Page 1

ÑÅÍÒßÁÐÜ ÎÊÒßÁÐÜ

ÍÀÓ×ÍÎ-ÏÎÏÓËßÐÍÛÉ

2007

©

Þ

¹5

ÔÈÇÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ

ÆÓÐÍÀË

ÈÇÄÀÅÒÑß Ñ ßÍÂÀÐß 1970 ÃÎÄÀ

 íîìåðå:

Ó÷ðåäèòåëè — Ïðåçèäèóì Ðîññèéñêîé àêàäåìèè íàóê, Ôîíä ïîääåðæêè ôóíäàìåíòàëüíîé íàóêè è îáðàçîâàíèÿ (Ôîíä Îñèïüÿíà), ÈÔÒÒ ÐÀÍ

 "

ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ

Ñ.Ñ.Êðîòîâ ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß

À.ß.Áåëîâ, Þ.Ì.Áðóê, À.À.Âàðëàìîâ, À.Í.Âèëåíêèí, Â.È.Ãîëóáåâ, Ñ.À.Ãîðäþíèí, Í.Ï.Äîëáèëèí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî ðåäàêòîðà), Â.Í.Äóáðîâñêèé, À.À.Åãîðîâ, À.Â.Æóêîâ, À.Ð.Çèëüáåðìàí, Â.Â.Êâåäåð (çàìåñòèòåëü ïðåäñåäàòåëÿ ðåäêîëëåãèè), Ï.À.Êîæåâíèêîâ, Â.Â.Êîçëîâ (çàìåñòèòåëü ïðåäñåäàòåëÿ ðåäêîëëåãèè), Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ, À.À.Ëåîíîâè÷, Þ.Ï.Ëûñîâ, Â.Â.Ïðîèçâîëîâ, Í.Õ.Ðîçîâ, À.Á.Ñîñèíñêèé, À.Ë.Ñòàñåíêî, Â.Ã.Ñóðäèí, Â.Ì.Òèõîìèðîâ, Â.À.Òèõîìèðîâà, Â.Ì.Óðîåâ, À.È.×åðíîóöàí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî

ðåäàêòîðà)

ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÛÉ ÑÎÂÅÒ

ÈÇ ÈÑÒÎÐÈÈ ÍÀÓÊÈ

&

Ïðîêîï Äèâèø è ßíîø Ñåãíåð. À.Âàñèëüåâ

' 

Çàäà÷è Ì2056–Ì2065, Ô2063–Ô2072 Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2036–Ì2040, Ô2048–Ô2057

ÏÐÅÄÑÅÄÀÒÅËÜ ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÎÉ ÊÎËËÅÃÈÈ

Þ.À.Îñèïüÿí

Ñîâðåìåííàÿ ìàòåìàòèêà, âîñõîäÿùàÿ ê Ýéëåðó. Â.Àðíîëüä Ñþðïðèçû çåëåíîãî ñòåêëà. Â.Ôàáðèêàíò Ïàðàäîêñ ñòîëà íà ÷åòûðåõ íîæêàõ. Ã.Ëþáàðñêèé

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»

Ê Ì Ø

' ! !

Çàäà÷è Êîíêóðñ èìåíè À.Ï.Ñàâèíà «Ìàòåìàòèêà 6–8» Òðè îðåøêà ïóòåøåñòâóþùåãî ìàòåìàòèêà. Í.Øèëîâ

!

Ðåàêòèâíîå äâèæåíèå

!# !$ !%

ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ»

ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ»

Ïðàêòè÷åñêàÿ çàäà÷à ïî ìåõàíèêå. Þ.Íîñîâ Êàê ìîëåêóëû ñòîëêíóëèñü. À.Ñòàñåíêî Êàê Ñòóäåíò ìàãíèòíîå ïîëå èçìåðÿë. À.Ñòàñåíêî

À.Â.Àíäæàíñ, Â.È.Àðíîëüä, Ì.È.Áàøìàêîâ, Â.È.Áåðíèê, Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, À.À.Áîðîâîé, Í.Í.Êîíñòàíòèíîâ, Ã.Ë.Êîòêèí, Ñ.Ï.Íîâèêîâ, Ë.Ä.Ôàääååâ

!'

Êâàíòîâûå ÷óäåñà (ïðîäîëæåíèå). Ì.Êàãàíîâ

ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß 1970 ÃÎÄÀ

" "#

Äâèæåíèå çàðÿäà â ìàãíèòíîì ïîëå. Â.Äðîçäîâ Èíâàðèàíòíîñòü è çàäà÷è ñ ïàðàìåòðàìè. Ã.Ôàëèí, À.Ôàëèí

"& # #$

XXXIII Âñåðîññèéñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå XLI Âñåðîññèéñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå XIII Âñåðîññèéñêàÿ çàî÷íàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ

#&

Îòâåòû, óêàçàíèÿ, ðåøåíèÿ

ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ

È.Ê.Êèêîèí ÏÅÐÂÛÉ ÇÀÌÅÑÒÈÒÅËÜ ÃËÀÂÍÎÃÎ ÐÅÄÀÊÒÎÐÀ

À.Í.Êîëìîãîðîâ Ë.À.Àðöèìîâè÷, Ì.È.Áàøìàêîâ, Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, È.Í.Áðîíøòåéí, Í.Á.Âàñèëüåâ, È.Ô.Ãèíçáóðã, Â.Ã.Çóáîâ, Ï.Ë.Êàïèöà, Â.À.Êèðèëëèí, Ã.È.Êîñîóðîâ, Â.À.Ëåøêîâöåâ, Â.Ï.Ëèøåâñêèé, À.È. Ìàðêóøåâè÷, Ì.Ä.Ìèëëèîíùèêîâ, Í.À.Ïàòðèêååâà, Í.Õ.Ðîçîâ, À.Ï.Ñàâèí,È.Ø.Ñëîáîäåöêèé, Ì.Ë.Ñìîëÿíñêèé, ß.À.Ñìîðîäèíñêèé, Â.À.Ôàáðèêàíò, ß.Å.Øíàéäåð

ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ

ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ

ÎËÈÌÏÈÀÄÛ

Âíèìàíèþ íàøèõ ÷èòàòåëåé (9, 28)

ÍÀ ÎÁËÎÆÊÅ Áþðî

Êâàíòóì

© 2007, Ïðåçèäèóì ÐÀÍ, Ôîíä Îñèïüÿíà, «Êâàíò»

I II III IV

Èëëþñòðàöèÿ ê ñòàòüå Â.Àðíîëüäà Êîëëåêöèÿ ãîëîâîëîìîê Øàõìàòíàÿ ñòðàíè÷êà Ôèçèêè è ìàòåìàòèêè íà ìîíåòàõ ìèðà


12 èþíÿ 2007 ãîäà âûäàþùåìóñÿ ìàòåìàòèêó ñîâðåìåííîñòè àêàäåìèêó Âëàäèìèðó Èãîðåâè÷ó Àðíîëüäó èñïîëíèëîñü 70 ëåò. Íà ïðîòÿæåíèè ìíîãèõ ëåò Â.È.Àðíîëüä ÿâëÿåòñÿ ÷ëåíîì ðåäàêöèîííîãî ñîâåòà æóðíàëà «Êâàíò». Îí íàïèñàë äëÿ íàøåãî æóðíàëà ìíîãî ÿðêèõ, èíòåðåñíûõ ñòàòåé. Ìû æåëàåì Âëàäèìèðó Èãîðåâè÷ó êðåïêîãî çäîðîâüÿ è íîâûõ äîñòèæåíèé âî èìÿ íàóêè.

Ñîâðåìåííàÿ ìàòåìàòèêà, âîñõîäÿùàÿ ê Ýéëåðó Â.ÀÐÍÎËÜÄ §1. Äçåòà-ôóíêöèÿ Ýéëåðà è ìàëàÿ òåîðåìà Ôåðìà Äðîáè áûâàþò ñîêðàòèìûå è íåñîêðàòèìûå. Ñîïîñòàâèì äðîáè p/q òî÷êó r íà ïëîñêîñòè ñ äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè ( p, q) . Åñëè äðîáü ñîêðàòèìà, òî ýòà öåëàÿ òî÷êà äåëèìà: íà îòðåçêå, ñîåäèíÿþùåì r ñ íà÷àëîì êîîðäèíàò, åñòü è äðóãèå öåëûå òî÷êè. Íàðèñóåì âñå íåäåëèìûå öåëûå òî÷êè â êðóãå p2 + q2 £ 52 (ðèñ.1; íà÷àëî êîîðäèíàò áóäåì ñ÷èòàòü äåëèìîé òî÷êîé, òàê êàê íîëü äåëèòñÿ íàöåëî íà ÷òî óãîäíî). Íåäåëèìûõ òî÷åê â ýòîì êðóãå 48, à âñåãî â íåì 81 öåëàÿ òî÷êà. Íåäåëèìûå òî÷êè ñîñòàâëÿþò 48 81 » 59% îò ÷èñëà âñåõ öåëûõ òî÷åê â ýòîì êðóãå. Ýéëåð çàäàë ñåáå âîïðîñ: à ÷òî áóäåò, åñëè óâåëè÷èâàòü ðàäèóñ êðóÐèñ.1. Íåäåëèìûå öåëûå òî÷êè â ãà? Áóäåò ëè äîëÿ íåäåêðóãå ðàäèóñà 5 ëèìûõ öåëûõ òî÷åê ñòðåìèòüñÿ ïðè ýòîì ê êàêîìó-íèáóäü ïðåäåëó, è ê êàêîìó èìåííî? Îí ðåøèë ýòîò âîïðîñ, äîêàçàâ ñëåäóþùåå: Òåîðåìà Ýéëåðà 1. Äîëÿ íåäåëèìûõ öåëûõ òî÷åê ñðåäè âñåõ öåëûõ òî÷åê êðóãà p2 + q2 £ R2 ñòðåìèòñÿ ïðè R ® ¥ ê ïðåäåëó, êîòîðûé ðàâåí 6 (1) » 0,608 K π2 Ýòîò ïðåäåë Ýéëåð âûðàçèë åùå îäíîé çàìå÷àòåëüíîé ôîðìóëîé: π2 1 1 1 = 1+ + + +K (2) 6 4 9 16 Çàìåòüòå, ÷òî π2 6 » 1,64 , òàê ÷òî ñóììà ïåðâûõ äâóõ

÷ëåíîâ (1,25) åùå äàëåêà îò ñóììû ýòîãî íå òàê óæ áûñòðî ñõîäÿùåãîñÿ ðÿäà. Îïðåäåëåíèå. Ñóììà ðÿäà (ñõîäÿùåãîñÿ ïðè s > 1) 1 1 1 + s + s + K = ζ ( s) (3) s 1 2 3 íàçûâàåòñÿ çíà÷åíèåì â òî÷êå s äçåòà-ôóíêöèè ζ . Òàêèì îáðàçîì, òåîðåìà Ýéëåðà âûðàæàåò ïðåäåëüíóþ äîëþ íåäåëèìûõ öåëûõ òî÷åê ïëîñêîñòè Å2 (íàçûâàåìóþ òàêæå «âåðîÿòíîñòüþ íåñîêðàòèìîñòè äðîáè p q ») ôîðìóëîé 1 2 (4) (âåðîÿòíîñòü íåäåëèìîñòè âåêòîðà H Î Å ) = . ζ 2 Åãî äîêàçàòåëüñòâî äîñòàâëÿåò òàêæå è àíàëîãè÷íûé ðåçóëüòàò î öåëûõ òî÷êàõ s-ìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà Å s : 1 (5) (âåðîÿòíîñòü íåäåëèìîñòè âåêòîðà H Î Å s ) = . ζ  s Íàïðèìåð, ýòà âåðîÿòíîñòü óáûâàåò ïðè ðîñòå ðàçìåðíîñòè s. Äîêàçàòåëüñòâî ïðèâåäåííûé âûøå òåîðåìû Ýéëåðà (è ôîðìóë (2), (4), (5)) ñîäåðæèò ðÿä çàìå÷àòåëüíûõ èäåé Ýéëåðà, êîòîðûå ïðèâåëè ê ñîçäàíèþ öåëûõ îáëàñòåé ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêè – âåðîÿòíîñòíîé òåîðèè ÷èñåë, òåîðèè ãðàäóèðîâàííûõ àëãåáð ñ èõ ðÿäàìè Ïóàíêàðå, «ãåîìåòðèè ÷èñåë» è ò.ä. Íî Ýéëåð íà÷èíàë ñ ñîâåðøåííî ïîíÿòíûõ è ýëåìåíòàðíûõ ðàññóæäåíèé, êîòîðûå ÿ ñåé÷àñ è îïèøó. Ëåììà 1. Öåëî÷èñëåííûé âåêòîð ÿâëÿåòñÿ äåëèìûì, åñëè è òîëüêî åñëè ñóùåñòâóåò ïðîñòîå ÷èñëî ð, íà êîòîðîå äåëèòñÿ êàæäàÿ åãî êîìïîíåíòà. Äîêàçàòåëüñòâî. Äåëèìîñòü íà ïðîèçâåäåíèå ïðîñòûõ ìíîæèòåëåé âûçûâàåò äåëèìîñòü íà êàæäûé èç íèõ. Ïîýòîìó ëåììà 1 âûòåêàåò èç ðàçëîæèìîñòè êàæäîãî (áîëüøåãî 1) öåëîãî ÷èñëà íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè. Ëåììà 2. Âåðîÿòíîñòü äåëèìîñòè öåëî÷èñëåííîãî âåêòîðà H Î Å2 íà 2 ðàâíà 1/4.


ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÀß

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ.

Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äåëèìîñòè âåêòîðà ñ êîìïîíåíòàìè u è v íà 2 íåîáõîäèìà è äîñòàòî÷íà äåëèìîñòü íà 2 êàê öåëîãî ÷èñëà u, òàê è öåëîãî ÷èñëà v. Êàæäîå èç ýòèõ ñîáûòèé èìååò âåðîÿòíîñòü 1/2, è îíè íåçàâèñèìû. Ïîýòîìó äåëÿùèåñÿ íà 2 öåëî÷èñëåííûå âåêòîðû ñîñòàâëÿþò 25% âñåõ öåëî÷èñëåííûõ âåêòîðîâ ïëîñêîñòè. Ëåììà 3. Âåðîÿòíîñòü äåëèìîñòè öåëî÷èñëåííîãî âåêòîðà H Î Å s íà ð ðàâíà 1 p s . Äîêàçàòåëüñòâî. Âåðîÿòíîñòü äåëèìîñòè öåëîãî ÷èñëà u íà ð ðàâíà 1/ð (òàê êàê àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ ñ ðàçíîñòüþ ð ñîñòàâëÿåò ïðè áîëüøîì R ïî÷òè (1/ð)-þ ÷àñòü îòðåçêà u £ R ). Òàê êàê s êîìïîíåíò ( u1,K, us ) âåêòîðà H íåçàâèñèìû, âåðîÿòíîñòü äåëèìîñòè âåêòîðà íà ð ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòåé s äåëèìîñòè íà ð âñåõ s åãî êîìïîíåíò, ò.å. ðàâíà (1 p) . Ëåììà 4. Âåðîÿòíîñòü íåäåëèìîñòè âåêòîðà H Î Å s 1 íà ð ðàâíà 1 - s . p Äîêàçàòåëüñòâî. Âåêòîð H ëèáî äåëèòñÿ íà ð, ëèáî íå äåëèòñÿ. Çíàÿ âåðîÿòíîñòü äåëèìîñòè èç ëåììû 3, ïîëó÷àåì äëÿ íåäåëèìîñòè äîïîëíÿþùóþ äî 1 âåðîÿòíîñòü. Ëåììà 5. Äåëèìîñòè íà ðàçíûå ïðîñòûå ÷èñëà – ñîáûòèÿ íåçàâèñèìûå. Íàïðèìåð, äîëÿ äåëÿùèõñÿ íà 3 öåëûõ ÷èñåë ñðåäè âñåõ ÷åòíûõ ÷èñåë òàêàÿ æå, êàê è ñðåäè âñåõ öåëûõ ÷èñåë (èëè ñðåäè âñåõ íå÷åòíûõ ÷èñåë), – îíà ñîñòàâëÿåò 1/3. Ýòî âèäíî èç òîãî, ÷òî ñðåäè p2 îñòàòêîâ (1p1 ) K ( p2 p1 ) îò äåëåíèÿ íà ïðîñòîå ÷èñëî p2 âñòðå÷àþòñÿ ïî ðàçó âñå îñòàòêè ( 1,K, p2 ) (êàêîâî áû íè áûëî ïðîñòîå ÷èñëî p1 ). Èáî, åñëè áû ÷èñëà ip1 è jp1 (ãäå 1 £ i < j £ p2 ) äàâàëè ïðè äåëåíèè íà p2 îäèíàêîâûå îñòàòêè, òî ðàçíîñòü ( j - i) p1 äåëèëàñü áû íà p2 , ÷òî ïðè 0 < j - i < p2 íåâîçìîæíî. Ëåììà 6. Âåðîÿòíîñòü íåäåëèìîñòè öåëî÷èñëåííîãî âåêòîðà H Î Å s ( s > 1) íà ïðîñòûå ÷èñëà 2, 3, … ..., ð ðàâíà 1öæ 1ö æ 1ö æ çè1 - s ÷ø çè1 - s ÷ø K ç1 - s ÷ . 2 3 p ø è Äîêàçàòåëüñòâî. Âåðîÿòíîñòü îäíîâðåìåííîãî íàñòóïëåíèÿ íåçàâèñèìûõ ñîáûòèé ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ âåðîÿòíîñòåé íàñòóïëåíèÿ êàæäîãî èç íèõ. Ïîýòîìó ëåììà 6 âûòåêàåò èç ëåìì 4 è 5. Ëåììà 7. Âåðîÿòíîñòü íåäåëèìîñòè öåëî÷èñëåííîãî âåêòîðà H Î Å s (s > 1) íè íà êàêîå öåëîå ÷èñëî ðàâíà áåñêîíå÷íîìó ïðîèçâåäåíèþ ïî âñåì ïðîñòûì ÷èñëàì ð éæ æ 1ö 1 öæ 1ö æ 1 öù (6) Õ ç1 - s ÷ : = lim ê ç1 - s ÷ ç1 - s ÷ K ç1 - s ÷ ú . è ø p ®¥ ê p ø 2 è 3 ø è p ø úû p è ë Ýòî – ïðÿìîå ñëåäñòâèå ëåìì 1 è 6, íóæíî òîëüêî ïðîâåðèòü, ÷òî óêàçàííûé â ôîðìóëå (6) ïðåäåë ñóùåñòâóåò (ïðè s > 1). Ýòà ñõîäèìîñòü ëåãêî âûâîäèòñÿ èç ñõîäèìîñòè ïðè n > 1 ðÿäà 1 1s

+

1 2s

+

1 3s

+

1 4s

+K

ÂÎÑÕÎÄßÙÀß

Ê ¥

!

ÝÉËÅÐÓ

1 ). -1 s 1 Äåòàëè äîêàçàòåëüñòâà ëåììû 7 ÿ îñòàâëÿþ ÷èòàòåëþ. Ïðèâåäåííûå ëåììû Ýéëåðà äîñòàâëÿþò äëÿ âåðîÿòíîñòè íåñîêðàòèìîñòè âûðàæåíèå (6). Ýéëåð ñóìåë ïîëó÷èòü äëÿ íåãî è ôîðìóëû (1), (2), (4), (5). Ýòîò âûâîä îñíîâàí íà ñîâåðøåííî äðóãèõ èäåÿõ Ýéëåðà (êîòîðûå âêëþ÷åíû â ñîâðåìåííóþ ìàòåìàòèêó ïîä íàçâàíèåì «òåîðèè ðÿäîâ Ïóàíêàðå ãðàäóèðîâàííûõ àëãåáð»). Íà÷íåì ñî ñëåäóþùèõ ýëåìåíòàðíûõ çàìå÷àíèé, ïîìåùåííûõ Ýéëåðîì â åãî çàìå÷àòåëüíîì ó÷åáíèêå «Ââåäåíèå â àíàëèç» (ñîäåðæàùåì åñòåñòâåííî ïðåäøåñòâóþùèå àíàëèçó ïîëîæåíèÿ, êîòîðûå, ê ñîæàëåíèþ, â ñîâðåìåííûõ èçëîæåíèÿõ àíàëèçà îáû÷íî îòñóòñòâóþò). m m Ñòåïåíüþ îäíî÷ëåíà x1 1 x2 2 K xsms îò s ïåðåìåííûõ ( x1,K, xs ) íàçûâàåòñÿ öåëîå ÷èñëî m = m1 + K + ms . Íàïðèìåð, ïðè s = 2 èìååòñÿ 4 îäíî÷ëåíà ñòåïåíè 3 (ñ êîýôôèöèåíòîì åäèíèöà):

(èëè äàæå èíòåãðàëà

dx

ò xs

=

{x , x y, xy , y } 3

2

2

3

(åñëè îáîçíà÷àòü x1 ÷åðåç õ è x2 ÷åðåç ó). Ýéëåð ïîñòàâèë âîïðîñ: ñêîëüêî ñóùåñòâóåò îäíî÷ëåíîâ (ñ êîýôôèöèåíòîì åäèíèöà) ñòåïåíè m îò s ïåðåìåííûõ? Ýòà çàäà÷à ýëåìåíòàðíîé êîìáèíàòîðèêè äîïóñêàåò ïðîñòîå êîìáèíàòîðíîå ðåøåíèå, íî Ýéëåð ïðèäóìàë åùå è äðóãîå ðàññóæäåíèå, äîñòàâëÿþùåå ãîðàçäî áîëüøå ñëåäñòâèé.

(

)

Íà÷íåì ñ îäíî÷ëåíîâ 1, x, x2 , x 3 , K îò îäíîé ïåðåìåííîé õ.  ýòîì ñëó÷àå èìååòñÿ ðîâíî îäèí (ñ÷èòàÿ êîýôôèöèåíò îäíî÷ëåíà ðàâíûì 1) îäíî÷ëåí ëþáîé ñòåïåíè m = 0, 1, 2, … ×òîáû çàïèñàòü îòâåò: «÷èñëî (êàêèõ-ëèáî îáúåêòîâ, çàâèñÿùèõ îò íàòóðàëüíîãî ÷èñëà m) ðîâíî pm », Ýéëåð èñïîëüçóåò «ïðîèçâîäÿùóþ ôóíêöèþ» (ñåãîäíÿ íàçûâàåìóþ «ðÿäîì Ïóàíêàðå», ïî ñëåäîâàâøåìó çà Ýéëåðîì âåëèêîìó ôðàíöóçñêîìó ìàòåìàòèêó): (7)

P (t ) = p0 + p1t + p2t2 + K

 ýòèõ òåðìèíàõ ïðåäûäóùèé îòâåò íà âîïðîñ î ÷èñëå îäíî÷ëåíîâ îò îäíîé ïåðåìåííîé çàïèñûâàåòñÿ òàê: Ïðåäëîæåíèå 1. Ðÿä Ïóàíêàðå ãðàäóèðîâàííîé ñòåïåíüþ àëãåáðû ìíîãî÷ëåíîâ îò îäíîé ïåðåìåííîé åñòü ðàöèîíàëüíàÿ ôóíêöèÿ (8)

P t  = 1 + t + t2 + K =

1 . 1-t

×òîáû âûâåñòè îòñþäà ôîðìóëó äëÿ ÷èñëà ìíîãî÷ëåíîâ îò äâóõ ïåðåìåííûõ, Ýéëåð ïðåäëîæèë ïåðåìíîæèòü äâà ðÿäà âèäà (8):

(

)(

)

2 2 (9) P ( x ) P ( y) = 1 + x + x + K 1 + y + y + K =

(

)

2 = 1 + ( x + y) + x + xy + y + K 2

 ñòîÿùåì â ïðàâîé ÷àñòè ôîðìóëû (9) ðÿäó êàæäûé


"

ÊÂÀÍT 2007/¹5

îäíî÷ëåí (ñ êîýôôèöèåíòîì 1) îò ïåðåìåííûõ õ è ó âñòðå÷àåòñÿ ðîâíî îäíàæäû. Ïîýòîìó, åñëè çàìåíèòü àðãóìåíòû õ è ó íà t, â ïðàâîé ÷àñòè ïîëó÷èòñÿ ðÿä, â êîòîðîì êîýôôèöèåíò ïðè t m áóäåò ðàâåí ÷èñëó Pn îäíî÷ëåíîâ ñòåïåíè m (ñ ðàâíûìè 1 êîýôôèöèåíòàìè) îò ïåðåìåííûõ õ è ó. Òàêèì îáðàçîì, ìû ïîëó÷àåì èç ôîðìóë (8) è (9) äëÿ ðÿäà Ïóàíêàðå ãðàäóèðîâàííîé ñòåïåíüþ àëãåáðû ìíîãî÷ëåíîâ îò äâóõ ïåðåìåííûõ 2 P0 + Pt 1 + P2t + K

1

(1 - t)2

P t  =

s

.

1 - t  ßâíîå âûðàæåíèå äëÿ ÷èñåë Pm (â âèäå ÷èñåë ñî÷åòàíèé) ïîëó÷àåòñÿ îòñþäà ïî ôîðìóëå áèíîìà Íüþòîíà (ñ ïîêàçàòåëåì –n). Âäîõíîâëÿÿñü ýòèìè ðåçóëüòàòàìè àáñòðàêòíîé àëãåáðû, Ýéëåð ïðåîáðàçîâàë äîêàçàííóþ èì ôîðìóëó (6) (ëåììû 7)) ñëåäóþùèì îáðàçîì. Çàìåíèì ìíîæèæ 1ö òåëü ç 1 - s ÷ íà îáðàòíûé ìíîæèòåëü p ø è æ 1ö ç1 - s ÷ p ø è

-1

= 1+

1 p

s

+

1 p

2s

+

1 p3 s

+K

Ïðè (ôîðìàëüíîì) ïåðåìíîæåíèè òàêèõ ðÿäîâ, ñîîòâåòñòâóþùèõ âñåì ïðîñòûì ÷èñëàì ð, ìû ïîëó÷èì ðÿä, îáùèé ÷ëåí êîòîðîãî èìååò âèä 1 1 1 1 × × × K = s , ãäå n = 2a2 × 3a3 × 5a5 × K n 2a2 s 3a3 s 5a5 s Òåì ñàìûì äîêàçàíà (äëÿ ôîðìàëüíûõ ðÿäîâ, ïî ïðîâåðêå ñõîäèìîñòè ïðè s > 1 íåñëîæíàÿ) çàìå÷àòåëüíàÿ ôîðìóëà Ýéëåðà äëÿ ζ -ôóíêöèè: Òåîðåìà Ýéëåðà 2. Ñëåäóþùåå ïðîèçâåäåíèå ïî ïðîñòûì ð ðàâíî (ïðè s > 1) ñëåäóþùåé ñóììå ïî íàòóðàëüíûì n 1 =å s := ζ  s . 1 p³2 1 n ³1 n ps Òàê Ýéëåð ïîëó÷èë ôîðìóëû (4) è (5). Âû÷èñëåíèå çíà÷åíèé ζ -ôóíêöèè ïðè ôèêñèðîâàííîì çíà÷åíèè àðãóìåíòà s íå ïðîñòî, íî çíà÷åíèå ζ (2) = π2 6 Ýéëåð óìåë ïîëó÷àòü ðàçíûìè ñïîñîáàìè. «Ïèëà» f çàäàåòñÿ êàê 2π - ï å ð è î ä è ÷ å ñ ê à ÿ ôóíêöèÿ àðãóìåíòà t, π ðàâíàÿ t ïðè 2 t £ π (ðèñ.2). Èùåì Ðèñ.2. «Ïèëà» f

Õ

1

¥

å ak cos (kt) ,

k =1

ïðè ÷åòíûõ k ïîëó÷àåì ak = 0 , à ïðè íå÷åòíûõ – æ 4ö 1 ak = ç - ÷ 2 . Âû÷èñëÿÿ f (0) ïðè ïîìîùè (ñõîäÿùåè πø k ãîñÿ) ðÿäà Ôóðüå, ìû íàõîäèì π 4 ¥ 1 = f 0  = - å , 2 π m = 0 2m + 12

òàê ÷òî ñóììà îáðàòíûõ êâàäðàòîâ íå÷åòíûõ ÷èñåë åñòü

.

Ñîâåðøåííî òàê æå Ýéëåð äîêàçàë ñëåäóùåå: Ïðåäëîæåíèå 2. Ðÿä Ïóàíêàðå ãðàäóèðîâàííîé ñòåïåíüþ àëãåáðû ìíîãî÷ëåíîâ îò s ïåðåìåííûõ ÿâëÿåòñÿ ðàöèîíàëüíîé ôóíêöèåé 1

f (t ) =

-

âûðàæåíèå P (t ) =

ðàçëîæåíèå â ðÿä Ôóðüå

¥

A=

å

m =0

1

(2m + 1)

2

=

π2 . 8

Ââîäÿ îáîçíà÷åíèå  äëÿ

ζ (2) =

¥

å

1

m =0

(2m + 1)

2

+

¥

1

m =1

(2m)2

å

,

π2 4 ìû ïîëó÷àåì B = A + B/4, îòêóäà ζ (2) = B = A = , 3 6 ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó Ýéëåðà 2. Çàìå÷àíèå: î ðàâíîìåðíîì ðàñïðåäåëåíèè íåäåëèìûõ òî÷åê

ß ïðåäïîëàãàþ, ÷òî ðàñïðåäåëåíèå íåäåëèìûõ öåëûõ òî÷åê íà ïëîñêîñòè îáëàäàåò íåêîòîðîé àñèìïòîòè÷åñêîé ðàâíîìåðíîñòüþ (ðåçêî îòëè÷àþùåé åãî îò, íàïðèìåð, íàáîðà öåëûõ òî÷åê ïîëóïëîñêîñòè, ñîñòàâëÿþùåãî ïîëîâèíó ìíîæåñòâà âñåõ öåëûõ òî÷åê ïëîñêîñòè, íî ðàñïðåäåëåííóþ íåðàâíîìåðíî). ×òîáû îïðåäåëèòü ýòó ðàâíîìåðíîñòü ðàñïðåäåëåíèÿ, íà÷íåì, íàïðèìåð, ñ (ëþáîé) ãëàäêîé ôóíêöèè h : Å2 ® Å , ðàâíîé íóëþ âñþäó âíå íåêîòîðîãî êðóãà. Ðàñòÿãèâàÿ ôóíêöèþ h â K ðàç, îïðåäåëèì íîâóþ ôóíêöèþ H : Å2 ® Å ñîîòíîøåíèåì H H0 + H  = = h H K  äëÿ âñÿêîãî H Î Å2 (ãäå H0 – íåêîòîðûé ôèêñèðîâàííûé âåêòîð). Ñðàâíèì òåïåðü ñóììó çíà÷åíèé ðàñòÿíóòîé ôóíêöèè Í âî âñåõ öåëûõ òî÷êàõ ïëîñêîñòè, îáîçíà÷èì ýòó ñóììó ÷åðåç SH, è ñóììó çíà÷åíèé òîé æå ðàñòÿíóòîé ôóíêöèè Í âî âñåõ íåäåëèìûõ öåëûõ òî÷êàõ ïëîñêîñòè, îáîçíà÷èì ýòó ñóììó ÷åðåç ΣH . Ñâîéñòâî ðàâíîìåðíîé ðàñïðåäåëåííîñòè ñîñòîèò â òîì, ÷òî ïðè áîëüøèõ K âòîðàÿ ñóììà ñîñòàâëÿåò ïðèáëèçèòåëüíî òàêóþ äîëþ ïåðâîé, êàêóþ äîëþ ñîñòàâëÿþò èçó÷àåìûå (íåäåëèìûå) òî÷êè ñðåäè âñåõ öåëûõ òî÷åê, λ = 6 π2 = 1 ζ  2 : ΣH =λ SH (ïðè ëþáîì âåêòîðå H0 , ñäâèãàâøåì ôóíêöèþ Í). Åñëè áû ñóììèðîâàíèå â Σ ïðîèñõîäèëî íå ïî ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåííûì íà ïëîñêîñòè íåäåëèìûì òî÷êàì, à, íàïðèìåð, ïî öåëûì òî÷êàì ïîëóïëîñêîñòè, òî ôóíêöèè h è Í ìîãëè áû áûòü òîæäåñòâåííî ðàâíûìè 0 â ýòîé ïîëóïëîñêîñòè. Òîãäà ( ΣH ) ( SH ) = 0 , lim

K ®¥


ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÀß

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ.

õîòÿ öåëûå òî÷êè ïîëóïëîñêîñòè ñîñòàâëÿþò äîëþ λ = 1 2 îò âñåõ öåëûõ òî÷åê ïëîñêîñòè, òàê ÷òî öåëûå òî÷êè ïîëóïëîñêîñòè ðàñïðåäåëåíû ñðåäè âñåõ öåëûõ òî÷åê ïëîñêîñòè íåðàâíîìåðíî. Òðàäèöèÿ ïðèïèñûâàåò èçîáðåòåíèå äçåòà-ôóíêöèè Ðèìàíó, æèâøåìó íà ñîòíþ ëåò ïîçæå îïèñàííîé âûøå ðàáîòû Ýéëåðà. Ôóðüå òîæå æèë ìíîãî ïîçæå Ýéëåðà (íî åãî ðÿäû èñïîëüçîâàëèñü çàäîëãî äî íåãî è Ýéëåðîì, è Ëàãðàíæåì, è äàæå Íüþòîíîì). Íüþòîí ñ÷èòàë èçîáðåòåíèå ìåòîäà «ïàðàëëåëîãðàììà Íüþòîíà» (äîñòàâëÿþùåãî ñâîåîáðàçíûé âàðèàíò òåîðèè ïðåîáðàçîâàíèÿ Ôóðüå, ðÿäîâ Ëîðàíà è ðÿäîâ Ïþèçî) ñâîèì ñàìûì âàæíûì âêëàäîì â ìàòåìàòèêó, ïîçâîëÿþùèì ðåøàòü âñåâîçìîæíûå óðàâíåíèÿ: àëãåáðàè÷åñêèå è ôóíêöèîíàëüíûå, äèôôåðåíöèàëüíûå è èíòåãðàëüíûå, îáûêíîâåííûå è â ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.  ñîâðåìåííîì óíèâåðñèòåòñêîì îáðàçîâàíèè âñå ýòè âàæíåéøèå òåîðèè îáû÷íî íå óïîìèíàþòñÿ, è äàæå ðàáîòà Ýéëåðà î äçåòà-ôóíêöèè íåçàñëóæåííî çàáûòà. Ñäåëàííûé Ýéëåðîì ïîäñ÷åò âåðîÿòíîñòè íåñîêðàòèìîñòè äðîáåé äîñòàâëÿåò òàêæå àñèìïòîòèêó çàìå÷àòåëüíîé ôóíêöèè Ýéëåðà ϕ íàòóðàëüíîãî àðãóìåíòà n:

Îïðåäåëÿåòñÿ çíà÷åíèå ϕ ( n) òàê: îíî ðàâíî ÷èñëó òåõ èç îñòàòêîâ {1, 2, …, n} îò äåëåíèÿ íà n, êàæäûé èç êîòîðûõ âçàèìíî ïðîñò ñ n (òàê ÷òî åãî íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü ñ n ðàâåí 1). Ïðèìåð. ×åòûðå âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n = 12 îñòàòêà îò äåëåíèÿ íà 12 – ýòî {1, 5, 7, 11}. Äëÿ ïðîñòîãî ÷èñëà, n = p, èìååì, î÷åâèäíî, ϕ ( p) = p - 1 .

ÂÎÑÕÎÄßÙÀß

Ê

#

ÝÉËÅÐÓ

åñòü  n ϕ 6 1 = 2 = » 0,608 K n ®¥ n ζ  2 π Ýòîò ðåçóëüòàò âûòåêàåò èç äîêàçàííîé âûøå òåîðåìû Ýéëåðà 1, ïîòîìó ÷òî âçàèìíàÿ ïðîñòîòà îñòàòêà à ñ ÷èñëîì n ýêâèâàëåíòíà íåäåëèìîñòè öåëî÷èñëåííîãî âåêòîðà (n, a). Ôóíêöèÿ Ýéëåðà ϕ åñòåñòâåííî âîçíèêëà ó íåãî ïðè ïîïûòêå îáîáùåíèÿ ìàëîé òåîðåìû Ôåðìà. Ýòà òåîðåìà Ôåðìà ñîñòîèò â ñðàâíåíèè ïî ìîäóëþ ïðîñòîãî ÷èñëà ð c = lim

a p -1 º 1 ( p)

äëÿ ëþáîãî âçàèìíî ïðîñòîãî ñ ð ÷èñëà à. Îíà îçíà÷àåò ïåðèîäè÷íîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ ÷ëåíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè a, a2 , a3 ,K íà ð (ñ ïåðèîäîì Ò = ð – 1). Ðàññìîòðèì, íàïðèìåð, îñòàòêè îò äåëåíèÿ ÷ëåíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè 2t : t = 1,2,K íà ð = 13:

{

}

{2, 4, 8, 3, 6, 12, 11, 9, 5, 10, 7, 1}. Äâåíàäöàòûé ÷ëåí ïðîãðåññèè ðàâåí 1, ïîýòîìó òðèíàäöàòûé ðàâåí ïåðâîìó è ò.ä. (ïåðèîä Ò = 12). Ýéëåð ïîñòàâèë ñåáå âîïðîñ: à êàê âåäåò ñåáÿ ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ èç îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà íàòóðàëüíîå ÷èñëî n, óæå íå ÿâëÿþùååñÿ ïðîñòûì? Òåîðåìà Ýéëåðà 4. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà n ÷ëåíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè

{a, a , a ,K} , çíàìåíàòåëü êîòîðîé âçàèìíî ïðîñò ñ 2

3

n, ïåðèîäè÷íà, è åå ïåðèîä Ò ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì öåëîãî ÷èñëà ϕ ( n) : a ϕ  n º 1  n  , ϕ ( n) = T ( n ) N ( n) .

Äëÿ êâàäðàòà ïðîñòîãî ÷èñëà, n = p2 , íå âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n îñòàòêîâ èìååòñÿ ð, ïîýòîìó

Ïðèìåð. Îñòàòêè îò äåëåíèÿ ÷ëåíîâ ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè 2t : t = 1,2,K íà n = 15

ϕ p2 = p2 - p = ( p - 1) p .

{2, 4, 8, 1}, {2, 4, 8, 1}, …

( )

Òî÷íî òàê æå, äëÿ n = pa ïîëó÷àåì

( ) = ( p - 1) p

ϕ p

a

a -1

(èç-çà pa -1 äåëÿùèõñÿ íà ð îñòàòêîâ). Åñëè n = ab – ïðîèçâåäåíèå äâóõ âçàèìíî ïðîñòûõ ÷èñåë, òî ôóíêöèÿ Ýéëåðà, î÷åâèäíî, ìóëüòèïëèêàòèâíà,

ϕ ( ab) = ϕ ( a) ϕ (b) . Âñå ýòî äàåò ÿâíóþ ôîðìóëó äëÿ çíà÷åíèÿ ϕ ( n) , åñëè ðàçëîæåíèå n íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè èçâåñòíî. Íî ïðèâåäåííàÿ âûøå òàáëèöà ïîêàçûâàåò, ÷òî ôóíêöèÿ ϕ ñèëüíî îñöèëëèðóåò ïðè èçìåíåíèè çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà: òî ðàñòåò, òî óáûâàåò (äî ìàëîé äîëè çíà÷åíèÿ àðãóìåíòà). Òåîðåìà Ýéëåðà 3. Ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå çíà÷åíèé ôóíêöèè Ýéëåðà ϕ ,

ˆn = ϕ 1 + ϕ  2  + K + ϕ n , ϕ n

âåäåò ñåáÿ ïðè n ® ¥ êàê cn, ãäå ïîñòîÿííàÿ ñ

{

}

îáðàçóþò ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ïåðèîäà Ò = 4. Çíà÷åíèå ôóíêöèè Ýéëåðà ϕ (15) = ϕ ( 3) ϕ (5) = 2 × 4 = 8 äåëèòñÿ íà 4. Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4. Ðàññìîòðèì âñå ϕ ( n) îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà n, âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n. Ýòè îñòàòêè îáðàçóþò (ìóëüòèïëèêàòèâíóþ) ãðóïïó: åñëè à è b âçàèìíî ïðîñòû ñ n, òî ïðîèçâåäåíèå ab òîæå âçàèìíî ïðîñòî ñ n. Ïðîèçâåäåíèÿ à íà âñå (âçàèìíî ïðîñòîå ñ n) îñòàòêè b ðàçëè÷íû (èíà÷å ïðîèçâåäåíèå a (b1 - b2 ) äåëèëîñü áû íà n, à òàê êàê à âçàèìíî ïðîñòî ñ n, òî b1 - b2 äåëèëîñü áû íà n, áóäó÷è ìåíüøå n). Ñòàëî áûòü, îäíî èç ϕ ( n) ïðîèçâåäåíèé îñòàòêîâ ab ðàâíî 1 (òàê êàê ýòè ϕ ( n) ðàçëè÷íûõ ïðîèçâåäåíèé âñå ÿâëÿþòñÿ âçàèìíî ïðîñòûìè ñ n îñòàòêàìè îò äåëåíèÿ íà n è, çíà÷èò, ïðîáåãàþò âñå ϕ ( n) âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n îñòàòêîâ, â òîì ÷èñëå è îñòàòîê 1). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ëþáîãî âçàèìíî ïðîñòîãî ñ n îñòàòêà à ñóùåñòâóåò òàêîé âçàèìíî ïðîñòîé ñ n îñòàòîê b, ÷òî ab = 1 (òàê ÷òî îñòàòîê b îáðàòåí îñòàòêó à â íàøåé ìóëüòèïëèêàòèâíîé ãðóïïå).


$

ÊÂÀÍT 2007/¹5

Äîêàçàòåëüñòâî òåîðåìû 4 îñíîâàíî íà ñëåäóþùåì ôàêòå: Ëåììà. Äèàãðàììà Þíãà ïåðåñòàíîâêè ϕ ( n) âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà n, óìíîæàþùåé êàæäûé òàêîé îñòàòîê b íà ôèêñèðîâàííûé òàêîé îñòàòîê à, ÿâëÿåòñÿ ïðÿìîóãîëüíèêîì (ò.å. âñå öèêëû ýòîé ïåðåñòàíîâêè èìåþò îäèíàêîâóþ äëèíó). Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü ab, ab2 , K, aT b = b – öèêë äëèíû Ò. Åñëè ñ – êàêîé-ëèáî îñòàòîê, âçàèìíî ïðîñòîé ñ n, òî ìû ìîæåì ïðåäñòàâèòü åãî â âèäå ïðîèçâåäåíèÿ c = bd, ãäå d – âçàèìíî ïðîñòîé ñ n îñòàòîê (à èìåííî, d = cb -1 ). Óìíîæàÿ ñ íà à ìíîãî ðàç, ìû ïîëó÷èì

{

Ðèñ.3. Âðàùåíèå êóáà âîêðóã äèàãîíàëè ÀÂ

Ðàññìîòðèì òåïåðü äåéñòâèå îïåðàöèè óìíîæåíèÿ íà à íà âñå ýëåìåíòû îïèñàííîé ãðóïïû èç ϕ ( n) âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n îñòàòêîâ. Ýòà îïåðàöèÿ ïåðåñòàâëÿåò ϕ ( n) ýëåìåíòîâ íàøåé ãðóïïû (òàê êàê óìíîæåíèå íà b = a -1 äåéñòâóåò â îáðàòíóþ ñòîðîíó). Ëþáàÿ ïåðåñòàíîâêà ýëåìåíòîâ êîíå÷íîãî ìíîæåñòâà ðàçáèâàåòñÿ íà öèêëû. Íàïðèìåð, ïîâîðîò êóáà íà óãîë 120° âîêðóã åãî ãëàâíîé äèàãîíàëè À ïåðåñòàâëÿåò åãî 8 âåðøèí. Ïðè ýòîì äâå âåðøèíû (êîíöû ýòîé äèàãîíàëè) îñòàþòñÿ íà ìåñòå, ò.å. êàæäàÿ èç íèõ óæå ÿâëÿåòñÿ öèêëîì, îñòàëüíûå æå 6 âåðøèí ðàçáèâàþòñÿ íà 2 öèêëà (ðèñ.3). Ðàçáèåíèå ïåðåñòàíîâêè íà öèêëû óäîáíî îïèñûâàòü ïðè ïîìîùè ñïåöèàëüíîé êàðòèíêè, íàçûâàåìîé äèàãðàììîé Þíãà. Äèàãðàììà Þíãà ïåðåñòàíîâêè N ýëåìåíòîâ ñîñòîèò èç N åäèíè÷íûõ êâàäðàòèêîâ, ñòîÿùèõ â ñòîëüêèõ ñòðîêàõ, ñêîëüêî ó ïåðåñòàíîâêè öèêëîâ. Ïðè ýòîì ýëåìåíòû êàæäîãî öèêëà çàïîëíÿþò ñîîòâåòñòâóþùóþ ñòðîêó (â ïîðÿäêå ïðîõîæäåíèÿ öèêëà).  ïåðâîé ñòðîêå ñòàâèòñÿ ñàìûé äëèííûé öèêë, âî âòîðîé – ñëåäóþùèé ïî äëèíå è ò.ä., òàê ÷òî äëèíû âñåõ ó ñòðîê x1 ³ x2 ³ K ³ xy îáðàçóþò ðàçáèåíèå

N = x1 + x2 + K + xy ÷èñëà ïåðåñòàâëÿåìûõ ýëåìåíòîâ N. Ïðèìåð. Äèàãðàììà Þíãà âðàùåíèÿ êóáà (ñì. ðèñ.3) èìååò âèä x1 = 3 x2 = 3

x3 = 1 x4 = 1 , ñîîòâåòñòâóåò ðàçáèåíèþ 8 âåðøèí êóáà:

( )

}

( ) ..., a c = (a b) d = bd = c ,

2 2 3 3 ac = ab d , a c = a b d , a c = a b d , … T

T

òàê ÷òî Ò ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ïåðèîäîâ è äëÿ íà÷èíàþùåãîñÿ â ñ öèêëà. Ñòàëî áûòü, íàèìåíüøèé ïåðèîä íà÷èíàþùåãîñÿ â ñ öèêëà ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì íàèìåíüøåãî ïåðèîäà íà÷èíàþùåãîñÿ â b öèêëà. Íî b è ñ ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòàìè – çíà÷èò, íàèìåíüøèå ïåðèîäû íà÷èíàþùèõñÿ â b è â c öèêëîâ äåëÿò äðóã äðóãà, ò.å. ñîâïàäàþò (÷òî è äîêàçûâàåò ëåììó). Ñëåäñòâèå. Ïåðèîä Ò öèêëîâ ïåðåñòàíîâêè óìíîæåíèÿ íà à âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà n ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ÷èñëà ϕ ( n) . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïëîùàäü ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâíà ïðîèçâåäåíèþ åãî îñíîâàíèÿ íà âûñîòó, ïîýòîìó ϕ n = T  n N n ,

ãäå Ò – (íàèìåíüøèé) ïåðèîä îïåðàöèè óìíîæåíèÿ íà à, à N – ÷èñëî öèêëîâ ýòîé ïåðåñòàíîâêè (âñåõ ϕ ( n) âçàèìíî ïðîñòûõ ñ n îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà n). Òåì ñàìûì òåîðåìà 4 äîêàçàíà: åå òîïîëîãè÷åñêèé ñìûñë âûðàæàåò èìåííî ïðèâåäåííàÿ ëåììà î ïðÿìîóãîëüíîñòè äèàãðàììû Þíãà îïåðàöèè óìíîæåíèÿ íà îñòàòîê à. Òåîðåìà 4 ïðèâîäèò ê î÷åíü åñòåñòâåííîìó (íî âñå åùå ðåøåííîìó íå äî êîíöà) âîïðîñó: êàê âåäåò ñåáÿ íàèìåíüøèé ïåðèîä T ( a, n) ïðè n ® ¥ (àðãóìåíò à âñòàâëåí ïîòîìó, ÷òî îïåðàöèè óìíîæåíèÿ íà ðàçíûå âçàèìíî ïðîñòûå ñ n îñòàòêè èìåþò, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçíûå (íàèìåíüøèå) ïåðèîäû)? Ïðèìåð. Äëÿ à = 2 íåòðóäíî íàéòè ñëåäóþùèå (íàèìåíüøèå) ïåðèîäû îïåðàöèè óìíîæåíèÿ íà 2 îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà n:

8=3+3+1+1 è çàïîëíÿåòñÿ öèêëàìè âðàùåíèÿ òàê: Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü çíà÷åíèé T ( n) âåäåò ñåáÿ íà âèä äîâîëüíî õàîòè÷åñêèì îáðàçîì. Ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå k

µ 2k + 1 = T

å T 2m + 1

m =1

k


ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÀß

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ.

âåäóò ñåáÿ áîëåå ðåãóëÿðíûì îáðàçîì, íî è èõ àñèìïòîòè÷åñêîå ïîâåäåíèå èçó÷åíî íåäîñòàòî÷íî. Îäèí èç åñòåñòâåííûõ ïîäõîäîâ ê ýòîìó âîïðîñó ñîñòîèò â ñëåäóþùåì. ×èñëî äåëèòåëåé τ áîëüøîãî öåëîãî ÷èñëà n ðàñòåò ïðè ðîñòå n â ñðåäíåì êàê ln n Ýòî – òîëüêî ðîñò ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî, ñàìà âåëè÷èíà τ ( n) ìîæåò ñèëüíî óêëîíÿòüñÿ îò ýòîãî ñðåäíåãî: íàïðèìåð, åñëè n = ð ïðîñòîå ÷èñëî, òî τ ( p) = 2 , à åñëè n = m!, òî âåëè÷èíà τ (ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì m) ñêîëü óãîäíî âåëèêà. Ìîæíî ñîñ÷èòàòü è ñðåäíèé ðîñò ñóììû äåëèòåëåé ñ ðîñòîì ÷èñëà n: Σ ( n) : cn (ïîñòîÿííàÿ ñ çäåñü åñòü ζ (2) , è ýòî ìîæíî óñìîòðåòü èç ïðèâåäåííûõ âûøå äîêàçàòåëüñòâ òåîðåìû Ýéëåðà î âåðîÿòíîñòè íåñîêðàòèìîñòè äðîáè). Àíàëîãè÷íûì îáðàçîì äîêàçûâàåòñÿ (ñðåäíÿÿ) àñèìïòîòèêà ñóììû s-x ñòåïåíåé äåëèòåëåé ÷èñëà n, Σ s ( n) : cs n s , cs = ζ ( s + 1) .

Èñõîäÿ èç ýòèõ ñðåäíèõ àñèìïòîòèê, ìîæíî áûëî áû îæèäàòü ñîîòâåòñòâóþùåé àñèìïòîòèêè äëÿ ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî äåëèòåëåé ÷èñëà n, Σ ( n) D ( n) = . τ ( n) Åñëè áû ñðåäíåå (ïî n) îò äðîáè ðàâíÿëîñü îòíîøåíèþ ñðåäíåãî îò ÷èñëèòåëÿ ê ñðåäíåìó îò çíàìåíàòåëÿ, òî ìû ïîëó÷èëè áû äëÿ ñðåäíåãî àðèôìåòè÷åñêîãî ïî n çíà÷åíèÿ ñðåäíåãî äåëèòåëÿ âûðàæåíèå µ ( n) : ? cn . D ln n Îäíàêî ýêñïåðèìåíò ïîêàçûâàåò, ÷òî ñðåäíèå àðèôìåòè÷åñêèå ñðåäíèõ äåëèòåëåé ãîðàçäî áîëüøå, è îòâåò íà ñàìîì äåëå èìååò âèä µ ( n) : D

% cn

. ln n Âîçâðàùàÿñü ê íàèìåíüøåìó ïåðèîäó T ( n) îïåðàöèè óìíîæåíèÿ íà à îñòàòêîâ îò äåëåíèÿ íà n, ìû õîòåëè áû èñïîëüçîâàòü òåîðåìó Ýéëåðà î òîì, ÷òî ÷èñëî T ( n) ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç äåëèòåëåé ÷èñëà ϕ ( n) . Åñëè áû âûïîëíÿëèñü ñëåäóþùèå ïðåäïîëîæåíèÿ: 1) ñâîéñòâà äåëèìîñòè (ñðåäíèå àñèìïòîòèêè) äëÿ  (m ) è ÷èñëà äåëèòåëåé τ$ (m) , äëÿ ñóììû äåëèòåëåé Σ µ (m) ÷èñåë m âèäà ϕ ( n) äëÿ ñðåäíåãî äåëèòåëÿ D òàêèå æå, êàê äëÿ îáû÷íûõ ÷èñåë m òàêîãî æå (â ñðåäíåì) ïîðÿäêà âåëè÷èíû, 2) âûáèðàåìûé áîãîì â êà÷åñòâå íàèìåíüøåãî ïåðèîäà T ( n) äåëèòåëü ÷èñëà ϕ ( n) âåäåò ñåáÿ (àñèìïòîòè÷åñêè â ñðåäíåì) êàê ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå âñåõ äåëèòåëåé ýòîãî öåëîãî ÷èñëà, òî èç ïðåäûäóùèõ àñèìïòîòèê ìîæíî áûëî áû âûâåñòè ïðåäïîëîæèòåëüíîå ñðåäíåå ïîâåäåíèå ïåðèîäà T ( n) âèäà % µ ( n) : D µ ϕ ˆ( n) : c% ϕ ( n) : c ¢n . T  ( n) ln n ln ϕ

( )

ÂÎÑÕÎÄßÙÀß

Ê

ÝÉËÅÐÓ

%

Íî ýêñïåðèìåíòû (äîâåäåííûå ñåé÷àñ Ô.Àèêàðäè äî n ïîðÿäêà 1020 ) óêàçûâàþò, ïî-âèäèìîìó, íà äðóãîå µ . Çíà÷èò, õîòÿ áû îäíî èç âûïèïîâåäåíèå ñðåäíèõ T ñàííûõ âûøå ïðåäïîëîæåíèé 1 è 2 íåâåðíî. Áûëî áû èíòåðåñíî óçíàòü, êàê èìåííî íàðóøàþòñÿ ïðåäïîëîæåíèÿ 1 è 2. Ýòî èíòåðåñíî íå òîëüêî ðàäè èññëåäîâൠ, íî è ñàìî ïî ñåáå. íèÿ ñðåäíèõ T §2. Ýéëåðîâà òåîðèÿ âðàùåíèÿ òâåðäîãî òåëà è ýéëåðîâà ãèäðîäèíàìèêà Ìîðÿêè âñòðåòèëèñü ê XVIII âåêó ñî ñëåäóþùåé òðóäíîñòüþ îïðåäåëåíèÿ ñâîåãî ìåñòà íà êàðòå: äëÿ îðèåíòèðîâàíèÿ èçìåðÿëèñü êîîðäèíàòû çâåçä íà íåáåñíîé ñôåðå â ìîìåíò èçìåðåíèÿ, è èñïîëüçîâàòü ýòè èçìåðåíèÿ ìîæíî áûëî, òîëüêî çíàÿ òî÷íî, â êàêîé èìåííî ìîìåíò èçìåðåíèÿ ïðîèçâîäèëèñü. Ñèãíàëîâ òî÷íîãî âðåìåíè ïî ðàäèî òîãäà åùå íå ïåðåäàâàëè, ïîýòîìó äëÿ îïðåäåëåíèÿ âðåìåíè ïðèõîäèëîñü ïîëüçîâàòüñÿ õðîíîìåòðàìè. Íî õðîíîìåòð, îñîáåííî â äëèòåëüíîì ïëàâàíèè, ñêëîíåí íà÷èíàòü ñèëüíî âðàòü. Ñêàçûâàþòñÿ è êà÷êà, è âðàùåíèå Çåìëè, è âàðèàöèè ïîëÿ òÿãîòåíèÿ, âëèÿþùèå íà ïåðèîä ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé ìàÿòíèêà, è äàæå êëèìàòè÷åñêèå óñëîâèÿ (òðîïè÷åñêàÿ æàðà óäëèíÿåò ìàÿòíèê, à ìîðîçû óêîðà÷èâàþò). Àíãëèéñêîå àäìèðàëòåéñòâî îáúÿâèëî ïîýòîìó áîëüøóþ ïðåìèþ çà ðåøåíèå ïðîáëåìû îïðåäåëåíèÿ òî÷íîãî âðåìåíè. Ýéëåð ïðèäóìàë îñòðîóìíûé ïóòü ðåøåíèÿ ýòîé ïðîáëåìû: èñïîëüçîâàòü â êà÷åñòâå ÷àñîâ Ëóíó. Äâèæåíèå ÷åòûðåõ (îòêðûòûõ Ãàëèëååì) ñïóòíèêîâ Þïèòåðà ê òîìó âðåìåíè óæå ïûòàëèñü èñïîëüçîâàòü âìåñòî ÷àñîâ. Íî äëÿ ýòîãî íóæåí, êðîìå õîðîøåé òåîðèè âîâñå íå ïðîñòîãî äâèæåíèÿ ñïóòíèêîâ, õîðîøèé òåëåñêîï, òàê êàê «öèôåðáëàò» ýòèõ ÷àñîâ óæ î÷åíü ìàë: Þïèòåð äàëåêî, è ñïóòíèêè íå âñåãäà õîðîøî âèäíû. Ëóíà ãîðàçäî áëèæå, íàáëþäàòü åå ëåãêî, òàê ÷òî çàäà÷à áûëà áû ðåøåíà, åñëè áû áûëà ïîñòðîåíà äîñòàòî÷íî òî÷íàÿ òåîðèÿ ìàëûõ êîëåáàíèé Ëóíû îêîëî ñâîåãî öåíòðà òÿæåñòè (ñ ó÷åòîì âîçìóùåíèé, âíîñèìûõ ïðåæäå âñåãî Ñîëíöåì è Çåìëåé â ñëîæíîì îðáèòàëüíîì äâèæåíèè Çåìëè âîêðóã Ñîëíöà è Ëóíû âîêðóã Çåìëè). Âîò ýòó-òî òåîðèþ Ýéëåð è ðåøèë ñîçäàòü. Åãî çàìå÷àòåëüíàÿ ðàáîòà íà ýòó òåìó áûëà îïóáëèêîâàíà â 1765 ãîäó – îí ðàññìàòðèâàë íå òîëüêî Ëóíó, íî è äâèæåíèå ëþáîãî òâåðäîãî òåëà âîêðóã ñâîåãî öåíòðà òÿæåñòè ïðåæäå âñåãî ïî èíåðöèè, à ïîòîì è âñëåäñòâèå âîçìóùàþùèõ âëèÿíèé äðóãèõ òåë. Çàìå÷àòåëüíûé ðåçóëüòàò ýòèõ èññëåäîâàíèé Ýéëåðà äîñòàâëÿåò, ïðåæäå âñåãî, ïîëíîå ðåøåíèå çàäà÷è îá èíåðöèàëüíîì äâèæåíèè ïðîèçâîëüíîãî òâåðäîãî òåëà âîêðóã ñâîåãî öåíòðà òÿæåñòè. Ýòà çàäà÷à îêàçàëàñü «âïîëíå èíòåãðèðóåìîé ãàìèëüòîíîâîé ñèñòåìîé», è Ýéëåð íàøåë íóæíóþ ïîëíóþ ñèñòåìó ïåðâûõ èíòåãðàëîâ â èíâîëþöèè. Èç åãî ðåçóëüòàòîâ âûòåêàëî, íàïðèìåð, ÷òî ñòàöèîíàðíûå âðàùåíèÿ âîêðóã âñåõ òðåõ îñåé ýëëèïñîèäà èíåðöèè òâåðäîãî òåëà ñóùåñòâóþò, íî âðàùåíèå âîêðóã ñðåäíåé îñè èíåðöèè íåóñòîé÷èâî, â òî âðåìÿ êàê


&

ÊÂÀÍT 2007/¹5

Ðèñ.4. Óñòîé÷èâîå è íåóñòîé÷èâîå âðàùåíèå

è âðàùåíèå âîêðóã áîëüøîé îñè èíåðöèè, è âðàùåíèå âîêðóã ìàëîé îñè èíåðöèè óñòîé÷èâû (ðèñ.4). Ýòî çíà÷èò, ÷òî, íàïðèìåð, ñïè÷å÷íûé êîðîáîê, áðîøåííûé òàê, ÷òî îí âðàùàåòñÿ âîêðóã äëèííîé èëè âîêðóã êîðîòêîé îñè, òàê è áóäåò âðàùàòüñÿ, à åñëè áðîñèòü åãî, çàêðóæèâ âîêðóã ñðåäíåé îñè, òî îí áóäåò êóâûðêàòüñÿ õàîòè÷åñêè (÷òî ÿ íå ðàç äåìîíñòðèðîâàë ñòóäåíòàì íà ëåêöèè – çäåñü ëó÷øå âñåãî áðîñàòü óïàêîâàííóþ êíèãó, à íå êèðïè÷, è øåñòü ãðàíåé áðîñàåìîãî òåëà ëó÷øå âûêðàñèòü ïî-ðàçíîìó, ÷òîáû íåóñòîé÷èâîñòü áûëà ñðàçó âèäíà). Òîïîëîãè÷åñêàÿ ïðè÷èíà ðàçëè÷èÿ ñîñòîèò â ðàçíèöå ëèíèé ïåðåñå÷åíèÿ ýëëèïñîèäà ñî ñôåðàìè ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò (ðèñ.5). Îêîëî êîíöà À áîëüøîé ïîëóîñè ýëëèïñîèäà ðàññòîÿíèå äî öåíòðà ýëëèïñîèäà ìàêñèìàëüíî, è ëèíèè, ãäå ýòî ðàññòîÿíèå íåìíîãî ìåíüøå äëèíû áîëüøåé ïîëóîñè ÎÀ, ÿâëÿþòñÿ îêðóæàþùèìè òî÷êó ìàêñèìóìà À çàìêíóòûìè êðèâûìè íà ïîâåðõíîñòè ýëëèïñîèäà. Ðèñ.5. Ëèíèè óðîâíÿ ðàññòîÿíèé äî Ïðè ìàëîì îòêëîíåíà÷àëà êîîðäèíàò íà ïîâåðõíîñòè ýë- íèè íàïðàâëåíèÿ îñè ëèïñîèäà âðàùåíèÿ îò íàïðàâëåíèÿ ÎÀ ñîîòâåòñòâóþùèé âåêòîð ïåðåõîäèò îò âåêòîðà ÎÀ íà îäíó èç òàêèõ çàìêíóòûõ êðèâûõ, áëèçêèõ ê òî÷êå À, è íà÷èíàåò ñîâåðøàòü âáëèçè ÎÀ ìàëûå êîëåáàíèÿ, òàê ÷òî äâèæåíèå, õîòÿ è ïåðåñòàåò áûòü ñòàöèîíàðíûì âðàùåíèåì, îñòàåòñÿ ê íåìó áëèçêèì. Òî÷íî òàê æå, îêîëî êîíöà Ñ ìàëîé îñè ðàññòîÿíèå äî öåíòðà Î äîñòèãàåò ìèíèìóìà, è ëèíèè, ãäå îíî ëèøü íåìíîãî ïðåâûøàåò ìèíèìàëüíîå ðàññòîÿíèå |OC|, – çàìêíóòûå êðèâûå íà ïîâåðõíîñòè ýëëèïñîèäà, áëèçêèå ê òî÷êå Ñ. Ñîîòâåòñòâóþùåå âîçìóùåííîå âðàùåíèå îñòàåòñÿ áëèçêèì ê ñòàöèîíàðíîìó. Íàïðîòèâ òîãî, îêîëî êîíöà  ñðåäíåé îñè ôóíêöèÿ ðàññòîÿíèÿ äî öåíòðà ýëëèïñîèäà Î èìååò ñåäëîâóþ òî÷êó. Ëèíèÿ óðîâíÿ, ãäå ðàññòîÿíèå òî÷íî ðàâíî |OB|, ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äâå (ïåðåñåêàþùèåñÿ â òî÷êå Â) îêðóæíîñòè, à ëèíèÿ óðîâíÿ, áëèçêîãî ê |OB|, ñîñòîèò èç äâóõ çàìêíóòûõ êðèâûõ, äàëåêî óõîäÿùèõ îò òî÷êè  (âïëîòü äàæå äî ïðîòèâîïîëîæíîãî êîíöà, –Â, ñðåäíåé îñè). Ïðè âîçìóùåíèè ñòàöèîíàðíîãî âðàùåíèÿ âîêðóã îñè Πâîçíèêàåò ñîâåðøåííî íåïîõîæåå íà íåãî «êóâûðêàíèå», â ðåçóëüòàòå êîòîðîãî òåëî ìîæåò äàæå ïåðåâåðíóòüñÿ ïî÷òè ÷òî ââåðõ íîãàìè. Ëóíà ñåé÷àñ áëàãîïîëó÷íî ñîâåðøàåò ìàëûå êîëåáàíèÿ, áóäó÷è ïîâåðíóòà ê Çåìëå âñåãäà â îñíîâíîì îäíîé

ñòîðîíîé è ëèøü íåìíîãî êîëåáëÿñü îêîëî ýòîãî «ìàÿòíèêîâîãî» ïîëîæåíèÿ. Íàïðîòèâ òîãî, èñêóññòâåííûå ñïóòíèêè Çåìëè, â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàê èìè óïðàâëÿþò, ìîãóò ñîâåðøàòü âñå îïèñàííûå Ýéëåðîì äâèæåíèÿ, òàê ÷òî òåîðèÿ Ýéëåðà è ñåãîäíÿ ÿâëÿåòñÿ îñíîâîé ðàñ÷åòà áîðüáû ñ êóâûðêàíèåì ñïóòíèêîâ. Òåîðèÿ Ýéëåðà ïîçâîëÿåò äåòàëüíî ðàçîáðàòü êîëåáàíèÿ Ëóíû îêîëî ñâîåãî îáû÷íîãî ïîëîæåíèÿ, òàê ÷òî, íàáëþäàÿ ôàçó ýòèõ êîëåáàíèé, ìîæíî èñïîëüçîâàòü åå êàê ñòðåëêó ÷àñîâ è óçíàòü ìîìåíò íàáëþäåíèÿ. Àäìèðàëòåéñòâî, îäíàêî, íàãðàäèëî íå Ýéëåðà, à ÷àñîâùèêà, ðåøèâøåãî ïðîáëåìó îïðåäåëåíèÿ âðåìåíè ñîâåðøåííî èíûì ïóòåì. À èìåííî, îí ïðåäëîæèë ïîäâåøèâàòü ìàÿòíèê AD òðåõçâåííûì ïîäâåñîì ABCD (ðèñ.6). Ñòåðæíè À è CD èìåþò âäâîå ìåíüøèé êîýôôèöèåíò òåïëîâîãî ðàñøèðåíèÿ, ÷åì ñîåäèíÿþùèé èõ ñòåðæåíü ÂÑ.  ðåçóëüòàòå òåïëîâîå óäëèíåíèå ñòåðæíåé À è CD îïóñêàåò ãðóç íà ñòîëüêî æå, íà ñêîëüêî ïîäíèìàåò åãî òåïëîâîå óäëèíåíèå ñòåðæíÿ ÂÑ. Ïîýòîìó ýôôåêòèâíàÿ äëèíà ìàÿòíèêà AD ïðè òåïëîâîì ðàñøèðåíèè ñòåðæíåé íå ìåíÿåòñÿ, à ïîòîìó íå ìåíÿåòñÿ è ïåðèîä êîëåáàíèé ýòîãî ìàÿòíèêà: õðîíîìåòð ñòàë íå÷óâñòâèòåëüíûì ê Ðèñ.6. Êîìïåíñèðóþèçìåíåíèþ òåìïåðàòóðû! ùèé òåïëîâîå ðàñÐàçáèðàÿ ê åå äâóõñîòëåòèþ ñòà- øèðåíèå ìàÿòíèê òüþ Ýéëåðà î âðàùåíèè Ëóíû, ÿ çàìåòèë â 1965 ãîäó, ÷òî ðàññóæäåíèÿ Ýéëåðà äîêàçûâàþò ãîðàçäî áîëüøå, ÷åì îí óêàçàë. À èìåííî, âñÿ òåîðèÿ Ýéëåðà ïî÷òè áåç èçìåíåíèé ïåðåíîñèòñÿ íà èññëåäîâàíèå ãåîäåçè÷åñêèõ ëèíèé íà ìíîãîîáðàçèÿõ ãðóïï Ëè, ñíàáæåííûõ ëåâîèíâàðèàíòíîé (èëè ïðàâîèíâàðèàíòíîé) ðèìàíîâîé ìåòðèêîé. Åñëè íà÷àòü ñ ãðóïïû SO(3) âðàùåíèé òðåõìåðíîãî åâêëèäîâà ïðîñòðàíñòâà, òî ýòè ãåîäåçè÷åñêèå äîñòàâëÿþò äâèæåíèÿ òâåðäîãî òåëà îòíîñèòåëüíî åãî öåíòðà òÿæåñòè, èçó÷åííûå Ýéëåðîì. Íî òåîðèþ Ýéëåðà ìîæíî ïðèìåíÿòü è ê äðóãèì ãðóïïàì, è ïîëó÷àþùèåñÿ èç åãî ðåçóëüòàòîâ çàêëþ÷åíèÿ âîâñå íå î÷åâèäíû.  êà÷åñòâå î÷åíü ïðîñòîãî ïðèìåðà ìîæíî âçÿòü äâóìåðíóþ ãðóïïó àôôèííûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïðÿìîé, x a ax + b . Ñ÷èòàÿ ïðåîáðàçîâàíèÿ ñîõðàíÿþùèìè îðèåíòàöèþ (à > 0), ìû ìîæåì îòîæäåñòâèòü ýòó ãðóïïó ñ ïîëóïëîñêîñòüþ {a, b : a > 0}.  ýòîì ñëó÷àå ëåâîèíâàðèàíòíàÿ ìåòðèêà Ýéëåðà äîñòàâëÿåò â òî÷íîñòè ìîäåëü Ïóàíêàðå ãåîìåòðèè Ëîáà÷åâñêîãî, ds2 =

da2 + db2

, a2 òàê ÷òî òåîðèÿ Ýéëåðà ïðåâðàùàåòñÿ â ãåîìåòðèþ Ëîáà÷åâñêîãî. Ðîëü ñòàöèîíàðíûõ âðàùåíèé Ýéëåðà èãðàþò â ýòîì ñëó÷àå òå ïðÿìûå è îêðóæíîñòè åâêëèäîâîé ïîëóïëîñêîñòè a > 0 ñ äåêàðòîâûìè êîîðäèíàòàìè (a, b) , êîòîðûå ïåðïåíäèêóëÿðíû ëèíèè «àáñîëþòà», à = 0 (ðèñ.7).  êà÷åñòâå ãîðàçäî áîëåå áîãàòîãî ïðèìåðà ïðèìåíåíèÿ òåîðèè ýéëåðîâà âðàùåíèÿ òâåðäîãî òåëà ðàññìîò-


ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÀß

ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÀ.

Ðèñ.7. Ãåîäåçè÷åñêèå ìîäåëè Ïóàíêàðå ïëîñêîñòè Ëîáà÷åâñêîãî

ðèì ãðóïïó SDiff M «íåñæèìàåìûõ» äèôôåîìîðôèçìîâ ìíîãîîáðàçèÿ Ì (ò.å. äèôôåîìîðôèçìîâ M ® M , ñîõðàíÿþùèõ íåêîòîðûé ýëåìåíò îáúåìà τ íà Ì). Ãåîäåçè÷åñêèå ïðàâîèíâàðèàíòíîé ìåòðèêè íà ýòîé ãðóïïå ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé (ýéëåðîâû) òå÷åíèÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè âäîëü ìíîãîîáðàçèÿ Ì. Ýéëåðîâà òåîðèÿ óñòîé÷èâîñòè ñòàöèîíàðíûõ äâèæåíèé òâåðäîãî òåëà ïðåâðàùàåòñÿ â ýòîì ñëó÷àå â îáîáùåíèå òåîðåìû Ðýëåÿ îá óñòîé÷èâîñòè äâóìåðíûõ òå÷åíèé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, êîãäà ïðîôèëü ñêîðîñòåé íå èìååò òî÷åê ïåðåãèáà (ðèñ.8). Òå÷åíèÿ ñ òî÷êàìè ïåðåãèáà îêàçûâàþòñÿ â ýòîì

Ðèñ.8. Òåîðåìà Ðýëåÿ îá óñòîé÷èâîñòè ïëîñêîïàðàëëåëüíûõ òå÷åíèé íåñæèìàåìîé æèäêîñòè

ñëó÷àå àíàëîãè÷íûìè ñòàöèîíàðíûì âðàùåíèÿì òâåðäîãî òåëà âîêðóã ñðåäíåé îñè èíåðöèè – îáùàÿ òåîðåìà óñòîé÷èâîñòè Ýéëåðà ïðèìåíÿåòñÿ â îáîèõ ñëó÷àÿõ îäèíàêîâî, íî ïðè ïåðåõîäå îò òðåõìåðíîé ãðóïïû SO(3) ê áåñêîíå÷íîìåðíîé ãðóïïå SDiff M èç òåîðåìû Ýéëåðà ïîëó÷àåòñÿ (îáîáùåííàÿ) òåîðåìà Ðýëåÿ.

ÂÎÑÕÎÄßÙÀß

Ê

ÝÉËÅÐÓ

'

Íà óñòîé÷èâîñòü ãåîäåçè÷åñêèõ ìíîãîîáðàçèÿ îêàçûâàåò áîëüøîå âëèÿíèå åãî «ñåêöèîííûå êðèâèçíû ïî äâóìåðíûì íàïðàâëåíèÿì». À èìåííî, îòðèöàòåëüíîñòü êðèâèçíû âûçûâàåò ýêñïîíåíöèàëüíîå ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ðàçáåãàíèå ãåîäåçè÷åñêèõ (ñ áëèçêèìè íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè). Òåîðèÿ Ýéëåðà ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü ýòè ñåêöèîííûå êðèâèçíû (äëÿ ãðóïï ñ ëåâîèíâàðèàíòíûìè èëè ïðàâîèíâàðèàíòíûìè ìåòðèêàìè). Ïðèìåíèâ ýòè âû÷èñëåíèÿ ê ãðóïïàì íåñæèìàåìûõ äèôôåîìîðôèçìîâ ïîâåðõíîñòåé, ÿ ïîëó÷èë ìíîãî äâóìåðíûõ íàïðàâëåíèé ñèëüíî îòðèöàòåëüíîé êðèâèçíû. Íàïðèìåð, ïðèìåíÿÿ ýòè îöåíêè ê äâóìåðíîé ãèäðîäèíàìèêå íà ïîâåðõíîñòè òîðà (è ê òå÷åíèÿì ïàññàòíîãî òèïà), ÿ óáåäèëñÿ, ÷òî ïåðâîíà÷àëüíî ìàëûå âîçìóùåíèÿ íà÷àëüíîãî ïîëÿ ñêîðîñòåé âûðàñòàþò ïðèìåðíî â 105 ðàç (îò êèëîìåòðîâîãî ðàçìåðà ãðîçû äî èçìåíåíèé ïîãîäû ïëàíåòàðíîãî ìàñøòàáà) çà âðåìÿ ïîðÿäêà ìåñÿöà. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî äèíàìè÷åñêèé ïðîãíîç ïîãîäû íà ñèëüíî ïðåâûøàþùåå íåäåëþ âðåìÿ áóäåò îñòàâàòüñÿ íåâîçìîæíûì, êàê áû ñèëüíî íè áóäóò óñîâåðøåíñòâîâàíû è êîìïüþòåðû, è ìåòîäû âû÷èñëåíèé, è ðåãèñòðèðóþùèå èñõîäíîå ñîñòîÿíèå ïîãîäû äàò÷èêè. Äåéñòâèòåëüíî, ñëåãêà èçìåíèâ íà÷àëüíûå ñêîðîñòè â êàæäîì êóáè÷åñêîì êèëîìåòðå (äàæå òàê, ÷òîáû ñðåäíèå ïî ñîñåäíåìó äåñÿòêó êóáè÷åñêèõ êèëîìåòðîâ ïðè ýòîì íå ìåíÿëèñü), ìû ïðèäåì ê òàêîìó íîâîìó íà÷àëüíîìó óñëîâèþ, êîòîðîå äàò÷èêè íå îòëè÷àò îò ñòàðîãî, íî êîòîðîå ïðèâåäåò òàéôóí ÷åðåç ïàðó íåäåëü íå â Íîâûé Îðëåàí, êóäà îí äîëæåí áûë ïîïàñòü ïî ñòàðîìó ñöåíàðèþ, à, ñêàæåì, â Áîìáåé. Ìîæíî òîëüêî ïîðàæàòüñÿ, íàñêîëüêî çíà÷èòåëüíûìè îêàçûâàþòñÿ ïðèëîæåíèÿ ôóíäàìåíòàëüíûõ òåîðèé è èäåé Ýéëåðà äàæå â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà ñàì îí îãðàíè÷èëñÿ ïðè èõ èçëîæåíèè ïåðâûì ñîäåðæàòåëüíûì ñëó÷àåì (ãðóïïû SO(3) â íàøåì ïðèìåðå), à âñå äàëåêèå îáîáùåíèÿ ïîëó÷åíû ëèøü íåäàâíî.

Âíèìàíèþ íàøèõ ÷èòàòåëåé! 28 ìàðòà 2008 ãîäà èñïîëíÿåòñÿ ñòî ëåò ñî äíÿ ðîæäåíèÿ âûäàþùåãîñÿ ôèçèêà, àêàäåìèêà Èñààêà Êîíñòàíòèíîâè÷à Êèêîèíà.  ñâÿçè ñ ýòèì â íàøåé ñòðàíå íà âûñîêîì ãîñóäàðñòâåííîì óðîâíå çàïëàíèðîâàíû ìíîæåñòâåííûå ñïåöèàëüíûå ìåðîïðèÿòèÿ. Äëÿ íàñ æå Èñààê Êîíñòàíòèíîâè÷ Êèêîèí áûë ïðåæäå âñåãî ñîçäàòåëåì è ïåðâûì Ãëàâíûì ðåäàêòîðîì æóðíàëà «Êâàíò». Ðåäàêöèîííàÿ êîëëåãèÿ, ðåäàêöèîííûé ñîâåò è ðåäàêöèÿ æóðíàëà «Êâàíò» îáúÿâëÿþò áëèæàéøèé ãîä â æóðíàëå «Êâàíò» – «ãîäîì Êèêîèíà». È âîò ÷òî ïîä ýòèì ïîäðàçóìåâàåòñÿ. Ìû ïëàíèðóåì â øåñòè áëèæàéøèõ íîìåðàõ æóðíàëà îïóáëèêîâàòü ðàçíîîáðàçíûå âîñïîìèíàíèÿ îá àêàäåìèêå È.Ê.Êèêîèíå, à â íàó÷íûõ ñòàòüÿõ è äðóãèõ ìàòåðèàëàõ æóðíàëà óäåëèòü îñîáîå âíèìàíèå òåì îáëàñòÿì ôèçèêè è òåõíèêè, â êîòîðûõ âûäàþùèìñÿ îáðàçîì ðàñêðûëñÿ íàó÷íûé è îðãàíèçàöèîííûé òàëàíò ýòîãî óäèâèòåëüíîãî ÷åëîâåêà, â îñîáåííîñòè – àòîìíîé è ÿäåðíîé ôèçèêå è ýíåðãåòèêå. Íàìè ãîòîâèòñÿ ê èçäàíèþ ñïåöèàëüíûé, ïîñâÿùåííûé þáèëåþ È.Ê.Êèêîèíà âûïóñê ñåðèè «Áèáëèîòå÷êà «Êâàíò». Òå èç íàñ, êòî áëèçêî çíàëè Èñààêà Êîíñòàíòèíîâè÷à, ñ áëàãîäàðíîñòüþ õðàíÿò â äóøå åãî íåçàáûâàåìûé ñâåòëûé îáðàç. Ìû î÷åíü õîòèì, ÷òîáû ýòîò îáðàç áûë çàïå÷àòëåí â ïàìÿòè è íîâûõ ïîêîëåíèé íàøèõ ÷èòàòåëåé.




ÊÂÀÍT 2007/¹5

9 îêòÿáðÿ 2007 ãîäà èñïîëíèëîñü áû 100 ëåò èçâåñòíîìó ó÷åíîìó è ïåäàãîãó Âàëåíòèíó Àëåêñàíäðîâè÷ó Ôàáðèêàíòó. Çà ñâîþ äîëãóþ òâîð÷åñêóþ æèçíü Âàëåíòèí Àëåêñàíäðîâè÷ ñóìåë ìíîãîå – ñäåëàòü çàìå÷àòåëüíûå îòêðûòèÿ (îí – àâòîð ðàáîò ïî ïàðàìåòðè÷åñêîìó óñèëåíèþ ñâåòà, çàëîæèâøèõ îñíîâó ñîçäàíèÿ ëàçåðîâ), âîñïèòàòü ïëåÿäó ó÷åíèêîâ, íàïèñàòü ïðåêðàñíûå êíèãè è ñòàòüè. Â.À.Ôàáðèêàíò ñòîÿë è ó èñòîêîâ ñîçäàíèÿ æóðíàëà «Êâàíò». ßâëÿÿñü áåññìåííûì ÷ëåíîì ðåäàêöèîííîé êîëëåãèè, îí áûë áîëüøèì äðóãîì ÷èòàòåëåé è ðåäàêöèè. Ìû ðàäû ïðåäëîæèòü âàøåìó âíèìàíèþ ñòàòüþ Â.À.Ôàáðèêàíòà, îïóáëèêîâàííóþ â «Êâàíòå» ¹7 çà 1978 ãîä è âîøåäøóþ â Ïðèëîæåíèå ê æóðíàëó «Êâàíò» ¹4/99, ïîñâÿùåííîå ïàìÿòè Âàëåíòèíà Àëåêñàíäðîâè÷à.

Ñþðïðèçû çåëåíîãî ñòåêëà Â.ÔÀÁÐÈÊÀÍÒ Êàêîãî öâåòà çåëåíîå ñòåêëî? Ýòîò âîïðîñ ìîæåò âûçâàòü ÷óâñòâî åñòåñòâåííîãî íåäîóìåíèÿ. ×èòàòåëü ñ ðàçäðàæåíèåì ñêàæåò: çåëåíîå ñòåêëî ïîòîìó è íàçûâàåòñÿ çåëåíûì, ÷òî îíî… Îäíàêî íå íàäî ñïåøèòü ñî ñíèñõîäèòåëüíûìè ðàçúÿñíåíèÿìè. Íåõèòðûé îïûò ïîêàæåò âàì, ÷òî âîïðîñ î öâåòå çåëåíîãî ñòåêëà ñîâñåì íå òàê ïðîñò. Åñëè ó âàñ åñòü êóñîê çåëåíîãî ñòåêëà, ðàçáåéòå åãî îñòîðîæíî íà íåñêîëüêî íå î÷åíü ìàëåíüêèõ êóñî÷êîâ. Çàòåì ïîñìîòðèòå ñêâîçü îäèí èç íèõ íà íèòü ëàìïû íàêàëèâàíèÿ. Êàê âû è îæèäàëè, íèòü áóäåò êàçàòüñÿ çåëåíîé. Íàëîæèòå íà ýòîò êóñî÷åê ñòåêëà âòîðîé è ñíîâà ïîñìîòðèòå íà íèòü. Âåðîÿòíî, âû íå çàìåòèòå èçìåíåíèÿ öâåòà íèòè, îíà áóäåò çåëåíîé ïî-ïðåæíåìó. Íî åñëè íàëîæèòü íà äâà êóñî÷êà ñòåêëà òðåòèé è ïîñìîòðåòü ñêâîçü âñå òðè êóñî÷êà íà íèòü, âû óâèäèòå åå óæå íåîêðàøåííîé – áåëåñîâàòîãî öâåòà. Ñêâîçü ÷åòûðå êóñî÷êà íèòü áóäåò êàçàòüñÿ êðàñíîâàòîé, à ñêâîçü ïÿòü êóñî÷êî⠖ ðóáèíîâî-êðàñíîé! Ðåçóëüòàò ñîâåðøåííî íåîæèäàííûé è âåñüìà ïîó÷èòåëüíûé. Îêàçûâàåòñÿ, öâåò ñòåêëà çàâèñèò îò åãî òîëùèíû, è çåëåíîå â òîíêîì ñëîå ñòåêëî ñòàíîâèòñÿ êðàñíûì ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîé òîëùèíå ñëîÿ. Òàêèì ñâîéñòâîì îáëàäàåò, êîíå÷íî, íå êàæäîå çåëåíîå ñòåêëî, íî êàê ðàç íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûå äåøåâûå ñîðòà çåëåíûõ ñòåêîë. Ëþáîïûòíî, ÷òî ýòî æå ñâîéñòâî ïðèñóùå ðàñòâîðó ñàìîãî âàæíîãî êðàñÿùåãî âåùåñòâà íà çåìëå – õëîðîôèëëà. Êàê èçâåñòíî, õëîðîôèëë îêðàøèâàåò ëèñòüÿ ðàñòåíèé â çåëåíûé öâåò. Ïîìåñòèâ ëèñòüÿ â ñïèðò, ìîæíî ïîëó÷èòü ðàñòâîð õëîðîôèëëà â ñïèðòå è ïðîâåñòè òàêîé îïûò. Ïîñòàâüòå íà ëèñò áåëîé áóìàãè ñòàêàí è ìåäëåííî íàëèâàéòå â íåãî ðàñòâîð õëîðîôèëëà. Ñíà÷àëà äíî ñòàêàíà íà ïðîñâåò áóäåò êàçàòüñÿ

çåëåíûì, à çàòåì, ïðè áîëüøîé òîëùèíå ñëîÿ, ðàñòâîð ïðèîáðåòåò íàñûùåííûé òåìíî-êðàñíûé öâåò. Âåðíåìñÿ ê çåëåíîìó ñòåêëó. Ìîæíî åùå ñèëüíåå çàïóòàòü âîïðîñ î öâåòå ñòåêëà, åñëè ïîñëå ëàìïî÷êè íàêàëèâàíèÿ ïîñìîòðåòü ñêâîçü êóñî÷êè ñòåêëà íà ðàñêàëåííûé êîíåö êî÷åðãè. Óæå ÷åðåç òðè êóñî÷êà ñòåêëà îí áóäåò êàçàòüñÿ ðóáèíîâî-êðàñíûì. Âîò âàì è âòîðîé íåîæèäàííûé ðåçóëüòàò: âèäèìûé öâåò ñòåêëà çàâèñèò íå òîëüêî îò åãî òîëùèíû, íî è îò òîãî, íà êàêîé ñâåòÿùèéñÿ ïðåäìåò ìû ñìîòðèì ñêâîçü ýòî ñòåêëî. Ñëîé èç òðåõ êóñî÷êîâ ñòåêëà êàæåòñÿ áåñöâåòíûì ïðè íàáëþäåíèè íèòè ëàìïû íàêàëèâàíèÿ è êðàñíûì – ïðè íàáëþäåíèè êîíöà ðàñêàëåííîé êî÷åðãè. Ñ êî÷åðãîé ìîæíî ñäåëàòü åùå îäèí îïûò, èç êîòîðîãî ñëåäóåò ïðàêòè÷åñêè âàæíûé âûâîä. Âûíóòàÿ èç ïå÷êè êî÷åðãà áûñòðî îñòûâàåò. Ïîïðîáóéòå ïðîñëåäèòü ñêâîçü ñòåêëî çà êîíöîì êî÷åðãè âî âðåìÿ îñòûâàíèÿ. Êàê ìû óæå ãîâîðèëè, êîíåö ðàñêàëåííîé êî÷åðãè âèäåí êðàñíûì ñêâîçü òðè êóñî÷êà ñòåêëà. Êîíåö íåñêîëüêî îñòûâøåé êî÷åðãè êàæåòñÿ êðàñíûì óæå ÷åðåç äâà êóñî÷êà. Ïîäîæäàâ åùå íåìíîãî, âû óâèäèòå êîíåö êî÷åðãè êðàñíûì äàæå ÷åðåç îäèí êóñî÷åê çåëåíîãî ñòåêëà. Èç ýòîãî îïûòà ñëåäóåò, ÷òî ÷åì âûøå òåìïåðàòóðà ðàñêàëåííîãî òåëà, òåì òîëùå äîëæåí áûòü ñëîé ñòåêëà, ÷òîáû ïðîèçîøëî èçìåíåíèå åãî öâåòà. Çíà÷èò, ïî òîëùèíå ñëîÿ ñòåêëà, íåîáõîäèìîãî äëÿ èçìåíåíèÿ öâåòà, ìîæíî ñóäèòü î òåìïåðàòóðå ðàñêàëåííîãî òåëà. Îïûòû ñ êî÷åðãîé äåëàþò ïîíÿòíûì óñòðîéñòâî ÷ðåçâû÷àéíî îñòðîóìíîãî è ïðîñòîãî ïðèáîðà, ñëóæàùåãî äëÿ îïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóð ðàñêàëåííûõ òåë, – ïèðîìåòðè÷åñêîãî êëèíà. Îí ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé äåéñòâèòåëüíî êëèí èç çåëåíîãî ñòåêëà, òîëùèíà êîòîðîãî ïëàâíî âîçðàñòàåò îò îäíîãî êîíöà ê äðóãîìó. Êëèí


ÑÞÐÏÐÈÇÛ

ÇÅËÅÍÎÃÎ

äâèãàåòñÿ â ìåòàëëè÷åñêîé îïðàâêå ñ îòâåðñòèåì äëÿ íàáëþäåíèÿ ðàñêàëåííîãî òåëà. Ïî êðàþ êëèíà íàíåñåíà øêàëà òåìïåðàòóð, ïðè÷åì òåìïåðàòóðà ðàñòåò îò òîíêîãî êîíöà êëèíà ê òîëñòîìó. Íàñòàâèâ îòâåðñòèå îïðàâêè íà ðàñêàëåííîå òåëî, íàäî äâèãàòü êëèí â îïðàâêå äî òåõ ïîð, ïîêà íå ïðîèçîéäåò èçìåíåíèå âèäèìîãî öâåòà òåëà. Òîãäà íà øêàëå ïðîòèâ óêàçàòåëÿ, ñîåäèíåííîãî ñ îïðàâêîé, ìîæíî ïðî÷åñòü òåìïåðàòóðó ðàñêàëåííîãî òåëà. Ïèðîìåòðè÷åñêèì êëèíîì îñîáåííî ÷àñòî ïîëüçóþòñÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ òåìïåðàòóðû ðàñïëàâëåííîãî ìåòàëëà, íàïðèìåð â ìàðòåíîâñêèõ ïå÷àõ. Íåñìîòðÿ íà ñâîå ïðîñòîå óñòðîéñòâî, êëèí â îïûòíûõ ðóêàõ äàåò âûñîêóþ òî÷íîñòü. Âû ïîçíàêîìèëèñü ñ ïðèíöèïîì äåéñòâèÿ ïîëåçíîãî ïðèáîðà, èñïîëüçóþùåãî ñâîéñòâà çåëåíîãî ñòåêëà, íî çàãàäêà ñàìîãî ñòåêëà îñòàëàñü çàãàäêîé. Îïûò, íå ñäåëàííûé Íüþòîíîì, è ëàíäøàôòíàÿ æèâîïèñü Íàâåðíîå, ìíîãèå èç âàñ ïîìíÿò çíàìåíèòûé îïûò Íüþòîíà ñ ðàçëîæåíèåì ñîëíå÷íîãî ëó÷à â ðàçíîöâåòíûé ñïåêòð ïðè ïîìîùè ñòåêëÿííîé ïðèçìû. Ýòîò îïûò ïîêàçàë, ÷òî ñîëíå÷íûé ñâåò ïðåäñòàâëÿåò ñìåñü ëó÷åé ðàçëè÷íûõ öâåòîâ: êðàñíîãî, îðàíæåâîãî, æåëòîãî, çåëåíîãî, ãîëóáîãî, ñèíåãî è ôèîëåòîâîãî. Íüþòîí ïî÷åìó-òî íå ïîïûòàëñÿ íåñêîëüêî óñëîæíèòü ýòîò îïûò: ïîñòàâèòü íà ïóòè ñîëíå÷íîãî ëó÷à öâåòíîå ñòåêëî èëè ñîñóä ñ îêðàøåííîé æèäêîñòüþ. Âî âñÿêîì ñëó÷àå, â ñâîèõ òðóäàõ Íüþòîí íå îïèñûâàåò òàêîãî îïûòà. Îïûò ñ êðàñíûì ñòåêëîì, ñîáñòâåííî, íè÷åãî èíòåðåñíîãî è íå äàë áû. Âìåñòî ðàçíîöâåòíîé ïîëîñêè ñïåêòðà îñòàëñÿ áû òîëüêî ó÷àñòîê, ñîîòâåòñòâóþùèé êðàñíûì ëó÷àì. Ðåçóëüòàò ìîæíî áûëî ïðåäñêàçàòü çàðàíåå: êðàñíîå ñòåêëî ïîòîìó è êðàñíîå, ÷òî ïðîïóñêàåò òîëüêî êðàñíûå ëó÷è è ïîãëîùàåò âñå îñòàëüíûå. Ãîðàçäî áîëåå èíòåðåñåí îïûò ñ çåëåíûì ñòåêëîì èëè ñîñóäîì, íàïîëíåííûì ðàñòâîðîì õëîðîôèëëà.  ýòèõ ñëó÷àÿõ îò ñïåêòðà îñòàíóòñÿ óæå íå îäíà, à äâå ïîëîñêè: çåëåíàÿ è òåìíî-êðàñíàÿ. À ýòî çíà÷èò, ÷òî çåëåíîå ñòåêëî è ðàñòâîð õëîðîôèëëà ïðîïóñêàþò íå òîëüêî çåëåíûå, íî è êðàñíûå ëó÷è. Ïî ïîâîäó õëîðîôèëëà î÷åíü èíòåðåñíû çàìå÷àíèÿ çíàìåíèòîãî ðóññêîãî áîòàíèêà Ê.À.Òèìèðÿçåâà: «Óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî õëîðîôèëë ïðîïóñêàåò êðàñíûå ëó÷è, ìîæíî î÷åíü ëåãêî: ñòîèò íà çàëèòûé ÿðêèì ñîëíå÷íûì ñâåòîì ëàíäøàôò ïîñìîòðåòü ÷åðåç îñîáîå ñèíåå ñòåêëî, êîòîðîå ïðîïóñêàåò êðàñíûå è ñèíèå ëó÷è, íî çàäåðæèâàåò çåëåíûå, äëÿ òîãî ÷òîáû ïåðåä íàøèìè èçóìëåííûìè âçîðàìè âñÿ ïðèðîäà ñîâåðøåííî ïðåîáðàçèëàñü – ïîä îáû÷íûì ñèíèì íåáîì ìû óâèäèì êðîâàâî-êðàñíóþ ðàñòèòåëüíîñòü <ðèñ.1>. Íå â ýòîé ëè îñîáåííîñòè öâåòà õëîðîôèëëà ëåæàò òå òðóäíîñòè, ñ êîòîðûìè, î÷åâèäíî, ïðèõîäèòñÿ áîðîòüñÿ ëàíäøàôòíîé æèâîïèñè? Íà ïàëèòðå æèâîïèñöà, ïî-âèäèìîìó, íåò òåõ çåëåíûõ òîíîâ, êîòîðûå ïðåäñòàâëÿåò âáëèçè ÿðêî îñâåùåííàÿ çåëåíü». Îñòàâèì, îäíàêî, æèâîïèñü ïîêà â ñòîðîíå è âåðíåìñÿ ê ïèðîìåòðè÷åñêîìó êëèíó. Íåñêîëüêî âèäîèçìåíèì îïèñàííûé âûøå îïûò.  êà÷åñòâå èñòî÷íèêà ñâåòà

ÑÒÅÊËÀ



Ðèñ. 1

èñïîëüçóåì íèòü ëàìïû íàêàëèâàíèÿ è ìåæäó íåé è ïðèçìîé ïîìåñòèì ïèðîìåòðè÷åñêèé êëèí (ðèñ.2). Íà ñòåíå ìû îïÿòü óâèäèì äâå ïîëîñêè – çåëåíóþ è êðàñíóþ, ïðè÷åì ñîîòíîøåíèå ÿðêîñòåé ýòèõ ïîëîñîê áóäåò çàâèñåòü îò òîëùèíû êëèíà â ìåñòå ïðîõîæäåíèÿ ñâåòîâîãî ëó÷à. Åñëè ëó÷ ïðîõîäèò ñêâîçü òîíêóþ ÷àñòü

Ðèñ. 2

êëèíà, çåëåíàÿ ïîëîñêà çíà÷èòåëüíî ÿð÷å, ÷åì êðàñíàÿ, ïðè óâåëè÷åíèè òîëùèíû êëèíà ÿðêîñòü îáåèõ ïîëîñîê ñíèæàåòñÿ, à íà÷èíàÿ ñ íåêîòîðîãî ìîìåíòà êðàñíàÿ ïîëîñêà ñòàíîâèòñÿ ÿð÷å çåëåíîé. Êîãäà çåëåíàÿ ïîëîñêà ÿð÷å êðàñíîé, íèòü âèäíà çåëåíîé, ïðè îáðàòíîì ñîîòíîøåíèè ÿðêîñòåé ïîëîñîê – êðàñíîé. Ïðè ðàâåíñòâå ÿðêîñòåé ïîëîñîê íèòü êàæåòñÿ áåñöâåòíîé. Êàê áóäòî çàãàäêà çåëåíîãî ñòåêëà ðàçúÿñíåíà. Îäíàêî îñòàåòñÿ åùå îáúÿñíèòü, ïî÷åìó ñ ðîñòîì òîëùèíû ñòåêëà ñîîòíîøåíèå ÿðêîñòåé êðàñíîé è çåëåíîé ïîëîñîê ìåíÿåòñÿ íà îáðàòíîå. Îêàçûâàåòñÿ, îáúÿñíåíèå âûòåêàåò èç âàæíîãî çàêîíà îïòèêè, îòêðûòîãî îäíèì áðàâûì ìîðÿêîì ëåò äâåñòè òîìó íàçàä. Êàïèòàí äàëüíåãî ïëàâàíèÿ è ãåîìåòðè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ Êàïèòàí äàëüíåãî ïëàâàíèÿ ôðàíöóç Ïüåð Áóãåð, æèâøèé â ïåðâîé ïîëîâèíå âîñåìíàäöàòîãî ñòîëåòèÿ, íå áûë, ïîæàëóé, ïðîñòûì ìîðÿêîì. Èì íàïèñàíû îáúåìèñòûå òðàêòàòû ïî êîíñòðóêöèè ñóäîâ, ïî íàâèãàöèè è äðóãèì îòðàñëÿì ìîðñêîãî äåëà. Ôðàíöóçñêàÿ Àêàäåìèÿ íàóê ïðèñóäèëà Áóãåðó òðè ïðåìèè çà ðàáîòû ïî ìîðñêîìó äåëó è èçáðàëà åãî ñâîèì ÷ëåíîì. Âêóñ ê ìîðñêîé íàóêå Áóãåð óíàñëåäîâàë îò ñâîåãî îòöà, ïðîôåññîðà ãèäðîëîãèè. Åñëè ìîðåì Áóãåð çàíèìàëñÿ ïî íàñëåäñòâó, òî îïòèêîé îí çàíÿëñÿ ïî ñîáñòâåííîìó ïî÷èíó. Áóãåð ïåðâûé îáðàòèë âíèìàíèå íà ïðîáëåìû, ñâÿçàííûå ñ èçìåíåíèÿìè ñèëû ñâåòà è îñâåùåííîñòè. Îí ïðèäóìàë ïåðâûå ïðèáîðû äëÿ èçìåðåíèÿ ñèëû ñâåòà è óñòàíîâèë, ÷òî ñèëà ñâåòà Ñîëíöà â 300 òûñÿ÷ ðàç áîëüøå




ÊÂÀÍT 2007/¹5

ñèëû ñâåòà Ëóíû, à â åãî «Îïòè÷åñêîì òðàêòàòå» ñîäåðæàëñÿ î÷åíü âàæíûé çàêîí îñëàáëåíèÿ ñâåòà â ïîãëîùàþùèõ òåëàõ. ×òîáû ïîíÿòü ñìûñë ýòîãî çàêîíà (åãî íàçûâàþò çàêîíîì Áóãåðà), âîñïîëüçóåìñÿ íå î÷åíü ïðàâäîïîäîáíîé, íî íàãëÿäíîé àíàëîãèåé èç îáëàñòè ñïîðòà. Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî ìû ïðèñóòñòâóåì íà ïëîõî ïîäãîòîâëåííîì ìàññîâîì ñîñòÿçàíèè â áåãå íà ñåìü êèëîìåòðîâ. Ñëàáàÿ òðåíèðîâêà ó÷àñòíèêîâ ñòàëà ñêàçûâàòüñÿ ñðàçó, è áîëåëüùèêè áûñòðî óñòàíîâèëè ñëåäóþùèé ëþáîïûòíûé çàêîí – ëèøü îäíà òðåòü áåãóíîâ, íà÷àâøèõ äàííûé êèëîìåòð äèñòàíöèè, äîáåãàåò åãî äî êîíöà. Ñòàðò ïðèíÿëè 2187 ó÷àñòíèêîâ, ê êîíöó ïåðâîãî êèëîìåòðà íà äèñòàíöèè îñòàëèñü 729, ê êîíöó âòîðîãî – 243, ê êîíöó òðåòüåãî – 81, ÷åòâåðòîãî – 27, ïÿòîãî – 9, øåñòîãî – 3 ó÷àñòíèêà. Íàêîíåö, ñåäüìîé êèëîìåòð çàêàí÷èâàåò òîëüêî 1 áåãóí, îáúÿâëåííûé ïîáåäèòåëåì. Ñóäüÿì äàæå íå ïðèøëîñü âîñïîëüçîâàòüñÿ ñåêóíäîìåðîì äëÿ îïðåäåëåíèÿ òîãî, êòî ïåðâûì êîñíóëñÿ ôèíèøíîé ëåíòî÷êè. Âûïèøåì â ñòðîêó ÷èñëà áåãóíîâ, ïðîáåæàâøèõ ðàçëè÷íûå äèñòàíöèè: 2187, 729, 243, 81, 27, 9, 3, 1. Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî ýòè ÷èñëà îáðàçóþò óáûâàþùóþ ãåîìåòðè÷åñêóþ ïðîãðåññèþ, â êîòîðîé êàæäîå ïîñëåäóþùåå ÷èñëî â òðè ðàçà ìåíüøå ïðåäûäóùåãî, ñòîÿùåãî ñëåâà îò íåãî. Âåðíåìñÿ îò ñïîðòà ê îïòèêå. Âîçüìåì êóñîê îêðàøåííîãî ñòåêëà. Äîïóñòèì, ÷òî îí ïðîïóñêàåò îäíó òðåòü ïàäàþùåãî íà íåãî ñâåòà. Äîáàâèì âòîðîé òàêîé æå êóñîê. Îí ïðîïóñòèò îäíó òðåòü ñâåòîâîãî ïîòîêà, ïðîøåäøåãî ÷åðåç ïåðâûé êóñîê, ò. å. îäíó äåâÿòóþ ÷àñòü ñâåòîâîãî ïîòîêà, ïàäàþùåãî íà ïåðâûé êóñîê. Ïîñòàâèâ åùå îäèí êóñîê, ïîëó÷èì îäíó äâàäöàòü ñåäüìóþ ÷àñòü è òàê äàëåå. ßñíî, ÷òî òàêîé æå ðåçóëüòàò ïîëó÷èëñÿ áû ïðîñòî ïðè óâåëè÷åíèè òîëùèíû êóñêà ñòåêëà âäâîå, âòîðîå è ò.ä. Êîãäà òîëùèíà ñòåêëà ðàñòåò, äîëÿ ïðîïóñêàåìîãî ñâåòà ïàäàåò ïî ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Ýòî è åñòü çàêîí, îòêðûòûé Áóãåðîì.  ïðèìåðå ñ áåãóíàìè ìû óæå âèäåëè, êàê áûñòðî óìåíüøàþòñÿ ÷èñëà â ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè. Åùå íåìíîãî ñïîðòà Âîîðóæåííûå çàêîíîì Áóãåðà, ìû ìîæåì ñìåëî áðîñèòüñÿ â àòàêó íà çàãàäêó çåëåíîãî ñòåêëà. Îäíàêî ïðåæäå âñïîìíèì îïÿòü î ñïîðòå è ïðåäñòàâèì ñåáå òàêóþ ñèòóàöèþ. Íîâè÷êè, òàê íåóäà÷íî ïðîáåæàâøèå äèñòàíöèþ â ñåìü êèëîìåòðîâ, ñàìîóâåðåííî âûçâàëè íà ñîðåâíîâàíèå êîìàíäó îïûòíûõ ìàñòåðîâ. Ìàñòåðà ïðèíÿëè âûçîâ è äàæå ïðåäëîæèëè âåñüìà âåëèêîäóøíûå óñëîâèÿ: íà ñòàðò âûõîäÿò âñå 2187 íîâè÷êîâ è òîëüêî 512 ìàñòåðîâ; ïîáåäèâøåé ñ÷èòàåòñÿ êîìàíäà, â êîòîðîé áîëüøåå ÷èñëî áåãóíîâ äîáåæèò äî êîíöà ñåäüìîãî êèëîìåòðà. Íà ñîñòÿçàíèå îáå êîìàíäû ÿâèëèñü â öâåòíûõ ìàéêàõ: íîâè÷êè íàäåëè çåëåíûå ìàéêè, ìàñòåðà – êðàñíûå. Ïîñëå ïåðâîãî êèëîìåòðà ñòîðîííèêè íîâè÷êîâ

ïðèîáîäðèëèñü. Èç êîìàíäû íîâè÷êîâ îñòàëîñü, êàê è â ïðîøëûé ðàç, 729 áåãóíîâ, à ó ìàñòåðî⠖ 256. Áîëüøîé ÷èñëåííûé ïåðåâåñ ñîõðàíèëñÿ íà ñòîðîíå íîâè÷êîâ. Ïîêëîííèêè ìàñòåðîâ áûëè íåñêîëüêî îáåñêóðàæåíû òåì, ÷òî â ýòîé êîìàíäå ñðàçó âûøëè èç ñòðîÿ ïîëîâèíà áåãóíîâ. Íî îäèí èç áîëåëüùèêîâ, ñäåëàâ êàðàíäàøîì íåõèòðûå âûêëàäêè íà ïàïèðîñíîé êîðîáêå, óâåðåííî çàÿâèë, ÷òî åñëè äåëî ïîéäåò òàê æå è äàëüøå, òî âûèãðàþò íàâåðíÿêà ìàñòåðà. Ïîñëå âòîðîãî êèëîìåòðà «çåëåíûõ» îñòàëîñü 243, à «êðàñíûõ» – 128. Ïîñëå òðåòüåãî êèëîìåòðà «çåëåíûõ» – 81, à «êðàñíûõ» – 64. Íàñòðîåíèå ñòîðîííèêîâ íîâè÷êîâ çàìåòíî ñòàëî ïàäàòü. Ïîñëå ÷åòâåðòîãî êèëîìåòðà «çåëåíûõ» – 27, à «êðàñíûõ» – 32. Âñå ñ ïî÷òåíèåì ïîñìîòðåëè íà ïðåäñêàçàòåëÿ ñ êîðîáêîé ïàïèðîñ. Îñòàâøèåñÿ òðè êèëîìåòðà òîëüêî óñóãóáèëè ïîðàæåíèå «çåëåíûõ». Ïîñëå ïÿòîãî êèëîìåòðà «çåëåíûõ» – 9, «êðàñíûõ» – 16, ïîñëå øåñòîãî — 3 è 8. Íàêîíåö, ê ôèíèøó â êîíöå ñåäüìîãî êèëîìåòðà ïðèøëè îäèí «çåëåíûé» è ÷åòûðå «êðàñíûõ». Âûïèøåì äðóã ïîä äðóãîì ÷èñëà áåãóíîâ â îáåèõ êîìàíäàõ: 2187, 729,243, 81,

27,

9,

3,

1

512, 256, 128, 64,

32,

16,

8,

4.

Âî âòîðîé ñòðîêå îòíîøåíèå ïîñëåäóþùåãî ÷èñëà ê ïðåäûäóùåìó ðàâíî îäíîé âòîðîé, à â ïåðâîé ñòðîêå, êàê è ðàíüøå, – îäíîé òðåòè. Îêàçàëîñü, ÷òî ýòà íåáîëüøàÿ ðàçíèöà â ÷èñëàõ íå òîëüêî áûëà äîñòàòî÷íà, ÷òîáû êîìïåíñèðîâàòü áîëüøîé íà÷àëüíûé ÷èñëåííûé ïåðåâåñ êîìàíäû «çåëåíûõ», íî è ïðèâåëà êîìàíäó «êðàñíûõ» ê ïîáåäå. Íóæíà áûëà òîëüêî äîñòàòî÷íî äëèííàÿ äèñòàíöèÿ, íå ìåíåå ÷åòûðåõ êèëîìåòðîâ. Íà áîëåå êîðîòêèõ äèñòàíöèÿõ ïîáåäèëè áû «çåëåíûå».  ïîâåäåíèè çåëåíûõ è êðàñíûõ ëó÷åé è «çåëåíûõ» è «êðàñíûõ» áåãóíîâ ñóùåñòâóåò ïîëíàÿ àíàëîãèÿ (ðèñ.3). Çåëåíîå ñòåêëî ëó÷øå ïðîïóñêàåò òåìíî-êðàñíûå ëó÷è, ÷åì çåëåíûå, ïðè÷åì, ñîãëàñíî çàêîíó Áóãåðà, ðàçëè÷èå â ïðîïóñêàíèè ýòèõ ëó÷åé áûñòðî ðàñòåò ñ ðîñòîì òîëùèíû ñëîÿ ñòåêëà («äëèííàÿ äèñòàíöèÿ»). Íî òîãäà åñòåñòâåííî âîçíèêàåò âîïðîñ: ïî÷åìó â òîíêîì ñëîå ñòåêëî êàæåòñÿ çåëåíûì, åñëè îíî ïðîïóñêàåò òåìíî-êðàñíûå ëó÷è ëó÷øå, ÷åì çåëåíûå? Îáúÿñíÿåòñÿ ýòî ñïåêòðàëüíîé õàðàêòåðèñòèêîé èñòî÷íèêà ñâåòà, ñ êîòîðûì ïðîâîäèëñÿ îïûò: çåëåíûé ó÷àñòîê ñïåêòðà ãîðàçäî ÿð÷å, ÷åì òåìíî-êðàñíûé (êîìàíäà «çåëåíûõ» ìíîãî÷èñëåííåå «êðàñíûõ»).  òîíêîì ñëîå ñòåêëà («êîðîòêàÿ äèñòàíöèÿ») ðàçíèöà â ïîãëîùåíèè

Ðèñ. 3


ÑÞÐÏÐÈÇÛ

ÇÅËÅÍÎÃÎ

òåìíî-êðàñíûõ è çåëåíûõ ëó÷åé åùå íå íàñòîëüêî âåëèêà, ÷òîáû ïåðåêðûòü ïåðåâåñ â íà÷àëüíîé ÿðêîñòè çåëåíûõ ëó÷åé. Îñíîâíóþ ðîëü èãðàþò çåëåíûå ëó÷è, ÷òî è äàåò ñîîòâåòñòâóþùóþ îêðàñêó. Ñ ðîñòîì òîëùèíû ñòåêëà, ñîãëàñíî çàêîíó Áóãåðà, ïðîïóñêàíèå çåëåíûõ ëó÷åé ïàäàåò íåñðàâíåííî áûñòðåå, ÷åì òåìíî-êðàñíûõ (÷èñëà «çåëåíûõ» è «êðàñíûõ» áåãóíîâ íà áîëüøèõ äèñòàíöèÿõ). Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîé òîëùèíå ðàçíèöà â ïðîïóñêàíèè óæå òàê âåëèêà, ÷òî ïåðåêðûâàåò íà÷àëüíûé ïåðåâåñ â ÿðêîñòè çåëåíûõ ëó÷åé, è îò âñåãî ñïåêòðà ïðàêòè÷åñêè îñòàåòñÿ òîëüêî òåìíî-êðàñíàÿ ïîëîñêà. Îñòàëîñü òîëüêî îáúÿñíèòü, êàêóþ ðîëü èãðàåò òåìïåðàòóðà ðàñêàëåííîãî òåëà, íà êîòîðîå ìû ñìîòðèì ñêâîçü ñòåêëî. Èçâåñòíî, ÷òî ÷åì ñèëüíåå ìû ðàñêàëèì ëþáîé ìåòàëëè÷åñêèé ïðåäìåò, òåì áåëåå äàâàåìûé èì ñâåò. Íåäàðîì ãîâîðÿò: «äîâåñòè äî Ðèñ. 4 áåëîãî êàëåíèÿ». Òàê, ïðè íåäîñòàòî÷íîì íàêàëå ëàìïî÷êà íàêàëèâàíèÿ äàåò êðàñíîâàòûé ñâåò, ïðè íîðìàëüíîì íàêàëå – ãîðàçäî áîëåå áåëûé. Îáúÿñíÿåòñÿ ýòî òåì, ÷òî ñ ðîñòîì òåìïåðàòóðû ÿðêîñòü çåëåíûõ è ñèíèõ ëó÷åé ðàñòåò ãîðàçäî áûñòðåå, ÷åì êðàñíûõ. Çíà÷èò, ïðè áîëåå âûñîêîé òåìïåðàòóðå ðàçíèöà â ÿðêîñòÿõ çåëåíîé è òåìíî-êðàñíîé ÷àñòåé ñïåêòðà áîëüøå, è åå òðóäíåå ïåðåêðûòü ïîãëîùåíèåì â ñòåêëå. Âîò ïî÷åìó ïðè áîëåå âûñîêèõ òåìïåðàòóðàõ ðàñêàëåííîãî òåëà äëÿ èçìåíåíèÿ öâåòà íàáëþäàåìîãî èçëó÷åíèÿ íóæíî áîëåå òîëñòîå ñòåêëî. Äðåâíåðóññêèå èêîíû è íàáëþäåíèÿ Ëåîíàðäî äà Âèí÷è Íà íåêîòîðûõ äðåâíåðóññêèõ èêîíàõ áðîñàåòñÿ â ãëàçà íåîáû÷íàÿ ðàñöâåòêà îäåÿíèé ñâÿòûõ. Ñêëàäêè èçîáðàæåíû êðàñêîé, îáëàäàþùåé ðåçêî îòëè÷íûì öâåòîì îò öâåòà ãëàäêèõ ÷àñòåé îäåÿíèÿ. Íàïðèìåð – êðàñíûå ñêëàäêè íà çåëåíîì ïëàùå (ðèñ.4) èëè îðàíæåâûå ñêëàäêè íà ñèíåì îäåÿíèè. Îñòðûé ãëàç äðåâíåðóññêîãî áîãîìàçà çàìåòèë, ÷òî íåêîòîðûå òêàíè îáëàäàþò äâóõöâåòíîñòüþ è â ñêëàäêàõ ïðèîáðåòàþò äðóãîé öâåò, ÷åì íà ðîâíîé ïîâåðõíîñòè. Ïðè÷èíà äâóõöâåòíîñòè òêàíåé òà æå, ÷òî è â îïûòå ñ ïèðîìåòðè÷åñêèì êëèíîì. Åñëè ëó÷ ñâåòà, îòðàæåííûé îò äâóõöâåòíîé òêàíè, ïðîïóñòèòü ñêâîçü ïðèçìó, òî â ñïåêòðå îáÿçàòåëüíî îñòàíóòñÿ äâå öâåòíûå ïîëîñêè. Äëÿ çåëåíîé äâóõöâåòíîé òêàíè êàðòèíà áóäåò òîé æå, ÷òî ñ çåëåíûì ñòåêëîì: îñòàíóòñÿ êðàñíàÿ è çåëåíàÿ ïîëîñêè, îñòàëüíûå ëó÷è ïîãëîòÿòñÿ. Äâóõöâåòíàÿ çåëåíàÿ òêàíü ëó÷øå îòðàæàåò êðàñíûå ëó÷è, ÷åì çåëåíûå, íî ïðè îäíîêðàòíîì îòðàæåíèè îò ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè òêàíè ñêàçûâàåòñÿ áóëüøàÿ ÿðêîñòü çåëåíûõ ëó÷åé â ïàäàþùåì ñâåòå. Ïîýòîìó â îäíîêðàòíî îòðàæåííîì ñâåòå âñå-òàêè ïðåîáëàäàþò çåëåíûå ëó÷è.  ñêëàäêàõ òêàíè ñâåò èñïûòûâàåò ïî êðàéíåé ìåðå äâà ïîñëåäîâàòåëüíûõ îòðàæåíèÿ. Ïðè âòîðîì îòðàæåíèè êðàñíûå ëó÷è îòðàæàþòñÿ îïÿòü ñèëüíåå, ÷åì çåëåíûå, è â ðåçóëüòàòå äâóêðàòíîãî

ÑÒÅÊËÀ

! îòðàæåíèÿ ïðîèñõîäèò òî æå, ÷òî è â çåëåíîì ñòåêëå áîëüøîé òîëùèíû: ÿðêîñòü êðàñíûõ ëó÷åé ñòàíîâèòñÿ áîëüøå ÿðêîñòè çåëåíûõ ëó÷åé è òêàíü ìåíÿåò öâåò. Ìíîãîêðàòíûå îòðàæåíèÿ óñèëèâàþò ýòîò ýôôåêò. Áîëüøèíñòâî îáû÷íûõ òêàíåé îáëàäàåò ïðÿìî ïðîòèâîïîëîæíûìè ñâîéñòâàìè. Â

ñêëàäêàõ ïîëó÷àåòñÿ áîëåå íàñûùåííûé, íî òàêîé æå öâåòîâîé òîí, ÷òî è íà ðîâíîé ïîâåðõíîñòè. Îáúÿñíÿåòñÿ ýòî îïÿòü-òàêè ïîâòîðíûìè îòðàæåíèÿìè. Ñâåò, îòðàæåííûé îò òàêèõ òêàíåé, ïîñëå ðàçëîæåíèÿ ïðèçìîé äàåò òîëüêî îäíó ïîëîñêó â ñïåêòðå âìåñòî äâóõ ïîëîñîê ó äâóõöâåòíûõ òêàíåé. Íàïðèìåð, ñâåò, îäíàæäû îòðàæåííûé îò æåëòîãî áàðõàòà, äàåò â ñïåêòðå øèðîêóþ ïîëîñó ñ íàèáîëüøåé ÿðêîñòüþ â æåëòîé ÷àñòè. Êðîìå æåëòûõ ëó÷åé â ñïåêòðå ïðèñóòñòâóþò åùå çåëåíûå è ãîëóáûå ëó÷è. Ïðè äâóêðàòíîì îòðàæåíèè ïîëîñà â ñïåêòðå ñòàíîâèòñÿ ýæå, òàê êàê ãîëóáûå ëó÷è ïðàêòè÷åñêè èñ÷åçàþò ñîâñåì, à çåëåíûå ñèëüíî îñëàáëÿþòñÿ. Ýòî ðàáîòàåò âñå òîò æå çàêîí ãåîìåòðè÷åñêîé ïðîãðåññèè.  ðåçóëüòàòå æåëòî-îðàíæåâûé îòðàæåííûé ñâåò äåëàåòñÿ áîëåå íàñûùåííûì. Îäèí èç íàèáîëåå ðàçíîñòîðîííèõ ãåíèåâ, æèâøèõ êîãäà-ëèáî, – Ëåîíàðäî äà Âèí÷è – íå òîëüêî çàìåòèë ñâîèì ãëàçîì õóäîæíèêà ýòó îñîáåííîñòü ñêëàäîê òêàíåé, íî è êàê ó÷åíûé äàë âïîëíå ïðàâèëüíîå îáúÿñíåíèå íàáëþäàåìîìó ÿâëåíèþ.  «Òðàêòàòå î æèâîïèñè» îí ïèøåò: «Îòðàæåííûå öâåòà èìåþò ãîðàçäî áîëüøóþ êðàñîòó, ÷åì ïðèðîäíûé öâåò ýòèõ òåë, êàê ýòî âèäíî íà îòêðûâàþùèõñÿ ñêëàäêàõ çîëîòûõ òêàíåé… êîãäà îäíà ïîâåðõíîñòü îòðàæàåòñÿ îò äðóãîé, ñòîÿùåé íàïðîòèâ, à ýòà â íåé, è òàê ïîñëåäîâàòåëüíî äî áåñêîíå÷íîñòè».  òîì æå «Òðàêòàòå î æèâîïèñè» ñêàçàíî: «Ðåôëåêñû (îòðàæåíèÿ) îò æèâîãî òåëà, ïîëó÷àþùåãî ñâåò îò äðóãîãî æèâîãî òåëà, áîëåå êðàñíû è áîëåå ïðåâîñõîäíî òåëåñíîãî öâåòà, ÷åì ëþáàÿ äðóãàÿ ÷àñòü æèâîãî òåëà, êàêàÿ òîëüêî ìîæåò áûòü ó ÷åëîâåêà». Ñîçåðöàÿ ñ íàñëàæäåíèåì â çàëàõ «Ýðìèòàæà» èçóìèòåëüíûå ïîëîòíà Âàí Äåéêà è Ðóáåíñà, íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî è äëÿ ýòèõ âåëèêèõ ìàñòåðîâ ýôôåêò ìíîãîêðàòíûõ îòðàæåíèé íå áûë òàéíîé.


"

ÊÂÀÍT 2007/¹5

Ïàðàäîêñ ñòîëà íà ÷åòûðåõ íîæêàõ Ï

Î×ÅÌÓ ÀÂÒÎÐ ÏÐÅÄËÀÃÀÅÒ ×ÈÒÀÒÅËßÌ ÐÀÑ-

ñêàç î òàêîì íåçàòåéëèâîì ïðåäìåòå, êàê äåðåâÿííûé ñòîë? Çàáûë, ÷òî æèâåò â äâàäöàòü ïåðâîì âåêå? Íåò, íå çàáûë. Ïðåäëàãàåìûé ðàññêàç äåéñòâèòåëüíî íå ñîäåðæèò íè÷åãî íåèçâåñòíîãî ñïåöèàëèñòàì. Òåì íå ìåíåå, îí âåñüìà ïîó÷èòåëåí, òàê êàê ïîêàçûâàåò, ÷òî äàæå â ïðîñòåéøåì ñëó÷àå ïðè ðåøåíèè ôèçè÷åñêîé çàäà÷è íåèçáåæíî ïðèíèìàåìûå íà âåðó òå èëè èíûå êàçàëîñü áû ïðàâäîïîäîáíûå ïðåäïîëîæåíèÿ ìîãóò ïðèâåñòè ê ñàìûì ïàðàäîêñàëüíûì âûâîäàì. Ýòî áóäåò ïîêàçàíî íà ïðèìåðå ïðîñòîãî äåðåâÿííîãî ñòîëà. Ïåðâàÿ ïîïûòêà âûÿñíèòü, êàê ðàñïðåäåëÿåòñÿ ìåæ-

äó íîæêàìè ñòîëà íàãðóçêà ñî ñòîðîíû ñòîÿùèõ íà ñòîëå ïðåäìåòîâ, ïðèâåäåò íàñ ê íåêîòîðîìó ïàðàäîêñó. Ðàçðåøèâ åãî, ìû îêàæåìñÿ ëèöîì ê ëèöó ñ ñîâåðøåííî íîâîé äëÿ íàñ êàðòèíîé è íîâûìè çàäà÷àìè. Òàêîé ýòàï èññëåäîâàíèÿ – îáíàðóæåíèå ïàðàäîêñà â ïðîöåññå òåîðåòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ è ïîèñêè âûõîäà èç íåãî – ïðèñóù ìíîãèì ôèçè÷åñêèì çàäà÷àì, â òîì ÷èñëå è íåêîòîðûì çàäà÷àì ñîâðåìåííîé ôèçèêè. Ýòî è ïîáóäèëî àâòîðà âñïîìíèòü îïèñàííóþ íèæå èñòîðèþ.  ñòóäåí÷åñêèå ãîäû ÿ ïðî÷åë âîñïîìèíàíèÿ îäíîãî èçâåñòíîãî ðóññêîãî ìåõàíèêà. Ê ñîæàëåíèþ, ïðîøåäøèå ñ òåõ ïîð ñåìü äåñÿòèëåòèé ñòåðëè â ïàìÿòè èìÿ ýòîãî ó÷åíîãî. Îñòàëñÿ òîëüêî îäèí ðàññêàçàííûé èì ÿðêèé ýïèçîä. Àâòîð âîñïîìèíàíèé îáíàðóæèâàåò ïîðàçèòåëüíóþ âåùü – ìåòîäû ñòàòèêè ïàñóþò ïåðåä òàêîé ïðîñòîé çàäà÷åé, êàê ðàñ÷åò óñèëèé íîæåê ñòîëà, íà êîòîðîì ïîêîèòñÿ ãèðÿ, åñëè ó ñòîëà ÷åòûðå íîæêè. È ýòî ïðè òîì, ÷òî çàäà÷à î ñòîëå ñ òðåìÿ íîæêàìè ðåøàåòñÿ ýëåìåíòàðíî.  ÷åì æå äåëî? Íå íóæíî äóìàòü, ÷òî ìàòåìàòè÷åñêàÿ çàäà÷à î ÷åòûðåõíîãîì ñòîëå ÿâëÿåòñÿ íàñòîëüêî ñëîæíîé, ÷òî íèêòî íå ìîæåò åå ðåøèòü. Íàîáîðîò, çàäà÷à ýëåìåíòàðíî ïðîñòà, è, êàê ñêàæåò ëþáîé ìàòåìàòèê, íàéòè åå ïîëíîå ðåøåíèå íå ñîñòàâëÿåò íèêàêîãî òðóäà. Îäíàêî… Ïðèñòóïèì ê ðåøåíèþ çàäà÷è î ñòîëå î ÷åòûðåõ íîæêàõ. Ïîìèìî ñèë òÿæåñòè (ñòîëà è ñòîÿùåé íà íåì ãèðè) íà ñòîë äåéñòâóþò åùå ÷åòûðå ñèëû, êîòîðûå íå äàþò ïðîâàëèòüñÿ íè îäíîé èç ÷åòûðåõ íîæåê. Ýòî ðåàêöèè îïîðû (ïîëà), ïðèëîæåííûå ê íîæêàì ñòîëà â òî÷êàõ èõ ñîïðèêîñíîâåíèÿ ñ ïîëîì. Âñå ýòè ñèëû íàïðàâëåíû âåðòèêàëüíî. Ñèëû òðåíèÿ îòñóòñòâóþò, ïîñêîëüêó ñòîë íåïîäâèæåí è íèêòî íå ñòàðàåòñÿ

Èëëþñòðàöèÿ Â.Èâàíþêà

Ã.ËÞÁÀÐÑÊÈÉ


ÏÀÐÀÄÎÊÑ

ÑÒÎËÀ

åãî ñäâèíóòü. Çàäà÷à ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû âû÷èñëèòü âñå ÷åòûðå ðåàêöèè îïîðû. Ïðèìåíèì çàêîíû ñòàòèêè. Äëÿ ðàâíîâåñèÿ ñòîëà ñóììà ñèë ðåàêöèè äîëæíà óðàâíîâåñèòü îáùóþ ñèëó òÿæåñòè P ãèðè è ñòîëà: F1 + F2 + F3 + F4 = P .

Ýòî, ðàçóìååòñÿ, åùå íå âñå óñëîâèÿ ðàâíîâåñèÿ. Ñèëû äîëæíû áûòü òàê ñáàëàíñèðîâàíû, ÷òîáû íå âûçâàòü âðàùåíèÿ âîêðóã íè îäíîé èç âîçìîæíûõ îñåé. Âîçüìåì â êà÷åñòâå äâóõ îñåé äâå âçàèìíî ïåðïåíäèêóëÿðíûå ãîðèçîíòàëüíûå ïðÿìûå, ñîåäèíÿþùèå íèæíèå êîíöû êàêèõ-ëèáî òðåõ íîæåê ñòîëà. Âîñïîëüçóåìñÿ ïðàâèëîì ðû÷àãà, ñîãëàñíî êîòîðîìó äëÿ åãî ðàâíîâåñèÿ ñóììà ìîìåíòîâ ñèë, ñòðåìÿùèõñÿ ïîâåðíóòü ðû÷àã âîêðóã îñè â îäíó ñòîðîíó, äîëæíà óðàâíîâåøèâàòüñÿ ñóììîé ìîìåíòîâ ñèë, ñòðåìÿùèõñÿ ïîâåðíóòü ðû÷àã â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. Ýòî äàñò íàì åùå äâà óðàâíåíèÿ. Âåðòèêàëüíóþ îñü ìîæíî èãíîðèðîâàòü, òàê êàê âñå ïðèëîæåííûå ñèëû âåðòèêàëüíû è ïîòîìó íå ìîãóò ñîçäàòü âðàùàþùåãî ìîìåíòà îòíîñèòåëüíî ýòîé îñè. Êîíêðåòíûé âèä óðàâíåíèé ìû ïðèâåäåì, êîãäà îí íàì ïîíàäîáèòñÿ. Èòàê, ó íàñ åñòü òðè óðàâíåíèÿ ñòàòèêè è ÷åòûðå (ïî ÷èñëó íîæåê) íåèçâåñòíûå ñèëû. Âîçíèêøàÿ ñèòóàöèÿ íàñòîðàæèâàåò, òàê êàê ÷èñëî íåèçâåñòíûõ ïðåâûøàåò ÷èñëî óðàâíåíèé. Âî âñåõ ïîäîáíûõ ñëó÷àÿõ, êàê ïðàâèëî, åñëè ñóùåñòâóåò õîòÿ áû îäíî ðåøåíèå, òî èõ ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî. Áîëåå ïîäðîáíîå èññëåäîâàíèå íàøåé ñèñòåìû òðåõ óðàâíåíèé ïîêàçûâàåò, ÷òî îíà âñåãäà èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé è âñå îíè ìîãóò áûòü ëåãêî íàéäåíû. Îäíî èç ýòèõ ðåøåíèé äàåò íàì èñòèííûå ðåàêöèè íîæåê ñòîëà, íî, óâû, ñòàòèêà íå ìîæåò îäíîçíà÷íî óêàçàòü ýòî åäèíñòâåííîå ðåøåíèå.  ýòîì è ñîñòîèò íåðàçðåøèìîñòü çàäà÷è â ðàìêàõ ñòàòèêè. ×òî æå äàëà íàì ñòàòèêà? Î÷åíü ìíîãîå. Îíà ïîäñêàçàëà, ÷òî ñäåëàííàÿ íàìè ïîïûòêà ïåðåéòè îò êîíêðåòíîé ôèçè÷åñêîé çàäà÷è ê çàäà÷å ìàòåìàòè÷åñêîé íåêîððåêòíà. Ïîïðîñòó ãîâîðÿ, ìû îêàçàëèñü ïëîõèìè ôèçèêàìè. Çäåñü ìû ïîäõîäèì ê ñàìîé èíòåðåñíîé ñòàäèè èññëåäîâàíèÿ – ïîèñêó îøèáêè, èëè, ëó÷øå ñêàçàòü, êðèòè÷åñêîìó àíàëèçó ñäåëàííûõ äîïóùåíèé. Íè÷åãî ïëîõîãî íåò â òîì, ÷òî, ïðèñòóïàÿ ê èññëåäîâàíèþ ôèçè÷åñêîé çàäà÷è, ìû ââåëè ðÿä óïðîùàþùèõ ïðåäïîëîæåíèé. Ýòî íåèçáåæíûé ýòàï ïðè ðåøåíèè âñÿêîé ôèçè÷åñêîé çàäà÷è, ñóùåñòâåííî îòëè÷àþùèé åå îò âñÿêîé ìàòåìàòè÷åñêîé çàäà÷è. Êñòàòè ñêàçàòü, ýòî îäíî èç îáñòîÿòåëüñòâ, îòëè÷àþùèõ â îáùèõ ÷åðòàõ ñêëàä óìà ôèçèêà îò ñêëàäà óìà ìàòåìàòèêà. ×èòàòåëü, âåðîÿòíî, óæå äîãàäàëñÿ, â ÷åì áûëà íàøà îøèáêà. Ìû âîñïîëüçîâàëèñü ïîíÿòèåì «àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî» â ñèòóàöèè, êîãäà ýòî ïîíÿòèå ïðèâîäèò ê ïàðàäîêñó – íåâîçìîæíîñòè âû÷èñëèòü ðåàêöèè îïîðû. Êîíå÷íî, íîæêè ñòîëà ïðåäñòàâëÿþòñÿ î÷åíü òâåðäûìè, ìûñëåííàÿ çàìåíà èõ èäåàëèçèðîâàííûìè àáñîëþòíî òâåðäûìè êàæåòñÿ âïîëíå çàêîííîé, òåì áîëåå ÷òî òàêàÿ çàìåíà îêàçàëàñü äîïóñòèìîé â ñëó÷àå ñòîëà íà òðåõ íîæêàõ è â ìíîãî÷èñëåííûõ çàäà÷àõ, êîòîðûå ìîæíî íàéòè â çàäà÷íèêàõ ïî ñòàòèêå.

ÍÀ

×ÅÒÛÐÅÕ

ÍÎÆÊÀÕ

#

Ïàðàäîêñàëüíûì ïðåäñòàâëÿåòñÿ òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî ñêîëü áû òâåðäûìè íè áûëè íîæêè, èõ íè â êîåì ñëó÷àå íåëüçÿ ñ÷èòàòü àáñîëþòíî òâåðäûìè â ñìûñëå ñòàòèêè òâåðäîãî òåëà. Äåëî â òîì, ÷òî ïîä òÿæåñòüþ ãðóçà íîæêè íåñêîëüêî óêîðà÷èâàþòñÿ, ïðè÷åì âåëè÷èíû ýòèõ óêîðî÷åíèé çàâèñÿò îò äåéñòâóþùèõ íà íèõ ñèë. Äëÿ òîãî ÷òîáû ñòîë îïèðàëñÿ íà ïëîñêèé ïîë âñåìè ÷åòûðüìÿ íîæêàìè, èõ íèæíèå êîíöû â íàãðóæåííîì ñîñòîÿíèè äîëæíû íàõîäèòüñÿ â îäíîé ïëîñêîñòè, èëè, êàê ïðèíÿòî ãîâîðèòü, áûòü êîìïëàíàðíû. Âñïîìíèì, ÷òî óðàâíåíèÿ ñòàòèêè ïðèâåëè íàñ ê ìíîæåñòâó ðåøåíèé. Çíà÷èò, èç íèõ íóæíî âûáðàòü òî, êîòîðîå îáåñïå÷èâàåò êîìïëàíàðíîñòü íèæíèõ êîíöîâ íîæåê ñòîëà. Çàðàíåå íå ÿñíî, ê ÷åìó ïðèâåäåò ýòî ïðåäïîëîæåíèå. Õîðîøî, åñëè åñòü òîëüêî îäíî ðåøåíèå, ñîõðàíÿþùåå òàêîå ðàñïîëîæåíèå êîíöîâ íîæåê ñòîëà. Òîãäà ïàðàäîêñ íåîïðåäåëåííîñòè ðåøåíèÿ èñ÷åçàåò. À êàê áûòü, åñëè òàêèõ ðåøåíèé íåñêîëüêî èëè, ÷òî åùå õóæå, íåò íè îäíîãî? Âûõîäèò, èññëåäîâàíèå ïðîäîëæàåòñÿ, íî îáúåêò èññëåäîâàíèÿ èçìåíèëñÿ. Òåïåðü ýòî ñòîë, íîæêè êîòîðîãî ìîãóò óêîðà÷èâàòüñÿ ïîä äåéñòâèåì íàãðóçîê. À ñòîëåøíèöà îñòàåòñÿ àáñîëþòíî òâåðäîé, òàê æå êàê è êðåïëåíèÿ, ñîåäèíÿþùèå åå ñ íîæêàìè. Ïîñëåäíåå îçíà÷àåò, ÷òî íîæêè è ïîñëå äåôîðìàöèè îñòàþòñÿ ïåðïåíäèêóëÿðíûìè ïëîñêîñòè ñòîëåøíèöû. Ìîæíî ïîäóìàòü, ÷òî âñå ñòàëî òîëüêî õóæå – ê ÷åòûðåì íåèçâåñòíûì ñèëàì äîáàâèëèñü åùå ÷åòûðå íåèçâåñòíûå âåëè÷èíû – äëèíû íîæåê ïîñëå äåôîðìàöèè. Ýòî âåðíî, íî ëåãêî èñïðàâèìî. Íóæíî òîëüêî èìåòü â âèäó, ÷òî, îòêàçûâàÿñü îò êàêîé-ëèáî èäåàëèçàöèè, åå ñëåäóåò íå îòáðàñûâàòü, à çàìåíÿòü äðóãîé, áîëåå ðåàëèñòè÷íîé.  íàøåì ñëó÷àå ìû çàìåíèì ïîíÿòèå àáñîëþòíî òâåðäîãî òåëà ïîíÿòèåì óïðóãîãî òåëà, ïîä÷èíÿþùåãîñÿ çàêîíó Ãóêà. Ïî îòíîøåíèþ ê ñòåðæíþ ýòî îçíà÷àåò, ÷òî èçìåíåíèå äëèíû ñòåðæíÿ ïîä äåéñòâèåì ïðèëîæåííûõ ê íåìó äâóõ ðàâíûõ ïî âåëè÷èíå ñæèìàþùèõ èëè ðàñòÿãèâàþùèõ ñèë ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíî äëèíå ñòåðæíÿ è âåëè÷èíå îäíîé èç ýòèõ ñèë. Ïðèìåíÿÿ çàêîí Ãóêà ê êàæäîé èç ÷åòûðåõ íîæåê, çàïèøåì

δzi = γ i Fi

(i = 1, 2, 3, 4),

ãäå γ i – êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè, à δzi – óìåíüøåíèå äëèíû íîæêè ïîä äåéñòâèåì ñèëû ðåàêöèè ïîëà Fi è óðàâíîâåøèâàþùåé åå ñèëû äàâëåíèÿ ñî ñòîðîíû ñòîëåøíèöû. Çàìåòèì, ÷òî ÷åì æåñò÷å ìàòåðèàë, èç êîòîðîãî ñäåëàíû íîæêè, òåì ìåíüøå êîýôôèöèåíò γ . Ïðåäåë γ ® 0 îïèñûâàåò àáñîëþòíî òâåðäîå òåëî. Ñ ïîìîùüþ çàêîíà Ãóêà è ìîæíî ïîëó÷èòü íåäîñòàþùåå ÷åòâåðòîå óðàâíåíèå. Îíî âûãëÿäèò îñîáåííî ïðîñòî â òîì ñëó÷àå, êîãäà òî÷êè êðåïëåíèÿ íîæåê ê ñòîëåøíèöå ðàñïîëîæåíû â âåðøèíàõ ïðÿìîóãîëüíèêà. Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì ìû îãðàíè÷èìñÿ èìåííî ýòèì ñëó÷àåì. Ïðîíóìåðóåì íîæêè òàê, ÷òîáû íîæêè ñ íîìåðàìè 1 è 3 ëåæàëè íà îäíîé äèàãîíàëè ïðÿìîóãîëüíèêà. Òîãäà óñëîâèå êîìïëàíàðíîñòè áóäåò âûãëÿäåòü òàê: λ1 + λ 3 = λ2 + λ 4 ,


$

ÊÂÀÍT 2007/¹5

ãäå λ k – äëèíà íîæêè ñ íîìåðîì k ïîñëå åå äåôîðìàöèè:

λk = l - δzk . Ïîñëåäíèå äâà ñîîòíîøåíèÿ âìåñòå ñ çàêîíîì Ãóêà äàþò èñêîìîå ÷åòâåðòîå ñîîòíîøåíèå ìåæäó ñèëàìè: F1γ1 + F3 γ 3 = F2 γ 2 + F4 γ 4 .

Èòàê, ïîñëå ó÷åòà ñæèìàåìîñòè íîæåê ÷èñëî óðàâíåíèé ñðàâíÿëîñü ñ ÷èñëîì íîæåê. Ïàðàäîêñ èñ÷åç. Áîëåå òîãî, îêàçûâàåòñÿ, ÷òî ïîëó÷åííàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå è åãî ëåãêî íàéòè. ×òî æ, ïðèõîäèòñÿ ñîãëàñèòüñÿ ñ ïàðàäîêñàëüíûì óòâåðæäåíèåì: ñêîëü áû òâåðäûì íè áûë ìàòåðèàë, èç êîòîðîãî ñäåëàíû íîæêè, åãî íåëüçÿ ñ÷èòàòü àáñîëþòíî òâåðäûì. Åñëè âñå íîæêè ñäåëàíû èç îäíîãî è òîãî æå ìàòåðèàëà, òî ïîñëåäíåå óðàâíåíèå ïðèíèìàåò âèä F1 + F3 = F2 + F4 .

Îäíàêî ðàäîâàòüñÿ ðàíî. Êàê ýòî ÷àñòî áûâàåò, èìåííî ïîñëå òîãî, êàê ðåøåíèå íàéäåíî, åãî àíàëèç îáíàðóæèâàåò íåïîëíóþ çàâåðøåííîñòü òåîðèè.  íàøåì ñëó÷àå ðåøåíèå ïîêàçûâàåò, ÷òî ïðè íåêîòîðûõ ïîëîæåíèÿõ öåíòðà òÿæåñòè îäíà èç ÷åòûðåõ ñèë ðåàêöèè ïîëà îêàçûâàåòñÿ îòðèöàòåëüíîé. Íî ïî ôèçè÷åñêîìó ñìûñëó çàäà÷è ýòî íåâîçìîæíî, òàê êàê ñèëû, äåéñòâóþùèå íà íîæêè ñî ñòîðîíû ïîëà, íå ìîãóò áûòü íàïðàâëåíû âíèç (íè îäíà èç íîæåê íå ïðèêëååíà ê ïîëó). Ìû îïÿòü ïðèøëè ê ïàðàäîêñó, íî íà ýòîò ðàç ëåãêî óñòðàíèìîìó. Åñëè íà ïðåäûäóùåì ýòàïå íàì íóæíî áûëî èçáàâèòüñÿ îò ëèøíèõ ðåøåíèé, òî òåïåðü ó íàñ íåò íè îäíîãî ôèçè÷åñêè ðàçóìíîãî ðåøåíèÿ. Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ìû íåîïðàâäàííî ñóçèëè îáëàñòü ïîèñêà, ò.å. ó÷ëè íå âñå âîçìîæíûå ïîëîæåíèÿ ñòîëà ñ ÷åòûðüìÿ íîæêàìè, êîãäà îí ñòîèò íà ïîëó. È äåéñòâèòåëüíî, ìû ïðîÿâèëè íåáðåæíîñòü, íå ïîäóìàâ, ÷òî ñæèìàåìîñòü íîæåê ïîçâîëÿåò ñòîëó ñòîÿòü è íà òðåõ íîæêàõ äàæå òîãäà, êîãäà â íåíàïðÿæåííîì ñîñòîÿíèè âñå åãî ÷åòûðå íîãè èìåþò ñòðîãî îäèíàêîâóþ äëèíó. Âîçíèêàåò âîïðîñ: êàê ó÷åñòü ýòî îáñòîÿòåëüñòâî? À âîò êàê: êàæäûé ðàç, ðåøàÿ çàäà÷ó î ñòîëå, ìû äîëæíû íåçàâèñèìî ðàññìîòðåòü ñëó÷àé, êîãäà îí ñòîèò íà âñåõ ÷åòûðåõ íîæêàõ, è ÷åòûðå ñëó÷àÿ, êîãäà îäíà èç íîæåê íå êàñàåòñÿ ïîëà. È åùå. Ñäåëàííîå ïðåäïîëîæåíèå î ðàâåíñòâå äëèí íîæåê íèêàêèõ ñóùåñòâåííûõ óïðîùåíèé íå âíîñèò è â òî æå âðåìÿ ÿâëÿåòñÿ íåðåàëèñòè÷íûì. Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì ìû áóäåì ñ÷èòàòü äëèíû íîæåê â íåíàãðóæåííîì ñîñòîÿíèè, âîîáùå ãîâîðÿ, ðàçëè÷íûìè. Íå ïðèõîäèëîñü ëè âàì ïîäêëàäûâàòü ïîä îäíó èç íîæåê ñòîëà ñëîæåííûé â íåñêîëüêî ðàç ëèñò áóìàãè è äîáèâàòüñÿ òîãî, ÷òîáû ñòîë ïåðåñòàë «ïåðåñòóïàòü ñ íîãè íà íîãó»? Óñïåõ ýòîé ìàëåíüêîé õèòðîñòè ïîêàçûâàåò, ÷òî åñëè äëèíû íîæåê õîòÿ è íå ðàâíû, íî îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà äîñòàòî÷íî ìàëî (íà òîëùèíó ïîäëîæåííîé áóìàæêè), òî ñòîë òâåðäî ñòîèò íà âñåõ ñâîèõ ÷åòûðåõ íîæêàõ. Îäíàêî åñëè ðàçíîñòè ìåæäó

äëèíàìè íîæåê äîñòàòî÷íî âåëèêè, òî îäíà èç íîæåê íå êàñàåòñÿ ïîëà, è ñòîë îêàçûâàåòñÿ òðåõíîãèì. Ýòî ïîçâîëÿåò ãîâîðèòü, ÷òî ó ñòîëà èìååòñÿ ïÿòü ôàç – â îäíîé èç íèõ îí ñòîèò íà âñåõ ÷åòûðåõ íîæêàõ, â îñòàëüíûõ ôàçàõ îäíà èç íîæåê íå êàñàåòñÿ ïîëà. Âîçíèêàåò âîïðîñ îá óñòîé÷èâîñòè ýòèõ ôàç è ïðåæäå âñåãî ïåðâîé ôàçû, òàê êàê èìåííî òàêèì êàæäûé õîòåë áû âèäåòü ñâîé ñòîë. Ïîâñåäíåâíûé îïûò ïîêàçûâàåò, ÷òî ïåðâàÿ ôàçà ìîæåò áûòü óñòîé÷èâîé – ïðè äîñòàòî÷íî õîðîøåé òî÷íîñòè èçãîòîâëåíèÿ íîæåê ñòîë ìîæåò ñòîÿòü íà ÷åòûðåõ íîæêàõ. Ýòî ïîäòâåðæäàåòñÿ è ðàñ÷åòîì, èñïîëüçóþùèì òó æå ñèñòåìó ÷åòûðåõ óðàâíåíèé, åñëè âíåñòè î÷åâèäíóþ ïîïðàâêó: âìåñòî îäèíàêîâîé ó âñåõ ÷åòûðåõ íîæåê äëèíû l ââåñòè ÷åòûðå èíäèâèäóàëüíûå äëèíû l1, l2 , l3 , l4 êàæäîé èç íîæåê â íåíàïðÿæåííîì ñîñòîÿíèè. Ïðè ýòîì óðàâíåíèå óñëîâèå êîìïëàíàðíîñòè ïðèìåò âèä ∆ º l2 + l4  - l1 + l3  = - F1l1γ1 + F2l2 γ 2 - F3l3 γ 3 + F4l4 γ 4 .

Ââåäåííàÿ âåëè÷èíà ∆ ðàâíà íóëþ, åñëè â íåíàãðóæåííîì ñîñòîÿíèè êîíöû íîæåê êîìïëàíàðíû. Ïîýòîìó óñëîâèìñÿ íàçûâàòü ∆ ïàðàìåòðîì íåêîìïëàíàðíîñòè.  îòëè÷èå îò ïîëó÷åííîãî ðàíåå ÷åòâåðòîãî ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ñèëàìè ïîñëåäíåå óðàâíåíèå íå ÿâëÿåòñÿ îäíîðîäíûì îòíîñèòåëüíî êîýôôèöèåíòîâ γ i , åñëè ∆ ¹ 0 . Ïðåäñòàâèì ñåáå, ÷òî âñå ÷åòûðå ïàðàìåòðà γ i óìíîæåíû íà îäíî è òî æå ÷èñëî. Ïðè ýòîì ñìûñë íàøåãî óðàâíåíèÿ íå èçìåíèòñÿ, åñëè ∆ = 0 , è îêàæåòñÿ äðóãèì â ïðîòèâíîì ñëó÷àå. Êàê æå ïðîèñõîäèò ïåðåõîä èç îäíîé ôàçû â äðóãóþ è êàêèå «ôàçîâûå ïåðåõîäû» âîçìîæíû? Ðàçëè÷íûå ñèòóàöèè â íàãðóçêå íîæåê íàçâàíû ôàçàìè. Ïîýòîìó ïîÿâèëñÿ òåðìèí «ôàçîâûé ïåðåõîä». Åäèíñòâåííîå, ÷òî åãî ðîäíèò ñ òåðìîäèíàìè÷åñêèì ôàçîâûì ïåðåõîäîì (áåç êàâû÷åê), ýòî òî, ÷òî è òîò è äðóãîé ïðîèñõîäÿò ïîä âëèÿíèåì âíåøíèõ âîçäåéñòâèé. Íèæå ìû ïîëó÷èì äîâîëüíî ïîëíóþ êàðòèíó âîçìîæíûõ ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ â íàøåì ñëó÷àå. Íà÷íåì ñ íåêîòîðûõ ïðåäâàðèòåëüíûõ ñîîáðàæåíèé. Âîîáðàçèì ñòîë, ó êîòîðîãî òî÷êè êðåïëåíèÿ íîæåê îáðàçóþò ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè a è b. Åãî äèàãîíàëè äåëÿò ñòîëåøíèöó íà ÷åòûðå òðåóãîëüíèêà (ñì. ðèñóíîê). Ïóñòü öåíòð òÿæåñòè ñòîëà ñ

ãèðåé íàõîäèòñÿ íàä òðåóãîëüíèêîì 12Ñ.  ýòîì ñëó÷àå ñòîë, î÷åâèäíî, íå ìîæåò ñòîÿòü íà òðåõ íîæêàõ ñ íîìåðàìè 1, 3, 4 èëè 2, 3, 4. Äîïóñòèìûìè îñòàþòñÿ òîëüêî ôàçû (1234), (123) è (124).  êàêîé èìåííî èç òðåõ ôàç îêàæåòñÿ ñòîë, çàâèñèò, êîíå÷íî, îò êîíêðåòíîãî ïîëîæåíèÿ öåíòðà òÿæåñòè âíóòðè ðàñ-


ÏÀÐÀÄÎÊÑ

ÑÒÎËÀ

ñìàòðèâàåìîãî òðåóãîëüíèêà – óñëîâèìñÿ íàçûâàòü åãî áàçîâûì. Ó êàæäîé èç ýòèõ ôàç åñòü ñâîé àðåàë ñóùåñòâîâàíèÿ, ò.å. ñîâîêóïíîñòü òåõ ïîëîæåíèé öåíòðà òÿæåñòè, êîòîðûå äîïóñêàþò äàííóþ ôàçó. Àðåàë ôàçû (1234) îáîçíà÷èì ñèìâîëîì Γ0 . Ïóñòü Γ3 – ýòî àðåàë ôàçû (123), à Γ4 – àðåàë ôàçû (124). Âîñïîëüçóåìñÿ èçîáðàæåííûìè íà ðèñóíêå îñÿìè êîîðäèíàò X è Y. Îáîçíà÷èì ÷åðåç x è y ïðÿìîóãîëüíûå êîîðäèíàòû öåíòðà òÿæåñòè ñèñòåìû «ñòîë + ãèðÿ». Ïóñòü a – àáñöèññà òî÷êè 2, à b – îðäèíàòà òî÷êè 3. Èç çàêîíîâ ñòàòèêè ñðàçó æå ïîëó÷àåì

(F3 + F4 ) b = Py , (F2 + F3 ) a = Px , F1 + F2 + F3 + F4 = P .

 äåéñòâèòåëüíîñòè, èç-çà ñæèìàåìîñòè íîæåê, ýòè ðàâåíñòâà ÿâëÿþòñÿ ïðèáëèæåííûìè. Òåì íå ìåíåå, èìè ìîæíî ïîëüçîâàòüñÿ, åñëè ðàçíîñòè äëèí íîæåê êàê â íåíàãðóæåííîì, òàê è â íàãðóæåííîì ñîñòîÿíèè íå ïðåâûøàþò íåñêîëüêèõ ìèëëèìåòðîâ, à ñòîðîíû a è b ïðÿìîóãîëüíèêà, ñîåäèíÿþùåãî òî÷êè êðåïëåíèÿ íîæåê ñòîëà, ïîðÿäêà îäíîãî ìåòðà. Òàê, íàïðèìåð, åñëè ðàçíîñòü äëèí äâóõ íîæåê, âûçâàííàÿ íåòî÷íîñòüþ èçãîòîâëåíèÿ, ñîñòàâëÿåò òðè ìèëëèìåòðà, òî ýòî èçìåíèò ðàññòîÿíèå ìåæäó èõ êîíöàìè ìåíåå ÷åì íà îäíó äâóõñîòóþ ìèëëèìåòðà. ( ýòîì ëåãêî óáåäèòüñÿ, âîñïîëüçîâàâøèñü òåîðåìîé Ïèôàãîðà.) Ïîýòîìó ÷åòûðåõóãîëüíèê ñ âåðøèíàìè â òî÷êàõ, â êîòîðûõ íîæêè êàñàþòñÿ ïîëà, ìîæíî ñ âûñîêîé ñòåïåíüþ òî÷íîñòè ñ÷èòàòü ðàâíûì ïðÿìîóãîëüíèêó 1234. Êàê ñëåäñòâèå ýòîãî, îòêëîíåíèÿ íîæåê îò âåðòèêàëè îêàçûâàþòñÿ ïîðÿäêà ñòîòûñÿ÷íûõ äîëåé ðàäèàíà. Ñòîëü æå ìàëî è îòëè÷èå ïîëó÷åííûõ íàìè ïîñëåäíèõ ñîîòíîøåíèé îò òî÷íûõ ñîîòíîøåíèé, äèêòóåìûõ ìåõàíèêîé. Ïðåäïîëîæåíèå, ëåæàùåå â îñíîâå íàøèõ îöåíîê, âûïîëíÿåòñÿ, åñëè ìàòåðèàë, èç êîòîðîãî ñäåëàíû íîæêè ñòîëà, ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî æåñòêèì, à èõ äëèíû â íåíàãðóæåííîì ñîñòîÿíèè äîñòàòî÷íî ìàëî îòëè÷àþòñÿ äðóã îò äðóãà. Ïîýòîìó â äàëüíåéøåì ìû íå áóäåì èíòåðåñîâàòüñÿ ýôôåêòàìè, ñâÿçàííûìè ñ èçìåíåíèÿìè ðàññòîÿíèé ìåæäó êîíöàìè íîæåê ñòîëà. Êàê íàéòè àðåàëû âîçìîæíûõ ôàç? Âèä çàêîíîâ ñòàòèêè íå çàâèñèò îò òîãî, â êàêîé ôàçå íàõîäèòñÿ ñòîë. Îòëè÷èÿ ñêàçûâàþòñÿ â äðóãîì. Òàê, â ôàçå (1234) âñå ÷åòûðå ñèëû ïîëîæèòåëüíû, à â îñòàëüíûõ ôàçàõ îäíà èç ñèë ðàâíà íóëþ, ïîñêîëüêó òîëüêî òðè íîæêè êàñàþòñÿ ïîëà. Íàïðèìåð, â ôàçå (123)

Fi > 0 äëÿ i = 1, 2, 3 è F4 = 0 . Äðóãîå îòëè÷èå ñîñòîèò â òîì, ÷òî äëÿ ôàçû (1234) óñëîâèå êîìïëàíàðíîñòè λ1 + λ 3 = λ2 + λ 4 âûïîëíÿåòñÿ îáÿçàòåëüíî, à äëÿ âñåõ îñòàëüíûõ ôàç îíî çàìåíÿåòñÿ íåðàâåíñòâàìè, ïîñêîëüêó â êàæäîé èç ôàç îäíà èç íîæåê íàõîäèòñÿ íàä ïîëîì. Ñêàæåì, äëÿ ôàçû (123) ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî λ1 + λ 3 > λ2 + λ 4 . Ïîÿñíèì åãî. Íåðàâåíñòâî ìîæíî ïðåâðàòèòü â ðàâåíñòâî, åñëè

ÍÀ

×ÅÒÛÐÅÕ

ÍÎÆÊÀÕ

%

ìûñëåííî íàðàñòèòü íîæêó 4 òàê, ÷òîáû êîíöû âñåõ ÷åòûðåõ íîæåê îêàçàëèñü â îäíîé ïëîñêîñòè – ïëîñêîñòè ïîëà. Íàøå íåðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ñëåäîâàòåëüíî, ÷òî äî íàðàùèâàíèÿ íèæíèé êîíåö íîæêè 4 íàõîäèëñÿ íàä ïîëîì. Ýòî óñëîâèå âìåñòå ñ òðåìÿ óðàâíåíèÿìè, ïîëó÷åííûìè èç çàêîíîâ ñòàòèêè, è ïîçâîëÿåò íàéòè àðåàë ôàçû (123). Çàäà÷à î ñòîëå ïîêàçàëà, ÷òî â ïðîöåññå èññëåäîâàíèÿ ôèçè÷åñêîãî îáúåêòà èíîãäà ïðèõîäèòñÿ ñóùåñòâåííî ìîäèôèöèðîâàòü îïèñàíèå åãî ñâîéñòâ, îòêàçûâàÿñü îò èçëèøíå óïðîùåííîé ìîäåëè â ïîëüçó áîëåå ðåàëèñòè÷íîé.  ðàññìîòðåííîì íàìè ñëó÷àå èñõîäíàÿ ïðîñòàÿ ìîäåëü îêàçàëàñü íåïîëíîé – îíà íå ïîçâîëèëà íàéòè åäèíñòâåííî ïðàâèëüíîå ðåøåíèå. Îäíàêî, ýòî òîëüêî îäíà ñòîðîíà ìåäàëè. Åñëè íå ïîñìîòðåòü íà äðóãóþ åå ñòîðîíó, òî ìîæíî ïðèéòè ê ãëóáîêî îøèáî÷íîìó óáåæäåíèþ, áóäòî óïðîùåííûå ïðåäñòàâëåíèÿ (ìîäåëè îáúåêòîâ) – ýòî ëîâóøêè äëÿ íåèñêóøåííûõ èññëåäîâàòåëåé. Ðàçìåðû ñòàòüè íå ïîçâîëÿþò ðàçâèòü ýòó ìûñëü ñêîëüêî-íèáóäü ïîëíî, ïîýòîìó îãðàíè÷èìñÿ äâóìÿ ïðèìåðàìè, ÷òîáû íå áûòü óæ ñîâñåì ãîëîñëîâíûìè. Çàêîíû Êåïëåðà äàþò íàì ìàêñèìàëüíî ïðîñòóþ êàðòèíó äâèæåíèÿ ïëàíåò âîêðóã Ñîëíöà: ïëàíåòû äâèæóòñÿ ïî ýëëèïñàì. Íàëè÷èå äðóãèõ ïëàíåò íåñêîëüêî çàòóìàíèâàåò ýòó êàðòèíó, íî ýòî èíòåðåñóåò òîëüêî àñòðîíîìîâ. Åñëè õîòèòå, çàêîíû Êåïëåðà î÷åíü äåìîêðàòè÷íû. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè áû ýòè çàêîíû îñòàëèñü â ðóêîïèñÿõ ó÷åíîãî êàê ñûðîé ìàòåðèàë, êàê ïåðâîå ïðèáëèæåíèå îáðàáîòêè ðåçóëüòàòîâ íàáëþäåíèé, à â æóðíàëû è ó÷åáíèêè ïîïàëè òîëüêî óòî÷íåííûå ôîðìóëû, ÷òî áû çíàëà øèðîêàÿ ïóáëèêà î íàøåé Ñîëíå÷íîé ñèñòåìå? Äà è ñàìèì ó÷åíûì «ïðèøëîñü áû íå ñëàäêî». Âñïîìíèì, ÷òî ïëàíåòà Íåïòóí áûëà îòêðûòà áëàãîäàðÿ íàáëþäåííûì îòêëîíåíèÿì îò çàêîíîâ Êåïëåðà â äâèæåíèè Óðàíà, êîòîðûå (îòêëîíåíèÿ) íåëüçÿ áûëî îáúÿñíèòü âëèÿíèåì âñåõ îñòàëüíûõ èçâåñòíûõ ê òîìó âðåìåíè ïëàíåò. Âòîðîé ïðèìåð – ýòî òåîðèÿ ìàëûõ êîëåáàíèé. Íàóêà è òåõíèêà îáÿçàíû åé òàêèìè ôóíäàìåíòàëüíûìè ïîíÿòèÿìè, êàê ñîáñòâåííûå ÷àñòîòû è êîëåáàíèÿ, êðàòíîñòü ÷àñòîò è èõ ðàñùåïëåíèå, ñïåêòðû, îáåðòîíû è ò.ï.. Ìåæäó òåì, âñå ýòè ïîíÿòèÿ íåâîçìîæíî èëè, ïî êðàéíåé ìåðå, î÷åíü òðóäíî, îïðåäåëèòü, íå îáðàùàÿñü ê çàâåäîìî ïðèáëèæåííîé òåîðèè ìàëûõ êîëåáàíèé. Ñàìà æå ýòà òåîðèÿ âîçíèêëà â ðåçóëüòàòå ëèíåàðèçàöèè îòíîñÿùèõñÿ ê äåëó ñèñòåì äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé, ò.å. «áåñöåðåìîííîãî» îòáðàñûâàíèÿ êâàäðàòîâ, êóáîâ è âñåõ áîëåå âûñîêèõ ñòåïåíåé èñêîìûõ ìàëûõ îòêëîíåíèé èçó÷àåìîé ñèñòåìû îò åå ðàâíîâåñíîãî ñîñòîÿíèÿ. Âûâîä – ñîçíàòåëüíîå îáðàùåíèå ê ïðèáëèæåííûì ìîäåëÿì áûâàåò î÷åíü ïëîäîòâîðíûì. Àâòîð ïðèçíàòåëåí ïðîôåññîðó Ì.È.Êàãàíîâó çà îêàçàííóþ ïîìîùü â ïðîöåññå ðàáîòû íàä ñòàòüåé.


&

Í TÐ È 2 0È 0 7 /Í ¹ 5À Ó Ê È È Ç È ÊÑÂÒÀ Î

Ïðîêîï Äèâèø è ßíîø Ñåãíåð À.ÂÀÑÈËÜÅÂ

Â

Î ÂÑÅÌ ÌÈÐÅ ÈÇÎÁÐÅÒÀÒÅËÅÌ ÃÐÎÌÎÎÒÂÎÄÀ

ñ÷èòàåòñÿ àìåðèêàíñêèé ó÷åíûé Áåíäæàìèí Ôðàíêëèí. È ýòî äåéñòâèòåëüíî òàê. Îäíàêî èçîáðåòàòåëåé ãðîìîîòâîäà áûëî, êàê ìèíèìóì, äâîå. Íåçàâèñèìî îò Ôðàíêëèíà â 1754 ãîäó ÷åøñêèé ñâÿùåííèê Ïðîêîï Äèâèø ñêîíñòðóèðîâàë è óñòàíîâèë ãðîìîîòâîä â ìîíàñòûðå Ëóêà áëèç ñåëåíèÿ Ïðèìåòèöå. Ðîäèëñÿ áóäóùèé èçîáðåòàòåëü íåïîäàëåêó îò ýòèõ ìåñò â 1698 ãîäó, à âûñøåå îáðàçîâàíèå ïîëó÷èë â èåçóèòñêîé ëàòèíñêîé øêîëå â Çíîéìî. Ïîñëå ïðèíÿòèÿ ìîíàøåñêîãî îáåòà Äèâèø ñàì ïðåïîäàâàë ôèëîñîôèþ â öåðêîâíî-ïðèõîäñêîé øêîëå, à â 1733 ãîäó çàùèòèë ñòåïåíü äîêòîðà òåîëîãèè â Çàëüöñáóðãñêîì óíèâåðñèòåòå. Îäíî âðåìÿ Äèâèø áûë íàñòîÿòåëåì ìîíàñòûðÿ Ëóêà, íî óæå ñ 1742 ãîäà îí ñòàë ñâÿùåííèêîì ìàëåíüêîé öåðêâè â Ïðèìåòèöå, ãäå è îñòàâàëñÿ äî ñâîåé êîí÷èíû â 1765 ãîäó. Îáÿçàííîñòè äåðåâåíñêîãî ñâÿùåííèêà îñòàâëÿëè Äèâèøó äîñòàòî÷íî âðåìåíè äëÿ íàó÷íûõ çàíÿòèé, êîòîðûìè îí èíòåðåñîâàëñÿ åùå ñ þíîøåñêèõ ëåò. Âíà÷àëå îí çàíÿëñÿ, êàê ãîâîðÿò òåïåðü, ïðèêëàäíûìè èññëåäîâàíèÿìè è ïîñòðîèë â ñâîåì ïðèõîäå íåñêîëüêî âîäîâîäîâ. Çàòåì åãî èíòåðåñû îáðàòèëèñü ê êîíñòðóèðîâàíèþ ìóçûêàëüíûõ èíñòðóìåíòîâ, ðåçóëüòàòîì ÷åãî ñòàëî ñîçäàíèå ñòðóííîãî «Äåíèñäîðà», êîòîðûé èìèòèðîâàë çâóêè ìíîãèõ äðóãèõ èíñòðóìåíòîâ. Ñ íà÷àëà 50-õ ãîäîâ Äèâèø íà÷àë ïðîâîäèòü îïûòû ïî èññëåäîâàíèþ ýëåêòðè÷åñòâà. Ýëåêòðè÷åñêèå çàðÿäû îí ïîëó÷àë òðåíèåì, à òàêæå ñ èñïîëüçîâàíèåì ëåéäåíñêèõ áàíîê ñîáñòâåííîé êîíñòðóêöèè. Íà ýòîì ïóòè Äèâèø èçó÷èë âñå îñíîâíûå ýëåêòðîñòàòè÷åñêèå ÿâëåíèÿ è äàæå ïðîäåìîíñòðèðîâàë èõ Èìïåðñêîìó äâîðó â Âåíå. Èçâåñòèå î ãèáåëè îò ýëåêòðè÷åñêîãî ðàçðÿäà Ãåîðãà Ðèõìàíà, çàíèìàâøåãîñÿ èçó÷åíèåì ìîëíèé â Ðîññèè, ïðèâëåêëî âíèìàíèå Äèâèøà ê àòìîñôåðíîìó ýëåêòðè÷åñòâó. Äëÿ ñáîðà àòìîñôåðíûõ çàðÿäîâ Äèâèø ñêîíñòðóèðîâàë «ïîãîäíóþ ìàøèíó», êîòîðàÿ âíåøíå áîëüøå âñåãî íàïîìèíàëà ñîâðåìåííûå òåëåâèçèîííûå àíòåííû. Íà âûñîêîì øåñòå (â ïîñëåäíåé âåðñèè – âûñîòîé 41,5 ì) îí óñòàíîâèë ãîðèçîíòàëüíûé ìåòàëëè÷åñêèé êðåñò ñ äîïîëíèòåëüíûìè ïåðåêëàäèíàìè, íà êîíöå êàæäîé èç êîòîðûõ áûë óêðåïëåí ÿùèê ñ ìåòàëëè÷åñêèìè îïèëêàìè. Ïî çàäóìêå èçîáðåòàòåëÿ, ÿùèêè äîëæíû áûëè íàêàïëèâàòü àòìîñôåðíîå ýëåêòðè÷åñòâî, îäíàêî, ïîñêîëüêó îíè áûëè õîðîøî çàçåìëåíû, êîíñòðóêöèÿ ïðåäñòàâëÿëà ñîáîé èìåííî ãðîìîîòâîä.

 òàêîì âèäå ãðîìîîòâîä Äèâèøà ïðîñòîÿë â ìîíàñòûðå Ëóêà îêîëî ïÿòè ëåò, íî ïîñëå ïîæàðà 1759 ãîäà îí, íà âñÿêèé ñëó÷àé, áûë ðàçîáðàí íà ÷àñòè. Íîâûé ãðîìîîòâîä Äèâèø âîçäâèã íàä ñâîåé öåðêîâüþ â Ïðèìåòèöå ëèøü â 1761 ãîäó. Ïîïûòêè óáåäèòü Âåíó â íåîáõîäèìîñòè ïîñòðîåíèÿ ãðîìîîòâîäîâ ïî âñåé èìïåðèè íå óâåí÷àëèñü óñïåõîì, òàê ÷òî Äèâèø ñêîíöåíòðèðîâàë ñâîè äàëüíåéøèå èññëåäîâàíèÿ íà èçó÷åíèè âëèÿíèÿ ýëåêòðè÷åñòâà íà æèâûå òåëà è, â êîíå÷íîì ñ÷åòå, íà ýëåêòðîòåðàïèè. Ñâîè íàáëþäåíèÿ çà ïðèðîäîé âåùåé Äèâèø èçëîæèë â «Òðàêòàòå îá àòìîñôåðíîì ýëåêòðè÷åñòâå», îïóáëèêîâàííîì åùå ïðè æèçíè ó÷åíîãî. ßíîø Àíäðîø Ñåãíåð ðîäèëñÿ â 1704 ãîäó â Áðàòèñëàâå, õîòÿ â òå ãîäû ýòîò ãîðîä èìåíîâàëñÿ ëèáî ïîâåíãåðñêè Ïîñîíè, ëèáî ïî-íåìåöêè Ïðåñáóðã. È òîò, è äðóãîé âàðèàíò â ñëó÷àå Ñåãíåðà îïðàâäàíû òåì, ÷òî â Âåíãðèè îí ïîëó÷èë íà÷àëüíîå îáðàçîâàíèå, à â Ãåðìàíèè ñëîæèëàñü åãî àêàäåìè÷åñêàÿ êàðüåðà. Åùå â þíûå ãîäû Ñåãíåð ïðîÿâèë íåçàóðÿäíûå ñïîñîáíîñòè ê òî÷íûì íàóêàì, îäíàêî â Éåíñêèé óíèâåðñèòåò â 1725 ãîäó îí ïîñòóïèë ïî ìåäèöèíñêîìó îòäåëåíèþ. Ïî îêîí÷àíèè óíèâåðñèòåòà Ñåãíåð ïðîðàáîòàë äîêòîðîì îêîëî ïîëóòîðà ëåò â Äåáðåöåíå, íî åãî èíòåðåñ ê ìàòåìàòèêå âíîâü ïðèâåë åãî â Éåíó, à çàòåì è íà êàôåäðó ìàòåìàòèêè øòòèíãåíñêîãî óíèâåðñèòåòà.  òå÷åíèå 20 ëåò îí áûë çàâåäóþùèì ýòîé çíàìåíèòîé êàôåäðîé, ïîñëå ÷åãî ïåðåáðàëñÿ â Ãàëëå, ãäå è îñòàâàëñÿ ïðîôåññîðîì âïëîòü äî ñâîåãî óõîäà èç æèçíè â 1777 ãîäó. È â øòòèíãåíå, è â Ãàëëå Ñåãíåð îñíîâàë óíèâåðñèòåòñêèå àñòðîíîìè÷åñêèå îáñåðâàòîðèè, â ñòåíàõ êîòîðûõ îí óäåëÿë ìíîãî âðåìåíè íàáëþäåíèÿì çà çâåçäíûì íåáîì. Îñíîâíûå èíòåðåñû Ñåãíåðà áûëè ñâÿçàíû, îäíàêî, ñ çåìíûìè äåëàìè è, â ÷àñòíîñòè, ñ ãèäðîäèíàìèêîé. Îïèðàÿñü íà òåîðåòè÷åñêèå èññëåäîâàíèÿ Äàíèèëà Áåðíóëëè, îí ñêîíñòðóèðîâàë ãîðèçîíòàëüíóþ âîäÿíóþ òóðáèíó. Ýòà òóðáèíà ïðåäñòàâëÿëà ñîáîé íàïîëíåííûé âîäîé öèëèíäð, â íèæíåé ÷àñòè êîòîðîãî óñòàíîâëåíû èçîãíóòûå â îäíó è òó æå ñòîðîíó äâà ñîïëà. Ðåàêöèÿ âûòåêàþùåé ñòðóè çàñòàâëÿåò öèëèíäð âðàùàòüñÿ â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè. Ïåðó Ñåãíåðà ïðèíàäëåæàò ðÿä ïðåâîñõîäíûõ ó÷åáíûõ ïîñîáèé, ñðåäè êîòîðûõ «Ýëåìåíòû àðèôìåòèêè è ãåîìåòðèè» è «Ïðèðîäà æèäêèõ ïîâåðõíîñòåé». Ïðèçíàíèåì çàñëóã Ñåãíåðà ñòàëî èçáðàíèå åãî ÷ëåíîì Áåðëèíñêîé, øòòèíãåíñêîé è Ïåòåðáóðãñêîé àêàäåìèé íàóê, à òàêæå Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà.


ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»

Çàäà÷è ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå Ýòîò ðàçäåë âåäåòñÿ ó íàñ èç íîìåðà â íîìåð ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ æóðíàëà. Ïóáëèêóåìûå â íåì çàäà÷è íåñòàíäàðòíû, íî äëÿ èõ ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè øêîëüíîé ïðîãðàììû. Íàèáîëåå òðóäíûå çàäà÷è îòìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé. Ïîñëå ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ìû îáû÷íî óêàçûâàåì, êòî íàì åå ïðåäëîæèë. Ðàçóìååòñÿ, íå âñå ýòè çàäà÷è ïóáëèêóþòñÿ âïåðâûå. Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ýòîãî íîìåðà ñëåäóåò îòïðàâëÿòü íå ïîçäíåå 1 ÿíâàðÿ 2008 ãîäà ïî àäðåñó: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò». Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ðàçíûõ íîìåðîâ æóðíàëà èëè ïî ðàçíûì ïðåäìåòàì (ìàòåìàòèêå è ôèçèêå) ïðèñûëàéòå â ðàçíûõ êîíâåðòàõ. Íà êîíâåðòå â ãðàôå «Êîìó» íàïèøèòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» ¹5–2007» è íîìåðà çàäà÷, ðåøåíèÿ êîòîðûõ Âû ïîñûëàåòå, íàïðèìåð «Ì2056» èëè «Ô2063».  ãðàôå «Îò êîãî» ôàìèëèþ è èìÿ ïðîñèì ïèñàòü ðàçáîð÷èâî.  ïèñüìî âëîæèòå êîíâåðò ñ íàïèñàííûì íà íåì Âàøèì àäðåñîì è íåîáõîäèìûé íàáîð ìàðîê (â ýòîì êîíâåðòå Âû ïîëó÷èòå ðåçóëüòàòû ïðîâåðêè ðåøåíèé). Óñëîâèÿ êàæäîé îðèãèíàëüíîé çàäà÷è, ïðåäëàãàåìîé äëÿ ïóáëèêàöèè, ïðèñûëàéòå â îòäåëüíîì êîíâåðòå â äâóõ ýêçåìïëÿðàõ âìåñòå ñ Âàøèì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è (íà êîíâåðòå ïîìåòüòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ôèçèêå» èëè «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ìàòåìàòèêå»).  íà÷àëå êàæäîãî ïèñüìà ïðîñèì óêàçûâàòü íîìåð øêîëû è êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü. Çàäà÷è Ì2056, Ì2057, Ì2059, Ì2063, Ì2064 ïðåäëàãàëèñü íà IV ýòàïå, à çàäà÷è Ì2060 – Ì2062, Ì2065 – íà V ýòàïå XXXIII Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå.

Çàäà÷è Ì2056 – Ì2065, Ô2063 – Ô2072 Ì2056.  íàòóðàëüíîì ÷èñëå À ïåðåñòàâèëè öèôðû, K1 . ïîëó÷èâ ÷èñëî Â. Èçâåñòíî, ÷òî A - B = 11 { N åäèíèö

Íàéäèòå íàèìåíüøåå âîçìîæíîå çíà÷åíèå N. Í.Àãàõàíîâ Ì2057. 25 ìàëü÷èêîâ è íåñêîëüêî äåâî÷åê ñîáðàëèñü íà âå÷åðèíêå è îáíàðóæèëè çàáàâíóþ çàêîíîìåðíîñòü. Åñëè âûáðàòü ëþáóþ ãðóïïó íå ìåíüøå ÷åì èç 10 ìàëü÷èêîâ, à ïîòîì äîáàâèòü ê íèì âñåõ äåâî÷åê, çíàêîìûõ õîòÿ áû ñ îäíèì èç ýòèõ ìàëü÷èêîâ, òî â ïîëó÷èâøåéñÿ ãðóïïå ÷èñëî ìàëü÷èêîâ îêàæåòñÿ íà 1 ìåíüøå, ÷åì ÷èñëî äåâî÷åê. Äîêàæèòå, ÷òî íåêîòîðàÿ äåâî÷êà çíàêîìà íå ìåíåå ÷åì ñ 16 ìàëü÷èêàìè. Ñ.Âîë÷¸íêîâ Ì2058.  âûïóêëîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå ïÿòü èç âîñüìè îòðåçêîâ, ñîåäèíÿþùèõ âåðøèíû ñ ñåðåäèíàìè ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí, ðàâíû. Äîêàæèòå, ÷òî âñå âîñåìü îòðåçêîâ ðàâíû. Í.Àãàõàíîâ, Â.Ñåíäåðîâ Ì2059. Áåñêîíå÷íàÿ âîçðàñòàþùàÿ àðèôìåòè÷åñêàÿ ïðîãðåññèÿ, ñîñòîÿùàÿ èç íàòóðàëüíûõ ÷èñåë, ñîäåðæèò òî÷íûé êóá íàòóðàëüíîãî ÷èñëà. Äîêàæèòå, ÷òî îíà ñîäåðæèò è òî÷íûé êóá, íå ÿâëÿþùèéñÿ òî÷íûì êâàäðàòîì. È.Áîãäàíîâ, Â.Ñåíäåðîâ Ì2060. Âïèñàííàÿ îêðóæíîñòü òðåóãîëüíèêà ABC êàñàåòñÿ ñòîðîí ÂÑ, ÀÑ, À â òî÷êàõ A1 , B1 , C1 ñîîòâåòñòâåííî. Îòðåçîê AA1 âòîðè÷íî ïåðåñåêàåò âïèñàííóþ îêðóæíîñòü â òî÷êå Q. Ïðÿìàÿ l ïàðàëëåëüíà ÂÑ è ïðîõîäèò ÷åðåç À. Ïðÿìûå A1C1 è A1B1 ïåðåñå-

êàþò l â òî÷êàõ Ð è R ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî ÐPQR = ÐB1QC1 . À.Ïîëÿíñêèé Ì2061.  òàáëèöå 10 ´ 10 ðàññòàâëåíû ÷èñëà îò 1 äî 100: â ïåðâîé ñòðî÷êå – îò 1 äî 10 ñëåâà íàïðàâî, âî âòîðîé – îò 11 äî 20 ñëåâà íàïðàâî è ò.ä. Àíäðåé ñîáèðàåòñÿ ðàçðåçàòü òàáëèöó íà ïðÿìîóãîëüíèêè 1 ´ 2 , ïîñ÷èòàòü ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë â êàæäîì ïðÿìîóãîëüíèêå è ñëîæèòü ïîëó÷åííûå 50 ÷èñåë. Îí ñòðåìèòñÿ ïîëó÷èòü êàê ìîæíî ìåíüøóþ ñóììó. Êàê åìó ñëåäóåò ðàçðåçàòü êâàäðàò? À.Áàäçÿí Ì2062. Ôîêóñíèê Àðóòþí è åãî ïîìîùíèê Àìàÿê ñîáèðàþòñÿ ïîêàçàòü ñëåäóþùèé ôîêóñ. Íà äîñêå íàðèñîâàíà îêðóæíîñòü. Çðèòåëè îòìå÷àþò íà íåé 2007 ðàçëè÷íûõ òî÷åê, çàòåì ïîìîùíèê ôîêóñíèêà ñòèðàåò îäíó èç íèõ. Ïîñëå ýòîãî ôîêóñíèê âïåðâûå âõîäèò â êîìíàòó, ñìîòðèò íà ðèñóíîê è îòìå÷àåò ïîëóîêðóæíîñòü, íà êîòîðîé ëåæàëà ñòåðòàÿ òî÷êà. Êàê ôîêóñíèêó äîãîâîðèòüñÿ ñ ïîìîùíèêîì, ÷òîáû ôîêóñ ãàðàíòèðîâàííî óäàëñÿ? À.Àêîïÿí, È.Áîãäàíîâ Ì2063. Íàçîâåì ìíîãîãðàííèê õîðîøèì, åñëè åãî îáúåì (èçìåðåííûé â ì 3 ) ÷èñëåííî ðàâåí ïëîùàäè åãî ïîâåðõíîñòè (èçìåðåííîé â ì2 ). Ìîæíî ëè êàêîéíèáóäü õîðîøèé òåòðàýäð ðàçìåñòèòü âíóòðè êàêîãîíèáóäü õîðîøåãî ïàðàëëåëåïèïåäà? Ì.Ìóðàøêèí Ì2064. Îêðóæíîñòü ïðîõîäèò ÷åðåç âåðøèíû  è Ñ òðåóãîëüíèêà ABC è ïåðåñåêàåò ñòîðîíû À è ÀÑ â òî÷êàõ D è Å ñîîòâåòñòâåííî. Îòðåçêè CD è BE ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Î. Ïóñòü Ì è N – öåíòðû




ÊÂÀÍT 2007/¹5

îêðóæíîñòåé, âïèñàííûõ â òðåóãîëüíèêè ADE è ODE ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî ñåðåäèíà ìåíüøåé äóãè DE ëåæèò íà ïðÿìîé MN. Ì.Èñàåâ Ì2065.  áåñêîíå÷íîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ( xn ) ïåðâûé ÷ëåí x1 – ðàöèîíàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå 1, è 1 ïðè âñåõ íàòóðàëüíûõ n. Äîêàæèòå, xn +1 = xn + [ xn ] ÷òî â ýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè åñòü öåëîå ÷èñëî. À.Ãîëîâàíîâ Ô2063. Ôèãóðêó èç ìåòàëëà âçâåøèâàþò íà î÷åíü òî÷íûõ âåñàõ, èñïîëüçóÿ çîëîòûå ãèðüêè, – èçìåðåííàÿ ìàññà ñîñòàâèëà 47,98 ã. Êîãäà âîçäóõ ïîä êîëïàêîì âåñîâ îòêà÷àëè äî 0,1 àòìîñôåðíîãî äàâëåíèÿ, ïîëó÷èëîñü ïðàêòè÷åñêè òî÷íî 49 ã. Îïðåäåëèòå ïî ýòèì äàííûì, èç êàêîãî ìåòàëëà ñäåëàíà ôèãóðêà. Í.Ïðîñòîâ Ô2064. Äëèííàÿ òîíêàÿ ïðîçðà÷íàÿ òðóáêà çàïîëíåíà ãëèöåðèíîì, ïîñðåäèíå òðóáêè íàõîäèòñÿ ìàëåíüêèé âîçäóøíûé ïóçûðåê. Êîãäà òðóáêà âåðòèêàëüíà, ïóçûðåê âñïëûâàåò ïðàêòè÷åñêè ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ 1 ñì/ñ. Ñäåëàåì òðóáêó ãîðèçîíòàëüíîé, ïîäîæäåì äîñòàòî÷íî äîëãî – ïîêà âñå óñïîêîèòñÿ, à ïóçûðåê ïåðåñòàíåò äâèãàòüñÿ. Òåïåðü ðàçãîíèì òðóáêó âäîëü åå îñè äî ñêîðîñòè 10 ñì/ñ è ïðîäîëæèì äâèãàòü åå ñ ýòîé ñêîðîñòüþ. Íàéäèòå ñìåùåíèå ïóçûðüêà îòíîñèòåëüíî åãî íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ. Ñ÷èòàòü ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ ïðîïîðöèîíàëüíîé ñêîðîñòè ïóçûðüêà îòíîñèòåëüíî æèäêîñòè. À.Ïîâòîðîâ Ô2065. Íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå ïîêîèòñÿ êëèí ìàññîé Ì, åãî íàêëîííàÿ ïîâåðõíîñòü ñîñòàâëÿåò óãîë α ñ ãîðèçîíòîì. Ìàëåíüêàÿ øàéáà ìàññîé m äâèæåòñÿ ïî ñòîëó ñî ñêîðîñòüþ v0 è «âúåçæàåò» íà íàêëîííóþ ïîâåðõíîñòü êëèíà. Ñ÷èòàÿ, ÷òî íàêëîííàÿ ïîâåðõíîñòü èìååò ïëàâíîå êîðîòêîå ñîïðÿæåíèå ñ ãîðèçîíòàëüþ, íàéäèòå âðåìÿ ïîäúåìà øàéáû äî âåðõíåãî ñâîåãî ïîëîæåíèÿ. Íàéäèòå òàêæå ñìåùåíèå êëèíà ê ýòîìó ìîìåíòó. Òðåíèÿ â ñèñòåìå íåò. Ã.Ïàíüêåâè÷ Ô2066. Òåëåæêè ñ ìàññàìè m = 1 êã è Ì = 2 êã ñâÿçàíû ëåãêèì óïðóãèì øíóðîì äëèíîé L = 0,3 ì. Âíà÷àëå òåëåæêè íåïîäâèæíû, à øíóð ïî÷òè íàòÿíóò. Ëåãêîé òåëåæêå óäàðîì ñîîáùàþò ñêîðîñòü v0 = 2 ì ñ â íàïðàâëåíèè âäîëü ñîåäèíÿþùåãî èõ øíóðà (ðèñ.1). ×åðåç êàêîå âðåìÿ ïðîèçîéäåò óäàð òåëåæåê äðóã î äðóãà? Æåñòêîñòü øíóðà k = = 20 Í/ì. Ðèñ. 1 Ð.Àëåêñàíäðîâ Ô2067. Öèêë òåïëîâîé ìàøèíû, ðàáîòàþùåé ñ èäåàëüíûì ãàçîì, ñîñòîèò èç äâóõ èçîõîðè÷åñêèõ ó÷àñòêîâ è äâóõ èçîòåðìè÷åñêèõ ó÷àñòêîâ ñ îòíîøåíèåì òåìïåðàòóð T1 : T2 = 3 . Èçâåñòíî, ÷òî íà ó÷àñòêå èçîõîðè÷åñêîãî íàãðåâàíèÿ ãàç ïîëó÷àåò ñòîëüêî æå òåïëà, ñêîëüêî è íà ó÷àñòêå èçîòåðìè÷åñêîãî ðàñøèðåíèÿ. Íàéäèòå ÊÏÄ ýòîãî öèêëà. Ñ.Ïðîñòîâ

Ô2068. Ïðîñòîé îììåòð ñîñòîèò èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ìèëëèàìïåðìåòðà ñ òîêîì ïîëíîãî îòêëîíåíèÿ 1 ìÀ, áàòàðåéêè íàïðÿæåíèåì 1,5  è ïåðåìåííîãî ðåçèñòîðà (ðèñ.2). Ðåãóëèðóÿ ñîïðîòèâëåíèå ýòîãî Ðèñ. 2 ðåçèñòîðà, ìû ïðîèçâîäèì «óñòàíîâêó íóëÿ» îììåòðà – ïðè çàìêíóòûõ âûâîäàõ îììåòðà ñòðåëêó ïðèáîðà óñòàíàâëèâàåì â êðàéíåå ïðàâîå ïîëîæåíèå («íóëü îììåòðà»). Ïðè ðàçîìêíóòûõ âûâîäàõ òîê íóëåâîé – ýòî ñîîòâåòñòâóåò «áåñêîíå÷íîìó» èçìåðÿåìîìó ñîïðîòèâëåíèþ. Ìîæíî ëè ïðè ïîìîùè ýòîãî ïðèáîðà èçìåðèòü ñîïðîòèâëåíèÿ ðåçèñòîðîâ Rx ïîðÿäêà 1 Îì; 1êÎì; 1 ÌÎì? Êàêîå ñîïðîòèâëåíèå ïîêàæåò ýòîò îììåòð, Ðèñ. 3 åñëè ê åãî âûâîäàì ïîäêëþ÷èòü ïîëóïðîâîäíèêîâûé äèîä, âîëüò-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà êîòîðîãî ïðèâåäåíà íà ðèñóíêå 3? À.Ñòàðîâ Ô2069.  ñõåìå íà ðèñóíêå 4 «ãîðèçîíòàëüíàÿ» áàòàðåéêà èìååò íàïðÿæåíèå 1 Â, òðè èç ÷åòûðåõ êîíäåíñàòîðîâ èìåþò îäèíàêîâûå åìêîñòè, à ïîñëåäíèé – âäâîå áîëüøóþ. Êàêèì ìîæåò áûòü íàïðÿæåíèå âòîðîé, «âåðòèêàëüíîé» áàòàðåéêè, ÷òîáû õîòÿ áû îäèí êîíäåíñàòîð â ýòîé ñõåìå îñòàëñÿ íåçàðÿæåííûì? Äî ïîäêëþ÷åíèÿ áàòàðååê âñå Ðèñ. 4 êîíäåíñàòîðû çàðÿæåíû íå áûëè. Ç.Ðàôàèëîâ Ô2070. Íà îäèíàêîâûå òîðîèäàëüíûå ñåðäå÷íèêè, ñäåëàííûå èç ìàòåðèàëà ñ áîëüøîé ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ, íàìîòàíû òîíêèì ïðîâîäîì êàòóøêè, îäíà èç íèõ ñîäåðæèò âäâîå áîëüøå âèòêîâ, ÷åì äðóãàÿ. Êàòóøêà ñ ìåíüøèì ÷èñëîì âèòêîâ èìååò èíäóêòèâíîñòü 0,5 Ãí. Êàòóøêè ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî, ê âûâîäàì êàòóøåê ïðèñîåäèíåíû êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ 10 ìêÔ è áàòàðåéêà íàïðÿæåíèåì 6  ñ âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì 10 Îì (ðèñ.5). Êîãäà òîêè â öåïè ïðàêòè÷åñêè ïåðåñòàëè èçìåíÿòüñÿ, áàòàðåéêó îòêëþ÷àþò. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå çàðÿäà êîíäåíñàòîðà. Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèòñÿ â êàæäîé êàòóøêå ïîñëå Ðèñ. 5


ÇÀÄÀ×ÍÈÊ

îòêëþ÷åíèÿ áàòàðåéêè? Ïðîâîä, êîòîðûì íàìîòàíû êàòóøêè, èìååò î÷åíü ìàëåíüêîå ñîïðîòèâëåíèå. À.Çèëüáåðìàí Ô2071. Íà äâóõ îäèíàêîâûõ ëåãêèõ ïðóæèíàõ æåñòêîñòüþ k, ïðèêðåïëåííûõ ê ïîòîëêó, âèñÿò îäèíàêîâûå ãðóçû ìàññîé Ì. Íà îäèí èç ãðóçîâ àêêóðàòíî ñòàâÿò ãðóçèê ìàññîé m, à ïîñëå òîãî, êàê êîëåáàíèÿ ïðåêðàòÿòñÿ, áûñòðî ïåðåíîñÿò ãðóçèê íà äðóãîé ãðóç. ×åðåç êàêîå âðåìÿ ãðóçû ïîðàâíÿþòñÿ? À ÷åðåç êàêîå âðåìÿ ñêîðîñòè ãðóçîâ âïåðâûå áóäóò íàïðàâëåíû â îäíó ñòîðîíó? À.Ãðóçîâ Ô2072. Êîðïóñ ñâåòîèçëó÷àþùåãî äèîäà îòøòàìïîâàí èç ïðîçðà÷íîé ïëàñòìàññû (ðèñ.6). Íà îäíîì åãî êîíöå ñôîðìèðîâàíà ëèíçà, èçëó÷àþùàÿ îáëàñòü ïðåäñòàâëÿåò êðóæîê äèàìåòðîì 2 ìì. Îöåíèòå äèàìåòð ñâåòëîãî ïÿòíà íà ýêðàíå, ðàñïîëîæåííîì íà îñè èçëó÷åíèÿ íà ðàññòîÿÐèñ. 6 íèè 20 ñì îò äèîäà. Îòðàæåíèÿìè ñâåòà âíóòðè ïëàñòìàññîâîãî êîðïóñà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. À.Ñâåòîâ

Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì2036 – Ì2040, Ô2048 – Ô2057 Ì2036. Àíäðåé, Áîðÿ è Ñàøà ïîäåëèëè 20 ìîíåò òàê, ÷òî íå âñå ìîíåòû äîñòàëèñü îäíîìó èç íèõ. Ïîñëå ýòîãî êàæäóþ ìèíóòó îäèí èç ðåáÿò îòäàåò ïî îäíîé ìîíåòå äâóì äðóãèì. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ó Àíäðåÿ, Áîðè è Ñàøè îêàçàëîñü a, b è c ìîíåò ñîîòâåòñòâåííî. Íàéäèòå êîëè÷åñòâî âîçìîæíûõ òðîåê (a, b, c). Îòâåò: 76. Ïóñòü â êàêîé-òî ìîìåíò òðîéêà èìåëà âèä (x, ó, z) (ò.å. ó Àíäðåÿ, Áîðè è Ñàøè áûëî õ, ó è z = 20 – õ – ó ìîíåò ñîîòâåòñòâåííî). Ñðåäè ÷èñåë x, ó, z íå áîëåå îäíîãî íóëÿ, òàê êàê ïîñëå êàæäîé îïåðàöèè õîòÿ áû ó äâóõ ìàëü÷èêîâ åñòü ìîíåòû. ×èñëà x, ó è z íå ìîãóò äàâàòü òðè ðàçëè÷íûõ îñòàòêà ïðè äåëåíèè íà 3, èíà÷å ñóììà x + ó + z äåëèëàñü áû íà 3. Çíà÷èò, ñðåäè ÷èñåë x, ó, z äâà ÷èñëà äàþò ðàâíûå îñòàòêè ïðè äåëåíèè íà 3; ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè ýòî ïåðâûå äâà ÷èñëà. Áóäåì íàçûâàòü òðîéêè, óäîâëåòâîðÿþùèå ýòîìó óñëîâèþ, õîðîøèìè. Ïîñëå âûïîëíåíèÿ îïåðàöèè õîðîøàÿ òðîéêà (x, ó, z) ïåðåõîäèò â îäíó èç òðîåê (x – 2, ó + 1, z + 1), (õ + 1, ó – 2, z + 1), (x + 1, ó + 1, z – 2), êàæäàÿ èç êîòîðûõ ÿâëÿåòñÿ õîðîøåé. Íåòðóäíî ïîñ÷èòàòü êîëè÷åñòâî õîðîøèõ òðîåê (x, ó, z): ïðè x = 3k ó = 3l, 0 < k + l £ 6 , – 27 âàðèàíòîâ, ïðè x = 3k + 1 y = = 3l + 1, 0 £ k + l £ 6 , – 28 âàðèàíòîâ, ïðè x = 3k + 2 ó = 3l + 2, 0 £ k + l £ 5 , – 21 âàðèàíò; âñåãî 76 òðîåê. Îñòàåòñÿ ïîêàçàòü, ÷òî êàæäàÿ èç 76 õîðîøèõ òðîåê ìîæåò áûòü ïîëó÷åíà èç ëþáîé äðóãîé. Åñëè x + ó > 2, òî ñ õîðîøåé òðîéêîé (x, ó, z) ìîæíî

«ÊÂÀÍÒÀ»



ñäåëàòü îäíó èç îïåðàöèé (x, ó, z) ® (x – 2, ó + 1, z + 1) è (x, ó, z) ® (x + 1, y – 2, z + 1); ïðè ýòîì ñóììà õ + ó óìåíüøàåòñÿ. Çíà÷èò, çà êîíå÷íîå ÷èñëî îïåðàöèé ìû ìîæåì ïðèéòè ê õîðîøåé òðîéêå ( x ¢, y ¢, z ¢) , â êîòîðîé x ¢ + y ¢ £ 2 , ò.å. ê òðîéêå (1, 1, 18). Íî îò òðîéêè (1, 1, 18) ìû ìîæåì ïðèéòè ê ïðîèçâîëüíîé õîðîøåé òðîéêå, òàê êàê îïåðàöèÿ «îáðàòèìà». Äåéñòâèòåëüíî, ïåðåõîä îò òðîéêè (x – 2, ó + 1, z + 1) ê òðîéêå (x, ó, z) ìîæíî ïðîèçâåñòè çà äâå îïåðàöèè: (x – 2, ó + 1, z + 1) ® (õ – 1, ó – 1, z + 2) ® (x, y, z), åñëè ó > 0, èëè (x – 2, ó + 1, z + 1) ® (x – 1, ó + 2, z – 1) ® (x, ó, z), åñëè ó = 0. Èòàê, èç ïðîèçâîëüíîé õîðîøåé òðîéêè ìû ìîæåì ïðèéòè ê òðîéêå (1, 1, 18), à èç íåå – ê ëþáîé äðóãîé õîðîøåé òðîéêå. Ï.Êîæåâíèêîâ Ì2037. Äèàãîíàëè âïèñàííîãî ÷åòûðåõóãîëüíèêà ABCD ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå E; òî÷êè K è M – ñåðåäèíû ñòîðîí AB è CD; L è N – ïðîåêöèè òî÷êè E íà ñòîðîíû BC è AD. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå KM è LN ïåðïåíäèêóëÿðíû. Ïóñòü X è Y – ñåðåäèíû îòðåçêîâ ÀÅ è BE (ñì. ðèñóíîê). Èç ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà AEN èìååì XN = ÀÅ/2, îòñþäà XN = YK. Àíàëîãè÷íî, YL = XK. Äàëåå, ÐKXN = ÐKXE + ÐEXN = ÐBEC + 2ÐCAD =

= ÐAED + 2ÐCBD = ÐKYE + ÐEYL = ÐKYL . Ïîëó÷àåì ðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêîâ KXN è KYL, îòêóäà KN = KL. Àíàëîãè÷íî äîêàçûâàåì, ÷òî MN = ML. Òðåóãîëüíèêè KML è KMN ðàâíû ïî òðåì ñòîðîíàì, çíà÷èò, òî÷êè L è N ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî ïðÿìîé KÌ, îòêóäà KM ^ LN . Ï.Êîæåâíèêîâ Ì2038. Ôîìà è Åðåìà äåëÿò êó÷ó èç êóñêîâ ñûðà. Ñïåðâà Ôîìà, åñëè õî÷åò, âûáèðàåò îäèí êóñîê è ðåæåò åãî íà äâà. Çàòåì îí ðàñêëàäûâàåò ñûð íà äâå òàðåëêè. Ïîñëå ýòîãî Åðåìà âûáèðàåò îäíó òàðåëêó, è îíè äåëÿò ñûð íà íåé, áåðÿ ñåáå ïî î÷åðåäè ïî êóñêó; íà÷èíàåò Åðåìà. Òî÷íî òàê æå îíè äåëÿò ñûð ñî âòîðîé òàðåëêè, òîëüêî ïåðâûì íà÷èíàåò Ôîìà. Äîêàæèòå, ÷òî Ôîìà âñåãäà ìîæåò äåéñòâîâàòü òàê, ÷òîáû ïîëó÷èòü íå ìåíåå ïîëîâèíû ñûðà (ïî âåñó). Îòìåòèì âíà÷àëå ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå äëÿ äåëåæà íà îäíîé òàðåëêå. Ïóñòü íà òàðåëêå 2k èëè 2k – 1 êóñêîâ ñûðà âåñîì x2k ³ x2k -1 ³ K ³ x1 (åñëè êóñêîâ 2k – 1, òî ïîëàãàåì x1 = 0 ). Åñëè äâîå äåëÿò ñûð íà íåé, áåðÿ êóñêè ïî î÷åðåäè, òî ïåðâûé ìîæåò îáåñïå÷èòü ñåáå ñóììàðíûé âåñ íå ìåíåå x2k + x2k - 2 + K + x2 , à âòîðîé – íå ìåíåå x2k -1 + x2k - 3 + K + x1 .


ÊÂÀÍT 2007/¹5

È ïåðâûé, è âòîðîé ìîãóò äîáèòüñÿ æåëàåìîãî «æàäíûì» àëãîðèòìîì, áåðÿ êàæäûì õîäîì íàèáîëüøèé èç îñòàâøèõñÿ êóñêîâ. Ïåðåéäåì ê ðåøåíèþ çàäà÷è. Ïóñòü â êó÷å, êîòîðóþ äåëÿò Ôîìà è Åðåìà, 2k + 1 êóñêîâ ñûðà âåñîì x2k +1 ³ x2k ³ K ³ x1 (åñëè êóñêîâ 2k, òî ïîëàãàåì x1 = 0 ). Íåïåðåñåêàþùèåñÿ îòðåçêè äëèíîé x2k - x2k -1, x2k - 2 - x2k - 3 ,K, x2 - x1 ïîìåùàþòñÿ íà îòðåçêå äëèíîé x2k +1 (ñì. ðèñóíîê), ïîýòîìó êóñîê âåñîì x2k +1 Ôîìà ìîæåò ðàçäåëèòü íà äâà êóñêà âåñîì à è âåñîì b ñ ðàçíîñòüþ âåñîâ

a - b = (x2k - x2k -1 ) + (x2k - 2 - x2k - 3 ) + K + (x2 - x1 ) , ïîëîæèòü ýòè äâà êóñêà íà ïåðâóþ òàðåëêó, à îñòàëüíûå êóñêè – íà âòîðóþ. Åñëè Åðåìà âûáèðàåò ïåðâóþ òàðåëêó, òî â ðåçóëüòàòå äåëåæà íà äâóõ òàðåëêàõ Ôîìà ïîëó÷àåò (äåéñòâóÿ «æàäíûì» àëãîðèòìîì) íå ìåíåå b + x2k + x2k -2 + K + K + x2 , ÷òî ðàâíî a + x2k -1 + x2k - 3 + K + x1 , ò. å. ñîñòàâëÿåò ïîëîâèíó âñåãî ñûðà. Åñëè æå Åðåìà âûáèðàåò âòîðóþ òàðåëêó, òî Ôîìà ïîëó÷àåò íå ìåíåå a + x2k -1 + x2k - 3 + K + x1 . Ï.Êîæåâíèêîâ Ì2039. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ êàæäîãî íàòóðàëüíîãî n > 1 íàéäåòñÿ íàòóðàëüíîå z, íå ïðåäñòàâèìîå â âèäå x n - y ! , ãäå x è y – íàòóðàëüíûå.

Ì2040. Ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà x1, x2 ,K, xk óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì

x12 + x22 + K + xk2 <

x1 + x2 + K + xk , 2

x1 + x2 + K + xk <

x13 + x23 + K + xk3 . 2

à) Äîêàæèòå, ÷òî k > 50. á) Óêàæèòå ïðèìåð òàêèõ ÷èñåë äëÿ êàêîãî-íèáóäü k. â*) Íàéäèòå íàèìåíüøåå k, äëÿ êîòîðîãî òàêîé ïðèìåð âîçìîæåí. Óòâåðæäåíèå ïóíêòà à) ñëåäóåò èç ïóíêòà â). á) Âîçüìåì k = 2501, x1 = 10 , x2 = x3 = K = x2501 = 0,1 . Òîãäà x12 + x22 + K + xk2 = 100 + 25 = 125 , x1 + x2 + K 3 3 3 K + x2501 = 10 + 250 = 260 , x1 + x2 + K + xk > 1000 , è âñå íåðàâåíñòâà âûïîëíåíû. â) Îòâåò: 516. 1. Ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî k òàêèå ÷èñëà x1,K, xk ñóùåñòâóþò. Äîêàæåì, ÷òî òîãäà ñóùåñòâóåò è íàáîð âèäà 1 x1 = x2 = K = xk -1 = a < , xk = b > 2 , òàêæå óäîâ4 ëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ. Ïåðåïèøåì íàøè íåðàâåíñòâà â âèäå k

2 å (4xi - 1)

< k,

2

Ïóñòü qi = (4 xi - 1) . Òîãäà xi = â ïðîòèâíîì ñëó÷àå xi =

ðàëüíûõ ÷èñåë z, íå ïðåäñòàâèìûõ â âèäå x n - y ! íè äëÿ êàêèõ íàòóðàëüíûõ x, ó è ï > 2 (èäåÿ òàêîãî óñèëåíèÿ ñîäåðæèòñÿ â ðåøåíèÿõ øêîëüíèêîâ Ãîðåìûêèíîé Àííû èç Äîëãîïðóäíîãî è Íèæèáèöêîãî Åâãåíèÿ èç Êðàñíîäàðà).

îáùíîñòè

Ïîëîæèì z = 36t + 2, ãäå t = 4k , k = 7è + 1, u Î N . Ïðè y = 1 ïðîñòîé ìíîæèòåëü 3 âõîäèò â ðàçëîæåíèå ÷èñëà z + y! ðîâíî â ïåðâîé ñòåïåíè, ïîýòîìó z + y! íå ìîæåò áûòü òî÷íîé ñòåïåíüþ. Ïðè y ³ 4 ïðîñòîé ìíîæèòåëü 2 âõîäèò â ðàçëîæåíèå ÷èñëà z + ó! ðîâíî â ïåðâîé ñòåïåíè, ïîýòîìó z + y! íå ìîæåò áûòü òî÷íîé ñòåïåíüþ. 2 Åñëè ó = 2, òî z + ó! = 36t + 4 = 4 36k + 1 íå ÿâëÿåòñÿ

(

)

(

)

òî÷íûì êâàäðàòîì (èíà÷å 36k2 + 1 = (6k)2 + 1 – òî÷íûé êâàäðàò) è íå ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé ñòåïåíüþ n ³ 3 , òàê êàê ïðîñòîé ìíîæèòåëü 2 âõîäèò â ðàçëîæåíèå z + y! ðîâíî âî âòîðîé ñòåïåíè. 2 Åñëè ó = 3, òî z + ó! = 36t + 8 = 8 18k + 1 íå ÿâëÿåòñÿ 2

òî÷íûì êóáîì (èíà÷å 18k + 1 = 18 (7u + 1) + 1 – òî÷íûé êóá, äàþùèé îñòàòîê 5 ïðè äåëåíèè íà 7 – ïðîòèâîðå÷èå) è íå ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé ñòåïåíüþ n ³ 2 , n ¹ 3 , òàê êàê ïðîñòîé ìíîæèòåëü 2 âõîäèò â ðàçëîæåíèå z + y! ðîâíî â òðåòüåé ñòåïåíè. Â.Ñåíäåðîâ 2

å (2xi - xi3 ) < 0 . i =1

i =1

Óòâåðæäåíèå ýòîé çàäà÷è ìîæíî ñóùåñòâåííî óñèëèòü: ìû äîêàæåì, ÷òî ñóùåñòâóåò áåñêîíå÷íî ìíîãî íàòó-

2

k

ìîæíî

- qi + 1

qi + 1 4

ñ÷èòàòü,

4

, åñëè xi £

1 ; 4

. Áåç îãðàíè÷åíèÿ ÷òî

x1,K, xd £

1 . Òîãäà 4 1 2xi - xi3 = 31 - 3qi m 29qi1 2 - 3qi3 2 , 64 è íàøè íåðàâåíñòâà çàïèøóòñÿ â âèäå

1 , 4

xd +1,K, xk >



k

d

i =1

i =1





å qi < k , å (31 - 3qi - 29qi1 2 + 3qi3 2 ) + +

k

å

i = d +1

31 - 3q

i



+ 29q1i 2 - 3qi3 2 < 0 . (1)

12 32 Ôóíêöèÿ f2 ( x ) = 31 - 3x + 29 x - 3x , î÷åâèäíî, âûïóêëà ââåðõ íà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ (êàæäîå ñëàãàåìîå âûïóêëî ââåðõ). Ïîýòîìó åñëè d £ n - 2 (ò.å. âî âòîðîé ñóììå â ïîñëåäíåì íåðàâåíñòâå õîòÿ áû äâà ñëàãàåìûõ), òî qd +1 è qd + 2 ìîæíî çàìåíèòü íà qd¢ +1 = 0 , qd¢ + 2 = qd +1 + qd + 2 (ñîîòâåòñòâåííî èçìåíèâ xi ), òåì ñàìûì óìåíüøèâ ëåâóþ ÷àñòü âòîðîãî íåðàâåíñòâà â 1 (1) è íå èçìåíèâ ñóììó qi . Ïðè ýòîì xd¢ = , ò.å. äëÿ 4 íîâîãî íàáîðà çíà÷åíèå d óâåëè÷èëîñü íà 1. Òàê ìîæíî ïðîäîëæàòü, ïîêà ìû íå ïîëó÷èì d ³ k - 1 . Çàìåòèì, ÷òî ñëó÷àé d = k íåâîçìîæåí, òàê êàê òîãäà 2xi - xi3 > 0 ïðè âñåõ i. Çíà÷èò, â íîâîì íàáîðå d =


ÇÀÄÀ×ÍÈÊ

= k – 1, è îí ïî-ïðåæíåìó óäîâëåòâîðÿåò íåðàâåíñòâàì (1). 1 d Òåïåðü, ïîëîæèâ q = å qi , ïîëó÷àåì d i =1 d

å( i =1

)

31 - 3qi - 29qi1 2 + 3qi3 2 ³

(

³ d 31 - 3q - 29q1 2 + 3q 3 2

)

ñîãëàñíî íåðàâåíñòâó Éåíñåíà, òàê êàê ôóíêöèÿ f1 ( x ) = 31 - 3x - 29 x1 2 + 3x 3 2 âûïóêëà âíèç íà îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, åñëè âñå ÷èñëà q1,K, qd çàìåíèòü íà q , òî íåðàâåíñòâà (1) áóäóò âûïîëíåíû (òàê êàê èõ ñóììà íå èçìåíèòñÿ). Ìû ïîëó÷èëè òðåáóåìûé íàáîð ñ k – 1 îäèíàêîâûì ÷èñëîì a = x1 = K = xk -1 1 è îäíèì ÷èñëîì b = xk . Ïðè ýòîì, î÷åâèäíî, a £ ; 4 ïîñêîëüêó 2b - b3 < 0 , òî ïîëó÷àåì b > 2 . 2. Òàêèì îáðàçîì, îñòàëîñü âûÿñíèòü, ïðè êàêîì 1 ìèíèìàëüíîì k ñóùåñòâóþò òàêèå a £ , b > 2 , ÷òî 4 (çäåñü d = k – 1) da 3 + b3 da + b da2 + b2 < , da + b < . 2 2 Ïåðåïèøåì ýòè íåðàâåíñòâà â âèäå 2b2 - b a - 2a2

<d<

b3 - 2b 2a - a 3

.

(2)

Èç (2) è âûøåñêàçàííîãî ñëåäóþò óñëîâèÿ b3 - 2b 2

2b - b

>

2a - a 3 a - 2a

2

,

é a Î ê 0; ë

1ù , 4 úû

b> 2.

(3)

Îöåíèì, êàêîå ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ìîæåò ïðèíèìàòü âûðàæåíèå 2b2 - b a - 2a2

(4)

ïðè óñëîâèÿõ (3). Ñîãëàñíî (2), ýòî è áóäåò îöåíêîé ñíèçó äëÿ d. Ïîëîæèì g ( x) =

x 3 - 2x 2

2x - x

=

x2 - 2 1 æ 7 ö = ç 2x + 1 ÷. 2x - 1 4 è 2x - 1ø

Èç ïîñëåäíåãî ïðåäñòàâëåíèÿ âèäíî, ÷òî g ( x ) âîçðàñ1ö æ æ1 ö òàåò íà ïðîìåæóòêàõ ç -¥; ÷ è ç ; + ¥÷ . è è2 ø 2ø Ïåðâîå íåðàâåíñòâî â (3) èìååò âèä g (a ) < g (b) . Áóäåì óìåíüøàòü b, ïîêà íå äîñòèãíåì çíà÷åíèÿ, ïðè êîòîðîì

( )

g (b) = g (a) . Òàê êàê g 2 = 0 < g (a) , òî íîâîå çíà÷åíèå áóäåò áîëüøå 2 . Ïðè ýòîì, î÷åâèäíî, (4) óìåíüøèòñÿ. Òàêèì îáðàçîì, ìû ìîæåì ñ÷èòàòü, ÷òî b2 - 2 2 - a 2 = = t. 2b - 1 1 - 2a

Òåïåðü à è b – äâà ðàçëè÷íûõ êîðíÿ êâàäðàòíîãî

!

«ÊÂÀÍÒÀ»

óðàâíåíèÿ x2 - 2 = t (2x - 1) , ïîýòîìó a + b = 2t Þ b = 2t - a = 2

2 - a2 4-a -a = . 1 - 2a 1 - 2a

Âûðàæåíèå (4) ïðèíèìàåò âèä h (a ) =

b (2b - 1) 7 (4 - a ) = . a (1 - 2a ) a (1 - 2a)3

é 1ù ×òîáû íàéòè åãî ìèíèìóì íà îòðåçêå a Î ê 0; ú , íàéë 4û äåì íóëè ïðîèçâîäíîé: 7 (4 - a ) 7 h ¢ (a ) = + 3 3 2 a (1 - 2a ) a (1 - 2a )

+

42 (4 - a )

a (1 - 2a )

4

=

(

).

14 -3a2 + 16a - 2 a (1 - 2a ) 2

4

8 - 58 é 1ù Íà îòðåçêå ê 0; ú ïîëó÷àåì a0 = , ïðè÷åì ýòî 3 ë 4û – òî÷êà ìèíèìóìà. Ïîäñòàâèâ åå â íàøå âûðàæåíèå, ïîëó÷àåì d > h (a0 ) = 514,K

Òàêèì îáðàçîì, d ³ 515 , a k ³ 516 . 3. Îñòàëîñü ïîñòðîèòü ïðèìåð äëÿ d = 515. Åãî ëåãêî ïîëó÷èòü èç ñëåäóþùèõ ñîîáðàæåíèé. Ïîëîæèì a = a0 , 4-a . Òîãäà b= 1 - 2a 2b2 - b b3 - 2b = = 514,K (5) a - 2a2 2a - a 3 Íà÷íåì óâåëè÷èâàòü çíà÷åíèå b, îñòàâëÿÿ à íåèçìåíb3 - 2b íûì. Òîãäà âåëè÷èíà g (b) = 2 , êàê ìû âûÿñíèëè, 2b - b óâåëè÷èâàåòñÿ; ïîýòîìó ïðàâîå âûðàæåíèå ñòàíîâèòñÿ áîëüøå, ÷åì ëåâîå. Çíà÷èò, íàñòàíåò ìîìåíò, êîãäà ïðàâàÿ ÷àñòü (5) áóäåò áîëüøå 515, à ëåâàÿ – ïîïðåæíåìó ìåíüøå 515. Ýòè à è b áóäóò óäîâëåòâîðÿòü (3), à çíà÷èò, ÿâëÿòüñÿ èñêîìûìè. Ìîæíî ïðåäúÿâèòü è áîëåå ïðîñòîé ïðèìåð. Âîçüìåì 1 (ýòî ÷èñëî, äîâîëüíî áëèçêîå ê a0 ). Ñîîòâåòa= 8 4-a 31 ñòâóþùåå çíà÷åíèå b = , ïðè ýòîì = 1 - 2a 6 b3 - 2b 2a - a

3

=

b (2b - 1) 13888 10 . = = 514 a (1 - 2a ) 27 27

Óâåëè÷èâàÿ çíà÷åíèå b, êàê è âûøå, ïîëó÷àåì òðåáóåìûé ïðèìåð. Òàê, ïîäõîäèò çíà÷åíèå b = 5,169. È.Áîãäàíîâ Ô2048. Ìàòåðèàëüíàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì. Åå êîîðäèíàòû â íà÷àëüíûé ìîìåíò (0, 0, 0), ÷åðåç 1 ñåêóíäó ïîñëå íà÷àëà äâèæåíèÿ (1, 1, 2), åùå ÷åðåç ñåêóíäó (2, 3, 4). Êàêîé óãîë ñîñòàâëÿåò âåêòîð íà÷àëüíîé ñêîðîñòè òî÷êè ñ âåêòîðîì åå óñêîðåíèÿ? Ïî îñè õ òî÷êà äâèæåòñÿ ðàâíîìåðíî, åå ñêîðîñòü âäîëü ýòîé îñè ðàâíà vx = 1 ì ñ . Ïî îñè z äâèæåíèå òîæå


"

ÊÂÀÍT 2007/¹5

ðàâíîìåðíîå, íî ñî ñêîðîñòüþ vz = 2 ì ñ . Ïî îñè y – ïðèäåòñÿ ïîñ÷èòàòü. Ïîñêîëüêó äâèæåíèå òî÷êè ïî óñëîâèþ ðàâíîóñêîðåííîå, ìîæíî çàïèñàòü ay × 12 , 1 = 0 + vy × 1 + 2 ay × 22 , 3 = 0 + vy × 2 + 2 ãäå vy – íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ïî îñè y, a = ay – ïîëíîå óñêîðåíèå òî÷êè. Îòñþäà ïîëó÷àåì vy = 0,5 ì ñ , ay = 1 ì ñ2 .

Òåïåðü íàéäåì óãîë ìåæäó âåêòîðàìè íà÷àëüíîé ñêîðîñòè è óñêîðåíèÿ. Ñëîæèì âåêòîðíî ñêîðîñòè ïî îñÿì õ è z, ïîëó÷èì âåêòîð äëèíîé 5 ì ñ , ïåðïåíäèêóëÿðíûé îñè ó. Îòñþäà ëåãêî íàéòè óãîë ϕ ìåæäó âåêòîðîì íà÷àëüíîé ñêîðîñòè è îñüþ ó: tg ϕ =

5 = 2 5 , è ϕ » 77,4° . 0,5 À.Çèëüáåðìàí

Ô2049.  ñèñòåìå (ðèñ.1) òðåíèÿ íåò. Ìàññû ãðóçîâ íà ëåâîì áëîêå Ì è 2Ì, íà ïðàâîì áëîêå – 2Ì è 4Ì. Íàéäèòå óñêîðåíèå ñàìîãî ëåãêîãî ãðóçà ïðè äâèæåíèè.

Ðèñ. 1

Ñèëû íàòÿæåíèÿ êóñêîâ íèòåé, ïðèâÿçàííûõ ê ãðóçàì, îäèíàêîâû – ÿñíî, ÷òî óñêîðåíèÿ ãðóçîâ ìàññîé 2Ì ïîëó÷àþòñÿ îäèíàêîâûìè. Íàïðàâèì âñå óñêîðåíèÿ ââåðõ (òîãäà ïðîùå íàïèñàòü áåç îøèáîê óðàâíåíèÿ êèíåìàòè÷åñêèõ ñâÿçåé), îáîçíà÷èì óñêîðåíèå ãðóçà ìàññîé Ì áóêâîé à, ãðóçîâ ìàññîé 2Ì – áóêâîé b, ãðóçà ìàññîé 4Ì – áóêâîé ñ, à íàòÿæåíèå êóñêîâ íèòåé, íåïîñðåäñòâåííî ïðèâÿçàííûõ ê ãðóçàì, – áóêâîé Ò (ðèñ.2). Òîãäà T – Mg = Ma, T – 2Mg = 2Mb, T – 4Mg = 4Mc, a + b = –(b + c).

îñêîëêà ñ ìàññàìè m1 = 2m , m2 = 3m è m3 = 4m , êîòîðûå ïîëåòåëè â ðàçíûå ñòîðîíû ñ îäèíàêîâûìè íà÷àëüíûìè ñêîðîñòÿìè. ×åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ïîñëå âçðûâà ðàññòîÿíèå ìåæäó îñêîëêàìè ñ ìàññàìè m1 è m2 îêàçàëîñü ðàâíûì L. ×åìó áûëî ðàâíî â ýòîò ìîìåíò ðàññòîÿíèå ìåæäó îñêîëêàìè ñ ìàññàìè m1 è m3 , åñëè íè îäèí èç îñêîëêîâ åùå íå äîñòèã çåìëè? Âëèÿíèåì âîçäóõà è ìàññîé âçðûâ÷àòîãî âåùåñòâà ñíàðÿäà ïðåíåáðå÷ü. Ïåðåéäåì â ñèñòåìó îòñ÷åòà, ïàäàþùóþ íà çåìëþ ñ óñêîðåíèåì ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g.  ýòîé ñèñòåìå îòñ÷åòà îñêîëêè ïîñëå âçðûâà äâèæóòñÿ â ðàçíûå ñòîðîíû ðàâíîìåðíî è ïðÿìîëèíåéíî ñ îäèíàêîâûìè ñêîðîñòÿìè, ðàâíûìè íà÷àëüíîé ñêîðîñòè v, ïðèîáðåòåííîé â ðåçóëüòàòå âçðûâà. Èç çàêîíà ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà ñëåäóåò, ÷òî íà÷àëüíûå ñêîðîñòè îñêîëêîâ ëåæàò â îäíîé ïëîñêîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, â ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìå îòñ÷åòà âñå îñêîëêè ïîñëå âçðûâà ñíàðÿäà â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè ðàñïîëàãàþòñÿ íà îêðóæíîñòè ñ öåíòðîì â òî÷êå âçðûâà. Èçîáðàçèì ýòó îêðóæíîñòü íà ðèñóíêå, îáîçíà÷èâ óãîë ìåæäó íàïðàâëåíèÿìè ðàçëåòà îñêîëêîâ ñ ìàññàìè m1 è m2 ÷åðåç α , à îñêîëêîâ ñ ìàññàìè m1 è m3 – ÷åðåç π - β . Ðàññìîòðèì ïîëîæåíèÿ îñêîëêîâ â ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà ðàññòîÿíèå ìåæäó ïåðâûì è âòîðûì îñêîëêàìè îêàçàëîñü ðàâíûì L. Òîãäà èç ðèñóíêà ñëåäóåò, ÷òî π-β β α L = 2R sin , L1 = 2R sin = 2R cos , 2 2 2 ãäå R – ðàäèóñ èçîáðàæåííîé îêðóæíîñòè, L1 – èñêîìîå ðàññòîÿíèå ìåæäó ïåðâûì è òðåòüèì îñêîëêàìè. Ïîñêîëüêó èìïóëüñ ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû îñêîëêîâ ñîõðàíÿåòñÿ, èç òåîðåìû êîñèíóñîâ, ïðèìåíåííîé ê òðåóãîëüíèêó èç âåêòîðîâ èìïóëüñîâ îñêîëêîâ, ñëåäóåò

(m3v)2 = (m1v)2 + (m2v)2 - 2m1m2v2 cos (π - α) . Îòñþäà, ñ ó÷åòîì çàäàííûõ ñîîòíîøåíèé ìåæäó m1 , m2 è m3 , íàõîäèì

Îòñþäà ëåãêî íàéòè ñèëó íàòÿæåíèÿ íèòè: Ðèñ. 2

T=

è óñêîðåíèå ñàìîãî ëåãêîãî ãðóçà: 7g a= . 9

cos α =

m32 - m12 - m22 1 = , 2m1m2 4

ò.å. óãîë ðàçëåòà ïåðâûõ äâóõ îñêîëêîâ ñîñòàâëÿåò α » 75,5° . Èç òåîðåìû ñèíóñîâ, ïðèìåíåííîé ê òîìó æå òðåóãîëüíèêó, ïîëó÷àåì

16 Mg 9

À.Áëîêîâ

îòêóäà

Ô2050. Ñíàðÿä, ëåòåâøèé âåðòèêàëüíî, âçîðâàëñÿ â âåðõíåé òî÷êå ñâîåé òðàåêòîðèè, ðàñïàâøèñü íà òðè

sin β =

m3v m2v , = sin β sin (π - α ) m2 m 3 15 11 sin α = 2 1 - cos2 α = , è cos β = . m3 m3 16 16


ÇÀÄÀ×ÍÈÊ

Èñïîëüçóÿ òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ôîðìóëû äëÿ ïîëîâèííîãî óãëà, íàéäåì cos

β = 2

1 3 3 (1 + cos β) = è 2 4 2 α L2 1 = 1= , îòêóäà R = 2 2R2 4

2 L. 3 Ïîäñòàâëÿÿ ýòè âûðàæåíèÿ â ôîðìóëó äëÿ L1 , ïîëó÷èì îòâåò: 3 L1 = L . 2 À.ßêóòà cos α = 1 - 2 sin2

Ô2051. Ïî ãîðèçîíòàëüíîìó ñòîëó êàòèòñÿ áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ âåëîñèïåäíîå êîëåñî. Åãî äèàìåòð 1 ì, ìàññà 1 êã, ñêîðîñòü öåíòðà 1 ì/ñ.  íåêîòîðûé ìîìåíò ê êîëåñó ïðèêëåèëñÿ ìàëåíüêèé êóñî÷åê æâà÷êè ìàññîé 2 ã, ëåæàâøèé íà ñòîëå. Ñêîðîñòü öåíòðà êîëåñà òåïåðü ìåíÿåòñÿ. Îöåíèòå îòëè÷èå ìèíèìàëüíîé ñêîðîñòè êîëåñà îò åãî íà÷àëüíîé ñêîðîñòè. Êîëåñî äâèæåòñÿ áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ, ñëåäîâàòåëüíî, ñêîðîñòü íèæíåé òî÷êè êîëåñà íóëåâàÿ.  ýòîì ñëó÷àå â ìîìåíò ïðèêëåèâàíèÿ êóñî÷êà æâà÷êè íèêàêîãî óäàðà íå ïðîèñõîäèò (äèàìåòð êîëåñà âî ìíîãî ðàç áîëüøå ðàçìåðà êóñî÷êà), ìåõàíè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ñèñòåìû îñòàåòñÿ íåèçìåííîé. Ìèíèìàëüíàÿ ñêîðîñòü öåíòðà êîëåñà ïîëó÷èòñÿ â òîò ìîìåíò, êîãäà êóñî÷åê îêàæåòñÿ â âåðõíåé åãî òî÷êå. Åñëè ñêîðîñòü öåíòðà êîëåñà â ýòîò ìîìåíò v, òî ñêîðîñòü êóñî÷êà áóäåò 2v. Çàïèøåì óðàâíåíèå äëÿ ýíåðãèè: 2 m  2v + mg × 2R . Mv02 = Mv2 + 2 Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ êîëåñà – òîíêîñòåííîãî öèëèíäðà – ñêëàäûâàåòñÿ èç êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ïîñòóïàòåëüíîãî äâèæåíèÿ öåíòðà ìàññ è ýíåðãèè âðàùåíèÿ îòíîñèòåëüíî öåíòðà ìàññ, â ñóììå ïîëó÷àåòñÿ Mv02 èëè Mv2 . Òåïåðü íàéäåì ìèíèìàëüíóþ ñêîðîñòü öåíòðà êîëåñà: v=

v02

- 2mgR M » 0, 98 v0 . 1 + 2m M

Îòëè÷èå ìèíèìàëüíîé ñêîðîñòè öåíòðà êîëåñà îò íà÷àëüíîé ñîñòàâëÿåò ïðèáëèçèòåëüíî 0,02 ì/ñ. Ð.Êîëåñîâ Ô2052. Îäíîðîäíîå ïëîñêîå òåëî âðàùàåòñÿ îòíîñèòåëüíî âåðòèêàëüíîé îñè, ëåæàùåé â ïëîñêîñòè òåëà (ñì. ðèñóíîê). Òåëî ðàñêðóòèëè äî óãëîâîé ñêîðîñòè ω0 è îòïóñòèëè. Íà òåëî äåéñòâóåò ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà òàêàÿ, ÷òî èçáûòî÷íîå äàâëåíèå ïðîïîðöèîíàëüíî ñêîðîñòè v ó÷àñòêà ïîâåðõíîñòè ñ êîýôôèöèåíòîì k (ò.å. ∆F = k∆Sv ). Ìàññà òåëà Ì, åãî «ïîïåðå÷íàÿ» ïëîùàäü S. Ñêîëüêî îáîðîòîâ ñîâåðøèò òåëî äî ïîëíîé îñòàíîâêè? Äëÿ ðåøåíèÿ ìîæíî èñïîëüçîâàòü óðàâíåíèÿ äèíàìèêè âðàùàþùåãîñÿ òåëà

#

«ÊÂÀÍÒÀ»

(ìîìåíò ñèë, óãëîâîå óñêîðåíèå, ìîìåíò èíåðöèè), íî ìîæíî îáîéòèñü ýíåðãåòè÷åñêèìè ñîîáðàæåíèÿìè: êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ «ñúåäàåòñÿ» ñèëàìè ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà. Ðàññìîòðèì ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ, äåéñòâóþùóþ íà ìàëåíüêèé êóñî÷åê ïîâåðõíîñòè ïëîùàäüþ ∆S , íàõîäÿùèéñÿ íà ðàññòîÿíèè r îò îñè âðàùåíèÿ ïðè óãëîâîé ñêîðîñòè ω : ∆F = kωr ∆S .

Çà î÷åíü ìàëûé èíòåðâàë âðåìåíè ∆t ýòà ñèëà ñîâåðøèò ðàáîòó Fωr ∆t = kω2r 2 ∆S∆ t .

Ñóììàðíàÿ ðàáîòà âñåõ ñèë ñîïðîòèâëåíèÿ ïðè ýòîì ñîñòàâèò

(

)

kω2 ∆tΣ ri2 ∆Si . Çà ýòî æå âðåìÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü ïëîñêîãî òåëà óìåíüøèòñÿ íà íåêîòîðóþ ìàëóþ âåëè÷èíó ∆ω , à êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýòîãî êóñî÷êà ìàññîé m = M ∆S S óìåíüøèòñÿ íà 1 1 2 mω2r 2 - m  ω - ∆ω r 2 = mωr 2 ∆ω = (M ∆S S ) ωr 2 ∆ω 2 2 (ìû îòáðîñèëè ñîâñåì ìàëóþ âåëè÷èíó, ñîäåðæàùóþ 2 ìíîæèòåëü ( ∆ω) ). Çàïèøåì â âèäå ñóììû ïîëíîå èçìåíåíèå êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè òåëà çà ýòîò èíòåðâàë âðåìåíè:

(M S) ω∆ωΣ (ri2 ∆Si ) .

Ïðèðàâíÿåì ðàáîòó ñèë ñîïðîòèâëåíèÿ èçìåíåíèþ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè (çíàê èçìåíåíèÿ ìû óæå ó÷ëè):

(

)

(

)

kω2 ∆tΣ ri2 ∆Si = ( M S ) ω∆ωΣ ri2 ∆Si .

Ñëåâà è ñïðàâà íàïèñàíû îäèíàêîâûå ñóììû, ñ÷èòàòü èõ íå íóæíî, ìû èõ ïðîñòî ñîêðàòèì.  èòîãå ïîëó÷èì kω2 ∆t = (M S ) ω∆ω , èëè k∆ϕ = (M S ) ∆ω .

Ìû âèäèì, ÷òî óãîë ïîâîðîòà çà íåêîòîðûé èíòåðâàë âðåìåíè ñîâñåì ïðîñòî ñâÿçàí ñ óìåíüøåíèåì óãëîâîé ñêîðîñòè çà òî æå âðåìÿ. Òîãäà ïîëíûé óãîë ïîâîðîòà M äî îñòàíîâêè áóäåò ϕ = ω0 , èëè â îáîðîòàõ kS Mω0 ϕ = n= . 2π 2πkS À.Êèñåëåâ Ô2053. Íà ñòîëå ñòîèò âåðòèêàëüíûé òåïëîèçîëèðîâàííûé öèëèíäðè÷åñêèé ñîñóä, â êîòîðûé âñòàâëåíû äâà ïîðøíÿ (ñì. ðèñóíîê). Âåðõíèé ïîðøåíü – òÿæåëûé, òåïëîíåïðîíèöàåìûé è ìîæåò äâèãàòüñÿ â öèëèíäðå áåç òðåíèÿ. Íèæíèé ïîðøåíü – ëåãêèé è òåïëîïðîâîäÿùèé, íî ìåæäó íèì è ñòåíêàìè ñîñóäà ñóùåñòâóåò òðåíèå.  êàæäîé èç ÷àñòåé ñîñóäà íàõîäèòñÿ ïî ν ìîëåé èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà. Âíà÷àëå ñèñòåìà íàõîäèëàñü â òåïëîâîì ðàâíîâåñèè, à îáå ÷àñòè ñîñóäà èìåëè âûñîòó L. Ïîòîì


$

ÊÂÀÍT 2007/¹5

ñèñòåìó ìåäëåííî íàãðåëè, ñîîáùèâ åé êîëè÷åñòâî òåïëîòû ∆Q . Íà êàêóþ âåëè÷èíó ∆T èçìåíèëàñü òåìïåðàòóðà ãàçîâ, åñëè íèæíèé ïîðøåíü ïðè ýòîì íå ñäâèíóëñÿ ñ ìåñòà? Ïðè êàêîì íàèìåíüøåì çíà÷åíèè ñèëû òðåíèÿ F ìåæäó íèæíèì ïîðøíåì è ñòåíêàìè ýòî âîçìîæíî? Êàêîâà òåïëîåìêîñòü Ñ ñèñòåìû â ýòîì ïðîöåññå? Òåïëîåìêîñòüþ ñòåíîê ñîñóäà è ïîðøíåé ïðåíåáðå÷ü. Îáîçíà÷èì ÷åðåç V1 = SL îáúåì íèæíåé ÷àñòè öèëèíäðà, ãäå S – ïëîùàäü ïîðøíåé, ÷åðåç p0 – äàâëåíèå â âåðõíåé ÷àñòè öèëèíäðà, ÷åðåç ∆V2 – èçìåíåíèå îáúåìà âåðõíåé ÷àñòè öèëèíäðà. Ñîîáùåííîå ñèñòåìå êîëè÷åñòâî òåïëîòû ∆Q èäåò íà èçìåíåíèå âíóòðåííåé ýíåðãèè âñåãî ãàçà â ñîñóäå: 3 ∆U = 2ν × R∆T 2 è íà ñîâåðøåíèå ðàáîòû:

A = p0 ∆V2 = νR∆T . Ñëåäîâàòåëüíî,

∆Q . 4 νR Òåïëîåìêîñòü ñèñòåìû â ýòîì ïðîöåññå ðàâíà îòíîøåíèþ ñîîáùåííîãî åé êîëè÷åñòâà òåïëîòû ê èçìåíåíèþ òåìïåðàòóðû: ∆Q = 4ν R . C= ∆T Ïîñêîëüêó îáúåì íèæíåé ÷àñòè ñîñóäà ïîñòîÿíåí, èçìåíåíèå äàâëåíèÿ ∆p òàì îïðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ ∆pV1 = νR∆T , îòêóäà νR∆T ∆Q ∆p = = . V1 4V1 Òàê êàê äàâëåíèå â âåðõíåé ÷àñòè ñîñóäà ïîñòîÿííî è ðàâíî p0 , à â íèæíåé ÷àñòè ñîñóäà äàâëåíèå âíà÷àëå òàêæå áûëî ðàâíî p0 , òî â êîíöå íàãðåâà ðàçíîñòü äàâëåíèé, îêàçûâàåìûõ ãàçàìè íà íèæíèé ïîðøåíü, ñòàíåò ðàâíîé ∆p . ×òîáû ïîðøåíü îñòàëñÿ íåïîäâèæíûì, ñèëà òðåíèÿ ìåæäó íèì è ñòåíêàìè ñîñóäà äîëæíà áûòü íå ìåíüøå ∆Q F = ∆pS = . 4L Ä.Âàãèí, Ì.Ñåìåíîâ ∆Q = ∆U + A = 4νR∆T , è ∆T =

Ô2054. Íàä ν ìîëÿìè èäåàëüíîãî îäíîàòîìíîãî ãàçà ïðîâîäÿò öèêëè÷åñêèé ïðîöåññ, ãðàôèê êîòîðîãî èçîáðàæåí íà pV-äèàãðàììå (ñì. ðèñóíîê). Öèêë ñîñòîèò èç âåðòèêàëüíîãî (1–2) è ãîðèçîíòàëüíîãî (3–1) ó÷àñòêîâ è «ëåñòíèöû» (2–3) èç n ñòóïåíåê, íà êàæäîé èç êîòîðûõ äàâëåíèå è îáúåì ãàçà èçìåíÿþòñÿ â îäíî è òî æå ÷èñëî ðàç. Îòíîøåíèå ìàêñèìàëüíîãî äàâëåíèÿ ãàçà ê ìèíèìàëüíîìó ðàâíî k, îòíîøåíèå ìàêñè-

ìàëüíîãî îáúåìà ãàçà ê ìèíèìàëüíîìó òàêæå ðàâíî k. Íàéäèòå ÊÏÄ òåïëîâîé ìàøèíû, ðàáîòàþùåé ïî äàííîìó öèêëó. Ïîñêîëüêó òåïëîâàÿ ìàøèíà ñîâåðøàåò çà öèêë ïîëîæèòåëüíóþ ðàáîòó, ðàññìàòðèâàåìûé öèêë ïðîõîäèòñÿ ïî ÷àñîâîé ñòðåëêå, â íàïðàâëåíèè 1–2–3–1. ÊÏÄ ýòîé òåïëîâîé ìàøèíû ðàâåí îòíîøåíèþ ñîâåðøåííîé ðàáîòû À ê êîëè÷åñòâó òåïëîòû Q+ , ïîëó÷åííîìó îò íàãðåâàòåëåé. Îáîçíà÷èì ÷åðåç p0 è V0 ìèíèìàëüíûå äàâëåíèå è îáúåì ãàçà, òîãäà ìàêñèìàëüíûå äàâëåíèå è îáúåì áóäóò ðàâíû kp0 è kV0 ñîîòâåòñòâåííî. Çàìåòèì, ÷òî íà ãîðèçîíòàëüíîì ó÷àñòêå ñòóïåíüêè îáúåì âîçðàñòàåò â k1 n ðàç, à íà âåðòèêàëüíîì ó÷àñòêå äàâëåíèå óìåíüøàåòñÿ â òàêîå æå ÷èñëî ðàç.  äàííîì öèêëå ãàç ïîëó÷àåò òåïëî íà ó÷àñòêå 1–2, à òàêæå íà ãîðèçîíòàëüíûõ ó÷àñòêàõ ëåñòíèöû 2 –3. Êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîëó÷åííîå íà ó÷àñòêå 1–2, ðàâíî èçìåíåíèþ âíóòðåííåé ýíåðãèè ãàçà: Q12 =

3 3 3 kp0V0 - p0V0 = (k - 1) p0V0 . 2 2 2

Äàëåå, íà i-ì ãîðèçîíòàëüíîì ó÷àñòêå ëåñòíèöû (i èçìåíÿåòñÿ â ïðåäåëàõ îò 1 äî n) ãàç ðàñøèðÿåòñÿ îò îáúåìà V0 ki -1 n äî V0 ki n ïðè ïîñòîÿííîì äàâëåíèè p0 k1- i -1 n . Ïðè ýòîì îí ñîâåðøàåò ðàáîòó ∆A = kp0V0 k1 n - 1 , èçìåíÿåò ñâîþ âíóòðåííþþ ýíåðãèþ íà ∆U = 1,5∆A è ïîëó÷àåò êîëè÷åñòâî òåïëîòû ∆Q = 2,5∆A . Íà âåðòèêàëüíûõ ó÷àñòêàõ «ëåñòíèöû» ãàç íå ñîâåðøàåò ðàáîòû è îòäàåò òåïëî. Íà ó÷àñòêå 3–1 ãàç îòäàåò òåïëî è ñîâåðøàåò îòðèöàòåëüíóþ ðàáîòó A31 = - (k - 1) p0V0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ñóììàðíîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû, ïîëó÷åííîå îò íàãðåâàòåëåé, ðàâíî 3 5 Q+ = Q12 + n∆Q = (k - 1) p0V0 + nk k1 n - 1 p0V0 , 2 2 à ñîâåðøåííàÿ ðàáîòà ðàâíà

(

)

(

)

(

)

1n A = A31 + n∆A = - (k - 1) p0V0 + nk k - 1 p0V0 .

Òîãäà èñêîìûé ÊÏÄ öèêëà ðàâåí

(

)

nk k1 n - 1 - (k - 1) A = η= . 3 5 Q+ (k - 1) + nk k1 n - 1 2 2 Î.Øâåäîâ

(

)

Ô2055. Ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü (ñì. ðèñóíîê) ñîñòîèò èç èäåàëüíîé áàòàðåéêè ñ ÝÄÑ U0 , èäåàëüíîãî àìïåðìåòðà è ÷åòûðåõ îäèíàêîâûõ íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ, äëÿ êàæäîãî èç êîòîðûõ, â îòëè÷èå îò çàêîíà Îìà, ñâÿçü ñèëû òîêà I è íàïðÿæåíèÿ U èìååò âèä I = αU 2 . Êàêîé òîê I0 ïîêàçûâàåò àìïåðìåòð? Ïðîíóìåðóåì íåëèíåéíûå ýëåìåíòû òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå. Ïóñòü U2 – íàïðÿæåíèå íà íåëèíåéíîì ýëåìåíòå 2, òîãäà íà êàæäûé èç ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäè-


ÇÀÄÀ×ÍÈÊ

íåííûõ ýëåìåíòîâ 3 è 4 ïðèõîäèòñÿ íàïðÿæåíèå U2 2 . Ñëåäîâàòåëüíî, ñèëà òîêà, òåêóùåãî ÷åðåç ýëåìåíò 2, ðàâíà I2 = αU22 , à òîê, òåêóùèé ÷åðåç ýëåìåíòû 3 è 4, ðàâåí I3 = αU22 4 . Ïîýòîìó ñèëà òîêà, òåêóùåãî ÷åðåç àìïåðìåòð, áàòàðåéêó è ýëåìåíò 1, ñîñòàâëÿåò I0 = I2 + I3 = 5αU22 4 . Íàïðÿæåíèå íà ýëåìåíòå 1 îïI0 5 U2 . Òàêèì = ðåäåëÿåòñÿ èç ñîîòíîøåíèÿ U1 = α 2 îáðàçîì, íàïðÿæåíèå íà áàòàðåéêå ðàâíî æ 5ö U0 = U1 + U2 = ç1 + U2 ,M M 2 ø÷ è îòêóäà íàõîäèì U0 , U2 = 1+ 5 2 è I0 = αU02

(1 +

54 5 2

)

2

= αU02

5 9+4 5

.

Ä.Õàðàáàäçå

Ô2056. Òðèäöàòü îäèíàêîâûõ ðåçèñòîðîâ ñîïðîòèâëåíèåì R êàæäûé ñîåäèíåíû ìåæäó ñîáîé â ïðîñòðàíñòâå òàê, ÷òî îíè ÿâëÿþòñÿ ðåáðàìè âûïóêëîãî ïðàâèëüíîãî ìíîãîãðàííèêà (ñì. ðèñóíîê): à) äâàäöà-

òèãðàííèêà (èêîñàýäðà); á) äâåíàäöàòèãðàííèêà (äîäåêàýäðà). Êàêîå ñîïðîòèâëåíèå áóäåò ïðåäñòàâëÿòü îïèñàííàÿ âûøå ñèñòåìà à) èëè á), åñëè ïîäêëþ÷èòüñÿ ê ïàðå åå íàèáîëåå óäàëåííûõ âåðøèí? Ñêîëüêî ðàçíûõ çíà÷åíèé ñîïðîòèâëåíèÿ ìîæíî áóäåò ïîëó÷èòü â ñëó÷àå à) è â ñëó÷àå á), åñëè ïîäêëþ÷àòüñÿ ê âñåâîçìîæíûì ïàðàì âåðøèí ýòèõ ìíîãîãðàííèêîâ? Ñïðàâêà: ãðàíè èêîñàýäðà – ýòî 20 ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ, â êàæäîé èç 12 âåðøèí ñõîäÿòñÿ ïî 5 òðåóãîëüíèêîâ; ãðàíè äîäåêàýäðà – ýòî 12 ïðàâèëüíûõ ïÿòèóãîëüíèêîâ, â êàæäîé èç 20 âåðøèí ñõîäÿòñÿ ïî 3 ïÿòèóãîëüíèêà. Ðàññìîòðèì ñíà÷àëà èêîñàýäð. Èç ïðîèçâîëüíîé âåðøèíû èêîñàýäðà âûõîäÿò ïÿòü ðåáåð, çàêàí÷èâàþùèõñÿ â ïÿòè âåðøèíàõ, êîòîðûå îáðàçóþò ïðàâèëüíûé ïÿòèóãîëüíèê è ñîåäèíåíû äðóã ñ äðóãîì ïÿòüþ ðåáðàìè-ïåðåìû÷êàìè. Íàçîâåì ýòîò ïÿòèóãîëüíèê áëèæàéøèì ê èñõîäíîé âåðøèíå ñëîåì. Ñëåäóþùèìè ïî óäàëåííîñòè îò èñõîäíîé âåðøèíû èäóò ïÿòü âåðøèí ñ ïÿòüþ ïåðåìû÷êàìè, òàêæå îáðàçóþùèå ïðàâèëüíûé ïÿòèóãîëüíèê, ðàâíûé ïðåäûäóùåìó è ëåæàùèé â ñëåäóþùåì, âòîðîì ñëîå, ïàðàëëåëüíîì ïåðâîìó. Èç êàæäîé âåðøèíû ïåðâîãî ñëîÿ âûõîäÿò è â êàæäóþ âåðøèíó âòîðîãî ñëîÿ âõîäÿò ïî äâà ðåáðà, ñîåäèíÿþùèõ ïåðâûé ñëîé ñî âòîðûì, – âñåãî äåñÿòü ðåáåð. È,

%

«ÊÂÀÍÒÀ»

íàêîíåö, ñàìàÿ äàëüíÿÿ âåðøèíà, ðàâíîóäàëåííàÿ îò ïÿòè âåðøèí âòîðîãî ñëîÿ, ñîåäèíåíà ñ íèìè ïÿòüþ ðåáðàìè. Îáùóþ ñèñòåìó âåðøèí èêîñàýäðà, òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå äâóõ ïðàâèëüíûõ ïÿòèóãîëüíûõ ïèðàìèä, âûñîòû êîòîðûõ ëåæàò íà îáùåé ïðÿìîé, à îñíîâàíèÿ ïàðàëëåëüíû è ïîâåðíóòû äðóã îòíîñèòåëüíî äðóãà íà óãîë 36°. Ïîýòîìó ïðè ïîäêëþ÷åíèÿ èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ ê ïàðå íàèáîëåå óäàëåííûõ âåðøèí ïÿòü âåðøèí ïåðâîãî ñëîÿ áóäóò ýëåêòðè÷åñêè ýêâèâàëåíòíû, ò.å. áóäóò èìåòü îäèí è òîò æå ïîòåíöèàë, è èõ ìîæíî íàêîðîòêî ñîåäèíèòü äðóã ñ äðóãîì. Ïÿòü âåðøèí âòîðîãî ñëîÿ òàêæå áóäóò èìåòü îäèí è òîò æå ïîòåíöèàë, îòëè÷íûé îò ïîòåíöèàëà âåðøèí ïåðâîãî ñëîÿ, è èõ òîæå ìîæíî çàêîðîòèòü. Ñëåäîâàòåëüíî, ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà â ýòîì ñëó÷àå ñîñòîèò èç ïÿòè ñîåäèíåííûõ ïàðàëëåëüíî ðåçèñòîðîâ, ê êîòîðûì ïðèñîåäèíåíû ïîñëåäîâàòåëüíî ñíà÷àëà äåñÿòü ïàðàëëåëüíûõ ðåçèñòîðîâ (èç ðåáåð-ðåçèñòîðîâ èêîñàýäðà, ñîåäèíÿþùèõ äâà ñëîÿ), à ïîòîì åùå ïÿòü ïàðàëëåëüíûõ ðåçèñòîðîâ. Ïîýòîìó èñêîìîå ñîïðîòèâëåíèå áóäåò ðàâíî R R R R Rîáù = + + = . 5 10 5 2 Òåïåðü ðàññìîòðèì â ýòîì æå êëþ÷å äîäåêàýäð è áóäåì ñòàðòîâàòü îò êàêîé-íèáóäü åãî âåðøèíû, ïîäêëþ÷èâ ê íåé îäèí èç êîíòàêòîâ èñòî÷íèêà ïèòàíèÿ. Áëèæàéøèìè ñîñåäÿìè ýòîé âåðøèíû îêàæóòñÿ òðè âåðøèíû ïåðâîãî ýêâèïîòåíöèàëüíîãî ñëîÿ, ñ êîòîðûìè îíà ñâÿçàíà íàïðÿìóþ òðåìÿ âûõîäÿùèìè èç íåå ðåáðàìè. Èç êàæäîé âåðøèíû ýòîãî ñëîÿ âûõîäÿò ïî äâà ðåáðà (âñåãî â êàæäîé âåðøèíå ñîåäèíÿþòñÿ òðè ðåáðà), ïîïàäàþùèõ â øåñòü âåðøèí ñëåäóþùåãî, âòîðîãî ýêâèïîòåíöèàëüíî ñëîÿ. Èç ýòèõ øåñòè âåðøèí âûõîäÿò äâåíàäöàòü ðåáåð, ïðè ýòîì øåñòü èäóò ê ñëåäóþùåìó, òðåòüåìó ñëîþ, ñîñòîÿùåìó îïÿòüòàêè èç øåñòè âåðøèí, à äðóãèå øåñòü ðåáåð çàìûêàþòñÿ ïàðàìè, îáðàçóÿ òðè ïåðåìû÷êè ìåæäó ïðåäûäóùèìè øåñòüþ ýêâèïîòåíöèàëüíûìè âåðøèíàìè âòîðîãî ñëîÿ. Èç êàæäîé âåðøèíû òðåòüåãî ñëîÿ âûõîäÿò ïî äâà ðåáðà, èç íèõ îäíî çàìûêàåòñÿ ïàðîé ñ ðåáðîì îò ñîñåäíåé âåðøèíû ýòîãî ñëîÿ, à âòîðîå èäåò ê îäíîé èç òðåõ âåðøèí ñëåäóþùåãî, ÷åòâåðòîãî ñëîÿ, ê êàæäîé èç êîòîðûõ ïðèõîäÿò ïî äâà ðåáðà èç âåðøèí òðåòüåãî ñëîÿ. Èç òðåõ âåðøèí ÷åòâåðòîãî ñëîÿ âûõîäÿò òðè îñòàâøèõñÿ ðåáðà, êîòîðûå âñòðå÷àþòñÿ â ïîñëåäíåé èç 20 âåðøèí – òîé íàèáîëåå óäàëåííîé, ê êîòîðîé ïîäêëþ÷àåòñÿ âòîðîé êîíòàêò èñòî÷íèêà. Òàêèì îáðàçîì, èç óñëîâèé ãåîìåòðè÷åñêîé è ôèçè÷åñêîé ñèììåòðèè íàøà öåïü áóäåò ýêâèâàëåíòíà ïîñëåäîâàòåëüíîìó ñîåäèíåíèþ ïÿòè ïó÷êîâ ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ ðåçèñòîðîâ: ñíà÷àëà òðåõ, ïîòîì øåñòè, çàòåì ñíîâà øåñòè (èç-çà èñêëþ÷åííûõ øåñòè ïåðåìû÷åê), ïîòîì îïÿòü øåñòè è, íàêîíåö, òðåõ. Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî èñêîìîå ñîïðîòèâëåíèå áóäåò ðàâíî Rîáù =

R R R R R 7 + + + + = R. 3 6 6 6 3 6

Äëÿ îòâåòà íà âòîðîé âîïðîñ íàäî ïîäñ÷èòàòü, ÷åðåç


&

ÊÂÀÍT 2007/¹5

êàêîå ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî ðåáåð ñîåäèíÿþòñÿ íàèáîëåå óäàëåííûå âåðøèíû ìíîãîãðàííèêîâ.  ñëó÷àå à) òàêèõ ðåáåð, î÷åâèäíî, òðè, è â ñèëó ñèììåòðèè âîçìîæíû ëèøü òðè ðàçíûõ çíà÷åíèÿ ñîïðîòèâëåíèÿ: ìåæäó ñîñåäíèìè âåðøèíàìè, ÷åðåç îäíó è ÷åðåç äâå (êàê ðàç ìåæäó íàèáîëåå óäàëåííûìè âåðøèíàìè).  ñëó÷àå á) òàêèõ ðåáåð ïÿòü, è âîçìîæíû ëèøü ïÿòü ðàçíûõ çíà÷åíèé ñîïðîòèâëåíèÿ: ìåæäó ñîñåäíèìè âåðøèíàìè, ÷åðåç îäíó, ÷åðåç äâå, ÷åðåç òðè è ÷åðåç ÷åòûðå (ìåæäó íàèáîëåå óäàëåííûìè âåðøèíàìè). Ñ.Êðîòîâ Ô2057. Êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ Ñ è äâå îäèíàêîâûå êàòóøêè èíäóêòèâíîñòüþ L êàæäàÿ ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî è ïîäêëþ÷åíû ê âíåøíåé öåïè.  íåêîòîðûé ìîìåíò êîíäåíñàòîð íå çàðÿæåí, à òîêè êàòóøåê ðàâíû I è 2I.  ýòîò ìîìåíò î÷åíü áûñòðî ïàðàëëåëüíî ïîäêëþ÷àþò åùå ïÿòü òàêèõ æå êàòóøåê, à âíåøíþþ öåïü îòêëþ÷àþò. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå çàðÿäà êîíäåíñàòîðà è ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ñèëû òîêà ÷åðåç êàòóøêó íîìåð 7 (ïîñëåäíÿÿ èç ïîäêëþ÷åííûõ êàòóøåê). Ýëåìåíòû öåïè ñ÷èòàéòå èäåàëüíûìè. ÝÄÑ èíäóêöèè âñåõ ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ êàòóøåê îäèíàêîâû â ëþáîé ìîìåíò, ïðè îäèíàêîâûõ èíäóêòèâíîñòÿõ ýòî ïðèâîäèò ê òîìó, ÷òî âñå èçìåíåíèÿ òîêîâ êàòóøåê îäèíàêîâû. Óñëîâíî íàïðàâèì âñå òîêè â îäíó ñòîðîíó (ñì. ðèñóíîê), îáîçíà÷èì òîê îäíîé èç ïîçæå ïîäêëþ÷åííûõ êàòóøåê i, òîãäà òîê ïåðâîé êàòóøêè I1 + i à òîê âòîðîé êàòóøêè I2 + i . Ïðè ðåøåíèè ïðèäåòñÿ ó÷èòûâàòü äâà âîçìîæíûõ ñëó÷àÿ – â íà÷àëüíûé ìîìåíò òîêè ïåðâîé è âòîðîé êàòóøåê íàïðàâëåíû â îäíó ñòîðîíó, íàïðèìåð âíèç, êàê íà ðèñóíêå, èëè íàïðàâëåíû â

ðàçíûå ñòîðîíû, íàïðèìåð ââåðõ è âíèç. Óäîáíî óæå â îòâåòå ïîäñòàâèòü â ôîðìóëó âûáðàííûå çíà÷åíèÿ.  òîò ìîìåíò, êîãäà çàðÿä êîíäåíñàòîðà Q ìàêñèìàëåí, ñóììà òîêîâ äîëæíà îáðàòèòüñÿ â íîëü: I +I (I1 + i) + (I2 + i) + 5i = 0 , îòêóäà i = - 1 2 . 7 Òåïåðü çàïèøåì çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè: 2

2

L (I2 + i) LI12 LI22 L (I1 + i) 5Li2 Q2 . + = + + + 2 2 2 2 2 2C Ïîñëå ïðîñòûõ ïðåîáðàçîâàíèé ïîëó÷àåì óðàâíåíèå Q2 + 7i2 + 2 ( I1 + I2 ) i = 0 . LC Ðàññìîòðèì ñëó÷àé îäíîíàïðàâëåííûõ òîêîâ. Òîãäà

9LC . 7 (Äëÿ âòîðîãî ñëó÷àÿ âñå äåëàåòñÿ òàê æå, íî I2 = -2I1 .) Òåïåðü íàéäåì ìàêñèìàëüíûé òîê ÷åðåç ñåäüìóþ êàòóøêó. Çàðÿä êîíäåíñàòîðà â ýòîò ìîìåíò ðàâåí íóëþ, è ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè äëÿ ìàãíèòíûõ ïîëåé êàòóøåê: i = - 3I1 7 = - 3I 7 , I2 = 2I1 = 2I , è Q = I

2

2

L ( I2 + i ¢) LI12 LI22 L (I1 + i ¢) 5Li ¢2 + = + + 2 2 2 2 2

(òóò i¢ íå òàêîé, êàê â ïåðâîì ñëó÷àå!). Îòñþäà 7i ¢2 + 2 (I1 + I2 ) i ¢ = 0 ,

è äëÿ ñëó÷àÿ îäíîíàïðàâëåííûõ òîêîâ íàõîäèì i¢ = -

6I . 7

(Âïðî÷åì, åñëè ó÷åñòü íóëåâîé íà÷àëüíûé òîê ÷åðåç äîïîëíèòåëüíûå êàòóøêè è õàðàêòåð âîçíèêàþùèõ êîëåáàíèé, òî ýòîò îòâåò ìîæíî íàïèñàòü ñðàçó.) Ç.Ðàôàèëîâ

Âíèìàíèþ íàøèõ ÷èòàòåëåé! Èçäàòåëüñòâî «Ðîñìýí» âûïóñòèëî â ñâåò òîì «Ìàòåìàòèêà. Èíôîðìàòèêà» ñåðèè «Ñîâðåìåííàÿ èëëþñòðèðîâàííàÿ ýíöèêëîïåäèÿ». Êíèãà ñîñòîèò ïðèìåðíî èç 2000 ñòàòåé ïðàêòè÷åñêè ïî âñåì ðàçäåëàì ìàòåìàòèêè è èíôîðìàòèêè. Ìíîãèå ñòàòüè âåëèêîëåïíî èëëþñòðèðîâàíû è äîñòóïíû øèðîêîìó êðóãó ÷èòàòåëåé. Ïðèÿòíî îòìåòèòü, ÷òî ñðåäè àâòîðîâ ñòàòåé åñòü è àâòîðû æóðíàëà «Êâàíò».

Èçîáðàæåíèå æóêà (Æ ) è åãî îáðàçû ïðè ãîìîòåòèÿõ (Æ 1, Æ 2) è ïîâîðîòíûõ ãîìîòåòèÿõ (Æ 3, Æ 4). (Ïîâîðîòíàÿ ãîìîòåòèÿ – ýòî êîìïîçèöèÿ ïîâîðîòà è ãîìîòåòèè ñ îáùèì öåíòðîì Î.)


Çàäà÷è 1.

 Ñîëíå÷íîì ãîðîäå îáðàçîâàíû òðè ïàðòèè êîðîòûøåê: âèíòèêîâ, øïóíòèêîâ è áîëòèêîâ. Îêàçàëîñü, ÷òî äëÿ ëþáûõ òðåõ ÷ëåíîâ ïàðòèé íàéäåòñÿ ïàðòèÿ, â êîòîðóþ âõîäÿò ïî êðàéíåé ìåðå äâîå èç íèõ. Âåðíî ëè, ÷òî âñå ÷ëåíû îäíîé èç ïàðòèé ÿâëÿþòñÿ ÷ëåíàìè êàêîé-òî èç äâóõ äðóãèõ ïàðòèé? Ä.Êàëèíèí

4.

Êîëîííà ñîëäàò-íîâîáðàíöåâ âûñòðîèëàñü íåñêîëüêèìè îäèíàêîâûìè øåðåíãàìè, ñîñòàâëÿþùèìè ïðÿìîóãîëüíèê. Ïî êîìàíäå «ñìèðíî» íåêîòîðûå èç ñîëäàò ñ ïåðåïóãó ñäåëàëè ïîâîðîò íàïðàâî, íåêîòîðûå – íàëåâî, äðóãèå – êðóãîì, à êîå-êòî âîîáùå îñòîëáåíåë è îñòàëñÿ íåïîäâèæåí. Äàëåå ÷åðåç êàæäóþ ñåêóíäó ïðîèñõîäèò ñëåäóþùåå: êàæäûé íîâîáðàíåö, îêàçàâøèéñÿ ëèöîì ê ëèöó ñ äðóãèì ñîëäàòîì, äåëàåò ïîâîðîò íàïðàâî. à) Äîêàæèòå, ÷òî ðàíî èëè ïîçäíî òàêèå ïîâîðîòû ïðåêðàòÿòñÿ. á) Ïðåêðàòÿòñÿ ëè ïîâîðîòû, åñëè ïîâîðà÷èâàþòñÿ íå îáà ñîëäàòà, îêàçàâøèåñÿ ëèöîì ê ëèöó, à òîëüêî îäèí èç íèõ? È.Àêóëè÷

2.

Äëÿ ëþáûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë a, b ñïðàâåäëèâî íåðàâåíñòâî

(a

Äîêàæèòå ýòî.

+b

) ³ (a !

!

+ b!

).

Â.Ñåíäåðîâ

5.  êðóã ïëîùàäè 1 âïèñàëè êâàäðàò, à â íåãî – íîâûé êðóã, êîòîðûé çàêðàñèëè â ñèíèé öâåò. Çàòåì â êâàäðàò ïëîùàäè 1 âïèñàëè êðóã, à â íåãî – êâàäðàò, êîòîðûé çàêðàñèëè â ñèíèé öâåò. ×üÿ ïëîùàäü áîëüøå: ñèíåãî êðóãà èëè ñèíåãî êâàäðàòà? Â.Ïðîèçâîëîâ

Ýòè çàäà÷è ïðåäíàçíà÷åíû ïðåæäå âñåãî ó÷àùèìñÿ 6 – 8 êëàññîâ.

Èëëþñòðàöèÿ Ä.Ãðèøóêîâîé

3.

×èñëà îò 1 äî 9 ðàññòàâüòå â êðóæêè ôèãóðû òàê, ÷òîáû ñóììà òðåõ ÷èñåë, ðàñïîëîæåííûõ â êðóæêàõâåðøèíàõ âñåõ áåëûõ òðåóãîëüíèêîâ, áûëà îäíîé è òîé æå, à âî âñåõ çåëåíûõ – òîæå îäíîé è òîé æå, íî íà 3 áîëüøå. Í.Àâèëîâ


!

ÊÂÀÍT 2007/¹5

Êîíêóðñ èìåíè À.Ï.Ñàâèíà

«Ìàòåìàòèêà 6–8» Ìû ïðîäîëæàåì î÷åðåäíîé êîíêóðñ ïî ðåøåíèþ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷ äëÿ ó÷àùèõñÿ 6–8 êëàññîâ. Ðåøåíèÿ çàäà÷ âûñûëàéòå â òå÷åíèå ìåñÿöà ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ýòîãî íîìåðà æóðíàëà ïî àäðåñó: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò» (ñ ïîìåòêîé «Êîíêóðñ «Ìàòåìàòèêà 6– 8»). Íå çàáóäüòå óêàçàòü èìÿ, êëàññ è äîìàøíèé àäðåñ. Êàê è ïðåæäå, ìû ïðèâåòñòâóåì ó÷àñòèå â êîíêóðñå íå òîëüêî îòäåëüíûõ øêîëüíèêîâ, íî è ìàòåìàòè÷åñêèõ êðóæêîâ. Ðóêîâîäèòåëåé êðóæêîâ ïðîñèì óêàçàòü ýëåêòðîííûé àäðåñ èëè êîíòàêòíûé òåëåôîí. Ïî òðàäèöèè, êðóæêè-ïîáåäèòåëè çàî÷íîãî êîíêóðñà ïðèãëàøàþòñÿ íà ôèíàëüíûé î÷íûé òóðíèð.

6. Âçÿâøèñü çà ðóêè, 64 òàíöîðà âîäÿò 4 êðóãîâûõ õîðîâîäà ñ îáùèì öåíòðîì.  îäíîì õîðîâîäå ó÷àñòâóþò 16 ÷åëîâåê – 8 ìàëü÷èêîâ è ñòîëüêî æå äåâî÷åê. Õîðîâîäû âðàùàþòñÿ ðàâíîìåðíî, òàê ÷òî â êàæäûé èç 16 îäèíàêîâûõ ñåêòîðîâ êðóãà â òàêò òàíöà ïîïàäàþò 4 òàíöîðà – ïî îäíîìó èç êàæäîãî õîðîâîäà. Ìîæíî ëè ðàñïðåäåëèòü ìàëü÷èêîâ è äåâî÷åê òàêèì îáðàçîì, ÷òî â êàêîì áû íàïðàâëåíèè õîðîâîäû íè êðóæèëè, â ëþáîé òàêò òàíöà íàøåëñÿ ñåêòîð, ñîäåðæàùèé 4 ìàëü÷èêà? Ê.Êàèáõàíîâ 7. Ìîæåò ëè ñóììà êâàäðàòîâ òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ öåëûõ ÷èñåë áûòü êóáîì öåëîãî ÷èñëà? Â.Ñåíäåðîâ 8. Íàçîâåì ïîëîñîé øèðèíû à ÷àñòü ïëîñêîñòè ìåæäó äâóìÿ ïàðàëëåëüíûìè ïðÿìûìè ñ ðàññòîÿíèåì à ìåæäó íèìè. Òðè ïîëîñû îäèíàêîâîé øèðèíû â ïåðåñå÷åíèè îáðàçóþò çâåçä÷àòûé øåñòèóãîëüíèê ABCDEFGHIJKL. Äî-

êàæèòå, ÷òî â îäíîé òî÷êå ïåðåñåêàþòñÿ ñëåäóþùèå îòðåçêè: à) AG, CI è EK; á) AG, BH è FL; â) CI, BH è DJ; ã) EK, DJ è FL. È.Àêóëè÷ 9. Ïåðâûå 100 íàòóðàëüíûõ ÷èñåë íàïèñàíû òàê, ÷òî èç êàæäîé ïàðû ÷èñåë ñ ñóììîé 101 îäíî ÷èñëî íàïèñàíî êðàñíûìè ÷åðíèëàìè, à äðóãîå – ñèíèìè, ïðè ýòîì ñóììà âñåõ êðàñíûõ ÷èñåë ðàâíà ñóììå âñåõ ñèíèõ. Âåñîì ÷èñëà ëþáîãî öâåòà íàçîâåì êîëè÷åñòâî ÷èñåë äðóãîãî öâåòà, êîòîðûå ìåíüøå ýòîãî ÷èñëà. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà êâàäðàòîâ âåñîâ êðàñíûõ ÷èñåë ðàâíà ñóììå êâàäðàòîâ âåñîâ ñèíèõ ÷èñåë. Â.Ïðîèçâîëîâ 10.  êàæäóþ êëåòêó êâàäðàòíîé òàáëèöû n ´ n çàïèñûâàþò íåêîòîðîå äåéñòâèòåëüíîå ÷èñëî, ïðè ýòîì ñóììà âñåõ ÷èñåë â ëþáîì êâàäðàòå 3 × 3 îòðèöàòåëüíàÿ, à â ëþáîì êâàäðàòå 5 × 5 – ïîëîæèòåëüíàÿ. Ñóùåñòâóåò ëè òàêàÿ òàáëèöà äëÿ à) n = 6; á) n = 7? Ä.Ëåâèí, Ï.Ñàìîâîë

Òðè îðåøêà ïóòåøåñòâóþùåãî ìàòåìàòèêà Í.ØÈËÎÂ

×

ÅÌ ÇÀÍÈÌÀÞÒÑß ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÈ ÂÎ ÂÐÅÌß ÍÀÓ×ÍÛÕ

êîìàíäèðîâîê? ×àùå âñåãî îíè çíàêîìÿòñÿ ñ íîâûìè íàó÷íûìè ðåçóëüòàòàìè è – ÷òî åùå âàæíåå! – ñ íîâûìè ìåòîäàìè ïîëó÷åíèÿ íîâûõ íàó÷íûõ ðåçóëüòàòîâ. Íó, à ÷åì çàíèìàþòñÿ ìàòåìàòèêè, ïîêà îíè ñîáèðàþòñÿ â êîìàíäèðîâêó, ëåòÿò â ñàìîëåòàõ èëè åäóò â

ïîåçäàõ? ß, íàïðèìåð, ïðèäóìûâàþ çàäà÷è è î÷åíü íàäåþñü, ÷òî êîìó-íèáóäü áóäåò èíòåðåñíî èõ ðåøèòü. Èç ïîñëåäíåé ïîåçäêè èç Íîâîñèáèðñêà âî Ôðàíêôóðò ÿ âåðíóëñÿ ñ òðåìÿ íîâûìè «îðåøêàìè»-çàäà÷êàìè. Ïîïðîáóéòå èõ ðàñêóñèòü! Âî âñåõ çàäà÷àõ ìû áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî íàøà ðîäíàÿ ïëàíåòà Çåìëÿ – øàð.


Ê

Ïåðâûé îðåøåê Íà ïëîñêîñòè êðàò÷àéøåå ðàññòîÿíèå ìåæäó äâóìÿ òî÷êàìè – ýòî îòðåçîê ïðÿìîé, ñîåäèíÿþùåé ýòè òî÷êè, à íà ñôåðå (ïîâåðõíîñòè øàðà) – ýòî îòðåçîê äóãè áîëüøîãî êðóãà, ñîåäèíÿþùåé ýòè òî÷êè. Îäíàêî ïàññàæèðñêèå ñàìîëåòû îò ïóíêòà âûëåòà äî ïóíêòà íàçíà÷åíèÿ ëåòÿò íå ïî äóãå áîëüøîãî êðóãà, à ïî íåêîòîðîé ëîìàíîé ëèíèè.  ïåðâîì ïðèáëèæåíèè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ýòà ëèíèÿ ñîñòîèò èç äóã îêðóæíîñòåé, ñîåäèíÿþùèõ ñîñåäíèå íàçåìíûå äèñïåò÷åðñêèå ïóíêòû. Òàêèå ïóíêòû íàõîäÿòñÿ â êðóïíûõ àýðîïîðòàõ. À êðóïíûå àýðîïîðòû «ïðèâÿçàíû» ê áîëüøèì ãîðîäàì. Íó, à áîëüøèå ãîðîäà ðàñïîëîæåíû íà Çåìëå âîâñå íå â ñòðîãîì ãåîìåòðè÷åñêîì ïîðÿäêå. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íà èäåàëüíî êðóãëîé Çåìëå äèñïåò÷åðñêèå ïóíêòû ðàñïîëîæåíû î÷åíü ðàâíîìåðíî. Íàïðèìåð, òàê. Âûáåðåì 24 ìåðèäèàíà ÷åðåç 15° äðóã îò äðóãà. Âäîëü êàæäîãî ìåðèäèàíà ïîñòàâèì äèñïåò÷åðñêèå ïóíêòû ÷åðåç 15° îò ýêâàòîðà äî êàæäîãî èç ïîëþñîâ. Âîïðîñ 1. Ñêîëüêî äèñïåò÷åðñêèõ ïóíêòîâ îêàæåòñÿ íà Çåìëå? Ñêîëüêî ïîëó÷èòñÿ ó÷àñòêîâ, ñîåäèíÿþùèõ ñîñåäíèå äèñïåò÷åðñêèå ïóíêòû âäîëü ïàðàëëåëåé è ìåðèäèàíîâ? Âòîðîé îðåøåê Êàê òîëüêî ìàòåìàòèê ñïðàâèòñÿ ñ ýòèì çàäàíèåì, îí çàäóìàåòñÿ íàä ïëàíàìè äàëüíåéøèõ ïóòåøåñòâèé. Ïóñòü â òàêîì èäåàëüíîì ìèðå ïàññàæèðñêèå ñàìîëåòû ëåòàþò îò ïóíêòà âûëåòà äî ïóíêòà íàçíà÷åíèÿ íå «íàïðÿìèê» ïî äóãå áîëüøîãî êðóãà, à òîëüêî ïî ëîìàíîé ëèíèè, ñîñòîÿùåé èç ó÷àñòêîâ (äóã îêðóæíîñòåé), ñîåäèíÿþùèõ äâà ñîñåäíèõ äèñïåò÷åðñêèõ ïóíêòà âäîëü îäíîé ïàðàëëåëè èëè îäíîãî ìåðèäèàíà. Äðóãèìè ñëîâàìè, ñàìîëåò ìîæåò ìåíÿòü íàïðàâëåíèå òîëüêî íàä äèñïåò÷åðñêèìè ïóíêòàìè. Âîïðîñ 2. Ìîæíî ëè îáëåòåòü âñþ Çåìëþ, ò.å. ïðîëåòåòü íàä âñåìè äèñïåò÷åðñêèìè ïóíêòàìè, òàê, ÷òîáû ïðîëåòåòü ïî êàæäîìó ó÷àñòêó è òîëüêî îäèí ðàç? Åñëè òàêîå ïóòåøåñòâèå îñóùåñòâèìî, òî èìååò ëè çíà÷åíèå, îòêóäà åãî íà÷èíàòü? Âîïðîñ 3. Ìîæíî ëè îáëåòåòü âñþ Çåìëþ òàê, ÷òîáû ïðîëåòåòü íàä êàæäûì äèñïåò÷åðñêèì ïóíêòîì è òîëüêî îäèí ðàç? Åñëè òàêîå ïóòåøåñòâèå îñóùåñòâèìî, òî èìååò ëè çíà÷åíèå, îòêóäà åãî íà÷èíàòü? Òðåòèé îðåøåê Ïîæàëóé, ýòîò îðåøåê ñàìûé òðóäíûé, íî îí äàåò ïðåäñòàâëåíèå î òåõ ïðîáëåìàõ, ñ êîòîðûìè èìååò äåëî ñîâðåìåííàÿ ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà. Âîïðîñ 4. Ïóñòü çàäàíû äâà ïðîèçâîëüíûõ äèñïåò÷åðñêèõ ïóíêòà ñâîèìè êîîðäèíàòàìè, íàïðèìåð ïóíêò À (30° ñåâåðíîé øèðîòû, 60° âîñòî÷íîé äîëãîòû) è ïóíêò Á (75° ñåâåðíîé øèðîòû, 75° çàïàäíîé äîëãîòû). Êàê íàéòè ìàðøðóò ïåðåëåòà èç ïåðâîãî ïóíêòà âî âòîðîé íàèìåíüøåé äëèíû, è êàêîé îíà áóäåò? (Ñ÷èòàéòå, ÷òî ðàäèóñ Çåìëè ðàâåí 6400 êì.) Êàê ðàñùåëêàòü ïåðâûé îðåøåê Âäîëü êàæäîãî ìåðèäèàíà ðàñïîëàãàåòñÿ 13 äèñïåò÷åðñêèõ ïóíêòîâ: 2 íà ïîëþñàõ è åùå 11 íà äðóãèõ

Ì

!

Ø

øèðîòàõ. Íî åñëè ïðîñòî óìíîæèì ýòî ÷èñëî 13 íà ÷èñëî ìåðèäèàíîâ 24, òî äèñïåò÷åðñêèå ïóíêòû íà ïîëþñàõ áóäóò ïîñ÷èòàíû 24 ðàçà âìåñòî îäíîãî. Ïîýòîìó íàäî óìíîæèòü êîëè÷åñòâî 11 äèñïåò÷åðñêèõ ïóíêòîâ íà äðóãèõ øèðîòàõ íà ÷èñëî ìåðèäèàíîâ 24 è ê ðåçóëüòàòó äîáàâèòü 2 äèñïåò÷åðñêèõ ïóíêòà íà ïîëþñàõ: 11 ´ 24 + 2 = 266 äèñïåò÷åðñêèõ ïóíêòîâ. ×èñëî ó÷àñòêîâ, ñîåäèíÿþùèõ ñîñåäíèå äèñïåò÷åðñêèå ïóíêòû âäîëü ïàðàëëåëåé èëè ìåðèäèàíîâ, ìîæíî ïîäñ÷èòàòü ðàçíûìè ñïîñîáàìè. Íàïðèìåð, òàê. Âäîëü êàæäîãî ìåðèäèàíà ðàñïîëàãàåòñÿ 12 ó÷àñòêîâ. Ïîýòîìó ÷èñëî ó÷àñòêîâ âäîëü âñåõ ìåðèäèàíîâ ðàâíî 12 ´ 24 = 288. Âäîëü êàæäîé èç ïàðàëëåëåé ðàñïîëàãàåòñÿ 24 ó÷àñòêà. Òàê êàê òàêèõ ïàðàëëåëåé 11, òî ÷èñëî ó÷àñòêîâ âäîëü ïàðàëëåëåé ðàâíî 11 ´ 24 = 264. Ïîýòîìó îáùåå ÷èñëî ó÷àñòêîâ ìåæäó ñîñåäíèìè äèñïåò÷åðñêèìè ïóíêòàìè ðàâíî 288 + 264 = 552. Íî åñòü è äðóãîé ñïîñîá ïîäñ÷èòàòü ÷èñëî ó÷àñòêîâ. Íàçîâåì ñòåïåíüþ äèñïåò÷åðñêîãî ïóíêòà ÷èñëî ó÷àñòêîâ, êîòîðûå «íà÷èíàþòñÿ» â ýòîì ïóíêòå. Òîãäà âñå 264 ïóíêòà, êðîìå äâóõ ïîëÿðíûõ, èìåþò ñòåïåíü 4, à äâà ïîëÿðíûõ ïóíêòà èìåþò ñòåïåíü 24 êàæäûé. Òàê êàê êàæäûé ó÷àñòîê ìåæäó ñîñåäíèìè ïóíêòàìè âíîñèò «âêëàä» ïî åäèíèöå â ñòåïåíü äâóõ ïóíêòîâ, ðàñïîëîæåííûõ ïî êîíöàì ó÷àñòêà, òî ìîæíî çàìåòèòü, ÷òî ñóììà ñòåïåíåé âîîáùå âñåõ ïóíêòîâ ðàâíà óäâîåííîìó ÷èñëó âñåõ ó÷àñòêîâ. Íî ñóììó ñòåïåíåé âñåõ ïóíêòîâ íàéòè ëåãêî: îíà ðàâíà 4 ´ 264 + 24 ´ 2 = 1056 + 48 = = 1104. Ïîýòîìó ÷èñëî ó÷àñòêîâ ðàâíî 1104/2 = 552, ÷òî ñîâïàäàåò ñ ðåçóëüòàòîì íåïîñðåäñòâåííîãî ïîäñ÷åòà. Êàê ðàñùåëêàòü âòîðîé îðåøåê Îòâåò íà âîïðîñ 2. Òàêîå ïóòåøåñòâèå îñóùåñòâèìî, è íà÷àòü åãî ìîæíî èç ëþáîãî ïóíêòà. Íî ñíà÷àëà ðàçáåðåìñÿ ñ âîçìîæíûì ìàðøðóòîì òàêîãî ïóòåøåñòâèÿ, íà÷èíàþùåãîñÿ è çàêàí÷èâàþùåãîñÿ íà Ñåâåðíîì ïîëþñå. Åñëè íà÷èíàòü ïóòåøåñòâèå íà Ñåâåðíîì ïîëþñå, òî, ìîæíî, íàïðèìåð, «ñïóñòèòüñÿ» äî Þæíîãî ïîëþñà ïî ïåðâîìó ìåðèäèàíó, ïîòîì – «ïîäíÿòüñÿ» îò Þæíîãî ïîëþñà ê Ñåâåðíîìó ïîëþñó ïî âòîðîìó ìåðèäèàíó. Çàòåì ïîâòîðèòü ýòè ñïóñêè è ïîäúåìû íà ñëåäóþùèõ ìåðèäèàíàõ âïëîòü äî äâàäöàòü âòîðîãî. Îñòàëîñü ïðîëåòåòü òîëüêî òå ó÷àñòêè, êîòîðûå ðàñïîëîæåíû âäîëü äâóõ ïîñëåäíèõ ìåðèäèàíîâ, è âñå ó÷àñòêè âäîëü ïàðàëëåëåé. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü òàê, êàê ñõåìàòè÷íî ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 1. Òàêèì îáðàçîì íà Ñåâåðíîì ïîëþñå áóäåò çàâåðøåí îáëåò Çåìëè, êîòîðûé ïðîøåë ïî âñåì ó÷àñòêàì ðîâíî îäèí ðàç. Îïèñàííûé ìàðøðóò íàçûâàåòñÿ öèêëîì, òàê Ðèñ. 1 (Ïðîäîëæåíèå ñì. íà ñ. 34)


! Èçìåíåíèÿ ñêîðîñòåé, ïðîèñõîäÿùèå òàêæå â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû, áóäóò îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíû ìàññàì òåë, èáî êîëè÷åñòâà äâèæåíèÿ ïîëó÷àþò ðàâíûå èçìåíåíèÿ. Èñààê Íüþòîí …ïðè äåéñòâèè ñèë, ðàâíîäåéñòâóþùàÿ êîòîðûõ ïðîïîðöèîíàëüíà ìàññå òî÷êè, òî÷êà ïåðåìåííîé ìàññû… äâèæåòñÿ òàê æå, êàê äâèæåòñÿ òî÷êà ïîñòîÿííîé ìàññû ïðè äåéñòâèè òåõ æå ñèë è ïðè òåõ æå íà÷àëüíûõ äàííûõ. Èâàí Ìåùåðñêèé

ß ðàçðàáîòàë íåêîòîðûå ñòîðîíû âîïðîñà î ïîäíÿòèè â ïðîñòðàíñòâî ñ ïîìîùüþ ðåàêòèâíîãî ïðèáîðà, ïîäîáíîãî ðàêåòå. Êîíñòàíòèí Öèîëêîâñêèé Ìåõàíèçì äåéñòâèÿ ðàêåòíîãî äâèãàòåëÿ â òî÷íîñòè ñõîäåí ñ ÿâëåíèåì îòäà÷è ðóæüÿ; çäåñü íå íóæåí âîçäóõ, ÷òîáû îòòàëêèâàòüñÿ îò íåãî. Ðè÷àðä Ôåéíìàí

À òàê ëè õîðîøî çíàêîìî âàì

?

ðåàêòèâíîå äâèæåíèå

Ýòîò âîïðîñ âïîëíå óìåñòåí ñåé÷àñ, êîãäà îòìå÷àåòñÿ 50-ëåòèå çàïóñêà ïåðâîãî èñêóññòâåííîãî ñïóòíèêà Çåìëè – ñîáûòèÿ, îçíàìåíîâàâøåãî íà÷àëî íîâîé ýðû, ýðû îñâîåíèÿ ÷åëîâåêîì êîñìè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà. Îñóùåñòâëåíèå äàâíåé ìå÷òû ñòàëî âîçìîæíûì áëàãîäàðÿ ðàçâèòèþ ðåàêòèâíîé òåõíèêè. Äîëãàÿ, íàñ÷èòûâàþùàÿ òûñÿ÷åëåòèÿ åå èñòîðèÿ ñîâåðøèëà íåîáûêíîâåííî áûñòðûé ðûâîê, ïåðåéäÿ îò ïðåäñêàçàíèé è ðàñ÷åòîâ ê ïðÿìîé ðåàëèçàöèè èäåè áåçîïîðíîãî äâèæåíèÿ çà ïðåäåëàìè Çåìëè. È çäåñü, áåç ñîìíåíèÿ, ìîæíî ãîðäèòüñÿ ðåøàþùèì âêëàäîì â òåîðèþ è ïðàêòèêó êîñìîíàâòèêè îòå÷åñòâåííûõ ó÷åíûõ, èíæåíåðîâ è êîíñòðóêòîðîâ. Ïðîõîäèò âðåìÿ, è êàçàâøèåñÿ ÷óäîì äîñòèæåíèÿ – ïåðâûé ñïóòíèê, ïåðâûé îáëåò ÷åëîâåêîì Çåìëè, ïåðâûé âûõîä â îòêðûòûé êîñìîñ – ñòàíîâÿòñÿ ðóòèííûìè, ìíîãîêðàòíî ïîâòîðÿåìûìè ýïèçîäàìè. Òåïåðü íà îðáèòàëüíóþ ñòàíöèþ îòïðàâëÿþòñÿ êàê íà ðàáîòó è äàæå... â òóðïîåçäêó. Îäíàêî íîâûå ïëàíû, ñâÿçàííûå ñ ìåæïëàíåòíûìè ïåðåëåòàìè, ñ ïðåäóïðåæäåíèåì àñòåðîèäíîé îïàñíîñòè, ñî ñòðîèòåëüñòâîì èíäóñòðèàëüíîãî ïîÿñà âîêðóã Çåìëè è ëóííûõ áàç, ñ ñîâåðøåíñòâîâàíèåì ñïóòíèêîâûõ ñðåäñòâ ñâÿçè è âûâîäîì çà àòìîñôåðó àñòðîíîìè÷åñêèõ ïðèáîðîâ, ñëîâíî îòêðûëè âòîðîå äûõàíèå êîñìîíàâòèêè. È íè îäíî èç âîçíèêàþùèõ åå íàïðàâëåíèé íå îáîéäåòñÿ áåç ýòèõ íåîáû÷íûõ ìàøèí – ðàêåò. Ñî ìíîãèìè âîïðîñàìè ðåàêòèâíîãî äâèæåíèÿ ìîæíî íå òîëüêî ïîçíàêîìèòüñÿ, íî è âñåðüåç ðàçîáðàòüñÿ, îïèðàÿñü íà õîðîøî çíàêîìûå çàêîíû ìåõàíèêè. Ê ÷åìó ìû âàñ ñåãîäíÿ è ïðèãëàøàåì. Âîïðîñû è çàäà÷è 1. Ñìîæåò ëè âðàùàòüñÿ â ïóñòîòå (íàïðèìåð, â ñèëüíî ðàçðåæåííîì âîçäóõå ïîä êîëîêîëîì âîçäóøíîãî íàñîñà) ñåãíåðîâî êîëåñî, èçîáðàæåííîå íà ðèñóíêå? 2. Ñ ïëîùàäêè çàäíåãî âàãîíà äâèæóùåãîñÿ ïîåçäà ÷åëîâåê áðîñàåò êàìåíü ïðîòèâ äâèæåíèÿ ïîåçäà òàê, ÷òî êàìåíü îòâåñíî

ïàäàåò íà çåìëþ. Íà ÷òî æå áûëà çàòðà÷åíà ðàáîòà, ñîâåðøåííàÿ ÷åëîâåêîì ïðè áðîñêå, åñëè â ðåçóëüòàòå êàìåíü ïîòåðÿë êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ, êîòîðîé îí îáëàäàë, äâèãàÿñü âìåñòå ñ ïîåçäîì? 3. Ïî ðåëüñàì â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè êàòèòñÿ òåëåæêà ñ ïåñêîì. ×åðåç îòâåðñòèå â äíå ïåñîê ññûïàåòñÿ ìåæäó ðåëüñàìè. Êàê èçìåíÿåòñÿ ïðè ýòîì ñêîðîñòü òåëåæêè? 4. Âî âðåìÿ ïðûæêà ÷åðåç áîëîòî áàðîí Ìþíõãàóçåí, çàìåòèâ, ÷òî íå äîïðûãíåò äî ïðîòèâîïîëîæíîãî áåðåãà, ïðÿìî â âîçäóõå «óñèëèåì âîëè» ïîâåðíóë îáðàòíî è âåðíóëñÿ íà áåðåã, ñ êîòîðîãî ïðûãàë. Ïî÷åìó íåâîçìîæåí ýòîò «ïðàâäèâûé ñëó÷àé»? 5. Ìîæíî ëè îòíåñòè ê ðåàêòèâíîìó äâèæåíèþ: à) îòêàò îðóäèÿ ïðè âûñòðåëå; á) ïîäúåì âîçäóøíîãî øàðà ïîñëå ñáðàñûâàíèÿ áàëëàñòà? 6.  êàêîì ñëó÷àå îðóäèå ìîãëî áû ïðèîáðåñòè ïðè âûñòðåëå áóëüøóþ ñêîðîñòü, ÷åì âûëåòåâøèé èç íåãî ñíàðÿä? 7. Íà æåëåçíîäîðîæíîé ïëàòôîðìå, êîòîðàÿ ìîæåò äâèãàòüñÿ ïî ðåëüñàì, óêðåïëåíû äâå îäèíàêîâûå ïóøêè, ñòâîëû êîòîðûõ íàïðàâëåíû âäîëü ðåëüñîâ â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû. Ïðè îäíîâðåìåííûõ âûñòðåëàõ îáà ñíàðÿäà ïîïàäàþò êàæäûé â ñâîþ öåëü. Ïîïàäóò ëè ñíàðÿäû â öåëè, åñëè îäíà èç ïóøåê âûñòðåëèò íåìíîãî ðàíüøå äðóãîé? 8. Ïðè ïóñêå ðåàêòèâíîãî ñíàðÿäà, óñòàíîâëåííîãî â õâîñòå ñàìîëåòà äëÿ çàùèòû îò íàïàäåíèÿ ñçàäè, áûëî îáíàðóæåíî, ÷òî ñíàðÿä ðàçâîðà÷èâàëñÿ è äîãîíÿë ñàìîëåò. Êàê ýòî ìîæíî îáúÿñíèòü? 9. Êîñìîíàâò, íàõîäÿñü â ñîñòîÿíèè íåâåñîìîñòè, «ïîâèñ» âíóòðè êàáèíû ñïóòíèêà Çåìëè. Êàêèì îáðàçîì îí ìîæåò ðàçâåðíóòüñÿ âîêðóã ñâîåé ïðîäîëüíîé îñè? 10. Êîñìîíàâò íàõîäèòñÿ íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè îò êîñìè÷åñêîãî êîðàáëÿ, èìåÿ ïðè ñåáå äâà îäèíàêîâûõ îäíîçàðÿäíûõ ïèñòîëåòà. Îí ìîæåò ñòðåëÿòü îäíîâðåìåííî èç äâóõ ïèñòîëåòîâ èëè èñïîëüçîâàòü èõ ïî î÷åðåäè. Êàê äîëæåí ïîñòóïèòü êîñìîíàâò, ÷òîáû áûñòðåå âåðíóòüñÿ íà êîðàáëü? 11. Êîñìè÷åñêèé êîðàáëü äâèæåòñÿ âîêðóã Çåìëè òàê, ÷òî âñå âðåìÿ íàõîäèòñÿ â òî÷êå, ãäå ñèëû ïðèòÿæåíèÿ Ëóíû è Çåìëè êîìïåíñèðóþò äðóã äðóãà. Ðàáîòàþò ëè ïðè ýòîì äâèãàòåëè êîðàáëÿ?


12. Äâèãàòåëü ðàêåòû ðàáîòàåò â èìïóëüñíîì ðåæèìå, âûáðàñûâàÿ ðàâíûìè ïîðöèÿìè ñ îäèíàêîâûìè ñêîðîñòÿìè ïðîäóêòû ñãîðàíèÿ è òåì ñàìûì êàê áû ñòóïåíüêàìè óâåëè÷èâàÿ ñêîðîñòü ðàêåòû. Áóäóò ëè èçìåíÿòüñÿ âåëè÷èíû ýòèõ ïðèðàùåíèé ñêîðîñòè ïî ìåðå ñãîðàíèÿ òîïëèâà? 13. Åñëè ðàêåòà äâèæåòñÿ îòíîñèòåëüíî íàáëþäàòåëÿ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå, òî â êàêîì íàïðàâëåíèè äâèæóòñÿ ïðè ýòîì âûõëîïíûå ãàçû? 14. Ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ ãàçîâ îòíîñèòåëüíî ñòàðòóþùåé ðàêåòû ñîñòàâëÿåò íå áîëåå ÷åòûðåõ êèëîìåòðîâ â ñåêóíäó. Êàêèì æå îáðàçîì ðàêåòà ìîæåò äîñòè÷ü ïåðâîé, à òåì áîëåå âòîðîé êîñìè÷åñêîé ñêîðîñòè? 15. Ìîæíî ëè ïðåâðàòèòü Çåìëþ â ãèãàíòñêèé êîñìè÷åñêèé êîðàáëü, èñïîëüçóÿ äëÿ ýòîé öåëè ñîâðåìåííûå ðàêåòíûå äâèãàòåëè? Ìèêðîîïûò Ñâåðíèòå èç î÷åíü òîíêîé ïðîâîëîêè íåáîëüøóþ ñïèðàëü, ñëåãêà ñìàæüòå åå ìàñëîì èëè âàçåëèíîì è àêêóðàòíî ïîëîæèòå íà âîäó ñ ïîìîùüþ ïèíöåòà ëèáî îáû÷íîé âèëêè. Çàòåì íàáåðèòå íåñêîëüêî êàïåëü ìûëüíîãî ðàñòâîðà ïèïåòêîé èëè ñîëîìèíêîé äëÿ ïèòüÿ è ðîíÿéòå ïî êàïåëüêå ðàñòâîðà â öåíòð ñïèðàëè. Êàê ñòàíåò âåñòè ñåáÿ ñïèðàëü? Ïî÷åìó? Ëþáîïûòíî, ÷òî… …âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü ðåàêòèâíóþ ñèëó ñòðóè ïàðà, õîòÿ áû â âèäå èãðóøêè, áûëà îòêðûòà åùå â ïåðâîì âåêå íîâîé ýðû Ãåðîíîì Àëåêñàíäðèéñêèì. À â 1750 ãîäó âåíãåðñêèé ó÷åíûé ßíîø Ñåãíåð èçîáðåë íà ýòîì ïðèíöèïå îäíó èç ïåðâûõ ðåàêòèâíûõ ãèäðàâëè÷åñêèõ òóðáèí – «ñåãíåðîâî êîëåñî». Åãî äåéñòâèå ñåãîäíÿ ìîæíî íàáëþäàòü íà ëóæàéêàõ, îðîøàåìûõ ñ ïîìîùüþ íàñàäîê, âðàùàþùèõñÿ íà âîäîïðîâîäíûõ êîëîíêàõ. …èçâåñòíûå â Êèòàå åùå ñ XI âåêà ïîðîõîâûå ðàêåòû ïðèìåíÿëèñü íå òîëüêî äëÿ ôåéåðâåðêîâ, íî è â âîåííîì äåëå – êàê çàæèãàòåëüíûå è ðàçðûâíûå ñíàðÿäû, à òàêæå êàê îñâåòèòåëüíûå ñðåäñòâà. Îäíàêî ïîíàñòîÿùåìó áîåâûå ðåàêòèâíûå ñíàðÿäû áûëè ñîçäàíû â 1817 ãîäó ðóññêèì ó÷åíûì-àðòèëëåðèñòîì, ãåíåðàëîì À.Ä.Çàñÿäêî è óñïåøíî ïðèìåíåíû ïðè îáîðîíå Ñåâàñòîïîëÿ â 1854–55 ãîäàõ âî âðåìÿ Êðûìñêîé âîéíû. …ÿâëåíèå îòäà÷è, âûçûâàâøåå îòêàòûâàíèå íàçàä ñòàðèííûõ ïóøåê, ñî âðåìåíåì íàó÷èëèñü èñïîëüçîâàòü äëÿ ïåðåçàðÿäêè îãíåñòðåëüíîãî îðóæèÿ, íàïðèìåð â ïóëåìåòàõ, àâòîìàòè÷åñêèõ ïèñòîëåòàõ è ñêîðîñòðåëüíûõ ïóøêàõ. …â òåîðèè ìíîãîñòóïåí÷àòûõ ðàêåò, ðàçðàáîòàííîé Ê.Ý.Öèîëêîâñêèì â 1926 ãîäó, áûëî ïîêàçàíî, ÷òî ïîñëåäíÿÿ ñòóïåíü ðàêåòû ñïîñîáíà äîñòè÷ü ïåðâîé êîñìè÷åñêîé ñêîðîñòè. Èç òåîðèè ñëåäîâàëî, ÷òî öåëåñîîáðàçíî ñ ðàñõîäîì òîïëèâà îòáðàñûâàòü áàêè, òðóáîïðîâîäû è äâèãàòåëè îòðàáîòàâøèõ ñòóïåíåé, à â èäåàëå – íåïðåðûâíî èçáàâëÿòüñÿ îò íåíóæíîé óæå ìàññû ðàêåòû, ÷òî ïîêà, óâû, êîíñòðóêòèâíî íåîñóùåñòâèìî. …ãèãàíòîì ñðåäè ìíîãîñòóïåí÷àòûõ ðàêåò è ñåé÷àñ îñòàåòñÿ «Ñàòóðí-5», êîòîðûé âûâåë íà îðáèòó êîñìè÷åñêèé êîðàáëü «Àïîëëîí-11», äîñòàâèâøèé 20 èþëÿ 1969 ãîäà íà Ëóíó àìåðèêàíñêèõ àñòðîíàâòîâ.

Ñòàðòîâàÿ ìàññà ñèñòåìû 2950 òîíí, åå âûñîòà 111 ìåòðîâ. …ïîìèìî ìîùíûõ ìàðøåâûõ äâèãàòåëåé â ðàêåòíîêîñìè÷åñêîé òåõíèêå èñïîëüçóåòñÿ òàê íàçûâàåìàÿ äåòîíàöèîííàÿ àâòîìàòèêà, ðåøàþùàÿ ñ ïîìîùüþ «þâåëèðíûõ» ïî ìàññå è ãàáàðèòàì çàðÿäîâ âçðûâ÷àòûõ âåùåñòâ çàäà÷è ìãíîâåííîãî ðàçäåëåíèÿ ýëåìåíòîâ êîíñòðóêöèé, ðàçðåçàíèå ýëåêòðè÷åñêèõ êàáåëåé, îòñòðåë ïàðàøþòîâ è çàïóñê ðàçëè÷íûõ ïðèáîðîâ. …ïîãàñèòü ñêîðîñòü ïðè ïîñàäêå êîñìè÷åñêîãî àïïàðàòà íà Çåìëþ ïîìîãàåò àòìîñôåðà: òîðìîæåíèå â íåé ïîçâîëÿåò èñïîëüçîâàòü íà êîíå÷íîì ýòàïå ñíèæåíèÿ ïàðàøþò. Òàêàÿ âîçìîæíîñòü ïîëíîñòüþ îòïàäàåò ïðè ñïóñêå íà Ëóíó – îòñóòñòâèå àòìîñôåðû íà íåé çàñòàâëÿåò ãàñèòü ñêîðîñòü ëèøü ðåàêòèâíûìè èìïóëüñàìè, à ïîñëåäíèå ìåòðû ïóòè àïïàðàò ñàäèòñÿ íà ñòðóå ãàçà èç ñîïëà. …ïåðåíîñèòüñÿ ñ êîíòèíåíòà íà êîíòèíåíò ñî ñêîðîñòüþ ñâûøå äåñÿòè òûñÿ÷ êèëîìåòðîâ â ÷àñ â ðàçðåæåííûõ ñëîÿõ àòìîñôåðû, âûâîäèòü íà îêîëîçåìíóþ îðáèòó ïîëåçíûå ãðóçû ñ îáû÷íûõ àýðîäðîìîâ äîëæíû ëåòàòåëüíûå àïïàðàòû íîâîãî ïîêîëåíèÿ ñ ãèïåðçâóêîâûìè âîçäóøíî-ðåàêòèâíûìè äâèãàòåëÿìè, ñîçäàâàåìûìè ñåãîäíÿ çàðóáåæíûìè è îòå÷åñòâåííûìè ñïåöèàëèñòàìè. …ðàçãàäêîé íåîæèäàííî áîëüøèõ ñêîðîñòåé ó íîâîðîæäåííûõ ñâåðõïëîòíûõ íåéòðîííûõ çâåçä, äîñòèãàþùèõ 1500 êèëîìåòðîâ â ñåêóíäó, âåðîÿòíî, ìîæåò áûòü ïðèðîäíûé ðåàêòèâíûé äâèãàòåëü – èçëó÷åíèå íåéòðèíî, óíîñÿùèõ îãðîìíóþ ýíåðãèþ è ñïîñîáíûõ ñîçäàòü íåîáõîäèìûé èìïóëüñ îòäà÷è. …èäåàëüíîé äëÿ ìåæçâåçäíûõ ïîëåòîâ áûëà áû ãèïîòåòè÷åñêàÿ ðàêåòà, ðîëü ãàçîâîé ñòðóè â êîòîðîé èãðàë áû ïó÷îê ôîòîíîâ, èíà÷å ãîâîðÿ, ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ «ñòðóè» ðàâíÿëàñü áû ñêîðîñòè ñâåòà. Îäíàêî ìîùíîñòü ïîäîáíîé ðàêåòû ìàññîé âñåãî ëèøü â îäíó òîííó ïðè äâèæåíèè ñ óñêîðåíèåì, ðàâíûì g, äîëæíà áûëà áû ïðåâîñõîäèòü ìîùíîñòü êðóïíîé ýëåêòðîñòàíöèè òèïà Áðàòñêîé ÃÝÑ ïðèìåðíî â 1000 ðàç. …î÷åðåäíîé ïðîðûâ â êîñìîñ ãîòîâÿò â áëèæàéøèå ïÿòíàäöàòü ëåò âñå êîñìè÷åñêèå äåðæàâû. Ýòî, ïðåæäå âñåãî, ÷åðåäà ëóííûõ ýêñïåäèöèé. Íàøà ñîñåäêà óæå ðàññìàòðèâàåòñÿ êàê ïîëèãîí äëÿ èñïûòàíèÿ òåõíîëîãèé, íåîáõîäèìûõ äëÿ ïîêîðåíèÿ Ìàðñà, êàê áàçà íà ïóòè ê äðóãèì ïëàíåòàì, êàê íîâàÿ àñòðîíîìè÷åñêàÿ îáñåðâàòîðèÿ è äàæå… êàê ìóçåé ïîä îòêðûòûì íåáîì äëÿ ïîñåùåíèÿ êîñìè÷åñêèìè òóðèñòàìè. ×òî ÷èòàòü â «Êâàíòå» î ðåàêòèâíîì äâèæåíèè (ïóáëèêàöèè ïîñëåäíèõ ëåò) 1. «Ïî÷åìó âðàùàåòñÿ âåðòóøêà?» – 2002, Ïðèëîæåíèå ¹4, ñ. 121; 2. «Ñêîëüêî ñòîèò çàïóñê ñïóòíèêà?» – 2002, ¹5, ñ. 30; 3. «Âåëèêîå óðàâíåíèå ìåõàíèêè» – 2003, ¹5, ñ. 35; 4. «Îïûòû ñ ïëàñòèêîâûìè áóòûëêàìè» – 2004, ¹4, ñ. 20; 5. «Êàëåéäîñêîï» Êâàíòà» – 2004, ¹5, ñ. 32; 6. «Áóëàâà» – 2005, ¹1, ñ. 29; 7. «Ïî÷åìó èìåííî ðàêåòà» – 2005, Ïðèëîæåíèå ¹6, ñ. 142; 8. «Êàê Ñòóäåíò äóìàë Çåìëþ îñòàíîâèòü» – 2006, ¹5, ñ. 28. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèë À.Ëåîíîâè÷


!"

ÊÂÀÍT$ 2007/¹5

(Íà÷àëî ñì. íà ñ. 30)

êàê åãî íà÷àëî è êîíåö ñîâïàäàþò. Íåâàæíî, èç êàêîãî ïóíêòà ìàðøðóòà «ñòàðòîâàòü», ëèøü áû ïîñëå ñòàðòà äâèãàòüñÿ â òî÷íîñòè ïî ýòîìó ìàðøðóòó: â ñèëó öèêëè÷íîñòè ìàðøðóòà, ïðîéäåøü èìåííî ýòîò ìàðøðóò è âåðíåøüñÿ â ïóíêò, îòêóäà ñòàðòîâàë. Îòâåò íà âîïðîñ 3. È òàêîå ïóòåøåñòâèå îñóùåñòâèìî, è íà÷àòü åãî ìîæíî òîæå èç ëþáîãî ïóíêòà. Äëÿ òîãî ÷òîáû â ýòîì óáåäèòüñÿ, äîñòàòî÷íî ñîñòàâèòü öèêëè÷åñêèé ìàðøðóò òàêîãî ïóòåøåñòâèÿ, íà÷èíàþùèéñÿ è çàêàí÷èâàþùèéñÿ íà Ñåâåðíîì ïîëþñå. Ïðåæäå ÷åì íà÷èíàòü ïóòåøåñòâèå ñ Ñåâåðíîãî ïîëþñà, âûáåðåì (çàðåçåðâèðóåì) ìåðèäèàí, ïî êîòîðîìó âåðíåìñÿ íà ïîëþñ. Ïóñòü ýòî áóäåò ïåðâûé ìåðèäèàí (íà ðèñóíêå 2 îí âûäåëåí êðàñíûì Ðèñ. 2 öâåòîì.) Ñ Ñåâåðíîãî ïîëþñà ìîæíî «ñïóñêàòüñÿ» äî Þæíîãî âïåðåìåæêó ïî âòîðîìó è äâàäöàòü ÷åòâåðòîìó ìåðèäèàíàì, äâèãàÿñü îò îäíîãî ìåðèäèàíà ê äðóãîìó ïî î÷åðåäíîé ïàðàëëåëè òàê, êàê ýòî ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 2. Ïî äîñòèæåíèè Þæíîãî ïîëþñà îñòàëîñü âåðíóòüñÿ íà ñåâåð ïî ïåðâîìó ìåðèäèàíó. Êàê ðàñùåëêàòü òðåòèé îðåøåê Äëÿ ëþáûõ äâóõ äèñïåò÷åðñêèõ ïóíêòîâ À è Á ñóùåñòâóåò ìíîæåñòâî âàðèàíòîâ ïåðåëåòà èç îäíîãî â äðóãîé. Íàïðèìåð, íà ðèñóíêå 3 ïðåäñòàâëåíî òðè âàðèàíòà ïåðåëåòà èç ïóíêòà À (30° ñ.ø., 60 °  â.ä.) â ïóíêò Á (75° ñ.ø., 75° ç.ä.): «ñèíèé» – íà âîñòîê, à çàòåì íà ñåâåð; «çåëåíûé» – íà ñåâåð, à çàòåì íà âîñòîê; «÷åðíûé» – íà ñåâåð äî Ñåâåðíîãî ïîëþñà, à çàòåì íà þã. Ïóñòü L – ýòî äëèíà Ðèñ. 3 (â êèëîìåòðàõ) äóãè â 15° áîëüøîãî êðóãà Çåìëè. Åñëè èçâåñòåí ðàäèóñ Çåìëè, òî âåëè÷èíó L íàéòè íåòðóäíî: L = 2π ´ 6400 êì 24 » ≈ 1676 êì. Òîãäà äëèíà äóãè â γ ãðàäóñîâ ëþáîãî ìåðèäèàíà ðàâíà L ´  γ 15° , à äëèíà äóãè ïàðàëëåëè íà øèðîòå β ãðàäóñîâ ñ âåëè÷èíîé äóãè α = 165° ðàâíà L ´ α 15o ´ cos β = 11 ´ L ´ cos β .  òàêîì ñëó÷àå: äëèíà «ñèíåãî» ìàðøðóòà ðàâíà 11 ´ L ´ cos 30° + L ´ ´  75° - 30° 15° » 15966 êì + 5028 êì ≈ 20994 êì; äëèíà «çåëåíîãî» ìàðøðóòà ðàâíà L ´  75° - 30° 15° + 11 ´ L ´ cos 75° » 5028 êì + 4771 êì ≈ ≈ 9799êì;





äëèíà «÷åðíîãî» ìàðøðóòà ðàâíà L ´  90° - 30° 15° + L ´  90° - 75° 15° = 5 ´ L = 8380 êì.  äàííîì ñëó÷àå ñàìûé êîðîòêèé èç òðåõ ðàññìîòðåííûõ ìàðøðóòî⠖ ýòî «÷åðíûé» ìàðøðóò ÷åðåç Ñåâåðíûé ïîëþñ. Íî ÿâëÿåòñÿ ëè îí âîîáùå ñàìûì êîðîòêèì ìàðøðóòîì èç ïóíêòà À(30° ñ.ø., 60° â.ä.) â ïóíêò Á(75° ñ.ø., 75° ç.ä.)? Îò ïðèìåðà ïåðåéäåì ê îáùåìó ñëó÷àþ. Ïóñòü çàäàíû äâà ïðîèçâîëüíûõ äèñïåò÷åðñêèõ ïóíêòà À è Á. Âûáåðåì ïðîèçâîëüíûé ìàðøðóò S èç À â Á (æèðíàÿ ÷åðíàÿ ëèíèÿ íà ðèñóíêå 4). Òàêèõ ðàçëè÷íûõ ìàðøðóòîâ ñóùåñòâóåò íåîáîçðèìîå êîëè÷åñòâî, è ïåðåáèðàòü èõ â ïîèñêàõ îïòèìàëüíîãî âàðèàíòà – ïðîáëåìà íå èç ëåãêèõ. Âïðî÷åì, â òîòàëüíîì ïåðåáîðå íåò íåîáõîäèìîñòè, âåäü íåêîòîðûå ìàðøðóòû çàâåäîìî íå ýêîíîìè÷íûå (íàïðèìåð, ìàðøðóòû ñ «ïåòëÿ- Ðèñ. 4 ìè»). Ñåé÷àñ ìû ïðåäëîæèì ðàçóìíóþ (ñïåöèàëèñòû ãîâîðÿò – «æàäíóþ») ñõåìó ïåðåáîðà. Ðàññìîòðèì âñåâîçìîæíûå ìàðøðóòû ïî äîëãîòå ìåæäó äèñïåò÷åðñêèìè ïóíêòàìè íà ìåðèäèàíàõ, íà êîòîðûõ ðàñïîëîæåíû À è Á. Ïóñòü –à – ñàìûé êîðîòêèé òàêîé ìàðøðóò, ðàñïîëîæåííûé â äèàïàçîíå îò ñàìîé þæíîé òî÷êè S äî ñàìîé ñåâåðíîé òî÷êè S (äóãà ïàðàëëåëè, âûäåëåííàÿ êðàñíûì öâåòîì íà ðèñóíêå 4). Òîãäà ïðîòÿæåííîñòü ìàðøðóòà À–֖Á íå áîëüøå, ÷åì äëèíà ìàðøðóòà S. Ïîýòîìó ìàðøðóò èç À â Á íàèìåíüøåé äëèíû íàäî âûáèðàòü èç 13 âàðèàíòîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ñîîòâåòñòâóåò âûáîðó øèðîòíîãî ó÷àñòêà –à îò Þæíîãî äî Ñåâåðíîãî ïîëþñà íà îäíîé èç 13 âîçìîæíûõ ïàðàëëåëåé ìåæäó ìåðèäèàíàìè ïóíêòîâ À è Á. Äëèíà êàæäîãî òàêîãî ìàðøðóòà À–֖Á ðàâíà (äëèíà ìåðèäèîíàëüíîãî ó÷àñòêà À–Ã) + + (äëèíà ìåðèäèîíàëüíîãî ó÷àñòêà Á–Â) + + (äëèíà øèðîòíîãî ó÷àñòêà –Ã). Ìîæíî âûâåñòè àíàëèòè÷åñêóþ ôîðìóëó äëÿ âû÷èñëåíèÿ ìèíèìàëüíîãî çíà÷åíèÿ ýòîãî âûðàæåíèÿ. Îäíàêî ïðîùå ïîèñê ìèíèìàëüíîãî ñðåäè 13 âîçìîæíûõ çíà÷åíèé ïîðó÷èòü ïðîãðàììå: äëÿ ÷åëîâåêà ýòî óæå ìíîãîâàòî, à äëÿ êîìïüþòåðà – ïóñòÿêîâîå äåëî (åñëè åñòü ïðîãðàììà). Êñòàòè, êàêîâà äëèíà ìèíèìàëüíîãî ìàðøðóòà ìåæäó ïóíêòàìè À(30° ñ.ø., 60° â.ä.) è Á(75° ñ.ø., 75° ç.ä.)?


ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ»

Ïðàêòè÷åñêàÿ çàäà÷à ïî ìåõàíèêå Þ.ÍÎÑÎÂ

Â

ÎÇÜÌÅÌ ÄÅÐÅÂßÍÍÛÉ ÁÐÓÑÎÊ ÐÀÇÌÅÐÎÌ 2 ´ 3 ´ 10 ÑÌ.

Çàæìåì áðóñîê â òèñêè, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå, è íà÷íåì ðàñïèëèâàòü åãî âäîëü äëèííîé ñòîðîíû íà äâå ÷àñòè.  ïðîöåññå ðàáîòû áóäåì ñëåäèòü çà òåì, ÷òîáû íîæîâêîé íå çàäåòü âèíò òèñêîâ. Ïîëíîñòüþ ðàñïèëèì áðóñîê îò êðàÿ äî êðàÿ, îñëàáèì òèñêè è âûíåì äâà íîâûõ áîëåå òîíêèõ áðóñêà. Ïîä÷åðêíåì, ÷òî âñÿ îïåðàöèÿ ïðîèçâîäèòñÿ ïðè îäíîì è òîì æå èñõîäíîì ñæàòèè òèñêîâ è íå äåëàåòñÿ íèêàêèõ ïåðåñòàíîâîê èëè ïåðåäâèæåê áðóñêà. Êàê æå ïîëó÷àåòñÿ, ÷òî òèñêè – íåñìîòðÿ íà òî, ÷òî ñæèìàþò áðóñîê, – íå ìåøàþò ðàçðåçàòü åãî íà äâå ÷àñòè?

Ðàçóìååòñÿ, ýòà çàäà÷à ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïðàêòè÷åñêóþ (ëàáîðàòîðíóþ) ðàáîòó ïî ìåõàíèêå, äëÿ êîòîðîé ñòðîãîãî ðåøåíèÿ äàòü íåëüçÿ. Íî âïîëíå ìîæíî óäîâëåòâîðèòüñÿ ñëåäóþùèìè êà÷åñòâåííûìè ðàññóæäåíèÿìè.  íàøåì ýêñïåðèìåíòå óäåðæàíèå äåðåâÿííîãî áðóñêà îáåñïå÷èâàåòñÿ ñèëîé ñæàòèÿ òèñêîâ F, ñîçäàâàåìîé âèíòîì (ñì. ðèñóíîê). ×òîáû ñäâèíóòü áðóñîê âíèç, íàäî ïðèëîæèòü ñèëó Fâíèç , ïðåâûøàþùóþ ñèëó òðåíèÿ ïîêîÿ Fòð = kF ,

ãäå k – êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó ãóáêàìè òèñêîâ è áðóñêîì. Âåëè÷èíà ñèëû F ñòîëü âåëèêà, ÷òî ñäâèíóòü áðóñîê ðóêîé â ñæàòûõ òèñêàõ íå óäàåòñÿ. Ïî÷åìó æå íàì óäàåòñÿ ïåðåìåùàòü ïîëîòíî ïèëû ââåðõ – âíèç ïðè ïðîäîëüíîì ðàçðåçàíèè áðóñêà? Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî äëÿ ýòîé ïàðû ìàòåðèàëîâ (ïîëîòíî ïèëû – äåðåâî) ñèëà òðåíèÿ ïîêîÿ Fòð1 ñóùåñòâåííî ìåíüøå Fòð , è, êàê ñëåäñòâèå, ñèëà, íåîáõîäèìàÿ äëÿ ïåðåìåùåíèÿ ïèëû, ñóùåñòâåííî ìåíüøå Fâíèç . Äëÿ ýòîé ïàðû Fòð1 = k1F1 ,

ãäå k1 – êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó ïîëîòíîì ïèëû è áðóñêîì, F1 – ñæèìàþùàÿ ñèëà. Ñèëà ñæàòèÿ ïîëîòíà ïèëû F1 âî ñòîëüêî ðàç ìåíüøå ïîëíîé ñèëû ñæàòèÿ òèñêîâ F, âî ñêîëüêî ðàç ïëîùàäü ñæàòîãî ïîëîòíà ïèëû ìåíüøå ïîëíîé ïëîùàäè ãóáîê òèñêîâ, ò.å.

F1 =

l F, L

ãäå l – øèðèíà ïîëîòíà ïèëû è L – ïîëíàÿ øèðèíà ãóáîê òèñêîâ. ×òîáû óìåíüøèòü ñèëó F1 , â íàøåì ýêñïåðèìåíòå ìû ïðèìåíÿåì ïèëó ñ ìàëîé øèðèíîé ïîëîòíà l, íàïðèìåð ïîëîòíî íîæîâêè ïî ìåòàëëó. Èñïîëüçóÿ ïðèìåðíûå ðàçìåðû l = 15 ìì è L = 150 ìì, ïîëó÷èì F1 = 0,1F . Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ïîêîÿ (è ñêîëüæåíèÿ) k1 òàêæå ìíîãî ìåíüøå k, òàê êàê â ñëó÷àå ïèëû â êîíòàêò ñ äåðåâîì âñòóïàåò â îñíîâíîì ãëàäêàÿ ïîâåðõíîñòü ñòàëüíîãî ïîëîòíà, à íå ãîôðèðîâàííàÿ ïîâåðõíîñòü ãóáîê òèñêîâ. Òàêèì îáðàçîì, â íàøåì îïûòå F1 = F è k1 = k , ÷òî ïðèâîäèò ê âûâîäó Fòð1 = Fòð .

Îäíàêî â ïðîâîäèìîì ýêñïåðèìåíòå ìû íå òîëüêî ïåðåìåùàåì ïèëó ââåðõ – âíèç, íî è ðàçðóøàåì äðåâåñíûå âîëîêíà ïðè ðàñïèëèâàíèè. Ýòî òðåáóåò ïðèëîæåíèÿ äîïîëíèòåëüíîé ñèëû F2 âäîëü íàïðàâëåíèÿ ðàçðåçàíèÿ. Óìåíüøèòü âåëè÷èíó ñèëû F2 ìîæíî, èñïîëüçóÿ ïèëó ñ î÷åíü ìåëêèì çóáîì, íàïðèìåð îïÿòü æå íîæîâêó ïî ìåòàëëó èëè ëîáçèê. Îäíî çàìå÷àíèå. Íà ïåðâûé âçãëÿä ìîæåò ïîêàçàòüñÿ, ÷òî ïðè ðàñïèëèâàíèè áðóñêà îáëàñòü Â, ãäå óæå ðàñïèë îñóùåñòâëåí, ïåðåñòàåò ïðèíèìàòü ó÷àñòèå â óäåðæàíèè áðóñêà â òèñêàõ. Ýòî íå òàê.  ñèëó óïðóãîñòè äåðåâà è ìàëîé òîëùèíû ïîëîòíà ïèëû ( : 0,5 - 0,7 ìì ) îáëàñòü  ñæàòà ïðàêòè÷åñêè ñ òàêîé æå ñèëîé, êàê è îáëàñòü À, ãäå ðàñïèëà åùå íåò. Òàêèì îáðàçîì, ïðè äåéñòâèè ïèëû áðóñîê âñåãäà ñæàò ïî âñåé øèðèíå ãóáîê òèñêîâ. Ðåàëüíûé óñïåõ â ïðîâåäåíèè îáñóæäàåìîãî îïûòà ïîêàçûâàåò, ÷òî ðóêà ýêñïåðèìåíòàòîðà âïîëíå ìîæåò ðàçâèòü ñèëó, ïðåâûøàþùóþ Fòð1 è F2 , è óñïåøíî ïðîâåñòè ðàñïèëèâàíèå áðóñêà, ñæàòîãî òèñêàìè. Õî÷åòñÿ íàäåÿòüñÿ, ÷òî ïðèâåäåííîå ðåøåíèå çàäà÷è ïîçâîëèò âàì ñàìîñòîÿòåëüíî îòâåòèòü (íà êà÷åñòâåííîì óðîâíå) íà ñëåäóþùèå âîïðîñû. Êàê âëèÿåò íà ðåçóëüòàò ýêñïåðèìåíòà: ñèëà ñæàòèÿ òèñêîâ; øèðèíà ïîëîòíà ïèëû; ïîðîäû äåðåâà áðóñêà; ñèëû, ïðèêëàäûâàåìûå ê ïèëå?

Èíôîðìàöèþ î æóðíàëå «Êâàíò» è íåêîòîðûå ìàòåðèàëû èç æóðíàëà ìîæíî íàéòè â ÈÍÒÅÐÍÅÒÅ ïî àäðåñàì: Ðåäàêöèÿ æóðíàëà «Êâàíò» kvant.info Ìîñêîâñêèé öåíòð íåïðåðûâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ kvant.mccme.ru Ìîñêîâñêèé äåòñêèé êëóá «Êîìïüþòåð» math.child.ru Êîñòðîìñêîé öåíòð äîïîëíèòåëüíîãî îáðàçîâàíèÿ «Ýâðèêà» ceemat.ru


!$

ÊÂÀÍT$ 2007/¹5

Êàê ìîëåêóëû ñòîëêíóëèñü À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ

Ï

Î×ÅÌÓ ÂÎÎÁÙÅ ÂÎÇÌÎÆÍÀ ÊÎÍÄÅÍÑÀÖÈß – ÁÓÊ-

âàëüíî «óïëîòíåíèå»? Âåäü ïðè àòìîñôåðíîì äàâëåíèè ïëîòíîñòü æèäêîñòè íà òðè ïîðÿäêà áîëüøå, ÷åì ïëîòíîñòü ãàçà (èëè ïàðà). Çíà÷èò, ÷òî-òî çàñòàâëÿåò ìîëåêóëû ãàçà ñòðåìèòüñÿ äðóã ê äðóãó è óäåðæèâàòüñÿ ðÿäîì. À ïðè íàãðåâàíèè æèäêîñòè ïðîèñõîäèò åå èñïàðåíèå – ñëåäîâàòåëüíî, ÷òî-òî ïðåâîçìîãàåò óäåðæèâàþùèå ñèëû. Ïðåæäå âñåãî ÿñíî, ÷òî ìîëåêóëû äîëæíû èìåòü êîíå÷íûå ðàçìåðû. Åñëè áû ýòî áûëè ìàòåðèàëüíûå òî÷êè (òàêàÿ ìîäåëü òîæå èíîãäà èñïîëüçóåòñÿ), òî êîíäåíñàò ëþáîé îãðàíè÷åííîé ìàññû ãàçà èëè ïàðà èìåë áû íóëåâîé îáúåì. È íà äíå ñòàêàíà òðóäíî áûëî áû ðàçãëÿäåòü 200 ãðàììîâ âîäû. Ïîýòîìó áóäåì ñ÷èòàòü ìîëåêóëû àáñîëþòíî æåñòêèìè øàðèêàìè, èìåþùèìè äèàìåòð d. Äàëåå, åñëè ìîëåêóëû ïðèòÿãèâàþòñÿ äðóã ê äðóãó (êàê, íàïðèìåð, ïëàíåòû èëè çâåçäû), òî äîëæíà ñóùåñòâîâàòü ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ Eï èõ âçàèìîäåéñòâèÿ, çàâèñÿùàÿ îò ðàññòîÿíèÿ r ìåæäó ìîëåêóëàìè.  ñëó÷àå ãðàâèòàöèè íüþ1 òîíîâñêàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ èìååò âèä Eï : − , à äëÿ r ìîëåêóë ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ ïðèòÿæåíèÿ åùå ðåç÷å çàâè1 ñèò îò ðàññòîÿíèÿ: Eï : − 6 . Íî ïîñêîëüêó ìû ðåøèëè r ñ÷èòàòü ìîëåêóëû æåñòêèìè øàðèêàìè, îíè íèêàê íå ìîãóò ñáëèçèòüñÿ íà ðàññòîÿíèå (ìåæäó èõ öåíòðàìè!), ìåíüøåå d: ïîñëå èõ ñîïðèêîñíîâåíèÿ ïîòðåáîâàëàñü áû áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ ñèëà è âîçíèêëà áû áåñêîíå÷íî áîëüøàÿ ýíåðãèÿ îòòàëêèâàíèÿ.  ïðîöåññ ñáëèæåíèÿ Eï áóäåò èçìåíÿòüñÿ âäîëü êðèâîé (∞ −ε ∞ ) íà ðèñóíêå 1 – òàì ñòðåëêîé äàæå ïîêàçàíî íàïðàâëåíèå ýòîãî èçìåíåíèÿ. Ïîíÿòíî, ÷òî äëÿ ìîëåêóë, íå âçàèìîäåéñòâóþùèõ äðóã ñ äðóãîì âïëîòü äî ñîïðèêîñíîâåíèÿ, ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ èçìåíÿëàñü áû ïî ñòîðîíàì ïðÿìîãî óãëà (∞ d ∞ ) . Ïî ñóòè äåëà, ìîäåëü àáñîëþòíî æåñòêèõ øàðèêîâ àäåêâàòíà «òî÷å÷íûì» ìîëåêóëàì, ó êîòîðûõ ñèëà (è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ) îòòàëêèâàíèÿ ðåçêî ðàñòóò ïðè ñáëèæåíèè. Èòàê, î ÷åì æå ãîâîðèò ðèñóíîê 1?  íà÷àëå êîîðäèíàò r = 0 íàõîäèòñÿ öåíòð ìîëåêóëû-øàðèêà, êîòîðóþ ìû ñ÷èòàåì ôèêñèðîâàííîé (îíà çàøòðèõîâàíà). Öåíòð äðóãîé ìîëåêóëû-øàðèêà ìîæåò íàõîäèòüñÿ íà ëþáîì ðàññòîÿíèè d < r < ∞ . Ýòà äðóãàÿ ìîëåêóëà ïðèòÿãèâàåòñÿ ê ôèêñèðîâàííîé ñ ñèëîé, ïðîïîðöèîíàëüíîé òåìïó èçìåíåíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ñ èçìåíåíèåì ðàññòîÿíèÿ. Ýòó äëèííóþ dEï ôðàçó ôèçèêè çàìåíÿþò ïðîñòûì ñîîòíîøåíèåì: F = − dr è ãîâîðÿò: «ñèëà ðàâíà ìèíóñ ãðàäèåíòó ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè». Îòñþäà âèäíî, ÷òî ñêëîí êðèâîé Eï (r ) äîëæåí áûòü íàïðàâëåí ê íà÷àëó êîîðäèíàò, åñëè ìû õîòèì îïèñàòü ïðèòÿæåíèå. Îáðàçíî ãîâîðÿ, âòîðàÿ ìîëåêóëà ñòðåìèòñÿ «ñâàëèòüñÿ» â ïîòåíöèàëüíóþ ÿìó ãëóáèíîé ε è îñòàòüñÿ òàì (åñëè óæ íåëüçÿ ñáëèæàòüñÿ äàëåå). Ýòî è åñòü ïðåäïîñûëêà äëÿ êîíäåíñàöèè. Íî âåäü ìîëåêóëû ñáëèæàþòñÿ íå êâàçèñòàòè÷åñêè. Êàê èçâåñòíî, îíè îáëàäàþò ñðåäíåé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèåé,

ïðîïîðöèîíàëüíîé òåìïåðàòóðå: mv2 3 = kT , 2 2 è åñëè ñêîðîñòü âòîðîãî øàðèêà íà ðèñóíêå 1 ñëèøêîì âåëèêà, îí óïðóãî îòðàçèòñÿ îò ïåðâîãî (çàøòðèõîâàííîãî) è âûñêî÷èò èç ïîòåíöèàëüíîé ÿìû. À ÷òî çíà÷èò «ñëèøêîì»? ßñíî, ÷òî íóæíî ñðàâíèòü äâå ýíåðãèè: ïîòåíöèàëüíóþ ýíåðãèþ ïðèòÿæåíèÿ ε è êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ âòîðîãî øàðèêà, êîòîðîé îí îáëàäàåò íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè îò ïåðâîãî, ò.å. «íà áåñêîíå÷íîñòè». È òåïåðü ïîíÿòíî, ÷òî êîíäåíñàöèÿ âîçìîæíà â ñëó÷àå ñîáëþäåíèÿ óñëîâèÿ mv¥2 εÚ . 2 Ýòî çíà÷èò, ÷òî êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ õàîòè÷åñêîãî òåïëîâîãî äâèæåíèÿ äîëæíà áûòü ìåíüøå ãëóáèíû ïîòåíöèàëüíîé ÿìû. Íî, êàê èçâåñòíî, ïðè êîíäåíñàöèè âûäåëÿåòñÿ ýíåðãèÿ. Åå õàðàêòåðèçóþò óäåëüíîé òåïëîòîé èñïàðåíèÿ èëè êîíäåíñàöèè. ßñíî, ÷òî îíà èìååò ïðÿìîå îòíîøåíèå ê ãëóáèíå ïîòåíöèàëüíîé ÿìû: ÷åì áîëüøå ε , òåì áîëüøóþ ýíåðãèþ íàäî çàòðàòèòü, ÷òîáû «âûòàùèòü íà áåñêîíå÷íîñòü» ìîëåêóëó èç ïîòåíöèàëüíîé ÿìû è òåì áîëüøàÿ ýíåðãèÿ âûäåëèòñÿ â îáðàòíîì ïðîöåññå êîíäåíñàöèè. Ïðàâäà, òå çíà÷åíèÿ óäåëüíîé òåïëîòû èñïàðåíèÿ, êîòîðûå óêàçàíû â ðàçëè÷íûõ ñïðàâî÷íèêàõ, ïîëó÷åíû â óñëîâèÿõ, êîãäà ïàð (à òåì áîëåå æèäêîñòü) ÿâëÿåòñÿ ñïëîøíîé ñðåäîé. Ïîýòîìó íàäî ïðèíÿòü âî âíèìàíèå è ðàáîòó ïî ðàñøèðåíèþ ïàðà ïîñëå «âûòàñêèâàíèÿ» åãî ìîëåêóë èç æèäêîñòè. Ê òîìó æå, èñïàðÿþùóþñÿ ìîëåêóëó óäåðæèâàåò íå îäíà ôèêñèðîâàííàÿ ìîëåêóëà (çàøòðèõîâàííàÿ íà ðèñóíêå 1), íî åùå è ìíîæåñòâî äðóãèõ, áîëåå îòäàëåííûõ. Ïîíÿòíî, ÷òî äâå îòäåëüíûå ìîëåêóëû íèêàê íå ìîãëè áû ñêîíäåíñèðîâàòüñÿ, ò.å. îñòàòüñÿ ðÿäîì â ïîêîå – êòî-òî äîëæåí óíåñòè ëèøíþþ ýíåðãèþ. Ýòèì Ðèñ. 1 «êòî-òî», êîíå÷íî, ÿâëÿåòñÿ òðåòüÿ ìîëåêóëà. À ïîñêîëüêó ó÷àñòíèêîâ ïðîöåññà î÷åíü ìíîãî, òî «òðåòüè» ìîëåêóëû, ïîëó÷àÿ èçáûòîê ýíåðãèè, íàãðåâàþò ãàç, ÷òî ïðèâîäèò ê ðîñòó ñðåäíåé êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ìîëåêóë. Íî ïî÷åìó ìîëåêóëû äîëæíû ñáëèæàòüñÿ âäîëü ëèíèè öåíòðîâ, êàê íà ðèñóíêå 1? Ðàññìîòðèì áîëåå îáùèé ñëó÷àé (ðèñ.2): ïåðâàÿ ìîëåêóëà ïî-ïðåæíåìó ôèêñèðîâàíà (çàøòðèõîâàíà), à âòîðàÿ «èç áåñêîíå÷íîñòè» äâèæåòñÿ ñ îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòüþ v¥ , íî íå âäîëü ëèíèè öåíòðîâ, à, êàê ãîâîðÿò, ñ ïðèöåëüíûì ðàññòîÿíèåì b îò ýòîé ëèíèè. Ýòî òàêîå ðàññòîÿíèå, ÷òî âñå ìîëåêóëû ñ öåíòðàìè âíóòðè êðóãà ïëîùàäüþ πb2 íåïðåìåííî ñòîëêíóòñÿ ñ ôèêñèðîâàííîé ìîëåêóëîé – ïî êðàéíåé ìåðå, êîñíóòñÿ åå, à âñå ìîëåêóëû ñ öåíòðàìè âíå ýòîãî êðóãà ïðî- Ðèñ. 2


ØÊÎËÀ

ëåòÿò ìèìî. Êîíå÷íî, ñèëà ïðèòÿæåíèÿ F âî âñå âðåìÿ ñáëèæåíèÿ äâóõ ìîëåêóë íàïðàâëåíà âäîëü ëèíèè öåíòðîâ, îíà-òî è èñêðèâëÿåò òðàåêòîðèþ ìîëåêóëû. Çàïèøåì óñëîâèå ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè âòîðîé ìîëåêóëû â äâóõ ñîñòîÿíèÿõ – «íà áåñêîíå÷íîñòè» è â ìîìåíò êàñàíèÿ ïåðâîé: mv∞2 mvd2 +0 = + ( −ε ) . 2 2 Çäåñü ó÷òåíû òå æå ôàêòû, êîòîðûå óêàçàíû íà ðèñóíêå 1: ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âäàëè ðàâíà íóëþ, à ïðè ñîïðèêîñíîâåíèè ìîëåêóë ðàâíà - ε . À åùå ìîæíî çàïèñàòü çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà. Ýòî âòîðîé çàêîí Êåïëåðà î ñåêòîðèàëüíîé ñêîðîñòè, èëè î òîì, ÷òî ðàäèóñ-âåêòîð, ïðîâåäåííûé èç öåíòðà ñèëîâîãî ïîëÿ, çàìåòàåò ðàâíûå ïëîùàäè â ðàâíûå îòðåçêè âðåìåíè. Õîòÿ çàêîí ïîëó÷åí Íüþòîíîì äëÿ ãðàâèòàöèè, îí âåðåí äëÿ ëþáîãî öåíòðàëüíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ (êîãäà ñèëà íàïðàâëåíà ñòðîãî ïî ëèíèè öåíòðîâ). Èòàê,

Â

!%

«ÊÂÀÍÒÅ»

Âûðàçèì èç ýòîãî óðàâíåíèÿ vd è ïîäñòàâèì â çàêîí ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè. Ïîëó÷èì 2

ε α b = 1+ . d = 1+ T mv∞2 2   Çäåñü α – ïîñòîÿííàÿ, à â çíàìåíàòåëå îêàçàëàñü òåìïåðàòóðà. Âèäíî, ÷òî ñ îõëàæäåíèåì ëþáîãî ãàçà, êîãäà óìåíüøàåòñÿ ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü åãî ìîëåêóë, ïðèöåëüíîå ðàññòîÿíèå b ðàñòåò: ìîëåêóëû «÷óâñòâóþò» äðóã äðóãà íà âñå áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ, à â ïðåäåëå T → 0 – íà áåñêîíå÷íî áîëüøèõ. Òóò-òî âñå ãàçû è ñêîíäåíñèðóþòñÿ. Êñòàòè, ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò íå çàâèñèò îò êîíêðåòíîãî âèäà ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ, à çàâèñèò ëèøü îò îòíîøåíèÿ ïîòåíöèàëüíîé è êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèé. Ïîýòîìó îí ïðèìåíèì è ê êèíåòèêå íåáåñíûõ òåë (çâåçä, ïëàíåò, ãàçîâûõ òóìàííîñòåé, ãàëàêòèê…). ×òî æå ìåøàåò èì âñåì ñêîíäåíñèðîâàòüñÿ (ýòî áûëî áû óæàñíî!)? Êîíå÷íî, çàêîí ñîõðàíåíèÿ ìîìåíòà èìïóëüñà. È ñëàâà Áîãó.

mv∞ ⋅ b = mvd ⋅ d .

Êàê Ñòóäåíò ìàãíèòíîå ïîëå èçìåðÿë À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ Ïðèñòóïèâ ê èçó÷åíèþ òðóäà Ôàðàäåÿ, ÿ óñòàíîâèë, ÷òî åãî ìåòîä ïîíèìàíèÿ ÿâëåíèé áûë òàêæå ìàòåìàòè÷åñêèì, õîòÿ è íå ïðåäñòàâëåííûì â ôîðìå îáû÷íûõ ìàòåìàòè÷åñêèõ ñèìâîëîâ… Ôàðàäåé âèäåë ñèëîâûå ëèíèè, ïðîíèçûâàþùèå âñå ïðîñòðàíñòâî… Äæ.Ìàêñâåëë

Ê

ÀÊ-ÒÎ ÍÀ ËÀÁÎÐÀÒÎÐÍÎÉ ÐÀÁÎÒÅ ÑÒÓÄÅÍÒ ÍÀÌÎÒÀË

ñîòíè ìåòðîâ ïðîâîëîêè â âèäå ñîëåíîèäà, äà òàêîãî äëèííîãî, ÷òî ìàãíèòíîå ïîëå â åãî ñåðåäèíå ìîæíî áûëî ñ÷èòàòü ïðîñòðàíñòâåííî îäíîðîäíûì, è ïîäêëþ÷èë åãî ê èñòî÷íèêó ïåðåìåííîãî òîêà ñ ðåãóëèðóåìîé ÷àñòîòîé ω (ðèñ.1). È çàäóìàëñÿ: êàê áû èçìåðèòü èíäóêöèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ? Åùå â ïîçàïðîøëîì âåêå áûëî èçâåñòíî, ÷òî Ðèñ. 1 åñëè ÷åðåç ïëîùàäü íåêîòîðîé ïðîâîäÿùåé ðàìêè, íàïðèìåð â âèäå îêðóæíîñòè, ñî âðåìåíåì èçìåíÿåòñÿ ïîòîê âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè Φ , òî â ýòîé ðàìêå âîçíèêàåò ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà ∆Φ - =. ∆t Òàêèì îáðàçîì, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ÝÄÑ - – ýòî ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ïîòîêà âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÷åðåç ðàìêó.

Ïóñòü, íàïðèìåð, êîëüöî ðàäèóñîì r íàõîäèòñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå, èçìåíÿþùåìñÿ ñî âðåìåíåì ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó B = B0 cos ωt .

Òîãäà ïîòîê âåêòîðà ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÷åðåç ïëîùàäü êîëüöà áóäåò èçìåíÿòüñÿ ïî çàêîíó Φ = πr 2 B0 cos ωt .

Äàëåå, åñëè ðàìêà ïðîâîäÿùàÿ, òî ÝÄÑ - âûçîâåò â íåé ýëåêòðè÷åñêèé òîê. À ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ýòîò òîê âûçûâàåòur ñÿ íàïðÿæåííîñòüþ E ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, óñêîðÿþùåãî çàðÿäû ïðîâîäíèêà. Íî ÝÄÑ - ñâÿçàíà ñ íàïðÿæåííîñòüþ Å ñîîòíîøåíèåì

- = E × 2πr . Ñîáèðàÿ âìåñòå âñå ñêàçàííîå, çàïèøåì E × 2πr = -

(

∆ πr 2 B0 cos ωt ∆t

).

Áîëåå òîãî, è ðàìêà ìîæåò áûòü íå ïðîâîäÿùåé, à ñäåëàííîé, íàïðèìåð, èç ñîëîìèíêè, ÷åðåç êîòîðóþ ïüþò ñîê, – âñå ðàâíî â íåé âîçíèêíåò èíäóêöèîííîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. À çíà÷èò, ìîæåò è íå áûòü íèêàêîé ðàìêè: ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå âîçíèêíåò è â âàêóóìå, è â âîçäóõå…, êîòîðûì íàïîëíåí ñîëåíîèä! – äîãàäàëñÿ Ñòóäåíò. Ýòî ïîëå áóäåò ðàâíî

E=-

r ∆ cos ωt rB0 B0 = ω sin ωt , 2 2 ∆t

ïðè÷åì îíî òîæå áóäåò èçìåíÿòüñÿ ïî ãàðìîíè÷åñêîìó çàêîíó (êîíå÷íî, òóò Ñòóäåíò ó÷åë, ÷òî ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ êîñèíóñà åñòü ìèíóñ ñèíóñ, óìíîæåííûé íà ω ). Íî ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå äåéñòâóåò íà ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä. È òóò ó Ñòóäåíòà âîçíèêëà èäåÿ ýêñïåðèìåíòà: ïîäâåñèòü âíóòðè ñîëåíîèäà çàðÿæåííûé øàðèê è èçìåðèòü àìïëèòóäó ur åãî êîëåáàíèé â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå E , ïîðîæäåííîì ïåðåur ìåííûì ìàãíèòíûì ïîëåì B . Ñêàçàíî – ñäåëàíî. Ìàññà øàðèêà ðàâíÿëàñü, êîíå÷íî, m, åãî ðàäèóñ áûë à, ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä áûë ðàâåí q, à äëèíó íèòè (ðàçóìååòñÿ, íåâåñîìîé, íåðàñòÿæèìîé, áåñêîíå÷íî òîíêîé) Ñòóäåíò âûáðàë ðàâíîé r = b/2, ãäå b – ýòî


!&

ÊÂÀÍT$ 2007/¹5

âíóòðåííèé ðàäèóñ ñåëåíîèäà (ðèñ.2). Òîãäà óðàâíåíèå äâèæåíèÿ øàðèêà â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå E è â ïîëå òÿãîòåíèÿ ñ óñêîðåíèåì g ïðèîáðåëî âèä q x ¢¢ = - g sin θ + E . m Óãîë îòêëîíåíèÿ θ ýòîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî ìàÿòíèêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ ëåãêî ñâÿçàòü ñî ñìåùåíèåì õ x . ïî îêðóæíîñòè: θ = Ðèñ. 2 b2 Êðîìå òîãî, åñëè ðàññìàòðèâàòü ìàëûå êîëåáàíèÿ (êàê è ïîëîæåíî çäðàâîìûñëÿùåìó Ñòóäåíòó, à òåì áîëåå øêîëüíèêó Îòëè÷íèêó), òî âìåñòî ñèíóñà ìîæíî (ïðèáëèæåííî) íàïèñàòü åãî àðãóìåíò (êîíå÷2x íî, â ðàäèàíàõ): sin θ = θ = . Òîãäà óðàâíåíèå êîëåáàíèé b áóäåò âûãëÿäåòü òàê: q b B0 2g x ¢¢ + x= ω sin ωt . b m2 2

2g = ω20 , ãäå Òóò åùå ìîæíî ââåñòè ïðèâû÷íîå îáîçíà÷åíèå b ω0 – ÷àñòîòà ñîáñòâåííûõ êîëåáàíèé øàðèêà. Áà! Âåäü ýòî ïðîñòî óðàâíåíèå âûíóæäåííûõ êîëåáàíèé ãàðìîíè÷åñêîãî îñöèëëÿòîðà! – âîñêëèêíóë Ñòóäåíò è íåìåäëåííî îòûñêàë åãî ðåøåíèå â âèäå x = x0 sin ωt , ò.å. òîæå ãàðìîíè÷åñêèõ êîëåáàíèé ñ ÷àñòîòîé âûíóæäàþùåé ñèëû. Ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ñèíóñà åñòü êîñèíóñ, óìíîæåííûé íà ω , à ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ êîñèíóñà, êàê óæå áûëî ñêàçàíî, ýòî ìèíóñ ñèíóñ, óìíîæåííûé íà ω . Çíà÷èò, âìåñòî óñêîðåíèÿ x¢¢ ïîÿâèòñÿ - x0ω2 sin ωt .  ðåçóëüòàòå ïîëó÷èòñÿ óðàâíåíèå äëÿ îïðåäåëåíèÿ àìïëèòóäû x0 ñìåùåíèÿ øàðèêà: q bB0 − x0 ω2 sin ωt + ω02 x0 sin ωt = ω sin ωt . m 4 À ïîñêîëüêó ýòî óðàâíåíèå äîëæíî áûòü âåðíî äëÿ ëþáîãî ìîìåíòà âðåìåíè, sin ωt ìîæíî ñîêðàòèòü, è îñòàíåòñÿ x0 =

q bB0 ω . m 4 ω20 − ω2

Íî ÷òî ýòî? Ïîëó÷èëîñü, ÷òî ïðè çíà÷åíèè ω = ω0 çíàìåíàòåëü îáðàùàåòñÿ â íîëü, à çíà÷èò, àìïëèòóäà îòêëîíåíèÿ øàðèêà óñòðåìëÿåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü (ðèñ.3; ñïëîøíûå êðèâûå). Äà âåäü ýòî ðåçîíàíñ, à ñ ðåçîíàíñîì íàäî îáðàùàòüñÿ îñòîðîæíî. Íóæíî ó÷åñòü ñèëó, òîðìîçÿùóþ äâèæåíèå øàðèêà, – ñèëó ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà. È Ñòóäåíò ñòàë èçó÷àòü ýòó ñèëó, ðîíÿÿ ìåëêèå øàðèêè èçïîä ïîòîëêà â âàííó. Íà òàêîì áîëüøîì ðàññòîÿíèè øàðèê áûñòðî óñïåâàë ïðèîáðåñòè ïîñòîÿííóþ ñêîh ðîñòü v = , êîòîðóþ t ëåãêî áûëî âû÷èñëèòü, çíàÿ âûñîòó ïîòîëêà h è çàìåðèâ ñåêóíäîìåðîì âðåìÿ ïàäåíèÿ t, à ìîìåíò ïàäåíèÿ äàæå äëÿ ñàìûõ ìåëêèõ ïûëèíîê áûë ëåãêî çàìåòåí íà ãëàäêîé ïîâåðõíîñòè âîäû.  ðåçóëüÐèñ. 3

òàòå ýòèõ èçìåðåíèé Ñòóäåíò îáíàðóæèë, ÷òî ñèëà ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà äëÿ ìåëêèõ øàðèêîâ ïðîïîðöèîíàëüíà èõ ðàäèóñó è ñêîðîñòè äâèæåíèÿ: Fñîïð = γav = γax ¢ ,

ãäå γ – êîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè. (Èíòåðåñíî, ÷òî åùå äðåâíèé Àðèñòîòåëü óêàçûâàë íà òàêóþ çàâèñèìîñòü ñèëû îò ñêîðîñòè, à â ïîçàïðîøëîì âåêå åå òî÷íî âû÷èñëèë Ñòîêñ äëÿ ñëó÷àÿ ìåäëåííîãî, «ïîëçóùåãî» äâèæåíèÿ ñôåðû â ñïëîøíîé ñðåäå.) Íàø Ñòóäåíò ïîëó÷èë çíà÷åíèå 10 −3 Í γ= äëÿ óñëîâèé, áëèçêèõ ê «íîðìàëüíûì». 3 ì⋅ì ñ  èòîãå ïðèøëîñü èñïðàâèòü óðàâíåíèå äâèæåíèÿ øàðèêà ñ ó÷åòîì íàéäåííîé ñèëû ñîïðîòèâëåíèÿ, òàê ÷òî îíî ïðèîáðåëî âèä a q bB0 x′′ + ω20 x + γ x′ = ω sin ωt , m m 4 èëè, äëÿ êðàòêîñòè çàïèñè,

x ¢¢ + ω20 x + β x ¢ = Aω sin ωt , ãäå β=γ

a q bB0 , A= . m m 4

È òóò êîí÷àåòñÿ ôèçèêà è íà÷èíàåòñÿ ìàòåìàòèêà (êîòîðàÿ, âïðî÷åì, òîæå åñòü ÷àñòü ôèçèêè – êàê ñ÷èòàþò ìíîãèå ïðèëè÷íûå ëþäè). Òåïåðü óæå íå ãîäèòñÿ èñêàòü ðåøåíèå â ïðåæíåì âèäå x = x0 sin ωt , è ÿñíî ïî÷åìó: òîãäà ÷àñòü ñëàãàåìûõ â ëåâîé ÷àñòè ïî-ïðåæíåìó áóäåò ïðîïîðöèîíàëüíà sin ωt , à âîò íîâîå ñëàãàåìîå, ñîäåðæàùåå ñêîðîñòü ñìåùåíèÿ, áóäåò ïðîïîðöèîíàëüíî cos ωt , è óðàâíåíèå íåëüçÿ áóäåò ñîêðàòèòü íè íà sin ωt , íè íà cos ωt . Ïîýòîìó ïîïðîáóåì èñêàòü ðåøåíèå â âèäå x = x0 cos ( ωt - ϕ) ,

π ãäå ϕ – òàê íàçûâàåìûé ñäâèã ôàç (âèäíî, ÷òî ïðè ϕ = 2 ïîëó÷èì ïðåæíåå ðåøåíèå). Ïîäñòàâèâ ýòó ôóíêöèþ â íàøå óðàâíåíèå, ïîëó÷èì

x0

((−ω

2

)

)

+ ω20 cos (ωt − ϕ ) − βω sin (ωt − ϕ ) = Aω sin ωt .

Ó÷òåì ñëåäóþùèå òðèãîíîìåòðè÷åñêèå ðàâåíñòâà:

cos ( ωt - ϕ) = cos ωt cos ϕ + sin ωt sin ϕ , sin ( ωt - ϕ) = sin ωt cos ϕ - cos ωt sin ϕ .

Òîãäà â ïðåäûäóùåì óðàâíåíèè âûäåëÿòñÿ äâå ãðóïïû ñëàãàåìûõ: îäíà áóäåò ñîäåðæàòü cos ωt , äðóãàÿ sin ωt . À ïîñêîëüêó ýòî óðàâíåíèå äîëæíî áûòü âåðíûì â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè, òî êîýôôèöèåíòû ïðè cos ωt è sin ωt äîëæíû áûòü ðàâíû íóëþ. Òàê ïîëó÷èì äâà óðàâíåíèÿ äëÿ íåèçâåñòíûõ x0 è ϕ :

(−ω

2

x0

((−ω

2

)

+ ω20 cos ϕ + βω sin ϕ = 0 ,

)

)

+ ω02 sin ϕ − βω cos ϕ = Aω .

Ðåøàÿ ýòè óðàâíåíèÿ, íàéäåì

tg ϕ = x0 =

ω20 − ω2 , βω Aω

2

− ω02

)

2

+ (βω)

2

.

Âèäíî, ÷òî òåïåðü àìïëèòóäà îòêëîíåíèÿ øàðèêà íå îáðàùàåòñÿ â áåñêîíå÷íîñòü íè ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ω (ñì. ðèñ.3; øòðèõîâàÿ êðèâàÿ). Íî îíà äîñòèãàåò ìàêñèìàëüíîãî


ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ

çíà÷åíèÿ ïðè ω = ω0 , è ýòî çíà÷åíèå ðàâíî x0 max =

A qbB0 = . β 4 γa

Ðåçóëüòàò îêàçàëñÿ íå çàâèñÿùèì îò ìàññû øàðèêà. Òåïåðü ïîðà ïðèñòóïàòü ê èçìåðåíèÿì. Ñòóäåíò âûáðàë øàðèê ðàäèóñîì à = 1 ìì. Íî êàêîé íàèáîëüøèé çàðÿä ìîæíî ñîîáùèòü ýòîìó øàðèêó? ßñíî, ÷òî òàêîé, ÷òîáû íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ ó åãî ïîâåðõíîñòè íå ïðåâûøàëà ïðåäåëüíî äîïóñòèìîãî äëÿ âîçäóõà çíà÷åíèÿ Emax = 3 × 106  ì . Îòñþäà

qmax = 4πε0 a2 Emax =

!'

ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ

Äàëåå, âíóòðåííèé ðàäèóñ ñîëåíîèäà áûë ðàâåí b = 0,1 ì, à íàèáîëüøàÿ àìïëèòóäà îòêëîíåíèÿ øàðèêà îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (â ðåçîíàíñå) îêàçàëàñü ðàâíîé x0 max = 0,01 ìì , îòêóäà óæå ëåãêî ïîëó÷èëîñü

B0 =

(

)

−3 −3 −5 4 γax0 max 4 ⋅ 10 3 ⋅ 10 ⋅ 10 = Òë = 0, 4 Òë . bqmax 0,1 10−9 3

(

)

Íå ìàëî, – ïîäóìàë Ñòóäåíò. – Íî íåóæåëè òàê æå òðóäåí ïóòü âñåõ âåëèêèõ ôèçèêîâ?

10 −6 ⋅ 3 ⋅ 106 10 −9 = Êë Êë . 3 9 ⋅ 109

ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ

Êâàíòîâûå ÷óäåñà Ì.ÊÀÃÀÍÎÂ

Ó

ÐÀÂÍÅÍÈÅ ØШÄÈÍÃÅÐÀ ÄÎÏÓÑÊÀÅÒ ÏÎÑÒÀÍÎÂÊÓ ÐÀÇ-

íûõ çàäà÷. Ñ íåêîòîðûìè èç íèõ âû âñòðåòèòåñü â ýòîé ñòàòüå è ñìîæåòå ïîçíàêîìèòüñÿ ñ ÿâëåíèÿìè, ñòîëü ðàçèòåëüíî îòëè÷àþùèìèñÿ îò ïîâåäåíèÿ êëàññè÷åñêèõ îáúåêòîâ, ÷òî èõ âïîëíå ìîæíî íàçâàòü êâàíòîâûìè ÷óäåñàìè. Íåò ñòåí, ÷åðåç êîòîðûå íåëüçÿ ïðîéòè

Ôðàíöóçñêèé ïèñàòåëü Ìàðñåëü Ýìå íàïèñàë ðîìàí «×åëîâåê, ïðîõîäèâøèé ñêâîçü ñòåíû». Õîðîøàÿ, èðîíè÷íàÿ, óìíàÿ êíèãà. Ðîìàí áûë ýêðàíèçèðîâàí, è ôèëüì ïîëó÷èëñÿ âïîëíå íåïëîõîé. Ïðîõîäèòü ÷åðåç ñòåíû ÷åëîâåêó ïîìîãàëà åãî âåðà â ñåáÿ. Êîãäà îí òåðÿë âåðó, ñïîñîáíîñòü èñ÷åçàëà. Âåñüìà íðàâîó÷èòåëüíî… Ìû òî÷íî çíàåì, ÷òî, íå ðàçðóøèâ ñòåíó, íè ÷åëîâåê, íè ëþáîå äðóãîå ìàêðîñêîïè÷åñêîå òåëî ïðîéòè ñêâîçü íåå íå ìîæåò. À ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ ÷àñòèöà? Íå áóäåì ñïåøèòü ñ îòâåòîì. Íà ðèñóíêå 5 èçîáðàæåíà ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà. Âíå îáëàñòè |x| < d ÷àñòèöà íàõîäèòüñÿ íå ìîæåò: ïðè |x| > d âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ψ ( x, t ) ≡ 0 . Ýòî íåèçáåæíîå ñëåäñòâèå òîãî, ÷òî U ( x ) = ∞ ïðè |x| > d. Ïî ýòîé æå ïðè÷èíå êâàíòîâàÿ ìèêðîÐèñ. 5. Áåñêîíå÷íî ãëóáîêàÿ ÷àñòèöà íå ìîæåò ïðîíèêíóòü ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà ÷åðåç áåñêîíå÷íî âûñîêèé ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð. À åñëè ïîòåíöèàëüíûé áàðüåð èìååò êîíå÷íóþ âûñîòó? Ïðîäîëæåíèå. Íà÷àëî ñì. â «Êâàíòå» ¹ 4.

Ïðè ýíåðãèè, ïðåâûøàþùåé âûñîòó áàðüåðà, ÷àñòèöà ìîæåò ïðîëåòåòü íàä íèì. Íî îáÿçàòåëüíî ëè èìåòü ýíåðãèþ, ïðåâûøàþùóþ âûñîòó áàðüåðà? È îáÿçàòåëüíî ëè ÷àñòèöà ïðîëåòèò íàä áàðüåðîì? Êâàíòîâàÿ ìåõàíèêà ìåíÿåò íàøè îáû÷íûå ïðåäñòàâëåíèÿ: ìèêðîñêîïè÷åñêàÿ ÷àñòèöà ìîæåò ïðîíèêíóòü ÷åðåç íåäîñòóïíóþ êëàññè÷åñêîé ÷àñòèöå îáëàñòü, ò.å. ïðîéòè ÷åðåç ñòåíó, à ìîæåò îòðàçèòüñÿ îò áàðüåðà äàæå òîãäà, êîãäà åå ýíåðãèÿ ïðåâûøàåò âûñîòó áàðüåðà. Âåðíåìñÿ ê ïîòåíöèàëüíîìó áàðüåðó, èçîáðàæåííîìó íà ðèñóíêå 3 (ñì. «Êâàíò» ¹4): U ( x ) = U0 > 0 ïðè |x| < d, U ( x ) = 0 ïðè |x| > d. Êëàññè÷åñêàÿ ÷àñòèöà ñ ýíåðãèåé ε < U0 , äîëåòåâ äî áàðüåðà, îòðàçèòñÿ, à ÷àñòèöà, èìåþùàÿ ýíåðãèþ ε > U0 , ñâîáîäíî ïåðåëåòèò îáëàñòü |x| < d. À êàê ïîâåäåò ñåáÿ êâàíòîâàÿ ÷àñòèöà? Íàéäåì ñîñòîÿíèÿ êâàíòîâîé ÷àñòèöû (åå ψ -ôóíêöèþ) ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ýíåðãèè ε . Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Øð¸äèíãåðà.  êâàíòîâîé ìåõàíèêå, åñëè ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ïîñòîÿííîé ñèëû, èìåÿ îïðåäåëåííóþ ýíåðãèþ, åå ñîñòîÿíèå íàçûâàþò ñòàöèîíàðíûì – íåâàæíî, ñîâåðøàåò ÷àñòèöà ôèíèòíîå èëè èíôèíèòíîå äâèæåíèå. Ýòî ñîñòîÿíèå îïèñûâàåòñÿ ñòàöèîíàðíîé âîëíîâîé ôóíêöèåé, óäîâëåòâîðÿþùåé ñòàöèîíàðíîìó óðàâíåíèþ Øð¸äèíãåðà.  ñëó÷àå ïðÿìîóãîëüíîãî ïîòåíöèàëüíîãî áàðüåðà ýòî óðàâíåíèå íà ðàçíûõ ó÷àñòêàõ îñè èìååò ðàçíûé âèä:

h 2 d2 ψ + εψ = 0 ïðè |x| > d, 2m dx2 h 2 d2 ψ + (ε − U0 ) ψ = 0 ïðè |x| < d. 2m dx2

Ñëåâà è ñïðàâà îò áàðüåðà (ïðè |x| > d) ðåøåíèÿìè óðàâíåíèÿ ÿâëÿþòñÿ äâå ïëîñêèå âîëíû exp (ike x ) è exp ( −ike x ) , âîëíîâîé âåêòîð ke = 2mε h .Îäíà âîëíà äâèæåòñÿ ê ñòóïåíüêå, à äðóãàÿ – îò íåå. Ïðè |x| < d õàðàêòåð ðåøåíèÿ çàâèñèò îò âåëè÷èíû ýíåðãèè ε . Åñëè ε > U0 , òî è â ýòîì ñëó÷àå ðåøåíèÿ ïðåäñòàâëÿþò ïëîñêèå âîëíû exp ( iki x ) è exp ( -iki x)

ñ âîëíîâûì âåêòîðîì ki = 2m (ε − U0 ) h . Åñëè ε < U0 , òî ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ñîâñåì íå ïîõîæè íà ïëîñêèå âîëíû. Ýòî exp ( ±κx ) , ãäå κ = 2m (U0 − ε ) h . Îäíà èç ôóíêöèé íà


"

ÊÂÀÍT$ 2007/¹5

ðàññòîÿíèè 1 κ âîçðàñòàåò â e ≈ 2,718281828 K ðàç, à äðóãàÿ âî ñòîëüêî æå ðàç óìåíüøàåòñÿ.1 Ñóùåñòâîâàíèå äâóõ ðåøåíèé â êàæäîé èç îáëàñòåé îçíà÷àåò, ÷òî ðåøåíèé áåñêîíå÷íî ìíîãî: ëþáàÿ ëèíåéíàÿ êîìáèíàöèÿ äâóõ ðåøåíèé òàêæå åñòü ðåøåíèå. Íåîáõîäèìî ïîíÿòü, êàêèì îáðàçîì âûáðàòü íóæíîå ðåøåíèå è êàê ñëåäóåò «ñøèâàòü» âîëíîâóþ ôóíêöèþ ïðè x = –d è ïðè x = d. Îòâåòû íà ïîñòàâëåííûå âîïðîñû äàåò ôèçè÷åñêèé ñìûñë ψ -ôóíêöèè. 2 Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ρ = ψ ( x ) íå èñ÷åçàåò, à òîëüêî ïåðåìåùàåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå ñîãëàñíî óðàâíåíèþ íåïðåðûâíîñòè. Ïëîòíîñòü ïîòîêà âåðîÿòíîñòè j ( x ) ñîäåðæèò ïðîèçâîäíûå îò ψ -ôóíêöèè ïî êîîðäèíàòå õ. Ïëîòíîñòü âåðîÿòíîñòè ρ è ïëîòíîñòü ïîòîêà j ïî ñâîåìó ñìûñëó äîëæíû áûòü íåïðåðûâíûìè ôóíêöèÿìè êîîðäèíàòû. Ïîýòîìó ïðè ñêà÷êîîáðàçíîì èçìåíåíèè ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè íà âîëíîâóþ ψ -ôóíêöèþ è íà åå ïðîèçâîäíóþ dψ dx íàäî íàëîæèòü óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè. Îòñóòñòâèå ñêà÷êîâ ó ψ è ó dψ dx è ôîðìóëèðóåò óñëîâèå «ñøèâêè» ψ -ôóíêöèè íà ðàçíûõ ó÷àñòêàõ. Òåïåðü ìîæíî îáñóäèòü âûáîð ðåøåíèé, êîòîðûé ñóùåñòâåííî çàâèñèò îò ïîñòàíîâêè çàäà÷è. Ñíà÷àëà ðàññìîòðèì ñàìûé ïðîñòîé ñëó÷àé. Ïåðåíåñåì ïðàâûé îáðûâ áàðüåðà íà +∞ , à íà÷àëî êîîðäèíàò (õ = 0) ñîâìåñòèì ñ ëåâûì îáðûâîì.  ðåçóëüòàòå ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ U ( x ) áóäåò ïðåäñòàâëÿòü ñîáîé ñòóïåíüêó âûñîòîé U0 , çàíèìàþùóþ ïîëóîñü x > > 0 (ðèñ.6). Íàøà çàäà÷à – íàéòè ñîñòîÿíèÿ êâàíòîâîé ÷àñòèöû ïðè ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèÿõ ýíåðãèè ε , äëÿ ÷åãî íåîáõîäèìî íàéòè ðåøåíèÿ óðàâíåíèé Øð¸äèíãåðà ïðè x > 0 è ïðè x < 0, ò.å. íà äâóõ ïîëóîñÿõ. Ýòè óðàâíåíèÿ èìåþò òîò æå ñàìûé âèä, êàê è â ñëó÷àå ïðÿìîóãîëüíîãî áàðüåðà ïðè |x| > d è |x| < d. Ïóñòü 0 < ε < U0 . Ñëåâà îò ñòóïåíüêè (ïðè x < 0) ðåøåíèÿ Ðèñ. 6. Ñòóïåíüêà óðàâíåíèÿ – ýòî äâå âîëíû exp ( ikx ) è exp  -ikx  , âîëíîâîé âåêòîð k = 2mε h . Îäíà âîëíà äâèæåòñÿ ê ñòóïåíüêå, à äðóãàÿ – îò íåå. Êàê íè ñòðàííî, õîòÿ ýíåðãèÿ ÷àñòèöû ε ìåíüøå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè U0 , íåò ôîðìàëüíûõ ñîîáðàæåíèé, ïîçâîëÿþùèõ ñ÷èòàòü, ÷òî ψ ( x ) ≡ 0 ïðè x > 0. Ìû óæå îòìå÷àëè, ÷òî ðåøåíèÿ ñîâñåì íå ïîõîæè íà ïëîñêèå âîëíû. Ýòî exp ( ±κx ) , ãäå κ = 2m (U0 − ε ) h . Ðåøåíèå, ýêñïîíåíöèàëüíî ðàñòóùåå ñ ðîñòîì êîîðäèíàòû, çàâåäîìî, íå ïîäõîäèò: íà ëþáîì äàæå ìàëåíüêîì èíòåðâàëå, äîñòàòî÷íî óäàëåííîì îò ñòóïåíüêè (ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ êîîðäèíàòû õ, âåäü x → ∞ ), âåðîÿòíîñòü îáíàðóæèòü ÷àñòèöó ïðåâûñèò åäèíèöó, ÷åãî áûòü íå ìîæåò. Ãîäèòñÿ òîëüêî çàòóõàþùåå ñ ðîñòîì õ ðåøåíèå: ψ ( x ) = b exp ( −κx ) ïðè x > 0 è ε < U0 .

Äâèæóùàÿñÿ ñëåâà ê ñòóïåíüêå ÷àñòèöà îïèñûâàåòñÿ âîëíîâîé ôóíêöèåé exp (ikx ) . Èíòóèöèÿ ïîäñêàçûâàåò, ÷òî ÷àñòèöà ìîæåò (ñêîðåå, äàæå äîëæíà) îòðàçèòüñÿ îò ñòóïåíüêè, âåäü åå ýíåðãèÿ ïî ïðåäïîëîæåíèþ ìåíüøå âûñîòû ñòóïåíüêè. Çíà÷èò, ψ -ôóíêöèÿ – ñóììà ïàäàþùåé âîëíû è 1 Ïðèâåë çíà÷åíèå ÷èñëà å ñ òî÷íîñòüþ äî 9-ãî çíàêà ïîñëå çàïÿòîé, ÷òîáû ïîäåëèòüñÿ ñ ÷èòàòåëÿìè ìíåìîíè÷åñêèì ïðàâèëîì äëÿ çàïîìèíàíèÿ ýòîãî ÷èñëà. ×èñëî 2,7 íàäî çíàòü, à äàëüøå – äâàæäû ãîä ðîæäåíèÿ Ëüâà Íèêîëàåâè÷à Òîëñòîãî. Åñëè êîìóòî ýòî ïðàâèëî ïîìîæåò çàïîìíèòü ãîä ðîæäåíèÿ Òîëñòîãî – òîæå íåïëîõî.

âîëíû îòðàæåííîé, ò.å. ψ ( x ) = exp (ikx ) + a exp ( −ikx ) ïðè x < 0.

Ïîñòîÿííûå ìíîæèòåëè à è b íàäî íàéòè èç óñëîâèé «ñøèâêè» (êîýôôèöèåíò ïðè ýêñïîíåíòå ó âîëíû, ïàäàþùåé íà ñòóïåíüêó, âûáðàí ðàâíûì åäèíèöå äëÿ óäîáñòâà, ôèçè÷åñêèé ñìûñë èìååò êâàäðàò îòíîøåíèÿ àìïëèòóä ïàäàþùåé è îòðàæåííîé âîëí). Ýòè óñëîâèÿ (îòñóòñòâèå ñêà÷êîâ ó ψ è ó dψ dx ïðè õ = 0) ïðèâîäÿò ê ñèñòåìå óðàâíåíèé

1 + a = b, ik (1 − a ) = −κb . Îòñþäà

a=

1 − iκ k 1 − i (U0 − ε ) ε = 1 + iκ k 1 + i (U − ε ) ε , 0 b=

2

1 + i (U0 − ε ) ε

.

Ïî ïðèíÿòîé â êâàíòîâîé ìåõàíèêå òðàêòîâêå ïîëó÷åííîãî ðåçóëüòàòà âåëè÷èíà R = a 2 – ýòî êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ, ò.å. îòíîøåíèå ïëîòíîñòè ïîòîêà âåðîÿòíîñòè, íàïðàâëåííîãî îò ñòóïåíüêè, ê ïëîòíîñòè ïîòîêà, íàïðàâëåííîãî ê ñòóïåíüêå. À åñëè âñïîìíèòü, ÷òî ñðàâíåíèå ïîëó÷åííûõ òåîðåòè÷åñêèõ ôîðìóë ñ ýêñïåðèìåíòîì òðåáóåò àíñàìáëÿ òîæäåñòâåííûõ ÷àñòèö â îäèíàêîâûõ óñëîâèÿõ, òî ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ R åñòü îòíîøåíèå ïëîòíîñòè ïîòîêà ÷àñòèö, îòðàæåííûõ îò ñòóïåíüêè, ê ïëîòíîñòè ïîòîêà ÷àñòèö, äâèãàþùèõñÿ ñëåâà íàïðàâî ê ñòóïåíüêå. Íà ïåðâûé âçãëÿä ïîëó÷èëîñü íå÷òî ñòðàííîå. Êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ îò ñòóïåíüêè R = 1, òàê êàê ìíîæèòåëü à ðàâåí îòíîøåíèþ êîìïëåêñíî ñîïðÿæåííûõ âåëè÷èí. À â òî æå âðåìÿ b ≠ 0 , çíà÷èò, âåðîÿòíîñòü îáíàðóæèòü ÷àñòèöó ïðàâåå ñòóïåíüêè îòëè÷íà îò íóëÿ. ×òî-òî òóò íå òàê? Íåò, âñå ïðàâèëüíî. Îøèáêè íåò. Îòñóòñòâèå ïðîòèâîðå÷èÿ ïîäòâåðæäàåòñÿ òåì, ÷òî ïëîòíîñòü ïîòîêà âåðîÿòíîñòè j = 0 ïðè x ³ 0 . Óáåäèòåñü â ýòîì. ßñíî, ÷òî ïðîíèêíîâåíèå ÷àñòèö â îáëàñòü, ãäå ïîëíàÿ ýíåðãèÿ ìåíüøå ïîòåíöèàëüíîé, ñóãóáî êâàíòîâîå ÿâëåíèå – ïðîÿâëåíèå âîëíîâûõ ñâîéñòâ ìèêðîñêîïè÷åñêèõ ÷àñòèö. Òåïåðü ðàññìîòðèì ÷àñòèöó, ëåòÿùóþ ê ñòóïåíüêå ïîïðåæíåìó ñëåâà, íî ñ ýíåðãèåé ε > U0 . Êëàññè÷åñêàÿ ÷àñòèöà, çàìåäëèâ ñâîé ïîëåò, áåñïðåïÿòñòâåííî ïðåîäîëååò ñòóïåíüêó. Ïîñìîòðèì, ÷òî ïðîèçîéäåò ñ êâàíòîâîé ÷àñòèöåé. È ïðè x > 0, è ïðè x < 0 óðàâíåíèÿ Øð¸äèíãåðà èìåþò ðåøåíèÿ â âèäå ïëîñêèõ âîëí, ïðàâäà ñ ðàçíûìè âîëíîâûìè âåêòîðàìè. Íà êàæäîé èç ïîëóîñåé åñòü ïî äâå âîëíû, ðàñïðîñòðàíÿþùèåñÿ â ïðîòèâîïîëîæíûå ñòîðîíû. Îäíàêî íåò íèêàêèõ îñíîâàíèé ñ÷èòàòü, ÷òî ñïðàâà îò ñòóïåíüêè åñòü âîëíà, ðàñïðîñòðàíÿþùàÿñÿ ñïðàâà íàëåâî. Ýòî îçíà÷àëî áû, ÷òî áåãóùàÿ íàïðàâî âîëíà îò ÷åãî-òî îòðàçèëàñü. Íå îò ÷åãî. À åñòü ëè áåãóùàÿ íàëåâî âîëíà ïðè x < 0, ïîêàæåò óñëîâèå «ñøèâêè». Èòàê, ïðè ε > U0

ψ ( x ) = exp (ik1x ) + a exp ( −ik1x ) , k1 = 2mε h ïðè x < 0, ψ ( x ) = b exp (ik2 x ) , k2 = 2m (ε − U0 ) h ïðè x > 0. Èç óñëîâèé «ñøèâêè» íåìåäëåííî íàõîäèì çíà÷åíèÿ àìïëèòóä à è b. Äà, a ¹ 0 . Çíà÷èò, îòëè÷åí îò íóëÿ è êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ R=

(k1 − k2 )2 (k1 + k2 )2

.

Êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ R ìåíüøå åäèíèöû, à êîýôôèöè-


ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ

åíò ïðîõîæäåíèÿ ðàâåí D = 1 – R. Ëþáîïûòíî, ÷òî R íå çàâèñèò îò íàïðàâëåíèÿ ïîëåòà ÷àñòèöû. Êâàíòîâàÿ ÷àñòèöà ñ ýíåðãèåé ε > U0 , îòêóäà áû îíà íè ëåòåëà, îòðàæàåòñÿ îò ñòóïåíüêè ñ îäíîé è òîé æå âåðîÿòíîñòüþ. Îáðàòèòå âíèìàíèå: D ≠ b 2 , è ïîïûòàéòåñü îáúÿñíèòü, ïî÷åìó. Ñ ðîñòîì ýíåðãèè ε êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ R óìåíüøàåòñÿ è ïðè ñòðåìëåíèè ε ê áåñêîíå÷íîñòè ñòðåìèòñÿ ê íóëþ. Ïî êàêîìó çàêîíó R îáðàùàåòñÿ â íîëü, âû ëåãêî îïðåäåëèòå ñàìîñòîÿòåëüíî. Ïðè ε = U0 êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ R îáðàùàåòñÿ â åäèíèöó è, êàê ìû çíàåì, îñòàåòñÿ ðàâíûì åäèíèöå ïðè ëþáîì çíà÷åíèè ýíåðãèè ε < U0 . Èòàê, êâàíòîâàÿ ÷àñòèöà ìîæåò ïðîíèêàòü â îáëàñòü, ãäå ε < U0 , è îòðàæàåòñÿ îò ñòóïåíüêè, äàæå åñëè ε > U0 . À ÷òî ïðîèçîéäåò, åñëè íà ïóòè ÷àñòèöû ñòåíà – áàðüåð êîíå÷íîé âûñîòû è êîíå÷íîé øèðèíû? Äëÿ îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ íàäî âåðíóòüñÿ ê çàäà÷å ñ ïðÿìîóãîëüíûì ïîòåíöèàëüíûì áàðüåðîì. Ìû óæå ïîíèìàåì, ÷òî ïðè x < –d âîëíîâàÿ ôóíêöèÿ ÷àñòèöû – ýòî ñóììà äâóõ âîëí, ïàäàþùåé è îòðàæåííîé. Àìïëèòóäó ïàäàþùåé âîëíû ñíîâà ïðèìåì ðàâíîé åäèíèöå, à àìïëèòóäó îòðàæåííîé âîëíû ïî òðàäèöèè îáîçíà÷èì áóêâîé à. Èõ âîëíîâûå âåêòîðû ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó, à ïî ìîäóëþ ðàâíû k = 2mε h . Çà áàðüåðîì (ïðè x > d) åñòü òîëüêî îäíà âîëíà ñ òåì æå âîëíîâûì âåêòîðîì: ψ = f exp ikx  ïðè x > d.

Âíå çàâèñèìîñòè îò ñîîòíîøåíèÿ ìåæäó ε è U0 íåò íèêàêèõ îñíîâàíèé â îáëàñòè |x| < d îòáðàñûâàòü íè ýêñïîíåíöèàëüíî âîçðàñòàþùåå ðåøåíèå ïðè ε < U0 , íè âîëíó, áåãóùóþ ñïðàâà íàëåâî ñ äåéñòâèòåëüíûì âîëíîâûì âåêòîðîì k1 . Òàê ÷òî ïðè |x| < d

ψ = b1 exp ( κx ) + b2 exp ( - κx ) , κ = 2m (U0 - ε) h , ε < U0 , ψ = b1 exp ( ik1x ) + b2 exp ( -ik1x ) ,

k1 = 2m ( ε - U0 ) h , ε > U0 .

Çäåñü b1 , b2 è f – àìïëèòóäû. Çàäà÷à ñâåëàñü ê èõ îïðåäåëåíèþ. Äëÿ ýòîãî ñëóæàò ÷åòûðå óñëîâèÿ «ñøèâêè»: íà êàæäîì ñêà÷êå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè äîëæíû áûòü íåïðåðûâíû ψ è dψ dx . Ïîñëå ïðîñòîãî ðàñ÷åòà (î÷åíü ñîâåòóþ åãî ïðîäåëàòü!) ìîæíî ïîëó÷èòü äâà âûðàæåíèÿ äëÿ êîýôôèöèåíòà ïðîõîæäåíèÿ D = f 2 è êîýôôèöèåíòà îòðàæåíèÿ R = a 2 = 1 - D : êîãäà ýíåðãèÿ ÷àñòèöû ìåíüøå âûñîòû áàðüåðà (ïðè ε < U0 ) è ÷àñòèöà ëåòèò ñêâîçü áàðüåð è êîãäà ÷àñòèöà ëåòèò íàä áàðüåðîì ïðè ýíåðãèè áîëüøå âûñîòû áàðüåðà (ïðè ε > U0 ). Ïðè ε = U0 êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ D îáðàùàåòñÿ â åäèíèöó, ÷òî âïîëíå åñòåñòâåííî, òàê êàê âîëíà áåñïðåïÿòñòâåííî ïðîõîäèò îáëàñòü áàðüåðà. Çàìåòèì, ÷òî ïðè ñòðåìëåíèè ε ê U0 ñî ñòîðîíû áóëüøèõ ýíåðãèé êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ D òîæå ñòðåìèòñÿ ê åäèíèöå. Âåäü ïðè ε = U0 è äëèíà âîëíû äå Áðîéëÿ 2π k1 ® ¥ . Íî D = 1 íå òîëüêî ïðè ε = U0 , êîãäà k1 = 0 . Åñëè 2k1d = νπ , ãäå ν = 1,2,3 è ò.ä. – öåëûå ÷èñëà, ò.å. íà øèðèíå áàðüåðà 2d óêëàäûâàåòñÿ öåëîå ÷èñëî ïîëóâîëí, òî è òîãäà D = 1. Âî âñåõ ñëó÷àÿõ, êðîìå ïåðå÷èñëåííûõ, êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ D < 1, à êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ R ¹ 0 . Íàäî îòìåòèòü åùå îäèí ôàêò. ×åì ýíåðãèÿ ÷àñòèöû ε ìåíüøå (ðå÷ü èäåò î ñðàâíåíèè ñ U0 ), òåì êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ ÷åðåç áàðüåð ìåíüøå. Åñëè κd ³ 1 , òî êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ ýêñïîíåíöèàëüíî ìàë. Òàêèì îáðàçîì, ìû óáåäèëèñü, ÷òî íåïðîíèöàåìûõ ñòåí íåò. ×åì ýíåðãèÿ ÷àñòèöû áîëüøå, äàæå ïðè ε < U0 , òåì êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ D áëèæå ê åäèíèöå, à êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ R – ê íóëþ. È âñå æå, íåñîìíåííî, îïèñàííûå

ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ

"

ñâîéñòâà ìîæíî îòíåñòè ê êâàíòîâûì ÷óäåñàì. Õîòÿ áû ïîòîìó, ÷òî óñòàíàâëèâàþòñÿ îíè ïðè èçó÷åíèè äâèæåíèÿ îòäåëüíîé ÷àñòèöû, òàê íåïîõîæåé íà âîëíó. È îáíàðóæèòü ïðîíèöàåìîñòü áàðüåðà ìîæíî, íàáëþäàÿ çà îäíîé ÷àñòèöåé. Íî äëÿ ñðàâíåíèÿ êîëè÷åñòâåííûõ ïðåäñêàçàíèé òåîðèè ñ ýêñïåðèìåíòîì íåîáõîäèìî èññëåäîâàòü ïîâåäåíèå ìíîãèõ ÷àñòèö. Òóííåëü, êîòîðûé íå íàäî ïðîêëàäûâàòü

Ïðîõîæäåíèå ìèêðîñêîïè÷åñêîé ÷àñòèöåé íåäîñòóïíîé ïî çàêîíàì êëàññè÷åñêîé ìåõàíèêè îáëàñòè ïîëó÷èëî íàçâàíèå òóííåëüíîãî ýôôåêòà. Òóííåëüíûé ýôôåêò âñòðå÷àåòñÿ íåðåäêî è èãðàåò âàæíóþ ðîëü. Òîëüêî óïîìÿíåì: ðàäèîàêòèâíûé α -ðàñïàä – òèïè÷íûé ïðèìåð òóííåëüíîãî ýôôåêòà, èñòî÷íèêè òåðìîÿäåðíîé ýíåðãèè çâåçä è íàøåãî Ñîëíöà íå ñóùåñòâîâàëè áû, íå áóäü òóííåëüíîãî ýôôåêòà; ìíîãèå õèìè÷åñêèå ðåàêöèè, ïðîèñõîäÿùèå â æèâûõ îðãàíèçìàõ, ìîãóò îñóùåñòâëÿòüñÿ áëàãîäàðÿ òóííåëüíûì ïåðåõîäàì ýëåêòðîíà èç ìîëåêóëû â ìîëåêóëó; íàêîíåö, íåêîòîðûå ñîâðåìåííûå ïðèáîðû ñîäåðæàò òóííåëüíûé äèîä, ïîëó÷èâøèé ñâîå íàçâàíèå ïî òóííåëüíîìó ýôôåêòó, íà êîòîðîì îñíîâàí. Òóííåëüíûé ýôôåêò îáû÷íî õàðàêòåðèçóåòñÿ êîýôôèöèåíòîì ïðîõîæäåíèÿ íåäîñòóïíîé äëÿ êëàññè÷åñêîé ÷àñòèöû îáëàñòè, íî íå âñåãäà ïîñòàíîâêà çàäà÷è òàêàÿ, êàê ìû ðàññìîòðåëè. Ïðè ðàñïàäå ñëîæíîãî îáðàçîâàíèÿ, íàïðèìåð àòîìíîãî ÿäðà, êîãäà α -÷àñòèöà ïîêèäàåò ÿäðî áëàãîäàðÿ òóííåëüíîìó ýôôåêòó, çàäà÷à ñîñòîèò â âû÷èñëåíèè âðåìåíè æèçíè èñõîäíîãî, ñîñòàâíîãî ñîñòîÿíèÿ – òîãî, ÷òî áûëî äî ðàäèîàêòèâíîãî ðàñïàäà. Îáû÷íî âû÷èñëÿþò âðåìÿ ïîëóðàñïàäà – âðåìÿ, çà êîòîðîå ïîëîâèíà âñåõ àòîìîâ èëè ÿäåð ðàñïàäåòñÿ. Ìû îáðàùàëè âíèìàíèå íà òî, ÷òî êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ D òåì áîëüøå, ÷åì áëèæå ýíåðãèÿ ε íàëåòàþùåé ÷àñòèöû ê âûñîòå áàðüåðà U0 . ×åì áîëüøå ýíåðãèÿ òîãî ñîñòîÿíèÿ, êîòîðîå çàíèìàåò ÷àñòèöà â ñâÿçàííîì ñîñòîÿíèè, òåì âðåìÿ ïîëóðàñïàäà ìåíüøå (ðèñ.7). Ïðèâåäåì åùå îäèí Ðèñ. 7. Âðåìÿ ïîëóðàñïàäà è ýíåðãèÿ ïðèìåð ïðîÿâëåíèÿ ÷àñòèöû òóííåëüíîãî ýôôåêòà. Íà ðèñóíêå 8 èçîáðàæåíà äîâîëüíî ñëîæíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ÿìà. Ñêîðåå, äâå ÿìû, ðàçäåëåííûå ìåæäó ñîáîé áàðüåðîì. Åñëè áû áàðüåð áûë áåñêîíå÷íî âûñîêèì, òî â êàæäîé èç ÿì áûëà áû ñâîÿ ñèñòåìà ýíåðãåòè÷åñêèõ óðîâíåé. Òàê êàê ÿìû îäèíàêîâû, òî è ñèñòåìû óðîâíåé â ÿìàõ áûëè áû òîæäåñòâåííû. Ñêàçàâ, ÷òî ÷àñòèöà èìååò òàêóþ-òî ýíåðãèþ, ìû íå çíàëè áû, â êàêîé ÿìå ÷àñòèöà íàõîäèòñÿ. Î òàêîé ñèòóàöèè ãîâîðÿò, ÷òî èìååò ìåñòî âûðîæäåíèå: äâà ðàçíûõ ñîñòîÿíèÿ èìåþò îäèíàêîâûå ýíåð- Ðèñ. 8. Äâå ÿìû, ñâÿçàííûå ãèè. Îäíî ñîñòîÿíèå ïðèíàä- òóííåëüíûì ýôôåêòîì ëåæèò ëåâîé ÿìå, äðóãîå – ïðàâîé. ×åðåç áåñêîíå÷íî âûñîêèé áàðüåð ÷àñòèöà ïåðåìåùàòüñÿ íå ìîæåò, íî ÷åðåç áàðüåð êîíå÷íîé âûñîòû, áëàãîäàðÿ òóííåëüíîìó ýôôåêòó, ìîæåò. Åñëè áàðüåð íå ñëèøêîì óçêèé, òî êîýôôèöèåíò ïðîõîæäåíèÿ ìàë. À êàê ñïîñîáíîñòü


"

ÊÂÀÍT$ 2007/¹5

÷àñòèöû ïåðåìåùàòüñÿ èç îäíîé ÿìû â äðóãóþ èçìåíèò ýíåðãåòè÷åñêèé ñïåêòð ÷àñòèöû â ÿìàõ? Îòâåò áóäåò íåòðèâèàëüíûì. Ìû õîòèì íå òîëüêî ñôîðìóëèðîâàòü îòâåò, íî è ïîêàçàòü, êàê ïîäîáíàÿ çàäà÷à ðåøàåòñÿ, äëÿ ÷åãî è ðàññìîòðèì äâå ÿìû ïðÿìîóãîëüíîé ôîðìû, ðàçäåëåííûå ïðÿìîóãîëüíûì áàðüåðîì. Êàê è áàðüåðû, êîòîðûå ìû ðàññìîòðåëè ðàíåå, ïðÿìîóãîëüíûé áàðüåð ñ ïðÿìîóãîëüíûìè ãðàíèöàìè, áåç ñîìíåíèÿ, óïðîùåííàÿ ìîäåëü, íî äëÿ îïèñàíèÿ èíòåðåñóþùåãî íàñ ÿâëåíèÿ îíà âïîëíå ïðèãîäíà. Èòàê, ìû äîëæíû íàéòè ðåøåíèå ñòàöèîíàðíîãî óðàâíåíèÿ Øð¸äèíãåðà ñ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèåé U = U ( x ) , èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 8.  öåëÿõ ïðîñòîòû âûñîòà áàðüåðà ïðèðàâíåíà ãëóáèíå ÿì. Ôóíêöèÿ U = U ( x ) , à òåì ñàìûì è óðàâíåíèå Øð¸äèíãåðà, îáëàäàåò ñèììåòðèåé ïðè çàìåíå õ íà –õ. Óðàâíåíèå èíâàðèàíòíî (íåèçìåííî) ïðè òàêîé çàìåíå. Ñèììåòðèÿ óðàâíåíèÿ Øð¸äèíãåðà ïîçâîëÿåò åãî ðåøåíèÿ ðàçäåëèòü íà äâà êëàññà: íà ñèììåòðè÷íûå, äëÿ êîòîðûõ ψ s ( x ) = ψ s ( − x ) , è àíòèñèììåòðè÷íûå, äëÿ êîòîðûõ ψa ( x ) = −ψa ( − x ) .2 Óðàâíåíèå Øð¸äèíãåðà èìååò ðàçëè÷íûé âèä â çàâèñèìîñòè îò òîãî, êàêîìó èíòåðâàëó ïðèíàäëåæèò êîîðäèíàòà õ. Íàñ áóäóò èíòåðåñîâàòü ñîñòîÿíèÿ ñ ýíåðãèåé 0 < ε < U0 . Íà ðàçíûõ èíòåðâàëàõ óðàâíåíèÿ ðàçíûå:

Êàê ìû îòìåòèëè, ψ -ôóíêöèÿ ìîæåò áûòü ëèáî ñèììåòðè÷íîé, ëèáî àíòèñèììåòðè÷íîé. Âûáðàâ äëÿ ψ -ôóíêöèè s- èëè à-ðåøåíèå, äîñòàòî÷íî âûïèñàòü çàâèñèìîñòü ëèáî ïðè x > 0, ëèáî ïðè x < 0. Îãðàíè÷èìñÿ ïðàâîé ïîëóîñüþ (çíà÷åíèå ψ ôóíêöèè íà ëåâîé ïîëóîñè îïðåäåëÿåòñÿ ñèììåòðèåé):

ψ s ( x ) = A ch κx ïðè x < b, ψa ( x ) = A sh κx ïðè x < b, ψ s,a ( x ) = B exp (ikx ) + C exp ( −ikx ) ïðè b < x < a,

ψ s,a ( x ) = D exp ( −κx ) ïðè x > a.

h 2 d2 ψ − (U0 − ε ) ψ = 0 ïðè x < b è x > a . 2m dx2

Çäåñü κ = 2m (U0 − ε ) h , k = 2mε h , à 0 < ε < U0 . Òðåáîâàíèÿ íåïðåðûâíîñòè ψ -ôóíêöèè è åå ïðîèçâîäíîé ïî êîîðäèíàòå íà ãðàíèöàõ èíòåðâàëîâ ôîðìóëèðóþò ÷åòûðå óðàâíåíèÿ äëÿ ÷åòûðåõ íåèçâåñòíûõ À, Â, Ñ è D, ó êîòîðûõ ìû îïóñòèëè èíäåêñû s è à, õîòÿ èõ çíà÷åíèÿ äëÿ ñèììåòðè÷íîé è àíòèñèììåòðè÷íîé ψ -ôóíêöèé ðàçëè÷íû. Óñëîâèåì ðàçðåøèìîñòè êàæäîé èç ñèñòåì óðàâíåíèé ñëóæèò äèñïåðñèîííîå óðàâíåíèå, ïîçâîëÿþùåå íàéòè ðàçðåøåííûå óðîâíè ýíåðãèè. Îíî âûâîäèòñÿ ïóòåì èñêëþ÷åíèÿ âñåõ ÷åòûðåõ ïîñòîÿííûõ. Ïðè U0 → ∞ , êîãäà äâå ÿìû íå ñâÿçàíû äðóã ñ äðóãîì, äèñïåðñèîííûå óðàâíåíèÿ ñîâïàäàþò, Ðèñ. 9. Ðàñùåïëåíèå óðîâíåé ýíåðãèè ÷àñ÷òî è ñîîòâåòñòâóåò âûðîæäåíèþ: óðîâ- òèöû íè ýíåðãèè äâàæäû âûðîæäåíû

2 Ñ òåì ÷òî ó ñèììåòðè÷íîé çàäà÷è ìîæåò áûòü àíòèñèììåòðè÷íîå ðåøåíèå, ìû óæå âñòðåòèëèñü ïðè âû÷èñëåíèè óðîâíåé ýíåðãèè ÷àñòèöû â áåñêîíå÷íî ãëóáîêîé ïîòåíöèàëüíîé ÿìå. Âîïðîñ î ñèììåòðèè ðåøåíèé ôèçè÷åñêèõ çàäà÷ î÷åíü èíòåðåñåí. Âñïîìíèòå, ÷òî ïðè ñôåðè÷åñêîé ñèììåòðèè ñèëû âñåìèðíîãî ïðèòÿæåíèÿ âñå ïëàíåòû äâèæóòñÿ ïî ýëëèïñàì. Ê ñîæàëåíèþ, âîïðîñ ýòîò âûõîäèò çà ïðåäåëû òåìû íàøåé ñòàòüè.

U0 ? h2 2m (a − b ) , òî ε0s − ε0a = ε0s,a – óðîâíè ýíåðãèè ðàñùåïëÿþòñÿ íà áëèçêî ðàñïîëîæåííûå ïàðû (ðèñ.9). Ñ ðîñòîì ýíåðãèè ðàñòåò è ðàññòîÿíèå ìåæäó óðîâíÿìè â ïàðå.

h 2 d2 ψ + εψ = 0 ïðè a > x > b , 2m dx2

( ε0s = ε0a ). Ïðè êîíå÷íîì çíà÷åíèè U0 ýíåðãèè s- è à-óðîâíè ðàçëè÷àþòñÿ, è âûðîæäåíèå ëèêâèäèðóåòñÿ. Åñëè

(

2

)

ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ

Äâèæåíèå çàðÿäà â ìàãíèòíîì ïîëå Â.ÄÐÎÇÄÎÂ

Â

ÅÑÜÌÀ ÂÛÑÎÊÀ ÂÅÐÎßÒÍÎÑÒÜ ÒÎÃÎ, ×ÒÎ ÏÐÈ ÒÎÌ

èëè èíîì âèäå êîíêóðñíîãî èñïûòàíèÿ àáèòóðèåíò âñòðåòèòñÿ ñ çàäà÷åé, ñþæåòîì êîòîðîé áóäåò äâèæåíèå òî÷å÷íîãî çàðÿäà â ìàãíèòíîì ïîëå. ×òîáû ðåøèòü òàêóþ çàäà÷ó, êðîìå ñâîéñòâ ìàãíèòíîãî ïîëÿ íàäî çíàòü è äèíàìèêó. À â íåêîòî-

ðûõ çàäà÷àõ ìîæåò äîïîëíèòåëüíî ïðèñóòñòâîâàòü åùå è ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå. Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷è íà äâèæåíèå çàðÿäà îõâàòûâàþò îáøèðíûé ôèçè÷åñêèé ìàòåðèàë è ÿâëÿþòñÿ ýôôåêòèâíûì ñðåäñòâîì ïðîâåðêè çíàíèé àáèòóðèåíòà. Íà÷íåì ñ äâóõ çàäà÷, ðåøåíèå (à íå îòâåòû!) êîòîðûõ íóæíî îñîáåííî õîðîøî ïîíÿòü è çàïîìíèòü. ur Çàäà÷à 1.  îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé B , r ÷àñòèöå ìàññîé m è çàðÿäîì q ñîîáùàþò ñêîðîñòü v , íàïðàâëåííóþ ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèíèÿì ìàãíèòíîé èíäóêöèè. Îïðåäåëèòå, êàê áóäåò äâèãàòüñÿ ýòà ÷àñòèöà â ìàãíèòíîì ïîëå. Íà çàðÿä ur äåéñòâóåò ñèëà Ëîðåíöà FË , íàïðàâëåíèå êîòîðîé îïðåäåëÿåì ïî ïðàâèëó ëåâîé ðóêè (ðèñ.1). Îíà ïîñòîÿííà ïî ìîäóëþ: FË = qvB è âñåãäà ïåðïåíäèêóëÿðíà ñêîðîñòè ÷àñòèur r öû: FË ⊥ v . Çíà÷èò, è óñur r F êîðåíèå ÷àñòèöû a = Ë m òîæå ïîñòîÿííî ïî ìîäóëþ è â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè Ðèñ. 1


ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ

äâèæåíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðíî ñêîðîñòè. Èç ìåõàíèêè èçâåñòíî, ÷òî åñëè òî÷êà äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè, òî èìåííî òàê è áóäåò. À âåðíî ëè îáðàòíîå óòâåðæäåíèå? Äà, íî äîêàçûâàòü åãî ìû íå áóäåì, à ê ñâåäåíèþ ïðèìåì. Èòàê, ÷àñòèöà äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè, ñèëà Ëîðåíöà ñîîáùàåò ÷àñòèöå öåíòðîñòðåìèòåëüíîå óñêîðåíèå: mv2 = qvB , R çíà÷èò, èñêîìûé ðàäèóñ îêðóæíîñòè ðàâåí mv R= , qB à ïåðèîä îáðàùåíèÿ ÷àñòèöû ñîñòàâëÿåò T=

2 πR 2 πm = . v qB

Âàæíî îòìåòèòü, ÷òî ïåðèîä Ò íå çàâèñèò îò ñêîðîñòè ÷àñòèöû v. ur B Çàäà÷à 2.  îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé r âëåòàåò ñî ñêîðîñòüþ v ÷àñòèöà ìàññîé m è çàðÿäîì q. r Óãîë ìåæäó âåêòîðîì ñêîðîñòè v è âåêòîðîì ìàãíèòíîé ur èíäóêöèè B ðàâåí α . Êàê áóäåò äâèãàòüñÿ ÷àñòèöà â ìàãíèòíîì ïîëå? Ðàññìîòðèì ïðåäâàðèòåëüíî ñëó÷àé α = 0 . Ïðè ýòîì ñèëà Ëîðåíöà ðàâíà íóëþ, ñëåäîâàòåëüíî, çàðÿä áóäåò äâèãàòüñÿ r ïðÿìîëèíåéíî ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v , ò.å. ïî èíåðöèè. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî âàðèàíò ïðîèçâîëüíîãî óãëà α ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé êîìáèíàöèþ äâóõ ÷àñòíûõ ñëó÷àåâ: α1 = 90° è α2 = 0 . ur r r v B è ^ íà äâå ñîñòàâëÿþùèå: Ðàçëîæèì âåêòîð v 1 ur r r r r v2 P B , ïðè ýòîì v = v1 + v2 (ðèñ.2). Èíòóèòèâíî ÿñíî, ÷òî ÷àñòèöà áóäåò ñîâåðøàòü âðàùàòåëüíîå äâèæåíèå ñî ñêîðîñòüþ v1 ïî ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà, ðàâíîìåðíî ïåðåìåùàÿñü ñî ñêîðîñòüþ v2 âäîëü åãî îáðàçóþùåé. Ðàäèóñ öèëèíäðà R îïðåäåëÿåòñÿ ïî àíàëîãèè ñ çàäà÷åé 1 èç óðàâíåíèÿ mv12 = qv1B R Ðèñ. 2 (ñèëà Ëîðåíöà äåéñòâór åò òîëüêî íà ñîñòàâëÿþùóþ ñêîðîñòè v1 ): mv1 mv sin α = R= . qB qB

Ïåðèîä îáðàùåíèÿ ÷àñòèöû T=

2πR 2πm = v1 qB

– òàêîé æå, êàê è â ïåðâîé çàäà÷å. Îí íå çàâèñèò íå òîëüêî îò ìîäóëÿ ñêîðîñòè, íî è îò åå íàïðàâëåíèÿ, îïðåäåëÿåìîãî óãëîì α . Òðàåêòîðèåé çàðÿäà áóäåò âèíòîâàÿ ëèíèÿ, «íàâèòàÿ» íà öèëèíäð. Åå øà㠖 ýòî ðàññòîÿíèå, ïðîõîäèìîå âäîëü îáðàçóþùåé çà îäèí îáîðîò: h = v2T =

2πmv cos α . qB

Ïðèâåäåííîå ðåøåíèå íå âïîëíå ñòðîãîå, íî âïîëíå ïðèåìëåìîå. Òåïåðü ðåøèì åùå íåñêîëüêî çàäà÷ íà äâèæåíèå çàðÿäà â ìàãíèòíîì ïîëå.

"!

ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ

Çàäà÷à 3. Ýëåêòðîí âëåòàåò â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêur öèåé B .  òî÷êå À îí r èìååò ñêîðîñòü v , êîòîðàÿ ñîñòàâëÿåò ñ íàïðàâëåíèåì ïîëÿ óãîë α (ðèñ.3). Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ èíäóêöèè ìàã- Ðèñ. 3 íèòíîãî ïîëÿ ýëåêòðîí îêàæåòñÿ â òî÷êå Á? Ðàññòîÿíèå ÀÁ = L. Î÷åâèäíî, ÷òî óñëîâèå çàäà÷è áóäåò âûïîëíåíî, åñëè íà ðàññòîÿíèè L óëîæèòñÿ íàòóðàëüíîå ÷èñëî øàãîâ âèíòîâîé ëèíèè. Òàêèì îáðàçîì,  2πmv cos α  L = nh =  n, qB   ãäå m è q – ìàññà è ìîäóëü çàðÿäà ýëåêòðîíà ñîîòâåòñòâåííî. Îòñþäà ïîëó÷àåì íåîäíîçíà÷íûé îòâåò:

 2πmv cos α  B=  n , ãäå n = 1, 2, 3… qL   Ýòî ðåøåíèå êðàòêîå, îäíàêî íà ýêçàìåíå ïðèäåòñÿ âûâåñòè ôîðìóëó øàãà âèíòà, ÷òî ìû ñäåëàëè â çàäà÷å 2. Çàäà÷à 4. Ïðîòîí äâèæåòñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ïî âèíòîâîé ëèíèè ñ ðàäèóñîì R è øàãîì h. Èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ðàâíà Â. Íàéäèòå ñêîðîñòü ÷àñòèöû. Èç ðåçóëüòàòà çàäà÷è 2 âûòåêàåò òàêàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé:

 mv sin α = R,  qB   2πmv cos α = h, qB  ãäå m è q – ìàññà è çàðÿä ïðîòîíà ñîîòâåòñòâåííî. Çàïèøåì ðàâíîñèëüíóþ ñèñòåìó:

 v sin α =  v cos α = 

qBR , m qBh . 2πm

Âîçâåäåì îáå ÷àñòè îáîèõ óðàâíåíèé â êâàäðàò è ñëîæèì. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî sin2 α + cos2 α = 1 , íàéäåì ìîäóëü ñêîðîñòè ïðîòîíà:

v=

qB h2 R2 + 2 . m 4π

ur r Ëåãêî îïðåäåëèòü è óãîë α ìåæäó âåêòîðàìè B è v :  2πR  . α = arctg    h  Çàäà÷à 5. Àëüôà-÷àñòèöà âëåòàåò ïî íîðìàëè â îáëàñòü ïîïåðå÷íîãî îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ ñ èíäóêöèåé  = = 0,1 Òë. Ðàçìåð îáëàñòè h = = 0,1 ì. Íàéäèòå ñêîðîñòü ÷àñòèöû, åñëè ïîñëå ïðîõîæäåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ îíà îòêëîíÿåòñÿ íà óãîë ϕ = 30° îò ïåðâîíà÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ. Äëÿ α -÷àñòèöû îòíîøåíèå çàðÿäà ê ìàññå (óäåëüíûé çàðÿä) ðàâåí q m = 5 ⋅ 107 Êë êã . Çäåñü ìû èìååì äåëî ñ ëîêàëèçîâàííûì â ïðîñòðàíñòâå ìàãíèòíûì ïîëåì, ïîýòîìó òðàåê- Ðèñ. 4


""

ÊÂÀÍT$ 2007/¹5

òîðèåé çàðÿæåííîé ÷àñòèöû áóäåò íå âñÿ îêðóæíîñòü, à ëèøü åå äóãà (ðèñ.4). Èç îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ äâèæåíèÿ (âñòðå÷àâøåãîñÿ â ïåðâîé çàäà÷å) mv2 = qvB R íàõîäèì ñêîðîñòü ÷àñòèöû: q v = RB . m

Ïîñêîëüêó ðàäèóñ äóãè ðàâåí R = ïîëó÷èì v=

òîëüêî òîì ñëó÷àå, êîãäà ur ñèëà Ëîðåíöà FË è êóëîur íîâñêàÿ ñèëà FÊ êîìïåíñèðóþòñÿ: ur ur FË + FÊ = 0 . Îòñþäà ñëåäóåò ðàâåíñòâî ìîäóëåé ñèë:

h , òî îêîí÷àòåëüíî sin ϕ

q hB = 106 ì ñ . m sin ϕ

Çàäà÷à 6. Ýëåêòðîí âëåòàåò â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ur r ïîëå ñ èíäóêöèåé B ñî ñêîðîñòüþ v , íàïðàâëåííîé ïîä óãëîì ϕ ê ëèíèÿì ìàãíèòíîé èíäóêöèè. Øèðèíà îáëàñòè ñ ïîëåì ðàâíà l. Íàéäèòå èçìåíåíèå èìïóëüñà ýëåêòðîíà çà âðåìÿ ïðîëåòà ÷åðåç ìàãíèòíîå ïîëå. Îïèðàåìñÿ íà ðåøåíèå Ðèñ. 5 âòîðîé çàäà÷è, ó÷èòûâàÿ, îäíàêî, ÷òî â äàííîé çàäà÷å ïîëå ëîêàëèçîâàíî. Ïîñêîëüêó ñîñòàâëÿþùàÿ èìïóëüñà ýëåêòðîíà, ïàðàëëåëüíàÿ âåêòîðó ur B , íå ìåíÿåòñÿ, èñêîìîå èçìåíåíèå èìïóëüñà ðàâíî ðàçíîñòè ñîñòàâëÿþùèõ èìïóëüñà ýëåêòðîíà, ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ur âåêòîðó B (ðèñ.5): r r r ∆p = p2 - p1 , ãäå p1 = p2 = mv sin ϕ . Èç ñâîéñòâ ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ñðàçó âûòåêàåò, ÷òî α ∆p = 2 p1 sin , 2 ãäå α – óãîë ïîâîðîòà ïåðïåíäèêóëÿðíîé ñîñòàâëÿþùåé α l = , ãäå èìïóëüñà. Ôèçè÷åñêè î÷åâèäíà ïðîïîðöèÿ 2π h 2πmv cos ϕ h= – øàã âèíòîâîé ëèíèè, ïîñêîëüêó ïðè ïðîqB õîæäåíèè êàæäîãî øàãà âèíòà ýëåêòðîí ñîâåðøàåò îáîðîò, à ïðè ïðîõîæäåíèè ÷àñòè øàãà – òàêóþ æå ÷àñòü îáîðîòà. Îòñþäà ïîëó÷àåì qBl α= mv cos ϕ ,

FË = FÊ , èëè qvB = qE,

è ïîëó÷àåòñÿ îòâåò: E Ðèñ. 6 v= . B Ïðè ýòîì ïðÿìîëèíåéíîå äâèæåíèå ïðîòîíà áóäåò åùå è ðàâíîìåðíûì. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ïðè ëþáîé äðóãîé ñêîðîñòè (êàê ïî ìîäóëþ, òàê è ïî íàïðàâëåíèþ) äâèæåíèå ÷àñòèöû áóäåò êðèâîëèíåéíûì è íåðàâíîìåðíûì. Çàäà÷à 8. Ýëåêòðîí äâèæåòñÿ â îäíîðîäíûõ è ïîñòîÿííûõ ýëåêòðè÷åñêîì è ìàãíèòíîì ïîëÿõ, íàïðàâëåííûõ ïî îñè Z.  íà÷àëüíûé ìîìåíò ýëåêòðîí ïåðåñåêàåò íà÷àëî êîîðäèíàò, äâèãàÿñü â íàïðàâëåíèè îñè Õ.  êàêèõ òî÷êàõ ýëåêòðîí âíîâü ïåðåñå÷åò îñü Z? Íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Å, èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ Â, ìîäóëü çàðÿäà ýëåêòðîíà å, åãî ìàññà m. Íà ðèñóíêå 7 â ñèñòåìå êîîðäèíàò XYZ èçîáðàæåíû íàïðàâëåíèÿ ïîëåé è ñèë, äåéñòâóþùèõ íà ýëåêòðîí. Îñíîâûâàÿñü íà ïðåäûäóùèõ çàäà÷àõ è íà çäðàâîì ñìûñëå, ìîæíî ñäåëàòü âûâîä, ÷òî ýëåêòðîí áóäåò äâèãàòüñÿ ïî âèíòîâîé ëèíèè, íî ñ óâåëè÷èâàþùèìñÿ øàãîì (êîíå÷íî, ñòðîãî ýòî íå âèíòîâàÿ ëèíèÿ) – âåäü ïî îñè Z íà ýëåêòðîí äåéñòâóåò êóëîíîâñêàÿ Ðèñ. 7 ñèëà. Êîîðäèíàòà òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ ÷àñòèöû ñ ýòîé îñüþ ïîñëå n âèòêîâ ðàâíà

2 πm eE – óñêîðåíèå ýëåêòðîíà, T = – åãî ïåðèîä m eB îáðàùåíèÿ. Îòñþäà èìååì

ãäå a =

ãäå m è q – ìàññà è ìîäóëü çàðÿäà ýëåêòðîíà ñîîòâåòñòâåííî. Ñëåäîâàòåëüíî, ∆p = 2mv sin ϕ sin

qBl 2mv cos ϕ .

 ñëåäóþùèõ äâóõ çàäà÷àõ ìàãíèòíîå ïîëå äîïîëíèòñÿ ïîëåì ýëåêòðè÷åñêèì. Çàäà÷à 7. Îäíîðîäíûå ìàãíèòíîå è ýëåêòðè÷åñêîå ïîëÿ ïåðïåíäèêóëÿðíû äðóã äðóãó. Íàïðÿæåííîñòüurýëåêòðè÷åñur êîãî ïîëÿ E , èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ B . Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ è â êàêîì íàïðàâëåíèè äîëæåí ëåòåòü ïðîòîí, ÷òîáû äâèãàòüñÿ â îáëàñòè ýòèõ ïîëåé ïðÿìîëèíåéíî? Èíòóèòèâíî ïîäîáðàííàÿ âåêòîðíàÿ êîíôèãóðàöèÿ ïîëåé r è ñèë èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 6.ur Ñêîðîñòü ïðîòîíà v ur ïåðïåíäèêóëÿðíà îáîèì âåêòîðàì E è B . Î÷åâèäíî, ÷òî äâèæåíèå ÷àñòèöû ìîæåò áûòü ïðÿìîëèíåéíûì â òîì è

a (nT ) , 2 2

zn =

zn =

2

eE  2πmn  2π2 Em 2 = n .   2m  eB  eB2

Óïðàæíåíèÿ 1. Ýëåêòðîí äâèæåòñÿ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêur âðåìåíè ýëåêòðîí íàõîäèëñÿ â öèåé B .  íà÷àëüíûé ìîìåíò r òî÷êå Î è åãî ñêîðîñòü v áûëà ïåðïåíäèêóëÿðíà âåêòîðó ìàãíèòíîé èíäóêöèè. Íàéäèòå ðàññòîÿíèå l ýëåêòðîíà îò òî÷êè Î â ìîìåíò âðåìåíè t. Ìàññó ýëåêòðîíà m è ìîäóëü åãî çàðÿäà q ñ÷èòàòü èçâåñòíûìè. 2. Íåçàðÿæåííàÿ íåïîäâèæíàÿ ÷àñòèöà ðàñïàëàñü â ìàãíèòur íîì ïîëå ñ èíäóêöèåé B íà äâå ÷àñòèöû ñ ìàññàìè m1 è m2 è çàðÿäàìè q è –q. Íàéäèòå âðåìÿ, ÷åðåç êîòîðîå ÷àñòèöû ìîãóò âñòðåòèòüñÿ, åñëè ïðåíåáðå÷ü êóëîíîâñêèì âçàèìîäåéñòâèåì îñêîëêîâ. 3. Ïðîòîí âëåòàåò ñî ñêîðîñòüþ 60 êì/ñ â ïðîñòðàíñòâî ñ ýëåêòðè÷åñêèì è ìàãíèòíûì ïîëÿìè, íàïðàâëåíèÿ êîòîðûõ


ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ

ñîâïàäàþò, ïåðïåíäèêóëÿðíî ýòèì ïîëÿì. Íàéäèòå íàïðÿæåííîñòü ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, åñëè èíäóêöèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ ðàâíà 0,1 Òë, à íà÷àëüíîå óñêîðåíèå ïðîòîíà, âûçâàííîå äåéñòâèåì ýòèõ ïîëåé, ñîñòàâëÿåò 1012 ì ñ2 . 4. Ýëåêòðîí, ïðîøåäøèé óñêîðÿþùóþ ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ∆ϕ = 40 B , âëåòàåò â ïëîñêèé ñëîé îäíîðîäíîãî ìàãíèòíîãî ïîëÿ òîëùèíîé h = 10 ñì. Ñêîðîñòü ýëåêòðîíà ïåðïåíäèêóëÿðíà êàê ur ëèíèÿì ìàãíèòíîé èíäóêöèè ïîëÿ B , òàê è ïëîñêîé ãðàíèöå ñëîÿ. Ïðè êàêîì ìèíèìàëüíîì çíà÷åíèè èíäóêöèè Bmin ýëåêòðîí íå ïðîëåòèò ñêâîçü ñëîé? Îòíîøåíèå ìîäóëÿ çàðÿäà ýëåêòðîíà ê åãî ìàññå γ = 1,76 × 1011 Êë êã . 5. Ýëåêòðîí äâèæåòñÿ ïî îêðóæíîñòè ðàäèóñîì R = 10 ñì â

Èíâàðèàíòíîñòü è çàäà÷è ñ ïàðàìåòðàìè Ã.ÔÀËÈÍ, À.ÔÀËÈÍ

Â

ÑÎÂÐÅÌÅÍÍÎÉ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ ÂÀÆÍÓÞ ÐÎËÜ ÈÃÐÀ-

åò ïîíÿòèå èíâàðèàíòíîñòè, ò.å. íåèçìåííîñòè ìàòåìàòè÷åñêîãî îáúåêòà (÷èñëîâîãî ìíîæåñòâà, âûðàæåíèÿ, ôóíêöèè, óðàâíåíèÿ è ò.ä.) îòíîñèòåëüíî íåêîòîðûõ ïðåîáðàçîâàíèé.  íàñòîÿùåé ñòàòüå ìû ïîêàæåì, êàê ñâîéñòâà èíâàðèàíòíîñòè ïîçâîëÿþò ðåøàòü îïðåäåëåííûé êëàññ çàäà÷ ñ ïàðàìåòðàìè. Óðàâíåíèÿ

Çàäà÷à 1 (ÌÃÓ, ìåõìàò, 1990). Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå x - 2a sin ( cos x ) + a = 0 2

2

îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé  = 1 Òë. Ïàðàëëåëüíî ìàãíèòíîìó ïîëþ âîçáóæäàåòñÿ îäíîðîäíîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå ñ íàïðÿæåííîñòüþ Å = 100 Â/ì. Çà êàêîé ïðîìåæóòîê âðåìåíè êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà âîçðàñòåò âäâîå? 6. Ýëåêòðîí âëåòàåò â îáëàñòü ïðîñòðàíñòâà ñ îäíîðîäíûì ýëåêòðè÷åñêèì ïîëåì íàïðÿæåííîñòüþ E = 6 × 104  ì ïåðïåíäèêóëÿðíî åãî ñèëîâûì ëèíèÿì. Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó è íàïðàâur ëåíèå âåêòîðà èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ B , êîòîðîå íàäî ñîçäàòü â ýòîé îáëàñòè ïðîñòðàíñòâà äëÿ òîãî, ÷òîáû ýëåêòðîí ïðîëåòåë åå, íå îòêëîíÿÿñü îò ïåðâîíà÷àëüíîãî íàïðàâëåíèÿ. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýëåêòðîíà W = 1,6 × 10-16 Äæ , ìàññà ýëåêòðîíà m = 9,1 × 10 -31 êã . Ñèëîé òÿæåñòè ïðåíåáðå÷ü.

2. Åñëè a = 2 sin 1 , òî óðàâíåíèå (1) ïðèìåò âèä x2 + 4 sin2 1 = 4 sin 1 × sin cos x  .

(2)

Ëåâàÿ ÷àñòü ýòîãî óðàâíåíèÿ áîëüøå èëè ðàâíà 4 sin2 1 , ïðè÷åì ýòà íèæíÿÿ ãðàíèöà ÿâëÿåòñÿ òî÷íîé – îíà äîñòèãàåòñÿ ïðè õ = 0. Îöåíèòü ïðàâóþ ÷àñòü íåìíîãî ñëîæíåå. Ïðåæäå âñåãî îòìåòèì, ÷òî ïðè èçìåíåíèè ïåðåìåííîé õ îò -¥ äî +¥ âûðàæåíèå cos x ìåíÿåòñÿ îò –1 äî +1. Íà îòðåçêå -1 £ t £ 1 ôóíêöèÿ sin t ìîíîòîííî âîçðàñòàåò îò - sin 1 äî sin 1 . Ïîýòîìó âûðàæåíèå sin ( cos x ) ìåíÿåòñÿ îò - sin 1 äî sin 1 . Ñîîòâåòñòâåííî, ïðàâàÿ ÷àñòü óðàâíåíèÿ (2) ìåíÿåòñÿ îò - 4 sin 2 1 äî 4 sin 2 1 , ïðè÷åì çíà÷åíèÿ ïðàâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ ïîëíîñòüþ çàïîëíÿþò ýòîò îòðåçîê. Ñëåäîâàòåëüíî, óðàâíåíèå (2) ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå 2 2 2  x + 4 sin 1 = 4 sin 1,  2 4 sin 1 ⋅ sin (cos x ) = 4 sin 1.

Ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü x0 = 0 , êîòîðûé óäîâëåòâîðÿåò è âòîðîìó óðàâíåíèþ ñèñòåìû. Çíà÷èò, ñèñòåìà, à âìåñòå ñ íåé è óðàâíåíèå (2), èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå õ = 0. Ïîýòîìó ïðîâåðÿåìîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà a = 2 sin 1 íóæíî âêëþ÷èòü â îòâåò çàäà÷è. Îòâåò: a1 = 0 , a2 = 2 sin 1 . Çàäà÷à 2 (õèìè÷åñêèé ô-ò, 1999). Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå

(

) + 2a = a

x 2x − 1 x

2 +1

(1)

èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Ðåøåíèå. Íåèçâåñòíàÿ õ âõîäèò â óðàâíåíèå (1) ÷åðåç äâå ÷åòíûå ôóíêöèè: y = x2 è y = cos x . Ïîýòîìó ýòî óðàâíåíèå èíâàðèàíòíî ïðè çàìåíå x íà –x. Çíà÷èò, åñëè êàêîå-òî ÷èñëî x0 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ (1), òî è ÷èñëî ( - x0 ) òàêæå áóäåò êîðíåì. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî óðàâíåíèå (1) èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà ñðåäè êîðíåé ïðèñóòñòâóåò ÷èñëî x0 = 0 . Ïðè ýòîì íå èñêëþ÷åíî íàëè÷èå è äðóãèõ êîðíåé. Âàæíî ëèøü òî, ÷òî åñëè ñðåäè êîðíåé íåò ÷èñëà 0, òî ìíîæåñòâî Ma åãî êîðíåé íå ìîæåò áûòü îäíîýëåìåíòíûì (îíî ëèáî ïóñòî, ëèáî ñîäåðæèò ïî ìåíüøåé ìåðå äâà êîðíÿ âèäà x1 , - x1 ). Ïðîñòàÿ ïîäñòàíîâêà ÷èñëà 0 íà ìåñòî íåèçâåñòíîé äàåò, ÷òî ÷èñëî 0 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ (1) äëÿ a1 = 0 è a2 = 2 sin 1 . Äëÿ çàâåðøåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è äîñòàòî÷íî âûÿñíèòü, ñêîëüêî êîðíåé èìååò óðàâíåíèå (1) äëÿ äâóõ «ïîäîçðèòåëüíûõ» çíà÷åíèé ïàðàìåòðà a1 = 0 è a2 = 2 sin 1 . 1. Åñëè à = 0, òî óðàâíåíèå (1) ïðèìåò âèä x2 = 0 , ò.å. èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü x0 = 0 . Ïîýòîìó çíà÷åíèå à = 0 íóæíî âêëþ÷èòü â îòâåò çàäà÷è.

"#

ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ

2

+1

èìååò íå÷åòíîå ÷èñëî ðåøåíèé. Ðåøåíèå.  ýòîé çàäà÷å óðàâíåíèå òàêæå èíâàðèàíòíî ïðè çàìåíå õ íà –õ (õîòÿ çàìåòèòü ýòî äîâîëüíî òÿæåëî). Ïîýòîìó åñëè ÷èñëî x0 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ, òî ÷èñëî - x0 òàêæå áóäåò åãî êîðíåì. Âñëåäñòâèå ýòîãî, êîëè÷åñòâî êîðíåé ìîæåò áûòü íå÷åòíûì òîëüêî â ñëó÷àå, êîãäà ñðåäè êîðíåé íàõîäèòñÿ ÷èñëî x0 = 0 .  ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìíîæåñòâî êîðíåé ëèáî ïóñòî, ëèáî áåñêîíå÷íî, ëèáî êîíå÷íî è ñîäåðæèò ÷åòíîå ÷èñëî êîðíåé. Ïîäñòàâëÿÿ â èñõîäíîå óðàâíåíèå âìåñòî íåèçâåñòíîé õ ÷èñëî 0, ìû ïîëó÷èì ïðîñòîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî à: 2a = a2 + 1 , êîòîðîå èìååò äâà êîðíÿ: a1 = 1 , a2 = -1 . Åñëè à = 1, òî èñõîäíîå óðàâíåíèå ðàñïàäàåòñÿ íà äâà óðàâíåíèÿ: x 2x − 1 x 2x − 1 = = −4 . , 0 2x + 1 2x + 1

(

)

(

)

Ïåðâîå óðàâíåíèå, î÷åâèäíî, èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü x−4 , õ = 0. Âòîðîå óðàâíåíèå ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó 2x = x+4


"$

ÊÂÀÍT$ 2007/¹5

ïîñëå ÷åãî ñ ïîìîùüþ ãðàôèêîâ ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî îíî íå èìååò êîðíåé. Èòàê, â ñëó÷àå à = 1 èñõîäíîå óðàâíåíèå èìååò ðîâíî 1 êîðåíü. Åñëè à = –1, òî èñõîäíîå óðàâíåíèå òàêæå ðàñïàäàåòñÿ íà äâà óðàâíåíèÿ:



 = 0 , x (2

x 2x - 1 x

2 +1

x

x

) =4.

-1

2 +1

Ïåðâîå óðàâíåíèå òàêîå æå, êàê è ïåðâîå óðàâíåíèå â ñëó÷àå à = 1; îíî èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü õ = 0. Âòîðîå óðàâíåíèå x+4 , ïîñëå ÷åãî ñ ïîìîùüþ ìîæíî ïðèâåñòè ê âèäó 2x = x-4 ãðàôèêîâ ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî îíî èìååò äâà êîðíÿ. Òî÷íûå çíà÷åíèÿ ýòèõ êîðíåé íàì ñîâåðøåííî íå âàæíû; âïðî÷åì, ãðàôèêè ïîçâîëÿþò èõ ëîêàëèçîâàòü: -5 < x1 < -4 , 4 < x2 < 5 ( x1 = - x2 ). Èòàê, â ñëó÷àå à = –1 èñõîäíîå óðàâíåíèå èìååò ðîâíî 3 êîðíÿ. Õîòÿ ìû òî÷íî îïðåäåëèëè ÷èñëî êîðíåé â êàæäîì èç äâóõ «ïîäîçðèòåëüíûõ» ñëó÷àåâ, äëÿ çàâåðøåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è äîñòàòî÷íî áûëî ïðîñòî âûÿñíèòü, êîíå÷íî èëè íåò ÷èñëî êîðíåé èñõîäíîãî óðàâíåíèÿ. Òîãäà ìíîæåñòâî êîðíåé èìååò âèä {0; x1; - x1;K ; xn; - xn } , ò.å. ñîäåðæèò íå÷åòíîå ÷èñëî êîðíåé. Îòâåò: a1 = 1 , a2 = -1 .  ñëåäóþùåé çàäà÷å ïîÿâèòñÿ èíâàðèàíòíîñòü íåîáû÷íîãî äëÿ øêîëüíîé ìàòåìàòèêè âèäà. Çàäà÷à 3 (ÂÌÊ, 1998). Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå 2x

 x2 − 1  5 2 2 (3) 21+ x + a cos  +a − 4 =0 x   èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Ðåøåíèå. Íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî óðàâíåíèå (3) íå 1 èçìåíèòñÿ ïðè çàìåíå õ íà . Ïîýòîìó åñëè x0 – ðåøåíèå x 1 – òîæå ðåøåíèå. Ñëåäîâàòåëüíî, åñëè óðàâíåíèÿ (3), òî x0 1 x0 – åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, òî x0 = , ò.å. x0 ìîæåò áûòü x0 òîëüêî 1 èëè –1. Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå õ = 1 â óðàâíåíèå (3), ïîëó÷àåì 3 óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî ïàðàìåòðà: a2 + a + = 0 . Äèñêðè4 ìèíàíò ýòîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ îòðèöàòåëåí, òàê ÷òî íè ïðè îäíîì çíà÷åíèè ïàðàìåòðà a ÷èñëî õ = 1 íå áóäåò êîðíåì óðàâíåíèÿ (3). Ïîäñòàâëÿÿ òåïåðü â óðàâíåíèå (3) õ = –1, ïîëó÷àåì íåîáõîäèìîå (íî íåäîñòàòî÷íîå (!)) óñëîâèå äëÿ èñêîìûõ 3 çíà÷åíèé ïàðàìåòðà: a2 + a - = 0 , êîòîðîå èìååò äâà 4 1 3 êîðíÿ a = è a=- . 2 2 Íàéäåì òåïåðü êîëè÷åñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (3) äëÿ 3 1 äâóõ «ïîäîçðèòåëüíûõ» çíà÷åíèé ïàðàìåòðà a = è a = - . 2 2 Íàëè÷èå â ýòîì óðàâíåíèè ðàçíîðîäíûõ ÷ëåíîâ (ïîêàçàòåëüíîãî è òðèãîíîìåòðè÷åñêîãî), êîíå÷íî, ïîòðåáóåò ïðèìåíåíèÿ ãðàôè÷åñêîãî ìåòîäà èëè ìåòîäà îöåíîê. ×òîáû óïðîñòèòü äàëüíåéøèé àíàëèç, ïðèìåíèì òðèãîíîìåòðè÷åñêóþ t ïîäñòàíîâêó x = tg , t ∈ ( π;0 ) U (0; π ) . Òîãäà (3) ïðåâðà2 òèòñÿ â ñëåäóþùåå óðàâíåíèå: 5 2sin t + a cos (2 ctg t ) + a2 − = 0 . (4) 4

1. Åñëè a =

1 , òî óðàâíåíèå (4) ïðèìåò âèä 2 cos (2 ctg t ) = 2 − 21+ sin t .

(5)

Ôóíêöèþ y1 ( t ) = cos ( 2 ctg t ) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñóïåðïîçèöèþ ôóíêöèé y u  = cos u è u t  = 2 ctg t . Ïðè èçìåíåíèè t îò - π äî 0 ôóíêöèÿ u t  ìîíîòîííî óáûâàåò îò +∞ äî −∞ . Ñîîòâåòñòâåííî, ôóíêöèÿ y1 ( t ) ñîâåðøàåò áåñêîíå÷íîå ÷èñëî êîëåáàíèé îò –1 äî +1; ïðè ýòîì  π y1  −  = 1 . Äëÿ t ∈ (0; π ) â ñèëó ÷åòíîñòè ôóíêöèè y1 ( t )  2 ñèòóàöèÿ àíàëîãè÷íà. Ôóíêöèþ y2 ( t ) = 2 - 21+ sin t ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñóïåðïîçèöèþ ôóíêöèé y ( u ) = 2 - 21+ u è u ( t ) = sin t . Ãðàôèê ôóíêöèè y ( u ) ïîëó÷àåòñÿ èç ãðàôèêà ñòàíäàðòíîé ïîêàçàòåëüíîé ôóíêöèè 2u ïåðåíîñîì íà 1 âëåâî, îñåâîé ñèììåòðèåé îòíîñèòåëüíî îñè Îõ, ïåðåíîñîì íà 2 ââåðõ. Ïîýòîìó ïðè èçìåíåíèè ïåðåìåííîé t îò - π äî π ôóíêöèÿ y2 ( t )  π ñíà÷àëà âîçðàñòàåò îò y2 ( - π) = 0 äî y2  −  = 1 , çàòåì  2  π π óáûâàåò îò y2  −  = 1 äî y2   = −2 , à ïîòîì îïÿòü  2 2 π âîçðàñòàåò îò y2   = −2 äî y2 ( π) = 0 . 2 Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå (5) èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî êîðíåé íà ìíîæåñòâå ( −π;0 ) U (0; π ) , òàê ÷òî ïðîâåðÿåìîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà íå âêëþ÷àåòñÿ â îòâåò. 3 2. Åñëè a = − , òî óðàâíåíèå (4) ïðèìåò âèä 2 1 cos (2 ctg t ) = 2 + 21+ sin t . (6) 3 Ïðè t Î ( - π;0) U ( 0; π) ôóíêöèÿ y = cos ( 2 ctg t) ïðèíèìàåò 1 2 + 21+ sin t – èç çíà÷åíèÿ èç îòðåçêà [ -1;1] , à ôóíêöèÿ y = 3 4 ìíîæåñòâà [1;2] \   . Ïîýòîìó óðàâíåíèå (6) ðàâíîñèëüíî 3  ñèñòåìå

(

)

(

)

cos (2 ctg t ) = 1,  1 1+ sin t = 1.  3 2 + 2

(

)

Âòîðîå óðàâíåíèå ýòîé ñèñòåìû èìååò åäèíñòâåííûé êîðåíü, π óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ t ∈ ( −π;0 ) U (0; π ) : t = - . Ýòîò 2 êîðåíü ÿâëÿåòñÿ è êîðíåì ïåðâîãî óðàâíåíèÿ ñèñòåìû, òàê ÷òî ïðîâåðÿåìîå çíà÷åíèå ïàðàìåòðà âêëþ÷àåòñÿ â îòâåò. 3 Îòâåò: a = - . 2 Ñèñòåìû

Êàê è äëÿ óðàâíåíèé, äëÿ ñèñòåì ñàìûì ðàñïðîñòðàíåííûì ñëó÷àåì ÿâëÿåòñÿ èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ çíàêà ó îäíîé èëè íåñêîëüêèõ íåèçâåñòíûõ. Çàäà÷à 4 (ýêîíîìè÷åñêèé ô-ò, 1987). Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñèñòåìà 3 ⋅ 2 x + 5 x + 4 = 3 y + 5x2 + 3a, (7)  2 2  x + y = 1 èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. Ðåøåíèå. Íàøà ñèñòåìà èíâàðèàíòà ïðè çàìåíå õ íà (–õ). Ïîýòîìó åñëè  x; y – ðåøåíèå ñèñòåìû (7), òî è  - x; y òîæå áóäåò ðåøåíèåì. Âñëåäñòâèå ýòîãî, åñëè ñèñòåìà (7) èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, òî ýòî ðåøåíèå èìååò âèä 0; y . Ïîäñòàâëÿÿ âìåñòî íåèçâåñòíîé õ ÷èñëî 0, ìû ïîëó÷èì, ÷òî


ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ

4 ïàðà 0; y  ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (7) òîëüêî äëÿ a = 3 10 èëè a = .  ïåðâîì ñëó÷àå ýòèì åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì 3 ìîæåò áûòü òîëüêî ïàðà ( x; y ) = ( 0;1) , âî âòîðîì – ïàðà ( x; y ) = ( 0; -1) . Êàê îáû÷íî, íåëüçÿ èñêëþ÷èòü, ÷òî êðîìå îòìå÷åííîãî ðåøåíèÿ ñèñòåìà èìååò è äðóãèå ðåøåíèÿ. Äëÿ çàâåðøåíèÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è íóæíî âûÿñíèòü, ñêîëüêî ðåøåíèé èìååò èñõîäíàÿ ñèñòåìà (7) äëÿ äâóõ ïîäîçðèòåëü4 10 è a= . íûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðà a = 3 3 Èñïîëüçóÿ ãðàôè÷åñêèå ñîîáðàæåíèÿ è ìåòîä îöåíîê, 4 ïàðà  x; y  = 0;1 ÿâëÿåòñÿ ëåãêî ïîêàçàòü, ÷òî äëÿ a = 3 10 åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì ñèñòåìû (7), à â ñëó÷àå a = 3 ñèñòåìà (7) èìååò ïî ìåíüøåé ìåðå òðè ðåøåíèÿ ( 0; -1) , ( 1;0) ,  -1;0 . 4 Îòâåò: a = . 3 Çàäà÷à 5 (ìåõìàò, 1966). Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ à è b, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà ì xyz + z = a, ï 2 í xyz + z = b, (8) ï 2 2 2 îx + y + z = 4 èìååò òîëüêî îäíî ðåøåíèå (à, b, x, y, z – äåéñòâèòåëüíûå ÷èñëà). Ðåøåíèå. Èñõîäíàÿ ñèñòåìà íå ìåíÿåòñÿ ïðè îäíîâðåìåííîé ïåðåìåíå çíàêîâ ó íåèçâåñòíûõ õ è ó. Èíà÷å ãîâîðÿ, îíà èíâàðèàíòíà îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ ( x; y; z ) a (− x; − y; z ) . Ïîýòîìó åñëè òðîéêà ÷èñåë  x0 ; y0 ; z0  ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì ñèñòåìû (8), òî è òðîéêà  - x0 ; - y0 ; z0  áóäåò ðåøåíèåì. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî åñëè  x0 ; y0 ; z0  – åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ñèñòåìû, òî  x0 ; y0 ; z0  =  - x0 ; - y0 ; z0  , îòêóäà x0 = 0 , y0 = 0 . Ïðÿìàÿ ïîäñòàíîâêà â (8) âìåñòî õ è ó ÷èñëà 0 ïîêàçûâàåò, ÷òî òðîéêà 0;0; z  – ðåøåíèå ñèñòåìû (8) òîëüêî â äâóõ ñëó÷àÿõ: 1.  ñëó÷àå a = b = 2 åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì ìîæåò òîëüêî òðîéêà ( x; y; z ) = ( 0;0;2) . 2.  ñëó÷àå a = b = –2 åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì ìîæåò áûòü òîëüêî òðîéêà ( x; y; z ) = ( 0;0; -2) . Ðåøàÿ ñèñòåìó (8) äëÿ óêàçàííûõ êîíêðåòíûõ çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ, ìû ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ a = b = 2 ñèñòåìà (8) êðîìå èìååò åùå ÷åòûðå ðåøåíèÿ: ðåøåíèÿ ( 0;0;2)  5 +1 5 −1   5 −1 5 +1  − 5 −1 − 5 +1  ; ;1 ,  2 ; 2 ;1 ,  2 ; 2 ;1 ,  2 2       − 5 +1 − 5 −1  ; ;1 , à äëÿ a = b = –2 òðîéêà  x; y; z  =  2 2   = 0;0; -2 ÿâëÿåòñÿ åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì. Îòâåò: a = b = –2.  ñëåäóþùåé çàäà÷å, â îòëè÷èå îò ïðåäûäóùåé, ðàáîòàåò íå òîëüêî èíâàðèàíòíîñòü îòíîñèòåëüíî èçìåíåíèÿ çíàêà ó äâóõ íåèçâåñòíûõ, íî è ñèììåòðè÷íîñòü ñèñòåìû îòíîñèòåëüíî âõîäÿùèõ â íåå íåèçâåñòíûõ (â íàøèõ òåðìèíàõ ðå÷ü èäåò îá èíâàðèàíòíîñòè îòíîñèòåëüíî ïðåîáðàçîâàíèÿ  x; y a  y; x ). Îäíàêî ýòà ñèììåòðèÿ (ñëåäîâàòåëüíî, è ñîîòâåòñòâóþùàÿ èíâàðèàíòíîñòü) «ñïðÿòàíà» ñ ïîìîùüþ çàìåíû íåèçâåñòíûõ. Çàäà÷à 6 (ìåõìàò, 2006). Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà à, ïðè êàæäîì èç êîòîðûõ ñèñòåìà 2xy − ax − 2ay + a2 − 2 = 0,  2 (9) 2 2 4 x + 4 y − 8ax − 4ay − 7a − 20a = 0

"%

ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ

èìååò ðîâíî äâà ðàçëè÷íûõ ðåøåíèÿ. a Ðåøåíèå. Äëÿ íîâûõ ïåðåìåííûõ u = x – a, v = y − è 2 2 b = 3a + 5a ñèñòåìà (9) ïðèìåò âèä

uv = 1,  2 2 u + v = b.

(10)

Ïîñêîëüêó ìåæäó ïàðàìè ( x; y ) è ( u; v) èìååòñÿ âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå, ñèñòåìû (9) è (10) èìåþò îäíî è òî æå ÷èñëî ðåøåíèé. Ñèñòåìà (10) íå èçìåíèòñÿ, åñëè îäíîâðåìåííî èçìåíèòü çíàêè ó ïåðåìåííûõ u è v, à òàêæå åñëè èõ ïîìåíÿòü ìåñòàìè. Ïîýòîìó åñëè u0 ; v0  – ðåøåíèå ñèñòåìû (10), òî ðåøåíèÿìè áóäóò è ïàðû  - u0 ; -v0  , v0 ; u0  ,  -v0 ; - u0  .  ñèëó ïåðâîãî óðàâíåíèÿ, u0 è v0 îòëè÷íû îò 0, òàê ÷òî èç ÷åòûðåõ óêàçàííûõ ïàð ïàðû u0 ; v0  è  - u0 ; -v0  , à òàêæå ïàðû v0 ; u0  è -v0 ; -u0  ðàçëè÷íû. Ïîýòîìó ñèñòåìà (10) ìîæåò èìåòü äâà ðåøåíèÿ òîëüêî â ñëó÷àå u0 = v0 . Ïðÿìàÿ ïîäñòàíîâêà â èñõîäíóþ ñèñòåìó äàåò, ÷òî ïàðà ( u; u ) áóäåò ðåøåíèåì òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà b = 2. Åñëè b = 2, òî ñèñòåìà (10) ëåãêî ðåøàåòñÿ è äåéñòâèòåëüíî èìååò äâà ðåøåíèÿ: ( 1;1) è ( -1; -1) . Äëÿ îñíîâíîé ïåðåìåííîé à óñëîâèå b = 2 äàåò óðàâíåíèå 3a2 + 5a = 2 , îòêóäà íåìåäëåííî ñëåäóåò îòâåò. 1 Îòâåò: a1 = , a2 = -2 . 3 Óïðàæíåíèÿ 1 (ô-ò ïî÷âîâåäåíèÿ, 2001). Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðà b óðàâíåíèå tg b = log2 cos x - x  èìååò ðîâíî îäèí êîðåíü? 2 (ãåîëîãè÷åñêèé ô-ò, 2003). Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ à óðàâíå2 íèå 2π2  x - 1 + 4a cos  2πx - 9a3 = 0 èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå? 3 (ýêîíîìè÷åñêèé ô-ò, 2003). Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà b, ïðè êîòîðûõ óðàâíåíèå 2 ö æπ + 2 ö æ 2x b2 sin ç - x÷ + sin2 ç è 2 ø è b + 1 b + 1÷ø

– b 4x2 + 8 - 8 x = 3 + arcsin 1 - x èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. 4 (ìåõìàò, 1966). Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ à è b, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà ì xy - 1 = a, ï y í x +1 ï 2 2 îx + y = b èìååò òîëüêî îäíî ðåøåíèå. 5 (ÌØÝ, 2005). Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðà b, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà óðàâíåíèé ì x2 + 1 b = y + cos 2x, ï í sin x ïî2 + y =2





èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå. 6 (ÂÌÊ, 1997). Ïðè êàêèõ çíà÷åíèÿõ à ñèñòåìà

4 4 ïì x + y = a, í ïîcos  x - y  + xy £ 1 èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå? 7 (õèìè÷åñêèé ô-ò, 1986). Íàéäèòå âñå çíà÷åíèÿ à, ïðè êîòîðûõ ñèñòåìà ìï1 - x - 1 = 7 y , í 2 2 ïî49 y + x + 4a = 2x - 1

èìååò ðîâíî ÷åòûðå ðàçëè÷íûõ ðåøåíèÿ.


ÂÀ T Ï2 È 0 0 7À/ ¹ ÎÊË ÈÍÌ Ä 5Û

"&

XXXIII Âñåðîññèéñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå ×åòâåðòûé (ôåäåðàëüíûé îêðóæíîé) ýòàï Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå ïðîøåë ñ 24 ïî 29 ìàðòà 2007 ãîäà â ãîðîäàõ Ñàíêò-Ïåòåðáóðã (Ñåâåðî-Çàïàäíûé ôåäåðàëüíûé îêðóã), ßðîñëàâëü (Öåíòðàëüíûé), Ìàéêîï (Þæíûé), Ïåíçà (Ïðèâîëæñêèé), Êóðãàí (Óðàëüñêèé), Àáàêàí (Ñèáèðñêèé) è Áèðîáèäæàí (Äàëüíåâîñòî÷íûé). Çàêëþ÷èòåëüíûé, ïÿòûé ýòàï îëèìïèàäû ïðîõîäèë ñ 23 ïî 28 àïðåëÿ 2007 ãîäà â Ìàéêîïå. Ñòîëèöà Àäûãåè, óñïåøíî ïðèíÿâ çà ïîñëåäíèå ãîäû áîëüøîå ÷èñëî ìàòåìàòè÷åñêèõ ñîðåâíîâàíèé, ñòàëà òðàäèöèîííûì ìåñòîì âñòðå÷ þíûõ ìàòåìàòèêîâ.  íûíåøíåé îëèìïèàäå ïðèíÿëè ó÷àñòèå 239 øêîëüíèêîâ Ðîññèè – äèïëîìàíòîâ IV ýòàïà è ïîáåäèòåëåé Ìîñêîâñêîé è Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîé îëèìïèàä, à òàêæå êîìàíäû ãîñòåé èç Áîëãàðèè è Êèòàÿ, ó÷àñòèå êîòîðûõ âî Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäå óæå ñòàëî õîðîøåé òðàäèöèåé. Âïåðâûå ïÿòûé ýòàï ïðîâîäèëñÿ â ïàðàëëåëè 8 êëàññà (ðàíåå ïÿòûé ýòàï ïðîâîäèëñÿ ïî òðåì ïàðàëëåëÿì, ñ 9 ïî 11 êëàññ). Çà îðèãèíàëüíûå ðåøåíèÿ æþðè îòìåòèëî ñïåöèàëüíûìè ïðèçàìè ÷åòûðåõ ó÷àñòíèêîâ: âîñüìèêëàññíèêà Õîìóòîâà Íèêèòó (ñòàíèöà Äèíñêàÿ Êðàñíîäàðñêîãî êðàÿ) – çà ðåøåíèå òðóäíîé êîìáèíàòîðíîé çàäà÷è (çàäà÷à 8 äëÿ 8 êëàññà), äåâÿòèêëàññíèêîâ Öàðüêîâà Îëåãà (Ìîñêâà) è Íåíàøåâà Ãëåáà (Ñàíêò-Ïåòåðáóðã) – çà êðàñèâîå è îðèãèíàëüíîå ðåøåíèå ãåîìåòðè÷åñêîé çàäà÷è (çàäà÷à 6 äëÿ 9 êëàññà) è äåñÿòèêëàññíèêà ßíóøåâè÷à Ëåîíèäà (Ìîñêâà) – çà óñèëåíèå ðåçóëüòàòà çàäà÷è ïî òåîðèè ÷èñåë (çàäà÷à 8 äëÿ 10 êëàññà). Íàáðàòü ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî áàëëîâ (56) óäàëîñü ëèøü âûñòóïàâøåìó çà 9 êëàññ Ëèíü Áî (Êèòàé) è 11-êëàññíèêó Åñèíó Àëåêñåþ (Êðàñíîäàðñêèé êðàé). Íèæå ïðèâîäÿòñÿ óñëîâèÿ çàäà÷ IV è V ýòàïîâ è ñïèñîê äèïëîìàíòîâ V (çàêëþ÷èòåëüíîãî) ýòàïà XXXIII Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå.

Îêðóæíîé ýòàï 8 êëàññ 1.  âûïóêëîì ÷åòûðåõóãîëüíèêå ñåìü èç âîñüìè îòðåçêîâ, ñîåäèíÿþùèõ âåðøèíû ñ ñåðåäèíàìè ïðîòèâîïîëîæíûõ ñòîðîí, ðàâíû. Äîêàæèòå, ÷òî âñå âîñåìü îòðåçêîâ ðàâíû. Í.Àãàõàíîâ 2. Ïåòÿ çàäóìàë íàòóðàëüíîå ÷èñëî è äëÿ êàæäîé ïàðû åãî öèôð âûïèñàë íà äîñêó èõ ðàçíîñòü. Ïîñëå ýòîãî îí ñòåð íåêîòîðûå ðàçíîñòè, è íà äîñêå îñòàëèñü ÷èñëà 2, 0, 0, 7. Êàêîå íàèìåíüøåå ÷èñëî ìîã çàäóìàòü Ïåòÿ? Ì.Ìóðàøêèí 3. Ñóùåñòâóþò ëè òàêèå ïðîñòûå ÷èñëà p1, p2,K , p2007 , ÷òî 2 p12 - 1 äåëèòñÿ íà p2 , p22 - 1 äåëèòñÿ íà p3,K , p2007 -1 äåëèòñÿ íà p1 ? Â.Ñåíäåðîâ 4. Íà øàõìàòíîé äîñêå ðàññòàâëåíû âî âñåõ êëåòêàõ 32 áåëûå è 32 ÷åðíûå ïåøêè. Ïåøêà ìîæåò áèòü ïåøêè ïðîòè-

âîïîëîæíîãî öâåòà, äåëàÿ õîä ïî äèàãîíàëè íà îäíó êëåòêó è ñòàíîâÿñü íà ìåñòî âçÿòîé ïåøêè (áåëûå ïåøêè ìîãóò áèòü òîëüêî âïðàâî-ââåðõ è âëåâî-ââåðõ, à ÷åðíûå – òîëüêî âëåâîâíèç è âïðàâî-âíèç). Äðóãèì îáðàçîì ïåøêè õîäèòü íå ìîãóò. Êàêîå íàèìåíüøåå êîëè÷åñòâî ïåøåê ìîæåò îñòàòüñÿ íà äîñêå? È.Áîãäàíîâ 5. Ñðåäè 11 âíåøíå îäèíàêîâûõ ìîíåò 10 íàñòîÿùèõ, âåñÿùèõ ïî 20 ã, è îäíà ôàëüøèâàÿ, âåñÿùàÿ 21 ã. Èìåþòñÿ ÷àøå÷íûå âåñû, êîòîðûå îêàçûâàþòñÿ â ðàâíîâåñèè, åñëè ãðóç íà ïðàâîé èõ ÷àøêå ðîâíî âäâîå òÿæåëåå, ÷åì íà ëåâîé. (Åñëè ãðóç íà ïðàâîé ÷àøêå ìåíüøå, ÷åì óäâîåííûé ãðóç íà ëåâîé, òî ïåðåâåøèâàåò ëåâàÿ ÷àøêà, åñëè áîëüøå, òî ïðàâàÿ.) Êàê çà òðè âçâåøèâàíèÿ íà ýòèõ âåñàõ íàéòè ôàëüøèâóþ ìîíåòó? È.Ðóáàíîâ 6. Ñì. çàäà÷ó Ì2056 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 7. Âíóòðè ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ABC (AB = BC) âûáðàíà òî÷êà M òàêèì îáðàçîì, ÷òî ÐAMC = 2ÐABC . Íà îòðåçêå AM íàøëàñü òàêàÿ òî÷êà K, ÷òî ÐBKM = ÐABC . Äîêàæèòå, ÷òî BK = KM + MC. Ñ.Áåðëîâ 8.  êëàññå ó÷àòñÿ 15 ìàëü÷èêîâ è 15 äåâî÷åê.  äåíü 8 ìàðòà íåêîòîðûå ìàëü÷èêè ïîçâîíèëè íåêîòîðûì äåâî÷êàì è ïîçäðàâèëè èõ ñ ïðàçäíèêîì (íèêàêîé ìàëü÷èê íå çâîíèë îäíîé è òîé æå äåâî÷êå äâàæäû). Îêàçàëîñü, ÷òî äåòåé ìîæíî åäèíñòâåííûì îáðàçîì ðàçáèòü íà 15 ïàð òàê, ÷òîáû â êàæäîé ïàðå îêàçàëèñü ìàëü÷èê ñ äåâî÷êîé, êîòîðîé îí çâîíèë. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî çâîíêîâ ìîãëî áûòü ñäåëàíî? Ñ.Áåðëîâ

9 êëàññ 1. Ïåòÿ ïðèäóìàë 1004 ïðèâåäåííûõ êâàäðàòíûõ òðåõ÷ëåíà f1,K , f1004 , ñðåäè êîðíåé êîòîðûõ âñòðå÷àþòñÿ âñå öåëûå ÷èñëà îò 0 äî 2007. Âàñÿ ðàññìàòðèâàåò âñåâîçìîæíûå óðàâíåíèÿ fi = fj ( i ≠ j ), è çà êàæäûé íàéäåííûé ó íèõ êîðåíü Ïåòÿ ïëàòèò Âàñå ïî ðóáëþ. Êàêîâ íàèìåíüøèé âîçìîæíûé äîõîä Âàñè? È.Ðóáàíîâ 2. Ñì. çàäà÷ó 3 äëÿ 8 êëàññà. 3. Ñì. çàäà÷ó Ì2057 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 4. Ó äâóõ òðåóãîëüíèêîâ ðàâíû íàèáîëüøèå ñòîðîíû è ðàâíû íàèìåíüøèå óãëû. Ñòðîèòñÿ íîâûé òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè, ðàâíûìè ñóììàì ñîîòâåòñòâóþùèõ ñòîðîí äàííûõ òðåóãîëüíèêîâ (ñêëàäûâàþòñÿ íàèáîëüøèå ñòîðîíû äâóõ òðåóãîëüíèêîâ, ñðåäíèå ïî äëèíå ñòîðîíû è íàèìåíüøèå ñòîðîíû). Äîêàæèòå, ÷òî ïëîùàäü íîâîãî òðåóãîëüíèêà íå ìåíüøå óäâîåííîé ñóììû ïëîùàäåé èñõîäíûõ. Í.Àãàõàíîâ


"'

ÎËÈÌÏÈÀÄÛ

5. Ñì. çàäà÷ó 5 äëÿ 8 êëàññà. 6. Íà ñòîðîíå BC òðåóãîëüíèêà ABC âûáðàíà ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà D.  òðåóãîëüíèêè ABD è ACD âïèñàíû îêðóæíîñòè ñ öåíòðàìè K è L ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî îïèñàííûå îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêîâ BKD è CLD âòîðè÷íî ïåðåñåêàþòñÿ íà ôèêñèðîâàííîé îêðóæíîñòè. Ë.Åìåëüÿíîâ 7. Ñì. çàäà÷ó 2059 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 8. Ñðåäè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî 1200 âûáðàëè 372 ðàçëè÷íûõ ÷èñëà òàê, ÷òî íèêàêèå äâà èç íèõ íå ðàçëè÷àþòñÿ íà 4, 5 èëè 9. Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî 600 ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç âûáðàííûõ. Ä.Õðàìöîâ

10 êëàññ 1.  25 êîðîáêàõ ëåæàò øàðèêè íåñêîëüêèõ öâåòîâ. Èçâåñòíî, ÷òî ïðè ëþáîì k ( 1 £ k £ 25 ) â ëþáûõ k êîðîáêàõ ëåæàò øàðèêè ðîâíî k + 1 ðàçëè÷íûõ öâåòîâ. Äîêàæèòå, ÷òî øàðèêè îäíîãî èç öâåòîâ ëåæàò âî âñåõ êîðîáêàõ. Ñ.Âîë÷¸íêîâ 2. Äëÿ âåùåñòâåííûõ x > y > 0 è íàòóðàëüíûõ n > k



äîêàæèòå íåðàâåíñòâî xk - yk

 < x n

n

- yn



k

. Â.Ñåíäåðîâ

3. Ïðè êàêîì íàèìåíüøåì n äëÿ ëþáîãî íàáîðà A èç 2007 ìíîæåñòâ íàéäåòñÿ òàêîé íàáîð B èç n ìíîæåñòâ, ÷òî êàæäîå ìíîæåñòâî íàáîðà A ÿâëÿåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì äâóõ ðàçëè÷íûõ ìíîæåñòâ íàáîðà B? È.Áîãäàíîâ, Ã.×åëíîêîâ 4. Ñì. çàäà÷ó Ì2064 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 5. Ñì. çàäà÷ó Ì2056 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 6. Òî÷êà D íà ñòîðîíå BC òðåóãîëüíèêà ABC òàêîâà, ÷òî ðàäèóñû âïèñàííûõ îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêîâ ABD è ACD ðàâíû. Äîêàæèòå, ÷òî ðàäèóñû îêðóæíîñòåé, âíåâïèñàííûõ â òðåóãîëüíèêè ABD è ACD, êàñàþùèõñÿ îòðåçêîâ BD è CD ñîîòâåòñòâåííî, òàêæå ðàâíû. Ë.Åìåëüÿíîâ 7. Äàíî íàòóðàëüíîå ÷èñëî n > 6. Ðàññìàòðèâàþòñÿ íàòó-

(

)

ðàëüíûå ÷èñëà, ëåæàùèå â ïðîìåæóòêå n (n - 1) ; n2 è âçàèìíî ïðîñòûå ñ n (n - 1) . Äîêàæèòå, ÷òî íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü âñåõ òàêèõ ÷èñåë ðàâåí 1. Â.Àñòàõîâ

8.  êëåòêàõ òàáëèöû 15 ´ 15 èçíà÷àëüíî çàïèñàíû íóëè. Çà îäèí õîä ðàçðåøàåòñÿ âûáðàòü ëþáîé åå ñòîëáåö èëè ëþáóþ ñòðîêó, ñòåðåòü çàïèñàííûå òàì ÷èñëà è çàïèñàòü òóäà âñå ÷èñëà îò 1 äî 15 â ïðîèçâîëüíîì ïîðÿäêå – ïî îäíîìó â êàæäóþ êëåòêó. Êàêóþ ìàêñèìàëüíóþ ñóììó ÷èñåë â òàáëèöå ìîæíî ïîëó÷èòü òàêèìè õîäàìè? Ì.Ìóðàøêèí

11 êëàññ 1. Ñì. çàäà÷ó 1 äëÿ 10 êëàññà. 2. Êâàäðàòíûå òðåõ÷ëåíû f1  x  è f2  x  òàêîâû, ÷òî f1¢  x  f2¢  x  ³ f1  x  + f2  x 

ïðè âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ x. Äîêàæèòå, ÷òî ïðîèçâåäåíèå f1  x  f2  x  ðàâíî êâàäðàòó íåêîòîðîãî òðåõ÷ëåíà. Í.Àãàõàíîâ 3.  òðåóãîëüíèêå ABC íà ñòîðîíå BC âûáðàíà òî÷êà M òàê, ÷òî òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ìåäèàí òðåóãîëüíèêà ABM ëåæèò íà îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ACM, à òî÷êà ïåðå-

ñå÷åíèÿ ìåäèàí òðåóãîëüíèêà ACM ëåæèò íà îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABM. Äîêàæèòå, ÷òî ìåäèàíû òðåóãîëüíèêîâ ABM è ACM èç âåðøèíû M ðàâíû. À.Áàäçÿí 4. Íà ñòîëå ëåæàò êóïþðû äîñòîèíñòâîì 1, 2, …, 2n òóãðèêîâ. Äâîå õîäÿò ïî î÷åðåäè. Êàæäûì õîäîì èãðîê ñíèìàåò ñî ñòîëà äâå êóïþðû, áóëüøóþ îòäàåò ñîïåðíèêó, à ìåíüøóþ çàáèðàåò ñåáå. Êàæäûé ñòðåìèòñÿ ïîëó÷èòü êàê ìîæíî áîëüøå äåíåã. Ñêîëüêî òóãðèêîâ ïîëó÷èò íà÷èíàþùèé ïðè ïðàâèëüíîé èãðå? Ã.×åëíîêîâ, È.Áîãäàíîâ 5. Ïðè êàêèõ íàòóðàëüíûõ n íàéäóòñÿ òàêèå öåëûå a, b, c, ÷òî èõ ñóììà ðàâíà íóëþ, à ÷èñëî a n + b n + cn – ïðîñòîå? Â.Ñåíäåðîâ 6. Íà ïëîñêîñòè îòìå÷åíî íåñêîëüêî òî÷åê, êàæäàÿ ïîêðàøåíà â ñèíèé, æåëòûé èëè çåëåíûé öâåò. Íà ëþáîì îòðåçêå, ñîåäèíÿþùåì îäíîöâåòíûå òî÷êè, íåò òî÷åê ýòîãî æå öâåòà, íî åñòü õîòÿ áû îäíà äðóãîãî öâåòà. Êàêîâî ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå ÷èñëî âñåõ òî÷åê? Ì.Ìóðàøêèí 7. Ñì. çàäà÷ó Ì2063 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 8. Äëÿ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë x1, x2,K , xn äîêàæèòå íåðàâåíñòâî

1 + x1 1 + x1 + x2  K (1 + x1 + x2 + K + xn ) ³ ³

 n + 1 n +1

x1x2 K xn .

Ì.Ìóðàøêèí

Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï 8 êëàññ 1. Äàíû ÷èñëà a, b, c. Äîêàæèòå, ÷òî õîòÿ áû îäíî èç óðàâíåíèé x 2 + (a - b ) x + (b - c ) = 0 , x 2 +  b - c x +  c -

- a ) = 0 , x2 +  c - a  x +  a - b  = 0 èìååò ðåøåíèå. Î.Ïîäëèïñêèé

2.  êëåòêàõ òàáëèöû 10 ´ 10 ïðîèçâîëüíî ðàññòàâëåíû íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî 100, êàæäîå ïî îäíîìó ðàçó. Çà îäèí õîä ðàçðåøàåòñÿ ïîìåíÿòü ìåñòàìè ëþáûå äâà ÷èñëà. Äîêàæèòå, ÷òî çà 35 õîäîâ ìîæíî äîáèòüñÿ òîãî, ÷òîáû ñóììà ëþáûõ äâóõ ÷èñåë, ñòîÿùèõ â êëåòêàõ ñ îáùåé ñòîðîíîé, áûëà ñîñòàâíîé. Í.Àãàõàíîâ 3. Íà ñòîðîíå BC ðîìáà ABCD âûáðàíà òî÷êà M. Ïðÿìûå, ïðîâåäåííûå ÷åðåç M ïåðïåíäèêóëÿðíî äèàãîíàëÿì BD è AC, ïåðåñåêàþò ïðÿìóþ AD â òî÷êàõ P è Q ñîîòâåòñòâåííî. Îêàçàëîñü, ÷òî ïðÿìûå PB, QC è AM ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå. ×åìó ìîæåò áûòü ðàâíî îòíîøåíèå BM/MC? Ñ.Áåðëîâ, Ô.Ïåòðîâ, À.Àêîïÿí 4. Ñì. çàäà÷ó Ì2062 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 5. Îò Ìàéêîïà äî Áåëîðå÷åíñêà 24 êì. Òðè äðóãà äîëæíû äîáðàòüñÿ: äâîå èç Ìàéêîïà â Áåëîðå÷åíñê, à òðåòèé – èç Áåëîðå÷åíñêà â Ìàéêîï. Ó íèõ åñòü îäèí âåëîñèïåä, ïåðâîíà÷àëüíî íàõîäÿùèéñÿ â Ìàéêîïå. Êàæäûé èç äðóçåé ìîæåò èäòè, ñî ñêîðîñòüþ íå áîëåå 6 êì/÷, è åõàòü íà âåëîñèïåäå, ñî ñêîðîñòüþ íå áîëåå 18 êì/÷. Îñòàâëÿòü âåëîñèïåä áåç ïðèñìîòðà íåëüçÿ. Äîêàæèòå, ÷òî ÷åðåç 2 ÷àñà 40 ìèíóò âñå òðîå äðóçåé ìîãóò îêàçàòüñÿ â ïóíêòàõ íàçíà÷åíèÿ. Åõàòü íà âåëîñèïåäå âäâîåì íåëüçÿ. Ôîëüêëîð


#

ÊÂÀÍT 2007/¹5

6. ×åðåç òî÷êó I ïåðåñå÷åíèÿ áèññåêòðèñ òðåóãîëüíèêà ABC ïðîâåäåíà ïðÿìàÿ, ïåðåñåêàþùàÿ ñòîðîíû AB è BC â òî÷êàõ M è N ñîîòâåòñòâåííî. Òðåóãîëüíèê BMN îêàçàëñÿ îñòðîóãîëüíûì. Íà ñòîðîíå AC âûáðàíû òî÷êè K è L òàê, ÷òî ÐILA = ÐIMB , ÐIKC = ÐINB . Äîêàæèòå, ÷òî AM + KL + + CN = AC. Ñ.Áåðëîâ

îäíîé ëåíòî÷êè êóñîê, íà êîòîðîì çàïèñàíî N öèôð ïîäðÿä è íåò çàïÿòîé. Ïðè êàêîì íàèáîëüøåì N îí ñìîæåò ýòî ñäåëàòü òàê, ÷òîáû Äèìà íå ñìîã îïðåäåëèòü ïî ýòîìó êóñêó, êàêóþ ëåíòî÷êó èñïîðòèë Ñàøà? À.Ãîëîâàíîâ

7. Äëÿ íàòóðàëüíîãî n > 3 áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç n? (nâîïðîñèàë) ïðîèçâåäåíèå âñåõ ïðîñòûõ ÷èñåë, ìåíüøèõ n. Ðåøèòå óðàâíåíèå n? = 2n + 16. Â.Ñåíäåðîâ 8. Ñì. çàäà÷ó Ì2061 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».

1. Ãðàíè êóáà 9 ´ 9 ´ 9 ðàçáèòû íà åäèíè÷íûå êëåòêè. Êóá îêëååí áåç íàëîæåíèé áóìàæíûìè ïîëîñêàìè 2 ´ 1 (ñòîðîíû ïîëîñîê èäóò ïî ñòîðîíàì êëåòîê). Äîêàæèòå, ÷òî ÷èñëî ñîãíóòûõ ïîëîñîê íå÷åòíî. À.Ïîëÿíñêèé

9 êëàññ 1. Ïðèâåäåííûå êâàäðàòíûå òðåõ÷ëåíû f ( x ) è g  x  òàêîâû, ÷òî óðàâíåíèÿ f  g  x   = 0 è g  f  x   = 0 íå èìåþò âåùåñòâåííûõ êîðíåé. Äîêàæèòå, ÷òî õîòÿ áû îäíî èç óðàâíåíèé f  f  x   = 0 è g ( g ( x )) = 0 òîæå íå èìååò âåùåñòâåííûõ êîðíåé. Ñ.Áåðëîâ 2. Íà äîñêå íàïèñàëè 100 äðîáåé, ó êîòîðûõ â ÷èñëèòåëÿõ ñòîÿò âñå ÷èñëà îò 1 äî 100 ïî îäíîìó ðàçó è â çíàìåíàòåëÿõ ñòîÿò âñå ÷èñëà îò 1 äî 100 ïî îäíîìó ðàçó. Îêàçàëîñü, ÷òî ñóììà ýòèõ äðîáåé åñòü íåñîêðàòèìàÿ äðîáü ñî çíàìåíàòåëåì 2. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî ïîìåíÿòü ìåñòàìè ÷èñëèòåëè äâóõ äðîáåé òàê, ÷òîáû ñóììà ñòàëà íåñîêðàòèìîé äðîáüþ ñ íå÷åòíûì çíàìåíàòåëåì. Í.Àãàõàíîâ, È.Áîãäàíîâ 3. Äâà èãðîêà ïî î÷åðåäè ïðîâîäÿò äèàãîíàëè â ïðàâèëüíîì  2n + 1 -óãîëüíèêå (n > 1). Ðàçðåøàåòñÿ ïðîâîäèòü äèàãîíàëü, åñëè îíà ïåðåñåêàåòñÿ (ïî âíóòðåííèì òî÷êàì) ñ ÷åòíûì ÷èñëîì ðàíåå ïðîâåäåííûõ äèàãîíàëåé (è íå áûëà ïðîâåäåíà ðàíüøå). Ïðîèãðûâàåò èãðîê, êîòîðûé íå ìîæåò ñäåëàòü î÷åðåäíîé õîä. Êòî âûèãðûâàåò ïðè ïðàâèëüíîé èãðå? Ê.Ñóõîâ 4.  òðåóãîëüíèêå ABC ïðîâåäåíà áèññåêòðèñà BB1 . Ïåðïåíäèêóëÿð èç B1 íà BC ïåðåñåêàåò äóãó BC îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC â òî÷êå K. Ïåðïåíäèêóëÿð èç B íà AK ïåðåñåêàåò AC â òî÷êå L. Äîêàæèòå ÷òî òî÷êè K, L è ñåðåäèíà äóãè AC (íå ñîäåðæàùåé òî÷êó B) ëåæàò íà îäíîé ïðÿìîé. Â.Àñòàõîâ 5.  êàæäîé âåðøèíå âûïóêëîãî 100-óãîëüíèêà íàïèñàíî ïî äâà ðàçëè÷íûõ ÷èñëà. Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî âû÷åðêíóòü ïî îäíîìó ÷èñëó â êàæäîé âåðøèíå òàê, ÷òîáû îñòàâøèåñÿ ÷èñëà â ëþáûõ äâóõ ñîñåäíèõ âåðøèíàõ áûëè ðàçëè÷íûìè. Ô.Ïåòðîâ 6. Äàí îñòðîóãîëüíûé òðåóãîëüíèê ABC. Òî÷êè M è N – ñåðåäèíû ñòîðîí AB è BC ñîîòâåòñòâåííî, òî÷êà H – îñíîâàíèå âûñîòû, îïóùåííîé èç âåðøèíû B. Îïèñàííûå îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêîâ AHN è CHM ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå P ( P ¹ H ). Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ PH ïðîõîäèò ÷åðåç ñåðåäèíó îòðåçêà MN. Â.Ôèëèìîíîâ 7. Ñì. çàäà÷ó 8 äëÿ 8 êëàññà. 8. Äèìà ïîñ÷èòàë ôàêòîðèàëû âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 80 äî 99, íàøåë ÷èñëà, îáðàòíûå ê íèì, è íàïå÷àòàë ïîëó÷èâøèåñÿ äåñÿòè÷íûå äðîáè íà 20 áåñêîíå÷íûõ ëåíòî÷êàõ (íàïðèìåð, íà ïîñëåäíåé ëåíòî÷êå áûëî íàïå÷àòàíî 1 ÷èñëî = 0,00 00 1 4K 24 3 10715 K ). Ñàøà õî÷åò âûðåçàòü èç 99! 155 íóëåé

10 êëàññ

2. Äàí ìíîãî÷ëåí P ( x ) = a0 x n + a1x n -1 + K + an -1x + an . Ïîëîæèì m = min {a0, a0 + a1,K , a0 + a1 + K + an } . Äîêàæèòå, ÷òî P ( x ) ³ mx n ïðè x ³ 1 . À.Õðàáðîâ 3. Ñì. çàäà÷ó 4 äëÿ 9 êëàññà. 4. Ôîêóñíèê ñ ïîìîùíèêîì ñîáèðàþòñÿ ïîêàçàòü òàêîé ôîêóñ. Çðèòåëü ïèøåò íà äîñêå ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç N öèôð. Ïîìîùíèê ôîêóñíèêà çàêðûâàåò äâå ñîñåäíèõ öèôðû ÷åðíûì êðóæêîì. Çàòåì âõîäèò ôîêóñíèê. Åãî çàäà÷à – îòãàäàòü îáå çàêðûòûå öèôðû (è ïîðÿäîê, â êîòîðîì îíè ðàñïîëîæåíû).Ïðè êàêîì íàèìåíüøåì N ôîêóñíèê ìîæåò äîãîâîðèòüñÿ ñ ïîìîùíèêîì òàê, ÷òîáû ôîêóñ ãàðàíòèðîâàííî óäàëñÿ? Ê.Êíîï, Î.Ëåîíòüåâà 5. Äàí íàáîð èç n > 2 âåêòîðîâ. Íàçîâåì âåêòîð íàáîðà äëèííûì, åñëè åãî äëèíà íå ìåíüøå äëèíû ñóììû îñòàëüíûõ âåêòîðîâ íàáîðà. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè êàæäûé âåêòîð íàáîðà – äëèííûé, òî ñóììà âñåõ âåêòîðîâ íàáîðà ðàâíà íóëþ. Í.Àãàõàíîâ 6. Äâå îêðóæíîñòè ω1 è ω2 ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êàõ A è B. Ïóñòü PQ è RS – îòðåçêè îáùèõ âíåøíèõ êàñàòåëüíûõ ê ýòèì îêðóæíîñòÿì (òî÷êè P è R ëåæàò íà ω1 , òî÷êè Q è S – íà ω2 ). Îêàçàëîñü, ÷òî RB P PQ . Ëó÷ RB âòîðè÷íî ïåðåñåêàåò ω2 â òî÷êå W. Íàéäèòå îòíîøåíèå RB/BW. Ñ.Áåðëîâ 7. Ó âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà îäíà âåðøèíà A èìååò ñòåïåíü 5, à âñå îñòàëüíûå – ñòåïåíü 3 (ñòåïåíüþ âåðøèíû íàçûâàåòñÿ êîëè÷åñòâî âûõîäÿùèõ èç íåå ðåáåð). Íàçîâåì ðàñêðàñêó ðåáåð ìíîãîãðàííèêà â ñèíèé, êðàñíûé è ëèëîâûé öâåòà õîðîøåé, åñëè äëÿ ëþáîé âåðøèíû ñòåïåíè 3 âñå âûõîäÿùèå èç íåå ðåáðà ïîêðàøåíû â ðàçíûå öâåòà. Îêàçàëîñü, ÷òî êîëè÷åñòâî õîðîøèõ ðàñêðàñîê íå äåëèòñÿ íà 5. Äîêàæèòå, ÷òî â îäíîé èç õîðîøèõ ðàñêðàñîê êàêèå-òî òðè ïîñëåäîâàòåëüíûõ ðåáðà, âûõîäÿùèå èç A, ïîêðàøåíû â îäèí öâåò. Ä.Êàðïîâ 8. Ñì. çàäà÷ó 8 äëÿ 9 êëàññà.

11 êëàññ 1. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè k > 10 â ïðîèçâåäåíèè f  x  = cos x cos 2x cos 3x K cos 2k x ìîæíî çàìåíèòü îäèí cos íà sin òàê, ÷òî ïîëó÷èòñÿ ôóíêöèÿ f1  x  , óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïðè âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ x íåðà3 âåíñòâó f1  x  £ k +1 . 2 Í.Àãàõàíîâ

2. Ñì. çàäà÷ó Ì2060 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 3. Ñì. çàäà÷ó 4 äëÿ 10 êëàññà. 4. Ñì. çàäà÷ó Ì2065 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».


#

ÎËÈÌÏÈÀÄÛ

5. Ñì. çàäà÷ó 5 äëÿ 9 êëàññà. 6. Ñóùåñòâóþò ëè íåíóëåâûå ÷èñëà a, b, c òàêèå, ÷òî ïðè ëþáîì n > 3 ìîæíî íàéòè ìíîãî÷ëåí âèäà Pn  x  = x n + K K + ax2 + bx + c , èìåþùèé ðîâíî n (íå îáÿçàòåëüíî ðàçëè÷íûõ) öåëûõ êîðíåé? Í.Àãàõàíîâ, È.Áîãäàíîâ 7. Äàíà òðåóãîëüíàÿ ïèðàìèäà. Ëåøà õî÷åò âûáðàòü äâà åå ñêðåùèâàþùèõñÿ ðåáðà è íà íèõ, êàê íà äèàìåòðàõ, ïîñòðîèòü øàðû. Âñåãäà ëè îí ìîæåò âûáðàòü òàêóþ ïàðó, ÷òî ëþáàÿ òî÷êà ïèðàìèäû ëåæèò õîòÿ áû â îäíîì èç ýòèõ øàðîâ? À.Çàñëàâñêèé

8.  ñòðàíå åñòü N ãîðîäîâ. Íåêîòîðûå ïàðû èç íèõ ñîåäèíåíû áåñïîñàäî÷íûìè äâóñòîðîííèìè àâèàëèíèÿìè. Îêàçàëîñü, ÷òî äëÿ ëþáîãî k ( 2 £ k £ N ) ïðè ëþáîì âûáîðå k ãîðîäîâ êîëè÷åñòâî àâèàëèíèé ìåæäó ýòèìè ãîðîäàìè íå áóäåò ïðåâîñõîäèòü 2k – 2. Äîêàæèòå, ÷òî âñå àâèàëèíèè ìîæíî ðàñïðåäåëèòü ìåæäó äâóìÿ àâèàêîìïàíèÿìè òàê, ÷òî íå áóäåò çàìêíóòîãî àâèàìàðøðóòà, â êîòîðîì âñå àâèàëèíèè ïðèíàäëåæàò îäíîé êîìïàíèè. È. Áîãäàíîâ, Ã. ×åëíîêîâ

Ïðèçåðû îëèìïèàäû Äèïëîìû I ñòåïåíè ïî 8 êëàññàì ïîëó÷èëè Èâëåâ Ôåäîð – Ìîñêâà, ãèìíàçèÿ 1543, Ìàòäèíîâ Ìàðñåëü – Îðåíáóðã, ãèìíàçèÿ 1; ïî 9 êëàññàì – Åðîõèí Ñòàíèñëà⠖ Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Áðàãèí Âëàäèìèð – Ñíåæèíñê, ãèìíàçèÿ 127; ïî 10 êëàññàì – Àðäèíàðöåâ Íèêèòà – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Ãîðèíîâ Åâãåíèé – Êèðîâ, ÔÌË, Êåâåð Ìèõàèë – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Îìåëüÿíåíêî Âèêòîð – Áåëãîðîä, ëèöåé 38, 8 êë., Áàáè÷åâ Äìèòðèé – Äîëãîïðóäíûé, øêîëà 5, Êóäûê Íèêèòà – Îìñê, øêîëà 117; ïî 11 êëàññàì – Åñèí Àëåêñåé – Êðàñíîäàðñêèé êð., ñò.Ñòàðîíèæåñòåáëèåâñêàÿ, øêîëà 55.

ßíóøåâè÷ Ëåîíèä – Ìîñêâà, äèñòàíöèîííàÿ øêîëà «iøêîëà», Ïîëÿêîâ Âëàäèìèð – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Áàæîâ Èâàí – Åêàòåðèíáóðã, ãèìíàçèÿ 9, Àíäðååâ Ìèõàèë – Ìîñêâà, Ìîñêîâñêàÿ ãîñóäàðñòâåííàÿ Ïÿòüäåñÿò ñåäüìàÿ øêîëà; ïî 11 êëàññàì – Âîëêîâ Âëàäèñëà⠖ Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, 10 êë., Èëþõèíà Ìàðèÿ – Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà», Ìàòâååâ Êîíñòàíòèí – Îìñê, ëèöåé 66, Äðîçäîâ Ñåðãåé – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé «ÔÒØ», Ìèòðîôàíîâ Èâàí – Êîëîìíà, ãèìíàçèÿ 2, Ëûñîâ Ìèõàèë – Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà», Ñàôèí Ñòàíèñëà⠖ Êðàñíîäàð, ëèöåé «ÈÑÒÝÊ», Ëèøàíñêèé Àíäðåé – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Ëîãóíîâ Àëåêñàíäð – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Ñåïëÿðñêìÿ Àííà – ×åðíîãîëîâêà, øêîëà 82, ßðóøèí Äìèòðèé – ×åëÿáèíñê, ëèöåé 31, Àðóòþíîâ Âëàäèìèð – Ìîñêâà, ãèìíàçèÿ 1543.

Äèïëîìû II ñòåïåíè

Äèïëîìû III ñòåïåíè

ïî 8 êëàññàì ïîëó÷èëè Ìåäâåäü Íèêèòà – Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà», Ìîêèí Âàñèëèé – Ñàðàòîâ, ÔÒË 1, Áëèíîâ Àíäðåé – Ìîñêâà, øêîëà-èíòåðíàò «Èíòåëëåêòóàë»;

ïî 8 êëàññàì ïîëó÷èëè Áîíäàðåíêî Ìèõàèë – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Þäèí Ñåðãåé – Âîëîãäà, Âîëîãîäñêèé ìíîãîïðîôèëüíûé ëèöåé, Ãîëîâà Àííà – Êðàñíîäàð, øêîëà 74, Èñààê Åâãåíèé – Êóðãàí, øêîëà 38, Ïå÷èíà Àííà – Äîëãîïðóäíûé, øêîëà 5, Ïèâåíü Íèêèòà – Ìàéêîï, øêîëà 8, Áåëÿêîâ Ñåðãåé – Îìñê, ëèöåé 64, Êîíäðàòüåâ Ìèõàèë – Ìàéêîï, ãèìíàçèÿ 22, Êóðíîñîâ Àðòåì – Íèæíåêàìñê, ëèöåé-èíòåðíàò 24, Ñåðãèåíêî ßðîñëà⠖ Êðàñíîäàð, ëèöåé «ÈÑÒÝÊ», 7 êë., Ñòåïàíîâ Áîðèñ – Åêàòåðèíáóðã, ãèìíàçèÿ 9, Þæàíèí Äåíèñ – Êèðîâ, ÔÌË, Äîâãàëþê Åêàòåðèíà – Íèæíèé Íîâãîðîä, ëèöåé 165;

ïî 9 êëàññàì – Íåíàøåâ Ãëåá – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Ïîãîðåëîâ Äìèòðèé – Íèæíèé Íîâãîðîä, ëèöåé 165, Ãóñåâ Äàíèèë – Äçåðæèíñê, øêîëà 2, Îðëîâ Îëå㠖 Ïåðìü, øêîëà 146, Øàáàëèí Ôèëèïï – Êèðîâ, ÔÌË, Áî÷êàð¸â Ìèõàèë – Ïåðìü, øêîëà 9, Ãëþç Áîðèñ – Ìàéêîï, ãèìíàçèÿ 22, Íèæèáèöêèé Åâãåíèé – Êðàñíîäàð, øêîëà 73, Ðóññêèõ Ìàðèàííà – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Ñåìåíîâ Àëåêñàíäð – Áåëîðåöê, Áåëîðåöêàÿ êîìïüþòåðíàÿ øêîëà, Öàðüêîâ Îëå㠖 Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà», Êîíäàêîâà Åëèçàâåòà – Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà», Ïîïîâ Ëåîíèä – Ïåðìü, øêîëà 146, ×åðêàøèí Äàíèëà – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé 533, Êóøíèð Àíäðåé – Èðêóòñê, ëèöåé 2, 8 êë., Ñàâåíêîâ Êèðèëë – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, 8 êë., Ñàâ÷èê Àëåêñåé – Ìîñêâà, Ìîñêîâñêàÿ ãîñóäàðñòâåííàÿ Ïÿòüäåñÿò ñåäüìàÿ øêîëà;

ïî 9 êëàññàì – Êëèìîâèöêèé Èîñèô – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, 8 êë., Ëóêüÿíåö Åâãåíèé – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Ãîðáà÷åâà Èðèíà – Êðàñíîäàð, øêîëà 64, 8 êë., Ãóñåâ Àíòîí – Îìñê, ëèöåé 64, Êóçíåöîâ Ðîñòèñëà⠖ Êèðîâ, ÔÌË, Ðàäîíåö Àëåêñåé – Êðàñíîäàð, ëèöåé «ÈÑÒÝÊ», Òûùóê Êîíñòàíòèí – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, 8 êë., Óñòèíîâ Íèêèòà – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, 8 êë.;

ïî 10 êëàññàì – Áîéêèé Ðîìàí – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239,

ïî 10 êëàññàì – Ìàøêîâñêèé Àðòåì – ×åëÿáèíñê, ëèöåé 31,


#

ÊÂÀÍT 2007/¹5

Ðàñïîïîâ Àëåêñåé – Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÔÌË 33, Øàìøóðèí Àëåêñåé – Èæåâñê, ãóìàíèòàðíî-åñòåñòâåííûé ëèöåé 41, Àðõèïîâ Äìèòðèé – ßðîñëàâëü, øêîëà 33, Êàëà÷¸â Ãëåá – Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà», Ñåìåíîâ Èâàí – Äîëãîïðóäíûé, øêîëà 5, Òèòîâ Èâàí – Åêàòåðèíáóðã, ãèìíàçèÿ 9, Õàñàíîâ Òèìóð – Êàçàíü, ÔÌË 131, Ðîìàñêåâè÷ Åëåíà – Ìîñêâà, ãèìíàçèÿ 1543; ïî 11 êëàññàì – Îñòðîóìîâà Ëþäìèëà – ßðîñëàâëü, øêîëà 33, Âîðîáüåâ Ñåðãåé – Êèðîâ, ÔÌË, Ìàðòåìüÿíîâ Ðîìàí – Áàðíàóë, øêîëà 107, Áàðàíîâ Ýäóàðä – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Ëóðüå Äåíèñ – Æóêîâñêèé, ãèìíàçèÿ 1, Ìèõàéëîâñêèé Íèêèòà – ×åëÿáèíñê, ëèöåé 31, ×ìóòèí Ãåîðãèé – Ìîñêâà, Ìîñêîâñêàÿ ãîñóäàðñòâåííàÿ Ïÿòüäåñÿò ñåäüìàÿ øêîëà,

Àâèëîâ Àðòåì – Ìîñêâà, Ìîñêîâñêàÿ ãîñóäàðñòâåííàÿ Ïÿòüäåñÿò ñåäüìàÿ øêîëà, Âèêóëàåâ Ïàâåë – Ðûáèíñê, ëèöåé 2, Ìàëååâ Àíäðåé – Ñíåæèíñê, ãèìíàçèÿ 127, Ðóäåíêî Äàíèèë – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Ôåëüäìàí Ãðèãîðèé – Íîâîñèáèðñê, ãèìíàçèÿ 1, Êîæèí Åâãåíèé – Äîëãîïðóäíûé, øêîëà 5, Êîðîâêèí Ìèõàèë – Èæåâñê, ÈÅÃË «Øêîëà-30», Ðóäåíêî Íàòàëüÿ – Êèðîâ, ÔÌË, Õàéðóëëèí Ðàâèëü – ×åëÿáèíñê, ëèöåé 31, ×óâàøîâ Ñåðãåé – Êèðîâ, ÔÌË, Øìàðîâ Âëàäèìèð – Ñàðîâ, ëèöåé 15, Ïîãóäèí Ãëåá – Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ, Ìèññàðîâà Àëñó – Êàçàíü, ëèöåé èì. Í.È.Ëîáà÷åâñêîãî ïðè ÊÃÓ. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Í.Àãàõàíîâ, È.Áîãäàíîâ, Ï.Êîæåâíèêîâ, Î.Ïîäëèïñêèé

XLI Âñåðîññèéñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå  ýòîì ãîäó Âñåðîññèéñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå ïðîõîäèëà â Ñàíêò-Ïåòåðáóðãå, òî÷íåå – â åãî èñòîðè÷åñêîì ïðèãîðîäå Ïåòåðãîôå. Âñå îñíîâíûå õëîïîòû ïî ïðèåìó ãîñòåé, èõ ðàçìåùåíèþ, îðãàíèçàöèè êóëüòóðíîé ïðîãðàììû, ïðîâåäåíèþ òóðîâ îëèìïèàäû, àïåëëÿöèè, öåðåìîíèé îòêðûòèÿ è çàêðûòèÿ ëåãëè íà ïëå÷è êîëëåêòèâà ôèçè÷åñêîãî ôàêóëüòåòà Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. Âñåãî â îëèìïèàäå ïðèíÿëè ó÷àñòèå 215 øêîëüíèêîâ, âêëþ÷àÿ ïðèçåðîâ îêðóæíîãî ýòàïà îëèìïèàäû òåêóùåãî ãîäà è øêîëüíèêîâ, óäîñòîåííûõ äèïëîìîâ I, II è III ñòåïåíè íà ïðîøëîãîäíåé îëèìïèàäå. Çàäà÷è äëÿ òåîðåòè÷åñêîãî òóðà áûëè ðàçðàáîòàíû ìåòîäè÷åñêîé êîìèññèåé ïðè Öåíòðàëüíîì îðãàíèçàöèîííîì êîìèòåòå Âñåðîññèéñêèõ îëèìïèàä øêîëüíèêîâ. Ýêñïåðèìåíòàëüíûå çàäàíèÿ ðàçðàáàòûâàëè è ãîòîâèëè ÷ëåíû æþðè èç Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîãî ãîñóäàðñòâåííîãî óíèâåðñèòåòà. Íèæå ïðèâîäÿòñÿ óñëîâèÿ çàäà÷ òåîðåòè÷åñêîãî òóðà çàêëþ÷èòåëüíîãî ýòàïà è ñïèñîê ïðèçåðîâ îëèìïèàäû.

Òåîðåòè÷åñêèé òóð 9 êëàññ Çàäà÷à 1. Øàéáà íà ëüäó Ïî ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ñêîëüçèò ïëàñòèíêà, íà êîòîðîé îòìå÷åíû 3 òî÷êè À,  è Ñ, ëåæàùèå â âåðøèíàõ ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ñ óãëîì 30° ïðè âåðøèíå  (ðèñ.1). Ãèïîòåíóçà òðåóãîëüíèêà ðàâíà L.  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ñêîðîñòü òî÷êè À ðàâíà ïî ìîäóëþ v0 è íàïðàâëåíà ïîä óãëîì 30° ê êàòåòó ÂÑ. Èçâåñòíî òàêæå, ÷òî ñêîðîñòü òî÷êè B â ýòîò ìîìåíò âðåìåíè íàïðàâëåíà âäîëü ëèíèè a1a2 , ïàðàëëåëüíîé êàòåòó ÀÑ. Îïðåäåëèòå: ìîäóëü è íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè òî÷êè Â; ìîäóëü è íàïðàâëåíèå ñêîðîñòè òî÷êè Ñ; ïîëîæåíèå òî÷êè Î, ñêîðîñòü â êîòîðîé â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè ðàâíà íóëþ. Èçîáðàçèòå íà ÷åðòåæå âåêòîðû ñêîðîñòåé òî÷åê  è Ñ, à

òàêæå ïîëîæåíèå òî÷êè Î. Ôîëüêëîð Çàäà÷à 2. Ñëó÷àé íà ñòàíöèè Ïàññàæèðñêèé ïîåçä äëèíîé l ñòîÿë íà ïåðâîì ïóòè.  ïîñëåäíåì âàãîíå ñèäåë Äÿäÿ Ôåäîð (ãåðîé êíèãè Ý.Óñïåíñêîãî «Êàíèêóëû â Ðèñ. 1 Ïðîñòîêâàøèíî») è îæèäàë ïèñüìî, êîòîðîå åìó äîëæåí áûë ïåðåäàòü Øàðèê îò êîòà Ìàòðîñêèíà.  òîò ìîìåíò, êîãäà ïîåçä òðîíóëñÿ, íà ïðèâîêçàëüíîé ïëîùàäè, êàê ðàç íàïðîòèâ ïåðâîãî âàãîíà, ïîÿâèëñÿ Øàðèê (ðèñ.2). Îí îïðåäåëèë, ÷òî ðàññòîÿíèå äî ïîñëåäíåãî âàãîíà ðàâíî L. Ñ êàêîé ìèíèìàëüíîé ñêîðîñòüþ v0 äîëæåí áåæàòü ïåñ, ÷òîáû ïåðåäàòü ïèñüìî, åñëè ïîåçä äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííûì óñêîðåíèåì à? Â.Ñëîáîäÿíèí Çàäà÷à 3. Îòîïëåíèå äà÷íîãî äîìèêà Äà÷íûé äîìèê îòàïëèâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ýëåêòðè÷åñêèõ áàòàðåé. Ïðè Ðèñ. 2 òåìïåðàòóðå áàòàðåé tá1 = 40 °C è òåìïåðàòóðå íàðóæíîãî âîçäóõà t1 = -10 °C â äîìèêå óñòàíàâëèâàåòñÿ òåìïåðàòóðà t = 20 °C . Âî ñêîëüêî ðàç íàäî óâåëè÷èòü ñèëó òîêà â áàòàðåÿõ, ÷òîáû ïðåæíÿÿ òåìïåðàòóðà â êîìíàòå ïîääåðæèâàëàñü â õîëîäíûå äíè ïðè òåìïåðàòóðå t2 = –25 °Ñ? Êàêîâà ïðè ýòîì áóäåò òåìïåðàòóðà áàòàðåé tá2 ? Ñ÷èòàòü ýëåêòðè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå íàãðåâàòåëüíûõ ýëåìåíòîâ íå çàâèñÿùèì îò òåìïåðàòóðû. Ì.Ñîáîëåâ


ÎËÈÌÏÈÀÄÛ

Çàäà÷à 4. «×åðíûé ÿùèê» Â «÷åðíîì ÿùèêå» ñ òðåìÿ âûâîäàìè íàõîäÿòñÿ äâà ðåçèñòîðà è íåëèíåéíûé ýëåìåíò (ëàìïî÷êà îò êàðìàííîãî ôîíàðèêà), âîëüò-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà êîòîðîãî èçîáðàæåíà íà ðèñóíêå 3 (ãðàôèê ÂÀÕ Ë). Íà òîì æå ðèñóíêå èçîáðàæåíû âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè «÷åðíîãî ÿùèêà»,

#!

êîòîðàÿ â ñâîþ î÷åðåäü âðàùàåòñÿ âîêðóã Ñîëíöà (âðàùåíèÿ ïðîèñõîäÿò â îäíó ñòîðîíó). Âû÷èñëèòå ðàäèóñû êðèâèçíû rï è rí òðàåêòîðèè Ëóíû â ãåëèîöåíòðè÷åñêîé ñèñòåìå îòñ÷åòà âî âðåìÿ ïîëíîëóíèÿ è íîâîëóíèÿ. Îòâåò âûðàçèòå â àñòðîíîìè÷åñêèõ åäèíèöàõ. Îòìåòüòå êà÷åñòâåííî ïîëîæåíèÿ ñîîòâåòñòâóþùèõ öåíòðîâ êðèâèçíû (òî÷êè Oï è Oí ) íà

Ðèñ. 5

ðèñóíêå 5, íà êîòîðîì èçîáðàæåíû Ñîëíöå, Çåìëÿ è Ëóíà. Îòíîøåíèå ìàññû Çåìëè ê ìàññå Ñîëíöà ðàâíî mÇ mC = 3 ⋅ 10−6 . Ôîëüêëîð

Ðèñ. 3

ñíÿòûå ìåæäó âûâîäàìè 2–3 è 1–2. Îïðåäåëèòå ñîïðîòèâëåíèÿ îáîèõ ðåçèñòîðîâ. Íàðèñóéòå ñõåìó ñîåäèíåíèÿ ýëåìåíòîâ «÷åðíîãî ÿùèêà» è óêàæèòå íà íåé çíà÷åíèÿ ñîïðîòèâëåíèé ðåçèñòîðîâ. Ãðàôè÷åñêè ïîñòðîéòå âîëüò-àìïåðíóþ õàðàêòåðèñòèêó «÷åðíîãî ÿùèêà» ìåæäó âûâîäàìè 1–3. Ïðåäïîëàãàÿ, ÷òî ëàìïî÷êà ðàññ÷èòàíà íà íàïðÿæåíèå U0 = 4,5 B , îïðåäåëèòå, êàêîå íàïðÿæåíèå íóæíî ñîçäàòü ìåæäó âûâîäàìè 1 è 3, ÷òîáû îíà ãîðåëà ïîëíûì íàêàëîì. Ïðèìå÷àíèå. Íåîáõîäèìûå ïîñòðîåíèÿ ñëåäóåò ïðîèçâîäèòü íåïîñðåäñòâåííî íà ïðèâåäåííîì ðèñóíêå. Ñ.Êîçåë

10 êëàññ Çàäà÷à 1. Ñòîëêíîâåíèå äèñêîâ Íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè íàõîäÿòñÿ äâà îäèíàêîâûõ äèñêà ñ ãëàäêèìè áîêîâûìè ïîâåðõíîñòÿìè. Ïåðâûé ïîêîèòñÿ, à âòîðîìó ñîîáùàþò ñêîðîñòü v. Íàéäèòå ñêîðîñòè äèñêîâ ïîñëå èõ óïðóãîãî ñîóäàðåíèÿ, èñïîëüçóÿ ðèñóíîê 4, ãäå îòìå÷åíû ïîëîæåíèÿ öåíòðà ïåðâîãî äèñêà äî ñòîëêíîâåíèÿ – òî÷êà À – è ïîëîæåíèÿ öåíòðîâ ïåðâîãî è âòîðîãî äèñêîâ â îäèí è Ðèñ. 4 òîò æå ìîìåíò âðåìåíè ïîñëå ñòîëêíîâåíèÿ – òî÷êè  è Ñ ñîîòâåòñòâåííî. Òðåíèåì ïðåíåáðå÷ü. È.Âîðîáüåâ Çàäà÷à 2. Êðèâèçíà òðàåêòîðèè Ëóíû  àñòðîíîìèè çà åäèíèöó äëèíû ïðèíÿòî ñðåäíåå ðàññòîÿíèå R îò Çåìëè äî Ñîëíöà, íàçûâàåìîå àñòðîíîìè÷åñêîé åäèíèöåé (1 à.å.).  ãåîöåíòðè÷åñêîé ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ Çåìëåé, Ëóíà âðàùàåòñÿ ïî êðóãîâîé îðáèòå ðàäèóñîì rË = 2,57 ⋅ 10 −3 à.å. .  ãåëèîöåíòðè÷åñêîé ñèñòåìå òðàåêòîðèÿ íàøåãî åñòåñòâåííîãî ñïóòíèêà âûãëÿäèò ãîðàçäî áîëåå ñëîæíî, ïîñêîëüêó Ëóíà âðàùàåòñÿ âîêðóã Çåìëè,

Çàäà÷à 3. Ñêîðîñòü ïîòîêà âîäû Äëÿ èçìåðåíèÿ ñêîðîñòè ïîòîêà âîäû â îòîïèòåëüíîé ñèñòåìå èñïîëüçóåòñÿ óñòðîéñòâî, èçîáðàæåííîå íà ðèñóíêå 6 (òàê íàçûâàåìûé ìàíîìåòð Âåíòóðè). Ñêîðîñòü ïîòîêà èçìåðÿåòñÿ â òðóáå ñ äèàìåòðîì d1 = 2 ñì , âáëèçè óñòàíîâêè ìàíîìåòðà òðóáà ñóæàåòñÿ äî äèàìåòðà d2 = 0,6 ñì .  âåðõíåé ÷àñòè Ï-îáðàçíîé ìàíîìåòðè÷åñêîé òðóáêè ñî- Ðèñ. 6 äåðæèòñÿ ìàñëî ñ ïëîòíîñòüþ ρì = 0,82 ã ñì3 . Âåðòèêàëüíûå êîëåíà òðóáêè âðåçàíû â øèðîêóþ è óçêóþ ÷àñòè òðóáû ñ òåêóùåé âîäîé. Ðàññìàòðèâàÿ âîäó êàê èäåàëüíóþ íåñæèìàåìóþ æèäêîñòü, îïðåäåëèòå îáúåì âîäû, ïðîòåêàþùåé ÷åðåç òðóáó â 1 ñ, åñëè ðàçíîñòü óðîâíåé âîäû â âåðòèêàëüíûõ êîëåíàõ ìàíîìåòðè÷åñêîé òðóáêè h = 1,2 ñì. Ïëîòíîñòü âîäû ρ = 1 ã ñì 3 . Ñ.Êîçåë Çàäà÷à 4. Ïóçûðåê âîçäóõà â âîäå  âûñîêîì âåðòèêàëüíî ðàñïîëîæåííîì çàêðûòîì öèëèíäðè÷åñêîì ñîñóäå ñå÷åíèåì S è âûñîòîé h íàõîäèòñÿ âîäà, çàíèìàþùàÿ âåñü îáúåì ñîñóäà, êðîìå ìàëåíüêîãî ïóçûðüêà âîçäóõà îáúåìîì V, îáðàçîâàâøåãîñÿ ó äíà (ðèñ.7). Äàâëåíèå âîäû â âåðõíåé ÷àñòè ñîñóäà ðàâíî àòìîñôåðíîìó äàâëåíèþ p0 . Îïðåäåëèòå, êàêèì áóäåò äàâëåíèå âîäû â âåðõíåé ÷àñòè ñîñóäà, ïîñëå òîãî êàê ïóçûðåê ïîäíèìåòñÿ ââåðõ. Ïðîöåññ ñ÷èòàòü èçîòåðìè÷åñêèì. Ìîäóëü âñåñòîðîííåãî ñæàòèÿ æèäêîñòè ðàâåí K. Ðàññìîòðèòå ïðåäåëüíûå ïåðåõîäû: à) V → 0 ; á) K → 0 (ñèëüíî ñæèìàåìàÿ æèäêîñòü); â) K → ∞ (íåñæèìàåìàÿ æèäêîñòü). Íàéäèòå ÷èñëåííîå ðåøåíèå äëÿ ñëó÷àÿ h = = 3 ì, S = 10 ñì 2 , V = 0,2 ñì 3 , K = 2 × 109 Ïà , ïëîòíîñòü âîäû ρ = 103 êã ì 3 , óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ g = 10 ì ñ2 . Ïðèìå÷àíèå. Ìîäóëü âñåñòîðîííåãî ñæàòèÿ æèäêîñòè K îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì ∆p = = - K ∆V* V* , ãäå ∆p – èçìåíåíèå äàâëåíèÿ, ∆V* V* = ε – îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå îáúåìà æèäêîñòè. Â.Ïëèñ Ðèñ. 7


#"

ÊÂÀÍT 2007/¹5

Çàäà÷à 5. «×åðíûé ÿùèê» Øêîëüíèêó Âàñå Íåçíàéêèíó íà îëèìïèàäå ïî ôèçèêå ïðåäëîæèëè ðàçãàäàòü ñõåìó «÷åðíîãî ÿùèêà» ñ òðåìÿ âûâîäàìè (ðèñ.8), â êîòîðîì ïî óñëîâèþ çàäà÷è íàõîäèëèñü äâà ðåçèñòîðà è íåëèíåéíûé ýëåìåíò – àâòîìîáèëüíàÿ ëàìïî÷êà, ðàññ÷èòàííàÿ íà íîìèíàëüíûå íàïðÿæåíèå UN = 12 B è ìîùíîñòü PN = 6 Âò . Áûëè ïðèâåäåíû äâå âîëüò-àìïåðíûå õàðàêòåðèñòèêè (ðèñ.9), ñíÿòûå ìåæÐèñ. 8 äó âûâîäàìè 1 è 2 (ÂÀÕ 1–2) è âûâîäàìè 2 è 3 (ÂÀÕ 2–3). Íóæíî áûëî: ïðîàíàëèçèðîâàòü âîçìîæíûå ñõåìû âêëþ÷åíèÿ ýëåìåíòîâ ÷åðíîãî ÿùèêà,

Ðèñ. 9

ñîâìåñòèìûå ñ óñëîâèåì çàäà÷è; âûáðàòü îäíó èç âîçìîæíûõ ñõåì è îïðåäåëèòü äëÿ ýòîé ñõåìû ñîïðîòèâëåíèÿ ðåçèñòîðîâ; ïîñòðîèòü âîëüò-àìïåðíóþ õàðàêòåðèñòèêó íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà; ïîñòðîèòü âîëüò-àìïåðíóþ õàðàêòåðèñòèêó, ñíÿòóþ ìåæäó âûâîäàìè 1 è 3. Ïðèìå÷àíèå. Íåîáõîäèìûå ïîñòðîåíèÿ ñëåäóåò âûïîëíÿòü íåïîñðåäñòâåííî íà äàííîì ðèñóíêå. Ñ.Êîçåë

11 êëàññ Çàäà÷à 1. Àííèãèëÿöèÿ ÷àñòèö  âàêóóìå íà ðàññòîÿíèè L = 10 ñì äðóã îò äðóãà íàõîäÿòñÿ ïðîòîí p + è àíòèïðîòîí p - . Îáå ÷àñòèöû èìåþò îäèíàêîâûå ìàññû m = 1,67 × 10-27 êã è îäèíàêîâûå ïî ìîäóëþ çàðÿäû e = 1,602 × 10-19 Êë .  ïåðâûé ìîìåíò ÷àñòèöû íåïîäâèæíû. Ïðè ñáëèæåíèè ÷àñòèö äî ðàññòîÿíèÿ l = 10-13 ì ïðîèñõîäèò èõ àííèãèëÿöèÿ ñ ðîæäåíèåì γ -êâàíòîâ. Êàêèå ñêîðîñòè áóäóò èìåòü ÷àñòèöû ïðè òàêîì ñáëèæåíèè? ×åðåç êàêîå âðåìÿ ïðîèçîéäåò àííèãèëÿöèÿ ÷àñòèö? Íóæíî ëè ïðè ðåøåíèè çàäà÷è ó÷èòûâàòü ãðàâèòàöèîííûå ñèëû, äåéñòâóþùèå ìåæäó ÷àñòèöàìè? Îòâåò ïîÿñíèòå ðàñ÷åòîì. Ýëåêòðè÷åñêàÿ ïîñòîÿííàÿ ε0 = 0,885 ⋅ 10−11 Êë2 Í ⋅ ì2 . Ãðàâèòà-

(

2

öèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ G = 6,67 ⋅ 10−11 Í ⋅ ì2 êã .

)

Ñ.Êîçåë

Çàäà÷à 2. Ñòîëêíîâåíèå äèñêîâ Íà ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè ñ êîýôôèöèåíòîì òðåíèÿ µ íàõîäÿòñÿ äâà îäèíàêîâûõ ìàëûõ äèñêà ñ ãëàäêèìè áîêîâûìè ïîâåðõíîñòÿìè. Ïåðâûé äèñê ïîêîèòñÿ, à âòîðîé íàëåòàåò

íà íåãî ñî ñêîðîñòüþ v â ìîìåíò óäàðà. Ñ÷èòàÿ ñòîëêíîâåíèå äèñêîâ óïðóãèì, íî íå îáÿçàòåëüíî ëîáîâûì, íàéäèòå, íà êàêîì ðàññòîÿíèè îêàæóòñÿ äèñêè ê ìîìåíòó èõ îñòàíîâêè, åñëè ïåðâûé äèñê îñòàíîâèëñÿ, ïðîéäÿ ðàññòîÿíèå x1 . ×åìó ðàâíû íàèáîëüøåå è íàèìåíüøåå âîçìîæíûå êîíå÷íûå ðàññòîÿíèÿ ìåæäó äèñêàìè ïðè äàííûõ çíà÷åíèÿõ ìîäóëÿ ñêîðîñòè v è êîýôôèöèåíòà òðåíèÿ µ ? Ðàçìåðàìè äèñêîâ ïðåíåáðå÷ü. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ðàâíî g. È.Âîðîáüåâ Çàäà÷à 3. Òåïëîòðàññà ÒÝÖ ñíàáæàåò æèëîé ðàéîí ãîðÿ÷åé âîäîé ïîä âûñîêèì äàâëåíèåì, èìåþùåé íà âûõîäå èç êîòåëüíîé òåìïåðàòóðó t0 = 120 °C . Âîäà òå÷åò ïî ñòàëüíîé òðóáå ðàäèóñîì R = = 20 ñì, ïîêðûòîé òåïëîèçîëèðóþùèì ñëîåì ìèíåðàëüíîé âàòû òîëùèíîé h = 4 ñì è ðàñïîëîæåííîé íà îòêðûòîì âîçäóõå. Ðàñõîä âîäû µ = 100 êã ñ . Òåìïåðàòóðà îêðóæàþùåãî âîçäóõà t = –20 °Ñ. Êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè âàòû χ = 0,08 Âò (ì ⋅ Ê ) . Êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè ñòàëè íà íåñêîëüêî ïîðÿäêîâ áîëüøå, ÷åì ó ìèíåðàëüíîé âàòû. Íàéäèòå òåìïåðàòóðó âîäû t1 íà êîíöå òåïëîòðàññû â äâóõ ñëó÷àÿõ: à) äëèíà òåïëîòðàññû L1 = 10 êì ; á) äëèíà òåïëîòðàññû L2 = 100 êì . Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû ñ = = 4200 Äæ (êã ⋅ Ê ) . Ïðèìå÷àíèå. Êîëè÷åñòâî òåïëîòû ∆q , ïðîõîäÿùåå ÷åðåç ñëîé âåùåñòâà ïëîùàäüþ S è òîëùèíîé h çà âðåìÿ ∆τ ïðè ðàçíîñòè òåìïåðàòóð ∆t îïðåäåëÿåòñÿ ñîîòíîøåíèåì ∆q = χ  S h ∆t∆τ , ãäå χ – êîýôôèöèåíò òåïëîïðîâîäíîñòè. Â.Äåëüöîâ Çàäà÷à 4. Ñâåòîäèîäû Ìåæäó êðóãëûìè ïîëþñàìè ðàäèóñîì R = 5 ñì áîëüøîãî ýëåêòðîìàãíèòà, ñîçäàþùåãî â çàçîðå îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé  = 1 Òë, ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèíèÿì ìàãíèòíîé èíäóêöèè äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v = 10 ì/ñ ìåòàëëè÷åñêèé ñòåðæåíü (ðèñ.10). Êîíöû ñòåðæíÿ, äëèíà êîòîðîãî áîëüøå 2R, ñîåäèíåíû ãèáêèìè ïðîâîäàìè ñî ñõåìîé, âêëþ÷àþùåé áàòàðåþ ñ ÝÄÑ Ðèñ. 10 - 0 = 0,5 B è äâà ñâåòîäèîäà C1 è C2 , êîòîðûå ãîðÿò ïðè íàïðÿæåíèè U ³ 0,25 B è îïðåäåëåííîé ïîëÿðíîñòè, óêàçàííîé íà ðèñóíêå. Áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî â íà÷àëüíûé ìîìåíò âðåìåíè ñòåðæåíü êàñàåòñÿ îêðóæíîñòè (ò.å. íà÷èíàåò ïåðåñåêàòü ïðè ñâîåì äâèæåíèè ëèíèè ìàãíèòíîé èíäóêöèè). Îïðåäåëèòå íàïðÿæåíèå U  t  íà ñâåòîäèîäàõ è íàéäèòå ìîìåíòû âðåìåíè èõ çàæèãàíèÿ è ãàøåíèÿ íà èíòåðâàëå âðåìåíè äâèæåíèÿ ñòåðæíÿ â ìàãíèòíîì ïîëå ( 0 £ t £ 2R v ). Êà÷åñòâåííî ïîñòðîéòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè U  t  è óêàæèòå íà íåì èíòåðâàëû çàæèãàíèÿ ñâåòîäèîäîâ. À.Ìàëååâ Çàäà÷à 5. Ïàðàìåòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ  ñõåìå, èçîáðàæåííîé íà ðèñóíêå 11, åìêîñòü êîíäåíñàòîðà Ñ ïåðèîäè÷åñêè èçìåíÿåòñÿ ïóòåì ìåõàíè÷åñêîãî ïåðåìåùåíèÿ ïëàñòèí. Äîïóñòèì, ÷òî âñëåäñòâèå íåêîòîðîãî âîçìóùåíèÿ â ñõåìå âîçíèêëè ìàëûå êîëåáàíèÿ ñ àìïëèòóäîé íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå ïîðÿäêà íåñêîëüêèõ ìèëëèâîëüò.  ìîìåíò âðåìåíè, Ðèñ. 11


##

ÎËÈÌÏÈÀÄÛ

êîãäà íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå ìàêñèìàëüíî, åãî åìêîñòü ñêà÷êîîáðàçíî óìåíüøàþò íà äîëþ ε = ∆C C . ×åðåç ÷åòâåðòü ïåðèîäà π LC 2 åìêîñòü ñêà÷êîì óâåëè÷èâàþò äî ïðåæíåãî çíà÷åíèÿ, åùå ÷åðåç ÷åòâåðòü ïåðèîäà åìêîñòü âíîâü ñêà÷êîîáðàçíî óìåíüøàþò íà äîëþ ε è òàê äàëåå. Ïðè îïðåäåëåííûõ óñëîâèÿõ â ñõåìå ìîãóò âîçáóäèòüñÿ íåçàòóõàþùèå ýëåêòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ.  ñõåìó âêëþ÷åí íåëèíåéíûé ýëåìåíò (ëàìïî÷êà íàêàëèâàíèÿ Ë), âîëüò-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà êîòîðîé ïðåäñòàâëåíà íà ðèñóíêå 12. Íàéäèòå ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå εmin , ïðè êîòîðîì â ñõåìå âîçáóæäàþòñÿ íåçàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ, åñëè L = 0,1 Ãí, Ñ = 10 -7 Ô . Íàéäèòå òàêæå àìïëèòóäó U0 óñòàíîâèâøèõñÿ êîëåáàíèé íàïðÿæåíèÿ íà ëàìïî÷êå, åñëè ε = 3% . Ïðèìå÷àíèå. Íåîáõîäèìûå ïîñòðîåíèÿ ñëåäóåò âûïîëíÿòü íåïîñðåäñòâåííî íà äàííîì ðèñóíêå. Ñ.Æàê

Ðèñ. 12

Ïðèçåðû îëèìïèàäû Äèïëîìû I ñòåïåíè ïî 9 êëàññàì ïîëó÷èëè Ñîáîëåâ Àíòîí – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Ãðèãîðüåâûõ Äàíèèë – Óäìóðòñêàÿ Ðåñïóáëèêà, Çåìëÿíîâ Âëàäèñëà⠖ Õàíòû-Ìàíñèéñêèé àâòîíîìíûé îêðóã, Êðàâ÷óê Ïåòð – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Áû÷èí Àíäðåé – Àëòàéñêèé êðàé, Áû÷èíà Îëüãà – Àëòàéñêèé êðàé; ïî 10 êëàññàì – Çåëåíååâ Àíäðåé – Êèðîâñêàÿ îáëàñòü, Ïëåøàêîâ Ðóñëàí – Ïðèìîðñêèé êðàé, Ñòåïàíîâ Åâãåíèé – Ìîñêâà, Ìåëüíèêîâ Èãîðü – ×åëÿáèíñêàÿ îáëàñòü, Ñàìîéëîâ Ëåîíèä – Ñàðàòîâñêàÿ îáëàñòü, Ñàøóðèí Àëåêñàíäð – Ìîñêâà; ïî 11 êëàññàì – Êóëèåâ Âèòàëèé – Êèðîâñêàÿ îáëàñòü, Äðîçäîâ Èëüÿ – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Åôèìîâ Ñåðãåé – Àëòàéñêèé êðàé, Ìûëüíèêîâ Äìèòðèé – Ñàìàðñêàÿ îáëàñòü, Ïåõ Ïàâåë – Êðàñíîÿðñêèé êðàé. Äèïëîìû II ñòåïåíè ïî 9 êëàññàì ïîëó÷èëè Ëèñèöêèé Äìèòðèé – Ðåñïóáëèêà Áàøêîðòîñòàí, Ìîñóíîâà Äàðüÿ – Íèæåãîðîäñêàÿ îáëàñòü, Ñòàðêîâ Ãðèãîðèé – ßìàëî-Íåíåöêèé àâòîíîìíûé îêðóã, Ëèáåðçîí Äàíèèë – Êèðîâñêàÿ îáëàñòü, Áåðñåíåâ Íèêèòà – Ìîñêâà, Ãîðíîñòàåâ Äìèòðèé – Ðåñïóáëèêà Ìîðäîâèÿ, Ìåëüíèêîâ Ìèõàèë – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Òîëìà÷åâ Ëå⠖ Ìîñêâà, Êóçíåöîâ Èâàí – Ìîñêâà, Óñìàíîâà Äèíàðà – ×åëÿáèíñêàÿ îáëàñòü, ×åðíûøîâ Èâàí – Ìîñêâà; ïî 10 êëàññàì – Ìàòâååâ Õàðèòîí – Ìîñêâà, Ïàâëîâ Àðòåì – Ðåñïóáëèêà Êîìè,

Øàëàøóãèíà Åëåíà – Ñâåðäëîâñêàÿ îáëàñòü, Øóëü÷åâñêèé Äìèòðèé – Ìîñêâà, Ëàð÷åíêî Èëüÿ – Áðÿíñêàÿ îáëàñòü, Ôåéçõàíîâ Ðóñòåì – Ìîñêâà, Àíèñèìîâ Êèðèëë – Ñàðàòîâñêàÿ îáëàñòü, Áàðñêîâ Êèðèëë – Îìñêàÿ îáëàñòü, Êóçüìèí Àëåêñàíäð – Íîâîñèáèðñêàÿ îáëàñòü, Ìàëûøåâ Åâãåíèé – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã; ïî 11 êëàññàì – Áåëàí Ñåðãåé – Ðåñïóáëèêà Àäûãåÿ, Áåëüòþêîâ ßðîñëà⠖ Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Âëàñîâ Âëàäèñëà⠖ Êðàñíîÿðñêèé êðàé, Ñîëîâüåâà Êñåíèÿ – Ïåðìñêèé êðàé, Áóäêèí Ãðèãîðèé – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Ïåñòðåìåíêî Ìàêñèì – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Ïîòàø¸â Àëåêñàíäð – Ìîñêâà, Äåðáûøåâ Àíäðåé – ßðîñëàâñêàÿ îáëàñòü, Êîòîâ Àíäðåé – Ìîñêâà, Åëîâèêîâ Àíäðåé – Àëòàéñêèé êðàé, Êîñòðûãèí Àíàòîëèé – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Ïðîñêóðèí Ìèõàèë – Õàíòû-Ìàíñèéñêèé àâòîíîìíûé îêðóã. Äèïëîìû III ñòåïåíè ïî 9 êëàññàì ïîëó÷èëè Êóäðÿøîâà Íèíà – Àëòàéñêèé êðàé, Êîðîëüêîâ Àíäðåé – Ìîñêîâñêàÿ îáëàñòü, Äîðîøåíêî Àíäðåé – Îìñêàÿ îáëàñòü, Ãàëàøèí Ïàâåë – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Êóíÿåâ Äìèòðèé – Ìîñêîâñêàÿ îáëàñòü, Òðåãóáîâ Äìèòðèé – Êèðîâñêàÿ îáëàñòü, Ìàòðîñîâ Ìèõàèë – Âîðîíåæñêàÿ îáëàñòü, Ðóíîâ Áîðèñ – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Ëåáåäåâ Âàäèì – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Øòåííèêîâ Ìèõàèë – Ïåðìñêèé êðàé, Äàíèëåíêî Èâàí – Ìîñêâà, Çàõàðîâ Äìèòðèé – Ìîñêîâñêàÿ îáëàñòü, Àëþøèí Àëåêñåé – Òàìáîâñêàÿ îáëàñòü, Áóëäàøåâ Èâàí – ×åëÿáèíñêàÿ îáëàñòü, Êàçååâ Àëåêñàíäð – Êàì÷àòñêàÿ îáëàñòü; ïî 10 êëàññàì – Ìàñëîâ ßðîñëà⠖ Êåìåðîâñêàÿ îáëàñòü,


#$

ÊÂÀÍT 2007/¹5

Òàìáîâà Àëåêñàíäðà – Ðåñïóáëèêà Áàøêîðòîñòàí, Ìàòâååâ Àëåêñåé – ×åëÿáèíñêàÿ îáëàñòü, Øóðûãèí Áîðèñ – Èðêóòñêàÿ îáëàñòü, Àíþòèí Íèêîëàé – Ìîñêâà, Êóñêîâ Äìèòðèé – Âëàäèìèðñêàÿ îáëàñòü, Òðèõèí Ïåòð – Ìîñêîâñêàÿ îáëàñòü, Øåâöîâ Ñåðãåé – Ñàðàòîâñêàÿ îáëàñòü, Áóñëàåâ Ïàâåë – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Äðÿæåíêîâ Àíäðåé – ßðîñëàâñêàÿ îáëàñòü, Òààìàçÿí Âàãå – ×åëÿáèíñêàÿ îáëàñòü, ×åðíèêîâ Þðèé – Ìîñêîâñêàÿ îáëàñòü, Âàëãóøåâ Äàíèèë – Ìîñêâà, Êóçíåöîâ Ìàêñèì – Ìîñêâà, Ìàêàðîâà Ìàðèÿ – Ìîñêâà, Áóðìèñòðîâ Ìèõàèë – Òàìáîâñêàÿ îáëàñòü, Äåìèí Ìèõàèë – Òóëüñêàÿ îáëàñòü, Ôîìèí Àëåêñàíäð – Ìîñêâà;

ïî 11 êëàññàì – Ïåòóõîâ Àíòîí – Ðåñïóáëèêà Òàòàðñòàí, Àíäðååâ Àíäðåé – Ðåñïóáëèêà ×óâàøèÿ, Êîíîíåíêî Äàíèèë – Íîâîñèáèðñêàÿ îáëàñòü, Ñîêêî Àíàñòàñèÿ – Ìîñêîâñêàÿ îáëàñòü, Âîðîáüåâ Âàäèì – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Òèõîíîâ Þëèé – Ìîñêâà, Ôåäîðîâ Èëüÿ – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, Ìàíäåëüáàóì Êîíñòàíòèí – Íîâîñèáèðñêàÿ îáëàñòü, Ìèõàñåíêî Ìèõàèë – Ñâåðäëîâñêàÿ îáëàñòü, Ðàçóâàåâ Àíòîí – Ìîñêîâñêàÿ îáëàñòü, Àëåêñååâ Äìèòðèé – Ìîñêâà, Òàðàêàíîâ Àëåêñàíäð – Êóðãàíñêàÿ îáëàñòü, Ãîëîâèçèí Àðòåì – Ðîñòîâñêàÿ îáëàñòü, ×åðòêîâ Àíäðåé – Âîðîíåæñêàÿ îáëàñòü. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ñ.Êîçåë, Â.Ñëîáîäÿíèí

XIII Âñåðîññèéñêàÿ çàî÷íàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ Âñåðîññèéñêàÿ øêîëà ìàòåìàòèêè è ôèçèêè «ÀÂÀÍÃÀÐÄ» ïðè ó÷àñòèè æóðíàëà «Êâàíò» ïðîâîäèò î÷åðåäíóþ Âñåðîññèéñêóþ çàî÷íóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ îëèìïèàäó äëÿ øêîëüíèêîâ 6–10 êëàññîâ. Ñðîê ïðîâåäåíèÿ îëèìïèàäû îêòÿáðü– äåêàáðü 2007 ãîäà. ×òîáû ïðèíÿòü ó÷àñòèå â îëèìïèàäå, íóæíî â òå÷åíèå íåäåëè ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ýòîãî íîìåðà æóðíàëà ðåøèòü ïðåäëàãàåìûå íèæå çàäà÷è, àêêóðàòíî îôîðìèòü ðåøåíèÿ (êàæäóþ çàäà÷ó – íà îòäåëüíîì ëèñòî÷êå) è îòîñëàòü ïî àäðåñó: 115446 Ìîñêâà, à/ÿ 450, ÎÐÃÊÎÌÈÒÅÒ, «Ì-ÊÂÀÍÒ» – íîìåð êëàññà.  ïèñüìî âëîæèòå äâà ïóñòûõ ìàðêèðîâàííûõ êîíâåðòà ñ íàäïèñàííûì äîìàøíèì àäðåñîì. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ó÷àñòèÿ â îëèìïèàäå íåîáÿçàòåëüíî ðåøèòü âñå çàäà÷è – äîñòàòî÷íî õîòÿ áû îäíîé. Ïîáåäèòåëè îëèìïèàäû ïîëó÷àò ïðèçû, ñðåäè êîòîðûõ íåñêîëüêî áåñïëàòíûõ ïîäïèñîê íà æóðíàë «Êâàíò». (Îðãêîìèòåò ïðèëîæèò âñå óñèëèÿ ê òîìó, ÷òîáû ïîîùðåíèÿ è ïðèçû ïîëó÷èëè âñå, ïðèñëàâøèå õîòÿ áû îäíî ïðàâèëüíîå ðåøåíèå.) Âñå ó÷àùèåñÿ, ïðèñëàâøèå ñâîè ðàáîòû â Îðãêîìèòåò îëèìïèàäû, íåçàâèñèìî îò ðåçóëüòàòîâ èõ ïðîâåðêè ïîëó÷àò ïðèãëàøåíèå ó÷èòüñÿ íà çàî÷íîì îòäåëåíèè Âñåðîññèéñêîé øêîëû ìàòåìàòèêè è ôèçèêè «ÀÂÀÍÃÀÐÄ» â 2007/08 ó÷åáíîì ãîäó. Âíèìàíèþ ó÷èòåëåé ìàòåìàòèêè 6–10 êëàññîâ! Ïðèãëàñèòå ê ó÷àñòèþ â îëèìïèàäå ñâîèõ ó÷åíèêîâ!

Çàäà÷è îëèìïèàäû 6 êëàññ 1. Íà ïðÿìîé ÷åðåç ðàâíûå ïðîìåæóòêè ïîñòàâèëè 10 òî÷åê, îíè çàíÿëè îòðåçîê äëèíû l. Íà äðóãîé ïðÿìîé ÷åðåç Ê ñîæàëåíèþ, â íóìåðàöèè ïðåäûäóùèõ îëèìïèàä ïðîèçîøåë ñáîé.

òàêèå æå ïðîìåæóòêè ïîñòàâèëè 100 òî÷åê, îíè çàíÿëè îòðåçîê äëèíû L. Âî ñêîëüêî ðàç L áîëüøå l? 2. Âîò î÷åíü ïðîñòàÿ à + Î = Ë – Î =  ´ Î = Ë – Î = Ì – Ê = À. Çàìåíèòå áóêâû öèôðàìè òàê, ÷òîáû ïîëó÷èëèñü âåðíûå ðàâåíñòâà; ïðè ýòîì îäèíàêîâûì áóêâàì äîëæíû ñîîòâåòñòâîâàòü îäèíàêîâûå öèôðû, à ðàçíûì – ðàçíûå. 3.  êëàññå ó÷àòñÿ ìåíåå 50 øêîëüíèêîâ. Çà êîíòðîëüíóþ ðàáîòó 1/7 ó÷åíèêîâ ïîëó÷èëè ïÿòåðêè, 1/3 – ÷åòâåðêè, 1/2 – òðîéêè. Îñòàëüíûå ðàáîòû îêàçàëèñü íåóäîâëåòâîðèòåëüíûìè. Ñêîëüêî áûëî òàêèõ ðàáîò? 4. Íà ëóãó ðàñòåò òðàâà. Ïóñòèëè íà ëóã 9 êîðîâ, îíè îïóñòîøèëè ëóã çà 4 äíÿ. Åñëè áû íà ëóã ïóñòèëè 8 êîðîâ, òî îíè ñúåëè áû âñþ òðàâó çà 6 äíåé. Ñêîëüêî êîðîâ ìîãóò êîðìèòüñÿ íà ëóãó âñå âðåìÿ, ïîêà ðàñòåò òðàâà? 5. Íà êëåòêå å1 øàõìàòíîé äîñêè íàõîäèòñÿ áåëûé êîíü, à íà êëåòêå d8 – ÷åðíûé êîíü. Ïåðâûé õîä áåëûé êîíü ìîæåò ñäåëàòü ëèáî íà d3,ëèáî íà g3, à ÷åðíûé êîíü – òîëüêî íà e6. Âòîðîé xoä áåëîãî êîíÿ ìîæåò áûòü ñäåëàí íà ëþáóþ äîñòóïíóþ äëÿ íåãî êëåòêó. Êàêîâà âåðîÿòíîñòü òîãî, ÷òî áåëûé êîíü îêàæåòñÿ ïîä áîåì ÷åðíîãî êîíÿ? Êîììåíòàðèé. Âåðîÿòíîñòü P  A ñîáûòèÿ À – òîãî, ÷òî áåëûé êîíü â èòîãå îêàæåòñÿ ïîä áîåì ÷åðíîãî êîíÿ, ðàâíà P  A = nA N , ãäå n A – îáùåå ÷èñëî âîçìîæíûõ ìàðøðóòîâ áåëîãî êîíÿ çà äâà õîäà, ïðèâîäÿùèõ ê ñîáûòèþ À, N – ÷èñëî âñåõ âîçìîæíûõ ìàðøðóòîâ áåëîãî êîíÿ çà äâà õîäà.

7 êëàññ 1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòüþ öèôð 14012006140120101201 çàøèôðîâàíî ñëîâî ñëåäóþùèì îáðàçîì: êàæäîé áóêâå ïîñòàâëåíî â ñîîòâåòñòâèå äâóçíà÷íîå ÷èñëî. Ðàñøèôðóéòå.


#%

Ê Î Ë Ë Å ÊÎ ÖË ÈÈ ß Ì ÃÏÎÈËÀÎÄÂÛÎ Ë Î Ì Î Ê

2. Íà ïîêðàñêó áîëüøîãî äåðåâÿííîãî êóáà ðàçìåðîì 2007 ´ 2007 ´ 2007 óøåë 1 êã êðàñêè. Îäíàêî ïîíàäîáèëèñü êóáèêè ïîìåíüøå, è áîëüøîé êóá ðàñïèëèëè íà êóáèêè ðàçìåðîì 1 ´ 1 ´ 1 . Ñêîëüêî íåîáõîäèìî åùå êðàñêè äëÿ äîêðàñêè ìàëåíüêèõ êóáèêîâ? 3. Èçîáðàçèòå íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè 0xy ìíîæåñòâî òî÷åê, êîîðäèíàòû x è y êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ 2x 2 - 5xy + 2y2 = 0 .

4. Ñóùåñòâóåò ëè òðåóãîëüíèê, ó êîòîðîãî âñå ñòîðîíû ìåíüøå 0,2007 ìì, à ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè áîëüøå 2007 êì? 5. Ñêîëüêèìè ñïîñîáàìè ìîæíî ðàññòàâèòü íà øàõìàòíîé äîñêå ÷åðíîãî è áåëîãî êîðîëåé òàê, ÷òîáû îíè íå áèëè äðóã äðóãà (íå ñòîÿëè íà ñîñåäíèõ êëåòêàõ)? Ïðèìå÷àíèå. Ðàññòàíîâêè, ïðè êîòîðûõ ÷åðíûé è áåëûé êîðîëè ìåíÿþòñÿ ìåñòàìè, ñ÷èòàþòñÿ ðàçíûìè.

8 êëàññ 1. Ñì. çàäà÷ó 1 äëÿ 7 êëàññà. 2.  òðåóãîëüíèêå ÀÂÑ âûáðàëè òî÷êó Ð íà ñòîðîíå ÂÑ è ïðîâåëè ÷åðåç íåå îòðåçêè PQ è PR, ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíàì ÀÑ è À ñîîòâåòñòâåííî, äî ïåðåñå÷åíèÿ ñ ýòèìè ñòîðîíàìè. Èçâåñòíî, ÷òî ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà BQP ðàâíà S1 , à òðåóãîëüíèêà CRP – S2 . Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ. 3. Ðåøèòå óðàâíåíèå

 x + 1  x + 2  x + 3  x + 4

= 24 .

4. Êàêîå èç äâóõ ÷èñåë èìååò áîëüøå äåëèòåëåé, âêëþ÷àÿ êàê ïðîñòûå, òàê è ñîñòàâíûå: 20072007 èëè 2007! ? Ïðèìå÷àíèå. Äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî ÷èñëà n ñèìâîë n! (n ôàêòîðèàë) îáîçíà÷àåò ïðîèçâåäåíèå âñåõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò 1 äî n.

5. Ñì. çàäà÷ó 5 äëÿ 7 êëàññà.

9 êëàññ 1. Ñì. çàäà÷ó 1 äëÿ 7 êëàññà. 2. Ðåøèòå óðàâíåíèå 2x 2 + y2 + 2xy + 2x + 1 = 0 . 3. Ðàññìîòðèì òî÷êó Ð âíóòðè òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ è ïðîâåäåì ÷åðåç íåå òðè îòðåçêà, ïàðàëëåëüíûõ ñîîòâåòñòâóþùèì ñòîðîíàì òðåóãîëüíèêà. Ïóñòü S1, S2, S3 – ïëîùàäè òðåõ òðåóãîëüíèêîâ, âîçíèêàþùèõ ïðè ðàçáèåíèè èñõîäíîãî òðåóãîëüíèêà ýòèìè îòðåçêàìè. Íàéäèòå ïëîùàäü òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ. 4. Ñì. çàäà÷ó 5 äëÿ 7 êëàññà. 5. Èçâåñòíî, ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ ÷èñåë a, b è c âûïîëíÿþòñÿ íåðàâåíñòâà

 9a + 3b + c  4a + 2b + c

<0

×òî ìîæíî ñêàçàòü î çíàêå + b + c) ?

è

(16a − 4b + c )(9a − 3b + c ) < 0 . ïðîèçâåäåíèÿ (4a − 2b + c )(a +

10 êëàññ 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå x x x + sin2 + sin2 = 0. 2 3 5 uuuur uuuur 2. Äàíû äâà âåêòîðà AB è AC , èìåþùèå îáùåå íà÷àëî – òî÷êó À. ìíîæåñòâî òî÷åê D òàêèõ, ÷òî uuuur uuur Îïèøèòå uuur AD = α AB + β AC , ãäå α è β – ïîëîæèòåëüíûå ÷èñëà. 3. Ñì. çàäà÷ó 3 äëÿ 9 êëàññà. 4. Íàéäèòå ñóììó 2 3 1 + + K + 2008 2007 . 1+ 10 100 10 5. Ñì. çàäà÷ó 5 äëÿ 9 êëàññà. sin2

ÊÎËËÅÊÖÈß ÃÎËÎÂÎËÎÌÎÊ Ñïîð ãîëîâîëîìîê â Àâñòðàëèè (Íà÷àëî ñì. íà 2-é ñ. îáëîæêè) ßïîíñêàÿ ãîëîâîëîìêà «Ïåòëÿ» ïîêîðèëà æþðè ñúåçäà ëþáèòåëåé ãîëîâîëîìîê òåì, ÷òî ïðîñòà íà âèä, ñîäåðæèò î÷åâèäíóþ çàäà÷ó, íå íóæäàþùóþñÿ â ðàçúÿñíåíèè, äåìîíñòðèðóåò íîâûé âàðèàíò ñîåäèíåíèÿ äåòàëåé äðóã ñ äðóãîì, èìååò èçÿùíûé âíåøíèé âèä è òðóäíà (íî íå ñëèøêîì) â ðåøåíèè. Êîãäà âàì äàþò â ðóêè ýòó èãðóøêó, îíà óæå ïî÷òè ñîáðàíà. Ëèøü êîñûå ñðåçû ìåøàþò ñîåäèíèòü äâà ïîëóêîëüöà, çàìêíóòü èõ â îäíî êîëüöî (ñì. ôîòî íà îáëîæêå). Åäèíñòâåííûé âûõîä èç ýòîãî ïîëîæåíèÿ – ðàçîáðàòü êîëüöî, à çàòåì ïîïûòàòüñÿ ñîáðàòü çàíîâî. Ïîñëå íåñêîëüêèõ ïîïûòîê óäàåòñÿ ðåøèòü ãîëîâîëîìêó ñëó÷àéíî, íå âíèêàÿ â åå ñìûñë. Äëÿ ëîãè÷åñêîé èãðóøêè ýòî ñóùåñòâåííûé íåäîñòàòîê, êîòîðûé íå ó÷ëè ÷ëåíû æþðè. Îñìûñëåííîå ðåøåíèå ïðèõîäèò òîãäà, êîãäà ñîîáðàçèøü, ÷òî âèíòîâîå ñîåäèíåíèå ìîæåò èìåòü äâà êîíöà èëè, ÷òî òî æå ñàìîå, äâà íà÷àëà. Ðàç íå óäàåòñÿ çàâèíòèòü äåòàëü ñ îäíîãî èç íèõ, çíà÷èò, ðåøåíèå ñîñòîèò â òîì, ÷òîáû ñäåëàòü ýòî ñ äðóãîãî. Ê ñîæàëåíèþ, «Ïåòëþ» íåâîçìîæíî èçãîòîâèòü â äîìàøíèõ óñëîâèÿõ. Ïîýòîìó âàøåìó âíèìàíèþ ïðåäëàãàåòñÿ

äðóãàÿ ãîëîâîëîìêà «Ñîáà÷êà è ìÿ÷èêè», òîæå ïðèâåçåííàÿ â Àâñòðàëèþ èç ßïîíèè. Íà ôîòî (ñì. îáëîæêó) ïîêàçàíî, ÷òî â ãîëîâîëîìêå òðåáóåòñÿ ïîìåíÿòü ìåñòàìè êðàñíûé è çåëåíûé êðóæêè, ò.å. ôèøêè 14 è 15 èãðû «15», íå âûíèìàÿ èõ èç êîðîáî÷êè, à ëèøü ïåðåäâèãàÿ ëþáûå ôèøêè.  íà÷àëå ðåøåíèÿ ëó÷øå óáðàòü èç êîðîáî÷êè æåëòûé êðóæîê.  ýòîì ñëó÷àå çàäà÷à ñèëüíî îáëåã÷àåòñÿ, è, ñàìîå ãëàâíîå, ñòàíîâèòñÿ ïîíÿòíî, êàê íóæíî äâèãàòüñÿ ê ðåøåíèþ ãîëîâîëîìêè ñ òðåìÿ êðóæî÷êàìè. Ïî ïðèìåðó èãðóøêè «Ñîáà÷êà è ìÿ÷èêè» âû ìîæåòå ïðèäóìàòü ñîáñòâåííóþ ãîëîâîëîìêó òèïà èãðû «15». Íàïðèìåð, ïðèêðåïèòü íåêîòîðûå êâàäðàòèêè êî äíó êîðîáî÷êè, ñêëåèòü ìåæäó ñîáîé ôèøêè íå òàê, êàê â ÿïîíñêîé ãîëîâîëîìêå, èçìåíèòü ðàçìåð êîðîáî÷êè è åå êîíôèãóðàöèþ. Ïðèñûëàéòå âàøè èçîáðåòåíèÿ â ðåäàêöèþ æóðíàëà.  2008 ãîäó ñúåçä ëþáèòåëåé ãîëîâîëîìîê ñîñòîèòñÿ â Åâðîïå, íåäàëåêî îò ãðàíèö Ðîññèè – â ñòîëèöå ×åõèè Ïðàãå. Åñëè âû èíòåðåñóåòåñü ãîëîâîëîìêàìè, êîëëåêöèîíèðóåòå è ðåøàåòå èõ, ó âàñ åñòü øàíñ ïîáûâàòü íà ñàìîì èíòåðåñíîì ãîëîâîëîìíîì ìåðîïðèÿòèè 2008 ãîäà. Çà ðàçúÿñíåíèåì è ïîìîùüþ ìîæíî îáðàùàòüñÿ ïî ýëåêòðîííîìó àäðåñó 4429.g23@g23.relcom.ru. À.Êàëèíèí


#&

2 0È 0 7ß / ¹, 5 Ð Å Ø Å Í È ß Î Ò Â Å Ò Û , Ó ÊÊÂÀÀ ÍÇ TÀ Í

ÊÌØ ÇÀÄÀ×È (ñì. «Êâàíò» ¹4) 1. Äà. Íàïðèìåð, ÷èñëà 1000000 + Ï(1000000), 1000001 + + Ï(1000001), …, 1002007 + Ï(1002007). 2. Ëæåöîâ ñðåäè àáîðèãåíî⠖ äâîå. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ñðåäè àáîðèãåíîâ áûëî íå áîëåå îäíîãî ëæåöà, òî èç äâóõ âûñêàçàííûõ óòâåðæäåíèé õîòÿ áû îäíî áûëî ïðàâäèâûì (èáî èõ ïðîèçíåñëè ðàçíûå àáîðèãåíû). Íî, ñîãëàñíî ëþáîìó èç ýòèõ óòâåðæäåíèé, ëæåöîâ êàê ìèíèìóì äâîå. Ïðîòèâîðå÷èå. Åñëè æå âñå òðîå – ëæåöû, òî îáå ôðàçû áûëè áû ïðàâäèâû è ïðèíàäëåæàëè ëæåöàì, ÷òî òîæå íåâîçìîæíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ëæåöîâ ðîâíî äâîå. Îñòàëîñü ïðèâåñòè ïðèìåð, ñâèäåòåëüñòâóþùèé î êîððåêòíîñòè ñèòóàöèè. Íàïðèìåð, Àõ – ïðàâäèâûé, è îáà óòâåðæäåíèÿ ïðèíàäëåæàò ëæåöàì. 3. Ýòî ñäåëàòü íå óäàñòñÿ. Îáîçíà÷èì d íàèáîëüøèé îáùèé äåëèòåëü äåñÿòè íàòóðàëüíûõ ÷èñåë x1, x2,K, x10 . Èìåþò ìåñòî ñëåäóþùèå äåñÿòü íåðàâåíñòâ: x1 ³ d, x2 ³ d, K x10 ³ d.

Ñëîæèâ èõ âìåñòå, ïîëó÷èì x1 + x2 + K + x10 ³ 10d , ïðè÷åì ðàâåíñòâî çäåñü âîçìîæíî òîëüêî â òîì ñëó÷àå, åñëè âñå äåñÿòü ÷èñåë ðàâíû d, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Èòàê, x1 + x2 + ... + x10 > d , ò.å. ñðåäíåå àðèôìåòè÷åñêîå äåñÿòè 10 ðàçëè÷íûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë âñåãäà áîëüøå èõ íàèáîëüøåãî îáùåãî äåëèòåëÿ. 4. Âåðíî. Ïóñòü çàêðûòàÿ òåòðàäü ëåæèò íà ñòîëå. Ïðîíóìåðóåì åå ëèñòû ñâåðõó âíèç íîìåðàìè îò 1 äî 96. Ðàññìîòðèì ëèñòû ñ íîìåðàìè îò 1 äî ï âêëþ÷èòåëüíî è ïîäñ÷èòàåì ðàçíîñòü ìåæäó îáùèì êîëè÷åñòâîì ðîæèö íà ýòèõ ëèñòàõ, ñìîòðÿùèõ ââåðõ è âíèç. Îáîçíà÷èì ýòó ðàçíîñòü ÷åðåç ∆ (n ) . Äëÿ êàæäîãî ï îò 1 äî 96 çíà÷åíèå ∆ ( n ) – ýòî íåêîòîðîå öåëîå ÷èñëî (ïîëîæèòåëüíîå, îòðèöàòåëüíîå èëè íîëü). Äîîïðåäåëèì «åñòåñòâåííûì îáðàçîì» íàøó ôóíêöèþ ∆ (n ) çíà÷åíèåì ∆ 0 = 0 . Ýòî âïîëíå ëîãè÷íî – åñëè âçÿòü íóëåâîå ÷èñëî ëèñòîâ, òî íà íèõ íàðèñîâàíî òàêæå íóëåâîå ÷èñëî ðîæèö, ñìîòðÿùèõ ââåðõ è âíèç, è ðàçíîñòü ìåæäó äâóìÿ íóëÿìè – òåì áîëåå íîëü. Ïóñòü âñåãî â òåòðàäè íàðèñîâàíî ò ðîæèö, ñìîòðÿùèõ ââåðõ. Òîãäà ÷èñëî ðîæèö, ñìîòðÿùèõ âíèç, ðàâíî 96 – ò. Ïîýòîìó ∆ (96) = m - (96 - m ) = 2 (m - 48) , ò.å. ∆ (96) – ÷åòíîå ÷èñëî. Äàëåå ðàññìîòðèì, êàê ìåíÿåòñÿ âåëè÷èíà ∆ (n ) ñ ðîñòîì ï îò 0 äî 96 ñ øàãîì 1. Åñëè íà î÷åðåäíîì ëèñòå íàðèñîâàíà ðîæèöà, ñìîòðÿùàÿ ââåðõ, òî ∆ (n ) óâåëè÷èâàåòñÿ íà 1, à åñëè ñìîòðÿùàÿ âíèç – òî ∆ (n ) óìåíüøàåòñÿ íà 1. Òàêèì îáðàçîì, êàæäîå ïîñëåäóþùåå çíà÷åíèå ∆ ( n ) îòëè÷àåòñÿ îò ïðåäûäóùåãî íà 1. Ïðè èçìåíåíèè ï îò 0 äî 96 âåëè÷èíà ∆ (n ) èçìåíèëàñü îò 0 äî 2 (m - 48) , ïðè÷åì îíà îáÿçàíà ïðèíÿòü ëþáîå ïðîìåæóòî÷íîå çíà÷åíèå ìåæäó 0 è 2 (m - 48) , â ÷àñòíîñòè – çíà÷åíèå (m - 48) . Èòàê, ïóñòü äëÿ íåêîòîðîãî k âåëè÷èíà ∆ (k) = m - 48 . Ðàñêðîåì òåòðàäü ìåæäó k-ì è (k + 1) -ì ëèñòàìè. Òîãäà íà ïåðâûõ k ëèñòàõ âñå ðîæèöû ïåðåâåðíóòñÿ è áóäóò ñìîòðåòü â ïðîòèâîïîëîæíóþ ñòîðîíó. Ïîýòîìó íà ïåðâûõ k ëèñòàõ ðàçíîñòü ìåæäó êîëè÷åñòâîì ðîæèö, ñìîòðÿùèõ ââåðõ è âíèç, ñòàíåò ðàâíà - (m - 48) , à äëÿ ëèñòîâ ñ íîìåðàìè îò (k + 1) äî 96 ýòà ðàçíîñòü, êàê ëåãêî âè-

äåòü, ðàâíà (m - 48) . Ïîýòîìó äëÿ âñåõ 96 ëèñòîâ òåòðàäè óêàçàííàÿ ðàçíîñòü ñòàíåò ðàâíà - (m - 48) + (m - 48) = 0, à ýòî êàê ðàç è ñâèäåòåëüñòâóåò î òîì, ÷òî ââåðõ è âíèç ñìîòðèò îäèíàêîâîå êîëè÷åñòâî ðîæèö. 5. Ñíà÷àëà çàìåòèì, ÷òî ïîêàçàííûå íà ðèñóíêå 1 äèàãîíàëè ðàçáèâàþò ïðàâèëüíûé âîñüìèóãîëüÐèñ. 1 íèê íà ôðàãìåíòû, ïëîùàäè êîòî1 1 è ÷àñòè ïëîùàäè S âîñüìèóãîëüíèêà. ðûõ ñîñòàâëÿþò 8 4 Äàëåå çàìåòèì, ÷òî ñèíèå êóñêè èñõîäíîãî ðàçáèåíèÿ, òàê æå, êàê è çåëåíûå, ñêëàäûâàþòñÿ â óêàçàííûå íà ðèñóíêå 1 òðà1 ïåöèè, ïëîùàäü êàæäîé èç êîòîðûõ ðàâíà S . Èç êðàñíûõ 4 êóñêîâ èñõîäíîãî ðàçáèåíèÿ ñêëàäûâàåòñÿ òðàïåöèÿ, ðàâíàÿ 1 æåëòîé, ïëîùàäü êîòîðîé òàêæå ðàâíà S . 4

ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ» Âîïðîñû è çàäà÷è 1. Íå òîëüêî ñìîæåò, íî äàæå áóäåò âðàùàòüñÿ áûñòðåå (èç-çà óìåíüøåíèÿ ñîïðîòèâëåíèÿ âîçäóõà). 2. Ðàáîòà, ñîâåðøåííàÿ ÷åëîâåêîì, è êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ, ïîòåðÿííàÿ êàìíåì, èäóò íà óâåëè÷åíèå ýíåðãèè ïîåçäà. 3. Âûñûïàþùèéñÿ ïåñîê íå âëèÿåò íà èçìåíåíèå ñêîðîñòè òåëåæêè. 4. ×òîáû èçìåíèòü ñêîðîñòü, à çíà÷èò è èìïóëüñ áàðîíà, íà íåãî äîëæíà ïîäåéñòâîâàòü âíåøíÿÿ ñèëà ëèáî îí äîëæåí «ïîäåëèòüñÿ» ÷àñòüþ ñâîåé ìàññû, îòáðîñèâ åå âïåðåä ïî õîäó ïðûæêà. 5. à) Äà; á) åñëè ãðóç ñáðàñûâàåòñÿ áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè, òî íåò. 6. Åñëè áû ìàññà îðóäèÿ áûëà ìåíüøå, ÷åì ìàññà ñíàðÿäà. 7. Íåò, íå ïîïàäóò. Ïðè îäíîâðåìåííîé ñòðåëüáå ïëàòôîðìà îñòàåòñÿ íåïîäâèæíîé, ÷òî ÿâëÿåòñÿ óñëîâèåì ïîïàäàíèÿ ñíàðÿäîâ â öåëü. Åñëè îäíà èç ïóøåê âûñòðåëèò ðàíüøå, åå ñíàðÿä âûëåòèò èç ñòâîëà ñ ìåíüøåé íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ îòíîñèòåëüíî çåìëè è íå äîëåòèò äî öåëè. Âòîðîé ñíàðÿä âûëåòèò èç óæå äâèæóùåéñÿ âìåñòå ñ ïëàòôîðìîé ïóøêè è áóäåò îáëàäàòü áîëüøåé íà÷àëüíîé ñêîðîñòüþ îòíîñèòåëüíî çåìëè, çíà÷èò, îí ïåðåëåòèò öåëü. 8. Ïîñëå ïóñêà ñíàðÿä, ðàçãîíÿÿñü, íåêîòîðîå âðåìÿ äâèæåòñÿ åùå â òîì æå íàïðàâëåíèè, ÷òî è ñàìîëåò, ò.å. ñòàáèëèçàòîðàìè âïåðåä. Ýòî ïðèâîäèò ê ðàçâîðîòó ñíàðÿäà. Çàòåì çà ñ÷åò ðåàêòèâíîé ñèëû òÿãè ñêîðîñòü ñíàðÿäà óâåëè÷èâàåòñÿ, è îí äîãîíÿåò ñàìîëåò. 9. Äëÿ ýòîãî äîñòàòî÷íî ïîäíÿòü âûòÿíóòóþ ðóêó è äâèãàòü åþ âîêðóã ãîëîâû. Ïðè ýòîì êîñìîíàâò áóäåò ðàçâîðà÷èâàòüñÿ âîêðóã ñâîåé ïðîäîëüíîé îñè â íàïðàâëåíèè, ïðîòèâîïîëîæíîì âðàùåíèþ ðóêè. 10. Ñíà÷àëà íóæíî âûñòðåëèòü èç ïåðâîãî ïèñòîëåòà â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ êîðàáëþ, è áðîñèòü òóäà æå ïåðâûé ïèñòîëåò. Çàòåì òî æå ñàìîå è â òîì æå ïîðÿäêå ïðîäåëàòü ñî âòîðûì ïèñòîëåòîì. 11. Äà, ïðè ýòîì îíè äîëæíû âûáðàñûâàòü ãàçû â ñòîðîíó Ëóíû. 12. Åñëè òîïëèâî ðàñõîäóåòñÿ ÷àñòÿìè, òî â íà÷àëå ðàáîòû äâèãàòåëÿ åìó ïðèõîäèòñÿ ðàçãîíÿòü ðàêåòó ñ ìàññîé åùå îñòàâøåãîñÿ íà äàííûé ìîìåíò òîïëèâà. Ïîýòîìó ïðèðàùåíèÿ ñêîðîñòè ïî ìåðå ðàñõîäà òîïëèâà áóäóò óâåëè÷èâàòüñÿ. 13.  íà÷àëå óñêîðåíèÿ ãàçû îòáðàñûâàþòñÿ âëåâî. Íî êîãäà ñêîðîñòü ðàêåòû ñòàíåò áîëüøå ñêîðîñòè èñòå÷åíèÿ èç íåå ãà-


ÎÒÂÅÒÛ,

ÓÊÀÇÀÍÈß,

çîâ, îíè îòíîñèòåëüíî íàáëþäàòåëÿ ñòàíóò äâèãàòüñÿ òàêæå âïðàâî, îäíàêî ñî ñêîðîñòüþ, âñåãäà ìåíüøåé ñêîðîñòè ðàêåòû. 14. Ìàññà òîïëèâà äîëæíà â íåñêîëüêî ðàç ïðåâûøàòü ìàññó ðàêåòû ñ ïîëåçíûì ãðóçîì, è òîãäà äàæå ïðè ñðàâíèòåëüíî ìåäëåííîì ïðîöåññå ñãîðàíèÿ òîïëèâà ðàêåòà íàáåðåò íåîáõîäèìóþ ñêîðîñòü. 15. Íåò, íåëüçÿ. Ñêîðîñòü èñòå÷åíèÿ ãàçîâ èç ðàêåòíûõ äâèãàòåëåé çíà÷èòåëüíî ìåíüøå âòîðîé êîñìè÷åñêîé ñêîðîñòè ó ïîâåðõíîñòè Çåìëè, ïîýòîìó ýòè ãàçû íå ïîêèíóò Çåìëþ è íå ñîîáùàò åé äâèæåíèå. Ìèêðîîïûò Ñïèðàëü ñòàíåò «ðåàêòèâíîé» – íà÷íåò âðàùàòüñÿ, ïðè÷åì â ñòîðîíó, îáðàòíóþ òîé, êóäà óñòðåìèòñÿ èç íåå ìûëüíûé ðàñòâîð, ïûòàþùèéñÿ ðàñòå÷üñÿ ïî ïîâåðõíîñòè âîäû.

ÄÂÈÆÅÍÈÅ ÇÀÐßÄÀ  ÌÀÃÍÈÒÍÎÌ ÏÎËÅ 1. l =

2πm1m2 qBt 2mv . 2. t = . sin qB 2m qB m1 + m2 

3. E = 8 × 103 Â ì . 4. Bmin =

1 2∆ϕ = 2,1 × 10-4 Òë . γ h

BR = 10 -3 c . E 6. Ìàãíèòíàÿ èíäóêöèÿ ïåðïåíäèêóëÿðíà êàê íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ, òàê è íà÷àëüíîé ñêîðîñòè ýëåêòðîíà è

5. t =

ðàâíà B = E

m = 3,2 × 10 -3 Òë . 2W

ÈÍÂÀÐÈÀÍÒÍÎÑÒÜ È ÇÀÄÀ×È Ñ ÏÀÐÀÌÅÒÐÀÌÈ 1. b = πn , n Î Z .

2. a1 = 0 , a2 = -

4. à = 0, 0 < b £ 1 . 1 1 . 7. a1 = - , a2 = 4 32 3. b = 3.

2 . 3

5. b = 2.

6. à = 0.

XXXIII ÂÑÅÐÎÑÑÈÉÑÊÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ ØÊÎËÜÍÈÊΠÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ ÇÀÊËÞ×ÈÒÅËÜÍÛÉ ÝÒÀÏ 8 êëàññ 1. Òàê êàê (b - c ) + (c - a ) + (a - b ) = 0 , òî îäíî èç ñëàãàåìûõ íåïîëîæèòåëüíî; ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè ýòî b – c. Òîãäà 2 äèñêðèìèíàíò ïåðâîãî óðàâíåíèÿ (a - b ) - 4 (b - c ) ³ 0 , ò.å. îíî èìååò ðåøåíèå. 2. Ðàçäåëèì òàáëèöó âåðòèêàëüíîé ëèíèåé m ïîïîëàì.  îäíîé èç ïîëîâèí, íàïðèìåð â ïðàâîé, îêàæåòñÿ íå áîëåå 25 ÷åòíûõ ÷èñåë. Òàêîå æå êîëè÷åñòâî íå÷åòíûõ ÷èñåë îêàæåòñÿ â ëåâîé ïîëîâèíå. Ìåíÿÿ ìåñòàìè ïàðû òàêèõ ÷èñåë ðàçíîé ÷åòíîñòè, íå áîëåå ÷åì çà 25 îïåðàöèé ìîæíî ïîëó÷èòü òàáëèöó, ó êîòîðîé â ïðàâîé ïîëîâèíå âñå ÷èñëà – íå÷åòíûå, à â ëåâîé – ÷åòíûå. Ñóììà ÷èñåë â êàæäîé ïàðå ñîñåäíèõ êëåòîê â êàæäîé èç ïîëîâèí – ÷åòíîå (è áîëüøåå 2), à ïîòîìó ñîñòàâíîå ÷èñëî. Ïðîñòûìè ìîãóò îêàçàòüñÿ òîëüêî ñóììû ÷èñåë â ñîñåäíèõ êëåòêàõ lj è rj èç ðàçíûõ ïîëîâèí, ïðèìûêàþùèõ ê ëèíèè m. Áóäåì òåïåðü ìåíÿòü ìåñòàìè ÷èñëà òîëüêî èç ïðàâîé ïî-

( )

ëîâèíû òàê, ÷òîáû ñóììû ÷èñåë â ïàðàõ êëåòîê lj , rj (j = = 1, 2, …, 10) ñòàëè äåëèòüñÿ íà òðè. Ýòî ìîæíî ñäåëàòü, òàê êàê â ïðàâîé ïîëîâèíå íå ìåíåå ÷åì ïî 16 ÷èñåë äàþò îñòàòêè

ÐÅØÅÍÈß

#'

0, 1 è 2 ïðè äåëåíèè íà òðè, à äëÿ òðåáóåìîé ïåðåñòàíîâêè ìîæåò ïîòðåáîâàòüñÿ íå áîëåå ÷åì ïî 10 ÷èñåë, äàþùèõ ýòè îñòàòêè. Ïîëó÷åííàÿ íå áîëåå ÷åì çà 25 + 10 = 35 îïåðàöèé òàáëèöà – èñêîìàÿ. 1 3. Îòâåò: . 2 Îáîçíà÷èì ÷åðåç R òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ PB, QC è AM (ðèñ.2). Çàìåòèì, ÷òî PM P AC , MQ P BD , ïîýòîìó ÷åòûðåõóãîëüíèêè PMCA è QMBD – ïàðàëëåëîãðàììû. Çíà÷èò, MC = PA, BM = = DQ è PQ = PA + AD + + DQ = MC + AD + BM = = 2BC. Òàê êàê BC P PQ è 1 BC = PQ , òî BC – ñðåä2 íÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà PRQ. Çíà÷èò, è BM – ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà ARP. Òîãäà MC = PA = Ðèñ. 2 = 2BM. 5. Ñì. ðèñ.3.  òå÷åíèå 24 : (18 + 6) = 1 ÷àñà âñå äâèæóòñÿ íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó, ïåðâûé – íà âåëîñèïåäå, ïðè ýòîì ïåðâûé è òðåòèé äðóçüÿ âñòðåòÿòñÿ è ïåðâûé ïåðåäàñò âåëîñèïåä òðåòüåìó.  ýòîò ìîìåíò âòîðîé, ïðîøåäøèé 6 êì, äîëæåí îñòàíîâèòüñÿ è äîæèäàòüñÿ òðåòüåãî, åäóùåãî ê íåìó íàâñòðå÷ó íà âåëîñèïåäå. Ïåðâûé â ýòî âðåìÿ òîæå ìîæåò îòäîõíóòü. Òðåòèé ÷åðåç (24 – 6 – 6) : 18 = 2/3 ÷àñà äîåäåò äî ñòîÿùåãî âòîðîãî è ïåðåäàñò åìó âåëîñèïåä. Ïîñëå ýòîãî âòîðîé äîåäåò äî Áåëîðå÷åíñêà, òðåòèé äîéäåò äî Ìàéêîïà, à ïåðâûé äîéäåò äî Áåëîðå÷åíñêà Ðèñ. 3 çà 1 ÷àñ. Âñåãî ñ íà÷àëà äâèæåíèÿ ïðîéäåò 1 + 2/3 + 1 ÷àñîâ, ò.å. 2 ÷àñà 40 ìèíóò. Çàìå÷àíèå. Ìîæíî ïîêàçàòü, ÷òî çà ìåíüøåå âðåìÿ âñå òðîå äîáðàòüñÿ íå ñìîãóò. 6. Îïóñòèì èç òî÷êè I íà ñòîðîíû AB, BC, CA ïåðïåíäèêóëÿðû IC1 , IA1 , IB1 ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ.4). Î÷åâèäíî, ýòè ïåðïåíäèêóëÿðû ðàâíû ïî äëèíå; êðîìå òîãî, AC1 = AB1 è CA1 = CB1 êàê îòðåçêè êàñàòåëüíûõ êî âïèñàííîé îêðóæíîñòè, ïðîâåäåííûõ èç îäíîé òî÷êè. Òîãäà è ïðÿìîóãîëüíûå òðåóãîëüíèêè IKB1 è INA1 ðàâíû ïî êàòåòó è ïðîòèâîëåæàùåìó îñòðîìó óãëó, ïîýòîìó B1K = A1N . Ðèñ. 4 Àíàëîãè÷íî, B1L = C1M . Ñëåäîâàòåëüíî AM + KL + CN = AM + MC1 + NA1 + CN = = AC1 + CA1 = AB1 + CB1 = AC . Çàìå÷àíèå. Óòâåðæäåíèå çàäà÷è âåðíî è â ñëó÷àå, êîãäà òðåóãîëüíèê BMN òóïîóãîëüíûé. 7. Îòâåò: 7. Èìååì n ?- 32 = 2 (n - 8) .

(∗ )

Òàê êàê n? íå äåëèòñÿ íà 4, òî èç ( ∗ ) ñëåäóåò, ÷òî n – 8 íå÷åòíî. Ïóñòü n > 9, òîãäà n – 8 èìååò íå÷åòíûé ïðîñòîé äåëèòåëü p. Òàê êàê p < n, òî n? äåëèòñÿ íà p. Çíà÷èò, 32 äåëèòñÿ íà p, ÷òî íåâîçìîæíî. Ìû ïîëó÷èëè, ÷òî n £ 9 è íå÷åòíî. Ïðè n = 9 èìååì n? =


$

ÊÂÀÍT 2007/¹5

= 210 > 2 × 9 + 16 . ×èñëî n = 7 – êîðåíü íàøåãî óðàâíåíèÿ, à ïðè n = 5 èìååì n? = 6 < 16. 9 êëàññ 1. Åñëè êàêîé-òî èç òðåõ÷ëåíîâ f ( x ) èëè g ( x ) , ñêàæåì

f ( x ) , íå èìååò êîðíåé, òî f ( x ) > 0 äëÿ ëþáîãî x, ïîýòîìó è f (f ( x )) > 0 äëÿ ëþáîãî x, è óòâåðæäåíèå äîêàçàíî. Ïóñòü îáà òðåõ÷ëåíà èìåþò êîðíè. Íå óìàëÿÿ îáùíîñòè ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå f ( x ) íå ïðåâîñõîäèò ìèíè-

ìàëüíîãî çíà÷åíèÿ g ( x ) . Èç óñëîâèÿ íà ìíîãî÷ëåí g (f ( x ))

ñëåäóåò, ÷òî ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå f ( x ) áîëüøå ëþáîãî êîðíÿ g ( x ) (äåéñòâèòåëüíî, åñëè g ( a ) = 0 è â íåêîòîðîé òî÷êå f (x1 ) £ a , òî íàéäåòñÿ x2 òàêîå, ÷òî f ( x2 ) = a ; òîãäà

g (f ( x2 )) = 0 , ÷òî íåâîçìîæíî). Òîãäà è ìèíèìàëüíîå çíà÷å-

íèå g ( x ) áîëüøå ëþáîãî êîðíÿ g ( x ) . Ïîýòîìó óðàâíåíèå g (g ( x )) = 0 íå ìîæåò èìåòü âåùåñòâåííûõ êîðíåé.

2. Ïóñòü âíà÷àëå â ñóììó âõîäèëà äðîáü a/2. Äîêàæåì, ÷òî â èñõîäíîé ñóììå íàéäåòñÿ òàêàÿ äðîáü b/c ñ íå÷åòíûì çíàìåíàòåëåì c, ÷òî ÷èñëà a è b èìåþò ðàçíóþ ÷åòíîñòü. Äåéñòâèòåëüíî, äðîáåé ñ íå÷åòíûìè çíàìåíàòåëÿìè ðîâíî 50 è ÷èñëî a íå ÿâëÿåòñÿ ÷èñëèòåëåì íè îäíîé èç íèõ. Ïîýòîìó ñðåäè ÷èñëèòåëåé òàêèõ äðîáåé íå áîëüøå 49 èìåþò òó æå ÷åòíîñòü, ÷òî è a. Ïîìåíÿåì òåïåðü ìåñòàìè ÷èñëèòåëè a è b. Ñäåëàåì ýòî â äâà ïðèåìà: ñíà÷àëà ïîìåíÿåì ÷èñëèòåëü ó äðîáè ñî çíàìåíàòåëåì 2 (ñóììà èçìåíèëàñü íà íå÷åòíîå ÷èñëî a – b ïîëîâèíîê è, çíà÷èò, ïðåâðàòèëàñü â öåëîå ÷èñëî), à çàòåì – ÷èñëèòåëü äðîáè ñî çíàìåíàòåëåì c (ñóììà èçìåíèëàñü íà äðîáü ñ íå÷åòíûì çíàìåíàòåëåì, ò.å. ñòàëà äðîáüþ ñ íå÷åòíûì çíàìåíàòåëåì). 3. Îòâåò: ïðè íå÷åòíûõ n âûèãðûâàåò âòîðîé, ïðè ÷åòíûõ n – ïåðâûé. Çàìåòèì, ÷òî ÷èñëî âåðøèí ïî îäíó ñòîðîíó îò ëþáîé äèàãîíàëè ÷åòíî, à ïî äðóãóþ – íå÷åòíî. Ïîýòîìó ëþáóþ äèàãîíàëü ïåðåñåêàåò ÷åòíîå ÷èñëî äðóãèõ äèàãîíàëåé (2n + 1) óãîëüíèêà. Ïóñòü â íåêîòîðûé ìîìåíò èãðû íåâîçìîæíî ñäåëàòü õîä, òîãäà êàæäàÿ íåïðîâåäåííàÿ äèàãîíàëü ïåðåñåêàåò íå÷åòíîå ÷èñëî óæå ïðîâåäåííûõ. Òàê êàê ëþáàÿ äèàãîíàëü ïåðåñåêàåò ÷åòíîå ÷èñëî äèàãîíàëåé, òî êàæäàÿ íåïðîâåäåííàÿ äèàãîíàëü ïåðåñåêàåò òàêæå íå÷åòíîå ÷èñëî íåïðîâåäåííûõ äèàãîíàëåé. Òàêàÿ ñèòóàöèÿ âîçìîæíà òîëüêî òîãäà, êîãäà íåïðîâåäåííûõ äèàãîíàëåé ÷åòíîå ÷èñëî. Äåéñòâèòåëüíî, ïîñ÷èòàåì äëÿ êàæäîé íåïðîâåäåííîé äèàãîíàëè ÷èñëî íåïðîâåäåííûõ äèàãîíàëåé, ïåðåñåêàþùèõ åå.  ýòîé ñóììå êàæäàÿ ïàðà ïåðåñåêàþùèõñÿ äèàãîíàëåé ó÷òåíà äâà ðàçà, ïîýòîìó ñóììà ÷åòíà, à âñå åå ñëàãàåìûå íå÷åòíû. Çíà÷èò, èõ ÷åòíîå ÷èñëî. Òàêèì îáðàçîì, åñëè îáùåå êîëè÷åñòâî äèàãîíàëåé â ìíîãîóãîëüíèêå íå÷åòíî, òî âûèãðûâàåò ïåðâûé, à åñëè ÷åòíî – òî âûèãðûâàåò âòîðîé. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî â (2n + 1) -óãîëüíèêå ÷èñëî äèàãîíàëåé íå÷åòíî ïðè ÷åòíîì n (òîãäà âûèãðûâàåò âòîðîé) è ÷åòíî ïðè íå÷åòíîì n (òîãäà âûèãðûâàåò ïåðâûé). 4. Ïóñòü S è T – îñíîâàíèÿ ïåðïåíäèêóëÿðîâ, îïóùåííûõ èç B1 è B íà BC è AK Ðèñ. 5 ñîîòâåòñòâåííî (ðèñ.5). Â

ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêàõ ALT è BSK èìååì ÐSBK = ÐLAT = α êàê îïèðàþùèåñÿ íà îäíó äóãó KC; ïîýòîìó ÐB1LB = ÐALT = 90° - α = ÐBKS = ÐBKB1 , ò.å. òî÷êè B, B1 , L, K ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè. Îòñþäà ÐBB1K = ÐBLK = β , è èç ïðÿìîóãîëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ BB1S è KLT ïîëó÷àåì 1 1 ÐAKL = ÐTKL = 90° - β = ÐB1BS = ÐABC = ÐAKC , 2 2 ÷òî è îçíà÷àåò, ÷òî KL ïðîõîäèò ÷åðåç ñåðåäèíó äóãè AC. 5. Ïóñòü â ëþáîé âåðøèíå ñòîÿò îäíè è òå æå ÷èñëà a è b; òîãäà äîñòàòî÷íî îñòàâèòü â âåðøèíàõ ñ ÷åòíûìè íîìåðàìè ÷èñëî a, à â âåðøèíàõ ñ íå÷åòíûìè – ÷èñëî b. Äîïóñòèì, ÷òî ýòî íå òàê. Òîãäà ïðîíóìåðóåì âåðøèíû ïî ïîðÿäêó îò 1 äî 100 òàê, ÷òîáû â âåðøèíàõ 1 è 100 ñòîÿëè ðàçíûå ïàðû ÷èñåë. Ïîêðàñèì âñå ïîñòàâëåííûå ÷èñëà â êðàñíûé è ñèíèé öâåòà ñëåäóþùèì îáðàçîì. ×èñëà â ïåðâîé âåðøèíå îêðàñèì â ðàçíûå öâåòà. Ïóñòü â k-é âåðøèíå ÷èñëà a è b îêðàøåíû â êðàñíûé è ñèíèé öâåòà ñîîòâåòñòâåííî. Òîãäà, êàê íåòðóäíî âèäåòü, â (k + 1) -é âåðøèíå ìîæíî ïîêðàñèòü ÷èñëà òàê, ÷òîáû îäíîöâåòíûå ÷èñëà â k-é è (k + 1) -é âåðøèíàõ ðàçëè÷àëèñü. Òàêèì îáðàçîì ìû ïîêðàñèì âñå ÷èñëà; ïðè ýòîì â ëþáîé ïàðå ñîñåäíèõ âåðøèí, êðîìå (1, 100), îäíîöâåòíûå ÷èñëà áóäóò ðàçëè÷íû. Ðàññìîòðèì âåðøèíû 1 è 100. Åñëè â íèõ ðàâíû êðàñíûå ÷èñëà è ðàâíû ñèíèå ÷èñëà, òî â ýòèõ âåðøèíàõ ñòîèò îäíà è òà æå ïàðà ÷èñåë, ÷òî íå òàê. Ïóñòü ñèíèå ÷èñëà â ýòèõ âåðøèíàõ ðàçëè÷íû. Òîãäà, ñòåðåâ âî âñåõ âåðøèíàõ êðàñíûå ÷èñëà, ìû ïîëó÷èì òðåáóåìîå. 6. Ñì. ðèñ.6. Ïóñòü ïðÿìàÿ MN âòîðè÷íî ïåðåñåêàåò îïèñàííûå îêðóæíîñòè ω1 è ω2 òðåóãîëüíèêîâ AHN è CHM â òî÷êàõ D è E, à ïðÿìóþ PH – â òî÷êå S. ÏîÐèñ. 6 ñêîëüêó HN – ìåäèàíà ïðÿìîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà BHC, òî HN = CN è ÐNHC = ÐNCH . Èç ïàðàëëåëüíîñòè õîðä ME è HC îêðóæíîñòè ω2 ñëåäóåò, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê MHCE – ðàâíîáîêàÿ òðàïåöèÿ, ïîýòîìó HM = CE è ÐMHC = ECH . Ñëåäîâàòåëüíî, ÐMHN = ÐMHC - ÐNHC = ÐECH - ÐNCH = = ÐECN . Çíà÷èò, ∆MHN = ∆ECN ïî äâóì ñòîðîíàì è óãëó ìåæäó íèìè, îòêóäà NE = MN. Àíàëîãè÷íî, DM = MN. Îáîçíà÷èì äëèíó ýòèõ òðåõ îòðåçêîâ ÷åðåç a, à äëèíû îòðåçêîâ MS è NS ÷åðåç x è y. Èç âïèñàííîñòè ÷åòûðåõóãîëüíèêîâ DHNP è MHEP ïîëó÷àåì MS × SE = PS × SH = NS × SD , îòêóäà x ( a + y ) = y ( a + x ) , ò.å. ax = ay. Òàêèì îáðàçîì, S – ñåðåäèíà MN, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Çàìå÷àíèå. Óòâåðæäåíèå çàäà÷è îñòàåòñÿ â ñèëå, äàæå åñëè îòêàçàòüñÿ îò òðåáîâàíèÿ îñòðîóãîëüíîñòè ∆ABC . Äîêàçàòåëüñòâî â ýòîì ñëó÷àå ïîëíîñòüþ àíàëîãè÷íî èçëîæåííîìó. 8. Îòâåò: N = 155. 1 1 Ïóñòü íà ëåíòî÷êàõ, íà êîòîðûõ çàïèñàíû ÷èñëà è k! l! (k < l), íàøëîñü ïî îäèíàêîâîìó êóñêó èç N ïîäðÿä ñòîÿùèõ 1 1 öèôð. Äîìíîæèì ÷èñëà è íà ñòåïåíè 10 òàê, ÷òîáû k! l! îäèíàêîâûå êóñêè îêàçàëèñü ñðàçó ïîñëå äåñÿòè÷íîé çàïÿòîé. 10a 10b è íå ìîãóò Äðîáíûå ÷àñòè ïîëó÷èâøèõñÿ äðîáåé k! l! ñîâïàäàòü. Äåéñòâèòåëüíî, â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ÷èñëî 10a 10b 10a (k + 1)(k + 2) K l - 10b = öåëîå; ñëåäîâàòåëüíî, k! l! l!


ÎÒÂÅÒÛ,

ÓÊÀÇÀÍÈß,

÷èñëèòåëü ïîñëåäíåé äðîáè äåëèòñÿ íà l. Òîãäà íà l äåëèòñÿ è ÷èñëî 10b . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, íè îäíî ÷èñëî îò 81 äî 99 íå ÿâëÿåòñÿ äåëèòåëåì ÷èñëà âèäà 10b , òàê êàê êàæäîå èç ýòèõ ÷èñåë ñîäåðæèò â ñâîåì ðàçëîæåíèè íà ìíîæèòåëè õîòÿ áû îäíî ïðîñòîå ÷èñëî, îòëè÷íîå îò 2 è 5. a b ïì10 ïü ïì10 ïü Ðàññìàòðèâàåìûå íàìè äðîáíûå ÷àñòè í ý è í ý ìîãóò ïî k ! ïþ ïî l ! ïþ áûòü çàïèñàíû êàê îáûêíîâåííûå äðîáè ñî çíàìåíàòåëÿìè k! è l!, à ïîòîìó – è êàê äðîáè ñî çíàìåíàòåëåì 99!, êîòîðûé äåëèòñÿ íà âñå ÷èñëà 80!, 81!, …, 99!; ñëåäîâàòåëüíî, èõ ðàçíîñòü åñòü ðàçíîñòü äâóõ íåðàâíûõ äðîáåé ñî çíàìåíàòåëåì 1 . 99, è îíà íå ìåíüøå 99! Ñ äðóãîé ñòîðîíû, äâå ïðàâèëüíûå äåñÿòè÷íûå äðîáè, ó êîòîðûõ ñîâïàäàþò ïåðâûå N öèôð ïîñëå çàïÿòîé, îòëè÷àþòñÿ 1 1 1 < . Òàêèì îáðàçîì, . Èç óñëîâèÿ ìåíüøå ÷åì íà 99! 10 N 10 N 1 1 > , ïîýòîìó N < 156. ñëåäóåò, ÷òî 99! 10156 Òàêèì îáðàçîì, êóñêà èç 156 çíàêîâ âñåãäà äîñòàòî÷íî äëÿ òîãî, ÷òîáû îïðåäåëèòü, èç êàêîé ïîëîñêè îí âûðåçàí. Ñ äðó1 1 è åñòü îäèíàãîé ñòîðîíû, íà ïîëîñêàõ ñ ÷èñëàìè 98! 99! 1 = 0,00 0010715 K, à êîâûå êóñêè ïî 155 çíàêîâ: 1 4K 24 3 99! 155 íóëåé 1 99 100 1 = = = 98! 99! 99! 99! = 0,00 0010715 K - 0,00 00 00106 K, 1 4K 24 3 1 4K 24 3 00107 K = 0,00 1 4K 24 3 153 íóëÿ

153 íóëÿ

153 íóëÿ

ò.å. íà îáåèõ ïîëîñêàõ åñòü êóñîê 00 0010 1 4K 24 3 . 153 íóëÿ

10 êëàññ 1. Ïîêðàñèì êëåòêè êàæäîé ãðàíè êóáà â øàõìàòíîì ïîðÿäêå òàê, ÷òîáû óãëîâûå êëåòêè áûëè ÷åðíûìè. Ïðè ýòîì êàæäàÿ ãðàíü ñîäåðæèò 41 ÷åðíóþ è 40 áåëûõ êëåòîê. Çàìåòèì, ÷òî âñå ñîãíóòûå ïîëîñêè áóäóò îäíîöâåòíûìè, à âñå îñòàëüíûå – íåò. Òàê êàê êîëè÷åñòâî ÷åðíûõ êëåòîê íà 6 áîëüøå, ÷åì êîëè÷åñòâî áåëûõ, òî ÷èñëî ÷åðíûõ ñîãíóòûõ ïîëîñîê íà 3 áîëüøå, ÷åì ÷èñëî áåëûõ. Ñëåäîâàòåëüíî, ýòè ÷èñëà ðàçíîé ÷åòíîñòè, è èõ ñóììà íå÷åòíà. 2. Ïîñêîëüêó a0 + a1 + K + ak ³ m , âñå ñóììû âèäà -m + a0 + a1 + K + ak íåîòðèöàòåëüíû. Ïîýòîìó ïðè x ³ 1 èìååì öåïî÷êó íåðàâåíñòâ

(

)

P ( x ) - mx n = (-m + a0 ) x n - x n -1 +

(

+ (-m + a0 + a1 ) x

n -1

-x

n -2

) + K + ( -m + a

0

+ K + an -1 ) ( x - 1) +

+ (-m + a0 + K + an ) ³ 0 , òàê êàê êàæäîå ñëàãàåìîå íåîòðèöàòåëüíî. 4. Îòâåò: ïðè N = 101. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïðè êàêîì-òî çíà÷åíèè N ôîêóñ óäàñòñÿ. Òîãäà ïî êàæäîìó âàðèàíòó ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ äâóìÿ çàêðûòûìè öèôðàìè, ïóñòü èõ êîëè÷åñòâî ðàâíî k1 , ôîêóñíèê ìîæåò âîññòàíîâèòü èñõîäíóþ; çíà÷èò, êàæäîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ñ äâóìÿ çàêðûòûìè öèôðàìè ôîêóñíèê îäíîçíà÷íî ìîæåò ïîñòàâèòü â ñîîòâåòñòâèå âîññòàíîâëåííóþ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü èç N öèôð, ïóñòü èõ êîëè÷åñòâî ðàâíî k2 . Ñëåäîâàòåëüíî, k1 ³ k2 . Îòìåòèì, ÷òî k1 = ( N - 1) × 10 N - 2 (åñòü N – 1 âàðèàíò âû÷åðêíóòü äâå öèôðû, à íà îñòàëüíûå N – 2 ïîçèöèè åñòü ïî 10 âàðèàíòîâ íà êàæäóþ). Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî k2 = 10N . Òîãäà èç k1 ³ k2 ñëåäóåò, ÷òî N - 1 ³ 100 , ò.å. N ³ 101 .

ÐÅØÅÍÈß

$

Ïîêàæåì, êàê âûïîëíèòü ôîêóñ ïðè N = 101. Ïóñòü ñóììà âñåõ öèôð íà íå÷åòíûõ ïîçèöèÿõ èìååò îñòàòîê s îò äåëåíèÿ íà 10, à ñóììà âñåõ öèôð íà ÷åòíûõ ïîçèöèÿõ èìååò îñòàòîê t îò äåëåíèÿ íà 10 (ïîçèöèè íóìåðóþòñÿ ñëåâà íàïðàâî ÷èñëàìè îò 0 äî 100). Ïîëîæèì p = 10s + t. Ïóñòü ïîìîùíèê çàêðîåò öèôðû, ñòîÿùèå íà ïîçèöèÿõ p è p + 1. Óâèäåâ, êàêèå öèôðû çàêðûòû, ôîêóñíèê îïðåäåëèò p, à ñëåäîâàòåëüíî, îïðåäåëèò s è t. Îòìåòèì, ÷òî îäíà çàêðûòàÿ öèôðà ñòîèò íà íå÷åòíîé ïîçèöèè, à äðóãàÿ – íà ÷åòíîé. Òàêèì îáðàçîì, âû÷èñëèâ ñóììó îòêðûòûõ öèôð íà íå÷åòíûõ ïîçèöèÿõ è çíàÿ s, ôîêóñíèê îïðåäåëèò çàêðûòóþ öèôðó, ñòîÿùóþ íà íå÷åòíîé ïîçèöèè. Àíàëîãè÷íî îïðåäåëÿåòñÿ çàêðûòàÿ öèôðà, ñòîÿùàÿ íà ÷åòíîé ïîçèöèè. r 5. Ïåðâîå ðåøåíèå. Ïóñòü ñóììà σ âñåõ âåêòîðîâ îòëè÷íà îò r íóëÿ ( σ = s > 0 ). Ââåäåì ïðÿìîóãîëüíóþ ñèñòåìó êîîðäèíàò r r Oxy, â êîòîðîé îñü Ox ñîíàïðàâëåíà ñ σ . Ïóñòü r r ar – äëèííûé âåêòîð íàáîðà, ò.å. îí íå êîðî÷å, r÷åì b = σ - a . Ïîr ñêîëüêó y-êîîðäèíàòû âåêòîðîâ a è b ðàâíû ïî ìîäóëþ, òî r x-êîîðäèíàòà ax âåêòîðà a ïîr ìîäóëþ íå ìåíüøå, ÷åì x-êîîðäèíàòà bx = s - ax âåêòîðà b . Îòñþäà ïîëó÷àåì, ÷òî ax ³ s 2 . Òåïåðü, åñëè âñå âåêòîðû íàáîðà äëèííûå, òî ñóììà èõ x-êîîðäèíàò íå ìåíüøå ns 2 > s , íî ýòà ñóììà ðàâíà s. Ïðîòèâîðå÷èå. r Âòîðîå ðåøåíèå. Îáîçíà÷èì äàííûå âåêòîðû ÷åðåç ak , à èõ r r r r ñóììó ÷åðåç σ . Ïî óñëîâèþ ak ³ σ - ak . Âîçâåäåì ýòî íår2 r 2 r r r ðàâåíñòâî â êâàäðàò: ak ³ σ - 2σ × ak + ak2 . Ïðîñóììèðîâàâ r òàêèå íåðàâåíñòâà ïî âñåì k îò 1 äî n, ïîëó÷àåì 0 ³ nσ2 r r r r r2 r r - 2σ a1 + a2 + K + an  , ò.å. 0 ³ (n - 2) σ . Çíà÷èò, σ = 0 . 6. Ñì. ðèñ.7. Ïóñòü X – òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìûõ AB è PQ. Òîãäà XP 2 = XA × XB = XQ2 , ò.å. X – ñåðåäèíà PQ. Ïðÿìûå AB è PR ïàðàëëåëüíû, òàê êàê îáå ýòè ïðÿìûå ïåðïåíäèêóëÿðíû ëèíèè öåíòðîâ îêðóæíîñòåé ω1 è ω2 . Èç óñëîâèÿ òåïåðü ïîëó÷àåì, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê PXBR – ïàðàëëåëîãðàìì, îòêóäà BR = 1 1 = XP = PQ = RS 2 2 (ïîñëåäíåå – èç ñèììåòÐèñ. 7 ðèè PQ è RS). Äàëåå, òàê êàê RS – îòðåçîê êàñàòåëüíîé ê ω2 , òî RB × RW = 2

= RS2 = (2RB) , îòêóäà RW = 4RB. Çíà÷èò, RB/BW = 1/3. 7. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíóþ õîðîøóþ ðàñêðàñêó. Çàìåòèì, ÷òî îáùåå ÷èñëî êîíöîâ ðåáåð êàæäîãî öâåòà ÷åòíî; ïðè ýòîì â êàæäîé âåðøèíå ñòåïåíè 3 êîëè÷åñòâî êîíöîâ êàæäîãî öâåòà èìååò îäèíàêîâóþ ÷åòíîñòü (èõ òàì ïî îäíîìó). Ïîýòîìó è â âåðøèíå A ÷åòíîñòü èõ êîëè÷åñòâ òàêæå îäèíàêîâà; òîãäà âñå îíè íå÷åòíû, è â íåé ñõîäèòñÿ òðè ðåáðà îäíîãî öâåòà è ïî îäíîìó ðåáðó îñòàëüíûõ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî óòâåðæäåíèå çàäà÷è íå âûïîëíåíî, ò.å. íåò õîðîøåé ðàñêðàñêè ñ òðåìÿ ïîñëåäîâàòåëüíûìè ðåáðàìè îäíîãî öâåòà, âûõîäÿùèìè èç îäíîé âåðøèíû. Äîêàæåì, ÷òî êîëè÷åñòâî õîðîøèõ ðàñêðàñîê, â êîòîðûõ èç A âûõîäèò òðè ñèíèõ ðåáðà, äåëèòñÿ íà 5. Òîãäà, î÷åâèäíî, è îáùåå êîëè÷åñòâî ðàñêðàñîê áóäåò äåëèòüñÿ íà 5, ÷òî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ. Ïóñòü èç âåðøèíû A ïîñëåäîâàòåëüíî âûõîäÿò ðåáðà AB1, AB2, AB3, AB4 è AB5 (äàëåå ïî öèêëó îïÿòü èäåò ðåáðî AB1 ).  ëþáîé ðàñêðàñêå êðàñíîå è ëèëîâîå ðåáðà èç A èäóò íå ïîäðÿä (èíà÷å è òðè ñèíèõ ðåáðà èäóò ïîäðÿä). Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ êîíöîâ êðàñíîãî è ëèëîâîãî ðåáåð åñòü 5 âàðèàíòîâ: (B1, B4 ) , (B2, B5 ) , ( B3, B1 ) , (B4, B2 ) , (B5, B3 ) ;


$

ÊÂÀÍT 2007/¹5

îáîçíà÷èì ñîîòâåòñòâóþùèå êîëè÷åñòâà ðàñêðàñîê ÷åðåç k14, k25, k31, k42, k53 . Ìû äîêàæåì, ÷òî k14 £ k42 £ k25 £ k53 £ £ k31 £ k14 , îòêóäà áóäåò ñëåäîâàòü, ÷òî âñå 5 ÷èñåë ðàâíû, à îáùåå êîëè÷åñòâî ðàñêðàñîê äåëèòñÿ íà 5. Ïîêàæåì, ÷òî k25 £ k53 (îñòàëüíûå íåðàâåíñòâà àíàëîãè÷íû). Ïóñòü â íåêîòîðîé ðàñêðàñêå ðåáðà AB2 è AB5 – íå ñèíèå (ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè AB2 êðàñíîå). Ðàññìîòðèì ãðàô, âåðøèíàìè êîòîðîãî ÿâëÿþòñÿ âåðøèíû ìíîãîãðàííèêà, à ðåáðàìè – ñèíèå è êðàñíûå ðåáðà. Òîãäà ñòåïåíü âåðøèíû A ðàâíà 4, à ñòåïåíè îñòàëüíûõ âåðøèí – ïî 2. Îòñþäà ñðàçó ñëåäóåò, ÷òî ãðàô ðàñïàëñÿ íà íåñêîëüêî öèêëîâ, ïðè÷åì äâà èç íèõ ïåðåñåêàþòñÿ òîëüêî ïî âåðøèíå A, à îñòàëüíûå íå ïåðåñåêàþòñÿ âîâñå. Ðàññìîòðèì öèêë, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç A è ñîäåðæàùèé AB2 ; òîãäà îí ñîäåðæèò åùå è ñèíåå ðåáðî, âûõîäÿùåå èç A. Ïåðåêðàñèì ñèíèå ðåáðà ýòîãî öèêëà â êðàñíûå è íàîáîðîò. Òîãäà ìû ïîëó÷èëè äðóãóþ õîðîøóþ ðàñêðàñêó. Ïðè ýòîì âîçìîæíû òðè ñëó÷àÿ (ðèñ.8). Åñëè öèêë ñîäåðæèò ñèíåå ðåáðî AB1 èëè AB4 , òî ïîñëå ïåðåêðàñêè òðè ïîñëåäîâàòåëüíûõ ðåáðà ( AB2 , AB3 , AB4 èëè AB1 , AB2 , AB3 ) îêðàøåíû â ñèíèé öâåò; ýòî íåâîçìîæíî ïî ïðåäïîëîæåíèþ.

äåñòâà sin x cos x cos 2x cos 4x cos 8 x K cos 2 k x = 2 - k -1sin 2 k +1x .

6. Îòâåò: íå ñóùåñòâóþò. Ïóñòü òàêèå ÷èñëà a, b, c íàøëèñü. Òîãäà îíè öåëûå â ñèëó òåîðåìû Âèåòà; êðîìå òîãî, ïðè êàæäîì n > 3 îäíî èç ÷èñåë c èëè –c ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâåäåíèåì âñåõ êîðíåé ìíîãî÷ëåíà Pn ( x ) , ò.å. ïðîèçâåäåíèåì n öåëûõ ÷èñåë. Äëÿ êàæäîãî ïîñòðîåííîãî ìíîãî÷ëåíà Pn ( x ) ðàññìîòðèì âñå åãî êîðíè, îòëè÷íûå îò ±1 ; èõ ïðîèçâåäåíèå ðàâíî ±c . Ó ÷èñåë c è –c êîíå÷íîå ÷èñëî ðàçëîæåíèé íà ìíîæèòåëè, îòëè÷íûå ïî ìîäóëþ îò åäèíèöû; çíà÷èò, êàêîå-òî èç òàêèõ ðàçëîæåíèé âñòðåòèòñÿ áåñêîíå÷íîå ÷èñëî ðàç. Ðàññìîòðèì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü ìíîãî÷ëåíîâ ñ òàêèì ðàçëîæåíèåì. Îíè ðàçëè÷àþòñÿ ìåæäó ñîáîé òîëüêî äîïîëíèòåëüíûìè êîðíÿìè, ðàâíûìè +1 è –1. Âîçüìåì äâà òàêèõ ìíîãî÷ëåíà Pm ( x ) è Pk ( x ) ñòåïåíåé m > k. Èç òåîðåìû Âèåòà ïîëó÷àåì, ÷òî ñóììà ÷èñåë, îáðàòíûõ ê êîðíÿì êàæäîãî èç ýòèõ ìíîãî÷ëåíîâ, ðàâíà –b/c. Ýòè ñóììû ðàçëè÷àþòñÿ ëèøü íàëè÷èåì íåñêîëüêèõ ñëàãàåìûõ âèäà 1 è –1; ÿñíî, ÷òî ó Pm ïî ñðàâíåíèþ ñ Pk äîáàâèëèñü ðàâíûå êîëè÷åñòâà òàêèõ êîðíåé, ò.å. Pm ( x ) = Pk ( x )( x - 1)

(

d

( x + 1)d

)

d

(

)

d

= Pk ( x ) x2 - 1 . d -1

(∗ )

d

Çàìåòèì, ÷òî x2 - 1 = x2d - K + ( -1) dx2 + ( -1) . Òîãäà, ñðàâíèâ ñâîáîäíûå ÷ëåíû è êîýôôèöèåíòû ïðè x2 â ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿõ ðàâåíñòâà ( ∗ ), ïîëó÷àåì c = c × ( -1)d (îòêóäà d ÷åòíî) è

Ðèñ. 8

d

Çíà÷èò, â öèêëå åñòü ðåáðî AB3 , è ïîñëå ïåðåêðàøèâàíèÿ ïîëó÷èëàñü ðàñêðàñêà, â êîòîðîé êðàñíîå è ëèëîâîå ðåáðà – AB3 è AB5 . Ïðè ýòîì èç ðàçíûõ ðàñêðàñîê ïîñëå ïåðåêðàøèâàíèÿ ïîëó÷àëèñü ðàçíûå, òàê êàê èñõîäíàÿ ðàñêðàñêà âîññòàíàâëèâàåòñÿ ïî íîâîé àíàëîãè÷íîé ïðîöåäóðîé. Ïîýòîìó k25 £ k53 , ÷òî è òðåáîâàëîñü. Çàìå÷àíèå 1. Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ìû íèãäå íå ïîëüçîâàëèñü ñïåöèôè÷åñêèìè îñîáåííîñòÿìè ìíîãîãðàííèêà. Çàôèêñèðîâàâ íåêîòîðóþ (âîîáùå ãîâîðÿ, ïðîèçâîëüíóþ) öèêëè÷åñêóþ íóìåðàöèþ B1, B2, B3, B4, B5 ñîñåäåé âåðøèíû A, ìû äîêàçàëè ñóùåñòâîâàíèå õîðîøåé ðàñêðàñêè, â êîòîðîé â îäèí öâåò ïîêðàøåíû òðè ðåáðà, èäóùèõ èç A ê ïîñëåäîâàòåëüíûì â ýòîé íóìåðàöèè âåðøèíàì. Çàìå÷àíèå 2. Âåðíåìñÿ, îäíàêî, ê çàäà÷å ñ ìíîãîãðàííèêîì. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî â íàøåì ìíîãîãðàííèêå åñòü õîðîøèå ðàñêðàñêè, íî îòêàæåìñÿ îò óñëîâèÿ, ÷òî èõ êîëè÷åñòâî íå êðàòíî 5. Ñäåëàåì åùå áîëåå ñìåëîå ïðåäïîëîæåíèå, ÷òî íàì â òàêèõ óñëîâèÿõ óäàëîñü äîêàçàòü íàëè÷èå õîðîøåé ðàñêðàñêè, â êîòîðîé òðè ïîñëåäîâàòåëüíûõ ðåáðà, âûõîäÿùèå èç A, ïîêðàøåíû â îäèí è òîò æå öâåò. Îòñþäà áåç òðóäà âûâîäèòñÿ ñàìîå èçâåñòíîå (áåç ïðåóâåëè÷åíèÿ!) óòâåðæäåíèå â òåîðèè ãðàôî⠖ ãèïîòåçà ÷åòûðåõ êðàñîê. 11 êëàññ 1. Çàìåòèì, ÷òî sin 3x = 3 sin x - 4 sin 3 x = 3 - 4 sin2 x sin x £ 3 sin x .

Ïîýòîìó äëÿ ôóíêöèè f1 , ïîëó÷åííîé èç f çàìåíîé cos 3x íà sin 3x , âûïîëíÿåòñÿ íåðàâåíñòâî f1 ( x ) £ 3 sin x cos x cos 2x cos 4 x cos 8 x K cos 2k x .

(Ìû îïóñòèëè âñå ìíîæèòåëè cos nx , â êîòîðûõ n > 3 è íå ÿâëÿåòñÿ ñòåïåíüþ äâîéêè; êàæäûé èç ýòèõ ìíîæèòåëåé íå ïðåâîñõîäèò 1.) Óòâåðæäåíèå çàäà÷è òåïåðü ñëåäóåò èç òîæ-

a = a × (1) + c × ( -1)

ïîñëåäíåå íåâîçìîæíî, òàê êàê cd ¹ 0 . Ïðîòèâîðå÷èå. 7. Ïóñòü äàíà ïèðàìèäà ABCD. Âûáåðåì ïàðó åå ñêðåùèâàþùèõñÿ ðåáåð ñ íàèáîëüøåé ñóììîé êâàäðàòî⠖ ïóñòü ýòî AB è CD. Ïîêàæåì, ÷òî øàðû ñ äèàìåòðàìè AB è CD ïîêðûâàþò êàæäîå ðåáðî ïèðàìèäû. ßñíî, ÷òî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ýòî äëÿ ðåáðà BC. Ðàññìîòðèì îñíîâàíèÿ A1 è D1 ïåðïåíäèêóëÿðîâ, îïóùåííûõ ñîîòâåòñòâåííî èç A è D íà BC (ðèñ.9). Òîãäà

d -1

d = a - cd ;

Ðèñ. 9

AB2 + CD2 = AA12 + BA12 + DD12 + CD12 ³ ³ AC2 + BD2 = AA12 + CA12 + DD12 + BD12 ,

îòêóäà BA12 + CD12 ³ CA12 + BD12 . Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî îòðåçêè BA1 è CD1 ïåðåêðûâàþòñÿ, à çíà÷èò, îíè ïîêðûâàþò âåñü îòðåçîê BC. Íî íàøè øàðû êàê ðàç ïîêðûâàþò îáà ýòèõ îòðåçêà. Ïîñêîëüêó øàðû ïîêðûâàþò âñå ðåáðà, òî îíè ïîêðûâàþò è âñå ãðàíè. Ïóñòü òåïåðü êàêàÿ-òî òî÷êà X òåòðàýäðà íå ïîêðûòà øàðàìè. Òîãäà èç íåå ìîæíî âûïóñòèòü ëó÷, íå èìåþùèé îáùèõ òî÷åê ñ øàðàìè. Îäíàêî îí ïåðåñå÷åò ïîâåðõíîñòü â òî÷êå, ïðèíàäëåæàùåé îäíîìó èç øàðîâ. Ïðîòèâîðå÷èå. 8. Ïåðâîå ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì ãðàô, âåðøèíû êîòîðîãî – ýòî ãîðîäà, à ðåáðà – àâèàëèíèè. Îáîáùèì çàäà÷ó – ðàçðåøèì ãðàôó èìåòü êðàòíûå ðåáðà. Òîãäà äëÿ ëþáîãî íàáîðà, ñêàæåì èç k âåðøèí, êîëè÷åñòâî ðåáåð ìåæäó íèìè íå ïðåâîñõîäèò 2k – 2. Òðåáóåòñÿ äîêàçàòü, ÷òî ìîæíî ïîêðàñèòü


ÎÒÂÅÒÛ,

ÓÊÀÇÀÍÈß,

ðåáðà ãðàôà â äâà öâåòà òàê, ÷òîáû íå áûëî îäíîöâåòíûõ öèêëîâ. Íàçîâåì íåïóñòîå ïîäìíîæåñòâî A âåðøèí ãðàôà êðèòè÷åñêèì, åñëè êîëè÷åñòâî ðåáåð ãðàôà ìåæäó âåðøèíàìè ìíîæåñòâà A – ðîâíî 2|A| – 2. Ëåììà. Åñëè A è B – êðèòè÷åñêèå ïîäìíîæåñòâà, ïðè÷åì A I B ¹ Æ , òî A U B – òîæå êðèòè÷åñêîå. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü C = A I B , D = A U B è D – íå êðèòè÷åñêîå, |A| = a, |B| = b, |C| = c, |D| = d = a + b – c. Òàê êàê êîëè÷åñòâî ðåáåð â A ðàâíî 2a – 2, à êîëè÷åñòâî ðåáåð â D ìåíüøå 2d – 2, òî ÷èñëî ðåáåð, ñîåäèíÿþùèõ âåðøèíû èç D, ó êîòîðûõ íå îáà êîíöà ëåæàò â A, ìåíüøå

(2d - 2) - (2a - 2) = 2 (d - a ) = 2 (b - c) .  ÷àñòíîñòè, â ÷èñëî ýòèõ ðåáåð âõîäÿò âñå ðåáðà, ñîåäèíÿþùèå âåðøèíû B, íå îáå èç êîòîðûõ ëåæàò â C. Ïîýòîìó èõ ÷èñëî òàêæå ìåíüøå

2 (b - c ) , à ÷èñëî îñòàëüíûõ ðåáåð ñðåäè âåðøèí B áîëüøå 2b - 2 - 2 b - c = 2c - 2 . Íî ýòî â òî÷íîñòè ðåáðà, ñîåäèíÿ-

þùèå âåðøèíû ìíîæåñòâà C; çíà÷èò, C íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ çàäà÷è – ïðîòèâîðå÷èå. Ëåììà äîêàçàíà. Çàìå÷àíèå. Çàìåòèì, ÷òî â óñëîâèÿõ ëåììû ìíîæåñòâî C òàêæå áóäåò êðèòè÷åñêèì. Ïåðåéäåì ê ðåøåíèþ çàäà÷è. Ïðåäïîëîæèì ïðîòèâíîå. Ðàññìîòðèì ãðàô ñ ìèíèìàëüíûì ÷èñëîì âåðøèí n, äëÿ êîòîðîãî óòâåðæäåíèå çàäà÷è íå âûïîëíÿåòñÿ. Ðàññìîòðèì âñå åãî âåðøèíû. ×èñëî ðåáåð ìåæäó íèìè íå áîëüøå 2n – 2. Åñëè ñòåïåíü êàæäîé âåðøèíû íå ìåíüøå 4, òî îáùåå êîëè÷åñòâî ðåáåð íå ìåíüøå 4 × n 2 = 2n > 2n - 2 , ÷òî íåâîçìîæíî. Çíà÷èò, íàéäåòñÿ âåðøèíà a ñòåïåíè íå áîëüøå 3. Åñëè åå ñòåïåíü ìåíüøå 3, òî âûêèíåì åå; ðåáðà îñòàâøåãîñÿ ãðàôà ìîæíî ïîêðàñèòü òðåáóåìûì îáðàçîì, òàê êàê îí, î÷åâèäíî, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ. Ïîêðàñèâ ïîñëå ýòîãî ðåáðà èç âåðøèíû a â ðàçíûå öâåòà, ìû, î÷åâèäíî, íå îáðàçóåì îäíîöâåòíûõ öèêëîâ, è òðåáóåìàÿ ðàñêðàñêà ïîëó÷åíà. Èòàê, ñòåïåíü a ðàâíà 3, è îíà ñîåäèíåíà ñ âåðøèíàìè b, c, d. Âñå òðè âåðøèíû b, c, d íå ìîãóò ñîâïàäàòü, òàê êàê èíà÷å ìåæäó äâóìÿ âåðøèíàìè a è b áûëî áû áîëüøå 2 × 2 - 2 ðåáåð, ÷òî íåâîçìîæíî. Òîãäà ñðåäè b, c è d åñòü âåðøèíà, îòëè÷íàÿ îò îáåèõ îñòàëüíûõ – ïóñòü ýòî âåðøèíà c. Âûáðîñèì èç ãðàôà âåðøèíó a. Åñëè â îñòàâøåìñÿ ãðàôå ïàðà âåðøèí b è c íå ïðèíàäëåæèò îäíîâðåìåííî íèêàêîìó êðèòè÷åñêîìó ïîäìíîæåñòâó, òî ïîñëå äîáàâëåíèÿ «ôèêòèâíîãî» ðåáðà (b, c) ìû ïîëó÷èì ãðàô, óäîâëåòâîðÿþùèé óñëîâèþ çàäà÷è, ÷èñëî âåðøèí â êîòîðîì ìåíüøå, ÷åì â íàøåì (ðèñ.10). Ïîêðàñèì åãî ðåáðà òðåáóåìûì îáðàçîì, ïîòîì óäàëèì äîáàâëåííîå ðåáðî, âåðíåì âåðÐèñ. 10 øèíó a è ïîêðàñèì ðåáðà (a, b) è (a, c) â öâåò «ôèêòèâíîãî» ðåáðà, à ðåáðî (a, d) – â äðóãîé. Î÷åâèäíî, îäíîöâåòíûõ öèêëîâ íå ïîÿâèòñÿ. Àíàëîãè÷íî ìîæåì ïîñòóïèòü, åñëè c è d îäíîâðåìåííî íå ïðèíàäëåæàò êðèòè÷åñêîìó ìíîæåñòâó. Åñëè æå âåðøèíû b è c ïðèíàäëåæàò êðèòè÷åñêîìó ìíîæåñòâó A1 , à âåðøèíû c è d – êðèòè÷åñêîìó ìíîæåñòâó A2 , òî A1 U A2 – òîæå êðèòè÷åñêîå (èáî c Î A1 I A2 ). Íî òîãäà, äîáàâèâ ê ýòîìó ìíîæåñòâó âåðøèíó a, ìû äîáàâèì ê åãî âíóòðåííèì ðåáðàì òðè ðåáðà; ñëåäîâàòåëüíî, ïîëó÷åííîå ìíîæåñòâî ïðîòèâîðå÷èò óñëîâèþ çàäà÷è. Âòîðîå ðåøåíèå. Ïîêàæåì, êàê ìîæíî ïî-äðóãîìó (áåç èñïîëüçîâàíèÿ ëåììû) çàâåðøèòü ðåøåíèå çàäà÷è. Òàê æå, êàê è â ïåðâîì ðåøåíèè, ðàññìîòðèì âåðøèíó a ñòåïåíè 3 è êðèòè÷åñêîå ïîäìíîæåñòâî V, ñîäåðæàùåå äâóõ åå ñîñåäåé, íî íå åå ñàìó.

$!

ÐÅØÅÍÈß

Âûêèíåì èç íàøåãî ãðàôà G âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà V è äîáàâèì íîâóþ âåðøèíó v, ïðè÷åì äëÿ êàæäîãî ðåáðà, ñîåäèíÿþùåãî âåðøèíó V ñ âåðøèíîé Ðèñ. 11 íå èç V, ñîåäèíèì v ñ ýòîé âíåøíåé âåðøèíîé (ðèñ.11). (Òàêàÿ îïåðàöèÿ íàçûâàåòñÿ ñòÿãèâàíèåì ïîäãðàôà V.) Ïîêàæåì, ÷òî íîâûé ãðàô G¢ òàêæå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ. Ðàññìîòðèì ïðîèçâîëüíîå ìíîæåñòâî D èç d åãî âåðøèí. Åñëè v Ï D , òî ÷èñëî ðåáåð ìåæäó íèìè òàêîå æå, êàê áûëî â ãðàôå G, ò.å. íå áîëüøå 2d – 2. Åñëè æå v Î D , òî ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî D U V \ {v} èç (d + k - 1) âåðøèí ãðàôà G; ñðåäè íèõ íå áîëüøå 2d + 2k – 4 ðåáåð, èç íèõ ðîâíî 2k – 2 ðåáåð ìåæäó âåðøèíàìè V; çíà÷èò, îñòàëüíûõ ðåáåð íå áîëüøå 2d – 2, ÷òî è òðåáîâàëîñü. Ðåáðà ãðàôà íà âåðøèíàõ ìíîæåñòâà V ìîæíî ïîêðàñèòü òðåáóåìûì îáðàçîì; ïîêðàñèì òàêæå òàêèì îáðàçîì ðåáðà G¢ (â îáîèõ ïîëó÷åííûõ ãðàôàõ ìåíüøå ÷åì ïî n âåðøèí!).  ãðàôå G êàæäîå ðåáðî ñîîòâåòñòâóåò ðåáðó â îäíîì èç äâóõ ãðàôî⠖ G¢ èëè V. Ïîêðàñèì ýòî ðåáðî òàê æå, êàê ñîîòâåòñòâóþùåå åìó ðåáðî â ýòèõ ãðàôàõ. Ïîêàæåì, ÷òî íå ïîÿâèëîñü îäíîöâåòíûõ öèêëîâ. Ïóñòü ýòî íå òàê. ßñíî, ÷òî êàæäûé öèêë ïðîõîäèò êàê ïî âåðøèíàì ìíîæåñòâà V, òàê è ïî äðóãèì âåðøèíàì. Ïîýòîìó ìîæíî âûéòè ïî ðåáðó èç âåðøèíû ìíîæåñòâà V, ïðîéòè ïî íåñêîëüêèì (áîëüøå îäíîãî!) îäíîöâåòíûì ðåáðàì è âïåðâûå ïðèäòè ñíîâà â âåðøèíó ìíîæåñòâà V. Ýòî îïÿòü îçíà÷àåò íàëè÷èå öèêëà â íîâîì ãðàôå – ïðîòèâîðå÷èå. Çàìå÷àíèå. Çàìåòèì, ÷òî åñëè ìåæäó êàêèìè-òî k âåðøèíàìè ÷èñëî ðåáåð áîëüøå 2k – 2, òî òðåáóåìàÿ ïîêðàñêà íåâîçìîæíà. Òàêèì îáðàçîì, âåðíî è óòâåðæäåíèå, îáðàòíîå óòâåðæäåíèþ çàäà÷è.

XLI ÂÑÅÐÎÑÑÈÉÑÊÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ ØÊÎËÜÍÈÊΠÏÎ ÔÈÇÈÊÅ ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÓÐ 9 êëàññ 1. Ñêîðîñòü òî÷êè  íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî âíèç è ðàâíà v0 ; ñêîðîñòü òî÷êè Ñ íàïðàâëåíà âåðòèêàëüíî ââåðõ è ðàâíà v0 2 ; òî÷êà Î ëåæèò íà êàòåòå ÂÑ íà ðàññòîÿíèè L sin 30° tg 30° » 0,3L îò òî÷êè Ñ. 2. v0 = 3.

I2 = I1

a (L - l) . t - t2 = t - t1

3 » 1,22 ; 2

tá2 = t +

to1 - t t - t2  t - t1

= 50 °C .

4. Ñì. ðèñ.12, íà êîòîðîì R1 = 25 Îì è R2 = 50 Îì . Âîëüòàìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà «÷åðíîãî ÿùèêà» ìåæäó âûâîäàìè 1–3 ìàëî îòëè÷àåòñÿ îò õàðàêòåðèñòèêè ëèíåéíîãî ðåçèñòîðà ñ ñîïðîòèâëåíèåì ïðèáëèçèòåëüíî 33 Îì. Ê âûâîäàì 1–3 íóæíî ïðèëîæèòü íàïðÿæåíèå U = 11,25 Â. 10 êëàññ 1. Ñêîðîñòü ïåðâîãî äèñêà ðàâíà 0,8v è íàïðàâëåíà ïî ïðÿìîé ÀÂ; ñêîðîñòü âòîðîãî äèñêà ðàâíà 0,6v è ëåæèò íà ïðÿìîé, ïåðïåíäèêóëÿðíîé À è ïðîõîäÿùåé ÷åðåç òî÷êó Ñ.

Ðèñ. 12


$"

ÊÂÀÍT 2007/¹5

2. l = Ðèñ. 13

2. rï » 0,73 a.å. , rí » 1,7 a.å. ; ñì. ðèñ.13. 3. V =

gh 1 - ρì ρ 1 = 5,9 ñì 3 ñ . π 2 2 d2-4 - d1-4

5 4. à) p ® p0 , á) p ® p0 , â) p ® p0 + ρgh ; p = 1,17 × 10 Ïà . 5. Ñì. ðèñ.14; äëÿ ñõåìû íà ðèñóíêå 14,à R1 = 50 Îì è R2 = 16 Îì ; âîëüò-àìïåðíàÿ õàðàêòåðèñòèêà íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà ñòðîèòñÿ ïóòåì âû÷èòàíèÿ ïðè çàäàííîì òîêå íàïðÿæåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ÂÀÕ 1–2 è ÂÀÕ R2 (ðèñ.15); ÂÀÕ 1–3 ñòðîèòñÿ ñóììèðîâàíèåì íàïðÿæåíèé, ñîîòâåòñòâóþùèõ ÂÀÕ 1–2 è ÂÀÕ 2–3 (ñì. ðèñ.15). Ðèñ. 14

2x12 -

v2 x1v2 v4 v2 + 2 2 ; lmax = , lmin = . 2µg 2 2µg µg 4µ g

3. à) t1 » 111 °C ; á) t2 » 53 °C .

4. U (t ) = - 0 - 2Bv vt (2R - vt ) ; íà ðèñóíêå 16 øòðèõîâêîé èçîáðàæåíû èíòåðâàëû ãîðåíèÿ ñâåòîäèîäîâ, çäåñü t1 = 150 ìêñ , t2 = 1,8 ìñ , t3 = 8,3 ìñ è t4 = 9,85 ìñ . 5. εmin = πR0 U0 =

2Uýôô

C = 0,63% , ãäå R0 = 2 Îì (ñì. ðèñ.17); L » 2,5 B , ãäå Uýôô = 1,75 B (ñì. ðèñ.17).

Ðèñ. 17

©

ÍÎÌÅÐ ÏÎÄÃÎÒÎÂÈËÈ À.À.Åãîðîâ, Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ, À.Þ.Êîòîâà, Â.À.Òèõîìèðîâà, À.È.×åðíîóöàí

ÍÎÌÅÐ ÎÔÎÐÌÈËÈ

Ðèñ. 15

11 êëàññ 1. v = t=

e2 = 1,17 × 106 ì ñ = ñ , ãäå ñ – ñêîðîñòü ñâåòà; 4πε0lm

1 ε0 m  πL 2 e2

3

» 67 ìñ ; íåò, íå íóæíî.

Â.Í.Âëàñîâ, Ä.Í.Ãðèøóêîâà, Â.Â.Èâàíþê, À.Å.Ïàöõâåðèÿ

ÕÓÄÎÆÅÑÒÂÅÍÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ Å.Â.Ìîðîçîâà

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÀß ÃÐÓÏÏÀ Å.À.Ìèò÷åíêî, Ë.Â.Êàëèíè÷åâà Æóðíàë «Êâàíò» çàðåãèñòðèðîâàí â Êîìèòåòå ÐÔ ïî ïå÷àòè. Ðåã. ñâ-âî ¹0110473 Àäðåñ ðåäàêöèè: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò» Òåë.: 930-56-48 Å-mail: admin@kvant.info, math@kvant.info, phys@kvant.info

Ðèñ. 16

Îòïå÷àòàíî â ÎÀÎ îðäåíà Òðóäîâîãî Êðàñíîãî Çíàìåíè «×åõîâñêèé ïîëèãðàôè÷åñêèé êîìáèíàò» 142300 ã.×åõîâ Ìîñêîâñêîé îáëàñòè, Ñàéò: www.chpk.ru E-mail: marketing@chpk.ru Ôàêñ: 8(49672) 6-25-36, ôàêñ: 8(499) 270-73-00 Îòäåë ïðîäàæ óñëóã ìíîãîêàíàëüíûé: 8(499) 270-73-59

2007_05  

Áþðî Êâàíòóì !' Êâàíòîâûå ÷óäåñà (ïðîäîëæåíèå). Ì.Êàãàíîâ "# Èíâàðèàíòíîñòü è çàäà÷è ñ ïàðàìåòðàìè. Ã.Ôàëèí, À.Ôàëèí #$ XIII Âñåðîññèéñêàÿ ç...

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you