média de um ser humano, poderíamos prever que a altura da jovem seria 1,70 m. Sabendo que a informação da altura viria da expressão do IMC, partiríamos diretamente para o cálculo da porcentagem de gordura corporal.

Portanto a equação fica:

Comentário: O ponto central desta equação é obter as relações para os dois meses. A partir daí bastava resolver um sistema de duas equações a duas incógnitas. Conteúdo envolvido: Função afim e sistemas de equações. QUESTÃO 156: Alternativa B

Conteúdos envolvidos: Manipulação de expressões algébricas. QUESTÃO 154: Alternativa D Ao observar somente um dos polígonos que formam a calçada, podemos traçar 3 eixos a partir de seu centro conforme a figura. Deste modo o polígono é invariante de 3 formas distintas, em outras palavras, o polígono é exatamente o mesmo em 3 posições diferentes.

Logo para calcular o ângulo de rotação em torno do centro do polígono basta dividirmos uma volta completa por 3:

Comentário: O ponto chave da questão é observar que a figura possui 3 eixos de simetria. Logo, em 3 posições diferentes ela é exatamente a mesma. Conteúdo envolvido: Rotação de polígonos. QUESTÃO 155: Alternativa C Sejam: y a quantidade de trabalhadoras no setor varejista e x o número de meses decorridos, sendo janeiro o primeiro, fevereiro o segundo e assim por diante. Como em fevereiro havia um total de 880 605 trabalhadores com carteira assinada e, este número inclui um incremento de 4 300 vagas em relação ao mês anterior, temos que, no mês de janeiro, o número de vagas era 880 605 – 4 300 = 876 305. Logo podemos estabelecer as seguintes relações:

Preço por kWh pago por cada um dos dois consumidores considerados, após a redução de preço: 

Consumidor residencial:

Consumidor de baixa renda:

A diferença é dada por R$ 0,46 – R$ 0,17 = R$ 0,29 a cada kWh Comentário: O aluno deve localizar a informação pedida (gasto mensal após a redução de preços) de um consumidor residencial e de um consumidor de baixa renda que gastaram respectivamente 185kWh e 100 kWh; calcula–se o preço cobrado a cada kWh. Após isso é calculada a diferença (subtração) dos preços por kWh pagos por cada consumidor. Conteúdos envolvidos: Localização de informação em uma tabela e operações básicas. QUESTÃO 157: Alternativa D

Y

x

Mês

876 305

1

Janeiro

880 605

2

Fevereiro

A aplicação é de R$500,00 e o tempo de investimento é um mês.


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QUESTÃO 159: Alternativa E

Rendimento na poupança:

 

Rafael mora no centro.

Rendimento no CDB:

Porém, no CDB, há a incidência de imposto sobre o ganho:

As outras regiões são: rural, comercial, residencial urbano e residencial suburbano; a temperatura seria adequada para Rafael nas regiões: rural, residencial urbano e residencial suburbano.

Assim, o rendimento no CDB será de R$ 4,38 – R$ 0,18 = 4,20. Portanto o CDB é mais vantajoso, pois totalizará um montante de R$ 504,20. Comentário: O montante da poupança, apresentado na alternativa A, está correto, porém este não é o investimento mais vantajoso já que o montante gerado no CDB é maior. Conteúdos números.

envolvidos:

Porcentagem,

comparação

entre

QUESTÃO 158: Alternativa B Assim,

.

Comentário: O aluno deve inicialmente localizar no gráfico quais são as áreas adequadas, ou seja, as áreas com temperatura inferior a 31. Outra parte que requer atenção é o fato de o exercício pedir a probabilidade de a temperatura ser adequada “escolhendo, aleatoriamente, uma outra região para morar”; isto quer dizer que a região central não é um caso possível, logo, temos 4 casos possíveis e não 5 – por este motivo a alternativa D é incorreta. Observe que   , pois é suplementar a um ângulo de 60;    , pois os ângulos internos de um triângulo somam 180. Logo, temos que o triângulo apresentado é isósceles de base AP, portanto . A menor distância do barco ao ponto fixo P da praia, será alcançada no ponto X da trajetória retilínea ( tal que . O BPX é retângulo e, através da relação de seno, podemos encontrar a distância procurada.  

 

Comentário: A partir dos dados fornecidos pelo exercício não é possível o cálculo direto da informação pedida. Temos inicialmente em vista um triangulo retângulo com um ângulo de 60 e nenhuma informação sobre seus lados; uma medida de lado vem quando observamos o triângulo que compartilha um lado com este. A constatação de que um triângulo com dois ângulos iguais possui dois lados iguais (triângulo isósceles) é uma importante etapa, pois nos faz concluir que a medida de um cateto do triângulo retângulo é 2 000m. Para finalizar a questão, utilizamos trigonometria no triângulo retângulo. Conteúdos envolvidos: Estudo do triângulo, distância de ponto a reta, trigonometria.

Conteúdos envolvidos: Probabilidade, leitura de gráfico e comparação entre números. QUESTÃO 160: Alternativa A Seja n a quantidade, em quilômetros, de rodovia construída. 

Primeira empresa:

Segunda empresa:

Seria indiferente para a prefeitura, do ponto de vista econômico, se os custos das duas empresas fossem iguais:

Neste ponto, necessitamos observar as alternativas para transformar nossa expressão de modo a encontrar a resposta a ser assinalada. Note que as alternativas apresentam os valores 100, 350, 120 e 150 – simplificação de nossa expressão dividindo–a por 1000.

Comentário: O exercício poderia questionar em quais intervalos de quantidade de construção a empresa 1, por exemplo, não ofereceria desvantagem com relação ao custo. Nesse caso, seguiríamos resolvendo a inequação , encontrando , ou seja, para construções com 10km ou mais, a prefeitura faria um bom negócio ao contratar a primeira empresa. Observe que as alternativas apresentam expressões que podem ser confundidas por terem uma semelhança visual (são


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distintas), assim, o aluno deve tomar bastante cuidado para escrever a expressão algébrica e também para assinalar a alternativa correta. Conteúdo envolvido: Expressão algébrica. QUESTÃO 161: Alternativa D Janeiro: 33 000 passagens; fevereiro: 34 500 passagens; março: 36 000 passagens. Percebemos um padrão de aumento de 1 500 passagens por mês. Mantendo este padrão nos meses subsequentes, teremos para julho a quantidade de vendas de março, acrescida dos aumentos dos meses de abril, maio, junho e julho, ou seja, o montante de março acrescido dos aumentos em quatro meses:

Comentário: O aluno deve perceber que o incremento se dá através da soma de 1500 passagens ao mês. Casso fosse pedida a quantidade de vendas após um longo período, mantendo–se o aumento, poderíamos utilizar a expressão do termo geral da PA (progressão aritmética). Conteúdo envolvido: Sequência.

63

Comentário: Caso o aluno não se atentasse ao fato de serem considerados dois banhos diários, encontraria o consumo semanal de 5,6 kW, valor apresentado na alternativa C. Caso o erro fosse não considerar que o consumo pedido é semanal, o valor encontrado seria 1,6 kW, logo, alternativa B. Caso os dois fatos acima mencionados fossem desconsiderados, o aluno encontraria 0,8 kW, alternativa A. Conteúdo envolvido: Problema básicas/regra de três simples.

envolvendo

operações

QUESTÃO 164: Alternativa B

Comentário: Observe que todas as alternativas apresentam 25 multiplicado por alguma potência de 10. Para não errar esta questão, o aluno deve lembrar que um milhão é representado por 1 000 000 e um mil é representado por 1000. Conteúdos envolvidos: Classes de números e divisão.

QUESTÃO 162: Alternativa C

QUESTÃO 165: Alternativa D

Seja x a quantia inicial aplicada, temos que

Investiu x

Depois de um mês perdeu 30% do investimento

No segundo mês recuperou 20% do que havia perdido

O montante resgatado foi de R$ 3 800,00

Os casos favoráveis, ou seja, as conexões de acima de 1 Mbps são: 1 Mbps a 2 Mbps, 2 Mbps a 4 Mbps, 4 Mbps a 8 Mbps e acima de 8 Mbps.

Portanto há probabilidade de haver banda larga de, no mínimo, 1 Mbps é de 0,22.

Assim,

Comentário: O exercício questiona sobre a probabilidade de a banda larga de conexão ser de pelo menos 1Mbps, isto é, qual é a probabilidade de tal conexão ser maior do que ou igual a 1 Mbps – observe que conexões entre 2 e 8 Mbps satisfazem esta condição. O aluno que considerasse apenas as conexões entre 1 e 2 Mbps assinalaria 0,15, alternativa E. Conteúdos envolvidos: Probabilidade. QUESTÃO 166: Alternativa C Comentário: Um detalhe importante é não perder de vista que os 20% recuperados no segundo mês são referentes apenas ao que foi perdido e não ao total inicial. Caso o aluno cometesse este erro, encontraria a expressão:

,

valor

apresentado

na

alternativa A. Conteúdos envolvidos: Porcentagem e expressões algébricas.

Comentário: A probabilidade.

questão

envolve

QUESTÃO 163: Alternativa D

Conteúdos envolvidos: Probabilidade.

Se uma pessoa tomar dois banhos de 10 minutos por dia durante sete dias, terá utilizado o chuveiro durante na semana.

QUESTÃO 167: Alternativa C

apenas

cálculo

de

Arthur escolheu o número 12. As possibilidades de soma, cujo valor é: 1+11, 2+10, 3+9, 4+8 e 5+7. Assim, são cinco possibilidades de pares de bolas.

Bernardo escolheu o número 17. As possibilidades de soma, cujo valor é: 2+15, 3+14, 4+13, 5+12, 6+11,

Se o chuveiro consome 4,8kW a cada hora, temos que:


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7+10, 8+9. Assim, são sete possibilidades de pares de bolas.

Conteúdos envolvidos: Substituição de valores em uma expressão, operações básicas e intervalos numéricos.

Caio escolheu o número 22. As possibilidades de soma, cujo valor é: 7+15, 8+14, 9+13 e 10+12. Assim, são quatro possibilidades de pares de bolas.

QUESTÃO 170: Alternativa A

Comentário: Para resolver este problema, o aluno deve identificar quantos são os casos favoráveis, ou seja, contar os pares de bolas cuja soma é um determinado valor. A etapa anterior é identificar quais são esses pares. Note que: se Arthur atingisse a bola 6, não conseguiria formar soma 12, pois a bola é única; se Arthur acertasse a bola 13, por exemplo, não conseguiria formar soma 12, pois não há bolas disponíveis com números negativos; se Bernardo, por exemplo, atingisse a bola 1, não conseguiria formar a soma 17, pois a bola de maior valor disponível é 15 e 1+15=16.

O corredor da raia mais interna estaria sendo beneficiado, pois o trajeto de uma volta é dado por e, com um raio menor, o trajeto é menor. Como as raias são numeradas do centro para as extremidades, o corredor beneficiado será o da raia 1.

Conteúdo envolvido: Probabilidade. QUESTÃO 168: Alternativa C O volume (V) do copo de formato cilíndrico é dado por: Comentário: O aluno não precisa utilizar os dados numéricos da questão para resolvê-la, assim não haverá investimento desnecessário de tempo. A expressão para cálculo de comprimento da circunferência é apresentada apenas para confirmar algo que é visual.

10 cm

4 cm

Conteúdos envolvidos: Comprimento da circunferência. QUESTÃO 171: Alternativa D A proporção do acréscimo no número de internações será de , ou seja, aumento de 1 a cada 4 mulheres.

Como

, então

.

Desconsiderando o fato de que o açúcar se dissolverá na água, ou seja, os seus volumes não irão se misturar, de acordo com a proporção dada, teremos:

Logo, o volume de água a ser utilizado será de:

Comentário: Um detalhe importante é que, apesar de na realidade o açúcar se diluir na água, o que implicaria no uso de 120 mL de água, devemos imaginar que o seus volumes irão se somar para compor a solução água/açúcar e assim chegar à resposta esperada.

Mantendo a mesma proporção de acréscimo para os homens, , teremos um total de:

Comentário: O exercício supõe que há acréscimo no número de internações de mulheres, nos cinco anos seguintes, e pede o número total de internações de homens, supondo mesma proporção de acréscimo. Perceba que os valores apresentados nas alternativas A, B, C são incompatíveis, pois de antemão sabemos que a resposta será um número maior do que 28. Conteúdos envolvidos: Proporção. QUESTÃO 172: Alternativa C

Conteúdos envolvidos: Volume de um cilindro. QUESTÃO 169: Alternativa B De acordo com a expressão fornecida no texto, as informações contidas na tabela de perfil dos dois corredores e categorias apresentadas para cada faixa de índice de IMC, temos que e . Logo, Duílio e Sandra estão na categoria sobrepeso. Comentário: Esta questão necessita do cálculo correto dos índices de massa corporal de cada atleta, pois o fato de ambos estarem com peso acima do ideal (dados apresentados na tabela) não indica em qual categoria cada um está. Observe ainda que as categorias englobam uma faixa de peso para cada pessoa, em especial há uma faixa de peso considerada normal.

Comentário: Como as alternativas apresentam intervalos, poderíamos resolver esta questão utilizando cálculo mental e aproximações a fim de não investir tempo desnecessariamente. O cálculo desejado é 25% de 279; calcular 10% de um número é dividi-lo por 10 (“andar a vírgula uma casa para a esquerda”), ou seja, 10% de 279 é 27,9; 20% é o dobro de 10%, e 5% é metade de 10%; assim, 25% de 279 é o dobro de 27,9 (número maior do que 50 e menor do que 60) somado à metade de 27,9 (número pouco menor do que 15); certamente o resultado está entre 50 e 75. Conteúdos envolvidos: Cálculo de porcentagem.


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QUESTÃO 173: Alternativa A Segundo o enunciado, o Sol possui temperatura em torno de 6 000 K. Assim, uma estrela que tem temperatura cinco vezes maior do que a do Sol terá temperatura: . Na tabela apresentada, a temperatura mais próxima de 30 000 K é 28 000 K – temperatura de uma estrela com luminosidade da ordem de vezes a luminosidade do Sol (tomado como unidade na tabela).

65

Comentário: Para resolução deste tipo de exercício, deve–se ter em mente o princípio de ordenação e utilizar o princípio da contagem a fim de determinar quantos números estão, em sequência, antes do número desejado. Conteúdos envolvidos: Princípio da contagem. QUESTÃO 175: Alternativa C Todos os pontos de saída de ar devem ser revisados; inicia–se a revisão pelo ponto K e finaliza–se no ponto F; sem passar mais de uma vez no mesmo ponto. Observe que a única possibilidade de passar por L, dadas as condições do problema, é indo de K para L (pois se o caminho feito fosse de G para L, consequentemente passaríamos novamente pelo ponto K – partida).

Comentário: A informação sobre a temperatura do sol é apresentada no texto do enunciado (6000 K); note que, os dados da tabela consideram o Sol como a unidade e a classe espectral G2 possui temperatura 5770K, luminosidade 1, massa 1, raio 1 – classe espectral do Sol; como pudemos utilizar aproximação, a temperatura considerada foi 6000 K. Conteúdos envolvidos: Resolução de problema, leitura de dados em uma tabela. QUESTÃO 174: Alternativa E Os dígitos ímpares são: 1, 3, 5, 7, 9. Note que são 5 dígitos ímpares. Com esses dígitos, são escritos números com cinco algarismos distintos. Números iniciados por 1: Fixamos o número 1 na dezena de milhar e, utilizando o princípio da contagem, temos que são 4 números. Números iniciados por 3: Fixamos o número 3 na dezena de milhar e, utilizando o princípio da contagem, temos que são 4 números. Números iniciados por 5: Fixamos o número 5 na dezena de milhar e, utilizando o princípio da contagem, temos que são 4 números. Números iniciados por 71: Fixamos os números 7 e 1 na dezena de milhar e unidade de milhar respectivamente e, utilizando o princípio da contagem, temos que são 3 números. Números iniciados por 73: Fixamos os números 7 e 3 na dezena de milhar e unidade de milhar respectivamente e, utilizando o princípio da contagem, temos que são 3 números. Números iniciados por 751:Fixamos os números 751 na dezena de milhar, unidade de milhar e centena respectivamente e, utilizando o princípio da contagem, temos que são 2 números. Números iniciados por 753: Fixamos os números 753 na dezena de milhar, unidade de milhar e centena respectivamente e, utilizando o princípio da contagem, temos que são 2 números. O número seguinte é 75913, o qual queremos saber qual posição ocupa. Logo, são números antes do número 75913. Portanto este ocupa a 89ª posição.

De L, a única possibilidade é ir para G. De G, não podemos seguir para F, pois faltam pontos a serem vistoriados, logo segue–se para I. De I, não podemos seguir para F, pois faltaria vistoriar os pontos H e J; se for para H, deverá passar posteriormente por J, porém este caminho não satisfará a condição de não passar mais de uma vez pelo mesmo ponto, pois de J não poderá passar pela segunda vez por H, I, ou K; assim, de I deve ir direto para J. De J, seguirá para H. De H, finalizará o trajeto em F. Portanto as condições dadas.

é o trajeto que satisfaz

Comentário: A imagem apresentada é conhecida como grafo e é o objeto básico da teoria dos grafos. Esta teoria não é estudada no ensino médio, porém este exercício é resolvido através de raciocínio lógico. O ponto chave deste problema é notar que a única possibilidade de passar por L, é indo de K para L, já que se o caminho feito fosse de G para L, consequentemente passaríamos novamente pelo ponto K que é o ponto de partida. Conteúdos envolvidos: Resolução de problema. QUESTÃO 176: Alternativa C Segundo o gráfico apresentado na questão, o período de queda da participação do agronegócio no PIB brasileiro se deu no período entre 2003 e 2006. Esta informação é extraída através de leitura direta do gráfico: em 2006 a participação era de 28,28%, caiu para 27,79% em 2004, 25,83% em 2005, chegando a 23,92% em 2006 – depois deste período, a participação volta a aumentar.


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Comentário: Este problema pode ser resolvido visualmente através do gráfico, assim, os dados contidos nele não são relevantes. Observe, por curiosidade, que entre 1998 e 2001 há crescimento do agronegócio e a taxa deste crescimento se mantém praticamente constante; no período entre 2001 e 2003 a taxa de crescimento fica maior. Conteúdos envolvidos: Leitura e interpretação de gráfico. QUESTÃO 177: Alternativa C Resistência da viga (S) – diretamente proporcional à largura (b); – diretamente proporcional ao quadrado da altura (d); – constante de proporcionalidade que varia de acordo com o material utilizado da construção (k).

66

Para não ter prejuízo, devemos calcular o número de peças vendidas que torna o lucro maior ou igual a zero. Assim, . Portanto, se forem vendidas 4 peças não haverá prejuízo. Comentário: Uma importante observação que o aluno deve fazer é em igualar o lucro a zero e assim descobrir qual é o valor mínimo para que não se tenha prejuízo. Isto foi feito na proposta de resolução através de uma inequação. Conteúdos envolvidos: Manipulação de expressão algébrica, zero da função. QUESTÃO 180: Alternativa D 

Plano K: R$ 29,90 por 200 minutos, e R$0,20 por minuto excedente. O gráfico do plano k é dado pela seguinte função:

Plano Z: R$ 49,90 por 300 minutos, e R$0,10 por minuto excedente. O gráfico do plano z é dado pela seguinte função:

Assim, temos que a representação algébrica da resistência da viga é dada por: Comentário: A construção da expressão algébrica é feita diretamente através da leitura do texto como se fosse uma tradução da língua portuguesa para a linguagem matemática (álgebra). Conteúdo envolvido: Expressão algébrica. QUESTÃO 178: Alternativa C A fim de comparar os três investimentos no período de um ano, devemos encontrar os rendimentos equivalentes relativos a este período. 

Investimento A: 3% ao mês

1 ano = 12 meses;

(utilizando a aproximação fornecida na tabela)

Investimento B: 36% ao ano

Investimento C: 18% ao semestre

Observe que a inclinação da reta, da parte não constante, do gráfico do plano K é maior do que a inclinação da reta, da parte não constante, do gráfico do plano Z – cresce mais rapidamente, pois o custo é de R$0,20 por minuto enquanto o custo no plano Z é de R$0,10 por minuto. Assim, esboçamos o seguinte gráfico:

1 ano = 2 semestres;

Portanto o investimento mais rentável é o A. Comentário: Caso o aluno considerasse o rendimento da aplicação sendo juros simples, assinalaria a alternativa A. Note que, após decorrido um período, haverá a incidência do rendimento e, para o próximo período, o montante considerado já inclui o rendimento do primeiro período – por este motivo consideramos juros compostos. Caso o aluno não se atentasse ao fato de que cada investimento tem como referência um período diferente (mês, semestre ou ano), escolheria a alternativa D. Conteúdo envolvido: Juros compostos. QUESTÃO 179: Alternativa D

Comentário: Um detalhe que pode confundir o aluno é que as duas informações combinadas devem ser levadas em conta (quantidade de minutos fixos por mês e os minutos extras de um plano serem mais caros do que os do outro). Desta forma o aluno não terá dúvida em excluir as alternativas B ou E, que estão erradas. Conteúdos envolvidos: Gráfico de função constante e gráfico de função afim.


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Enem 2012 MATEMÁTICA

E

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SUAS

Questões de 136 a 180 Questão 136 O diretor de uma escola convidou os 280 alunos de terceiro ano a participarem de uma brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6 personagens numa casa de 9 cômodos; um dos personagens esconde um dos objetos em um dos cômodos da casa. O objetivo da brincandeira é adivinhar qual objeto foi escondido por qual personagem e em qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os alunos decidiram participar. A cada vez um aluno é sorteado e dá a sua resposta. As respostas devem ser sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do aluno estiver correta, ele é declarado vencedor e a brincadeira é encerrada. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas distintas. Questão 137 Um biólogo mediu a altura de cinco árvores distintas e representou-as em uma mesma malha quadriculada, utilizando escalas diferentes, conforme indicações na figura a seguir.

Uma jogada consiste em: 1º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola que será retirada por ele da urna 2; 2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão; 3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma bola da urna 2; 4º) se a cor da última bola retirada for a mesma do palpite inicial, ele ganha o jogo. Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar? a) Azul. d) Verde. b) Amarela. e) Vermelha. c) Branca. Questão 139. Os hidrômeros são marcadores de consumo de água em residências e estabelecimentos comerciais. Existem vários modelos de mostradores de hidrômetros, sendo que alguns deles possuem uma combinação de um mostradore dois relógios de ponteiro. O número formado pelos quatro primeiros algarismos do mostrador fornece o consumo em m3, e os dois últimos algarismos representam, respectivamente, as centenas e dezenas de litros de água consumidos. Um dos relógios de ponteiros indica a quantidade em litros, e o outro em décimos de litros, conforme ilustrados na figura a seguir.

Qual é a árvore que apresenta a maior altura real? a) I d) IV b) II e) V c) III Questão 138 Em um jogo há duas urnas com 10 bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em cada urna.

Considerando as informações indicadas na figura, o consumo total de água registrado nesse hidrômetro, em litros, é igual a a) 3 534,85. d) 3 534 859,35. b) 3 544,20. e) 3 534 850,39. c) 3 534 850,00.


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Questão140

Questão 143

O dono de uma farmácia resolveu colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento ao longo do ano de 2011.

O gráfico mostra a variação da extensão média de gelo marítimo, em milhões de quilômetros quadrados, comparando dados dos anos 1995, 1998, 2000, 2005 e 2007. Os dados correspondem aos meses de junho a setembro. O Ártico começa a recobrar o gelo quando termina o verão, em meados de setembro. O gelo do mar atua como o sistema de resfriamento da Terra, refletindo quase toda a luz solar de volta ao espaço. Águas de oceanos escuros, por sua vez, absorvem a luz solar e reforçam o aquecimento do Ártico, ocasionando derretimento crescente do gelo.

De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a menor venda absolutas em 2011 foram a) março e abril. d) junho e setembro. b) março e agosto. e) junho e agosto. c) agosto e setembro. Questão141 Maria quer inovar em sua loja de embalagens e decidiu vender caixas com diferentes formatos. Nas imagens apresentadas estão as planificações dessas caixas. Com base no gráfico e nas informações do texto, é possível inferir que houve maior aquecimento global em a) 1995. d) 2005. b) 1998. e) 2007. c) 2000. Questão 144 Quais serão os sólidos geométricos que Maria obterá a partir dessas planificações? a) Cilindro, prisma de base pentagonal e pirâmide. b) Cone, prisma de base pentagonal e pirâmide. c) Cone, tronco de pirâmide e prisma. d) Cilindro, tronco de pirâmide e prisma. e) Cilindro, prisma e tronco de cone.

Uma pesquisa realizada por estudantes da Faculdade de Estatística mostra, em horas por dia, como os jovens entre 12 e 18 anos gastam seu tempo, tanto durante a semana (de segunda-feira a sexta-feira), como no fim de semana (sábado e domingo). A seguinte tabela ilustra os resultados da pesquisa.

Questão 142 Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente são formadas sete colunas com as cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna, a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas nas colunas. A quantidade de cartas que forma o monte é a) 21. d) 28. b) 24. e) 31. c) 26.

De acordo com esta pesquisa, quantas horas de seu tempo gasta um jovem entre 12 e 18 anos, na semana inteira (de segunda-feira a domingo), nas atividades escolares? a) 20 d) 25 b) 21 e) 27 c) 24


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Questão 145 Certo vendedor tem seu salário mensal calculado da seguinte maneira: ele ganha um valor fixo de R$ 750,00, mais uma comissão de R$ 3,00 para cada produto vendido. Caso ele venda mais de 100 produtos, sua comissão passa a ser de R$ 9,00 para cada produto vendido, a partir do 101o produto vendido. Com essas informações, o gráfico que melhor representa a relação entre salário e o número de produtos vendidos é

e) Questão 146 Um maquinista de trem ganha R$ 100,00 por viagem e só pode viajar a cada 4 dias. Ele ganha somente se fizer a viagem e sabe que estará de férias de 1º a 10 de junho, quando não poderá viajar. Sua primeira viagem ocorreu no dia primeiro de janeiro. Considere que o ano tem 365 dias.

a)

Se o maquinista quiser ganhar o máximo possível, quantas viagens precisará fazer? a) 37 d) 89 b) 51 e) 91 c) 88 Questão 147 Alguns objetos, durante a sua fabricação, necessitam passar por um processo de resfriamento. Para que isso ocorra, uma fábrica utiliza um tanque de resfriamento, como mostrado na figura.

b)

c)

O que aconteceria com o nível da água se colocássemos no tanque um objeto cujo volume fosse de 2 400 cm3? a) O nível subiria 0,2 cm, fazendo a água ficar com 20,2 cm de altura. b) O nível subiria 1 cm, fazendo a água ficar com 21 cm de altura. c) O nível subiria 2 cm, fazendo a água ficar com 22 cm de altura. d) O nível subiria 8 cm, fazendo a água transbordar. e) O nível subiria 20 cm, fazendo a água transbordar. Questão 148

d)

Jorge quer instalar aquecedores no seu salão de beleza para melhorar o conforto dos seus clientes no inverno. Ele estuda a compra de unidades de dois tipos de aquecedores: modelo A, que consome 600 g/h (gramas por hora) de gás propano e cobre 35 m2 de área, ou modelo B, que consome 750 g/h de gás propano e cobre 45 m2 de área. O fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura. Jorge vai instalar uma


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unidade por ambiente e quer gastar o mínimo possível com gás. A área do salão que deve ser climatizada encontra-se na planta seguinte (ambientes representados por três retângulos e um trapézio).

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• Opção 2: Pagar a prazo, dando uma entrada de R$ 30 000,00, e mais uma prestação de R$ 26 000,00 para dali a 6 meses. • Opção 3: Pagar a prazo, dando uma entada de R$ 20 000,00, mais uma prestação de R$ 20 000,00, para dali a 6 meses e outra de R$ 18 000,00 para dali a 12 meses da data da compra. • Opção 4: Pagar a prazo dando uma entrada de R$ 15 000,00 e o restante em 1 ano da data da compra, pagando R$ 39 000,00. • Opção 5: pagar a prazo, dali a um ano, o valor de R$ 60 000,00.

Avaliando-se todas as informações, serão necessários a) quatro unidades do tipo A e nenhuma unidade do tipo B. b) três unidades do tipo A e uma unidade do tipo B. c) duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. d) uma unidade do tipo A e três unidades do tipo B. e) nenhuma unidade do tipo A e quatro unidades do tipo B. Questão 149 Para decorar a fachada de um edifício, um arquiteto projetou a colocação de vitrais compostos de quadrados de lado medindo 1 m, conforme a figura a seguir.

Nesta figura, os pontos A, B, C e D são pontos médios dos lados do quadrado e os segmentos AP e QC medem 1/4 da medida do lado do quadrado. Para confeccionar um vitral, são usados dois tipos de materiais: um para a parte sombreada da figura, que custa R$ 30,00 o m2, e outro para a parte mais clara (regiões ABPDA e BCDQB),que custa R$ 50,00 o m2. De acordo com esses dados, qual é o custo dos materiais usados na fabricação de um vitral? a) R$ 22,50 d) R$ 42,50 b) R$ 35,00 e) R$ 45,00 c) R$ 40,00

Arthur tem o dinheiro para pagar à vista, mas avalia se não seria melhor aplicar o dinheiro do valor à vista (ou até um valor menor), em um investimento, com rentabilidade de 10% ao semestre, resgatando os valores à medida que as prestações da opção escolhida fossem vencendo. Após avaliar a situação do ponto financeiro e das condições apresentadas, Arthur concluiu que era mais vantajoso financeiramente escolher a opção a) 1. d) 4. b) 2. e) 5. c) 3. Questão 151 Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).

Nessas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por: a) 2xy d) –5y – 3x b) 15 – 3x e) 5y + 3x – xy c) 15 – 5y Questão 152

Questão 150

A capacidade mínima, em BTU/h, de um aparelho de arcondicionado, para ambientes sem exposição ao sol, pode ser determinada da seguinte forma:

Arthur deseja comprar um terreno de Cléber, que lhe oferece as seguintes possibilidades de pagamento:

• 600 BTU/h por m2, considerando-se até duas pessoas no ambiente;

• Opção 1: Pagar à vista, por R$ 55 000,00;

• para cada pessoa adicional nesse ambiente, acrescentar 600 BTU/h;


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• acrescentar mais 600 BTU/h para cada equipamento eletrônico em funcionamento no ambiente.

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seguir do ponto E ao ponto M, e depois de M a C. O desenho que Bruno deve fazer é

Será instalado um aparelho de ar-condicionado em uma sala sem exposição ao sol, de dimensões 4 m x 5 m, em que permaneçam quatro pessoas e possua um aparelho de televisão em funcionamento. A capacidade mínima, em BTU/h, desse aparelho de arcondicionado deve ser a) 12 000. d) 13 800. b) 12 600. e) 15 000. c) 13 200. Questão 153 A resistência mecânica S do uma viga de madeira, em forma de um paralelepípedo retângulo, é diretamente proprocional à largura (b) e ao quadrado de sua altura (d) e inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os suportes da viga, que coincide com o seu comprimento (x), conforme ilustra a figura. A constante de proporcionalidade k é chamada de resistência da viga.

Questão 155 As curvas de oferta e de demanda de um produto representam, respectivamente, as quantidades que vendedores e consumidores estão dispostos a comercializar em função do preço do produto. Em alguns casos, essas curvas podem ser representadas por retas. Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de um produto sejam, respectivamente, representadas pelas equações: QO = – 20 + 4P

Questão 154 João propôs um desafio a Bruno, seu colega de classe: ele iria descrever um deslocamento pela pirâmide a seguir e Bruno deveria desenhar a projeção desse deslocamento no plano da base da pirâmide.

QD = 46 – 2P

em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de demanda e P é o preço do produto. A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado, ou seja, quando QO e QD se igualam. Para a situação descrita, qual o valor do preço de equilíbrio? a) 5 d) 23 b) 11 e) 33 c) 13 Questão 156

O deslocamento descrito por João foi: mova-se pela pirâmide, sempre em linha reta, do ponto A ao ponto E, a

Nos shopping centers costumam existir parques com vários brinquedos e jogos. Os usuários colocam créditos em um cartão, que são descontados por cada período de tempo de uso dos jogos. Dependendo da pontuação da criança no jogo, ela recebe um certo número de tíquetes para trocar por produtos nas lojas dos parques. Suponha que o período de uso de um briquedo em certo shopping custa R$ 3,00 e que uma bicicleta custa 9 200 tíquetes.


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Para uma criança que recebe 20 tíquetes por período de tempo que joga, o valor, em reais, gasto com créditos para obter a quantidade de tíquetes para trocar pela bicicleta é a) 153. d) 1 380. b) 460. e) 3 066. c) 1 218. Questão 157 João decidiu contratar os serviços de uma empresa por telefone através do SAC (Serviço de Atendimento ao Consumidor). O atendente ditou para João o número de protocolo de atendimento da ligação e pediu que ele anotas se. Entretanto, João não entendeu um dos algarismos ditados pelo atendente e anotou o número 1 3 9 8 2 0 7, sendo que o espaço vazio é o do algarismo que João não entendeu.

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Questão 159 A figura a seguir apresenta dois gráficos com informações sobre as reclamações diárias recebidas e resolvidas pelo Setor de Atendimento ao Cliente (SAC) de uma empresa, em uma dada semana. O gráfico de linha tracejada informa o número de reclamações recebidas no dia, o de linha contínua é o número de reclamações resolvidas no dia. As reclamações podem ser resolvidas no mesmo dia ou demorarem mais de um dia para serem resolvidas.

De acordo com essas informações, a posição ocupada pelo algarismo que falta no número de protocolo é a de a) centena. d) milhão. b) dezena de milhar. e) centena de milhão. c) centena de milhar. Questão 158 O gráfico fornece os valores das ações da empresa XPN, no período das 10 às 17 horas, num dia em que elas oscilaram acentuadamente em curtos intervalos de tempo.

O gerente de atendimento deseja identificar os dias da semana em que o nível de eficiência pode ser considerado muito bom, ou seja, os dias em que o número de reclamações resolvidas excede o número de reclamações recebidas. Disponível em: http://bibliotecaunix.org. Acesso em: 21 jan. 2012 (adaptado).

O gerente de atendimento pôde concluir, baseado no conceito de eficiência utilizado na empresa e nas informações do gráfico, que o nível de eficiência foi muito bom na a) segunda e na terça-feira. b) terça e na quarta-feira. c) terça e na quinta-feira. d) quinta-feira, no sábado e no domingo. e) segunda, na quinta e na sexta-feira. Questão 160 Neste dia, cinco investidores compraram e venderam o mesmo volume de ações, porém em horários diferentes, de acordo com a seguinte tabela.

Com relação ao capital adquirido na compra e venda das ações, qual investidor fez o melhor negócio? a) 1 d) 4 b) 2 e) 5 c) 3

Uma mãe recorreu à bula para verificar a dosagem de um remédio que precisava dar a seu filho. Na bula, recomendava-se a seguinte dosagem: 5 gotas para cada 2 kg de massa corporal a cada 8 horas. Se a mãe ministrou corretamente 30 gotas do remédio a seu filho a cada 8 horas, então a massa corporal dele é de a) 12 kg. d) 36 kg. b) 16 kg. e) 75 kg. c) 24 kg. Questão 161 O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão ainda sem resposta: Qual é o limite do corpo humano? O maratonista original, o grego da lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42 quilômetros. O americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planícies da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75horas.


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Um professor de Educação Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do maratonista americano, desenhou na lousa uma pista reta de 60 centímetros, que representaria o percurso referido Disponível em: http://veja.abril.com.br.Acesso em 25 jun. 2011 (adaptado)

Se o percursso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual seria a escala entre a pista feita pelo professor e a percorrida pelo atleta? a) 1:700 d) 1:700 000 b) 1:7 000 e) 1:7 000 000 c) 1:70 000 Questão 162 O losango representado na Figura 1 foi formado pela união dos centros das quatros cirunferências tangentes, de raios de mesma medida.

Dobrando-se o raio de duas das circunferências centradas em vértices opostos do losango e ainda mantendo-se a configuração das tangências, obtém-se uma situação conforme ilustrada pela Figura 2.

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Carlos e Paulo, nessa ordem, transportaram na segunda parte do trajeto? a) 600, 550, 350 d) 200, 200, 100 b) 300, 300, 150 e) 100, 100, 50 c) 300, 250, 200 Questão 164 Em um blog de variedades, músicas, mantras e informações diversas, foram postados “Contos de Halloween”. Após a leitura, os visitantes poderiam opinar, assinalando suas reações em “Divertido”, “Assustador” ou “Chato”. Ao final de uma semana, o blog registrou que 500 visitantes distintos acessaram esta postagem. O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquente.

O administrador do blog irá sortear um livro entre os visitantes que opinaram na postagem “Contos de Halloween”. Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez, a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso entre as que opinaram ter assinalado que o conto “Contos de Halloween” é “Chato” é mais aproximada por a) 0,09. d) 0,15. b) 0,12. e) 0,18. c) 0,14.

O perímetro do losango da Figura 2, quando comparado ao perímetro do losango da Figura 1, teve um aumento de a) 300%. d) 100%. b) 200%. e) 50%. c) 150%. QUESTÃO 163 José, Carlos e Paulo devem transportar em suas bicicletas uma certa quantidade de laranjas. Decidiram dividir o trajeto a ser percorrido em duas partes, sendo que ao final da primeira parte eles redistribuiriam a quantidade de laranjas que cada um carregava dependendo do cansaço de cada um. Na primeira parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proproção 6 : 5 : 4, respectivamente. Na segunda parte do trajeto José, Carlos e Paulo dividiram as laranjas na proporção 4 : 4 : 2, respectivamente. Sabendo-se que um deles levou 50 laranjas a mais no segundo trajeto, qual a quantidade de laranjas que José,

Questão 165 Em exposições de artes plásticas, é usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas giratórias. Uma medida de segurança é que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma. Para que se providencie o equipamento adequado, no caso de uma base quadrada que será fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico do evento deve estimar a medida R do raio adequado para a plataforma em termos da medida L do lado da base da estátua. Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá apresentar de modo que a exigência de segurança seja cumprida? a) R ≥ L / √2 d) R ≥ L/2 b) R ≥ 2L / π e) R ≥ L / (2 √2 ) c) R ≥ L / √π


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Questão 166

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alturas (em metros) para atividades que não exigem o uso de força são mostrados na figura seguinte.

O globo da morte é uma atração muito usada em circos. Ele consiste em uma espécie de jaula em forma de uma superfície esférica feita de aço, onde motoqueiros andam com suas motos por dentro. A seguir, tem-se, na Figura 1, uma foto de um globo da morte e, na Figura 2, uma esfera que ilustra um globo da morte.

Na Figura 2, o ponto A está no plano do chão onde está colocado o globo da morte e o segmento AB passa pelo centro da esfera e é perpendicular ao plano do chão.Suponha que há um foco de luz direcionado para o chão colocado no ponto B e que um motoqueiro faça um trajeto dentro da esfera, percorrendo uma circunferência que passa pelos pontos A e B. Disponível em: www.baixaki.com.br. Acesso em: 29 fev. 2012.

A imagem do trajeto feito pelo motoqueiro no plano do chão é melhor representada por

Questão 167 Num projeto da parte elétrica de um edifício residencial a ser construído, consta que as tomadas deverão ser colocadas a 0,20 m acima do piso, enquanto os interruptores de luz deverão ser colocados a 1,47 m acima do piso. Um cadeirante, potencial comprador de um apartamento desse edifício, ao ver tais medidas, alerta para o fato de que elas não contemplarão suas necessidades. Os referenciais de

Uma proposta substitutiva, relativa às alturas de tomadas e interruptores, respectivamente, que atenderá àquele potencial comprador é a) 0,20 m e 1,45 m. d) 0,25 m e 1,30 m. b) 0,20 m e 1,40 m. e) 0,45 m e 1,20 m. c) 0,25 m e 1,35 m. Questão 168 A Agência Espacial Norte Americana (NASA) informou que o asteroide YU 55 cruzou o espaço entre a Terra e a Lua no mês de novembro de 2011. A ilustração a seguir sugere que o asteroide percorreu sua trajetória no mesmo plano que contém a órbita descrita pela Lua em torno da Terra. Na figura, está indicada a proximidade do asteroide em relação à Terra, ou seja, a menor distância que ele passou da superfície terrestre.

Com base nessas informações, a menor distância que o asteroide YU 55 passou da superfície da Terra é igual a a) 3,25 × 10² km. d) 3,25 × 105 km. b) 3,25 × 10³ km. e) 3,25 × 106 km. 4 c) 3,25 × 10 km. Questão 169 Há, em virtude da demanda crescente de economia de água, equipamentos e utensílios como, por exemplo, as bacias


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sanitárias ecológicas, que utilizam 6 litros de água por descarga em vez dos 15 litros utilizados por bacias sanitárias não ecológicas, conforme dados da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT). Qual será a economia diária de água obtida por meio dasubstituição de uma bacia sanitária não ecológica, que gasta cerca de 60 litros por dia com a descarga, por uma bacia sanitária ecológica? a) 24 litros d) 42 litros b) 36 litros e) 50 litros c) 40 litros Questão 170 A tabela a seguir mostra a evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de cinco microempresas (ME) que se encontram à venda.

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Ao calcular sua taxa de glicose após as duas reduções, o paciente verificou que estava na categoria de a) hipoglicemia. d) diabetes melito. b) normal. e) hiperglicemia. c) pré-diabetes. Questão172 Um produtor de café irrigado em Minas Gerais recebeu um relatório de consultoria estatística, constando, entre outras informações, o desvio padrão das produções de uma safra dos talhões de suas propriedades. Os talhões têm a mesma área de 30 000 m2 e o valor obtido para o desvio padrão foi de 90 kg/talhão. O produtor deve apresentar as informações sobre a produção e a variância dessas produções em sacas de 60 kg por hectare (10 000 m2). A variância das produções dos talhões expressa em (sacas/hectare)2 é a) 20,25. d) 0,50. b) 4,50. e) 0,25. c) 0,71 Questão 173

Um investidor deseja comprar duas das empresas listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até 2011) e escolhe as duas empresas de maior média anual. As empresas que este investidor escolhe comprar são a) Balas W e Pizzaria Y. b) Chocolates X e Tecelagem Z. c) Pizzaria Y e Alfinetes V. d) Pizzaria Y e Chocolates X. e) Tecelagem Z e Alfinetes V.

O designer português Miguel Neiva criou um sistema de símbolos que permite que pessoas daltônicas identifiquem cores. O sistema consiste na utilização de símbolos que identificam as cores primárias (azul, amarelo e vermelho). Além disso, a justaposição de dois desses símbolos permite identificar cores secundárias (como o verde, que é o amarelo combinado com o azul). O preto e o branco são identificados por pequenos quadrados: o que simboliza o preto é cheio, enquanto o que simboliza o branco é vazio. Os símbolos que representam preto e branco também podem ser associados aos símbolos que identificam cores, significando se estas são claras ou escuras. Folha de São Paulo. Disponível em: ww1.folha.uol.com.br. Acesso em: 18 fev. 2012 (adaptado)

Questão 171 Um laboratório realiza exames em que é possível observar a taxa de glicose de uma pessoa. Os resultados são analisados de acordo com o quadro a seguir.

De acordo com o texto, quantas cores podem ser representadas pelo sistema proposto? a) 14 d) 21 b) 18 e) 23 c) 20 Questão 174

Um paciente fez um exame de glicose nesse laboratório e comprovou que estavam com hiperglicemia. Sua taxa de glicose era de 300 mg/dL. Seu médico prescreveu um tratamento em duas etapas. Na primeira etapa ele conseguiu reduzir sua taxa em 30% e na segunda etapa em 10%.

José, Paulo e Antônio estão jogando dados não viciados, nos quais, em cada uma das seis faces, há um número de 1 a 6. Cada um deles jogará dois dados simultaneamente. José acredita que, após jogar seus dados, os números das faces voltadas para cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita que sua soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua soma será igual a 8. Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de acertar sua respectiva soma é a) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as escolhidas. b) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo.


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c) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há apenas 2 possibilidades para a escolha de Paulo. d) José, já que há 6 possibilidades para formar sua soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio e apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo. e) Paulo, já que sua soma é a menor de todas.

Se no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo sua massa é multiplicada por 8, por quanto será multiplicada a área da superfície corporal?

Questão 175

Questão 178

O gráfico apresenta o comportamento de emprego formal surgido, segundo o CAGED, no período de janeiro de 2010 a outubro de 2010.

Um aluno registrou as notas bimestrais de algumas de suas disciplinas numa tabela. Ele observou que as entradas numéricas da tabela formavam uma matriz 4x4, e que poderia calcular as médias anuais dessas disciplinas usando produto de matrizes. Todas as provas possuíam o mesmo peso, e a tabela que ele conseguiu é mostrada a seguir

Com base no gráfico, o valor da parte inteira da mediana dos empregos formais surgidos no período é a) 212 952. d) 255 496. b) 229 913. e) 298 041. c) 240 621.

a) b) 4 c)

d) 8 e) 64

Para obter essas médias, ele multiplicou a matriz obtida a partir da tabela por

Questão 176 A cerâmica possui a propriedade da contração, que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico submetido a uma determinada temperatura elevada: em seu lugar aparecendo “espaços vazios” que tendem a se aproximar. No lugar antes ocupado pela água vão ficando lacunas e, consequentemente, o conjunto tende a retrair-se. Considere que no processo de cozimento a cerâmica de argila sofra uma contração, em dimensões lineares, de 20%. Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 30 mar. 2012 (adaptado).

Levando em consideração o processo de cozimento e a contração sofrida, o volume V de uma travessa de argila, de forma cúbica de aresta a, diminui para um valor que é a) 20% menor que V, uma vez que o volume do cubo é diretamente proporcional ao comprimento de seu lado. b) 36% menor que V, porque a área da base diminui de a2 para ((1 – 0,2)a)2. c) 48,8% menor que V, porque o volume diminui de a 3 para (0,8a)3. d) 51,2% menor que V, porque cada lado diminui para 80% do comprimento original. e) 60% menor que V, porque cada lado diminui 20%. Questão 177 Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria estuda a relação entre medidas de diferentes partes do corpo humano. Por exemplo, segundo a Alometria, a área A da superfície corporal de uma pessoa relaciona-se com a sua massa m pela fórmula A = k . m , em que k é uma constante positiva.

Questão 179 Existem no mercado chuveiros elétricos de diferentes potências, que representam consumos e custos diversos. A potência (P) de um chuveiro elétrico é dada pelo produto entre sua resistência elétrica (R) e o quadrado da corrente elétrica (i) que por ele circula. O consumo de energia elétrica (E), por sua vez, é diretamente proporcional à potência do aparelho. Considerando as características apresentadas, qual dos gráficos a seguir representa a relação entre a energia consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente elétrica (i) que circula por ele?


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Conteúdos envolvidos: Princípio Fundamental da Contagem. QUESTÃO 137: Alternativa D Evidentemente a árvore que apresenta a maior altura real não é aquela que tem o maior desenho, pois existe a escala dada que interfere na representação. Podemos entender a escala dada utilizando como referência o quadriculado. Comparando as árvores, podemos construir a seguinte tabela: Árvore

Quadrículos (q)

Escala (a:b)

Altura real (h)

I

9

1:100

900

II

9

2:100

450

III

6

2:300

900

IV

4,5

1:300

1350

V

4,5

2:300

675

A altura pode ser obtida por meio de uma regra de tês simples, utilizando a escala dada. Importante mencionar que a unidade da altura real da árvore é desconhecida uma vez que a questão não adota nenhuma.

Questão 180 Em 20 de fevereiro de 2011 ocorreu a grande erupção do vulcão Bulusan nas Filipinas. A sua localização geográfica no globo terrestre é dada pelo GPS (sigla em inglês para Sistema de Posicionamento Global) com longitude de 124° 3’ 0” a leste do Meridiano de Greenwich. Dado: 1° equivale a 60’ e 1’ equivale a 60”. PAVARIN, G. Galileu, fev. 2012 (adaptado)

A representação angular da localização do vulcão com relação a sua longitude da forma decimal é a) 124,02°. d) 124,30°. b) 124,05°. e) 124,50°. c) 124,20°. RESOLUÇÕES E COMENTÁRIOS – ENEM 2012 QUESTÃO 136: Alternativa A

Comentário: O aluno deve ter claro o significado de uma escala para resolver a questão. Em geral, para uma escala arbitrária a:b, devemos ler: a unidades de comprimento no desenho equivale a b unidades de comprimento na realidade. Conteúdos envolvidos: Escalas e regra de três simples.

Pelo enunciado e pelas alternativas, a questão sugere que façamos a contagem de todas as possibilidades possíveis de um objeto ser escondido por um personagem em um cômodo da casa. Para isso usaremos o Princípio Fundamental da Contagem:

QUESTÃO 138: Alternativa E

O enunciado diz que cada um dos 280 alunos deve dar uma resposta diferente. O diretor sabe que algum aluno acertará a resposta porque há 10 alunos a mais do que o número de respostas distintas.

No caso em que o jogador não tire a bola do seu palpite na 1ª urna, iremos considerar, para o cálculo desta probabilidade, o complementar do evento. Por exemplo, se a chance de sair uma bola vermelha na 1ª urna é de , a chance de não sair uma bola

Comentário: O aluno deve perceber que para cada um dos 5 objetos existe 6 possibilidades para personagem que por sua vez existe 9 possibilidades de cômodo. Logo, o problema sugere uma multiplicação entre as possibilidades. Este é o Princípio Fundamental da Contagem.

vermelha na 1ª urna será de .

Primeiramente devemos ter claro que o resultado da 1ª urna interferirá no resultado da 2ª urna. Em outras palavras se o jogador tirar na 1ª urna a cor do seu palpite, isto irá aumentar suas chances de tirar esta mesma cor na 2ª urna. Neste sentido devemos considerar ambas as situações. Ou na jogada ele tira na 1ª urna a cor do palpite ou na jogada ele não tira na 1ª urna a cor do seu palpite. Considerando esta ordem, faremos os cálculos da probabilidade para cada cor:

Amarela:


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A posição correta da vírgula foi determinada observando que 35 representa décimos de litro. Azul:

Conteúdos envolvidos: Conversão de unidades e leitura de ponteiros. QUESTÃO 140: Alternativa E Da leitura imediata do gráfico, vemos que os valores de maior e menor venda, respectivamente, são os picos mais alto e mais baixo. A figura abaixo destaca esses picos.

Branca:

Verde:

Logo, de acordo com a figura, os meses de maior e menor venda absolutas em 2011 foram, respectivamente, junho e agosto.

Vermelha:

Comentário: Para esta questão bastava a leitura e interpretação do gráfico. Conteúdos envolvidos: Interpretação de gráficos. Portanto a cor a ser escolhida pelo jogador para que ele tenha a maior probabilidade de ganhar é a vermelha. Comentário: Dois cuidados para a resolução desta questão devem ser tomados. Primeiro que ao retirar-se uma bola da 1ª urna e misturá-la com as bolas da 2ª urna, esta última passará a ter um total de 11 bolas. E segundo que ao retirar a bola do palpite da 1ª urna, quando ela se juntar com as bolas da 2ª urna, somaremos 1 ao número de bolas desta cor nesta urna. Conteúdo envolvido: Probabilidade. QUESTÃO 139: Alternativa D Lendo separadamente cada uma das partes do hidrômetro, podemos construir a seguinte tabela: Medida

Unidade

Fator de Conversão

Valor Final (em litros)

3534

metros cúbicos

1 000

3 534 000

8

centena de litros

100

800

5

dezena de litros

10

50

9

unidade de litros

1

9

35

décimo de litros

1/100

0,35

QUESTÃO 141: Alternativa A Para esta questão é preciso que o aluno conheça e tenha familiaridade com figuras espaciais e suas planificações. As duas primeiras planificações sugerem que a base de seus sólidos, respectivamente, são uma circunferência e um pentágono (polígono de 5 lados). Logo concluímos que se trata, nesta ordem, de um cilindro e de um prisma de base pentagonal. Por este motivo já ficam excluídas as alternativas B, C e D. Como um tronco de cone sugere um sólido cuja base é uma circunferência, logo podemos também excluir a alternativa E, restando apenas a correta. Comentário: o desenho da terceira caixa é bastante sugestivo, pois o triângulo central está em contraste com os demais. Ou seja, devemos concluir que o triângulo central é a base e fechando-se a figura formaremos uma pirâmide. Conteúdos envolvidos: Planificação de figuras sólidas. QUESTÃO 142: Alternativa B As cartas que comporão o monte provem do restante do baralho após ter sido distribuído as colunas. Desta forma, para resolver a questão, basta que somemos quantas cartas formam as colunas e subtrair este valor do total de cartas do baralho, que são 52. Veja que podemos utilizar a soma dos termos de uma progressão aritmética (PA) para somar as cartas das colunas. Quantidade de cartas nas colunas:

O valor final foi obtido pelo produto da medida com o seu respectivo fator de conversão. Por exemplo: Quantidade de cartas no monte: O consumo total de água, em litros, registrado pelo hidrômetro será a soma dos valores finais:

Comentário: Apesar de termos feito os cálculos, poderíamos simplesmente ter encontrado a resposta correta através da leitura direta do hidrômetro. Bastava colocarmos os algarismos exatamente na ordem em que eles aparecem:

Comentário: Na resolução da questão, para efeito de rapidez, utilizamos a soma dos termos de uma PA para encontrar o número de cartas que formam as colunas. Porém, caso o aluno queira, pode efetuar a soma do modo convencional, obtendo assim o mesmo resultado. Conteúdos envolvidos: Resolução de problemas envolvendo as operações básicas.


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QUESTÃO 143: Alternativa E O enunciado nos traz uma informação bastante importante e interessante, sendo chave para a resolução da questão. Ele associa a camada de gelo marítimo com a reflexão da luz solar e consequentemente ao resfriamento da Terra. Logo, quanto menor for a extensão de gelo marítimo, menor será o resfriamento e portanto maior será o aquecimento global. O ano que, segundo o gráfico, apresenta a menor extensão de gelo marítimo, é 2007.

Desta forma podemos perceber que, para a representação do gráfico, no 2º intervalo o crescimento será mais acentuado em relação ao 1º intervalo. Analisando as alternativas percebemos que na letra: A, o gráfico é constante até o 100° produto, apresentando crescimento somente após esta quantidade. Logo, ela está incorreta; B, o crescimento no 1º intervalo é mais acentuado em relação ao 2º. Na verdade ocorre o contrário, logo a alternativa está incorreta; C, para o 1º intervalo, o gráfico está contínuo. Isto somente seria verdadeiro se ele ganhasse um valor fixo até o 100º produto vendido. Logo, está incorreta; D, o gráfico está contínuo em toda sua extensão, ou seja, ele representa a situação do vendedor ganhar um salário de R$ 750,00, independente de quantos produtos vendesse. Logo, está alternativa também está incorreta;

Comentário: A questão traz diversas informações que o aluno, por sua vez, precisa ser capaz de interpretá-las e sintetizá-las. Uma vez entendido, o próximo passo será a leitura do gráfico para chegar à resposta correta. Conteúdos envolvidos: Leitura e interpretação de gráficos. QUESTÃO 144: Alternativa E O ponto chave da questão é percebermos que os valores que a tabela traz são horas por dia. Logo, para a 1ª coluna, devemos multiplicar o valor da tabela pelos 5 dias da semana (de segunda-feira a sexta-feira) e para a 2ª coluna devemos multiplicar o valor da tabela por 2 dias do fim de semana (sábado e domingo). Como o total de horas pedido é o gasto com atividades escolares então chegaremos à resposta da seguinte maneira:

Comentário: O ponto que deve ser destacado nesta questão é o fato de a tabela trazer valores que representam horas por dia no período estipulado em cada coluna.

E, o crescimento no 2º intervalo é mais acentuado em relação ao 1º intervalo, logo esta é a alternativa correta. Comentário: Outra forma de enxergarmos a questão seria usando o conceito de função atrelado à geometria analítica. Lembrando que uma função afim, aquela cujo gráfico é uma reta, é dada por , onde a representa o coeficiente angular e b representa o coeficiente linear da reta. Sabemos que o valor de a é que define a inclinação da reta, quanto maior for seu valor maior será a inclinação. Logo, a função apresenta sua reta mais inclinada em relação à reta da função . Conteúdos envolvidos: Função afim, análise e interpretação de gráfico. QUESTÃO 146: Alternativa C Como a alternativa não estabelece restrição para fins de semana ou feriados, iremos simplesmente considerar dias corridos. Porém o maquinista entrará de férias de 1º a 10 de junho, o que representa 10 dias a menos trabalhados. Então, ao invés dos 365 dias no ano, ele trabalhará somente 355 dias. Sendo o intervalo entre as viagens de 4 dias, para descobrirmos quantas viagens no máximo ele poderá fazer, basta dividirmos a quantidade de dias que ele poderá trabalhar pelo intervalo de dias em que ele pode viajar. Ou seja:

Comentário: Importante ressaltar que a informação sobre o ganho de R$100,00 por viagem é irrelevante e não foi utilizada. Sua única função é completar a contextualização da questão. Outro ponto importante é, por se tratar de uma viagem, o de não existir 88,75 viagens, logo o valor correto a ser considerado é o imediatamente abaixo dele.

Conteúdo envolvido: Resolução de problemas envolvendo operações básicas.

Conteúdo envolvido: Resolução de problemas envolvendo operações básicas.

QUESTÃO 145: Alternativa E

QUESTÃO 147: Alternativa C

Para esta questão devemos observar que existirão 2 patamares para o gráfico, sendo que o valor inicial (valor de partida) será R$ 750,00. Podemos separar os dois patamares da seguinte maneira, sendo x o número de produtos vendidos:

Para esta questão devemos lembrar duas grandes descobertas de Arquimedes (287a.C. – 212a.C – Grécia):  

Dois corpos não ocupam o mesmo espaço; Um objeto imerso em um líquido desloca um volume igual ao seu próprio volume.


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Diante destes fatos, devemos entender que ao colocarmos um objeto de 2400 cm3 dentro do tanque, o volume de água aumentaria de 2400 cm3. Para verificar o que irá acontecer, se a água vai transbordar ou não, vamos calcular o volume de água existente no tanque e o volume do próprio tanque:

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Área do ambiente I:

Área do ambiente III:

Área do ambiente II:

Área do ambiente IV:

Como o volume de um paralelepípedo é dado por:

c b a Volume do tanque: Volume de água no tanque: valor 20 foi obtido por 25 – 5)

(o

Volume de água com o objeto mergulhado:

Como o fabricante indica que o aquecedor deve ser instalado em um ambiente com área menor do que a da sua cobertura, concluímos que a melhor opção para que Jorge gaste menos é:

Logo a água não irá transbordar. Neste caso conseguimos calcular a altura que a água ficará da seguinte maneira: Portanto, serão necessárias duas unidades do tipo A e duas unidades do tipo B. Portanto a altura da água ficará com 22 cm, tendo o nível subido 2 cm. Comentário: Excepcionalmente trouxemos uma solução mais abrangente, porém exige um tempo de resolução maior. Uma solução alternativa e mais veloz seria associar o volume do objeto com as dimensões da base do tanque, calculando assim o nível de água que subiria de maneira direta:

Comentário: Deve-se tomar cuidado para não confundir quando o enunciado explica a indicação do fabricante: “… em um ambiente com área menos do que …”. Um erro seria interpretar que um ambiente com área 35 m2, como é o caso do número IV, poderá ser utilizado o aquecedor modelo A, marcando assim a alternativa B. Conteúdos envolvidos: Área de quadriláteros. QUESTÃO 149: Alternativa B

Conteúdo envolvido: Volume de um paralelepípedo. QUESTÃO 148: Alternativa C Organizando os dados fornecidos pelo enunciado, podemos construir a seguinte tabela: Modelo

Consumo (g/h)

Área de cobertura (m2)

A

600

35

B

750

45

Primeiramente devemos enxergar que a parte mais clara pode ser dividida em 4 triângulos que, pela simetria da figura, possuem todos áreas iguais. Os triângulos são: APB, APD, QCB e QCD. Sendo assim, basta calcularmos a área de um deles e multiplicarmos por 4. Para efetuar este cálculo é preciso que o aluno enxergue que a altura destes triângulos é igual à metade do lado do quadrado. Podemos perceber que são triângulos obtusângulos e portanto suas alturas são externas. A figura abaixo ilustra as dimensões de dois deles: B

h

Com as dimensões dos 4 ambientes conseguimos calcular as áreas de cada 1: A

b

P

Q

b

C

Área de um triângulo: É importante lembrar que à área do quadrado será subtraída as áreas dos 4 triângulos, a fim de obter-se a área da região escura. Calculando as áreas separadas temos: Área dos triângulos (região clara):


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Área do quadrado (região escura):

Comentário: A questão gira em torno do retângulo x e y que é comum aos retângulos da borda. Conteúdo envolvido: Área de retângulo e descrição de funções. Custo Total:

QUESTÃO 152: Alternativa D

Comentário: O ponto chave desta questão está em torno da altura dos triângulos. No mais, a questão se resume a realizar a decomposição das figuras e o cálculo das áreas.

Como o enunciado estabelece três critérios para a determinação da capacidade de um ar-condicionado, vamos determinar separadamente cada um deles:

Conteúdos envolvidos: Triângulo obtusângulo e sua altura, áreas de triângulos e de quadrados.

Pela área da sala:

QUESTÃO 150: Alternativa D Como a questão é analisar qual opção é mais vantajosa do ponto de vista financeiro, vamos verificar cada uma delas, a partir da segunda, pois a primeira opção o pagamento é à vista, logo não restará nada para investir.

Pelo número de pessoas:

Pelo número de equipamentos:

Rentabilidade da opção 2: 1º Semestre:

Rentabilidade da opção 3: 1º Semestre:

Somando todos os valores, teremos a capacidade mínima, em BTU/h, que esse aparelho de ar-condicionado deve ter:

Comentário: A questão basicamente cobra do aluno a habilidade em utilizar as informações dadas no enunciado para resolver o problema dado. Conteúdo envolvido: Resolução de problemas envolvendo operações básicas.

2º Semestre:

QUESTÃO 153: Alternativa A Organizando as informações dadas no enunciado temos:

Rentabilidade da opção 4: 1º Ano:

   

S é diretamente proporcional à largura b; S é diretamente proporcional ao quadrado da altura d; S é inversamente proporcional ao quadrado do comprimento x; K é a constante direta de proporcionalidade.

Logo, a expressão que traduz a resistência S da viga é: Rentabilidade da opção 5:

Portanto a opção mais rentável do ponto de vista financeiro é a 4ª. Comentário: Apesar de ser um pouco trabalhosa, a questão não apresenta cálculos complexos. Além de realizar os cálculos de porcentagem, o aluno deve ter familiaridade em realizar cálculos envolvendo investimento, realizando as subtrações para pagar as parcelas. Conteúdos envolvidos: Aplicações financeiras e porcentagem. QUESTÃO 151: Alternativa E Um erro comum que pode ocorrer nesta questão é considerar o retângulo de medidas x e y duas vezes. O aluno deve perceber que este retângulo pertence a ambos os retângulos da borda. Pra evitar tal erro vamos calcular as áreas de maneira separada.

Comentário: Esta questão foi bastante pertinente e adequada. O objetivo dela não era cobrar o conhecimento da fórmula da resistência mecânica de uma viga de madeira, aliás, a questão esperava que o aluno não a conhecesse. Porém, ela trouxe as grandezas envolvidas e como elas afetam a resistência S, para que então o aluno a deduzisse. Conteúdos envolvidos: Dedução de fórmulas, grandezas diretamente e inversamente proporcionais. QUESTÃO 154: Alternativa C Observemos que o percurso inicia em A e vai até E, que por sua vez é o vértice da pirâmide. Vamos comparar também que a figura da base é um quadrilátero. Dessa forma a projeção do deslocamento da pirâmide, para este percurso inicial, deve ser do ponto A até o centro do quadrilátero. Sendo assim ficam descartadas as alternativas A e B. Logo após do vértice E da pirâmide, ele segue para o ponto M que pertence ao lado BC da base. Por este motivo podemos excluir as alternativas D e E, que vão direto ao ponto C sem passar por M. Portanto, por exclusão, a alternativa correta é a letra C.


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Comentário: A proposta de solução apresentada utiliza, para resolver a questão, o método da exclusão. Porém, o aluno pode facilmente chegar à resposta correta visualizando a vista superior da pirâmide e seguindo o trajeto descrito no enunciado. Conteúdo envolvido: Geometria espacial. QUESTÃO 155: Alternativa B Ao se deparar com esta questão o aluno não deve se assustar, ainda mais pela informação no enunciado que diz: “… ou seja, quando QO e QD se igualam.”. Por este motivo fica claro que o aluno não precisará calcular valores para a oferta e demanda, e sim igualar ambas as equações a fim de obter o valor P de equilíbrio. Portanto temos:

Comentário: O aluno atento pode perceber que, por se tratarem de retas, a de oferta QO é crescente, pois o coeficiente de P vale 4 (positivo). Já a reta de demanda QD é decrescente, pois o coeficiente de P é –2 (negativo). O valor de P igual a 11 representa o ponto de encontro entre as retas. Conteúdo envolvido: Sistema de equações. QUESTÃO 156: Alternativa D Uma das formas de se interpretar a pergunta da questão é, quantos períodos de 20 tíquetes serão necessários para perfazer os 9 200 tíquetes. A questão nos sugere, então, uma divisão. De posse do quociente basta multiplicarmos pelo valor de cada período, no caso R$ 3,00. Para comprar a bicicleta precisamos de

82

Comentário: Uma questão bem simples que tem como objetivo avaliar se o aluno tem noções sobre a grandeza dos números. Conteúdos envolvidos: Classe e a ordem dos algarismos nos números. QUESTÃO 158: Alternativa A Analisando os horários de compra e de venda no gráfico, podemos construir a seguinte tabela com os valores que cada um dos cinco investidores gastou na compra e ganhou na venda: Investidor

Compra (C)

Venda (V)

Lucro (V – C)

1

R$ 150,00

R$ 460,00

R$ 310,00

2

R$ 150,00

R$ 200,00

R$ 50,00

3

R$ 380,00

R$ 460,00

R$ 80,00

4

R$ 460,00

R$ 100,00

– R$ 360,00

5

R$ 100,00

R$ 200,00

R$ 100,00

Como o cálculo do lucro é o valor de venda subtraído do valor de venda, concluímos que o investidor que fez o melhor negócio foi o número 1. Comentário: A questão exigiu do aluno que ele combinasse as informações contidas na tabela e no gráfico para que então pudesse chegar à resposta correta. Conteúdos envolvidos: Cálculo de lucro, leitura e interpretação de gráfico e tabela. QUESTÃO 159: Alternativa B

Comentário: Uma questão bastante simples que avalia o domínio e a interpretação dos alunos a respeito das operações divisão e multiplicação. Conteúdos envolvidos: Resolução de problemas envolvendo as operações básicas.

Olhando para o gráfico, percebemos que ao longo da semana (de quinta-feira a segunda-feira), a linha tracejada, que informa o número de reclamações recebidas, está igual ou superior ao da linha contínua, que informa o número de reclamações resolvidas. Esta situação somente se inverte na terça-feira e na quarta-feira. Logo, podemos concluir que o nível de eficiência foi muito bom nestes dois dias.

QUESTÃO 157: Alternativa C Organizando pela classe e ordem os algarismos do número de protocolo, temos: 1

dezena de milhão

3

unidade de milhão

?

centena de milhar

9

dezena de milhar

8

unidade de milhar

2

Centena

0

Dezena

7

Unidade

Lendo os algarismos de cima para baixo temos o número do protocolo: 1 3 _ 9 8 2 0 7 Logo, a posição ocupada pelo algarismo que falta é a centena de milhar.

Comentário: A questão aparenta ser simples, porém pode surpreender o aluno desatento. Outras alternativas como as letras C e D podem induzir o aluno ao erro. A alternativa C aponta para os dias de maior pico tanto de reclamação recebida quanto resolvida, porém na quinta-feira as recebidas superam as resolvidas. Logo esta alternativa não está correta. Já a alternativa D aponta o sábado e o domingo, mas é preciso ficar claro que estes dias, apesar de não ter havido reclamações, não houve resoluções. Portanto esta alternativa também não está correta. Conteúdos envolvidos: Leitura e interpretação de gráficos.


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QUESTÃO 160: Alternativa A

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Porcentagem de aumento:

Como a mãe ministrou corretamente a cada 8 horas, para descobrir a massa corporal do seu filho devemos efetuar uma regra de três simples do seguinte modo:

Comentário: Nesta questão o aluno deve perceber que para descobrir o que foi pedido é possível aplicar uma regra de três simples. Conteúdos envolvidos: Regra de três simples. QUESTÃO 161: Alternativa D Assim como a questão 137, esta trata sobre escala. Na solução proposta para aquela questão fizemos uma breve recordação sobre o assunto e utilizamos para resolvê-la uma regra de três. É primordial o aluno perceber que precisaremos converter as unidades para torná-las compatíveis. Para facilitar os cálculos transformaremos 420 km (42 km vezes 10) em centímetros:

Comentário: O ponto chave do exercício está em torno de se perceber a composição dos lados do losango em relação aos raios das circunferências. Feito isso, bastava encontrar os perímetros e calcular a porcentagem de aumento. Conteúdos envolvidos: Polígonos, perímetro e porcentagem. QUESTÃO 163: Alternativa B Duas perguntas que podem surgir de início são, quantas laranjas existem e qual deles que carregou 50 laranjas a mais no segundo trajeto. A primeira pergunta podemos resolver, por enquanto, chamando o número de laranjas transportadas de P. A segunda pergunta iremos responder do seguinte modo: Somando-se as proporções da 1ª e 2ª parte temos:

Desta forma podemos organizar os dados em uma tabela, a fim de descobrir quem carregou as 50 laranjas a mais:

Fração

Conteúdos envolvidos: Conversão de unidades, escalas geográficas e regra de três simples.

Decimal

QUESTÃO 162: Alternativa E Do enunciado e da figura, podemos perceber que o lado do losango é igual a 2 r, sendo r o raio de qualquer uma das circunferências. Ao dobrar-se o raio de duas circunferências centradas em vértices opostos do losango, o seu lado passará de 2 r para 3 r. A figura abaixo esquematiza o processo:

2ª parte

1ª Parte

Comentário: Deve-se tomar bastante cuidado com questões simples. A diferença entre as alternativas é apenas a quantidade de zeros dos números. Logo, esquecendo-se de converter quilômetros para centímetros e/ou multiplicar a distância percorrido por 10 (Dean Karnazes correu 10 vezes mais que o grego) o aluno pode assinalar uma alternativa errada.

João

Carlos

Paulo

João

Carlos

Paulo

Pela tabela, concluímos que João, da 1ª para a 2ª parte, continuou com a mesma quantidade de laranjas, Carlos aumentou e Paulo diminuiu. Logo quem procurávamos era o Carlos, que carregou 50 laranjas a mais no 2º trajeto. Sendo assim, podemos calcular o número total de laranjas carregadas:

Agora basta encontrarmos a quantidades transportadas por cada um no 2º trajeto utilizando as proporções: João e Carlos:

Paulo:

Sendo o perímetro a soma das medidas de todos os lados temos: Perímetro da Figura 1:

Perímetro da Figura 2:

Comentário: A questão basicamente cobrou do aluno a habilidade em resolver proporções, porém a tarefa mais trabalhosa foi determinar qual dos três carregou as 50 laranjas a


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mais. É importante ressaltar que as alternativas A e C, de início, poderiam ser descartadas, pois não atendem a proporção dada. E após ser descoberta a quantidade total de laranjas, poderíamos descartar as alternativas D e E, pois elas somam um total de 500 e 250 laranjas, respectivamente. Restou assim a alternativa correta, a alternativa B.

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A exigência de segurança prevê uma condição mínima (que a base da escultura esteja integralmente apoiada sobre a plataforma), mas não uma máxima. Ou seja, o raio R deve ser maior ou igual a . Portanto

Conteúdos envolvidos: Proporção QUESTÃO 164: Alternativa D Como o cálculo de probabilidade é feito dividindo-se o número de casos favoráveis, pelo número de casos totais, precisamos calcular, utilizando as porcentagens do gráfico, o número de pessoas que votaram como sendo “chato” o conto “Contos de Halloween”:

Comentário: O ponto chave da questão gira em torno de traçarmos o raio da circunferência e perceber o surgimento de um triângulo retângulo cuja medida dos catetos é a metade do lado do quadrado. Feito isso bastava ser aplicado o Teorema de Pitágoras. Conteúdos envolvidos: Circunferência circunscrita e Teorema de Pitágoras. QUESTÃO 166: Alternativa E

Para calcularmos a probabilidade, devemos tomar bastante cuidado, pois o enunciado restringe o número de pessoas consideradas apenas aquelas que opinaram. Por este motivo devemos também calcular, utilizando o gráfico, o número de pessoas que não opinaram e descontá-los dos 500 visitantes:

Comentário: Para esta questão o aluno deve imaginar uma vista superior do globo e perceber que a imagem do motoqueiro será apenas de um ponto, uma vez que o seu trajeto será percorrer uma circunferência que passe pelos pontos A e B.

Calculando a probabilidade temos: Comentário: Um cuidado muito grande que o aluno deve ter é quanto à restrição do espaço amostral, que considerou apenas os visitantes que opinaram no site. Caso o aluno não faça este desconto ele realizará a seguinte conta: Esta seria a alternativa B e consequentemente o aluno erraria a questão. Conteúdos envolvidos: Porcentagem e probabilidade. QUESTÃO 165: Alternativa A Traduzindo a exigência de segurança para a Geometria Plana, a figura resultante será um quadrado (base da escultura) inscrito numa circunferência (plataforma giratória). A figura abaixo representa o desenho correspondente, já com as medidas que serão necessárias para a resolução da questão:

O

Conteúdos envolvidos: Projeção de sombras. QUESTÃO 167: Alternativa E Para que as alturas das tomadas e dos interruptores atendam às necessidades do comprador, elas devem estar em alturas dentro do intervalo mínimo e máximo estipulados. Assim, a altura mínima para a tomada deverá ser 0,4 m e a altura máxima para o interruptor será 1,35 m. Dessa forma, a única alternativa que apresenta valores dentro destes intervalos é a letra E. Comentário: Uma questão bastante simples, que abordou um assunto muito importante, a acessibilidade de pessoas com deficiência. Bastava o aluno identificar a alternativa que se adequava com as necessidades de um cadeirante. Conteúdos envolvidos: Intervalos na reta real

Plataforma giratória Base da escultura

Como a direção do movimento do motoqueiro em relação ao foco de luz é perpendicular, logo não faz sentido que a sombra projetada no plano do chão forme uma figura com curvas. O que ocorrerá, na verdade, será uma variação apenas no tamanho da sombra projetada, que terá a forma de um segmento de reta. Quando o motoqueiro estiver passando pelo ponto B, a sombra projetada terá seu tamanho mínimo. E quando o motoqueiro passar pelo ponto A, a sombra projetada terá seu valor máximo.

QUESTÃO 168: Alternativa D

O

.

Como o triângulo formado é retângulo, podemos usar o Teorema de Pitágoras para relacionar o raio R da circunferência com o lado L do quadrado.

Para esta questão devemos escrever a medida da distância do asteroide em relação à Terra em notação científica, que utiliza potências de base 10. De maneira geral escrevemos notação científica utilizando a seguinte regra:

O valor m é chamado de mantissa do número e o número e representa a ordem de grandeza do número. A mantissa apresentará valores dentro do intervalo 1 ≤ m <10. O número a ser escrito em notação científica é 325 mil km, logo a mantissa deverá ser 3,25; o equivale a dividirmos o número 325 por 100. Portanto realizando as adequações necessárias teremos:


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Comentário: Durante a resolução fizemos uma transformação do número 325 para 3,25 dividindo-o por 100, porém precisamos tomar o cuidado de não alterar o número e por este motivo é que o multiplicamos por 100. Lembrando que ao multiplicar e dividir por x um número n, este não sofrerá alteração. Conteúdos envolvidos: Notação científica e potências de base 10. QUESTÃO 169: Alternativa B

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As duas empresas que o investidor escolhe comprar são: a Pizzaria Y com receita bruta de R$ 230 000,00 e a Chocolates X com receita bruta de R$ 225 000,00. Comentário: Para facilitar os cálculos, nas passagens intermediárias, não utilizamos os valores em milhares de reais. Basicamente a questão se resumiu a tirar as médias das receitas brutas das cinco empresas e selecionar as duas maiores. Conteúdos envolvidos: Média Aritmética. QUESTÃO 171: Alternativa D

Primeiramente devemos entender que, para realizar a comparação, devemos equiparar o número de descargas de ambas. Ou seja, comparar os litros gastos por ambas para um mesmo número de descargas. Desta forma teremos: Bacia sanitária não ecológica:

Esta questão iremos resolver de duas maneiras, ficando a cargo do aluno escolher a que lhe é mais familiar: 1ª maneira: Redução de 30%:

Redução de 10%:

Bacia sanitária ecológica:

Economia de água:

Comentário: O ponto chave da questão é perceber que devemos comparar os litros de água gastos para um mesmo número de descargas por dia. No mais a questão se resume a um problema envolvendo as operações básicas. Conteúdos envolvidos: Resolução de problemas envolvendo operações básicas. QUESTÃO 170: Alternativa D Primeiramente vamos lembrar que a média é obtida pela divisão entre a soma total das amostras pelo número de amostras. Sendo assim, vamos calcular, utilizando a tabela, as médias de cada uma das MEs:

2ª Maneira:

Portanto o paciente se encontra na categoria Diabetes Melitos. Comentário: A 2ª maneira traz um cálculo mais rápido, porém o aluno precisa estar familiarizado com este método. Os fatores foram obtidos, por se tratar de um desconto, da seguinte maneira: e . Conteúdos envolvidos: Porcentagem. QUESTÃO 172: Alternativa E

Alfinetes V:

Chocolates X:

Apesar do enunciado trazer a informação de como se calcular variância (Var) a partir do desvio padrão (σ), através da unidade , vamos lembrar de que:

Mas antes de calcularmos a variância precisaremos converter as unidades. O enunciado nos trouxe a informação do desvio padrão em , mas pediu a variância em . Logo devemos converter o para e para . Balas W:

Pizzaria Y:

Tecelagem Z: Logo, o nosso desvio padrão com as unidades já convertidas será:

Elevando ao quadrado para encontrarmos a variância temos:


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QUESTÃO 175: Alternativa B Comentário: É possível que ocorra algum tipo de confusão para converter de talhões para hectare, porém o aluno não pode perder de vista que existe a unidade de que está intermediária às duas outras unidades. Feita esta passagem, bastava elevar ao quadrado o desvio padrão para obter-se a variância. Conteúdos envolvidos: Conversão de unidades, Variância e Desvio Padrão.

Conceitualmente, temos que, em uma amostra ordenada de dados, a Mediana é o valor que separa a metade inferior da metade superior. Portanto, antes de analisarmos quem é a mediana, devemos ordenar os números em ordem crescente. A tabela abaixo traz esta ordenação: 1º

10º

Jan

Jul

Out

Fev

Jun

Set

Mar

Mai

Ago

Abr

1814 19

1817 96

2048 04

2094 25

2129 52

2468 75

2664 15

2980 41

2994 15

3050 68

QUESTÃO 173: Alternativa B Nesta questão, iremos calcular o número de combinações possíveis de se representar cores no sistema proposto utilizando o Princípio Fundamental da Contagem, assim com fizemos na questão 136. Para efetuar a contagem, devemos separar cada situação: Cores primárias, cores secundárias, branco ou preto e as associações cor clara ou escura. Vamos à contagem:

Como a amostra tem número par de dados, devemos encontrar a mediana calculando a média aritmética dos dois termos centrais que no nosso caso são o 5º e o 6º elementos. E assim:

Cores primárias: 

Sem claro e escuro:

Com claro e escuro:

Cores secundárias: (combinação de 2 primárias) 

Sem claro e escuro:

Com claro e escuro:

Como o enunciado pede somente a parte inteira, devemos considerar apenas o número 229 913. Comentário: Nesta questão, várias alternativas podem levar alunos desatentos ao erro. Ao considerar somente o valor de junho, a resposta seria , alternativa A. Ao considerar o termo central da amostra o mês de maio (5º mês entre os 10 listados) a resposta seria , alternativa E. Conteúdos envolvidos: Mediana.

Branco e preto: Logo, somando todas as possibilidades temos: Comentário: O ponto chave da questão é compreendermos que tanto as cores primárias quanto as cores secundárias poderão ser representadas sem e com os tons claros e escuros. Logo, tanto para cores primárias quanto cores secundárias, existirão 9 possibilidades de representação.

QUESTÃO 176: Alternativa C Como a questão sugere uma comparação, vamos calcular o volume do cubo antes e depois do cozimento para então verificar qual a porcentagem da variação: Como a redução é de 20%, a aresta terá 80% do seu valor inicial e, portanto, sua medida de passará para .

Conteúdos envolvidos: Princípio Fundamental da Contagem. QUESTÃO 174: Alternativa D Como a soma será proveniente dos números dos lados superiores dos dados, existe um conjunto de possibilidades para que resulte na soma que cada um dos três acredita que sairá. Sendo assim, vamos analisar separadamente cada um: José → Soma 7

Paulo → soma 4

Redução do volume: (utilizando regra de três simples): Como o volume variou de de:

para

então a redução foi

Antônio → soma 8

Logo, existe maior possibilidade de José acertar a soma dos dados. Comentário: Como as alternativas somente analisam as possibilidades, não tivemos que calcular as probabilidades. Neste caso, precisaríamos calcular o espaço amostral que seria 6 possibilidades para cada um dos dois lançamentos, logo possibilidades. Conteúdos envolvidos: Contagem

Comentário: O valor procurado refere-se a diminuição do volume, ou seja, , que representa do volume V. Portanto, não se deve confundir com a alternativa D, que diz menor que V. Neste caso, o volume teria diminuído para


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, o que significaria que as arestas teriam ficado com medida Conteúdos envolvidos: Volume de um cubo e porcentagem. QUESTÃO 177: Alternativa B Vamos analisar a relação entre a área da superfície corporal (A) e a massa (m) e verificar por quanto será multiplicada a área da superfície corporal quando a massa for . Assim, teremos: Para massa Para massa

: :

Portanto, a área da superfície corporal, quando a massa é multiplicada por 8, ficará multiplicada por 4. Comentário: A questão basicamente envolve propriedades de potenciação e radiciação, onde o aluno deve saber resolver a potência

e transformar em radical o número

Conteúdos envolvidos: radiciação.

Propriedades

de

.

potenciação

Logo as médias anuais deste aluno nas quatro disciplinas foram:

e

QUESTÃO 178: Alternativa E Esta questão iremos resolver de trás para frente. Para calcular a média anual de uma determinada disciplina, o aluno deve somar as 4 médias bimestrais referentes à esta disciplina e dividir o resultado por 4. Para ilustrar o processo, vamos utilizar como exemplo a disciplina matemática e a expressão para sua média anual, mas sem resolvê-la:

Disciplina

Média anual

Matemática

5,525

Português

7,15

Geografia

8,05

História

6,35

Comentário: A questão exigiu do aluno a interpretação da multiplicação de uma dada matriz por uma matriz coluna. Porém, antes disso, foi necessário que o aluno percebesse que, por tratar-se de uma média anual, o cálculo a ser realizado seria dividir a soma das quatro médias de todos os quatro bimestres por 4, o que equivale a multiplicar a soma por . Entendendo esta expressão como uma multiplicação de matrizes teremos:

Conteúdos envolvidos: Média aritmética e Multiplicação de matriz QUESTÃO 179: Alternativa D A questão estabelece a interdisciplinaridade entre a matemática e a eletrodinâmica da Física. O enunciado explica a relação da potência (P) de um chuveiro elétrico entre as grandezas resistência elétrica (R) e corrente elétrica (i) envolvidas. E explica ainda que o consumo de energia elétrica (E) é diretamente proporcional à potência. Logo, chegamos à seguinte relação:

Estendendo este raciocínio para as demais disciplinas para encontrar a matriz média anual, o aluno deverá multiplicar a matriz média bimestrais pela mesma matriz coluna que utilizamos para a disciplina matemática. A questão já está respondida, a alternativa correta é a letra E, mas a título de curiosidade vamos escrever como ficaria a expressão para obter-se a matriz média anual:

Agora devemos encontrar qual gráfico representa a relação entre a energia consumida (E) por um chuveiro elétrico e a corrente elétrica (i) que circula por ele. Portanto, a função procurada é:

Em se tratando de uma função quadrática devemos lembrar que o gráfico que a representa é uma parábola. Comentário: É importante ressaltar que por se tratar de um assunto da Física, fórmula da potência elétrica, o aluno pode


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concluir que para resolver a questão seria fundamental que ele a soubesse previamente. É evidente que a familiaridade com a fórmula ajuda na segurança do aluno, porém não é necessário, pois o enunciado fornece todas as informações necessárias para que o aluno a deduzisse. Conteúdos envolvidos: Dedução de fórmulas e gráfico de uma função quadrática. QUESTÃO 180: Alternativa B Nesta questão devemos transformar a longitude representada em graus, minutos e segundos para a representação decimal. Logo, basta que olhemos para a parte fracionária do número 124° 3’ 0’’, ou seja para os 3’ (3 minutos) e 0’ (0 segundos)

Portanto, teremos: Comentário: Como curiosidade, podemos elucidar a origem do sistema de unidade de graus. Herança da civilização babilônica, a qual utiliza o sistema sexagesimal de numeração, isto é, base 60. A divisão de uma circunferência era feita em 360 partes iguais. Cada uma destas partes equivale a 1°. Conteúdos envolvidos: Conversão de medidas de arcos.

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Enem 2013 MATEMÁTICA

E

SUAS

Questões de 136 a 180

89

QUESTÃO 138 A Lei da Gravitação Universal, de Isaac Newton, estabelece a intensidade da força de atração entre duas massas. Ela é representada pela expressão:

QUESTÃO 136 F=G

A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura.

m1m2 d2

onde m1 e m2 correspondem às massas dos corpos, d à distância entre eles, G à constante universal da gravitação e F à força que um corpo exerce sobre o outro. O esquema representa as trajetórias circulares de cinco satélites, de mesma massa, orbitando a Terra.

A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei f(x) = x2 – 6x + C, onde C é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o ponto V, na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x.

Qual gráfico expressa as intensidades das forças que a Terra exerce sobre cada satélite em função do tempo?

Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é a) 1. d) 5 b) 2. e) 6 c) 4. QUESTÃO 137 Muitos processos fisiológicos e bioquímicos, tais como batimentos cardíacos e taxa de respiração, apresentam escalas construídas a partir da relação entre superfície e massa (ou volume) do animal. Uma dessas escalas, por exemplo, considera que “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”.

a)

d)

b)

e)

HUGHES-HALLETT, D. et al. Cálculo e aplicações. São Paulo: Edgard Blücher. 1999 (adaptado).

Isso é equivalente a dizer que, para uma constante k > 0, a área S pode ser escrita em função de M por meio da expressão: a) S = k • M 1 b) S = k • M 3 1 1 c) S = k 3 • M 3 1 2 d) S = k 3 • M 3 c) 1 e) S = k 3 • M 2

QUESTÃO 139 A cidade de Guarulhos (SP) tem o 8o PIB municipal do


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Brasil, além do maior aeroporto da América do Sul. Em proporção, possui a economia que mais cresce em indústrias, conforme mostra o gráfico.

A loja sorteará um brinde entre os compradores do produto A e outro brinde entre os compradores do produto B.

Fonte: IBGE, 2002-2008 (adaptado).

Analisando os dados percentuais do gráfico, qual a diferença entre o maior e o menor centro em crescimento no polo das indústrias? a) 75,28 d) 45,76 b) 64,09 e) 30,07 c) 56,95

Qual a probabilidade de que os dois sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de 2012? 1 a) 20 b)

3 242

c)

5 22

d)

6 25

e)

7 15

QUESTÃO 140 Em um certo teatro, as poltronas são divididas em setores. A figura apresenta a vista do setor 3 desse teatro, no qual as cadeiras escuras estão reservadas e as claras não foram vendidas.

QUESTÃO 142 Durante uma aula de Matemática, o professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e V, como se segue:

A razão que representa a quantidade de cadeiras reservadas do setor 3 em relação ao total de cadeiras desse mesmo setor é 17 a) 70 b)

17 53

c)

53 70

I – é a circunferência de equação x2 + y2 = 9; II – é a parábola de equação y = – x2 – 1, com x variando de –1 a 1; III – é o quadrado formado pelos vértices (–2, 1), (–1, 1), (– 1, 2) e (–2, 2); IV – é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2, 1), (2, 2) e (1, 2); V – é o ponto (0, 0). A seguir, o professor representa corretamente os cinco conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada, composta de quadrados com lados medindo uma unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura. Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?

53 d) 17 e)

70 17

QUESTÃO 141 Uma loja acompanhou o número de compradores de dois produtos, A e B, durante os meses de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve este gráfico:

a)


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A quantidade de ralos do novo reservatório deverá ser igual a a) 2. d) 8 b) 4. e) 9 c) 5. QUESTÃO 144

b)

Uma fábrica de fórmicas produz placas quadradas de lados de medida igual a y centímetros. Essas placas são vendidas em caixas com N unidades e, na caixa, é especificada a área máxima S que pode ser coberta pelas N placas. Devido a uma demanda do mercado por placas maiores, a fábrica triplicou a medida dos lados de suas placas e conseguiu reuni-las em uma nova caixa, de tal forma que a área coberta S não fosse alterada. A quantidade X, de placas do novo modelo, em cada nova caixa será igual a:

c)

a)

N 9

b)

N 6

c)

N 3

d) 3N e) 9N QUESTÃO 145

d)

Num parque aquático existe uma piscina infantil na forma de um cilindro circular reto, de 1 m de profundidade e volume igual a 12 m3, cuja base tem raio R e centro O. Deseja-se construir uma ilha de lazer seca no interior dessa piscina, também na forma de um cilindro circular reto, cuja base estará no fundo da piscina e com centro da base coincidindo com o centro do fundo da piscina, conforme a figura. O raio da ilha de lazer será r. Deseja-se que após a construção dessa ilha, o espaço destinado à água na piscina tenha um volume de, no mínimo, 4 m3.

e) QUESTÃO 143 Uma indústria tem um reservatório de água com capacidade para 900 m3. Quando há necessidade de limpeza do reservatório, toda a água precisa ser escoada. O escoamento da água é feito por seis ralos, e dura 6 horas quando o reservatório está cheio. Esta indústria construirá um novo reservatório, com capacidade de 500 m3, cujo escoamento da água deverá ser realizado em 4 horas, quando o reservatório estiver cheio. Os ralos utilizados no novo reservatório deverão ser idênticos aos do já existente.

Considere 3 como valor aproximado para . Para satisfazer as condições dadas, o raio máximo da ilha de lazer r, em metros, estará mais próximo de a) 1,6. d) 3,0. b) 1,7. e) 3,8. c) 2,0.


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QUESTÃO 146 O contribuinte que vende mais de R$ 20 mil de ações em Bolsa de Valores em um mês deverá pagar Imposto de Renda. O pagamento para a Receita Federal consistirá em 15% do lucro obtido com a venda das ações. Disponível em: www1.folha:uol.com.br. Acesso em: 26 abr. 2010 (adaptado).

Um contribuinte que vende por R$ 34 mil um lote de ações que custou R$ 26 mil terá de pagar de Imposto de Renda à Receita Federal o valor de a) R$ 900,00. d) R$ 3 000,00. b) R$ 1 200,00. e) R$ 5 100,00. c) R$ 2 100,00. QUESTÃO 147 Para se construir um contrapiso, é comum, na constituição do concreto, se utilizar cimento, areia e brita, na seguinte proporção: 1 parte de cimento, 4 partes de areia e 2 partes de brita. Para construir o contrapiso de uma garagem, uma construtora encomendou um caminhão betoneira com 14 m 3 de concreto. Qual é o volume de cimento, em m3, na carga de concreto trazido pela betoneira? a) 1,75 d) 4,00. b) 2,00 e) 8,00. c) 2,33

Disponível em: www.correios.com.br. Acesso em: 2 ago. 2012 (adaptado).

O valor total gasto, em reais, para postar essas cartas é de a) 8,35. d) 15,35. b) 12,50. e) 18,05. c) 14,40. QUESTÃO 150 Foi realizado um levantamento nos 200 hotéis de uma cidade, no qual foram anotados os valores, em reais, das diárias para um quarto padrão de casal e a quantidade de hotéis para cada valor da diária. Os valores das diárias foram: A = R$ 200,00; B = R$ 300,00; C = R$ 400,00 e O = R$ 600,00. No gráfico, as, áreas representam as quantidades de hotéis pesquisados, em porcentagem, para cada valor da diária.

QUESTÃO 148 Cinco empresas de gêneros alimentícios encontram-se à venda. Um empresário, almejando ampliar os seus investimentos, deseja comprar uma dessas empresas. Para escolher qual delas irá comprar, analisa o lucro (em milhões de reais) de cada uma delas, em função de seus tempos (em anos) de existência, decidindo comprar a empresa que apresente o maior lucro médio anual. O quadro apresenta o lucro (em milhões de reais) acumulado ao longo do tempo (em anos) de existência de cada empresa. Empresa F G H M P

Lucro (em milhões de reais) 24 24 25 15 9

Tempo (em anos) 3,0 2,0 2,5 1,5 1,5

O empresário decidiu comprar a empresa a) F. d) M. b) G. e) P. c) H. QUESTÃO 149 Deseja-se postar cartas não comerciais, sendo duas de 100 g, três de 200 g e uma de 350 g. O gráfico mostra o custo para enviar uma carta não comercial pelos Correios:

O valor mediano da diária, em reais, para o quarto padrão de casal nessa cidade, é a) 300,00. d) 375,00. b) 345,00. e) 400,00. c) 350,00. QUESTÃO 151 Para aumentar as vendas no início do ano; uma loja de departamentos remarcou os preços de seus produtos 20% abaixo do preço original. Quando chegam ao caixa, os clientes que possuem o cartão fidelidade da loja têm direito a um desconto adicional de 10% sobre o valor total de suas compras. Um cliente deseja comprar um produto que custava R$ 50,00 antes da remarcação de preços. Ele não possui o cartão fidelidade da loja. Caso esse cliente possuísse o cartão fidelidade da loja, a economia adicional que obteria ao efetuar a compra, em reais, seria de a) 15,00. d) 5,00. b) 14,00. e) 4,00. c) 10,00.


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QUESTÃO 152 Para o reflorestamento de uma área, deve-se cercar totalmente, com tela, os lados de um terreno, exceto o lado margeado pelo rio, conforme a figura. Cada rolo de tela que será comprado para confecção da cerca contém 48 metros de comprimento.

93

A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá ser produzida no período de 2012 a 2021 será de a) 497,25. d) 558,75. b) 500,85. e) 563,25. c) 502,87. QUESTÃO 155 Numa escola com 1 200 alunos foi realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses idiomas.

A quantidade mínima de rolos que deve ser comprada para cercar esse terreno é a) 6. d) 11. b) 7. e) 12. c) 8.

Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade de que esse aluno fale espanhol? 1 a) 2

QUESTÃO 153 Um dos grandes problemas enfrentados nas rodovias brasileiras é o excesso de carga transportada pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro dos limites legais de carga, o piso das estradas se deteriora com o peso excessivo dos caminhões. Além disso, o excesso de carga interfere na capacidade de frenagem e no funcionamento da suspensão do veículo, causas frequentes de acidentes. Ciente dessa responsabilidade e com base na experiência adquirida com pesagens, um caminhoneiro sabe que seu caminhão pode carregar, no máximo, 1 500 telhas ou 1 200 tijolos. Considerando esse caminhão carregado com 900 telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser acrescentados à carga de modo a não ultrapassar a carga máxima do caminhão? a) 300 tijolos d) 480 tijolos b) 360 tijolos e) 600 tijolos c) 400 tijolos QUESTÃO 154

b)

5 8

c)

1 4

d)

5 6

e)

5 14

QUESTÃO 156 As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15° com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.

As projeções para a produção de arroz no período de 2012 2021, em uma determinada região produtora, apontam para uma perspectiva de crescimento constante da produção anual. O quadro apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que será produzida nos primeiros anos desse período, de acordo com essa projeção. Ano

Projeção da produção (t)

2012

50,25

2013

51,50

2014

52,75

2015

54,00

Disponível em: www.flickr.com. Acesso em: 27 mar. 2012.

Utilizando 0,26 como valor aproximado para a tangente de 15° e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço a) menor que 100 m2. b) entre 100 m2 e 300 m2. c) entre 300 m2 e 500 m2. d) entre 500 m2 e 700 m2. e) maior que 700 m2.


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QUESTÃO 157

QUESTÃO 159

As notas de um professor que participou de um processo seletivo, em que a banca avaliadora era composta por cinco membros, são apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa aos conhecimentos específicos da área de atuação e outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média final do professor foi dada pela média aritmética de todas as notas atribuídas pela banca avaliadora.

Uma torneira não foi fechada corretamente e ficou pingando, da meia-noite às seis horas da manhã, com a frequência de uma gota a cada três segundos. Sabe-se que cada gota d’água tem volume de 0,2 mL. Qual foi o valor mais aproximado do total de água desperdiçada nesse período, em litros? a) 0,2 d) 12,9. b) 1,2 e) 64,8. c) 1,4 QUESTÃO 160 Um programa de edição de imagens possibilita transformar figuras em outras mais complexas. Deseja-se construir uma nova figura a partir da original. A nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O.

Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora resolveu descartar a maior e a menor notas atribuídas ao professor. A nova média, em relação à média anterior, é a) 0,25 ponto maior. b) 1,00 ponto maior. c) 1,00 ponto menor. d) 1,25 ponto maior. e) 2,00 pontos menor. QUESTÃO 158 Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet. Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. O coeficiente de melhora da alteração recomendada é 626 a) 106 b)

62! 10!

c)

62! 4! 10! 56!

d)

62! – 10!

e)

626 – 106

Figura original A imagem que representa a nova figura é:


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QUESTÃO 161

QUESTÃO 164

Um artesão de jóias tem à sua disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas, azuis e verdes. Ele pretende produzir jóias constituídas por uma liga metálica, a partir de um molde no formato de um losango não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores diferentes. A figura ilustra uma jóia, produzida por esse artesão, cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas pelas pedras.

Na aferição de um novo semáforo, os tempos são ajustados de modo que, em cada ciclo completo (verde-amarelovermelho), a luz amarela permaneça acesa por 5 segundos, e o tempo em que a luz verde permaneça acesa seja igual a do tempo em que a luz vermelha fique acesa. A luz verde fica acesa, em cada ciclo, durante X segundos e cada ciclo dura Y segundos. Qual é a expressão que representa a relação entre X e Y? a) 5X – 3Y + 15 = 0 b) 5X – 2Y + 10 = 0 c) 3X – 3Y + 15 = 0 d) 3X – 2Y + 15 = 0 e) 3X – 2Y + 10 = 0 QUESTÃO 165

Com base nas informações fornecidas, quantas jóias diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter? a) 6 d) 24. b) 12 e) 36. c) 18 QUESTÃO 162 Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meiavida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão M(t) = A • (2,7)kt, onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa.

A temperatura T de um forno (em graus centígrados) é reduzida por um sistema a partir do instante de seu desligamento (t = 0) e varia de acordo com a expressão T(t) = – + 400, com t em minutos. Por motivos de segurança, a trava do forno só é liberada para abertura quando o forno atinge a temperatura de 39°C. Qual o tempo mínimo de espera, em minutos, após se desligar o forno, para que a porta possa ser aberta? a) 19,0 d) 38,0. b) 19,8 e) 39,0. c) 20,0 QUESTÃO 166 O ciclo de atividade magnética do Sol tem um período de 11 anos. O início do primeiro ciclo registrado se deu no começo de 1755 e se estendeu até o final de 1765. Desde então, todos os ciclos de atividade magnética do Sol têm sido registrados.

Considere 0,3 como aproximação para log102. Disponível em: http://g1.globo.com. Acesso em: 27 fev. 2013.

Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial? a) 27 d) 54. b) 36 e) 100. c) 50

No ano de 2101, o Sol estará no ciclo de atividade magnética de número a) 32. d) 35. b) 34. e) 31. c) 33.

QUESTÃO 163

QUESTÃO 167

Nos Estados Unidos a unidade de medida de volume mais utilizada em latas de refrigerante é a onça fluida (fl oz), que equivale a aproximadamente 2,95 centilitros (cL). Sabe-se que o centilitro é a centésima parte do litro e que a lata de refrigerante usualmente comercializada no Brasil tem capacidade de 355 mL.

A figura apresenta dois mapas, em que o estado do Rio de Janeiro é visto em diferentes escalas.

Assim, a medida do volume da lata de refrigerante de 355 mL, em onça fluida (fl oz), é mais próxima de a) 0,83. d) 104,73. b) 1,20. e) 120,34. c) 12,03.


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Há interesse em estimar o número de vezes que foi ampliada a área correspondente a esse estado no mapa do Brasil.

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QUESTÃO 170 Uma falsa relação

Esse número é a) a menor que 10. b) maior que 10 e menor que 20. c) maior que 20 e menor que 30. d) maior que 30 e menor que 40. e) maior que 40.

O cruzamento da quantidade de horas estudadas com o desempenho no Programa Internacional de Avaliação de Estudantes (Pisa) mostra que mais tempo na escola não é garantia de nota acima da média. NOTAS NO PISA E CARGA HORÁRIA (PAÍSES SELECIONADOS)*

QUESTÃO 168 Nos últimos anos, a televisão tem passado por uma verdadeira revolução, em termos de qualidade de imagem, som e interatividade com o telespectador. Essa transformação se deve à conversão do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas cidades ainda não contam com essa nova tecnologia. Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma emissora de televisão pretende construir uma nova torre de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já existentes nessas cidades. As localizações das antenas estão representadas no plano cartesiano:

* Considerando as médias de cada país no exame de matemática. Nova Escola. São Paulo, dez. 2010 (adaptado).

A torre deve estar situada em um local equidistante das três antenas. O local adequado para a construção dessa torre corresponde ao ponto de coordenadas a) (65 ; 35). d) (50 ; 20). b) (53 ; 30). e) (50 ; 30). c) (45 ; 35). QUESTÃO 169

Dos países com notas abaixo da média nesse exame, aquele que apresenta maior quantidade de horas de estudo é a) Finlândia. d) México. b) Holanda. e) Rússia. c) Israel. QUESTÃO 171 Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com bases quadradas. Todos os copos desse restaurante têm o formato representado na figura:

Uma cozinheira, especialista em fazer bolos, utiliza uma forma no formato representado na figura:

Nela identifica-se a representação de duas figuras geométricas tridimensionais. Essas figuras são a) um tronco de cone e um cilindro. b) um cone e um cilindro. c) um tronco de pirâmide e um cilindro. d) dois troncos de cone. e) dois cilindros.

Considere que AC = BD e que l é a medida de um dos lados da base da bandeja. Qual deve ser o menor valor da razão para que uma bandeja tenha capacidade de portar exatamente quatro copos de uma só vez? a) 2 b)

14 5


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c) 4 d)

24 5

e)

28 5

d)

QUESTÃO 172 O dono de um sítio pretende colocar uma haste de sustentação para melhor firmar dois postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura representa a situação real na qual os postes são descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é representada pelo segmento EF, todos perpendiculares ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os segmentos AD e BC representam cabos de aço que serão instalados.

e) QUESTÃO 174 A cerâmica constitui-se em um artefato bastante presente na história da humanidade. Uma de suas várias propriedades é a retração (contração), que consiste na evaporação da água existente em um conjunto ou bloco cerâmico quando submetido a uma determinada temperatura elevada. Essa elevação de temperatura, que ocorre durante o processo de cozimento, causa uma redução de até 20% nas dimensões lineares de uma peça. Disponível em: www.arq.ufsc.br. Acesso em: 3 mar. 2012.

Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF? a) 1 m d) 3 m. b) 2 m e) 26 m c) 2,4 m QUESTÃO 173 Gangorra é um brinquedo que consiste de uma tábua longa e estreita equilibrada e fixada no seu ponto central (pivô). Nesse brinquedo, duas pessoas sentam-se nas extremidades e, alternadamente, impulsionam-se para cima, fazendo descer a extremidade oposta, realizando, assim, o movimento da gangorra. Considere a gangorra representada na figura, em que os pontos A e B são equidistantes do pivô:

Suponha que uma peça, quando moldada em argila, possuía uma base retangular cujos lados mediam 30 cm e 15 cm. Após o cozimento, esses lados foram reduzidos em 20%. Em relação à área original, a área da base dessa peça, após o cozimento, ficou reduzida em a) 4%. d) 64%. b) 20%. e) 96%. c) 36%. QUESTÃO 175 Uma fábrica de parafusos possui duas máquinas, I e II, para a produção de certo tipo de parafuso. Em setembro, a máquina I produziu do total de parafusos produzidos por essa máquina, eram defeituosos. Por sua vez dos parafusos produzidos no mesmo mês pela máquina II eram defeituosos. O desempenho conjunto das duas máquinas é classificado conforme o quadro, em que P indica a probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser defeituoso.

A projeção ortogonal da trajetória dos pontos A e B, sobre o plano do chão da gangorra, quando esta se encontra em movimento, é: a)

b)

O desempenho conjunto dessas máquinas, em setembro, pode ser classificado como a) excelente. d) ruim. b) bom. e) péssimo. c) regular. QUESTÃO 176

c)

Considere o seguinte jogo de apostas:


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Numa cartela com 60 números disponíveis, um apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O apostador será premiado caso os 6 números sorteados estejam entre os números escolhidos por ele numa mesma cartela. O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo com a quantidade de números escolhidos. Quantidade de números escolhidos em uma cartela 6 7 8 9 10

distância é garantida por um espaçador de metal, conforme a figura:

Preço da cartela (R$) 2,00 12,00 40,00 125,00 250,00

Cinco apostadores, cada um com R$ 50,00 para apostar, fizeram as seguintes opções: Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos; Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4 cartelas com 6 números escolhidos; Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e 10 cartelas com 6 números escolhidos; Douglas: 4 cartelas com 9 números escolhidos; Eduardo: 2 cartelas com 10 números escolhidos. Os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são a) Caio e Eduardo. d) Arthur e Bruno. b) Arthur e Eduardo. e) Douglas e Eduardo. c) Bruno e Caio.

Utilize 1,7 como aproximação para 3. O valor de R, em centímetros, é igual a a) 64,0. d) 81,0. b) 65,5. e) 91,0. c) 74,0. QUESTÃO 179 O índice de eficiência utilizado por um produtor de leite para qualificar suas vacas é dado pelo produto do tempo de lactação (em dias) pela produção média diária de leite (em kg), dividido pelo intervalo entre partos (em meses). Para esse produtor, a vaca é qualificada como eficiente quando esse índice é, no mínimo, 281 quilogramas por mês, mantendo sempre as mesmas condições de manejo (alimentação, vacinação e outros). Na comparação de duas ou mais vacas, a mais eficiente é a que tem maior índice. A tabela apresenta os dados coletados de cinco vacas: Dados relativos à produção das vacas

QUESTÃO 177 Um comerciante visita um centro de vendas para fazer cotação de preços dos produtos que deseja comprar. Verifica que se aproveita 100% da quantidade adquirida de produtos do tipo A, mas apenas 90% de produtos do tipo B. Esse comerciante deseja comprar uma quantidade de produtos, obtendo o menor custo/benefício em cada um deles. O quadro mostra o preço por quilograma, em reais, de cada produto comercializado. Produto Arroz Feijão Soja Milho

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Tipo A 2,00 4,50 3,80 6,00

Tipo B 1,70 4,10 3,50 5,30

Os tipos de arroz, feijão, soja e milho que devem ser escolhidos pelo comerciante são, respectivamente, a) A, A, A, A. d) B, A, A, B. b) A, B, A, B. e) B, B, B, B. c) A, B, B, A. d) B, A, A, B. QUESTÃO 178 Em um sistema de dutos, três canos iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e colocados dentro de um cano de raio maior, de medida R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é necessário haver uma distância de 10 cm entre os canos soldados e o cano de raio maior. Essa

Tempo de Produção média Intervalo lactação diária de leite entre partos (em dias) (em kg) (em meses) 360 12,0 15 Malhada 310 11,0 12 Mamona 260 14,0 12 Maravilha 310 13,0 13 Mateira 270 12,0 11 Mimosa Vaca

Após a análise dos dados, o produtor avaliou que a vaca mais eficiente é a a) Malhada. d) Mateira. b) Mamona. e) Mimosa. c) Maravilha. QUESTÃO 180 A Secretaria de Saúde de um município avalia um programa que disponibiliza, para cada aluno de uma escola municipal, uma bicicleta, que deve ser usada no trajeto de ida e volta, entre sua casa e a escola. Na fase de implantação do programa, o aluno que morava mais distante da escola realizou sempre o mesmo trajeto, representado na figura, na escala 1 : 25 000, por um período de cinco dias.


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Observando o gráfico, vemos que a parábola da questão “toca” o eixo x em apenas um ponto, ou seja, somente um valor de x faz com que o valor da função seja zero. Portanto, é o que ocorre no último caso. Logo, o valor do Delta () deve ser zero:

Quantos quilômetros esse aluno percorreu na fase de implantação do programa? a) 4 d) 20. b) 8 e) 40. c) 16 RESOLUÇÕES E COMENTÁRIOS - ENEM 2013 QUESTÃO 136: Alternativa E Como a questão aborda o vértice da parábola precisamos lembrar como determiná–lo em função dos coeficientes da lei da função. Isto é, os coeficientes a, b e c na função quadrática :

Comentário: A questão enaltece alguns conteúdos mais avançados do ensino médio como Geometria Analítica sob a forma do termo independente C (que é o valor sobre o eixo y onde a parábola o intercepta) e o Estudo das Cônicas (mais precisamente o paraboloide, que nada mais é do que a rotação de uma parábola em torno de seu eixo de simetria). Contudo, a pergunta em si se ateve apenas ao conteúdo de 9⁰ Ano, quando se estuda o gráfico de uma função quadrática, ou seja, a parábola e seus elementos ou também a relação do Delta () com as raízes reais da equação. Conteúdos envolvidos: Gráfico da função quadrática (Parábola) e relação do Delta () com as raízes reais da equação. QUESTÃO 137: Alternativa D Quando dizemos que um determinado valor a é proporcional a outro valor b, significa que podemos escrever a seguinte sentença matemática:

No caso da nossa função, os coeficientes a, b e c são: Exemplo: 36 é proporcional a 9 pois podemos escrever: Desta forma, olhando para o gráfico, conseguimos observar que a coordenada y do vértice da parábola é 0. Usando a relação do , substituindo os coeficientes a, b e c e usando , encontraremos o parâmetro C:

Outra forma de resolver é através da relação do Delta () com as raízes reais de uma equação de 2 do grau. Os 3 possíveis casos são:

Neste sentido, de acordo com a informação dada no enunciado: “o cubo da área S da superfície de um mamífero é proporcional ao quadrado de sua massa M”, podemos escrever a seguinte sentença matemática:

Para esta última passagem usamos algumas propriedades de potência e radiciação:

Comentário: A questão abordou conceitos bem simples como proporção e no final exigiu do aluno o conhecimento e aplicação de duas propriedades de potência e raiz. Em resumo, a habilidade cobrada foi a de interpretação de uma informação


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fornecida no enunciado e a transformação dela em notação matemática. Conteúdos envolvidos: potenciação e radiciação.

Proporção

e

propriedades

de

QUESTÃO 138: Alternativa B A ideia fundamental desta questão não é o conceito físico, a gravitação. Embora auxilie, o aluno deve somente interpretar a expressão dada e entender, junto com o esquema proposto, os efeitos dela nos corpos envolvidos, no caso, a Terra e os satélites. Uma forma de abordagem é: como os gráficos estão em função do tempo, será que a força gravitacional irá variar com o passar dele? Isto só ocorreria se as grandezas envolvidas na expressão variassem em função do tempo. O enunciado explica quais são elas. Portanto, podemos perceber que nenhuma varia com o passar do tempo. A constante G, evidentemente é constante, as massas m1 e m2 dos corpos não podem variar. A distância d entre os centros dos corpos também é constante, afinal a trajetória é circular. Sendo assim a força gravitacional F deverá ser constante independentemente do tempo. Com isto eliminamos as alternativas C, D e E. Para decidir qual alternativa está correta, A ou B, devemos entender em qual satélite a força gravitacional é maior e em qual satélite ela é menor. Se o aluno usar a intuição ele irá acertar: “No satélite que estiver mais próximo da Terra a força gravitacional aplicada será maior e no satélite que estiver mais afastado da Terra a força gravitacional aplicada será menor.”. Com isto, chegamos à alternativa B. Entretanto, vamos olhar com um rigor um pouco maior que a intuição e utilizar os conhecimentos matemáticos. De acordo com a expressão dada, a força gravitacional é inversamente proporcional ao quadrado da distância entre os corpos. Isto significa que a medida que a distância d aumenta, a força F diminui pelo seu quadrado, pois quanto maior for o denominador da fração, mantendo o numerador constante, menor será o seu valor. Com isto também chegamos à alternativa B. Comentário: Conforme visto, a questão não exigiu qualquer cálculo. Bastava ao aluno interpretar corretamente a expressão da Lei da Gravitação Universal e associar o esquema com o gráfico correspondente. Conteúdo envolvido: Interpretação de fórmulas e gráficos. QUESTÃO 139: Alternativa C Conforme a instrução do próprio enunciado, analisando os dados percentuais, a diferença entre o maior e o menor centro em crescimento, isto é, Guarulhos e São Paulo (capital), respectivamente, terá o seguinte cálculo:

níveis de dificuldade. Entre questões fáceis e difíceis, esta sem dúvida foi a com o nível mais baixo de dificuldade. O aluno apenas precisava demonstrar que sabe interpretar o enunciado junto com o gráfico e efetuar uma subtração com reagrupamento (“empresta’’). Conteúdos envolvidos: Interpretação de gráfico e as operações básicas (subtração). QUESTÃO 140: Alternativa A O conceito de razão entre dois números está associado a uma divisão, que por sua vez, está associada a uma fração. Entretanto, isto fica evidente com a presença das alternativas. Sendo assim, a razão solicitada será uma fração, onde o numerador será a quantidade de cadeiras reservadas e o denominador será o total de cadeiras. Logo, deveremos contar, na figura dada, estes valores. Para o número total de cadeiras podemos perceber que é mais fácil realizar uma multiplicação entre o número de linhas (horizontal) e o número de colunas (vertical):

Contando o número de cadeiras pintadas, chegamos ao número 17. Logo, a razão pedida será:

Comentário: Assim como a questão 139, esta exigiu do aluno apenas conceitos simples como a interpretação do enunciado, efetuar a contagem das informações solicitadas, (adição para o número de cadeiras reservadas e multiplicação para o número de cadeiras no total) e escrever a fração correspondente à razão (divisão) entre esses números. Com isso, estas duas questões contemplam a avaliação dos conceitos mais básicos de Matemática. Conteúdos envolvidos: Interpretação e as operações básicas. QUESTÃO 141: Alternativa A Para calcular a probabilidade de um determinado evento podemos usar a seguinte expressão:

Para chegar à resposta precisamos calcular separadamente qual a probabilidade de o ganhador do brinde que comprou o produto A e do que comprou o produto B terem adquiridos seus produtos em fevereiro: PRODUTO A:

PRODUTO B: Comentário: O ENEM, por ser um exame de avaliação da qualidade do Ensino Médio, apresenta questões de diversos

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Entretanto, estamos diante de uma situação em que queremos a probabilidade de ocorrer os dois eventos simultaneamente. Isto nos remete ao princípio multiplicativo. Portanto, a resposta final será:

Comentário: A questão combinou o cálculo de probabilidade com a interpretação e leitura de um gráfico, o que a torna mais elaborada. Contudo, sua resolução não apresenta grandes dificuldades. Conteúdos envolvidos: Leitura e interpretação de gráficos e probabilidade. QUESTÃO 142: Alternativa E A resolução desta questão será em partes, uma para cada um dos cinco conjuntos algébricos descritos pelo professor. CIRCUNFERÊNCIA: a equação de uma circunferência é dada em relação ao seu centro e seu raio , da seguinte forma:

A equação dada foi: . Isto significa que é uma circunferência centrada na origem do plano cartesiano, ponto , e raio . Veja o porquê: , ou seja, e

Comentário: Uma questão bastante específica e que não bastava apenas localizar os pontos dos três últimos conjuntos algébricos, pois em todas as alternativas eles estão nos lugares corretos. Sendo assim, para diferenciá–las, o aluno deveria observar e entender, obrigatoriamente, os dois primeiros conjuntos. E para isso era preciso que ele conhecesse previamente as equações de uma parábola e circunferência. Conteúdos envolvidos: Geometria Analítica (pontos, parábola e circunferência).

. QUESTÃO 143: Alternativa C

PARÁBOLA: uma das equações de uma parábola é dada por: . Lembrando que se a concavidade é para baixo, e se a concavidade é para cima. A equação dada tem , ou seja negativo, e portanto a concavidade será para baixo. O intervalo dado tem extremos em e . Vamos aplicá–los na equação para encontrar o valor de y correspondente a cada um, e assim, determinar os pontos dos extremos da parábola:

Para resolver esta questão, o aluno deve reconhecer a Regra de Três exigida e decidir se ela será diretamente ou inversamente proporcional. É preciso perceber que as 3 grandezas envolvidas são: capacidade do reservatório (C), número de ralos (R) e tempo de escoamento (T). Além disso, deve–se também interpretar a relação direta ou inversa entre elas. O enunciado afirma que um reservatório menor será usado, porém quer–se um tempo de escoamento também menor. Vamos então estabelecer a relação entre o número de ralos e o tempo, assim como entre o número de ralos e a capacidade do reservatório:

O ponto sobre o eixo y (ordenadas) será onde temos:

, aplicando

Somente com estas duas informações já seria possível concluir que a alternativa correta é a letra E (veja os destaques na figura a seguir). Para os demais conjuntos algébricos basta saber localizar cada um dos pontos, tanto dos quadrados (III e IV) quanto do ponto (V), no plano cartesiano.

Do nosso conhecimento, é fácil perceber que quanto mais ralos, menor será o tempo de escoamento, para reservatórios de mesma capacidade, logo R e T serão grandezas inversamente proporcionais. Agora, quanto maior a capacidade do reservatório, mais ralos serão necessários para um mesmo tempo de escoamento, logo C e R serão grandezas inversamente proporcionais. Diante disto podemos montar a seguinte Regra de Três:


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As setas mostram a relação entre as grandezas. Setas na mesma direção mostram grandezas diretamente proporcionais. Setas em direções opostas mostram grandezas inversamente proporcionais.

na caixa consta a área que é possível se revestir. Com esta informação o profissional que irá instalar o piso poderá saber quantas caixas serão necessárias para cobrir uma determinada área, por exemplo, o piso de uma cozinha.

Vamos então inverter a ordem do tempo de escoamento para então efetuar a Regra de Três:

Conteúdo envolvido: Área de quadrado, sistema de equações de 1° grau e razão. QUESTÃO 145: Alternativa A O esquema da piscina nos sugere dois cilindros, um dentro do outro, cujos centros coincidem, ou seja, são cilindros concêntricos. A região onde fica a piscina é a intermediária entre a borda do cilindro maior com a borda do menor, conforme a ilustração ao lado. A região interna ao cilindro menor, o de dentro, é a ilha de lazer.

Comentário: Uma questão clássica em que podemos dizer que o conteúdo exigido esteve presente em todas as edições do ENEM, onde cobra do aluno conhecimentos básicos à respeito de proporção e Regra de Três composta. Conteúdos envolvidos: Grandezas diretamente e inversamente proporcionais QUESTÃO 144: Alternativa A Primeiramente, devemos perceber que com o aumento no tamanho das placas, consequentemente na área delas, a quantidade de fórmicas por caixa será menor. Logo, as novas caixas virão com uma fração X menor em relação às N unidades que vinham quando as placas tinham a medida do lado igual a y. Esta fração é justamente a razão pedida no enunciado. Vejamos como encontrá–la. Façamos um desenho das fórmicas, antes e depois, com suas respectivas medidas do lado e da área:

De acordo com o desenho, podemos perceber que a área nova é 9 vezes maior que a área anterior. A área S mencionada no enunciada é a área máxima que uma caixa com N unidades da placa, cuja área é , cobre. Após o aumento no lado da placa, a área S continuará a mesma, ou seja, será a área que X unidades da placa, cuja área é , cobrirá. Isto nos dá as seguintes relações:

Comentário: A questão traz um conceito cotidiano, por exemplo, visto em azulejos, cerâmicas, porcelanatos, etc., onde

Desta forma, a ideia fundamental da questão é realizarmos a subtração do volume do cilindro maior pelo volume do menor, de modo a atender as condições dadas, que é o volume mínimo da piscina ser de . O enunciado, ao invés de nos fornecer as medidas do raio (R) e da altura (h) do cilindro maior, apresentou o volume de e a altura de , que é igual para ambos os cilindros. Ou seja, não será necessário calcular o seu volume. Então o raciocínio será calcular o volume do cilindro menor (a ilha de lazer) e subtraí–lo dos , de modo que esta subtração dê os de volume para a piscina. Antes de realizarmos as contas, vamos lembrar o cálculo do volume de um cilindro:

Para realizar esta conta, sem o recurso da calculadora, podemos raciocinar de várias maneiras. Vamos mostrar duas:


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Como 6 é um pouco menos do que a média entre 4 e 9, então escolhemos 2,4 que é um pouco menos do que a média entre 2 e 3 (2,5). A outra maneira seria:

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Conteúdo envolvido: Lucro e porcentagem. QUESTÃO 147: Alternativa B Apesar de não pedir, para aproveitar, vamos calcular o volume, não só de cimento, mas de todos os elementos do traço de concreto dado. O enunciado diz que a proporção é a seguinte:

Neste caso não foi necessário considerar as demais casas decimais em virtude das alternativas, que não deixam dúvida quanto à resposta ser 1,6. Comentário: Questões envolvendo cilindros têm sido bastante recorrentes nas últimas edições do ENEM. Para sua resolução é imprescindível que o aluno conheça a expressão para o cálculo de volume. Além disso, nesta questão, em particular, foi exigida do aluno a capacidade de inferir sobre o valor da raiz quadrada de oito terços. Conteúdos envolvidos: Volume do cilindro e aproximação do valor de uma raiz quadrada.

Logo, a pergunta que deve ser feita é: qual fração corresponde a 1 parte? Como são 7 partes no total, cada uma corresponderá a um sétimo do volume total. Sendo assim, as frações correspondentes a cada um dos constituintes do concreto será:

CIMENTO (C): AREIA (A): BRITA (B):

QUESTÃO 146: Alternativa B Para resolver esta questão, é preciso saber manipular dois conceitos: cálculo de lucro e porcentagem. LUCRO: é a diferença entre o valor de venda e de compra de alguma mercadoria ou bem de valor. Podemos expressar por: . PORCENTAGEM: é o valor que representa a relação entre uma parte e o todo, multiplicado por 100. Podemos expressar por:

Comentário: Novamente uma questão simples que envolve conceitos do cotidiano. Conteúdo envolvido: Proporção. QUESTÃO 148: Alternativa B O enunciado diz que o empresário irá optar em comprar a empresa que possuir o maior lucro médio anual. Isto nos dá a ideia de que para encontrar este valor, deveremos somar o lucro de todos os anos de operação da empresa e dividir por esta quantidade de anos. A tabela já fornece o lucro acumulado ao longo do tempo de existência. Logo, basta dividirmos o valor da primeira coluna pelo valor da segunda para cada uma das empresas e verificar qual foi o maior. Empresa F:

Desta forma, vamos calcular o lucro obtido com a venda das ações para então encontrar o valor correspondente aos 15% em cima desse valor, que será pago ao imposto de renda. Para facilitar os cálculos, vamos considerar os valores em milhares de reais.

Empresa G: Empresa H: Empresa M: Empresa P:

Como consideramos os valores em milhares de reais, então 1,2 na verdade quer dizer R$ 1.200,00. Comentário: Uma questão bastante simples onde avalia a habilidade do aluno em usar conceitos utilizados no cotidiano.

Comentário: O objetivo da questão é avaliar o entendimento do aluno de um conceito muito importante, a taxa de variação média que nada mais é do que o cálculo de uma média aritmética. Este conceito está presente em diversas situações escolares. Por exemplo, na Física, como o cálculo da velocidade e aceleração, da corrente e potência elétrica, etc.


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Conteúdos envolvidos: Média aritmética e operações básicas. QUESTÃO 149: Alternativa D Primeiramente, o aluno deve entender que tipo de informação o gráfico fornece. Para cada um dos intervalos de peso da encomenda tem–se um valor associado. Por exemplo, se um pacote possui 312 g, o custo de envio será de R$ 4,00, afinal 312 g está no intervalo entre 300 g e 350 g. É preciso tomar cuidado com os extremos de cada intervalo. No gráfico, a representação de uma bolinha aberta significa que o valor não pertence ao intervalo. Consequentemente, a bolinha fechada significa que o valor pertence ao intervalo. Sendo assim, para calcular o custo total, vamos organizar os dados em uma tabela:

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Com isso chegamos ao elemento que ocupa a posição, ou seja, o preço é do último hotel na faixa da diária B que é de . O elemento que ocupa a posição será o primeiro hotel na faixa da diária C, que é de . Calculando a média aritmética entre estes dois valores teremos:

Comentário: Uma dificuldade que o aluno pode ter sentido nesta questão é em interpretar a questão e traçar uma estratégia de como resolvê–la. Outro detalhe importante é o aluno não confundir e, ao invés da mediana, calcular a média ponderada. Conteúdos envolvidos: Mediana. QUESTÃO 151: Alternativa E

Peso (g) 100 200 350 Custo total

Valor (R$) 1,70 2,65 4,00

Quantidade 2 3 1

Sub–total (R$) 3,40 7,95 4,00 15,35

Comentário: O gráfico apresentado é conhecido como gráfico escada, onde a curva não é contínua. Sua interpretação é simples, o que não dificulta a resolução da questão.

Para resolver esta questão vamos utilizar o seguinte método para calcular o desconto:

Conteúdos envolvidos: Interpretação de gráfico e operações básicas.

Agora vamos calcular os dois valores: o preço após a remarcação e o preço para clientes que possuem o cartão fidelidade. Feito isso, efetuaremos a diferença entre eles, que corresponde à economia adicional:

QUESTÃO 150: Alternativa C

PREÇO

REMARCADO:

PREÇO

PARA

Como a questão envolve o conceito de mediana (Md), vamos lembrar que, em uma amostra ordenada de dados, mediana é o valor que separa a metade inferior da metade superior. Quando a amostra possui um número ímpar de dados a mediana é o próprio valor central. Quando a amostra possui um número par de dados a mediana é a média aritmética entre os dois valores centrais. No nosso caso, a amostra possui 200 dados, logo um número par. Para identificar quem são os termos centrais basta dividirmos a amostra em dois. Os termos serão o resultado da divisão e o seu sucessor, ou seja:

Agora, precisamos identificar quem são os elementos que ocupam estas posições. Como a amostra precisa estar ordenada, vamos calcular quantos hotéis apresentam o preço da diária . Não atingindo 100, vamos para o próximo preço que é o da diária , e assim sucessivamente até chegarmos aos elementos procurados, o eo . Lembrando que são 200 hotéis, teremos:

CLIENTE

FIDELIZADO:

ECONOMIA ADICIONAL: Comentário: Mais uma questão simples que avalia a habilidade e a competência em resolver problemas cotidianos. Conteúdo envolvido: Porcentagem. QUESTÃO 152: Alternativa C A ideia nesta questão consiste em calcular o perímetro da área, ignorando o lado que faz fronteira com o rio, isto é, somar os três lados indicados na figura. Depois disso, iremos calcular quantas vezes o tamanho do rolo aproximado de 48 m cabe no perímetro calculado, isto é, dividir os dois valores. Portanto os cálculos são: PERÍMETRO: ROLOS NECESSÁRIOS:

DIÁRIA A: DIÁRIA B:

Comentário: A questão é bastante simples. Entretanto, o aluno deve ter cuidado para dar a resposta final. O valor obtido 7,3 não é inteiro, o que significa que devemos assumir o valor


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inteiro imediatamente sucessor a ele, ou seja, 8. Afinal, não será possível comprar 7,3 rolos.

105

Conteúdos envolvidos: Proporção. QUESTÃO 154: Alternativa D

Conteúdo envolvido: Cálculo de perímetro e operações básicas. QUESTÃO 153: Alternativa D Existem algumas maneiras distintas de resolver esta questão. Vamos mostrar 2 propostas: 1ª

PROPOSTA:

vamos

adotar

a

seguinte

convenção: Como a capacidade do caminhão é 1 500 telhas ou 1 200 tijolos, então podemos escrever a seguinte expressão:

Em princípio, pode–se pensar em calcular a quantidade de toneladas para cada ano até 2021 e depois somar todas. Entretanto, não é a estratégia mais eficaz tendo em vista o tempo de resolução para ela. A ideia fundamental é perceber que a sequência da projeção está em progressão aritmética. Desta forma, podemos calcular através do termo geral de uma P.A. o valor final para 2021, e depois aplicar na fórmula da soma de uma P.A. Sendo assim, vamos lembrar as expressões envolvidas: TERMO GERAL DE UMA PA:

SOMA DOS N TERMOS DE UMA PA: Como ele já está carregado com 900 telhas, sendo T a quantidade de tijolos que ainda podem ser colocados, então teremos: As variáveis são: Deixando tudo na variável y a expressão acima fica: A razão é facilmente percebida: 1,25. Para encontrá–la, basta subtrair um termo pelo seu antecessor. De 2012 até 2021 teremos 10 termos. Assim, a projeção da produção para 2021 pode ser calculada da seguinte forma:

2ª PROPOSTA: esta proposta é baseada na 1ª. Vamos calcular a relação entre telhas e tijolos que o caminhão suporta carregar:

Ou seja, para cada 4 telhas cabem 5 tijolos. Logo, podemos aplicar uma Regra de Três para calcular quantos tijolos correspondem às 900 telhas que já ocupam o caminhão:

Logo, as 900 telhas correspondem a 720 tijolos. Desta forma, como a capacidade é de 1 200 tijolos, a diferença é quanto ainda pode ser acrescentado à carga do caminhão:

Comentário: A questão envolve uma habilidade matemática muito necessária no cotidiano. A ideia fundamental por trás dela é estabelecer uma relação ou proporção entre a quantidade de telhas e tijolos, que pode ser feita de várias maneiras. Aqui trouxemos através de equações de 1° grau ou através de uma Regra de Três.

A soma de todas as projeções entre 2012 e 2021 pode ser calcula através de:

Comentário: Alguns cálculos da questão podem ser um pouco trabalhosos e tomar tempo, porém não são difíceis. O aluno que por ventura não lembrou no momento da prova da teoria de progressão aritmética, podia ter resolvido de uma forma mais elementar, conforme comentado no início da questão. Conteúdo envolvido: Progressão aritmética. QUESTÃO 155: Alternativa A Pelo enunciado percebemos que há intersecção entre as línguas, isto é, há alunos que falam tanto inglês quanto espanhol. Isto porque a soma dos dados descritos ultrapassa os 1 200 entrevistados. Para facilitar a resolução vamos utilizar um diagrama:


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106 A

300

I

E

15° 500

E+I

600

114 m 15°

x

B

Primeiramente, vamos calcular a intersecção, entre as duas línguas. Para isto vamos utilizar a seguinte relação: . No nosso caso, e . Sendo assim, teremos:

Do resultado temos 200 alunos que falam ambas as línguas. Portanto, dos 500 alunos que falam espanhol (e inglês), 300 falam apenas espanhol. A pergunta é qual a probabilidade de um aluno que fala espanhol ser escolhido, dentro somente aqueles que não falam inglês. Ou seja, o nosso total de alunos não será os 1 200. Devemos subtrair deste total aqueles que falam inglês.

Com isto restringimos a quantidade de alunos para 600. Agora sim, podemos calcular a probabilidade dos 300 que falam apenas espanhol, dentre este novo total:

A área da base do prédio, que é um quadrado, será: . Como as alternativas não são valores exatos e sim intervalos, podemos utilizar o seguinte raciocínio:

Comentário: Durante a resolução foi utilizada uma aproximação para facilitar os cálculos, tendo em vista que no momento da prova o aluno não dispõe de uma calculadora. Isto só foi possível porque nas alternativas, por conterem intervalos, nos deu esta liberdade. Contudo, este método, evidentemente, não só não é obrigatório como é preferível que se faça a conta com os valores exatos. Conteúdos envolvidos: Trigonometria e geometria plana (área de um quadrado). QUESTÃO 157: Alternativa B

Comentário: O início da resolução da questão é um pouco delicado devido a alguns detalhes, como calcular a intersecção e não considerar todos os 1 200 alunos no cálculo da probabilidade. Este entendimento, entretanto, provém em boa parte da interpretação do enunciado.

Para resolver esta questão vamos realizar o cálculo de duas médias aritméticas, uma com todas as notas e outra descontando a maior e a menor nota: MÉDIA COM TODAS AS NOTAS:

Conteúdo envolvido: Probabilidade. QUESTÃO 156: Alternativa E Para resolver esta questão vamos utilizar basicamente trigonometria. Encontraremos o lado da base do prisma e calcularemos a área de um quadrado, usando essa medida encontrada. Para isto, vamos fazer um esquema do triângulo retângulo que se forma, a partir do desenho e das informações contidas no enunciado:

MÉDIA SEM AS NOTAS EXTREMAS:

DIFERENÇA ENTRE AS MÉDIAS:


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Comentário: A questão aborda uma prática muito comum no cálculo da média, excluir o maior e o menor valor da amostra. O objetivo é descartar valores discrepantes que podem acabar comprometendo o valor médio. Isto fica totalmente justificado tendo em vista a nota em conhecimentos pedagógicos do avaliador C, que destoa bastante em relação às demais, o que implicaria em uma média mais baixa. Conteúdos envolvidos: Média aritmética.

107

HORAS EM SEGUNDOS:

GOTAS PINGADAS:

QUESTÃO 158: Alternativa A Pelo próprio enunciado, já fica claro os dois valores que devemos calcular, o número de possibilidades de senha no sistema antigo e novo. Um detalhe importante que o enunciado não especifica é a possibilidade de repetição dos dígitos. Pensando na vida real, iremos assumir que a senha pode conter dígitos repetidos. Pelo princípio da contagem teremos:

VOLUME DE ÁGUA:

SISTEMA ANTIGO:

Como

tem

, então o volume, em litros, será:

SISTEMA NOVO:

No sistema antigo, para cada dígito existem possibilidades, afinal são dígitos de a . No sistema novo, além dessas , temos também como possibilidade as letras do alfabeto, em que maiúscuclas e minúsculas se diferenciam. Logo:

Comentário: Uma questão bastante simples onde as conversões foram feitas através de sucessivas Regras de Três. Um aspecto interessante da questão foi elucidar o desperdício de água causado por uma torneira pingando. Em 6 horas, desperdiçou– se 1,4 litros, portanto, em 1 dia, foram quase 10 litros de água desperdiçada. Conteúdos envolvidos: Conversão de unidades.

COEFICIENTE DE MELHORA:

QUESTÃO 160: Alternativa E

Comentário: Assim como mencionado na proposta de resolução, o detalhe que poderia confundir o aluno é quanto à possibilidade de repetição entre os dígitos da senha. Entretanto, baseando–se na vida real e até mesmo pelas próprias alternativas, é possível concluir a liberdade de repetição.

Quando o enunciado especifica que a nova figura deve apresentar simetria em relação ao ponto O, isto significa que este deve ser invariável, ou fixo. Uma condição fundamental deste tipo de transformação é que o ponto de simetria deve ser médio entre o ponto original e o seu simétrico . Por este caminho, vamos analisar cada alternativa e verificar essa condição. Caso encontremos um par de pontos que não a atenda, descartaremos a alternativa:

Conteúdos envolvidos: Análise combinatória (princípio da contagem).

ALTERNATIVA A:

QUESTÃO 159: Alternativa C A questão aborda basicamente conversão de unidades. Nossa estratégia será calcular quantas horas a torneira ficou aberta, transformar este valor em segundos, obter quantas gotas pingaram, e por fim, calcular o volume de água correspondente a esta quantidade de gotas pingadas. DA MEIA-NOITE ÀS 6 DA MANHÃ:

Tomando o ponto P e o seu correspondente no quadrado da direita, percebemos que o ponto O não é o ponto médio entre eles, logo esta não é a alternativa correta. ALTERNATIVA B:


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aluno se apoiar na definição de simetria a chance de errar torna–se praticamente zero. Conteúdos envolvidos: Simetria. QUESTÃO 161: Alternativa B Novamente percebemos que para o par P P’, o ponto O não é o ponto médio entre eles, logo esta também não é a alternativa correta. ALTERNATIVA C:

Novamente, estamos diante de um problema de contagem, onde utilizaremos o princípio da contagem para resolver. Entretanto, uma observação que ocorre em problemas de análise combinatória são as repetidas maneiras que aparecem, que caso não as descontemos, estaremos contando possibilidades a mais. Vejamos dois exemplos para ficar mais claro, específicos para a questão.

Da mesma forma que na alternativa A, o ponto O não é o médio entre os pontos P e P’. Vamos para a próxima. ALTERNATIVA D:

Mais uma vez os pontos P e P’ não são simétricos em relação ao ponto O, pois este não é o ponto médio entre eles. Portanto nos resta apenas a alternativa E, que é a correta. Vamos a ela. ALTERNATIVA E:

Como o losango é uma figura simétrica, então as duas configurações acima, em cada exemplo, na verdade representam a mesma formação. Desta forma, após os cálculos, faremos o desconto devido a essas repetidas configurações dividindo pelo número fatorial em que as repetições ocorrem. Feita a observação, vamos aos cálculos: PRINCÍPIO DA CONTAGEM: Da figura do enunciado, montamos um esquema semelhante em que os números dentro do círculo significam a quantidade de possibilidades para cada vértice. Como são três cores, começando pelo ponto A, temos estas três como possibilidade. O enunciado nos dá uma restrição: dois vértices consecutivos não podem ter pedras de mesma cor. Isso nos obriga a separar o problema em dois casos: 1° CASO:

Nesta figura podemos perceber que não só os pontos P e P’ são simétricos, como qualquer outro par de pontos, já que sempre O é o ponto médio entre eles. Comentário: Uma questão apenas conceitual, sem que o aluno precisasse realizar qualquer conta. A dificuldade está em observar os detalhes da figura da forma como fizemos. Adotando pontos correspondentes e evitamos confusões. Se o

Usando apenas duas cores, uma em cada par de vértices opostos. Assim, no sentido horário, no vértice B temos 2 possibilidades, no vértice C apenas 1, aquela já escolhida no ponto A e o mesmo ocorrerá para o vértice D, só que em


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relação ao vértice B. Para este caso, o cálculo das possibilidades será:

109

O enunciado diz que o tempo de meia vida do Césio–137 é de 30 anos, então podemos escrever a seguinte expressão:

Note que, neste caso, não será preciso descontar nenhuma repetição, afinal não corremos o risco de contar duas configurações iguais, já que nos vértices C e D existe apenas uma possibilidade. 2° CASO:

De posse da expressão de k, podemos agora encontrar o valor do tempo t necessário para que uma determinada massa de Césio–137 reduza a 10% da quantidade inicial:

Usando as três cores, ainda no sentido horário, no vértice B temos 2 possibilidades e no vértice C também 2. Já no vértice D teremos apenas uma possibilidade, aquela escolhida no vértice B, pois do contrário ocorreria uma repetição ou no vértice A ou no C, contrariando a restrição. Para este caso, o cálculo das possibilidades será:

Note que este caso implica no exemplo 2, e por isso foi necessário descontar a repetição das cores nos vértices B e D, que representa a mesma configuração. O desconto será feito dividindo por dois fatorial (2!). Por fim, devemos somar as possibilidades de ambos os casos, pois ou ocorre o primeiro ou ocorre o segundo, e assim temos:

Comentário: Apesar dos cálculos para a resolução serem relativamente simples, o raciocínio que os geram não é, o que torna o nível da questão mais elevado. Podemos dizer que a natureza do problema proposto exige uma boa familiaridade em contagem.

Nesta última passagem usamos . Por fim, vamos substituir, no lugar de k, a expressão que encontramos, isto é:

Durante as passagens usamos algumas vezes a seguinte propriedade do log:

Comentário: Além de todo algebrismo, a questão desafia o aluno a combinar vários conceitos e propriedades de potência e logaritmo, além da manipulação com as equações. Na realidade, foi resolvido um sistema de duas equações com duas incógnitas, pelo método da substituição. Certamente foi uma das questões mais difíceis da prova, senão a mais. Conteúdos envolvidos: Exponenciação, potência (propriedades), logaritmo e suas propriedades, sistema de equação.

Conteúdos envolvidos: Princípio da contagem. QUESTÃO 163: Alternativa C QUESTÃO 162: Alternativa E De acordo com as informações fornecidas, podemos perceber que a questão quer que seja calculado o valor de t na expressão, ou seja, o expoente da potência. Por este motivo, devemos entender (além do enunciado dar a dica) que certamente nos deparemos com o cálculo de logaritmo. Antes de conseguirmos calcular o que se pede, é possível observar que tem duas incógnitas a serem resolvidas, e por incrível que pareça nenhuma delas é a massa inicial (A). Na verdade, ela não irá fazer diferença nenhuma. Logo, as duas variáveis são o valor da constante k e o tempo t, justamente o que é pedido. Primeiramente, vamos encontrar uma expressão para a constante k, para então usá–la para determinar o tempo t.

Pelo enunciado, podemos perceber que a questão trata basicamente de conversão de unidades, onde a informação dada é que 1 fl oz (onça fluida) é igual a 2,95 cL (centilitro). Como ele diz que 1 centilitro é centésima parte do litro, podemos estabelecer a seguinte relação:

Como a latinha possui 355 mL, logo, em litros, o seu volume é 0,355 L. Fazendo a conversão desse volume para onça fluida, temos:


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No caso da questão, foi o oposto. Foi fornecido um valor de temperatura e é esperado que encontremos o valor de t correspondente a ela. Ou seja, basta substituirmos no lugar de T(t) o valor 39 e resolver a equação do 2° grau na variável t:

Comentário: A questão foi bastante simples e não foram necessários raciocínios mais elaborados. A maior dificuldade, caso haja, será na última conta de divisão com vírgula. Conteúdos envolvidos: Conversão de unidades e operações básicas. QUESTÃO 164: Alternativa B A ideia fundamental nesta questão é obtermos as parcelas correspondentes aos tempos de cada estágio do semáforo e em seguida somá–los, gerando a relação entre X e Y pedida. Para isto, vamos organizar os dados:

Comentário: Novamente uma questão simples onde a resolução não exige muito desenvolvimento. Caso haja dificuldade em extrair a raiz quadrada de 1 444, o aluno pode lembrar-se da fatoração em números primos: . Conteúdos envolvidos: Equação do 2° grau e radiciação. QUESTÃO 166: Alternativa A

ESTÁGIO

Verde

Amarelo

Vermelho

Total

TEMPO (s)

Como o tempo que a luz verde fica acesa é igual a

do tempo

que a luz vermelha fica acesa, temos a seguinte proporção:

Agora, basta somarmos tudo e teremos o tempo que dura o ciclo, ou seja, Y segundos:

Comentário: A interpretação do enunciado deve ser feita com muita cautela ou a parcela do tempo correspondente ao sinal vermelho estará equivocada. Caso considere como o seu tempo , a expressão levará o candidato a marcar a alternativa A. No mais, a questão avaliou a habilidade do aluno em compor uma equação e desenvolvê–la até chegar à alternativa correta. Conteúdos envolvidos: Proporção e composição de equação. QUESTÃO 165: Alternativa D A expressão dada é uma função quadrática que representa a temperatura T do forno em função do tempo t. Caso o enunciado tivesse nos dado um valor para t e pedido para calcular a temperatura neste instante t, o que nós faríamos seria substituir o valor dado no lugar da variável t, e assim calcular a temperatura correspondente.

Ao ler o enunciado da questão percebemos que se trata de uma P.A. (Progressão Aritmética) de razão 11, cujo termo inicial é 1 755. O que o enunciado pede é a posição que o termo 2 101 ocupa nesta PA. Ou ainda, quantos termos tem uma PA de razão 11, cujos termos inicial e final são 1 755 e 2 101, respectivamente. Sendo assim temos:

Como não obtivemos um valor inteiro para n, significa que o número 2 101 não pertence à progressão. Entretanto, de acordo com o valor obtido, nota–se que ele está entre os termos 32 e 33. Portanto, a conclusão que se chega é de que o Sol estará no ciclo de atividade de número 32. Comentário: Pelo valor de n obtido, podemos perceber que tentar encontrar a resposta realizando sucessivas somas não é a melhor solução, devido ao tempo que será despendido. Neste sentido, podemos dizer que a familiaridade com a progressão aritmética e sua aplicação é essencial. Lembrando que na resolução da questão 154 foi abordada a fórmula do termo geral de uma PA e por este motivo ela não foi explicada nesta com detalhes. Conteúdos envolvidos: Progressão aritmética. QUESTÃO 167: Alternativa D Nível de Dificuldade: MÉDIO Primeiramente devemos ter bem claro que escalas em mapa sempre trazem os valores em centímetros (cm). Vamos chamar de k o número de vezes que foi ampliada a escala do mapa, ou seja, a razão de semelhança, no caso da ampliação. Se antes a


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escala era de 1:25 000 000 e agora é de 1:4 000 000, então podemos montar a seguinte relação:

Entretanto, este valor refere–se à razão linear e o que a questão pede é a razão em relação à área. Logo o que devemos fazer é elevar a razão de semelhança ao quadrado.

Portanto o número de vezes que foi ampliada a área do mapa é um número entre 30 e 40. Comentário: A questão aborda um conceito interessante da matemática que trata das semelhanças entre figuras, o que nos permite realizar ampliações e reduções. O detalhe importante na resolução é que, quando se realiza a ampliação do mapa, os comprimentos é que são ampliados, isto é, a medida das fronteiras, das rodovias, rios, etc. Em outras palavras, a ampliação é linear. Desta ampliação linear pergunta–se em relação ao aumento da área. Logo, a razão de semelhança para a medida dos comprimentos deve ser elevada ao quadrado para relacionar a semelhança entre as áreas. Caso fosse uma ampliação do volume a razão deveria ser elevada ao cubo. Conteúdos envolvidos: Razão de semelhança entre figuras (ampliação de áreas).

De acordo com a figura concluímos que o local adequado para a construção desta torre corresponde ao ponto de coordenadas . A questão pode ser resolvida de maneira visual com o auxílio de uma régua. Porém é possível, como alternativa, obter o referido ponto de forma analítica através do cálculo da distância entre 2 pontos de coordenadas conhecidas e resolver um sistema de 2 incógnitas. A distância entre dois pontos e é dada por:

Sendo o ponto equidistante dos vértices A, B e C, então temos as seguintes relações: . Como os vértices do triângulo são e e , logo podemos escrever a expressão para as 3 distâncias:

QUESTÃO 168: Alternativa E A ideia fundamental nesta questão é o circuncentro do triângulo ABC, ou seja, o centro da circunferência que passa pelos pontos A, B e C, que também será o ponto equidistante aos vértices do triângulo. Para obtermos este ponto devemos traçar as mediatrizes dos três lados. O ponto de encontro entre elas será o baricentro. A mediatriz é uma reta perpendicular a um segmento passando pelo seu ponto médio, ou seja, dividindo–o ao meio. Para resolver a questão, bastava ao aluno, de preferência com o auxílio de uma régua, traçar as 3 mediatrizes, em relação aos lados do triângulo ABC. Vejamos nas figuras abaixo.

Igualando duas a duas as equações iremos obter as coordenadas , da seguinte forma:


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com nota abaixo da média e com maior quantidade de estudo, será o mais à direita no 4° Quadrante, isto é, Israel. Para auxiliar a visualização vejamos a figura abaixo:

De acordo com os cálculos, concluímos que o local adequado para a construção desta torre corresponde ao ponto de coordenadas . Comentário: Utilizando a Geometria Analítica o cálculo é exato, porém despende muito mais tempo. Já o método visual com a régua pode deixar alguma dúvida devido à imprecisão, mas é evidente que seja mais rápido. Esta imprecisão, no entanto, fará com que o aluno fique entre duas alternativas, a B e a E. Para decidir, entre qual das duas, o traçado no desenho deverá ser bem caprichado.

Comentário: Apesar de a questão ser simples, trata sobre um tema muito curioso. De acordo com o mesmo gráfico observamos que a Finlândia é o país com a maior nota no PISA, e ao mesmo tempo é o que apresenta a menor quantidade de horas de estudo.

Conteúdos envolvidos: Geometria analítica (circuncentro, mediatriz e distância de ponto a ponto).

Conteúdos envolvidos: Interpretação de gráfico.

QUESTÃO 169: Alternativa D

QUESTÃO 171: Alternativa D

Ao seccionarmos um cone através de um plano paralelo à base do mesmo, obtemos dois outros sólidos: um cone menor que contém o vértice do cone original e uma outra figura espacial, chamada de tronco de cone. Na figura dada observamos que ela é formada por dois troncos de cones. Vamos separar a figura e observar quais são eles:

Comentário: A questão é simples, porém o aluno deve estar familiarizado com este sólido. Mas se ele conhecer os outros sólidos presentes nas alternativas (cilindro e cone) facilmente, por eliminação, chegará à resposta correta.

Para resolver esta questão vamos considerar o seguinte esquema, onde vemos superiormente a bandeja com exatamente 4 copos. Note que as bases deles estão totalmente encostadas nas bordas da bandeja e que as regiões mais largas dos copos estão encostadas uma nas outras:

O enunciado traz a relação entre as medidas BD e AC, e que o lado do quadrado da bandeja possui medida l. Sendo assim, teremos as seguintes expressões:

Conteúdos envolvidos: Geometria Espacial (tronco de cone). QUESTÃO 170: Alternativa C A principal habilidade exigida nesta questão é a interpretação do enunciado e do gráfico. A pergunta é bastante clara e restringe nosso olhar para os países que estão com notas abaixo da média, ou seja, pensando em um plano cartesiano, os quadrantes 3 e 4, ou a região abaixo do eixo X. A leitura da quantidade de horas de estudo é feita da esquerda para a direita, ou seja, no sentido crescente do eixo X. Logo, entre os países

Como o enunciado pede o menor valor para a razão

,

devemos reescrever a segunda expressão na forma de uma desigualdade da seguinte maneira:

E assim teremos:


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Agora, como , podemos escrever a seguinte expressão:

113

e

,

Comentário: A ideia central para a resolução da questão está na visualização do esquema proposto, isto é, a disposição dos copos na bandeja. Uma vez compreendido o desenho, a resolução torna–se mais fácil de ser realizada. Conteúdos envolvidos: Geometria plana. QUESTÃO 172: Alternativa C A partir do enunciado e da figura, percebemos que a questão trata de semelhança de triângulos. Entretanto, para provarmos a semelhança, vamos analisar o esquema quanto aos ângulos dos triângulos. Comentário: Para resolver esta questão, o aluno necessita adotar uma boa estratégia para estabelecer a semelhança dos triângulos. Não basta destacá–los. É necessário enxergar os elementos correspondentes. Um detalhe fundamental para chegar à resposta é a última soma: . Antes de termos encontrados as expressões para e já era sabido que elas seriam necessárias. Ou seja, a linha de raciocínio foi feita de trás para frente. Conteúdos envolvidos: Semelhança de triângulos. QUESTÃO 173: Alternativa B A ideia fundamental desta questão consiste no entendimento do que é projeção ortogonal. De maneira simplificada, para este caso, podemos dizer que é a sombra projetada pelos pontos A e B quando vistos de cima durante o movimento da gangorra. Para auxiliar a visualização vamos observar as figuras abaixo:

De acordo com as figuras podemos perceber as seguintes relações de semelhança entre os triângulos:

Diante disto, vamos estabelecer as proporções entre os lados correspondentes do triângulo: PARA O CASO:

Desta forma, percebemos que as projeções ortogonais (sombras) serão segmentos de retas paralelos ao plano do chão, logo a alternativa correta é a letra B. PARA O CASO:

Comentário: Nesta questão, o aluno deve tomar cuidado para não assinalar equivocadamente outras alternativas. Por exemplo, a alternativa C representa o movimento dos pontos A e B na vista lateral. Já a alternativa D é a projeção ortogonal, porém no plano que é perpendicular ao chão, isto é, na vertical.


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A alternativa A comete o erro de não considerar os movimentos dos pontos A e B como arcos de circunferência. E por fim a alternativa E é totalmente absurda.

114

QUESTÃO 175: Alternativa B De imediato, podemos já calcular a quantidade de parafusos produzidos pela máquina II. Se a máquina I produziu

Conteúdos envolvidos: Projeção ortogonal.

do

total, então a máquina II produziu:

QUESTÃO 174: Alternativa C Antes de efetuarmos qualquer cálculo vamos esboçar o retângulo da base da peça de cerâmica, antes e depois do processo de cozimento: ANTES DO COZIMENTO:

15 cm

Agora o detalhe está em entender que todas as frações fornecidas são em relação ao total de parafusos produzidos pela fábrica. Logo, elas já representam probabilidades. Portanto, precisamos calcular quanto estas frações representam dos parafusos que de fato são produzidos por cada máquina: MÁQUINA I:

30 cm MÁQUINA II:

DEPOIS DO COZIMENTO:

12 cm

Somando as probabilidades teremos:

24 cm Como o enunciado diz que depois do cozimento as medidas perdem 20% nas dimensões lineares, vamos calcular as medidas do retângulo após o processo:

Logo, segundo o quadro, o desempenho conjunto dessas máquinas, em setembro, pode ser classificado como Bom.

e 30 Agora, o cálculo das áreas antes e depois do cozimento: ANTES DO COZIMENTO:

Comentário: Talvez uma informação que pareça estar faltando é o total de parafusos produzidos pela fábrica. Porém, ela não é necessária já que todos os dados fornecidos são frações do total fabricado. Logo, a ausência deste valor é irrelevante para a resolução da questão. Conteúdos envolvidos: Probabilidade.

DEPOIS DO COZIMENTO: QUESTÃO 176: Alternativa A

Por fim, a porcentagem que expressa a redução entre as áreas, antes e depois do processo de cozimento, é dada por:

Comentário: Uma solução alternativa seria calcular a área depois em relação à inicial, utilizando o conceito visto na questão 167 do caderno amarelo. Como a razão de semelhança linear de redução vale , então a razão de semelhança para a área será . Logo: . O restante segue de maneira análoga. Conteúdos envolvidos: Porcentagem e geometria plana (área de retângulos).

Em problemas envolvendo loteria é preciso que o aluno esteja convencido de que qualquer combinação de números tem igual chance de sair, seja ela qual for. Por exemplo, {1, 2, 3, 4, 5, 6} tem chances de sair tanto quanto {7, 15, 29, 35, 39, 48}. Sendo assim, deveríamos começar calculando quantas possibilidades de jogos, com 6 dezenas, existe no total. Porém, para resolvermos a questão, não será necessário, já que o número total de possibilidades é igual para todos os apostadores. Logo, nosso trabalho consiste em calcular o número de jogos que cada um dos cinco apostadores poderá fazer. Utilizando o Princípio da Contagem vamos encontrar quantos jogos de 6 números é possível de ser feito quando se aposta mais do que 6 dezenas. ARTHUR:


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BRUNO:

115

Conteúdos envolvidos: probabilidade.

Problemas

de

contagem

e

QUESTÃO 177: Alternativa D De acordo com a tabela vemos que os preços dos produtos do tipo B são todos mais baratos em relação aos do tipo A, porém se aproveita menos deles. Logo, precisamos estabelecer um critério para comparar os tipos de cada produto e assim verificar a relação custo/benefício.

CAIO:

Como do tipo B somente se aproveita 90%, isto significa que a cada 1 kg comprado, aproveita–se 0,9 kg (900 gramas). Para compararmos com o do tipo A precisamos saber quanto custaria para obter, de fato, 1 kg do produto aproveitável. Para isto, podemos utilizar a seguinte Regra de Três para cada um deles: ARROZ:

DOUGLAS: FEIJÃO:

EDUARDO:

SOJA:

MILHO: De acordo com os valores obtidos, os dois apostadores com maiores probabilidades de serem premiados são Caio e Eduardo. Comentário: Apesar de não termos calculado o espaço amostral, a título de curiosidade, o cálculo para o número de jogos é o seguinte, lembrando que a ordem com que os 60 números sejam sorteados não importa: Pelo Princípio da Contagem: __ __ __ __ __ __

Para facilitar a visualização, vamos organizar os dados obtidos em uma tabela e comparar os preços do tipo B já normalizados em relação aos do tipo A: Produto

Tipo A

Tipo B

Arroz

2,00

1,89

Feijão

4,50

4,56

Soja

3,80

3,89

Milho

6,00

5,89

Ou pela fórmula da combinação: As células destacadas representam o tipo que apresenta o menor custo benefício. Logo, respectivamente, os tipos que devem ser escolhidos pelo comerciante são: B, A, A, B.


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Comentário: O objetivo desta questão gira em torno de avaliar a habilidade do aluno em estabelecer comparações de acordo com algum critério ou restrição, no caso o rendimento ou aproveitamento. Assim, o fundamental na resolução é compreender que não se pode comparar 1 kg de um produto com 0,9 kg de outro. Este raciocínio é muito frequente na comparação, por exemplo, entre frações de denominadores diferentes ou massas de materiais cujos volumes são diferentes. Conteúdos envolvidos: Regra de Três.

116

O baricentro de um triângulo é obtido pelo encontro das medianas. Porém, como o triângulo é equilátero, a mediana e a altura coincidem. O baricentro possui uma importante propriedade, ele divide a mediana em duas partes. Uma das partes é um terço do valor da mediana e consequentemente a outra parte é dois terços. Como a mediana e altura coincidem, o valor de x será dois terços da altura do triângulo equilátero. Como medida do lado do triângulo é 60 cm, podemos usar a expressão da altura de um triângulo equilátero e assim obter o valor de x:

QUESTÃO 178: Alternativa C Para obter o valor de R, ou seja, o raio do cano maior, é preciso enxergar quais medidas na figura, combinadas, podem formar este raio. Vamos observar a figura fornecida:

Finalmente, podemos calcular o valor de R, utilizando a aproximação dada:

Comentário: Uma questão complexa que envolve diversos conceitos da geometria plana, sem os quais, resolvê–la torna–se uma tarefa bastante complicada. Conteúdos envolvidos: Geometria plana (triângulo equilátero e circunferências tangentes). QUESTÃO 179: Alternativa D De imediato, após ler e interpretar o enunciado, podemos escrever a expressão do índice de eficiência:

A partir dos valores da tabela, podemos calcular o índice de eficiência (e) para cada vaca: Malhada: Se unirmos os centros dos canos menores, formaremos um triângulo equilátero. Como os 3 canos se tangenciam, pela simetria da figura, o centro do cano maior coincide com o baricentro desse triângulo formado. Se conseguirmos calcular a distância entre o raio do cano maior (baricentro) e o raio do cano menor (vértice do triângulo), conseguiremos obter o valor R. Chamando de x esta distância, podemos obter o valor de R somando x mais o raio do cano menor mais o tamanho do espaçador de metal, que é 10 cm. Como x é a distância entre o baricentro e o vértice do triângulo, vamos observar a figura seguinte.

Mamona:

Maravilha:

Mateira:


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Mimosa:

Após a análise dos dados, o produtor avaliou que a vaca mais eficiente é a Mateira. Comentário: Uma questão simples, porém um pouco trabalhosa, devido ao volume de cálculos. A interpretação do enunciado, como sempre, é fundamental e talvez seja preciso que o aluno o leia mais de uma vez. Um dos objetivos acaba sendo avaliar a capacidade do aluno em sintetizar uma fórmula a partir de sua descrição. Conteúdos envolvidos: Sintetização de fórmulas e operações básicas. QUESTÃO 180: Alternativa E No mapa dado, contando cada trecho, verificamos que o caminho percorrido para ir à escola mede 16 cm. Portanto, no trajeto de ida e volta, percorre 32 cm. Como o programa teve duração de 5 dias, consideraremos que o aluno percorreu distância equivalente a 160 cm no mapa. De acordo com a escala 1:25 000, podemos calcular a distância real d através de uma Regra de Três:

Por fim, como foi pedida a distância em quilômetros, teremos:

Comentário: A questão cobrou basicamente a habilidade do aluno em ler um mapa e aplicar a escala dada para obter um valor real. Por fim, foi exigida uma transformação de centímetros para quilômetros. Conteúdos envolvidos: Interpretação de mapas, escala e transformação de unidade.

117


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-

Enem 2014 MATEMÁTICA

E

SUAS

118

QUESTÃO 138 Os candidatos K, L, M, N e P estão disputando uma única vaga de emprego em uma empresa e fizeram provas de português, matemática, direito e informática. A tabela apresenta as notas obtidas pelos cinco candidatos.

Questões de 136 a 180 QUESTÃO 136 Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, feitas de um mesmo material. Por ter recebido de seus clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura em , preservando suas espessuras. A fim de manter o custo com o material de cada porta, precisou reduzir a largura. A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é a)

Candidato K L M N P

Português 33 32 35 24 36

Matemática 33 39 35 37 16

Direito 33 33 36 40 26

Informática 34 34 34 35 41

Segundo o edital de seleção, o candidato aprovado será aquele para o qual a mediana das notas obtidas por ele nas quatro disciplinas for a maior. O candidato aprovado será a) K. d) N b) L. e) P c) M.

b) c)

QUESTÃO 139 d)

Na alimentação de gado de corte, o processo de cortar a forragem, colocá-la no solo, compactá-la e protegê-la com uma vedação denomina-se silagem. Os silos mais comuns são os horizontais, cuja forma é a de um prisma reto trapezoidal, conforme mostrado na figura.

e)

QUESTÃO 137 De acordo com a ONU, da água utilizada diariamente, • 25% são para tomar banho, lavar as mãos e escovar os dentes. • 33% são utilizados em descarga de banheiro. • 27% são para cozinhar e beber. • 15% são para demais atividades. No Brasil, o consumo de água por pessoa chega, em média, a 200 litros por dia. O quadro mostra sugestões de consumo moderado de água por pessoa, por dia, em algumas atividades. Atividade Tomar banho Dar descarga Lavar as mãos Escovar os dentes Beber e cozinhar

Consumo total de água na atividade (em litros) 24,0 18,0 3,2 2,4 22,0

Se cada brasileiro adotar o consumo de água indicado no quadro, mantendo o mesmo consumo nas demais atividades, então economizará diariamente, em média, em litros de água, a) 30,0. d) 130,4. b) 69,6. e) 170,0. c) 100,4.

Legenda: b - largura do fundo B - largura do topo C - comprimento do silo h - altura do silo

Considere um silo de 2 m de altura, 6 m de largura de topo e 20 m de comprimento. Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5 m a mais do que a largura do fundo. Após a silagem, 1 tonelada de forragem ocupa 2 m 3 desse tipo de silo. EMBRAPA. Gado de corte. Disponível em: www.cnpgc.embrapa.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (adaptado).

Após a silagem, a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, em toneladas, é a) 110. d) 220 b) 125. e) 260 c) 130.


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QUESTÃO 140 A Figura 1 representa uma gravura retangular com 8 m de comprimento e 6 m de altura.

119

completas em torno de tal cilindro. Ao final, amarra-se um cordão no meio do diploma, bem ajustado, para que não ocorra o desenrolamento, como ilustrado na figura.

Em seguida, retira-se o cilindro de madeira do meio do papel enrolado, finalizando a confecção do diploma. Considere que a espessura da folha de papel original seja desprezível. Qual é a medida, em centímetros, do lado da folha de papel usado na confecção do diploma? a) πd d) 5πd b) 2πd e) 10πd c) 4πd QUESTÃO 142 Figura 1 Deseja-se reproduzi-la numa folha de papel retangular com 42 cm de comprimento e 30 cm de altura, deixando livres 3 cm em cada margem, conforme a Figura 2.

Uma ponte precisa ser dimensionada de forma que possa ter três pontos de sustentação. Sabe-se que a carga máxima suportada pela ponte será de 12 t. O ponto de sustentação central receberá 60% da carga da ponte, e o restante da carga será distribuído igualmente entre os outros dois pontos de sustentação. No caso de carga máxima, as cargas recebidas pelos três pontos de sustentação serão, respectivamente, a) 1,8 t; 8,4 t; 1,8 t. b) 3,0 t; 6,0 t; 3,0 t. c) 2,4 t; 7,2 t; 2,4 t. d) 3,6 t; 4,8 t; 3,6 t. e) 4,2 t; 3,6 t; 4,2 t. QUESTÃO 143

Figura 2 A reprodução da gravura deve ocupar o máximo possível da região disponível, mantendo-se as proporções da Figura 1. PRADO, A. C. Superinteressante, ed. 301, fev. 2012 (adaptado).

A escala da gravura reproduzida na folha de papel é a) 1 : 3. d) 1 : 25. b) 1 : 4. e) 1 : 32. c) 1 : 20. QUESTÃO 141 Uma empresa que organiza eventos de formatura confecciona canudos de diplomas a partir de folhas de papel quadradas. Para que todos os canudos fiquem idênticos, cada folha é enrolada em torno de um cilindro de madeira de diâmetro d em centímetros, sem folga, dando-se 5 voltas

Os incas desenvolveram uma maneira de registrar quantidades e representar números utilizando um sistema de numeração decimal posicional: um conjunto de cordas com nós denominado quipus. O quipus era feito de uma corda matriz, ou principal (mais grossa que as demais), na qual eram penduradas outras cordas, mais finas, de diferentes tamanhos e cores (cordas pendentes). De acordo com a sua posição, os nós significavam unidades, dezenas, centenas e milhares. Na Figura 1, o quipus representa o número decimal 2453. Para representar o “zero” em qualquer posição, não se coloca nenhum nó.


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Disponível em: www.culturaperuana.com.br. Acesso em: 13 dez. 2012.

O número da representação do quipus da Figura 2, em base decimal, é a) 364. d) 3640 b) 463. e) 4603 c) 3064.

120

QUESTÃO 147 Para comemorar o aniversário de uma cidade, um artista projetou uma escultura transparente e oca, cujo formato foi inspirado em uma ampulheta. Ela é formada por três partes de mesma altura: duas são troncos de cone iguais e a outra é um cilindro. A figura é a vista frontal dessa escultura.

QUESTÃO 144 A maior piscina do mundo, registrada no livro Guiness, está localizada no Chile, em San Alfonso del Mar, cobrindo um terreno de 8 hectares de área. Sabe-se que 1 hectare corresponde a 1 hectômetro quadrado. Qual é o valor, em metros quadrados, da área coberta pelo terreno da piscina? a) 8 d) 8000 b) 80 e) 80000 c) 800

No topo da escultura foi ligada uma torneira que verte água, para dentro dela, com vazão constante. O gráfico que expressa a altura (h) da água na escultura em função do tempo (t) decorrido é

QUESTÃO 145 Durante uma epidemia de uma gripe viral, o secretário de saúde de um município comprou 16 galões de álcool em gel, com 4 litros de capacidade cada um, para distribuir igualmente em recipientes para 10 escolas públicas do município. O fornecedor dispõe à venda diversos tipos de recipientes, com suas respectivas capacidades listadas: • Recipiente I: 0,125 litro • Recipiente II: 0,250 litro • Recipiente III: 0,320 litro • Recipiente IV: 0,500 litro • Recipiente V: 0,800 litro

a)

b)

O secretário de saúde comprará recipientes de um mesmo tipo, de modo a instalar 20 deles em cada escola, abastecidos com álcool em gel na sua capacidade máxima, de forma a utilizar todo o gel dos galões de uma só vez. Que tipo de recipiente o secretário de saúde deve comprar? a) I d) IV b) II e) V c) III

c)

QUESTÃO 146 Os vidros para veículos produzidos por certo fabricante têm transparências entre 70% e 90%, dependendo do lote fabricado. Isso significa que, quando um feixe luminoso incide no vidro, uma parte entre 70% e 90% da luz consegue atravessá-lo. Os veículos equipados com vidros desse fabricante terão instaladas, nos vidros das portas, películas protetoras cuja transparência, dependendo do lote fabricado, estará entre 50% e 70%. Considere que uma porcentagem P da intensidade da luz, proveniente de uma fonte externa, atravessa o vidro e a película. De acordo com as informações, o intervalo das porcentagens que representam a variação total possível de P é a) [35 ; 63]. [50 ; 90]. b) [40 ; 63]. [70 ; 90]. c) [50 ; 70].

d)

e) QUESTÃO 148 Um sinalizador de trânsito tem o formato de um cone circular reto. O sinalizador precisa ser revestido externamente com adesivo fluorescente, desde sua base (base do cone) até a metade de sua altura, para sinalização noturna. O responsável pela colocação do adesivo precisa fazer o corte do material de maneira que a forma do adesivo corresponda exatamente à parte da superfície lateral a ser


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revestida. Qual deverá ser a forma do adesivo?

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QUESTÃO 151 Uma criança deseja criar triângulos utilizando palitos de fósforo de mesmo comprimento. Cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos e pelo menos um dos lados do triângulo deve ter o comprimento de exatamente 6 palitos. A figura ilustra um triângulo construído com essas características.

a)

b)

c)

A quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que podem ser construídos é a) 3. d) 8 b) 5. e) 10 c) 6. QUESTÃO 152

d)

A figura mostra uma criança brincando em um balanço no parque. A corda que prende o assento do balanço ao topo do suporte mede 2 metros. A criança toma cuidado para não sofrer um acidente, então se balança de modo que a corda não chegue a alcançar a posição horizontal.

e)

QUESTÃO 149 Um professor, depois de corrigir as provas de sua turma, percebeu que várias questões estavam muito difíceis. Para compensar, decidiu utilizar uma função polinomial f, de grau menor que 3, para alterar as notas x da prova para notas y = f(x), da seguinte maneira: • A nota zero permanece zero. • A nota 10 permanece 10. • A nota 5 passa a ser 6. A expressão da função y = f(x) a ser utilizada pelo professor é a) b) c) d) e)

QUESTÃO 150 Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de decomposição em fatores primos. Um número N é dado pela expressão 2x. 5y.7z, na qual x, y e z são números inteiros não negativos. Sabe-se que N é múltiplo de 10 e não é múltiplo de 7. O número de divisores de N, diferentes de N, é a) x.y.z b) (x + 1).(y + 1) c) x.y.z – 1 d) (x + 1).(y + 1).z e) (x + 1).(y + 1).(z + 1) – 1

Na figura, considere o plano cartesiano que contém a trajetória do assento do balanço, no qual a origem está localizada no topo do suporte do balanço, o eixo X é paralelo ao chão do parque, e o eixo Y tem orientação positiva para cima. A curva determinada pela trajetória do assento do balanço é parte do gráfico da função a) b) c) d) e) QUESTÃO 153 Um show especial de Natal teve 45000 ingressos vendidos. Esse evento ocorrerá em um estádio de futebol que disponibilizará 5 portões de entrada, com 4 catracas eletrônicas por portão. Em cada uma dessas catracas, passará uma única pessoa a cada 2 segundos. O público foi igualmente dividido pela quantidade de portões e catracas, indicados no ingresso para o show, para a efetiva entrada no estádio. Suponha que todos aqueles que compraram


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ingressos irão ao show e que todos passarão pelos portões e catracas eletrônicas indicados. Qual é o tempo mínimo para que todos passem pelas catracas? a) 1 hora. d) 6 horas b) 1 hora e 15 minutos. e) 6 horas e 15 minutos. c) 5 horas. QUESTÃO 154 Conforme regulamento da Agência Nacional de Aviação Civil (Anac), o passageiro que embarcar em voo doméstico poderá transportar bagagem de mão, contudo a soma das dimensões da bagagem (altura + comprimento + largura) não pode ser superior a 115 cm. A figura mostra a planificação de uma caixa que tem a forma de um paralelepípedo retângulo.

122

Se o volume de esgoto gerado permanecer o mesmo e a meta dessa campanha se concretizar, o percentual de esgoto tratado passará a ser a) 72% d) 54% b) 68% e) 18% c) 64% QUESTÃO 157 Uma empresa de alimentos oferece três valores diferentes de remuneração a seus funcionários, de acordo com o grau de instrução necessário para cada cargo. No ano de 2013, a empresa teve uma receita de 10 milhões de reais por mês e um gasto mensal com a folha salarial de R$400000,00, distribuídos de acordo com o Gráfico 1. No ano seguinte, a empresa ampliará o número de funcionários, mantendo o mesmo valor salarial para cada categoria. Os demais custos da empresa permanecerão constantes de 2013 para 2014. O número de funcionários em 2013 e 2014, por grau de instrução, está no Gráfico 2.

O maior valor possível para x, em centímetros, para que a caixa permaneça dentro dos padrões permitidos pela Anac é a) 25. d) 45 b) 33. e) 49 c) 42. QUESTÃO 155 Uma lata de tinta, com a forma de um paralelepípedo retangular reto, tem as dimensões, em centímetros, mostradas na figura.

Será produzida uma nova lata, com os mesmos formato e volume, de tal modo que as dimensões de sua base sejam 25% maiores que as da lata atual. Para obter a altura da nova lata, a altura da lata atual deve ser reduzida em a) 14,4% d) 36,0% b) 20,0% e)64,0% c) 32,0% QUESTÃO 156 Uma organização não governamental divulgou um levantamento de dados realizado em algumas cidades brasileiras sobre saneamento básico. Os resultados indicam que somente 36% do esgoto gerado nessas cidades é tratado, o que mostra que 8 bilhões de litros de esgoto sem nenhum tratamento são lançados todos os dias nas águas. Uma campanha para melhorar o saneamento básico nessas cidades tem como meta a redução da quantidade de esgoto lançado nas águas diariamente, sem tratamento, para 4 bilhões de litros nos próximos meses.

Qual deve ser o aumento na receita da empresa para que o lucro mensal em 2014 seja o mesmo de 2013? a) R$ 114285,00 b) R$ 130000,00 c) R$ 160000,00 d) R$ 210000,00 e) R$ 213333,00 QUESTÃO 158 Boliche é um jogo em que se arremessa uma bola sobre uma pista para atingir dez pinos, dispostos em uma formação de base triangular, buscando derrubar o maior número de pinos. A razão entre o total de vezes em que o jogador derruba todos os pinos e o número de jogadas determina seu desempenho. Em uma disputa entre cinco jogadores, foram obtidos os seguintes resultados:


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Jogador I - Derrubou todos os pinos 50 vezes em 85 jogadas. Jogador II - Derrubou todos os pinos 40 vezes em 65 jogadas. Jogador III - Derrubou todos os pinos 20 vezes em 65 jogadas. Jogador IV - Derrubou todos os pinos 30 vezes em 40 jogadas. Jogador V - Derrubou todos os pinos 48 vezes em 90 jogadas. Qual desses jogadores apresentou maior desempenho? a) I d) IV b) II e) V c) III QUESTÃO 159 Ao final de uma competição de ciências em uma escola, restaram apenas três candidatos. De acordo com as regras, o vencedor será o candidato que obtiver a maior média ponderada entre as notas das provas finais nas disciplinas química e física, considerando, respectivamente, os pesos 4 e 6 para elas. As notas são sempre números inteiros. Por questões médicas, o candidato II ainda não fez a prova final de química. No dia em que sua avaliação for aplicada, as notas dos outros dois candidatos, em ambas as disciplinas, já terão sido divulgadas. O quadro apresenta as notas obtidas pelos finalistas nas provas finais. Candidato I II III

Química 20 X 21

Física 23 25 18

A menor nota que o candidato II deverá obter na prova final de química para vencer a competição é a) 18. d) 25 b) 19. e) 26 c) 22. QUESTÃO 160 No Brasil há várias operadoras e planos de telefonia celular. Uma pessoa recebeu 5 propostas (A, B, C, D e E) de planos telefônicos. O valor mensal de cada plano está em função do tempo mensal das chamadas, conforme o gráfico.

123

Essa pessoa pretende gastar exatamente R$ 30,00 por mês com telefone. Dos planos telefônicos apresentados, qual é o mais vantajoso, em tempo de chamada, para o gasto previsto para essa pessoa? a) A d) D b) B e) E c) C QUESTÃO 161 Uma empresa farmacêutica produz medicamentos em pílulas, cada uma na forma de um cilindro com uma semiesfera com o mesmo raio do cilindro em cada uma de suas extremidades. Essas pílulas são moldadas por uma máquina programada para que os cilindros tenham sempre 10 mm de comprimento, adequando o raio de acordo com o volume desejado. Um medicamento é produzido em pílulas com 5 mm de raio. Para facilitar a deglutição, deseja-se produzir esse medicamento diminuindo o raio para 4 mm, e, por consequência, seu volume. Isso exige a reprogramação da máquina que produz essas pílulas. Use 3 como valor aproximado para π. A redução do volume da pílula, em milímetros cúbicos, após a reprogramação da máquina, será igual a a) 168. d) 378 b) 304. e) 514 c) 306. QUESTÃO 162 O Brasil é um país com uma vantagem econômica clara no terreno dos recursos naturais, dispondo de uma das maiores áreas com vocação agrícola do mundo. Especialistas calculam que, dos 853 milhões de hectares do país, as cidades, as reservas indígenas e as áreas de preservação, incluindo florestas e mananciais, cubram por volta de 470 milhões de hectares. Aproximadamente 280 milhões se destinam à agropecuária, 200 milhões para pastagens e 80 milhões para a agricultura, somadas as lavouras anuais e as perenes, como o café e a fruticultura. FORTES, G. Recuperação de pastagens é alternativa para ampliar cultivos. Folha de S. Paulo, 30 out. 2011.

De acordo com os dados apresentados, o percentual correspondente à área utilizada para agricultura em relação à área do território brasileiro é mais próximo de a) 32,8% d) 9,4% b) 28,6% e) 8,0% c) 10,7%


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QUESTÃO 163

QUESTÃO 164

O acesso entre os dois andares de uma casa é feito através de uma escada circular (escada caracol), representada na figura. Os cinco pontos A, B, C, D, E sobre o corrimão estão igualmente espaçados, e os pontos P, A e E estão em uma mesma reta. Nessa escada, uma pessoa caminha deslizando a mão sobre o corrimão do ponto A até o ponto D.

Um pesquisador está realizando várias séries de experimentos com alguns reagentes para verificar qual o mais adequado para a produção de um determinado produto. Cada série consiste em avaliar um dado reagente em cinco experimentos diferentes. O pesquisador está especialmente interessado naquele reagente que apresentar a maior quantidade dos resultados de seus experimentos acima da média encontrada para aquele reagente. Após a realização de cinco séries de experimentos, o pesquisador encontrou os seguintes resultados:

A figura que melhor representa a projeção ortogonal, sobre o piso da casa (plano), do caminho percorrido pela mão dessa pessoa é:

Experimento 1 Experimento 2 Experimento 3 Experimento 4 Experimento 5

Reagente 1

Reagente 2

Reagente 3

Reagente 4

Reagente 5

1

0

2

2

1

6

6

3

4

2

6

7

8

7

9

6

6

10

8

10

11

5

11

12

11

Levando-se em consideração os experimentos feitos, o reagente que atende às expectativas do pesquisador é o a) 1. d) 4 b) 2. e) 5 c) 3. QUESTÃO 165

a)

Em uma cidade, o valor total da conta de energia elétrica é obtido pelo produto entre o consumo (em kWh) e o valor da tarifa do kWh (com tributos), adicionado à Cosip (contribuição para custeio da iluminação pública), conforme a expressão: b)

Valor do kWh (com tributos) x consumo (em kWh) + Cosip O valor da Cosip é fixo em cada faixa de consumo. O quadro mostra o valor cobrado para algumas faixas.

c)

Faixa de consumo mensal (kWh) Até 80 Superior a 80 até 100 Superior a 100 até 140 Superior a 140 até 200

Valor da Cosip (R$) 0,00 2,00 3,00 4,50

Suponha que, em uma residência, todo mês o consumo seja de 150 kWh, e o valor do kWh (com tributos) seja de R$ 0,50. O morador dessa residência pretende diminuir seu consumo mensal de energia elétrica com o objetivo de reduzir o custo total da conta em pelo menos 10%. d)

e)

Qual deve ser o consumo máximo, em kWh, dessa residência para produzir a redução pretendida pelo morador? a) 134,1 d) 138,6 b) 135,0 e) 143,1 c) 137,1 QUESTÃO 166 Um cliente de uma videolocadora tem o hábito de alugar dois filmes por vez. Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes


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de ação, 5 de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma estratégia para ver todos esses 16 lançamentos. Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem as possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de ação e um de drama, até que todos os lançamentos sejam vistos e sem que nenhum filme seja repetido. De quantas formas distintas a estratégia desse cliente poderá ser posta em prática? a) d) b)

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Com isso, a CET precisa instalar uma placa antes do primeiro radar informando a velocidade média máxima permitida nesse trecho da via. O valor a ser exibido na placa deve ser o maior possível, entre os que atendem às condições de condução segura observadas. Disponível em: www1.folha.uol.com.br. Acesso em: 11 jan. 2014 (adaptado).

A placa de sinalização que informa a velocidade que atende a essas condições é

e)

c)

a)

d)

b)

e)

QUESTÃO 167 O psicólogo de uma empresa aplica um teste para analisar a aptidão de um candidato a determinado cargo. O teste consiste em uma série de perguntas cujas respostas devem ser verdadeiro ou falso e termina quando o psicólogo fizer a décima pergunta ou quando o candidato der a segunda resposta errada. Com base em testes anteriores, o psicólogo sabe que a probabilidade de o candidato errar uma resposta é 0,20. A probabilidade de o teste terminar na quinta pergunta é a) 0,02048. d) 0,40960. b) 0,08192. e) 0,49152. c) 0,24000. QUESTÃO 168 A Companhia de Engenharia de Tráfego (CET) de São Paulo testou em 2013 novos radares que permitem o cálculo da velocidade média desenvolvida por um veículo em um trecho da via.

c)

QUESTÃO 169 O condomínio de um edifício permite que cada proprietário de apartamento construa um armário em sua vaga de garagem. O projeto da garagem, na escala 1 : 100, foi disponibilizado aos interessados já com as especificações das dimensões do armário, que deveria ter o formato de um paralelepípedo retângulo reto, com dimensões, no projeto, iguais a 3 cm, 1 cm e 2 cm. O volume real do armário, em centímetros cúbicos, será a) 6. d) 60 000 b) 600. e) 6 000 000 c) 6 000. QUESTÃO 170 Uma loja que vende sapatos recebeu diversas reclamações de seus clientes relacionadas à venda de sapatos de cor branca ou preta. Os donos da loja anotaram as numerações dos sapatos com defeito e fizeram um estudo estatístico com o intuito de reclamar com o fabricante. A tabela contém a média, a mediana e a moda desses dados anotados pelos donos. Estatísticas sobre as numerações dos sapatos com defeitos Média Mediana Moda Numeração dos sapatos com 36 37 38 defeito

As medições de velocidade deixariam de ocorrer de maneira instantânea, ao se passar pelo radar, e seriam feitas a partir da velocidade média no trecho, considerando o tempo gasto no percurso entre um radar e outro. Sabe-se que a velocidade média é calculada como sendo a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê-la. O teste realizado mostrou que o tempo que permite uma condução segura de deslocamento no percurso entre os dois radares deveria ser de, no mínimo, 1 minuto e 24 segundos.

Para quantificar os sapatos pela cor, os donos representaram a cor branca pelo número 0 e a cor preta pelo número 1. Sabe-se que a média da distribuição desses zeros e uns é igual a 0,45. Os donos da loja decidiram que a numeração dos sapatos com maior número de reclamações e a cor com maior número de reclamações não serão mais vendidas.


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A loja encaminhou um ofício ao fornecedor dos sapatos, explicando que não serão mais encomendados os sapatos de cor a) branca e os de número 38. b) branca e os de número 37. c) branca e os de número 36. d) preta e os de número 38. e) preta e os de número 37.

126

QUESTÃO 173 Um cientista trabalha com as espécies I e II de bactérias em um ambiente de cultura. Inicialmente, existem 350 bactérias da espécie I e 1 250 bactérias da espécie II. O gráfico representa as quantidades de bactérias de cada espécie, em função do dia, durante uma semana.

QUESTÃO 171 Para analisar o desempenho de um método diagnóstico, realizam-se estudos em populações contendo pacientes sadios e doentes. Quatro situações distintas podem acontecer nesse contexto de teste: 1) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. 2) Paciente TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. 3) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é POSITIVO. 4) Paciente NÃO TEM a doença e o resultado do teste é NEGATIVO. Um índice de desempenho para avaliação de um teste diagnóstico é a sensibilidade, definida como a probabilidade de o resultado do teste ser POSITIVO se o paciente estiver com a doença. O quadro refere-se a um teste diagnóstico para a doença A, aplicado em uma amostra composta por duzentos indivíduos. Resultado do teste Positivo Negativo

Doença A Presente Ausente 95 15 5 85

BENSENIOR, I. M.; LOTUFO, P. A. Epidemiologia: abordagem prática. São Paulo: Sarvier, 2011 (adaptado).

Em que dia dessa semana a quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura foi máxima? a) Terça-feira. d) Sexta-feira. b) Quarta-feira. e) Domingo c) Quinta-feira. QUESTÃO 174 Um fazendeiro tem um depósito para armazenar leite formado por duas partes cúbicas que se comunicam, como indicado na figura. A aresta da parte cúbica de baixo tem medida igual ao dobro da medida da aresta da parte cúbica de cima. A torneira utilizada para encher o depósito tem vazão constante e levou 8 minutos para encher metade da parte de baixo.

Conforme o quadro do teste proposto, a sensibilidade dele é de a) 47,5%. d) 94,4% b) 85,0%. e) 95,0% c) 86,3%. QUESTÃO 172 Uma pessoa possui um espaço retangular de lados 11,5 m e 14 m no quintal de sua casa e pretende fazer um pomar doméstico de maçãs. Ao pesquisar sobre o plantio dessa fruta, descobriu que as mudas de maçã devem ser plantadas em covas com uma única muda e com espaçamento mínimo de 3 metros entre elas e as laterais do terreno. Ela sabe que conseguirá plantar um número maior de mudas em seu pomar se dispuser as covas em filas alinhadas paralelamente ao lado de maior extensão. O número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar no espaço disponível é a) 4. d) 12 b) 8. e) 20 c) 9.

Quantos minutos essa torneira levará completamente o restante do depósito? a) 8 d) 18 b) 10 e) 24 c) 16

para

encher

QUESTÃO 175 Diariamente, uma residência consome 20160 Wh. Essa residência possui 100 células solares retangulares (dispositivos capazes de converter a luz solar em energia elétrica) de dimensões 6 cm x 8 cm. Cada uma das tais células produz, ao longo do dia, 24 Wh por centímetro de diagonal. O proprietário dessa residência quer produzir, por dia, exatamente a mesma quantidade de energia que sua casa consome. Qual deve ser a ação desse proprietário para que ele atinja o seu objetivo?


infoEnem a) b) c) d) e)

Enem 2014

Retirar 16 células. Retirar 40 células. Acrescentar 5 células. Acrescentar 20 células. Acrescentar 40 células.

127

Nesse caso, a taxa de desemprego aberto de dezembro de 2012 teria sido, em termos percentuais, de a) 1,1. d) 6,8. b) 3,5. e) 7,9. c) 4,5.

QUESTÃO 176

QUESTÃO 179

Uma pessoa compra semanalmente, numa mesma loja, sempre a mesma quantidade de um produto que custa R$ 10,00 a unidade. Como já sabe quanto deve gastar, leva sempre R$ 6,00 a mais do que a quantia necessária para comprar tal quantidade, para o caso de eventuais despesas extras. Entretanto, um dia, ao chegar à loja, foi informada de que o preço daquele produto havia aumentado 20%. Devido a esse reajuste, concluiu que o dinheiro levado era a quantia exata para comprar duas unidades a menos em relação à quantidade habitualmente comprada.

A taxa de fecundidade é um indicador que expressa a condição reprodutiva média das mulheres de uma região, e é importante para uma análise da dinâmica demográfica dessa região. A tabela apresenta os dados obtidos pelos Censos de 2000 e 2010, feitos pelo IBGE, com relação à taxa de fecundidade no Brasil.

A quantia que essa pessoa levava semanalmente para fazer a compra era a) R$ 166,00. d) R$ 46,00 b) R$ 156,00. e) R$ 24,00 c) R$ 84,00.

Disponível em www.saladeimprensa.ibge.gov.br. Acesso em: 31 jul. 2013.

QUESTÃO 177 Um executivo sempre viaja entre as cidades A e B, que estão localizadas em fusos horários distintos. O tempo de duração da viagem de avião entre as duas cidades é de 6 horas. Ele sempre pega um voo que sai de A às 15h e chega à cidade B às 18h (respectivos horários locais). Certo dia, ao chegar à cidade B, soube que precisava estar de volta à cidade A, no máximo, até as 13h do dia seguinte (horário local de A). Para que o executivo chegue à cidade A no horário correto e admitindo que não haja atrasos, ele deve pegar um voo saindo da cidade B, em horário local de B, no máximo à(s) a) 16h. d) 4h b) 10h. e) 1h c) 7h. QUESTÃO 178 O gráfico apresenta as taxas de desemprego durante o ano de 2011 e o primeiro semestre de 2012 na região metropolitana de São Paulo. A taxa de desemprego total é a soma das taxas de desemprego aberto e oculto.

Ano 2000 2010

Taxa de fecundidade no Brasil 2,38 1,90

Suponha que a variação percentual relativa na taxa de fecundidade no período de 2000 a 2010 se repita no período de 2010 a 2020. Nesse caso, em 2020 a taxa de fecundidade no Brasil estará mais próxima de a) 1,14. d) 1,70. b) 1,42. e) 1,80. c) 1,52. QUESTÃO 180 O Ministério da Saúde e as unidades federadas promovem frequentemente campanhas nacionais e locais de incentivo à doação voluntária de sangue, em regiões com menor número de doadores por habitante, com o intuito de manter a regularidade de estoques nos serviços hemoterápicos. Em 2010, foram recolhidos dados sobre o número de doadores e o número de habitantes de cada região conforme o quadro seguinte. Taxa de doação de sangue, por região, em 2010 Doadores/ Região Doadores Número de habitantes habitantes Nordeste 820 959 53 081 950 1,5% Norte 232 079 15 864 454 1,5% Sudeste 1 521 766 80 364 410 1,9% Centro-Oeste 362 334 14 058 094 2,6% Sul 690 391 27 386 891 2,5% Total 3 627 529 190 755 799 1,9%

Os resultados obtidos permitiram que estados, municípios e o governo federal estabelecessem as regiões prioritárias do país para a intensificação das campanhas de doação de sangue. A campanha deveria ser intensificada nas regiões em que o percentual de doadores por habitantes fosse menor ou igual ao do país. Disponível em: http://bvsms.saude.gov.br. Acesso em: 2 ago. 2013 (adaptado).

Suponha que a taxa de desemprego oculto do mês de dezembro de 2012 tenha sido a metade da mesma taxa em junho de 2012 e que a taxa de desemprego total em dezembro de 2012 seja igual a essa taxa em dezembro de 2011. Disponível em: www.dieese.org.br. Acesso em: 1 ago. 2012 (fragmento).

As regiões brasileiras onde foram intensificadas as campanhas na época são a) Norte, Centro-Oeste e Sul. b) Norte, Nordeste e Sudeste. c) Nordeste, Norte e Sul. d) Nordeste, Sudeste e Sul. e) Centro-Oeste, Sul e Sudeste.


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128

RESOLUÇÕES E COMENTÁRIOS ENEM 2014

QUESTÃO 137: Alternativa C

Questões 136 a 180

De acordo com as metas estabelecidas pela ONU podemos construir a seguinte tabela:

QUESTÃO 136: Alternativa D Atividade

espessura

Consumo estipulado pela ONU

Consumo recomendado pelo quadro

50,0

29,6

66,0 54,0

18,0 22,0

Tomar banho, lavar as mãos e escovar os dentes Dar descarga Beber e cozinhar altura TOTAL DIFERENÇA

170

69,6 100,4

Os valores de consumo estipulados pela ONU foram obtidos da seguinte maneira: largura

Tomar banho, lavar as mãos e escovar os dentes: A primeira ideia que devemos ter clara, antes de iniciar qualquer cálculo, é a de como devemos comparar as situações antes e depois para que o custo das portas seja o mesmo. Em outras palavras, o que será preservado. E a resposta é: o custo com o material. Este por sua vez é obtido através do volume de material utilizado. A porta é um prisma retoretângulo (paralelepípedo) e seu volume á calculado por:

Como a espessura não será alterada, então basta compararmos as áreas das portas, antes e depois. Como a área de um retângulo é dada pelo produto das dimensões adjacentes, teremos:

De acordo com o enunciado devemos aumentar em a altura da porta. Logo teremos:

Dar descarga: Beber e cozinhar: O consumo de 29,6 litros (2ª coluna da tabela), referente a tomar banho, lavar as mãos e escovar os dentes, foi obtido pela soma dos valores presentes no quadro:

A diferença entre o estipulado pela ONU e o recomendado segundo o quadro será:

Comentário: Ao interpretar o enunciado, notamos que ele sugere uma comparação entre duas situações de consumo, uma determinada pela ONU e outra uma sugestão de consumo. A nós bastava calcular as porcentagens tomando como base o consumo médio de 200 litros. Conteúdos envolvidos: Porcentagem e as 4 operações básicas.

Calculando as áreas antes e depois do aumento da altura da porta temos: ÁREA NOVA: ÁREA ANTERIOR: Como as áreas serão preservadas, isto significa que serão iguais e, portanto devemos igualar as expressões das áreas.

QUESTÃO 138: Alternativa D Primeiramente precisamos relembrar a definição de mediana: “Mediana é uma medida de tendência central em uma amostra de dados ordenada crescentemente ou decrescentemente. Caso a amostra possua um número ímpar de dados, a mediana será o próprio valor central. Caso a amostra possua um número par de dados, a mediana será a média aritmética entre os dois valores centrais.” Em outras palavras devemos ordenar as notas obtidas nas quatro disciplinas por cada candidato. Para esta solução iremos ordenar de forma crescente, organizando em uma tabela:

Comentário: Nesta edição, o ENEM explorou bastante – mais que nos outros anos – a ideia de proporcionalidade, comparando a área entre duas figuras. Para incrementar o problema, foi utilizado no acréscimo uma fração e um tema bem recorrente que é a razão. Conteúdos envolvidos: Proporção, área de figuras planas, igualdade entre expressões, razão e operações com fração.

Candidato K L M N P

Notas 33 32 34 24 16

33 33 35 35 26

33 34 35 37 36

valores centrais

34 39 36 40 41

Mediana 33 33,5 35 36 31


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129

De acordo com a nossa definição, como a amostra possui um número par de dados, logo para calcular a mediana devemos obter a média aritmética entre os valores centrais:

Para cada metro de altura do silo, a largura do topo tem 0,5 m a mais do que a largura do fundo. Isto nos dá a seguinte relação: .

Candidato K:

Substituindo

B

e

h

temos:

Candidato L: Portanto, o volume do silo será: Candidato M: Candidato N:

Finalmente, para calcular a quantidade máxima de forragem que cabe no silo, devemos efetuar uma Regra de Três, sabendo que 1 tonelada de forragem ocupa 2 m3 dele.

Candidato P: Segundo o edital de seleção, o candidato aprovado será aquele que possuir a maior mediana, portanto será o candidato N. Comentário: A questão avaliou apenas o conceito estatístico de mediana, através de uma amostra com apenas quatro valores sendo, todos eles, bem próximos, o que facilitou os cálculos. Entretanto, foi preciso que o candidato detivesse o conceito de mediana bem fixado, para o caso de uma amostra com um número par de dados. Conteúdos envolvidos: Estatística: mediana. QUESTÃO 139: Alternativa A Prisma é um sólido geométrico que possui ao menos um par de faces opostas paralelas e congruentes, as quais são chamadas de base do prisma. O nome do prisma será dado em função do polígono da base. No nosso caso, o silo é um prisma reto, pois suas arestas laterais são perpendiculares em relação às bases e trapezoidal pois o polígono das faces é um trapézio. O volume de um prisma é calculado da seguinte forma:

Como a base é um trapézio, vamos recordar a famosa relação de sua área:

Comentário: A questão envolveu duas fórmulas da Geometria que o candidato necessitava ter memorizado. Entretanto, são duas relações bem conhecidas e que, em geral, são bastante abordadas. O que talvez tenha tornado a questão mais interessante, e elevado seu grau de dificuldade, foi a obtenção da largura do fundo. O enunciado não explicitou seu valor, embora tenha dado todas as informações necessárias para que o aluno escrevesse uma expressão para que o obtivesse. Por fim, a questão encerrou com uma Regra de Três, um conceito presente anualmente e em diversas questões do ENEM. Conteúdos envolvidos: Geometria espacial (Prismas), Geometria Plana (Áreas), Equacionamento e Regra de Três. QUESTÃO 140: Alternativa D Observando a Figura 2, concluímos que a área disponível para a reprodução da gravura é um retângulo de dimensões 36 cm X 24 cm. A gravura da Figura 1 possui dimensões 8 m X 6 m, o que em centímetros é 800 cm X 600 cm. Observando que as dimensões foram descritas como largura X altura. Antes de pensar em qualquer cálculo, devemos responder uma pergunta: os retângulos de ambas as figuras são semelhantes, isto é, seus lados correspondentes são proporcionais? Vamos conferir: Largura: Altura:

Unindo as duas relações, teremos o volume de um prisma trapezoidal:

Voltando ao enunciado, vamos explicitar todas as dimensões do silo, para então substituirmos na relação que obtivemos:

Se as razões não são iguais, logo os retângulos não são semelhantes. Entretanto, o enunciado nos diz que a reprodução da gravura deve ocupar o máximo possível da região disponível. Isto significa que precisamos obter uma escala de tal forma que ambos os retângulos sejam semelhantes. Sendo assim, devemos ter claro que irá “sobrar” em alguma das dimensões. Não é difícil concluir que será na largura, afinal queremos preencher o máximo possível da região disponível e é nesta dimensão que a razão é a menor. Portanto, a escala a ser usada será de 1 : 25. Comentário: Novamente o Enem voltou a cobrar conhecimento sobre escalas. Uma questão que exigia tranquilidade do participante para entender as condições impostas no enunciado.


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Conteúdos envolvidos: Figuras semelhantes (proporção) e escala. QUESTÃO 141: Alternativa D Ao enrolarmos uma folha quadrada de modo a unir seus lados opostos (ou em torno de um cilindro), notaremos que os outros dois lados formarão uma circunferência cujo comprimento é exatamente a medida do lado do quadrado. Veja a ilustração abaixo:

130

O que nos leva à sequência: 2,4 t; 7,2 t; 2,4 t Comentário: A questão abordou basicamente a habilidade do aluno em calcular porcentagens, que é de fato um conceito bastante utilizado no cotidiano. Conteúdos envolvidos: Porcentagem e as 4 operações básicas. QUESTÃO 143: Alternativa C Da própria interpretação do enunciado tiramos que o número representado pela figura 2 terá, contando a quantidade de nós em cada uma das ordens:

O comprimento de uma circunferência cujo diâmetro mede d é dado por:

O enunciado diz que o canudo do diploma será enrolado, sem folga, em torno de um cilindro de madeira cujo diâmetro é d, dando 5 voltas. Logo, o lado da folha de papel quadrado deverá ser suficiente igual a cinco vezes o comprimento de 1 volta. Assim, a medida (L) da folha de papel deverá ser:

Comentário: A questão abordou exclusivamente o conceito de ordens e classes de um algarismo em um número. Como curiosidade: um dos grandes avanços na história dos sistemas de numeração foi a criação de um sistema posicional, onde cada algarismo não representa a mesma quantidade, dependendo da posição que ele ocupar no numeral. Isto permitiu uma grande agilidade nos cálculos. O que já não acontecia, por exemplo, com os números romanos, onde cada algarismo, para a maioria dos símbolos, representava a mesma quantidade, independente da posição que ele ocupa no numeral. Conteúdo envolvido: Ordens e classes de um numeral no sistema decimal.

Como todas as unidades estão compatíveis e em centímetros, esta é a resposta esperada. Comentário: Para esta questão, o único conhecimento que o candidato necessitava é o cálculo do comprimento de uma circunferência ( ). De resto, a questão avaliou a habilidade de visualizar a folha quadrada dobrada em torno de um cilindro, assumindo o seu formato, isto é, 2 de seus lados formarão uma circunferência.

QUESTÃO 144: Alternativa E Para resolver esta questão, são necessários apenas 2 cálculos: um para obter quantos metros quadrados equivale 1 hectômetro quadrado e outro para obter quantos metros quadrados equivale a 8 hectares, que é a resposta da pergunta. O enunciado nos dá a informação de que 1 hectare corresponde a 1 hectômetro quadrado. A nós, basta lembrar que 1 hectômetro corresponde a 100 m. Agora vamos aos cálculos:

Conteúdos envolvidos: Geometria (circunferências) QUESTÃO 142: Alternativa C Como serão três apoios e o ponto central receberá 60% da carga, e os outros dois receberão o restante de forma igualitária. Ou seja, receberão 20% cada.

Uma ideia visual do problema seria:

Como 1 ha = 1 hm2, então:

Comentário: Além da conversão de unidades, a questão abordou o conhecimento de um dos prefixos da potência de base 10 . No cotidiano, são mais usuais outros prefixos, como kilo , Mega , mili ou nano . Conteúdos envolvidos: Conversão de unidades (hectare → metro quadrado)

ponte

QUESTÃO 145: Alternativa C

20%

60%

20%

Por fim, como a carga máxima será de 12 t, cada apoio receberá: Apoio central: Apoios laterais:

A ideia principal da questão é efetuarmos uma divisão entre o volume total de álcool em gel comprado e a quantidade total de recipientes comprados. Cada um dos 16 galões possui 4 litros de álcool em gel. Logo, o total será o produto entre estes valores. Analogamente, serão 10 escolas, cada uma com 20 recipientes. Desta maneira os cálculos serão: Volume total de álcool em gel:


infoEnem Quantidade

total

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recipientes:

Capacidade de cada recipiente:

Portanto, será o Recipiente III. Comentário: Outra maneira de resolver a questão seria testando as alternativas, realizando o produto entre os 200 recipientes e a capacidade de cada reservatório até atingir os 64 litros totais. Entretanto, este processo provavelmente demandaria um pouco mais de tempo. Conteúdos envolvidos: As quatro operações básicas. QUESTÃO 146: Alternativa A Vamos supor que a quantidade de luz proveniente de uma fonte externa que atravessará o vidro seja Q. Assim, se considerarmos os limites inferior e superior, 70% e 90%, respectivamente, de transparência dos vidros, o que passaria desta quantidade de luz seria: Limite inferior:

131

Sendo o diâmetro da parte central constante, então a altura (h) da água também deverá se elevar de modo constante, ou seja, uma reta; Nas partes extremas, que são troncos de pirâmide, a curva do gráfico deverá ter um comportamento exponencial. Inicialmente, na parte inferior, a altura (h) se eleva lentamente e à medida que passa o tempo (t) ela vai se elevando mais rapidamente. De modo análogo, inicialmente na parte superior, a altura (h) se eleva mais rapidamente e à medida que passa o tempo (t) ela vai se elevando mais lentamente. Se considerarmos apenas os itens 1, 2, 3 e 4 podemos eliminar 3 alternativas e nos atemos apenas às alternativas d e e. Agora, compreendendo o item 5 não nos resta dúvida que a alternativa correta é a letra d. Vejamos em separado o nível da água subindo em cada parte da estátua: Parte inferior (tronco de cone):

Parte central (cilindro):

Limite superior: Agora essa quantidade de luz que passou deverá atravessar a película que, por sua vez, possui os limites inferior e superior de 50% e 70%, respectivamente, ou seja, teremos: Limite superior:

Parte superior (tronco de cone):

Isto é, passará 35% da quantidade de luz que incidiu. Limite inferior: Isto é, passará 63% da quantidade de luz que incidiu.

Ao unir os 3 gráficos teremos: h

O enunciado usou a letra P para representar a porcentagem de luz que atravessou o vidro e a película. Portanto, os limites inferior e superior serão, respectivamente, 35% e 63%. Na notação de intervalo será:

Comentário: O conceito principal que a questão aborda é a aplicação de porcentagem sobre porcentagem, o que nos remete ao produto entre elas. Não é obrigatório, mas como vimos, a notação de porcentagem como um número decimal facilita bastante a resolução do problema.

t

Comentário: Apesar de estar envolvido no problema sólidos da Geometria Espacial, tronco de cone e cilindro, nem um cálculo a respeito deles foi necessário e tampouco suas definições. Por outro lado, o conceito sobre curvas exponenciais é imprescindível para a resolução da questão.

Conteúdos envolvidos: Porcentagem. QUESTÃO 147: Alternativa D Para a resolução desta questão devemos observar alguns detalhes importantes: Como a figura é simétrica em relação ao eixo horizontal que passa pelo seu centro, o gráfico também deverá apresentar alguma simetria, que veremos mais adiante; Nas secções mais largas da escultura, a altura (h) da água deverá se elevar mais lentamente em relação às secções mais estreitas, como a parte central;

Conteúdos envolvidos: Interpretação de gráficos (exponencial e reta) e Geometria Espacial. QUESTÃO 148: Alternativa E Nesta questão, é fundamental o conhecimento de Geometria Espacial, mais especificamente do cone (definição e/ou planificação). Vamos a sua definição: “cone é um sólido geométrico formado a partir da revolução de um triângulo isósceles em torno da reta suporte de sua altura relativa à base.”.


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Voltando ao enunciado, nele há uma informação decisiva na resolução da questão: “... precisa ser revestido externamente ... desde sua base (base do cone) até metade de sua altura...”. Isso significa que o adesivo não será um cone, e sim um tronco de cone. Vejamos a diferença entre os dois sólidos juntamente com suas planificações:

132

Da 1ª equação obtemos o valor de c:

Cone: Substituindo seu valor, o sistema ficará da seguinte forma:

planificação Tronco de cone:

Obtido o valor de a, podemos substitui–lo em qualquer uma das 2 equações para obter o valor de b. Por facilidade usaremos a 1ª equação:

De posse de todos os valores, a nossa função de fato será um polinômio do 2º grau cuja expressão será:

planificação Como o adesivo será a planificação de um tronco de cone, a forma esperada é a da alternativa E. Comentário: Uma questão que não envolve nenhum cálculo, somente a definição de cone e sua planificação. Sendo assim, as únicas possibilidades de resposta estão nas alternativas D e E. Entretanto, como o enunciado diz que o adesivo deve ir somente até a metade do cone, então teremos um corte na planificação, ou seja, alternativa E. Conteúdos envolvidos: Geometria Espacial (planificação)

Comentário: Como visto na proposta de resolução, a escrita de um polinômio genérico do 2º grau assim como a resolução do sistema 3 por 3 são crucias para chegar à resposta correta. No caso do sistema, utilizamos o método da adição. Entretanto, caso o aluno prefira, é possível resolvê–lo pelo método da substituição. A justificativa do fato da função não poder ser um polinômio do 1º grau é a impossibilidade de obtermos uma expressão do tipo f(x) = ax + b que satisfaça os 3 pares ordenados. Se localizarmos os 3 pontos em um plano cartesiano, verificaremos que não existirá nenhuma reta que passe por eles ao mesmo tempo.

QUESTÃO 149: Alternativa A Conteúdos envolvidos: Funções e sistemas lineares. A primeira ideia fundamental nesta questão é escrevermos por quais pontos o gráfico da função procurada irá passar, ou em outras palavras, quais serão os pares ordenados (x, y) que irão satisfazer a função . E o enunciado nos mostra que serão três:

Analisando os pontos, jamais tal função poderá ser um polinômio de 1º grau (ou uma função afim). Mas mesmo sem esta conclusão, podemos continuar a resolução através da informação do enunciado de que a função terá grau menor que 3. Sendo assim, usaremos a segunda ideia fundamental que é escrevermos uma função quadrática genérica, da seguinte forma:

Agora, nos resta encontramos os valores dos coeficientes a, b e c. Se por um acaso a função fosse afim, ao final, encontraríamos o valor para a = 0. Aplicando os valores dos 3 pares ordenados, teremos o seguinte sistema linear:

QUESTÃO 150: Alternativa E Para esta questão, iremos precisar do conceito de um importante teorema da Matemática relativo aos números primos, chamado Teorema Fundamental da Aritmética: “todo número inteiro positivo pode ser decomposto de maneira única, a menos da ordem, como um produto de número primos.” De modo geral podemos decompor de maneira única um número N, em fatores primos, da seguinte forma:

Observe que os expoentes podem assumir o valor zero, o que significa que caso algum número primo não apareça na decomposição, seu expoente será 0. Portanto, o resultado da potência será 1, o que não irá interferir na decomposição, afinal todo número real elevado a 0 é igual a 1.


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Agora vamos ao problema da questão que nos traz o seguinte número N decomposto:

O fato de N ser múltiplo de 10, significa que na fatoração de N irá aparecer pelo menos um fator 2 e pelo menos um fator 5, ou seja, tanto o expoente x como o expoente y são diferentes de 0. Do mesmo modo que o fato de N não ser múltiplo de 7 significa que na fatoração de N não haverá nenhum fator 7, ou seja, o expoente z será igual a 0. Entretanto, tais conclusões não serão relevantes para chegarmos à resposta e escrevemos apenas a título de aprofundamento, pois faz parte do enunciado. Para obtermos o número de divisores de um número N a partir de sua decomposição em fatores primos, devemos obter todas as combinações possíveis para seus expoentes incluindo o zero. Assim, em nosso caso, as possibilidades para o expoente do fator 2 são iguais a x mais o zero, isto é, x + 1. De modo análogo, as possibilidades para os expoentes y e z, respectivamente são y + 1 e z + 1. Para finalizar, devemos, utilizando o princípio multiplicativo, efetuar o produto de todas as possibilidades dos expoentes x, y e z para obtermos todos os divisores do número N. Entretanto, o enunciado nos impõe uma restrição, os divisores de N diferentes de N. Assim, do produto obtido, devemos retirar uma possibilidade que é o próprio número e portanto a expressão será:

133

QUESTÃO 151: Alternativa A Primeiramente devemos lembrar que existe uma condição para a existência de um triângulo quanto aos seus lados chamada de desigualdade triangular: “a medida de qualquer lado de um triângulo é sempre menor ou igual à soma de seus dois outros lados.”. Então, vamos supor que as medidas dos lados do triângulo que se deseja construir na questão sejam a, b e 6, onde a e b representam o número de palitos que compõem o lado. Então, segundo a desigualdade triangular, teremos as seguintes condições:

a

6

b

Como cada triângulo será construído com exatamente 17 palitos, temos ainda:

Comentário: A questão é totalmente conceitual, baseada em conteúdos bem simples, como a decomposição em fatores primos e divisores de um número a partir de sua decomposição. Contudo, a união deles tornou a resolução da questão um pouco mais complexa, ainda mais por estar na forma literal, o que exige um domínio maior desses conteúdos. Para visualizarmos melhor, vejamos um exemplo numérico. Vamos supor que o número N seja 200, cuja decomposição é . Note que o fato do expoente do 7 ser 0 nada interfere na decomposição. O número de possibilidades para os divisores de N, incluindo ele próprio, serão:

Agora, basta encontrarmos todas as possibilidades para os valores de a e b que atendem as restrições impostas pela condição de existência de um triângulo.

Se fizermos todas as combinações teremos:

Finalmente vamos testar quais destes valores para a e b podem ser usados:

Porém, o enunciado diz que devemos contar a quantidade de triângulos não congruentes dois a dois, o que significa que, por exemplo, o triângulo de lados 1, 10 e 6 e o de lados 10, 1 e 6 são iguais e, portanto não podemos contá-los duas vezes. Assim nossas possibilidades diminuem para:

Triângulo de lados 1, 10 e 6:

Triângulo de lados 2, 9 e 6:

Triângulo de lados 3, 8 e 6:

Chamamos de divisor próprio de um número N todo número que o divide, mas que é diferente dele, que é exatamente o que a questão pede. Neste nosso exemplo, o número de divisores próprios de 200 é 11. Conteúdos envolvidos: Decomposição, divisor próprio de um número natural e análise combinatória (princípio multiplicativo).

Triângulo de lados 4, 7 e 6:


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Triângulo de lados 5, 6 e 6:

Como só foram em 3 situações que os lados atenderam as 3 condições de existência de um triângulo, simultaneamente, será esta a quantidade máxima de triângulos não congruentes dois a dois que poderão ser construídos com os 17 palitos. Comentário: A questão é mais trabalhosa do que propriamente difícil. O conceito de existência de um triângulo em função de seus lados é um tanto quanto elementar e bastava ao aluno testar as possibilidades considerando as restrições impostas no problema.

134

QUESTÃO 153: Alternativa B Como são 5 portões e em cada um deles haverá 4 catracas, ao todo serão 20 catracas. O enunciado diz que o público foi dividido igualmente entre os portões e catracas, ou seja, as 20 que calculamos. Se cada ingresso representa uma pessoa, dividindo as 45 000 pessoas (considerando que todos irão ao show) que passarão igualmente pelas 20 catracas, teremos:

Ainda de acordo com o enunciado, em cada catraca passará uma única pessoa a cada 2 segundos. Então, pensando em apenas uma das catracas, o tempo que levará para que as 2250 pessoas passem por ela será:

Conteúdos envolvidos: Condição de existência de um triângulo. QUESTÃO 152: Alternativa D Analisando a trajetória da criança, percebemos que ela descreve um arco de circunferência. Na verdade, até no máximo a metade, já que o enunciado diz que a corda não alcança a posição horizontal. A corda tem 2 metros de comprimento e esta, portanto, é a medida do raio da circunferência cujo centro é o topo do suporte, que por sua vez representa a origem (0, 0) do plano cartesiano. Agora será necessário recordarmos a equação de uma circunferência:

Comentário: A resolução da questão advém principalmente da boa interpretação do enunciado e da habilidade que o aluno tem em reconhecer, de acordo com o problema, qual, entre as quatro operações básicas, deve ser utilizada. Ao final, foi preciso realizar uma conversão de unidade de segundos para horas e minutos. Conteúdos envolvidos: As quatro operações básicas e conversão de unidades (tempo). QUESTÃO 154: Alternativa E O primeiro e mais essencial passo que o aluno deve realizar nesta questão é completar todas as medidas da planificação imaginando a caixa montada. Vejamos a figura abaixo:

Substituindo as coordenadas do centro de nossa circunferência que é o ponto (0, 0) e o raio que é 2, teremos:

24 cm

24 cm

Esta seria a equação da circunferência se quiséssemos considerá-la completa. Entretanto, devemos somente considerar a parte abaixo do eixo x, ou melhor, a parte negativa do eixo y, onde se encontra a trajetória realizada pela menina se balançando. Sendo assim, vamos isolar a incógnita y da equação obtida e separar a parte positiva da negativa, que é a que queremos:

24 cm

42 cm

24 cm

x

x

24 cm

24 cm

x

Planificação

24 cm

Tomando apenas a componente negativa e trocando a notação de y por f(x) temos:

x 42 cm

Comentário: A questão combina dois grandes ramos da Matemática que são a Álgebra e a Geometria Analítica. Embora não seja comum em questões do ENEM, esta questão necessariamente exige do aluno a memorização da equação geral de uma circunferência e saber aplicá–la. E ainda entender que por estar a curva abaixo do eixo x, é preciso isolar a variável y e considerar apenas a sua componente negativa. Conteúdos envolvidos: Geometria analítica (equação de uma circunferência) e funções.

Caixa montada O valor 42 cm foi obtido da seguinte maneira:


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Agora, como a soma das dimensões da bagagem (altura + comprimento + largura) não pode exceder 115 cm, podemos calcular o valor de x:

135

Realizar este cálculo durante a prova oficial talvez não seja tão difícil, mas sim trabalhoso. Pensando nisto, mostraremos duas maneiras, uma com mais passagens, porém com cálculos mais rápidos e outra com menos passagens, porém com cálculos mais lentos:

Comentário: As habilidades e competências envolvidas nesta questão são as de uma visão espacial em que o aluno deve conseguir abstrair e visualizar como ficaria a caixa montada. No momento do exame, uma estratégia boa é a de usar a própria folha da prova para tentar montar e assim visualizar mais facilmente. Conteúdos envolvidos: Geometria Plana (planificações) e as quatro operações básicas. QUESTÃO 155: Alternativa D O volume de um paralelepípedo retangular reto é dado pelo produto de suas dimensões largura, comprimento e altura. Sendo assim, o volume da lata atual é:

A base da nova lata irá aumentar em 25% em suas dimensões. A figura a seguir representa as mudanças na base com as medidas em centímetros:

Ou Comentário: Como visto, a resolução da questão é relativamente simples, com conceitos bem elementares. Contudo, ela exige que o aluno trace previamente toda a estratégia de solução e suas etapas antes de começar a realizar qualquer cálculo. A última parte apresentou divisões e multiplicações mais trabalhosas, mas que com um pouco de técnica aritmética é possível contorná-las. Conteúdo envolvido: Geometria espacial (Volume de um paralelepípedo), equação de 1º grau e porcentagem. QUESTÃO 156: Alternativa B

De posse das novas dimensões da base, vamos calcular o novo volume sendo h o valor da nova altura:

A lata nova terá o mesmo formato e volume da atual. Portanto, vamos igualar as duas expressões de volume que obtivemos:

Uma pergunta importante que podemos fazer é a seguinte: qual é o volume total de esgoto? O enunciado fala em quantidades e porcentagens de esgoto tratado e não tratado, mas não diz de quanto. Esta informação será fundamental para resolvermos o problema. Os dados apontam para 36% de esgoto tratado e 8 bilhões de litros não tratados. Sendo assim podemos concluir que estes 8 bilhões de litros são referentes a 64% do esgoto:

Vamos chamar de V o volume total de esgoto, tratado e não tratado, e calcular seu valor, pensando que 64% dele resulta em 8 bilhões de litros:

Se chamarmos de p a porcentagem que a altura da lata atual (40 cm) deve ser reduzida para se obter a altura da lata nova (h cm), podemos escrever a seguinte expressão:

Igualando as duas expressões de h, teremos:

O mesmo raciocínio será usado para responder à pergunta. O enunciado nos informa de uma redução no volume, em litros, de esgoto não tratado, porém nos pede a porcentagem de esgoto tratado após a meta da campanha se concretizar. Então, vamos calcular qual a porcentagem p que 4 bilhões de litros representam em relação aos 12,5 bilhões totais e esta porcentagem subtrair de 100%:


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Em resumo, vejamos na tabela a seguir os volumes e porcentagens de esgoto tratado e não tratado antes e depois da campanha:

Tratado Não tratado Total

ANTES Porcentagem Volume (%) (L) 4 500 36 000 8 000 64 000 12 500 100 000

DEPOIS Porcentagem Volume (%) (L) 8 500 68 000 4 000 32 000 12 500 100 000

Comentário: Outra forma de resolver a questão seria observarmos que a meta da campanha é reduzir pela metade o volume de esgoto não tratado de 8 bilhões para 4 bilhões. Portanto, de 64% de esgoto não tratado, após a campanha, passaríamos a 32% e consequentemente a porcentagem de esgoto tratado passaria a ser 68%. Além de abordar o conceito de porcentagem, a questão envolve a ideia do complementar. Como só existem 2 possibilidades, esgoto tratado e não tratado, uma vez que seja informado a porcentagem de um, automaticamente temos a porcentagem do outro pelo complementar, isto é, o quanto falta para completar os 100%. Conteúdos envolvidos: Porcentagem. QUESTÃO 157: Alternativa B A ideia fundamental nesta questão é que para manter as mesmas condições, o aumento na receita será referente exclusivamente aos salários dos novos funcionários. Mas sem saber quanto cada categoria ganha ficará difícil de chegarmos à resposta. Portanto, vamos aos cálculos, obtidos a partir do gráfico 1 e do gasto mensal com os salários: Categoria: Ensino Fundamental (12,5%):

Categoria: Ensino Médio

136 Categoria Ensino Fundamental Ensino Médio Ensino Superior

Por categoria (R$) 50 000 300 000 50 000

Por funcionário (R$) 1 000 2 000 5 000

Por fim, ainda tomando como base o gráfico 2, vamos calcular o gasto salarial considerando apenas a diferença entre o número de funcionários em 2013 e o número de funcionários em 2014: Categoria: Ensino Fundamental (20 funcionários novos):

Categoria: Ensino Médio (30 funcionários novos):

Categoria: Ensino Superior (10 funcionários novos):

Somando os 3 gastos, o aumento na receita para que o lucro em 2014 seja o mesmo que em 2013 será:

Comentário: O maior objetivo da questão, sem dúvidas, é avaliar a habilidade e competência do aluno em ler e interpretar gráficos, que no caso foi utilizado o de pizza e barras. Feito isso, bastava ao aluno realizar operações envolvendo porcentagens, divisão, multiplicação, subtração e adição. Conteúdos envolvidos: Interpretação de gráficos, porcentagem e as quatro operações básicas. QUESTÃO 158: Alternativa D Razão entre dois números é a divisão entre eles. Logo, se o desempenho proposto pelo problema é a razão entre o total de vezes em que o jogador derruba todos os pinos e o número de jogadas, vamos aos cálculos: Desempenho do jogador I:

(75%): Desempenho do jogador II:

Categoria: Ensino Superior

(12,5%):

Desempenho do jogador III:

Agora, do gráfico 2, para o ano de 2013, conseguimos calcular o salário por funcionário em cada uma das 3 categorias:

Desempenho do jogador IV:

Categoria: Ensino Fundamental (50 funcionários):

Desempenho do jogador V:

Categoria: Ensino Médio (150 funcionários):

Comentário: O próprio enunciado instrui o aluno quanto ao que deve ser feito para resolver a questão. Bastava comparar as frações que possuem denominadores diferentes. Para tanto, podemos igualar os denominadores como efetuar as divisões. Como obter um denominador comum despenderia mais trabalho, optamos por efetuar a divisão que, neste caso, é bem mais simples.

Categoria: Ensino Superior (10 funcionários):

Para visualizarmos melhor, a distribuição salarial por categoria por funcionário em 2013 ficou:

O jogador IV foi o que apresentou maior desempenho: 0,75.

Conteúdo envolvido: Razão e comparação entre frações.


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QUESTÃO 159: Alternativa A Para resolver esta questão, precisamos recordar do conceito de média ponderada: “é a divisão entre o somatório dos produtos dos valores com seus respectivos pesos, e a soma de todos os pesos.”. Em outras palavras, iremos multiplicar as notas de cada uma das duas disciplinas pelos seus respectivos pesos, somar estes dois valores e dividir pelo soma dos pesos. Os pesos das provas de Química e Física são 4 e 6, respectivamente. Vamos chamar de Q a nota da prova de Química e F a nota da prova de Física. Assim, a média ponderada será calculada da seguinte forma:

137 Valor mensal (em reais)

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E 70 60

D

50

C B A

40 30 20 10 0 0

De acordo com as notas fornecidas pelo quadro, vamos calcular as médias dos 3 candidatos: Candidato I:

10

20 30 40 50 60 Tempo mensal (em minutos)

Analisando cada reta, vemos que das cinco, a única que não está na faixa dos R$ 30,00 é a reta B. A reta A, para um gasto de R$ 30,00 permite 20 minutos. A reta C, 30 minutos. Já a reta D não permite nenhum minuto e a reta E um pouco mais de 20 minutos, mas menos que 30. Logo, dos planos apresentados, o mais vantajoso em tempo de chamadas para um gasto de R$ 30,00 é o plano C.

Candidato II:

Candidato III:

Comentário: O único conceito necessário para resolver a questão diz respeito à localização de pontos no plano cartesiano. Conteúdos envolvidos: Interpretação de gráficos. QUESTÃO 161: Alternativa E

Comparando as médias entre os candidatos I e III, vemos que o último não tem mais chances. Assim, o candidato II, se quiser vencer, deverá obter uma média maior que a do candidato I. Portanto, iremos escrever uma inequação entre a média dos dois. Posteriormente, deveremos aumentar o resultado para o próximo número inteiro, afinal o enunciado nos diz que as notas são sempre números inteiros.

De acordo com as informações a respeito do formato da pílula, podemos escrever a relação do volume em função de seu comprimento c e de seu raio r. Antes disso, vamos entender como é formada as tais pílulas: r

r

r c

Comentário: Em estatística, usamos a média ponderada quando observamos que a influência de um determinado dado é maior do que outro e, por este motivo, adotamos pesos diferentes para cada um deles. A média aritmética, mais comumente utilizada, é um caso particular de média ponderada, onde todos os dados possuem o mesmo peso e são todos iguais a 1. Conteúdo envolvido: Média ponderada e inequação do 1º grau. QUESTÃO 160: Alternativa C A resolução desta questão provém totalmente da interpretação do gráfico. Nele, devemos observar a faixa onde o gasto mensal é R$ 30,00. Em outras palavras, observar a linha horizontal onde o valor no eixo y é 30. Daí, analisando esta faixa, devemos procurar qual das cinco retas cruza a linha horizontal mais à direita. Ela representará o maior tempo mensal de chamadas, em minutos, para o gasto previsto de R$ 30,00, ou seja, a proposta mais vantajosa. Vamos ao gráfico:

A parte central é um cilindro e as extremidades são semiesferas, segundo o enunciado, onde os raios são todos iguais. Já que as duas semiesferas são iguais, seus volumes somados são iguais a de uma esfera inteira de mesmo raio. Agora, vamos recordar as expressões de volume tanto de um cilindro quanto de uma esfera: Volume de um cilindro:

Volume de uma esfera:

Assim o volume de nossa pílula será usando

:


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escada e como será a trajetória considerando apenas o corrimão separadamente:

De posse da expressão do volume da pílula, podemos comparar a redução de seu volume antes e após a reprogramação da máquina. Antes o raio era de 5 mm e depois passou para 4 mm. O comprimento de 10 mm não se alterou. Desta maneira, podemos calcular os volumes: Antes:

Depois:

A diferença entre os dois, portanto, a redução após a reprogramação da máquina será:

Comentário: A ideia de se obter uma expressão geral para o volume da pílula em função de seu raio e comprimento, a princípio, pode parecer mais trabalhosa. Contudo, uma vez descoberta esta expressão, além de facilitar os cálculos, também permite menos gasto de tempo. Porém, caso o aluno prefira, é possível resolver a questão calculando os volumes separadamente, obtendo o mesmo resultado. Uma observação importante é de que sem o conhecimento prévio das expressões para o cálculo de volume tanto do cilindro quanto da esfera, a tarefa de resolver a questão se torna muito mais difícil.

Pelo desenho, a figura que representa melhor a projeção ortogonal sobre o piso do caminho percorrido pela mão da pessoa é a da alternativa C. Comentário: Esta questão exige do aluno uma visão espacial e a capacidade de visualizar, ainda que de forma abstrata, a vista superior da figura. A percepção de que a projeção ortogonal será formada apenas no plano que contém o piso da casa é fundamental. Isto nos mostra, por exemplo, que as alternativas D e E estão descartadas, já que representam a trajetória real da mão tanto na horizontal como na vertical. A alternativa A só representa parte do movimento. Já a alternativa B representa uma trajetória elíptica o que está em desacordo com o enunciado que diz que a escada é circular. Conteúdo envolvido: Projeção ortogonal. QUESTÃO 164: Alternativa B

Conteúdos envolvidos: Geometria espacial (volume do cilindro e da esfera)

A boa interpretação do enunciado mostra que para responder qual reagente atende às expectativas do pesquisador não basta que calculemos apenas a média aritmética entre os resultados dos 5 experimentos de cada um deles. Além disso, precisamos analisar qual foi o reagente que apresentou, na tabela, mais resultados acima desta média calculada, simplesmente contando. Sendo assim, vamos primeiro calcular a média entre os resultados de cada reagente para depois contá-los:

QUESTÃO 162: Alternativa D

Reagente I:

Porcentagem é a uma fração onde o numerador é a parte e o denominador é o todo. Para calcular seu valor, basta dividirmos um pelo outro e multiplicar o resultado por 100. Do enunciado, iremos considerar apenas a área de 80 milhões de hectares para a agricultura em relação aos 853 milhões de hectares referentes ao território brasileiro. Calculando a porcentagem, teremos:

Reagente II: Reagente III: Reagente IV: Reagente V:

Comentário: O enunciado traz diversas informações e valores. A sua boa interpretação leva somente aos valores importantes para a resolução, cabendo ao aluno identificá-los. Conteúdos envolvidos: Porcentagem

Voltando à tabela, o reagente que apresenta mais resultados acima de sua própria média é o II. Sua média é 4,8 e o único valor, entre os cinco, que não está acima dela é o primeiro com 0. Os seus outros quatro resultados (6, 7, 6 e 5) estão acima dos 4,8.

QUESTÃO 163: Alternativa C

A tabela abaixo resume todas as informações:

A ideia por trás desta questão é como se comportaria a sombra da mão dessa pessoa caso imaginássemos uma fonte de luz apontada do topo da escada para baixo, perpendicularmente a ela. Esta é uma forma de interpretar o conceito de projeção ortogonal. Por este motivo, devemos apenas considerar o movimento da mão no plano horizontal como se a pessoa não estivesse subindo a escada. Vamos observar a vista superior da


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consumo máximo de 134,1 que é justamente a alternativa A. Contudo, isto poderia ter sido levado em conta antes de escrevermos a primeira equação. Perceba que pensando somente no consumo de 150 kWh, uma redução de 10% geraria um consumo máximo de 135 kWh, valor que já se enquadra na terceira faixa.

Reagente 1

Reagente 2

Reagente 3

Reagente 4

Reagente 5

Experimento 1

1

0

2

2

1

Experimento 2

6

6

3

4

2

Experimento 3

6

7

8

7

9

Experimento 4

6

6

10

8

10

Conteúdo envolvido: Porcentagem e inequação.

Experimento 5

11

5

11

12

11

QUESTÃO 166: Alternativa B

Média

6,0

4,8

6,8

6,6

6,6

Valores acima da média

1

4

3

3

3

Comentário: Um único cuidado nesta questão que poderia levar o aluno ao erro seria considerar como resposta o reagente que apresenta maior média entre os resultados, o que levaria à alternativa C. Fora isso, bastava calcular a média e contar. Conteúdo envolvido: Média aritmética. QUESTÃO 165: Alternativa C Diante da pergunta, fica claro que antes de qualquer coisa é preciso que calculemos o valor do custo total atual, depois reduzirmos este custo em 10%, para finalmente encontrar qual deve ser o custo máximo para que se produza a redução pretendida. Lembrando que há variações para o valor da Cosip, dependendo da faixa de consumo. Sabendo que o consumo durante o mês da residência é de 150 kWh, o que se enquadra na quarta faixa da Cosip de R$ 4,50, e o valor do kWh (com tributos) é de R$ 0,50, usaremos a expressão fornecida para calcular o custo total:

Com a redução de 10%, o custo total não poderá exceder:

Um detalhe importante que precisamos levar em conta é o da não repetição dos filmes de ação. O enunciado diz que o cliente, na primeira etapa, alugará um filme de ação e um de comédia. Quando se esgotarem os de comédia, ele continuará alugando de ação, mas agora com um de drama. Para formar os quatro pares de filmes que serão alugados, podemos fazer a seguinte representação: As letras acima dos traços representam o gênero do filme: A significa filme de ação, C significa comédia e D significa drama. Os números abaixo dos traços representam o número de possibilidades que podem ser escolhidos.

O número total de possibilidades será o produto entre todas elas. Mas se observarmos individualmente cada gênero, podemos escrever estes produtos na forma de fatorial, o que facilitará para assinalarmos a alternativa correta, da seguinte maneira: Possibilidades para os filmes de ação:

Agora, vamos escrever e resolver uma inequação, chamando de c o consumo máximo que queremos para que o custo total não ultrapasse R$ 71,55: Possibilidades para os filmes de comédia:

O valor obtido se torna inconsistente, afinal um consumo de 134,1 kWh se enquadra na terceira faixa da Cosip de R$ 3,00. Sendo assim, precisamos reescrever nossa inequação trocando o valor da Cosip de R$ 4,50 para R$ 3,00 e resolvê-la novamente. E assim:

Possibilidades para os filmes de drama:

De acordo com o calculado, o consumo máximo, em kWh, para produzir a redução pretendida é de 137,1. Comentário: Apesar de não ser comum nas questões do ENEM, esta apresentou um detalhe crucial e uma possível falta de atenção levaria o aluno ao erro. Se não for levado em consideração a mudança na faixa da Cosip, teríamos um

Por fim, ao efetuarmos o produto entre os três fatoriais, teremos o número de formas distintas desse cliente por em prática sua estratégia:


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Comentário: Da natureza do problema, efetuar a permutação entre os filmes de cada gênero ou entre todos eles ao mesmo tempo chega–se ao mesmo resultado. Conteúdo envolvido: Análise combinatória.

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em km/h, mas o tempo que nos é fornecido está em minutos e segundos. Sendo assim, o primeiro passo a realizarmos é conversão de unidades:

Como 1 hora possui 3 600 segundos, podemos efetuar uma regra de três para obter quantas horas equivale a 84 segundos:

QUESTÃO 167: Alternativa B O primeiro passo que devemos dar é utilizar a ideia do complementar. Só existe 2 possibilidades de resposta, acertar ou errar. Se a probabilidade de errar é 0,2, a de acertar será de 0,8. Afinal, a probabilidade do evento certo é 1, ou seja:

Como o teste terá cinco perguntas e o candidato só pode errar duas vezes, certamente ele vai errar a segunda vez na quinta pergunta. A outra resposta errada pode ser uma dentre as quatro primeiras perguntas. O número de possibilidades que isto pode acontecer são quatro: ele pode errar a primeira ou a segunda ou a terceira ou a quarta. Para cada possibilidade, a probabilidade será dada por:

A segunda ideia fundamental é usarmos este valor, que é o tempo mínimo estabelecido para uma condução segura entre os radares na via, para descobrir qual será a velocidade máxima permitida que atenda as condições impostas. O enunciado forneceu como calcular a velocidade média que é a relação entre a distância percorrida e o tempo gasto para percorrê–la. Como a distância entre os radares é de 2,1 km, o cálculo da velocidade média será:

Observe que se permutarmos as quatro possibilidades o resultado será o mesmo. Aplicando o princípio aditivo (afinal ou o erro acontece na primeira ou na segunda ou na terceira ou na quarta pergunta) devemos somar o resultado para as quatro probabilidades, ou então, multiplicá–lo por quatro: Probabilidade de errar uma dentre as quatro perguntas:

Finalmente, como ele deve errar a última pergunta, a probabilidade disto ocorrer é de 0,2. Então, a probabilidade de ele errar uma das quatro perguntas e a quinta pergunta, pelo princípio multiplicativo, é:

Comentário: A questão envolveu o cálculo da velocidade média, um conceito da Física, porém o enunciado trouxe como calculá–la. Ao aluno coube a habilidade em receber uma informação e utilizá–la para resolver o que foi pedido. Note que durante a resolução não efetuamos a primeira divisão (84 ÷ 3 600) o que tornou a segunda divisão menos trabalhosa, pois foi possível simplificar a fração dividindo o numerador e o denominador por 21. Conteúdo envolvido: Conversão de unidade e velocidade média. QUESTÃO 169: Alternativa E O conceito de escala é estabelecer uma relação entre as distâncias em mapa (projeto, desenho, croqui, etc.) e as distâncias no real, geralmente usando como unidade o centímetro. Logo, se a escala é de 1:100, devemos entender que 1 cm no projeto da garagem equivale a 100 cm no real, ou seja, o desenho é 100 vezes menor. Como as dimensões especificadas para o armário foram dadas, podemos então obter quais deverão ser as dimensões reais do armário a ser construído:

Comentário: Assim como em outras questões, mais uma vez foi abordada a ideia do complementar, só que aplicado à probabilidade. Observe que se não considerarmos as quatro possibilidades de se errar a primeira pergunta, a probabilidade seria 0,02048, que é a alternativa A. Observe também que efetuar o produto utilizando potências de dois e de dez é uma forma de facilitar o cálculo, mas que não é obrigatório. Conteúdo envolvido: Probabilidade, análise combinatória e propriedades da potenciação.

Desenho Real

Dimensões (em cm) 3X2X1 300 X 200 X 100

Lembrando que o volume de um paralelepípedo retângulo reto é obtido pelo produto entre suas dimensões, o volume real do armário, em centímetros cúbicos, será:

QUESTÃO 168: Alternativa C A primeira ideia fundamental nesta questão é a incompatibilidade entre as unidades. Devemos dar a resposta

Comentário: A questão abordou dois conceitos bem simples: o de escala e o do cálculo do volume de um prisma reto retângulo (paralelepípedo).


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Conteúdo envolvido: Escala e Geometria Espacial (Volume) QUESTÃO 170: Alternativa A Para resolver esta questão, vamos precisar recordar alguns conceitos de estatística e suas interpretações: Média: “é o quociente entre o somatório dos dados e o número de dados da amostra.”. Mediana: “é o valor central em uma amostra de dados ordenada crescentemente ou decrescentemente.”.

Comentário: Um único detalhe que o aluno precisou tomar cuidado foi em relação à definição que o próprio enunciado forneceu em como obter a sensibilidade do teste. Caso o aluno considera–se o espaço amostral como sendo os duzentos indivíduos submetidos ao teste, o resultado da probabilidade seria 0,45. Conteúdo envolvido: Probabilidade. QUESTÃO 172: Alternativa C

Moda: “é o valor que aparece com maior frequência em uma amostra de dados.”. Voltando ao enunciado, devemos avaliar qual cor e número do sapato receberam o maior número de reclamações. Com relação à cor, temos somente a informação da média. Já em relação à numeração do calçado, temos 3 medidas de tendência central: média, mediana e moda. Pelas definições dadas, devemos entender que a moda é aquela que mais se aproxima da ideia proposta pelos donos da loja quanto à numeração dos sapatos com defeito, afinal ela é caracterizada pelo valor que aparece com maior frequência na amostra de dados. Sendo assim, chegamos à conclusão de que o sapato que apresentou mais defeitos é o de número 38. Agora, quanto às cores, devemos interpretar a média que nos foi dado de 0,45. O enunciado explica que elas foram representadas pelos números 0 e 1 para as cores branco e preto, respectivamente. Como o 0,45 está mais próximo do 0 (branco) do que do 1 (preto), devemos entender que existe um número maior de reclamações para o sapato na cor branca do que para o de cor preta. Sendo assim, chegamos à conclusão de que o sapato que apresentou mais defeitos é o da cor branca. Unindo as duas informações, a loja encaminhou um ofício ao fornecedor informando que não serão mais encomendados os sapatos de cor branca e os de número 38. Comentário: Uma questão integralmente conceitual onde não foi utilizado qualquer cálculo. Por este motivo, ela exigiu do aluno um bom entendimento sobre as três medidas de tendência central estudadas. Conteúdo envolvido: Média, Mediana e Moda. QUESTÃO 171: Alternativa E Em problemas envolvendo probabilidade, é muito importante a clareza quanto ao espaço amostral que se está analisando. Calculamos a probabilidade p de um determinado evento E ocorrer em relação um conjunto amostral A, da seguinte maneira:

O primeiro passo que devemos tomar para iniciar a resolução é desenhar o espaço retangular e delimitar a região onde poderão ser plantadas as mudas de maçãs, respeitando a restrição imposta: o espaçamento mínimo de 3 m entre elas. A figura abaixo ilustra a região disponível: Quintal

Pomar 5,5 m

11,5 m

8,0 m

14,0 m

As dimensões do pomar foram calculadas da seguinte forma: Altura: Largura: Para facilitar a visualização, vamos ignorar a área do quintal e considerar apenas a área do pomar. O enunciado diz que a melhor configuração para plantar o máximo de mudas possíveis é dispô–las em filas alinhadas paralelamente ao maior lado. Analisando a área disponível percebemos que é possível formar 2 filas exatamente sobre os lados do retângulo, porém a terceira fila que irá ao centro esbarra na condição imposta. A figura a seguir ilustra esta situação, onde os pontos representam as mudas de maçãs: Pomar

3,0 m

O enunciado explica como é determinado o índice de desempenho do teste diagnóstico: “... é a sensibilidade, definida como a probabilidade de o resultado do teste ser POSITIVO se o paciente estiver com a doença.” Por esta última passagem, devemos entender que nosso espaço amostral será, não os duzentos indivíduos que foram submetidos ao teste, e sim apenas os 100 pacientes que já apresentam a doença. Desta forma, vamos calcular a sensibilidade do teste a partir dos 95 casos em que ele foi positivo, em relação aos 100 avaliados que apresentam a doença:

3,0 m

3,0 m

3,0 m

2,0 m


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A fim de respeitar o espaçamento de 3 metros, podemos imaginar um círculo de raio 3 m em volta de cada muda. Desta forma, se deslocarmos a fila central para a direita, a disposição das mudas estará de acordo com a restrição, e assim teremos a seguinte disposição:

142

Segunda-feira: Terça-feira: Quarta-feira:

Pomar

Quinta-feira: Sexta-feira:

3,0 m 1,5 m

3,0 m

3,0 m

0,5 m

Sábado: Domingo: 3,0 m

O dia da semana em que a quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura foi máxima foi terça–feira. Comentário: A habilidade cobrada na questão foi basicamente a interpretação, tanto do enunciado quanto do gráfico. 3,0 m

2,0 m

3,0 m

Conteúdo envolvido: Interpretação de gráfico e as quatro operações básicas.

0,5 m x

QUESTÃO 174: Alternativa B 2,75 m

2,75 m

3,0 m

3,0 m

Como a questão aborda volume de cubos, vamos lembrar que a expressão para o seu cálculo é:

x

Vamos chamar de a a medida da aresta da parte de cima, e de 2a a medida da aresta da parte debaixo, afinal o enunciado diz que a relação entre elas é o dobro. Então, os volumes serão: Volume da parte de baixo: 3,0 m

3,0 m

2,0 m

No momento da prova, o aluno, para enxergar as distâncias, poderia desenhar um esboço utilizando régua e compasso. Note que foi utilizado espaçamentos com o menor número de casas decimais possíveis para facilitar a distribuição. Caso o aluno queira conferir se as distâncias foram respeitadas é possível, utilizando o Teorema de Pitágoras, calculá–las. Veja a figura abaixo: Para que o espaçamento seja respeitado, a medida x não pode ser superior a 1,5 m, o que pode ser conferido pelo cálculo abaixo:

Volume da parte de cima: A parte de baixo já está cheia até a metade de seu volume, então vamos calcular quanto ainda falta para ser cheio:

Por fim, vamos utilizar uma regra de três para calcular o tempo que levará para a torneira encher este volume que falta:

Portanto, nossa configuração está correta. Finalmente, o número máximo de mudas que essa pessoa poderá plantar no espaço disponível é 9. Comentário: O que tornou a questão trabalhosa é demonstrar que de fato a disposição e os espaçamentos feitos atendem à restrição imposta. Fora isso, a estratégia de solução é relativamente simples. Conteúdo envolvido: Geometria plana e trigonometria. QUESTÃO 173: Alternativa A A resolução desta questão é realizada simplesmente a partir da interpretação do gráfico. Somando as quantidades de bactérias de ambas as espécies em cada um dos dias da semana, temos:

Comentário: Outra forma de resolver esta questão seria pensar na relação entre os volumes e o tempo necessário para enchê– los. A caixa de baixo é oito vezes maior que o volume da parte de cima, ou seja, metade do volume da caixa de baixo é 4 vezes maior que o volume da caixa de cima. Logo, se foi necessário 8 minutos para encher metade da caixa grande, então será preciso quatro vezes menos tempo para encher a caixa menor, ou seja, 2 minutos. Estes 2 minutos, mais 8 minutos para encher a outra metade da caixa de baixo, resulta nos 10 minutos totais. Conteúdo envolvido: Geometria Espacial (Volume) e Regra de Três.


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QUESTÃO 175: Alternativa A Para resolver esta questão, vamos seguir a seguinte estratégia: 1° passo: calcular a medida da diagonal da célula solar; 2° passo: calcular quanto de energia elétrica cada célula produz; 3º passo: calcular quanto de energia elétrica as 100 células produzem; 4º passo: calcular o excesso ou a falta de células;

Para resolver o sistema, iremos utilizar o método da substituição:

1º passo: a célula solar possui um formato retangular. Portanto, a diagonal forma com os seus lados um triângulo retângulo, de onde podemos calcular sua medida através do Teorema de Pitágoras, conforme a figura abaixo: Substituindo a quantidade de produtos comprados na primeira equação, temos:

d cm

6 cm 8 cm

2º passo: cada centímetro da diagonal, a célula produz 24 Wh. Então, a energia produzida por uma única célula é:

Comentário: A principal habilidade avaliada nesta questão é a de interpretar a situação, compreender que se trata de um sistema, para então desenvolver as duas equações que irão compô-lo. Feito isto, bastava o aluno resolvê-lo. Nesta questão, utilizamos por conveniência o método da substituição, entretanto o método da adição resolveria igualmente. Conteúdo envolvido: Sistemas de 2 equações com 2 incógnitas e porcentagem.

3º passo: se cada célula produz 240 Wh, então as 100 células que a residência possui produzem: 4º passo: a residência consome apenas 20 160 Wh, ou seja, as 100 células produzem mais energia do que o necessário e por este motivo o proprietário deve retirar células. Sendo assim, vamos calcular quantas células podem ser retiradas para que a produção de energia seja igual ao consumo:

Comentário: Uma estratégia interessante para resolver questões como essa é desenvolver o raciocínio de trás para frente. Em outras palavras, uma vez entendido o que se quer e o que se tem, realiza-se o caminho do fim para o começo. As medidas do triângulo retângulo podem facilitar a velocidade do cálculo da diagonal, uma vez que elas são o dobro do conhecido triângulo 3, 4 e 5.

QUESTÃO 177: Alternativa D A ideia fundamental nesta questão é estabelecermos uma das duas cidades como referência. Como a resposta é exigida em relação à cidade A, será ela que consideraremos como referência. Se o tempo de viagem entre as duas cidades é de 6 horas, tomando a cidade A como referência, é possível calcularmos qual é a diferença do fuso horário entres as duas cidades:

Quando a viagem termina, na cidade A são 21h e na cidade B 18h. Portanto, 3 horas a mais. Para que o executivo chegue às 13h, devemos subtrair as 6 horas relativas ao tempo de viagem acrescido das 3 horas relativas ao fuso horário. Assim, o horário correto que o executivo deve sair da cidade B, em relação ao horário local de B, é no máximo:

Conteúdo envolvido: Teorema de Pitágoras e as quatro operações básicas. QUESTÃO 176: Alternativa B Pela natureza do problema, estamos diante de um sistema de 2 equações com 2 incógnitas. Estas 2 incógnitas são o valor que a pessoa levava e a quantidade de unidades que ela comprava que chamaremos de V e C, respectivamente. Da interpretação do enunciado, as 2 equações serão:

Comentário: Em problemas envolvendo fuso horário, é sempre prudente adotar algum local como referência. Caso contrário, é mais complicado estabelecer uma relação entre os fusos. Além disso, a própria interpretação do enunciado é fundamental para se chegar à resposta final. Conteúdo envolvido: Fuso horário e as quatro operações básicas. QUESTÃO 178: Alternativa E

A 1ª equação expressa a quantia V subtraída do valor gasto com os c produtos que custam R$ 10,00 cada, resultando os R$ 6,00 que a pessoa levava a mais, para eventuais despesas extras. A 2ª equação expressa a quantia V exata para se comprar 2 unidades a menos que a quantidade habitual com o preço do produto já acrescido de 20% passando de R$ 10,00 para R$ 12,00. Este cálculo foi feito da seguinte forma:

A relação para o cálculo da taxa de desemprego total dada no enunciado é:


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Como é pedida a taxa de desemprego aberto em dezembro de 2012, precisamos calcular duas informações: a taxa de desemprego total e a taxa de desemprego oculto em relação ao referido período. A nós são dadas duas informações: 1ª informação: A taxa de desemprego oculto em 12/12 é a metade da taxa de desemprego, também oculto, em 06/12;

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Utilizando o mesmo raciocínio, vamos entender que a taxa de fecundidade, que chamaremos de x, em 2020 será uma parte do todo que é de 1,90 em relação ao ano de 2010. Ou seja:

2ª informação: A taxa de desemprego total em 12/12 é igual à taxa de desemprego, também total, em 12/11; Da observação do gráfico, juntamente com estas duas informações, temos todos os valores necessários para chegarmos até a resposta final. Para facilitar a visualização, vamos organizar todos os valores de que precisamos em uma tabela: Taxa de desemprego aberto oculto total

12/11 – – 9,0

Período 06/12 9,0 2,2 11,2

Comentário: A variação que o enunciado se refere trata-se de um desconto. Efetuando a divisão (1,90 ÷ 2,38) para o valor de p obtemos aproximadamente 0,80. Isto significa que houve um desconto de 20% na taxa de fecundidade de 2000 para 2010. Ao mesmo passo que de 2010 para 2020 haverá um desconto de 20% na taxa de fecundidade. Observe os cálculos:

12/12 x 1,1 9,0

Os valores das células que não estão destacadas foram retirados diretamente do gráfico fornecido no enunciado da questão. Já os valores das células que estão destacadas foram calculados através das duas informações:

Conteúdo envolvido: Interpretação de tabela e porcentagem. QUESTÃO 180: Alternativa B Para resolver esta questão, precisamos interpretar tanto o enunciado quanto a tabela fornecida. Vamos observar o último parágrafo do artigo: “A campanha deveria ser intensificada nas regiões em que o percentual (...) fosse menor ou igual ao do país.”. Agora vamos observar a tabela fornecida:

Por fim, utilizando a relação da taxa de desemprego total, podemos calcular, em termos percentuais, qual foi a taxa de desemprego aberto em dezembro de 2012:

Comentário: Se lermos o enunciado com calma, retiramos deles as duas informações cruciais para a resolução do problema que são as relações entre as datas necessárias para calcular o que se pede e os valores que devem ser retirados da interpretação do gráfico. Fora isso, os cálculos para a resolução são bastante simples, terminando com a resolução de uma equação de 1º grau. Conteúdo envolvido: Interpretação de gráfico, as quatro operações básicas e equação de 1º grau. QUESTÃO 179: Alternativa C Quando o enunciado supõe que a variação percentual entre os períodos se repetirá imediatamente, devemos nos perguntar: qual será esta taxa? Os valores das taxas diminuem de 2000 para 2010, logo para 2020 será ainda menor. Assim, para facilitar a resolução, podemos interpretar que o valor de 1,90 para o ano de 2010 é uma parte em relação ao todo que é de 2,38, referente ao ano de 2000. Por este motivo, podemos escrever:

Taxa de doação de sangue, por região, em 2010 Número de Doadores / Doadores habitantes habitantes Nordeste 820 959 53 081 950 1,5% Norte 232 079 15 864 454 1,5% Sudeste 1 521 766 80 364 410 1,9% Centro-Oeste 362 334 14 058 094 2,6% Sul 690 391 27 386 891 2,5% Total 3 627 529 190 755 799 1,9% Região

O total de doadores no Brasil representa 1,9% em relação à toda população. Portanto, devemos procurar as regiões onde o porcentual foi menor ou igual a 1,9%. Pela interpretação, tanto do último parágrafo do artigo quanto da tabela, concluímos que as regiões onde foram intensificadas as campanhas na época são Norte, Nordeste e Sudeste. Comentário: A resolução desta questão provém integralmente da interpretação da tabela gerada por algumas informações presentes no próprio artigo retirado de um site do governo, não envolvendo qualquer tipo de cálculo. Conteúdo envolvido: Interpretação de tabela.

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