Page 1


ÓÄÊ 373.161.1 : 51 ÁÁÊ 22.1ÿ7 Ð 99

Ð 99

Ðÿçàíîâñêèé À. Ð. ÅÃÝ 2012. Ìàòåìàòèêà. Ðåøåíèå çàäà÷. Ñäàåì áåç ïðîáëåì! / À. Ð. Ðÿçàíîâñêèé, Â. Â. Ìèðîøèí. — Ì. : Ýêñìî, 2011. — 496 ñ. — (ÅÃÝ. Ñäàåì áåç ïðîáëåì). ISBN 978-5-699-51295-9 Èçäàíèå àäðåñîâàíî ó÷àùèìñÿ ñòàðøèõ êëàññîâ, àáèòóðèåíòàì äëÿ ïîäãîòîâêè ê ÅÃÝ ïî ìàòåìàòèêå. Äàííîå èçäàíèå âêëþ÷àåò: • áîëåå 500 çàäàíèé ÷àñòåé  è Ñ; • ðåøåíèå çàäà÷ ïîâûøåííîé ñëîæíîñòè; • îòâåòû è êîììåíòàðèè; • êðàòêèé ñïðàâî÷íûé ìàòåðèàë. Êíèãà îêàæåò ïîìîùü ó÷èòåëÿì ïðè îðãàíèçàöèè ñèñòåìàòè÷åñêîé ïîäãîòîâêè ó÷àùèõñÿ ê ñäà÷å ÅÃÝ ïî ìàòåìàòèêå. ÓÄÊ 373.161.1 : 51 ÁÁÊ 22.1ÿ7

ISBN 978-5-699-51295-9

© Ðÿçàíîâñêèé À. Ð., Ìèðîøèí Â. Â., 2011 © Îôîðìëåíèå. ÎÎÎ «Èçäàòåëüñòâî «Ýêñìî», 2011


Ââåäåíèå Äàííàÿ êíèãà àäðåñîâàíà â ïåðâóþ î÷åðåäü òåì, êòî æåëàåò óñïåøíî ïîäãîòîâèòüñÿ ê âñòóïèòåëüíûì ýêçàìåíàì â âóç è ê åäèíîìó ãîñóäàðñòâåííîìó ýêçàìåíó (ÅÃÝ) ïî ìàòåìàòèêå è ïîëó÷èòü âûñîêèå áàëëû. Ïîñêîëüêó ÅÃÝ — ýòî íå òîëüêî âûïóñêíîé øêîëüíûé ýêçàìåí, íî è âóçîâñêèé âñòóïèòåëüíûé ýêçàìåí, ïðåäóñìàòðèâàþùèé ïðîâåðêó çíàíèé ïî âñåìó øêîëüíîìó êóðñó, â ïîñîáèå âêëþ÷åíû çàäà÷è è êðàòêèå ñïðàâî÷íûå ìàòåðèàëû ïî âñåìó êóðñó ìàòåìàòèêè: êàê ïî àðèôìåòèêå è àëãåáðå äëÿ 7—11 êëàññîâ, òàê è ïî êóðñó íà÷àë àíàëèçà 10—11 êëàññîâ. Ïðè ýòîì ìû õîòåëè, íå ïåðåãðóæàÿ ïîñîáèå èçëèøíèìè ïîäðîáíîñòÿìè, à òåì áîëåå — òåîðåòè÷åñêèìè âûêëàäêàìè è äîêàçàòåëüñòâàìè, ñîñðåäîòî÷èòü âíèìàíèå íà ðåøåíèè çàäà÷ è â ïåðâóþ î÷åðåäü íà ðåøåíèè çàäà÷ ïîâûøåííîé ñëîæíîñòè. Ïîñîáèå âêëþ÷àåò âîñåìü ãëàâ. Êàæäàÿ ãëàâà íà÷èíàåòñÿ ñ êðàòêîãî ïåðå÷èñëåíèÿ íåêîòîðûõ òåîðåòè÷åñêèõ ñâåäåíèé ñ êðàòêèìè êîììåíòàðèÿìè, ïîçâîëÿþùèìè âñïîìíèòü ñîîòâåòñòâóþùèé ìàòåðèàë. Çàòåì ïðèâîäÿòñÿ ïðèìåðû ðåøåíèÿ çàäà÷ ðàçëè÷íîãî óðîâíÿ ñëîæíîñòè è óïðàæíåíèÿ, ïîçâîëÿþùèå ëó÷øå ïîíÿòü è çàïîìíèòü ðàññìîòðåííûå ñïîñîáû ðåøåíèÿ çàäà÷. Çàêàí÷èâàåòñÿ êàæäàÿ ãëàâà íàáîðîì çàäà÷ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ. Ýòè çàäàíèÿ âçÿòû èç ðàçëè÷íûõ ñáîðíèêîâ è èç ðàçðåøåííûõ äëÿ ïóáëèêàöèè (îòêðûòûõ) âàðèàíòîâ ÅÃÝ. Êàê ðåêîìåíäóåòñÿ ðàáîòàòü ñ ïîñîáèåì? Ñíà÷àëà âíèìàòåëüíî ïðî÷òèòå è èçó÷èòå òåîðåòè÷åñêîå ââåäåíèå ê äàííîé òåìå. Èçëîæåíèå òåîðèè ñîïðîâîæäàåòñÿ èëëþñòðèðóþùèìè ïðèìåðàìè è çàäà÷àìè. Ïðî÷èòàâ çàäà÷ó, ïîïûòàéòåñü ðåøèòü åå ñàìîñòîÿòåëüíî, íå çàãëÿäûâàÿ â ðåøåíèå, ïðåäëîæåííîå â ïîñîáèè. Íå èñêëþ÷åíî, ÷òî âàøå ðåøåíèå ìîæåò îêàçàòüñÿ áîëåå ðàöèîíàëüíûì èëè îðèãèíàëüíûì. Åñëè æå âñå âàøè ïîïûòêè îêàæóòñÿ áåçóñïåøíûìè, ïîñìîòðèòå íà3


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

÷àëî ðåøåíèÿ, óêàçàííîãî â ïîñîáèè. Íå èñêëþ÷åíî, ÷òî âàì áóäåò äîñòàòî÷íî êàêîé-òî íà÷àëüíîé èäåè, ÷òîáû çàâåðøèòü ðåøåíèå çàäà÷è ñàìîñòîÿòåëüíî. È òîëüêî åñëè è â ýòîì ñëó÷àå çàäà÷ó ðåøèòü íå óäàñòñÿ, îçíàêîìüòåñü ñ åå ïîëíûì ðåøåíèåì, ïðåäëîæåííûì â ïîñîáèè. Ïîñëå ýòîãî îáÿçàòåëüíî ïåðåðåøàéòå çàäà÷ó îò íà÷àëà è äî êîíöà. Ìû óâåðåíû, ÷òî ïîñîáèå ïîìîæåò âàì óñïåøíî ñäàòü âñòóïèòåëüíûå ýêçàìåíû è ïîñòóïèòü â âóç. Æåëàåì óñïåõà!


ÃËÀÂÀ 1 ×ÈÑËÀ. ÒÎÆÄÅÑÒÂÅÍÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ, ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ È ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ § 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ Îñíîâíûì ÷èñëîâûì ìíîæåñòâîì, êîòîðîå èçó÷àåòñÿ â øêîëå, ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâî R äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Ëþáîå ÷èñëî x ∈ R ÿâëÿåòñÿ èëè ðàöèîíàëüíûì, èëè èððàöèîíàëüíûì ÷èñëîì. Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë åñòü îáúåäèíåíèå äâóõ ìíîæåñòâ: ìíîæåñòâà Q ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë è ìíîæåñòâà Q èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë: R = Q È Q . Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà óäîáíî èçîáðàæàòü â âèäå òî÷åê ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Ïðè ýòîì êàæäàÿ òî÷êà ÷èñëîâîé ïðÿìîé èçîáðàæàåò íåêîòîðîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, è íàîáîðîò, êàæäîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî ïðåäñòàâëÿåòñÿ íåêîòîðîé òî÷êîé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Ïðè÷åì ðàçëè÷íûì òî÷êàì ñîîòâåòñòâóþò ðàçëè÷íûå äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà. Ìíîæåñòâî ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó a ≤ x ≤ b, íàçûâàåòñÿ îòðåçêîì è îáîçíà÷àåòñÿ [a; b]. Ìíîæåñòâî ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó a < x £ b èëè a ≤ x < b, íàçûâàåòñÿ ïîëóèíòåðâàëîì è îáîçíà÷àåòñÿ ñîîòâåòñòâåííî (a; b] è [à; b). Ìíîæåñòâî ÷èñåë õ, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó a < x < b, íàçûâàåòñÿ èíòåðâàëîì è îáîçíà÷àåòñÿ (à; b). Êàæäîå èç óêàçàííûõ ìíîæåñòâ íàçûâàåòñÿ ïðîìåæóòêîì è ìîæåò áûòü (â îáùåì ñëó÷àå) îáîçíà÷åíî a; b . Êàæäîå ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî r Î Q ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå îòíîøåíèÿ öåëîãî ÷èñëà m ê íàòóðàëüíîìó ÷èñëó n: m r = , ãäå n Î N = {1,2,..., n,...} , m Î Z = {0, 1, 2,..., n,...}. n Òàêèì îáðàçîì, êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, íóëü è ëþáîå öåëîå îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî ÿâëÿþòñÿ ðàöèîíàëüíûìè, ïîn -n 0 ñêîëüêó n = , 0 = è -n = . Ðàöèîíàëüíûìè ÷èñëàìè 1 1 1 5


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ÿâëÿþòñÿ, î÷åâèäíî, âñå îáûêíîâåííûå è êîíå÷íûå äåñÿòè÷íûå äðîáè, à òàêæå, ÷òî óæå ìåíåå î÷åâèäíî, âñå áåñêîíå÷íûå ïåðèîäè÷åñêèå äåñÿòè÷íûå äðîáè. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ñ÷èòàòü ïðàâèëî ñëîæåíèÿ «ñòîëáèêîì» âåðíûì è äëÿ áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà äåñÿòè÷íûõ äðîáåé, ò.å. ñ÷èòàòü âåðíûì, íàïðèìåð, ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî: (n-1)нуль   0,(1) = 0,1111...1... = 0,1 + 0,001 + ... + 0,000...01 + ..., òî, âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé äëÿ ñóììû áåñêîíå÷íîé ãåîa ìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè S = 1 ñî çíàìåíàòåëåì q = 0,1 è 1- q 0,1 0,1 1 ïåðâûì ÷ëåíîì a1 = 0,1, ïîëó÷èì 0,(1) = = = . 1 - 0,1 0,9 9 Àíàëîãè÷íî ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ ëþáîé ÷èñòîé ïåðèîäè÷åñêîé äåñÿòè÷íîé äðîáè 0,(a1a2 ...an ) , äðîáíàÿ ÷àñòü êîòîðîé ñîäåðæèò òîëüêî ïîâòîðÿþùóþñÿ ãðóïïó öèôð (ïåðèîä) à1, à2...àn, ñïðàâåäëèâà ñëåäóþùàÿ ôîðìóëà çàïèñè ÷èñòîé ïåðèîäè÷åñêîé äåñÿòè÷íîé äðîáè â âèäå îáûêíîâåííîé äðîáè: 0,(a1a2 ...an ) =

a1a2 ...an . 99...9   n девяток

Íàïðèìåð, 0,(1) =

1 2 9 17 ; 0,(2) = ; 0,(9) = = 1 ; 0,(17) = ; 9 9 9 99

1323 147 . = 9999 1111  ñëó÷àå ñìåøàííîé ïåðèîäè÷åñêîé äðîáè ïîñòóïàþò ñëåäóþùèì îáðàçîì: 1323 78 + 78,(1323) 78 + 0,(1323) 9999 . 0,78(1323) = = = 100 100 100 0,(1323) =

781245 . 999900 ×èñëî α Î Q , êîòîðîå íåëüçÿ ïðåäñòàâèòü â âèäå îòíîøåíèÿ öåëûõ ÷èñåë, íàçûâàåòñÿ èððàöèîíàëüíûì ÷èñëîì. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî çàïèñûâàåòñÿ â âèäå áåñêîíå÷íîé íåïåðèîäè÷åñêîé äåñÿòè÷íîé äðîáè. Íî áåñêîíå÷íîå ÷èñëî äåñÿòè÷íûõ çíàêîâ çàïèñàòü íåâîçìîæíî! Ïîýòîìó äëÿ èððàöèîíàëüíûõ ÷èñåë âûáèðàþò ñïå-

Âûïîëíèâ ñëîæåíèå, ïîëó÷èì 0,78(1323) =

6


ÃËÀÂÀ 1. ×ÈÑËÀ. ÒÎÆÄÅÑÒÂÅÍÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß

öèàëüíûå îáîçíà÷åíèÿ â âèäå ñèìâîëîâ èëè áóêâ. Íàïðèìåð, èððàöèîíàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ÷èñëà 17 ; 14 15 ; π 56,3; log710; sin , ïðè çàïèñè êîòîðûõ èñïîëüçîâàíû ñèì5 âîëû n , log a ; sin. Èððàöèîíàëüíûìè ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, ÷èñëà π = 3,1415... è e = 2,718281828... . Çàìå÷àòåëüíûì ñâîéñòâîì äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, è â ÷àñòíîñòè ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, ÿâëÿåòñÿ òîò ôàêò, ÷òî ðàöèîíàëüíûå ÷èñëà ðàñïîëîæåíû «ìåæäó» äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè âåñüìà ïëîòíî: ìåæäó ëþáûìè äâóìÿ äåéñòâèòåëüíûìè ÷èñëàìè ðàñïîëîæåíî áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë. Ïðèìåð 1. Ñðåäè âñåõ îáûêíîâåííûõ íåñîêðàòèìûõ m 1 2 äðîáåé , m, n Î N, ëåæàùèõ ìåæäó äðîáÿìè à) è ; n 2 3 16 17 5 1 á) è ; â) è , íàéäèòå òàêóþ äðîáü, êîòîðàÿ èìååò 21 21 17 3 íàèìåíüøèé çíàìåíàòåëü. 1 m 1 < < . Òîãäà 3ï < 6ò < 4n. Òàêèì 2 n 3 îáðàçîì, íà èíòåðâàëå (3ï; 4n) òðåáóåòñÿ íàéòè íàèìåíüøåå êðàòíîå 6. Ïðè n = 1; 2; 3; 4 èíòåðâàë (3n; 4n) íå ñîäåðæèò êðàòíûõ 6. Ïðè n = 5 èíòåðâàë (3n; 4n) èìååò âèä (15; 20), íà êîòîðîì ëåæèò òîëüêî îäíî ÷èñëî, êðàòíîå 6, à èìåííî: 18 = 63, ò.å. ò = 3. Òàêèì îáðàçîì, óñëîâèþ çàäà÷è óäîâëå3 . òâîðÿåò äðîáü 5 Çàäàíèÿ á) è â) ðåøèòå ñàìîñòîÿòåëüíî. Âû ïîëó÷èòå 16 4 17 5 3 1 á) ; â) < < < < . 21 5 21 17 10 3

Ðåøåíèå, à) Ïóñòü

Ïðèìåð 2. Ïðè êàêîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà à íà èíòåðâàëå (5 – 2à; 2à + 7) ëåæèò ðîâíî 101 öåëîå ÷èñëî? Ðåøåíèå. Ïðè ëþáîì à ñåðåäèíîé èíòåðâàëà (5 – 2a; (5 - 2a) + (2a + 7) 2a + 7) ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî x0 = = 6 . Ñëåäîâà2 òåëüíî, ÷òîáû íà èíòåðâàëå (5 – 2a; 2a + 7) ëåæàëî ðîâíî 101 öåëîå ÷èñëî, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû â ïðà7


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

âîé ïîëóîêðåñòíîñòè òî÷êè 6 ëåæàëî ðîâíî 50 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ÷òî ðàâíîñèëüíî íåðàâåíñòâó: 56 < 2a + 7 £ 57  24,5 < a £ 25 .

Èòàê, óñëîâèþ çàäà÷è óäîâëåòâîðÿþò òîëüêî òå à, äëÿ êîòîðûõ 24,5 < à ≤ 25. Äëÿ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñïðàâåäëèâà îñíîâíàÿ òåîðåìà àðèôìåòèêè: Êàæäîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ï, áîëüøåå 1, ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ ïðîñòûõ ÷èñåë, ïðè÷åì òàêîå ïðåäñòàâëåíèå åäèíñòâåííî ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà ñîìíîæèòåëåé, ò.å. n = p1 ⋅ p2 ⋅ p3 ⋅ ...⋅ pk ,

ãäå p1, p2, p3, … pk — ïðîñòûå ÷èñëà. Íàïîìíèì, ÷òî íàòóðàëüíîå ÷èñëî ð > 1 íàçûâàåòñÿ ïðîñòûì ÷èñëîì, åñëè îíî èìååò òîëüêî äâà íàòóðàëüíûõ äåëèòåëÿ: 1 è ð. Íàòóðàëüíîå ÷èñëî ð > 1, íå ÿâëÿþùååñÿ ïðîñòûì, íàçûâàåòñÿ ñîñòàâíûì ÷èñëîì. Ìíîæåñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë — áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî. Ïðèìåð 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå õ2 – ðõ + q = 0, ãäå ð, q — ïðîñòûå ÷èñëà, åñëè îäèí êîðåíü ýòîãî óðàâíåíèÿ òàêæå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ÷èñëîì. Ðåøåíèå. Ïóñòü õ — ïðîñòîé êîðåíü äàííîãî óðàâíåíèÿ. Òîãäà x ¹ 0 è äàííîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ q q — öåëîå. Çíà÷èò, x = p - . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ÷èñëî x x ÷èñëî õ — äåëèòåëü ÷èñëà q. Ïî óñëîâèþ õ è q — ïðîñòûå ÷èñëà, à ÷èñëî 1 íå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ÷èñëîì. Ñëåäîâàòåëüíî, õ = q. Ïîäñòàâëÿÿ õ = q â äàííîå óðàâíåíèå, íàõîäèì q = p − 1. Ñóùåñòâóåò òîëüêî äâà ïðîñòûõ ÷èñëà, ðàçíîñòü ìåæäó êîòîðûìè ðàâíà 1. Ýòî ÷èñëà 3 è 2. Èòàê, äàííîå óðàâíåíèå èìååò âèä õ2 – 3õ + 2 = 0, à åãî êîðíè 1 è 2. Íà ìíîæåñòâå Z = {0; ±1; ±2; ...} öåëûõ ÷èñåë îïðåäåëåíà îñîáàÿ îïåðàöèÿ: äåëåíèå ñ îñòàòêîì. Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà: Äëÿ ëþáûõ öåëûõ ÷èñåë a è b ñóùåñòâóþò åäèíñòâåííûå öåëîå ÷èñëî ñ è öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî r òàêèå, ÷òî a = bc + r , ïðè÷åì 0 £ r < b . 8


ÃËÀÂÀ 1. ×ÈÑËÀ. ÒÎÆÄÅÑÒÂÅÍÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß

Ïðè r > 0 ÷èñëî ñ íàçûâàåòñÿ íåïîëíûì ÷àñòíûì îò äåëåíèÿ à íà b; ïðè r = 0 ÷èñëî c åñòü ÷àñòíîå îò äåëåíèÿ à íà b; b — äåëèòåëü à; à — êðàòíîå b. Ãîâîðÿò òàêæå, ÷òî ÷èñëî b äåëèò ÷èñëî a. Çàïèñûâàþò ýòî òàê: b|a èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, ÷èñëî a äåëèòñÿ íà b: a b . Èç îïðåäåëåíèÿ äåëèìîñòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ñëåäóåò, ÷òî åñëè b|a, òî 1 £ b £ a . Ïîýòîìó ÷èñëî íàòóðàëüíûõ äåëèòåëåé íàòóðàëüíîãî ÷èñëà à êîíå÷íî. Íàïðèìåð, ÷èñëî 28 èìååò ðîâíî øåñòü íàòóðàëüíûõ äåëèòåëåé, à èìåííî: 1; 2; 4; 7; 14; 28. Ïðèìåð 4. Îïðåäåëèòå ïîñëåäíþþ öèôðó ÷èñëà 34567. Ðåøåíèå. Ïîñìîòðèì íà íåîòðèöàòåëüíûå öåëûå ñòåïåíè ÷èñëà 3: 30 = 1, 31 = 3, 32 = 9, 33 = 27, 34 = 81, 35 = 243, ... Ìû âèäèì, ÷òî ïîñëåäíèå öèôðû ýòèõ ñòåïåíåé îáðàçóþò ïåðèîäè÷åñêóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öèôð: 1; 3; 9; 7; 1; 3; 9; 7; 1; 3; 9; 7; ... . Ïåðèîä ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàâåí 4. Ïîñêîëüêó 4567 = 1141 ⋅ 4 + 3, òî ïîñëåäíåé öèôðîé äàííîé ñòåïåíè ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 7. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà íàòóðàëüíûå ÷èñëà ïîëåçíû ñëåäóþùèå ïîíÿòèÿ. 1. Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë a è b: ÍÎÄ(a; b). 2. Íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå íàòóðàëüíûõ ÷èñåë a è b: ÍÎÊ[a; b]. Ñìûñë ýòèõ ïîíÿòèé ÿñåí èç èõ íàçâàíèé. Íàïðèìåð, ÍÎÄ(12; 32) = 4. Äåéñòâèòåëüíî, îáùèìè äåëèòåëÿìè ÷èñåë 12 è 32 ÿâëÿþòñÿ ÷èñëà 1; 2; 4. Äðóãèõ îáùèõ äåëèòåëåé ýòè ÷èñëà íå èìåþò. Èç âñåõ îáùèõ äåëèòåëåé 1; 2; 4 ÷èñåë 12 è 32 íàèáîëüøèì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 4. Ïîýòîìó íàèáîëüøèì îáùèì äåëèòåëåì 12 è 32 ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 4.  îáùåì ñëó÷àå, åñëè òðåáóåòñÿ íàéòè íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ÍÎÄ(à; b) äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ìîæíî èñïîëüçîâàòü èõ ðàçëîæåíèÿ íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè èëè âîñïîëüçîâàòüñÿ àëãîðèòìîì Åâêëèäà.  íàøåì ñëó÷àå àëãîðèòì Åâêëèäà âûãëÿäèò ñëåäóþùåé öåïî÷êîé ðàâåíñòâ: 32 = 122 + 8; 12 = 81 + 4; 8 = 42. Ïîñëåäíèé íåíóëåâîé îñòàòîê, ðàâíûé â äàííîì ñëó÷àå 4, è ÿâëÿåòñÿ ÍÎÄ(12; 32). 9


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Âòîðîé ïðèìåð. Íàéäåì ÍÎÊ[12; 32]. Äëÿ ýòîãî ðàçëîæèì ÷èñëà 12 è 32 â ïðîèçâåäåíèå ïðîñòûõ ñîìíîæèòåëåé: 12 = 22 ⋅ 3 ; 32 = 25 . ßñíî, ÷òîáû íàòóðàëüíîå ÷èñëî k áûëî îáùèì êðàòíûì ÷èñåë 12 è 32, ò.å. ÷òîáû k äåëèëîñü íà 12 è íà 32, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû k = 22 ⋅ 3 ⋅ 23 ⋅ m , ãäå m Î N . Îòñþäà ïðè ò = 1 ïîëó÷èì íàèìåíüøåå îáùåå êðàòíîå ÷èñåë 12 è 32. Ïîýòîìó ÍÎÊ[12; 32] = 96.  îáùåì ñëó÷àå äëÿ íàõîæäåíèÿ íàèìåíüøåãî îáùåãî êðàòíîãî ÍÎÊ[a; b] äâóõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë à è b, ãäå a ≥ b, îáû÷íî ñíà÷àëà ñ ïîìîùüþ àëãîðèòìà Åâêëèäà íàõîäÿò ÍÎÄ(à; b), à çàòåì èñïîëüçóþò ðàâåíñòâî ÍÎÊ[a; b] ÍÎÄ(à; b) = àb.  íàøåì ñëó÷àå 12 ⋅ 32 12 ⋅ 32 = = 96 . НОД(12; 32) 4 Ïîëó÷èëè òîò æå ñàìûé ðåçóëüòàò. Íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ÍÎÄ(à; b) íàòóðàëüíûõ ÷èñåë à è b, ãäå à > b, îáëàäàåò íåêîòîðûìè ïîëåçíûìè ñâîéñòâàìè. Îòìåòèì íàèáîëåå î÷åâèäíûå. 1. ÍÎÄ(à; b) = ÍÎÄ(ka; kb), k Î N ; a b НОД(a; b) )= ; 2. ÍÎÄ( ; k k k 3. ÍÎÄ(à; b) = ÍÎÄ(a; a ± b).

ÍÎÊ[12; 32] =

Ïðèìåð 5. Öåëûå ÷èñëà m è n íå èìåþò îáùèõ äåëèòå5m - 3n ëåé, îòëè÷íûõ îò 1 è −1. ßâëÿåòñÿ ëè äðîáü ñîêðàòèìîé ïðè íåêîòîðûõ íàòóðàëüíûõ m è n? 2m + 5n Ðåøåíèå. Ïóñòü

d = ÍÎÄ( 5m - 3n ; 2m + 5n ) > 1.

Òîãäà ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà ìïï5m - 3n = dk, í ïïî2m + 5n = ds,

ãäå ÷èñëà k è s âçàèìíî ïðîñòû. Çíà÷èò, äðîáü ìîæíî ñîêðàòèòü òîëüêî íà îäèí èç äåëèòåëåé ÷èñëà d, îòëè÷íûé îò 1. 5k + 3s 5s - 2k Çàïèøåì m = d , n= d . Îòñþäà d = 31q. 31 31 10


ÃËÀÂÀ 1. ×ÈÑËÀ. ÒÎÆÄÅÑÒÂÅÍÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß

Ìîæíî ðàññóæäàòü èíà÷å. Çàïèøåì äðîáü â âèäå 5m - 3n 1 1 (ïðè m − 13n ¹ 0). =2+ =2+ 2m + 5n 31n 2m + 5n 2+ m -13n m -13n Äàííàÿ äðîáü ñîêðàòèìà òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñî31n . Íî ÷èñëà ò è ï íå èìåþò îáùèõ êðàòèìà äðîáü m -13n äåëèòåëåé, ïîýòîìó äðîáü ìîæåò áûòü ñîêðàùåíà íà ÷èñëî 31 èëè íà êðàòíîå åìó. Íàïðèìåð, ïðè ò = 23, n = −3 ïîëó÷àåì 5m - 3n 5 ⋅ 23 + 9 124 , êîòîðàÿ ñîêðàòèìà íà 31. = = äðîáü 2m + 5n 2 ⋅ 23 -15 31 Ïðè ðåøåíèè ðàçëè÷íûõ çàäà÷ ïîâûøåííîé ñëîæíîñòè íåðåäêî òèïè÷íîé ïðîáëåìîé ÿâëÿåòñÿ ñðàâíåíèå ÷èñåë. Íàïîìíèì, ÷òî ñðàâíåíèå ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ îïðåäåëåíèÿ: a m опр. < ¾¾¾  an < bm . b n  äðóãèõ ñëó÷àÿõ ïîìîãàåò ñâîéñòâî òðàíçèòèâíîñòè íåðàâåíñòâ: a m a m > α, α >  > . b n b n Ïðè ñðàâíåíèè äðîáåé ïîëåçíû ñëåäóþùèå òåîðåìû. Òåîðåìà. Åñëè ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü äðîáè ïîëîæèòåëüíû, òî ïðè èõ óâåëè÷åíèè íà îäíî è òî æå ÷èñëî íåïðàâèëüíàÿ äðîáü óìåíüøàåòñÿ, à ïðàâèëüíàÿ óâåëè÷èâàåòñÿ, äðóãèìè ñëîâàìè: a a+c b b+c è . åñëè a > b > 0 è c > 0 , òî > < b b+c a a+c 1222333 2222333 è . 1333222 2333222 Ðåøåíèå. Èñïîëüçîâàòü äëÿ ñðàâíåíèÿ ïðèâåäåííîå âûøå îïðåäåëåíèå íå õî÷åòñÿ. Ïðèäåòñÿ ïåðåìíîæàòü ñåìèçíà÷íûå ÷èñëà! Èñïîëüçóÿ òåîðåìó, çàìåòèâ, ÷òî ïîñêîëüêó äðîáü 2222333 1222333 + 1000000 1222333 ïðàâèëüíàÿ è , òî = 2333222 1333222 + 1000000 1333222 1222333 2222333 < . 1333222 2333222

Ïðèìåð 6. Ñðàâíèòå ÷èñëà

11


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðè ñðàâíåíèè ÷èñåë, èìåþùèõ âèä ñòåïåíè (èëè âûðàæåíèÿ ñ ðàäèêàëàìè), èñïîëüçóþò òåîðåìû, âûðàæàþùèå ñâîéñòâà ñòåïåíåé è ðàäèêàëîâ. Òåîðåìà. Åñëè à > 0, b > 0, òî à > b  aβ > bβ, ãäå β — ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. Òåîðåìà. Åñëè à > 1 è α > β, òî aα > aβ; åñëè 0 < à < 1 è α > β, òî α a < aβ. Òåîðåìà. Åñëè a ³ b ³ 0 , òî n am ³ n bm , ãäå n, m — íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Ïðèìåð 7. Ñðàâíèòå ÷èñëà 2300 è 3200. Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó 2 < 32 , òî 2300 < 3200 . 3

2300 = (23 )100 , à

Ïðèìåð 8. Ñðàâíèòå ÷èñëà 2

3

è 3

2

3200 = (32 )100 , è

.

Ðåøåíèå. Çäåñü áîëåå ñëîæíûé ñëó÷àé. Ïî ñâîéñòâó ñòåïåíåé ñ îñíîâàíèåì, áîëüøèì 1, èìååì 3 2 > 31,4 , à 2 3 < 22 . Ñðàâíèì òåïåðü ÷èñëà 31,4 = (30,7 )2 è 22. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ñðàâíèòü 30,7 è 2 èëè (30,7 )10 è 210 . Íî (30,7 )10 = 37 = 2187 , à 210 = 1024 . Òåïåðü ïîëó÷àåì öåïî÷êó íåðàâåíñòâ: 1024 < 2187  210 < 37  2 < 30,7   22 < 31,4  2

3

Ïðèìåð 9. Ñðàâíèòå ÷èñëà

< 22 < 31,4 < 3 2 . 5

5 è

6

6.

Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì ðàäèêàëîâ: åñëè à > 0, òî

n

a = n⋅k ak , ãäå ï, k — íàòóðàëüíûå ÷èñëà.

Ïîëó÷èì 5 5 = 30 56 è 6 6 = 30 65 . Òåïåðü äîñòàòî÷íî ñðàâíèòü ñòåïåíè 56 è 65. Îöåíèì èõ îòíîøåíèå: 56 5 5 5 = = = = 5 5 5 2 6 (1 + 0,2) (1 + 0,2) (1 + 0,2)3 æ 6 ÷ö ç ÷ çè 5 ÷ø 5 5 = > >1 . (1 + 0,4 + 0,04)(1 + 0,6 + 0,12 + 0,008) 2 ⋅ 2 12


ÃËÀÂÀ 1. ×ÈÑËÀ. ÒÎÆÄÅÑÒÂÅÍÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß

56 Òàêèì îáðàçîì, 5 > 1  56 > 65 è, çíà÷èò, 5 5 > 6 6 . 6 Çàìå÷àíèÿ. 1)  äàííîì ñëó÷àå ñòåïåíè 56 è 65 íåâåëèêè, à èìåííî 56 = 15625, 65 = 7776, è èõ íåòðóäíî âû÷èñëèòü «âðó÷íóþ», ò.å. áåç êàëüêóëÿòîðà. Ìîæíî è áåç âû÷èñëåíèé îöåíèòü ñòåïåíè: 56 = 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5 = 125 ⋅125 > 10000 , 65 = 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 ⋅ 6 = 36 ⋅ 36 ⋅ 6 < 40 ⋅ 40 ⋅ 6 = 9600 .

Ïîýòîìó 56 > 10000 > 9600 > 65 . 2) Åñëè æå ñòåïåíè äåéñòâèòåëüíî íå ïîääàþòñÿ âû÷èñëåíèþ (äàæå íà êàëüêóëÿòîðå), íàïðèìåð, nn+1 è (n + 1)n , æ 1 ön òî ìîæíî èñïîëüçîâàòü íåðàâåíñòâî çç1 + ÷÷÷ < 3 , âåðíîå ïðè è nø ëþáîì íàòóðàëüíîì ï, è ïîñòóïèòü òàê: nn n n = > ³ 1 ïðè âñåõ íàòóðàëüíûõ n ³ 3 . n n 3 (n + 1) æ 1ö çç1 + ÷÷ è n ÷ø Óïðàæíåíèå. Äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî íåðàâåíñòâî n

n > n+1 n + 1 .

Ïðè ñðàâíåíèè ÷èñåë, êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿìè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ èëè ëîãàðèôìè÷åñêèõ ôóíêöèé, îáû÷íî èñïîëüçóþòñÿ ñâîéñòâà ñîîòâåòñòâóþùèõ ôóíêöèé. Ïåðå÷èñëèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, ñâÿçàííûå ñ íåðàâåíñòâàìè. π π Åñëè - < a £ b < , òî sina ≤ sinb è tgà ≤ tgb (ñâîéñòâî 2 2 ìîíîòîííîñòè). Åñëè 0 < a £ b < π , òî cos à ≥ ñîsb è ctga ≥ ctg b (ñâîéñòâî ìîíîòîííîñòè). a+b sin a + sin b Åñëè 0 < a £ b < π , òî (ñâîéñòâî âû£ sin 2 2 ïóêëîñòè). a+b π π cos a + cos b Åñëè - < a £ b < , òî (ñâîéñòâî £ cos 2 2 2 2 âûïóêëîñòè). Åñëè -1 £ a £ b £ 1 , òî arcsina ≤ arcsinb, íî arccosa ≥ arccosb (ñâîéñòâî ìîíîòîííîñòè). 13


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Åñëè à ≤ b, òî arctg a ≤ arctg b, íî arcctga ≥ arcctg b (ñâîéñòâî ìîíîòîííîñòè). Ïðèìåð 10. Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè1 y = sin(0,5arccos(0,5 + 0,5 1 - 0,5x )) .

Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà óñòàíîâèì îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ äàííîé ôóíêöèè. Ïîñêîëüêó ôóíêöèÿ sin t îïðåäåëåíà ïðè ëþáîì t, òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ äàííîé ôóíêöèè ñîâïàäàåò ñ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y = arccos t, ãäå t = 0,5 + 0,5 1 - 0,5x . Ïî îïðåäåëåíèþ arccost îïðåäåëåí òîëüêî íà îòðåçêå −1 ≤ t ≤ 1. Ðåøèì íåðàâåíñòâî -1 £ 0,5 + 0,5 1 - 0,5x £ 1 .

Ïîëó÷èì -1 £ 0,5 + 0,5 1 - 0,5x £ 1  -2 £ 1 + 1 - 0,5x £ 2  ïì1 - 0,5x £ 1,  -3 £ 1 - 0,5x £ 1  ïí  0£ x £2 . ïïî1 - 0,5x ³ 0 Èòàê, äàííàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà òîëüêî íà îòðåçêå [0; 2]. Ïðè âñåõ ýòèõ õ èìååì íåðàâåíñòâî 0,5 £ 0,5 + 0,5 1 - 0,5x £ 1 è ïîýòîìó arccos 0,5 ³ arccos(0,5 + 0,5 1 - 0,5x ) ³ arccos1  π  3 π  0 £ 0,5arccos(0,5 + 0,5 1 - 0,5x ) £ . 6 Ñëåäîâàòåëüíî,  0 £ arccos(0,5 + 0,5 1 - 0,5x ) £

π 1 = . 6 2 Òàêèì îáðàçîì, ìíîæåñòâî çíà÷åíèé äàííîé ôóíêöèè 1 . åñòü îòðåçîê 2 Ïåðå÷èñëèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ëîãàðèôìè÷åñêèõ ôóíêöèé, ñâÿçàííûå ñ íåðàâåíñòâàìè. 0 £ sin(0,5arccos(0,5 + 0,5 1 - 0,5x )) £ sin

1 Äðóãèå çàäàíèÿ íà íàõîæäåíèå îáëàñòè çíà÷åíèé ôóíêöèè ñì. â ãëàâå 2.

14


ÃËÀÂÀ 1. ×ÈÑËÀ. ÒÎÆÄÅÑÒÂÅÍÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß

Åñëè 0 < a £ b è c >1 , òî log c a £ log c b (ñâîéñòâî ìîíîòîííîñòè). Åñëè 1 < a £ b è c >1 , òî 0 < log b c £ log a c (ñâîéñòâî ìîíîòîííîñòè). Ïðèìåð 11. Ñðàâíèòå ÷èñëà log23 è log34. Ðåøåíèå. Çäåñü ìîæíî ïîñòóïèòü òàê. Ñðàâíèì ÷èñëà 3 4 è log 3 4 -1 = log3 . log2 3 -1 = log2 2 3 Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ öåïî÷êó íåðàâåíñòâ 3 4 4 > log2 > log 3 . 2 3 3 Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî log23 > log34.  äàííîì ñëó÷àå âîçìîæåí âòîðîé ñïîñîá. Ïóñòü log23 = à. Òîãäà 2 2 log 3 4 = 2log 3 2 = = . log2 3 a 2 x2 - 2 . Ïðè õ > 0 çíàÐàññìîòðèì ôóíêöèþ y = x - = x x ÷åíèÿ ýòîé ôóíêöèè ïîëîæèòåëüíû ïðè x > 2, è îòðèöàòåëüíû ïðè 0 < x < 2 . Ïîýòîìó ñðàâíèì ÷èñëà à è 2 , ò.å. log2

log2 3 è 2

2 = log2 2

2

. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ñðàâíèòü ÷èñëà 3

< 21,5 £ 2 2 < 2 ⋅1,5 = 3. 2 Îòñþäà log2 3 = a > 2 è ïîýòîìó çíà÷åíèå y(a) = a - > 0 . a Ñëåäîâàòåëüíî,

è 2

. Èìååì öåïî÷êó íåðàâåíñòâ 2

2

log2 3 - log 3 4 > 0  log2 3 > log3 4 . ×àñòî ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ïîâûøåííîé ñëîæíîñòè ïðèõîäèòñÿ âûïîëíÿòü òîæäåñòâåííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ äëÿ òîãî, ÷òîáû äàííîå âûðàæåíèå ñòàëî óäîáíî äëÿ èññëåäîâàíèÿ.  îñíîâå ýòèõ ïðåîáðàçîâàíèé ëåæàò ðàçëè÷íûå ôîðìóëû. Ïåðå÷èñëèì íåêîòîðûå èç íèõ, êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ íàèáîëåå ÷àñòî.

§ 2. Ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ 1. a2 - b2 = (a - b)(a + b) . 2. a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2 ) . 3. a4 - b4 = (a - b)(a3 + a2 b + ab2 + b3 ) = (a - b)(a + b)(a2 + b2 ) . 15


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

an - bn = (a - b)(an-1 + an-2 b + an-3 b2 + ... + bn-1 ) , n Î N . (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 . (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 . (a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 . n(n -1) n-2 2 a b + 8. (a + b)n = an + nan-1 + 2! n(n -1)(n - 2) n-3 3 + a b + ... + nabn-1 + bn , n Î Z . 3! 9. x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy. 10. x3 + y3 = (x + y)3 - 3xy(x + y). 11. x4 + y4 = (x2 + y2 )2 - 2x2 y2 = ((x + y)2 - 2xy)2 - 2x2 y2 .

4. 5. 6. 7.

1 æ 1 ö2 ççx + ÷÷ - 2. = x ÷ø x2 è æ 1 æ 1 ö3 1ö 13. x3 + 3 = ççx + ÷÷÷ - 3ççx + ÷÷÷. è ø è x xø x 2 2 ö 1 ææ 1ö 14. x4 + 4 = çççççx + ÷÷÷ - 2÷÷÷ - 2. çèè xø x ø÷

12. x2 +

Ïðèìåð 1. Íàéäèòå âñå äåéñòâèòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïàðàæ x1 ÷ö2 æ x2 ö÷2 ìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ âûðàæåíèå ççç ÷÷ + ççç ÷÷ è x2 ÷ø è x1 ø÷ ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå, åñëè ÷èñëà x1 è x2 — äåéñòâèòåëüíûå, íåîáÿçàòåëüíî ðàçëè÷íûå, êîðíè óðàâíåíèÿ 1 5 - 2a a = 3. 2 x x x Ðåøåíèå. ×èñëî õ = 0 íå ÿâëÿåòñÿ êîðíåì äàííîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðîå ïîýòîìó ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå ðàâíîñèëüíîãî óðàâíåíèÿ x2 - x 5 - 2a - a = 0,

ãäå a ¹ 0. Ïðè êàæäîì a ≤ 2,5 è a ¹ 0 ýòî êâàäðàòíîå óðàâíåíèå èìååò äåéñòâèòåëüíûå êîðíè, åñëè åãî äèñêðèìèíàíò D = ( 5 - 2a )2 + 4a ³ 0  5 + 2a ³ 0  a ³-2,5.

Åñëè a > 2,5 , òî äàííîå óðàâíåíèå íå èìååò äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé. Óäîáíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Âèåòà. Íî 16


ÃËÀÂÀ 1. ×ÈÑËÀ. ÒÎÆÄÅÑÒÂÅÍÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß

æ x ö2 æ x ö2 ñíà÷àëà íåîáõîäèìî ïðåîáðàçîâàòü âûðàæåíèå ççç 1 ÷÷÷ + ççç 2 ÷÷÷ . è x2 ÷ø è x1 ø÷ Ïîëó÷èì æ x1 ö÷2 æ x2 ö÷2 x14 + x24 ((x1 + x2 )2 - 2x1x2 )2 - 2(x1x2 )2 çç ÷ + çç ÷ = . = çè x ÷÷ø èç x ø÷÷ (x x )2 (x x )2 2

1

1 2

1 2

Åñëè -2,5 £ a £ 2,5 è a ¹ 0 , òî ïî òåîðåìå Âèåòà íàõîäèì x1 + x2 = 5 - 2a , x1 ⋅ x2 = -a. Îòñþäà æ x1 ÷ö2 æ x2 ö÷2 ((x1 + x2 )2 - 2x1x2 )2 - 2(x1x2 )2 çç ÷ + çç ÷ = = çè x ÷÷ø èç x ø÷÷ (x x )2 2

1

2

1 2 2

(5 - 2a + 2a) - 2a 25 = 2 - 2. a2 a Ïîñêîëüêó -2,5 £ a £ 2,5 è a ¹ 0 , òî 0 < a2 £ 6,25. Îòñþ25 25 äà 2 - 2 ³ - 2 = 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, íàèìåíüøåå çíà÷åíèå 6,25 a æ x ö2 æ x ö2 âûðàæåíèÿ ççç 1 ÷÷÷ + ççç 2 ÷÷÷ ðàâíî 2 è îíî äîñòèãàåòñÿ òîãäà è è x2 ÷ø è x1 ø÷ =

òîëüêî òîãäà, êîãäà a2 = 6,25  a = 2,5 . Îòâåò: a = 2,5 .

§ 3. Ñâîéñòâà ñòåïåíåé è ëîãàðèôìîâ 3.1. Ñâîéñòâà ñòåïåíåé Íàïîìíèì, ÷òî ñòåïåíüþ äåñòâèòåëüíîãî ÷èñëà à íàçûâàåòñÿ âûðàæåíèå âèäà àï, ãäå à — îñíîâàíèå ñòåïåíè, n — ïîêàçàòåëü ñòåïåíè. Ïðè ýòîì åñëè n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî ñòåïåíè a1 = a ; an = a ⋅ a ⋅ ...⋅ a , n > 1; a0 = 1, åñëè  n раз 1 a ¹ 0; a-n = n , åñëè a ¹ 0 îïðåäåëåíû äëÿ ëþáîãî a Î R; åñëè n a m — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî ñòåïåíü a m = m an îïðåäåëåíà n 1 äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà a ³ 0 ; ñòåïåíü a m = m n a îïðåäåëåíà äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà à > 0; åñëè α — èððàöèîíàëüíîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, òî ñòåïåíü aα îïðåäåëåíà äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà a ≥ 0 êàê ïðåäåë 17


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ðàöèîíàëüíûõ ñòåïåíåé ÷èñëà à, à èìåííî aα = lim arn = lim arn , ãäå rn è rn — ïîñëåäîâàòåëüíîñòè n¥

n¥

ðàöèîíàëüíûõ ÷èñåë, òàêèõ, ÷òî äëÿ ëþáîãî n ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî rn < α < rn è α = lim rn = lim rn ; ñòåïåíü a−α îïn¥

n¥

ðåäåëåíà äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà à > 0. Ïî ïîâîäó îïðåäåëåíèÿ ñòåïåíè ñ èððàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì îòìåòèì ñëåäóþùåå. Ïîñêîëüêó â øêîëüíîì êóðñå ìàòåìàòèêè îòñóòñòâóåò ñòðîãîå îïðåäåëåíèå ïðåäåëà ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, à èíîãäà èìååòñÿ òîëüêî íåêîòîðîå ïîÿñíåíèå ýòîãî ñëîæíîãî ïîíÿòèÿ, òî è ñòåïåíü ñ èððàöèîíàëüíûì ïîêàçàòåëåì ìîæíî ïîíÿòü òîëüêî êà÷åñòâåííî, íå òî÷íî. Ó÷àùèéñÿ äîëæåí ïîíèìàòü, ÷òî, íàïðèìåð, 3 ñòåïåíü 5 2 åñòü íåêîòîðîå ïîëîæèòåëüíîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, íàéòè ïåðâûå äåñÿòè÷íûå çíàêè êîòîðîãî ìîæíî ñ ïîìîùüþ êàëüêóëÿòîðà, è òàê êàê 1,2 < 3 2 < 1,3 , òî 3 51,2 < 5 2 < 51,3 . Îòìåòèì, ÷òî ñëåäóåò ðàçëè÷àòü âûðàæåíèå xx è ôóíêöèþ y = x x . Ðàçëè÷èå ñîñòîèò â òîì, ÷òî âûðàæåíèå xx îïðåäåëåíî ïðè âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ x, à òàêæå ïðè âñåõ öåëûõ îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ x. Ôóíêöèÿ y = x x , êîòîðàÿ íàçûâàåòñÿ ïîêàçàòåëüíî-ñòåïåííîé, èìååò, ïî îïðåäåëåíèþ, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ R+ , ò.å. ñîñòîÿùóþ òîëüêî èç âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë: R+ = (0; +¥) . Ïåðå÷èñëèì òåïåðü ñâîéñòâà ñòåïåíè. 1. an ⋅ am = an+m , a, n, m Î R . 2. (an )m = an⋅m , a, n, m Î R . 3. an ⋅ bn = (ab)n , a, n Î R . an æ a ön 4. n = çç ÷÷ , a, b, n Î R, b ¹ 0 . èbø b Ñâîéñòâà ðàäèêàëîâ Íàïîìíèì, ÷òî ïîíÿòèå êîðíÿ íàòóðàëüíîé ñòåïåíè n èç äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà à ââîäèòñÿ äëÿ ÷åòíûõ è íå÷åòíûõ ïîêàçàòåëåé ðàçëè÷íî. Åñëè ïîêàçàòåëü êîðíÿ — íàòóðàëüíîå ÷åòíîå ÷èñëî, òî åñòü n = 2k, k Î N , òî ïî îïðåäåëåíèþ 18


ÃËÀÂÀ 1. ×ÈÑËÀ. ÒÎÆÄÅÑÒÂÅÍÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß

ìb ³ 0, опр. ï  ïí a = b ¬¾¾ ïïa = b2k . î Åñëè ïîêàçàòåëü êîðíÿ — íàòóðàëüíîå íå÷åòíîå ÷èñëî, òî åñòü n = 2k + 1, k Î N , òî ïî îïðåäåëåíèþ 2k

2k+1

опр. a = b ¬¾¾  a = b2k+1.

Îòìåòèì îñîáî, ÷òî íè â ïåðâîì ñëó÷àå, êîãäà ïîêàçàòåëü êîðíÿ — íàòóðàëüíîå ÷åòíîå ÷èñëî, íè âî âòîðîì, êîãäà ïîêàçàòåëü êîðíÿ — íàòóðàëüíîå íå÷åòíîå ÷èñëî, íè÷åãî íå ãîâîðèòñÿ î ïîäêîðåííîì âûðàæåíèè, â äàííîì ñëó÷àå î ÷èñëå à. Îäíàêî èç îïðåäåëåíèÿ êîðíÿ ÷åòíîé ñòåïåíè ñëåäóåò, ÷òî êîðåíü ÷åòíîé ñòåïåíè èç îòðèöàòåëüíîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà íå îïðåäåëåí. Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà1: Äëÿ ëþáîãî íåîòðèöàòåëüíîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà à è ïðîèçâîëüíîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà k ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå íåîòðèöàòåëüíîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî b òàêîå, ÷òî b2k = a. Äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà à è ïðîèçâîëüíîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà k ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî b òàêîå, ÷òî b2k+1 = a.  ïåðâîì ñëó÷àå ÷èñëî b îáîçíà÷àþò 2k a , à âî âòîðîì 2k+1 a . Ïðè ýòîì íåîòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå êîðíÿ èç íåîòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà íàçûâàþò àðèôìåòè÷åñêèì çíà÷åíèåì êîðíÿ2 èëè ïðîñòî àðèôìåòè÷åñêèì êîðíåì. Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà. 1. n ab = n a ⋅ n b, a ³ 0, b ³ 0 è n ab = n -a ⋅ n -b, a £ 0, b £ 0. 2.

2k

a2 k = a è

2k+1

a2k+1 = a ïðè ëþáîì a.

3. x2k a = 2k x2k a ïðè x ³ 0 è x2k a = -2k x2k a ïðè x < 0. 4. (n a )m = n am ïðè a ³ 0 , íî ïðè a £ 0

n

a2k = (n -a )2k .

1 Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû âûõîäèò çà ðàìêè ïðîãðàììû øêîëüíîãî êóðñà ìàòåìàòèêè. 2

Çíàê n a èñïîëüçóåòñÿ â øêîëüíîì êóðñå ìàòåìàòèêè äëÿ îáîçíà÷åíèÿ àðèôìåòè÷åñêîãî êîðíÿ èç íåîòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà, à ïðè íå÷åòíîì n — äëÿ îáîçíà÷åíèÿ åäèíñòâåííîãî êîðíÿ èç äàííîãî ÷èñëà. Íàïðèìåð, 3 -1 = -1 .

19


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

5. m n a = m⋅n a ïðè ëþáîì a, åñëè m, n — íàòóðàëüíûå íå÷åòíûå ÷èñëà, è ïðè a ³ 0 , åñëè õîòÿ áû îäíî èç íàòóðàëüíûõ ÷èñåë m, n — ÷åòíîå. Ïðèìåð 1. Ïðè êàêîì öåëîì ïîëîæèòåëüíîì õ çíà÷åíèå x - 7 9 + (x - 3) x2 - 4x - 21 - x2 áëèæå âñåãî âûðàæåíèÿ ⋅ x + 3 x2 - (x + 7) x2 - 4x - 21 - 49 ê ÷èñëó 0,7? Ðåøåíèå. Äàííîå âûðàæåíèå îïðåäåëåíî ïðè âûïîëíåíèè òðåõ óñëîâèé: x -7 1) ³0 ; x +3 2) x2 - 4x - 21 ³ 0 è 3) x2 - (x + 7) x2 - 4x - 21 - 49 ¹ 0 . Ïî óñëîâèþ x > 0, è ñ ó÷åòîì 1) è 2) íàõîäèì, ÷òî x ≥ 7. Çàìåòèì, ÷òî x2 - (x + 7) x2 - 4x - 21 - 49 = (x2 - 49) - (x + 7) (x + 3)(x - 7) = = (x + 7) (x - 7 - (x + 3)(x - 7) ).

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ÷èñëî 7 íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ 3). Ïðè x >7 , (x + 7) (x - 7 - (x + 3)(x - 7) )< 0. Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìûå çíà÷åíèÿ õ óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ x > 7. Ïðåîáðàçóåì äàííîå âûðàæåíèå ñ ó÷åòîì óñëîâèÿ x > 7. Ñíà÷àëà ïîðàáîòàåì ñ ÷èñëèòåëåì è çíàìåíàòåëåì. Ïîëó÷èì 9 + (x - 3) x2 - 4x - 21 - x2 = (3 - x)(3 + x) + + (x - 3) (x + 3)(x - 7) = (3 - x)(3 + x) + +(x - 3) (x + 3)(x - 7) = (3 - x) 3 + x ( 3 + x - x - 7 ). x2 - (x + 7) x2 - 4x - 21 - 49 = (x + 7)(x - 7) -(x + 7) (x + 3)(x - 7) = (x + 7) x - 7 ( x - 7 - x + 3 ).

Ïîýòîìó = 20

x - 7 9 + (x - 3) x2 - 4x - 21 - x2 ⋅ = x + 3 x2 - (x + 7) x2 - 4x - 21 - 49 x - 7 (3 - x) 3 + x ( 3 + x - x - 7 ) x - 3 . ⋅ = x + 3 (x + 7) x - 7 ( x - 7 - x + 3 ) x + 7


ÃËÀÂÀ 1. ×ÈÑËÀ. ÒÎÆÄÅÑÒÂÅÍÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß

x -3 7 1 . Ïîëó÷èì x = 26 . Ðàñ= 10 x + 7 3 x -3 x -3 10 ñìîòðèì ôóíêöèþ y = . Òàê êàê y = , = 1x +7 x +7 x +7 10 òî ïðè âîçðàñòàíèè õ îò 7 äî +¥ çíà÷åíèÿ äðîáè x +7 5 äî 0 è âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî óìåíüøàþòñÿ îò 7 10 5 0< < . Ñëåäîâàòåëüíî, íà ïðîìåæóòêå (7; + ¥) ôóíêx +7 7 x -3 10 öèÿ y = âîçðàñòàåò è ïðèíèìàåò âñå çíà÷åíèÿ = 1x +7 x +7 æ2 ö x -3 èç ïðîìåæóòêà çç ;1÷÷÷ . Òàê êàê ôóíêöèÿ y = ìîíîòîííî è7 ø x +7 æ 1ö âîçðàñòàåò è y çç26 ÷÷÷ = 0,7 , òî óñëîâèþ çàäà÷è ìîæåò óäîâëåè 3ø 24 6 23 è y(27) = = . òâîðÿòü èëè 26, èëè 27. Íàéäåì y(26) = 20 5 33 12 7 1 23 1 Òåïåðü ñðàâíèì äâà ÷èñëà 0,7 è - = . Òàê = 17 10 170 33 330 1 1 23 êàê , òî çíà÷åíèå y(26) = áëèæå âñåãî ê 0,7. < 33 330 170 Îòâåò: 26.

Ðåøèì óðàâíåíèå

3.2. Ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ Íàïîìíèì, ÷òî ÷èñëî α = log a p íàçûâàåòñÿ ëîãàðèôìîì äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà ð ïî îñíîâàíèþ à, ãäå a > 0, a ¹1 , åñëè aα = p , ò.å. ëîãàðèôì ÷èñëà ð ïî îñíîâàíèþ à åñòü òîò ïîêàçàòåëü ñòåïåíè, ïðè âîçâåäåíèè â êîòîðûé ÷èñëà à ïîëó÷èì äàííîå ÷èñëî ð. Ìîæíî íàïèñàòü, ÷òî åñëè a > 0 , a ¹1 , òî aα = p   logap = α. Òî æå ñàìîå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå òîæäåñòâà: åñëè a > 0, a ¹1 , òî aloga p = p (îñíîâíîå ëîãàðèôìè÷åñêîå òîæäåñòâî). Èç îïðåäåëåíèÿ ëîãàðèôìà ñëåäóåò, ÷òî ëîãàðèôì îòðèöàòåëüíîãî ÷èñëà è íóëÿ íå îïðåäåëåíû. Îãðàíè÷åíèÿ a > 0, a ¹1 íà îñíîâàíèå à ëîãàðèôìà èíîãäà ïîëåçíî çàïèñûâàòü a â âèäå >0 . a -1 21


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ñïðàâåäëèâà òåîðåìà1: Äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà ð è ïðîèçâîëüíîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà à òàêîãî, ÷òî a > 0 , ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî a -1 α = log a p . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ëþáîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ëîãàðèôì íåêîòîðîãî ÷èñëà, âû÷èñëåííîãî ïî îïðåäåëåííîìó îñíîâàíèþ. Íàïðèìåð, ÷èñëî 5,4 = log7 (75,4 ).  îáùåì ñëó÷àå äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî α ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî α = log a (aα ). Ñïðàâåäëèâû ñëåäóþùèå ñâîéñòâà: 1. log a ( pq) = log a p + log a q ïðè ëþáîì a > 0, a ¹ 1, p > 0, q > 0 . Åñëè a > 0 , a ¹1 , p < 0 , q < 0 , òî loga(pq) = loga(−p) + + loga(−q). æ pö 2. log a çç ÷÷÷ = log a p - log a q ïðè ëþáîì a > 0 , a ¹1 , p > 0 , çè q ø÷ æ pö q > 0 . Åñëè a > 0 , a ¹1 , p < 0 , q < 0 , òî log a çç ÷÷= log a (- p) çè q ø÷÷ − loga(−q). s 3. log ak (ps )= log a p ïðè ëþáîì s > 0, a > 0, a ¹ 1, p > 0. Åñëè k s a ¹1 , k, s — ÷åòíûå öåëûå ÷èñëà, òî log ak (ps )= log a p . k Íàïðèìåð, 6 8 6 log5 (a )= 8 log5 a ; log b4 (a )= log b a = 1,5 ⋅ log b a , ïðè 4 0 < b ¹1 . 4. log a p ⋅ log b q = log b p ⋅ log a q ïðè ëþáîì a > 0 , a ¹1 , b > 0, b ¹1 , p > 0, q > 0.  ÷àñòíîñòè, ñïðàâåäëèâû ôîðìóëû ïåðåõîäà ê äðóãîìó îñíîâàíèþ (ìîäóëü ïåðåõîäà): log b p log b p è log a b = . log b a log b q Óêàçàííîå ñâîéñòâî ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: log a p log b p , = log a q log b q log a p =

1 Äîêàçàòåëüñòâî ýòîé òåîðåìû âûõîäèò çà ðàìêè ïðîãðàììû øêîëüíîãî êóðñà ìàòåìàòèêè. 22


ÃËÀÂÀ 1. ×ÈÑËÀ. ÒÎÆÄÅÑÒÂÅÍÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß

òî åñòü îòíîøåíèå ëîãàðèôìîâ, èìåþùèõ îäíî è òîæå îñíîâàíèå, íå çàâèñèò îò ýòîãî îñíîâàíèÿ. 5. Ïîëåçíû ñëåäóþùèå ïðåäñòàâëåíèÿ ñòåïåíåé ÷åðåç ëîãàðèôì: ab = cb logc a ïðè ëþáîì b, a > 0, c > 0, c ¹1 ; alogb c = clogb a ïðè ëþáîì a > 0 , b > 0 , ( a -1)( b -1) > 0 è a

log b a

=c

log a b

.

Ïðèìåð 2. Âûðàçèòå log 0,75 72 ÷åðåç õ, åñëè x = log2 3 . Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé ïåðåõîäà ê îñíîâàíèþ 2: log2 72 log2 8 + log2 9 3 + 2log2 3 3 + 2x . log 0,75 72 = = = = log2 0,75 log2 3 - log2 4 log2 3 - 2 x -2 Ïðåîáðàçîâàíèå âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå è/èëè îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè, îñóùåñòâëÿåòñÿ ñ ïîìîùüþ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôîðìóë.

§ 4. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôîðìóëû 4.1. Ôîðìóëû, ñâÿçûâàþùèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îäíîãî è òîãî æå ÷èñëà (óãëà) 1. sin2 x + cos2 x = 1 , äëÿ ëþáîãî x. πn 2. tgx ⋅ ctgx = 1 , äëÿ ëþáîãî x ¹ , ãäå ï — ëþáîå öåëîå 2 ÷èñëî. 1 1 ctg2 x 2 3. 1 + tg2 x = èëè äëÿ cos x = = cos2 x 1 + tg2 x 1 + ctg2 x π ëþáîãî x ¹ + πn , ãäå n — ëþáîå öåëîå ÷èñëî (â ïîñëåäíåì 2 ñëó÷àå äëÿ ëþáîãî x ¹ πn ). 1 1 tg2 x 2 èëè äëÿ 4. 1 + ctg2 x = sin x = = sin2 x 1 + ctg2 x 1 + tg2 x ëþáîãî x ¹ πn , ãäå ï — ëþáîå öåëîå ÷èñëî (â ïîñëåäíåì π ñëó÷àå äëÿ ëþáîãî x ¹ + πn). 2

4.2. Ôîðìóëû ñëîæåíèÿ 5. sin(x + y) = sin x cos y + sin y cos x , äëÿ ëþáûõ x è y. 6. cos(x + y) = cosx cos y - sin x siny , äëÿ ëþáûõ x è y. 23


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

tgx + tgy äëÿ ëþáûõ õ è ó, òàêèõ ÷òî 1 - tgx ⋅ tgy π π π x ¹ + πn , y ¹ + πn , x + y ¹ + πn , ãäå ï — ïðîèçâîëüíîå 2 2 2 öåëîå ÷èñëî.

7. tg(x + y) =

4.3. Ôîðìóëû êðàòíûõ óãëîâ 8. cos2x = cos2 x - sin2 x = 2cos2 x -1 = 1 - 2sin2 x, äëÿ ëþáûõ x. 9. sin2x = 2sin x cos x . 10. cos 3x = 4 cos3 x - 3cos x . 11. sin3x = 3sinx - 4sin3 x . 1 + cos2x 1 - cos2x ; sin2 x = . 12. cos2 x = 2 2

4.4. Ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ Ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ ïîçâîëÿþò ñâåñòè âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ïðîèçâîëüíûõ òî÷êàõ ÷èñëîâîé îñè ê âû÷èñëåíèþ çíà÷åíèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â òåõ òî÷êàõ õ, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò π íåðàâåíñòâó 0 £ x £ (0 £ x £ 45) . Âûïèøåì íåêîòîðûå èç 4 íèõ: 1) sin(-x) = - sin x ; æπ ö 2) sin çç - x÷÷ = cosx ; è2 ø æπ ö 3) cos çç + x÷÷ = -sinx ; è2 ø 4) sin ( π- x) = sinx ; 5) cos ( π + x) = -cosx ; æ 3π ö 6) tg çç - x÷÷÷ = ctgx ; è2 ø æ 3π ö 7) ctg çç + x÷÷÷ = -tgx ; è2 ø 8) tg (2π- x) = tgx . Îñîáåííî ïîëåçíû òàê íàçûâàåìûå ôîðìóëû äîïîëíåíèÿ (èëè äîïîëíèòåëüíûõ óãëîâ), êîòîðûå óäîáíî çàïèñàòü â ñëåäóþùåì âèäå. 24


ÃËÀÂÀ 1. ×ÈÑËÀ. ÒÎÆÄÅÑÒÂÅÍÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß

Òåîðåìà. π Åñëè x + y = , òî 2 sin x = cos y ; cos x = sin y ; tgx = ctgy ; ctgx = tgy ;

åñëè x + y = π, òî sinx − sinó = 0, cosx + cosó = 0; tgx + tgy = 0; ctgx + ctgó = 0. cos247sin131- sin401 sin 337 . sin92sin160- cos200sin358 Ðåøåíèå. Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå ïî ôîðìóëàì ïðèâåäåíèÿ òàê, ÷òîáû óãëû áûëè íå áîëüøå 45°. Ïîëó÷èì:

Ïðèìåð 1. Âû÷èñëèòå

cos247sin131- sin401 sin 337 = sin92sin160- cos200sin358 =

cos(270- 23)sin(90 + 41) - sin(360 + 41)sin (360- 23) = sin(90 + 2)sin(180- 20) - cos(180 + 20)sin(360- 2) =

- cos23cos41- sin41 sin23 sin18 == -1 . cos2sin20- cos20sin2 sin18

4.5. Ôîðìóëû ñëîæåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé (ïðåîáðàçîâàíèå ñóììû ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå) x+y x-y äëÿ ëþáûõ õ è ó. cos 2 2 x-y x+y äëÿ ëþáûõ õ è ó. 2. sin x - sin y = 2sin cos 2 2 x+y x-y äëÿ ëþáûõ õ è ó. 3. cosx + cosy = 2cos cos 2 2 x+y x-y äëÿ ëþáûõ õ è ó. 4. cosx - cosy = -2sin sin 2 2 sin(x + y) äëÿ ëþáûõ õ è ó òàêèõ, ÷òî 5. tgx + tgy = cos x cos y π π x ¹ + πn , y ¹ + πn , ãäå ï — ïðîèçâîëüíîå öåëîå ÷èñëî. 2 2

1. sin x + sin y = 2sin

25


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Çàìå÷àíèå. Äëÿ ñëîæåíèÿ ðàçíîèìåííûõ ôóíêöèé èñïîëüçóþò, êàê ïðàâèëî ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ. Íàïðèìåð, æπ ö æ π x + y ÷ö æ π x - y ÷ö cos x - sin y = sin çç - x÷÷ - sin y = 2sin çç ÷ø⋅ sin ççè ÷. è2 ø è4 2 4 2 ø

4.6. Ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ñóììó 1 6. sin x ⋅ sin y = (cos(x - y) - cos(x + y)) , äëÿ ëþáûõ õ è ó. 2 1 7. sin x ⋅ cosy = (sin(x - y) + sin(x + y)) , äëÿ ëþáûõ õ è ó. 2 1 8. cosx ⋅ cosy = (cos(x - y) + cos(x + y)) , äëÿ ëþáûõ õ è ó. 2

4.7. Ôîðìóëû âñïîìîãàòåëüíîãî óãëà a 9. a sin x + b cos x = a2 + b2 sin(x + α) , ãäå cosα = , 2 2 a + b b . sinα = 2 a + b2 b 10. a sin x + b cos x = a2 + b2 cos(x - β) , ãäå cosβ = , a2 + b2 a . sinβ = a2 + b2 πö πö æ æ 11. a sin x + a cos x = a 2 sin ççx + ÷÷ = a 2 cos ççx - ÷÷ . è è 4ø 4ø π Ïðèìåð 2. Ïóñòü cos = a . Âûðàçèòå ÷åðåç à çíà÷åíèå 8 π 3π π âûðàæåíèÿ 2sin + 2cos + 2cos . 8 8 8 Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ê ïåðâîìó è ïîñëåäíåìó ñëàãàåìûì ôîðìóëó âñïîìîãàòåëüíîãî óãëà. Ïîëó÷èì π 3π π 3π æ π πö 2sin + 2cos + 2cos = 2sin çç + ÷÷ + 2cos = è8 4ø 8 8 8 8 æ 3π 3π 3π 3π ö 5π = 2sin + 2cos = 2ççsin + cos ÷÷÷ = 2 2sin = è 8 8 8 8ø 8 π = 2 2sin = 2a 2 . 8 26


ÃËÀÂÀ 1. ×ÈÑËÀ. ÒÎÆÄÅÑÒÂÅÍÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß

Ïðèìåð 3. Âûðàçèòå ÷åðåç ðàäèêàëû sin 15° è sin 18°. Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà âûðàçèì ÷åðåç ðàäèêàëû sin 15°. Ïîëó÷èì 3 11 - cos30 2 = 2- 3 . sin15 = = 2 2 2 Ìîæíî ïîñòóïèòü èíà÷å: sin15 = sin(45- 30) = sin45cos30- sin30cos45 = 2 ⋅ 3 - 1⋅ 2 6- 2 = 4 4 Âû÷èñëèòü sin 18° íåñêîëüêî ñëîæíåå. Çàïèøåì òîæäåñòâî sin 54° = cos 36°, ê êîòîðîìó ïðèìåíèì ôîðìóëû êðàòíûõ óãëîâ. Ïîëó÷èì 3sin 18° – 4sin3 18° = 1 – 2sin2 18°. Ðàññìîòðèì ýòî ðàâåíñòâî êàê óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî õ = sin 18°: =

3x - 4x3 = 1 - 2x2  4x3 - 2x2 - 3x + 1 = 0   4x3 - 4x2 + 2x2 - 2x - x + 1 = 0   4x2 (x -1) + 2x(x -1) - (x -1) = 0  (x -1)(4x2 + 2x -1) = 0

è ïîñêîëüêó x = sin18 ¹ 1 , òî 4õ2 + 2õ – 1 = 0. Îòñþäà, ó÷èòû-1 + 5 âàÿ íåðàâåíñòâî õ = sin 18° > 0, íàõîäèì x = sin18 = . 4 Íàéäèòå ñàìîñòîÿòåëüíî cos 15° è sin 54°. Ïðèìåð 4. Âû÷èñëèòå ïðîèçâåäåíèå 8cos20⋅ cos40⋅ cos80. Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ â ñóììó. Ïîëó÷èì 8cos20⋅ cos40⋅ cos80 = 4(cos20 + cos60)cos80 = 1 = 4(cos20cos80 + cos80) = 2(cos60 + cos100) + 2cos80 = 2 = 2cos60 + 2(cos100 + cos80) = 1 .

(Ìû âîñïîëüçîâàëèñü çíà÷åíèåì cos 60° = 0,5 è ôîðìóëîé äîïîëíåíèÿ äëÿ êîñèíóñîâ: cos 100°+ cos80° = 0.) Çäåñü ìîæíî ïðèìåíèòü ñëåäóþùèé èçÿùíûé ïðèåì: óìíîæèì è ðàçäåëèì äàííîå âûðàæåíèå íà sin 20° è âîñïîëüçóåìñÿ òðèæäû ôîðìóëîé äâîéíîãî óãëà: 8sin20cos20⋅ cos40⋅ cos80 8cos20⋅ cos40⋅ cos80 = = sin20 27


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

4sin40⋅ cos40⋅ cos80 2sin80⋅ cos80 sin160 = = =1 . sin20 sin20 sin20 (Çäåñü èñïîëüçîâàëàñü ôîðìóëà äîïîëíåíèÿ äëÿ ñèíóñîâ: sin160° − sin20° = 0.) =

Ïðèìåð 5. Ðàññìîòðèì ñïîñîá ñëîæåíèÿ êîñèíóñîâ ÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Âû÷èñëèòå ñóììó: cos20 + cos40 + cos60 + ... + cos200 .

Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ñïîñîá èç ïðèìåðà 4: óìíîæèì è ðàçäåëèì äàííîå âûðàæåíèå íà 2 sin 10° è âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé äëÿ ïðîèçâåäåíèÿ ñèíóñà è êîñèíóñà. Ïîëó÷èì 2sin10(cos20 + cos40 + cos60 + ... + cos200) = 2sin10 = -

sin30- sin10 + sin50- sin30 + sin70 2sin10

sin50 + ... + sin210- sin190 sin210- sin10 = = 2sin10 2sin10 =

2sin100cos110 cos10sin20 == -2cos2 10 . 2sin10 sin10

§ 5. Îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè Ïðåæäå ÷åì âûïèñàòü îñíîâíûå ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó îáðàòíûìè òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè, íàïîìíèì èõ îïðåäåëåíèÿ. Îïðåäåëåíèå. Àðêñèíóñîì ÷èñëà õ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî ó = arcsinx, îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè äâóìÿ ñâîéñòâàìè: π π 1) sin ó = õ, òî åñòü sin(arcsinx) = õ; 2) - £ y £ . 2 2 Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî x Î [-1;1] π π íà îòðåçêå - £ y £ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ÷èñëî 2 2 ó = arcsinx. Óêàçàííîå ñîîòâåòñòâèå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ó = arcsinx, îáðàòíîé ê ôóíêöèè ó = sinx, çàäàííîé íà îòðåçπ π êå - £ x £ . 2 2 28


ÃËÀÂÀ 1. ×ÈÑËÀ. ÒÎÆÄÅÑÒÂÅÍÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß

Î÷åâèäíî, ÷òî äëÿ ëþáîãî x Î (0;1) ÷èñëî ó = arcsinx ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ðàäèàííóþ ìåðó îñòðîãî óãëà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, ñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí õ. AC Íà ðèñ. 1 sin(ABC) = = x , ïîýòîìó ABC = arcsin x . AB Îïðåäåëåíèå. Àðêêîñèíóñîì ÷èñëà õ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî ó = arccosx, îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè äâóìÿ ñâîéñòâàìè: 1) cos y = x , òî åñòü cos(arccos x) = x ; 2) 0 £ y £ π . Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî x Î [-1;1] íà îòðåçêå 0 £ y £ π ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ÷èñëî ó = arccosx. Óêàçàííîå ñîîòâåòñòâèå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ó = arccosx, îáðàòíîé ê ôóíêöèè ó = cosx, çàäàííîé íà îòðåçêå A 0£x£π. 1 Àíàëîãè÷íî, äëÿ ëþáîãî x Î (0;1) x ÷èñëî ó = arccosx ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ðàäèàííóþ ìåðó îñòðîãî C B óãëà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, Ðèñ. 1 êîñèíóñ êîòîðîãî ðàâåí õ. AC Íà ðèñ. 1 cos(BAC) = = x , ïîýòîìó BAC = arccos x . AB Îïðåäåëåíèå. Àðêòàíãåíñîì ÷èñëà õ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî ó = arctgx, îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè äâóìÿ ñâîéñòâàìè: π π 1) tgó = õ, òî åñòü tg(arctgx) = x ; 2) - < y < . 2 2 Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî x Î R π π íà èíòåðâàëå - < y < ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ÷èñëî 2 2 y = arctgx .

Óêàçàííîå ñîîòâåòñòâèå ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ó = arctgx, îáðàòíîé ê ôóíêöèè ó = tgx, çàäàííîé íà èíòåðâàëå π π - <x< . 2 2 Äëÿ ëþáîãî õ > 0 ÷èñëî ó = arctgx ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ðàäèàííóþ ìåðó îñòðîãî óãëà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, òàíãåíñ êîòîðîãî ðàâåí õ. AC Íà ðèñ. 2 tg(ABC) = = x , ïîýòîìó ABC = arctgx . BC 29


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Îïðåäåëåíèå. Àðêêîòàíãåíñîì ÷èñëà õ íàçûâàåòñÿ ÷èñëî ó = arcctgx, îáëàäàþùåå ñëåäóþùèìè äâóìÿ ñâîéñòâàìè: 1) ctgó = õ, òî åñòü ctg(arcctgx) = x ; 2) 0 < y < π . Èç ýòîãî îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî äëÿ êàæäîãî x Î R íà èíòåðâàëå 0 < y < π ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå ÷èñëî ó = arcctgx. Óêàçàííîå ñîîòâåòñòâèå ÿâëÿåòA ñÿ ôóíêöèåé ó = arcctgx, îáðàòíîé ê ôóíêöèè ó = ctgx, çàäàííîé íà x îòðåçêå 0 < x < π . Äëÿ ëþáîãî õ > 0 ÷èñëî ó = arcctgx C B ìîæíî èíòåðïðåòèðîâàòü êàê ðà1 äèàííóþ ìåðó îñòðîãî óãëà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, êîòàíãåíñ Ðèñ. 2 êîòîðîãî ðàâåí õ. AC Íà ðèñ. 2 ctg(BAC) = = x , ïîýòîìó BAC = arcctgx . BC Äëÿ çàïîìèíàíèÿ îïðåäåëåíèé arcsinx, arccosx, arctgx è arcctgx ïîëåçíî ñëåäóþùåå óïðàæíåíèå. Íàðèñóéòå ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê ñ êàòåòàìè, çàäàííûìè ïðîèçâîëüíûìè, âûáðàííûìè âàìè ÷èñëàìè. Íàïðèìåð, ïóñòü êàòåòû ðàâíû a è b. Âû÷èñëèòå ãèïîòåíóçó c ýòîãî òðåóãîëüíèêà. Ïîëó÷èòå c = a2 + b2 . Òåïåðü çàïèøèòå, ÷åìó ðàâíû âñå óãëû ýòîãî A òðåóãîëüíèêà, èñïîëüçóÿ ñèìâîëû arcsin, arccos, arctg è arcctg. 5 3 Ïðèâåäåì ïðèìåð âûïîëíåíèÿ òàêîãî óïðàæíåíèÿ, ðèñ. 3. Ïóñòü C B AC = 3, CB = 4 — êàòåòû òðåóãîëü4 íèêà ABC. Òîãäà åãî ãèïîòåíóçà AB = 5. Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèÿ, ìîÐèñ. 3 æåì çàïèñàòü 4 3 4 3 BAC = arcsin = arccos = arctg = arcctg ; 5 5 3 4 3 4 3 4 ABC = arcsin = arccos = arctg = arcctg ; 5 5 4 3 π ACB = =arcsin1 = arccos0 = arcctg0 . 2 30


ÃËÀÂÀ 1. ×ÈÑËÀ. ÒÎÆÄÅÑÒÂÅÍÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß

π , ÷åðåç arctgx íåâîçìîæíî, 2 π π ïîñêîëüêó ïî îïðåäåëåíèþ - < arctgx < . 2 2

Ïðåäñòàâèòü óãîë, ðàâíûé

5.1. Ôîðìóëû, ñâÿçûâàþùèå îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè îäíîãî è òîãî æå ÷èñëà arcsin x + arcsin(-x) = 0 äëÿ ëþáîãî x £1 . arccosx + arccos(-x) = π äëÿ ëþáîãî x £1 . arctgx + arctg(-x) = 0 äëÿ ëþáîãî x. arcctgx + arcctg(-x) = π äëÿ ëþáîãî x. π 5. arcsin x + arccosx = äëÿ ëþáîãî x £1 . 2 π äëÿ ëþáîãî x. 6. arctgx + arcctgx = 2 1 7. arctgx - arcctg = 0 äëÿ ëþáîãî x > 0 . x 1 8. arctgx - arcctg = -π äëÿ ëþáîãî x < 0 . x Ïîëåçíûå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèé çíà÷åíèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé îò çíà÷åíèé îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Òàêèå âû÷èñëåíèÿ íåðåäêî ïðèõîäèòñÿ âûïîëíÿòü. Óêàæåì íåêîòîðûå èç íèõ. 9. sin(arccosx) = cos(arcsin x) = 1 - x2 , äëÿ ëþáîãî x £ 1. 1 10. tg(arcctgx) = ctg(arctgx) = , äëÿ ëþáîãî x ¹ 0 . x x , äëÿ ëþáîãî x. 11. sin(arctgx) = cos(arcctgx) = 1 + x2 x 12. tg(arcsinx) = ctg(arccosx) = , äëÿ ëþáîãî x < 1. 1 - x2

1. 2. 3. 4.

5.2. Ôîðìóëû äëÿ ñëîæåíèÿ îáðàòíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé 13. arcsin x + arcsiny = arcsin z , äëÿ ëþáûõ x è y òàêèõ, 1 1 ÷òî x £ , y£ , òîãäà z = x 1 - y2 + y 1 - x2 . 2 2 14. arccosx + arccosy = arccosz , äëÿ ëþáûõ x è y òàêèõ, ÷òî 0 £ x £ 1 , 0 £ y £ 1 , òîãäà z = xy - 1 - x2 1 - y2 . 31


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

(

)

15. 2arcsin x = arcsin 2x 1 - x2 , äëÿ ëþáîãî x òàêîãî, ÷òî 1 . x£ 2 16. 2arccosx = arccos (2x2 -1), äëÿ ëþáîãî x òàêîãî, ÷òî 0 £ x £1 . 17. arctgx + arctgy = arctgz , äëÿ ëþáûõ x è y òàêèõ, ÷òî x+y . x <1 , y <1 , òîãäà z = 1 - xy 18. arcctgx + arcctgy = arcctgz , äëÿ ëþáûõ x è y òàêèõ, xy -1 ÷òî x > 0, y > 0, òîãäà z = . x+y 2x , äëÿ ëþáîãî x òàêîãî, ÷òî x < 1. 19. 2arctgx = arctg 1 - x2 x2 - 1 20. 2arcctgx = arcctg , äëÿ ëþáîãî x > 0 . 2x 1 1 â âèäå Ïðèìåð 1. Ïðåäñòàâüòå ñóììó arctg + arctg 3 4 àðêñèíóñà íåêîòîðîãî ÷èñëà. Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé äëÿ ñóììû äâóõ àðêòàíãåíñîâ. Ïîëó÷èì 1 1 + 1 1 7 arctg + arctg = arctg 3 4 = arctg . 1 1 3 4 11 1- ⋅ 3 4 7 7 — ðàäèàííàÿ ìåðà îñòðîãî Òàê êàê > 0 , òî arctg 11 11 óãëà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè 7 è 11, ïðîòèâîëåæàùåãî êàòåòó äëèíîé 7. Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà äëèíà ãèïîòåíóçû √170 ýòîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà 170 . Ïî7 7 7 (ðèñ. 4). ýòîìó arctg = arcsin 11 170 11 7 Îòâåò: arcsin . Ðèñ. 4 170 3 4 Ïðèìåð 2. Ñðàâíèòå ÷èñëà arccos è arcctg . 4 3 4 Ðåøåíèå. Âûðàçèì arcctg ÷åðåç àðêêîñèíóñ. Ðåçóëüòàò 3 ìîæíî ïîëó÷èòü ìîìåíòàëüíî è äàæå óñòíî, íî ìû âûïîë32


ÃËÀÂÀ 1. ×ÈÑËÀ. ÒÎÆÄÅÑÒÂÅÍÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß

4 íèì çàäà÷ó, èñïîëüçóÿ íå èíòåðïðåòàöèþ arcctg , à îïðå3 4 äåëåíèå arcctg . 3 4 4 Èòàê, ïóñòü x = arcctg . Òîãäà ïî îïðåäåëåíèþ arcctg 3 3 π 4 ìîæåì íàïèñàòü: 1) ctgx = è 2) 0 < x < . Íàéäåì cosx. 2 3 16 ctg2 x 2 2 Èçâåñòíî, ÷òî cos x = . Îòñþäà cos x = . Íî èç íå2 25 1 + ctg x π 4 ñëåäóåò, ÷òî cosx > 0. Ïîýòîìó cos x = ðàâåíñòâà 0 < x < 2 4 5 4 4 è ïîýòîìó x = arccos . Èòàê, arcctg = arccos . 5 3 5 3 4 è arccos . Ïîñêîëüêó Òðåáóåòñÿ ñðàâíèòü arccos 4 5 3 4 π 3 4 0 < < < , òî ïî ñâîéñòâó àðêêîñèíóñà arccos > arccos = 4 5 2 4 5 4 = arcctg . 3 2 2 -1 π Ïðèìåð 3. Äîêàæèòå ðàâåíñòâî arcsin - arcsin = . 3 4 6 2 2 -1 - arcsin = α . ×òîáû äî3 6 êàçàòü äàííîå ðàâåíñòâî, äîñòàòî÷íî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî ñïðàπ âåäëèâî íåðàâåíñòâî 0 < α < è âû÷èñëèòü, íàïðèìåð, sinα. 2 1 Åñëè îêàæåòñÿ, ÷òî sinα = , òî ðàâåíñòâî áóäåò äîêàçàíî. 2

Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì arcsin

π 2 2 2 > arcsin > òàê êàê 0 < < < 1 , òî 2 2 3 3 2 π > arcsin = . 2 4 2 -1 1 < , òî Àíàëîãè÷íî, òàê êàê 0 < 2 6 2 -1 1 π 0 < arcsin < arcsin = . 2 6 6 π π Ïîýòîìó 0 < < α < . 12 2

Èòàê,

33


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Âû÷èñëèì sinα. Ïðèìåíèì ôîðìóëó ñèíóñà ðàçíîñòè. Ïîëó÷èì: æ 2 2 -1ö÷ ÷÷ = sinα = sin ççarcsin - arcsin çè 3 6 ø÷ æ 2 -1÷ö2 2 2 -1 1 ÷ = ⋅ 1 - ççç ⋅ = ÷ ÷ 3 3 6 è 6 ø =

( 2 + 1) 2 2 -1 3 1 . = = 3 2 3 2 3 2 2

Èòàê, ìû ïîëó÷èëè sinα =

1 . Ðàâåíñòâî äîêàçàíî. 2


ÃËÀÂÀ 2 ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ § 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ Ïóñòü X — íåêîòîðîå íåïóñòîå ìíîæåñòâî äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. È ïóñòü óêàçàí çàêîí f, ïî êîòîðîìó êàæäîìó ÷èñëó x Î X ñòàâèòñÿ â ñîîòâåòñòâèå åäèíñòâåííîå ÷èñëî y Î Y , îáîçíà÷àåìîå f (x) , òî åñòü y = f (x) . Òîãäà ãîâîðÿò, ÷òî íà ìíîæåñòâå X çàäàíà ôóíêöèÿ (÷èñëîâàÿ) f. Ìîæíî ãîâîðèòü, ÷òî íà ìíîæåñòâå X çàäàíà ôóíêöèÿ y = f (x) . Ìíîæåñòâî X íàçûâàþò îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè è îáîçíà÷àþò D(f ) . Ìíîæåñòâî Y òàêîå, ÷òî äëÿ êàæäîãî ÷èñëà y Î Y ñóùåñòâóåò ÷èñëî x Î X , òàêîå, ÷òî f(x) = ó íàçûâàþò îáëàñòüþ (èëè ìíîæåñòâîì) çíà÷åíèé ôóíêöèè è îáîçíà÷àþò E(f ) . ×èñëî x Î D(f ) íàçûâàåòñÿ àðãóìåíòîì ôóíêöèè, à ÷èñëî y = f (x) Î E(f ) — çíà÷åíèåì ôóíêöèè. Äàëåå ðàññìàòðèâàþòñÿ êîíêðåòíûå ôóíêöèè, îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ è îáëàñòü çíà÷åíèé êîòîðûõ åñòü îïðåäåëåííûå ïîäìíîæåñòâà ìíîæåñòâà äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë. Ãðàôèêîì ôóíêöèè y = f (x) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî òî÷åê ïëîñêîñòè ñ êîîðäèíàòàìè (x; f (x)) , ãäå x Î D(f ) . Íà ðèñóíêå èçîáðàæåí ãðàôèê íåêîòîðîé ôóíêöèè, äëÿ êîòîðîé D(f ) = [a; b] , a E(f ) = [c; d ] . y d

a 0

b x c 35


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

§ 2. Íåêîòîðûå êëàññû ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé 1. Ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè n èëè öåëîé ôóíêöèåé íàçûâàåòñÿ ôóíêöèÿ âèäà f (x) = a0 xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an , a ¹ 0 ,

ãäå a0 , a1,...an-1, an Î R, n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Ôóíêöèÿ f (x) = ax + b íàçûâàåòñÿ ëèíåéíîé ôóíêöèåé. Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî ìíîãî÷ëåí ïåðâîé ñòåïåíè èìååò âèä f (x) = ax + b , a ¹ 0 , à â ôîðìóëå, çàäàþùåé ëèíåéíóþ ôóíêöèþ f (x) = ax + b , äîïóñêàåòñÿ çíà÷åíèå à = 0. Ãðàôèêîì ëèíåéíîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ ëèíèÿ. y a>0

y = ax + b b

x

0 a<0

2. Ôóíêöèÿ âèäà f (x) = ax2 + bx + c , a ¹ 0 íàçûâàåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé. Ãðàôèêîì êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà. y a>0

0 y = ax2 + bx + c

36

x a<0


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

Ãðàôèêè ôóíêöèé âèäà f (x) = xn , n ³ 2 , n Î N èíîãäà òàêæå íàçûâàþò ïàðàáîëàìè ñîîòâåòñòâóþùåé ñòåïåíè ï. Íàïðèìåð, ãðàôèê ôóíêöèè y = x12 ìîæíî íàçâàòü ïàðàáîëîé äâåíàäöàòîé ñòåïåíè. Óêàæåì âèä ãðàôèêîâ ôóíêöèé âèäà y = xn â òîì ñëó÷àå, êîãäà D(f ) = R . y

y

y = x2k + 1

y = x2k

x

0

0

x

3. Îòíîøåíèå äâóõ ìíîãî÷ëåíîâ, ò.å. ôóíêöèÿ âèäà a0 xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an , b0 xm + b1xm-1 + ... + bm-1x + bm a0 ¹ 0 , b0 ¹ 0 , m Î N , n Î N íàçûâàåòñÿ ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèåé (èíîãäà äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé). ax + b 4. Ôóíêöèÿ âèäà f (x) = ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì cx + d äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè è íàçûâàåòñÿ äðîáíî-ëèíåéíîé ôóíêöèåé. Ãðàôèê äðîáíî-ëèíåéíîé ôóíêöèè — ãèïåðáîëà. y f (x) =

y=

ax + b cx +d

x 0

37


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

1 , n Î N ìîæíî íàxn çâàòü ãèïåðáîëàìè ñîîòâåòñòâóþùåé ñòåïåíè ï. Óêàæåì âèä 1 ãðàôèêîâ ôóíêöèé âèäà f (x) = n , n Î N â òîì ñëó÷àå, êîãäà x D(f ) = (-¥;0) È (0; +¥) .

5. Ãðàôèêè ôóíêöèé âèäà f (x) =

y y=

y y = 12k x

1

x2k +1 0

x 0

x

6. Ôóíêöèÿ âèäà f (x) = x α , ãäå x ³ 0, α > 0, x Î R , α Î R, íàçûâàåòñÿ ñòåïåííîé ôóíêöèåé. y = x α , α >1 y = xα , 0 < α < 1 y

0

y

x 0

x

7. Ôóíêöèÿ âèäà f (x) = a x , a > 0 , a ¹1 íàçûâàåòñÿ ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèåé. y = ax , 0 < a < 1 y = a x , a >1 y

0

38

y

x

0

x


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

8. Ôóíêöèÿ âèäà f (x) = log a x , x > 0 , a > 0 , a ¹1 íàçûâàåòñÿ ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèåé. y

y = logax 0<a<1

Z

0

x

Y

 ZMPHBY B

9. Ôóíêöèè f (x) = sin x , f (x) = cosx , f (x) = tgx , f (x) = ctgx íàçûâàþòñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè. y

y = sinx 1 −π

π 2

0 −1

π 2

π

x

y

y = cosx

1 −π

π 2

0 −1

π 2

π

x

39


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

y

y = tgx

1 −π

π 2

0 −1

y

π 2

π

x

π

x

y = ctgx

1 −π

π 2

0 −1

π 2

10. Ôóíêöèè âèäà f (x) = arcsinx, f (x) = arccosx, f (x) = arctgx , f (x) = arcctgx íàçûâàþòñÿ îáðàòíûìè òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè ôóíêöèÿìè. y

y

y = arcsinx

π

π 2 0

−1 − 40

π 2

y = arccosx

π 2

1

x

−1

0

1

x


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

y

y

y = arctgx

π

π 2

π 2 0 −1 −

y = arcctgx

π

1

x

0 −1

1

x

π 2

11. Ôóíêöèè âèäà f (x) = 2n x , f (x) = 2n+1 x íàçûâàþòñÿ èððàöèîíàëüíûìè ôóíêöèÿìè. y = 2n+1 x

y = 2n x

y

y

0

x

0

x

Óïðàæíåíèå 1. Ãðàôèê êàêîé ôóíêöèè èç ïåðå÷èñëåííûõ íèæå èçîáðàæåí íà ðèñóíêå? y 1) y = log2 x 2) y = 2x 3) y = - log2 x 4) y = log 1 x 3

Âåðíûé îòâåò: 3).

0

1

x

41


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ãðàôèê êàêîé ôóíêöèè èç ïåðå÷èñëåííûõ íèæå èçîáðàæåí íà ðèñóíêå? y 1) y = -2-x 2) y = 2-x æ 1 öx 3) y = -çç ÷÷÷ è2ø 1 æ 1 ö-x 4) y = çç ÷÷÷ è2ø x 0 Âåðíûé îòâåò: 2). Ãðàôèê êàêîé èç ïåðå÷èñëåííûõ íèæå ôóíêöèé ïðåäñòàâëåí íà ðèñóíêå? y 1) y = - x - 2 + x + 3 2) y = - x - 2 - x + 3 3) y = - x + 2 - x -1 4) y = x + 2 + x + 1 Âåðíûé îòâåò: 3). 1 0

1

x

Ãðàôèê êàêîé èç ïåðå÷èñëåííûõ íèæå ôóíêöèé èçîáðàæåí íà ðèñóíêå? y

1 0

1) y = x + 2 - x -1 - 2 2) y = x + 2 + x -1 - 2 Âåðíûé îòâåò: 2). 42

1

x

3) y = - x + 2 + x -1 + 2 4) y = x - 2 + x + 1 + 2


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

Ãðàôèê êàêîé èç ïåðå÷èñëåííûõ íèæå ôóíêöèé èçîáðàæåí íà ðèñóíêå? y 1) y = sin3x 2) y = 3cosx 3) y = 3sinx 4) y = cos3x 1 Âåðíûé îòâåò: 3). −π

π 2

0 −1

π 2

π

x

Ãðàôèê êàêîé èç ïåðå÷èñëåííûõ íèæå ôóíêöèé èçîáðàæåí íà ðèñóíêå? y 1) y = 2sinx 2) y = 2cosx 3) y = -2sinx 4) y = -2cosx Âåðíûé îòâåò: 2). 1 −π

π 2

0 −1

π 2

π

x

§ 3. Íàõîæäåíèå ôóíêöèè èç óðàâíåíèÿ Åñëè îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè y = f (x) íå óêàçàíà â óñëîâèè, òî ôóíêöèÿ ñ÷èòàåòñÿ çàäàííîé íà åå åñòåñòâåííîé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, íàçûâàåìîé îáëàñòüþ ñóùåñòâîâàíèÿ, ò.å. ìíîæåñòâå òåõ çíà÷åíèé x, äëÿ êàæäîãî èç êîòîðûõ âûðàæåíèå f (x) èìååò ñìûñë. Óðàâíåíèå, çàäàþùåå ëèíåéíóþ ôóíêöèþ, èìååò âèä y = kx + b . Äëÿ ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèÿ, çàäàþùåãî ëèíåéíóþ ôóíêöèþ, äîñòàòî÷íî çíàòü êîîðäèíàòû äâóõ òî÷åê, ïðèíàäëåæàùèõ åå ãðàôèêó. 43


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 1. Íàéäèòå ëèíåéíóþ ôóíêöèþ y = f (x) , åñëè f (-2) = 10 , f (1) = -5 .

Ðåøåíèå. Áóäåì èñêàòü óðàâíåíèå ôóíêöèè â âèäå y = kx + b . Òî÷êà ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè, åñëè åå êîîðäèíàòû — ðåøåíèå óðàâíåíèÿ, çàäàþùåãî ýòó ôóíêöèþ. Ïîäñòàâëÿÿ êîîðäèíàòû òî÷åê (–2; 10) è (–1; 5) â óðàâïì-2k + b = 10, Ðåøàÿ, ïîëó÷èì, ÷òî íåíèå, ïîëó÷èì ñèñòåìó: ïí ïk + b = 5. ï î ì k 5, = ï ï í ï ï îb = 0. Îòâåò: y = -5x . Îäíàêî ñóùåñòâóåò è äðóãîé ìåòîä ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèÿ ïðÿìîé ëèíèè. Ïóñòü òî÷êè A (x0 ; y0 ) è B(x1; y1 ) ïðèíàäëåæàò äàííîé ïðÿìîé, à òî÷êà M (x; y) — ïðîèçâîëüíàÿ   òî÷êà òîé æå ïðÿìîé. Òîãäà âåêòîðû AM è AB êîëëèíåàðíûå, à èõ êîîðäèíàòû ïðîïîðöèîíàëüíû. Íàéäåì êîîðäèíàòû óêàçàííûõ âåêòîðîâ.   AM (x - x0 ; y - y0 ) , AB(x1 - x0 ; y1 - y0 ) . x - x0 Ñîñòàâëÿÿ ïðîïîðöèþ, ïîëó÷èì óðàâíåíèå = x1 - x0 y - y0 , êîòîðîìó óäîâëåòâîðÿþò êîîðäèíàòû ïðîèçâîëü= y1 - y0 íîé òî÷êè èñêîìîé ïðÿìîé. Ýòî óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ êàíîíè÷åñêèì óðàâíåíèåì ïðÿìîé. Ïðèìåð 2. Íàéäèòå ëèíåéíóþ ôóíêöèþ y = f (x) , åñëè f (2) = 3 , f (0) = 1 . Ðåøåíèå. Ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè (2; 3), (0; 1). x -0 Âîñïîëüçóåìñÿ êàíîíè÷åñêèì óðàâíåíèåì ïðÿìîé: = 2-0 y -1 . = 3 -1 Îòâåò: ó = õ + 1. Âòîðîé íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùåéñÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ôóíêöèåé ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ y = ax2 + bx + c . Ãðàôèêîì ôóíêöèè ÿâëÿåòñÿ ïàðàáîëà. Ñâîéñòâà ýòîé ôóíêöèè ïîäðîáíî èçó÷àþòñÿ â øêîëüíîì êóðñå.  óðàâíåíèå âõîäÿò òðè ïàðàìåòðà, ïîýòîìó, ÷òîáû ñîñòàâèòü óðàâíåíèå 44


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè, íàäî çíàòü êîîðäèíàòû òðåõ òî÷åê, ïðèíàäëåæàùèõ ãðàôèêó. Ïðèìåð 3. Íàéäèòå êâàäðàòè÷íóþ ôóíêöèþ y = ax2 + +bx + c , åñëè y(-2) = 2 , y(2) = 2 , y(4) = 8 . Ðåøåíèå. Êàê è ïðè íàõîæäåíèè óðàâíåíèÿ ëèíåéíîé ìï4a - 2b + c = 2, ïï ôóíêöèè, ñîñòàâèì ñèñòåìó óðàâíåíèé: ïí4a + 2b + c = 2, ïï ïïî16a + 4b + c = 8. ìï 1 ïïa = , ì4a - 2b + c = 2, ï ï 2 ïï ïí4a + 2b + c = 2,  ïíïb = 0, ïï ï ïîï16a + 4b + c = 8. ïïïc = 0. ïï î Òàêèì îáðàçîì, èñêîìîå óðàâíåíèå êâàäðàòè÷íîé ôóíê1 öèè y = x2 . 2 1 Îòâåò: y = x2 . 2 Ïðîìåæóòî÷íûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, çàêëþ÷àþùèåñÿ â ïîñëåäîâàòåëüíîì èñêëþ÷åíèè íåèçâåñòíûõ, ìû îïóñòèëè. Ñóùåñòâóåò íåêîòîðûé êëàññ çàäà÷, â êîòîðûõ íàäî íàéòè ôóíêöèþ, åñëè çàäàíî íåêîòîðîå óðàâíåíèå, â êîòîðîì íåèçâåñòíîé âûñòóïàåò ñàìà ôóíêöèÿ. Òàêèå óðàâíåíèÿ íàçûâàþòñÿ ôóíêöèîíàëüíûìè óðàâíåíèÿìè. Íàïðèìåð, íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ, óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ f (x) + f (y) = x + y äëÿ ëþáûõ äâóõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà, — ýòî ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ. Ïðèìåð 4. Íàéäèòå ôóíêöèþ y = f (x) , åñëè f (x + 1) = = x2 + 2x + 2 . Ðåøåíèå. Ïóñòü y = x -1 . Òîãäà f (y + 1) = y2 + 2y + 2 , òîãäà f (x) = f ((x -1) + 1) = (x -1)2 + 2(x -1) + 2 = x2 + 1 .

Îòâåò: f (x) = x2 + 1 . Ïðèìåð 5. Íàéäèòå ôóíêöèþ, óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ æ1ö f (x) + 2f çç ÷÷÷ = x , x ¹ 0 . èxø 45


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

æ1 ö Ðåøåíèå. Çàïèøåì óðàâíåíèå â âèäå f (t) + 2f çç ÷÷÷ = t è ñäåètø 1 ëàåì äâå ïîäñòàíîâêè t = x è t = . Ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâx íåíèé ìï æ ö ïïf (x) + 2f ç 1 ÷÷ = x, çè x ÷ø ïï í ïï æ 1 ö 1 ïïf çç ÷÷÷ + 2f (x) = , è ø x ïî x 2 - x2 2 èç êîòîðîé íàéäåì, ÷òî 3f (x) = - x , ò.å. f (x) = . 3x x 2 2- x . Îòâåò: f (x) = 3x

Ïðèìåð 6. Íàéäèòå ôóíêöèþ è çíà÷åíèå ôóíêöèè ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè àðãóìåíòà, åñëè f (x + 1) = x2 + x + 3 , f(1) = ? Ðåøåíèå. Ñäåëàåì çàìåíó. f (t + 1) = t2 + t + 3 , x = t +1 , t = x -1 .

Ïîëó÷èì, ÷òî f (x) = (x -1)2 + (x -1) + 3 = x2 - x + 3 . f(1) = 3. Åñëè òðåáîâàíèå çàäà÷è ñîñòîÿëî áû â òîì, ÷òîáû íàéòè f (1) , ðåçóëüòàò ìîæíî ïîëó÷èòü ñðàçó, åñëè çàìåòèòü, ÷òî f (1) = f (0 + 1) è ïîäñòàâèòü â äàííîå ðàâåíñòâî ÷èñëî 0 âìåñòî õ. Ïîëó÷èì f (1) = f (0 + 1) = 02 + 0 + 3 = 3 .

Îòâåò: f (x) = x2 - x + 3 , f (1) = 3 . Óïðàæíåíèå 1. Íàéäèòå ëèíåéíóþ ôóíêöèþ y = f (x) , åñëè: 1) f (-10) = -2 , f (5) = 1 2) f (-2) = -5 , f (2) = -3 3) f (-3) = 3 , f (6) = 0 4) f (-4) = 2 , f (6) = 3 5) f (-4) = -12 , f (2) = 6 . 1 1 1 Îòâåòû: 1) y = x ; 2) y = x - 4 ; 3) y = - x + 2 ; 2 3 5 1 4) y = - x ; 5) y = 3x . 2 46


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

Óïðàæíåíèå 2. Íàéäèòå êâàäðàòè÷íóþ ôóíêöèþ y = f (x) , åñëè: 1) f (-3) = -18 , f (-1) = -2 , f (2) = -8 2) f (-4) = -1 , f (2) = -4 , f (6) = 4 3) f (-1) = 2 , f (2) = -14 , f ( 6) = -22 4) f (-2) = 9 , f (-1) = 4 , f (3) = 24 5) f (-3) = -20 , f (1) = 0 , f (2) = 0 1 Îòâåòû: 1) y = -2x2 ; 2) y = x2 - 5 ; 3) y = -4x2 + 2 ; 4 4) y = 2x2 + x + 3 ; 5) y = x2 - 3x + 2 . Óïðàæíåíèå 3. Íàéäèòå ôóíêöèþ è çíà÷åíèå ôóíêöèè ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè àðãóìåíòà, åñëè: 1) f (x - 2) = x2 - 3x + 3 , f (4) = ? æ1ö 1 2) f (x) + f çç ÷÷÷ = x + , f (1) = ? èxø x æ 1 ÷ö 3) f (x) - 2f çç ÷÷ = 3x , f (-1) = ? èxø 4) f (x - 3f (-x)) = x , f (0) = ? 5) f (2x + 1) = x2 , f (1) = ? Îòâåòû: 1) f (x) = x2 + x + 1 , f (-4) = 21 ; 2) f (x) = x , f (1) = 1 ; 2 3) f (x) = -x - , f (-1) = 3 ; x 1 4) f (x) = x , f (0) = 0 ; 4 1 5) f (x) = (x -1)2 , f (1) = 0 . 4

§ 4. Èññëåäîâàíèå ôóíêöèé 4.1. Îãðàíè÷åííûå ôóíêöèè Ôóíêöèÿ y = f (x) , îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå X, íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé ñíèçó íà ýòîì ìíîæåñòâå, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî ò, ÷òî äëÿ ëþáîãî x Î X âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî f (x) ³ m . 47


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ôóíêöèÿ y = f (x) , îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå X, íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé ñâåðõó íà ýòîì ìíîæåñòâå, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîå ÷èñëî M, ÷òî äëÿ ëþáîãî x Î X âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî f (x) £ M . Ôóíêöèÿ y = f (x) , îïðåäåëåííàÿ íà ìíîæåñòâå X, íàçûâàåòñÿ îãðàíè÷åííîé íà ýòîì ìíîæåñòâå, åñëè îíà îãðàíè÷åíà è ñíèçó è ñâåðõó, ò.å. äëÿ ëþáîãî x Î X âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî m £ f (x) £ M . Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) íåïðåðûâíà íà ìíîæåñòâå X, òî îíà ïðèíèìàåò íà íåì ñâîè íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ. y M y = ± —x˜ a

0

b

x

m

Ïðèìåð 1. Ôóíêöèÿ y = ax2 + bx + c , a ¹ 0 . Âûïîëíèì òîæäåñòâåííîå ïðåîáðàçîâàíèå êâàäðàòè÷íîãî òðåõ÷ëåíà. æ æ b cö b b2 b2 - 4ac ÷ö ÷÷ = ax2 + bx + c = a ççx2 + x + ÷÷÷ = a çççx2 + 2 x + 2 è çè a aø 2a 4a 4a2 ÷ø ææ æ b ö2 b2 - 4ac ÷÷ö b ö2 D ççx + ÷÷ . a = a çççççx + ÷÷÷ = ÷ è çèè 2a ø 2a ÷ø 4a 4a2 ÷ø

Åñëè a > 0, òî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà ax2 + bx + D D +c ³, åñëè æå a < 0, òî ax2 + bx + c £. 4a 4a Ñëåäîâàòåëüíî, îáëàñòü çíà÷åíèé êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè é D ö y = ax2 + bx + c , a ¹ 0 åñòü ïîëóèíòåðâàë ê- ; +¥÷÷÷, åñëè ø ëê 4a æ Dù ç a > 0 , èëè ïîëóèíòåðâàë ç-¥;- ú , åñëè a < 0 . è 4a úû 48


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

Ïðèìåð 2. Ôóíêöèÿ y = x , ìîäóëü èëè àáñîëþòíàÿ âåëè÷èíà õ. Ýòà ôóíêöèÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ïìx, если x ³ 0, y x = ïí ïx , x < 0. y = ÓxÓ если ïî ßñíî, ÷òî D ( x )= R , E ( x ) = [0; +¥) . x

0

Ïðèìåð 3. Ôóíêöèÿ y = signx . Ñèìâîë sign ÷èòàåòñÿ «ñèãíóì», ÷òî íà ëàòûíè îçíà÷àåò «çíàê». Ôóíêöèÿ y = signx çàäàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ìï1, если x > 0, ïï y = signx = ïí0, если x = 0, ïï ïïî 1, если x < 0. Ïîëó÷èì, ÷òî D (signx) = R, E (signx) = {-1;0;1} .

y y = signx 1 0

x −1

Ïðèìåð 4. Ôóíêöèÿ y = [ x ] , öåëàÿ ÷àñòü ÷èñëà õ. Öåëîé ÷àñòüþ ÷èñëà õ íàçûâàåòñÿ íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå ÷èñëî õ. Ïîëó÷èì: D ([ x ]) = R , y y = •x– E ([ x ]) = Z . 1 0

1

x

49


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 5. Íàéäèòå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f (x) = 16 - x2 .

1) (4; +¥) ; 2) (-4;4) ; 3) (-¥;4) ; 4) [-4;4] . Ðåøåíèå. Òàê êàê êîðåíü êâàäðàòíûé îïðåäåëåí äëÿ íåîòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé, òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè çàäàåòñÿ íåðàâåíñòâîì 16 - x2 ³ 0 . Ðåøèì íåðàâåíñòâî: 16 - x2 ³ 0  -4 £ x £ 4 . Îòâåò: 4). Ïðèìåð 6. Íàéäèòå íàèìåíüøåå öåëîå ÷èñëî, âõîäÿùåå x +9 â îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f (x) = . x +1 Ðåøåíèå. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè çàäàåòñÿ ñèñòåìïx + 9 ³ 0, ìîé íåðàâåíñòâ ïí ïïîx + 1 ¹ 0. ïìïx + 9 ³ 0, ïìïx ³-9, ïìï-9 £ x <-1, í í í ïîïx + 1 ¹ 0. ïîïx ¹ 1 ïîïx > -1.

Íàèìåíüøåå öåëîå ÷èñëî, âõîäÿùåå â îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè, −9. Îòâåò: −9. Íàõîæäåíèå îáëàñòè çíà÷åíèé ôóíêöèè, îñîáåííî ñëîæíîé, âñåãäà ìîæíî ñâåñòè ê ðåøåíèþ íåêîòîðîãî óðàâíåíèÿ ñ ïàðàìåòðàìè. Äåéñòâèòåëüíî, ìíîæåñòâîì çíà÷åíèé ÷èñëîâîé ôóíêöèè y = f (x) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë à, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ f (x) = a .  íåêîòîðûõ ïðîñòûõ ñëó÷àÿõ ìîæíî ðåøèòü ýòî óðàâíåíèå è òåì ñàìûì îòûñêàòü E(f ) . Ïðèìåð 7. Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè 2x . f (x) = 1 + x2 2x Ðåøåíèå. Çàïèøåì óðàâíåíèå = a . Òàê êàê çíàìå1 + x2 íàòåëü ïîëîæèòåëåí, òî óðàâíåíèå ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíî â âèäå: 50


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

ax2 − 2x + a = 0. Åñëè à = 0, òî ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ õ = 0. Åñëè a ¹ 0 , òî ïîëó÷èì êâàäðàòíîå óðàâíåíèå, êîòîðîå èìååò ðåøåíèå òîëüêî òîãäà, êîãäà åãî äèñêðèìèíàíò íåîòðèöàòåëåí. 1 D(a) = 1 - a2 ³ 0 . Îòêóäà -1 £ a < 0 , èëè 0 < a £ 1 , ÷òî 4 é-1 £ a < 0, ìîæíî îáîçíà÷èòü ê ê0 < a £ 1. ë Ñëåäîâàòåëüíî, ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâíåíèå f (x) = a èìååò ðåøåíèå, ýòî -1 £ a £ 1 . Îòâåò: E(f ) = [-1;1] . Ïðè íàõîæäåíèè îáëàñòè çíà÷åíèé ôóíêöèè ÷àñòî ìîæíî èñïîëüçîâàòü ÷èñëîâûå íåðàâåíñòâà. Ïðèìåð 8. Íàéäèòå x . f (x) = 2 4x + x + 1

îáëàñòü

çíà÷åíèé

ôóíêöèè

Ðåøåíèå. Åñëè x = 0 , òî f (0) = 0 . 1 . Åñëè x ¹ 0 , òî f (x) = 1 4x + + 1 x Èç íåðàâåíñòâà ìåæäó ñðåäíèì àðèôìåòè÷åñêèì è ñðåäíèì ãåîìåòðè÷åñêèì äâóõ ÷èñåë îäíîãî çíàêà ñëåäóåò, ÷òî 1 1 1 ïðè x > 0 4x + ³ 4 , òîãäà x + + 1 ³ 5 , à 0 < f (x) £ . x x 5 1 1 Ïðè x < 0 ïîëó÷àåì, ÷òî 4x + + 1 £-3 , à f (x) ³- . x 3 é 1 1ù Ñëåäîâàòåëüíî, E(f ) = ê- ; ú . ëê 3 5 ûú é 1 1ù Îòâåò: ê- ; ú . ëê 3 5 ûú Ìîæíî èñïîëüçîâàòü îãðàíè÷åííîñòü ôóíêöèé, âõîäÿùèõ â èññëåäóåìóþ ôóíêöèþ. Ïðèìåð 9. Íàéäèòå îáëàñòü çíà÷åíèé y = 2sin2 x ⋅ cos2 x . é 1ù 1) [-2;2] ; 2) [0;2] ; 3) [0;1] ; 4) ê0; ú . ëê 2 ûú

ôóíêöèè

51


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

1 1 2 Ðåøåíèå. Òàê êàê 2sin2 x ⋅ cos2 x = (2sinx ⋅ cosx) = sin2 2x , 2 2 à ôóíêöèÿ y = sin2x îãðàíè÷åíà è ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ, ïðè1 1 íàäëåæàùèå [–1; 1], òî 0 £ sin2 2x £ 1 , 0 £ sin2 2x £ . 2 2 Îòâåò: 4).

Íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ìîíîòîííîñòü âíåøíåé ôóíêöèè. Ïðèìåð 10. Íàéäèòå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè y = 22sin x . Ðåøåíèå. Òàê êàê –2 ≤ 2sinx ≤ 2, à ôóíêöèÿ y = 2t — âîçðàñòàþùàÿ, òî 22sin x £ 4 . Îòâåò: 4. Ïðèìåð 11. Íàéäèòå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè y = 3sin x + 4 cos x . Ðåøåíèå. Èñïîëüçóåì ôîðìóëó ââåäåíèÿ äîïîëíèòåëüíîãî àðãóìåíòà. æ3 ö 4 y = 3sin x + 4 cos x = 5çç sin x + cos x÷÷÷ = 5sin(x + ϕ) , è5 ø 5 3 ãäå ϕ = arccos . 5 Ñëåäîâàòåëüíî, íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè y = 3sin x + 4 cos x ðàâíî 5. Îòâåò: 5. Ïðèìåð 12. Íàéäèòå íàèìåíüøåå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, âõîäÿùåå â îáëàñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè y = x2 + 4x + 6 . Ðåøåíèå. Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå, ñòîÿùåå ïîä çíàêîì êîðíÿ x2 + 4x + 6 = (x + 2)2 + 2 . Òàê êàê ôóíêöèÿ y = t ìîíîòîííî âîçðàñòàåò íà ìíîæåñòâå íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë, òî y = x2 + 4x + 6 ³ 2 .

Ñëåäîâàòåëüíî, íàèìåíüøåå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî, âõîäÿùåå â îáëàñòü çíà÷åíèé ýòîé ôóíêöèè, ðàâíî 2. Îòâåò: 2. 52


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

Óïðàæíåíèå 1. Ôóíêöèÿ çàäàíà ãðàôèêîì íà ïîëóèíòåðâàëå [0;10) . Óêàæèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè. y y = ± —x˜ 2 0

1

10

x

1) [0;10) ; 2) (-2;4) ; 3) [0;10] ; 4) [-2;4] . Îòâåò: 4). Ôóíêöèÿ çàäàíà ãðàôèêîì. Óêàæèòå îáëàñòü çíà÷åíèé ýòîé ôóíêöèè. y y = ± —x˜

1 0

1

x

1) (-10;7 ] ; 2) [-10;7 ] ; 3) [-2;5] ; 4) (-2;5] . Îòâåò: 3). Óïðàæíåíèå 2. Íàéäèòå îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè. 1. y = 9 - x2 2. y = lg(6 - 5x - x2 ) 53


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

3. y = lg (lg x) æ ÷ö 4. y = lg çççlog 1 x÷÷÷ çè 2 ÷ø 1 5. y = sin x 6. y = arccos(x + 1) x 7. y = 3 x -1 1 8. y = 1 - x2 x 9. y = 4 x +2 10. y = lg (sinx) . Îòâåòû: 1. [-3;3] ; 2. (-6;1) ; 3. (1; +¥) ; 4. (0;1) ; 5. (πk; π + πk), k Î Z ; 6. [-2;1] ; 7. (-¥;1)  (1; +¥) ; 8. (-1;1) ; 9. [0; + ¥); 10. (2πk; π + 2πk) , k Î Z . Óïðàæíåíèå 3. Íàéäèòå îáëàñòü çíà÷åíèé ôóíêöèè. x2 + 1 1. y = x2 + 4 2x2 + 1 x2 + 2 y = lg(-x2 - 2x + 9) 1 y= sin x y = 2-cos x æ 1 ö cos x y = çç ÷÷÷ è 3ø y = sin(cos x)

2. y = 3. 4. 5. 6. 7.

8. y = ( 2 )

3 sin x +cos x

æ 1 ö÷ 9. y = lg çç ÷ è cos x ø÷ æ x2 + 1 ÷ö ÷÷ . 10. y = cos çççπ 3 èç 3x + 2 ÷ø 54


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

é 1 ö é1 ö ; 2 ÷÷÷ ; 3. (-¥;1] ; 4. [1; +¥) ; Îòâåòû: 1. ê ;1÷÷÷ ; 2. ê êë 2 ø êë 2 ø é1 ù é1 ù é1 ù 5. ê ;2ú ; 6. ê ;1ú ; 7. éë-sin1; sin1ùû ; 8. ê ;2ú ; 9. [0; +¥) ; ëê 2 ûú ëê 3 ûú ëê 2 ûú é 1 ÷ö 10. ê0; ÷÷ . êë 2 ø

Óïðàæíåíèå 4. Íàéäèòå íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, ïðèíàäëåæàùåå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé. 1) f (x) = lg(13 - 2x) 2) f (x) = -29 - 5x 1 3) f (x) = 46 - 3x 1 4) f (x) = lg(33 - 4x) 1 5) f (x) = 2 lg (-3x - 28) Îòâåòû: 1) 6; 2) –6; 3) 15; 4) 7; 5) –10. Óïðàæíåíèå 5. Íàéäèòå ñóììó öåëûõ ÷èñåë, ïðèíàäëåæàùèõ îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè. 1) f (x) = log x (4 - x) 2) f (x) = 8x - (x2 -15) 3) f (x) =

1 2

-x + 5x - 4 4) f (x) = log x+5 (2 - x) 1 5) f (x) = log x+10 (-5 - x)

Îòâåòû: 1) 5; 2) 12; 3) 5; 4) –5; 5) –15.

4.2. ×åòíûå è íå÷åòíûå ôóíêöèè Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ ÷åòíîé ôóíêöèåé, åñëè âûïîëíåíû äâà óñëîâèÿ: 55


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

1) äëÿ ëþáîãî ÷èñëà x Î D(f ) , ÷èñëî (-x) Î D(f ) ; 2) f (-x) = f (x) , äëÿ ëþáîãî x Î D(f ) . Ãðàôèê ÷åòíîé ôóíêöèè ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè OY. Ïðèìåð 1. Óêàæèòå ãðàôèê ÷åòíîé ôóíêöèè. 1) 2) y y

0

x 0

3)

4)

y

0

x

x

y

0

x

Ðåøåíèå. Ãðàôèê ÷åòíîé ôóíêöèè ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî îñè OY, ïîýòîìó âåðíûé îòâåò — 3). Îòâåò: 3). Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íå÷åòíîé ôóíêöèåé, åñëè âûïîëíåíû äâà óñëîâèÿ: 1) ñ ëþáûì ÷èñëîì x Î D(f ) , ÷èñëî (-x) Î D(f ) ; 2) f (-x) = -f (x) , äëÿ ëþáîãî x Î D(f ) . Êàê ñëåäñòâèå ïîëó÷àåì, ÷òî çíà÷åíèå íå÷åòíîé ôóíêöèè, îïðåäåëåííîé ïðè x = 0, f (0) = 0 . Ãðàôèê íå÷åòíîé ôóíêöèè ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò.

56


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

Ïðèìåð 2. Óêàæèòå ãðàôèê íå÷åòíîé ôóíêöèè. 1) 2) y y

x

0

0

3)

4)

y

x

0

x

y

0

x

Ðåøåíèå. Ãðàôèê íå÷åòíîé ôóíêöèè ñèììåòðè÷åí îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò, ïîýòîìó âåðíûé îòâåò — 1). Îòâåò: 1). Âñÿêóþ ôóíêöèþ, îïðåäåëåííóþ íà ñèììåòðè÷íîì îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò ìíîæåñòâå, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñóììû ÷åòíîé è íå÷åòíîé ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà òîì æå ìíîæåñòâå. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà íà ìíîæåñòâå, ñèììåòðè÷íîì îòíîñèòåëüíî íà÷àëà êîîðäèíàò, òî f (x) + f (-x) f (x) - f (-x) f (x) = . + 2 2 Ïðèìåð 3. Ôóíêöèÿ f (x) = x3 + 2x2 + x -1 åñòü ñóììà ÷åòíîé ôóíêöèè h(x) è íå÷åòíîé ôóíêöèè g(x) . Íàéäèòå çíà÷åíèå g(-1) . Ðåøåíèå. Ïî ïðèâåäåííîìó âûøå ïðåäñòàâëåíèþ f (x) - f (-x) = x3 + x . 2 Ïîëó÷èì, ÷òî g(-1) = -2 . Îòâåò: –2. g(x) =

57


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 4. Íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Äëÿ âñÿêîãî íåîòðèöàòåëüíîãî çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé õ çíà÷åíèå ýòîé ôóíêöèè ñîâïàäàåò ñî çíà÷åíèåì ôóíêöèè g(x) = 2x(x + 4)(2x -1) .

f (x) + 2g(x) . 2f (x) + g(x) Ðåøåíèå. Òàê êàê ôóíêöèÿ y = f (x) ïî óñëîâèþ íå÷åòíàÿ, òî f (-1) = -f (1) = -g(1). Ïîëó÷àåì, ÷òî f (-1) + 2g(-1) -f (1) + 2g(-1) -g(1) + 2g(-1) h(-1) = . = = 2f (-1) + g(-1) -2f (1) + g(-1) -2g(1) + g(-1)

Íàéäèòå çíà÷åíèå h(-1) ôóíêöèè h(x) =

Íàõîäÿ çíà÷åíèÿ ôóíêöèè y = g(x) â òî÷êàõ —1 è 1, ïîëó÷èì g(1) = 10 , g(-1) = 18 . Íàéäåì èñêîìîå çíà÷åíèå ôóíêöèè y = h(x) . 26 -10 + 36 h(-1) = = - = -13 . 2 -20 + 18 Îòâåò: –13. Ïðèìåð 5. Íàéäèòå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ôóíêöèÿ f (x) = (a + 2)x2 + (a2 + 5a + 6)x + 8 ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé. Ðåøåíèå. Èñïîëüçóåì îïðåäåëåíèå ÷åòíîé ôóíêöèè. Ôóíêöèÿ f (x) — ÷åòíàÿ, åñëè ðàâåíñòâî f (x) = f (-x) âûïîëíåíî äëÿ ëþáîãî x Î D(f ) . Äàííàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà, ïîýòîìó äîñòàòî÷íî, ÷òîáû óðàâíåíèå (a + 2)x2 + (a2 + 5a + 6)x + 8 = (a + 2)x2 - (a2 + 5a + 6)x + 8

áûëî áû âåðíî äëÿ ëþáîãî õ. Íî óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ 2(a2 + 5a + 6)x = 0 , êîòîðîå äîëæíî âûïîëíÿòüñÿ ïðè âñåõ õ. Ýòî âîçìîæíî ëèøü éa = -3, òîãäà, êîãäà a2 + 5a + 6 = 0 , ò.å. åñëè ê êa = -2. ë Îòâåò: –3; –2. Ïðèìåð 6. Äàíà ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ f (x) è íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ g(x) , îïðåäåëåííûå íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé è äëÿ 58


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

âñÿêîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèþ f (x) + g(x) = x2 - 9x + 8 . Íàéäèòå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ f (x) = g(x) . Ðåøåíèå. Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâà ÷åòíîé è íå÷åòíîé ôóíêöèé, ñîñòàâèì ñèñòåìó óðàâíåíèé: ìïf (x) + g(x) = x2 - 9x + 8, ï í ïïf (-x) + g(-x) = x2 + 9x + 8. ïî Òàê êàê f (-x) = f (x) , g(-x) = -g(x) , òî ñèñòåìó ìîæíî çàïèñàòü â âèäå: ìïf (x) + g(x) = x2 - 9x + 8, ïìf (x) = x2 + 8, ïí  íï ïïf (x) - g(x) = x2 + 9x + 8 ïïg(x) = -9x. î ïî Ðåøèì óðàâíåíèå f (x) = g(x) . é x = -1, x 2 + 8 x = -9 x  x 2 + 9 x + 8 = 0  ê ê x = -8. ë Îòâåò: –1; –8.

Óïðàæíåíèå 1. Óêàæèòå ÷åòíûå è íå÷åòíûå ôóíêöèè. x4 + 4 sin x 1) f (x) = 6 ; 2) f (x) = x3 - sin3x ; 3) f (x) = ; x x -3 4) f (x) = x + cos x ; 5) f (x) = sin2xcos3x + cos2xsin3x . Îòâåò: 1), 3), 4) — ÷åòíûå ôóíêöèè, 2), 5) — íå÷åòíûå ôóíêöèè. Óïðàæíåíèå 2. Óêàæèòå ãðàôèêè ÷åòíûõ ôóíêöèé ñðåäè ãðàôèêîâ, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñóíêå. 1) 2) y y

0

x 0

x

59


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

3)

4)

y

0

x

y

x

0

Îòâåòû: 3); 4). Óïðàæíåíèå 3. Óêàæèòå ãðàôèêè íå÷åòíûõ ôóíêöèé ñðåäè ãðàôèêîâ, ïðåäñòàâëåííûõ íà ðèñóíêå. y y 1) 2)

0

x x

0

3)

4)

y

y

0 0

x

x

Îòâåòû: 1); 4). Óïðàæíåíèå 4. Ïðåäñòàâèòü ôóíêöèþ, ãäå f (x) — ÷åòíàÿ, a g(x) — íå÷åòíàÿ ôóíêöèè. 1 1) h(x) = x2 - x ; 2) h(x) = 2 ; 3) h(x) = 2x + 3 ; x -1 x x +2 , x ¹1 ; 5) h(x) = , x ¹1 . 4) h(x) = 2 1- x x -1 60


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

Îòâåòû: 1) f (x) = x2 , g(x) = -x ; 1 , g(x) = 0 ; 2) f (x) = 2 x -1 3) f (x) = 3 , g(x) = 2x ; 2 x , g(x) = 2 ; 4) f (x) = 2 x -1 x +1 x2 x , g(x) = . 5) f (x) = 1 - x2 1 - x2 Óïðàæíåíèå 5. 1. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðûõ ôóíêöèÿ f (x) = (a -1)x2 + (a2 + 2a - 3)x + 1 ÿâëÿåòñÿ ÷åòíîé. Îòâåò: 1; –3. 2. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðûõ ôóíêx-a öèÿ f (x) = 2 + a ÿâëÿåòñÿ íå÷åòíîé. x Îòâåò: 0. 3. Ïàðàìåòðû a è b òàêîâû, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) = x3 + 2 æ b - 2 ÷ö + a + 1 - 2 íå÷åòíàÿ, à ôóíêöèÿ g(x) = çççx ÷÷ — ÷åòè b + 3ø íàÿ. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ a ⋅ f (-2) + b ⋅ g(-2) . Îòâåò: –16. 4. Ïàðàìåòðû a è b òàêîâû, ÷òî ôóíêöèÿ f (x) = = (x + a3 - 8)3 — íå÷åòíàÿ, à ôóíêöèÿ g(x) = 2x + b + 5 - 2 — ÷åòíàÿ. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ (a2 + b2 )f (-3) - b ⋅ g(-3) . Îòâåò: –55. 5. Ïàðàìåòðû a è b òàêîâû, ÷òî ôóíêöèÿ 3

2

= 3 x + (a + 2)

f (x) =

2

— íå÷åòíàÿ, à ôóíêöèÿ g ( x) = x + a + 4b —

÷åòíàÿ. Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ a ⋅ f 2 (-5) + b ⋅ g(-5) . Îòâåò: –55. Óïðàæíåíèå 6. 1. Äàíà ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ f (x) è íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ g(x) , îïðåäåëåííûå íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé è äëÿ âñÿêîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèþ 61


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

f (x) + g(x) = x2 + 5x + 3 . Íàéäèòå ñóììó ðåøåíèé óðàâíåíèÿ f (x) = g(x) . 2. Äàíà ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ f (x) è íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ g(x) , îïðåäåëåííûå íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé è äëÿ âñÿêîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèþ f (x) + g(x) = x2 + 7x + 12 . Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå ðåøåíèé óðàâíåíèÿ f (x) = g(x) . 3. Äàíà ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ f (x) è íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ g(x) , îïðåäåëåííûå íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé è äëÿ âñÿêîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèþ f (x) + g(x) = x2 + x - 2. Íàéäèòå ñóììó ðåøåíèé óðàâíåíèÿ f (x) = g(x) . 4. Äàíà ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ f (x) è íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ g(x) , îïðåäåëåííûå íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé è äëÿ âñÿêîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèþ f (x) + g(x) = x2 + 10x + 21 . Íàéäèòå íàèáîëüøåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ f (x) = g(x) . 5. Äàíà ÷åòíàÿ ôóíêöèÿ f (x) è íå÷åòíàÿ ôóíêöèÿ g(x) , îïðåäåëåííûå íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé, è äëÿ âñÿêîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèþ f (x) + g(x) = x2 - 3x -10 . Íàéäèòå íàèìåíüøåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ f (x) = g(x) . Îòâåòû: 1) 5; 2) 12; 3) –1; 4) 7; 5) –5.

4.3. Ïåðèîäè÷åñêèå ôóíêöèè Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ ïåðèîäè÷åñêîé, åñëè ñóùåñòâóåò ÷èñëî T > 0 , òàêîå, ÷òî âûïîëíåíû äâà óñëîâèÿ: 1. Äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ x Î D(f ) ÷èñëà x + T è x − T òàêæå ïðèíàäëåæàò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè. 2. Âûïîëíåíî ðàâåíñòâî f (x) = f (x + T) = f (x - T) . Íàèìåíüøåå èç ÷èñåë T > 0, ÿâëÿþùèõñÿ ïåðèîäîì ôóíêöèè y = f (x) , íàçûâàåòñÿ ñîáñòâåííûì èëè ãëàâíûì ïåðèîäîì ôóíêöèè. Íà ðèñóíêå ïðåäñòàâëåí ãðàôèê ôóíêöèè y = x - x = {x} , íàçûâàåìîé äðîáíîé ÷àñòüþ x. Äðîáíàÿ ÷àñòü ðàâíà ðàçíîñòè äàííîãî ÷èñëà è åãî öåëîé ÷àñòè, ò.å. íàèáîëüøåãî öåëîãî ÷èñëà, íå ïðåâîñõîäÿùåãî äàííîå. 62


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

y

y = x − •x– = ™xš

1 0

1

x

Ãëàâíûé èëè ñîáñòâåííûé ïåðèîä äàííîé ôóíêöèè ðàâåí 1. Ïåðå÷èñëèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà ïåðèîäè÷åñêèõ ôóíêöèé. 1. Åñëè ÷èñëî T > 0 ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì ôóíêöèè y = f(x), òî ÷èñëî nT, n Î N — òàêæå ïåðèîä ôóíêöèè. 2. Åñëè T > 0 ÿâëÿåòñÿ ïåðèîäîì ôóíêöèè y = f (x) , òî T ÷èñëî — ïåðèîä ôóíêöèè y = f (kx + b) . k 3. Åñëè T1 > 0 , T2 > 0 — ñîáñòâåííûå ïåðèîäû ñîîòâåòñòT m âåííî ôóíêöèé y = f (x) è y = g(x) , ïðè÷åì 1 = , m, n Î N, T2 n òî ëþáàÿ êîìáèíàöèÿ ýòèõ ôóíêöèé âèäà y = k ⋅ f (x) + l ⋅ g(x), k, l Î Z , íå ÿâëÿþùàÿñÿ ïîñòîÿííîé ôóíêöèåé, òàêæå ïåðèîäè÷åñêàÿ, ïåðèîä ðàâåí T = ÍÎÊ (T1;T2 ). 4. Åñëè òî÷êà x 0 ïðèíàäëåæèò îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè y = f (x) , òî åå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ïðèíàäëåæàò è âñå òî÷êè âèäà x0 + nT , äëÿ ëþáîãî nÎZ . 5. Ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ íå ìîæåò èìåòü íà ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ êîíå÷íîãî ÷èñëà òî÷åê ðàçðûâà. 6. Ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò êàæäîå ñâîå çíà÷åíèå â áåñêîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê x, ñðåäè êîòîðûõ åñòü ïîëîæèòåëüíûå è îòðèöàòåëüíûå ÷èñëà, ñêîëü óãîäíî áîëüøèå ïî àáñîëþòíîé âåëè÷èíå. Ïðèìåð 1. Ïåðèîä ôóíêöèè y = f (x) , ôðàãìåíò ãðàôèêà êîòîðîé ïðåäñòàâëåí íà ðèñóíêå, ðàâåí 5. Íàéäèòå çíà÷åíèå f (-4) . 63


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

y y = ± —x˜

1 0

1

5

x

Ðåøåíèå. Òàê êàê f (1) = 2 , òî è f (-4) = f (-4 + 5) = f (1) = 2. Îòâåò: 2. π Ïðèìåð 2. Íàéäèòå ïåðèîä ôóíêöèè y = cos x . 2 Ðåøåíèå. Òàê êàê ñîáñòâåííûé ïåðèîä ôóíêöèè y = cos x ðà2π âåí 2π, òî çàäàííàÿ ôóíêöèÿ áóäåò èìåòü ïåðèîä T = = 4. π Îòâåò: 4. 2 Ïðèìåð 3. Ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò ïåðèîä T = 1 è íà ïðîìåæóòêå [0; 1] çàäàíà ôîðìóëîé f (x) = x2 - x . Íàéäèòå æ 1ö f çç-25 ÷÷÷ . è 4ø Ðåøåíèå. Òàê êàê ïåðèîä T = 1, òî æ æ ö æ3ö 9 3 1ö 1 3 f çç-25 ÷÷÷ = f çç-25 + 26÷÷÷ = f çç ÷÷÷ = - = - = -0,1875 . è è ø è 4 ø 16 4 4ø 4 16 Îòâåò: –0,1875. Ïðèìåð 4. Ôóíêöèÿ y = f (x) — ïåðèîäè÷åñêàÿ ñ ïåðèîäîì 2 . Íàéòè f (- 8 ), åñëè 20 3f 2 (0) + 7f ( 72 )+ 4 = 0 è f 2 ( 2 )+ 3f ( 18 )+ =0. 9 Ðåøåíèå. Òàê êàê f (- 8 )= f (-3 2 )= f (-3 2 + 3 2 )= f (0) , òî èñêîìîå ÷èñëî áóäåò ðåøåíèåì óêàçàííîé ñèñòåìû. ìï3f 2 (0) + 7f (0) + 4 = 0, ïìï3f 2 (0) + 7f ( 72 )+ 4 = 0, ï ï ï ï í 2 í 2 20 ïf ( 2 )+ 3f ( 18 )+ ïf (0) + 3f (0) + 20 = 0. =0 ï ï ï ï 9 ïî 9 ïî Âòîðàÿ ñèñòåìà ïîëó÷åíà èç ïåðâîé ñ ó÷åòîì ïåðèîäè÷íîñòè ôóíêöèè f (x) . 64


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

4 Ïîëó÷èì, ÷òî f (0) = f (- 8 )= - . 3 4 Îòâåò: - . 3 Óïðàæíåíèå 1. Íàéäèòå ñîáñòâåííûé ïåðèîä ôóíêöèè f (x) . 7πx 3πx 1) f (x) = sin ; cos 50 50 πx 5πx 2) f (x) = cos ; sin 18 18 7πx 3πx 3) f (x) = sin ; cos 20 20 7πx 2πx 4) f (x) = cos ; sin 12 12 πx πx 5) f (x) = sin ; cos 6 30 Îòâåòû: 1) 50; 2) 18; 3) 20; 4) 24; 5) 30.

Óïðàæíåíèå 2. Óêàæèòå ñîáñòâåííûé èëè ãëàâíûé ïåðèîä ôóíêöèè. 1) y = sin x + cos5x ; 2) y = 3sin2x ; 3) y = sin x + cosx ; sin2x 4) y = ; 1 + sin2 x cosx 5) y = . 1 + sin2 x Îòâåòû: 1) 2π; 2) π; 3) 2π; 4) π; 5) 2π. Óïðàæíåíèå 3. 1) Ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ y = f (x) ñ ãëàâíûì ïåðèîäîì T = 4 íà ïîëóèíòåðâàëå (-7;-3] ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé x - 2 -1 . Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå çíà÷åíèé f (-11) ⋅ f (1) . y= x +4 2) Ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ y = f (x) ñ ãëàâíûì ïåðèîäîì T = 5 íà ïîëóèíòåðâàëå (-1;4] ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé y = ax -1 . Èçâåñòíî, ÷òî f (7) = 3 . Íàéäèòå f (10) . 3) Ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ y = f (x) ñ ñîáñòâåííûì ïåðèîäîì T = 3 íà îòðåçêå [-1;2] ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé y = ax + b. Èçâåñòíî, ÷òî f (5) = 1 , f (-8) = 3 . Íàéäèòå f (-4,5) . 65


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

4) Ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ y = f (x) ñ ãëàâíûì ïåðèîäîì T = 4 íà ïîëóèíòåðâàëå (-1;3] ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé y = x - a . Èçâåñòíî, ÷òî f (-7) = 3 , f (10) = 2 . Íàéäèòå f (13,5). 5) Ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ y = f (x) ñ ñîáñòâåííûì ïåðèîäîì T = 6 íà ïîëóèíòåðâàëå [-2;4) ñîâïàäàåò ñ ôóíêöèåé y = x2 + a2 . Èçâåñòíî, ÷òî f (-11) = 5 . Íàéäèòå f (-8) + f (-7) . Îòâåòû: 1) 16; 2) −1; 3) 4; 4) 2,5; 5) 13. Óïðàæíåíèå 4. 1. Ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ õ è èìååò ïåðèîä T = 3. Èçâåñòíî, ÷òî f (5) = -4 , f (16) = 3 . Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ 2f (22) - 5f (14) . Îòâåò: 26. 2. Ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ õ è èìååò ïåðèîä T = 4. Èçâåñòíî, ÷òî f (10) = 3 , f (12) = -2 , f (-13) = -5 . Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ f (2) ⋅ f (3) - f 2 (4) . Îòâåò: −24. 3. Ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ õ è èìååò 1 ïåðèîä T = 3. Èçâåñòíî, ÷òî f (0) = 2 , f (1) = 3 - 2 , f (2) = . 3 Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ f (2003) + f (2004) + f (2005) . 4 3 Îòâåò: . 3 4. Ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ õ è èìååò ïåðèîä T = 5. Èçâåñòíî, ÷òî f (1876) = 3 + 1 , f (1812) = 4 , f (2003) = 3 -1 . Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ f (1) ⋅ f (2) ⋅ f (3). Îòâåò: 8. 5. Ôóíêöèÿ f (x) îïðåäåëåíà ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ õ è èìååò ïåðèîä T =1,5 . Èçâåñòíî, ÷òî f (2) = 3 - 2 2 , f (12,5) = 2 + 1, f (-7,5) = -2 . Íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ f (1) ⋅ f (0,5) + f (0). Îòâåò: −1.

§ 5. Èññëåäîâàíèå ôóíêöèè ïðè ïîìîùè ïðîèçâîäíîé 5.1. Îïðåäåëåíèå ïðîèçâîäíîé Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà íà ïðîìåæóòêå è âåëè÷èíà òàêîâà, ÷òî x0 + Dx Î (a; b) . 66


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

Ðàçíîñòü f (x0 + Dx)- f (x0 ) íàçûâàåòñÿ ïðèðàùåíèåì ôóíêöèè â òî÷êå x0. Ïðèðàùåíèå ôóíêöèè â òî÷êå x0 ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü Df (x0 ) èëè Dy (x0 ) . Çíà÷åíèåì ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè â òî÷êå íàçûâàåòñÿ ïðåDf (x0 ) ïðè Dx  0 . äåë îòíîøåíèÿ Dx Çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f(x) â òî÷êå x0 îáîçíà÷àåòñÿ ÷åðåç f ¢ (x0 ) èëè y ¢ (x0 ) . Ôóíêöèÿ, èìåþùàÿ ïðîèçâîäíóþ â òî÷êå x0, íàçûâàåòñÿ äèôôåðåíöèðóåìîé â ýòîé òî÷êå. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) äèôôåðåíöèðóåìà â êàæäîé òî÷êå èíòåðâàëà (a; b) , òî ãîâîðÿò, ÷òî îíà äèôôåðåíöèðóåìà íà ýòîì èíòåðâàëå.

5.2. Îñíîâíûå ïðàâèëà íàõîæäåíèÿ ïðîèçâîäíûõ 1. (c)¢ = 0 , ãäå c = const . 2. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) èìååò ïðîèçâîäíóþ â òî÷êå x è c = const, òî (c ⋅ f ( x))¢ = c ⋅ f ¢ ( x) . 3. Åñëè êàæäàÿ èç ôóíêöèé y = f (x) è y = g(x) èìååò ïðîèçâîäíóþ â òî÷êå x, òî (f (x) + g(x))¢ = f ¢(x) + g ¢(x) . 4. Åñëè êàæäàÿ èç ôóíêöèé y = f (x) è y = g(x) èìååò ïðîèçâîäíóþ â òî÷êå x, òî (f (x) - g(x))¢ = f ¢(x) - g ¢(x) . 5. Åñëè êàæäàÿ èç ôóíêöèé y = f (x) è y = g(x) èìååò ïðîèçâîäíóþ â òî÷êå x, òî (f (x) g(x))¢ = f ¢(x) ⋅ g(x) + g ¢(x) ⋅ f (x) . 6. Åñëè êàæäàÿ èç ôóíêöèé y = f (x) è y = g(x) èìååò ïðîæ f (x) ÷ö¢ f ¢(x) ⋅ g(x) - g ¢(x) ⋅ f (x) ÷ = . èçâîäíóþ â òî÷êå x, òî çç çè g(x) ø÷÷ g2 (x) 7. Åñëè g(x) = kx + b , k ¹ 0 , òî (f (kx + b)) = k ⋅ f ¢(kx + b) . 8. (f (g(x)))¢ = f ¢ (g(x))⋅ g ¢(x) .

5.3. Òàáëèöà ïðîèçâîäíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé

(x p )¢ = p ⋅ x p-1 , p ¹ 0, p Î R (u p )¢ = pu p-1u¢

1. (c)¢ = 0 , c = const

2.

3. (sin x)¢ = cos x (sin u)¢ = cos u ⋅ u¢

4. (cos x)¢ = -sinx (cos u)¢ = -sinu ⋅ u¢ 67


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

1 = 1 + tg2 x cos2 x u¢ = u ¢(1 + tg2u) (tgu)¢ = cos2u

5. (tgx)¢ =

7.

(ax )¢ = ax ⋅ln a (au )¢ = au ln a ⋅ u¢ (ex )¢ = ex (eu )¢ = euu¢

9. (arcsin x)¢ =

(arcsin u)¢ = 11. (arctgx)¢ =

(arctgu)¢ =

u¢ (ctgu)¢ = - 2 = sin u = -u ¢(1 + ctg2u) 8.

1 1- x u¢

1 = sin2 x = -(1 + ctg2 x)

6. (ctgx)¢ = -

2

1 - u2 1 1 + x2 u¢ 1 + u2

1 x ln a u¢ ¢ (log a u) = u ln a 1 (ln x)¢ = x ¢ u (ln u)¢ = u

(log a x)¢ =

1

10. (arccosx)¢ = -

(arccos u)¢ = 12. (arcctgx)¢ = -

(arcctgu)¢ = -

1 - x2 u¢ 1 - u2

1 1 + x2 u¢ 1 + u2

Ïðèìåð 1. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè y = x12 + 3x3 + 4x - 2 ðàâíà: 1) 12x11 + 3x2 + 4x - 2 3) 12x11 + 9x2 + 4 2) x12 + 9x2 4) x12 + 3x3 + 4 Ðåøåíèå. Ïðèìåíÿÿ òàáëèöó ïðîèçâîäíûõ è ïðàâèëà äèôôåðåíöèðîâàíèÿ, ïîëó÷èì, ÷òî y ¢ = (x12 )¢ + 3(x3 )¢ + 4 ( x)¢ - (2)¢ = 12x11 + 9x2 + 4 . Ïðàâèëüíûé îòâåò — 3). Îòâåò: 3). 68


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

Ïðèìåð 2. Íàéäèòå çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè x â òî÷êå x0 = 1. y= 2 x +3 x2 + 3 - 2x2 3 - x2 . Ðåøåíèå. y ¢ = = 2 2 (x2 + 3) (x2 + 3) y ¢(1) =

Îòâåò: 0,125.

2 1 = = 0,125 . 16 8

Óïðàæíåíèå 1. x2 + x + 1 1) Çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = â òî÷êå x2 + 1 ãðàôèêà ñ àáñöèññîé x0 = 1 ðàâíî: 1) −1; 2) 0; 3) 1; 4) 2. 2) Çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = 5x4 - 2x â òî÷êå 1 ãðàôèêà ñ àáñöèññîé x0 = ðàâíî: 1) 1; 2) –1; 3) –1,5; 4) 1,5. 2 3) Çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = sin3x + 1 â òî÷êå π ãðàôèêà ñ àáñöèññîé x0 = ðàâíî 1) 1; 2) 3; 3) –1; 4) 0. 2 4) Çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = 3 5x3 - 3x2 -1 â òî÷êå ãðàôèêà ñ àáñöèññîé x0 = 1 ðàâíî 1) 3; 2) –1; 3) 0; 4) –3. sin x - cos x 5) Çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = â òî÷êå x x sin + cos π ðàâíî 1) 1; 2) –1; 3) 0; 4) 1,5. ãðàôèêà ñ àáñöèññîé x0 = 4 Îòâåòû: 1) 2; 2) 4; 3) 2; 4) 1; 5) 2. Óïðàæíåíèå 2. Íàéäèòå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèé. 1 1 1) y = x3 - x4 + x2 ; 3 4 3 2) y = x + x + 4 x ; 3) y = (1 - x)2 ; 4) y = (x + x )2 ; 1 1 1 5) y = - 2 + 3 . x x x 1 1 1 ; Îòâåòû: 1) y ¢ = -x3 + x2 + 2x ; 2) y ¢ = + + 3 4 2 x 3 x2 4 x 3 1 2 3 3) y ¢ = 2x - 2 ; 4) y ¢ = 2x + 3 x + 1 ; 5) y ¢ = - 2 + 3 - 4 . x x x 69


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Óïðàæíåíèå 3. Íàéäèòå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèé. 1) y = cos5x ; 2) y = sin2x - cos2x ; x 3) y = tg ; 2 4) y = ctg(2x + 3) ; 5) y = sin2 x + cos2 x . Îòâåòû: 1) y ¢ = -5sin5x ; 2) y ¢ = 2(cos2x + sin2x) ; xö 1æ 3) y ¢ = çç1 + tg2 ÷÷ ; 4) y ¢ = 2(1 + ctg2 (2x + 3)); 5) y ¢ = 0 . 2è 2ø Óïðàæíåíèå 4. Íàéäèòå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèé. 1) y = e2x+1 ; 2) y = 2x + 3x + 4x ; 3) y = ln(x2 + 1) ; 4) y = x ln x ; 5) y = x2 ex . Îòâåòû: 1) y ¢ = 2e2x+1 ; 2) y ¢ = 2x ln2 + 3x ln 3 + 4x ln 4 ; 2x ; 4) y ¢ = ln x + 1 ; 5) y ¢ = (x2 + 2x)ex . 3) y ¢ = 2 x +1

5.4. Ãåîìåòðè÷åñêèé è ôèçè÷åñêèé ñìûñë çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé Çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå x0 ðàâíî óãëîâîìó êîýôôèöèåíòó êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè â òî÷êå ñ àáñöèññîé x0. Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé èìååò âèä y = f ¢(x0 )(x - x0 ) + f (x0 ). Óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé ðàâåí òàíãåíñó óãëà êàñàòåëüíîé ñ ïîëîæèòåëüíûì íàïðàâëåíèåì îñè àáñöèññ. Åñëè ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè â äàííîé òî÷êå ðàâíà 0, òî êàñàòåëüíàÿ ïàðàëëåëüíà îñè àáñöèññ èëè åþ ÿâëÿåòñÿ. Åñëè òåëî èëè ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî ïî çàêîíó S = S(t) , òî çíà÷åíèå ìãíîâåííîé ñêîðîñòè äâèæåíèÿ òåëà ðàâíî çíà÷åíèþ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè, çàäàþùåé çàêîí äâèæåíèÿ, â óêàçàííûé ìîìåíò âðåìåíè. 70


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

Ïðèìåð 1. Íàéäèòå çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå ãðàôèêà ñ àáñöèññîé x0 = −4.

y

y = ± —x˜

0 −4

x

Ðåøåíèå. Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé ÷åðåç òî÷êó ãðàôèêà ñ àáñöèññîé x0 = −4, y = x. Ñëåäîâàòåëüíî, f ¢(-4) = 1 . Ïðèìåð 2. Íàéäèòå íàèáîëüøóþ àáñöèññó òî÷êè ãðàôèêà ôóíêöèè 1 5 y = x 3 - x2 + 7x - 4 , 3 2 â êîòîðîé êàñàòåëüíàÿ ê ãðàôèêó ôóíêöèè îáðàçóåò ñ îñüþ àáñöèññ óãîë 45°. Ðåøåíèå. Òàê êàê tg45° = 1, òî çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé â èñêîìîé òî÷êå ðàâíî 1. y ¢ = x2 - 5x + 7 .

Ðåøèì óðàâíåíèå.

é x = 2, x2 - 5x + 7 = 1  x2 - 5x + 6 = 0  ê ê x = 3. ë Îòâåò: 3.

Ïðèìåð 3. Óêàæèòå àáñöèññó òî÷êè ãðàôèêà ôóíêöèè f (x) = 14x - 45 - x2 , â êîòîðîé óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé ðàâåí 2. 1) 6; 2) −8; 3) 8; 4) −6 71


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ðåøåíèå. Óãëîâîé êîýôôèöèåíò êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè â òî÷êå ãðàôèêà ñ àáñöèññîé x0 ðàâåí çíà÷åíèþ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè â òî÷êå x0. Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ. f ¢(x) = 14 - 2x .

Ðåøèì óðàâíåíèå: 14 - 2x = 2  x = 6 . Òàêèì îáðàçîì, ïðàâèëüíûé îòâåò 1). Îòâåò: 1). Ïðèìåð 4. Òåëî äâèæåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî ïî çàêîíó 1 S = 5 + 6t - t3 , ãäå ïóòü S(t) èçìåðÿåòñÿ â ìåòðàõ, à âðåìÿ 3 t — â ñåêóíäàõ. Íàéäèòå ñêîðîñòü òåëà â ìîìåíò t = 1 ñåê. Ðåøåíèå. Ôèçè÷åñêèé ñìûñë çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé ñîñòîèò â òîì, ÷òî åñëè çàäàí çàêîí èçìåíåíèÿ ïðîéäåííîãî òåëîì ïóòè, òî çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé åñòü ìãíîâåííàÿ ñêîðîñòü òåëà â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè. Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ: S ¢(t) = 6 - t2 . Çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé â ìîìåíò âðåìåíè t = 1 ðàâíî 5. Ñëåäîâàòåëüíî, çíà÷åíèå ìãíîâåííîé ñêîðîñòè òåëà òàêæå ðàâíî 5 ì/ñ. Îòâåò: 5 ì/ñ. Ïðèìåð 5. Íàéäèòå óñêîðåíèå òî÷êè, äâèæóùåéñÿ ïðÿìîëèíåéíî, åñëè äâèæåíèå çàäàíî çàêîíîì: S(t) = 5t2 + 58t - 623, ãäå ïóòü S(t) èçìåðÿåòñÿ â ìåòðàõ, à âðåìÿ t — â ñåêóíäàõ. Ðåøåíèå. Çíà÷åíèå óñêîðåíèÿ òåëà èëè ìàòåðèàëüíîé òî÷êè â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè ðàâíî çíà÷åíèþ ïðîèçâîäíîé çàêîíà èçìåíåíèÿ ìãíîâåííîé ñêîðîñòè òåëà. V (t) = S ¢(t) = 10t + 58 , a(t) = V ¢(t) = 10 .

Îòâåò: a(t) = 10 ì/ñ2. Ïðèìåð 6. Íàéäèòå óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè f (x) = x2 + x + 1 â òî÷êå ãðàôèêà ñ àáñöèññîé x0 = 0. Ðåøåíèå. Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé èìååò âèä: y = f ¢(x0 )(x - x0 ) + f (x0 ) . 72


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

Çíà÷åíèå ôóíêöèè f (0) = 1 . Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ: f ¢(x) = 2x + 1 ; f ¢(0) = 1 . Óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé áóäåò èìåòü âèä y = x +1 . Îòâåò: y = x +1 . Ïðèìåð 7. Íàéäèòå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðîì ïðÿìàÿ y = 5x + a áóäåò ÿâëÿòüñÿ êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = x2 - x + 1 . Ðåøåíèå. Èñïîëüçóÿ ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë çíà÷åíèÿ ïðîèçâîäíîé, íàéäåì àáñöèññó òî÷êè êàñàíèÿ. y ¢ = 2x -1 ; y ¢(x0 ) = 2x0 -1 = 5 ; x0 = 3 .

Ñîñòàâëÿÿ óðàâíåíèå èñêîìîé êàñàòåëüíîé, ïîëó÷èì: y = 5(x - 3) + 7 ; y = 5x - 8 ,

îòêóäà èñêîìîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà a = –8. Îòâåò: −8. Óïðàæíåíèå 5. Íàéäèòå òàíãåíñ óãëà íàêëîíà êàñàòåëüíûõ, ïðîâåäåííûõ ê ãðàôèêàì ôóíêöèé, èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêàõ. 1)

0

3)

2)

y

x

0

4)

y

0

y

x

x

y

0

x

Îòâåòû: 1) 1; 2) 0; 3) –0,5; 4) 0,25. 73


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Óïðàæíåíèå 6. Íàéäèòå óãëîâîé êîýôôèöèåíò â óðàâíåíèè êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå ãðàôèêà ñ àáñöèññîé x0. 1) f (x) = x3 - 3x2 + 2 , x0 = 2 ; 2 2) f (x) = x - 7x + 3 , x0 = 3 ; π 1 3) f (x) = sin2x - sin x , x0 = ; 2 3 1 4) f (x) = ln(4x -1) , x0 = ; 2 x +1 , 5) f (x) = x0 = 1 . x -3 Îòâåòû: 1) 0; 2) –1; 3) –1; 4) 4; 5) –1. Óïðàæíåíèå 7. Íàéäèòå óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) â òî÷êå ãðàôèêà ñ àáñöèññîé x0. 1) f (x) = x2 - 2x , x0 = 1 ; 1 , x0 = 0 ; 2) f (x) = 4 x +2 3) f (x) = 2x2 + 1 , 4) f (x) = x ln x ,

x0 = 2 ; x0 = e ; π 5) f (x) = 2(sin x + cos x) , x0 = - . 4 4 1 Îòâåòû: 1) y = -1 ; 2) y = 0,25 ; 3) y = x + ; 4) y = e ; 3 3 π 5) y = 2x - . 2 Óïðàæíåíèå 8. Íàéäèòå óðàâíåíèå êàñàòåëüíîé, ïðîâåäåííîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = f (x) è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó M (x0 ; y0 ) . 1) f (x) = -x2 + 1 , M (1;1) ; 3 2) f (x) = x , M (2;4) ; 3) f (x) = x2 - x , M (-1;-1) ; æ1 1ö 4) f (x) = x , M çç ; ÷÷÷ ; è 4 2ø 1 5) f (x) = , M (-1;1) . x Îòâåòû: 1) y = 1; y = -4x + 5 ; 74


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

2) y = 3x - 2 , y = 3(4 + 2 3 )x -12 3 - 20 ; y = 3(4 - 2 3 )x + 12 3 - 20 ; 3) y = (-3 + 2 3 )x - 4 + 2 3 ; y = (-3 - 2 3 )x - 4 - 2 3 ; 1 4) y = x + ; 4 5) y = -(3 + 2 2 )x + 2 + 2 2 ; y = -(3 + 2 2 )x + 2 - 2 2 . Óïðàæíåíèå 9. 1) Íàéäèòå çíà÷åíèå àáñöèññû òî÷êè êàñàíèÿ ïðÿìîé y = 2x + b è ãðàôèêà ôóíêöèè y = x2 - 2x + 3 . 2) Íàéäèòå çíà÷åíèå îðäèíàòû òî÷êè êàñàíèÿ ïðÿìîé y = -2x + b è ãðàôèêà ôóíêöèè y = x2 + 2x + 3 . 3) Íàéäèòå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðîì ïðÿìàÿ y = x + b ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = x2 - x + 1 . 4) Íàéäèòå ñóììó çíà÷åíèé ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðûõ ïðÿìàÿ ó = x + b ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè 1 y = x3 - x2 - 3x -1 . 3 5) Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ïðÿìàÿ y = −x + b ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíîé ê 1 ãðàôèêó ôóíêöèè y = x3 + x2 - 4x + 5 . 3 Îòâåòû: 1) 2; 2) 3; 3) 0; 4) 2; 5) –3. Óïðàæíåíèå 10. 1) Òî÷êà äâèæåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî ïî çàêîíó S(t) = 6t - t2, ãäå ïóòü S(t) èçìåðÿåòñÿ â ìåòðàõ, à âðåìÿ t — â ñåêóíäàõ. Íàéäèòå ìîìåíò îñòàíîâêè òåëà. 2) Òåëî äâèæåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî ïî çàêîíó 1 1 S(t) = t3 + t2 - t + 1, 6 2 ãäå ïóòü S(t) èçìåðÿåòñÿ â ìåòðàõ, à âðåìÿ t — â ñåêóíäàõ. Íàéäèòå óñêîðåíèå òåëà â ìîìåíò âðåìåíè t = 2 ñåê. 3) Òåëî äâèæåòñÿ ïðÿìîëèíåéíî ïî çàêîíó S(t) = 6t - t2 , ãäå ïóòü S(t) èçìåðÿåòñÿ â ìåòðàõ, à âðåìÿ t — â ñåêóíäàõ. Íàéäèòå ïóòü, ïðîéäåííûé òåëîì îò íà÷àëà èçìåðåíèÿ äî îñòàíîâêè. 75


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

4) Ìãíîâåííàÿ ñêîðîñòü òåëà èçìåíÿåòñÿ ïî çàêîíó V(t) = = t2 − 2t, ñêîðîñòü èçìåðÿåòñÿ â ì/ñ, à âðåìÿ — â ñåêóíäàõ. Íàéäèòå óñêîðåíèå òåëà â ìîìåíò âðåìåíè t = 1 ñ. 5) Òåëî ñîâåðøàåò êîëåáàíèÿ âîêðóã ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ïî çàêîíó x(t) = 3sin t + 4 cos t . Íàéäèòå íàèáîëüøåå îòêëîíåíèå òåëà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Îòâåòû: 1) 3; 2) 3; 3) 9; 4) 0; 5) 5.

5.5. Èññëåäîâàíèå ôóíêöèé íà ìîíîòîííîñòü Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ âîçðàñòàþùåé íà ìíîæåñòâå X1 Í X , åñëè äëÿ ëþáûõ x1, x2 Î X1 è òàêèõ, ÷òî x1 < x2, ñëåäóåò, ÷òî f (x1 ) < f (x2 ) . Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ óáûâàþùåé íà ìíîæåñòâå X1 Í X , åñëè äëÿ ëþáûõ x1, x2 Î X1 è òàêèõ, ÷òî x1 < x2, ñëåäóåò, ÷òî f (x1 ) > f (x2 ) . Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íåóáûâàþùåé íà ìíîæåñòâå X1 Í X , åñëè äëÿ ëþáûõ x1, x2 Î X1 è òàêèõ, ÷òî x1 < x2, ñëåäóåò, ÷òî f (x1 ) £ f (x2 ) . Ôóíêöèÿ y = f (x) íàçûâàåòñÿ íåâîçðàñòàþùåé íà ìíîæåñòâå X1 Í X , åñëè äëÿ ëþáûõ x1, x2 Î X1 è òàêèõ, ÷òî x1 < x2, ñëåäóåò, ÷òî f (x1 ) ³ f (x2 ) .  ÷àñòíîñòè, åñëè ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà (íåïðåðûâíà) íà îòðåçêå [a; b ] èëè íà ïîëóèíòåðâàëàõ [a; b) , (a; b ] è ìîíîòîííà (âîçðàñòàåò èëè óáûâàåò) âî âñåõ òî÷êàõ èíòåðâàëà (a; b) , òî ôóíêöèÿ ìîíîòîííà è íà âñåì ïðîìåæóòêå. Ïîëåçíî çíàòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó î ìîíîòîííîñòè ñëîæíîé ôóíêöèè. Ïóñòü ôóíêöèè y = f (x) è y = g(x) òàêîâû, ÷òî: — ôóíêöèÿ g(x) îïðåäåëåíà è ìîíîòîííà íà ïðîìåæóòêå < α; β > ; — ôóíêöèÿ g(x) îòîáðàæàåò ïðîìåæóòîê < α; β > â ïðîìåæóòîê < a; b > ; — ôóíêöèÿ y = f (x) îïðåäåëåíà è ìîíîòîííà íà ïðîìåæóòêå < a; b > . 76


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

Òîãäà ñëîæíàÿ ôóíêöèÿ y = f (g(x)) îïðåäåëåíà íà ïðîìåæóòêå < α; β > è: ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, åñëè õàðàêòåð ìîíîòîííîñòè ôóíêöèé y = f (x) è y = g(x) îäèíàêîâ; ìîíîòîííî óáûâàåò, åñëè õàðàêòåð ìîíîòîííîñòè ôóíêöèé y = f (x) è y = g(x) ðàçëè÷åí. Ïðèìåð 1. Ôóíêöèÿ y = f (x) çàäàíà íà îòðåçêå [-9;9] . Îïðåäåëèòå ïðîìåæóòêè âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè. y y = ± —x˜

−9

0

1

9

x

Ðåøåíèå. Åñëè ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò, òî ïðè äâèæåíèè ïî ãðàôèêó ñëåâà íàïðàâî îðäèíàòû òî÷åê ãðàôèêà óâåëè÷èâàþòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà îòðåçêå [-6;0] è íà îòðåçêå [6;9] . Îòâåò: [-6;0] ; [6;9] . Ïðèìåð 2. Íàéäèòå ïðîìåæóòîê óáûâàíèÿ ôóíêöèè, ãðàôèê êîòîðîé ïðåäñòàâëåí íà ðèñóíêå. y y = ± —x˜

−9

0

1

9

x

1) [-9;-1] ; 2) [-1;2] ; 3) [2;9] ; 4) [-9;9] . 77


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ðåøåíèå. Åñëè ôóíêöèÿ óáûâàåò, òî ïðè äâèæåíèè ïî ãðàôèêó ñëåâà íàïðàâî îðäèíàòû òî÷åê ãðàôèêà óìåíüøàþòñÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ óáûâàåò íà [-1;2] . Îòâåò: 2). Ïðèìåð 3. Óêàæèòå ãðàôèê âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè. 1)

2)

y

0

y

x 0

3)

4)

y

0

x

x

y

x

0

Âåðíûé îòâåò — 3). Îòâåò: 3. Ïðèìåð 4. Íàéäèòå ãðàôèê óáûâàþùåé ôóíêöèè. 1)

2)

y

0

y

x 0

78

x


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

3)

4)

y

y

x

0

0

x

Âåðíûé îòâåò — 4). Îòâåò: 4). Ïðèìåð 5. Óêàæèòå èíòåðâàëû âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèé, ãðàôèêè êîòîðûõ ïðåäñòàâëåíû íà ðèñóíêàõ. y

1)

y

2)

x

0

0

3)

4)

y

0

x

y

x 0

x

1) [–5; 1]; [3; 5]; 2) [–3; 0]; [3; 6]; 3) [–5; 0); (0; 5]; 4) [–3; –2]; [2; 3]; [4; 5]. Ïðèìåð 6. Íà ðèñóíêå ïðåäñòàâëåí ãðàôèê ôóíêöèè y = x4 - x3 + bx + c . Îïðåäåëèòå çíàêè êîýôôèöèåíòîâ b è c. 79


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

y

y = ± —x˜

x

0

Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî c = f (0) è, ñëåäîâàòåëüíî, c > 0 . Òàêæå çàìåòèì, ÷òî b = f ¢(0) , è, ñëåäîâàòåëüíî, b < 0, òàê êàê íà èíòåðâàëå, ñîäåðæàùåì òî÷êó 0, ôóíêöèÿ óáûâàåò. Ïðèìåð 7. Îïðåäåëèòå òî÷êó ìàêñèìóìà ôóíêöèè y = f (x), åñëè äàí ãðàôèê åå ïðîèçâîäíîé. y y = ± R—x˜

5

−7 0

2

x

Ðåøåíèå. Åñëè ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç êðèòè÷åñêóþ òî÷êó x0 Î D(f ) ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ìåíÿåò çíàê ñ «+» íà «−», òî x0 — òî÷êà ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà ôóíêöèè. Êðèòè÷åñêèìè òî÷êàìè ôóíêöèè ÿâëÿþòñÿ òî÷êè −7, −3, −1, 2, 5. Ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ìåíÿåò çíàê ñ «+» íà «−» â òî÷êå x0 = 2. Ñëåäîâàòåëüíî, 2 — òî÷êà ìàêñèìóìà ôóíêöèè. Îòâåò: 2. Ïðèìåð 8. Îïðåäåëèòå èíòåðâàëû óáûâàíèÿ ôóíêöèè, åñëè çàäàí ãðàôèê åå ïðîèçâîäíîé. 80


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

y y = ± R—x˜

5

0

−8

x

2

Ðåøåíèå. Åñëè íåïðåðûâíàÿ ôóíêöèÿ óáûâàåò íà ìíîæåñòâå, òî åå ïðîèçâîäíàÿ íå áîëüøå íóëÿ. Ïîýòîìó, ôóíêöèÿ óáûâàåò íà [–8; –3] è íà [2; 5]. Óïðàæíåíèå 1. Íà ðèñóíêàõ ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè ëèíåéíîé ôóíêöèè y = kx + b . Íàéäèòå çíàêè êîýôôèöèåíòîâ k è b. 1)

0

3)

2)

y

x

0

x

x

0

4)

y

y

y

0

x

Îòâåòû: 1) k < 0, b > 0; 2) k > 0, b > 0; 3) k = 0, b > 0; 4) k < 0, b < 0. 81


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Óïðàæíåíèå 2. Íà ðèñóíêå ïðåäñòàâëåíû ãðàôèêè êâàäðàòè÷íûõ ôóíêöèé y = ax2 + bx + c , a ¹ 0 . Óêàæèòå çíàêè êîýôôèöèåíòîâ a, b, c è äèñêðèìèíàíòà D. 1)

2)

y

x

0

3)

y

0

4)

y

y

x

0

x

0

x

Îòâåòû: 1) a < 0, b < 0, c > 0; D > 0; 2) a > 0, b < 0, c = 0; D > 0; 3) a > 0, b > 0, c > 0; D = 0; 4) a > 0, b = 0, c > 0; D < 0. Óïðàæíåíèå 3. Îïðåäåëèòå òî÷êè ìèíèìóìà ôóíêöèè y = f (x) , åñëè äàí ãðàôèê åå ïðîèçâîäíîé. Îòâåò: –3; 5.

y y = ± R—x˜

5

−7 0

82

2

x


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

Óïðàæíåíèå 4. Îïðåäåëèòå òî÷êó ìàêñèìóìà ôóíêöèè y = f (x) , åñëè äàí ãðàôèê åå ïðîèçâîäíîé. y y = ± R—x˜

−7

5

0

2

x

Îòâåò: 1.

5.6. Ýêñòðåìóìû. Íàèáîëüøèå è íàèìåíüøèå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè Îáùàÿ ñõåìà èññëåäîâàíèÿ ôóíêöèè è ïîñòðîåíèÿ åå ãðàôèêà âêëþ÷àåò òàêèå ýëåìåíòû, êàê íàõîæäåíèå ïðîìåæóòêîâ âîçðàñòàíèÿ è óáûâàíèÿ, òî÷åê ýêñòðåìóìà, íàõîæäåíèå íàèáîëüøèõ è íàèìåíüøèõ çíà÷åíèé è ò.ä. Ïðèìåíåíèå ïðîèçâîäíîé ïîçâîëÿåò óïðîñòèòü èññëåäîâàíèå ôóíêöèè. 1. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå (a; b) . Ôóíêöèÿ y = f (x) ÿâëÿåòñÿ ïîñòîÿííîé íà óêàçàííîì èíòåðâàëå òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà f ¢(x) = 0 äëÿ ëþáîãî x Î (a; b). 2. Åñëè äëÿ äèôôåðåíöèðóåìûõ íà èíòåðâàëå (a; b) ôóíêöèé f (x) è g(x) ïðè ëþáîì x Î (a; b) ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî f ¢(x) = g ¢(x) , òî äëÿ âñåõ x Î (a; b) ñïðàâåäëèâî f (x) = g(x) + c, c = const . 3. Åñëè f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b ] è íà èíòåðâàëå (a; b) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f ¢(x) ³ 0 è ïðè ýòîì ðàâåíñòâî f ¢(x) = 0 ñïðàâåäëèâî òîëüêî â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê èíòåðâàëà (a; b) , òî ôóíêöèÿ f (x) âîçðàñòàåò íà îòðåçêå [a; b ]. 83


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

4. Åñëè f (x) íåïðåðûâíà íà îòðåçêå [a; b] è íà èíòåðâàëå (a; b) âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f ¢(x) £ 0 è ïðè ýòîì ðàâåíñòâî f ¢(x) = 0 ñïðàâåäëèâî òîëüêî â êîíå÷íîì ÷èñëå òî÷åê èíòåðâàëà (a; b) , òî ôóíêöèÿ f (x) óáûâàåò íà îòðåçêå [a; b ] . 5. Âíóòðåííÿÿ òî÷êà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ x0 Î D(f ) íàçûâàåòñÿ êðèòè÷åñêîé òî÷êîé ôóíêöèè y = f (x) , åñëè â ýòîé òî÷êå ïðîèçâîäíàÿ ðàâíà 0 èëè íå ñóùåñòâóåò. Òî÷êà a íàçûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíîé òî÷êîé ôóíêöèè y = f (x) , åñëè f ¢(a) = 0 . 6. Êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà x0 Î D(f ) íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà, åñëè äëÿ âñåõ x Î D(f ) â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x) £ f (x0 ) . 7. Êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà x0 Î D(f ) íàçûâàåòñÿ òî÷êîé ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà, åñëè äëÿ âñåõ x Î D(f ) â íåêîòîðîé îêðåñòíîñòè ýòîé òî÷êè âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x) ³ f (x0 ) . 8. Òî÷êè ìàêñèìóìà è ìèíèìóìà ôóíêöèè íàçûâàþòñÿ òî÷êàìè ýêñòðåìóìà. Çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â ýòèõ òî÷êàõ íàçûâàþòñÿ ýêñòðåìóìàìè ôóíêöèè. 9. Íåîáõîäèìîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà. Åñëè äèôôåðåíöèðóåìàÿ â òî÷êå x0 ôóíêöèÿ èìååò â ýòîé òî÷êå ýêñòðåìóì, òî f ¢(x0 ) = 0 èëè ïðîèçâîäíàÿ íå ñóùåñòâóåò. 10. Äîñòàòî÷íîå óñëîâèå ýêñòðåìóìà. Åñëè ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç êðèòè÷åñêóþ òî÷êó x0 Î D(f ) ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ìåíÿåò çíàê ñ «+» íà «−», òî x0 — òî÷êà ëîêàëüíîãî ìàêñèìóìà ôóíêöèè. Åñëè ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç êðèòè÷åñêóþ òî÷êó x0 Î D(f ) ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè ìåíÿåò çíàê ñ «−» íà «+», òî x0 — òî÷êà ëîêàëüíîãî ìèíèìóìà ôóíêöèè. Åñëè æå ïðîèçâîäíàÿ çíàêà íå ìåíÿåò, òî êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ýêñòðåìóìîì íå ÿâëÿåòñÿ. 11. Íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå çíà÷åíèÿ ôóíêöèè y = f (x), íåïðåðûâíîé íà [a; b ] , äîñòèãàþòñÿ ëèáî â êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ x0 Î (a; b) , ëèáî íà êîíöàõ îòðåçêà. Ïðèìåð 1. Íàéäèòå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè 4 1 y = x3 - 4x - íà îòðåçêå [0; 2]. 3 3 Ðåøåíèå. Íàéäåì êðèòè÷åñêèå òî÷êè ôóíêöèè íà (0; 2). Ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìàÿ, ïîýòîìó y ¢ = 4x2 - 4 . 84


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

é x = 1, Ðåøèì óðàâíåíèå 4x2 - 4 = 0  ê ê x = -1. ë Ïðèìåíèì àëãîðèòì íàõîæäåíèÿ íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ ôóíêöèè, íåïðåðûâíîé íà îòðåçêå. Âû÷èñëèì çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â êðèòè÷åñêèõ òî÷êàõ è íà êîíöàõ îòðåçêà. 1 7 y(0) = - , y(1) = -3 , y(2) = . 3 3 Òàêèì îáðàçîì min y(x) = y(1) = -3 . [0;2] Îòâåò: −3.

Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè íèêîãäà íå áûâàåò øèðå îáàñòè îïðåäåëåíèÿ ñàìîé ôóíêöèè! Ò.å. D (f ¢)Í D (f ) Ïðèìåð 2. Íàéäèòå èíòåðâàëû ìîíîòîííîãî âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè f (x) = x3 e- x . Ðåøåíèå. Ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íà ïîëóèíòåðâàëå [0; +¥) , äèôôåðåíöèðóåìà âî âñåõ òî÷êàõ èíòåðâàëà (0; +¥) . Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ ôóíêöèè, åå êðèòè÷åñêèå òî÷êè, èíòåðâàëû âîçðàñòàíèÿ è óáûâàíèÿ. æ ö æ 1 ö÷ 2 - x ç6 x - x ÷ ÷÷ . f ¢(x) = 3x2 e- x + x3 e- x çççç ÷= x e ÷ è 2 xø èç 2 x ÷ø Êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà ôóíêöèè x = 36 . f ¢(1) > 0 , f ¢(49) < 0 . ±R ±

+ 0

36

x

Ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà îòðåçêå [0;36] è óáûâàåò íà ïîëóèíòåðâàëå [36; +¥) . Îòâåò: [0;36] . Ïðèìåð 3. Íàéäèòå èíòåðâàëû ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè y = x ln x. Ðåøåíèå. Îáëàñòü D(y) = (0; +¥) .

îïðåäåëåíèÿ

ôóíêöèè

y = x ln x 85


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ äàííîé ôóíêöèè. y ¢ = ln x -1 .

Íàéäåì êðèòè÷åñêèå òî÷êè ôóíêöèè. y ¢ = 0 . ln x -1 = 0  x = e .

Èññëåäóåì ïîâåäåíèå ôóíêöèè íà ïîëóèíòåðâàëàõ (0;e] è [ e; +¥) . − + ±R ±

0

e

x

Îòâåò: íà ïîëóèíòåðâàëå (0;e] ôóíêöèÿ óáûâàåò, à íà ïîëóèíòåðâàëå [ e; +¥) — âîçðàñòàåò. Ïðèìåð 4. Ïðåäñòàâèòü ÷èñëî 12 â âèäå ñóììû òðåõ íåîòðèöàòåëüíûõ ñëàãàåìûõ, ïðîèçâåäåíèå êîòîðûõ ïðèíèìàåò íàèáîëüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå, ïðè÷åì îäíî èç ñëàãàåìûõ â 3 ðàçà ìåíüøå îäíîãî èç äâóõ äðóãèõ. Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ìåíüøåå ñëàãàåìîå x, òîãäà âòîðîå ñëàãàåìîå ñòàíåò ðàâíûì 3x, à òðåòüå 12 − 4x. Íàéäåì ïðîèçâåäåíèå: P = 3x2 (12 - 4x) . Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ P(x) = 3x2 (12 - 4x) . Èñõîäÿ èç óñëîâèÿ çàäà÷è, ïîëó÷èì, ÷òî 0 £ x £ 3 . Íàéäåì íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè íà îòðåçêå. Äëÿ ýòîãî íàéäåì ïðîèçâîäíóþ, îïðåäåëèì êðèòè÷åñêèå òî÷êè, èññëåäóåì èõ íà ýêñòðåìóì. P ¢(x) = 72x - 36x2 = 36x(2 - x) .

Êðèòè÷åñêàÿ òî÷êà x = 2. Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç êðèòè÷åñêóþ òî÷êó ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò çíàê ñ ïëþñà íà ìèíóñ (äàëåå: ñ «+» íà «–»), ïîýòîìó x = 2 — òî÷êà ìàêñèìóìà. Íî òàê êàê íà îòðåçêå ýêñòðåìóì åäèíñòâåííûé, è îí — ìàêñèìóì, òî â ýòîé òî÷êå ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì, ÷òî 12 = 2 + 4 + 6 . Îòâåò: 2; 4; 6. Óïðàæíåíèå 1. Óêàæèòå èíòåðâàëû ìîíîòîííîãî âîçðàñòàíèÿ ôóíêöèè. 6x + 8 1) y = 2 ; x +1 86


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

3x - 4 ; x2 + 1 3) y = x2 ln x ; 4) y = x2 ⋅ 3-x ; 5) y = (x2 + x + 1)ln (x2 + x + 1). é 1 ö é é 1 ù é 1ù 2 ù Îòâåòû: 1) ê-3; ú ; 2) ê- ;3ú ; 3) ê ; +¥÷÷÷ ; 4) ê0; ú; ø êë ln 3 ûú 3 ûú ëê ëê 3 ûú ëê e é 1 ö 5) ê- ; +¥÷÷÷ . ø êë 2

2) y =

Óïðàæíåíèå 2. Óêàæèòå èíòåðâàëû ìîíîòîííîãî óáûâàíèÿ ôóíêöèè. 1) y = x2 ⋅ 2x ; 2) y = (x2 - x -1)ex ; x +1 ; 3) y = - 2 x + x +1 4) y = ex ln x ; x2 + 1 . 5) y = 2 x + x +1 é 2 ù æ1 ö Îòâåòû: 1) ê;0ú ; 2) [-2;1] ; 3) [-2;0] ; 4) çç ;1÷÷÷ ; èe ø ëê ln2 ûú 5) [-1;1] . Óïðàæíåíèå 3. Íàéäèòå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè y = f (x) , çàäàííîé íà îòðåçêå a £ x £ b . 1 1) y = x3 - x , 0 £ x £ 4 ; 3 2) y = x4 - 8x2 - 9 , -1 £ x £ 3 ; 3) y = x2 - 2ln x , 1 £ x £ e ; 2x + 2-x , -1 £ x £ 2 ; 4) y = 2 x 5) y = cos2 sin x , 0 £ x £ π . 2 2 Îòâåòû: 1) - ; 2) –25; 3) 2 – ln2; 4) 1; 5) 0. 3 Óïðàæíåíèå 4. Íàéäèòå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè y = f (x) , çàäàííîé íà îòðåçêå a £ x £ b . 87


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

1) y = 3x4 + 4x3 + 1 , -2 £ x £ 1 ; x 3 2) y = + , -5 £ x £-1 ; 3 x 3) y = 1 - 2x + x2 + 1 + 2x + x2 , -2 £ x £ 0 ; 4 4) y = , -3 £ x £ 3 ; 2 x + 16 5) y = x(10 - x) , 0 £ x £ 10 . 2 3 . Îòâåòû: 1) 17; 2) –2; 3) 4; 4) 1; 5) 3 Óïðàæíåíèå 5. 1. Ïðåäñòàâüòå ÷èñëî 36 â âèäå ñóììû äâóõ ÷èñåë, ñóììà êóáîâ êîòîðûõ ìèíèìàëüíà. Íàéäèòå ýòè ÷èñëà. 2. Íàéäèòå ÷èñëî, êîòîðîå áû ïðåâûøàëî ñâîé óäâîåííûé êâàäðàò íà ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå. 3. ×èñëî 49 ïðåäñòàâüòå â âèäå ñóììû äâóõ ïîëîæèòåëüíûõ ñîìíîæèòåëåé, ñóììà êîòîðûõ ìèíèìàëüíà. Íàéäèòå ñóììó. 4. ×èñëî 36 ïðåäñòàâüòå â âèäå ñóììû äâóõ ïîëîæèòåëüíûõ ñëàãàåìûõ, ïðîèçâåäåíèå êîòîðûõ ìàêñèìàëüíî. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå ýòèõ ÷èñåë. 5. ×èñëî 20 ïðåäñòàâüòå â âèäå ñóììû äâóõ ïîëîæèòåëüíûõ ñëàãàåìûõ, ñóììà êâàäðàòîâ êîòîðûõ ìèíèìàëüíà. Íàéäèòå ñóììó êâàäðàòîâ ýòèõ ÷èñåë. Îòâåòû: 1) 18; 18; 2) 0,25; 3) 14; 4) 324; 5) 200. Óïðàæíåíèå 6. 1. Ó÷àñòîê â ôîðìå ïðÿìîóãîëüíèêà ïëîùàäüþ 200 ñ òðåõ ñòîðîí îãîðîæåí çàáîðîì. Íàéäèòå íàèìåíüøóþ äëèíó âñåé èçãîðîäè. 2. Ïëîùàäü ó÷àñòêà â âèäå ïàðàëëåëîãðàììà ñ îñòðûì óãëîì 30° ðàâíà 8. Êàêîå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ïðèíèìàåò åãî ïåðèìåòð? 3. Ïëîùàäü ó÷àñòêà, èìåþùåãî ôîðìó ðàâíîáîêîé òðàïåöèè ñ îñòðûì óãëîì 30°, ðàâíà 200. Êàêîå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ïðèíèìàåò åãî ïåðèìåòð? 4. Ïëîùàäü òðàïåöèè, îïèñàííîé âîçëå îêðóæíîñòè, ðàâíà 18. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ñóììà äëèí áîêîâûõ ñòîðîí òðàïåöèè è åå âûñîòû ïðèíèìàåò íàèìåíüøåå çíà÷åíèå. 88


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

5. Ñóììà äëèí äèàãîíàëåé ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà 8. Êàêîå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ìîæåò ïðèíèìàòü åãî ïëîùàäü? Îòâåòû: 1) 40; 2) 16; 3) 80; 4) 3; 5) 8.

§ 6. Ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè è åå ïðèìåíåíèå 6.1. Òåîðåìû î ïåðâîîáðàçíûõ Ôóíêöèÿ F (x) íàçûâàåòñÿ ïåðâîîáðàçíîé ôóíêöèè f (x), íåïðåðûâíîé íà çàäàííîì ïðîìåæóòêå, åñëè äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ èç ýòîãî ïðîìåæóòêà èìååò ìåñòî ðàâåíñòâî: F ¢(x) = f (x) . 1) Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f (x) , òî ëþáàÿ ôóíêöèÿ âèäà F (x) + c , c = const — òàêæå ïåðâîîáðàçíàÿ. 2) Åñëè F (x) è F1 (x) — ïåðâîîáðàçíûå ôóíêöèè f (x) , òî F (x) - F1 (x) = c , c = const . 3) Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f (x) , a G (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè g(x) , çàäàííûõ íà îäíîì ïðîìåæóòêå, òî aF (x) + bG (x) + c , c = const — ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè af (x) + bg(x) . 4) Åñëè F (x) — ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f (x) , òî 1 F (ax + b) — ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f (ax + b) . a

6.2. Òàáëèöà ïåðâîîáðàçíûõ ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé Ôóíêöèÿ

Ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè

1. f (x) = c

F (x) = cx + c1

2. f (x) = x p , p ¹ -1

F (x) =

3. f (x) =

1 x

x p+1 , p ¹ -1 p +1

F (x) = ln x + c

4. f (x) = sin x

F (x) = - cos x + c

5. f (x) = cosx

F (x) = sinx + c 89


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðîäîëæåíèå òàáëèöû Ôóíêöèÿ

Ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè

6. f (x) =

1 cos2x

F (x) = tgx + c

7. f (x) =

1 sin2x

F (x) = -ctgx + c

8. f (x) = 9. f (x) =

1 1 - x2 1 1 + x2

F (x) = arcsinx + c = - arccos x + c F (x) = arctgx + c = -arcctgx + c

10. f (x) = ex

F (x) = ex + c

11. f (x) = a x

F (x) =

ax +c ln a

1 Ïðèìåð 1. Óêàæèòå ïåðâîîáðàçíóþ ôóíêöèè f (x) = 3 , x çàäàííîé íà èíòåðâàëå (0; +¥) . 1 3 1 Îòâåòû: 1) ; 2) 3 x2 ; 3) 3 x2 ; 4) 3 x . x 2 3 Ðåøåíèå. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó íàõîæäåíèÿ ïåðâîîáðàçíîé 1

1 ôóíêöèè f (x) = x p è ó÷èòûâàÿ, ÷òî 3 = x 3 , x > 0, ïîëóx ÷èì: 1 - +1 2 x 3 3 3 F (x) = = x 3 = 3 x2 . 1 2 2 - +1 3 Îòâåò: 3).

Ïðèìåð 2. Äëÿ ôóíêöèè f (x) = x , çàäàííîé íà ïîëóèíòåðâàëå [0; +¥) , óêàæèòå ïåðâîîáðàçíóþ, ãðàôèê êîòîðîé ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó (4;9) . Ðåøåíèå. Îáùèé âèä ïåðâîîáðàçíîé äëÿ ôóíêöèè f (x) = x , çàäàííîé íà ïîëóèíòåðâàëå [0; +¥) , 2 3 2 F (x) = x + c = x x + c . Òàê êàê ãðàôèê ïåðâîîáðàçíîé 3 3 ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè (4;9) , òî F (4) = 9 . 90


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

2 11 Ïîëó÷èì: 9 = 4 4 + c , îòêóäà c = . 3 3 Ïîëó÷èì, ÷òî èñêîìàÿ ïåðâîîáðàçíàÿ çàäàåòñÿ óðàâíåíèåì 2 11 . F (x) = x x + 3 3 2 11 Îòâåò: F (x) = x x + . 3 3

Ïðèìåð 3. Äëÿ ôóíêöèè f (x) = sin x íàéäèòå ïåðâîîáðàçíóþ, ãðàôèê êîòîðîé ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñ êîîðäèíàòàìè æ π ÷ö ç ;1÷ . çè 2 ø Ðåøåíèå. Ïåðâîîáðàçíûå ôóíêöèè f (x) = sin x èìåþò âèä F = −cosx + c. Òàê êàê ãðàôèê ïåðâîîáðàçíîé ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó ñ æπ ö æ πö êîîðäèíàòàìè çç ;1÷÷ , òî ïîëó÷èì, ÷òî F çç ÷÷ = 1  c = 1 . è2ø è2 ø Îòâåò: F (x) = - cos x + 1 . Óïðàæíåíèå 1. 1. Íàéäèòå ïåðâîîáðàçíóþ ôóíêöèè f (x) = 3x + 18 - x2 . 1 1 3 Îòâåòû: 1) 3 - 2x ; 2) - x3 + 3x + 18 ; 3) - x3 + x2 + 18 ; 3 3 2 1 3 4) - x3 + x2 + 18x . 3 2 4 2. Íàéäèòå ïåðâîîáðàçíóþ ôóíêöèè f (x) = 2 . x 12 2 12 4 ; 4) 3 . Îòâåòû: 1) - 3 ; 2) - ; 3) x x x x 3. Íàéäèòå ïåðâîîáðàçíóþ ôóíêöèè f (x) = sin6x + cos6x . Îòâåòû: 1) -cos6x + sin 6x ; 2) -6cos6x + 6sin 6x ; 3) cos6x - sin 6x ; 4) 6cos6x - 6sin 6x . 1 4. Íàéäèòå ïåðâîîáðàçíóþ ôóíêöèè f (x) = x + . x 1 1 2 1 Îòâåòû: 1) 1 - 2 ; 2) x2 + 2 ; 3) x2 - ln x ; 2 2 x x 1 4) x2 + ln x . 2 91


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

5. Íàéäèòå ïåðâîîáðàçíóþ ôóíêöèè f (x) = ex+1 + x . Îòâåòû: 1) ex+1 + 1 ; 2)

( x +1)2 e 2

+

x2 ; 2

1 3) ex+1 + x2 ; 2 2 (x + 1) x2 4) . + 2 2 Ïðàâèëüíûå îòâåòû: 1) 4; 2) 2; 3) 2; 4) 4; 5) 3.

Óïðàæíåíèå 2. Íàéäèòå óðàâíåíèå ïåðâîîáðàçíîé F (x) ôóíêöèè f (x) , åñëè ãðàôèê ïåðâîîáðàçíîé ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó M (x0 ; y0 ). 1) f (x) = 3x + 18 - x2 , M (6;80) ; 1 2) f (x) = 2x + , M (1;2) ; x æ 1ö 3) f (x) = 4x - 3 , M çç1; ÷÷÷ ; è 6ø æπ ö 4) f (x) = 3sin3x - 3cos3x , M çç ;1÷÷ ; è2 ø 5) f (x) = (x + 1)ex , M (0;1) . 1 3 Îòâåòû: 1) F (x) = - x3 + x2 + 18x -10 ; 3 2 2) F (x) = x2 + ln x + 1 ; 1 3) F (x) = (4x - 3) 4x - 3 ; 6 4) F (x) = -sin3x - cos3x -1 ; 5) F (x) = xex + 1 .

6.3. Ôîðìóëà Íüþòîíà-Ëåéáíèöà Ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè. Îäíèì èç îñíîâíûõ ïðèëîæåíèé ïåðâîîáðàçíîé ÿâëÿåòñÿ èñïîëüçîâàíèå åå ïðè âû÷èñëåíèè ïëîùàäåé ïëîñêèõ ôèãóð. Ïóñòü ôóíêöèÿ y = f (x) íåïðåðûâíà è íåîòðèöàòåëüíà íà îòðåçêå [a; b] . 92


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

y y = ± R—x˜

a

0

1

x

b

Ôèãóðà, îãðàíè÷åííàÿ ãðàôèêîì ôóíêöèè y = f (x) , íåïðåðûâíîé è íåîòðèöàòåëüíîé íà îòðåçêå [a; b ] , ïðÿìûìè x = a, x = b è îòðåçêîì îñè àáñöèññ, íàçûâàåòñÿ êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèåé. Åñëè F (x) — êàêàÿ-ëèáî ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè f (x) , òî ïëîùàäü êðèâîëèíåéíîé òðàïåöèè ðàâíà ðàçíîñòè çíà÷åíèé ïåðâîîáðàçíîé F (b) - F (a) . Ýòà ôîðìóëà íîñèò íàçâàíèå ôîðìóëû Íüþòîíà—Ëåéáíèöà. Åñëè ôèãóðà îãðàíè÷åíà ãðàôèêàìè äâóõ ôóíêöèé y = f (x) è y = g(x) , íåïðåðûâíûõ íà îòðåçêå [a; b ] , ïðè÷åì f (x) £ g(x) äëÿ âñåõ çíà÷åíèé àðãóìåíòà èç ýòîãî îòðåçêà, òî â ýòîì ñëó÷àå ïëîùàäü ôèãóðû âû÷èñëÿåòñÿ êàê ðàçíîñòü çíà÷åíèé (F (b) - G (b))- (F (a) - G (a)) . y y = ± —x˜

a

0

b

1

x

y = g—x˜

93


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 1. Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêîì ôóíêöèè y = x2 + 2, ïðÿìûìè x = −1, x = 2 è îñüþ àáñöèññ y = 0. Ðåøåíèå. Ôóíêöèÿ y = x2 + 2 îïðåäåëåíà è ïîëîæèòåëüíà âî âñåõ òî÷êàõ îòðåçêà [—1; 2], ïîýòîìó ìîæíî ïðèìåíèòü ôîðìóëó Íüþòîíà—Ëåéáíèöà. 1 Ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè F (x) = x2 + 2x . 3 8 20 1 7 , F (-1) = - - 2 = - . F (2) = + 4 = 3 3 3 3 20 æç 7 ÷ö Èñêîìàÿ ïëîùàäü ôèãóðû F (2) - F (-1) = - ç- ÷ = 9 . 3 è 3 ÷ø Îòâåò: 9. Ïðèìåð 2. Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêîì ôóíêöèè y = sinx, ïðÿìûìè x = 0, x = π è îñüþ îðäèíàò. Ðåøåíèå. Íà îòðåçêå [0; π] ôóíêöèÿ íåîòðèöàòåëüíà. Ïîýòîìó ïëîùàäü èñêîìîé ôèãóðû âû÷èñëèì ïî ôîðìóëå Íüþòîíà—Ëåéáíèöà. F (x) = - cos x , F (0) = -1 , F (π) =1. S = F (-1) - F (0) = 2 .

Îòâåò: 2. Ïðèìåð 3. Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ãðà3 ôèêàìè ôóíêöèé f (x) = 3 5 - x , g(x) = - x + 6 è ïðÿìîé 4 x = 5. Ðåøåíèå. Òàê êàê îäèí èç êîíöîâ îòðåçêà, íà êîòîðîì ðàññìàòðèâàåòñÿ êðèâîëèíåéíàÿ òðàïåöèÿ, íå çàäàí, òî åñòåñòâåííî ñ÷èòàòü, ÷òî èì áóäåò ÿâëÿòüñÿ àáñöèññà òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêîâ äàííûõ ôóíêöèé. 3 Ðåøèì óðàâíåíèå 3 5 - x = - x + 6 . 4 ìï 3 ïï- x + 6 ³ 0, 3  3 5 - x = - x + 6  íï 4 ïï 1 4 (5 x ) = x + 1 ïï 4 ïî 94


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

ìïx £ 18, ìïx £ 18, é x = -4, ï  íï  ê í 2 2 ê ï ï ïî16(5 - x) = x -16x + 64 îïx = 16 ë x = 4. Äàëåå: íà îòðåçêå [—4; 4] âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f (x) ³ g(x) , ïîýòîìó ðàññìîòðèì ôóíêöèþ h(x) = f ( x) 3 -g(x) = 3 5 - x + x - 6 . 4 3 3 Ïåðâîîáðàçíàÿ ýòîé ôóíêöèè H(x) = -2 (5 - x) + x2 - 6x. 2 H(4) = -2 , H(-4) = -6 . S = H(4) - H(-4) = -2 - (-6) = 4 .

Îòâåò: 4. Ïðèìåð 4. Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêàìè ôóíêöèé f (x) = x2 - 2x + 2 è g(x) = 2 + 4x - x2 . Ðåøåíèå. Íàéäåì àáñöèññû òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ãðàôèêîâ ôóíêöèé. é x = 0, x2 - 2x + 2 = -x2 + 4x + 2  2x2 - 6x = 0  ê ê x = 3. ë Íà îòðåçêå [0; 3] âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî g(x) ³ f (x) . Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ h(x) = g(x) - f (x) = 6x - 2x2 . 2 Ïåðâîîáðàçíàÿ H(x) = 3x2 - x3 . 3 H(0) = 0 , H(3) = 9 . Ïî ôîðìóëå Íüþòîíà—Ëåéáíèöà S = 9. Îòâåò: 9. Óïðàæíåíèå 1. Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêàìè ëèíèé. 1) y = x2, y = 8, x = 0; 2) y = 4x − x2, y = 0, x = 2; 3) y = x , y = 2 − x, y = 0; 9 4) y = , y = x, x = 9, y = 0; x 5) y = ex , y = 0, x = 2. æ1 ö 16 7 ; 3) ; 4) 9 çç + ln 3÷÷÷ ; 5) e2 -1 . Îòâåòû: 1) 12; 2) è ø 2 3 6 95


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Óïðàæíåíèå 2. Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû, îãðàíè÷åííîé ãðàôèêàìè ôóíêöèé. 1) y = x2 , y = x +2 ; 2) y = x2 - 2x + 3 , y = 3x -1 ; 3 3) y = x2 , y = 1 + x2 ; 4 2 x 5 4) y = , y = - - ; x 2 2 2 2 1 4 5) y = x - x , y =1 ; 3 9 9 9 8 16 1 Îòâåòû: 1) ; 2) ; 3) ; 4) (15 -16ln2) ; 5) 3. 15 4 2 2 3

§ 7. Çàäà÷è, èñïîëüçóþùèå ðàçëè÷íûå ñâîéñòâà ôóíêöèé Ïðèìåð 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå

8

x + 1 + 8 x -1 = 8 2 .

Ðåøåíèå. Ôóíêöèÿ y = 8 x + 1 + 8 x -1 ìîíîòîííî âîçðàñòàåò íà [1; +¥) , ïîýòîìó êàæäîå ñâîå çíà÷åíèå ïðèíèìàåò ëèøü ïðè åäèíñòâåííîì çíà÷åíèè àðãóìåíòà. È òàê êàê y(1) = 8 2 , òî åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ x = 1. Îòâåò: 1. Ïðèìåð 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå

(

)

(

)

x 1 + 1 + x2 + (2x + 1) 1 + 1 + (2x + 1)2 = 0 .

(

)

Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (x) = x 1 + 1 + x2 . Äàííàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé è íå÷åòíà. Äåéñòâèòåëüíî:

(

)

(

)

f (-x) = -x 1 + 1 + (-x)2 = -x 1 + 1 + x2 = -f (x) .

Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíîå óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå: f (x) + f (2x + 1) = 0  f (x) = -f (2x + 1)  f (x) = f (-2x -1) .

Äîêàæåì, ÷òî äàííàÿ ôóíêöèÿ ìîíîòîííà. Äëÿ ýòîãî íàéäåì ïðîèçâîäíóþ. 96


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

((

f ¢(x) = x 1 + 1 + x2

¢

))

= 1 + 1 + x2 +

x2

. 1 + x2 Ïðîèçâîäíàÿ ïîëîæèòåëüíà ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà, ïîýòîìó ôóíêöèÿ — ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ. Èñõîäÿ èç îïðåäåëåíèÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè, ïîëó÷èì, ÷òî 1 f (x) = f (-2x -1)  x = -2x -1  x = - . 3 1 Îòâåò: - . 3 Ïðèìåð 3. Íàéäèòå íàèìåíüøåå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðîì óðàâíåíèþ x3 - 6x2 = a óäîâëåòâîðÿþò ðîâíî äâà çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé. Ðåøåíèå. Óðàâíåíèå òðåòüåé ñòåïåíè èìååò ëèáî îäèí äåéñòâèòåëüíûé êîðåíü, ëèáî òðè äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿ. Ðîâíî äâà çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé ìîãóò óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ ëèøü òîãäà, êîãäà îäèí èç êîðíåé èìååò êðàòíîñòü 2.  ýòîì ñëó÷àå ìíîãî÷ëåí P3 (x) = x3 - 6x2 - a ìîæíî ïðåäñòà2

âèòü â âèäå: P3 (x) = (x - x0 ) (x - x1 ) . Íî òîãäà ïðîèçâîäíàÿ ýòîãî ìíîãî÷ëåíà P3¢(x) = 2(x - x0 )(x - x1 ) + (x - x0 )2 = (x - x0 )(3x - 2x1 - x0 )

îáðàùàåòñÿ â íîëü â òîé æå òî÷êå, ÷òî è ñàì ìíîãî÷ëåí. Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ. P3¢(x) = 3x2 -12x = 3x(x - 4) .

Ïîëó÷èì, ÷òî ëèáî x = 0, ëèáî x = 4 äîëæåí ÿâëÿòüñÿ êðàòíûì êîðíåì óðàâíåíèÿ. Íàéäåì çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðîì x = 4 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ. Ïîäñòàâèâ, ïîëó÷èì, ÷òî a = = 43 - 6 ⋅ 42 = -32 . Óðàâíåíèå ïðèîáðåòåò âèä x3 - 6x2 + 32 = 0  (x - 4)(x2 - 2x - 8) = 0   (x - 4)2 (x + 2) = 0 .

Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè a = −32 óðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿþò äâà çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé. Íàéäåì çíà÷åíèå ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðîì x = 0 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ. 97


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïîäñòàâèâ, ïîëó÷èì, ÷òî a = 0. Óðàâíåíèå ïðèîáðåòåò âèä: x3 - 6x2 = 0  x2 (x - 6) = 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè a = 0 óðàâíåíèþ òàêæå áóäóò óäîâëåòâîðÿòü äâà çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé. Âûáèðàÿ èç íàéäåííûõ çíà÷åíèé íàèìåíüøåå, ïîëó÷èì, ÷òî òàêîâûì áóäåò ÿâëÿòüñÿ a = −32. Îòâåò: –32. Ïðèìåð 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå 3x - 2 x - 2 = 3 3x + 18 - 2 3x -18 - 2 .

Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ é4t - 2, t ³ 2, f (t) = 3t + t - 2 = ê ê2t + 2, t £ 2. ë Äàííàÿ ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò íà êàæäîì èç ìíîæåñòâ (-¥;2] è [2; +¥) . Ïîýòîìó, çàïèñàâ óðàâíåíèå â âèäå f (x) = f ( 3x + 18 ), â ñèëó ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè ïîëó÷èì, ÷òî îíî ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ x = 3x + 18 . ìïx ³ 0, ïï ìïx ³ 0, x = 3x + 18  íï 2  íïé x = 6,  x = 6 . ï ïê ï îx - 3x -18 = 0 ïïê x = -3 ïîë Îòâåò: 6.

Ïðèìåð 5. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî x + 3 - 4 x -1 + x + 8 - 6 x -1 £ 1 .

Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî ïîäêîðåííûå âûðàæåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ïîëíûå êâàäðàòû. Ïîýòîìó x + 3 - 4 x -1 + x + 8 - 6 x -1 £ 1  +

(

2

x -1 - 3) £ 1 

(

2

x -1 - 2) +

x -1 - 2 + x -1 - 3 £ 1 .

Òàê êàê min ( x - a + x - b )= a - b , òî x -1 - 2 + x -1 - 3 £ 1  2 £ x -1 £ 3  5 £ x £ 10 .

Îòâåò: [5; 10]. 98


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

Ïðèìåð 6. Ðåøèòå óðàâíåíèå log2 (1 + x2 )= log2 x + 2x - x2 . Ðåøåíèå.

ìïx > 0, ïï 2 log2 (1 + x )= log2 x + 2x - x  í ïïlog2 1 + x = 1 - (x -1)2 . ïïî x 2

2

1 + x2 1 Ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Åâêëèäà: = x + , à òàê êàê x x æ 1ö 1 x > 0 , òî x + ³ 2 è log2 ççx + ÷÷÷ ³ 1 . Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ðàè xø x âåíñòâî äîñòèãàåòñÿ ïðè x = 1. 2  ñâîþ î÷åðåäü, ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ 1 - (x -1) £ 1 , ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ ëèøü ïðè x = 1. Ñëåäîâàòåëüíî, x = 1 — åäèíñòâåííîå ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ. Îòâåò: 1.

Ïðèìåð 7. Íàéäèòå íàèìåíüøåå ðàññòîÿíèå d ìåæäó òî÷êàìè, îäíà èç êîòîðûõ ïðèíàäëåæèò ãðàôèêó ôóíêöèè x y = 2x2 + + 3 , à äðóãàÿ – ãðàôèêó ôóíêöèè y = x .  îòâåò 2 çàïèøèòå êâàäðàò íàéäåííîãî çíà÷åíèÿ d. Ðåøåíèå. Òðåáóåòñÿ íàéòè êâàäðàò äëèíû «îáùåãî ïåðïåíäèêóëÿðà» ê ãðàôèêàì äàííûõ ôóíêöèé. Ïóñòü êîíöû x æ ö ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà òî÷êè A (x0 ; x0 ) è B ççx1;2x12 + 1 + 3÷÷÷. è ø 2 Ïðîâåäåì ÷åðåç òî÷êó A ïðÿìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ êàñàòåëüíîé ê ãðàôèêó ôóíêöèè y = x â òî÷êå A. Åå óðàâíåíèå áóäåò èìåòü âèä y = -2 x0 (x - x0 ) + x0 . Ïðè ñîñòàâëåíèè óðàâíåíèÿ íîðìàëè èñïîëüçóåòñÿ òî, ÷òî kкас. ⋅ kнор. = -1 . Äëÿ òîãî ÷òîáû ýòà ïðÿìàÿ áûëà «îáùèì ïåðïåíäèêóëÿðîì» ê äàííûì êðèâûì, íåîáõîäèìî, ÷òîáû â òî÷êå  âûïîëíÿëèñü ðàâåíñòâà: x1 ìï 2 ïïï 2 x0 (x - x0 ) + x0 = 2x1 + 2 + 3, ïí ïï 1 = 4x + 1 . 1 ïï 2 x 2 0 ïî 99


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû îçíà÷àåò, ÷òî äàííàÿ ïðÿìàÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êè À è Â, à âòîðîå, ÷òî îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà êàñàòåëüíûì ê êðèâûì â ýòèõ òî÷êàõ. x1 ìï 2 ïïï 2 x0 (x - x0 ) + x0 = 2x1 + 2 + 3, ïí  ïï 1 = 4x + 1 1 ïï 2 x 2 0 ïî 2 ìï ï-2 x (x - x ) + x = 1 çæ4x + 1 ÷ö + 95 , ï ÷ 0 1 0 0 1 ç ï 8è 2 ø÷ 32  ïí  ïï 1 1 ïï4x1 + = 2 2 x0 ïî æ 1 ö 1 1 95 .  - x0 ççç - - 4x0 ÷÷÷ + 2 x0 = + ÷ 16x0 16 èç 2 x0 2 ø

Ïðåîáðàçóÿ, ïîëó÷èì óðàâíåíèå: 5

3

2

64 ( x0 ) + 40 ( x0 ) -103( x0 ) -1 = 0 .

Òàê êàê ñóììà êîýôôèöèåíòîâ óðàâíåíèÿ ðàâíà 0, òî ïåðâûì ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ 1. Ðàñêëàäûâàÿ íà ìíîæèòåëè, ïîëó÷èì: 5

3

2

64 ( x0 ) + 40 ( x0 ) -103( x0 ) -1 = 0  3 1 æ ö÷ çç 2 2  ( x0 -1)ç64x0 + 64x0 + 104x0 + x0 2 + 1÷÷÷ = 0 . çè ø÷ Òàê êàê x0 — àáñöèññà òî÷êè ãðàôèêà ôóíêöèè y = x , òî áîëåå ðåøåíèé íåò. Òàêèì îáðàçîì, òî÷êà A èìååò êîîðäèíàòû (1; 1), à òî÷êà  — (0; 3). Èñêîìûé êâàäðàò ðàññòîÿíèÿ ðàâåí 5.

Ïðèìåð 8. Ðåøèòå óðàâíåíèå x2 - x + 2 = 24 2x -1 . Ðåøåíèå. Ïåðåïèøåì óðàâíåíèå â âèäå x2 - x + 2 = 24 2x -1  x2 - 2x + 2 = 24 2x -1 - x   (x -1)2 + 1 = -x + 24 2x -1 .

Èññëåäóåì îáëàñòè çíà÷åíèé ôóíêöèé, ñòîÿùèõ â ðàçíûõ 1 ÷àñòÿõ óðàâíåíèÿ, ó÷èòûâàÿ, ÷òî x ³ . 2

100


ÃËÀÂÀ 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ

Î÷åâèäíî, ÷òî (x -1)2 + 1 ³ 1 , ïðè÷åì ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ïðèíèìàåòñÿ ïðè x = 1. Íàéäåì íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ôóíêöèè y = -x + 24 2x -1 , ñòîÿùåé â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ. æ1 ö Ôóíêöèÿ äèôôåðåíöèðóåìà íà èíòåðâàëå çç ; +¥÷÷÷ . Íàéè2 ø äåì ïðîèçâîäíóþ, êðèòè÷åñêèå òî÷êè, èññëåäóåì èõ íà ýêñòðåìóì. 1 - 4 (2x -1)3 1 . y ¢ = -1 + = 4 4 (2x -1)3 (2x -1)3 Íàéäåì êðèòè÷åñêèå òî÷êè ôóíêöèè. 4

(2x -1)3 = 1  (2x -1)3 = 1  x = 1 . yR y

+ 1 2

0

x

Ïðè ïåðåõîäå ÷åðåç êðèòè÷åñêóþ òî÷êó ïðîèçâîäíàÿ ìåíÿåò ñâîé çíàê ñ «+» íà «–» . Ñëåäîâàòåëüíî, x = 1 — òî÷êà é1 ö ìàêñèìóìà ôóíêöèè. À òàê êàê íà ïîëóèíòåðâàëå ê ; +¥÷÷÷ ø êë 2 ýêñòðåìóì åäèíñòâåííûé, è îí – ìàêñèìóì, òî ïðè x = 1 ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò íàèáîëüøåå çíà÷åíèå. Íàéäåì ýòî çíà÷åíèå: y(1) = 1 . Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì, ÷òî x = 1 — åäèíñòâåííîå ðåøåíèå èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ. Îòâåò: 1.


ÃËÀÂÀ 3 ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ È ÈÕ ÑÈÑÒÅÌ § 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Îïðåäåëåíèÿ. Òåîðåìû î ðàâíîñèëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ  øêîëüíîì êóðñå ìàòåìàòèêè óðàâíåíèå îïðåäåëÿåòñÿ êàê ðàâåíñòâî äâóõ âûðàæåíèé, ñîäåðæàùèõ íåèçâåñòíîå ÷èñëî èëè íåèçâåñòíûå ÷èñëà. Êëàññèôèêàöèÿ óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ, ðàññìàòðèâàåìûõ â øêîëüíîì êóðñå ìàòåìàòèêè, ïðèâåäåíà íà ðèñóíêå. Óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà

àëãåáðàè÷åñêèå

öåëûå äðîáíîðàöèîíàëüíûå

òðàíñöåíäåíòíûå

òðèãîíîìåòðè÷åñêèå èððàöèîíàëüíûå

ïîêàçàòåëüíûå ëîãàðèôìè÷åñêèå

Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî êëàññèôèêàöèÿ íîñèò äîñòàòî÷íî ïðèáëèçèòåëüíûé õàðàêòåð, òàê êàê îáû÷íî, çà èñêëþ÷åíèåì íàèáîëåå ïðîñòûõ ñëó÷àåâ, óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà èìåþò êîìáèíèðîâàííûé âèä. Ðåøèòü óðàâíåíèå (íåðàâåíñòâî) — ýòî çíà÷èò íàéòè ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ïåðåìåííîé èëè âñå óïîðÿäî÷åííûå íàáîðû ïåðåìåííûõ, ïðè ïîäñòàíîâêå êîòîðîé èëè êîòîðûõ â äàííîå óðàâíåíèå (íåðàâåíñòâî) îíî îáðàùàåòñÿ â âåðíîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî (ñîîòâåòñòâåííî, íåðàâåíñòâî). 102


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Ïðîöåññ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé îáû÷íî ñîñòîèò èç ðÿäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèé, èìåþùèõ öåëüþ çàìåíèòü äàííîå óðàâíåíèå îäíèì èëè íåñêîëüêèìè áîëåå ïðîñòûìè. Ïîëó÷àþùèåñÿ â êîíöå ïðîñòåéøèå óðàâíåíèÿ ëåãêî ðåøàþòñÿ, ÷òî äàåò âîçìîæíîñòü íàéòè ðåøåíèÿ èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ. Îïðåäåëåíèå. Äâà óðàâíåíèÿ F (x) = G (x) è F1 (x) = G1 (x) íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè, åñëè ìíîæåñòâà èõ ðåøåíèé ñîâïàäàþò èëè îáà ýòè ìíîæåñòâà ïóñòû.  ýòèõ ñëó÷àÿõ ïåðåõîä îò ïåðâîãî óðàâíåíèÿ êî âòîðîìó çàïèñûâàåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì F (x) = G (x)  F1 (x) = G1 (x). Îïðåäåëåíèå. Åñëè òðåáóåòñÿ ðåøèòü íàáîð óðàâíåíèé, ïðè÷åì èñêîìîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü õîòÿ áû îäíîìó èç íèõ, òî ãîâîðÿò, ÷òî íàäî ðåøèòü ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé. Ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé çàïèñûâàåòñÿ òàê: é F1 (x) = 0 ê ê F2 (x) = 0 ê ê... ê ê F (x) = 0 êë n Îïðåäåëåíèå. Ðåøåíèåì ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, óäîâëåòâîðÿþùåå õîòÿ áû îäíîìó óðàâíåíèþ ñîâîêóïíîñòè. Äâå ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè, åñëè êàæäîå ðåøåíèå îäíîé èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì äðóãîé, è íàîáîðîò. Îïðåäåëåíèå. Åñëè òðåáóåòñÿ ðåøèòü íàáîð óðàâíåíèé, ïðè÷åì èñêîìîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü êàæäîìó èç íèõ, òî ãîâîðÿò, ÷òî íàäî ðåøèòü ñèñòåìó óðàâíåíèé. Ñèñòåìà óðàâíåíèé çàïèñûâàåòñÿ òàê: ìïF1 (x) = 0 ïï ïïF2 (x) = 0 í ïï... ïï ïïîFn (x) = 0 Îïðåäåëåíèå. Ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé ÿâëÿåòñÿ çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, óäîâëåòâîðÿþùåå âñåì óðàâíåíèÿì ñèñòå103


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ìû. Äâå ñèñòåìû óðàâíåíèé íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè, åñëè êàæäîå ðåøåíèå îäíîé èç íèõ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì äðóãîé, è íàîáîðîò. Ïîíÿòèå ðàâíîñèëüíîñòè îáëàäàåò ñâîéñòâîì òðàíçèòèâíîñòè, ò.å., åñëè óðàâíåíèå F (x) = G (x) ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ F1 (x) = G1 (x) , à, â ñâîþ î÷åðåäü, óðàâíåíèå F1 (x) = G1 (x) ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ F2 (x) = G2 (x) , òî óðàâíåíèå F (x) = G (x) ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ F2 (x) = G2 (x) . Îïðåäåëåíèå. Çàìåíà óðàâíåíèÿ ðàâíîñèëüíûì åìó èëè çàìåíà óðàâíåíèÿ åìó ðàâíîñèëüíîé ñîâîêóïíîñòüþ óðàâíåíèé (íåðàâåíñòâ, ñèñòåì) íàçûâàåòñÿ ðàâíîñèëüíûì ïåðåõîäîì.  ïðàêòèêå ðåøåíèÿ óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ ñóùåñòâåííî èìåòü â âèäó ñëåäóþùåå ïîëîæåíèå: ïðè âûïîëíåíèè íàä îáåèìè ÷àñòÿìè óðàâíåíèÿ îïåðàöèè, äëÿ êîòîðîé îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå íå ÿâëÿåòñÿ îäíîçíà÷íûì, ìîæåò ïîëó÷èòüñÿ óðàâíåíèå èëè íåðàâåíñòâî, íåðàâíîñèëüíîå èñõîäíîìó óðàâíåíèþ èëè íåðàâåíñòâó. Ïðèâåäåì îñíîâíûå òåîðåìû î ðàâíîñèëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ. 1. Ñðàâíåíèå F (x)  G (x) (óðàâíåíèå, íåðàâåíñòâî) îñòàåòñÿ ðàâíîñèëüíûì ïðè ïåðåíîñå ñëàãàåìîãî èç îäíîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ â äðóãóþ ñ ïåðåìåíîé çíàêà ýòîãî ñëàãàåìîãî. F (x)  G (x)  F (x) - G (x)  0 .

2. Ñðàâíåíèå F (x)  G (x) îñòàåòñÿ ðàâíîñèëüíûì ïðè ïðèáàâëåíèè ê îáåèì ÷àñòÿì îäíîãî è òîãî æå ÷èñëà. F (x)  G (x)  F (x) + c  G (x) + c .

3. Ñðàâíåíèå îñòàåòñÿ ðàâíîñèëüíûì ïðè óìíîæåíèè îáåèõ ÷àñòåé óðàâíåíèÿ íà ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî. F (x)  G (x)  cF (x)  cG (x) .

§ 2. Öåëûå àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ 2.1. Ëèíåéíîå óðàâíåíèå ñ îäíîé ïåðåìåííîé Îïðåäåëåíèå. Öåëûì àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèåì íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå âèäà a0 xn + a1xn-1 + ... + an-1x + an = 0 , a0 , ..., an Î R . 104


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Ïðîñòåéøèì öåëûì àëãåáðàè÷åñêèì óðàâíåíèåì ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîå óðàâíåíèå. Îïðåäåëåíèå. Óðàâíåíèå âèäà ax + b = 0 , a ¹ 0 íàçûâàåòñÿ ëèíåéíûì. b Ëèíåéíîå óðàâíåíèå èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü x0 = - . a b Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî çàïèñàòü, ÷òî ax + b = 0  x = - . a Ïðèìåð 1. Êîðåíü óðàâíåíèÿ

ðàâåí: 1)

ö 3x2 + 1 æ1 x ö æx öæ 5x - 2çç - ÷÷÷ ÷÷çç - 3ø÷÷÷ = çèç 5 + 1øè è 3 9 3 2ø 3 11 13 110 ; 2) ; 3) ; 4) . 5 13 15 3

Ðåøåíèå. Ïðîâîäÿ ðàâíîñèëüíûå ïðåîáðàçîâàíèÿ, ïîëó÷èì: ö 3x2 + 1 æ1 x ö æx öæ 5x ç - 2çç - ÷÷÷  ÷÷çç - 3ø÷÷÷ = çè 5 + 1øè è3 2 ø 3 9 x2 5x 3x x2 1 2 + -3 = + -  3 3 5 3 9 3 x 22 5x 3x 1 2 110 .  -x = 3+ -  = x= 3 5 9 3 15 9 3 110 , ïîýòîÐåøåíèåì óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî, ðàâíîå 3 ìó ïðàâèëüíûé îòâåò — 4). Îòâåò: 4). 1 2 Ïðèìåð 2. Êîðåíü óðàâíåíèÿ x + = - x 2 ðà2 2( 2 -1 ) âåí 

1) - 2 ; 2)

2 -1 ; 3)

2 ; 4)

2 +1 .

Ðåøåíèå. Ïðèâåäåì ïîäîáíûå ÷ëåíû óðàâíåíèÿ è ïðèìåíèì ìåòîäû ïðåîáðàçîâàíèÿ èððàöèîíàëüíûõ âûðàæåíèé. 2 ( 2 + 1) 1 1 2 x+ = - x 2  x (1 + 2 )=  2 2 2( 2 -1 ) 2 1 1 1  x (1 + 2 )= 1 + x=  x = 2 -1 . 2 2 2 +1 Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî 2 -1 , ïîýòîìó ïðàâèëüíûé îòâåò — 2). Îòâåò: 2). 105


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 3. Íàéäèòå èíòåðâàë, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò êî2x + 3 x + 7 ðåíü óðàâíåíèÿ + =7 . 5 2 1) (0;1) ; 2) (1;2) ; 3) (2;3) ; 4) (3;4) . Ðåøåíèå. 2x + 3 x + 7 + = 7  4x + 6 + 5x + 35 = 70  5 2 29 .  9x = 29  x = 9 29 2 Ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî = 3 , à òàê êàê 9 9 2 3 < 3 < 4 , òî ïðàâèëüíûé îòâåò — 4). 9 Îòâåò: 4). Óïðàæíåíèå 1. 1. Êîðåíü óðàâíåíèÿ 1) - 3 ; 2) 1 - 3 ; 3) âåí

æ 2. Êîðåíü óðàâíåíèÿ x ççç è

1) - 3 ; 2)

2

(1 + 6 ) 2 - 2x = + x 6 ðàâåí 2 2 6 -1 . ö æ 1 1 ö÷ -1÷÷÷ - 3 çççx ÷ = 1 - 3 ðàø è 3 +1 3 ÷ø

2 ; 4)

3 -1 ; 3)

3 ; 4) 3 + 1 . 3 17 1 3. Êîðåíü óðàâíåíèÿ x - = (3 - 4x - 2 ) ðàâåí 2 18 2

1) 1,5; 2) 1 - 2 ; 3) 0,75; 4) 2 . 4. Íàéäèòå èíòåðâàë, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò êîðåíü óðàâíåíèÿ 3x + 5 10 - 3x 2x - 7 + = -8 . 7 5 3 1) (10; 12); 2) (12; 14); 3) (14; 16); 4) (16; 18). 5. Íàéäèòå ñóììó íàèáîëüøåãî öåëîãî ÷èñëà, íå ïðåâîñx +1 10 - 7x x2x x 3 3 è õîäÿùåãî êîðåíü óðàâíåíèÿ 1 = 3 2 2 íàèìåíüøåãî öåëîãî ÷èñëà, áîëüøåãî êîðíÿ. 1) 1; 2) –1; 3) 3; 4) –3. Îòâåòû: 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 3; 5) 1. 106


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

2.2. Êâàäðàòíîå óðàâíåíèå Óðàâíåíèå âèäà ax2 + bx + c = 0 , a ¹ 0 íàçûâàåòñÿ êâàäðàòíûì óðàâíåíèåì. Ðàçðåøèìîñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ âî ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë çàâèñèò îò çíàêà åãî äèñêðèìèíàíòà D = b2 − 4ac. é ê x = -b + D , ê 2a Åñëè D > 0, òî ax2 + bx + c = 0  ê ê ê x = -b - D . êë 2a  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå èìååò äâà ðàçëè÷íûõ êîðíÿ. é -b , êx = ê 2a Åñëè D = 0, òî ax2 + bx + c = 0  ê ê x = -b . ê 2a ë  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿåò îäíî çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, è óðàâíåíèå èìååò îäèí äâîéíîé êîðåíü èëè êîðåíü êðàòíîñòè äâà. Åñëè D < 0, òî óðàâíåíèå íåðàçðåøèìî âî ìíîæåñòâå äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, ò.å. êîðíåé íå èìååò. Åñëè êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ñóùåñòâóþò (D ³ 0), òî îíè ñâÿçàíû ìåæäó ñîáîé ñëåäóþùèìè ñîîòíîøåíèÿìè ìï b ïïx1 + x2 = - , a ïí ïï c ïïx1 ⋅ x2 = . a îï

Ïðèìåð 1. Ïóñòü u è υ — êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ x + 4x + 2 = 0 . Íå âû÷èñëÿÿ êîðíåé, íàéäèòå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ u3 - υ3 . u6 - υ6 1 1 1 1 1) ; 2) ; 3) ; 4) . 20 30 40 10 2

Ðåøåíèå. Óáåäèâøèñü, ÷òî äèñêðèìèíàíò äàííîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ïîëîæèòåëåí, à, ñëåäîâàòåëüíî, åãî êîðíè ðàçëè÷íû, ïðåîáðàçóåì èñêîìîå âûðàæåíèå. 107


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

u3 - υ3 u3 - υ3 1 = = = 6 6 2 3 3 3 3 u -υ (u - υ )(u - υ ) (u + υ)(u - uυ + υ2 ) 1

=

. (u + υ) ((u + υ)2 - 3uυ) Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó êîðíÿìè, ïîëó÷èì, ÷òî ìïïu + υ = -4, í ïïîuυ = 2. 3 3 u -υ 1 1 îòêóäà 6 . = =6 (-4)(16 - 6) 40 u -υ Ïîëó÷èì, ÷òî íîìåð ïðàâèëüíîãî îòâåòà — 3). Îòâåò: 3). Ïðèìåð 2. Íàéäèòå ìåíüøèé êîðåíü óðàâíåíèÿ x2 + 5x + 24 2 - 41 = 24 2 + 41 .

1) −3; 2) −5; 3) −7; 4) −6. Ðåøåíèå. Ïðèìåíèâ ôîðìóëó äâîéíîãî ðàäèêàëà a b =

ïîëó÷èì, ÷òî

a + a2 - b a - a2 - b ,  2 2

41 + 24 2 = 41 + 1152 = +

41 + 1681 -1152 + 2

41 - 529 41 + 23 41 - 23 = + = 2 2 2 = 32 + 3 = 4 2 + 3 .

Àíàëîãè÷íî 24 2 - 41 = 41 - 24 2 = 4 2 - 3 . Ïîñëå ýòèõ âû÷èñëåíèé óðàâíåíèå ïðèîáðåòåò ñëåäóþùèé âèä: x2 + 5x + 4 2 - 3 = 4 2 + 3  x2 + 5x - 6 = 0 . é x = 1, Ðåøàÿ åãî, ïîëó÷èì, ÷òî x2 + 5x - 6 = 0  ê ê x = -6. ë Ìåíüøèé êîðåíü óðàâíåíèÿ ðàâåí –6. Ïðàâèëüíûé îòâåò èìååò íîìåð 4). Îòâåò: 4). 108


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Ïðèìåð 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå x2 - 3 x - 4 = 0 . Â îòâåòå óêàæèòå ïðîèçâåäåíèå åãî êîðíåé. 1) −4; 2) 4; 3) −16; 4) 16. Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó x2 = x 2 , òî

é x = 4, x2 - 3 x - 4 = 0  x 2 - 3 x - 4 = 0  êê ë x = -1. Âòîðîå óðàâíåíèå ñîâîêóïíîñòè ðåøåíèé íå èìååò, ïåðâîå é x = -4, . æå èìååò äâà ðåøåíèÿ x = 4  ê ê x = 4. ë Òàêèì îáðàçîì, ïðîèçâåäåíèå êîðíåé èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ ðàâíî −16. Ïðàâèëüíûé îòâåò èìååò íîìåð 3). Îòâåò: 3). 2

Ïðèìåð 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå (x2 + 5x + 1) + 2x2 + 10x = -3. Óêàæèòå ñóììó çíà÷åíèé ïåðåìåííîé, óäîâëåòâîðÿþùèõ åìó. 1) −5; 2) 0; 3) −1; 4) 5. Ðåøåíèå. Çàïèøåì 2x2 + 10x êàê 2x2 + 10x =2(x2 + 5x + +1) - 2 . Òîãäà óðàâíåíèå ïðèîáðåòåò ñëåäóþùèé âèä: 2

(x2 + 5x + 1) + 2x2 + 10x = -3  2  (x2 + 5x + 1) + 2(x2 + 5x + 1)+ 1 = 0  é ê x = -5 + 17 , ê 2 2  (x2 + 5x + 2) = 0  x2 + 5x + 2 = 0  ê ê 5 17 êx = . êë 2 Ïîëó÷èâøåìóñÿ óðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿþò äâà çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà −5. Ïðàâèëüíûé îòâåò èìååò íîìåð 1). Îòâåò: 1).

Ïðèìåð 5. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ îäèí èç êîðíåé óðàâíåíèÿ x2 - (a2 + a)x + a3 = 0 â äâà ðàçà áîëüøå äðóãîãî. Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî êðàòíûå ñðàâíåíèÿ èìåþò ìåñòî òîëüêî äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë. 109


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Èç òåîðåìû, îáðàòíîé òåîðåìå Âèåòà, ïîëó÷èì, ÷òî åñëè ÷èñëà x1, x2 — êîðíè äàííîãî óðàâíåíèÿ, òî åãî äèñêðèìèíàíò îáÿçàí áûòü ïîëîæèòåëüíûì. ïìïa2 (a -1)2 > 0, ïï ïïx1 + x2 = a(a + 1), í ïïx ⋅ x = a3 , ïï 1 2 ïïx2 = 2x1. î Èç âûñêàçàííîãî âûøå çàìå÷àíèÿ ñëåäóåò, ÷òî x1 > 0 , x2 > 0 , è, ñëåäîâàòåëüíî, a3 > 0  a > 0 . Èñêëþ÷àÿ x1, x2 èç âòîðîãî è òðåòüåãî óñëîâèé ñèñòåìû, ïîëó÷èì, ÷òî éa2 = 0, 2 3 2 2 2(a (a + 1)) = 3a  a (2a - 5a + 2)= 0  êê 2 êë2a - 5a + 2 = 0. Òàê êàê a > 0, òî îñòàåòñÿ ðåøèòü êâàäðàòíîå óðàâíåíèå. éa = 2, ê 2 2a - 5a + 2 = 0  ê 1 êa = êë 2. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè íàéäåííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà äèñêðèìèíàíò èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ ïîëîæèòåëåí. Òàêèì îáðàçîì, îáà íàéäåííûõ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ çàäà÷è. 1 Îòâåò: ; 2. 2 Óïðàæíåíèå 1. 1. Ïðîèçâåäåíèå êîðíåé óðàâíåíèÿ ðàâíî 1) –12; 2) –9; 3) –15; 4) 24. 2. Ñóììà êîðíåé óðàâíåíèÿ

x2 + x2 -12 = 0

x2 - 6x + 33 + 8 17 = 33 - 8 17

ðàâíà 1) 1; 2) 4; 3) 6; 4) 7. 3. Íàéäèòå âòîðîé êîðåíü óðàâíåíèÿ ax2 + (a -1)x - 6 = 0, åñëè ïåðâûé êîðåíü ýòîãî óðàâíåíèÿ ðàâåí 4. 1) –1; 2) –4; 3) 2; 4) –3. 110


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

4. Íàéäèòå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà ð, åñëè êîðíè óðàâíåíèÿ x2 + px -13 = 0

ðàâíû. 1) 1; 2) –2; 3) 0; 4) –1. 5. Ñóììà öåëûõ ÷èñåë, çàêëþ÷åííûõ ìåæäó êîðíÿìè óðàâíåíèÿ x2 + ( 7 - 28 )x -14 = 0 , ðàâíà 1) 11; 2) 12; 3) 13; 4) 14. Âåðíûå îòâåòû: 1) 2; 2) 3; 3) 4; 4) 3; 5) 2. Óïðàæíåíèå 2. 1. Íàéäèòå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ îäèí èç êîðíåé óðàâíåíèÿ 4x2 -15x + 4a2 = 0 ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì äðóãîãî. 2. Íàéäèòå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâíåíèå (5a -1) x2 - (5a + 2) x + 3x - 2 = 0 èìååò ðàâíûå êîðíè. 3. Íàéäèòå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà à, ïðè êîòîðîì êâàäðàò ðàçíîñòè êîðíåé óðàâíåíèÿ x2 - 2x + a = 0 ðàâåí 16. 4. Íàéäèòå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ îäèí èç êîðíåé óðàâíåíèÿ 9x2 -18ax - 8a + 16 = 0 âäâîå ìåíüøå äðóãîãî. 5. Íàéäèòå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñóììà êâàäðàòîâ êîðíåé óðàâíåíèÿ x2 - ax + a - 2 = 0 áóäåò íàèìåíüøåé. 3 2 5 Îòâåòû: 1) ; - ; 2) 2; ; 3) –3; 4) 1; –2; 5) 1. 2 35 2

2.3. Íåêîòîðûå ìåòîäû ðåøåíèÿ óðàâíåíèé âûñøèõ ñòåïåíåé Ïîèñê ðàöèîíàëüíîãî êîðíÿ óðàâíåíèÿ Ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé, ñòåïåíü êîòîðûõ âûøå äâóõ, èñïîëüçóåòñÿ òåîðåìà Áåçó. Òåîðåìà. Åñëè x = a — êîðåíü ìíîãî÷ëåíà Pn (x) = a0 xn + a1xn-1 + ... + an ,

òî Pn (a) = 0 è Pn (x) = (x - a) Pn-1 (x) . 111


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðè ðåøåíèè àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. m Òåîðåìà. Ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâk íåíèÿ a0 xn + a1xn-1 + ... + an = 0

ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ÷èñëî m ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ñâîáîäíîãî ÷ëåíà, à íàòóðàëüíîå ÷èñëî k — äåëèòåëåì ñòàðøåãî êîýôôèöèåíòà. Ñëåäñòâèå. Åñëè ñòàðøèé êîýôôèöèåíò óðàâíåíèÿ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè ðàâåí 1, òî âñå ðàöèîíàëüíûå êîðíè óðàâíåíèÿ — öåëûå ÷èñëà, ÿâëÿþùèåñÿ äåëèòåëÿìè ñâîáîäíîãî ÷ëåíà óðàâíåíèÿ. Ïðèìåð 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå x3 + 2x2 - x - 2 = 0 . Ðåøåíèå. Òàê êàê ñòàðøèé êîýôôèöèåíò óðàâíåíèÿ ðàâåí 1, òî, åñëè óðàâíåíèå èìååò ðàöèîíàëüíûå êîðíè, îíè — öåëûå ÷èñëà, ÿâëÿþùèåñÿ äåëèòåëÿìè ñâîáîäíîãî ÷ëåíà. Ñâîáîäíûé ÷ëåí óðàâíåíèÿ ðàâåí –2. Åãî äåëèòåëè ±1, ±2. Áóäåì âû÷èñëÿòü çíà÷åíèÿ ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, ïîäñòàâëÿÿ ïîñëåäîâàòåëüíî çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ìîãóò áûòü ðàöèîíàëüíûìè êîðíÿìè ìíîãî÷ëåíà, ñòîÿùåãî â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ. P(-1) = 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, x = –1 — êîðåíü óðàâíåíèÿ. Ïîëó÷èì P(x) = P(x) - P(-1) = x3 + 2x2 - x - 2 - (-1)3 - 2(-1)2 + (-1) + 2 = = (x + 1)(x2 - x + 1) + 2(x + 1)(x -1) - (x + 1) = (x + 1)(x2 + x - 2) .

Ïîëó÷èì, ÷òî óðàâíåíèå

é x = -1, ê éx +1 = 0  êê x = -2, x + 2x - x - 2 = 0  êê 2 êë x + x - 2 = 0 ê x = 1. êë Îòâåò: –2; –1; 1. Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ êîðíåé àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ (òî÷íåå, äëÿ îðãàíèçàöèè áîëåå ýêîíîìíîãî ïåðåáîðà) ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè èñïîëüçóåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. m Òåîðåìà. Åñëè íåñîêðàòèìàÿ äðîáü ÿâëÿåòñÿ êîðíåì n óðàâíåíèÿ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè P(x) = 0 , òî äëÿ ëþáîãî öåëîãî ÷èñëà k ÷èñëî P(k) äåëèòñÿ íà ÷èñëî m - kn . 3

112

2


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Ïðèìåð 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå 2x3 + 12x2 + 13x + 15 = 0 . Ðåøåíèå. Êàê ñëåäóåò èç òåîðåìû, ðàöèîíàëüíûìè êîðíÿ1 ìè óðàâíåíèÿ ìîãóò áûòü ÷èñëà m = ±1, ±3, ±5, ±15,  , 2 3 5 15 .  ,  ,  2 2 2 Ìíîæåñòâî âîçìîæíûõ ðåøåíèé ñîäåðæèò 16 ÷èñåë. Âû÷èñëèì, íàïðèìåð, P(1) . P(1) = 42 . Òàêèì îáðàçîì, 1 êîðíåì óðàâíåíèÿ íå ÿâëÿåòñÿ, ñëåäîâàòåëüíî, ÷èñëî 42 äåëèòñÿ íà ÷èñëî m – 1. ×èñëî 42 äåëèòñÿ íà –1 – 1 = –2, ïîýòîìó –1 ìîæåò áûòü êîðíåì. ×èñëî 42 äåëèòñÿ íà ÷èñëî 3 – 1 = 2, íî íå äåëèòñÿ íà ÷èñëî –3 – 1 = – 4. Ïîýòîìó 3 ìîæåò áûòü êîðíåì, à –3 íåò. Àíàëîãè÷íî, –5 ìîæåò áûòü êîðíåì óðàâíåíèÿ, à 5, 15, –15 íåò. Âû÷èñëÿÿ çíà÷åíèÿ, ïîëó÷èì, ÷òî P(-5) = 0 . 2x3 + 12x2 + 13x + 15 = 0  (x + 5)(2x2 + 2x + 3) = 0  é x + 5 = 0, .  êê 2 êë2x + 2x + 3 = 0. Êâàäðàòíîå óðàâíåíèå, âõîäÿùåå â ñîâîêóïíîñòü, ðåøåíèé íå èìååò, ïîýòîìó 2x3 + 12x2 + 13x + 15 = 0  x = -5 . Îòâåò: –5.

Òðåõ÷ëåííûå óðàâíåíèÿ Óðàâíåíèÿ âèäà af 2 (x) + bf (x) + c = 0 íàçûâàþòñÿ òðåõ÷ëåííûìè óðàâíåíèÿìè.  ÷àñòíîñòè, ê íèì îòíîñÿòñÿ óðàâíåíèÿ ax2n + bxn + c = 0, n ³ 2 , n Î N . Ïðè n = 2 óðàâíåíèå íàçûâàåòñÿ áèêâàäðàòíûì óðàâíåíèåì. Ïîëàãàÿ xn = y , çàïèøåì óðàâíåíèå â âèäå ay2 + by + c = 0. Åñëè ÷èñëà y1, y2 — êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ, òî èñõîäíîå óðàâíåíèå é xn = y1, ax2n + bxn + c = 0  êê n êë x = y2 . Ïðèìåð 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå x4 -17x2 + 16 = 0 .

Ðåøåíèå. Ñäåëàåì çàìåíó x2 = y. Ðåøàÿ ïîëó÷åííîå âñïîìîãàòåëüíîå óðàâíåíèå, èìååì: 113


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

é y = 1, y2 -17y + 16 = 0  ê ê y = 16. ë Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíîé ïåðåìåííîé, ïîëó÷èì: é x = -1, ê é x2 = 1, ê x = 1, 4 2 ê  êê x -17x + 16 = 0  ê 2 êë x = 16 ê x = -4, ê x = 4. êë Îòâåò: –1; 1; –4; 4. 2

Ïðèìåð 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå (x2 + 5x) - 2(x2 + 5x)- 24 = 0. Ðåøåíèå. Äåëàåì çàìåíó y = x2 + 5x . Ðåøàåì ïîëó÷åííîå âñïîìîãàòåëüíîå óðàâíåíèå é y = 6, y2 - 2y - 24 = 0  ê ê y = -4. ë Âîçâðàùàåìñÿ ê èñõîäíûì ïåðåìåííûì: é x2 + 5x = 6, 2 2 2 ê + + =   x 5 x 2 x 5 x 24 0 ( ) ( ) ê 2 êë x + 5x = -4 é x = -6, ê é x2 + 5x - 6 = 0, ê x = 1, ê ê 2  êê êë x + 5x + 4 = 0 ê x = -4, ê x = -1. êë Îòâåò: –6; –4; –1; 1.

Ìåòîä ñèììåòðèçàöèè Äðóãèì ìåòîäîì, ïðèâîäÿùèì íåêîòîðûå óðàâíåíèÿ ÷åòâåðòîé ñòåïåíè ê òðåõ÷ëåííîìó âèäó, ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ñèììåòðèçàöèè. Óðàâíåíèå (x - a)(x - b)(x - c)(x - d) = k ìîæåò áûòü ïðèâåäåa+b+c+d íî ê áèêâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ çàìåíîé y = x . 4 Ïðèìåð 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå (x - 3)(x - 4)(x - 7)(x - 8) = 60. 3 + 4 +7 + 8 Ðåøåíèå. Ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ y = x = 4 11 11 è ïîñëå ïîäñòàíîâêè óðàâíåíèå = x - . Òîãäà x = y + 2 2 çàïèøåòñÿ â âèäå 114


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

æ öæ öæ öæ ö 11 11 11 11 çy + - 3÷÷çy + - 4÷÷çy + - 7÷÷çy + - 8÷÷ = 60  ÷ ÷ ÷ ÷ çè ç ç ç øè øè øè ø 2 2 2 2 æ öæ öæ ö æ öæ 5 öæ 3 3 5 25 9ö  ççy + ÷÷÷ççy + ÷÷÷ççy - ÷÷÷ççy - ÷÷÷ = 60  ççy2 - ÷÷÷ççy2 - ÷÷÷ = 60  è è 2 øè 2 øè 2 øè 2ø 4 øè 4ø 17 225 17 735  y 4 - y2 + = 60  y4 - y2 =0 . 2 16 2 16 Ðåøèì ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå. D 289 735 1024 = + = = 64 . 4 16 16 16 é 2 17 é 7 + 8, êy = êy = , 49 ê ê 4 2 Èìååì: ê  y2 = ê 17 7 4 ê 2 ê ê y = - 8. êy = - . 4 2 ë ë Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíîé ïåðåìåííîé, ïîëó÷èì, ÷òî ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñîâîêóïíîñòü ñëåäóþùèõ çíà÷åíèé é 7 11 êx = + , ê 2 2  éê x = 2, ê 7 11 êë x = 9. ê êx = - + 2 2 ë Îòâåò: 2; 9.

Óðàâíåíèÿ, ñâîäÿùèåñÿ ê ëèíåéíûì, êâàäðàòíûì è òðåõ÷ëåííûì óðàâíåíèÿì Óðàâíåíèå âèäà ax3 + bx2 + bx + a = 0 íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêèì óðàâíåíèåì òðåòüåé ñòåïåíè. Ïîñêîëüêó ax3 + bx2 + bx + a = 0  (x + 1) (ax2 + (b - a)x + a)= 0 , òî óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè é x + 1 = 0, ax3 + bx2 + bx + a = 0  êê 2 êëax + (b - a)x + a = 0. Óðàâíåíèÿ âèäà ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0 , ax4 + bx3 + cx2 - bx + a = 0 ,

ãäå a ¹ 0 , íàçûâàþòñÿ ñèììåòðè÷åñêèìè óðàâíåíèÿìè ÷åòâåðòîé ñòåïåíè. Òàê êàê x = 0 êîðíåì óðàâíåíèÿ íå ÿâëÿåòñÿ, òî, ðàçäåëèâ íà x2, ïîëó÷èì æ æ 1ö 1ö ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0  a ççx2 + 2 ÷÷÷ + b ççx + ÷÷÷ + c = 0 è è ø xø x 115


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

èëè

æ æ 1ö 1ö ax4 + bx3 + cx2 - bx + a = 0  a ççx2 + 2 ÷÷÷ + b ççx - ÷÷÷ + c = 0 . è è xø x ø Ïîñêîëüêó x2 +

òî

1 æ 1 ö2 1 æ 1 ö2 ççx - ÷÷ + 2 èëè x2 + ççx + ÷÷ - 2 , = = x ÷ø x ø÷ x2 è x2 è

ææ ö æ 1 ö2 1ö ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0  çççççx + ÷÷÷ - 2÷÷÷ + b ççx + ÷÷÷ + c = 0 , è ø è ÷ çè x xø ø ææ ö æ 1 ö2 1ö ax4 + bx3 + cx2 - bx + a = 0  çççççx - ÷÷÷ + 2÷÷÷ + b ççx - ÷÷÷ + c = 0 . ø è ÷ çèè x xø ø

Ïðèìåð 6. Ðåøèòå óðàâíåíèå x4 - 2x3 - x2 - 2x + 1 = 0 . Ðåøåíèå.

æ 1ö æ 1ö x4 - 2x3 - x2 - 2x + 1 = 0  ççx2 + 2 ÷÷÷ - 2ççx + ÷÷÷ -1 = 0  è è ø xø x é 1 ê x + = -1, æ æ 1 ö2 1ö ê x  ççx + ÷÷÷ - 2ççx + ÷÷÷ - 3 = 0  ê è è xø xø ê x + 1 = 3. ê x ë Ïåðâîå óðàâíåíèå ñîâîêóïíîñòè ðåøåíèé çàâåäîìî íå 1 èìååò, òàê êàê x + ³ 2 . Ïîýòîìó é êx = 3 - 5 , x ê 2 4 3 2 2 x - 2x - x - 2x + 1 = 0  x - 3x + 1 = 0  ê ê êx = 3 + 5 . 3- 5 3 + 5 êë Îòâåò: ; . 2 2 2

Ìåòîä ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè óðàâíåíèÿ Åñëè ëåâóþ ÷àñòü àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè ìîæíî ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè, òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé ìåíüøèõ ñòåïåíåé. Ïðèìåð 7. Ðåøèòå óðàâíåíèå (x2 + x + 1)(x2 + x + 2)= 12 . Ðåøåíèå. Çàïèøåì ýòî óðàâíåíèå â âèäå

(x2 + x + 1)( ( x2 + x + 1)+ 1)= 12 .

116


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Òîãäà 2

 (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)-12 = 0  2

 (x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)-12 = 0  é x2 + x + 1 = -4, é x2 + x + 5 = 0,  êê 2  êê 2  êë x + x + 1 = 3 êë x + x - 2 = 0 é x = -2,  x2 + x - 2 = 0  ê ê x = 1. ë

Îòâåò: –2; 1.

Ìåòîä íåîïðåäåëåííûõ êîýôôèöèåíòîâ Ïðèìåð 8. Ðåøèòå óðàâíåíèå x4 − 4x3 − 10x2 + 37x − 14 = 0. Ðåøåíèå. Ëåâàÿ ÷àñòü äàííîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ìíîãî÷ëåíîì ÷åòâåðòîé ñòåïåíè. Ýòîò ìíîãî÷ëåí, áûòü ìîæåò, ðàñêëàäûâàåòñÿ â ïðîèçâåäåíèå äâóõ êâàäðàòíûõ òðåõ÷ëåíîâ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè. x4 - 4x3 -10x2 + 37x -14 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d ).

Òàê êàê ýòî ðàçëîæåíèå òîæäåñòâåííî, òî ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê ïðàâîé ÷àñòè êîýôôèöèåíòû ïðè ðàâíûõ ñòåïåíÿõ ïåðåìåííîé äîëæíû ñîâïàäàòü. Ïîëó÷àåì ñèñòåìó óðàâíåíèé ïìïa + c = -4, ïï ïb + d + ac = -10, í ïïad + bc = 37, ïï ïïîbd = -14. Èç ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû ñëåäóåò, ÷òî b è d — äåëèòåëè ÷èñëà –14. Ïóñòü b = 1, òîãäà d = –14. Òîãäà äëÿ êîýôôèöèåíòîâ à è ñ ïîëó÷àåì ñèñòåìó ìïa + c = -4, ïï ïíac = 3, ïï ïïî-14a + c = 37. êîòîðàÿ ðåøåíèé íå èìååò. 117


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïóñòü b = 2, òîãäà d = –7. Äëÿ êîýôôèöèåíòîâ à è ñ ïîëó÷àåì ñèñòåìó ìïa + c = -4, ïï ìïa = -5, ïíac = -5,  ïí ïï ïc = 1. ïïî-7a + 2c = 37 ïî Ñëåäîâàòåëüíî, x4 - 4x3 -10x2 + 37x -14 = (x2 - 5x + 2)(x2 + x - 7) é ê x = 5 - 17 , ê 2 ê ê 5 + 17 , é x2 - 5x + 2 = 0, êê x = 2  êê 2 ê ê ê x = -1 - 29 , ëê x + x - 7 = 0 ê 2 ê ê ê x = -1 + 29 . êë 2

Îòâåò:

5 - 17 5 + 17 -1 - 29 -1 + 29 ; ; ; . 2 2 2 2

Óãàäûâàíèå êîðíÿ óðàâíåíèÿ Èíîãäà ïðîùå óãàäàòü êîðåíü èëè êîðíè óðàâíåíèÿ, íåæåëè íàéòè îáùèé ìåòîä ðåøåíèÿ. Ïðèìåð 9. Ðåøèòå óðàâíåíèå x(x + 1) + (x + 1)(x + 2) + (x + 2)(x + 3) + +(x + 3)(x + 4) = 1⋅ 2 + 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 4 .

Ðåøåíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî x = 0 è x = –4 — êîðíè ýòîãî óðàâíåíèÿ. À òàê êàê ýòî óðàâíåíèå êâàäðàòíîå, òî äðóãèõ êîðíåé íåò. Îòâåò: 0; –4.

Ìåòîä îöåíîê ÷àñòåé óðàâíåíèÿ Ïðèìåð 10. Ðåøèòå óðàâíåíèå 118

(x2 + 2x + 3)(2x4 - 4x2 + 3)= 2 .


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî x2 + 2x + 3 = (x + 1)2 + 2 , à 2 2 2 2x - 4x + 3 = 2(x -1) + 1 . Ïîýòîìó ïðîèçâåäåíèå ïîëîæèòåëüíûõ ìíîæèòåëåé, ñòîÿùèõ â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, íå ìåíåå 2. Ïîýòîìó ìï(x + 1)2 = 0, ï 2 4 2 + + + =   x = -1. x 2 x 3 2 x 4 x 3 2 íï ( )( ) ïï2(x2 -1)2 + 1 = 1 ïî Îòâåò: –1. 4

Èñïîëüçîâàíèå ñâîéñòâ ôóíêöèé Ïðèìåð 11. Ðåøèòå óðàâíåíèå 3

(x3 + x - 4) -(x3 + x - 4)- 4 = x .

Ðåøåíèå. Åñëè áû íå ïåðåìåííàÿ, ñòîÿùàÿ â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, òî óðàâíåíèå íå âûçâàëî áû íèêàêèõ òðóäíîñòåé ïðè ðåøåíèè. Çäåñü æå çàìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå èìååò âèä f (f (x)) = x , ãäå f (t) = t3 + t - 4 . Äëÿ ëþáîé ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé ôóíêöèè f (x) óðàâíåíèå f (f (x)) = x  f (x) = x .

Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå 3

(x3 + x - 4) -(x3 + x - 4)- 4 = x 

 x3 + x - 4 = x  x3 = 4  x = 3 4 .

Îòâåò:

3

4.

Ïðèìåð 12. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâíåíèå x4 - x2 + a2 - 3a = 1 èìååò 3 ðàçëè÷íûõ êîðíÿ. Ðåøåíèå. Óðàâíåíèå ÷åòâåðòîé ñòåïåíè íå ìîæåò èìåòü ðîâíî 3 ðàçëè÷íûõ êîðíÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, äàííîå óðàâíåíèå ïðè èñêîìûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà èìååò êîðåíü êðàòíîñòè äâà. Åñëè α — êîðåíü êðàòíîñòè äâà, à β è γ — îñòàëüíûå êîðíè óðàâíåíèÿ, òî f (x) = x4 - x2 + a2 - 3a -1 = (x - α)2 (x - β)(x - γ) .

Òîãäà ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f ¢(x) = 4x3 - 2x èìååò òîò æå êîðåíü. 119


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

é ê x = 0, ê ê ê 2 Ðåøèì óðàâíåíèå 4x3 - 2x = 0  ê x = , ê 2 ê ê 2 . êx = êë 2 Íàéäåì òå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðûõ îäèí èç êîðíåé ïðîèçâîäíîé ÿâëÿåòñÿ êîðíåì èñõîäíîé ôóíêöèè, à èç íèõ âûáåðåì îòâå÷àþùèå óñëîâèþ çàäà÷è. é êa = 3 + 13 , ê 2 1) x = 0. Ïîëó÷èì a2 - 3a -1 = 0  ê ê 3 13 êa = . êë 2 Ïðè äàííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà ïîëó÷èì óðàâíåíèå âèäà é x = 0, ê ê x = 0, 4 2 x - x = 0  êê ê x = 1, ê x = -1. êë Ñëåäîâàòåëüíî, íàéäåííûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà îòâå÷àþò óñëîâèþ çàäà÷è. 2 . Ïîëó÷èì, ÷òî 2) x =  2 1 1 1 - + a2 - 3a -1 = 0  a2 - 3a -1 =  4 2 4 é êa = 3 + 14 , ê 5 2  a2 - 3a - = 0  ê ê 4 êa = 3 - 14 . êë 2 Ïðè íàéäåííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà ïîëó÷èì, ÷òî óðàâíåíèå áóäåò èìåòü äâà êîðíÿ êðàòíîñòè 2, òàê êàê ïðè êà2 è æäîì èç ýòèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà êàæäîå èç ÷èñåë 2 2 — êîðíè. 2 3 + 13 3 - 13 ; . Îòâåò: 2 2 120


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Èñïîëüçîâàíèå ÷åòíîñòè ôóíêöèè Ïðåäûäóùàÿ çàäà÷à ìîæåò áûòü ðåøåíà ãîðàçäî áîëåå êîðîòêèì è ýôôåêòèâíûì ñïîñîáîì, êîòîðûé íå ðàç áóäåò ïðèìåíÿòüñÿ â ïîñëåäóþùåì. Ïðèìåð 13. Âòîðîå ðåøåíèå. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå x4 - x2 + a2 - 3a = 1 èìååò 3 ðàçëè÷íûõ êîðíÿ. Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî åñëè x0 — êîðåíü óðàâíåíèÿ, òî −x0 — òàêæå åãî êîðåíü. Ïîýòîìó óðàâíåíèå ìîæåò èìåòü 3 ðàçëè÷íûõ êîðíÿ òîëüêî òîãäà, êîãäà îäèí èç íèõ — 0. Ïîäñòàâëÿÿ, ïîëó÷èì, ÷òî é êa = 3 + 13 , ê 2 a2 - 3a -1 = 0  ê ê 3 13 êa = . êë 2 Íî, êàê è ïðè ïðåäûäóùåì ñïîñîáå ðåøåíèÿ, èç íàéäåííûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà íåîáõîäèìî âûáðàòü îòâå÷àþùèå óñëîâèþ çàäà÷è. 3 + 13 3 - 13 ; . Îòâåò: 2 2

Ïðèìåð 14. Ðåøèòå óðàâíåíèå (a - x)5 + (x - b)5 = (a - b)5 , a¹b. ìïa - x = y, Ðåøåíèå. Ââåäåì íîâûå ïåðåìåííûå ïí Òîãäà, çàïïîx - b = z. ïèñûâàÿ ñèñòåìó, ñâÿçûâàþùóþ íîâûå ïåðåìåííûå, ïîëó÷èì ìïy5 + z5 = (a - b)5 , ï í ïïy + z = a - b. î Ho y5 + z5 = (y + z)5 + 5(y + z)3 (yz) + 5(y + z)(yz)2 . Ïîäñòàâëÿÿ äàííîå âûðàæåíèå â ñèñòåìó, ïîëó÷èì ìï(a - b)5 - 5(a - b)3 (yz) + 5(a - b)(yz)2 = (a - b)5 , ï  í ïïy + z = a - b î ïìy + z = a - b,  ïí  ïï5(yz)2 - 5(a - b)2 (yz) = 0 î 121


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

éïìyz = 0, éìy = 0, êï êïï êïíy + z = a - b, êïíz = a - b, êïî ï ê  êêî êïìïyz = (a - b)2 , êìïïz = 0, êí êí êïïy + z = a - b êëïïîy = a - b, êëî òàê êàê âòîðàÿ ñèñòåìà ñîâîêóïíîñòè ðåøåíèé íå èìååò. Ñëåäîâàòåëüíî, èñõîäíîå óðàâíåíèå èìååò äâà ðåøåíèÿ x = a è x = b. Îòâåò: a; b.

Ñâåäåíèå óðàâíåíèÿ ê ñèñòåìå Î÷åíü ÷àñòî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ âûñøèõ ñòåïåíåé ìîæíî ñâåñòè ê ðåøåíèþ ñèñòåìû óðàâíåíèé. Ðàññìàòðèâàÿ ïðåäûäóùèé ïðèìåð, ìû çàìåòèëè ïðîñòóþ ñâÿçü ìåæäó ñëàãàåìûìè â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, ÷òî ïîçâîëèëî ñîñòàâèòü áîëåå ïðîñòî ðåøàåìóþ ñèñòåìó óðàâíåíèé. Çàìåòèì, ÷òî ïåðåõîä îò óðàâíåíèÿ ê ñèñòåìå íèêîãäà íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîñèëüíûì ïåðåõîäîì. Ïðèìåð 15. Ðåøèòå óðàâíåíèå x5 + (6 - x)5 = 1056 . Ðåøåíèå. Ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ y = 6 – x. Çàïèñûâàÿ ñèñòåìó, ñâÿçûâàþùóþ íîâûå ïåðåìåííûå, ïîëó÷èì: ìïx5 + y5 = 1056, ï í ïïx + y = 6. î 5 5 Òàê êàê x + y = (x + y)5 - 5(x + y)3 (xy) + 5(x + y)(xy)2 , òî ñèñòåìà çàïèøåòñÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: ìïx + y = 6, ï  í 5 ïï6 - 5 ⋅ 63 xy + 5 ⋅ 6(xy)2 = 1056 î ïìx + y = 6,  ïí  ïï7776 -1080xy + 30(xy)2 = 1056 î éìïx + y = 6, ìïx + y = 6, êïí êïxy = 8, ïï ìïx + y = 6, ïíé xy = 8,  êïî  ïí  ê ïï(xy)2 - 36xy + 224 = 0 ïïê êïìïx + y = 6, î ê xy = 28, ï êí ïîë êëïïîxy = 28. 122


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé Âèåòà. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî éìïx = 2, êïí ïìïx + y = 6, êêïïîy = 4, ê í ïïîxy = 8 êïìïx = 4, êí êëïïîy = 2. è ÷òî âòîðàÿ ñèñòåìà ñîâîêóïíîñòè ðåøåíèè íå èìååò. Îòâåò: 2; 4.

Ðàçðåøåíèå óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà Ïðèìåð 16. Ðåøèòå óðàâíåíèå x4 + x3 – 3ax2 – 2a2 = 0, a > 0. Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì äàííîå óðàâíåíèå êàê êâàäðàòíîå îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà à. Ïîëó÷èì 2a2 - a (3x2 + 2x)+ x4 + x3 = 0 . 2

D(x) = (3x2 + 2x) - 8 (x4 + x3 )= x4 + 4x3 + 4x2 = (x (x + 2)) . 2

Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè 2 é ê a = x + x, é x2 + x - a = 0, ê  êê 2  x2 ê êë x = 2a êa = êë 2 é ê x = -1 - 1 + 4a , ê 2 ê ê -1 + 1 + 4a ,  êê x = 2 ê ê x = - 2a , ê ê êë x = 2a . Îòâåò:

-1 - 1 + 4a -1 + 1 + 4a ; ; - 2a ; 2 2

2a .

Óïðàæíåíèå 1. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ. 1) x4 + 5x2 - 24 = 0 . Îòâåò: - 3 ; 3 . 2) x8 -15x4 -16 = 0 . Îòâåò: –2; 2. 123


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

3) x4 - 4x2 + 4 = 1 . Îòâåò: - 3 ; 3 ; -1 ; 1. 4) x4 - (2x2 + 3x + 7)+ x2 + x + 4 = -2x - x2 + 11 . Îòâåò: - 14 ; 14 . 2

2

5) (x2 + x2 ) - (x2 - x) = 1 . 1 Îòâåò: 3 . 4 Óïðàæíåíèå 2. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ. 1) (x3 -1)+ 2(x -1) = 0 . Îòâåò: 1. 2) (1 + x)(1 - x)(1 + x2 ) = -15 . Îòâåò: 2. 3) (1 - 2x)(1 + 2x + x2 ) = x3 . 1 Îòâåò: 3 . 9 4) x4 - 7x2 + 6 = 0 . Îòâåò: - 6 ; 6 ; -1 ; 1. 5) (x2 -1)2 + 3(x2 -1) = 0 . Îòâåò: –1; 1. Óïðàæíåíèå 3. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ. 1) x3 + 4 = 3x2 . Îòâåò: –1; 2; 2. 2) x4 + 4x -1 = 0 . -1 + 2 2 - 1 -1 - 2 2 - 1 ; . Îòâåò: 2 2 5 3 3) x - 3x + x = 0 . 5 -1 5 -1 5 +1 5 +1 ; ; ; . 0òâåò: 0; 2 2 2 2 4) 2x3 + 3x2 - 8x + 3 = 0 . 1 ; 1. Îòâåò: −3; 2

124

5) 2x4 - 9x3 + 4x2 + 21x -18 = 0 . 3 Îòâåò: - ; 1; 2; 3. 2


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Óïðàæíåíèå 4. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ. 1) x2 (x -1)2 - 8(x -1)2 + x2 = 0 . Îòâåò: 2; 2; 1 - 3 ; 1 + 3 . 2) (x2 - 6x - 9)= x (x2 - 4x - 9). 5 - 61 5 + 61 ; . 2 2 3) ax4 - x3 + a2 x - a = 0 . 1 Îòâåò: Åñëè a = 0, x = 0. Åñëè a ¹ 0 , x = ; x = -3 a . a 4) Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà β, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå (x2 + x)(x2 + 5x + 6) = β èìååò òðè ðàçëè÷íûõ êîðíÿ. 9 Îòâåò: . 16 5) Íàéäèòå âñå îòëè÷íûå îò íóëÿ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå x8 + ax4 + a4 = 0 èìååò ðîâíî ÷åòûðå êîðíÿ, îáðàçóþùèõ â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ àðèôìåòè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ. 9 Îòâåò: . 82

Îòâåò: –1; 9;

§ 3. Ðàöèîíàëüíûå àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ Pn (x) = 0 , ãäå Qm (x) Pn (x) è Qm (x) — ìíîãî÷ëåíû. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñìåøàííîé ñèñòåìû, ñîñòîÿùåé èç óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà. ìïPn (x) = 0, Pn (x) = 0  ïí ïïîQm (x) ¹ 0. Qm (x)

Ðàöèîíàëüíûì íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå âèäà

Ðåøåíèå ïî îïðåäåëåíèþ Ïðèìåð 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå Ðåøåíèå.

x2 + 3x + 2 =0. x2 + 4x + 3

ìïx2 + 3x + 2 = 0, x2 + 3x + 2 ï =0í 2  2 ï x + 4x + 3 ïîïx + 4x + 3 ¹ 0 125


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Îòâåò: –2.

ìïx2 + 4x + 3 ¹ 0, ïï ïé x = -1,  x = -2 . í ïïê ïïê x = -2 îë

Ïðèìåð 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå

1 2 =1 . x -1 x + 2

Ðåøåíèå. x + 2 - 2x + 2 - x2 - x + 2 1 2 =1  =0 x -1 x + 2 (x -1)(x + 2) 

ìïx2 + 2x - 6 = 0, x2 + 2x - 6 = 0  íï  ïï(x -1)(x + 2) ¹ 0 (x -1)(x + 2) î ïìï(x -1)(x + 2) ¹ 0, é x = -1 - 7, ïï  íêé x = -1 - 7,  êê ïïê êë x = -1 + 7. ïïê x = -1 + 7 ïîë

Îòâåò: -1 - 7 ; -1 + 7 .

5x2 - 7x + 2 (4x - 5)2 . = 4x2 + x - 5 16x2 - 25 Ðåøåíèå. Ðàçëîæèì íà ìíîæèòåëè êâàäðàòíûå òðåõ÷ëåíû, ñòîÿùèå â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ. 5x2 - 7x + 2 (4x - 5)2 = . 4x2 + x - 5 16x2 - 25 (x -1)(5x + 2) (4x - 5)2  = (x -1)(4x + 5) (4x - 5)(4x + 5) Çàïèøåì è ðåøèì ñèñòåìó, ðàâíîñèëüíóþ óðàâíåíèþ

Ïðèìåð 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå

(x -1)(5x + 2) (4x - 5)2 = . (x -1)(4x + 5) (4x - 5)(4x + 5) ïìïx ¹ 1, ïï ï4x + 5 ¹ 0, í  x = -7 ïï4x - 5 ¹ 0, ïï ïïî5x + 2 = 4x - 5

Îòâåò: –7. 126


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Çàìåíà ïåðåìåííûõ Ax Bx Óðàâíåíèå âèäà + = C , ãäå ABC ¹ 0, ax2 + b1x + c ax2 + b2 x + c A c çàìåíîé y = ax + ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ + x y + b1 B + =C. y + b2 Ïðèìåð 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå 4x 3x + 2 =1 . 4x - 8x + 7 4x -10x + 7 2

Ðåøåíèå. 4x 3x + 2 =1  . 4x - 8x + 7 4x -10x + 7 4 3  + =1 æ ö æ ö çç4x + 7 ÷÷ - 8 çç4x + 7 ÷÷ -10 è è x ÷ø x ÷ø 7 Ñäåëàâ çàìåíó y = 4x + , ðåøèì ïîëó÷åííîå âñïîìîãàx òåëüíîå óðàâíåíèå 4 3 4y - 40 + 3y - 24 - y2 + 18 y - 80 + =1  =0 y - 8 y -10 (y - 8)(y -10) 2

ïìy2 - 25y + 144 = 0, ïïì(y - 9)(y -16) = 0, é y = 9,  ïí í ê ê y = 16. ï ë îïï(y - 8)(y -10) ¹ 0 îï(y - 8)(y -10) ¹ 0

Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíîé ïåðåìåííîé, ïîëó÷èì: é 7 ê4x + = 9, 4 3 ê x + =1  ê  æ ö÷ æ ö÷ 7 7 7 ê ç4x + ÷ - 8 ç4x + ÷ -10 ê4x + = 16 çè èç x ÷ø x ÷ø x ë é 1 êx = , é4x2 - 9x + 7 = 0, ê 2  êê 2  4x2 -16x + 7 = 0  ê 7 êx = . êë4x -16x + 7 = 0 ê 2 ë 1 7 Îòâåò: ; . 2 2 127


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ìåòîä ðàçëîæåíèÿ íà ïðîñòåéøèå äðîáè x x + 1 x + 2 25 . + + = x +1 x + 2 x 6 x +1 x 1 1 , , = 1Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó = 1x 2 x 2 x 1 x 1 + + + + x +2 2 = 1 + , òî óðàâíåíèå ïðèìåò âèä: x x 1 1 2 25 3. + = x +1 x + 2 x 6 1 1 2 25 1 1 2 7 3+ =  + - =-  x +1 x + 2 x 6 x +1 x + 2 x 6

Ïðèìåð 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå

7x3 + 21x2 - 4x - 24 =0 6x(x + 1)(x + 2)

ìï7x3 + 21x2 - 4x - 24 = 0,  ïí  ïï(x + 1)(x + 2)x ¹ 0 î

Îòâåò: 1.

ìï(x -1)(7x2 -14x + 24) = 0,  ïí  x =1 . ïïx(x + 1)(x + 2) ¹ 0 î

Ìåòîä âûäåëåíèÿ ïîëíîãî êâàäðàòà æ x ö÷2 Ïðèìåð 6. Ðåøèòå óðàâíåíèå x2 + çç =8 . è x -1ø÷ Ðåøåíèå. x æ x ö÷2 æ x ÷ö2 2x2 2 ç x2 + çç x x 8 2 =  + + =8 è x -1ø÷ x -1 çè x -1÷ø x -1 æ x2 ö÷2 x ö÷2 x2 x2 æ ç ÷÷ - 2  çx + -2 - 8 = 0  ççç -8 = 0  ÷ è çè x -1ø÷ x -1ø x -1 x -1 é x = 2, é x2 ê ê é x2 - 4x + 4 = 0, ê x = 2, ê x -1 = 4, ê ê 2  êê 2 ê ê x ê x = -1 + 3, x x 2 2 0 + = ê ê ë ê êë x -1 = -2 ê x = -1 - 3. ë

Îòâåò: 2; 2; -1 - 3 ; -1 + 3 . 128


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Ìåòîä ñâåäåíèÿ ê ðåøåíèþ íåêîòîðûõ ñïåöèàëüíûõ óðàâíåíèé (êâàäðàòíûõ, áèêâàäðàòíûõ, ñèììåòðè÷åñêèõ è ò.ï.) Ïðèìåð 7. Ðåøèòå óðàâíåíèå

æ x2 - 4 ö÷ æ x - 2 ö÷2 æ x + 2 ö÷2 ç ÷= 0 . 5ççç ÷÷ - 44 çç ÷÷ + 12çç 2 è x -1 ø çè x -1 ÷ø÷ è x + 1ø x -2 x +2 Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì a = , b= . x +1 x -1 x2 - 4 Çàìåòèì åùå, ÷òî 2 = ab . x -1 Ïîëó÷èì, ÷òî éa = 2b, ê 2 2 5a + 12ab - 44b = 0  (a - 2b)(5a + 22b) = 0  ê 22 êa = - b. 5 ëê Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñîâîêóïé x -2 x +2 =2 , ê ê x +1 x -1 íîñòè ê x +2 ê x -2 . = -22 ê5 êë x + 1 x -1 é x -2 x +2 ì 2 =2 , ê ïïïx -1 ¹ 0, ê x +1 x -1  ïíé(x - 2)(x -1) = 2(x + 1)(x + 2),  ê x + 2 ïïê ê x -2 5 22 = ê ïê5(x - 2)(x -1) + 22(x + 1)(x + 2) = 0 êë x + 1 x -1 îïë é ìïx2 -1 ¹ 0, ïï ê x = -9 - 73 , ê ï 2  ïíéê x2 + 9x + 2 = 0,  x2 + 9 x + 2  ê ê ïï -9 + 73 ê 2 ïê . êë x = ïîïëê27x + 51x + 54 = 0 2 -9 - 73 -9 + 73 Îòâåò: ; . 2 2 æ 5 + x öæ ÷÷ççx + 5 - x ö÷÷ = 6 . Ïðèìåð 8. Ðåøèòå óðàâíåíèå x ççç ÷ç è x + 1 øè x + 1ø÷ æ 5 + x ö÷ æ 5 - x ö÷ Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì x ççç ÷÷ = a , çççx + ÷ = b . Çàìåòèì è x +1ø è x + 1ø÷ òåïåðü, ÷òî æ 5 + x ö÷ 5- x 5- x a + b = x ççç (x + 1) + x = 5 . = ÷÷ + x + è x +1ø x +1 x +1 129


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ab = 6, ïîëó÷èì, ÷òî a è b — êîðíè êâàäéz = 2, ðàòíîãî óðàâíåíèÿ z2 - 5z + 6 = 0  ê êz = 3. ë æ 5 + x öæ ÷÷ççx + 5 - x ö÷÷ = 6 Ñëåäîâàòåëüíî, èñõîäíîå óðàâíåíèå x ççç ÷ç è x + 1 øè x + 1ø÷ ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè é 5+ x = 2, êx ê x +1 ê ê 5+ x = 3. êx ëê x + 1 é 5+ x ìx + 1 ¹ 0, = 2, ïïï êx ê x +1 ï 2  íéê x - 3x + 2 = 0,  ê 5 x + ê ïïïê 2 =3 êx ïîïëê x - 2x + 3 = 0 ëê x + 1 é x = 1,  x2 - 3x + 2 = 0  ê ê x = 2. ë

Îòâåò: 1; 2. Ïðèìå÷àíèå. Ïåðåõîä îò óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùåãî îäíó ïåðåìåííóþ, ê ñèñòåìå óðàâíåíèé, ñîäåðæàùåé äâå è áîëåå ïåðåìåííûå, íèêîãäà íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîñèëüíûì ïåðåõîäîì. Ïðèìåð 9. Ðåøèòå óðàâíåíèå 5 4 21 5 4 21 . + + = + + x -1 x + 2 x - 3 x + 1 x - 2 x + 3 Ðåøåíèå. 5 4 21 5 4 21 + + = + +  x -1 x + 2 x - 3 x + 1 x - 2 x + 3 æ 1 æ 1 æ 1 1 ÷ö 1 ö÷ 1 ö÷  5ççç ÷÷ + 4 ççç ÷÷ + 21ççç ÷= 0  è x -1 x + 1ø è x + 2 x - 2ø è x - 3 x + 3 ø÷ 

10 16 126 5 8 63 + =0 2 + =0 x2 - 1 x2 - 4 x2 - 9 x - 1 x2 - 4 x2 - 9

ìïx4 - 5x2 + 6 = 0, 60x4 - 300x2 + 360 ï  2 =0í 2  2 2 2 2 (x -1)(x - 4)(x - 9) ïïîï(x -1)(x - 4)(x - 9) ¹ 0 130


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

é x = - 2, ê ìïé x2 = 2, ïïê ê 2 é x 2, = ê x = 2, ïïê 2 ê  íêë x = 3, ê 2 ê ïï ê x = - 3, êx = 3 ê ïï(x2 -1)(x2 - 4)(x2 - 9) ¹ 0 ë ê ïî êë x = 3. Îòâåò: - 3 ; - 2 ; 2 ; 3 . x2 x Ïðèìåð 10. Ðåøèòå óðàâíåíèå + =2. 2 2- x 2- x x2 x x2 (2 - x) + x(2 - x2 ) Ðåøåíèå. + = 2  -2 = 0  2 - x2 2 - x (2 - x)(2 - x2 ) 2 ì 3 4x 3 - 6x2 - 6x + 8 ïï2x - 3x - 3x + 4 = 0,  =0í  ïï(x - 2)(x2 - 2) ¹ 0 (x - 2)(x2 - 2) ïî é ê x = 1, ê ìïé x = 1, ïïê ê ê 1 - 33 ïê2x2 - x - 4 = 0,  íêë  êx = , ïï ê 4 2 ê ïï(x - 2)(x - 2) ¹ 0 ê 1 + 33 îï . êx = 4 ëê 1 - 33 1 + 33 Îòâåò: 1; ; . 4 4 7x - 3 Ïðèìåð 11. Ðåøèòå óðàâíåíèå x3 = . 7 - 3x Ðåøåíèå. Çàïèñàâ ðàâíîñèëüíóþ ñèñòåìó, ïîëó÷èì, ÷òî óðàâíåíèå ÷åòâåðòîé ñòåïåíè ðåøàåòñÿ ìåòîäîì ãðóïïèðîâêè. 4 3 7x - 3 ìïï3x - 7x + 7x - 3 = 0, í  x3 = 7 - 3x ïïî3x - 7 ¹ 0 ìï3(x4 -1) - 7x(x2 -1) = 0,  ïí  ïï3x - 7 ¹ 0 î é x = 1, ê ê x = -1, ê ìï(x2 -1)(3x2 - 7x) + 3 = 0, ê ï ê í  x = 7 + 13 , ê ïï3x - 7 ¹ 0 6 ê î ê ê x = 7 - 13 . ê 6 ë 7 + 13 7 - 13 Îòâåò: −1; 1; ; . 6 6

131


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ðåøåíèå óðàâíåíèé ñ ïàðàìåòðàìè ax2 - 2a = a2 + 1 . x -1 Ðåøåíèå. Åñëè a = 0, òî äàííîå óðàâíåíèå ðåøåíèé íå èìååò. Ïóñòü a ¹ 0 . Òîãäà ïìx -1 ¹ 0, ax2 - 2a = a2 + 1  ïí 2  ïïax = (x -1)(a + 1)2 x -1 î ìïx ¹ 1,  íï 2 2 2 ïîïax - (a + 1) x + (a + 1) = 0. Âû÷èñëèì äèñêðèìèíàíò ïîëó÷èâøåãîñÿ êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ.

Ïðèìåð 12. Ðåøèòå óðàâíåíèå

D = (a + 1)4 - 4a(a + 1)2 = (a + 1)2 (a -1)2 .

Òîãäà ïîëó÷èì

ìïx ¹ 1, ïï ïïé (a + 1)2 - (a2 -1) 2 ïê ax = , x 2 ï - 2a = a + 1  íê  2a ïê x -1 ïïê 2 2 ïïê x = (a + 1) + (a -1) ïê 2a ïë î ïìïx ¹ 1, ïï é 1  ïíê x = 1 + , ïïê a ïïê x = a + 1. ïîêë Çàìåòèì, ÷òî òàê êàê a ¹ 0 , òî íè îäèí èç êîðíåé óðàâíåíèÿ íå ìîæåò áûòü ðàâåí 1. Îòâåò: Åñëè a = 0, òî äàííîå óðàâíåíèå ðåøåíèé íå èìååò. 1 Åñëè a ¹ 0 , òî x = 1 + , x = a + 1. a (x - a)2 + x(x - a) + x2 19 Ïðèìåð 13. Ðåøèòå óðàâíåíèå = . 7 (x - a)2 - x(x - a) + x2 (x - a)2 + x(x - a) + x2 19 . = 7 (x - a)2 - x(x - a) + x2 Òàê êàê x = 0 íå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì äàííîãî óðàâíåíèÿ, òî çíàìåíàòåëü äðîáè, ñòîÿùåé â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, åñòü

Ðåøåíèå.

132


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

âåëè÷èíà ïîëîæèòåëüíàÿ. Ïîýòîìó, èñïîëüçóÿ îäíîðîäíîñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì: (x - a)2 + x(x - a) + x2 19 =  7 (x - a)2 - x(x - a) + x2  12(x - a)2 - 26x(x - a) + 12x2 = 0  éx-a 3 = , ê æ x - a ö÷2 æ x - a ö÷ ê x 2  éê x = -2a, ç ç  6ç -13ç +6= 0  ê ÷ ÷ ê x = 3a. è x ø è x ø êx-a = 2 ë ê 3 ë x Òàê êàê x = 0 íå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì äàííîãî óðàâíåíèÿ, òî åñëè a = 0, óðàâíåíèå ðåøåíèé íå èìååò. é x = -2a, Åñëè a ¹ 0 , òî ê ê x = 3a. ë Îòâåò: Åñëè a = 0, óðàâíåíèå ðåøåíèé íå èìååò. Åñëè é x = -2a, a ¹ 0 , òî ê ê x = 3a. ë Ïðèìåð 14. Ðåøèòå óðàâíåíèå æ x ÷ö2 æ x ö2 ÷ +ç ÷÷ = a(a -1) . çèçç x + 1ø÷ èç x -1ø

Ðåøåíèå.

2 æ ö2 çç x ÷÷ + ççæ x ÷ö = a(a -1)  ÷ èç x + 1ø÷ è x -1ø 2 æ x x ö÷ 2x2  ççç + = a(a -1)  ÷ è x + 1 x -1ø÷ x2 - 1

æ 2x2 ÷ö2 2x2 ÷÷ - 2  ççç 2 = a(a -1) . çè x -1÷ø x -1 Âû÷èñëèì äèñêðèìèíàíò ïîëó÷èâøåãîñÿ êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ D = 1 + 4a(a -1) = (2a -1)2 .

Ïîýòîìó 2

æ 2x ÷ö ÷ ççç 2 çè x -1÷÷ø 2

é 2x2 ìï x ¹ 1, ê ïï = a, 2 ê 2x ï 2 - 2 = a(a -1)  ê x -21  íéê(a - 2)x = a, ê 2x ïïê x -1 ê 2 ê x2 -1 = 1 - a ïïïîêë(a + 1)x = a -1. ë 2

133


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

1. Çàìåòèì, ÷òî íè ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà x ¹1 . 2. Ïåðâîå óðàâíåíèå ñîâîêóïíîñòè èìååò ðåøåíèå, åñëè a ³ 0 , ò.å. äëÿ ëþáîãî a Î (-¥;0]  (2; +¥) . Ïðè ýòèõ çíàa -2 ÷åíèÿõ ïàðàìåòðà ðåøåíèÿìè ïåðâîãî óðàâíåíèÿ áóäåò ÿâëÿòüñÿ ñîâîêóïíîñòü çíà÷åíèé é êx = - a , ê a -2 ê ê a êx = . êë a -2 3. Âòîðîå óðàâíåíèå ñîâîêóïíîñòè èìååò ðåøåíèå, åñëè é a > 1, a -1 . Ðåøåíèÿìè âòîðîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ ³0  ê ê a <-1. a +1 ë é ê x = a -1 , ê a +1 ê ê ê x = - a -1 . ê a +1 ë é êx = - a , ê a -2 ê ê a êx = , ê a 2 ê Îòâåò: Åñëè a < −1, ê ê x = - a -1 , ê a +1 ê ê a -1 ê . êx = a +1 êë

Åñëè Åñëè Åñëè Åñëè

134

é êx = - a , ê a -2 -1 £ a < 0 , òî ê ê a êx = . ê a 2 ë a = 0, x = 0. 0 < a <1 , Æ . a = 1, x = 0.


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

é ê x = - a -1 , ê a +1 Åñëè 1 < a £ 2 , òî êê ê x = a -1 . ê a +1 ë é êx = - a , ê a -2 ê ê a êx = , ê a -2 Åñëè a > 2, òî êê ê x = - a -1 , ê a +1 ê ê a -1 ê . êx = a +1 êë

Ïðèìåð 15. Íàéäèòå âñå öåëûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè x2 - 3x + 4 êàæäîì èç êîòîðûõ âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ 2 =a — x - 2x + 2 öåëûå ÷èñëà. Ðåøåíèå. Çàìåòèâ, ÷òî çíàìåíàòåëü äðîáè îòëè÷åí îò íóëÿ ïðè ëþáîì çíà÷åíèè ïåðåìåííîé, çàïèøåì ýòî óðàâíåíèå â âèäå x2 - 3x + 4 = a  x2 - 3x + 4 = a(x2 - 2x + 2)  x2 - 2x + 2  (a -1)x2 - (2a - 3)x + 2a - 4 = 0 . Åñëè a = 1, òî óðàâíåíèå çàïèøåòñÿ â âèäå x - 2 = 0  x = 2. Ñëåäîâàòåëüíî, a = 1 — îäíî èç èñêîìûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà. Åñëè a ¹ 1, òî èñêîìûìè áóäóò òå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðûõ ïîëó÷èâøååñÿ êâàäðàòíîå óðàâíåíèå èìååò öåëî÷èñëåííûå ðåøåíèÿ. Íî äëÿ ýòîãî êàê ìèíèìóì óðàâíåíèå äîëæíî ïðîñòî èìåòü ðåøåíèå. Ñëåäîâàòåëüíî, äèñêðèìèíàíò óðàâíåíèÿ äîëæåí áûòü íåîòðèöàòåëüíûì. D(a) = (2a - 3)2 - 4(a -1)(2a - 4) = -4a2 + 12a + 7 .

Ðåøèì íåðàâåíñòâî D(a) ³ 0 . 135


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

-4a2 + 12a + 7 ³ 0  4a2 -12a - 7 £ 0  3- 2 3+ 2 . £a£ 2 2 Ó÷èòûâàÿ, ÷òî a ¹1 è à — öåëîå ÷èñëî, ïîëó÷èì, ÷òî âîçìîæíî òîëüêî a = 2. Âû÷èñëèì êîðíè óðàâíåíèÿ ïðè a = 2: x = 0; x = 1. Âñå ðåøåíèÿ — öåëûå. Îòâåò: 1; 2. 

Óïðàæíåíèå 1. 1. Âûáåðèòå ìíîæåñòâî, êîòîðîìó ïðèíàäëåæàò êîðíè óðàâíåíèÿ x2 - 8 = 12x -18 . 2x - 4 1) (3; 7); 2) (7; 10); 3) (16; 18); 4) (18; 21). Âåðíûé îòâåò — 4). 2. Íàéäèòå ñóììó êâàäðàòîâ êîðíåé óðàâíåíèÿ x2 + 2x + 1 x2 + 2x + 2 7 + = . x2 + 2x + 2 x2 + 2x + 3 6

1) 4; 2) 5; 3) 10; 4) 1. Âåðíûé îòâåò — 1). 3. Íàéäèòå ñóììó êóáîâ êîðíåé óðàâíåíèÿ 9 9 + = 10 . x2 (x + 2)2 1) –21; 2) –26; 3) 26; 4) 21. Âåðíûé îòâåò — 2). 4. Ìîäóëü ðàçíîñòè öåëûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ æ x -1ö÷2 æ x -1 ö÷2 40 ç ç çè x ø÷÷ + çè x - 2 ø÷÷ = 9 ðàâåí 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 4. Âåðíûé îòâåò — 4). 5. Ïðîèçâåäåíèå äåéñòâèòåëüíûõ êîðíåé óðàâíåíèÿ 4x 3x + 2 =1 2 4x - 8x + 7 4x -10x + 7 136


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

ðàâíî 1 7 7 7 ; 2) ; 3) - ; 4) . 1) 2 2 4 4 Âåðíûé îòâåò — 4). Óïðàæíåíèå 2. 1. Íàéäèòå äåéñòâèòåëüíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ x4 + (1 - x)4 = 1 .

Îòâåò: 1; 0. 2. Íàéäèòå äåéñòâèòåëüíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ x

19 - x æç 19 - x ö÷ ÷ = 84 . çèx + ç x +1 x + 1 ø÷

Îòâåò: 3; 4.

x2 + 1 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå = 2x . 3x2 - 2 1 1 Îòâåò: - ; - ; 1. 3 2 1 2x -1 3 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå + 2 + =0 . 2x - 2 x + x + 1 2x + 2 1 Îòâåò: −2; . 2 1 + x5 11 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå . = 5 125 (1 + x) 3 2 Îòâåò: ; . 2 3

Óïðàæíåíèå 3. 1. Íàéäèòå äåéñòâèòåëüíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ æ x + a ö6 æ x - a ö6 6 çèç 2 ø÷÷ + èçç 2 ø÷÷ = a . Îòâåò: a; –a. 2. Íàéäèòå äåéñòâèòåëüíûå êîðíè óðàâíåíèÿ (x + a + b)5 = x5 + a5 + b5 .

Îòâåò: –a; –b.

a2 + 2x x - a . = x-a x+a Îòâåò: –a2; –a, åñëè a = 0, a ¹ −2; Æ , åñëè a = 0 èëè a = –2.

3. Ðåøèòå óðàâíåíèå

137


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

a +1 (1 + x2 + x4 ) . a 1 a + a2 - 4 a - a2 - 4 ; , åñëè a > 2 . Îòâåò: 2 2 1, åñëè a = 2. –1, åñëè a = –2. Æ , åñëè a < 2 . x-a x-b 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå + =2. x-b x-a Îòâåò: x Î R \ {a} , åñëè a = b; Æ , åñëè a ¹ b .

4. Ðåøèòå óðàâíåíèå (1 + x + x2 )2 =

§ 4. Ðåøåíèå óðàâíåíèé, ñîäåðæàùèõ íåñêîëüêî ïåðåìåííûõ Çàäà÷è ïîäîáíîãî òèïà îòíîñÿòñÿ ê ïàðàìåòðè÷åñêèì çàäà÷àì. Äåéñòâèòåëüíî, ðåøàÿ îäíî óðàâíåíèå, ìîæíî íàéòè çíà÷åíèÿ òîëüêî îäíîé ïåðåìåííîé, âõîäÿùåé â íåãî. Âñå îñòàëüíûå ïåðåìåííûå çàðàíåå îáúÿâëÿþòñÿ ïàðàìåòðàìè. Íà÷íåì ñ ïàðàäîêñàëüíîãî ïðèìåðà, ïðåêðàñíî èëëþñòðèðóþùåãî ðåøåíèå ïîäîáíûõ óðàâíåíèé. Õîòÿ â ýòîì óðàâíåíèè ïðèñóòñòâóåò òîëüêî îäíà íåèçâåñòíàÿ, îäíàêî ðåøàòü åãî ïðèõîäèòñÿ íåñêîëüêî ýêñòðàâàãàíòíûì ñïîñîáîì. Ïðèìåð 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå x4 - 2 2x2 - x + 2 - 2 = 0 . Ðåøåíèå. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ÷åòâåðòîé ñòåïåíè îáùåãî âèäà, äà åùå è ñ èððàöèîíàëüíûìè êîýôôèöèåíòàìè, åñòü çàäà÷à ñëîæíàÿ. Ïðåäñòàâèì ýòî óðàâíåíèå êàê êâàäðàòíîå îòíîñèòåëüíî 2. 2 ( 2 ) - (2x2 + 1) 2 + (x4 - x) = 0 . Âû÷èñëèì åãî äèñêðèìèíàíò, çàâèñÿùèé îò âòîðîé (!) ïåðåìåííîé õ. D(x) = (2x2 + 1)2 - 4(x4 - x) = 4x4 + 4x2 + 1 - 4x4 + 4x = (2x + 1)2 . Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äèñêðèìèíàíò ýòîãî óðàâíåíèÿ — ïîëíûé êâàäðàò. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè é 2 = x2 + x + 1, é x2 + x - ( 2 -1)= 0, ê ê ê  ê 2 ê x2 - x - 2 = 0 êë 2 = x - x ë 138


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

é ê x = -1 - 4 2 - 3 , ê 2 ê ê ê -1 + 4 2 - 3 , êx = ê 2 ê ê êx = 1- 4 2 +1 , ê 2 ê ê êx = 1 + 4 2 +1 . ê 2 ë

Îòâåò:

-1 - 4 2 - 3 -1 + 4 2 - 3 ; ; 2 2 1- 4 2 +1 1 + 4 2 +1 ; . 2 2

Ïðèìåð 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå x2 + y2 + 2x - 2y + 2 = 0 . Ðåøåíèå. Èíîãäà ê óñïåõó ïðèâîäèò óäà÷íàÿ ãðóïïèðîâêà ñëàãàåìûõ, âõîäÿùèõ â óðàâíåíèå. x2 + y2 + 2x - 2y + 2 = 0  (x -1)2 + (y -1)2 = 0 .

Ñóììà êâàäðàòîâ ðàâíà íóëþ òîëüêî òîãäà, êîãäà êàæäîå ñëàãàåìîå ðàâíî íóëþ. ìïx = 1, Ïîëó÷èì (x -1)2 + (y -1)2 = 0  ïí ïïîy = 1. Îòâåò: (1; 1). Ïðèìåð 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå 5x2 + 2y2 + 2xy + 2x - 2y + 1 = 0 .

Ðåøåíèå. Çàïèøåì ýòî óðàâíåíèå êàê êâàäðàòíîå îòíîñèòåëüíî îäíîé ïåðåìåííîé, ñäåëàâ âòîðóþ ïåðåìåííóþ ïàðàìåòðîì. Ïîäñîçíàòåëüíî ìû äîëæíû ïîíèìàòü, ÷òî òðåáîâàíèå ðåøèòü óðàâíåíèå ÷àùå âñåãî óæå ñîäåðæèò â ñåáå óñëîâèå íàëè÷èÿ ýòîãî ðåøåíèÿ. 5x2 + 2y2 + 2xy + 2x - 2y + 1 = 0   5x2 + 2(y + 1)x + (2y2 - 2y + 1) = 0 .

Íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ íåîòðèöàòåëüíîñòü åãî äèñêðèìèíàíòà. 139


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

D(y) = (y + 1)2 - 5(2y2 - 2y + 1) = -9y2 + 12y - 4 = -(3y - 2)2 . 4 Òðåáîâàíèå ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî 2 ýòî ñòàíîâèòñÿ âîçìîæíûì ëèøü ïðè y = . Ïðè ýòîì çíà÷å3 íèè ïàðàìåòðà äèñêðèìèíàíò óðàâíåíèÿ ðàâåí íóëþ, à ïðè äðóãèõ — îòðèöàòåëåí. Ïîýòîìó ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé õ, óäîâëåòâîðÿþùåå óðàâíåíèþ.

æ 1 2ö Îòâåò: çç- ; ÷÷÷ . è 3 3ø

ìï ìï 2 1 ïïy = , ïïx = - , 3 3 ïí  ïí ïï 2 -y -1 ïï ïïx = ïïy = . 5 3 îï îï

Ïðèìåð 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå x2 + y2 + x2 y2 - 4xy + 1 = 0 . Ðåøåíèå. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó, çàïèøåì óðàâíåíèå â âèäå x2 + y2 + x2 y2 - 4xy + 1 = 0  (y2 + 1)x2 - 4xy + (y2 + 1) = 0 .

Âû÷èñëèì äèñêðèìèíàíò óðàâíåíèÿ: 1 D(y) = 4y2 - (y2 + 1)2 = 4y2 - y4 - 2y2 -1 = -(y2 -1)2 . 4 Ñíîâà ïîëó÷èì, ÷òî óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè ñèñòåì: éìïy = 1, éìïx = 1, êïí ï êï(x -1)2 = 0, êêíïy = 1, êï ï x2 + y2 + x2 y2 - 4xy + 1 = 0  êî  êêî êïìy = -1, êïïìx = -1, êïí êí êï(x + 1)2 = 0 êëïïîy = -1. ëêîï Îòâåò: (1; 1), (–1; –1). Ïðèìåð 5. Íàéäèòå ïîëîæèòåëüíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ 1 . 4 x 2 + y2 = 4 xy Ðåøåíèå. Óðàâíåíèå ðåøàåòñÿ íàõîæäåíèåì ñëàãàåìîãî, äîáàâëåíèå êîòîðîãî ê îáåèì ÷àñòÿì óðàâíåíèÿ ðàçäåëÿåò èõ îáëàñòè çíà÷åíèé. æ 1 1ö 4 x 2 + y2 = 4  4x2 - 4xy + y2 = 4 - çç4xy + ÷÷÷ . ç xy xy ÷ø è

140


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Óñëîâèå ïîëîæèòåëüíîé îïðåäåëåííîñòè ðåøåíèé äàåò âîçìîæíîñòü ïðèìåíèòü íåðàâåíñòâî ìåæäó ñðåäíèì àðèôìåòè÷åñêèì è ñðåäíèì ãåîìåòðè÷åñêèì äâóõ ÷èñåë ê âûðàæåíèþ, ñòîÿùåìó â ñêîáêàõ â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ. 1 1 ³ 2 4xy ⋅ =4. xy xy Ïîýòîìó ïðè èñêîìûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ íå áîëüøå 0, ïðè÷åì îíà ðàâíà íóëþ òî1 1 ãäà, êîãäà 4xy =  (xy)2 = . Òàê êàê íàñ èíòåðåñóþò xy 4 òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ, òî ïîëó÷èì, 1 ÷òî xy = . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ 2 4x2 - 4xy + y2 = (2x - y)2 íåîòðèöàòåëüíà. Ñâîäÿ âîåäèíî ïîëó÷åííûå ðåçóëüòàòû, ïîëó÷èì, ÷òî óðàâíåíèå ìï2x - y = 0, ï 1 2 2 4x + y = 4  ïí  1 xy ïïxy = ïî 2 ïìïy = 2x, ìï 1 ïï ïx = , 1  ïíx2 = ,  ïí 2 ïï ïï 4 ïïx > 0 îïy = 1. ïî æ1 ö Îòâåò: çç ;1÷÷÷ . è2 ø 4xy +

Ïðèìåð 6. Íàéäèòå öåëî÷èñëåííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ 2x2 - 3xy - 2y2 = 7 .

Ðåøåíèå. Óñëîâèå öåëî÷èñëåííîñòè ðàäèêàëüíî ìåíÿåò ïîäõîä ê ðåøåíèþ óðàâíåíèé.  äàííîì ñëó÷àå, ðàñêëàäûâàÿ ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ íà äâà ìíîæèòåëÿ, ïîëó÷èì 2x2 - 3xy - 2y2 = 7  (x - 2y)(2x + y) = 7 .

Òàê êàê ïî óñëîâèþ ïåðåìåííûå ïðèíèìàþò öåëûå çíà÷åíèÿ, òî ëþáàÿ èõ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ òîæå. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ìîæíî òðàêòîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. ×èñëî 7 ðàçëîæåíî íà äâà ìíîæèòåëÿ. Íî 7 = 1⋅ 7 = 7 ⋅1 = (-1)(-7) = (-7)(-1) .  äàííîì ñëó÷àå ïîðÿäîê 141


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ìíîæèòåëåé òàêæå âàæåí, èáî êàæäûé èç íèõ ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáîå èç 4 çíà÷åíèé. Ïîëó÷èì, ÷òî óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè 4 ñèñòåì. ïìx - 2y ïìx = 3, 1. ïí  ïí ïîï2x + y = 7 îïïy = 1. ìïx - 2y = 7, ìïï5x = 9, 2. ïí Äàííàÿ ñèñòåìà íå èìååò öåí ïîï2x + y = 1 ïïî2x + y = 1. ëî÷èñëåííûõ ðåøåíèé. ìïx - 2y = -1, ïìïx = -3, í 3. ïí ïîï2x + y = -7 ïïîy = -1. ïìx - 2y = -7, ïìï5x = -9, 4. ïí Ñíîâà ïîëó÷èì, ÷òî öåëîí ïîï2x + y = -1 ïîï2x + y = -1. ÷èñëåííûõ ðåøåíèé ñèñòåìà íå èìååò. Îòâåò: (3; 1), (–3; –1).

Çàìå÷àíèå. Ïåðåáîð ìîæíî áûëî áû ñîêðàòèòü âäâîå, çàìåòèâ, ÷òî åñëè ïàðà ÷èñåë (x0 ; y0 ) — ðåøåíèå ñèñòåìû, òî (-x0 ;-y0 ) — òàêæå ðåøåíèå. Ïðèìåð 7. Íàéäèòå íàèìåíüøåå èç çíà÷åíèé õ, äëÿ êîòîðûõ ñóùåñòâóþò ÷èñëà y è z, óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèþ x2 + 2y2 + z2 + xy - xz - yz = 1 .

Ðåøåíèå. Òàê êàê â óñëîâèè ñêàçàíî, ÷òî ïðè íåêîòîðîì èñêîìîì çíà÷åíèè ñóùåñòâóþò ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ, òî óðàâíåíèå z2 - z(x + y) + (x2 + xy + 2y2 -1) = 0

èìååò ðåøåíèå. Ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ïàðà çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ x è y, ïðè êîòîðûõ äèñêðèìèíàíò óðàâíåíèÿ D(y, x) = (x + y)2 - 4(x2 + 2y2 + xy -1)

íåîòðèöàòåëåí. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè èñêîìîì çíà÷åíèè õ íåðàâåíñòâî -7y2 - 2xy - 3x2 + 4 ³ 0 èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå. 142


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

À ýòî â ñâîþ î÷åðåäü îçíà÷àåò, ÷òî äèñêðèìèíàíò êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà D(x) = -80x2 + 112 òîæå íåîòðèöàòåëåí. Íàêîíåö, ðåøàÿ íåðàâåíñòâî 5x2 £ 7 , ìû íàõîäèì âñå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé õ, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ çàäà÷è. Âûáèðàÿ èç íèõ íàèìåíüøåå, ïîëó÷èì: 7 . x =5 7 . Îòâåò: 5 Ïðèìåð 8. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, äëÿ êàæäîãî èç êîòîðûõ óðàâíåíèå æ9 ö x2 + 3xy + 3ay2 + çç - a÷÷÷ y + 4x + 5 = 0 è2 ø 1) èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå ïðè y = 2; 2) èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå (x; y) .

Ðåøåíèå. Îòâåò íà ïåðâûé âîïðîñ çàäà÷è ñòàíäàðòåí. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ïàðà ÷èñåë (x0 ;2) — ðåøåíèå, òî ïîëó÷èì âåðíîå ÷èñëîâîå ðàâåíñòâî x02 + 6x0 + 12a + 9 - 2a + 4x0 + 5 = 0. Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî x02 + 10x0 + 10a + 14 = 0 . ×òîáû ñóùåñòâîâàëî êàêîå-ëèáî ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ, åãî äèñêðèìèíàíò äîëæåí áûòü íåîòðèöàòåëåí. 11 . D(a) = 44 - 40a ³ 0 , ò.å. a £ 10 Ðåøåíèå âòîðîé ÷àñòè ÿâëÿåòñÿ ðàçâèòèåì ðåøåíèÿ ïðåäûäóùåé çàäà÷è. Äåéñòâèòåëüíî, çàïèøåì óðàâíåíèå â âèäå: æ ö æ9 ö x2 + (3y + 4)x + çç3ay2 + çç - a÷÷÷ y + 5÷÷÷ = 0 . çè è2 ø ø Åñëè óðàâíåíèå èìååò ðåøåíèå, òî åãî äèñêðèìèíàíò íåîòðèöàòåëåí. D(y, a) = 3(3 - 4a)y2 + (6 + 4a)y - 4 ³ 0 .

 îòëè÷èå îò ïåðâîé çàäà÷è, ñòàðøèé êîýôôèöèåíò ïîëó÷èâøåãîñÿ ìíîãî÷ëåíà ïàðàìåòðè÷åñêèé, ïîýòîìó äîëæíû áûòü ðàññìîòðåíû òðè ñëó÷àÿ. æ 3ö 3 1) a = . D ççy, ÷÷÷ = 9y - 4 è, êîíå÷íî æå, íàéäåòñÿ ÷èñëî è 4ø 4 y0 òàêîå, ÷òî äèñêðèìèíàíò áóäåò íåîòðèöàòåëåí. Íàïðèìåð, y = 2. 143


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

3 .  ýòîì ñëó÷àå ïåðâûé êîýôôèöèåíò êâàäðàòíîãî 4 òðåõ÷ëåíà ïîëîæèòåëåí, à ñâîáîäíûé ÷ëåí — îòðèöàòåëåí. Ïîýòîìó âñåãäà íàéäóòñÿ ÷èñëà, ÿâëÿþùèåñÿ ðåøåíèåì äàííîãî íåðàâåíñòâà. 3 3) a > .  ýòîì ñëó÷àå ïåðâûé êîýôôèöèåíò îòðèöàòå4 ëåí. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ðåøåíèå äîëæíî ñóùåñòâîâàòü, ïîëó÷èì,

2) a <

÷òî âåëè÷èíà D(a) = 16a2 -144a + 180 ³ 0 . Ïîëó÷èì ñèñòåìó: é3 3 ìï 3 ê <a£ , ïïa > , ê 2 4  ê4 í ïï 2 15 ê ïïî4a - 36a + 45 ³ 0 êa ³ . 2 ë

Îáúåäèíÿÿ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïîëó÷èì: é 3 êa £ , ê 2 ê êa ³ 15 . ê 2 ë æ ö 3 ù é 15 Îòâåò: çç-¥; ú  ê ; +¥÷÷÷ . è ø 2 ûú ëê 2

Ïðèìåð 9. Íàéäèòå öåëî÷èñëåííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ -3xy -10x + 13y + 35 = 0 .

Ðåøåíèå. Ðàçëîæåíèå óðàâíåíèÿ íà ìíîæèòåëè èëè êàêîé-ëèáî èç ðàçîáðàííûõ âûøå ñïîñîáîâ ðåøåíèÿ ïîäîáíûõ óðàâíåíèé çäåñü íå ïîäõîäèò. Âûðàçèì îäíó ïåðåìåííóþ ÷åðåç äðóãóþ. -3xy -10x + 13y + 35 = 0  x(3y + 10) = 13y + 35  x(3y + 10) = 13y + 35 .

Òàê êàê õ è ó — öåëûå, òî 3y + 10 ¹ 0 . y -5 13y + 35 Òîãäà x = . ×òîáû ïåðåìåííàÿ áûëà =4+ 3y + 10 3y + 10 öåëîé, íåîáõîäèìî, ÷òîáû äðîáü áûëà öåëûì ÷èñëîì. Ýòî âîçìîæíî, åñëè y = 5, òîãäà x = 4. 144


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Åñëè y ¹ 5 , òî é y -5 é -2y -15 ³ 1, ³ 0, ê ê ê ê 3y + 10 3 y 10 + y -5 ³1  ê ê  ê y -5 ê 4y + 5 3y + 10 £-1 ê £0 ê êë 3y + 10 êë 3y + 10 15 5 £ y £- . 2 4 Òàêèì îáðàçîì, öåëî÷èñëåííûå ðåøåíèÿ, âîçìîæíî, áóäóò ïîëó÷àòüñÿ òîëüêî ïðè íåêîòîðûõ èç çíà÷åíèé -

y Î {-7;-6;-5;-4;-3;-2} .

Ïåðåáèðàÿ âñå âîçìîæíîñòè, íàõîäèì, ÷òî 1. Åñëè y = –5, òî x = 6. 2. Åñëè y = –3, òî x = –4. Îòâåò: (4; 5); (6; –5); (–4; –3). Óïðàæíåíèå 1. 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå x2 + y2 - 4x + 2y + 5 = 0 . Îòâåò: (2; –1). 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå 5x2 + 2y2 + 2xy - 2x - 4y + 2 = 0 . Îòâåò: (0; 1). 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå 16x4 + y4 = 8xy - 2 . æ1 ö æ 1 ö Îòâåò: çç ;1÷÷÷ ; çç- ;-1÷÷÷ . è2 ø è 2 ø 4.

Íàéäèòå ïîëîæèòåëüíûå 1 . x + 64y = 8 xy æ 2ö Îòâåò: ççç 2; ÷÷÷ . 8 ÷ø è 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå 2

ðåøåíèÿ

óðàâíåíèÿ

2

x2 + 2y2 + 2z2 + 2xy - 2yz - 4x - 4y - 2z + 5 = 0 .

Îòâåò: (1; 1; 1). Óïðàæíåíèå 2. 1. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ïàðà (x; y) , óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ 145


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ax2 + (3a + 2)y2 + 4axy - 2ax + (4 - 6a)y + 2 = 0 ?

Îòâåò: (0; 2). 2. Íàéäèòå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå z, äëÿ êîòîðîãî ñóùåñòâóþò ÷èñëà õ è ó, óäîâëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèþ 2x2 + 2y2 + +z2 + xy + xz + yz = 1 . Îòâåò: 5 . 3. Íàéäèòå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå âûðàæåíèÿ (x - y)2 + +(z - u)2 , åñëè ÷èñëà õ, ó, z, u óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ (x -1)2 + (y - 4)2 + (z - 3)2 + (u - 2)2 = 1 .

Îòâåò: 12 + 4 5 . 4. Íàéäèòå öåëî÷èñëåííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ -3xy + 10x -16y + 45 = 0 .

Îòâåò: (3; 3). 5. Íàéäèòå öåëî÷èñëåííûå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ x3 - 6x2 - xy + 13x + 3y + 7 = 0 .

Îòâåò: (4; 27), (2; –17), (22; 423), (–16; 307).

§ 5. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé Ïóñòü … f1 (x, y, z,..., a, b, c,...) , f2 (x, y, z,..., a, b, c,...) , fn (x, y, z,..., a, b, c,...) — ôóíêöèè îò ïåðåìåííûõ x, y, z,... ..., a, b, c,... Îïðåäåëåíèå. Åñëè òðåáóåòñÿ íàéòè âñå òàêèå óïîðÿäî÷åííûå íàáîðû çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ x0 , y0 , z0 ,..., a0 , b0 , c0 ,..., ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ âûïîëíåíû ðàâåíñòâà fk (x, y, z,... ..., a, b, c,...) = 0 , k = 1, 2,..., n, òî ãîâîðÿò, ÷òî çàäàíà ñèñòåìà óðàâíåíèé è ïèøóò: ïìïf1 (x, y, z,..., a, b, c,...) = 0, ïï ïf2 (x, y, z,..., a, b, c,...) = 0, í ïï... ïï ïïîfn (x, y, z,..., a, b, c,...) = 0. 146


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Ïðè ýòîì óïîðÿäî÷åííûé íàáîð çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ x0 , y0 , z0 ,..., a0 , b0 , c0 ,... íàçûâàåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé. Îïðåäåëåíèå. Äâå ñèñòåìû óðàâíåíèé íàçûâàþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè, åñëè ìíîæåñòâî âñåõ ðåøåíèé ïåðâîé ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì ðåøåíèé âòîðîé è âñå ìíîæåñòâî ðåøåíèé âòîðîé ñèñòåìû ÿâëÿåòñÿ ìíîæåñòâîì ðåøåíèé ïåðâîé. Åñëè îáå ñèñòåìû óðàâíåíèé ðåøåíèé íå èìåþò, òî îíè òàêæå ðàâíîñèëüíû.

Óòâåðæäåíèÿ î ðàâíîñèëüíîñòè ñèñòåì óðàâíåíèé 1. Åñëè â ñèñòåìå ïåðåñòàâèòü ìåñòàìè ëþáûå äâà óðàâíåíèÿ, òî ïîëó÷èòñÿ ñèñòåìà, ðàâíîñèëüíàÿ èñõîäíîé. 2. Åñëè îäíî èç óðàâíåíèé ñèñòåìû çàìåíèòü ðàâíîñèëüíûì åìó, ïîëó÷èòñÿ ñèñòåìà, ðàâíîñèëüíàÿ èñõîäíîé. 3. Åñëè óðàâíåíèå ñèñòåìû çàìåíèòü àëãåáðàè÷åñêîé ñóììîé äðóãèõ óðàâíåíèé ñèñòåìû, âêëþ÷àÿ èñõîäíîå, òî ïîëó÷èòñÿ ñèñòåìà, ðàâíîñèëüíàÿ èñõîäíîé. 4. Åñëè îäíó èç ïåðåìåííûõ âûðàçèòü â êàêîì-ëèáî óðàâíåíèè ÷åðåç äðóãèå è íàéäåííîå âûðàæåíèå ïîäñòàâèòü â îñòàâøèåñÿ óðàâíåíèÿ (ìåòîä ïîäñòàíîâêè), òî ïîëó÷èòñÿ ñèñòåìà, ðàâíîñèëüíàÿ èñõîäíîé. 5. Åñëè îäíî èç óðàâíåíèé ñèñòåìû ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé, òî èñõîäíàÿ ñèñòåìà áóäåò ðàâíîñèëüíà ñîâîêóïíîñòè ñèñòåì, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ñîäåðæèò îäíî óðàâíåíèå ñîâîêóïíîñòè è îñòàâøèåñÿ óðàâíåíèÿ èñõîäíîé ñèñòåìû. Çàìåòèì, ÷òî ââåäåíèå íîâûõ ïåðåìåííûõ íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîñèëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì. Ïðè ðåøåíèè ñèñòåì âîçìîæíû äâà ïóòè: à) ñîâåðøàòü ðàâíîñèëüíûå ïåðåõîäû; òîãäà ïðè êàæäîì èç íèõ ìíîæåñòâî ðåøåíèé ñîõðàíÿåòñÿ, è â êîíå÷íîì ñ÷åòå ïîëó÷àþòñÿ âñå ðåøåíèÿ ñèñòåìû; á) ñîâåðøàòü íåðàâíîñèëüíûå ïåðåõîäû; â ýòîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî ðåøåíèé ìîæåò èçìåíèòüñÿ çà ñ÷åò ïîÿâëåíèÿ ðåøåíèé, èçáàâèòüñÿ îò êîòîðûõ ìîæíî ïóòåì ïðîâåðêè. 147


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

5.1. Ñèñòåìû äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè Îïðåäåëåíèå. Ëèíåéíûì óðàâíåíèåì ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå âèäà ax + by = c , ãäå a2 + b2 ¹ 0 . Ãðàôèêîì ëèíåéíîãî óðàâíåíèÿ ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè ÿâëÿåòå ïðÿìàÿ ëèíèÿ. ax = c , a ¹ 0

y = kx + b y k>0

k<0

k=0

0

x

Ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî ïðÿìàÿ âèäà ax = c, a ¹ 0 ãðàôèêîì ôóíêöèè íå ÿâëÿåòñÿ, à ÿâëÿåòñÿ ãðàôèêîì óðàâíåíèÿ. Îïðåäåëåíèå. Ñèñòåìîé äâóõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè íàçûâàåòñÿ ñèñòåìà âèäà ïìïa1x + b1y = c1, í ïïîa2 x + b2 y = c2 ,

ãäå a1, a2, b1, b2 — äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà, ïðè÷åì a12 + b12 ¹ 0

è a22 + b22 ¹ 0 . Òðàäèöèîííûì ìåòîäîì ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé (íå òîëüêî ëèíåéíûõ, íî è äðóãèõ) ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ. Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. Ïóñòü (x0 ; y0 ) — ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû. Ïîäñòàâëÿÿ ýòè çíà÷åíèÿ â óðàâíåíèÿ ñèñòåìû, ïîëó÷èì âåðíûå ÷èñëîâûå ðàâåíñòâà, ÷òî ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ ðåøåíèÿ: ìïïa1x0 + b1y0 = c1, í ïïîa2 x0 + b2 y0 = c2 . 148


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

×èñëîâîå ðàâåíñòâî íå èçìåíèòñÿ, åñëè îáå åãî ÷àñòè îäíîâðåìåííî óìíîæèòü íà ëþáîå, îòëè÷íîå îò íóëÿ ÷èñëî èëè ê îáåèì ÷àñòÿì ïðèáàâèòü ðàâíûå ÷èñëà. Èñêëþ÷àÿ çíà÷åíèå y0 èç ïåðâîãî óðàâíåíèÿ, ìû ïðèâîäèì ñèñòåìó ðàâåíñòâ ê âèäó ïìï(a1b2 - a2 b1 )x0 = c1b2 - c2 b1, í ïïîa2 x0 + b2 y0 = c2 , èç ÷åãî ñëåäóåò, ÷òî (x0 ; y0 ) ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû ìïï(a1b2 - a2 b1 )x0 = c1b2 - c2 b1, í ïïîa2 x0 + b2 y0 = c2 . Èñêëþ÷àÿ x0, ïîëó÷èì ìïï(a1b2 - a2 b1 )y0 = a1c2 - a2 c1, í ïïîa2 x0 + b2 y0 = c2 , îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî (x0 ; y0 ) — ðåøåíèå ñèñòåìû ïìï(a1b2 - a2 b1 )x0 = c1b2 - c2 b1, í ïïîa2 x0 + b2 y0 = c2 .

Î÷åâèäíî, ÷òî åñëè (x0 ; y0 ) — ðåøåíèå îäíîé èç ïîëó÷èâøèõñÿ ñèñòåì, òî ýòà æå ïàðà ÷èñåë — ðåøåíèå èñõîäíîé ñèñòåìû. Çàìåòèì, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðè îñòàþùåéñÿ ïåðåìåííîé îäèíàêîâ. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïðèõîäèì ê ìåòîäó Êðàìåðà èëè ìåòîäó îïðåäåëèòåëåé ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëèòåëåì ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ ÷èñëî, ðàâíîå a1b2 - a2 b1 = Δ è çàïèñûâàåìîå â âèäå a1 b1 . Δ= a2 b2 Ïðè ýòîì ïðàâûå ÷àñòè óðàâíåíèé, ñîäåðæàùèõ îäíó îñòàâøóþ ïåðåìåííóþ, òàêæå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå îïðåäåëèòåëåé: a1 c1 c1 b1 Δx = = c1b2 - c2 b1 è Δ y = = a1c2 - a2 c1 . a2 c2 c2 b2 149


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ìåòîä Êðàìåðà ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå óäîáíûì äëÿ èññëåäîâàíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. 1. Åñëè Δ ¹ 0 , òî ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ìï Δ ïïx = x , ïï Δ í Δy ïï . ïïy = Δ ïî Ýòè ôîðìóëû íîñÿò íàçâàíèå ôîðìóë Êðàìåðà. Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðÿìûå, çàäàâàåìûå óðàâíåíèÿìè ñèñòåìû, ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå.

a1x = b1y = c1

y

a2x = b2y = c2

0

x

2. Δ = 0 . Åñëè ïðè ýòîì Δ x2 + Δ y2 ¹ 0 , òî ñèñòåìà ðåøåíèé íå èìååò. Ãåîìåòðè÷åñêè ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðÿìûå, çàäàâàåìûå óðàâíåíèÿìè ñèñòåìû, ïàðàëëåëüíû.

y

a2x = b2y = c2 x

0 a1x = b1y = c1 150


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

3. Åñëè Δ = Δ x = Δ y = 0 , òî ñèñòåìà èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé âèäà ìïx = x0 , x Î R, ïï c - a1x0 í . ïïy = 1 b1 ïïî  ýòîì ñëó÷àå îáà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû çàäàþò íà ïëîñêîñòè îäíó ïðÿìóþ, êîîðäèíàòû òî÷åê êîòîðîé è áóäóò ÿâëÿòüñÿ ðåøåíèÿìè äàííîé ñèñòåìû. y a1x = b1y = c1 a2x = b2y = c2 0

x

Ðàññìîòðèì ïðèìåðû ðåøåíèÿ ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ïðèìåð 1. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ïìï2x + 3y = 5, í ïïî7x + 11y = 13. Ðåøåíèå. Íàéäåì îïðåäåëèòåëè ñèñòåìû: Δ=

2 3 = 22 - 21 = 1 , 7 11

5 3 = 55 - 39 = 16 , 13 11 2 5 Δy = = 26 - 35 = -9 . 7 13

Δx =

ìïx = 16, ïìï2x + 3y = 5,  ïí í ïîï7x + 11y = 13 ïïîy = -9.

Îòâåò: (16;-9) . 151


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 2. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à ñèñòåìà óðàâíåíèé ïìïax - 4y = a + 1, í ïïî2x + (a + 6)y = a + 3 íå èìååò ðåøåíèÿ? Ðåøåíèå. Íàéäåì îïðåäåëèòåëè ñèñòåìû. a -4 Δ= = a2 + 6a + 8 . 2 a+6 Δx =

a + 1 -4 = a2 + 7a + 6 - (-4)(a + 3) = a2 + 11a + 18 . a+3 a+6 Δy =

a a +1 = a(a + 3) - 2(a + 1) = a2 + a - 2 . 2 a+3

Ñèñòåìà íå èìååò ðåøåíèÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû ðàâåí íóëþ, à õîòÿ áû îäèí èç ÷àñòíûõ îïðåäåëèòåëåé ñèñòåìû îòëè÷åí îò íóëÿ. Èñêîìûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà çàäàþòñÿ ñèñòåìîé ìïa2 + 6a + 8 = 0, ï í 2 ïï(a + 11a + 18)2 + (a2 + a - 2)2 ¹ 0. ïî éa = -2, Ðåøèì óðàâíåíèå a2 + 6a + 8 = 0  ê Ïîäñòàâèì ïîêa = -4. ë ëó÷åííûå çíà÷åíèÿ â ñèñòåìó. ìa = -4, ï ïìïa = -2, ï í í 2 2 2 2 ï ï ï î(-10) + (10) ¹ 0, ïî(0) + (0) ¹ 0. Òàêèì îáðàçîì, ïðè a = –4 ñèñòåìà ðåøåíèé íå èìååò. Îòâåò: –4.

Ïðèìåð 3. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à ñèñòåìà óðàâíåíèé ïìï2x + ay = a + 2, í ïïî(a + 1)x + 2ay = 2a + 4 èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé? Ðåøåíèå. 2 a +2 a a Δ= = 4a - a2 - a = 3a - a2 , Δ x = =0, 2a + 4 2a a + 1 2a 152


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Δy =

2 a +2 = 4a + 8 - a2 - 3a - 2 = -a2 + a + 6 . a + 1 2a + 4

Òàê êàê ñèñòåìà äîëæíà èìåòü áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé, òî èñêîìûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà çàäàþòñÿ ñèñòåìîé ìï3a - a2 = 0, ï a=3 . í 2 ïï-a + a + 6 = 0 ïî Îòâåò: 3. Ïðèìåð 4. Íàéäèòå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êîòîðûõ ìï2ax + y = a + 1, èìååò åäèíñòâåííîå ðåñèñòåìà óðàâíåíèé ïí ïïîx + 3ay = a + 4 øåíèå? Ðåøåíèå.

2a 1 = 6a2 -1 . 1 3a Èñêîìûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà çàäàþòñÿ íåðàâåíñòâîì 6a2 -1 ¹ 0 . é 1 êa <, ê 6 ê 1 ê 1 6a2 -1 ¹ 0  ê, <a< ê 6 6 ê 1 ê . êa > êë 6 æ ö 1 ö÷ æç 1 1 ö÷ æç 1 Îòâåò: ïðè ëþáîì a Î ççç-¥;; ; +¥÷÷÷ ÷÷  çç÷÷  çç è ø 6ø è 6 6ø è 6 ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Δ=

Ïðèìåð 5. Íàéäèòå ñóììó ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé ìïïx + 3y = 9, í ïïî x + 2y = 6. Ðåøåíèå. Ðåøèì ñèñòåìó ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ. Çàìåíÿÿ âòîðîå óðàâíåíèå ñóììîé óðàâíåíèé, ïîëó÷èì, ÷òî ìïïx + 3y = 9, ìïx + 3y = 9, ïïìx = 9 - 3y, ïïìx = 0,  ïí í í í ïîï-x + 2y = 6. ïîï5y = 15 îïïy = 3 îïïy = 3. Îòâåò: 3. 153


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 6. Íàéäèòå ìîäóëü ðàçíîñòè x - y , ãäå õ, ó — ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ïìï2x - 5y = 7, í ïïî3x - 2y = -17. Ðåøåíèå. Íàéäåì îïðåäåëèòåëè ñèñòåìû 2 -5 Δ= = -4 - (-15) = 11 , 3 -2 Δx =

-5 7 = -14 - 85 = -99 , -17 -2

2 7 = -55 . 3 -17 Íàéäåì ðåøåíèå ñèñòåìû Δy Δ -99 = -9 , y = x= x = = -5 , x - y = 4 . 11 Δ Δ Îòâåò: 4. Δy =

Ïðèìåð 7. Äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à îïðåäåëèòå ÷èñëî ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé ïìï2x - ay = -5, í ïïî 6x + 3y = -15. Ðåøåíèå. Âû÷èñëèì îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû: 2 -a Δ= = 6 - 6a , -6 3 à òàêæå ÷àñòíûå îïðåäåëèòåëè: -5 -a -5 2 Δx = = -15(1 + a) , Δ y = = -60 . -15 3 -6 -15 Ïðè a = 1 îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû îáðàùàåòñÿ â íóëü, â òî âðåìÿ êàê ÷àñòíûå îïðåäåëèòåëè îòëè÷íû îò íóëÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè a = 1 ñèñòåìà ðåøåíèé íå èìååò. Åñëè æå a ¹1 , òî ñèñòåìà áóäåò èìåòü åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Îòâåò: 1) ïðè a = 1 ñèñòåìà ðåøåíèé íå èìååò; 2) ïðè a ¹1 æ ö çç 5(a + 1) ; 10 ÷÷ . çè 2(a -1) a -1ø÷÷ 154

ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Ïðèìåð 8. ×èñëà a è b òàêîâû, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé ìïa2 x - ay = 1 - a, ï í ïïbx + (3 - 2b)y = 3 + a î èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x = 1, y = 1. Íàéäèòå ýòè ÷èñëà. Ðåøåíèå. Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå ðåøåíèÿ ñèñòåìû è óñëîâèå åãî åäèíñòâåííîñòè, ïîëó÷èì, ÷òî èñêîìûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà çàäàþòñÿ ñèñòåìîé: ìïa2 - a = 1 - a, ïï ï íb + 3 - 2b = 3 + a, ïï ïïa2 (3 - 2b) + ab ¹ 0. ïî Èìååì éìïa = 1, êïï êïb = -1, êíï êï êïïî1 + (-1) ¹ 0 ìïïa = 1, ê í êìïa = -1, ïïîb = -1. êïï êïb = 1, êíï êï êëïîï5 -1 ¹ 0 Îòâåò: (1; –1). Óïðàæíåíèå 1. 1. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé ïìï7x - 5y = -12, í ïïî 8x - y = 7.

1) –1; 2) –3; 3) 4; 4) –5. 2. Íàéäèòå ìîäóëü ñóììû ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé ïìï3x + 2y = -7, í ïïî5x - 2y = -1.

1) 2; 2) 3; 3) 4; 4) 5. x , ãäå õ, ó — ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâ3. Íàéäèòå ÷àñòíîå y íåíèé ìïï4x - 3y - 5 = 0, í ïïî 2x + 9y + 1 = 0. 1) –2; 2) 7; 3) 6; 4) 5. 155


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

4. Íàéäèòå ñóììó êâàäðàòîâ ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé ìïï5x - 2y -11 = 0, í ïïî3x + 5y -19 = 0. 1) 2; 2) 13; 3) 10; 4) 5. Âåðíûå îòâåòû: 1) 1; 2) 2; 3) 2; 4) 2.

Óïðàæíåíèå 2. 1. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà óðàâíåíèé ìïïax - 4y = a + 1, í ïïî2x + (a + 6)y = a + 3. èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå. 2. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà óðàâíåíèé ìïï 4x + ay = 1 + a, í ïïî(a + 6)x + 2y = 3 + a. ðåøåíèé íå èìååò. 3. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà óðàâíåíèé ìï 9 ïï(a - 2)x + 27y = , 2 í ïï 2 x ( a 1) y 1. + + = ïî èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé. 4. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà óðàâíåíèé ìï2x + 3y = 5, ïï ïíx - y = 2, ïï ïïîx + 4y = a èìååò ðåøåíèÿ, è íàéäèòå ýòè ðåøåíèÿ. Îòâåòû: 1) (-¥;-4)  (-4; +¥) ; 2) −4; 3) −7; 4) a = 3, æ11 1 ÷ö çç ; ÷ . è 5 5 ÷ø

5.2. Çàäà÷è íà ñîñòàâëåíèå ñèñòåì ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè Çàäà÷è íà ñîñòàâëåíèå ñèñòåì óðàâíåíèé ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ ñðåäè çàäà÷, ïðåäëàãàåìûõ íà âûïóñêíûõ è âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíàõ. Ýòî çà156


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

äà÷è íà ñîâìåñòíóþ ðàáîòó, äâèæåíèå ïî òå÷åíèþ è ïðîòèâ òå÷åíèÿ è ò.ï. Ïðèìåð 9. Ñóììà öèôð äâóçíà÷íîãî ÷èñëà ðàâíà 12. Öèôðà äåñÿòêîâ â 12 ðàç ìåíüøå ñàìîãî ÷èñëà. Íàéäèòå ÷èñëî. Ðåøåíèå. Ïóñòü õ — öèôðà åäèíèö, à ó — öèôðà äåñÿòêîâ èñêîìîãî ÷èñëà. Èç óñëîâèÿ çàäà÷è ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé ìïïx + y = 12, í ïïî12y = 10y + x. Ðåøàåì ñèñòåìó ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. ì ì x + y = 12, ï ïx + y = 12, ï ï  í í ï ï12y = 10y + x. ï ïx = 2y î î ïì3y = 12, ïìïy = 4,  ïí í ïîïx = 2y ïîïx = 8. Èñêîìîå ÷èñëî — 48. Îòâåò: 48.

Ïðèìåð 10. Íàòóðàëüíîå äâóçíà÷íîå ÷èñëî â 5 ðàç áîëüøå ñóììû åãî öèôð. Åñëè ê ÷èñëó ïðèáàâèòü 9, òî ïîëó÷èòñÿ ÷èñëî, çàïèñàííîå òåìè æå öèôðàìè, íî â îáðàòíîì ïîðÿäêå. Íàéäèòå èñõîäíîå ÷èñëî. Ðåøåíèå. Ïóñòü õ — öèôðà åäèíèö, à ó — öèôðà äåñÿòêîâ èñêîìîãî ÷èñëà. Èç óñëîâèÿ çàäà÷è ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé ïìï10y + x = 5(x + y), í ïïî10y + x + 9 = 10x + y. ïïì10y + x = 5(x + y), ïì4x - 5y = 0,  ïí  í ïîï10y + x + 9 = 10x + y. ïïîx - y = 1

ïìïx = 5, í ïïîy = 4.

Èñêîìîå ÷èñëî — 45. Îòâåò: 45. Ïðèìåð 11. Äâîå ðàáî÷èõ âûïîëíèëè íåêîòîðóþ ðàáîòó çà 11 äíåé, ïðè÷åì ïîñëåäíèå òðè äíÿ ðàáîòàë òîëüêî ïåðâûé ðàáî÷èé. Èçâåñòíî, ÷òî çà ïåðâûå 7 äíåé îíè âìåñòå âûïîëíèëè 80% ðàáîòû. Çà ñêîëüêî äíåé ïåðâûé ðàáî÷èé ìîæåò âûïîëíèòü âñþ ðàáîòó, ðàáîòàÿ ñàìîñòîÿòåëüíî? 157


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Òèïè÷íàÿ çàäà÷à íà ñîâìåñòíóþ ðàáîòó, ïðîèçâîäèìóþ íåñêîëüêèìè ó÷àñòíèêàìè. Îñíîâíîå ïîíÿòèå, ñâÿçàííîå ñ ðåøåíèåì ïîäîáíîãî òèïà çàäà÷, — ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà êàæäîãî èç ó÷àñòíèêîâ, ò.å. ÷àñòü ðàáîòû, âûïîëíÿåìàÿ êàæäûì ó÷àñòíèêîì çà åäèíèöó âðåìåíè. Ïðîèçâîäèòåëüíîñòü òðóäà, òàêèì îáðàçîì, åñòü âåëè÷èíà, îáðàòíàÿ âðåìåíè, íåîáõîäèìîìó ó÷àñòíèêó äëÿ âûïîëíåíèÿ âñåé ðàáîòû.  ñëó÷àå âûïîëíåíèÿ ó÷àñòíèêàìè «îäíîíàïðàâëåííîé» ðàáîòû ñîâìåñòíàÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòü ðàâíà ñóììå ïðîèçâîäèòåëüíîñòåé êàæäîãî èç ó÷àñòíèêîâ. Åñëè æå ó÷àñòíèêàìè âûïîëíÿåòñÿ «ðàçíîíàïðàâëåííàÿ» ðàáîòà, êàê, íàïðèìåð, â ñëó÷àå, êîãäà áàññåéí íàïîëíÿåòñÿ ÷åðåç íåñêîëüêî êðàíîâ, à ÷åðåç äðóãîå êîëè÷åñòâî êðàíîâ òîò æå áàññåéí îïîðîæíÿåòñÿ, ñîâìåñòíàÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòü åñòü àëãåáðàè÷åñêàÿ ñóììà ïðîèçâîäèòåëüíîñòåé êàæäîãî ó÷àñòíèêà. Ïîäîáíûå çàäà÷è áóäóò ðàññìîòðåíû íèæå. Ðåøåíèå. Ïóñòü ïåðâûé ðàáî÷èé ìîæåò âûïîëíèòü âñþ ðàáîòó çà õ äíåé, à âòîðîé — çà ó äíåé. Ïðîèçâîäèòåëüíîñòü ïåðâîãî, 1 òàêèì îáðàçîì, áóäåò ðàâíà ÷àñòè ðàáîòû â äåíü, à âòîx 1 ÷àñòè ðàáîòû. ðîãî — y Ïåðâîå óñëîâèå çàäà÷è ãîâîðèò î òîì, ÷òî åñëè ïåðâûé ðàáî÷èé áóäåò ðàáîòàòü 11 äíåé, à âòîðîé — 8 äíåé, òî áóäåò 11 8 âûïîëíåíà âñÿ ðàáîòà, ò.å. ïîëó÷èì, ÷òî + = 1 . Âòîðîå x y óñëîâèå çàäà÷è ãîâîðèò î òîì, ÷òî çà 7 äíåé ñîâìåñòíîé ðàáîæ1 1ö 4 4 ðàáîòû, ò.å. 7 çç + ÷÷÷ = . òû îíè âûïîëíèëè 80%, èëè çè x y ÷ø 5 5 Ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé ìï11 8 ïï + = 1, ïï x y í ïï 1 1 1 ïï + = . ïî x y 35 Íàì íå íàäî íàõîäèòü âðåìÿ ðàáîòû êàæäîãî ó÷àñòíèêà, à òîëüêî âðåìÿ ðàáîòû ïåðâîãî. Ïîýòîìó, óìíîæàÿ âòîðîå óðàâíåíèå íà 8 è âû÷èòàÿ ïîëó÷åííîå ïðîèçâåäåíèå èç ïåð158


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

3 32 3 âîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû, ïîëó÷èì, ÷òî: . Ñëå= 1= x 35 35 1 1 äîâàòåëüíî, =  x = 35 . x 35 Îòâåò: ïåðâûé ðàáî÷èé ìîæåò âûïîëíèòü âñþ ðàáîòó çà 35 äíåé.

Ïðèìåð 12. Ïîåçä ïðîõîäèò ìèìî íàáëþäàòåëÿ â òå÷åíèå t1 ñåêóíä, à ìèìî ìîñòà äëèíîé l ìåòðîâ — â òå÷åíèå t2 ñåêóíä. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü è äëèíó ïîåçäà. Ðåøåíèå. Âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ ïîåçäà ìèìî íàáëþäàòåëÿ îïðåäåëÿåòñÿ ñ ìîìåíòà, êîãäà ñ íèì ïîðàâíÿåòñÿ ãîëîâà ïîåçäà, è äî ìîìåíòà, êîãäà åãî ìèíóåò õâîñò ïîåçäà. Òî åñòü, åñëè õ ìåòx ðîâ — äëèíà ïîåçäà, à V ì/ñ — åãî ñêîðîñòü, òî t1 = . V Âðåìÿ ïðîõîæäåíèÿ ïîåçäà ÷åðåç ìîñò îïðåäåëÿåòñÿ ñ ìîìåíòà, êîãäà ãîëîâà ïîåçäà ïîðàâíÿåòñÿ ñ íà÷àëîì ìîñòà, è äî ìîìåíòà, êîãäà õâîñò ïîåçäà ïîðàâíÿåòñÿ ñ åãî êîíöîì â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ. Íî â ýòîò ìîìåíò ãîëîâà ïîåçäà êðîìå äëèíû ìîñòà ïåðåìåñòèòñÿ åùå è íà äëèíó ïîåçäà. l+x l x Ïîýòîìó: t2 = = + . V V V Ïîëó÷èì ïðîñòóþ ñèñòåìó: x ìï ïït1 = , V ï í ïï l x ïït2 = + . V V îï Ðåøàÿ, ïîëó÷èì: ìï l x ìï ïïV = , ìï l ïït1 = , ïï = t2 - t1, ïï t2 - t1 V ï  íV í í ïï ï ïï l x l ⋅ t1 x= . ïït2 = + . îïïx = V ⋅ t1 ï V V t2 - t1 ïî ïîï l ⋅ t1 l Îòâåò: äëèíà ïîåçäà ìåòðîâ, ñêîðîñòü t2 - t1 t2 - t1 ì/ñ. Ïðèìåð 13. Åñëè áîëüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ðàçäåëèòü íà ìåíüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, òî â ÷àñòíîì ïîëó÷èòñÿ 1, à â îñòàòêå 12. Åñëè æå ê ìåíüøåìó ÷èñëó ïðèïèñàòü ñïðà159


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

âà 0, à çàòåì ïîëó÷åííîå ÷èñëî ðàçäåëèòü íà áîëüøåå, òî â ÷àñòíîì ïîëó÷èòñÿ 6, à â îñòàòêå 28. Íàéäèòå ýòè ÷èñëà. Åùå îäèí ÷àñòî âñòðå÷àþùèéñÿ òèï çàäà÷ íà ñîñòàâëåíèå ñèñòåìû óðàâíåíèé. Íàïîìíèì, ÷òî ðàçäåëèòü íàòóðàëüíîå ÷èñëî N íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî m — ýòî çíà÷èò ïðåäñòàâèòü ïåðâîå ÷èñëî â âèäå N = c ⋅ m + r . ×èñëî ñ íàçûâàåòñÿ íåïîëíûì ÷àñòíûì, à íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî r, 0 £ r < m — îñòàòêîì îò äåëåíèÿ. Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èâ áîëüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî ÷åðåç õ, à ìåíüøåå ÷åðåç ó, ïîëó÷èì, ÷òî ïåðâîå óñëîâèå çàäà÷è çàïèøåòñÿ â âèäå: x = y +12 . Ïðèïèñàòü ê íàòóðàëüíîìó ÷èñëó 0 ñïðàâà îçíà÷àåò, ÷òî äàííîå ÷èñëî óìíîæåíî íà 10. Ïîýòîìó âòîðîå óñëîâèå çàäà÷è çàïèøåòñÿ â âèäå: 10y = 6x + 28. Ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé: ïìïx = y + 12, ïìx - y = 12,  ïí í ïîï10y = 6x + 28 ïîï3x - 5y = -14. Îïóñêàÿ ïðîöåññ ðåøåíèÿ ñèñòåìû, ïîëó÷èì, ÷òî ïìïx = 37, í ïïîy = 25. Îòâåò: Èñêîìûå ÷èñëà 37 è 25.

Óïðàæíåíèå 3. 1. Ñóììà öèôð íàòóðàëüíîãî äâóçíà÷íîãî ÷èñëà ðàâíà 11. Åñëè èç ÷èñëà âû÷åñòü 63, òî ïîëó÷èòñÿ ÷èñëî, çàïèñàííîå òåìè æå öèôðàìè, íî â îáðàòíîì ïîðÿäêå. Íàéäèòå èñõîäíîå ÷èñëî. 2. Ñóììà öèôð äâóçíà÷íîãî ÷èñëà â 5 ðàç ìåíüøå ñàìîãî ÷èñëà, à öèôðà äåñÿòêîâ íà 1 ìåíüøå öèôðû åäèíèö. Íàéäèòå ÷èñëî. 3. Åñëè èç íàòóðàëüíîãî äâóçíà÷íîãî ÷èñëà âû÷åñòü 63, òî ïîëó÷èòñÿ ÷èñëî, çàïèñàííîå òåìè æå öèôðàìè, íî â îáðàòíîì ïîðÿäêå. Íàéäèòå èñõîäíîå ÷èñëî, åñëè öèôðà äåñÿòêîâ, óìåíüøåííàÿ íà 1, â 4 ðàçà áîëüøå öèôðû åäèíèö ÷èñëà. 4. Ñóììà ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî ÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ðàâíà 3. Ñóììà âòîðîãî, òðåòüåãî è ïÿòî160


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

ãî åå ÷ëåíîâ ðàâíà 11. Íàéäèòå ïåðâûé ÷ëåí ïðîãðåññèè è ðàçíîñòü ïðîãðåññèè. 5. Ñóììà âòîðîãî, òðåòüåãî è ÷åòâåðòîãî ÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ðàâíà 12, à ñóììà òðåòüåãî, ÷åòâåðòîãî è ïÿòîãî ÷ëåíîâ — 21. Íàéäèòå äåñÿòûé ÷ëåí ïðîãðåññèè. Îòâåòû: 1) 92; 2) 45; 3) 92; 4) –1; 2; 5) 127. Óïðàæíåíèå 4. 1. Äâîå ðàáî÷èõ ìîãóò âûïîëíèòü íåêîòîðóþ ðàáîòó çà 12 äíåé. Îäíàêî ïîñëå 8 äíåé ñîâìåñòíîé ðàáîòû ïåðâûé ðàáî÷èé ïðåêðàòèë åå èñïîëíåíèå, òàê ÷òî âòîðîìó äëÿ åå çàâåðøåíèÿ ïîòðåáîâàëîñü åùå 5 äíåé. Çà êàêîå êîëè÷åñòâî äíåé êàæäûé ðàáî÷èé, ðàáîòàÿ ñàìîñòîÿòåëüíî, ìîæåò âûïîëíèòü âñþ ðàáîòó? 2. Äàíû äâà äâóçíà÷íûõ ÷èñëà. Ñíà÷àëà ê áîëüøåìó äâóçíà÷íîìó ÷èñëó ïðèïèñàëè ñïðàâà íîëü è çà íèì ìåíüøåå äâóçíà÷íîå ÷èñëî, çàòåì ê ìåíüøåìó ïðèïèñàëè ñïðàâà íîëü, à çàòåì áîëüøåå äâóçíà÷íîå ÷èñëî. Áîëüøåå ïÿòèçíà÷íîå ÷èñëî ðàçäåëèëè íà ìåíüøåå ïÿòèçíà÷íîå ÷èñëî.  ÷àñòíîì ïîëó÷èëîñü 2, à â îñòàòêå 590. Íàéäèòå äâóçíà÷íûå ÷èñëà, åñëè ñóììà óäâîåííîãî áîëüøåãî ÷èñëà è óòðîåííîãî ìåíüøåãî ÷èñëà ðàâíà 72. 3. Äâà áóëüäîçåðà ðàçëè÷íîé ìîùíîñòè äîëæíû áûëè ðàñ÷èñòèòü ó÷àñòîê. Ïîñëå òîãî êàê ïåðâûé ðàáîòàë â òå÷å2 òîãî âðåìåíè, êîòîðîå íóæíî áûëî áû âòîðîìó, ÷òîíèå 5 áû âûïîëíèòü âñþ ðàáîòó, ê íåìó ïðèñîåäèíèëñÿ âòîðîé, è ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ îíè çàêîí÷èëè âñþ ðàáîòó. Åñëè áû áóëüäîçåðû ñ ñàìîãî íà÷àëà ðàáîòàëè âìåñòå, òî ðàáîòà áûëà áû âûïîëíåíà íà 2 ÷àñà 15 ìèíóò áûñòðåå, ïðè÷åì òîãäà ïåðâûé áóëüäîçåð ðàñ÷èñòèë áû ó÷àñòîê, â 5 ðàç áîëüøèé, ÷åì ôàêòè÷åñêè ñäåëàë âòîðîé áóëüäîçåð. Çà êàêîå âðåìÿ êàæäûé áóëüäîçåð, ðàáîòàÿ îòäåëüíî, ìîæåò ðàñ÷èñòèòü âåñü ó÷àñòîê? 4. Äâå òðóáû, ðàáîòàÿ âìåñòå, ïîäàþò â áàê 100 ë æèäêîñòè â ìèíóòó. Èìåþòñÿ äâà ðàñòâîðà êèñëîòû — ñèëüíûé è ñëàáûé. Åñëè ñìåøàòü ïî 10 ë êàæäîãî ðàñòâîðà è 20 ë âîäû, òî ïîëó÷èòñÿ 40 ë 20%-íîãî ðàñòâîðà. Èçâåñòíî òàêæå, ÷òî åñëè â òå÷åíèå ÷àñà ïîäàâàòü â ïåðâîíà÷àëüíî ïóñòîé 161


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

áàê ïî ïåðâîé òðóáå ñëàáûé ðàñòâîð, à ïî âòîðîé — ñèëüíûé ðàñòâîð, òî ïîëó÷èòñÿ 30%-íûé ðàñòâîð êèñëîòû. Êàêîé êîíöåíòðàöèè ïîëó÷èòñÿ êèñëîòà, åñëè ïîäàâàòü â ïåðâîíà÷àëüíî ïóñòîé áàê ïî ïåðâîé òðóáå ñèëüíûé ðàñòâîð, à ïî âòîðîé — ñëàáûé? 5. Èç ïóíêòà À ïî îäíîìó øîññå âûåçæàþò îäíîâðåìåííî äâà àâòîìîáèëÿ, à ÷åðåç ÷àñ âñëåä çà íèìè âûåçæàåò òðåòèé. Åùå ÷åðåç ÷àñ ðàññòîÿíèå ìåæäó òðåòüèì è ïåðâûì àâòîìîáèëÿìè óìåíüøèëîñü â ïîëòîðà ðàçà, à ìåæäó òðåòüèì è âòîðûì — â äâà ðàçà. Ñêîðîñòü êàêîãî àâòîìîáèëÿ, ïåðâîãî èëè âòîðîãî, áîëüøå è âî ñêîëüêî ðàç? (Èçâåñòíî, ÷òî òðåòèé àâòîìîáèëü íå îáãîíÿë ïåðâûõ äâóõ.) Îòâåòû: 1) 60 è 15 äíåé; 2) 21 è 10; 3) 9 è 15 ÷àñîâ; 4) 50%; 5) ñêîðîñòü ïåðâîãî àâòîìîáèëÿ â 9/8 ðàçà áîëüøå, ÷åì âòîðîãî.

5.3. Ðåøåíèå ñèñòåì òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ íåèçâåñòíûìè Ñèñòåìîé òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ íåèçâåñòíûìè íàçûâàåòñÿ ñèñòåìà âèäà ìïa1x + b1y + c1z = d1, ïï ïía x + b y + c z = d , 2 2 2 ïï 2 ïïîa3 x + b3 y + c3 z = d3 , ãäå a12 + b12 + c12 ¹ 0 , a22 + b22 + c22 ¹ 0 , a32 + b32 + c32 ¹ 0 . Ñèñòåìû òðåõ ëèíåéíûõ óðàâíåíèé îïèñûâàþò âçàèìíîå ðàñïîëîæåíèå òðåõ ïëîñêîñòåé â ïðîñòðàíñòâå è ÷àñòî ïîÿâëÿþòñÿ ïðè ðåøåíèè ãåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷. Àíàëîãè÷íî ðàçîáðàííûì âûøå ñèñòåìàì ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè, îñíîâíûì ìåòîäîì ðåøåíèÿ äàííûõ ñèñòåì îñòàåòñÿ ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíîãî èñêëþ÷åíèÿ íåèçâåñòíûõ. Íåòðóäíî äîêàçàòü, ÷òî, êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, êîýôôèöèåíò ïðè íåèçâåñòíîé â óðàâíåíèè, ïîëó÷åííîì ïîñëå èñêëþ÷åíèÿ äâóõ äðóãèõ, íå çàâèñèò îò ïîðÿäêà èñêëþ÷åíèÿ ïåðåìåííûõ è çàâèñèò òîëüêî îò êîýôôèöèåíòîâ èñõîäíîé ñèñòåìû. Êàê è â ñëó÷àå ñèñòåìû ñ äâóìÿ ïåðåìåííûìè, ýòîò êîýôôèöèåíò íàçûâàåòñÿ îïðåäåëèòåëåì ñèñòåìû è ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå òàáëèöû 162


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

a1 b1 c1 Δ = a2 b2 c2 . a3 b3 c3 Ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ñïîñîáîâ âû÷èñëåíèÿ îïðåäåëèòåëÿ òðåòüåãî ïîðÿäêà è îäèí èç íèõ — ðåêóððåíòíûé. a1 Δ = a2 a3 b2 c2

= a1 ⋅

b1 b2 b3

c1 a1 c2 = b1 c3 c1

b3 b1 - a2 ⋅ c3 c1

a2 b2 c2

a3 b3 = c3

b3 b1 + a3 ⋅ c3 c1

b2 . c2

Ïðèâåäåííîå ïðàâèëî âû÷èñëåíèÿ òàêæå íàçûâàåòñÿ ïðàâèëîì Êðàìåðà. Êîýôôèöèåíòû ïðàâûõ ÷àñòåé óðàâíåíèé, ïîëó÷àþùèåñÿ ïîñëå èñêëþ÷åíèÿ äâóõ íåèçâåñòíûõ, íàçûâàþòñÿ ÷àñòíûìè îïðåäåëèòåëÿìè è, ïîäîáíî îïðåäåëèòåëþ ñèñòåìû, çàïèñûâàþòñÿ â âèäå: d1 b1 c1 d1 d2 d3 Δ x = d2 b2 c2 = b1 b2 b3 = d3 b3 c3 c1 c2 c3 = d1 ⋅

b2 c2

b3 b1 - d2 ⋅ c3 c1

a1 Δ y = a2 a3 = a1 ⋅

d2 c2

b2 d2

c1 a1 c2 = d1 c3 c1

a2 d2 c2

b2 , c2

a3 d3 = c3

d3 d1 d3 d1 d2 , - a2 ⋅ + a3 ⋅ c3 c1 c3 c1 c2

a1 Δ z = a2 a3 = a1 ⋅

d1 d2 d3

b3 b1 + d3 ⋅ c3 c1

b1 b2 b3

d1 a1 d2 = b1 d3 d1

a2 b2 d2

a3 b3 = d3

b3 b1 b3 b1 b2 . - a2 ⋅ + a3 ⋅ d3 d1 d3 d1 d2 163


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

 îáùåì ñëó÷àå ñèñòåìà ìîæåò áûòü ïðèâåäåíà ê âèäó ìïΔ ⋅ x = Δ x , ïï ïíΔ ⋅ y = Δ , y ïï ïïîΔ ⋅ z = Δ z . Åñëè îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû îòëè÷åí îò íóëÿ, òî ñèñòåìà áóäåò èìåòü åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, îïðåäåëÿåìîå èç ñîîòíîøåíèé: ìï Δ ïïx = x , ïï Δ ïï Δ ïíy = y , ïï Δ ïï Δ ïïz = z . ïïî Δ Åñëè îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû è âñå ÷àñòíûå îïðåäåëèòåëè îäíîâðåìåííî ðàâíû íóëþ, òî ñèñòåìà èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé, îäíàêî èõ âèä îïðåäåëÿåòñÿ êîíêðåòíûì âèäîì ñèñòåìû. Åñëè îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû ðàâåí íóëþ, à õîòÿ áû îäèí èç ÷àñòíûõ îïðåäåëèòåëåé îòëè÷åí îò íóëÿ, òî ñèñòåìà ðåøåíèé èìåòü íå áóäåò. Ïðèìåð 14. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ïìïx + 2y + 3z = 7, ïï íx + 3y + 2z = 8, ïï ïïî2x + y + 3z = 9. Ðåøåíèå. Âû÷èñëèì îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû: 1 2 3 3 2 1 2 1 3 Δ = 1 3 2 = 1⋅ - 2⋅ + 3⋅ = -6 . 1 3 2 3 2 1 2 1 3

Òàê êàê îïðåäåëèòåëü îòëè÷åí îò íóëÿ, äàííàÿ ñèñòåìà áóäåò èìåòü åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Íàéäåì ÷àñòíûå îïðåäåëèòåëè. 7 8 9 3 1 2 1 2 3 Δx = 2 3 1 = 7⋅ -8⋅ + 9⋅ = -20 . 2 3 3 3 3 2 3 2 3 164


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

1 1 2 8 9 7 9 7 8 Δ y = 7 8 9 = 1⋅ -1⋅ + 2⋅ = -8 . 2 3 3 3 3 2 3 2 3 1 1 2 3 1 2 1 2 3 Δ z = 2 3 1 = 1⋅ - 1⋅ + 2⋅ = -2 . 8 9 7 9 7 8 7 8 9

Íàéäåì ðåøåíèÿ ñèñòåìû: Δy 4 Δ Δ 10 1 ; y= x= x = = ; z= z = . Δ Δ Δ 3 3 3 æ10 4 1 ö Îòâåò: çç ; ; ÷÷÷ . è 3 3 3ø Íàäî çàìåòèòü, ÷òî ðåøåíèå ñèñòåì ìåòîäîì Êðàìåðà òðåáóåò òîëüêî àêêóðàòíîñòè. Îäíàêî è ìåòîä àëãåáðàè÷åñêîãî ñëîæåíèÿ óðàâíåíèé ñèñòåì ÿâëÿåòñÿ ðàâíîïðàâíûì ìåòîäîì. Ïðèìåð 15. Ðåøèòå ñèñòåìó ìï5732x + 2134y + 2134z = 7866, ïï ïí2134x + 5732y + 2134z = 670, ïï ïïî2134x + 2134y + 5732z = 11464. Ðåøåíèå. Çàìåíèì îäíî èç óðàâíåíèé ñèñòåìû ñóììîé óðàâíåíèé. Ïîëó÷èì, ÷òî 10000(x + y + z) = 20000   x+y+z=2. Ïîñëå ýòîãî ñèñòåìà çàïèøåòñÿ òàê: ìïx + y + z = 2, ïï ïí2134x + 5732y + 2134z = 670, ïï ïïî2134x + 2134y + 5732z = 11464. Óìíîæàÿ ïåðâîå óðàâíåíèå íà −2134 è ñêëàäûâàÿ ïîëó÷åííîå ïðîèçâåäåíèå ñ êàæäûì èç äâóõ îñòàâøèõñÿ óðàâíåíèé, ïîëó÷èì, ÷òî ì ï x + y + z = 2, ïìïx + y + z = 2, ìïïx = 1, ï ï ï ï ï  ïíy = -1, í2134x + 5732y + 2134z = 670,  ï íy = -1, ï ï ïï ï ï ï ï ïïîz = 2. z = 2 2134 x + 2134 y + 5732 z = 11464 ï ï î î Îòâåò: (1;-1;2) . 165


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 16. Èññëåäîâàòü ñèñòåìó óðàâíåíèé ìïax + y + z = 1, ïï ïíx + ay + z = a, ïï ïïx + y + az = a2 . ïî Ðåøåíèå. Âû÷èñëèì îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû óðàâíåíèé: a 1 1 1 1 1 a a 1 Δ = 1 a 1 = a⋅ - 1⋅ + 1⋅ = 1 a 1 a 1 1 1 1 a = a(a2 -1) - (a -1) + (1 - a) = a3 - 3a + 2 = = (a -1)(a2 + a - 2) = (a -1)2 (a + 2) .

Íàéäåì ÷àñòíûå îïðåäåëèòåëè: 1 Δx = a a

2

1 1 a a 1 a 1= - 2 1 a a 1 a

1 a

+

a

a

2

1

a

=

2

= a -1 + a - a3 = -a3 + a2 + a -1 = -(a -1)2 (a + 1) .

Âû÷èñëÿÿ îñòàâøèåñÿ îïðåäåëèòåëè, ïîëó÷èì: a Δy = 1

1 a

1 a2

1 a = (a -1)2 , Δ z = (a -1)2 (a + 1)2 . a

Ðàññìîòðèì âñå âîçìîæíûå ñëó÷àè è çàïèøåì îòâåò. Îòâåò: Åñëè îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû îòëè÷åí îò íóëÿ, ò.å. a ¹1 , a ¹ -2 , òî ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ìï ïïx = - a + 1 , ïï a +2 ïï 1 ï , íy = ïï a +2 ïï (a + 1)2 ïï z . = ïï a +2 ïî

Ïðè a = 1 âñå îïðåäåëèòåëè ñèñòåìû ðàâíû íóëþ, ïîýòîìó ñèñòåìà èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé âèäà 166


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

ìïy = y0 , ïï ïíz = z , y0 Î R , z0 Î R . 0 ïï ïïîx = 1 - y0 - z0 , Ïðè a = –2 ñèñòåìà óðàâíåíèé ðåøåíèÿ íå èìååò.

5.4. Ðåøåíèå çàäà÷, ïðèâîäÿùèõ ê ñèñòåìàì òðåõ è áîëåå óðàâíåíèé Ïðèìåð 17. Íà çàâîäå åñòü òðè òèïà ñòàíêîâ ðàçëè÷íîé ïðîèçâîäèòåëüíîñòè. Òðè ñòàíêà ïåðâîãî òèïà, ÷åòûðå âòîðîãî è äâà òðåòüåãî òèïà ìîãóò âûïîëíèòü íåêîòîðóþ ðàáîòó çà äâà ÷àñà. Äâà ñòàíêà ïåðâîãî òèïà, ïÿòü âòîðîãî è ÷åòûðå òðåòüåãî — çà òðè ÷àñà. Îáúåì ðàáîòû óâåëè÷èëè â 3,5 ðàçà. Çà êàêîå âðåìÿ ìîãóò âûïîëíèòü ýòîò îáúåì ðàáîòû 21 ñòàíîê ïåðâîãî òèïà, 42 ñòàíêà âòîðîãî è 30 ñòàíêîâ òðåòüåãî òèïà? Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ðåøåíèÿ çàäà÷ íà ñîâìåñòíóþ ðàáîòó. Îáîçíà÷èâ ÷åðåç õ, ó, z ñîîòâåòñòâåííî ïðîèçâîäèòåëüíîñòè ñòàíêîâ ïåðâîãî, âòîðîãî è òðåòüåãî òèïîâ, ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé: ìï 1 ïï3x + 4y + 2z = , ïï 2 ïï 1 ïí2x + 5y + 4z = , ïï 3 ïï ïï21x + 42y + 30z = 7 , ïïî 2t ãäå t — èñêîìîå âðåìÿ ðàáîòû. Íàéäåì îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû: 3 4 2 Δ= 2 5 4 =0. 21 42 30

Òàê êàê îïðåäåëèòåëü ñèñòåìû ðàâåí íóëþ, à ñèñòåìà òåì íå ìåíåå äîëæíà èìåòü ðåøåíèÿ, òî âñå ÷àñòíûå îïðåäåëèòåëè òîæå äîëæíû áûòü ðàâíû íóëþ. Íàéäåì ïåðâûé ÷àñòíûé îïðåäåëèòåëü: 167


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

1 4 2 2 1 21 5 4 = - 21 . Δx = 3 t 7 42 30 2t Ïîëó÷èì, ÷òî ïåðâûé îïðåäåëèòåëü ðàâåí íóëþ ïðè t = 1. Îñòàåòñÿ óáåäèòüñÿ, ÷òî è äðóãèå òîæå. Îòâåò: 1 ÷àñ.

Âòîðîå ðåøåíèå. Èíîãäà çàäà÷è ïîäîáíîãî òèïà, ò.å. òå, â êîòîðûõ, çíàÿ çíà÷åíèÿ íåêîòîðûõ ëèíåéíûõ êîìáèíàöèé âåëè÷èí, íàäî íàéòè çíà÷åíèå åùå îäíîé èõ êîìáèíàöèè, ðåøàþòñÿ ñëåäóþùèì ìåòîäîì. Áóäåì èñêàòü òàêèå ÷èñëà k è m, ÷òîáû k(3x + 4y + 2z) + m(2x + 5y + 4z) = 21x + 42y + 30z

ïðè èñêîìûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ. Ïðèäåì ê òîìó, ÷òî äîëæíà èìåòü ðåøåíèå ñèñòåìà ìï3k + 2m = 21, ïï ïí4k + 5m = 42, ïï ïïî2k + 4z = 30.  îòëè÷èå îò ïåðâîãî ñïîñîáà ðåøåíèÿ, â êîòîðîì âîçíèêëà ñèñòåìà òðåõ óðàâíåíèé, ñîäåðæàùàÿ ÷åòûðå íåèçâåñòíûõ, â äàííîì ñïîñîáå ðåøåíèÿ âîçíèêàåò ñèñòåìà îïÿòü æå òðåõ óðàâíåíèé, íî âñåãî ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè. Ðåøàÿ ïåðâûå äâà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû, ïîëó÷èì, ÷òî k = 3, m = 6. Ïîäñòàíîâêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî íàéäåííàÿ ïàðà ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì òðåòüåãî óðàâíåíèÿ. 7 1 1 7 7 = 3⋅ + 6 ⋅  =  t = 1 . Íî òîãäà 2t 2 3 2t 2 Ñíîâà ïîëó÷èì, ÷òî óâåëè÷åííûé îáúåì ðàáîòû áóäåò âûïîëíåí çà 1 ÷àñ. Îòâåò: 1 ÷àñ. Ïðèìåð 18.  áàññåéí ïðîâåäåíû òðè êðàíà À, Â, Ñ. ×åðåç ïåðâûå äâà êðàíà âîäà ïîñòóïàåò â áàññåéí, ÷åðåç òðåòèé êðàí îòâîäèòñÿ èç íåãî. Åñëè îòêðûòü êðàíû À è Ñ, òî áàñ168


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

ñåéí íàïîëíèòñÿ çà 60 ÷àñîâ, åñëè æå îòêðûòü êðàíû  è Ñ, òî çà 30 ÷àñîâ. Åñëè æå êðàí À îòêðûòü íà 2 ÷àñà, çàòåì, çàêðûâ åãî, îòêðûòü êðàí  íà 1 ÷àñ, òî áóäåò çàïîëíåíà òà ÷àñòü áàññåéíà, êîòîðóþ ÷åðåç êðàí Ñ ìîæíî îïîðîæíèòü çà 4 ÷àñà. Çà êàêîå âðåìÿ êðàíû À è Â, ðàáîòàÿ ñîâìåñòíî, ìîãóò íàïîëíèòü âåñü áàññåéí? Êàê áûëî ñêàçàíî âûøå, ðàáîòà, ïðîèçâîäèìàÿ ó÷àñòíèêàìè, ìîæåò áûòü «ðàçíîíàïðàâëåííîé».  ýòîì ñëó÷àå ñîâìåñòíàÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòü äâóõ ó÷àñòíèêîâ ðàâíà ðàçíîñòè ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðîèçâîäèòåëüíîñòåé êàæäîãî èç íèõ. Ðåøåíèå. Ïóñòü õ è ó — ïðîèçâîäèòåëüíîñòè êðàíîâ À è Â, ò.å. òå ÷àñòè îáúåìà áàññåéíà, êîòîðóþ êàæäûé èç íèõ ìîæåò çàïîëíèòü çà 1 ÷àñ, à z — ïðîèçâîäèòåëüíîñòü êðàíà Ñ, ò.å. òà ÷àñòü îáúåìà áàññåéíà, êîòîðóþ îí îïîðîæíÿåò çà îäèí ÷àñ. Èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå ñîâìåñòíîé ïðîèçâîäèòåëüíîñòè, ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé: ìï 1 ïïx - z = , ïï 60 ïï ïíy - z = 1 , ïï 30 ïï2x + y = 4z. ïï ïïî ì ì 1 1 ï ï ï x-z = x-z = , ï , ï ï ï ï 60 60 ï ï ï ï 1 1 ï ï ï , ï , íy - z = íy - z = ï ï 30 30 ï ï ï ï ï 2x + y = 4z ï 2x + y - 4z = 0. ï ï ï ï ï ï ï ï î î Óìíîæàÿ ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû íà 2, ñêëàäûâàÿ ïîëó÷åííîå ïðîèçâåäåíèå ñî âòîðûì óðàâíåíèåì è âû÷èòàÿ 1 èç ñóììû òðåòüå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì z = . Äàëåå î÷åíü 15 1 1 , y= . Ñêëàäûâàÿ, ïîëó÷àåì ïðîñòî íàõîäèì, ÷òî x = 12 10 11 . Òàêèì îáðàçîì, êðàíû À è Â, ðàáîòàÿ ñîâìåñòíî, x+y= 60 5 ÷àñà. íàïîëíÿò áàññåéí çà 5 11 5 ÷àñà. Îòâåò: 5 11 169


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 19. Çà ñêîëüêî äíåé êàæäûé ðàáî÷èé ñìîæåò âûïîëíèòü íåêîòîðóþ ðàáîòó, åñëè ïåðâûé è âòîðîé, ðàáîòàÿ ñîâìåñòíî, âûïîëíÿò åå çà ñ äíåé, âòîðîé è òðåòèé — çà à äíåé, òðåòèé è ïåðâûé — çà b äíåé? Ðåøåíèå. Èñïîëüçóÿ ïîíÿòèå ñîâìåñòíîé ïðîèçâîäèòåëüíîñòè è îáîçíà÷àÿ âðåìÿ, òðåáóþùååñÿ êàæäîìó ðàáî÷åìó ÷åðåç õ, ó, z äíåé ñîîòâåòñòâåííî, ïîëó÷èì ñèñòåìó: ìï 1 1 1 ïï + = , ïï x y c ïï ïí 1 + 1 = 1 , ïï y z a ïï ïï1 + 1 = 1 . ïï z x b î Ñêëàäûâàÿ ïîëó÷åííûå óðàâíåíèÿ è äåëÿ îáå ÷àñòè ïîïîëàì, ïîëó÷èì, ÷òî ñîâìåñòíàÿ ïðîèçâîäèòåëüíîñòü âñåõ òðåõ ðàáî÷èõ 1 1 1 1 æ 1 1 1 ö÷ + + = çç + + ÷ . x y z 2 è a b c ø÷ Âû÷èòàÿ èç ïîëó÷åííîé ñóììû ñîîòâåòñòâóþùèå ðàâåíñòâà, èìååì: 1 1 æ 1 1 1 ö÷ 1 1 æ 1 1 1 ö÷ 1 1 æ 1 1 1 ö÷ = çç + - ÷ , = çç- + + ÷ , = çç - + ÷ . z 2 è a b c ø÷ x 2 è a b c ø÷ y 2 è a b c ø÷ Ñëåäîâàòåëüíî,

ïåðâîìó

ðàáî÷åìó äëÿ âûïîëíåíèÿ 2abc ÷àñîâ, âòîðîìó — âñåé ðàáîòû ïîòðåáóåòñÿ x = ab + ac - bc 2abc 2abc y= ÷àñîâ, òðåòüåìó — z = ÷àñîâ. ab + bc - ac ab + bc - ab 2abc 2abc 2abc ÷àñîâ, ÷àñîâ, Îòâåò: ab + ac - bc ab + bc - ac ab + bc - ab ÷àñîâ. Ïðèìåð 20. Çà âðåìÿ õðàíåíèÿ âêëàäà â áàíêå ïðîöåíòû ïî íåìó çà êàæäûé ïåðèîä õðàíåíèÿ íà÷èñëÿëèñü â ðàçìåðå 1 1 5%, 11 %, 7 %, 12% çà ñîîòâåòñòâóþùèé ïåðèîä õðàíå9 7 íèÿ. Êàæäàÿ ñòàâêà äåéñòâîâàëà öåëîå ÷èñëî ïåðèîäîâ õðàíåíèÿ. Ïî îêîí÷àíèè ïîñëåäíåãî ïåðèîäà õðàíåíèÿ èñõîäíàÿ ñóììà âûðîñëà íà 180%. Íàéäèòå îáùåå êîëè÷åñòâî ïåðèîäîâ õðàíåíèÿ âêëàäà. 170


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

 çàäà÷àõ äàííîãî òèïà îñíîâíîé ôîðìóëîé ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà íà÷èñëåíèÿ ñëîæíîãî áàíêîâñêîãî ïðîöåíòà. Ïóñòü S0 — ïåðâîíà÷àëüíàÿ ñóììà (öåíà è ò.ï.), ð% — ïðîöåíò, íà÷èñëÿåìûé áàíêîì ïî ïðîøåñòâèè íåêîòîðîãî ïåðèîäà âðåìåíè, íàçûâàåìîãî ñðîêîì õðàíåíèÿ. Òîãäà ïîñëå ïåðâîãî íà÷èñëåíèÿ ñóììà âêëàäà ñòàíåò ðàâíîé ñóììå p S1 = S0 + S0 , ñîñòîÿùåé èç ïåðâîíà÷àëüíîãî âêëàäà è äî100 áàâëåííîé áàíêîì ñóììû. p ö÷ æ . Èìååì S1 = S0 çç1 + è 100 ø÷ Âòîðîå íà÷èñëåíèå ïðîèçâîäèòñÿ óæå íà êîíå÷íóþ ñóììó, ò.å. p p ö÷ p ö÷2 æ æ S2 = S1 + S1 = S1 çç1 + . = S0 çç1 + ÷ è 100 ø è 100 ø÷ 100 Àíàëîãè÷íî ïîëó÷èì, ÷òî åñëè íà÷èñëåíèå ïðîèçâîäèëîñü k ðàç ïðè íåèçìåííîé ïðîöåíòíîé ñòàâêå, òî êîíå÷íàÿ ñóììà p ö÷k æ . Sk = S0 çç1 + è 100 ø÷ Åñëè æå ïðîöåíòíûå ñòàâêè ìåíÿëèñü è áûëè ðàâíû p1, p2, …, pl %, ïðè÷åì êàæäàÿ ñòàâêà ïðèìåíÿëàñü ñîîòâåòñòâåííî k1, k2, …, kl ðàç, òî êîíå÷íàÿ ñóììà áóäåò ðàâíà p ök1 æ p ök2 p ökl æ æ Sn = S0 çç1 + 1 ÷÷÷ ⋅ çç1 + 2 ÷÷÷ ⋅ ...⋅ çç1 + l ÷÷÷ , è 100 ø è 100 ø è 100 ø k1 + k2 + ... + kl = n .

Äàííàÿ ôîðìóëà íàçûâàåòñÿ ôîðìóëîé ñëîæíîãî áàíêîâñêîãî ïðîöåíòà. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî â ñëó÷àå óìåíüøåíèÿ öåíû, ïðîèçâîäèòåëüíîñòè òðóäà, èíôëÿöèè ñîîòâåòñòâóþùèé ïðîöåíò ñëåäóåò ñ÷èòàòü îòðèöàòåëüíûì. Ðåøåíèå. Ïóñòü k1, k2, k3, k4 — êîëè÷åñòâî ïåðèîäîâ õðàíåíèÿ, íà ïðîòÿæåíèè êîòîðûõ äåéñòâîâàëà êàæäàÿ ñòàâêà. Ïóñòü òàêæå S — íà÷àëüíàÿ ñóììà âêëàäà, S1 — êîíå÷íàÿ. Ïîëó÷èì, ÷òî æ 180 ö÷ æ 5 ÷ök1 æ 100 ÷ök2 æ 50 ö÷k3 æ 12 ö÷k4 S1 = çç1 + ÷÷ S = S çç1 + ÷÷ çç1 + ÷÷ çç1 + ÷÷ çç1 + ÷ . è 100 ø è 100 ø è 900 ø è 700 ø è 100 ø÷ 171


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

14 æ 21 ö÷k1 æ10 ÷ök2 æ15 ö÷k3 æ 28 ö÷k4 = çç ÷ çç ÷ çç ÷ çç ÷ . Çàïèøåì ýòî ñîîòíîøå5 è 20 ø÷ è 9 ÷ø è14 ø÷ è 25 ø÷ íèå â âèäå ðàâåíñòâà

Èëè

14 ⋅ 20k1 ⋅ 9k2 ⋅14k3 ⋅ 25k4 = 5 ⋅ 21k1 ⋅10k2 ⋅15k3 ⋅ 28k4 .

Äàííîå ðàâåíñòâî äàåò äâà ðàçëîæåíèÿ íåêîòîðîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà ìíîæèòåëè. Òàêèõ ðàçëîæåíèé ìîæåò áûòü íåñêîëüêî, íî ðàçëîæåíèå íàòóðàëüíîãî ÷èñëà íà ïðîñòûå äåëèòåëè — åäèíñòâåííî. Ïîëó÷èì, ÷òî 21+2k1 +k3 ⋅ 32k2 ⋅ 5k1 +2k4 ⋅ 71+k3 = 2k2 +2k4 ⋅ 3k1 +k3 ⋅ 51+k2 +k3 ⋅ 7k1 +k4 .

Èç åäèíñòâåííîñòè ðàçëîæåíèÿ ïîëó÷èì, ÷òî äàííîå ðàâåíñòâî âîçìîæíî, åñëè ìï1 + 2k1 + k3 = k2 + 2k4 , ïï ï2k2 = k1 + k3 , ïí ïïk1 + 2k4 = 1 + k2 + k3 , ïï ïïî1 + k3 = k1 + k4 . ïìï1 + 2k1 + k3 = k2 + 2k4 , ïìï2k1 - k2 + k3 - 2k4 = -1, ïï ïï k1 - 2k2 + k3 = 0, ïí2k2 = k1 + k3 ,  ïí ïïk1 + 2k4 = 1 + k2 + k3 , ïïk1 - k2 - k3 + 2k4 = 1, ïï ïï ïîï1 + k3 = k1 + k4 ïîïk1 - k3 + k4 = 1. Ïîñëåäîâàòåëüíî èñêëþ÷àÿ ïåðåìåííûå èç óðàâíåíèé, ïðèâåäåì äàííóþ ñèñòåìó ê ñëåäóþùåé: ïìïk1 - k3 + k4 = 1, ïìïk1 = 2, ïï ïï ïk2 - k4 = 0, ïk2 = 3, í í ïï2k3 - 3k4 = -1, ïïk3 = 4, ïï ïï ïîïk4 = 3 ïîïk4 = 3. Ñëåäîâàòåëüíî, îáùåå êîëè÷åñòâî ïåðèîäîâ õðàíåíèÿ — 12. Îòâåò: Âêëàä õðàíèëñÿ â áàíêå 12 ïåðèîäîâ õðàíåíèÿ. Óïðàæíåíèå 1. 1. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìïx + 2y - 3z = -8, ïï ïíx - y + 2z = 18, ïï ïïîx - 2y - 2z = -30. Îòâåò: (6; 8; 10). 172


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

2. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìï3x - y + 2z = 8, ïï ïí2x + 5y - 4z = 7, ïï ïïî5x + 4y - 2z = 10. Îòâåò: ðåøåíèé íåò. 3. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ïìïx + 2y + 3z = 8, ïï í2x + 3y + 4z = 12, ïï ïïî3x + 5y + 7z = 20. Îòâåò: (z0 ;4 - 2z0 ; z0 ) , z0 Î R . 4. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìïx + y = c, ïï ïíy + z = a, ïï ïïîz + x = b. æ b + c - a c + a - b b + a - c ÷ö Îòâåò: çç ; ; ÷÷ . è ø 2 2 2 5. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìïa3 x + a2 y + az + 1 = 0, ïï ïï 3 2 íb x + b y + bz + 1 = 0, ïï ïïc3 x + c2 y + cz + 1 = 0. ïî æ 1 1 æ 1 1 1 öö 1 1 Îòâåò: çç; + + ;-ç + + ÷÷ . çè abc ab bc ca çè a b c ø÷÷÷ø÷ Óïðàæíåíèå 2. 1. Ê ðåçåðâóàðó ïðîâåäåíî òðè òðóáû. ×åðåç ïåðâóþ è âòîðóþ èç íèõ âîäà âëèâàåòñÿ, à ÷åðåç òðåòüþ — âûëèâàåòñÿ. ×åðåç 0,5 ÷àñà ïîñëå ñîâìåñòíîé ðàáîòû ïåðâûõ äâóõ òðóá íà÷èíàåò ðàáîòàòü òðåòüÿ òðóáà, è ÷åðåç 1,5 ÷àñà ðåçåðâóàð íàïîëíÿåòñÿ. Åñëè ïðè íàïîëíåííîì ðåçåðâóàðå 2 ÷àñà ðàáîòàåò òðåòüÿ òðóáà, à çàòåì íà÷èíàåò ðàáîòàòü âòîðàÿ, òî ÷åðåç 3 ÷àñà èõ ñîâìåñòíîé ðàáîòû ðåçåðâóàð îïîðîæíèòñÿ. Ïðè ñîâìåñòíîé ðàáîòå ïåðâîé è òðåòüåé òðóá ðåçåðâóàð íàïîëíèòñÿ çà 3,5 ÷àñà. Îïðåäåëèòå âðåìÿ ðàáîòû êàæäîé òðóáû, 173


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

íåîáõîäèìîå, ÷òîáû ÷åðåç ïåðâûå äâå íàïîëíèòü ðåçåðâóàð, à ÷åðåç òðåòüþ — îïîðîæíèòü åãî. 3 1 Îòâåò: 1 ; 7; 3 ÷àñà ñîîòâåòñòâåííî. 4 2 2. Òåõíè÷åñêàÿ ðåêîíñòðóêöèÿ ïðåäïðèÿòèÿ áûëà ïðîâåäåíà â ÷åòûðå ýòàïà. Êàæäûé èç ýòàïîâ ïðîäîëæàëñÿ öåëîå ÷èñëî ìåñÿöåâ è ñîïðîâîæäàëñÿ ïàäåíèåì ïðîèçâîäñòâà. Åæåìåñÿ÷íîå ïàäåíèå ïðîèçâîäñòâà ñîñòàâèëî íà ïåðâîì 2 1 ýòàïå 4%, íà âòîðîì — 6 %, íà òðåòüåì — 6 % è íà 3 4 2 ÷åòâåðòîì — 14 % â ìåñÿö. Ïî îêîí÷àíèè ðåêîíñòðóêöèè 7 ïåðâîíà÷àëüíûé îáúåì ïðîèçâîäñòâà íà ïðåäïðèÿòèè ñîêðàòèëñÿ íà 37%. Îïðåäåëèòü ïðîäîëæèòåëüíîñòü ïåðèîäà ðåêîíñòðóêöèè. Îòâåò: 6 ìåñÿöåâ. 3. Ñîâõîç ðàñïîëàãàåò òðàêòîðàìè ÷åòûðåõ ìàðîê À, Á,  è Ã. Áðèãàäà èç ÷åòûðåõ òðàêòîðîâ (äâà òðàêòîðà ìàðêè Á è ïî îäíîìó òðàêòîðó ìàðîê  è Ã) ïðîèçâîäèò âñïàøêó ïîëÿ çà äâà äíÿ. Áðèãàäà èç äâóõ òðàêòîðîâ ìàðêè À è îäíîãî òðàêòîðà ìàðêè  òðàòèò íà ýòó ðàáîòó òðè äíÿ, à òðè òðàêòîðà ìàðîê À, Á è  — ÷åòûðå äíÿ. Çà ñêîëüêî âðåìåíè âûïîëíèò ðàáîòó áðèãàäà, ñîñòàâëåííàÿ èç ÷åòûðåõ òðàêòîðîâ ðàçëè÷íûõ ìàðîê? 5 Îòâåò: 1 äíÿ. 7 4. Ê áàññåéíó îáúåìîì â 300 ì3 ïðîâåäåíû òðè òðóáû: ÷åðåç ïåðâóþ è âòîðóþ âîäà ïîñòóïàåò, ÷åðåç òðåòüþ âûëèâàåòñÿ. Åñëè âñå òðè òðóáû âêëþ÷åíû îäíîâðåìåííî, òî êîëè÷åñòâî âîäû â áàññåéíå óâåëè÷èâàåòñÿ åæåìèíóòíî íà 20 ì3. Áàññåéí íà÷àëè íàïîëíÿòü âîäîé, âêëþ÷èâ ïåðâóþ è òðåòüþ òðóáû. Áîëåå ÷åì ÷åðåç 12 ìèí ïîñëå íà÷àëà ðàáîòû â áàññåéíå îêàçàëîñü 100 ì3 âîäû.  ýòîò ìîìåíò ïåðâóþ è òðåòüþ òðóáû çàêðûëè è âêëþ÷èëè âòîðóþ òðóáó, çàâåðøèâøóþ íàïîëíåíèå áàññåéíà. Âñåãî íà íàïîëíåíèå áàññåéíà áûëî çàòðà÷åíî 30 ìèí. Îïðåäåëèòü, çà êàêîå âðåìÿ íàïîëíèëñÿ áû áàññåéí, åñëè áû åãî ñ íà÷àëà è äî êîíöà íàïîëíÿëà òîëüêî âòîðàÿ òðóáà? Îòâåò: 22,5 ìèí. 174


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

5. Òðîå ðàáî÷èõ äîëæíû ñäåëàòü 80 îäèíàêîâûõ äåòàëåé. Èçâåñòíî, ÷òî âñå òðîå âìåñòå äåëàþò çà ÷àñ 20 äåòàëåé. Ê ðàáîòå ïðèñòóïèë ñíà÷àëà ïåðâûé ðàáî÷èé. Îí ñäåëàë 20 äåòàëåé, çàòðàòèâ íà ýòî áîëåå òðåõ ÷àñîâ. Îñòàâøóþñÿ ÷àñòü ðàáîòû âûïîëíèëè âìåñòå âòîðîé è òðåòèé ðàáî÷èå. Íà âñþ ðàáîòó óøëî 8 ÷àñîâ. Ñêîëüêî ÷àñîâ ïîòðåáîâàëîñü áû ïåðâîìó ðàáî÷åìó íà âñþ ðàáîòó, åñëè áû ñ íà÷àëà è äî êîíöà îí äåëàë åå îäèí? Îòâåò: 16 ÷àñîâ.

§ 6. Ðåøåíèå ñèñòåì íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé 6.1. Ðåøåíèå ñèñòåì ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè Ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé òàê æå ðàçíîîáðàçíû, êàê è ñàìè ñèñòåìû. È âñå-òàêè îñíîâíûì ìåòîäîì â ýòîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ïîäñòàíîâêè. Ñóòü ìåòîäà ïðîñòà: âûðàçèòü îäíó ïåðåìåííóþ èç îäíîãî óðàâíåíèÿ ÷åðåç äðóãóþ èëè äðóãèå ïåðåìåííûå è çàìåíèòü íàéäåííûì âûðàæåíèåì ýòó ïåðåìåííóþ âî âñåõ îñòàâøèõñÿ óðàâíåíèÿõ. Ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî ïðè ðåøåíèè ñèñòåìû óðàâíåíèé íåëüçÿ èçìåíÿòü êîëè÷åñòâî âõîäÿùèõ â íåå óðàâíåíèé, çà èñêëþ÷åíèåì ñëó÷àÿ, êîãäà îäíî èëè íåñêîëüêî óðàâíåíèé îáðàùàþòñÿ â âåðíûå ÷èñëîâûå ðàâåíñòâà. ïìxy = 6, Ïðèìåð 1. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ïí ïïîx + y = 5. Ðåøåíèå. Âûðàæàÿ èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ çíà÷åíèå ïåðåìåííîé è ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííîå âûðàæåíèå â ïåðâîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì: ìï ìïxy = 6, xy = 6, ïìy(5 - y) = 6, ï  ïí  ïí  í ïîïx + y = 5 ïîïx = 5 - y ïïîx = 5 - y éïìx = 3, êïí ìé y = 2, ï êïy = 2, ìïy2 - 5y + 6 = 0, ïïê ï  ïí  ïíêë y = 3,  êêî ïïx = 5 - y ïï ìïx = 2, ê î ïïîx = 5 - y êïí êëïïîy = 3. Îòâåò: (2;3); (3; 2). 175


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ìïxy = 12, Ïðèìåð 2. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ïí ïïîx - 2y - 2 = 0. Ðåøåíèå. Âûðàçèì ïåðåìåííóþ õ èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ è ïîäñòàâèì íàéäåííîå âûðàæåíèå â ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû. ïìx = 2y + 2, ïïìxy = 12,  ïí  í ïîïx - 2y - 2 = 0 ïïî(2y + 2)y = 12 éïìy = 2, ïìïx = 2y + 2, êêïí ìïx = 2y + 2, ïïx = 6, ï  ïí 2  íïé y = 2,  êêî ï êïìïy = -3, ïy + y - 6 = 0 ïïïêê y = -3 î êí ïîë êëïïîx = -4. Îòâåò: (6; 2); (–4; –3).

6.2. Ïðèìåíåíèå òåîðåìû Âèåòà Èíîãäà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû ñâÿçûâàþò ìåæäó ñîáîé ñóììó è ïðîèçâåäåíèå èñêîìûõ ïåðåìåííûõ èëè íåêîòîðûõ âûðàæåíèé, çàâèñÿùèõ îò íèõ.  ýòèõ ñëó÷àÿõ äëÿ ñîêðàùåíèÿ âðåìåíè ðåøåíèÿ ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Âèåòà äëÿ êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ. ìïx - y = 1, Ïðèìåð 3. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ïí ïïîxy = 6. Ðåøåíèå. Íåìíîãî èçìåíèì çàïèñü äàííîé ñèñòåìû: ìïïx - y = 1, ìïïx + (-y) = 1, í í ïîïxy = 6 îïïx(-y) = -6. Åñëè ïàðà ÷èñåë (x0 ; y0 ) — ðåøåíèÿ äàííîé ñèñòåìû, òî îíè æå ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ âèäà z2 + z - 6 = 0 . éz = 2, Ðåøàÿ åãî, ïîëó÷èì: z2 + z - 6 = 0  ê êz = -3. ë Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíàÿ ñèñòåìà èìååò ñëåäóþùèé íàáîð ðåøåíèé: éïìx = 3, éïìx = 3, êïí êï êï-y = -2, êíïy = 2, ï êîï  êêî ê êïìïx = -2, êïìïx = -2, êí êí êëïîï-y = 3 êëïîïy = -3. Îòâåò: (3; 2); (–2; –3). 176


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Ïðèìåð 4. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìï(2x - 5)2 + (3y - 2)2 = 17, ï í ïï(2x - 5)(3y - 2) = 4. î Ðåøåíèå. Ëåâàÿ ÷àñòü ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû åñòü ñóììà êâàäðàòîâ äâóõ âåëè÷èí, à ëåâàÿ ÷àñòü âòîðîãî — èõ ïðîèçâåäåíèå. Èñïîëüçóåì ôîðìóëó a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab . ìï(2x - 5)2 + (3y - 2)2 = 17, ï  í ïï(2x - 5)(3y - 2) = 4 î ìï(2x - 5)2 + 2(2x - 5)(3y - 2) + (3y - 2)2 = 25,  ïí ïï(2x - 5)(3y - 2) = 4. î Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå ïðîèçâåäåíèÿ â ïåðâîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì ñèñòåìó, ðàâíîñèëüíóþ èñõîäíîé. éïì(2x - 5) + (3y - 2) = 5, êïí ïìï((2x - 5) + (3y - 2)) = 25, êêïïî(2x - 5)(3y - 2) = 4, ê í ïï(2x - 5)(3y - 2) = 4 êïìï(2x - 5) + (3y - 2) = -5, î êí êïïî(2x - 5)(3y - 2) = 4. ë Êàæäàÿ ñèñòåìà ïîëó÷åííîé ñîâîêóïíîñòè ìîæåò áûòü ðåøåíà ñ èñïîëüçîâàíèåì òåîðåìû Âèåòà. éïìx = 3, êïí êïy = 2, éìï2x - 5 = 1, êïî êïí ê êï3y - 2 = 4, êìïïx = 2, êïî êí ê éìï(2x - 5) + (3y - 2) = 5, êïïîy = 1, êìïï2x - 5 = 4, êïí ê ê í êï(2x - 5)(3y - 2) = 4, êïìx = 2, êïïî3y - 2 = 1, êïî  ê  êêïï ê êïì2x - 5 = -1, êí 2 êïïì(2x - 5) + (3y - 2) = -5, ïïy = - , êï êí ê í êï3y - 2 = -4, êïî 3 êïïî(2x - 5)(3y - 2) = 4. êïî ë êì ê 1 êìïï2x - 5 = -4, êêïïïx = , êí ï 2 ê êï3y 2 -1 êïí ëïî - = 1 êïïy = . êëïîï 3 2

æ 2ö Îòâåò: (3;2) ; (2;1) ; çç2;- ÷÷÷ ; è 3ø

æ 1 1 ö÷ ç ; ÷. çè 2 3 ÷ø 177


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðè ðåøåíèè ñèñòåìû ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåîðåìîé Âèåòà äëÿ êîðíåé êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ, ÷òî äàëî âîçìîæíîñòü íàéòè çíà÷åíèÿ âûðàæåíèé, íå ñîñòàâëÿÿ, ïî ñóòè, ñàìè êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ. Ðàññìîòðèì åùå îäèí ïîäîáíûé ïðèìåð. Ïðèìåð 5. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìïxy + x - y = 3, ï í 2 ïïx y - xy2 = 2. î Ðåøåíèå. Ïðîâåäÿ ãðóïïèðîâêó â ïåðâîì óðàâíåíèè, ïîëó÷èì âîçìîæíîñòü ïðèìåíèòü òåîðåìó Âèåòà. Äàëåå ðåøàåì ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. éïìx - y = 1, êïí ïïìxy + x - y = 3, ïïìxy + (x - y) = 3, êêïîïxy = 2, í ê í 2 2 ï êïìïx - y = 2, ïxy(x - y) = 2 îï îïx y - xy = 2 êí êëïïîxy = 1. Äàëåå ðåøàåì ìåòîäîì ïîäñòàíîâêè. éïìx = 2, êïí êïy = 1, éìïx = y + 1, êïî êïï ê êïé y = -2, éìïx = y + 1, êìïïx = -1, êíïê êíï êí ê ï êïy2 + y - 2 = 0, êy = 1 êïîïy = -2, ï ê ë ïî êïî ê ê ê ê  êìï ìïx = y + 2, êìïx = y + 2, êïx = 1 - 2, êïï êïí êí ê êïy2 + 2y -1 = 0 êïíé y = -1 - 2, êïïy = -1 - 2, êïî ëêïî êïïêê êì êï êïïx = 1 + 2, êëïîïêë y = -1 + 2 êí êïïy = -1 + 2. ëêïî Îòâåò: (2;1) ; (-1;-2) ; (1 - 2;-1 - 2 ); (1 + 2;-1 + 2 ).

6.3. Èñïîëüçîâàíèå ìåòîäîâ ðåøåíèÿ ëèíåéíûõ ñèñòåì ìï 6 8 11 ïï + = , ïx y 3 Ïðèìåð 6. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ïí ïï 5 4 29 ïï + = . 6 ïî x y 178


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Ðåøåíèå. Äàííàÿ ñèñòåìà, ÿâëÿÿñü íåëèíåéíîé, òåì íå ìåíåå î÷åíü ïðîñòî ñâîäèòñÿ ê ëèíåéíîé ñèñòåìå îòíîñèòåëü1 1 íî äâóõ íîâûõ ïåðåìåííûõ è . x y ïìï 6 + 8 = 11 , ïìï6 1 + 8 1 = 11 , ïï x y 3 ïï x y 3 ïí  ïí  ïï 5 4 29 ïï 1 1 29 ïï + = ïï5 + 4 = 6 y 6 îï x y îï x ì ì 1 1 3 ì 2 ï ïï = , ïï4 = 6, ïïïx = , ïï x 2 ï x ï 3 ï  ïí í í 1 1 29 1 8 ï ï ï ï5 + 4 = ïï4 = ïïy = - 3 . ï ï ïîï y y 6 3 ïîï 2 ï x î æ2 3ö Îòâåò: çç ;- ÷÷÷ . è3 2ø

6.4. Ñèììåòðè÷åñêèå ñèñòåìû óðàâíåíèé Îïðåäåëåíèå. Åñëè ñèñòåìà óðàâíåíèé òàêîâà, ÷òî åñëè (x0 ; y0 ) — ðåøåíèå, è (y0 ; x0 ) — òîæå ðåøåíèå, òî òàêàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé íàçûâàåòñÿ ñèììåòðè÷åñêîé ñèñòåìîé óðàâíåíèé. Ðåøåíèå ïîäîáíûõ ñèñòåì ñâîäèòñÿ ê íàõîæäåíèþ ñóììû è ïðîèçâåäåíèÿ ïåðåìåííûõ. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ: x + y = σ1 , xy = σ2 . Òîãäà, íàïðèìåð, x2 + y2 = σ12 - 2σ2 , x3 + y3 = σ13 - 3σ1σ2 è ò.ä. ×èñëà õ è ó â ýòîì ñëó÷àå ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâíåíèÿ 2 z - σ1z + σ2 = 0 . Ïðèìåð 7. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìïx2 + 3xy + y2 = 61, ï í ïïxy = 12. î Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì x + y = σ1 , xy = σ2 . Òîãäà ñèñòåìà çàïèøåòñÿ â âèäå éïìσ2 = 12, êïí 2 ïìïσ1 + σ2 = 61, êêïïîσ1 = 7, ê í ïïσ2 = 12 êìïïσ2 = 12, î êí êëïïîσ1 = -7.

179


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà

éìïx = 3, êïí êïy = 4, êïî ê éìïx + y = 7, êïìïx = 4, êïí êí ìïx2 + 3xy + y2 = 61, êïîïxy = 12, êïïy = 3, ê ï ê  êî í ïïxy = 12 êìïïx + y = -7, êêìïïx = -3, î êí êíïy = -4, êëïîïxy = 12 êîï ê êìïïx = -4, êí êïy = -3. ëïî Îòâåò: (3; 4); (4; 3); (–3; –4); (–4; –3).

Ïðèìåð 8. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ïìïx4 + y4 = 1, í ïïx + y = 1. î Ðåøåíèå. Èñïîëüçóÿ ââåäåííûå âûøå îáîçíà÷åíèÿ, èìååì:

(

2

2

)

x4 + y4 = (x + y) - 2xy - 2x2 y2 = σ14 - 4σ12 σ22 + 2σ22 , σ1 = 1 .

Îòíîñèòåëüíî íîâûõ ïåðåìåííûõ ñèñòåìà ïðèìåò âèä ïìσ1 = 1, ïìïσ1 = 1, ïïï  íéσ = 0, í ïï1 - 4σ2 + 2σ22 = 1 ïïê 2 î ïïîêëσ2 = 2. Òàêèì îáðàçîì, éïìx + y = 1, êïí 4 4 ïìïx + y = 1, êêïïîxy = 0, ê  í êïïìx + y = 1, ïîïx + y = 1 êí êëïïîxy = 2 éïìx = 0, êïí ïìïx + y = 1, êêïïîy = 1, í ê ïïîxy = 0 êïìïx = 1, êí êëïïîy = 0. Îòâåò: (0; 1); (1; 0). 180


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

6.5. Ðåøåíèå ñèñòåì, ñîäåðæàùèõ îäíîðîäíîå èëè îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ Îïðåäåëåíèå. Îäíîðîäíûì ìíîãî÷ëåíîì n ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî äâóõ ïåðåìåííûõ õ è ó íàçûâàåòñÿ ìíîãî÷ëåí âèäà m

Pn (x, y) = å ak x l yn-1 , 0 £ l £ n , ak Î R , k=1

ò.å. ìíîãî÷ëåí, âñå îäíî÷ëåíû êîòîðîãî èìåþò ñòåïåíü, ðàâíóþ n, ãäå n Î N . Ìîæíî äàòü è äðóãîå îïðåäåëåíèå îäíîðîäíîãî ìíîãî÷ëåíà. Îïðåäåëåíèå. Ìíîãî÷ëåí P(x, y) íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè n, åñëè âûïîëíåíî óñëîâèå: P(tx, ty) = tn P(x, y) .

Ïðèìåð 9. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìïx2 - xy + y2 = 21, ï í 2 ïïy - 2xy = -15. ïî Ðåøåíèå. Äàííàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíîé ñèñòåìîé, òàê êàê ëåâûå ÷àñòè óðàâíåíèé åñòü îäíîðîäíûå ìíîãî÷ëåíû âòîðîé ñòåïåíè. Î÷åâèäíî, ÷òî x = 0 èëè y = 0 ðåøåíèåì íå ÿâëÿþòñÿ. Ïîýòîìó ïðèâåäåì îäíî èç óðàâíåíèé ê âèäó, êîãäà ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ áóäåò ðàâíà íóëþ. ì ïx2 - xy + y2 = 21, ìï5x2 + 12y2 -19xy = 0, ï  ïí 2  í 2 ï ïïy - 2xy = -15 y 2 xy 15 = ï ï î îï ìï æ x ö2 x ïï ç ÷ 5ç ÷÷ + 12 -19 = 0, ï ÷ ç í èyø y ïï 2 ïïy - 2xy = -15. ïî Ðåøàÿ ïåðâîå óðàâíåíèå ïîëó÷èâøåéñÿ ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî íîâîé ïåðåìåííîé, ïîëó÷èì: ïìïy2 - 2xy = -15, ïï 2 ìï æ x ö x ïï ç ÷ ïé x 4 ïê = , ïí5çèç y ÷÷ø÷ + 12 -19 y = 0,  ïíê  ï ïïê y 5 ï 2 ï ïê x ïîïy - 2xy = -15. ïïïê = 3 îïêë y 181


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

éìïx = 4, êïí êïy = 5, êïî éìïy2 - 2xy = -15, êìx = -4, êïï êïï êí êí 4 êïïîy = -5, êïx = y, ï ê êï 5  êïî  êìï êïx = 3 3, êì 2 êïïy - 2xy = -15, êí êïïy = 3, êí êïî êïïx = 3y êì ëî êïïx = -3 3, êí êïïy = - 3. êëïî

Îòâåò: (4;5) ; (-4;-5) ; (3 3; 3 ); (-3 3;- 3 ). Ïðèìåð 10. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìï2x2 - xy - 3y2 = 0, ï í 2 ïïx - 3xy + 2y2 = -1. ïî Ðåøåíèå.  îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåãî ïðèìåðà x = 0 èëè y = 0 ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû. Îäíàêî ýòè çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ íå ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì âòîðîãî óðàâíåíèÿ è ïîýòîìó íå ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèåì âñåé ñèñòåìû. Äåëÿ ïåðâîå óðàâíåíèå íà y2, ïîëó÷èì ñèñòåìó, ðàâíîñèëüíóþ èñõîäíîé ñèñòåìå. ìï æ x ö2 æ x ö ïï ç ÷ ç ÷ ïìï2x2 - xy - 3y2 = 0, 2ç ÷ - ç ÷ - 3 = 0, ï  í çè y ÷ø÷ èç y ø÷÷  í 2 2 ï ï ïîïx - 3xy + 2y = -1 ïïx2 - 3xy + 2y2 = -1 ïïî ïìïé x ïïêê y = -1, ïïê  ïíêê x = 3 , ïï êy 2 ïë ïï ïïx2 - 3xy + 2y2 = -1. î Âûðàæàÿ èç ïîëó÷åííîé ñîâîêóïíîñòè çíà÷åíèå îäíîé ïåðåìåííîé ÷åðåç äðóãóþ, ïîëó÷èì: 182


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

éìïx = -y, êïí êïy2 + 3y2 + 2y2 = -1, êïî ê êìï 3 êïïx = y, êï 2 êí êïï- 1 y2 = -1. êïï ëêïî 4 Ïåðâàÿ ñèñòåìà ñîâîêóïíîñòè, î÷åâèäíî, ðåøåíèé íå èìååò. Ðåøèì âòîðóþ ñèñòåìó. éìïx = 3, êïí ïìïx = 3 y, êïy = 2, ïï ï 2  êêî í ïï 1 2 êïìx = -3, ïï- y = -1 êíï ïî 4 êëïïîy = -2.

Îòâåò: (3;2) ; (-3;-2) .

6.6. Ìåòîä ðàçëîæåíèÿ ñèñòåìû â ñîâîêóïíîñòü ×àñòî âñòðå÷àþùèìñÿ ïðèåìîì ðåøåíèÿ, èëè, òî÷íåå, óïðîùåíèÿ ðåøåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé, ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ðàçëîæåíèÿ ñèñòåìû â ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì. Ýòî ñòàíîâèòñÿ âîçìîæíûì ïðè óñëîâèè, åñëè îäíî èç óðàâíåíèé êàêèìëèáî îáðàçîì ðàçëîæåíî â ðàâíîñèëüíóþ åìó ñîâîêóïíîñòü óðàâíåíèé. Ïðèìåð 11. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìïx2 - 6y2 - 2x + 11y - xy = 3, ï í 2 ïïx + y2 = 5. ïî

Ðåøåíèå.  ýòîì ñëó÷àå ïåðâîå óðàâíåíèå åñòü êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí îòíîñèòåëüíî õ. Ïîëó÷èì: x2 - (y + 2)x - (6y2 -11y + 3) = 0 .

Äèñêðèìèíàíò ýòîãî óðàâíåíèÿ D(y) = (5y - 4)2 , ïîýòîìó x2 - (y + 2)x - (6y2 -11y + 3) = (x - 3y + 1)(x + 2y - 3) . 183


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ñëåäîâàòåëüíî, èñõîäíàÿ ñèñòåìà

éìïx2 + y2 = 5, êïí ìïx2 - 6y2 - 2x + 11y - xy = 3, êêïïx = 3y -1, ïí  êî  ïïx2 + y2 = 5 êìïx2 + y2 = 5, îï êï êí ïx = 3 - 2y êï ëî éìïx = -1, êïí êïy = 2, êïî ê êìïïx = 2, êí êïïîy = 1, ê êìï êïx = 11 ,  êêïï 5 êïíï 2 êïy = , êîïï 5 ê êìï 11 êïïx = - , êï 5 êí ï 2 êïy êïï = - . 5 ëêïî

æ11 2 ö Îòâåò: (-1;2) ; (2;1) ; çç ; ÷÷÷ ; è 5 5ø

æ 11 2 ö÷ ç- ;- ÷ . çè 5 5 ÷ø

6.7. Ðàçëè÷íûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì Ïðèìåð 12. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìï3x2 - 2y2 + 5xy -17x - 6y + 20 = 0, ï í ïï10x2 + 5y2 - 2xy - 38x - 6y + 41 = 0. ïî

Ðåøåíèå. Îäíèì èç ñïîñîáîâ ðåøåíèÿ ïîäîáíûõ ñèñòåì, êàê íè ñòðàííî, ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ïîäñòàíîâêè. Äëÿ ýòîãî ïîïðîáóåì âûðàçèòü îäíó ïåðåìåííóþ ÷åðåç äðóãóþ, ðàññìàòðèâàÿ âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû êàê êâàäðàòíîå îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé x. 10x2 + 5y2 - 2xy - 38x - 6y + 41 = 0   10x2 - 2x (y + 19) + (5y2 - 6y + 41)= 0. 184


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Âû÷èñëèì äèñêðèìèíàíò óðàâíåíèÿ. 1 2 D(y) = (y + 19) -10 (5y2 - 6y + 41)= 4 = -49y2 + 98y - 49 = -49(y -1)2 . Åñëè ñèñòåìà óðàâíåíèé èìååò ðåøåíèå, òî äîëæíû ñóùåñòâîâàòü çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ, óäîâëåòâîðÿþùèõ åå óðàâíåíèÿì. Íî ýòî âîçìîæíî ëèøü, åñëè y = 1. Òîãäà åäèíñòâåííàÿ ïàðà ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùèõ âòîðîìó óðàâíåíèþ, — (2;1) . Îñòàëîñü óáåäèòüñÿ, ÷òî ýòà ïàðà ÷èñåë ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ïåðâîãî óðàâíåíèÿ, ÷òî äåëàåòñÿ áåç òðóäà. Îòâåò: (2;1) . Ïðèìåð 13. Íàéäèòå âñå öåëûå çíà÷åíèÿ n, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñèñòåìà óðàâíåíèé ìï6x2 + 24y(x + y) + 2(3n - 2)x + 4(3n - 2)y + 3 = 0, ïï í ïï4(x2 + y2 ) + (4n + 2)y + 2n2 = 8xy + (4n + 2)x + 5 ïïî 2 èìååò ðåøåíèå. Ïðè íàéäåííûõ çíà÷åíèÿõ n ðåøèòå ñèñòåìó. Ðåøåíèå. ìï6x2 + 24y(x + y) + 2(3n - 2)x + 4(3n - 2)y + 3 = 0, ïï í ïï4(x2 + y2 ) + (4n + 2)y + 2n2 = 8xy + (4n + 2)x + 5 . ïïî 2 Ïîïðîáóåì âîñïîëüçîâàòüñÿ ìåòîäîì îáðàòíîãî õîäà. Ïóñòü n0 — îäíî èç çíà÷åíèé, ïðè êîòîðûõ äàííàÿ ñèñòåìà èìååò ðåøåíèå. Ïóñòü y0 — çíà÷åíèå âòîðîé ïåðåìåííîé, óäîâëåòâîðÿþùåå ñèñòåìå ïðè äàííîì çíà÷åíèè n0. Òîãäà îáà óðàâíåíèÿ ñèñòåìû äîëæíû èìåòü êàê ìèíèìóì îäíî îáùåå ðåøåíèå x0, à äëÿ ýòîãî îáà äèñêðèìèíàíòà äîëæíû áûòü íåîòðèöàòåëüíû. Ïåðåïèøåì ñèñòåìó â âèäå ïìï6x2 + 2x (12y + (3n - 2)) + 24y2 + 4(3n - 2)y + 3 = 0, ï í 2 ïï4x - 2x (4y + (2n + 1)) + 4y2 + 2(2n + 1)y + 2n2 - 5 = 0. ïïî 2 Âû÷èñëèì äèñêðèìèíàíòû óðàâíåíèé è, ó÷èòûâàÿ, ÷òî îíè äîëæíû áûòü íåîòðèöàòåëüíû, ïîëó÷èì ñèñòåìó: 185


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ìï(12y + (3n - 2))2 - 6 (24y2 + 4(3n - 2)y + 3)³ 0, ïï ïí  ïï(4y + (2n + 1))2 - 4 æç4y2 + 2(2n + 1)y + 2n2 - 5 ÷÷ö ³ 0 ç ÷ ïïî è 2ø ìï(3n - 2)2 -18 ³ 0, ï í ïï(2n + 1)2 - 8n2 + 10 ³ 0. ïî ìï9n2 -12n -14 ³ 0, ìï3n(3n - 4) ³ 14, ï  ïí í 2 ïïîï-4n + 4n + 11 ³ 0 îïï4n(n -1) £ 11.

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî n0 — öåëîå, ïîëó÷èì, ÷òî äàííîé ñèñòåìå óäîâëåòâîðÿåò n0 = –1. Ïðè íàéäåííîì çíà÷åíèè n0 ïðèâåäåííûé äèñêðèìèíàíò ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ðàâåí 7, à âòîðîãî — 3. Ïîýòîìó ñèñòåìà óðàâíåíèé ñâåäåòñÿ ê ñèñòåìå óðàâíåíèé ìïé ïïê x = -(12y - 5) + 7 , ïïê 6 ïïê ïïêê -(12y - 5) - 7 , ïïê y = 6 ïíë ïïé y ïïê x = 4 -1 + 3 , ê ïï 4 ïïêê ïïê y = 4y -1 - 3 . ïïêë 4 î Èç ñèñòåìû óðàâíåíèé ïîëó÷èì ÷åòûðå ñèñòåìû ëèíåéíûõ óðàâíåíèé. Ðåøàÿ èõ, ïîëó÷èì ìïé ìïé ïïê x = 2 + 7 + 3 3 , ïïê x = 2 + 7 - 3 3 , ïïê ïïê 18 18 ïïê ïïê ïïêê ïïêê 13 + 2 7 - 3 3 13 + 2 7 + 3 3 , , ïïê y = ïïê y = 36 36 ë ïë ï è í í ïïé ïïé ïïê x = 2 - 7 + 3 3 , ïïê x = 2 - 7 - 3 3 , ê ïï ïïê 18 18 ïïêê ïïêê 13 2 7 3 3 13 2 7 +3 3 ïïê y = ïïê y = . ïïêë ï ê 36 36 ïîë î 186


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Ïðèìåð 14. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìïy3 - 3x + 2 = 0, ïï ïï 3 íz - 3y + 2 = 0, ïï ïïx3 - 3z + 2 = 0. ïî Òåîðåìà. Åñëè ôóíêöèÿ y = f (x) ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, òî óðàâíåíèå f (f (x)) = x  f (x) = x .

Ðåøåíèå. Ïóñòü f (x) = 3 3x - 2 . Ôóíêöèÿ f (x) = 3 3x - 2 íåïðåðûâíà è ìîíîòîííî âîçðàñòàåò. Ïåðåïèøåì ñèñòåìó â âèäå ìïy = f (x), ïï ïz = f (y) = f f (x) , ( ) í ïï ïïx = f (z) = f (f (f (x))). ïî  ñèëó ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ x = f (x) . Íî ïîäîáíûì îáðàçîì ìîæíî ïðåäñòàâèòü âûðàæåíèå è äðóãèõ ïåðåìåííûõ. Ïîýòîìó èñõîäíàÿ ñèñòåìà ñâîäèòñÿ ê âèäó ïìïé x = 1, éìïx = 1, ïïêê êïï ïïê x = 1, êïy = 1, ï ê 3 êíï ïìïy - 3x + 2 = 0, ïïêë x = -2, êïï ï ïï z = 1, ïíz3 - 3y + 2 = 0,  íïïy3 = 3x - 2,  êêïî êìïx = -2, ïï ïï 3 3 êï ïïîïx - 3z + 2 = 0 ïïïz = 3x - 2 êïïy = -2, êïí ïï êï ïï êëïïîz = -2. ïï ïî Îòâåò: (1; 1; 1); (–2;–2; –2). Ïðèìåð 15. Íàéäèòå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñèñòåìà ìï 3 1 ïïx - ay3 = (a + 1)2 , 2 í ïï 3 2 2 ïïîx + ax y + xy = 1 èìååò ðåøåíèå è êàæäîå åå ðåøåíèå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ x + y = 0. 187


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ðåøåíèå. Ïóñòü à — èñêîìîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà, à ïàðà ÷èñåë (x0 ; y0 ) — ðåøåíèå ñèñòåìû. Òîãäà ìï 3 1 ïïx0 (1 + a) = (a + 1)2 , 2  í ïï 3 ax 1 = ïïî 0 éïìa = -1, êïí éïìa = -1, ê ï êí êïïîx0 = 1, ê 3 ê êïîïx0 = 1, êìïa = 0, ê êïí êìï 3 1 ïìa = -1, êïÆ, ï  êêïïx0 = 2 (a + 1),  êïî  ïí ïïîx0 = 1. êìïa(a + 1) ¹ 0, êïïï êï êí-ax03 = 1, ï ê êï êïïíx 3 = - 1 , êï ê 0 êïïïa ¹ -1 a êïïï êïïî ë êïa(a + 1) = -2 êëîï

Òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû ñèñòåìà ìîãëà èìåòü ðåøåíèÿ, óäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèþ, íåîáõîäèìî, ÷òîáû a = –1. Óáåäèìñÿ, ÷òî ýòî æå óñëîâèå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì. Ïóñòü a = –1. Òîãäà ñèñòåìà ïðèîáðåòåò âèä: éìïy = -x, êïí êïx3 = 1, êïî ìïx3 + y3 = 0, ê ï ïìïx = 1, ê   ì í 3 í ï x = 0, 2 2 ï êï ï ïîïy = -1. îïx - x y + xy = 1 êïïíy = 0, êï êïï0 = 1 êëïî

Òàêèì îáðàçîì, a = –1 — èñêîìîå çíà÷åíèå. Îòâåò: –1. Óïðàæíåíèå 1. 1. Ñóììà êîîðäèíàò âñåõ ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé ïìïx + y = 2, í 2 ïï2x + y2 - xy + 2x + 3y = 7 î

ðàâíà 1) 0; 2) 2; 3) 4; 4) 6. 188


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

2. Ñóììà êîîðäèíàò âñåõ ðåøåíèé ñèñòåìû ìï2x2 + y2 - 4x + 2y = 1, ï í 2 ïï3x - 2y2 - 6x - 4y = 5 ïî ðàâíà 1) 0; 2) 2; 3) 1; 4) 4. 3. Ñóììà êîîðäèíàò âñåõ ðåøåíèé ñèñòåìû ìï2x2 - xy - y2 = 0, ï í 2 ïïx + y2 + 3y - x = 4 ïî ðàâíà 1) 0; 2) 3,4; 3) 4,3; 4) 2,1. 4. Ñóììà êîîðäèíàò âñåõ ðåøåíèé ñèñòåìû ìïx2 - 4xy + y2 = 3, ï í 2 ïïy - 3xy = 2 ïî ðàâíà 1) 0; 2) 1; 3) –1; 4) –2. 5. Ñóììà êîîðäèíàò âñåõ ðåøåíèé ñèñòåìû ìïx2 - 4xy + y2 = 3, ï í 2 ïïy - 3xy = 2 ïî ðàâíà 1) 0; 2) 2; 3) 1; 4) 4.

óðàâíåíèé

óðàâíåíèé

óðàâíåíèé

óðàâíåíèé

Óïðàæíåíèå 2. 1. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèÿìè ñèñòåìû óðàâíåíèé ïìïx + y = 5, í 2 ïïx - xy + y2 = 7. î Îòâåòû: 1) 10; 2) 12; 3) 15; 4) 20; 5) 16. Âåðíûé îòâåò — 2). 2. Íàéäèòå ñóììó çíà÷åíèé ïåðåìåííîé õ, ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèÿìè ñèñòåìû óðàâíåíèé ìïx2 + y2 + x + y = 32, ï í ïï12(x + y) = 7xy. î 4 5 7 8 Îòâåòû: 1) ; 2) 2; 3) ; 4) ; 5) . 3 3 3 3 Âåðíûé îòâåò — 3). 189


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

3. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèÿìè ñèñòåìû óðàâíåíèé ïìïy3 - 9x2 + 27x - 27 = 0, ïï ïíz3 - 9y2 + 27y - 27 = 0, ïï ïïx3 - 9z2 + 27z - 27 = 0. ïî Îòâåòû: 1) 12; 2) 18; 3) 15; 4) 27; 5) 36. Âåðíûé îòâåò — 4). 4. Íàéäèòå ñóììó çíà÷åíèé ïåðåìåííûõ, ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé ìïx2 - 2xy + 2y2 + 2x - 8y + 10 = 0, ï í 2 ïï2x - 7xy + 3y2 + 13x - 4y - 7 = 0. ïî Îòâåòû: 1) 10; 2) 5; 3) 15; 4) 7; 5) 9. Âåðíûé îòâåò — 2). 5. Íàéäèòå íàèáîëüøåå èç çíà÷åíèé ïåðåìåííîé ó, ÿâëÿþùååñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé ìï(x + y)2 - z2 = 4, ïï ïï 2 2 í(y + z) - x = 2, ïï ïï(z + x)2 - y2 = 3. ïî Îòâåòû: 1) 1; 2) 2; 3) 5; 4) 3; 5) 6. Âåðíûé îòâåò — 1).

§ 7. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ 7.1. Ðåøåíèå ðàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ  ñîäåðæàíèè ÅÃÝ ðàöèîíàëüíûì íåðàâåíñòâàì îòâîäèòñÿ çíà÷èòåëüíîå ìåñòî. Ìåòîäû ðåøåíèÿ ðàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ ÿâëÿþòñÿ îñíîâîé, íà êîòîðîé ñòðîèòñÿ ðåøåíèå äðóãèõ âèäîâ íåðàâåíñòâ — èððàöèîíàëüíûõ, ïîêàçàòåëüíûõ, ëîãàðèôìè÷åñêèõ, è â ìåíüøåé ìåðå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ. Êàíîíè÷åñêèì âèäîì ðàöèîíàëüíîãî íåðàâåíñòâà ñ÷èòàåòñÿ åãî ïðåäñòàâëåíèå â âèäå ñðàâíåíèÿ F (x)  0 , â êîòîðîì ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâíà íóëþ, à ëåâàÿ ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ïðî190


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

èçâåäåíèÿ èëè ÷àñòíîãî öåëûõ àëãåáðàè÷åñêèõ ôóíêöèé ñ èçâåñòíûìè èíòåðâàëàìè çíàêîïîñòîÿíñòâà. Ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, îáðàùàþùèå äàííîå íåðàâåíñòâî â âåðíîå ÷èñëîâîå íåðàâåíñòâî. Ðåøåíèåì ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, îáðàùàþùèå â âåðíûå ÷èñëîâûå âñå íåðàâåíñòâà ñèñòåìû. Ðåøåíèåì ñîâîêóïíîñòè íåðàâåíñòâ ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, óäîâëåòâîðÿþùèå õîòÿ áû îäíîìó íåðàâåíñòâó ñîâîêóïíîñòè. Ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà ïðåäñòàâëÿþò ïîäìíîæåñòâà ÷èñëîâîé îñè, ÿâëÿþùèåñÿ îáúåäèíåíèåì (ñîâîêóïíîñòüþ) ñëåäóþùèõ îñíîâíûõ ïîäìíîæåñòâ, ïðåäñòàâëåííûõ â òàáëèöå. Ãðàôè÷åñêîå èçîáðàæåíèå

Àíàëèòè÷åñêàÿ çàïèñü

Ìíîæåñòâåííàÿ çàïèñü

x

Æ

Æ

a

x

x<a

(-¥;a)

a

x

x<a

(-¥;a ]

a

x

x>a

(a; +¥)

a

x

x³a

[ a; +¥)

x

a<x<b

(a; b)

x

a£x<b

[a; b)

x

a<x£b

(a; b]

x

a£x£b

[a; b]

x

x=a

{a}

x

-¥ < x < +¥

R

a

b

a

b

a

b

a

b a

Ïðè ðåøåíèè íåðàâåíñòâ îáû÷íî èñïîëüçóþò äâà ñòàíäàðòíûõ ïîäõîäà. Ðàññìîòðèì èõ íà ïðèìåðå ðåøåíèÿ ïðîñòîãî íåðàâåíñòâà. 191


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 1. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 1-é ñïîñîá.

x -2 >0 . x -4

Ðåøåíèå. Íåðàâåíñòâî ñâîäèòñÿ ê ðàññìîòðåíèþ ñîâîêóïíîñòè äâóõ ñèñòåì éïìx - 2 > 0, êïí êïx - 4 > 0, êïî ê êïìïx - 2 < 0, êí êëïïîx - 4 < 0, êàæäàÿ èç êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿåò îäèí èç äâóõ âîçìîæíûõ ñëó÷àåâ, êîãäà âûðàæåíèå ïîëîæèòåëüíî. Èç ïåðâîé ñèñòåìû ïîëó÷àåì x > 4, à èç âòîðîé x < 2. Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå é x < 2, ýòîãî íåðàâåíñòâà çàäàåòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ ê ê x > 4. ë Îòâåò: (-¥;2)  (4; +¥) . 2-é ñïîñîá. Äðóãîé ìåòîä — ýòî èçâåñòíûé ìåòîä èíòåðâàëîâ. Èäåÿ ìåòîäà ïðîñòà è ìîæåò áûòü ñôîðìóëèðîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì.

7.2. Ìåòîä èíòåðâàëîâ ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâ Âñÿêîå àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå, çàâèñÿùåå îò ïåðåìåííîé, ìîæåò ìåíÿòü çíàê â òî÷êàõ, â êîòîðûõ îíî îáðàùàåòñÿ â íîëü èëè â êîòîðûõ ãðàôèê ýòîãî âûðàæåíèÿ òåðïèò ðàçðûâ. Óêàçàííûå òî÷êè ðàçáèâàþò îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ âûðàæåíèÿ íà èíòåðâàëû, âî âñåõ òî÷êàõ êàæäîãî èç êîòîðûõ çíà÷åíèÿ âûðàæåíèÿ ñîõðàíÿþò ñâîé çíàê. Ïðèìåð 1. 2-é ñïîñîá. x -2 Ðåøèòå íåðàâåíñòâî >0 . x -4 Ðåøåíèå.  äàííîì ñëó÷àå ÷èñëèòåëü îáðàùàåòñÿ â íîëü ïðè x = 2, à çíàìåíàòåëü äðîáè — ïðè x = 4. Ñëåäîâàòåëüíî, âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà, ìîæåò ìåíÿòü ñâîé çíàê òîëüêî â äâóõ òî÷êàõ è ñîõðàíÿåò ñâîé çíàê íà êàæäîì èç òðåõ èíòåðâàëîâ (-¥;2) , (2;4) , (4; +¥) . 192


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Âûáåðåì íà êàæäîì èç èíòåðâàëîâ «óäîáíóþ» òî÷êó è âû÷èñëèì çíàê âûðàæåíèÿ. x -2 Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ F (x) = . Âû÷èñëèì åå çíà÷åx -4 íèÿ â «óäîáíîé» òî÷êå êàæäîãî èç òðåõ ïîëó÷èâøèõñÿ èíòåðâàëîâ. Èìååì: F (0) > 0 , F (3) < 0 , F (5) > 0 . Ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà êàæäîì èç ýòèõ èíòåðâàëîâ è ïîýòîìó ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ îäíîãî çíàêà â êàæäîé òî÷êå ñîîòâåòñòâóþùåãî èíòåðâàëà. 



Y



Îòâåò: (-¥;2)  (4; +¥) . Ïðèìåð 2. Óêàæèòå ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà 2- x ³0 . x +3 1) (-¥;-3) ; 2) (-¥;-3] ; 3) (-3;2) ; 4) (-3;2] . Ðåøåíèå. Äîñòàòî÷íî, åñëè áóäåò âûïîëíåíà ñëåäóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü äåéñòâèé. 2- x F (x) = . x +3 2- x 1. =0 x=2. x +3 2. x + 3 = 0  x = -3 . 2- x Ïîëó÷èì: ³ 0  -3 < x £ 2 . x +3 −

+ −3

2

x

Âåðíûé îòâåò — 4). Îòâåò: 4. Ïðèìåð 3. Íàéäèòå ñóììó öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë, 3x 5 4x - 3 . óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó 3 > 2 8 6 1) 1; 2) 2; 3) 4; 4) 3. 193


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ðåøåíèå. 3x 5 4x - 3 3>  72 - 36x > 15 - 4(4x - 3)  2 8 6 9  20x < 45  x < . 4 Äàííîìó íåðàâåíñòâó óäîâëåòâîðÿþò öåëûå ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà 1 è 2, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà 3. Âåðíûé îòâåò — 4). Îòâåò: 4. Ïðèìåð 4. Íàéòè íàèáîëüøåå öåëîå ðåøåíèå ñèñòåìû íåïì2x + 10 < 1,5x + 20, ðàâåíñòâ ïí . ïïî3x + 4 < 2x + 16. Ðåøåíèå. Ðåøèòü ñèñòåìó íåðàâåíñòâ — ýòî çíà÷èò íàéòè çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, óäîâëåòâîðÿþùèå âñåì íåðàâåíñòâàì ñèñòåìû. ì 2x + 10 < 1,5x + 20, ïìï0,5x < 10, ïìïx < 20, ï ï í í  x < 12 . í ï ïîïx < 12 ïîïx < 12 ï3x + 4 < 2x + 16 î Íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, ìåíüøåå 12, — ýòî 11. Îòâåò: 11. Ïðèìåð 5. Íàéäèòå íàèìåíüøåå öåëîå ðåøåíèå íåðàâåíx +1 ñòâà 1 £ <3 . 2- x Ðåøåíèå. Ïðåäñòàâèì äàííîå äâîéíîå íåðàâåíñòâî â âèäå ñèñòåìû íåðàâåíñòâ. ïìï x + 1 ³ 1, ïìï 2x -1 ³ 0, ïï 2 - x ïï 1 5 x +1 , £x< . <3 í  í 2- x 1£ ï ï 4 x 5 + x 1 2 4 2- x ïï ïï <0 <3 ïîï 2 - x ïîï 2 - x Åäèíñòâåííîå öåëîå ðåøåíèå, à çíà÷èò, è íàèìåíüøåå — 1. Îòâåò: 1. 1 2

2 x

5 4 194

2

x


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Ïðèâåäåì ïðèìåð ðåøåíèÿ áîëåå ñëîæíîãî íåðàâåíñòâà ìåòîäîì èíòåðâàëîâ. (x - 3)3 (x - 7)2 (x + 1) Ïðèìåð 6. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî £0. (x - 2)(x + 4)4 Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ F (x) =

(x - 3)3 (x - 7)2 (x + 1) . (x - 2)(x + 4)4

1. F (x) = 0 ïðè x = −1, x = 3, x = 7. 2. Òî÷êè ðàçðûâà x = −4, x = 2. 3. Íàéäåííûå òî÷êè îòìåòèì íà ÷èñëîâîé ïðÿìîé, ðàçáèâàÿ ïðÿìóþ íà øåñòü èíòåðâàëîâ. Íà êàæäîì èç ïîëó÷åííûõ èíòåðâàëîâ âûáåðåì «óäîáíóþ» òî÷êó è âû÷èñëèì çíàê çíà÷åíèÿ ôóíêöèè â ýòîé òî÷êå.  ñèëó íåïðåðûâíîñòè äðîáíî-ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèè íà êàæäîì èç ïîëó÷èâøèõñÿ èíòåðâàëîâ òîò æå çíàê áóäóò èìåòü çíà÷åíèÿ ôóíêöèè âî âñåõ òî÷êàõ ðàññìàòðèâàåìîãî èíòåðâàëà. F (-5) < 0 , F (-3) < 0 , F (0) > 0 , F (2,5) < 0 , F (5) > 0 , F (8) > 0 − −4

+ −1

+

2 3

+ 7

x

é x <-4, ê ê-4 < x £-1, (x - 3)3 (x - 7)2 (x + 1) £ 0  êê 4 (x - 2)(x + 4) ê2 < x £ 3, ê x = 7. êë

Îòâåò: (-¥;-4)  (-4;-1]  (2;3]  {7} . Ïðèâåäåííûé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî âûðàæåíèå ìîæåò ìåíÿòü ñâîé çíàê, íî íå îáÿçàíî ýòî äåëàòü â òî÷êàõ, â êîòîðûõ îíî îáðàùàåòñÿ â íîëü èëè òåðïèò ðàçðûâ. Ðàññìîòðèì åùå íåñêîëüêî ïðèìåðîâ. Ïðèìåð 7. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x3 + x2 + 2x - 4 £ 0 . Ðåøåíèå. Òàê êàê ñóììà êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà, ñòîÿùåãî â ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà, ðàâíà íóëþ, òî x = 1 — êîðåíü ìíîãî÷ëåíà. Ïîëó÷èì

195


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

P(1) = 0 , P(x) = P(x) - P(1) = (x3 -1) + (x2 -1) + 2(x -1) = = (x -1)(x2 + 2x + 4) .

Ïåðåéäåì ê ðåøåíèþ íåðàâåíñòâà. P(x) = (x -1)(x2 + 2x + 4) .

1. P(x) = 0 ïðè x = 1. −

+ 1

x

P(0) < 0 , P(2) > 0 . Îòâåò: (-¥;1] .

Ðàññìîòðèì åùå îäèí ïðèìåð, èëëþñòðèðóþùèé ñèòóàöèþ, â êîòîðîé ÷àñòî äîïóñêàþòñÿ îøèáêè. Ïðèìåð 8. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî

6(x + 2) ³x . (x -1)(x + 2)

Ðåøåíèå. Âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà, â ÷èñëèòåëå è çíàìåíàòåëå ñîäåðæèò îäèíàêîâûé ìíîæèòåëü, ïðè ñîêðàùåíèè íà êîòîðûé è ïîÿâëÿåòñÿ «çàïëàíèðîâàííàÿ» îøèáêà. Îøèáêà ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè ñîêðàùåíèè ìåíÿåòñÿ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ âûðàæåíèÿ, è äàëüíåéøèå ïðåîáðàçîâàíèÿ íå ÿâëÿþòñÿ ðàâíîñèëüíûìè. Èìååì 6(x + 2) (x + 2)(6 - x2 + x) (x + 2)2 (3 - x) . -x = = (x -1)(x + 2) (x -1)(x + 2) (x -1)(x + 2) (x + 2)2 (3 - x) . (x -1)(x + 2) Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè — âñÿ ÷èñëîâàÿ ïðÿìàÿ, êðîìå òî÷åê x = –2, x = 1. Ïîýòîìó èñõîäíîå íåðàâåíñòâî áóäåò ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå. ìï ïï ïïx ¹ -2, 6(x + 2) ï ³ x  íx ¹ 1, ïï (x -1)(x + 2) ïï (3 - x)(x + 2) ³0 ïï x -1 ïî

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ F (x) =

196


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

+

− −2

−1

+

− 3

x

ìï ïï ïïx ¹ -2, 6(x + 2) ï ³ x  íx ¹ 1,  ïï (x -1)(x + 2) ïï (3 - x)(x + 2) ³0 ïï x -1 ïî ìï (x + 2)(3 - x) ïï ³ 0, ïï (x -1) é-2 < x < 1, ï  ïíx ¹ -2, ê ê x ³ 3. ï ï ë ï x ¹1 ï ï ï ï î Îòâåò: (-2;1)  [3; +¥) .

Ðàññìîòðèì åùå îäèí ïðèìåð, â êîòîðîì àâòîìàòè÷åñêîå âûïîëíåíèå «ïðèâû÷íûõ» ïðåîáðàçîâàíèé ïðèâîäèò ê íåâåðíîìó ðåøåíèþ. 1 1 1 Ïðèìåð 9. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 2 +1 > - . x -1 x x -x Ðåøåíèå. Ïðèâîäÿ ê îáùåìó çíàìåíàòåëþ ïðàâóþ ÷àñòü 1 1 íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì 2 . Îáå ÷àñòè íåðàâåí+1 > 2 x -x x -x ñòâà ñîäåðæàò îäèíàêîâîå ñëàãàåìîå, ïðè ñîêðàùåíèè íà êîòîðîå âîçíèêàåò «âåðíîå» íåðàâåíñòâî 1 > 0 . Ýòî íåðàâåíñòâî, íåñîìíåííî, âåðíî, íî òîëüêî ïðè çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ, âõîäÿùèõ â îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ íåðàâåíñòâà. é x < 0, ê 1 1 2 +1 > 2  x - x ¹ 0  êê0 < x < 1, 2 x -x x -x ê x > 1. êë Îòâåò: (-¥;0)  (0;1)  (1; +¥) . x2 - 5 . Ïðèìåð 10. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x2 + 1 > 2 x +2 x2 - 5 Ðåøåíèå. x2 + 1 > 2  (x2 + 1)(x2 + 2) > x2 - 5 . x +2 Óìíîæåíèå íà âûðàæåíèå, çàâèñÿùåå îò ïåðåìåííîé, â äàííîì ñëó÷àå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîñèëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì, òàê 197


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

êàê ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé îíî ïðèíèìàåò òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Ïîëó÷èì (x2 + 1)(x2 + 2) > x2 - 5  x4 + 2x2 + 5 > 0   -¥ < x < +¥ .

Îòâåò: (-¥; +¥) . Ðàññìîòðèì åùå îäíî íåðàâåíñòâî. 1 £1 . x Ðåøåíèå. Áóäåò ñ÷èòàòüñÿ õîðîøèì òîíîì, åñëè ìû çà1 ìåòèì, ÷òî x + ³ 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìîå íåðàâåíñòâî x áóäåò âåðíî ïðè âñåõ îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé õ. 1 x + £1  x < 0 . x Îòâåò: (-¥;0) .

Ïðèìåð 11. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x +

Ïðèìåð 12. (ÅÃÝ Ñ-5) Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ âî ìíîæåñòâå ðåøåíèé íåðàâåíñòâà 4a2 x(x - 2a - 4) < - a2 - 8 a x íåëüçÿ ðàñïîëîæèòü äâà îòðåçêà äëèí 1,5 êàæäûé, êîòîðûå íå èìåþò îáùèõ òî÷åê. Ðåøåíèå. Ðåøåíèå çàäà÷ Ñ-5 ÅÃÝ äàåòñÿ ñ ïîëíûì ðàçâåðíóòûì îòâåòîì. Çàïèøåì íåðàâåíñòâî â êàíîíè÷åñêîì âèäå. 4a2 x(x - 2a - 4) < - a2 - 8 a  x 4a2  x2 - 2ax - 4x + a2 + 8a <0  x 4x2 - 8ax + 4a2  (x - a)2 <0  x 4(x - a)2  (x - a)2 <0  x ìïx ¹ a, æ 4ö  (x - a)2 çç1 - ÷÷÷ < 0  íï è ïïî0 < x < 4. xø 198


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

Åñëè a £ 0 èëè a ³ 4 , òî ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà ÿâëÿåòñÿ èíòåðâàë (0;4) , â êîòîðîì ìîæíî ðàñïîëîæèòü äâà îòðåçêà äëèíû 1,5 òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îíè íå èìåëè îáùèõ òî÷åê. Ðàññìîòðèì òåïåðü âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà 0 < a < 4. Ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà â ýòîì ñëó÷àå áóäåò îáúåäèíåíèå äâóõ èíòåðâàëîâ (0;a) è (a;4) . Ðàñïîëîæèòü äâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ îòðåçêà äëèíû 1,5 ìîæíî áóäåò â òîì ñëó÷àå, åñëè õîòÿ áû îäèí èç èíòåðâàëîâ áóäåò èìåòü äëèíó áîëüøå 3, ëèáî êîãäà îáà îíè îäíîâðåìåííî áóäóò èìåòü äëèíó áîëüøå 1,5. Ïåðâûé ñëó÷àé çàäàåòñÿ ñèñòåìîé ìï0 < a < 4, ïï ïíéa > 3, ïïê ïïîêë4 - a > 3, à âòîðîé — ñèñòåìîé ìï0 < a < 4, ïï ïía > 1,5, ïï ïïî4 - a > 1,5. Ðåøàåì ïåðâóþ ñèñòåìó: ïìï0 < a < 4, é0 < a < 1, ïï ê íéêa > 3, ê3 < a < 4. ï ïïîïêë4 - a > 3 ë Ðåøàåì âòîðóþ: ìï0 < a < 4, ïï ïía > 1,5,  1,5 < a < 2,5. ïï ïïî4 - a > 1,5 Òàêèì îáðàçîì, åñëè a Î (-¥;1)  (1,5;2,5)  (3; +¥) , òî â ðåøåíèè èñõîäíîãî íåðàâåíñòâà ìîæíî áóäåò ðàñïîëîæèòü äâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ îòðåçêà äëèíû 1,5. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè a Î [1;1,5]  [2,5;3] , òî ðàñïîëîæèòü îòðåçêè áóäåò íåëüçÿ. Îòâåò: a Î [1;1,5]  [2,5;3] . Ïðèâåäåì åùå ïðèìåð ðàöèîíàëüíîãî íåðàâåíñòâà, â êîòîðîì ñóùåñòâåííî èñïîëüçóåòñÿ îïðåäåëåíèå ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà. 199


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 13. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà ö 16 - (a + 8)x 8a æ 2 < 2 çç -1÷÷÷ -1 è ø x x x ñîäåðæèò ÷èñëî 5, à òàêæå ñîäåðæèò äâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ îòðåçêà, êàæäûé èç êîòîðûõ äëèíîé 5.

Ðåøåíèå. Çàïèøåì íåðàâåíñòâî â êàíîíè÷åñêîì âèäå è ïîñòàðàåìñÿ óïðîñòèòü ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå. ö 16 - (a + 8)x 8a æ 2 < 2 çç -1÷÷÷ -1  ø x x èx  

16 - ax - 8x + x2 16a - 8ax <  x2 x3

x3 - 8x2 + 16x - ax2 + 8ax -16a <0  x3

x(x - 4)2 - a(x - 4)2 (x - a)(x - 4)2 <0  <0  2 x x3 ìïx ¹ 4, ï  ïí x - a ïï < 0. îï x Ñàìûì òðóäíûì áûëî ïðàâèëüíî ïðîâåñòè ãðóïïèðîâêó ñëàãàåìûõ â ÷èñëèòåëå äðîáè. Íàéäåì ñíà÷àëà çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ÷èñëî 5 ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì äàííîãî íåðàâåíñòâà, èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâà. Èìååì: 5-a < 0  a > 5. 5 Ïðè ïîëó÷åííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà ðåøåíèåì ñèñòåìû áóäåò ÿâëÿòüñÿ îáúåäèíåíèå äâóõ èíòåðâàëîâ (0;4)  (4;a) . Íà ïåðâîì íåëüçÿ ðàñïîëîæèòü íè îäíîãî îòðåçêà äëèíîé 5. Ñëåäîâàòåëüíî, îáà ýòèõ îòðåçêà äîëæíû ïðèíàäëåæàòü èíòåðâàëó (4;a) . Ýòî âîçìîæíî, åñëè a - 4 > 10  a > 14 . Îòâåò: (14; +¥) . 

Ïðèìåð 14. Íàéäèòå âñå ïàðû öåëûõ ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùèõ ñèñòåìå íåðàâåíñòâ 200


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

ìï2x2 + 2y2 -12x + 20y + 65 < 0, ï í ïï4x + 2y > 3. î Ðåøåíèå. Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ëåâîé ÷àñòè ïåðâîãî íåðàâåíñòâà. 2x2 + 2y2 -12x + 20y + 65 = = 2(x2 - 6x + 9) + 2(y2 + 10y + 25) - 3 .

Ïîëó÷èì ïìï2x2 + 2y2 -12x + 20y + 65 < 0, ïìï2(x - 3)2 + 2(y + 5)2 < 3, í í ïï4x + 2y > 3 ïï4x + 2y > 3. î î Ïóñòü (x; y) — öåëî÷èñëåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû. Òîãäà (x - 3) è (y + 5) — òàêæå öåëûå ÷èñëà.  ýòîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî öåëûõ ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùèõ ïåðâîìó íåðàâåíñòâó ñèñòåìû, çàäàåòñÿ ñîâîêóïíîñòüþ óðàâíåíèé éìïx = 3, êï éïì(x - 3)2 = 0, êïïé êï êíïê y = -4, êíï ê 5 êïïî(y + 5) = 1, êïïïîêë y = -6, ê ê ê 2 ê êïìï(x - 3) = 1, êïìïy = -5, ï êí êï 5 êï êïíêé x = 4, êëïîï(y + 5) = 0 êïê x = 2. êëïîïë Âòîðîìó íåðàâåíñòâó ñèñòåìû óäîâëåòâîðÿþò (3;-4) è (4;-5) . Îòâåò: (3;-4) ; (4;-5) .

Ïðèìåð 15. Íàéäèòå ìíîæåñòâî ïàð öåëûõ ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùèõ ñèñòåìå íåðàâåíñòâ ìïy3 - 3x2 - 9y + 24x - 47 > 0, ï í 3 ïïy + x2 - 9y -10x + 23 < 0. ïî

Ðåøåíèå. Ïóñòü (x; y) — ïàðà öåëûõ ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùèõ ñèñòåìå. Òîãäà ÷èñëî, ñòîÿùåå â ëåâîé ÷àñòè ïåðâîãî íåðàâåíñòâà, ïîëîæèòåëüíî, à ñòîÿùåå â ëåâîé ÷àñòè âòîðîãî — îòðèöàòåëüíî. 201


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïîëó÷èì y3 - 3x2 - 9y + 24x - 47 > y3 + x2 - 9y -10x + 23  7  2x2 -17x + 35 < 0  < x < 5. 2 Òàê êàê õ — öåëîå ÷èñëî, òî x = 4. Ïîäñòàâèì íàéäåííîå çíà÷åíèå â ñèñòåìó. Ïîëó÷èì ïìïy3 - 9y + 1 > 0,  -1 < y3 - 9y < 1. í 3 ïïy - 9y + 1 < 0 ïî Òàê êàê y — öåëîå ÷èñëî, òî è y3 – 9y — òîæå öåëîå. Ñëåäîâàòåëüíî: é y = 0, ê 3 y - 9y = 0  êê y = -3, ê y = 3. êë Ñëåäîâàòåëüíî, ïàðû öåëûõ ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùèõ äàííîé ñèñòåìå, (4; 0); (4; –3); (4; 3). Îòâåò: (4; 0); (4; –3); (4; 3).

Óïðàæíåíèå 1. 1. Óêàæèòå ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà x +1 £0 . (x -1)2 1) (-¥;-1]  (1; +¥) ; 2) [-1;1] ; 3) [1; +¥) ; 4) (-¥;-1] . 2. Óêàæèòå ïðîèçâåäåíèå âñåõ öåëûõ ÷èñåë, ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà æ 1 1 ÷ö (x2 - 2x - 7) ççç ÷£ 3 . è x - 5 x + 1÷ø 1) –360; 2) –72; 3) 0; 4) 360. 3. Ðàçíîñòü ìåæäó íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì ðåøåíèÿìè ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ìïï(x - 2)(x - 3) £ 2, í ïïî2x -1 £ 5 ðàâíà 1) 1; 2) 3; 3) 2; 4) 1,5. 4. Ñóììà êâàäðàòîâ âñåõ öåëûõ ÷èñåë, ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà 202


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

2x2 - x - 23 2x2 - x - 23 £9+ x -4 x +5

ðàâíà 1) 15; 2) 39; 3) 55; 4) 64. 5. Ïðîèçâåäåíèå âñåõ öåëûõ ðåøåíèé íåðàâåíñòâà (x2 -1)2 - 7x2 + 13 < 0

ðàâíî 1) –12; 2) –4; 3) –1; 4) 4. Óïðàæíåíèå 2. 1. Íàéäèòå íàèáîëüøåå öåëîå ðåøåíèå ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ìïx2 - 9x + 14 < 0, ï í ïïx - 4 < 0. î 2. Íàéäèòå íàèìåíüøåå öåëîå ðåøåíèå ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ìïx2 + 6x + 5 < 0, ïí ïïx2 + 4x + 3 > 0. ïî 3. Íàéäèòå ñóììó íàèáîëüøåãî è íàèìåíüøåãî ðåøåíèé ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ïìï 2x -14 £ 1, ï x2 - x -12 í ïï ïî1,5 < x < 2,5. 4. Íàéäèòå ñóììó öåëî÷èñëåííûõ ðåøåíèé ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ìï 3x - 3 ïï > 2, ï x -2 í ïï 8 ³ 1. ïï ïî x + 3 5. Íàéäèòå ñóììó âñåõ öåëûõ ïîëîæèòåëüíûõ ðåøåíèé ñèñòåìû íåðàâåíñòâ ìï x2 - 4x + 4 ïï ³ 0, ïï (x + 5)(x - 3) í ïï 9 - x ïï ³ 1. ïî7 - x

Îòâåòû: 1) 3; 2) –4; 3) 3,5; 4) 10; 5) 4. 203


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Óïðàæíåíèå 3. 1. Íàéäèòå âñå ïàðû öåëûõ ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùèõ òåìå íåðàâåíñòâ ïìï2x2 + 2y2 + 24x - 28y + 167 < 0, í ïï2x + 4y < 15. î 2. Íàéäèòå âñå ïàðû öåëûõ ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùèõ òåìå íåðàâåíñòâ ìïx2 + y2 < 16x - 22y -171, ï í ïï30x - y2 > 252 + 14y + x2 . ïî 3. Íàéäèòå âñå ïàðû öåëûõ ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùèõ òåìå íåðàâåíñòâ ìïx2 + y2 < 18x - 20y -166, ï í ïï32x - y2 > 271 + 12y + x2 . ïî 4. Íàéäèòå âñå ïàðû öåëûõ ÷èñåë, óäîâëåòâîðÿþùèõ òåìå íåðàâåíñòâ

ñèñ-

ñèñ-

ñèñ-

ñèñ-

ìïy3 - 3x2 - 4y + 18x - 26 > 0, ï í 3 ïïy + x2 - 4y - 8x + 14 < 0. ïî Îòâåòû: 1) (–7; 7); (–6; 6); 2) (11; –9); 3) (12; 8); 4) (3; 0); (3; 2); (3; –2).

Óïðàæíåíèå 4. (ÅÃÝ Ñ-5) 1. Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà a æ a + 2 2a ö÷ < ç1 + 2 ÷÷ x çè x x ø ñîäåðæèòñÿ â íåêîòîðîì îòðåçêå äëèíû 7, è ïðè ýòîì ñîäåðæèò êàêîé-íèáóäü îòðåçîê äëèíû 4. 2. Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà 25a x2 + 10a < (10 + a)x - 25 x ñîäåðæèò êàêîé-íèáóäü îòðåçîê äëèíû 7, íî íå ñîäåðæèò íèêàêîãî îòðåçêà äëèíû 9. 1-

204


ÃËÀÂÀ 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ...

3. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà æ 3a ö 3(2a + 3) - x(a - x) < 3çç + 2x÷÷÷ èx ø

ñîäåðæèò êàêîé-íèáóäü îòðåçîê äëèíû 5, íî íå ñîäåðæèò íèêàêèõ äâóõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ îòðåçêîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ äëèíû 3. 4. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà ö 9 - (a + 6)x 3a æ 3 < 2 çç - 2÷÷÷ -1 2 è ø x x x ñîäåðæèò ÷èñëî 4, à òàêæå ñîäåðæèò äâà íåïåðåñåêàþùèõñÿ îòðåçêà äëèíû 4 êàæäûé. 5. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ âî ìíîæåñòâå ðåøåíèé íåðàâåíñòâà 6a2 -12a x ìîæíî ðàñïîëîæèòü äâà îòðåçêà äëèíû 1 è äëèíû 4, êîòîðûå íå èìåþò îáùèõ òî÷åê. Îòâåòû: 1) [-7;-4 ] ; 2) [-9;-7)  (12;14] ; 3) [-6;-5)  (8;9] ; 4) (11; +¥) ; 5) (-¥;1)  (1;2)  (4;5)  (5; +¥) . x(x - 2a - 6) + a2 <


ÃËÀÂÀ 4 ÐÅØÅÍÈÅ ÈÐÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒ § 1. Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ è ñèñòåìû óðàâíåíèé 1.1. Ïðîñòåéøèå èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ Îïðåäåëåíèå. Óðàâíåíèå y = f (x, y,..., z) = 0 íàçûâàåòñÿ èððàöèîíàëüíûì, åñëè åãî ëåâàÿ ÷àñòü åñòü àëãåáðàè÷åñêàÿ èððàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ îò ïåðåìåííûõ. Îïðåäåëåíèå. Ïðîñòåéøèìè èððàöèîíàëüíûìè óðàâíåíèÿìè îò îäíîé ïåðåìåííîé áóäåì íàçûâàòü óðàâíåíèÿ âèäà 1) 2n f (x) = g(x) è 2n+1 f (x) = g(x) , 2)

f (x) = g(x) ,

3) g(x) f (x) = 0 . Îòìåòèì, ÷òî ïðè ðåøåíèè èððàöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé: 1. Âñå êîðíè ÷åòíîé ñòåïåíè, âõîäÿùèå â óðàâíåíèå, ÿâëÿþòñÿ àðèôìåòè÷åñêèìè. Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå îòðèöàòåëüíî, òî êîðåíü ëèøåí ñìûñëà; åñëè ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå ðàâíî íóëþ, òî êîðåíü òàêæå ðàâåí íóëþ; åñëè ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå ïîëîæèòåëüíî, òî è çíà÷åíèå êîðíÿ ïîëîæèòåëüíî. 2. Âñå êîðíè íå÷åòíîé ñòåïåíè, âõîäÿùèå â óðàâíåíèå, îïðåäåëåíû ïðè ëþáîì äåéñòâèòåëüíîì çíà÷åíèè ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ, ïðè ýòîì êîðåíü èìååò òîò æå çíàê, ÷òî è ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå. 3. Ôóíêöèè y = x , y = 2n x , y = 2n+1 x ÿâëÿþòñÿ âîçðàñòàþùèìè íà ñâîåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Ðàññìîòðèì àëãîðèòìû ðåøåíèÿ êàæäîãî èç òèïîâ ïðîñòåéøèõ óðàâíåíèé. ìïg(x) ³ 0, 1) 2n f (x) = g(x)  ïí ïïf (x) = g2n (x). î 206


ÃËÀÂÀ 4. ÐÅØÅÍÈÅ ÈÐÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

2) Ôóíêöèÿ y = 2n+1 t , n Î N îïðåäåëåíà è ìîíîòîííà ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà. Ïîýòîìó 2n+1 f (x) = g(x)   f (x) = g2n+1 (x) . Ïðèìåð 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå

x + 1 = -3 .

Ðåøåíèå. Òàê êàê îáëàñòü çíà÷åíèé àðèôìåòè÷åñêîãî êîðíÿ âòîðîé ñòåïåíè — ìíîæåñòâî íåîòðèöàòåëüíûõ äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, òî äàííîå ðàâåíñòâî íåâîçìîæíî. Òàêèì îáðàçîì, x + 1 = -3  Æ . Îòâåò: Æ . Ïðèìåð 2. Óêàæèòå ïðîìåæóòîê, êîòîðîìó ïðèíàäëåæàò êîðíè óðàâíåíèÿ 2x2 + 9x + 5 - x = 3 . 1) (-¥;1] ; 2) (1;5] ; 3) [5;10) ; 4) [10; +¥) . Ðåøåíèå. Çàïèøåì óðàâíåíèå â ñòàíäàðòíîì âèäå è ïðèìåíèì àëãîðèòì ðåøåíèÿ ïîäîáíûõ óðàâíåíèé. 2x2 + 9x + 5 - x = 3  2x2 + 9x + 5 = x + 3  ìïx + 3 ³ 0,  ïí 2  ïï2x + 9x + 5 = x2 + 6x + 9 î ïìïx + 3 ³ 0, ìïx + 3 ³ 0, ï ï í 2  ïíé x = -4,  x = 1. ïïx + 3x - 4 = 0 ïïê î ïïîêë x = 1 Åäèíñòâåííûé êîðåíü óðàâíåíèÿ 1 Î (-¥; 1ùû , ïîýòîìó íîìåð ïðàâèëüíîãî îòâåòà — 1). Îòâåò: 1).

Ïðèìåð 3. Óêàæèòå öåëîå ÷èñëî, áëèæàéøåå ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ 3 x3 + 3x2 = x + 1 . 1) –1; 2) 0; 3) 1; 4) –2. Ðåøåíèå. Âîçâîäÿ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ â êóá, ïîëó÷èì x3 + 3x2 = x + 1  x3 + 3x2 = x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0  1  3x + 1 = 0  x = - . 3 Öåëîå ÷èñëî, áëèæàéøåå ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ — 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðàâèëüíûé îòâåò — 2). Îòâåò: 2). 3

207


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 4. Óêàæèòå ïðîìåæóòîê, êîòîðîìó ïðèíàäëåæàò êîðíè óðàâíåíèÿ 5 - x = x - 5 . 1) [-6; -5]; 2) [-4; 0]; 3) [2; 4]; 4) [5; 7]. Ðåøåíèå. 5 - x = x - 5 .  äàííîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íî óâèäåòü, ÷òî ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå íåîòðèöàòåëüíî ïðè x £ 5 , à ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ — ïðè x ³ 5 . Ïîýòîìó åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì äàííîãî óðàâíåíèÿ ìîæåò áûòü òîëüêî x = 5. Íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê. Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ 5 Î [5;7 ] , ïîýòîìó ïðàâèëüíûé îòâåò — 4). Îòâåò: 4). Ïðèâåäåííûé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, ÷òî èíîãäà ìîæíî îòñòóïèòü îò àëãîðèòìà ðåøåíèÿ.

1.2. Óðàâíåíèÿ, ñâîäÿùèåñÿ ê ïðîñòåéøèì Óðàâíåíèÿ, ïðèâîäÿùèåñÿ ê ïðîñòåéøèì, ðåøàþòñÿ ìåòîäàìè, êîòîðûìè ðåøàþòñÿ ëèáî öåëûå, ëèáî äðîáíî-ðàöèîíàëüíûå àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ. Ðåøèì íåñêîëüêî óðàâíåíèé, ñâîäÿ èõ ê ïðîñòåéøèì ïîäõîäÿùåé çàìåíîé. Ïðèìåð 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå: 2

x -x +6= 0 .

Ðåøåíèå. x - x + 6 = 0  ( x ) - x - 6 = 0 . Ïðîâåäåííûé ïåðåõîä åñòü ðàâíîñèëüíîå ïðåîáðàçîâàíèå, òàê êàê îí íå ìåíÿåò îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ âûðàæåíèÿ, ñòîÿùåãî â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ. Ðåøèì âñïîìîãàòåëüíîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå 2 y - y - 6 = 0 , ñäåëàâ çàìåíó y = x . Çàìåòèì ïðè ýòîì, ÷òî âñïîìîãàòåëüíîå óðàâíåíèå îòíþäü íå îáÿçàíî áûòü ðàâíîñèëüíûì èñõîäíîìó óðàâíåíèþ. é y = -3, y2 - y - 6 = 0  ê ê y = 2. ë Ñëåäîâàòåëüíî, èñõîäíîå èððàöèîíàëüíîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè ïðîñòåéøèõ èððàöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé. 208


ÃËÀÂÀ 4. ÐÅØÅÍÈÅ ÈÐÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

Îòâåò: 4.

é x = -3, x - x + 6 = 0  êê  x=4 . êë x = 2

Ïðèìåð 6. Ðåøèòå óðàâíåíèå:

x -1 2x + 1 -2 =1. x -1 2x + 1

2x + 1 Ðåøåíèå. Âûïîëíèâ î÷åâèäíóþ çàìåíó y = , ðåøàx -1 åì ïîëó÷èâøåå âñïîìîãàòåëüíîå óðàâíåíèå. é y = 2, ïìy ¹ 0, 2 ê y - = 1  ïí 2 ïïy - y - 2 = 0 ëê y = -1. y î Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíîå óðàâíåíèå âíîâü áóäåò ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè ïðîñòåéøèõ óðàâíåíèé. é 2x + 1 ê = 2, ê x -1 2x + 1 x -1 -2 =1  ê  ê 2x + 1 x -1 ê 2x + 1 = -1 ê x -1 ë 2x + 1 2x + 1  =2 =4 x -1 x -1 5 -2x + 5  =0 x= . x -1 2 5 Îòâåò: . 2

1.3. Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå íåñêîëüêî ðàäèêàëîâ âòîðîé ñòåïåíè Ïðè ðåøåíèè ïîäîáíûõ óðàâíåíèé ñëåäóåò ïðèäåðæèâàòüñÿ òàêîãî àëãîðèòìà. 1. Âñå ïîäêîðåííûå âûðàæåíèÿ çàïèñûâàþòñÿ â ñèñòåìå îãðàíè÷åíèé êàê íåîòðèöàòåëüíûå. 2. Ðàäèêàëû ðàñïîëàãàþòñÿ ïî îáåèì ÷àñòÿì óðàâíåíèÿ òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû îáå ÷àñòè ïîëó÷èâøåãîñÿ óðàâíåíèÿ ñòàëè íåîòðèöàòåëüíûìè ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé. 3. Ïîñëå âûïîëíåíèÿ äâóõ ïåðâûõ ïóíêòîâ àëãîðèòìà îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ ìîæíî âîçâåñòè â êâàäðàò, ïðè÷åì ïîëó÷èâøååñÿ óðàâíåíèå áóäåò ðàâíîñèëüíî èñõîäíîìó óðàâíåíèþ. 209


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

4. Ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ñëàãàåìûõ è óåäèíåíèÿ îñòàâøåãîñÿ ðàäèêàëà ïîëó÷èâøååñÿ óðàâíåíèå ðåøàåòñÿ êàê ïðîñòåéøåå, ñ ââåäåíèåì äîïîëíèòåëüíûõ îãðàíè÷åíèé, ñëåäóþùèõ èç àëãîðèòìà ðåøåíèÿ ïðîñòåéøåãî óðàâíåíèÿ. Ïðèìåð 7. Ðåøèòå óðàâíåíèå:

3x + 4 = 4x -1 .

Ðåøåíèå. Âûïîëíÿÿ àëãîðèòì, óáåäèìñÿ, ÷òî â ñèñòåìó îãðàíè÷åíèé äîñòàòî÷íî çàïèñàòü óñëîâèå íåîòðèöàòåëüíîñòè âñåãî îäíîãî ïîäêîðåííîãî âûðàæåíèÿ, ïðè÷åì âñå ðàâíî êàêîãî. ïì4x -1 ³ 0, 3x + 4 = 4x -1  ïí  ïïî3x + 4 = 4x -1

Îòâåò: 5.

ìï 1 ïïx ³ , í 4  x=5. ïï = x 5 ïî

Ïðèìåð 8. Ðåøèòå óðàâíåíèå:

x -1 + 3 - x = 2 .

Ðåøåíèå.  äàííîì ñëó÷àå íåäîñòàòî÷íî áóäåò óêàçàòü, ÷òî êàêîå-ëèáî îäíî ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå íåîòðèöàòåëüíî. Áóäåì ñòðîãî ïðèäåðæèâàòüñÿ àëãîðèòìà. Ïîëó÷èì x -1 + 3 - x = 2  ìïx -1 ³ 0, ïï  ïí3 - x ³ 0,  ïï ïïx -1 + 2 (x -1)(3 - x) + 3 - x = 4 ïî ìï1 £ x £ 3, ìï1 £ x £ 3, ï  ïí 2  í ï ï îï (x -1)(3 - x) = 1 îïx - 4x + 4 = 0 ïì1 £ x £ 3,  íï  x = 2. ïï(x - 2)2 = 0 î

Îòâåò: 2. 210


ÃËÀÂÀ 4. ÐÅØÅÍÈÅ ÈÐÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

Ïðèìåð 9. Ðåøèòå óðàâíåíèå: 2 x + 5 - x = x + 21 . Ðåøåíèå. Ñëåäóÿ àëãîðèòìó ðåøåíèÿ, ïîëó÷èì 2 x + 5 - x = x + 21  ïìïx ³ 0, ïï ï5 - x ³ 0,  ïí  ïïx + 21 ³ 0, ïï ïïî4x + 4 x(5 - x) + 5 - x = x + 21 ïì0 £ x £ 5,  ïí  ïï2 x(5 - x) = 8 - x î ïì0 £ x £ 5, ïïì0 £ x £ 5,  ïí   í ïï4x(5 - x) = 64 -16x + x2 ïï5x2 - 36x + 64 = 0 î î

Îòâåò: 4;

16 . 5

ìï0 £ x £ 5, ïï é x = 4, ïé x = 4, ê ï  íê ê 16 ïïê êx = . 16 ïïê x = , 5 ëê 5 îïëê

Ïðèìåð 10. Ðåøèòå óðàâíåíèå x + 3 + x + 4 = x + 2 + x +7 .

Ðåøåíèå. Õîòÿ â äàííîì óðàâíåíèè 4 ðàäèêàëà âòîðîé ñòåïåíè, íî ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ ìîæíî ïðîèçâåñòè, ïðèìåíèâ àëãîðèòì. x + 3 + x + 4 = x + 2 + x +7  ïìïx + 2 ³ 0,  ïí 2  ïï( x + 3 + x + 4 )2 = ( x + 2 + x + 7 ) ïî ìx + 2 ³ 0, ï ï  í ï ï îx + 3 + 2 (x + 3)(x + 4) + (x + 4) = x + 2 + 2 (x + 2)(x + 7) + x + 7 ïìx + 2 ³ 0,  ïí  ïï (x + 3)(x + 4) = 1 + (x + 2)(x + 7) î 211


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ìïx + 2 ³ 0,  ïí 2  ïïx + 7x + 12 = 1 + 2 (x + 2)(x + 7) + x2 + 9x + 14 î ïìx ³-2,  ïí  ïï2 (x + 2)(x + 7) = -2x - 3 î ïìï-2 £ x £- 3 , ï 2 í  ïï 2 2 4( x 9 x 14) 4 x 12 x 9 + + = + + ïïî

Îòâåò: -

47 . 24

ìï 3 ï-2 £ x £- , 47 .  ïí 2  x =ïï 24 24 x 47 = ïî

1.4. Ðåøåíèå èððàöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé, ñîäåðæàùèõ ðàäèêàëû ðàçëè÷íûõ ñòåïåíåé ×àñòî èððàöèîíàëüíîå óðàâíåíèå ñîäåðæèò ðàäèêàëû ðàçëè÷íîé ñòåïåíè.  ýòîì ñëó÷àå ïîäîáíûå óðàâíåíèÿ ðåøàþòñÿ ëèáî ìåòîäîì çàìåíû ïåðåìåííîé, ëèáî ìåòîäîì ñîñòàâëåíèÿ ñèñòåì. Ñðàçó îòìåòèì ÷òî ââåäåíèå íîâûõ ïåðåìåííûõ è òåì áîëåå ïåðåõîä ê ñèñòåìå íå îòíîñèòñÿ ê êàêèì-ëèáî ðàâíîñèëüíûì ïðåîáðàçîâàíèÿì. Ïðèìåð 11. Ðåøèòå óðàâíåíèå

3 24 + x

+ 12 - x = 6 .

Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ìåòîä ñîñòàâëåíèÿ ñèñòåì óðàâíåíèé. Îáîçíà÷èì 3 24 + x

=a,

12 - x = b .

Òîãäà íîâûå ïåðåìåííûå áóäóò ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèÿìè ïìïa + b = 6, í 3 ïïa + b2 = 36. î Âòîðîå ñîîòíîøåíèå ïîäáèðàåòñÿ, èñõîäÿ èç âèäà ïîäêîðåííûõ âûðàæåíèé. Ïîëó÷èì ñèñòåìó óðàâíåíèé: ïìïa + b = 6, ïìb = 6 - a,  ïí 3  í 3 2 ïïa + b = 36 ïïa + 36 -12a + a2 = 36 î î 212


ÃËÀÂÀ 4. ÐÅØÅÍÈÅ ÈÐÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

ìïb = 6 - a, ïï ïé ìb = 6 - a, ï ï ïíêa = 0, ï  í 3 2 ï ïê îïa + a -12a = 0 ïïêa = -4, ïïêa = 3. ïîêë é x = -24, ê Äåëàÿ îáðàòíóþ çàìåíó, ïîëó÷èì êê x = -88, ê x = 3. êë Îòâåò: –24, –88, 3.

Ïðèìåð 12. Ðåøèòå óðàâíåíèå

3

8 + x + 3 8-x =1.

Ðåøåíèå. Ââåäåì îáîçíà÷åíèÿ 3 8 + x = a , 3 8 - x = b . Åùå ðàç íàïîìíèì, ÷òî ïåðåõîä îò óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùåãî îäíó ïåðåìåííóþ, ê ñèñòåìå, ñîäåðæàùåé äâå è áîëåå ïåðåìåííûå âåëè÷èíû, íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîñèëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì. Ïîëó÷èì ñèñòåìó: ìïa + b = 1, ìïa + b = 1, ìïa + b = 1, ï  íï  ïí í 3 3 3 ïîïa + b = 16 îïï(a + b) - 3ab(a + b) = 16 ïîïab = -5. Îïÿòü ïîëó÷èì, ÷òî à è b — êîðíè óðàâíåíèÿ é êz = 21 + 1 , ê 2 z2 - z - 5 = 0  ê ê êz = 1 - 21 . êë 2  ýòîì ñëó÷àå íàì åùå ïðåäñòîèò âû÷èñëèòü çíà÷åíèå 21 + 1 èñêîìîé ïåðåìåííîé, ðåøèâ óðàâíåíèå 3 8 + x = . 2 Ïîëó÷èì, ÷òî x = 3 21 = 189 . Îòâåò: 189 .

1.5. Èñïîëüçîâàíèå ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè Ïðèìåð 13. Ðåøèòå óðàâíåíèå x3 + 6 = 7 3 7x - 6 . Ðåøåíèå. 3

3

Çàïèøåì

äàííîå

óðàâíåíèå

â

âèäå

x=

3

= 7 7x - 6 - 6 è ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (t) = 7t - 6 . Äàííàÿ ôóíêöèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñóïåðïîçèöèþ ìîíîòîííî âîçðàñ213


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

òàþùèõ ôóíêöèé, ïîýòîìó òàêæå ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé. Ïî òåîðåìå, ñôîðìóëèðîâàííîé âûøå (ñì. «Ðåøåíèå àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé è ñèñòåì óðàâíåíèé»), ïîëó÷èì, ÷òî x = 3 7 3 7x - 6 - 6  x = 3 7x - 6  é x = 1, ê 3 3  x = 7x - 6  x - 7x + 6 = 0  êê x = 2, ê x = -3. êë Îòâåò: 1; 2; –3.

Ïðèìåð 14. Äëÿ êàæäîãî ïîëîæèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à ðåøèòå óðàâíåíèå a + a + x = x . Ðåøåíèå. Ñ âàðèàíòîì ýòîãî óðàâíåíèÿ ìû óæå âñòðå÷àëèñü ïðè ðåøåíèè öåëûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Àíàëîãè÷íî ïðåäûäóùåìó ïðèìåðó ïîëó÷èì, ÷òî a+ a+x = x  x = x+a  ìïx ³ 0, ïï ïïé ìïx ³ 0, ïê x = 1 ï ï í 2  íê ïïx - x - a = 0 ïê î ïïïê 1+ ïïêê x = ïîë 1 + 1 + 4a , a>0. Îòâåò: 2

1 + 4a 1 + 1 + 4a , . x= 2 2 1 + 4a 2

Ïðèìåð 15. Ðåøèòå óðàâíåíèå (x + 1)

( (x +1)

2

) ( 9x

+ 9 + 1 + 3x

2

)

+ 9 +1 = 0 .

(

)

Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (t) = t t2 + 9 + 1 . Äàííàÿ ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà, íå÷åòíà, òàê êàê f (-t) = -t

(t

2

)

+ 9 + 1 = -f (t) .

Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ. f ¢(t) = 214

(t

2

)

+ 9 +1 + t ⋅

t t2 + 9

=

(t

2

)

+ 9 +1 +

t2 t2 + 9

.


ÃËÀÂÀ 4. ÐÅØÅÍÈÅ ÈÐÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

Òàê êàê ïðîèçâîäíàÿ äàííîé ôóíêöèè ïîëîæèòåëüíà, òî ñàìà ôóíêöèÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàåò. Ïîýòîìó èñõîäíîå óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå f (x + 1) + f (3x) = 0 . f (x + 1) + f (3x) = 0  f (x + 1) = = -f (3x)  f (x + 1) = f (-3x) .

Ìû âîñïîëüçîâàëèñü íå÷åòíîñòüþ ôóíêöèè. Ó÷èòûâàÿ ìîíîòîííîå âîçðàñòàíèå ôóíêöèè, ïîëó÷èì, ÷òî 1 f (x + 1) = f (-3x)  x + 1 = -3x  x = - . 4 1 Îòâåò: - . 4

1.6. Ðåøåíèå ñèñòåì óðàâíåíèé, ñîäåðæàùèõ èððàöèîíàëüíîñòè Ðåøåíèå ñèñòåì óðàâíåíèé, ñîäåðæàùèõ èððàöèîíàëüíîñòè, ïðîèçâîäèòñÿ òåìè æå ìåòîäàìè, ÷òî è ðåøåíèå ñèñòåì àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Îäíàêî ïðè ïðåîáðàçîâàíèè âûðàæåíèé, âõîäÿùèõ â ðàçëè÷íûå ÷àñòè óðàâíåíèé, íå íàäî çàáûâàòü îá îãðàíè÷åíèÿõ, ïðèâíîñèìûõ èððàöèîíàëüíûìè ôóíêöèÿìè. Ïðèìåð 16. Ïóñòü (x0 ; y0 ) — ðåøåíèå ì ï x ï - 3 - y, . Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå x0y0. í ï ï î2 x - 3 = y + 1

ñèñòåìû

Ðåøåíèå. Ó÷èòûâàÿ îãðàíè÷åíèÿ, ïðèñóùèå àëãîðèòìó ðåøåíèÿ ïðîñòåéøåãî èððàöèîíàëüíîãî óðàâíåíèÿ, ïðåîáðàçóåì äàííóþ ñèñòåìó ñëåäóþùèì îáðàçîì. ìïy ³ 0, ïï ïìï x - 3 - y,  ïíx - 3 = y2 , í ï ï ï î2 x - 3 = y + 1 ïï 2 ïïî2y = y + 1. Ñäåëàâ çàìåíó âî âòîðîì óðàâíåíèè, ìû ïîëó÷èì 2 y2 = y + 1  2y2 = y + 1 . 215


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ìïy ³ 0, ïï ìïy ³ 0, ìïy ³ 0, ïï ïï ïïïx = y2 + 3, ìy = 1, ï ïíx - 3 = y2 ,  ïíx = y2 + 3, ï  íé y = 1,  ïí ï ï ï ï ïï 2 ï 2 ïê ïîx = 4. 1 ïîï2y = y + 1 ïïîï2y - y -1 = 0 ïïïêê ïïê y = - 2 îë

Òàêèì îáðàçîì, äàííàÿ ñèñòåìà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå (4; 1), ïðîèçâåäåíèå êîîðäèíàò êîòîðîé ðàâíî 4. Îòâåò: 4. Ïðèìåð 17. Ïóñòü (x0 ; y0 ) — ðåøåíèå ñèñòåìû ìïy -1 = 4x2 + 8x + 4, ï í ïï3x - y = 5. ïî

Íàéäèòå ñóììó x0 + y0. Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ìåòîä ïîäñòàíîâêè. Âûðàçèâ èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ çíà÷åíèå ïåðåìåííîé, ïîëó÷èì ìy -1 = 4x2 + 8x + 4, ïìy = 3x - 5, ï ï ï í  í ïï3x - y = 5 ïï3x - 6 = 4x2 + 8x + 4 ï ï î î ìïx ³ 2, ìïx ³ 2, ïï ïï  íïy = 3x - 5,  íïy = 3x - 5,  ïï ïï 2 2 2 ïï9x - 36x + 36 = 4x + 8x + 4 ïï5x - 44x + 32 = 0 îï îï ïìïx ³ 2, ïï ìïx ³ 2, ïï ïïy = 3x - 5, ïïy = 3x - 5, ïìx = 8, ïïïé  íê x = 22 + 18 ,  ïí  ïí ï ï é x 8, = ê 5 îïïy = 19. ïïïê ïïïê ê 22 + 18 ïïê ïïîë x = 0,8 ïïê x = 5 ë î

Ñóììà ðåøåíèé ðàâíà 27. Îòâåò: 27. 216


ÃËÀÂÀ 4. ÐÅØÅÍÈÅ ÈÐÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

Ïðèìåð 18. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìï 5 ïï x + y = xy , 6 í ïï ïîx + y = 13. Ðåøåíèå. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî ñèñòåìå ìîãóò óäîâëåòâîðÿòü òîëüêî íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííûõ. ìï 5 ïï x + y = xy ,  6 í ïï x y 13 + = îï ìï 25 ïïx + 2 xy + y = xy, ïï 36 ï  ïíx + y = 13,  ïï x 0, ³ ïï ïïy ³ 0 ïî ìïx + y = 13, ïï ï 25  ïí xy - 2 xy -13 = 0, ïï 36 ïïx ³ 0. ïî Ðåøèì âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû. é 78 ê xy = - , 25 25  xy = 6  xy = 36 . xy - 2 xy -13 = 0  ê ê 36 êë xy = 6

Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì, ÷òî

éìïx = 4, êïí ìï 5 êïy = 9, ì + = x y 13, ïï x + y = xy , ïï ï í  êêî 6 í ï ï xy = 36 ì êïx = 9, ïî ïîïx + y = 13 êïí êëïïîy = 4. Îòâåò: (4; 9); (9; 4). ìï3 x + 3 y = 3, Ïðèìåð 19. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ïí ïïxy = 8. î Ðåøåíèå. Ïðèìåíèâ ôîðìóëó ñóììû êóáîâ äâóõ ÷èñåë, ïîëó÷èì, ÷òî x+y=

(( x + 3

3

2

)

y )(3 x + 3 y ) - 33 xy = 3 ⋅ (9 - 6) = 9 . 217


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì, ÷òî

éìïx = 8, êïí ìï3 x + 3 y = 3, ìïx + y = 9, êêïïîy = 1, ï ï ê í í ïïxy = 8 ïïîxy = 8 êìïïx = 1, î êí êëïïîy = 8. Îòâåò: (8; 1);(1; 8).

Óïðàæíåíèå 1. 1. Íàéäèòå ñóììó êâàäðàòîâ êîðíåé óðàâíåíèÿ (x2 -1) 2x -1 = 0 . 5 9 1 ; 2) 2; 3) 1; 4) ; 5) . 4 4 4 Âåðíûé îòâåò — 1). 2. Ìîäóëü ñóììû êîðíåé óðàâíåíèÿ 2x + 6 - x + 1 = 2 ðàâåí 1) 16; 2) 12; 3) 14; 4) 13; 5) 15. Âåðíûé îòâåò — 3). 3. Ìîäóëü ðàçíîñòè êîðíåé óðàâíåíèÿ 4x + 8 - 3x - 2 = 2 ðàâåí 1) 36; 2) 32; 3) 34; 4) 33; 5) 35. Âåðíûé îòâåò — 2). 4. Íàéäèòå ñóììó êîðíåé óðàâíåíèÿ

1)

(5x + 2) 1 - x + (5x - 7) x = 0 . 4 1 1 3 3 ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) . 5 2 5 4 2 Âåðíûé îòâåò — 5). 1 1 35 . 5. Íàéäèòå ñóììó êîðíåé óðàâíåíèÿ + = 2 x 12 1- x 4 6 3 7 ; 2) ; 3) ; 4) 1; 5) . 1) 5 5 5 5 Âåðíûé îòâåò — 5).

1)

Óïðàæíåíèå 2. 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå Îòâåò: 2. 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå Îòâåò: [2; +¥) . 218

x -1 + x + 2 = 34 + x - 7 + x . x2 + 2x + 1 - x2 - 4x + 4 = 3 .


ÃËÀÂÀ 4. ÐÅØÅÍÈÅ ÈÐÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

3. Ðåøèòå óðàâíåíèå Îòâåò: –3; 3.

3

24 + x - 3 5 + x = 1 .

4. Ðåøèòå óðàâíåíèå x2 + x + 4 + x2 + x + 1 = 2x2 + 2x + 9 .

Îòâåò: –2; 0. 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå x3 - 23 2x -1 = 1 . Îòâåò: 1;

-1 + 5 -1 - 5 ; . 2 2

Óïðàæíåíèå 3.

ìï 6x x+y 5 ïï + = , ï 1. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé í x + y 6x 2 ïï ïïîxy - x - y = 0. 2. Íàéäèòå öåëî÷èñëåííûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ìï ïïx + y - x + y = 12 , ïí x-y x-y ïï xy ïïî = 15. 3. Íàéäèòå öåëî÷èñëåííûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ïìï7 3 xy - 3 xy = 4, í ïïx + y = 29. î 4. Íàéäèòå öåëî÷èñëåííûå ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé ìïx - y + x2 - 4y2 = 2, ïï í ïïx x2 - 4y2 = 0. ïî 5. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìï 7x + y + x + y = 6, ï í ïï x + y - y + x = 2. ïî æ 24 ö æ 3ö Îòâåòû. 1) çç ;24÷÷÷ ; çç3; ÷÷÷ ; 2) (5;3) ; 3) (16;4) ; (4;16) ; è 23 ø è 2ø æ 7ö 4) (4;2) ; 5) çç0;- ÷÷÷ ; (0;3) ; (21;21) . è 2ø 219


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

§ 2. Ðåøåíèå èððàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ 2.1. Ïðîñòåéøèå èððàöèîíàëüíûå íåðàâåíñòâà Èððàöèîíàëüíûì íàçûâàåòñÿ íåðàâåíñòâî âèäà F (x)  g(x) , ãäå n — íàòóðàëüíîå ÷èñëî, à çíàê ñðàâíåíèÿ çàìåíÿåò âñå çíàêè íåðàâåíñòâ > , ³ , < , £ . Ïðèâåäåì ðåøåíèå ïðîñòåéøèõ íåðàâåíñòâ â òàáëèöå. n

Ðàâíîñèëüíàÿ ñèñòåìà ñîîòíîøåíèé

Íåðàâåíñòâî

Íåðàâåíñòâî âèäà ÷èñëî

2k

2k

F (x) > g(x)

2k

éïìF (x) ³ 0, êïí êïg(x) < 0, êïî ê êïìïg(x) ³ 0, êí êïF (x) > g2k (x) ëêîï

Íåðàâåíñòâî

2k+1

F (x) ³ g2k+1 (x)

F (x) ³ g(x)

F (x) ³ g(x)

éìF (x) ³ 0, êïïí êïg(x) < 0, êïî ê êïìïg(x) ³ 0, êí êïF (x) ³ g2k (x) ëêîï

2k+1

Ðàâíîñèëüíàÿ ñèñòåìà ñîîòíîøåíèé

Íåðàâåíñòâî âèäà ÷åòíîå ÷èñëî

F (x)  g(x) , n = 2k — íàòóðàëüíîå ÷åòíîå

2k

F (x) £ g(x)

ìïF (x) ³ 0, ïï ïíg(x) ³ 0, ïï ïïF (x) £ g2k (x) ïî

2k

F (x) < g(x)

ìïF (x) ³ 0, ïï ïíg(x) > 0, ïï ïïF (x) < g2k (x) ïî

F (x)  g(x) , n = 2k + 1 — íàòóðàëüíîå íå-

2k+1

F (x) > g(x)

F (x) > g2k+1 (x)

2k+1

F (x) £ g(x)

F (x) £ g2k+1 (x)

2k+1

F (x) < g(x)

F (x) < g2k+1 (x)

Ïðèìåð 1. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x + 18 < 2 - x . Â îòâåòå óêàæèòå íàèáîëüøåå öåëîå ðåøåíèå. 220


ÃËÀÂÀ 4. ÐÅØÅÍÈÅ ÈÐÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

Ðåøåíèå. Äàííîå íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå, ñîäåðæàùåé òðè óñëîâèÿ. ìïx + 18 ³ 0, ïï x + 18 < 2 - x  ïí2 - x ³ 0,  ïï ïïx + 18 < (2 - x)2 ïî ïì-18 £ x £ 2,  ïí 2 ïïx - 5x -14 > 0. î Êîììåíòàðèè. Íàéäåì êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà. é x = 7, x2 - 5x -14 = 0  ê ê x = -2. ë Ïðèìåíèì ìåòîä èíòåðâàëîâ äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåìû íåðàâåíñòâ. +

−2

−18

2

7

+

x x

Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì, ÷òî -18 £ x <-2 . Íàèáîëüøåå öåëîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâà x = –3. Îòâåò: –3. Ïðèìåð 2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî æèòå íàèìåíüøåå öåëîå ðåøåíèå.

2x + 3 £ x . Â îòâåòå óêà-

Ðåøåíèå. Ñíîâà ñâåäåì ðåøåíèå èððàöèîíàëüíîãî íåðàâåíñòâà ê ðåøåíèþ ñèñòåìû ðàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ. ïìï2x + 3 ³ 0, ìïx ³ 0, ï  íï 2  2x + 3 £ x  íïx ³ 0, ïï ïïx - 2x - 3 ³ 0 î 2 ïï2x + 3 £ x ïî ïìïx ³ 0, ï  ïíé x £-1,  x ³ 3 . ïïê ïïîêë x ³ 3 Íàèìåíüøåå öåëîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâà x = 3. Îòâåò: 3. 221


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 14 - x > 2 - x .  îòâåòå óêàæèòå ÷èñëî öåëûõ îòðèöàòåëüíûõ ðåøåíèé íåðàâåíñòâà. Ðåøåíèå. Äàííîå íåðàâåíñòâî ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñîâîêóïíîñòè äâóõ ñèñòåì ðàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ. éìï14 - x ³ 0, êïí êï2 - x < 0, êïî 14 - x > 2 - x  ê  êïìï2 - x ³ 0, êí êïï14 - x > (2 - x)2 êëî é2 < x £ 14, é2 < x £ 14, ê ê ê ìïx £ 2,  êïìïx £ 2,  êêï í êíï 2 ê x - 3x -10 < 0 ëêïîï(x - 5)(x + 2) < 0. ëêïî Ðåøàÿ êâàäðàòíîå íåðàâåíñòâî, ïîëó÷èì, ÷òî (x - 5)(x + 2) < 0  -2 < x < 5 .

Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì, ÷òî 14 - x > 2 - x  -2 < x £ 14 . Íåðàâåíñòâó óäîâëåòâîðÿåò îäíî îòðèöàòåëüíîå öåëîå çíà÷åíèå x = -1 . Îòâåò: −1. Ïðèìåð 4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî

4 - x ³-2 .

Ðåøåíèå. Êàçàëîñü áû, ïðàâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà, êîòîðàÿ åñòü îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, âñåãäà ìåíüøå åãî ëåâîé ÷àñòè, â êîòîðîé ñòîèò ðàäèêàë ÷åòíîé ñòåïåíè. Îäíàêî ÷òîáû ýòî áûëî âåðíûì, îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà äîëæíû ñóùåñòâîâàòü. Òàêèì îáðàçîì, äàííîå íåðàâåíñòâî âåðíî ïðè ëþáîì x £ 4. Îòâåò: (-¥;4] . Óïðàæíåíèå 1. 1. Óêàæèòå ñóììó öåëûõ ðåøåíèé íåðàâåíñòâà 24 -10x > 3 - 4x .

1) 2; 2) 1; 3) 3; 4) 0. 2. Ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà 24 - 5x ³-x ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòîê 1) (-¥;-8 ] ; 2) [-8;48 ] ; 3) (-8;48) ; 4) [48; +¥) . 222


ÃËÀÂÀ 4. ÐÅØÅÍÈÅ ÈÐÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

3. Íàèáîëüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, íå ÿâëÿþùååñÿ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà 9x - 20 £ x , ðàâíî 1) 1; 2) 3; 3) 2; 4) 4. 4. Ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà 2 - x - x2 ³-11 ÿâëÿåòñÿ ïðîìåæóòîê 1) [-2;1] ; 2) (-¥; +¥) ; 3) (-¥;-2] ; 4) [1; +¥) . 5. Íàèáîëüøåå öåëîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâà x + 78 ³ x + 6 ðàâíî 1) 1; 2) 4; 3) 3; 4) 2. Âåðíûå îòâåòû: 1) 3; 2) 2; 3) 3; 4) 1; 5) 4.

2.2. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ, ñîäåðæàùèõ äâà è áîëåå çíàêà ðàäèêàëà Äîêàæåì òåîðåìó, ïðèìåíåíèå êîòîðîé äàñò âîçìîæíîñòü ñôîðìóëèðîâàòü è â äàëüíåéøåì ïðèìåíÿòü àëãîðèòì ðåøåíèÿ íåðàâåíñòâ, ñîäåðæàùèõ áîëåå îäíîãî ðàäèêàëà. Òåîðåìà. Äëÿ ëþáûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë à è b ñðàâíåíèå (a  b)  (an  bn ) , ãäå n — ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî. Äîêàçàòåëüñòâî. Ñðàâíåíèÿ, î÷åâèäíî, ðàâíîñèëüíû, åñëè a = b = 0, òàê êàê îíè èëè îáà âåðíû â ñëó÷àå ðàâåíñòâà èëè íåñòðîãîãî íåðàâåíñòâà, èëè îáà íåâåðíû â ñëó÷àå ñòðîãîãî íåðàâåíñòâà.  ñëó÷àå, åñëè 0 £ a < b , ïîëó÷èì, ÷òî an - bn  0  (a - b)(an-1 + an-2 b + ... + abn-2 + bn-1 )  0

è, êàê ñëåäóåò èç ýòîãî ðàçëîæåíèÿ, çíàê ðàçíîñòè (a - b) îäèíàêîâ ñî çíàêîì ðàçíîñòè an - bn . Òåîðåìà äîêàçàíà. Ñôîðìóëèðóåì òåïåðü àëãîðèòì ðåøåíèÿ èððàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ, ñîäåðæàùèõ äâà èëè òðè ðàäèêàëà âòîðîé ñòåïåíè. 1. Êàæäîå ïîäêîðåííîå âûðàæåíèå äîëæíî áûòü óêàçàíî â ñèñòåìå îãðàíè÷åíèé êàê âûðàæåíèå, ïðèíèìàþùåå íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. 2. Ðàäèêàëû äîëæíû áûòü ðàñïîëîæåíû òàê, ÷òîáû â îáåèõ ÷àñòÿõ íåðàâåíñòâà ñòîÿëè âûðàæåíèÿ, ïðèíèìàþùèå íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé. 223


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

3. Ïîñëå âûïîëíåíèÿ óñëîâèé ïåðâûõ äâóõ ïóíêòîâ îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà ðàâíîñèëüíî âîçâîäÿòñÿ â êâàäðàò áåç èçìåíåíèÿ çíàêà íåðàâåíñòâà íà îñíîâàíèè äîêàçàííîé òåîðåìû. 4. Ïîñëå ïðèâåäåíèÿ ïîëó÷èâøèõñÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ è óåäèíåíèÿ îñòàâøåãîñÿ ðàäèêàëà ñ ïîëîæèòåëüíûì êîýôôèöèåíòîì ïîëó÷èâøååñÿ íåðàâåíñòâî ðåøàåòñÿ êàê îäíî èç âûøå ïðèâåäåííûõ ïðîñòåéøèõ íåðàâåíñòâ ñ ó÷åòîì, êîíå÷íî, âíîâü ïîÿâèâøèõñÿ îãðàíè÷åíèé. Ïðèìåð 5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî

x + 3 - x -1 > 2x -1 .

Ðåøåíèå. Áóäåì äåéñòâîâàòü ñîãëàñíî ïðèâåäåííîìó âûøå àëãîðèòìó. Çàïèøåì ñèñòåìó îãðàíè÷åíèé, ðàñïîëîæèì ðàäèêàëû òàê, ÷òîáû â îáåèõ ÷àñòÿõ íåðàâåíñòâà ñòîÿëè âûðàæåíèÿ, ïðèíèìàþùèå íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, ïîñëå ÷åãî îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà âîçâåäåì â êâàäðàò. ïìïx + 3 ³ 0, ïï ïx -1 ³ 0,  x + 3 - x -1 > 2x -1  íï2x -1 ³ 0, ïï ïï 2 ïïx + 3 > ( x -1 + 2x -1 ) î ìïx ³ 1,  ïí ïïx + 3 > x -1 + 2 (x -1)(2x -1) + 2x -1. î Ðåøàÿ ñèñòåìó ïðîñòåéøèõ ëèíåéíûõ íåðàâåíñòâ, à òàêæå ïðèâîäÿ â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå ïîäîáíûå ñëàãàåìûå, ïîëó÷èì ñèñòåìó, ðàâíîñèëüíóþ èñõîäíîìó íåðàâåíñòâó. ìïx ³ 1, ï í ïï2 (x -1)(2x -1) < 5 - 2x. î Äîáàâèì â ñèñòåìó îãðàíè÷åíèé äîïîëíèòåëüíîå óñëîâèå íåîòðèöàòåëüíîñòè ïðàâîé ÷àñòè èððàöèîíàëüíîãî íåðàâåíñòâà. ì ì 5 5 ï ï ï1 £ x £ , ï1 £ x £ , ï ï 2 2 í  í ï ï 2 2 ï ï ï ï ï4(x -1)(2x -1) < (5 - 2x) ï4x + 8x - 21 < 0 î î 224


ÃËÀÂÀ 4. ÐÅØÅÍÈÅ ÈÐÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

é 3ö Îòâåò: ê1; ÷÷÷ . êë 2 ø

ìï 5 ïï1 £ x £ , 3 2  ïí  1£ x < . ïï 7 3 2 ïï- < x < 2 îï 2

Ïðèìåð 6. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî

x + 2 - 5x < 4x - 2 .

Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî ïðàâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà åñòü ðàçíîñòü ïîäêîðåííûõ çíà÷åíèé âûðàæåíèé, ñòîÿùèõ â åãî ëåâîé ÷àñòè. Ïîýòîìó, çàïèñàâ íåîáõîäèìûå îãðàíè÷åíèÿ, ïðåäñòàâèì ïðàâóþ ÷àñòü â âèäå ðàçíîñòè. ïìx ³ 0, x + 2 - 5x < 4x - 2  ïí ïï x + 2 - 5x < 5x - (x + 2). î Ïîëüçóÿñü òåì, ÷òî íà óêàçàííîì â îãðàíè÷åíèÿõ ìíîæåñòâå çíà÷åíèé ïåðåìåííîé âûðàæåíèÿ, ñòîÿùèå â ïðàâîé ÷àñòè, ïðèíèìàþò íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, ðàçëîæèì ïðàâóþ ÷àñòü ïî ôîðìóëå ðàçíîñòè êâàäðàòîâ. ïìïx ³ 0,  í ïï x + 2 - 5x < ( 5x + x + 2 )( 5x - x + 2 ) ïî ïìx ³ 0,  ïí ïï( 5x - x + 2 )( 5x + x + 2 + 1)> 0. ïî Âòîðîé ñîìíîæèòåëü, âõîäÿùèé â íåðàâåíñòâî, ïîëîæèòåëåí. Ñîêðàùàÿ íà íåãî, ïîëó÷èì: ïìïx ³ 0, ïìx ³ 0, 1  ïí  x> . í ï 5x - x + 2 )> 0 îïï5x > x + 2 2 ïîï( æ1 ö Îòâåò: çç ; +¥÷÷÷ . è2 ø

Ïðè ðåøåíèè èððàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ èñïîëüçóþòñÿ òå æå ìåòîäû óïðîùåíèÿ, ÷òî è ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé. Íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ìåòîä çàìåíû èëè ìåòîä ââåäåíèÿ íîâîé ïåðåìåííîé. Ñðàçó çàìåòèì, ÷òî ââåäåíèå íîâîé ïåðåìåííîé íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîñèëüíûì ïðåîáðàçîâàíèåì. 225


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 7. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 3x2 + 5x + 7 - 3x2 + 5x + 2 > 1 .

Ðåøåíèå. Ââåäåì íîâóþ ïåðåìåííóþ y = 3x2 + 5x + 2 . Íåðàâåíñòâî çàïèøåòñÿ â âèäå y + 5 - y > 1 . Ðåøèì ýòî íåðàâåíñòâî, èñïîëüçóÿ àëãîðèòì. Ïîëó÷èì ìïy ³ 0, ï  y + 5 - y >1  í ïïy + 5 > ( y + 1)2 ïî ïìy ³ 0, ïìy ³ 0,  ïí  ïí ïïy + 5 > y + 2 y + 1 ïï y < 2. î î

Âîçâðàùàÿñü ê èñõîäíîé íåèçâåñòíîé, ïîëó÷èì, ÷òî íåðàâåíñòâî ñòàëî ðàâíîñèëüíûì ñèñòåìå äâóõ êâàäðàòè÷íûõ íåðàâåíñòâ: ìï3x2 + 5x + 2 ³ 0,  3x2 + 5x + 7 - 3x2 + 5x + 2 > 1  ïí 2 ïï3x + 5x + 2 < 4 ïî ïì(x + 1)(3x + 2) ³ 0, ïìï(3x + 2)(x + 1) ³ 0,  ïí 2 í ïï3x + 5x - 2 < 0 îïï(3x -1)(x + 2) < 0. î

Ïðèìåíèì ìåòîä èíòåðâàëîâ (åãî ãðàôè÷åñêóþ èëëþñòðàöèþ): 2 −1 − 3

−2

x 1 3

x

Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì, ÷òî íåðàâåíñòâî ñâåëîñü ê ðåøåíèþ ñèñòåìû: ìïé x £-1, ïïê é-2 < x £ 1, ïïê 3 ê ê x ³- , ï ê 2  íëê 1 2 ê- £ x < . ïïï êë 3 1 3 ïï-2 < x < ïïî 3 é 2 1ö Îòâåò: (-2;-1]  ê- ; ÷÷÷ . êë 3 3 ø

226


ÃËÀÂÀ 4. ÐÅØÅÍÈÅ ÈÐÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

Óïðàæíåíèå 2. 1. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x -1 > 2x -11 . 2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x + 2 > 8 - x2 . 3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x + 7 - x ³ 1 . 4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 3 x - x + 3 > 1 . 5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x - 2 + x - 5 £ x - 3 . Îòâåòû: 1) [5,5;10) ; 2) [-2;2) ; 3) [0;9] ; 4) [2; +¥) ; é 14 ù 5) ê4; ú . êë 3 úû

2.3. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ, ñîäåðæàùèõ ðàäèêàë â âèäå ìíîæèòåëÿ Íåðàâåíñòâî Ðàâíîñèëüíàÿ ñèñòåìà ñîîòíîøåíèé

f (x) ⋅ g(x) > 0 ïìïf (x) > 0, í ïïîg(x) > 0

f (x) ⋅ g(x) ³ 0 éìïD(g), êïí êïf (x) = 0, êïî ê êïìïf (x) > 0, êí êïïîg(x) ³ 0 ë

f (x) ⋅ g(x) < 0 ïìïf (x) > 0, í ïïîg(x) < 0

f (x) ⋅ g(x) £ 0 éìïD(g), êïí êïf (x) = 0, êïî ê êïìïf (x) > 0, êí êïïîg(x) £ 0 ë

Ïðèìåð 8. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî (x -1) -x2 + x + 6 ³ 0 . Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ àëãîðèòìîì, ïðèâåäåííûì â òàáëèöå. Ïîëó÷èì, ÷òî íåðàâåíñòâî áóäåò ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè, ñîñòîÿùåé èç óðàâíåíèÿ è ñèñòåìû äâóõ íåðàâåíñòâ. é-x2 + x + 6 = 0, ê ê (x -1) -x2 + x + 6 ³ 0  êìïï-x2 + x + 6 > 0,  êí êïïx -1 ³ 0 ëî é ê ê é x = -2, ê x = -2, ê é x = -2, ê ê  ê x = 3,  ê x = 3,  ê ê 1 £ x £ 3. ê êìï(3 - x)(x + 2) > 0, êëê1 £ x < 3 ë ï êí êïx ³ 1 êëïî Îòâåò: {2}  [1;3] . 227


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

8 - 2x - x2 8 - 2x - x2 £ . x + 10 2x + 9

Ïðèìåð 9. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî

Ðåøåíèå. Ïðèâîäÿ íåðàâåíñòâî ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó, ïîëó÷èì 8 - 2x - x2 8 - 2x - x2 £  x + 10 2x + 9 æ 1 1 ÷ö  8 - 2x - x2 ççç ÷£ 0  è x + 10 2x + 9 ÷ø x -1 £ 0. (x + 10)(2x + 9)  ýòîì ñëó÷àå íåðàâåíñòâî áóäåò ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè äâóõ ñèñòåì: éìïx2 + 2x - 8 = 0, êïí ê êïîï(x + 10)(2x + 9) ¹ 0, ê êìï8 - 2x - x2 > 0, êïï êïí x -1 êï êïï (x + 10)(2x + 9) £ 0. ëêïî Íàéäåì êîðíè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà, âõîäÿùåãî âî âòîðóþ ñèñòåìó: é x = -4, x2 + 2x - 8 = 0  ê ê x = 2. ë Ïðîèëëþñòðèðóåì ãðàôè÷åñêè ðåøåíèå âòîðîé ñèñòåìû:  8 - 2x - x2

−4 − −10

2

x

− −9 2

1

x

Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷èì, ÷òî íåðàâåíñòâî ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè é x = 2, ê ê-4 £ x £ 1. ë Îòâåò: [-4;1]  {2} . 228


ÃËÀÂÀ 4. ÐÅØÅÍÈÅ ÈÐÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

Óïðàæíåíèå 3. 1. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî (x -1) 16 - x2 £ 0 . 2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî (x -1) -x2 + x + 6 ³ 0 . 3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî (x2 + 2x - 8) x2 + x - 2 ³ 0 . 4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî (8x2 - 6x + 1) -25x2 + 15x - 2 ³ 0 . 5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî (x2 - 3x + 1) 2x - x2 -1 £ 0 . Îòâåòû: 1) [-4;1]  {4} ; 2) {2}  [1;3] ; 3) (-¥;-4]  [-2;1]  [2; +¥) ; 4) [0,2;0,25]  [0;4] ; 5) {1} .

2.4. Ðåøåíèå ðàçëè÷íûõ èððàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ Ïðèìåð 10. Äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à ðåøèòå íåðàâåíñòâî a - 2 < (a -1) x + 1 . Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå ñëó÷àè: 1. a < 1. Íåðàâåíñòâî ìîæíî çàïèñàòü â âèäå ìïa < 1, a - 2 < (a -1) x + 1  ïí  ïï2 - a > (1 - a) x + 1 î ïìïa < 1, ìïa < 1, ïï ïï 2 í 2-a  í ïï x + 1 < ïï-1 £ x < æç 2 - a ÷÷ö . çè 1 - a ÷ø 1 - a ïïî îï 2. 1 £ a < 2 . Ïðè äàííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà ëåâàÿ ÷àñòü íåðàâåíñòâà ïðèíèìàåò îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, â òî âðåìÿ êàê ïðàâàÿ — íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, íåðàâåíñòâî áóäåò âåðíî äëÿ ëþáîãî x: x ³-1 . æ 2 - a ÷ö2 a -2 3. a ³ 2 . Ïîëó÷èì, ÷òî x + 1 >  x > -1 + çç ÷ . è 1 - a ÷ø a -1 é æ 2 - a ÷ö2 ÷ö Îòâåò: Åñëè a <1 , êê-1;çç ÷ ÷. è 1 - a ÷ø ÷÷ø êë Åñëè 1 £ a < 2 , [-1; +¥) . é ö÷ æ 2 - a ÷ö2 Åñëè a ³ 2 , êê-1 + çç ÷÷ ; +¥÷÷ . è1- a ø ø÷ êë 229


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 11. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x + 3 - 4 x -1 + x + 8 - 6 x + 1 £ 1 .

Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî ïîäêîðåííûå âûðàæåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ïîëíûå êâàäðàòû. Ïîýòîìó x + 3 - 4 x -1 + x + 8 - 6 x + 1 £ 1  

(

Òàê êàê a £ x £ b , òî

2

x + 1 - 2) +

(

2

x + 1 - 3) £ 1 

x +1 - 2 + x +1 - 3 £1 .

min ( x - a + x - b )= a - b

è äîñòèãàåòñÿ ïðè

x +1 - 2 + x +1 - 3 £1  2 £ x +1 £ 3   3£ x £8 .

Îòâåò: [3; 8]. Ïðèìåð 12. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî Ðåøåíèå.

230

a+ x + a- x < 2 .

ìï x £ a, ïï ï a + x + a - x < 2  ïí2a + 2 a2 - x < 2,  ïï ïïa ³ 0 ïî ìï0 £ x £ a2 , ìï0 £ x £ a2 , ïï ïï ïï 2  í a - x < 1 - a,  ïí0 £ a £ 1,  ïï ïï 2 2 ïïa ³ 0 ïïa - x < 1 - 2a + a ïî ïî ïìï0 £ a £ 1, ï  ïí0 £ x £ a2 , ïï ïïx > 2a -1. î Ðàññìîòðèì ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó. Îòâåò: ïðè a < 0 èëè a >1 íåðàâåíñòâî ðåøåíèé íå èìååò. 1 Åñëè 0 £ a £ , òî 0 £ x £ a2 . 2 1 Åñëè < a £ 1 , òî 2a -1 < x £ a2 . 2


ÃËÀÂÀ 4. ÐÅØÅÍÈÅ ÈÐÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

Ïðèìåð 13. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî a2 - x2 > x + a äëÿ âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà à. Ðåøåíèå.

éïìa2 - x2 ³ 0, éïìx + a < 0, êï êïí êíïx + a < 0, ê êîï êîïïx - a ³ 0, 2 2 a -x > x +a  ê ê êïìx + a ³ 0, êïïìx + a ³ 0, êïí êí 2 êïa2 - x2 > (x + a)2 êïïx + ax < 0. ëêî ëêïî Äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà ïåðâàÿ ñèñòåìà ñîâîêóïíîñòè ðåøåíèé íå èìååò. Ïîëó÷èì, ÷òî ìïx + a ³ 0,  -a < x < 0 . a2 - x2 > x + a  ïí ïïîx(x + a) < 0 Îòâåò: Åñëè a > 0 , òî -a < x < 0 .

Ïðèìåð 14. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 2x x + 9 > x2 + x - 40 . Ðåøåíèå. Ïåðåíåñÿ âñå ñëàãàåìûå â îäíó ñòîðîíó, ïîëó÷èì, ÷òî 2x x + 9 > x2 + x - 40  x2 - 2x x + 9 + x - 40 < 0   x2 - 2x x + 9 + x - 40 < 0  2

 (x - x + 9 ) - 49 < 0   (x - x + 9 + 7)(x - x + 9 - 7)< 0 .

Ðåøèì äàííîå íåðàâåíñòâî ìåòîäîì èíòåðâàëîâ. 1. x - x + 9 -7 = 0  x -7 = x + 9  ì ìïx ³ 7, ïx ³ 7,  íï 2  íï 2  ï ïx -14x + 49 = x + 9 ïîïx -15x + 40 = 0 î ìx ³ 7, ï ï ï ï é ï ï ê x = 15 - 65 , 15 + 65 ï .  íê x= 2 ï ê 2 ï ê ï ï ê x = 15 + 65 ï ï 2 ïë îê 231


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

2.

x - x + 9 +7 = 0  x +7 = x + 9  ïìx ³-7, ïìx ³-7,  ïí 2  ïí 2  ïïx + 14x + 49 = x + 9 ïïx + 13x + 40 = 0 î î ìïx ³-7, ïï  ïíé x = -8,  x = -5 . ïïê ïïîêë x = -5

3. −9

−5

15 + Ç65 2

x

Ïîëó÷èì, ÷òî 2x x + 9 > x2 + x - 40  -5 < x < æ 15 + 65 ÷ö Îòâåò: ççç-5; ÷÷÷ . 2 è ø

15 + 65 . 2

Óïðàæíåíèå 4. 1. Óêàæèòå ðåøåíèå íåðàâåíñòâà x + 6 < x . 1) (-¥;-6) ; 2) [-6;0] ; 3) [0;2] ; 4) (2;3) ; 5) (3; +¥) . Âåðíûé îòâåò — 5). 2. Óêàæèòå ìíîæåñòâî, âñå çíà÷åíèÿ êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè íåðàâåíñòâà 2 3x -11 < x -1 . é 11 ö é 11ö é 11 ö é 11ö 1) ê1; ÷÷÷ ; 2) ê ;5÷÷÷ ; 3) ê1; ÷÷÷  (9; +¥) ; 4) ê ;5÷÷÷  (9; +¥); ø ø ø ëê 3 ëê 3 ëê 3 ø ëê 3 5) [9; +¥) . Âåðíûé îòâåò — 4). 3. Íàéäèòå ðåøåíèå íåðàâåíñòâà 5x + 115 - 2 x + 19 > 2. 1) (-¥;-23] ; 2) (-23;-19) ; 3) [-3; +¥) ; 4) [-19;-3)   (3;+¥) ; 5) [-19; +¥) . Âåðíûé îòâåò — 4). 4. Íàéäèòå ñóììó öåëûõ ÷èñåë, ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèÿìè íåðàâåíñòâà x + 14 - 6 x + 5 + x + 30 -10 x + 5 £ 4 .

1) 493; 2) 494; 3) 495; 4) 496; 5) 497. Âåðíûé îòâåò — 3). 232


ÃËÀÂÀ 4. ÐÅØÅÍÈÅ ÈÐÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

5. Íàéäèòå äëèíó ïðîìåæóòêà, ÿâëÿþùåãîñÿ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà x + 3 - x -1 ³ 2x -1 . 3 5 ; 3) 2; 4) ; 5) 3. 2 2 Îòâåò: 2).

1) 1; 2)

Óïðàæíåíèå 5. 1. Íàéäèòå íàèáîëüøåå öåëîå ÷èñëî, ÿâëÿþùååñÿ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà Îòâåò: 0.

3x2 + 5x + 7 - 3x2 + 5x + 2 > 1 .

2. Íàéäèòå íàèìåíüøåå öåëîå ÷èñëî, íå ÿâëÿþùååñÿ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà x2 - 5 + 3 > x -1 . Îòâåò: –2. 3. Íàéäèòå ñóììó öåëûõ ÷èñåë, íå ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà 3 x2 + x - 2 ³ 1 - x . Îòâåò: –1. 4. Íàéäèòå íàèáîëüøåå îòðèöàòåëüíîå öåëîå ÷èñëî, ÿâëÿþùååñÿ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà Îòâåò: –5.

2x2 + 7x - 4 1 < . x+4 2

5. Íàéäèòå íàèáîëüøåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, ÿâëÿþùååñÿ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà 8 + 6 3 - x + 5 ³ x . Îòâåò: 19.


ÃËÀÂÀ 5 ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒ § 1. Ðåøåíèå ïîêàçàòåëüíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì óðàâíåíèé Îïðåäåëåíèå. Ïîêàçàòåëüíûì íàçûâàåòñÿ óðàâíåíèå èëè íåðàâåíñòâî, ñîäåðæàùåå ïåðåìåííóþ âåëè÷èíó â ïîêàçàòåëå ñòåïåíè íåêîòîðîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà. Ïðîñòåéøèì ïîêàçàòåëüíûì óðàâíåíèåì èëè íåðàâåíñòâîì áóäåì íàçûâàòü ñðàâíåíèå âèäà af ( x)  a g ( x) , a > 0 . Îñíîâíîé òåîðåìîé, èñïîëüçóåìîé ïðè ðåøåíèè ïîêàçàòåëüíûõ óðàâíåíèé è ïîêàçàòåëüíûõ íåðàâåíñòâ, ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà. Ñðàâíåíèå af ( x)  a g ( x)  (a -1) (f (x) - g(x))  0 . Èç òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ðàçíîñòü äâóõ ñòåïåíåé îäíîãî è òîãî æå ïîëîæèòåëüíîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà af ( x) - a g ( x) âñåãäà èìååò òîò æå çíàê, ÷òî è ïðîèçâåäåíèå (a -1) (f (x) - g(x))  0 , ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé.

1.1. Ïðîñòåéøèå ïîêàçàòåëüíûå óðàâíåíèÿ Îïðåäåëåíèå. Ïðîñòåéøèìè ïîêàçàòåëüíûìè óðàâíåíèÿìè íàçîâåì óðàâíåíèÿ âèäà af ( x) = b , a ¹1 , a > 0 , b Î R è af ( x) = a g ( x) , a > 0 , a ¹1 . éïìb £ 0, êïí êïÆ, ïî 1) Óðàâíåíèå af ( x) = b  êê êïìïb > 0, êí êëïïîf (x) = log a b. 2) Óðàâíåíèå af ( x) = a g ( x)  (a -1) (f (x) - g(x)) = 0 . 234


ÃËÀÂÀ 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

æ 1 öx-2 Ïðèìåð 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå 3x+1 = çç ÷÷÷ . è 3ø Ðåøåíèå. æ 1 öx-2 1 3x+1 = çç ÷÷÷  3x+1 = 32-x  x + 1 = 2 - x  x = . è 3ø 2 1 Îòâåò: . 6-x2 2 æ1ö 2 Ïðèìåð 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå çç ÷÷÷ = 125 . è 25 ø Ðåøåíèå. æ 1 ÷ö ç ÷ çè 25 ÷ø

6-x2 2

2

= 125  5x

-6

= 53  x2 - 6 = 3 

é x = 3,  x2 = 9  ê ê x = -3. ë

Îòâåò: 3; –3. Ðàññìîòðèì íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèåñÿ òèïû ïîêàçàòåëüíûõ óðàâíåíèé è ìåòîäû èõ ðåøåíèé. Ïðèìåð 3. Óêàæèòå ïðîìåæóòîê, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò êîðåíü óðàâíåíèÿ 25-3x = 16 . 1) (-3;-1) ; 2) [-1;0) ; 3) (0;1] ; 4) [1;3) . Ðåøåíèå.

1 25-3x = 16  25-3x = 24  5 - 3x = 4  x = . 3 1 Âûáåðåì íóæíûé ïðîìåæóòîê. Î (0;1] , ñëåäîâàòåëüíî, 3 íîìåð ïðàâèëüíîãî îòâåòà — 3).

Îòâåò: 3).

Ïðèìåð 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå 32x+3 ⋅ 33x+1 ⋅ 625x+2 = 600x+7 .

Ðåøåíèå. Ðàçëîæèì êàæäîå îñíîâàíèå íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè. 32 = 25 , 625 = 54 , 600 = 23 ⋅ 3 ⋅ 52 .

Óðàâíåíèå çàïèøåòñÿ â âèäå: 32x+3 ⋅ 33x+1 ⋅ 625x+2 = 600x+7   25x+15 ⋅ 33x+1 ⋅ 54 x+8 = 23x+21 ⋅ 3x+7 ⋅ 52x+14 . 235


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Çàïèøåì ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî â âèäå ïðîïîðöèè 25x ⋅ 33x ⋅ 54 x 221 ⋅ 37 ⋅ 514 = 15 1 8 . 23x ⋅ 3x ⋅ 52x 2 ⋅3 ⋅5 Ïîñëå ñîêðàùåíèÿ (íàïîìíèì, ÷òî ab > 0 ) ïîëó÷èì, ÷òî èñõîäíîå óðàâíåíèå áóäåò ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ: 22x ⋅ 32x ⋅ 52x = 26 ⋅ 36 ⋅ 56  302x = 306  2x = 6  x = 3 .

Îòâåò: 3.

1.2. Ïîêàçàòåëüíûå ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ Îïðåäåëåíèå. Íàçîâåì ïîêàçàòåëüíûì ëèíåéíûì óðàâíåíèåì óðàâíåíèå âèäà c1af ( x)+k1 + c2 af ( x)+k2 + ... + cn af ( x)+kn = C. Âûíîñÿ çà ñêîáêè îáùèé ìíîæèòåëü af ( x) , ïîëó÷èì óðàâíåíèå af ( x) (c1ak1 + c2 ak2 + ... + cn akn )= C, êîòîðîå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøèì ïîêàçàòåëüíûì óðàâíåíèåì. Ïðèìåð 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå: 3x+5 + 27 ⋅ 3x-1 - 28 = 0 . Ðåøåíèå. 3x+5 + 27 ⋅ 3x-1 - 28 = 0  3x+5 + 3x+2 - 28 = 0   3x+2 (27 + 1) = 28  3x+2 = 1   x + 2 = 0  x = -2 .

Îòâåò: –2. Ïðèìåð 6. Ðåøèòå óðàâíåíèå æ1 ö 7x+2 - çç ÷÷÷7x+1 -14 ⋅ 7x-1 + 2 ⋅ 7x = 336. è7 ø Ðåøåíèå.

æ1 ö 7x+2 - çç ÷÷÷7x+1 -14 ⋅ 7x-1 + 2 ⋅ 7x = 336  è7 ø  7x-1 (343 - 7 -14 + 14) = 336   7x-1 = 1  x -1 = 0  x = 1 .

Îòâåò: 1. 236


ÃËÀÂÀ 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

1.3. Ïîêàçàòåëüíûå êâàäðàòíûå óðàâíåíèÿ Óðàâíåíèÿ äàííîãî âèäà ìîãóò áûòü, â ñâîþ î÷åðåäü, ðàçäåëåíû íà äâà òèïà. 1) Óðàâíåíèÿ âèäà c1a2f ( x) + c2 af ( x) + c3 = 0 . Ðåøåíèå äàííîãî òèïà óðàâíåíèé ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ âñïîìîãàòåëüíîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ âèäà c1y2 + c2y + + c3 = 0. Åñëè ýòî óðàâíåíèå ðåøåíèé íå èìååò, òî, êîíå÷íî, íå èìååò ðåøåíèé è èñõîäíîå óðàâíåíèå. Åñëè âñïîìîãàòåëüíîå óðàâíåíèå èìååò ðåøåíèÿ, ÷òî íè â êîåì ñëó÷àå åùå íå ãàðàíòèðóåò íàëè÷èÿ ðåøåíèé èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, òî é a f ( x) = y , 1 2f ( x ) f ( x) + c2 a + c3 = 0  êê f ( x) c1a = y2 , êëa ãäå y1, y2 — êîðíè âñïîìîãàòåëüíîãî óðàâíåíèÿ. Ïðèìåð 7. Óêàæèòå ïðîìåæóòîê, êîòîðîìó ïðèíàäëåæàò êîðíè óðàâíåíèÿ 4x - 3 ⋅ 2x+2 = 64 . 1) (0;1] ; 2) (1;2] ; 3) (2;3] ; 4) (3;4] . Ðåøåíèå. Ïðèâåäåì óðàâíåíèå ê óêàçàííîìó âèäó. 4x - 3 ⋅ 2x+2 = 64  22x -12 ⋅ 2x - 64 = 0 .

Ðåøèì âñïîìîãàòåëüíîå óðàâíåíèå é y = 16, y2 -12y - 64 = 0  ê ê y = -4. ë Ïîëó÷èì, ÷òî èñõîäíîå óðàâíåíèå áóäåò ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè ïðîñòåéøèõ óðàâíåíèé. é2x = 16,  2x = 16  x = 4. 4x - 3 ⋅ 2x+2 = 64  êê x êë2 = -4 Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ 4 Î (3;4] , ïîýòîìó íîìåð ïðàâèëüíîãî îòâåòà — 4). Îòâåò: 4). Ïðèìåð 8. Ðåøèòå óðàâíåíèå: 25x - 4 ⋅ 5x = 5 . Ðåøåíèå. 25x - 4 ⋅ 5x = 5  52x - 4 ⋅ 5x - 5 = 0  é5x = 5,  êê x  5x = 5  x = 1. 5 = 1 êë

237


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèÿ ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåîðåìîé Âèåòà. Îòâåò: 1. 2) Óðàâíåíèÿ âèäà c1af ( x) + c2 a-f ( x) + c3 = 0. Ðåøåíèå äàííîãî òèïà óðàâíåíèé ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ïðåäûäóùåãî òèïà óðàâíåíèé. Òàê êàê ïîêàçàòåëüíàÿ ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ, òî c1af ( x) + c2 a-f ( x) + c3 = 0   c1a2f ( x) + c3 af ( x) + c2 = 0 .

Ïðèìåð 9. Ðåøèòå óðàâíåíèå 3

x

- 33-

x

= 26.

1 , a>0. ab = 26  32 x - 26 ⋅ 3 x - 27 = 0 

Ðåøåíèå. Èñïîëüçóåì ñâîéñòâî ñòåïåíè a-b = 3

x

- 33-

x

 32 é3 ê ê ê3 ë

Îòâåò: 9.

x

- 26 ⋅ 3

x

= 27,

x

= -1

x

- 27 = 0 

 x =3 x=9 .

Ïðèìåð 10. Ðåøèòå óðàâíåíèå

( 7 - 4 3 ) + ( 7 + 4 3 ) = 14 . Ðåøåíèå. Òàê êàê ( 7 - 4 3 )( ⋅ 7 + 4 3 )= x

x

49 - 48 = 1 , òî äàííîå óðàâíåíèå ìîæíî áóäåò çàïèñàòü â âèäå -x

( 7 + 4 3 ) +( 7 + 4 3 ) x

Ïîýòîìó

2x

( 7 + 4 3 ) -14( 7 + 4 3 ) +1 = 0  é ê( 7 + 4 3 ) = 7 + 4 3, é x = 2, ê ê ê ê x = -2. ê ë ê( 7 + 4 3 ) = 7 - 4 3 ë x

x

x

Îòâåò: –2; 2. 238

= 14 .


ÃËÀÂÀ 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

1.4. Ïîêàçàòåëüíûå îäíîðîäíûå ëèíåéíûå óðàâíåíèÿ Îïðåäåëåíèå. Óðàâíåíèå âèäà c1af ( x) = c2 bf ( x) áóäåì íàçûâàòü ïîêàçàòåëüíûì îäíîðîäíûì ëèíåéíûì óðàâíåíèåì. æ a öf ( x) c2 c1af ( x) = c2 bf ( x)  çç ÷÷ = . èbø c1

Ïðèìåð 11. Ðåøèòå óðàâíåíèå 33x + 9 ⋅ 22x = 4x + 32+3x . Ðåøåíèå. Ñãðóïïèðóåì ñëàãàåìûå, ïðåäñòàâëÿþùèå ñòåïåíè îäíîãî ïîëîæèòåëüíîãî îñíîâàíèÿ. Ïîñëå ýòîãî çàïèøåì óðàâíåíèå â íóæíîì äëÿ ðåøåíèÿ âèäå. 33x + 9 ⋅ 22x = 4x + 32+3x  4x (9 -1) = 27x (9 -1)  æ 2 öx  çç ÷÷÷ = 1  x = 0 . è 27 ø Îòâåò: 0.

Ïðèìåð 12. Ðåøèòå óðàâíåíèå 2x

4

-1

- 4 ⋅ 3x

4

4

-1

(1 + 4) = 3x

-1

= 3x

4

-1

- 2x

4

+1

.

Ðåøåíèå. 2x

4

-1

- 4 ⋅ 3x

4

-1

= 3x æ 2 öx çç ÷÷ è 3 ÷ø

Îòâåò: –1; 1.

4

4

4

-1

- 2x

+1

-1

é x = 1, = 1  x4 = 1  ê ê x = -1. ë

 2x

4

-1

(4 + 1) 

1.5. Ïîêàçàòåëüíûå îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ âòîðîãî ïîðÿäêà f ( x)

Îïðåäåëåíèå. Óðàâíåíèÿ âèäà c1a2f ( x) + c2 (ab) + 2f ( x ) +c3 b = 0 íàçûâàþòñÿ îäíîðîäíûìè ïîêàçàòåëüíûìè óðàâíåíèÿìè âòîðîãî ïîðÿäêà. Ðåøåíèå äàííîãî òèïà óðàâíåíèé ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ïîêàçàòåëüíûõ êâàäðàòíûõ óðàâíåíèé. Ïðèìåð 13. Ðåøèòå óðàâíåíèå 3 ⋅16x - 2 ⋅ 81x + 36x = 0 . Ðåøåíèå. Çàìåòèâ, ÷òî 16 = 42, 81 = 92, 36 = 4 ⋅ 9 , çàïèøåì äàííîå óðàâíåíèå ñëåäóþùèì îáðàçîì: 239


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

æ 4 ö2x æ 4 öx 3 ⋅16x - 2 ⋅ 81x + 36x = 0  3 ⋅ çç ÷÷÷ + çç ÷÷÷ - 2 = 0 . è9ø è9ø Ðåøàÿ âñïîìîãàòåëüíîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì: é y = -1, ê 3y2 + y - 2 = 0  ê 2 êy = . êë 3

Òàêèì îáðàçîì, ïîêàçàòåëüíîå óðàâíåíèå áóäåò ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè ïðîñòåéøèõ óðàâíåíèé éæ 4 öx êç ÷÷ = -1, êçè 9 ÷ø æ 2 ÷ö2x 2 1 ê ç ÷ = x= .  ç êæ 4 öx 2 è 3 ÷ø 3 2 êç ÷ = êçè ÷÷ø 3 ë 9 Îòâåò:

1 . 2

Ïðèìåð 14. Íàéäèòå ñóììó ðåøåíèé óðàâíåíèÿ 2

32x

+6 x-9

2

+ 4 ⋅15x

+3 x-5

2

= 3 ⋅ 52x

+6 x-9

.

Ðåøåíèå. Ïðåäñòàâèì óðàâíåíèå â íóæíîì äëÿ ðåøåíèÿ âèäå. 2 2 2 32x +6 x-9 + 4 ⋅15x +3x-5 = 3 ⋅ 52x +6 x-9 

(

)+ 4 ⋅15x2 +3x-5 -15 ⋅ 52(x2 +3x-5) = 0 

2 x2 +3 x-5

 3⋅ 3

æ 3 ö2(x  3 ⋅ çç ÷÷÷ è5ø

2

)

+3 x-5

2

æ 3 öx + 4 ⋅ çç ÷÷÷ è5ø

+3 x-5

-15 = 0 

é x2 +3x-5 5 êæç 3 ÷ö 2 = , êçè ÷÷ø æ 3 öx +3x-5 5 5 3 ç ÷÷  êê  =  çè 5 ÷ø 3 êæ 3 öx2 +3x-5 êç ÷÷ 3 = êçè 5 ÷ø ë é x = -4,  x2 + 3x - 5 = -1  x2 + 3x - 4 = 0  ê ê x = 1. ë

Ñóììà êîðíåé óðàâíåíèÿ ðàâíà –3. Îòâåò: –3. 240


ÃËÀÂÀ 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

1.6. Óðàâíåíèÿ ñ ïåðåìåííûì îñíîâàíèåì Åñëè îñíîâàíèå ñòåïåíè â óðàâíåíèè af ( x) = a g ( x) åñòü ïåðåìåííàÿ âåëè÷èíà a = a(x) è a(x) > 0 ïðè âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ çíà÷åíèÿõ õ, òî óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè óðàâíåíèé a(x) = 1 è f (x) = g(x) èëè, ÷òî óäîáíåå çàïèñûâàòü, îäíîìó óðàâíåíèþ

(a(x) -1)(f (x) - g(x)) = 0 . 2 x-6

Ïðèìåð 15. Ðåøèòå óðàâíåíèå (x2 + x + 1)

=1 .

2

Ðåøåíèå. Âûðàæåíèå x + x + 1 > 0 ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ õ. Ñëåäîâàòåëüíî, 2 x-6

(x2 + x + 1) = 1  2 x-6 0  (x2 + x + 1) = (x2 + x + 1)   (x2 + x + 1 -1)(2x - 6) = 0 

é x = 0, ê  x(x + 1)(x - 3) = 0  êê x = -1, ê x = 3. êë Îòâåò: –1; 0; 3. Åñëè îñíîâàíèå a = a(x) ìîæåò ïðèíèìàòü êàê ïîëîæèòåëüíûå, òàê è íåïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ, òî çàäà÷à çíà÷èòåëüíî óñëîæíÿåòñÿ.  ýòîì ñëó÷àå âîçìîæíû ðàçëè÷íûå ïîäõîäû ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ af ( x) = a g ( x) . Íàïðèìåð, äîïóñòèìî îãðàíè÷èòü îáëàñòü ñóùåñòâîâàíèÿ ðåøåíèé óðàâíåíèÿ af ( x) = a g ( x) ñëó÷àåì a = a(x) > 0. Òîãäà óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå: ìï(a(x) -1)(f (x) - g(x)) = 0, ïí ïïa(x) > 0. î Åñëè äîïóñêàòü ðåøåíèÿ, äëÿ êîòîðûõ a = a(x) £ 0 , òî ñëåäóåò ðàññìîòðåòü ñëåäóþùèå ñëó÷àè: ìï(a(x) -1)(f (x) - g(x)) = 0, 1) ïí ïïa(x) > 0. î 2) a = a(x) = 0 è ïðè ýòîì f (x) è g(x) — íåêîòîðûå ïîëîæèòåëüíûå, íåîáÿçàòåëüíî ðàâíûå ìåæäó ñîáîé ÷èñëà. 241


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ìï(a(x) + 1)(f (x) - g(x)) = 0, ïï 3) ïía(x) < 0, ïðè÷åì f (x) è g(x) äîëæíû ïï ïïf (x) Î Z (или g(x) Î Z ), î èìåòü îäèíàêîâóþ ÷åòíîñòü. 2

Ïðèìåð 16. Ðåøèòå óðàâíåíèå x x

-6 x +10

= x2 .

Ðåøåíèå.

éìïx > 0, êï êíï 2 êïî(x -1)(x - 6x + 10 - 2) = 0, ê 2 x x -6 x+10 = x2  ê x = 0,  ê êìx < 0, êïï êí êïïî(x + 1)(x2 - 6x + 10 - 2) = 0 ë éïìx > 0, êïï êïé x = 1, êïïê êíïê êïê x = 2, êïïê êïïêë x = 4, êî  êê x = 0, ê êìïïx < 0, êï êïíx = -1, êï êïï 2 êïïîx - 6x + 10 - четное число. ê êë

Òàê êàê x2 - 6x + 10 ïðè x = -1 ðàâíî x2 - 6x + 10 = = (-1)2 - 6(-1) + 10 = 17 — íå÷åòíîå ÷èñëî, ïîýòîìó ÷èñëî (–1) íå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì äàííîãî óðàâíåíèÿ. Îòâåò: 0; 1; 2; 4.

1.7. Èñïîëüçîâàíèå ìîíîòîííîñòè ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè Èç ñâîéñòâ ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè ìû ïîìíèì, ÷òî åñëè 0 < a < 1 , òî ôóíêöèÿ y = a x ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî óáûâàþùåé. Åñëè æå a > 1, òî ôóíêöèÿ y = a x ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé. 242


ÃËÀÂÀ 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

Ïðèìåð 17. Ðåøèòå óðàâíåíèå 2x + 5x = 7x . Ðåøåíèå. Çàïèøåì äàííîå óðàâíåíèå ñëåäóþùèì îáðàçîì æ 2 öx æ 5 öx 2x + 5x = 7x  çç ÷÷÷ + çç ÷÷÷ = 1 . è7 ø è7 ø Ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñóììó äâóõ ìîíîòîííî óáûâàþùèõ ôóíêöèé, ò.å. ìîíîòîííî óáûâàþùóþ ôóíêöèþ. Ñëåäîâàòåëüíî, êàæäîå ñâîå çíà÷åíèå ýòà ôóíêöèÿ ïðèíèìàåò ïðè åäèíñòâåííîì çíà÷åíèè àðãóìåíòà. Î÷åâèäíî, ÷òî x = 1 — ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ.  ñèëó ìîíîòîííîñòè ýòî ðåøåíèå åäèíñòâåííîå. Îòâåò: 1. Ïðèìåð 18. Ðåøèòå óðàâíåíèå 17 -12 2 ⋅ 3x + 9 - 4 2 ⋅ 2x = 22x+1 .

Ðåøåíèå. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó äâîéíîãî ðàäèêàëà, ïîëó÷èì, ÷òî 17 -12 2 = 17 - 288 = =

17 + 289 - 288 17 - 289 - 288 = 3-2 2 . 2 2 9 - 4 2 = 9 - 32 = =

9 + 81 - 32 9 - 81 - 32 = 2 2 -1 . 2 2

Ïðåäñòàâèâ òàêæå 22x+1 = 2 ⋅ 4x , çàïèøåì óðàâíåíèå â âèäå (3 - 2 2) ⋅ 3x + (2 2 -1) ⋅ 2x = 2 ⋅ 4x  æ 3 öx æ 1 öx  (3 - 2 2) ⋅ çç ÷÷÷ + (2 2 -1) ⋅ çç ÷÷÷ = 2 . è4ø è2ø Ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ åñòü ñóììà ìîíîòîííî óáûâàþùèõ ôóíêöèé. Ïîýòîìó, êàê ñëåäóåò èç îïðåäåëåíèÿ, êàæäîå ñâîå çíà÷åíèå ïðèíèìàåò ëèøü ïðè åäèíñòâåííîì çíà÷åíèè àðãóìåíòà. Íàõîäèì, ÷òî x = 0 — åäèíñòâåííîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ. Îòâåò: 0. 243


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 19. Ðåøèòå óðàâíåíèå 21- x = x2 + 1 +

1 . x +1 2

Ðåøåíèå. Î÷åâèäíî, ÷òî âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî 1 - x £ 1  21- x £ 2

äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé. Ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ, åñëè x = 0. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðèìåíÿÿ íåðàâåíñòâî Åâêëèäà, ïîëó÷èì 1 1 . x2 + 1 + 2 ³ 2 (x2 + 1) 2 x +1 (x + 1) 1 Òàêèì îáðàçîì, x2 + 1 + 2 ³ 2 ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåx +1 ðåìåííîé õ, ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ, åñëè x = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, x = 0 — åäèíñòâåííîå ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ. Îòâåò: 0. Ïðèìåð 20. Ðåøèòå óðàâíåíèå

a (2x - 2)+ 1 = 1 - 2x .

Ðåøåíèå. Èñïîëüçóÿ ìåòîäû ðåøåíèÿ èððàöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé, ïðèâåäåì äàííîå óðàâíåíèå ê ðàâíîñèëüíîé åìó ñèñòåìå: ìï2x £ 1, ï x x a (2 - 2)+ 1 = 1 - 2  ïí 2x  ïï2 - 2 ⋅ 2x + 1 = 1 + a (2x - 2) ïî ïìï2x £ 1, x ì ì x ï2 £ 1, ïïïé x ïï2 £ 1,  íï 2x   2 2, = í í ïï2 - (a + 2)2x + 2a = 0 ïïê ïï2x = a. îï îï ïïêê2x = a ïîë Ðàññìàòðèâàÿ ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó, ïîëó÷èì, ÷òî ïðè a >1 óðàâíåíèå ðåøåíèé íå èìååò. Ïðè 0 < a £ 1 , x = log2 a . Ïðè a £ 0 óðàâíåíèå òàêæå ðåøåíèé íå èìååò. Îòâåò: Åñëè a Î (-¥;0]  (1; +¥), Æ . Åñëè a Î (0;1] , x = log2 a . Ïðèìåð 21. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå 4x + (a2 + 5) ⋅ 2x + 9 - a2 = 0 íå èìååò ðåøåíèé. 244


ÃËÀÂÀ 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

Ðåøåíèå. Çàïèøåì óðàâíåíèå â âèäå: 22x + (a2 + 5) ⋅ 2x + +9 - a2 = 0 . Î÷åâèäíî, ÷òî äàííîå óðàâíåíèå íå áóäåò èìåòü ðåøåíèÿ, åñëè êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí f (t) = t2 + (a2 + 5)t + +(9 - a2 ) íå áóäåò èìåòü êîðíåé, ëèáî îáà êîðíÿ ýòîãî òðåõ÷ëåíà áóäóò íå áîëüøå íóëÿ. Ïðèìåíÿÿ òåîðèþ êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà, ïîëó÷èì, ÷òî èñêîìûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà áóäóò çàäàâàòüñÿ ñîâîêóïíîñòüþ é(a2 + 5)2 - 4(9 - a2 ) < 0, ê êì 2 êïï(a + 5)2 - 4(9 - a2 ) ³ 0, êïï êï-(a2 + 5) £ 0, êíï êïï êï9 - a2 ³ 0. ëïî Ðåøàÿ åå, ïîëó÷èì é(a2 + 5)2 - 4(9 - a2 ) < 0, ê êì 2 êïï(a + 5)2 - 4(9 - a2 ) ³ 0, êïï  9 - a2 ³ 0  -3 £ a £ 3 . êï-(a2 + 5) £ 0, êíï êïï êï9 - a2 ³ 0 ëîï Îòâåò: [–3; 3]. Ïðèìåð 22. Íàéäèòå 3x y= + 2 x , x ³-2 . x

ìíîæåñòâî

çíà÷åíèé

ôóíêöèè

Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ ðàíåå ðàçîáðàííûì ïðèåìîì è ïîñòàâèì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòìï 3x ïï + 2 x = a, ðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñèñòåìà í x èìååò ïï õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå. 2 ³x ïïî Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå ìîäóëÿ ÷èñëà, ðàçëîæèì äàííóþ ñèñòåìó â ðàâíîñèëüíóþ åé ñîâîêóïíîñòü ñèñòåì. éì2 £ x < 0, êïï ïìï 3x + 2 x = a, êíï -x êï-3 + 2 = a, ïx  êî í ïï êìx > 0, êïíï ïîïx ³-2 êï3 + 2x = a. ëïî 245


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ðåøèì ïåðâóþ ñèñòåìó ñîâîêóïíîñòè. ìï-2 £ x < 0, ïï 2 £ x < 0, ïìïí  íïa + 3 > 0,  x ïï-3 + 2 = a ïï î ïïî-x = log2 (a + 3) ìï0 < log2 (a + 3) £ 2, ìï 2 < a £ 1,  ïí  ïí ïîïx = - log2 (a + 3) îïïx = - log2 (a + 3). Òàêèì îáðàçîì, ïåðâàÿ ñèñòåìà ñîâîêóïíîñòè, à âìåñòå ñ íåé è èñõîäíîå óðàâíåíèå, èìååò ðåøåíèå ïðè a Î (-2;1] . Ðåøèì âòîðóþ ñèñòåìó ñîâîêóïíîñòè. ìïx > 0, ïï ïìlog2 (a - 3) > 0, ïìïx > 0, ïía > 3,   ïí  í îïï3 + 2x = a ïïïx = log (a - 3) îïïx = log2 (a - 3) 2 ïî ïìa > 4,  ïí ïïîx = log2 (a - 3). Ïîëó÷àåì, ÷òî âòîðàÿ ñèñòåìà ñîâîêóïíîñòè èìååò ðåøåíèå ïðè a > 4. Îáúåäèíÿÿ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ñîñòàâëÿþùèå îáëàñòü çíà÷åíèé èñõîäíîé ôóíêöèè, ïîëó÷èì, ÷òî D(y) = (-2;1]  (4; +¥) . Îòâåò: D(y) = (-2;1]  (4; +¥) . Óïðàæíåíèå 1. 1. Óêàæèòå ïðîìåæóòîê, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò êîðåíü óðàâíåíèÿ 3x+2 - 3x = 216 . 1) (-¥;-3] ; 2) [-2;0) ; 3) (0;2] ; 4) [3;6] . 2. Óêàæèòå ïðîìåæóòîê, êîòîðîìó ïðèíàäëåæàò êîðíè óðàâíåíèÿ 9x - 75 ⋅ 3x-1 - 54 = 0 . 1) (-¥;-1] ; 2) [-1;0) ; 3) (0;2] ; 4) [3;6] . 3. Óêàæèòå ïðîìåæóòîê, êîòîðîìó ïðèíàäëåæàò êîðíè óðàâíåíèÿ 4x+2 + 30 ⋅ 2x-1 -1 = 0 . 1) (-¥;-2] ; 2) [-2;0) ; 3) (0;1] ; 4) [4;5] . 246


ÃËÀÂÀ 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

4. Óêàæèòå ïðîìåæóòîê, êîòîðîìó ïðèíàäëåæàò êîðíè óðàâíåíèÿ 4x - 30 ⋅ 2x-1 -16 = 0.

1) (-¥;-4] ; 2) [-3;0) ; 3) (0;1] ; 4) [4;10] . 5. Óêàæèòå ïðîìåæóòîê, êîòîðîìó ïðèíàäëåæàò êîðíè óðàâíåíèÿ 100x - 70 ⋅10x-1 - 30 = 0.

1) (-¥;-3] ; 2) [-2;0) ; 3) (0;2] ; 4) [3;6] . Âåðíûå îòâåòû: 1) 4; 2) 4; 3) 1; 4) 4; 5) 3. Óïðàæíåíèå 2. 1. Íàéäèòå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâíåíèå 4x - a ⋅ 2x - a + 3 = 0 èìååò ðåøåíèå. Îòâåò: [2; +¥) . 2. Íàéäèòå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâíåíèå (10 - a) ⋅ 52x+1 - 2 ⋅ 5x+1 + 6 - a = 0 íå èìååò ðåøåíèÿ. Îòâåò: (-¥;5)  (10; +¥) . 3. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâíåíèå (a + 1) ⋅ 4x + 8 ⋅ 6x + (a - 5) ⋅ 9x = 0 èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Îòâåò: [-1;5) . 4. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâíåíèå (a -1) ⋅ 4x - 4 ⋅ 6x + (a + 2) ⋅ 9x = 0 èìååò äâà ðåøåíèÿ. Îòâåò: (-3;-2) . 5. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâíåíèå (a - 3) ⋅ 9x + 6x+1 + (a - 3) ⋅ 4x = 0 èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå. Îòâåò: [-4;3) .

§ 2. Ðåøåíèå ïîêàçàòåëüíûõ íåðàâåíñòâ Åùå ðàç ïðèâåäåì äîêàçàííóþ â íà÷àëå ïàðàãðàôà 1 òåîðåìó. Òåîðåìà. Ñðàâíåíèå af ( x)  a g ( x)  (a -1) (f (x) - g(x))  0 ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ îñíîâàíèÿ a > 0 . 247


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ 5-

Ïðèìåð 1. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 27

x 3

>3 .

Ðåøåíèå. Çàïèñàâ îáå ÷àñòè íåðàâåíñòâà â âèäå ñðàâíåíèÿ ñòåïåíè îäíîãî è òîãî æå äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà, ïðèìåíèì òåîðåìó. 5-

x

æ xö 3çç5- ÷÷÷ 3 ø > 31

27 3 > 3  3 è Îòâåò: (-¥;14) .

 (3 -1)(15 - x -1) > 0  x < 14 . 2

æ 2 ö12x+10-x 27 Ïðèìåð 2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî çç ÷÷÷ . < è 3ø 8 Ðåøåíèå. Çàïèøåì íåðàâåíñòâî â ñòàíäàðòíîì âèäå. Òàê êàê 27 æ 3 ÷ö3 æ 2 ö÷-3 =ç ÷ =ç ÷ , 8 çè 2 ÷ø èç 3 ø÷ òî 2 2 æ 2 ÷ö12x+10-x 27 æ 2 ÷ö-x +12x+10 æ 2 ö÷-3 ç ÷ ç ÷ <  < çç ÷÷  çè 3 ÷ø çè 3 ÷ø è 3ø 8 æ 2 ö÷ 2  çç -1÷÷ (-x + 12x + 10 + 3) < 0  è3 ø  (x2 -12x -13) < 0  -1 < x < 13 .

Îòâåò: (-1;13) . Ïðèìåð 3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x3 ⋅ 6x - 63+x £ 0 . Ðåøåíèå. Âûíåñåì çà ñêîáêè ìíîæèòåëü, ÿâëÿþùèéñÿ ñòåïåíüþ ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà. x3 ⋅ 6x - 63+x £ 0  6x (x3 - 216) £ 0 .

Òàê êàê 6x > 0 äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé, òî 6x (x3 - 216) £ 0  x3 - 216 £ 0  x £ 6 .

Îòâåò: (-¥;6] . Èç îñíîâíîé òåîðåìû ñëåäóåò, ÷òî ìíîæèòåëü âèäà f ( x) a ( - a g(x) ) è ìíîæèòåëü âèäà (a -1) (f (x) - g(x)) ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ èìååò îäèí è òîò æå çíàê. Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü áûñòðî ðàöèîíàëèçèðîâàòü ïîêàçàòåëüíûå íåðàâåíñòâà. Ïðèìåð 4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 52x+1 > 5x + 4 . Ðåøåíèå. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó ðàçëîæåíèÿ êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà, ïîëó÷èì: 248


ÃËÀÂÀ 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

52x+1 > 5x + 4  5 ⋅ 52x - 5x - 4 > 0   (5x -1)(5 ⋅ 5x + 4) > 0  (5 -1)x > 0  x > 0 .

Îòâåò: (0; +¥) .

3x+1 - 21 ³1 . 3x - 3 Ðåøåíèå. Ïðèâåäåì íåðàâåíñòâî ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó è ïðèìåíèì ìåòîäû ðàöèîíàëèçàöèè

Ïðèìåð 5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî

3x+1 - 21 3 ⋅ 3x - 21 - 3x + 3 2 ⋅ 3x -18 ³ 1  ³ 0  ³0  3x - 3 3x - 3 3x - 3 é x ³ 2, 3x - 32 (3 -1)(x - 2) x -2 ê  x ³ 0  ³ 0  ³ 0  ê x < 1. (3 -1)(x -1) x -1 3 - 31 ë Îòâåò: (-¥;1)  [2; +¥) . 2

Ïðèìåð 6. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî (x2 - x + 2)x

-2,5 x +1

<1 .

2

æ 1ö 7 Ðåøåíèå. Âûðàæåíèå x2 - x + 2 = ççx - ÷÷÷ + > 0 ïðè ëþáîì è 2ø 4 çíà÷åíèè ïåðåìåííîé. Ïîýòîìó ìîæíî ïðèìåíèòü àëãîðèòì ðåøåíèÿ ïîêàçàòåëüíûõ íåðàâåíñòâ, íåñìîòðÿ íà ïåðåìåííîå îñíîâàíèå ñòåïåíè. 2

(x2 - x + 2)x

-2,5 x +1

<1 

 (x2 - x + 2 -1)(2x2 - 5x + 2) < 0   2x2 - 5x + 2 < 0  (2x -1)(x - 2) < 0  1  < x <2 . 2 æ1 ö Îòâåò: çç ;2÷÷÷ . è2 ø (32x - 3)2 (1 - 5x ) £0 . 7x - 49 Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ñëåäñòâèå èç îñíîâíîé òåîðåìû ê êàæäîìó ìíîæèòåëþ, âõîäÿùåìó â ëåâóþ ÷àñòü íåðàâåíñòâà. Òàê êàê îñíîâàíèÿ ñòåïåíåé, âõîäÿùèõ â äàííîå âûðàæåíèå, áîëüøå 1, òî íå áóäåì â äàííîì ñëó÷àå óêàçûâàòü ñîîòâåòñòâóþùèé ìíîæèòåëü (a – 1).

Ïðèìåð 7. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî

(32x - 3)2 (1 - 5x ) (2x -1)2 (0 - x) x(2x -1)2 £ 0  £ 0  ³0 . x -2 x -2 7x - 49 249


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïîëó÷èì, ÷òî

é x £ 0, ê ê x(2x -1) 1 ³ 0  êx = , ê x -2 2 ê êë x > 2. 1 Îòâåò: (−∞ 0] ∪ ∪ (2 +∞) . 2 21 - 2x - 26-x - 3 - 2x Ïðèìåð 8. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî ³1 . 5 - 3 - 2x Ðåøåíèå. Ïðèâåäåì íåðàâåíñòâî ê êàíîíè÷åñêîìó âèäó 2

{}

21 - 2x - 26-x - 3 - 2x

³1 

5 - 3 - 2x 16 - 2x - 26-x

 

5 - 3 - 2x

³0 

22x -16 ⋅ 2x + 64 5 - 3 - 2x

£0 .

Òàê êàê 5 + 3 - 2x > 0, òî, óìíîæèâ çíàìåíàòåëü äðîáè íà ýòî âûðàæåíèå, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî, ðàâíîñèëüíîå èñõîäíîìó. 22x -16 ⋅ 2x + 64 5 - 3 - 2x

£0 

(2x - 8)2 £0  25 - (3 - 2x )2 (2x - 8)2  £0. (8 - 2x )(2 + 2x )

Çàìåòèâ, ÷òî 2x + 2 > 0 è ðàöèîíàëèçèðóÿ íåðàâåíñòâî, ïîëó÷èì (2x - 8)2 (x - 3)2 £ 0  £0  x>3. (3 - x) (8 - 2x )(2 + 2x ) Îòâåò: (3; +¥) . Ïðèìåð 9. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 52

x

- 6⋅5

x

+5³0 .

Ðåøåíèå. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà, ïðèâåäåì èñõîäíîå íåðàâåíñòâî ê ðåøåíèþ ñîâîêóïíîñòè ïðîñòåéøèõ íåðàâåíñòâ. 250


ÃËÀÂÀ 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

52

x

- 6⋅5

x

(

+5³0  5

x

)(

-5 5

x

)

-1 ³ 0 

é5 x ³ 5, é x ³ 1, é x ³ 1, ê ê  êê ê ê x = 0. ê5 x £ 1 0 £ x ê ë ë ë Îòâåò: {0}  [1; +¥) .

Ïðèìåð 10. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x4 + 5x+4 ³ x4 ⋅ 5x + 625 . Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ ìåòîäîì ãðóïïèðîâêè. Èìååì: x4 + 5x+4 ³ x4 ⋅ 5x + 625  x4 - 625 - 5x (x4 - 625) ³ 0   (x4 - 625)(1 - 5x ) ³ 0   (x - 5)(x + 5)(x2 + 25)(5 -1)(0 - x) ³ 0  é x £-5,  x(x - 5)(x + 5) £ 0  ê ê0 £ x £ 5. ë Îòâåò: (-¥;-5]  [0;5] .

Óïðàæíåíèå 1.

æ 1 ö2-5x 1. Óêàæèòå ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà çç ÷÷÷ -1 £ 0. è7 ø æ æ æ1 ö é2 ö 2ö 2ù 1) çç-¥; ÷÷÷ ; 2) çç-¥; ú ; 3) çç ; +¥÷÷÷ ; 4) ê ; +¥÷÷÷ . è è è5 ø ø êë 5 5ø 5 úû 2. Óêàæèòå ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà 25 > 51-4 x . æ æ3 ö æ æ 1 ö 3ö 1ö 1) çç-¥; ÷÷÷ ; 2) çç ; +¥÷÷÷ ; 3) çç-¥;- ÷÷÷ ; 4) çç- ; +¥÷÷÷ . è è4 ø è è 4 ø 4ø 4ø x-7,2 1 3. Óêàæèòå ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà ( 7 ) £ . 7 1) (-¥;-5,2] ; 2) [5,2; +¥) ; 3) (-¥;5,2] ; 4) (-¥;3,2] .

4. Óêàæèòå ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà 25 ⋅ 5x < 53x+3. æ 1 ö æ 1ö 1) (-1; +¥) ; 2) (-¥;3) ; 3) çç- ; +¥÷÷÷ ; 4) çç-¥; ÷÷÷ . è 2 ø è 2ø 3 æ 1 ö æ 1 ö2x+1 5. Óêàæèòå ìíîæåñòâî ðåøåíèé íåðàâåíñòâà çç ÷÷÷ ³ çç ÷÷÷ . è 3ø è 9ø æ æ æ1 ö é1 ö 1ö 1ù 1) çç-¥; ÷÷÷ ; 2) çç-¥; ú ; 3) çç ; +¥÷÷÷ ; 4) ê ; +¥÷÷÷ . ø è ø è è ø 4 4 úû 4 ëê 4 Âåðíûå îòâåòû: 1) 2; 2) 4; 3) 3; 4) 3; 5) 4. 251


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Óïðàæíåíèå 2. 1. Íàéäèòå íàèáîëüøåå öåëîå ðåøåíèå íåðàâåíñòâà 2 ⋅ 25x + 5 ⋅ 4x < 31,57 ⋅10x .

1) –2; 2) –1; 3) 0; 4) 2. Îòâåò: 4). 2. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà ÷èñëîâîé îñè, ÿâëÿþùåãîñÿ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà 22x+1 + 72x+1 £ 9 ⋅14x . 1 2 4 1) ; 2) ; 3) 1; 4) . 3 3 3 Îòâåò: 3). 3. Íàéäèòå ÷èñëî öåëûõ ðåøåíèé íåðàâåíñòâà æ 2 ÷öx æ 3 ö÷x 35 ç ÷ +ç ÷ £ . çè 3 ÷ø èç 2 ø÷ 12 1) 0; 2) 1; 3) 2; 4) 4. Îòâåò: 4). 4. Íàéäèòå íàèìåíüøåå öåëîå çíà÷åíèå ïåðåìåííîé õ, 1

ÿâëÿþùååñÿ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà

3 x + 12 1

3 x -1

1

4 ³ ⋅ 3x . 3

1) 0; 2) 1; 3) –2; 4) 3. Îòâåò: 2). 5. Íàéäèòå ñóììó öåëûõ ÷èñåë, ÿâëÿþùèõñÿ ðåøåíèåì íåðàâåíñòâà æ 1 öx 372 ⋅ çç ÷÷÷ ⋅ 3- x > 1 . è 3ø 1) 512; 2) 1024; 3) 2048; 4) 4096. Îòâåò: 3).

§ 3. Ðåøåíèå ëîãàðèôìè÷åñêèõ óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ 3.1. Ðåøåíèå ïðîñòåéøèõ ëîãàðèôìè÷åñêèõ óðàâíåíèé Îïðåäåëåíèå. Ïðîñòåéøèì ëîãàðèôìè÷åñêèì ñðàâíåíèåì (óðàâíåíèåì èëè íåðàâåíñòâîì) áóäåì íàçûâàòü ñðàâíåíèå âèäà log a f (x)  log a g(x) , a > 0 , a ¹1 . 252


ÃËÀÂÀ 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

Ïîäîáíî ðåøåíèþ ïîêàçàòåëüíûõ óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ, ðåøåíèå ëîãàðèôìè÷åñêèõ óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ îñíîâûâàåòñÿ íà ñâîéñòâàõ ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè. Îñíîâíîé òåîðåìîé, ïðèìåíÿåìîé ïðè ðåøåíèè ëîãàðèôìè÷åñêèõ óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ, ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ òåîðåìà. Òåîðåìà. Äëÿ ëþáîãî a > 0, a ¹1 ñðàâíåíèå ìïf (x) > 0, ïï log a f (x)  log a g(x)  ïíg(x) > 0, ïï ïï(a -1) (f (x) - g(x))  0. î Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü ðåøàòü ëîãàðèôìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà åäèíûì ìåòîäîì ðàöèîíàëèçàöèè. Ñëåäñòâèå. Ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòîâ, ò.å. ïðè f (x) > 0 , g(x) > 0, ðàçíîñòü log a f (x) - log a g(x) èìååò òîò æå çíàê, ÷òî è ïðîèçâåäåíèå (a -1) (f (x) - g(x)), a > 0 , a ¹1. Ñëåäñòâèå. Ïðîñòåéøèå ëîãàðèôìè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ìîæíî óñëîâíî ðàçäåëèòü íà äâà òèïà: 1) log a f (x) = b  f (x) = ab , a > 0 , a ¹1 . ìïf (x) > 0, ïï 2) log a f (x) = log a g(x)  ïíg(x) > 0, ïï ïïîf (x) = g(x). Ïðè ýòîì óêàçàííàÿ ðàâíîñèëüíàÿ ñèñòåìà ÿâëÿåòñÿ èçáûòî÷íîé, ò.å. îäíî èç íåðàâåíñòâ, âõîäÿùåå â íåå, ìîæåò áûòü èñêëþ÷åíî.

Ïðèìåð 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå log2 (2x -1) = 4 . Ðåøåíèå. log2 (2x -1) = 4  2x -1 = 24  2x = 17  x = 8,5 . Îòâåò: 8,5. Ïðèìåð 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå log 1 (5 - log 3 x)= -2 . 2

Ðåøåíèå.

æ 1 ö-2 log 1 (5 - log 3 x)= -2  5 - log 3 x = çç ÷÷÷  è2ø 2

 5 - log 3 x = 4  log 3 x = 1  x = 3 .

Îòâåò: 3. 253


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 3. Óêàæèòå ïðîìåæóòîê, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò êîðåíü óðàâíåíèÿ ln(x + 4) - ln(x + 3) = ln 3 . 1) (-3;1) ; 2) (-¥;-3) ; 3) (4; +¥) ; 4) (2;4) . Ðåøåíèå. Ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâà ëîãàðèôìîâ, íå ìåíÿþùèõ îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ âõîäÿùèõ â óðàâíåíèå âûðàæåíèé, ïîëó÷èì: ln(x + 4) - ln(x + 3) = ln 3  ln(x + 4) = ln 3(x + 3) . Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå áóäåò ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå, ðåøèâ êîòîðóþ, ïîëó÷èì ðåøåíèå óðàâíåíèÿ. ìïx + 3 > 0,  ln(x + 4) = ln 3(x + 3)  ïí ïïîx + 4 = 3(x + 3) ìïx + 3 > 0,  ïí  x = -2,5 . ïïî2x = -5 ×èñëî -2,5 Î (-3;1) , ïîýòîìó íîìåð ïðàâèëüíîãî îòâåòà — 1). Îòâåò: 1).

3.2. Ðåøåíèå óðàâíåíèé, ñîäåðæàùèõ íåñêîëüêî âûðàæåíèé, ñòîÿùèõ ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà Ñôîðìóëèðóåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïðåîáðàçîâàíèé óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùåãî äâà è áîëåå ëîãàðèôìè÷åñêèõ âûðàæåíèé. 1. Âñå âûðàæåíèÿ, ñòîÿùèå ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà, óêàçûâàþòñÿ â ñèñòåìå êàê ïîëîæèòåëüíûå. 2. Âñå ëîãàðèôìû ïðèâîäÿòñÿ ê îäíîìó îñíîâàíèþ. Ïðè ýòîì èñïîëüçóåòñÿ ôîðìóëà ïåðåõîäà ê íîâîìó îñíîâàíèþ. 3. Ïåðåä âûðàæåíèåì, ñòîÿùèì ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà, æåëàòåëüíî èìåòü, åñëè ýòî âîçìîæíî, ïîëîæèòåëüíûé êîýôôèöèåíò. 4. Ïðè âûíåñåíèè ìíîæèòåëåì ïîêàçàòåëÿ ñòåïåíè âûðàæåíèÿ, ñòîÿùåãî ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà, îñòàþùååñÿ ïîä ëîãàðèôìîì âûðàæåíèå äîëæíî áûòü ïîëîæèòåëüíî. log a f p (x) = p log a f (x) ,

ð — ÷åòíîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, f (x) ¹ 0 , a > 0, a ¹1 . 254


ÃËÀÂÀ 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

5. Òî æå îòíîñèòñÿ è ê âûíåñåíèþ ïîêàçàòåëÿ ñòåïåíè âûðàæåíèÿ, ñòîÿùåãî â îñíîâàíèè ëîãàðèôìà: p log aq ( x) f p (x) = log a( x) f (x) . q Ïðèìåð 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå log5 (-x) = log

5

(x + 2) .

Ðåøåíèå. Èñïîëüçóÿ àëãîðèòì ðåøåíèÿ, ïîëó÷èì: ìï-x > 0, ïï log5 (-x) = log 5 (x + 2)  ïíx + 2 > 0,  ïï ïïîlog5 (-x) = 2log5 (x + 2) ìï-2 < x < 0, ìï-2 < x < 0,  ïí  ïí 2  2 ïï-x = (x + 2) ïïx + 5x + 4 = 0 î î

Îòâåò: –1.

2 < x < 0, ïìïï ï  íé x = -4,  x = -1 . ïïê ïïîêë x = -1

Ïðèìåð 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå æ æ 12 ö÷ 13 ÷ö 2log2 ççç1 ÷÷ = 3log2 çç2 + ÷ + 12 . è è 2x + 7 ø x - 3 ÷ø

Ðåøåíèå. Ïðåîáðàçóåì âûðàæåíèÿ, ñòîÿùèå ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà. æ æ 12 ö÷ 13 ÷ö 2log2 ççç1 ÷÷ = 3log2 çç2 + ÷ + 12  è è 2x + 7 ø x - 3 ÷ø æ 2x - 6 ÷ö æ 2x + 7 ÷ö  2log2 ççç ÷ = 3log2 çç ÷ + 12 . è x - 3 ÷ø è 2x + 7 ÷ø Çàìåòèì äàëåå, ÷òî

æ 2x + 7 ÷ö-1 2x - 6 = 2 ⋅ çç ÷ , ïîëó÷èì, ÷òî è x - 3 ÷ø 2x + 7

æ 2x - 6 ÷ö æ 2x + 7 ÷ö 2log2 ççç ÷ = 3log2 çç ÷ + 12  ÷ è x - 3 ÷ø è 2x + 7 ø æ æ 2x + 7 ÷ö 2x + 7 ÷ö  2çç1 - log2 ÷÷ = 3log2 çç ÷ + 12 . è è x - 3 ø÷ x -3 ø

Óðàâíåíèå ïðèâîäèòñÿ ê ïåðâîìó òèïó ïðîñòåéøèõ óðàâíåíèé è ïîýòîìó íå òðåáóåò óêàçàíèÿ îãðàíè÷åíèé. 255


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

æ æ 2x + 7 ÷ö 2x + 7 ÷ö 2çç1 - log2 ÷÷ = 3log2 çç ÷ + 12  è è x - 3 ø÷ x -3 ø 2x + 7 2x + 7 = -10  log2 = -2  x -3 x -3 2x + 7 1 7x - 31 31 .  =  =0 x= x -3 4 4(x - 3) 7

 5log2

Îòâåò:

31 . 7

x2 + log 6 (x + 10) = 1 . 16 Ðåøåíèå. Âûíåñåíèå ÷åòíîãî ïîêàçàòåëÿ ñòåïåíè âûðàæåíèÿ, ñòîÿùåãî ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà, ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ ìîäóëÿ ýòîãî âûðàæåíèÿ.

Ïðèìåð 6. Ðåøèòå óðàâíåíèå log 36

log 36

x x2 2 + log 6 (x + 10) = 1  log 6 + log 6 (x + 10) = 1  2 4 16 ìï x > 0, ìïx ¹ 0, ïï ïï ïïx + 10 > 0, ïx > -10, í  ïí ïï ïï x (x + 10) x (x + 10) ïïlog 6 = 6. = 1 ïï ïî 4 4 îï

Ðàçëîæèì ïîëó÷åííóþ ñèñòåìó â ñîâîêóïíîñòü äâóõ ñèñòåì. éïì-10 < x < 0, éì10 < x < 0, êï êïïí êï-x(x + 10) = 24, êêíïx2 + 10x + 24 = 0, ï êïî  êî  ê êïìx > 0, ìx > 0, êï ï ï ê êí êíïx2 + 10x - 24 = 0 ïx(x + 10) = 24 êï ëêïî ëî éïì-10 < x < 0, êïï êïé x = -4, êíïê é x = -6, êïïê x = -6, ê êïîë ê  êê x = -4, êìïx > 0, ê x = 2. êï êë êïïé x = -12, êíïê êïê x = 2 êëïïîë Îòâåò: –6; –4; 2. 256


ÃËÀÂÀ 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

3.3. Ðåøåíèå óðàâíåíèé, ñîäåðæàùèõ ïåðåìåííóþ â îñíîâàíèè ëîãàðèôìà Åñëè îñíîâàíèå ëîãàðèôìà åñòü ôóíêöèÿ a = a(x), çàâèñÿùàÿ îò ïåðåìåííîé, òî â ñèñòåìó îãðàíè÷åíèé äîáàâëÿþòñÿ åùå äâà: ìïa(x) > 0, ïí ïïîa(x) ¹ 1. Ïðèìåð 7. Ðåøèòå óðàâíåíèå log2x+3 (x - 2)2 = log x 1 (x - 2)2 . + 6 2

x 1 x +3 Ðåøåíèå. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî , ïîëó÷èì, ÷òî + = 6 2 6 log2x+3 (x - 2)2 = log x

2 1 (x - 2) 6 2 +

ìï2x + 3 > 0, ïï ïï2x + 3 ¹ 1, ïï ïïx + 3 > 0, ïï ïï x + 3 ¹ 1,  ïí 6  ïï 2 ïï(x - 2) > 0, ïï ïï log2 (x - 2)2 log2 (x - 2)2 = ïï ïï log2 (2x + 3) log æç x + 3 ö÷ 2ç ïïî è 6 ø÷÷ ìï 3 ïïx > - , ìï 3 ïïx > - , ïï 2 ïï 2 ïïx ¹ 3, ïïïx ¹ 3, ïïï ïï ïx ¹ -1,  ïíx ¹ 2,  ïíx ¹ -1,  ïï ïïx ¹ 2, ïïé ïï 2 ïïêlog2 (x - 2) = 0, ïïé x - 2 = 1, ïïê ïê ïïêlog (2x + 3) = log æç x + 3 ö÷ ïïïê6(2x + 3) = x + 3 ÷ 2ç ïïê 2 è 6 ø÷ ïîë ïîë é x = 1, ê ê 15 êx = - . êë 11

Ïðèìå÷àíèå. Ïîÿâëåíèå ìîäóëÿ â ïåðâîì óðàâíåíèè ñîâîêóïíîñòè îáóñëîâëåíî òåì, ÷òî âûíîñèëñÿ ÷åòíûé ïî257


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

êàçàòåëü ñòåïåíè âûðàæåíèÿ, ñòîÿùåãî ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà. 15 Îòâåò: 1; - . 11 Ïðèìåð 8. Ðåøèòå óðàâíåíèå 33 +

(

)

8 = 3log 4 4 3 x2 . log x 2

Ðåøåíèå. Óêàçàâ ñíà÷àëà îãðàíè÷åíèÿ íà ïåðåìåííóþ, âõîäÿùóþ â óðàâíåíèå, ïîëó÷èì, ÷òî 33 +

(

)

8 = 3log 4 4 3 x2  log x 2

ïìïx > 0, ïï x ¹ 1,  ïí ïï ö÷ 3æ 2 ç ïïï 33 + 8 log2 x = 2 çè2 + 3 log2 xø÷÷. î Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè âûðàæåíèÿ, ñòîÿùåãî ïîä êîðíåì, 1 ìû èñïîëüçîâàëè ôîðìóëó ïåðåõîäà = log a b , a > 0, log ba a ¹1 , b > 0, b ¹1 .

Èñõîäíîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå, ñîäåðæàùåé äâà îãðàíè÷åíèÿ è ïðîñòåéøåå èððàöèîíàëüíîå óðàâíåíèå. ïìïx > 0, ïï ïx ¹ 1,  í ïï ö÷ 3æ 2 ç ïïï 33 + 8 log2 x = 2 çè2 + 3 log2 xø÷÷ î ïìïx > 0, ï  ïíx ¹ 1,  ïï ïï 33 + 8 log x = 3 + log x 2 2 ïî ìïlog x > -3, ïï 2 ï   íx ¹ 1, ïï ïï33 + 8 log x = 9 + 6log x + log 2 x 2 2 2 ïî

258


ÃËÀÂÀ 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

ì ïïìlog2 x > -3, ïïïlog2 x > -3, ï ï  íx ¹ -1,  íïélog2 x = 6,  ïï ïê ïïlog 2 x - 2log x - 24 = 0 ïïïëêlog2 x = -4 î 2 ïî 2  log2 x = 6  x = 64 .

Îòâåò: 64. Ïðèìåð 9. Ðåøèòå óðàâíåíèå log 81 (15 - 7x) ⋅ log 3-x 9 = 1 .

Ðåøåíèå. Èñïîëüçóåì ôîðìóëó ïåðåõîäà ê íîâîìó îñíîâàíèþ, çàïèñàííóþ ñëåäóþùèì îáðàçîì log a b ⋅ log b c = log a c , a, b, c > 0, a ¹1 , b ¹1 .

Èìååì:

1 log 81 (15 - 7x) ⋅ log 3-x 9 = 1  2log 3-x 3 ⋅ log3 (15 - 7x) = 1  4  log 3-x (15 - 7x) = 2 .

Äàëåå ïîëó÷èì, ÷òî óðàâíåíèå áóäåò ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå: ìï3 - x > 0, ïï ï log 3-x (15 - 7x) = 2  í3 - x ¹ 1,  ïï 2 ïï15 - 7x = (3 - x) ïî ìïx < 3, ïìïx < 3, ïïï ïï ïx ¹ 2,  íx ¹ 2, ï  x = -3 . í ï ïé x = -3, ï ï 2 ê ï ï ïîïx + x - 6 = 0 ïïêë x = 2 ïî Îòâåò: –3. Ïðèìåð 10. Ðåøèòå óðàâíåíèå log 3x+7 (9 + 12x + 4x2 ) + log2x+3 (6x2 + 23x + 21) = 4 .

Ðåøåíèå. Çàìåòèì, ÷òî 9 + 12x + 4x2 = (2x + 3)2 , à 6x2 + 23x + 21 = (2x + 3)(3x + 7) . 259


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Âûáèðàÿ â êà÷åñòâå îñíîâàíèÿ îäíî èç âûðàæåíèé, ïîëó÷èì, ÷òî äàííîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå ìï2x + 3 > 0, ïï ïï2x + 3 ¹ 1, ïï ïï3x + 7 > 0,  í ïï3x + 7 ¹ 1, ïï log 3x+7 (2x + 3) + 1 ïï =4 ïï2log 3x+7 (2x + 3) + log 3x+7 (2x + 3) ïî ìï 3 ïïx > - , ïï 2  ïíx ¹ -1,  ïï 2 ïï2log 3 x +7 (2x + 3) - 3log 3 x +7 (2x + 3) + 1 = 0 ïï î ìï 3 ìï 3 ïx > - , ï ïï ïïïx > - 2 , 2 ïïx ¹ -1, ïïïx ¹ -1, ï   í í ï ïïéêlog 3x+7 (2x + 3) = 1, ïïé x x + = + 2 3 3 7, ï ï ê 1 ïïêê ï ê ï ïê2x + 3 = 3x + 7 log (2x + 3) = ïïîïêë 3x+7 2 ïîë ìï 3 ì 3 ï ïïx > - , ïïx > - , ï 2 ï ïï 2 ïï ïx ¹ -1, 1 x ¹ -1, ï í  íï  x =- . ï ïé x = 2, 4 ïïé x = -4, ïïê ïïê ïïê 1 ïê4x2 + 9x + 2 = 0 ïïê x = ï îëê 4 ïîëê 1 Îòâåò: - . 4

3.4. Ðåøåíèå óðàâíåíèé ñ ïðèìåíåíèåì ðàçëè÷íûõ ñâîéñòâ ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè Ïðèìåð 11. Ðåøèòå óðàâíåíèå log2 (1 + x2 ) = log2 x + 2x - x2 . 260


ÃËÀÂÀ 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

Ðåøåíèå.

ìïx > 0, ïï 2 log2 (1 + x2 ) = log2 x + 2x - x2  í ïïlog2 1 + x = 1 - (x -1)2 . ïïî x

1 + x2 1 = x + , à òàê êàê x x æ 1ö 1 x > 0 , òî x + ³ 2 è log2 ççx + ÷÷÷ ³ 1 . Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ðàè xø x âåíñòâî äîñòèãàåòñÿ ïðè x = 1.  ñâîþ î÷åðåäü, ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ 1 - (x -1)2 £ 1 , ïðè÷åì ðàâåíñòâî äîñòèãàåòñÿ ëèøü ïðè x = 1. Ñëåäîâàòåëüíî, x = 1 — åäèíñòâåííîå ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ. Îòâåò: 1.

Ïðèìåíèì íåðàâåíñòâî Åâêëèäà:

Ïðèìåð

12.

Ðåøèòå

óðàâíåíèå

log12 ( 2x + 4 2x )=

1 = log 9 (2x) . 2

Ðåøåíèå.

1 log12 ( 2x + 4 2x )= log 9 (2x)  2 ïìïx > 0,  ïí  1 ïïlog12 ( 2x + 4 2x )= log 3 (2x) ïî 4 ìïx > 0,  ïí ïïlog12 ( 2x + 4 2x )= log 3 4 2x . ïî 1 Çàìåòèì, ÷òî x = ðåøåíèåì äàííîãî óðàâíåíèÿ íå ÿâ2 ëÿåòñÿ, ïîýòîìó óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå: log12 ( 2x + 4 2x ) ln ( 2x + 4 2x ) 1 = 1  ⋅ =1 . log 3 12 log 3 4 2x ln 4 2x

Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (t) =

ln(t2 + t) ln t + ln(t + 1) ln(t + 1) . = =1+ ln t ln t ln t 261


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Íàéäåì åå ïðîèçâîäíóþ. 1 1 ln t - ln(t + 1) t ln t - (t + 1)ln(t + 1) t . f ¢(t) = t + 1 = 2 ln t t(t + 1)ln2 t Òàê êàê ôóíêöèÿ y = ln t , t > 0 ìîíîòîííî âîçðàñòàåò, òî ÷èñëèòåëü äðîáè îòðèöàòåëåí. Ïîýòîìó ïðîèçâîäíàÿ ôóíêöèè f (t) îòðèöàòåëüíà. Ôóíêöèÿ óáûâàåò ïðè t > 0 è êàæäîå ñâîå çíà÷åíèå ïðèíèìàåò ëèøü ïðè åäèíñòâåííîì çíà÷åíèè àðãóìåíòà. 1 Óðàâíåíèå çàïèøåòñÿ â âèäå f (4 2x )= 1 . Îñòàëîñü log 3 12 çàìåòèòü, ÷òî 4 2x = 3 . Îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî åäèíñòâåííûì 81 . ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ x = 2 81 . Îòâåò: 2 Ïðèìåð 13. Íàéäèòå ìíîæåñòâî çíà÷åíèé ôóíêöèè æ ÷÷ö 24 ç y = log 0,5 çç ÷. ççè11 + 1 + ln x ÷÷ø Ðåøåíèå. Ïóñòü y0 — îäíî èç çíà÷åíèé äàííîé ôóíêöèè. Òîãäà íàéäåòñÿ òàêîå ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à, ÷òî áóäåò âûïîëíåíî ðàâåíñòâî æ1ö y0 = log 0,5 çç ÷÷÷ , a > 0 . èaø Òàêèì îáðàçîì, äîñòàòî÷íî íàéòè âñå ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâíåíèå æ ö 24 ç ÷÷÷ = log æç 1 ÷ö÷ log 0,5 çç 0,5 ç ÷ çèç11 + 1 + ln x ÷ø÷ èaø èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå. æ 24 ç log 0,5 çç çèç11 + 1 + ln x 

ö ÷÷÷ = log æç 1 ÷ö÷  0,5 ç ÷ èaø ÷ø÷

24 11 + 1 + ln x

=

1  a

 1 + ln x = 24a -11 . 262


ÃËÀÂÀ 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

Äëÿ òîãî ÷òîáû óðàâíåíèå èìåëî õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå, äîñòàòî÷íî, ÷òîáû åãî ïðàâàÿ ÷àñòü áûëà ÷èñëîì, íå ìåíüøèì åäèíèöû, ò.å. ÷òîáû âûïîëíÿëîñü íåðàâåíñòâî 1 . 2 Ñëåäîâàòåëüíî, ëþáîå çíà÷åíèå èñõîäíîé ôóíêöèè áóæ1ö ïìï ïïy0 = log 0,5 ççè ø÷÷÷, ïìïy0 = log2 a, a ò.å. äåò óäîâëåòâîðÿòü ñèñòåìå ïí  ïí ïï ïïa ³ 1 1 ïïa ³ ïî 2 æ1 ö 2 ïî y0 ³ log2 çç ÷÷÷  y0 ³-1 . è2ø Îòâåò: [-1; +¥) . 24a -11 ³ 1  24a ³ 12  a ³

Ïðèìåð 14. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñóììà log a (2x -1) è log a (2x - 7) ðàâíà åäèíèöå ðîâíî ïðè îäíîì çíà÷åíèè õ. Ðåøåíèå. Óñëîâèå çàäà÷è ñâîäèòñÿ ê îòûñêàíèþ âñåõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ óðàâíåíèå log a (2x -1) + log a (2x - 7) = 1

áóäåò èìåòü åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. log a (2x -1) + log a (2x - 7) = 1  ìïa > 0, ïìïa > 0, ïï ï ïïa ¹ 1, ïïïa ¹ 1, ï  í2x > 7, í x ï ïï 2 > 7, ï ï ïï 2 ï x 2x ï ï 2x - 4) = a + 9. 2 8 2 7 a ⋅ + = îï ïîï(

Òàê êàê ïðè äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ, âõîäÿùåãî â ñèñòåìó, ïîëîæèòåëüíà, òî, ðàçðåøàÿ åãî, ïîëó÷èì ïìïa > 0, ïï ïïa ¹ 1, ïï x í2 > 7, ïï x ïïé2 = 4 + a + 9, ïïêê ïïê2x = 4 - a + 9. îë

263


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Âòîðîå ðåøåíèå ñîâîêóïíîñòè íå óäîâëåòâîðÿåò îãðàíè÷åíèÿì ñèñòåìû. Ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèåì çàäà÷è áóäóò ñëóæèòü òå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðûõ 4 + a + 9 > 7  a + 9 > 3 , ò.å., ñ ó÷åòîì îãðàíè÷åíèé, âñå é0 < a < 1, äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà ê êa > 1. ë Îòâåò: (0;1)  (1; +¥) . Ïðèìåð 15. Ðåøèòå óðàâíåíèå log2x+3 (x - 2)2 = log 1 6

(2 x +3)

(x - 2)2 .

Ðåøåíèå. Òàê êàê âûðàæåíèÿ, ñòîÿùèå ïîä çíàêàìè ëîãàðèôìà, îäèíàêîâû, òî çàìåíèì óðàâíåíèå ñëåäóþùåé ðàâíîñèëüíîé ñèñòåìîé: log2x+3 (x - 2)2 = log 1 6

(2 x +3)

(x - 2)2 

ïìï2x + 3 > 0, ïï ïï2x + 3 ¹ 1, ïï2x + 3 ¹ 6, ïï ïï 2 x - 2) > 0,  ïí( ïïé 2 ïïê( x - x) = 1, ïïê 1 1 ïê = ï ê log ï 1 (2x + 3) log ï ê (2x + 3) (x-2)2 ï (x-2)2 6 ïê ï îë Âòîðîå óðàâíåíèå, î÷åâèäíî, â óñëîâèÿõ ñèñòåìû ðåøåíèé íå èìååò. Ñëåäîâàòåëüíî, log2x+3 (x - 2)2 = log 1 6

(2 x +3)

(x - 2)2 

ïìï2x + 3 > 0, ïï é x = 1, ï2x + 3 ¹ 1,  ïí ê ê x = 3. ïï2x + 3 ¹ 6, ë ïï 2 ïïî(x - 2) = 1

Îòâåò: 1; 3. 264


ÃËÀÂÀ 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

Óïðàæíåíèå 1. 1. Óêàæèòå ìíîæåñòâî, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ log2 (x + 1) = 1 + 2log2 x . æ 1 1ö é1 ù 1) çç- ; ÷÷÷ ; 2) ê ;1ú ; 3) (1;2) ; 4) [2;3] . è 2 2ø êë 2 úû Îòâåò: 2). 2. Êàêîìó ïðîìåæóòêó ïðèíàäëåæèò êîðåíü óðàâíåíèÿ log5 x = log5 6 + log5 3 ?

1) (2;6) ; 2) (6;10) ; 3) (13;17) ; 4) (17;21) . Îòâåò: 4). 3. Êàêîìó ïðîìåæóòêó ïðèíàäëåæèò êîðåíü óðàâíåíèÿ log7 x + log7 6 = log7 18 ?

1) (16;20) ; 2) (10;14) ; 3) (1;5) ; 4) (22;26) . Îòâåò: 3). 4. Óêàæèòå ïðîìåæóòîê, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò êîðåíü óðàâíåíèÿ lg(x + 7) - lg(x + 5) = 1 . 1) (-¥;-7) ; 2) (-7;-5) ; 3) (-5;-3) ; 4) (-3;-1) . Îòâåò: 3). 5. Óêàæèòå ïðîìåæóòîê, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò êîðåíü óðàâíåíèÿ 1 - log5 (x + 3) = log5 2 . 1) (-¥;-4) ; 2) (-4;0) ; 3) (0;3) ; 4) (3; +¥) . Îòâåò: 3). Óïðàæíåíèå 2. 1. Íàéäèòå ïðîèçâåäåíèå êîðíåé óðàâíåíèÿ log x 2 + + log 4 x 4 = 1 . 1) 1; 2) 2; 3) 3; 4) 6; 5) 8. Îòâåò: 2). 2. Íàéäèòå îòíîøåíèå áîëüøåãî êîðíÿ óðàâíåíèÿ æ x2 ö log20,5 4x + log2 ççç ÷÷÷ = 8 ê ìåíüøåìó êîðíþ. çè 8 ø÷ 1) 4; 2) 8; 3) 32; 4) 128; 5) 256. 265


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Îòâåò: 5). 3. Íàéäèòå ñóììó êâàäðàòîâ êîðíåé óðàâíåíèÿ log 4 log3 log2 (x2 -1) = 0 .

1) 2; 2) 5; 3) 13; 4) 18; 5) 10. Îòâåò: 4). 4. Íàéäèòå ñóììó êîðíåé óðàâíåíèÿ lg(x -1) + lg(x + 1) = 3lg 2 + lg(x - 2) .

1) 0; 2) 2; 3) 8; 4) 11; 5) 7. Îòâåò: 3). Óïðàæíåíèå 3.

æ æ 3 ÷ö 1 ÷ö 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå 3log 6 ççç3 ÷÷ - 3 = 4log 6 ççç2 + ÷. è ø è 2x + 3 x + 1÷ø Îòâåò: –2. æ æ 6 ö÷ 3 ö÷ 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå 4log2 çç2 + ÷÷ - 8 = 3log2 çç2 ÷. è è 2x - 5 ø x -1ø÷ Îòâåò: 4. æ æ 3 ö÷ 1 ö÷ 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå 4log 6 ççç3 ÷ = 5log 6 ççç2 + ÷ + 4. è è 2x + 3 ø÷ x + 1ø÷ Îòâåò: –2. 8 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå 105 = 3log2 (0,5x 3 x ). log x 2 Îòâåò: 8. æ 4 æ 2 ö0,4 ö÷ 24 ç 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå 9 = 5log 4 çç2 5 ⋅ çç ÷÷÷ ÷÷÷ . è x ø ø÷ çè log x 4 1 Îòâåò: . 64

§ 4. Ðåøåíèå ëîãàðèôìè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ 4.1. Ðåøåíèå ïðîñòåéøèõ ëîãàðèôìè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ Íàïîìíèì ôîðìóëèðîâêó îñíîâíîé òåîðåìû. Òåîðåìà. Äëÿ ëþáîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà a > 0, a ¹1 ñðàâíåíèå ìïf (x) > 0, ïï log a f (x)  log a g(x)  ïíg(x) > 0, ïï ïï(a -1) (f (x) - g(x))  0. î 266


ÃËÀÂÀ 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

Ïðèìåð 1. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log 1 (5x -1) ³-2 . Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì òåîðåìó.

2

log 1 (5x -1) ³-2  2

ìï5x -1 > 0, ïï  ïíæ 1 öçæ  æ 1 ö-2 ö ïïçç -1÷÷çç5x -1 - çç ÷÷ ÷÷÷ ³ 0 ÷ ÷ è ø è ø ÷ ïï 2 çè 2 ø î ìï 1 ïïx > , 1 í 5  < x £1 . ïï 5 x 5 5 £ ïî Îòâåò: (0,2;1] .

Ïðèìåð 2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log2 (x2 - 3x) ³ 2 . Ðåøåíèå.

ìïx2 - 3x > 0, ï  log2 (x2 - 3x) ³ 2  í ïï(2 -1)(x2 - 3x - 4) ³ 0 ïî é x ³ 4,  x2 - 3x - 4 ³ 0  ê ê x £-1. ë Ïðè ðåøåíèè ìû âîñïîëüçîâàëèñü äîêàçàííîé òåîðåìîé è òåì, ÷òî åñëè ïðè èñêîìûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé âûðàæåíèå íå ìåíüøå 4, òî îíî áîëüøå 0. Îòâåò: (-¥;-1]  [4; +¥) .

Ïðèìåð 3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log2 x < log 1 (3x -1) - 2 . 2

Ðåøåíèå. Òàê êàê â íåðàâåíñòâî âõîäÿò äâà âûðàæåíèÿ, ñòîÿùèå ïîä çíàêàìè ëîãàðèôìà, òî ïðèìåíèì òîò æå àëãîðèòì, ÷òî è ïðè ðåøåíèè ïîäîáíûõ óðàâíåíèé. log2 x < log 1 (3x -1) - 2  2

ìïx > 0, ïï  ïí3x -1 > 0,  ï ï ï ï î2 + log2 x + log2 (3x -1) < 0 ìï 1 ïìïx > 1 , ïïx > , ï 3 í í  3 ïï ïï 4 (3 1) 1 0 < x x log 4 (3 1) log 1 ⋅ < x x ( ) ïî 2 îï 2

267


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ì 1 ìï 1 ïïïx > , ïx > , 1 1 3 3  íï  íï  <x< . ïï ï 1 1 3 2 2 ïïî12x - 4x -1 < 0 ïïï- < x < 2 ïî 6 æ1 1ö Îòâåò: çç ; ÷÷÷ . è 3 2ø

Ïî ñëåäñòâèþ èç òåîðåìû ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííûõ ðàçíîñòü log a f (x) - log a g(x) èìååò òîò æå çíàê, ÷òî è (a -1) (f (x) - g(x)) . Äàííîå ñëåäñòâèå ïîìîãàåò î÷åíü áûñòðî ðàöèîíàëèçèðîâàòü ëîãàðèôìè÷åñêèå âûðàæåíèÿ, âõîäÿùèå â íåðàâåíñòâî. 1 1 + >2. log 3 x + 1 1 - log 3 x Ðåøåíèå. Çàïèøåì íåðàâåíñòâî â êàíîíè÷åñêîì âèäå è ïðèìåíèì ñëåäñòâèå èç îñíîâíîé òåîðåìû. 1 1 + >2  log 3 x + 1 1 - log 3 x

Ïðèìåð 4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî

1 - log 3 x + 1 + log 3 x - 2(1 - log23 x)  >0  (1 + log3 x)(1 - log3 x) 

2log23 x >0  (1 + log3 x)(1 - log3 x) 2

(log3 x - log3 1)

æ 1ö (log3 3 - log3 x)ççlog3 x - log3 ÷÷÷

>0 

è

3ø é 1 ê < x < 1, (x -1)2  > 0  ê3 æ 1ö ê (3 - x) ççx - ÷÷÷ ëê1 < x < 3. è 3ø −

+ 1 3

æ1 ö Îòâåò: çç ;1÷÷÷  (1;3) . è3 ø 268

+ 1

− 3

x


ÃËÀÂÀ 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

Ïðèìåð 5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log 3 log 1 (5 - x ) < 1 . 2

Ðåøåíèå. Òèïè÷íûé ïðèìåð òàê íàçûâàåìîé ìàòðåøêè, ò.å. êîãäà âûðàæåíèå ñòîèò ñðàçó ïîä íåñêîëüêèìè çíàêàìè ëîãàðèôìîâ.  ýòîì ñëó÷àå ñèñòåìà ñîäåðæèò îãðàíè÷åíèÿ íà êàæäîå âûðàæåíèå, ñòîÿùåå ïîä êàæäûì çíàêîì ëîãàðèôìà. ìï5 - x > 0, ïï ïïlog 1 (5 - x )> 0, ï log 3 log 1 (5 - x ) < 1  íï 2  ïï æ ö 2 ïïlog ççlog 1 (5 - x )÷÷÷ < log 3 3 ïïï 3 ççè 2 ÷÷ø î ìï5 - x > 0, ïï ïïæ 1 ö ïïçç -1÷÷÷(5 - x -1)> 0,  ïíè 2 ø ïï æ ö÷ ïï ç ïï(3 -1) ççlog 1 (5 - x - 3)÷÷÷ < 0. ïïî èç 2 ø÷ Ïðè ïðåîáðàçîâàíèè ïîäîáíûõ ñèñòåì íà òîì èëè èíîì øàãå íåêîòîðûå íåðàâåíñòâà ñòàíîâÿòñÿ èçáûòî÷íûìè è ìîãóò áûòü èñêëþ÷åíû. ìï4 < x < 5, ïïì4 < x < 5, ï ïï ï  ílog 5 - x - log 1 < 0  íæ 1 ÷öæ 1ö ) ï ïç -1÷÷çç5 - x - ÷÷÷ < 0 1 ç ïï 1 ( ï 8 ïïîè 2 øè 8ø 2 ïî 2 é 7 ìï4 < x < 5, ê-4 < x <-4, ïï 7 ê 8 í  4< x <4  ê ïï x < 4 7 7 8 ê ê4 < x < 4 . 8 îï 8 ë æ 7 ö æ 7ö Îòâåò: çç-4 ;-4÷÷÷  çç4;4 ÷÷÷ . è 8 ø è 8ø

4.2. Ðåøåíèå ëîãàðèôìè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ ñ ïåðåìåííûì îñíîâàíèåì Ïðè ðåøåíèè ïîäîáíîãî ðîäà íåðàâåíñòâ íàäî ó÷èòûâàòü, ÷òî îñíîâàíèåì ëîãàðèôìà ìîæåò áûòü òîëüêî âûðàæåíèå, ïðèíèìàþùåå ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ, íå ðàâíûå åäèíèöå. 269


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïîýòîìó îñíîâíàÿ òåîðåìà ïîëó÷àåò äîïîëíèòåëüíûå îãðàíè÷åíèÿ. log a( x) f (x)  log a( x) g(x)  ìïa(x) > 0, ïï ïïa(x) ¹ 1, ïï  íïf (x) > 0, ïï ïïg(x) > 0, ïï ïïî(a(x) -1) (f (x) - g(x))  0.

Ïðèìåð 6. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log x-2 (x + 2) < 1 . Ðåøåíèå. Òàê êàê îñíîâàíèå ëîãàðèôìà — ïåðåìåííîå âûðàæåíèå, òî ïîëó÷èì ðàñøèðåííóþ ñèñòåìó. log x-2 (x + 2) < 1  log x-2 (x + 2) < log x-2 (x - 2)  ìïx - 2 > 0, ïï  ïíx - 2 ¹ 1, ïï ïïî(x - 2 -1)(x + 2 - x + 2) < 0. Ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèé ñóùåñòâîâàíèÿ îñíîâàíèÿ ëîãàðèôìà, âûðàæåíèå, ñòîÿùåå ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà, ïðèíèìàåò òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ. ìïx > 2, ïï ïíx ¹ 3,  2 < x < 3 . ïï ïïîx < 3 Îòâåò: (2;3) . æ 3ö Ïðèìåð 7. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log2x-x2 ççx - ÷÷÷ > 0 . è 2ø

Ðåøåíèå. Çàïèøåì ñèñòåìó, ðàâíîñèëüíóþ èñõîäíîìó íåðàâåíñòâó. ìï2x - x2 > 0, ïï ïï 2 ïï2x - x ¹ 1, ï æ 3ö log2x-x2 ççx - ÷÷÷ > 0  ïíx - 3 > 0, è ø ïï 2 2 ïï ïï æ 3 ö (2x - x2 -1) ççx - -1÷÷÷ > 0. ïïîï è 2 ø 270


ÃËÀÂÀ 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

Ïåðâûé ìíîæèòåëü ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà ïðèíèìàåò òîëüêî îòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ, ïîýòîìó, ñîêðàòèâ íà íåãî, ïîëó÷èì ïìï0 < x < 2, ïï ïìï 3 < x < 2, ïïx > 3 , ïï 3  í2  < x <2 . í 2 ïï ïï 5 2 5 ö÷ ïïæç ïïx < < 0 x 2 ï î ÷ ïç ïïîçè 2 ø÷ æ3 ö Îòâåò: çç ;2÷÷÷ . è2 ø

Ïðèìåð 8. Íàéäèòå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñóììà âûðàæåíèé log a

( 1- x

2

)

+ 1 è log a

( 1- x

2

+7

)

áóäåò ìåíüøå åäèíèöû ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé õ. Ðåøåíèå. Ñîñòàâèì íåðàâåíñòâî, êîòîðîå äîëæíî áûòü âåðíûì ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé õ:

( 1- x +1)+ log ( 1- x + 7)<1 . ( 1- x +1)+ log ( 1- x + 7)<1  2

log a log a

2

a

2

2

a

ïìïa > 0, ïï ïïa ¹ 1,  ïí x £ 1, ïï ïï ïïlog a 1 - x2 + 1 ïî

(

)( 1- x

 2

)

+ 7 < log a 0

ìïa > 0, ïï ïïa ¹ 1, ï  ïí x £ 1, ïï 2 ïï ïï(a -1) 1 - x2 + 8 1 - x2 + 7 - a < 0. ïî Ñäåëàåì ñëåäóþùóþ çàìåíó ïåðåìåííîé. Òàê êàê x £1 , π π òî ïîëîæèì x = sin t , - £ t £ . 2 2

(

)

271


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïîëó÷èì ñèñòåìó ìïa > 0, ïï ï  ía ¹ 1, ïï ïï(a -1)(cos2t + 8 cos t + 7 - a) < 0 ïî éïìa > 1, êïí êï(cos t + 4)2 < a + 9, êï  êî êïì0 < a < 1, êïí êï(cos t + 4)2 > a + 9. ëêïî Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ëþáîì çíà÷åíèè a Î (0;1) íåðàâåíñòâî âòîðîé ñèñòåìû íå ìîæåò áûòü âåðíûì ïðè ëþáîì çíà÷åíèè 2 ïåðåìåííîé t, òàê êàê 9 < (cos t + 4) < 25 . Ñëåäîâàòåëüíî, îñòàþòñÿ òå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðûõ íåðàâåíñòâî ïåðâîé ñèñòåìû âåðíî. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ïðîèñõîäèò ïðè ëþáîì a ³16 . Îòâåò: [16; +¥) .

Ïðèìåð 9. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log2x (5x -1) ⋅ log 3x (7x -1) ³0 . log2 (15x2 + 2) - log2 11x Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ îñíîâíîé òåîðåìîé. Çàïèñàâ óñëîâèÿ ñóùåñòâîâàíèÿ êàæäîãî èç ñîìíîæèòåëåé, âõîäÿùèõ â íåðàâåíñòâî, çàìåíèì èõ ðàöèîíàëüíûìè âûðàæåíèÿìè, èìåþùèìè òå æå èíòåðâàëû çíàêîïîñòîÿíñòâà. log2x (5x -1) ⋅ log 3x (7x -1) ³0  log2 (15x2 + 2) - log2 11x ìï 1 ïïx > , ïï 5 ïï ïïx ¹ 1 , ï 2  ïí 1 ïï ïïx ¹ , 3 ïï ïï (2x -1)(5x - 2)(3x -1)(7x - 2) ³ 0. ïï 15x2 + 2 -11x ïî 272


ÃËÀÂÀ 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

Ðàñêëàäûâàÿ íà ìíîæèòåëè êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí, ñòîÿùèé â çíàìåíàòåëå, ïîëó÷èì, ÷òî äàííàÿ ñèñòåìà ðàâíîñèëüíà ñëåäóþùåé ñèñòåìå: ìï 1 é1 2 ê <x£ , ïïïx > 5 , ê5 7 ï í ê ïïï (2x -1)(5x - 2)(3x -1)(7x - 2) ³ 0 êê x > 1 . ïïî (3x -1)(5x - 2) 2 ë æ1 2 ù æ1 ö Îòâåò: çç ; ú  çç ; +¥÷÷÷ . è 5 7 úû è 2 ø

Ïðèìåð 10. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè æ 7ö êàæäîì èç êîòîðûõ íåðàâåíñòâî 1 + log2 çç2x2 + 2x + ÷÷÷ ³ è 2ø ³ log2 (ax2 + a) èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå. Ðåøåíèå. Çàïèøåì ñèñòåìó, ðàâíîñèëüíóþ äàííîìó íåðàâåíñòâó. æ 7ö 1 + log2 çç2x2 + 2x + ÷÷÷ ³ log2 (ax2 + a) è 2ø ïìa > 0,  ïí 2 2 ïîï4x + 4x + 7 > ax + a. Òàê êàê äèñêðèìèíàíò êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà, ñòîÿùåãî ïîä çíàêîì ëîãàðèôìà â ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà, îòðèöàòåëåí, à åãî ñòàðøèé êîýôôèöèåíò ïîëîæèòåëåí, òî ýòîò òðåõ÷ëåí ïðèíèìàåò òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Âûðàæåíèå ax2 + a = a(x2 + 1), ïîýòîìó äëÿ åãî ïîëîæèòåëüíîñòè äîñòàòî÷íî óêàçàòü, ÷òî a > 0. Òàêèì îáðàçîì, íåîáõîäèìî íàéòè ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ íåðàâåíñòâî, âõîäÿùåå â ñèñòåìó, èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå. ïìïa > 0,  í 2 ïï4x + 4x + 7 > ax2 + a î ìïa > 0,  ïí ïï(4 - a)x2 + 4x + 7 - a > 0. î Ðàññìîòðèì òðè ñëó÷àÿ. 273


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

1. Åñëè 0 < a < 4, òî íåðàâåíñòâî ñèñòåìû âñåãäà èìååò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé, ÷òî ñëåäóåò èç òîãî, ÷òî âåòâè ãðàôèêà y = (4 - a)x2 + 4x + 7 - a íàïðàâëåíû ââåðõ. 2. Åñëè a = 0, òî ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî 4x + 7 > 0, êîòîðîå òàêæå èìååò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðåøåíèé. 3. Åñëè a > 4, òî ïåðâûé êîýôôèöèåíò êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà y = (4 - a)x2 + 4x + 7 - a ñòàíîâèòñÿ îòðèöàòåëüíûì, è äëÿ òîãî ÷òîáû íåðàâåíñòâî èìåëî áû õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå, íåîáõîäèìî, ÷òîáû äèñêðèìèíàíò êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà ïðèíèìàë íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, èñêîìûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà çàäàþòñÿ ñèñòåìîé: ìïïa > 4, í ïïî4 - (4 - a)(7 - a) ³ 0. ïìa > 4, ïïìa > 4,  ïí 2  í ïîï4 - (4 - a)(7 - a) ³ 0 ïïa -11a + 24 £ 0 î ïìïa > 4, í  4<a£8 . ïïî3 £ a £ 8 Îáúåäèíÿÿ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïîëó÷èì, ÷òî óñëîâèþ çàäà÷è óäîâëåòâîðÿåò ëþáîå çíà÷åíèå a Î (0;8 ] . Îòâåò: (0;8 ] . Óïðàæíåíèå 1. 1. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log 1 (6 - 0,3x) > -1 . 9

1) (-10; +¥) ; 2) (-¥;-10) ; 3) (-10;-20) ; 4) (-0,1;20) . 2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log 0,2 (1 - 2,4x) > -2 . æ æ 5ö 5ö 1) (-10; +¥) ; 2) (-¥;-10) ; 3) çç-0,1; ÷÷÷ ; 4) çç-10; ÷÷÷ . è è 12 ø 12 ø 12x - 5 3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log 3 + log 1 x £ 0 . 8 -12x 3 æ 1ù æ 1 5 ö÷ é 5 1ù æ1 3 ù ç ç ç 1) ç0; ú ; 2) ç ; ÷÷ ; 3) ê ; ú ; 4) ç ; ú . è 3 ûú è 2 4 ûú è 3 12 ø ëê 12 2 ûú 4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log 3 (x2 + 6x + 8) + log 1 (x + 2) < log 3 7. 1) (-2;3) ; 2) [-2;3) ; 3) (-2;3] ; 4) [-2;3] . 274

3


ÃËÀÂÀ 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ

5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî log 3 (3 - 0,2x) < 2 . 1) (-30; +¥) ; 2) (-30;15) ; 3) (-¥;15) ; 4) (-¥;-30) . Âåðíûå îòâåòû: 1) 3; 2) 4; 3) 3; 4) 1; 5) 2. Óïðàæíåíèå 2. 1. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî

(log2 x -1)(x2 - 5x + 6)

Îòâåò: {2}  (3; +¥) . 2.

Ðåøèòå

íåðàâåíñòâî

³ 1 + 2log5 3 . Îòâåò: [3;45] .

(2x + 1)2 log 3

³0 .

3 ⋅ log5 x + log5 45 ⋅ log 3 x ³ x

æ 3 ÷ö 3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî: log x+1 çç ÷ ³-2 . è 6 - 2x ÷ø é1 ö Îòâåò: (-1;0)  ê ;1÷÷÷ . ëê 3 ø 4. Íàéäèòå ðåøåíèå íåðàâåíñòâà 1 1 log2-5x 3 + £ 2 log2 2 - 5x log2 (6x - 6x + 1) log2-5x 3 +

1 1 . £ 2 log2 2 - 5x log2 (6x - 6x + 1)

é 1 ö æ 1 3 - 3 ö÷ ÷. Îòâåò: ê- ;0÷÷÷  çç ; 6 ø÷÷ ëê 3 ø çè 5

5. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî (x - 2)(x - 3)log 3 (2x + 5) - (x + 1) ³ (x - 2)(x - 3) (x + 1) ³ log 3 (2x + 5) + . (x - 2)(x - 3) Îòâåò: [-2;-1]  (2;3) . Óïðàæíåíèå 3. 1. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à íåðàâåíñòâî æ 7ö 1 + log2 çç2x2 + 2x + ÷÷÷ ³ log2 (ax2 + a) è 2ø èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå? Îòâåò: (0;8 ] . 275


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

2. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à íåðàâåíñòâî log a(a+1) ( x + 4)> 1

âåðíî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé õ? æ1 - 17 -1 - 5 ÷ö æ -1 + 5 1 + 17 ÷ö ÷÷  çç ÷÷ . Îòâåò: ççç ; ; ÷ø èçç çè 2 2 2 2 ÷ø 3. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à íåðàâåíñòâî log a 5 + log 1 3

( ax

2

)

+ 2x + 6 + 1 ⋅ log a (ax2 + 2x + 7)£ 0

èìååò îäíî ðåøåíèå? Îòâåò: 0,5. 4. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ äëÿ ëþáûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà b íåðàâåíñòâî x 10a + 7b -11 2 x - 49b2 + 21b -1 £ log 4 16 5 16 10a + 7b -11 2 x + (14b - 2)x - 49b2 - 35b + 3 £ log4 x 5 èìååò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå. æ 3ù Îòâåò: çç-¥; ú . è 2 úû 5. Íàéäèòå âñå òðîéêè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë õ, ó, z, óäîâëåòâîðÿþùèõ íåðàâåíñòâó log2 (2x + 3y - 6z + 3) + log2 (3x - 5y + 2z - 2) + + log2 (2y + 4z - 5x + 2) > z2 - 9z + 17 .

Îòâåò: (5; 4; 4).


ÃËÀÂÀ 6 ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ § 1. Ïðîñòåéøèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ 1. Îáû÷íî ê ïðîñòåéøèì òðèãîíîìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèÿì îòíîñÿòñÿ óðàâíåíèÿ âèäà sin x = a , cos x = a , tgx = a , ctgx = a .

Ðåøåíèå òàêèõ óðàâíåíèé óäîáíî îôîðìèòü â âèäå òàáëèöû. Çíà÷åíèå ïàðàìåòðà

Óðàâíåíèå

Ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

a >1

sinx = a

Æ

a £1

sinx = a

é x = arcsin a + 2πk, ê  ê x = π - arcsin a + 2πk ë  x = (-1)n arcsin a + πn , k, nÎZ

a >1

cosx = a

Æ

a £1

cosx = a

é x = arccosa + 2πk, ê  ê x = -arccosa + 2πk ë  x = arccosa + 2πk , k Î Z

aÎR

tgx = a

x = arctga + πk , k Î Z

aÎR

ctgx = a

x = arcctga + πk , k Î Z

Çàïèñü ðåøåíèÿ ïåðâûõ äâóõ óðàâíåíèé â âèäå ñîâîêóïíîñòè áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíà â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà â óðàâíåíèè åñòü êàêèå-ëèáî îãðàíè÷åíèÿ, äîïîëíèòåëüíûå óñëîâèÿ, ÷òî ïîçâîëÿåò â ñëó÷àå ñëîæíûõ óðàâíåíèé ïðîèçâåñòè îòáîð 277


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ðåøåíèé, óäîâëåòâîðÿþùèõ èì.  äðóãèõ ñëó÷àÿõ, êîãäà íå òðåáóåòñÿ ïðîâîäèòü äàëüíåéøåå èññëåäîâàíèå ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ, ìîæíî èñïîëüçîâàòü îáúåäèíåííûå ôîðìóëû ðåøåíèÿ óðàâíåíèé. Ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî äëÿ îòäåëüíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà à, òàêèõ êàê 0 èëè ± 1, ïðîñòåéøèå óðàâíåíèÿ èìåþò áîëåå êîìïàêòíûå ôîðìóëû ðåøåíèé. π sin x = 1  x = + 2πk , k Î Z 2 π sin x = -1  x = - + 2πk , k Î Z 2 cosx = 1  x = 2πk , k Î Z cosx = -1  x = π + 2πk , k Î Z sin x = 0  x = πk , k Î Z π cosx = 0  x = + πk , k Î Z 2 Íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþùèåñÿ íåîòðèöàòåëüíûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, òàêèå, ÷òî 0 £ a £ 1 , è ñîîòâåòñòâóþùèå èì çíà÷åíèÿ óãëîâ, óäîáíî ñâåñòè â òàáëèöó. Çíà÷åíèå ïàðàìåòðà

a=0

arcsin a

0

π 6

π 4

π 3

π 2

arccos a

π 2

π 3

π 4

π 6

0

a=

1 2

a=

2 2

a=

3 2

a =1

Äëÿ çàïîìèíàíèÿ çíà÷åíèé, âõîäÿùèõ â ýòó òàáëèöó, ñóùåñòâóåò ïðîñòîé ìåòîä. Ïèøåì ïîäðÿä ÷èñëà: 0, 1, 2, 3, 4. Èçâëåêàåì êîðåíü êâàäðàòíûé: 0, 1 , 2 , 3 , 4 . 1 2 3 , , , 1. 2 2 2 Äëÿ îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà à, òàêèõ, ÷òî -1 £ a < 0 , èñïîëüçóþòñÿ òîæäåñòâà

Äåëèì ðåçóëüòàò ïîïîëàì: 0,

arcsin (-a) = - arcsin a è arccos (-a) = π - arccosa . 278


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Çíà÷åíèå ïàðàìåòðà

a=0

arctga

0

arcctga

π 2

a=

3 3

a =1

a= 3

π 6

π 4

π 3

π 3

π 4

π 6

Äëÿ îòðèöàòåëüíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà à èñïîëüçóþòñÿ òîæäåñòâà arctg (-a) = -arctga è arcctg (-a) = π - arcctga . 2. Ê ïðîñòåéøèì òðèãîíîìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèÿì áóäåì îòíîñèòü óðàâíåíèÿ âèäà sin2 x = a2 , cos2 x = a2 , tg2 x = a2 , ctg2 x = a2 . Ôîðìóëû ðåøåíèÿ ýòèõ óðàâíåíèé ïîëó÷àþòñÿ èç îáùèõ ôîðìóë ðåøåíèÿ è ìîãóò áûòü çàïèñàíû â âèäå: sin2 x = a2  x =  arcsin a + πk , cos2 x = a2  x =  arccos a + πk , k Î Z , åñëè a £1 , tg2 x = a2  x = arctga + πk , ctg2 x = a2  x = arcctga + πk , k Î Z .

3. Ê ïðîñòåéøèì òðèãîíîìåòðè÷åñêèì óðàâíåíèÿì ìîæíî òàêæå îòíåñòè óðàâíåíèÿ âèäà sin x = sin y , cos x = cos y , tgx = tgy , ctgx = ctgy . Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàçíîñòè â ïðîèçâåäåíèå, ïîëó÷èì, íàïðèìåð, ÷òî: 1. sin x = sin y  sin x - sin y = 0  x-y é = 0, êsin x-y x+y ê 2  2sin cos =0 ê  2 2 êcos x + y = 0 ê 2 ë éx-y = πk, ê é x - y = 2πk, ê k, n Î Z . ê 2 ê ê x + y = π + πn ëê x + y = π + 2πn, ê 2 2 ë Àíàëîãè÷íî 1. ïîëó÷èì: é x + y = 2πk, 2. cos x = cos y  ê k, n Î Z . ê x - y = 2πn, ë 279


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

é x - y = πk, ê 3. tgx = tgy  ê k, n Î Z . π ê x ¹ + πn, êë 2 é x - y = πk, 4. ctgx = ctgy  ê k, n Î Z . ê x ¹ πn, ë Î÷åâèäíî, ÷òî èç ïîëó÷åííûõ ôîðìóë íåìåäëåííî ñëåäóþò ðåøåíèÿ äðóãèõ ïðîñòåéøèõ óðàâíåíèé. 1 Ïðèìåð 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin x = - . 2

Ðåøåíèå. æ 1ö 1 sin x = -  x = (-1)n arcsin çç- ÷÷÷ + πn  è 2ø 2 n+1 π  x = (-1) + πn, n Î Z . 6 π Îòâåò: (-1)n+1 + πn. 6 Íàïîìíèì, ÷òî ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ãðóïïû À â ëèñòå îòâåòîâ óêàçûâàåòñÿ íå ñàì îòâåò, à íîìåð ïðàâèëüíîãî îòâåòà.

Ïðèìåð 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin x = Ðåøåíèå.

3 . 2

æ 3ö 3  x = (-1)n arcsin çç ÷÷÷ + πn  çè 2 ø÷ 2 π  x = (-1)n + πn, n Î Z . 3 n π Îòâåò: (-1) + πn, n Î Z. 3 Ïðèìåð 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå cos x = 1 . sin x =

Ðåøåíèå. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó, èìååì: cos x = 1  x = 2πk , k Î Z .

Îòâåò: 2πk, k Î Z. Ïðèìåð 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå tgx = –1. Óêàæèòå íàèáîëüøèé îòðèöàòåëüíûé êîðåíü (â ãðàäóñàõ). Ðåøåíèå.

π tgx = -1  x = arctg(-1) + πn  x = - + πn , n Î Z . 4

280


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Îòáèðàÿ íàèáîëüøåå îòðèöàòåëüíîå ðåøåíèå, ïîëó÷èì, π ÷òî x = - , èëè x = –45°. 4 Îòâåò: −45. 3 . 4 Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ôîðìóëó ðåøåíèÿ ïîäîáíûõ óðàâíåíèé. Ïîëó÷èì:

Ïðèìåð 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin2 2x =

3 π π + πn  x =  + , n Î Z. 2 6 2 π π Îòâåò:  + n, n Î Z. 6 2 2x =  arcsin

Ïðèìåð 6. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin 3x = sin x . Óêàæèòå íàèìåíüøåå ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå (â ãðàäóñàõ). Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ñîêðàùåííóþ ôîðìóëó ðåøåíèÿ ïîäîáíûõ óðàâíåíèé: é x = πn, é3x - x = 2πn, ê sin 3x = sin x  ê ê nÎZ . ê3x + x = π + 2πn ê x = π + π n, ë êë 4 2 Îòáèðàÿ ðåøåíèå, ïîëó÷èì, ÷òî x = 45°. Îòâåò: 45°. Ïðèìåð 7. Ðåøèòå óðàâíåíèå cos2x = sinx. Óêàæèòå íàèáîëüøåå îòðèöàòåëüíîå ðåøåíèå (â ãðàäóñàõ). Ðåøåíèå. Õîòÿ óðàâíåíèå ïðåäñòàâëÿåò ðàâåíñòâî ðàçíîèìåííûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, ïðèìåíåíèåì ôîðìóëû ïðèâåäåíèÿ îíî áåç òðóäà ïðèâîäèòñÿ ê âèäó, äîïóñêàþùåìó áûñòðîå ðåøåíèå: æπ ö cos2x = sin x  cos2x = cos çç - x÷÷  è2 ø π é π é ê2x + - x = 2πk, ê x = - + 2πk, ê 2 ê 2 k, n Î Z . ê ê ê x = π + 2π n, ê2x - π + x = 2πn ê ê 2 6 3 ë ë Íàèáîëüøåå îòðèöàòåëüíîå ðåøåíèå x = -90 . Îòâåò: −90°. 281


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Óïðàæíåíèå 1. 2 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin x = . 2 n π Îòâåò: (-1) + πn , n Î Z 4 1 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå cos x - = 0 . 2 π Îòâåò:  + 2πn , n Î Z 3 3 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå tgx + =0 . 3 π Îòâåò: - + πn , n Î Z 6 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå ctgx - 3 = 0 . π Îòâåò: + πn , n Î Z 6 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin2x = 0 . π Îòâåò: n , n Î Z 2 Îòâåòû: 1) 2; 2) 3; 3) 2; 4) 2; 5) 2. Óïðàæíåíèå 2. 1. Óêàæèòå íàèìåíüøåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ sin(9x -45)sin2x = 0 , óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ 0 < x < 135 . 1) 5°; 3) 3°; 2) 25°; 4) 15°. 2. Óêàæèòå íàèáîëüøåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ cos(6x -60) cos2x = 0 , óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ 0 < x < 60 . 1) 45°; 3) 55°; 2) 50°; 4) 57,5°. 3. Óêàæèòå ñóììó ðåøåíèé óðàâíåíèÿ tgx cos(3x + 60) = 0, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ 0 < x < 90 . 1) 10°; 3) 80°; 2) 40°; 4) 90°. 4. Óêàæèòå ðàçíîñòü ìåæäó íàèáîëüøèì è íàèìåíüøèì ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ sin 3x cos(x - 45) = 0 , óäîâëåòâîðÿþùèìè óñëîâèþ 90 < x < 180 . 1) 10°; 3) 25°; 2) 30°; 4) 15°. x 5. Óêàæèòå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ tg(2x - 60) cos = 0 , 2 óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèþ 270 < x < 360 . 1) 300°; 3) 330°; 2) 320°; 4) 357,5°. Îòâåòû: 1) 1; 2) 3; 3) 3; 4) 4; 5) 1. 282


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

§ 2. Ïðèåìû ðåøåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ðàçäåëåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé íà êëàññû, ðåøàåìûå òåì èëè èíûì ïðèåìîì, íîñèò àáñîëþòíî ïðèáëèçèòåëüíûé è èëëþñòðàòèâíûé õàðàêòåð. Îáû÷íî ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé ñîñòîèò â ïîñëåäîâàòåëüíîì ïðèìåíåíèè ïðèåìîâ, ñâîäÿùèõ èõ ê ñèñòåìàì èëè ñîâîêóïíîñòÿì ïðîñòåéøèõ óðàâíåíèé. Òàê êàê âûáîð ìåòîäà ðåøåíèÿ íåîäíîçíà÷åí, òî è çàïèñü ïîëó÷åííîãî ðåøåíèÿ ìîæåò áûòü ðàçëè÷íà, õîòÿ è áóäåò âûðàæàòü îäíè è òå æå ðåøåíèÿ â èõ ðàçëè÷íûõ êîìáèíàöèÿõ. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèé ïðèìåð, èëëþñòðèðóþùèé âûøåñêàçàííîå. Ïðèìåð 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin x + cos x = 1 . 1-é ñïîñîá. Äåëÿ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà 2 , ïîëó÷èì: 1 1 1 sin x + cos x = 1  sin x + cos x =  2 2 2 πö 1 π π æ  sin ççx + ÷÷ =  x + = (-1)k + πk  è 4ø 4 4 2 π π  x = - + (-1)k + πk , k Î Z . 4 4 2-é ñïîñîá. Îïÿòü ðàçäåëèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà 2 , íî ïðèìåíèì äðóãóþ ôîðìóëó ïðåîáðàçîâàíèÿ. 1 1 1 sin x + cos x = 1  sin x + cos x =  2 2 2 πö 1 π π æ  cos ççx - ÷÷ =  x - =  + 2πk  è 4ø 4 4 2 π π  x =  +2πk , k Î Z . 4 4 3-é ñïîñîá. Âîçâåäåì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ â êâàäðàò. Çàìåòèì, ÷òî òàêîå ïðåîáðàçîâàíèå íå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîñèëüíûì, è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ äîëæíà áûòü ïðîâåäåíà ïðîâåðêà. sin x + cos x = 1 ; sin2 x + 2sin x cos x + cos2 x = 1 ; 283


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

2sin x cos x = 0 ; sin2x = 0 ; π x= k , kÎZ . 2 Âûïîëíÿÿ ïðîâåðêó, ïîëó÷èì, ÷òî ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ π ÿâëÿþòñÿ 2πk; +2πk , k Î Z . 2 4-é ñïîñîá. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëû äâîéíîãî àðãóìåíòà è îñíîâíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî, çàïèøåì ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ ñëåäóþùèì îáðàçîì: sin x + cos x = 1  x x x x x x  2sin cos + cos2 - sin2 = cos2 + sin2  2 2 2 2 2 2 x é êsin = 0, x x ê 2 2 x  2sin cos - 2sin =0 ê  2 2 2 êcos x = sin x ê 2 2 ë éx é x = k 2 π , ê = πk, ê ê kÎZ .  ê2 ê π ê x = π + πk ê x = + 2πk, 2 ê2 4 ëê ë 5-é ñïîñîá. Âûïîëíèì îñíîâíóþ òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ ïîäñòàíîâêó, ò.å. âûðàçèì âõîäÿùèå â óðàâíåíèå ôóíêöèè ÷åðåç òàíãåíñ ïîëîâèííîãî àðãóìåíòà. x x 2tg 1 - tg2 2 + 2 =1  sin x + cos x = 1  2 x 2 x 1 + tg 1 + tg 2 2 é x êtg = 0, x x x ê  2tg + 1 - tg2 = 1 + tg2  ê 2  2 2 2 êtg x = 1 ê 2 ë éx é x = k 2 π , ê = πk, ê ê kÎZ .  ê2 ê π ê x = π + πk ê x = + 2πk, 2 ê2 4 ëê ë Òàêèì îáðàçîì, â ðåçóëüòàòå ïðèìåíåíèÿ ðàçëè÷íûõ ñïîñîáîâ ïðåîáðàçîâàíèÿ ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ ðåøåíèÿ ïðåä284


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

π +2πk , 2 π π π π k Î Z , ëèáî êàê - + (-1)k + πk , k Î Z , ëèáî êàê  + 2πk, 4 4 4 4 k Î Z . Îäíàêî, êîíå÷íî, âî âñåõ ñëó÷àÿõ ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ îäíè è òå æå çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà.

ñòàâëåíû òðåìÿ ñïîñîáàìè çàïèñè: ëèáî êàê 2πk;

2.1. Ðåøåíèå óðàâíåíèé ìåòîäîì ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè Ïðîñòåéøèì ïðèåìîì, ïîçâîëÿþùèì óïðîñòèòü òðèãîíîìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå è ñâåñòè åãî ê ðåøåíèþ ïðîñòåéøèõ, ÿâëÿåòñÿ ìåòîä ðàçëîæåíèÿ íà ìíîæèòåëè. Ïðèìåð 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå cos2 5x - cos5x = 0 . Ðåøåíèå. cos2 5x - cos5x = 0  cos5x (2cos5x -1) = 0  π é écos5x = 0, ê5x = + πk, ê ê 2 ê  1 ê êcos5x = ê5x =  π + 2πn êë 2 ê 3 ë π π é + k, êx = ê 10 5 k, n Î Z . ê ê x =  π + 2π n, ê 15 5 ë π π π 2π Îòâåò: + k ,  + n , k, n Î Z . 10 5 15 5

Ïðèìåð 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå 1 + sinx ⋅ cos2x = sinx + cos2x. Ðåøåíèå.

1 + sin x ⋅ cos2x = sin x + cos2x 

 1 - cos2x - sin x(1 - cos2x) = 0  ésin x = 1,  (1 - sin x)(1 - cos2x) = 0  ê  êcos2x = 1 ë π é ê x = + 2πk, k, n Î Z. ê 2 ê x = πn, êë π Îòâåò: +2πk , πn , k, n Î Z. 2

285


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå 2cos x cos2x = cos x . Ðåøåíèå. 2cos x cos2x = cos x  cos x(2cos2x -1) = 0  π é écos x = 0, ê x = + πk, ê ê 2 k, n Î Z . ê 1ê êcos2x = ê x =  π + πn, 2 ê ëê 6 ë π π Îòâåò: + πk ,  + πn , k, n Î Z. 2 6

Óïðàæíåíèå 1. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ. 1. tg5x = sin2 x ⋅ tg5x . 2. sin3 x - sin2 x = sin2 cos2 x . 3. sin2x cos2x - sin x cos x = 0 . 4. sin x cos 3x -1 = sin x - cos 3x . 5. sin 4x = 2cos2 x -1 . Îòâåòû: π 1) k , k Î Z. 5 π 2) πk ; +2πk , k Î Z. 2 π π 3)  + πk ; k , k Î Z. 6 2 π 2π 4) - +2πk ; k , k Î Z. 2 3 π π π π + n , k, n Î Z. 5) + k ; (-1)n 4 2 12 2

2.2. Ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ñâîäÿùèõñÿ ê ðåøåíèþ âñïîìîãàòåëüíîãî öåëîãî àëãåáðàè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ Íàèáîëåå ÷àñòî ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ âêëþ÷àåò ðåøåíèå ïðîìåæóòî÷íîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ, ê êîòîðîìó èñõîäíîå óðàâíåíèå ïðèâîäèòñÿ êàêîé-ëèáî çàìåíîé.  ýòîì ñëó÷àå ïîñëå ïîëó÷åíèÿ êîðíåé âñïîìîãàòåëüíîãî óðàâíåíèÿ íåîáõîäèìî íå çàáûâàòü î âîçìîæíîé îãðàíè÷åííîñòè îáëàñòè çíà÷åíèé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè. 286


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Ïðèìåð 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå 3ctg2 x + ctgx - 4 = 0 . Ðåøåíèå: Ñäåëàâ çàìåíó ctgx = y, ïðèõîäèì ê âñïîìîãàòåëüíîìó êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ 3y2 + y - 4 = 0 . é -1 + 7 , é y = 1, êy = ê ê 6 Èìååì: 3y2 + y - 4 = 0  ê ê 4 êy = - . -1 - 7 ê êë êy = 3 6 ë Ñëåäîâàòåëüíî, éctgx = 1, ê 3ctg2 x + ctgx - 4 = 0  ê 4 êctgx = êë 3 π é π é ê x = + πk, ê x = + πk, ê 4 ê 4 ê ê  æ 4 ö÷ 4 ê ê ç x arcctg n = + π x arcctg n π π = + ÷ ê çè ê 3 ø÷ 3 êë ë π é ê x = + πk, ê 4 k, n, m Î Z. ê ê x = -arcctg 4 + πm, ê 3 ë

Ïðèìåð 6. Ðåøèòå óðàâíåíèå cos2x + 3 2 sin x - 3 = 0 . Ðåøåíèå. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó êîñèíóñà äâîéíîãî àðãóìåíòà, ñâîäèì äàííîå óðàâíåíèå ê êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé sinx. cos2x + 3 2 sin x - 3 = 0  1 - 2sin2 x + 3 2 sin x - 3 = 0  ésin x = 2, ê  2sin x - 3 2 sin x + 2 = 0  êê 2  êsin x = 2 ë 2 n π  sin x =  x = (-1) + πn , n Î Z . 2 4 2

Óðàâíåíèå sin x = 2 ðåøåíèé íå èìååò, òàê êàê sin x £ 1. π Îòâåò: (-1)n + πn , n Î Z . 4 287


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 7. Ðåøèòå óðàâíåíèå tg 3 x - 37 +

1 =0. cos2 x

1 Ðåøåíèå. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó = 1 + tg2 x , ñâîäèì 2 cos x óðàâíåíèå ê ñëåäóþùåìó: 1 tg 3 x - 37 + = 0  tg 3 x + tg2 x - 36 = 0 . 2 cos x Ðåøåíèå âñïîìîãàòåëüíîãî óðàâíåíèÿ. y3 + y2 - 36 = 0  y3 - 27 + y2 - 9 = 0   (y - 3)(y2 + 3y + 9) + (y - 3)(y + 3) = 0   (y - 3)(y2 + 3y + 12) = 0  é y - 3 = 0,  êê 2  y=3. êë y + 3y + 12 = 0 Äèñêðèìèíàíò óðàâíåíèÿ y2 + 3y + 12 = 0 îòðèöàòåëåí, ïîýòîìó êóáè÷åñêîå óðàâíåíèå èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì tgx = 3  x = arctg3 + πn , n Î Z .

Îòâåò: arctg3 + πn , n Î Z .

288

Óïðàæíåíèå 2. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ. 1. 6sin2 x + 5cos x - 7 = 0 . 2. 5cos2 x - 4 cos x -1 = 0 . 1 1 3. cos2 x + cos x - = 0 . 2 2 4. 2cos2 x - cos x -1 = 0 . 5. 2sin2 x - cos x -1 = 0 . Îòâåòû: π 1 1)  +2πk ;  arccos + 2πk , k Î Z . 3 3 æ 1 ÷ö ç 2) 2πk ;  arccos ç- ÷÷ + 2πk , k Î Z . è 5ø π 3) π +2πk ;  +2πk , k Î Z . 3 π 4) 2πk ;  +2πk , k Î Z . 3 π 5) π +2πk ;  +2πk , k Î Z . 3


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Óïðàæíåíèå 3. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ. 1. 2cos2 x + 5sin x - 4 = 0 . 2. 10 cos2 x - 3 sin x -1 = 0 . 3. 2sin2 x - sin x = 0 . 4. 2sin2 x - 5sin x + 2 = 0 . 5. sin2 x - 3sin x + 2 = 0 . Îòâåòû: π 1) (-1)k + πk , k Î Z . 6 π 2) (-1)k + πk , k Î Z . 3 k π 3) (-1) + πk ; πk , k Î Z . 6 π 4) (-1)k + πk , k Î Z . 6 π 5) +2πk , k Î Z . 2 Óïðàæíåíèå 4. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ. 1. sin2 3x - 3sin 3x + 2 = 0 . 2. 4 cos2 x - 4 cos x + 1 = 0 . 3. cos2 x - 4 cos x - 5 = 0 . 4. 2cos2 x - cos x -1 = 0 . 5. 6cos2 x + 5sin x - 7 = 0 . Îòâåòû: π 2π 1) + k , k Î Z . 6 3 π 2)  +2πk , k Î Z . 3 3) π +2πk ; πk , k Î Z . 2π 4) 2πk ;  + 2πk , k Î Z . 3 1 k π 5) (-1) + πk ; (-1)k arcsin + πk , k Î Z . 6 3 Óïðàæíåíèå 5. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ. 1. 2sin2 x + 5cos x - 4 = 0 . 2. 10sin2 x - 3 cos x = 1 . 3. 2cos2 x + 2 2 sin x + cos2x + 1 = 0 . 289


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

4. 4sin3 x + cos2 x + 3sin x = 2,75 . 5. sin 3x -10 cos2 x - 5sin x + 6 = 0 . 6. 2cos 3x = 3sin2 x + 2cos x . 7. 3cos2x + 2cos x - 5 = 0 . 8. cos2x - 5sin x - 3 = 0 . 9. cos 4x + 2cos2 x = 1 . 10. 8 cos4 x - 5cos 4x = 3 . Îòâåòû: π 1)  +2πk , k Î Z . 3 π 2)  +2πk , k Î Z . 6 π 3) (-1)k+1 + πk , k Î Z . 4 π 4) (-1)k + πk , k Î Z . 6 π π 5) +2πk ; (-1)k+1 + πk , k Î Z . 2 6 æ 3ö 6) pk;  arccos çç- ÷÷÷ + 2πk , k Î Z . è 8ø 7) 2πk, k Î Z . π 8) (-1)k+1 + πk , k Î Z . 6 π 9) πk ;  + πk , k Î Z . 3 π 10) πk ;  + πk , k Î Z . 3 Óïðàæíåíèå 6. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ. 1. 8 cos4 x -11cos2x + 1 = 0 . 2. 4sin4 x + 7 cos2x -1 = 0 . 3. cos 4x - 2cos2 x -1 = 0 . 4. 4sin4 x + 12cos2 x - 7 = 0 . 5. tg 4 x - 2tg2 x - 3 = 0 . Îòâåòû: π 1)  + πk , k Î Z . 6 π π 2) + k , k Î Z . 4 2 290


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

π + πk , k Î Z . 2 π π 4) + k , k Î Z . 4 2 π 5)  + πk , k Î Z . 3

3)

2.3. Ðåøåíèå óðàâíåíèé ñ ïðèìåíåíèåì ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ñóììó èëè ðàçíîñòü Ïðèìåð 8. Ðåøèòå óðàâíåíèå 2cos x sin 3x = sin 4x + 1 . Ðåøåíèå. Ïðèìåíÿåì ôîðìóëó ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ðàçíîñòü. 2cos x sin 3x = sin 4x + 1  sin 4x + sin2x = sin 4x + 1  π π  sin2x = 1  2x = + 2πn  x = + πn , n Î Z . 2 4 π Îòâåò: + πn , n Î Z . 4 Ïðèìåð 9. Ðåøèòå óðàâíåíèå 1 + 2cos 3x cos x - cos2x = 0 .

Ðåøåíèå. Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëó ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ êîñèíóñîâ äâóõ àðãóìåíòîâ â ñóììó, èìååì: 1 + 2cos 3x cos x - cos2x = 0  cos 4x = -1  π π  4x = π + 2πn  x = + n , n Î Z . 4 2 π π Îòâåò: + n , n Î Z . 4 2

2.4. Ðåøåíèå óðàâíåíèé ñ ïðèìåíåíèåì ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ ñóììû è ðàçíîñòè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå Ïðèìåð 10. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin 3x + sin x = sin2x . Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ôîðìóëó ïðåîáðàçîâàíèÿ ñóììû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå. 291


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

sin 3x + sin x = sin2x  2sin2x cos x - sin2x = 0  ésin2x = 0, ê  sin2x (2cos x -1) = 0  ê 1  êcos x = 2 ëê π é π é ê x = k, ê x = k, ê 2 ê 2 k, n Î Z . ê ê ê x =  arccos 1 + 2πn ê x =  π + 2πn, ê ê 3 2 ë ë π π Îòâåò: k ,  +2πn , k, n Î Z . 3 2

Ïðèìåð 11. Ðåøèòå óðàâíåíèå cos2x - cos 8x + cos 6x = 1 . Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ôîðìóëó ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàçíîñòè îäíîèìåííûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå. cos2x - cos 8x + cos 6x = 1   2cos 4x cos2x = 1 + cos 8 x  2cos 4x cos2x = 2cos2 4x   cos 4x(cos 4x - cos2x) = 0  -2cos 4x sin 3x sin x = 0  π é écos 4x = 0, ê4x = + πk, éê x = π + π k, ê 2 ê ê 8 4  êêsin 3x = 0,  êê3x = πn, ê k, n Î Z. ê x = π n, ê êsin x = 0 ê ê x = πn êë 3 ë ê ë π π π Îòâåò: + k , n , k, n Î Z . 8 4 3 Çàìå÷àíèå. Óðàâíåíèÿ, ðåøàåìûå ïðè ïîìîùè ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ ñóììû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå, è ôîðìóë, âûïîëíÿþùèõ îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå, îáû÷íî òðóäíî îòäåëèòü äðóã îò äðóãà, êàê ýòî âèäíî èç âûøå ðàçîáðàííûõ ïðèìåðîâ.

Óïðàæíåíèå 7. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ. 1. sin 3x - 4sin x cos2x = 0 . 2. cos2x + sin 3x + sin5x = 4 cos x -1 . 3. 2cos 8 x + 4sin 3x sin5x = 1 . 4. sin 3x - 4sin x cos x = 0 . 5. sin x + cos x - sin2x + cos2x - cos 3x = 1 . 292


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Îòâåòû: π 1) πk;  + πk , k Î Z . 6 π 2) + πk , k Î Z . 2 π 3)  + πk , k Î Z . 6 π 4)  + πk , k Î Z . 6 π 2π π 5) 2πk ; + k ; (-1)n + πn , k, n Î Z . 6 3 3

2.5. Ââåäåíèå äîïîëíèòåëüíîãî àðãóìåíòà Îñíîâíîé ôîðìóëîé, èñïîëüçóåìîé ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé äàííûì ïðèåìîì, ÿâëÿåòñÿ ôîðìóëà ïðåîáðàçîâàíèÿ âûðàæåíèÿ a sin x  b cos x . Ýòî âûðàæåíèå ïðèâîäèòñÿ ê âèäó: a sin x  b cos x = a2 + b2 sin(x + ϕ) , b ãäå ϕ = arctg . a Ïðèìåð 12. Ðåøèòå óðàâíåíèå 3 sin x + cos x = 2 .

Ðåøåíèå. æ 3 ö 1 3 sin x + cos x = 2  2ççç sin x + cos x÷÷÷ = 2  2 è 2 ø÷ π π πö æ  sin x cos + cos x sin = 1  sin ççx + ÷÷ = 1  è 6 6 6ø π π π  x + = + 2πn  x = + 2πn , n Î Z . 6 2 3 π Îòâåò: +2πn , n Î Z . 3 Ïðèìåð 13. Ðåøèòå óðàâíåíèå 3 sin2x - cos2x = 3 . Ðåøåíèå. æ 3 ö 1 3 sin2x - cos2x = 3  2ççç sin2x - cos2x÷÷÷ = 3  2 è 2 ø÷ πö 3 π π æ  sin çç2x - ÷÷ =  2x - = (-1)n + πn  è 6ø 2 6 3 π π π x= + (-1)n + n , n Î Z . 12 6 2 π π n π Îòâåò: + (-1) + n , nÎZ . 12 6 2

293


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 14. Ðåøèòå óðàâíåíèå 3sin x - 2cos x = 2 . Ðåøåíèå. Ïðåîáðàçóåì ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ. æ 3 ö 2 3sin x - 2cos x = 2  13 ççç sin x cos x÷÷÷ = 2  è 13 ø 13 2 2 , ãäå ϕ = arctg .  sin(x - ϕ) = 3 13 Ðåøàÿ ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå, èìååì: 2 2 x = arctg + (-1)n arcsin + πn , n Î Z . 3 13 2 2 Îòâåò: arctg + (-1)n arcsin + πn , n Î Z . 3 13 2 2 Çàìå÷àíèå. Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî arcsin = arctg , 3 13 è ïîýòîìó ðåøåíèå ìîæåò áûòü çàïèñàíî â âèäå x = 2 2 = arctg + (-1)n arctg + πn , n Î Z . 3 3 Ïðèìåð 15. Ðåøèòå óðàâíåíèå cos x + cos 4x sin x = 2 . Ðåøåíèå. Ïðèìåíåíèå ôîðìóë ïðåîáðàçîâàíèÿ ïðîèçâåäåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ñóììó èëè ðàçíîñòü â ýòîì ñëó÷àå ê óñïåõó íå ïðèâîäèò. Êàê íè ñòðàííî, ïîìîæåò ïðè ðåøåíèè ââåäåíèå ïàðàìåòðà! Äåéñòâèòåëüíî, îáîçíà÷èì cos 4x = a , ãäå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà áóäóò èçìåíÿòüñÿ â ïðåäåëàõ -1 £ a £ 1 . Ïîëó÷èì óðàâíåíèå cos x + a sin x = 2 .

«Çàáûâ», ÷òî ïàðàìåòð çàâèñèò îò òîé æå ïåðåìåííîé, ÷òî è âõîäÿùèå â óðàâíåíèÿ ôóíêöèè, ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå. æ ç ´çç çè

cos x + a sin x = 2  1 + a2 ´ ö÷ 1 a cos x + sin x÷÷÷ = 2 . ø÷ 1 + a2 1 + a2

Ïðîäîëæàÿ äàëåå, ââåäåì äîïîëíèòåëüíûé àðãóìåíò a . ϕ = arctg 1 + a2 Ïîñëå ýòîãî óðàâíåíèå çàïèøåòñÿ â âèäå 1 + a2 cos(x - ϕ) = 2 . 294


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

 íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ ÷èñëî, ñòîÿùåå â ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, ìîæåò ïîäñêàçàòü äàëüíåéøèé ïóòü ðåøåíèÿ. Èìååì: 1 £ 1 + a2 £ 2 , à -1 £ cos(x - ϕ) £ 1 . ìïa2 = 1, Ñëåäîâàòåëüíî, 1 + a2 cos(x - ϕ) = 2  ïí ïïcos(x - ϕ) = 1. î Åñëè a = 1, ò.å. cos4x = 1, òî óðàâíåíèå áóäåò ðàâíîñèëüíî ìïcos 4x = 1, ï ñèñòåìå ïí æ . Åñëè a = –1, ò.å. cos4x = –1, òî óðàâπö ïïcos ççx - ÷÷ = 1. ì cos 4x = -1, è ø ï 4 ïî ï ï íåíèå áóäåò ðàâíîñèëüíî äðóãîé ñèñòåìå í æ πö ï ïcos ççèx + 4 ÷÷ø = 1. ï Ðàññìîòðèì ïåðâûé ñëó÷àé. î ìï4x = 2πk, ïìïcos 4x = 1, ï ïí  íï k, n Î Z. πö π æ ïïcos ççx - ÷÷ = 1 ïïx = + 2πn, è ø ïî 4 4 ïî Ýòà ñèñòåìà ðåøåíèé íå èìååò, òàê êàê ðåøåíèå âòîðîãî óðàâíåíèÿ íå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ïåðâîãî. Ðàññìîòðèì âòîðîé ñëó÷àé. ïïìcos 4x = -1, ïïì4x = π + 2πk, ïí  íï k, n Î Z . π ö÷ π æ ï ïïx = - + 2πn, ç cos x + = 1 ÷ ï çè ïî 4ø 4 ïî Ïðîâåðêîé óáåæäàåìñÿ, ÷òî êàæäîå ðåøåíèå âòîðîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû. Ïîýòîìó îáùèì ðåøåíèåì ñèñòåìû, à âìåñòå ñ íåé è óðàâπ íåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ x = - +2πn , n Î Z . 4 π Îòâåò: - +2πn , n Î Z . 4 Ðàññìîòðåííîå óðàâíåíèå òðóäíî îòîæäåñòâèòü ñ óðàâíåíèåì, ðåøàåìûì ïðèåìîì, âûíåñåííûì â çàãîëîâîê ïóíêòà. Ñêîðåå ýòî óðàâíåíèå ìîæíî îòíåñòè ê óðàâíåíèÿì, ðåøàåìûì êîìáèíàöèåé ðàçëè÷íûõ ïðèåìîâ, êîòîðûå áóäóò ðàññìîòðåíû íèæå.

Óïðàæíåíèå 8. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ. 1. 3 sin 3x + cos 3x = -1 . 3 . 2. cos x - sin x = 2

295


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

3. cos2x + 3 sin2x = 3 . 4. sin x - cos x = 2 . 1 . 5. sin2x + cos2x = 2 Îòâåòû: π π π 1) - + (-1)k+1 + k, kÎZ . 18 18 3 π π 2) -  +2πk , k Î Z . 4 6 π π 3)  + πk , k Î Z . 6 12 3π 4) + 2πk , k Î Z . 4 π π π 5) - + (-1)k + k , kÎZ . 8 12 2 Óïðàæíåíèå 9. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ. 1. 2(sin x + cos x) + sin2x + 1 = 0 . 2. 1 + sin2x = sin x + cos x . 3. 3(sin x + cos x) = 2sin2x . 4. sin x + cos x - sin2x + cos2x - cos 3x = 1 . 5. sin2x - 5sin x + 5cos x + 5 = 0 . Îòâåòû: π 1) - + πk , k Î Z . 4 π æ πö 2) - +2πk ; (-1)k çç- ÷÷ + πk , k Î Z . è 4ø 4 π 2 3) - + (-1)k+1 arcsin + πk , k Î Z . 4 4 π 2π π 4) 2πk ; + k ; (-1)k + πk , k Î Z . 6 3 3 π 5) π +2πk ; +2πk , k Î Z . 2

2.6. Îäíîðîäíûå óðàâíåíèÿ Ïîíÿòèå îäíîðîäíîãî ìíîãî÷ëåíà óæå âñòðå÷àëîñü ðàíåå. Òåì íå ìåíåå íàïîìíèì îïðåäåëåíèå. Îïðåäåëåíèå. Ìíîãî÷ëåí P(x, y) íàçûâàåòñÿ îäíîðîäíûì ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè ï, åñëè P(tx, ty) = tn P(x, y) . 296


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Îäíîðîäíûì òðèãîíîìåòðè÷åñêèì ìíîãî÷ëåíîì ñòåïåíè n íàçîâåì îäíîðîäíûé ìíîãî÷ëåí Pn (sin x,cos x) . Óðàâíåíèÿ âèäà Pn (sin x,cos x) = 0 , ãäå Pn — îäíîðîäíûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n, íàçûâàþòñÿ îäíîðîäíûìè îòíîñèòåëüíî sinx è cosx. Äåëåíèåì íà ñòàðøóþ ñòåïåíü îäíîé èç òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé îíî ñâîäèòñÿ ê âèäó Pn (tgx) = 0 . Ïðèìåð 16. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin 4x + cos 4x = 0 . Ðåøåíèå. Çàïèøåì óðàâíåíèå â âèäå sin 4x = - cos 4x . Çíà÷åíèÿ õ, ïðè êîòîðûõ õîòÿ áû îäíà èç ôóíêöèé îáðàùàåòñÿ â íîëü, íå ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì äàííîãî óðàâíåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè, íàïðèìåð, cos 4x = 0 , òî èç óðàâíåíèÿ ïîëó÷èì, ÷òî è sin 4x = 0 , ÷òî íåâîçìîæíî â ñèëó îñíîâíîãî òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî òîæäåñòâà. Òàêèì îáðàçîì, ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà cos 4x , ïîëó÷èì óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå èñõîäíîìó óðàâíåíèþ. π sin 4x = - cos 4x  tg4x = -1  4x = - + πk  4 π π  x =- + k , kÎ Z . 16 4 π π Îòâåò: - + k , k Î Z . 16 4 Ïðèìåð 17. Ðåøèòå óðàâíåíèå 3cos2 x - sin2x - sin2 x = 0. Ðåøåíèå. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëû äâîéíîãî àðãóìåíòà, çàïèøåì óðàâíåíèå â âèäå 3cos2 x - sin2x - sin2 x = 0   sin2 x + 2sin x cos x - 3cos2 x = 0 .

Ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ — îäíîðîäíûé ìíîãî÷ëåí ñòåïåπ íè 2. Òàê êàê x = + πk , k Î Z íå ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè óðàâ2 íåíèÿ (ïî ïðè÷èíàì, èçëîæåííûì âûøå), òî, ðàçäåëèâ îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà cos2 x , ïîëó÷èì óðàâíåíèå, ðàâíîñèëüíîå èñõîäíîìó óðàâíåíèþ. sin2 x + 2sin x cos x - 3cos2 x = = 0  tg2 x + 2tgx - 3 = 0  297


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

é x = -arctg3 + πk, é tgx = -3, ê ê  ê kÎZ . π êtgx = 1 ê x = + πk, ë êë 4 π Îòâåò: -arctg3 + πk ; x = + πk , k Î Z . 4

Ïðèìåð 18. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin3 x + 37 cos3 x - cos x = 0. Ðåøåíèå. Ñòðîãî ãîâîðÿ, äàííîå óðàâíåíèå íå ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì óðàâíåíèåì. Íî àëãîðèòì ðåøåíèÿ òàêèõ óðàâíåíèé ïîäîáåí ðåøåíèþ ñîáñòâåííî îäíîðîäíûõ óðàâíåíèé. Äåëî â òîì, ÷òî åñëè â óðàâíåíèè âñå ñëàãàåìûå, êðîìå íåêîòîðûõ, åñòü îäíî÷ëåíû îäíîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî sinx è cosx, à îñòàâøèåñÿ ñîäåðæàò ñòåïåíè îäíîé èç ôóíêöèé, ïîêàçàòåëü êîòîðîé îòëè÷àåòñÿ íà ÷åòíîå ÷èñëî, òî äåëåíèåì íà ñòàðøóþ ñòåïåíü sinx èëè cosx óðàâíåíèå ñâîäèòñÿ ê óðàâíåíèþ îòíîñèòåëüíî tgx èëè ctgx. Ïðè ýòîì èñïîëüçóåì òî, ÷òî 1 1 = (1 + tg2 x)k èëè = (1 + ctg2 x)k . 2k 2k cos x sin x Èìååì: sin3 x + 37 cos3 x - cos x = 0  tg 3 x + 37 - (1 + tg2 x) = 0   tg 3 x - tg2 x + 36 = 0  (tg 3 x + 27) - (tg2 x - 9) = 0   (tgx + 3)(tg2 x - 4tgx + 12) = 0  tgx = -3   x = -arctg3 + πn , n Î Z .

Äèñêðèìèíàíò êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà tg2 x - 4tgx + 12 îòðèöàòåëåí, ïîýòîìó óðàâíåíèå tg2 x - 4tgx + 12 = 0 ðåøåíèé íå èìååò. Îòâåò: -arctg3 + πn , n Î Z . Óïðàæíåíèå 10. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ. 1. 3sin2 x = cos2x + 4sin2x . 2. 2cos2x + 5cos2 x = 8 sin2x - 6 . 3. 2cos2x + 1 = 5sin2 x + 6 cos x . 4. 2sin2 x - sin2x = 2 . 5. sin2x = cos2x - sin2 x + 1 . 298


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Îòâåòû:

2 5 + πk , k Î Z . 2 4 3 2) arctg + πk , k Î Z . 2 1- 7 3)  arccos + πk , k Î Z . 3 1 1 4) arctg + πk ; -arctg + πk , k Î Z . 3 4

1) arctg

5) arctg (-1+ 3 )+ πk ; -arctg (-1+ 3 )+ πk , k Î Z .

2.7. Ïðèìåíåíèå ôîðìóë ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè Ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè äàþò ïðåêðàñíóþ âîçìîæíîñòü óìåíüøàòü ñòåïåíü òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, îäíîâðåìåííî óâåëè÷èâàÿ êðàòíîñòü àðãóìåíòà ñîîòâåòñòâóþùåé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè. Ïðèìåð 19. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin22x + sin23x + sin24x + sin25x = 2. Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ôîðìóëó ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè, çàìåíèâ êâàäðàòû ñèíóñîâ ñîîòâåòñòâóþùèõ àðãóìåíòîâ êîñèíóñàìè óäâîåííûõ. Äëÿ óäîáñòâà ïðåäâàðèòåëüíî óìíîæèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà 2 è, ïåðåíåñÿ ñëàãàåìûå â îäíó ñòîðîíó, çàïèøåì óðàâíåíèå â âèäå 1 - 2sin2 2x + 1 - 2sin2 3x + 1 - 2sin2 4x + 1 - 2sin2 5x = 0 .

Òåïåðü ïðèìåíèì ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè. Ïîëó÷èì cos 4x + cos 6x + cos 8x + cos10x = 0 . Ãðóïïèðóÿ ñëàãàåìûå è ïðèìåíÿÿ ôîðìóëû ïðåîáðàçîâàíèÿ ñóììû îäíîèìåííûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå, ïîëó÷èì cos 4x + cos 6x + cos 8x + cos10x = 0   2cos 6x cos2x + 2cos 8 x cos2x = 0   2cos2x(cos 8x + cos 6x) = 0  4 cos x cos2x cos7x = 0  299


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

π é ê x = + πk, ê 2 écos x = 0, ê ê π π  êêcos2x = 0,  êê x = + n, k, n, l Î Z. 4 2 ê êcos7x = 0 ê êë ê x = π + π l, êë 14 7 Ñëåäóåò çàìåòèòü, ÷òî ïåðâàÿ ñåðèÿ ðåøåíèé ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì òðåòüåé ñåðèè, â òî âðåìÿ êàê âòîðàÿ è òðåòüÿ ñåðèè îáùèõ ðåøåíèé íå èìåþò. Ïîýòîìó ðåøåíèå óðàâíåíèÿ ìîæåò áûòü ïðåäñòàâëåíî â âèäå ñîâîêóïíîñòè, ñîäåðæàùåé òîëüêî äâå ïîñëåäíèå ñåðèè. π π é ê x = + n, ê 4 2 n, l Î Z. ê ê x = π + π l, ê 14 7 ë Îáúåäèíåíèå ñåðèé ðåøåíèé òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ õîðîøèì òîíîì, ïîêàçûâàþùèì ñâîáîäíîå âëàäåíèå ó÷àùèìñÿ äàííûì âîïðîñîì, íî îòíþäü íå ÿâëÿåòñÿ âñåãäà îáÿçàòåëüíûì ýëåìåíòîì ðåøåíèÿ. Òåì áîëåå ÷òî òàêîå îáúåäèíåíèå íå âñåãäà âîçìîæíî. π π π π Îòâåò: + n ; + l , n, l Î Z. 4 2 14 7 Ïîíèæåíèå ñòåïåíè ñëàãàåìûõ, âõîäÿùèõ â òðèãîíîìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå, ÷àñòî ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâèòü ýòî óðàâíåíèå â âèäå óðàâíåíèÿ îòíîñèòåëüíî îäíîé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèè.

Ïðèìåð 20. Ðåøèòå óðàâíåíèå 4sin4 x + 12cos2 x = 7 . Ðåøåíèå. Ïîíèæàÿ ñòåïåíü êàæäîãî òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ñëàãàåìîãî, ïîëó÷èì 4sin4 x + 12cos2 x = 7  (1 - cos2x)2 + 6(1 + cos2x) = 7   cos2 2x + 4 cos2x = 0  cos2x(cos2x + 4) = 0  π π  cos2x = 0  x = + k , k Î Z . 4 2 Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíåíèåì ôîðìóëû ïîíèæåíèÿ ñòåïåíè óðàâíåíèå áûëî ïðèâåäåíî ê ïðîñòåéøåìó óðàâíåíèþ. π π Îòâåò: + k , k Î Z . 4 2

300


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Ïðèìåð 21. Ðåøèòå óðàâíåíèå πö πö 9 æ æ sin4 x + sin4 ççx + ÷÷ + sin4 ççx - ÷÷ = . è è 4ø 4ø 8 Ðåøåíèå. Ïîíèæàÿ ñòåïåíü êàæäîãî òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî ñëàãàåìîãî, ïîëó÷èì: πö πö 9 æ æ sin4 x + sin4 ççx + ÷÷ + sin4 ççx - ÷÷ =  è è 4ø 4ø 8 2 2 æ π öö æ π öö 9 æ æ  (1 - cos2x)2 + ççç1 - cos çç2x + ÷÷÷÷÷ + ççç1 - cos çç2x - ÷÷÷÷÷ = . è ø è ø è ø è ø 2 2 2 Äàëåå îñòàëîñü ðàñêðûòü ñêîáêè, ïðèâåñòè ïîäîáíûå ÷ëåíû è ïðèìåíèòü îñíîâíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî. 1 - 2cos2x + cos2 2x + 1 + 2sin2x + sin2 2x + 9 +1 - 2sin2x + sin2 2x =  2 1 1 2  -2cos2x + sin 2x =  -2cos2x + 1 - cos2 2x =  2 2 1  cos2 2x + 2cos2x - = 0  2 é + 2 6 êcos2x = , ê 6 -2 2 ê  cos2x =  ê 2 êcos2x = -2 - 6 êë 2 6 -2  x =  arccos + πk , k Î Z . 2 6 -2 Îòâåò:  arccos + πk , k Î Z . 2

Óïðàæíåíèå 11. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ. 1. cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = 2 . 2. sin4 x + cos4 x = 1 . 3. sin4 x + cos4 x = sin2x . 5 4. 1 - sin4 x - cos4 x = 0 . 3 5. 4sin2 2x + sin2 4x = 2 . Îòâåòû: π π π π 1) + k ; + k, kÎZ . 4 2 10 5 π 2) k , k Î Z . 2

301


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

π 3) (-1)k arcsin ( 3 -1)+ k , k Î Z . 2 π π 4) + k, k Î Z. 6 3 π π 5) + k , k Î Z . 8 4

2.8. Óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèå êîìáèíàöèþ sin2kx ± cos2kx Ïðèìåð 22. Ðåøèòå óðàâíåíèå cos4 x - sin4 x =

1 . 2

Ðåøåíèå. Ðàçíîñòü ÷åòâåðòûõ ñòåïåíåé — ñàìàÿ ïðîñòàÿ èç ðàññìàòðèâàåìûõ êîìáèíàöèé. Ðàñêëàäûâàÿ ñîîòâåòñòâóþùóþ ðàçíîñòü ïî ôîðìóëå ðàçíîñòè êâàäðàòîâ äâóõ ÷èñåë è ïðèìåíÿÿ îñíîâíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî, ïîëó÷àåì 1 1 cos4 x - sin4 x =  (cos2 x - sin2 x)(cos2 x + sin2 x) =  2 2 1 π  cos2x =  2x =  + 2πk  2 3 π  x =  + πk , k Î Z . 6 π Îòâåò:  + πk , k Î Z . 6 Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî îñíîâíîé èäååé ðåøåíèÿ óðàâíåíèé, ñîäåðæàùèõ ñóììû ñòåïåíåé, ÿâëÿåòñÿ âûäåëåíèå ñòåïåíè ñóììû êâàäðàòîâ ñèíóñà è êîñèíóñà ñîîòâåòñòâóþùåãî àðãóìåíòà. Ïðèìåð 23. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin4 x + cos4 x = Ðåøåíèå. Èñïîëüçóåì ïðåäñòàâëåíèå

5 . 8

2

a4 + b4 = (a2 + b2 ) - 2a2 b2 .

Ïîëó÷èì

5 5  (sin2 x + cos2 x)2 - 2sin2 x cos2 x =  8 8 5 1 5 3  1 - 2sin2 x cos2 x =  1 - sin2 2x =  sin2 2x = . 8 2 8 4

sin4 x + cos4 x =

302


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó ðåøåíèÿ ïðîñòåéøåãî óðàâíåíèÿ sin2 x = a2  x =  arcsin a + πk , ïîëó÷èì, ÷òî 3 3 sin2 2x =  2x =  arcsin + πk  4 2 π π  x= + k , kÎZ . 6 2 π π Îòâåò:  + k , k Î Z . 6 2 Åñëè óðàâíåíèå, ñîäåðæàùåå äàííóþ êîìáèíàöèþ, èìååò âèä sin2k x  cos2k x = c , c Î R , òî âûäåëåíèå ñòåïåíè îñíîâíîãî òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî òîæäåñòâà íå ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ìåòîäîì ðåøåíèÿ.  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ìîæåò ðàññìàòðèâàòüñÿ êàê îäíîðîäíîå. Ïðèìåð 24. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin6 x + cos6 x = Ðåøåíèå.

7 . 16

7 7  tg 6 x + 1 =  16 16(cos2 x)3 7  tg 6 x + 1 = (1 + tg2 x)3  16

sin6 x + cos6 x =

 16(tg 6 x + 1) = 7(tg 6 x + 3tg 4 x + 3tg2 x + 1)   9tg 6 x - 21tg 4 x - 21tg2 x + 9 = 0   3tg 6 x - 7tg 4 x - 7tg2 x + 3 = 0 .

Ïîëó÷èâøåå ñèììåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå òðåòüåé ñòåïåíè âèäà ay3 + by2 + by + a = 0 èìååò êîðåíü, ðàâíûé –1, è, ñëåäîâàòåëüíî, ay3 + by2 + by + a = 0  (y + 1)(ay2 + (b - a)y + a) = 0 .

Ïðèìåíÿÿ ñîîòâåòñòâóþùóþ ôîðìóëó, ïîëó÷èì, ÷òî 3tg 6 x - 7tg 4 x - 7tg2 x + 3 = 0   (tg2 x + 1)(3tg4 x -10tg2 x + 3) = 0  étg2 x = 3, ê  3tg 4 x -10tg2 x + 3 = 0  ê 2  êtg x = 1 êë 3

303


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

π é ê x =  + πn, π π ê 3 ê  x= + k , kÎZ . π 6 2 ê x =  + πk ê 6 ë π π Îòâåò:  + k , k Î Z . 6 2 Êîíå÷íî, ýòî óðàâíåíèå ìîãëî áûòü ðåøåíî è âûäåëåíèåì ñóììû êâàäðàòîâ ñèíóñà è êîñèíóñà.

Âòîðîå ðåøåíèå.

7  16 7  (sin2 x + cos2 x)(sin4 x - sin2 x cos2 x + cos4 x) =  16 7  (sin2 x + cos2 x)2 - 3sin2 x cos2 x =  16 3 7 3  1 - sin2 x =  sin2 x =  4 16 4 π π π  2x =  + πk  x =  + k , k Î Z . 3 6 2 π π Îòâåò:  + k , k Î Z . 6 2 sin6 x + cos6 x =

Óïðàæíåíèå 12. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ. 5 1. 1 - sin4 x - cos4 x = 0 . 3 1 2. sin4 x + cos4 x = sin2x - . 3 3 3. sin x + cos x = cos2x . 2 17 4. sin8 x + cos8 x = . 32 x x 1 5. sin4 - cos4 = . 2 2 2 Îòâåòû: π π 1) + k , k Î Z . 6 3 π 2) + πk , k Î Z . 4 π π 3) - +2πk ; - + πk , k Î Z . 2 4 304


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

π π + k , kÎZ . 8 4 2π 5)  + 2πk , k Î Z . 3

4)

2.9. Óðàâíåíèÿ, èñïîëüçóþùèå îãðàíè÷åííîñòü ôóíêöèé ó = sinx, ó = cosx Îãðàíè÷åííîñòü îáëàñòè çíà÷åíèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé y = sin x , y = cos x äàåò âîçìîæíîñòü ñòðîèòü óðàâíåíèÿ, èñïîëüçóþùèå ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ ýòèõ ôóíêöèé èëè èõ êîìáèíàöèé. Òàê êàê sin x £ 1 è cos x £ 1 , òî ñòåïåíè sin x è cos x îáðàçóþò íåâîçðàñòàþùóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü, ò.å. 1 ³ sin x ³ sin2 x ³ sin3 x ³ ... ³ sin k x ³ ...

è

1 ³ cos x ³ cos2 x ³ cos3 x ³ ... ³ cosk x ³ ...

Òàê êàê sin x 2 = sin2 x , a cos x 2 = cos2 x , òî âåðíû ñëåäóþùèå íåðàâåíñòâà: sin k x £ sin2 x è cosk x £ cos2 x ïðè âñåõ íàòóðàëüíûõ çíà÷åíèÿõ k ³ 3 . Ïðèìåð 25. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin5 x + cos5 x = 1 . Ðåøåíèå. Òàê êàê âûïîëíåíû íåðàâåíñòâà sin x £ 1 è cos x £ 1 è åñëè íè îäíà èç ôóíêöèé íå ïðèíèìàåò íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ, òî äëÿ ñóìì èõ ñòåïåíåé âûïîëíåíî ñòðîãîå íåðàâåíñòâî sin k x + cosk x < 1 , åñëè sin x ¹ 1 èëè cos x ¹ 1 . Ñëåäîâàòåëüíî, ésin5 x = 1, éê x = π + 2πk, 5 5 , kÎZ . sin x + cos x = 1  êê 5 ê 2 ê êcos x = 1 π x 2 k , = ë ëê π Îòâåò: +2πk ; 2πk , k Î Z . 2 Ïðèìåð 26. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin8 x + cos8 x = 1 . Ðåøåíèå. Åñëè íè îäíà èç ôóíêöèé sinx èëè cosx íå ïðèíèìàåò íàèáîëüøåãî èëè íàèìåíüøåãî çíà÷åíèÿ, ðàâíûõ 1 , òî ðàâåíñòâî íåâîçìîæíî. Íî ýòè çíà÷åíèÿ ïðèíèìàπ þòñÿ ôóíêöèÿìè òîãäà, êîãäà èõ àðãóìåíòû êðàòíû . 2 305


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïîýòîìó

ésin8 x = 1, π  x = k , k Î Z. sin8 x + cos8 x = 1  êê 8 2 êëcos x = 1 π Îòâåò: k , k Î Z . 2

Ïðèìåð 27. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin x + cos 4x = 2 . Ðåøåíèå. Èñïîëüçóÿ ïðåäåëüíûå çíà÷åíèÿ ôóíêöèé, ñòîÿùèõ â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåì, ÷òî óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ïðîñòåéøåé ñèñòåìå: π ì ìïïsin x = 1, ïï x = + 2πk, ï sin x + cos 4x = 2  í í  2 ïîïcos 4x = 1 ï ïîï4x = 2πn π ìï ïïx = + 2πk, 2 k, n Î Z .  ïí π ïï ïïx = n, 2 îï Íàõîäÿ ïåðåñå÷åíèå ìíîæåñòâ ðåøåíèé êàæäîãî èç óðàâπ íåíèé, ïîëó÷èì, ÷òî ðåøåíèåì ÿâëÿåòñÿ x = +2πk , k Î Z . 2 π Îòâåò: +2πk , k Î Z . 2 Ðàññìîòðåííûå ìåòîäû ðåøåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé íå èñ÷åðïûâàþò âñå ìíîãîîáðàçèå ýòèõ ìåòîäîâ, îäíàêî ÿâëÿþòñÿ íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåìûìè. Óïðàæíåíèå 13. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ. æ 3π x ö 1. cos x - 2sin çç - ÷÷÷ = 3 . è 2 2ø 2. sin x + cos2x + 2 = 0 . 3. sin x sin 3x sin7x = 1 . 4. tgx + ctgx + 2cos 4x = 0 . 5. (3sin x + 4 cos x)(20 + 12sin x + 5cos2x) = 143 . Îòâåòû: 1) 4πk , k Î Z . π 2) - +2πk , k Î Z . 2 π 3) +2πk , k Î Z . 2 306


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

π + πk , k Î Z . 4 3 5) arcsin + 2πk , k Î Z . 5

4)

§ 3. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïîâûøåííîé ñëîæíîñòè Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ìîãóò âõîäèòü íå òîëüêî â ãðóïïó Â, íî è â ãðóïïó Ñ. Ïðèìåð 1. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à âûðàæåíèå 1 + sin x (a sin x + 5cos x) íå ðàâíî íóëþ íè ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ õ? Ðåøåíèå. Ïðèäàäèì çàäàíèþ äðóãóþ ôîðìóëèðîâêó: ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à óðàâíåíèå 1 + sinx (asinx + + 5cosx) = 0 íå èìååò ðåøåíèé? 1-é ñïîñîá. Ñâåäåì óðàâíåíèå ê îäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ, ïðåîáðàçîâàâ åãî ñëåäóþùèì îáðàçîì. 1 + sin x (a sin x + 5cos x) = 0  sin2 x + cos2 x + a sin2 x + +5sin x cos x = 0  ( a + 1) sin2 x + 5sin x cos x + cos2 x = 0 .

 îòëè÷èå îò ðàññìîòðåííûõ âûøå ïðèìåðîâ, ìû äîëæíû ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà cos x = 0 . Èìååì (a + 1)sin2 x + 5sin x cos x + cos2 x = 0  éìïcos x = 0, êïí êï(a + 1)sin2 x = 0, êï  êî êìïcos x ¹ 0, êïí êï(a + 1)tg2 x + 5tgx + 1 = 0. êï ëî Ïåðâàÿ ñèñòåìà ñîâîêóïíîñòè èìååò ðåøåíèå, åñëè a = −1. π  ýòîì ñëó÷àå x = + πk , k Î Z , è, òàêèì îáðàçîì, ïðè 2 a = -1 èñõîäíîå óðàâíåíèå èìååò ðåøåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, a = -1 ðåøåíèåì çàäà÷è íå ÿâëÿåòñÿ. Åñëè a ¹ -1 , òî ïåðâàÿ ñèñòåìà ñîâîêóïíîñòè ðåøåíèé íå èìååò. Íî â ýòîì ñëó÷àå íå äîëæíà èìåòü ðåøåíèÿ è âòîðàÿ ñèñòåìà ñîâîêóïíîñòè. Êâàäðàòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî 307


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

tgx íå áóäåò èìåòü ðåøåíèé, åñëè äèñêðèìèíàíò ýòîãî óðàâíåíèÿ áóäåò îòðèöàòåëüíûì. Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà áóäóò çàäàïìa ¹ -1, âàòüñÿ ñèñòåìîé ïí ïïî25 - 4(a + 1) < 0. ïìa ¹ -1, ïïíìa ¹ -1,  ïí  a > 5,25 . îïï25 - 4(a + 1) < 0 îïï4a > 21 Îòâåò: (5,25; +¥) . 2-é ñïîñîá. Ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå ñëåäóþùèì îáðàçîì. 1 + sin x (a sin x + 5cos x) = 0   1 + a sin2 x + 5sin x cos x = 0  1 - cos2x 5  1+ a + sin2x = 0  a cos2x - 5sin2x = a + 2  2 2 æ ö÷ a 1 ç cos2x sin2x÷÷÷ = a + 2   a2 + 25 çç çè a2 + 25 ø÷ a2 + 25  cos(2x + ϕ) =

a +2

. a2 + 25 Ïîëó÷åííîå óðàâíåíèå íå áóäåò èìåòü ðåøåíèå, åñëè a +2

>1 . a2 + 25 Ðåøèì ïîëó÷åííîå íåðàâåíñòâî. a +2 2

a + 25

> 1  a + 2 > a2 + 25 

 (a + 2)2 > a2 + 25  4a > 21  a > 5,25 .

Îòâåò: (5,25; +¥) . Ïðèìåð 2. Ðåøèòü óðàâíåíèå sin 3x - 2sin18x sin x = 3 2 - cos 3x + 2cos x .

Ðåøåíèå. Çàïèøåì äàííîå óðàâíåíèå ñëåäóþùèì îáðàçîì:

(sin 3x + cos 3x)- 2(sin18x sin x + cos x) = 3 2 . 308


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Îáîçíà÷èì sin18x = a .  ýòîì ñëó÷àå óðàâíåíèå ïðèîáðåòåò âïîëíå óçíàâàåìûé âèä

-2

(

æ 1 ö 1 2 ççç sin 3x + cos 3x÷÷÷ è 2 ø 2 æ 1 ö÷ 1 ç 1 + a2 çç sin x + cos x÷÷÷ = 3 2 , çè 1 + a2 ø÷ 1 + a2

)

ëåãêî ïðåîáðàçóåìûé ââåäåíèåì äîïîëíèòåëüíîãî àðãóìåíòà. Ïîëó÷èì:

πö æ 2 sin çç3x + ÷÷ - 2 1 + a2 sin(x + ϕ) = 3 2 . è 4ø

Òàê êàê a = sin18x , òî 2 1 + a2 £ 2 2 . Ïîýòîìó âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, ìîæåò áûòü ðàâíûì 3 2 ïðè îäíîâðåìåííîì âûïîëíåíèè ñëåäóþùèõ óñëîâèé: πö ïìï æç ïïsin çè3x + 4 ÷÷ø = 1, ïï ísin(x + ϕ) = -1, ïï ïïsin2 18x = 1. ïï ïî Ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà sin18x = 1 . Ñèñòåìà ïðèîáðåòåò âèä πö ïìï æç ïïsin èç3x + 4 ÷÷ø = 1, ïï ïï æ πö ísin ççx + ÷÷ = -1,  è ïï 4ø ïï ïïsin18x = 1 ïï î ïìï3x + π = π + 2πn, ïìïx = π + 2π n, ïï ïï 12 3 4 2 ïï ïï π π 3π ï ï  íx + = - + 2πk,  ïíx = - + 2πk, ãäå n, k, l Î Z . ï ïï 4 2 4 ï ï ïï ï π π π ï ïïx = 18x = + 2πl + l, ï ï ï 2 36 18 ïî ïî Äëÿ íàõîæäåíèÿ ðåøåíèÿ äàííîé ñèñòåìû äîñòàòî÷íî ïðîâåðèòü, áóäåò ëè ðåøåíèå âòîðîãî óðàâíåíèÿ óäîâëå309


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

òâîðÿòü äðóãèì óðàâíåíèÿì ñèñòåìû. Ïîäñòàâëÿÿ, ïîëó÷èì ìï ïïx = - 3π + 2πk, ïï 4 ïï πö ï æç 9π ï ísin ç- + 6πn + ÷÷÷ = 1, ïï è 4 4ø ïï öö ïï æç æç 3π sin ç18 ç- + 2πl÷÷÷÷÷÷ = -1. ï ç øø ïïî è è 4 Î÷åâèäíî, ÷òî âòîðîå óðàâíåíèå íåâåðíî, òàê êàê sin(-2π) = 0, ïîýòîìó â äàííîì ñëó÷àå ñèñòåìà íåñîâìåñòíà. Ïóñòü òåïåðü sin18x = -1 .  ýòîì ñëó÷àå ïîëó÷èì ìï æ πö ïïïsin çèç3x + 4 ø÷÷ = 1, ïï ísin æçx - π ö÷ = 1, ïï ç 4 ø÷ ïï è ïïsin18x = -1. ïî

Ðåøèì òîëüêî âòîðîå óðàâíåíèå. πö æ sin ççx - ÷÷ = 1  è 4ø 3π x= + 2πk , k Î Z . 4 Ïîäñòàâëÿÿ â îñòàâøèåñÿ óðàâíåíèÿ, ïîëó÷èì, ÷òî æ 9π πö π sin çç + 6πn + ÷÷÷ = sin = 1 è4 4ø 2 æ æ 3π öö 3π è sin çç18 çç + 2πk÷÷÷÷÷÷ = sin = -1 . çè è 4 øø 2 Ñëåäîâàòåëüíî, ñèñòåìà ñîâìåñòíà. 3π Îòâåò: + 2πk , k Î Z. 4 Ðàññìîòðèì òåïåðü óðàâíåíèÿ, âêëþ÷àþùèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè è èõ êîìáèíàöèè ñâîåé ñîñòàâíîé ÷àñòüþ. Ïðè ðåøåíèè òàêèõ óðàâíåíèé, êðîìå ñâîéñòâ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, íåîáõîäèìî ó÷èòûâàòü ñâîéñòâà ôóíêöèé, èõ âêëþ÷àþùèõ. 310


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Ïðèìåð 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå

12sin x + 13 = 3sin x + 2 .

Ðåøåíèå. Èñïîëüçóåì ñõåìó ðåøåíèÿ ïðîñòåéøåãî èððàöèîíàëüíîãî óðàâíåíèÿ ïìg(x) ³ 0, f (x) = g(x)  ïí ïïf (x) = g2 (x). î Ïîëó÷èì 12sin x + 13 = 3sin x + 2  ìï3sin x + 2 ³ 0,  ïí  ïï12sin x + 13 = 9sin2 x + 12sin x + 4 î ìï3sin x + 2 ³ 0, ìï3sin x + 2 ³ 0, ïï  ïí 2  ïíésin x = -1,  ïïsin x = 1 ïïê î ïïîêësin x = 1 ìï 2 ïï- £ sin x £ 1, ï 3 π  ïíésin x = -1,  sin x = 1  x = + 2πn , n Î Z . ïïê 2 ïïêsin x = 1 ïîë π Îòâåò: +2πn , n Î Z . 2

Ïðèìåð 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå 1 + 2 sin x = 2cos2x . Ðåøåíèå. Èñïîëüçóÿ ôîðìóëó êîñèíóñà äâîéíîãî óãëà, çàïèøåì óðàâíåíèå â âèäå 1 + 2 sin x = 2cos2x  1 + 2 sin x = 2 - 4sin2 x   4 sin2 x + 2 sin x -1 = 0 .

Ðåøàÿ ïîëó÷åííîå êâàäðàòíîå óðàâíåíèå, áóäåì èìåòü é ê sin x = -1 + 5 , ê 4 ê ê ê sin x = -1 - 5 . êë 4 Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ìîäóëü ÷èñëà åñòü ÷èñëî íåîòðèöàòåëüíîå, ïîëó÷èì, ÷òî âòîðîå óðàâíåíèå ñîâîêóïíîñòè ðåøåíèÿ íå èìååò. 311


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Äàëåå:

æ 5 -1÷ö2 5 -1 2 ÷  sin x =  sin x = çç çè 4 ÷÷ø 4 5 -1  x =  arcsin + πk , k Î Z . 4 5 -1 Îòâåò:  arcsin + πk , k Î Z . 4

Ïðèìåð 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå tg (π ⋅ tgx) = ctg (π ⋅ ctgx) . Ðåøåíèå. Ïðåæäå âñåãî, ïîçàáîòèìñÿ î òîì, ÷òîáû çàäàòü îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèé, âõîäÿùèõ â óðàâíåíèå. ìï ïïπ ⋅ tgx ¹ π + πm, ïï 2 ï  tg (π ⋅ tgx) = ctg (π ⋅ ctgx)  ïíπ ⋅ ctgx ¹ πn, ïï ïï æπ ö tg (π ⋅ tgx) = tg çç - π ⋅ ctgx÷÷ ïïîï è2 ø ìï ïïtgx ¹ m + 1 , ïï 2 ãäå m, n, k Î Z.  ïíctgx ¹ n, ïï π ïï ïïπ ⋅ tgx - + πctgx = πk, 2 îï æπ ö Ìû èñïîëüçîâàëè ôîðìóëó ïðèâåäåíèÿ ctgα = tg çç - α÷÷ . è2 ø Ðåøèì îòäåëüíî óðàâíåíèå π π ⋅ tgx - + πctgx = πk , k Î Z . 2 Èìååì æ 1 1ö tgx + ctgx = k +  tg2 x - ççk + ÷÷÷ tgx + 1 = 0  è 2 2ø  2tg2 x - (2k + 1)tgx + 2 = 0 .

Äàëüíåéøåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ çàâèñèò îò âåëè÷èíû åãî äèñêðèìèíàíòà. Íàõîäèì äèñêðèìèíàíò. D = (2k + 1)2 -16 . Åñëè (2k + 1)2 < 16  -4 < 2k + 1 < 4 , ò.å. åñëè k = –2; –1; 0; 1, òî óðàâíåíèå ðåøåíèé íå èìååò. Åñëè (2k + 1)2 ³ 16 , òî ïîëó÷èì, ÷òî óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñîâîêóïíîñòè 312


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

é 2 êtgx = 2k + 1 + (2k + 1) -16 , ê 4 ê  ê ê 2k + 1 - (2k + 1)2 -16 êtgx = êë 4

é 2 ê x = arctg 2k + 1 + (2k + 1) -16 + πn, ê 4 nÎZ .  êê ê 2k + 1 - (2k + 1)2 -16 ê x = arctg + πn, êë 4 Îäíàêî íàäî åùå èññëåäîâàòü, íå ìîæåò ëè çíà÷åíèå tgx 1 èìåòü âèä m + , m Î Z , èáî òîãäà íà÷àëüíîå óðàâíåíèå òå2 ðÿåò ñìûñë. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî ìîæåò èìåòü ìåñòî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè äèñêðèìèíàíò óðàâíåíèÿ (öåëîå ÷èñëî!) åñòü êâàäðàò. Èíà÷å tgx åñòü èððàöèîíàëüíîå ÷èñëî è, êîíå÷íî, íå ìîæåò áûòü ðàâåí ðàöèîíàëüíîìó ÷èñëó. Èòàê, ðåøèì óðàâíåíèå â öåëûõ ÷èñëàõ. (2k + 1)2 -16 = l2  (2k + 1 - l)(2k + 1 + l) = 16 .

×èñëî 16 ðàñêëàäûâàåòñÿ â ïðîèçâåäåíèå äâóõ ìíîæèòåëåé 6 ñïîñîáàìè: 16 = 1⋅16 = 2 ⋅ 8 = 4 ⋅ 4 = (-1)(-16) = (-2)(-8) = (-4)(-4) .

Íî ìíîæèòåëè, ñòîÿùèå â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, ðàçëè÷íû è èìåþò îäèíàêîâóþ ÷åòíîñòü. Ñëåäîâàòåëüíî, îñòàþòñÿ òîëüêî äâå âîçìîæíîñòè: ïìï2k + 1 + l = 8, ïì2k + 1 + l = -2, èëè ïí í ïïî2k + 1 - l = 2 ïïî2k + 1 - l = -8.

 ïåðâîì ñëó÷àå k = 2, à âî âòîðîì k = –3. étgx = 2, ê Ïðè k = 2 ïîëó÷èì, ÷òî ê 1 Âòîðîå ðåøåíèå óñëîêtgx = . êë 2 âèþ óðàâíåíèÿ íå óäîâëåòâîðÿåò. étgx = -2, ê Ïðè k = -3 ïîëó÷èì, ÷òî ê 1 Àíàëîãè÷íî ïðåäûêtgx = - . êë 2 äóùåìó, âòîðîå çíà÷åíèå íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ óðàâíåíèÿ. 313


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

2k + 1  (2k + 1)2 -16 + πn , n Î Z , 4 k ¹ -3 ; -2 ; -1 ; 0; 1; 2; arctg2 + πm , m Î Z .

Îòâåò:

arctg

kÎZ ,

Ïðèìåð 6. Ðåøèòå óðàâíåíèå 1 + cos (π x ) + x2 -15x + 44 = 15x - x2 - cos (π x )- 45 .

Ðåøåíèå. Çàïèøåì äàííîå óðàâíåíèå â âèäå

1 + cos (π x ) + x2 -15x + 44 = -(1 + cos (π x ))- (x2 -15x + 44) .

Ñëåäîâàòåëüíî, ìû èìååì äåëî ñ óðàâíåíèåì âèäà u + υ = -u - υ , êîòîðîå ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå ìï u = -u, ìïu £ 0, ïí  ïí ïïî υ = -υ ïïîυ £ 0. Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ñèñòåìû ìïx ³ 0, ïï ïï í1 + cos (π x )£ 0, ïï ïïx2 -15x + 44 £ 0. ïî Íî âòîðîå íåðàâåíñòâî ñèñòåìû ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ 1 + cos (π x )= 0 , ò.å. ïîëó÷èì, ÷òî èñõîäíàÿ ñèñòåìà ðàâíîñèëüíà ñëåäóþùåé: ìïx ³ 0, ïìïx ³ 0, ïï ï ïï í1 + cos (π x )£ 0,  ïí1 + cos (π x )= 0, ïï ï ïïx2 -15x + 44 £ 0 ïïï4 £ x £ 11. î ïî Ðåøàÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå, ïîëó÷àåì, ÷òî 1 + cos (π x )= 0  cos (π x )= -1  ìïπ x = π + 2πk, ìïx = (2k + 1)2 ,  ïí  ïí k Î Z. ï ï k 0 ³ îï îïk ³ 0 Òàêèì îáðàçîì, ðåøåíèåì òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ÿâëÿåòñÿ êâàäðàò íå÷åòíîãî ïîëîæèòåëüíîãî ÷èñëà. Ó÷èòûâàÿ íåðàâåíñòâî 4 £ x £ 11 , ïîëó÷èì, ÷òî åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì ñèñòåìû, à âìåñòå ñ íåé è èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, ÿâëÿåòñÿ x = 9 . Îòâåò: 9. 314


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

æ ö 1 Ïðèìåð 7. Ðåøèòå óðàâíåíèå log sin x ççsin x - cos x÷÷÷ = 3 . è ø 4 Ðåøåíèå. Èñõîäÿ èç îïðåäåëåíèÿ ëîãàðèôìè÷åñêîé ôóíêöèè, ïîëó÷èì, ÷òî äàííîå óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå ìï0 < sin x < 1, ïï ïï 1 ïsin x - cos x > 0, í 4 ïï 1 ïï 3 ïïsin x - cos x = sin x. 4 î Ó÷èòûâàÿ ïåðâîå íåðàâåíñòâî ñèñòåìû, ïîëó÷àåì, ÷òî âòîðîå íåðàâåíñòâî ñòàíîâèòñÿ âåðíûì ïðè âñåõ äîïóñòèìûõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòîâ è ìîæåò áûòü èñêëþ÷åíî èç ñèñòåìû. Ïîëó÷èì ìï0 < sin x < 1, ïï ìï0 < sin x < 1, ï 1 ï ïïsin x - cos x > 0, ï  í sin x í 1 sin3 x  4 ïï ïï = 3 2 3 1 ïï 3 ïîï cos x 4 cos x cos x ïïsin x - cos x = sin x 4 î ïìï0 < sin x < 1,  ïí  1 ïïtgx ⋅ (1 + tg2 x) - (1 + tg2 x) = tg 3 x ïî 4 ïìï0 < sin x < 1, ìï0 < sin x < 1, ï  ïí 2  ïíêétgx = 2 + 3, ïïtg x - 4tgx + 1 = 0 ïïê î ï ïîïêëtgx = 2 - 3. π Îñòàëîñü òîëüêî âñïîìíèòü, ÷òî 2 - 3 = tg , 12 5π . 2 + 3 = tg 12 Òîãäà ìï0 < sin x < 1, ï π ìï0 < sin x < 1, é ï ïïé ïï + 2πk, êx = π + πk, ê 12 ïíétgx = 2 + 3,  ïíê x = k Î Z.  ê 12 ïïêê ïïêê ê x = 5π + 2πk, ê ïïîïêëtgx = 2 - 3 ïïê x = 5π + πk 12 ë ïê ïïîë 12

à

315


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðè îòáîðå êîðíåé ìû ó÷ëè, ÷òî îíè äîëæíû ïðèíàäëåæàòü òîëüêî ïåðâîé è âòîðîé êîîðäèíàòíîé ÷åòâåðòÿì. π 5π Îòâåò: +2πk ; + 2πk , k Î Z . 12 12 Ïðèìåð 8. Ðåøèòå óðàâíåíèå

(cos2x)2cos3x+4cos x-1 = (cos2x)-1 . Ðåøåíèå. Âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëîé ðåøåíèÿ ïðîñòåéøèõ ïîêàçàòåëüíûõ óðàâíåíèé âèäà f (x) g ( x) = f (x)h( x) . Èìååì ìïf (x) > 0, f (x) g ( x) = f (x)h( x)  ïí ïï(f (x) -1)(g(x) - h(x)) = 0. î Ïðèìåíÿÿ ýòó ôîðìóëó ê äàííîìó óðàâíåíèþ, ïîëó÷èì, ÷òî

(cos2x)2cos3x+4cos x-1 = (cos2x)-1  ìïcos2x > 0,  ïí  ïïî(cos2x -1)(2cos 3x + 4 cos x) = 0 écos2x = 1, écos2x = 1, ê ê êìïcos2x > 0,  êï  êêïïìcos2x > 0,  í êïcos 3x + 2cos x = 0 êíï4 cos3 x - 2cos x = 0 êëîï ëêîï é2x = 2πk, ê écos2x = 1, êìï π π ê êïìcos2x > 0, êêïïï 4 + πn < x < 4 + πn, êï êï  êêïïïécos x = 0,  êïïïé  π êíê x = + πl, ê êí ï ï ê ê 2 2 1 êïê êï êcos x = ïïê êï ï ê ê ê 2 êïï x =  π + πm, êëïîë ê 4 êëïïîë  x = πk , k Î Z . Îòâåò: πk , k Î Z .

Ïðèìåð 9. Ðåøèòå óðàâíåíèå 3 1 + lg(tgx)

+ 3 1 - lg(tgx) = 2 .

Ðåøåíèå. Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîãî óðàâíåíèÿ âîñïîëüçóåìñÿ óñëîâíûì òîæäåñòâîì: åñëè ÷èñëà à, b, ñ íå âñå ðàâíû ìåæäó 316


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

ñîáîé è a + b + c = 0 , òî a3 + b3 + c3 = 3abc . Çàïèøåì óðàâíåíèå 3 1 + lg(tgx) + 3 1 - lg(tgx) = 2 â âèäå

3 1 + lg(tgx)

+ 3 1 - lg(tgx) + (-2) = 0 .

Òàê êàê òðè ñëàãàåìûõ, ñòîÿùèõ â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, îäíîâðåìåííî íå ðàâíû ìåæäó ñîáîé, òî óðàâíåíèå áóäåò ðàâíîñèëüíî ñëåäóþùåìó: 1 + lg(tgx) + 1 - lg(tgx) + (-8) = 3(-2) 3 1 - lg2 (tgx) .

Ïîëó÷èì 1 = 3 1 - lg2 (tgx)  lg(tgx) = 0  tgx = 1  π  x = + πk , k Î Z . 4 π Îòâåò: + πk , k Î Z . 4

Ïðèìåð 10. Ðåøèòå óðàâíåíèå

(3sin x + 4 cos x)(20 + 12sin x + 5cos2x) = 143 . Ðåøåíèå. Îöåíèì âåëè÷èíó êàæäîãî ñîìíîæèòåëÿ, âõîäÿùåãî â ëåâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ. Èìååì æ 3 4 4ö 3sin x + 4 cos x = 5 sin x + cos x = 5 sin ççx + arcsin ÷÷÷ £ 5 . è 5 5 5ø Äàëåå 20 + 12sin x + 5cos2x = 20 + 12sin x + 5(1 - 2sin2 x)= = -10sin2 x + 12sin x + 25 = æ æ 6 9 ö 143 3 ö2 143 . = -10 ççsin2 x - sin x + ÷÷÷ + = -10 ççsin x - ÷÷÷ + è è 5 25 ø 5 5ø 5

Ó÷èòûâàÿ, ÷òî sin x £ 1 , ïîëó÷èì, ÷òî -3 £-10´ æ 3 ö2 143 143 . Ïîýòîìó ïðîèçâåäåíèå äâóõ ñîìíî´ççsin x - ÷÷÷ + £ è 5ø 5 5 æèòåëåé ïðèíàäëåæèò èíòåðâàëó (–15; 143]. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå ìîæåò èìåòü ðåøåíèÿ òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè îäíîâðåìåííî âûïîëíåíû äâà óñëîâèÿ: 317


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ìï æ ö ïï5sin çx + arcsin 4 ÷÷ = 5, çè ïï 5 ø÷ í ï æ 3 ö 143 143 = . ïïï-10 ççsin x - ÷÷÷ + è ø 5 5 5 ïî Ðåøàÿ ïåðâîå óðàâíåíèå, íàõîäèì, ÷òî 4 π π 4 x + arcsin = + 2πk  x = - arcsin + 2πk  5 2 2 5 3  x = arcsin + 2πk , k Î Z . 5 Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííîå ðåøåíèå, óáåæäàåìñÿ, ÷òî îíî óäîâëåòâîðÿåò âòîðîìó óðàâíåíèþ. 3 Îòâåò: arcsin + 2πk , k Î Z . 5 Ïðèìåð 11. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin 3x + cos2x = cos 4x - 3 sin x

Ðåøåíèå. Ïðåäâàðèòåëüíî ïðåîáðàçóåì óðàâíåíèå: sin 3x + cos2x = cos 4x - 3 sin x   sin 3x + cos2x - cos 4x = -3 sin x   sin 3x + 2sin x sin 3x + 3 sin x = 0. Âîñïîëüçóåìñÿ îïðåäåëåíèåì ìîäóëÿ ÷èñëà è çàìåíèì óðàâíåíèå ðàâíîñèëüíîé åìó ñîâîêóïíîñòüþ ñèñòåì: éïìsin x ³ 0, êïí êïsin 3x + 2sin x sin 3x + 3sin x = 0, êïî  ê êïìïsin x < 0, êí êëïïîsin 3x + 2sin x sin 3x - 3sin x = 0 éïìsin x ³ 0, êï êíï 3 3 êïïî3sin x - 4sin x + 2(3sin x - 4sin x)sin x + 3sin x = 0, ê ê êïìïsin x < 0, êí êïï3sin x - 4sin3 x + 2(3sin x - 4sin3 x)sin x - 3sin x = 0. êëïî Ðåøèì ïåðâóþ ñèñòåìó ñîâîêóïíîñòè. ìïsin x ³ 0, ï  í ïïsin x (4sin3 x + 2sin2 x - 3sin x - 3)= 0 ïî 318


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

ìïsin x ³ 0, ï í  ïïsin x (sin x -1)(4sin2 x + 6sin x + 3)= 0 ïî é x = πk, ésin x = 0, ê ê k Î Z.  ê π êsin x = 1 ê x = + 2πk, ë êë 2 Ðåøèì âòîðóþ ñèñòåìó ñîâîêóïíîñòè. ìïsin x < 0, ïï ïïé -1 - 13 ïìïsin x < 0, ïê , ïíêsin x =  í 4 ïïsin x (4sin2 x + 2sin x - 3)= 0 ïê ïî ïïïê -1 + 13 . ïïêêsin x = 4 ïîë Ïåðâîå óðàâíåíèå ñîâîêóïíîñòè ðåøåíèé íå èìååò, à ðåøåíèÿ âòîðîãî íå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ, âõîäÿùåìó â ñèñòåìó. Òàêèì îáðàçîì, âòîðàÿ ñèñòåìà ñîâîêóïíîñòè ðåøåíèÿ íå èìååò. π Îòâåò: pk; +2πk , k Î Z . 2

Ïðèìåð 12. Ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà à ðåøèòü óðàâíåíèå sin ( x - a) = sin x + sin a . Ðåøèòü óðàâíåíèå ñ ïàðàìåòðàìè — ýòî çíà÷èò óêàçàòü, ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà óðàâíåíèå èìååò ðåøåíèÿ, ñêîëüêî è êàêèõ, ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà óðàâíåíèå íå èìååò ðåøåíèé. Ðåøåíèå. Äàííîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòåéøèì ñ òî÷êè çðåíèÿ åãî ðåøåíèÿ è ïðîâåäåíèÿ àíàëèçà ïîëó÷åííûõ ðåøåíèé. Èìååì sin ( x - a) = sin x + sin a  x-a x-a x+a x-a  2sin cos = 2sin cos  2 2 2 2 éx-a π = + πk, x-a é ê = 0, êcos ê 2 2 ê 2 ê  êêa = 2πn,  êsin x - a = sin x + a ê ê ê x = π + 2πl, 2 2 ë ê ë 319


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

é x = a + π + 2πk, ê  êê x = π + 2πl, êa = 2πn. êë Îñòàëîñü äàòü ïðàâèëüíóþ òðàêòîâêó ïîëó÷åííîé ñîâîêóïíîñòè. Îòâåò: Ïðè a = 2πn , x Î R . Ïðè a ¹ 2πn , x = π +2πk , x = a + p +2πk , k Î Z .

Ïðèìåð 13. Íàéäèòå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå 1 + p sin x = p2 - sin2 x èìååò ðåøåíèå. Ðåøåíèå. Çàïèøåì óðàâíåíèå â âèäå sin2x + psinx + 1 − − p2 = 0 è ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (t) = t2 + pt + 1 - p2 . Ñâåäåíèå ðåøåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñ ïàðàìåòðîì ê ðàññìîòðåíèþ ñâîéñòâ êîðíåé êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà, ïîëó÷àþùåãîñÿ â ðåçóëüòàòå ïðîñòîé çàìåíû, ÿâëÿåòñÿ ñàìîé ÷àñòî âñòðå÷àþùåéñÿ çàäà÷åé ïîäîáíîãî ðîäà. Èñõîäíîå óðàâíåíèå áóäåò èìåòü ðåøåíèå ëèøü â òîì ñëó÷àå, êîãäà õîòÿ áû îäèí èç êîðíåé êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà f (t) áóäåò ïðèíàäëåæàòü îòðåçêó [–1; 1]. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî, ÷òîáû âûïîëíÿëîñü õîòÿ áû îäíî èç óñëîâèé: ëèáî f (1)⋅ f (-1) £ 0 , ëèáî ïìïDf ³ 0, ï ïïïf ¢ (-1) £ 0, ïï íf (-1) ³ 0, ïï ïïf ¢ (1) ³ 0, ïï ïïf (1) ³ 0. î Ïåðâîå óñëîâèå îòâå÷àåò ñëó÷àþ, êîãäà íà îòðåçêå [–1; 1] ëåæèò ðîâíî îäèí êîðåíü òðåõ÷ëåíà, à âòîðîé — êîãäà íà îòðåçêå îáà êîðíÿ.  ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó÷èì:

(2 - p + p2 )(2 - p - p2 )£ 0  ( p + 2)( p + 1)( p -1)( p - 2) £ 0  é-2 £ p £-1, ê  1£ p £2 . ê1 £ p £ 2 ë 320


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Âî âòîðîì ñëó÷àå ïîëó÷èì ìï5 p2 - 4 ³ 0, ïï ìï 2 ïï p ³ , ïï p - 2 £ 0, ï 5 ïï ïï 2 2 £ p £1 . íï- p - p + 2 ³ 0,  íï-2 £ p £ 2,  ïï ïï 5 ïï p + 2 ³ 0, ïï-1 £ p £ 2, ïï ïï-2 £ p < 1 2 ï ïî p p 2 0 + + ³ ïî Îáúåäèíÿÿ äàííûå ðåøåíèÿ, ïîëó÷èì, ÷òî èñêîìûìè çíà÷åíèÿìè ïàðàìåòðà ÿâëÿþòñÿ çíà÷åíèÿ, óäîâëåòâîðÿþ2 ùèå íåðàâåíñòâó £ p £2 . 5 2 Îòâåò: £ p £2 . 5

Ïðèìåð 14. Ðåøèòå óðàâíåíèå cos4x − (a + 2)cos2x − (a + 3) = 0 ïðè âñåõ çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà. Ðåøåíèå. Òàê êàê ïðåäñòîèò ðàññìàòðèâàòü âåëè÷èíó êîðíåé êâàäðàòíîãî òðåõ÷ëåíà è èõ ðàñïîëîæåíèå îòíîñèòåëüíî îòðåçêà [–1; 1], òî ïîëåçíî ïåðâûì øàãîì íàéòè äèñêðèìèíàíò ñîîòâåòñòâóþùåãî òðåõ÷ëåíà.  ïðîñòåéøèõ ñëó÷àÿõ ýòî ìîæåò ïðèâåñòè ê çíà÷èòåëüíîìó óïðîùåíèþ ðàññìàòðèâàåìîãî óðàâíåíèÿ, à âî âñåõ îñòàëüíûõ âñå ðàâíî ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìîé ÷àñòüþ ðåøåíèÿ. 2 2 Èòàê, D = (a + 2) + 4 (a + 3) = a2 + 8a + 16 = (a + 4) . Òàê êàê äèñêðèìèíàíò åñòü ïîëíûé êâàäðàò, òî èñõîäíîå óðàâíåíèå ìîæåò áûòü áåç òðóäà çàìåíåíî ñîâîêóïíîñòüþ ïðîñòåéøèõ óðàâíåíèé. cos4 x - (a + 2)cos2 x - (a + 3) = 0  é a +2-a -4 , écos2 x = -1, êcos2 x = ê 2 ê  êê 2  êcos2 x = a + 2 + a + 4 êëcos x = a + 3 ê 2 ë  cos2 x = a + 3 .

Ïðîñòåéøåå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå cos2 x = a + 3 èìååò ðåøåíèå ëèøü ïðè 0 £ a + 3 £ 1 , ò.å. ïðè -3 £ a £-2 . 321


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

È ïðè ëþáîì èç ýòèõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà x =  arccos a + 3 + πk , k Î Z .

Îòâåò: x =  arccos a + 3 + πk , k Î Z , åñëè -3 £ a £-2 . Ïðèìåð 15. Ðåøèòå óðàâíåíèå

(

2 +1

sin x

)

+

(

2 -1

sin x

)

= p, p Î R .

Ðåøåíèå. Ïðåæäå âñåãî, äàííîå óðàâíåíèå ÿâëÿåòñÿ ñìåøàííûì óðàâíåíèåì ñ ïàðàìåòðîì è äîëæíî èññëåäîâàòüñÿ ñ ó÷åòîì ñâîéñòâ ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè. 1 Çàìåòèì, ÷òî 2 -1 = . Ïîýòîìó óðàâíåíèå ìîæíî 2 +1 çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:

(

sin x

-

sin x

2 + 1) 2 + ( 2 + 1) 2 = p . Ñëåäîâàòåëüíî, ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ ìîæåò áûòü çàïèñàíà êàê ôóíêöèÿ âèäà f (t) = at + a-t , ãäå a = 2 + 1 , à -1 £ t £ 1 . Ýòà ôóíêöèÿ ÷åòíàÿ, íàèìåíüøåå åå çíà÷åíèå ðàâíî 2 è äîñòèãàåòñÿ ïðè t = 0, à íàèáîëüøåå çíà÷åíèå äîñòèãàåòñÿ íà êîíöàõ îòðåçêà èçìåíåíèÿ àðãóìåíòà è ðàâíî 1 2 +2 f (1) = f (-1) = 2 + 1 + = = 2 +1 2 +1 = 2 ⋅ 2 +1 = 2 + 2 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå èìååò ðåøåíèå, åñëè 2£ p £ 2+2 2 .

Ïðè íàéäåííûõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà ð ïîëó÷àåì óðàâíåíèå é 2 ê at = p + p - 4 , ê 2 a2t - p ⋅ at + 1 = 0  êê ê t p - p2 - 4 êa = . êë 2 sin x Âñïîìèíàÿ î òîì, ÷òî 2 £ p £ 2 + 2 2 , a t = , ïîëó2 ÷èì, ÷òî

( 322

2 +1

sin x 2

)

=

p + p2 - 4 èëè 2

(

2 +1

-

)

sin x 2

=

p + p2 - 4 . 2


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Ðåøàÿ äàííóþ ñîâîêóïíîñòü, ïîëó÷èì, ÷òî p + p2 - 4 2 x =  arcsin + πk , k Î Z . ln ( 2 + 1) p + p2 - 4 2ln 2 Îòâåò: ïðè 2 £ p £ 2 + 2 2 , x =  arcsin + πk, ln 2 + 1) ( kÎZ . 2ln

Ïðè äðóãèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà ð óðàâíåíèå ðåøåíèé íå èìååò. Ïðèìåð 16. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà ñóùåñòâóåò ðåøåíèå óðàâíåíèÿ a + a + sin x = sin x ? Ðåøåíèå. Ðåøåíèå äàííîãî óðàâíåíèÿ äàåò ïðåêðàñíóþ âîçìîæíîñòü ïðîèëëþñòðèðîâàòü îäèí èç îñíîâîïîëàãàþùèõ ïðèíöèïîâ ðåøåíèÿ ëþáûõ çàäà÷ ñ ïàðàìåòðàìè — ïðèíöèï ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà â êà÷åñòâå ïàðàìåòðà ëþáîé èç âõîäÿùèõ â çàäà÷ó ïåðåìåííûõ. ïì0 £ sin x £ 1,  a + a + sin x = sin x  ïí ïïa + a + sin x = sin2 x î ìï0 £ sin x £ 1, ïï ï  ísin2 x - a ³ 0, ïï ïïa + sin x = sin4 x - 2a sin2 x + a2 . ïî Ïðèìåíÿÿ àëãîðèòì ðåøåíèÿ èððàöèîíàëüíîãî óðàâíåíèÿ, ìû ïðèâåëè èñõîäíîå óðàâíåíèå ê ðàâíîñèëüíîé åìó ñèñòåìå. Îäíà íåïðèÿòíîñòü: âîçíèêøåå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå óðàâíåíèå — óðàâíåíèå ÷åòâåðòîé ñòåïåíè ñ ïàðàìåòðîì. Ïðèìåíèì ïðèíöèï ïðîèçâîëüíîñòè âûáîðà ïàðàìåòðà. Îáúÿâèì ïåðåìåííîé áûâøèé ïàðàìåòð à, à ïàðàìåòðîì áûâøóþ èñêîìóþ ôóíêöèþ sinx. Îòíîñèòåëüíî à óðàâíåíèå èìååò âòîðóþ ñòåïåíü è çàïèñûâàåòñÿ â âèäå: a2 - a (2sin2 x + 1)+ (sin4 x - sin x)= 0 .

Âû÷èñëèì äèñêðèìèíàíò. 2

D = (2sin2 x + 1) - 4 (sin4 x - sin x)= 4sin2 x + 4sin x + 1 = 2

= (2sin x + 1) . 323


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Äèñêðèìèíàíò åñòü ïîëíûé êâàäðàò, ïîýòîìó óðàâíåíèå ðàñïàäàåòñÿ íà ñîâîêóïíîñòü áîëåå ïðîñòûõ óðàâíåíèé: éa = sin2 x + sin x + 1, ésin2 x + sin x + 1 - a = 0, ê  êê 2 ê 2 = a sin x sin x ëê ëêsin x - sin x - a = 0. Âîçíèêàþò äâà óðàâíåíèÿ, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ ñòàâèòñÿ ðàíåå ðàññìîòðåííûé âîïðîñ: ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà õîòÿ áû îäèí èç êîðíåé îäíîãî èç óðàâíåíèé ïðèíàäëåæèò îòðåçêó [-1;1] ? Îäíàêî íàäî ó÷åñòü, ÷òî ýòè óðàâíåíèÿ âõîäÿò â ñèñòåìó, êîòîðàÿ ñîäåðæèò åùå äâà óñëîâèÿ ïìï0 £ sin x £ 1, í 2 ïïsin x - a ³ 0. î Ïðè ýòèõ îãðàíè÷åíèÿõ ïåðâîå óðàâíåíèå ñîâîêóïíîñòè ðåøåíèé íå èìååò. Ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü òîëüêî âòîðîå óðàâíåíèå. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (t) = t2 - t - a , t Î [-1;1] . Äëÿ òîãî ÷òîáû äàííûé êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí èìåë íà îòðåçêå [-1;1] õîòÿ áû îäèí êîðåíü, íåîáõîäèìî è äîñòàòî÷íî, ÷òîáû îðäèíàòà âåðøèíû ïàðàáîëû áûëà îòðèöàòåëüíîé, à õîòÿ áû â îäíîé èç ãðàíè÷íûõ òî÷åê îòðåçêà [-1;1] çíà÷åíèÿ ñàìîãî òðåõ÷ëåíà áûëè, íàïðîòèâ, íåîòðèöàòåëüíû (ìû èñïîëüçóåì 1 òî, ÷òî àáñöèññà âåðøèíû ïàðàáîëû ðàâíà ). 2 Òàêèì îáðàçîì, èñêîìûå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà çàäàþòñÿ ñëåäóþùèìè óñëîâèÿìè: ìï 1 1 ïï - - a £ 0, ïì 1 ïï 4 2 ïa ³- , 1  íï 4 - £a£0. íé-a ³ 0, ï ïï 4 ï ê ï ïîa £ 0 ïïê2 - a ³ 0 îë 1 Îòâåò: - £ a £ 0 . 4 Âòîðîå ðåøåíèå. Èç óñëîâèÿ óðàâíåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî 0 £ sin x £ 1 . Ñäåëàåì çàìåíó t = sin x , 0 £ t £ 1 è ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f (t) = t + a . Òîãäà íà îòðåçêå [0;1] ïðè êàæäîì èç èñêîìûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà ôóíêöèÿ ÿâëÿåòñÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàþùåé. 324


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Óðàâíåíèå çàïèøåòñÿ â âèäå f (f (t)) = t , êîòîðîå â ñèëó ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè áóäåò ðàâíîñèëüíî óðàâíåíèþ f (t) = t. Òàêèì îáðàçîì: a + a + sin x = sin x  a + sin x = sin x  ïì0 £ sin x £ 1,  ïí 2 ïîïsin x - sin x - a = 0. Òàêèì îáðàçîì, ïðè âòîðîì ðåøåíèè ìû ïðèõîäèì ê åäèíñòâåííîìó óðàâíåíèþ, êîòîðîå ìîæåò èìåòü ðåøåíèå. Ðåøàÿ äàëåå, êàê â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, ñðàçó ïîëó÷èì, ÷òî 1 - £a£0 . 4 1 Îòâåò: - £ a £ 0 . 4 Âîîáùå èñïîëüçîâàíèå îáùèõ ñâîéñòâ ôóíêöèé ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ÷àñòî âñòðå÷àþùèìñÿ ïðèåìîì ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ çàäà÷, â òîì ÷èñëå è ñîäåðæàùèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñîñòàâëÿþùèå.

Ïðèìåð 17. Ðåøèòå óðàâíåíèå

(

(

)

2

sin x 1 + 2 + sin2 x + (3sin x -1) 1 + 2 + (3sin x -1)

)= 0 .

Ðåøåíèå. Áðîñàåòñÿ â ãëàçà íåêîòîðàÿ ïîõîæåñòü ñëàãàåìûõ, ñòîÿùèõ â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, ÷òî ïðèâîäèò ê ìûñ-

(

)

ëè ðàññìîòðåòü ôóíêöèþ f (t) = t 1 + 2 + t2 . Ôóíêöèÿ îïðåäåëåíà ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà. Ñëåäîâàòåëüíî, èñïîëüçóÿ ââåäåííóþ ñèìâîëèêó, óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå f (sin x) + f (3sin x -1) = 0   f (sin x) = -f (3sin x -1) .

Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî äàííàÿ ôóíêöèÿ — íå÷åòíàÿ, òàê êàê f (-t) = t 1 + 2 + t2 = -f (t) .

(

)

Èñïîëüçóÿ ýòîò ôàêò, óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå f (sin x) = f (1 - 3sin x) . 325


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Íàéäåì ïðîèçâîäíóþ äàííîé ôóíêöèè, ÷òîáû óñòàíîâèòü èíòåðâàëû åå ìîíîòîííîñòè. t2 , f ¢ (t) > 0 äëÿ ëþáîãî t. f ¢ (t ) = 1 + 2 + t 2 + 2 + t2 Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèÿ ìîíîòîííî âîçðàñòàåò. Èñõîäÿ èç îïðåäåëåíèÿ ìîíîòîííîé ôóíêöèè, ïîëó÷èì, ÷òî f (sin x) = f (1 - 3sin x)  sin x = 1 - 3sin x  1 k  4sin x = 1  x = (-1) arcsin + πk , k Î Z . 4 1 k Îòâåò: (-1) arcsin + πk , k Î Z . 4 Ïðèìåð 18. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå x2 - 2a sin (cos x) + a2 = 0 èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Ðåøåíèå. Åùå îäèí ïðèìåð íà èñïîëüçîâàíèå ñâîéñòâ ôóíêöèé, âõîäÿùèõ â óðàâíåíèå. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ f(x) = x2 − 2asin(cosx) + a2, îïðåäåëåííóþ ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ àðãóìåíòà, è, êàê õîðîøî âèäíî, ÷åòíóþ. Ïîýòîìó, åñëè ïðè êàêîì ëèáî çíà÷åíèè ïàðàìåòðà a0 óðàâíåíèå x2 - 2a sin (cos x) + a2 = 0 èìååò ðåøåíèå x = x0, òî ÷èñëî x = –x0 òàêæå áóäåò ðåøåíèåì äàííîãî óðàâíåíèÿ. Ïîýòîìó íåîáõîäèìûì óñëîâèåì åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñîâïàäåíèå ýòèõ çíà÷åíèé, ò.å. x0 = -x0  x = 0 . Òàêèì îáðàçîì, äëÿ òîãî ÷òîáû óðàâíåíèå ìîãëî èìåòü åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, íåîáõîäèìî, ÷òîáû ÷èñëî x0 = 0 ÿâëÿëîñü ðåøåíèåì. Òåïåðü íàéäåì òå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðûõ x0 = 0 — ðåøåíèå. éa = 0, Ïîäñòàâèâ, ïîëó÷èì, ÷òî a2 - 2a sin1 = 0  ê êa = 2sin1. ë Íàêîíåö, èç íàéäåííûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà îòáåðåì òå, êîòîðûå óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ çàäà÷è. Åñëè a = 0, òî óðàâíåíèå ïðèîáðåòàåò âèä x2 = 0 è èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x0 = 0. Åñëè a = 2sin1, òî óðàâíåíèå çàïèøåòñÿ â âèäå x2 - 4sin1⋅ sin (cos x) + 4sin2 1 = 0 . 326


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Òåïåðü çàìåòèì, ÷òî, òàê êàê cos x £ 1 , òî 0 £ sin (cos x) £ £ sin1 , ïîýòîìó -4sin1⋅ sin (cos x) + 4sin2 1 ³ 0 , ïðè÷åì ðàâåíñòâî âåðíî òîëüêî ïðè x = 0. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè a = 2sin1 óðàâíåíèå òàêæå èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå x0 = 0. Îòâåò: 0; 2sin1. Óïðàæíåíèå 1. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ.

2.

x (1 - cos x) = 6cos x - sin x . 2 10 cos x - 4 cos x - cos2x = 0 .

3.

-3sin2x = -2sin2x - sin x + cos x -1 .

1.

2cos2

3sin2x = 2sin2x + sin x + cos x -1 . 5 1 . 5. 5tgx + 10 = sin x + 2 cos x Îòâåòû: 3π + 2πk ; arctg3 + 2πk , k Î Z . 1) 2 π 2)  +2πk , k Î Z . 3 π π k+1 π k+1 π 3) - + (-1) + πk ; - + (-1) + πk , k Î Z . 4 4 4 3 π π k π k π 4) - + (-1) + πk ; - + (-1) + πk , k Î Z . 4 4 4 3 1 5)  arccos + 2πk , k Î Z . 5 Óïðàæíåíèå 2. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ. 1. 1 + cos 4x ⋅ sin x = 2 . 3x 2. 1 + cos 6x ⋅ sin =- 2 . 2 3. 4 cos2x - 2sin2x = 2cos x .

4.

4.

cos x + cos 3x = - 2 cos x .

5. cos2x = 1 + 2sin x . Îòâåòû: π 1) +2πk , k Î Z . 2 π 4π 2) - + k , kÎZ . 3 3

327


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

π 3) 2πk ; - +2πk , k Î Z . 4 π 2π 4) + πk ;  + 2πk , k Î Z . 2 3 5) πk, k Î Z .

Óïðàæíåíèå 3. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ. 1

2

1. 4 cos

x

sin x

2. 4

2

3. 2sin 4. 4

- 2tg

2

x

-3 = 0 .

sin x +cos x

- 3⋅ 2

x

cos2 x

2

+ 2cos +4

x

=3.

cos x

=3.

2

+ 2 ⋅ 4cos x = 0 .

sin2 x-1,5sin x +0,5

=1 . 5. cos x Îòâåòû: 1) πk, k Î Z . π 2) + πk , k Î Z . 4 π 3) k , k Î Z . 2 π π 4) + k , k Î Z . 4 2 k π 5) πk ; (-1) + πk , k Î Z . 6 Óïðàæíåíèå 4. Ðåøèòå óðàâíåíèÿ. 1. 2sin2 x + 2tg2 x - 4tgx - 2 2 sin x + 3 = 0 . 1 1 1 1 . 2. + = cos x cos x cos2x sin x cos2x cos 3x 6cos3 2x + 2sin3 2x =1 . 3cos2x - sin2x 4. cos2 x cos2x + cos 4x + cos 3x cos x + 2cos4 x =

3.

1 - cos x + 1 + cos x = 4sin x , 0 < x < 2π . cos x Îòâåòû: π 1) +2πk , k Î Z . 4 π π 2) + n , n ¹ 3k + 2 , k, n Î Z . 12 3

5.

328

1 2sin

x 2

.


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

1 π 3) - arctg3 + k , k Î Z . 2 2 π 4π π 4π 4) + k , k ¹ 11n + 8 , + m , m ¹ 9n + 2 , k, m, n Î Z. 11 11 9 9 π 3π 7π 5) ; ; . 6 10 6

Óïðàæíåíèå 5. 1. Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå x2 - 2c sin (cos x) + 2 = 0 èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. 1 Îòâåò: . sin1 2. Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðîâ óðàâíåíèå x + cos2 4a - 2sin a cos4 4a + æ 3π ö + x + sin2 a = b çça + ÷÷÷ è 2ø

èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå? π 3π Îòâåò: 1) b = 0 , a = +2πk ; 2) b Î R , a = - 2 . 2 2 4 2 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin x + (a - 4)sin x - 3(a -1) = 0 ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà. Îòâåò:  arcsin 1 - a + πk , k Î Z , 0 £ a £ 1 . 1 1 1 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå + + = a ïðè âñåõ cos x sin x sin x cos x çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà. éa £-2( 2 -1), a +2 π ê Îòâåò:  arccos + 2πk , k Î Z , ê 4 a 2 êa ³ 2( 2 + 1). êë

5. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin6 x + cos6 x = a ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà. 1 2 1- a π 1 Îòâåò:  arcsin + k , k Î Z , £ a £ 1 . Ïðè ïðî÷èõ 2 2 4 3 a ðåøåíèé íåò. 329


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

§ 4. Ðåøåíèå ñèñòåì òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé è òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ïðèâîäèìûõ ê íèì Îñíîâíûå ìåòîäû ðåøåíèÿ ñèñòåì òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé òå æå, ÷òî è àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì: èñêëþ÷åíèå íåèçâåñòíûõ, çàìåíà ïåðåìåííîé è ò.ä. Îäíàêî â îòëè÷èå îò íèõ êàæäîå óðàâíåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû îáû÷íî èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé, ÷òî ïðèâîäèò ê íåîáõîäèìîñòè îòáîðà ñåðèé êîðíåé èëè ÷àñòåé ýòèõ ñåðèé. Ïðèìåð 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin 3x - 2cos2x = 3 . Ðåøåíèå.  ñèëó îãðàíè÷åííîñòè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé, ñòîÿùèõ â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ, ïìsin 3x = 1, sin 3x - 2cos2x = 3  ïí ïïîcos2x = -1, òàê êàê sin 3x £ 1 , cos2x £ 1 . Ïîýòîìó ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ áóäóò ñëóæèòü ðåøåíèÿ äàííîé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ñèñòåìû. π ì ïï3x = + 2πk, k Î Z, ïìïsin 3x = 1,  íï 2 í ï îïcos2x = -1 ïïï2x = π + 2πn, n Î Z. î Î÷åíü âàæíî ïîìíèòü, ÷òî èñïîëüçîâàòü îäèí öåëî÷èñëåííûé ïàðàìåòð äëÿ çàïèñè ðåøåíèÿ ñèñòåìû òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé íåëüçÿ, òàê êàê ïðåäñòîèò åùå íàéòè îáùåå ðåøåíèå. ìï π 2π ïïx = + k, ï 6 3 k, n Î Z . í ïï π x n , π = + ïï 2 ïî Íàéäåì, èìåþò ëè ïîëó÷åííûå ðåøåíèÿ êàæäîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû îáùèå çíà÷åíèÿ, ò.å. ñóùåñòâóþò ëè öåëûå çíà÷åíèÿ k è n, ïðè êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå π 2π π + k = + πn . 6 3 2 Èìååì π 2π π + k = + πn  1 + 4k = 3 + 6n  4k - 6n = 2 . 6 3 2 330


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Òàê êàê ÍÎÄ(4, 6) = 2, òî äàííîå íåîïðåäåëåííîå óðàâíåíèå áóäåò èìåòü ðåøåíèÿ. Ñîêðàòèâ íà 2, ïîëó÷èì: n +1 . 2k = 3n + 1  k = n + 2 Äëÿ òîãî ÷òîáû k áûëî öåëûì, n äîëæíî áûòü íå÷åòíûì, ò.å. óðàâíåíèå èìååò ðåøåíèå, åñëè n = 2m – 1, è â ýòîì ñëó÷àå π x = - +2πm , m Î Z . 2 π Îòâåò: - +2πm , m Î Z . 2 Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñèñòåìû ìîãóò áûòü è ñìåøàííûìè, ÷òî îáû÷íî âîçíèêàåò ïðè îòáîðå êîðíåé êàêîãî-ëèáî óðàâíåíèÿ. sin 3x = 0. Ïðèìåð 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå cos 6x Ðåøåíèå. ïìsin 3x = 0, sin 3x = 0  ïí  ïïîcos 6x ¹ 0 cos 6x π ìï ïïx = k, 3 k, n Î Z .  ïí π π ïï x n , ¹ + ïï 12 6 îï  äàííîì ñëó÷àå ðåøåíèåì óðàâíåíèÿ íå áóäóò ÿâëÿòüñÿ ðåøåíèÿ ïåðâîãî óðàâíåíèÿ, íå óäîâëåòâîðÿþùèå íåðàâåíπ ñòâó ñèñòåìû. Íàéäåì, äëÿ êàêèõ öåëûõ ÷èñåë k ÷èñëî k 3 îêàæåòñÿ ïîñòîðîííèì êîðíåì.

π π π k= + n  4k = 1 + 2n . 3 12 6 Òàê êàê ÍÎÄ(4, 2) = 2, òî äàííîå óðàâíåíèå ðåøåíèé íå èìååò, à, ñëåäîâàòåëüíî, èñõîäíîå óðàâíåíèå íå èìååò ïîñòîðîííèõ êîðíåé. π Îòâåò: k , k Î Z . ìï 1 3 ïïsin x cos y = , ï 2 Ïðèìåð 3. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé í ïï 1 ïïsin y cos x = . 2 îï 331


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ðåøåíèå. Çàìåíèì èñõîäíûå óðàâíåíèÿ ñèñòåìû èõ ñóììîé è ðàçíîñòüþ. ìï 1 ïïïsin x cos y = 2 , ïìsin (x + y) = 1, ìïïx + y = π + 2πk, k, n Î Z.  íï  ïí 2 í ïï ïï ïïsin (x - y) = 0 1 î ïîx - y = πn, ïïsin y cos x = 2 ïî Âíîâü íàõîäÿ ñóììó è ðàçíîñòü ïîëó÷åííûõ óðàâíåíèé, èìååì, ÷òî ïìï2x = π + π (2k + n), ïìïx = π + π + (2k + n), ïï ï 2 4 2  íï k, n Î Z. í π π π ïï ïï ( ) ( ) = + π = + + 2 y 2 k n y 2 k n , ïï ïï 2 4 2 îï îï π π æπ π ö Îòâåò: çç + (2k + n); + ( 2k - n)÷÷, k, n Î Z. è4 2 ø 4 2 Êðîìå ðàññìîòðåíèÿ íåîïðåäåëåííîãî óðàâíåíèÿ ñ öåëüþ îòáîðà ðåøåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ èëè ñèñòåìû óðàâíåíèé, òðàäèöèîííî ïðèìåíÿåòñÿ îòáîð ÷èñåë íà òðèãîíîìåòðè÷åñêîì êðóãå. sin2x Ïðèìåð 4. Ðåøèòå óðàâíåíèå = 0. cos 3x Ðåøåíèå. π ìï ìïïsin2x = 0, ïïïx = 2 k, sin2x k, n Î Z . =0í í π π ïîïcos 3x ¹ 0 ïï cos 3x ïïx ¹ + n, 6 3 ïî Èòàê, íàì íóæíî èç ìíîæåñòâà ÷èñåë õ, ïðåäñòàâèìûõ π â âèäå k , k Î Z , èñêëþ÷èòü ïîñòîðîííèå êîðíè, ò.å. ÷èñëà 2 y π 2 π 6

5π 6 π

x

3π 2 332


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

π π + n , n Î Z . Äëÿ ýòîãî èçîáðàçèì äàííûå ÷èñëà íà 6 3 òðèãîíîìåòðè÷åñêîì êðóãå. π Çàêðàøåííûìè òî÷êàìè èçîáðàæåíû ÷èñëà âèäà k, 2 π π k Î Z , à íåçàêðàøåííûìè — ÷èñëà âèäà + n , n Î Z . Èíû6 3 ìè ñëîâàìè, ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ — ÷èñëà, êîòîðûì íà òðèãîíîìåòðè÷åñêîì êðóãå ñîîòâåòñòâóþò ÷åðíûå (çàêðàøåííûå) êðóæêè, íå ñîâïàäàþùèå ñ áåëûìè. Òàêèå ÷èñëà îáðàçóþò äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè, êîòîðûå ìîãóò áûòü îáúåäèíåíû â îäíó, çàäàâàåìóþ ôîðìóëîé x = πm , m Î Z . Îòâåò: πm, m Î Z . Îäíàêî èç-çà íåîäíîçíà÷íîñòè ñîîòâåòñòâèÿ òî÷åê ÷èñëîâîé ïðÿìîé è òî÷åê òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî êðóãà â ýòîì ìåòîäå ìîæåò âîçíèêàòü âèçóàëüíîå ñîâïàäåíèå ÷èñåë, êîòîðîãî íà ñàìîì äåëå íåò. æxö cos çç ÷÷ è2ø Ïðèìåð 5. Ðåøèòå óðàâíåíèå =0. æ x ÷ö ç sin ÷ Ðåøåíèå. èç 3 ø x ì æxö ïïcos = 0, cos çç ÷÷ ï ìïx = π + 2πk, è2ø 2 k, n Î Z. = 0  ïí  ïí æ x ÷ö x ïï ïîïx ¹ 3πn, ç sin ç ÷ ïïsin ¹ 0 è3ø 3 ïî Ïîïðîáóåì ïðîâåñòè îòáîð êîðíåé, èñïîëüçóÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèé êðóã. Èçîáðàçèì, ïîäîáíî ïðåäûäóùåìó ïðèìåðó, ÷èñëà âèäà π + 2πk è 3πn íà òðèãîíîìåòðè÷åñêîì êðóãå.

âèäà

y

x

333


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Íà îñíîâàíèè ðèñóíêà ìîæíî çàêëþ÷èòü, ÷òî äàííîå óðàâíåíèå ðåøåíèé íå èìååò, òàê êàê åäèíñòâåííàÿ çàêðàøåííàÿ òî÷êà, îòâå÷àþùàÿ ÷èñëàì âèäà π + 2πk, âèçóàëüíî ñîâïàäàåò ñ íåçàêðàøåííîé òî÷êîé, îòâå÷àþùåé ÷èñëàì âèäà 3πn. Îäíàêî ëåãêî âèäåòü, ÷òî, íàïðèìåð, ÷èñëà π è 5π ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ïîýòîìó âåðíåìñÿ ê îòáîðó êîðíåé ìåòîäîì ðåøåíèÿ íåîïðåäåëåííîãî óðàâíåíèÿ. Èìååì n -1 3n -1 . π + 2πk = 3πn  k =  k=n+ 2 2 Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïðè íå÷åòíûõ n = 2m + 1 ïîëó÷èì k = 3m + 1 . Òàêèì îáðàçîì, ïðè k = 3m + 1 ïîëó÷àþòñÿ ïîñòîðîííèå êîðíè. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè k = 3m èëè k = 3m + 2 , òî ÷èñëà x = π + 6πm , x = 5π + 6πm , m Î Z ÿâëÿþòñÿ ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ. Îòâåò: π + 6πm, 5π + 6πm, m Î Z . Ðàññìîòðèì òåïåðü ñèñòåìû, ïðè ðåøåíèè êîòîðûõ èñïîëüçóþòñÿ òå æå ìåòîäû, ÷òî è ïðè ðåøåíèè àëãåáðàè÷åñêèõ ñèñòåì. Ïðèìåð 6. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìï 2 sin x + cos y = 1, ï í ïï2sin x - 3cos y = 2. ïî Ðåøåíèå. Äàííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé åñòü ëèíåéíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî sinx è sinó. Ïîýòîìó, ïðèìåíÿÿ ìåòîä Êðàìåðà ïðè ðåøåíèè ïîäîáíûõ ñèñòåì, ïîëó÷èì D=

2 1 = -2 - 3 2 , 2 -3

Dsin x =

1

2 -3

Dcos x = 334

1

2 2

= -3 - 2 , 1 2

=0.


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Ïðèìåíÿÿ ôîðìóëû Êðàìåðà, ïîëó÷èì, ÷òî ì k π ïìïsin x = 1 , ïïïx = (-1) + πk, 4 ï ï k, n Î Z . 2 í í π ï ï ï ïïy = + πn, y cos = 0 ï î ïïî 2 π æ ö k π Îòâåò: çç(-1) + πk; + πn÷÷ , k, n Î Z . è ø 4 2

Ïðèìåð 7. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìï 1 ïïtgx + = 23 34, ïï cos y í ïï tgx 3 2 = 34 - 5. ïï ïî cos y

Ðåøåíèå. Ïóñòü (x0 ; y0 ) — êàêîå-ëèáî ðåøåíèå ñèñòåìû. æ 1 ö÷ ÷ — êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ âèäà Òîãäà ççtgx0 ; çè cos y ø÷÷ 0

t2 - 23 34t + 3 342 - 5 = 0 .

Äèñêðèìèíàíò ýòîãî óðàâíåíèÿ ðàâåí 20, ïîýòîìó ét = 3 34 - 5, ê ê êët = 3 34 + 5. Ïîëó÷èì, ÷òî èñõîäíàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ðàâíîñèëüíà ñëåäóþùåé ñîâîêóïíîñòè: éìïtgx = 3 34 - 5, êïï êí 1 êïcos y = , êïï 3 34 + 5 êïî êì êïïtgx = 3 34 + 5, êï êí 1 êïïcos y = . 3 êëïïî 34 - 5 Åñëè íàëè÷èå ðåøåíèÿ ïåðâîé ñèñòåìû ñîâîêóïíîñòè íå âûçûâàåò ñîìíåíèé, òî âî âòîðîé ñèñòåìå íåîáõîäèìî ñðàâíèòü ìîäóëü ÷èñëà, ñòîÿùåãî â ïðàâîé ÷àñòè âòîðîãî óðàâíåíèÿ, ñ ÷èñëîì 1. 3 < 3 34 < 4 , à 2 < 5 < 3 , ïîýòîìó

3

34 - 5 > 0 . 335


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðîâåäåì ñðàâíåíèå æ ö÷ 1 3 çç çè 3 34 - 5  1ø÷÷  (1  34 - 5 )  (1 + 5  3 34 ) (16 + 8 5  34) æ ö 1  (4 5  9) (80  81)  ççç 3 < 1÷÷÷ . è 34 - 5 ø

Òàêèì îáðàçîì, âòîðîå óðàâíåíèå âòîðîé ñèñòåìû òàêæå èìååò ðåøåíèå. éïìx = arctg 3 34 - 5 + πk, éïìtgx = 3 34 - 5, ( ) êïï êïï êï êí í êï æ ö÷ 1 1 ê ç êïïïcos y = 3 34 + 5 , êêïïy = arccos èçç 3 34 + 5 ø÷÷ + 2πn, ï êïî k, n Î Z.  êî êì ê 3 ìïx = arctg (3 34 + 5 )+ πk, êïïtgx = 34 + 5, ê ï êï êïï êí 1 êí æ ö÷ 1 êïïcos y = êïïy = arccos çç 2πn, 3 êëïïî 34 - 5 ç 3 34 - 5 ø÷÷ + êïï è ëî æ ö æ 1 ÷ö÷ + 2πn÷÷ ; Îòâåò: ççarctg (3 34 - 5 )+ πk; arccos ççç 3 ÷ çè ÷ è 34 + 5 ø ø æ ö 1 ççarctg (3 34 + 5 )+ πk; arccos çæç ÷ö÷ + 2πn÷÷ , k, n Î Z . 3 ÷ ç è 34 - 5 ø èç ø÷

Ïðèìåð 8. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé πö πö ïìï 2æ 2æ ïïx sin ççèx - 6 ø÷÷ = y cos èççy + 6 ÷ø÷, ïí ïï πö πö 2æ 2æ ïïx cos ççèx - ø÷÷ = y sin èççy + ÷÷ø. 6 6 ïî Ðåøåíèå. Çàìåíÿÿ óðàâíåíèÿ ñèñòåìû èõ ñóììîé è ðàçíîñòüþ, ïîëó÷èì ìï πö πö æ æ ïïx sin2 çx - ÷÷ = y cos2 çy + ÷÷, çè èç ïï 6ø 6ø  í ïï π ö÷ π ÷ö 2æ 2æ ç ç x cos x y sin y = + ïï çè èç 6 ø÷ 6 ÷ø ïî

336

ìïx = y, ï  ïí πö πö  æ æ ïïx cos çç2x - ÷÷ = -y cos çç2y + ÷÷ è ø è ïî 3 3ø


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

ìïx = y, ïï í æ  πö π öö æ æ ïïx ççcos ç2x + ÷÷ + cos ç2x - ÷÷÷÷ = 0 ç ç ÷ ç è è ïïî è 3ø 3 øø éïìx = y, êïí éìïx = y, êïx = 0, ïí ê êïî ìïx = y, ê ï x = 0, êì ïï ïî ê ê í   ïïx = π + π k, k Î Z . π êï ïï2x cos cos2x = 0 êêìïx = y, 4 2 êïí ïî 3 êíï ê π ï ï cos2 x 0 = êëîï êïïy = + π k, êëïîï 4 2 Çàìåòèì, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå ïðè çàïèñè âòîðîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìû äîëæåí áûòü èñïîëüçîâàí îäèí ïàðàìåòð k Î Z , òàê êàê â äàííîì ñëó÷àå ðåøåíèÿ ñèñòåìû ñâÿçàíû óñëîâèåì èõ ðàâåíñòâà. æπ π π π ö Îòâåò: (0;0) ; çç + k; + k÷÷ , k Î Z . è4 2 4 2 ø

Ïðèìåð 9. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ïìï6cos x + 4 cos y = 5, í ïïî3sin x + 2sin y = 0. Ðåøåíèå. ì 6cos x + 4 cos y = 5, ì ï ï6cos x = 5 - 4 cos y, ï ï  í í ï ï ï3sin x + 2sin y = 0 ï6sin x = -4sin y î î ì ìcos x > 0, ïïïcos x > 0, ïïï 2 ïï ïïsin x sin y < 0,  íïsin x = - sin y, í  ï ï 6cos x = 5 - 4 cos y, 3 ï ï ï ï 2 2 ï ï ï ïîï40 cos y = 5 ïî36 = 16sin y + (5 - 4 cos y) ïìï ïïsin x sin y < 0, ïï 1 ï  ícos y = , ïï 8 ïï ïïcos x = 3 . ïîï 4 Óñëîâèå sin x sin y < 0 äàåò âîçìîæíîñòü ïðàâèëüíîãî îòáîðà ñåðèé ðåøåíèé äàííîé ñèñòåìû. 337


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

éìï 3 êïïx = arccos + 2πk, êï ìï 4 ïïsin x sin y < 0, êí 1 êïï ïï êïïy = -arccos + 2πn, ïï 1 8 êîï k, n Î Z.  ícos y = , ê ïï ì 3 8 êïï x k arccos 2 , = + π ïï êï 4 êïï ïïcos x = 3 êíï 1 4 ïîï êïy = arccos + 2πn, êïïï 8 ëî æ æ ö 3 3 1 Îòâåò: ççarccos + 2πk;-arccos + 2πn÷÷÷ ; çç-arccos + 2πk; è è ø 4 4 8 ö 1 arccos + 2πn÷÷÷ , k, n Î Z . ø 8

Óïðàæíåíèå 1. 1. Íàéäèòå ñóììó íàèìåíüøåé ïîëîæèòåëüíîé ïàðû ðåøåíèé ñèñòåìû óðàâíåíèé ïìïsin (x + y) = 0, í ïïsin (x - y) = 0. î 2π π 3π Îòâåòû: 1) π; 2) ; 3) ; 4) ; 5) 2π. 3 2 2 Âåðíûé îòâåò — 1). 2. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìï 1 ïï4 + 3 cos x = - , 2 í ïï ïïî28y + 4 3 cos x = 1. æ π æ π æπ 1ö 1ö 1ö Îòâåòû: 1) çç + 2πk; ÷÷÷ ; 2) çç + 2πk; ÷÷÷ ; 3) çç + 2πk; ÷÷÷ ; è 6 è 3 è2 4ø 4ø 4ø æ 5π æ 1 ö÷ 1 ö÷ 4) çç + 2πk; ÷÷ ; 5) ççπ + 2πk; ÷÷ . è 6 è 4ø 4ø Âåðíûé îòâåò — 4). 3. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ïìïx - y = π , ïí 4 ïï ïîtgx ⋅ tgy = 1

è óêàæèòå íàèìåíüøóþ âîçìîæíóþ ñóììó (x; y) — ðåøåíèå äàííîé ñèñòåìû. 338

x + y , ãäå


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

2π π π ; 3) ; 4) ; 5) 2π. 3 4 2 Âåðíûé îòâåò — 3). 4. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé

Îòâåòû: 1) 0; 2)

ìï 2 sin x = sin y, ï í ïï 2 cos x = 3 cos y ïî è íàéäèòå íàèìåíüøåå ðåøåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì x > 0, y > 0. æ π πö æ π πö æ π πö æ π πö æ π πö Îòâåòû: 1) çç ; ÷÷ ; 2) çç ; ÷÷ ; 3) çç ; ÷÷ ; 4) çç ; ÷÷ ; 5) çç ; ÷÷ . è6 4ø è6 6ø è4 6ø è4 4ø è3 4ø Âåðíûé îòâåò — 1). 5. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ïìïtgx + tgy = 2, ï í 1 ïïcos x ⋅ cos y = ïî 2 è íàéäèòå íàèìåíüøåå ðåøåíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå óñëîâèÿì x > 0, y > 0. æ π πö æ π πö æ π πö æ π πö æ π πö Îòâåòû: 1) çç ; ÷÷ ; 2) çç ; ÷÷ ; 3) çç ; ÷÷ ; 4) çç ; ÷÷ ; 5) çç ; ÷÷ . è6 4ø è6 6ø è4 6ø è4 4ø è3 4ø Âåðíûé îòâåò — 4).

Óïðàæíåíèå 2. 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå sin4 x + cos15 x = 1 . π Îòâåò: k , k ¹ 4n + 2 , k, n Î Z . 2 2. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìï sin x ⋅ cos y = 0, ï í ïï2sin2 x - cos2x - 2 = 0. ïî π æ ö k π Îòâåò: çç(-1) + πk; + πn÷÷ , k, n Î Z . è ø 4 2 3. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî êîðíåé èìååò óðàâíåíèå cos2x = a ⋅ cos2x sin x íà îòðåçêå [0;2π] ? Îòâåò: 6. 339


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

4. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìï8-sin4 x + 8 ⋅ 9cos y = 80, ï bÎR . í ïï5 ⋅ 8-sin4 x - 7 ⋅ 9cos y = b, ïî æ π π ö Îòâåò: çç- + k;2πn;-23÷÷ , k, n Î Z . è 8 2 ø 5. Ðåøèòå ñèñòåìó óðàâíåíèé ìïx + y = 54, ïí ïïî4sin x ⋅ cos y = 1. æ 3π π ö π k π 3π k π ÷ Îòâåò: çç + k + (-1) ; - k - (-1) ÷, kÎ Z . ÷ è 20 2 20 20 2 20 ø

§ 5. Ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ Îïðåäåëåíèå. Ïðîñòåéøèìè òðèãîíîìåòðè÷åñêèìè íåðàâåíñòâàìè íàçûâàþòñÿ íåðàâåíñòâà âèäà sin kx  a , cos kx  a, tgkx  a , ctgkx  a (çíàê  çàìåíÿåò îäèí èç ÷åòûðåõ çíàêîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ îòíîøåíèé <, >, ≤, ≥).

5.1. Íåðàâåíñòâà âèäà sinkx  a 1. Åñëè a <-1 , òî íåðàâåíñòâà sin kx < a è sin kx £ a ðåøåíèé íå èìåþò. Íåðàâåíñòâà sin kx > a è sin kx ³ a âåðíû äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ õ. 2. Åñëè a = -1 , íåðàâåíñòâî sin kx <-1 ðåøåíèé íå èìååò. π Íåðàâåíñòâî sin kx £-1  kx = - + 2πn , n Î Z . 2 Íåðàâåíñòâî sin kx ³-1 âåðíî äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé. π 3π Íåðàâåíñòâî sin kx > -1  - + 2πn < kx < + 2πn , n Î Z . 2 2 3. Åñëè 0 < a < 1 , òî: íåðàâåíñòâî: sin kx < a  - arcsin a + π (2n -1) < kx < arcsin a + 2πn , n Î Z . sin kx £ a  - arcsin a + π (2n -1) £ kx £ arcsin a + 2πn , n Î Z . sin kx > a  arcsin a + 2πn < kx < arcsin a + π (2n + 1) , n Î Z . sin kx ³ a  arcsin a + 2πn £ kx £ arcsin a + π (2n + 1) , n Î Z . Îòäåëüíî ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà a = 0 .  ýòîì ñëó÷àå èìååì íåðàâåíñòâî: 340


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

sin kx < 0  π (2n -1) < kx < 2πn , n Î Z . sin kx £ 0  π (2n -1) £ kx £ 2πn , n Î Z . sin kx > 0  2πn < kx < π (2n + 1) , n Î Z . sin kx ³ 0  2πn £ kx £ π (2n + 1) , n Î Z . 4. Åñëè a =1 , òî íåðàâåíñòâî: π 5π sin kx < 1  + 2πn < kx < + 2πn , n Î Z . 2 2 sin kx £ 1  -¥ < kx < +¥ , n Î Z . sin kx > 1  Æ . π sin kx ³ 1  kx = + 2πn , n Î Z . 2 5. Åñëè a > 1, òî íåðàâåíñòâà sin kx < a è sin kx £ a âåðíû äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ õ. Íåðàâåíñòâà sin kx > a è sin kx ³ a ðåøåíèé íå èìåþò. Ââîäÿ íîâóþ ïåðåìåííóþ t = kx, ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî sin t  a , ðåøåíèå êîòîðîãî õîðîøî èëëþñòðèðóåòñÿ íà òðèãîíîìåòðè÷åñêîé îêðóæíîñòè. y π 2 O

y=1 y=a P

π

0

3π 2

x

y = −1

5.2. Íåðàâåíñòâà âèäà coskx  a 1. Åñëè a <-1 , òî íåðàâåíñòâà cos kx < a è cos kx £ a ðåøåíèé íå èìåþò. Íåðàâåíñòâà cos kx > a è cos kx ³ a âåðíû äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ õ. 2. Íåðàâåíñòâî cos kx <-1 ðåøåíèé íå èìååò. Íåðàâåíñòâî cos kx £-1  kx = π + 2πn , n Î Z . Íåðàâåíñòâî cos kx ³-1 âåðíî äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé. Íåðàâåíñòâî cos kx > -1  -π + 2πn < kx < π + 2πn , n Î Z . 341


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

3. Åñëè 0 < a < 1 , òî cos kx < a  arccos a + 2πn < kx <- arccos a + 2π (n + 1) , n Î Z . cos kx £ a  arccos a + 2πn £ kx £- arccos a + 2π (n + 1) , n Î Z . cos kx > a  - arccos a + 2πn < kx < arccos a + 2πn , n Î Z . cos kx ³ a  - arccos a + 2πn £ kx £ arccos a + 2πn , n Î Z .

Îòäåëüíî ðàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà a = 0 . π 3π cos kx < 0  + 2πn < kx < + 2πn , n Î Z . 2 2 π 3π cos kx £ 0  + 2πn £ kx £ + 2πn , n Î Z . 2 2 π π cos kx > 0  - + 2πn < kx < + 2πn , n Î Z . 2 2 π π cos kx ³ 0  - + 2πn £ kx £ + 2πn , n Î Z . 2 2 4. Åñëè a =1 , òî íåðàâåíñòâà: cos kx < 1  2πn < kx < 2π (n + 1) , n Î Z . cos kx £ 1  -¥ < kx < +¥ , n Î Z . cos kx > 1  Æ . cos kx ³ 1  kx = 2πn , n Î Z . 5. Åñëè a >1 , òî íåðàâåíñòâà cos kx < a è cos kx £ a âåðíû äëÿ ëþáîãî çíà÷åíèÿ õ. Íåðàâåíñòâà cos kx > a è cos kx ³ a ðåøåíèé íå èìåþò. Ââîäÿ íîâóþ ïåðåìåííóþ t = kx , ïîëó÷èì íåðàâåíñòâî cos t  a , ðåøåíèå êîòîðîãî õîðîøî èëëþñòðèðóåòñÿ íà òðèãîíîìåòðè÷åñêîé îêðóæíîñòè.

x = −1

y π x=a x=1 2 P

π

0 O 3π 2

342

x


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

5.3. Íåðàâåíñòâà âèäà tgkx  a y

y = tgx y=a

−π

π 2

π 2

0

π

x

Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè y = tgt íà êàæäîì ïåðèîäå, ïîëó÷èì: π tgkx < a  - + πn < kx < arctga + πn , n Î Z . 2 π tgkx £ a  - + πn < kx £ arctga + πn , n Î Z . 2 π tgkx > a  arctga + πn < kx < + πn , n Î Z . 2 π tgkx ³ a  arctga + πn £ kx < + πn , n Î Z . 2

5.4. Íåðàâåíñòâà âèäà ctgkx  a y

y = ctgx y=a

−π

−π 2

0

π 2

π

x

Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî ìîíîòîííîñòè ôóíêöèè y = ctgt íà êàæäîì ïåðèîäå, ïîëó÷èì: 343


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ctgkx < a  arcctga + πn < kx < π (n + 1) , n Î Z . ctgkx £ a  arcctga + πn £ kx < π (n + 1) , n Î Z . ctgkx > a  πn < kx < arcctga + πn , n Î Z . ctgkx ³ a  πn < kx £ arcctga + πn , n Î Z . 1 Ïðèìåð 1. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî sin2x > . 2 Ðåøåíèå. 1 1 1 sin2x >  arcsin + 2πn < 2x <- arcsin + π + 2πn  2 2 2 π 5π π 5π  + 2πn < 2x < + 2πn  + πn < x < + πn , n Î Z . 6 6 12 12 æπ ö 5π Îòâåò: çç + πn; + πn÷÷÷ , n Î Z . è12 ø 12 3 Ïðèìåð 2. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî cos 3x £ . 2 Ðåøåíèå. 3 3 3 cos 3x £  arccos + 2πn £ 3x £ 2π - arccos + 2πn  2 2 2 π 11π π 2π 11π 2π  + 2πn £ 3x £ + 2πn  + n£x£ + n, nÎZ . 6 6 18 3 18 3 é π 2π 11π 2π ù Îòâåò: ê + n; + nú , n Î Z . 18 3 ûú ëê 18 3

Ïðèìåð 3. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî tg3x <-1 . Ðåøåíèå.

π tg3x <-1  - + πn < 3x < arctg (-1) + πn  2 π π π π  - + n < x <- + n , n Î Z . 6 3 12 3 π π ö æ π π Îòâåò: çç- + n;- + n÷÷ , n Î Z . è 6 3 12 3 ø 3 . Ïðèìåð 4. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî ctgx < 3 Ðåøåíèå. 3 3 ctgx <  arcctg + πn < 2x < π + πn  3 3 π π π π  + n<x< + n, nÎZ . 6 2 2 2 æ π π π π ÷ö Îòâåò: çç + n; + n÷ , n Î Z . è6 2 2 2 ø

344


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Êàê è â ñëó÷àå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ðåøåíèå ïðîèçâîëüíûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ àëãåáðàè÷åñêèìè ìåòîäàìè ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ ëèáî ïðîñòåéøèõ íåðàâåíñòâ, ëèáî èõ ñèñòåì, ñîâîêóïíîñòåé è ò.ä. 2+ 3 Ïðèìåð 5. Ðåøèòü íåðàâåíñòâî cos2 2x > . 4 Ðåøåíèå. Ïîíèçèì ñòåïåíü òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ, âîñïîëüçîâàâøèñü ôîðìóëîé êîñèíóñà äâîéíîãî àðãóìåíòà. 2+ 3 2+ 3 cos2 2x >  2cos2 2x -1 > -1  4 2 3  cos 4x >  2 3 3  - arccos + 2πn < 4x < arccos + 2πn  2 2 π π  - + 2πn < 4x < + 2πn  6 6 π π π π  - + n < 4x < + n , nÎZ . 24 2 24 2 π π ö æ π π Îòâåò: çç- + n; + n÷÷ , n Î Z . è 24 2 24 2 ø Ïðèìåð 6. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî (1 + cos 4x)sin2x ³ cos2 2x. Ðåøåíèå.

(1 + cos 4x)sin2x ³ cos2 2x  2cos2 2x sin2x - cos2 2x ³ 0  π é écos2x = 0, ê2x = + πk, ê ê 2 k, n Î Z . ê 1 ê π êsin2x ³ ê + 2πn £ 2x £ 5π + 2πn, êë ê 2 6 ë6 éπ ù π 5π Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè k = n , + 2πk Î ê + 2πk; + 2πkú , ïîêë 6 úû 2 6 ýòîìó ðåøåíèå äàííîãî íåðàâåíñòâà îêîí÷àòåëüíî çàïèøåòñÿ â âèäå éπ 5π + πk, ê + πk £ x £ ê 12 12 2 kÎZ . (1 + cos 4x)sin2x ³ cos 2x  ê ê x = π + πk, ê 4 ë ⎡π ⎤ 5π π Îòâåò: ⎢ + π ; + π ⎥ ∪ + π , k Î Z . ⎢⎣ 12 ⎥⎦ 12 4

{

}

345


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 7. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî x x ö2 æ 1 - sin 3x < ççsin - cos ÷÷ . è 2 2ø Ðåøåíèå. Âîçâîäÿ â êâàäðàò âûðàæåíèå, ñòîÿùåå â ñêîáêàõ, è èñïîëüçóÿ îñíîâíîå òðèãîíîìåòðè÷åñêîå òîæäåñòâî, çàïèøåì íåðàâåíñòâî ñëåäóþùèì îáðàçîì: x x ö2 æ 1 - sin 3x < ççsin - cos ÷÷  è 2 2ø x x x x  1 - sin 3x < sin2 - 2sin cos + cos2 . 2 2 2 2 Èñïîëüçóåì ôîðìóëó ñèíóñà äâîéíîãî àðãóìåíòà, à çàòåì, ïåðåíåñÿ ïîëó÷èâøèåñÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ñëàãàåìûå â îäíó ñòîðîíó íåðàâåíñòâà, ðàçëîæèì ðàçíîñòü îäíîèìåííûõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé â ïðîèçâåäåíèå. 1 - sin 3x < 1 - sin x  sin 3x - sin x > 0   2sin x cos2x > 0  sin x (1 - 2sin2 x)> 0  æ 1 öæ 1 ö  sin x ççç - sin x÷÷÷ççç + sin x÷÷÷ > 0 . è 2 øè 2 ø Ïðè ðåøåíèè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ ïîñòîÿííî íàäî ïîìíèòü îá îãðàíè÷åííîñòè òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé y = sin x è y = cos x . Ïîýòîìó é 1 , ê-1 £ sin x <æ 1 öæ 1 ö ê 2 ÷ ÷ ç ç - sin x÷÷çç + sin x÷÷ > 0  ê sin x çç 1 è 2 øè 2 ø ê . ê0 < sin x < êë 2 Îáðàòèìñÿ ê ãåîìåòðè÷åñêîé èíòåðïðåòàöèè ðåøåíèÿ äâîéíûõ íåðàâåíñòâ. (Ýòîò æå ìåòîä â äàëüíåéøåì áóäåì ïðèìåíÿòü äëÿ ðåøåíèÿ ñèñòåì òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ.) y π 2

3π 4 O π − 3π 4 346

π y= 1 4 Ç2 P 0

3π 2

x

−π y=− 1 4 Ç2


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

Ïîñòðîèì òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ îêðóæíîñòü è ïðîâåäåì 1 1 , y =0 è y =. ïðÿìûå, çàäàííûå óðàâíåíèÿìè y = 2 2 Âûáèðàÿ äóãè, îòâå÷àþùèå ðåøåíèÿì íåðàâåíñòâà, ïîëó÷èì ðåøåíèå ñîâîêóïíîñòè íåðàâåíñòâ. é 3π π ê- + 2πk < x <- + 2πk, é 1 ê 4 4 , ê-1 £ sin x <ê ê π 2 ê  ê2πk < x < + 2πk, kÎZ .  ê 1 ê 4 ê ê0 < sin x < ê 3π êë 2 ê + 2πk < x < π + 2πk, êë 4 Îòâåò: æ 3π ö π π çç- + 2πk;- + 2πk÷÷  æçç2πk; + 2πkö÷÷  ÷ è ø è 4 ø 4 4 æ 3π ö  çç + 2πk; π + 2πk÷÷÷ , k Î Z . è4 ø Ïðèìåð 8. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî cos12x + cos4x ≥ 0. Ðåøåíèå. cos12x + cos4x ≥ 0 ⇔ 2cos8xcos4x ≥ 0. Èñïîëüçóåì ôîðìóëó êîñèíóñà äâîéíîãî àðãóìåíòà: æ 1 öæ 1 ö (2cos2 4x -1)cos 4x ³ 0  ççèçcos 4x - 2 ÷÷÷øèçççcos 4x + 2 ÷÷÷ø cos 4x ³ 0 . Èñõîäíîå íåðàâåíñòâî ïðèâåäåíî ê ñîâîêóïíîñòè ïðîñòåéøèõ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ. é 1 £ cos 4x £ 0, êê 2 ê 1 ê . êcos 4x ³ 2 ëê Ñíîâà îáðàòèìñÿ ê òèãîíîìåòðè÷åñêîé îêðóæíîñòè. x=− 1 Ç2 3π 4

y π 2 P

x= 1 Ç2 π 4

π −

3π 4

0 Q 3π 2

x

π 4 347


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

1 Ïðîâîäÿ ïðÿìûå, çàäàííûå óðàâíåíèÿìè x = , x = 0 2 1 è x= , è âûáèðàÿ äóãè, îòâå÷àþùèå íåðàâåíñòâàì ñîâî2 êóïíîñòè, ïîëó÷àåì é 3π π ê- + 2πk £ 4x £- + 2πk, é 1 2 £ cos 4x £ 0, êê 4 êπ π ê 2 ê  ê- + 2πk £ 4x £ + 2πk,  ê 1 ê 4 ê 4 êcos 4x ³ ê π π 3 êë 2 ê + 2πk £ 4x £ + 2πk êë 2 4 é 3π π π π ê- + k £ x £- + k, ê 4 2 8 2 ê π π π π  êê- + k £ x £ + k, k Î Z. 16 2 ê 16 2 êπ π 3 π π ê + k£x£ + k, êë 8 2 16 2 Îòâåò: é 3π π π π ù é π π π π ù é π π 3π π ù ê- + k;- + kú  ê- + k; + kú  ê + k; + kú , 8 2 ûú ëê 16 2 16 2 ûú ëê 8 2 16 2 ûú ëê 16 2 kÎZ .

Ïðèìåð 9. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 3cos2x + 2cos x ³ 5 . Ðåøåíèå. Ïðèìåíèì ôîðìóëó êîñèíóñà äâîéíîãî àðãóìåíòà. 3cos2x + 2cos x ³ 5  3(2cos2 x -1)+ 2cos x - 5 ³ 0   6cos2 x + 2cos x - 8 ³ 0  3cos2 x + cos x - 4 ³ 0 .

Ðàñêëàäûâàÿ êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí, ñòîÿùèé â ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà, íà ìíîæèòåëè, ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî (cos x -1)(3cos x + 4) ³ 0 . Òàê êàê ôóíêöèÿ y = cos x îãðàíè÷åíà è -1 £ cos x £ 1 , òî âòîðîé ñîìíîæèòåëü ïðèíèìàåò òîëüêî ïîëîæèòåëüíûå çíà÷åíèÿ. Ïîýòîìó

(cos x -1)(3cos x + 4) ³ 0  cos x -1 ³ 0  cos x = 1   x = 2πk , k Î Z . Îòâåò: 2πk, k Î Z . 348


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

1 > 29. cos4 x Ðåøåíèå. Êàê è ïðè ðåøåíèè ïîäîáíûõ óðàâíåíèé, èñ2 1 ïîëüçóåì ôîðìóëó = (1 + tg2 x) . Èìååì 4 cos x 2 1 5tg 4 x > 29  5tg 4 x - (1 + tg2 x) - 29 > 0  4 cos x

Ïðèìåð 10. Ðåøèòå íåðàâåíñòâî 5tg 4 x -

 4tg 4 x - 2tg2 x - 30 > 0  2tg 4 x - tg2 x -15 > 0   (tg2 x - 3)(2tg2 x + 5)> 0  étgx > 3,  tg2 x > 3  tgx > 3  êê êëtgx <- 3. Ïîñòðîèì ãðàôèê ôóíêöèè y = tgt è ïðîèëëþñòðèðóåì äàëüíåéøåå ðåøåíèå ïîëó÷èâøåéñÿ ñîâîêóïíîñòè íåðàâåíñòâ. y

y = tgx y = Ç3

−π

−π 2

−π 3 0

π π 3 2

π

x

y = −Ç3

π é π ê- + πk < x <- + πk, étgx > 3, ê 3 ê k Î Z. ê 2 ê π π ê <tg x 3 + k < x < + k , π π ëê ê3 2 ë π π æ π ö æπ ö Îòâåò: çç- + πk;- + πk÷÷  çç + πk; + πk÷÷ , k Î Z . è 2 ø è3 ø 3 2

Óïðàæíåíèå 1. 1. Óêàæèòå èíòåðâàë, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò ðåøåíèå íåðàâåíñòâà 1 . cos x > 2


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

æ 7π 9π ö æ 3π 5π ö æ π πö æ π πö Îòâåò: 1) çç ; ÷÷ ; 2) çç ; ÷÷÷ ; 3) çç ; ÷÷÷ ; 4) çç- ;- ÷÷ ; è 2 4ø è4 2ø è4 4ø è4 4ø æ π 3π ö 5) çç ; ÷÷÷ . è4 4 ø 1 Âåðíûé îòâåò — 2). sin2 x 4 2. Óêàæèòå ðåøåíèå íåðàâåíñòâà >0. 3 sin x cos x) + ( π æ π ö÷ Îòâåòû: 1) çç- + 2πk; + πk÷ ; è 6 ø 6 π æπ ö 2) çç + 2πk; + 2πk÷÷ ; è6 ø 6 æπ ö÷ 5π 3) çç + πk; + πk÷÷ ; è6 ø 6 π æ π ö 4) çç- + πk;- + πk÷÷ ; è 2 ø 6 æπ ö 5π 5) çç + 2πk; + 2πk÷÷÷ , k Î Z. è6 ø 6 Âåðíûé îòâåò — 3). 3. Óêàæèòå ðåøåíèå íåðàâåíñòâà cos2x + 5sin x + 2 ³ 0 . π æ π ö Îòâåòû: 1) çç- + πk; + πk÷÷ ; è 6 ø 6 æ π ö÷ 7 π 2) çç- + 2πk; + 2πk÷÷ ; è 6 ø 6 æπ ö 5π 3) çç + 2πk; + 2πk÷÷÷ ; è6 ø 6 π æ π ö 4) çç- + 2πk; + 2πk÷÷ ; è 6 ø 6 æ π ö 5π 5) çç- + 2πk; + 2πk÷÷÷ , k Î Z . è 6 ø 6 Âåðíûé îòâåò — 2). 4. Óêàæèòå ðåøåíèå íåðàâåíñòâà 5 1 sin2 x + sin2 2x > cos2x . 4 4 π æ π ö Îòâåòû: 1) çç- + πk; + πk÷÷ ; è 6 ø 6 æπ ö÷ ç 2) ç + 2πk; π + 2πk÷ ; è6 ø æπ ö 5π 3) çç + πk; + πk÷÷÷ ; è6 ø 6 350


ÃËÀÂÀ 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ

π æ π ö 4) çç- + πk;- + πk÷÷ ; è 2 ø 6 æπ ö 5π 5) çç + 2πk; + 2πk÷÷÷ , k Î Z . è6 ø 6 Âåðíûé îòâåò — 3). 5. Óêàæèòå ðåøåíèå íåðàâåíñòâà cos2 x (tgx + 1) > 1 . π æ π ö Îòâåòû: 1) çç- + πk; + πk÷÷ ; è 4 ø 4 π æπ ö÷ 2) çç + 2πk; + 2πk÷ ; è4 ø 2 π æ ö÷ 3) ççπk; + πk÷ ; è ø 4 π æ π ö 4) çç- + πk;- + πk÷÷ ; è 2 ø 4 æ π ö 5) çç- + 2πk;2πk÷÷ , k Î Z . è 4 ø Âåðíûé îòâåò — 3).


ÃËÀÂÀ 7 ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß § 1. Ãåîìåòðèÿ ïðÿìîé Îñíîâíûìè ãåîìåòðè÷åñêèìè ôèãóðàìè íà ïðÿìîé ÿâëÿþòñÿ òî÷êè, îòðåçêè, ëó÷è è èõ êîìáèíàöèè, íàïðèìåð, äâà îòðåçêà èëè ÷åòûðå òî÷êè è ò.ï. Íàèáîëåå âàæíûìè çäåñü ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå ïîíÿòèÿ è ôàêòû: Îòíîøåíèåì äâóõ îòðåçêîâ íàçûâàåòñÿ îòíîøåíèå èõ äëèí. Åñëè çàäàíî îòíîøåíèå äëèí äâóõ îòðåçêîâ AB : CD = α, òî äëèíà îòðåçêà AB = αt , à äëèíà îòðåçêà CD = t , ãäå t — íåêîòîðàÿ åäèíèöà äëèíû. Åñëè äëèíû äâóõ îòðåçêîâ îòíîñÿòñÿ, êàê AB : CD = p : q , òî ãîâîðÿò, ÷òî îòðåçêè À è CD ïðîïîðöèîíàëüíû ÷èñëàì ð è q ñîîòâåòñòâåííî. Òî æå ñàìîå è äëÿ áîëüøåãî ÷èñëà îòðåçêîâ, à èìåííî: èç ñîîòíîøåíèÿ AB : CD : MN = p : q : r ñëåäóåò, ÷òî îòðåçêè ÀÂ, CD, MN ïðîïîðöèîíàëüíû ÷èñëàì ð, q, r ñîîòâåòñòâåííî, à èõ äëèíû óäîâëåòâîðÿþò ðàâåíñòâàì AB = pt , CD = qt, MN = rt , ãäå t — íåêîòîðàÿ åäèíèöà äëèíû. Òî÷êà Ñ ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè À è  òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî AB = AC + CB . Äëÿ ëþáîãî ïîëîæèòåëüíîãî äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà a íà îòðåçêå À ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà Ñ, òàêàÿ, ÷òî AC : CB = α . Íà ïðÿìîé À ñóùåñòâóåò ðîâíî äâå òî÷êè C1 è C2 òàêèå, ÷òî AC1 : C1 B = AC2 : C2 B = α , åñëè α — ïðîèçâîëüíîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, îòëè÷íîå îò 1. Ïðè α =1 íà ïðÿìîé À ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ òî÷êà Ñ, òàêàÿ, ÷òî AC : CB = 1 . Ïîíÿòíî, ÷òî òî÷êà Ñ â ýòîì ñëó÷àå — ñåðåäèíà îòðåçêà ÀÂ. 352


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

Ïðèìåð 1. Íà îòðåçêå À îòìå÷åíû äâå òî÷êè Ì è N, òàêèå, ÷òî AM : MB = 1:2 , a AN : NB = 3: 4 . Íàéäèòå îòíîøåíèå AM : MN : NB . A

M N

B

Ðåøåíèå. Ïîëåçíî ñäåëàòü ÷åðòåæ, íà êîòîðîì ðåêîìåíäóåòñÿ ñîáëþäàòü (ïðèáëèçèòåëüíî) çàäàííûå îòíîøåíèÿ. Èç AM : MB = 1:2 ñëåäóåò, ÷òî AM = t, MB = 2t, òî 1 2 åñòü AM = AB , MB = AB . Èç AN : NB = 3 : 4 ñëåäóåò, ÷òî 3 3 3 4 AN = 3k, NB = 4k, òî åñòü AN = AB , NB = AB . 7 1 3 7 Çàìå÷àåì, ÷òî AM = AB < AB = AN , ïîýòîìó òî÷êà N 3 7 ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè M è B (ñì. ðèñ.). Ñëåäîâàòåëüíî, æ3 1ö 2 MN = AN - AM = çç - ÷÷÷⋅ AB = AB . è7 3 ø 21 Òåïåðü íàõîäèì èñêîìîå îòíîøåíèå 1 2 4 AM : MN : NB = : : = 7 :2:12 . 3 21 7 Îòâåò: 7 : 2 : 12. Ïðèìåð 2. Íà ïðÿìîé AB îòìå÷åíà òî÷êà M, òàêàÿ, ÷òî AM : MB = 3:2 . Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà AM, åñëè AB = 3 ñì. " . # . Ðåøåíèå. Èç óñëîâèÿ çàäà÷è ñëåäóåò, ÷òî ëèáî òî÷êà Ì íà ïðÿìîé AB ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè A è Â, ëèáî òî÷êà  ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè A è M. Ðàññìîòðèì îáà ñëó÷àÿ (ñì. ðèñ.). Ïóñòü ñíà÷àëà òî÷êà Ì ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè À è  è AM : MB = 3:2 .

Òîãäà AB = AM + MB è AM = 3t , MB = 2t . Îòñþäà 3 = 3t + 2t = 5t è t = 0,6 . Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå AM = 3t = 3 ⋅ 0,6 = 1,8 ñì. Åñëè òî÷êà  ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè A è M è AM : MB = 3:2 , òî ïî-ïðåæíåìó AM = 3t , MB = 2t , íî AM = AB + BM . 353


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Îòñþäà 3t = 3 + 2t è t = 3 . Ñëåäîâàòåëüíî, â ýòîì âòîðîì ñëó÷àå AM = 3t = 3 ⋅ 3 = 9 ñì. Îòâåò: 1,8 ñì èëè 9 ñì. Ïðèìåð 3. Íà ïðÿìîé AB îòìå÷åíà òî÷êà M, òàêàÿ, ÷òî AM : MB < 3: 4 .

Ãäå íà ýòîé ïðÿìîé ëåæàò âñå òàêèå òî÷êè M, Êàêèå çíà÷åíèÿ ïðè ýòîì ìîæåò ïðèíèìàòü äëèíà îòðåçêà AM, åñëè AB = 7? %

"

$

#

Ðåøåíèå. Èç óñëîâèÿ AM : MB < 3: 4 ñëåäóåò, ÷òî AM < MB. Ïóñòü òî÷êà Ñ ëåæèò ìåæäó A è  è AC : CB = 3: 4 . Òàêàÿ 3 òî÷êà åäèíñòâåííà, ïðè÷åì AC = AB = 3 (ñì. ïðèìåð 1). 7 Ïîýòîìó äëÿ ëþáîé òî÷êè Ì, ëåæàùåé ìåæäó òî÷êàìè A è C, èìååì íåðàâåíñòâà AM < AC è MB > CB , èç êîòîðûõ ñëåäóåò íåðàâåíñòâî AM AC 3 < = . MB CB 4 Òàêèì îáðàçîì, âñå òî÷êè, ëåæàùèå ìåæäó òî÷êàìè A è C, óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ çàäà÷è. Îòìåòèì, ÷òî òî÷êà À òàêæå óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó óñëîâèþ, ïîñêîëüêó â ýòîì ñëó÷àå 3 îòíîøåíèå AA : AB = 0 < . Åñëè òî÷êà Ì ëåæèò ìåæäó òî÷4 AM AC 3 êàìè Ñ è Â, òî AM > AC è MB < CB . Çíà÷èò, > = . MB CB 4 Òî åñòü íè îäíà òî÷êà, ëåæàùàÿ ìåæäó òî÷êàìè C è B, íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ çàäà÷è. Àíàëîãè÷íî, íè îäíà òî÷êà M, äëÿ êîòîðîé òî÷êà B ëåæèò ìåæäó A è M, òàêæå íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ çàäà÷è, ïîñêîëüêó äëÿ êàæäîé òàêîé òî÷êè îòíîøåíèå AM 3 >1> . MB 4 Îòìåòèì íà ïðÿìîé AB òî÷êó D òàê, ÷òî AD : DB = 3: 4, è òî÷êà A ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè B è D. Òîãäà AD = 21 ñì (ñì. ïðèìåð 2). Ïóñòü òî÷êà M ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè D è A. Òîãäà AD = AM + MD è BD = BM + MD . 354


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

3 AD AM + MD AM 1 . Ñëåäîâàòåëüíî, ëþ= = > 4 DB MB + MD MB áàÿ òî÷êà M, ëåæàùàÿ ìåæäó òî÷êàìè A è D, òàêæå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ çàäà÷è. Ðàññìîòðèì, íàêîíåö, ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó M, òàêóþ, ÷òî òî÷êà D ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè M è A.  ýòîì ñëó÷àå

Îòñþäà

AM = AD + MD è MB = BD + MD . 3 AD AM - MD AM 2 Îòñþäà ïîëó÷àåì íåðàâåíñòâî = . = < 4 DB MB - MD MB Èòàê, óñëîâèå AM : MB = 3: 4 âûïîëíÿåòñÿ äëÿ òåõ è òîëüêî òåõ òî÷åê, êîòîðûå ëåæàò ìåæäó òî÷êàìè D è C. Ïîýòîìó äëèíà îòðåçêà AM ìîæåò ïðèíèìàòü ëþáûå çíà÷åíèÿ îò íóëÿ äî 21. Áîëåå òî÷íî: 0 £ AM < 21 . Îòâåò: íåðàâåíñòâî AM : MB < 3: 4 âûïîëíÿåòñÿ äëÿ òåõ è òîëüêî òåõ òî÷åê ïðÿìîé AB , êîòîðûå ëåæàò ìåæäó òî÷êàìè D è C, ãäå AD : DB = AC : CB = 3: 4 , òî÷êà A ëåæèò ìåæäó D è C, òî÷êà C ëåæèò ìåæäó A è B, ïðè ýòîì 0 £ AM < 21 .

§ 2. Ãåîìåòðèÿ òðåóãîëüíèêà Ôàêòîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê ãåîìåòðèè òðåóãîëüíèêà è ìíîãîóãîëüíèêà, âåñüìà ìíîãî. Îñòàíîâèìñÿ íà íåêîòîðûõ èõ íèõ. Ñóììà óãëîâ òðåóãîëüíèêà ðàâíà 180°, ò.å. ðàâíà ñóììå äâóõ ïðÿìûõ óãëîâ. Âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà ðàâåí ñóììå äâóõ âíóòðåííèõ óãëîâ, íå ñìåæíûõ ñ íèì. Ïðèìåð 1. Íàéäèòå îñòðûé óãîë ìåæäó áèññåêòðèñàìè óãëîâ A è B òðåóãîëüíèêà ABC, åñëè âåëè÷èíà óãëà C ðàâíà 48°. Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ óãëîâ A è B áóêâîé D. Ñóììà óãëîâ A è B òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíà 180- 48 = 132 . 1

Ïðîâåðüòå ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî íåðàâåíñòâà, íàïðèìåð, ñîñòàâèâ ñîîòâåòñòâóþùóþ ðàçíîñòü, èëè ñâîéñòâîì îòíîøåíèÿ (ñ. 11). 2 Ïðîâåðüòå ñïðàâåäëèâîñòü ýòîãî íåðàâåíñòâà, íàïðèìåð, ñîñòàâèâ ñîîòâåòñòâóþùóþ ðàçíîñòü.

355


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

C

D B

A

Çíà÷èò, ïîëîâèíà ýòîé ñóììû, ðàâíàÿ ñóììå óãëîâ ïðè âåðøèíàõ A è B òðåóãîëüíèêà ABD, ñîñòàâèò 132°:2, ò.å. 66°. Îñòðûé óãîë ìåæäó áèññåêòðèñàìè óãëîâ A è B òðåóãîëüíèêà ABC ÿâëÿåòñÿ âíåøíèì óãëîì òðåóãîëüíèêà ABD ïðè âåðøèíå D è ïîýòîìó ðàâåí ñóììå âíóòðåííèõ óãëîâ, íå ñìåæíûõ ñ íèì. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòîò óãîë ðàâåí 66°1.

Óïðàæíåíèå 1. Äîêàæèòå: áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà íå ìîãóò áûòü ïåðïåíäèêóëÿðíû. Ïðèìåð 2. Â òðåóãîëüíèêå ABC óãîë A ðàâåí 72°. Íàéäèòå îñòðûé óãîë ìåæäó âûñîòàìè òðåóãîëüíèêà ABC, ïðîâåäåííûìè èç âåðøèí B è C. " #

$ )

$ #

Ðåøåíèå. Ïóñòü H — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà ABC è òî÷êè B1, C1 — îñíîâàíèÿ âûñîò, ïðîâåäåííûõ èç âåðøèí B è C ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè ABB1 è HBC1 èìåþò îáùèé îñòðûé óãîë ïðè âåðøèíå B. Ñëåäîâàòåëüíî,

BHC1 = BAB1 = BAC = 72 .

Îòâåò: 72°. Ïðèìåð 3.  òðåóãîëüíèêå ABC AB = AC. Áèññåêòðèñà óãëà ïðè îñíîâàíèè ýòîãî òðåóãîëüíèêà ðàçáèâàåò åãî íà äâà ðàâíîáåäðåííûõ òðåóãîëüíèêà. Íàéäèòå óãëû òðåóãîëüíèêà ABC. Ðåøåíèå. Ïóñòü BM — áèññåêòðèñà ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ABC, â êîòîðîì AB = AC. Îáîçíà÷èì BAC = α . Èç ðàâíîáåäðåííîñòè òðåóãîëüíèêîâ, íà êîòîðûå áèññåêòðèñà óãëà ïðè îñíîâàíèè ðàçáèâàåò èñõîäíûé òðåóãîëüíèê, ñëå1 Ïîëó÷èòå ðåçóëüòàò â îáùåì ñëó÷àå è ïîäóìàéòå, êàêèå çíà÷åíèÿ ìîæåò ïðèíèìàòü âåëè÷èíà ýòîãî îñòðîãî óãëà.

356


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

B äóåò, ÷òî AM = MB = BC. Îòñþäà, ïî ñâîéñòâó óãëîâ ïðè îñíîâàíèè ðàâíîα α áåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà, ïîëó÷èì, ÷òî BAC = ABM = α . 2α 2α Óãîë BMC — âíåøíèé óãîë òðåα óãîëüíèêà ABM. Ñëåäîâàòåëüíî, C M A ïî ñâîéñòâó âíåøíåãî óãëà íàõîäèì BMC = BAM +ABM = 2α . Íî òðåóãîëüíèê CBM ðàâíîáåäðåííûé. Ïîýòîìó åãî óãîë BMC ðàâåí óãëó BCM. Îòñþäà BMC = BCM = 2α . Ïîñêîëüêó BM — áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà ABC, òî MBC = MBA = α. Òåïåðü, ïî ñâîéñòâó âíóòðåííèõ óãëîâ òðåóãîëüíèêà ABC ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî

α + 2α + 2α = 180  α = 36 .

Èòàê, èñêîìûå óãëû òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíû 36°, 72°, 72°. Îòâåò: 36°, 72°, 72°.

§ 3. Ãåîìåòðèÿ îêðóæíîñòè Ðàâíûì äóãàì îäíîé è òîé æå îêðóæíîñòè ñîîòâåòñòâóþò ðàâíûå õîðäû, ñòÿãèâàþùèå ýòè äóãè. Åñëè õîðäû îäíîé è òîé æå îêðóæíîñòè ðàâíû, òî ñòÿãèâàåìûå èìè äóãè èëè ðàâíû, èëè ñîñòàâëÿþò â ñóììå 180°. Õîðäà, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ äèàìåòðó îêðóæíîñòè, äåëèòñÿ ýòèì äèàìåòðîì ïîïîëàì. Åñëè äèàìåòð îêðóæíîñòè ïåðïåíäèêóëÿðåí õîðäå ýòîé îêðóæíîñòè, òî îí äåëèò ýòó õîðäó ïîïîëàì. Îòðåçêè êàñàòåëüíûõ, ïðîâåäåííûõ ê îêðóæíîñòè èç òî÷êè, íå ëåæàùåé íà îêðóæíîñòè, ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Îêðóæíîñòü, êàñàþùàÿñÿ âñåõ ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, íàçûâàåòñÿ îêðóæíîñòüþ, âïèñàííîé â äàííûé òðåóãîëüíèê. Öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ ýòîãî òðåóãîëüíèêà. Îêðóæíîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âñå âåðøèíû òðåóãîëüíèêà, íàçûâàåòñÿ îêðóæíîñòüþ, îïèñàííîé îêîëî äàííîãî òðåóãîëüíèêà. Öåíòð îïèñàííîé îêðóæíîñòè — òî÷êà ïåðå357


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ñòîðîí ýòîãî òðåóãîëüíèêà. Öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, ñîâïàäàåò ñ ñåðåäèíîé ãèïîòåíóçû ýòîãî òðåóãîëüíèêà. Ìåäèàíà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííàÿ ê åãî ãèïîòåíóçå, ðàâíà ïîëîâèíå ýòîé ãèïîòåíóçû è ðàâíà ðàäèóñó îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ýòîãî òðåóãîëüíèêà. Âåðøèíû ïðÿìûõ óãëîâ âñåõ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ ñ îáùåé ãèïîòåíóçîé ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè, äèàìåòðîì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ ãèïîòåíóçà ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ. Íàîáîðîò, åñëè À — äèàìåòð îêðóæíîñòè è Ñ — ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà îêðóæíîñòè, îòëè÷íàÿ îò òî÷åê À è Â, òî ACB = 90 , èíûìè ñëîâàìè, åñëè âåðøèíà óãëà ëåæèò íà îêðóæíîñòè, à åãî ñòîðîíû ïåðåñåêàþò îêðóæíîñòü â äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûõ òî÷êàõ, òî ýòîò óãîë — ïðÿìîé (çàìå÷àòåëüíîå ñâîéñòâî îêðóæíîñòè). Ïðèìåð 1. Ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû 7, 8 è 9. Íàéäèòå äëèíû îòðåçêîâ, íà êîòîðûå âïèñàííàÿ â ýòîò òðåóãîëüíèê îêðóæíîñòü äåëèò åãî ñòîðîíû. C1

A

Ðåøåíèå. Ïóñòü O — öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüO íèê ABC, â êîòîðîì AB = 9, BC = 7, CA = 8. Ïóñòü A1, B1, C1 — òî÷êè A1 B1 êàñàíèÿ âïèñàííîé îêðóæíîñòè è C ñòîðîí BC, CA, AB ñîîòâåòñòâåííî. Ðàäèóñû âïèñàííîé îêðóæíîñòè, ïðîâåäåííûå â òî÷êè êàñàíèÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíû ñîîòâåòñòâóþùèì ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà ABC. Ïîýòîìó ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè AOB1 è AOC1, BOA1 è BOC1, COA1 è COB1 ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû ïî êàòåòó è ãèïîòåíóçå ( OB1 = OC1 , OA — îáùàÿ ãèïîòåíóçà è ò.ä.). Îòñþäà ñëåäóþò ðàâåíñòâà AB1 = AC1 , BA1 = BC1 , CA1 = CB1 1. B

1

Çäåñü ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ è ñâîéñòâîì îòðåçêîâ êàñàòåëüíûõ, ïðîâåäåííûõ ê îêðóæíîñòè èç òî÷êè, íå ëåæàùåé íà ýòîé îêðóæíîñòè.

358


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

Ïóñòü AB1 = x , òîãäà B1C = 8 - x , CA1 = 8 - x , A1 B = x -1 1, BC1 = x -1 , C1 A = 10 - x . Íî C1 A = AB1 , ñëåäîâàòåëüíî, 10 - x = x  x = 5 . Òåïåðü ïîñëåäîâàòåëüíî íàõîäèì C1 A = AB1 = 5 , CB1 = CA1 = 8 - x = 3, A1 B = BC1 = x -1 = 4 . Îòâåò: 3; 4; 5. Ðàññìîòðåííûé ïðèìåð 1 î÷åíü âàæåí. Óïðàæíåíèå 1. Ðåøèòå ýòó çàäà÷ó â îáùåì âèäå, ñ÷èòàÿ, ÷òî ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ðàâíû a, b è c. Âû äîëæíû ïîëó÷èòü ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Åñëè äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ðàâíû a, b è ñ, òî äëèíû îòðåçêîâ, íà êîòîðûå âïèñàííàÿ îêðóæíîñòü äåëèò åãî a+b+c ñòîðîíû, ðàâíû ð — à, ð — b, ð — ñ, ãäå p = — ïî2 ëóïåðèìåòð äàííîãî òðåóãîëüíèêà. Òî÷íåå, åñëè A1, B1, C1 — òî÷êè êàñàíèÿ âïèñàííîé îêðóæíîñòè ñî ñòîðîíàìè ÂÑ, ÑÀ, À òðåóãîëüíèêà ABC ñîîòâåòñòâåííî, òî AB1 = AC1 = p - a ; BA1 = BC1 = p - b ; CA1 = CB1 = p - c .

Óïðàæíåíèå 2. Èñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò, äîêàæèòå. Äèàìåòð d îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè a, b è ñ, ãäå a £ b < c , ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå d = a + b-c .

Ïðèìåð 2. Öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà, ëåæèò íà åãî ñòîðîíå, à îäíà ñòîðîíà ýòîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà ðàäèóñó ýòîé îêðóæíîñòè. B Íàéäèòå óãëû ýòîãî òðåóãîëüíèêà. Ðåøåíèå. Ïóñòü O — öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà ABC, ëåæèò íà ñòîðîíå AB. Òîãäà OA = OB = OC = R , R — ðàäèóñ ýòîé îêðóæíîñòè. Òîãäà C = 90 (çàìå÷àòåëü1

O C

A1B = x − 1, ïîñêîëüêó A1B = BC − CA1 = 7(8 − x) = x − 1.

A

359


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

íîå ñâîéñòâî îêðóæíîñòè). Ïóñòü BC = R , òîãäà òðåóãîëüíèê OBC — ðàâíîñòîðîííèé è ïîýòîìó B = 60 . Ñëåäîâàòåëüíî, A = 30 . Îòâåò: 30°, 60°, 90°. Ïðèìåð 3. Îïðåäåëèòå îòíîøåíèå, â êîòîðîì îêðóæíîñòü, ïîñòðîåííàÿ íà áîêîâîé ñòîðîíå ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà êàê íà äèàìåòðå, äåëèò åãî îñíîâàíèå. C

A

D

B

Îòâåò: 1:1.

Ðåøåíèå. Ïóñòü îêðóæíîñòü ñ äèàìåòðîì BC ïåðåñåêàåò îñíîâàíèå AB ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ABC â òî÷êå D. Òîãäà óãîë D òðåóãîëüíèêà BCD — ïðÿìîé, ñëåäîâàòåëüíî, CD — âûñîòà ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà, îïóùåííàÿ íà åãî îñíîâàíèå. Íî òîãäà ýòà âûñîòà åñòü ìåäèàíà ýòîãî òðåóãîëüíèêà è, ñëåäîâàòåëüíî, D — ñåðåäèíà AB, ò.å. îòíîøåíèå AD : DB = 1:1 .

Ïðèìåð 4. Õîðäà AB îêðóæíîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíà äèàìåòðó CD è äåëèò åãî â îòíîøåíèè 1:3. Îïðåäåëèòå óãëû ÷åòûðåõóãîëüíèêà ACBD. Ðåøåíèå. Ïóñòü äèàìåòð CD îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â òî÷êå O ïåðåñåêàåò õîðäó AB â òî÷êå M, ïðè÷åì MD < MC. Òîãäà ïî óñëîâèþ MD : MC = 1: 3 . Îáîçíà÷èì MD = x, òîãäà MC = 3x , a CD = 4x . Îòñþäà OD = OC = 2x , à MO = x. Ñëåäîâàòåëüíî, AM — ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà OAD, êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ åãî âûñîòîé, òàê êàê ïî óñëîâèþ AB ^ CD. Çíà÷èò, òðåóãîëüíèê OAD — ðàâC íîáåäðåííûé è AO = AD. Ïîñêîëüêó CD — äèàìåòð îêðóæíîñòè, òî òðåóãîëüíèê CAD — ïðÿìîóãîëüíûé è, çíà÷èò, AO = OC = OD . ÑëåäîâàòåëüO A íî, òðåóãîëüíèê OAD — ðàâíîñòîM ðîííèé. Îòñþäà ïîëó÷àåì âåëè÷èíû óãëîâ ÷åòûðåõóãîëüíèêà ACBD: B D A = B = 90, D = 120, C = 60 . Îòâåò: 60°, 90°, 90°, 120°. 360


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

Ïðèìåð 5. Ïîëóïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà ðàâåí p. Íàéäèòå ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà, âåðøèíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ñåðåäèíû äâóõ ñòîðîí äàííîãî òðåóãîëüíèêà è îñíîâàíèå âûñîòû, îïóùåííîé íà òðåòüþ åãî ñòîðîíó.

C B1 A

A1 D

B Ðåøåíèå. Ïóñòü A1, B1 — ñåðåäèíû ñòîðîí BC è AC òðåóãîëüíèêà ABC, a CD — åãî âûñîòà, îïóùåííàÿ íà ñòîðîíó AB. Îòðåçêè DA1 è DB1 — ìåäèàíû ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ, ïðîâåäåííûå ê èõ ãèïîòåíóçàì. Ñëåäîâàòåëüíî, DA1 = 0,5BC, DB1 = 0,5AC. Îòðåçîê A1B1 — ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà ABC, ïàðàëëåëüíàÿ ñòîðîíå AB. Çíà÷èò, ïî ñâîéñòâó ñðåäíåé ëèíèè òðåóãîëüíèêà A1B1 = 0,5AB. Îòñþäà íàõîäèì èñêîìûé ïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà A1B1D:

A1 B1 + B1 D + A1 D = 0,5 AB + 0,5 AC + 0,5BC =

Îòâåò: p.

= 0,5( AB + AC + BC) = p .

Ïðèìåð 6. Äàí òðåóãîëüíèê ABC, â êîòîðîì AB = c , AC = b . Ìåäèàíà AD òðåóãîëüíèêà ABC ðàçäåëèëà åãî íà äâà òðåóãîëüíèêà, â êàæäûé èç êîòîðûõ âïèñàíà îêðóæíîñòü. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè êàñàíèÿ ýòèõ îêðóæíîñòåé ñ ìåäèàíîé AD. Ðåøåíèå. Ïóñòü A1, C1 — òî÷êè êàñàíèÿ äàííûõ îêðóæíîñòåé ñî ñòîðîíàìè AC è AB ñîîòâåòñòâåííî, à BC = a . Òîãäà ïî ñâîéñòâó êàñàòåëüíûõ, ïðîâåäåííûõ ê îêðóæíîñòè èç îäíîé òî÷êè, èñêîìûé îòðåçîê ðàâåí ìîäóëþ ðàçíîñòè AA1 - AC1 . Ïóñòü c + ma + 0,5a b + ma + 0,5a , p2 = p1 = 2 2 ïîëóïåðèìåòðû òðåóãîëüíèêîâ ABD,

A

Ñ1 A1

B D

C 361


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ACD ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà ïî ñâîéñòâó âïèñàííîé îêðóæíîñòè (ñì. ïðèìåð 1) b-c . AA1 - AC1 = ( p2 - 0,5a)- ( p1 - 0,5a) = p2 - p1 = 2 b-c . Îòâåò: 2

§ 4. Ðåøåíèå òðåóãîëüíèêîâ Ðåøåíèå òðåóãîëüíèêîâ, ò.å. îïðåäåëåíèå íåèçâåñòíûõ ýëåìåíòîâ òðåóãîëüíèêà ïî èçâåñòíûì åãî ýëåìåíòàì, îñóùåñòâëÿåòñÿ, êàê ïðàâèëî, ñ ïîìîùüþ òðåõ ìåòðè÷åñêèõ òåîðåì: 1) òåîðåìû Ïèôàãîðà; 2) òåîðåìû êîñèíóñîâ; 3) òåîðåìû ñèíóñîâ. Òåîðåìà Ïèôàãîðà  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå êâàäðàò ãèïîòåíóçû ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ åãî êàòåòîâ: c2 = a2 + b2 (ðèñ. 1). Òåîðåìà êîñèíóñîâ  ëþáîì òðåóãîëüíèêå êâàäðàò åãî ñòîðîíû ðàâåí ñóììå êâàäðàòîâ äâóõ äðóãèõ åãî ñòîðîí áåç óäâîåííîãî ïðîèçâåäåíèÿ ýòèõ ñòîðîí íà êîñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè: c2 = a2 + b2 - 2ab cos C (ðèñ. 2). Òåîðåìà ñèíóñîâ  ëþáîì òðåóãîëüíèêå îòíîøåíèå äëèíû ñòîðîíû ê ñèíóñó ïðîòèâîëåæàùåãî åé óãëà ðàâíî äèàìåòðó îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ýòîãî òðåóãîëüíèêà: a b c = = = 2R (ðèñ. 2). sin A sin B sin C Ïîëåçíî çíàòü íàèçóñòü ñëåäóþùèå ñîîòíîøåíèÿ. B

a

c

A c

C

b Ðèñ. 1

362

A

B

b a

Ðèñ. 2

C


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

Êàòåò ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, ïðîòèâîëåæàùèé óãëó â 30°, ðàâåí ïîëîâèíå åãî ãèïîòåíóçû. Ãèïîòåíóçà ðàâíîáåäðåííîãî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè, ðàâíûìè à, ðàâíà a 2 . Âûñîòà h ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé, ðàâa 3 íîé à, ðàâíà h = . 2 Ðàäèóñ R îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ðàâíîñòîðîííåãî a , à ðàäèóñ òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé, ðàâíîé à, ðàâåí R = 3 R a r âïèñàííîé â íåãî îêðóæíîñòè ðàâåí r = = . 2 2 3 Êðîìå ýòèõ ôîðìóë è òåîðåì, ïðè ðåøåíèè òðåóãîëüíèêîâ ïðèõîäèòñÿ èñïîëüçîâàòü òàêæå ïîíÿòèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé îñòðûõ è òóïûõ óãëîâ. Ïðèâåäåì ïðèìåðû çàäà÷, ïîçâîëÿþùèõ çàêðåïèòü ïîíÿòèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ïðèìåð 1.  îñòðîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ABC çàäàíû äëèíû ñòîðîí AB = c, AC = b, BC = a. Íàéäèòå ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ åãî âûñîò äî âåðøèí A, B è C. Ðåøåíèå. Åñëè èçâåñòíû ñòîA ðîíû òðåóãîëüíèêà, òî òåîðåìà C1 B1 êîñèíóñîâ ïîçâîëÿåò íàéòè êîñèíóñû âñåõ åãî óãëîâ. Ïîýòîìó H áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî âñå óãëû òðåóãîëüíèêà ABC èçâåñòíû. Ïóñòü B â òðåóãîëüíèêå ABC âûñîòû AA1, A1 C BB1, CC1 ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå H, äðóãèìè ñëîâàìè, ïóñòü òî÷êà H — îðòîöåíòð òðåóãîëüíèêà ABC.  òðåóãîëüíèêå ABB1 íàõîäèì AB1 = AB cos A = c cos A . Çàìåòèì, ÷òî â ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêàõ AA1C è AHB1 óãîë CAA1 îáùèé. Ïîýòîìó AHB1 = ACA1 = C . AB1 c cos A Ñëåäîâàòåëüíî, AH = . = sin C sin C BC1 CA1 a cos B b cos C , CH = . Àíàëîãè÷íî, BH = = = sin A sin A sin B sin A 363


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Óïðàæíåíèå 1. 1) Ïîëó÷èòå äëÿ òåõ æå ñàìûõ îòðåçêîâ ñëåäóþùèå âûðàæåíèÿ: b cos A c cos B a cos C , BH = , CH = . AH = sin B sin C sin A 2) Ðàññìîòðèòå òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò (îðòîöåíòð) ïðÿìîóãîëüíîãî è òóïîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêîâ (èìååòñÿ â âèäó òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ, ñîäåðæàùèõ âûñîòû ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ) è îïðåäåëèòå ðàññòîÿíèå îò ýòîé òî÷êè äî âåðøèí äàííîãî òðåóãîëüíèêà. Ïðè ýòîì ñëåäóåò ñ÷èòàòü èçâåñòíûìè äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà. Âûÿñíèòå, îñòàíóòñÿ ëè ñïðàâåäëèâûìè ïîëó÷åííûå íàìè ôîðìóëû.

§ 5. Ñîîòíîøåíèÿ â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå Ïóñòü èç âåðøèíû C ïðÿìîãî óãëà òðåóãîëüíèêà ABC ïðîâåäåíà âûñîòà CD, ãäå òî÷êà D — îñíîâàíèå âûñîòû CD — ðàçäåëèëà ãèïîòåíóçó AB òðåóãîëüíèêà íà äâà îòðåçêà, íàçûâàåìûõ ïðîåêöèÿìè êàòåòîâ íà ãèïîòåíóçó: AD = ca è BD = cb , ïðè ýòîì BC = a , CA = b , AB = c = ca + cb .

C b A

cb

a

D ca

B

Íàèáîëåå âàæíûìè ÿâëÿþòñÿ ñëåäóþùèå øåñòü ñîîòíîøåíèé: c2 = a2 + b2 ; a2 = c ⋅ ca ; b2 = c ⋅ cb ; a2 ca = ; b2 cb CD = ca ⋅ cb = 364

ab . c


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

Óïðàæíåíèå 1. Äîêàæèòå âñå ýòè ñîîòíîøåíèÿ. Ïðèìåð 1. Âûñîòà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, îïóùåííàÿ íà ãèïîòåíóçó, ðàçáèâàåò åå íà îòðåçêè äëèíîé 27 è 75. Íàéäèòå ïëîùàäü ýòîãî òðåóãîëüíèêà. Ðåøåíèå. Ïóñòü â òðåóãîëüíèêå ABC C = 90 , CD — âûñîòà. Òîãäà èç óñëîâèÿ BD = 27, AD = 75. Ñëåäîâàòåëüíî, AB = 27 + 75 = 102 , CD = BD ⋅ AD = 27 ⋅ 75 = 45 .

Òåïåðü ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC íàõîäèì ïî ôîðìóëå 1 1 SABC = AB ⋅ CD = 102 ⋅ 45 = 2295 . 2 2 Îòâåò: 2295. Ïðèìåð 2. Â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå îäèí êàòåò ðàâåí 15, à ïðîåêöèÿ äðóãîãî êàòåòà íà ãèïîòåíóçó ðàâíà 16. Íàéäèòå ïëîùàäü êðóãà, îïèñàííîãî îêîëî ýòîãî òðåóãîëüíèêà. C Ðåøåíèå. Ïóñòü â òðåóãîëüíèêå

ABC C = 90 , BC = 15, CD — âûñîòà. Òîãäà CD ^ AB è, çíà÷èò, AD — ïðîåêöèÿ êàòåòà AC íà ãèïîòåíóçó A AB. Ïî óñëîâèþ AD = 16. Äîñòàòî÷- B D íî íàéòè äèàìåòð îïèñàííîãî êðóãà, êîòîðûì ÿâëÿåòñÿ ãèïîòåíóçà AB òðåóãîëüíèêà ABC. Êâàäðàò êàòåòà ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ãèïîòåíóçû è ïðîåêöèè ýòîãî êàòåòà íà ãèïîòåíóçó.  íàøåì ñëó÷àå BC2 = AB ⋅ BD . Îáîçíà÷èâ BD = x , ïîëó÷èì óðàâíåíèå 152 = (x + 16)⋅ x  x2 + 16x - 225 = 0 .

Ðåøèâ êâàäðàòíîå óðàâíåíèå, íàéäåì åãî ïîëîæèòåëüíîå ðåøåíèå x = BD = 9 . Ñëåäîâàòåëüíî, ãèïîòåíóçà AB = BD + AD = 9 + 16 = 25 .

1 625π Îòñþäà ïëîùàäü îïèñàííîãî êðóãà ðàâíà π⋅ AB2 = . 4 4 625π Îòâåò: . 4 365


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 3. Â ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê ñ êàòåòàìè 10 ì è 15 ì âïèñàí êâàäðàò, èìåþùèé ñ òðåóãîëüíèêîì îáùèé óãîë. Íàéäèòå ïëîùàäü êâàäðàòà. A 10 − x K

x

L

x C

B

M

Ðåøåíèå. Ïóñòü â òðåóãîëüíèêå ABC êàòåòû AC = 10, BC = 15. Îáîçíà÷èì ñòîðîíó âïèñàííîãî êâàäðàòà CKLM ÷åðåç õ. Ïî îïðåäåëåíèþ òàíãåíñà óãëà CAB èìååì BC KL . tgA = = AC AK Îòñþäà x 15 15 x =  =  x=6. 10 10 - x 25 10 Ïðè óïðîùåíèè ïðîïîðöèè ìû âîñïîëüçîâàëèñü ïðîèça c a c âîäíîé ïðîïîðöèåé: , a ¹ -b . Ñëåäîâà=  = b d b+a c+d òåëüíî, ïëîùàäü êâàäðàòà ðàâíà 36. Îòâåò: 36. Ïðèìåð 4. Îäèí èç êàòåòîâ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâåí 13, à âûñîòà, îïóùåííàÿ íà ãèïîòåíóçó, ðàâíà 12. Íàéäèòå ïëîùàäü ýòîãî òðåóãîëüíèêà. C 13 A

12 H

B

Ðåøåíèå. Ïóñòü â òðåóãîëüíèêå ABC C = 90 , AC =13 è âûñîòà CH = 12. Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà AH = AC2 - CH 2 = 132 -122 = 5 . 366


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

144 Ïîñêîëüêó CH 2 = AH ⋅ HB , òî 144 = 5 ⋅ HB  HB = = 5 = 28,8 . Ñëåäîâàòåëüíî, AB = AH + HB = 33,8. Ïëîùàäü òðåóãîëü1 1 íèêà âû÷èñëèì ïî ôîðìóëå SABC = AB ⋅ CH = ⋅ 33,8 ⋅12 = 2 2 = 202,8 .

Îòâåò: 202,8. Ïðèìåð 5.  âûïóêëîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD AB = 3, BC = 4, CD = 5, à äèàãîíàëè AC è BD ïåðïåíäèêóëÿðíû. Íàéäèòå AD. Ðåøåíèå. Ïóñòü äèàãîíàëè AC è BD A ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå O. Îáîçíà÷èì OA = a, OB = b , a b B OC = c , OD = d . Ïîñêîëüêó äèàãîíàëè O d AC è BD ïåðïåíäèêóëÿðíû, òî î÷åâèäíî, c ÷òî òðåóãîëüíèêè OAB, OBC, OCD, ODA D C ïðÿìîóãîëüíûå, à ñòîðîíû ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ÿâëÿþòñÿ èõ ãèïîòåíóçàìè. Ïîýòîìó ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà ïîëó÷àåì ðàâåíñòâà AB2 = a2 + b2 ; BC2 = b2 + c2 ; CD2 = c2 + d2 ; DA 2 = d2 + a2 .

Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî AB2 + CD2 = a2 + b2 + c2 + d2 ; BC2 + DA 2 = b2 + c2 + d2 + a2

èëè â ñâåðíóòîé ôîðìå AB2 + CD2 = BC2 + DA 2  32 + 52 = 42 + DA 2 .

Ñëåäîâàòåëüíî, DA 2 = 32 + 52 - 42 = 18 , îòêóäà èñêîìàÿ äëèíà AD = 3 2 . Îòâåò: 3 2 . Çàìå÷àíèå. Îáðàòèòå âíèìàíèå, ìû äîêàçàëè èíòåðåñíóþ òåîðåìó: Åñëè äèàãîíàëè âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ïåðïåíäèêóëÿðíû, òî ñóììû êâàäðàòîâ åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ðàâíû. 367


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Óïðàæíåíèå 2. Äîêàæèòå îáðàòíóþ òåîðåìó: Åñëè ñóììû êâàäðàòîâ ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíû, òî åãî äèàãîíàëè ïåðïåíäèêóëÿðíû. Ïðèìåð 6. (ÅÃÝ) Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â îñòðîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê ABC, åñëè åãî âûñîòà BH 12 12 ðàâíà 12 è èçâåñòíî, ÷òî sin A = , 13 4 sin C = . C 5 H Ðåøåíèå.  òðåóãîëüíèêå ABH BH AB = =13 . sin A BH  òðåóãîëüíèêå BCH BC = =15 . sin C Îòñþäà ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà íàõîäèì: â òðåóãîëüíèêå B

A

ABH AH = AB2 - BH 2 = 5 è â òðåóãîëüíèêå BHC CH = BC2 - BH 2 = 9 . AC = AH + CH =14 .

1 AC ⋅ BH = 84 . 2 Ñ äðóãîé ñòîðîíû, SABC = p ⋅ r , ãäå p — ïîëóïåðèìåòð ΔABC, à r — ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ΔABC. Ïîñêîëüêó

Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíà SABC =

p = 0,5(13 + 15 + 14) = 21 ,

òî ïîëó÷àåì óðàâíåíèå 84 = 21⋅ r . Îòêóäà r = 4. Îòâåò: 4.

§ 6. Çàäà÷è íà ïðèìåíåíèå òåîðåì êîñèíóñîâ è ñèíóñîâ Ïðèìåð 1.  òðåóãîëüíèêå ABC ñî ñòîðîíàìè BC = 7, AB = 5; cos A = 0,2 . Íàéäèòå ñòîðîíó AC è ïëîùàäü êðóãà, îïèñàííîãî îêîëî ýòîãî òðåóãîëüíèêà. Ðåøåíèå. Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ BC2 = AB2 + AC2 - 2 AB ⋅ AC cos A . 368


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

Ïóñòü AC = b. Òîãäà 2

2

B

2

7 = 5 + b - 2 ⋅ 5 ⋅ b ⋅ 0,2  5

 b2 - 2b - 24 = 0  b = 6 .

Òåïåðü ïî òåîðåìå ñèíóñîâ BC , ãäå R — ðàäèóñ êðóãà, 2R = sin A îïèñàííîãî îêîëî òðåóãîëüíèêà ABC. Ïîñêîëüêó cos A = 0,2 , òî

A

7

b

C

2 6 . 5 BC 35 Îòñþäà R = . Èñêîìóþ ïëîùàäü îïèñàííîãî = 2sin A 4 6 1225π . êðóãà íàéäåì ïî ôîðìóëå S = πR 2 = 96 1225π . Îòâåò: 6; 96 Ïðèìåð 2. Îêðóæíîñòü, âïèA ñàííàÿ â òðåóãîëüíèê ABC, êàñàåò1 1 ñÿ ñòîðîíû AC â òî÷êå T, ïðè÷åì 1 AT = 1, CT = 5, a cos A = . ÍàéT P 6 äèòå BT. a B 5 Ðåøåíèå. Ïóñòü îêðóæíîñòü, âïèa ñàííàÿ â òðåóãîëüíèê ABC, êàñàåòñÿ M ñòîðîíû AB â òî÷êå P, à ñòîðîíû BC â òî÷êå M. Òîãäà ïî ñâîéñòâó êàñàòåëüíûõ, ïðîâåäåííûõ ê îêðóæíîñòè C èç îäíîé òî÷êè, íàõîäèì AP = AT = 1, CT = CM = 5, BP = BM. Ïóñòü BP = BM = a. Òîãäà èç òðåóãîëüíèêà ABC ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ ïîëó÷àåì óðàâíåíèå sin A = 1 - cos2 A =

BC2 = AB2 + AC2 - 2 AB ⋅ AC cos A  1 2 2  (5 + a) = (a + 1) + 62 - 2(a + 1)⋅ 6 ⋅  6  a =1 .

Îòñþäà AB = 2. Èñêîìóþ äëèíó íàéäåì èç òðåóãîëüíèêà ABT îïÿòü ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ. Èìååì BT 2 = AT 2 + AB2 - 2 AT ⋅ AB cos A  369


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

1 13 .  BT 2 = 12 + 22 - 2 ⋅1⋅ 2 ⋅ = 6 3 13 39 . Ñëåäîâàòåëüíî, BT = = 3 3 39 . Îòâåò: 3 B

A

3b

7b

T

4b

C

D

Ïðèìåð 3. Òî÷êà T ëåæèò íà ñòîðîíå BC ïàðàëëåëîãðàììà ABCD òàê, ÷òî BT : TC = 3: 4 . Èçâåñòíî, 2 ÷òî cos A = è ATD = 90 . 10 Íàéäèòå îòíîøåíèå ñòîðîí ïàðàëëåëîãðàììà.

Ðåøåíèå. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî BT = 3b , TC = 4b . Êðîìå òîãî, A = C è B = 180-A . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî 2 è cos C = cos A = 10 2 . cos B = cos (180- A )= - cos A = 10 Òåïåðü èç òðåóãîëüíèêîâ ABT è CDT ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ, îáîçíà÷èâ AB = a, íàõîäèì 2 ; AT 2 = a2 + 9b2 - 2 ⋅ a ⋅ 3b ⋅ cos B = a2 + 9b2 + 6ab 5 2 . DT 2 = a2 + 16b2 - 2 ⋅ a ⋅ 4b ⋅ cos C = a2 + 16b2 - 8ab 5 Íî òðåóãîëüíèê ATD — ïðÿìîóãîëüíûé è ïîýòîìó AT2 + DT2 = AD2. Îòñþäà ïîëó÷àåì óðàâíåíèå æ ö æ ö çça2 + 9b2 + 6ab 2 ÷÷ + çça2 + 16b2 - 8ab 2 ÷÷ = 49b2  ÷ çè ç 5 ø÷ è 5 ø÷÷  12b2 + ab

370

æ b ö2 æ b ö 2 2 - a2 = 0  12çç ÷÷÷ + çç ÷÷÷ -1 = 0  èaø èaø 5 5

æbö 10 .  çç ÷÷÷ = è a ø 12 BC 7b 7 10 Òåïåðü íàõîäèì èñêîìîå îòíîøåíèå . = = AB a 12 BC 7 10 . Îòâåò: = AB 12


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

Ïðèìåð 4. Äâà óãëà òðåóãîëüíèêà ðàâíû 30° è 45°. Ïëîùàäü êðóãà, îïèñàííîãî îêîëî ýòîãî òðåóãîëüíèêà, ðàâíà 8π. Íàéäèòå ïëîùàäü ýòîãî òðåóãîëüíèêà.

C

B

45Q

30Q

A

Ðåøåíèå. Ïóñòü â òðåóãîëüíèêå ABC A = 30 , B = 45 . BC AC Òîãäà C = 105 . Ïî òåîðåìå ñèíóñîâ = = 2R , ãäå sin A sin B R — ðàäèóñ êðóãà, îïèñàííîãî îêîëî ýòîãî òðåóãîëüíèêà. Ïî óñëîâèþ ïëîùàäü ýòîãî êðóãà πR2 = 8π. Çíà÷èò, R = 8 = 2 2. Íàéäåì ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà ABC. Ïîëó÷èì BC = 2R sin A = 2 2 ; AC = 2R sin B = 4 .

Òåïåðü íàéäåì ïëîùàäü äàííîãî òðåóãîëüíèêà ïî ôîðìóëå SABC = 0,5 ⋅ AC ⋅ BC ⋅ sin C = = 0,5 ⋅ 4 ⋅ 2 2 sin105 .

Îòìåòèì, ÷òî çíà÷åíèå sin105° íå ñîäåðæèòñÿ ñðåäè èçâåñòíûõ çíà÷åíèé òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ ôóíêöèé. Ïðèäåòñÿ âîñïîëüçîâàòüñÿ ôîðìóëàìè òðèãîíîìåòðèè. Èìååì sin105 = sin (60 + 45)= sin 60 cos 45 + sin 45 cos 60 = 1 æç 3 1 ö÷ 6+ 2 . = + ÷÷ = ç 2 ÷ø 4 2 çè 2 Òåïåðü âû÷èñëèì èñêîìóþ ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC: SABC = 0,5 ⋅ 4 ⋅ 2 2 ⋅ sin105 = 0,5 ⋅ 4 ⋅ 2 2 ⋅

Îòâåò: 2(1 + 3 ).

= 2 3 + 2 = 2(1 + 3 ).

6+ 2 = 4

Óïðàæíåíèå 1. Ïîëó÷èòå ñëåäóþùóþ ïîëåçíóþ ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà: SABC = 2R 2 sin A ´ ´sin B ⋅ sin ( A + B), R — ðàäèóñ êðóãà, îïèñàííîãî îêîëî òðåóãîëüíèêà ABC, à A è B — âåëè÷èíû óãëîâ òðåóãîëüíèêà ïðè âåðøèíàõ A è B (ñì. ñòð. 396). 371


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

§ 7. Âû÷èñëåíèå ìåäèàí, âûñîò è áèññåêòðèñ òðåóãîëüíèêà Ïðèìåð 1. Ïóñòü â òðåóãîëüíèêå ABC çàäàíû äëèíû åãî ñòîðîí: BC = a, CA = b, AB = c. Íàéäèòå äëèíû 1) ìåäèàíû, 2) âûñîòû è 3) áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííûõ èç âåðøèíû A. Ðåøåíèå. 1) Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìåäèàíû íàèáîëåå ðàöèîíàëüíî èñïîëüçîâàòü äîïîëíèòåëüíîå ïîc A1 0,5a ñòðîåíèå. Äîïîëíèì òðåóãîëüíèê ABC äî ïàðàëëåëîãðàììà ABDC, A C ïðîäîëæèâ ìåäèàíó AA1 íà åå äëèb íó çà òî÷êó A1. Äàëåå âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì ñâîéñòâîì ñòîðîí è äèàãîíàëåé ïàðàëëåëîãðàììà.  ïàðàëëåëîãðàììå ñóììà êâàäðàòîâ âñåõ ñòîðîí ðàâíà ñóììå êâàäðàòîâ åãî äèàãîíàëåé.  íàøåì ñëó÷àå äëÿ ïàðàëëåëîãðàììà ABDC èìååì ðàâåíñòâî B

D

0,5a

2(AB2 + BD2 )= AD2 + BC2 .

Ïîäñòàâèì â ýòî ðàâåíñòâî ÷èñëîâûå äàííûå íàøåé çàäà÷è, îáîçíà÷èâ AA1 = ma : 2(c2 + b2 )= (2ma ) + a2  4ma2 = 2(c2 + b2 )- a2  2

 ma2 =

. 4 2) Äëÿ âû÷èñëåíèÿ âûñîòû íàèáîëåå ðàöèîíàëüíî èñïîëüçîâàòü òåîðåìó Ïèôàãîðà. Èìååì

A

c

b ha

B 372

x

a−x

2(c2 + b2 )- a2

C

ha2 = c2 - x2 = b2 - (a - x)2  ìïh2 = c2 - x2 , ï a í 2 ïïc - x2 = b2 - (a - x)2 . ïî


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû íàõîäèì âåëè÷èíó õ è ìï 2 2 ö2 æ 2 ïï 2 2 ça + c -b ÷ = -ç h c ïï a ÷÷÷ , ççè 2a ø ï ïîäñòàâëÿåì åå â ïåðâîå óðàâíåíèå: í ïï 2 2 2 ïïx = a + c - b . ïïî 2a Îòñþäà 2 2 2 2 2 2 æ a + c - b ÷ö çæ a + c - b ÷ö ÷ ⋅ çc + ha2 = çççc ÷ ÷÷÷ = ç ÷ø çè 2a 2a èç ø æ 2ac - a2 - c2 + b2 ö÷ æ 2ac + a2 + c2 - b2 ö÷ ÷÷⋅ çç ÷÷ = = ççç çè 2a 2a ø÷ ççè ø÷ b2 - (a - c)2 (a + c)2 - b2 ⋅ = 2a 2a (b - a + c)(b + a - c)(a + c - b)(a + c + b) . = 4a2 a+b+c Îáîçíà÷èâ, êàê ýòî ïðèíÿòî, p = , ïîëóïåðèìåòð 2 òðåóãîëüíèêà ABC, çàìåòèì, ÷òî =

b - a + c = 2 ( p - a ) ; b + a - c = 2 ( p - c) ; a + c - b = 2 ( p - b ) . 4 p ( p - a)( p - b)( p - c) Òîãäà ïîëó÷àåì ôîðìóëó1: ha2 = . a2 3) Âû÷èñëèì äëèíó áèññåêòðèñû la. Çäåñü ïîëåçíî âñïîìíèòü âàæíîå ñâîéñòâî áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà: Áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà äåëèò # ñòîðîíó íà îòðåçêè, ïðîïîðöèîíàëüíûå ïðèëåæàùèì ê íèì ñòîðîíàì, ò.å. B BL c = . D LC b MB BL c Ñíà÷àëà èç ïðîïîðöèè = íàéa BL b äåì " $ ac ab C BL = è CL = . c+b c+b Çàòåì (ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ) èç òðåóãîëüíèêîâ ABL è ACL âûðàæàåì êîñèíóñû ðàâíûõ óãëîâ BAL è CAL: 1 Êîíå÷íî, ýòó ôîðìóëó ìîæíî íå çàïîìèíàòü. Ðåêîìåíäóåòñÿ ïîíÿòü è, ñëåäîâàòåëüíî, çàïîìíèòü ñïîñîá åå ïîëó÷åíèÿ. 373


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

BL2 = c2 + la2 - 2c ⋅ la cos (BAL) ; CL2 = b2 + la2 - 2b ⋅ la cos (CAL) . cos (BAL) =

BL2 - c2 - la2 CL2 - b2 - la2 = cos (CAL) =  2c ⋅ la 2b ⋅ la

BL2 - c2 - la2 CL2 - b2 - la2 =  2c ⋅ la 2b ⋅ la

BL2 - c2 - la2 CL2 - b2 - la2 . = c b

Îòñþäà ïîëó÷àåì ôîðìóëó1 äëÿ âû÷èñëåíèÿ äëèíû áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà: a2 bc . la2 = b ⋅ c - BL ⋅ CL = bc (b + c)2 Äëÿ âû÷èñëåíèÿ äëèíû áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà ìîæåò îêàçàòüñÿ ïîëåçíîé ñëåäóþùàÿ çàäà÷à. B

L

c

Ïðèìåð 2. Ïóñòü â òðåóãîëüíèêå ABC çàäàíû äëèíû ñòîðîí AB = c è AC = b. Ïóñòü òàêæå âåëè÷èíà óãëà BAC ðàâíà A. Íàéäèòå äëèíó áèññåêòðèñû AL.

Ðåøåíèå. Âûðàçèì ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC êàê ñóììó ïëîùàäåé òðåóãîëüíèêîâ ABL è ACL. Ïîëó÷èì A C b A 1 A 1 1 bc sin A = bla sin + cla sin . 2 2 2 2 2 Îòñþäà ïîëó÷àåì A bc sin A = la (b + c)sin . 2 A A A Ho sin A = 2sin cos . Ïîýòîìó, ñîêðàùàÿ íà sin , íà2 2 2 õîäèì 2bc A A 2bc cos = la (b + c)  la = cos . 2 2 b+c la

Ïðèìåð 3. Íàéäèòå äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà, äâà óãëà êîòîðîãî ðàâíû α è β, à ïåðèìåòð ðàâåí P. 1

374

È ýòó ôîðìóëó ìîæíî íå çàïîìèíàòü.


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

Ðåøåíèå. Ïóñòü â òðåóãîëüíèêå ABC A = α, B = β, AB = c, BC = a, AC = b. Ïî òåîðåìå ñèíóñîâ B β a

c

A

α

C

b

a b c c . = = = sin α sin β sin (180- α - β) sin (α + β) a sin (α + β) a sin β ; c= . Ïîýòîìó sin α sin α æ a sin β a sin (α + β) sin β sin (α + β)ö÷ P=a+ + = a çç1 + + ÷. çè sin α sin α sin α sin α ø÷ Îòñþäà íàõîäèì

Îòñþäà b =

a=

P sin α P sin β ; b= ; sin α + sin β + sin (α + β) sin α + sin β + sin (α + β)

P sin (α + β) . sin α + sin β + sin (α + β) Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ïîëåçíóþ çàäà÷ó. c=

Ïðèìåð 4.  òðåóãîëüíèêå ABC B = β. Íà ñòîðîíå BC âûáðàíà òî÷êà M òàê, ÷òî äëèíà AM = d. Èçâåñòíî, ÷òî BAM = α, à CAM = γ. Íàéäèòå äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ABC. B β

a

c α A

M

d γ b

C

Ðåøåíèå. Ïóñòü äëèíû ñòîðîí òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíû a, b, c, êàê îòìå÷åíî íà ðèñóíêå. Óãîë AMC — âíåøíèé 375


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

óãîë òðåóãîëüíèêà ABM, ïîýòîìó AMC = α + β . Ïî òåîðåìå d b . ñèíóñîâ â òðåóãîëüíèêå AMC èìååì = sin C sin (α + β) Íî C = 180- α - β - γ , ïîýòîìó sin C = sin (180- α - β - γ )= sin (α + β + γ ) . d sin (α + β) . Ïî òåîðåìå ñèíóñîâ â òðåóãîëüsin (α + β + γ ) d c íèêå AMB èìååì . Íî AMB = 180- α - β, = sin β sin (AMB) ïîýòîìó

Ïîýòîìó b =

sin (AMB) = sin (180- α - β)= sin (α + β) . d sin (α + β) Ñëåäîâàòåëüíî, c = . sin β ×òîáû íàéòè äëèíó ñòîðîíû BC, çàïèøåì òåîðåìó ñèíóñîâ a b äëÿ òðåóãîëüíèêà ABC. Ïîëó÷èì . Îòñþäà = sin (α + γ ) sin β b sin (α + γ ) . a= sin β d sin (α + β) d sin (α + β)sin (α + γ ) . Çíà÷èò, a = . Íî b = sin (α + β + γ ) sin β sin (α + β + γ )

§ 8. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà Ïåðå÷èñëèì âàæíûå ôîðìóëû äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà. 1 1 1 S = aha = bhb = chc ; 2 2 2 1 1 1 S = ab sin C = bc sin A = ac sin B ; 2 2 2 S = pr ; abc S= ; 4R S = p ( p - a)( p - b)( p - c) ,

ãäå p — ïîëóïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà; r — ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê, R — ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà. 376


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè a, b ab âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå S = . 2 Ïëîùàäü ðàâíîñòîðîííåãî (ïðàâèëüíîãî) òðåóãîëüíèêà âû÷èñëÿåòñÿ ïî îäíîé èç ôîðìóë a2 3 3R 2 3 = = 3r 2 3 , 4 4 ãäå a — ñòîðîíà ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà, R — ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà, r — ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê. S=

Ïðèìåð 1.  òðåóãîëüíèêå ABC A = α , B = β , à ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè ðàâåí R. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà. Ðåøåíèå. Ýòî îäíà èç íåìíîãèõ çàäà÷, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðîé ðèñóíîê íå òðåáóåòñÿ. Ïî òåîðåìå ñèíóñîâ a b c = = = 2R sin A sin B sin C íàéäåì ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà. Ïîëó÷èì a = 2R sin A = 2R sin α , b = 2R sin B = 2R sin β .

Ïîñêîëüêó C = 180- (α + β) , òî sin C = sin (180- (α + β))= sin (α + β) .

Òåïåðü ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà âû÷èñëèì ïî ôîðìóëå 1 1 S = ab sin C = 2R sin α ⋅ 2R sin β sin (α + β)  2 2  S = 2R 2 sin α sin β sin (α + β) .

Ïîëó÷èëè åùå îäíó ôîðìóëó äëÿ ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà.

§ 9. Îòíîøåíèå îòðåçêîâ â òðåóãîëüíèêå Âàæíóþ ðîëü ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ ãåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷ âûïîëíÿþò òåîðåìà Ôàëåñà è òåîðåìà î ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêàõ — íåêîòîðîå îáîáùåíèå òåîðåìû Ôàëåñà. Íàïîìíèì ýòè òåîðåìû. 377


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Òåîðåìà Ôàëåñà. Åñëè íà îäíîé èç äâóõ ïðÿìûõ îòëîæåíû ðàâíûå îòðåçêè è ÷åðåç êîíöû ýòèõ îòðåçêîâ ïðîâåäåíû ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, ïåðåñåêàþùèå âòîðóþ ïðÿìóþ, òî íà ýòîé âòîðîé ïðÿìîé îòëîæàòñÿ ðàâíûå ìåæäó ñîáîé îòðåçêè. b

a

c1

c1

c2

c2

c3

c3

c4

b

a

c4

Òåîðåìà î ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêàõ (îáîáùåííàÿ òåîðåìà Ôàëåñà). Åñëè íà îäíîé èç äâóõ ïðÿìûõ îòëîæåíû îòðåçêè, êîòîðûå îòíîñÿòñÿ, êàê α : β : γ è ÷åðåç êîíöû ýòèõ îòðåçêîâ ïðîâåäåíû ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå, ïåðåñåêàþùèå âòîðóþ ïðÿìóþ, òî íà ýòîé âòîðîé ïðÿìîé îòëîæàòñÿ îòðåçêè, êîòîðûå îòíîñÿòñÿ ñîîòâåòñòâåííî, êàê α : β : γ. Äðóãèìè ñëîâàìè, åñëè ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå ïåðåñåêàþò äâå (èëè áîëåå) ïðÿìûå, òî ýòè ïàðàëëåëüíûå ïðÿìûå îòñåêàþò íà íèõ ïðîïîðöèîíàëüíûå MB îòðåçêè. 1 A1 Ïðèìåð 1.  òðåóãîëüíèêå ABC íà c1 B2 ñòîðîíå BC âûáðàíà òî÷êà M òàê, ÷òî c2 A2 BM : MC = 2:5 . ×åðåç ñåðåäèíó P îòB3 ðåçêà AM ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ CP, ïåðåc3 ñåêàþùàÿ ñòîðîíó AB â òî÷êå T. ÍàéA3 äèòå îòíîøåíèÿ AT : TB è CP : PT . a " 5

1

/ . # B 378

$ B

Ðåøåíèå. Âî-ïåðâûõ, èç óñëîâèÿ BM : MC = 2:5 ñëåäóåò, ÷òî BM = 2a, à MC = 5a. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ MN ïàðàëëåëüíî CP, ãäå N — òî÷êà åå ïåðåñå÷åíèÿ ñî ñòîðîíîé AB. Òîãäà, ïðèìåíèâ òåîðåìó î ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêàõ ê ïåðåñåêàþùèìñÿ ïðÿ-


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

A ìûì BA è BC, íàéäåì, ÷òî BN = 2c, a NT = 5c. Òåïåðü ïðèìåíèì òåîðåìó P Ôàëåñà ê ïåðåñåêàþùèìñÿ ïðÿìûì T C AB è AM. Ïî óñëîâèþ AP = PM, ñëåN M äîâàòåëüíî, AT = TN = 5c. Îòñþäà íàK õîäèì BT = BN + NT = 7c , çíà÷èò, B 7n 5n èñêîìîå îòíîøåíèå AT : TB = 5:7 . ×òîáû íàéòè îòíîøåíèå CP : PT, ïîëåçíî ñäåëàòü íîâûé ðèñóíîê. Ïîñòóïèì àíàëîãè÷íî: ïðîâåäåì ïðÿìóþ TK ïàðàëëåëüíî AM äî åå ïåðåñå÷åíèÿ ñî ñòîðîíîé BC â òî÷êå K. Ïî òåîðåìå î ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêàõ äëÿ ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ BA è BC ïîëó÷èì BK = 7n, KM = 5n. Îòñþäà 5BM BM = 12n. Ïî óñëîâèþ CM = = 30n . Äàëåå ïî òåîðåìå 2 î ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêàõ äëÿ ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ CT è CB ïîëó÷èì

CP : PT = CM : MK = 30n :5n = 6 :1 .

Îòâåò: AT : TB = 5:7 , CP : PT = 6 :1 .

B

C1  íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ äëÿ âû÷èñëåíèÿ îòíîøåíèé ïîëåçíà òåîðåìà A1 Ìåíåëàÿ. Ýòà òåîðåìà íå ñîäåðæèòñÿ â ïðîãðàììå êóðñà ìàòåìàòèêè äëÿ îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ øêîë. B1 Ïðèâåäåì åå ôîðìóëèðîâêó. Ïóñòü äàí òðåóãîëüíèê ABC A C è ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ ñòîðîíû ýòîãî òðåóãîëüíèêà èëè èõ ïðîäîëæåíèÿ è íå ïðîõîäÿùàÿ íè ÷åðåç îäíó âåðøèíó ýòîãî òðåóãîëüíèêà. Ïóñòü ýòà ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåò ñòîðîíó AB â òî÷êå C1, ñòîðîíó BC â òî÷êå A1 è ïðîäîëæåíèå ñòîðîíû CA â òî÷êå B1. Òîãäà ñïðàâåäëèâî

ðàâåíñòâî

BA1 CB1 AC1 ⋅ ⋅ = 1 , êîòîðîå ìîæíî íàçûâàòü ðàA1C B1 A C1 B

âåíñòâîì Ìåíåëàÿ. Ðàâåíñòâî Ìåíåëàÿ ëåãêî çàïîìíèòü, åñëè âûáðàòü ïðîèçâîëüíóþ âåðøèíó òðåóãîëüíèêà, íàçûâàòü òî÷êè A1, B1 è C1 379


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

«ïðîìåæóòî÷íûìè» òî÷êàìè è îáîéòè òðåóãîëüíèê ïî âñåì åãî ñòîðîíàì, íà÷èíàÿ îò âûáðàííîé òî÷êè ê «ïðîìåæóòî÷íîé» è îò «ïðîìåæóòî÷íîé» òî÷êè ê ñëåäóþùåé âåðøèíå. Âûáåðåì, íàïðèìåð, âåðøèíó B è ñîâåðøèì óêàçàííûé îáõîä òðåóãîëüíèêà ABC ïî ñõåìå B  A1  C  B1  A  C1  B .

Òîãäà ïåðâûå äâå òî÷êè B, A1 îáîçíà÷àþò ÷èñëèòåëü ïåðâîé äðîáè; âòîðàÿ è òðåòüÿ òî÷êè A1, C — çíàìåíàòåëü ïåðâîé äðîáè; òðåòüÿ è ÷åòâåðòàÿ òî÷êè C, B1 — ÷èñëèòåëü âòîðîé äðîáè; ÷åòâåðòàÿ è ïÿòàÿ òî÷êè B1, A — çíàìåíàòåëü âòîðîé äðîáè; ïÿòàÿ è øåñòàÿ òî÷êè A, C1 — ÷èñëèòåëü òðåòüåé äðîáè; øåñòàÿ è ñåäüìàÿ òî÷êè C1, B — çíàìåíàòåëü òðåòüåé äðîáè.  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì ðàâåíñòâî BA1 CB1 AC1 ⋅ ⋅ =1 , A1C B1 A C1 B

êîòîðîå ñîâïàäàåò ñ ðàâåíñòâîì Ìåíåëàÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ïîðÿäêà çàïèñàííûõ îòíîøåíèé. AC1 BA1 CB1 Ïîëåçíî ïîíèìàòü, ÷òî èç ðàâåíñòâà ⋅ ⋅ =1 C1 B A1C B1 A CB AC ñëåäóåò, ÷òî ïðîèçâåäåíèå îáðàòíûõ îòíîøåíèé 1 ⋅ 1 ⋅ AC1 BA1 B A ⋅ 1 =1. CB1 Òåîðåìà Ìåíåëàÿ ñïðàâåäëèâà è â òîì ñëó÷àå, åñëè äàííàÿ ïðÿìàÿ ïåðåñåêàåò òîëüêî ïðîäîëæåíèÿ ñòîðîí äàííîãî òðåóãîëüíèêà, ïðè ýòîì ðàâåíñòâî Ìåíåëàÿ ñîñòàâëÿåòñÿ ïî òîìó æå ñàìîìó ïðàâèëó íåïðåðûâíîãî îáõîäà òðåóãîëüíèêà âäîëü åãî ñòîðîí: îò âåðøèíû ê «ïðîìåæóòî÷íîé» òî÷êå è îò «ïðîìåæóòî÷íîé» òî÷êè ê âåðøèíå. Óïðàæíåíèå 1. Äîêàæèòå òåîðåìó Ìåíåëàÿ. Ïðîäåìîíñòðèðóåì, êàê ðàáîòàåò A òåîðåìà Ìåíåëàÿ äëÿ âû÷èñëåíèÿ îòíîøåíèé îòðåçêîâ. Ðàññìîòðèì óñëîP T âèå ïðèìåðà 1 è ñîîòâåòñòâóþùèé ðèC ñóíîê. 5a M Ïðÿìàÿ TC ïåðåñåêàåò ñòîðîíû AB, 2a B AM è ïðîäîëæåíèå ñòîðîíû BM òðå380


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

óãîëüíèêà MAB. Ñîñòàâèì ðàâåíñòâî Ìåíåëàÿ, íà÷èíàÿ AT BC MP MP ñ âåðøèíû A: ⋅ ⋅ =1 . Íî ïî óñëîâèþ =1 , TB CM PA PA BM 2 = . MC 5 BC 7 Èç ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà ñëåäóåò, ÷òî = . CM 5 AT 7 AT 5 Ïîýòîìó ⋅ = 1 . Îòñþäà = . TB 5 TB 7 Ïðÿìàÿ AM ïåðåñåêàåò ñòîðîíû TC, BC è ïðîäîëæåíèå ñòîðîíû TB òðåóãîëüíèêà TCB. Ñîñòàâèì ðàâåíñòâî ÌåíåTP CM BA ⋅ ⋅ =1 . Ïî óñëîâèþ ëàÿ, íà÷èíàÿ ñ âåðøèíû T: PC MB AT CM 5 BA 12 AT 5 = , êðîìå òîãî, íàéäåíî = . = , èç êîòîðîãî MB 2 AT 5 TB 7 TP 5 12 TP 1 Ñëåäîâàòåëüíî, ⋅ ⋅ = 1 . Îòñþäà = . PC 2 5 PC 6 Ïîëó÷èëè òå æå ñàìûå îòíîøåíèÿ AT : TB = 5:7 , CP : PT = 6 :1 . Âû÷èñëåíèå îòíîøåíèé îòðåçêîâ ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ â çàäà÷àõ íà âû÷èñëåíèå ïëîùàäåé èëè èõ îòíîøåíèé.  çàäà÷àõ òàêîãî òèïà ïîëåçíû ñëåäóþùèå ñîîáðàæåíèÿ. Åñëè äâà òðåóãîëüíèêà èìåþò îáùåå îñíîâàíèå (èëè ðàâíûå îñíîâàíèÿ), òî èõ ïëîùàäè îòíîñÿòñÿ êàê âûñîòû, ïðîâåäåííûå ê ýòîìó îñíîâàíèþ. Åñëè äâà òðåóãîëüíèêà èìåþò îáùóþ âûñîòó (èëè ðàâíûå âûñîòû), òî èõ ïëîùàäè îòíîñÿòñÿ êàê ñòîðîíû, ê êîòîðûì ýòà âûñîòà ïðîâåäåíà. Åñëè äâà òðåóãîëüíèêà èìåþò îáùèé óãîë (èëè ðàâíûå óãëû, èëè óãëû, äîïîëíÿþùèå äðóã äðóãà äî 180°), òî èõ ïëîùàäè îòíîñÿòñÿ êàê ïðîèçâåäåíèÿ ñòîðîí, çàêëþ÷àþùèõ ýòîò óãîë (èëè ýòè äîïîëíÿþùèå äðóã äðóãà óãëû). Ðàññìîòðèì ïðèìåð, êîòîðûé ïðîäîëæàåò ïðèìåð 1. Ïðèìåð 2.  òðåóãîëüíèêå ABC íà ñòîðîíå BC âûáðàíà òî÷êà M òàê, ÷òî BM : MC = 2:5 . ×åðåç ñåðåäèíó P îòðåçêà AM ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ CP, ïåðåñåêàþùàÿ ñòîðîíó AB â òî÷êå T. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ATP, åñëè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíà 1. 381


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ðåøåíèå. Èñêîìóþ ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ATP íàéäåì êàê ÷àñòü ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ACT. Ïîñêîëüêó AT : TB = 5:7 (ñì. 397), òî AT : AB = 5:12 . Äàëåå, òðåóãîëüíèêè ABC è ACT èìåþò îáùóþ âûñîòó èç âåðøèA S AT 5 . Îòñþäà íû C. Ïîýòîìó ACT = = SABC AB 12 P T

C

5 5 . SABC = 12 12 M B 2a Àíàëîãè÷íî, CP : PT = 6 :1 (ñì. ïðèìåð 1), ñëåäîâàòåëüíî, PT : TC = 1:7 . Òðåóãîëüíèêè ATP è ACT èìåþò îáùóþ âûñîòó èç âåð5a

SACT =

SATP PT 1 = = . SATC TC 7 1 1 5 5 5 Îòñþäà SATP = SATC = ⋅ = . Èòàê, SATP = . 7 7 12 84 84 5 Îòâåò: . 84

øèíû A è, çíà÷èò,

5

" . 

Y

$



#

Ïðèìåð 3.  òðåóãîëüíèêå ABC ñî ñòîðîíàìè AB = 6 , AC = 5 , BC = 4 ïðîâåäåíû áèññåêòðèñû óãëà BAC è âíåøíåãî óãëà ïðè âåðøèíå A, ïåðåñåêàþùèå ïðÿìóþ BC â òî÷êàõ D è G. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå DG.

Ðåøåíèå. Ïóñòü AD — áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà ABC, a AG — áèññåêòðèñà âíåøíåãî óãëà ïðè âåðøèíå A. ×åðåç òî÷êó C ïðîâåäåì ïðÿìóþ CM ïàðàëëåëüíî AG. Ïóñòü GC = x. Òàê êàê ïðÿìûå AG è CM ïàðàëëåëüíû, òî GAC = ACM è GAT = AMC . Ñëåäîâàòåëüíî, òðåóãîëüíèê ACM ðàâíîáåäðåííûé è AC = AM. Ïî òåîðåìå î ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçAM MB . Èñïîëüçóÿ ïðîèçâîäêàõ ïîëó÷àåì ïðîïîðöèþ = GC BC AM AM + MB AB íóþ ïðîïîðöèþ, ïîëó÷èì: , è òàê êàê = = GC GC + BC BG AC AB . AC = AM, òî = GC BG 382


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

5 6 =  x = 20 . Áèññåêòðèñà AD òðåóãîëüíèêà x x +4 ABC äåëèò ñòîðîíó BC íà îòðåçêè, ïðîïîðöèîíàëüíûå ïðèAC CD ëåæàùèì ê íèì ñòîðîíàì, ò.å. . Îáîçíà÷èì CD = y. = AB DB y 5 20 9 Òîãäà = y= =1 . 6 4-y 11 11 9 Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìîå ðàññòîÿíèå GD = 21 . 11 Óïðàæíåíèå 2. Äîêàæèòå ñ ïîìîùüþ òåîðåìû î ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêàõ ñâîéñòâî áèññåêòðèñû òðåóãîëüíèêà AC CD (ñì. ñòð. 391, ïðèìåð 1, ïóíêò 3). = AB DB

Îòñþäà

§ 10. Ïîäîáèå òðåóãîëüíèêîâ Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ. Äâà òðåóãîëüíèêà ABC è A1B1C1 íàçûâàþòñÿ ïîäîáíûìè, åñëè èõ óãëû ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû: A = A1, B = B1, C = C1, à ñõîäñòâåííûå ñòîðîíû, ò.å. ñòîðîíû, ïðîòèâîëåæàùèå ýòèì ðàâíûì óãëàì, ïðîïîðöèîíàëüíû: AB BC CA = = = k , ãäå ÷èñëî k — êîýôôèöèåíò ïîäîA1 B1 B1C1 C1 A1 áèÿ, ïðè ýòîì ïèøóò  ABC  A1 B1C1 ñ êîýôôèöèåíòîì k. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî: â ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêàõ îòíîøåíèå ëþáûõ ñîîòâåòñòâóþùèõ îòðåçêîâ ðàâíî êîýôôèöèåíòó ïîäîáèÿ. Íàïðèìåð, åñëè  ABC  A1 B1C1 ñ êîýôôèöèåíòîì k, AM è A1M1 — ìåAM äèàíû ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ, òî =k; A1 M1 îòíîøåíèå ïåðèìåòðîâ ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ òàêæå ðàâíî êîýôôèöèåíòó ïîäîáèÿ; îòíîøåíèå ïëîùàäåé ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ ðàâíî êâàäðàòó êîýôôèöèåíòà ïîäîáèÿ, à êîýôôèöèåíò ïîäîáèÿ ðàâåí êâàäðàòíîìó êîðíþ èç îòíîøåíèÿ ïëîùàäåé ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ. Áîëüøîå çíà÷åíèå ïðè ðåøåíèè çàäà÷ èìåþò ïðèçíàêè ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ. 383


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Åñëè äâà óãëà îäíîãî òðåóãîëüíèêà ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû äâóì óãëàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, òî òàêèå òðåóãîëüíèêà ïîäîáíû (ÓÓ)1. Åñëè äâå ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ñîîòâåòñòâåííî ïðîïîðöèîíàëüíû Ðèñ. 1 äâóì ñòîðîíàì äðóãîãî òðåóãîëüíèêà, à óãëû, çàêëþ÷àþùèå ýòè ïðîïîðöèîíàëüíûå ñòîðîíû, ðàâíû, òî òàêèå òðåóãîëüíèêà ïîäîáíû (ÑÓÑ). Åñëè òðè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà ñîîòâåòñòâåííî ïðîïîðöèîíàëüíû òðåì ñòîðîíàì äðóãîãî, òî òàêèå òðåóãîëüíèêà ïîäîáíû (ÑÑÑ)2. Ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ïîëåçíî çíàòü Ðèñ. 2 íàèçóñòü íåêîòîðûå «ñòàíäàðòíûå» ðàñïîëîæåíèÿ ïàð ïîäîáíûõ òðåóãîëüB íèêîâ. Óêàæåì íåêîòîðûå èç òàêèõ ïàð. Ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ ñòîðîíå òðåóãîëüíèêà, îòñåêàåò îò íåãî òðåóãîëüíèê, ïîäîáíûé äàííîìó (ðèñ. 1). A C M Åñëè äâå ïðÿìûå, ïåðåñåêàþùèåñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå, ïåðåñå÷åíû äâóìÿ äðóΔABC f ΔAMB ãèìè ïàðàëëåëüíûìè ïðÿìûìè òàê, ÷òî Ðèñ. 3 ýòà òî÷êà ÿâëÿåòñÿ âíóòðåííåé òî÷êîé ïîëîñû, îáðàçîâàííîé äàííûìè ïàðàëëåëüíûìè ïðÿìûìè, òî ýòè ïðÿìûå îòñåêàþò îò äàííûõ ïåðåñåêàþùèõñÿ ïðÿìûõ äâà ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêà (ðèñ. 2). Óêàçàííûå ïàðû ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ â ãåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷àõ âñòðå÷àþòñÿ íàèáîëåå ÷àñòî. Îäíàêî åñòü è èíûå ïàðû, íåêîòîðûå èç êîòîðûõ ïðèâåäåíû íà ðèñ. 3, 4, 5, 6 è 7 áåç ñëîâåñíîãî îïèñàíèÿ. 1 «ÓÓ» — óäîáíîå ñîêðàùåííîå îáîçíà÷åíèå ïðèçíàêà ïîäîáèÿ «ïî äâóì óãëàì». 2

Íå ñëåäóåò äóìàòü, ÷òî ýòèìè òðåìÿ ïðèçíàêàìè èñ÷åðïûâàþòñÿ ïðèçíàêè ïîäîáèÿ. Ñóùåñòâóþò è èíûå ïðèçíàêè, íî îíè íå ñòîëüêî óäîáíû, êàê òå, êîòîðûå òîëüêî ÷òî ñôîðìóëèðîâàíû.

384


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

B

B

K

A

K

C

M ΔABC f ΔKMC

C M ΔABC f ΔKMC, k = cosC

Ðèñ. 4

Ðèñ. 5

O1

A

A

C

T2 O2

T1

B

D

ΔO1T1A f ΔO2T2A

ΔABC f ΔACD f ΔCBD

Ðèñ. 6

Ðèñ. 7

A

Ïðèìåð 1.  òðåóãîëüíèêå ABC íà ñòîðîíå BC âûáðàíà òî÷êà M òàê, ÷òî BM : MC = 3 : 2. ×åðåç òî÷êó M ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ MN, ïàðàëëåëüíàÿ AB, ïåðåñåêàþùàÿ ñòîðîíó AC â òî÷êå N. ×åðåç òî÷êó N ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ NL, ïàðàëëåëüíàÿ BC, ïåðåñåêàþùàÿ ñòîðîíó AB â òî÷êå L. Èçâåñòíî, ÷òî ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíà 30, à åãî ïåðèìåòð ðàâåí 60. Íàéäèòå ïëîùàäè è ïåðèìåòðû òðåóãîëüíèêîâ CMN è ALN. Ðåøåíèå. Îòìåòèì, ÷òî èç îòíîøåíèÿ BM : MC = 3:2 ñëåäóåò, ÷òî BM = 3a , MC = 2a . Äàëåå çàìåòèì, ÷òî òðåóãîëüíèê ABC è îáðàçîâàâøèåñÿ òðåóãîëüíèêè CMN è ALN ïîäîáíû. Ïðè ýòîì  ABC NMC 1 ñ êîýôôèöèåíòîì ïîäî1 Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî íåâåðíî áûëî áû íàïèñàòü ΔABC ∼ ΔCMN, ïîñêîëüêó ïðè òàêîé çàïèñè äîëæíî áûëî áû âûïîëíÿòüñÿ ðàâåíñòâî ñîîòâåòñòâóþùèõ óãëîâ, íàïðèìåð ∠CAB = ∠NCM, à ýòî ðàâåíñòâî íå ñëåäóåò èç óñëîâèÿ çàäà÷è.

385


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

C

BC 5 = , è  ABC  ALN CM 2 2a ñ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ M N BC 5 k1 = = , ïîñêîëüêó MNLB — NL 3 3a ïàðàëëåëîãðàìì è NL = MB = 3a. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî, âî-ïåðâûõ, ïåA B L 2 2 ðèìåòð PNMC = PABC = ⋅ 60 = 24 , 5 5 3 3 à ïåðèìåòð PALN = PABC = ⋅ 60 = 36. Àíàëîãè÷íî, äëÿ ïëî5 5 ùàäåé:

áèÿ k =

æ 2 ö2 4 SNMC = çç ÷÷÷ ⋅ SABC = ⋅ 30 = 4,8 è è5ø 25 æ 3 ö2 9 SALN = çç ÷÷÷ ⋅ SABC = ⋅ 30 = 10,8 . è5ø 25

Îòâåò: PNMC = 24 , PALN = 36 , SNMC = 4,8 è SALN =10,8 . Ïðèìåð 2. ×åðåç ïðîèçâîëüíóþ òî÷êó, ëåæàùóþ âî âíóòðåííåé îáëàñòè òðåóãîëüíèêà ABC, ïðîâåëè ïðÿìûå, ïàðàëëåëüíûå åãî ñòîðîíàì. Ïëîùàäè îáðàçîâàâøèõñÿ òðåóãîëüíèêîâ ðàâíû S1, S2, S3. C Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà x ABC.

y

Ðåøåíèå. Îòìåòèì, ÷òî êàæäûé èç òðåõ îáðàçîâàâøèõñÿ òðåóãîëüíèêîâ ïîäîáåí äàííîìó òðåóãîëüíèz S2 êó ABC è îíè ïîäîáíû ìåæäó ñîA áîé. Ïóñòü x, y, z äëèíû îòðåçêîâ, B îáðàçîâàâøèõñÿ íà ñòîðîíå BC, è S0 — èñêîìàÿ ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC. Èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî îòíîøåíèÿ ïëîùàäåé ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ, ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà:

S3

S1

S1 S1 S2 x x z ; ; . = = = x+y+z S0 y S3 y S3 386


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

Ðàçäåëèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ëåâîé ÷àñòè ïåðâîãî x S1 y è ïîäñòàâèì â ýòî ðàâåíñòâà íà y. Ïîëó÷èì = x z S0 +1 + y y ðàâåíñòâî îòíîøåíèÿ Èìååì

S1 S2 x z ; . = = y S3 y S3 S1 S3 S1 S +1 + 2 S3 S3

=

S1 . S0

Óìíîæèì ÷èñëèòåëü è çíàìåíàòåëü ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà íà

S3 .

Ïîëó÷èì S1 S1 + S2 + S3

=

S1  S0

2

 S1 + S2 + S3 = S0  S0 = ( S1 + S2 + S3 ) .

Îòâåò:

(

2

S1 + S2 + S3 ) .

Ïðèìåð 3. Íà ñòîðîíàõ BC è CD ïàðàëëåëîãðàììà ABCD îòìå÷åíû òî÷êè M è L ñîîòâåòñòâåííî òàê, ÷òî BM : BC = 1: 3 è CL : CD = 1:2 . Ïðÿìàÿ ML ïåðåñåêàåò äèàãîíàëü AC â òî÷êå O. Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà ABCD ðàâíà 560. Íàéäèòå ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà AOLD. Ðåøåíèå. Èç çàäàííûõ îòíîøåíèé BM : BC = 1 : 3 è CL : CD = 1:2 ñëåäóåò, ÷òî åñëè BM = a, òî BC = 3a, a MC = 2a. À òàêæå, åñëè CL = b, òî CD = 2b, ò.å. L — ñåðåäèíà ñòîðîíû CD. Ïðîäîëæèì îòðåçîê ML çà B a M 2a C òî÷êó L äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïðÿìîé O AD â òî÷êå P. Òðåóãîëüíèê MLC c ðàâåí òðåóãîëüíèêó PLD ïî ñòîðîL íå è äâóì óãëàì (MLC = PLD, MCL = PDL, CL = LD), ïîýòîìó P DP = 2a. Íî AD = BC = 3a, ñëåäîâà- A D 2a 3a 387


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

òåëüíî, AP = 5a. Çàìå÷àåì, ÷òî  AOP COM ñ êîýôôèöèAP 5 CO 2 åíòîì ïîäîáèÿ k = = , ñëåäîâàòåëüíî, = . ÄèàãîCM 2 AO 5 íàëü AC äåëèò ïàðàëëåëîãðàìì íà äâà ðàâíûõ òðåóãîëüíèêà, ïîýòîìó ïëîùàäü SACD = 280 , à òðåóãîëüíèêè ACD è OCL SACD CA ⋅ CD 7 2 èìåþò îáùèé óãîë ACD. Ïîýòîìó = = ⋅ =7 . SOCL CO ⋅ CL 2 1 1 Îòñþäà SOCL = ⋅ SACD = 40 . Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìàÿ ïëîùàäü 7 SAOLD = 240 . Îòâåò: 240. Ðàññìîòðèì çàäà÷è íà ïîäîáèå, ñâÿçàííûå ñ ïðÿìîóãîëüíûì òðåóãîëüíèêîì. Ïðèìåð 4. Èç ñåðåäèíû O ãèïîòåíóçû òðåóãîëüíèêà ABC âîññòàâëåí ê íåé ïåðïåíäèêóëÿð, ïåðåñåêàþùèé îäèí êàòåò â òî÷êå K, à ïðîäîëæåíèå äðóãîãî â òî÷êå M. Íàéäèòå ñòîðîíû ýòîãî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, åñëè OK = k, OM = m.

#

0 ,

L

NL .

$

"

Ðåøåíèå. Çàìå÷àåì íåñêîëüêî ïàð ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ: BOK MOA ñ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ BO OK . = OM OA

Íî BO = OA = 0,5 AB , ïîýòîìó k 0,5 AB =  0,25 AB2 = mk  m 0,5 AB  AB = 2 mk .

Òåïåðü ðàññìîòðèì äðóãîå ïîäîáèå:  ABC KBO ñ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ AC AB BC AC 2 mk BC . = =  = = KO KB OB k BK mk 388


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

Ñòîðîíó BK íàéäåì ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà: BK = BO2 + OK2 = mk + k2 = k (m + k) .

Òåïåðü ïîëó÷àåì AC 2 mk 2k mk m . =  AC = = 2k k m+k k (m + k) k (m + k) 2 mk BC k . =  BC = 2m mk m +k k (m + k) m k Îòâåò: AB = 2 mk ; AC = 2k ; BC = 2m . m+k m+k

Àíàëîãè÷íî,

§ 11. Ïàðàëëåëîãðàìì è òðàïåöèÿ Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå, ñâîéñòâà è ïðèçíàêè ïàðàëëåëîãðàììà. Ïàðàëëåëîãðàììîì íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõóãîëüíèê, ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû êîòîðîãî ïîïàðíî ïàðàëëåëüíû. Ñâîéñòâà ïàðàëëåëîãðàììà Ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Ïðîòèâîïîëîæíûå óãëû ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Ñóììà óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà, ïðèëåæàùèõ ê îäíîé ñòîðîíå, ðàâíà 180°. Äèàãîíàëè ïàðàëëåëîãðàììà òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ äåëÿòñÿ ïîïîëàì. Äèàãîíàëü ïàðàëëåëîãðàììà äåëèò åãî íà äâà ðàâíûõ òðåóãîëüíèêà. Áèññåêòðèñà óãëà ïàðàëëåëîãðàììà, ïåðåñåêàþùàÿ åãî ñòîðîíó, îòñåêàåò îò íåãî ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê. Áèññåêòðèñû óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà ïåðïåíäèêóëÿðíû, à òî÷êà èõ ïåðåñå÷åíèÿ ëåæèò íà ñðåäíåé ëèíèè ïàðàëëåëîãðàììà, ïàðàëëåëüíîé äðóãîé åãî ñòîðîíå. Ñóììà êâàäðàòîâ âñåõ ñòîðîí ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà ñóììå êâàäðàòîâ åãî äèàãîíàëåé. Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà ìîæåò áûòü íàéäåíà ïî îäíîé 1 èç ñëåäóþùèõ ôîðìóë: S = aha = bhb, S = absinα, S = d1d2 sin β, 2 389


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ãäå a, b — ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà; ha, hb — âûñîòû ïàðàëëåëîãðàììà, ïðîâåäåííûå ê ñòîðîíàì a è b ñîîòâåòñòâåííî; α — óãîë ïàðàëëåëîãðàììà (îñòðûé èëè òóïîé); β — óãîë ìåæäó äèàãîíàëÿìè ïàðàëëåëîãðàììà (îñòðûé èëè òóïîé). Ïðèìåð 1. Áîëüøàÿ ñòîðîíà ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà 2 13, à îòíîøåíèå óãëîâ, ïðèëåæàùèõ ê îäíîé ñòîðîíå, ðàâíî 5. Ìåíüøàÿ äèàãîíàëü ïàðàëëåëîãðàììà ïåðïåíäèêóëÿðíà ìåíüøåé ñòîðîíå. Âû÷èñëèòå ìåíüøóþ ñòîðîíó, îáå äèàãîíàëè è ñòîðîíó ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà, ðàâíîâåëèêîãî äàííîìó ïàðàëëåëîãðàììó. Ðåøåíèå. Ïóñòü â ïàðàëëåëîãðàììå ABCD ñòîðîíà AD = 2 13, BD ^ AB è A = α. ‰ Òîãäà B = 5α è ïî ñâîéñòâó óãëîâ ïà% " Ç ðàëëåëîãðàììà A + B = α + 5α = 180°. Îòñþäà A = 30 , BD = 0,5 AD = 13 . Òåïåðü ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà #

$

AB = AD2 - BD2 = 39 .

Âòîðóþ äèàãîíàëü íàõîäèì ïî ñâîéñòâó ñòîðîí è äèàãîíàëåé ïàðàëëåëîãðàììà: 2(AB2 + AD2 )= AC2 + BD2  2(39 + 52) = AC2 + 13   AC =13 . Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà âû÷èñëèì ïî ôîðìóëå SABCD = AB ⋅ AD sin 30 = 39 ⋅ 2 ⋅ 13 ⋅ 0,5 = 13 3 .

Èçâåñòíî, ÷òî ïëîùàäü ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ñî a2 3 ñòîðîíîé, ðàâíîé a, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå S = . Ïî4 ëó÷àåì óðàâíåíèå 13 3 =

Îòâåò:

39 ;

a2 3  a = 2 13 . 4

13 ; 13; 2 13 .

Ïðèìåð 2. Ïðÿìàÿ, ñîäåðæàùàÿ áèññåêòðèñó ìåíüøåãî óãëà A ïàðàëëåëîãðàììà ABCD, ïåðåñåêàåò åãî ñòîðîíó BC â òî÷êå H òàê, ÷òî BH : HC = 2 : 3, è óäàëåíà îò âåðøèíû D íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå 3. Ïåðèìåòð ïàðàëëåëîãðàììà 390


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

ðàâåí 14. Âû÷èñëèòå äëèíû ñòîðîí è ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà. Ðåøåíèå. Ïóñòü AD = x, AB = y. Òîãäà èç óñëîâèÿ ïîëó÷àåì 2x + 2y = 14 . Ïî ñâîéñòâó áèññåêòðèñû óãëà ïàðàëëåëîãðàììà AB = BH = y . Òîãäà HC = x - y è èç óñëîâèÿ ïîëó÷àåì y 2 =  2x = 5y . Ðåøèì ñèñòåìó óðàâíåíèé x-y 3 ìïï2x = 5y, ìïy = 2,  ïí í ïîï2x + 2y = 14 ïîïx = 5. Òàêèì îáðàçîì, AB = 2 , AD = 5 . Ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà íàéäåíû. Îïóñòèì èç òî÷êè D ïåðK ïåíäèêóëÿð DM íà AH. ÒîH ãäà îòðåçîê DM — ðàññòîÿíèå B y x−y C îò âåðøèíû D äî ïðÿìîé AH y M è ïî óñëîâèþ DM = 3 . Çàìå3 T òèì, ÷òî ïî ñâîéñòâó áèññåêD x òðèñ óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà, A L ïðèëåæàùèõ ê îäíîé ñòîðîíå, DM — áèññåêòðèñà óãëà D ïàðàëëåëîãðàììà ABCD. Ïðîâåäåì ÷åðåç òî÷êó M ïðÿìóþ KT, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ CD è ïåðåñåêàþùóþ ïðÿìûå CD è AB â òî÷êàõ T è K ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà KT ^ AB . Ïóñòü ML — âûñîòà òðåóãîëüíèêà AMD. Òîãäà ïî ñâîéñòâó áèññåêòðèñû óãëà ïîëó÷àåì ML = MK = MT . Ñëåäîâàòåëüíî, KT = 2ML . Îòðåçîê ML — âûñîòà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà AMD. ÏîýòîAM ⋅ MD 4 ⋅ 3 12 ìó ML = (ìû âîñïîëüçîâàëèñü òåì çà= = AD 5 5 ìå÷àòåëüíûì ôàêòîì, ÷òî â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ñ êàòåòîì 3 è ãèïîòåíóçîé 5 âòîðîé êàòåò ðàâåí 4. Òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 3; 4; 5 íàçûâàåòñÿ åãèïåòñêèì òðåóãîëüíèêîì. Ñóùåñòâóåò òîëüêî îäèí ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî — ïîñëåäîâàòåëüíûå öåëûå ÷èñëà. Ýòè ÷èñëà 3, 4 è 5). Èòàê, âûñîòà ïàðàëëåëîãðàììà ðàâíà 391


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

24 = 4,8 . Ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà âû÷èñëÿåì 5 ïî ôîðìóëå SABCD = CD ⋅ KT = 9,6. Îòâåò: 2; 5; 9,6. KT = 2ML =

Ïðèìåð 3. Äâà ëó÷à, èñõîäÿùèå èç âåðøèíû ïðÿìîóãîëüíèêà è äåëÿùèå åãî óãîë íà òðè ðàâíûå ÷àñòè, ðàçäåëèëè ïðÿìîóãîëüíèê íà òðè ðàâíîâåëèêèå ÷àñòè. Îïðåäåëèòå îòíîøåíèå ñòîðîí ïðÿìîóãîëüíèêà. Ðåøåíèå. Ïóñòü â ïðÿìîóãîëüíèêå ABCD ñòîðîíû AB = a , AD = b . Ïóñòü ëó÷è AM è AL äåëÿò ïðÿìîé óãîë íà ðàâíûå ÷àñòè è òî÷êè L è M ëåæàò íà ñòîðîíàõ ïðÿìîóãîëüíèêà ABCD. Ïóñòü òî÷êà L ëåæèò íà ñòîðîíå DC. Òîãäà òî÷êà M äîëæíà ëåæàòü íà ñòîðîíå BC. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè áû òî÷êà M ëåæàëà íà ñòîB M C ðîíå DC, òî òðåóãîëüíèêè ADL è ADM íå ìîãëè áû áûòü ðàâíîâåëèêèìè, ïîñêîëüêó ó ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ áûëà áû îáùàÿ a âûñîòà è ðàçëè÷íûå îñíîâàíèÿ, òàê êàê L DL ¹ LM 1. Èç ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ADL íàõîäèì A D b b DL = ADtg ( DAL) = btg30 = . 3 Ïî óñëîâèþ ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ABCD â 3 ðàçà áîëüøå ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ADL. Îòñþäà ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî b b 3 AB ⋅ AD = 3 ⋅ 0,5 AD ⋅ DL  a = 1,5 . a= 2 3 a 3 . Îòñþäà èñêîìîå îòíîøåíèå = b 2 3 . Îòâåò: 2 Çàìå÷àíèå. Èíòåðåñíî çàìåòèòü, ÷òî â ïðÿìîóãîëüíèêå ñ 3 , ëó÷ AM äîëæåí ïðîõîäèòü îòíîøåíèåì ñòîðîí, ðàâíûì 2 1

Ïóñòü DL = LM. Òîãäà áèññåêòðèñà ∠BAM — ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà BAM è, çíà÷èò, ΔBAM ðàâíîáåäðåííûé ñ äâóìÿ ïðÿìûìè óãëàìè. Ïðîòèâîðå÷èå.

392


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

÷åðåç ñåðåäèíó BC, à ëó÷ AL äîëæåí 2 íûé DC .  ñàìîì äåëå, 3 a b BM = atg30 = = 3 2 b 2a DL = btg30 = = 3 3⋅

îòñåêàòü îòðåçîê, ðàâ3 b = ; 3 2 2 = a. 3 3

Ïðèìåð 4. Äâà ëó÷à, èñõîäÿùèå èç âåðøèíû A ïàðàëëåëîãðàììà ABCD, äåëÿò åãî íà òðè ÷àñòè, ïëîùàäè êîòîðûõ îòíîñÿòñÿ êàê 2:3:7 (ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû B). Óñòàíîâèòå ïîëîæåíèÿ òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ëó÷åé ñî ñòîðîíàìè ïàðàëëåëîãðàììà, åñëè åãî ñòîðîíà BC =18 . Ðåøåíèå. Ïóñòü S — ïëîùàäü B M T C ïàðàëëåëîãðàììà ABCD. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî ëó÷è, èñõîäÿùèå èç åãî âåðøèíû A äåëÿò åãî íà òðè ÷àñòè, ïëîùàäè êîòîðûõ A D ðàâíû S S S S S 7S . 2 = , 3 = , 7 = 12 6 12 4 12 12 Ñëåäîâàòåëüíî, îáà ëó÷à ïåðåñåêàþò ñòîðîíó BC ïàðàëëåëîãðàììà. Ïóñòü ýòî áóäóò òî÷êè M è T, ïðè÷åì ïóñòü òî÷êà M ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè B è T. Òðåóãîëüíèêè ABM, ABT è ABC èìåþò îáùóþ âûñîòó èç âåðøèíû A, ñëåäîâàòåëüíî, îòíîøåíèå èõ îñíîâàíèé ðàâíî îòíîøåíèþ ñîîòâåòñòâóþùèõ ïëîùàäåé, à èìåííî: S æS Sö S BM : BT : BC = : çç + ÷÷÷ : = 2:5: 6 . 6 è6 4ø 2 1 5 Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî BM = BC = 6 , à BT = BC = 15 , 3 6 çíà÷èò, MT = 9 . Îòâåò: Äàííûå ëó÷è AM, AT ïåðåñåêàþò ñòîðîíó BC ïàðàëëåëîãðàììà ABCD òàê, ÷òî BM = 6 , MT = 9 . Ïðèìåð 5. Áèññåêòðèñà óãëà A ïàðàëëåëîãðàììà ABCD ïåðåñåêàåò ñòîðîíó BC â òî÷êå M òàê, ÷òî BM : MC = 2:1 è CAM = α . Íàéäèòå BAD .

B ϕ A

M

C

α D 393


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ðåøåíèå. Ïóñòü BAD = 2ϕ . Òàê êàê AM — áèññåêòðèñà óãëà BAD, òî BAM = ϕ , à òàê êàê ABCD — ïàðàëëåëîãðàìì, òî BAC = 180- 2ϕ . Ïî òåîðåìå ñèíóñîâ â òðåóãîëüíèêå ABC èìååì AC BC AC BC . =  = sin (180- 2ϕ) sin (ϕ + α) sin2ϕ sin (ϕ + α) Ïî òåîðåìå ñèíóñîâ â òðåóãîëüíèêå AMC èìååì AC MC AC MC . =  = sin (180- ϕ) sin α sin ϕ sin α Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ çàäàííîå îòíîøåíèå BC : MC = 3:1 , ïîëó÷èì sin ϕ 3sin α . = sin2ϕ sin (ϕ + α) Òåïåðü ñ ïîìîùüþ ôîðìóë òðèãîíîìåòðèè ïîëó÷èì sin ϕ 3sin α 1 =  = 2sin ϕ cos ϕ sin ϕ cos α + sin α cos ϕ 2cos ϕ 3tgα =  sin ϕ + tgα cos ϕ = 6tgαcosϕ  tgϕ = 5tgα . sin ϕ + tgα cos ϕ Îòñþäà, ó÷èòûâàÿ, ÷òî ϕ — îñòðûé óãîë, íàõîäèì ϕ = arctg (5tgα) . Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìûé óãîë BAD = = 2arctg (5tgα) . Îòâåò: 2arctg (5tgα) . Ïðèìåð 6. Äèàãîíàëè AC è BD ïàðàëëåëîãðàììà ABCD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå O. Îêðóæíîñòü ñ äèàìåòðîì AO ïåðåñåêàåò îòðåçîê BO â åãî ñåðåäèíå, à ñòîðîíó AB â òî÷êå P òàê, ÷òî AP : PB = 3:1 . Îïðåäåëèòå: 1) îòíîøåíèå ïëîùàäè ïàðàëëåëîãðàììà ABCD ê ïëîùàäè êðóãà, îãðàíè÷åííîãî äàííîé îêðóæíîñòüþ; 2) îòíîøåíèå, â êîòîðîì äàííàÿ îêðóæíîñòü äåëèò ñòîðîíó AD, ñ÷èòàÿ îò òî÷êè A. P T

A 394

B

H

C M O

K

D

Ðåøåíèå. Ïóñòü ðàäèóñ äàííîé îêðóæíîñòè ðàâåí r. Òîãäà èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî AO = 2r . Ïî ñâîéñòâó îêðóæíîñòè AM ^ BO è òàê êàê M — ñåðåäèíà BO, òî AM — âûñîòà è ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà ABO.


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

Ñëåäîâàòåëüíî, òðåóãîëüíèê ABO — ðàâíîáåäðåííûé è AB = AO = 2r . OP ^ AB , à ïî óñëîâèþ 3 1 AP : PB = 3:1 . Ñëåäîâàòåëüíî, AP = r , BP = r . Èç ïðÿìî2 2 óãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ APO è OPB ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà r 7 è OB = PO2 + PB2 = r 2 . íàõîäèì OP = AO2 - AP2 = 2 Ïðîâåäåì DT ïàðàëëåëüíî PO. Òàê êàê O — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ïàðàëëåëîãðàììà ABCD , òî BO = OP. Îòñþäà ïî òåîðåìå Ôàëåñà ïîëó÷àåì PT = BP = 0,5r . Çíà÷èò, BT = r è, ñëåäîâàòåëüíî, DT — âûñîòà è ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà ABD. Ñëåäîâàòåëüíî, òðåóãîëüíèê ABD — ðàâíîáåäðåííûé è

Ïî

ñâîéñòâó

îêðóæíîñòè

AD = BD = 2BO = 2r 2 .

Ðàâíîáåäðåííûå òðåóãîëüíèêè ABO è DBA èìåþò îáùèé óãîë è, ñëåäîâàòåëüíî, ïîäîáíû ñ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ, ðàâíûì AB 2r 1 . = = DB 2r 2 2 Îòñþäà, ïîñêîëüêó BH è OP âûñîòû ïîäîáíûõ ðàâíîáåäðåííûõ òðåóãîëüíèêîâ, ïðîâåäåííûå ê áîêîâûì ñòîðîíàì, ïî ñâîéñòâó ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêîâ íàõîäèì 7 BH = 2OP = r . Çàìåòèì, ÷òî BH — âûñîòà äàííîãî ïà2 ðàëëåëîãðàììà. Ïîýòîìó åãî ïëîùàäü ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå SABCD = AD ⋅ BH = 2r 2 7 . Ïëîùàäü êðóãà ñ äèàìåòðîì 2r âû÷èñëÿåì ïî ôîðìóëå SC = πr 2 . Îòñþäà íàõîäèì SABCD 2r 2 7 2 7 . Ïóñòü äàííàÿ = = π SC πr 2 îêðóæíîñòü ïåðåñåêàåò AD â òî÷êå K. Òîãäà OK ^ AD ïî ñâîéñòâó îêðóæíîñòè, è çíà÷èò, OK  BH . À ïîñêîëüêó O — ñåðåäèíà BD, òî OK — ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà BDH è

èñêîìîå îòíîøåíèå

ïîýòîìó OK = 0,5BH =

r 7 . Èç ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíè2 2 395


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

5r êà AOK íàõîäèì AK = AO2 - OK2 = . Îòñþäà îòíîøå2 2 5r AK AK 5 5 íèå = . = 2 2 = . Òåïåðü èñêîìîå îòíîøåíèå AD 2r 2 8 AD 3 2 7 ; 5: 3 . π Ïðèìåð 7.  âûïóêëîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå ABCD äèàãîíàëè AC = 12 è BD = 10. Íàéäèòå ïåðèìåòð ÷åòûðåõóãîëüíèêà, âåðøèíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ñåðåäèíû ñòîðîí äàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà.

Îòâåò:

Ðåøåíèå. Ïóñòü òî÷êè M, N, L, P — ñåðåäèíû ñòîðîí AB, BC, CD è N DA ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ñîîòâåòñòC âåííî. Ðàññìîòðèì ïàðó îòðåçêîâ MN, M PL. Ïîñêîëüêó òî÷êè M, N, L, P — L ñåðåäèíû ñòîðîí AB, BC, CD è DA, òî MN è PL — ñðåäíèå ëèíèè òðåóãîëüíèêîâ ABC è ADC. Ïî ñâîéñòâó ñðåäA D P íåé ëèíèè MN || AC || PL è MN = 0,5AC, PL = 0,5AC, ñëåäîâàòåëüíî, MN = PL. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî MNLP — ïàðàëëåëîãðàìì. Àíàëîãè÷íî, NL = MP = 0,5BD. Ñëåäîâàòåëüíî, ïåðèìåòð ïàðàëëåëîãðàììà MNLP ðàâåí 2(MN + PL) = AC + BD = 22. Îòâåò: 22. B

Çàìå÷àíèå. Ïðèìåð 7 èëëþñòðèðóåò èçâåñòíûé ðåçóëüòàò, êîòîðûé íîñèò íàçâàíèå òåîðåìû Âàðèíüîíà: Ñåðåäèíû ñòîðîí ïðîèçâîëüíîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè ïàðàëëåëîãðàììà, ïåðèìåòð êîòîðîãî ðàâåí ñóììå äëèí äèàãîíàëåé äàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, à ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà Âàðèíüîíà âäâîå ìåíüøå ïëîùàäè ýòîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà. Êðîìå ýòîé çíàìåíèòîé òåîðåìû ñôîðìóëèðóåì åùå îäíó ïîõîæóþ òåîðåìó. Òåîðåìà.  ïðîèçâîëüíîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå ñåðåäèíû äèàãîíàëåé è ñåðåäèíû åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ÿâëÿþòñÿ âåðøè396


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

íàìè ïàðàëëåëîãðàììà, ïåðèìåòð êîòîðîãî ðàâåí ñóììå äëèí ýòèõ ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí. Ñëåäñòâèå.  ïðîèçâîëüíîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå îòðåçêè, ñîåäèíÿþùèå ñåðåäèíû ïðîòèâîïîëîæíûõ åãî ñòîðîí, è îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ñåðåäèíû äèàãîíàëåé ýòîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà, ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå è äåëÿòñÿ åþ ïîïîëàì. Ðàññìîòðèì åùå îäíó èíòåðåñíóþ çàäà÷ó, ïîêàçûâàþùóþ ñâîéñòâî áèññåêòðèñ âíåøíèõ óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà. Ïðèìåð 8. Âû÷èñëèòü ïåðèìåòð è ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà, îáðàçîâàííîãî ïðè ïåðåñå÷åíèè ïðÿìûõ, ñîäåðæàùèõ áèññåêòðèñû âíåøíèõ óãëîâ ïàðàëëåëîãðàììà, åñëè îñòðûé óãîë ïàðàëëåëîãðàììà ðàâåí ϕ, à ñòîðîíû, çàêëþ÷àþùèå ýòîò óãîë, ðàâíû a è b. N P T M

C

B O

E

L

ϕ D

A K

Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ïàðàëëåëîãðàìì ABCD, â êîòîðîì AB = a , BC = b è A = ϕ . Ïóñòü ïðÿìûå, ñîäåðæàùèå áèññåêòðèñû âíåøíèõ åãî óãëîâ, ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ M, N, L, K, êàê íà ðèñóíêå. AD  BC , ïîýòîìó êàæäûé èç äâóõ âíåøíèõ óãëîâ ïðè âåðøèíå B ðàâåí ϕ, à òàê êàê MN — ϕ áèññåêòðèñà âíåøíåãî óãëà ïðè ýòîé âåðøèíå, òî ABM = . 2 Àíàëîãè÷íî, âíåøíèé óãîë ïðè âåðøèíå D òàêæå ðàâåí ϕ, ϕ a ADK = . Ïðÿìûå BC è AD ïàðàëëåëüíû, ïîýòîìó ïî 2 ïðèçíàêó ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìûõ MN  KL . Àíàëîãè÷íî, MK  NL . Ñëåäîâàòåëüíî, ÷åòûðåõóãîëüíèê MNLK — ïàðàëëåëîãðàìì. Âíåøíèé óãîë ïðè âåðøèíå A ðàâåí π - ϕ , π-ϕ çíà÷èò, BAM = . 2 397


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

π-ϕ ϕ π - = . Ñëåäîâàòåëüíî, ïàðàëëå2 2 2 ëîãðàìì MNLK — ïðÿìîóãîëüíèê. Ïóñòü MT — ìåäèàíà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà AMB. Òîãäà MT = TB è â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ϕ ϕ BMT BMT = . Íî MBP = , òàê êàê MB — áèññåêòðèñà 2 2 âíåøíåãî óãëà. Ñëåäîâàòåëüíî, ïðÿìàÿ MT ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé BC, à òàê êàê T — ñåðåäèíà AB, òî ïðÿìàÿ MT äåëèò ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû ïàðàëëåëîãðàììà ABCD ïîïîëàì. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî MT — ñðåäíÿÿ ëèíÿÿ ïàðàëëåëîãðàììà ABCD, ïàðàëëåëüíàÿ ñòîðîíå BC. Àíàëîãè÷íî, KN — ñðåäíÿÿ ëèíÿÿ ïàðàëëåëîãðàììà ABCD, ïàðàëëåëüíàÿ ñòîðîíå AB. Èòàê, äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíèêà MNLK ÿâëÿþòñÿ ñðåäíèìè ëèíèÿìè ïàðàëëåëîãðàììà ABCD. Ñëåäîâàòåëüíî, öåíòð ñèììåòðèè ïðÿìîóãîëüíèêà MNLK ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì ñèììåòðèè ïàðàëëåëîãðàììà ABCD. Ïîñêîëüêó AB = a, òî ïî ñâîéñòâó ìåäèàíû ïðÿìîóãîëüa íîãî òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííîé ê åãî ãèïîòåíóçå, MT = , 2 a àíàëîãè÷íî, LE = . Êðîìå òîãî, TE = b, ñëåäîâàòåëüíî, 2 a a ML = MT + TE + EL = + b + = a + b . 2 2 Èòàê, äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíèêà MNLK ðàâíû a + b , à òàê êàê ýòè äèàãîíàëè ïàðàëëåëüíû ñòîðîíàì ïàðàëëåëîãðàììà ABCD, òî óãîë ìåæäó íèìè ðàâåí ϕ. Òåïåðü ìîæåì âû÷èñëèòü ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà MNLK: 1 1 2 SABCD = KL2 sin ϕ = (a + b) sin ϕ . 2 2 Ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà MNLK íàéäåì èç ïðÿìîóãîëüϕ íîãî òðåóãîëüíèêà MLN, â êîòîðîì ML = a + b , a MLN = . 2 Ïîëó÷èì ϕ ϕ MN = ML cos = (a + b)cos , 2 2 ϕ ϕ NL = ML sin = (a + b)sin . 2 2 Îòñþäà ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà MNLK ϕ ϕö æ PMNLK = 2(a + b)ççsin + cos ÷÷ . è 2 2ø

Îòñþäà BMA = π -

398


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

1 2 Îòâåò: SABCD = (a + b) sin ϕ ; 2 ϕ ϕö æ PMNLK = 2(a + b)ççsin + cos ÷÷ . è 2 2ø Ðàññìîòðèì çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ òðàïåöèåé. Íàïîìíèì îïðåäåëåíèå è íåêîòîðûå ñâîéñòâà òðàïåöèè. Òðàïåöèåé íàçûâàåòñÿ ÷åòûðåõóãîëüíèê, äâå ñòîðîíû êîòîðîãî ïàðàëëåëüíû, à äâå äðóãèå íå ïàðàëëåëüíû. Ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû òðàïåöèè íàçûâàþòñÿ îñíîâàíèÿìè òðàïåöèè. Íåïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû òðàïåöèè íàçûâàþòñÿ áîêîâûìè ñòîðîíàìè òðàïåöèè. Ïîëåçíî çíàòü âèäû òðàïåöèé.

Ïðîèçâîëüíûå òðàïåöèè

Ðàâíîáåäðåííàÿ òðàïåöèÿ

Ïðÿìîóãîëüíàÿ òðàïåöèÿ

Ïåðå÷èñëèì íåêîòîðûå ñâîéñòâà òðàïåöèè. Ñóììà óãëîâ òðàïåöèè, ïðèëåæàùèõ ê åå áîêîâîé ñòîðîíå, ðàâíà 180°. Îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé ñåðåäèíû áîêîâûõ ñòîðîí òðàïåöèè, íàçûâàåòñÿ ñðåäíåé ëèíèåé òðàïåöèè. Ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðàïåöèè ïàðàëëåëüíà åå îñíîâàíèÿì è ðàâíà èõ ïîëóñóììå. Áèññåêòðèñû óãëîâ òðàïåöèè, ïðèëåæàùèõ ê îäíîé ñòîðîíå, ïåðïåíäèêóëÿðíû, à òî÷êà èõ ïåðåñå÷åíèÿ ëåæèò íà ïðÿìîé, ñîäåðæàùåé ñðåäíþþ ëèíèè òðàïåöèè. Áèññåêòðèñà óãëà òðàïåöèè, ïåðåñåêàþùàÿ åå îñíîâàíèå, îòñåêàåò îò òðàïåöèè ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê. Ïðè ïåðåñå÷åíèè äèàãîíàëåé òðàïåöèè îáðàçóþòñÿ äâà ïîäîáíûõ òðåóãîëüíèêà, êîýôôèöèåíò ïîäîáèÿ êîòîðûõ ðàâåí îòíîøåíèþ îñíîâàíèé òðàïåöèè (ñì. ðèñ.), è äâà ðàâíîâåëèêèõ òðåóãîëüíèêà. 399


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ðàññòîÿíèå ìåæäó îñíîâàíèÿìè òðàïåöèè ðàâíî âûñîòå òðàïåöèè, ò.å. ðàâíî îòðåçêó ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíîé îñíîâàíèÿì òðàïåöèè, êîíöû êîòîðîãî ëåæàò íà ýòèõ îñíîâàíèÿõ. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ, ñîäåðæàùèõ áîêîâûå ñòîðîíû òðàïåöèè, ñåD A H ðåäèíû åå îñíîâàíèé è òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé òðàïåöèè ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé (òåîðåìà î ÷åòûðåõ òî÷êàõ òðàïåöèè). Óãëû, ïðèëåæàùèå ê îñíîâàíèþ ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè, ðàâíû. Âûñîòà ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè, b îïóùåííàÿ èç âåðøèíû òóïîãî óãëà íà åå áîëüøåå îñíîâàíèå, äåëèò ýòî îñíîâàíèå íà äâà îòðåçêà, îäèí èç h êîòîðûõ ðàâåí ïîëóðàçíîñòè äëèí îñíîâàíèé, à äðóãîé — èõ ïîëóñóììå, òî åñòü ñðåäíåé ëèíèè òðàïåöèè 0,5—a + b˜ 0,5—a − b˜ (ñì. ðèñ.). Îêðóæíîñòü, íà êîòîðîé ëåæàò âñå âåðøèíû òðàïåöèè, íàçûâàåòñÿ îêðóæíîñòüþ, îïèñàííîé îêîëî äàííîé òðàïåöèè, à òðàïåöèÿ — âïèñàííîé â äàííóþ îêðóæíîñòü. Åñëè òðàïåöèÿ âïèñàíà â îêðóæíîñòü, òî îíà ðàâíîáåäðåííàÿ, è îêîëî ëþáîé ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè ìîæíî îïèñàòü îêðóæíîñòü. Öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè, ëåæèò íà ïðÿìîé, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäèíû åå îñíîâàíèé. Îêðóæíîñòü, êàñàþùàÿñÿ âñåõ ñòîðîí òðàïåöèè, íàçûâàåòñÿ îêðóæíîñòüþ, âïèñàííîé â äàííóþ òðàïåöèþ, à òðàïåöèÿ — îïèñàííîé îêîëî äàííîé îêðóæíîñòè. Åñëè òðàïåöèÿ îïèñàíà îêîëî îêðóæíîñòè, òî ñóììà äëèí îñíîâàíèé òðàïåöèè ðàâíà ñóììå äëèí åå áîêîâûõ ñòîðîí. Íàîáîðîò, åñëè ñóììà äëèí îñíîâàíèé òðàïåöèè ðàâíà ñóììå äëèí åå áîêîâûõ ñòîðîí, òî â ýòó òðàïåöèþ ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü. Äèàìåòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â äàííóþ òðàïåöèþ, ðàâåí åå âûñîòå, à öåíòðîì ýòîé îêðóæíîñòè ÿâëÿåòñÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ âñåõ óãëîâ òðàïåöèè. B

C

O

400


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

Ïëîùàäü òðàïåöèè ìîæåò áûòü íàéäåíà ïî îäíîé èç ñëåa+b 1 äóþùèõ ôîðìóë: S = ⋅ h ; S = d1d2 sin β , ãäå a, b — îñ2 2 íîâàíèÿ òðàïåöèè; h — âûñîòà òðàïåöèè; d1, d2 — äèàãîíàëè òðàïåöèè; β — óãîë ìåæäó äèàãîíàëÿìè òðàïåöèè (îñòðûé èëè òóïîé). Ïðèìåð 9. Íàéäèòå ïëîùàäü òðàïåöèè, åñëè åå îñíîâàíèÿ ðàâíû 6 è 9, à áîêîâûå ñòîðîíû ðàâíû 3 è 4. Ðåøåíèå. Ïóñòü â òðàïåöèè ABCD îñíîâàíèÿ BC = 6 , AD = 9 è áîêîâûå ñòîðîíû AB = 3 , CD = 4 . Ïëîùàäü

B 3

6

B 3

4

òðàïåöèè ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå BC + AD 6 MH 3 D S= ⋅ h , h — âûñîòà òðàïå- A 2 öèè. Âûïîëíèì äîïîëíèòåëüíîå ïîñòðîåíèå, êîòîðîå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà òðàïåöèþ: ÷åðåç âåðøèíó C ïðîâåäåì ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ AB, äî åå ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïðÿìîé AD â òî÷êå M. Ôèãóðà ABCM — ïàðàëëåëîãðàìì, â êîòîðîì AM = 6 , CM = 3 , ïðè ýòîì DM = AD - AM = 3 . Ïóñòü CH — âûñîòà òðàïåöèè. Òîãäà CH — âûñîòà òðåóãîëüíèêà CMD, ñòîðîíû êîòîðîãî ðàâíû 3; 3 è 4. Âû÷èñëèì CH. Äëÿ ýòîãî âûðàçèì ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà CMD äâóìÿ ñïîñîáàìè: 1 p ( p - a)( p - b)( p - c) = MD ⋅ CH , 2 ãäå p — ïîëóïåðèìåòð òðåóãîëüíèêà CMD, à a, b, c — äëèíû 3+3+4 åãî ñòîðîí. Èìååì p = = 5 è ïîýòîìó 2 1 3 5 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅1 = 3 ⋅ CH  2 5 = ⋅ CH . 2 2 4 5 . Òåïåðü âû÷èñëÿåì ïëîùàäü äàííîé Îòñþäà CH = 3 òðàïåöèè: 6+9 4 5 S= ⋅ = 10 5 . 2 3 Îòâåò: 10 5 . 401


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 10. Íàéäèòå ïëîùàäü êðóãà, îïèñàííîãî îêîëî òðàïåöèè ñ îñíîâàíèÿìè 3 è 9 è áîêîâîé ñòîðîíîé, ðàâíîé 5. Ðåøåíèå. Ïóñòü îêîëî òðàïåöèè ABCD ñ îñíîâàíèÿìè AD è BC îïèñàí êðóã. Òîãäà ýòà òðàïåöèÿ ðàâíîáåäðåííàÿ è CD = AB = 5 . Ïðîâåäåì 5 5 âûñîòó CH òðàïåöèè. Ïî ñâîéñòâó âûñîòû ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè AD - BC HD = = 3.  ïðÿìîóãîëüíîì A H 3 D 6 2 òðåóãîëüíèêå CDH ãèïîòåíóçà 5, à êàòåò 3, ñëåäîâàòåëüíî, âòîðîé êàòåò ðàâåí 4, çíà÷èò, CH = 4 . Çàìåòèì, ÷òî êðóã, îïèñàííûé îêîëî òðàïåöèè, îïèñàí òàêæå è îêîëî òðåóãîëüíèêà ACD. Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà èç òðå3

B

C

óãîëüíèêà ACH íàéäåì AC = CH 2 + AH 2 = 2 13 . Òåïåðü ïî AC òåîðåìå ñèíóñîâ äëÿ òðåóãîëüíèêà ACD ïîëó÷èì = 2R, sin D ãäå R — ðàäèóñ êðóãà, îïèñàííîãî îêîëî òðàïåöèè ABCD. Èç CH 4 = , ñëåäîâàòåëüíî, òðåóãîëüíèêà CDH èìååì sin D = CD 5 2 13 5 13 . = 2R  R = 4 4 5 325π . Îòñþäà èñêîìàÿ ïëîùàäü êðóãà ðàâíà πR 2 = 16 325π . Îòâåò: 16 B

A

C

D

H

G

Ïðèìåð 11. Îòðåçêè AC è BD — äèàãîíàëè òðàïåöèè ABCD è ðàâíû ñîîòâåòñòâåííî 18 è 8, à óãîë ìåæäó íèìè ðàâåí 60°. Íàéäèòå ñðåäíþþ ëèíèþ è âûñîòó òðàïåöèè.

Ðåøåíèå. Âûïîëíèì äîïîëíèòåëüíîå ïîñòðîåíèå, ÷àñòî èñïîëüçóåìîå ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà òðàïåöèþ. ×åðåç âåðøèíó C ïðîâåäåì ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ äèàãîíàëè BD, ïåðåñåêàþùóþ ïðÿìóþ AD â òî÷êå G. Ôèãóðà BCGD — ïàðàëëåëîãðàìì, à åãî ñòîðîíà GD ðàâíà îñíîâàíèþ BC äàííîé 402


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

òðàïåöèè. Ñëåäîâàòåëüíî, îòðåçîê AG ðàâåí ñóììå îñíîâàíèé òðàïåöèè, à åå ñðåäíÿÿ ëèíèÿ ðàâíà 0,5AG.  òðåóãîëüíèêå ACG AC =18 , CG = 8 , ACG = 60 . Ïîýòîìó ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ ïîëó÷àåì AG 2 = AC2 + CG 2 - 2 AC ⋅ CG cos 60 = = 324 + 64 - 2 ⋅18 ⋅ 8 ⋅ 0,5 = 244 .

Çíà÷èò, AG = 2 61 , à èñêîìàÿ ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðàïåöèè ðàâíà 61 . Âûñîòó òðàïåöèè íàéäåì êàê âûñîòó CH òðåóãîëüíèêà ACG, âû÷èñëèâ äâóìÿ ñïîñîáàìè åãî ïëîùàäü. Èìååì SACG = 0,5 AC ⋅ CG sin 60 = 0,5 AG ⋅ CH . AC ⋅ CG sin 60 Îòñþäà CH = = AG 72 3 Îòâåò: 61 ; . 61

3 2 = 72 3 . 61 61

18 ⋅ 8

Ïðèìåð 12. Äàíà òðàïåöèÿ ABCD, â êîòîðîé áîêîâàÿ ñòîðîíà CD =10 , ðàññòîÿíèå îò ñåðåäèíû áîêîâîé ñòîðîíû AB äî ïðÿìîé CD ðàâíî 6. Íàéäèòå ïëîùàäü òðàïåöèè. Ðåøåíèå. Ïóñòü F — ñåðåäèíà AB. Îïóñòèì èç òî÷êè F ïåðïåíH äèêóëÿð FH íà ïðÿìóþ CD. Òîãäà GB C FH — ðàññòîÿíèå îò ñåðåäèíû áîêîâîé ñòîðîíû AB äî ïðÿìîé CD è F ïî óñëîâèþ FH = 6 . Äîêàæåì, ÷òî D ïëîùàäü òðàïåöèè â 2 ðàçà áîëüøå A E ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà FCD. ×åðåç òî÷êó F ïðîâåäåì îòðåçîê GE ïåðïåíäèêóëÿðíî ïàðàëëåëüíûì ïðÿìûì BC è AD. Òîãäà GE — âûñîòà òðàïåöèè ABCD. Íàéäåì ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ FBC è AFD, çàìåòèâ, ÷òî FG = FE = 0,5GE . Ïîëó÷èì SFGC = 0,5BC ⋅ FG = 0,25BC ⋅ GE ; SAFD = 0,5 AD ⋅ FE = 0,25 AD ⋅ GE .

Îòñþäà SFGC + SAFD = 0,25GE ⋅ ( BC + AD) . Ïëîùàäü òðàïåöèè SABCD = 0,5GE ⋅ ( BC + AD) . 403


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Çíà÷èò, SFGC + SAFD = 0,5SABCD . Çíà÷èò, ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà FCD òàêæå ðàâíà ïîëîâèíå ïëîùàäè òðàïåöèè. Îòñþäà ïîëó÷àåì òðåáóåìûé ðåçóëüòàò. Îñòàåòñÿ âû÷èñëèòü ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà FCD. Èìååì SFCD = 0,5FH ⋅ CD = 0,5 ⋅ 6 ⋅10 = 30 . Ñëåäîâàòåëüíî, SABCD = 60. Îòâåò: 60. Çàìå÷àíèå.  ïðèìåðå 12 íàìè ïîëó÷åí ïîëåçíûé ðåçóëüòàò: äîïîëíèòåëüíàÿ ôîðìóëà äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè òðàïåöèè: SABCD = 2 ⋅ SFCD . Ïðèìåð 13. Äàíà òðàïåöèÿ, ïëîùàäü êîòîðîé ðàâíà S, à îòíîøåíèå îñíîâàíèé ðàâíî a : b . Äèàãîíàëè òðàïåöèè ðàçáèâàþò åå íà ÷åòûðå òðåóãîëüíèêà. Íàéäèòå ïëîùàäè ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ. B

at

C

O A

bt

D

Ðåøåíèå. Ïóñòü â òðàïåöèè ABCD îñíîâàíèÿ BC = at, AD = bt, à äèàãîíàëè AC è BD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå O. Ïóñòü ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà BOC ðàâíà S1. Òðåóãîëüíèêè BOC è DOA ïîäîáíû ñ êîýôôèöèåíòîì a ïîäîáèÿ, ðàâíûì . Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîùàäü òðåóãîëüb b2 íèêà DOA ðàâíà 2 S1 . Òðåóãîëüíèêè BOC è ABO èìåþò a îáùóþ âûñîòó èç âåðøèíû B, ñëåäîâàòåëüíî, èõ ïëîùàäè îòíîñÿòñÿ êàê îñíîâàíèÿ, íà êîòîðûå ýòà âûñîòà îïóùåíà: SABO AO AD b b = = = . Îòñþäà SABO = S1 . Àíàëîãè÷íî, ïîa S1 OC BC a b ëó÷èì SDCO = S1 . Òåïåðü ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî a b2 2b S = SBOC + SDOA + SABO + SDCO = S1 + 2 S1 + S1 = a a 2 2 æ ö÷ æ ö b 2 b b = ççç1 + 2 + ÷÷ S1 = çç1 + ÷÷÷ S1 . è a ø÷ aø a èç 404


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

Ñëåäîâàòåëüíî, S1 = SDOA =

Îòâåò:

a2 S 2

(a + b)

b2 S

a2 S

(a + b)2 2

(a + b)

;

. Îòñþäà

, SABO = SDCO =

b2 S 2

(a + b)

;

abS 2

(a + b)

;

abS

(a + b)2

abS

(a + b)2

.

.

Ïðèìåð 14. Äàíà òðàïåöèÿ ABCD, â êîòîðîé îñíîâàíèÿ BC = 7, AD = 15, à óãëû ïðè áîëüøåì îñíîâàíèè ðàâíû 32° è 58°. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî ñåðåäèíû îñíîâàíèé òðàïåöèè. Ðåøåíèå. Ïðîäîëæèì áîêîâûå M ñòîðîíû òðàïåöèè äî èõ ïåðåñå÷åB C íèÿ â òî÷êå M.  òðåóãîëüíèêå AMD P A = 32 , D = 58 , ñëåäîâàòåëüíî, M = 90 , è, çíà÷èò, òðåóãîëüíèê A D T AMD — ïðÿìîóãîëüíûé. Ïðîâåäåì åãî ìåäèàíó MT. Ïî òåîðåìå î ÷åòûðåõ òî÷êàõ òðàïåöèè ýòà ìåäèàíà ïåðåñå÷åò îñíîâàíèå BC â åãî ñåðåäèíå — òî÷êå P. Ïî ñâîéñòâó ìåäèàíû ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà, ïðîâåäåííîé ê åãî ãèïîòåíóçå, èìååì MT = 0,5 AD = 7,5 è MP = 0,5BC = 3,5 . Îòñþäà äëèíà èñêîìîãî îòðåçêà PT ðàâíà MT - MP = 7,5 - 3,5 = 4 . Îòâåò: 4. ×àñòî ïðè ðåøåíèè çàäà÷ íà òðàïåöèþ ïðèõîäèòñÿ íàõîäèòü äëèíû îòðåçêîâ, ïàðàëëåëüíûõ îñíîâàíèÿì òðàïåöèè. Ïðèìåð 15. Äàíà òðàïåöèÿ ABCD, â êîòîðîé îñíîâàíèÿ BC = a , AD = b. Òî÷êà M ëåæèò íà áîêîâîé ñòîðîíå AB òðàïåöèè òàê, ÷òî AM : MB = p : q. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó M ïàðàëëåëüíî îñíîâàíèÿì òðàïåöèè, ïåðåñåêàåò áîêîâóþ ñòîðîíó CD òðàïåöèè â òî÷êå B a C P. Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà MP. Ðåøåíèå. Èñïîëüçóÿ îòíîøåíèå AM : MB = p : q , îáîçíà÷èì äëèíû AM = px, NB = qx . Äëèíó MP íàéäåì êàê ñóììó äëèí îòðåçêîâ MF

qx

M px A

P

F b

D 405


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

è FP. Òðåóãîëüíèêè AMF è FDC ïîäîáíû, ñ êîýôôèöèåíAM p pa . Îòñþäà MF = . Àíàëîãè÷íî, òîì ïîäîáèÿ = p+q AB p+q òðåóãîëüíèêè ACD è FCP ïîäîáíû, ñ êîýôôèöèåíòîì ïîCF . Íî ïî òåîðåìå î ïðîïîðöèîíàëüíûõ îòðåçêàõ äîáèÿ CA CF MB p qb . Îòñþäà FP = . Òåïåðü îêîí÷àòåëüíî = = p+q CA AB p+q pa + qb ïîëó÷àåì MP = MF + FP = . p q + pa + qb . Îòâåò: MP = p+q Çàìå÷àíèå. Ìû ïîëó÷èëè ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ äëèíû îòðåçêà, ïàðàëëåëüíîãî îñíîâàíèÿì òðàïåöèè, êîíöû êîòîðîãî íàõîäÿòñÿ íà åãî áîêîâûõ ñòîðîíàõ. Îäíàêî, êàê îáû÷íî, çàïîìèíàòü ôîðìóëó íå ðåêîìåíäóåòñÿ. Ñëåäóåò ïîíÿòü ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ ýòîé ôîðìóëû.

§ 12. Ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è îêðóæíîñòè è äâóõ îêðóæíîñòåé Íàïîìíèì îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Ïðÿìàÿ è îêðóæíîñòü ìîãóò èìåòü íå áîëåå äâóõ îáùèõ òî÷åê. Åñëè ïðÿìàÿ èìååò ñ îêðóæíîñòüþ òîëüêî îäíó îáùóþ òî÷êó, òî îíà íàçûâàåòñÿ êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè. Êàñàòåëüíàÿ ê îêðóæíîñòè ïåðïåíäèêóëÿðíà ðàäèóñó îêðóæíîñòè, ïðîâåäåííîìó â òî÷êó êàñàíèÿ. Åñëè ïðÿìàÿ èìååò ðîâíî äâå îáùèå òî÷êè ñ îêðóæíîñòüþ, òî ãîâîðÿò, ÷òî îíà ïåðåñåêàåò îêðóæíîñòü. Ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ îêðóæíîñòü, íàçûâàåòñÿ ñåêóùåé äàííîé îêðóæíîñòè. Êàñàòåëüíûå, ïðîâåäåííûå ê îêðóæíîñòè èç îäíîé òî÷êè, ðàâíû ìåæäó ñîáîé: OA ^ CA , OB ^ CB , CA = CB. A C

O B

406


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

Óïðàæíåíèå 1. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ÷åòûðåõóãîëüíèê îïèñàí îêîëî íåêîòîðîé îêðóæíîñòè, òî ñóììû åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ðàâíû ìåæäó ñîáîé. È, åñëè â ÷åòûðåõóãîëüíèêå ñóììû åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí ðàâíû ìåæäó ñîáîé, òî ýòîò ÷åòûðåõóãîëüíèê ÿâëÿåòñÿ îïèñàííûì îêîëî îêðóæíîñòè, öåíòð êîòîðîé ëåæèò â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ âñåõ åãî óãëîâ. Åñëè ê îêðóæíîñòè ïðîâåäåíû êàñàòåëüíàÿ è ñåêóùàÿ, òî êâàäðàò êàñàòåëüíîé ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ñåêóùåé íà åå âíåøíþþ ÷àñòü: CT 2 = CA ⋅ CB . T C

B

A

Åñëè äâå ñåêóùèå À è CD îêðóæíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Ð, íå ëåæàùåé íà îêðóæíîñòè, òî PA ⋅ PB = PC ⋅ PD . C

P B

D A

B C

P A

D

Äâå îêðóæíîñòè íå ìîãóò èìåòü áîëåå äâóõ îáùèõ òî÷åê. Åñëè äâå îêðóæíîñòè èìåþò åäèíñòâåííóþ îáùóþ òî÷êó, òî îíè íàçûâàþòñÿ êàñàþùèìèñÿ îêðóæíîñòÿìè. Äâå êàñàþùèåñÿ îêðóæíîñòè èìåþò â îáùåé òî÷êå è îáùóþ êàñàòåëüíóþ, ïðè÷åì òî÷êà êàñàíèÿ è öåíòðû ýòèõ îêðóæíîñòåé ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé — ëèíèè öåíòðîâ äâóõ êàñàþùèõñÿ îêðóæíîñòåé. Åñëè êàñàþùèåñÿ îêðóæíîñòè ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò ñâîåé îáùåé êàñàòåëüíîé, òî ãîâîðÿò, ÷òî îíè âíåøíå êàñàþòñÿ.  ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå ãîâîðÿò î âíóòðåííåì êàñàíèè îêðóæíîñòåé. 407


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Åñëè äâå îêðóæíîñòè âíåøíå êàñàþòñÿ äðóã äðóãà, òî ðàçëè÷àþò èõ îáùóþ âíóòðåííþþ êàñàòåëüíóþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç èõ åäèíñòâåííóþ îáùóþ òî÷êó (òî÷êó êàñàíèÿ îêðóæíîñòåé), è äâå âíåøíèå êàñàòåëüíûå. Âíåøíèå êàñàòåëüíûå ê äâóì êàñàþùèìñÿ îêðóæíîñòÿì ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå, ëåæàùåé íà ëèíèè öåíòðîâ ýòèõ îêðóæíîñòåé. A O2

A

O1

O2

O1

Ïðèìåð 1. Äâå êàñàþùèåñÿ îêðóæíîñòè èìåþò ðàäèóñû R è r (R > r ) . Íàéäèòå äëèíó îòðåçêà èõ îáùåé âíåøíåé êàñàòåëüíîé. Ðåøåíèå. Ïóñòü äâå îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè O1 è O2 èìåþò ðàäèóñû R, O1 r ñîîòâåòñòâåííî. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A O2 C è B òî÷êè èõ êàñàíèÿ ñ âíåøíåé êàñàòåëüíîé. Ïðîâåäåì ÷åðåç òî÷êó O2 A B ïðÿìóþ O2C ïàðàëëåëüíî AB äî åå ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïðÿìîé O1A â òî÷êå C. Î÷åâèäíî, ÷òî òðåóãîëüíèê O1CO2 — ïðÿìîóãîëüíûé è O1O2 = R + r , O1C = R - r è O2 C = AB . Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà íàõîäèì O2 C = (R + r )2 - (R - r )2 = 2 Rr .

Èòàê, äëèíà îòðåçêà îáùåé êàñàòåëüíîé äâóõ êàñàþùèõñÿ îêðóæíîñòåé ðàâíà óäâîåííîìó ñðåäíåìó ãåîìåòðè÷åñêîìó èõ ðàäèóñîâ. Ïðèìåð 2. Äâå êàñàþùèåñÿ îêðóæíîñòè èìåþò ðàäèóñû R è r (R > r ) è êàñàþòñÿ îäíîé ïðÿìîé. Íàéäèòå ðàäèóñ òðåòüåé îêðóæíîñòè, âíåøíå êàñàþùåéñÿ äâóõ äàííûõ è êàñàþùåéñÿ äàííîé ïðÿìîé. Ðåøåíèå. Îêðóæíîñòåé, óäîâëåòâîðÿþùèõ óñëîâèþ çàäà÷è — äâå. Ïóñòü èõ ðàäèóñû x è y. Îáîçíà÷èì òî÷êè êàñàíèÿ îêðóæíîñòåé ñ äàííîé ïðÿìîé ÷åðåç A, B, C, D. Èñ408


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

y

R

r x B C

A

D

ïîëüçóÿ ðåçóëüòàò ïðèìåðà 1 è ðàâåíñòâà AB + BC = AC è AC + CD = AD , ïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ 2 Rx + 2 xr = 2 Rr è 2 Rr + 2 ry = 2 Ry .

Èç ïåðâîãî ðàâåíñòâà ïîëó÷àåì Rr  R+ r

x ( R + r )= Rr  x = x=

Rr 2

R + r) Èç âòîðîãî ðàâåíñòâà ïîëó÷àåì

(

Rr

(

.

Rr  R- r

R - r ) y = Rr  y = y=

Îòâåò:

(

2

R + r)

;

Rr

(

2

R- r)

Rr

(

2

R- r)

.

.

§ 13. Óãëû, ñâÿçàííûå ñ îêðóæíîñòüþ Óãîë, âåðøèíà êîòîðîãî íàõîäèòñÿ â öåíòðå îêðóæíîñòè, íàçûâàåòñÿ öåíòðàëüíûì óãëîì. Öåíòðàëüíûé óãîë ðàâåí ãðàäóñíîé ìåðå äóãè, çàêëþ÷åííîé ìåæäó åãî ñòîðîíàìè. Óãîë, âåðøèíà êîòîðîãî ëåæèò íà îêðóæíîñòè, à ñòîðîíû ïåðåñåêàþò îêðóæíîñòü, íàçûâàåòñÿ âïèñàííûì óãëîì èëè óãëîì, âïèñàííûì â îêðóæíîñòü. Âïèñàííûé óãîë ðàâåí ïîëîâèíå ãðàäóñíîé ìåðû äóãè, çàêëþ÷åííîé ìåæäó åãî ñòîðîíàìè.  ÷àñòíîñòè, âïèñàííûé óãîë, îïèðàþùèéñÿ íà äèàìåòð, ðàâåí 90°, ò.å. ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì óãëîì. 409


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Óãîë, âåðøèíà êîòîðîãî ëåæèò âî âíåøíåé îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé îêðóæíîñòüþ, à ñòîðîíû ïåðåñåêàþò îêðóæíîñòü, íàçûâàåòñÿ âíåâïèñàííûì óãëîì èëè óãëîì, âíåâïèñàííûì â îêðóæíîñòü. Âíåâïèñàííûé óãîë èçìåðÿåòñÿ ïîëóðàçíîñòüþ ãðàäóñíûõ ìåð äóã, çàêëþ÷åííûõ ìåæäó åãî ñòîðîíàìè. Óãîë, âåðøèíà êîòîðîãî ëåæèò âî âíóòðåííåé îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé îêðóæíîñòüþ, à ñòîðîíû è èõ ïðîäîëæåíèÿ ïåðåñåêàþò îêðóæíîñòü, íàçûâàåòñÿ âíóòðèâïèñàííûì óãëîì èëè óãëîì, âíóòðèâïèñàííûì â îêðóæíîñòü. Âíóòðèâïèñàííûé óãîë èçìåðÿåòñÿ ïîëóñóììîé ãðàäóñíûõ ìåð äóã, çàêëþ÷åííûõ ìåæäó åãî ñòîðîíàìè è èõ ïðîäîëæåíèÿìè. Ðàññìàòðèâàþòñÿ òàêæå óãëû, îäíà èëè îáå ñòîðîíû êîòîðûõ êàñàþòñÿ îêðóæíîñòè. Òàêèå óãëû íå èìåþò ñïåöèàëüíûõ íàçâàíèé è êðàòêî íàçûâàþòñÿ èëè óãëîì, îáðàçîâàííûì õîðäîé è êàñàòåëüíîé, èëè óãëîì, îáðàçîâàííûì äâóìÿ êàñàòåëüíûìè ê îêðóæíîñòè. Óãîë, âåðøèíà êîòîðîãî ëåæèò íà îêðóæíîñòè, îäíà ñòîðîíà ïåðåñåêàåò îêðóæíîñòü, ïðÿìàÿ, ñîäåðæàùàÿ âòîðóþ åãî ñòîðîíó, êàñàåòñÿ îêðóæíîñòè, íàçûâàåòñÿ óãëîì, îáðàçîâàííûì õîðäîé è êàñàòåëüíîé. Òàêîé óãîë èçìåðÿåòñÿ ïîëîâèíîé ãðàäóñíîé ìåðû äóãè, çàêëþ÷åííîé ìåæäó åãî ñòîðîíàìè. Óãîë, âåðøèíà êîòîðîãî ëåæèò íà îêðóæíîñòè, âî âíåøíåé îáëàñòè, îãðàíè÷åííîé îêðóæíîñòüþ, à ñòîðîíû êàñàþòñÿ îêðóæíîñòè, íàçûâàåòñÿ óãëîì, îáðàçîâàííûì êàñàòåëüíûìè ê îêðóæíîñòè. Òàêîé óãîë èçìåðÿåòñÿ ïîëóðàçíîñòüþ ãðàäóñíûõ ìåð äóã, çàêëþ÷åííûõ ìåæäó åãî ñòîðîíàìè. 2t

B 3t

A

C 4t

410

D

t

Ïðèìåð 1. Òî÷êè A, B, C, D ëåæàò ïîñëåäîâàòåëüíî íà îêðóæíîñòè è äåëÿò åå â îòíîøåíèè 2 : 3 : 1 : 4. Íàéäèòå óãëû (â ãðàäóñàõ) âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD è óãîë (â ãðàäóñàõ) ìåæäó åãî äèàãîíàëÿìè. Ðåøåíèå. Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî îòíîøåíèå äóã  : CD  : DA   = 2: 3:1: 4 . AB : BC


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

 = 3t , CD  = t , DA  = 4t . Îòñþäà  AB = 2t , BC  + CD  + DA  = 360 . AB + BC Íî  Ñëåäîâàòåëüíî, 2t + 3t + t + 4t = 360. Îòêóäà t = 36°. Çíà = 108 , CD  = 36 , DA  = 144. Óãîë A ÷èò,  AB = 72 , BC  . Ñëåäîâàòåëüíî, A = 0,5BCD  = îïèðàåòñÿ íà äóãó BCD = 0,5(108 + 36)= 72 . Àíàëîãè÷íî íàõîäÿòñÿ îñòàëüíûå óãëû:  = 108 ; D = 0,5   = 90 ; C = 0,5DAB B = 0,5CDA ABC = 90 .

Óãîë ϕ ìåæäó äèàãîíàëÿìè — âíóòðèâïèñàííûé óãîë. Îí ðàâåí ïîëóñóììå äóã, çàêëþ÷åííûõ ìåæäó åãî ñòîðîíàìè è  = 54 . èõ ïðîäîëæåíèÿìè. Ñëåäîâàòåëüíî, ϕ = 0,5  AB + CD Îòâåò: 72°; 90°; 108°; 90°; 54°.

(

)

Óïðàæíåíèå 1. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíà 180°, è íàîáîðîò, åñëè â ÷åòûðåõóãîëüíèêå ñóììà ïðîòèâîïîëîæíûõ óãëîâ ðàâíà 180°, òî òàêîé ÷åòûðåõóãîëüíèê âïèñàí â îêðóæíîñòü, öåíòð êîòîðîé íàõîäèòñÿ â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ åãî ñòîðîí. Ïðèìåð 2. Äâå îêðóæíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ A è B.  êàæäîé èç äàííûõ îêðóæíîñòåé ïðîâåäåíû õîðäû AC è AM òàê, ÷òî õîðäà îäíîé îêðóæíîñòè ÿâëÿåòñÿ êàñàòåëüíîé ê äðóãîé îêðóæíîñòè, ïðè÷åì BC = a, BM = b. Íàéäèòå AB. Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì îêðóæíîñòü A ñ öåíòðîì â òî÷êå O1. Óãîë BCA âïèñàííûé è ðàâåí ïîëîâèíå äóãè AB. O1 Óãîë BAM îáðàçîâàí õîðäîé AB è êàñàòåëüíîé AM ê ýòîé îêðóæíîñòè è B C ïîýòîìó ðàâåí ïîëîâèíå òîé æå äóãè M AB. Ñëåäîâàòåëüíî, BCA = BAM. Àíàëîãè÷íî, BAC = AMB. Ñëåäîâàòåëüíî, òðåóãîëüíèêè BCA è BAM ïîäîáíû. Èç ïîäîáèÿ ñëåäóåò ïðîïîðöèÿ BC BA a BA =  =  AB = ab . BA BM BA b Îòâåò:

ab . 411


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 3. Äàíà îêðóæíîñòü ñ äèàìåòðîì AB. Âòîðàÿ îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå A ïåðåñåêàåò ïåðâóþ â òî÷êàõ C è D, à äèàìåòð AB â òî÷êå E. Íà äóãå CE, íå ñîäåðæàùåé òî÷êè D, âçÿòà òî÷êà M, îòëè÷íàÿ îò òî÷åê C è E. Ëó÷ BM ïåðåñåêàåò ïåðâóþ îêðóæíîñòü â òî÷êå N, ïðè÷åì NC = a, ND = b. Íàéäèòå MN. Ðåøåíèå. Äàííûå îêðóæíîñòè ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé AB, ñëåäîâàòåëüíî, äóãè CB è BD ðàâíû. Ïîýòîìó âïèñàííûå óãëû CNM è MND òàêæå ðàâíû. Ïðÿìàÿ BC — êàñàòåëüíàÿ êî âòîðîé îêðóæíîñòè, ïîñêîëüêó BCA = 90 , êàê âïèñàííûé óãîë, îïèðàþùèéñÿ íà äèàìåòð AB. Ñëåäîâàòåëüíî, BCM = 0,5CM . Âïèñàííûé óãîë CDM òàêæå îïèðàåòñÿ íà äóãó CM, ïîýòîìó CDM = BCM . Âïèñàííûå óãëû CBN è CDN, îïèðàþùèåñÿ íà îäíó è òó æå äóãó CN, ðàâíû. Óãîë CMN — âíåøíèé óãîë òðåóãîëüíèêà BCM è ïîýòîìó CMN = BCM +CBM .

Ñ äðóãîé ñòîðîíû, MDN = CDM + (CDN ) . Ho CDM = BCM è CBM = CBN = CDN . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî CMN = MDN . Ñëåäîâàòåëüíî, òðåóãîëüíèêè CNM è MND ïîäîáíû. Îòñþäà ïîëó÷àåì ïðîïîðöèþ NC MN a MN . =  = MN ND MN b Îòêóäà MN = ab . Îòâåò: ab .

Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ 1.  ïàðàëëåëîãðàììå ABCD ñòîðîíà AB < AD , AB = 16, A = 60° à áèññåêòðèñû åãî óãëîâ A è D ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå M, ëåæàùåé íà ñòîðîíå BC. Íàéäèòå ïëîùàäü ÷åòûðåõóãîëüíèêà, îáðàçîâàííîãî â ðåçóëüòàòå ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ åãî âíåøíèõ óãëîâ. Îòâåò: 1152 3. 2. Íà ñòîðîíå AC òðåóãîëüíèêà ABC êàê íà äèàìåòðå ïîñòðîåíà îêðóæíîñòü, ïåðåñåêàþùàÿ ñòîðîíó AB â òî÷êå K, à ñòîðîíó BC â òî÷êå M, ïðè÷åì BM : MC = 2: 3 , AK = KB . 412


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíà 40. Íàéäèòå ðàäèóñ äàííîé îêðóæíîñòè. Îòâåò:

15 2.

3. Îñíîâàíèå è äèàãîíàëü ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè ðàâíû ïî 5, à åå âûñîòà ðàâíà 3. Íàéäèòå áîêîâóþ ñòîðîíó è ïëîùàäü òðàïåöèè. Îòâåò: 10 ; 12. 4. Äàí òðåóãîëüíèê KMN, M = 90 , MP — ìåäèàíà è äèàìåòð îêðóæíîñòè, ïåðåñåêàþùàÿ ñòîðîíû KM, NM â òî÷êàõ T è Q ñîîòâåòñòâåííî. Èçâåñòíî, ÷òî SMQPT = 48, sin (KMN ) = 0,6 . Íàéäèòå MP. Îòâåò: 10. 5. Âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê MNK îêðóæíîñòü êàñàåòñÿ åãî ñòîðîí KN è MN â òî÷êàõ P è L ñîîòâåòñòâåííî, à ñòîðîíû MK â òî÷êå Q. LQ = PQ , LQP = 30 , SMNK =12 3 . Íàéäèòå MK. Îòâåò: 12. 6. Âïèñàííàÿ â òðåóãîëüíèê MNK îêðóæíîñòü êàñàåòñÿ åãî ñòîðîí NK è MN â òî÷êàõ P è L ñîîòâåòñòâåííî, à ñòîðîíû MK â òî÷êå Q. LQ = PQ , LQP = 45 , SMNK = 24 , tg (MKN ) = 0,75 . Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà MNK. Îòâåò: 5. 7.  ïðÿìîóãîëüíóþ òðàïåöèþ ñ óãëîì 30° âïèñàíà îêðóæíîñòü. Ïëîùàäü òðàïåöèè ðàâíà 294. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè. 8. Ïðÿìàÿ AH ñîäåðæèò âûñîòó AH òðåóãîëüíèêà ABC è ïåðåñåêàåò îïèñàííóþ îêîëî ýòîãî òðåóãîëüíèêà îêðóæíîñòü â òî÷êå M, BMC = 105 , MC = 4 , R = 2 2 . Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M äî ïðÿìîé BC. Îòâåò: 6 + 2 . 9.  òðåóãîëüíèêå ABC C = 150°, BC = 1, AC = 2. Íàéäèòå óãîë ìåæäó âûñîòîé è ìåäèàíîé, ïðîâåäåííûìè èç âåðøèíû C. 2 . Îòâåò: arcsin 13 10. Ìåäèàíà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíà 5. Èç ñåðåäèíû åå ãèïîòåíóçû âîññòàâëåí ïåðïåíäèêóëÿð äî ïåðå413


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ñå÷åíèÿ ñ áîëüøèì êàòåòîì, è äëèíà ïîëó÷åííîãî îòðåçêà 15 ðàâíà . Íàéäèòå ñòîðîíû è ïëîùàäü ýòîãî ïðÿìîóãîëüíîãî 8 òðåóãîëüíèêà. Îòâåò: 6; 8; 10; 24. 11. Äàí ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê ABC ñ êàòåòàìè AB = 3 è AC = 4 . Èç ñåðåäèíû O áîëüøåãî êàòåòà âîññòàâëåí ïåðïåíäèêóëÿð äî ïåðåñå÷åíèÿ â òî÷êå K ñ ïðîäîëæåííûì ïåðïåíäèêóëÿðîì èç âåðøèíû ïðÿìîãî óãëà íà ãèïîòåíóçó. Íàéäèòå: 1) ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà AOK; 2) ÷àñòü ãèïîòåíóçû äàííîãî òðåóãîëüíèêà, çàêëþ÷åííóþ âíóòðè òðåóãîëüíèêà AOK; 3) ðàññòîÿíèÿ CK è BK. 2 1 1 37 . Îòâåò: 2 ; 0,7; 3 ; 3 3 3 12. Áèññåêòðèñà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà äåëèò ãèïîòåíóçó íà îòðåçêè p è q. Íàéäèòå êàòåòû, âûñîòó, îïóùåííóþ íà ãèïîòåíóçó, è áèññåêòðèñó ïðÿìîãî óãëà ýòîãî òðåóãîëüíèêà. pq ( p + q ) p( p + q) q ( p + q) pq 2 ; ; ; . Îòâåò: 2 2 2 2 2 2 p +q p +q p +q p2 + q 2 13. Òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 13, 14 è 15 ðàçäåëåí íà òðè òðåóãîëüíèêà ïðÿìûìè, ñîåäèíÿþùèìè òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí òðåóãîëüíèêà ñ åãî âåðøèíàìè. Íàéäèòå ïëîùàäè êàæäîãî èç ýòèõ òðåóãîëüíèêîâ. Îòâåò: 28. 14. Òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 13, 14 è 15 ðàçäåëåí íà òðè ðàâíîâåëèêèå ÷àñòè ïðÿìûìè, ïåðïåíäèêóëÿðíûìè áîëüøåé ñòîðîíå. Íàéäèòå ðàññòîÿíèÿ îò ýòîé ïðÿìîé äî áëèæàéøèõ ê íèì âåðøèí, ëåæàùèõ íà áîëüøåé ñòîðîíå òðåóãîëüíèêà. Îòâåò: 33 ; 42 . 15. Íàéäèòå ïëîùàäü âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñ äèàãîíàëÿìè 3 è 4, åñëè îòðåçêè, ñîåäèíÿþùèå ñåðåäèíû åãî ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí, ðàâíû. Îòâåò: 6. 414


ÃËÀÂÀ 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß

16. Ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ ñòîðîíå òðåóãîëüíèêà ABC è ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð âïèñàííîé â íåãî îêðóæíîñòè, ïåðåñåêàåò ñòîðîíû BC è AC â òî÷êàõ M è N ñîîòâåòñòâåííî. Íàéäèòå ïåðèìåòð ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABMN, åñëè MN = 3 . Îòâåò: 11. 17. Äâå îêðóæíîñòè ðàäèóñîâ R è r êàñàþòñÿ âíåøíå â òî÷êå A. Íà îêðóæíîñòè ðàäèóñà r âçÿòà òî÷êà B, äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíàÿ òî÷êå A, è â òî÷êå B ïðîâåäåíà êàñàòåëüíàÿ t ê îêðóæíîñòè ðàäèóñà r. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, êàñàþùåéñÿ âíåøíå äàííûõ îêðóæíîñòåé è ïðÿìîé t. r (R + r ) Îòâåò: . R 18. Íà îòðåçêå AB îòìå÷åíà òî÷êà C, ïðè÷åì AC = 2r, CB = 2r. Íà îòðåçêàõ AB, AC, CB êàê íà äèàìåòðàõ ïîñòðîåíû ïîëóîêðóæíîñòè, âñå ëåæàùèå â îäíîé ïîëóïëîñêîñòè îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé AB. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, êàñàþùåéñÿ âñå òðåõ ïîëóîêðóæíîñòåé. rR (r + R ) . Îòâåò: 2 r + rR + R 2 19. Îñíîâàíèÿ òðàïåöèè ðàâíû 10 ì è 31 ì, à áîêîâûå ñòîðîíû — 20 ì è 13 ì. Íàéäèòå âûñîòó òðàïåöèè. Îòâåò: 12. 20. Áèññåêòðèñà óãëà A ïàðàëëåëîãðàììà ABCD ïåðåñåêàåò ñòîðîíó BC â òî÷êå K. Íàéäèòå ïëîùàäü ïàðàëëåëîãðàììà, åñëè BK = KC = 5 ì, AK = 8 ì. Îòâåò: 48. 21. Îêîëî ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ñ îñíîâàíèåì AC è óãëîì ïðè îñíîâàíèè 75° îïèñàíà îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì O. Íàéäèòå åå ðàäèóñ, åñëè ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà BOC ðàâíà 16. Îòâåò: 8. 22.  ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê ABC âïèñàíà îêðóæíîñòü. Ïàðàëëåëüíî åãî îñíîâàíèþ AC ïðîâåäåíà êàñàòåëüíàÿ ê îêðóæíîñòè, ïåðåñåêàþùàÿ áîêîâûå ñòîðîíû â òî÷êàõ D è E. Íàéäèòå ðàäèóñ îêðóæíîñòè, åñëè DE = 8 , AC =18 . Îòâåò: 6. 23. Îêîëî òðåóãîëüíèêà ABC îïèñàíà îêðóæíîñòü. Ìåäèàíà òðåóãîëüíèêà AM ïðîäëåíà äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ îêðóæíî415


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ñòüþ â òî÷êå K. Íàéäèòå ñòîðîíó AC, åñëè AM = 18, MK = 8, BK =10 . Îòâåò: 15. 24. Äàí ðîìá ABCD. Îêðóæíîñòü, îïèñàííàÿ îêîëî òðåóãîëüíèêà ABD, ïåðåñåêàåò áîëüøóþ äèàãîíàëü ðîìáà AC â òî÷êå E. Íàéäèòå CE, åñëè AB = 8 5 , BD =16 . Îòâåò: 12. 25.  òðåóãîëüíèêå ABC ïðîâåäåíà ìåäèàíà AM. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ABC, åñëè AC = 3 2 , BC = 10, MAC = 45 . Îòâåò: 21. 26. Òî÷êà H ëåæèò íà ñòîðîíå AO òðåóãîëüíèêà AOM. Èçâåñòíî, ÷òî AH = 4 , OH =12 , A = 30 , AMH = AOM . Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà AHM. Îòâåò: 8. 27. Òî÷êà K ëåæèò íà ñòîðîíå AB òðåóãîëüíèêà ABO, 6 BK = 12, AK = 4, BOK = BAO , cos B = . Íàéäèòå 3 ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà OBK. Îòâåò: 48.

28.  òðåóãîëüíèêå CEH C = 45 , òî÷êà T äåëèò ñòîðîíó CE íà îòðåçêè CT = 2 è ET =14 , CHT = CEH . Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà CHT. Îòâåò: 4. 29. Íàéäèòå ïëîùàäü ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè, îïèñàííîé îêîëî îêðóæíîñòè ñ ðàäèóñîì 4, åñëè èçâåñòíî, ÷òî áîêîâàÿ ñòîðîíà òðàïåöèè ðàâíà 10. Îòâåò: 80. 30. Áîêîâàÿ ñòîðîíà ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè ðàâíà 13, à îñíîâàíèÿ ðàâíû 3 è 4. Íàéäèòå äèàãîíàëü òðàïåöèè. Îòâåò: 5. 31. Íàéäèòå ïëîùàäü ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè, îïèñàííîé îêîëî îêðóæíîñòè ðàäèóñà 4, åñëè èçâåñòíî, ÷òî áîêîâàÿ ñòîðîíà òðàïåöèè ðàâíà 10. Îòâåò: 80.


ÃËÀÂÀ 8 ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß Ïðè ðåøåíèè ñëîæíûõ çàäà÷ íà êîìáèíàöèè ìíîãîãðàííèêîâ è òåë âðàùåíèÿ áîëüøîå çíà÷åíèå èìåþò çíàíèÿ ñâîéñòâ ýòèõ ôèãóð. Ðåøåíèå ïî÷òè ëþáîé çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå óêàçàííûõ â óñëîâèè çàäà÷è âåëè÷èí ñîñòîèò èç äâóõ ÷àñòåé, êîòîðûå íàçîâåì òåîðåòè÷åñêîé è âû÷èñëèòåëüíîé.  ïåðâîé, òåîðåòè÷åñêîé ÷àñòè ðåøåíèÿ íåîáõîäèìî äîñòàòî÷íî ïîëíî îáîñíîâàòü òå ñâîéñòâà äàííîé êîíôèãóðàöèè, êîòîðûå áóäóò â äàëüíåéøåì èñïîëüçîâàòüñÿ âî âòîðîé ÷àñòè ðåøåíèÿ — ïðàêòè÷åñêîé.  ïðàêòè÷åñêîé ÷àñòè ðåøåíèÿ ïðèâîäÿòñÿ âû÷èñëåíèÿ, äîñòàòî÷íûå äëÿ ïîëó÷åíèÿ èñêîìîãî ÷èñëîâîãî ðåçóëüòàòà. Íàèáîëüøèå òðóäíîñòè ìîãóò âîçíèêàòü ïðè çàïèñè òåîðåòè÷åñêîé ÷àñòè ðåøåíèÿ.  ýòîé ãëàâå ìû ðàññìîòðèì îñíîâíûå òèïû ìíîãîãðàííèêîâ è òåë âðàùåíèÿ, ïåðå÷èñëèì òå èõ ñâîéñòâà, êîòîðûå íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àþòñÿ â çàäàíèÿõ âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíîâ â âóçû è â âàðèàíòàõ ÅÃÝ ïî ìàòåìàòèêå. Ïðè ýòîì ìû â áîëüøèíñòâå ñëó÷àåâ ïîäðîáíî çàïèñûâàåì îáîñíîâàíèÿ ñâîéñòâ äàííîé êîíôèãóðàöèè. Íà âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíàõ ïðè ðåøåíèè çàäà÷ ãðóïïû Ñ âàðèàíòîâ ÅÃÝ çàïèñü ðåøåíèÿ äîëæíà áûòü ïîõîæåé íà ïðèâîäèìûå íàìè îáîñíîâàíèÿ è âû÷èñëåíèÿ èëè, â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ, áûòü ÷óòü êîðî÷å. Ñëåäóåò ïîìíèòü, ÷òî çàïèñü ðåøåíèÿ çàäà÷è áåç òåîðåòè÷åñêîé ÷àñòè âñåãäà ïðèâîäèò ê ñíèæåíèþ îöåíêè. Ýòî â îñîáåííîñòè îòíîñèòñÿ ê çàäà÷àì åäèíîãî ãîñóäàðñòâåííîãî ýêçàìåíà ïî ìàòåìàòèêå.

§ 1. Ìíîãîãðàííèêè Êóá. Ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä Äàí êóá ABCDA1B1C1D1 ñ ðåáðîì, ðàâíûì a. Ðàññìîòðèì çàäà÷è ïî ñëåäóþùåé òåìàòèêå: 1) Óãîë ìåæäó ïðÿìûìè. 417


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

2) Óãëû ìåæäó ïëîñêîñòÿìè. 3) Óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ. 4) Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè.

Óãîë ìåæäó ïðÿìûìè Ïîíÿòèå óãëà ìåæäó ïðÿìûìè, ðàñïîëîæåííûìè â îäíîé ïëîñêîñòè, ðàññìàòðèâàåòñÿ â ïëàíèìåòðèè. Ïðÿìûå, íå ëåæàùèå â îäíîé ïëîñêîñòè, íàçûâàþòñÿ ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè. Íàïîìíèì, ÷òî óãëîì ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó B1 C1 ïåðåñåêàþùèìèñÿ ïðÿìûìè, êîòîD1 ðûå ïîðîçíü ïàðàëëåëüíû äàííûì A1 ñêðåùèâàþùèìñÿ ïðÿìûì. Äëÿ êàæäîé ïàðû ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ ñóùåñòâóåò åäèíñòâåííàÿ ïàðà ïàðàëëåëüíûõ ïëîñC B êîñòåé, ñîäåðæàùèõ ýòè ïðÿìûå A D ïîðîçíü. Ïðèìåð 1. Äàí êóá ABCDA1B1C1D1. Íàéäèòå óãîë ìåæäó ïðÿìûìè AD è BC1. Ðåøåíèå. Ïëîñêîñòü ABC1 ïåðåñåêàåò ïàðàëëåëüíûå ïëîñêîñòè ãðàíåé AA1D1D è BB1C1C ïî ïàðàëëåëüíûì ïðÿìûì BC1 è AD1. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî îïðåäåëåíèþ óãëà ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè  ( AD, BC1 )= DAD1 . Íî AA1D1D — êâàäðàò. Ñëåäîâàòåëüíî,  ( AD, BC1 )= DAD1 = 45 .

Îòâåò: 45°. Ïðèìåð 2. Äàí êóá ABCDA1B1C1D1. Íàéäèòå óãîë ìåæäó ïðÿìûìè AD è CA1. Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó BC  AD , òî  ( A1C, AD)=  ( A1C, BC)= A1CB .

Äëÿ îïðåäåëåíèÿ óãëà A1CB = α ðàññìîòðèì òðåóãîëüíèê A1CB. Ýòîò òðåóãîëüíèê ïðÿìîóãîëüíûé, ïîñêîëüêó â êóáå BC ^ ABB1 . Êàòåò BC = a , à A1 B = a 2 êàê äèàãîíàëü 418


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

AB a 2 êâàäðàòà ABB1A1. Ñëåäîâàòåëüíî, tgα = 1 = = 2 . ÎòBC a ñþäà èñêîìûé óãîë α = arctg 2 . Îòâåò: arctg 2 .

Ïðèìåð 3. Äàí êóá ABCDA1B1C1D1. Íàéäèòå óãîë ìåæäó ïðÿìîé AD1 è ïðÿìîé A1B. Ðåøåíèå. Ýòîò óãîë — óãîë ìåæäó äèàãîíàëÿìè ñìåæíûõ ãðàíåé êóáà — èìååò áîëüøîå çíà÷åíèå ïðè ðåøåíèè ìíîãèõ çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ êóáîì. Ïîñêîëüêó CD1  A1 B , òî ïî îïðåäåëåíèþ óãëà ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè  ( AD1, A1 B)=  ( AD1, D1C) . Çàìåòèì, ÷òî âñå ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà AD1C ðàâíû ìåæäó ñîáîé, ïîñêîëüêó îíè ÿâëÿþòñÿ äèàãîíàëÿìè ãðàíåé êóáà. Çíà÷èò, è âñå åãî óãëû ðàâíû ïî 60°. Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìûé óãîë  ( AD1, A1 B)= 60 . Îòâåò: 60°. Ïðèìåð 4. Äàí êóá ABCDA1B1C1D1. Íàéäèòå óãîë ìåæäó ïðÿìûìè B1D è AC. Ðåøåíèå. Ýòîò óãîë — óãîë ìåæäó äèàãîíàëüþ êóáà è ñêðåùèâàþùåéñÿ ñ íåé äèàãîíàëüþ ãðàíè êóáà — òàêæå âàæåí äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷. Îêàçûâàåòñÿ, ýòè ïðÿìûå ïåðïåíäèêóëÿðíû è èñêîìûé óãîë  (B 1 D, AC)= 90 . Äåéñòâèòåëüíî, òàê êàê BB1 ^ ABC , a B1D — íàêëîííàÿ, òî BD — åå ïðîåêöèÿ, êîòîðàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïðÿìîé AC, êàê äèàãîíàëè êâàäðàòà ABCD. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî òåîðåìå î òðåõ ïåðïåíäèêóëÿðàõ B1 D ^ AC . Îòâåò: 90°. Ïðèìåð 5. Äàí êóá ABCDA1B1C1D1. Ïóñòü F — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé AC è BD. Íàéäèòå óãîë ìåæäó ïðÿìûìè A1F è B1D. Ðåøåíèå. Ïðîâåäåì ñðåäíþþ ëèíèþ FM â òðåóãîëüíèêå BDD1. Òîãäà FM  B1 D è ïîýòîìó èñêîìûé óãîë ðàâåí óãëó MFA1. Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà íàéäåì ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà MFA1: 1 a 3 , FM = B1 D = 2 2

B1

C1 D1

A1

C

B A

D

419


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

a2 3 + a2 = a 2 2 2 a a 5 è A1 M = A1 B12 + MB12 = a2 + . = 4 2 Òåïåðü ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ â òðåóãîëüíèêå MFA1 íàõîäèì A F 2 + MF 2 - A1 M 2 2 . = cos (MFA1 )= 1 2 A1 F ⋅ MF 3 FA1 = AF 2 + AA12 =

2 Ñëåäîâàòåëüíî, MFA1 = arccos @ 62 . 3 2 . Îòâåò: arccos 3

Óãëû ìåæäó ïëîñêîñòÿìè Óãîë ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè ðàâåí íóëþ. Óãîë ìåæäó äâóìÿ ïåðåñåêàþùèìèñÿ ïëîñêîñòÿìè ðàâåí íàèìåíüøåìó èç ÷åòûðåõ äâóãðàííûõ óãëîâ, îáðàçîâàííûõ ýòèìè ïëîñêîñòÿìè. Äâóãðàííûé óãîë, ãðàíÿìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ äâå ïîëóïëîñêîñòè, èìåþùèå îáùóþ ãðàíèöó, èçìåðÿåòñÿ ñâîèì ëèíåéíûì óãëîì. Ëèíåéíûé óãîë äâóãðàííîãî óãëà — óãîë, ñòîðîíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðû ê ðåáðó ýòîãî äâóãðàííîãî óãëà, èñõîäÿùèå èç ïðîèçâîëüíîé òî÷êè ðåáðà è ëåæàùèå â ïîëóïëîñêîñòÿõ, îáðàçóþùèõ äàííûé äâóãðàííûé óãîë.

D

B M

αC

A

Äâóãðàííûé óãîë óäîáíî îáîçíà÷àòü â âèäå  (C, AB, D) , ãäå òî÷êè À è  ëåæàò íà ðåáðå äâóãðàííîãî óãëà, à òî÷êè Ñ è D — â ðàçëè÷íûõ åãî ãðàíÿõ. Íà ðèñóíêå CM ^ AB è 420


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

DM ^ AB , ïîýòîìó DMC — ëèíåéíûé óãîë äâóãðàííîãî óãëà  (C, AB, D) . Ìîæíî íàïèñàòü  (C, AB, D) = DMC .

Ïðèìåð 6. Äàí êóá ABCDA1B1C1D1. Íàéäèòå óãîë ìåæäó ïëîñêîñòÿìè BDC1 è BCC1. Ðåøåíèå. Ñòîðîíàìè òðåóãîëüíèêà B1 C1 BDC1 ÿâëÿþòñÿ äèàãîíàëè ãðàíåé êóáà. D1 Ñëåäîâàòåëüíî, ΔBDC1 — ðàâíîñòîðîí- A1 íèé è ïîýòîìó åãî ìåäèàíà ÿâëÿåòñÿ F DF âûñîòîé, ò.å. DF ^ BC1. Ïîñêîëüêó äèàãîíàëè êâàäðàòà ïåðïåíäèêóëÿðB C íû, òî CF ^ BC1 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî DFC ðàâåí óãëó ìåæäó ïëîñêîñòÿìè D A BDC1 è BCC1. Òàê êàê DC ^ BCC1 , òî DC ^ CF è ïîýòîìó òðåóãîëüíèê DC . DCF — ïðÿìîóãîëüíûé. Ïóñòü DFC = α . Òîãäà tgα = CF a 2 Ïóñòü ðåáðî êóáà ðàâíî a. Òîãäà CF = 0,5CB1 = . 2 Îòñþäà tgα = 2 è α = arctg 2 . Îòâåò: arctg 2 . Ïðèìåð 7. Äàí êóá ABCDA1B1C1D1. Íàéäèòå óãîë ìåæäó ïëîñêîñòÿìè BDC1 è B1AD. Ðåøåíèå. Íàéäåì óãîë ìåæäó ýòèìè ïëîñêîñòÿìè òðàäèöèîííûì ñïîñîáîì, ò.å. ñ ïîìîùüþ ëèíåéíîãî óãëà äâóãðàííîãî óãëà, è äðóãèì ñïîñîáîì, êîòîðûé èíîãäà áûâàåò áîëåå ýôôåêòèâíûì. 1-é ñïîñîá. Ïîñòðîèì ëèíåéíûé óãîë äâóãðàííîãî óãëà, îáðàçîâàííîãî ïëîñêîñòÿìè BDC1 è B1AD. Òàê êàê ΔBDC1 ïðàâèëüíûé, òî åãî ìåäèàíà BO ^ DC1. B1 C1 Ïðîâåäåì OM  AD . Òîãäà MO ^ DC1, D1 òàê êàê AD ^ DC1 è ïðÿìûå OM è AD A1 ëåæàò â îäíîé è òîé æå ïëîñêîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, MOB — ëèíåéíûé O óãîë äâóãðàííîãî óãëà ñ ðåáðîì DC1, C îáðàçîâàííîãî äàííûìè ïëîñêîñòÿB ìè. Çàìåòèì, ÷òî MO ||BC, çíà÷èò, A D 421


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

MOB = CBO . Îáîçíà÷èì α = CBO è íàéäåì cos α ïî a 2 òåîðåìå êîñèíóñîâ èç ΔBOC, â êîòîðîì BC = a , OC = , 2 3 . Èìååì BO = a 2 OC2 = BO2 + BC2 - 2BO ⋅ BC ⋅ cos α . 2 2 è α = arccos . Îòñþäà íàéäåì cos α = 3 3 2 Îòâåò: arccos . 3 2-é ñïîñîá. Ýòîò ñïîñîá îïèðàåòñÿ íà ñëåäóþùóþ òåîðåìó: Óãîë ìåæäó ïëîñêîñòÿìè ðàâåí óãëó ìåæäó ïðÿìûìè, ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ýòèì ïëîñêîñòÿì. B1 C1 Íàéäåì ïðÿìûå, ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïëîñêîñòÿì BDC1 è B1AD. Ïîñêîëüêó D1 A1 äèàãîíàëü êóáà ïåðïåíäèêóëÿðíà ñêðåùèâàþùèìñÿ ñ íåé äèàãîíàëÿì ãðàíåé êóáà, òî A1C ^ BD, A1C ^ BC1. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðèçíàêó ïåðïåíäèêóëÿðB C íîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè A1C ^ BDC1. Èòàê, îäèí ïåðïåíäèêóëÿð A1C ^ BDC1 D A íàéäåí. Ïîñêîëüêó CD ^ DC1 è AD ^ CD1, òî ïðÿìàÿ CD1 ïåðïåíäèêóëÿðíà äâóì ïåðåñåêàþùèìñÿ ïðÿìûì DC1 è AD, ëåæàùèì â ïëîñêîñòè ADC1, ñëåäîâàòåëüíî, CD1 ^ ADC1. Òàêèì îáðàçîì, íàéäåí è âòîðîé ïåðïåíäèêóëÿð CD1 ^ ADC1 . Òåïåðü íàéäåì óãîë ìåæäó ïåðïåíäèêóëÿðàìè A1C è CD1. Íî ýòîò óãîë — óãîë A1CD1 åñòü óãîë ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà A1CD1.  ýòîì òðåóãîëüíèêå A1C = a 3 , CD1 = a 2 è ïîýòîìó CD1 2 . cos α = = B1 C1 A1C 3 F1 Ïîëó÷èëè òîò æå ñàìûé ðåçóëüD1 A1 òàò. M Áîëüøîå çíà÷åíèå ïðè ðåøåíèè L çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ êóáîì, èìåþò ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïëîñêîñòè. C B Ïðèìåðàìè òàêèõ ïëîñêîñòåé ñëóF A D æàò äèàãîíàëüíûå ïëîñêîñòè êóáà, 422


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

ò.å. ïëîñêîñòè, ñîäåðæàùèå åãî äèàãîíàëè, íî íå ñîäåðæàùèå îäíó è òó æå äèàãîíàëü. Íàïðèìåð, ACC1 ^ BDD1 è ADC1 ^ BCA1 , íî ACC1 ^ ADC1 (îáå ïëîñêîñòè ñîäåðæàò äèàãîíàëü AC1). Êðîìå óêàçàííûõ ïàð ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòåé âûäåëèì åùå îäíó ïàðó ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòåé, êîòîðàÿ èìååò áîëüøîå çíà÷åíèå ïðè ðåøåíèè ðàçëè÷íûõ çàäà÷. Ïëîñêîñòü ACC1 ñîäåðæèò ïðÿìóþ CA1, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ïëîñêîñòè BDC1. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðèçíàêó ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïëîñêîñòåé èìååì ACC1 ^ BDC1 . Ïðè ðàññìîòðåíèè ýòîé êîíôèãóðàöèè ïîëåçíî ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ëþáàÿ ïëîñêîñòü, ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ äèàãîíàëè CA1, áóäåò ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè BDC1. Èíòåðåñíî òàêæå çàìåòèòü, ÷òî ïëîñêîñòü BDC1 äåëèò äèàãîíàëü A1C â îòíîøåíèè 2:1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû A1. ×òîáû ýòî äîêàçàòü, äîñòàòî÷íî ðàññìîòðåòü äèàãîíàëüíîå ñå÷åíèå AA1C1C è ïðîâåäåííûå â íåì ïðÿìûå A1C è C1F, ãäå F — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé AC è BD. Òðåóãîëüíèêè FC 1 FLC è C1L1A1 ïîäîáíû ñ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ = . C1 A1 2 LA1 2 Ïîýòîìó = . Òî÷íî òàê æå ìîæíî óñòàíîâèòü, ÷òî ïëîñLC 1 êîñòü B1D1A, ïàðàëëåëüíàÿ BDC1, ïåðïåíäèêóëÿðíà äèàãîíàëè CA1 è äåëèò åå â îòíîøåíèè 2:1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû C. 1 Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî A1 M = ML = LC = A1C . 3 Ñôîðìóëèðóåì ðåçóëüòàò â âèäå òåîðåìû: Ïëîñêîñòè BDC1 è B1D1A ïåðïåíäèêóëÿðíû äèàãîíàëè A1C êóáà ABCDA1B1C1D1 è äåëÿò åå íà òðè ðàâíûå ÷àñòè.

Óãîë ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ Íàïîìíèì, ÷òî óãëîì ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó ýòîé ïðÿìîé è åå ïðîåêöèåé íà äàííóþ ïëîñêîñòü. Ïðèìåð 8. Äàí êóá ABCDA1B1C1D1. Âû÷èñëèòå óãîë ìåæäó ïðÿìîé A1B è ïëîñêîñòüþ BDD1. Ðåøåíèå. Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ñëåäóåò íàéòè ïðîåêöèþ ïðÿìîé A1B íà ïëîñêîñòü BDD1. Îïóñòèì èç òî÷êè A1 ïåð423


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ïåíäèêóëÿð íà ïëîñêîñòü BDD1. Äëÿ ýòîãî çàìåòèì, ÷òî òî÷êà A1 ëåæèò D1 A1 â ïëîñêîñòè A1B1C1, êîòîðàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà äèàãîíàëüíîé ïëîñêîñòè BDD1. Ïîýòîìó ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç A1 íà ïëîñêîñòü BDD1, C B áóäåò âåñü ëåæàòü â ïëîñêîñòè A1B1C1 F è áóäåò ïåðïåíäèêóëÿðåí ïðÿìîé A D B1D1. Òàêèì îáðàçîì, A1C1 ^ BDD1, è, çíà÷èò, ïðîåêöèåé ïðÿìîé A1B íà ïëîñêîñòü BDD1 áóäåò ïðÿìàÿ BO, ãäå O — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé A1C1 è B1D1. Èç ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà BOA1 íàõîäèì AO sin  ( A1 BO)= 1 = 0,5 . BA1 Çíà÷èò, A1 BO = 30 . Îòâåò: 30°. B1

C1

O

Îòìåòèì, ÷òî â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ïðîåêöèþ ïðÿìîé l íà ïëîñêîñòü Ï íàéòè çàòðóäíèòåëüíî, óãîë α ìåæäó ïðÿìîé l è ýòîé ïëîñêîñòüþ ìîæíî íàõîäèòü ñ ïîìîùüþ ïîíÿòèÿ ðàñρ ñòîÿíèÿ îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè èç ôîðìóëû: sin α = M , ãäå AM ρM — ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M äî ïëîñl êîñòè Ï; AM — íàêëîííàÿ ê ýòîé M ïëîñêîñòè, ïðîâåäåííàÿ èç òî÷êè M ïðÿìîé l. ρM Íàïîìíèì, ÷òî ðàññòîÿíèåì îò òî÷êè äî ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ α A äëèíà ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî Π èç äàííîé òî÷êè íà äàííóþ ïëîñêîñòü. D1

A1

C1

B1 F

M C

D A

424

N

B

Ïðèìåð 9. Äàí êóá ABCDA1B1C1D1, â êîòîðîì M — ñåðåäèíà ðåáðà CC1. Âû÷èñëèòå óãîë ìåæäó ïðÿìîé DM è ïëîñêîñòüþ DA1C1. Ðåøåíèå.  äàííîì ñëó÷àå íàéòè ïðîåêöèþ ïðÿìîé DM íà ïëîñêîñòü íå òàê ïðîñòî, êàê â ïðèìåðå 7. Âîñ-


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

ïîëüçóåìñÿ ïðèâåäåííîé âûøå ôîðìóëîé. Íàéäåì ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M äî ïëîñêîñòè DA1C1. Äëÿ ýòîãî âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì î÷åâèäíûì ñîîáðàæåíèåì. Òåîðåìà. Åñëè ïðÿìàÿ PT ïåðåñåêàåò ïëîñêîñòü â òî÷êå L, òî îòíîøåíèå ðàññòîÿíèé îò òî÷åê P è T äî äàííîé ïëîñêîñòè ðàâíî îòíîøåíèþ PL : TL . P ρP

ρT

T L

Ïðîäîëæèì ðåøåíèå çàäà÷è. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ D1M, êîòîðàÿ ïåðåñåêàåò ïëîñêîñòü DA1C1 â òî÷êå N. Ïîñêîëüêó òðåD N DD1 2 óãîëüíèêè D1ND è MNC1 ïîäîáíû, òî 1 = = , ñëåäîMN MC1 1 âàòåëüíî, ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M äî íàøåé ïëîñêîñòè âäâîå ìåíüøå ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè D1 äî ýòîé ïëîñêîñòè. Èçâåñòíî, ÷òî D1 B ^ DA1C1 , ïðè÷åì ïëîñêîñòü DA1C1 îòñåêàåò îò äèàãîíàëè D1B åå òðåòüþ ÷àñòü. Ïóñòü D1B ïåðåñåêàåò ïëîñêîñòü a 3 . DA1C1 â òî÷êå F, à ðåáðî êóáà ðàâíî a. Òîãäà D1 F = 3 Ñëåäîâàòåëüíî, ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M äî ïëîñêîñòè DA1C1 a 3 . Òåïåðü äëÿ íàõîæäåíèÿ ñèíóñà óãëà ìåæäó ðàâíî ρM = 6 ïðÿìîé DM è ïëîñêîñòüþ DA1C1 îñòàëîñü âû÷èñëèòü MN. Èç ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ D1 ND è MNC1 ñëåäóåò ïðîïîðD1 N 2 1 öèÿ = . Îòñþäà MN = D1 M . Òðåóãîëüíèê D1C1 M MN 1 3 ïðÿìîóãîëüíûé, ïîýòîìó D1 M = a2 +

a2 a 5 . = 4 2

a 5 . Òåïåðü ïîëó÷àåì 6 ρ 3 . sin  (DM, DA1C1 )= M = 5 MN

Ñëåäîâàòåëüíî, MN =

425


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Îòñþäà èñêîìûé óãîë  (DM, DA1C1 )= arcsin Îòâåò: arcsin

3 . 5

3 . 5

Ðàññìîòðèì ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåä. Ýòà ôèãóðà âî ìíîãîì ïîõîæà íà êóá, íî èìååò îäíî âàæíîå îòëè÷èå: åñëè âñå ðåáðà, èñõîäÿùèå èç îäíîé âåðøèíû ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, ðàçëè÷íû, òî äèàãîíàëè åãî ãðàíåé íå ïåðïåíäèêóëÿðíû. Ýòî ïðîñòîå, î÷åâèäíîå ñâîéñòâî ÷àñòî çàáûâàþò, ïîñêîëüêó ïëîñêîå èçîáðàæåíèå ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà î÷åíü íàïîìèíàåò ïëîñêîå èçîáðàæåíèå êóáà. Ïîëåçíûé ñîâåò: Ïðè èçîáðàæåíèè ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðèñóéòå åãî âûòÿíóòûì îò íàáëþäàòåëÿ.  ýòîì ñëó÷àå ñõîäñòâî ñ èçîáðàæåíèåì êóáà áóäåò ìèíèìàëüíî. Ïðèìåð 10.  ïðÿìîóãîëüíîì ïàðàëëåëåïèïåäå ABCDA1B1C1D1, AA1 = 1, AB = 2, AD = 3. Íàéäèòå óãîë ìåæäó ïðÿìûìè BD1 è AC. Ðåøåíèå. Äëÿ âû÷èñëåíèÿ óãëà ìåæäó ïðÿìûìè BD1 è AC ïðîâåäåì ÷åðåç òî÷êó O ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé AC è BD ïðÿìóþ OK  BD1 . Ïîñêîëüêó O — ñåðåäèíà îòðåçêà BD, òî C1

D1 K

C B1

B

D A1 O A

OK — ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà BDD1, à èñêîìûé óãîë åñòü íàèìåíüøèé èç óãëîâ AOK è KOC. Êîñèíóñ óãëà AOK íàéäåì ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ, âû÷èñëÿÿ ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà AOK ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà. Èìååì 426


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

1 1 14 , KO = BD1 = 1+ 4 + 9 = 2 2 2 13 37 , AK = . AO = 2 2 Òåïåðü ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ ïîëó÷àåì cos (AOK) = 5 . Ïîëó÷èëè îòðèöàòåëüíîå çíà÷åíèå êîñèíó=182 ñà, ñëåäîâàòåëüíî, óãîë AOK — òóïîé. Ïîýòîìó êîñèíóñ 5 èñêîìîãî óãëà áóäåò ðàâåí , à ñàì èñêîìûé óãîë 182 5 . KOC = arccos 182 5 Îòâåò: arccos . 182

Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè Íàïîìíèì, ÷òî ðàññòîÿíèåì ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè íàçûâàåòñÿ äëèíà èõ îáùåãî ïåðïåíäèêóëÿðà. Åñëè äàííûå ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå ïåðïåíäèêóëÿðíû, òî ïîñòðîåíèå ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà, êàê ïðàâèëî, íå âûçûâàåò çàòðóäíåíèé. Ìîæíî èñïîëüçîâàòü èíûå, ðàâíîñèëüíûå îïðåäåëåíèÿ. Ðàññòîÿíèåì ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè, ñîäåðæàùèìè ýòè ïðÿìûå ïîðîçíü. Ðàññòîÿíèåì ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè íàçûâàåòñÿ ðàññòîÿíèå îò ïðîèçâîëüíîé òî÷êè îäíîé èç ýòèõ ïðÿìûõ äî ïàðàëëåëüíîé åé ïëîñêîñòè, ñîäåðæàùåé âòîðóþ ïðÿìóþ. Ïðèìåð 11. Ðåáðî êóáà ABCDA1B1C1D1 ðàâíî a. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè AB1 è BC. Ðåøåíèå. Î÷åâèäíî, BC ^ ABB1 , çíà÷èò, ïî îïðåäåëåíèþ ïåðïåíäèêóëÿðà ê ïëîñêîñòè BC ^ AB1 . Òàê êàê ABB1A1 — êâàäðàò, òî AB1 ^ A1 B .

B1

C1 D1

A1 F

C

B A

D 427


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ñëåäîâàòåëüíî, îòðåçîê BF — îáùèé ïåðïåíäèêóëÿð ê ïðÿìûì AB1 è BC, ãäå F — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ AB1 è BA1. Òàê êàê ðåáðî êóáà ðàâíî a, òî äèàãîíàëü A1 B = a 2. Îòñþäà AB a 2 . BF = 1 = 2 2 a 2 Îòâåò: . 2 Åñëè ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå íå ïåðïåíäèêóëÿðíû, òî ïîñòðîåíèå èõ îáùåãî ïåðïåíäèêóëÿðà áîëåå ñëîæíî. Çäåñü èñïîëüçóþòñÿ îáû÷íî äâà ñïîñîáà. Ïåðâûé ñïîñîá çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî ñíà÷àëà ÷åðåç ïåðâóþ ïðÿìóþ ïðîâîäÿò ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíóþ âòîðîé ïðÿìîé. Òàêàÿ ïëîñêîñòü, êàê èçâåñòíî, âñåãäà ñóùåñòâóåò è åäèíñòâåííà. Çàòåì íàõîäÿò ðàññòîÿíèå îò ïðîèçâîëüíîé òî÷êè âòîðîé ïðÿìîé äî ïðîâåäåííîé ïëîñêîñòè. B1 A1

C1 D1

Ïðèìåð 12. Ðåáðî êóáà ABCDA1B1C1D ðàâíî a. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè AB1 è BD.

Ðåøåíèå. Ïðÿìàÿ DC1 ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé AB1, ïîýòîìó AB || DBC1. Ðàññòîÿíèå îò ïðîèçâîëüíîé òî÷C B êè ïðÿìîé AB1 äî ïëîñêîñòè DBC1 áóäåò ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäó ñêðåA D ùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè AB1 è BD, ïîñêîëüêó äëèíà îáùåãî ïåðïåíäèêóëÿðà ëþáûõ äâóõ ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ ðàâíà ðàññòîÿíèþ ìåæäó ïàðàëëåëüíûìè ïëîñêîñòÿìè, ñîäåðæàùèìè ýòè ïðÿìûå ïîðîçíü. Çàìåòèì, ÷òî íàéòè ðàññòîÿíèå îò êàêîé-ëèáî òî÷êè ïðÿìîé AB1 äî ïëîñêîñòè BDC1 òîæå íåïðîñòî. Çäåñü ìîæíî ïðèìåíèòü ñëåäóþùèé ïðèåì. Ïîñìîòðèòå, òî÷êè A è C A ëåæàò ïî ðàçíûå ñòîðîíû îò íàøåé ïëîñêîñòè BDC1 òàê, ÷òî îíà ïåðåñåêàåò îòðåçîê AC CR â åãî ñåðåäèíå. Îòñþäà ñëåäóAR åò, ÷òî òî÷êè A è C ðàâíîóäàëåíû îò ïëîñêîñòè BDC1, ò.å. C

428


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

AA ¢ = CC ¢ . Íî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè C äî ïëîñêîñòè BDC1 A1C ðàâíî (ñì. òåîðåìó). Îòñþäà îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì: 3 a 3 . ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè AB1 è BD ðàâíî 3 a 3 . Îòâåò: 3 Âòîðîé ñïîñîá âû÷èñëåíèÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïëîñêîñòü, êîòîðàÿ áûëà ïîñòðîåíà ïåðâûì ñïîñîáîì, b òåïåðü ñòðîèòñÿ èíà÷å. Òàêèì îáðàçîì, ñóùíîñòü ýòîãî âòîðîãî a ñïîñîáà òà æå ñàìàÿ — ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûb1 ìè ðàâíî ðàññòîÿíèþ îò ëþáîé òî÷êè îäíîé ïðÿìîé äî ïëîñêîA α ñòè, ïàðàëëåëüíîé ïåðâîé ïðÿìîé è ñîäåðæàùåé âòîðóþ ïðÿìóþ. Âûäåëèì îñíîâíûå ýòàïû ðåøåíèÿ çàäà÷è âòîðûì ñïîñîáîì. Ïóñòü a è b — ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå. 1) Ïðîâåäåì ïëîñêîñòü α, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ïðÿìîé a, è îòìåòèì òî÷êó A èõ ïåðåñå÷åíèÿ. 2) Ïîñòðîèì ïðîåêöèþ b1 ïðÿìîé b íà ïëîñêîñòü α. 3) Ïëîñêîñòü, ñîäåðæàùàÿ ïðÿìûå b1 è b, ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé a. 4) Âû÷èñëèì ðàññòîÿíèå ρ îò òî÷êè A äî ïðÿìîé b1. Ýòî ðàññòîÿíèå ðàâíî, î÷åâèäíî, ïðîåêöèè îáùåãî ïåðïåíäèêóëÿðà íà ïëîñêîñòü α, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ îäíîé èç äâóõ ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ. Íàéäåííîå ÷èñëî ρ è ÿâëÿåòñÿ ðàññòîÿíèåì ìåæäó ïðÿìûìè a è b. Çàäà÷à ðåøåíà. Ðåøèì çàäà÷ó èç ïðèìåðà 12 B1 C1 óêàçàííûì ñïîñîáîì. Èòàê, ðàññìîòF1 ðèì êóá ñ ðåáðîì, ðàâíûì a, è âû- A1 ÷èñëèì ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè AB1 è BD. 1) Ñíà÷àëà ïðîâîäèì ïëîñêîñòü α = H B C = AA1C, êîòîðàÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà ïðÿF ìîé BD è ïåðåñåêàåò åå â òî÷êå F. A

D

429


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

2) Ïîñêîëüêó ïîñòðîåííàÿ ïëîñêîñòü ïåðïåíäèêóëÿðíà è ïðÿìîé B1D1, òî AF1 — ïðîåêöèÿ ïðÿìîé A1B íà ïëîñêîñòü α. 3) Ðàññòîÿíèåì îò òî÷êè F äî ïðÿìîé AF1 ÿâëÿåòñÿ äëèíà ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç òî÷êè F íà ïðÿìóþ AF1, ò.å. âûñîòà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà AFF1. a 4) Ïåðåõîäèì ê âû÷èñëåíèÿì. FF1 = a ; AF = . Ñëåäî2 AF ⋅ FF1 a 3 . âàòåëüíî, FH = = AF1 3 Ïîëó÷èëè òîò æå ñàìûé ðåçóëüòàò. Îòìåòèì, ÷òî ïðè äîñòàòî÷íîé ïðîðàáîòêå âòîðîãî ñïîñîáà âû÷èñëåíèÿ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè îí äàåò õîðîøèå ñòàáèëüíûå ðåçóëüòàòû. Çàêàí÷èâàÿ îáçîð òåì è çàäà÷, ñâÿçàííûõ ñ êóáîì è ïðÿìîóãîëüíûì ïàðàëëåëåïèïåäîì, óêàæåì íà î÷åâèäíóþ ñèììåòðèþ ýòèõ ôèãóð. Íàèáîëåå ÷àñòî èñïîëüçóåòñÿ èõ öåíòðàëüíàÿ ñèììåòðèÿ, öåíòðîì êîòîðîé ÿâëÿåòñÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà. Ïðîäåìîíñòðèðóåì ïðèìåíåíèå ñèììåòðèè íà ïðèìåðå ñëåäóþùåé çàäà÷è. Ïðèìåð 13. Íàéäèòå ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ABCDA1B1C1D1, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç ñåðåäèíû M, N, L ðåáåð AD, DC è CC1 ñîîòâåòñòâåííî, åñëè AA1 = 1, AB = 2, AD = 3. A1

N1

B1

M1 O

D1 C

L1 A

C1

K M

P H

N

T

D

Ðåøåíèå. Îòìåòèì òî÷êó O — ñåðåäèíó äèàãîíàëè DB1 è ïîñòðîèì òî÷êè M1, N1, L1, ñèììåòðè÷íûå òî÷êàì M, N, L ñîîòâåòñòâåííî îòíîñèòåëüíî òî÷êè O. Äîêàæåì, ÷òî âñå øåñòü òî÷åê M, N, L, M1, N1, L1 ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Òî÷êè M, N, L ëåæàò â äàííîé ïëîñêîñòè è òî÷êè M1, N1, L1 òàêæå ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè, è íàì íåîáõîäèìî äîêàçàòü, 430


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

÷òî ýòè ïëîñêîñòè ñîâïàäàþò. Ïðîâåäåì ïðÿìûå MN è M1L äî èõ ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïðÿìîé BC â òî÷êàõ T è R ñîîòâåòñòâåííî. Òàê êàê N è L ñåðåäèíû ñîîòâåòñòâóþùèõ îòðåçêîâ, òî òðåóãîëüíèêè MDN è TCN ðàâíû è MD = CT. Àíàëîãè÷íî, M1C1L =RCL è ïîýòîìó M1C1 = CR. Íî MD = M1C1, çíà÷èò, CR = CT, ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êè T è R ñîâïàäàþò. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî òî÷êà M1 ëåæèò â ïëîñêîñòè MNL. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà O — öåíòð ñèììåòðèè ïàðàëëåëåïèïåäà — òàêæå ëåæèò â ýòîé ïëîñêîñòè. Çíà÷èò, âñå òî÷êè ïðÿìûõ LO, MO, NO ëåæàò â ïëîñêîñòè MNL. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âñå òî÷êè M, N, L, M1, N1, L1 ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Âû÷èñëèì ïëîùàäü ñå÷åíèÿ MNLM1 N1L1 . Íàéäåì ýòó ïëîùàäü ïî ôîðìóëå ïëîùàäè ïðîåêöèè. Ïðè ýòîì, â ñèëó ñèììåòðèè ñå÷åíèÿ, áóäåì èñêàòü òîëüêî ïîëîâèíó ïëîùàäè ïðîåêöèè. Èìååì 1 ⋅ Sпр = SAMNC = SADC - SMDN = 0,75SADC = 2 3 1 3 1 = ⋅ ⋅ AD ⋅ DC = ⋅ ⋅ 6 = 2,25 . 4 2 4 2 Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîùàäü ïðîåêöèè Sпр = 4,5 . Òåïåðü ïëîSпр

, ãäå ϕ — óãîë cos ϕ ìåæäó ïëîñêîñòüþ ñå÷åíèÿ è ïëîñêîñòüþ ãðàíè ABCD. Ïðè îïðåäåëåíèè ýòîãî óãëà ÷àñòî äîïóñêàþò îøèáêó, çàáûâàÿ, ÷òî â ïàðàëëåëåïèïåäå äèàãîíàëè ìîãóò áûòü íå ïåðïåíäèêóëÿðíû. Îøèáî÷íî ñ÷èòàþò, ÷òî ϕ = OPK . Ïðîâåäåì KH ^ MN , òîãäà OHK = ϕ . Èìååì 1 1 KP = BD = ⋅ 13 , 4 4 KH = KP sin (KPH ) = KP sin (2 ⋅BDA ) =

ùàäü ñå÷åíèÿ íàéäåì ïî ôîðìóëå Sc =

=

OK 13 2 3 3 13 , tgϕ = . ⋅ 2⋅ ⋅ = = 4 KH 6 13 13 13

1 6 Ñëåäîâàòåëüíî, cos ϕ = = . Òåïåðü, îêîí÷àòåëü2 7 1 + tg ϕ íî, íàõîäèì Sc =

Îòâåò: 5,25.

Sпр cos ϕ

=

4,5 63 21 = = = 5,25 . 6 12 4 7 431


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

1.2. Íàêëîííûé ïàðàëëåëåïèïåä Ïàðàëëåëåïèïåä ÿâëÿåòñÿ íàêëîííûì, åñëè âñå øåñòü èëè ÷åòûðå åãî ãðàíè — ïàðàëëåëîãðàììû, íå ÿâëÿþùèåñÿ ïðÿìîóãîëüíèêàìè. Çäåñü íàèáîëåå ÷àñòî âñòðå÷àåòñÿ ïàðàëëåëåïèïåä, ó êîòîðîãî îäíî áîêîâîå ðåáðî ñîñòàâëÿåò ñ ðåáðàìè, âûõîäÿùèìè èç òîé æå âåðøèíû, ðàâíûå óãëû. Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè ðåáðî AA1 ñîñòàâëÿåò ñ ðåáðàìè AB è AD ðàâíûå óãëû, òîãäà ïðîåêöèÿ ðåáðà AA1 íà ïëîñêîñòü îñíîâàíèÿ ëåæèò íà áèññåêòðèñå BAD . Èìååò ìåñòî òåîðåìà. Åñëè áîêîâîå ðåáðî AA1 íàB1 êëîííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà îáðàC1 çóåò ðàâíûå óãëû ñ ðåáðàìè À A1 è AD, òî ïðîåêöèÿ J òî÷êè A1 D1 íà ïëîñêîñòü ABC ðàâíîóäàëåíà H1 B îò ñòîðîí À è AD óãëà BAD. Åñëè ïðè ýòîì BH ^ AJ, C G òî ïëîñêîñòü A1AJ ïåðïåíäèJ A êóëÿðíà ïëîñêîñòè B1BH, à E H D ÷åòûðåõóãîëüíèê BHH1B1 ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì. Ïðèìåð 14. Âñå ãðàíè ïàðàëëåëåïèïåäà ABCDA1B1C1D1 — ðàâíûå ðîìáû. Óãëû BAD, BAA1 è DAA1 ðàâíû ïî 60°. Íàéäèòå óãîë ìåæäó ïðÿìîé BA1 è ïëîñêîñòüþ BDB1. Ðåøåíèå. Âñå ðåáðà äàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíû ìåæäó ñîáîé, è òàê êàê åãî ãðàíè — ðîìáû ñ óãëîì 60°, òî ìåíüøàÿ äèàãîíàëü â êàæäîì ðîìáå ðàâíà åãî ñòîðîíå. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî DBB1D1 — ðîìá. Ðàññìîòðèì îòðåçîê A1J, ãäå D1 J — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîC1 íàëåé ðîìáà DBB1D1. ÒðåóãîëüA1 íèê DA1B1 ðàâíîáåäðåííûé, ñëåäîâàòåëüíî, ìåäèàíà A1J B1 J òðåóãîëüíèêà DA1B1 ÿâëÿåòñÿ D åãî âûñîòîé, ò.å. A1 J ^ DB1 . C Àíàëîãè÷íî, A1 J ^ D1 B . ÇíàA ÷èò, ïî ïðèçíàêó ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè B 432


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

A1 J ^ D1 BB1 . Îòñþäà óãîë ìåæäó ïðÿìîé BA1 è ïëîñêîñòüþ BDB1 åñòü A1 BD1 . A1 D = A1 B, ñëåäîâàòåëüíî, JD = DB êàê ïðîåêöèè ðàâíûõ íàêëîííûõ. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî DB1 = BD1 . Èòàê, äèàãîíàëè â ðîìáå DBB1D1 ðàâíû. Çíà÷èò, ðîìá D1 DBB1 — êâàäðàò. Òðåóãîëüíèêè BA1D1 è BDD1 ðàâíû ïî òðåì ñòîðîíàì, òàê êàê BA1 = BD , A1 D1 = DD1 è DB1 — èõ îáùàÿ ñòîðîíà. Îòñþäà A1 BD1 = DBD1 = 45 . Îòâåò: 45°.

Óïðàæíåíèå 1. Âñå ðåáðà íàêëîííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíû 2. Óãëû BAD, BAA1 è DAA1 ðàâíû ïî 60°. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A1 äî ïëîñêîñòè BDD1. Îòâåò: 2 .

1.3. Ïðèçìà Çàäà÷è íà ïðîèçâîëüíóþ ïðèçìó íå îáëàäàþò êàêîé-òî îñîáåííîé ñïåöèôèêîé, êðîìå, áûòü ìîæåò, ïîíÿòèÿ, ïðèñóùåãî èñêëþ÷èòåëüíî ïðèçìå, — ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ ïðèçìû. Íàïîìíèì, ÷òî ïåðïåíäèêóëÿðíûì ñå÷åíèåì ïðèçìû íàçûâàåòñÿ òàêîå åå ñå÷åíèå, êîòîðîå ïåðïåíäèêóëÿðíî âñåì áîêîâûì ðåáðàì ïðèçìû, ïðè ýòîì âåðøèíû ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ ëåæàò íà ïðÿìûõ, ñîäåðæàùèõ áîêîâûå ðåáðà ïðèçìû. Ïîëåçíî çíàòü äâå ôîðìóëû, ñâÿçàííûå ñ ïåðïåíäèêóëÿðíûì ñå÷åíèåì. 1) Ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ïðèçìû ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ ïåðèìåòðà åå ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ íà äëèíó áîêîâîãî ðåáðà, ò.å. Sб = P ^ ⋅ l .

2) Îáúåì ïðèçìû ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè åå ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ íà äëèíó áîêîâîãî ðåáðà, ò.å. Vп = S ^ ⋅ l . 433


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 15. Âñå ðåáðà ïðèçìû ABCA1B1C1 ðàâíû ìåæäó ñîáîé. Óãëû BAA1 è CAA1 ðàâíû ïî 60°. Íàéäèòå: 1) ðàññòîÿíèå îò òî÷êè C1 äî ïëîñêîñòè CA1 B1 ; 2) îáúåì ïðèçìû, åñëè ïëîùàäü ãðàíè ABB1A1 ðàâíà 8 3 . Ðåøåíèå. Èç óñëîâèÿ ðàâåíñòâà âñåõ ðåáåð ïðèçìû ñëåäóåò, ÷òî âñå åå áîêîâûå ãðàíè — ðîìáû, à îñíîâàíèÿ — ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè. Áîêîâûå ãðàíè ABB1 A1 è ACC1 A1 — ðîìáû ñ óãëîì 60°, ïîýòîìó BA1 = CA1 = CB = a . a2 3 Ïëîùàäü ãðàíè ABB1A1 ðàâíà S = a2 sin 60 = . Èç 2 2 a 3 óñëîâèÿ ïîëó÷àåì = 8 3 . Îòñþäà a = 4. 2 Ïðîâåäåì äèàãîíàëè ðîìáà CBB1C1. Îíè ïåðïåíäèêóëÿðíû, çíà÷èò, C1O ^ CB1 . Òðåóãîëüíèê BA1C1 ðàâíîáåäðåííûé. Çíà÷èò, åãî ìåäèàíà A1O ÿâëÿåòñÿ âûñîòîé è A1O ^ C1 B . Ñëåäîâàòåëüíî, ïî ïðèçíàêó ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè C1O ^ CA1 B1 . Ïîýòîìó C1O ÿâëÿåòñÿ ðàññòîÿíèåì îò òî÷êè C1 äî ïëîñêîñòè CA1B1. Íàêëîííûå C1A1 è C1B1 ê ïëîñêîñòè CA1B1 ðàâíû, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíû èõ ïðîåêöèè: OA1 = OB1 . Òðåóãîëüíèêè CA1B1 è CC1B1 ðàâíû ïî òðåì ñòîðîíàì. Ñëåäîâàòåëüíî, èõ ìåäèàíû ðàâíû, ò.å. OA1 = OC1 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî CB1 = BC1 . Çíà÷èò, â ðîìáå CBB1C1 äèàãîíàëè ðàâíû. Ñëåäîâàòåëüíî, ðîìá CBB1C1 — êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 8. Îòñþäà C1O = 4 2 . Äëÿ âû÷èñëåíèÿ îáúåìà ïðèçìû C1 ïîñòðîèì åãî ïåðïåíäèêóëÿðíîå ñåB1 A1 ÷åíèå A1PT, ãäå P è T — ñåðåäèíû ðåáåð BB1, CC1 ñîîòâåòñòâåííî. Òàê T êàê òðåóãîëüíèêè A1BB1 è A1CC1 O P ïðàâèëüíûå, òî èõ ìåäèàíû ÿâëÿþòC ñÿ èõ âûñîòàìè, ïîýòîìó A1P ^ BB1, A A B 1T ^ CC1. Îòñþäà ïî ïðèçíàêó ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè âñå áîêîâûå ðåáðà ïðèçìû ïåðïåíäèêóëÿðíû ïëîñêîñòè A1PT, ò.å. A1PT — ïåðïåíäèêóëÿðíîå ñå÷åíèå äàííîé ïðèça 3 ìû.  òðåóãîëüíèêå A1PT A1O ^ PT, PT = a = 4, A1 P = , 2 a 2 . A1O = A1 P2 - PO2 = 2 434


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîùàäü ïåðïåíäèêóëÿðíîãî ñå÷åíèÿ 1 a2 2 . SA1PT = PT ⋅ A1O = 2 4 Îòñþäà îáúåì ïðèçìû a3 2 . V = SA1PT ⋅ AA1 = 4 3 a 2 . Îòâåò: 1) 4 2 ; 2) 4

1.4. Ïèðàìèäà Çàäà÷è íà ïðîèçâîëüíûå ïèðàìèäû âñòðå÷àþòñÿ ñðàâíèòåëüíî ðåäêî. Êàê ïðàâèëî, çàäàííûå ïèðàìèäû ÿâëÿþòñÿ íåêîòîðûì ÷àñòíûì ñëó÷àåì ïðîèçâîëüíîé ïèðàìèäû. Íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûìè ïèðàìèäàìè, ôèãóðèðóþùèìè â çàäàíèÿõ, ÿâëÿþòñÿ: 1) òðåóãîëüíàÿ ïèðàìèäà, â êîòîðîé âñå ãðàíè — ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè. Òàêàÿ ïèðàìèäà íàçûâàåòñÿ ïðàâèëüíûì òåòðàýäðîì; 2) òðåóãîëüíûå ïèðàìèäû, â êîòîðûõ âñå ãðàíè — ðàâíûå ðàâíîáåäðåííûå òðåóãîëüíèêè; 3) òðåóãîëüíûå ïèðàìèäû, â êîòîðûõ âñå ãðàíè — ðàâíûå ðàçíîñòîðîííèå òðåóãîëüíèêè; 4) òðåóãîëüíûå ïèðàìèäû, ó êîòîðûõ â îñíîâàíèè ëåæèò ïðàâèëüíûé, èëè ïðÿìîóãîëüíûé, èëè ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê; 5) ïðàâèëüíûå ïèðàìèäû; 6) ïèðàìèäû, â êîòîðûõ âñå áîêîâûå ðåáðà ðàâíû ìåæäó ñîáîé; 7) ïèðàìèäû, â êîòîðûõ âñå áîêîâûå ãðàíè îáðàçóþò ñ ïëîñêîñòüþ îñíîâàíèÿ ðàâíûå ìåæäó ñîáîé óãëû; 8) ïèðàìèäû, â êîòîðûõ îäíî áîêîâîå ðåáðî ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ. Íàïîìíèì, ÷òî ïðàâèëüíîé ïèðàìèäîé íàçûâàåòñÿ ïèðàìèäà, ó êîòîðîé âñå áîêîâûå ðåáðà ðàâíû, à îñíîâàíèåì ïèðàìèäû ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê. Ïðîèçâîëüíàÿ òðåóãîëüíàÿ ïèðàìèäà íàçûâàåòñÿ òåòðàýäðîì. Òàêîå íàçâàíèå ïðîèñòåêàåò îò çíà÷åíèé ãðå÷åñêèõ 435


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ñëîâ òåòðà è ýäð, êîòîðûå îçíà÷àþò ñîîòâåòñòâåííî ÷åòûðå è ãðàíü, è èñïîëüçóåòñÿ, êàê ïðàâèëî, â øêîëüíîì êóðñå ãåîìåòðèè. Óïðàæíåíèå 2. Äîêàæèòå ýêâèâàëåíòíûå îïðåäåëåíèÿ ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû. 1) Ïèðàìèäà ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè â åå îñíîâàíèè ëåæèò ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, à âñå áîêîâûå ðåáðà îáðàçóþò ðàâíûå óãëû ñ ïëîñêîñòüþ îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû. 2) Ïèðàìèäà ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè åå îñíîâàíèå — ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê, à âûñîòà ïðîåêòèðóåòñÿ â öåíòð ýòîãî ìíîãîóãîëüíèêà. 3) Ïèðàìèäà ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè åå âûñîòà ïðîåêòèðóåòñÿ â öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé è îïèñàííîé îêîëî îñíîâàíèÿ. 4) Ïèðàìèäà ÿâëÿåòñÿ ïðàâèëüíîé, åñëè öåíòð îïèñàííîé îêîëî íåå ñôåðû ëåæèò íà âûñîòå ïèðàìèäû, à îñíîâàíèå ïèðàìèäû — ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê. 5) Ñôîðìóëèðóéòå îïðåäåëåíèå ïðàâèëüíîé ïðèçìû, ýêâèâàëåíòíîå îïðåäåëåíèÿì, ïðèâåäåííûì âûøå. Íåêîòîðûå ñâîéñòâà ïåðå÷èñëåííûõ âèäîâ ïèðàìèä áóäóò ðàññìîòðåíû â ïðèâîäèìûõ íèæå ïðèìåðàõ. Ïðèìåð 16. Âñå ðåáðà òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû ABCD ðàâíû ìåæäó ñîáîé è ðàâíû a. Íàéäèòå âûñîòû è îáúåì ïèðàìèäû. Ðåøåíèå.  çàäà÷å èäåò ðå÷ü î ïðàâèëüíîì òåòðàýäðå. Ðàññìîòðèì ýòó L ôèãóðó ïîäðîáíåå. Îïóñòèì èç âåðøèF íû D ïåðïåíäèêóëÿð DO íà ïëîñêîñòü H C ABC, òîãäà DO — âûñîòà ïèðàìèäû è O A M AOD ^ ABC . Òàê êàê ðåáðà DA, DB, DC ðàâíû, B òî èõ ïðîåêöèè OA, OB, OC òàêæå ðàâíû. Ñëåäîâàòåëüíî, O — öåíòð ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC. Ïîýòîìó ïðÿìàÿ AO ïåðåñåêàåò ðåáðî BC â åãî ñåðåäèíå — òî÷êå M. Ñëåäîâàòåëüíî, ADM ^ ABC è AM ^ BC . Ïî òåîðåìå î òðåõ ïåðïåíäèêóëÿðàõ DM ^ BC è, ñëåäîâàòåëüíî, BC ^ AMD . Îòñþäà, ïî ïðèçíàêó ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïëîñêîñòåé, ïîëó÷àåì BCD ^ AMD . D

436


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

 òðåóãîëüíèêå AMD ïðîâåäåì âûñîòó AF. Òàê êàê BCD ^ AMD , òî AF ^ BCD , ò.å. AF — âûñîòà ïèðàìèäû. Âûñîòû DO è AF òðåóãîëüíèêà AMD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå H. Ïîñêîëüêó ðåáðà AB, AC, AD ðàâíû, òî èõ ïðîåêöèè FB, FC, FD ðàâíû è, çíà÷èò, F — öåíòð òðåóãîëüíèêà BCD. Íàéäåì îòíîøåíèå, â êîòîðîì òî÷êà H äåëèò âûñîòû DO è AF. Òàê êàê AM = MD , òî òðåóãîëüíèê AMD ðàâíîáåäðåííûé AH DH . Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé Ìåíåëàÿ (ñì. è ïîýòîìó = HF HO ãëàâó 7). Ïðÿìàÿ AF ïåðåñåêàåò ñòîðîíû DO, DM è ïðîäîëæåíèå ñòîðîíû OM òðåóãîëüíèêà DOM. Çàïèøåì ðàâåíñòâî DH OA MF Ìåíåëàÿ: ⋅ ⋅ =1 . Íî ìû äîêàçàëè, ÷òî O è F — HO AM FD öåíòðû ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ ABC è BCD ñîîòâåòñòâåíDH 2 1 OA 2 MF 1 íî. Ïîýòîìó ⋅ ⋅ = 1. = è = . Ñëåäîâàòåëüíî, HO 3 2 AM 3 FD 2 1 DH 3 3 Îòñþäà = , ò.å. DH = DO è OH = DO. 4 HO 1 4 Àíàëîãè÷íî ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî âûñîòû èç âåðøèí B è C ïðîõîäÿò ÷åðåç òî÷êó H, ïðè÷åì òî÷êà H äåëèò êàæäóþ âûñîòó â îòíîøåíèè 3:1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû ïèðàìèäû. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî òî÷êà H ðàâíîóäàëåíà îò âñåõ âåðøèí è âñåõ ãðàíåé ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà, ò.å. ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì åãî îïèñàííîé è âïèñàííîé ñôåð. Ïðè ýòîì ðàäèóñ R îïèñàííîé ñôåðû â òðè ðàçà áîëüøå ðàäèóñà r âïèñàííîé ñôåðû è 1 ñïðàâåäëèâî ðàâåíñòâî r = h , ãäå h — âûñîòà ïðàâèëüíîãî 4 òåòðàýäðà. Âûðàçèì âåëè÷èíó h ÷åðåç äëèíó a ðåáðà òåòðàýäðà èç a 3 a 3 , OM = è òðåóãîëüíèêà DOM. Èìååì DM = 2 6 3a2 3a2 2 . h= =a 4 36 3 Òåïåðü íàéäåì îáúåì ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà: 1 a2 3 2 a2 2 . V= ⋅ ⋅a = 3 4 3 12 2 a2 2 , . Îòâåò: a 3 12 437


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïîëåçíî çàïîìíèòü ñëåäóþùóþ òåîðåìó. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà äåëèò êàæäóþ èç åãî âûñîò â îòíîøåíèè 3:1, ñ÷èòàÿ îò âåðøèíû, è ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì åãî âïèñàííîé è îïèñàííîé ñôåð. Ïðè ýòîì åñëè ðåáðî ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà ðàâíî à, òî 2 . åãî âûñîòà h = a 3 Âûäåëèì íåêîòîðûå ïèðàìèäû, çíàíèå ñâîéñòâ êîòîðûõ ïîçâîëÿåò óâåðåííåå ðåøàòü ñòåðåîìåòðè÷åñêèå çàäà÷è íà êîìáèíàöèþ òåë. Ïðèìåð 17. Îñíîâàíèåì ïèðàìèäû ABCD ñëóæèò òðåóãîëüíèê ABC, â êîòîðîì C = 90 , A = 30 . Ðåáðî AD ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè ABC è ðàâíî ðåáðó AC. Íàéäèòå óãëû ìåæäó: 1) ïëîñêîñòÿìè DBC D è ABC; 2) ïëîñêîñòÿìè DAC è DBC; 3) ïðÿìûìè AB è CD; 4) ïëîñêîñòÿìè ABD è DBC. M A

F

B

Ðåøåíèå. 1) Ïëîñêîñòè DBC è ABC ïåðåñåB1 F1 C êàþòñÿ ïî ïðÿìîé BC. Ïî óñëîâèþ AC ^ BC , a DC ^ BC ïî òåîðåìå î òðåõ ïåðïåíäèêóëÿðàõ. Ïîýòîìó ACD — ëèíåéíûé óãîë äâóãðàííîãî óãëà  ( A, BC, D) . Òàê êàê ïî óñëîâèþ DA ^ ABC è DA = AC, òî òðåóãîëüíèê ADC — ïðÿìîóãîëüíûé è ðàâíîáåäðåííûé. Ñëåäîâàòåëüíî, ACD = 45 . Èòàê, óãîë ìåæäó ïëîñêîñòÿìè DBC è ABC ðàâåí 45°. 2) Èçâåñòíî, ÷òî DC ^ BC è AC ^ BC . Ñëåäîâàòåëüíî, BC ^ DAC . Îòñþäà ïî ïðèçíàêó ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïëîñêîñòåé BCD ^ DAC . Ñëåäîâàòåëüíî, óãîë ìåæäó ïëîñêîñòÿìè DAC è DBC ðàâåí 90°. 3) Íàéäåì óãîë ìåæäó ïðÿìûìè AB è CD. Äëÿ ýòîãî äîñòðîèì òðåóãîëüíèê ABC äî ïàðàëëåëîãðàììà ABCB1, êàê íà ðèñóíêå. Òîãäà óãîë ìåæäó ïðÿìûìè AB è CD ðàâåí óãëó DBC1. Ïóñòü ðåáðî BC = a . Òîãäà AB1 = a . Îòñþäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêîâ (ïî äâóì êàòåòàì) ABC è DB1A, ñëåäîâàòåëüíî, èñïîëüçóÿ ñâîéñòâî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ óãëîì 30°, ïîëó÷àåì ñîîòíîøåíèÿ AB = CB1 = B1 D = 2a è AC = a 3 . 438


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

Ïóñòü M — ñåðåäèíà DC. Òàê êàê òðåóãîëüíèê DAC — AC 3 . ïðÿìîóãîëüíûé è ðàâíîáåäðåííûé, òî CM = =a 2 2 Èç ðàâåíñòâà CB1 = B1 D = 2a ñëåäóåò, ÷òî òðåóãîëüíèê DB1C — ðàâíîáåäðåííûé. Ïîýòîìó B1 M ^ DC . Ñëåäîâàòåëüíî, CM 3 . cos DCB1 = = CB1 2 2 Îòñþäà óãîë ìåæäó ïðÿìûìè AB è CD ðàâåí arccos ´ 3 ´ . 2 2 4) Óãîë ìåæäó ïëîñêîñòÿìè ABD è DNC ðàâåí óãëó ìåæäó ïåðïåíäèêóëÿðàìè ê ýòèì ïëîñêîñòÿì. Âñïîìíèì, ÷òî BC ^ DAC è AM ^ DC . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî, âî-ïåðâûõ, BC ^ AM è, âî-âòîðûõ, AM ^ DBC , ïîñêîëüêó AM ïåðïåíäèêóëÿðíà äâóì ïåðåñåêàþùèìñÿ ïðÿìûì DC è BC, ëåæàùèì â ïëîñêîñòè DBC. Ïóñòü CF — âûñîòà òðåóãîëüíèêà ABC. Òîãäà CF ^ AB , è, ñëåäîâàòåëüíî, ïî ñâîéñòâó ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòåé ABC è DAB, CF ^ DAB . Ïóñòü AF1 ^ CB1 , òîãäà AF1  CF è óãîë ìåæäó ïëîñêîñòÿìè ABD è DBC ðàâåí óãëó MAF1. Êîñèíóñ óãëà MAF1 íàéäåì, âûðàçèâ êâàäðàò îòðåçêà MF1 ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ èç äâóõ òðåóãîëüíèêîâ MAF1 è MCF1. Èìååì a 3 3 ; AM = MC = a . AF = CF1 = 1,5a ; CF = AF1 = 2 2 Çàïèøåì ðàâåíñòâî F1 M 2 = AM 2 + F1 A 2 - 2 AM ⋅ F1 A ⋅ cos MAF1 = = CM 2 + F1C2 - 2CM ⋅ F1C ⋅ cos MCF1 .

Íî cos MCF1 =

3 . Ïîýòîìó ïîëó÷àåì 2 2

3a2 3 a 3 9a2 3 3a 3 . cos MAF1 = - 2a ⋅ - 2a ⋅ ⋅ 4 2 2 4 2 2 2 2 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, óãîë ìåæäó ïëîñÎòñþäà cos MAF1 = 4 2 . êîñòÿìè ABD è DBC ðàâåí arccos 4 2 3 Îòâåò: 1) 45°; 2) 90°; 3) arccos ; 4) arccos . 4 2 2

439


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Çàìå÷àíèå. Ïèðàìèäà, ðàññìàòðèâàåìàÿ â ïðèìåðå 17, íàçûâàåòñÿ áèîðòîãîíàëüíûì òåòðàýäðîì. Äëÿ èçó÷åíèÿ åãî ñâîéñòâ ïîëåçíî ïîíèìàòü, ÷òî áèîðòîãîíàëüíûé òåòðàýäð ÿâëÿåòñÿ ÷àñòüþ ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà (ñì. ðèñ.). Íàïðèìåð, ïîñëå óêàçàííîãî äîñòðàèâàíèÿ áèîðòîãîíàëüíîãî òåòðàýäðà D äî ïðÿìîóãîëüíîãî ïàðàëëåëåïèïåäà ñòàíîâèòñÿ ÿñíî, ÷òî â áèîðòîãîíàëüíîì òåòðàýäðå ñåðåäèíà íàèáîëüøåãî ðåáðà ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì ñôåðû, îïèB ñàííîé îêîëî ýòîãî òåòðàýäðà. A C Ðàññìîòðèì åùå îäèí âèä ïèðàìèäû. Ïðèìåð 18. Îñíîâàíèåì ïèðàìèäû ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíèê ABC, â êîòîðîì C = 90 , A = α , BC = a . Âñå áîêîâûå ðåáðà ïèðàìèäû ðàâíû ìåæäó ñîáîé è ðàâíû l. Îïðåäåëèòå: 1) îáúåì ïèðàìèäû; 2) äâóãðàííûé óãîë ïðè ðåáðå DC ïèðàìèäû è äîïîëíèòåëüíî äàéòå îòâåò äëÿ α = 30°, a = 2, l = 4. Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó âñå áîêîâûå ðåáðà ïèðàìèäû ðàâíû ìåæäó ñîáîé, òî âåðøèíà ïèðàìèäû ïðîåêòèðóåòñÿ C l â öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî a H îñíîâàíèÿ, ò.å. îêîëî ïðÿìîóãîëüíîãî α òðåóãîëüíèêà ABC. Íî öåíòð ýòîé îêA B O ðóæíîñòè — ñåðåäèíà O ãèïîòåíóçû AB. Ñëåäîâàòåëüíî, âûñîòà DO ïèðàìèäû ëåæèò â ãðàíè DAB. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ýòà ãðàíü ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ ABC äàííîé ïèðàìèäû. Îáúåì V ïèðàìèäû íàéäåì ïî ôîðìóëå 1 V = SABC ⋅ DO . 3  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ABC 1 a2 2 è SABC = AB ⋅ BC sin B = ctgα . AO = 0,5 AB = 2 2 2sin α Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà èç òðåóãîëüíèêà AOD íàõîäèì D

l F

DO = l2 440

4l2 sin2 α - a2 a2 . = 2sin α 4sin2 α


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

a2 cos α ⋅ 4l2 sin2 α - a2 . 2 12sin α Ïîñòðîèì ëèíåéíûé óãîë ïðè ðåáðå DC. Äëÿ ýòîãî ïðîâåäåì âûñîòó BF òðåóãîëüíèêà DBC è èç òî÷êè F â ïëîñêîñòè ADC âîññòàâèì ïåðïåíäèêóëÿð FH ê ïðÿìîé DC äî åãî ïåðåñå÷åíèÿ ñ AC â òî÷êå H. Óãîë BFH — ëèíåéíûé óãîë äâóãðàííîãî óãëà  ( A, CD, B) . Ïóñòü BFH = β . Êîñèíóñ β íàéäåì, âûðàçèâ BH èç òðåóãîëüíèêîâ BFH è BCH ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ è òåîðåìå Ïèôàãîðà. Òðåóãîëüíèê BDC — ðàâíîáåäðåííûé, ïîýòîìó 1 CB a cos BCD = 2 = , 2l DC

Îòñþäà V =

a2 a 4l2 - a2 = 2l 4l2 a2 è CF = BC cos BCD = . 2l Òðåóãîëüíèê ADC — ðàâíîáåäðåííûé, ïîýòîìó 1 AC actgα . cos ACD = 2 = DC 2l Èç ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà CFH íàõîäèì CF CH = = atgα ; cos ACD BF = BC sin BCD = a ⋅ 1 -

FH =

CF sin ACD a ⋅ tgα ⋅ 4l2 - a2 ctg2 α . = cos ACD 2l

Òåïåðü ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî BH 2 = FB2 + FH 2 - 2 ⋅ FB ⋅ FH ⋅ cos β = CB2 + CH 2 .

Ïîäñòàâëÿÿ â ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî çíà÷åíèÿ äëèí íàéäåííûõ îòðåçêîâ, ïîëó÷àåì a2 (4l2 - a2 ) a2 tg2 α (4l2 - a2 ctg2 α) + 4l2 4l2 -2 ⋅

a 4l2 - a2 a ⋅ tgα ⋅ 4l2 - a2 ctg2 α ⋅ cos β = a2 + a2 tg2 α . 2l 2l 441


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Îòêóäà cos β =

-a2 ctgα

(4l2 - a2 )(4l2 - a2ctgα)

. Ñëåäîâàòåëüíî,

a2 ctgα

β = π - arccos

(4l2 - a2 )(4l2 - a2ctgα)

.

×òîáû ïîëó÷èòü èñêîìûé ÷èñëåííûé ðåçóëüòàò, ïîäñòàâèì ÷èñëîâûå äàííûå çàäà÷è: α = 30 , a = 2 , l = 4 . 1 . Ïîëó÷èì V = 4 , β = π - arccos 65 Îòâåò: a2 cos α ⋅ 4l2 sin2 α - a2 ; π - arccos 12sin2 α 1 . 4; π- arccos 65

a2 ctgα

;

(4l2 - a2 )(4l2 - a2ctgα)

Ïðèìåð 19. Âñå ãðàíè ïèðàìèäû — ðàâíûå ðàâíîáåäðåííûå òðåóãîëüíèêè ñ áîêîâîé ñòîðîíîé, ðàâíîé 5, è îñíîâàíèåì — 6. Îïðåäåëèòå: 1) îáúåì ïèðàìèäû; 2) äâóãðàííûé óãîë ïðè ðåáðå ïèðàìèäû, ðàâíîì 6; 3) ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè, ñîäåðæàùèìè ðåáðà ïèðàìèäû ðàâíîé äëèíû. D 3 5

L 3

B

5

A 5

O C

3

3 M

Ðåøåíèå. Ïóñòü â ïèðàìèäå îñíîâàíèåì ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíèê ABC, â êîòîðîì AB = AC = 5, BC = 6. Òðåóãîëüíèê ABC — îñòðîóãîëüíûé, ïîñêîëüêó AB2 + AC2 - BC2 = 50 - 36 > 0. Åñëè AD = 5 , òî DC = 6 , ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ, ïîñêîëüêó ãðàíü BCD íå áóäåò â ýòîì ñëó÷àå ÿâëÿòüñÿ ðàâíîáåäðåííûì òðåóãîëüíèêîì ñî ñòîðîíàìè 5; 5; 6. Ñëåäîâàòåëüíî, AD = 6 , òîãäà DC = DB = 5 . Ñäåëàåì ðèñóíîê. Ïóñòü M è L — ñåðåäèíû ðåáåð BC è AD ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà AM è 442


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

DM — ìåäèàíû â ðàâíûõ ðàâíîáåäðåííûõ òðåóãîëüíèêàõ, èìåþùèõ îáùåå îñíîâàíèå BC, ïðîâåäåííûå ê ýòîìó îñíîâàíèþ. Ñëåäîâàòåëüíî, DM ^ BC , AM ^ BC è AM = MD . Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà èç òðåóãîëüíèêà AMC ïîëó÷àåì AM = 4 (åãèïåòñêèé òðåóãîëüíèê). Çíà÷èò, AM = MD = 4 . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî òðåóãîëüíèê AMD — ðàâíîáåäðåííûé è åãî ìåäèàíà ML, ïðîâåäåííàÿ ê îñíîâàíèþ AD, ÿâëÿåòñÿ âûñîòîé. Ïîýòîìó ML ^ AD . Òàê êàê DM ^ BC , AM ^ BC , òî ïî ïðèçíàêó ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè BC ^ AMD è, çíà÷èò, ML ^ BC . Çíà÷èò, ML — îáùèé ïåðïåíäèêóëÿð ê äâóì ñêðåùèâàþùèìñÿ ïðÿìûì AD è BC è, ñëåäîâàòåëüíî, åãî äëèíà — ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè AD è BC. Êðîìå òîãî, ïî ïðèçíàêó ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïëîñêîñòåé, ABC ^ AMD è, ñëåäîâàòåëüíî, âûñîòà DO òðåóãîëüíèêà AMD áóäåò ÿâëÿòüñÿ âûñîòîé ïèðàìèäû. Ïåðåéäåì ê âû÷èñëåíèÿì. Èç ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ALM íàõîäèì ML = AM 2 - AL2 = 7 . Òàêèì îáðàçîì, ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè AD è ÂÑ ðàâíî ML = 7 . Âûñîòû òðåóãîëüíèêà îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû ñòîðîíàì, ê êîòîðûì ýòè âûñîòû ïðîâåäåíû. Ñëåäîâàòåëüíî, 3 7 . ML ⋅ AD = DO ⋅ AM  7 ⋅ 6 = DO ⋅ 4  DO = 2 Ïëîùàäü SABC îñíîâàíèÿ ABC ðàâíà óäâîåííîé ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà AMC è ðàâíà 12. Îáúåì V ïèðàìèäû íàéäåì ïî ôîðìóëå 1 V = SABC ⋅ DO . 3 Ïîëó÷èì V = 6 7 . Òàêèì îáðàçîì, îáúåì ïèðàìèäû ðàâåí 6 7 . Íàéäåì âåëè÷èíó äâóãðàííîãî óãëà ïðè ðåáðå BC, ò.å. âåëè÷èíó  ( A, BC, D) . Îòìåòèì âàæíîå îáñòîÿòåëüñòâî: ñëåäóåò îòëè÷àòü óãîë ìåæäó ïëîñêîñòüþ áîêîâîé ãðàíè è ïëîñêîñòüþ îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû îò óãëà ìåæäó áîêîâîé ãðàíüþ è îñíîâàíèåì ïèðàìèäû èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, îò âåëè÷èíû äâóãðàííîãî óãëà ïðè ðåáðå îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû. Âåëè÷èíà ïåðâîãî óãëà 443


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

íå ìîæåò áûòü áîëüøå âåëè÷èíû ïðÿìîãî óãëà, à âåëè÷èíà âòîðîãî ìîæåò áûòü áîëüøå âåëè÷èíû ïðÿìîãî óãëà. Ýòî îáúÿñíÿåòñÿ îïðåäåëåíèåì óãëà ìåæäó ïëîñêîñòÿìè è îïðåäåëåíèåì äâóãðàííîãî óãëà ïðè ðåáðå ïèðàìèäû. Íàïîìíèì, ÷òî äâóãðàííûì óãëîì íàçûâàåòñÿ ïåðåñå÷åíèå äâóõ ïîëóïðîñòðàíñòâ, îáðàçîâàííûõ äâóìÿ ïåðåñåêàþùè-

M

C B

A

ìèñÿ ïëîñêîñòÿìè. Äâóãðàííûì óãëîì ïðè ðåáðå ïèðàìèäû íàçûâàåòñÿ òîò äâóãðàííûé óãîë, êîòîðîìó ïðèíàäëåæèò ðàññìàòðèâàåìàÿ ïèðàìèäà. Íà ðèñóíêå èçîáðàæåí äâóãðàííûé óãîë ïðè ðåáðå AB ïèðàìèäû ABCM, ò.å.  ( M, AB, C) . Åãî âåëè÷èíà áîëüøå 90°, à óãîë ìåæäó ïëîñêîñòÿìè MAB è ABC â äàííîì ñëó÷àå ìåíüøå 90°. Ýòî îïðåäåëåíèå îòíîñèòñÿ òîëüêî ê âûïóêëûì ïèðàìèäàì, êîòîðûå è èçó÷àþòñÿ â øêîëüíîì êóðñå ãåîìåòðèè.  ñëó÷àÿõ íåâûïóêëûõ ïèðàìèä îïðåäåëåíèå óãëà ïðè ðåáðå ïèðàìèäû òðåáóåò óòî÷íåíèé. Ïðîäîëæèì ðåøåíèå çàäà÷è. Òðåáóåòñÿ íàéòè âåëè÷èíó  ( A, BC, D) .

Ïîñêîëüêó DM ^ BC , AM ^ BC òî âåëè÷èíà  ( A, BC, D) ðàâíà ∠AMD. Ïóñòü AMD = ϕ . Âû÷èñëèì cos ϕ ïî òåîD 3 L 3

5

5

3

A 3

5 C 444

M 5

B 5 O

A1


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

ðåìå êîñèíóñîâ äëÿ òðåóãîëüíèêà AMD.  ýòîì òðåóãîëüíèêå AD = 6, Òåïåðü ïîëó÷àåì AM = MD = 4 . 2 AM 2 - AD2 1 1 cos ϕ = = - , îòñþäà ϕ = π - arccos . Ñëåäîâà8 8 2 AM 2 òåëüíî,  ( A, BC, D) — òóïîé. Îáðàòèòå âíèìàíèå íà òî, ÷òî íàø ðèñóíîê âûïîëíåí íåïðàâèëüíî, ïîñêîëüêó âûñîòà DO äîëæíà ëåæàòü âíå äàííîé ïèðàìèäû. Ñëåäóåò ñäåëàòü íîâûé ðèñóíîê, ñîîòâåòñòâóþùèé óñëîâèÿì çàäà÷è. Íàéäåì ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè AC è BD. Äîñòðîèì òðåóãîëüíèê ABC äî ïàðàëëåëîãðàììà, ïðîäîëæèâ ìåäèàíó AM íà åå äëèíó çà òî÷êó M. Ïîëó÷èì òî÷êó A1. Î÷åâèäíî, ÷òî ABA1C — ïàðàëëåëîãðàìì, â êîòîðîì âñå ñòîðîíû ðàâíû ïî 5. Ñëåäîâàòåëüíî, ABA1C — ðîìá. Ïîñêîëüêó AC  BA1 , òî AC  DBA1 è ðàññòîÿíèå ìåæäó AC è BD ðàâíî ðàññòîÿíèþ îò òî÷êè C äî ïëîñêîñòè DBA1, ò.å. âûñîòå ïèðàìèäû DBA1C, îïóùåííîé íà ïëîñêîñòü ãðàíè DBA1. Ýòó âûñîòó ìîæíî âû÷èñëèòü, âûðàçèâ äâàæäû îáúåì ïèðàìèäû DBA1C: 1 1 VDBA1C = SBCA1 ⋅ DO = SDBA1 ⋅ ρDBA1 (C) , 3 3 ãäå ρDBA1 (C) — èñêîìîå ðàññòîÿíèå îò òî÷êè C äî ïëîñêîSBCA1 ⋅ DO ñòè DBA1. Îòñþäà ρDBA1 (C) = . Èç âõîäÿùèõ â ïîSDBA1 ëó÷åííóþ ôîðìóëó âåëè÷èí îñòàëîñü íàéòè SDBA1 . Íàéäèòå åå ñàìîñòîÿòåëüíî, ïðè ýòîì äîêàæèòå, ÷òî DA1 = 2ML . Âû äîëæíû ïîëó÷èòü ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò: SDBA1 = 3 14 . Òåïåðü ïîëó÷èì ρDBA1 (C) = 3 2 . Èòàê, ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè ÀÑ è BD ðàâíî 3 2. Ïëîñêîñòü ADM ÿâëÿåòñÿ ïëîñêîñòüþ ñèììåòðèè äàííîé ïèðàìèäû, ïîýòîìó ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè À è CD ðàâíî 3 2 . Îòâåò: 3 2 . Óïðàæíåíèå 3. Ðàññìîòðèòå ïèðàìèäó èç ïðèìåðà 20. Íàéäèòå: 1) âñå îñòàëüíûå åå âûñîòû; 2) ðàññòîÿíèå îò òî÷êè M äî ïëîñêîñòåé ãðàíåé ACD è ABD; 3) óãîë ìåæäó ïðÿìîé DM è ïëîñêîñòüþ ACD. 445


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Îòâåò: 1) âñå âûñîòû äàííîé ïèðàìèäû ðàâíû ìåæäó ñîáîé; 2)

3 7 7 ; 3) arcsin . 4 4

Ïðèìåð 20.  ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäå ïðîåêöèÿ îñíîâàíèÿ åå âûñîòû íà áîêîâóþ ãðàíü ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ýòó ãðàíü. Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó óãëà íàêëîíà áîêîâîãî ðåáðà ïèðàìèäû ê ïëîñêîñòè åå îñíîâàíèÿ.

D L A

B M

O C

Ðåøåíèå. Ïóñòü â ïèðàìèäå ABCD òðåóãîëüíèê ABC ëåæèò â îñíîâàíèè, à îòðåçîê DO ÿâëÿåòñÿ åå âûñîòîé. Ïóñòü AB = a , DO = h . Íàïîìíèì: óãëîì ìåæäó ïðÿìîé è ïëîñêîñòüþ íàçûâàåòñÿ óãîë ìåæäó ýòîé ïðÿìîé è åå ïðîåêöèåé íà äàííóþ ïëîñêîñòü. Ïîñêîëüêó DO âûñîòà ïèðàìèäû, òî DO ^ ABC . Ïîýòîìó ïðÿìàÿ AO — ïðîåêöèÿ ïðÿìîé AD íà ïëîñêîñòü ABC. Ñëåäîâàòåëüíî, óãîë íàêëîíà áîêîâîãî ðåáðà ïèðàìèäû ê ïëîñêîñòè åå îñíîâàíèÿ ðàâåí óãëó DAO. Ïóñòü DAO = α .  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå DAO a a a2 a2 2 a è h= . tgα , AD = + tg α = 3 3 3 3 3 cos α Ïî óñëîâèþ L — öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê BDC. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà L — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ òðåóãîëüíèêà BDC. Ñëåäîâàòåëüíî, CL — áèññåêòðèñà òðåóãîëüíèêà CDM. Ïî ñâîéñòâó áèññåêòðèñû òðåDC DL AD DL è òàê êàê DC = AD , òî . óãîëüíèêà = = CM LM CM LM AO =

446


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

Íî îòðåçêè DL, LM — ïðîåêöèè êàòåòîâ òðåóãîëüíèDL DO2 , ïîýòî= LM MO2 2 AD DO ìó . Ïî ñâîéñòâó ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà = CM MO2 a MO = 0,5 AO = . Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ â ïî2 3 ñëåäíþþ ïðîïîðöèþ, ïîëó÷èì

êà DMO íà ãèïîòåíóçó. Èçâåñòíî, ÷òî

2a 12a2 tg2 α 1 tg2 α ⋅ 2 =  =  1 3 cos α ⋅ a 3 cos α 3 ⋅ a2 æ 1 ö 1  = 2ççç -1÷÷÷  2 3 cos2 α + cos α - 2 3 = 0 . 2 è ø 3 cos α cos α Ðåøàÿ ýòî êâàäðàòíîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî cosα, ïîëó÷èì é êcos α = 3 , ê 2 ê ê 2 . êcos α = êë 3 Ïîñêîëüêó ïèðàìèäà ABCD — ïðàâèëüíàÿ, òî óãîë α — 3 è îñòðûé è, çíà÷èò, cos α > 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, cos α = 2 α = 30 . Îòâåò: 30°.

Ïðèìåð 21.  ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäå âûñîòà âäâîå áîëüøå ðåáðà îñíîâàíèÿ è ðàâíà 4. Íàéäèòå: 1) âåëè÷èíó äâóãðàííîãî óãëà ïðè áîêîâîì ðåáðå ïèðàìèäû; 2) óãîë ìåæäó àïîôåìîé ïèðàìèäû è ïëîñêîñòüþ ñìåæíîé áîêîâîé ãðàíè ïèðàìèäû; 3) ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ïèM

T F C

B A

O L

K D 447


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ðàìèäû ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç âåðøèíó îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ïðîòèâîïîëîæíîìó áîêîâîìó ðåáðó. Ðåøåíèå. Ïóñòü MABCD äàííàÿ ïèðàìèäà ñ îñíîâàíèåì ABCD. ABCD — êâàäðàò, ñî ñòîðîíîé, ðàâíîé 2. 1) Ïîñòðîèì ëèíåéíûé óãîë äâóãðàííîãî óãëà  ( A, MB, C). Ïóñòü AT — âûñîòà òðåóãîëüíèêà AMB. Òàê êàê äàííàÿ ïèðàìèäà ïðàâèëüíàÿ, òî CT — âûñîòà òðåóãîëüíèêà BMC, ïðè÷åì AT = CT . Ñëåäîâàòåëüíî, óãîë ATC — ëèíåéíûé óãîë äâóãðàííîãî óãëà  ( A, MB, C) . Åãî âåëè÷èíó α íàéäåì ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ èç òðåóãîëüíèêà ATC.  ýòîì òðåóãîëüíèêå AC = 2 2 . Äëèíó îòðåçêà AT âû÷èñëèì èç ðàâåíñòâà AT ⋅ MB = MK ⋅ DC = 2Sб. гр. ,

ãäå Sб. гр. — ïëîùàäü áîêîâîé ãðàíè äàííîé ïèðàìèäû. Ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà èìååì MK = MO2 + OK2 = 17 ; MB = MO2 + OB2 = 3 2 .

Òåïåðü ïîëó÷àåì

34 . 3 2 AT 2 - AC2 1 Ïî òåîðåìå êîñèíóñîâ ïîëó÷àåì cos α = =- . 2 17 2 AT 1 . Èòàê, äâóãðàííûé óãîë ïðè áîêîâîì Îòñþäà α = π - arccos 17 1 ðåáðå ïèðàìèäû ðàâåí π- arccos . 17 2) Íàïîìíèì: àïîôåìîé ïèðàìèäû íàçûâàåòñÿ âûñîòà áîêîâîé ãðàíè ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû. Àïîôåìà è åå äëèíà îáîçíà÷àåòñÿ îáû÷íî áóêâîé k1. Ðàññìîòðèì àïîôåìó ML, ïðèíàäëåæàùóþ ãðàíè AMD, è íàéäåì óãîë ìåæäó ïðÿìîé ML è ïëîñêîñòüþ CMD. Ïîñêîëüêó ïîñòðîèòü ïðîåêöèþ ïðÿìîé ML íà ïëîñêîñòü CMD äîñòàòî÷íî ñëîæíî, âîñïîëüçóAT ⋅ 3 2 = 17 ⋅ 2  AT =

1 Íàçâàíèå àïîôåìà ïðîèñòåêàåò îò ãðå÷åñêîãî ñëîâà apothema — íå÷òî îòëîæåííîå. Ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê òàêæå èìååò àïîôåìó. Àïîôåìà ìíîãîóãîëüíèêà — ïåðïåíäèêóëÿð, îòëîæåííûé èç öåíòðà ïðàâèëüíîãî ìíîãîóãîëüíèêà ê åãî ñòîðîíå. Ýòà àïîôåìà ðàâíà ðàäèóñó îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ïðàâèëüíûé ìíîãîóãîëüíèê.

448


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

ρCMD (L) , LM ϕ — èñêîìûé óãîë ìåæäó ïðÿìîé ML è ïëîñêîñòüþ CMD; ρCMD (L) — ðàññòîÿíèå îò òî÷êè L äî ïëîñêîñòè CMD. Ïðÿìàÿ LO ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè CMD, ïîýòîìó ðàññòîÿíèå îò òî÷êè L äî ïëîñêîñòè CMD ðàâíî ðàññòîÿíèþ ïðîèçâîëüíîé òî÷êè ïðÿìîé LO äî ýòîé ïëîñêîñòè. Íàéäåì ðàññòîÿíèå îò òî÷êè O äî ïëîñêîñòè CMD. Ïóñòü K — ñåðåäèíà CD. Òîãäà OK ^ CD è ïî ïðèçíàêó ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè ïðÿìàÿ CD ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè MOK. Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîñêîñòè MOK è CMD ïåðïåíäèêóëÿðíû. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî âûñîòà OF ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà MOK ÿâëÿåòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðîì ê ïëîñêîñòè CMD, îïóùåííûì èç òî÷êè O. Ò.å. äëèíà îòðåçêà OF åñòü ðàññòîÿíèå îò òî÷êè O äî ïëîñêîñòè CMD: OF = ρCMD (O) . Èç MO ⋅ OK . Íî òðåóãîëüíèêà MOK íàõîäèì ρCMD (O) = OF = MK 4 . ÍàMO = 4 , OK =1 è MK = 17 , ïîýòîìó ρCMD (O) = 17 4 , à LM = MK = 17. ïîìíèì, ÷òî ρCMD (L) = ρCMD (O) = 17 4 4 . Îòñþäà, ïîñêîëüêó ϕ — îñòðûé Çíà÷èò, sin ϕ = 17 = 17 17 4 . Èòàê, óãîë ìåæäó àïîôåìîé óãîë, íàõîäèì ϕ = arcsin 17 ïèðàìèäû è ïëîñêîñòüþ ñìåæíîé áîêîâîé ãðàíè ïèðàìèäû 4 ðàâåí ϕ = arcsin . 17 3) Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ïëîùàäè ñå÷åíèÿ ïèðàìèäû ñäåëàåì íîâûé ðèñóíîê è ïîñòðîèì çàäàííîå ñå÷åíèå. Ïóñòü Ï — ïëîñêîñòü ñå÷åíèÿ. Ïîñêîëüêó П ^ MC , òî ïëîñêîñòü Ï ïåðåñåêàåò ïëîñêîñòè AMC è BMD ïî ïðÿìûì, ïåðïåíäèêóëÿðíûì MC. Ïóñòü ýòî áóäóò ïðÿìûå AE è GH. Òîãäà AE — âûñîòà òðåóãîëüíèêà AMC. Ïîñêîëüêó MO ^ BD è AC ^ BD , òî BD ^ MOC , è MC ^ BD 1. Ñëåäîâàòåëüíî, HG  BD . Äåéñòâèòåëüíî, åñëè HG BD , òî ïðÿìûå HG è

åìñÿ ôîðìóëîé (ñì. çàìå÷àíèå ê ïðèìåðó 8) sin ϕ =

1

ðàõ.

Çäåñü ìîæíî áûëî áû âîñïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé î òðåõ ïåðïåíäèêóëÿ-

449


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

M H

G

B A

E

P

O

C K D

BD ïåðåñåêàþòñÿ, à ïðÿìàÿ MC èì ïåðïåíäèêóëÿðíà. Ñëåäîâàòåëüíî, MC ^ BDM . Íî ïðÿìàÿ OC ^ BDM è ïåðåñåêàåò ïðÿìóþ MC â òî÷êå C. Ïðîòèâîðå÷èå. Òàê êàê HG  BD è BD ^ MOC , òî HG ^ MOC è ïîýòîìó HG ^ AE . Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå 1 Sсеч. = ⋅ AE ⋅ HG . 2 Äëèíó äèàãîíàëè AE íàéäåì èç ñâîéñòâà âûñîò òðåóãîëüíèêà AMC: MO ⋅ AC = AE ⋅ MC . Èçâåñòíî, ÷òî MO = 4 , AC = 2 2 , MC = 3 2 . Îòñþäà ïîëó÷àåì 8 4 ⋅ 2 2 = AE ⋅ 3 2  AE = . 3 Äëèíó äèàãîíàëè HG íàéäåì èç ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ MP HGM è BDM. Èìååì HG = ⋅ BD . Èçâåñòíî, ÷òî MO = 4, MO AC = 2 2 , à 2 ⋅ AM 2 - AC2 7 1 MP = = . 2 ⋅ MO 2 7 7 2 . Îòñþäà ïîëó÷àåì HG = ⋅2 2 = 4⋅2 4 7 2 Òåïåðü íàõîäèì Sсеч. = . 3 4 7 2 1 Îòâåò: 1) π- arccos ; 2) arcsin ; 3) . 17 17 3 1 Ïîëó÷èòå ýòó ôîðìóëó ñàìîñòîÿòåëüíî, âîñïîëüçîâàâøèñü ïðèìåðîì 13 è ïîñëåäóþùèì óïðàæíåíèåì èç ãëàâû 7.

450


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

Ïðèìåð 22. Îñíîâàíèåì ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäû ñëóæèò ðîìá ñî ñòîðîíîé, ðàâíîé 2, è îñòðûì óãëîì, ðàâíûì 60°. Áîêîâûå ãðàíè ïèðàìèäû íàêëîíåíû ê ïëîñêîñòè åå îñíîâàíèÿ ïîä óãëîì 45°. Íàéäèòå: 1) ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ïèðàìèäû; 2) âåëè÷èíû óãëîâ ìåæäó áîêîâûìè ðåáðàìè ïèðàìèäû è ïëîñêîñòÿìè ïðîòèâîïîëîæíûõ èì áîêîâûõ ãðàíåé; 3) ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìîé, ñîäåðæàùåé áîêîâîå ðåáðî ïèðàìèäû, è ñêðåùèâàþùåéñÿ ñ íåé ïðÿìîé, ñîäåðæàùåé ðåáðî îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû; 4) íàèìåíüøóþ âåëè÷èíó ïëîñêîãî óãëà ïðè âåðøèíå ïèðàìèäû; 5) ðàññòîÿíèÿ îò òî÷êè, ðàâíîóäàëåííîé îò ïëîñêîñòåé âñåõ áîêîâûõ ãðàíåé è ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû, äî åå âåðøèíû è äî ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû. P B

C K M

D

T

O

L A

Ðåøåíèå. Åñëè âñå áîêîâûå ãðàíè ïèðàìèäû îäèíàêîâî íàêëîíåíû ê ïëîñêîñòè åå îñíîâàíèÿ, òî âåðøèíà ïèðàìèäû ïðîåêòèðóåòñÿ â öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â åå îñíîâàíèå.  äàííîì ñëó÷àå âåðøèíà ïèðàìèäû ïðîåêòèðóåòñÿ â òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ðîìáà, ëåæàùåãî â îñíîâàíèè ïèðàìèäû. Ñäåëàåì ðèñóíîê. 1) Ïóñòü â ïèðàìèäå PABCD îñíîâàíèå ABCD — ðîìá, â êîòîðîì AB = 2 , B = 60 . Ïóñòü PO — âûñîòà ïèðàìèäû, ãäå O — òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé ðîìáà ABCD. Ïðîâåäåì ÷åðåç òî÷êó O ïðÿìóþ, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ïàðàëëåëüíûì ïðÿìûì AB è CD è ïåðåñåêàþùóþ èõ â òî÷êàõ L è M ñîîòâåòñòâåííî. Ïî òåîðåìå î òðåõ ïåðïåíäèêóëÿðàõ PL ^ AB , ñëåäîâàòåëüíî, óãîë PLO ðàâåí óãëó íàêëîíà áîêîâîé ãðàíè PAB ê ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû. Ïî óñëîâèþ PLO = 45. 451


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

2) Ïîñêîëüêó âñå áîêîâûå ãðàíè íàêëîíåíû ê ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ ïîä óãëîì 45° è ïðîåêöèåé áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ïèðàìèäû ÿâëÿåòñÿ åå îñíîâàíèå, òî ïëîùàäü áîêîâîé ïîS âåðõíîñòè Sá ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå Sб = ABCD , ãäå cos 45 — ïëîùàäü ðîìáà ABCD; S ABCD

SABCD = AB2 ⋅ sin 60 = 2 3 . SABCD = 2 6 . Èòàê, ïëîùàäü áîêîcos 45 âîé ïîâåðõíîñòè ïèðàìèäû ðàâíà 2 6 . 3) PAC è PBD — ïëîñêîñòè ñèììåòðèè äàííîé ïèðàìèäû, ïîýòîìó äëÿ íàõîæäåíèÿ âåëè÷èí âñåõ óãëîâ ìåæäó áîêîâûìè ðåáðàìè ïèðàìèäû è ïëîñêîñòÿìè ïðîòèâîïîëîæíûõ èì áîêîâûõ ãðàíåé äîñòàòî÷íî íàéòè óãëû íàêëîíà ïðÿìûõ AP è BP ê ïëîñêîñòè áîêîâîé ãðàíè PCD. Îñòàëüíûå øåñòü óãëîâ áóäóò ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû ýòèì óãëàì â ñèëó óêàçàííîé ñèììåòðèè:

Ñëåäîâàòåëüíî, Sб =

 ( AP, PCD) =  ( AP, PCB) =  (CP, PAD) =  (CP, PAB) .

Ïîñêîëüêó ïðÿìûå AP è BP ïåðåñåêàþò ïëîñêîñòü PCD, òî äëÿ íàõîæäåíèÿ èñêîìûõ âåëè÷èí óãëîâ âîñïîëüçóåìñÿ ôîðìóëàìè ρ( A) ρ ( B) è sin ϕB = , sin ϕ A = AP BP â êîòîðûõ ρ ( A ) , ρ ( B) — ðàññòîÿíèÿ îò òî÷åê A è B äî ïëîñêîñòè PCD; ϕ A , ϕB — èñêîìûå âåëè÷èíû óãëîâ. Ïðÿìàÿ AB ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè PCD, ïîýòîìó ρ ( A ) = ρ ( B) . Òàê êàê â ðîìáå ABCD B = 60 , òî òðåóãîëüíèê ABC — ïðàâèëüíûé, ñî ñòîðîíîé, ðàâíîé 2. Ïîýòîìó âûñîòà ML ðîìáà ABCD ðàâíà âûñîòå òðåóãîëüíèêà ABC è ðàâíà 3 . Òî÷êà O — ñåðåäèíà 3 . È òàê êàê â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëü2 3 . Îòñþäà ïî íèêå PLO óãîë PLO ðàâåí 45°, òî PO = OL = 2 òåîðåìå Ïèôàãîðà íàõîäèì

ML, ïîýòîìó OL =

7 15 è PB = PO2 + OB2 = . 2 2 Ïîñêîëüêó O — ñåðåäèíà AC, òî ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A äî ïëîñêîñòè PCD âäâîå áîëüøå ðàññòîÿíèÿ ρ0 îò òî÷êè O PA = PO2 + OA 2 =

452


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

äî ïëîñêîñòè PCD. Íî òî÷êà O ðàâíîóäàëåíà îò âñåõ áîêîâûõ ãðàíåé ïèðàìèäû, ïîýòîìó ρ0 ðàâíî îòðåçêó OT ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç òî÷êè O íà ïëîñêîñòü PAB. Äëèíó îòðåçêà OT — âûñîòó ïðÿìîóãîëüíîãî ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà PLO, îïóùåííóþ èç âåðøèíû ïðÿìîãî PO 3 . Òåïåðü íàõîäèì óãëà, íàõîäèì ïî ôîðìóëå OT = = 2 2 2 3 1 è sin ϕB = . Îòñþäà èñêîìûå âåëè÷èíû ðàâsin ϕ A = 14 10 3 1 íû ϕ A = arcsin ; ϕB = arcsin . Èòàê, âåëè÷èíû óãëîâ 14 10 ìåæäó áîêîâûìè ðåáðàìè ïèðàìèäû è ïëîñêîñòÿìè ïðîòèâîïîëîæíûõ èì áîêîâûõ ãðàíåé ðàâíû 3 1 ; arcsin . 14 10 4) Ïîêàæèòå, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìîé, ñîäåðæàùåé áîêîâîå ðåáðî ïèðàìèäû, è ñêðåùèâàþùåéñÿ ñ íåé ïðÿìîé, arcsin

3 . 2 5) Ïîêàæèòå, ÷òî: à) âñå áîêîâûå ãðàíè ïèðàìèäû — ðàâíûå ðàçíîñòîðîííèå òðåóãîëüíèêè; á) âñå ïëîñêèå óãëû ïðè âåðøèíå ïèðàìèäû ðàâíû ìåæäó ñîáîé; â) âåëè÷èíà êàæäîãî æ 3 ö÷ ÷ » 28,5 , ïîïëîñêîãî óãëà ïðè âåðøèíå ðàâíà arccos çç3 çè 35 ø÷÷

ñîäåðæàùåé ðåáðî îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû, ðàâíî

ýòîìó è íàèìåíüøàÿ âåëè÷èíà ïëîñêîãî óãëà ïðè âåðøèíå æ 3 ö÷ ÷÷ . ðàâíà arccos ççç3 è 35 ø÷ 6) Ïðîâåäåì áèññåêòðèñó LK òðåóãîëüíèêà LOP. Òîãäà òî÷êà K ðàâíîóäàëåíà îò ïëîñêîñòè áîêîâîé ãðàíè PAB è îò ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ. Íî PO — îñü ñèììåòðèè ïèðàìèäû. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà K ðàâíîóäàëåíà îò ïëîñêîñòåé âñåõ áîêîâûõ ãðàíåé è îò ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû. Äëèíó èñêîìîãî îòðåçêà PK âû÷èñëèì, âîñïîëüçîâàâøèñü ñâîéñòâîì áèññåêòðèñû LK òðåóãîëüíèêà LOP: PK PL PK PL . =  = KO OL PO PL + OL 453


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Âñå âåëè÷èíû, âõîäÿùèå â ýòó ôîðìóëó, êðîìå PK, 3 PK 2 . Îòñþäà èçâåñòíû. Ïîäñòàâèâ èõ, íàéäåì = 3 3 3 + 6 . PK = 2 2 2 2(1 + 2 ) Äëèíó îòðåçêà KO ìîæíî íàéòè àíàëîãè÷íî, à ìîæíî ïî PK 3 . (Ïîäóìàéòå, ïî÷åìó?) ôîðìóëå KO = = 2 2(1 + 2 ) Îòâåò: 1) 2 6 ; 3 1 ; arcsin ; 2) arcsin 14 10 3 ; 3) 2 æ 3 ö÷ ÷÷ ; 4) arccos ççç3 è 35 ø÷ 6 3 5) ; . 2(1 + 2 ) 2(1 + 2 )

Ðàññìîòðèì ïðèìåð çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå îòíîøåíèé îáúåìîâ ÷àñòåé ïèðàìèäû. Çäåñü, êàê ïðàâèëî, óäîáíî ïîëüçîâàòüñÿ òåîðåìîé Ìåíåëàÿ è ñëåäóþùåé ïîëåçíîé òåîðåìîé. Åñëè äâå òðåóãîëüíûå ïèðàìèäû èìåþò îáùèé òðåõãðàííûé óãîë ñ âåðøèíîé À, òî îòíîøåíèå èõ îáúåìîâ ðàâíî îòíîøåíèþ ïðîèçâåäåíèé äëèí ðåáåð, èñõîäÿùèõ èç ýòîé âåðøèíû. Äîêàæåì ýòî óòâåðæäåíèå. Íà ðèñóíêå ïèðàìèäû ABCD è APKL èìåþò îáùèé òðåõãðàííûé óãîë ñ âåðøèíîé â òî÷êå A. Âûñîòû ýòèõ ïèðàìèä, îïóùåííûå íà ïëîñêîñòü ABC, D P

A

C K F G B

454

L


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

ðàâíû ðàññòîÿíèÿì îò òî÷åê P è D äî ýòîé ïëîñêîñòè. À íàì èçâåñòíî, ÷òî îòíîøåíèå ýòèõ ðàññòîÿíèé ðàâíî îòíîøåíèþ h AD . Ïëîùàäè îñîòðåçêîâ AD è AP, ñëåäîâàòåëüíî, D = hP AP íîâàíèé ABC è AKL ýòèõ ïèðàìèä ìîãóò áûòü âû÷èñëåíû 1 1 ïî ôîðìóëàì SABC = AB ⋅ AC sin A è SAKL = AK ⋅ AL sin A . 2 2 Çàïèøåì îòíîøåíèå îáúåìîâ ýòèõ ïèðàìèä: 1 1 S h hD ⋅ AB ⋅ AC sin A VABCD 3 ABC D 2 = = = 1 1 VAPKL SAKL hP hP ⋅ AK ⋅ AL sin A 3 2 hD AB ⋅ AC AB ⋅ AC ⋅ AD . = ⋅ = hP AK ⋅ AL AL ⋅ AK ⋅ AP Îêîí÷àòåëüíî

VABCD AB ⋅ AC ⋅ AD . = VAPKL AL ⋅ AK ⋅ AP

Óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Óêàçàííàÿ òåîðåìà ñîõðàíÿåòñÿ, åñëè äâå òðåóãîëüíûå ïèðàìèäû èìåþò «ñìåæíûå» òðåõãðàííûå óãëû, ò.å. óãëû, èìåþùèå äâà îáùèõ ðåáðà, à òðåòüè ðåáðà äîïîëíÿþò äðóã äðóãà äî ïðÿìîé. Ïóñòü PL ïåðåñåêàåò BD â òî÷êå G, à ïðÿìàÿ KL ïåðåñåêàåò BC â òî÷êå F. Òîãäà ïèðàìèäû ABCD è BGFL èìåþò «ñìåæíûå» òðåõãðàííûå óãëû ñ îáùåé âåðøèíîé B. Äîêàæèòå, ÷òî îòíîøåíèå îáúåìîâ ýòèõ ïèðàìèä ðàâíî îòíîøåíèþ ïðîèçâåäåíèé äëèí ðåáåð, èñõîäÿùèõ èç ýòîé âåðøèíû, ò.å. VABCD BA ⋅ BC ⋅ BD . = VBGFL BL ⋅ BF ⋅ BG Ïðèìåð 23. Íà ðåáðàõ AD, AB, BC ïèðàìèäû DABC îòìå÷åíû òî÷êè M, K, L ñîîòâåòñòâåííî òàê, ÷òî AM = MD, AK : KB = 1:2 , BL : LC = 6 :1 . Íàéäèòå îòíîøåíèå, â êîòîðîì ïëîñêîñòü MKL äåëèò îáúåì ïèðàìèäû, åñëè ýòî îòíîøåíèå ìåíüøå 1. Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà ïîñòðîèì ñå÷åíèå ïèðàìèäû ïëîñêîBK BL ñòüþ KLM. Ïîñêîëüêó , òî ïðÿìûå KL è AC ïå¹ KA LC 455


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

D N

M

T

C L

A K B

ðåñåêàþòñÿ. Ïóñòü òî÷êà èõ ïåðåñå÷åíèÿ åñòü òî÷êà T. Òî÷êè M è T ëåæàò â ïëîñêîñòÿõ MKL è ACD. Ñëåäîâàòåëüíî, ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ïëîñêîñòåé åñòü ïðÿìàÿ MT, êîòîðàÿ ïåðåñåêàåò ðåáðî DC â òî÷êå N. Àíàëîãè÷íî, ïðÿìàÿ NL åñòü ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé MKL è BCD. Ïîëó÷èëè ñå÷åíèå — ÷åòûðåõóãîëüíèê MKLN. Íàéäåì, â êàêîì îòíîøåíèè òî÷êà N äåëèò ðåáðî DC. Ïðèäåòñÿ äâàæäû èñïîëüçîâàòü òåîðåìó Ìåíåëàÿ. Ñíà÷àëà â òðåóãîëüíèêå ABC, êîòîðûé ïåðåñåêàåò ïðÿìàÿ KL. Èìååì AT CL BK ⋅ ⋅ =1 . TC LB KA Èç óñëîâèÿ AK : KB = 1:2, BL : LC = 6 :1. Ïîýòîìó AT 1 2 AT ⋅ ⋅ = 1, îòêóäà = 3 . Òåïåðü â òðåóãîëüíèêå ADC, TC 6 1 TC DN CT AM êîòîðûé ïåðåñåêàåò ïðÿìàÿ MT, èìååì ⋅ ⋅ =1 . NC TA MD Îòêóäà DN 1 DN ⋅ ⋅1 = 1  =3 . NC 3 NC Ïóñòü îáúåì ïèðàìèäû ABCD ðàâåí V. Ïèðàìèäû ABCD è AKMT èìåþò îáùèé òðåõãðàííûé óãîë ñ âåðøèíîé A. Ñëåäîâàòåëüíî, ïî äîêàçàííîé òåîðåìå VAKMT AK ⋅ AT ⋅ AM 1 3 1 1 = = ⋅ ⋅ = . Îòñþäà VABCD AB ⋅ AC ⋅ AD 3 2 2 4 1 VAKMT = V . 4 Àíàëîãè÷íî, ïèðàìèäû ABCD è CLNT èìåþò «ñìåæíûå» òðåõãðàííûå óãëû ñ îáùåé âåðøèíîé C. Ñëåäîâàòåëüíî, ñî456


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

ãëàñíî çàìå÷àíèþ ê òåîðåìå îá îòíîøåíèè îáúåìîâ ïîëó÷àåì VCLNT CL ⋅ CN ⋅ CT 1 1 1 1 . = = ⋅ ⋅ = VABCD CB ⋅ CD ⋅ CA 7 4 2 56 1 Îòñþäà VCLNT = V . Îáúåì V1 ìíîãîãðàííèêà AMKLNC 56 1 1 13 ðàâåí ðàçíîñòè V1 = VAKMT - VCLNT = V - V = V . Ñëåäî4 56 56 âàòåëüíî, îáúåì V2 ìíîãîãðàííèêà, äîïîëíÿþùåãî ìíîãîãðàí43 V. íèê AMKLNC äî äàííîé ïèðàìèäû, ðàâåí V2 = V - V1 = 56 Ïîýòîìó èñêîìîå îòíîøåíèå V1 : V2 = 13: 43 .

Îòâåò: 13:43.

 ïîäîáíûõ çàäà÷àõ áûâàåò ïîëåçíî èñïîëüçîâàòü òåîðåìó Ìåíåëàÿ äëÿ òåòðàýäðà. Âîò åå ôîðìóëèðîâêà. Òåîðåìà Ìåíåëàÿ äëÿ òåòðàýäðà. Ïóñòü ïëîñêîñòü PGL íå ïðîõîäèò íè ÷åðåç îäíó âåðøèíó òåòðàýäðà ABCD è íå ïàðàëëåëüíà íè îäíîé èç åãî ãðàíåé. Ïóñòü ýòà ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò ðåáðà AD, DB, BC, CA (èëè D

D P

P K A

C F

G

L B

L

W

A

F C

G B

K

W

èõ ïðîäîëæåíèÿ) è ñîîòâåòñòâåííî â òî÷êàõ P, G, F, K äåëèò ýòè ðåáðà íà ñîîòâåòñòâóþùèå îòðåçêè (âíóòðåííèì èëè âíåøíèì îáðàçîì). Òîãäà ïðîèçâåäåíèå îòíîøåíèé ýòèõ îòðåçêîâ, âçÿòûõ â ïîðÿäêå íåïðåðûâíîãî îáõîäà âåðøèí òåòðàýäðà òàê, ÷òî áóäóò ïðîéäåíû âñå ðåáðà, ñîäåðæàùèå òî÷êè AP DG BF CK P, G, F, K, ðàâíî 1, òî åñòü ⋅ ⋅ ⋅ =1 . PD GB FC KA Ýòà òåîðåìà äîêàçûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ òåîðåìû Ìåíåëàÿ äëÿ òðåóãîëüíèêà, ðàññìîòðåííîé â ãëàâå 7 (ñì. ñòð. 398). 457


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Äîêàæèòå òåîðåìó ñàìîñòîÿòåëüíî, ðàññìîòðåâ òðåóãîëüíèêè ADB è ABC. Îòìåòèì, ÷òî âî âòîðîì ñëó÷àå òî÷êè W, K, F ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Ïðèìåð 24. (ÅÃÝ)  ïèðàìèäå FABC ãðàíè ABF è ABC ïåðïåíäèêóëÿðíû, FB : FA = 27 : 8 . Òàíãåíñ óãëà ìåæäó ïðÿìîé BC è ïëîñêîñòüþ ABF ðàâåí 2. Òî÷êà M âûáðàíà íà ðåáðå BC òàê, ÷òî BM : MC = 2:1 . Òî÷êà T âûáðàíà íà ïðÿìîé AF è ðàâíîóäàëåíà îò òî÷åê M è B. Öåíòð ñôåðû, îïèñàííîé îêîëî ïèðàìèäû FABC, ëåæèò íà ðåáðå AB, ïëîùàäü ýòîé ñôåðû ðàâíà 16π. Íàéäèòå îáúåì ïèðàìèäû ACMT. T

F

O

A

H B P M

C Ðåøåíèå. 1) Ïóñòü R — ðàäèóñ ñôåðû, îïèñàííîé îêîëî ïèðàìèäû FABC. Òîãäà èç óñëîâèÿ èìååì 4πR 2 = 16π . Îòñþäà R = 2 . Ïóñòü O — öåíòð ýòîé ñôåðû, òîãäà OA = OB = OC = OF = R = 2, à òàê êàê O ëåæèò íà ðåáðå AB, òî O — ñåðåäèíà îòðåçêà AB è òðåóãîëüíèêè ABC è ABF — ïðÿìîóãîëüíûå ñ îáùåé ãèïîòåíóçîé AB. 2) Ïî óñëîâèþ T Î AF è TB = TM . Îïóñòèì èç òî÷êè T â ïëîñêîñòè ABF ïåðïåíäèêóëÿð TH íà ïðÿìóþ AB. Òàê êàê ABF ^ ANC , òî TH ^ ABC è, ñëåäîâàòåëüíî, îòðåçêè HM è HB — ïðîåêöèè ðàâíûõ íàêëîííûõ TM è TB. Çíà÷èò, HM = HB è ïîýòîìó òðåóãîëüíèê BHM — ðàâíîáåäðåííûé, à åãî âûñîòà HP ÿâëÿåòñÿ ìåäèàíîé, ò.å. MP = PB . 458


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

3) Ïëîñêîñòè ABF è ABC ïåðïåíäèêóëÿðíû, ïîýòîìó ïðîåêöèåé ïðÿìîé BC íà ïëîñêîñòü ABF ÿâëÿåòñÿ ïðÿìàÿ AB. Îòñþäà óãîë ìåæäó ïðÿìîé BC è ïëîñêîñòüþ ABF ðàâåí óãëó B òðåóãîëüíèêà ABC è ïî óñëîâèþ tgB = 2 . Çíà÷èò, 1 2 , sin B = . cos B = 5 5 4) Òàê êàê AB = 2R = 4 , òî 4 8 , AC = AB ⋅ sin B = . BC = AB ⋅ cos B = 5 5 Òàê êàê TH ^ ABC , òî TH — âûñîòà ïèðàìèäû ACMT. 1 Îáúåì V ýòîé ïèðàìèäû íàéäåì ïî ôîðìóëå V = ⋅ TH ⋅ SAMC , 3 ãäå SAMC — ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà AMC. Òðåóãîëüíèê AMC — ïðÿìîóãîëüíûé, ïîýòîìó SAMC = 0,5 AC ⋅ MC . Òàê êàê 2 8 . BM : MC = 2:1 , òî BC : MC = 3:2 . Ïîýòîìó MC = BC = 3 3 5 32 Îòñþäà SAMC = . 15 Òàê êàê BM : MC = 2:1 è MP = MB , òî ìîæåì íàïèñàòü BP = PM = a , MC = 4a . CP 5a 5 AH PC 5 Îòñþäà = = . Òàê êàê HP  AC , òî = = CB 6a 6 AB BC 6 5 ⋅ AB 10 .  ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå è îòñþäà AH = = 6 3 FB 27 . Ïîýòîìó èç ïðÿìîóãîëüíîãî AFB îòíîøåíèå = tgA = FA 8 45 òðåóãîëüíèêà ATH íàõîäèì TH = AH ⋅ tgA = . Îêîí÷à4 1 45 32 òåëüíî V = ⋅ ⋅ =8 . 3 4 15 Îòâåò: 8.

§ 2. Êðóãëûå òåëà. Êîìáèíàöèè òåë Â ýòîì ïàðàãðàôå ìû ðàññìîòðèì íåêîòîðûå âîïðîñû, îòíîñÿùèåñÿ ê òåìå «Êðóãëûå òåëà» èëè «Òåëà âðàùåíèÿ» è ê êîìáèíàöèÿì ìíîãîãðàííèêîâ è/èëè êðóãëûõ òåë. 459


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïîä êðóãëûìè òåëàìè ìû ïîíèìàåì ñëåäóþùèå ôèãóðû: ïðÿìîé êðóãîâîé öèëèíäð, ïðÿìîé êðóãîâîé êîíóñ, øàð è íåêîòîðûå ÷àñòè ýòèõ òåë, òàêèå êàê, íàïðèìåð, óñå÷åííûé êîíóñ, ïîëóøàð, øàðîâîé ñåãìåíò è øàðîâîé ñåêòîð.

2.1. Öèëèíäð Ïðè èçó÷åíèè òåìû «Öèëèíäð» ïîëåçíî îáðàòèòü âíèìàíèå íà ñå÷åíèÿ öèëèíäðà ïëîñêîñòÿìè, ïàðàëëåëüíûìè åãî îñè. Âñå ýòè ñå÷åíèÿ — ïðÿìîóãîëüíèêè. Ñå÷åíèÿ öèëèíäðà ïëîñêîñòÿìè, ïåðïåíäèêóëÿðíûìè åãî îñè, — êðóãè, ðàâíûå åãî îñíîâàíèÿì. Ïîëåçíûìè çäåñü ìîãóò îêàçàòüñÿ òå çàäà÷è, â óñëîâèÿõ êîòîðûõ çàäàíû íå ëèíåéíûå ðàçìåðû öèëèíäðà, à åãî îáúåì, ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè, ïëîùàäü ïîëíîé ïîâåðõíîñòè, ïëîùàäü îñíîâàíèÿ, ïëîùàäü îñåâîãî ñå÷åíèÿ è ò.ï. Îòìåòèì, ÷òî òàêèå çàäà÷è èìåþò ìàëîå îòíîøåíèå ê ãåîìåòðèè, îäíàêî ìîãóò áûòü ïîëåçíû ïðè èçó÷åíèè ôîðìóë. Ïðèìåð 1. Ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà ðàâíà 5 ñì2, à îáúåì öèëèíäðà ðàâåí 10 ñì3. Íàéäèòå ïëîùàäü îñíîâàíèÿ öèëèíäðà. Ðåøåíèå. Ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Sб. п. ц. = 2πrh , à åãî îáúåì — ïî ôîðìóëå Vц = πr 2 h . Èç óñëîâèÿ èìååì ñèñòåìó óðàâíåíèé ïìï2πrh = 5, í 2 ïïπr h = 10. î Îòñþäà r = 4 , à ïëîùàäü S0 îñíîâàíèÿ öèëèíäðà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå S0 = πr 2 = 16π . Îòâåò: 16π. Ïðèìåð 2. Ïðÿìîóãîëüíèê âðàùàåòñÿ ñíà÷àëà îòíîñèòåëüíî ñòîðîíû, ðàâíîé a ñì, à çàòåì îòíîñèòåëüíî ñòîðîíû, ðàâíîé b ñì. Ñðàâíèòå ïëîùàäè áîêîâûõ ïîâåðõíîñòåé è îáúåìû ïîëó÷åííûõ öèëèíäðîâ, åñëè a < b. Ïîëó÷èòå ñàìîñòîÿòåëüíî ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò: ïëîùàäè áîêîâûõ ïîâåðõíîñòåé öèëèíäðîâ ðàâíû; îáúåì öèëèíäðà 460


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

ñ âûñîòîé, ðàâíîé b, ìåíüøå îáúåìà öèëèíäðà ñ âûñîòîé, ðàâíîé a. Ðàññìàòðèâàÿ ñå÷åíèÿ öèëèíäðà, ïàðàëëåëüíûå åãî îñè, ïîëåçíî óñòàíîâèòü çàâèñèìîñòü ïëîùàäè ýòîãî ñå÷åíèÿ îò ðàññòîÿíèÿ ïëîñêîñòè ñå÷åíèÿ äî îñè öèëèíäðà. Ïðèìåð 3. Ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà ðàâíà 8π ñì2, à îáúåì öèëèíäðà ðàâåí 4π ñì3. Íàéäèòå ïåðèìåòð ñå÷åíèÿ öèëèíäðà, ïàðàëëåëüíîãî åãî îñè è óäàëåííîãî îò îñè öèëèíäðà íà ðàññòîÿíèå 0,5 ñì.

A P C 0,5 B

1

1 O T

Ðåøåíèå. Èç óñëîâèÿ èìååì ñèñòåìó óðàâíåíèé ïìï2πrh = 8π, í 2 ïïπr h = 4π. î

ïìh = 4, Îòñþäà ïí ïïîr = 1. Ðàññìîòðèì îñíîâàíèå öèëèíäðà (ñì. ðèñ.) — êðóã ðàäèóñîì 1, ñ öåíòðîì â òî÷êå O. Äàííîå ñå÷åíèå, ïàðàëëåëüíîå îñè öèëèíäðà, ïåðåñåêàåò åãî îñíîâàíèå ïî õîðäå AB, óäàëåííîé îò öåíòðà êðóãà íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå 0,5. Äåéñòâèòåëüíî, ïî óñëîâèþ äàííîå ñå÷åíèå óäàëåíî îò îñè öèëèíäðà íà ðàññòîÿíèå, ðàâíîå 0,5. Ïîñêîëüêó îñü öèëèíäðà ïàðàëëåëüíà äàííîìó ñå÷åíèþ, òî äëèíà ëþáîãî ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåííîãî èç ïðîèçâîëüíîé òî÷êè îñè öèëèíäðà íà ïëîñêîñòü ñå÷åíèÿ, ðàâíà 0,5. Íî îñåâîå ñå÷åíèå öèëèíäðà, ïåðïåíäèêóëÿðíîå äàííîìó ñå÷åíèþ, ïî ñâîéñòâó ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòåé ïåðåñåêàåò õîðäó AB ïî äèàìåòðó PT, ïåðïåíäèêóëÿðíîìó AB. Ïóñòü PT ïåðåñåêàåò AB â òî÷êå C. Òîãäà OC = 0,5 . Èç ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà OAC ñëåäóåò, ÷òî 461


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

3 . Ñëåäîâàòåëüíî, AB = 3 . Èñêîìûé ïåðèìåòð ñå÷å2 íèÿ íàéäåì ïî ôîðìóëå PC = 2( AB + h) = 2( 3 + 4). Îòâåò: 2( 3 + 4). AC =

Íàïîìíèì, ÷òî ñïðàâåäëèâà òåîðåìà: Åñëè äâå ïåðïåíäèêóëÿðíûå ïëîñêîñòè ïåðåñå÷åíû òðåòüåé ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïåðâûì äâóì, òî ýòà òðåòüÿ ïëîñêîñòü ïåðïåíäèêóëÿðíà ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïåðâûõ äâóõ ïëîñêîñòåé. Òî æå ñàìîå ìîæíî âûðàçèòü èíà÷å: Ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ òðåõ ïîïàðíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòåé ïîïàðíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Óïðàæíåíèå 1. Äîêàæèòå êàæäîå èç ýòèõ äâóõ óòâåðæäåíèé. Ïðèìåð 4.  öèëèíäðå âûñîòîé 5 è ðàäèóñîì 6 ïðîâåäåíî ñå÷åíèå, ïàðàëëåëüíîå åãî îñè è îòñåêàþùåå îò îêðóæíîñòè îñíîâàíèÿ äóãó â 120°. Îïðåäåëèòå ïëîùàäü ýòîãî ñå÷åíèÿ. T1 O1 M1

T

6 O

P M

Ðåøåíèå. Ñå÷åíèå öèëèíäðà — ïðÿìîóãîëüíèê MTT1 M1 , äâå ñòîðîíû êîòîðîãî — îáðàçóþùèå è ïîýòîìó ðàâíû âûñîòå öèëèíäðà, ò.å. MM1 = TT1 = 5 . Ðàññìîòðèì îñíîâàíèå öèëèíäðà — êðóã ðàäèóñà 6 ñ öåíòðîì â òî÷êå O. Ñå÷åíèå, ïî óñëîâèþ, ïåðåñåêàåò îñíîâàíèå ïî îòðåçêó MT. Ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ äóãà ÈMT = 120 , òî öåíòðàëüíûé MOT = 120°. Îïóñòèì èç òî÷êè O ïåðïåíäèêóëÿð OP íà õîðäó MT. Òðåóãîëüíèê MOT ðàâíîáåäðåííûé è åãî âûñîòà OP ÿâëÿåòñÿ ìåäèàíîé è áèññåêòðèñîé. Ñëåäîâàòåëüíî, MP = PT è 462


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

3 =3 3 . 2 Ïîýòîìó MT = 6 3 . Ïëîùàäü ñå÷åíèÿ íàéäåì ïî ôîðìóëå S = MT ⋅ TT1 = 6 3 ⋅ 5 = 30 3 . Îòâåò: 30 3 . POT = 60 . Ñëåäîâàòåëüíî,

PT = OT ⋅ sin 60 = 6 ⋅

Óïðàæíåíèå 2. Âûñîòà öèëèíäðà ðàâíà 3, à ðàäèóñ îñíîâàíèÿ — 2. Íàéäèòå ïëîùàäü ñå÷åíèÿ öèëèíäðà ïëîñêîñòüþ, ïàðàëëåëüíîé îñè öèëèíäðà è óäàëåííîé îò íåå íà ðàññòîÿíèå 1. Îòâåò: 6 3 . Ñëåäóþùàÿ çàäà÷à, íåñìîòðÿ íà ñâîþ ïðîñòîòó, ìîæåò òàêæå îêàçàòüñÿ ïîëåçíîé. Ïðèìåð 5. Ïëîñêîñòè, ïàðàëëåëüíûå îñíîâàíèþ öèëèíäðà, ðàçáèëè åãî íà òðè öèëèíäðà, îáúåìû êîòîðûõ îòíîñÿòñÿ, êàê 1:2:3. Îïðåäåëèòå, â êàêîì îòíîøåíèè ýòè ïëîñêîñòè ðàçäåëèëè ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ýòîãî öèëèíäðà. Ðåøåíèå. Îáúåì öèëèíäðà âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå V = πr 2 h , à ïëîùàäü åãî áîêîâîé ïîâåðõíîñòè — ïî ôîðìóëå S = 2πrh . Îáå âåëè÷èíû ëèíåéíî çàâèñÿò îò h. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè îáúåìû öèëèíäðîâ, èìåþùèõ îäèíàêîâûå ðàäèóñû, îòíîñÿòñÿ, êàê 1:2:3, òî è èõ âûñîòû îòíîñÿòñÿ, êàê 1:2:3. Ïîýòîìó è ïëîùàäè áîêîâûõ ïîâåðõíîñòåé ýòèõ öèëèíäðîâ îòíîñÿòñÿ, êàê 1:2:3. Îòâåò: 1:2:3. Óïðàæíåíèå 3. Ïëîñêîñòü, ñîñòàâëÿþùàÿ ñ îñüþ öèëèíäðà óãîë α, ðàçäåëèëà åãî îñü íà äâà îòðåçêà, îòíîøåíèå êîòîðûõ ðàâíî 2:5.  êàêîì îòíîøåíèè ýòà ïëîñêîñòü ðàçäåëèëà îáúåì öèëèíäðà? Îòâåò: 2:5. Óêàçàíèå. Âîñïîëüçóéòåñü öåíòðàëüíîé ñèììåòðèåé öèëèíäðà îòíîñèòåëüíî ñåðåäèíû åãî îñè. Âàæíîé ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùàÿ õîðîøî èçâåñòíàÿ çàäà÷à. Ïðèìåð 6. Êîíöû îòðåçêà AB ëåæàò íà îêðóæíîñòÿõ îñíîâàíèé öèëèíäðà. Ðàäèóñ öèëèíäðà ðàâåí r, åãî âûñîòà — h, à ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìîé AB è îñüþ öèëèíäðà ðàâíî d. 463


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Íàéäèòå âûñîòó è ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà, åñëè r = 9 äì, d = 7 äì, AB = L = 12 äì. Ðåøåíèå. ×åðåç òî÷êó A, ëåæàùóþ íà îêðóæíîñòè îñíîâàíèÿ öèëèíäðà ñ öåíòðîì â òî÷êå O, ïðîâåäåì îáðàçóþùóþ. Ïóñòü îíà ïåðåñåêàåò îêðóæíîñòü îñíîâàíèÿ ñ öåíòðîì B O1 C D O

P A

â òî÷êå O1 â òî÷êå C. Òîãäà ïëîñêîñòü ABC ïàðàëëåëüíà îñè OO1 öèëèíäðà è ïåðïåíäèêóëÿðíà åãî îñíîâàíèÿì. Êàæäàÿ îáðàçóþùàÿ öèëèíäðà ïàðàëëåëüíà åãî îñè è ïîýòîìó ðàññòîÿíèå ìåæäó îáðàçóþùåé è îñüþ öèëèíäðà ðàâíî åãî ðàäèóñó, ò.å. 9. Ïîñêîëüêó ðàññòîÿíèå ìåæäó îñüþ öèëèíäðà è ïðÿìîé AB ðàâíî 7, òî AB è OO1 — ñêðåùèâàþùèåñÿ ïðÿìûå. Îòìåòèì, ÷òî ïðÿìûå AB è OO1 íå ìîãóò ïåðåñåêàòüñÿ, òàê êàê ðàññòîÿíèå ìåæäó ïåðåñåêàþùèìèñÿ ïðÿìûìè, ïî îïðåäåëåíèþ ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ïðÿìûìè, ðàâíî íóëþ. Ðàññòîÿíèå ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ïðÿìûìè ðàâíî ðàññòîÿíèþ îò ïðîèçâîëüíîé òî÷êè îäíîé èç ýòèõ ïðÿìûõ äî ïàðàëëåëüíîé åé ïëîñêîñòè, ñîäåðæàùåé âòîðóþ ïðÿìóþ. Ïî ïðèçíàêó ïàðàëëåëüíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè OO1 || ABC, ñëåäîâàòåëüíî, ðàññòîÿíèå îò ïðÿìîé OO1 äî ïðÿìîé AB ðàâíî ïåðïåíäèêóëÿðó, îïóùåííîìó èç òî÷êè O íà ïëîñêîñòü ABC. Òàê êàê ïëîñêîñòü ABC ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ öèëèíäðà, òî òàêèì ïåðïåíäèêóëÿðîì áóäåò ïåðïåíäèêóëÿð OP, îïóùåííûé èç òî÷êè O íà ëèíèþ ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòè ABC è ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ öèëèíäðà, ò.å. íà ïðÿìóþ AD. Èç ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà OAP íàõîäèì AP = OA 2 - OP2 = r 2 - d2 . 464


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

Íî ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð êðóãà ïåðïåíäèêóëÿðíî õîðäå, äåëèò ýòó õîðäó ïîïîëàì. Ñëåäîâàòåëüíî, AD = 2 AP = 2 r 2 - d2 . Òåïåðü, ó÷èòûâàÿ óñëîâèÿ çàäà÷è, èç ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABD íàõîäèì h = AB2 - 4r 2 + 4d2 = 144 - 324 + 196 = 16 = 4 . Ïëîùàäü Sá áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà íàéäåì ïî ôîðìóëå Sб = 2πrh = 2π ⋅ 9 ⋅ 4 = 72π .

Îòâåò: 4 äì, 72π äì2. Ïðèìåð 7. Ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà ðàâíà S. Íàéäèòå ïëîùàäü åãî îñåâîãî ñå÷åíèÿ. Ðåøåíèå.  ýòîé çàäà÷å ÷åðòåæ íå îáÿçàòåëåí. Ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà ðàâíà Sб = 2πrh , à ïëîùàäü Sc îñåâîãî ñå÷åíèÿ Sс = 2rh . Íî ïî óñëîâèþ 2πrh = S . Îòñþäà S S 2rh = . Ñëåäîâàòåëüíî, Sс = . π π S . Îòâåò: π Ïðèìåð 8. Ðàññìàòðèâàþòñÿ âñå öèëèíäðû, èìåþùèå ïåðèìåòð îñåâîãî ñå÷åíèÿ, ðàâíûé 2p. Íàéäèòå âûñîòó òîãî öèëèíäðà, êîòîðûé èìååò íàèáîëüøóþ ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè. Ðåøåíèå. 1. Îáîçíà÷èì r è h ðàäèóñ è âûñîòó öèëèíäðà, ïåðèìåòð îñåâîãî ñå÷åíèÿ êîòîðîãî ðàâåí 2p. Òîãäà h + 2r = p . 2. Ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà âûðàçèì ïî ôîðìóëå S = 2πrh . Íî â íàøåì ñëó÷àå 2r = p - h . Ñëåäîâàòåëüíî, S = πh ( p - h) , ãäå 0 < h < p . Âåëè÷èíà S èçìåíÿåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò h è, ñëåäîâàòåëüíî, ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé h, ïðè óñëîâèè 0 < h < p.  íàøåì ñëó÷àå ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèåé îò h. Èç ñâîéñòâ êâàäðàòè÷íîé ôóíêöèè ñ îòðèöàòåëüíûì ñòàðøèì êîýôôèöèåíòîì ñëåäóåò, ÷òî òàêàÿ ôóíêöèÿ äîñòèãàåò ñâîåãî íàèáîëüøåãî p çíà÷åíèÿ ïðè h = . 2 465


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

3. Èòàê, ïðè çàäàííîì ïåðèìåòðå îñåâîãî ñå÷åíèÿ íàèáîëüøóþ ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè áóäåò èìåòü òîò öèëèíäð, ó êîòîðîãî âûñîòà ðàâíà ÷åòâåðòè ïåðèìåòðà åãî îñåâîãî ñå÷åíèÿ. p Îòâåò: h = . 2 Çàìå÷àíèå. Ïîñìîòðèì, êàê îòíîñÿòñÿ âûñîòà è äèàìåòð öèëèíäðà, èìåþùåãî íàèáîëüøóþ ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè, ïðè çàäàííîì ïåðèìåòðå îñåâîãî ñå÷åíèÿ. Ìû çíàåì, ÷òî âûñîòà h òàêîãî öèëèíäðà ðàâíà ÷åòâåðòè ïåðèìåòðà åãî p îñåâîãî ñå÷åíèÿ, ò.å. h = . Ïîäñòàâèì ýòî çíà÷åíèå â ðàâåí2 ñòâî h + 2r = p . Ïîëó÷èì p p + 2r = p  2r = , 2 2 ò.å. 2r = h . Ñëåäîâàòåëüíî, îñåâîå ñå÷åíèå öèëèíäðà, èìåþùåãî íàèáîëüøóþ ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè, ïðè çàäàííîì ïåðèìåòðå îñåâîãî ñå÷åíèÿ, — êâàäðàò.

2.2. Êîíóñ. Óñå÷åííûé êîíóñ Ïðè ðàññìîòðåíèè çàäà÷ íà êîíóñ âàæíûìè ÿâëÿþòñÿ ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ïàðàìåòðàìè êîíóñà è óãëàìè â ðàçâåðòêå êîíóñà è â åãî îñåâîì ñå÷åíèè. Çäåñü ìîãóò îêàçàòüñÿ ïîëåçíûìè çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå óãëà â ðàçâåðòêå è â îñåâîì ñå÷åíèè êîíóñà. Ïåðå÷èñëèì íåêîòîðûå ôàêòû, îòíîñÿùèåñÿ ê ãåîìåòðèè êîíóñà è óñå÷åííîãî êîíóñà. Ïëîùàäü S áîêîâîé ïîâåðõíîñòè êîíóñà ñ ðàäèóñîì îñíîâàíèÿ r è îáðàçóþùåé l âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå S = πrl , à ïëîùàäü ïîëíîé ïîâåðõíîñòè — ïî ôîðìóëå Sп = πr (r + l) . Îáúåì V êîíóñà ñ ðàäèóñîì îñíîâàíèÿ r è âûñîòîé h âû1 ÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå V = πr 2 h . 3 Ïëîùàäü S áîêîâîé ïîâåðõíîñòè óñå÷åííîãî êîíóñà ñ ðàäèóñàìè îñíîâàíèé r, R è îáðàçóþùåé l âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå S = πl (r + R ) , à ïëîùàäü ïîëíîé ïîâåðõíîñòè — ïî ôîðìóëå Sп = π (l (r + R ) + r 2 + R 2 ). 466


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

Îáúåì V óñå÷åííîãî êîíóñà ñ ðàäèóñàìè îñíîâàíèé r, R è 1 âûñîòîé h âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå V = πh (r 2 + R 2 + rR ). 3 Ñå÷åíèå êîíóñà, ñîäåðæàùåå åãî âûñîòó, ÿâëÿåòñÿ òðåóãîëüíèêîì è íàçûâàåòñÿ îñåâûì ñå÷åíèåì êîíóñà. Ïëîùàäü Sc îñåâîãî ñå÷åíèÿ êîíóñà ñ ðàäèóñîì îñíîâàíèÿ r è âûñîòîé h âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå Sс = rh . Ïðÿìóþ, ñîäåðæàùóþ âûñîòó êîíóñà, ìîæíî íàçâàòü îñüþ êîíóñà. Îñü êîíóñà ÿâëÿåòñÿ åãî îñüþ ñèììåòðèè. Ñå÷åíèå êîíóñà, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç åãî âåðøèíó, ÿâëÿåòñÿ ðàâíîáåäðåííûì òðåóãîëüíèêîì. Ðàçâåðòêîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòè êîíóñà ñ ðàäèóñîì îñíîâàíèÿ r è îáðàçóþùåé l ÿâëÿåòñÿ ñåêòîð êðóãà ðàäèóñà l 2πr 360r ðàäèàí, èëè ñ óãëîì â ðàçâåðòêå êîíóñà, ðàâíûì l l ãðàäóñîâ. Ïëîùàäü ðàçâåðòêè êîíóñà ðàâíà ïëîùàäè åãî áîêîâîé ïîâåðõíîñòè. Ñå÷åíèå óñå÷åííîãî êîíóñà ïëîñêîñòüþ, ñîäåðæàùåé äâå åãî îáðàçóþùèå, ÿâëÿåòñÿ ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèåé. Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ñå÷åíèå óñå÷åííîãî êîíóñà ïëîñêîñòüþ, ñîäåðæàùåé ïàðàëëåëüíûå õîðäû åãî îñíîâàíèé, òðàïåöèåé (â îáùåì ñëó÷àå) íå ÿâëÿåòñÿ. Ðàçâåðòêîé áîêîâîé ïîâåðõíîñòè óñå÷åííîãî êîíóñà ñ ðàäèóñàìè îñíîâàíèé r, R è îáðàçóþùåé l ÿâëÿåòñÿ ÷àñòü ñåêRl ñ óãëîì â ðàçâåðòêå óñå÷åííîãî òîðà êðóãà ðàäèóñà R -r 2π (R - r ) 360 (R - r ) ðàäèàí, èëè ãðàäóñîâ, êîíóñà, ðàâíûì l l rl îãðàíè÷åííàÿ äóãîé îêðóæíîñòè ðàäèóñà è íå ñîäåðR -r æàùàÿ öåíòðà äàííîãî êðóãà. Ïëîùàäü ðàçâåðòêè óñå÷åííîãî êîíóñà ðàâíà ïëîùàäè åãî áîêîâîé ïîâåðõíîñòè.

Óïðàæíåíèå 4. Îñåâîå ñå÷åíèå êîíóñà — ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê. Îïðåäåëèòå óãîë â ðàçâåðòêå ýòîãî êîíóñà. Îòâåò: 180°. 467


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Óïðàæíåíèå 5. Óãîë â ðàçâåðòêå êîíóñà ðàâåí 90°. Îïðåäåëèòå óãîë â îñåâîì ñå÷åíèè ýòîãî êîíóñà. 1 Îòâåò: 2arcsin . 4 Ïîëåçíûìè ÿâëÿþòñÿ çàäà÷è, ñâÿçàííûå ñ ñå÷åíèÿìè êîíóñà, ïåðïåíäèêóëÿðíûìè îñè êîíóñà, è ñå÷åíèÿìè, ñîäåðæàùèìè åãî îáðàçóþùèå. Ïðèìåð 9. Ðàäèóñ îñíîâàíèÿ êîíóñà ñ âåðøèíîé â òî÷êå M è öåíòðîì îñíîâàíèÿ O ðàâåí r, à âûñîòà êîíóñà ðàâíà h. Òî÷êà O1 ëåæèò íà âûñîòå êîíóñà è MO1 : MO = a : b . ×åðåç òî÷êó ïðîâåäåíî ñå÷åíèå êîíóñà ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé âûñîòå êîíóñà. Íàéäèòå ïëîùàäü ïîëó÷åííîãî ñå÷åíèÿ è äëèíó îòðåçêà OO1. M

B

O1

C L

P

O

T

K

Ðåøåíèå. Äàííîå ñå÷åíèå — êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå O1 è ðàäèóñîì, ðàâíûì r1. Ðàññìîòðèì îñåâîå ñå÷åíèå êîíóñà, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç êîíöû äèàìåòðà PT îñíîâàíèÿ êîíóñà (ñì. ðèñ.). Ýòî ñå÷åíèå ïåðåñåêàåò êðóã ñ öåíòðîì â òî÷êå O1 ïî îòðåçêó BC. Ïîñêîëüêó ïëîñêîñòü ñå÷åíèÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó O1, è ïëîñêîñòü îñíîâàíèÿ êîíóñà ïàðàëëåëüíû, êàê äâå ïëîñêîñòè, ïåðïåíäèêóëÿðíûå îäíîé ïðÿìîé MO, òî BC  PT . Ñëåäîâàòåëüíî, òðåóãîëüíèêè MBO1 è MPO ïîäîáMB BO1 MO1 a íû ñ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ k = = = = . Òàê MP PO MO b êàê ïî óñëîâèþ PO = r, òî èç ïîëó÷åííîé ïðîïîðöèè íàõîäèì BO1 = r1 ðàäèóñ êðóãà, ÿâëÿþùåãîñÿ ñå÷åíèåì êîíóñà: MO1 a BO1 = ⋅ PO  r1 = r . MO b 468


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

Èç òîé æå ïðîïîðöèè ñëåäóåò MO1 a a ah ; =  MO1 = MO = MO b b b MO - MO1 b - a OO1 MO b b-a ; -1 = -1  =  = MO1 a MO1 a MO1 a b - a ah b - a b - a OO1 = MO1 ⋅ = ⋅ = ⋅h . a b a b a2 Èòàê, ïëîùàäü ñå÷åíèÿ S1 = πr12 = πr 2 ⋅ 2 , à äëèíà b b-a OO1 = ⋅h . b Ðàçîáðàííûé íàìè ïðèìåð 9 ïîçâîëÿåò ñôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèé ðåçóëüòàò. Òåîðåìà î ïàðàëëåëüíûõ ñå÷åíèÿõ êîíóñà Ïëîùàäè ñå÷åíèé êîíóñà, ïàðàëëåëüíûõ åãî îñíîâàíèþ, îòíîñÿòñÿ, êàê êâàäðàòû èõ ðàññòîÿíèé îò âåðøèíû êîíóñà. Ïðèìåð 10. Âûñîòà êîíóñà ðàâíà 20. Òî÷êè A, B, C ëåæàò â óêàçàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íà âûñîòå êîíóñà è äåëÿò åå íà ÷åòûðå ðàâíûå ÷àñòè, ïðè÷åì C — áëèæàéøàÿ ê îñíîâàíèþ êîíóñà. Ïëîùàäü ñå÷åíèÿ, ïðîõîäÿùåãî ÷åðåç òî÷êó B, ðàâíà 5. Íàéäèòå ïëîùàäü îñíîâàíèÿ êîíóñà è ïëîùàäè ñå÷åíèé, ïðîõîäÿùèõ ÷åðåç òî÷êè A è C. Ðåøåíèå. Ïîñêîëüêó âûñîòà êîíóñà MO = 20 , à òî÷êè A, B, C äåëÿò åå íà ðàâíûå ÷àñòè, òî MA = 5 , MB =10 , MC =15 . Èç òåîðåìû î ïàðàëëåëüíûõ ñå÷åíèÿõ êîíóñà ñëåäóþò ïðîïîðöèè: S SA MA 2 52 1) A =  =  SA = 1,25 . SB MB2 5 102 S MB2 5 102 2) B =  =  SC = 11,25 . SC MC2 SC 152 S S MO2 202 3) O =  O = 2  SO = 20 . 2 SB MB 5 10 Îòâåò: 1,25 ; 11,25 ; 20. Ðàññìîòðèì ñå÷åíèå êîíóñà ïðîèçâîëüíîé ïëîñêîñòüþ, ñîäåðæàùåé äâå åãî îáðàçóþùèå. Åñëè ïëîñêîñòü ñå÷åíèÿ 469


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

ñîäåðæèò âûñîòó êîíóñà, òî ýòî, êàê èçâåñòíî, — îñåâîå ñå÷åíèå. Åñëè ïëîñêîñòü ñå÷åíèÿ íå ïðîõîäèò ÷åðåç âûñîòó êîíóñà, òî òàêîå ñå÷åíèå ÿâëÿåòñÿ ðàâíîáåäðåííûì òðåóãîëüíèêîì. Äâå åãî ñòîðîíû — îáðàçóþùèå êîíóñà, à òðåòüÿ ñòîðîíà — õîðäà îñíîâàíèÿ, íå ÿâëÿþùàÿñÿ äèàìåòðîì (ñì. ðèñ.). Ïóñòü α — óãîë ìåæäó îáðàçóþùèìè MB è MC íåêîòîðîãî ñå÷åíèÿ, ñîäåðæàùåãî äâå îáðàçóþùèå êîíóñà, ò.å. ïóñòü CMB = α , à óãîë ïðè âåðøèíå êîíóñà ðàâåí β, ò.å. PMQ = β . Êàêîâà íàèáîëüøàÿ ïëîùàäü îñåâîãî ñå÷åíèÿ êîíóñà, åñëè âåëè÷èíà óãëà α áóäåò èçìåíÿòüñÿ? Çàïèøåì ôîðìóëó äëÿ ïëîùàäè ñå÷åíèÿ, êàê ôóíêöèè îò óãëà α: 1 SMCB = S (α) = l2 sin α . 2 M

α C P

O

A

Q B

Çàìåòèì, ÷òî âåëè÷èíà α èçìåíÿåòñÿ îò 0 äî β, òî åñòü 0£α £β . Åñëè óãîë β — îñòðûé èëè ïðÿìîé, òî sinα è, çíà÷èò, S (α) áóäåò ìîíîòîííî âîçðàñòàòü è ïîýòîìó äîñòèãíåò ñâîåãî íàèáîëüøåãî çíà÷åíèÿ ïðè α = β. Òî åñòü â ýòîì ñëó÷àå íàèáîëüøåé áóäåò ïëîùàäü îñåâîãî ñå÷åíèÿ. Åñëè β — òóïîé óãîë, òî íàèáîëüøåå çíà÷åíèå ïëîùàäè 1 ñå÷åíèÿ áóäåò ðàâíî SMCB = l2 , òàê êàê sinα áóäåò èìåòü 2 íàèáîëüøåå çíà÷åíèå, ðàâíîå 1, ïðè α = 90°. Äîïîëíèòåëüíî çàìåòèì, ÷òî åñëè óãîë â îñåâîì ñå÷åíèè êîíóñà òóïîé, òî ñóùåñòâóåò òàêîå íå îñåâîå ñå÷åíèå êîíóñà ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç äâå îáðàçóþùèå, ïëîùàäü êîòîðîãî ðàâíà ïëîùàäè îñåâîãî ñå÷åíèÿ. 470


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

Íàïðèìåð, åñëè óãîë ïðè âåðøèíå êîíóñà ðàâåí 150°, à îáðàçóþùàÿ ðàâíà 2, òî ïëîùàäü îñåâîãî ñå÷åíèÿ 1 S0 = ⋅ 22 ⋅ sin150 = 1 . Ðàññìîòðèì òåïåðü ñå÷åíèå, ñîäåðæà2 ùåå äâå îáðàçóþùèå êîíóñà, óãîë ìåæäó êîòîðûìè ðàâåí 30°. Î÷åâèäíî, ÷òî ýòî ñå÷åíèå íå îñåâîå. Íàéäåì åãî ïëî1 ùàäü. Èìååì Sсеч. = ⋅ 22 ⋅ sin 30 = 1 . 2 Ïðèìåð 11.  êîíóñå äëèíà îáðàM çóþùåé âäâîå áîëüøå åãî âûñîòû è 20 ðàâíà 20. Íàéäèòå ïëîùàäü îñåâîãî ñå÷åíèÿ êîíóñà. P T Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì îñåâîå ñå÷åO íèå PMT êîíóñà. Òàê êàê êàòåò MO ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà PMO â äâà ðàçà ìåíüøå ãèïîòåíóçû PM, òî OPM = 30 . Ñëåäîâàòåëüíî, PMO = 60, a PMT = 120 . Òåïåðü ïëîùàäü îñåâîãî ñå÷åíèÿ PMT ìîæíî íàéòè ïî ôîðìóëå 1 S = ⋅ PM 2 ⋅ sin120 = 100 3 . 2 Îòâåò: 100 3 . Ïðèìåð 12. Òðè îáðàçóþùèå êîíóñà ïîïàðíî ïåðïåíäèêóëÿðíû, à äëèíà êàæäîé èç íèõ ðàâíà 3 3 . Íàéäèòå: 1) îáúåì êîíóñà; 2) óãîë â ðàçâåðòêå êîíóñà. Ðåøåíèå. Ïóñòü â êîíóñå ñ âåðøèíîé M è öåíòðîì îñíîâàíèÿ O îáðàçóþùèå AM, BM è CM ïîïàðíî ïåðïåíäèêóëÿðíû. Ñëåäîâàòåëüíî, òðåóãîëüíèêè AMB, BMC, CMA ïðÿìîóãîëüíûå è ðàâíîáåäðåííûå, êàòåòû êîòîðûõ ñîîòâåòñòâåííî ðàâíû. Ïîýòîìó ýòè òðåóãîëüíèêè ðàâM íû è, ñëåäîâàòåëüíî, ðàâíû èõ ãèïîòåíóçû, ò.å. AB = BC = CA . Ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ AM = BM = CM = 3 3, òî AB = BC = CA = AM 2 = 3 6 .

Ñëåäîâàòåëüíî, òðåóãîëüíèê ABC ðàâíîñòîðîííèé ñî ñòîðîíîé, ðàâíîé 3 2 . Ïîýòîìó ðàäèóñ R êîíóñà, ðàâíûé ðàäèóñó îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî

O

A

C

B 471


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

AB = 3 2 . Îò3 ñþäà âûñîòà H êîíóñà ìîæåò áûòü íàéäåíà èç ïðÿìîóãîëüíî-

ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ABC, ðàâåí R =

ãî òðåóãîëüíèêà AOM : H = AM 2 - AO2 = 3 . Îáúåì V êîíó1 ñà íàéäåì ïî ôîðìóëå V = πR 2 H = 18π . Óãîë ϕ â ðàçâåðòêå 3 2πR 2π 2 êîíóñà íàéäåì ïî ôîðìóëå ϕ = = » 294 . AM 3 2π 2 . Îòâåò: 1) 18π; 2) 3 Ðàññìàòðèâàÿ óñå÷åííûé êîíóñ, ïîëåçíî óñòàíîâèòü çàâèñèìîñòü ïëîùàäè ñå÷åíèÿ óñå÷åííîãî êîíóñà ïëîñêîñòüþ, ïåðïåíäèêóëÿðíîé åãî îñè, â çàâèñèìîñòè îò ïîëîæåíèÿ ïëîñêîñòè ñå÷åíèÿ. O1

B K A

P

M O

C L D

Ïðèìåð 13.  óñå÷åííîì êîíóñå ðàäèóñû îñíîâàíèé ðàâíû r è R (r < R). Îïðåäåëèòå ðàäèóñ ñå÷åíèÿ ýòîãî êîíóñà ïëîñêîñòüþ, ïàðàëëåëüíîé åãî îñíîâàíèÿì è äåëÿùåé âûñîòó óñå÷åííîãî êîíóñà â îòíîøåíèè a : b , ñ÷èòàÿ îò ìåíüøåãî îñíîâàíèÿ.

Ðåøåíèå. Ïóñòü òðàïåöèÿ ABCD — îñåâîå ñå÷åíèå óñå÷åííîãî êîíóñà è BC  AD . Òîãäà BC = 2r , AD = 2R . Ïóñòü òî÷êà M íà âûñîòå êîíóñà äåëèò åå òàê, ÷òî O1 M : MO = a : b, ãäå O è O1 — öåíòðû áîëüøåãî è ìåíüøåãî îñíîâàíèé êîíóñà ñîîòâåòñòâåííî. Ïðîâåäåì ÷åðåç òî÷êó M ïðÿìóþ KL, ïàðàëëåëüíóþ ïðÿìîé BC (ñì. ðèñ.). Èñïîëüçóÿ ïîäîáèå òðåóãîëüíèêîâ AKP è ABC, íàéäåì KP b 2rb . Îòñþäà KP = . Èç ïîäîáèÿ òðåóãîëüíèêîâ = a+b BC a + b PL a 2Ra PCL è ACD íàéäåì . Îòñþäà PL = . = a+b AD a + b rb + Ra Ñëåäîâàòåëüíî, KL = KP + PL = 2 . Îòñþäà îêîí÷àa+b rb + Ra òåëüíî íàõîäèì ðàäèóñ R0 ñå÷åíèÿ R0 = . a+b Ïðèìåð 14.  óñå÷åííûé êîíóñ, îòíîøåíèå ðàäèóñîâ îñíîâàíèé êîòîðîãî ðàâíî 0,5, ïîìåùåí êîíóñ òàê, ÷òî åãî îñíîâàíèå ñîâïàäàåò ñ ìåíüøèì îñíîâàíèåì óñå÷åííîãî êîíóñà, à 472


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

âåðøèíà ëåæèò â öåíòðå áîëüøåãî îñíîâàíèÿ óñå÷åííîãî êîíóñà. Ïëîñêîñòü, ïàðàëëåëüíàÿ îñíîâàíèÿì êîíóñîâ, äåëèò èõ âûñîòó â îòíîøåíèè 2:3, ñ÷èòàÿ îò áîëüøåãî îñíîâàíèÿ óñå÷åííîãî êîíóñà. Îïðåäåëèòå îòíîøåíèå îáúåìà òîé ÷àñòè êîíóñà, êîòîðàÿ ïðèëåãàåò ê åãî îñíîâàíèþ, ê òîé ÷àñòè óñå÷åííîãî êîíóñà, êîòîðàÿ ïðèëåãàåò ê åãî áîëüøåìó îñíîâàíèþ. Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì òðàïåöèþ B P C ABCD — îñåâîå ñå÷åíèå óñå÷åííîãî êîíóñà è ðàâíîáåäðåííûé ΔOBC — îñåâîå ñå÷åíèå âïèñàííîãî êîíóñà. Ïëîñêîñòü F ñå÷åíèÿ ïåðåñåêàåò îñåâîå ñå÷åíèå óñå- M Q L T K ÷åííîãî êîíóñà ïî îòðåçêó ML, îñåâîå ñå÷åíèå êîíóñà ïî îòðåçêó TK, à âûñîòó A O D êîíóñà â òî÷êå F. Ïóñòü BP = r (ðàäèóñ âåðõíåãî îñíîâàíèÿ óñå÷åííîãî êîíóñà), òîãäà ðàäèóñ AO åãî íèæíåãî îñíîâàíèÿ ðàâåí 2r. Ïîñêîëüêó òî÷êà F äåëèò âûñîòó PO êîíóñà â îòíîøåíèè 2:3, ñ÷èòàÿ îò íèæíåãî îñíîâàíèÿ óñå÷åííîãî êîíóñà, 3 2 òî FP = H , FO = H , ãäå H — âûñîòà óñå÷åííîãî êîíó5 5 ñà. Ïóñòü äèàãîíàëü AC òðàïåöèè ABCD ïåðåñåêàåò îòðåçîê ML â òî÷êå Q. Òîãäà èç ïîäîáèÿ  AMQ  ABC íàõîäèì MQ = 0,8r , à èç ïîäîáèÿ CQL CAD íàõîäèì QL = 2,4r. Îòñþäà MF =1,6r . Àíàëîãè÷íî, èç ïîäîáèÿ OTF OBP íàõîäèì TF = 0,4r . Òðåáóåòñÿ íàéòè îòíîøåíèå îáúåìà óñå÷åííîãî êîíóñà ñ îñåâûì ñå÷åíèåì TKCB ê îáúåìó óñå÷åííîãî êîíóñà ñ îñåâûì ñå÷åíèåì AMLD . Ïî ôîðìóëå äëÿ îáúåìà óñå÷åííîãî êîíóñà èìååì 1 πr 2 H 117 ; VTC = πFP (TF 2 + BP2 + TF ⋅ BP )= ⋅ 3 3 125 1 πr 2 H 488 . VAL = πFO (AO2 + MF 2 + AO ⋅ MF )= ⋅ 3 3 125 V 117 Îòñþäà èñêîìîå îòíîøåíèå TC = . V 488 AL 117 Îòâåò: . 488 Ïðèìåð 15. Íà âûñîòå BO êîíóñà âûáðàíû òî÷êè M è L òàê, ÷òî BM : ML : LO = 2:1:5 . Ïëîñêîñòè, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç 473


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

òî÷êè M è L ïàðàëëåëüíî îñíîâàíèþ êîíóñà, äåëÿò åãî íà òðè ÷àñòè. Èçâåñòíî, 19 . Îï÷òî îáúåì ñðåäíåé ÷àñòè ðàâåí 8 ðåäåëèòå îáúåì êîíóñà.

B

D T

F

M

K

L

Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ðàâíîáåäðåííûé ΔABC — îñåâîå ñå÷åíèå êîíóñà. Ïëîñêîñòè ñå÷åíèé, ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êè M è L, ïåðåñåêàþò îñåâîå ñåA O C ÷åíèå êîíóñà ïî îòðåçêàì DF è GN ñîBM 1 BL 3 îòâåòñòâåííî. Èç óñëîâèÿ èìååì = , = . BO 4 BO 8 Èç ïîäîáèÿ GBN  ABC ñ êîýôôèöèåíòîì ïîäîáèÿ, BL 3 ðàâíûì = , ñëåäóåò, ÷òî êîíóñû ñ äàííûìè îñåâûìè BO 8 BL3 27 ñå÷åíèÿìè ïîäîáíû è ïîýòîìó VGBN = ⋅ VABC = VABC . 3 512 BO Àíàëîãè÷íî, èç ïîäîáèÿ DBF  ABC ñ êîýôôèöèåíòîì ïîBM 1 1 äîáèÿ, ðàâíûì = , ñëåäóåò, ÷òî VDBF = VABC . ÂûðàBO 4 64 çèì îáúåì óñå÷åííîãî êîíóñà ñ îñåâûì ñå÷åíèåì GDFN êàê ðàçíîñòü îáúåìîâ êîíóñîâ ñ îñåâûìè ñå÷åíèÿìè GBN è DBF: 19 VGF = VGBN - VDBF = VABC . 512 19 19 . Îòñþäà íàõîäèì îáúÍî ïî óñëîâèþ VGF = VABC = 512 8 åì äàííîãî êîíóñà VABC = 64 . Îòâåò: 64. D P

N Q A

O K M

C T

B 474

L

Ïðèìåð 16. Âíóòðè ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà ABCD ðàñïîëîæåí êîíóñ òàê, ÷òî åãî âåðøèíà ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé ðåáðà CD, à îêðóæíîñòü îñíîâàíèÿ êîíóñà âïèñàíà â ñå÷åíèå òåòðàýäðà, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç ñåðåäèíó ðåáðà BC ïàðàëëåëüíî ïðÿìûì CD è AB. Èçâåñòíî, ÷òî îáúåì êîíóñà ðàâåí 9π 2 . Íàéäèòå äëèíó ðåáðà òåòðàýäðà.


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

Ðåøåíèå. Ïóñòü â ïðàâèëüíîì òåòðàýäðå ABCD òî÷êà P — ñåðåäèíà ðåáðà DC — ÿâëÿåòñÿ âåðøèíîé âïèñàííîãî êîíóñà. Ïîñêîëüêó âñå ãðàíè òåòðàýäðà — ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè, òî îòðåçêè AP è BP — âûñîòû òðåóãîëüíèêîâ ADC è BDC ñîîòâåòñòâåííî. Ïîýòîìó ðåáðî DC ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè APB è, çíà÷èò, ëþáîé ïðÿìîé ýòîé ïëîñêîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, DC ^ AB . Ïóñòü òî÷êè L, M, N, K — ñåðåäèíû ðåáåð BC, AC, AD, BD ñîîòâåòñòâåííî. Îòðåçêè KL è NM ÿâëÿþòñÿ ñðåäíèìè ëèíèÿìè ãðàíåé òåòðàýäðà; îíè ïàðàëëåëüíû ðåáðó DC è ðàâíû åãî ïîëîâèíå. Ïîýòîìó KLMN — ðîìá. Íî ïîñêîëüêó DC ^ AB , NK  AB , KL  DC , òî NK ^ KL è ïîýòîìó ñå÷åíèå KLMN — êâàäðàò. Ïîñêîëüêó KLMN — êâàäðàò, òî âïèñàííàÿ â íåãî îêðóæíîñòü îñíîâàíèÿ êîíóñà êàñàåòñÿ åãî ñòîðîí â èõ ñåðåäèíàõ. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè òî÷êà O — öåíòð êâàäðàòà, à T — ñåðåäèíà ñòîðîíû KL êâàäðàòà KLMN, òî îòðåçîê PO — îñü è âûñîòà êîíóñà, à îòðåçîê PT ÿâëÿåòñÿ åãî îáðàçóþùåé. Ïóñòü ðåáðî òåòðàýäðà ðàâíî a. Ðàññìîòðèì QTP — a 3 , òî ñå÷åíèå êîíóñà. Ïîñêîëüêó BP = 2 a 3 PT = 0,5BP = . Ïîñêîëüêó AB = a , òî QT = 0,5a , à 4 a 2 . ÎòñþTO = 0,25a. Ñëåäîâàòåëüíî, âûñîòà êîíóñà PO = 4 3 1 π a äà îáúåì êîíóñà V = πOT 2 ⋅ PO = . 3 96 2 Ïî óñëîâèþ îáúåì êîíóñà ðàâåí 9π 2 . Îòñþäà ïðèõîäèì πa3 ê óðàâíåíèþ 9π 2 = , èç êîòîðîãî íàõîäèì, ÷òî ðåáðî 96 2 òåòðàýäðà a = 12.

îñåâîå

Îòâåò: 12.

2.3. Ñôåðà è øàð Â ðàìêàõ ýòîé òåìû ðåêîìåíäóåòñÿ ðàññìîòðåòü âîïðîñ î ïîëîæåíèè öåíòðà ñôåðû, îïèñàííîé îêîëî îñíîâíûõ òèïîâ ìíîãîãðàííèêîâ: ïàðàëëåëåïèïåäà, ïðèçìû, ïèðàìèäû, è ïîëîæåíèå öåíòðà ñôåðû, âïèñàííîé â ýòè ìíîãîãðàííèêè. 475


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Îïðåäåëåíèå. Ñôåðà íàçûâàåòñÿ îïèñàííîé îêîëî ìíîãîãðàííèêà, åñëè âñå åãî âåðøèíû ëåæàò íà ýòîé ñôåðå. Ïðè ýòîì ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ âïèñàííûì â ñôåðó. Èç îïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî åñëè ó ìíîãîãðàííèêà ñóùåñòâóåò îïèñàííàÿ ñôåðà, òî âñå åãî ãðàíè ÿâëÿþòñÿ âïèñàííûìè ìíîãîóãîëüíèêàìè è, ñëåäîâàòåëüíî, íå êàæäûé ìíîãîãðàííèê èìååò îïèñàííóþ âîêðóã íåãî ñôåðó. Íàïðèìåð, íàêëîííûé ïàðàëëåëåïèïåä íå èìååò îïèñàííîé ñôåðû, òàê êàê âîêðóã ïàðàëëåëîãðàììà íåëüçÿ îïèñàòü îêðóæíîñòü. Ïîëîæåíèå öåíòðà ñôåðû, îïèñàííîé îêîëî ïðÿìîé ïðèçìû, êàê ïðàâèëî, íå âûçûâàåò âîïðîñîâ, ïîñêîëüêó î÷åâèäíî, ÷òî ýòîò öåíòð — ñåðåäèíà îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî öåíòðû îêðóæíîñòåé, îïèñàííûõ îêîëî îñíîâàíèé ïðÿìîé ïðèçìû. Ïðèìåð 17. Îêîëî ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïðèçìû ABCA1B1C1 îïèñàíà ñôåðà ðàäèóñîì 37 . Íàéäèòå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè AB è CB1, åñëè ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ïðèçìû ðàâíà 180 è âûñîòà ïðèçìû áîëüøå ñòîðîíû åå îñíîâàíèÿ. A1

B1

H1

C1

H

H1

H1

C1

F

B

R D

A C

H

C

H O

C

Ðåøåíèå. Ïðÿìûå AB è CB1 ñêðåùèâàþòñÿ. Ïóñòü CH — âûñîòà òðåóãîëüíèêà ABC. Òîãäà AB ^ CH è, ñëåäîâàòåëüíî, AB ^ HCC1 . Îòñþäà B1 H1 ^ HCC1 è ïîýòîìó CH1 — ïðîåêöèÿ ïðÿìîé CB1 íà ïëîñêîñòü HCC1. Ïóñòü HD — âûñîòà òðåóãîëüíèêà H1HC. Òîãäà AB ^ HD, ïîñêîëüêó AB ^ HCC1 , a HD ëåæèò â ïëîñêîñòè HCC1. Ïëîñêîñòü CB1H1 ñîäåðæèò ïåðïåíäèêóëÿð B1H1 ê ïëîñêîñòè HCC1 è ïîýòîìó ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè HCC1, a HD ïåðïåíäèêóëÿð ê ëèíèè ïåðåñå÷åíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ïëîñêîñòåé HCC1 è CB1H1, ëåæàùèé â ïëîñêîñòè HCC1. 476


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

Ñëåäîâàòåëüíî, HD ^ CB1 H1 è, çíà÷èò, HD ^ CB1 . Èòàê, HD ^ CB1 è HD ^ AB , ò.å. HD — îáùèé ïåðïåíäèêóëÿð ñêðåùèâàþùèõñÿ ïðÿìûõ AB è CB1. Ñëåäîâàòåëüíî, ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè AB è CB1 ðàâíî äëèíå îòðåçêà HD. Ïóñòü OO1 — îñü ïðèçìû, a F — ñåðåäèíà ýòîé îñè. Òîãäà F — öåíòð ñôåðû, îïèñàííîé îêîëî ïðèçìû è FC = R — ðàäèóñ îïèñàííîé ñôåðû. Îáîçíà÷èì AB = a , OO1 = h . h 2 a2 a 3 2 a 3 , CO = CH = è Òîãäà CH = + = 37 , ïëî4 3 2 3 3 ùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ïðèçìû 180 = 3ah . Èìååì ñèñòåìó óðàâíåíèé: ïìïh = 60 , ìïah = 60, ïï a ï  í 2 í 2 ï ï ïî4a + 3h = 444 ïï4a2 + 108 ⋅100 = 444. ïïî a2 Èç âòîðîãî óðàâíåíèÿ ïîñëå äåëåíèÿ âñåõ åãî ÷ëåíîâ íà 4 2700 ïîëó÷èì a2 + 2 = 111 . Îòñþäà íàõîäèì a = 6 èëè a = 5 3. a Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà èìååò äâà ðåøåíèÿ a = 6, ð = 10 è a = 5 3 , h = 4 3 . Ïî óñëîâèþ h > a, ñëåäîâàòåëüíî, a = 6, h = 10. Íàéäåì HD èç òðåóãîëüíèêà H1HC. Èìååì a 3 h⋅ HH1 ⋅ HC ah 3 30 3 2 . = = = HD = 2 2 2 CH1 127 3a 4h + 3a 2 h + 4 30 3 Îòâåò: . 127 Ïðèìåð 18.  øàð ðàäèóñà 0,5 11 âïèñàíà ïðàâèëüíàÿ òðåóãîëüíàÿ ïðèçìà ABCA1B1C1. Ïðÿìàÿ BA1 îáðàçóåò ñ ïëîñêîñòüþ BCC1 óãîë 45°. Íàéäèòå îáúåì ïðèçìû. Ðåøåíèå. Ïóñòü D1 — ñåðåäèíà ðåáðà B1C1. Òàê êàê ïðèçìà ïðàâèëüíàÿ, òî A1D1 ^ B1C1 è CC1 ^ A1D1, è ïî ïðèçíàêó ïåðïåíäèêóëÿðíîñòè ïðÿìîé è ïëîñêîñòè A1D1 ^ BCC1. Çíà÷èò, A1BD1 = 45°, êàê óãîë ìåæäó ïðÿìîé A1B è ïëîñêîñòüþ BCC1.

A1

C1 M1

D1

B1

O

A

C M

45Q B 477


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïóñòü M è M1 — öåíòðû îñíîâàíèé ïðèçìû, à O — ñåðåäèíà îòðåçêà MM1. Òîãäà AM = BM = CM è A1M1 = = B1 M1 = C1 M1 . Òàê êàê OM ^ ABC , òî ïî ñâîéñòâó íàêëîííûõ è ïðîåêöèé OA = OB = OC è OA1 = OB1 = OC1 . Òàê êàê OM = OM1 è BM = B1 M1 , òî ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè OMB è OM1B1 ðàâíû ïî äâóì êàòåòàì. Çíà÷èò OB = OB1 . Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà O ðàâíîóäàëåíà îò âñåõ âåðøèí ïðèçìû ABCA1 B1C1 è ïîýòîìó ÿâëÿåòñÿ öåíòðîì îïèñàííîãî îêîëî íåå øàðà. Èç óñëîâèÿ ðàäèóñ øàðà R = OB = 0,5 11 . a 3 . Íî ΔA1D1B — ïðÿìîóãîëüÏóñòü AB = a. Òîãäà A1 D1 = 2 AD a 6 íûé è A1B1D1 = 45°. Ñëåäîâàòåëüíî, BA1 = 1 1 = . sin 45 2 3a2 a . - a2 = 2 2 a 2 a 1 Îòðåçîê MB = A1 D1 = , îòðåçîê OM = AA1 = . 2 3 2 2 3 a2 a2 11 Ïîýòîìó èç ïðÿìîóãîëüíîãî ΔOMA èìååì . + = 8 3 4 Ñëåäîâàòåëüíî, a = 6 . Îáúåì ïðèçìû íàõîäèì ïî ôîðìóëå a a2 3 , AA1 = , a = 6 . Îòñþäà V = SABC ⋅ AA1 . Íî SABC = 4 2 V = 4,5. Îòâåò: 4,5.

Èç  ABA1 AA1 = BA12 - AB2 =

Ðàññìîòðèì ïðàâèëüíóþ ïèðàìèäó.  ýòîì ñëó÷àå òàêæå íåñëîæíî îïðåäåëèòü ïîëîæåíèå öåíòðà îïèñàííîé ñôåðû. K Èç ñîîáðàæåíèé ñèììåòðèè ÿñíî, ÷òî öåíòð ñôåðû, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîé O A G ïèðàìèäû, ëåæèò íà ïðÿìîé, ñîäåðæàùåé âûñîòó ïèðàìèäû. Çäåñü íåîáõîäèìî çíàòü «ñòàíäàðòíóþ êàðòèíêó», ò.å. ðèñóíîê, êîòîðûé ïðèõîäèòñÿ ðèñîâàòü äëÿ ëþáîé ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû, âïèñàííîé â ñôåðó. Íà ýòîì ðèñóíêå M — âåðøèíà ïèðàìèäû, MA = L — áîêîâîå ðåáðî, O — öåíòð îñíîâàíèÿ, K — ñåðåäèíà áîêîâîãî ðåáðà, G — öåíòð ñôåðû, îïèñàííîé îêîëî ïðàâèëüíîé ïèðàìèäû, MG = r — ðàäèóñ îïèñàííîé ñôåðû, MO = H — âûñîòà ïèðàìèäû. M

478


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

Äëÿ âû÷èñëåíèÿ ðåêîìåíäóåòñÿ èñïîëüçîâàòü ïîäîáèå òðåóãîëüíèêîâ MKG è MOA. Èç ýòîãî ïîäîáèÿ ñëåäóåò ïðîïîðöèÿ: MG MK R 0,5L . =  = MA MO L H L2 . Îòñþäà R = 2H Îñòàíîâèìñÿ íà ïðèìåðàõ äâóõ ïèðàìèä. Ïðèìåð 19. Îñíîâàíèå ïèðàìèäû — êâàäðàò ABCD ñî ñòîðîíîé, ðàâíîé a. Áîêîâîå ðåáðî AM ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû è âäâîå áîëüøå ðåáðà îñíîâàíèÿ. Íàéäèòå ðàäèóñ ñôåðû, îïèñàííîé îêîëî ýòîé ïèðàìèäû. Ðåøåíèå. ×åðåç òî÷êó F ïåðåñå- M ÷åíèÿ äèàãîíàëåé êâàäðàòà ABCD ïðîâåäåì ïåðïåíäèêóëÿð FO ê ïëîñO C êîñòè îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû. Òîãäà B ëþáàÿ åãî òî÷êà ðàâíîóäàëåíà îò F âåðøèí îñíîâàíèÿ, ïîñêîëüêó F — A D öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû. FO  AM êàê ïåðïåíäèêóëÿðû ê îäíîé ïëîñêîñòè, ñëåäîâàòåëüíî, FO — ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà MAC. Ïîñêîëüêó O — ñåðåäèíà MC, òî òî÷êà O ðàâíîóäàëåíà îò âñåõ âåðøèí îñíîâàíèÿ è îò òî÷êè M. Çíà÷èò, O — öåíòð ñôåðû, îïèñàííîé îêîëî äàííîé ïèðàìèäû, è OC = R — ðàäèóñ ýòîé ñôåðû. Âû÷èñëåíèÿ â äàííîì ñëó÷àå ïðîñòû, êàê, âïðî÷åì, ïî÷òè âñå çàäàíèÿ ÅÃÝ ïî ãåîìåòðèè èç ÷àñòè 3. AC = a 2 , MC = AC2 + MA 2 = 2a2 + 4a2 = a 6 . a 6 . Ñëåäîâàòåëüíî, R = 2 a 6 . Îòâåò: 2 Ïðèìåð 20. Îñíîâàíèå ïèðàìèäû — òðåóãîëüíèê ABC, â êîòîðîì C = 2α > 90 , AB = 2c . Áîêîâàÿ ãðàíü ADB ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ABC è CA = CB = CD = DB . Íàéäèòå ðàäèóñ øàðà, îïèñàííîãî îêîëî ýòîé ïèðàìèäû.

Ðåøåíèå. Òðåóãîëüíèê ABC — ðàâíîáåäðåííûé, ïîýòîìó öåíòð åãî îïèñàííîé îêðóæíîñòè ëåæèò íà ïðÿìîé, ñîäåð479


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

æàùåé åãî âûñîòó CH, â òî÷êå G åå ïåðåñå÷åíèÿ ñ ñåðåäèííûì ïåðïåíäèêóëÿðîì MG ê ñòîðîíå AC. Ïðîâåäåì ÷åðåç òî÷êó G ïåðïåíA G äèêóëÿð p ê ïëîñêîñòè ABC. ÒðåO M F óãîëüíèêè ACB è ADB — ðàâíûå H ðàâíîáåäðåííûå òðåóãîëüíèêè è C B H — ñåðåäèíà èõ îáùåãî îñíîâàíèÿ AB, ïîýòîìó DH ^ AB . Ïîñêîëüêó D ADB ^ ABC ïî óñëîâèþ, òî DH ^ CH p è, çíà÷èò, DH ^ ABC . Ñëåäîâàòåëüíî, F ïëîñêîñòü CHD ^ ABC è ïåðïåíäèêóH G C ëÿð p ëåæèò â ïëîñêîñòè CHD. Ëþáàÿ òî÷êà ýòîãî ïåðïåíäèêóëÿðà áóäåò O ðàâíîóäàëåíà îò âåðøèí òðåóãîëüíèêà ABC, òàê êàê GA = GB = GC . Ïîñêîëüêó CH = DH êàê âûñîòû ðàâíûõ òðåóãîëüíèêîâ ACB è ADB, òî òðåóãîëüíèê CHD — ïðÿìîóãîëüíûé è ðàâíîáåäðåííûé. Ñëåäîâàòåëüíî, ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê îòðåçêó CD, ëåæàùèé â ïëîñêîñòè CDH, ñîäåðæèò âûñîòó FH òðåóãîëüíèêà CDH. Ïóñòü FH ïåðåñåêàåò p â òî÷êå O, òîãäà OC = OD è, çíà÷èò, òî÷êà O ðàâíîóäàëåíà îò âñåõ âåðøèí ïèðàìèäû ABCD, ò.å. O — öåíòð øàðà, îïèñàííîãî îêîëî äàííîé ïèðàìèäû. Çàïèøåì OA = OB = OC = OD = R — ðàäèóñ ýòîãî øàðà. Ïîñêîëüêó â ðàâíîáåäðåííîì òðåóãîëüíèêå ACB âûñîòà CH — áèññåêòðèñà è ìåäèàíà, òî ACG = α è AH = c . Îòñþäà CH = c ⋅ctgα . Ïî òåîðåìå ñèíóñîâ äëÿ òðåóãîëüíèêà ABC c èìååì AG = . sin2α c Îòñþäà GH = CG - CH = - c ⋅ ctgα = -c ⋅ ctg2α . sin2α Òðåóãîëüíèê OHG ðàâíîáåäðåííûé è ïðÿìîóãîëüíûé, ïîýòîìó GO = GH = -c ⋅ctg2α . Òåïåðü íàéäåì ðàäèóñ R øàðà. Ïîëó÷èì c2 R = AO = AG 2 + GO2 = + c2 ctg2 2α = c 1 + 2ctg2 2α . sin2 2α D

p

Îòâåò: c 1 + 2ctg2 2α . 480


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

Ïðèìåð 21. ×åðåç öåíòð O äàííîé ñôåðû ïðîâåäåíî ñå÷åíèå. Òî÷êà F âûáðàíà íà ñôåðå, à òî÷êè A, B, C, D — ïîñëåäîâàòåëüíî íà îêðóæíîñòè ñå÷åíèÿ òàê, ÷òî îáúåì ïèðàìèäû FABCD íàèáîëüøèé. Òî÷êè M, L, T — ñåðåäèíû ðåáåð FB, CD è AD ñîîòâåòñòâåííî. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà MLT ðàâíà 64 5. Íàéäèòå ðàäèóñ ñôåðû. Ðåøåíèå. Ïóñòü R — ðàäèóñ ñôåðû. Òàê êàê ÷åòûðåõóãîëüíèê ABCD âïèñàí â îêðóæíîñòü ñå÷åíèÿ ðàäèóñà R, òî åãî äèàãîíàëè AC è BD — õîðäû F ýòîé îêðóæíîñòè è ïîýòîìó AC £ 2R è BD £ 2R . Îòñþäà äëÿ ïëîùàäè S M ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD èìååì íåðàA âåíñòâî 1 1 O G B T P S = AC ⋅ BD sin α £ 4R 2 ⋅1 = 2R 2 . L 2 2 D C

Ïðè ýòîì S = 2R2, òîëüêî åñëè AC ^ BD , ò.å. èç âñåõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ, âïèñàííûõ â äàííîå ñå÷åíèå ñôåðû, íàèáîëüøóþ ïëîùàäü èìååò êâàäðàò ABCD. Ïóñòü H — âûñîòà ïèðàìèäû FABCD, ðàâíàÿ ðàññòîÿíèþ îò òî÷êè F ñôåðû äî ïëîñêîñòè ABC. Òàê êàê òî÷êà F ëåæèò íà ñôåðå, òî H £ R . Ïîýòîìó äëÿ îáúåìà ïèðàìèäû èìååì 1 1 2 VFABCD = S ⋅ H £ 2R 2 ⋅ R = R 3 . 3 3 3 2 3 Ïðè ýòîì VFABCD = R , åñëè AC è BD — ïåðïåíäèêóëÿð3 à âåðøèíà F ïèðàìèäû ïðîåêòèðóíûå äèàìåòðû ñå÷åíèÿ,

åòñÿ â öåíòð O ñå÷åíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ïèðàìèäà FABCD ïðè óêàçàííûõ óñëîâèÿõ èìååò íàèáîëüøèé îáúåì, åñëè åå îñíîâàíèå ABCD — êâàäðàò, âïèñàííûé â îêðóæíîñòü ñå÷åíèÿ ðàäèóñà R, à âåðøèíà F ïèðàìèäû ïðîåêòèðóåòñÿ â öåíòð êâàäðàòà, ò.å. FO ^ ABC . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî ïèðàìèäà FABCD ïðàâèëüíàÿ. TL — ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà ADC, ïîýòîìó TL = 0,5 AC = R . Ïóñòü MG — ïåðïåíäèêóëÿð, îïóùåííûé èç òî÷êè M íà DB. Òîãäà MG  FO è ïîýòîìó MG ^ ABC . 481


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà MLT íàéäåì ïî ôîðìóëå 1 S = TL ⋅ MP . Èç ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà PMG èìå2 åì MP = MG 2 + PG 2 . MG — ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà FOB, ïàðàëëåëüíàÿ FO. Ïîýòîìó MG = 0,5FO = 0,5R , PG = PO + OG = 0,5( DO + OB) = R .

Îòñþäà MP = MG 2 + PG 2 = 0,5R 5 . R2 ⋅ 5 Ïîýòîìó S = 0,5TL ⋅ MP = . 4 R2 ⋅ 5 . Îòêóäà R = 16. Èìååì óðàâíåíèå 64 5 = 4 Îòâåò: 16. Òåïåðü ðàññìîòðèì ñôåðó, âïèñàííóþ â ìíîãîãðàííèê. Îïðåäåëåíèå. Ñôåðà Ω íàçûâàåòñÿ âïèñàííîé â ìíîãîãðàííèê, åñëè ïëîñêîñòè âñåõ åãî ãðàíåé ÿâëÿþòñÿ êàñàòåëüíûìè ê ñôåðå Ω, à òî÷êè êàñàíèÿ ñôåðû ñ ïëîñêîñòÿìè ãðàíåé ëåæàò â ãðàíÿõ ìíîãîãðàííèêà è íå ëåæàò íè íà îäíîì åãî ðåáðå (ãîâîðÿò, ÷òî òî÷êè êàñàíèÿ ÿâëÿþòñÿ âíóòðåííèìè òî÷êàìè êàæäîé ãðàíè ìíîãîãðàííèêà). Åñëè ñôåðà (øàð) âïèñàíà â ìíîãîãðàííèê, òî ñàì ìíîãîãðàííèê íàçûâàåòñÿ îïèñàííûì ìíîãîãðàííèêîì.

Ñôåðà, âïèñàííàÿ â ïðèçìó Îòìåòèì ïîëåçíûå ôàêòû, ïîìîãàþùèå ðåøåíèþ çàäà÷ íà êîìáèíàöèè ñôåðû è ïðèçìû. Äèàìåòð D ñôåðû, âïèñàííîé â ïðèçìó, ðàâåí âûñîòå Í ïðèçìû: D = 2R = H. Ðàäèóñ R ñôåðû, âïèñàííîé â ïðèçìó, ðàâåí ðàäèóñó îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ïåðïåíäèêóëÿðíîå ñå÷åíèå ïðèçìû. Åñëè â ïðÿìóþ ïðèçìó âïèñàíà ñôåðà, òî â îñíîâàíèå ýòîé ïðèçìû ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü. Ðàäèóñ R ñôåðû, âïèñàííîé â ïðÿìóþ ïðèçìó, ðàâåí ðàäèóñó îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â îñíîâàíèå ïðèçìû. Îòâåò íà âîïðîñ î ðàñïîëîæåíèè öåíòðà ñôåðû, âïèñàííîé â ïðèçìó, äàþò ñëåäóþùèå âàæíûå òåîðåìû. (Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî âàæíû íå òîëüêî óòâåðæäåíèÿ òåîðåì, íî òàêæå è èõ äîêàçàòåëüñòâà.) 482


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

Òåîðåìà. Ïóñòü â îñíîâàíèå ïðÿìîé ïðèçìû ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü è âûñîòà H ïðèçìû ðàâíà äèàìåòðó D ýòîé îêðóæíîñòè. Òîãäà â ýòó ïðèçìó ìîæíî âïèñàòü ñôåðó äèàìåòðîì D. Öåíòð ýòîé âïèñàííîé ñôåðû ñîâïàäàåò ñ ñåðåäèíîé îòðåçêà, ñîåäèíÿþùåãî öåíòðû îêðóæíîñòåé, âïèñàííûõ â îñíîâàíèÿ ïðèçìû. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ABCA1B1C1 — ïðÿìàÿ ïðèçìà è O — öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â åå îñíîâàíèå ABC. Òîãäà òî÷êà O ðàâíîóäàëåíà îò âñåõ ñòîðîí îñíîâàíèÿ ABC. Ïóñòü O1 — îðòîãîíàëüíàÿ (ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ) ïðîåêöèÿ òî÷êè O íà îñíîâàíèå A1B1C1. Òîãäà O1 C1 ðàâíîóäàëåíà îò âñåõ ñòîðîí îñíîâàíèÿ O1 A1 A1B1C1, è OO1  AA1 (ðèñ. 2). Îòñþäà B1 ñëåäóåò, ÷òî ïðÿìàÿ OO1 ïàðàëëåëüíà K F êàæäîé ïëîñêîñòè áîêîâîé ãðàíè ïðèçìû, à äëèíà îòðåçêà OO1 ðàâíà âûñîòå C ïðèçìû è, ïî óñëîâèþ, äèàìåòðó îêO M ðóæíîñòè, âïèñàííîé â îñíîâàíèå ïðèçA B ìû. Çíà÷èò, òî÷êè îòðåçêà OO1 ðàâíîóäàëåíû îò áîêîâûõ ãðàíåé ïðèçìû, à ñåðåäèíà F îòðåçêà OO1, ðàâíîóäàëåííàÿ îò ïëîñêîñòåé îñíîâàíèé ïðèçìû, áóäåò ðàâíîóäàëåíà îò âñåõ ãðàíåé ïðèçìû. Òî åñòü F — öåíòð ñôåðû, âïèñàííîé â ïðèçìó, è äèàìåòð ýòîé ñôåðû ðàâåí äèàìåòðó îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â îñíîâàíèå ïðèçìû. Òåîðåìà äîêàçàíà. Òåîðåìà. Ïóñòü â ïåðïåíäèêóëÿðíîå ñå÷åíèå íàêëîííîé ïðèçìû ìîæíî âïèñàòü îêðóæíîñòü è âûñîòà ïðèçìû ðàâíà äèàìåòðó ýòîé îêðóæíîñòè. Òîãäà â ýòó ïðèçìó ìîæíî âïèñàòü ñôåðó. Öåíòð ýòîé ñôåðû äåëèò âûñîòó, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ïåðïåíäèêóëÿðíîå ñå÷åíèå, ïîïîëàì. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ABCA1B1C1 — íàêëîííàÿ ïðèçìà è F — öåíòð îêðóæíîñòè ðàäèóñîì FK, âïèñàííîé â åå ïåðïåíäèêóëÿðíîå ñå÷åíèå. Ïîñêîëüêó ïåðïåíäèêóëÿðíîå ñå÷åíèå ïðèçìû ïåðïåíäèêóëÿðíî êàæäîé ïëîñêîñòè åå áîêîâîé ãðàíè, òî ðàäèóñû îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â ïåðïåíäèêóëÿðíîå ñå÷åíèå, ïðîâåäåííûå ê ñòîðîíàì ýòîãî ñå÷åíèÿ, ÿâëÿþòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðàìè ê áîêîâûì ãðàíÿì ïðèçìû. Ñëåäîâàòåëüíî, òî÷êà F ðàâíîóäàëåíà îò âñåõ áîêîâûõ ãðàíåé. 483


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðîâåäåì ÷åðåç òî÷êó F ïðÿìóþ OO1, ïåðïåíäèêóëÿðíóþ ïëîñêîñòÿì B1 A1 îñíîâàíèé ïðèçìû, ïåðåñåêàþùóþ K ýòè îñíîâàíèÿ â òî÷êàõ O è O1. Òîãäà F OO1 — âûñîòà ïðèçìû. Ïîñêîëüêó ïî óñëîâèþ OO1 = 2FK, òî F — ñåðåäèíà C 1 îòðåçêà OO1: FK = OO1 = FO = FO1, O M 2 A B ò.å. òî÷êà F ðàâíîóäàëåíà îò ïëîñêîñòåé âñåõ áåç èñêëþ÷åíèÿ ãðàíåé ïðèçìû. Çíà÷èò, â äàííóþ ïðèçìó ìîæíî âïèñàòü ñôåðó, öåíòð êîòîðîé ñîâïàäàåò ñ òî÷êîé F — öåíòðîì îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òî ïåðïåíäèêóëÿðíîå ñå÷åíèå ïðèçìû, êîòîðîå äåëèò âûñîòó ïðèçìû, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç òî÷êó F, ïîïîëàì. Òåîðåìà äîêàçàíà. Ñëåäñòâèå. Öåíòð ñôåðû, âïèñàííîé â ïðèçìó, ëåæèò â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ïëîñêîñòåé, äåëÿùèõ äâóãðàííûå óãëû ïðè âñåõ ðåáðàõ ïðèçìû ïîïîëàì. C1

O1

Ïðèìåð 22. (ÅÃÝ) Â ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïðèçìå ñî ñòîðîíîé îñíîâàíèÿ, ðàâíîé 4 3 , ðàñïîëîæåíû äâà øàðà. Ïåðâûé øàð âïèñàí â ïðèçìó, à âòîðîé øàð êàñàåòñÿ îäíîãî îñíîâàíèÿ ïðèçìû, äâóõ åå áîêîâûõ ãðàíåé è ïåðâîãî øàðà. Íàéäèòå ðàäèóñ âòîðîãî øàðà. C 1

N1 A1

J1

K N

N

B1

O W

484

A

L

J1

K N

C O1 J2

J

A N1

B1

O

J

O1 J2

B

Ðåøåíèå. Ïóñòü ABCA1B1C1 — ïðàâèëüíàÿ ïðèçìà è òî÷êè J è J1 — öåíòðû åå îñíîâàíèé. Òîãäà öåíòð O øàðà, âïèñàííîãî â ýòó ïðèçìó, ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé îòðåçêà JJ1. Ðàññìîòðèì ïëîñêîñòü JBB1. Ïîñêîëüêó ïðèçìà ïðàâèëüíàÿ, òî JB ëåæèò íà îòðåçêå BN, êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ áèññåêòðèñîé è âûñîòîé ΔABC. Ñëåäîâàòåëüíî, ïëîñêîñòü JBB1 ^ ACC1 è ÿâëÿåòñÿ áèññåêòîðíîé ïëîñêîñòüþ äâóãðàííîãî óãëà ïðè áîêîâîì ðåáðå BB1. Ïîýòîìó ëþáàÿ òî÷êà ýòîé ïëîñêîñòè ðàâíîóäàëåíà îò áîêîâûõ ãðàíåé AA1B1B è CC1B1B.  ÷àñòíîñòè,


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

ïåðïåíäèêóëÿð OK, îïóùåííûé èç òî÷êè O íà ãðàíü ACC1A1, ëåæèò â ïëîñêîñòè JBB1 è ðàâåí îòðåçêó OJ. Çàìåòèì, ÷òî KNJO — êâàäðàò, ñòîðîíà êîòîðîãî ðàâíà ðàäèóñó øàðà, âïèñàííîãî â äàííóþ ïðèçìó. Ïóñòü O1 — öåíòð øàðà, êàñàþùåãîñÿ âïèñàííîãî øàðà ñ öåíòðîì O è áîêîâûõ ãðàíåé AA1B1B è CC1B1B ïðèçìû. Òîãäà òî÷êà O1 ëåæèò â ïëîñêîñòè JBB1, à åå ïðîåêöèÿ J2 íà ïëîñêîñòü ABC ëåæèò íà îòðåçêå JB. Ïî óñëîâèþ ñòîðîíà îñíîâàíèÿ ðàâíà 4 3 , ñëåäîâàòåëüíî, JN = 2 è ïîýòîìó ðàäèóñ øàðà OJ, âïèñàííîãî â ïðèçìó, òàêæå ðàâåí 2. Òàê êàê øàðû ñ öåíòðàìè â òî÷êàõ O è O1 êàñàþòñÿ äðóã äðóãà, òî îòðåçîê OO1 = OJ + O1 J2 . Îáîçíà÷èì OJ = r , O1 J2 = x . Ðàññìîòðèì OO1W , ãäå O1W ^ OJ .  ýòîì òðåóãîëüíèêå OO1 = r + x , OW = r - x . Ïîýòîìó O1W = (r + x)2 - (r - x)2 = 2 rx .

Òàê êàê ôèãóðà WJJ2 O1 — ïðÿìîóãîëüíèê, òî JJ2 = O1W = 2 rx . Äàëåå, ïî ñâîéñòâó ìåäèàí òðåóãîëüíèêà JB = 2r , a J2 B = 2x , ïîñêîëüêó â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå J2 LB L = 90 , B = 30 è J2 L = x . Ïîñêîëüêó JB = JJ2 + J2 B , òî ïîëó÷àåì óðàâíåíèå 2r = 2 rx + 2x , 3- 5 èç êîòîðîãî, ó÷èòûâàÿ íåðàâåíñòâî x < r, íàõîäèì x = r. 2 Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå r = 2, îêîí÷àòåëüíî íàõîäèì x = 3 - 5. Îòâåò: 3 - 5 .

Ñôåðà, âïèñàííàÿ â ïèðàìèäó  êàæäóþ ïðàâèëüíóþ ïèðàìèäó ìîæíî âïèñàòü ñôåðó. Öåíòð ýòîé ñôåðû ëåæèò íà âûñîòå ïèðàìèäû â òî÷êå åå ïåðåñå÷åíèÿ ñ áèññåêòðèñîé ëèíåéíîãî óãëà ïðè ðåáðå îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû. Ýòî óòâåðæäåíèå äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî. Ïîëåçíî çàìåòèòü, ÷òî åñëè â äàííóþ ïèðàìèäó, íåîáÿçàòåëüíî ïðàâèëüíóþ, ìîæíî âïèñàòü ñôåðó, òî ðàäèóñ r ýòîé 3V , ãäå V — îáúåì ñôåðû ìîæíî âû÷èñëèòü ïî ôîðìóëå r = Sп äàííîé ïèðàìèäû, à Sï — ïëîùàäü åå ïîëíîé ïîâåðõíîñòè. 485


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

Ïðèìåð 23.  ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäå ñ äâóãðàííûì óãëîì ïðè îñíîâàíèè, ðàâL1 O1 íîì a, ðàñïîëîæåíû äâà øàðà. A1 B1 H1 Ïåðâûé øàð êàñàåòñÿ âñåõ ãðàM1 C1 L íåé ïèðàìèäû, à âòîðîé øàð P êàñàåòñÿ âñåõ áîêîâûõ ãðàíåé ïèðàìèäû è ïåðâîãî øàðà. ÍàéA B äèòå îòíîøåíèå ðàäèóñà ïåðâîãî H øàðà ê ðàäèóñó âòîðîãî øàðà, M 24 C . åñëè tgα = 7 Ðåøåíèå. Ïóñòü PABC — ïðàâèëüíàÿ ïèðàìèäà è òî÷êà H — öåíòð åå îñíîâàíèÿ ABC. Ïóñòü M — ñåðåäèíà ðåáðà BC. Òîãäà PMA — ëèíåéíûé óãîë äâóãðàííîãî óãëà  ( A, BC, P ) , êîòîðûé ïî óñëîâèþ ðàâåí α, ïðè÷åì α < 90 . Öåíòð O ïåðâîãî øàðà, êàñàþùåãîñÿ âñåõ ãðàíåé ïèðàìèäû, ëåæèò íà îòðåçêå PH â òî÷êå åãî ïåðåñå÷åíèÿ ñ áèññåêòðèñîé PMA . Ïóñòü HH1 — äèàìåòð ïåðâîãî øàðà è ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êó H1 ïåðïåíäèêóëÿðíî ïðÿìîé PH, ïåðåñåêàåò áîêîâûå ðåáðà PA, PB, PC ñîîòâåòñòâåííî â òî÷êàõ A1, B1, C1. Òîãäà òî÷êà H1 áóäåò öåíòðîì ïðàâèëüíîãî ΔA1B1C1, à ïèðàìèäà PA1B1C áóäåò ïîäîáíà ïèðàìèäå PABC ñ êîýôôèPH1 öèåíòîì ïîäîáèÿ k = . Çàìåòèì, ÷òî âòîðîé øàð, ñ öåíPH òðîì â òî÷êå O1, ÿâëÿåòñÿ âïèñàííûì â ïèðàìèäó PA1B1C1, è ïîýòîìó îòíîøåíèå ðàäèóñîâ âïèñàííûõ øàðîâ ðàâíî êîOH PH 24 . Èç ðàâåíñòâà tgα = ýôôèöèåíòó ïîäîáèÿ = 7 O H PH 1 1 1 α 3 íàõîäèì tg = . 2 4 Ïóñòü AB = a . Òîãäà a 3 α a 3 a 3 , OH = , tg = HM = 6 2 8 6 a 3 9a 3 4a 3 PH = , PH1 = PH - 2OH = . tgα = 28 6 7 OH 16 . Îòñþäà èñêîìîå îòíîøåíèå = O1 H1 9 16 . Îòâåò: 9 P

486


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

Êàñàíèå ñôåð Ïðèìåð 24. Òðè ðàâíûå ñôåðû ðàäèóñîì r êàñàþòñÿ äðóã äðóãà è íåêîòîðîé ïëîñêîñòè. Îïðåäåëèòå ðàäèóñ ÷åòâåðòîé ñôåðû, êàñàþùåéñÿ òðåõ äàííûõ è äàííîé ïëîñêîñòè. Ðåøåíèå. Ïóñòü O1, O2, O3 — öåíO3 òðû äàííûõ ñôåð è O — öåíòð ÷åòâåðòîé ñôåðû, êàñàþùåéñÿ òðåõ äàíO2 íûõ è äàííîé ïëîñêîñòè. Ïóñòü A, B, O1 r O C, J — òî÷êè êàñàíèÿ ñôåð ñ äàííîé C r r ïëîñêîñòüþ. Êàê âèäèòå, èçîáðàæàòü 2r 2r ñôåðû íå òðåáóåòñÿ, áîëåå òîãî, ïðè J èõ èçîáðàæåíèè ìîæåò èñ÷åçíóòü A B 2r íàãëÿäíîñòü ðèñóíêà. Òî÷êè êàñàíèÿ äâóõ ñôåð ëåæàò íà ëèíèè öåíòðîâ ýòèõ ñôåð, ïîýòîìó O1O2 = O2 O3 = O3 O1 = 2r . Òî÷êè ðàâíîóäàëåíû îò ïëîñêîñòè ABC, ïîýòîìó ABO2O1, ABO2O3, ABO3O1 — ðàâíûå ïðÿìîóãîëüíèêè, ñëåäîâàòåëüíî, òðåóãîëüíèê ABC — ðàâíîñòîðîííèé ñî ñòîðîíîé, ðàâíîé 2r. Ïóñòü x — èñêîìûé ðàäèóñ ÷åòâåðòîé ñôåðû. Òîãäà OJ = x. Ñëåäîâàòåëüíî, AJ = 2 rx . Àíàëîãè÷íî, BJ = CJ = 2 rx , çíà÷èò, J — öåíòð ðàâíîñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà. Ïîýòîìó AJ 3 = AB . Îòñþäà r 2 xr ⋅ 3 = 2r  3xr = r 2  x = . 3 r Îòâåò: . 3

Çàäà÷è äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ 1. Áîêîâûå ðåáðà òðåóãîëüíîé ïðèçìû íàêëîíåíû ê ïëîñêîñòè åå îñíîâàíèÿ ïîä óãëîì 60° è ðàâíû 8. Êàæäîå ðåáðî îñíîâàíèÿ ïðèçìû ðàâíî 5. Íàéäèòå îáúåì è ïëîùàäü áîêîâîé ïîâåðõíîñòè ïðèçìû. Îòâåò: 75; 20 (2 + 13 ). 2.  ïðÿìîóãîëüíîì ïàðàëëåëåïèïåäå äèàãîíàëü ðàâíà d è îáðàçóåò ñ ãðàíÿìè óãëû β è γ. Íàéäèòå îáúåì ïàðàëëåëåïèïåäà. Îòâåò: d3 sin β sin γ cos2 γ - sin2 β . 487


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

3. Ñå÷åíèå ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû, ïðîõîäÿùåå ÷åðåç åå áîêîâîå ðåáðî ïåðïåíäèêóëÿðíî ðåáðó îñíîâàíèÿ, èìååò ïëîùàäü, âäâîå ìåíüøóþ, ÷åì ïëîùàäü áîêîâîé ãðàíè ýòîé ïèðàìèäû. Ðåáðî îñíîâàíèÿ ïèðàìèäû ðàâíî a. Îïðåäåëèòå îáúåì ïèðàìèäû. a3 2 Îòâåò: . 48 4. Íàéäèòå äëèíó êðàò÷àéøåãî çàìêíóòîãî ïóòè, ïåðåñåêàþùåãî âñå îáðàçóþùèå êîíóñà ñ ðàäèóñîì îñíîâàíèÿ, 2 , è îáðàçóþùåé, ðàâíîé 2. ðàâíûì 3 Îòâåò: 2 3 . 5.  ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäå îòíîøåíèå äëèíû àïîôåìû ê äëèíå ðåáðà îñíîâàíèÿ ðàâíî k, à ðàäèóñ âïèñàííîãî â ïèðàìèäó øàðà ðàâåí r. Îïðåäåëèòå îáúåì è ïëîùàäü ïîëíîé ïîâåðõíîñòè ýòîé ïèðàìèäû. 2 2 4r 3 (2k + 1) 4r 3 (2k + 1) Îòâåò: ; . 2k -1 3(2k -1) 6. Îáúåì òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû MABC ðàâåí 32. Íà ðåáðå MA îòìå÷åíû òî÷êè P è Q òàê, ÷òî òî÷êà P ëåæèò ìåæäó òî÷êàìè M è Q. ×åðåç òî÷êè P è Q ïðîâåäåíû ñå÷åíèÿ ïèðàìèäû ïëîñêîñòÿìè, ïàðàëëåëüíûìè îñíîâàíèþ ABC. Îáúåì óñå÷åííîé ïèðàìèäû ñ áîêîâûì ðåáðîì PQ ðàâåí 13. Íàéäèòå îòíîøåíèå AP : PM , åñëè MQ = 3QA . Îòâåò: 3:1. 7.  ïðàâèëüíûé òåòðàýäð ABCD âïèñàí øàð K. Èç òî÷êè D íà ãðàíü ABC îïóùåíà âûñîòà DE. Òî÷êà P ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèíîé îòðåçêà DE. ×åðåç òî÷êó P ïðîâåäåíà ïëîñêîñòü M ïåðïåíäèêóëÿðíî DE. Èç âñåõ òî÷åê, êîòîðûå ïðèíàäëåæàò îäíîâðåìåííî øàðó K è ïëîñêîñòè M, âçÿòà òî÷êà O, ÿâëÿþùàÿñÿ áëèæàéøåé ê òî÷êå A. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò òî÷êè O äî ãðàíè ABD, åñëè îáúåì øàðà K ðàâåí 1. 1 6 Îòâåò: 3 . 3 π 8. ×åðåç ñåðåäèíó âûñîòû ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäû ïðîâåäåíî ñå÷åíèå äàííîé ïèðàìèäû ïëîñêîñòüþ, 488


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

ïàðàëëåëüíîé áîêîâîé ãðàíè ýòîé ïèðàìèäû. Ïëîùàäü áîêîâîé ãðàíè ðàâíà 160. Íàéäèòå ïëîùàäü äàííîãî ñå÷åíèÿ. Îòâåò: 150. 9. Íàéäèòå ðàäèóñ øàðà, îïèñàííîãî îêîëî ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû, ó êîòîðîé ñòîðîíà îñíîâàíèÿ ðàâíà 4 6 , à óãîë ìåæäó áîêîâûìè ðåáðàìè ðàâåí 90°. Îòâåò: 2. 10. Äàíà ïèðàìèäà SABC. Òî÷êè D è E ëåæàò ñîîòâåòñòâåííî íà ðåáðàõ SA è SB, ïðè÷åì SD : DA = SE : EB = 1:2. ×åðåç òî÷êè D è E ïðîâåäåíà ïëîñêîñòü α, ïàðàëëåëüíàÿ ðåáðó SC. Îïðåäåëèòå, â êàêîì îòíîøåíèè ïëîñêîñòü α äåëèò îáúåì ïèðàìèäû. Îòâåò: 7:20. 11.  òðåóãîëüíîé ïèðàìèäå SABC íà ðåáðå SB âçÿòà òî÷êà M, äåëÿùàÿ ðåáðî SB â îòíîøåíèè 3:5, ñ÷èòàÿ îò òî÷êè S. ×åðåç òî÷êè A è M ïàðàëëåëüíî ìåäèàíå BD òðåóãîëüíèêà ABC ïðîâåäåíà ïëîñêîñòü α. Îïðåäåëèòå, â êàêîì îòíîøåíèè ïëîñêîñòü α äåëèò îáúåì ïèðàìèäû. Îòâåò: 9:95. 12. Íà ðåáðàõ AB, BC, CD òåòðàýäðà ABCD îáúåìà 100 âçÿòû ñîîòâåòñòâåííî òî÷êè K, L, M, ïðè÷åì 2AK = AB, 4CM = CD, 5DN = AD. Íàéäèòå îáúåì òåòðàýäðà KNMB. Îòâåò: 30. 13. Ñôåðà ñ öåíòðîì â òî÷êå S ïðîõîäèò ÷åðåç âåðøèíû îñíîâàíèÿ ABCD ïðàâèëüíîé ÷åòûðåõóãîëüíîé ïèðàìèäû SABCD. Îòíîøåíèå ïëîùàäè ïîëíîé ïîâåðõíîñòè ïèðàìèäû ê ïëîùàäè ñôåðû ðàâíî α. Íàéäèòå âåëè÷èíó óãëà ASB è óêàæèòå âñå çíà÷åíèÿ, êîòîðûå ìîæåò ïðèíèìàòü α â óñëîâèè äàííîé çàäà÷è. π 2πα -1 1 Îòâåò: + arcsin ; 0<α< . 4 π 2 14. Áîêîâûå ðåáðà òðåóãîëüíîé ïðèçìû íàêëîíåíû ê ïëîñêîñòè åå îñíîâàíèÿ ïîä óãëîì 60° è ðàâíû 8. Êàæäîå ðåáðî îñíîâàíèÿ ïðèçìû ðàâíî 5. Íàéäèòå îáúåì è ïëîùàäü ïîëíîé ïîâåðõíîñòè ïðèçìû. Îòâåò: 75. 489


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

15.  ñôåðó ðàäèóñà R âïèñàí öèëèíäð, èìåþùèé íàèáîëüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå ïëîùàäè áîêîâîé ïîâåðõíîñòè èç ïëîùàäåé áîêîâûõ ïîâåðõíîñòåé âñåâîçìîæíûõ öèëèíäðîâ, âïèñàííûõ â ýòó ñôåðó. Íàéäèòå ýòî çíà÷åíèå ïëîùàäè áîêîâîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà è îòíîøåíèå âûñîòû òàêîãî öèëèíäðà ê ðàäèóñó ñôåðû â ýòîì ñëó÷àå. Îòâåò: 2πR 2 ; 2 . 16. Âîêðóã ñôåðû ðàäèóñà r îïèñàí ïðÿìîé êðóãîâîé êîíóñ, èìåþùèé íàèìåíüøèé îáúåì èç îáúåìîâ âñåõ êîíóñîâ, îïèñàííûõ îêîëî ýòîãî øàðà. Íàéäèòå âåëè÷èíó ýòîãî íàèìåíüøåãî îáúåìà è îòíîøåíèå âûñîòû ýòîãî êîíóñà ê ðàäèóñó ñôåðû â ýòîì ñëó÷àå. 8πr 3 ; 4. Îòâåò: 3 17. Îêîëî øàðà îáúåìà V îïèñàíà ïðàâèëüíàÿ òðåóãîëüíàÿ ïèðàìèäà Îïðåäåëèòå âîçìîæíûé íàèìåíüøèé îáúåì òàêîé ïèðàìèäû. 6V 3 . Îòâåò: π 18.  ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäå MABC óãîë ìåæäó áîêîâûì ðåáðîì è ïëîñêîñòüþ îñíîâàíèÿ ABC ðàâåí α, ñòîðîíà îñíîâàíèÿ ðàâíà a, MO — âûñîòà ïèðàìèäû. Íàéäèòå ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ýòîé ïèðàìèäû ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó O ïàðàëëåëüíî ðåáðàì MA è BC. 2a2 . Îòâåò: 9 3 cos α 19. Îáúåì òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû ðàâåí 270. Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí âñåõ åå ãðàíåé ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè âòîðîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû. Íàéäèòå åå îáúåì. Îòâåò: 10. 20.  îñíîâàíèè ïåðâîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû ëåæèò âûïóêëûé ÷åòûðåõóãîëüíèê. Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí âñåõ åå áîêîâûõ ãðàíåé è òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé åå îñíîâàíèÿ ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè âòîðîé òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû, îáúåì êîòîðîé ðàâåí 20. Íàéäèòå îáúåì ïåðâîé ïèðàìèäû. Îòâåò: 270. 490


ÃËÀÂÀ 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß

21. Îáúåì íàêëîííîé ïðèçìû ðàâåí 60. Òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ äèàãîíàëåé åå áîêîâûõ ãðàíåé è òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí åå îñíîâàíèé ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè øåñòèãðàííèêà. Íàéäèòå åãî îáúåì. Îòâåò: 10. 22.  øàð âïèñàíà ïðàâèëüíàÿ òðåóãîëüíàÿ ïðèçìà ABCA1B1C1, îáúåì êîòîðîé ðàâåí 9. Ïðÿìàÿ AC1 îáðàçóåò ñ ïëîñêîñòüþ ABB1 óãîë 30°. Íàéäèòå ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè øàðà. Îòâåò: 20π. 23.  òðåóãîëüíîé ïðèçìå ABCA1B1C1 ñ îñíîâàíèåì ABC ðåáðà AB, AC è AA1 ïîïàðíî ïåðïåíäèêóëÿðíû è ðàâíû 2 ì. Íàéäèòå ïëîùàäü ñå÷åíèÿ ïðèçìû ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç ñåðåäèíû ðåáåð AB, AA1 è A1C1. Óêàçàíèå. Äàííàÿ ïðèçìà ÿâëÿåòñÿ ïîëîâèíîé êóáà. Äîñòðîéòå åå äî êóáà, òîãäà èñêîìîå ñå÷åíèå — ïîëîâèíà ïðàâèëüíîãî øåñòèóãîëüíèêà. Îòâåò: 1,5 3 ì2. 24. Äâà ïðîòèâîëåæàùèõ ðåáðà ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà ñëóæàò äèàìåòðàìè îñíîâàíèé öèëèíäðà. Íàéäèòå ðåáðî òåòðàýäðà, åñëè îáúåì öèëèíäðà ðàâåí 32π ì3. Îòâåò: 4 2 ì. 25. Äëÿ ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà ñî ñòîðîíîé a: à) íàéäèòå åãî îáúåì; á) íàéäèòå ðàäèóñ âïèñàííîãî øàðà; â) íàéäèòå ðàäèóñ îïèñàííîãî øàðà; ã) äîêàæèòå, ÷òî öåíòðû îïèñàííîãî è âïèñàííîãî øàðîâ ñîâïàäàþò. Óêàçàíèå: Ñóììà íàéäåííûõ â á) è â) ðàäèóñîâ ðàâíà âûñîòå òåòðàýäðà. 2 3 6 6 Îòâåò: à) a ; á) a ; â) a. 12 12 4 26.  ïðàâèëüíûé òåòðàýäð SABC ñ ðåáðîì 24 âïèñàí øàð.  òðåõãðàííûé óãîë ñ âåðøèíîé â òî÷êå S âïèñàí âòîðîé øàð, êîòîðûé êàñàåòñÿ ïåðâîãî øàðà. Íàéäèòå îáúåì âòîðîãî øàðà. Îòâåò: 8 6π . 491


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

27.  ïðÿìóþ ïðèçìó, â îñíîâàíèè êîòîðîé ëåæèò ðîìá ñ óãëîì 45°, âïèñàí öèëèíäð. Ðàññòîÿíèå ìåæäó îñüþ öèëèíäðà è äèàãîíàëüþ áîêîâîé ãðàíè ïðèçìû ðàâíî 5 2 . Íàéäèòå ïëîùàäü ïîëíîé ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà, åñëè îáúåì ïðèçìû ðàâåí 120. Îòâåò: 106π. 28. Âñå ãðàíè ïðèçìû ABCDA1B1C1D1 — ðàâíûå ðîìáû ñî ñòîðîíîé, ðàâíîé 2. Óãëû BAD, BAA1 è DAA1 ðàâíû 60° êàæäûé. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå îò òî÷êè A1 äî ïëîñêîñòè BDD1. Îòâåò: 2 .


Ñîäåðæàíèå Ââåäåíèå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Ãëàâà 1. ×ÈÑËÀ. ÒÎÆÄÅÑÒÂÅÍÍÛÅ ÏÐÅÎÁÐÀÇÎÂÀÍÈß ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ, ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ È ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÕ ÂÛÐÀÆÅÍÈÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 § 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 § 2. Ôîðìóëû ñîêðàùåííîãî óìíîæåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . 15 § 3. Ñâîéñòâà ñòåïåíåé è ëîãàðèôìîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 § 4. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôîðìóëû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 § 5. Îáðàòíûå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôóíêöèè . . . . . . . . . . . . . 28 Ãëàâà 2. ÔÓÍÊÖÈÈ È ÈÕ ÃÐÀÔÈÊÈ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ è îïðåäåëåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Íåêîòîðûå êëàññû ýëåìåíòàðíûõ ôóíêöèé . . . . . . . . . . § 3. Íàõîæäåíèå ôóíêöèè èç óðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Èññëåäîâàíèå ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. Èññëåäîâàíèå ôóíêöèè ïðè ïîìîùè ïðîèçâîäíîé . . . . § 6. Ïåðâîîáðàçíàÿ ôóíêöèè è åå ïðèìåíåíèå . . . . . . . . . . . § 7. Çàäà÷è, èñïîëüçóþùèå ðàçëè÷íûå ñâîéñòâà ôóíêöèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Ãëàâà 3. ÐÅØÅÍÈÅ ÀËÃÅÁÐÀÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ, ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂ È ÈÕ ÑÈÑÒÅÌ . . . . . . . . . . § 1. Îñíîâíûå ïîíÿòèÿ. Îïðåäåëåíèÿ. Òåîðåìû î ðàâíîñèëüíûõ ïðåîáðàçîâàíèÿõ . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Öåëûå àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Ðàöèîíàëüíûå àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ . . . . . . . . . . § 4. Ðåøåíèå óðàâíåíèé, ñîäåðæàùèõ íåñêîëüêî ïåðåìåííûõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. Ðåøåíèå ñèñòåì ëèíåéíûõ óðàâíåíèé . . . . . . . . . . . . . § 6. Ðåøåíèå ñèñòåì íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 7. Ðåøåíèå íåðàâåíñòâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35 35 36 43 47 66 89 96

102 102 104 125 138 146 175 190

Ãëàâà 4. ÐÅØÅÍÈÅ ÈÐÐÀÖÈÎÍÀËÜÍÛÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206 § 1. Èððàöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ è ñèñòåìû óðàâíåíèé . . . 206 § 2. Ðåøåíèå èððàöèîíàëüíûõ íåðàâåíñòâ . . . . . . . . . . . . . . 220 Ãëàâà 5. ÐÅØÅÍÈÅ ÏÎÊÀÇÀÒÅËÜÍÛÕ È ËÎÃÀÐÈÔÌÈ×ÅÑÊÈÕ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒ 234 493


ÅÃÝ. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ. ÐÅØÅÍÈÅ ÇÀÄÀ×. ÑÄÀÅÌ ÁÅÇ ÏÐÎÁËÅÌ

§ 1. Ðåøåíèå ïîêàçàòåëüíûõ óðàâíåíèé è ñèñòåì óðàâíåíèé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Ðåøåíèå ïîêàçàòåëüíûõ íåðàâåíñòâ . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Ðåøåíèå ëîãàðèôìè÷åñêèõ óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Ðåøåíèå ëîãàðèôìè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ . . . . . . . . . . . . . Ãëàâà 6. ÒÐÈÃÎÍÎÌÅÒÐÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÐÀÂÍÅÍÈß, ÑÈÑÒÅÌÛ ÓÐÀÂÍÅÍÈÉ È ÍÅÐÀÂÅÍÑÒÂÀ . . . . . . . . . . . § 1. Ïðîñòåéøèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ . . . . . . . . § 2. Ïðèåìû ðåøåíèÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé . . . § 3. Òðèãîíîìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ïîâûøåííîé ñëîæíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Ðåøåíèå ñèñòåì òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé è òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ óðàâíåíèé, ïðèâîäèìûõ ê íèì . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. Ðåøåíèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèõ íåðàâåíñòâ . . . . . . . . . . Ãëàâà 7. ÏËÀÍÈÌÅÒÐÈß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 1. Ãåîìåòðèÿ ïðÿìîé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 2. Ãåîìåòðèÿ òðåóãîëüíèêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 3. Ãåîìåòðèÿ îêðóæíîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 4. Ðåøåíèå òðåóãîëüíèêîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 5. Ñîîòíîøåíèÿ â ïðÿìîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå . . . . . . . § 6. Çàäà÷è íà ïðèìåíåíèå òåîðåì êîñèíóñîâ è ñèíóñîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 7. Âû÷èñëåíèå ìåäèàí, âûñîò è áèññåêòðèñ òðåóãîëüíèêà . . . . . . . . . . . . . . . . . § 8. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 9. Îòíîøåíèå îòðåçêîâ â òðåóãîëüíèêå . . . . . . . . . . . . . . . § 10. Ïîäîáèå òðåóãîëüíèêîâ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 11. Ïàðàëëåëîãðàìì è òðàïåöèÿ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 12. Ðàñïîëîæåíèå ïðÿìîé è îêðóæíîñòè è äâóõ îêðóæíîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . § 13. Óãëû, ñâÿçàííûå ñ îêðóæíîñòüþ . . . . . . . . . . . . . . . . .

234 247 252 266 277 277 283 307 330 340 352 352 355 357 362 364 368 372 376 377 383 389 406 409

Ãëàâà 8. ÑÒÅÐÅÎÌÅÒÐÈß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 § 1. Ìíîãîãðàííèêè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417 § 2. Êðóãëûå òåëà. Êîìáèíàöèè òåë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 459


Издание для дополнительного образования Для старшего школьного возраста ЕГЭ. СДАЕМ БЕЗ ПРОБЛЕМ Рязановский Андрей Рафаилович Мирошин Владимир Васильевич ЕГЭ 2012 Математика Решение задач Сдаем без проблем! Ответственный редактор А. Жилинская Ведущий редактор Т. Судакова Художественный редактор Е. Брынчик Технический редактор Л. Зотова Компьютерная верстка А. Григорьев

Подписано в печать 26.07.2011. Формат 60×901/16. Гарнитура «Школьная». Печать офсетная. Бум. тип. Усл. печ. л. 31,0. Тираж экз. Заказ №