Issuu on Google+

Œ®áª®¢áª¨© 䨧¨ª®-â¥å­¨ç¥áª¨© ¨­áâ¨âãâ (£®á㤠àá⢥­­ë© ã­¨¢¥àá¨â¥â)

Œ…’Ž„ˆ—…‘Šˆ… “Š€‡€ˆŸ Ž …˜…ˆž ‡€„€— Š“‘€ ’”Š

‘®áâ ¢¨â¥«¨: Œ.ˆ. Š à«®¢ ….‘. ®«®¢¨­ª¨­ Œ.ˆ. ˜ ¡ã­¨­

ŒŽ‘Š‚€ 2007


“„Š 517. ¥æ¥­§¥­â: „®ªâ®à 䨧¨ª®-¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨å ­ ãª, ¯à®ä¥áá®à ˆ¢ ­®¢ ƒ.….

Œ¥â®¤¨ç¥áª¨¥ 㪠§ ­¨ï ¯® à¥è¥­¨î § ¤ ç ªãàá  ’”Š / ‘®áâ. Œ.ˆ. Š à«®¢, ….‘. ®«®¢¨­ª¨­, Œ.ˆ. ˜ ¡ã­¨­. | Œ.: Œ”’ˆ, 2007. 78 á. “„Š 517

à¥¤­ §­ ç¥­® ¤«ï áâ㤥­â®¢ ¨ ¯à¥¯®¤ ¢ â¥«¥© ã­¨¢¥àá¨â¥â®¢ ¨ â¥å­¨ç¥áª¨å ¢ã§®¢.

Œ…’Ž„ˆ—…‘Šˆ… “Š€‡€ˆŸ Ž …˜…ˆž ‡€„€— Š“‘€ ’”Š

‘®áâ ¢¨â¥«¨:

Š€‹Ž‚ Œ¨å ¨« ˆ¢ ­®¢¨ç Ž‹Ž‚ˆŠˆ …¢£¥­¨© ‘¥à£¥¥¢¨ç ˜€“ˆ Œ¨å ¨« ˆ¢ ­®¢¨ç

c °

Œ®áª®¢áª¨© 䨧¨ª®-â¥å­¨ç¥áª¨© ¨­áâ¨âãâ (£®á㤠àá⢥­­ë© ã­¨¢¥àá¨â¥â), 2007 c ‘®áâ ¢¨â¥«¨, 2007 °


3

‘®¤¥à¦ ­¨¥ § 1. § 2.

ï¤ ‹®à ­  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 ˆ§®«¨à®¢ ­­ë¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ®¤­®§­ ç­®£® å à ªâ¥à  . . . . . . . . . . . . . . . . 11 § 3. ‚ëç¨á«¥­¨¥ ¢ëç¥â®¢ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 § 4. ‚ëç¨á«¥­¨¥ ¨­â¥£à «®¢ ¯® § ¬ª­ã⮬㠪®­âãàã . . 30 § 5. ‚ëç¨á«¥­¨¥ §­ ç¥­¨© ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥© ¬­®£®§­ ç­ëå ä㭪権. ï¤ë ‹®à ­  ¤«ï ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥© . . 37 § 6. ˆ­â¥£à «ë ®â ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥© . . . . . . . . . . . 42 § 7. ‚ëç¨á«¥­¨¥ ­¥á®¡á⢥­­ëå ¨­â¥£à «®¢ . . . . . . . 44 § 8. Š®­ä®à¬­ë¥ ®â®¡à ¦¥­¨ï í«¥¬¥­â à­ë¬¨ äã­ªæ¨ï¬¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60 § 9. ‡ ¤ ç¨ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 ‡ ¤ ç¨ ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š (2001{2002 £.) . . 72 ‡ ¤ ç¨ ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š (2001{2002 £.) . . 73 ‡ ¤ ç¨ ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š (2002{2003 £.) . . 73 ‡ ¤ ç¨ ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š (2003{2004 £.) . . 74 ‡ ¤ ç¨ ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š (2005{2006 £.) . . 75 § 10. Žâ¢¥âë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 Žâ¢¥âë ª ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š (2001{2002 £.) 76 Žâ¢¥âë ª ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š (2001{2002 £.) 76 Žâ¢¥âë ª ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š (2002{2003 £.) 77 Žâ¢¥âë ª ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š (2003{2004 £.) 78 Žâ¢¥âë ª ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š (2005{2006 £.) 78


4

§ 1.

ï¤ ‹®à ­ 

‘¯à ¢®ç­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï

1. Ž¡« áâì á室¨¬®á⨠à鸞 ‹®à ­ . ï¤ ¢¨¤  ∞ X

cn (z − a)n ,

(1)

n=−∞

£¤¥ a | 䨪á¨à®¢ ­­ ï â®çª  ª®¬¯«¥ªá­®© ¯«®áª®áâ¨, cn | § ¤ ­­ë¥ ª®¬¯«¥ªá­ë¥ ç¨á« , ­ §ë¢ ¥âáï à冷¬ ‹®à ­ . ï¤ (1) ­ §ë¢ ¥âáï á室ï騬áï ¢ â®çª¥ z , ¥á«¨ ¢ í⮩ â®çª¥ á室ïâáï àï¤ë ∞ X

cn (z − a)n ,

(2)

n=0 −∞ X n=−1

cn (z − a)n =

∞ X n=1

c−n , (z − a)n

(3)

  á㬬  à鸞 (1) ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î à ¢­  á㬬¥ à冷¢ (2) ¨ (3). Ž¡« áâì á室¨¬®á⨠à鸞 (2) | ªà㣠|z − a| < R

(¯à¨ R = 0 àï¤ (2) á室¨âáï ⮫쪮 ¯à¨ z = a,   ¯à¨ R = ∞ | ¢® ¢á¥© ª®¬¯«¥ªá­®© ¯«®áª®áâ¨). ï¤ (3) á室¨âáï ¢ ®¡« á⨠|z − a| > ρ.

…᫨ ρ < R, â® àï¤ (1) á室¨âáï ¢ ®¡« á⨠(4) â. ¥. ¢ ªà㣮¢®¬ ª®«ìæ¥ á 業â஬ ¢ â®çª¥ a (íâã ®¡« áâì ­ §ë¢ îâ ª®«ì殬 á室¨¬®á⨠à鸞 ‹®à ­  (1)). ‘㬬  à鸞 ‹®à ­  ¢ ®¡« á⨠(4) ï¥âáï ॣã«ïà­®© ä㭪樥©,   ¢® ¢á类¬ § ¬ª­ã⮬ ª®«ìæ¥ D = {z : ρ < |z − a| < R},

D1 = {z : ρ < ρ1 6 |z − a| 6 R1 < R},

£¤¥ D1 ⊂ D, àï¤ (1) á室¨âáï à ¢­®¬¥à­®.


§ 1.

ï¤ ‹®à ­ 

5

2.  §«®¦¥­¨¥ ॣã«ïà­®© ä㭪樨 ¢ àï¤ ‹®à ­ .

”ã­ªæ¨ï f (z), ॣã«ïà­ ï ¢ ª®«ìæ¥ D, ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ í⮬ ª®«ìæ¥ á室ï騬áï à冷¬ ‹®à ­  (1), â. ¥. ∞ X

f (z) =

(5)

cn (z − a)n ,

n=−∞

£¤¥ 1 cn = 2πi

Z

f (ζ) dζ, (ζ − a)n+1

n ∈ Z,

ρ < R0 < R,

(6)

|ζ−a|=R0

®ªà㦭®áâì ¢ ä®à¬ã«¥ (6) ®à¨¥­â¨à®¢ ­  ¯®«®¦¨â¥«ì­® (®¡å®¤ ᮢ¥àè ¥âáï ¯à®â¨¢ ç á®¢®© áâ५ª¨).  §«®¦¥­¨¥ (5) ä㭪樨 f (z), ॣã«ïà­®© ¢ ª®«ìæ¥ D, ¥¤¨­á⢥­­®.

3. ¥à ¢¥­á⢠ Š®è¨ ¤«ï ª®íää¨æ¨¥­â®¢ à鸞 ‹®à ­ . …᫨ äã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­  ¢ ª®«ìæ¥

D = {z : ρ < |z − a| < R},

¨ ¯à¨ í⮬ M = max |f (z)|,

£¤¥

z∈γr

γr = {z : |z − a| = r, ρ < r < R},

â® ¤«ï ª®íää¨æ¨¥­â®¢ ¢¥­á⢠

cn

à鸞 ‹®à ­  (5) á¯à ¢¥¤«¨¢ë ­¥à -

|cn | 6

M , rn

n ∈ Z.

‡ ¬¥ç ­¨¥. „«ï ­ å®¦¤¥­¨ï ª®íää¨æ¨¥­â®¢ cn à鸞 ‹®-

à ­  (5) ä㭪樨 f (z), ॣã«ïà­®© ¢ ª®«ìæ¥ D = {z : ρ < |z − − a| < R}, ä®à¬ã«ë (6) ®¡ëç­® ­¥ ¨á¯®«ì§ãîâ,   ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ äã­ªæ¨î f (z) ¢ ¢¨¤¥ á㬬ë f1 (z) + f2 (z), £¤¥ äã­ªæ¨ï f1 (z) ॣã«ïà­  ¢ ®¡« á⨠|z − a| < R,   äã­ªæ¨ï f2 (z) ॣã«ïà­  ¢ ®¡« á⨠|z − a| > ρ.  §«®¦¨¢ äã­ªæ¨î f1 (z) ¢ àï¤ ’¥©«®à  ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ a,   äã­ªæ¨î f2 (z) | ¯® ®âà¨æ â¥«ì­ë¬


6

á⥯¥­ï¬ z − a á ¯®¬®éìî ¯à¨¥¬®¢, 㪠§ ­­ëå ¢ § 7, ¬®¦­® ­ ©â¨ à §«®¦¥­¨¥ (5). …᫨ f (z) | à æ¨®­ «ì­ ï äã­ªæ¨ï, â® ¥¥ ¯à¥¤áâ ¢«ïîâ ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ¯à®áâëå ¤à®¡¥©.

à¨¬¥àë á à¥è¥­¨ï¬¨ 1 à¨¬¥à. ”ã­ªæ¨î f (z) = (1−z)(z+3) , ॣã«ïà­ãî ¢ ®¡« áâïå D1 = {z : |z| < 1}, D2 = {z : 1 < |z| < 3}, D3 = {z : |z| > 3}, à §«®¦¨âì ¢ íâ¨å ®¡« áâïå ¢ àï¤ ‹®à ­ . ¥è¥­¨¥. à¥¤áâ ¢¨¬ f (z) ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ¯à®áâëå ¤à®¡¥©: f (z) =

1 4

µ

1 1 + 1−z z+3

.

(7)

…᫨ |z| < 1, â® ∞

X 1 = zn, 1−z

(8)

n=0

  ¥á«¨ |z| > 1, â® ∞

X 1 1 1 ¢ =− . =− ¡ 1 1−z zn z 1− z

(9)

n=1

€­ «®£¨ç­®, ¥á«¨ |z| < 3, â® ∞

X (−1)n z n 1 1 ¢ = ¡ = , z+3 3n+1 3 1 + z3 n=0

(10)

  ¥á«¨ |z| > 3, â® ∞

X (−1)n−1 3n−1 1 1 ¢= = ¡ . 3 z+3 zn z 1+ z n=1

a) ‚ ®¡« á⨠(10), ¯®«ãç ¥¬

D1 ,

£¤¥

|z| < 1,

(11)

¨á¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ë (7), (8),

· ¸ ∞ X (−1)n n 1 1 + n+1 z . f (z) = 4 3 n=0

â®â àï¤ ¥áâì àï¤ ’¥©«®à  ¤«ï ä㭪樨 f (z).


§ 1.

ï¤ ‹®à ­ 

7

¡) ‚ ®¡« á⨠(9), (10), ¨¬¥¥¬

D2 ,

£¤¥

1 < |z| < 3,

¨á¯®«ì§ãï ä®à¬ã«ë (7),

¶ ∞ µ ∞ X X 1 1 (−1)n z n f (z) = − + . 4 zn 4 · 3n+1 n=1

n=0

â®â àï¤ á®¤¥à¦¨â ª ª ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¥, â ª ¨ ®âà¨æ â¥«ì­ë¥ á⥯¥­¨ z . ¢) ‚ ®¡« á⨠D3 , £¤¥ |z| > 3, ¨á¯®«ì§ãï à §«®¦¥­¨ï (7), (9), (11), ­ å®¤¨¬ f (z) =

∞ X (−1)n−1 3n−1 − 1

4z n

n=1

.

â®â àï¤ á®¤¥à¦¨â ⮫쪮 ®âà¨æ â¥«ì­ë¥ á⥯¥­¨ z . à¨¬¥à.  æ¨®­ «ì­ ï äã­ªæ¨ï f (z) à §«®¦¥­  ¢ àï¤ ‹®à ­  ∞ µ X (−1)n (n + 1)

z 2n

n=0

4n+1 − 2n+1 z

¶ .

 §«®¦¨âì ¥¥ ¢ àï¤ ‹®à ­  ¯® á⥯¥­ï¬ z ¢ ª®«ìæ¥, ᮤ¥à¦ é¥¬ â®çªã z = 32 . “ª § âì £à ­¨æë ª®«ìæ  á室¨¬®áâ¨.

¥è¥­¨¥. ï¤

f1 (z) =

∞ X (−1)n (n + 1) n=0

z 2n

á室¨âáï ¢ ®¡« á⨠|z| > 1,   àï¤

¶ ∞ ∞ µ X 4n+1 4X 4 n f2 (z) = − =− z 2n+1 z z2 n=0

¯ ¯

n=0

á室¨âáï, ¥á«¨ ¯ z42 ¯ < 1, â. ¥. |z| > 2. ’ ª ª ª â®çª  z = 23 ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ª®«ìæ¥ 1 < |z| < 2, â® äã­ªæ¨î f2 (z) ­ã¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì à冷¬ ¯® á⥯¥­ï¬ z , á室ï騬áï ¢ ®¡« á⨠|z| < 2.


8

ˆá¯®«ì§ãï à §«®¦¥­¨¥

®âªã¤ 

∞ P

tn =

n=0

1 1−t

, § ¯¨è¥¬ f2 (z) ¢ ¢¨¤¥

4 1 4z z f2 (z) = − · =− 2 = 2 , 4 z 1 − z2 z −4 1 − z4 f2 (z) =

n=0

  ¨áª®¬®¥ à §«®¦¥­¨¥ f (z) =

∞ X z 2n+1

∞ X (−1)n (n + 1) n=0

z 2n

4n

+

,

|z| < 2,

∞ X z 2n+1 n=0

4n

,

1 < |z| < 2.

N

à¨¬¥à.

 §«®¦¨âì ¢ àï¤ ‹®à ­  ¢ ª®«ìæ¥ á 業â஬ ¢ â®çª¥ z = 0, ª®â®à®¬ã ¯à¨­ ¤«¥¦¨â â®çª  z = 3, äã­ªæ¨î f (z) =

3z 3 + 6z 2 − 8 . z 2 − 3z − 4

“ª § âì £à ­¨æë ª®«ìæ  á室¨¬®áâ¨. ¥è¥­¨¥.  §¤¥«¨¢ ¬­®£®ç«¥­ 3z 3 + 6z 2 − 8 ­  ¬­®£®ç«¥­ 2 z − 3z − 4, § ¯¨è¥¬ äã­ªæ¨î f (z) ¢ ¢¨¤¥ f (z) = 3z + 15 +

57z + 52 , (z − 4)(z + 1)

  § â¥¬ ¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¯®«ã祭­ãî ¯à ¢¨«ì­ãî ¤à®¡ì ¢ ¢¨¤¥ áã¬¬ë ¯à®áâëå ¤à®¡¥©: £¤¥

A B 57z + 52 = + , (z − 4)(z + 1) z−4 z+1 ¯ 57z + 52 ¯¯ A= = 56, z + 1 ¯z=4

¯ 57z + 52 ¯¯ B= = 1. z − 4 ¯z=−1

‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, f (z) = 3z + 15 +

1 56 + . z−4 z+1

”ã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­  ¢® ¢á¥© ª®¬¯«¥ªá­®© ¯«®áª®áâ¨ á ¢ëª®«®â묨 â®çª ¬¨ z1 = −1, z2 = 4 ¨ ¥¥ ¬®¦­® à §«®¦¨âì ¢ àï¤


§ 1.

ï¤ ‹®à ­ 

9

¯® á⥯¥­ï¬ z ¢ ®¡« áâïå |z| < 1, 1 < |z| < 4 ¨ |z| > 4. ’®çª  56 ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ª®«ìæã 1 < |z| < 4. ®í⮬ã äã­ªæ¨î z−4 ­ã¦­® à §«®¦¨âì ¢ àï¤ ¯® ¯®«®¦¨â¥«ì­ë¬ á⥯¥­ï¬ z ,   äã­ª1 æ¨î z+1 | ¢ àï¤ ¯® ®âà¨æ â¥«ì­ë¬ á⥯¥­ï¬ z . à¥®¡à §ã¥¬ ¨á室­ãî äã­ªæ¨î:

z=3

f (z) = 3z + 15 −

®âªã¤  f (z) = 3z + 15 − 14 =1−

z − 14 2

14 1 ¢, + ¡ 1 − z4 z 1 + z1

∞ µ ¶n X z

n=0 ∞ n X n=2

4

+

∞ X

(−1)n

n=0

1 z n+1

=

X (−1)n−1 z + . 4n zn n=1

®«ã祭­ë© àï¤ á室¨âáï ¢ ª®«ìæ¥ 1 < |z| < 4. z 2 +2 à¨¬¥à.  §«®¦¨âì äã­ªæ¨î f (z) = z(z+2i) ¢ àï¤ ‹®à ­  ¯® á⥯¥­ï¬ z − 2i ¢ ª®«ìæ¥ D, ª®â®à®¬ã ¯à¨­ ¤«¥¦¨â â®çª  z = 1. “ª § âì £à ­¨æë ª®«ìæ  á室¨¬®áâ¨. ¥è¥­¨¥. à¥¤áâ ¢¨¬ f (z) ¢ ¢¨¤¥ z 2 + 2iz − 2iz + 2 =1−i f (z) = z(z + 2i)

µ

1 1 + z z + 2i

.

”ã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­  ¢® ¢á¥© ª®¬¯«¥ªá­®© ¯«®áª®áâ¨ á ¢ëª®«®â묨 â®çª ¬¨ z = 0 ¨ z = −2i. ®í⮬㠥¥ ¬®¦­® à §«®¦¨âì ¢ àï¤ ‹®à ­  ¯® á⥯¥­ï¬ z − 2i ¢ ®¡« áâïå |z − 2i| < 2,

2 < |z − 2i| < 4,

|z − 2i| > 4.

®« £ ï z − 2i = t, ¯®«ã稬 f (z) = ϕ(t), £¤¥ ϕ(t) = 1 −

i i − . t + 2i t + 4i

’ ª ª ª â®çª  z = 1 ¯à¨­ ¤«¥¦¨â ª®«ìæã 2 < |z − 2i| < 4,

â® äã­ªæ¨î ϕ(t) ­ã¦­® à §«®¦¨âì ¯® á⥯¥­ï¬ t ¢ ®¡« á⨠2 <


10 < |t| < 4.

à¥®¡à §ã¥¬ äã­ªæ¨î ϕ(t): i ϕ(t) = 1 − ¡ t 1+

’®£¤  ϕ(t) = 1 − i

∞ X (−1)n (2i)n

tn+1

n=0

f (z) =

∞ X n=1

2i t

(−2i)n 2(z − 2i)n

+

1 ¢− ¡ 4 1+

¢.

∞ X (−1)n tn n=0

3 + 4

t 4i

in 4n+1

∞ X (−1)n+1 n=1

(4i)n

,

(z − 2i)n ,

2 < |z − 2i| < 4.

à¨¬¥à.  §«®¦¨âì äã­ªæ¨î µ

f (z) =

z2 5 − 2z + 2 2

N

¶ cos

1 z−2

¢ àï¤ ‹®à ­  ¯® á⥯¥­ï¬ z − 2 ¢ ª®«ìæ¥ D = {z : 0 < |z − 2| < ∞}.

¥è¥­¨¥. ãáâì z − 2 = t, ⮣¤ 

Ã∞ ! 1 2 1 1 X (−1)n (−1)n f (z) = (t + 1) cos = + = 2 t 2 t2(n−1) (2n)! t2n (2n)! n=0 ¶ ∞ µ 1 2 1 X (−1)n+1 (−1)n 1 = t + + = 2n 2 2 (2n + 2)! (2n)! t n=0 ∞ X

1 1 = t2 + + 2 4

n=1

(−1)n (4n2 + 6n + 1) = 2(2n + 2)!t2n ∞

1 X (−1)n (4n2 + 6n + 1) 1 . = (z − 2)2 + + 2 4 2(2n + 2)!(z − 2)2n n=1

N


§ 2.

ˆ§®«¨à®¢ ­­ë¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ®¤­®§­ ç­®£® å à ªâ¥à 

11

§ 2.

ˆ§®«¨à®¢ ­­ë¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ®¤­®§­ ç­®£® å à ªâ¥à  ‘¯à ¢®ç­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï

1. Š« áá¨ä¨ª æ¨ï ¨§®«¨à®¢ ­­ëå ®á®¡ëå â®ç¥ª.

ãáâì äã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­  ¢ ­¥ª®â®à®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ a 6= ∞, â. ¥. ¢ ª®«ìæ¥ 0 < |z − a| < ρ,

­® ­¥ ॣã«ïà­  ¢ â®çª¥ a. ’®£¤  â®çª  a ­ §ë¢ ¥âáï ¨§®«¨à®¢ ­­®© ®á®¡®© â®çª®© ®¤­®§­ ç­®£® å à ªâ¥à  ä㭪樨 f (z). €­ «®£¨ç­®, ¡¥áª®­¥ç­® 㤠«¥­­ ï â®çª  ­ §ë¢ ¥âáï ¨§®«¨à®¢ ­­®© ®á®¡®© â®çª®© ®¤­®§­ ç­®£® å à ªâ¥à  ä㭪樨 f (z), ¥á«¨ íâ  äã­ªæ¨ï ॣã«ïà­  ¢ ­¥ª®â®à®© ®¡« á⨠ρ < |z| < ∞.

‚ § ¢¨á¨¬®á⨠®â ¯®¢¥¤¥­¨ï ä㭪樨 f (z) ¢¡«¨§¨ ®á®¡®© â®çª¨ a à §«¨ç îâ âਠ⨯  ®á®¡ëå â®ç¥ª. ˆ§®«¨à®¢ ­­ ï ª®­¥ç­ ï ¨«¨ ¡¥áª®­¥ç­® 㤠«¥­­ ï ®á®¡ ï â®çª  a ®¤­®§­ ç­®£® å à ªâ¥à  ä㭪樨 f (z) ­ §ë¢ ¥âáï 1) ãáâà ­¨¬®© ®á®¡®© â®çª®© , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ª®­¥ç­ë© ¯à¥¤¥« z→a lim f (z); 2) ¯®«îᮬ , ¥á«¨ áãé¥áâ¢ã¥â ¡¥áª®­¥ç­ë© ¯à¥¤¥« z→a lim f (z) = = ∞; 3) áãé¥á⢥­­® ®á®¡®© â®çª®© , ¥á«¨ ­¥ áãé¥áâ¢ã¥â (­¨ ª®­¥ç­®£®, ­¨ ¡¥áª®­¥ç­®£®) ¯à¥¤¥«  ä㭪樨 f (z) ¢ â®çª¥ a.

2. ï¤ ‹®à ­  ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠®á®¡®© â®çª¨.

…᫨ äã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­  ¢ ª®«ìæ¥ 0 < |z − a| < ρ, â® ¥¥ ¬®¦­® ¯à¥¤áâ ¢¨âì ¢ ¢¨¤¥ á室ï饣®áï ¢ í⮬ ª®«ìæ¥ à鸞 f (z) =

∞ X

(1)

cn (z − a)n ,

n=−∞

ª®â®àë© ­ §ë¢ îâ à冷¬ ‹®à ­  ä㭪樨

f (z)

¢ ®ªà¥áâ­®áâ¨


12

â®çª¨ a,   àï¤ë ∞ X

f1 (z) = f2 (z) =

c−n , (z − a)n

(2)

cn (z − a)n

(3)

n=1 ∞ X n=0

­ §ë¢ îâ ᮮ⢥âá⢥­­® £« ¢­®© ç áâìî ¨ ¯à ¢¨«ì­®© ç áâìî à鸞 ‹®à ­  ä㭪樨 f (z) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ a. €­ «®£¨ç­®, ¥á«¨ äã­ªæ¨ï ॣã«ïà­  ¢ ®¡« á⨠R < |z| < < ∞, â® ®­  ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï á室ï騬áï ¢ í⮩ ®¡« á⨠à冷¬ ∞ X

f (z) =

cn z n ,

(4)

n=−∞

ª®â®àë© ­ §ë¢ îâ à冷¬ ‹®à ­  ä㭪樨 f (z) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠¡¥áª®­¥ç­® 㤠«¥­­®© â®çª¨ ,   àï¤ë f1 (z) =

∞ X

cn z n ,

n=1 ∞ X

f2 (z) = c0 +

c−n z −n

(5) (6)

n=1

­ §ë¢ îâ ᮮ⢥âá⢥­­® £« ¢­®© ¨ ¯à ¢¨«ì­®© ç áâìî à鸞 (4). ƒ« ¢­ë¥ ç á⨠(2) ¨ (5) à冷¢ ‹®à ­  (1) ¨ (4) á®áâ®ïâ ¨§ ¢á¥å â¥å ¨ ⮫쪮 â¥å ç«¥­®¢ íâ¨å à冷¢, ª®â®àë¥ áâ६ïâáï ª ¡¥áª®­¥ç­®á⨠¯à¨ z → a (z → ∞). ”ã­ªæ¨î f (z) ­ §ë¢ îâ ॣã«ïà­®© ¢ â®çª¥ z = ∞, ¥á«¨ íâ  äã­ªæ¨ï ॣã«ïà­  ¢ ª®«ìæ¥ R < |z| < ∞ ¨ áãé¥áâ¢ã¥â ª®­¥ç­ë© lim f (z). z→∞

3. “áâà ­¨¬ ï ®á®¡ ï â®çª .

„«ï ⮣® çâ®¡ë ª®­¥ç­ ï ¨«¨ ¡¥áª®­¥ç­® 㤠«¥­­ ï ¨§®«¨à®¢ ­­ ï ®á®¡ ï â®çª  a ¡ë«  ãáâà ­¨¬®©, ­¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç­®, çâ®¡ë ¢á¥ ª®íää¨æ¨¥­âë £« ¢­®© ç á⨠à鸞 ‹®à ­  ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ a ¡ë«¨ à ¢­ë ­ã«î, â. ¥. f1 (z) ≡ 0. …᫨ â®çª  z = a, £¤¥ a 6= ∞, ï¥âáï ãáâà ­¨¬®© ®á®¡®© â®çª®©


§ 2.

ˆ§®«¨à®¢ ­­ë¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ®¤­®§­ ç­®£® å à ªâ¥à 

13

ä㭪樨 f (z) =

â®, ¯®« £ ï

∞ X

cn (z − a)n ,

0 < |z − a| < R,

n=0

f (a) = lim f (z) = c0 , z→a

¯®«ãç ¥¬ äã­ªæ¨î, ॣã«ïà­ãî ¢ â®çª¥ a. ®í⮬㠭¥à¥¤ª® ãáâà ­¨¬ãî ®á®¡ãî â®çªã à áᬠâਢ îâ ª ª â®çªã ॣã«ïà­®áâ¨.

4. ®«îá 4.1. „«ï ⮣® çâ®¡ë ¨§®«¨à®¢ ­­ ï ®á®¡ ï â®çª  a (ª®-

­¥ç­ ï ¨ ¡¥áª®­¥ç­® 㤠«¥­­ ï) ¡ë«  ¯®«îᮬ ä㭪樨 f (z), ­¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç­®, çâ®¡ë £« ¢­ ï ç áâì à鸞 ‹®à ­  ä㭪樨 f (z) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ a ᮤ¥à¦ «  ª®­¥ç­®¥ ç¨á«® ­¥­ã«¥¢ëå á« £ ¥¬ëå.

4.2. ®«îá ¢ ª®­¥ç­®© â®çª¥

 ) ’®çª  z = a, £¤¥ a 6= ∞, ï¥âáï ¯®«îᮬ ä㭪樨 f (z) ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  íâ  äã­ªæ¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ f (z) = (z − a)−m h(z), h(a) 6= 0, m ∈ N, (7) £¤¥ h(z) | äã­ªæ¨ï, ॣã«ïà­ ï ¢ â®çª¥ a. —¨á«® m ­ §ë¢ ¥âáï ¯®à浪®¬ ¯®«îá . …᫨ â®çª  a 6= ∞ | ¯®«îá ä㭪樨 f (z), â® ¥£® ¯®à冷ª | â ª®¥ ç¨á«® m ∈ N, çâ® lim f (z)(z − a)m = α,

£¤¥ α 6= 0, ¨«¨ f (z) ∼

z→a

α , (z − a)m

α 6= 0

(z → a).

(8)

g(z) , £¤¥ g(z) ¨ h(z) | ä㭪樨, ॣã«ïà­ë¥ ¡) ãáâì f (z) = h(z) ¢ â®çª¥ a 6= ∞. ’®£¤  ¥á«¨ g(a) 6= 0,   â®çª  a | ­ã«ì ªà â­®á⨠m ä㭪樨 h(z), â® z = a | ¯®«îá m-£® ¯®à浪  ä㭪樨 f (z); ¥á«¨ â®çª  a ï¥âáï ­ã«¥¬ ä㭪権 g(z)


14

¨ h(z) ªà â­®á⨠k ¨ m ᮮ⢥âá⢥­­®, â® ¯à¨ m > k â®çª  z = a | ¯®«îá ä㭪樨 f (z) ªà â­®á⨠m − k,   ¯à¨ m 6 k | ãáâà ­¨¬ ï ®á®¡ ï â®çª .

4.3. ®«îá ¢ ¡¥áª®­¥ç­® 㤠«¥­­®© â®çª¥ a) ’®çª  z = ∞ ï¥âáï ¯®«îᮬ ä㭪樨 f (z) ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  íâ  äã­ªæ¨ï ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ¢¨¤¥ f (z) = z m g(z), g(∞) 6= 0, m ∈ N. (9) —¨á«® m ¢ ä®à¬ã«¥ (9) ­ §ë¢ ¥âáï ¯®à浪®¬ ¯®«îá  z = = ∞. …᫨ z = ∞ | ¯®«îá ä㭪樨 f (z), â® ¥£® ¯®à冷ª m | â ª®¥ ç¨á«®, çâ® z→∞ lim fz(z) m = α, £¤¥ α 6= 0, ¨«¨ f (z) ∼ αz m ,

α 6= 0

(z → ∞).

¡) ®à冷ª m ¯®«îá  z ¡=¢ ∞ ä㭪樨 f (z) ­®á⨠­ã«ï ä㭪樨 f z1 ¢ â®çª¥ z = 0.

(10) à ¢¥­ ªà â-

5. ‘ãé¥á⢥­­® ®á®¡ ï â®çª  5.1. „«ï ⮣® çâ®¡ë ¨§®«¨à®¢ ­­ ï ®á®¡ ï â®çª  a ¡ë« 

áãé¥á⢥­­® ®á®¡®© â®çª®© ä㭪樨 f (z), ­¥®¡å®¤¨¬® ¨ ¤®áâ â®ç­®, çâ®¡ë £« ¢­ ï ç áâì à鸞 ‹®à ­  ä㭪樨 f (z) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ a ᮤ¥à¦ «  ¡¥áª®­¥ç­®¥ ç¨á«® ­¥­ã«¥¢ëå á« £ ¥¬ëå. 5.2. ’¥®à¥¬  ‘®å®æª®£®. …᫨ a ∈ C | áãé¥á⢥­­® ®á®¡ ï â®çª  ä㭪樨 f (z), â® ¤«ï «î¡®£® A ∈ C ­ ©¤¥âáï ¯®á«¥¤®¢ â¥«ì­®áâì â®ç¥ª {zn }, á室ïé ïáï ª â®çª¥ a ¨ â ª ï, çâ® lim f (zn ) = A. n→∞ 5.3. ’¥®à¥¬  ¨ª à . …᫨ a ∈ C | áãé¥á⢥­­® ®á®¡ ï â®çª  ä㭪樨 f (z), â® ¤«ï «î¡®£® A ∈ C, ªà®¬¥, ¡ëâì ¬®¦¥â, ®¤­®£®, ãà ¢­¥­¨¥ f (z) = A ¨¬¥¥â ¢ «î¡®© ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ a ¡¥áª®­¥ç­®¥ ¬­®¦¥á⢮ à¥è¥­¨© (ª®à­¥©).

6. –¥«ë¥ ¨ ¬¥à®¬®àä­ë¥ ä㭪樨 6.1. …᫨ äã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­  ¢ ª ¦¤®© â®çª¥ z ∈ C,

â® â ª ï äã­ªæ¨ï ­ §ë¢ ¥âáï 楫®©. ”ã­ªæ¨ï f (z) ­ §ë¢ ¥âáï


§ 2.

ˆ§®«¨à®¢ ­­ë¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ®¤­®§­ ç­®£® å à ªâ¥à 

15

¬¥à®¬®àä­®© , ¥á«¨ ­  ª ¦¤®¬ ®£à ­¨ç¥­­®¬ ¬­®¦¥á⢥ G ∈ C íâ  äã­ªæ¨ï ॣã«ïà­ , §  ¨áª«î祭¨¥¬, ¡ëâì ¬®¦¥â, ª®­¥ç­®£® ç¨á«  ¯®«îᮢ. 6.2. …᫨ z = ∞ | ¯®«îá ¯®à浪  n 楫®© ä㭪樨 f (z), â® f (z) | ¬­®£®ç«¥­ á⥯¥­¨ n,   ¥á«¨ 楫 ï äã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­  ¢ â®çª¥ z = ∞, â® f (z) = const. –¥«ãî äã­ªæ¨î, ¤«ï ª®â®à®© z = ∞ | áãé¥á⢥­­® ®á®¡ ï â®çª , ­ §ë¢ îâ 楫®© âà ­á楤¥­â­®©. ’ ª¨¬¨ ïîâáï ä㭪樨 ez ,

sin z,

cos z,

sh z,

ch z.

6.3. ’¥®à¥¬  ‹¨ã¢¨««ï ¤«ï 楫®© ä㭪樨. …᫨

楫 ï äã­ªæ¨ï f (z) 㤮¢«¥â¢®àï¥â ¢ ®¡« á⨠R < |z| < ∞ ­¥à ¢¥­áâ¢ã m |f (z)| 6 M |z| ,

£¤¥ M > 0, m | 楫®¥, m > 0, â® f (z) | ¬­®£®ç«¥­ á⥯¥­¨ ­¥ ¢ëè¥ m.

à¨¬¥àë á à¥è¥­¨ï¬¨ à¨¬¥à.  ©â¨ ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ä㭪樨 f (z) ¨ ®¯à¥¤¥«¨âì ¨å ¢¨¤ (⨯), ¥á«¨: f (z) = cos11/z 6 1) f (z) = e1/z2 ; 2) f (z) = (z+1)z2 (z2 +4) ; z−π 3) f (z) = cos11/z ; 4) f (z) = sin 2z−2 sin z ; 1 1 1/ sin z 5) f (z) = e ; 6) f (z) = z − ez −1 . ¥è¥­¨¥. 1) ”ã­ªæ¨ï e1/z2 ॣã«ïà­  ¢® ¢á¥å â®çª å z ∈ ∈ C, ªà®¬¥ â®çª¨ z = 0. ãáâì z = x + iy , ⮣¤  ¥á«¨ z = 2 2 = x, â® e1/x → ∞ ¯à¨ x → 0,   ¥á«¨ z = iy , â® e−1/y → 0 ¯à¨ y → 0. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, äã­ªæ¨ï e1/z2 ­¥ ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥«  ¢ â®çª¥ z = 0 ¨ ¯®í⮬ã z = 0 | áãé¥á⢥­­® ®á®¡ ï â®çª  í⮩2 ä㭪樨. â® ¬®¦­® ãáâ ­®¢¨âì, ¯à¥¤áâ ¢¨¢ äã­ªæ¨î e1/z à冷¬ ‹®à ­  ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ z = 0, â. ¥. à冷¬ e

1/z 2

ƒ« ¢­ ï ç áâì í⮣® à鸞

=1+

∞ X

1 . n!z 2n

n=1 ∞ P

f1 (z) =

n=1

1 n!z 2n

ᮤ¥à¦¨â ¡¥áª®­¥ç-


16

­®¥ ç¨á«® ­¥­ã«¥¢ëå á« £ ¥¬ëå. ’®çª  z = ∞ ¥áâì â®çª  ॣã«ïà­®á⨠ä㭪樨 e1/z2 , â ª ª ª 2

lim e1/z = 0.

z→∞

â® ã⢥ত¥­¨¥ à ¢­®á¨«ì­® ⮬ã, çâ® äã­ªæ¨ï eζ 2 ॣã«ïà­  ¢ â®çª¥ ζ = 0. 2) ã«¨ ä㭪権 (z + 1)2 ¨ z 2 + 4, â. ¥. â®çª¨ z1 = −1, z2 = = 2i, z3 = −2i ïîâáï ¯®«îá ¬¨ ä㭪樨 f (z), ¯à¨ç¥¬ z1 | ¯®«îá ¢â®à®£® ¯®à浪 ,   z2 ¨ z3 | ¯®«îá  ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , â ª ª ª í⨠â®çª¨ ­¥ ïîâáï ­ã«ï¬¨ ä㭪樨 z 6 , z1 | ­ã«ì ªà â­®á⨠2 ä㭪樨 (z + 1)2 ,   z2 ¨ z3 | ­ã«¨ ªà â­®á⨠1 ä㭪樨 z 2 + 4. ’®çª  z = ∞ | ¯®«îá ¢â®à®£® ¯®à浪  ä㭪樨 f (z), â ª ª ª f (z) ॣã«ïà­  ¢ ®¡« á⨠|z| > 2 ¨ f (z) ∼ z 2 ¯à¨ z → ∞. „àã£¨å ®á®¡ëå â®ç¥ª ¢ C ã ä㭪樨 f (z) ­¥â. 3) ã«¨ ä㭪樨 cos z1 , â. ¥. â®çª¨ zk =

π 2

1 , + πk

k ∈ Z,

ïîâáï ¯®«îá ¬¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . „¥©á⢨⥫쭮, ¥á«¨ ϕ(z) = cos z1 , â® ϕ0 (zk ) = −

1 1 (−1)n+1 sin = 6= 0. 2 zk zk zk2

’®çª  z = 0 ­¥ ï¥âáï ¨§®«¨à®¢ ­­®© ®á®¡®© â®çª®©. Ž­  ï¥âáï ¯à¥¤¥«ì­®© â®çª®© (â®çª®© ­ ª®¯«¥­¨ï) ¯®«îᮢ zk . ’®çª  z = ∞ | â®çª  ॣã«ïà­®á⨠ä㭪樨 f (z), â ª ª ª äã­ªæ¨ï cos1 ζ ॣã«ïà­  ¢ â®çª¥ ζ = 0. „àã£¨å ®á®¡ëå â®ç¥ª ¢ C ã ä㭪樨 f (z) ­¥â. 4) ãáâì g(z) = sin 2z − 2 sin z , ⮣¤  g(z) = 2 sin z(cos z − 1).

’ ª ª ª zk

= kπ (k ∈ Z) | zem = 2mπ (m ∈ Z) | ­ã«¨

­ã«¨ ªà â­®á⨠1 ä㭪樨 sin z ,   ªà â­®á⨠1 ä㭪樨 cos z − 1, â®


§ 2.

ˆ§®«¨à®¢ ­­ë¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ®¤­®§­ ç­®£® å à ªâ¥à 

zn0 = 2nπ (n ∈ Z)

17

| ­ã«¨ ªà â­®á⨠2 ä㭪樨 g(z),   zn00 = (2n + 1)π

(n ∈ Z)

| ­ã«¨ ªà â­®á⨠1 í⮩ ä㭪樨. ®í⮬ã â®çª¨ zn0 | ¯®«îáë ¢â®à®£® ¯®à浪  ä㭪樨 f (z),   â®çª¨ zn00 (ªà®¬¥ â®çª¨ z = π ) | ¯®«îáë ¯¥à¢®£® ¯®à浪  ä㭪樨 f (z), â ª ª ª z = = π | ­ã«ì ä㭪樨 z − π . ’®çª  z = ∞ ï¥âáï ¯à¥¤¥«ì­®© â®çª®© ¯®«îᮢ ä㭪樨 f (z),   ¤àã£¨å ®á®¡ëå â®ç¥ª (ªà®¬¥ ¯¥à¥ç¨á«¥­­ëå) ã ä㭪樨 f (z) ¢ C ­¥â. 5) ®ª ¦¥¬, çâ® â®çª¨ zk = kπ, k ∈ Z (­ã«¨ ä㭪樨 sin z ) ïîâáï áãé¥á⢥­­® ®á®¡ë¬¨ â®çª ¬¨ ä㭪樨 f (z). ãáâì g(z) = sin z , ⮣¤  g(zk ) = 0,

g 0 (zk ) = cos kπ = (−1)k

¨ ¯®í⮬ã sin z = (−1)k (z − kπ)h(z),

£¤¥

h(kπ) = 1.

ãáâì k = 2n, ⮣¤  sin z = (z − 2πn)h(z).

…᫨ z = x ¨ x → 2πn + 0, â® sin x → +0 ¨ f (x) → +∞,   ¥á«¨ z = x ¨ x → 2π − 0, â® sin x → −0 ¨ f (x) → 0. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, äã­ªæ¨ï f (z) ­¥ ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥«  ¯à¨ z → 2πn, n ∈ Z, ¨ â®çª¨ 2πn | áãé¥á⢥­­® ®á®¡ë¥. €­ «®£¨ç­® ãáâ ­®¢¨¬, çâ® â®çª¨ (2n + 1)π, n ∈ Z, â ª¦¥ ïîâáï áãé¥á⢥­­® ®á®¡ë¬¨. ˆâ ª, â®çª¨ zk = kπ, k ∈ Z, | áãé¥á⢥­­® ®á®¡ë¥ â®çª¨ ä㭪樨 f (z),   â®çª  z = ∞ | ¨å ¯à¥¤¥«ì­ ï â®çª . 6) ‡ ¯¨è¥¬ f (z) ¢ ¢¨¤¥ f (z) =

ez − 1 − z . z(ez − 1)

ã«¨ ä㭪樨 ez − 1, â. ¥. â®çª¨ zk = 2kπi (k ∈ Z, k 6= 0) | ¯®«îáë ¯¥à¢®£® ¯®à浪  ä㭪樨 f (z) (®­¨ ­¥ ïîâáï ­ã«ï¬¨ ä㭪樨 ez − 1 − z ). ’®çª  z = 0 | ãáâà ­¨¬ ï ®á®¡ ï


18

â®çª , â ª ª ª ®­  ï¥âáï ­ã«¥¬ ¢â®à®£® ¯®à浪  ä㭪権 ez − 1 − z ¨ z(ez − 1). ’®çª  z = ∞ | ¯à¥¤¥«ì­ ï â®çª  ¯®«îᮢ ä㭪樨 f (z).

à¨¬¥à.

 ©â¨ £« ¢­ãî ç áâì f1 (z) à鸞 ‹®à ­  ä㭪樨 f (z) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ a ¨ ®¯à¥¤¥«¨âì ¢¨¤ ®á®¡®© â®çª¨ a, ¥á«¨ 1 f (z) = z cos z−1 , a=1 1 1) f (z) = z 3 e1/z , a = 0; 2) f (z) = (z2 +1) 2 , a = i; 5 2 1 3) f (z) = z cos z−1 , a = 1; 4) f (z) = zz2+z , a = ∞. +4

¥è¥­¨¥. 1) ’ ª ª ª e1/z =

∞ P n=0

1 z n n!

, â®

f (z) = z 3 + z 2 +

z 1 X 1 , + + 2 6 n!z n−3 n=4

f1 (z) =

∞ X n=1

1 . (n + 3)!z n

ƒ« ¢­ ï ç áâì f1 (z) ᮤ¥à¦¨â ¡¥áª®­¥ç­®¥ ç¨á«® ­¥­ã«¥¢ëå á« £ ¥¬ëå ¨ ¯®í⮬ã z = 0 | áãé¥á⢥­­® ®á®¡ ï â®çª  ä㭪樨 f (z). h(z) 2) f (z) = (z−i) 2, h(z) =

1 (z+i)2

£¤¥ h(i) = − 14 , f1 (z) =

= h(i) + h0 (i)(z − i) +

2 i h0 (i) = − (2i) 3 = −4,

∞ P

k=2

h(k) (i) k! (z

− i)k ,

®âªã¤ 

h(i) 1 h0 (i) i =− , + − 2 2 (z − i) z−i 4(z − i) 4(z − i)

  z = i | ¯®«îá ¢â®à®£® ¯®à浪  ä㭪樨 f (z). 3) ãáâì z − 1 = t, ⮣¤  f (z) = ϕ(t) = (t + 1) cos 1t . à¥¤áâ ¢¨¬ äã­ªæ¨î ϕ(t) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ t = 0 ¥¥ à冷¬ ‹®à ­  Ã

∞ X (−1)n ϕ(t) = (t + 1) 1 + (2n)!t2n

!

.

n=1

Žâá á«¥¤ã¥â, çâ® £« ¢­ ï ç áâì à鸞 ‹®à ­  ä㭪樨 f (z)


§ 2.

ˆ§®«¨à®¢ ­­ë¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ®¤­®§­ ç­®£® å à ªâ¥à 

¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ z = 1 | àï¤ f1 (z) =

∞ X

n=1

19

X (−1)n (−1)n + , (2n)!z 2n−1 (2n)!z 2n n=1

  z = 1 | áãé¥á⢥­­® ®á®¡ ï â®çª  ä㭪樨 f (z). 4)  §¤¥«¨¢ ¬­®£®ç«¥­ z 5 + z 2 ­  ¬­®£®ç«¥­ z 2 + 4, ¯à¥¤áâ ¢¨¬ äã­ªæ¨î f (z) ¢ ¢¨¤¥ f (z) = z 3 − 4z +

z 2 + 16z . z2 + 4

”ã­ªæ¨ï g(z) = zz+16z ॣã«ïà­  ¢ â®çª¥ z = ∞, â ª ª ª ®­  2 +4 ॣã«ïà­  ¢ ®¡« á⨠|z| > 2 ¨ áãé¥áâ¢ã¥â z→∞ lim g(z) = 1. ®í⮬㠣« ¢­ ï ç áâì à鸞 ‹®à ­  ä㭪樨 f (z) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠¡¥áª®­¥ç­® 㤠«¥­­®© â®çª¨ ¥áâì á㬬  z 3 −4z ,   z = ∞ | ¯®«îá âà¥â쥣® ¯®à浪  ä㭪樨 f (z). à¨¬¥à. ãáâì a 6= ∞ | áãé¥á⢥­­® ®á®¡ ï â®çª  ä㭪樨 f (z) ¨ ¯®«îá ä㭪樨 g(z). „®ª ¦¥¬, çâ® z = a | áãé¥á⢥­­® ®á®¡ ï â®çª  ä㭪樨 ϕ(z) = f (z)g(z). ¥è¥­¨¥. à¥¤¯®«®¦¨¬ ¯à®â¨¢­®¥. ’®£¤  z = a | «¨¡® ãáâà ­¨¬ ï ®á®¡ ï â®çª , «¨¡® ¯®«îá ä㭪樨 ϕ(z). …᫨ z = = a | ãáâà ­¨¬ ï ®á®¡ ï â®çª  ä㭪樨 ϕ(z), â® áãé¥áâ¢ã¥â ª®­¥ç­ë© z→a lim ϕ(z) = A. ® ãá«®¢¨î z = a | ¯®«îá äã­ªh(z) 樨 g(z) ¨ ¯®í⮬ã g(z) = (z−a) m , h(a) 6= 0, m ∈ N. ® ⮣¤  äã­ªæ¨ï 2

f (z) =

ϕ(z) ϕ(z) = (z − a)m g(z) h(z)

¨¬¥¥â ¢ â®çª¥ a ¯à¥¤¥«, à ¢­ë© ­ã«î, çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ãá«®¢¨î (äã­ªæ¨ï f (z) ­¥ ¨¬¥¥â ¯à¥¤¥«  ¢ â®çª¥ a, â ª ª ª ¤«ï ­¥¥ â®çª  a ï¥âáï áãé¥á⢥­­® ®á®¡®©). …᫨ z = a | ¯®«îá ä㭪樨 ϕ(z), â® ϕ(z) =

¨ ⮣¤ 

h1 (z) , (z − a)k

h1 (a) 6= 0,

k ∈ N,

h1 (z) (z − a)m−k , h(z) m > k â®çª  z = a

f (z) =

®âªã¤  á«¥¤ã¥â, çâ® ¯à¨

ï¥âáï ãáâà ­¨-


20

¬®©,   ¯à¨ m < k | ¯®«îᮬ ä㭪樨 f (z), çâ® ¯à®â¨¢®à¥ç¨â ãá«®¢¨î. ˆâ ª, z = a | áãé¥á⢥­­® ®á®¡ ï â®çª  ä㭪樨 ϕ(z). à¨¬¥à.  ©â¨ ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ä㭪樨 f (z) ¨ ®¯à¥¤¥3 1 e1/z cos z+1 «¨âì ¨å ¢¨¤: f (z) = sin3 z(z4 +1) 2 1)

f (z) =

e1/(i−z) 1+sin πiz 2

3)

f (z) =

1 z+1 sin3 z(z 4 +1)2

3

e1/z cos

; 2)

f (z) =

; 4)

ectg πz (z 2 −1)2 (ch z+1)

f (z) =

(z 2 +π 2 ) tg z sh z

; ¡ π/(2z) ¢ e −e .

¥è¥­¨¥. 1) Žá®¡ë¬¨ â®çª ¬¨ ä㭪樨 f (z) ¢ C ¬®£ãâ ¡ëâì ⮫쪮 â®çª  z = i ¨ ª®à­¨ ãà ¢­¥­¨ï sin πiz 2 = −1 | â®çª¨ zk â ª¨¥, çâ® π πizk = − + 2kπ, 2 2 ®âªã¤  zk = i(1 − 4k), k ∈ Z. ’®çª  i ï¥âáï áãé¥á⢥­­® 1 . ®á®¡®© â®çª®© ä㭪樨 e1/(i−z) ¨ ¯®«îᮬ ä㭪樨 1+sin(πiz/2) Žâªã¤  á«¥¤ã¥â (¯à¨¬¥à 3), çâ® z = i | áãé¥á⢥­­® ®á®¡ ï â®çª  ä㭪樨 f (z). ’®çª¨ zk (k 6= 0) | ¯®«îáë ¯¥à¢®£® ¯®à浪  ä㭪樨 f (z), â ª ª ª ¢ ᨫã ãá«®¢¨ï cos πiz2 k 6= 0 ®­¨ ïîâáï ­ã«ï¬¨ ªà â­®á⨠1 ä㭪樨 1 + sin πiz 2 ,   z = ∞ |

¯à¥¤¥«ì­ ï â®çª  ¯®«îᮢ. 2) Žá®¡ë¬¨ â®çª ¬¨ ä㭪樨 f (z) ¢ C ¬®£ãâ ¡ëâì ⮫쪮 â®çª¨ 1 ¨ −1,   â ª¦¥ ª®à­¨ zk ãà ¢­¥­¨ï sin πz = 0 (ç¨á«  zk = k , k ∈ Z) ¨ ª®à­¨ zek ãà ¢­¥­¨ï ch z = −1, à ¢­®á¨«ì­®£® ãà ¢­¥­¨î ez = −1, ®âªã¤  zek = iπ + 2kπi (k ∈ Z). ’®çª¨ zk = k (k ∈ Z, k 6= ±1) | áãé¥á⢥­­® ®á®¡ë¥ â®çª¨ ä㭪樨 f (z), â®çª¨ z = ±1 â ª¦¥ ïîâáï (¯à¨¬¥à 3) áãé¥á⢥­­® ®á®¡ë¬¨ | íâ® ¯®«îáë ä㭪樨 (z2 −1)21(ch z+1) . ’®çª¨ zek | ¯®«îáë ¯¥à¢®£® ¯®à浪  (sh zk 6= 0) ä㭪樨 f (z). ’®çª  z = ∞ | ¯à¥¤¥«ì­ ï â®çª  ¤«ï â®ç¥ª zk ¨ zek . 3) ’®çª  z = 0 | ­ã«ì ä㭪樨 sin z = 0 (¯®«îá ä㭪樨 f (z)e−1/z3 ) ¨ áãé¥á⢥­­® ®á®¡ ï â®çª  ä㭪樨 e−1/z3 ï¥âáï áãé¥á⢥­­® ®á®¡®© â®çª®© ä㭪樨 f (z) (¯à¨¬¥à 3).


§ 3.

‚ëç¨á«¥­¨¥ ¢ëç¥â®¢

21

’®çª  z = −1 â ª¦¥ ï¥âáï áãé¥á⢥­­® ®á®¡®© â®çª®© ä㭪樨 f (z). Š®à­¨ ãà ¢­¥­¨ï z 4 = −1,

â. ¥. â®çª¨ zk = eiπ(2k+1)/4 (k = 0, 1, 2, 3) | ¯®«îáë ¢â®à®£® ¯®à浪 ,   â®çª¨ zek = kπ (k ∈ Z, k 6= 0) | ¯®«îáë âà¥â쥣® ¯®à浪  ä㭪樨 f (z). ’®çª  z = ∞ | ¯à¥¤¥«ì­ ï â®çª  ¯®«îᮢ zek . 4) Žá®¡ë¬¨ â®çª ¬¨ ¢ C ¬®£ãâ ¡ëâì ⮫쪮 ­ã«¨ ä㭪権 cos z , sh z ¨ â®çª  z = 0. ’®çª  z = 0 | áãé¥á⢥­­® ®á®¡ ï â®çª  ä㭪権 eπ/(2z) ¨ f (z), â®çª¨ zk = π2 + kπ (k ∈ Z) | ­ã«¨ ªà â­®á⨠1 ä㭪樨 cos z | ïîâáï ¯®«îá ¬¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪  ä㭪樨 f (z). ã«¨ ä㭪樨 sh z | â®çª¨ zek = kπi (k ∈ Z, k 6= ±1) | ïîâáï ¯®«îá ¬¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪  ä㭪樨 f (z),   iπ ¨ −iπ | ãáâà ­¨¬ë¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨, z = ∞ | ¯à¥¤¥«ì­ ï â®çª  ¯®«îᮢ zek . § 3.

‚ëç¨á«¥­¨¥ ¢ëç¥â®¢

‘¯à ¢®ç­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï

1. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ ¢ëç¥â  1.1. ‚ëç¥â ¢ ª®­¥ç­®© â®çª¥.

ãáâì a ∈ C | ¨§®«¨à®¢ ­­ ï ®á®¡ ï â®çª  ®¤­®§­ ç­®£® å à ªâ¥à  ä㭪樨 f (z). ’®£¤  äã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­  ¢ ª®«ìæ¥ 0 < |z − a| < ρ. …᫨ γR = {z : |z − a| = R},

£¤¥ 0 < R < ρ | ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®à¨¥­â¨à®¢ ­­ ï ®ªà㦭®áâì, â® ¢ëç¥â®¬ ä㭪樨 f (z) ¢ â®çª¥ a ­ §ë¢ ¥âáï ç¨á«® 1 2πi

,

f (z) dz, γR


22

ª®â®à®¥ ®¡®§­ ç ¥âáï z=a res f (z). ˆâ ª, ,

1 res f (z) = z=a 2πi

f (z) dz.

(1)

|z−a|=R

+

‘¨¬¢®« 㪠§ë¢ ¥â ­  â®, çâ® ®¡å®¤ ª®­âãà  á®¢¥àè ¥âáï ¢ ¯®«®¦¨â¥«ì­®¬ ­ ¯à ¢«¥­¨¨ (¯à®â¨¢ ç á®¢®© áâ५ª¨).

1.2. ‚ëç¥â ¢ ¡¥áª®­¥ç­® 㤠«¥­­®© â®çª¥.

ãáâì äã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­  ¢ ®¡« á⨠|z| > ρ (â®çª  z = = ∞ ï¥âáï «¨¡® ¨§®«¨à®¢ ­­®© ®á®¡®© â®çª®© ®¤­®§­ ç­®£® å à ªâ¥à , «¨¡® â®çª®© ॣã«ïà­®á⨠ä㭪樨 f (z)). ’®£¤  ¢ëç¥â®¬ ä㭪樨 f (z) ¢ ¡¥áª®­¥ç­®á⨠­ §ë¢ ¥âáï ç¨á«®, ®¯à¥¤¥«ï¥¬®¥ ä®à¬ã«®© 1 res f (z) = z=∞ 2πi

.

f (z) dz,

0 < ρ < R,

(2)

γR

£¤¥ γR = {z : |z| = R} | ®ªà㦭®áâì à ¤¨ãá  R, ®à¨¥­â¨à®¢ ­­ ï ¯® ç á®¢®© áâ५ª¥ (¯à¨ ®¡å®¤¥ γR ®¡« áâì |z| > R ®áâ ¥âáï á«¥¢ ). ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¥á«¨ äã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­  ¢ â®çª¥ a = 6 ∞, â® z=a res f (z) = 0,   ¥á«¨ äã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­  ¢ â®çª¥ z = ∞, â® ®âá ­¥ á«¥¤ã¥â, çâ® ¥¥ ¢ëç¥â ¢ ¡¥áª®­¥ç­®á⨠ࠢ¥­ ­ã«î ³ ´ res 1/z = −1 . z=∞

2. ’¥®à¥¬  ® ¢ëç¥â å.

…᫨ äã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­  ¢ C, §  ¨áª«î祭¨¥¬ ª®­¥ç­®£® ç¨á«  ¨§®«¨à®¢ ­­ëå ®á®¡ëå â®ç¥ª z1 , z2 , . . . , zn , â® á㬬  ¢á¥å ¢ëç¥â®¢ ä㭪樨 f (z), ¢ª«îç ï ¨ ¢ëç¥â ¢ â®çª¥ z = ∞, à ¢­  ­ã«î, â. ¥. n X

®âªã¤ 

k=1

res f (z) + res f (z) = 0,

z=zk

res f (z) = −

z=∞

z=∞

n X k=1

res f (z).

z=zk

(3)


§ 3.

‚ëç¨á«¥­¨¥ ¢ëç¥â®¢

23

3. ‚ëç¥âë ¨ àï¤ ‹®à ­  3.1. …᫨ äã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­  ¢ ¯à®ª®«®â®© ®ªà¥áâ-

­®á⨠â®çª¨ a, â. ¥. ¢ ª®«ìæ¥ 0 < |z − a| < ρ, â® ®­  ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ í⮬ ª®«ìæ¥ à冷¬ ‹®à ­  ∞ X

f (z) =

cn (z − a)n ,

(4)

n=−∞ ∞ P

c−n £¤¥ f1 (z) = (z−a)n | £« ¢­ ï ç áâì à鸞 ‹®à ­ . n=1 ’®£¤ 

res f (z) = c−1 ,

z=a

â. ¥. ¢ëç¥â ä㭪樨 1 ‹®à ­  (4) ¯à¨ z−a .

f (z)

3.2. ɇǬ f (z) =

¢ â®çª¥

∞ P n=−∞

cn z n

a

(5)

à ¢¥­ ª®íää¨æ¨¥­âã à鸞

| àï¤ ‹®à ­  ä㭪樨 f (z),

ॣã«ïà­®© ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ z = ∞ (¢ ®¡« á⨠|z| > ρ), â® res f (z) = −c1 , (6) z=∞ â. ¥. ¢ëç¥â ¢ â®çª¥ z = ∞ à ¢¥­ ª®íää¨æ¨¥­âã í⮣® à鸞 ¯à¨ 1 z , ¢§ï⮬ã á® §­ ª®¬ ¬¨­ãá.

4. ”®à¬ã«ë ¤«ï ¢ëç¥â  ¢ ª®­¥ç­®© â®çª¥. 4.1. ®«îá ¯¥à¢®£® ¯®à浪 .

…᫨ z = a (a 6= ∞) | ¯®«îá ¯¥à¢®£® ¯®à浪  (¯à®á⮩ ¯®«îá) ä㭪樨 f (z), â® res f (z) = lim [(z − a)f (z)] . (7) z=a z→a h(z) ãáâì f (z) = ϕ(z) , £¤¥ ¢ â®çª¥ a, ¯à¨ç¥¬

h(z)

ϕ(a) = 0,

¨

ϕ(z)

| ä㭪樨, ॣã«ïà­ë¥

ϕ0 (a) 6= 0.

’®£¤  res f (z) =

z=a

h(a) . ϕ0 (a)

(8)


24

‚ ç áâ­®áâ¨, ¥á«¨ ϕ(z) = z − a, â. ¥. f (z) =

â®

h(z) , z−a

(9)

res f (z) = h(a).

z=a

4.2. ®«îá ¯®à浪  m > 1.

…᫨ z = a (a 6= ∞) | ¯®«îá ¯®à浪  m > 1, â® res f (z) =

z=a

1 lim [(z − a)m f (z)](m−1) . (m − 1)! z→a

(10)

‚ ç áâ­®áâ¨, ¥á«¨ f (z) =

h(z) , (z − a)m

(11)

£¤¥ h(z) | äã­ªæ¨ï, ॣã«ïà­ ï ¢ â®çª¥, ¨ h(a) 6= 0, â® res f (z) =

z=a

1 h(m−1) (a), (m − 1)!

(12)

â. ¥. ¢ëç¥â ä㭪樨 f (z) ¢ â®çª¥ a à ¢¥­ ª®íää¨æ¨¥­â㠯ਠ∞ P (z − a)m−1 à鸞 ’¥©«®à  h(z) = cn (z − a)n . n=0

5. ”®à¬ã«ë ¤«ï ¢ëç¥â  ¢ ¡¥áª®­¥ç­® 㤠«¥­­®© â®çª¥. 5.1. …᫨ äã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­  ¢ â®çª¥ z = ∞, â® res f (z) = lim [z (f (∞) − f (z))] .

z=∞

z→∞

(13)

5.2. ãáâì z = ∞ | ­ã«ì ¯®à浪  k ä㭪樨 f (z), ⮣¤  f (z) ∼

A zk

¯à¨

z → ∞,

A 6= 0.

(14)

…᫨ ¢  á¨¬¯â®â¨ç¥áª®© ä®à¬ã«¥ (14) k = 1, â® A ¨ ⮣¤  z res f (z) = 0.

f (z) ∼

  ¥á«¨ k > 2, â® z=∞

res f (z) = −A,

z=∞

(14)


§ 3.

‚ëç¨á«¥­¨¥ ¢ëç¥â®¢

25

5.3. …᫨ äã­ªæ¨ï f (z) ¯à¥¤áâ ¢«¥­  ¢ ¢¨¤¥ f (z) = ϕ

£¤¥ äã­ªæ¨ï ϕ(ζ) ॣã«ïà­  ¢ â®çª¥ ζ = 0, â®

à¨¬¥à.

f (z) =

2 cos z−cos3 z sin z

,

 ©â¨ z=a res f (z), ¥á«¨:

2) f (z) = ze1/z2 , a = ∞; 3 2 +3z , a = 1; , a = π; 4) f (z) = z +2z (z−1)3 1 , a = 0; 6) f (z) = ez/(1−z) , a = 1 ¨ a = ∞; z(e2z −1)

f (z) =

7)

z+1 f (z) = z sin z−1 , a = 1;

f (z) =

a=π

,

−1;

1) 3) 5)

f (z) =

,

z

(15)

res f (z) = −ϕ0 (0).

z=∞

à¨¬¥àë á à¥è¥­¨ï¬¨

¡1¢

z 2 +7z a= z 2 −z−2 2 cos z−cos3 z sin z

8) f (z) =

z2 (z−2)(z 2 +1)

,

a = ∞.

¥è¥­¨¥. 1) ’ ª ª ª z 2 − z − 2 = (z + 1)(z − 2),

â® f (z) = ­ å®¤¨¬

g(z) z+1

, £¤¥ g(z) =

z 2 +7z z−2

. ® ä®à¬ã«¥ (9), £¤¥ g(−1) = 2,

res f (z) = g(−1) = 2.

z=−1

2) ”ã­ªæ¨ï f (z) ¯à¥¤áâ ¢«ï¥âáï ¢ ®¡« á⨠D = {z : 0 < |z| < < ∞} à冷¬ ‹®à ­  ∞

1 1 X f (z) = z + + , 2n−1 z n!z n=2

¢ ª®â®à®¬ ª®íää¨æ¨¥­â ¯à¨ z1 à ¢¥­ 1. ® ä®à¬ã«¥ (6) ­ å®¤¨¬ res f (z) = −1. z=∞ 3) ’®çª  z = π | ¯®«îá ¯¥à¢®£® ¯®à浪  ä㭪樨 â ª ª ª z = π | ­ã«ì ªà â­®á⨠1 ä㭪樨 sin z . ãáâì h(z) = 2 cos z − cos3 z,

’®£¤  ¯® ä®à¬ã«¥ (8), £¤¥ res f (z) = 1. z=π

f (z),

ϕ(z) = sin z.

h(π) = −1, ϕ0 (π) = −1,

­ å®¤¨¬


26

4) ’®çª  ãáâì

z = 1

| ¯®«îá âà¥â쥣® ¯®à浪  ä㭪樨

f (z).

h(z) = z 3 + 2z 2 + 3z,

⮣¤  ¯® ä®à¬ã«¥ (12), £¤¥ h00 (z) = 6z + 4, res f (z) =

z=1

h00 (1) = 10,

­ å®¤¨¬

h00 (1) = 5. 2

5) ’®çª  z = 0 | ¯®«îá ¢â®à®£® ¯®à浪  ä㭪樨 ‚®á¯®«ì§ã¥¬áï ä®à¬ã«®© (10).  ©¤¥¬ µ

lim

z→0

z e2z − 1

¶0

f (z).

e2z − 1 − 2ze2z . z→0 (e2z − 1)2

= lim

à¨¬¥­ïï ä®à¬ã«ã ’¥©«®à  ¤«ï ä㭪樨 e2z , ¯®«ãç ¥¬ e2z − 1 − 2ze2z = −2z 2 + . . . ,

(e2z − 1)2 = 4z 2 + . . . ,

¯®í⮬㠨᪮¬ë© ¯à¥¤¥« à ¢¥­ − 21 ¨ 6) ’ ª ª ª

z 1−z

= −1 −

1 z−1

, â®

µ f (z) = e−1 · e−1/(z−1) = e−1 1 −

res f (z) = − 12 .

z=0

¶ 1 1 + + . . . , z − 1 2(z − 1)2

®âªã¤  á«¥¤ã¥â, çâ® res f (z) = −e−1 .

z=1

”ã­ªæ¨ï f (z) ¨¬¥¥â ¢ C ¥¤¨­á⢥­­ãî ¨§®«¨à®¢ ­­ãî ®á®¡ãî â®çªã z = 1 ¨ ॣã«ïà­  ¢ ®¡« á⨠1 < |z| < ∞. ® ⥮६¥ ® ¢ëç¥â å (ä®à¬ã«  (3)) res f (z) = − res f (z) = e−1 .

z=∞

z=1

7) ®«®¦¨¬ t = z − 1, ⮣¤ 

¶ µ 2 = ϕ(t) f (z) = (t + 1) sin 1 + t

¨

res f (z) = res ϕ(z).

z=1

t=0


§ 3.

‚ëç¨á«¥­¨¥ ¢ëç¥â®¢

27

 ©¤¥¬ ª®íää¨æ¨¥­â c−1 ¯à¨

1 t

à鸞 ‹®à ­ 

µ ¶ 2 2 ϕ(t) = (t + 1) sin 1 · cos + cos 1 · sin = t t · µ ¶ µ ¶¸ 2 4 2 = (t + 1) sin 1 1 − 2 + . . . + cos 1 − 3 + ... . t t 3t

Žâá á«¥¤ã¥â, çâ® c−1 = 2 cos 1 − 2 sin 1 ¨ res f (z) = 2(cos 1 − z=1 − sin 1). 8) ”ã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­  ¢ ®¡« á⨠2 < |z| < ∞,   â®çª  z = ∞ ï¥âáï ¤«ï í⮩ ä㭪樨 ­ã«¥¬ ªà â­®á⨠1, ¯à¨ç¥¬ f (z) ∼ z1 ¯à¨ z → ∞. â® ®§­ ç ¥â, çâ® ª®íää¨æ¨¥­â à鸞 ‹®à ­  ä㭪樨 f (z) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ z = ∞ à ¢¥­ 1 ¨ ¯®í⮬ã z=∞ res f (z) = −1. à¨¬¥à.  ©â¨ ¢ëç¥âë ä㭪樨 f (z) ¢® ¢á¥å ¥¥ ª®­¥ç­ëå z 3 1/z ®á®¡ëå â®çª å ¨ ¢ ¡¥áª®­¥ç­®áâ¨, ¥á«¨: f (z) = z+1 e z4 z 1) f (z) = 1+z 2) f (z) = z3sin ; 4; (z−π) z 3 1/z 3) f (z) = z+1 e ; 4) f (z) = z 21−4 cos z−1 z+1 . ¥è¥­¨¥. 1) ã«ï¬¨ ä㭪樨 z 4 + 1, â. ¥. ª®à­ï¬¨ ãà ¢­¥­¨ï z 4 = −1, ïîâáï ç¨á«  zk = eiπ+2kπ/4 , k = 0, 1, 2, 3, ¨ â®çª¨ zk | ¯®«îáë ¯¥à¢®£® ¯®à浪  ä㭪樨 f (z). ® ä®à¬ã«¥ (8) ­ å®¤¨¬ res f (z) =

z=zk

£¤¥

zk4 zk = , 3 4 4zk

1+i i−1 z0 = √ , z1 = √ , 2 2 1+i 1−i z2 = −z0 = − √ , z3 = −z1 = √ . 2 2

® ⥮६¥ ® ¢ëç¥â å

res f (z) = −

z=∞

3 X k=0

res f (z) = 0.

z=zk

â®â १ã«ìâ â â ª¦¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ⮣®, çâ® àï¤ ‹®à ­  äã­ª-


28

樨 f (z) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠¡¥áª®­¥ç­®á⨠ᮤ¥à¦¨â ⮫쪮 ç«¥­ë ¢¨¤  c2k z 2k (k ∈ Z). 2) ’®çª  z = 0 | ¯®«îá ¢â®à®£® ¯®à浪  ä㭪樨 f (z),   â®çª  z = π | ãáâà ­¨¬ ï ®á®¡ ï â®çª  í⮩ ä㭪樨 (â®çª  ॣã«ïà­®áâ¨). „àã£¨å ®á®¡ëå â®ç¥ª ¢ ª®­¥ç­®© ¯«®áª®á⨠ã ä㭪樨 f (z) ­¥â.  ©¤¥¬ ª®íää¨æ¨¥­â c−1 à鸞 ‹®à ­  ¯à¨ 1 z ä㭪樨 f (z). ˆ¬¥¥¬ µ ¶µ ¶ z2 1 ³ z ´−1 1− + ... − 1− = 3! π π ¶ µ ¶µ 1 z2 z z2 =− 2 1− + ... 1 + + 2 + ... , πz 3! π π

1 f (z) = 2 z

®âªã¤  c−1 = − π12 ¨ res f (z) = − π12 . z=0 „ «¥¥, z=π res f (z) = 0,   res f (z) = − res f (z) = z=∞ z=0

1 π2

.

3) ‚ ª®­¥ç­®© ¯«®áª®á⨠äã­ªæ¨ï f (z) ¨¬¥¥â ¤¢¥ ¨§®«¨à®¢ ­­ë¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨: z = −1 (¯®«îá ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ) ¨ áãé¥á⢥­­® ®á®¡ãî â®çªã z = 0. ® ä®à¬ã«¥ (8) ­ å®¤¨¬ res f (z) = −e−1 . „«ï ­ å®¦¤¥z=−1 ­¨ï ¢ëç¥â  ¢ ¡¥áª®­¥ç­®á⨠¢®á¯®«ì§ã¥¬áï à §«®¦¥­¨¥¬ ä㭪樨 f (z) ¢ àï¤ ‹®à ­ : µ f (z) = z 1 + µ 2 =z 1− 2

¶ 1 −1 1/z e = z ¶µ ¶ 1 1 1 1 1 1 + − + ... 1 + + 2 + 3 + ... , z z2 z3 z 2z 6z

®âªã¤  ­ å®¤¨¬, çâ® ª®íää¨æ¨¥­â c−1 ¯à¨ z1 à ¢¥­ 61 − 12 + 1 − 1, â. ¥. c−1 = − 13 . ®í⮬ã z=∞ res f (z) = 13 . ® ⥮६¥ ® ¢ëç¥â å 1 res f (z) = − res f (z) − res f (z) = e−1 − . z=∞ z=−1 3

z=0

4) ‚ ª®­¥ç­®© ¯«®áª®á⨠äã­ªæ¨ï f (z) ¨¬¥¥â âਠ®á®¡ë¥ â®çª¨: z1 = 2 ¨ z2 = −2 | ¯®«îáë ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , z = −1 | áãé¥á⢥­­® ®á®¡ ï â®çª .


‚ëç¨á«¥­¨¥ ¢ëç¥â®¢

§ 3.

29

® ä®à¬ã«¥ (9) ­ å®¤¨¬ res f (z) = g(2),

z=2

£¤¥

g(z) =

z−1 1 cos . z+2 z+1

‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, res f (z) =

z=2

1 1 cos . 4 3

€­ «®£¨ç­® ­ å®¤¨¬ 1 res f (z) = − cos 3. z=−2 4

”ã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­  ¢ ¡¥áª®­¥ç­®á⨠¨ ¨¬¥¥â â ¬ ­ã«ì ¢â®à®£® ¯®à浪  (f (z) ∼ cos 1/z 2 ¯à¨ z → ∞). ®í⮬ã z=∞ res f (z) = = 0. ® ⥮६¥ ® ¢ëç¥â å 1 res f (z) = − res f (z) − res f (z) = z=−1 z=2 z=−2 4

µ ¶ 1 cos 3 − cos . 3

N

à¨¬¥à. ãáâì

Pn (z) = an z n + an−1 z n−1 + . . . + a1 z + a0 , Qn (z) = bn z n + bn−1 z n−1 + . . . + b1 z + b0 ,

£¤¥ an 6= 0, bn 6= 0, â. ¥. Pn (z) ¨ Qn (z) | ¬­®£®ç«¥­ë á⥯¥­¨ n. Pn (z)  ©¤¥¬ z=∞ res f (z), £¤¥ f (z) = Q . n (z) ¥è¥­¨¥. ”ã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­  ¢ â®çª¥ z = ∞. „«ï ­ å®¦¤¥­¨ï ¨áª®¬®£® ¢ëç¥â  ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ä®à¬ã«®© (13), £¤¥ f (∞) = abnn . ’®£¤  ¶ µ an an z n + an−1 z n−1 +. . .+ a1 z + a0 − = ϕ(z) z(f (∞) − f (z)) = z bn bn z n + bn−1 z n−1 +. . .+ b1 z + b0

¨«¨

ϕ(z) = z

Ã

an an + − bn bn +

an−1 z bn−1 z

+ ... + + ... +

a0 zn b0 zn

! =

an bn−1 − bn an−1 + h(z), b2n


30

£¤¥ h(z) → 0 ¯à¨ z → ∞, ®âªã¤  lim ϕ(z) =

z→∞

§ 4.

an bn−1 − bn an−1 = res f (z). z=∞ b2n

N

‚ëç¨á«¥­¨¥ ¨­â¥£à «®¢ ¯® § ¬ª­ã⮬㠪®­âãàã

‘¯à ¢®ç­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï à¨ ¢ëç¨á«¥­¨¨ ¨­â¥£à «®¢ ¯® § ¬ª­ãâë¬ ª®­âãà ¬ ¯à¨¬¥­ï¥âáï á«¥¤ãîé ï ⥮६ . ’¥®à¥¬  Š®è¨ ® ¢ëç¥â å. ãáâì D | ®¡« áâì ¢ C á ªãá®ç­®£« ¤ª®© £à ­¨æ¥© Γ,   äã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­  ¢ ®¡« á⨠D §  ¨áª«î祭¨¥¬ ª®­¥ç­®£® ç¨á«  ¨§®«¨à®¢ ­­ëå ®á®¡ëå â®ç¥ª ak ∈ D (k = 1, 2, . . . , n) (ª ¨å ç¨á«ã ®â­®á¨âáï ¨ â®çª  z = ∞, ¥á«¨ ∞ ∈ D), ªà®¬¥ ⮣®, äã­ªæ¨ï f (z) ­¥¯à¥à뢭  ¢¯«®âì ¤® £à ­¨æë Γ ®¡« á⨠D. ’®£¤  Z

f (z) dz = 2πi

n X k=1

Γ+

res f (z),

z=ak

£¤¥ | ¯®«®¦¨â¥«ì­® ®à¨¥­â¨à®¢ ­­ ï ®â­®á¨â¥«ì­® ®¡« á⨠D ªà¨¢ ï Γ. ‘«¥¤á⢨¥. (⥮६  ® ¯®«­®© á㬬¥ ¢ëç¥â®¢) ãáâì äã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­  ¢® ¢á¥© ¯«®áª®á⨠C §  ¨áª«î祭¨¥¬ ª®­¥ç­®£® ç¨á«  ¨§®«¨à®¢ ­­ëå ®á®¡ëå â®ç¥ª a1 , . . . , an . ’®£¤  Γ+

n X k=1

res f (z) + res f (z) = 0.

z=ak

z=∞

à¨¬¥àë á à¥è¥­¨ï¬¨ à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « ,

I= |z|=4

z4 dz. ez + 1

¥è¥­¨¥.  ©¤¥¬ ¢á¥ ª®­¥ç­ë¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ¯®¤ë­â¥£à «ì­®© ä㭪樨 f (z). â® ª®à­¨ ãà ¢­¥­¨ï ez + 1 = 0, â. ¥. â®çª¨ zk = πi + 2πik, k ∈ Z.


§ 4.

‚ëç¨á«¥­¨¥ ¨­â¥£à «®¢ ¯® § ¬ª­ã⮬㠪®­âãàã

31

ˆ§ ­¨å ¢­ãâਠªà㣠 {z : |z| < 4} «¥¦ â ⮫쪮 â®çª¨ z0 = πi ¨ z−1 = −πi. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¯® ⥮६¥ ® ¢ëç¥â å ³ ´ I = 2πi res f (z) + res f (z) . z=πi

’ ª ª ª â®çª¨ 樨 f (z), â®

±πi

z=−πi

| ¯®«îáë ¯¥à¢®£® ¯®à浪  ¤«ï äã­ª-

¯ ¯ ¯ z4 z 4 ¯¯ ¯ res f (z) = z = z¯ = −π 4 , z=±πi (e + 1)0 ¯z=±πi e z=±πi

®âªã¤  ­ å®¤¨¬ I = 2πi(−π4 − π4 ) = −4π5 i. à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « ,

I=

(z −

1)2

dz . · (1 − cos z)

|z|=3

¥è¥­¨¥.  ©¤¥¬ ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ¯®¤ë­â¥£à «ì­®© ä㭪樨 f (z). â® ª®à­¨ ãà ¢­¥­¨ï cos z = 1, â. ¥. â®çª¨ zk = = 2πk , k ∈ Z,   â ª¦¥ â®çª  ze = 1. ˆ§ ­¨å ¢­ãâਠªà㣠 {z : |z| < 3} «¥¦ â ⮫쪮 â®çª¨ ze = 1 ¨ z0 = 0. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ¯® ⥮६¥ ® ¢ëç¥â å ³ ´ I = 2πi res f (z) + res f (z) . z=1

â®

z=0

’ ª ª ª ze = 1 | ¯®«îá ¢â®à®£® ¯®à浪  ¤«ï ä㭪樨 f (z), ¶0 µ ¡ ¢ 1 2 0 = res f (z) = lim f (z)(z − 1) = lim z=1 z→1 z→1 1 − cos z ¯ ¯ sin z sin 1 ¯ =− . =− (1 − cos z)2 ¯z=1 (1 − cos 1)2

•®âï â®çª  z0 = 0 â ª¦¥ ï¥âáï ¯®«îᮬ ¢â®à®£® ¯®à浪  ¤«ï f (z), ­® ¢ëç¥â ¢ ­¥© 㤮¡­¥¥ ­ å®¤¨âì, ¢ëç¨á«¨¢ ª®íää¨æ¨¥­â c−1 à鸞 ‹®à ­  ä㭪樨 f (z) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ 0.


32

’ ª ª ª

µ ¶0 1 1 = = 1 + 2z + 3z 2 + . . . ; (1 − z)2 1−z 1 1 ³ ´= = 2 4 6 1 − cos z 1 − 1 − z2 + z4! − z6! + . . . µ ¶ 1 2 z2 ´ = 2 1+ = 2³ − ... , z2 z z 12 1 − + . . . 2 12

â® ¯à¨ ¯¥à¥¬­®¦¥­¨¨ íâ¨å à冷¢ ¯®«ã稬 µ

2

(1 + 2z + 3z + . . .) ·

¶ +∞ 1 4 2 2 1 X + + ... = 2 + +6+ + ck z k , z2 6 z z 6 k=1

®âªã¤  c−1 = 4. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, res f (z) = c−1 = 4,

z=0

µ I = 2πi 4 −

sin 1 (1 − cos 1)2

¶ .

N

‡ ¬¥ç ­¨¥. ‚ ¯à¨¬¥à å 1, 2 ­¥«ì§ï ¨á¯®«ì§®¢ âì ¯à¨ ¢ë-

ç¨á«¥­¨¨ ¨­â¥£à «®¢ ¢ëç¥â ¢ ¡¥áª®­¥ç­®á⨠(á¬. ᯮᮡ 2 ¯à¨¬¥à  3), â ª ª ª ¢ íâ¨å ¯à¨¬¥à å â®çª  ∞ ï¥âáï ­¥¨§®«¨à®¢ ­­®© ®á®¡®© â®çª®© ¤«ï ¯®¤ë­â¥£à «ì­ëå ä㭪権. à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « ,

I=

1 z2 sin dz. z2 − 9 z

|z+i|=2

¥è¥­¨¥. “ ¯®¤ë­â¥£à «ì­®© ä㭪樨 f (z) =

z2 sin z1 z 2 −9 z3 = ∞

¢á¥£® ç¥âëॠ®á®¡ë¥ â®çª¨: z0 = 0, z1 = 3, z2 = −3, . ‚ ᮮ⢥âá⢨¨ á í⨬ ¨­â¥£à « I ¬®¦­® ¢ëç¨á«¨âì ¤¢ã¬ï ᯮᮡ ¬¨.

1 ᯮᮡ.

I = 2πi res f (z). z=0

’®çª  z0 = 0 ï¥âáï áãé¥á⢥­­® ®á®¡®© â®çª®© ¤«ï f (z). —â®¡ë ­ ©â¨ ¢ëç¥â ¢ â®çª¥ z0 , ¢ëç¨á«¨¬ ª®íää¨æ¨¥­â c−1 à鸞


§ 4.

‚ëç¨á«¥­¨¥ ¨­â¥£à «®¢ ¯® § ¬ª­ã⮬㠪®­âãàã

33

‹®à ­  ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠z0 = 0. ’ ª ª ª 1 1 1 1 1 = − + − + ... ; 3 5 z z 3! · z 5! · z µ 7! · z 7 ¶ z2 z2 z2 1 z2 z4 =− =− · 1+ + 2 + ... = z2 − 9 9 1 − z2 9 9 9 sin

9

z2 z4 z6 = − − 2 − 3 − ... , 9 9 9

â®, ¯¥à¥¬­®¦¨¢ ¯®«ã祭­ë¥ àï¤ë, ­ å®¤¨¬ µ

f (z) =

¶ 1 1 1 1 − + − + ... × z 3! · z 3 5! · z 5 7! · z 7 ¶ µ 2 z z4 z6 × − − 2 − 3 − ... = 9 9 9 ¶ µ +∞ X 1 1 1 1 = + − . . . + − ck z k , z 3! · 9 5! · 92 7! · 93 k=−∞ k6=−1

®âªã¤  c−1 =

1 1 1 1 1 1 − + −... = − + −... . 2 3 2 4 3! · 9 5! · 9 7! · 9 3! · 3 5! · 3 7! · 36

’ ª ª ª

1 1 1 1 = − + − ... , 3 3 3 3! · 3 5! · 35 ¶ µ 1 1 1 · 3 = 1 − 3 sin . = − sin − 3 3 3

sin

â®

c−1

‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, I = 2πi · c−1 = 2πi(1 − 3 sin 13 ). 2 ᯮᮡ. ® ⥮६¥ ® ¢ëç¥â å ¤«ï ®¡« á⨠D = {z : |z + + i| > 2} ¨¬¥¥¬ µ

I = −2πi res f (z) + res f (z) + res f (z) . z=3

z=∞

z=−3

’®çª¨ ±3 ïîâáï ¯®«îá ¬¨ ¯¥à¢®£® ¯®à浪  ¤«ï ä㭪樨 f (z) ¢ ®¡« á⨠D, ­ ©¤¥¬ ¢ëç¥âë ä㭪樨 ¢ íâ¨å â®çª å ¯ z 2 sin z1 ¯¯ res f (z) = 2 ¯ z=±3 (z − 9)0 ¯

¯ z 2 sin z1 ¯¯ = ¯ 2z ¯

z=±3

µ ¶ 1 3 1 3 = sin . = ± sin ± 2 3 2 3

z=±3


34

’®çª  ∞ ï¥âáï ãáâà ­¨¬ë¬ ­ã«¥¬ ¯¥à¢®£® ¯®à浪  ä㭪樨 f (z), ¯à¨ç¥¬ f (z) ∼ z1 ¯à¨ z → ∞, ®âªã¤  z=∞ res f (z) = = −1. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, µ

I = −2πi

¶ µ ¶ 3 1 3 1 1 sin + sin − 1 = 2πi 1 − 3 sin . 2 3 2 3 3

N

à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « ,

I=

1 − ch z dz. z 3 + 4π 2 z

|z|=7

¥è¥­¨¥.  ©¤¥¬ ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ¯®¤ë­â¥£à «ì­®© ä㭪樨 f (z), à¥è¨¢ ãà ¢­¥­¨¥ z(z 2 + 4π 2 ) = 0,

®âªã¤  z0 = 0, z1 = 2πi, z2 = −2πi. ’®çª¨ ±2πi ïîâáï ­ã«ï¬¨ ç¨á«¨â¥«ï ¯¥à¢®£® ¯®à浪  (1−ch(±2πi) = 0, − sh(±2πi) 6= 0),   â ª¦¥ ­ã«ï¬¨ §­ ¬¥­ â¥«ï ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . ®í⮬ã í⨠â®çª¨ ïîâáï ãáâà ­¨¬ë¬¨ ¤«ï f (z). ‡­ ç¨â, res f (z) = 0. z=±2πi ’®çª  z0 = 0 ï¥âáï ­ã«¥¬ ç¨á«¨â¥«ï ¢â®à®£® ¯®à浪  (1 − ch 0 = 0, − sh 0 = 0, − ch 0 6= 0) ¨ ­ã«¥¬ §­ ¬¥­ â¥«ï ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . ®í⮬ã íâ  â®çª  â ª¦¥ ï¥âáï ãáâà ­¨¬®© ¨ res f (z) = 0. ‚ ¨â®£¥ ¯® ⥮६¥ ® ¢ëç¥â å ¤«ï ªà㣠 {z : |z| < z=0 < 7} ¯®«ãç ¥¬ ³ ´ I = 2πi res f (z) + res f (z) + res f (z) = 0. z=0

z=2πi

z=−2πi

N

‡ ¬¥ç ­¨¥. ‚ëç¨á«¥­¨¥ ¨­â¥£à «  ¢ ¯à¨¬¥à¥ 4 ¢â®àë¬ á¯®á®¡®¬ ¯® ⥮६¥ ® ¢ëç¥â å ¤«ï ¢­¥è­®á⨠ªà㣠 ¡ë«® ¢®§¬®¦­®, ­® ¡®«¥¥ á«®¦­®, 祬 ¢ëç¨á«¥­¨¥ ¯¥à¢ë¬ ᯮᮡ®¬.


§ 4.

‚ëç¨á«¥­¨¥ ¨­â¥£à «®¢ ¯® § ¬ª­ã⮬㠪®­âãàã

35

à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « ,

z4 dz. 1 − z8

I= |z|=4

¥è¥­¨¥.  ©¤¥¬ ¢á¥ ª®­¥ç­ë¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ¯®¤ë­â¥£-

à «ì­®© ä㭪樨 f (z). â® ª®à­¨ ãà ¢­¥­¨ï z 8 = 1 (¢®á¥¬ì ¯®«îᮢ ¯¥à¢®£® ¯®à浪  ­  ®ªà㦭®á⨠{z : |z| = 1}). ®áª®«ìªã ¢­¥ ªà㣠 {z : |z| < 4} ­ å®¤¨âáï ⮫쪮 ®¤­  ®á®¡ ï â®çª  z0 = ∞, â® ¢ ¤ ­­®¬ ¯à¨¬¥à¥ 㤮¡­¥¥ ¢ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « á ¯®¬®éìî ¢ëç¥â  ä㭪樨 f (z) ¢ â®çª¥ z = ∞. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® f (z) | ç¥â­ ï äã­ªæ¨ï ¨ ¥¥ àï¤ ‹®à ­  ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ z = ∞ ᮤ¥à¦¨â ⮫쪮 ç¥â­ë¥ á⥯¥­¨ z . ®í⮬㠪®íää¨æ¨¥­â í⮣® à鸞 ¯à¨ z1 à ¢¥­ ­ã«î ¨ z=∞ res f (z) = 0. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, I = −2πi z=∞ res f (z) = 0. à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « ,

dz . e2/z − e1/z

I= |z|=1

¥è¥­¨¥.  ©¤¥¬ ¢á¥ ª®­¥ç­ë¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ¯®¤ë­â¥£-

à «ì­®© ä㭪樨 f (z), à¥è¨¢ ãà ¢­¥­¨¥ e2/z = 1, ®âªã¤  z1 = 2πik , k ∈ Z, k 6= 0, â. ¥. zk =

1 , 2πik

k ∈ Z,

= e1/z

¨«¨ e1/z

=

k 6= 0.

Šà®¬¥ ⮣®, ®á®¡®© ï¥âáï â®çª  z0 = 0 | ¯à¥¤¥«ì­ ï â®çª  ¯®«îᮢ zk . ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ⥮६㠮 ¢ëç¥â å ¬®¦­® ¨á¯®«ì§®¢ âì ⮫쪮 ¤«ï ®¡« á⨠D = {z : |z| > 1}, ¢ ª®â®à®© «¥¦¨â «¨èì ®¤­  ®á®¡ ï â®çª  ze = ∞. “ç¨â뢠ï, çâ® .

I=− |z|=1

¯®«ãç ¥¬ I = −2πi z=∞ res f (z).

f (z) dz,


36

„«ï ¤ ­­®© ä㭪樨 f (z) â®çª  z = ∞ | ¯®«îá ¯¥à¢®£® ¯®à浪  ¨ ¯®í⮬㠥¥ àï¤ ‹®à ­  ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠∞ ¨¬¥¥â ¢¨¤ ãáâì

c−1 c−2 f (z) = Az + B + + 2 + ... . z z ¡1¢ ϕ(z) = f z , ⮣¤  ϕ(z) =

A + B + c−1 z + . . . . z

„«ï ­ å®¦¤¥­¨ï c−1 ­ã¦­® ­ ©â¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¯à¨ z à鸞 ‹®à ­  ä㭪樨 ϕ(z) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ z = 0. ‚ ¤ ­­®¬ ¯à¨¬¥à¥ µ ¶µ ¶−1 z2 e−z 1 z z2 1−z+ ϕ(z) = z = + ... 1+ + + ... = e −1 z 2 2 6 µ ¶µ ¶ z2 1 z z2 1−z+ = + ... 1− + + ... . z 2 2 12

ã¦­® ­ ©â¨ ª®íää¨æ¨¥­â ¯à¨ z 2 ¢ ¯à®¨§¢¥¤¥­¨¨ ¢ëà ¦¥­¨© ¢ ᪮¡ª å. Ž­ à ¢¥­ 121 + 12 + 12 = 13 12 . 13 ˆâ ª, c−1 = 13 ¨ res f (z) = − . 12 12 z=∞ ’®£¤  ¶ µ 13πi 13 = . I = −2πi − 12 6

N

à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « Z2π I= 0

dϕ , a + sin ϕ

a > 1.

¥è¥­¨¥. ãáâì z = eiϕ ,

ϕ ∈ [0; 2π], ⮣¤  µ ¶ eiϕ − e−iϕ 1 1 sin ϕ = = z− , 2i 2i z dz dz = ieiϕ dϕ = iz dϕ, dϕ = . iz

ˆ­â¥£à «

I

᢮¤¨âáï ª ¨­â¥£à «ã ¯® § ¬ª­ã⮬㠪®­âãàã


ï¤ë ‹®à ­  ¤«ï ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥©

§ 5.

{z : |z| = 1}:

, ¡ iz a +

I= |z|=1

dz ¡ ¢¢ = 1 1 2i z − z

,

37

2dz . z 2 + 2iaz − 1

|z|=1

 ©¤¥¬ ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ¯®¤ë­â¥£à «ì­®© ä㭪樨 à¥è¨¢ ãà ¢­¥­¨¥

f (z),

z 2 + 2iaz − 1 = 0.

’ ª ª ª D = −4a2 + 4 = 4(1 − a2 ), â® z1,2

√ p −2ia ± 2i a2 − 1 = −i(a ∓ a2 − 1). = 2

‚­ãâਠªà㣠 {z : |z| < 1} «¥¦¨â ⮫쪮 ®¤­  ®á®¡ ï â®çª  p z1 = i( a2 − 1 − a).

’®çª  z1 | ¯®«îá ¯¥à¢®£® ¯®à浪  ¤«ï f (z). ®í⮬ã

¯ ¯ ¯ ¯ 2 2 1 ¯ ¯ res f (z) = 2 = = √ , ¯ ¯ 0 z=z1 (z + 2iaz − 1) z=z1 2z + 2ai z=z1 i a2 − 1 2π I = 2πi res f = √ . N z=z1 a2 − 1

§ 5.

‚ëç¨á«¥­¨¥ §­ ç¥­¨© ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥© ¬­®£®§­ ç­ëå ä㭪権. ï¤ë ‹®à ­  ¤«ï ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥© ‘¯à ¢®ç­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï …᫨ ¬­®£®§­ ç­ ï äã­ªæ¨ï ¤®¯ã᪠¥â ¢ë¤¥«¥­¨¥ ॣã«ïà­®© ¢¥â¢¨ ¢ ®¡« á⨠G, â® â ª¨å ¢¥â¢¥©, ª ª ¯à ¢¨«®, ¡®«ìè¥ ®¤­®©. „«ï ¢ë¤¥«¥­¨ï ¨§ ¢á¥£® ¬­®¦¥á⢠ ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥© ®¤­®© ®¯à¥¤¥«¥­­®© ¢¥â¢¨ ­ã¦­® ¥é¥ ª ª®¥-«¨¡® ¤®¯®«­¨â¥«ì­®¥ ãá«®¢¨¥. Ž¡ëç­® â ª¨¬ ãá«®¢¨¥¬ ï¥âáï § ¤ ­¨¥ §­ ç¥­¨ï ¢¥â¢¨ ¢ ­¥ª®â®à®© â®çª¥ ®¡« á⨠G.


38

1. ‡­ ç¥­¨ï ­  ®¤­®© ॣã«ïà­®© ¢¥â¢¨.

„®¯ãá⨬, çâ® ¢ ®¡« á⨠G § ¤ ­  ॣã«ïà­ ï äã­ªæ¨ï f (z), â ª ï, çâ® f (z) 6= 0 ¯à¨ «î¡®¬ z ∈ G. ãáâì áãé¥áâ¢ãîâ ©p ¢ ®¡ª « á⨠G ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ h(z) ∈ Ln f (z) ¨ g(z) ∈ n f (z) (ãá«®¢¨ï áãé¥á⢮¢ ­¨ï â ª¨å ¢¥â¢¥© ᮤ¥à¦ âáï ¢ á¯à ¢®ç­ëå ᢥ¤¥­¨ïå ¯à¥¤ë¤ã饣® ¯ à £à ä ). ’®£¤  ¤«ï «î¡ëå â®ç¥ª a, b ∈ G á¯à ¢¥¤«¨¢ë ¢ëà ¦¥­¨ï ¯ ¯ ¯ f (b) ¯ ¯ + i∆γ arg f (z), h(b) = h(a) + ln ¯¯ ab f (a) ¯ s¯ ¯ ¯ ¯ n ¯ f (b) ¯ (i/n)∆γ arg f (z) ab g(b) = g(a) · ¯ e , f (a) ¯

(1) (2)

£¤¥ γab | ¯à®¨§¢®«ì­ ï, «¥¦ é ï ¢ ®¡« á⨠G ªãá®ç­® £« ¤ª ï ®à¨¥­â¨à®¢ ­­ ï ªà¨¢ ï á ­ ç «®¬ ¢ â®çª¥ a ¨ ª®­æ®¬ ¢ â®çª¥ b.

2. à®¨§¢®¤­ ï ॣã«ïà­®© ¢¥â¢¨.

à®¨§¢®¤­ë¥ ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥© h(z) ∈ Ln f (z) ©p ª n ∈ f (z) ¢ ®¡« á⨠G ¢ëç¨á«ïîâáï ¯® ä®à¬ã« ¬ h0 (z) =

f 0 (z) , f (z)

g 0 (z) =

f 0 (z) . n(g(z))n−1

¨

g(z) ∈

(3)

3. ï¤ë ’¥©«®à  ¨ ‹®à ­  ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥©.

‚ ᮮ⢥âá⢨¨ á ®¡é¨¬¨ ᢮©á⢠¬¨ ॣã«ïà­ëå ä㭪権 ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ ¬­®£®§­ ç­ëå ä㭪権 ¬®£ãâ ¡ëâì ¯à¥¤áâ ¢«¥­ë ¢ ¢¨¤¥ à冷¢ ’¥©«®à  ¨ ‹®à ­ .

à¨¬¥àë á à¥è¥­¨ï¬¨ à¨¬¥à. ãáâì hk (z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 Ln(1+z) ¢ ®¡« á⨠G = {z : |z| < 1}, â ª ï, çâ® hk (0) = = 2πik .  §«®¦¨âì äã­ªæ¨î hk (z) ¢ àï¤ ’¥©«®à  ¯® á⥯¥­ï¬ z ¢ ®¡« á⨠G.


§ 5.

ï¤ë ‹®à ­  ¤«ï ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥©

39

¥è¥­¨¥.

® ä®à¬ã«¥ (3) ¯®«ãç ¥¬, çâ® h0k (z) Žâá «¥£ª® ¢ëç¨á«¨âì ¨ ®áâ «ì­ë¥ ¯à®¨§¢®¤­ë¥: h00k (z) =

−1 , (1 + z)2

(n)

... ,

hk (z) =

=

+∞ X (−1)n−1 z n

n

n=1

.

(−1)n−1 (n − 1)! . (1 + z)n

‚ëç¨á«ïï ª®íää¨æ¨¥­âë cn à鸞 ’¥©«®à  ¯® ä®à¬ã«¥ (n) h (0) = k n! , ¯®«ãç ¥¬ ¨áª®¬ë© àï¤: hk (z) = hk (0) +

1 1+z

,

cn =

|z| < 1.

(4) N

à¨¬¥à. ãáâì a ∈ C, a 6= 0, ¨ ϕk (z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 {(1 + z)a } ¢ ®¡« á⨠G = {z : |z| < 1}, â ª ï, çâ® 2πaik ϕk (0) = e

.

 §«®¦¨âì ª ¦¤ã�� äã­ªæ¨î ϕk (z) ¢ àï¤ ’¥©«®à  ¯® á⥯¥­ï¬ z ¢ ®¡« á⨠G. ¥è¥­¨¥. ® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 {(1 + z)a } = ea Ln(1+z)

áãé¥áâ¢ã¥â ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì hk (z) â ª ï, çâ® ah (z) ϕk (z) = e

k

,

∈ Ln(1 + z)

¢ ®¡« áâ¨

G,

hk (0) = 2πik.

„¨ää¥à¥­æ¨àãï á«®¦­ãî äã­ªæ¨î, ¯®«ãç ¥¬ a(a − 1) . . . (a − n + 1) a (n) , . . . , ϕk (z) = ϕk (z) . 1+z (1 + z)n ª®íää¨æ¨¥­âë cn à鸞 ’¥©«®à , ¯®«ãç ¥¬

ϕ0k (z) = ϕk (z)

‚ëç¨á«ïï

ϕk (z) = ϕk (0) ·

+∞ X

Can z n ,

|z| < 1,

(5)

n=0

. à¨¬¥à.  §«®¦¨âì ¢ àï¤ ’¥©«®à  ¯® ©√ á⥯¥­ï¬ ª z ॣã«ïà­ãî ¢¥â¢ì g(z) ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 3 1 − z 2 ¢ ®¡« á⨠G = {z : |z| < 1} á ­ ç «ì­ë¬ §­ ç¥­¨¥¬ g(0) = e2πi/3 . £¤¥

Can

=

a(a−1)...(a−n+1) n!


40

¥è¥­¨¥. ® ä®à¬ã«¥ (5) ¯à¨ a = 31 ¨ ¤¥« ï § ¬¥­ã ζ

= −z 2 ,

áࠧ㠯®«ãç ¥¬ ®â¢¥â: g(z) = e2πi/3

+∞ X

n C1/3 (−1)n z 2n ,

|z| < 1.

=

N

n=0

à¨¬¥à. ãáâì

ä㭪樨 Ln §­ ç¥­¨¥

1−z 1+z

h(z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ¬­®£®§­ ç­®© ¢ ®¡« á⨠G = C\[−1, 1], â ª ï, çâ® ¯à¥¤¥«ì­®¥ h(0 + i0) = lim h(iy) = 0. y→0 y>0

 ©â¨ §­ ç¥­¨ï h(0−i0), h(i), h(∞).  §«®¦¨âì äã­ªæ¨î h(z) ¢ àï¤ ‹®à ­  ¯® á⥯¥­ï¬ z ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠¡¥áª®­¥ç­®á⨠¨ 㪠§ âì ª®«ìæ® á室¨¬®á⨠í⮣® à鸞. ¥è¥­¨¥. à¥¦¤¥ ¢á¥£® ®â¬¥â¨¬, çâ® â ª ï ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì h(z) áãé¥áâ¢ã¥â ¨ ¥¤¨­á⢥­­  ¢ ¤ ­­®© ®¡« á⨠G, â ª ª ª ¢ë¯®«­¥­ë ¢á¥ ãá«®¢¨ï áãé¥á⢮¢ ­¨ï ¢¥â¢¥© (á¬. á¯à ¢®ç­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï ¨§ §§ 16 ¨ 17). ‚ ⮬ ç¨á«¥ ¤«ï «î¡®© § ¬ª­ã⮩ ®à¨¥­â¨à®¢ ­­®© ¯à®á⮩ ªãá®ç­® £« ¤ª®© ªà¨¢®© γ ⊂ G á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ ∆γ arg

1−z = ∆γ arg(z − 1) − ∆γ arg(z + 1) = 0. 1+z

® ä®à¬ã«¥ (1) ¢ëç¨á«¨¬ §­ ç¥­¨ï h(0 − i0), h(i), h(∞). ‚롥६ ªà¨¢ãî γ1 = {z : |z + 1| = 1} á ­ ç «®¬ ¢ â®çª¥ 0 + i0 (­  ¢¥àå­¥¬ ªà î £à ­¨æë [−1, 1]) ¨ ª®­æ®¬ ¢ â®çª¥ 0 − i0 (­  ­¨¦­¥¬ ªà î £à ­¨æë [−1, 1]). ’®£¤ 

¯ ¯ ¯1¯ h(0 − i0) = h(0 + i0) + ln ¯¯ ¯¯ + 1 ¡ ¢ +i ∆γ1 arg(z − 1) − ∆γ1 arg(z + 1) = i(0 − 2π) = −2πi.

‚롨à ï ®â१®ª ¬­¨¬®© ®á¨ γ2 = [0, i] á ­ ç «®¬ ¢ â®çª¥ 0 + i0


§ 5.

ï¤ë ‹®à ­  ¤«ï ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥©

41

¨ ª®­æ®¬ ¢ â®çª¥ i, ¯®«ãç ¥¬

¯ ¯ ¯1 − i¯ ¯+ h(i) = h(0 + i0) + ln ¯¯ 1 + i¯ ³ π π´ ¡ ¢ π +i ∆γ2 arg(z − 1) − ∆γ2 arg(z + 1) = i − − = −i . 4 4 2

„«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï h(∞) ¢ë¡¥à¥¬ ¯à®¨§¢®«ì­®¥ ¤¥©á⢨⥫쭮¥ ç¨á«® x > 1 ¨ ¢ëç¨á«¨¬ ¢­ ç «¥ §­ ç¥­¨¥ h(x). „«ï í⮣® ¢®§ì¬¥¬ ᮮ⢥âáâ¢ãîéãî ªà¨¢ãî γ3 á ­ ç «®¬ ¢ â®çª¥ 0 + i0 ¨ ª®­æ®¬ ¢ â®çª¥ x. ® ä®à¬ã«¥ (1) ¯®«ãç ¥¬ ¯ ¯ ¯1 − x¯ ¯+ ¯ h(x) = h(0 + i0) + ln ¯ 1 + x¯

¯ ¯ ¯1 − x¯ ¡ ¢ ¯ ¯ + i(−π + 0), +i ∆γ3 arg(z − 1) − ∆γ3 arg(z + 1) = ln ¯ 1 + x¯

®âªã¤  x→+∞ lim h(x) = h(+∞) = −iπ . ’ ª ª ª ∞ ï¥âáï ¨§®«¨à®¢ ­­®© ®á®¡®© â®çª®© ॣã«ïà­®© ä㭪樨 h(z), â® ¨§ à ¢¥­á⢠ § ª«îç ¥¬, çâ® ∞ ¥áâì ãáâà ­¨¬ ï ®á®¡ ï â®çª  ¨ h(∞) = −iπ. „«ï à §«®¦¥­¨ï ä㭪樨 h(z) ¢ àï¤ ‹®à ­  ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠¡¥áª®­¥ç­®á⨠¯à¥¤áâ ¢¨¬ ¢ G ¬­®£®§­ ç­ãî äã­ªæ¨î ¢ ¢¨¤¥ µ ¶ µ ¶ 1−z 1 1 Ln = Ln(−1) + Ln 1 − − Ln 1 + = 1+z z z = Ln(−1) + h1 (z) − h2 (z).

(6)

‚ ¯®á«¥¤­¥¬ ¢ëà ¦¥­¨¨ ¬­®£®§­ ç­®áâì ᮤ¥à¦¨âáï ¢ ¯¥à¢®¬ á« £ ¥¬®¬,   ä㭪樨 h1 (z) ¨ h2 (z)¡®¤­®§­ ç­ë, ¯à¨ç¥¬ ¢ h1 (z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ä㭪樨 Ln 1 − z1 ¢ ¤ ­­®© ®¡« á⨠G ¨ â ª ï, çâ® ¢ h1 (∞) = 0,   h2 (z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ¡ 1 ä㭪樨 Ln 1 + z ¢ ®¡« á⨠G, â ª ï, çâ® h2 (∞) = 0. „¥« ï § ¬¥­ã ζ = z1 , «¥£ª® ã¡¥¤¨âìáï, çâ® â ª¨¥ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ ¢ ®¡« á⨠G áãé¥áâ¢ãîâ,   ¢ ᨫ㠯ਬ¥à  1 ¯®«ãç ¥¬ ¢ëà ¦¥­¨ï


42

¤«ï ¨å à冷¢ ‹®à ­  (á¬. (4)):

µ ¶ +∞ X (−1)n−1 1 n h1 (z) = − , |z| > 1; n z n=1 µ ¶ +∞ X (−1)n−1 1 n h2 (z) = , |z| > 1. n z n=1

ˆ§ ®¯à¥¤¥«¥­¨ï ä㭪樨 h(z) ª ª ¢¥â¢¨ ¬­®£®§­ ç­®© 1−z ä㭪樨 Ln 1+z ¨ ¨§ ¢ëà ¦¥­¨ï (6) ¯®«ãç ¥¬ h(z) − h1 (z) + h2 (z) ∈ Ln(−1),

â. ¥. h(z) − h1 (z) + h2 (z) = i(π + 2πk(z)), £¤¥ k(z) ¯à¨­¨¬ ¥â 楫®ç¨á«¥­­ë¥ §­ ç¥­¨ï. ’ ª ª ª ¢ à ¢¥­á⢥ á«¥¢  áâ®ïâ ­¥¯à¥àë¢­ë¥ ä㭪樨, â® k(z) = k0 = const. ¥à¥å®¤ï ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ z → ∞, ¯®«ãç ¥¬ h(∞) = i(π + 2πk0 ), â. ¥. h(z) = h1 (z) − h2 (z) + h(∞) ¯à¨ |z| > 1. Žâá ¯®«ãç ¥¬ àï¤ ‹®à ­  (¢ ᨫ㠥£® ¥¤¨­á⢥­­®áâ¨) ä㭪樨 h ¢¨¤  h(z) = −iπ +

+∞ X [(−1)n − 1] n=1

n

+∞

·

X 2 1 = −iπ − z −2k−1 n z 2k + 1 k=0

¢ ª®«ìæ¥ á室¨¬®á⨠|z| > 1. § 6.

ˆ­â¥£à «ë ®â ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥©

‘¯à ¢®ç­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï ˆ­â¥£à «ë ®â ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥© ¬­®£®§­ ç­ëå ä㭪権 ­ å®¤ïâáï á ¯®¬®éìî ¢ëç¨á«¥­¨ï §­ ç¥­¨© ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥© ¬­®£®§­ ç­ëå ä㭪権, à §«®¦¥­¨© íâ¨å ¢¥â¢¥© ¢ àï¤ë ‹®à ­  ¨ á ¨á¯®«ì§®¢ ­¨¥¬ ⥮ਨ ¢ëç¥â®¢. à¨¬¥àë á à¥è¥­¨ï¬¨ à¨¬¥à. ª ãáâì ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì g(z) ¬­®£®§­ ç­®© äã­ª©√ 2 樨 z − 4 ®¯à¥¤¥«¥­  ¢ ®¡« á⨠G, ¯à¥¤áâ ¢«ïî饩 ᮡ®© ª®¬¯«¥ªá­ãî ¯«®áª®áâì á ࠧ१®¬ ¯® ¯®«ã®ªà㦭®á⨠{z : |z| = = 2, Im z > 0} (à¨á. 6.1), ¯à¨ç¥¬ £« ¢­ ï ç áâì à鸞 ‹®à ­ 


§ 6.

ˆ­â¥£à «ë ®â ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥©

43

ä㭪樨 g(z) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠z = ∞ à ¢­  z . ‚ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « ,

dz . g(z) − 3z

J= |z|=1

¥è¥­¨¥. à¥¦¤¥ ¢á¥£® á«¥¤ã¥â ¯à®¢¥à¨âì, çâ® ¢ § ¤ ­­®©

®¡« á⨠áãé¥áâ¢ãîâ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ äã­ª©√ G ¤¥©á⢨⥫쭮 ª 樨 z 2 − 4 . (‘¤¥« ©â¥ íâ® á ¬®áâ®ï⥫쭮.) „«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï ¨­â¥£à «  J ¯® ⥮ਨ ¢ëç¥â®¢ ­ ¤® ­ ©â¨ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ¯®¤ë­â¥£à «ì­®© ä㭪樨, â. ¥. â®çª¨, ¢ ª®â®àëå á¯à ¢¥¤«¨¢® à ¢¥­á⢮ g(z) = 3z . —â®¡ë ¨å ­ ©â¨, § ¬¥ç ¥¬, çâ® ¨§ ¯®á«¥¤­¥£® à ¢¥­á⢠ á«¥¤ã¥â g2 (z) = (3z)2 . ’ ª ª ª ¯® ®¯à¥¤¥«¥­¨î ª®à­ï g2 (z) = z 2 − 4, â® ¯®«ãç ¥¬ à ¢¥­á⢮ z 2 − 4 = 9z 2 , â. ¥. z1,2 = ± √i2 | â®çª¨, ¢ ª®â®àëå ¢®§¬®¦­® à ¢¥­á⢮ g(z) = 3z . y √i 2

−2

0

−i √ 2

2 x

¨á. 6.1

³ ´ “â®ç­¨¬ §­ ç¥­¨ï g ± √i2 . „«ï í⮣® 㤮¡­® ¢­ ç «¥ ¢ëç¨á«¨âì §­ ç¥­¨¥ ä㭪樨 g ¢ ª®­¥ç­®© â®çª¥, ­ ¯à¨¬¥à ¢ â®çª¥ z = 0. „®¯ãá⨬, çâ® ¬ë §­ ¥¬ §­ ç¥­¨¥ g(0). ’®£¤  ¤«ï «î¡®£® ¤¥©á⢨⥫쭮£® ç¨á«  x > 2 ¢ëç¨á«¨¬ §­ ç¥­¨¥ g(x) ¯® ä®à¬ã«¥ (2) ¨§ § 18: s¯ ¯ ¯ x2 − 4 ¯ i/2¡∆γ arg(z−2)+∆γ arg(z+2)¢ ¯ ¯e = g(x) = g(0) ¯ 4 ¯ r µ µ ¶¶ 2 x 4 i/2(π+0) i 1 = g(0) 1− 2 e = g(0) · x 1 − 2 + o 2 . 2 x 2 x x

®á«¥¤­¥¥ à ¢¥­á⢮ § ¯¨á ­® á ¯®¬®éìî ä®à¬ã«ë ’¥©«®à 


44

¤«ï ä㭪樨 ¤¥©á⢨⥫쭮£® ¯¥à¥¬¥­­®£®. ® ⥮६¥ ® ¥¤¨­á⢥­­®á⨠ॣã«ïà­®© ä㭪樨 ®âá á«¥¤ã¥â, çâ® µ µ ¶¶ 1 i 2 g(z) = g(0) z − + o , 2 z z

z ∈ G.

’ ª ª ª ¯® ãá«®¢¨î § ¤ ç¨ £« ¢­ ï ç áâì à鸞 ‹®à ­  ä㭪樨 g(z) ¢ ∞ à ¢­  z , ®âáµ¯®«ãç ¥¬, çâ® g(0) = −2i. ’¥¯¥àì ¶ ³ ´ «¥£ª® ¢ëç¨á«¨âì §­ ç¥­¨ï g √i2 ¨ g − √i2 ¯® ⮩ ¦¥ ä®à¬ã«¥ (2) ¨§ § 18: µ

i g √ 2

s¯ ¯ ¯ −(1/2) − 4 ¯ (i/2)(− arcctg 2√2+arcctg 2√2) 3i ¯ ¯e = −2i ¯ = −√ . ¯ 4 2

€­ «®£¨ç­® ¯®«ãç ¥¬, çâ®

¶ µ 3i i = −√ , g −√ 2 2

â. ¥. à ¢¥­á⢮ g(z) = 3z á¯à ¢¥¤«¨¢® ¢ â®çª¥ z = − √i2 . ’ ª ³ ´ z ª ª g0 (z) = g(z) , â® g0 − √i2 = 13 6= 3. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬, â®çª  z = − √i2 ¥áâì ¯®«îá ¯¥à¢®£® ¯®à浪  ¯®¤ë­â¥£à «ì­®© äã­ª1 樨 f (z) = g(z)−3z . ‚ ¨â®£¥ ¢ëç¨á«ï¥¬ ¨­â¥£à « ¯® ⥮६¥ ® ¢ëç¥â å J = 2πi res √ f = 2πi −i/ 2

§ 7.

³

1

´

g 0 − √i2 − 3

=−

3πi . 4

N

‚ëç¨á«¥­¨¥ ­¥á®¡á⢥­­ëå ¨­â¥£à «®¢

‘¯à ¢®ç­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï 1. Œ¥â®¤ ¢ëç¨á«¥­¨ï ­¥á®¡á⢥­­ëå ¨­â¥£à «®¢ á ¯®¬®éìî â¥®à¥¬ë Š®è¨ ® ¢ëç¥â å (á¬. § 14) á®á⮨⠢ á«¥¤ãî饬. ãáâì âॡã¥âáï ¢ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « ®â ¤¥©á⢨⥫쭮© ä㭪樨 f (x) ¯® ª ª®¬ã-«¨¡® (ª®­¥ç­®¬ã ¨«¨ ¡¥áª®­¥ç­®¬ã) ¨­â¥à¢ «ã (a, b) ®á¨ R. ’®£¤  (a, b) ¤®¯®«­ï¥âáï ª ª®©-­¨¡ã¤ì ªà¨¢®© Γ, ª®â®à ï


§ 7.

‚ëç¨á«¥­¨¥ ­¥á®¡á⢥­­ëå ¨­â¥£à «®¢

45

¢¬¥áâ¥ á ¨­â¥à¢ «®¬ (a, b) ®£à ­¨ç¨¢ ¥â ­¥ª®â®àãî ®¡« áâì D ¢ C. …᫨ äã­ªæ¨ï f (x) ॣã«ïà­® ¯à®¤®«¦ ¥âáï ¢ D (¨ ­¥¯à¥à뢭® ¢ D), §  ¨áª«î祭¨¥¬ ª®­¥ç­®£® ç¨á«  ¨§®«¨à®¢ ­­ëå ®á®¡ëå â®ç¥ª ak ∈ D, k = 1, 2, . . . , n, â® ¯® ⥮६¥ Š®è¨ ® ¢ëç¥â å ¯®«ãç ¥¬ Z

Zb f (z) dz =

∂D

  n X f (z) dz = 2πi  res f (z) .

Z f (x) dx +

a

j=1

Γ

’®£¤  ¨á室­ë© ¨­â¥£à « I =

z=aj

Rb

f (x) dx 㤠¥âáï ¢ëç¨á«¨âì, ¥á«¨ Ra 㤠¥âáï ¢ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « f (z) dz ¨«¨ ¢ëà §¨âì ¥£® ç¥à¥§ I . Γ

2. ‡ ¬¥â¨¬, çâ® ¢ ⥮६¥ Š®è¨ ∂D (£à ­¨æ  ®¡« á⨠D) ¤®«¦­  ¨¬¥âì ª®­¥ç­ãî ¤«¨­ã. …᫨ (a, b) = R, â® ç á⮠㤮¡­® ¢ë¡¨à âì ®â१®ª [−R, R] ¤¥©á⢨⥫쭮© ®á¨,   ¢ ª ç¥á⢥ ¤®¯®«­ïî饩 ªà¨¢®© Γ | ¯®«ã®ªà㦭®áâì Γ = ΓR à ¤¨ãá  R > 0, à á¯®«®¦¥­­ãî ¢ ¢¥àå­¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠(à¨á. 7.1), â. ¥. ΓR = {z : |z| = R, Im z > 0}.

à¨ í⮬ ¬®¦¥â ¡ëâì ¨á¯®«ì§®¢ ­  á«¥¤ãîé ï ⥮६ . y ΓR

−R

0

R

x

¨á. 7.1

’¥®à¥¬ . ãáâì äã­ªæ¨ï f ॣã«ïà­  ¢ ¢¥àå­¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠{z : Im z > 0}, §  ¨áª«î祭¨¥¬ ª®­¥ç­®£® ç¨á«  ¨§®«¨à®¢ ­­ëå ®á®¡ëå â®ç¥ª a1 , . . . , an ¨ ­¥¯à¥à뢭  ¢¯«®âì


46

¤® ¤¥©á⢨⥫쭮© ®á¨. ’®£¤  ¥á«¨ Z

lim

R→+∞ ΓR

£¤¥ ΓR = {z : |z| = R,

(1)

f (z) dz = 0,

Im z > 0},

â®

  +∞ Z n X v.p. f (x) dx = 2πi  res f (z) . j=1

−∞

(2)

z=aj

‡ ¬¥ç ­¨¥. ‘ãé¥á⢮¢ ­¨¥ ­¥á®¡á⢥­­®£® ¨­â¥£à «  (2) §¤¥áì ¬®¦­® £ à ­â¨à®¢ âì «¨èì ¢ á¬ëá«¥ £« ¢­®£® §­ ç¥­¨ï ¯® Š®è¨. 3. “ª ¦¥¬ á«ãç ¨, ¢ ª®â®àëå ¢ë¯®«­¥­® ãá«®¢¨¥ (1) ⥮६ë 1. C«ãç © 1. ‹¥¬¬ . ãáâì äã­ªæ¨ï

f (z) ­¥¯à¥à뢭  Im z > 0, |z| > R0 > 0} ¨ ¯ãáâì

¬­®¦¥á⢥ {z :

lim RM (R) = 0,

R→+∞

’®£¤ 

R

lim

R→+∞ Γ

‡ ¬¥ç ­¨¥.

f (z) dz = 0,

£¤¥

­  § ¬ª­ã⮬

M (R) = max |f (z)|. z∈ΓR

£¤¥ ΓR = {z : |z| = R,

Im z > 0}.

R

‹¥¬¬  1 ¯à¨¬¥­¨¬ , ­ ¯à¨¬¥à, ¢ á«ãç ¥, ª®£¤  f (z) | à æ¨®­ «ì­ ï äã­ªæ¨ï, â. ¥. f (z) = QPmn (z) (z) , £¤¥ Pn (z) ¨ Qm (z) | ¬­®£®ç«¥­ë á⥯¥­¥© n ¨ m ᮮ⢥âá⢥­­®. …᫨

m > n + 2,

â® ¨­â¥£à «

+∞ R

f (x) dx

−∞

á室¨âáï ª ª ­¥á®¡áâ-

¢¥­­ë© ¨ §­ ª v.p. ¢ ä®à¬ã«¥ (2) ¬®¦­® ®¯ãáâ¨âì. à¨ í⮬ ¯à¥¤¯®« £ ¥âáï, çâ® Qm (z) 6= 0 ­  ¤¥©á⢨⥫쭮© ®á¨. „«ï 㪠§ ­­®£® á«ãç ï ä®à¬ã«  (2) ¯à¨¬¥â ¢¨¤ +∞ Z X f (x) dx = 2πi −∞

Im zk >0

res f (z).

z=zk

(3)

‚ ä®à¬ã«¥ (3) ᮤ¥à¦ âáï ¢ëç¥âë ¯® ¢á¥¬ ¯®«îá ¬ ä㭪樨 R(z), à á¯®«®¦¥­­ë¬ ¢ ¢¥àå­¥© ¯®«ã¯«®áª®áâ¨.


§ 7.

‚ëç¨á«¥­¨¥ ­¥á®¡á⢥­­ëå ¨­â¥£à «®¢

47

‘«ãç © 2. ‹¥¬¬ . (†®à¤ ­ ) ãáâì äã­ªæ¨ï g(z) ­¥¯à¥à뢭  ­ 

§ ¬ª­ã⮬ ¬­®¦¥á⢥ lim M (R) = 0, £¤¥

{z : Im z > 0, |z| > R0 > 0}

¨ ¯ãáâì

R→+∞

M (R) = max |g(z)|, ΓR = {z : |z| = R, z∈ΓR

’®£¤  ¥á«¨ α > 0, â®

Im z > 0}.

Z lim

R→+∞ ΓR

g(z)eiαz dz = 0.

‘ ¯®¬®éìî «¥¬¬ë †®à¤ ­  ¬®¦­® ¢ëç¨á«ïâì ¨­â¥£à «ë ¢¨¤  +∞ Z I1 = cos αx · g(x) dx

¨

+∞ Z I2 = sin αx · g(x) dx,

−∞

−∞

£¤¥ g(x) | à æ¨®­ «ì­ ï äã­ªæ¨ï, â. ¥. g(x) = QPmn (x) (x) , £¤¥ Pn (x) ¨ Qm (x) | ¬­®£®ç«¥­ë á⥯¥­¥© n ¨ m ᮮ⢥âá⢥­­®, ¯à¨ç¥¬ m > n + 1. ‚ í⮬ á«ãç ¥ ¨­â¥£à «ë á室ïâáï ª ª ­¥á®¡á⢥­­ë¥,   ä®à¬ã«ã (2) ¬®¦­® § ¯¨á âì ¢ ¢¨¤¥ +∞ Z X I1 + iI2 = g(x)eiαx dx = 2πi Im zk >0

−∞

¡ ¢ res g(z)eiαz .

z=zk

(4)

‚ à ¢¥­á⢥ (4) ᮤ¥à¦ âáï ¢ëç¥âë ¯® ¢á¥¬ ¯®«îá ¬ ä㭪樨 g(z)eiαz , à á¯®«®¦¥­­ë¬ ¢ ¢¥àå­¥© ¯®«ã¯«®áª®áâ¨.

à¨¬¥àë á à¥è¥­¨ï¬¨ à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « +∞ Z

I= −∞

x2 dx. 1 + x4

¥è¥­¨¥. ”ã­ªæ¨ï f (z) =

㤮¢«¥â¢®àï¥â ãá«®¢¨ï¬ «¥¬¬ë 1 ¨ ¨¬¥¥â ¢ ®¡« á⨠D (à¨á. 7.1), ®£à ­¨ç¥­­®© ªà¨¢®© ΓR z2 1+z 4


48

¨ ®â१ª®¬ [−R, R], ⮫쪮 ¤¢¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ z1 = eiπ/4 ¨ z2 = ei3π/4 , ª®â®àë¥ ï¢«ïîâáï ¯®«îá ¬¨¯ ¯¥à¢®£® ¯®à浪 . z2 ¯ ’ ª ª ª z=z res f (z) = 4z = 4z1k , k = 1, 2, â® ¯® ä®à3¯ z=zk k ¬ã«¥ (3) ­ å®¤¨¬ (R > 1)

��

I = 2πi =

res f (z) + res f (z)

z=z1

πeiπ/2 2

z=z2

=

´ 2πi ³ −iπ/4 e + e−i3π/4 = 4

³ ´ eiπ/4 + e−iπ/4 π π . e−iπ/4 + e−i3π/4 = π = π cos = √ N 2 4 2

à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « +∞ Z

I= −∞

dx . (x2 + 4)3

¥è¥­¨¥. Š ª ¨ ¢ ¯à¨¬¥à¥ 1, ¢ ®¡« á⨠D, ®£à ­¨ç¥­­®©

¯®«ã®ªà㦭®áâìî ΓR ¨ ®â१ª®¬ [−R, R], ¯à¨¬¥­¨¬  «¥¬¬  1 1 (§ ¬¥ç ­¨¥ 2) ª ä㭪樨 f (z) = (z2 +4) 3 , ¨¬¥î饩 ¢ ¢¥àå­¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠{z : Im z > 0} ¥¤¨­á⢥­­ãî ®á®¡ãî â®çªã z1 = = 2i | ¯®«îá âà¥â쥣® ¯®à浪 . ® ä®à¬ã«¥ (3) ­ å®¤¨¬ I = = 2πi res f (z). z=2i

’ ª ª ª f (z) =

h(z) (z−2i)3

, £¤¥ h(z) = (z + 2i)−3 , â®

¯ ¯ (−3)(−4) 1 00 3 −5 ¯ (z + 2i) ¯ , res f (z) = h (2i) = = z=2i 2 2 2 · 44 i z=2i 3 3π I = 2πi = . 4 2·4 i 256

N

à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « ‹ ¯« á  +∞ Z

I(α) = −∞

cos αx dx, 1 + x2

α ∈ R.

¥è¥­¨¥. …᫨ α = 0, â® I(0) = π. Šà®¬¥ ⮣®, I(α) |

ç¥â­ ï äã­ªæ¨ï. ®í⮬㠤®áâ â®ç­® ¢ëç¨á«¨âì I(α) ¯à¨ α >


‚ëç¨á«¥­¨¥ ­¥á®¡á⢥­­ëå ¨­â¥£à «®¢

§ 7.

> 0.

49

ãáâì +∞ Z

J(α) = −∞

eiαx dx, 1 + x2

£¤¥

α > 0.

’®£¤  I(α) = Re J(α). Š ä㭪樨 eiαz , 1 + z2

f (z) =

£¤¥

α > 0,

¯à¨¬¥­¨¬  «¥¬¬  †®à¤ ­  ¨ ¯®í⮬ã Z

f (z) dz → 0

¯à¨

R → +∞,

ΓR

£¤¥ ΓR = {z : |z| = R, Im z > 0}. ”ã­ªæ¨ï f (z) ¨¬¥¥â ¢ ¢¥àå­¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠¥¤¨­á⢥­­ãî ®á®¡ãî â®çªã z0 = i | ¯®«îá ¯¥à¢®£® ¯®à浪 , ¢ëç¥â ¢ ª®â®à®© à ¢¥­ ¯ e−α eiαz ¯¯ = , res f (z) = ¯ z=i 2z z=i 2i

¨ ¯®í⮬㠯® ä®à¬ã«¥ (4) ­ å®¤¨¬ J(α) = 2πi · res f (z) = πe−α z=i

I(α) = Re J(α) = πe−α I(α) = πe−|α| ,

¯à¨

¯à¨

α > 0,

α ∈ R.

à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « +∞ Z

I= −∞

(x − 1) sin(8x − 7) dx. x2 − 2x + 5

¥è¥­¨¥. ‚ëç¨á«¨¬ ¨­â¥£à « +∞ Z

J= −∞

α > 0,

(x − 1)ei(8x−7) dx x2 − 2x + 5

N


50

¨ ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ⥬, çâ® I = Im J . Š ä㭪樨 £¤¥

f (z) = g(z)ei8z ,

g(z) =

¯à¨¬¥­¨¬  «¥¬¬  †®à¤ ­  ¨ ¯®í⮬ã

(z − 1)e−7i , z 2 − 2z + 5 R f (z) dz → 0

ΓR

→ +∞,

¯à¨ R →

£¤¥ ΓR = {z : |z| = R, Im z > 0}. ”ã­ªæ¨ï f (z) ¨¬¥¥â ¢ ¢¥àå­¥© ¯®«ã¯«®áª®á⨠¥¤¨­á⢥­­ãî ®á®¡ãî â®çªã z0 = 1 + + 2i | ¯®«îá ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ,   ¯ (z−1)ei(8z−7) ¯¯ res f (z) = 2 ¯ z=1+2i (z − 2z + 5)0 ¯

1 e−16 = ei(1+16i) = (cos 1+i sin 1). 2 2

z=1+2i

® ä®à¬ã«¥ (4) ­ å®¤¨¬ J = 2πi res f (z) = πe−16 i(cos 1 + i sin 1), z=1+2i

®âªã¤  I = Im J = πe−16 cos 1.

N

à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « „¨à¨å«¥ +∞ Z

I= 0

sin x dx. x

¥è¥­¨¥.

ãáâì Γρ,R | ª®­âãà, ¨§®¡à ¦¥­­ë© R eiz ­  (à¨á. 7.2).  áᬮâਬ ¨­â¥£à « Iρ,R = z dz. Γρ,R

y ΓR Γρ −R −ρ 0

ρ

¨á. 7.2

R

x


§ 7.

‚ëç¨á«¥­¨¥ ­¥á®¡á⢥­­ëå ¨­â¥£à «®¢

51

â®â ¨­â¥£à « à ¢¥­ ­ã«î, â ª ª ª äã­ªæ¨ï eiz /z ॣã«ïà­  ¢­ãâਠª®­âãà  Γρ,R . ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, ®­ à ¢¥­ á㬬¥ ¨­â¥£à «®¢, ¢§ïâëå ¯® ¯®«ã®ªà㦭®áâï¬ Γρ , ΓR ¨ ®â१ª ¬ [−R, −ρ], [ρ, R]. ˆ¬¥¥¬ eiz 1 = + h(z), z z

£¤¥ h(z) | äã­ªæ¨ï, ॣã«ïà­ ï ¢ â®çª¥ z = 0. …᫨ z ∈ Γρ , â® z = ρeiϕ ,

0 6 ϕ 6 π,

dz = iρeiϕ dϕ

¨ Z

1 dz = i z

Γρ

Z0 dϕ = −iπ. π

”ã­ªæ¨ï h(z) ®£à ­¨ç¥­  ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ z = 0 ¨, á«¥R ¤®¢ â¥«ì­®, ε1 (ρ) = h(z) dz → 0, ¯à¨ ρ → +0. Žâá ¯®«ãΓρ ç ¥¬ Z

eiz dz = −iπ + ε1 (ρ). z

Γρ

® «¥¬¬¥ †®à¤ ­  ε2 (R) = R → +∞.

à ¢­ 

Z−ρ

R ΓR

eiz z

dz

áâ६¨âáï ª ­ã«î ¯à¨

„ «¥¥, á㬬  ¨­â¥£à «®¢ ¯® ®â१ª ¬ [−R, −ρ],

eix dx + x

−R

ZR ρ

eix dx = x

ZR ρ

eix − e−ix dx = 2i x

ZR ρ

[ρ, R]

sin x dx. x

‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ZR 0 = Iρ,R = 2i ρ

£¤¥ ε1 (ρ) → 0 (ρ → +0),

sin x dx − iπ + ε1 (ρ) + ε2 (R), x

ε2 (R) → 0 (R → +∞).

(5)

’ ª ª ª ¨­â¥£-


52

à « I á室¨âáï, â® áãé¥áâ¢ã¥â ZR

sin x dx = I. x

lim

ρ→+0 R→+∞ ρ

¥à¥å®¤ï ¢ ᮮ⭮襭¨¨ (5) ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ ρ → +0, ¯®«ãç ¥¬ 2iI − iπ = 0, ®âªã¤  I = π/2. à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « +∞ Z

I= 0

√ 3 x dx. (x + 8)2

R → +∞,

(6)

¥è¥­¨¥. ‚ ª®¬¯«¥ªá­®© ¯«®áª®á⨠á ࠧ१®¬ ¯® «ãçã p

äã­ªæ¨ï f (z) = 3 |z|eiϕ/3 , 0 < ©ϕ√<ª2π, ï¥âáï ॣã«ïà­®© ¢¥â¢ìî ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 3 z (§ 18{19).  áᬮâਬ ®¡« áâì D | ªà㣠{z : |z| < R}, R > 8, á ࠧ१®¬ ¯® à ¤¨ãáã [0, R]. ƒà ­¨æ  í⮩ ®¡« áâ¨ Γ = γ+ ∪ CR ∪ γ− , £¤¥ γ+ | ¢¥àå­¨© ¡¥à¥£ ࠧ१ , CR | ®ªà㦭®áâì {z : |z| = = R}, γ− | ­¨¦­¨© ¡¥à¥£ ࠧ१ , ®à¨¥­â æ¨ï ªà¨¢®© Γ ¯®ª § ­  ­  (à¨á. 7.3). [0, +∞)

CR D −8

0

γ+ γ−

R

¨á. 7.3 f (z) ”ã­ªæ¨ï g(z) = (z+8) 2 ॣã«ïà­  ¢ ®¡« á⨠D , §  ¨áª«î祭¨¥¬ â®çª¨ z = −8 | ¯®«îá  ¢â®à®£® ¯®à浪 , ¨ ­¥¯à¥à뢭 


§ 7.

‚ëç¨á«¥­¨¥ ­¥á®¡á⢥­­ëå ¨­â¥£à «®¢

53

®ª®«® Γ ¢¯«®âì ¤® Γ. ® ⥮६¥ ® ¢ëç¥â å ¯®«ãç ¥¬ Z

â. ¥.

g(z) dz = 2πi res g(z), z=−8

Z

Γ

f (z) dz + (z + 8)2

CR

Z

f (z) dz + (z + 8)2

γ+

Z γ−

f (z) dz = (z + 8)2 f (z) . (7) z=−8 (z + 8)2

= 2πi res

®ª ¦¥¬, ª ª á ¯®¬®éìî í⮣® à ¢¥­á⢠ ¬®¦­® ¢ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « (6).  áᬮâਬ ¯®®ç¥à¥¤­® ç«¥­ë à ¢¥­á⢠ (7). 1. Žæ¥­¨¬ ¨­â¥£à « Z

IR =

f (z) dz. (z + 8)2

CR

à¨ |z| = R ¯®«ãç ¥¬ |f (z)| =

®âªã¤ 

1 |z+8|

6

√ 3 R,

1 R−8

|z + 8| > ||z| − 8| = R − 8 > 0,

. ®í⮬ã

√ 3 R |IR | 6 · 2πR → 0 (R − 8)2

2. …᫨ z ∈ γ+ , â® f (z) = f (x + i0) =

¯à¨

√ 3 x,

R → +∞.

x > 0.

®í⮬ã Z I1 = γ+

Žâ¬¥â¨¬, çâ® ¯à¨ R ¬®¬ã ¨­â¥£à «ã (6).

f (z) dz = (z + 8)2 → +∞

ZR 0

√ 3 x dx. (x + 8)2

íâ®â ¨­â¥£à « áâ६¨âáï ª ¨áª®-


54

3. …᫨ z ∈ γ− , â® f (z) = f (x − i0) =

√ 3 xe2πi/3 ,

x > 0.

®í⮬㠨­â¥£à « Z I2 = γ−

f (z) dz = −e2πi/3 (z + 8)2

ZR 0

√ 3 x dx = −e2πi/3 · I1 . (z + 8)2

4. à ¢ ï ç áâì à ¢¥­á⢠ (7) ­¥ § ¢¨á¨â ®â R ¯à¨ R > 8 ¨ à ¢­  ¯ ¯ ¯ f (z) f (z) ¯¯ 0 ¯ = 2πi 2πi · res = 2πif (z)¯ = z=−8 (z + 8)2 3z ¯z=−8 z=−8 πi 2 eπi/3 = − eπi/3 . = 2πi · 3(−8) 6

‚ १ã«ìâ â¥ ¨§ à ¢¥­á⢠ (7) ¯à¨ R → +∞ ¯®«ãç ¥¬ ®âªã¤ 

³ ´ πi 1 − e2πi/3 I = − eπi/3 , 6

π πieπi/3 ¢= I=− ¡ 2πi/3 12 6 1−e

1 eπi/3 −e−πi/3 2i

=

π π π = √ . 12 sin 3 6 3

N

à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « Z2 s 5

I= 1

(2 − x)3 dx. (x − 1)3

¥è¥­¨¥. „«ï ¢ëç¨á«¥­¨ï í⮣® ¨­â¥£à «  á ¯®¬®éìî ¢ë-

ç¥â®¢ ॣã«ïà­® ¯à®¤®«¦¨¬ ¯®¤ë­â¥£à «ì­ãî äã­ªæ¨î á ¨­â¥à¢ «  (1, 2] ¢ ­¥ª®â®àãî ®¡« áâì ¢ C, £à ­¨æ  ª®â®à®© ᮤ¥à¦¨â ®â१®ª [1, 2]. ’ ª ª ª ¯®¤ë­â¥£à «ì­ ï äã­ªæ¨ï nq¯à¨ ¯à®o 3 ¤®«¦¥­¨¨ ¢ C áâ ­®¢¨âáï ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樥© 5 (2−z) , 3 (z−1) â® ­¥®¡å®¤¨¬® ¯®§ ¡®â¨âìáï ® ¢®§¬®¦­®á⨠¢ë¤¥«¥­¨ï ॣã«ïà­ëå ¢¥â¢¥© í⮩ ä㭪樨 ¢ ¯®«ã祭­®© ®¡« áâ¨. ‘«¥¤ãï १ã«ìâ â ¬ § 18{19, ¯®«ãç ¥¬, çâ® ¢ ®¡« á⨠C \ [1, 2] ã ä㭪樨


§ 7.

‚ëç¨á«¥­¨¥ ­¥á®¡á⢥­­ëå ¨­â¥£à «®¢

55

y

γ

Cr 0

γr+ γr− 2

1

x

¨á. 7.4 nq

o

áãé¥áâ¢ãîâ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨. ‚롥६ â ªãî ¥¥ ॣã«ïà­ãî ¢¥â¢ì f (z), ã ª®â®à®© f (x + i0) > 0 ¯à¨ x ∈ (1, 2). …᫨ ¤«ï ࠧ१  [1, 2] ¢¢¥áâ¨, ª ª ¨ ¢ ¯à¥¤ë¤ã饩 § ¤ ç¥, ¤¢  ¡¥à¥£ : ¢¥àå­¨© γ + ¨ ­¨¦­¨© γ − , â® íâ  ¢¥â¢ì f (z) ­¥¯à¥à뢭® ¯à®¤®«¦¨¬  ­  £à ­¨æã γ + ∪ γ − ¢áî¤ã, ªà®¬¥ â®çª¨ 1. —â®¡ë ¢ë¯®«­ï«¨áì ãá«®¢¨ï â¥®à¥¬ë Š®è¨ ® ¢ëç¥â å, ­ã¦­® ¨áª«îç¨âì â®çªã 1 ¨§ £à ­¨æë ¨ à áᬮâà¥âì ®¡« áâì 5

(2−z)3 (z−1)3

D(r) = C \ ([1, 2] ∪ {z : |z − 1| 6 r}) ,

£¤¥

r ∈ (0, 1).

‚ í⮩ ®¡« á⨠äã­ªæ¨ï f (z) ¢áî¤ã ॣã«ïà­  (ªà®¬¥ ∞) ¨ ­¥¯à¥à뢭® ¯à®¤®«¦¨¬  ¢¯«®âì ¤® ¥¥ £à ­¨æë Γr = Cr ∪γr+ ∪γr− , £¤¥ ®ªà㦭®áâì Cr = {z : |z − 1| = r} ®à¨¥­â¨à®¢ ­  ¯® 室ã ç á®¢®© áâ५ª¨, γr+ | ¢¥àå­¨© ¡¥à¥£ ࠧ१  ®â१ª  [1 + r, 2] á ®à¨¥­â æ¨¥© ®â â®çª¨ 1 + r ¤® â®çª¨ 2, γr− | ­¨¦­¨© ¡¥à¥£ ࠧ१  ®â१ª  [1 + r, 2] á ®à¨¥­â æ¨¥© ®â â®çª¨ 2 ¤® â®çª¨ 1 + +r. ’ ª¨¬ ®¡à §®¬ ¢ë¡à ­­ ï ®à¨¥­â æ¨ï £à ­¨æë Γr ï¥âáï ¯®«®¦¨â¥«ì­®© ¤«ï ®¡« á⨠D(r). ’ ª ª ª ¢ ®¡« á⨠D(r) äã­ªæ¨ï f (z) ¨¬¥¥â ¥¤¨­á⢥­­ãî ®á®¡ãî â®çªã z = ∞, â® ¯® ⥮६¥ Š®è¨ ® ¢ëç¥â å ¯®«ãç ¥¬ Z

Z

f (z) dz + γr+

Z

f (z) dz + Cr

f (z) dz = 2πi res f (z). z=∞

(8)

γr−

®ª ¦¥¬, çâ® ¢â®à®¥ á« £ ¥¬®¥ «¥¢®© ç á⨠(8) áâ६¨âáï ª


56

­ã«î ¯à¨ ¯r → +0. ˆ¬¥¥¬ ¯

¯Z ¯ Z ¯ ¯ ¯ f (z) dz ¯ 6 |f (z)||dz| 6 ¯ ¯ ¯ ¯ Cr Cr ¶ µ ¶ Z µ 1 + r 3/5 1 + r 3/5 |dz| = 2πr → 0 6 r r Cr

…᫨ x ∈

γr+

, â® f (x) =

Z

r³ 5

2−x x−1

´3

r → +0.

r → +0.

(9)

,

Z2 f (z) dz =

¯à¨

f (x) dx → I

¯à¨

1+r

γr+

…᫨ x ∈ γr− , â®

¶ 2 − x 3 −i 6π f (x) = e 5, x−1 µ ¶ â ª ª ª 2−z 3 ∆γ arg = −6π, z−1 £¤¥ γ = {z : |z − 2| = ε, 0 < ε < 1} | ®ªà㦭®áâì, 5

¢ ­­ ï ¯® 室ã ç á®¢®© áâ५ª¨. ®í⮬ã Z f (z) dz → −e−6πi/5 I

¯à¨

r → +0.

®à¨¥­â¨à®(10)

γr−

 ©¤¥¬ z=∞ res f (z) = −c−1 , £¤¥ c−1 | ª®íää¨æ¨¥­â ¯à¨ z1 à鸞 ‹®à ­  ä㭪樨 f (z) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ z = ∞. …᫨ x ∈ R ¨ x > 2, â® s¯ ¯ ¶ µ ¶ µ 3¯ ¯ 1 −3/5 2 3/5 5 ¯ (2 − x) ¯ −i3π/5 −3πi/5 f (x) = ¯ 1 − = e = e 1 − (x − 1)3 ¯ x x ¶µ ¶ µ 3πi 3 6 = e− 5 1 − + ... 1+ + ... = 5x 5x µ µ ¶ ¶ 3 6 1 −3πi/5 =e 1+ − + . . . = S(x). 5 5 x


‚ëç¨á«¥­¨¥ ­¥á®¡á⢥­­ëå ¨­â¥£à «®¢

§ 7.

57

’ ª ª ª á㬬   ­ «¨â¨ç¥áª®£® ¯à®¤®«¦¥­¨ï ¯®«ã祭­®£® à鸞 S(z) ¨ äã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­ë ¢ ª®«ìæ¥ {z : |z| > 2}, ¯à¨ç¥¬ f (x) = S(x) ¤«ï ¢á¥å x ∈ R, x > 2, â® ¯® ⥮६¥ ¥¤¨­á⢥­­®á⨠¤«ï ॣã«ïà­ëå ä㭪権 ∞

f (z) = S(z) = e−3πi/5 −

e−3πi/5 3 X ck · + z 5 zk k=2

¤«ï ¢á¥å z ∈ C, |z| > 2. ‘«¥¤®¢ â¥«ì­®,

3 res f (z) = −c−1 = e−3πi/5 . z=∞ 5

(11)

¥à¥å®¤ï ª ¯à¥¤¥«ã ¢ à ¢¥­á⢥ (8) á ãç¥â®¬ ᮮ⭮襭¨© (9){(11), ¯®«ãç ¥¬ ³ ´ 6 I 1 − e−6πi/5 = πie−3πi/5 5 à ! e3πi/5 − e−3πi/5 3π I = , 2i 5

¨«¨ ®âªã¤  ­ å®¤¨¬

I=

3π . 5 sin 3π 5

N

à¨¬¥à. ‚ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « +∞ Z

I= 0

ln x dx. (x + 1)(x + 2)2

(12)

¥è¥­¨¥. ‚ ª®¬¯«¥ªá­®© ¯«®áª®á⨠á ࠧ१®¬ ¯® «ãçã

äã­ªæ¨ï h(z) = ln |z| + iϕ, 0 < ϕ < 2π ï¥âáï ॣã«ïà­®© ¢¥â¢ìî ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 Ln z (§ 17). Ž¡®§­ ç¨¬

[0, +∞)

1 , f (z) = R(z)h2 (z) (z + 1)(z + 2)2 ¨ à áᬮâਬ ®¡« áâì D, £à ­¨æ  Γ ª®â®à®© ¯®ª § ­  ­  (à¨á. 7.5), £¤¥ 0 < ρ < 1, R > 2. ‚ í⮩ ®¡« á⨠äã­ªæ¨ï f (z) ॣã«ïà­ , §  ¨áª«î祭¨¥¬ â®ç¥ª z = −1, z = −2, R(z) =


58 CR D Cρ

γ+ ρ γ− −2−1 0

¨á. 7.5 ¨ ­¥¯à¥à뢭  ®ª®«® Γ ¢¯«®âì ¤® Γ. ® ®á­®¢­®© ⥮६¥ ® ¢ëç¥â å ¯®«ãç ¥¬ Z

Z

f (z) dz + Cρ

Z

f (z) dz + γ+

CR

Z

+

f (z) dz +

f (z) dz = 2πi

·

¸ res f (z) + res f (z) .

z=−1

z=−2

(13)

γ−

 áᬮâਬ ¯®®ç¥à¥¤­® ç«¥­ë í⮣® à ¢¥­á⢠. ’ ª ª ª

|h(z)| 6 | ln |z|| + 2π , â® ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ 2 h (z) dz ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f (z) dz ¯ = ¯ ¯6 ¯ ¯ ¯ (z + 1)(z + 2)2 ¯ ¯ Cρ ¯ ¯ ¯ Cρ

(| ln ρ| + 2π)2 2πρ →0 (1 − ρ)(2 − ρ)2 ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯Z ¯ ¯Z ¯ ¯ ¯ ¯ 2 h (z) dz ¯ ¯ ¯ ¯ f (z) dz ¯ = ¯ ¯6 ¯ ¯ ¯ ¯ (z + 1)(z + 2)2 ¯ ¯ ¯ CR ¯ ¯ CR 6

6

(ln R + 2π)2 2πR →0 (R − 1)(R − 2)2

¯à¨ ρ → +0,

¯à¨ R → +∞.

…᫨ z ∈ γ+ , â® h(z) = ln x,   ¥á«¨ z ∈ γ− , â® h(z) = ln x + + 2πi. ’ ª ª ª á㬬  ¨­â¥£à «®¢ ¯® γ+ ¨ γ− ¢ «¥¢®© ç á⨠(13)


‚ëç¨á«¥­¨¥ ­¥á®¡á⢥­­ëå ¨­â¥£à «®¢

§ 7.

59

à ¢­  ZR

ZR ln x · R(x) dx − (ln x + 2πi)2 R(x) dx = 2

ρ

ρ

ZR = −4πi

ZR ln x · R(x) dx + 4π

ρ

2

R(x) dx, ρ

â® ¯¥à¥å®¤ï ¢ «¥¢®© ç á⨠ࠢ¥­á⢠ (13) ª ¯à¥¤¥«ã ¯à¨ ρ → +0, ¯®«ãç ¥¬ −4πiI + 4π2 I1 , £¤¥

R → +∞,

+∞ Z

I1 = 0

dx . (x + 1)(x + 2)2

 ©¤¥¬ §­ ç¥­¨¥ ¯à ¢®© ç á⨠(13), ª®â®à ï ­¥ § ¢¨á¨â ®â ρ ¨ R. ’ ª ª ª z = −1 | ¯®«îá ¯¥à¢®£® ¯®à浪 ,   z = −2 | ¯®«îá ¢â®à®£® ¯®à浪  ä㭪樨 f (z), â® res f (z) = µ 2 ¶0 ¯¯ h (z) ¯ res f (z) = ¯ z=−2 z+1 ¯ z=−1

¯ h2 (z) ¯¯ = (iπ)2 = −π 2 , (z + 2)2 ¯z=−1 ¸¯ · h2 (z) ¯¯ 2h(z) − = = z(z + 1) (z + 1)2 ¯z=−2

z=−2

= ln 2 + iπ − (ln 2 + iπ)2 = π 2 + ln 2 − ln2 2 + iπ(1 − 2 ln 2).

ˆ§ à ¢¥­á⢠ (13) á«¥¤ã¥â, çâ®

¡ ¢ −4πiI + 4π 2 I1 = 2πi ln 2 − ln2 2 + iπ(1 − 2 ln 2) ,

®âªã¤  ­ å®¤¨¬, ¯à¨à ¢­ï¢ ¤¥©á⢨⥫ì­ë¥ ¨ ¬­¨¬ë¥ ç á⨠¨ ãç¨â뢠ï, çâ® I1 ∈ R, 1 I = (ln2 2 − ln 2). 2

N


60

§ 8.

Š®­ä®à¬­ë¥ ®â®¡à ¦¥­¨ï í«¥¬¥­â à­ë¬¨ äã­ªæ¨ï¬¨ ‘¯à ¢®ç­ë¥ ᢥ¤¥­¨ï

1. ‘⥯¥­­ ï äã­ªæ¨ï.

ãáâì t ∈ R.  áᬮâਬ ­  ®¡« á⨠G = C \ [0, +∞) äã­ªæ¨î w = |z|t eit arg z , £¤¥ arg z ∈ (0, 2π). (1) â  äã­ªæ¨ï ॣã«ïà­  ­  G. à¨ç¥¬ ¯à¨ t 6= 0 äã­ªæ¨ï (1) ®¤­®«¨áâ­  ­  ®¡« á⨠D ⊂ G, ¥á«¨ D ­¥ ᮤ¥à¦¨â ¤¢ãå à §«¨ç­ëå â®ç¥ª z1 , z2 , â ª¨å, çâ® z2 = z1 · e2πik/t , k ∈ Z. ‚ ç áâ­®áâ¨, ¯à¨ t > 0 äã­ªæ¨ï (1) ®áãé¥á⢫ï¥â ª®­ä®à¬­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ 㣫®¢®© ®¡« á⨠G0,ϕ0 = {z : |z| > 0, 0 < < arg z < ϕ0 }, £¤¥ ϕ0 6 2π , |t|ϕ0 6 2π, ­  㣫®¢ãî ®¡« áâì G0,tϕ0 (à¨á. 8.1). y

v tϕ0

ϕ0

tϕ1

ϕ1 0

x

0

u

¨á. 8.1  ¯à¨¬¥à, äã­ªæ¨ï w = z 2 ª®­ä®à¬­® ®â®¡à ¦ ¥â 1) ¢¥àå­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì {z : Im z > 0} ­  ¯«®áª®áâì á ࠧ१®¬ C \ [0, +∞) (à¨á. 8.2); 2) ¯®«ãªà㣠{z : |z| < 1, Im z > 0} ­  ªà㣠á ࠧ१®¬ {w : |w| < 1} \ [0, 1) (à¨á. 8.3); 3) ¯®«ã¯«®áª®áâì {z : Im z > a > 0} ­  ¢­¥è­®áâì ¯ à ¡®«ë {w = u + iv : v 2 > 4a2 (u + a2 )} (à¨á. 8.4).

2. ªá¯®­¥­æ¨ «ì­ ï äã­ªæ¨ï. ”ã­ªæ¨ï ¢ ®¡« á⨠D

w = ez ®áãé¥á⢫ï¥â ª®­ä®à¬­®¥ ⊂ C ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  D

®â®¡à ¦¥­¨¥ ­¥ ᮤ¥à¦¨â


§ 8.

Š®­ä®à¬­ë¥ ®â®¡à ¦¥­¨ï í«¥¬¥­â à­ë¬¨ äã­ªæ¨ï¬¨ y

61

v w=z

2

x

0

u

0

¨á. 8.2 y

v w = z2

0

−1

1

x

0

1 u

¨á. 8.3 y

0

w = z2 ai x

−a2

v

0

u

v 2 > 4a2 (u + a2 )

¨á. 8.4 ¤¢ãå à §«¨ç­ëå â®ç¥ª z1 , z2 , â ª¨å, çâ® z2 = z1 + 2πki, £¤¥ k ∈

∈ Z.

 ¯à¨¬¥à, äã­ªæ¨ï w = ez ª®­ä®à¬­® ®â®¡à ¦ ¥â 1) ¯®«®áã {z : 0 < Im z < π} ­  ¢¥àå­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì {w : Im w > 0} (à¨á. 8.5);


62

2) ¯®«ã¯®«®áã {z : Re z < 0, 0 < Im z < π} ­  ¯®«ãªà㣠{w : |w| < 1, Im w > 0} (à¨á. 8.6); 3) ¯®«ã¯®«®áã {z : Re z > 0, 0 < Im z < π} ­  ®¡« áâì {w : |w| > 1, Im w > 0} (à¨á. 8.7). y y

z

w=e

−1 x

0

1

x

0

¨á. 8.5 y

v

w = ez

x

0

1 u

0

−1

¨á. 8.6 y

v i

iπ w = ez 0

x

−1

0

1

u

¨á. 8.7

3. ‹®£ à¨ä¬¨ç¥áª ï äã­ªæ¨ï. Œ­®£®§­ ç­ ï äã­ªæ¨ï

à á¯ ¤ ¥âáï ­  ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ ¢® ¢á类© ®¤­®á¢ï§­®© ®¡« á⨠G ⊂ C, ­¥ ᮤ¥à¦ é¥© â®ç¥ª 0 ¨ ∞. Š ¦¤ ï ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì f (z) ∈ Ln z ¢ â ª®© ®¡« á⨠G ï¥âáï ®¤­®«¨áâ­®© ä㭪樥© (â ª ª ª ®¡à â­ ï ª ­¥© äã­ªæ¨ï ez ï¥âáï ®¤­®§­ ç­®©), ¯®í⮬ã íâ  ¢¥â¢ì f (z) ®áãé¥á⢫ï¥â ª®­ä®à¬­®¥ w = Ln z


§ 8.

Š®­ä®à¬­ë¥ ®â®¡à ¦¥­¨ï í«¥¬¥­â à­ë¬¨ äã­ªæ¨ï¬¨

63

®â®¡à ¦¥­¨¥ ®¡« á⨠G ­  ®¡« áâì f (G), ª®â®à®¥ ï¥âáï ®¡à â­ë¬ ª ®â®¡à ¦¥­¨î ®¡« á⨠f (G) ­  ®¡« áâì G ä㭪樥© w = ez .  ¯à¨¬¥à, ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì f (z) ä㭪樨 Ln z ª®­y y w = f (z) x

0

−1

2πi πi x

0

¨á. 8.8 y

v

iπ w = f (z) −1

0

1

u

0

x

¨á. 8.9 ä®à¬­® ®â®¡à ¦ ¥â 1) ¯«®áª®áâì C á ࠧ१®¬ ¯® «ãçã [0, +∞) ­  ¯®«®áã 0 < < Im w < 2π (¥á«¨ f (−1) = πi) (à¨á. 8.8); 2) ®¡« áâì {z : Im z > 0, |z| > 1} ­  ¯®«ã¯®«®áã {w : 0 < < Im w < π, Re w > 0} (¥á«¨ f (2 + i0) = ln 2) (à¨á. 8.9). ¡ ¢ 4. ”ã­ªæ¨ï †ãª®¢áª®£® w = 12 z + z1 ®áãé¥á⢫ï¥â ª®­ä®à¬­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ®¡« á⨠D ⊂ C ⮣¤  ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤  â®çª¨ ±1 ­¥ ¯à¨­ ¤«¥¦ â ®¡« á⨠D ¨ ¤«ï «î¡®© â®çª¨ z ∈ D â®çª  z1 6∈ D.  ¯à¨¬¥à, äã­ªæ¨ï †ãª®¢áª®£® ª®­ä®à¬­® ®â®¡à ¦ ¥â 1) ¢¥àå­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì {z : Im z > 0} ­  ¯«®áª®áâì C á ࠧ१ ¬¨ ¯® «ãç ¬ (−∞, −1] ¨ [1, +∞), â. ¥. ­  C \ ((−∞, −1] ∪ [1, +∞)) (à¨á. 8.10); 2) ­¨¦­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì {z : Im z < 0} ­  C \ ((−∞, −1] ∪ [1, +∞));


64 z

w 0 a

−1

b0 = f (b)

b 1

−1

1

a0 = f (a)

¨á. 8.10 3) ¥¤¨­¨ç­ë© ªà㣠{z : |z| < 1} ­  ¯«®áª®áâì C á ࠧ१®¬ ¯® ®â१ªã [−1, 1], â. ¥. ­  C \ [−1, 1] (à¨á. 8.11); z

w a

−1

1

0

b0 = f (b) −1

a0 = f (a) 1

b

¨á. 8.11 4) ¢­¥è­®áâì ¥¤¨­¨ç­®£® ªà㣠 (â. ¥. −1, 1] (à¨á. 8.12); z

{z : |z| > 1})

­ 

C \ [−

w a

−1

1

0

a0 = f (a) −1

b0 = f (b) 1

b

¨á. 8.12 5) ®¡« áâì {z :

Im z > 0, |z| > 1} {w : Im w > 0} (à¨á. 8.13);

­  ¢¥àå­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì

6) ¯®«ãªà㣠{z : |z| < 1, Im z < 0} ­  ¢¥àå­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì {w : Im w > 0} (à¨á. 8.14);


§ 8.

Š®­ä®à¬­ë¥ ®â®¡à ¦¥­¨ï í«¥¬¥­â à­ë¬¨ äã­ªæ¨ï¬¨ i

z

w

−1

1

−1

¨á. 8.13

z −1

0

1

0

1

w 1

0 i

−1

¨á. 8.14

7) ®¡« áâì {z : |z| > ρ > 1} (¨ ªà㣠­®áâì í««¨¯á  ½ £¤¥

65

{z : |z| < 1/ρ})

­  ¢­¥è-

¾ u2 v 2 w = u + iv : 2 + 2 > 1 , aρ bρ ¯ ¯ ³ ´ ¯ ¯ aρ = 21 ρ + ρ1 , bρ = 12 ¯ρ − ρ1 ¯ (à¨á. 8.15); iρ

z

−ρ

−1

0

1

−ρ −1

0

w ibρ

−aρ

−iρ iρ

z

ρ

−1

0

1

−ibρ ρ

1

−iρ

¨á. 8.15

¡

¢

8) 㣫®¢ãî ®¡« áâì {z : α < arg z < π − α}, £¤¥ α ∈ 0, π2 , ­  2 2 ¢­¥è­®áâì £¨¯¥à¡®«ë cosu2 α − sinv2 α = 1 (à¨á. 8.16);


66

i α

α

α

0

−1

−1

1

0

1

¨á. 8.16 z

w eiα α 0

1

0

α cos α 1

¨á. 8.17 ¡

¢

9) 㣫®¢ãî ®¡« áâì {z : 0 < arg z < α}, £¤¥ α ∈ 0, π2 , ­  2 2 ¢­ãâ७­®áâì ¯à ¢®© ¢¥â¢¨ £¨¯¥à¡®«ë cosu2 α − sinv2 α = 1 á ࠧ१®¬ ¯® «ãçã [1, +∞) (à¨á. 8.17); 10) 㣫®¢ãî¡®¡« áâì {z : 0 < arg z < π − α, |z| > 1}, (à¨á. 8.18) ¢ £¤¥ α ∈ 0, π2 , ­  ®¡« áâì ½ w = u + iv :

¾ u2 v2 − > 1, u > 0, v > 0 . cos2 α sin2 α

5. ”ã­ªæ¨ï, ®¡à â­ ï ª ä㭪樨√†ãª®¢áª®£®.

Œ­®£®§­ ç­ ï äã­ªæ¨ï w = z + z 2 − 1, ïîé ïáï ®¡à â­®© ª ä㭪樨 †ãª®¢áª®£®, ¢ «î¡®© ®¤­®á¢ï§­®© ®¡« á⨠G ⊂ C, ­¥ ᮤ¥à¦ é¥© å®âï ¡ë ®¤­®© ªà¨¢®©, ᮥ¤¨­ïî饩


§ 8.

Š®­ä®à¬­ë¥ ®â®¡à ¦¥­¨ï í«¥¬¥­â à­ë¬¨ äã­ªæ¨ï¬¨

z

eiα α

0

1

67

w

α 0 cos α 1

¨á. 8.18

â®çª¨ z = ±1, à á¯ ¤ ¥âáï ­  ¤¢¥ ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨. ‚á猪ï √ ॣã«ïà­ ï ¢ ®¡« á⨠G ¢¥â¢ì ä㭪樨 w = z + z 2 − 1 ï¥âáï ®¤­®«¨áâ­®© (â ª ª ª ®¡à â­ ï ª ­¥© äã­ªæ¨ï †ãª®¢áª®£® ï¥âáï ®¤­®§­ ç­®©).  ¯à¨¬¥à, ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨ f1 (z) ¨ f2 (z) ®¡à â­®© ä㭪樨 ª ä㭪樨 †ãª®¢áª®£® ª®­ä®à¬­® ®â®¡à ¦ îâ 1) ¯«®áª®áâì á ࠧ१®¬ ¯® ®â१ªã [−1, 1] ­  ¢­¥è­®áâì ¥¤¨­¨ç­®£® ªà㣠 (¥á«¨ ¡à âì f1 (z) â ªãî, çâ® f1 (∞) = ∞) ¨«¨ ­  ¢­ãâ७­®áâì ¥¤¨­¨ç­®£® ªà㣠 (¥á«¨ ¡à âì f2 (z) â ªãî, çâ® f2 (∞) = 0) (à¨á. 8.19); 2) ¯«®áª®áâì á ࠧ१ ¬¨ ¯® «ãç ¬ (−∞, −1] ¨ [1, +∞) ­  ¢¥àå­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì (¥á«¨ ¡à âì f1 (z) â ªãî, çâ® f1 (0) = i) ¨«¨ ­  ­¨¦­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì (¥á«¨ ¡à âì f2 (z) â ªãî, çâ® f2 (0) = −i) (à¨á. 8.20); 3) ¢¥àå­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì {z : Im z > 0} ­  ®¡« áâì {w : Im w > 0, |w| > 1} (¥á«¨ ¡à âì f1 (z) â ªãî, çâ® f1 (0 + + i0) = i) ¨«¨ ­  ®¡« áâì {w : |w| < 1, Im w < 0} (¥á«¨ ¡à âì f2 (z) â ªãî, çâ® f2 (0 + i0) = −i) (à¨á. 8.21).

6. ’ਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¨ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨¥ ä㭪樨.

Žá­®¢­ë¥ âਣ®­®¬¥âà¨ç¥áª¨¥ ¨ £¨¯¥à¡®«¨ç¥áª¨¥ ä㭪樨 ¬®¦­® à §«®¦¨âì ¢ á㯥௮§¨æ¨î 㦥 à ­¥¥ à áᬮâ७­ëå í«¥¬¥­â à­ëå ä㭪権.


68 w a0 = f1 (a) −1

z

w=

0 0 b = f1 (b)

z) f 1(

1

a −1

1

b

w

w=

b0 = f2 (b)

f2 ( z) −1

0 0 a = f2 (a)

1

¨á. 8.19

z

w

=

f

(z ) 1

w −1

b0 = f1 (b) 0 1 a0 = f1 (a)

−1

a0 = f2 (a) 0 1 b0 = f (b)

a −1

1

b w

w

=

f2

(z )

¨á. 8.20  ¯à¨¬¥à, äã­ªæ¨ï w(z) = ch z = §¨æ¨¥© ¤¢ãå ä㭪権: z

ζ(z) = e ,

1 w(ζ) = 2

ez +e−z 2

ï¥âáï á㯥௮-

µ ¶ 1 ζ+ . ζ

”ã­ªæ¨ï w(z) = tg z =

sin z 1 eiz − e−iz e2iz − 1 = · iz = (−i) cos z i e + e−iz e2iz + 1


§ 8.

Š®­ä®à¬­ë¥ ®â®¡à ¦¥­¨ï í«¥¬¥­â à­ë¬¨ äã­ªæ¨ï¬¨ w w

z a −1

z) 1( f =

69 a0 b0

−1

1

−1

b0 1

b w

1 w=

f2 (

z)

a0

¨á. 8.21 ï¥âáï á㯥௮§¨æ¨¥© âà¥å ä㭪権: ζ(z) = 2iz,

η(ζ) = eζ ,

w(η) = (−i)

η−1 . η+1

à¨¬¥àë á à¥è¥­¨ï¬¨ à¨¬¥à.  ©â¨ ª®­ä®à¬­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ®¡« á⨠D, ïî饩áï ¢¥àå­¥© ¯®«ã¯«®áª®áâìî {z : Im z > 0} á ࠧ१®¬ ¯® ®â१ªã [0, ih], £¤¥ h > 0 (à¨á. 8.22), ­  ¢¥àå­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì {w : Im w > 0}. y ih

D1

D x

0

¨á. 8.22

¥è¥­¨¥.

−h20

¨á. 8.23

D2 0

¨á. 8.24

”ã­ªæ¨ï ξ = f1 (z) = z 2 ®¤­®«¨áâ­  ­  ®¡« á⨠D ¨ ª®­ä®à¬­® ®â®¡à ¦ ¥â ®¡« áâì D ­  ®¡« áâì D1 , ïîéãîáï ¯«®áª®áâìî á ࠧ१®¬ ¯® «ãçã [−h2 , +∞) (à¨á. 8.23). ”ã­ªæ¨ï η = f2 (ξ) = ξ + h2 ª®­ä®à¬­® ®â®¡à ¦ ¥â ®¡« áâì D1 ­  ®¡« áâì D2 , ïîéãîáï ¯«®áª®áâìî á ࠧ१®¬ ¯® «ãçã [0, +∞) (à¨á. 8.24).


70 p

”ã­ªæ¨ï w = f3 (η) = |η|ei arg η/2 , £¤¥ arg η ∈ (0, 2π), ª®­ä®à¬­® ®â®¡à ¦ ¥â ®¡« áâì D2 ­  ¢¥àå­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì {Im w > 0}. ¡ ¡ ¢¢ ˆâ ª, äã­ªæ¨ï w = f3 f2 f1 (z) ª®­ä®à¬­® ®â®¡à ¦ ¥â ®¡« áâì D ­  ®¡« áâì {w : Im w > 0}. à¨¬¥à.  ©â¨ ª®­ä®à¬­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ®¡« á⨠D, ïî饩áï ¢¥àå­¥© ¯®«ã¯«®áª®áâìî {z : Im z > 0} á ࠧ१®¬ ¯® ¤ã£¥ ®ªà㦭®á⨠{z : |z| = 1, 0 6 arg z 6 α}, £¤¥ 0 < α < < π (à¨á. 8.25), ­  ¢¥àå­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì.

¥è¥­¨¥.

¡

¢

”ã­ªæ¨ï †ãª®¢áª®£® ξ = f1 (z) = 12 z + z1 ®â®¡à ¦ ¥â ®¡« áâì D ­  ¯«®áª®áâì á ࠧ१ ¬¨ ¯® «ãç ¬ (−∞, −1] ¨ [cos α, + +∞) (®¡« áâì D1 ) (à¨á. 8.26). z

D

ξ

α −1

1

¨á. 8.25

D1 cos α −1 0 0

1

¨á. 8.26

α „à®¡­®-«¨­¥©­ ï äã­ªæ¨ï η = f2 (ξ) = ξ−cos ®â®¡à ¦ ¥â ξ+1 ®¡« áâì D1 ­  ®¡« áâì D2 , ïîéãîáï ¯«®áª®áâìî á ࠧ१®¬ ¯® «ãçã [0, +∞) (à¨á. 8.24). p ”ã­ªæ¨ï w = f3 (η) = |η|ei arg η/2 , £¤¥ arg η ∈ (0, 2π), ª®­ä®à¬­® ®â®¡à ¦ ¥â ®¡« áâì D2 ­  ¢¥àå­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì {w : Im w > 0}. ¢¢ ¡ ¡ ˆâ ª, äã­ªæ¨ï w = f3 f2 f1 (z) ï¥âáï ¨áª®¬®©. à¨¬¥à. Ž¡« áâì D = {z : Re z > 0, |z − 1| > > 1} \ [2, 3] (à¨á. 8.27) ª®­ä®à¬­® ®â®¡à §¨âì ­  ¢¥àå­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì.

¥è¥­¨¥. ”ã­ªæ¨ï

ξ = f1 (z) =

1 z

®â®¡à ¦ ¥â ®¡« áâì

D

­  ®¡« áâì


§ 8.

Š®­ä®à¬­ë¥ ®â®¡à ¦¥­¨ï í«¥¬¥­â à­ë¬¨ äã­ªæ¨ï¬¨

71

η ξ

D 0

1

2

D

πi 3

3

¨á. 8.27 D1 ,

πi

0

¨á. 8.28

ïîéãîáï ¯®«®á®© á ࠧ१®¬, â. ¥. ¾ · ¸ ½ 1 1 1 \ , . D1 = ξ : 0 < Re ξ < 2 3 2

‹¨­¥©­ ï äã­ªæ¨ï D1 ­  ®¡« áâì

η = f2 (ξ) = πi(1 − 2ξ)

®â®¡à ¦ ¥â ®¡« áâì

h π i D2 = {η : 0 < Im η < π} \ 0, i 3

(à¨á. 8.28). ”ã­ªæ¨ï w = f3 (η) = eη ®â®¡à ¦ ¥â ®¡« áâì D2 ­  ®¡« áâì (à¨á. 8.25) ¯à¨ α = π3 . „ «¥¥ á¬. ¯à¨¬¥à 2.

à¨¬¥à.

« áâ¨

 ©â¨ ª®­ä®à¬­®¥ ®â®¡à ¦¥­¨¥ ®¡-

D (à¨á. 8.29), ïî饩áï ¯®«ã¯®«®á®© £ πi πi {z¤: 0 < Im z < < π, Re z > 0} á ࠧ१®¬ ¯® ®â१ªã 2 ; 2 + 1 ­  ¢¥àå­îî

¯®«ã¯«®áª®áâì.

¥è¥­¨¥. ”ã­ªæ¨ï ξ = f1 (z) = ez ®â®¡à ¦ ¥â ®¡« áâì D ­  ®¡« áâì D1 (à¨á. 8.30), ïîéãîáï ¢¥àå­¥© ¯®«ã¯«®áª®áâìî á ¢ë¡à®è¥­­ë¬ ¥¤¨­¨ç­ë¬ ³ ´¯®«ãªà㣮¬ ¨ ࠧ१®¬ [i, ei]. ”ã­ªæ¨ï 1 1 η = f2 (ξ) = 2 ξ + ξ ®â®¡à ¦ ¥â ®¡« áâì D1 ­  ¢¥àå­îî ¯®«ã¯«®áª®áâì á ࠧ१®¬ [0, i sh 1] ( (à¨á. 8.22) ¯à¨ h = sh 1). „ «¥¥ ¢®á¯®«ì§®¢ âìáï à¥è¥­¨¥¬ ¯à¨¬¥à  1.


72

z

y πi D

0

0

x

1

¨á. 8.29 § 9.

D1

i

πi 2

ξei

¨á. 8.30

‡ ¤ ç¨

‡ ¤ ç¨ ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š (2001{2002 £.)

1.  §«®¦¨âì ¢ àï¤ ‹®à ­  ¯® á⥯¥­ï¬ (z − i) äã­ªæ¨î f (z) =

2i + 1 (z − i − 1)(z + i)

¢ ª®«ìæ¥, ª®â®à®¬ã ¯à¨­ ¤«¥¦¨â â®çª  z = 2i . “ª § âì £à ­¨æë ª®«ìæ  á室¨¬®áâ¨. 2. ˆáá«¥¤®¢ âì ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ä㭪樨 f (z) =

3. ‚ëç¨á«¨âì 4. ‚ëç¨á«¨âì 5. ‚ëç¨á«¨âì

+∞ R −∞

+

sin(2−3x) x2 +4

|z+i|=2 R1 p 10

−2

ez

1 1 − . −1 z

dx.

z−1 z (cos z1 −1)

dz .

(x + 2)5 (1 − x)5 dx.

6. ãáâì f (z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ä㭪樨 Ln(z 2 − 4z) ¢ ¯«®áª®á⨠á ࠧ१®¬

γ = γ1 ∪ γ2 , γ1 = {|z − 2| = 2, Im z 6 0}, γ2 = {− Re z = Im z , Im z > 0}, ¯à¨ç¥¬ Im f (−5) = 0. ‚ëç¨á-


§ 9.

‡ ¤ ç¨

73

«¨âì

,

dz . f (z) − ln 8 − 3πi

|z−2−2i|=1

‡ ¤ ç¨ ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š (2001{2002 £.) 1.  §«®¦¨âì ¢ àï¤ ‹®à ­  ¯® á⥯¥­ï¬ z + 1 äã­ªæ¨î

z+i − 2z + 8i ¢ ª®«ìæ¥, ª®â®à®¬ã ¯à¨­ ¤«¥¦¨â â®çª  z = 2. f (z) =

iz 2

“ª § âì £à ­¨æë ª®«ìæ  á室¨¬®áâ¨. 2.  ©â¨ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ®¤­®§­ ç­®£® å à ªâ¥à  ä㭪樨 2z + π f (z) = exp 2z − π

µ

tg z 2 z − π2

¨ ®¯à¥¤¥«¨âì ¨å ⨯. Žâ¢¥â ®¡®á­®¢ âì. à¨¬¥­ïï ⥮à¨î ¢ëç¥â®¢, ¢ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à «ë r 3, 4, 5:

3.

+

|z−2|=4

6. ãáâì

z(z 2 +1) exp

2 −2 z2

dz .

4.

+∞ R

−∞

(x+3) sin3 x x2 +4x+8

dx.

5.

R7

−3

5

³

x−7 x+3

´3

x dx x+4

.

p

| ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ä㭪樨 3 (z + 1)(i − z)2 ¢ ¯«®áª®á⨠á ࠧ१®¬ ¯® ®â१ªã [−1; i] â ª ï, çâ® g(0) = −1. , ‚ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « g(z)

g(z) dz. z−1

|z|=2

‡ ¤ ç¨ ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š (2002{2003 £.) 1.  §«®¦¨âì ¢ àï¤ ‹®à ­  ¯® á⥯¥­ï¬ (z − 1) ¢ ®ªà¥áâ­®á⨠â®çª¨ z0 = −1 äã­ªæ¨î f (z) =

z+8 (z − 1)(z + 2)2

¨ 㪠§ âì ®¡« áâì á室¨¬®áâ¨. 2.  ©â¨ ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ä㭪樨 f (z) =

πi cos 2(z−1)

eπz + eπ

®¯à¥¤¥«¨âì ¨å ⨯. Žâ¢¥â ®¡®á­®¢ âì.

,


74

à¨¬¥­ïï ⥮à¨î ¢ëç¥â®¢, ¢ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à «ë 3, 4, 5:

3. 6.

Ln

+

cos z1 1−cos z

dz .

+∞ R

4.

−∞

|z−π|=4

√ x3 sin(1− 2x) 2 (2x +1)2

5.

dx.

R2

dx √ 3 2 (x−1) x (2−x) 1

.

ãáâì h(z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 ¢ ¯«®áª®á⨠á ࠧ१®¬ ¯® ªà¨¢®©

z+1 2+iz

γ=

½ ¾ π z | |z| = 2, −π 6 arg z 6 ∪ [−2, −1] 2

â ª ï, çâ® Im h(∞) = − π2 .  ©â¨ h(0) ¨ ¢ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « ,

J=

h(z) dz. sin3 z

|z|= 12

‡ ¤ ç¨ ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š (2003{2004 £.) 1.  ©â¨ ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ä㭪樨 f (z) =

1 z 2 sin2 z · sin z−π/2

(cos z −

1)2

e

sin z z

,

®¯à¥¤¥«¨âì ¨å ⨯. Žâ¢¥â ®¡®á­®¢ âì. 2.  §«®¦¨âì ¢ àï¤ ‹®à ­  ¯® á⥯¥­ï¬ (z − 2 − i) äã­ªæ¨î f (z) =

z 2 − 2iz + 6 z 2 (z + 3i)

¢ ª®«ìæ¥, ª®â®à®¬ã ¯à¨­ ¤«¥¦¨â â®çª  z = 5 + i. “ª § âì £à ­¨æë ª®«ìæ  á室¨¬®áâ¨. à¨¬¥­ïï ⥮à¨î ¢ëç¥â®¢, ¢ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à «ë 3, 4, 5:

3.

+

|z+1+i|=2

6.√ ãáâì { 1 + 4z 2 }

â ª ï, çâ®

z−1 (z+1) sin

1 z

dz .

4.

+∞ R

−∞

x cos(2−x) 4x2 +1

dx.

5.

R2 q 3 5 (2−x) 1

(x−1)3

·

1 x

dx.

g(z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 ¢ ¯«®áª®á⨠á ࠧ१®¬ ¯® ªà¨¢®© ½ 1 γ = z | |z| = , 2

g(0) = 1.

ãáâì

π 6 arg z 6 2π 2

f (z) =

z (g(z)+3)2

¾

.  ©â¨

res f ∞

¨ ¢ë-


§ 9.

‡ ¤ ç¨

75

ç¨á«¨âì ¨­â¥£à «

, J=

f (z) dz. |z|= √1

2

‡ ¤ ç¨ ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š (2005{2006 £.)

1.  §«®¦¨âì ¢ àï¤ ‹®à ­  ¯® á⥯¥­ï¬ (z − 3) äã­ªæ¨î f (z) =

z + 8 + 6i 2z + i + 2 2 (z + 2i) z + 2z(i − 2) − 8i

¢ ª®«ìæ¥, ª®â®à®¬ã ¯à¨­ ¤«¥¦¨â â®çª  z ª®«ìæ  á室¨¬®áâ¨. 2.  ©â¨ ¢á¥ ®á®¡ë¥ â®çª¨ ä㭪樨

= 0.

 ©â¨ à ¤¨ãáë

³ ´ π Cos2 iz−z 2 f (z) = ³ ´3 , 2π z e −1

®¯à¥¤¥«¨âì ¨å ⨯. Žâ¢¥â ®¡®á­®¢ âì. à¨¬¥­ïï ⥮à¨î ¢ëç¥â®¢, ¢ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à «ë 3, 4, 5: +

3. 6.

|z−i|=1

eiz ch2 z

dz .

4.

+∞ R

−∞

(6x−1) Sin(1−2x) 4x2 +4x+5

dx.

5.

+∞ R 1

√ ln(x−1)· x−1 2 x

dx.

ãáâì ´ f (z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ¬­®£®§­ ç­®© ä㭪樨 ¢ ®¡« á⨠G = {z | |z| > 1} â ª ï, çâ® f (∞) = 0. Ln p „®ª § âì, çâ® ¬­®£®§­ ç­ ï äã­ªæ¨ï f (z) + 4i à á¯ ¤ ¥âáï ¢ G ­  ॣã«ïà­ë¥ ¢¥â¢¨. p f (z) + 4i ¢ G ⠏ãáâì g(z) | ॣã«ïà­ ï ¢¥â¢ì ä㭪樨 √ ª ï, çâ® g(∞) = − 2(i + 1). ‚ëç¨á«¨âì ¨­â¥£à « ³

z−1 z+1

,

J= |z|=2

dz . g(z)


76

§ 10.

Žâ¢¥âë

Žâ¢¥âë ª ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š (2001{2002 £.) 1 1 1. f (z) = z−i−1 − z+i =−

+∞ P

(z − i)n −

n=0

∀ z : |z − i| < 1. 2. zk = 2πki, k ∈ Z, k 6= 0 ãáâà. ®. â.; z = ∞ | ­¥¨§®«. 3. I = π2 e−6 · sin 2. 4. I = πi3 . 5. I = 9π8 . 6. I = −4π.

+∞ P n=0

(−1)n (z (2i)n+1

− i)n ,

| ¯®«îá  1-£® ¯®à浪 ; ®. â.

z = 0

|

Žâ¢¥âë ª ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š (2001{2002 £.)

1.

i f (z) = − 2(z+4i) −

i 2(t−1−2i)

+∞ P n=1

i(1+2i)n−1 2tn

f (z) =

2.

i t = z + 1: fe(t) = − 2(t−1+4i) − +∞ P i/2 = (1−4i) i/2 + t 1−i/2 = tn − t (1−4i)n+1 (1− 1−4i ) ( 1+2i ) t n=0

+∞ P

i 2(z−2i)

;

,

i/2 (z + 1)n − (1−4i)n+1

n=0 f (z) = 2z+π 2z−π

³

´

−1 P n=−∞

i(z+1)n 2(1+2i)n+1

,

√ √ 5 < |z + 1| < 17.

exp . ã.®.â.; z = π/2 + πk tg z z 2 −π 2

z = ±π | | á.®.â; ∞ | ¯à¥¤.á.®.â. 3. −16πi. +∞ +∞ Z Z (x + 3) sin x 1 3 dx. 4. I = 4 x2 + 4x + 8 dx − 4 (xx2++3)4xsin+3x 8 −∞ −∞ | {z } | {z } I1

I2

−2 − 2i | ¯®«îá 1 ¯®à浪 ; i(−2+2i) −2 (z+3)eiz f1 (z) = (z+2+2i)(z+2−2i) = e4i (1 + ; a = res−2+2i f1 = (1+2i)e4i + 2i)(cos 2 − i sin 2), ³ ´ −2 −2 I1 = Im(2πia) = Im πe2 (1 + 2i)(cos 2−i sin 2) = πe2 (2 cos 2 − − sin 2).


Žâ¢¥âë

§ 10.

77

(z+3)e3iz (z+2+2i)(z+2−2i) 3i(−2+2i) res−2+2i f2 = (1+2i)e4i

;

f2 = b= I2

=

Im(2πib)

=

=³e4i (1 + 2i)(cos 6 − i sin 6)´, −6 Im πe2 (1+2i)(cos 6−i sin 6) −6

= 2 ¡(2 cos 6− sin 6). ¢ I = π8 3e−2 (2 cos 2 − sin 2) − e−6 (2 cos 6 − sin 6) . 5. π3π (10 − 4 · 113/5 ). sin 5 h i 4πi 6. J = −2πi(−C−1 ) = 2πie 3 1 + 13 − 2i3 =

=

πe−6

4 π(1 3

+

; J = −2πi res∞ f , f = p i 3 2 x > 2: q g(x) = (−1) (x + 1)(x + 1)e 3 (0+2 arctg x) , ¡ ¢¡ ¢ 4πi 2i 4πi g(x) 3 1 + x1 1 + x12 eiπ+ 3 arctg x Γ→ e 3 , â.¥. g(z) ∼ e 3 z . x = x→+∞ √ ¡ ¢ ¡ ¢ g(z) 3 ‘ ¤à㣮© áâ®à®­ë, z ∈ 1 1 + z1 1/3 1 − zi 2/3 . ∃ g0 (z) ∈ ¡ ¢1/3 ¡ ¢ ∈ 1 + z1 , g0 (∞) = 1, ∃ g1 (z) ∈ 1 − zi 2/3 , g1 (∞) = 1, â.¥. √ 4πi 3 1 2i 1|0 = e 3 . g0 (z) = 1 + 3z − 9z12 + . . . ; g1 (z) = 1 − 3z + ...; ¡ ¢ ¡ ¢ 4πi g(z) 1 1 2i 1 = e 3 1 + 3z + o( z ) 1 − 3z + o( z ) , |z| > 1. f (z) = z ¡ ¢1 ¢¡ ¢ 4πi ¡ g(z)/z 1 1 = 1−1/z = e 3 1 + 13 − 2i 3 z + o( z ) 1 + z + . . . , + 2i)e

4πi 3

.

g(z) z−1

Žâ¢¥âë ª ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š (2002{2003 £.)

1.

f (z) =

1 z−1

+

2.

∞ P n=1

(−1)n+1 (2n 3n+2

+ 5)(z − 1)n , 0 < |z − 1| < 3.

zk = 1 + (1 + 2k)i | ¯®«îá 1-£® ¯®à., k 6= 0, −1; z = 1 ± i | ã.®.â., z = 1 | á.®.â.; z = ∞ | ¯à¥¤. â. ¯®«îᮢ .

3. 4. 5. 6.

res f = 0, res f = 0

1 − π cos 8e . 2π √ 3 √ 4· 3

.

J = 2π 2 − πi

¡5 4

1 2π 2

1 ; sin 2π

I=

i π

1 sin 2π .

¢ + ln 2 , h(0) = − ln 2 − 2πi.


78

Žâ¢¥âë ª ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š (2003{2004 £.) 1. z = − π2 , zk = π4 + πk2 | ¯®«îáë 1-£® ¯®à浪 , zl = πl | ‘.Ž.’., ∞ | ­¥¨§®«. Ž.’. +∞ P (z−i)n +∞ P in 2 1 2. f (z) = z−4i + z−2i = + . 3n in+1 (z−i)n+1 n=0 n=0 3. I = 4π(e − z). √ 4. I = 2π sin 12 e−√2323 . √ . 5. I = 43π 2

6.

f (z) = 2πi+ln z+ ¡ 1¢ S − 5 = 2πi + ln 26 25 .

³ ∞ P (−1)n−1 n

1

1 (1+i)n

+

1 (1−i)n

´

(z−1)n , R =

√ 2,

Žâ¢¥âë ª ᥬ¥áâ஢®© ª/à ¯® ’”Š (2005{2006 £.) +∞ P 3(z −3)k + 3i(k +1)(−1)k+1 (3+ k=−∞ √ k=0 + 2i)−k−2 (z − 3, K = {z | 1 < |z − 3| < 13}). 2. −i, 3i | ¯®«îá  1-£® ¯®à浪 ; ki | ¯®«îá  3-£® ¯®à浪 , K ∈ Z \ {−1, 0, 1, 3}, i | ‘Ž’; 0 | â®çª  ­ ª®¯«¥­¨ï ¯®«îᮢ; ∞ | ¯®«îá 3-£® ¯®à浪 . π 3. 2πe−−22 . 4. − πe2 (3 cos 2 + 2 sin 2). 5. π.

1.

f (z) =

6.

π(i−1) √ 4 2

.

3 3i z−4 − (z+2i)2

=

−1 P


Karlov metod ukazan po reshen zadach tfkp