Issuu on Google+


ÌÀÉ ÈÞÍÜ

ÍÀÓ×ÍÎ-ÏÎÏÓËßÐÍÛÉ

2008

©

Þ

¹3

ÔÈÇÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ

ÆÓÐÍÀË

ÈÇÄÀÅÒÑß Ñ ßÍÂÀÐß 1970 ÃÎÄÀ

 íîìåðå:

$ Ó÷ðåäèòåëè — Ðîññèéñêàÿ àêàäåìèÿ íàóê, Ôîíä ïîääåðæêè ôóíäàìåíòàëüíîé íàóêè è îáðàçîâàíèÿ (Ôîíä Îñèïüÿíà), ÈÔÒÒ ÐÀÍ ÏÐÅÄÑÅÄÀÒÅËÜ ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÎÉ ÊÎËËÅÃÈÈ

Þ.À.Îñèïüÿí ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ

Ñ.Ñ.Êðîòîâ ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß

À.ß.Áåëîâ, Þ.Ì.Áðóê, À.À.Âàðëàìîâ, À.Í.Âèëåíêèí, Â.È.Ãîëóáåâ, Ñ.À.Ãîðäþíèí, Í.Ï.Äîëáèëèí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî ðåäàêòîðà), Â.Í.Äóáðîâñêèé, À.À.Åãîðîâ, À.Â.Æóêîâ, À.Ð.Çèëüáåðìàí, Â.Â.Êâåäåð (çàìåñòèòåëü ïðåäñåäàòåëÿ ðåäêîëëåãèè), Ï.À.Êîæåâíèêîâ, Â.Â.Êîçëîâ (çàìåñòèòåëü ïðåäñåäàòåëÿ ðåäêîëëåãèè), Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ, À.À.Ëåîíîâè÷, Þ.Ï.Ëûñîâ, Â.Â.Ïðîèçâîëîâ, Í.Õ.Ðîçîâ, À.Á.Ñîñèíñêèé, À.Ë.Ñòàñåíêî, Â.Ã.Ñóðäèí, Â.Ì.Òèõîìèðîâ, Â.À.Òèõîìèðîâà, Â.Ì.Óðîåâ, À.È.×åðíîóöàí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî

ðåäàêòîðà)

! ! #

ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß 1970 ÃÎÄÀ ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ

È.Ê.Êèêîèí ÏÅÐÂÛÉ ÇÀÌÅÑÒÈÒÅËÜ ÃËÀÂÍÎÃÎ ÐÅÄÀÊÒÎÐÀ

À.Í.Êîëìîãîðîâ Ë.À.Àðöèìîâè÷, Ì.È.Áàøìàêîâ, Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, È.Í.Áðîíøòåéí, Í.Á.Âàñèëüåâ, È.Ô.Ãèíçáóðã, Â.Ã.Çóáîâ, Ï.Ë.Êàïèöà, Â.À.Êèðèëëèí, Ã.È.Êîñîóðîâ, Â.À.Ëåøêîâöåâ, Â.Ï.Ëèøåâñêèé, À.È. Ìàðêóøåâè÷, Ì.Ä.Ìèëëèîíùèêîâ, Í.À.Ïàòðèêååâà, Í.Õ.Ðîçîâ, À.Ï.Ñàâèí,È.Ø.Ñëîáîäåöêèé, Ì.Ë.Ñìîëÿíñêèé, ß.À.Ñìîðîäèíñêèé, Â.À.Ôàáðèêàíò, ß.Å.Øíàéäåð

Áþðî

Êâàíòóì

© 2008, ÐÀÍ, Ôîíä Îñèïüÿíà, «Êâàíò»

Õðîìàòè÷åñêèå ÷èñëà. À.Ðàéãîðîäñêèé, Î.Ðóáàíîâ, Â.Êîøåëåâ ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ» Çàäà÷è Ì2086–Ì2095, Ô2093–Ô2102 Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2066–Ì2069, Ô2078–Ô2087 Ê Ì Ø

! !"

Çàäà÷è Íåò ïðåäåëà ñîâåðøåíñòâó! È.Àêóëè÷

!

ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ» Ðàñïðîñòðàíåíèå çâóêà

!% !& !' "

ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÛÉ ÑÎÂÅÒ

À.Â.Àíäæàíñ, Â.È.Àðíîëüä, Ì.È.Áàøìàêîâ, Â.È.Áåðíèê, Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, À.À.Áîðîâîé, Í.Í.Êîíñòàíòèíîâ, Ã.Ë.Êîòêèí, Ñ.Ï.Íîâèêîâ, Ë.Ä.Ôàääååâ

Ê 100-ëåòèþ È.Ê.Êèêîèíà Èç èñòîðèè ãàçîâûõ öåíòðèôóã. Ñ.Ðîìàíîâ Íàíîòåõíîëîãèè: êîãäà ðàçìåð èìååò çíà÷åíèå. Ê.Áîãäàíîâ

"#

ØÊÎËÀ  «ÊÂÀÍÒÅ» Óðîê áëèçèëñÿ ê çàâåðøåíèþ... Ì.Áîíäàðîâ Ðàêåòà íà âîäÿíîì ïàðå, èëè Êàê ñòóäåíò ñ Ëóíû óëåòàë. À.Ñòàñåíêî Ìîæíî ëè â ìèêðîñêîï ìîëåêóëó ðàçãëÿäåòü? À.Ñòàñåíêî ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ Î äâóõ âåëîñèïåäèñòàõ è âèøíåâîé êîñòî÷êå. Â.Ïðîòàñîâ ËÀÁÎÐÀÒÎÐÈß «ÊÂÀÍÒÀ» Î ïîþùèõ ïðîâîäàõ, èëè Çàãàäêè ïðóæèíû. À.Ñåðãååâ, Í.Æäàíîâà, È Ñåðãà÷åâ, Ð.Ñòðþíãèñ, À.Ïÿòàêîâ

"% #

ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ Ãèäðîñòàòèêà â ñòàêàíå. À.×åðíîóöàí Îáúåì òåòðàýäðà è åãî ÷àñòåé. Ë.Åðãàíæèåâà, Â.Ìèðîøèí

#! #$

ÎËÈÌÏÈÀÄÛ XVI Ìåæäóíàðîäíàÿ îëèìïèàäà «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí» Âñåðîññèéñêàÿ ñòóäåí÷åñêàÿ îëèìïèàäà ïî ôèçèêå

#%

ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß Çàî÷íàÿ øêîëà ÑÓÍÖ ÍÃÓ

#'

Îòâåòû, óêàçàíèÿ, ðåøåíèÿ Âíèìàíèþ íàøèõ ÷èòàòåëåé (22, 30,36)

I II III IV

ÍÀ ÎÁËÎÆÊÅ Èëëþñòðàöèÿ ê ñòàòüå Ê.Áîãäàíîâà «Íåâîçìîæíûå» îáúåêòû Øàõìàòíàÿ ñòðàíè÷êà Êîëëåêöèÿ ãîëîâîëîìîê  ïðàçäíîâàíèè 100-ëåòíåãî þáèëåÿ àêàäåìèêà È.Ê.Êèêîèíà ôèíàíñîâîå ó÷àñòèå ïðèíèìàåò ÎÀÎ «ÒÅÕÑÍÀÁÝÊÑÏÎÐÒ»


Ê

100-ËÅÒÈÞ

È.Ê.ÊÈÊÎÈÍÀ

Èç èñòîðèè ãàçîâûõ öåíòðèôóã Ñ.ÐÎÌÀÍÎÂ

Í

À ÍÀ×ÀËÜÍÎÉ ÑÒÀÄÈÈ ßÄÅÐÍÎÃÎ ÏÐÎÅÊÒÀ

ïðåäïîëàãàëîñü, ÷òî àòîìíóþ áîìáó ìîæíî èçãîòîâèòü èç ïðèðîäíîãî óðàíà, îáîãàùåííîãî ëåãêèì èçîòîïîì 235 U (òàê áûëî è â ÑØÀ, è â ÑÑÑÐ). Çàäà÷à ñîñòîÿëà â òîì, ÷òîáû ïîäíÿòü ñîäåðæàíèå ýòîãî èçîòîïà îò 0,07% â ïðèðîäíîì óðàíå äî âåëè÷èíû ïîðÿäêà 90%. Î âîçìîæíîñòè ïîëó÷èòü â «óðàíîâîì êîòëå» ïëóòîíèé, èçîòîï êîòîðîãî 239 Pu äåëèòñÿ ïîäîáíî 235 U , åùå íå áûëî èçâåñòíî.  ïåðâûõ äîêóìåíòàõ ïî ñîâåòñêîìó Óðàíîâîìó ïðîåêòó, äàòèðîâàííûõ 1942 ãîäîì, ñòàâèòñÿ çàäà÷à «âîçîáíîâèòü ðàáîòû ïî èññëåäîâàíèþ îñóùåñòâèìîñòè èñïîëüçîâàíèÿ àòîìíîé ýíåðãèè ïóòåì ðàñùåïëåíèÿ ÿäðà óðàíà». Íè î ïëóòîíèè (èëè ýêà-îñìèè, êàê åãî òîãäà íàçûâàëè), íè î ðåàêòîðàõ («óðàíîâûõ êîòëàõ») â äîêóìåíòàõ íè÷åãî íå ãîâîðèòñÿ. È.Â.Êóð÷àòîâ âïåðâûå äîêëàäûâàåò ðóêîâîäñòâó ñòðàíû î âîçìîæíîñòè èçãîòîâëåíèÿ áîìáû èç ïëóòîíèÿ â ìàðòå 1943 ãîäà: «Åñëè â äåéñòâèòåëüíîñòè ýêà-îñìèé îáëàäàåò òàêèìè æå ñâîéñòâàìè, êàê è óðàí-235, åãî ìîæíî áóäåò âûäåëèòü èç «óðàíîâîãî êîòëà» è óïîòðåáèòü â êà÷åñòâå ìàòåðèàëà äëÿ ýêà-îñìèåâîé áîìáû. Áîìáà áóäåò ñäåëàíà, ñëåäîâàòåëüíî, èç «íåçåìíîãî» ìàòåðèàëà, èñ÷åçíóâøåãî íà íàøåé ïëàíåòå. Êàê âèäíî, ïðè òàêîì ðåøåíèè âñåé ïðîáëåìû îòïàäàåò íåîáõîäèìîñòü ðàçäåëåíèÿ èçîòîïîâ óðàíà, êîòîðûé èñïîëüçóåòñÿ è êàê òîïëèâî, è êàê âçðûâ÷àòîå âåùåñòâî». Òåì íå ìåíåå, ïðîáëåìà ðàçäåëåíèÿ èçîòîïîâ áûëà è îñòàëàñü ïåðâîî÷åðåäíîé â àòîìíîì ïðîåêòå. Äàæå ïîñëå òîãî êàê ïðèøëî ïîíèìàíèå âîçìîæíîñòè èçãîòîâëåíèÿ ïëóòîíèåâîé áîìáû, âñå ðàâíî ïðîåêò ðàçâèâàëñÿ ïî äâóì îñíîâíûì íàïðàâëåíèÿì – ðàçäåëåíèå èçîòîïîâ è ÿäåðíûå ðåàêòîðû. Íå áûëî óâåðåííîñòè â òîì, êàêîå èç íàïðàâëåíèé ðàíüøå ïðèâåäåò ê óñïåõó. Êóð÷àòîâ ìåíüøå âåðèë â âîçìîæíîñòü îñóùåñòâèòü â ïðîìûøëåííîì ìàñøòàáå ðàçäåëåíèå èçîòîïîâ óðàíà, ñ òåì ÷òîáû ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íûå åãî êîëè÷åñòâà äëÿ èçãîòîâëåíèÿ áîìáû. Âñþ ñâîþ ýíåðãèþ è òàëàíò îí íàïðàâèë íà òî, ÷òîáû ïîñòðîèòü ÿäåðíûé ðåàêòîð äëÿ ïîëó÷åíèÿ ïëóòîíèÿ. Çà ïðîáëåìó ðàçäåëåíèÿ èçîòîïîâ óðàíà â ÑÑÑÐ îòâå÷àëè Ëåâ Àíäðååâè÷ Àðöèìîâè÷ è Èñààê Êîíñòàíòèíîâè÷ Êèêîèí. Àðöèìîâè÷ çàíèìàëñÿ ýëåêòðîìàãíèòíûì ðàçäåëåíèåì èçîòîïîâ, à ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêèìè ìåòîäàìè çàíèìàëñÿ Êèêîèí.1 1 Íåñêîëüêî ïîäðîáíåå î ðàçëè÷íûõ ìåòîäàõ ðàçäåëåíèÿ èçîòîïîâ íàïèñàíî â Ïðèëîæåíèè ê ñòàòüå. (Ïðèì. ðåä.)

È.Ê.Êèêîèí è Ë.À.Àðöèìîâè÷

Ïåðâîíà÷àëüíî íàèáîëåå ïîäõîäÿùèì äëÿ îñóùåñòâëåíèÿ â ïðîìûøëåííîì ìàñøòàáå ñ÷èòàëñÿ ìåòîä öåíòðèôóãèðîâàíèÿ. Îäíàêî ïîòîì, â çíà÷èòåëüíîé ñòåïåíè èç-çà ïîëó÷åííûõ ðàçâåäûâàòåëüíûõ äàííûõ, ïðåäïî÷òåíèå áûëî îòäàíî ãàçîäèôôóçèîííîìó ìåòîäó ðàçäåëåíèÿ èçîòîïîâ óðàíà. Èì è çàíèìàëñÿ È.Ê.Êèêîèí. Îêîí÷àòåëüíûé âûáîð â ïîëüçó ãàçîäèôôóçèîííîãî ìåòîäà áûë ñäåëàí â 1945 ãîäó. À äî òîãî áûëà åùå ñîâåòñêàÿ ìèññèÿ «Àëñîñ», êîãäà â âîåííîé ôîðìå â ÷èíå ïîëêîâíèêîâ Êèêîèí, Àðöèìîâè÷, Õàðèòîí, Ôëåðîâ è äðóãèå ôèçèêè èññëåäîâàëè ïîâåðæåííóþ Ãåðìàíèþ. Êîìàíäå, êàê åå íàçûâàë Êóð÷àòîâ, ñîâåòñêèõ ôèçèêîâ óäàëîñü îáíàðóæèòü îêîëî 300 òîíí óðàíà, íàéòè è ïðèãëàñèòü èëè âûâåçòè â ÑÑÑÐ (êàê óãîäíî èëè êîãî êàê) íåìåöêèõ ó÷åíûõ è íåìåöêîå îáîðóäîâàíèå è âûÿñíèòü, ÷òî áûëî ñäåëàíî â Ãåðìàíèè ïî íåìåöêîìó Óðàíîâîìó ïðîåêòó. Ïî êðàéíåé ìåðå, ïîÿâèëàñü óâåðåííîñòü â òîì, ÷òî íåìöû áûëè äàëåêè îò ñîçäàíèÿ ÿäåðíîãî îðóæèÿ. Íå áûëî ó íåìöåâ è áîëüøèõ óñïåõîâ â ðåøåíèè ïðîáëåìû ðàçäåëåíèÿ èçîòîïîâ. Êèêîèí âñïîìèíàë, ÷òî îíè îáíàðóæèëè â Èíñòèòóòå êàéçåðà Âèëüãåëüìà â Áåðëèíå «íàèâíóþ óñòàíîâêó äëÿ ðàçäåëåíèÿ èçîòîïîâ… èñïîëüçîâàòü âñåðüåç òàêóþ òåõíîëîãèþ íå ïðåäñòàâëÿåòñÿ âîçìîæíûì». Ñ 1945 ãîäà È.Ê.Êèêîèí áûë ïîëíîñòüþ ïîãëîùåí ðàáîòîé ïî ãàçîäèôôóçèîííîìó ìåòîäó ðàçäåëåíèÿ


ÈÇ

ÈÑÒÎÐÈÈ

ÃÀÇÎÂÛÕ

èçîòîïîâ óðàíà. Ðàáîòû âåëèñü ñ íàðàñòàþùèì òåìïîì.  1947 ãîäó â Ëàáîðàòîðèè ¹2 (òàê âíà÷àëå íàçûâàëñÿ Èíñòèòóò àòîìíîé ýíåðãèè) â Êèêîèíñêîì îòäåëåíèè áûë çàïóùåí ýêñïåðèìåíòàëüíûé êàñêàä äèôôóçèîííûõ ìàøèí. Áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïðèíöèïèàëüíî çàäà÷ó îáîãàùåíèÿ óðàíà äî íåîáõîäèìîãî ñîäåðæàíèÿ èçîòîïà 235 U ðåøèòü ìîæíî.  1949 ãîäó íà Óðàëå çàðàáîòàë ïåðâûé ãàçîäèôôóçèîííûé çàâîä (Êîìáèíàò ¹813). Ïîñëå ñåðèè íåóäà÷ çàâîä ñòàë âûäàâàòü îðóæåéíûé óðàí, è âòîðîå èñïûòàíèå àòîìíîãî îðóæèÿ â ÑÑÑÐ â 1951 ãîäó ïðîâîäèëîñü ñ èçäåëèåì, íà÷èíåííûì ýòèì ïðîäóêòîì. Ïîñëå òîãî êàê áûëà ïîëíîñòüþ îñâîåíà ãàçîäèôôóçèîííàÿ òåõíîëîãèÿ è ïîñòðîåíû ïðåäïðèÿòèÿ, îáåñïå÷èâàâøèå íåîáõîäèìîå êîëè÷åñòâî îðóæåéíîãî óðàíà, È.Ê.Êèêîèí âîçâðàùàåòñÿ ê èññëåäîâàíèÿì öåíòðèôóæíîé òåõíîëîãèè. Ïåðåâîä ðàçäåëèòåëüíîé ïðîìûøëåííîñòè íà öåíòðèôóãè ñìîã áû ìíîãîêðàòíî óìåíüøèòü êîëîññàëüíîå ýíåðãîïîòðåáëåíèå, íåîáõîäèìîå äëÿ ãàçîâîé äèôôóçèè. Íàâåðíîå, èìåëà ìåñòî è åñòåñòâåííàÿ íåóäîâëåòâîðåííîñòü íàñòîÿùåãî ó÷åíîãî, êîòîðûé, ïî ñóùåñòâó, ïîøåë ïî ïóòè, óæå ïðîéäåííîìó àìåðèêàíöàìè. Äà è òåîðèÿ óêàçûâàëà, ÷òî äëÿ ðàçäåëåíèÿ èçîòîïîâ óðàíà áîëåå ïîäõîäèò èìåííî öåíòðèôóæíàÿ òåõíîëîãèÿ. À ÷òî äî ãðîìàäíûõ òåõíè÷åñêèõ òðóäíîñòåé åå îñóùåñòâëåíèÿ, òàê è ãàçîâàÿ äèôôóçèÿ äàëàñü íå ïðîñòî. Ðàáîòû ïî ñîçäàíèþ ãàçîâûõ öåíòðèôóã íà÷àëèñü â êîíöå 1946 ãîäà ãðóïïîé ñîòðóäíèêîâ Èíñòèòóòà «À» â Ñóõóìè. Ãðóïïó âîçãëàâëÿë íåìåöêèé ôèçèê Ìàêñ Øòååíáåê. Åãî ðàçûñêàëè ëåòîì 1945 ãîäà â ëàãåðå äëÿ âîåííîïëåííûõ â Ïîëüøå è ïðèâåçëè â ÑÑÑÐ. Ñíà÷àëà Øòååíáåê ïðåäëàãàë ñäåëàòü öåíòðèôóãó ñ 10-òè ìåòðîâûì ðîòîðîì, ëèíåéíàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ íà ïåðèôåðèè äîëæíà áûëà áûòü 250 ì/ñ. Ñïóñòÿ øåñòü ëåò, â 1952 ãîäó Øòååíáåê ðàáîòàë ñ öåíòðèôóãîé ñ 6-òè ìåòðîâûì ðîòîðîì äèàìåòðîì 58 ìì. Ðîòîð áûë ãèáêèé, ñîñòîÿë èç äåñÿòè êîðîòêèõ òðóá ñ äåâÿòüþ ñèëüôîííûìè ñîåäèíåíèÿìè. Ñêîðîñòü âðàùåíèÿ áûëà 1200–1400 îá/ñ, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò ëèíåéíîé ñêîðîñòè íà ïåðèôåðèè ðîòîðà 220–240 ì/ñ. Ïåðåäàâàòü âåùåñòâî èç öåíòðèôóãè â öåíòðèôóãó ïðåäïîëàãàëîñü ñ ïîìîùüþ êîíäåíñàöèè/èñïàðåíèÿ (òàê íàçûâàåìûé ìåòîä ïåðåäà÷è ÷åðåç òâåðäóþ ôàçó), ÷òî ñîçäàâàëî ïî÷òè íåïðåîäîëèìûå òðóäíîñòè ïðè ñîåäèíåíèè öåíòðèôóã â êàñêàä, à êàñêàäà, êàê èçâåñòíî, Øòååíáåê òàê è íå ñîçäàë. Ïðàâäà, â ýêñïåðèìåíòàõ ñ ãåêñàôòîðèäîì óðàíà íà öåíòðèôóãå Øòååíáåêà ýôôåêò ðàçäåëåíèÿ ñîñòàâëÿë 50% îò òåîðåòè÷åñêîãî. Íî ãëàâíîå, ÷òî ïðèäóìàë Øòååíáåê, – ýòî êîíñòðóêöèÿ îïîðíîãî óçëà ðîòîðà öåíòðèôóãè. Ðîòîð âðàùàëñÿ, îïèðàÿñü íà òîíêóþ ñòàëüíóþ èãëó, à âåðõíèé êîíåö ðîòîðà óäåðæèâàëñÿ ñ ïîìîùüþ ïîñòîÿííîãî ìàãíèòà.  1951 ãîäó ñîòðóäíèê È.Ê.Êèêîèíà, òàëàíòëèâûé èíæåíåð Å.Ì.Êàìåíåâ âûäâèíóë èäåþ öåíòðèôóãè ñ êîðîòêèì æåñòêèì òîíêîñòåííûì ðîòîðîì è íèæíåé èãîëü÷àòîé îïîðîé. Ýòî ïîçâîëÿëî çàìåòíî ïîâûñèòü ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ðîòîðà. Ðåøàþùóþ ðîëü ñûãðàëî ïðåäëîæåíèå È.Ê.Êèêîèíà î ââåäåíèè íåïîäâèæíûõ îòáîðíûõ òðóáîê ïî êîíöàì ðîòîðà â ïåðèôåðèéíûé óïëîòíåííûé ñëîé ãàçà. Âûñîêîå ãàçîäèíàìè÷åñêîå

ÖÅÍÒÐÈÔÓÃ

!

äàâëåíèå â ýòîì ñëîå ïîçâîëÿëî ñîçäàâàòü íåîáõîäèìûå ïîòîêè ëåãêîé è òÿæåëîé ôðàêöèé ñ ïåðåäà÷åé èõ â êàñêàäå èç öåíòðèôóãè â öåíòðèôóãó ïî ãàçîâîé ôàçå. Îäíîâðåìåííî âçàèìîäåéñòâèå âðàùàþùåãîñÿ ãàçà ñ íåïîäâèæíûìè îòáîðíûìè òðóáêàìè îáåñïå÷èâàëî âîçíèêíîâåíèå ïðîòèâîòî÷íîé öèðêóëÿöèè âíóòðè ðîòîðà ñ íåîáõîäèìûìè ñêîðîñòÿìè.  àïðåëå 1953 ãîäà íà òàêóþ öåíòðèôóãó áûë âûäàí ïàòåíò, à â èþëå òîãî æå ãîäà áûë ïîëó÷åí åùå îäèí ïàòåíò – íà ãèäðîäèíàìè÷åñêèé ñïîñîá (ñ ïîìîùüþ íåïîäâèæíûõ òðóáîê) ïåðåäà÷è ãàçà èç öåíòðèôóãè â öåíòðèôóãó. ßñíî, ÷òî îáà ïàòåíòà áûëè çàêðûòûìè. Äàëåå äåëà ïîøëè òàê.  1953 ãîäó Ìèíñðåäìàø ïðèíèìàåò ðåøåíèå îá îñâîåíèè öåíòðèôóæíûõ òåõíîëîãèé â ïðîìûøëåííîì ìàñøòàáå.  1954 ãîäó áûëè ñîçäàíû ïåðâûå îáðàçöû ìàøèí, à 10 îêòÿáðÿ 1955 ãîäà Ñîâåò Ìèíèñòðîâ ïðèíèìàåò ðåøåíèå î ñòðîèòåëüñòâå îïûòíîãî öåíòðèôóæíîãî çàâîäà íà Óðàëå (íà Êîìáèíàòå ¹183). Ýòîò çàâîä áûë ïîñòðîåí è ñìîíòèðîâàí â 1956–57 ãîäû, âñåãî íà íåì áûëî óñòàíîâëåíî 2432 öåíòðèôóãè. Ïóñê çàâîäà áûë îñóùåñòâëåí 2–4 íîÿáðÿ 1957 ãîäà. Ñëåäóåò îòìåòèòü, ÷òî ýòî áûë ïåðâûé â ìèðîâîé ïðàêòèêå óñïåøíûé îïûò ïðîìûøëåííîãî èñïîëüçîâàíèÿ öåíòðèôóæíîé òåõíîëîãèè.  öåëîì, îïûò ýêñïëóàòàöèè îïûòíîãî öåíòðèôóæíîãî çàâîäà îêàçàëñÿ âåñüìà óñïåøíûì. 5 ìàÿ 1958 ãîäà íà ÍÒÑ Ìèíñðåäìàøà ïîä ïðåäñåäàòåëüñòâîì È.Â.Êóð÷àòîâà áûëî ïðèíÿòî ðåøåíèå î ïåðåõîäå ê ïðîìûøëåííîìó èñïîëüçîâàíèþ öåíòðèôóæíîãî ìåòîäà ðàçäåëåíèÿ èçîòîïîâ óðàíà, è 22 àâãóñòà 1960 ãîäà ïðèêàçîì Ìèíñðåäìàøà áûëî óòâåðæäåíî ïðîåêòíîå çàäàíèå íà ñòðîèòåëüñòâî ïåðâîãî â ìèðå ïðîìûøëåííîãî çàâîäà ãàçîâûõ öåíòðèôóã. À 4 íîÿáðÿ 1962 ãîäà áûë îñóùåñòâëåí ïóñê ïåðâîé î÷åðåäè çàâîäà (ïóñê ïðåäïðèÿòèÿ â öåëîì îñóùåñòâëÿëñÿ â íåñêîëüêî ýòàïîâ â 1962–64 ãîäû). Ñàìî ïðîèçâîäñòâî ïîðàæàåò. Öåõ çàâîäà èìååò äëèíó ïî÷òè êèëîìåòð, â íåì óñòàíîâëåíî 700000 öåíòðèôóã, ñîåäèíåííûõ â êàñêàäû. Ðàáîòàþò îíè ïðàêòè÷åñêè áåñøóìíî. Ëþäåé â öåõå íåò. Îò ñïåöèàëèñòîâ, â ÷àñòíîñòè çàðóáåæíûõ, õîçÿåâà ïðîèç-

È.Ê.Êèêîèí íà äà÷å ñ âíóêîì Ñåðåæåé (Ðîìàíîâûì) (1961 ã.)


"

ÊÂÀÍT 2008/¹3

âîäñòâà ñëûøàëè âîñòîðæåííûé îòçûâ: «Ýòî òåõíè÷åñêîå õóëèãàíñòâî!» Ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè âñåãî ñîçäàíî äåâÿòü ïîêîëåíèé ãàçîâûõ öåíòðèôóã. Âñÿ ðàçäåëèòåëüíàÿ ïðîìûøëåííîñòü ÐÔ îñíîâàíà íà öåíòðèôóæíîé òåõíîëîãèè. Ïîñëåäíèé ãàçîäèôôóçèîííûé çàâîä áûë çàêðûò â 1992 ãîäó, à ñ 1988 ãîäà ïîëíîñòüþ ïðåêðàùåíî ïðîèçâîäñòâî âûñîêîîáîãàùåííîãî óðàíà äëÿ âîåííûõ öåëåé. Ñåé÷àñ ðàçäåëèòåëüíàÿ ïðîìûøëåííîñòü ðàáîòàåò äëÿ ïðîèçâîäñòâà íèçêîîáîãàùåííîãî óðàíà äëÿ àòîìíîé ýíåðãåòèêè, äëÿ ïðîèçâîäñòâà ñòàáèëüíûõ èçîòîïîâ, à òàêæå äëÿ ïåðåðàáîòêè âûñîêîîáîãàùåííîãî óðàíà ÿäåðíûõ áîåãîëîâîê â íèçêîîáîãàùåííûé óðàí äëÿ ýíåðãåòè÷åñêèõ ðåàêòîðîâ.  èòîãå èìååì ñëåäóþùåå.  ÑÑÑÐ ïîä íàó÷íûì ðóêîâîäñòâîì È.Ê.Êèêîèíà âïåðâûå â ìèðå ñîçäàíà ïðîìûøëåííîñòü ðàçäåëåíèÿ èçîòîïîâ, îñíîâàííàÿ íà öåíòðèôóæíîé òåõíîëîãèè. Íî îá ýòîì â ìèðå íèêòî íå çíàåò. Ïðîìûøëåííîñòü îòëè÷íî ðàáîòàåò, áîëåå òîãî, ýòî åäèíñòâåííàÿ îòðàñëü â ÑÑÑÐ, êîòîðàÿ ïîëó÷àåò ñûðüå èç ðàçâèòûõ èíäóñòðèàëüíûõ äåðæàâ, à íàçàä îòïðàâëÿåò âûñîêîêà÷åñòâåííûé ãîòîâûé ïðîäóêò. (Íà Çàïàäå ìîãëè äóìàòü, ÷òî ðàçäåëåíèå ïðîèçâîäèòñÿ ãàçîäèôôóçèîííûì ìåòîäîì.) Íåìåöêèå ñïåöèàëèñòû, êîòîðûå ïîñëå ïîðàæåíèÿ Ãåðìàíèè ðàáîòàëè â ÑÑÑÐ íàä ñîçäàíèåì öåíòðèôóãè, óåçæàþò èç ÑÑÑÐ è, îêàçàâøèñü íà Çàïàäå, ðåãèñòðèðóþò ïàòåíò íà öåíòðèôóãó. Çàðåãèñòðèðîâàíî èìåííî òî èçäåëèå, êîòîðîå áûëî ñîçäàíî â ÑÑÑÐ. Ïðîòåñòà íå ïîñëåäîâàëî, õîòÿ ñîâåòñêîé ñòîðîíå áûëî õîðîøî èçâåñòíî îá ýòîì øàãå. Àâòîð ïàòåíòà Ãåðíîò Öèïïå (îí, êàê è Øòååíáåê, ïîïàë â Èíñòèòóò «À» áóäó÷è âîåííîïëåííûì è ðàáîòàë â ãðóïïå Øòååíáåêà) ñòàíîâèòñÿ âåñüìà áîãàòûì ÷åëîâåêîì áëàãîäàðÿ ýòîìó ïàòåíòó. Òàê îí ñàì ïîçæå ðàññêàçûâàë ðîññèéñêèì êîëëåãàì, âñòðå÷àÿñü ñ íèìè íà ìåæäóíàðîäíûõ êîíôåðåíöèÿõ. Öèïïå íîñèò òèòóë «îòöà» öåíòðèôóæíîãî ìåòîäà ðàçäåëåíèÿ èçîòîïîâ óðàíà, öåíòðèôóãà íàçûâàåòñÿ «öåíòðèôóãîé Öèïïå»

Ïðèëîæåíèå Èçîòîïû – ðàçíîâèäíîñòè õèìè÷åñêîãî ýëåìåíòà ñ ðàçëè÷íûì ÷èñëîì íóêëîíîâ â ÿäðàõ. Ïîñêîëüêó îíè ÿâëÿþòñÿ îäíèì è òåì æå õèìè÷åñêèì ýëåìåíòîì, òî ó íèõ îäèíàêîâîå ÷èñëî àòîìíûõ ýëåêòðîíîâ, à çíà÷èò, è ÿäåðíûõ ïðîòîíîâ. Ðàçëè÷íû ó íèõ ÷èñëà íåéòðîíîâ â ÿäðàõ. Âñå èçîòîïû îäíîãî ýëåìåíòà íàõîäÿòñÿ â îäíîé êëåòî÷êå ïåðèîäè÷åñêîé ñèñòåìû, îòñþäà èõ íàçâàíèå: «èçî» – îäèíàêîâûé, «òîïîñ» – ìåñòî. Ñàìûå èçâåñòíûå èçîòîïû – ýòî èçîòîïû âîäîðîäà äåéòåðèé è òðèòèé.  íàñòîÿùåå âðåìÿ èçâåñòíî îêîëî 1400 èçîòîïîâ, 357 èç íèõ – ïðèðîäíûå èçîòîïû 92 õèìè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ, îñòàëüíûå èçîòîïû ïîëó÷åíû èñêóññòâåííûì ïóòåì â ðàçëè÷íûõ ÿäåðíûõ ðåàêöèÿõ. Ìíîãèå èçîòîïû ðàäèîàêòèâíû è èñïîëüçóþòñÿ â ñàìûõ ðàçíûõ îáëàñòÿõ íàóêè è òåõíèêè (òàê íàçûâàåìûå ìå÷åíûå àòîìû). Ïîýòîìó çàäà÷à ðàçäåëåíèÿ èçîòîïîâ âîçíèêëà åùå â 30-õ ãîäàõ ïðîøëîãî âåêà. Èç-çà îäèíàêîâîñòè õèìè÷åñêèõ ñâîéñòâ èçîòîïîâ îäíîãî ýëåìåíòà âîçíèêàåò íåîáõîäèìîñòü èñïîëüçîâàòü ðàçëè÷èå â ôèçè÷åñêèõ ñâîéñòâàõ èçîòîïîâ è èõ ñîåäèíåíèé, âûòåêàþùåå èç ðàçëè÷èÿ â ìàññàõ èõ ÿäåð. ×åì áîëüøå îòíîøåíèå ìàññ ÿäåð, òåì ëåã÷å ðàçäåëèòü

è òàê äàëåå. Ðóññêèå, îáëàäàÿ ëó÷øåé òåõíîëîãèåé è ïðîìûøëåííîñòüþ (îòñòàâàíèå Çàïàäà áûëî, ïî êðàéíåé ìåðå, ëåò íà 20), íå ìîãóò ïðåäñòàâèòü öåíòðèôóãè íà öèâèëèçîâàííîì ìåæäóíàðîäíîì ðûíêå. Îñòàþòñÿ êîíòàêòû òîëüêî ñ òàêèìè ñòðàíàìè, êàê Êèòàé è Èðàê.  öåëîì, âåñüìà ïå÷àëüíàÿ èñòîðèÿ. Íàâåðíîå, íåâîçìîæíî äàòü îäíîçíà÷íûå îöåíêè äåéñòâèé ñîâåòñêîãî ðóêîâîäñòâà, çàñåêðåòèâøèõ íà ìíîãèå äåñÿòèëåòèÿ âñå ðàáîòû ïî ðàçäåëåíèþ èçîòîïîâ íàñòîëüêî, ÷òî íå áûëî íèêàêîé âîçìîæíîñòè íå òîëüêî óòâåðäèòü ïðèîðèòåò ñòðàíû è ðàçðàáîò÷èêîâ ïåðåäîâûõ òåõíîëîãèé, íî è óñïåøíî äåéñòâîâàòü íà öèâèëèçîâàííîì ðûíêå. Âðÿä ëè êòî-íèáóäü ïîäñ÷èòûâàë ñâÿçàííûé ñ ýòèì ýêîíîìè÷åñêèé óùåðá. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, âîçìîæíî, ÷òî òàêàÿ ñåêðåòíîñòü âìåñòå ñ îáùåé çàêðûòîñòüþ ñîâåòñêîé ñèñòåìû ñëóæèëà ñåðüåçíûì ïðåïÿòñòâèåì ê ðàñïðîñòðàíåíèþ ïîòåíöèàëüíî îïàñíûõ òåõíîëîãèé. Âåäü ïî ñóòè îòëàæåííîå öåíòðèôóæíîå ïðîèçâîäñòâî åñòü íàèáîëåå ýôôåêòèâíûé ñïîñîá íàêîïëåíèÿ äåëÿùèõñÿ ìàòåðèàëîâ äëÿ èçãîòîâëåíèÿ àòîìíîé áîìáû. Ïî-âèäèìîìó, ñåãîäíÿ è íå ìîæåò áûòü ñäåëàíî îäíîçíà÷íîãî âûâîäà îáî âñåõ ýòèõ ñîáûòèÿõ. Îäíàêî ýòà èñòîðèÿ íàâîäèò íà ñëåäóþùèå òðåâîæíûå ìûñëè. Ìû çíàåì, ÷òî ñîçäàòåëè ÿäåðíîãî îðóæèÿ è â ÑÑÑÐ è â ÑØÀ – âûäàþùèåñÿ ó÷åíûå è ãëóáîêèå ìûñëèòåëè – ÿñíî ïîíèìàëè âîçìîæíûå ïîëèòè÷åñêèå ïîñëåäñòâèÿ îáëàäàíèÿ òàêèì îðóæèåì. Îíè èñïîëüçîâàëè ñâîé íåìàëûé àâòîðèòåò äëÿ òîãî, ÷òîáû äîíåñòè äî ïðàâèòåëüñòâ è ìåæäóíàðîäíîãî ñîîáùåñòâà èäåè íåäîïóñòèìîñòè ÿäåðíîé âîéíû, èäåè î íåîáõîäèìîñòè ïðèíÿòü ìåæäóíàðîäíûå çàêîíû î íåðàñïðîñòðàíåíèè ÿäåðíîãî îðóæèÿ, î êîíòðîëå çà ÿäåðíûìè ìàòåðèàëàìè è òåõíîëîãèÿìè. Âñå ýòè èäåè îñòàþòñÿ àêòóàëüíûìè è ñåãîäíÿ. Áîëåå òîãî, ïî ìåðå ðîñòà îáùåãî òåõíîëîãè÷åñêîãî óðîâíÿ â ñîâðåìåííîì ìèðå òðåáóþòñÿ è íîâûå óñèëèÿ äëÿ íåäîïóùåíèÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ÿäåðíîãî îðóæèÿ.

èçîòîïû. Íàïðèìåð, îòíîñèòåëüíî ëåãêî ïðîèçâîäèòñÿ ðàçäåëåíèå îáû÷íîé è òÿæåëîé âîäû, ìîëÿðíûå ìàññû êîòîðûõ îòíîñÿòñÿ êàê 18:20 = 1,11. À âîò îòíîøåíèå ìîëÿðíûõ ìàññ ãåêñàôòîðèäà óðàíà – åäèíñòâåííîãî ãàçîîáðàçíîãî ñîåäèíåíèÿ óðàíà – äëÿ äâóõ åãî èçîòîïîâ 238 U è 235 U ñîñòàâëÿåò âñåãî ëèøü 1,0086. Åñëè ó÷åñòü, ÷òî â ïðèðîäíîì óðàíå äîëÿ èçîòîïà 235 U ðàâíà 0,72%, òî äëÿ ïîëó÷åíèÿ ýòîãî èçîòîïà â äîñòàòî÷íî ÷èñòîì âèäå íåîáõîäèìî ìíîãîêðàòíîå ïîâòîðåíèå îäíîé è òîé æå îïåðàöèè, â êîòîðîé îäíà ÷àñòü èñõîäíîãî âåùåñòâà ñòàíîâèòñÿ ÷óòü-÷óòü áîãà÷å íóæíûì èçîòîïîì.  ÿäåðíîé óðàíîâîé áîìáå ÷èñòîòà èçîòîïà 235U äîëæíà áûòü î÷åíü âûñîêîé, ïîýòîìó ÷èñëî ïîâòîðåíèé ìîæåò äîñòèãàòü ñîòåí è äàæå òûñÿ÷. Äëÿ ÿäåðíûõ ðåàêòîðîâ òðåáóåòñÿ ìåíüøàÿ ÷èñòîòà (èñïîëüçóåòñÿ òàê íàçûâàåìûé «îáîãàùåííûé óðàí»), ïîýòîìó ÷èñëî ïîâòîðåíèé ìîæåò áûòü ãîðàçäî ìåíüøå (íåñêîëüêî äåñÿòêîâ). Äëÿ ðàçäåëåíèÿ èçîòîïîâ óðàíà èñïîëüçóþòñÿ äâà ìåòîäà (èç îäèííàäöàòè ïðèìåíÿåìûõ â ðàçëè÷íûõ îáëàñòÿõ íàóêè è òåõíèêè) – ìîëåêóëÿðíî-êèíåòè÷åñêèé ìåòîä ãàçîâîé äèôôóçèè è ìåòîä öåíòðèôóãèðîâàíèÿ. Íà íà÷àëüíîé ñòàäèè ÿäåðíîãî ïðîåêòà â íàøåé ñòðàíå âåëèñü ðàáîòû è ïî èñïîëü-


ÊÎËËÅÊÖÈß

çîâàíèþ ýëåêòðîìàãíèòíîãî ìåòîäà, â êîòîðîì ðàçäåëåíèå èçîòîïîâ ïðîèñõîäèò áëàãîäàðÿ ðàçëè÷èþ òðàåêòîðèé èõ èîíîâ â ìàãíèòíîì ïîëå. Ýòîò ìåòîä øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ äëÿ ðàçäåëåíèÿ íåáîëüøèõ êîëè÷åñòâ èçîòîïîâ, íî äëÿ ïðîìûøëåííîãî ðàçäåëåíèÿ èçîòîïîâ óðàíà îí îêàçàëñÿ î÷åíü òðóäåí è íåýêîíîìè÷åí. Âïëîòü äî 70-õ ãîäîâ ïðîøëîãî âåêà èñïîëüçîâàëñÿ ìåòîä ãàçîâîé äèôôóçèè ÷åðåç ïîðèñòûå ïåðåãîðîäêè. Ïðè äîñòàòî÷íî íèçêèõ äàâëåíèÿõ, êîãäà äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ìîëåêóë ìíîãî áîëüøå äèàìåòðîâ ïîð, ñêîðîñòü äèôôóçèè îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ñðåäíåé ñêîðîñòüþ òåïëîâîãî äâèæåíèÿ. Íåáîëüøàÿ ðàçíèöà â ìàññàõ ìîëåêóë äàåò íåáîëüøîå ðàçëè÷èå â ñêîðîñòè. Ãàç ãåêñàôòîðèäà óðàíà, ïðîøåäøèé ïåðåãîðîäêó, ñòàíîâèòñÿ ÷óòü áåäíåå òÿæåëûì èçîòîïîì è ÷óòü áîãà÷å – ëåãêèì. Ïðè ïîñëåäîâàòåëüíîì ïðîöåññå ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç ñîòíè ïåðåãîðîäîê íà âûõîäå ìîæíî ïîëó÷èòü ãàç, äîñòàòî÷íî îáîãàùåííûé ëåãêèì èçîòîïîì. Ïåðâàÿ ïîðöèÿ ÿäåðíîãî óðàíîâîãî «ãîðþ÷åãî» áûëà ïîëó÷åíà â ÑÑÑÐ òîëüêî â 1950 ãîäó è èñïîëüçîâàëàñü äëÿ èñïûòàíèÿ óðàí-ïëóòîíèåâîé áîìáû â 1951 ãîäó.  ìåòîäå öåíòðèôóãèðîâàíèÿ â öèëèíäð (èëè â òðóáêó) ïîìåùàåòñÿ ãåêñàôòîðèä ïðèðîäíîãî óðàíà, è òðóáêà ïðèâî-

ÃÎËÎÂÎËÎÌÎÊ

#

äèòñÿ â áûñòðîå âðàùåíèå. Âî âðàùàþùåìñÿ ãàçå óñòàíàâëèâàåòñÿ ðàâíîâåñíîå ðàñïðåäåëåíèå êîíöåíòðàöèè ìîëåêóë ïî ðàññòîÿíèþ îò îñè âðàùåíèÿ, òî÷íî òàê æå, êàê îíî óñòàíàâëèâàåòñÿ â çàâèñèìîñòè îò âûñîòû â çåìíîé àòìîñôåðå. Òîëüêî âî âðàùàþùåéñÿ òðóáêå ðîëü ñèëû òÿæåñòè èãðàåò öåíòðîáåæíàÿ ñèëà èíåðöèè, íàïðàâëåííàÿ ïî ðàäèóñó îò îñè âðàùåíèÿ. Âîçðàñòàíèå êîíöåíòðàöèè ïðè óäàëåíèè îò îñè âðàùåíèÿ ïðîèñõîäèò áûñòðåå äëÿ ÷àñòèö áîëüøåé ìàññû, ïîýòîìó âî âíåøíåé ÷àñòè òðóáêè îòíîøåíèå êîíöåíòðàöèé òÿæåëûõ è ëåãêèõ ÷àñòèö îêàçûâàåòñÿ áîëüøå, ÷åì âáëèçè îñè âðàùåíèÿ. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ çàìåòíîé ðàçíèöû êîíöåíòðàöèé íåîáõîäèìà îãðîìíàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ – ïîðÿäêà 1000 îá/ñ. Ãëàâíàÿ òðóäíîñòü â ýòîì ìåòîäå çàêëþ÷àëàñü íå ñòîëüêî â îáåñïå÷åíèè âûñîêîé ñêîðîñòè âðàùåíèÿ, ñêîëüêî â îñóùåñòâëåíèè ïåðåäà÷è îáîãàùåííîé ñìåñè èç îäíîé öåíòðèôóãè â äðóãóþ áåç îñòàíîâêè âðàùåíèÿ. Âñå ýòè âîïðîñû áûëè óñïåøíî ðåøåíû ê 1974 ãîäó, â îñíîâíîì, áëàãîäàðÿ ýêñïåðèìåíòàëüíîìó è îðãàíèçàöèîííîìó òàëàíòó îäíîãî èç ðóêîâîäèòåëåé ýòèõ ðàáîò – Èñààêà Êîíñòàíòèíîâè÷à Êèêîèíà. Ë.Áåëîïóõîâ

ÊÎËËÅÊÖÈß ÃÎËÎÂÎËÎÌÎÊ Ïñèõîëîãè÷åñêèé «Çàâèòîê» (Íà÷àëî ñì. íà 4-é ñ. îáëîæêè)

 íà÷àëå àâãóñòà 2008 ãîäà â Ïðàãå ñîñòîèòñÿ 28-é Âñåìèðíûé ñúåçä ëþáèòåëåé ãîëîâîëîìîê. Èç äåñÿòêîâ ñòðàí ìèðà â ×åõèþ ïðèâåçóò ñîòíè «óìíûõ» èãðóøåê, à çàòåì çíàòîêè ãîëîâîëîìîê èç Åâðîïû, Àìåðèêè è ßïîíèè îöåíÿò èõ è íàçîâóò ëó÷øèå èçîáðåòåíèÿ ãîäà. Ñðåäè íîâûõ ãîëîâîëîìîê áóäåò è «Çàâèòîê» ìîñêâè÷à Êèðèëëà Ãðåáíåâà. Áëàãîäàðÿ ñâîåé îðèãèíàëüíîñòè îí íàâåðíÿêà ïðèâëå÷åò âíèìàíèå ëþáèòåëåé ãîëîâîëîìîê, òåì áîëåå ÷òî íà ïðåäûäóùåì ñúåçäå â Àâñòðàëèè ñðåäè ëó÷øèõ èçîáðåòåíèé 2007 ãîäà áûëè íàçâàíû äâå ãîëîâîëîìêè Êèðèëëà. Ýòî áûë âòîðîé ñëó÷àé çà âñþ èñòîðèþ ñúåçäîâ, êîãäà â ÷èñëî ïîáåäèòåëåé âîøëè äâå ãîëîâîëîìêè îäíîãî àâòîðà. Íîâàÿ ãîëîâîëîìêà Êèðèëëà Ãðåáíåâà èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå. ×òîáû èçãîòîâèòü «Çàâèòîê» ñàìîñòîÿòåëüíî, âîçüìèòå òðè êóñêà ñòàëüíîé èëè ìåäíîé ïðîâîëîêè äèàìåòðîì 3–4 ìì. Äëÿ ïîêàçàííîãî çäåñü âàðèàíòà ãîëîâîëîìêè áåðóò îòðåçêè ïðîâîëîêè äëèíîé 25, 22 è 14,5 ñì. Íà ñàìîì äëèííîì, ïðåäíàçíà÷åííîì äëÿ ñêîáû, îòìå÷àþò òî÷êó, äåëÿùóþ åãî íà îòðåçêè 9 è 13 ñì. Çàæàâ ïðîâîëîêó êðóãëîãóáöàìè â ýòîé òî÷êå, ñãèáàþò êîíöû ïðîâîëîêè òàê, ÷òîáû ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè áûëî 12 ìì. Çàòåì íà êîíöàõ ñêîáû çàãèáàþò êîëüöà. Ôîòîãðàôèÿ ãîëîâîëîìêè ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü èçîáðàæåíèå êàê øàáëîí: ïîñòåïåííî èçãèáàòü ïðîâîëîêó êðóãëîãóáöàìè, à çàòåì ïðèêëàäûâàòü äåòàëè ê ôîòîãðàôèè äëÿ ïðîâåðêè ïðàâèëüíîñòè ðàçìåðîâ. Ðåøåíèå ãîëîâîëîìêè îáû÷íî íà÷èíàåòñÿ ñ òîãî, ÷òî åå áåðóò â ðóêè: ëåâîé ðóêîé – çà ñêîáó, à ïðàâîé – çà ðó÷êó. Ïîñëå ýòîãî, äåðæàñü çà êîíåö ðó÷êè, íà÷èíàþò äâèãàòü åå âäîëü ñêîáû, ïûòàÿñü ïðîñóíóòü êîëüöî ÷åðåç çàâèòîê è îòöåïèòü ðó÷êó îò ñêîáû. Ñîáñòâåííî ãîâîðÿ, íè÷åãî

äðóãîãî è ñäåëàòü-òî íåëüçÿ – ñëèøêîì ìàëî ðàçðåøåííûõ êîíñòðóêöèåé äâèæåíèé. Ñðàçó ïðåäóïðåäèì, ÷òî èç ýòèõ ïîïûòîê íè îäíà íå ïðèáëèçèò âàñ ê ðåøåíèþ. Ïåðâàÿ îøèáêà âñåõ, êòî íà÷èíàåò ðàçãàäûâàòü ýòó ãîëîâîëîìêó, çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî îíè áåðóòñÿ ïðàâîé ðóêîé (ðå÷ü èäåò î ïðàâøàõ) íå çà òîò êîíåö ðó÷êè. Ýòà îñòðîóìíàÿ ïñèõîëîãè÷åñêàÿ óëîâêà ñïåöèàëüíî ïðèäóìàíà èçîáðåòàòåëåì, ÷òîáû óâåñòè âàñ â ñòîðîíó îò ïðàâèëüíîãî ðåøåíèÿ, çàñòàâèòü áåçðåçóëüòàòíî äâèãàòü ðó÷êó òóäà-ñþäà âäîëü ñêîáû, ïûòàÿñü ïðîñóíóòü åå â çàâèòîê. Ïðàâèëüíûé ïóòü ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû íå êîëüöî äâèãàòü ê çàâèòêó, à êîíåö ðó÷êè, çà êîòîðûé âû òàê óïîðíî äåðæèòåñü, îòïóñòèòü è ïðîñóíóòü ÷åðåç ïåòëþ çàâèòêà. Åñëè ýòî äâèæåíèå âûïîëíèòü ïðàâèëüíî, òî äàëüíåéøåå ðåøåíèå âû ñìîæåòå íàéòè ñàìîñòîÿòåëüíî ñ ïîìîùüþ äâóõ ôîòîãðàôèé íà 4-é ñòðàíèöå îáëîæêè, íà êîòîðûõ ïîêàçàíû ïðîìåæóòî÷íûå ýòàïû, âåäóùèå ê ðåøåíèþ ãîëîâîëîìêè. Æåëàåì âàì óñïåõà! À.Êàëèíèí


$

ÊÂÀÍT 2008/¹3

Ê

100-ËÅÒÈÞ

È.Ê.ÊÈÊÎÈÍÀ

Íàíîòåõíîëîãèè: êîãäà ðàçìåð èìååò çíà÷åíèå Ê.ÁÎÃÄÀÍÎÂ

Í

Âû ìîæåòå ïðîèçíåñòè ñëîâî «ïòèöà» íà ñàìûõ ðàçíûõ ÿçûêàõ, íî, ñäåëàâ ýòî, âû âñå ðàâíî íè÷åãî íîâîãî î ïòèöàõ íå óçíàåòå. Íå ëó÷øå ëè ñíà÷àëà ïðîñòî âçãëÿíóòü íà ëþáóþ ïòèöó è çàäóìàòüñÿ íàä òåì, ÷òî ýòî òàêîå!.. Ñóùåñòâóåò áîëüøàÿ ðàçíèöà ìåæäó çíàíèåì íàçâàíèÿ ÷åãî-íèáóäü è çíàíèåì òîãî, êàê ýòî ðàáîòàåò. Ð.Ôåéíìàí

À ÍÀØÈÕ ÃËÀÇÀÕ ÔÀÍÒÀÑÒÈÊÀ ÑÒÀÍÎÂÈÒÑß

ðåàëüíîñòüþ – ëþäè íàó÷èëèñü ïåðåìåùàòü îòäåëüíûå àòîìû è ñêëàäûâàòü èç íèõ, êàê èç êóáèêîâ, óñòðîéñòâà è ìåõàíèçìû íåîáû÷àéíî ìàëûõ ðàçìåðîâ è ïîýòîìó íåâèäèìûå îáû÷íûì ãëàçîì. Ïîÿâèëàñü öåëàÿ îòðàñëü íàóêè – ÍÀÍÎÒÅÕÍÎËÎÃÈß, âïèòàâøàÿ â ñåáÿ ñàìûå íîâûå äîñòèæåíèÿ ôèçèêè, õèìèè è áèîëîãèè. Ó÷åíûå-íàíîòåõíîëîãè ðàáîòàþò ñ íè÷òîæíî ìàëûìè îáúåêòàìè, ðàçìåðû êîòîðûõ èçìåðÿþòñÿ â íàíîìåòðàõ. Íàíîòåõíîëîãèÿ – íå ïðîñòî êîëè÷åñòâåííûé, à êà÷åñòâåííûé ñêà÷îê îò ðàáîòû ñ âåùåñòâîì ê ìàíèïóëÿöèè îòäåëüíûìè àòîìàìè.  ïåðåâîäå ñ ãðå÷åñêîãî ñëîâî «íàíî» îçíà÷àåò êàðëèê. Îäèí íàíîìåòð (íì) – ýòî îäíà ìèëëèàðäíàÿ ÷àñòü ìåòðà ( 10 -9 ì ). Íàíîìåòð âî ñòîëüêî æå ðàç ìåíüøå îäíîãî ìåòðà, âî ñêîëüêî ðàç òîëùèíà ïàëüöà ìåíüøå äèàìåòðà Çåìëè. Ðàçìåðû îáúåêòîâ, ñ êîòîðûìè èìåþò äåëî íàíîòåõíîëîãè, ëåæàò â äèàïàçîíå îò 0,1 äî 100 íì. Áîëüøèíñòâî àòîìîâ èìåþò äèàìåòð îò 0,1 äî 0,2 íì, òîëùèíà íèòåé ÄÍÊ – îêîëî 2 íì, äèàìåòð ýðèòðîöèòî⠖ 7000 íì, à òîëùèíà ÷åëîâå÷åñêîãî âîëîñà – 80000 íì. Ó÷åíûå óòâåðæäàþò, ÷òî â íàñòóïèâøåì XXI âåêå ñòåðæíåì íîâîé òåõíè÷åñêîé ðåâîëþöèè ñòàíóò ìàòåðèàëû, ëåêàðñòâà, óñòðîéñòâà, ñðåäñòâà ñâÿçè è äîñòàâêè, ñäåëàííûå ñ èñïîëüçîâàíèåì íàíîòåõíîëîãèé. Ñ ÷åãî âñå íà÷èíàëîñü Èäåÿ î òîì, ÷òî âïîëíå âîçìîæíî ñîáèðàòü óñòðîéñòâà è ðàáîòàòü ñ îáúåêòàìè, êîòîðûå èìåþò íàíîðàçìåðû, âïåðâûå ïðîçâó÷àëà â âûñòóïëåíèè ëàóðåàòà Íîáåëåâñêîé ïðåìèè Ðè÷àðäà Ôåéíìàíà â 1959 ãîäó â Êàëèôîðíèéñêîì òåõíîëîãè÷åñêîì èíñòèòóòå. Ëåêöèÿ íàçûâàëàñü «Òàì, âíèçó, ïîëíî ìåñòà!» Ñëîâî «âíèçó» â íàçâàíèè ëåêöèè îçíà÷àëî â «ìèðå î÷åíü ìàëûõ ðàçìåðîâ». Òîãäà Ôåéíìàí ñêàçàë, ÷òî êîãäà-íèáóäü, íàïðèìåð â 2000 ãîäó, ëþäè áóäóò óäèâëÿòüñÿ òîìó,

÷òî äî 1960 ãîäà íèêòî íå îòíîñèëñÿ ñåðüåçíî ê èññëåäîâàíèÿì íàíîìèðà. Ïî ñëîâàì Ôåéíìàíà, ÷åëîâåê î÷åíü äîëãî æèë, íå çàìå÷àÿ, ÷òî ðÿäîì ñ íèì æèâåò öåëûé ìèð îáúåêòîâ, ðàçãëÿäåòü êîòîðûå îí íå â ñîñòîÿíèè. Íó, à åñëè ìû íå âèäèì ýòè îáúåêòû, òî ìû íå ìîæåì è ðàáîòàòü ñ íèìè. Òåì íå ìåíåå, íàøè êëåòêè – êèðïè÷èêè, èç êîòîðûõ ñîñòîèò íàø îðãàíèçì, – ïðåêðàñíî íàó÷èëèñü ðàáîòàòü ñ íàíîîáúåêòàìè. Êëåòêà âñþ ñâîþ æèçíü ñîáèðàåò èç ðàçëè÷íûõ àòîìîâ ìîëåêóëû ñëîæíûõ âåùåñòâ. Ñîáðàâ ýòè ìîëåêóëû, êëåòêà ðàçìåùàåò èõ â ðàçëè÷íûõ ÷àñòÿõ – îäíè îêàçûâàþòñÿ â ÿäðå, äðóãèå – â öèòîïëàçìå, à òðåòüè – â ìåìáðàíå. Ïðåäñòàâüòå ñåáå âîçìîæíîñòè, êîòîðûå îòêðîþòñÿ ïåðåä ÷åëîâå÷åñòâîì, åñëè îíî îâëàäååò òàêèìè æå íàíîòåõíîëîãèÿìè, êîòîðûìè óæå âëàäååò êàæäàÿ êëåòêà ÷åëîâåêà. Ôåéíìàí òàê îïèñûâàåò ïîñëåäñòâèÿ íàíîòåõíîëîãè÷åñêîé ðåâîëþöèè äëÿ êîìïüþòåðîâ: «Åñëè, íàïðèìåð, äèàìåòð ñîåäèíÿþùèõ ïðîâîäîâ áóäåò ñîñòàâëÿòü îò 10 äî 100 àòîìîâ, òî ðàçìåð ëþáîé ñõåìû íå áóäåò ïðåâûøàòü íåñêîëüêèõ òûñÿ÷ àíãñòðåì. Êàæäûé, êòî ñâÿçàí ñ êîìïüþòåðíîé òåõíèêîé, çíàåò î òåõ âîçìîæíîñòÿõ, êîòîðûå îáåùàåò åå ðàçâèòèå è óñëîæíåíèå. Åñëè ÷èñëî èñïîëüçóåìûõ ýëåìåíòîâ âîçðàñòåò â ìèëëèîíû ðàç, òî âîçìîæíîñòè êîìïüþòåðîâ ñóùåñòâåííî ðàñøèðÿòñÿ. Îíè íàó÷àòñÿ ðàññóæäàòü, àíàëèçèðîâàòü îïûò è ðàññ÷èòûâàòü ñîáñòâåííûå äåéñòâèÿ, íàõîäèòü íîâûå âû÷èñëèòåëüíûå ìåòîäû è ò. ï. Ðîñò ÷èñëà ýëåìåíòîâ ïðèâåäåò ê âàæíûì êà÷åñòâåííûì èçìåíåíèÿì õàðàêòåðèñòèê ÝÂÌ». Ïîçâàâ ó÷åíûõ â íàíîìèð, Ôåéíìàí ñðàçó æå ïðåäóïðåæäàåò î òåõ ïðåïÿòñòâèÿõ, êîòîðûå èõ òàì îæèäàþò, íà ïðèìåðå èçãîòîâëåíèÿ ìèêðîàâòîìîáèëÿ äëèíîé âñåãî 1 ìì. Òàê êàê äåòàëè îáû÷íîãî àâòîìîáèëÿ ñäåëàíû ñ òî÷íîñòüþ 10 -5 ì , òî äåòàëè ìèêðîàâòîìîáèëÿ ñëåäóåò èçãîòîâëÿòü ñ òî÷íîñòüþ â 4000 ðàç âûøå, ò.å. 2,5 × 10 -9 ì . Òàêèì îáðàçîì, ðàçìåðû äåòàëåé ìèêðîàâòîìîáèëÿ äîëæíû ñîîòâåòñòâîâàòü ðàñ÷åòíûì ñ òî÷íîñòüþ ± 10 ñëîåâ àòîìîâ. Íàíîìèð íå òîëüêî ïîëîí ïðåïÿòñòâèé è ïðîáëåì. Íàñ â íàíîìèðå îæèäàþò è õîðîøèå íîâîñòè – âñå äåòàëè íàíîìèðà îêàçûâàþòñÿ î÷åíü ïðî÷íûìè. Ïðîèñõîäèò ýòî èç-çà òîãî, ÷òî ìàññà íàíîîáúåêòîâ óìåíüøàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî òðåòüåé ñòåïåíè èõ ðàçìåðîâ, à ïëîùàäü èõ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ – ïðîïîðöèîíàëüíî âòîðîé ñòåïåíè. Çíà÷èò, ìåõàíè÷åñêàÿ íàãðóçêà íà


ÍÀÍÎÒÅÕÍÎËÎÃÈÈ:

ÊÎÃÄÀ

êàæäûé ýëåìåíò îáúåêòà – îòíîøåíèå ñèëû òÿæåñòè ýëåìåíòà ê ïëîùàäè åãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ – óìåíüøàåòñÿ ïðîïîðöèîíàëüíî ðàçìåðàì îáúåêòà. Òàêèì îáðàçîì, ïðîïîðöèîíàëüíî óìåíüøåííûé íàíîñòîë îáëàäàåò â ìèëëèàðä ðàç áîëåå òîëñòûìè íàíîíîæêàìè, ÷åì ýòî íåîáõîäèìî èç ñîîáðàæåíèé ïðî÷íîñòè. Ôåéíìàí ñ÷èòàë, ÷òî ÷åëîâåê ñìîæåò ëåãêî îñâîèòü íàíîìèð, åñëè ñîçäàñò ðîáîòà, ñïîñîáíîãî äåëàòü óìåíüøåííóþ, íî ðàáîòîñïîñîáíóþ êîïèþ ñàìîãî ñåáÿ. Ïóñòü, íàïðèìåð, ìû íàó÷èëèñü äåëàòü ðîáîò, êîòîðûé ìîæåò áåç íàøåãî ó÷àñòèÿ ñîçäàâàòü ñâîþ óìåíüøåííóþ â 4 ðàçà êîïèþ. Òîãäà ýòîò ìàëåíüêèé ðîáîò ñìîæåò ñä��ëàòü êîïèþ ïåðâîíà÷àëüíîãî, óìåíüøåííóþ óæå â 16 ðàç, è òàê äàëåå (ðèñ.1). Î÷åâèäíî, ÷òî äåñÿòîå ïîêîëåíèå òàêèõ ðîáîòîâ áóäåò ñîçäàâàòü ðîáîòû, ðàçìåðû

ÐÀÇÌÅÐ

ÈÌÅÅÒ

ÇÍÀ×ÅÍÈÅ

%

ïðåìèÿ èìåíè Ôåéíìàíà çà âûäàþùèåñÿ äîñòèæåíèÿ â îáëàñòè íàíîòåõíîëîãèé.  ñâîåé ëåêöèè Ôåéíìàí ãîâîðèë è î ïåðñïåêòèâàõ íàíîõèìèè. Ñåé÷àñ õèìèêè èñïîëüçóþò äëÿ ñèíòåçà íîâûõ âåùåñòâ ñëîæíûå è ðàçíîîáðàçíûå ïðèåìû. Êàê òîëüêî ôèçèêè ñîçäàäóò óñòðîéñòâà, ñïîñîáíûå îïåðèðîâàòü îòäåëüíûìè àòîìàìè, ìíîãèå ìåòîäû òðàäèöèîííîãî õèìè÷åñêîãî ñèíòåçà ìîãóò áûòü çàìåíåíû ïðèåìàìè «àòîìíîé ñáîðêè». Ïðè ýòîì, êàê ñ÷èòàë Ôåéíìàí, ôèçèêè äåéñòâèòåëüíî ìîãóò íàó÷èòüñÿ ñèíòåçèðîâàòü ëþáîå âåùåñòâî, èñõîäÿ èç çàïèñàííîé õèìè÷åñêîé ôîðìóëû. Õèìèêè áóäóò çàêàçûâàòü ñèíòåç, à ôèçèêè — ïðîñòî «óêëàäûâàòü» àòîìû â ïðåäëàãàåìîì ïîðÿäêå. Ðàçâèòèå òåõíèêè ìàíèïóëÿöèè íà àòîìàðíîì óðîâíå ïîçâîëèò ðåøèòü ìíîãèå ïðîáëåìû õèìèè è áèîëîãèè. Ìàøèíû ñîçèäàíèÿ

Ðèñ.1. Èëëþñòðàöèÿ êîíöåïöèè Ð.Ôåéíìàíà î òîì, ÷òîáû ðîáîòû íàó÷èëèñü àâòîíîìíî äåëàòü ñâîè óìåíüøåííûå êîïèè

êîòîðûõ áóäóò â ìèëëèîíû ðàç ìåíüøå ïåðâîíà÷àëüíûõ. Êîíå÷íî, ïî ìåðå óìåíüøåíèÿ ðàçìåðîâ ìû áóäåì ïîñòîÿííî ñòàëêèâàòüñÿ ñ âåñüìà íåîáû÷íûìè ôèçè÷åñêèìè ÿâëåíèÿìè. Íè÷òîæíûé âåñ äåòàëåé íàíîðîáîòà ïðèâåäåò ê òîìó, ÷òî îíè áóäóò ïðèëèïàòü äðóã äðóãó ïîä äåéñòâèåì ñèë ìåæìîëåêóëÿðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ, è ãàéêà, íàïðèìåð, íå áóäåò îòäåëÿòüñÿ îò áîëòà ïîñëå îòêðó÷èâàíèÿ. Îäíàêî èçâåñòíûå íàì çàêîíû ôèçèêè íå çàïðåùàþò ñîçäàâàòü îáúåêòû «àòîì çà àòîìîì». Ìàíèïóëÿöèÿ àòîìàìè, â ïðèíöèïå, âïîëíå ðåàëüíà è íå íàðóøàåò íèêàêèõ çàêîíîâ ïðèðîäû. Ïðàêòè÷åñêèå æå òðóäíîñòè åå ðåàëèçàöèè îáóñëîâëåíû ëèøü òåì, ÷òî ìû ñàìè ÿâëÿåìñÿ ñëèøêîì êðóïíûìè è ãðîìîçäêèìè îáúåêòàìè, âñëåäñòâèå ÷åãî íàì ñëîæíî îñóùåñòâëÿòü òàêèå ìàíèïóëÿöèè. ×òîáû êàê-òî ñòèìóëèðîâàòü ñîçäàíèå ìèêðîîáúåêòîâ, Ôåéíìàí îáåùàë çàïëàòèòü 1000 äîëëàðîâ òîìó, êòî ñîîðóäèò ýëåêòðîìîòîð÷èê ðàçìåðîì 1/64 äþéìà (1 äþéì ≈ 2,5 ñì). È ñîâñåì ñêîðî òàêîé ìèêðîìîòîð÷èê áûë ñîçäàí. Ñ 1993 ãîäà åæåãîäíî ïðèñóæäàåòñÿ

Íàíîòåõíîëîãèÿ ñòàëà ñàìîñòîÿòåëüíîé îáëàñòüþ íàóêè è ïðåâðàòèëàñü â äîëãîñðî÷íûé òåõíè÷åñêèé ïðîåêò ïîñëå äåòàëüíîãî àíàëèçà, ïðîâåäåííîãî àìåðèêàíñêèì ó÷åíûì Ýðèêîì Äðåêñëåðîì â íà÷àëå 1980-õ ãîäîâ, è ïóáëèêàöèè åãî êíèãè «Ìàøèíû ñîçèäàíèÿ: ãðÿäóùàÿ ýðà íàíîòåõíîëîãèè». Ïî îïðåäåëåíèþ Äðåêñëåðà, íàíîòåõíîëîãèÿ – «îæèäàåìàÿ òåõíîëîãèÿ ïðîèçâîäñòâà, îðèåíòèðîâàííàÿ íà äåøåâîå ïîëó÷åíèå óñòðîéñòâ è âåùåñòâ ñ çàðàíåå çàäàííîé àòîìàðíîé ñòðóêòóðîé». Êàê ñ÷èòàþò ìíîãèå ñïåöèàëèñòû, â òå÷åíèå ñëåäóþùèõ 50 ëåò ìíîãèå óñòðîéñòâà ñòàíóò òàêèìè ìàëåíüêèìè, ÷òî òûñÿ÷à òàêèõ íàíîìàøèí âïîëíå ñìîãóò ðàçìåñòèòüñÿ íà ïëîùàäè, çàíèìàåìîé òî÷êîé â êîíöå ýòîãî ïðåäëîæåíèÿ. ×òîáû ñîáèðàòü íàíîìàøèíû, íåîáõîäèìî: 1) íàó÷èòüñÿ ðàáîòàòü ñ îäèíî÷íûìè àòîìàìè – áðàòü èõ è ñòàâèòü íà íóæíîå ìåñòî; 2) ðàçðàáîòàòü ñáîðùèêè – íàíîóñòðîéñòâà, êîòîðûå ìîãëè áû ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì ðàáîòàòü ñ îäèíî÷íûìè àòîìàìè ïî ïðîãðàììàì, íàïèñàííûì ÷åëîâåêîì, íî áåç åãî ó÷àñòèÿ; 3) ðàçðàáîòàòü ðåïëèêàòîðû – óñòðîéñòâà, êîòîðûå áû èçãîòîâëÿëè íàíîñáîðùèêè, òàê êàê èõ ïîíàäîáèòñÿ î÷åíü è î÷åíü ìíîãî. ×òî òàêîå íàíîïðîâîëîêè è ïî÷åìó îíè òàêèå ïðî÷íûå? Íàíîïðîâîëîêàìè íàçûâàþò ïðîâîëîêè ñ äèàìåòðîì íåñêîëüêî äåñÿòêîâ è ìåíåå íàíîìåòðîâ, èçãîòîâëåííûå èç ìåòàëëà, ïîëóïðîâîäíèêà èëè äèýëåêòðèêà. Äëèíà íàíîïðîâîëîê ÷àñòî ìîæåò ïðåâûøàòü èõ äèàìåòð â 1000 è áîëåå ðàç. Íàíîïðîâîëîêè ÷àñòî íàçûâàþò îäíîìåðíûìè ñòðóêòóðàìè, à èõ ÷ðåçâû÷àéíî ìàëûé äèàìåòð (îêîëî 100 ðàçìåðîâ àòîìà) äàåò âîçìîæíîñòü ïðîÿâëÿòüñÿ ðàçëè÷íûì êâàíòîâî-ìåõàíè÷åñêèì ýôôåêòàì. Ïîýòîìó íàíîïðîâîëîêè èíîãäà íàçûâàþò «êâàíòîâûìè ïðîâîëîêàìè». Óíèêàëüíûå ýëåêòðè÷åñêèå è ìåõàíè÷åñêèå ñâîéñòâà íàíîïðîâîëîê ñîçäàþò ïðåäïîñûëêè äëÿ èõ èñïîëüçîâàíèÿ â áóäóùèõ íàíîýëåêòðîííûõ è íàíîýëåêòðîìåõàíè÷åñêèõ ïðèáîðàõ, à òàêæå â êà÷åñòâå ýëåìåíòîâ íîâûõ êîìïîçèòíûõ ìàòåðèàëîâ è áèîñåíñîðîâ.


&

ÊÂÀÍT 2008/¹3

 ïðèðîäå íàíîïðîâîëîê íå ñóùåñòâóåò.  ëàáîðàòîðèÿõ íàíîïðîâîëîêè ÷àùå âñåãî ïîëó÷àþò ìåòîäîì ýïèòàêñèè, ò.å. îðèåíòèðîâàííîãî ðîñòà îäíîãî ìîíîêðèñòàëëà íà ïîâåðõíîñòè äðóãîãî, êîãäà êðèñòàëëèçàöèÿ âåùåñòâà ïðîèñõîäèò òîëüêî â îäíîì íàïðàâëåíèè. Íàïðèìåð, íàíîïðîâîëîêó èç êðåìíèÿ ìîæíî âûðàñòèòü òàê, êàê èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå 2 ñëåâà. Íàíî÷à-

Ðèñ.2. Ïîëó÷åíèå êðåìíèåâîé íàíîïðîâîëîêè ìåòîäîì ýïèòàêñèè ñ ïîìîùüþ çîëîòîé íàíî÷àñòèöû

ñòèöó çîëîòà ïîìåùàþò â àòìîñôåðó ãàçà ñèëàíà ( SiH4 ), è ýòà íàíî÷àñòèöà ñòàíîâèòñÿ êàòàëèçàòîðîì ðåàêöèè ðàñïàäà ñèëàíà íà âîäîðîä è æèäêèé êðåìíèé. Æèäêèé êðåìíèé ñêàòûâàåòñÿ ñ çîëîòîé íàíî÷àñòèöû è êðèñòàëëèçóåòñÿ ïîä íåé. Åñëè êîíöåíòðàöèÿ ñèëàíà âîêðóã íàíî÷àñòèöû ïîääåðæèâàåòñÿ íåèçìåííîé, òî ïðîöåññ ýïèòàêñèè ïðîäîëæàåòñÿ, è âñå íîâûå ñëîè æèäêîãî êðåìíèÿ êðèñòàëëèçóþòñÿ íà åãî óæå çàòâåðäåâøèõ ñëîÿõ.  ðåçóëüòàòå íàíîïðîâîëîêà èç êðåìíèÿ ðàñòåò, ïðèïîäíèìàÿ íàíî÷àñòèöó çîëîòà âñå âûøå è âûøå. Ïðè ýòîì, î÷åâèäíî, ðàçìåð íàíî÷àñòèöû îïðåäåëÿåò äèàìåòð íàíîïðîâîëîêè. Ñïðàâà íà ðèñóíêå 2 ïîêàçàí «ëåñ» èç ZnO-íàíîïðîâîëîê, ïîëó÷åííûõ àíàëîãè÷íûì îáðàçîì. Êàê èçâåñòíî, ïðî÷íîñòü – ýòî ñâîéñòâî òâåðäûõ òåë ñîïðîòèâëÿòüñÿ ðàçðóøåíèþ (ðàçäåëåíèþ íà ÷àñòè), à òàêæå íåîáðàòèìîìó èçìåíåíèþ ôîðìû ïîä äåéñòâèåì âíåøíèõ íàãðóçîê. Êîãäà öèëèíäðè÷åñêèé îáðàçåö ñ ïëîùàäüþ ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S ðàñòÿãèâàþò ñèëîé F, îí äåôîðìèðóåòñÿ ñíà÷àëà îáðàòèìî, ò.å. óïðóãî – åãî ìåõàíè÷åñêîå íàïðÿæåíèå σ = F S ðàñòåò ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî îòíîñèòåëüíîìó óäëèíåíèþ ε =  L - L0  L0 (ðèñ.3, îáëàñòü Î), çàòåì ïëàñòè÷åñêè, ò.å. íåîáðàòèìî (ðèñ.3, îáëàñòü Ï). Ïðè äàëüíåéøåé äåôîðìàöèè ñòðóêòóðíûå íåîäíîðîäíîñòè îáðàç-

Ðèñ.3. Âçàèìîñâÿçü ìåæäó ìåõàíè÷åñêèì íàïðÿæåíèåì è îòíîñèòåëüíîé äåôîðìàöèåé îáðàçöà. Ñòðåëêàìè óêàçàíû ïðåäåëû ïðî÷íîñòè äëÿ íåêîòîðûõ ìàòåðèàëîâ

öà (äåôåêòû êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè, èëè äèñëîêàöèè) íà÷èíàþò äâèãàòüñÿ è, ñòàëêèâàÿñü ñ äðóãèìè, îáðàçóþò ìèêðîòðåùèíû. Ïðè ýòîì ÷åì áîëüøå áóäåò ýòèõ äèñëîêàöèé è ÷åì áûñòðåå îíè ñìîãóò äâèãàòüñÿ ïî îáðàçöó, òåì áîëüøå áóäåò ìèêðîòðåùèí. Êîãäà ðàñòÿãèâàþùåå íàïðÿæåíèå äîñòèãàåò ïðåäåëà ïðî÷íîñòè, ñîñåäíèå ìèêðîòðåùèíû, ñîåäèíÿÿñü äðóã ñ äðóãîì, äîñòèãàþò êðèòè÷åñêîãî ðàçìåðà, è îáðàçåö ðàçðóøàåòñÿ. Íàíîïðîâîëîêà – ýòî ìîíîêðèñòàëë, â êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå êîòîðîãî ïðàêòè÷åñêè îòñóòñòâóþò äåôåêòû (äèñëîêàöèè). Ïðè ýòîì îòíîøåíèå ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè ê îáúåìó äëÿ íàíîïðîâîëîê ãîðàçäî áîëüøå, ÷åì äëÿ îáðàçöîâ îáû÷íûõ ðàçìåðîâ. Ïîýòîìó ïîâåðõíîñòü íàíîïðîâîëîê ëåãêî «ïîãëîùàåò» âûõîäÿùèå íàðóæó äèñëîêàöèè áåç îáðàçîâàíèÿ ìèêðîòðåùèí. Êðîìå òîãî, ïîâåðõíîñòü íàíîïðîâîëîêè, èìåþùàÿ ÷ðåçâû÷àéíî ìàëûé ðàäèóñ êðèâèçíû (îêîëî 10 íì), ñèëüíî ñæàòà è ïîýòîìó ïðåïÿòñòâóåò äâèæåíèþ äèñëîêàöèè íàðóæó, ò.å. îáðàçîâàíèþ ìèêðîòðåùèíû. Âñå ýòî ïðèâîäèò

Ðèñ.4. Çàâèñèìîñòü ìåõàíè÷åñêîãî íàïðÿæåíèÿ îò îòíîñèòåëüíîé äåôîðìàöèè äëÿ ìèêðîîáðàçöîâ èç íèêåëÿ è åãî ñïëàâîâ ðàçíîãî äèàìåòðà. Äëÿ ñðàâíåíèÿ êðàñíûì ïîêàçàíà ýòà çàâèñèìîñòü äëÿ ïîëèêðèñòàëëè÷åñêîãî ìàêðîîáðàçöà

ê òîìó, ÷òî ó íàíîïðîâîëîê ïî÷òè îòñóòñòâóåò ïëàñòè÷åñêàÿ äåôîðìàöèè, à ïðåäåë ïðî÷íîñòè â äåñÿòêè ðàç âûøå, ÷åì ó îáû÷íûõ îáðàçöîâ (ðèñ.4). Ïî÷åìó íàíî÷àñòèöû ïëàâÿòñÿ ïðè íèçêîé òåìïåðàòóðå? Ïðè óìåíüøåíèè ðàçìåðîâ ÷àñòèö èçìåíÿþòñÿ íå òîëüêî ìåõàíè÷åñêèå ñâîéñòâà, íî è òåðìîäèíàìè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè. Òàê, òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ ñòàíîâèòñÿ ãîðàçäî íèæå, ÷åì ó îáðàçöîâ îáû÷íîãî ðàçìåðà. Íà ðèñóíêå 5 ïðåäñòàâëåíà ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ êðèâàÿ ïàäåíèÿ òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ íàíî÷àñòèö àëþìèíèÿ ñ óìåíüøåíèåì ðàçìåðîâ ÷àñòèöû. Ïðè ýòîì òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ ÷àñòèöû ðàçìåðîì 4 íì óìåíüøàåòñÿ íà 140 °Ñ ïî ñðàâíåíèþ ñ òåìïåðàòóðîé ïëàâëåíèÿ îáðàçöà àëþìèíèÿ îáû÷íûõ ðàçìåðîâ. Çàâèñèìîñòè, àíàëîãè÷íûå òîé, êîòîðàÿ ïîêàçàíà íà ðèñóíêå 5, áûëè ïîëó÷åíû äëÿ ìíîãèõ ìåòàëëîâ. Òàê, ïðè óìåíüøåíèè äèàìåòðà íàíî÷àñòèö èç îëîâà äî 8 íì


ÍÀÍÎÒÅÕÍÎËÎÃÈÈ:

ÊÎÃÄÀ

ÐÀÇÌÅÐ

ÈÌÅÅÒ

ÇÍÀ×ÅÍÈÅ

'

þò â îñîáûõ óñëîâèÿõ. Ñèëû, çàñòàâëÿþùèå èõ íàõîäèòüñÿ â óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè, äåéñòâóþò íà íèõ òîëüêî ñíèçó. Ïîýòîìó ïîâåðõíîñòíûì àòîìàì (èëè ìîëåêóëàì) íè÷åãî íå ñòîèò «óêëîíèòüñÿ îò ñîâåòîâ è îáúÿòèé» ìîëåêóë ðåøåòêè. È åñëè ýòî ïðîèñõîäèò, òî ê òàêîìó æå ðåøåíèþ ïðèõîäÿò ñðàçó íåñêîëüêî ïîâåðõíîñòíûõ ñëîåâ àòîìîâ.  ðåçóëüòàòå íà ïîâåðõíîñòè âñåõ êðèñòàëëîâ îáðàçóåòñÿ ïëåíêà æèäêîñòè. Êñòàòè, êðèñòàëëû ëüäà íå ÿâëÿþòñÿ èñêëþ÷åíèåì (ðèñ.7), ïîýòîìó ëåä è ñêîëüçêèé. Ðèñ.5. Çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ àëþìèíèåâûõ íàíî÷àñòèö îò èõ ðàäèóñà

èõ òåìïåðàòóðà ïëàâëåíèÿ ïàäàåò íà 100 °Ñ. Ïðè ýòîì ñàìîå áîëüøîå ïàäåíèå òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ (áîëåå ÷åì íà 500 °Ñ) áûëî îáíàðóæåíî ó íàíî÷àñòèö çîëîòà. Ó íàíî÷àñòèö ïî÷òè âñå àòîìû – íà ïîâåðõíîñòè. Ïðè÷èíîé ïîíèæåíèÿ òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ ó íàíî÷àñòèö ñëóæèò òî, ÷òî àòîìû íà ïîâåðõíîñòè âñåõ êðèñòàëëîâ íàõîäÿòñÿ â îñîáûõ óñëîâèÿõ, à äîëÿ òàêèõ ïîâåðõíîñòíûõ àòîìîâ ó íàíî÷àñòèö ñòàíîâèòñÿ î÷åíü áîëüøîé. Ñäåëàåì îöåíêó ýòîé ïîâåðõíîñòíîé äîëè äëÿ àëþìèíèÿ. Ëåãêî âû÷èñëèòü, ÷òî â 1 ñì 3 àëþìèíèÿ ñîäåðæèòñÿ ïðèìåðíî 6 × 1022 àòîìîâ. Äëÿ ïðîñòîòû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî àòîìû íàõîäÿòñÿ â óçëàõ êóáè÷åñêîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè, òîãäà ðàññòîÿíèå ìåæäó ñîñåäíèìè àòîìàìè áóäåò îêîëî 4 × 10 -8 ñì . Çíà÷èò, ïëîòíîñòü àòîìîâ íà ïîâåðõíîñòè ñîñòàâèò 6 × 1014 ñì -2 . Òåïåðü âîçüìåì êóáèê èç àëþìèíèÿ ñ ðåáðîì 1 ñì. ×èñëî ïîâåðõíîñòíûõ àòîìîâ ó íåãî 36 × 1014 , à ÷èñëî àòîìîâ âíóòðè 6 × 1022 . Òàêèì îáðàçîì, äîëÿ ïîâåðõíîñòíûõ àòîìîâ ó òàêîãî àëþìèíèåâîãî êóáèêà «îáû÷íûõ» ðàçìåðîâ ñîñòàâëÿåò âñåãî 6 × 10 -8 . Åñëè ñäåëàòü òàêèå æå âû÷èñëåíèÿ äëÿ êóáèêà èç àëþìèíèÿ ðàçìåðîì 5 íì, òî îêàæåòñÿ, ÷òî íà ïîâåðõíîñòè òàêîãî «íàíîêóáèêà» íàõîäèòñÿ óæå 12% âñåõ åãî àòîìîâ. Íó, à íà ïîâåðõíîñòè êóáèêà ðàçìåðîì 1 íì âîîáùå íàõîäèòñÿ áîëüøå ïîëîâèíû âñåõ àòîìîâ! Çàâèñèìîñòü ïîâåðõíîñòíîé äîëè α îò ÷èñëà àòîìîâ N ïîêàçàíà íà ðèñóíêå 6. Íà ïîâåðõíîñòè êðèñòàëëà ïîðÿäêà íåò. Ñ íà÷àëà 60-õ ãîäîâ ïðîøëîãî âåêà ó÷åíûå ñ÷èòàþò, ÷òî àòîìû, ðàñïîëîæåííûå íà ïîâåðõíîñòè êðèñòàëëîâ, ïðåáûâà-

Ðèñ.6. Çàâèñèìîñòü ïîâåðõíîñòíîé äîëè àòîìîâ îò èõ ÷èñëà â êóáèêå êðèñòàëëè÷åñêîãî âåùåñòâà

Ðèñ.7. Ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ ñðåçà ëüäà. Êðàñíûå êðóæêè – àòîìû êèñëîðîäà, áåëûå – âîäîðîäà

Òîëùèíà æèäêîé ïëåíêè íà ïîâåðõíîñòè êðèñòàëëà ðàñòåò ñ òåìïåðàòóðîé, òàê êàê áîëåå âûñîêàÿ òåïëîâàÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóë âûðûâàåò èç êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè áîëüøå ïîâåðõíîñòíûõ ñëîåâ. Òåîðåòè÷åñêèå îöåíêè è ýêñïåðèìåíòû ïîêàçûâàþò, ÷òî êàê òîëüêî òîëùèíà æèäêîé ïëåíêè íà ïîâåðõíîñòè êðèñòàëëà íà÷èíàåò ïðåâûøàòü 1/10 ðàçìåðîâ êðèñòàëëà, êðèñòàëëè÷åñêàÿ ðåøåòêà ðàçðóøàåòñÿ. Î÷åâèäíî, ÷òî «ëåãêîïëàâêîñòü» íàíî÷àñòèö ñëåäóåò ó÷èòûâàòü íà ëþáûõ íàíîïðîèçâîäñòâàõ. Èçâåñòíî, íàïðèìåð, ÷òî ðàçìåðû ñîâðåìåííûõ ýëåìåíòîâ ýëåêòðîííûõ ìèêðîñõåì íàõîäÿòñÿ â íàíîäèàïàçîíå. Ïîýòîìó ïîíèæåíèå òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ êðèñòàëëè÷åñêèõ íàíîîáúåêòîâ íàêëàäûâàåò îïðåäåëåííûå îãðàíè÷åíèÿ íà òåìïåðàòóðíûå ðåæèìû ðàáîòû ñîâðåìåííûõ è áóäóùèõ ìèêðîñõåì. Çàêîí Îìà äëÿ óãëåðîäíûõ íàíîòðóáîê  íàíîìèðå èçìåíÿþòñÿ íå òîëüêî ìåõàíè÷åñêèå ñâîéñòâà è òåìïåðàòóðû ïëàâëåíèÿ âåùåñòâ, íî è èõ ýëåêòðè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè. Îêàçûâàåòñÿ, ñîïðîòèâëåíèå R öèëèíäðè÷åñêîãî ðåçèñòîðà íàíîðàçìåðîâ íåëüçÿ âû÷èñëÿòü ïî èçâåñòíîé ôîðìóëå R = ρL S , ãäå L – äëèíà, S – ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ, à ρ – óäåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ìàòåðèàëà ðåçèñòîðà. Ìàëî òîãî, ñîïðîòèâëåíèå R0 íàíîðåçèñòîðîâ âîîáùå íå çàâèñèò îò èõ ðàçìåðîâ è âåùåñòâà, èç êîòîðîãî îíè ñäåëàíû, à îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî äâóìÿ ôóíäàìåíòàëüíûìè ôèçè÷åñêèìè êîíñòàíòàìè: h R0 = 2 = 12,9 êÎì , 2e ãäå e = 1,6 × 10 -19 Êë – çàðÿä ýëåêòðîíà, à h = = 6,6 × 10 -34 Äæ ñ – ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà. Âåëè÷èíó R0 íàçâàëè êâàíòîì ýëåêòðè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ,




ÊÂÀÍT 2008/¹3

èìåÿ â âèäó, ÷òî â íàíîìèðå ñîïðîòèâëåíèÿ âñåõ ðåçèñòîðîâ îäèíàêîâû. Êâàíòîâàíèå ýëåêòðè÷åñêîãî ñîïðîòèâëåíèÿ – íå åäèíñòâåííàÿ îñîáåííîñòü ïðîâîäèìîñòè â íàíîìèðå. Îêàçàëîñü, ÷òî â íàíîðåçèñòîðå ïðè ïðîõîæäåíèè òîêà íå âûäåëÿåòñÿ äæîóëåâî òåïëî. Ýòó íåîáû÷íóþ ïðîâîäèìîñòü â íàíîìèðå, íåçàâèñÿùóþ îò ðàçìåðîâ è ìàòåðèàëà ðåçèñòîðà è íå ñîïðîâîæäàþùóþñÿ âûäåëåíèåì òåïëà, íàçâàëè áàëëèñòè÷åñêîé.  ïåðåâîäå ñ ãðå÷åñêîãî «áàëëèî» îçíà÷àåò áðîñàþ; ñîîòâåòñòâåííî, áàëëèñòèêà – íàóêà î äâèæåíèè àðòèëëåðèéñêèõ ñíàðÿäîâ, ïóëü è ò.ï. Íàçâàíèåì ïðîâîäèìîñòè â íàíîìèðå «áàëëèñòè÷åñêîé» åãî àâòîðû õîòåëè ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ýëåêòðîíû, êàê èñêóñíî çàïóùåííûå ñíàðÿäû, äâèæóòñÿ ÷åðåç íàíîðåçèñòîð, íå ñòàëêèâàÿñü ñ åãî àòîìàìè, íàõîäÿùèìèñÿ â óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè. Óãëåðîäíûå íàíîòðóáêè – êâàíòîâûå ðåçèñòîðû. Ïðèìåðîì íàíîðåçèñòîðîâ, îáëàäàþùèõ áàëëèñòè÷åñêîé ïðîâîäèìîñòüþ, ÿâëÿþòñÿ óãëåðîäíûå íàíîòðóáêè – ïðîòÿæåííûå öèëèíäðè÷åñêèå ñòðóêòóðû äèàìåòðîì îò îäíîãî äî íåñêîëüêèõ äåñÿòêîâ íàíîìåòðîâ è äëèíîé äî íåñêîëüêèõ ñàíòèìåòðîâ. Óãëåðîäíûå íàíîòðóáêè – ýòî êàðêàñíûå ñòðóêòóðû èëè ãèãàíòñêèå ìîëåêóëû, ñîñòîÿùèå òîëüêî èç àòîìîâ óãëåðîäà. Òàêóþ íàíîòðóáêó ëåãêî ñåáå ïðåäñòàâèòü, åñëè âîîáðàçèòü, ÷òî âû ñâîðà÷èâàåòå â òðóáêó îäèí èç ìîëåêóëÿðíûõ ñëîåâ ãðàôèòà – ãðàôåí (ðèñ.8). Ñïîñîá ñâîðà÷èâàíèÿ íàíîòðóáîê – óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèåì îñè íàíîòðóáêè ïî

Ðèñ.8. Îäèí èç ñïîñîáîâ âîîáðàæàåìîãî èçãîòîâëåíèÿ íàíîòðóáêè èç ìîëåêóëÿðíîãî ñëîÿ ãðàôèòà

îòíîøåíèþ ê îñÿì ñèììåòðèè ãðàôåíà (óãîë çàêðó÷èâàíèÿ) – âî ìíîãîì îïðåäåëÿåò åå ñâîéñòâà. Êîíå÷íî, íèêòî íå èçãîòîâëÿåò íàíîòðóáêè, ñâîðà÷èâàÿ èõ èç ãðàôèòîâîãî ëèñòà. Íàíîòðóáêè îáðàçóþòñÿ ñàìè, íàïðèìåð – íà ïîâåðõíîñòè óãîëüíûõ ýëåêòðîäîâ ïðè äóãîâîì ðàçðÿäå ìåæäó íèìè. Ïðè ðàçðÿäå àòîìû óãëåðîäà èñïàðÿþòñÿ ñ ïîâåðõíîñòè è, ñîåäèíÿÿñü ìåæäó ñîáîé, îáðàçóþò íàíîòðóáêè ñàìîãî ðàçëè÷íîãî âèäà – îäíîñëîéíûå, ìíîãîñëîéíûå è ñ ðàçíûìè óãëàìè çàêðó÷èâàíèÿ.  çàâèñèìîñòè îò óãëà çàêðó÷èâàíèÿ íàíîòðóáêè ìîãóò îáëàäàòü âûñîêîé, êàê ó ìåòàëëîâ, ïðîâîäèìîñòüþ, à ìîãóò èìåòü ñâîéñòâà ïîëóïðîâîäíèêîâ. Äàëüøå ðå÷ü ïîéäåò òîëüêî î íàíîòðóáêàõ ñ âûñîêîé ïðîâîäèìîñòüþ. Îòêðûòèå êâàíòîâîé ïðîâîäèìîñòè óãëåðîäíûõ íàíîòðóáîê áûëî ñäåëàíî, êîãäà èçìåðÿëè çàâèñèìîñòü èõ ñîïðîòèâëåíèÿ îò äëèíû, ïîãðóæàÿ èõ â ðòóòü.

Äèàìåòð íàíîòðóáîê ñîñòàâëÿë îò 1,4 äî 50 íì, à äëèíà – îò 1 äî 5 ìêì. Íî íåñìîòðÿ íà òàêîé áîëüøîé ðàçáðîñ â ðàçìåðàõ ñîïðîòèâëåíèå ÂÑÅÕ íàíîòðóáîê ñîñòàâëÿëî 12,9 êÎì. Ïî÷åìó ýëåêòðè÷åñòâî â íàíîìèðå ïðåâðàùàåòñÿ â îïòèêó? Òîê ïåðåíîñèòñÿ â ïðîâîäíèêå ýëåêòðîíàìè, îáðàçóþùèìè òàê íàçûâàåìûé ýëåêòðîííûé ãàç. Ñðåäíåêâàäðàòè÷íûé èìïóëüñ p îäíîãî èç òàêèõ ýëåêòðîíîâ ìîæíî íàéòè èç ñîîòíîøåíèÿ äëÿ ñðåäíåêâàäðàòè÷íîé ýíåðãèè E ÷àñòèöû èäåàëüíîãî ãàçà: E=

p2 3 = kT , 2me 2

ãäå k = 1,38 × 10 -23 Äæ Ê – ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà, me = 9,1 × 10 -31 ê㠖 ìàññà ýëåêòðîíà. Ïîäñòàâëÿÿ ñþäà Ò = 300 Ê, ïîëó÷àåì p = 10,6 × 10 -26 êã × ì ñ . Èçâåñòíî, ÷òî êàæäóþ ÷àñòèöó ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå âîëíû äå Áðîéëÿ ñ äëèíîé âîëíû λ = h/p. Äëÿ ýëåêòðîíà ïðîâîäèìîñòè â ìåòàëëå ïîëó÷àåì λ = 6,2 íì. Ýòî çíà÷èò, ÷òî äëÿ óãëåðîäíûõ íàíîòðóáîê äèàìåòðîì íåñêîëüêî íàíîìåòðîâ èëè ìåíüøå ýëåêòðîí ïðîâîäèìîñòè áóäåò ïðîÿâëÿòü ãëàâíûì îáðàçîì âîëíîâûå ñâîéñòâà. ×åðåç òàêèå íàíîòðóáêè ýëåêòðîíû áóäóò ïðîõîäèòü, êàê ñâåòîâûå âîëíû ïðîõîäÿò ÷åðåç ñâåòîâîäû. Òàêèì îáðàçîì, ýëåêòðè÷åñòâî â íàíîìèðå ïðåâðàùàåòñÿ â îïòèêó, à äæîóëåâî òåïëî ðàññåèâàåòñÿ òîëüêî íà ãðàíèöàõ íàíîìèðà, ãäå, íàïðèìåð, íàíîòðóáêà ñîåäèíÿåòñÿ ñ ïðîâîäíèêîì îáû÷íûõ ðàçìåðîâ. ×åìó ðàâåí êâàíò ñîïðîòèâëåíèÿ 40 ? Ïîïðîáóåì âûâåñòè «íà ïàëüöàõ» óïîìÿíóòóþ âûøå êðàñèâåéøóþ ôîðìóëó, ñâÿçûâàþùóþ êâàíò ñîïðîòèâëåíèÿ ñ ôóíäàìåíòàëüíûìè ôèçè÷åñêèìè êîíñòàíòàìè. Òàê êàê íàíîòðóáêà îáëàäàåò áàëëèñòè÷åñêîé ïðîâîäèìîñòüþ, à çíà÷èò äæîóëåâî òåïëî â íåé íå âûäåëÿåòñÿ, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî åå äëèíà ìåíüøå äëèíû ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ýëåêòðîíà ïðîâîäèìîñòè. Ïóñòü ìåæäó ñå÷åíèÿìè À è  íàíîòðóáêè ïðèëîæåíî íàïðÿæåíèå U, à ñèëà òîêà â íåé ðàâíà I. Ïîñêîëüêó ýíåðãèÿ íå ðàññåèâàåòñÿ, èçìåíåíèå ýíåðãèè ∆Å ýëåêòðîíà ìåæäó ñå÷åíèÿìè À è  ñîñòàâëÿåò ∆Å = eU. Ýòî èçìåíåíèå ýíåðãèè ïðîèçîøëî çà èíòåðâàë âðåìåíè ∆t, ðàâíûé âðåìåíè ïðîëåòà ýëåêòðîíà ìåæäó ñå÷åíèÿìè À è Â. Ñîîòíîøåíèå íåîïðåäåëåííîñòåé Ãåéçåíáåðãà íàêëàäûâàåò îïðåäåëåííûå îãðàíè÷åíèÿ íà èçìåíåíèÿ ∆Å è ∆t: ∆E × ∆t » h ,

îòêóäà ñëåäóåò, ÷òî

h . e∆t Îöåíèì òåïåðü ñèëó òîêà â íàíîòðóáêå. Íàíîòðóáêà – îäíîìåðíàÿ êâàíòîâàÿ ñòðóêòóðà.  íåé, êàê â àòîìå ãåëèÿ, ìîãóò óæèâàòüñÿ òîëüêî äâà ýëåêòðîíà, îáëàäàþùèå ðàçíûìè çíà÷åíèÿìè ñïèíà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òîê I ìåæäó ñå÷åíèÿìè À è  íàíîòðóáêè ðàâåí 2e I= . ∆t Èç äâóõ ïîñëåäíèõ ñîîòíîøåíèé ëåãêî íàéòè ôîðìóëó äëÿ ñîïðîòèâëåíèÿ R0 ìåæäó ñå÷åíèÿìè À è  íàíîU»


ÍÀÍÎÒÅÕÍÎËÎÃÈÈ:

ÊÎÃÄÀ

òðóáêè:

U h = 2 . R0 = I 2e Êñòàòè, ýòó ôîðìóëó ìîæíî âûâåñòè è ñ ïîìîùüþ òåîðèè ðàçìåðíîñòåé, ñ÷èòàÿ, ÷òî êâàíò ñîïðîòèâëåíèÿ ìîæåò çàâèñåòü òîëüêî îò äâóõ ìèðîâûõ êîíñòàíò – ýëåìåíòàðíîãî çàðÿäà è ïîñòîÿííîé Ïëàíêà. Òàê êàê íàãðåâ ó íàíîòðóáîê îòñóòñòâóåò, îíè ñïîñîáíû ïðîïóñêàòü òîêè îãðîìíîé ïëîòíîñòè – áîëåå 107 À ñì2 . Åñëè áû ó óãëåðîäíûõ íàíîòðóáîê áûëà îáû÷íàÿ (íå áàëëèñòè÷åñêàÿ) ïðîâîäèìîñòü, òî ïðè òîêàõ àíàëîãè÷íîé ïëîòíîñòè èõ òåìïåðàòóðà âûðîñëà áû äî 20000 Ê, ÷òî ãîðàçäî âûøå òåìïåðàòóðû èõ ñãîðàíèÿ (700 Ê). Ñóùåñòâîâàíèå áàëëèñòè÷åñêîé ïðîâîäèìîñòè äàåò çåëåíûé ñâåò èíæåíåðàì, ñòàðàþùèìñÿ åùå è åùå óìåíüøèòü ðàçìåðû ýëåêòðîííûõ ìèêðîñõåì: óìåíüøàéòå ýëåìåíòû ìèêðîñõåì äî íàíîðàçìåðîâ, è ñõåìû ïåðåñòàíóò íàãðåâàòüñÿ!

ÐÀÇÌÅÐ

ÈÌÅÅÒ

ÇÍÀ×ÅÍÈÅ



Òàêèì îáðàçîì, ïîëóïðîâîäíèêè äàæå íàíîðàçìåðîâ äîëæíû ÷óâñòâîâàòü ïàäàþùèé íà íèõ ñâåò, èñïóñêàÿ ïðè ýòîì ñâåò ìåíüøåé ÷àñòîòû. Äðóãèìè ñëîâàìè, ïîëóïðîâîäíèêîâûå íàíî÷àñòèöû íà ñâåòó ìîãóò ñòàíîâèòüñÿ ôëóîðåñöåíòíûìè, èñïóñêàÿ ñâåò ñòðîãî îïðåäåëåííîé ÷àñòîòû, ñîîòâåòñòâóþùåé øèðèíå çàïðåùåííîé çîíû. Ñâåòèòüñÿ â ñîîòâåòñòâèè ñ ðàçìåðîì! Ôëóîðåñöåíòíàÿ ñïîñîáíîñòü ïîëóïðîâîäíèêîâûõ íàíî÷àñòèö áûëà îáíàðóæåíà â ñàìîì êîíöå ïðîøëîãî âåêà. È, ñàìîå èíòåðåñíîå, îêàçàëîñü, ÷òî ÷àñòîòà ñâåòà, èñïóñêàåìîãî ýòèìè ÷àñòèöàìè, óìåíüøàåòñÿ ñ óâåëè÷åíèåì ðàçìåðîâ ÷àñòèö. Êàê âèäíî èç ðèñóíêà 10, öâåò âçâåñè íàíî÷àñòèö çàâèñèò îò èõ äèàìåòðà. Çàâèñèìîñòü öâåòà ôëþîðåñöåíöèè, ò.å. åå ÷àñòîòû ν, îò ðàçìåðà íàíî÷àñòèöû

Ïî÷åìó öâåò íàíî÷àñòèöû ìîæåò çàâèñåòü îò ðàçìåðà? Íàñ îêðóæàþò ïðåäìåòû îáû÷íûõ ðàçìåðîâ, è ìû ïðèâûêëè ê òîìó, ÷òî öâåò ïðåäìåòà çàâèñèò òîëüêî îò îïòè÷åñêèõ ñâîéñòâ âåùåñòâà, èç êîòîðîãî îí ñäåëàí, èëè êðàñèòåëÿ, êîòîðûì ïîêðàøåí.  íàíîìèðå òàêîå ïðåäñòàâëåíèå îêàçûâàåòñÿ íåñïðàâåäëèâûì, è ýòî îòëè÷àåò íàíîîïòèêó îò îáû÷íîé. Ëåò 10–15 òîìó íàçàä íàíîîïòèêè âîîáùå íå ñ��ùåñòâîâàëî. Äà è êàê îíà ìîãëà áûòü, åñëè èç êóðñà îáû÷íîé îïòèêè ñëåäóåò, ÷òî ñâåò íå ÷óâñòâóåò íàíîîáúåêòû, ïîñêîëüêó èõ ðàçìåðû ñóùåñòâåííî ìåíüøå äëèíû âîëíû ñâåòà λ = 400 – 800 íì. Ñîãëàñíî âîëíîâîé òåîðèè ñâåòà, íàíîáúåêòû íå äîëæíû èìåòü òåíè è ñâåò îò íèõ íå ìîæåò îòðàæàòüñÿ. Ñôîêóñèðîâàòü âèäèìûé ñâåò íà ïëîùàäè, ñîîòâåòñòâóþùåé íàíîîáúåêòó, òîæå íåëüçÿ. Çíà÷èò, è óâèäåòü íàíî÷àñòèöû íåâîçìîæíî. Îäíàêî, ñ äðóãîé ñòîðîíû, ñâåòîâàÿ âîëíà, êàê è ëþáîå ýëåêòðîìàãíèòíîå ïîëå, âñå-òàêè äîëæíà äåéñòâîâàòü íà íàíîîáúåêòû. Íàïðèìåð, ñâåò, óïàâ íà ïîëóïðîâîäíèêîâóþ ÷àñòèöó, ìîæåò ñâîèì ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì îòîðâàòü îò åå àòîìà îäèí èç âàëåíòíûõ ýëåêòðîíîâ. Ýòîò ýëåêòðîí íà íåêîòîðîå âðåìÿ ñòàíåò ýëåêòðîíîì ïðîâîäèìîñòè, à ïîòîì îïÿòü âåðíåòñÿ «äîìîé», èñïóñòèâ ïðè ýòîì êâàíò ñâåòà, ñîîòâåòñòâóþùèé øèðèíå òàê íàçûâàåìîé çàïðåùåííîé çîíû – ìèíèìàëüíîé ýíåðãèè, íåîáõîäèìîé äëÿ òîãî, ÷òîáû âàëåíòíîìó ýëåêòðîíó ñòàòü ñâîáîäíûì (ðèñ.9).

Ðèñ.9. Ñõåìàòè÷åñêîå èçîáðàæåíèå óðîâíåé ýíåðãèè è ýíåðãåòè÷åñêèõ çîí ýëåêòðîíà â ïîëóïðîâîäíèêå

Ðèñ.10. Ôëþîðåñöåíöèÿ âçâåñåé êîëëîèäíûõ ÷àñòèö ðàçëè÷íûõ ðàçìåðîâ (îò 2 äî 5 íì). Ñâåðõó âñå êîëáû îñâåùàþòñÿ îäíèì è òåì æå ñèíèì ñâåòîì, ñîäåðæàùèì óëüòðàôèîëåòîâóþ ñîñòàâëÿþùóþ

îçíà÷àåò, ÷òî îò ðàçìåðà ÷àñòèöû çàâèñèò òàêæå è øèðèíà çàïðåùåííîé çîíû ∆Å. Ãëÿäÿ íà ðèñóíîê 10, ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ïðè óâåëè÷åíèè ðàçìåðîâ íàíî÷àñòèö øèðèíà çàïðåùåííîé çîíû ∆Å äîëæíà óìåíüøàòüñÿ, òàê êàê ∆Å = hν. Òàêóþ çàâèñèìîñòü ìîæíî îáúÿñíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. «Îòîðâàòüñÿ» ëåã÷å, åñëè âîêðóã ìíîãî ñîñåäåé. Ìèíèìàëüíàÿ ýíåðãèÿ, íåîáõîäèìàÿ äëÿ îòðûâà âàëåíòíîãî ýëåêòðîíà è ïåðåâîäà åãî â çîíó ïðîâîäèìîñòè, çàâèñèò íå òîëüêî îò çàðÿäà àòîìíîãî ÿäðà è ïîëîæåíèÿ ýëåêòðîíà â àòîìå. ×åì áîëüøå âîêðóã àòîìîâ, òåì ëåã÷å îòîðâàòü ýëåêòðîí – âåäü ÿäðà ñîñåäíèõ àòîìîâ òîæå ïðèòÿãèâàþò åãî ê ñåáå. Ýòîò æå âûâîä ñïðàâåäëèâ è äëÿ èîíèçàöèè àòîìîâ. Íà ðèñóíêå 11 ïîêàçàíî, êàê ìåíÿåòñÿ ñðåäíåå ÷èñëî áëèæàéøèõ ñîñåäåé n ó àòîìà ïëàòèíû ïðè óâåëè÷åíèè äèàìåòðà ÷àñòèöû D. Êîãäà ÷èñëî àòîìîâ â ÷àñòèöå íåâåëèêî, çíà÷èòåëüíàÿ èõ ÷àñòü ðàñïîëîæåíà íà ïîâåðõíîñòè, à, çíà÷èò, ñðåäíåå ÷èñëî áëèæàéøèõ ñîñåäåé ãîðàçäî ìåíüøå òîãî, êîòîðîå ñîîòâåòñòâóåò êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå ïëàòèíû (11). Ïðè óâåëè÷åíèè ðàçìåðîâ ÷àñòèöû ñðåäíåå ÷èñëî áëèæàéøèõ ñîñåäåé ïðèáëèæàåòñÿ ê ïðåäåëó, ñîîòâåòñòâóþùåìó äàííîé êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå. Èç ðèñóíêà ñëåäóåò, ÷òî èîíèçîâàòü (îòîðâàòü ýëåêòðîí) àòîì




ÊÂÀÍT 2008/¹3

Ðèñ.11. Çàâèñèìîñòü ñðåäíåãî ÷èñëà áëèæàéøèõ ñîñåäåé ïî êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêå îò äèàìåòðà ÷àñòèöû ïëàòèíû

òÿæåëåå, åñëè îí íàõîäèòñÿ â ÷àñòèöå ìàëûõ ðàçìåðîâ, òàê êàê â ñðåäíåì ó òàêîãî àòîìà ìàëî áëèæàéøèõ ñîñåäåé. Íà ðèñóíêå 12 ïðåäñòàâëåí ãðàôèê èçìåíåíèÿ ïîòåíöèàëà èîíèçàöèè, ò.å. ðàáîòû âûõîäà Aâûõ , äëÿ íàíî÷àñòèö, ñîäåðæàùèõ ðàçëè÷íîå ÷èñëî àòîìîâ æåëåçà

Ðèñ.12. Çàâèñèìîñòü ðàáîòû âûõîäà îò ÷èñëà àòîìîâ â íàíî÷àñòèöå æåëåçà

N. Âèäíî, ÷òî ñ ðîñòîì N ðàáîòà âûõîäà ïàäàåò, ñòðåìÿñü ê ïðåäåëüíîìó çíà÷åíèþ, ñîîòâåòñòâóþùåìó ðàáîòå âûõîäà äëÿ îáðàçöîâ îáû÷íûõ ðàçìåðîâ. Èçìåíåíèå Aâûõ ñ äèàìåòðîì ÷àñòèöû D ìîæíî äîâîëüíî õîðîøî îïèñàòü ôîðìóëîé Aâûõ » Aâûõ0 +

2Ze2 , D

ãäå Aâûõ0 – ðàáîòà âûõîäà äëÿ îáðàçöîâ îáû÷íûõ ðàçìåðîâ, Z – çàðÿä àòîìíîãî ÿäðà, à e – çàðÿä ýëåêòðîíà. Î÷åâèäíî, ÷òî øèðèíà çàïðåùåííîé çîíû ∆Å çàâèñèò îò ðàçìåðîâ ïîëóïðîâîäíèêîâîé ÷àñòèöû òàêèì æå îáðàçîì, êàê è ðàáîòà âûõîäà èç ìåòàëëè÷åñêèõ ÷àñòèö, – óìåíüøàåòñÿ ñ ðîñòîì äèàìåòðà ÷àñòèöû. Ïîýòîìó äëèíà âîëíû ôëþîðåñöåíöèè ïîëóïðîâîäíèêîâûõ íàíî÷àñòèö ðàñòåò ñ ðîñòîì äèàìåòðà ÷àñòèö, ÷òî è èëëþñòðèðóåò ðèñóíîê 10. Êâàíòîâûå òî÷êè – ðóêîòâîðíûå àòîìû. Ïîëóïðî-

01-22.p65

12

âîäíèêîâûå íàíî÷àñòèöû ÷àñòî íàçûâàþò «êâàíòîâûìè òî÷êàìè». Ñâîèìè ñâîéñòâàìè îíè íàïîìèíàþò àòîìû, òî÷íåå «èñêóññòâåííûå àòîìû», èìåþùèå íàíîðàçìåðû. Âåäü ýëåêòðîíû â àòîìàõ, ïåðåõîäÿ ñ îäíîé îðáèòû íà äðóãóþ, òîæå èçëó÷àþò êâàíò ñâåòà ñòðîãî îïðåäåëåííîé ÷àñòîòû. Íî, â îòëè÷èå îò íàñòîÿùèõ àòîìîâ, âíóòðåííþþ ñòðóêòóðó è ñïåêòð èçëó÷åíèÿ êîòîðûõ ìû èçìåíèòü íå ìîæåì, ïàðàìåòðû êâàíòîâûõ òî÷åê çàâèñÿò îò èõ ñîçäàòåëåé, íàíîòåõíîëîãîâ. Êâàíòîâûå òî÷êè óæå ñåé÷àñ ÿâëÿþòñÿ óäîáíûì èíñòðóìåíòîì äëÿ áèîëîãîâ, ïûòàþùèõñÿ ðàçãëÿäåòü ðàçëè÷íûå ñòðóêòóðû âíóòðè êëåòîê. Äåëî â òîì, ÷òî ðàçëè÷íûå êëåòî÷íûå ñòðóêòóðû îäèíàêîâî ïðîçðà÷íû è íå îêðàøåíû. Ïîýòîìó åñëè ñìîòðåòü íà êëåòêó â ìèêðîñêîï, òî íè÷åãî, êðîìå åå êðàåâ, è íå óâèäèøü. ×òîáû ñäåëàòü çàìåòíîé îïðåäåëåííóþ ñòðóêòóðó êëåòêè, áûëè ñîçäàíû êâàíòîâûå òî÷êè, ñïîñîáíûå ïðèëèïàòü ê îïðåäåëåííûì âíóòðèêëåòî÷íûì ñòðóêòóðàì. Òàê, äëÿ òîãî ÷òîáû ðàñêðàñèòü êëåòêó íà ðèñóíêå 13 â ðàçíûå öâåòà, áûëè ñäåëàíû êâàíòîâûå òî÷êè òðåõ ðàçìåðîâ. Ê ñàìûì ìàëåíüêèì, ñâåòÿùèìñÿ çåëåíûì ñâåòîì, ïðèêëåèëè ìîëåêóëû, ñïîñîáíûå ïðè-

Ðèñ.13. Ðàñêðàøèâàíèå ðàçíûõ âíóòðèêëåòî÷íûõ ñòðóêòóð â ðàçíûå öâåòà ñ ïîìîùüþ êâàíòîâûõ òî÷åê: ÿäðî – êðàñíîå, ìèêðîòðóáî÷êè – çåëåíûå, àïïàðàò Ãîëüäæè – æåëòûé

ëèïàòü ê ìèêðîòðóáî÷êàì, ñîñòàâëÿþùèì âíóòðåííèé ñêåëåò êëåòêè. Ñðåäíèå ïî ðàçìåðó êâàíòîâûå òî÷êè ìîãëè ïðèëèïàòü ê ìåìáðàíàì àïïàðàòà Ãîëüäæè, à ñàìûå êðóïíûå – ê ÿäðó êëåòêè. Êîãäà êëåòêó îêóíóëè â ðàñòâîð, ñîäåðæàùèé âñå ýòè êâàíòîâûå òî÷êè, è ïîäåðæàëè â íåì íåêîòîðîå âðåìÿ, òî÷êè ïðîíèêëè âíóòðü è ïðèëèïëè òóäà, êóäà ìîãëè. Ïîñëå ýòîãî êëåòêó ñïîëîñíóëè â ðàñòâîðå, íå ñîäåðæàùåì êâàíòîâûõ òî÷åê, è ïîëîæèëè ïîä ìèêðîñêîï. Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, âûøåóïîìÿíóòûå êëåòî÷íûå ñòðóêòóðû ñòàëè ðàçíîöâåòíûìè è õîðîøî çàìåòíûìè.

23.05.08, 14:21


Õðîìàòè÷åñêèå ÷èñëà À.ÐÀÉÃÎÐÎÄÑÊÈÉ, Î.ÐÓÁÀÍÎÂ, Â.ÊÎØÅËÅ Ââåäåíèå è ïîñòàíîâêà çàäà÷è Ñîâðåìåííàÿ ìàòåìàòèêà – íàóêà ïî÷òè íåîáîçðèìàÿ. Äëÿ òîãî ÷òîáû äàæå ïîâåðõíîñòíî îçíàêîìèòüñÿ ñ âåëèêèì ìíîæåñòâîì åå ðàçäåëîâ, òðåáóþòñÿ ãîäû, à óæ íà îñîçíàíèå âñåõ çàäà÷, êîòîðûå âîçíèêàëè â ìàòåìàòèêå â ðàçíîå âðåìÿ, è íåñêîëüêèõ æèçíåé íå õâàòèò. Îäíàêî â ýòîì áåñêðàéíåì ìîðå çàäà÷ èìåþòñÿ è ñâîåîáðàçíûå «ìàÿêè» – çàäà÷è, íà äîëãèå ãîäû îïðåäåëèâøèå ðàçâèòèå òåõ îáëàñòåé, â ðàìêàõ êîòîðûõ îíè ïîÿâèëèñü. Ýòè ìàÿêè ïîìîãàþò ìàòåìàòèêó ïðàâèëüíî âûáðàòü äëÿ ñåáÿ íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ. Îäíèì èç òàêèõ ìàÿêîâ ñëóæèò çàäà÷à î õðîìàòè÷åñêîì ÷èñëå – èìåííî î íåé ìû ñîáèðàåìñÿ ïîãîâîðèòü â äàííîé ñòàòüå. Îòíîñèòñÿ îíà ê îäíîìó èç ñàìûõ ïîïóëÿðíûõ, à íà íàø âçãëÿä, ê îäíîìó èç ñàìûõ êðàñèâûõ ðàçäåëîâ ìàòåìàòèêè – ê ðàçäåëó, êîòîðûé ïðèíÿòî ñåé÷àñ íàçûâàòü êîìáèíàòîðíîé ãåîìåòðèåé. Ïî ñóùåñòâó, êîìáèíàòîðíàÿ ãåîìåòðèÿ – ýòî íàóêà î êîìáèíàòîðíûõ ñâîéñòâàõ ãåîìåòðè÷åñêèõ îáúåêòîâ.  ñàìîñòîÿòåëüíóþ äèñöèïëèíó îíà îôîðìèëàñü ëèøü â XX âåêå, è õðîìàòè÷åñêèå ÷èñëà, íàäî çàìåòèòü, íåìàëî òîìó ïîñïîñîáñòâîâàëè. Âîò ýòà çàäà÷à: êàêîâî íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî öâåòîâ, íåîáõîäèìûõ äëÿ òàêîé ïîêðàñêè ïëîñêîñòè (áóäåì íàçûâàòü åå ïðàâèëüíîé), ïðè êîòîðîé ðàññòîÿíèå ìåæäó îäíîöâåòíûìè òî÷êàìè íå ìîæåò áûòü ðàâíûì 1? Óïîìÿíóòîå íàèìåíüøåå ÷èñëî öâåòîâ ìû è íàçîâåì õðîìàòè÷åñêèì ÷èñëîì.1 Íà ïåðâûé âçãëÿä, ïîñòàâëåííûé òîëüêî ÷òî âîïðîñ ñîâåðøåííî ýëåìåíòàðåí, íî ìû óáåäèìñÿ ïîñòåïåííî, ÷òî âîïðîñ ýòîò âåñüìà ãëóáîê è íåòðèâèàëåí. Ïðåæäå âñåãî, õî÷åòñÿ ïîíÿòü, ÷òî æå òàêîå «ðàñêðàñêà ïëîñêîñòè». Íàâåðíÿêà íåèñêóøåííîìó ÷èòàòåëþ ñõîäó ïðåäñòàâëÿåòñÿ íå÷òî âðîäå òîãî, ÷òî èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå 1. Îäíàêî ñóùåñòâóþò è êóäà áîëåå

Ðèñ. 1

õèòðûå ñèòóàöèè. Ïóñòü, íàïðèìåð, òî÷êà õ íà ïëîñêîñòè èìååò êîîðäèíàòû x1, x2 (ìû áóäåì ïèñàòü â äàëüíåéøåì x = ( x1, x2 ) ). Ñêàæåì, ÷òî òî÷êà «ñèíÿÿ», åñëè ÷èñëà x1, x2 ðàöèîíàëüíûå; â ïðîòèâíîì ñëó÷àå 1 Ñëîâî «õðîìàòè÷åñêèé» èìååò ãðå÷åñêîå ïðîèñõîæäåíèå. Ôàêòè÷åñêè îíî ïåðåâîäèòñÿ êàê «öâåòíîé» èëè «öâåòîâîé».

01-22.p65

13

íàçîâåì òî÷êó «êðàñíîé». Âîçíèêàåò äâóõöâåòíàÿ ïîêðàñêà ïëîñêîñòè, êîòîðóþ òàê çàïðîñòî è íå íàðèñóåøü. Åùå, ïî-âèäèìîìó, ñòîèò íàïîìíèòü, ÷òî ðàññòîÿíèå |x – y| ìåæäó òî÷êàìè x = ( x1, x2 ) è y = ( y1, y2 ) íà ïëîñêîñòè ïðèíÿòî íàõîäèòü ïî ôîðìóëå

x-y =

( x1 - y1 )2 + ( x2 - y2 )2 .

Äàâàéòå äîãîâîðèìñÿ îá îáîçíà÷åíèÿõ.  ìàòåìàòèêå ïëîñêîñòü ïðèíÿòî îáîçíà÷àòü ñèìâîëîì 4 2 .  òî æå âðåìÿ ñëîâî «õðîì» â ãðå÷åñêîì ÿçûêå íà÷èíàåòñÿ ñ áóêâû χ («õè»). Ïîýòîìó äëÿ õðîìàòè÷åñêîãî ÷èñëà

( )

ïðèíÿòî îáîçíà÷åíèå χ 42 . È íàêîíåö, âêðàòöå îá èñòîðèè çàäà÷è. Îíà áûëà ïîñòàâëåíà â 1950 ãîäó Ý.Íåëñîíîì, êîòîðîìó òîãäà áûëî 17 ëåò. Ýòî âåñüìà ëþáîïûòíî è äîëæíî âîîäóøåâëÿòü ìîëîäîãî ÷èòàòåëÿ: åñëè ñåìíàäöàòèëåòíåìó Íåëñîíó îêàçàëîñü ïî ñèëàì ïîñòàâèòü ñòîëü âàæíûé äëÿ ðàçâèòèÿ íàóêè âîïðîñ, òî îò÷åãî áû è ìíå, ÷èòàòåëþ, íå äåðçíóòü? Î÷åíü ïîõîæèå çàäà÷è ðàññìàòðèâàë åùå èçâåñòíûé ãåîìåòð Ã.Õàäâèãåð â 40-å ãîäû XX âåêà; îäíàêî, âî-ïåðâûõ, Íåëñîí îá ýòîì íå çíàë, à ãëàâíîå, èìåííî îí äàë ñîâðåìåííóþ ïîñòàíîâêó ïðîáëåìû – â òåðìèíàõ ðàñêðàñîê. Îãðîìíóþ ïîïóëÿðíîñòü ïðèíåñëè çàäà÷å Íåëñîíà ïóáëèêàöèè Ì.Ãàðäíåðà, Ï.Ýðäåøà è òîãî æå Ã.Õàäâèãåðà. Âåñüìà èíòåðåñíîå èñòîðè÷åñêîå ýññå íà ýòó òåìó ìîæíî íàéòè â çàìåòêå À.Ñîéôåðà ([1]); èìååòñÿ òàêæå áðîøþðà À.Ì.Ðàéãîðîäñêîãî [2] è åãî æå ñòàòüÿ [3]. Ìû æå ïåðåéäåì ê èçó÷åíèþ õðîìàòè÷åñêîãî ÷èñëà. Íåáîëüøîå îòñòóïëåíèå Êàê ìû çíàåì òåïåðü, çàäà÷à Íåëñîíà ñîñòîèò â ïðàâèëüíîé ïîêðàñêå ïëîñêîñòè ñ ïîìîùüþ íàèìåíüøåãî êîëè÷åñòâà êðàñîê â «ïàëèòðå». Ìû åùå óñïååì óáåäèòüñÿ â òîì, íàñêîëüêî ýòà çàäà÷à íåïðîñòà. À ïîòîìó ðàçóìíî ñïåðâà ïîïðîáîâàòü ñâîè ñèëû â ðåøåíèè àíàëîãè÷íîé çàäà÷è äëÿ ñëó÷àÿ îáû÷íîé ïðÿìîé. ×òî òàêîå ïðàâèëüíàÿ ïîêðàñêà ïðÿìîé? Äà òî æå ñàìîå, â îáùåì-òî, ÷òî è ïðåæäå: ñëåäóåò ëèøü òðåáîâàòü, ÷òîáû îäíîöâåòíûå òî÷êè (÷èñëà) õ, ó íå îòñòîÿëè äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèå 1, ò.å. ÷òîáû âåëè÷èíà |x – y| íå ðàâíÿëàñü åäèíèöå. Î÷åâèäíî, åñëè ïîêðàñèòü ïðÿìóþ â îäèí öâåò, òî íàéäåòñÿ ìàññà òàêèõ «èêñîâ» è «èãðåêîâ», äëÿ êîòîðûõ óïîìÿíóòîå âûøå óñëîâèå íàðóøåíî. Çíà÷èò, äëÿ ïðàâèëüíîé ïîêðàñêè ïðÿìîé íóæíû ïî êðàéíåé ìåðå äâà öâåòà. Íà ðèñóíêå 2 òàêàÿ ïîêðàñêà óêàçàíà ÿâíî.

23.05.08, 14:21


"

ÊÂÀÍT 2008/¹3

Ýòî ñâîåãî ðîäà «øëàãáàóì». Ìû êðàñèì ïîëóèíòåðâàëû [0; 1), [2; 3), [4; 5) … è ïîëóèíòåðâàëû [–2; –1), [–4; –3), [–6; –5) … â êðàñíûé öâåò, à âñå

Ðèñ. 2

îñòàëüíûå ïîëóèíòåðâàëû äåëàåì ñèíèìè. Ïîíÿòíî, ÷òî âíóòðè êàæäîãî ïîëóèíòåðâàëà ìû òî÷åê õ, ó ñ óñëîâèåì |x – y| = 1 íå íàéäåì. Åñëè æå òî÷êà õ ïðèíàäëåæèò îäíîìó ïîëóèíòåðâàëó, à òî÷êà ó íàõîäèòñÿ â äðóãîì ïîëóèíòåðâàëå òîãî æå öâåòà, òî çàâåäîìî |x – y| > 1, è ñíîâà âñå â ïîðÿäêå. Âñïîìèíàÿ, ÷òî ïðÿìàÿ â ìàòåìàòèêå, êàê ïðàâèëî, îçíà÷àåòñÿ ÷åðåç 4 , ââåäåì åñòåñòâåííîå îáîçíà÷åíèå äëÿ åå õðîìàòè÷åñêîãî ÷èñëà: χ ( 4 ) . Èç ïðîâåäåííûõ òîëüêî ÷òî ðàññóæäåíèé íåìåäëåííî ïîëó÷àåì, ÷òî χ ( 4 ) = 2 . Íåóæåëè ïëîñêîñòü óñòðîåíà íàñòîëüêî ñëîæíåå ïðÿìîé? ×òî æ, âåðíåìñÿ ê ïëîñêîñòè è ïîñìîòðèì. Ñêîëüêèõ öâåòîâ íå õâàòèò Äàâàéòå óáåäèìñÿ, ÷òî ñëèøêîì ìàëûì êîëè÷åñòâîì öâåòîâ íàì óæå íå îáîéòèñü. ßñíî áåç äîïîëíèòåëüíûõ ïîÿñíåíèé, ïî÷åìó íå õâàòèò îäíîãî öâåòà. Îäíàêî ëåãêî çàìåòèòü òàêæå, ÷òî χ 42 > 2 .  ñàìîì äåëå, åñëè ìû ïîêðàñèì ïëîñêîñòü â äâà öâåòà, òî äâóõöâåòíûì (èëè äàæå îäíîöâåòíûì) îêàæåòñÿ, êîíå÷íî, è ìíîæåñòâî âåðøèí ëþáîãî ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé 1. Íî òîãäà íåêîòîðûå äâå âåðøèíû òàêîãî òðåóãîëüíèêà çàâåäîìî áóäóò èìåòü îäèí è òîò æå öâåò, ÷òî â ñëó÷àå ïðàâèëüíîé ïîêðàñêè íåâîçìîæíî. Êàê ìû âèäåëè òîëüêî ÷òî, òðåóãîëüíèê – âåñüìà ïîëåçíàÿ ôèãóðà. Òåì íå ìåíåå, ìû åùå íå âñå èç íåå «âûæàëè». Ñåé÷àñ ìû ñ åå ïîìîùüþ ïîêàæåì, ÷òî 2 χ 4 > 3 . Ðàññìîòðèì êîíñòðóêöèþ, èçîáðàæåííóþ íà ðèñóíêå 3. Ýòî äâà ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè äëèíû 1, ïðèÐèñ. 3 ìûêàþùèå äðóã ê äðóãó ïî öåëîé ñòîðîíå. Ñàìà ïî ñåáå äàííàÿ êîíñòðóêöèÿ (íàçîâåì åå èãëîé) âïîëíå ìîæåò áûòü ïîêðàøåíà ïðàâèëüíûì îáðàçîì â òðè öâåòà, òàê ÷òî îáåùàííîå íåðàâåíñòâî χ 42 > 3 íåïîñðåäñòâåííî èç åå ðàññìîòðåíèÿ îòíþäü íå ñëåäóåò. Íà÷íåì «âðàùàòü» êîíñòðóêöèþ òàê, êàê åñëè áû â òî÷êå À íà ðèñóíêå 3 áûë çàáèò ãâîçäü (ðèñ.4). Ïðåäïîëîæèì, ìû îñóùåñòâèëè ïðàâèëüíóþ ïîêðàñêó ïëîñêîñòè â íåñêîëüêî öâåòîâ. Âîçìîæíû äâà âàðèàíòà.  ðàìêàõ ïåðâîÐèñ. 4

( )

( )

ãî èç íèõ íàéäåòñÿ êîïèÿ èñõîäíîé èãëû, ó êîòîðîé âåðøèíà À èìååò äðóãîé öâåò, íåæåëè ïðîòèâîïîëîæíàÿ åé âåðøèíà, ëåæàùàÿ íà îêðóæíîñòè (ñì. ðèñ.4). Ïóñòü, íàïðèìåð, äâà çàäåéñòâîâàííûõ òàêèì îáðàçîì öâåòà ñóòü ñèíèé è êðàñíûé. Òîãäà ïðàâèëüíîñòü ïîêðàñêè âñåé ïëîñêîñòè ãàðàíòèðóåò íàì, ÷òî îñòàâøèåñÿ äâå âåðøèíû íàéäåííîé íàìè èãëû íå ñèíèå è íå êðàñíûå; ê òîìó æå, îíè îáÿçàíû áûòü ðàçíîöâåòíûìè (ñêàæåì, æåëòîé è çåëåíîé ñîîòâåòñòâåííî). Çíà÷èò, â òåêóùåé ñèòóàöèè öâåòîâ â ïîêðàñêå ïëîñêîñòè íå ìåíåå ÷åòûðåõ. Âòîðîé âàðèàíò ñîñòîèò â òîì, ÷òî âñÿ îêðóæíîñòü íà ðèñóíêå 4 èìååò òîò æå öâåò, ÷òî è òî÷êà À. Íî â ýòîì ñëó÷àå ìû èìååì ïðîòèâîðå÷èå ñ ïðàâèëüíîñòüþ ïîêðàñêè, âåäü íà óêàçàííîé îêðóæíîñòè åñòü ïàðû òî÷åê, îòñòîÿùèõ äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèå 1 (çäåñü âàæíî, ÷òî ðàäèóñ îêðóæíîñòè ðàâåí 3 ).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷àåì, ÷òî íè ïðè êàêèõ óñëîâèÿõ òðåõ öâåòîâ íå õâàòèò, à ê ýòîìó ìû è ñòðåìèëèñü. Èç îïèñàííîãî ïîñòðîåíèÿ ëåãêî âûäåëèòü êîíôèãóðàöèþ, êîòîðàÿ íå äîïóñêàåò ïðàâèëüíîé ïîêðàñêè â òðè öâåòà. Ýòî òàê íàçûâàåìîå âåðåòåíî, èçîáðàæåííîå íà ðèñóíêå 5.  ÷åñòü áðàòüåâ Ðèñ. 5 Ë.Ìîçåðà è Ó.Ìîçåðà, êîòîðûå îäíè èç ïåðâûõ îïóáëèêîâàëè ðàáîòó ñ âåðåòåíîì, ãîâîðÿò åùå î ìîçåðîâñêîì âåðåòåíå. Èòàê, ìû óñòàíîâèëè, ÷òî χ 42 ³ 4 . Ïîäóìàåì òåïåðü, ñêîëüêèõ öâåòîâ äëÿ ïðàâèëüíîé ïîêðàñêè ïëîñêîñòè çàâåäîìî õâàòèò.

( )

Ñêîëüêèõ öâåòîâ äîñòàòî÷íî Íàðèñóåì íà ïëîñêîñòè êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 1,8. Ïîäåëèì ýòîò êâàäðàò íà äåâÿòü îäèíàêîâûõ êëåòîê ñî ñòîðîíàìè 0,6 òàê, êàê ýòî ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 6, è çàêðàñèì êàæäóþ êëåòêó â ñâîé öâåò (ðèñ.7). Îáùèå ñòîðîíû ñìåæíûõ êëåòîê ìû ðàñêðàøèâàåì ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì (ò.å. â ëþáîé èç öâåòîâ ýòèõ êëåòîê). Âîçíèêàåò ñâîåãî ðîäà êâàäðàòíûé

( )

01-22.p65

14

Ðèñ. 6

Ðèñ. 7

öâåòíîé ëîñêóòîê. Òåïåðü çàìîñòèì âñþ ïëîñêîñòü îäèíàêîâûìè ëîñêóòêàìè, ïîäîáíîìó òîìó, êàê ýòî ñäåëàíî íà ðèñóíêå 8. Ñíîâà îáùèå ãðàíèöû êðàñèì ïðîèçâîëüíî (â ïðåæíåì ñìûñëå). ×òî æå ìû âèäèì? Åñëè îäíîöâåòíûå òî÷êè ïðèíàäëåæàò îäíîé è òîé æå êëåòêå, òî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè, êîíå÷íî, íå

23.05.08, 14:21


ÕÐÎÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ

#

×ÈÑËÀ

ïðåâîñõîäèò äëèíû äèàãîíàëè ýòîé êëåòêè, ò.å. âåëè÷èíû, êîòîðàÿ ïî òåîðåìå Ïèôàãîðà ðàâíà 0,6 2 » 0,848 < < 1. Íèêàêèõ ïðîáëåì! Åñëè æå òî÷êè îäíîãî öâåòà ïîïàäàþò â ðàçíûå êëåòêè, òî îíè îòñòîÿò äðóã îò äðóãà íà ðàññòîÿíèå, íå ìåíüøåå 2 × 0,6 = 1,2 > 1 . ÷åì Ðèñ. 8 Îïÿòü âñå â ïîðÿäêå. Ðàññóæäåíèå, êîòîðîå ìû ïðîâåëè, ïîêàçûâàåò, ÷òî χ 42 £ 9 . Ïðè ýòîì ïðåäëîæåííàÿ íàìè ïðàâèëüíàÿ ïîêðàñêà â äåâÿòü öâåòîâ îáëàäàåò, òàê ñêàçàòü, îãðîìíûì çàïàñîì ïðî÷íîñòè. À èìåííî, ðàññòîÿíèå ìåæäó îäíîöâåòíûìè òî÷êàìè â íåé íå òîëüêî íå ðàâíÿåòñÿ åäèíèöå, íî îíî äàæå íå ìîæåò ñîâïàñòü íè ñ îäíèì èç ÷èñåë íà èíòåðâàëå (0,848; 1,2). Áîëåå òîãî, ñòîëü æå õîðîøåãî ðåçóëüòàòà ìû áû äîáèëèñü, ñîáèðàÿ ëîñêóòêè èç êëåòîê èíîãî ðàçìåðà – íå îáÿçàòåëüíî ñî ñòîðîíîé 0,6. Ñêàæåì, êëåòêè ñî ñòîðîíîé 0,7 òîæå âïîëíå áû ñãîäèëèñü äëÿ íàøèõ öåëåé. ×òî-òî ïîäñêàçûâàåò íàì, ñòàëî áûòü, ÷òî îöåíêà χ 42 £ 9 íå îïòèìàëüíà. Èíòóèöèÿ íàñ íå îáìàíûâàåò. Âìåñòî ðàçíîöâåòíûõ êâàäðàòíûõ êëåòîê ñëåäóåò èñïîëüçîâàòü ðàçíîöâåòíûå ïðàâèëüíûå øåñòèóãîëüíèêè, îáðàçóþùèå ñâîåãî ðîäà áåñêîíå÷íûå ï÷åëèíûå ñîòû íà ïëîñêîñòè. Áîëåå òî÷íî, ðàññìîòðèì ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê, ó êîòîðîãî ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðîòèâîïîëîæíûìè ñòîðîíàìè 3 ðàâíî 0,99 . Çàìîñòèì âñþ ïëîñêîñòü êîïèÿìè ýòîãî 2 øåñòèóãîëüíèêà òàê, êàê ýòî èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå 9.

( )

( )

Ðèñ. 10

íà ðèñóíêå 10 ïðàâèëüíàÿ, è ìû èìååì îöåíêó χ 42 £ 7 . È ñíîâà èçó÷åííàÿ ïîêðàñêà êàæåòñÿ íå âïîëíå îïòèìàëüíîé. Äåéñòâèòåëüíî, äëÿ ýòîé ïîêðàñêè ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè îäíîãî öâåòà çàâåäîìî íå ïðèíàäëåæèò öåëîìó èíòåðâàëó (1; 1,3). Òóò, îäíàêî, âñå êóäà èíòåðåñíåå. Äåëî â òîì, ÷òî îöåíêó χ 42 £ 7 íèêòî Ðèñ. 11 óëó÷øàòü íå óìååò. È ýòî íåñìîòðÿ íà äåñÿòèëåòèÿ, ïðîøåäøèå ñ ìîìåíòà ïîñòàíîâêè çàäà÷è, íåñìîòðÿ íà òó îãðîìíóþ ïîïóëÿðíîñòü, êîòîðîé ïîëüçóåòñÿ ýòà çàäà÷à, íåñìîòðÿ, íàêîíåö, íà óñèëèÿ íåñêîëüêèõ ïîêîëåíèé ìàòåìàòèêîâ, áðàâøèõñÿ çà åå ðåøåíèå! ×èòàòåëü ñïðîñèò: «Íî ìîæåò, âñå íå òàê ñêâåðíî? Âîçìîæíî, íåðàâåíñòâî χ 42 ³ 4 , îáîñíîâàííîå íàìè â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, ñëèøêîì ñëàáîå è, óñëîæíÿÿ êîíñòðóêöèþ âåðåòåíà, íàì óäàñòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî χ 42 ³ 7 . Òîãäà ìû ïðîñòî óáåäèìñÿ â òîì, ÷òî õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ïëîñêîñòè åñòü â òî÷íîñòè 7, è íèêàêîé áåäû». Íî áåäà-òî êàê ðàç â òîì, ÷òî è îöåíêà χ 42 ³ 4 íà ïðîòÿæåíèè äåñÿòèëåòèé íå ïîääàåòñÿ óëó÷øåíèþ. Íå ïðàâäà ëè, óäèâèòåëüíî? Íàñòîëüêî ïðîñòà öåïî÷êà íåðàâåíñòâ

( )

( )

( )

( ) ( )

( )

4 £ χ 42 £ 7 , Ðèñ. 9

Íàêîíåö, ðàñêðàñèì ýòè øåñòèóãîëüíèêè â ñåìü öâåòîâ ïî ïðàâèëó, êîòîðîå ëåãêî ïîíÿòü, ãëÿäÿ íà ðèñóíîê 10. Ïðè ýòîì ìû ïî-ïðåæíåìó íå çàáîòèìñÿ î âûáîðå öâåòà äëÿ îáùèõ ñòîðîí è äàæå âåðøèí øåñòèóãîëüíèêîâ: òóò ìû äåéñòâóåì òàê, êàê íàì çàáëàãîðàññóäèòñÿ. Òåïåðü íåñëîæíûå âûêëàäêè ïîêàçûâàþò, ÷òî ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè âíóòðè îäíîãî è òîãî æå øåñòèóãîëüíèêà íå ïðåâîñõîäèò âåëè÷èíû 0,99 < 1, òîãäà êàê ðàññòîÿíèå ìåæäó áëèæàéøèìè îäíîöâåòíûìè òî÷êàìè èç ðàçíûõ øåñòèóãîëüíèêîâ íå áûâàåò ìåíüøå âåëè÷èíû 7 0,99 = 1,3 K > 1 (ðèñ.11). Òàêèì îáðàçîì, ïîêðàñêà 2

01-22.p65

15

è òàê ñëîæíî îïðåäåëèòü, ÷åìó æå âñå-òàêè ðàâíî õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî – ÷åòûðåì, ïÿòè, øåñòè èëè ñåìè. Ðàçóìååòñÿ, íåîæèäàííàÿ è äàæå çàãàäî÷íàÿ òðóäíîñòü íå ÿâëÿåòñÿ ïîâîäîì ê îòñòóïëåíèþ. Íàïðîòèâ, â ïîïûòêàõ ñïðàâèòüñÿ ñ ïðîáëåìîé ðîæäàþòñÿ íîâûå èäåè, âîçíèêàþò íîâûå ïîíÿòèÿ, ñòðîÿòñÿ íîâûå òåîðèè, è, â êîíå÷íîì ñ÷åòå, âîïðîñ, êàçàâøèéñÿ ïîíà÷àëó åäâà ëè íå ïðàçäíûì, ëîæèòñÿ â îñíîâó öåëîãî íàïðàâëåíèÿ â íàóêå. Íåóäà÷à, êîòîðóþ ìû ïîòåðïåëè, áóäó÷è ïîêà íå â ñèëàõ óòî÷íèòü ïðèâåäåííóþ öåïî÷êó íåðàâåíñòâ, – ýòî ëèøü íà÷àëî óâëåêàòåëüíîé èñòîðèè, è â äàëüíåéøèõ ðàçäåëàõ ìû ïîñòàðàåìñÿ ïîçíàêîìèòü ÷èòàòåëÿ õîòÿ áû ñ íåñêîëüêèìè åå àñïåêòàìè.

23.05.08, 14:22


$

ÊÂÀÍT 2008/¹3

Ïîêðàñêè ñïåöèàëüíîãî âèäà Ïîñòàíîâêà âîïðîñà

Äàâàéòå åùå ðàç ïåðåîñìûñëèì ïîíÿòèå ïîêðàñêè ïëîñêîñòè.  ñàìîì äåëå, ÷òî òàêîå ïîêðàñêà? Ïî ñóùåñòâó, ýòî ðàçáèåíèå ïëîñêîñòè íà íåñêîëüêî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ÷àñòåé. (Ïîäðàçóìåâàåòñÿ, ÷òî êàæäàÿ ÷àñòü ñîñòîèò èç òî÷åê îïðåäåëåííîãî öâåòà.) Ïèøóò îáû÷íî 4 2 = V1 U V2 U K U Vχ ,

èìåÿ â âèäó, ÷òî ïëîñêîñòü ïðåäñòàâëåíà â âèäå îáúåäèíåíèÿ íåêîòîðûõ ìíîæåñòâ V1,V2 ,K,Vχ . Æåëàÿ ïîä÷åðêíóòü, ÷òî êàæäîå èç ýòèõ ìíîæåñòâ èìååò ñâîé îñîáûé öâåò, ò.å. ÷òî ýòè ìíîæåñòâà íå ïåðåñåêàþòñÿ, èñïîëüçóþò òàêæå çíà÷îê òàê íàçûâàåìîãî äèçúþíêòíîãî îáúåäèíåíèÿ: 2

4 = V1 CV2 CKC Vχ .

Ïðè ýòîì ñàìè ìíîæåñòâà (èëè, êàê ìû ãîâîðèëè äî ñèõ ïîð, öâåòà) ìîãóò áûòü óñòðîåíû, â ïðèíöèïå, ñêîëü óãîäíî ñëîæíî. Äîñòàòî÷íî âñïîìíèòü ïðèìåð èç ïåðâîãî ðàçäåëà.  òî æå âðåìÿ, â óæå èçó÷åííûõ íàìè ïîêðàñêàõ öâåòà áûëè âïîëíå îñÿçàåìûìè. Òàê, êàæäûé öâåò â äåâÿòèöâåòíîé ðàñêðàñêå ñêëàäûâàëñÿ èç áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ïîïàðíî íåï��ðåñåêàþùèõñÿ êâàäðàòîâ (ñì. ðèñ.8), à âñÿêîå ìíîæåñòâî â ðàçáèåíèè ïëîñêîñòè íà ñåìü ÷àñòåé ñîñòîÿëî èç ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ øåñòèóãîëüíèêîâ (ñì. ðèñ.10). Ñëåäóåò ëèøü îòìåòèòü, ÷òî â îáîèõ ñëó÷àÿõ íåêîòîðûå ôèãóðêè, ñ ïîìîùüþ êîòîðûõ ìû êðàñèì ïëîñêîñòü, íå ÿâëÿþòñÿ «çàìêíóòûìè». Èíûìè ñëîâàìè, ìû, âîîáùå ãîâîðÿ, íå ïðåäïîëàãàåì, ÷òî ãðàíèöà òîãî èëè èíîãî êâàäðàòà (øåñòèóãîëüíèêà) öåëèêîì åìó ïðèíàäëåæèò. Íàïðèìåð, ìíîæåñòâà

{x = ( x1, x2 ) : 0 £ x1 £ 1, 0 £ x2 £ 1} , {x = ( x1, x2 ) : 0 < x1 < 1, 0 < x2 < 1}

íå ñîâïàäàþò (ïåðâîå ñîäåðæèò òî÷êó õ = (0, 1), âòîðîå – íåò), íî îáà îíè äëÿ íàñ ñóòü êâàäðàòû. Òàêàÿ «íåðàçáîð÷èâîñòü» ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî ðàñêðàñêè óïîìÿíóòûõ âûøå ãðàíèö ìû âñåãäà îñóùåñòâëÿëè ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì. Âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ. Äîïóñòèì, îòíûíå ìû íàêëàäûâàåì íåêîòîðûå ñïåöèàëüíûå îãðàíè÷åíèÿ íà âèä ìíîæåñòâ V1,K,Vχ , êîòîðûå ðàçðåøàåòñÿ èñïîëüçîâàòü ïðè ïîêðàñêå ïëîñêîñòè. Êàêèì òîãäà áóäåò ìèíèìàëüíîå χ ? Ðàññìîòðèì ðÿä êîíêðåòíûõ ïðèìåðîâ.

Ðèñ. 12

( )

Ìû óæå çíàåì, ÷òî χ κ 42 £ 9 . Îêàçûâàåòñÿ, ýòî äàëåêî íå ñàìàÿ òî÷íàÿ îöåíêà. Âî-ïåðâûõ, – ýòî âåñüìà ëþáîïûòíî, – îöåíêà χ κ 42 £ 8 ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà äàæå çà ñ÷åò ïîêðàñêè, àíàëîãè÷íîé ïîêðàñêå íà ðèñóíêå 8. Íà ðèñóíêå 13

( )

Ðèñ. 13

ïîêàçàíî, êàê ñëåäîâàëî «íà ñàìîì äåëå» ïðèñâàèâàòü öâåòà êëåòêàì. Çäåñü êëåòêè èìåþò äèàãîíàëè äëèíû 1, è íåáîëüøàÿ òîíêîñòü ñîñòîèò â òîì, ÷òî ìû óæå íå ìîæåì ïðîèçâîëüíî ïðèñâàèâàòü öâåòà âåðøèíàì ýòèõ êëåòîê. Âïðî÷åì, êàê èìåííî ðåøàåòñÿ äàííàÿ ïðîáëåìà, ÷èòàòåëü áåç òðóäà äîãàäàåòñÿ è ñàì. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ÷óòü ìåíåå ðåãóëÿðíàÿ ïîêðàñêà, íàïîìèíàþùàÿ êèðïè÷íóþ êëàäêó, äàåò îöåíêó

Ïîêðàñêà êâàäðàòàìè

Ïóñòü öâåòàì ïîçâîëåíî ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé èñêëþ÷èòåëüíî îáúåäèíåíèÿ ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ êâàäðàòîâ (âîçìîæíî, ëèøåííûõ ÷àñòè ñâîåé ãðàíèöû). Íà ðèñóíêå 12 ïðèâåäåíû öâåòà òàêîãî òèïà. Îáîçíà÷èì ÷åðåç χ κ 4 2 ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ïîäîáíûõ öâåòîâ â ïðàâèëüíîé ïîêðàñêå ïëîñêîñòè. Èíäåêñ « κ » óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ïîêðàñêó ìû îñóùåñòâëÿåì ïîñðåäñòâîì êâàäðàòîâ.

( )

01-22.p65

16

Ðèñ. 14

( ) 2

χ κ 4 £ 7 . Îíà èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 14. Çäåñü òàêæå êàæäûé «êèðïè÷èê» èìååò äèàãîíàëü äëèíû 1, è íàäî àêêóðàòíî ðàñêðàøèâàòü ãðàíèöû êèðïè÷èêîâ. Ïîñêîëüêó, î÷åâèäíî, χ 42 £ χ κ 42 è ìû ïîìíèì î

( )

( )

( )

òîì, ÷òî îöåíêà χ 42 £ 7 – ëó÷øàÿ èç èçâåñòíûõ,

( )

ÿñíî, ÷òî è íåðàâåíñòâî χ κ 4 2 £ 7 , îáóñëîâëåííîå ðèñóíêîì 14, óòî÷íåíèþ íå ïîääàåòñÿ. Èíîå äåëî,

23.05.08, 14:22


ÕÐÎÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ

( )

âïîëíå ìîæåò ñòàòüñÿ, ÷òî χ κ 42 ³ 7 è ÷òî äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà êóäà ïðîùå, íåæåëè îáîñíîâàíèå ïîäîáíîãî óòâåðæäåíèÿ äëÿ îáû÷íîãî õðîìàòè÷åñêîãî ÷èñëà. Âäðóã è âïðÿìü χ κ 4 2 = 7 ?  ñëåäóþùåì ðàçäåëå ìû îáñóäèì, â ÷àñòíîñòè, ýòîò âîïðîñ.

( )

%

×ÈÑËÀ

êíèãå [4]. Ìû æå ïðèâåäåì ïðèìåð æîðäàíîâîé îáëàñòè íà ðèñóíêå 16.  ñâÿçè ñ îïèñàííûìè ðåçóëüòàòàìè âîçíèêàåò ðÿä èíòåðåñíûõ èññëåäîâàòåëüñêèõ çàäà÷, êîòîðûå ÷èòàòåëü ìîã áû ïîïûòàòüñÿ ðåøèòü.

Ïîêðàñêà ìíîãîóãîëüíèêàìè

Êâàäðàò – ôèãóðà çàìå÷àòåëüíàÿ, íî áûâàþò âåäü è äðóãèå, áîëåå ñëîæíûå ôèãóðû íà ïëîñêîñòè. Ïðåäïîëîæèì òåïåðü, ÷òî ìíîæåñòâàì V1,K,Vχ , êîòîðûå áóäóò îòâå÷àòü çà (ïðàâèëüíóþ) ïîêðàñêó 4 2 , ðàçðåøåíî ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé îáúåäèíåíèÿ ïðîèçâîëüíûõ ïîïàðíî íåïåðåñåêàþùèõñÿ ìíîãîóãîëüíèêîâ (âîçìîæíî, ëèøåííûõ ÷àñòè ñâîåé ãðàíèöû). Çäåñü ìû äàæå íå òðåáóåì îò ìíîãîóãîëüíèêîâ âûïóêëîñòè. Èíûìè ñëîâàìè, öâåò îòíûíå èìååò ïðàâî áûòü óñòðîåííûì âåñüìà è âåñüìà íåòðèâèàëüíî (ðèñ.15). Çàìåòèì, âïðî÷åì, Ðèñ. 16

Çàäà÷à 1. Óïðîñòèâ ðàññóæäåíèå Âóäàëëà, äîêàæèòå íåðàâåíñòâà χì 42 ³ 6 . Çàäà÷à 2. Äîêàæèòå, ÷òî χ κ 4 2 = 7 . Çàäà÷à 3. Ñ÷èòàÿ, ÷òî ìíîãîóãîëüíèêè, îáðàçóþùèå òîò èëè èíîé öâåò â ïîêðàñêå, íåïðåìåííî âûïóêëûå, íàéäèòå ñîîòâåòñòâóþùåå õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî χ¢ì 42 . Çàäà÷à 3, ïî âñåé âèäèìîñòè, îñîáåííî òðóäíà, òàê êàê íè÷òî íå ìåøàåò âåëè÷èíå, êîòîðàÿ â íåé ôèãóðèðóåò, îêàçàòüñÿ ðàâíîé øåñòè. Íî òîãäà ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è àâòîìàòè÷åñêè äàñò ñóùåñòâåííîå ïðîäâèæåíèå â ðàìêàõ êëàññè÷åñêîé ïðîáëåìû Íåëñîíà. Çàäà÷à 2 – ýòî, ñêîðåå, ãèïîòåçà, âåäü, ïî èäåå, è êâàäðàòîâ âïîëíå ìîãëî õâàòèòü äëÿ ïðàâèëüíîé ïîêðàñêè ïëîñêîñòè â øåñòü öâåòîâ. Çàäà÷à 1 – ýòî ñâîåãî ðîäà óïðàæíåíèå. Îäíàêî è îíà ïðåäñòàâëÿåò íàó÷íûé èíòåðåñ. Âûâîä èç âñåãî ñêàçàííîãî â ýòîì ðàçäåëå îäèí: åñëè âäðóã îáû÷íîå õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ïëîñêîñòè ðàâíî ÷åòûðåì èëè ïÿòè, òî äàæå ïðåäñòàâèòü ñåáå òðóäíî, êàê äîëæíû âûãëÿäåòü öâåòà â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðàâèëüíûõ ïîêðàñêàõ.

( )

Ðèñ. 15

÷òî ïðèìåð ïîêðàñêè èç ïåðâîãî ðàçäåëà ïî-ïðåæíåìó ñòîèò îñîáíÿêîì: öâåòà â ýòîì ïðèìåðå èç ìíîãîóãîëüíèêîâ íå ñêëàäûâàþòñÿ. Îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâóþùåå õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî 2 2 ÷åðåç χì 4 . Ïîíÿòíî, ÷òî χì 4 £ 7 . ßñíî òàêæå, ÷òî óëó÷øàòü ïîñëåäíþþ îöåíêó ìû íå óìååì. Çíà÷èò, îáñóæäàòü ìû ìîæåì òîëüêî íåðàâåíñòâà âèäà χì 42 ³ K Äåéñòâèòåëüíî, òðåõ öâåòîâ íå õâàòèò, êîëü ñêîðî ìû âîâñå íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íà ýòè öâåòà íå íàêëàäûâàåì. À âåðíî ëè, íàïðèìåð, ÷òî ïðè ïîêðàñêå ïëîñêîñòè ìíîãîóãîëüíèêàìè è ÷åòûðåõ öâåòîâ ìàëî? Ïîëîæèòåëüíûé îòâåò íà ýòîò âîïðîñ äàë â 2 1973 ãîäó Ä.Âóäàëë. Îí ïîêàçàë, ÷òî χì 4 ³ 6 . Ðåçóëüòàò Âóäàëëà îçíà÷àåò, ÷òî íå òîëüêî ÷åòûðåõ «ìíîãîóãîëüíûõ» öâåòîâ íå äîñòàòî÷íî, íî è íà ïÿòü ÷àñòåé, ñîáðàííûõ èç ìíîãîóãîëüíèêîâ, ïëîñêîñòü ïðàâèëüíûì îáðàçîì ðàçáèòü íåëüçÿ. Íà ñåìü – ìîæíî, à íà ïÿòü – íåëüçÿ. Ïî ñåé äåíü îñòàåòñÿ îòêðûòûì âîïðîñ: ÷òî æå âñå-òàêè ïðàâèëüíî – ðàâåíñòâî χì 4 2 = 6 èëè ðàâåíñòâî χì 42 = 7 ? Ðåçóëüòàò Âóäàëëà äîêàçûâàåòñÿ äîâîëüíî ñëîæíî, õîòÿ è ïî÷òè ýëåìåíòàðíî. Áóäó÷è, â ïðèíöèïå, äîñòóïåí ïîíèìàíèþ øêîëüíèêà, îí, òåì íå ìåíåå, âûõîäèò çà ðàìêè äàííîé ñòàòüè. Äðóãîå äåëî, ÷òî çàèíòåðåñîâàííûé ÷èòàòåëü âïîëíå ìîæåò ïîïðîáîâàòü ñàìîñòîÿòåëüíî ðàçîáðàòüñÿ â äîêàçàòåëüñòâå. Òóò åñòü åùå îäíà òîíêîñòü.  äåéñòâèòåëüíîñòè, Âóäàëë äîêàçàë äàæå áîëüøå, íåæåëè ìû îáåùàëè. À èìåííî, îí áðàë â êà÷åñòâå «êèðïè÷åé» äëÿ ïîñòðîåíèÿ öâåòà íå ìíîãîóãîëüíèêè, íî áîëåå îáùèå îáúåêòû, íàçûâàåìûå æîðäàíîâûìè îáëàñòÿìè. Ñòðîãîå îïðåäåëåíèå óïîìÿíóòûõ îáúåêòîâ ìîæíî íàéòè â

( )

( )

( )

( )

( )

01-22.p65

( )

17

( )

( )

Âîêðóã ìîçåðîâñêîãî âåðåòåíà Ïðåäâàðèòåëüíàÿ äèñêóññèÿ

Êàê ìû îòìåòèëè â êîíöå ïðåäûäóùåãî ðàçäåëà, ðåçóëüòàòû Âóäàëëà îñòàâëÿþò ìàëî íàäåæä íà òî, ÷òî êîìó-ëèáî óäàñòñÿ ÿâíî óêàçàòü ïðàâèëüíóþ ðàñêðàñêó ïëîñêîñòè â ÷åòûðå èëè ïÿòü öâåòîâ. Åñëè âåðíî, ÷òî χ 42 £ 5 , òî äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ôàêòà ïîòðåáóþòñÿ «óæàñíûå» öâåòà – óæàñíûå â òîì ñìûñëå, ÷òî èçîáðàçèòü èõ (äàæå ñõåìàòè÷íî) íà êàðòèíêå, ñêîðåå âñåãî, íåâîçìîæíî.  òî æå âðåìÿ îöåíêà χ 42 ³ 4 ñëåäîâàëà èç ðàññìîòðåíèÿ êðàéíå ïðîñòîé êîíñòðóêöèè – ìîçåðîâñêîãî âåðåòåíà. È ïðîáëåìà â òîì, ÷òî íèêàêèå ïîïûòêè óñëîæíèòü ýòó êîíñòðóêöèþ (äàæå ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà) ê óñïåõó íå ïðèâåëè. Íåóæåëè âåðåòåíî ñòîëü óíèêàëüíî? Ðàçâå íå ñóùåñòâóåò ïðèíöèïèàëüíî èíûõ êîíôèãóðàöèé íà ïëîñêîñòè, ñâèäåòåëüñòâóþùèõ î

( )

( )

23.05.08, 14:22


&

ÊÂÀÍT 2008/¹3

( )

òîì, ÷òî χ 42 ³ 4 ? Ìîæåò áûòü, èññëåäîâàíèå ýòèõ âîïðîñîâ äàñò íàì áîëåå ãëóáîêîå ïîíèìàíèå ñóòè ïðîáëåìû? ×òî æ, ïðèñòóïèì. Äëÿ äàëüíåéøåãî áóäåò óäîáíî ââåñòè íåñêîëüêî íîâûõ ïîíÿòèé. Íàçîâåì äèñòàíöèîííûì ãðàôîì, èëè ãðàôîì (åäèíè÷íûõ) ðàññòîÿíèé íà ïëîñêîñòè, ëþáóþ êîíôèãóðàöèþ, ñîñòîÿùóþ èç òî÷åê è ñîåäèíÿþùèõ èõ îòðåçêîâ äëèíû 1. Òî÷êè íàçîâåì âåðøèíàìè äèñòàíöèîííîãî ãðàôà, à îòðåçêè – åãî ðåáðàìè. Íàïðèìåð, ìîçåðîâñêîå âåðåòåíî – ýòî ãðàô ðàññòîÿíèé, ó êîòîðîãî ñåìü âåðøèí è îäèííàäöàòü ðåáåð. Òóò ñðàçó âîçíèêàåò ìàëåíüêèé âîïðîñ. Äîïóñòèì, ìû ïîñòàâèëè íà ïëîñêîñòè íåñêîëüêî òî÷åê è õîòèì ðàññìîòðåòü äèñòàíöèîííûé ãðàô ñ âåðøèíàìè â íèõ. Äîëæíû ëè ìû ïðîâåñòè âñå îòðåçêè äëèíû 1 ìåæäó ïàðàìè òàêèõ âåðøèí èëè ìîæåì, ïî ñâîåìó ïðîèçâîëó, îãðàíè÷èòüñÿ âûáîðîì ëèøü íåêîòîðûõ èç ýòèõ îòðåçêîâ íà ðîëü ðåáåð èñêîìîãî ãðàôà? Ñêàæåì, âûêèíåì èç âåðåòåíà ïàðó ðåáåð (ðèñ.17). Ñëåäóåò ëè íàçûâàòü ïîëó÷åííóþ êîíñòðóêöèþ ãðàôîì ðàññòîÿíèé? ×àñòî íà ïîÐèñ. 17 ñòàâëåííûé âîïðîñ äàþò îòðèöàòåëüíûé îòâåò. Îäíàêî äëÿ íàøèõ öåëåé áóäåò óäîáíåå, íàïðîòèâ, îòâåòèòü íà ýòîò âîïðîñ ïîëîæèòåëüíî. Äåëî â òîì, ÷òî òàê íàì áóäåò íåìíîãî ïðîùå ðàáîòàòü, à ñóòü îò ýòîãî íå ïîñòðàäàåò. Òàêèì îáðàçîì, äàæå ãðàô, èìåþùèé n âåðøèí è íå èìåþùèé íè îäíîãî ðåáðà, ìû áóäåì îòíûíå íàçûâàòü äèñòàíöèîííûì. Çàìåòèì åùå, ÷òî â äèñòàíöèîííîì ãðàôå âåðøèíû ìîãóò ðàñïîëàãàòüñÿ ïðÿìî íà ðåáðàõ. Ñêàæåì, ó ãðàôà èç ëåâîé ÷àñòè ðèñóíêà 18 òðè âåðøèíû è äâà ðåáðà, à

( )

χ 42 ³ χ (G ) , ñïðàâåäëèâàÿ äëÿ ëþáîãî äèñòàíöèîííîãî ãðàôà. Áîëåå òîãî, – ýòî óæå êóäà ëþáîïûòíåå, – âåðíî è «îáðàòíîå» óòâåðæäåíèå: ñóùåñòâóåò ãðàô G íà ïëîñêîñòè, ó êîòîðîãî

( )

χ (G ) = χ 42 . Ýòî óòÐèñ. 19 âåðæäåíèå îòíþäü íå ýëåìåíòàðíî. Îíî âûòåêàåò èç îäíîé òåîðåìû Ï.Ýðäåøà è Í. äå Áð¸éíà 1951 ãîäà, è åãî äîêàçàòåëüñòâî âûõîäèò äàëåêî çà ðàìêè äàííîé ñòàòüè. Êîðî÷å ãîâîðÿ, íåò ñîìíåíèé, ÷òî ñâîéñòâà ãðàôîâ ðàññòîÿíèé êðàéíå âàæíû è èíòåðåñíû. Îäíèì èç ýòèõ ñâîéñòâ ìû ñåé÷àñ è çàéìåìñÿ. Ïîìíèòå, ìû íåñêîëüêî ðàç ïîä÷åðêíóëè, ÷òî òðåóãîëüíèê – î÷åíü ïîëåçíàÿ ôèãóðà ñ òî÷êè çðåíèÿ îáîñíîâàíèÿ íåðàâåíñòâ χ 42 ³ 3 è χ 42 ³ 4 ? Îíî è íå óäèâèòåëüíî. Åñëè ðàññìîòðåòü òðåóãîëüíèê êàê äèñòàíöèîííûé ãðàô, òî óæå åãî õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ðàâíî òðåì. «Íàêðóòèëè» ìû âåðåòåíî èç òàêèõ òðåóãîëüíèêîâ, è ïîëó÷èëñÿ íîâûé ãðàô ñ ÷óòü áîëüøèì õðîìàòè÷åñêèì ÷èñëîì. Âîò ðàçâå ÷òî äàëüøå íàêðóòêà «íå ïîøëà». Îäíàêî Ýðäåø îêàçàëñÿ ïåðâûì, êòî óñîìíèëñÿ â íåîáõîäèìîñòè èñïîëüçî��àíèÿ òðåóãîëüíèêîâ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ãðà-

( )

( )

Ðèñ. 18

ó ãðàôà èç ïðàâîé ÷àñòè òîãî æå ðèñóíêà òðè âåðøèíû è îäíî ðåáðî. Ãðàôû áóäåì îáîçíà÷àòü çàïèñÿìè òèïà G = (V, E), æåëàÿ ïîä÷åðêíóòü, ÷òî ó äàííîãî ãðàôà G ìíîæåñòâî âåðøèí – ýòî V, à ìíîæåñòâî ðåáåð – Å. Çàìåòèì, ÷òî ìíîæåñòâî V ìîãëî áû áûòü è áåñêîíå÷íûì, íî ýòî íåìíîãî íåïðèâû÷íî, è ìû òàêóþ ñèòóàöèþ ðàññìàòðèâàòü íå ñòàíåì. Íàçîâåì, äàëåå, õðîìàòè÷åñêèì ÷èñëîì ãðàôà G ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî öâåòîâ, â êîòîðûå ìîæíî òàê ïîêðàñèòü åãî âåðøèíû, ÷òîáû ëþáûå äâå âåðøèíû, ñîåäèíåííûå ðåáðîì, áûëè ðàçíîöâåòíûìè. Îáîçíà÷èì ÷åðåç χ (G ) óêàçàííîå õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî íîâûé îáúåêò – ýòî çàâóàëèðîâàííûé ñòàðûé. Ñêàæåì, òîò ôàêò, ÷òî ïëîñêîñòü íåëüçÿ ïðàâèëüíûì îáðàçîì ïîêðàñèòü â òðè öâåòà, êàê ðàç èç òîãî è ñëåäîâàë, ÷òî õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî âåðåòåíà ðàâíî ÷åòûðåì. À îòñóòñòâèå êîíñòðóêöèè, ëó÷øåé âåðåòåíà, â íûíåøíèõ òåðìèíàõ îçíà÷àåò, ÷òî ìû äî ñèõ ïîð íå ñìîãëè íàéòè ãðàôà ðàññòîÿíèé G ñ χ (G ) ³ 5 . Èíûìè ñëîâàìè, î÷åâèäíîé ÿâëÿåòñÿ îöåíêà

01-22.p65

18

Ðèñ. 20

23.05.08, 14:22


ÕÐÎÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ

ôîâ ñ õðîìàòè÷åñêèì ÷èñëîì 4, ò.å. ãðàôîâ, êîòîðûå, ïîäîáíî âåðåòåíó, ñâèäåòåëüñòâóþò î òîì, ÷òî χ 42 ³ 4 .  1976 ãîäó îí ïðåäïîëîæèë, ÷òî íà ïëîñêîñòè åñòü ãðàôû ðàññòîÿíèé G, íå ñîäåðæàùèå íè îäíîãî òðåóãîëüíèêà è, íåñìîòðÿ íà ýòî, èìåþùèå χ (G) = 4. 2 Íå ïðàâäà ëè, äîâîëüíî íåîæèäàííàÿ ãèïîòåçà? Åñëè îíà âåðíà, òî âåðåòåíî âîâñå íå óíèêàëüíî, è îòêðûâàþòñÿ öåëûå ãîðèçîíòû äëÿ èññëåäîâàíèÿ äèñòàíöèîííûõ ãðàôîâ! Óæå â 1979 ãîäó ãèïîòåçà áûëà äîêàçàíà. Í.Óîðìàëä ïîñòðîèë ãðàô ðàññòîÿíèé, îáëàäàþùèé íåîáõîäèìûìè ñâîéñòâàìè. Ïðàâäà, ãðàô åãî èìåë… 6448 âåðøèí. Íàêîíåö, â 1996 ãîäó Ï.ΒÄîííåëë è Ð.Õîõáåðã ïðåäúÿâèëè àíàëîãè÷íûé ãðàô âñåãî ëèøü íà äâàäöàòè òðåõ âåðøèíàõ. Äîêàçàòåëüñòâó ýòîãî çàìå÷àòåëüíîãî ðåçóëüòàòà ìû è ïîñâÿòèì ñëåäóþùèé ïóíêò. Äàëåå ìû îáñóäèì ðàçëè÷íûå óòî÷íåíèÿ êîíñòðóêöèè ΒÄîííåëëà – Õîõáåðãà, à òàêæå ïðèâåäåì ðÿä äðóãèõ íå ìåíåå êðàñèâûõ ôàêòîâ.

( )

Êîíñòðóêöèÿ ΒÄîííåëëà–Õîõáåðãà

Ðàçìåñòèì íà ïëîñêîñòè êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 1 è âåðøèíàìè õ, ó, z, w, ïîëàãàÿ õ = (0, 1), ó = (1, 1), 2 Ðàçóìååòñÿ, ãðàô íà ðèñóíêå 19 òðåóãîëüíèêîâ òîæå íå ñîäåðæèò, âåäü íàñ èíòåðåñóþò ëèøü ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè ñî ñòîðîíàìè äëèíû 1 (ñì. òàêæå ðèñ.18 è êîììåíòàðèé ê íåìó).

×ÈÑËÀ

z = (1, 0), w = (0, 0), è ïîñòàâèì â öåíòðå êâàäðàòà æ 1 1ö òî÷êó u 5 = ç , ÷ (ðèñ.20,à). Ïóñòü u 4 – ýòî òî÷êà, è 2 2ø êîòîðàÿ îòñòîèò íà ðàññòîÿíèå 1 è îò u5 , è îò ó. Ïîñêîëüêó y - u5 < 2 , òàêàÿ òî÷êà íàéäåòñÿ, è âûáðàòü åå ìîæíî ðîâíî äâóìÿ ñïîñîáàìè. Ìû îñóùåñòâèì âûáîð òàê, êàê ýòî ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 20,á. Ðàññìîòðèì òåïåðü òàêóþ òî÷êó u1 , ÷òî îäíîâðåìåííî u 5 - u1 = 1 è w - u1 = 1 . Îïÿòü-òàêè, ýòà òî÷êà íå åäèíñòâåííà, íî ìû ïîñòóïèì ñîãëàñíî ðèñóíêó 20,â. Äàëåå, âîçüìåì u 3 , ñîåäèíåííóþ åäèíè÷íûì îòðåçêîì êàê ñ w, òàê è ñ u 4 (ðèñ.20,ã). Ðóòèííóþ ïðîâåðêó òîãî, ÷òî w - u 4 < 2 , ìû îñòàâëÿåì ÷èòàòåëþ. Ïîñòàâèì, íàêîíåö, òî÷êó u2 â ñîîòâåòñòâèè ñ ðèñóíêîì 20,ä. Çàìåòèì, ÷òî u2 - y = 1 , ïîñêîëüêó ÷åòûðåõóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè u2 , u 3 , u 4 , ó – ïàðàëëåëîãðàìì.  ðåçóëüòàòå èìååì ãðàô ðàññòîÿíèé G1 ñ äåâÿòüþ âåðøèíàìè è òðèíàäöàòüþ ðåáðàìè (ðèñ.20,å). Î÷åâèäíî, â G1 íåò òðåóãîëüíèêîâ. Äîáàâèì ê óæå èìåþùåéñÿ êîíñòðóêöèè åùå ïÿòü òî÷åê, êîòîðûå íàçîâåì v1 , v 2 , v 3 , v 4 , v 5 . Ñïåðâà íàìåðåííî ñäåëàåì ýòî ÷óòü-÷óòü íåâåðíî, íî çàòåì ïîÿñíèì, êàê èñïðàâèòü ñèòóàöèþ. Èòàê, ïóñòü v5 – ýòî òî÷êà, ëåæàùàÿ íà îòðåçêå u5 w è îòñòîÿùàÿ îò ó íà ðàññòîÿíèå 1 (ðèñ.21,à). Ïî v5 è u5 íàéäåì v 4 , èñõîäÿ èç óñëîâèÿ u 5 - v 4 = v 5 - v 4 = = 1 è ðèñóíêà 21,á. Àíàëîãè÷íî, ïî w è v 4 âîññòàíî-

Ðèñ. 21

01-22.p65

19

'

23.05.08, 14:22




ÊÂÀÍT 2008/¹3

âèì v 3 (ðèñ.21, â), ïî v 3 è u5 âîñïðîèçâåäåì v 2 (ðèñ.21,ã), à ïî v2 è w âîññîçäàäèì v1 (ðèñ.21,ä). Äëèíà îòðåçêà v1v 5 ðàâíà 0,98… Ýòî ïî÷òè åäèíèöà, è âñå-òàêè ðåáðà v1v 5 íè â êàêîì äèñòàíöèîííîì ãðàôå íà èìåþùåìñÿ ìíîæåñòâå âåðøèí íåò. Òåì íå ìåíåå, âåðíî ñëåäóþùåå. Ìîæíî òàê «ïîøåâåëèòü» òî÷êó v 5 , ñîõðàíÿÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó íåé è òî÷êîé ó ðàâíûì åäèíèöå, ÷òîáû â ðåçóëüòàòå ïîñòðîåíèé, àíàëîãè÷íûõ ïðîäåëàííûì âûøå (ñì. ðèñ.21), âîçíèê ãðàô ðàññòîÿíèé G2 íà ðèñóíêå 22, ó êîòîðîãî ñ ðåáðîì v1v 5 âñå

Ðèñ. 22

â ïîðÿäêå. Ðàñ÷åòû ïîêàçûâàþò, ÷òî «ïðàâèëüíûå» êîîðäèíàòû òî÷êè v 5 ñóòü (0,3…, 0,285…). Îáîñíîâàíèå ïîñòóëèðîâàííîãî íàìè ôàêòà, à òàêæå âñå ñîïóòñòâóþùèå âû÷èñëåíèÿ ìû îñòàâëÿåì çà ðàìêàìè äàííîé ñòàòüè. Îíè íîñÿò ñêîðåå òåõíè÷åñêèé õàðàêòåð (âåäü êîîðäèíàòû âñåõ òî÷åê íàõîäÿòñÿ ïðè íåîáõîäèìîñòè ñ ëþáîé íàïåðåä çàäàííîé òî÷íîñòüþ), è äëÿ îñîçíàíèÿ ñìûñëà êîíñòðóêöèè âïîëíå äîñòàòî÷íî íàãëÿäíîñòè ïîñëåäíåãî ðèñóíêà. Âèäíî, â ÷àñòíîñòè, ÷òî ãðàô G2 èìååò ÷åòûðíàäöàòü âåðøèí, äâàäöàòü òðè ðåáðà è íå ñîäåðæèò òðåóãîëüíèêîâ. Ïîâåðíåì âñþ êîíñòðóêöèþ G2 íà 90 ãðàäóñîâ âîêðóã öåíòðà êâàäðàòà. Ïîëó÷èòñÿ ãðàô G¢2 . Îáúå-

×òî æå äàëüøå?

Íà ñàìîì äåëå, ñ ðåçóëüòàòà ΒÄîííåëà è Õîõáåðãà âñå òîëüêî íà÷èíàåòñÿ. Âî-ïåðâûõ, ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî, äîêàçûâàÿ ýòîò ðåçóëüòàò, ìû îáðàùàëè âíèìàíèå ëèøü íà òå åäèíè÷íûå îòðåçêè, êîòîðûå íàì áûëè íóæíû äëÿ îáîñíîâàíèÿ íåðàâåíñòâà χ (G ) ³ 4 . Èç íèõ òðåóãîëüíèêè íå ñêëàäûâàëèñü, íó è ñëàâíî. Âîîáùåòî, íà äâàäöàòè òðåõ âåðøèíàõ âïîëíå ìîãëè âîçíèêíóòü è äðóãèå ðåáðà, òàê ÷òî åñëè áû ìû ïîïûòàëèñü ðàññìîòðåòü èõ âñå, òî õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî îò ýòîãî ìåíüøå, êîíå÷íî, íå ñòàëî áû, à âîò òðåóãîëüíèêè-òî, ÷åãî äîáðîãî, ìîãëè ïîÿâèòüñÿ. Èìåííî èç íåæåëàíèÿ âîçèòüñÿ ñ (âîçìîæíûìè) ëèøíèìè ðåáðàìè ìû ñäåëàëè ñîîòâåòñòâóþùåå äîïóùåíèå îòíîñèòåëüíî îïðåäåëåíèÿ äèñòàíöèîííîãî ãðàôà.  äåéñòâèòåëüíîñòè ðåçóëüòàò ïðåäûäóùåãî ïóíêòà îñòàåòñÿ ñïðàâåäëèâûì è áåç ýòîãî äîïóùåíèÿ. Ïðîñòî äîêàçàòåëüñòâî ñòàíîâèòñÿ òåõíè÷åñêè ÷óòü áîëåå òðóäíûì. Çàèíòåðåñîâàííûé

Ðèñ. 23

01-22.p65

äèíÿÿ ãðàôû G2 è G¢2 (áåç äîáàâëåíèÿ íîâûõ ðåáåð), îáðàçóåì, íàêîíåö, ãðàô G3 ñ äâàäöàòüþ òðåìÿ âåðøèíàìè è ñîðîêà äâóìÿ ðåáðàìè. (Çäåñü 23 = 14 + + 14 – 5, ïîñêîëüêó âåðøèíû êâàäðàòà è åãî öåíòð ïðè ïîâîðîòå îñòàþòñÿ íà ìåñòå; àíàëîãè÷íî, 42 = = 23 + 23 – 4, ãäå 4 – ÷èñëî ðåáåð êâàäðàòà.) Ñêó÷íàÿ ïðîâåðêà ïîêàçûâàåò, ÷òî G3 âûãëÿäèò èìåííî òàê, êàê îí èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 23. Òðåóãîëüíèêîâ â íåì òîæå íåò. Íå ïðàâäà ëè, êóäà íàâîðî÷åííåå âåðåòåíà? ×òî æ, òàêîâà ïëàòà çà îòñóòñòâèå òðåóãîëüíèêîâ. Ïîêàæåì òåïåðü, ÷òî χ (G3 ) ³ 4 .  ñàìîì äåëå, ïóñòü âåðøèíû ãðàôà G3 ïîêðàøåíû â òðè öâåòà ïðàâèëüíî (âåðøèíû, ñîåäèíåííûå ðåáðîì, ðàçíîöâåòíû). Íàçîâåì öâåòà êðàñíûì, æåëòûì è çåëåíûì. ßñíî òîãäà, ÷òî ëèáî òî÷êè ó, w îäíîãî öâåòà, ëèáî òàêîâû òî÷êè õ, z. Ðàññìîòðèì ïåðâûé ñëó÷àé. Ìû èìååì ïðàâî ñ÷èòàòü, ÷òî ó è w, íàïðèìåð, êðàñíûå. Ïðåäïîëîæèì, u5 , íàïðîòèâ, íå ÿâëÿåòñÿ êðàñíîé – ñêàæåì, îíà æåëòàÿ. Òîãäà íåïðåìåííî u1 çåëåíàÿ (çà ñ÷åò ðåáåð wu1 , u5 u1 ), u2 æåëòàÿ (ðåáðà u1u2 è yu2 ), u 3 çåëåíàÿ (ðåáðà u 2 u 3 è wu 3 ) è u 4 æåëòàÿ (ñì. ðèñ.20,å). Çíà÷èò, ïî òåì æå ïðè÷èíàì u5 çåëåíàÿ, è âîçíèêàåò ïðîòèâîðå÷èå. Èòàê, âåðøèíû ó, u5 , w êðàñíûå. Ïîñìîòðèì íà ïÿòèóãîëüíèê v1v 2 v 3 v 4 v 5 . Âåðøèíà v1 ñîåäèíåíà ðåáðîì ñ w, è, ñòàëî áûòü, îíà íå êðàñíàÿ. Ìåæäó âåðøèíàìè v2 è u5 òàêæå ïðîõîäèò ðåáðî, è ýòî íå ïîçâîëÿåò v 2 èìåòü êðàñíûé öâåò. Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî è òðè îñòàâøèåñÿ âåðøèíû ïÿòèóãîëüíèêà îáÿçàíû áûòü æåëòûìè èëè çåëåíûìè. Ñëåäîâàòåëüíî, ïÿòèóãîëüíèê ïîêðàøåí â äâà öâåòà. Íî ýòî, î÷åâèäíî, íåâîçìîæíî, è ìû èìååì ïðîòèâîðå÷èå ñ ïðàâèëüíîñòüþ èñõîäíîé ïîêðàñêè. Ñîâåðøåííî òàê æå ðàçáèðàåòñÿ ñëó÷àé, êîãäà îäíîöâåòíû òî÷êè õ è z (èìåííî äëÿ ýòîãî ìû äåëàëè ïîâîðîò). Òàêèì îáðàçîì, χ (G3 ) ³ 4 , è äåëî â øëÿïå: ãðàô G3 – èñêîìûé. Çàìåòèì, ÷òî íå ñîñòàâëÿåò òðóäà ðàñêðàñèòü G3 â ÷åòûðå öâåòà, òàê ÷òî, êîíå÷íî, χ (G3 ) = 4 .

20

23.05.08, 14:22


ÕÐÎÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÅ

÷èòàòåëü ìîæåò ïîïðîáîâàòü ñàì ðàçîáðàòüñÿ ñî âñåìè íåîáõîäèìûìè òîíêîñòÿìè. Äàëüøå – áîëüøå. Èíòåðåñíî: à äâàäöàòü òðè âåðøèíû – ýòî ïðåäåë? Ðàçóìååòñÿ, 23 êóäà êàê ìåíüøå, ÷åì 6448, íî è ÷òî ñ òîãî? Âäðóã, íàïðèìåð, è äâåíàäöàòè âåðøèí õâàòèò? Îòâåò íå èçâåñòåí. Ïîêà 23 – ýòî ðåêîðä, íî ÷åì ÷åðò íå øóòèò: ãëÿäèøü, ÷èòàòåëü ïîáüåò åãî. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, õîòåëîñü áû íàéòè õîòü êàêèå-íèáóäü «íèæíèå» ãðàíèöû äëÿ ïîäîáíûõ ðåêîðäîâ. Ïîíÿòíî, ñêàæåì, ÷òî ÷åòûðåõ âåðøèí óæ òî÷íî íå äîñòàòî÷íî. Íî íåëüçÿ ëè óòî÷íèòü ýòó òðèâèàëüíóþ ãðàíèöó? Ïàìÿòóÿ î òîì, ÷òî äàæå â âåðåòåíå ñåìü âåðøèí, ñòîèò äóìàòü, ÷òî è äåñÿòüþ âåðøèíàìè âðÿä ëè óäàñòñÿ îáîéòèñü, êîëü ñêîðî ìû õîòèì èçáàâèòüñÿ îò ïðèñóòñòâóþùèõ â âåðåòåíå òðåóãîëüíèêîâ áåç óìåíüøåíèÿ õðîìàòè÷åñêîãî ÷èñëà. Íåò íèêàêèõ ðåçóëüòàòîâ! Äàëüøå – åùå áîëüøå. Íàçîâåì öèêëîì â äèñòàíöèîííîì ãðàôå êîíñòðóêöèþ òèïà òîé, ÷òî èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 24. Ñêàæåì, ÷òî öèêë èìååò äëèíó k, åñëè â íåì k ðåáåð (è ñòîëüêî æå âåðøèí). Öèêëîâ äëèíû 1 è 2 íå áûâàåò, öèêë äëèíû 3 – ýòî òðåóãîëüíèê. Îáîçíà÷èì ÷åðåç g (G ) òàê íàçûâàåìûé îáõâàò ãðàôà G, ò.å. äëèíó ñàìîãî êîðîòêîãî öèêëà â íåì. Íàïðèìåð, âåðåòåíî èìååò îáõâàò 3, à îáõâàò ãðàôà ΒÄîíÐèñ. 24 íåëëà–Õîõáåðãà ðàâåí ÷åòûðåì. Ñèìâîë g äëÿ îáõâàòà ñòàíäàðòåí, îí ïðîèñõîäèò îò àíãëèéñêîãî ñëîâà «girth» – îáõâàò, îáúåì, ïîÿñ, ïîäïðóãà. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ ëþáîãî çàäàííîãî íàïåðåä k ñóùåñòâóåò ãðàô ðàññòîÿíèé ñ õðîìàòè÷åñêèì ÷èñëîì 4 è îáõâàòîì k. Ýòîò ñîâñåì óæ óäèâèòåëüíûé ôàêò òàêæå ïðèíàäëåæèò ΒÄîííåëëó. Åñòåñòâåííî, êîëè÷åñòâî âåðøèí â óïîìÿíóòîì ãðàôå ðàñòåò ÷ðåçâû÷àéíî áûñòðî ñ óâåëè÷åíèåì k, è âîïðîñ îá îòûñêàíèè íàèìåíüøåãî ÷èñëà âåðøèí, íåîáõîäèìûõ äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïîäîáíûõ ãðàôîâ, ïðàêòè÷åñêè íå èçó÷åí. Åäèíñòâåííîå, ÷òî, ïîæàëóé, èçâåñòíî: ïðè k = = 5 õâàòàåò ñîðîêà ïÿòè âåðøèí. Êîðî÷å, ÷åì äàëüøå â ëåñ, ò��ì áîëüøå äðîâ. Íàêîíåö, ñîâñåì íåäàâíî À.Êîêîòêèí äîêàçàë èñêëþ÷èòåëüíî êðàñèâîå óòâåðæäåíèå. Äëÿ åãî ôîðìóëèðîâêè íàì ïîòðåáóåòñÿ ïîíÿòèå ïîðîæäåííîãî ïîäãðàôà äàííîãî ãðàôà G = (V, E). Ýòî ïðîèçâîëüíûé ãðàô G ¢ = (V ¢, E ¢) , ó êîòîðîãî V ¢ Í V è ïàðà âåðøèí èç V¢ ñîåäèíåíà îòðåçêîì (ðåáðîì èç E¢ ) òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ýòîò îòðåçîê åñòü â ìíîæåñòâå Å. Íàïðèìåð, ïîäãðàô, âûäåëåííûé â ãðàôå, êîòîðûé èçîáðàæåí íà ðèñóíêå 25, ïîðîæäåííûé, à ïîäãðàô íà ðèñóí-

Ðèñ. 25

01-22.p65

21



×ÈÑËÀ

Ðèñ. 26

êå 26 ïîðîæäåííûì íå ÿâëÿåòñÿ. Òàê âîò, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â ëþáîì äèñòàíöèîííîì ãðàôå åñòü ïîðîæäåííûé ïîäãðàô, ñîäåðæàùèé áîëåå 90 ïðîöåíòîâ âåðøèí èñõîäíîãî ãðàôà è èìåþùèé õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî, íå ïðåâîñõîäÿùåå ÷åòûðåõ. Èíûìè ñëîâàìè, ìû ó êàæäîãî ãðàôà ðàññòîÿíèé ìîæåì «ïî÷òè âñå» âåðøèíû ïðàâèëüíî ïîêðàñèòü â ÷åòûðå öâåòà. Åñëè áû âûðàæåíèå «ïî÷òè âñå» óäàëîñü çàìåíèòü ñëîâîì «âñå», òî ýòî áû îçíà÷àëî, ââèäó ðåçóëüòàòà Ýðäåøà – äå Áð¸éíà, 2 ÷òî χ 4 = 4 . Êàê íè òðóäíî â ýòî ïîâåðèòü, íî ïîõîæå, ÷òî â ÷åòûðå öâåòà ïëîñêîñòü âñå æå êðàñèòñÿ. Äà, öâåòà áóäóò óæàñíû, è èìåííî ïîýòîìó èõ òàê òðóäíî íàéòè, íî èñêàòü èõ ñëåäóåò.

( )

È íàïîñëåäîê – î ðàñêðàñêàõ ïðîñòðàíñòâà  ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ ìû äîâîëüíî ìíîãî óçíàëè î ðàñêðàñêàõ ïðÿìîé è ïëîñêîñòè. Íî âåäü åñòü æå åùå ïðîñòðàíñòâî. È ïîíÿòíî, ÷òî åãî òîæå ìîæíî ïûòàòüñÿ ðàñêðàñèòü. Äëÿ ýòîãî íóæíî ëèøü çíàòü, ÷òî åñëè x = ( x1, x2 , x3 ) è y = ( y1, y2 , y3 ) ñóòü äâå òî÷êè â ïðîñòðàíñòâå, òî ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè íàõîäèòñÿ ïî ôîðìóëå

x-y =

( x1 - y1 )2 + ( x2 - y2 )2 + ( x3 - y3 )2 .

«Îäíîìåðíóþ» ïðÿìóþ ìû îáîçíà÷àëè 4 , «äâóìåðíóþ» ïëîñêîñòü – 4 2 . Ñòàëî áûòü, äëÿ «òðåõìåðíîãî» ïðîñòðàíñòâà ðàçóìíî èñïîëüçîâàòü îáîçíà÷åíèå 43 . Ïóñòü, íàêîíåö, χ 4 3 – ýòî õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ïðîñòðàíñòâà, ò.å. ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî öâåòîâ â ïðàâèëüíîé ïîêðàñêå 4 3 . (Çäåñü òåðìèí «ïðàâèëüíàÿ ïîêðàñêà» ïî-ïðåæíåìó óêàçûâàåò íà òî, ÷òî ìåæäó îäíîöâåòíûìè òî÷êàìè íå áûâàåò ðàññòîÿíèÿ 1.) Ïðåæäå âñåãî ñòîèò îòìåòèòü, ÷òî çàäà÷à îá îòûñêàíèè âåëè÷èíû χ 4 3 çíà÷èòåëüíî ìåíåå íàãëÿäíà, íåæåëè åå «êëàññè÷åñêàÿ» ïðåäøåñòâåííèöà: ãîðàçäî ëåã÷å ðèñîâàòü ðàñêðàñêè ïëîñêîñòè, íåæåëè ðàñêðàñêè ïðîñòðàíñòâà. Òåì íå ìåíåå, ãåîìåòðè÷åñêàÿ èíòóèöèÿ ó íàñ åñòü, è ìû ìîæåì õîòÿ áû óìîçðèòåëüíî ïðåäñòàâèòü ñåáå òó èëè èíóþ òðåõìåðíóþ ïîêðàñêó. ßñíî, äàëåå, ÷òî ãåîìåòðèÿ ïðîñòðàíñòâà ñóùåñòâåííî áîãà÷å ãåîìåòðèè ïëîñêîñòè, à ïîòîìó è íàïðàâëåíèé èññëåäîâàíèÿ â ñëó÷àå 4 3 íàìíîãî áîëüøå. Íèæå ìû ðàññêàæåì ëèøü î íåñêîëüêèõ ðåçóëüòàòàõ. Îíè áóäóò ñëóæèòü â íåêîòîðîì ñìûñëå îáîáùåíèÿìè àíàëîãè÷íûõ ðåçóëüòàòîâ äëÿ ïëîñêîñòè, à ïîòîìó ìû óæå íå ñòàíåì ïîäðîáíî èõ ðàçáèðàòü. ×àñòü èç íèõ ÷èòàòåëü ñìîæåò îáîñíîâàòü ñàì, ÷àñòü îí, ïðè æåëàíèè, íàéäåò â ëèòåðàòóðå, êîòîðóþ ìû óêàçûâàåì â êîíöå ñòàòüè. Âî-ïåðâûõ, ïðÿìûì àíàëîãîì êâàäðàòà íà ïëîñêîñòè ñëóæèò êóá â ïðîñòðàíñòâå. Ñîîòâåòñòâåííî, ìîæíî

( )

( )

23.05.08, 14:22


ÊÂÀÍT 2008/¹3

( )

ïîëó÷èòü îöåíêó χ 4 3 £ 27 , äåéñòâóÿ, ïî ñóòè, òàê 2 æå, êàê è ïðè îáîñíîâàíèè íåðàâåíñòâà χ 4 £ 9 . Áîëåå òîãî, íåáîëüøèå äîïîëíèòåëüíûå óñèëèÿ ïîçâî3 ëÿþò óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî χ 4 £ 26 . Ê ñîæàëåíèþ, ñòîëü î÷åâèäíûõ àíàëîãîâ øåñòèóãîëüíèêà â 4 3 óæå íåò. Îäíàêî åñòü âñå æå íåêèé ìíîãîãðàííèê, êîïèè êîòîðîãî çàïîëíÿþò ïðîñòðàíñòâî öåëèêîì (ïîäîáíî êîïèÿì êóáà), à çàòåì ïðàâèëüíî ðàñêðàøèâàþòñÿ â ïÿòíàäöàòü öâåòîâ. Òàêèì îáðàçîì, χ 4 3 £ 15 .  áðîøþðå [2] íàðèñîâàí óïîìÿíóòûé ìíîãîãðàííèê; áîëåå òîãî, åå ðåäàêòîðó – Ì.Þ.Ïàíîâó – óäàëîñü äàæå èçîáðàçèòü ñîîòâåòñòâóþùóþ ïîêðàñêó. Ìû íå ñòàíåì ïîâòîðÿòü ýòîò òðóä, îòñûëàÿ ÷èòàòåëÿ ê óêàçàííîìó èñòî÷íèêó. Îöåíêà χ 4 3 £ 15 (îíà ïðèíàäëåæèò Ä.Êóëñîíó) ïîêà íèêåì íå óëó÷øåíà. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñòü è ó ìîçåðîâñêîãî âåðåòåíà òðåõìåðíîå îáîáùåíèå.  íåì ïðàâèëüíûå òðåóãîëüíèêè çàìåíÿþòñÿ òåòðàýäðàìè ñ äëèíîé ðåáðà 1. Ýòó êîíñòðóêöèþ èíîãäà íàçûâàþò «ãðàôîì Ðàéñêîãî» – â ÷åñòü Ä.Å.Ðàéñêîãî, êîòîðûé èñïîëüçîâàë åå â ñâîåé ðàáîòå 1970 ãîäà. Êñòàòè, Ðàéñêèé áûë òîãäà øêîëüíèêîì, òàê ÷òî ó ÷èòàòåëÿ âïîëíå ìîæåò ñëîæèòüñÿ âïå÷àòëåíèå, áóäòî çàäà÷åé î õðîìàòè÷åñêîì ÷èñëå çàíèìàëèñü èñêëþ÷èòåëüíî ìîëîäûå ëþäè. Íî ýòî, ðàçóìååòñÿ, íå òàê. Áîëåå ïîäðîáíî î Ðàéñêîì è åãî ðåçóëüòàòàõ ìîæíî óçíàòü èç îáçîðà [1] è áðîøþðû [2]. Ãðàô Ðàéñêîãî ïîêàçûâàåò, ÷òî χ 4 3 ³ 5 . Ñîâñåì íåäàâíî êîíñòðóêöèþ óäàëîñü óòî÷íèòü. Ñäåëàë ýòî Î.Íå÷óøòàí ïóòåì âåñüìà íåòðèâèàëüíûõ óõèùðåíèé. Èì äîêàçàíî, ÷òî χ 4 3 ³ 6 . Ýòî òîæå ïîêà «ðåêîðä». Èòàê, ê íàñòîÿùåìó âðåìåíè èçâåñòíà öåïî÷êà íåðàâåíñòâ

( )

( )

( )

( )

( )

( )

( )

6 £ χ 4 3 £ 15 .

Çàçîð ìåæäó îöåíêàì â íåé åùå áîëüøå, ÷åì â ñëó÷àå ïëîñêîñòè, äà ýòî è íå óäèâèòåëüíî. Àíàëîãè çàäà÷, ðàññìîòðåííûõ â ïðåäûäóùèõ ðàçäåëàõ, ñòàâèëèñü è äëÿ 4 3 . Íàïðèìåð, Î.È.Ðóáàíîâ (ñì. [5]) íàøåë êîíôèãóðàöèþ, âåðøèíû êîòîðîé íåëüçÿ ïðàâèëüíî ïîêðàñèòü â ÷åòûðå öâåòà (êàê è âåðøèíû ãðàôà Ðàéñêîãî) è êîòîðàÿ, îäíàêî æ, íå ñîäåðæèò íè îäíîãî òåòðàýäðà (â îòëè÷èå îò ãðàôà Ðàéñêîãî). Âîïðîñ î ñóùåñòâîâàíèè ïîäîáíîé êîíñòðóêöèè áåç òðåóãîëüíèêîâ îñòàåòñÿ îòêðûòûì. Íî è íà ýòîì èñòîðèÿ çàäà÷è Íåëñîíà îòíþäü íå çàêàí÷èâàåòñÿ. Íàïðîòèâ, ðàññêàçàííîå – ëèøü âåðõóøêà àéñáåðãà. Ñóùåñòâóåò ìàññà çàäà÷ î ðàñêðàñêàõ «ìíîãîìåðíûõ» ïðîñòðàíñòâ è ïðîñòðàíñòâ ñ «ïðîèçâîëüíûìè ìåòðèêàìè», ñóùåñòâóþò òàêæå çàäà÷è, â êîòîðûõ òî÷êàì îäíîãî öâåòà çàïðåùåíî îòñòîÿòü äðóã îò äðóãà íå òîëüêî íà ðàññòîÿíèå 1, íî è íà ëþáîå ðàññòîÿíèå èç çàäàííîãî íàïåðåä ìíîæåñòâà, è ò.ä. è ò.ï. Êîå-÷òî íà ýòó òåìó çàèíòåðåñîâàííûé ÷èòàòåëü ìîæåò íàéòè â êíèãàõ [2], [6] è â îáçîðå [3]. Îäíàêî, âñå ýòî óæå ïðåäìåò ñîâåðøåííî èíîãî ðàçãîâîðà. Ëèòåðàòóðà 1. À.Ñîéôåð. Õðîìàòè÷åñêîå ÷èñëî ïëîñêîñòè: åãî ïðîøëîå, íàñòîÿùåå è áóäóùåå. (Ìàòåìàòè÷åñêîå ïðîñâåùåíèå, âûï. 8, 2004) 2. À.Ì.Ðàéãîðîäñêèé. Õðîìàòè÷åñêèå ÷èñëà. (Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2003) 3. À.Ì.Ðàéãîðîäñêèé. Ïðîáëåìà Áîðñóêà è õðîìàòè÷åñêèå ÷èñëà íåêîòîðûõ ìåòðè÷åñêèõ ïðîñòðàíñòâ. (Óñïåõè ìàòåìàòè÷åñêèõ íàóê, ò. 56 (2001), âûï. 1) 4. Ñîâðåìåííàÿ èëëþñòðèðîâàííàÿ ýíöèêëîïåäèÿ. Ìàòåìàòèêà è èíôîðìàòèêà. (Ì.: ÐÎÑÌÝÍ, 2007) 5. Î.È.Ðóáàíîâ. Õðîìàòè÷åñêèå ÷èñëà òðåõìåðíûõ ãðàôîâ ðàññòîÿíèé, íå ñîäåðæàùèõ òåòðàýäðîâ. (Ìàòåìàòè÷åñêèå çàìåòêè, ò. 82 (2007), ¹5) 6. À.Ì.Ðàéãîðîäñêèé. Ëèíåéíî-àëãåáðàè÷åñêèé ìåòîä â êîìáèíàòîðèêå. (Ì.: ÌÖÍÌÎ, 2007)

ÍÀÌ ÏÈØÓÒ

Åùå îäíî ðåøåíèå çàäà÷è Ì1000  «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» ïîä íîìåðîì Ì1000 âîøëà çàäà÷à, îñíîâó êîòîðîé ñîñòàâèë çàìå÷àòåëüíûé ãåîìåòðè÷åñêèé ôàêò, îòêðûòûé Àðõèìåäîì: åñëè òðåóãîëüíèê ÀÂÑ âïèñàí â îêðóæíîñòü, ïðè÷åì AB > BC è Ì – ñåðåäèíà äóãè ÀÑ, ðàñïîëîæåííîé ñ òîé æå ñòîðîíû îò ïðÿìîé ÀÑ, ÷òî è òî÷êà Â, òî îñíîâàíèå Ð ïåðïåíäèêóëÿðà, îïóùåí-

01-22.p65

22

íîãî íà îòðåçîê À èç òî÷êè Ì, äåëèò ëîìàíóþ ÀÂÑ ïîïîëàì: ÀP = PB + BC (ñì. ðèñóíîê). Äåñÿòèêëàññíèöà Ýììà Àêîïÿí ïðèäóìàëà ñëåäóþùåå óäèâèòåëüíî êîðîòêîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî óòâåðæäåíèÿ.  ñèëó òåîðåìû î âïèñàííîì óãëå, âåëè÷èíû óãëîâ ÂÀÌ è ÂÑÌ, îïèðàþùèõñÿ íà îäíó è òó æå äóãó ÂÌ, ðàâíû. Ïîýòîìó ïðè ïîâîðîòå òðåóãîëüíèêà ÌÂÑ âîêðóã òî÷êè Ì, ïðè êîòîðîì òî÷êà Ñ ïåðåõîäèò â òî÷êó À, òðåóãîëüíèê ÌÂÑ ïåðåõîäèò â íåêîòîðûé òðåóãîëüíèê MDA, ãäå òî÷êà D ëåæèò íà îòðåçêå ÀÂ. Ïðè ýòîì AD = BC. Ïîñêîëüêó âûñîòà ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ÿâëÿåòñÿ è åãî ìåäèàíîé, òî DP = PB. Îòñþäà AP = AD + DP = PB + BC, ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. À.Ñïèâàê

23.05.08, 14:22


ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»

Çàäà÷è ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå Ýòîò ðàçäåë âåäåòñÿ ó íàñ èç íîìåðà â íîìåð ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ æóðíàëà. Ïóáëèêóåìûå â íåì çàäà÷è íåñòàíäàðòíû, íî äëÿ èõ ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè øêîëüíîé ïðîãðàììû. Íàèáîëåå òðóäíûå çàäà÷è îòìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé. Ïîñëå ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ìû îáû÷íî óêàçûâàåì, êòî íàì åå ïðåäëîæèë. Ðàçóìååòñÿ, íå âñå ýòè çàäà÷è ïóáëèêóþòñÿ âïåðâûå. Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ýòîãî íîìåðà ñëåäóåò îòïðàâëÿòü íå ïîçäíåå 1 ñåíòÿáðÿ 2008 ãîäà ïî àäðåñó: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò». Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ðàçíûõ íîìåðîâ æóðíàëà èëè ïî ðàçíûì ïðåäìåòàì (ìàòåìàòèêå è ôèçèêå) ïðèñûëàéòå â ðàçíûõ êîíâåðòàõ. Íà êîíâåðòå â ãðàôå «Êîìó» íàïèøèòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» ¹3–2008» è íîìåðà çàäà÷, ðåøåíèÿ êîòîðûõ Âû ïîñûëàåòå, íàïðèìåð «Ì2086» èëè «Ô2093».  ãðàôå «Îò êîãî» ôàìèëèþ è èìÿ ïðîñèì ïèñàòü ðàçáîð÷èâî.  ïèñüìî âëîæèòå êîíâåðò ñ íàïèñàííûì íà íåì Âàøèì àäðåñîì è íåîáõîäèìûé íàáîð ìàðîê (â ýòîì êîíâåðòå Âû ïîëó÷èòå ðåçóëüòàòû ïðîâåðêè ðåøåíèé). Ðåøåíèÿ çàäà÷ ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå ìîæíî ïðèñûëàòü òàêæå ïî ýëåêòðîííûì àäðåñàì math@kvant.info è phys@kvant.info ñîîòâåòñòâåííî. Óñëîâèÿ êàæäîé îðèãèíàëüíîé çàäà÷è, ïðåäëàãàåìîé äëÿ ïóáëèêàöèè, ïðèñûëàéòå â îòäåëüíîì êîíâåðòå â äâóõ ýêçåìïëÿðàõ âìåñòå ñ Âàøèì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è (íà êîíâåðòå ïîìåòüòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ôèçèêå» èëè «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ìàòåìàòèêå»).  íà÷àëå êàæäîãî ïèñüìà ïðîñèì óêàçûâàòü íîìåð øêîëû è êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü. Çàäà÷è Ì2093 – Ì2095 ïðåäëàãàëèñü íà XXIX Òóðíèðå ãîðîäîâ. Çàäà÷è Ô2093–Ô2095 è Ô2098 ïðåäëàãàëèñü íà Ìîñêîâñêîé ôèçè÷åñêîé îëèìïèàäå ýòîãî ãîäà, à çàäà÷è Ô2096, Ô2097 è Ô2099–Ô2101 – íà XLII Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäå øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå. Ïîáåäèòåëÿìè êîíêóðñà «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» 2007 ãîäà ñòàëè ïî ìàòåìàòèêå Íèæèáèöêèé Åâãåíèé – ã. Êðàñíîäàð, øêîëà 73; ïî ôèçèêå Àáäðàõìàíîâ Âëàäèìèð – ã. Âîëãîãðàä, ëèöåé 3. Îíè íàãðàæäàþòñÿ êîìïëåêòàìè æóðíàëà «Êâàíò» çà âòîðîå ïîëóãîäèå 2008 ãîäà.

Çàäà÷è Ì2086–Ì2095, Ô2093–Ô2102 M2086. Äàíû äâå àðèôìåòè÷åñêèå ïðîãðåññèè a1, a2 ,K è b1, b2 ,K , ñîñòîÿùèå èç íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Èçâåñòíî, ÷òî a1 = b1 �� äëÿ êàæäîãî íîìåðà n ÷èñëà an è bn èìåþò ðàâíûå îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà n. Äîêàæèòå, ÷òî ïðîãðåññèè ñîâïàäàþò. Í.Êàëèíèí M2087. Øàõìàòíàÿ ôèãóðà «ïðîæåêòîð» áüåò îäèí èç óãëîâ, íà êîòîðûå äåëÿò äîñêó ïðîõîäÿùèå ÷åðåç íåå ãîðèçîíòàëü è âåðòèêàëü, âêëþ÷àÿ ïðèìûêàþùèå ê óãëó êëåòêè ãîðèçîíòàëè è âåðòèêàëè. (Íàïðèìåð, ïðîæåêòîð â ëåâîì íèæíåì óãëó ìîæåò áèòü ëèáî îäíó êëåòêó, ëèáî íèæíþþ ãîðèçîíòàëü, ëèáî ëåâóþ âåðòèêàëü, ëèáî âñþ äîñêó). Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî ïðîæåêòîðîâ ìîæíî ðàññòàâèòü íà øàõìàòíîé äîñêå òàê, ÷òîáû îíè íå áèëè äðóã äðóãà? À.Øàïîâàëîâ M2088. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë x, y, z, ñóììà êîòîðûõ ðàâíà 1, âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî x2 + 3xy y2 + 3yz z2 + 3zx + + £ 2. x+y y+z z+x

Ð.Ïèðêóëèåâ

M2089. Ïóñòü B0 – ñåðåäèíà ñòîðîíû AC òðåóãîëüíèêà ABC. Îáîçíà÷èì ÷åðåç A1 è A2 öåíòðû âïèñàííîé è êàñàþùåéñÿ AB âíåâïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABB0 . Àíàëîãè÷íî äëÿ òðåóãîëüíèêà CBB0 îïðåäåëèì òî÷êè C1 è C2 . Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê A1 A2C2C1 – âïèñàííûé. Ë.Åìåëüÿíîâ M2090. Ïóñòü c1, c2 K, cn – äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà; S1 = c1 , S2 = c1 + c2 , S3 = c1 + c2 + c3 ,K, Sn = c1 + + c2 + K + cn ; M è m – ñîîòâåòñòâåííî ìàêñèìàëüíîå è ìèíèìàëüíîå ñðåäè ÷èñåë S1, S2 , S3 ,K, Sn . Äîêàæèòå íåðàâåíñòâà: 1 1 à) m £ c1 + c2 + K + cn £ M ; 2 n á) nm £ nc1 + (n - 1) c2 + K + cn £ nM ; â) åñëè α1 ³ α2 ³ K ³ α n > 0 , òî α1m £ α1c1 + α2 c2 + K K + α n cn £ α1M . À.Åãîðîâ M2091. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ íàòóðàëüíûõ n > 2 è m ñóùåñòâóþò n ïîïàðíî âçàèìíî ïðîñòûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, áîëüøèõ 1010 è òàêèõ, ÷òî ñóììà èõ m-õ ñòåïåíåé äåëèòñÿ íà èõ ñóììó. Â.Ñåíäåðîâ


"

ÊÂÀÍT 2008/¹3

M2092. Íà ðåáðàõ AB, BC, CD, DA òåòðàýäðà ABCD âçÿòû òî÷êè K, L, M, N ñîîòâåòñòâåííî. Òî÷êè K¢ , L¢ , M ¢ , N¢ ñèììåòðè÷íû òî÷êàì K, L, M, N îòíîñèòåëüíî ñåðåäèí ðåáåð AB, BC, CD, DA ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî îáúåìû òåòðàýäðîâ KLMN è K ¢L¢ M ¢N ¢ ðàâíû. Ï. Êîæåâíèêîâ M2093. Ôîêóñíèêó çàâÿçûâàþò ãëàçà, à çðèòåëü âûêëàäûâàåò â ðÿä N îäèíàêîâûõ ìîíåò, ñàì âûáèðàÿ, êàêèå îðëîì ââåðõ, à êàêèå ðåøêîé. Àññèñòåíò ôîêóñíèêà ïðîñèò çðèòåëÿ íàïèñàòü íà áóìàãå ëþáîå íàòóðàëüíîå ÷èñëî îò 1 äî N è ïîêàçàòü åãî âñåì ïðèñóòñòâóþùèì. Óâèäåâ ÷èñëî, àññèñòåíò óêàçûâàåò íà îäíó èç ìîíåò ðÿäà è ïðîñèò ïåðåâåðíóòü åå. Çàòåì ôîêóñíèêó ðàçâÿçûâàþò ãëàçà, îí ñìîòðèò íà ðÿä ìîíåò è áåçîøèáî÷íî îïðåäåëÿåò íàïèñàííîå çðèòåëåì ÷èñëî. Íàéäèòå âñå N, äëÿ êîòîðûõ ó ôîêóñíèêà ñ àññèñòåíòîì åñòü ñïîñîá ãàðàíòèðîâàííî îòãàäûâàòü ÷èñëî. Ñ.Ãðèáîê M2094. Íà ïëîñêîñòè íàðèñîâàíû äâà ìíîãîóãîëüíèêà P è Q. Äëÿ ëþáîé ñòîðîíû ìíîãîóãîëüíèêà P ìíîãîóãîëüíèê Q ìîæíî çàæàòü ìåæäó äâóìÿ ïðÿìûìè, ïàðàëëåëüíûìè ýòîé ñòîðîíå. Îáîçíà÷èì ÷åðåç h ðàññòîÿíèå ìåæäó ýòèìè ïðÿìûìè, à ÷åðåç l – äëèíó ñòîðîíû. Ïðîñóììèðîâàâ âñå ïðîèçâåäåíèÿ lh ïî âñåì ñòîðîíàì P, ïîëó÷èì ÷èñëî, êîòîðîå îáîçíà÷èì (P, Q). Äîêàæèòå, ÷òî (P, Q) = (Q, P). Ä.Çâîíêèí M2095. Ïåðåä Àëåøåé 100 çàêðûòûõ êîðîáî÷åê, â êàæäîé – ëèáî êðàñíûé, ëèáî ñèíèé êóáèê. Ó Àëåøè íà ñ÷åòó åñòü ðóáëü. Îí ïîäõîäèò ê ëþáîé çàêðûòîé êîðîáî÷êå, îáúÿâëÿåò öâåò è ñòàâèò ëþáóþ ñóììó (ìîæíî íåöåëîå ÷èñëî êîïååê, íî íå áîëüøå, ÷åì ó íåãî íà ñ÷åòó íà äàííûé ìîìåíò). Êîðîáî÷êà îòêðûâàåòñÿ, è Àëåøèí ñ÷åò óâåëè÷èâàåòñÿ èëè óìåíüøàåòñÿ íà ïîñòàâëåííóþ ñóììó â çàâèñèìîñòè îò òîãî, óãàäàí èëè íå óãàäàí öâåò êóáèêà. Èãðà ïðîäîëæàåòñÿ, ïîêà íå áóäóò îòêðûòû âñå êîðîáî÷êè. Êàêóþ íàèáîëüøóþ ñóììó íà ñ÷åòó ìîæåò ãàðàíòèðîâàòü ñåáå Àëåøà, åñëè åìó èçâåñòíî, ÷òî ñèíèõ êóáèêîâ ðîâíî n? À.Áóôåòîâ Ô2093. Øêîëüíèê áåæèò ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R = 30 ì ñ ïîñòîÿííîé ïî âåëè÷èíå ñêîðîñòüþ u = = 3,14 ì/ñ. Âòîðîé øêîëüíèê ãîíèòñÿ çà íèì, ñòàðòîâàâ èç öåíòðà îêðóæíîñòè.  ïðîöåññå ïîãîíè îí âñå âðåìÿ íàõîäèòñÿ íà ðàäèóñå, ñîåäèíÿþùåì öåíòð îêðóæíîñòè è ïåðâîãî øêîëüíèêà, à âåëè÷èíà åãî ñêîðîñòè íåèçìåííà è ðàâíà v = 2u. Ñêîëüêî âðåìåíè çàéìåò ïîãîíÿ? Ê.Ïàðôåíîâ Ô2094. Íåáîëüøîé ãðóç ìàññîé m, ïðèâÿçàííûé íèòüþ äëèíîé l ê ïëàòôîðìå (ðèñ.1), äâèæåòñÿ ïî ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè ñòîëà ñî ñêîðîñòüþ v, îïèñûâàÿ îêðóæíîñòü. Íèòü íåâåñîìà è íåðàñòÿæèìà è îáðàçóåò óãîë α ñ âåðòèêàëüþ. Ïëàòôîðìà íà÷èíàåò äâèãàòüñÿ ââåðõ ñ óñêîðåíèåì à; ïðè ýòîì âíà÷àëå ãðóç íå

îòðûâàåòñÿ îò ñòîëà. Íàéäèòå âåëè÷èíû äåéñòâóþùèõ íà ãðóç ñèë íàòÿæåíèÿ íèòè Ò è ðåàêöèè ñòîëà N ñðàçó ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ ïëàòôîðìû. Ì.Ðîìàøêà

Ðèñ. 1

Ðèñ. 2

Ô2095. Òîíêèé êàðàíäàø, ïîäâåøåííûé íà íèòêå çà îäèí èç êîíöîâ, íà÷èíàþò ïîãðóæàòü â âîäó, ìåäëåííî îïóñêàÿ òî÷êó ïîäâåñà (ðèñ.2). Îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíóþ ãëóáèíó ïîãðóæåíèÿ íèæíåãî êîíöà êàðàíäàøà, åñëè äëèíà êàðàíäàøà l = 18 ñì, à åãî ñðåäíÿÿ ïëîòíîñòü â n = 2 ðàçà ìåíüøå ïëîòíîñòè âîäû. È.Ãîðáàòûé Ô2096. Íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå ëåæèò ãðóç ìàññîé m, ê êîòîðîìó ïðèêðåïëåíû äâå îäèíàêîâûå ïðóæèíû æåñòêîñòüþ k êàæäàÿ (ðèñ.3). Ëåâûé êîíåö ïðóæèíû 1 ïðèêðåïëåí ê ñòåíêå, â ìîìåíò âðåìåíè t = 0 ïðàâûé êîíåö ïðóæèíû 2 íà÷èíàþò ìåä- Ðèñ. 3 ëåííî ïåðåìåùàòü ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ u. 1) ×åðåç êàêîå âðåìÿ ãðóç âïåðâûå ïðèîáðåòåò ñêîðîñòü u? 2) Íà êàêîì ðàññòîÿíèè îò ïåðâîíà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ áóäåò íàõîäèòüñÿ îí â ýòîò ìîìåíò? À.Ãóäåíêî Ô2097. ×åðåç êîðîòêóþ òðóáêó âûäóâàþò ìûëüíûé ïóçûðü ñ ìàññîé m = 0,01 ã è êîýôôèöèåíòîì ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ σ = 0,01 Í ì (ðèñ.4). Ïóçûðü çàðÿæàþò çàðÿäîì Q = = 5,4 × 10 -8 Êë . Òðóáêà îñòàåòñÿ îòêðûòîé. 1) Îïðåäåëèòå ðàâíîâåñíûé ðàäèóñ ïóçûðÿ R0 . 2) Îïðåäåëèòå ïåðèîä ìàëûõ êîëåáàíèé ïóçûðÿ, åñëè ïðè êîëåáàíèÿõ îí ñîõðàíÿåò ñôåÐèñ. 4 ðè÷åñêóþ ôîðìó. 3) Îöåíèòå, ñ êàêîé ñêîðîñòüþ ðàçëåòÿòñÿ áðûçãè, åñëè ïóçûðü âíåçàïíî çàðÿäèòü çàðÿäîì Q1 = 10 Q . Ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ ε0 = 8,85 × 10 -12 Êë 2 Í × ì2 . À.Îëüõîâåö

(

)

Ô2098. Íàéäèòå ñîïðîòèâëåíèå ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ìåæäó òî÷êàìè À è  (ðèñ.5). Ñîïðîòèâëåíèå ñòîðîíû áîëüøîãî øåñòèóãîëüíèêà ðàâíî R, ñîïðîòèâëåíèå ñòîðîíû ìàëîãî øåñòèóãîëüíèêà ðàâíî R/2, ñîïðîòèâëåíèå êàæäîãî âíóòðåííåãî ïðîâîäíèêà, çàêëþ÷åííîãî


ÇÀÄÀ×ÍÈÊ

ìåæäó øåñòèóãîëüíèêàìè, ðàâíî R/2, à ñîïðîòèâëåíèå êàæäîãî ïðîâîäíèêà, íàõîäÿùåãîñÿ âíóòðè ìàëîãî øåñòèóãîëüíèêà, ðàâíî R/ 4. Å.Ïðîñòîìîëîòîâà Ðèñ. 5

Ô2099.  öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì íàõîäèòñÿ ñìåñü âîçäóõà è ïàðîâ íåêîòîðîé æèäêîñòè. Ñìåñü èçîòåðìè÷åñêè ñæèìàþò. Íà ðèñóíêå 6 ïðåäñòàâëåíà ýêñïåðèìåíòàëüíàÿ çàâèñèìîñòü äàâëåíèÿ â ñîñóäå îò

Ðèñ. 6

îáúåìà â ýòîì ïðîöåññå. ×åìó ðàâíû äàâëåíèå íàñûùåííûõ ïàðîâ æèäêîñòè ïðè äàííîé òåìïåðàòóðå è âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ñìåñè ïðè îáúåìå öèëèíäðà áîëåå 5 ë? Ïðèìå÷àíèå. Ñ÷èòàòü âîçäóõ èäåàëüíûì äâóõàòîìíûì ãàçîì, à ïàðû æèäêîñòè – èäåàëüíûì òðåõàòîìíûì ãàçîì. Ñ.Êàðìàçèí Ô2100. Íà äëèííîì òîíêîñòåííîì äèýëåêòðè÷åñêîì öèëèíäðå ðàäèóñîì R, äëèííîé L ? R è ìàññîé Ì ðàçìåùåí ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä ñ îäèíàêîâîé ïîâåðõíîñòíîé ïëîòíîñòüþ σ . Öèëèíäð ìîæåò ñâîáîäíî (áåç òðåíèÿ) âðàùàòüñÿ âîêðóã ñâîåé îñè ïîä äåéñòâèåì ãðóçà ìàññîé m, ïîäâåøåííîãî íà íåâåñîìîé íèòè, íàìîòàííîé íà öèëèíäð (ðèñ.7). Îïðåäåëèòå óñêîðåíèå ãðóçà. Ìàãíèòíóþ ïîñòîÿííóþ µ0 ñ÷èòàòü çàäàííîé. Ì.Îñèí Ðèñ. 7 Ô2101. Ãîâîðÿò, ÷òî â àðõèâå Ñíåëëèóñà íàøëè ÷åðòåæ îïòè÷åñêîé ñõåìû. Îò âðåìåíè ÷åðíèëà âûöâåëè, è íà ÷åðòåæå îñòàëèñü âèäíû òîëüêî ïàðàëëåëüíûå äðóã äðóãó ñîáèðàþùàÿ ëèíçà, îáúåêò è åãî äåéñòâèòåëüíîå èçîáðàæåíèå (ðèñ.8). Èç ïîÿñíåíèé ê ÷åðòåæó áûëî ÿñíî, ÷òî çà ëèíçîé íàõîäèëîñü ïëîñêîå çåðêàëî.

#

«ÊÂÀÍÒÀ»

Âîññòàíîâèòå ïîñòðîåíèåì ïî èìåþùèìñÿ äàííûì ïîëîæåíèå çåðêàëà è íàéäèòå ïîëîæåíèå ôîêóñîâ ëèíçû. Ã.Òàðíîïîëüñêèé Ô2102. Ãåíåðàòîð íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé ñîáðàí ïî îáû÷íîé «ëàìïîâîé» ñõåìå – ïîòåðè â êîëåáàòåëüíîì LCêîíòóðå êîìïåíñèðóþòñÿ ïîäêà÷êîé ýíåðãèè ÷åðåç äîïîë- Ðèñ. 8 íèòåëüíóþ êàòóøêó, âêëþ÷åííóþ â àíîäíóþ öåïü ëàìïû-òðèîäà. ×àñòîòà êîëåáàíèé ïåðåñòðàèâàåòñÿ çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ åìêîñòè êîíäåíñàòîðà, âêëþ÷åííîãî â êîíòóð (íàñòðîéêà ïðè ïîìîùè êîíäåíñàòîðà ïåðåìåííîé åìêîñòè). Ãåíåðàòîð ðàáîòàåò íà çàäàííîé ÷àñòîòå, íî åãî íàñòðîèëè íåïðàâèëüíî – åñëè ìû õîòÿ áû íåìíîãî óìåíüøèì ïîäêà÷êó ýíåðãèè (íàïðèìåð, óìåíüøèì ÷èñëî âèòêîâ âñïîìîãàòåëüíîé êàòóøêè íà îäèí âèòîê), êî- Ðèñ. 9 ëåáàíèÿ ïðîñòî íå âîçíèêíóò. Ïåðåñòðîèì ÷àñòîòó êîëåáàíèé íà 5%, óìåíüøèâ åìêîñòü êîíäåíñàòîðà. Êàê íóæíî èçìåíèòü ÷èñëî âèòêîâ âñïîìîãàòåëüíîé êàòóøêè, ÷òîáû ãåíåðàòîð ìîã ðàáîòàòü íà ýòîé ÷àñòîòå? Ñ÷èòàéòå, ÷òî ïîòåðè ýíåðãèè â êîëåáàòåëüíîì êîíòóðå ñâÿçàíû ãëàâíûì îáðàçîì ñ ñîïðîòèâëåíèåì ïðîâîäà, êîòîðûì íàìîòàíà êàòóøêà èíäóêòèâíîñòè. Óïðîùåííàÿ ñõåìà ãåíåðàòîðà ïðèâåäåíà íà ðèñóíêå 9. À.Êîíòóðîâ

Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2066–Ì2069, Ô2078–Ô2087 M2066. Êâàäðàò ñî ñòîðîíîé 1 ðàçðåçàí íà 100 ïðÿìîóãîëüíèêîâ îäèíàêîâîãî ïåðèìåòðà p. Íàéäèòå íàèáîëüøåå çíà÷åíèå p. Îòâåò: 2,02. Çíà÷åíèå p = 2,02 äîñòèãàåòñÿ, åñëè ðàçðåçàòü êâàäðàò íà 100 ðàâíûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ 0,01 ´ 1 . Âûáåðåì ñðåäè 100 ïðÿìîóãîëüíèêîâ ïðÿìîóãîëüíèê a ´ b ( a £ b ) ìèíèìàëüíîé ïëîùàäè; òîãäà ab £ 0,01 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî p = 2 (a + b) > 2,02 . ßñíî, ÷òî ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêîâ ïàðàëëåëüíû ñòîðîíàì êâàäðàòà, ïîýòîìó b £ 1 , îòêóäà a > 0,01 è 0 £ b - a < 0,99 . Èìååì

ab =

(

) (

1 1 (a + b)2 - (b - a)2 > 1,012 - 0,992 = 0,01 . 4 4

Ïðîòèâîðå÷èå.

)

Ï.Êîæåâíèêîâ

…3 11 äåëèòñÿ M2067. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè ÷èñëî 111 1 424

íà n, òî n äåëèòñÿ íà 3.

n åäèíèö


$

ÊÂÀÍT 2008/¹3

K3 Ïðåäïîëîæèì, ÷òî 111 11 = 1 424 n åäèíèö

10n - 1 äåëèòñÿ íà n, íî 9

n íå äåëèòñÿ íà 3. Î÷åâèäíî, n íå äåëèòñÿ íà 2 è íà 5. Ïóñòü p – íàèìåíüøèé ïðîñòîé äåëèòåëü ÷èñëà n, p > > 5. Òîãäà 10n - 1 äåëèòñÿ íà p. Ñîãëàñíî ìàëîé òåîðåìå Ôåðìà, 10 p-1 - 1 äåëèòñÿ íà p. Òàêèì îáðàçîì, 10n º 1 (mod p) è 10 p -1 º 1 (mod p) . Ïóñòü k – íàèìåíü-

øåå íàòóðàëüíîå ÷èñëî, äëÿ êîòîðîãî 10k º 1 (mod p) .

Çàìåòèì, ÷òî k > 1 (òàê êàê 101 - 1 = 9 íå äåëèòñÿ íà p) è k £ p - 1 . Ðàçäåëèì n íà k ñ îñòàòêîì: n = kq + r,

( )

q

n k × 10r º 10r (mod p) . 0 £ r < k . Èìååì 1 º 10 º 10 Èç îïðåäåëåíèÿ k ñëåäóåò, ÷òî r = 0, ò.å. n äåëèòñÿ íà k, 1 < k < p. Ó ÷èñëà k, à çíà÷èò è ó n, åñòü ïðîñòîé äåëèòåëü, êîòîðûé ìåíüøå p, – ïðîòèâîðå÷èå. Ð.Êîâàëåâ

M2068.  ôóòáîëüíîì òóðíèðå ó÷àñòâóþò mn êîìàíä ( m, n ≥ 2 ). Êîìàíäàì ïðèñâîåíû íîìåðà 1, 2, … ..., mn â ñîîòâåòñòâèè ñ ìåñòîì, çàíÿòûì íà ïðåäâàðèòåëüíîì ýòàïå. Îðãàíèçàòîðû òóðíèðà ñîáèðàþòñÿ ðàçáèòü êîìàíäû íà m ãðóïï ïî n êîìàíä òàê, ÷òîáû äëÿ ëþáûõ äâóõ êîìàíä A è B âûïîëíÿëîñü óñëîâèå: åñëè íîìåð A ìåíüøå íîìåðà B, òî ñóììà íîìåðîâ ñîïåðíèêîâ ïî ãðóïïå äëÿ êîìàíäû A áîëüøå, ÷åì äëÿ êîìàíäû B. Ïðè êàêèõ m è n æåëàíèå îðãàíèçàòîðîâ ìîæíî îñóùåñòâèòü? Îòâåò: ïðè òàêèõ m è n ³ 2 , ÷òî (m + 1) n äåëèòñÿ íà 2. Çàìåòèì, ÷òî åñëè êîìàíäû ðàñïðåäåëåíû ïî m ãðóïïàì ñ ðàâíûìè ñóììàìè íîìåðîâ êîìàíä, òî óñëîâèå çàäà÷è âûïîëíÿåòñÿ. Ïóñòü êîìàíäû ðàçáèòû íà m ãðóïï ïî n êîìàíä òàê, ÷òî ñóììû íîìåðîâ íå âî âñåõ ãðóïïàõ ðàâíû. Ñêàæåì, â ãðóïïàõ Γ1, Γ2 ,K, Γk ñóììû íîìåðîâ ðàâíû S, à â ãðóïïàõ Γk +1, Γk +2 ,K, Γm ñóììû íîìåðîâ íå áîëüøå S – 1. Î÷åâèäíî, â ãðóïïå Γ1 íàéäåòñÿ êîìàíäà, íîìåð x êîòîðîé áîëüøå íîìåðà y íåêîòîðîé êîìàíäû ãðóïïû Γk +1 . Ñðåäè êîìàíä ñ íîìåðàìè x, x – 1, …, y íàéäåì êîìàíäó ñ íàèìåíüøèì íîìåðîì z, ïðèíàäëåæàùóþ îäíîé èç ãðóïï Γ1, Γ2 ,K, Γk . Òîãäà êîìàíäà z ïðèíàäëåæèò ãðóïïå Γi , i Î {1,2,K, k} , à êîìàíäà z – 1 ïðèíàä-

ëåæèò ãðóïïå Γ j , j Î {k + 1,K, m} . Äëÿ êîìàíä z è z – 1 óñëîâèå íå âûïîëíåíî: ñóììà íîìåðîâ ñîïåðíèêîâ ïî ãðóïïå êîìàíäû z ðàâíà S - z, à ñóììà íîìåðîâ ñîïåðíèêîâ ïî ãðóïïå êîìàíäû z – 1 íå áîëüøå ( S - 1) - ( z - 1) = S - z . Èç ñêàçàííîãî ñëåäóåò, ÷òî çàäà÷à ðàâíîñèëüíà ñëåäóþùåé: ïðè êàêèõ m, n ³ 2 ÷èñëà 1, 2, …, mn ìîæíî ðàçáèòü íà m ãðóïï ïî n ÷èñåë òàê, ÷òîáû ñóììû ÷èñåë âî âñåõ ãðóïïàõ áûëè ðàâíû? Ðàññìîòðèì 3 ñëó÷àÿ. 1) Ïóñòü n ÷åòíî (n = 2q). Èç äàííûõ ÷èñåë îáðàçóåì mq ïàð ñ ðàâíîé ñóììîé: 1 è 2mq, 2 è 2mq – 1, …, mq è mq + 1. Òåïåðü â êàæäóþ èç m ãðóïï âêëþ÷èì ïî q ïàð. 2) Ïóñòü n íå÷åòíî, m ÷åòíî. Åñëè íóæíîå ðàçáèåíèå âîçìîæíî, òî ñóììà íîìåðîâ êîìàíä â êàæäîé ãðóïïå

äîëæíà áûòü ðàâíà 1 + 2 + K + mn mn (mn + 1) n (mn + 1) = = 2m 2 m – íåöåëîå ÷èñëî. Ïðîòèâîðå÷èå. 3) Ïóñòü n è m îáà íå÷åòíûå (n = 2q + 1, m = 2r + 1). Âíà÷àëå èç 2 (q - 1) m ÷èñåë 3m + 1, 3m + 2, … ..., (2q + 1) m îáðàçóåì (q - 1) m ïàð ñ ðàâíîé ñóììîé: 3m + 1 è (2q + 1) m , 3m + 2 è (2q + 1) m - 1 ...  êàæäóþ èç m ãðóïï âêëþ÷èì ïî q – 1 ïàð. Îñòàåòñÿ ÷èñëà 1, 2, ..., 3m ðàçáèòü íà m = 2r + 1 òðîåê ñ ðàâíûìè ñóììàìè. Ñîñòàâèì òàáëèöó 3 ´ m ïî òàêîìó ïðàâèëó.  ïåðâîé ñòðîêå çàïèøåì ÷èñëà 1, 2, …, 2r + 1 â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ. Âî âòîðîé ñòðîêå – âíà÷àëå ÷èñëà m + + r + 1, m + r + 2, …, m + 2r + 1, çàòåì m + 1, m + 2,... …, m + r.  òðåòüåé ñòðîêå – âíà÷àëå íå÷åòíûå ÷èñëà 2m + 2r + 1, 2m + 2r – 1, …, 2m + 1 â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ, çàòåì ÷åòíûå ÷èñëà 2m + 2r, 2m + 2r – 2, …, 2m + 2 â ïîðÿäêå óáûâàíèÿ.  êàæäîì ñòîëáöå ñóììà ðàâíà 3m + 3r + 3 – ýòî è åñòü íóæíîå ðàçáèåíèå íà òðîéêè. È.Àêóëè÷, Ï.Êîæåâíèêîâ M2069. Îáîçíà÷èì ÷åðåç y ðàññòîÿíèå îò äåéñòâèòåëüíîãî ÷èñëà y äî áëèæàéøåãî öåëîãî ÷èñëà. Ïóñòü äëÿ èððàöèîíàëüíîãî ÷èñëà x áåñêîíå÷íàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü íàòóðàëüíûõ ÷èñåë q1, q2 ,K, qk ,K îïðåäåëåíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: q1 = 1, qk +1 – íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå q, äëÿ êîòîðîãî xq < xqk . Äîêàæèòå, ÷òî qk + 2 ≥ qk + qk +1 äëÿ âñåõ k = 1, 2, … Èç óñëîâèÿ âûòåêàåò, ÷òî q1 < q2 < K < qk < K Ïóñòü a1, a2 ,K, ai ... – òàêàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü öåëûõ ÷èñåë, ÷òî xqi = ai - xqi . Ïîëîæèì xi = ai - xqi . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî xi è xi +1 îäíîãî çíàêà, òîãäà äëÿ q ¢ = qi +1 - qi < qi +1 èìååì xq ¢ £ (ai +1 - ai ) - xq ¢ =

=

(ai+1 - ai ) - x (qi+1 - qi )

= xi - xi +1 < xi = xqi .

Ïîëó÷àåì ïðîòèâîðå÷èå ñ âûáîðîì qi +1 . Òàêèì îáðàçîì, xi xi +1 < 0 äëÿ âñåõ i. Çíà÷èò, xi xi +2 > 0 äëÿ âñåõ i. Îòñþäà x (qi + 2 - qi ) £ £ (ai +2 - ai ) - x (qi +2 - qi ) = xi - xi +2 < xi = xqi .

Òàê êàê qi +1 – íàèìåíüøåå íàòóðàëüíîå q, óäîâëåòâîðÿþùåå íåðàâåíñòâó xq < xqi , èìååì qi + 2 - qi ³ qi +1 , ÷òî è òðåáîâàëîñü. Êàê èçâåñòíî, äëÿ ëþáîãî ε > 0 è èððàöèîíàëüíîãî x ìîæíî óêàçàòü òàêîå öåëîå q, ÷òî xq < ε . Îòñþäà âûòåêàåò ñóùåñòâîâàíèå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè q1, q2 ,K, qk ,K, î êîòîðîé èäåò ðå÷ü â óñëîâèè, äëÿ ëþáîãî èððàöèîíàëüíîãî x. Â.Áûêîâñêèé Ô2078. Èç ëèñòà ôàíåðû âûðåçàëè êóñîê â ôîðìå ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè 60 ñì è 80 ñì, ìàññà ýòîãî êóñêà ðàâíà 2 êã. Êóñîê ôàíåðû ïîäâåñèëè ê ïîòîëêó ïðè ïîìîùè äâóõ îäèíàêîâûõ ëåãêèõ íèòåé, ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè ïðèêðåïëå-


ÇÀÄÀ×ÍÈÊ

íèÿ íèòåé ê ïîòîëêó ðàâíî 100 ñì (ñì. ðèñóíîê). Íàéäèòå ñèëû íàòÿæåíèÿ íèòåé. Òóò äîñòàòî÷íî ñîîáðàçèòü – ãäå íàõîäèòñÿ öåíòð òÿæåñòè ôèãóðû. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ òàêîãî òðåóãîëüíèêà (âûðåçàííîãî èç ëèñòà ïîñòîÿííîé òîëùèíû) îí îêàçûâàòñÿ â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí. Ìåäèàíû â òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ äåëÿòñÿ â îòíîøåíèè 2:1, çíà÷èò, ýòà òî÷êà ïî ãîðèçîíòàëè íàõîäèòñÿ âäâîå áëèæå ê ïðàâîé òî÷êå ïîäâåñà, ÷åì ê ëåâîé, òîãäà è ñèëà íàòÿæåíèÿ ïðàâîé íèòè âäâîå áîëüøå, ÷åì ó ëåâîé.  ñóììå ýòè ñèëû ñîñòàâëÿþò Mg, ïîýòîìó T1 =

Mg 2 × 9,8 2Mg » H » 6,5 H è T2 = » 13 H . 3 3 3 À.Ïðîñòîâ

Ô2079. Êëèí ìàññîé Ì ñ óãëîì α ïðè îñíîâàíèè íàõîäèòñÿ íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå. Íà íàêëîííîé ãðàíè êëèíà ñòîèò òåëåæêà ìàññîé m, ê íåé ïðèâÿçàíà ëåãêàÿ íèòü, ïåðåáðîøåííàÿ ÷åðåç áëîê, çàêðåïëåííûé îñüþ â âåðøèíå êëèíà (ðèñ.1). Ñâîáîäíûé Ðèñ. 1 êîíåö íèòè ïðèâÿçàí ê ñòåíå. Âíà÷àëå êëèí óäåðæèâàþò, çàòåì îòïóñêàþò. Ñ êàêèì óñêîðåíèåì îí íà÷íåò äâèãàòüñÿ? Ñèëû, äåéñòâóþùèå íà òåëà â ñèñòåìå, ïîêàçàíû íà ðèñóíêå 2. Óñêîðåíèå êëèíà îáîçíà÷èì áóêâîé à, à óñêîðåíèå òåëåæêè ïðåäñòàâèì â âèäå ñóììû âåêòî-

Ðèñ. 2

ðîâ äâóõ óñêîðåíèé – âìåñòå ñ êëèíîì è îòíîñèòåëüíî êëèíà (íèòü íåðàñòÿæèìà, ïîýòîìó åñëè êëèí ñìåùàåòñÿ íà íåêîòîðóþ âåëè÷èíó ïî íàïðàâëåíèþ ê ñòåíêå, òî÷íî íà òàêóþ æå âåëè÷èíó íàêëîííûé êóñîê íèòè óäëèíÿåòñÿ). Òåïåðü ìîæíî çàïèñàòü óðàâíåíèÿ äèíàìèêè. Ñäåëàåì òàê, ÷òîáû ñèëà ðåàêöèè N íå âîøëà â ýòè óðàâíåíèÿ, òîãäà äîñòàòî÷íî áóäåò íàïèñàòü âñåãî äâà óðàâíåíèÿ. Ýòî áóäóò óðàâíåíèÿ âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà äëÿ òåëåæêè – â ïðîåêöèè íà íàïðàâëåíèå âäîëü íàêëîííîé ïëîñêîñòè (âíèç) è äëÿ êëèíà è òåëåæêè âìåñòå – â ïðîåêöèè íà ãîðèçîíòàëü: mg sin α - T = ma (1 - cos α ) ,

T = ma (1 - cos α) + Ma .

«ÊÂÀÍÒÀ»

Îòñþäà íàõîäèì èñêîìîå óñêîðåíèå: mg sin α a= . M + 2m (1 - cos α )

%

Ð.Êëèíîâ

Ô2080. Äâå áîëüøèå ïàðàëëåëüíûå ïëàñòèíû äâèãàþò íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ñ îäèíàêîâûìè ñêîðîñòÿìè v0 . Ìåæäó ïëàñòèíàìè íàõîäèòñÿ î÷åíü ìàëåíüêèé óïðóãèé øàðèê.  òîò ìîìåíò êîãäà îäíà èç ïëàñòèí óäàðÿåòñÿ î íåãî, ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè ñîñòàâëÿåò L. Ñ÷èòàÿ óäàðû àáñîëþòíî óïðóãèìè, íàéäèòå ñêîðîñòü øàðèêà â òîò ìîìåíò, êîãäà ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè ñîñòàâèò L/5. Äåéñòâèåì ñèëû òÿæåñòè ïðåíåáðå÷ü. Ñêîðîñòü øàðèêà ïåðåä ïåðâûì óäàðîì ðàâíà íóëþ. Ýòî ñîâñåì ïðîñòàÿ çàäà÷à. Ïîñëå ïåðâîãî óäàðà øàðèê ïðèîáðåòåò ñêîðîñòü 2v (ýòî ëåãêî óñòàíîâèòü, «ïåðåñåâ» â ñèñòåìó îòñ÷åòà, ñâÿçàííóþ ñ íàáåãàþùåé ïëîñêîñòüþ, à ïîñëå ðàñ÷åòà óäàðà ïåðåñåâ îáðàòíî), íàïðàâëåííóþ â ñòîðîíó âòîðîé ïëàñòèíû, ïðè ýòîì øàðèê è ýòà ïëàñòèíà áóäóò ñáëèæàòüñÿ ñî ñêîðîñòüþ 3v, è óäàð ïðîèçîéäåò ÷åðåç âðåìÿ L/(3v). Ê ìîìåíòó ñîóäàðåíèÿ ïåðâàÿ ïëàñòèíà ñäâèíåòñÿ êî âòîðîé íà vL/(3v) = L/3, è ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè ñòàíåò ðàâíûì L – L/3 = 2L/3. Ïîñëå ýòîãî óäàðà ñêîðîñòü øàðèêà ñòàíåò ðàâíîé 4v, îí óäàðèòñÿ î ïåðâóþ ïëàñòèíó ÷åðåç âðåìÿ 2L/(15v). Ê ýòîìó ìîìåíòó ðàññòîÿíèå ìåæäó ïëàñòèíàìè áóäåò ðàâíî L/3 – 2L/15 = L/5 – ýòî çàäàííàÿ â óñëîâèè âåëè÷èíà. Óæå ìîæíî çàïèñàòü îòâåò – ñêîðîñòü øàðèêà áóäåò ðàâíà 4v. À ìîæíî íàéòè ñêîðîñòü øàðèêà ïîñëå ýòîãî óäàðà (óäàðû êðàòêîâðåìåííû) – ïîëó÷èòñÿ 6v. Èíòåðåñíî, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíûå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó ïëàñòèíàìè â ìîìåíòû óäàðîâ çàïèñûâàþòñÿ ñîâñåì ïðîñòî… À.Øàðèêîâ Ô2081.  êîìíàòå, çàïîëíåííîé âîçäóõîì, íàõîäèòñÿ ïóñòîé êóáè÷åñêèé ñîñóä îáúåìîì 100 ë.  ñòåíêå ñîñóäà îòêðûâàåòñÿ ìàëåíüêîå îòâåðñòèå ïëîùàäüþ 1 ñì2 è ÷åðåç 0,001 ñ çàêðûâàåòñÿ. Îöåíèòå êîëè÷åñòâî ìîëåêóë, ïîïàâøèõ â ñîñóä çà ýòî âðåìÿ. Îöåíèòå òàêæå äàâëåíèå, êîòîðîå óñòàíîâèòñÿ â ñîñóäå. Ñòåíêè ñîñóäà íå ïðîâîäÿò òåïëî, òåïëîåìêîñòüþ ñòåíîê ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Çà óêàçàííîå âðåìÿ â ñîñóä âëåòèò íå ñëèøêîì ìíîãî ìîëåêóë (ýòî ìû ïðîâåðèì!). Ïðåíåáðåãàÿ êîëè÷åñòâîì âûëåòåâøèõ çà ýòî âðåìÿ èç ñîñóäà íàðóæó ÷àñòèö, ïîñ÷èòàåì òîëüêî «âëåòàþùèå» – òàêóþ çàäà÷ó ïðèáëèæåííî ëåãêî ðåøèòü (ìû åå íàâåðíÿêà óæå ðåøàëè), ïîñ÷èòàâ ÷èñëî óäàðîâ ÷àñòèö ãàçà î ñòåíêó: N = 0,5vx τSn . Çäåñü vx – ñêîðîñòü ÷àñòèö âäîëü îñè Õ, τ – âðåìÿ, çà êîòîðîå ñ÷èòàåì ÷èñëî óäàðîâ, S – ïëîùàäü äûðêè, n – êîíöåíòðàöèÿ ÷àñòèö âîçäóõà.  íàøåì ñëó÷àå è vx = RT Μ = 8,3 × 300 0,029 ì ñ » 9 × 102 ì ñ 23 5 3 n = NA p0 ( RT ) = 6 × 10 × 1 × 10 (8,3 × 300) 1 ì » 25 3 » 2,4 × 10 1 ì – òåìïåðàòóðó â êîìíàòå ìû ïðèíÿëè ðàâíîé 300 Ê. Òîãäà êîëè÷åñòâî âëåòåâøèõ ÷àñòèö


&

ÊÂÀÍT 2008/¹3

ðàâíî

21

N » 1 × 10 . Âèäíî, ÷òî ÷èñëî ÷àñòèö äëÿ òàêîãî ñîñóäà ñîâñåì ìàëî, òàê ÷òî ìû äåéñòâèòåëüíî ìîæåì ïðåíåáðå÷ü ÷èñëîì âûëåòåâøèõ ÷àñòèö. Åñëè áû ýíåðãèè âëåòåâøèõ ÷àñòèö áûëè â ñðåäíåì òàêèìè æå, êàê è ñíàðóæè (ò.å. òåìïåðàòóðà â ñîñóäå ïîñëå õàîòèçàöèè âëåòåâøèõ ÷àñòèö îêàçàëàñü òàêîé æå, êàê è ñíàðóæè, ò.å. 300 Ê – à ýòî íå òàê!), òî äàâëåíèå ñîñòàâèëî áû NRT 1 × 1021 × 8,3 × 300 = Ïà » 40 Ïà NAV 6 × 1023 × 0,1 (íàøà ìîäåëü äëÿ ðàñ÷åòà óäàðîâ î÷åíü ïðèáëèçèòåëüíàÿ, ïîýòîìó ìû âñþäó ãðóáî îêðóãëÿëè ðåçóëüòàòû). Ãàç ïðè àòìîñôåðíîì äàâëåíèè äîâîëüíî ïëîòíûé (î÷åíü ìàëà äëèíà ñâîáîäíîãî ïðîáåãà ÷àñòèö), ïîýòîìó ÷àñòèöû íå âëåòàþò íåçàâèñèìî äðóã îò äðóãà â äûðêó, à «îòñòàâøèå» ÷àñòèöû ïðîñòî çàòàëêèâàþò îáîãíàâøèõ èõ â ñîñóä, ñîâåðøàÿ ïðè ýòîì ðàáîòó è óâåëè÷èâàÿ âíóòðåííþþ ýíåðãèþ ýòèõ ÷àñòèö. Åñëè ïðåíåáðå÷ü òåïëîîáìåíîì ìåæäó ïîðöèÿìè ãàçà, òî óâåëè÷åíèå ýòîé ýíåðãèè ðàâíî ñîâåðøåííîé ðàáîòå. Ðàáîòà ïðîèçâîäèòñÿ ïðè àòìîñôåðíîì äàâëåíèè. Åñëè îáúåì ïîðöèè ãàçà, êîòîðàÿ îêàæåòñÿ ê ìîìåíòó çàêðûâàíèÿ äûðêè â ñîñóäå, ñîñòàâëÿë ñíàðóæè V1 (ýòó âåëè÷èíó ìû âû÷èñëÿòü íå áóäåì, õîòÿ ýòî è íå ñëîæíî), òî ðàáîòà âíåøíåãî ãàçà íàä ýòîé ïîðöèåé ñîñòàâèò p0V1 , è âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ «âíóòðåííåãî» ãàçà óâåëè÷èòñÿ êàê ðàç íà ýòó âåëè÷èíó: U1 = U + p0V1 = 7U 5 . Òàêèì îáðàçîì, òåìïåðàòóðà ãàçà âíóòðè ñîñóäà ïîñëå õàîòèçàöèè óâåëè÷èòñÿ â 7/5 ðàçà, è äàâëåíèå ñîñòàâèò p1 =

7 7 p2 = p1 » × 40 Ïà » 56 Ïà . 5 5 À.Ïîâòîðîâ

Ô2082. Ìîëü ãåëèÿ â ñîñóäå ðàñøèðÿåòñÿ îò íà÷àëüíîãî îáúåìà V1 = 10 ë äî êîíå÷íîãî îáúåìà V2 = 50 ë , ïðè ýòîì äàâëåíèå ãàçà â ïðîöåññå ìåíÿåòñÿ òàê, ÷òî pV 2 = const . Íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ãàçà T1 = 300 Ê . Íàéäèòå êîíå÷íóþ òåìïåðàòóðó. Íàéäèòå òàêæå ðàáîòó ãàçà â ïðîöåññå (åñëè íå ïîëó÷èòñÿ íàéòè òî÷íî, ïîñ÷èòàéòå ïðèáëèæåííî) è ïîëó÷åííîå â ïðîöåññå êîëè÷åñòâî òåïëîòû. Ñ òåìïåðàòóðîé âñå ÿñíî – îáúåì óâåëè÷èëñÿ â ïðîöåññå â 5 ðàç, äàâëåíèå óìåíüøèëîñü â 52 = 25 ðàç, òåìïåðàòóðà óïàëà â 5 ðàç è ñîñòàâèëà T2 = 60 K . Ðàáîòó ãàçà ìîæíî íàéòè ðàçíûìè ñïîñîáàìè, ìû ïîñ÷èòàåì ïðîñòîé èíòåãðàë. Âûðàçèì äàâëåíèå ãàçà êàê ôóíêöèþ åãî îáúåìà: p = α V 2 . Ïðè V = V1 äàâëåíèå ñîñòàâëÿëî p1 = RT V1 , ïîýòîìó α = RTV 1 1. Òåïåðü íàéäåì ðàáîòó ãàçà: A=

V2

æ 1

= 1 1ç ò p dV = RTV è V1 V2 ø÷

V1

æ V1 ö 3 = RT1 ç 1 - ÷ = 8,3 × 300 × 0,8 Äæ » 2 × 10 Äæ . V2 ø è

Âíóòðåííÿÿ ýíåðãèÿ ãàçà óìåíüøèëàñü íà âåëè÷èíó 1,5RT1 - 1,5RT2 » 3 × 103 Äæ . Ãàç â ýòîì ïðîöåññå òåïëî îòäàâàë: Q = A + ∆U » 2 êÄæ - 3 êÄæ » -1 êÄæ . Ð.Ãàçîâ Ô2083. Ê áàòàðåéêå ïîäêëþ÷àþò àìïåðìåòð (âîîáùå ãîâîðÿ, òàê ïîñòóïàòü íå ñëåäóåò!) – îí ïîêàçûâàåò ñèëó òîêà 1 À. Ïàðàëëåëüíî ïîäêëþ÷àþò åùå îäèí òàêîé æå àìïåðìåòð – òåïåðü îíè â ñóììå ïîêàçûâàþò 1,2 À. Ñêîëüêî â ñóììå ïîêàæóò 2008 òàêèõ æå àìïåðìåòðîâ, åñëè èõ ïîäêëþ÷èòü ê áàòàðåéêå ïàðàëëåëüíî? Î÷åâèäíî, ÷òî àìïåðìåòðû íå èäåàëüíûå – ïðè èäåàëüíûõ àìïåðìåòðàõ ñîïðîòèâëåíèå âíåøíåé öåïè îñòàâàëîñü áû íåèçìåííûì è ñóììà ïîêàçàíèé àìïåðìåòðîâ íå ìåíÿëàñü áû. ßñíî, ÷òî è áàòàðåéêà íå èäåàëüíà – ïðè ïîäêëþ÷åíèè ê òàêîé áàòàðåéêå «ëèøíèõ» àìïåðìåòðîâ ïîêàçàíèÿ ïðåäûäóùèõ íå ìåíÿëèñü áû è ñóììà äîëæíà áûëà ðàñòè ïðîïîðöèîíàëüíî ÷èñëó àìïåðìåòðîâ, ò.å. äëÿ äâóõ àìïåðìåòðîâ äîëæíî áûëî áûòü 2À. Îáîçíà÷èì ñîïðîòèâëåíèå àìïåðìåòðà R, à âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå áàòàðåéêè r. Òîãäà ëåãêî ñîñòàâèòü äâà óðàâíåíèÿ: U U = I2 . = I1 , R 2+r R+r Âñå òðè íåèçâåñòíûå âåëè÷èíû îòñþäà íàéòè íåëüçÿ – íî íàì äîñòàòî÷íî îïðåäåëèòü îòíîøåíèå ñîïðîòèâëåíèé r/R. Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèÿ òîêîâ è ðàçäåëèâ óðàâíåíèÿ äðóã íà äðóãà, ìû ëåãêî ïîëó÷èì R = 0,5r. Òîê ÷åðåç áàòàðåéêó ïðè 2008 àìïåðìåòðàõ áóäåò ðàâåí I2008 =

I1 (r + r 2) U = » 1,5 A . r + R 2008 r + r (2 × 2008)

Ìîæíî ïîñ÷èòàòü è òî÷íåå, íî íèêàêîé àìïåðìåòð ðàçíèöû íå ïî÷óâñòâóåò… Ò.Îêîâ Ô2084. Îäíà èç êâàäðàòíûõ ïëàñòèí ïëîñêîãî êîíäåíñàòîðà çàêðåïëåíà, à âòîðàÿ ìîæåò ñâîáîäíî ñìåùàòüñÿ ïàðàëëåëüíî, îñòàâàÿñü íà ðàññòîÿíèè d îò ïåðâîé. Ìàññà ïîäâèæíîé ïëàñòèíû Ì, ïëîùàäü êàæäîé èç ïëàñòèí S. Êîíäåíñàòîð çàðÿäèëè äî íàïðÿæåíèÿ U0 . Ñäâèíåì òåïåðü ïîäâèæíóþ ïëàñòèíó îòíîñèòåëüíî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Íàéäèòå ïåðèîä ìàëûõ êîëåáàíèé ýòîé ïëàñòèíû. Çàâèñèò ëè îí îò òîãî, êàê ìû ñäâèíóëè ïëàñòèíó? Ñèëà òÿæåñòè îòñóòñòâóåò. Äëÿ îïðåäåëåííîñòè ñäâèíåì ïëàñòèíó íà ìàëîå ðàññòîÿíèå õ ïàðàëëåëüíî îäíîìó èç ðåáåð òàê, ÷òîáû ïëàñòèíû îñòàëèñü ïàðàëëåëüíûìè äðóã äðóãó è ðàññòîÿíèå ìåæäó èõ ïëîñêîñòÿìè áûëî, êàê è ðàíüøå, ðàâíî d (ñäåëàåì íàïðàâëÿþùèå, ïîçâîëÿþùèå ïëàñòèíå äâèãàòüñÿ èìåííî òàê è áåç òðåíèÿ). Òîãäà åìêîñòü êîíäåíñàòîðà óìåíüøèòñÿ – îíà îïðåäåëÿåòñÿ òîëüêî ÷àñòÿìè ïëàñòèí, ðàñïîëîæåííûõ îäíà ïðîòèâ äðóãîé: C0 =

ε0 S ε S* ε0 è C1 = 0 = d d

(

S - 2x d

)

S

.


ÇÀÄÀ×ÍÈÊ

ßñíî, ÷òî åñëè ìû îñòàâèì èñòî÷íèê ïîäêëþ÷åííûì ê ïëàñòèíàì, òî âîçâðàùàþùåé ñèëû íå áóäåò, à çíà÷èò, íèêàêèõ êîëåáàíèé ïðîñòî íå âîçíèêíåò. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî èñòî÷íèê îòêëþ÷àþò, òîãäà çàðÿä êîíäåíñàòîðà Q = C0U0 ìîæíî ñ÷èòàòü íåèçìåííûì. Íàéäåì èçìåíåíèå ýíåðãèè çàðÿæåííîãî êîíäåíñàòîðà ïðè ñäâèãå ïëàñòèíû íà ìàëîå ðàññòîÿíèå õ â óêàçàííîì íàïðàâëåíèè: Q2 Q2 Q2 x W1 - W0 = = . C0 S 2C1 2C0 Ñ÷èòàÿ ñèëó, íåîáõîäèìóþ äëÿ òàêîãî ñìåùåíèÿ, íåèçìåííîé íà ìàëîì îòðåçêå õ, äëÿ «âîçâðàùàþùåé» ñèëû ïîëó÷èì C U2 Q2 = 0 0 . F= C0 S S Ñèëà ïîëó÷èëàñü ïîñòîÿííîé – êîëåáàíèÿ íå áóäóò ãàðìîíè÷åñêèìè. Ïðè ðàâíîóñêîðåííîì äâèæåíèè ÷åòâåðòü ïåðèîäà êîëåáàíèé τ îïðåäåëèòñÿ èç óðàâíåíèÿ τ2 (F M ) = x , èëè τ = 2xM . Âèäíî, ÷òî ýòîò ïåðèîä 2 F T = 4τ çàâèñèò îò âåëè÷èíû íà÷àëüíîãî ñìåùåíèÿ ïëàñòèíû. ßñíî, ÷òî åñëè ïëàñòèíó ñìåùàòü íà òó æå âåëè÷èíó õ, íî â äðóãîì íàïðàâëåíèè (íàïðèìåð, ïàðàëëåëüíî äèàãîíàëè ïëàñòèíû), èçìåíåíèå åìêîñòè ïðè òîì æå ñìåùåíèè áóäåò äðóãèì, äðóãîé áóäåò è âîçâðàùàþùàÿ ñèëà, à çíà÷èò – è ïåðèîä êîëåáàíèé èçìåíèòñÿ. Ç.Ðàôàèëîâ Ô2085. Êàòóøêà èíäóêòèâíîñòüþ L è ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî, ê âûâîäàì öåïî÷êè î÷åíü äàâíî ïîäêëþ÷åí âíåøíèé èñòî÷íèê, òîê â åãî öåïè ðàâåí I0 . Òîê â öåïè èñòî÷íèêà î÷åíü áûñòðî óâåëè÷èâàþò â 3 ðàçà. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèòñÿ â ðåçèñòîðå ïîñëå ýòîãî? Êàêîé ïîëíûé çàðÿä ïðîòå÷åò ÷åðåç ðåçèñòîð? Òîê ÷åðåç êàòóøêó ïåðåä èçìåíåíèåì òîêà âíåøíåé öåïè ïðèìåì ðàâíûì I0 – èñòî÷íèê áûë ïîäêëþ÷åí î÷åíü äàâíî è òîê ÷åðåç êàòóøêó óæå óñòàíîâèëñÿ. Ñðàçó ïîñëå óâåëè÷åíèÿ òîêà â öåïè èñòî÷íèêà äî 3I0 òîê ÷åðåç êàòóøêó îñòàëñÿ ïðåæíèì, à çàòåì íà÷àë ïîíåìíîãó óâåëè÷èâàòüñÿ – ÷åðåç äîñòàòî÷íî áîëüøîå âðåìÿ îí âîçðàñòåò äî 3I0 . Íàïðÿæåíèå íà ðåçèñòîðå ðàâíî ÝÄÑ èíäóêöèè êàòóøêè, ïîýòîìó, îáîçíà÷èâ J – òîê êàòóøêè è I – òîê ÷åðåç ðåçèñòîð â ýòîò æå ìîìåíò, äëÿ ìàëîãî èíòåðâàëà âðåìåíè ∆t ïîëó÷èì ∆J -L = RI . ∆t Ïåðåïèøåì ÷óòü èíà÷å: - L∆J = RI∆t = R∆q , ãäå ∆q – «ïîðöèÿ» çàðÿäà, ïðîòåêøåãî ÷åðåç ðåçèñòîð çà óêàçàííûé ìàëûé èíòåðâàë âðåìåíè. Ñóììèðóÿ çà áîëüøîå âðåìÿ, ïîëó÷èì ñëåâà ïîëíîå èçìåíåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà ÷åðåç êàòóøêó, à ñïðàâà – ñóììàðíûé çàðÿä, ïðîòåêøèé ÷åðåç ðåçèñòîð:

qR = 2LI0 (êóäà òå÷åò çàðÿä ÷åðåç ðåçèñòîð – ïîíÿòíî, íà çíàê

'

«ÊÂÀÍÒÀ»

ïîëó÷åííîãî âûðàæåíèÿ ìîæíî âíèìàíèÿ íå îáðàùàòü). Îòâåò íà ïåðâûé âîïðîñ ÷óòü ñëîæíåå. Ñóììà òîêîâ ÷åðåç êàòóøêó è ðåçèñòîð îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé è ðàâíîé 3I0 . Òîãäà çàïèøåì ∆ (3I0 - I) ∆J -L = -L = RI , ∆t ∆t èëè - L∆ (3I0 - I) = RI∆t .

Äîìíîæèì îáå ÷àñòè óðàâíåíèÿ íà I, ÷òîáû ïîñëå ñóììèðîâàíèÿ ïîëó÷èòü ñïðàâà ïîëíîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q, âûäåëèâøååñÿ çà áîëüøîå âðåìÿ â ðåçèñòîðå: - LI∆ (3I0 - I) = RI2 ∆t . Ðàçîáüåì ëåâóþ ÷àñòü íà äâà ñëàãàåìûõ è ïðîñóììèðóåì çà áîëüøîå âðåìÿ: Q = - ΣLI∆ (3I0 ) + ΣLI∆ ( I) = 2

æ LI2 ö L (3I0 ) LI02 = 0 + ∆ç = = 4LI02 . ÷ 2 2 è 2 ø À.Çèëüáåðìàí

Ô2086. Äâå îäèíàêîâûå êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè ñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî. Âûâîäû ïîëó÷èâøåéñÿ öåïî÷êè ïîäêëþ÷åíû ê çâóêîâîìó ãåíåðàòîðó ïîñëåäîâàòåëüíî ñ íèçêîâîëüòíîé ëàìïî÷êîé äëÿ ôîíàðèêà. Ïàðàëëåëüíî îäíîé èç êàòóøåê ïîäêëþ÷àþò êîíäåíñàòîð è íà÷èíàþò èçìåíÿòü â øèðîêèõ ïðåäåëàõ ÷àñòîòó ãåíåðàòîðà. Íà ÷àñòîòå f = 600 Ãö íàáëþäàåòñÿ ÷åòêèé ìèíèìóì ñâå÷åíèÿ íèòè íàêàëà ëàìïî÷êè. Íà êàêîé ÷àñòîòå (÷àñòîòàõ) ëàìïî÷êà áóäåò ãîðåòü ÿð÷å âñåãî? Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî êàòóøêè è êîíäåíñàòîð â öåïè èäåàëüíûå (âî-ïåðâûõ, ýòî ñèëüíî óïðîùàåò íàøè âû÷èñëåíèÿ, à âî-âòîðûõ, â óñëîâèè çàäà÷è ñêàçàíî «÷åòêèé ìèíèìóì» – ïðè ñèëüíî íåèäåàëüíûõ ýëåìåíòàõ îí áûë áû íå÷åòêèì, ðàçìàçàííûì). Òîãäà ÿñíî, ÷òî ìèíèìóìó ñîîòâåòñòâóåò ÷àñòîòà ω1 ïàðàëëåëüíîãî LC-êîíòóðà: 1 ω12 = , LC ïðè ýòîì åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå êîíäåíñàòîðà ðàâíî ïî âåëè÷èíå èíäóêòèâíîìó ñîïðîòèâëåíèþ êàòóøêè. Ìàêñèìóì ïîëó÷èòñÿ íà ÷àñòîòå ω2 , ïðè êîòîðîé ïî öåïè L–LC òå÷åò òîê, íî íàïðÿæåíèå íà åå çàæèìàõ ðàâíî íóëþ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî òîêè, òåêóùèå ÷åðåç êàòóøêè, ðàâíû ïî âåëè÷èíå è ïðîòèâîïîëîæíû ïî ôàçå (òîëüêî òîãäà è ïîëó÷èòñÿ íóëåâîå íàïðÿæåíèå). Íî â ýòîì ñëó÷àå òîê ÷åðåç êîíäåíñàòîð äîëæåí áûòü âäâîå áîëüøå òîêà îäíîé êàòóøêè (ïðè òîì æå íàïðÿæåíèè), ò.å. íà ÷àñòîòå ω2 åìêîñòíîå ñîïðîòèâëåíèå êîíäåíñàòîðà äîëæíî áûòü âäâîå ìåíüøå èíäóêòèâíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ êàòóøêè: 1 = 0,5ω2 L . ω2C Îòñþäà ω2 = 2. ω1


!

ÊÂÀÍT 2008/¹3

×àñòîòà, íà êîòîðîé áóäåò ìàêñèìàëüíîå ñâå÷åíèå íèòè íàêàëà, â 1,41 ðàçà áîëüøå ÷àñòîòû ìèíèìóìà è ñîñòàâëÿåò ïðèìåðíî 850 Ãö (íà ïðàêòèêå ìàêñèìóì íå áóäåò «âûðàæåí ÷åòêî»). Ëàìïî÷êà áóäåò ñâåòèòüñÿ ÿðêî íå òîëüêî íà ýòîé ÷àñòîòå, íî è íà äîñòàòî÷íî íèçêèõ ÷àñòîòàõ, ãäå èíäóêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå íàøåé öåïè áóäåò íåáîëüøèì, à òîê êîíäåíñàòîðà îêàæåòñÿ ïðåíåáðåæèìî ìàëûì (âïðî÷åì, ýòî òîëüêî â òåîðèè – íà ïðàêòèêå çâóêîâîé ãåíåðàòîð ìîæåò è íå îòäàòü íóæíîãî òîêà â íèçêîîìíóþ íàãðóçêó). Ð.Ñòàðîâ Ô2087. Íåáîëüøàÿ ïëîñêîâûïóêëàÿ ëèíçà îòøòàìïîâàíà èç ïðîçðà÷íîé ïëàñòìàññû. Ôîðìà âûïóêëîé ïîâåðõíîñòè àêêóðàòíî ðàññ÷èòàíà ïðè ïîìîùè ÝÂÌ, îíà îòëè÷àåòñÿ îò ñôåðè÷åñêîé (ñôåðè÷åñêàÿ ïîâåðõíîñòü «ñîáèðàåò» ëó÷è ïàðàëëåëüíîãî ïó÷êà â ôîêóñå òîëüêî ïðèáëèçèòåëüíî). Äèàìåòð ïëîñêîé ïîâåðõíîñòè ëèíçû 2 ñì, òîëùèíà ëèíçû 0,5 ñì. Íàéäèòå

Èòîãè Âñåðîññèéñêîãî êîíêóðñà ó÷èòåëåé ôèçèêè è ìàòåìàòèêè Ïîäâåäåíû èòîãè ïÿòîãî êîíêóðñà øêîëüíûõ ó÷èòåëåé Ôîíäà Äìèòðèÿ Çèìèíà «Äèíàñòèÿ».  ýòîì ãîäó âïåðâûå ó÷èòåëüñêèé êîíêóðñ ïðîâîäèëñÿ â ÷åòûðåõ íîìèíàöèÿõ. Ê ñòàâøèì óæå òðàäèöèîííûìè íîìèíàöèÿì «Ìîëîäîé ó÷èòåëü», «Ó÷èòåëü, âîñïèòàâøèé Ó÷åíèêà» è

ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû. Êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ ïëàñòìàññû 1,5. Âîñïîëüçóåìñÿ èçâåñòíûì ñâîéñòâîì ñîáèðàþùåé ëèíçû (è íå òîëüêî ñîáèðàþùåé ëèíçû!): åñëè íà ëèíçó ïàäàåò ïàðàëëåëüíûé ïó÷îê ëó÷åé (âûáåðåì ñàìûé óäîáíûé ñëó÷àé – ëó÷è ïàäàþò íà ïëîñêóþ ñòîðîíó ëèíçû ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòîé ïëîñêîñòè), òî ïó÷îê ñõîäèòñÿ â ãëàâíîì ôîêóñå ëèíçû (íà ðèñóíêå ýòî òî÷êà F) è âðåìÿ ðàñïðîñòðàíåíèÿ ëþáîãî ëó÷à äî ýòîé òî÷êè îäíî è òî æå. Ñðàâíèì âðåìåíà ðàñïðîñòðàíåíèÿ äëÿ êðàéíåãî è äëÿ öåíòðàëüíîãî ëó÷åé. Öåíòðàëüíûé äîëæåí ïð��éòè ìåíüøåå ðàññòîÿíèå, íî ÷àñòü ïóòè (âíóòðè ëèíçû) åãî ñêîðîñòü ìåíüøå â n = 1,5 ðàçà. Òîãäà AF OB BF = + , c cn c

èëè, åñëè îáîçíà÷èòü BF = x,

( x + d)2 + D2

4

dn x = + c c c (çäåñü òîëùèíà ëèíçû d = 0,5 ñì, äèàìåòð ëèíçû D = = 2 ñì, êîýôôèöèåíò ïðåëîìëåíèÿ ìàòåðèàëà ëèíçû n = 1,5). Ïîñëå âîçâåäåíèÿ ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòåé ïîñëåäíåãî ðàâåíñòâà â êâàäðàò, ïîëó÷àåì ïðîñòîå óðàâíåíèå ïåðâîé ñòåïåíè îòíîñèòåëüíî õ. Ðåøàÿ, ïîëó÷àåì x » 1,4 ñì . Åñëè áû îáîçíà÷èëè çà õ äëèíó îòðåçêà OF, òî óðàâíåíèå ïîëó÷èëîñü áû êóäà áîëåå ãðîìîçäêèì. À òåïåðü ìû ëåãêî íàéäåì èñêîìîå ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå: OF = x + d » 1,6 ñì . Ç.Î÷êîâ

«Íàñòàâíèê áóäóùèõ ó÷åíûõ» äîáàâèëàñü íîâàÿ – ïðåìèÿ «Çà âûäàþùèåñÿ çàñëóãè â îáëàñòè ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ». Ëàóðåàòàìè ýòîé ïðåìèè ñòàëè òðè ó÷èòåëÿ, ÷åé àâòîðèòåò â ïåäàãîãè÷åñêîì ñîîáùåñòâå îáùåïðèçíàí, à íàó÷íûå äîñòèæåíèÿ ó÷åíèêîâ èçâåñòíû äàëåêî çà ïðåäåëàìè íàøåé ñòðàíû. Ýòî Çèëüáåðìàí Àëåêñàíäð Ðàôàèëîâè÷ – Ìîñêâà, Ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà» (ôèçèêà), Ñëóöêèé Þðèé Ëàçàðåâè÷ – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239 (ôèçèêà), Õàçàíêèí Ðîìàí Ãðèãîðüåâè÷ –Áåëîðåöê, ÁÊØ (ìàòåìàòèêà). Âñå ïîáåäèòåëè êîíêóðñà ïîëó÷àò ãðàíòû â ðàçìåðå 35000 ðóáëåé, à òðîèì ëàóðåàòàì ïðåìèè «Çà âûäàþùèåñÿ çàñëóãè â îáëàñòè ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ» áóäåò âûïëà÷åíî ïî 150000 ðóáëåé. Ìû èñêðåííå ïîçäðàâëÿåì íàøåãî ëþáèìîãî ñîòðóäíèêà è àâòîðà, áåññìåííîãî âåäóùåãî ðàçäåë «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» (ïî ôèçèêå) Àëåêñàíäðà Ðàôàèëîâè÷à Çèëüáåðìàíà ñ ïðèñóæäåíèåì ïðåìèè «Çà âûäàþùèåñÿ óñïåõè â îáëàñòè ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ».


ÊÌØ

Çàäà÷è 1.

 àðèôìåòè÷åñêîì ðåáóñå FOUR + FIVE = NINE

îäèíàêîâûå áóêâû îáîçíà÷àþò îäèíàêîâûå öèôðû, ðàçíûå áóêâû – ðàçíûå öèôðû. Ïðè ýòîì FOUR äåëèòñÿ íà 4, à FIVE – íà 5. Äåëèòñÿ ëè NINE íà 9? È.Àêóëè÷

3.

 òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ ïðîâåäåíû âûñîòà ÂÍ, ìåäèàíà ÂÌ è ñðåäíÿÿ ëèíèÿ PQ . Äîêàæèòå, ÷òî èç êðàñíîãî è ñèíåãî òðåóãîëüíèêîâ ìîæíî ñîñòàâèòü çåëåíûé òðåóãîëüíèê. À.Æóêîâ

4. 2.

Ìîæíî ëè íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî 16 ðàçáèòü íà 8 ïàð òàê, ÷òîáû ñóììû â ïàðàõ îêàçàëèñü ðàçëè÷íûìè ïðîñòûìè ÷èñëàìè? À.Ãðèáàëêî

Íàòóðàëüíûå ÷èñëà a, b, c òàêîâû, ÷òî òðè ÷èñëà = + 2b + 1, > + 2c + 1, ? + 2a + 1 ÿâëÿþòñÿ êâàäðàòàìè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë. Âåðíî ëè, ÷òî a = b = =c? Â.Ïðîèçâîëîâ

5.

Ýòè çàäà÷è ïðåäíàçíà÷åíû ïðåæäå âñåãî ó÷àùèìñÿ 6 – 8 êëàññîâ.

Èëëþñòðàöèè Ä.Ãðèøóêîâîé

Ñóùåñòâóåò âñåãî ïÿòü ðàçëè÷íûõ ÷åòûðåõêëåòî÷íûõ ôèãóðîê – âñå îíè èçîáðàæåíû íà ðèñóíêå. Êëåò÷àòóþ òàáëèöó " ´ " ðàçðåçàëè íà ÷åòûðå ÷åòûðåõêëåòî÷íûå ôèãóðêè. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè íèõ íàéäóòñÿ äâå îäèíàêîâûå. À.Ãðèáàëêî


Ìû ïðåäñòàâëÿëè ñåáå àòîìû, ÷àñòèöû, êîëåáàíèÿ è âîëíû, êîòîðûõ íèêîãäà íå âèäèò ãëàç, íå ñëûøèò óõî è êîòîðûå ìîæíî ðàçëè÷èòü òîëüêî ïðè ïîìîùè âîîáðàæåíèÿ. Äæîí Òèíäàëü

ïðè÷èíà, âñëåäñòâèå êîòîðîé îí ñëàáååò… Îí òåðÿåò ÷àñòü ñâîåé ýíåðãèè, è ìû ãîâîðèì â ýòîì ñëó÷àå î «ïîãëîùåíèè (àáñîðáöèè) çâóêà», î «ïîãëîùàþùèõ çâóê âåùåñòâàõ»… Óèëüÿì Ãåíðè Áðýãã

 îïòèêå è àêóñòèêå ýòè îïûòû ðàññìàòðèâàþòñÿ êàê äîêàçàòåëüñòâà âîëíîâîé ïðèðîäû ñâåòà è çâóêà… Ãåíðèõ Ãåðö

Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøèé ïðèìåð – ðàñïðîñòðàíåíèå çâóêà â îäíîìåðíîì ïðîñòðàíñòâå. Äëÿ âûâîäà íàì ñíà÷àëà íåîáõîäèìî ïîíÿòü, ÷òî æå â äåéñòâèòåëüíîñòè ïðîèñõîäèò. Ðè÷àðä Ôåéíìàí

Êîãäà çâóê ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ ïî âîçäóõó, ïî âîäå è â òâåðäîì òåëå, òî… îí ðàññåèâàåòñÿ. Íî åñòü è äðóãàÿ

?

À òàê ëè õîðîøî çíàêîìî âàì

ðàñïðîñòðàíåíèå çâóêà Íåìàëî ôèçèêîâ, çàíèìàþùèõñÿ àêóñòèêîé, îáðàùàëè âíèìàíèå íà ñõîæåñòü íåêîòîðûõ çâóêîâûõ ÿâëåíèé ñ îïòè÷åñêèìè. Âåðíî è îáðàòíîå: èçó÷åíèå ñâåòà ïîáóæäàëî èñêàòü àíàëîãèè ñ ðàñïðîñòðàíåíèåì çâóêîâûõ êîëåáàíèé. Ñ òåì æå ñòîëêíóëèñü è ìû, ðåøèâ ïîñâÿòèòü íîâûé âûïóñê «Êàëåéäîñêîïà» âîëíîâûì ïðîöåññàì, – îáíàðóæèëè ìíîæåñòâî òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ àêóñòèêè è îïòèêè. Ïðèøëîñü äåëèòü òåìó ïîïîëàì, è åñëè ìû ñåãîäíÿ ñîñðåäîòî÷èìñÿ íà çâóêå, òî â ñëåäóþùèé ðàç îáÿçàòåëüíî îáðàòèìñÿ ê ýëåêòðîìàãíèòíûì âîëíàì, ïðåæäå âñåãî – ñâåòîâûì. Îòìåòèì ñðàçó, ÷òî è òóò è òàì âî âñåì ðàçíîîáðàçèè âîëíîâûõ ÿâëåíèé â ïåðâóþ î÷åðåäü íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü ñèòóàöèè, ñâÿçàííûå ñ ðàññåÿíèåì è ïîãëîùåíèåì. Íåëüçÿ ñêàçàòü, ÷òî èì óäåëåíî äîñòàòî÷íî âíèìàíèÿ â êóðñå ýëåìåíòàðíîé ôèçèêè, â òî âðåìÿ êàê â æèçíè ìû âñòðå÷àåìñÿ ñ íèìè ïîâñåäíåâíî. Åñëè ãîâîðèòü î çâóêîâûõ âîëíàõ, òî îíè – îäèí èç ãëàâíåéøèõ èñòî÷íèêîâ èíôîðìàöèè îá îêðóæàþùåì íàñ ìèðå. Ðàçãîâîðíàÿ ðå÷ü, ìóçûêà, çâóêè æèâîé ïðèðîäû, îáìåí ñîîáùåíèÿìè ïî òåëåôîíó, àóäèîòåõíèêà – ìû æèâåì â àêóñòè÷åñêè íàñûùåííîé àòìîñôåðå. Íåèçìåðèìî âîçðîñëà è ïëîòíîñòü âðåäíûõ çâóêî⠖ ðàçäðàæàþùèõ, à ïîðîé è ïðîñòî îïàñíûõ äëÿ çäîðîâüÿ øóìîâ. Êàê äîíåñòè îäíè èç íèõ äî íàñ ñ âîçìîæíî ìåíüøèìè ïîòåðÿìè è èñêàæåíèÿìè, à äðóãèå (åñëè íå óäàåòñÿ èçáàâèòüñÿ îò íèõ) õîòÿ áû îñëàáèòü? Êàê ïîñòàâèòü íàì íà ñëóæáó íåñëûøèìûå çâóêè?  ïîèñêàõ îòâåòîâ ïîñëåäóåì ñîâåòó Ôåéíìàíà è íà÷íåì ñ îòíîñèòåëüíî ïðîñòûõ àêóñòè÷åñêèõ ïðèìåðîâ. Âîïðîñû è çàäà÷è 1. Ïî÷åìó çàêðûòûå îêíà ãîðàçäî çàìåòíåå çàùèùàþò îò äîðîæíûõ øóìîâ ïîìåùåíèÿ íà âåðõíèõ ýòàæàõ çäàíèÿ, ÷åì íà íèæíèõ? 2. Èçâåñòíî, ÷òî äåðåâî ïðîâîäèò çâóê ëó÷øå, ÷åì

âîçäóõ. Îò÷åãî æå ðàçãîâîð, ïðîèñõîäÿùèé â ñîñåäíåé êîìíàòå, çàãëóøàåòñÿ, êîãäà äåðåâÿííàÿ äâåðü â ýòó êîìíàòó çàêðûòà? 3. Ïî÷åìó çâóê ïîëó÷àåòñÿ áîëåå ãðîìêèì, åñëè ñòó÷àòü íå â ñòåíó, à â äâåðü? 4. Êóäà äåâàåòñÿ ýíåðãèÿ çâóêîâûõ êîëåáàíèé, êîãäà çâóê «çàìèðàåò»? 5. Çà÷åì ñóôëåðñêóþ áóäêó îáèâàþò âîéëîêîì? 6. Ïðè âûñòóïëåíèè îðêåñòðà â áîëüøîì çàëå ìóçûêà çâó÷èò ïî-ðàçíîìó â çàâèñèìîñòè îò òîãî, çàïîëíåí çàë ëþäüìè èëè ïóñò. ×åì ýòî îáúÿñíèòü? 7. Íàøè ïðåäêè ìîãëè ðàññëûøàòü äàëåêèé òîïîò êîïûò, ïðèïàâ óõîì ê çåìëå. Ïî÷åìó æå ýòîò çâóê íå áûë ñëûøåí â âîçäóõå? 8. Îò÷åãî â òóìàí ãóäêè, íàïðèìåð ýëåêòðè÷åê èëè òåïëîõîäîâ, ñëûøíû íà áîëüøåì ðàññòîÿíèè, ÷åì â ÿñíóþ ïîãîäó? 9. Êîëåáëþùèéñÿ â ðóêå êàìåðòîí çâó÷èò òèõî, à åñëè ïîñòàâèòü åãî íîæêó íà ñòîë, ãðîìêîñòü çâó÷àíèÿ âîçðàñòàåò. Ïî÷åìó? 10. Äîëüøå ëè áóäåò çâó÷àòü «ãðîìêèé» êàìåðòîí èç ïðåäûäóùåé çàäà÷è ïî ñðàâíåíèþ ñ «òèõèì»? 11. Êàê îáúÿñíèòü òîò ôàêò, ÷òî íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè ãîëîñ ìîæåò áûòü è ñëûøåí, íî ñëîâ ïðè ýòîì ðàçîáðàòü íåëüçÿ? 12. Ó÷àñòíèêàì àíòàðêòè÷åñêèõ ýêñïåäèöèé, êîãäà îíè ïðîðûâàëè òóííåëè â ñíåãó, ïðèõîäèëîñü êðè÷àòü, ÷òîáû áûòü óñëûøàííûìè äàæå íà ðàññòîÿíèè â ïÿòü ìåòðîâ. Îäíàêî ñëûøèìîñòü çàìåòíî âîçðàñòàëà, êîãäà ñòåíêè òóííåëÿ óòðàìáîâûâàëè. Ñ ÷åì ýòî ñâÿçàíî? 13. Ïî÷åìó â êîìíàòå îáû÷íûõ ðàçìåðîâ íå áûâàåò ýõà? 14. Îò÷åãî ýõî îò âûñîêîãî çâóêà, íàïðèìåð êðèêà, îáû÷íî ãðîì÷å è îò÷åòëèâåå, ÷åì îò íèçêîãî? 15. Ñëó÷àéíî çàëåòàÿ â îêíî, ëåòó÷àÿ ìûøü èíîãäà ñàäèòñÿ ëþäÿì íà ãîëîâó. Ïî÷åìó? 16.  ìîäåëè èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå «ãàëåðåè øåïîòîâ» çâóêîâûå âîëíû îò ñâèñòêà çàñòàâëÿëè


ìåðöàòü ïëàìÿ ñâå÷è, óñòàíîâëåííîé ó ïðîòèâîïîëîæíîé ñòåíû. Íî ìåðöàíèå ïðåêðàùàëîñü, åñëè ñáîêó îò ïëàìåíè è ñâèñòêà âáëèçè ñòåíû ïîìåùàëè óçêèé ýêðàí. Êàê æå ýòîò ýêðàí ïðåãðàæäàë ïóòü çâóêó? 17. Îò÷åãî èíîãäà çâóêîâîé «ëó÷» ëîêàòîðà, íàïðàâëåííûé íà ïîäâîäíóþ ëîäêó ñ íåáîëüøîãî ðàññòîÿíèÿ, òåì íå ìåíåå íå äîñòèãàåò åå? Ìèêðîîïûò Ïîäåëèòåñü ñóõàðèêàìè ñî ñâîèì òîâàðèùåì è íà÷íèòå âìåñòå ñ íèì èõ ãðûçòü. Íå êàæåòñÿ ëè âàì, ÷òî âû ïðîèçâîäèòå ãîðàçäî áîëüøå øóìà, ÷åì íàõîäÿùèéñÿ ðÿäîì ñîñåä? Ïî÷åìó? Ëþáîïûòíî, ÷òî… …äàâíî èçâåñòíûå â ìåäèöèíå ñïîñîáû äèàãíîñòèêè – âûñòóêèâàíèå è ïðîñëóøèâàíèå – íàøëè ïðèìåíåíèå â àêóñòè÷åñêîé äåôåêòîñêîïèè, ïîçâîëÿþùåé ïî ðàññåÿíèþ è ïîãëîùåíèþ ïîñëàííîãî â èññëåäóåìóþ ñðåäó çâóêîâîãî ñèãíàëà îïðåäåëèòü íàëè÷èå â íåé íåîäíîðîäíîñòåé. …ðàçãàäêà îïèñàííîãî â çàäà÷å 16 ýôôåêòà «ãàëåðåè øåïîòîâ» áûëà íàéäåíà â 1904 ãîäó çíàìåíèòûì ëîðäîì Ðýëååì âî âðåìÿ åãî íàáëþäåíèé è ýêñïåðèìåíòîâ â Ëîíäîíñêîì ñîáîðå ñâÿòîãî Ïàâëà. Ïî÷òè ÷åðåç ñòî ëåò ïîäîáíàÿ ðàçíîâèäíîñòü âîëí ñòàëà ïðåäìåòîì èññëåäîâàíèÿ è ïðèìåíåíèÿ â îïòèêå, íàïðèìåð – äëÿ ÷àñòîòíîé ñòàáèëèçàöèè ëàçåðîâ èëè ïðåîáðàçîâàíèÿ ÷àñòîòû ñâåòîâîãî ëó÷à. …èíôðàçâóêîâûå âîëíû î÷åíü ñëàáî çàòóõàþò â àòìîñôåðå, îêåàíå è çåìíîé êîðå. Òàê, ìîùíîå íèçêî÷àñòîòíîå âîçìóùåíèå, âûçâàííîå èçâåðæåíèåì â 1883 ãîäó èíäîíåçèéñêîãî âóëêàíà Êðàêàòàó, îáåæàëî çåìíîé øàð äâàæäû. …ñ óäàëåíèåì îò ýïèöåíòðà ÿäåðíîãî âçðûâà óäàðíàÿ âîëíà ïðåâðàùàåòñÿ â àêóñòè÷åñêóþ, ïðè÷åì êîðîòêèå âîëíû çàòóõàþò áûñòðåå, ÷åì äëèííûå, è íà áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ ñîõðàíÿþòñÿ ëèøü êîëåáàíèÿ íèçêèõ ÷àñòîò. Ôèêñàöèÿ òàêèõ – èíôðàçâóêîâûõ – âîëí áûëà ïðåäëîæåíà â ñåðåäèíå 50-õ ãîäîâ ïðîøëîãî âåêà àêàäåìèêîì È.Ê.Êèêîèíûì êàê ìåòîä îáíàðóæåíèÿ ÿäåðíûõ âçðûâîâ, êîòîðûé âïîñëåäñòâèè óñïåøíî ïðèìåíÿëñÿ äëÿ ðåãèñòðàöèè èñïûòàíèé, ïðîâîäèìûõ ÑØÀ â Òèõîì îêåàíå. …èçîáðåòåíèþ Áåëëîì òåëåôîíà ïðåäøåñòâîâàëî îñíîâàòåëüíîå èçó÷åíèå èì àêóñòèêè è ìíîãîëåòíÿÿ ðàáîòà â áîñòîíñêîé øêîëå äëÿ ãëóõîíåìûõ, êîòîðûì ïðåäíàçíà÷àëèñü òàêæå ñêîíñòðóèðîâàííûå èì óñèëèòåëè çâóêà è ïðèáîðû äëÿ îáó÷åíèÿ ïîíèìàíèþ ðå÷è. …îñîáåííîñòü ñâåæåâûïàâøåãî ñíåãà ïîãëîùàòü â îñíîâíîì âûñîêèå ÷àñòîòû áûëà çàìå÷åíà àíãëèéñ-

êèì ôèçèêîì Òèíäàëåì, ñîâìåùàâøèì àêóñòè÷åñêèå è îïòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ. À Ðýëåé, èñêàâøèé îáùåå âî âñåõ êîëåáàòåëüíûõ ïðîöåññàõ, ñóìåë îáúÿñíèòü ïîâûøåíèå òîíà ýõà â ñîñíîâîì ëåñó ëó÷øèì ðàññåÿíèåì è îòðàæåíèåì òîíêîé õâîåé êîðîòêèõ çâóêîâûõ âîëí, ÷åì äëèííûõ, – êàê ïðè ðàññåÿíèè ñâåòà â àòìîñôåðå. …â îäíîì èç ïîìåùåíèé êîíñåðâàòîðèè â àâñòðàëèéñêîì ãîðîäå Àäåëà��äå áûëî íåâîçìîæíî ñëóøàòü èãðó íà ðîÿëå – òàê ïðîíçèòåëüíî è ðåçêî ðåçîíèðîâàë çàë. Èç ýòîãî ïîëîæåíèÿ íàøëè âûõîä, ñâåñèâ ñ ïîòîëêà íåñêîëüêî ïîëóìåòðîâûõ â øèðèíó ïîëîñ ñàðæè – õëîï÷àòîáóìàæíîé òêàíè ñ îñîáîé îòäåëêîé ïîâåðõíîñòè, ïîçâîëÿþùåé õîðîøî ïîãëîùàòü çâóê. …çâóêîâûå êîëåáàíèÿ ÷àñòîòîé 200–400 ãåðö ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ óðîâíÿõ èõ èíòåíñèâíîñòè ìîãóò î÷åíü ñèëüíî çàìàñêèðîâàòü ïî÷òè âñå âûøåëåæàùèå ÷àñòîòû. Íàïðèìåð, ìåëîäèè îðãàíà è êîíòðàáàñà îò÷åòëèâî ñëûøíû â îðêåñòðå, õîòÿ èõ îòíîñèòåëüíàÿ ãðîìêîñòü íå ïðåâûøàåò òàêèå âûñîêîçâó÷àùèå èíñòðóìåíòû, êàê ñêðèïêà è âèîëîí÷åëü. …åñëè «îçâó÷èâàòü» ñèðåíàìè òðóáîïðîâîäû äëÿ òðàíñïîðòèðîâêè ñûïó÷èõ ãðóçî⠖ ìóêè, óãîëüíîé ïûëè, èçìåëü÷åííîé ðóäû, òî èõ ïðîïóñêíàÿ ñïîñîáíîñòü âîçðàñòàåò. Òàêèå óñòðîéñòâà èñïîëüçóþòñÿ â ïîðòàõ äëÿ âûãðóçêè ïîðîøêîîáðàçíûõ ìàòåðèàëîâ èç òðþìîâ ãðóçîâûõ ñóäîâ. Åäèíñòâåííûé èõ íåäîñòàòîê – ïðîíçèòåëüíûé âîé. …êîëåáàíèÿ çâóêîâîé ÷àñòîòû ìîãóò èñïîëüçîâàòüñÿ äëÿ ñóøêè ðàçíîîáðàçíûõ ìàòåðèàëîâ ïðè ñðàâíèòåëüíî íèçêèõ òåìïåðàòóðàõ, â òîì ÷èñëå çà ñ÷åò ìåñòíîãî èõ íàãðåâà ïðè ïîãëîùåíèè àêóñòè÷åñêèõ âîëí. …óëüòðàçâóê ñïîñîáåí «ñìåøàòü» ðòóòü èëè ìàñëî ñ âîäîé, èçìåëü÷èòü â ïîðîøîê òâåðäûå âåùåñòâà ïðè èçãîòîâëåíèè ëåêàðñòâ, ïðîäîëáèòü êâàäðàòíîå îòâåðñòèå â ìåòàëëå, ðåçàòü è ñâåðëèòü ñòåêëî è êâàðö, ñîåäèíèòü «íåïàÿþùèåñÿ» ìàòåðèàëû è ìíîãî ÷åãî åùå óäèâèòåëüíîãî, íî âîò ñîçäàòü óëüòðàçâóêîâîå îðóæèå, óâû, íåëüçÿ. Îñîáåííîñòè ðàñïðîñòðàíåíèÿ è ïîãëîùåíèÿ óëüòðàçâóêà ïðèâîäÿò ê òàêîìó ñèëüíîìó åãî çàòóõàíèþ, ÷òî äàæå íà ðàññòîÿíèå âñåãî â íåñêîëüêî äåñÿòêîâ ìåòðîâ îí ïåðåäàåò ýíåðãèþ, äîñòàòî÷íóþ äëÿ ðàáîòû ëèøü… ëàìïî÷êè îò êàðìàííîãî ôîíàðèêà. ×òî ÷èòàòü â «Êâàíòå» î ðàñïðîñòðàíåíèè çâóêà (ïóáëèêàöèè ïîñëåäíèõ ëåò) 1. «Êàëåéäîñêîï «Êâàíòà» – 2003, ¹1, ñ.32; 2. «Çâóê â ïåíå» – 2004, ¹4, ñ.12; 3. «Ðå÷ü ñ ïîçèöèè ôèçèêè è ìàòåìàòèêè» – 2006, ¹6, ñ.2; 4. «Êàê îêåàíû ãîâîðÿò äðóã ñ äðóãîì: ïîäâîäíàÿ àêóñòèêà» – 2006, Ïðèëîæåíèå ¹6, ñ.123; 5. «Ëîãàðèôìè÷åñêèå øêàëû» – 2007, ¹2, ñ.6; 6. «Âçðûâ» – 2007, ¹6, ñ.5; 7. «Óäàðíûå âîëíû è äåòîíàöèÿ» – 2008, ¹1, ñ.4; 8. «Ôèçèêà ÿäåðíîãî âçðûâà» – 2008, ¹2, ñ.7.

Ìàòåðèàë ïîäãîòîâèë À.Ëåîíîâè÷


!"

ÊÂÀÍT 2008/¹3

Íåò ïðåäåëà ñîâåðøåíñòâó! È.ÀÊÓËÈ×

È

Ç ÃËÓÁÈÍÛ ÂÅÊÎÂ ÏÐÈØËÈ Ê ÍÀÌ ÑÎÂÅÐØÅÍ-

íûå ÷èñëà. Ýòî òàêèå íàòóðàëüíûå ÷èñëà, ó êîòîðûõ ñóììà äåëèòåëåé, ñòðîãî ìåíüøèõ ñàìîãî ÷èñëà, ðàâíà ýòîìó ÷èñëó. Âîò íåñêîëüêî ïåðâûõ ñîâåðøåííûõ ÷èñåë: 6, 28, 496, 8128, 33550336, 8589869056, 137438691328… Êîíå÷íî ëè èõ ìíîæåñòâî – äîñåëå íåèçâåñòíî. Íî, îêàçûâàåòñÿ, ñîâåðøåííûìè â òîì èëè èíîì ñìûñëå ìîãóò áûòü íå òîëüêî ÷èñëà, íî è ôèãóðû. Ê òàêîâûì, ñ ëåãêîé ðóêè äðåâíèõ ïèôàãîðåéöåâ, ïðèíÿòî îòíîñèòü ìíîãîóãîëüíèêè, îáëàäàþùèå ñëåäóþùèìè äâóìÿ ñâîéñòâàìè: 1) âñå èõ ñòîðîíû – öåëûå ÷èñëà; 2) èõ ïëîùàäü ÷èñëåííî ðàâíà ïåðèìåòðó. Ñàìè ïèôàãîðåéöû àêòèâíî çàíèìàëèñü ïîèñêàìè ñîâåðøåííûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ, è ýòî èì óäàëîñü. Ïîýòîìó äëÿ íà÷àëà ïðîéäåì ïî èõ ñòîïàì è âûÿâèì âñå ñîâåðøåííûå ïðÿìîóãîëüíèêè. Ïóñòü ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà – öåëûå ÷èñëà a è b, ïðè÷åì, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, a ≤ b. Òîãäà ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà ab, à ïåðèìåòð ðàâåí 2a + 2b. Îòñþäà ïîëó÷àåì ab = 2a + 2b.

òðåóãîëüíèêàìè. Íå ñîñòàâëÿåò òðóäà óáåäèòüñÿ, ÷òî òàêîâûå ñóùåñòâóþò. Äëÿ ýòîãî ñíà÷àëà «ïîùóïàåì» ñàìûé èçâåñòíûé ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 3, 4 è 5. Åãî ïëîùàäü, êàê âèäíî, ðàâíà 6, à ïåðèìåòð – 12, ò.å. âäâîå áîëüøå. Çàìåòèì, ÷òî åñëè óâåëè÷èòü ëèíåéíûå ðàçìåðû ëþáîãî òðåóãîëüíèêà â k ðàç, òî åãî ïåðèìåòð òîæå óâåëè÷èòñÿ â k ðàç, à ïëîùàäü – â k2 ðàç. Ïîýòîìó, óâåëè÷èâ íàø òðåóãîëüíèê â k = = 2 ðàçà, ìû òåì ñàìûì óðàâíÿåì ïëîùàäü è ïåðèìåòð. Èòàê, òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 6, 8 è 10 – ñîâåðøåííûé. Ýòî íåïëîõî – ïî êðàéíåé ìåðå, åñòü ÷òî èñêàòü (óñïåõ ãàðàíòèðîâàí). Ïóñòü êàòåòû òðåóãîëüíèêà ðàâíû a è b (êàê è ïðåæäå, a ≤ b). Òîãäà ãèïîòåíóçà ðàâíà a2 + b2 , ïëîùàäü ðàâíà ab/2, ïåðèìåòð ðàâåí a + b + +

a2 + b2 , è ïîëó÷àåì a + b + a2 + b2 = ab 2 ,

îòêóäà

Òàê êàê 4 ðàñêëàäûâàåòñÿ íà ïðîèçâåäåíèå äâóõ öåëûõ ÷èñåë ÷åòûðüìÿ ðàçëè÷íûìè ñïîñîáàìè: 4 = ( -4) × ( -1) = = ( -2) × ( -2) = 1 × 4 = 2 × 2 , òî ñ ó÷åòîì íåðàâåíñòâà a ≤ b ïîëó÷àåì ÷åòûðå âîçìîæíûå ïàðû (a; b), à èìåííî: (–2; 1), (0; 0), (3; 6) è (4; 4). Ïåðâûå äâå îòáðàñûâàåì êàê áåññìûñëåííûå, à îñòàëüíûå âïîëíå ïðèåìëåìû. Èòàê, ñóùåñòâóåò äâà ñîâåðøåííûõ ïðÿìîóãîëüíèêà: 4 ´ 4 è 3 ´ 6 . 1 Ïëîùàäè íàéäåííûõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ ðàâíû 16 è 18, â ñèëó ÷åãî ïèôàãîðåéöû ñ÷èòàëè ýòè ÷èñëà «õîðîøèìè», à ðàñïîëîæåííîå ìåæäó íèìè ÷èñëî 17 – «ïëîõèì».2 À êàê îáñòîÿò äåëà ñ äðóãèìè ìíîãîóãîëüíèêàìè? Íà÷íåì, åñòåñòâåííî, ñ òîãî, ÷òî ïîïðîùå: ñ òðåóãîëüíèêîâ.  îäíîé èç çàäà÷ êîíêóðñà «Ìàòåìàòèêà 6–8» áûë çàäàí âîïðîñ: «Ñóùåñòâóþò ëè ñîâåðøåííûå ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè? À ðàâíîáåäðåííûå òðåóãîëüíèêè?» ×òî æ, ïîïðîáóåì èõ íàéòè. Çàéìåìñÿ ñíà÷àëà ñîâåðøåííûìè ïðÿìîóãîëüíûìè 1 Ñ íåêîòîðîé íàòÿæêîé, ïîæàëóé, ìîæíî îòíåñòè ê ñîâåðøåííûì è ðåøåíèå (0; 0), ñîîòâåòñòâóþùåå ïðÿìîóãîëüíèêó ñ íóëåâûìè ñòîðîíàìè è, ñîîòâåòñòâåííî, íóëåâîé ïëîùàäüþ è ïåðèìåòðîì. 2 Íàâåðíîå, çðÿ. ×èñëî 17 íå ñòîëü óæ ïëîõîå. Âî âñÿêîì ñëó÷àå, Êàðë Ôðèäðèõ Ãàóññ ïðîñëàâèë åãî íà âåêà, äîêàçàâ âîçìîæíîñòü ïîñòðîåíèÿ öèðêóëåì è ëèíåéêîé ïðàâèëüíîãî 17-óãîëüíèêà.

)

2

Ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê è ïðèâåäåíèÿ ïîäîáíûõ ÷ëåíîâ èìååì

Ýòî ðàâåíñòâî ëåãêî ïðåîáðàçîâûâàåòñÿ ê âèäó

(a - 2)(b - 2) = 4.

(

4 a2 + b2 = (ab - 2a - 2b) .

a2b2 - 4a2b - 4ab2 + 8ab = 0 . Ïîäåëèâ íà ab (÷òî äîïóñòèìî, òàê êàê a è b – íàòóðàëüíûå), ïîëó÷àåì ab – 4a – 4b + 8 = 0, èëè (a – 4)(b – 4) = 8. Äàëüíåéøåå î÷åâèäíî. ×èñëî 8 ðàçáèâàåòñÿ íà äâà íàòóðàëüíûõ ñîìíîæèòåëÿ äâóìÿ ðàçíûìè ñïîñîáàìè: 1 × 8 è 2 × 4 , è, ïîäîáíî ñëó÷àþ ñ ïðÿìîóãîëüíèêàìè, ïîëó÷àåì äâà îñìûñëåííûõ îòâåòà. Ïåðâûé òðåóãîëüíèê èìååò êàòåòû 5 è 12, òîãäà ãèïîòåíóçà ðàâíà 13, à ïëîùàäü è ïåðèìåòð ðàâíû 30. Âòîðîé òðåóãîëüíèê ñ êàòåòàìè 6 è 8 íàì óæå èçâåñòåí. Èòàê, èìååòñÿ äâà ñîâåðøåííûõ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè (5, 12, 13) è (6, 8, 10). Ïåðåéäåì ê ñîâåðøåííûì ðàâíîáåäðåííûì òðåóãîëüíèêàì. Òàê êàê ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê ñîñòàâëÿåòñÿ êàê áû èç äâóõ îäèíàêîâûõ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ, òî, êàçàëîñü áû, è çäåñü íå äîëæíî áûòü ïðîáëåì ñ ïîèñêîì ñîâåðøåííûõ òðåóãîëüíèêîâ. Íî âñå ïî÷åìó-òî îêàçûâàåòñÿ ãîðàçäî òðóäíåå. Ïóñòü îñíîâàíèå ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ðàâíî a, à áîêîâàÿ ñòîðîíà ðàâíà c. Òîãäà âûñîòà åãî ðàâíà c2 -

a2 a2 1 , ïëîùàäü ðàâíà a c2 , è ïîëó÷àåì 2 4 4 a + 2c =

a2 1 a c2 . 2 4


Ê

Ïîñëå î÷åâèäíûõ ïðåîáðàçîâàíèé èìååì

(4a

2

)

(

)

- 64 c2 - 64ac - 16a2 + a 4 = 0 .

2 Çàìåòèì, ÷òî åñëè 4a - 64 £ 0 , ò.å. a £ 4 , òî â ëåâîé ÷àñòè – çàâåäîìî îòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, ÷òî íåäîïóñòèìî. Ïîýòîìó 4a2 - 64 > 0 , ò.å. a ³ 5 .  ýòîì ñëó÷àå ñ âûðàæàåòñÿ ÷åðåç à ñëåäóþùèì îáðàçîì (çäåñü ïåðåä ðàäèêàëîì îñòàâëåí òîëüêî çíàê «ïëþñ», òàê êàê çíàê «ìèíóñ» âåäåò ê çàâåäîìî îòðèöàòåëüíîìó çíà÷åíèþ ñ):

c=

(

)(

32a + 1024a2 + 4a2 - 64 16a2 + a 4 4a2 - 64

) = 16a + a

3

2a2 - 32

.

Ñðàçó âèäíî, ÷òî à äîëæíî áûòü ÷åòíûì (èíà÷å äðîáü íå áóäåò öåëûì ÷èñëîì), ò.å. à = 2ò (ò – íàòóðàëüíîå). Ïîäñòàâèâ ýòî çíà÷åíèå â ïîñëåäíåå âûðàæåíèå, ïîñëå ñîêðàùåíèé ïîëó÷àåì c=

m3 + 4m 2

m -4

=m+

8m m2 - 4

.

Òàêèì îáðàçîì, 8ò äåëèòñÿ íà m2 - 4 . Çàìåòèì, ÷òî åñëè m ³ 9 , òî m2 - 4 ñòðîãî áîëüøå 8ò, è ïîòîìó äåëèìîñòü îòñóòñòâóåò (äîêàçàòü ýòî ìîæíî, íàïðèìåð, ïðåäñòàâèâ ðàçíîñòü â âèäå m2 - 4 - 8m m (m - 9) + (m - 4) , îòêóäà ñðàçó âèäíî, ÷òî ýòà âåëè÷èíà ïîëîæèòåëüíà ïðè m ³ 9 ). Íó, à çíà÷åíèÿ ò, íå ïðåâûøàþùèå 8, ìîæíî ïðîâåðèòü ïðÿìûì ïåðåáîðîì (ïðè÷åì ïîñêîëüêó a ³ 5 , òî m ³ 3 ). Ïðîâåäèòå òàêîé ïåðåáîð ñàìîñòîÿòåëüíî è óáåäèòåñü, ÷òî íè îäíî èç óêàçàííûõ çíà÷åíèé m íå ïîäõîäèò. Èòàê, ñîâåðøåííûõ ðàâíîáåäðåííûõ òðåóãîëüíèêîâ íå ñóùåñòâóåò. ×òî æ, ïðÿìîóãîëüíûå è ðàâíîáåäðåííûå òðåóãîëüíèêè èññëåäîâàíû. Ïåðåõîäèì ê ïðîèçâîëüíûì òðåóãîëüíèêàì ñî ñòîðîíàìè a, b è c, ïðè÷åì, äëÿ îïðåäåëåííîñòè, ïîëîæèì a < b < c. Çäåñü ìû ñìåëî èñïîëüçóåì ñòðîãèå íåðàâåíñòâà âìåñòî íåñòðîãèõ, òàê êàê òîëüêî ÷òî óáåäèëèñü, ÷òî ðàâíîáåäðåííûõ ñîâåðøåííûõ òðåóãîëüíèêîâ íå áûâàåò. Ïåðâîå, ÷òî ïðèõîäèò â ãîëîâó, – ôîðìóëà Ãåðîíà, íåïîñðåäñòâåííî âûðàæàþùàÿ ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà a+b+c S ÷åðåç åãî ñòîðîíû è ïîëóïåðèìåòð p = : 2

(

S=

)

p ( p - a)( p - b)( p - c) .

Ïðèðàâíÿâ S ê ïåðèìåòðó a + b + c, ðàñêðûâ ñêîáêè è ïðèâåäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû, ïîñëå óïðîùåíèé ïîëó÷àåì a 3 + b3 + c3 + 2abc + 16 (a + b + c) =

Ì

Ø

!#

òðåóãîëüíèêè äî ëó÷øèõ âðåìåí. Âî âñÿêîì ñëó÷àå, îáøèðíûé ïîèñê òàêèõ ðåøåíèé ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà ïîçâîëèë, êðîìå óïîìÿíóòûõ âûøå äâóõ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ, íàéòè åùå òðè òóïîóãîëüíûõ: (6, 25, 29), (7, 15, 20) è (9, 10, 17). Êàê âèäèì, ñòîðîíû èõ íåâåëèêè, õîòÿ áûëè «îáñ÷èòàíû» âñå òðåóãîëüíèêè, ó êîòîðûõ äâå ñòîðîíû íå ïðåâîñõîäÿò 10000 (à òðåòüÿ ïðèíèìàåò âñå âîçìîæíûå äîïóñòèìûå çíà÷åíèÿ, ïðè êîòîðûõ òðåóãîëüíèê ñóùåñòâóåò). Ïîýòîìó íàèáîëåå âåðîÿòíûì êàæåòñÿ ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî ÷èñëî ðåøåíèé âñå æå êîíå÷íî. Ïåðåéäåì ê ÷åòûðåõóãîëüíèêàì. Ñàìûå ïðîñòûå èç íèõ – ïðÿìîóãîëüíèêè – èññëåäîâàëè ñàìè ïèôàãîðåéöû (ñì. âûøå). Íó, à ïàðàëëåëîãðàììû? Íåòðóäíî ñîîáðàçèòü, ÷òî ñîâåðøåííûõ ñðåäè íèõ áåñêîíå÷íî ìíîãî.  ñàìîì äåëå, âîçüìåì ïðîèçâîëüíûé öåëî÷èñëåííûé ïðÿìîóãîëüíèê, ó êîòîðîãî ïëîùàäü ñòðîãî áîëüøå ïåðèìåòðà. Äåôîðìèðóÿ åãî (ò.å. ìåíÿÿ êàêîéëèáî óãîë), ìû ìîæåì äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû ïëîùàäü ñòàëà ñêîëü óãîäíî áëèçêà ê íóëþ. ßñíî, ÷òî â ïðîöåññå íåïðåðûâíîé äåôîðìàöèè ïëîùàäü ñðàâíÿåòñÿ ñ ïåðèìåòðîì. À ìîæíî äàæå ïðÿìî óêàçàòü, êàêîâ äîëæåí 2 (a + b ) áûòü îñòðûé óãîë ïàðàëëåëîãðàììà: arcsin . ab Îñîáîãî èíòåðåñà ýòîò îòâåò, êîíå÷íî, íå âûçûâàåò: ñëèøêîì «ã��áêàÿ» ôèãóðà ïàðàëëåëîãðàìì. Ïî-âèäèìîìó, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ñèòóàöèÿ ïîõîæàÿ. Ïîýòîìó èìååò ñìûñë èññëåäîâàòü áîëåå «æåñòêèå» ÷åòûðåõóãîëüíèêè: íàïðèìåð, ïðÿìîóãîëüíûå è ðàâíîáåäðåííûå òðàïåöèè. Êîíå÷íî, òðàïåöèÿ – ôèãóðà ñ áóëüøèì ÷èñëîì «ñòåïåíåé ñâîáîäû», íåæåëè òðåóãîëüíèê. Îíî è ïîíÿòíî: ïðÿìîóãîëüíûé ëèáî ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê ïîëíîñòüþ îïðåäåëÿåòñÿ äâóìÿ ñòîðîíàìè, òîãäà êàê äëÿ ïðÿìîóãîëüíîé èëè ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè ýòîãî ÿâíî íåäîñòàòî÷íî – íóæåí åùå îäèí ïàðàìåòð (íàïðèìåð, äâà îñíîâàíèÿ è âûñîòà). Ïîýòîìó ìû óæå çàðàíåå ãîòîâû îæèäàòü, ÷òî ìíîæåñòâî ñîâåðøåííûõ òðàïåöèé ñîäåðæèò íàìíîãî áîëüøå ýëåìåíòîâ, ÷åì ìíîæåñòâî ñîâåðøåííûõ òðåóãîëüíèêîâ. ×òî æ, ïðîâåðèì. Íà÷íåì ñ ïðÿìîóãîëüíîé òðàïåöèè. Íàäî ñêàçàòü, ÷òî â äàííîì ñëó÷àå òàêîé æå «ëîáîâîé» ïîäõîä, êàê äëÿ òðåóãîëüíèêîâ, ïðèâîäèò ê âåñüìà ãðîìîçäêèì âûðàæåíèÿì. Ê ñ÷àñòüþ, åñòü ëàçåéêà: à ïî÷åìó áû íå èñïîëüçîâàòü âûâåäåííûå çàäîëãî äî íàñ ôîðìóëû äëÿ ñòîðîí öåëî÷èñëåííûõ ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ? Âåäü ïðÿìîóãîëüíóþ òðàïåöèþ ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ïðÿìîóãîëüíèê, ê êîòîðîìó «ïðèêëåèëñÿ» ïðÿìîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê (ñì. ðèñóíîê). Ïóñòü øèðèíà ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà à, âûñîòà h, à ó «ïðèêëååííîãî»

= a2 (b + c) + b2 (a + c) + c2 (a + b) . Ýòî óðàâíåíèå ïðèÿòíî âî âñåõ îòíîøåíèÿõ, êðîìå îäíîãî: íåïîíÿòíî, ÷òî ñ íèì äàëüøå äåëàòü. Íåÿñíî äàæå, êîíå÷íî èëè áåñêîíå÷íî ÷èñëî åãî ðåøåíèé. (Ïî êðàéíåé ìåðå, äâà-òî ðåøåíèÿ ó íåãî åñòü, ñîîòâåòñòâóþùèå ïðÿìîóãîëüíûì òðåóãîëüíèêàì, à åùå? Òðóäíî ñêàçàòü…) Òàê ÷òî ïðèäåòñÿ îòëîæèòü ïðîèçâîëüíûå

ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà îäèí èç êàòåòîâ ñîâïàäàåò ñî ñòîðîíîé h ïðÿìîóãîëüíèêà, âòîðîé êàòåò ðàâåí b, à ãèïîòåíóçà ðàâíà ñ. Èç «ñîâåðøåíñòâà» òðàïåöèè


!$

ÊÂÀÍT 2008/¹3

ñëåäóåò, ÷òî âñå ïåðå÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ – öåëûå ÷èñëà. Âìåñòå ñ òåì, èçâåñòíî, ÷òî êàòåòû è ãèïîòåíóçà ëþáîãî ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ öåëûìè ñòîðî2 2 íàìè ìîãóò áûòü ïðåäñòàâëåíû â âèäå 2kmn, k m - n

(

2

2

(

)

)

è k m +n ïðè íåêîòîðûõ íàòóðàëüíûõ k, m, n, ïðè÷åì m > n (âñëåäñòâèå ÷åãî m ³ 2 – ýòîò ôàêò íàì âïîñëåäñòâèè ïðèãîäèòñÿ). Ñëåäîâàòåëüíî, èìåþò ìåñòî äâå âîçìîæíîñòè.

Äàëüíåéøèå ðàññóæäåíèÿ àíàëîãè÷íû ïåðâîìó ñëó÷àþ. Òàê êàê k, m, n – íàòóðàëüíûå, ïðè÷åì m ³ 2 , òî ïåðâîå ñëàãàåìîå ëåâîé ÷àñòè áîëüøå ïåðâîãî ñëàãàåìîãî ïðàâîé ÷àñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, âòîðîå ñëàãàåìîå ëåâîé ÷àñòè äîëæíî áûòü ìåíüøå âòîðîãî ñëàãàåìîãî ïðàâîé ÷àñòè, ò.å.

(

)

k2mn m2 - n2 < 2km (m + n) .

1) Ïóñòü h = 2kmn, b = k m2 - n2 , c = k m2 + n2 . Òîãäà ïëîùàäü òðàïåöèè ñîñòàâëÿåò

Äà âåäü ýòî òî÷íî òàêîå æå íåðàâåíñòâî, ÷òî è âûøå! Ïîýòîìó âûâîä òîò æå: k = n = 1, è m = 2. Ïîäñòàâèâ ýòè çíà÷åíèÿ â èñõîäíîå óðàâíåíèå, ïîëó÷àåì

2a + k m2 - n2 2a + b = 2kmn × = h× 2 2

1 × 22 - 12 × a + 12 × 2 × 1 × 22 - 12 = 2a + 2 × 1 × 2 × (2 + 1) ,

(

)

(

(

)

)

(

(

)

2 2 2 = 2kmna + k mn m - n ,

ïåðèìåòð åå ðàâåí

(

2

2a + b + h + c = 2a + k m - n

2

) + 2kmn + k (m

2

+n

2

)=

= 2a + 2km (m + n) .

È, ñëåäîâàòåëüíî,

(

)

2kmna + k2mn m2 - n2 = 2a + 2km (m + n) . Òàê êàê k, m, n – íàòóðàëüíûå, ïðè÷åì m ³ 2 , òî ïåðâîå ñëàãàåìîå ëåâîé ÷àñòè 2kmna áîëüøå ïåðâîãî ñëàãàåìîãî ïðàâîé ÷àñòè 2à. Ïîýòîìó äëÿ ñîáëþäåíèÿ «ïàðèòåòà» íåîáõîäèìî, ÷òîáû âòîðîå ñëàãàåìîå ëåâîé ÷àñòè áûëî ìåíüøå âòîðîãî ñëàãàåìîãî ïðàâîé ÷àñòè, ò.å.

(

)

k2mn m2 - n2 < 2km (m + n) , îòêóäà kn (m - n) £ 1 .

Çíà÷èò, k = n = m – n = 1, è m = 2. Èòàê, âñå íåèçâåñòíûå, êðîìå à, îïðåäåëåíû. Ïîäñòàâèâ èõ â èñõîäíîå óðàâíåíèå, ïîëó÷àåì

(

)

2 × 1 × 2 × 1 × a + 12 × 2 × 1 × 22 - 12 = 2a + 2 × 1 × 2 × (2 + 1) ,

(

)

è à = 3, h = 2 × 1 × 2 × 1 = 4 , b = 1 × 22 - 1 = 3 ,

(

2

)

c = 1 × 2 + 12 = 5 .

Òàêèì îáðàçîì, íàéäåíà ïåðâàÿ ñîâåðøåííàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ òðàïåöèÿ ñ îñíîâàíèÿìè 3 è 3 + 3 = 6 è âûñîòîé 4. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî åå ïëîùàäü è ïåðèìåòð ðàâíû 18. 2) Äîïóñòèì, h = k m2 - n2 , b = 2kmn, c = k m2 + + n2 . Òîãäà ïëîùàäü òðàïåöèè ñîñòàâëÿåò

(

)

)

) 2a + 22kmn = k (m

(

k m 2 - n2 ×

2

(

2a + 2kmn + k m - n

Èìååì

(

)

2

) + k (m

(

2

(

(

)

)

è à = 6, h = 1 × 22 - 12 = 3 , b = 2 × 1 × 2 × 1 = 4 ,

(

)

c = 1 × 22 + 12 = 5 .

Òàêèì îáðàçîì, âòîðàÿ ñîâåðøåííàÿ ïðÿìîóãîëüíàÿ òðàïåöèÿ èìååò îñíîâàíèÿ 6 è 6 + 4 = 10 è âûñîòó 3. Åå ïëîùàäü è ïåðèìåòð ðàâíû 24. Íå ñîñòàâëÿåò òðóäà, èñïîëüçóÿ àíàëîãè÷íûé ïîäõîä, íàéòè è âñå ñîâåðøåííûå ðàâíîáåäðåííûå òðàïåöèè. Èõ îêàçûâàåòñÿ òîæå äâå. Ó îäíîé îñíîâàíèÿ ðàâíû 2 è 8, âûñîòà 4, à ïëîùàäü è ïåðèìåòð 20. Ó âòîðîé îñíîâàíèÿ ðàâíû 6 è 14, âûñîòà 3, à ïëîùàäü è ïåðèìåòð 30. Èòàê, åñòü äâå ñîâåðøåííûå ïðÿìîóãîëüíûå òðàïåöèè è ñòîëüêî æå ðàâíîáåäðåííûõ. Ïðÿìî ñêàæåì, íåãóñòî – îæèäàëèñü áîëåå «áîãàòûå» ðåçóëüòàòû. ×òî æ, òåì öåííåå êàæäûé ýêçåìïëÿð! Êàê óæå îòìå÷àëîñü, èññëåäîâàíèå ïðîèçâîëüíûõ ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ âðÿä ëè äàñò «ñèìïàòè÷íûå» ðåçóëüòàòû – è áåç òîãî ÿñíî, ÷òî èõ î÷åíü ìíîãî. Ïîýòîìó èìååò ñìûñë èññëåäîâàòü òàêîé ÷àñòíûé èõ ñëó÷àé, êàê âïèñàííûå è îïèñàííûå ÷åòûðåõóãîëüíèêè. Íî êàê ýòî ñäåëàòü?.. Âîò ñîáñòâåííî, è âñå, ÷òî íà äàííûé ìîìåíò óäàëîñü âûÿñíèòü î ñîâåðøåííûõ ìíîãîóãîëüíèêàõ. Îñòàëüíîå ïîêðûòî íåèçâåñòíûì ìðàêîì, ïî âûðàæåíèþ íåçàáâåííîãî äåäà Ùóêàðÿ . Ïîýòîìó, êàê ÷àñòî áûâàåò â ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ, óïîâàåì íà ÷èòàòåëåé. Ïîìîãèòå! Ðåøèòå çàäà÷ó õîòÿ áû äëÿ ñàìûõ «çàìàí÷èâûõ» ôèãóð: ïðîèçâîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ è âïèñàííûõ (à òàêæå îïèñàííûõ) ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ. Èáî äóøà ñòðåìèòñÿ ê ñîâåðøåíñòâó, êîåìó, êàê èçâåñòíî, íåò ïðåäåëà…

(

)

(

)

- n2 a + k2mn m2 - n2 ,

ïåðèìåòð åå ðàâåí 2

)

+n

)

2

) = 2a + 2km (m + n) .

k m2 - n2 a + k2mn m2 - n2 = 2a + 2km (m + n) .

Âíèìàíèþ íàøèõ ÷èòàòåëåé  Ïðèëîæåíèè ê æóðíàëó «Êâàíò» ¹ 2 / 2008 – â êíèãå «Èñààê Êîíñòàíòèíîâè÷ Êèêîèí â æèçíè è â «Êâàíòå» äîïóùåíà äîñàäíàÿ îïå÷àòêà.  ñòàòüå Â.È.Îæîãèíà «Êèêîèí êàê ìíîæåñòâ â ðàññêàçå Êèêîèíà ïîä íîìåðîì 21 (ñì. ñ. 87) âìåñòî ñëîâ «ìàòåìàòèê Êîøè» äîëæíî áûòü «ìàòåìàòèê Êîáå».


ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ»

Óðîê áëèçèëñÿ ê çàâåðøåíèþ… Ì.ÁÎÍÄÀÐÎÂ

Ðàññêàç Àíäðåÿ. ß äâàæäû ïðèìåíèë ôîðìóëó çàâèñèìîñòè ïåðåìåùåíèÿ îò âðåìåíè ïðè ðàâíîçàìåäëåííîì äâèæåat2 äëÿ ïåðâûõ òðåõ è ïÿòè ñåêóíä äâèæåíèÿ: íèè s = v0t 2 9a 25a 51 = v0 × 3 , 75 = v0 × 5 , 2 2 îòêóäà ëåãêî íàøåë: v0 = 20 ì ñ è a = 2 ì ñ2 .

Çàòåì îïðåäåëèë âåñü ïóòü äî îñòàíîâêè:

Ä

À, ÓÐÎÊ ÏÎ ÒÅÌÅ «ÐÀÂÍÎÓÑÊÎÐÅÍÍÎÅ ÄÂÈÆÅÍÈÅ»

äåéñòâèòåëüíî áëèçèëñÿ ê çàâåðøåíèþ, íî äî çâîíêà îñòàâàëîñü åùå íåñêîëüêî ìèíóò. Àíàòîëèé Èâàíîâè÷ ñ çàãàäî÷íûì âèäîì ïîñìîòðåë íà äåâÿòèêëàññíèêîâ, è âñå ïîíÿëè, ÷òî ñåé÷àñ ÷òî-òî ïðîèçîéäåò. È íå îøèáëèñü… «Ãîòîâÿñü ê ñåãîäíÿøíåìó óðîêó, – íà÷àë ó÷èòåëü, – ÿ âñïîìíèë ñëó÷àé èç áèîãðàôèè Ðè÷àðäà Ôåéíìàíà. Êîãäà îí ó÷èëñÿ â øêîëå, òî íåðåäêî ó÷àñòâîâàë â ñîðåâíîâàíèÿõ ïî àëãåáðå. Ó÷åíèêàì äàâàëèñü çàäà÷è, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðûõ òðåáîâàëîñü òî, ÷òî ñåãîäíÿ íàçâàëè áû íåñòàíäàðòíûì ìûøëåíèåì, è âûäåëÿëîñü ñòðîãî îãðàíè÷åííîå âðåìÿ íà èõ ðåøåíèå – îáû÷íî 45 ñåêóíä. Íà ëèñòå áóìàãè ìîæíî áûëî ïèñàòü ÷òî óãîäíî, íî â êîíöå êîíöîâ êàæäûé ó÷àñòíèê äîëæåí áûë îáâåñòè â êðóæîê îäíî ÷èñëî íà ñâîåì ëèñòå, êîòîðîå è áûëî îòâåòîì íà çàäà÷ó. Çàäà÷è íàìåðåííî âûáèðàëèñü òàê, ÷òî ðåøèòü èõ «ïî ïðàâèëàì» çà îòâåäåííîå âðåìÿ áûëî ïðàêòè÷åñêè íåâîçìîæíî, íî îíè ëåãêî ðåøàëèñü, åñëè âû âèäåëè êîðîòêèé ïóòü (èëè èçîáðåòàëè ñâîé ñîáñòâåííûé). Ôåéíìàí âñåãäà ïîáåæäàë â òàêèõ ñîñòÿçàíèÿõ, çàïèñûâàÿ ÷èñëî è íàðî÷èòî îáâîäÿ åãî â êðóæî÷åê, õîòÿ çà÷àñòóþ íà åãî ëèñòå áîëüøå íè÷åãî è íå áûëî». Àíàòîëèé Èâàíîâè÷ îñòàíîâèëñÿ è îáâåë ãëàçàìè ïðèòèõøèõ ó÷åíèêîâ. «Ñåãîäíÿ ÿ ïîäîáðàë äëÿ âàñ èíòåðåñíóþ çàäà÷ó è õî÷ó, ÷òîáû âû îêàçàëèñü â ïîëîæåíèè þíîãî Ôåéíìàíà. Ïðàâäà, íà ðàçìûøëåíèå â ïåðâûé ðàç äàì âàì òðè ìèíóòû. Èòàê, âîò óñëîâèå çàäà÷è: Àâòîìîáèëü, äâèãàÿñü ðàâíîçàìåäëåííî, çà ïîñëåäîâàòåëüíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè â 3 ñ è 2 ñ ïðîøåë îòðåçêè À è ÂÑ â 51 ì è 24 ì ñîîòâåòñòâåííî. Êàêîé ïóòü ïðîéäåò àâòîìîáèëü îò òî÷êè Ñ äî îñòàíîâêè? Âðåìÿ ïîøëî!» Ïîñëå êîìàíäû «ñòîï» íà ñòîë ó÷èòåëÿ ëåãëè òðè ëèñòî÷êà – è âñå ñ ïðàâèëüíûì îòâåòîì. «×òî æ, äàâàéòå çàñëóøàåì àâòîðîâ: ïóñòü ïîäåëÿòñÿ ñâîèìè ñåêðåòàìè». Çíàìåíèòûé àëãåáðàèñò Àíäðåé ñêðîìíî ïîÿñíèë: «ß çàïèñàë ñèñòåìó óðàâíåíèé è, ê ñ÷àñòüþ, óñïåë åå ðåøèòü». Ãåîìåòð Ãåíà ñêàçàë, ÷òî ïðèìåíèë ðàññìîòðåííûé íà îäíîì èç ïðåäûäóùèõ óðîêîâ ãðàôè÷åñêèé ñïîñîá ðåøåíèÿ êèíåìàòè÷åñêèõ çàäà÷. À íà ëèñòî÷êå ëþáèòåëÿ àðèôìåòèêè è æóðíàëà «Êâàíò» Ôèëèïïà êðàñîâàëîñü òîëüêî îáâåäåííîå â êðóæîê ÷èñëî 25. «Þíûé Ðè÷àðä âòîðîé!» – êðèêíóë êòî-òî ñ ïîñëåäíåé ïàðòû, è âñå çàñìåÿëèñü. Àíàòîëèé Èâàíîâè÷ òîæå óëûáíóëñÿ è ñêàçàë: «Íó, âîò âû è óçíàëè âåðíûé îòâåò ê çàäà÷å, à ýòî äîðîãîãî ñòîèò. Ïîïðîáóéòå äîìà ïîðàçìûñëèòü íàä çàäà÷åé è, âîçìîæíî, ïðèäóìàåòå ñâîé ñïîñîá ðåøåíèÿ». È â ýòî âðåìÿ ïðîçâåíåë çâîíîê. Îäíàêî íàðîä òðåáîâàë îáúÿñíåíèé: «Ïóñòü ðàññêàæóò ïîäðîáíåå, êàê çà òðè ìèíóòû ìîæíî óñïåòü!» Îáúÿñíåíèÿ, äåéñòâèòåëüíî, ïîñëåäîâàëè, íî ìû, êàê è Àíàòîëèé Èâàíîâè÷, ñîâåòóåì âàì ñíà÷àëà ðåøèòü ýòó çàäà÷ó ñàìîñòîÿòåëüíî.

v02 = 100 ì , 2a ïîñëå ÷åãî âû÷èñëèë èñêîìûé ïóòü: s0 =

s = 100 ì - 51 ì - 24 ì = 25 ì . Ðàññêàç Ãåíû. ß íà÷åðòèë ïðèìåðíûé ãðàôèê çàâèñèìîñòè ñêîðîñòè îò âðåìåíè ( v = v0 - at ). Îïðåäåëèâ ñðåäíþþ ñêîðîñòü çà ïåðâûå òðè ñåêóíäû: vñð1 = 51 ì 3 ñ = 17 ì ñ è çà ñëåäóþùèå äâå ñåêóíäû: vñð2 = 24 ì 2 ñ = 12 ì ñ , ïîñòðîèë íà ãðàôèêå ñðåäíèå ëèíèè òðàïåöèé, ñîîòâåòñòâóþùèå ýòèì ñêîðîñòÿì. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî çà 2,5 ñ ñêîðîñòü óìåíüøèëàñü íà 5 ì ñ , çíà÷èò, óñêîðåíèå ðàâíî ïî ìîäóëþ 2 ì ñ2 . Çíàÿ, ÷òî ÷åðåç 4 ñ ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ ñêîðîñòü àâòîìîáèëÿ áûëà 12 ì ñ , íàõîäèì åãî ñêîðîñòü â òî÷êå Ñ – ýòî 10 ì ñ . ßñíî, ÷òî ïîñëå ýòîãî àâòîìîáèëü òîðìîçèë äî îñòàíîâêè 5 ñ. Èç ãðàôèêà íàõîäèì ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà, ÷èñëåííî ðàâíóþ èñêîìîìó ïóòè: 10 ì ñ × 5 ñ s= = 25 ì . 2 Ðàññêàç Ôèëèïïà. ß ñðàçó ïîíÿë, ÷òî ñìîãó îáîãíàòü Àíäðåÿ è Ãåíó ëèøü â òîì ñëó÷àå, åñëè íå ��óäó ïûòàòüñÿ ðåøàòü çàäà÷ó àëãåáðàè÷åñêèìè è ãåîìåòðè÷åñêèìè ñïîñîáàìè, êîòîðûìè îíè âëàäåþò ëó÷øå, à ïîïðîáóþ ïðèäóìàòü ÷òî-íèáóäü ïîõèòðåå. Ïîýòîìó ÿ ðåøèë ïðèìåíèòü ìåòîä óãàäûâàíèÿ îòâåòà (î êîòîðîì ÷èòàë â îäíîì èç íîìåðîâ «Êâàíòà»). Âñïîìíèëîñü ìíå òàêæå, ÷òî åùå â 7 êëàññå Àíàòîëèé Èâàíîâè÷ ðàññêàçûâàë î ìåòîäå îáðàòèìîñòè âðåìåíè. Èòàê, ìûñëåííî ïóñòèì âðåìÿ âñïÿòü, è áóäåì ðàññìàòðèâàòü àâòîìîáèëü, êîòîðûé â ýòîì ñëó÷àå ðàçãîíÿåòñÿ, òðîãàÿñü ñ ìåñòà. Òîãäà ïðîéäåííûé îò íà÷àëà äâèæåíèÿ ïóòü îïðåäåëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå s = at2 2 . Ìû íå çíàåì, ÷åìó ðàâíî óñêîðåíèå àâòîìîáèëÿ, íî ïðåäïîëîæèì, ÷òî îíî ñîñòàâëÿåò 2 ì ñ2 (âåäü, êàê ïðàâèëî, â îáû÷íûõ çàäà÷àõ îíî íå ïðåâûøàåò 5 ì ñ2 ). Ê òîìó æå, ñîêðàùàåòñÿ «äâîéêà» â ôîðìóëå äëÿ ïóòè, è ïðîéäåííûé ïóòü îêàçûâàåòñÿ íå ïðîñòî ïðîïîðöèîíàëåí êâàäðàòó âðåìåíè äâèæåíèÿ, à ÷èñëåííî ðàâåí åìó. Åñëè òåïåðü ïðåäïîëîæèòü, ÷òî íà èñêîìîì ïóòè àâòîìîáèëü äâèãàëñÿ öåëîå ÷èñëî ñåêóíä, òî ýòîò ïóòü òîæå ðàâåí íå ïðîñòî öåëîìó ÷èñëó ìåòðîâ, à êâàäðàòó íåêîòîðîãî öåëîãî ÷èñëà. Ïðè÷åì êâàäðàòàìè áóäóò è âñå äðóãèå ïóòè, ïðîéäåííûå àâòîìîáèëåì îò íà÷àëà äâèæåíèÿ çà öåëîå ÷èñëî ñåêóíä. Ïðèäåòñÿ çàíÿòüñÿ ïåðåáîðîì. Ïóñòü èñêîìûé ïóòü ðàâåí 1 ìåòðó. Òîãäà 1 + 24 = 25 – êâàäðàò, íî 1 + 24 + 51 = 76 – óæå íå êâàäðàò, çíà÷èò, îòâåò «1 ìåò𻠖 íå ïîäõîäèò. Äàëüøå ÿ ïîïðîáîâàë ñëåäóþùèé êâàäðàò – 4 ìåòðà. Íî 4 + 24 = 28 – íå êâàäðàò, çíà÷èò, ñíîâà íå óãàäàë. Íå ïîäõîäÿò è 9, è 16 ìåòðîâ. Ïðîáóþ 25, è òóò, íàêîíåö, ïîáåäà – âîêðóã îäíè êâàäðàòû: 25 + 24 = 49, 25 + 24 + 51 = 100. Îòâåò íàéäåí! À êàêîé èç ñïîñîáîâ ðåøåíèÿ ïðèøåëñÿ ïî äóøå âàì?


!&

ÊÂÀÍT 2008/¹3

Ðàêåòà íà âîäÿíîì ïàðå, èëè Êàê Ñòóäåíò ñ Ëóíû óëåòàë À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ

Ê

ÀÊ-ÒÎ ÐÀÇ, ÏÈß ÊÎÔÅ È ÍÀÁËÞÄÀß ÇÀ ÑÒÐÓÉÊÎÉ ÏÀÐÀ

èç ÷àéíèêà, Ñòóäåíò âäðóã ïîäóìàë: ÷òî åñëè áû ïðèøëîñü ñðî÷íî âçëåòàòü ñ ïîâåðõíîñòè Ëóíû, à òîïëèâà äëÿ ðàêåòû óæå íåò, íî îñòàëèñü åùå òîííà âîäû è íåêîòîðûé çàïàñ ýíåðãèè â àêêóìóëÿòîðàõ? Êîíå÷íî, ñîãëàñíî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà, ðàçóìíî íàãðåòü è èñïàðèòü âîäó è óñêîðèòü ïîëó÷åííûé âîäÿíîé ïàð äî ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîé ñêîðîñòè. Íî äî êàêîé? È òóò íà÷àëèñü ôèçè÷åñêèå îöåíêè. Ïóñòü ïàð âîäû íàãðåò äî òåìïåðàòóðû T0 . Ìîëåêóëà âîäû – òðåõìåðíûé îáúåêò; ñëåäîâàòåëüíî, îíà îáëàäàåò øåñòüþ ñòåïåíÿìè ñâîáîäû. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïîëîæåíèå â ïðîñòðàíñòâå åå öåíòðà ìàññ ìîæíî îïèñàòü òðåìÿ ÷èñëàìè, íàïðèìåð çíà÷åíèÿìè äåêàðòîâûõ êîîðäèíàò õ, ó, z, à åå îðèåíòàöèþ – òðåìÿ óãëàìè îòíîñèòåëüíî ýòèõ îñåé. Íî, êàê èçâåñòíî, â óñëîâèÿõ òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ íà êàæäóþ ñòåïåíü ñâîáîäû ëþáîãî òåëà (è ìîëåêóëû, è ïàðîâîçà) ïðèõîäèòñÿ ýíåðãèÿ kT0 2 , ãäå k = 1,38 × 10-23 Äæ Ê – ïîñòîÿííàÿ Áîëüöìàíà. Ýòî óòâåðæäåíèå íàçûâàåòñÿ â ìîëåêóëÿðíîé ôèçèêå è òåðìîäèíàìèêå òåîðåìîé î ðàâíîðàñïðåäåëåíèè ýíåðãèè ïî ñòåïåíÿì ñâîáîäû. Èòàê, íà îäíó ìîëåêóëó âîäû áóäåò ïðèõîäèòüñÿ ýíåðãèÿ 6 × (kT0 2) = 3kT0 , à íà öåëûé ìîëü, â êîòîðîì ñîäåðæèòñÿ NA ìîëåêóë, – ýíåðãèÿ U = NA × 3kT0 = 3RT0 , ãäå NA = 6 × 1023 ìîëü -1 – ÷èñëî Àâîãàäðî, à R = NA k = 8,31 Äæ ìîëü × Ê  – óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ. Ïðåäïîëîæèì äàëåå, ÷òî ýòîò ìîëü âîäÿíîãî ïàðà ìîæíî êàê-òî – êîíå÷íî, ÷åðåç ñîïëî ðàêåòû – ðàñøèðèòü òàê, ÷òî îí îõëàäèòñÿ ïî÷òè äî àáñîëþòíîãî íóëÿ. Âåäü äëÿ òîãî è íóæíî ñîïëî, ÷òîáû òåïëîâóþ õàîòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ìîëåêóë ïðåâðàòèòü â íàïðàâëåííîå äâèæåíèå ìîëåêóë, ò.å. â êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ. Áîëåå òîãî, íàäî ó÷åñòü åùå è ðàáîòó, êîòîðóþ ìîæåò ñîâåðøèòü ðàñøèðÿþùèéñÿ ãàç. Åñëè íà÷àëüíûé îáúåì ìîëÿ ðàâåí V0 , òî ýòîò «çàïàñ ðàáîòû» ðàâåí p0V0 = RT0 , ãäå p0 – äàâëåíèå ãàçà. Òåðìîäèíàìèêà äîêàçûâàåò, ÷òî â ïðîöåññå óñêîðåíèÿ ãàçà â ñîïëå âñå âðåìÿ áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ ñóììà H0 = U0 + p0V0 = 3RT0 + RT0 = 4 RT0 .

Îíà äàæå èìååò ñïåöèàëüíîå íàçâàíèå – ýíòàëüïèÿ, èëè òåïëîñîäåðæàíèå. Íî ïî ìåðå óñêîðåíèÿ ýòà íà÷àëüíàÿ ýíòàëüïèÿ áóäåò ðàñïðåäåëÿòüñÿ ìåæäó ðàñòóùåé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé è óáûâàþùèì òåïëîñîäåðæàíèåì: H0 = H + Μ

v2 v2 = 4 RT + Μ , 2 2

(*)

ãäå Ì – ìîëÿðíàÿ ìàññà (â ñëó÷àå âîäû Μ = 0,018 êã ìîëü ). Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî áûëî áû îæèäàòü, ÷òî ïðè ñòðåìëåíèè òåìïåðàòóðû ãàçà ê íóëþ åãî ñêîðîñòü äîëæíà ñòðåìèòüñÿ ê ìàêñèìàëüíîìó çíà÷åíèþ 1 = vmax

2H0 = Μ

8 RT0 . Μ

Åñëè êîíñòðóêòèâíûå îãðàíè÷åíèÿ ïîçâîëÿþò íàãðåòü ïàð, íàïðèìåð, äî òåìïåðàòóðû T0 = 1000 Ê , òî çíà÷åíèå ýòîé ñêîðîñòè ñîñòàâèëî áû 1 = vmax

8 × 8,31 × 103 ì ñ » 2000 ì ñ . 0,018

Ýòî íåïëîõî. Íî ïî÷åìó æå «áû»? À ïîòîìó, ÷òî ïî ìåðå ðàñøèðåíèÿ è îõëàæäåíèÿ ïàð ìîæåò îêàçàòüñÿ ïåðåñûùåííûì è íà÷íåòñÿ åãî êîíäåíñàöèÿ. Çíà÷èò, íóæíî ó÷åñòü è ýòîò ïðîöåññ. Îäíàêî ïðåæäå âñåãî ïîñìîòðèì, êàê èçìåíÿåòñÿ äàâëåíèå ïàðà ñ òåìïåðàòóðîé äî òî÷êè íàñûùåíèÿ (ðîñû). Åñëè òåïëî íèîòêóäà íå ïîäâîäèòñÿ ê ðàñøèðÿþùåìóñÿ ïàðó è íèêóäà íå îòâîäèòñÿ (ò.å. ñòåíêè ñîïëà òåïëîèçîëèðîâàíû), òî ðàáîòà ãàçà ïî åãî óñêîðåíèþ ìîæåò ïðîèçâîäèòüñÿ òîëüêî çà ñ÷åò óáûëè åãî âíóòðåííåé ýíåðãèè. (Ðàññìîòðåííûé ïðîöåññ íàçûâàåòñÿ àäèàáàòè÷åñêèì.) Òàê è çàïèøåì: p∆V = - ∆U .

Ïîäñòàâèì ñþäà çàâèñèìîñòü âíóòðåííåé ýíåðãèè îò òåìïåRT ðàòóðû U = 3RT è ó÷òåì óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ p = . V Ïîëó÷èì ∆V ∆T = -3 . V T Íî ýòî çíà÷èò, ÷òî îòíîñèòåëüíîå ïðèðàùåíèå îáúåìà â òðè ðàçà áîëüøå îòíîñèòåëüíîé óáûëè òåìïåðàòóðû. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî åñòü äèôôåðåíöèàëüíûé àíàëîã ñîîòíîøåíèÿ

V : T -3 , èëè (åñëè îïÿòü ó÷åñòü óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ) p : T4 .

 êîîðäèíàòàõ ð, Ò – ýòî ïàðàáîëà ÷åòâåðòîé ñòåïåíè (àäèàáàòà íà ðèñóíêå 1). À âîò òåìïåðàòóðíàÿ çàâèñèìîñòü äàâëåíèÿ íàñûùåííîãî ïàðà (êðèâàÿ íàñûùåíèÿ íà ðèñóíêå 1) – ãîðàçäî áîëåå ðåçêàÿ.  ýòîì ìîæíî óáåäèòüñÿ, ñêàæåì, ïðè ïîìîùè òàáëèö èëè ïîñòðîèâ êðèâóþ pí (T ) : e ïðèáëèæåííî îïèñûâàþùóþ ýòó çàâèñèìîñòü, ãäå r – óäåëüíàÿ òåïëîòà èñïàðåíèÿ (äëÿ âîäû r = 2,3 × 106 Äæ êã ). À ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êðèâàÿ pa : T 4 ñ óìåíüøåíèåì òåìïåðàòóðû, íà÷èíàÿ ñ T = T0 , ìîæåò ïåðåñå÷ü êðèâóþ íàñûùåíèÿ pí T  ïðè íåêîòîðîé òåìïåðàòóðå Tp , íàçûâàåìîé òî÷êîé ðîñû. Äàëüøå âîçìîæíû äâà ñöåíàðèÿ. Ñîãëàñíî ïåðâîìó èç íèõ (1), ïàð ïðîñêî÷èò äàëåå ïî àäèàáà-

Ðèñ. 1

-

r RT Μ

,


ØÊÎËÀ

òå, òàê ÷òî åãî äàâëåíèå áóäåò âñå áîëüøå è áîëüøå îòëè÷àòüñÿ îò äàâëåíèÿ íàñûùåíèÿ. Íî ïðè êàêîì-òî çíà÷åíèè ïåðåñûùåíèÿ pB pí > 1 è òåìïåðàòóðå TB ñèòóàöèÿ ñòàíåò íåâûíîñèìîé: ïðîèçîéäåò áóðíàÿ ñïîíòàííàÿ (ñàìîïðîèçâîëüíàÿ) êîíäåíñàöèÿ, ò.å. îáðàçóåòñÿ ìíîæåñòâî êàïåëü (òóìàí), áóäåò âûáðîøåíà â íåñóùèé ãàç òåïëîòà êîíäåíñàöèè, ïîòîê ïîäîãðååòñÿ è âåðíåòñÿ ê êðèâîé pí T  . Ýòà òåìïåðàòóðà TB íàçûâàåòñÿ òî÷êîé Âèëüñîíà (âñïîìíèì î åãî «òóìàííîé êàìåðå», ñûãðàâøåé âàæíóþ ðîëü â èññëåäîâàíèè ÿäåðíûõ ïðîöåññîâ). Èòàê, ÷àñòü ïàðà ïðåâðàòèòñÿ â æèäêèå êàïåëüêè, êîòîðûå óæå íå áóäóò ó÷àñòâîâàòü â ñîçäàíèè äàâëåíèÿ íà ñòåíêè ñîïëà; áîëåå òîãî, ðàñøèðÿþùåìóñÿ ïàðó ïðèäåòñÿ óñêîðÿòü ýòó ïàññèâíóþ ìàññó. ßâíûå ïîòåðè òÿãè äâèãàòåëÿ! Íî âîçìîæåí è äðóãîé ñöåíàðèé (2). Åñëè êàê-òî çàñòàâèòü ïàð èäòè âäîëü òåðìîäèíàìè÷åñêè ðàâíîâåñíîé êðèâîé pí (T ) , òî «ëèøíÿÿ» òåïëîòà êîíäåíñàöèè áóäåò âûäåëÿòüñÿ íåïðåðûâíî, ñïîñîáñòâóÿ äàëüíåéøåìó óñêîðåíèþ, òàê ÷òî â êîíöå êîíöîâ, ïðè T ® 0 , â êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ ïåðåéäåò è ýíåðãèÿ ôàçîâîãî ïðåâðàùåíèÿ. Ïîýòîìó, äîáàâèâ â ïðàâóþ ÷àñòü óðàâíåíèÿ ( * ) ìîëÿðíóþ òåïëîòó êîíäåíñàöèè Μ r , ïîëó÷èì ñëåäóþùóþ îöåíêó äëÿ ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòè:

8 RT0 + 2r » 2900 ì ñ . Μ Âûõîäèò, ðàâíîâåñíàÿ êîíäåíñàöèÿ ìîãëà áû ïîìî÷ü ïîëó÷èòü äîïîëíèòåëüíûé èìïóëüñ òÿãè! Íà ðèñóíêå 2 êà÷åñòâåííî èçîáðàæåíî èçìåíåíèå òåìïåðà2 = vmax

Ìîæíî ëè â ìèêðîñêîï ìîëåêóëó ðàçãëÿäåòü? À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ

À

ÏÎ×ÅÌÓ ÂÎÎÁÙÅ ×ÒÎ-ÒÎ ÌÎÆÍÎ ÐÀÇÃËßÄÛÂÀÒÜ Â

ìèêðîñêîï? Âñïîìíèì, ïðåæäå âñåãî, êàê ñòðîèòñÿ èçîáðàæåíèå ðàññìàòðèâàåìîãî ïðåäìåòà â ðàìêàõ ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè. Ïðîñòåéøàÿ ñõåìà ìèêðîñêîïà èìååò äâå ñîáèðàþùèå ëèíçû. Òà, ÷òî ïîâåðíóòà ê îáúåêòó, íàçûâàåòñÿ îáúåêòèâîì. Ïóñòü ýòîò îáúåêò ðàñïîëîæåí âáëèçè ôîêóñà îáúåêòèâà Fîá íà ðàññòîÿíèè, ÷óòü áîëüøåì ôîêóñíîãî ðàññòîÿíèÿ (ðèñ.1,à). Ïî ïðàâèëàì ïîñòðîåíèÿ èçîáðàæåíèÿ â ëèíçå ïðîâåäåì èç òî÷êè À îáúåêòà äâà ëó÷à – îäèí ÷åðåç ôîêóñ, äðóãîé – ÷åðåç öåíòð îáúåêòèâà. Ïåðâûé ëó÷, ñîãëàñíî îïðåäåëåíèþ ôîêóñà, ïîñëå ïðåëîìëåíèÿ â ëèíçå äîëæåí ïîéòè ïàðàëëåëüíî îïòè÷åñêîé îñè, à âòîðîé âîîáùå íå èçìåíèò íàïðàâëåíèÿ. Ñ äðóãîé ñòîðîíû îáúåêòèâà îíè ïåðåñåêóòñÿ â òî÷êå A¢ , êîòîðàÿ è ÿâëÿåòñÿ äåéñòâèòåëüíûì èçîáðàæåíèåì òî÷êè À. Òî÷íî òàê æå ïîñòðîèì èçîáðàæåíèå òî÷êè  è âîîáùå âñåõ òî÷åê îáúåêòà, ëåæàùåãî íà ïðåäìåòíîì ñòîëèêå. È ÷åì áëèæå ïðåäìåò áóäåò ðàñïîëîæåí ê

Â

«ÊÂÀÍÒÅ»

!'

Ðèñ. 2

òóðû è ñêîðîñòè âäîëü îñè ñîïëà õ, êîòîðàÿ äëÿ íàãëÿäíîñòè íàïðàâëåíà âíèç (âåäü ðàêåòà ñòîèò âåðòèêàëüíî). Íî êàê çàñòàâèòü ïàð èäòè ïî âòîðîìó ñöåíàðèþ? Äëÿ ýòîãî ìîæíî áû «ïîäñûïàòü» äîïîëíèòåëüíûå (ãåòåðîãåííûå) ÿäðà êîíäåíñàöèè – íàïðèìåð, ìèêðîïûëèíêè èëè èîíû (âñåãî ýòîãî è òàê ìíîãî â ðåàëüíîé âîäå), íà êîòîðûõ ïàð ìîã áû «îñåäàòü», íå äîæèäàÿñü áîëüøîãî ïåðåñûùåíèÿ. À åùå ìîæíî ó÷åñòü… Îäíàêî, – çàìåòèë Ñòóäåíò, – êîôå-òî îñòûë. Ïðèäåòñÿ ñíîâà ïîâûøàòü åãî ýíòàëüïèþ!

Ðèñ. 1

ôîêóñó îáúåêòèâà, òåì áóëüøèì ïîëó÷èòñÿ åãî äåéñòâèòåëüíîå ïåðåâåðíóòîå èçîáðàæåíèå A¢B¢ . Òåïåðü èñïîëüçóåì âòîðóþ ëèíçó – îêóëÿð, ðàñïîëîæèâ åãî òàê, ÷òîáû åãî ôîêóñ Fîê áûë âáëèçè ïåðâîãî èçîáðàæåíèÿ A¢B¢ , íî ñî ñòîðîíû îáúåêòèâà (ðèñ.1,á). Èçîáðàæåíèå A¢¢ òî÷êè A¢ òîæå ïîñòðîèì ïðè ïîìîùè äâóõ ëó÷åé. Îäíàêî òåïåðü ýòî áóäåò ìíèìîå èçîáðàæåíèå, íàõîäÿùååñÿ íà ïåðåñå÷åíèè ïðîäîëæåíèé ýòèõ ëó÷åé ñ òîé æå ñòîðîíû îêóëÿðà, ÷òî è A¢B¢ . Èòàê, ìû ïîëó÷èëè îêîí÷àòåëüíîå óâåëè÷åííîå ìíèìîå ïåðåâåðíóòîå (îáðàòíîå) èçîáðàæåíèå A¢¢B¢¢ ðàññìàòðèâàåìîãî îáúåêòà ÀÂ. Óìåíüøàÿ ðàññòîÿíèå ìåæäó AB è òî÷êîé Fîá (ôîêóñîì îáúåêòèâà) è ìåæäó A¢B¢ è Fîê (ôîêóñîì îêóëÿðà), ìîæíî óáåäèòüñÿ â âîçìîæíîñòè íåîãðàíè÷åííîãî óâåëè÷åíèÿ ìèêðîñêîïà. Íî ýòî òîëüêî â ðàìêàõ ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè! Ìèêðîñêîïèñòû XIX âåêà óæàñíî îáèäåëèñü, êîãäà èì îáúÿñíèëè, ÷òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë ðàçðåøàþùåé ñïîñîáíîñòè èõ ïðèáîðîâ (ò.å. âîçìîæíîñòè ðàçëè÷èòü äâå òî÷êè À è  êàê îòäåëüíûå) è ÷òî ýòîò ïðåäåë ñâÿçàí ñ äëèíîé âîëíû ñâåòà. Ñîîòâåòñòâóþùèå îöåíêè ñäåëàë â 1872 ãîäó íåìåöêèé


"

ÊÂÀÍT 2008/¹3

Èòàê, íàéäåì ñóììó äâóõ âîëí: 2π∆ ö π∆ ö æ æ π∆ ö æ sΣ = sin ωt + sin ç ωt + ÷ = 2 cos çè ÷ø sin çè ωt + ÷. è λ ø λ λ ø

Ìíîæèòåëü ïåðåä ñèíóñîì îïðåäåëÿåò àìïëèòóäó ñóììàðíîãî êîëåáàíèÿ – ðåçóëüòàò èíòåðôåðåíöèè äâóõ âîëí íà áåñêîíå÷íîñòè (èëè â ïàðàëëåëüíûõ ëó÷àõ). Âèäíî, ÷òî êâàäðàò àìïëèòóäû, ò.å. èíòåíñèâíîñòü, ìàêñèìàëåí ïðè óñëîâèè π∆ = mπ , ãäå m – öåëîå ÷èñëî, λ èëè ïðè óñëîâèè m . ∆ = mλ = d sin θmax

Òàêèì îáðàçîì, îïðåäåëåíû íàïðàâëåíèÿ, â êîòîðûõ äâå âîëíû óñèëèâàþò äðóã äðóãà, èëè èìååò ìåñòî ïîëîæèòåëüíàÿ èíòåðôåðåíöèÿ. È âîò òóò ìîæíî ïîÿñíèòü ãåíèàëüíî ïðîñòóþ ìûñëü Àááå: äëÿ òîãî ÷òîáû èíôîðìàöèÿ î ðàññòîÿíèè d ìåæäó òî÷êàìè À è  áûëà âîñïðèíÿòà íàáëþäàòåëåì, íóæíî, ÷òîáû, ïî êðàéíåé ìåðå, ïåðâûé ìàêñèìóì (m = 1) èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû ïîïàë â îáúåêòèâ ìèêðîñêîïà. Âîò ýòî óñëîâèå: 1 θmax £α,

Ðèñ. 2

ôèçèê-îïòèê Àááå, êîòîðûé ñàì èçãîòîâëÿë ýòè ïðèáîðû è äîâåë èõ äî ñîâåðøåíñòâà. Ïðîñëåäèì õîä åãî ìûñëåé. Ïóñòü íà «ïðåäìåò» À ñíèçó ïàäàåò ïëîñêàÿ âîëíà, îäíîâðåìåííî äîñòèãàþùàÿ òî÷åê À è  (ðèñ.2,à). Ñîãëàñíî ïðèíöèïó Ãþéãåíñà, îíè îáå ñòàíîâÿòñÿ èñòî÷íèêàìè âòîðè÷íûõ ñôåðè÷åñêèõ âîëí. Ïîñìîòðèì, êàê ýòè âîëíû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ âäîëü íåêîòîðîãî íàïðàâëåíèÿ, îáðàçóþùåãî óãîë θ ñ îïòè÷åñêîé îñüþ. Ïîñòðîèì îòðåçîê ÂÑ, ïåðïåíäèêóëÿðíûé ýòîìó íàïðàâëåíèþ è êàñàòåëüíûé ê ñôåðè÷åñêèì ïîâåðõíîñòÿì âîëí, âûõîäÿùèõ èç À è Â. Íî âûøëè-òî îíè íå îäíîâðåìåííî: ÷òîáû äîñòè÷ü òî÷êè Ñ, âîëíà èç òî÷êè À äîëæíà âûéòè ðàíüøå. Ñîîòâåòñòâóþùèé îòðåçîê âðåìåíè ðàâåí t ¢ = AC c , ãäå ñ – ñêîðîñòü âîëíû. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè âîçìóùåíèå, èäóùåå èç òî÷êè Â, çàïèñàòü â âèäå sB = sin ωt ,

òî âîçìóùåíèå îò òî÷êè À çàïèøåòñÿ â âèäå 2π∆ ö ∆ö æ æ s A = sin ω t + t ¢  = sin ω ç t + ÷ = sin ç ωt + ÷. è è λ ø cø Çäåñü AC = ∆ – ðàçíîñòü õîäà âîëí, λ = cT – äëèíà âîëíû, èëè ðàññòîÿíèå, ïðîõîäèìîå âîëíîé çà ïåðèîä T = 2π ω . Èç òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ëåãêî íàéòè ýòó ðàçíîñòü õîäà:

∆ = AB × sin θ = d sin θ . Ïîíÿòíî, ÷òî ýòà ðàçíîñòü õîäà áóäåò ñîõðàíÿòüñÿ è ïðè äàëüíåéøåì ðàñïðîñòðàíåíèè âîëí s A è sB . È ãäå-òî äàëåêîäàëåêî ôðîíòû ýòè âîëí ñòàíóò ïëîñêèìè, à ñóììàðíîå âîçìóùåíèå ñòàíåò ðàâíûì 2π∆ ö æ sΣ = sin ωt + sin ç ωt + ÷. è λ ø À ÷òî çíà÷èò äàëåêî? Âåäü åñëè ìû ñîáèðàåìñÿ ðàññìîòðåòü îòðåçîê AB = d êàê îòðåçîê (ò.å. ðàçëè÷èòü òî÷êè À è Â) ïîðÿäêà ìèêðîìåòðà è ìåíüøå, òî äàæå îäèí ìèëëèìåòð (ïîðÿäîê ôîêóñíîãî ðàññòîÿíèÿ îáúåêòèâà) – ýòî óæå î÷åíü äàëåêî ( Fîá d ? 1 ).

ãäå α – óãîë, ïîä êîòîðûì âèäåí ðàäèóñ îáúåêòèâà ìèêðîñêîïà èç öåíòðàëüíîé òî÷êè ïðåäìåòíîãî ñòîëèêà (ñì. ðèñ. 2,à). Ïîëîæèâ â ïðåäûäóùåì âûðàæåíèè ïîðÿäîê èíòåðôåðåíöèè m = 1, ïîëó÷èì èñêîìîå íàèìåíüøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè, ðàçëè÷íûìè êàê îòäåëüíûå òî÷êè: λ dmin = . sin α Îòñþäà âèäíî, ÷òî æåëàòåëüíî óìåíüøàòü λ è óâåëè÷èâàòü α . Íî íàèìåíüøàÿ äëèíà âîëíû âèäèìîãî (ôèîëåòîâîãî) ñâåòà λ : 0,4 ìêì , à ñèíóñ íåëüçÿ ñäåëàòü áîëüøå åäèíèöû – âîò ïî÷åìó îáúåêò ðàñïîëàãàþò êàê ìîæíî áëèæå ê îáúåêòèâó, à ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ïîñëåäíåãî áåðóò êàê ìîæíî ìåíüøèì. Íî, ïîéäåì äàëüøå. Ïî÷åìó íåïðåìåííî íóæíî îñâåùàòü íàøè «òî÷êè» âäîëü îïòè÷åñêîé îñè? Ïîïðîáóåì íàïðàâèòü ñâåò ïîä óãëîì θ0 ê íåé (ðèñ.2,á). Òîãäà ðàçíîñòü õîäà âîëí s A è sB ñîñòàâèò ∆ - ∆ 0 = AC - DB = d (sin θ - sin θ0 ) = mλ .

Âèäíî, ÷òî ìàêñèìóì íóëåâîãî ïîðÿäêà (m = 0) ïîéäåò â íàïðàâëåíèè θ0 . Ïîòðåáóåì òåïåðü, ÷òîáû îí ïîïàë íà ïðàâûé êðàé îáúåêòèâà ( θ0 = α ), à ìàêñèìóì ìèíóñ ïåðâîãî ïîðÿäêà (m = –1) – íà ëåâûé êðàé ( θ -1 = - α ).  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èì d (sin ( - α ) - sin α ) = -1 × λ ,

îòêóäà λ . 2 sin α Âèäíî, ÷òî óäàëîñü âäâîå óìåíüøèòü ïðåäåëüíî ðàçðåøèìîå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè. È ýòî åå íå âñå. Ïîìåñòèì ìåæäó îáúåêòèâîì è ïðåäìåòíûì ñòîëèêîì æèäêîñòü ñ êîýôôèöèåíòîì ïðåëîìëåíèÿ n. Ñêîðîñòü ñâåòà â íåé â n ðàç ìåíüøå, ÷åì â âàêóóìå (èëè, ÷òî ïî÷òè îäíî è òî æå, â âîçäóõå); çíà÷èò, äëèíà âîëíû òîæå óìåíüøèòñÿ â n ðàç.  òàêîì ñëó÷àå λ dmin = , 2n sin α dmin =

ãäå λ – äëèíà âîëíû â âîçäóõå. Ýòî – òàê íàçûâàåìàÿ


ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ

èììåðñèîííàÿ òåõíèêà (îò ëàòèíñêîãî immersio – ïîãðóæåíèå). Íî êîýôôèöèåíòû ïðåëîìëåíèÿ æèäêîñòåé íå íàìíîãî ïðåâûøàþò åäèíèöó: íàïðèìåð, äëÿ áåíçîëà n » 1,5 , äëÿ áðîìîôîðìà n » 1,6 . Òàê ÷òî ïðàâû òå, êòî ãîâîðÿò, ÷òî ìèêðîñêîï íå ìîæåò ðàçðåøèòü ðàññòîÿíèÿ, ñóùåñòâåííî ìåíüøèå ïîëîâèíû äëèíû âîëíû. À âîò òóò íà÷èíàåòñÿ òî, ÷åãî íå çíàë ñàì Àááå.  1924 ãîäó ôðàíöóçñêèé ôèçèê Ëóè äå Áðîéëü ðàçâèë èäåþ î òîì, ÷òî ìàòåðèàëüíîé ÷àñòèöå ñ èìïóëüñîì mv ìîæíî ñîïîñòàâèòü âîëíó ñ äëèíîé h λ= , mv ãäå h = 6,6 × 10 -34 Äæ × ñ – ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà. Íàïðèìåð, åñëè óñêîðèòü ýëåêòðîí â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå ñ ðàçíîñòüþ ïîòåíöèàëîâ U, òî îí ïðèîáðåòåò ñêîðîñòü

v=

2Ue , me

ãäå e = 1,6 × 10-19 Êë – çàðÿä ýëåêòðîíà, me = 9,1 × 10-31 ê㠖 åãî ìàññà. Çíà÷èò, äëèíà âîëíû ýëåêòðîíà, ñîãëàñíî äå Áðîéëþ, áóäåò ðàâíà h λ= . 2meUe

"

ÊÐÓÆÎÊ

Òàê, ïðè ðàçíîñòè ïîòåíöèàëîâ U = 1 (õàðàêòåðíîé äëÿ îáû÷íîé áàòàðåéêè) ïîëó÷èì

λ=

6,6 × 10 -34 2 × 9,1 × 10-31 × 1 × 1,6 × 10-19

ì » 10 -9 ì = 1 íì .

Ïðè ýòîì, ñîãëàñíî òåîðèè Àááå, ñòàíîâèòñÿ âîçìîæíûì ðàññìàòðèâàòü îáúåêòû ìîëåêóëÿðíûõ ðàçìåðîâ! Ýòî óæå íå ìèêðîñêîï, à, ìîæíî ñêàçàòü, íàíîñêîï. Ïðàâäà, îí íàçûâàåòñÿ ïî-ïðåæíåìó ìèêðîñêîïîì, òîëüêî ýëåêòðîííûì. Îáðàòèì åùå âíèìàíèå íà òî, ÷òî â çíàìåíàòåëå âûðàæåíèÿ äëÿ äëèíû âîëíû äå Áðîéëÿ ñòîèò ìàññà ÷àñòèöû. À ÷òî åñëè âçÿòü íå ýëåêòðîíû, à èîíû êàêèõ-òî ýëåìåíòîâ èëè äàæå ìîëåêóëÿðíûå èîíû? Ïîñêîëüêó îíè íà ìíîãî ïîðÿäêîâ ìàññèâíåå ýëåêòðîíà, èõ äåáðîéëåâñêàÿ äëèíà âîëíû ìîæåò áûòü çíà÷èòåëüíî óìåíüøåíà. Âìåñòå ñ íåþ óìåíüøèòñÿ è ðàçëè÷èìîå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè À è Â. Òàê ïîëó÷èëñÿ èîííûé ìèêðîñêîï. Çàâåðøèì íàø ðàññêàç ñëîâàìè èç êíèãè àíãëèéñêîãî ôèçèêà Ã.Ëèïñîíà «Âåëèêèå ýêñïåðèìåíòû â ôèçèêå» (Ì.: Ìèð, 1972): «Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî îïòè÷åñêàÿ ïðîìûøëåííîñòü îáÿçàíà òåîðèè áîëüøå, ÷åì ëþáàÿ äðóãàÿ îòðàñëü. Çäåñü òåîðèÿ âûñòóïàëà íå òîëüêî êàê îáîáùåíèå ïðàêòèêè, íî è êàê ïóòåâîäíàÿ íèòü».

ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÊÐÓÆÎÊ

Î äâóõ âåëîñèïåäèñòàõ è âèøíåâîé êîñòî÷êå Â.ÏÐÎÒÀÑÎÂ

Ãîä ñïóñòÿ ÿ ñíîâà îõîòèëñÿ â òîì æå ëåñó. Êîíå÷íî, ê òîìó âðåìåíè ÿ ñîâñåì ïîçàáûë îá èñòîðèè ñ âèøíåâîé êîñòî÷êîé. Êàêîâî æå áûëî ìîå èçóìëåíèå, êîãäà èç ÷àùè ëåñà ïðÿìî íà ìåíÿ âûïðûãíóë âåëèêîëåïíûé îëåíü, ó êîòîðîãî ìåæäó ðîãàìè ðîñëî âûñîêîå, ðàçâåñèñòîå âèøíåâîå äåðåâî! Ý.Ðàñïý. Ïðèêëþ÷åíèÿ áàðîíà Ìþíõãàóçåíà È âñå ýòî âûðîñëî èç çàäà÷è 1, ñîâñåì ïðîñòåíüêîé è íåèíòåðåñíîé, êîòîðóþ ìû âíà÷àëå è ðåøàòü-òî íå õîòåëè. Ïîñëåäíÿÿ ôðàçà ýòîé ñòàòüè

Ì

Û ÍÅ ÑËÓ×ÀÉÍÎ ÂÛÍÅÑËÈ Â ÝÏÈÃÐÀÔ ÔÐÀÇÓ ÈÇ ÈÑ-

òîðèè «Íåîáûêíîâåííûé îëåíü» î ïðèêëþ÷åíèÿõ áàðîíà Ìþíõãàóçåíà. Êàê èçâåñòíî, îäíàæäû íà îõîòå áàðîí âûñòðåëèë â îëåíÿ âèøíåâîé êîñòî÷êîé, è ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ íà ãîëîâå îëåíÿ âûðîñëî ðîñêîøíîå âèøíåâîå äåðåâî.

Ìû ïîïðîáóåì ïðîñëåäèòü, êàêèì îáðàçîì èç êîñòî÷êè âûðàñòàåò äåðåâî. À èìåííî, êàê èç ïðîñòîé îäíîõîäîâîé çàäà÷êè ïîëó÷àåòñÿ öåëàÿ ñåðèÿ êðàñèâûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ òåîðåì.  êà÷åñòâå âèøíåâîé êîñòî÷êè âîçüìåì òàêóþ çàäà÷ó: Çàäà÷à 1.  òðàïåöèè ABCD áîêîâàÿ ñòîðîíà BC ïåðïåíäèêóëÿðíà îñíîâàíèÿì. Òîãäà ñåðåäèíà ñòîðîíû AD ðàâíîóäàëåíà îò âåðøèí B è C.1 «Íó è ÷òî æå òóò ðåøàòü?» – ñïðîñèòå âû. È áóäåòå ïðàâû. Çàäà÷à – ñîâåðøåííî ýëåìåíòàðíàÿ. Ìîæåò, ñëåäóåò çàíÿòüñÿ áîëåå èíòåðåñíûìè âåùàìè? Îáÿçàòåëüíî, íî ñíà÷àëà âñåòàêè ïðèâåäåì ðåøåíèå. Ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì ñåðåäèíû ñòîðîí AD è BC ÷åðåç K è L ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ.1). Ïîñêîëüêó KL – ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðàïåöèè, îíà ïàðàëëåëüíà îñíîâàíèÿì, ñëåäîâàòåëüíî îíà ïåðïåíäèêóëÿðíà BC. Òàêèì îáðàçîì, KL – ñåðåäèííûé ïåðïåíäèêóëÿð ê ñòîðîíå BC, ïîýòîìó KB = KC. Óäèâèòåëüíî, ÷òî ýòà «êîñòî÷êà», êîòîðàÿ ÿâëÿåòñÿ äàæå íå çàäà÷åé, à ñêîðåå øêîëüíûì óï- Ðèñ. 1 ðàæíåíèåì, äàåò íà÷àëî ìíîæåñòâó çàìå÷àòåëüíûõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ôàêòîâ. Ñðåäè íèõ åñòü è ñëîæíûå çàäà÷è, îïóáëèêîâàííûå â ðàçëè÷íûõ ñáîðíèêàõ, è îäíà èç «òåîðåì î áàáî÷êå», è äâå çàäà÷è, ïðåäëàãàâøèåñÿ â ðàçíûå ãîäû íà Ìåæäóíàðîäíîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäå.  êà÷åñòâå ïåðâîãî øàãà ìû äîêàæåì ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå, óæå áîëåå èíòåðåñíîå è òðóäíîå: 1 Çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ìû áóäåì ôîðìóëèðîâàòü â âèäå óòâåðæäåíèé, ñëîâà «Äîêàæèòå, ÷òî ...», êàê ïðàâèëî, áóäåì îïóñêàòü.


"

ÊÂÀÍT 2008/¹3

Çàäà÷à 2. Äàíû äâå îêðóæíîñòè, ïåðåñåêàþùèåñÿ â òî÷êàõ A è B. Òîãäà íà ïëîñêîñòè íàéäåòñÿ òî÷êà K ñ òàêèì ñâîéñòâîì: åñëè ïðîâåñòè ÷åðåç òî÷êó A ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ, ïåðåñåêàþùóþ îêðóæíîñòè âòîðè÷íî â òî÷êàõ P1 è P2 , òî K áóäåò ðàâíîóäàëåíà îò ñåðåäèí õîðä AP1 è AP2 . Ðåøåíèå. Öåíòðû äàííûõ îêðóæíîñòåé (îáîçíà÷èì èõ ÷åðåç O1 è O2 ) âìåñòå ñ ñåðåäèíàìè îòðåçêîâ AP1 è AP2 ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè ïðÿìîóãîëüíîé òðàïåöèè. Ïðèìåíèâ ê íåé ðåçóëüòàò çàäà÷è 1, ïîëó÷èì, ÷òî ñåðåäèíà îòðåçêà O1O2 è åñòü èñêîìàÿ òî÷êà K. Ïðîñòîòà ðåøåíèÿ âî ìíîãîì, êîíå÷íî, êàæóùàÿñÿ. Çàäà÷à èç ñåðèè «ðåøàåòñÿ ëåãêî, åñëè çíàòü êàê». Âñå-òàêè íóæíî ñíà÷àëà óñòàíîâèòü ïîëîæåíèå òî÷êè K, çàòåì óâèäåòü íà ÷åðòåæå ïðÿìîóãîëüíóþ òðàïåöèþ... Äëÿ íàñ æå âàæíî òî îáñòîÿò��ëüñòâî, ÷òî â ðåøåíèè íå èñïîëüçîâàíî íè÷åãî, êðîìå ðåçóëüòàòà çàäà÷è 1. Ìàòåìàòèêè â òàêèõ ñëó÷àÿõ ãîâîðÿò, ÷òî çàäà÷à 2 åñòü ïðÿìîå ñëåäñòâèå çàäà÷è 1. Ñäåëàåì âòîðîé øàã è ïåðåéäåì ê åùå îäíîìó ïðÿìîìó ñëåäñòâèþ: Çàäà÷à 3. Äàíû äâå îêðóæíîñòè, ïåðåñåêàþùèåñÿ â òî÷êàõ A è B. Òîãäà íà ïëîñêîñòè íàéäåòñÿ òî÷êà ñ òàêèì ñâîéñòâîì: åñëè ïðîâåñòè ÷åðåç òî÷êó A ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ, ïåðåñåêàþùóþ îêðóæíîñòè âòîðè÷íî â òî÷êàõ P1 è P2 , òî ýòà òî÷êà áóäåò ðàâíîóäàëåíà îò P1 è P2 . Ðåøåíèå. Èç çàäà÷è 2 ìû çíàåì, ÷òî òî÷êà K, ñåðåäèíà îòðåçêà O1O2 , ðàâíîóäàëåíà îò ñåðåäèí õîðä AP1 è AP2 . ÐàñòÿÐèñ. 2 íåì ïëîñêîñòü â äâà ðàçà îòíîñèòåëüíî òî÷êè A (ò.å. ïðîâåäåì ãîìîòåòèþ ñ êîýôôèöèåíòîì 2 ñ öåíòðîì A). Ïðè ýòîì ñåðåäèíû äàííûõ õîðä ïåðåéäóò â òî÷êè P1 è P2 , à òî÷êà K – â òî÷êó V òàêóþ, ÷òî îòðåçîê AV áóäåò èìåòü ñåðåäèíó â òî÷êå K (ðèñ.2). Ïîëó÷àåì, ÷òî V ðàâíîóäàëåíà îò òî÷åê P1 è P2 . Çäåñü ïîðà ñäåëàòü îñòàíîâêó è çàäóìàòüñÿ. Íåñìîòðÿ íà êîðîòêîå ðåøåíèå, çàäà÷à 3 ñïðàâåäëèâî ñ÷èòàåòñÿ òðóäíîé.  ðàçíûõ âèäàõ îíà ïîÿâëÿëàñü è â èçâåñòíûõ ñáîðíèêàõ, è íà îëèìïèàäàõ âûñîêîãî óðîâíÿ. À âåäü ïî ñóòè â íåé íåò íè÷åãî, êðîìå ýëåìåíòàðíîãî ñâîéñòâà ïðÿìîóãîëüíîé òðàïåöèè, óñòàíîâëåííîãî â çàäà÷å 1. Êàê æå òàê ïîëó÷èëîñü, ÷òî îäíî ïðîñòîå äåéñòâèå (ãîìîòåòèÿ îòíîñèòåëüíî òî÷êè A) ïðåâðàùàåò ñëîæíóþ è êðàñèâóþ òåîðåìó â òðèâèàëüíóþ çàäà÷êó ïðî òðàïåöèþ? Îáðàòèìñÿ åùå ðàç ê ðåøåíèþ. Ìû ïðîâåëè ïðîèçâîëüíóþ ïðÿìóþ P1P2 è âûäåëèëè ïðÿìîóãîëüíóþ òðàïåöèþ ñ âåðøèíàìè â öåíòðàõ îêðóæíîñòåé O1 , O2 è ñåðåäèíàõ îòðåçêîâ AP1 , AP2 . Îñòàëîñü âîñïîëüçîâàòüñÿ çàäà÷åé 1, a ïîòîì ñäåëàòü ãîìîòåòèþ ñ êîýôôèöèåíòîì 2. Äëÿ êàæäîé ïðÿìîé P1P2 âîçíèêàåò, òàêèì îáðàçîì, ñâîÿ òðàïåöèÿ. È ê êàæäîé èç íèõ ïðèìåíèìî îäíî è òî æå ðàññóæäåíèå, ò.å. ìû îäíèì øàãîì ïðèìåíèëè ðåçóëüòàò çàäà÷è 1 ñðàçó ê áåñêîíå÷íîìó ìíîæåñòâó ïðÿìîóãîëüíûõ òðàïåöèé. Ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî çàäà÷à 3 – ýòî òà æå çàäà÷à 1, òîëüêî ïîâòîðåííàÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî ðàç. Òàêîå «òèðàæèðîâàíèå» ìàòåìàòè÷åñêîãî ðàññóæäåíèÿ âñòðå÷àåòñÿ ïîñòîÿííî, ïðè÷åì ìû ñàìè, ðåøàÿ çàäà÷è, ýòîãî íå çàìå÷àåì. Âåëèêèé ôðàíöóçñêèé ó÷åíûé Àíðè Ïóàíêàðå (1854–1912) ïèñàë îá ýòîì ôåíîìåíå êàê îá îñíîâíîé äâèæóùåé ñèëå ìàòåìàòèêè íà åå ïóòè îò ïðîñòîãî ê ñëîæíîìó, ñïàñàþùåé ìàòåìàòèêó îò áåñêîíå÷íûõ òàâòîëîãèé. Ýòà ñèëà

ñîñòîèò â «îõâàòå áåñêîíå÷íîñòè îäíîé ôîðìóëîé», êàê ãîâîðèë Ïóàíêàðå â ñâîåé êíèãå «Î íàóêå»: «Çäåñü ñêàçûâàåòñÿ òîëüêî óòâåðæäåíèå ìîãóùåñòâà ðàçóìà, êîòîðûé ñïîñîáåí ïîñòè÷ü áåñêîíå÷íîå ïîâòîðåíèå îäíîãî è òîãî æå àêòà, ðàç ýòîò àêò îêàçàëñÿ âîçìîæíûì îäíàæäû». Íåáîëüøàÿ âàðèàöèÿ çàäà÷è 3 ïðèâîäèò íàñ ê åùå îäíîé ñëîæíîé çàäà÷å, ïðåäëàãàâøåéñÿ â 1979 ãîäó íà XXI Ìåæäóíàðîäíîé ìàòåìàòè÷åñêîé îëèìïèàäå â Ëîíäîíå: Çàäà÷à 4 (î äâóõ âåëîñèïåäèñòàõ).2 Äàíû äâå îêðóæíîñòè, ïåðåñåêàþùèåñÿ â òî÷êàõ A è B. Äâà âåëîñèïåäèñòà åäóò ïî ýòèì îêðóæíîñòÿì (êàæäûé – ïî ñâîåé) ñ ïîñòîÿííûìè ñêîðîñòÿìè è â îäíîì íàïðàâëåíèè (ëèáî îáà ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, ëèáî îáà – ïðîòèâ). Îíè îäíîâðåìåííî âûåçæàþò èç òî÷êè B, äåëàþò îäèí îáîðîò è îäíîâðåìåííî âîçâðàùàþòñÿ â B. Òîãäà íàéäåòñÿ íåïîäâèæíàÿ òî÷êà, êîòîðàÿ âñå âðåìÿ ðàâíîóäàëåíà îò âåëîñèïåäèñòîâ. Ðåøåíèå. Óâåðåí, ÷òî âû óæå âñå ïîíÿëè. Ýòà òî÷êà è åñòü òà ñàìàÿ òî÷êà V èç çàäà÷è 3.  ñàìîì äåëå, åñëè îáîçíà÷èòü Ðèñ. 3 ýòèõ âåëîñèïåäèñòîâ ÷åðåç P1 è P2 , òî â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ïðÿìàÿ P1P2 ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó A (ðèñ.3). Ïî÷åìó? Âåëîñèïåäèñòû åäóò ñ îäèíàêîâûìè óãëîâûìè ñêîðîñòÿìè, ïîýòîìó äóãè B P1 è B P2 èìåþò îäèíàêîâóþ óãëîâóþ ìåðó. Çíà÷èò, óãëû ÐBAP1 è ÐBAP2 ðàâíû, ïîñêîëüêó îíè îïèðàþòñÿ íà ýòè äóãè. À ýòî çíà÷èò, ÷òî òî÷êè P1 , P2 è A ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Ñëåäîâàòåëüíî, VP1 = VP2 (çàäà÷à 3). Èòàê, â çàäà÷àõ 3 è 4 ôèãóðèðóåò îäíà è òà æå òî÷êà V.  íåé ñõîäÿòñÿ âñå ñåðåäèííûå ïåðïåíäèêóëÿðû ê îòðåçêàì P1P2 , ñîåäèíÿþùèì òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ äàííûõ îêðóæíîñòåé ñ ïðÿìûìè, ïðîõîäÿùèìè ÷åðåç A (çàäà÷à 3). Îíà æå âñåãäà ðàâíîóäàëåíà îò äâóõ âåëîñèïåäèñòîâ, îäíîâðåìåííî âûåçæàþùèõ èç òî÷êè B è äâèãàþùèõñÿ ñ îäèíàêîâûìè óãëîâûìè ñêîðîñòÿìè. Óæå ýòèõ äâóõ ñâîéñòâ äîñòàòî÷íî äëÿ òîãî, ÷òîáû òî÷êà èìåëà ñâîå íàçâàíèå. Áóäåì íàçûâàòü V òî÷êîé äâóõ âåëîñèïåäèñòîâ, ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êå B. Ó ëþáîé ïàðû ïåðåñåêàþùèõñÿ îêðóæíîñòåé òàêèõ çàìå÷àòåëüíûõ òî÷åê äâå: îäíà ñîîòâåòñòâóåò òî÷êå A, äðóãàÿ – B. Ýòè òî÷êè ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ëèíèè öåíòðîâ îêðóæíîñòåé, à ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè ðàâíî äëèíå îáùåé õîðäû AB. Èç ðåøåíèÿ çàäà÷è 3 ëåãêî óñòàíîâèòü èõ ìåñòîïîëîæåíèå. Òàê, òî÷êà äâóõ âåëîñèïåäèñòîâ V, ñîîòâåòñòâóþùàÿ òî÷êå B, ÿâëÿåòñÿ ÷åòâåðòîé âåðøèíîé ïàðàëëåëîãðàììà O1 AO2V . Îíà æå – ÷åòâåðòàÿ âåðøèíà ðàâíîáåäðåííîé òðàïåöèè O1O2 BV ñ îñíîâàíèÿìè O1O2 è BV. Ó òî÷åê äâóõ âåëîñèïåäèñòîâ ìíîæåñòâî èíòåðåñíûõ ñâîéñòâ. ×àñòü èç íèõ óïîìÿíóòà â óïðàæíåíèÿõ íèæå. Ðåøàòü èõ (ðàâíî êàê è îñòàëüíûå óïðàæíåíèÿ â ýòîé ñòàòüå) íåîáÿçàòåëüíî, â íàøèõ äàëüíåéøèõ èññëåäîâàíèÿõ îíè íå èñïîëüçóþòñÿ. Ìû, îäíàêî, ðåêîìåíäóåì ðåøèòü óïðàæíåíèÿ 1 è 2, ïîñêîëüêó îíè íàì ïîíàäîáÿòñÿ. Óïðàæíåíèÿ 1. ×åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ îêðóæíîñòåé ïðîâîäÿòñÿ äâå ïðÿìûå, êîòîðûå âòîðè÷íî ïåðåñåêàþò îêðóæíîñòè, ïåðâàÿ – â òî÷êàõ P1 , P2 , âòîðàÿ – â òî÷êàõ Q1 , Q2 . Òîãäà òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ê îòðåçêàì P1P2 è 2 Äëÿ óäîáñòâà ìû íåìíîãî èçìåíÿåì ôîðìóëèðîâêè îëèìïèàäíûõ çàäà÷, ïîëíîñòüþ ñîõðàíÿÿ ïðè ýòîì èõ ñìûñë.


ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ

Q1Q2 ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé äâóõ âåëîñèïåäèñòîâ äëÿ äàííûõ îêðóæíîñòåé. 2. Åñëè îêðóæíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ A è B, V – èõ òî÷êà äâóõ âåëîñèïåäèñòîâ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ B, òî óãîë ABV – ïðÿìîé. 3.  óñëîâèÿõ çàäà÷è 4 îáîçíà÷èì ÷åðåç O1 è O2 öåíòðû îêðóæíîñòåé. Äîêàæèòå ðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêîâ VO1P1 è P2O2V ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè. Ïîëüçóÿñü ýòèì, ïîëó÷èòå äðóãîå ðåøåíèå çàäà÷è 4. 4 (Í.Á.Âàñèëüåâ).3 Äîêàæèòå óòâåðæäåíèå çàäà÷è 4 äëÿ äâóõ âåëîñèïåäèñòîâ, äâèãàþùèõñÿ ïî îêðóæíîñòÿì â ðàçíûõ íàïðàâëåíèÿõ. 5. Äâå îêðóæíîñòè ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ A è B, V – òî÷êà äâóõ âåëîñèïåäèñòîâ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ B. Åñëè ÷åðåç òî÷êè B è V ïðîâåñòè ïðîèçâîëüíóþ îêðóæíîñòü, òî òî÷êè åå ïîâòîðíîãî ïåðåñå÷åíèÿ ñ äàííûìè îêðóæíîñòÿìè áóäóò ðàâíîóäàëåíû îò V. 6. Äâå îêðóæíîñòè ñ ðàäèóñàìè r1, r2 ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ A è B. Ïóñòü V – òî÷êà äâóõ âåëîñèïåäèñòîâ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ òî÷êå B. Òîãäà äëÿ ëþáîé îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì V, ïåðåñåêàþùåé îáå îêðóæíîñòè (ïåðÐèñ. 4 âóþ – â òî÷êàõ M1, N1 , âòîðóþ – â òî÷êàõ M2, N2 , èìååì (ðèñ.4) à) ïðÿìûå M1M2 è N1N2 ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå A; á) ÷åòûðåõóãîëüíèêè VBM1N2 è VN1M2 B – âïèñàííûå;

â)

M1N1 AN1 AM1 BM1 BN1 r1 = = = = = . M2 N2 AM2 AN2 BM2 BN2 r2

Çàäà÷à 4 î äâóõ âåëîñèïåäèñòàõ äîñòàâèëà íåìàëî óäîâîëüñòâèÿ è ó÷àñòíèêàì XXI Ìåæäóíàðîäíîé îëèìïèàäû, è ÷ëåíàì æþðè. Áûëà îíà ïðåäëîæåíà íàøåé ñòðàíîé è äàíà â ïåðâûé äåíü îëèìïèàäû ïîä íîìåðîì òðè, ÷òî îçíà÷àåò – ñàìàÿ ñëîæíàÿ. Øêîëüíèêè íàøëè ìíîæåñòâî ñïîñîáîâ äëÿ åå ðåøåíèÿ – îò ÷èñòî ãåîìåòðè÷åñêèõ, äî âû÷èñëèòåëüíûõ è äàæå ôèçè÷åñêèõ. Ïðîøëî øåñòü ëåò, è íà XXVI Ìåæäóíàðîäíîé îëèìïèàäå â 1985 ãîäó îò íàøåé ñòðàíû òåì æå àâòîðîì áûëà ïðåäñòàâëåíà åùå îäíà ãåîìåòðè÷åñêàÿ çàäà÷à, êîòîðàÿ (î óæàñ!) îêàçàëàñü íà òó æå ñàìóþ èäåþ. Ïðàâäà, òîãäà äàæå àâòîð çàäà÷è ýòîãî íå çàìåòèë. Áûëî îïóáëèêîâàíî äâà àâòîðñêèõ ðåøåíèÿ, îñíîâàííûõ íà ðàçíûõ ïðèåìàõ. Ïîòîì áûëî íàéäåíî åùå íåñêîëüêî ãåîìåòðè÷åñêèõ ðåøåíèé. Íè îäíî èç íèõ è áëèçêî íå óïîìèíàëî òî÷êó äâóõ âåëîñèïåäèñòîâ. Çàäà÷à 5. Äàí òðåóãîëüíèê ABC è îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì â òî÷êå Î, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç âåðøèíû B è C è ïîâòîðíî ïåðåñåêàþùàÿ ïðÿìûå AC è AB â òî÷êàõ P è Q ñîîòâåòñòâåííî. Îïèñàííûå îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêîâ APQ è ACB èìåþò ðîâíî äâå îáùèå òî÷êè A è M. Òîãäà óãîë OMA ïðÿìîé. Íà ïåðâûé âçãëÿä, íè÷åãî îáùåãî ñ çàäà÷àìè 4 èëè 3. Íèêàêèõ äâèæóùèõñÿ òî÷åê, íèêàêèõ ïðîèçâîëüíûõ ïðÿìûõ. Åñòü òîëüêî æåñòêî ôèêñèðîâàííàÿ êîíñòðóêöèÿ, äëÿ êîòîðîé íàäî äîêàçàòü, ÷òî îäèí èç óãëîâ ïðÿìîé. È òåì íå ìåíåå, ñìîòðèòå. Ðåøåíèå. Ïóñòü O – öåíòð îêðóæíîñòè CPQB (ðèñ.5). Òî÷êà O ëåæèò íà ïåðåñå÷åíèè ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ê îòðåçêàì CP è BQ, ïîýòîìó îíà ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé äâóõ 3  òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà íàì èçâåñòíî èìÿ àâòîðà çàäà÷è, ìû áóäåì åãî óêàçûâàòü.

ÊÐÓÆÎÊ

"!

âåëîñèïåäèñòîâ äëÿ îêðóæíîñòåé APQ è ACB. Ñëåäîâàòåëüíî, OO2O1M – ðàâíîáåäðåííàÿ òðàïåöèÿ ( O1 , O2 – öåíòðû îêðóæíîñòåé APQ è ACB ñîîòâåòñòâåííî).  ÷àñòíîñòè, ïðÿìàÿ OM ïàðàëëåëüíà ïðÿìîé O1O2 . Íî ïðÿìàÿ O1O2 ïåðïåíäèêóëÿðíà AM (ëèíèÿ öåíòðîâ äâóõ îêðóæíîñòåé ïåðïåíäèêóëÿðíà èõ îáùåé õîðäå). Çíà÷èò, è ïðÿìàÿ OM ïåðÐèñ. 5 ïåíäèêóëÿðíà AM. Âíèìàòåëüíûé ÷èòàòåëü íàâåðíÿêà çàìåòèë, ÷òî ýòà çàäà÷à ÿâëÿåòñÿ ïðÿìûì ñëåäñòâèåì óïðàæíåíèé 1 è 2. Óïðàæíåíèå 7. Ïðîäîëæåíèÿ ñòîðîí AB è CD âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå K, à ïðîäîëæåíèÿ ñòîðîí AD è BC – â òî÷êå L. Òîãäà îïèñàííûå îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêîâ BKC, AKD, ALB è DLC ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå, ëåæàùåé íà ïðÿìîé KL. Áîëåå òîãî, ïåðïåíäèêóëÿð, âîññòàâëåííûé â ýòîé òî÷êå ê ïðÿìîé KL, ïðîõîäèò ÷åðåç öåíòð îêðóæíîñòè ABCD.

À âîò åùå îäíà çàäà÷à, â ðåøåíèè êîòîðîé òî÷êà äâóõ âåëîñèïåäèñòîâ âîçíèêàåò ñàìûì íåîæèäàííûì îáðàçîì: Çàäà÷à 6 (î áàáî÷êå). ×åðåç òî÷êó A, íå ëåæàùóþ íà îêðóæíîñòè, ïðîâåäåíû äâå ïðÿìûå, ïåðåñåêàþùèå ýòó îêðóæíîñòü, îäíà – â òî÷êàõ P1 , P2 , äðóãàÿ – â òî÷êàõ Q1 , Q2 . Ïðîèçâîëüíàÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç A, ïåðåñåêàåò îêðóæíîñòü â òî÷êàõ M1 , M2 , à îïèñàííûå îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêîâ APQ 1 1 è AP2Q2 – â òî÷êàõ N1 è N2 ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà M1N1 = = M2 N2 . Çàäà÷à ýòà ïðèíàäëåæèò ê çàìå÷àòåëüíîìó ñåìåéñòâó «òåîðåì î áàáî÷êå», î êî- Ðèñ. 6 òîðîì ðå÷ü ïîéäåò íèæå. Íà ðèñóíêå 6 ïîêàçàíà ýòà «áàáî÷êà» ñ òðåóãîëüíûìè êðûëüÿìè APQ 1 1 è AP2Q2 , îêàéìëåííûìè çàêðàøåííûìè ëóíî÷êàìè. Ëþáàÿ ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç A è ïåðåñåêàþùàÿ ýòè ëóíî÷êè, ïåðåñåêàåò èõ ïî ðàâíûì îòðåçêàì. Èíòåðåñíûé ôàêò, íå ïðàâäà ëè? À äîêàçûâàåòñÿ îí ñ ïîìîùüþ âñå òîé æå çàäà÷è 3. Ðåøåíèå. Ïóñòü O – öåíòð äàííîé îêðóæíîñòè. Îí ëåæèò íà ïåðåñå÷åíèè ñåðåäèííûõ ïåðïåíäèêóëÿðîâ ê îòðåçêàì P1P2 è Q1Q2 , ïîýòîìó îí ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé äâóõ âåëîñèïåäèñòîâ äëÿ îêðóæíîñòåé APQ è AP2Q2 . Çíà÷èò, êàêóþ áû 1 1 ïðÿìóþ íè ïðîâåñòè ÷åðåç A, òî÷êà O áóäåò ëåæàòü íà ñåðåäèííîì ïåðïåíäèêóëÿðå ê îòðåçêó N1N2 . Íî, ñ äðóãîé ñòîðîíû, O ëåæèò íà ñåðåäèííîì ïåðïåíäèêóëÿðå ê õîðäå M1M2 . Ñëåäîâàòåëüíî, îòðåçêè N1N2 è M1M2 èìåþò îáùóþ ñåðåäèíó, ÷òî è îçíà÷àåò ðàâåíñòâî M1N1 = M2 N2 . Óïðàæíåíèå 8 (Ã.Â.Äîðîôååâ). Ïîëó÷èòå äðóãîå ðåøåíèå çàäà÷è 6, îñíîâàííîå íà ñëåäóþùåì ïîñòðîåíèè. Ïðîâåäåì ïðÿìóþ N1Q1 è îáîçíà÷èì ÷åðåç S òî÷êó åå ïîâòîðíîãî ïåðåñå÷åíèÿ ñ èñõîäíîé îêðóæíîñòüþ. Òîãäà: à) ïðÿìûå SP2 è M1M2 ïàðàëëåëüíû; á) òðåóãîëüíèêè M1SN1 è M2 P2 N2 ðàâíû.


""

ÊÂÀÍT 2008/¹3

Öèêë çàäà÷ ïîä îáùèì íàçâàíèåì «òåîðåìû î áàáî÷êå» èìååò äàâíþþ è áîãàòóþ èñòîðèþ. È õîòÿ ýòî âûõîäèò çà ðàìêè íàøåé òåìû, ñäåëàåì íåáîëüøîå îòñòóïëåíèå. Ñíà÷àëà ïîÿâèëàñü êëàññè÷åñêàÿ òåîðåìà î áàáî÷êå. Âîò îíà: Òåîðåìà î áàáî÷êå. Íà îêðóæíîñòè äàíà õîðäà AB. ×åðåç åå ñåðåäèíó ïðîâåäåíû ïðîèçâîëüíûå õîðäû PQ è RS. Ïðÿìûå QS è RP ïåðåñåêàþò AB â òî÷êàõ K è L. Òîãäà AK = BL. Óïðàæíåíèå 9. Äîêàæèòå ýòó òåîðåìó.

Ýòà çàäà÷à áûëà îïóáëèêîâàíà â 1815 ãîäó â àíãëèéñêîì æóðíàëå «Gentleman’s Diary». Åå àâòîðñòâî ïðèïèñûâàþò àíãëèéñêîìó ìàòåìàòèêó Óèëüÿìó Äæîðäæó Ãîðíåðó (1786– 1837), ÷üå èìÿ íûíå èçâåñòíî êàæäîìó ñòàðøåêëàññíèêó áëàãîäàðÿ «ñõåìå Ãîðíåðà» äëÿ äåëåíèÿ ìíîãî÷ëåíîâ. Ñ òåõ ïîð òåîðåìà î áàáî÷êå ñòàëà î÷åíü èçâåñòíîé è ïîïóëÿðíîé. Çà ïðîøåäøèå ïî÷òè äâà âåêà íàéäåíî ìíîæåñòâî åå äîêàçàòåëüñòâ, êàê ÷èñòî ãåîìåòðè÷åñêèõ, òàê è âû÷èñëèòåëüíûõ. Ñ íåêîòîðûìè èç íèõ ìîæíî îçíàêîìèòüñÿ â çàäà÷íèêàõ È.Ô.Øàðûãèíà, çàäà÷íèêå Â.Â.Ïðàñîëîâà, â êíèãå Ä.Î.Øêëÿðñêîãî, Í.Í.×åíöîâà è È.Ì.ßãëîìà «Èçáðàííûå çàäà÷è è òåîðåìû ýëåìåíòàðíîé ìàòåìàòèêè», â çíàìåíèòîé êíèãå «Íîâûå âñòðå÷è ñ ãåîìåòðèåé» Ã.Ñ.Ì.Êîêñòåðà è Ñ.Ë.Ãðåéòöåðà. Íå òàê äàâíî î íåé ïèñàë è «Êâàíò» (ñòàòüÿ «Ãåîìåòðè÷åñêèå øåäåâðû È.Ô.Øàðûãèíà», «Êâàíò» ¹ 1 çà 2006 ã.). Ïîÿâèëîñü ìíîãî îáîáùåíèé ýòîé òåîðåìû è ìíîãî áëèçêèõ ïî äóõó çàäà÷, êîòîðûå îáúåäèíèëèñü â öèêë ïîä îáùèì íàçâàíèåì «òåîðåìû î áàáî÷êå». Îäíî èç ñàìûõ èíòåðåñíûõ îáîáùåíèé ïðèäóìàë çàìå÷àòåëüíûé ãåîìåòð Èãîðü Ôåäîðîâè÷ Øàðûãèí (1937–2004). Åìó, êñòàòè, ïðèíàäëåæèò è çàäà÷à 5, à çàäà÷à 4 ïðèäóìàíà èì â ñîàâòîðñòâå ñ äðóãèì çàìå÷àòåëüíûì ìàòåìàòèêîì è ìíîãîëåòíèì àâòîðîì æóðíàëà «Êâàíò» Íèêîëàåì Áîðèñîâè÷åì Âàñèëüåâûì (1940–1998). Èäåÿ îáîáùåííîé òåîðåìû î áàáî÷êå ñîñòîèò â òîì, ÷òî ñåðåäèíó õîðäû AB ìîæíî «ðàçäâîèòü», ïðè ýòîì íè÷åãî íå èçìåíèâ â äîêàçàòåëüñòâå. Ìû äàåì ôîðìóëèðîâêó ýòîé òåîðåìû â óïðàæíåíèè 10. À â óïðàæíåíèÿõ 11 è 12 – åùå íåñêîëüêî òåîðåì î áàáî÷êå, êîòîðûå, êàê è çàäà÷à 6, óæå èìåþò ìàëî îáùåãî ñ îðèãèíàëîì. Êðîìå, ðàçóìååòñÿ, ñàìîé áàáî÷êè. Êàæäàÿ èç íèõ ñîäåðæèò ñâîþ îñîáóþ èäåþ è òðåáóåò îòäåëüíîãî äîêàçàòåëüñòâà. Ïîïðîáóéòå! Óïðàæíåíèÿ 10 (È.Ô.Øàðûãèí). Íà îêðóæíîñòè äàíà õîðäà AB, íà íåé – òî÷êè M è N, ïðè÷åì AM = BN. ×åðåç òî÷êè M è N ïðîâåäåíû õîðäû PQ è RS ñîîòâåòñòâåííî. Ïðÿìûå QS è RP ïåðåñåêàþò AB â òî÷êàõ K è L. Òîãäà AK = BL. 11. Íà ñòîðîíàõ óãëà âçÿòû òî÷êè A è B. ×åðåç ñåðåäèíó M îòðåçêà AB ïðîâåäåíû äâå ïðÿìûå, îäíà èç êîòîðûõ ïåðåñåêàåò ñòîðîíû óãëà â òî÷êàõ A1 , B1 , à äðóãàÿ – â òî÷êàõ A2 , B2 . Ïðÿìûå A1B2 è A2 B1 ïåðåñåêàþò AB â òî÷êàõ P è Q. Òîãäà MP = MQ. 12. Ñôîðìóëèðóéòå è äîêàæèòå àíàëîãè êëàññè÷åñêîé òåîðåìû î áàáî÷êå äëÿ ïàðàáîëû, ãèïåðáîëû, ýëëèïñà. Äëÿ êàêèõ èç ýòèõ ôèãóð áóäåò âåðíî îáîáùåíèå òåîðåìû î áàáî÷êå, êàê â óïðàæíåíèè 10? Óêàçàíèå. Ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåì, ÷òî ýëëèïñ ÿâëÿåòñÿ ïðîåêöèåé îêðóæíîñòè íà ïëîñêîñòü.  ðàññóæäåíèÿõ ñ ïàðàáîëîé è ãèïåðáîëîé ìîæíî ïðèìåíèòü ìåòîä êîîðäèíàò. 13 (Ñ.Ë.Áåðëîâ). Äàí îñòðîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê ABC, H – òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ åãî âûñîò, D – ñåðåäèíà AÑ. Åñëè ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç H è ïåðïåíäèêóëÿðíàÿ îòðåçêó HD, ïåðåñåêàåò ïðÿìûå AB è BC â òî÷êàõ E è F, òî HE = HF.

Òà òåîðåìà î áàáî÷êå, êîòîðóþ ìû äîêàçàëè â çàäà÷å 6, çíà÷èòåëüíî ìîëîæå êëàññè÷åñêîé, åé âñåãî 20 ëåò. C íåé ó

àâòîðà ñâÿçàíû ñâåòëûå âîñïîìèíàíèÿ. ß ïðèäóìàë åå â 15 ëåò è ïî ñîâåòó ó÷èòåëÿ ïîñëàë åå â æóðíàë «Ìàòåìàòèêà â øêîëå». Òàì îíà è áûëà íàïå÷àòàíà â íîìåðå 3 çà 1986 ãîä, çà ÷òî ÿ âñêîðå ïîëó÷èë ïåðâûé â æèçíè ãîíîðàð – 5 ðóáëåé 88 êîïååê. Ñ ýòèìè äåíüãàìè ÿ ãîðäî ïîøåë â ìàãàçèí è êóïèë êàêèå-òî ñóâåíèðû ðîäèòåëÿì. Íàïîñëåäîê ïðåäëîæèì åùå íåñêîëüêî çàäà÷ äëÿ ñàìîñòîÿòåëüíîãî ðåøåíèÿ. Âñå îíè òàê èëè èíà÷å ñâÿçàíû ñ òî÷êîé äâóõ âåëîñèïåäèñòîâ. Óïðàæíåíèÿ 14. ×åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ äâóõ îêðóæíîñòåé ïðîâîäèòñÿ ïðîèçâîëüíàÿ ïðÿìàÿ, êîòîðàÿ âòîðè÷íî ïåðåñåêàåò îêðóæíîñòè â òî÷êàõ P è Q. Íàéäèòå ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî ñåðåäèí îòðåçêîâ PQ. 15. Äàíû äâå îêðóæíîñòè ñ îáùèì öåíòðîì O. Îêðóæíîñòè α è β èìåþò ðàçíûå ðàäèóñû è êàñàþòñÿ äàííûõ îêðóæíîñòåé. Òîãäà O ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé äâóõ âåëîñèïåäèñòîâ äëÿ îêðóæíîñòåé α è β. 16.  óñëîâèÿõ ïðåäûäóùåé çàäà÷è ïðÿìàÿ, ñîåäèíÿþùàÿ òî÷êè êàñàíèÿ, ïðîõîäèò ÷åðåç îäíó èç òî÷åê ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòåé α è β . 17. Äëÿ äàííîé ïàðû îêðóæíîñòåé ïîñòðîéòå äâå êîíöåíòðè÷åñêèå îêðóæíîñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ êàñàåòñÿ äâóõ äàííûõ. Ñêîëüêî ðåøåíèé èìååò çàäà÷à â çàâèñèìîñòè îò ðàñïîëîæåíèÿ îêðóæíîñòåé? 18. Ïóñòü V – òî÷êà äâóõ âåëîñèïåäèñòîâ äàííîé ïàðû îêðóæíîñòåé. Åñëè ïðîâåñòè èíâåðñèþ îòíîñèòåëüíî ëþáîé îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì V, òî V îñòàíåòñÿ òî÷êîé äâóõ âåëîñèïåäèñòîâ è äëÿ îáðàçîâ îêðóæíîñòåé. 19. Îñòàíåòñÿ ëè óòâåðæäåíèå çàäà÷è 4 âåðíûì, åñëè ñíÿòü òðåáîâàíèå îäíîâðåìåííîãî âûåçäà âåëîñèïåäèñòîâ èç òî÷êè B? 20. Äâà âåëîñèïåäèñòà äâèæóòñÿ ñ îäèíàêîâûìè ñêîðîñòÿìè ïî äâóì ïåðåñåêàþùèìñÿ ïðÿìûì. Òîãäà íà ïëîñêîñòè ñóùåñòâóåò íåïîäâèæíàÿ òî÷êà, êîòîðàÿ âñå âðåìÿ ðàâíîóäàëåíà îò âåëîñèïåäèñòîâ. 21 (È.Ô.Øàðûãèí). Íà îäíîé èç äâóõ ïåðåñåêàþùèõñÿ ñôåð âçÿòû òî÷êè P1 è Q1 , íà äðóãîé – òî÷êè P2 è Q2 . Îòðåçîê P1P2 ïðîõîäèò ÷åðåç îáùóþ òî÷êó ñôåð. Îòðåçîê Q1Q2 ïðîõîäèò ÷åðåç äðóãóþ îáùóþ òî÷êó ñôåð è ïàðàëëåëåí ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé öåíòðû ñôåð. Òîãäà ïðîåêöèè îòðåçêîâ PQ 1 1 è P2Q2 íà ïðÿìóþ P1P2 ðàâíû. 22. Ñôîðìóëèðóéòå è ðåøèòå àíàëîãè çàäà÷ 2 è 3 äëÿ äâóõ ïåðåñåêàþùèõñÿ ñôåð â ïðîñòðàíñòâå. Ïðè ýòîì â êà÷åñòâå A è B ìîæíî âçÿòü ëþáóþ ïàðó îáùèõ òî÷åê ñôåð. 23. Ñôîðìóëèðóéòå è ðåøèòå ïðîñòðàíñòâåííûå àíàëîãè óïðàæíåíèé 5, 9, 10 è 14–18 (âìåñòî îêðóæíîñòåé íà ïëîñêîñòè íóæíî âçÿòü ñôåðû â ïðîñòðàíñòâå).

Ïîïðîáóåì ïîäâåñòè íåêîòîðûå èòîãè. Äâå çàäà÷è ìåæäóíàðîäíûõ îëèìïèàä, çàäà÷à î áàáî÷êå, äâà äåñÿòêà ãåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷, êîòîðûå ìû ñôîðìóëèðîâàëè â âèäå óïðàæíåíèé (íåêîòîðûå èç íèõ ïîÿâëÿëèñü íà ìàòåìàòè÷åñêèõ îëèìïèàäàõ, â «Çàäà÷íèêå «Êâàíòà» è â ðàçëè÷íûõ ñáîðíèêàõ çàäà÷). Ñïèñîê äàëåêî íå ïîëíûé. È âñå ýòî âûðîñëî èç çàäà÷è 1, ñîâñåì ïðîñòåíüêîé è íåèíòåðåñíîé, êîòîðóþ ìû âíà÷àëå è ðåøàòü-òî íå õîòåëè.


ËÀÁÎÐÀÒÎÐÈß «ÊÂÀÍÒÀ»

Î ïîþùèõ ïðîâîäàõ, èëè Çàãàäêè ïðóæèíû À.ÑÅÐÃÅÅÂ, H.ÆÄÀÍÎÂÀ, È.ÑÅÐÃÀ×ÅÂ, Ð.ÑÒÐÞÍÃÈÑ, À.ÏßÒÀÊÎÂ

Î

ÊÐÓÆÀÞÙÅÅ ÍÀÑ ÏÐÎÑÒÐÀÍÑÒÂÎ ÍÀÏÎËÍÅÍÎ ÑÀ-

ìûìè ðàçíûìè çâóêàìè. Íåêîòîðûå èç íèõ ìû ñëóøàåì ñ èíòåðåñîì è âíèìàíèåì, íàïðèìåð – ãîëîñà ñîáåñåäíèêîâ, ñâîäêè íîâîñòåé, ëþáèìóþ ìóçûêó. Äðóãèå æå çâóêè ìû ñòàðàåìñÿ ïðîïóñêàòü ìèìî óøåé, â òî âðåìÿ êàê ìíîãèå èç íèõ çàñëóæèâàþò âíèìàíèÿ è, áîëåå òîãî, äàæå ìîãóò ñòàòü ïðåäìåòîì íàó÷íîãî èññëåäîâàíèÿ. Âñåì âàì íàâåðíÿêà ïðèõîäèëîñü ñòîÿòü ðÿäîì ñ æåëåçíîäîðîæíûìè ïóòÿìè è ñëûøàòü ãóäåíèå ëîêîìîòèâà, ãðîõîò òîâàðíîãî ñîñòàâà èëè ñêðåæåò êîëåñ òîðìîçÿùåé ýëåêòðè÷êè. Ýòè ãðóáûå ãðîìêèå çâóêè ñîñòàâëÿþò ïðèâû÷íóþ êàêîôîíèþ æåëåçíîé äîðîãè è âûçûâàþò ñêîðåå íåïðèÿòíûå îùóùåíèÿ, ÷åì ëþáîïûòñòâî èññëåäîâàòåëÿ. Âìåñòå ñ òåì, âáëèçè ïóòåé âû ìîæåòå óñëûøàòü çâóêè, êîòîðûå òðóäíî íàçâàòü èíà÷å êàê óäèâèòåëüíûìè.  íàïðÿæåííîé òèøèíå, ïðåäøåñòâóþùåé ïðèõîäó î÷åðåäíîãî ïîåçäà, ïðèñëóøàéòåñü ê çâóêàì îò ïðîâîäîâ, ïî êîòîðûì ñêîëüçÿò òîêîïðèåìíèêè ýëåêòðîïîåçäà. Ýòè çâóêè íå áóäóò èìåòü íè÷åãî îáùåãî ñ ùåë÷êàìè èëè äðóãèìè ïðèâû÷íûìè çâóêàìè óäàðîâ. Âû óñëûøèòå çâîíêîå «÷èðèêàíüå», ñîñòîÿùåå èç ìíîãèõ çâóêîâ îäèíî÷íûõ óäàðîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ, åñëè çàäàòüñÿ öåëüþ èçîáðàçèòü åãî ïèñüìåííî áóêâàìè, ëó÷øå âñåãî ïåðåäàåòñÿ ñî÷åòàíèåì «òèó». Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî çâóêè ïîäîáíîãî ðîäà âîçíèêàþò íå òîëüêî ïðè ñîóäàðåíèÿõ ïðîâîäîâ. Èõ ìîæíî óñëûøàòü, åñëè êòî-òî óäàðèò ïî ðåëüñó íà ðàññòîÿíèè íåñêîëüêèõ ñîò ìåòðîâ îò âàñ. Ñõîäíûå çâóêè ïîðîæäàþò óäàðû ëåãêèõ êàìåøêîâ î òîíêèé ëåä îñåíüþ, êîãäà ïðóäû òîëüêî íà÷èíàþò ïîêðûâàòüñÿ ëåäÿíîé ïëåíêîé. Ïîïðîáóåì ðàçîáðàòüñÿ ñî âñåìè ýòèìè ÿâëåíèÿìè: êîãäà îíè âîçíèêàþò, êàêèå îáùèå çàêîíîìåðíîñòè èìåþò? Âî âñåõ ñëó÷àÿõ ïðè÷èíîé ñëóæèò óäàð, çâóê êîòîðîãî â íåïîñðåäñòâåííîé áëèçîñòè ìàëî íàïîìèíàåò ìåëîäè÷íûé çâóê «òèó». Íî ïî ìåðå òîãî êàê ìû óäàëÿåìñÿ îò ìåñòà óäàðà, çâóê ñòàíîâèòñÿ âñå áîëåå ìóçûêàëüíî «îêðàøåííûì»: ÷åì äàëüøå, òåì ÿð÷å è îò÷åòëèâåå. Ñïåöèàëèñòû-àêóñòèêè ñêàæóò íàì, ÷òî óäàð ïîðîæäàåò âîëíó èçãèáà (ðèñ.1) â ïðîâîäå, ðåëüñå, ñëîå ëüäà, à õàðàêòåðíîå çâó÷àíèå «òèó» îáúÿñíÿåòñÿ âîëíîâûì ÿâëåíèåì, íàçûâàåìûì äèñïåðñèåé.

Ðèñ. 1

Ãîâîðÿò, ÷òî ñðåäà ðàñïðîñòðàíåíèÿ âîëí îáëàäàåò äèñïåðñèåé, åñëè ñêîðîñòü âîëíû â ýòîé ñðåäå çàâèñèò îò åå ÷àñòîòû. Øèðîêî èçâåñòíûì ïðèìåðîì äèñïåðñèè ýëåêòðîìàãíèòíûõ âîëí ÿâëÿåòñÿ ðàçëîæåíèå ïðèçìîé áåëîãî ñâåòà â ñïåêòð.  ñîñòàâ áåëîãî ñâåòà âõîäÿò âîëíû ðàçëè÷íûõ ÷àñòîò, ò.å. ñâåò ðàçíûõ öâåòîâ. Èç-çà äèñïåðñèè âîëíû, ñîîòâåòñòâóþùèå ñâåòó ðàçíûõ öâåòîâ, èìåþò ðàçíûå ñêîðîñòè è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðåëîìëÿþòñÿ ñòåêëîì ïðèçìû ïî-ðàçíîìó. Òàê íà ýêðàíå ïîÿâëÿåòñÿ ðàäóãà – ñïåêòð áåëîãî ñâåòà. Ñ òî÷êè çðåíèÿ ôèçèêè, ðàäóæíàÿ ïîëîñà íà ýêðàíå ïðåäñòàâëÿåò ïëàâíîå èçìåíåíèå ÷àñòîòû ñâåòà ñ èçìåíåíèåì êîîðäèíàòû. Åñëè áû ëþäè ìîãëè «âèäåòü» çâóêè, íàø çâóê «òèó» ñìîòðåëñÿ áû òî÷íî òàê æå: â íåì òîæå ïðîèñõîäèò ïîñòåïåííîå óìåíüøåíèå ÷àñòîòû çâóêà ñ òå÷åíèåì âðåìåíè. Íî âîçìîæíà ëè â ïðèíöèïå äèñïåðñèÿ çâóêîâûõ âîëí? Ïðè ðàñïðîñòðàíåíèè çâóêà â âîçäóõå â çàâèñèìîñòè îò ðàññòîÿíèÿ äî èñòî÷íèêà ìîæåò ìåíÿòüñÿ ëèøü åãî ãðîìêîñòü, íî íèêàê íå õàðàêòåð çâó÷àíèÿ. Ëåãêî ïðåäñòàâèòü, âî ÷òî ïðåâðàòèëñÿ áû, íàïðèìåð, ôîðòåïèàííûé êîíöåðò, îáëàäàé âîçäóõ äèñïåðñèîííûìè ñâîéñòâàìè: âûñîêèå íîòû èìåëè áû áóëüøóþ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ, ÷åì íèçêèå, è óæå äëÿ ñëóøàòåëåé, ñèäÿùèõ â ñåðåäèíå ïàðòåðà, ìóçûêà ïðåâðàòèëàñü áû â íåóçíàâàåìóþ ìåøàíèíó çâóêîâ. Âîçíèêàåò ïðîòèâîðå÷èå: ñ îäíîé ñòîðîíû, çâóê «òèó» î÷åíü ïîõîæ íà ïðîÿâëåíèå äèñïåðñèè, à ñ äðóãîé, ïîâñåäíåâíûé îïûò ãîâîðèò íàì, ÷òî äèñïåðñèè çâóêîâûõ âîëí íåò. Êëþ÷ ê ðàçãàäêå êðîåòñÿ â òîì, ÷òî áîëüøèíñòâî îêðóæàþùèõ íàñ îáúåêòîâ íå ÿâëÿþòñÿ íåîãðàíè÷åííûìè îäíîðîäíûìè ñðåäàìè, êàê âîçäóõ, à îáëàäàþò ñïåöèôè÷åñêîé ôîðìîé. Ó âñåõ ýòèõ îáúåêòîâ õîòÿ áû îäèí ðàçìåð ìíîãî áîëüøå äðóãèõ è õîòÿ áû îäèí ìíîãî ìåíüøå äëèíû èçãèáíîé âîëíû. Òàêèå ïðîòÿæåííûå îáúåêòû ÿâëÿþòñÿ âîëíîâîäàìè, ò.å. êàíàëàìè, ïî êîòîðûì ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ âîëíû. Àêóñòè÷åñêèå âîëíîâîäû îòëè÷àþòñÿ îò íåîãðàíè÷åííûõ ñðåä íàëè÷èåì íåîáû÷íûõ ÿâëåíèé è èíòåðåñíûõ çàêîíîìåðíîñòåé ðàñïðîñòðàíåíèÿ óïðóãèõ âîëí. Äèñïåðñèÿ – îäíî èç òàêèõ ÿâëåíèé. Óäàð âîçáóæäàåò ìíîæåñòâî êîëåáàíèé ðàçíûõ ÷àñòîò, è ïî âîëíîâîäó íà÷èíàåò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ ãðóïïà âîëí. Äèñïåðñèÿ ïðîÿâëÿåòñÿ â òîì, ÷òî âîëíû âûñîêèõ ÷àñòîò ïåðåìåùàþòñÿ áûñòðåå, ÷åì âîëíû íèçêèõ. Ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè âîëíû íèçêèõ ÷àñòîò çíà÷èòåëüíî îòñòàþò îò âîëí ñ âûñîêèìè ÷àñòîòàìè, è çâóê óäàðà «ðàñòÿãèâàåòñÿ», ïðåâðàùàÿñü â çíàêîìûé íàì çâóê «òèó». Òàêîâî êà÷åñòâåííîå îáúÿñíåíèå ÿâëåíèÿ, íî íàì çàõîòåëîñü ðàçîáðàòüñÿ â íåì áîëåå äåòàëüíî, ïîëó÷èâ êîëè÷åñòâåííûå ñîîòíîøåíèÿ. Ëåãêî ïîíÿòü, ÷òî ïðîâåäåíèå íàòóðíûõ ýêñïåðèìåíòîâ (ò.å. â åñòåñòâåííûõ óñëîâèÿõ, íå â ëàáîðàòîðèè) âåñüìà çàòðóäíèòåëüíî: ïî ðåëüñàì ïîñòîÿííî ñëåäóþò ïîåçäà, ïðîâîäà (êàê ïðàâèëî) íàõîäÿòñÿ ïîä âûñîêèì íàïðÿæåíèåì, à âûáîð òîíêîãî ëüäà îçíà÷àåò ïðèâÿçêó ê ðåäêèì ïîãîäíûì óñëîâèÿì. Õîòåëîñü áû èìåòü ïðîòÿæåííîå òâåðäîå òåëî, êîòîðîå ëåãêî ïîìåùàëîñü áû â ëþáîé êîìíàòå. Êàçàëîñü áû, ýòî – íåèñïîëíèìàÿ ïðèõîòü èññëåäîâàòåëÿ, íî òàêîé îáúåêò ñóùåñòâóåò. Çíàêîìüòåñü: ìåòàëëè÷åñêàÿ ïðóæèíà – ñëèíêè 1 (ðèñ.2). Íåäåôîðìèðîâàííàÿ, îíà ëåãêî ïîìåùàåòñÿ â ðóêå, à äëÿ ðàáîòû ìîæíî ðàñòÿíóòü åå ìåòðà íà ïîëòîðà. Íî ñàìîå âàæíîå, ÷òî ñóììàðíàÿ äëèíà âèòêîâ ñîñòàâëÿåò âîñåìíàäöàòü ìåòðîâ. Òàêèì îáðàçîì, ïðóæèíà îáëàäàåò êîìïàêòíî1 Î íåêîòîðûõ îïûòàõ ñ ýòîé óäèâèòåëüíîé ïðóæèíîé ìîæíî ïðî÷èòàòü â ñòàòüå Ä.×îêèíà «Ñëèíêè – øàãàþùàÿ ïðóæèíêà» («Êâàíò» ¹6 çà 1991 ã.). (Ïðèì.ðåä.)


"$

ÊÂÀÍT 2008/¹3

Ðèñ. 2

ñòüþ è â òî æå âðåìÿ áîëüøîé äëèíîé âîëíîâîäà, íåîáõîäèìîé äëÿ íàáëþäåíèÿ äèñïåðñèè.  ñå÷åíèè ëåíòà, èç êîòîðîé ñêðó÷åíà ïðóæèíà, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðÿìîóãîëüíèê 1,6 ´ 0,5 ìì (ðèñ.3). Åãî øèðèíà è âûñîòà, à òàêæå ðàäèóñ

Ðèñ. 3

âèòêà ïðóæèíû ÿâëÿþòñÿ òðåìÿ îñíîâíûìè ãåîìåòðè÷åñêèìè ïàðàìåòðàìè ïðóæèíû. Ðàññòîÿíèå ìåæäó âèòêàìè, ò.å. ñòåïåíü ðàñòÿæåíèÿ ïðóæèíû, íå îêàçûâàåò çàìåòíîãî âëèÿíèÿ íà åå çâó÷àíèå. Êñòàòè, î çâó÷àíèè: íàâåðíîå, âû óæå äîãàäàëèñü, ÷òî ïðè óäàðå ïî îäíîìó êîíöó ïðóæèíû íà äðóãîì åå êîíöå ñëûøèòñÿ çíàêîìîå íàì «òèó», íî çäåñü îíî ïðèíèìàåò îñîáûé îòòåíîê è íàïîìèíàåò çâóê, ñ êîòîðûì ñòðåëÿþò èç ëàçåðíîãî îðóæèÿ ãåðîè ôàíòàñòè÷åñêèõ ôèëüìîâ. Ïðèñòóïèì òåïåðü ê èññëåäîâàíèÿì.  ïåðâóþ î÷åðåäü, íåîáõîäèìî êàê-òî óñèëèòü çâóê, ïîñêîëüêó èçãèáíàÿ âîëíà, äîéäÿ äî êîíöà ïðóæèíû, ïëîõî èçëó÷àåòñÿ â âîçäóõ.  ìóçûêàëüíûõ èíñòðóìåíòàõ äëÿ óñèëåíèÿ çâó÷àíèÿ ñòðóí èñïîëüçóþò ðåçîíàòîðû è äåêè (áîëüøèå ïëàñòèíû-èçëó÷àòåëè). Ìû áóäåì äåéñòâîâàòü ïî ïîõîæåìó ïðèíöèïó: ïîïðîáóåì æåñòêî ñâÿçàòü ñ êîíöîì ïðóæèíû êàêîå-òî òâåðäîå òåëî ñ îòíîñèòåëüíî áîëüøîé ïëîùàäüþ ïîâåðõíîñòè. Âîçìîæíî, âû óäèâèòåñü, íî ëó÷øå âñåãî äëÿ ýòîãî ïîäîéäåò îáûêíîâåííûé êóñîê ïåíîïëàñòà. Äîñòàòî÷íî âîòêíóòü â íåãî êîíåö ïðóæèíû, è ãðîìêîñòü çâóêà ìíîãîêðàòíî óâåëè÷èòñÿ. Íàì óäàëîñü óâåëè÷èòü èíòåíñèâíîñòü çâóêà íàñòîëüêî, ÷òî òåïåðü åãî ìîæíî èçó÷àòü ñ ïîìîùüþ êîìïüþòåðà. Äëÿ ýòîãî óñòàíîâèì íàïðîòèâ ïåíîïëàñòà ìèêðîôîí è çàïèøåì çâóê íà êîìïüþòåð. Ñ ïîìîùüþ ñïåöèàëüíîé ïðîãðàììû (â íàøåì îïûòå ýòî áûëà Cool Edit Pro) ìîæíî îòîáðàçèòü çâóê ãðàôè÷åñêè â âèäå ñïåêòðîãðàììû, ò.å. äèàãðàììû, ïî âåðòèêàëüíîé îñè êîòîðîé îòêëàäûâàåòñÿ ÷àñòîòà, ïî ãîðèçîíòàëüíîé – âðåìÿ, à öâåòîì èçîáðàæàåòñÿ ãðîìêîñòü çâóêà. Îáû÷íûé âèä ñïåêòðîãðàììû çâóêîâ ïðóæèíû ïîêàçàí íà ðèñóíêå 4. Êàæäàÿ êðèâàÿ íà ýòîì ãðàôèêå îòîáðàæàåò îäèí çâóê «òèó». Ôîðìà êðèâîé íàãëÿäíî äåìîíñòðèðóåò õàðàêòåðíûé ïåðåõîä îò âûñîêèõ ÷àñòîò ê íèçêèì. Î÷åíü ïîõîæèìè êðèâûìè èçîáðàæàþòñÿ çâóêè îò ïðîâîäîâ è òîíêîãî ëüäà. Ìíîãîîáðàçèå æå âîëí â ïðóæèíå ÿâëÿåòñÿ êàæóùèìñÿ: òîëüêî òðè èç íèõ íåïîñðåäñòâåííî âûçâàíû

óäàðîì, à îñòàëüíûå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ëèøü ìíîãîêðàòíûå îòðàæåíèÿ òðåõ îñíîâíûõ. Ðàññìîòðèì ïîâåäåíèå îñíîâíûõ êðèâûõ íà ñïåêòðîãðàììå. Äâå èç íèõ ñòðåìÿòñÿ ê íóëþ, à òðåòüÿ – ê íåêîòîðîé ïîñòîÿííîé ÷àñòîòå. Äàâàéòå âñïîìíèì î òðåõ ãåîìåòðè÷åñêèõ ðàçìåðàõ ïðóæèíû: äâóõ äëèíàõ ñòîðîí ñå÷åíèÿ è ðàäèóñå âèòêîâ. À ÷òî åñëè êðèâûå íà ñïåêòðîãðàììå êàê-òî ñâÿçàíû ñ ãåîìåòðè÷åñêèìè ðàçìåðàìè? Ñìåëîå ïðåäïîëîæåíèå íåòðóäíî ïðîâåðèòü. Âîçáóæäàÿ êîëåáàíèÿ â ïðóæèíå, ìîæíî óäàðÿòü ïî êàêîé-òî îäíîé ñòîðîíå ïðÿìîóãîëüíîãî ñå÷åíèÿ, òîãäà íà ïîëó÷åííûõ ñïåêòðîãðàììàõ ñîîòâåòñòâóþùàÿ êðèâàÿ áóäåò ÿð÷å, ò.å. àìïëèòóäà ñîîòâåòñòâóþùåé âîëíû áóäåò áîëüøå. Ãîâîðÿò, ÷òî ýòè äâå âîëíû, ïîðîæäåííûå óäàðàìè î ðàçíûå ñòîðîíû ñå÷åíèÿ ïðóæèíû, îáëàäàþò âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíîé ïîëÿðèçàöèåé, ò.å. êîëåáàíèÿ â íèõ ñîâåðøàþòñÿ âî âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ íàïðàâëåíèÿõ (ñì. ðèñ.3, ãäå íàïðàâëåíèÿ êîëåáàíèé ïîêàçàíû äâîéíûìè ñòðåëêàìè). Èçìåðèì òåïåðü ñêîðîñòè ýòèõ âîëí. Ïî îïðåäåëåíèþ äèñïåðñèè, êàæäîé ÷àñòîòå ñîîòâåòñòâóåò ñâîÿ ñêîðîñòü ðàñïðîñòðàíåíèÿ, ïîýòîìó âûáåðåì äëÿ îïðåäåëåíèÿ ñêîðîñòè êîíêðåòíóþ ÷àñòîòó – íàïðèìåð, 3 êÃö. Çíàÿ ïðîéäåííûé ïóòü è âðåìÿ, ïðîòåêøåå îò ìîìåíòà óäàðà, íàéäåì ñêîðîñòè îáåèõ âîëí: 460 ì/c äëÿ «áûñòðîé» è 255 ì/ñ äëÿ «ìåäëåííîé». Ìåæäó ñêîðîñòÿìè âîëí è äëèíàìè ñòîðîí ñå÷åíèÿ äîëæíà ñóùåñòâîâàòü ïðîñòàÿ êîëè÷åñòâåííàÿ ñâÿçü: èíòóèòèâíî ïîíÿòíî, ÷òî ÷åì áîëüøå òîëùèíà ïëàñòèíû, òåì îíà æåñò÷å (ñèëüíåå ñîïðîòèâëÿåòñÿ èçãèáó) è òåì áûñòðåå áåæèò âäîëü íåå èçãèáíàÿ âîëíà. Áîëåå äåòàëüíîå ðàññìîòðåíèå, ïðîâåäåííîå â ó÷åáíèêàõ ïî ìåõàíèêå ñïëîøíûõ ñðåä, ïîêàçûâàåò, ÷òî ñêîðîñòü èçãèáíîé âîëíû ïðîïîðöèîíàëüíà êîðíþ êâàäðàòíîìó èç òîëùèíû ïëàñòèíû. Çíà÷èò, òàê æå äîëæíû îòíîñèòüñÿ è ñêîðîñòè äâóõ ïîëÿðèçîâàííûõ ïåðïåíäèêóëÿðíî äðóã äðóãó èçãèáíûõ âîëí, âîçíèêàþùèõ ïðè óäàðå ïî ðàçíûì ñòîðîíàì ñå÷åíèÿ. Èçìåðèâ äëèíû ñòîðîí ñå÷åíèÿ, ìîæíî óáåäèòüñÿ, ÷òî îòíîøåíèå ñêîðîñòåé äåéñòâèòåëüíî ðàâíî êâàäðàòíîìó êîðíþ èç ñîîòâåòñòâóþùåãî îòíîøåíèÿ äëèí:

v1 460 ì ñ = » 1,8 » v2 255 ì ñ

l1 = l2

1,6 ìì . 0,5 ìì

Òàêèì îáðàçîì, ñóùåñòâîâàíèå «áûñòðîé» è «ìåäëåííîé»

Ðèñ. 4


ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ

âîëí îáúÿñíÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìîé ñå÷åíèÿ ëåíòû, à ñîîòâåòñòâèå ìåæäó ñêîðîñòÿìè ýòèõ âîëí è ðàçìåðàìè ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ óñòàíîâëåíî ýêñïåðèìåíòàëüíî è ñîãëàñóåòñÿ ñ òåîðèåé. Ðàññìîòðèì òåïåðü òðåòüþ êðèâóþ íà ðèñóíêå 4, êîòîðàÿ, â îòëè÷èå îò ïåðâûõ äâóõ, ñòðåìèòñÿ íå ê íóëþ, à ê íåêîòîðîé êîíñòàíòå. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îáëàñòü ÷àñòîò, íà êîòîðûõ ìîãóò ðàñïðîñòðàíÿòüñÿ âîëíû òàêîãî òèïà, îãðàíè÷åíà ñíèçó íåêîåé íåíóëåâîé ÷àñòîòîé (â äàííîì ñëó÷àå – îêîëî 9 êÃö). Ýòà íåíóëåâàÿ ÷àñòîòà ïîêàçàíà ïóíêòèðíîé ëèíèåé, êîòîðàÿ êàê áû îòñåêàåò äëÿ âîëí îáëàñòü íèçêèõ ÷àñòîò. Òàêèå âîëíû íàçûâàþò âîëíàìè ñ ÷àñòîòîé îòñå÷êè. Ìû ïðåäïîëîæèëè, ÷òî ñóùåñòâîâàíèå âîëí ñ ÷àñòîòîé îòñå÷êè êàê-òî ñâÿçàíî ñ òðåòüèì ãåîìåòðè÷åñêèì ïàðàìåòðîì – ðàäèóñîì ïðóæèíû. Äëÿ òîãî ÷òîáû ïîäòâåðäèòü äîãàäêó, ìû ðàçäîáûëè íåñêîëüêî ïðóæèí èç îäíîé è òîé æå ëåíòû, íî ðàçíûõ ðàäèóñîâ. Âîò ðåçóëüòàòû èçìåðåíèé ÷àñòîò îòñå÷êè äëÿ ïðóæèí òðåõ ðàçëè÷íûõ ðàäèóñîâ: Ðàäèóñ ïðóæèíû R, ìì ×àñòîòà îòñå÷êè ν , êÃö 37

7

30

8,7

28 9,3 Ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ÷àñòîòû îòñå÷êè è ðàäèóñà ïðèìåðíî îäèíàêîâî äëÿ âñåõ ïðóæèí: ν1R1 = ν 2 R2 = ν 3 R3 .

"%

ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ

Åñëè âñïîìíèòü èçâåñòíóþ ôîðìóëó äëÿ ñâÿçè ÷àñòîòû êîëåáàíèé â âîëíå ñî ñêîðîñòüþ è äëèíîé âîëíû: v = λν , òî ïîëó÷åííîå èç ýêñïåðèìåíòà óñëîâèå ïîñòîÿíñòâà ïðîèçâåäåíèÿ ÷àñòîòû íà ðàäèóñ îêðóæíîñòè ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå λ λ1 λ = 2 = 3 = const , R1 R2 R3

ò.å. äëèíà âîëíû, íà êîòîðîé ïðîèñõîäèò îòñå÷êà, ñâÿçàíà ïðÿìî ï��îïîðöèîíàëüíî ñ ðàäèóñîì îêðóæíîñòè.  ñïåöèàëüíîé ëèòåðàòóðå ïî àêóñòèêå, ðàññìàòðèâàþùåé ðàñïðîñòðàíåíèå èçãèáíûõ âîëí â ñòåðæíÿõ, ìîæíî íàéòè, ÷òî êîíñòàíòà, ñòîÿùàÿ â âûøåïðèâåäåííîì ðàâåíñòâå, åñòü íå ÷òî èíîå êàê 2π , à ñàìî ðàâåíñòâî èìååò íàãëÿäíóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ èíòåðïðåòàöèþ – äëèíà âîëíû, íà êîòîðîé ïðîèñõîäèò îòñå÷êà, ðàâíà äëèíå âèòêà ïðóæèíû:

λ = 2πR . Èòàê, íàì óäàëîñü ïîíÿòü, êàêèå ôèçè÷åñêèå ÿâëåíèÿ êðîþòñÿ çà íåîáû÷íûìè çâóêàìè, êîòîðûå èçäàþò ïðîâîäà è òîíêèé ëåä, è ðàçãàäàòü íåêîòîðûå èç çàãàäîê, ïîñòàâëåííûõ ïðóæèíîé: ñóùåñòâîâàíèå «áûñòðûõ» è «ìåäëåííûõ» âîëí, à òàêæå âîëí ñ ÷àñòîòîé îòñå÷êè. Îäíàêî ïðåäñòàâëÿåòñÿ âïîëíå âåðîÿòíûì, ÷òî ïðóæèíà òàèò â ñåáå åùå íåìàëî ñþðïðèçîâ. Ýòà ðàáîòà áûëà âûïîëíåíà ãðóïïîé øêîëüíèêîâ è ñòóäåíòîâ íà ôèçè÷åñêîì îòäåëåíèè Ëåòíåé øêîëû «Èññëåäîâàòåëü» (àäðåñ øêîëû â Èíòåðíåòå: http://physres.web.ru).

ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ

Ãèäðîñòàòèêà â ñòàêàíå À.×ÅÐÍÎÓÖÀÍ

Â

ÝÒÎÉ ÑÒÀÒÜÅ ÌÛ ÏÎÇÍÀÊÎÌÈÌÑß Ñ ÇÀÄÀ×ÀÌÈ, Â

êîòîðûõ ðàññìàòðèâàåòñÿ ïîãðóæåíèå òåë â æèäêîñòü, íàëèòóþ â öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä ñ âåðòèêàëüíûìè ñòåíêàìè (ñòàêàí). Îáû÷íî ðå÷ü èäåò î ïîâûøåíèè èëè ïîíèæåíèè óðîâíÿ æèäêîñòè ïðè ðàçëè÷íûõ èçìåíåíèÿõ, ïðîèñõîäÿùèõ ñ ïîãðóæåííûì òåëîì. Ìû ðàññìîòðèì äâà ïîäõîäà ê ðåøåíèþ òàêèõ çàäà÷. Ïåðâûé îïèðàåòñÿ íà çàêîí Àðõèìåäà è âû÷èñëåíèå âûòåñíåííîãî òåëîì îáúåìà. Âî âòîðîì ïîäõîäå çàêîí Àðõèìåäà â ÿâíîì âèäå íå èñïîëüçóåòñÿ, à âòîðîé çàêîí Íüþòîíà ïðèìåíÿåòñÿ êî âñåìó ñîäåðæèìîìó ñîñóäà, ò.å. ê æèäêîñòè âìåñòå ñ ïîãðóæåííûì òåëîì. Êàæäûé èç ïîäõîäîâ èìååò ñâîè äîñòîèíñòâà è íåäîñòàòêè, è âûáîð çàâèñèò îò êîíêðåòíîé çàäà÷è. Íî â ëþáîì ñëó÷àå ïîëåçíî óìåòü ïðèìåíÿòü îáà ìåòîäà. Çàäà÷à 1.  öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä ñ ïëîùàäüþ äíà S íàëèòà âîäà. Íà ñêîëüêî ïîäíèìåòñÿ óðîâåíü âîäû, åñëè â ñîñóä ïîìåñòèòü äåðåâÿííûé áðóñîê ìàññîé m? Ðåøåíèå 1. Èçìåíåíèå óðîâíÿ âîäû ñâÿçàíî ñ îáúåìîì ïîãðóæåííîé ÷àñòè áðóñêà ñîîòíîøåíèåì S∆h = Vïîãð .

Äåéñòâèòåëüíî, îáúåì, îòñåêàåìûé íîâûì óðîâíåì ïîâåðõíîñòè âîäû, ïðåâûøàåò îáúåì ñàìîé âîäû, ñ îäíîé ñòîðîíû, íà Vïîãð , à ñ äðóãîé, ÷èñòî ãåîìåòðè÷åñêè, – íà S∆h (ðèñ. 1). Ïîãðóæåííûé îáúåì íàéäåì Ðèñ. 1 èç óñëîâèÿ ïëàâàíèÿ áðóñêà â âîäå ïëîòíîñòüþ ρâ :

mg = Fàðõ , ãäå Fàðõ = ρâ gVïîãð . Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì m . ρâ S Ðåøåíèå 2. È äî, è ïîñëå ïîãðóæåíèÿ áðóñêà ñèëà ðåàêöèè äíà ñîñóäà, ðàâíàÿ ñèëå äàâëåíèÿ âîäû íà äíî Fä = ρâ ghS , óðàâíîâåøèâàåò ñèëó òÿæåñòè âñåãî ñîäåðæèìîãî ñîñóäà (àòìîñôåðíîå äàâëåíèå âëèÿíèÿ íå îêàçûâàåò). Ïîýòîìó èçìåíåíèå ñèëû äàâëåíèÿ ðàâíî èçìåíåíèþ ñèëû òÿæåñòè: ∆h =

ρâ g∆hS = mg ,

îòêóäà ñðàçó ïîëó÷àåì ïðàâèëüíûé îòâåò. Çàäà÷à 2.  öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå ñ ïëîùàäüþ äíà S ïëàâàåò â âîäå êóñîê ëüäà ìàññîé më . Íà ñêîëüêî èçìåíèòñÿ óðîâåíü âîäû, åñëè ëåä ðàñòàåò? Ðåøåíèå 1. Óäîáíî ñðàâíèâàòü óðîâíè âîäû äî è ïîñëå òàÿíèÿ ëüäà íå ìåæäó ñîáîé, à ñ òåì óðîâíåì, êîòîðûé áûë â ñîñóäå äî ïîãðóæåíèÿ òåëà (ðèñ.2). Èñêîìîå èçìåíåíèå óðîâíÿ ∆h ðàâíî ðàçíîñòè ∆h2 è ∆h1 : ∆h = ∆h2 - ∆h1 .


"&

ÊÂÀÍT 2008/¹3

Ðèñ. 2

Ðèñ. 3

Èçìåíåíèå óðîâíÿ ∆h1 ïðè ïîãðóæåíèè òåëà íàéäåì òàê æå, êàê â çàäà÷å 1: S∆h1 = Vïîãð , ρâ gVïîãð = më g , ∆h1 =

më . ρâ S

Ðàçíîñòü óðîâíåé ∆h2 â ñèòóàöèÿõ, ñîîòâåòñòâóþùèõ ðèñóíêàì 2,â è 2,à, îáðàçóåòñÿ çà ñ÷åò äîáàâî÷íîé âîäû, ïîëó÷èâøåéñÿ ïðè òàÿíèè ëüäà: S∆h2 =

më m , ∆h2 = ë . ρâ ρâ S

Ïîëó÷àåì, ÷òî ∆h2 = ∆h1 , è ∆h = 0 , ò.å. óðîâåíü âîäû ïðè òàÿíèè ëüäà íå èçìåíèëñÿ! (Çà÷åì â óñëîâèè äàíû më è S? Îòñóòñòâèå ýòèõ äàííûõ áûëî áû ïðÿìîé ïîäñêàçêîé.) Êîíå÷íî, êîãäà îòâåò ïîëó÷åí, õî÷åòñÿ îáîñíîâàòü åãî áîëåå íåôîðìàëüíî, ÷òîáû îí âûãëÿäåë åñòåñòâåííî. Çàïèøåì óñëîâèå ïëàâàíèÿ ëüäà â âèäå

Ïîëó÷àåì

∆h1 =

T m + ë . ρâ gS ρâ S

Ðàçíîñòü óðîâíåé ∆h2 (ñì. ðèñ.3,â è 3,à) îïðåäåëÿåòñÿ îáúåìîì âîäû, îáðàçîâàâøåéñÿ ïðè òàÿíèè ëüäà: m S∆h2 = ë . ρâ Ïîëó÷àåì îêîí÷àòåëüíî T ∆h = ∆h1 - ∆h2 = , ρâ gS îòêóäà T = ρâ gS ∆h .

Ðåøåíèå 2. Êàê âèäíî èç ðèñóíêà 3,á, ñî ñòîðîíû äíà íà ñîäåðæèìîå ñîñóäà äåéñòâóåò íå òîëüêî ñèëà, íàïðàâëåííàÿ ââåðõ è ðàâíàÿ ñèëå äàâëåíèÿ âîäû íà äíî Fä = ρâ gh1S , íî è ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè T, íàïðàâëåííàÿ âíèç:

më g = mâûò g ,

T + mg - ρâ gh1S = 0 ,

ãäå mâûò = ρâVïîãð – ìàññà âûòåñíåííîé âîäû. Ïîñêîëüêó ìàññà ëüäà ðàâíà ìàññå âîäû â âûòåñíåííîì îáúåìå, ðàñòàÿâøàÿ âîäà òî÷íî çàïîëíÿåò òîò îáúåì, êîòîðûé ðàíåå çàíèìàëà ïîäâîäíàÿ ÷àñòü ëüäèíû. Îäíàêî òàêîå ðàññóæäåíèå ïðèìåíèìî îäèí ðàç, à ôîðìàëüíûé ìåòîä ìîæíî èñïîëüçîâàòü âî ìíîãèõ çàäà÷àõ. Ðåøåíèå 2. Âòîðîé ïîäõîä, ÷åðåç ñèëó äàâëåíèÿ, âûäàåò â äàííîé çàäà÷å îòâåò ìãíîâåííî, ïðè÷åì áåç âñÿêèõ ðàñ÷åòîâ. Ïîñêîëüêó âåñ ñîäåðæèìîãî ñîñóäà ïðè òàÿíèè ëüäà íå èçìåíèëñÿ, òî íå èçìåíèëàñü è ñèëà äàâëåíèÿ Fä = ρâ ghS âîäû íà äíî, ò.å. óðîâåíü âîäû îñòàëñÿ ïðåæíèì. Çàäà÷à 3.  öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå ïëîùàäüþ ñå÷åíèÿ S ïëàâàåò â âîäå êóñîê ëüäà, ïðèòÿíóòûé êî äíó íèòüþ. Êîãäà ëåä ðàñòàÿë, óðîâåíü âîäû ïîíèçèëñÿ íà ∆h . ×åìó áûëà ðàâíà ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè? Ïîñëå îáñóæäåíèÿ çàäà÷è 2 ïîíÿòíî, ïî÷åìó óðîâåíü âîäû äîëæåí èìåííî ïîíèçèòüñÿ è ïî÷åìó â óñëîâèè çàäà÷è íå äàíà ìàññà ëüäà. Åñëè áû ëåä ïðîñòî ïëàâàë, òî ïðè òàÿíèè óðîâåíü îñòàëñÿ áû ïðåæíèì. Íàòÿíóâ íèòü, ìû óâåëè÷èëè ãëóáèíó ïîãðóæåíèÿ ëüäà, è óðîâåíü âîäû ïîäíÿëñÿ. Ïîñëå òàÿíèÿ ëüäà óðîâåíü âîäû âåðíóëñÿ ê ïðåæíåìó çíà÷åíèþ, ò.å. îïóñòèëñÿ. À òåïåðü – ðàñ÷åò. Ðåøåíèå 1. Ðàçíîñòü óðîâíåé ∆h1 â ñëó÷àÿõ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñóíêàõ 3,á è 3,à (ñîñóä ñ âîäîé äî ïîãðóæåíèÿ ëüäà), îïðåäåëÿåòñÿ îáúåìîì ïîãðóæåííîé ÷àñòè ëüäà:

ãäå m – ìàññà âñåãî ñîäåðæèìîãî (âîäû è ëüäà). Ïîñëå òîãî êàê ëåä ðàñòàÿë, ñèëà íàòÿæåíèÿ èñ÷åçëà, è âòîðîé çàêîí Íüþòîíà ïðèîáðåë âèä mg - ρâ gh2 S = 0 .

Èñêëþ÷àÿ mg, ïîëó÷èì T = ρâ gS ∆h .

 ýòîé çàäà÷å, êàê è â çàäà÷å 2, âòîðîé ïîäõîä ïðèâîäèò ê îòâåòó ãîðàçäî áûñòðåå, ÷åì ïåðâûé. Çàäà÷à 4.  öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå ïëîùàäüþ ñå÷åíèÿ S = = 100  ñì2 ïëàâàåò â âîäå êóñîê ëüäà, â êîòîðûé âìîðîæåí ãðóçèê èç öèíêà ìàññîé mö = 35 ã. Íà ñêîëüêî ïîíèçèòñÿ óðîâåíü âîäû, êîãäà ëåä ðàñòàåò? Ïëîòíîñòü öèíêà ρö = 7000 êã ì 3 . Ïîíÿòíî, ïî÷åìó íå äàíà ìàññà ëüäà – â îòñóòñòâèå öèíêà óðîâåíü âîäû ïðè òàÿíèè ëüäà íå ìåíÿåòñÿ (çàäà÷à 2). À âîò ïî÷åìó óðîâåíü ïîíèçèòñÿ, íå òàê î÷åâèäíî, êàê â ïðåäûäóùåé çàäà÷å, – âåäü öèíê ïîâûøàåò óðîâåíü è âíà÷àëå, è â êîíöå. Ìû âåðíåìñÿ ê ýòîìó âîïðîñó ïîñëå ðåøåíèÿ çàäà÷è. Ðåøåíèå 1. Êàê è â ïðåäûäóùèõ çàäà÷àõ, ðàçíîñòü óðîâíåé ∆h1 (ðèñ.4,á) âûðàæàåòñÿ ÷åðåç îáúåì ïîãðóæåííîé

S∆h1 = Vïîãð (ñì. çàäà÷ó 1), êîòîðûé ìîæíî íàéòè èç âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà:

T + më g - Fàðõ = 0 , ãäå Ò – èñêîìàÿ ñèëà íàòÿæåíèÿ íèòè, à Fàðõ = ρâ gVïîãð .

Ðèñ. 4


ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ

"'

ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ

÷àñòè ëüäà ( S∆h1 = Vïîãð ), êîòîðûé ìîæíî íàéòè èç âòîðîãî çàêîíà Íüþòîíà

më g + mö g - ρâ gVïîãð = 0 . Âûðàæàÿ îòñþäà ∆h1 , ïîëó÷àåì m m ∆h1 = ë + ö . ρâ S ρâ S Ðàçíîñòü óðîâíåé ∆h2 (ðèñ.4,â) îïðåäåëÿåòñÿ îáúåìîì âîäû, îáðàçîâàâøåéñÿ ïðè òàÿíèè ëüäà, è îáúåìîì öèíêà, êîòîðûé òåïåðü ëåæèò íà äíå: m m ∆h2 S = ë + ö . ρ ρ â

 èòîãå ïîëó÷àåì ∆h = ∆h1 - ∆h2 =

mö ρâ S

ö

-

Ðèñ. 5

ρö S = 3 ìì.

Ðåøåíèå 2. Çàïèøåì âòîðîé çàêîí Íüþòîíà äëÿ âñåãî ñîäåðæèìîãî ñîñóäà (âîäà, ëåä è öèíê) äî è ïîñëå òàÿíèÿ ëüäà: mg - ρâ gh1S = 0 , mg - ρâ gh2 S - N = 0 ,

ãäå N – ñèëà íîðìàëüíîé ðåàêöèè, äåéñòâóþùàÿ ñî ñòîðîíû äíà íà çàòîíóâøèé öèíê. Èç ýòèõ óðàâíåíèé ñðàçó âèäíî, ÷òî äîáàâëåíèå ñèëû N ïðèâîäèò ê óìåíüøåíèþ ñèëû äàâëåíèÿ âîäû íà äíî, ò.å. ê ïîíèæåíèþ åå óðîâíÿ. Èñêëþ÷àÿ mg, ïîëó÷èì N ∆h = h1 - h2 = . ρâ gS Íî äëÿ ïîëó÷åíèÿ îòâåòà íàäî ðåøèòü åùå îäíó íåáîëüøóþ çàäà÷êó – íàéòè ñèëó N, äåéñòâóþùóþ íà ëåæàùèé íà äíå öèíê. Ýòà çàäà÷êà – ñòàíäàðòíîå óïðàæíåíèå: N + Fàðõ - mö g = 0 , Fàðõ = ρâ gVö = ρâ g

mö ρö

,

îòêóäà

æ ρ ö N = mö g ç1 - â ÷ . ρö ø è  ýòîé çàäà÷å âòîðîé ïîäõîä ñâÿçàí ñ íå ìåíüøèìè ðàñ÷åòàìè, ÷åì ïåðâûé, íî çàòî îí ïîçâîëÿåò ñðàçó, äî âûïîëíåíèÿ ðàñ÷åòîâ, óâèäåòü, îïóñòèòñÿ óðîâåíü èëè ïîäíèìåòñÿ. ×òîáû ïðîâåðèòü, íàñêîëüêî õîðîøî âû ïîíÿëè ýòî ðàññóæäåíèå, îòâåòüòå íà ñëåäóþùèé âîïðîñ. Âîïðîñ. Êàê èçìåíèòñÿ îòâåò íà çàäà÷ó, åñëè â ëåä áóäåò âìîðîæåí íå öèíê, à êóñîê ïðîáêè?

Òåïåðü ðàçáåðåì äâå çàäà÷è íà âû÷èñëåíèå ðàáîòû, êîòîðóþ íàäî ñîâåðøèòü äëÿ èçìåíåíèÿ ãëóáèíû ïîãðóæåíèÿ òåëà. Òàêèå çàäà÷è ìîæíî ðåøàòü êàê ïðÿìûì âû÷èñëåíèåì ðàáîòû, òàê è ÷åðåç èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñèñòåìû. Çàäà÷à 5. Íà äíå öèëèíäðè÷åñêîãî ñîñóäà ñ âîäîé ïëîùàäüþ S = 300  ñì2 ñòîèò öèëèíäð âûñîòîé H = 40 ñì è ïëîùàäüþ îñíîâàíèÿ Sö = 100 ñì2 , ñäåëàííûé èç ìàòåðèàëà ïëîòíîñòüþ ρ = 3000 êã ì 3 . Êàêóþ ðàáîòó íàäî ñîâåðøèòü, ÷òîáû âûòàùèòü öèëèíäð èç âîäû, åñëè íà÷àëüíàÿ òîëùèíà ñëîÿ âîäû h1 = 30 ñì? Öèëèíäð ïîäíèìàþò â âåðòèêàëüíîì ïîëîæåíèè. Ðåøåíèå 1. Óìåíüøåíèå îáúåìà, çàêëþ÷åííîãî ìåæäó óðîâíåì âîäû è äíîì ñîñóäà (ðèñ.5), ðàâíî îáúåìó ïîãðóæåííîé ÷àñòè öèëèíäðà (ñì. çàäà÷ó 1): S∆h = Söh1 .

Ðàáîòà ñîâåðøàåòñÿ íà ïóòè h2 , ðàâíîì êîíå÷íîé ãëóáèíå âîäû: S ö æ h2 = h1 - ∆h = h1 ç1 - ö ÷ . è Sø ( äàííîì ñëó÷àå ýòî ñîîòíîøåíèå ïîëó÷àåòñÿ ñðàçó èç óñëîâèÿ ñîõðàíåíèÿ îáúåìà âîäû: Sh2 = S - Sö  h1 .) Ïðè ýòîì ñèëà òÿãè ëèíåéíî âîçðàñòàåò îò ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ F1 = mg - Fàðõ = ρSö Hg - ρâ Söh1g

äî ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ F2 = mg = ρSö Hg .

Òàêèì îáðàçîì, ðàáîòà ïî èçâëå÷åíèþ öèëèíäðà ðàâíà F + F2 A= 1 h2 = 21 Äæ. 2 Ðåøåíèå 2. Ðàáîòà ðàâíà èçìåíåíèþ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñèñòåìû «öèëèíäð–âîäà»:

A = ∆Eö + ∆Eâ . Èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè öèëèíäðà ðàâíî S ö æ ∆Eö = mgh2 = mgh1 ç1 - ö ÷ . è Sø Èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âîäû ñîñòàâëÿåò

hö æh ∆Eâ = mâ g ç 2 - 1 ÷ , è2 2ø S ö æ ãäå mâ = ρâ S - Sö  h1 , à h2 = h1 ç1 - ö ÷ (ñì. ðåøåíèå 1). è Sø Ðàçóìååòñÿ, îòâåò áóäåò òåì æå. Çàäà÷à 6.  öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå ñ âîäîé ïëîùàäüþ S = = 300  ñì2 ïëàâàåò â âåðòèêàëüíîì ��îëîæåíèè öèëèíäð âûñîòîé H = 20 ñì è ïëîùàäüþ îñíîâàíèÿ Sö = 100 ñì2 . Êàêóþ ðàáîòó íàäî ñîâåðøèòü, ÷òîáû ïîëíîñòüþ èçâëå÷ü öèëèíäð èç âîäû, åñëè îí ñäåëàí èç ìàòåðèàëà ïëîòíîñòüþ ρ = 300 êã ì 3 ?

Ðèñ. 6


#

ÊÂÀÍT 2008/¹3

Ðåøåíèå. Ïðè èçâëå÷åíèè öèëèíäðà óðîâåíü âîäû ïîíèçèòñÿ (ðèñ.6). Íàéäåì ïîíèæåíèå óðîâíÿ ∆h èç ðàâåíñòâà

S∆h = Vïîãð , ãäå Vïîã𠠖 îáúåì ïîãðóæåííîé ÷àñòè ïëàâàþùåãî öèëèíäðà. Çàïèøåì óñëîâèå ïëàâàíèÿ öèëèíäðà:

Fàðõ = mg , èëè ρâ gVïîãð = ρVg , îòêóäà íàéäåì Vïîãð =

S ρ ρ ρ H. Sö H, hïîãð = H, ∆h = ö S ρâ ρâ ρâ

Ðàáîòà ñîâåðøàåòñÿ íà ïóòè

x = hïîãð - ∆h = H

ρ ρâ

Sö ö æ çè1 - S ø÷ ,

ïðè÷åì ñèëà òÿãè ëèíåéíî âîçðàñòàåò îò F1 = 0 äî F2 = mg = ρSH . Îêîí÷àòåëüíî ïîëó÷àåì 0 + mg A= x = 120 ìÄæ. 2 Ïîïðîáóéòå ñàìîñòîÿòåëüíî ðåøèòü ýòó çàäà÷ó ÷åðåç èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñèñòåìû. Ïîñëåäíÿÿ çàäà÷à ïîñâÿùåíà èññëåäîâàíèþ ðàâíîâåñèÿ òåëà, ïîìåùåííîãî â ñòàêàí ñ æèäêîñòüþ, ñ ïîìîùüþ óðàâíåíèÿ ìîìåíòîâ. Çàäà÷à 7.  ãëàäêèé ñòàêàí âûñîòîé H = 8 ñì è ðàäèóñîì R = 3 ñì ïîñòàâèëè îäíîðîäíóþ ïàëî÷êó äëèíîé L = 12 ñì è ìàññîé m = 150 ã. Ñòàêàí äîâåðõó íàïîëíèëè æèäêîñòüþ, ïëîòíîñòü êîòîðîé â 5 ðàç ìåíüøå ïëîòíîñòè ìàòåðèàëà ïàëî÷êè. Ñ êàêîé ñèëîé äàâèò ïàëî÷êà íà êðàé ñòàêàíà? Ðåøåíèå. Çàïèøåì ïðàâèëî ìîìåíòîâ îòíîñèòåëüíî íèæíåãî êîíöà ïàëî÷êè (ðèñ.7): L mg cos α - Fàðõ R - Nl = 0 , 2 ãäå N – ñèëà ðåàêöèè, ðàâíàÿ èñêîìîé ñèëå äàâëåíèÿ

Îáúåì òåòðàýäðà è åãî ÷àñòåé Ë.ÅÐÃÀÍÆÈÅÂÀ, Â.ÌÈÐÎØÈÍ

Í

À ÊÎÍÊÓÐÑÍÛÕ ÝÊÇÀÌÅÍÀÕ ÄÎÂÎËÜÍÎ ÏÎÏÓËßÐÍÛ-

ìè ÿâëÿþòñÿ çàäà÷è, â êîòîðûõ ðå÷ü èäåò î íàõîæäåíèè îáúåìîâ ÷àñòåé òåòðàýäðà, îòñåêàåìûõ îò íåãî íåêîòîðîé ïëîñêîñòüþ. Ïðè ýòîì êðîìå îáùåèçâåñòíîé ôîðìóëû îáúå1 ìà òåòðàýäðà V = Sîñí H ÷àñòî áûâàåò ïîëåçíîé ñëåäóþùàÿ 3 ôîðìóëà, îïðåäåëÿþùàÿ îáúåì òåòðàýðà ÷åðåç äëèíû åãî äâóõ ñêðåùèâàþùèõñÿ ðåáåð a, b, óãîë α è ðàññòîÿíèå d ìåæäó íèìè: 1 V = abd sin α . (1) 6

ïàëî÷êè íà êðàé ñòàêàíà, 2 l = H 2 + 2R – äëèíà ïîãðóæåííîé ÷àñòè ïàëî÷êè, à ñèëà Àðõèìåäà ðàâíà l Fàðõ = ρæV g = L l l 1 mg . = ρV g = 5 L 5L  èòîãå ïîëó÷àåì L R N = mg cos α - mg = 2l 5L

= 465 ìÍ.

Ðèñ. 7

Óïðàæíåíèÿ 1.  öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä íà ïîâåðõíîñòü âîäû ïóñòèëè ïëàâàòü êîðîáî÷êó èç öèíêà, â ðåçóëüòàòå ÷åãî óðîâåíü âîäû ïîäíÿëñÿ íà ∆h1 = 14 ìì. Íà ñêîëüêî îïóñòèòñÿ óðîâåíü, åñëè êîðîáî÷êà çà÷åðïíåò âîäû è óòîíåò? Ïëîòíîñòü öèíêà ρö = 7000 êã ì 3 . 2.  öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä ïëîùàäüþ ñå÷åíèÿ S îïóñòèëè è ÷àñòè÷íî ïîãðóçèëè â âîäó êóñîê ëüäà, ïðèòÿíóòûé êî äíó íèòüþ. Ïðè ýòîì íàòÿæåíèå íèòè îêàçàëîñü ðàâíûì T. Íà ñêîëüêî ïîäíèìåòñÿ óðîâåíü âîäû, êîãäà ëåä ðàñòàåò? 3.  âûñîêîì öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå ñ âîäîé ïëîùàäüþ S = = 150 ñì2 ïëàâàåò â âåðòèêàëüíîì ïîëîæåíèè öèëèíäð âûñîòîé H = 30 ñì è ïëîùàäüþ îñíîâàíèÿ Sö = 50 ñì2 . Êàêóþ ðàáîòó íàäî ñîâåðøèòü, ÷òîáû ïîëíîñòüþ ïîãðóçèòü öèëèíäð â âîäó, åñëè îí ñäåëàí èç ìàòåðèàëà ïëîòíîñòüþ ρ = 400 êã ì 3 ? 4.  ãëàäêèé âûñîêèé ñòàêàí ðàäèóñîì R = 4 ñì ïîñòàâèëè ïàëî÷êó äëèíîé l = 10 ñì è ìàññîé m = 90 ã, ïîñëå ÷åãî â ñòàêàí íàëèëè äî âûñîòû h = 4 ñì æèäêîñòü, ïëîòíîñòü êîòîðîé ρæ ñîñòàâëÿåò 0,75 ïëîòíîñòè ìàòåðèàëà ïàëî÷êè ρ . Íàéäèòå ñèëó, ñ êîòîðîé âåðõíèé êîíåö ïàëî÷êè äàâèò íà ñòåíêó ñòàêàíà.

Âûâåäåì åå. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíûé òåòðàýäð ABCD (ðèñ.1). Ïîìåñòèì òåòðàýäð â ïàðàëëåëåïèïåä òàêèì îáðàçîì, ÷òîáû åãî ðåáðà À è CD áûëè äèàãîíàëÿìè ïðîòèâîëåæàùèõ ãðàíåé ïàðàëëåëåïèïåäà (ðèñ.2). Ïîñòðîåíèå äàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà î÷åâèäíî: ÷åðåç ñåðåäèíó ðåáðà AB ïðîâåäåì ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ CD, è îòëîæèì íà íåé îòðåçîê, ðàâíûé CD, òàê, ÷òîáû â Ðèñ. 1 òî÷êå ïåðåñå÷åíèÿ ñ AB îí äåëèëñÿ ïîïîëàì. Àíàëîãè÷íî ïîñòóïèì è ñ ðåáðîì CD. Îáúåì ïîëó÷èâøåãîñÿ ïàðàëëåëåïèïåäà áóäåò ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ïëîùàäè îñíîâàíèÿ, ò.å. ïàðàëëåëîãðàììà ñ äèàãîíàëÿìè, ðàâíûìè AB è CD, íà

Ðèñ. 2


ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ

âûñîòó ïàðàëëåëåïèïåäà.  êà÷åñòâå âûñîòû äàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà âûñòóïàåò îòðåçîê, ïåðïåíäèêóëÿðíûé ïëîñêîñòÿì, ñîäåðæàùèì AB è CD ñîîòâåòñòâåííî, ò.å. èõ îáùèé ïåðïåíäèêóëÿð. Ïëîùàäü îñíîâàíèÿ ïàðàëëåëåïèïåäà ðàâíà ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ äèàãîíàëåé íà ñèíóñ óãëà ìåæäó íèìè. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì 1 1 Vïàð = AB × CD × sin α × d = abd sin α . 2 2 Îáúåì V ñàìîãî òåòðàýäðà ABCD ñîñòàâëÿåò îäíó òðåòü îáúåìà äàííîãî ïàðàëëåëåïèïåäà. Ýòî î÷åâèäíî, òàê êàê äîñòàòî÷íî çàìåòèòü, ÷òî êðîìå èñõîäíîãî òåòðàýäðà ïàðàëëåëåïèïåä ñîñòàâëÿþò òàêæå ÷åòûðå òðåóãîëüíûå ïèðàìèäû, îñíîâàíèÿ êîòîðûõ – ïîëîâèíû îñíîâàíèÿ ïàðàëëåëåïèïåäà, à âûñîòû – âûñîòà ïàðàëëåëåïèïåäà. Òàêèì îáðàçîì, 1 V = abd sin α . 6 Ñëåäñòâèå 1. Îáúåì òåòðàýäðà îñòàåòñÿ íåèçìåííûì ïðè ïåðåìåùåíèè ïðîòèâîïîëîæíûõ ðåáåð òåòðàýäðà âäîëü ïðÿìûõ, èõ ñîäåðæàùèõ. Çàäà÷à 1 (çàî÷íàÿ ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà ÌÔÒÈ, 2005 ã.). Ïðÿìàÿ AB ïðîõîäèò íà ðàññòîÿíèè 3 îò öåíòðà ñôåðû ðàäèóñà R = 1, ïðÿìàÿ CD êàñàåòñÿ óêàçàííîé ñôåðû. Íàéäèòå íàèìåíüøèé îáúåì ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà ABCD. Ðåøåíèå. Ïàðàëëåëåïèïåä, îïèñàííûé âîçëå ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà, ÿâëÿåòñÿ êóáîì, ðåáðî êîòîðîãî ðàâíî ðàññòîÿíèþ ìåæäó ñêðåùèâàþùèìèñÿ ðåáðàìè ýòîãî òåòðàýäðà. Íàèìåíüøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïðÿìûìè AB è CD ðàâíî 3 - 1 . Ñëåäîâàòåëüíî, íàèìåíüøèé îáúåì ïðàâèëüíîãî òåòðàýäðà ABCD ðàâåí 1 3

(

)

3 -1

3

=

1 10 3 3 - 9 + 3 3 -1 = 2 3 . 3 3

(

)

Ðàññìîòðèì ðàçëè÷íûå ðàñïîëîæåíèÿ ñåêóùåé ïëîñêîñòè è ðåáåð òåòðàýäðà è âîçíèêàþùèå â ñâÿçè ñ ýòèì îòíîøåíèÿ îáúåìîâ ÷àñòåé ðàçáèåíèÿ. Ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà ãðàíè òåòðàýäðà Õîðîøî èçâåñòíî, ÷òî îòíîøåíèå îáúåìîâ äâóõ òåòðàýäðîâ ñ îáùèì òðåõãðàííûì óãëîì ðàâíî îòíîøåíèþ ïðîèçâåäåíèé

#

ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ

Ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà äâóì ñêðåùèâàþùèìñÿ ðåáðàì òåòðàýäðà Êàæäóþ èç ÷àñòåé, íà êîòîðûå ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü äåëèò òåòðàýäð, ïðèíÿòî íàçûâàòü êëèíîì. Îáúåì êëèíà ìîæíî ïîäñ÷èòàòü, ðàçáèâ åãî íà òðåóãîëüíóþ ïðèçìó è òåòðàýäð, ïîäîáíûé èñõîäíîìó. Ïðè ýòîì îáúåì òðåóãîëüíîé ïðèçìû 1 óäîáíî âû÷èñëÿòü ïî ôîðìóëå V = Qρ , ãäå Q – ïëîùàäü 2 áîêîâîé ãðàíè, ρ – ðàññòîÿíèå äî ýòîé ãðàíè îò ïðîòèâîïîëîæíîãî ðåáðà (ñïðàâåäëèâîñòü ôîðìóëû äîêàæèòå ñàìîñòîÿòåëüíî). Íàéäåì îáúåì ÷àñòè òåòðàýäðà ABCD (ðèñ.4), ñîäåðæàùåé ðåáðî AB, åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ïðîõîäèò ïàðàëëåëüíî AB

Ðèñ. 4

è CD ÷åðåç òî÷êó M ðåáðà AD òàêóþ, ÷òî AM : MD = p : q . Ïðîâåäåì EN || AD è EK || AC . Òîãäà VAMLBNK = VBENK + VAMLENK = 3

æ p ö 1 2 pq p =ç ρ ( D, ABC ) = V+ S 2 ABC ÷ 2 ( p + q) p+q è p + qø 3

p2 ( p + 3q) æ p ö 3 p2q V V V , (2) =ç + = è p + q ÷ø ( p + q) 3 ( p + q) 3 ãäå V – îáúåì äàííîãî òåòðàýäðà, ρ ( D, ABC ) – ðàññòîÿíèå îò òî÷êè D äî ãðàíè (ABC). Î÷åâèäíî, ÷òî ïðè ýòîì îòíîøåíèå îáúåìîâ ÷àñòåé òåòðàýäðà ðàâíî

λ=

p2 ( p + 3q)

q2 (q + 3 p)

.

(3)

Ôîðìóëû (1) è (2) ïîçâîëÿþò âûðàçèòü â ýòîì ñëó÷àå è ïëîùàäü ñå÷åíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, ñ îäíîé ñòîðîíû, 3 p2 q VAMLENK = V= ( p + q )3 3 p 2q 1 = × AB × DC × ρ ( AB, DC ) sin α , ( p + q) 3 6 Ðèñ. 3

ñîîòâåòñòâóþùèõ äëèí ðåáåð ýòèõ òðåõãðàííûõ óãëîâ, ò.å. (ðèñ.3) VABCD AB AC AD = × × . VAB1C1D1 AB1 AC1 AD1

Ñëåäñòâèå 2. Åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ( B1C1D1 ) ïàðàëëåëüíà ãðàíè  BCD òåòðàýäðà, òî îíà îòñåêàåò ïèðàìèäó, AB AC AD = = ïîäîáíóþ èñõîäíîé. Ïðè ýòîì , è îòíîøåAB1 AC1 AD1 íèå îáúåìîâ ÷àñòåé, íà êîòîðûå ïëîñêîñòü äåëèò ïèðàìèäó, k3 AB1 ðàâíî . 3 , ãäå k = 1- k AB

ãäå α – óãîë ìåæäó ðåáðàìè AB è DC. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, VAMLENK =

1 p × ρ ( AB, DC ) . Sñå÷ 2 p+q

Îòñþäà Sñå÷ =

pq

( p + q)2

ab sin α ,

(4)

ãäå AB = a, DC = b. Çàäà÷à 2.  ïðÿìîóãîëüíèêå ABCD AB = 2, BC = 3. Îòðåçîê KM ïàðàëëåëåí AB è ðàñïîëîæåí íà ðàññòîÿíèè 1 îò ïëîñêîñòè ABCD, KM = 5. Íàéäèòå îáúåì ìíîãîãðàííèêà ABCDKM.


#

ÊÂÀÍT 2008/¹3

Ðåøåíèå. Ðàçîáúåì êëèí íà òðåóãîëüíóþ ïðèçìó è òåòðà1 3 1 × 3 × 3 ×1 = × 6 ×1 = 3 è ýäð, îáúåìû êîòîðûõ ðàâíû 6 2 2 9 ñîîòâåòñòâåííî. Ïîëó÷èì . 2 Ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà òîëüêî îäíîìó ðåáðó òåòðàýäðà

Ïóñòü ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü  KLNM  ïðîõîäèò ïàðàëëåëüíî ðåáðó CD òåòðàýäðà è ïåðåñåêàåò ðåáðî AD â òî÷êå M òàêîé, ÷òî AM : MD = p : q, à ðåáðî BD – â òî÷êå N òàê, ÷òî BN : ND = m : n. Òàê êàê ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà òîëüêî îäíîìó ðåáðó òåòðàýäðà, òî îíà ïåðåñå÷åò ïðÿìóþ AB â íåêîòîðîé òî÷êå E (ðèñ. 5). Ïî òåîðåìå Ìåíåëàÿ ïîëó÷èì, BE qm BE qm = , îòêóäà . ÷òî = AB pn - qm AE pn

44 12 < , òî ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò ëó÷ 81 13 SC (ðèñ.6). Åñëè áû ïëîñêîñòü ïåðåñåêàëà ëó÷ CS, òî îòíîøåíèå áûëî áû ìåíüøå. Òàêèì îáðàçîì, ïîëó÷èì, ÷òî AK n 2 èñêîìîå îòíîøåíèå = > , à òàêæå, ÷òî îáúåì ÷àñòè KC m 3 13 îáúåìà òåòðàýäðà, ñîäåðæàùåé ðåáðî SC, ñîñòàâëÿåò 25 èñõîäíîé ïèðàìèäû. Ïî ôîðìóëå (5) èìååì

2) Òàê êàê

2

n æn ö ç + 1ø÷ - 50 27n ( n + m) - 50m3 13 m èm = = . 2 25 25 ( m + n )2 ( 3n - 2m) æn ö æ n ö 25 ç + 1÷ ç 3 - 2÷ èm ø è m ø n Îáîçíà÷èâ = t , ïîëó÷èì, ÷òî èñêîìîå çíà÷åíèå óäîâëåòm âîðÿåò óðàâíåíèþ 27

2

2

27t t + 1 - 50 = 13 (t + 1) ( 3t - 2) Û 6t 3 - t 2 - 20t + 12 = 0 , 2

Ðèñ. 5

Ïðè ýòîì îáúåì V1 ÷àñòè òåòðàýäðà, íå ñîäåðæàùåé ðåáðî CD, áóäåò ðàâåí æ AM AL AE BN BK BE ö V1 = VAMLE - VBNKE = ç × × × × V, è AD AC AB BD BC BA ÷ø

ãäå V – îáúåì òåòðàýäðà ABCD. Ïîäñòàâëÿÿ çàäàííûå ñîîòíîøåíèÿ, ïîëó÷èì 2

p 3 n ( m + n ) - m 3 q ( p + q) 2

V1 =

( p + q)2 (m + n)2 ( pn - mq)

V.

(5)

Î÷åâèäíî, ÷òî, çíàÿ îáúåì îäíîé ÷àñòè òåòðàýäðà, ëåãêî ìîæíî íàéòè îáúåì è âòîðîé åãî ÷àñòè. Çàäà÷à 3 (ÌÈÔÈ, 2000 ã.).  òåòðàýäðå SABC ÷åðåç òî÷êó M, ïðèíàäëåæàùóþ ðåáðó AS, ïðîâåäåíî ñå÷åíèå, ïàðàëëåëüíîå ðåáðó AB è ïåðåñåêàþùåå ðåáðî AC.  êàêîì îòíîøåíèè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü äåëèò ðåáðî AC, åñëè AM : MS = 2 : 3, à îáúåìû ïîëó÷èâøèõñÿ ÷àñòåé îòíîñÿòñÿ êàê 12 : 13? Ðåøåíèå. Êàê îáû÷íî ïðèñóùå ãåîìåòðè÷åñêèì çàäà÷àì, ïðåäëàãàåìûì â Ìîñêîâñêîì èíæåíåðíî-ôèçè÷åñêîì èíñòèòóòå, äàííàÿ çàäà÷à èìååò íå îäíî ðåøåíèå.  óñëîâèè íå ñêàçàíî, êàêàÿ èç äâóõ ÷àñòåé òåòðàýäðà èìååò áîëüøèé îáúåì. Ìàëî òîãî, âîçìîæíî ïëîñêîñòü, äåëÿùàÿ îáúåì â çàäàííîì îòíîøåíèè, ïðîõîäèò ïàðàëëåëüíî íå òîëüêî ðåáðó AB, íî è ñêðåùèâàþùåìóñÿ ñ íèì ðåáðó SC. Ïîýòîìó íàäî ðàññìîòðåòü âîçìîæíûå âàðèàíòû. 1) Åñëè ñåêóùàÿ ïëîñêîñòü ïàðàëëåëüíà äâóì ñêðåùèâàþùèìñÿ ðåáðàì, òî ïîëó÷èì, ÷òî îòíîøåíèå îáúåìîâ ÷àñòåé äîëæíî áûòü ðàâ22 2 + 9 44 = (ñì. íî 2 3 3 + 6 81 Ðèñ. 6

(3)), ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëî��èþ çàäà÷è.

2 3 êîòîðîå èìååò òðè êîðíÿ t = -2, t = , t = . 3 2 Îòáèðàÿ çíà÷åíèå, óäîâëåòâîðÿþùåå âñåì óñëîâèÿì çàäà÷è, ïîëó÷èì, ÷òî n : m = 3 : 2 . Çàäà÷à 4. Îñíîâàíèå ïèðàìèäû PABCD – ïàðàëëåëîãðàìì ABCD. Òî÷êà M ðàñïîëîæåíà íà ðåáðå PC, ïðè÷åì PM : MC = 1 : 2 . Ïëîñêîñòü ñå÷åíèÿ ïðîõîäèò ÷åðåç òî÷êó M ïàðàëëåëüíî ïðÿìûì AP è BD.  êàêîì îòíîøåíèè ýòà ïëîñêîñòü äåëèò îáúåì ïèðàìèäû? Ðåøåíèå. Ðàçäåëèâ ïèðàìèäó íà äâà ðàâíîâåëèêèõ òåòðàýäðà ïëîñêîñòüþ PAC, ïðèìåíèì ôîðìóëó (5) è íàéäåì, ÷òî èñêîìîå îòíîøåíèå ðàâíî 4 : 5.

Óïðàæíåíèÿ 1. Ñêðåùèâàþùèåñÿ ðåáðà òåòðàýäðà ðàâíû a è b. Íàéäèòå ïëîùàäü ñå÷åíèÿ òåòðàýäðà ïëîñêîñòüþ, ïàðàëëåëüíîé èì, åñëè èçâåñòíî, ÷òî ýòà ïëîùàäü ïðèíèìàåò ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå çíà÷åíèå. 2. Ïëîñêîñòü ïåðåñåêàåò áîêîâûå ðåáðà SA, SB è SC òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû SABC â òî÷êàõ K, L è M ñîîòâåòñòâåííî.  êàêîì îòíîøåíèè äåëèò ýòà ïëîñêîñòü îáúåì ïèðàìèäû, åñëè èçâåñòíî, ÷òî SK : KA = SL : LB = 2 : 1 , à ìåäèàíà SN òðåóãîëüíèêà SBC äåëèòñÿ ýòîé ïëîñêîñòüþ ïîïîëàì? 3. Îñíîâàíèå ïèðàìèäû PABCD – ïàðàëëåëîãðàìì ABCD. Òî÷êà M – ñåðåäèíà ðåáðà CP, òî÷êà N ðàñïîëîæåíà íà ðåáðå AP, ïðè÷åì AN : NP = 2 : 3 . Òî÷êà K ðàñïîëîæåíà íà ðåáðå BP, ïðè÷åì PK = 2KB .  êàêîì îòíîøåíèè ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êè K, M, N, äåëèò îáúåì ïèðàìèäû? 4. Îñíîâàíèå ïèðàìèäû PABCD – ïàðàëëåëîãðàìì ABCD. Òî÷êà M ðàñïîëîæåíà íà ïðîäîëæåíèè ðåáðà BC çà òî÷êó B, ïðè÷åì BM = BC. Òî÷êà N ðàñïîëîæåíà íà ðåáðå PC, ïðè÷åì PN : NC = 1 : 2 . Òî÷êà K ðàñïîëîæåíà íà ðåáðå AP, ïðè÷åì AK : KP = 1 : 3 .  êàêîì îòíîøåíèè ïëîñêîñòü, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç òî÷êè K, M, N, äåëèò îáúåì ïèðàìèäû? 5. Ðàññìàòðèâàåòñÿ ìíîæåñòâî òðåóãîëüíûõ ïèðàìèä, îñíîâàíèÿ êîòîðûõ ñîâïàäàþò ñ îñíîâàíèåì ïðàâèëüíîé òðåóãîëüíîé ïðèçìû ABCA1B1C1 – òðåóãîëüíèêîì ABC, à âåðøèíû ëåæàò íà âåðõíåì îñíîâàíèè ýòîé ïðèçìû.  êàæäîé òàêîé ïèðàìèäå ïðîâîäÿòñÿ âñåâîçìîæíûå ñå÷åíèÿ ïëîñêîñòÿìè, ïàðàëëåëüíûìè ðåáðó BC è ïðîòèâîïîëîæíîìó åìó ðåáðó AS. Íàéäèòå íàèáîëüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå ïëîùàäè ñå÷åíèé äëÿ âñåõ óêàçàííûõ ïèðàìèä, åñëè ñòîðîíà îñíîâàíèÿ ïðèçìû ðàâíà a, à åå âûñîòà ðàâíà h.


Ë ÈÌ ÌÏ ÏÈ ÄÛ Î ËÎ È ÈÀ À ÄÛ

#!

XVI Ìåæäóíàðîäíàÿ îëèìïèàäà «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí» Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá (ÌÈÊ) «Ãëþîí» â ðàìêàõ ìåæäóíàðîäíîé ïðîãðàììû «Äåòè. Èíòåëëåêò. Òâîð÷åñòâî» ïðè ó÷àñòèè Óíèâåðñèòåòà ãîðîäà Ðåòèìíî (Ãðåöèÿ), ÌÃÓ èì.Ì.Â.Ëîìîíîñîâà, Ôîíäà íåêîììåð÷åñêèõ ïðîãðàìì «Äèíàñòèÿ» è ïðè ïîääåðæêå êîìïàíèé «Êèðèëë è Ìåôîäèé», «Ôèçèêîí», «1Ñ», èçäàòåëüñêîãî Äîìà «Ïåðâîå ñåíòÿáðÿ» è æóðíàëà «Êâàíò» ïðîâåë î÷åðåäíóþ òåñò-ðåéòèíãîâóþ îëèìïèàäó «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí». Îëèìïèàäà ïðîõîäèëà ñ 7 ïî 14 îêòÿáðÿ 2007 ãîäà íà îñòðîâå Êðèò (Ãðåöèÿ). Íà îëèìïèàäó ïðèåõàëè ó÷àñòíèêè èç ðàçíûõ ðåãèîíîâ Ðîññèè è èç Íîðâåãèè. Îäàðåííûå øêîëüíèêè, ïðîÿâèâøèå èíòåðåñ ê ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì, ñîðåâíîâàëèñü â êîìàíäíûõ è èíäèâèäóàëüíûõ òóðàõ ïî ìàòåìàòèêå, ôèçèêå, èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé.  îëèìïèàäå òàêæå ó÷àñòâîâàëè øêîëüíèêè, èíòåðåñóþùèåñÿ ýêîëîãèåé è áèîëîãèåé. Àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì îëèìïèàäû «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí-2007» ïî ôóíäàìåíòàëüíûì íàóêàì â êîìàíäíîì çà÷åòå ñòàëà ñáîðíàÿ êîìàíäà ãîðîäà Áóãóëüìà (Òàòàðñòàí). Åé áûë âðó÷åí ãëàâíûé ïðèç ñîðåâíîâàíèé – Ñóïåðêóáîê. Êîìàíäà áûëà òàêæå ëó÷øåé â òóðàõ ïî ôèçèêå è èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé. Âòîðîå ìåñòî â îáùåì çà÷åòå çàíÿëà êîìàíäà Êëàññè÷åñêîãî ëèöåÿ 1 ïðè ÐÃÓ (Ðîñòîâ-íà-Äîíó). Îíà òàêæå çàíÿëà âòîðîå ìåñòî ïî ôèçèêå è èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé. Íà òðåòüå ìåñòî âûøëà ñáîðíàÿ êîìàíäà ãîðîäà Àëüìåòüåâñêà, êîòîðàÿ òàêæå ñòàëà âòîðîé ïî ìàòåìàòèêå è òðåòüåé ïî èñòîðèè íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé.  èíäèâèäóàëüíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì îëèìïèàäû ñòàëà Äàðüÿ Ïóñåâà, ó÷åíèöà 11 êëàññà Êëàññè÷åñêîãî ëèöåÿ 1 ïðè ÐÃÓ. Åé áûëè âðó÷åíû áîëüøàÿ çîëîòàÿ ìåäàëü è ìàëûå çîëîòûå ìåäàëè çà ïåðâûå ìåñòà ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå. Âòîðûì ïðèçåðîì â îáùåì çà÷åòå ñòàë Èãîðü Ìàñêî, ó÷åíèê 11 êëàññà ÔÒË 1 ãîðîäà Ñàðàòîâà, åìó áûëà âðó÷åíà áîëüøàÿ ñåðåáðÿíàÿ ìåäàëü è ìàëàÿ ñåðåáðÿíàÿ ìåäàëü çà âòîðîå ìåñòî ïî ôèçèêå. Áîëüøóþ áðîíçîâóþ ìåäàëü â îáùåì çà÷åòå è ìàëóþ áðîíçîâóþ ìåäàëü çà òðåòüå ìåñòî ïî ìàòåìàòèêå çàâîåâàë Ìèõàèë Ìèõàéëîâ, ïðåäñòàâëÿþùèé ãîðîä Àëüìåòüåâñê. Äèëÿ Çàéíóëëèíà (Áóãóëüìà) ïîëó÷èëà ìàëóþ áðîíçîâóþ ìåäàëü çà òðåòüå ìåñòî ïî ôèçèêå, à Äàðüÿ Êîðîâèíà (ãèìíàçèÿ 1567, Ìîñêâà) áûëà íàãðàæäåíà çà âòîðîå ìåñòî ïî ìàòåìàòèêå ìàëîé ñåðåáðÿíîé ìåäàëüþ. Âñå ïîáåäèòåëè ïîëó÷èëè ðàçëè÷íûå ïîäàðêè è ïðèçû îò îðãàíèçàòîðîâ è ñïîíñîðîâ îëèìïèàäû. Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá «Ãëþîí» ïðèãëàøàåò ðåãèîíàëüíûå öåíòðû, øêîëû, ëèöåè è ãèìíàçèè, ðàáîòàþùèå ñ îäàðåííûìè äåòüìè, ïðèíÿòü ó÷àñòèå â XVII Ìåæäóíàðîäíîé îëèìïèàäå «Èíòåëëåêòóàëüíûé ìàðàôîí», êîòîðàÿ ïðîéäåò â îêòÿáðå 2008 ãîäà â Ãðåöèè. Çàÿâêè íà ó÷àñòèå ïðèñûëàéòå ïî àäðåñó: 115522 Ìîñêâà, Ïðîëåòàðñêèé ïðîñïåêò, ä.15/6, êîðï.2, ÌÈÊ «Ãëþîí» Òåëåôîí: (495)517-8014, ôàêñ: (495)396-8227 Å-mail:gluon@yandex.ru (ñì.òàêæå ñàéò: http:\\www.gluon.ru)

ÇÀÄÀ×È ÎËÈÌÏÈÀÄÛ Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð

Ìàòåìàòèêà 1. Ìîæåò ëè ïðè êàêîì-íèáóäü íàòóðàëüíîì n ÷èñëî n4 + 2n3 + 2n2 + 1 áûòü ïîëíûì êâàäðàòîì? 2. Íàéäèòå õ + ó, åñëè

x +

1 + x2

y +



1 + y2 = 1 .

3. Íà ñòîðîíå À ðîìáà ABCD âî âíåøíþþ ñòîðîíó ïîñòðîèëè ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ÀÌÂ. Íàéäèòå óãîë CMD. 4. ×èñëà x, y è z ïîïàðíî ðàçëè÷íû è îòëè÷íû îò íóëÿ. Êàêèå ðàçëè÷íûå êîìáèíàöèè çíàêîâ ìîãóò áûòü ó ÷èñåë X=

 y - x   x - z , yz

Z=

Y=

 z - y y - x ,

 x - z  z - y xy

xz

?

5. Ïîäðÿä âûïèñàíû öèôðû äåñÿòè÷íûõ çàïèñåé íàòóðàëüíûõ ÷èñåë N è 3N. Îáÿçàòåëüíî ëè ñðåäè âûïèñàííûõ öèôð íàéäåòñÿ õîòÿ áû îäíà èç öèôð 1, 2, 9? 6. Äàí òðåóãîëüíèê ÀÂÑ. Íà ïðîäîëæåíèÿõ ñòîðîíû ÂÀ çà òî÷êó À, ñòîðîíû ÀÑ çà òî÷êó Ñ è ñòîðîíû Ñ çà òî÷êó  îòëîæåíû îòðåçêè AA1 = ÂÑ, CC1 = À è BB1 = ÀÑ. Íàéäèòå óãëû òðåóãîëüíèêà A1B1C1 , åñëè óãëû À,  è Ñ èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ðàâíû α , β è γ ñîîòâåòñòâåííî. 7. Íà êîíãðåññå ñîáðàëèñü ó÷åíûå, ñðåäè êîòîðûõ åñòü äðóçüÿ. Îêàçàëîñü, ÷òî íèêàêèå äâîå ó÷åíûõ, èìåþùèå íà êîíãðåññå ðàâíîå ÷èñëî äðóçåé, íå èìåþò îáùèõ äðóçåé. Íàéäåòñÿ ëè ñðåäè íèõ ó÷åíûé, ó êîòîðîãî ðîâíî îäèí äðóã? Ôèçèêà 1. Èñêóññòâåííûé ñïóòíèê Çåìëè íàõîäèòñÿ íà êðóãîâîé îðáèòå âûñîòîé h = 200 êì. Âêëþ÷àåòñÿ äâèãàòåëü, è ñêîðîñòü ñïóòíèêà âîçðàñòàåò íà ∆v = 5 êì/ñ.  ðåçóëüòàòå îí óëåòàåò â ìåæïëàíåòíîå ïðîñòðàíñòâî. Íàéäèòå ñêîðîñòü ñïóòíèêà âäàëè îò Çåìëè. Ðàäèóñ Çåìëè 6370 êì, óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ 9,8 ì ñ2 . 2. Èçâåñòíî, ÷òî êîìïðåññîð äîìàøíåãî õîëîäèëüíèêà ïåðèîäè÷åñêè âêëþ÷àåòñÿ è âûêëþ÷àåòñÿ. Îöåíèòå ñîîòíîøåíèå âðåìåí ðàáîòû è ïàóçû êîìïðåññîðà, åñëè èçâåñòíî, ÷òî åãî ìîùíîñòü ïîðÿäêà Ð = 100 Âò, ÷åðåç ñòåíêè õîëîäèëüíèêà çà ÷àñ ïðîõîäèò êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q = 1 ÌÄæ, òåìïåðàòóðà â ïîìåùåíèè, ãäå ñòîèò õîëîäèëüíèê, t1 = +20 °C , òåìïåðàòóðà âíóòðè õîëîäèëüíèêà t2 = +3 °C . 3. Îöåíèòå, êàêóþ ìîùíîñòü èìååò ñòîâàòòíàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ ëàìïà íàêàëèâàíèÿ â íà÷àëüíûé ìîìåíò âêëþ÷åíèÿ åå â îñâåòèòåëüíóþ ñåòü íàïðÿæåíèåì 220 Â, åñëè ðàáî÷àÿ òåìïåðàòóðà íèòè íàêàëèâàíèÿ 2700 °Ñ, à òåìïåðàòóðíûé êîýôôèöèåíò ñîïðîòèâëåíèÿ âîëüôðàìà, èç êîòîðîãî ñäåëàíà íèòü íàêàëà, 0,004 1/°Ñ. 4.  êàìåðå êîëüöåâîãî óñêîðèòåëÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R äâèæåòñÿ òîíêèé ïó÷îê ýëåêòðîíîâ.  íà÷àëüíûé


#"

ÊÂÀÍT 2008/¹3

ìîìåíò âðåìåíè çíà÷åíèå ñèëû òîêà I0 , ÷èñëî ÷àñòèö â êàìåðå N. Ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç íåèçìåííóþ îðáèòó ïó÷êà óìåíüøàåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ vΦ . Êàêèì ñòàíåò çíà÷åíèå ñèëû òîêà ïîñëå òîãî, êàê ÷àñòèöû ñäåëàþò îäèí îáîðîò? Ðàññìîòðèòå íåðåëÿòèâèñòñêèé ñëó÷àé. 5.  ÷àéíèêå «Òåôàëü» ìîùíîñòüþ Ð = 1 êÂò êèïèò âîäà. Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ èç åãî íîñèêà âûðûâàåòñÿ ñòðóÿ ïàðà, 2 åñëè ïëîùàäü îòâåðñòèÿ íîñèêà S = 5 ñì , óäåëüíàÿ òåïëîòà 6 èñïàðåíèÿ âîäû r = 2,26 × 10  Äæ/êã, íîðìàëüíîå àòìîñ5 ôåðíîå äàâëåíèå p0 = 10  Ïà, óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ R = 8,31 Äæ  ìîëü × Ê  ? 6. Ïðè êàêîé ìèíèìàëüíîé íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ìîæíî ïåðåáðîñèòü êàìåíü ñ óðîâíÿ çåìëè ÷åðåç ïîëóöèëèíäðè÷åñêèé àíãàð âûñîòîé (ðàäèóñîì) R? 7. Ìåòàëëè÷åñêèé øàð ðàäèóñîì R, ïîëíûé çàðÿä êîòîðîãî ðàâåí Q, ðàçðåçàí íà äâå ÷àñòè. Ïëîñêîñòü ðàçðåçà ïðîõîäèò íà ðàññòîÿíèè L îò öåíòðà øàðà (L < R). Ñ êàêîé ñèëîé îòòàëêèâàþòñÿ ýòè ÷àñòè øàðà? Óñòíûé êîìàíäíûé òóð

Ìàòåìàòèêà 1.  ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 1 * * * * * * * 7 (çâåçäî÷êàìè îáîçíà÷åíû ÷èñëà) ñóììà ëþáûõ òðåõ ñîñåäíèõ ÷èñåë ðàâíà 15. Íàéäèòå âòîðîé ÷ëåí ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè (ò.å. ÷èñëî, îáîçíà÷åííîå ïåðâîé çâåçäî÷êîé). 2. Íà ïëîñêîñòè íàðèñîâàëè 4 ðàâíûõ òðåóãîëüíèêà òàê, ÷òî ëþáûå äâà èç íèõ èìåþò îáùóþ âåðøèíó. Âåðíî ëè, ÷òî âñå òðåóãîëüíèêè èìåþò îáùóþ âåðøèíó? 3. Äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà õ, ó è z óäîâëåòâîðÿþò ñèñòåìå óðàâíåíèé ì x + y + z = 2, í î xy + xz + yz = 1. Íàéäèòå íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ õ. 4. Êîíôåðåíöèÿ íà÷àëàñü ìåæäó 10 è 11 ÷àñàìè, êîãäà ÷àñîâàÿ è ìèíóòíàÿ ñòðåëêè áûëè íàïðàâëåíû â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû, à çàêîí÷èëàñü ìåæäó 16 è 17 ÷àñàìè, êîãäà ñòðåëêè ñîâïàëè. Ñêîëüêî âðåìåíè ïðîäîëæàëàñü êîíôåðåíöèÿ? 5. Ïðÿìîóãîëüíóþ ñòàëüíóþ ïëàñòèíêó ðàçìåðîì 19 ´ 73 ïîëîæèëè íà ëèñò áóìàãè è îáâåëè êàðàíäàøîì. Ïîëüçóÿñü òîëüêî ñàìîé ïëàñòèíêîé è êàðàíäàøîì, íàéäèòå (ïîñòðîéòå) öåíòð ïîëó÷åííîãî ïðÿìîóãîëüíèêà. 6. Êàêîå íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ëàäåé ìîæíî ïîñòàâèòü íà øàõìàòíóþ äîñêó (ðàçìåðîì 8 ´ 8 êëåòîê) òàê, ÷òîáû âñå áåëûå ïîëÿ îêàçàëèñü ïîä áîåì? 7. Èìåþòñÿ äâà òðåóãîëüíèêà. Èçâåñòíî, ÷òî ñóììà äâóõ ñòîðîí êàæäîãî èç íèõ ðàâíà ñóììå äâóõ êàêèõ-òî ñòîðîí âòîðîãî. Ðàâíû ëè ýòè òðåóãîëüíèêè? 8.  êîìïàíèè èç n ÷åëîâåê êàæäûé èìååò ðîâíî òðåõ çíàêîìûõ. à) Äîêàæèòå, ÷òî n ÷��òíî. á) Âñåãäà ëè ìîæíî ýòó êîìïàíèþ ðàçáèòü íà ïàðû çíàêîìûõ ìåæäó ñîáîé ëþäåé? 9. Ìîæíî ëè ðàçðåçàòü êëåò÷àòûé êâàäðàò ðàçìåðîì 14 ´ 14 íà ïðÿìîóãîëüíèêè 2 ´ 5 è 3 ´ 9 ? 10. Íàéäèòå âèä òðåóãîëüíèêà (ò.å. îñòðîóãîëüíûé îí, ïðÿìîóãîëüíûé èëè òóïîóãîëüíûé), åñëè ïðî åãî ñòîðîíû à, 3 3 3 b è ñ èçâåñòíî, ÷òî a + b = c . Ôèçèêà 1. Áî÷êà îáúåìîì V = 50 ë äîâåðõó çàïîëíÿåòñÿ çàñàëèâàåìûìè íà çèìó îãóðöàìè. Ïëîòíîñòü âåùåñòâà îãóðöîâ ρ1 = 1100 êã ì3 . Ñðåäíÿÿ ïëîòíîñòü îãóðöîâ â êó÷å

ρ2 = 660 êã ì 3 . Ñêîëüêî ëèòðîâ ðàññîëà íàäî ïðèãîòîâèòü äëÿ çàëèâêè? 2. Îöåíèòå, êàêîé ãëóáèíû «ÿìà» îáðàçóåòñÿ ïðè çàâèñàíèè âåðòîëåòà íà íåáîëüøîé âûñîòå íàä âîäíîé ïîâåðõíîñòüþ. 3. Êàê èçìåíèòñÿ ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ äâóõ ìàëåíüêèõ äèýëåêòðè÷åñêèõ øàðèêîâ, îäèí èç êîòîðûõ çàðÿæåí, à äðóãîé íåò, åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó íèìè âîçðàñòåò â n ðàç? 4. Èçâåñòíî, ÷òî â òðîïèêàõ íà áîëüøèõ âûñîòàõ (áîëåå 10–15 êì) äóþò ïîñòîÿííûå âåòðû îò ýêâàòîðà ïî íàïðàâëåíèþ ê ïîëþñàì. Ïî÷åìó? 5. Íàéäèòå óãîë îòñêîêà øàðèêà ïðè óãëå ïàäåíèÿ 45° íà èäåàëüíî ãëàäêóþ ïîâåðõíîñòü, åñëè ïðè óäàðå øàðèê òåðÿåò òðåòüþ ÷àñòü ñâîåé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè. 6. Ê íèæíåìó êîíöó ëåãêîé ïðóæèíû, âåðõíèé êîíåö êîòîðîé çàêðåïëåí, ïîäâåøåíû ñâÿçàííûå íåâåñîìîé íèòüþ ãðóçû: âåðõíèé ìàññîé m1 = 0,4 êã è íèæíèé ìàññîé m2 = = 0,6 êã. Íèòü, ñîåäèíÿþùóþ ãðóçû, ïåðåæèãàþò. Ñ êàêèì óñêîðåíèåì íà÷íåò äâèãàòüñÿ âåðõíèé ãðóç? 7. Äâà ìîëÿ èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà ñíà÷àëà èçîõîðíî îõëàäèëè, à çàòåì èçîáàðíî íàãðåëè äî ïåðâîíà÷àëüíîé òåìïåðàòóðû 400 Ê, óâåëè÷èâ îáúåì ãàçà â òðè ðàçà. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû îòäàë ãàç íà ïåðâîì ó÷àñòêå? 8.  ñîñóäå íà ïîâåðõíîñòè ïðîçðà÷íîé æèäêîñòè ïëàâàåò ëåãêàÿ òîíêàÿ ïëîñêîâûïóêëàÿ ëèíçà, îáðàùåííàÿ âûïóêëîé ñòîðîíîé ââåðõ. Ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå ëèíçû â âîçäóõå F. Ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ æèäêîñòè n. Âûñîòà óðîâíÿ æèäêîñòè â ñîñóäå h. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè L íàä ëèíçîé íà åå ãëàâíîé îïòè÷åñêîé îñè íóæíî ðàñïîëîæèòü òî÷å÷íûé èñòî÷íèê ñâåòà, ÷òîáû åãî èçîáðàæåíèå íàõîäèëîñü íà äíå ñîñóäà? 9. ×åðåç äâà íåïîäâèæíûõ áëîêà, íàõîäÿùèõñÿ íà îäíîé âûñîòå, ïåðåêèíóòà äëèííàÿ ëåãêàÿ íèòü, ê êîíöàì êîòîðîé ïðèêðåïëåíû äâà ãðóçà îäíîé è òîé æå ìàññû (ðèñ.1). Íèòü íà÷èíàþò ìåäëåííî îòòÿãèâàòü âíèç çà òî÷êó, íàõîäÿùóþñÿ ïîñåðåäèíå ìåæäó áëîêàìè. Ãðàôèê çàâèñèìîñòè ñèëû F, ïðèêëàäûâàåìîé ê íèòè, îò ñìåùåíèÿ x ýòîé òî÷êè ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 2. Íàéäèòå ïðèáëèçèòåëüíî ìàññó m êàæäîãî èç ãðóçîâ è ðàññòîÿíèå l ìåæäó Ðèñ. 1 áëîêàìè.

Ðèñ. 2

10. Íèæíèå êîíöû ëåñòíèöû-ñòðåìÿíêè ìàññîé m = 10 êã ñîåäèíåíû âåðåâêîé. Êàæäàÿ ñòîðîíà ëåñòíèöû ñîñòàâëÿåò ñ ïîëîì óãîë α = 45° . Ñ÷èòàÿ ïîë àáñîëþòíî ãëàäêèì, íàéäèòå ñèëó íàòÿæåíèÿ âåðåâêè. Èñòîðèÿ íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé

Ìàòåìàòèêà 1.  2007 ãîäó èñïîëíèëîñü 300 ëåò ñî äíÿ ðîæäåíèÿ âåëèêîãî ìàòåìàòèêà Ëåîíàðäà Ýéëåðà (04.04.1707 – 07 (18). 09. 1783). Íåò, ïîæàëóé, òàêîé îáëàñòè ìàòåìàòèêè, ãäå


##

ÎËÈÌÏÈÀÄÛ

Ýéëåð íå äîñòèã áû ôóíäàìåíòàëüíûõ ðåçóëüòàòîâ. Èìåþòñÿ îíè è â òåîðèè ÷èñåë.  ÷àñòíîñòè, îí ââåë â ðàññìîòðåíèå ôóíêöèþ, íàçâàííóþ âïîñëåäñòâèè åãî èìåíåì – ôóíêöèåé Ýéëåðà, ϕ n  . ×åðåç ϕ  n  , ãäå n – íàòóðàëüíîå (öåëîå ïîëîæèòåëüíîå) ÷èñëî, îáîçíà÷àþò êîëè÷åñòâî íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, âçàèìíî ïðîñòûõ ñ ÷èñëîì n è íå ïðåâîñõîäÿùèõ n. Íàïðèìåð, ϕ 5 = 4 – òîëüêî ÷èñëà 1, 2, 3, 4 íå èìåþò ñ ÷èñëîì 5 îáùèõ äåëèòåëåé, êðîìå 1, è îäíîâðåìåííî íå ïðåâîñõîäÿò ÷èñëà 5; ϕ  10 = 4 – òîëüêî ÷èñëà 1, 3, 7, 9 íå èìåþò ñ ÷èñëîì 10 îáùèõ äåëèòåëåé, êðîìå 1, è îäíîâðåìåííî íå áîëüøå, ÷åì ÷èñëî 10. Íàøà ïåðâàÿ çàäà÷à ïîñâÿùåíà ýòîé ôóíêöèè. Âûïèøåì â ñòðî÷êó âñå n äðîáåé: n 1 2 3 ; ; ; K; . (* ) n n n n à) Ñêîëüêî ñðåäè äðîáåé ñòðî÷êè ( * ) íåñîêðàòèìûõ? Ïóñòü d1 = 1, d2,K , dk = n – âñå äåëèòåëè ÷èñëà n. á) Ïðîâåäåì âñå âîçìîæíûå ñîêðàùåíèÿ â äðîáÿõ ñòðî÷êè ( * ) è âûïèøåì âñå ñîêðàùåííûå äðîáè (êàæäóþ îäèí ðàç) è âñå «ñòàðûå» íåñîêðàòèìûå äðîáè â íîâóþ ñòðî÷êó. Ñêîëüêî â ýòîé íîâîé ñòðî÷êå äðîáåé èìåþò çíàìåíàòåëü di äëÿ âñåõ âîçìîæíûõ çíà÷åíèé i? â) Äîêàæèòå òîæäåñòâî Ýéëåðà ϕ  d1  + ϕ  d2  + K + ϕ  dk  = n .

2.  XYII âåêå â ìàòåìàòèêó âîøëè ðÿäû – ñóììû áåñêîíå÷íîãî ÷èñëà ñëàãàåìûõ, èãðàþùèå â íàñòîÿùåå âðåìÿ áîëüøóþ ðîëü â íåêîòîðûõ ðàçäåëàõ ìàòåìàòè÷åñêîé íàóêè è ïðàêòèêè.  òî âðåìÿ ñ íèìè îáðàùàëèñü äîñòàòî÷íî âîëüíî: ñïîêîéíî, êàê îáû÷íûå êîíå÷íûå ñóììû, óìíîæàëè, äåëèëè è ò.ä., ñòðîãàÿ òåîðèÿ ïîÿâèëàñü ëèøü â XYIII – XIX âåêàõ. Ïîïðîáóéòå, çíàÿ, ÷òî 1 = 1 + x + x2 + K + x n + K 1– x (êîíå÷íî æå, ýòî õîðîøî âàì çíàêîìàÿ ñóììà áåñêîíå÷íî óáûâàþùåé ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè), âû÷èñëèòü ñóììó 1 + 2x + 3x 2 + 4x 3 + K + nx n -1 + K

3. Àïîëëîíèé Ïåðãñêèé, æèâøèé ïðèìåðíî â 200 – 160 ã. äî í.ý. äðåâíåãðå÷åñêèé ìàòåìàòèê, îñòàâèë çàìåòíûé ñëåä â ãåîìåòðèè (èìåííî îí ââåë òàêèå ïîíÿòèÿ è òåðìèíû, êàê «ãèïåðáîëà», «ïàðàáîëà», «ýëëèïñ», «ôîêóñ» (êðèâûõ) è ò.ä.).  ÷àñòíîñòè, îí ðàññìàòðèâàë çàäà÷ó î ïîñòðîåíèè ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè îêðóæíîñòè, êàñàþùåéñÿ òðåõ ïðîèçâîëüíûõ äàííûõ îêðóæíîñòåé. Ìû íå ïðåäëàãàåì âàì ðåøàòü ýòó äîâîëüíî òðóäíóþ çàäà÷ó, à äàåì áîëåå ïðîñòóþ. Ïîñòðîéòå ñ ïîìîùüþ öèðêóëÿ è ëèíåéêè îêðóæíîñòü, êàñàþùóþñÿ òðåõ äàííûõ ðàâíûõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ êðóãîâ: à) âíåøíèì îáðàçîì; á) âíóòðåííèì îáðàçîì. 4. Âû, êîíå÷íî, ìíîãî ðàç ñëûøàëè èìÿ âåëèêîãî ó÷åíîãî àíòè÷íîñòè Àðõèìåäà, æèâøåãî ïðèìåðíî â 287 – 212 ã. äî í.ý. Îí, â ÷àñòíîñòè, âî ìíîãîì ïðåäâîñõèòèë íåêîòîðûå èäåè èíòåãðàëüíîãî èñ÷èñëåíèÿ, âû÷èñëÿÿ ïëîùàäè è îáúåìû ðàçíûõ ôèãóð. Ïðåäëàãàåì âàì ðåøèòü ñëåäóþùóþ ñîçâó÷íóþ íåêîòîðûì åãî èññëåäîâàíèÿì çàäà÷ó. Ïóñòü ïðÿìàÿ, ïàðàëëåëüíàÿ îñè àáñöèññ, ïåðåñåêàåò 2 ïàðàáîëó y = x â òî÷êàõ À è Â, à òî÷êà Î – íà÷àëî êîîðäèíàò. ×åðåç ñåðåäèíó Ì îòðåçêà ÎÀ ïðîâåäåì ïàðàëëåëüíî îñè ïàðàáîëû (îñè îðäèíàò) ïðÿìóþ äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ïàðàáîëîé â òî÷êå D. Ïóñòü ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀΠðàâíà S. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀÌD.

5.  ïåðâîé ïîëîâèíå XIX âåêà æèë è ðàáîòàë çàìå÷àòåëüíûé íåìåöêèé ìàòåìàòèê Ï.Ã.Ë.Äèðèõëå (1805 – 1859). Åìó ïðèíàäëåæàò ìíîãèå êðàñèâûå òåîðåìû.  ÷àñòíîñòè, îí äîêàçàë çíàìåíèòóþ òåîðåìó î òîì, ÷òî âñÿêàÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñ îáùèì ÷ëåíîì à + dn, ãäå ïåðâûé ÷ëåí à è ðàçíîñòü ïðîãðåññèè d – âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà, ñîäåðæèò áåñêîíå÷íîå êîëè÷åñòâî ïðîñòûõ ÷èñåë. Ìû íå ìîæåì ïðîñèòü âàñ äîêàçàòü ýòó òåîðåìó – åå äîêàçàòåëüñòâî ñëèøêîì ñëîæíî. Îäíàêî ìû íàäååìñÿ, ÷òî âû ñìîæåòå äîêàçàòü ñëåäóþùèé ôàêò.  àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè 3, 7, 11, … (ñ îáùèì ÷ëåíîì an = 4n + 3 ; ïðè÷åì n = 0, 1, 2, …) áåñêîíå÷íî ìíîãî ïðîñòûõ ÷èñåë. (Êàê âèäèòå, ïåðâûé ÷ëåí è ðàçíîñòü ýòîé ïðîãðåññèè – âçàèìíî ïðîñòûå ÷èñëà.) Ôèçèêà 1.  1907 ãîäó Íîáåëåâñêàÿ ïðåìèÿ ïî ôèçèêå áûëà âðó÷åíà «çà ñîçäàíèå ïðåöèçèîííûõ îïòè÷åñêèõ ïðèáîðîâ è âûïîëíåíèå ñ èõ ïîìîùüþ ñïåêòðîñêîïè÷åñêèõ è ìåòðîëîãè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé». Ó÷åíûé, ïîëó÷èâøèé ïðåìèþ, íà÷àë ñâîþ íàó÷íóþ äåÿòåëüíîñòü ñ ýêñïåðèìåíòàëüíîãî îïðîâåðæåíèÿ òåîðèè ìèðîâîãî ýôèðà (â ñîàâòîðñòâå ñ äðóãèì èçâåñòíûì ó÷åíûì). Ïðàêòè÷åñêè âñþ ñâîþ äàëüíåéøóþ äåÿòåëüíîñòü ýòîò ó÷åíûé ïîñâÿòèë îäíîé îáëàñòè îïòè÷åñêîãî ïðèáîðîñòðîåíèÿ, íåïðåðûâíî ñîâåðøåíñòâóÿ äâà òèïà ïðèáîðîâ, îñíîâàííûõ íà ïðåäñòàâëåíèÿõ âîëíîâîé îïòèêè.  ÷èñëå åãî ðàáîò – èññëåäîâàíèå âîçìîæíîñòè ñîçäàíèÿ ýòàëîíà åäèíèöû äëèíû, îïèðàÿñü íà äëèíó âîëíû èçëó÷åíèÿ îäíîãî èç õèìè÷åñêèõ ýëåìåíòîâ.  1920 ãîäó ñ ïîìîùüþ ðàçðàáîòàííîãî èì ïðèáîðà âïåðâûå áûë èçìåðåí óãëîâîé ðàçìåð çâåçäû. à) Êòî ýòîò ó÷åíûé? á) Êàêîâà èäåÿ ýêñïåðèìåíòà, ïîñòàâëåííîãî äëÿ îáíàðóæåíèÿ íàëè÷èÿ èëè îòñóòñòâèÿ ìèðîâîãî ýôèðà? â)  ðàçðàáîòêó êàêèõ îïòè÷åñêèõ ïðèáîðîâ âíåñ âûäàþùèéñÿ âêëàä ýòîò ó÷åíûé? ã) Êàêîé õèìè÷åñêèé ýëåìåíò áûë ïðåäëîæåí ýòèì ó÷åíûì äëÿ ñîçäàíèÿ ýòàëîíà äëèíû? ä) Äëÿ êàêîé çâåçäû áûë âïåðâûå èçìåðåí óãëîâîé ðàçìåð? 2. Ýòîò ó÷åíûé ñòîÿë ó èñòîêîâ ñîâðåìåííîãî åñòåñòâîçíàíèÿ. Îí äàë íàçâàíèå íàóêå ôèçèêå. Åãî ìîæíî ñ÷èòàòü ïåðâûì ôèçèêîì-òåîðåòèêîì. Êàê è áîëüøèíñòâî ó÷åíûõ äðåâíîñòè, îí áûë ó÷åíûì-ýíöèêëîïåäèñòîì. Êàê è ìíîãèå âåëèêèå ó÷åíûå, îí áûë ïåäàãîãîì: ïðåïîäàâàë â ó÷åáíîì çàâåäåíèè, íàçâàíèå êîòîðîãî ñîõðàíèëîñü äî íàøèõ äíåé. Îí áûë âîñïèòàòåëåì âûäàþùåãîñÿ ãîñóäàðñòâåííîãî äåÿòåëÿ. Îí áûë âåëèê äàæå â ñâîèõ çàáëóæäåíèÿõ. à) Êòî ýòîò ó÷åíûé? Êîãäà è â êàêîé ñòðàíå îí ðîäèëñÿ è æèë? á) Ïî÷åìó îí íàçâàë ôèçèêó ôèçèêîé è ïî÷åìó åãî ìîæíî ñ÷èòàòü òåîðåòèêîì? â)  êàêèõ åùå îáëàñòÿõ íàóêè ðàáîòàë ýòîò ó÷åíûé? ã) Êàê íàçûâàëîñü óïîìÿíóòîå ó÷åáíîå çàâåäåíèå è ãäå îíî íàõîäèëîñü? ä) Êòî èç ãîñóäàðñòâåííûõ äåÿòåëåé äðåâíîñòè áûë åãî âîñïèòàííèêîì? å) Êàêèå âçãëÿäû ýòîãî ó÷åíîãî, ñåãîäíÿ ñ÷èòàþùèåñÿ çàáëóæäåíèÿìè, âàì èçâåñòíû? 3. Íåìåöêèé ó÷åíûé è èíæåíåð, ðîäèëñÿ â 1907 ãîäó. Åùå ãèìíàçèñòîì îí çàíÿëñÿ ñîâåðøåííî íîâûì äëÿ òîãî âðåìåíè äåëîì – ðàäèîòåõíèêîé. Íå ïîëó÷èâ îôèöèàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ, óæå ñòàë âåäóùèì ñîòðóäíèêîì ôèðìû «Òåëåôóíêåí».  ãîäû, ïðåäøåñòâóþùèå âòîðîé ìèðîâîé âîéíå, óñïåøíî ðàáîòàë íàä ïðîáëåìàìè ýëåêòðîííîãî òåëåâèäåíèÿ è ðàñòðîâîé ýëåêòðîííîé ìèêðîñêîïèè. Îí ñîçäàâàë ýëåêò-


#$

ÊÂÀÍT 2008/¹3

ðîííûå óñòðîéñòâà â ðàìêàõ àòîìíûõ ïðîåêòîâ â Ãåðìàíèè â ãîäû âîéíû è â ÑÑÑÐ ïîñëå âîéíû. Âåðíóâøèñü íà ðîäèíó â 1956 ãîäó, ïîëó÷èë îò ïðàâèòåëüñòâà ÃÄÐ ðàçðåøåíèå íà âëàäåíèå íåäâèæèìûì èìóùåñòâîì, ïðèíàäëåæàâøèì åãî ñåìüå. Ñâîèì ïðàâîì îí âîñïîëüçîâàëñÿ â äóõå ëó÷øèõ òðàäèöèé ëþäåé íàóêè: îðãàíèçîâàë â ôàìèëüíîì èìåíèè â Äðåçäåíå íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêèé èíñòèòóò.  ñâîåé èññëåäîâàòåëüñêîé ðàáîòå ó÷åíûé ïåðåêëþ÷èë âíèìàíèå íà íîâîå íàïðàâëåíèå – ïðèìåíåíèå ýëåêòðîíèêè â ìåäèöèíå è áèîëîãèè. Ñêîí÷àëñÿ â 1997 ãîäó. Íàçîâèòå èìÿ ýòîãî ó÷åíîãî. 4. Âîïðîñ î òîì, êàê óñòðîåíà Âñåëåííàÿ, âîëíîâàë ëþäåé âñåãäà. Ñåãîäíÿøíèå ïðåäñòàâëåíèÿ î åå ñòðîåíèè îñíîâàíû íà òîì, ÷òî ñóùåñòâóåò íåñêîëüêî ôóíäàìåíòàëüíûõ îáúåêòîâ, èç êîòîðûõ ôîðìèðóåòñÿ âñå ìíîãîîáðàçèå óñòðîéñòâà è

ñâîéñòâ Âñåëåííîé. Íåêîòîðûå èç ýòèõ îáúåêòîâ íåïëîõî èçó÷åíû, ñóùåñòâîâàíèå äðóãèõ ïîêà óñòàíîâëåíî êîñâåííî, ïî èõ äåéñòâèþ íà èçó÷åííûå îáúåêòû. Íàçîâèòå ýòè ôóíäàìåíòàëüíûå îáúåêòû, èõ ñâîéñòâà è ðîëü âî Âñåëåííîé. Êàêèå ñîâðåìåííûå òåîðèè ñòðîåíèÿ Âñåëåííîé âàì èçâåñòíû? 5.  XVIII âåêå òåðìîäèíàìè÷åñêèå ÿâëåíèÿ îïèñûâàëèñü íà îñíîâå òåîðèè òåïëîðîäà – îñîáîé æèäêîñòè, ïåðåòåêàþùåé èç îäíîãî òåëà â äðóãîå ïðè òåïëîïåðåäà÷å. à) Êàêèå îïûòû ïîñëóæèëè îñíîâàíèåì äëÿ îòêàçà îò òåîðèè òåïëîðîäà? á) Êàêèå òåðìîäèíàìè÷åñêèå ïîíÿòèÿ, ââåäåííûå â ðàìêàõ òåîðèè òåïëîðîäà, ñîõðàíèëèñü â ñîâðåìåííîé ôèçèêå? Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Â.Àëüìèíäåðîâ, À.Åãîðîâ, À.Êðàâöîâ, Â.Êðûøòîï, Æ.Ðàááîò

Âñåðîññèéñêàÿ ñòóäåí÷åñêàÿ îëèìïèàäà ïî ôèçèêå Ïî ðåçóëüòàòàì î÷åðåäíîé Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû ñðåäè ñòóäåíòîâ òåõíè÷åñêèõ âóçîâ, êîòîðàÿ ñîñòîÿëàñü â íîÿáðå 2007 ãîäà, â êîìàíäíîì çà÷åòå ïåðâîå ìåñòî çàíÿëà êîìàíäà Ìîñêîâñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà (ÌÃÒÓ) èì. Í.Ý.Áàóìàíà (133 áàëëà), âòîðîå ìåñòî – êîìàíäà Ñàìàðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî àýðîêîñìè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà èì. àêàäåìèêà Ñ.Ï.Êîðîëåâà (95 á.), òðåòüå ìåñòî – êîìàíäà Óôèìñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî àâèàöèîííîãî òåõíè÷åñêîãî óíèâåðñèòåòà (85 á.).  ëè÷íîì çà÷åòå ïåðâîå ìåñòî çàâîåâàë À.Ïóäîâêèí (ÌÃÒÓ èì. Í.Ý.Áàóìàíà, 48 áàëëîâ), âòîðîå ìåñòî çàâîåâàëà Ä.Êîâàëåâà (ÌÃÒÓ èì. Í.Ý.Áàóìàíà, 46 á.), íà òðåòüåì ìåñòå îêàçàëñÿ Í.Òðîøêèí (Ñàìàðñêèé ãîñóäàðñòâåííûé àýðîêîñìè÷åñêèé óíèâåðñèòåò èì. àêàäåìèêà Ñ.Ï.Êîðîëåâà, 44 á.). Ñïåöèàëüíûì ïðèçîì æþðè íàãðàæäåí ñòóäåíò Ðîññèéñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà íåôòè è ãàçà èì. È.Ì.Ãóáêèíà Ê.Êîðíèøèí – çà îðèãèíàëüíîå ðåøåíèå äâóõ çàäà÷ ýòîé îëèìïèàäû è çà ñòàáèëüíî óñïåøíîå ó÷àñòèå â ãîðîäñêèõ è âñåðîññèéñêèõ òóðàõ ñòóäåí÷åñêèõ îëèìïèàäàõ.

ÇÀÄÀ×È ÎËÈÌÏÈÀÄÛ 1. Âåëîñèïåäèñò äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v. Ðàññòîÿíèå ìåæäó îñÿìè êîëåñ ðàâíî l, öåíòð òÿæåñòè âåëîñèïåäèñòà ñ âåëîñèïåäîì íàõîäèòñÿ ïîñðåäèíå ìåæäó êîëåñàìè íà âûñîòå h îò äîðîãè. Îïðåäåëèòå ìèíèìàëüíûé òîðìîçíîé ïóòü, åñëè òîðìîæåíèå âîçìîæíî òîëüêî çàäíèì êîëåñîì. 2. ×åðåç îòâåðñòèå â ïîòîëêå ïðîïóùåíà íåðàñòÿæèìàÿ íèòü, ê êîíöó êîòîðîé ïðèâÿçàí ãðóç ìàññîé m, ðàñêðó÷åííûé â ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè äî ñêîðîñòè v è èìåþùèé ðàäèóñ âðàùåíèÿ îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè R. Êàêóþ ðàáîòó íàäî ñîâåðøèòü, ÷òîáû ìåäëåííî ïîäòÿíóòü ãðóç âäâîå áëèæå ê ïîòîëêó? 3. Ê ïëàíåòå ðàäèóñîì R è óñêîðåíèåì íà ïîâåðõíîñòè g ïîäëåòàåò ñ áîëüøîãî óäàëåíèÿ êîñìè÷åñêèé àïïàðàò ìàññîé Ì ñ äâèãàòåëåì ìàëîé òÿãè Fò = mg , èìåþùèé ñêîðîñòü v. Îïðåäåëèòå ìèíèìàëüíóþ õàðàêòåðèñòè÷åñêóþ ñêîðîñòü, íåîáõîäèìóþ äëÿ ïåðåõîäà àïïàðàòà íà íèçêóþ îðáèòó âîêðóã ïëàíåòû. Õàðàêòåðèñòè÷åñêàÿ ñêîðîñòü – ýòî ñêîðîñòü, êîòîðóþ ïîëó÷èò êîñìè÷åñêèé àïïàðàò â ñâîáîäíîì ïðîñòðàíñòâå ïðè òåõ æå çàòðàòàõ òîïëèâà. 4. Öåïî÷êà ìàññîé m è äëèíîé l ïîäâåøåíà çà âåðõíåå

çâåíî, à íèæíèì êàñàåòñÿ ãîðèçîíòàëüíîé ïëàòôîðìû ìàññîé M, óäåðæèâàåìîé ñíèçó â ðàâíîâåñèè ñèñòåìîé ïðóæèí îáùåé æåñòêîñòüþ k. Öåïî÷êó îòïóñòèëè, è â ìîìåíò ñîïðèêîñíîâåíèÿ âåðõíåãî çâåíà ñ ïëàòôîðìîé ïëàòôîðìà îïóñòèëàñü îò òî÷êè ðàâíîâåñèÿ íà âåëè÷èíó b è äîñòèãëà ñêîðîñòè v. Îïðåäåëèòå èìïóëüñ, ïåðåäàííûé öåïî÷êîé ïëàòôîðìå â ïðîöåññå ïàäåíèÿ, è âûäåëèâøååñÿ ïðè ýòîì êîëè÷åñòâî òåïëîòû. 5. Øàð ðàäèóñîì R ìàññîé M, ñòîÿùèé íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè, ðàñêðóòèëè îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè äî óãëîâîé ñêîðîñòè ω . Çàòåì ïî øàðó íàíåñëè óäàð, ïåðåäàâøèé åìó èìïóëüñ p = MRω âäîëü ãîðèçîíòàëüíîé ëèíèè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç öåíòð øàðà. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü, ñ êîòîðîé ïîêàòèòñÿ øàð, åñëè ïðîñêàëüçûâàíèå ìåæäó øàðîì è ïëîñêîñòüþ îòñóòñòâóåò. 6. Öèêëè÷åñêèé ïðîöåññ, ïðîâîäèìûé ñ ãàçîì, ñîñòîèò èç èçîõîðû, èçîáàðû è èçîòåðìû. Îïðåäåëèòå ìàêñèìàëüíûé ÊÏÄ öèêëà, åñëè äàâëåíèå ìîæåò ìåíÿòüñÿ îò p1 äî p2 . 7. Äâà òî÷å÷íûõ çàðÿäà Q è –Q íàõîäÿòñÿ íà ðàññòîÿíèè 3l äðóã îò äðóãà. Ïîñðåäèíå ìåæäó íèìè ïîìåùàþò òåëî, ñîñòîÿùåå èç äâóõ ìåòàëëè÷åñêèõ øàðèêîâ ðàäèóñîì r = l , ñîåäèíåííûõ î÷åíü òîíêèì ìåòàëëè÷åñêèì ñòåðæíåì, ñîâïàäàþùèì ñ ëèíèåé, ñîåäèíÿþùåé çàðÿäû. Îïðåäåëèòå, íà ñêîëüêî èçìåíèòñÿ ñèëà âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó çàðÿäàìè, åñëè äëèíà ñòåðæíÿ ðàâíà l. 8. Ïåðåìû÷êà ìàññîé m è ñîïðîòèâëåíèåì R ëåæèò íà äâóõ ãîðèçîíòàëüíûõ ïàðàëëåëüíûõ ðåëüñàõ, ðàññòîÿíèå ìåæäó êîòîðûìè ðàâíî a. Ê ðåëüñàì íà âðåìÿ t ïîäêëþ÷èëè èñòî÷íèê ñ ÝÄÑ - . Êàêîå âåðòèêàëüíî íàïðàâëåííîå ìàãíèòíîå ïîëå B íåîáõîäèìî ñîçäàòü, ÷òîáû ñêîðîñòü ïåðåìû÷êè ïîñëå îòêëþ÷åíèÿ èñòî÷íèêà äîñòèãëà ìàêñèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ? Ñ÷èòàòü, ÷òî exp(1,26) = 3,52. 9. Íà ïóòè ïëîñêîé ñâåòîâîé âîëíû íàõîäèòñÿ êðóãëîå îòâåðñòèå, â êîòîðîì ïîìåùàåòñÿ ëèøü íåáîëüøàÿ ÷àñòü ïåðâîé çîíû Ôðåíåëÿ äëÿ òî÷êè íàáëþäåíèÿ Ð, èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â êîòîðîé ðàâíà I0 .  îòâåðñòèå ïîìåñòèëè ñïåöèàëüíóþ ëèíçó, ïðè ïðîõîæäåíèè ñâåòà ÷åðåç êîòîðóþ âîëíîâîé ôðîíò ñòàíîâèòñÿ êîíè÷åñêèì. Îïðåäåëèòå èíòåíñèâíîñòü ñâåòà â òî÷êå íàáëþäåíèÿ Ð, åñëè â ïðèñóòñòâèè ëèíçû â îòâåðñòèè ïîìåùàåòñÿ 5 çîí Ôðåíåëÿ. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ì.ßêîâëåâ, Â.Ãîëóáåâ


#%

ÈÌ È ÀÀÄÖ ÛÈ ß È Í ÎÔË Î ÐÏÌ

Çàî÷íàÿ øêîëà ÑÓÍÖ ÍÃÓ Çàî÷íàÿ øêîëà (ÇØ) Ñïåöèàëèçèðîâàííîãî ó÷åáíî-íàó÷íîãî öåíòðà (ÑÓÍÖ) Íîâîñèáèðñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà (ÍÃÓ) ïðèãëàøàåò øêîëüíèêîâ 7–11 êëàññîâ è àáèòóðèåíòîâ ðàñøèðèòü è óãëóáèòü ñâîè çíàíèÿ ïî øêîëüíûì ïðåäìåòàì è ïîäãîòîâèòüñÿ ê âñòóïèòåëüíûì ýêçàìåíàì â âûñøèå ó÷åáíûå çàâåäåíèÿ. Êðîìå îòäåëüíûõ ó÷àùèõñÿ, â ÇØ ïðèíèìàþòñÿ ôàêóëüòàòèâíûå ãðóïïû, îðãàíèçîâàííûå â îáùåîáðàçîâàòåëüíûõ øêîëàõ. Ëó÷øèå ó÷àùèåñÿ ÇØ åæåãîäíî ïðèãëàøàþòñÿ â Ëåòíþþ øêîëó äëÿ ó÷àñòèÿ â êîíêóðñå ÑÓÍÖ ÍÃÓ. Ó÷àùèåñÿ, óñïåøíî âûïîëíèâøèå âñå çàäàíèÿ, ïî îêîí÷àíèè îäèííàäöàòîãî êëàññà ïîëó÷àþò óäîñòîâåðåíèå ÇØ. Çà÷èñëåíèå â Çàî÷íóþ øêîëó ÑÓÍÖ ÍÃÓ ïðîèçâîäèòñÿ êðóãëîãîäè÷íî. ×òîáû òóäà ïîñòóïèòü, íåîáõîäèìî ïðèñëàòü â àäðåñ ÇØ âûïîëíåííîå ïåðâîå çàäàíèå è çàÿâëåíèå î ïðèåìå. Ðàáîòà äîëæíà áûòü âûïîëíåíà â ó÷åíè÷åñêîé òåòðàäè â êëåòêó. Îáÿçàòåëüíî çàïèøèòå êðàòêîå óñëîâèå êàæäîé çàäà÷è. Íîìåðà çàäà÷ äîëæíû ñîâïàäàòü ñ òåìè, êîòîðûå óêàçàíû â çàäàíèè. Ïèøèòå ÷åòêî, ðàçáîð÷èâî, îñòàâëÿÿ ïîëÿ äëÿ çàìå÷àíèé ïðåïîäàâàòåëÿ. Íà îáëîæêå òåòðàäè íóæíî óêàçàòü: 1) Îòäåëåíèå (ìàòåìàòè÷åñêîå èëè ôèçè÷åñêîå) 2) Íîìåð çàäàíèÿ 3) Ôàìèëèþ, èìÿ, îò÷åñòâî 4) Êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü â ñâîåé øêîëå 5) Âàø ïîäðîáíûé äîìàøíèé àäðåñ, ñ óêàçàíèåì èíäåêñà ïî÷òîâîãî îòäåëåíèÿ, òåëåôîíà (ñ êîäîì ãîðîäà), e-mail 6) Àäðåñ Âàøåé øêîëû è òåëåôîí/ôàêñ, (ñ êîäîì ãîðîäà), e-mail 7) Ôàìèëèþ, èìÿ, îò÷åñòâî ïðåïîäàâàòåëåé â Âàøåé øêîëå ïî ìàòåìàòèêå è ïî ôèçèêå Ðàáîòó îòñûëàéòå òîëüêî ïðîñòîé áàíäåðîëüþ.  òåòðàäü âëîæèòå ëèñòîê áóìàãè ðàçìåðîì 6 ´ 10  ñì ñ íàïèñàííûì íà íåì Âàøèì àäðåñîì. Âûïîëíåííîå çàäàíèå è çàÿâëåíèå î ïðèåìå âûñûëàéòå ïî ïî÷òîâîìó àäðåñó: 630090 Íîâîñèáèðñê-90, óë. Ëÿïóíîâà, 3, Çàî÷íàÿ øêîëà ÑÓÍÖ ÍÃÓ èëè ïî ýëåêòðîííîé ïî÷òå: distant@sesc.nsu.ru Òåëåôîí: (383) 363-4066 Àäðåñ â èíòåðíåòå: http://zfmsh.nsu.ru

Ïåðâîå çàäàíèå Ìàòåìàòè÷åñêîå îòäåëåíèå 7 êëàññ 1. Çà 5 ÷ âñàäíèê ïðîåõàë íà 8 êì ìåíüøå ïîëîâèíû âñåãî ðàññòîÿíèÿ, à çà 7 ÷ îí ïðîåõàë íà 16 êì áîëüøå ïîëîâèíû ýòîãî ðàññòîÿíèÿ. Îïðåäåëèòå ñêîðîñòü âñàäíèêà, åñëè îí åõàë ñ îäíîé è òîé æå ñêîðîñòüþ. 2. Ãóñü, 3 óòêè è 2 êóðèöû èìåþò îáùóþ ìàññó 24 êã, à 2 ãóñÿ, 5 óòîê è 4 êóðèöû èìåþò ìàññó 44 êã. Êàêîâà îáùàÿ ìàññà 1 ãóñÿ, 4 óòîê è 2 êóðèö? 3. Èìåÿ îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî äåíåã â êîøåëüêàõ, Êðîêîäèë Ãåíà è ×åáóðàøêà ïîøëè íà áàçàð. Êðîêîäèë Ãåíà ñíà÷àëà èñòðàòèë 20% ñâîèõ äåíåã íà ÿáëîêè, à çàòåì 10% îò îñòàâøèõñÿ ó íåãî äåíåã èñòðàòèë íà êîíôåòû. ×åáóðàøêà æå èñòðàòèë 30% ñâîèõ äåíåã íà àïåëüñèíû. Ó êîãî èç äðóçåé äåíåã â êîøåëüêå îñòàëîñü áîëüøå? 4.Íàéäèòå ðàçíîñòü ìåæäó ñóììîé âñåõ ÷åòíûõ ÷èñåë è ñóììîé âñåõ íå÷åòíûõ ÷èñåë, íå ïðåâîñõîäÿùèõ 100. 5. Åñëè îò çàäóìàííîãî òðåõçíà÷íîãî ÷èñëà îòíÿòü 11 è ïîëó÷èâøååñÿ ÷èñëî ðàçäåëèòü íà 11, òî â îñòàòêå ïîëó÷èòñÿ

4. Åñëè îò òîãî æå çàäóìàííîãî ÷èñëà îòíÿòü 8 è ïîëó÷èâøååñÿ ÷èñëî ðàçäåëèòü íà 8, òî îñòàòîê îò äåëåíèÿ áóäåò 4. Åñëè æå îò çàäóìàííîãî ÷èñëà îòíÿòü 7 è ïîëó÷èâøååñÿ ÷èñëî ðàçäåëèòü íà 7, òî îñòàòîê îïÿòü áóäåò 4. Íàéäèòå çàäóìàííîå ÷èñëî. 6. Êàê ðàçðåçàòü êâàäðàò íà 5 ïðÿìîóãîëüíèêîâ òàê, ÷òîáû íèêàêèå äâà èç íèõ íå èìåëè îáùåé ñòîðîíû? 7. Âîññòàíîâèòå öèôðû â ïðèìåðå íà óìíîæåíèå: 126 ** *** + **** 1*2*6 ×

Çàïèøèòå ñâîè ðàññóæäåíèÿ. 8 êëàññ 1. Ãîðîäà À è  ðàñïîëîæåíû íà ðåêå íà ðàññòîÿíèè 10 êì äðóã îò äðóãà.  êàêîì ñëó÷àå òåïëîõîäó ïîòðåáóåòñÿ áîëüøå âðåìåíè: ïðîïëûòü îò À äî  è îáðàòíî èëè ïðîïëûòü 20 êì ïî îçåðó? 2. Ñëóæàùèå áàíêà ðåøèëè ðàçëîæèòü ïîðîâíó ïàðòèþ çîëîòûõ ñëèòêîâ ïî ñåéôàì. Ñíà÷àëà â êàæäûé ñåéô ïîëîæèëè ïî 12 ñëèòêîâ, íî ïðè ýòîì îäèí ñëèòîê îñòàëñÿ. Çàòåì èç îäíîãî ñåéôà âûíóëè âñå ñëèòêè, è òîãäà â îñòàâøèåñÿ ñåéôû óäàëîñü ðàçëîæèòü âñå ñëèòêè ïîðîâíó. Ñêîëüêî ñëèòêîâ áûëî â ïàðòèè, åñëè â êàæäûé ñåéô ïîìåùàåòñÿ íå áîëåå 20 ñëèòêîâ çîëîòà? 3. Äàí ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ÀÂÑ. Íà ïðîäîëæåíèè ñòîðîíû ÀÑ çà òî÷êó Ñ âçÿëè òî÷êó Ð, à íà ïðîäîëæåíèè ñòîðîíû ÂÑ çà òî÷êó Ñ – òî÷êó K òàê, ÷òî BP = PK. Äîêàæèòå, ÷ò�� AP = CK. Ä×Ó×Á×Î×Ê ?  ðåáóñå 4. ×åìó ðàâíî çíà÷åíèå äðîáè ß×Ñ×Å×Í×Ü îäèíàêîâûìè áóêâàìè îáîçíà÷åíû îäèíàêîâûå öèôðû, ðàçíûìè – ðàçíûå. 5.  òÿæåëóþ äëÿ ñåáÿ ãîäèíó Áàáà ßãà ðåøèëà ðàññòàòüñÿ ñî ñâîåé ñòóïîé è ñ ìåòëîé, âûñòàâèâ èõ íà ðàñïðîäàæó. Ñòóïà äîðîæå ìåòëû íà 25%. Íà ñêîëüêî ïðîöåíòîâ ìåòëà äåøåâëå ñòóïû? 6. Ìàëü÷èø Ïëîõèø õî÷åò êóïèòü âàðåíüå, ïå÷åíüå è êîíôåòû. Åñëè îí êóïèò òîëüêî áî÷êó âàðåíüÿ, òî ó íåãî îñòàíåòñÿ 3 äîëëàðà, åñëè æå òîëüêî êîðçèíó ïå÷åíüÿ, òî îñòàíåòñÿ 4 äîëëàðà, à åñëè òîëüêî êîðîáêó êîíôåò, òî – 8 äîëëàðîâ. Õâàòèò ëè ó Ïëîõèøà äåíåã, ÷òîáû êóïèòü áî÷êó âàðåíüÿ è êîðçèíó ïå÷åíüÿ? 7.Ó÷åíèêó íàäî áûëî íàéòè ïðîèçâåäåíèå ÷èñëà 136 íà íåêîòîðîå äâóçíà÷íîå ÷èñëî, â êîòîðîì öèôðà åäèíèö âäâîå áîëüøå öèôðû äåñÿòêîâ. Ïî ðàññåÿííîñòè îí ïîìåíÿë ìåñòàìè öèôðû äâóçíà÷íîãî ÷èñëà, îò÷åãî è ïîëó÷èë ïðîèçâåäåíèå íà 1224 áîëüøå èñòèííîãî. ×åìó ðàâíî èñòèííîå ïðîèçâåäåíèå? 9 êëàññ 1. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî 42007 + 22009 + 3 ÿâëÿåòñÿ ñîñòàâíûì. 2 2 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå x + 5y - 4 xy - 6 y + 9 = 0 äëÿ äåéñòâèòåëüíûõ x è y. 3. Áèññåêòðèñà îäíîãî èç îñòðûõ óãëîâ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà äåëèò êàòåò â îòíîøåíèè 5:3. Íàéäèòå ãèïîòåíóçó ýòîãî òðåóãîëüíèêà, åñëè äëèíà áèññåêòðèñû äðóãîãî îñòðîãî óãëà ðàâíà 10 . 4. Èçâåñòíî, ÷òî ïîëîæèòåëüíîå ÷èñëî à ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç


#&

ÊÂÀÍT 2008/¹3

êîðíåé óðàâíåíèÿ



0

x x+3

 x + 3  Kx + 3  = 1. 1

20

-90

Äîêàæèòå, ÷òî a < 10 . 5. Â îêðóæíîñòü âïèñàíû òðàïåöèÿ, îñíîâàíèåì êîòîðîé ñëóæèò äèàìåòð, è ðàâíîáåäðåííûé òðåóãîëüíèê, ñòîðîíû êîòîðîãî ïàðàëëåëüíû ñòîðîíàì òðàïåöèè. Äîêàæèòå, ÷òî òðàïåöèÿ è òðåóãîëüíèê èìåþò ðàâíûå ïëîùàäè. 6.  íîâîãîäíåì êàðíàâàëå ó÷àñòâóþò 100 ÷åëîâåê. Êàæäûé èç íèõ çíàêîì íå ìåíåå ÷åì ñ 50 èç ïðèñóòñòâóþùèõ. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäè ó÷àñòíèêîâ êàðíàâàëà íàéäóòñÿ ÷åòûðå ÷åëîâåêà, êîòîðûõ ìîæíî ïîñòàâèòü âîêðóã åëêè òàê, ÷òîáû ëþáûå ñòîÿùèå ðÿäîì ó÷àñòíèêè áûëè çíàêîìû. 10 êëàññ 1. Âû÷èñëèòå ñóììó 22 + 42 + 62 + ... + 20082 - 12 - 32 - 52 - ... - 20072

(êâàäðàòû ÷åòíûõ ÷èñåë áåðóòñÿ ñ ïëþñîì, êâàäðàòû íå÷åòíûõ – ñ ìèíóñîì). 2. Åñëè ïåðâûé àâòîìîáèëü ñäåëàåò 4 ðåéñà, à âòîðîé – 3 ðåéñà, òî 21 òîííó ãðóçà îíè ïåðåâåçòè íå ñìîãóò. Åñëè æå ïåðâûé ñäåëàåò 7 ðåéñîâ, à âòîðîé – 4 ðåéñà, òî îíè ñìîãóò ïåðåâåçòè áîëåå 33 òîíí ãðóçà. Êàêîé èç àâòîìîáèëåé èìååò áóëüøóþ ãðóçîïîäúåìíîñòü? 3. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë a è b âûïîëíåíî íåðàâåíñòâî 3 4(a + b) ³ 3 a + 3 b . 4. Èç âåðøèí  è Ñ ïðîèçâîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ïðîâåäåíû ìåäèàíû BB1 è CC1 . Äîêàæèòå, ÷òî 9 BB12 + CC12 > BC 2 . 8 5. Äàí îñòðûé óãîë è îêðóæíîñòü âíóòðè íåãî. Íàéäèòå íà îêðóæíîñòè òî÷êó, ñóììà ðàññòîÿíèé îò êîòîðîé äî ñòîðîí óãëà áûëà áû: à) íàèìåíüøåé; á) íàèáîëüøåé. 6. Ñðåäè 101 ìîíåòû ðîâíî 50 ôàëüøèâûõ. Ìàññû âñåõ íàñòîÿùèõ ìîíåò îäèíàêîâû, ìàññà êàæäîé ôàëüøèâîé ìîíåòû îòëè÷àåòñÿ îò ìàññû íàñòîÿùåé íà îäèí ãðàìì (â áîëüøóþ èëè ìåíüøóþ ñòîðîíó). Êàê çà îäíî âçâåøèâàíèå íà ÷àøå÷íûõ âåñàõ ñî ñòðåëêîé, êîòîðàÿ ïîêàçûâàåò ðàçíîñòü âåñîâ íà ÷àøêàõ, îïðåäåëèòü, ÿâëÿåòñÿ ëè äàííàÿ ìîíåòà ôàëüøèâîé? Íà êàæäóþ ÷àøêó âåñîâ ìîæíî êëàñòü ëþáîå êîëè÷åñòâî ìîíåò. 11 êëàññ 1. Äâà âåëîñèïåäèñòà âûåõàëè îäíîâðåìåííî è åõàëè ñ ïîñòîÿííûìè ñêîðîñòÿìè îäèí èç A â B, äðóãîé – èç B â A. Ïåðâûé ðàç îíè âñòðåòèëèñü â 40 êì îò B, ïîñëå ÷åãî êàæäûé äîåõàë äî êîíå÷íîãî ïóíêòà (ïåðâûé äî B, âòîðîé äî A), ðàçâåðíóëñÿ è ïîåõàë îáðàòíî. Âòîðîé ðàç îíè âñòðåòèëèñü â 20 êì îò À ÷åðåç 8 ÷àñîâ ïîñëå èõ ïåðâîé âñòðå÷è. Íàéäèòå ñêîðîñòè âåëîñèïåäèñòîâ è ðàññòîÿíèå îò À äî Â. 2. Íàéäèòå âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ 1 x - 2 x -1 + x +2 x -1 = . x -1 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå tg x + tg 2 x + tg x tg 2x tg 3 x = tg 3 x + tg 4 x .

4. Íà êàæäîé ñòîðîíå âûïóêëîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà êàê íà äèàìåòðå ïîñòðîåí êðóã. Äîêàæèòå, ÷òî ÷åòûðå ïîñòðîåííûõ êðóãà ïîëíîñòüþ ïîêðûâàþò âåñü ÷åòûðåõóãîëüíèê. 5. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî îòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë ñðåäè ïåðâûõ 2008 ýëåìåíòîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè





o

cos 1o,cos 10o,cos 100o,...,cos 102007 .

6. Â òðåóãîëüíîé ïèðàìèäå ABCD èçâåñòíû äëèíû ðåáåð: AB = 4, CD = 6, AC = AD = BC = BD = 7. Ìåäèàíû ãðàíè BCD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Ì. Íàéòè îáúåì ïèðàìèäû MACD.

Ôèçè÷åñêîå îòäåëåíèå 9 êëàññ 1. Êîëüöåâàÿ àâòîòðàññà èìååò ôîðìó ïðÿìîóãîëüíèêà ñî ñòîðîíàìè 10 êì è 8 êì. Èç îäíîé òî÷êè òðàññû, ðàñïîëîæåííîé «â âåðøèíå ïðÿìîóãîëüíèêà», ïî áîëüøåé ñòîðîíå â îäíîì íàïðàâëåíèè îäíîâðåìåííî ñòàðòîâàëè äâà àâòîìîáèëÿ: îäèí ñî ñêîðîñòüþ 60 êì/÷, äðóãîé ñî ñêîðîñòüþ 90 êì/÷. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè (ïî ïðÿìîé, à íå ïî òðàññå) îêàæóòñÿ àâòîìîáèëè ÷åðåç 14 ìèí? 2. Ãðóç, íàïîëîâèíó ïîãðóæåííûé â æèäêîñòü, óäåðæèâàåòñÿ ïðèâÿçàííîé ê íåìó ñâåðõó íèòüþ. Îïðåäåëèòå ïëîòíîñòü ìàòåðèàëà ρ x , èç êîòîðîãî èçãîòîâëåí ãðóç, åñëè ïëîòíîñòü æèäêîñòè ρ, îáúåì ãðóçà V, íàòÿæåíèå íèòè T. 3. Ïåðâîíà÷àëüíî òâåðäûé îáðàçåö, íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà êîòîðîãî t1 = 15 °C , íàãðåâàþò â ñïåöèàëüíîì ñîñóäå. Çàâèñèìîñòü òåìïåðàòóðû t îáðàçöà îò âðåìåíè τ ïðåäñòàâëåíà íà ðèñóíêå 1. Ñèñòåìà îòðåãóëèðîâàíà òàê, ÷òî â îáðàçåö ïîñòóïàåò â êàæäóþ åäèíèöó âðåìåíè îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû. ×åìó ðàâíà óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü òâåðäîãî îáðàçöà? Óäåëü- Ðèñ. 1 íàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ L = = 240000 Äæ/êã, t2 = 90 °C , τ1 = 4  ìèí, τ2 = 8  ìèí. Âðåìÿ îòñ÷èòûâàåòñÿ ñ ìîìåíòà íà÷àëà íàãðåâà. 4.  ãèðëÿíäå ñîñòîÿùåé èç N = 25 ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ ëàìïî÷åê (ðèñ.2), ïåðåãîðåëà îäíà èç íèõ. Âî ñêîëüêî ðàç íàäî óâåëè÷èòü âõîäíîå ñîïðîòèâëåíèå R, ÷òîáû ïðè ïðåæíåì íàïðÿæåíèè íàêàë îñòàâøèõñÿ ëàìïî÷åê íå èçìåíèëñÿ? 10 êëàññ

Ðèñ. 2

1. Ðåøèòå çàäà÷ó 3 äëÿ 9 êëàññà. 2. Ïî ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè äâèæåòñÿ òåëî ìàññîé m.  ìîìåíò, êîãäà åãî ñêîðîñòü ðàâíÿëàñü v0 , íà íåãî ïîäåéñòâîâàëè ïîñòîÿííîé ãîðèçîíòàëüíîé ñèëîé F0 , íàïðàâëåííîé íàâñòðå÷ó. Íà êàêîì ðàññòîÿíèè s îò ýòîãî ìåñòà îêàæåòñÿ òåëî, êîãäà åãî ñêîðîñòü ñíîâà áóäåò ðàâíÿòüñÿ v0 ? Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ µ . Èçâåñòíî, ÷òî F0 > µmg . 3.  ïîêîÿùåéñÿ âåðòèêàëüíîé çàïàÿííîé òðóáêå íàõîäèòñÿ ìàññèâíûé ïîäâèæíûé ïîðøåíü. Òðóáêó áûñòðî ïåðåâåðíóëè âîêðóã ïîðøíÿ. Íàéäèòå óñêîðåíèå ïîðøíÿ â ïåðâûé ìîìåíò âðåìåíè ïîñëå ïåðåâîðîòà. Òðåíèåì ïîðøíÿ î ñòåíêè òðóáêè ïðåíåáðå÷ü. 4. Êî äíó ñîñóäà ñå÷åíèåì S ïðèâÿçàí ëåãêèé ïóñòîé øàð îáúåìîì V ñ öåíòðîì íà ãëóáèíå h. Øàð ëîïíóë. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèòñÿ ê ìîìåíòó, êîãäà èç-çà âíóòðåííåãî òðåíèÿ äâèæåíèå æèäêîñòè ïðåêðàòèòñÿ? Ïëîòíîñòü æèäêîñòè ρ , óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g. Ìàññîé îáîëî÷êè øàðà ïðåíåáðå÷ü. 5. Íåáîëüøîå òåëî çàïóñòèëè ñî ñêîðîñòüþ v0 ïî ãîðèçîíòàëüíîìó æåëîáó, ïåðåõîäÿùåìó â ïîëóîêðóæíîñòü ðàäèóñîì R (ðèñ.3). Ïðåíåáðåãàÿ òðåíèåì, íàéäèòå ðàññòîÿíèå ïî


ÎÒÂÅÒÛ,

Î ÌÀÏÍÈÈÀßÄ, Û Ð Å Ø Å Í È ß ÓË ÊÈ ÀÇ

ãîðèçîíòàëè x, íà êîòîðîì îêàæåòñÿ ýòî òåëî ïîñëå îòðûâà îò æåëîáà. Èçâåñòíî, ÷òî v02 > 4 gR .

#'

ïðîòèâëåíèåì êîòîðîãî ìîæíî ïðåíåáðå÷ü, ïîêàçûâàåò òîê I = 2 A? 4. Äâà êîíäåíñàòîðà, îäèí åìêîñòüþ Ñ, à äðóãîé åìêîñòüþ 2Ñ, âíà÷àëå áûëè ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèñîåäèíåíû ê èñòî÷íè-

11 êëàññ 1. Ðåøèòå çàäà÷ó 4 äëÿ 10 êëàññà. 2. Èç îäíîé òî÷êè êîëüöåâîé ãîíî÷íîé òðàññû îäíîâðåìåííî, íî â ïðîòèâîïîëîæíûõ íàïðàâëåíèÿõ ñòàðòóþò äâà ãîíî÷íûõ àâòîìîáèëÿ À è Â. ×åðåç 20 ìèí àâòîìîáèëè ïðîåõàëè ìèìî äðóã äðóãà â íåêîòîðîé òî÷êå Ñ. Íà ñêîëüêî ðàíüøå îêàæåòñÿ íà ìåñòå ñòàðòà àâòîìîáèëü À, åñëè åãî ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü íà 25% âûøå ñêîðîñòè àâòîìîáèëÿ Â? 3.  öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 4, ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå U = 9 Â. Ïîñòîÿííîå è ïåðåìåííîå ñîïðîòèâëåíèÿ îäèíàêîâû è ðàâíû R = 12 Îì.  êàêîì îòíîøåíèè äåëèò ïîäâèæíûé êîíòàêò K ïåðåìåííîå ñîïðîòèâëåÐèñ. 4 íèå, åñëè àìïåðìåòð, ñîÐèñ. 3

Ðèñ. 5

êó ñ ïîñòîÿííûì íàïðÿæåíèåì U (ðèñ.5). Ïîñëå ïîëíîé çàðÿäêè èõ îòñîåäèíèëè îò èñòî÷íèêà è ñîåäèíèëè îáêëàäêè ñ îäíîèìåííûìè çàðÿäàìè, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Íà ñêîëüêî óìåíüøèòñÿ ýíåðãèÿ êîíäåíñàòîðîâ ïîñëå òàêîãî ñîåäèíåíèÿ? 5. Òåëî ìàññîé m è çàðÿäîì q óäåðæèâàþò íà ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè. Íàä ïîâåðõíîñòüþ íà âûñîòå h çàêðåïëåí çàðÿä q. Ðàññòîÿíèå ïî ãîðèçîíòàëè îò òåëà äî òî÷êè, ðàñïîëîæåííîé ïîä çàðÿäîì, ðàâíî L. Êàêóþ ìèíèìàëüíóþ ãîðèçîíòàëüíóþ ñêîðîñòü v0 íåîáõîäèìî ñîîáùèòü òåëó, ÷òîáû îíî ïðîñêî÷èëî òî÷êó, ðàñïîëîæåííóþ ïîä çàêðåïëåííûì çàðÿäîì?

ÎÒÂÅÒÛ, ÓÊÀÇÀÍÈß, ÐÅØÅÍÈß ÊÌØ Çàäà÷è (ñì. «Êâàíò» ¹2) 1. 7. Íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òî 135135 = 135 × 1001 = 1 × 3 × 5 × 9 × 7 × 11 × 13 .

2. Cóùåñòâóþò. Âîò ïðèìåð äâóõ ïîäõîäÿùèõ ÷èñåë: 1010010007 è 3000001006 – êàæäîå èç íèõ îïèñûâàåò âòîðîå. Êàê ïîäîáðàòü òàêèå ÷èñëà? Íåòðóäíî ñîîáðàçèòü, ÷òî â êàæäîì òàêîì ÷èñëå ñóììà öèôð ðàâíà 10. Âîçüìåì ëþáîå äåñÿòèçíà÷íîå ÷èñëî ñ òàêîé ñóììîé öèôð è ñîñòàâèì âòîðîå ÷èñëî, ó êîòîðîãî ïåðâàÿ öèôðà ðàâíà êîëè÷åñòâó åäèíèö èñõîäíîãî ÷èñëà, âòîðàÿ – êîëè÷åñòâó äâîåê è ò.ä. Ïîòîì òàêèì æå îáðàçîì íà îñíîâå âòîðîãî ÷èñëà ñîñòàâèì òðåòüå, çàòåì – ÷åòâåðòîå, ïÿòîå… Â êîíå÷íîì èòîãå ñ äîâîëüíî áîëüøèìè øàíñàìè ìû îáíàðóæèì óêàçàííóþ ïàðó ÷èñåë.  ÷àñòíîñòè, ê íèì ïðèâîäÿò «ñàìûå íàïðàøèâàþùèåñÿ» èñõîäíûå ÷èñëà 1000000009 èëè 1234000000. Êîíå÷íî, íå èñêëþ÷åíà âîçìîæíîñòü, ÷òî â ïîñòðîåííîé íàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ìû íàòêíåìñÿ íà óêàçàííîå â óñëîâèè ÷èñëî 2100010006. ×òî æ, òîãäà ïðèäåòñÿ çàìåíèòü èñõîäíîå ÷èñëî. Íàéòè äðóãèå «çàöèêëèâàíèÿ» èñõîäíîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè íå óäàëîñü, õîòÿ âïîëíå âåðîÿòíî, ÷òî îíè ñóùåñòâóþò. 3. Ðåøåíèå îáåèõ çàäà÷ èñïîëüçóåò íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà. à) Âåðíî âñåãäà. Èëè ê îäíîìó, èëè ê äðóãîìó êîíöó íàèáîëüøåãî ðåáðà ïèðàìèäû ïðèìûêàþò äâà äðóãèõ ðåáðà, èç êîòîðûõ âìåñòå ñ ýòèì íàèáîëüøèì ðåáðîì ìîæíî ñîñòàâèòü òðåóãîëüíèê. á) Ïèðàìèäó ìîæíî ñîñòàâèòü íå âñåãäà. Íàïðèìåð, åñëè ñòîðîíû îäíîãî òðåóãîëüíèêà âûðàæàþòñÿ ÷èñëàìè 1000, 1002, 1004, à äëèíû âñåõ ñòîðîí äðóãîãî ðàâíû 1, òî èç ýòèõ øåñòè

îòðåçêîâ ñîñòàâèòü ïèðàìèäó íå óäàñòñÿ: íèêàêèå äâà ðåáðà èç ðàçíûõ òðîåê íå ìîãóò èìåòü îáùèõ êîíöîâ. 4. Íå ñóùåñòâóþò. Î÷åâèäíî, ÷òî z > x, z > y. Áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè áóäåì ïîëàãàòü x £ y < z . Òîãäà x × 2x + y × 2y £ y × 2y +1 < <  y + 1 × 2y +1 £ z × 2z .

Ðèñ. 1 5. Îäíà èç âîçìîæíûõ ñõåì äîðîã ïîêàçàíà íà ðèñóíêå 1. Çäåñü äëÿ ëþáûõ òðåõ ïåðåêðåñòêîâ À,  è Ñ (À – ïåðåêðåñòîê, â êîòîðîì íàõîäèòñÿ Íåóëîâèìûé Äæî,  è Ñ – ïåðåêðåñòêè, â êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ ïîëèöåéñêèå) ñóùåñòâóåò ÷åòâåðòûé ïåðåêðåñòîê D, ñîñåäíèé ñ À è íå ÿâëÿþùèéñÿ ñîñåäíèì äëÿ ïåðåêðåñòêîâ  è Ñ.

Êîíêóðñ «Ìàòåìàòèêà 6–8» (ñì. «Êâàíò» ¹ 6 çà 2007 ã.) 11. Íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òî ÷èñëèòåëü êàæäîé äðîáè â óñëîâèè çàäà÷è äåëèòñÿ íà çíàìåíàòåëü. Íàïðèìåð,

 x + y + z5 - x5 - y5 - z5 äåëèòñÿ íà õ + ó, ïîñêîëüêó  x + y + z 5 - z5 äåëèòñÿ íà (x + y + z) – z = x + y è x5 + y5

äåëèòñÿ íà x + y. Âîñïîëüçîâàâøèñü òîæäåñòâîì

 x + y + z5 - z5 - y5 - z5 = = 5  x + y  y + z  z + x  x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx  , ïåðåïèøåì ýòî óñëîâèå â âèäå x2 + y2 + z2 + xy + yz + zx = a 2 + b2 + c2 + ab + bc + ca ,


$

ÊÂÀÍT 2008/¹3

èëè 2

x + y + z +  x + y + z 2

2

2

2

= a + b + c + a + b + c  , 2

2

2

(* ) x 2 + y 2 + z 2 = a 2 + b 2 + c2 , òàê êàê x + y + z = a + b + c. Ïîäñòàâèâ â ( * ) âûðàæåíèÿ a+c a+b b+c x= , y= , z= , ïîëó÷àåì 2ab + 2ac + 2bc = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 = 2a + 2b + 2c , èëè a - b  + b - c  + c - a  = 0 , îòêóäà a = b = ñ, è, ñëåäîâàòåëüíî, x = y = z = a = b = c. 12. Çàïèøåì ýòè óðàâíåíèÿ (â òîì ïîðÿäêå, êàê îíè ïðåäñòàâëåíû â óñëîâèè) ïî êðóãó (òîãäà ïåðâîå è ïîñëåäíåå óðàâíåíèÿ ñòàíóò «ñîñåäÿìè»). Åñëè òåïåðü êàê-òî îòìåòèòü (íàïðèìåð, ïîä÷åðêíóòü) òðè óðàâíåíèÿ, èìåþùèå îáùèé êîðåíü, òî êàêèå-òî äâà èç íèõ íåïðåìåííî îêàæóòñÿ ñîñåäÿìè (÷òî ëåãêî äîêàçûâàåòñÿ «îò ïðîòèâíîãî»). Òàê êàê ëþáûå äâà ñîñåäíèõ óðàâíåíèÿ îòëè÷àþòñÿ òîëüêî öèêëè÷åñêèì ñäâèãîì êîýôôèöèåíòîâ ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ õ (ïðè÷åì ñäâèãîì íà îäèí êîýôôèöèåíò), òî áåç îãðàíè÷åíèÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî îáùèé êîðåíü èìåþò ïåðâîå è âòîðîå èç çàïèñàííûõ â óñëîâèè óðàâíåíèé (ò.å. äëÿ ëþáûõ äâóõ äðóãèõ ñîñåäíèõ óðàâíåíèé ðàññóæäåíèÿ áóäóò àíàëîãè÷íû). Ïóñòü x0 – îáùèé êîðåíü ýòèõ äâóõ óðàâíåíèé. Òîãäà ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà a0 + a1x0 + a2 x02 + a3 x03 + a4 x04 = 0 , a1 + a2 x0 + a3 x02 + a4 x03 + a0 x04 = 0 . Óìíîæèì âòîðîå ðàâåíñòâî íà x0 è âû÷òåì èç íåãî ïåðâîå ðàâåíñòâî. Ïîëó÷èì x0 a1 + a2 x0 + a3 x02 + a4 x03 + a0 x04 -









2 3 4 – a0 + a1x0 + a2 x0 + a3 x0 + a4 x0 = 0 ,

èëè, ïîñëå ðàñêðûòèÿ ñêîáîê è óïðîùåíèé,





a0 x05 - 1 = 0 .

Òàê êàê ïî óñëîâèþ a0 ¹ 0 , òî

x05 - 1 = 0 , x05 = 1 , x0 = 1 .

Èòàê, åñëè äâà ñîñåäíèõ óðàâíåíèÿ èìåþò îáùèé êîðåíü, òî îí ðàâåí 1. Ïîäñòàâèâ ýòî çíà÷åíèå â ëþáîå èç äâóõ ïðèâåäåííûõ âûøå ðàâåíñòâ, ïîëó÷àåì a0 + a1 + a2 + a3 + a4 = 0 .

Ïîäñòàâèâ çíà÷åíèå õ = 1 âî âñå ïÿòü èñõîäíûõ óðàâíåíèé, ïîëó÷èì òî÷íîå òàêîå æå ðàâåíñòâî. Ñòàëî áûòü, âñå óðàâíåíèÿ èìåþò îáùèé êîðåíü õ = 1. 13. Ïóñòü ÀÑ – äèàãîíàëü, Ì è N – ñåðåäèíû ñòîðîí À è CD, K – òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ÀÑ è MN (ðèñ.2). Äîñòàòî÷íî ïîêàçàòü, ÷òî ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ðàâíà ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ACD. Ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀÑÌ ðàâíà ïëîùàäè òðåóãîëüíèêà ACN, èáî äèàãîíàëü MN ÷åòûðåõóãîëüíèêà Ðèñ. 2 AMCN äåëèòñÿ äðóãîé åãî äèàãîíàëüþ ïîïîëàì. Íî ÑÌ è AN – ìåäèàíû â òðåóãîëüíèêàõ ÀÂÑ è ACD. Çíà÷èò, ïëîùàäè òðåóãîëüíèêîâ ÀÂÑ è ACD òîæå ðàâíû. 14. Ðåøåíèå ýòîé çàäà÷è èçëîæåíî â ñòàòüå È. Àêóëè÷à «Íåò ïðåäåëà ñîâåðøåíñòâó!» 15. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîôåññîð Ìóìáóì-Ïëþìáóì íå îøèáàåòñÿ. Òîãäà, íàáðàâ ÷èñëî 0,8 è äâàæäû íàæàâ «Ââîä», ìû ïîëó÷èì ÷èñëî 3|0,8| – 4 = –1,6. Çàòåì, åùå ðàç äâàæäû íàæàâ «Ââîä», ïîëó÷èì ÷èñëî 3|–1,6| – 4 = 0,8. Ýòî íàáëþäåíèå ïîçâîëÿåò óñòàíîâèòü ñîîòíîøåíèå, êîòîðîìó äîëæíî

óäîâëåòâîðÿòü ÷èñëî mumb(0,8) = z, åñëè îíî ñóùåñòâóåò. À èìåííî: ïÿòèêðàòíîå íàæàòèå êëàâèøè «Ââîä» äîëæíî ïðèâåñòè ê òîìó æå ðåçóëüòàòó, ÷òî è îäíîêðàòíîå íàæàòèå, åñëè ïåðâîíà÷àëüíî íà ýêðàíå íàáðàëè ÷èñëî 0,8. Îòñþäà 3|3|z| – – 4| – 4 = z. Ýòî óðàâíåíèå, ÿâëÿþùååñÿ ñëåäñòâèåì óòâåðæäåíèÿ ïðîôåññîðà Ìóìáóì-Ïëþìáóìà, èìååò êîðíè: – 1,6; – 1; 0,8; 2. Óáåäèìñÿ, ÷òî íè îäèí èç ýòèõ êîðíåé íå ïîäõîäèò. Åñëè mumb(0,8) = 0,8, òî ìíîãîêðàòíîå íàæàòèå êëàâèøè «Ââîä» áóäåò ïîðîæäàòü öåïî÷êó çíà÷åíèé 0,8 ® 0,8 ® ® 0,8 ® 0,8 ® … è ÷èñëî –1,6 íèêîãäà íå ïîëó÷èòñÿ. Âàðèàíò mumb(0,8) = –1,6 ïîðîæäàåò öåïî÷êó 0,8 ® ® –1,6 ® u ® 0,8 ® –1,6 ® … (çäåñü u – íåêîòîðîå ÷èñëî). Òàêèì îáðàçîì, ïðè ÷åòûðåõêðàòíîì íàæàòèè êëàâèøè «Ââîä» ÷èñëî 0,8 ïðåîáðàçóåòñÿ ⠖1,6, ÷åãî íå ìîæåò áûòü. Ñëó÷àè mumb(0,8) = –1 è mumb(0,8) = 2 ïîðîæäàþò, ñîîòâåòñòâåííî, öåïî÷êè 0,8 ® –1 ® v ® –1 ® v ® –1 ® … è 0,8 ® 2 ® w ® 2 ® w ® 2 ® …  ýòèõ ñëó÷àÿõ êàæäàÿ èç âåëè÷èí v è w äîëæíà îäíîâðåìåííî ðàâíÿòüñÿ –1,6 (ïðè äâóêðàòíîì íàæàòèè «Ââîä») è 0,8 (ïðè ÷åòûðåõêðàòíîì íàæàòèè), ÷òî íåâîçìîæíî. Òàê ÷òî ïðîôåññîð Ìóìáóì-Ïëþìáóì, óâû, îøèáàåòñÿ. Êîððåêòíî ðàáîòàþùèé êàëüêóëÿòîð ïðè ââîäå àðãóìåíòà 0,8 è îäíîêðàòíîì íàæàòèè êëàâèøè «Ââîä» äîëæåí âûäàòü ñîîáùåíèå î òîì, ÷òî ôóíêöèÿ mumb(x) â òî÷êå õ = 0,8 íå îïðåäåëåíà. Ðåàêöèÿ æå ïðîãðàììû, íàïèñàííîé ÌóìáóìÏëþìáóìîì, íåïðåäñêàçóåìà.

ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ» Âîïðîñû è çàäà÷è 1. ×åì áîëüøå óãîë ïàäåíèÿ çâóêîâûõ âîëí, òåì ìåíüøàÿ èõ ÷àñòü ïðîíèêàåò ñêâîçü ñòåêëî. 2. Äåðåâî ïðîâîäèò çâóê áûñòðåå, ÷åì âîçäóõ, ïîýòîìó ñóùåñòâóåò ïðåäåëüíûé óãîë ïàäåíèÿ çâóêîâûõ ëó÷åé, ïðè ïðåâûøåíèè êîòîðîãî çâóê âîîáùå íå ïðîíèêàåò â äåðåâî. 3. Ïðè îäíîé è òîé æå ñèëå óäàðà äâåðü äåôîðìèðóåòñÿ ñèëüíåå, ÷åì ñòåíà, ïîýòîìó àìïëèòóäà åå êîëåáàíèé áîëüøå, à çâóê ãðîì÷å. 4. Ýíåðãèÿ çâóêîâûõ êîëåáàíèé ïåðåõîäèò â ýíåðãèþ òåïëîâîãî äâèæåíèÿ ìîëåêóë âîçäóõà è îêðóæàþùèõ ïðåäìåòîâ. 5. Âîéëîê, õîðîøî ïîãëîùàþùèé çâóê, ïðåïÿòñòâóåò åãî ðàñïðîñòðàíåíèþ â çðèòåëüíûé çàë. 6. Îäåæäà è ÷åëîâå÷åñêîå òåëî ïîãëîùàþò çâóêîâûå âîëíû â áîëüøåé ñòåïåíè, ÷åì ñâîáîäíûå êðåñëà è ïîë. Êðîìå òîãî, ïóáëèêà â çàëå ñîçäàåò êàê áû «íåðîâíóþ» ïîâåðõíîñòü, ðàññåèâàþùóþ çâóê ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì. Âñå ýòî âìåñòå âëèÿåò íà âîñïðèÿòèå ìóçûêè â çàïîëíåííîé è â ïóñòîé àóäèòîðèè. 7. Îòâåò ñâÿçàí íå ñ òåì, ÷òî çâóê â çåìëå ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ áûñòðåå, à ñ òåì, ÷òî â çåìëå îí ðàññåèâàåòñÿ è ïîãëîùàåòñÿ â ìåíüøåé ñòåïåíè, ÷åì â âîçäóõå. 8.  òóìàííóþ ïîãîäó âîçäóõ áîëåå îäíîðîäåí – íå ïðîèñõîäèò ðàññåÿíèÿ çâóêà íà òàê íàçûâàåìûõ àêóñòè÷åñêèõ îáëàêàõ, ñîçäàâàåìûõ êîíâåêöèîííûìè ïîòîêàìè. 9. Íîæêà êàìåðòîíà âîçáóæäàåò â êðûøêå ñòîëà âûíóæäåííûå êîëåáàíèÿ, èçëó÷åíèå çâóêîâûõ âîëí ïðîèñõîäèò ñ áîëüøåé ïëîùàäè, ÷òî ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ ãðîìêîñòè. 10. Íåò. Ïîñêîëüêó âîçðàñòàåò ìîùíîñòü èçëó÷àåìîãî êàìåðòîíîì çâóêà, îí áûñòðåå èçðàñõîäóåò ñâîþ ýíåðãèþ è çàòèõíåò. 11. Ðàçáîð÷èâîñòü ðå÷è ñâÿçàíà ñ íàëè÷èåì â çâóêå âûñîêèõ


ÎÒÂÅÒÛ,

ÓÊÀÇÀÍÈß,

÷àñòîò. Îäíàêî êîýôôèöèåíòû ïîãëîùåíèÿ çâóêà â âîçäóõå äëÿ ýòèõ ÷àñòîò áîëüøå, ÷åì äëÿ íèçêèõ, ïîýòîìó êîëåáàíèÿ âûñîêèõ ÷àñòîò îñëàáëÿþòñÿ â áîëüøåé ìåðå, ÷åì êîëåáàíèÿ íèçêèõ. 12. Ðûõëûé ñíåã, èçîáèëóþùèé âîçäóøíûìè ïîëîñòÿìè, – ïðåêðàñíûé çâóêîïîãëîùàþùèé ìàòåðèàë. Ïî ìåðå óïëîòíåíèÿ ñíåãà ïîãëîùåíèå çâóêà â íåì îñëàáåâàåò, à îòðàæåíèå – óñèëèâàåòñÿ. 13. ×òîáû ýõî áûëî îò÷åòëèâûì, îòðàæåííûé çâóê äîëæåí ïðèõîäèòü ñ îïðåäåëåííîé âðåìåííóé çàäåðæêîé, ÷åãî òðóäíî äîñòè÷ü â íåáîëüøèõ ïîìåùåíèÿõ. 14. Âûñîêî÷àñòîòíûå çâóêè ëó÷øå îòðàæàþòñÿ îò ïðåïÿòñòâèé è ïðè âîçâðàùåíèé èìåþò áóëüøóþ èíòåíñèâíîñòü. 15. Âîëîñû ïîãëîùàþò èçëó÷àåìûé ëåòó÷åé ìûøüþ óëüòðàçâóê, è îíà, íå âîñïðèíèìàÿ îòðàæåííûõ âîëí, íå ÷óâñòâóåò ïðåãðàäû è íàòûêàåòñÿ íà ãîëîâó ÷åëîâåêà. 16. Íåïðåðûâíî îòðàæàÿñü îò ñòåíû, çâóêîâûå âîëíû ðàñïðîñòðàíÿþòñÿ âäîëü íåå â óçêîì ïîÿñå, êàê â âîëíîâîäå. Èíòåíñèâíîñòü çâóêà ïðè ýòîì, êàê îêàçàëîñü, óáûâàåò ñ ðàññòîÿíèåì çíà÷èòåëüíî ìåäëåííåå, ÷åì â îòêðûòîì ïðîñòðàíñòâå. 17. Çâóêîâàÿ âîëíà îòêëîíÿåòñÿ âíèç èç-çà ïîíèæåíèÿ ñ ãëóáèíîé òåìïåðàòóðû âîäû, ñ ÷åì ñâÿçàíî óìåíüøåíèå ñêîðîñòè çâóêà è, ñîîòâåòñòâåííî, óâåëè÷åíèå êîýôôèöèåíòà åãî ïðåëîìëåíèÿ.

Çâóê, èäóùèé ê âàì îò ãðûçóùåãî ñîñåäà ïî âîçäóõó, ðàññåèâàåòñÿ çíà÷èòåëüíî ñèëüíåå, ÷åì çâóê, ðàñïðîñòðàíÿþùèéñÿ ê âàøåìó óõó íåïîñðåäñòâåííî ïî ÷åðåïíûì êîñòÿì.

ÃÈÄÐÎÑÒÀÒÈÊÀ Â ÑÒÀÊÀÍÅ Âîïðîñ. Íå èçìåíèòñÿ. Óïðàæíåíèÿ

ρâ - ρ2 H 2 S - Sö  Sö g

4. Fä = mg

= 540 ìÄæ.

2 ρæ æ h ö ö Ræ ç1 çè ÷ø ÷ = 400 ìÍ (çäåñü ρ H ø Hè 2

ÎÁÚÅÌ ÒÅÒÐÀÝÄÐÀ È ÅÃÎ ×ÀÑÒÅÉ 1 ab . 2. 8 : 37. 3. 11 : 54. 4. 13 : 99. 4 1 1 5. a h2 + a2 . 4 4

1.

 1 + x - x 1 + y - y = 1 . 2







Îòñþäà, ñ ó÷åòîì çíàêîâ, ñëåäóåò, ÷òî õ = –ó, è õ + ó = 0. 3. Ïóñòü À – âåðøèíà îñòðîãî óãëà ðîìáà, ðàâíîãî α (ðèñ.3,a). Èç ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ÌÂÑ ïîëó÷èì, 180° - ÐCBM ÷òî ÐBMC = .  ñâîþ î÷åðåäü, 2 = 360° - 180° - α  + 60° = 120° + α .

α . 2 Àíàëîãè÷íî, èç ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ÀÌD íàõîäèì, ÷òî

Ïîýòîìó ÐBMC = 30° -

180° -  ÐBAD + ÐBAM  180° - α + 60° α = = 60° - . 2 2 2

Ìàòåìàòèêà 2



2 2 2 2 x 1 + y2 = - y 1 + x 2 Þ x 2 1 + y2 = y 1 + x Û x = y .

1. Ïîñêîëüêó



2

Èç ïîëó÷åííûõ ðàâåíñòâ âèäíî, ÷òî ïåðåìåííûå õ è ó äîëæíû èìåòü ðàçíûå çíàêè: â ïðîòèâíîì ñëó÷àå, åñëè ýòè çíàêè «+», òî â ïåðâîì ðàâåíñòâå îáà ìíîæèòåëÿ ëåâîé ÷àñòè áîëüøå 1, è îíî íå èìååò ìåñòà, à åñëè îáà çíàêà «–», òî æå ñàìîå ïðîèçîéäåò âî âòîðîì ðàâåíñòâå.  ñèëó ñèììåòðèè óñëîâèÿ (è âîïðîñà çàäà÷è) îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííûõ íåâàæíî, êàêîå èç íèõ ïîëîæèòåëüíî, êàêîå – îòðèöàòåëüíî. Ïóñòü, íàïðèìåð, õ > 0, y < 0. Ïðèðàâíÿâ ëåâûå ÷àñòè îáîèõ ðàâåíñòâ, ïîñëå ýëåìåíòàðíûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì

Ïèñüìåííûé èíäèâèäóàëüíûé òóð

+n



1 + y2 = 1

ïî÷ëåííî íà âûðàæåíèÿ, ñîïðÿæåííûå ìíîæèòåëÿì ëåâîé ÷àñòè:

XYI ÌÅÆÄÓÍÀÐÎÄÍÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ «ÈÍÒÅËËÅÊÒÓÀËÜÍÛÉ ÌÀÐÀÔÎÍ»

2

y +

ÐCMD = ÐAMB + ÐBMC - ÐAMD = αö æ αö æ = 60° + ç 30° - ÷ - ç 60° - ÷ = 30° . è 2ø è 2ø Êàê ýòî ÷àñòî áûâàåò â ãåîìåòðèè, ìîæíî ïðåäëîæèòü è áîëåå èçÿùíûé, áîëåå ãåîìåòðè÷íûé ñïîñîá ðåøåíèÿ. Ñäåëàåì ïàðàëëåëüíûé ïåðåíîñ òðåóãîëüíèêà ÀÌ íà âåêòîð uuuur AD . Ïðè ýòîì òî÷êà À ïåðåéäåò â òî÷êó D, òî÷êà  – â òî÷êó Ñ, à òî÷êà Ì – â íåêîòîðóþ òî÷êó M1 òàêóþ, ÷òî BMM1C – ðîìá (ðèñ.3,á). Òî÷êè Ñ, Ì è D ëåæàò íà îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â òî÷êå M1 , åå ðàäèóñ ðàâåí ñòîðîíå èñõîäíîãî ðîìáà. Óãîë M1 ïðàâèëüíîãî òðåóãîëüíèêà DM1C – öåíòðàëüíûé óãîë â ýòîé îêðóæíîñòè, îí ðàâåí 60° , ïîýòîìó èñêîìûé óãîë CMD – âïèñàííûé â íåå è îïèðàþùèéñÿ íà òó æå äóãó – ðàâåí 30° .

H = l2 - 2R ).

n

1 + x2

Îêîí÷àòåëüíî,

T . ρâ gS

2ρâ S

x +

ÐAMD =

æ ρ ö 1. ∆h2 = ç1 - â ÷ ∆h1 = 12 ìì. ρö ø è

3. A =

2. Óìíîæèì äàííîå ñîîòíîøåíèå

ÐCBM = 360° -  ÐCBA + ÐABM  =

Ìèêðîîïûò

2. ∆h =

$

ÐÅØÅÍÈß

= n4 + 2n3 + n2 < n4 + 2n3 + 2n2 + 1 <





2

< n4 + 2n3 + 3n2 + 2n + 1 = n2 + n + 1 ,

äàííîå ÷èñëî ïðè ëþáîì íàòóðàëüíîì çíà÷åíèè n ëåæèò ìåæäó êâàäðàòàìè äâóõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë, ïîýòîìó îòâåò íà âîïðîñ îòðèöàòåëüíûé.

Ðèñ. 3


$

ÊÂÀÍT 2008/¹3

Çàìå÷àíèå. Îòâåò íå çàâèñèò îò òîãî, îñòðûé èëè òóïîé óãîë À ðîìáà. Çàäà÷ó ìîæíî òàêæå ðåøàòü ñ ïîìîùüþ ïàðàëëåëüíîãî ïåðåíîñà è ïîâîðîòà. 4. Ñðåäè ÷èñåë X, Y è Z îäíî ïîëîæèòåëüíîå è äâà îòðèöàòåëüíûõ, ïðè÷åì ïîëîæèòåëüíûì ìîæåò áûòü ëþáîå èç íèõ. Íàïðèìåð, Õ > 0, åñëè x < y < 0 < z; Y > 0, åñëè 0 < x < < y < z; Z > 0, åñëè x < 0 < y < z. Ïîñêîëüêó â ÷èñëèòåëÿõ ÷èñåë X, Y è Z ñòîÿò ðàçíîñòè èñõîäíûõ ÷èñåë õ, ó è z, çíàêè ÷èñëèòåëåé çàâèñÿò ëèøü îò âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ èñõîäíûõ ÷èñåë (ò.å. îò òîãî, â êàêîì ïîðÿäêå îíè ðàñïîëîæåíû íà ÷èñëîâîé îñè, à íå îò èõ çíàêîâ). Çíàìåíàòåëè æå, íàîáîðîò, çàâèñÿò îò çíàêîâ èñõîäíûõ ÷èñåë. Ïóñòü ñíà÷àëà õ < y < z. Ðàññìîòðèì 4 ñëó÷àÿ ðàñïîëîæåíèÿ íóëÿ îòíîñèòåëüíî ýòèõ ÷èñåë. Åñëè 0 < x < y < z, êîìáèíàöèÿ çíàêîâ ÷èñåë X, Y è Z òàêîâà: «– + –». Åñëè x < 0 < y < z, êîìáèíàöèÿ çíàêîâ ÷èñåë X, Y è Z «– – +».  ñëó÷àå õ < y < 0 < z èñêîìàÿ êîìáèíàöèÿ « + – – ». Íàêîíåö, åñëè õ < y < z < 0, èìååì, êàê è â ïåðâîì ñëó÷àå, «– + –». Àíàëîãè÷íî ðàññìàòðèâàþòñÿ è äðóãèå ñëó÷àè âçàèìíîãî ðàñïîëîæåíèÿ èñõîäíûõ ÷èñåë. 5. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â äåñÿòè÷íîé çàïèñè ÷èñëà N íåò öèôð 1, 2, 9. Ýòî çíà÷èò, ÷òî åãî ïåðâàÿ öèôðà ìîæåò áûòü ëþáîé ìåæäó 2 è 9, ò.å. èìååò ìåñòî äâîéíîå íåðàâåíñòâî 3 × 10n £ N < 9 × 10n , ãäå n – ÷èñëî äåñÿòè÷íûõ çíàêîâ ÷èñëà N. Óìíîæèâ ïî÷ëåííî ýòî íåðàâåíñòâî íà 3, ïîëó÷èì 9 × 10n £ 3N < 27 × 10n , îòêóäà âûòåêàåò, ÷òî ÷èñëî 3N íà÷èíàåòñÿ êàê ðàç ñ îäíîé èç «çàïðåùåííûõ» öèôð. 6. Ïóñòü Î – öåíòð îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â äàííûé òðåóãîëüíèê ÀÂÑ; ÎÌ, ÎÐ è OK – ðàäèóñû ýòîé îêðóæíîñòè, ïðîâåäåííûå â òî÷êè åå êàñàíèÿ ñî ñòîðîíàìè ÀÂ, ÀÑ è ÂÑ ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ.4). Çàìåòèì, ÷òî óãëû ìåæäó ýòèìè ðàäèóñàìè ëåãêî âûðàæàþòñÿ ÷åðåç óãëû èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà: ïîñêîëüêó ðàäèóñû, ïðîâåäåííûå â òî÷êè êàñàíèÿ, ïåðïåíäèêóëÿðíû êàñàòåëüíûì, à ñóììà âíóòðåííèõ óãëîâ ÷åòûðåõóãîëüíèêà ðàâíà 360° , òî ÐÌÎÐ = 180° - ÐBAC = 180° - α ; àíàëîãè÷íî, ÐMOK = 180° - β , ÐKOP = 180° - γ . Êàê èçâåñòíî, îòðåçîê ñòîðîíû òðåóãîëüíèêà îò âåðøèíû äî òî÷êè êàñàíèÿ ñî âïèñàííîé îêðóæíîñòüþ ðàâåí ðàçíîñòè ìåæäó åãî ïîëóïåðèìåòðîì ð è ñòîðîíîé, ïðîòèâîëåæàùåé ýòîìó óãëó. Ïîýòîìó ÀÌ = ð – à (ãäå à = ÂÑ), òîãäà A1M = A1 A + AM = a + p - a = p . Àíàëîãè÷íî ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî ðàññòîÿíèÿ îò âåðøèí B1 è C1 äî òî÷åê K è P ðàâíû ð. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî A1O = B1O = C1O , ò.å. Î – öåíòð îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà A1B1C1 , à åå ðàäèóñ – ãèïîòåíóçà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ êàòåòàìè ð è r (r – ðàäèóñ îêðóæíîñòè, âïèñàííîé â òðåóãîëüíèê ÀÂÑ).

Çàìåòèì, ÷òî óãëû B1OC1 è KOP èìåþò îáùóþ ÷àñòü – óãîë KOC1 – è äîïîëíÿþùèå åå ðàâíûå óãëû B1OK è C1OP (ýòî ðàâíûå óãëû ðàâíûõ òðåóãîëüíèêîâ B1OK è C1OP ), ïîýòîìó ýòè óãëû ðàâíû, ò.å. 180° - γ = ÐKOP = ÐB1OC1 . Òåïåðü èç ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà B1OC1 íàõîäèì 180° - ÐB1OC1 180° - 180° - γ  γ ÐOB1C1 = ÐOC1B1 = = = . 2 2 2 Àíàëîãè÷íî, èç ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà A1OC1 íàõîäèì ÐOA1C1 = ÐOC1 A1 =

α , 2

à èç òðåóãîëüíèêà A1OB1 – ÐOA1B1 = ÐOB1 A1 =

β . 2

α+β β+γ α+γ ; ÐB1 = ; ÐC1 = . 2 2 2 7. Äà, íàéäåòñÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ó÷åíîãî, ó êîòîðîãî ðîâíî îäèí äðóã, íà êîíãðåññå íåò. Ïóñòü íåêèé ó÷åíûé À èìååò ñàìîå áîëüøîå íà êîíãðåññå êîëè÷åñòâî äðóçåé n (åñëè òàêèõ íåñêîëüêî – ðàññìîòðèì ëþáîãî èç íèõ). Òîãäà ÷èñëî äðóçåé êàæäîãî èç åãî äðóçåé äîëæíî êîëåáàòüñÿ îò 2 äî n – 1 (÷èñëî n, ïî óñëîâèþ, âñòðåòèòüñÿ òàì íå ìîæåò, à ÷èñëî 1 âñòðåòèòüñÿ òàì íå äîëæíî ïî ïðåäïîëîæåíèþ). Íî òîãäà êàêîå-òî ÷èñëî îò 2 äî n – 1 äîëæíî ïîâòîðèòüñÿ, à ýòî òàêæå çàïðåùåíî óñëîâèåì. Ïîëó÷åíî ïðîòèâîðå÷èå.

Îêîí÷àòåëüíî: ÐA1 =

Ôèçèêà 1. v¥ » 6,5 êì ñ . 2. Êîìïðåññîð äîëæåí ðàáîòàòü ïðèìåðíî 1/6 ÷àñòü âðåìåíè öèêëà «ðàáîòà–ïàóçà». 3. Píà÷ » 1,2 êÂò . 4. I1 = I0 1 + ìàññà).

N 2e 3vΦ (çäåñü å – çàðÿä ýëåêòðîíà, m – åãî 2π2 R2mI0

PRT » 1,5 ì ñ (çäåñü Ì = 18 ã/ìîëü – ìîëÿðíàÿ rp0Μ S ìàññà âîäÿíîãî ïàðà). 6. v0 = 2 2gR (îïòèìàëüíàÿ òðàåêòîðèÿ êàñàåòñÿ ïîëóöèëèíäðà â äâóõ ñèììåòðè÷íûõ òî÷êàõ, ïîëîæåíèå êîòîðûõ îïðåäåëÿåòñÿ óãëîì 45° ñ âåðòèêàëüþ). æ Q2 L2 ö 1- 2÷ . 7. F = 2 ç R ø 32πε0 R è

5. v =

Óñòíûé êîìàíäíûé òóð Ìàòåìàòèêà 1. Âñåãî èìååòñÿ 7 çâåçäî÷åê, à íàéòè íàäî ïåðâóþ. Ïîñêîëüêó ñóììà òðåõ ïîñëåäíèõ ÷èñåë ðàâíà 15, à ïîñëåäíåå ðàâíî 7, òî ñóììà øåñòîé è ñåäüìîé çâåçäî÷åê ðàâíà 8, ïîýòîìó ïÿòàÿ ðàâíà 7 (âåäü ñóììà ïÿòîé, øåñòîé è ñåäüìîé çâåçäî÷åê òàêæå ðàâíà 15). Äàëüøå àíàëîãè÷íî: ñóììà òðåòüåé è ÷åòâåðòîé çâåçäî÷åê ðàâíà 8, ïîýòîìó âòîðàÿ ðàâíà 7. Ïîñêîëüêó ñóììà òðåõ ïåðâûõ ÷èñåë 15, ïåðâîå ðàâíî 1, à òðåòüå ðàâíî 7, âòîðîå ÷èñëî – ïåðâàÿ çâåçäî÷êà – ðàâíî 7. 2. Íå îáÿçàòåëüíî. Êîíòðïðèìåð: òðåóãîëüíèêè ÀÂÑ, BCD, ACD è ABD â ïðÿìîóãîëüíèêå ABCD. 3. Èç äàííîé ñèñòåìû ïîëó÷àåì: ìï y + z = 2 - x, í ïî yz = 1 - x 2 - x  .

Ðèñ. 4

Ïîýòîìó ó è z – êîðíè êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ t 2 - 2 - x  t +


ÎÒÂÅÒÛ,

ÓÊÀÇÀÍÈß,

+ 1 - x 2 - x  = 0 . Îãðàíè÷åíèÿ íà õ ïîëó÷èì èç óñëîâèÿ, ÷òî äèñêðèìèíàíò ýòîãî óðàâíåíèÿ íåîòðèöàòåëåí:

2 - x 2 - 4 1 - x 2 - x  ³ 0 Û 0 £ x £

4 . 3

4 Åñëè õ = 0, èç ñèñòåìû íàõîäèì, ÷òî y = z = 1; ïðè õ = èç 3 1 ñèñòåìû ïîëó÷àåì, ÷òî y = z = . 3 Îòñþäà íàèìåíüøåå çíà÷åíèå õ ðàâíî 0, íàèáîëüøåå ðàâíî 4/3. 4. Äëÿ ìèíóòíîé ñòðåëêè ñèòóàöèÿ ïîëíîñòüþ ñèììåòðè÷íà: ïðîìåæóòîê 10 – 11 ÷ äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæåí ïðîìåæóòêó 16–17 ÷, à â ñèëó ïîñòîÿíñòâà óãëîâûõ ñêîðîñòåé îáåèõ ñòðåëîê îíè áóäóò ïîä óãëîì 180° â ïåðâîì ñëó÷àå è ïîä óãëîì 0° âî âòîðîì ÷åðåç îäíî è òî æå êîëè÷åñòâî ìèíóò ïîñëå íàñòóïëåíèÿ î÷åðåäíîãî ÷àñà. Ïîýòîìó êîíôåðåíöèÿ äëèëàñü ðîâíî 6 ÷àñîâ. 5. Ñ ïîìîùüþ ìåíüøåé ñòîðîíû ïëàñòèíêè «îòðåæåì» ñ äâóõ êîíöîâ îò áîëüøåé ñòîðîíû ïðÿìîóãîëüíèêà êâàäðàòû ðàçìåðîì 19 ´ 19 . Îñòàíåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèê ðàçìåðîì 35 ´ 19 , äè-

àãîíàëü êîòîðîãî 352 + 192 < 73 , ïîýòîìó äëèííîé ñòîðîíû ïëàñòèíû õâàòèò, ÷òîáû íàéòè öåíòð ïîëó÷åííîãî ïðÿìîóãîëüíèêà, à îí ñîâïàäàåò ñ öåíòðîì èñõîäíîãî. 6. Çàìåòèì, ÷òî íàì âûãîäíî «óáèâàòü» ëàäüåé íàèáîëüøåå âîçìîæíîå êîëè÷åñòâî áåëûõ êëåòîê. Åñëè ñòàâèòü ëàäüþ íà áåëîå ïîëå, îíà óáèâàåò 7 áåëûõ êëåòîê (4 ïî ãîðèçîíòàëè è 3 ïî âåðòèêàëè), à åñëè íà ÷åðíîå – òî 8 áåëûõ êëåòîê (ïî 4 êëåòêè íà ãîðèçîíòàëè è âåðòèêàëè). Ïîýòîìó âûãîäíî ñòàâèòü ëàäüè íà ÷åðíûå êëåòêè. Òðåõ ëàäåé íåäîñòàòî÷íî – îíè ïðèêðîþò òîëüêî 24 áåëûå êëåòêè, à èõ âñåãî 32. Åñëè ïîñòàâèòü 4 ëàäüè íà ïîëÿ ïî ÷åðíîé äèàãîíàëè ÷åðåç îäíó êëåòêó, âñå áåëûå êëåòêè áóäóò ïåðåêðûòû. 7. Íå îáÿçàòåëüíî. Êîíòðïðèìåð: òðåóãîëüíèêè ñî ñòîðîíàìè 2, 4, 4 è 3, 3, 5. 8. à) Åñëè áû n áûëî íå÷åòíûì, òî, ïîñêîëüêó èç êàæäîé âåðøèíû ãðàôà, îïèñûâàþùåãî êîìïàíèþ, âûõîäèò íå÷åòíîå êîëè÷åñòâî ðåáåð, îáùåå êîëè÷åñòâî çíàêîìñòâ, ñ îäíîé ñòîðîíû, äîëæíî áûòü öåëûì ÷èñëîì, ñ äðóãîé ñòîðîíû, îíî ðàâíî ïîëîâèíå ïðîèçâåäåíèÿ äâóõ íå÷åòíûõ ÷èñåë – ïðîòèâîðå÷èå. á) Íåò. Êîíòðïðèìåð – íà ðèñóíêå 5.

$!

ÐÅØÅÍÈß

ìåíüøå 1, èìåþò ìåñòî íåðàâåíñòâà 3

Ïîýòîìó

2

æ aö æ aö çè ÷ø < çè ÷ø , c c 2

3

2

æ bö æ bö çè ÷ø < çè ÷ø . c c

2

æ aö æ bö 2 2 2 çè ÷ø + çè ÷ø > 1 Û a + b > c . c c Íî ýòî ñîîòíîøåíèå ñïðàâåäëèâî ëèøü äëÿ îñòðîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà (èç òåîðåìû êîñèíóñîâ äëÿ íàèáîëüøåé ñòîðîíû ñ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî êîñèíóñ ïðîòèâîëåæàùåãî åé óãëà ïîëîæèòåëåí – ýòîò óãîë, íàèáîëüøèé â òðåóãîëüíèêå, îñòðûé).

Ôèçèêà æ ρ ö 1. Vð = V ç1 - 2 ÷ = 20 ë . ρ1 ø è m 104 êã = » 13 ñì , ãäå h – âûñîòà 2. h » 2 πR ρ 3,14 × 25 ì2 × 103 êã ì 3 öèëèíäðè÷åñêîé ÿìû ñ ðàäèóñîì R, ðàâíûì ðàäèóñó âåðòîëåòà, à m – ìàññà âåðòîëåòà. 3. Ñèëà óìåíüøèòñÿ â n5 ðàç. 4. Âáëèçè ïîâåðõíîñòè Çåìëè âîçäóõ ïðîãðåâàåòñÿ ñèëüíåå âñåãî â ðàéîíå ýêâàòîðà. Âîñõîäÿùèå ïîòîêè âîçäóõà íà áîëüøåé âûñîòå ðàñòåêàþòñÿ â ìåðèäèàíàëüíîì íàïðàâëåíèè, ïîñòåïåííî îòäàâàÿ òåïëî (â îñíîâíîì çà ñ÷åò èçëó÷åíèÿ). Îõëàäèâøèéñÿ âîçäóõ îïóñêàåòñÿ ê ïîâåðõíîñòè Çåìëè â ðàéîíå 30° ñåâåðíîé è þæíîé øèðîò è äàëåå äâèæåòñÿ îáðàòíî ê ýêâàòîðó, îáðàçóÿ ñèñòåìó ïîñòîÿííî äóþùèõ âåòðî⠖ ïàññàòîâ. m 5. 60° . 6. a = g 2 = 15 ì ñ2 . 7. Q = νRT = 6,65 êÄæ . m1 Fh 8. L = . 9. m » 1 êã ; l » 2 ì . h - nF mg 10. T = ctg α = 25 H . 4

Èñòîðèÿ íàó÷íûõ èäåé è îòêðûòèé Ìàòåìàòèêà 1. à) Î÷åâèäíî, íåñîêðàòèìûõ äðîáåé ðîâíî ϕ  n  . á) Òàêèõ äðîáåé ϕ di  . â) Ïîñëå ðàññìîòðåíèÿ ïóíêòîâ à) è á) ýòî î÷åâèäíî. 2. Îáîçíà÷èì èñêîìóþ ñóììó 1 + 2x + 3x 2 + K + nx n -1 + K ÷åðåç S, à äàííóþ ñóììó à. Òîãäà

1 = 1 + x + x 2 + K + x n + K – ÷åðåç 1- x

S = a + x + 2x2 + 3x 3 + K +  n - 1 x n -1 + K =





2 = a + x 1 + 2x + 3x + K = a + Sx,

çíà÷èò, Ðèñ. 5

S=

9. Íåëüçÿ. Åñëè áû ðàçðåçàíèå áûëî âîçìîæíî, òî èç òîãî ÷òî ïëîùàäü èñõîäíîãî êâàäðàòà äîëæíà áûòü ðàâíà ñóììå ïëîùàäåé âñåõ ïðÿìîóãîëüíèêîâ ïîëó÷èëîñü áû óðàâíåíèå â öåëûõ ÷èñëàõ 10k + 27n = 196, ãäå k – êîëè÷åñòâî ïðÿìîóãîëüíèêîâ ðàçìåðîì 2 ´ 5 , à n – ÷èñëî ïðÿìîóãîëüíèêîâ 3 ´ 9 . Íàèìåíüøåå çíà÷åíèå n, ïðè êîòîðîì ëåâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ – ÷èñëî, çàêàí÷èâàþùååñÿ íà 6, ðàâíî 8, íî òîãäà ýòà ëåâàÿ ÷àñòü áîëüøå ÷åì 27 × 8 = 216 – áîëüøå ïðàâîé. 10. Î÷åâèäíî, ÷òî ñ – íàèáîëüøàÿ ñòîðîíà òðåóãîëüíèêà. Äàííîå ñîîòíîøåíèå ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå 3

3

æ aö æ bö çè ÷ø + çè ÷ø = 1 . c c Ïîñêîëüêó äðîáè, ñòîÿùèå â ëåâîé ÷àñòè ýòîãî ðàâåíñòâà,

1 a = . 1 - x 1 - x 2

3. Ïóñòü O1, O2, O3 – öåíòðû äàííûõ ðàâíûõ íåïåðåñåêàþùèõñÿ îêðóæíîñòåé ðàäèóñà r (÷åðíûå îêðóæíîñòè íà ðèñóíêå 6). Ïîñòðîèì îêðóæíî��òü (êðàñíóþ), îïèñàííóþ îêîëî òðåóãîëüíèêà O1O2O3 . Ïóñòü R – åå ðàäèóñ, Î – öåíòð. Òîãäà îêðóæíîñòè (ñèíèå) ðàäèóñîâ R – r è R + r ñ öåíòðîì â òî÷êå Î êîñíóòñÿ âñåõ äàííûõ îêðóæíîñòåé, äëÿ ïåðâîé äàííûå îêðóæíîñòè áóäóò ðàñïîëàãàòüñÿ âíå åå, à äëÿ âòîðîé – âíóòðè. Ðèñ. 6


$"

ÊÂÀÍT 2008/¹3

4. Ïóñòü à – àáñöèññà òî÷êè À (ðèñ.7). Òîãäà åå êîîðäèíàòû åñòü

a; a  . Êîîðäèíàòû òî÷êè Ì – ñå2

ðåäèíû îòðåçêà ÎÀ – ðàâíû ïîëóñóììàì êîîðäèíàò åãî êîíöîâ, ò.å. æ a a2 ö Ì = ç ; ÷ , à ó òî÷êè D òà æå è2 2 ø àáñöèññà è äðóãàÿ îðäèíàòà (îíà æ a a2 ö ëåæèò íà ïàðàáîëå): D = ç ; ÷ . è2 4 ø Äàííàÿ ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀΠðàâíà (ñ ó÷åòîì îòðèöàòåëüíîãî çíàêà ÷èñëà à) S=

Ðèñ. 7

1 a3  - a  × a2 = - . 2 2

Íàéäåì ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà AMD (çäåñü ÀÅ – âûñîòà, îïóùåííàÿ íà ñòîðîíó DM: SAMD =

a3 S 1 1 æ a2 a2 ö æ a ö DM × AE = ç - ÷ × ç- ÷ = = . 2 2è 2 4 ø è 2ø 16 8

5. Ïðîñòîå ÷èñëî (êðîìå ÷èñëà 2) íå÷åòíî, ïîýòîìó åãî ìîæíî ïðåäñòàâèòü ëèáî â âèäå 4n + 1, ëèáî â âèäå 4n + 3; âïðî÷åì, íàì íåñêîëüêî óäîáíåå çàïèñûâàòü òàêîå ÷èñëî â âèäå 4n – 1 (ýòà çàïèñü ïîëó÷àåòñÿ èç ïðåäûäóùåé çàìåíîé n íà (n – 1), ÷òî ïî ñóùåñòâó íè÷åãî íå ìåíÿåò. Äîêàæåì, ÷òî ñðåäè ÷èñåë âèäà 4n – 1 èìååòñÿ áåñêîíå÷íî ìíîãî ïðîñòûõ ÷èñåë (îòêóäà è áóäåò ñëåäîâàòü óòâåðæäåíèå çàäà÷è). Èäåÿ äîêàçàòåëüñòâà ïåðåêëèêàåòñÿ ñî çíàìåíèòûì äîêàçàòåëüñòâîì áåñêîíå÷íîñòè ìíîæåñòâà ïðîñòûõ ÷èñåë, äîøåäøèì ê íàì åùå èç «Íà÷àë» Åâêëèäà. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðîñòûõ ÷èñåë âèäà 4n – 1 ëèøü êîíå÷íîå ÷èñëî, è âûïèøåì èõ âñå â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ: p1; p2;K; pk , (òî, ÷òî òàêèå ÷èñëà âîîáùå ñóùåñòâóþò, âèäíî íà ïðèìåðå ÷èñåë 3, 7, 11 è ò.ä.). Ðàññìîòðèì ÷èñëî a = 4 p1 × p2 × K × pk - 1 è äîêàæåì, ÷òî ó íåãî èìååòñÿ ïðîñòîé äåëèòåëü òàêîãî æå âèäà, íå ñîâïàäàþùèé, åñòåñòâåííî, íè ñ îäíèì èç ÷èñåë p1,K , pk , – èíà÷å ÷èñëî à òîæå äåëèëîñü áû íà ýòî ïðîñòîå ÷èñëî, ÷åãî, êàê âèäíî èç çàïèñè ÷èñëà à, íåò. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè òàêîãî ïðîñòîãî äåëèòåëÿ ó ÷èñëà à íåò, òî âñå åãî íå÷åòíûå ïðîñòûå äåëèòåëè èìåþò âèä 4n + 1, íî òîãäà, êàê ëåãêî âèäåòü, è èõ ïðîèçâåäåíèå òîæå èìååò âèä 4n + 1, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò âèäó ÷èñëà à. Ôèçèêà 1. à) Àëüáåðò Ìàéêåëüñîí. á) Èçìåðåíèå ñêîðîñòè ñâåòà â ðàçëè÷íûõ íàïðàâëåíèÿõ ñ ïîìîùüþ èíòåðôåðåíöèîííîé êàðòèíû. â) Èíòåðôåðîìåòðû è äèôðàêöèîííûå ðåøåòêè. ã) Êàäìèé. ä) Áåòåëüãåéçå. 2. à) Àðèñòîòåëü; 384–322 äî í.ý.; äðåâíåãðå÷åñêèé ó÷åíûé. á) Ôèçèêà – ýòî íàóêà î ïðèðîäå. Àíòè÷íûå ó÷åíûå íå äîâåðÿëè ýêñïåðèìåíòó, ïðåäïî÷èòàÿ åìó ëîãè÷åñêèå çàêëþ÷åíèÿ. â) Àñòðîíîìèÿ, ìåòåîðîëîãèÿ, áèîëîãèÿ, ðèòîðèêà, ïîýòèêà è ò.ä. ã) Ëèêåé â Àôèíàõ. ä) Àëåêñàíäð Ìàêåäîíñêèé. å) Ãåîöåíòðè÷åñêàÿ Âñåëåííàÿ, îòðèöàíèå âàêóóìà è àòîìèçìà, çàâèñèìîñòü ñêîðîñòè ñâîáîäíî ïàäàþùåãî òåëà îò ìàññû. 3. Ìàíôðåä ôîí Àðäåííû. 4. Îáû÷íàÿ ìàòåðèÿ (4–5%), òåìíàÿ ìàòåðèÿ (23%) è òåìíàÿ ýíåðãèÿ (73%). 5. à)  ïðîöåññå ñâåðëåíèÿ ïóøå÷íûõ ñòâîëîâ íàãðåâàþòñÿ è ñâåðëî è ñòâîë, ò.å. òåïëîðîä ðîæäàåòñÿ èç íè÷åãî. á) Òåïëîåìêîñòü, ïîòîê òåïëà.

ÂÑÅÐÎÑÑÈÉÑÊÀß ÑÒÓÄÅÍ×ÅÑÊÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ ÏÎ ÔÈÇÈÊÅ 1. s =

v2h . gl

3. vx =



4. p = m 5. v =

2. A =



2 -1

gR .

 2g l + b - v; Q = mg 2l + b - kb2

5p . 7M

7. ∆F =

ö mv2 æ g2 R2 + 2 - 1÷ . 2 çè 2v4 ø

6. η = 1 -

3Q2r . 32πε0l 3

2

-

 M + m v2 2

.

p 5 , ãäå n = 1 . p2 3 + 2n ln n  n - 1

8. B = 1,26

mR . a2t

9. I =

I0 . 25

Èíôîðìàöèþ î æóðíàëå «Êâàíò» è íåêîòîðûå ìàòåðèàëû èç æóðíàëà ìîæíî íàéòè â ÈÍÒÅÐÍÅÒÅ ïî àäðåñàì: Ðåäàêöèÿ æóðíàëà «Êâàíò» kvant.info Ìîñêîâñêèé öåíòð íåïðåðûâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ kvant.mccme.ru Ìîñêîâñêèé äåòñêèé êëóá «Êîìïüþòåð» math.child.ru Êîñòðîìñêîé öåíòð äîïîëíèòåëüíîãî îáðàçîâàíèÿ «Ýâðèêà» ceemat.ru

©

ÍÎÌÅÐ ÏÎÄÃÎÒÎÂÈËÈ À.À.Åãîðîâ, À.Â.Æóêîâ, Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ, À.Þ.Êîòîâà, Â.À.Òèõîìèðîâà, À.È.×åðíîóöàí

ÍÎÌÅÐ ÎÔÎÐÌÈËÈ Ä.Í.Ãðèøóêîâà, À.Å.Ïàöõâåðèÿ, Â.Ì.Õëåáíèêîâà

ÕÓÄÎÆÅÑÒÂÅÍÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ Å.Â.Ìîðîçîâà

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÀß ÃÐÓÏÏÀ Å.À.Ìèò÷åíêî, Ë.Â.Êàëèíè÷åâà Æóðíàë «Êâàíò» çàðåãèñòðèðîâàí â Êîìèòåòå ÐÔ ïî ïå÷àòè. Ðåã. ñâ-âî ¹0110473 Àäðåñ ðåäàêöèè: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò» Òåë.: 930-56-48 Å-mail: admin@kvant.info, math@kvant.info, phys@kvant.info Îòïå÷àòàíî â ÎÀÎ îðäåíà Òðóäîâîãî Êðàñíîãî Çíàìåíè «×åõîâñêèé ïîëèãðàôè÷åñêèé êîìáèíàò» 142300 ã.×åõîâ Ìîñêîâñêîé îáëàñòè, Ñàéò: www.chpk.ru E-mail: marketing@chpk.ru Ôàêñ: 8(49672) 6-25-36, ôàêñ: 8(499) 270-73-00 Îòäåë ïðîäàæ óñëóã ìíîãîêàíàëüíûé: 8(499) 270-73-59



2008_03