Page 1

ÑÅÍÒßÁÐÜ ÎÊÒßÁÐÜ

2006

©

Þ

№5

ÍÀÓ×ÍÎ-ÏÎÏÓËßÐÍÛÉ ÔÈÇÈÊÎ-ÌÀÒÅÌÀÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÆÓÐÍÀË ÈÇÄÀÅÒÑß Ñ ßÍÂÀÐß 1970 ÃÎÄÀ

 íîìåðå:

Ó÷ðåäèòåëè — Ïðåçèäèóì Ðîññèéñêîé àêàäåìèè íàóê, Ôîíä ïîääåðæêè ôóíäàìåíòàëüíîé íàóêè è îáðàçîâàíèÿ (Ôîíä Îñèïüÿíà)

2 4 10

Âèòàëèþ Ëàçàðåâè÷ó Ãèíçáóðãó – 90 ëåò Íå íàäî áîÿòüñÿ «äåòñêèõ» âîïðîñîâ. Â.Çàõàðîâ Âîçðîæäåíèå «áåñïîëåçíûõ» ÷èñåë. Ë.Øèáàñîâ

14

Óðáåí Ëåâåðüå. À.Âàñèëüåâ

15 17

Çàäà÷è Ì2011–Ì2020, Ô2018–Ô2027 Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì1991–Ì1995, Ô2003–Ô2012

23 24 25 25

Ïîáåäèòåëè êîíêóðñà èìåíè À.Ï.Ñàâèíà «Ìàòåìàòèêà 6–8» 2005/06 ó÷åáíîãî ãîäà Çàäà÷è Êîíêóðñ èìåíè À.Ï.Ñàâèíà «Ìàòåìàòèêà 6–8» Äîïîëíÿé è âëàñòâóé. Ï.Ñàìîâîë, Ì.Àïïåëüáàóì, À.Æóêîâ

28 29 30

Êàê Ñòóäåíò äóìàë Çåìëþ îñòàíîâèòü. À.Ñòàñåíêî Ýëåêòðè÷åñêèå ìàøèíû è âûáîð ðåæèìà. Ã.Áàêóíèí Ôîêóñ øàðà. Ä.Âèêòîðîâ

ÈÇ ÈÑÒÎÐÈÈ ÍÀÓÊÈ

ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»

ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ

Þ.À.Îñèïüÿí ÏÅÐÂÛÅ ÇÀÌÅÑÒÈÒÅËÈ ÃËÀÂÍÎÃÎ ÐÅÄÀÊÒÎÐÀ

Ê Ì Ø

Ñ.Ñ.Êðîòîâ, Ñ.Ï.Íîâèêîâ ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß

À.ß.Áåëîâ, Þ.Ì.Áðóê, À.À.Âàðëàìîâ, À.Í.Âèëåíêèí, Â.È.Ãîëóáåâ, Ñ.À.Ãîðäþíèí, Í.Ï.Äîëáèëèí (çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî ðåäàêòîðà), Â.Í.Äóáðîâñêèé, À.À.Åãîðîâ, À.Â.Æóêîâ, À.Ð.Çèëüáåðìàí, Ï.À.Êîæåâíèêîâ, Â.Â.Êîçëîâ, Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ, À.À.Ëåîíîâè÷, Þ.Ï.Ëûñîâ, Â.Â.Ìîæàåâ, Â.Â.Ïðîèçâîëîâ, Í.Õ.Ðîçîâ, À.Á.Ñîñèíñêèé, À.Ë.Ñòàñåíêî, Â.Ã.Ñóðäèí, Â.Ì.Òèõîìèðîâ, Â.À.Òèõîìèðîâà, Â.Ì.Óðîåâ, À.È.×åðíîóöàí

ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ»

(çàìåñòèòåëü ãëàâíîãî ðåäàêòîðà)

ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ»

ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÛÉ ÑÎÂÅÒ

À.Â.Àíäæàíñ, Â.È.Àðíîëüä, Ì.È.Áàøìàêîâ, Â.È.Áåðíèê, Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, À.À.Áîðîâîé, Í.Í.Êîíñòàíòèíîâ, Ã.Ë.Êîòêèí, Å.Ë.Ñóðêîâ, Ë.Ä.Ôàääååâ

ÐÅÄÀÊÖÈÎÍÍÀß ÊÎËËÅÃÈß 1970 ÃÎÄÀ ÃËÀÂÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ

È.Ê.Êèêîèí

32

ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ

34

Ë.À.Àðöèìîâè÷, Ì.È.Áàøìàêîâ, Â.Ã.Áîëòÿíñêèé, È.Í.Áðîíøòåéí, Í.Á.Âàñèëüåâ, È.Ô.Ãèíçáóðã, Â.Ã.Çóáîâ, Ï.Ë.Êàïèöà, Â.À.Êèðèëëèí, Ã.È.Êîñîóðîâ, Â.À.Ëåøêîâöåâ, Â.Ï.Ëèøåâñêèé, À.È. Ìàðêóøåâè÷, Ì.Ä.Ìèëëèîíùèêîâ, Í.À.Ïàòðèêååâà, Í.Õ.Ðîçîâ, À.Ï.Ñàâèí,È.Ø.Ñëîáîäåöêèé, Ì.Ë.Ñìîëÿíñêèé, ß.À.Ñìîðîäèíñêèé, Â.À.Ôàáðèêàíò, ß.Å.Øíàéäåð

Áþðî

36 39

Çàêîí ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè. Â.Äðîçäîâ Ôóíêöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà. Ã.Ôàëèí, À.Ôàëèí

45

Ëåòíèå ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå øêîëû â Ïîâîëæüå

46 49 54 55

XXXII Âñåðîññèéñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå XL Âñåðîññèéñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå XIII Âñåðîññèéñêàÿ çàî÷íàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ Ìåæäóíàðîäíûé òóðíèð «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà»

58

Îòâåòû, óêàçàíèÿ, ðåøåíèÿ

ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß

ÎËÈÌÏÈÀÄÛ

ÍÀ ÎÁËÎÆÊÅ

Êâàíòóì

© 2006, Ïðåçèäèóì ÐÀÍ, Ôîíä Îñèïüÿíà, «Êâàíò»

Íà ëèôòå â... çàîáëà÷íûå äàëè. Ï.Áåíîìàð, À.Áóðîâ ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ

ÏÅÐÂÛÉ ÇÀÌÅÑÒÈÒÅËÜ ÃËÀÂÍÎÃÎ ÐÅÄÀÊÒÎÐÀ

À.Í.Êîëìîãîðîâ

Çðèòåëüíûå èëëþçèè

I II III IV

Ê 90-ëåòèþ Â.Ë.Ãèíçáóðãà Êîëëåêöèÿ ãîëîâîëîìîê Øàõìàòíàÿ ñòðàíè÷êà Ôèçèêè è ìàòåìàòèêè íà ìîíåòàõ ìèðà


ÊÂÀÍT· 2006/¹5

2

Âèòàëèþ Ëàçàðåâè÷ó Ãèíçáóðãó – 90 ëåò 4 îêòÿáðÿ 2006 ãîäà èñïîëíèëîñü 90 ëåò âûäàþùåìóñÿ ðîññèéñêîìó ó÷åíîìó, ëàóðåàòó Íîáåëåâñêîé ïðåìèè ïî ôèçèêå, àêàäåìèêó Ðîññèéñêîé àêàäåìèè íàóê Âèòàëèþ Ëàçàðåâè÷ó Ãèíçáóðãó. Ðåäàêöèîííûé ñîâåò, ðåäàêöèîííàÿ êîëëåãèÿ è ðåäàêöèÿ æóðíàëà «Êâàíò» ïîçäðàâëÿþò Âèòàëèÿ Ëàçàðåâè÷à ñ þáèëååì è æåëàþò åìó çäîðîâüÿ è íîâûõ óñïåõîâ â åãî ëþáèìîé ôèçèêå. Âèòàëèé Ëàçàðåâè÷ Ãèíçáóðã – îäèí èç íåìíîãèõ ôèçèêîâóíèâåðñàëîâ, ðàáîòàþùèõ â ðàçíûõ îáëàñòÿõ òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè. Èì îïóáëèêîâàíî áîëåå 450 íàó÷íûõ ðàáîò è äåñÿòêè êíèã. Ê íàèáîëåå ñóùåñòâåííûì ðåçóëüòàòàì åãî èññëåäîâàíèé îòíîñÿòñÿ òåîðèÿ ÷àñòèö ñî ñïèíîì 3/2, êâàíòîâàÿ òåîðèÿ ýôôåêòà Âàâèëîâà–×åðåíêîâà, ðàáîòû â îáëàñòÿõ êðèñòàëëîîïòèêè, ñåãíåòîýëåêòðè÷åñòâà, òåîðåòè÷åñêîé ðàäèîôèçèêè, òåîðèè âîëí â ïëàçìå, àñòðîôèçèêè, òåîðèè ñâåðõïðîâîäèìîñòè (òåîðèÿ Ãèíçáóðãà–Ëàíäàó), êîñìîëîãèè. Ðàáîòû ïî òåîðèè ñâåðõïðîâîäèìîñòè â 1966 ãîäó áûëè óäîñòîåíû Ëåíèíñêîé ïðåìèè, à â 2003 ãîäó – Íîáåëåâñêîé ïðåìèè. Â.Ë.Ãèíçáóðã íàãðàæäåí ìíîãèìè îðäåíàìè íàøåé ñòðàíû, èìååò íàãðàäû àêàäåìèè íàóê. Ñðåäè íèõ ïðåìèÿ èì. Ë.È.Ìàíäåëüøòàìà, ïðåìèÿ èì. Ì.Â.Ëîìîíîñîâà, Çîëîòàÿ ìåäàëü èì. Ñ.È.Âàâèëîâà, Áîëüøàÿ Çîëîòàÿ ìåäàëü èì. Ì.Â.Ëîìîíîñîâà ÐÀÍ. Â.Ë.Ãèíçáóðã èçáðàí ÷ëåíîì 10 çàðóáåæíûõ àêàäåìèé íàóê, â òîì ÷èñëå Ëîíäîíñêîãî Êîðîëåâñêîãî îáùåñòâà, Àìåðèêàíñêîé íàöèîíàëüíîé àêàäåìèè, Åâðîïåéñêîé àêàäåìèè, îí ÿâëÿåòñÿ ëàóðåàòîì ìíîãèõ ìåæäóíàðîäíûõ íàó÷íûõ ïðåìèé. Âñþ ñâîþ æèçíü Âèòàëèé Ëàçàðåâè÷ ðàáîòàåò â Ôèçè÷åñêîì èíñòèòóòå èì.Ï.Í.Ëåáåäåâà ÐÀÍ, äåñÿòêè ëåò îí âîçãëàâëÿë îáùåìîñêîâñêèé ñåìèíàð ïî òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå – øèðîêî èçâåñòíûé «Ñåìèíàð Ãèíçáóðãà». Â.Ë.Ãèíçáóðã – ãëàâíûé ðåäàêòîð îäíîãî èç ñàìûõ ïðåñòèæíûõ

Ê ÷èòàòåëþ Êàê áû ìíå õîòåëîñü ïåðåäàòü Âàì, óâàæàåìûé ÷èòàòåëü, ñâîé èíòåðåñ ê òîìó, êàê óñòðîåí ìèð! ß âîîáùå ñ÷èòàþ ñåáÿ ñ÷àñòëèâûì ÷åëîâåêîì – âñþ æèçíü çàíèìàëñÿ òåì, ÷òî ñ÷èòàë âàæíûì è èíòåðåñíûì – íàóêîé, ôèçèêîé. Óæå íåñêîëüêî ðàç ðàññêàçûâàë íà âñòðå÷àõ ñ ìîëîäûìè ëþäüìè, êàê ýòî ïîëó÷èëîñü. Ñëóøàëè ìåíÿ âñåãäà ñ èíòåðåñîì. Ìîè øêîëüíûå ãîäû ïðèøëèñü íà ñàìûé, âèäèìî, íåóäà÷íûé ïåðèîä ñîâåòñêîãî ñðåäíåãî îáðàçîâàíèÿ. Îò ñòàðîé øêîëû (ãèìíàçèé è ò.ï.) îñòàëèñü çäàíèÿ è îòäåëüíûå ïðåïîäàâàòåëè. À â îñòàëüíîì öàðèë õàîñ.  1931 ãîäó, êîãäà ÿ êîí÷èë ñåìèëåòêó, íà íåé âñå è îáðûâàëîñü, äåâÿòèëåòêè áûëè óïðàçäíåíû, äàëüøå ïîëàãàëîñü èäòè â ôàáðè÷íî-çàâîäñêèå ó÷èëèùà. Èíòåðåñ ê ôèçèêå ïîÿâèëñÿ óæå òîãäà, è òâåðäî, õîòÿ ÿ è íå çíàþ ïî÷åìó. Î÷åíü ìíå íðàâèëàñü íàó÷íîïîïóëÿðíàÿ êíèãà Î.Ä.Õâîëüñîíà «Ôèçèêà íàøèõ äíåé».

íàó÷íûõ æóðíàëîâ – æóðíàëà «Óñïåõè ôèçè÷åñêèõ íàóê». Ñ 1968 ãîäà Âèòàëèé Ëàçàðåâè÷ çàâåäóåò êàôåäðîé ïðîáëåì ôèçèêè è àñòðîôèçèêè â Ìîñêîâñêîì ôèçèêî-òåõíè÷åñêîì èíñòèòóòå. Âîñïèòàíèþ ìîëîäûõ ôèçèêîâ-òåîðåòèêîâ è ïðîïàãàíäå ôèçè÷åñêîé íàóêè Â.Ë.Ãèíçáóðã óäåëÿåò î÷åíü áîëüøîå âíèìàíèå. Øèðîêî èçâåñòíà, íàïðèìåð, åãî áîëüøàÿ ñòàòüÿ «Êàêèå ïðîáëåìû ôèçèêè è àñòðîôèçèêè ïðåäñòàâëÿþòñÿ îñîáåííî âàæíûìè è èíòåðåñíûìè â íà÷àëå 21-ãî âåêà?» (ïîñëåäíèé âàðèàíò ýòîé ñòàòüè ñîäåðæèòñÿ â êíèãå Â.Ë.Ãèíçáóðãà «Î íàóêå, î ñåáå è î äðóãèõ»). Ýòî, ïî ñóùåñòâó, îáçîð íûíåøíåãî ñîñòîÿíèÿ ôèçèêè è àñòðîôèçèêè è ïðîãðàììà èññëåäîâàíèé íà áëèæàéøèå ãîäû. Âèòàëèé Ëàçàðåâè÷ Ãèíçáóðã ìíîãî ëåò ÿâëÿåòñÿ ÷ëåíîì ðåäêîëëåãèè «Áèáëèîòå÷êè «Êâàíò», íåîäíîêðàòíî åãî ñòàòüè ïóáëèêîâàëèñü è íà ñòðàíèöàõ íàøåãî æóðíàëà.  2006 ãîäó âûøëè äâå íîâûå êíèãè Â.Ë.Ãèíçáóðãà. Îäíà èç íèõ – «Î ñâåðõïðîâîäèìîñòè è ñâåðõòåêó÷åñòè. Àâòîáèîãðàôèÿ», â ýòîé êíèãå åñòü è Íîáåëåâñêàÿ ëåêöèÿ àâòîðà. Äðóãàÿ êíèãà – «Ñâåðõïðîâîäèìîñòü» – íàïèñàíà ñîâìåñòíî ñ åãî ñîòðóäíèêîì Å.À.Àíäðþøèíûì. Ýòî óâëåêàòåëüíûé ðàññêàç î ôèçèêå íèçêèõ òåìïåðàòóð, ñâåðõïðîâîäèìîñòè è ñâåðõòåêó÷åñòè. Íèæå ìû âîñïðîèçâîäèì (ñ íåáîëüøèìè ñîêðàùåíèÿìè) îáðàùåíèå ê ÷èòàòåëÿì ýòîé êíèãè, íàïèñàííîå Â.Ë.Ãèíçáóðãîì.

Óñòðîèëñÿ íà ðàáîòó ñíà÷àëà ïðåïàðàòîðîì, çàòåì ëàáîðàíòîì â ëàáîðàòîðèþ îäíîãî èíñòèòóòà.  1933 ãîäó áûë ïåðâûé «ñâîáîäíûé» (ò.å. ïî êîíêóðñó, à íå ïî ïóòåâêàì) íàáîð íà ôèçôàê ÌÃÓ. Òðè ìåñÿöà óñèëåííî ãîòîâèëñÿ ñ ó÷èòåëÿìè è òîëüêî òàê ïðîøåë êóðñ çà 8, 9 è 10 êëàññû. Ïîñòóïèë ñî âòîðîãî ðàçà, íî ñðàçó íà âòîðîé êóðñ ïîñëå ãîäà çàî÷íîãî.  îáùåì, ôîðìàëüíî ÿ ïîäãîòîâèëñÿ, íî ÿ óáåæäåí, ÷òî îòñóòñòâèå õîðîøåé, íîðìàëüíîé øêîëû ñàìûì îòðèöàòåëüíûì îáðàçîì ñêàçàëîñü íà ìíå. Åñëè õîðîøèé øêîëüíèê ðåøàåò 1000 çàäà÷ ïî òðèãîíîìåòðèè, 1000 çàäà÷ ïî ëîãàðèôìèðîâàíèþ, âûðàáàòûâàåò îïðåäåëåííûé àâòîìàòèçì, òî ó ìåíÿ çà ïëå÷àìè áûëî âñåãî 10 èëè 100 çàäà÷, ìíå ýòî ïîòîì ìåøàëî. Âñïîìèíàþ â ýòîé ñâÿçè ðàçãîâîð ñ èçâåñòíûì ôèçèêîì Ã.Ñ.Ãîðåëèêîì. Îí î÷åíü õîðîøî ïèñàë è íà ìîé âîïðîñ: «Ïî÷åìó âû òàê õîðîøî ïèøåòå?» – îòâåòèë âîïðîñîì: «Ñêîëüêî ðàç â íåäåëþ âû ïèñàëè â øêîëå ñî÷èíåíèÿ?» ß îòâåòèë, ÷òî ðàç â äâå íåäåëè, òî÷íî íå ïîìíþ. Íà ýòî Ã.Ñ. ìíå çàìåòèë, ÷òî îí ó÷èëñÿ â Øâåéöàðèè è ñî÷èíåíèÿ ïèñàë êàæäûé äåíü.


ÂÈÒÀËÈÞ

ËÀÇÀÐÅÂÈ×Ó

ÃÈÍÇÁÓÐÃÓ

90

ËÅÒ

3

Ïîñëå îêîí÷àíèÿ ôèçôàêà â 1938 ãîäó ìåíÿ ðåêîìåíäîâàëè â àñïèðàíòóðó, îäíàêî ðàíüøå àñïèðàíòóðà äàâàëà îòñðî÷êó îò ïðèçûâà â àðìèþ, à òîãäà óæå âîçíèêëè òðóäíîñòè.  êîíöå êîíöîâ ÿ îêàçàëñÿ îäíèì èç ïîñëåäíèõ, êîìó òàêóþ îòñðî÷êó äàëè. À â ñåíòÿáðå 1938 ãîäà, êîãäà âîïðîñ î ïðèçûâå åùå âèñåë â âîçäóõå, çàíèìàòüñÿ ðóòèííîé ýêñïåðèìåíòàëüíîé ðàáîòîé, ñèäåòü â òåìíîé êîìíàòå è ãîíÿòü íàñîñ, åñòåñòâåííî, íå õîòåëîñü è áûëî íè ê ÷åìó. Âîò ÿ è ñòàë ïûòàòüñÿ îáúÿñíèòü âîçìîæíîñòü òîãî ýôôåêòà àñèììåòðèè, êîòîðûì çàíèìàëñÿ (ìîé äèïëîì áûë ïîñâÿùåí ðàçëè÷èþ èíòåíñèâíîñòè èçëó÷å-

øåé ðàáîòîé – èññëåäîâàíèÿìè â îáëàñòè ôèçèêè. Äàëåêî íå âñåì äàæå òàëàíòëèâûì ëþäÿì ýòî óäàëîñü – êòî ñãèíóë â ëàãåðÿõ, êòî ïîãèá âî âðåìÿ âîéíû, êòî ïðîñòî íå âïèñàëñÿ â ñîâåòñêóþ äåéñòâèòåëüíîñòü. Íà ôîíå èñòîðèè íàøåé ñòðàíû â XX ñòîëåòèè ìîÿ ñîáñòâåííàÿ èñòîðèÿ âûãëÿäèò êàê âåñüìà óäà÷íàÿ. Ýòî âåçåíèå ñûãðàëî íåìàëóþ ðîëü â òîì, ÷òî ÿ ñòàë ôèçèêîì-òåîðåòèêîì, ïðè÷åì äîâîëüíî èçâåñòíûì è ïðåóñïåâàþùèì. Ïîä ïîñëåäíèì ÿ èìåþ â âèäó íå òî, ÷òî ÿ ñòàë ÷ëåíîì-êîððåñïîíäåíòîì (1953), ïîòîì àêàäåìèêîì (1966), ëàóðåàòîì (Ëåíèíñêîé è Ãîñóäàðñòâåííîé ïðåìèé) è ò.ï. Âñå ýòî

íèÿ êàíàëîâûõ ëó÷åé âäîëü ëó÷à è â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè). È ïðèøëà òàêàÿ ìûñëü. Åñëè ðàçëîæèòü ïîëå íàëåòàþùåãî èîíà íà ïëîñêèå âîëíû, òî ýòè âîëíû ìîãëè áû, êàçàëîñü, èãðàòü òó æå ðîëü, ÷òî è ñâåòîâûå âîëíû, à çíà÷èò, âûçûâàòü èíäóöèðîâàííîå èñïóñêàíèå. Ïîýòîìó â íàïðàâëåíèè äâèæåíèÿ íàëåòàþùåãî èîíà âîçáóæäåííûé àòîì çà ñ÷åò èíäóöèðîâàííîãî èçëó÷åíèÿ äîëæåí èçëó÷àòü áîëüøå, ÷åì â ïðîòèâîïîëîæíîì íàïðàâëåíèè. Íå áóäó îáúÿñíÿòü ïîäðîáíåå. Ñ ýòîé èäååé ÿ ïîäîøåë ê È.Å.Òàììó, êàæåòñÿ, 13 ñåíòÿáðÿ – îí ðàáîòàë â ÔÈÀÍå è ÷èòàë ó íàñ íà ôèçôàêå ëåêöèè. Ìíå óäàëîñü èçëîæèòü åìó ñâîþ èäåþ, è ñ ýòîãî äëÿ ìåíÿ íà÷àëàñü íîâàÿ æèçíü. Ñàìà èäåÿ îêàçàëàñü íåâåðíîé, çàòî Èãîðü Åâãåíüåâè÷ ïîääåðæàë ìåíÿ, ïîçâîëèë ïîâåðèòü â ñâîè ñèëû. Ñ÷èòàþ, ÷òî ìíå ïîâåçëî – ÿ ïîòîì óøåë ðàáîòàòü â ÔÈÀÍ, à íå îñòàëñÿ íà ôèçôàêå, ãäå ìåíÿ ñ÷èòàëè ó÷åíèêîì «ðåàêöèîííûõ» ïðîôåññîðîâ. Ïîâåçëî, ÷òî ïîñëå âîéíû ïðèâëåêëè ê ðàáîòå íàä àòîìíîé áîìáîé, òîëüêî ïîòîìó èçáåæàë çà÷èñëåíèÿ â êîñìîïîëèòû. Ïîâåçëî, ÷òî âñþ æèçíü çàíèìàëñÿ èíòåðåñíåé-

äîñòàòî÷íî óñëîâíî, èíîãäà äàæå ïîëíûå íè÷òîæåñòâà äîáèâàþòñÿ ôîðìàëüíî ìíîãîãî. À âîò íàó÷íûå ðåçóëüòàòû – äðóãîå äåëî, ýòî íå÷òî îáúåêòèâíîå. È çäåñü ÿ ñ÷èòàþ, ÷òî ïîëó÷èë ðÿä âàæíûõ è äîâîëüíî âûñîêîãî êëàññà ðåçóëüòàòîâ: â îáëàñòè ñâåðõïðîâîäèìîñòè, ñâåðõòåêó÷åñòè, ñåãíåòîýëåêòðè÷åñòâà, ýôôåêòà Âàâèëîâà–×åðåíêîâà è ïåðåõîäíîãî èçëó÷åíèÿ, ðàäèîàñòðîíîìèè, ïðîèñõîæäåíèÿ êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé, ðàññåÿíèÿ ñâåòà. Ïîëàãàþ, ÷òî è Íîáåëåâñêàÿ ïðåìèÿ (2003) ýòî îòðàæàåò, õîòÿ îíà ïðèñóæäåíà çà èññëåäîâàíèÿ â îáëàñòè èìåííî ñâåðõïðîâîäèìîñòè. ß âîîáùå ñ÷èòàþ, ÷òî ñ èñòîðèåé ïðèñóæäåíèÿ Íîáåëåâñêèõ ïðåìèé ñòîèò ïîçíàêîìèòüñÿ âñåì, êòî èíòåðåñóåòñÿ èñòîðèåé ïîëó÷åíèÿ è ïðèçíàíèÿ íàó÷íûõ ðåçóëüòàòîâ (çíà÷åíèå ýòîãî ñîáûòèÿ íå ñëåäóåò, îäíàêî, ïåðåîöåíèâàòü). ß î÷åíü ðåêîìåíäóþ âñåì, êòî ñîáèðàåòñÿ èçáðàòü íàóêó ñôåðîé ñâîåé äåÿòåëüíîñòè, âñÿ÷åñêè ðàñøèðÿòü ñâîé êðóãîçîð è íå çàìûêàòüñÿ â óçêîé ñïåöèàëüíîñòè. È îñòàåòñÿ òîëüêî ïîæåëàòü ÷èòàòåëÿì âñÿ÷åñêèõ áëàã è óñïåõîâ.


ÊÂÀÍT· 2006/¹5

4

Íå íàäî áîÿòüñÿ «äåòñêèõ» âîïðîñîâ Â.ÇÀÕÀÐÎÂ Ó áóäóùåãî ãðóñòíûå ãëàçà. È íóæíî çàìîë÷àòü. Íî òðóäíî, òðóäíî...1

âïå÷àòëåíèÿ. Ïåðâîå ìîå ÷óâñòâåííîå îùóùåíèå ñâÿçàíî ñ ïðîõëàäîé è ñâåæåñòüþ ðå÷íîé âîäû. Ðàññêàçûâàþò, ÷òî ÿ íåìåäëåííî çàêðè÷àë: «Ìàìà, ïîäëåé ãîðÿ÷åé». Ìû æèëè â Ëåñïðîìõîçå â Òàòàðèè. Âîêðóã òðåâîæàùèå ìîå âîîáðàæåíèå ëåñà. Òàì ìîæíî çàáëóäèòüñÿ, 1 Çäåñü è äàëåå ñòèõè Â.Çàõàðîâà. (Ïðèì. ðåä.)

òàì âîëêè. Íå ïóãàííûå îõîòíèêàìè, â òå ñîðîêîâûå îíè ñèëüíî ðàñïëîäèëèñü. Îá ýòîì ãîâîðèëè âçðîñëûå. Åùå ìíîãî ãîâîðèëè î Ñòàëèíãðàäñêîé áèòâå, ÷òî òåïåðü âîéíà ñêîðî êîí÷èòñÿ. Îòåö áûë íà ôðîíòå. Åãî âîçâðàùåíèå ÿ âñòðåòèë ñïîêîéíî – âåäü ÿ åãî íèêîãäà íå âèäåë ðàíüøå.  ñåìüå – íàñòîÿùèé êóëüò ïîýçèè è íàóêè. Ìàìà, ïðåïîäàâàòåëü áèîëîãèè, âñþ æèçíü ïèñàëà ñòèõè. Ñî÷èíÿë ïîýòè÷åñêèå ñòðîêè è ñòàðøèé áðàò. Ñòèõè çâó÷àëè â íàøåì äîìå âñåãäà. ß íå ïîìíþ ñåáÿ, íå

Èëëþñòðàöèÿ Ç.Ñóðîâîé

Ã

ËÓÁÎÊÎ Â ÏÀÌßÒÈ ÑÏÐßÒÀÍÛ ÌËÀÄÅÍ×ÅÑÊÈÅ


ÍÅ

ÍÀÄÎ

ÁÎßÒÜÑß

çíàþùåãî áëîêîâñêîé «Íåçíàêîìêè». Ìàìà íàïåâàëà ýòè ñòðîêè âìåñòî êîëûáåëüíîé. Ïóøêèí, Íåêðàñîâ, Åñåíèí, ñèìâîëèñòû... Âîò Òþò÷åâà ìîÿ ðàçíî÷èííàÿ ñåìüÿ íå çíàëà. Ê èìåíè æå Àõìàòîâîé îòíîñèëèñü ñ áîëüøèì óâàæåíèåì. Ïèñàòü ñòèõè ñàì ÿ ñòàë èñêëþ÷èòåëüíî èç çàâèñòè ê ñòàðøåìó áðàòó. Ó íåãî æå ïîëó÷àåòñÿ – äîëæíî âûéòè è ó ìåíÿ.  âîñåìü ëåò íàïèñàë ñòèõè î Ñòàëèíå, ñïëîøü ñîñòîÿùèå èç ÷óæèõ ðàñõîæèõ ñëîâ. ß ïðîäîëæàë ñî÷èíÿòü, íî ñêîðî ïîíÿë, ÷òî ïîáåäèòü áðàòà íå ñìîãó. Ñòàíîâèëîñü âñå òðóäíåå. Èçâåñòåí ýôôåêò: ÷åì áîëüøå ïîãðóæàåøüñÿ â ìèð ïîýçèè, òåì ñòðîæå ñòàíîâÿòñÿ êðèòåðèè è ñòðîæå îöåíèâàåøü ñâîè ñòðîêè. Ïèñàòü âñåðüåç ÿ ñòàë òîëüêî ïîñëå äâàäöàòè è â ñâîþ ïåðâóþ êíèãó ðàííèå ñòèõè íå âêëþ÷èë.  êàêîé-òî ìîìåíò ÿ ïîíÿë ãëóáîêîå ðàçëè÷èå íàóêè è ïîýçèè.  íàóêå âñå, ÷òî äåëàþ ÿ, ñìîæåò è äðóãîé. Äîêàæó ÿ êàêóþ-òî òåîðåìó, íî, âîçìîæíî, îíà óæå äîêàçàíà, à åñëè è íå äîêàçàíà, òî ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ýòî âñå-òàêè ñëó÷èòñÿ. ×åëîâå÷åñêèå æå ëè÷íîñòè íàñòîëüêî ðàçëè÷íû, ÷òî ïðîèçâåäåíèÿ, íàïèñàííûå îäíèì ïîýòîì, íå ìîãóò áûòü ñîçäàíû äðóãèì. Ýòî êàê îòïå÷àòêè ïàëüöåâ. Ìîÿ ïîýçèÿ – ýòî òîò ñïîñîá, êîòîðûì ÿ âèæó, ýòî òîò ãëàç, òîò ìèð, êîòîðûé ÿ âèæó, ýòî òî, ÷òî ñóùåñòâóåò òîëüêî âî ìíå. Åñëè ÿ íå ïåðåäàì åãî, ýòîò ìèð, îí èñ÷åçíåò. È âñå. Îí íèêîãäà íå áóäåò ñóùåñòâîâàòü. À åñëè âûðàæó åãî, òî îí ïðèîáðåòåò ÷åðòû íåêîåãî âå÷íîãî áûòèÿ. È ÿ âçÿëñÿ çà ïåðî. Ïèñàë ñòèõè, ýññå, òîëüêî íå ïðîçó. Îíà, ìíå êàæåòñÿ, åùå ñèëüíåå îòëè÷àåòñÿ îò íàóêè. Äåòñêèå îïûòû áûâàþò ó âñåõ, à âîò ïîòðåáíîñòü â ñåðüåçíîé ðàáîòå ïðèøëà äîñòàòî÷íî ïîçäíî. Äîëãîå âðåìÿ ÿ áûë óáåæäåí, ÷òî ñòàíó õèìèêîì. Ëåò â îäèííàäöàòü-äâåíàäöàòü ÿ óæå îáóñòðîèë áîëüøóþ õèìè÷åñêóþ ëàáîðàòîðèþ, âñå ñâîè êàðìàííûå äåíüãè òðàòèë íà íåå. ×èòàë ó÷åáíèêè ïî õèìèè, íàó÷íîïîïóëÿðíûå êíèãè. Äåëàë îïûòû, èíîãäà âåñüìà ðèñêîâàííûå. Ïûòàëñÿ, íàïðèìåð, èçãîòîâèòü ãëèöåðèí ñàìîñòîÿòåëüíî. Ìàìà âûïèñûâàëà æóðíàë «Ïðèðîäà». ß ìàëî ÷òî â íåì ïîíèìàë, íî õèìè÷åñêàÿ òåðìèíîëîãèÿ çàâîðàæèâàëà. Ïðîÿâëÿë èçîáðåòàòåëüíîñòü. Ó ìåíÿ íå õâàòàëî àçîòíîé êèñëîòû, à ñåðíóþ êèñëîòó ìîæíî áûëî äîñòàòü – îíà ïðîäàâàëàñü ïîä âèäîì êóïîðîñíîãî ìàñëà. ×åðíûé ïîðîõ ìîæíî áûëî êóïèòü áåç îõîòíè÷üåãî áèëåòà, ñòîèë îí äåøåâî. Íî âèä åãî âíóøàë ïîäîçðåíèå — îí ñîñòîÿë èç êàêèõ-òî ÷åøóåê. Åñëè ñìåñü ñåðû è ÷åðíîãî ïîðîõà çàëèòü ñåðíîé êèñëîòîé è ñäåëàòü ðàçîãðåâ... Êîãäà ÿ çàñàäèë âñå ýòî â êîëáó è ïîñòàâèë íà ñïèðòîâêó, òî òàê ãðîìûõíóëî... Ìàìèíû ãàðäèíû áûëè èñïîð÷åíû íàâåê. Âëþáëåííîñòü â õèìèþ ïðîäîëæàëàñü åùå äîëãî. Íî îäíàæäû æèçíü ìîÿ ïåðåâåðíóëàñü. ß çàøåë â ãîðîäñêóþ äåòñêóþ áèáëèîòåêó. Ìû íåäàâíî ïåðååõàëè â Ñìîëåíñê, ìíå íå áûëî åùå ÷åòûðíàäöàòè. ß âçÿë ñ ïîëêè êíèãó Ñåðãåÿ Áîáðîâà î ìàòåìàòèêå äëÿ äåòåé.2 ß ÷èòàë åå ñî ñòðàñòüþ, ñ ïûëàþùèìè îò âîçáóæäåíèÿ 2 Áîáðîâ Ñ.Ï. «Âîëøåáíûé äâóðîã» (òðåòüå èçäàíèå ýòîé êíèãè âûøëî â ìîñêîâñêîì èçäàòåëüñòâå ÌÖÍÌÎ â 2006 ãîäó). (Ïðèì. ðåä.)

«ÄÅÒÑÊÈÕ»

ÂÎÏÐÎÑÎÂ

5

ùåêàìè. Âîò îíî! ß áóäó ìàòåìàòèêîì! Êíèãà ìíå ïîêàçàëàñü áåñêîíå÷íî èíòåðåñíîé. Îíà áûëà íàïèñàíà ñòðàííî, ïðè÷óäëèâî. Òàì áûëè ìàòåìàòè÷åñêèå çàäà÷è, õóäîæåñòâåííûå ðàññêàçû, ñòèõè – ñëîâîì, áûë òàèíñòâåííûé ìîìåíò ñëèÿíèÿ ìàòåìàòèêè è ïîýçèè. È ýòî ñûãðàëî â ìîåé æèçíè ðåøàþùóþ ðîëü. Êíèãà áûëà ðîñêîøíî èçäàíà.  òîëñòîì ïåðåïëåòå. Ñ ïðåêðàñíûìè èëëþñòðàöèÿìè. Ìíîãî ëåò ñïóñòÿ, ïåðå÷èòûâàÿ Ïàñòåðíàêà, ÿ íàøåë ïîñâÿùåíèå Ñåðãåþ Áîáðîâó. Îí âõîäèë âìåñòå ñ Ïàñòåðíàêîì â ãðóïïó «Öåíòðèôóãà» — îäíî èç ïîñëåäíèõ ëèòåðàòóðíûõ îáúåäèíåíèé ôóòóðèñòîâ. Íåñêîëüêî ëåò òîìó íàçàä â òîìå, ïîñâÿùåííîì ôóòóðèñòàì, âûøëà áîëüøàÿ ïîäáîðêà ñòèõîâ Ñåðãåÿ Áîáðîâà. Áîëüøîãî âïå÷àòëåíèÿ ñòèõè íà ìåíÿ íå ïðîèçâåëè, íî ïîêàçàëàñü ëþáîïûòíîé åãî áèîãðàôèÿ.  âîñüìîì êëàññå ÿ ïðèøåë íà ìàòåìàòè÷åñêóþ îëèìïèàäó è ìãíîâåííî, ìåíåå ÷åì çà ïÿòíàäöàòü ìèíóò, ðåøèë çàäà÷è âñåõ âàðèàíòîâ. Ïîòðåáîâàë, ÷òîáû ìíå äàëè çàäà÷è äëÿ äåâÿòûõ êëàññîâ. Ðåøèë âñå. Ìîæåò ñêîðåå ðàäè øóòêè, ìíå ïðåäëîæèëè çàäàíèå äëÿ âûïóñêíîãî êëàññà. Ñïðàâèëñÿ òàê æå áûñòðî. ß âåäü áûë âëþáëåí â ìàòåìàòèêó. Óìåë äèôôåðåíöèðîâàòü è èíòåãðèðîâàòü. Íàó÷èëñÿ ñàì â ïÿòíàäöàòü ëåò ïî êíèæêàì ïî èñòîðèè ìàòåìàòèêè, ãäå áûëè âñå öåïî÷êè è ôîðìóëû äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé. À íà÷àëîñü âñå ñ êíèãè ïîýòà, ìå÷òàâøåãî ñòàòü ìàòåìàòèêîì.  íàãðàäó çà ïîáåäó â îëèìïèàäå ìíå ïîäàðèëè âñå øåñòü òîìîâ «Ñîâåòñêîé äðàìàòóðãèè». Íà ìåíÿ îáðàòèëè âíèìàíèå. Äîöåíò ïåäàãîãè÷åñêîãî èíñòèòóòà Èðèíà Ëåîíèäîâíà Ðàóõâàðãåð ðåøèëà çàíèìàòüñÿ ñî ìíîé âûñøåé ìàòåìàòèêîé, äà âèäíî ãîëîâà ìîÿ îêàçàëàñü ïåðåãðóæåííîé – íà÷àëèñü ìèãðåíåîáðàçíûå áîëè. Èíòåíñèâíûå çàíÿòèÿ ïðåêðàòèëèñü, íî ê ýòîìó âðåìåíè ìíå óæå ñàìîìó áûëî íåÿñíî, ÷òî âëå÷åò áîëüøå – ôèçèêà, ìàòåìàòèêà, òåõíèêà? Êñòàòè, èíòåðåñ ê òåõíèêå áûë âñåîáùèì – îñâîåíèå êîñìîñà áûëî óæå íà ïîäõîäå. Øêîëó ÿ îêîí÷èë áåç ìåäàëè. Ïðè÷èíà ýòîãî íå â çíàíèÿõ. ß áûë âñåãäà ÷åëîâåêîì... îòâÿçàííûì. Åñòü òàêîå àíãëèéñêîå âûðàæåíèå «îòâÿçàííàÿ ïóøêà» – ýòî ïóøêà, êîòîðàÿ, ñòîèò åå îñâîáîäèòü îò ïóò, íà÷èíàåò êàòàòüñÿ ïî ïàëóáå êîðàáëÿ. Ïîä äàâëåíèåì ñåìüè ÿ ïîåõàë â Ìîñêâó, ñäàë ýêçàìåíû, ïîñòóïèë â ýíåðãåòè÷åñêèé èíñòèòóò. Ïðîó÷èëñÿ òàì òðè ãîäà, ïîëó÷àë äàæå ïîâûøåííóþ ñòèïåíäèþ, íî âñå æå óøåë îòòóäà. Îêàçàëñÿ â Êóð÷àòîâñêîì èíñòèòóòå 3 â äîëæíîñòè ëàáîðàíòà ýêñïåðèìåíòàëüíîãî îòäåëà, êîòîðûé êàê ðàç ñîáèðàëñÿ ïåðååçæàòü â Íîâîñèáèðñê. Îí áûë çàðîäûøåì áóäóùåãî, â íàñòîÿùèé ìîìåíò àáñîëþòíî çíàìåíèòîãî, Èíñòèòóòà ÿäåðíîé ôèçèêè, ðóêîâîäèë èì Àíäðåé Ìèõàéëîâè÷ Áóäêåð, â òî âðåìÿ ÷ëåíêîððåñïîíäåíò, âïîñëåäñòâèè èçâåñòíåéøèé àêàäåìèê.  îòäåëå áûëà âåñüìà äåìîêðàòè÷íàÿ îáñòàíîâêà. Ó ìåíÿ áûëî òðè êóðñà âóçà, íî âîñïðèíèìàëè ìåíÿ ðàâíîöåííûì íàó÷íûì ñîòðóäíèêîì. Òàì ÿ è ïîëó÷èë ôèçè÷åñêîå îáðàçîâàíèå, ÷òî íàçûâàåòñÿ, èç ïåðâûõ 3 Èíñòèòóò àòîìíîé ýíåðãèè èìåíè È.Â.Êóð÷àòîâà. (Ïðèì. ðåä.)


6

ÊÂÀÍT· 2006/¹5

ðóê. Äîëæåí áûë ñàì äåëàòü ïðèáîðû, ñàì ïðîèçâîäèòü âñå ðàñ÷åòû è òàê äàëåå. Ýòî áûë íåîöåíèìûé ýëåìåíò îáðàçîâàíèÿ, î÷åíü âàæíûé äëÿ ôèçèêà. Áóäêåð áûë çàìå÷àòåëüíûì ÷åëîâåêîì. Áîëüøèíñòâî ëþäåé èìååò ñàìîñòîÿòåëüíîå ìíåíèå ëèøü ïî óçêîìó êðóãó âåùåé. Áóäêåð æå ïðèíàäëåæàë ê î÷åíü ðåäêîìó òèïó òåõ, êîòîðûå ïî ëþáûì âîïðîñàì èìåþò ñâîå ñîáñòâåííîå ìíåíèå è ëþáîé âîïðîñ îáäóìûâàþò ñàìîñòîÿòåëüíî – âîïðîñû æèçíè è ñìåðòè, ñóäüáû ÷åëîâå÷åñòâà, ïîëèòèêè, à òàêæå ÷èñòî ïðàêòè÷åñêèå âîïðîñû, íàïðèìåð ïðîïèñêè. Îí áûë ïîñòîÿííî äóìàþùèì ÷åëîâåêîì, òàëàíòëèâûì è èçîáðåòàòåëüíûì. Ëàíäàó åãî íàçûâàë ðåëÿòèâèñòñêèì èíæåíåðîì. Áóäêåð äåéñòâèòåëüíî áûë ôèçèêîì-òåîðåòèêîì, êîòîðûé, òåì íå ìåíåå, ðàçáèðàëñÿ â ýêñïåðèìåíòå. Êàæäûé äåíü îí ïðèåçæàë ê äåñÿòè ÷àñàì, âûçûâàë ê ñåáå ðàçíûå áðèãàäû è îáñóæäàë ñ íèìè äåòàëè èõ ýêñïåðèìåíòîâ, ïðè÷åì èíîãäà äîñòàòî÷íî òîíêèå (áóêâàëüíî, ãäå òàì âèíòèêè ïîñòàâëåíû). Ïîòîì îí óåçæàë äîìîé, îòäûõàë, âîçâðàùàëñÿ è ñèäåë óæå äî ïîçäíåãî âå÷åðà. ×àñòî îí âûçûâàë ìåíÿ (ÿ òîæå ñèäåë ïî âå÷åðàì è ðàáîòàë), ïðåäëàãàë ìíå ïîñ÷èòàòü ÷òî-òî, ñêàæåì ïîðîã ðîæäåíèÿ ÷åòûðåõ-øåñòè ôåðìèîíîâ ïðè ñòîëêíîâåíèè ïðîòîíîâ. Ýòî íåñëîæíî ïîñ÷èòàòü. ß ïðèõîäèë ê íåìó ÷åðåç ïîë÷àñà: «Ñåìü-ïÿòü íàäî èìåòü â êàæäîì ïó÷êå». «Ñïàñèáî, òåïåðü ñÿäü». È íà÷èíàë: «Âîò ÷òî òû äóìàåøü, íàïðèìåð, î òîì, áóäåò ëè ÷åëîâå÷åñêèé èíòåëëåêò áèîëîãè÷åñêèì èëè êèáåðíåòè÷åñêèì?» ß ïðåêðàñíî ïîíèìàë – ýòî òàêàÿ èãðà. ß íèêîãäà íå âûñêàçûâàëñÿ, ïðîñòî áûë ñëóøàòåëåì. È îí ðàçâèâàë ñâîè òåîðèè – íàïðèìåð, ÷òî áûëî áû, åñëè áû Ñòàëèí â 45 ãîäó ïîñëå ïîáåäû íàä Ãåðìàíèåé ðåøèëñÿ íà âîéíó ñ Àìåðèêîé. Ó Áóäêåðà áûëà ñòðîéíàÿ, ðàçâèòàÿ òåîðèÿ, ôàíòàñòè÷åñêèé ðîìàí ìîæíî áûëî ïèñàòü. Îäíàæäû ÿ ïðîèçâåë íà íåãî áîëüøîå âïå÷àòëåíèå ñâîèì çíàíèåì ëèòåðàòóðû. Îí çàìåòèë â ðàçãîâîðå ñ êåì-òî: «Êàê ñêàçàë Ëåðìîíòîâ, òû õëîïåö, ìîæåò áûòü, íå òðóñ, äà ãëóï, à ìû âèäàëè âèäû». ß ãîâîðþ: «Àíäðåé Ìèõàéëîâè÷, âñå õîðîøî, íî òîëüêî ýòî íå Ëåðìîíòîâ, à Ïóøêèí». «Êàê? Áûòü íå ìîæåò!» ß îòâå÷àþ: «Ïóøêèí, ñòèõîòâîðåíèå «Ãóñàð», âî âòîðîì òîìå «Èçáðàííûõ ñî÷èíåíèé», ïðèáëèçèòåëüíî íà÷àëî 30-õ ãîäîâ, èç ýòîãî ïåðèîäà». Îí ïîñëàë ñâîþ ñåêðåòàðøó â áèáëèîòåêó, íàøëè ýòè ñòðîêè, è ñ òåõ ïîð îí ñòàë ìåíÿ î÷åíü óâàæàòü çà çíàíèå ëèòåðàòóðû. È, ñàìîå ñìåøíîå, ñïðîñèë: «À òû îòêóäà ýòî çíàåøü?» Ïîñëå ãîäà ðàáîòû â Êóð÷àòîâñêîì èíñòèòóòå ÿ ðåøèë ñòàòü ôèçèêîì-òåîðåòèêîì, à íå ýêñïåðèìåíòàòîðîì. È îêîí÷àòåëüíûé âûáîð ñäåëàë â 1961 ãîäó, êîãäà ìåíÿ ïåðåâåëè â Íîâîñèáèðñê. ß òîãäà ïîøåë ê Áóäêåðó: «Àíäðåé Ìèõàéëîâè÷, ÿ õî÷ó ñòàòü òåîðåòèêîì». Îí ãîâîðèò: «Íó ëàäíî. Òàêàÿ òâîÿ ñóäüáà. Êîíå÷íî, òû áû áûë î÷åíü õîðîøèì ýêñïåðèìåíòàòîðîì. Íî, åñëè óæ òû õî÷åøü, ïîæàëóéñòà, èäè. Âîò Ñàãäååâ ê íàì ïåðååçæàåò, òîæå èç Êóð÷àòîâñêîãî èíñòèòóòà. Îí ñîçäàåò îòäåë». ß ãîâîðþ: «Íó, êàê æå, Ñàãäååâ! Îí ñ ìîèì ñòàðøèì áðàòîì â îäíîì êëàññå ó÷èëñÿ, ÿ åãî çíàþ ñ äåòñòâà, òåì áîëåå ÷òî îí â èíñòèòóòå ïðåïîäàâàë ôèçèêó è îðãàíèçîâàë êðóæîê

ïî òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå». Âñå ñîøëîñü, è ÿ ñ óäîâîëüñòâèåì ïîøåë ê íåìó â îòäåë. Ïîñåëèëè ìåíÿ â Íîâîñèáèðñêå â îáùåæèòèè, è ñòàë ÿ õîäèòü ïî ìîðîçöó â Èíñòèòóò ÿäåðíîé ôèçèêè. Ñàãäååâñêèé îòäåë ðàñïîëàãàëñÿ íà âòîðîì ýòàæå.  íàøåé êîìíàòå áûëî ÷åòûðå ñòîëà, è çà íèìè – ÷åòûðå ÷åëîâåêà: âñå ÷åòâåðî ïîçæå ñòàëè àêàäåìèêàìè. Ýòî ôàíòàñòèêà! Áûëà ïðåêðàñíàÿ òâîð÷åñêàÿ àòìîñôåðà. Åñëè ó êîãî-òî áûëè âîïðîñû, ìû îáñóæäàëè èõ âìåñòå – ïðîèñõîäèëè íåïðåðûâíûå ñåìèíàðû. Ïðè ýòîì îáñòàíîâêà áûëà îñîáåííîé è î÷åíü íåïðèíóæäåííîé. ×àñòî øóòèëè è ðàçûãðûâàëè äðóã äðóãà. Ïðèõîäèëè â ñòîëîâóþ ê 9 ÷àñàì óòðà. Çàâòðàêàëè âìåñòå. Êàæäûé ïî î÷åðåäè ïëàòèë çà âñåõ. Çàâòðàê îïîçäàâøåãî ñ ãèêàíüåì è ñâèñòîì äåëèëè, äàæå åñëè ñîâñåì íå õîòåëîñü åñòü.  Íîâîñèáèðñêå ÿ îêîí÷èë óíèâåðñèòåò ñ êðàñíûì äèïëîìîì, ïîñòóïèë â àñïèðàíòóðó, äîâîëüíî áûñòðî çàùèòèë êàíäèäàòñêóþ äèññåðòàöèþ, ÷åðåç 2 ãîäà ïîñëå îêîí÷àíèÿ óíèâåðñèòåòà, ïîòîì – äîêòîðñêóþ, òîæå î÷åíü áûñòðî. ß ïîíÿë, ÷òî åñòü öåëàÿ îáëàñòü íàóêè, êîòîðàÿ åùå òîëüêî íà÷èíàåò ðàçâèâàòüñÿ, – ôèçèêà íåëèíåéíûõ âîëí, è îíà æå ñâÿçàíà ñ ìàòåìàòèêîé. ß ñòàë çàíèìàòüñÿ ýòîé íàóêîé, ó ìåíÿ áûëà äîêòîðñêàÿ äèññåðòàöèÿ, ôàêòè÷åñêè ôîðìóëèðóþùàÿ îñíîâíûå ïðèíöèïû ýòîé íàóêè. ß ÷èòàë â óíèâåðñèòåòå ñâîé êóðñ, âåë ñåìèíàðû ïî ðàçíûì ðàçäåëàì òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè, ÷èòàë îáùóþ ôèçèêó íà ôèçôàêå.  1968 ãîäó ÿ ïðî÷èòàë êóðñ ïî ââåäåíèþ â ôèçèêó íåëèíåéíûõ âîëí, è ìîè ñëóøàòåëè – ÷àñòü èç íèõ ñáåæàëè äîâîëüíî áûñòðî, íî ÷åëîâåê ñåìü îñòàëèñü – ñòàëè ÿäðîì ìîåé íàó÷íîé øêîëû. Îíè âñå ñåé÷àñ èçâåñòíûå â ìèðå ëþäè. ß íà÷àë ïðåïîäàâàòü åùå ñî ñòóäåí÷åñêèõ ëåò. Âíà÷àëå – ôèçèêó â ôèçìàòøêîëå Àêàäåìãîðîäêà. Âåë ñåìèíàðû, ïîòîì ëåêöèè äàæå ÷èòàë. Ôèçìàòøêîëà è ñåé÷àñ åùå ñóùåñòâóåò. Çàâó÷ – îäèí èç ìîèõ ñëóøàòåëåé ýòîãî êóðñà. Äî ñèõ ïîð ÿ âñòðå÷àþ ïî âñåìó ìèðó ó÷åíûõ, êîòîðûå êîãäà-òî ñëóøàëè ìîè ëåêöèè ïî ôèçèêå. ß âñïîìèíàþ ñåé÷àñ òî âðåìÿ, êîòîðîå íåâîçìîæíî çàáûòü, êîòîðîå ó âñåõ íàñ îñòàëîñü â ïàìÿòè êàê ñàìîå ïðåêðàñíîå âðåìÿ æèçíè, – âðåìÿ ðàñöâåòà Àêàäåìãîðîäêà. Ýòî øåñòèäåñÿòûå ãîäû, êîãäà òàì áûëà ñîâåðøåííî îñîáàÿ äóõîâíàÿ àòìîñôåðà, â êîòîðîé, êàê ìû ïîòîì ïîíÿëè, ó ëþäåé âûðàáàòûâàëèñü ãëóáîêèå, áåçóñëîâíûå öåííîñòíûå îðèåíòàöèè.  Àêàäåìãîðîäêå ðåøèëè ñîçäàòü êëóá, êîòîðûé áû îáúåäèíÿë êóëüòóðíóþ è ñîöèàëüíóþ æèçíü (à òàêæå äëÿ òîãî, ÷òîáû ñîîòâåòñòâóþùèì îðãàíèçàöèÿì áûëî óäîáíåå ñëåäèòü çà íàðîäîì, êàê ìû òåïåðü ïîíèìàåì). Äíåì – ñòîëîâàÿ, à âå÷åðîì – êëóá. Íàäî áûëî ïðèäóìàòü íàçâàíèå. È âîò òóò ìåíÿ îñåíèëî – «Ïîä èíòåãðàëîì». È äåéñòâèòåëüíî åãî òàê íàçâàëè – âñåîáùèé êëóá, âñåõ îáúåäèíÿåò. ×ëåíû êëóáà âûáèðàëèñü òàéíûì ãîëîñîâàíèåì, áûë ïðåçèäåíò êëóáà. ß èìåë âûñøèé ðàíã è ðîâíûì ñ÷åòîì íè÷åãî íå äåëàë – ïðîñòî çà òî, ÷òî íàçâàíèå ïðèäóìàë. Áûë òàêèì êðåñòíûì îòöîì ýòîãî êëóáà. Òàì ïðîâîäèëèñü ïîýòè÷åñêèå òóðíèðû, òóäà ïðèåçæàëè çíàìåíèòûå áàðäû.


ÍÅ

ÍÀÄÎ

ÁÎßÒÜÑß

Òîãäà ó íàñ áûëà ëèáåðàëüíàÿ ýïîõà, ïîòîì îíà íà÷àëà ñòàíîâèòüñÿ âñå áîëåå è áîëåå æåñòêîé. Îäíàæäû íî÷üþ ÿ âèäåë, êàê ïîäúåõàë êðàí è ñíÿë íåîíîâûå áóêâû «Ïîä èíòåãðàëîì». Êëóá óæå äâà ãîäà êàê áûë çàêðûò, à âûâåñêà ïðîäîëæàëà âèñåòü ïðîñòî êàê íåêîòîðûé ïàìÿòíèê ïðîøëîìó. Ñåìèäåñÿòûå ãîäû ïðèíÿòî ñ÷èòàòü âðåìåíåì çàñòîÿ. Áûëî îíî, êîíå÷íî, äîñòàòî÷íî äóøíîå, íî âñå-òàêè ñî ñòàëèíñêèì åãî íå ñðàâíèòü, îíî áîëåå ëèáåðàëüíîå. ß íå çàíèìàëñÿ àêòèâíîé îáùåñòâåííîé äåÿòåëüíîñòüþ, íî îáùàëñÿ ñ êåì õîòåë è äðóæèë ñ êåì õîòåë, ñîâåðøåííî íè÷åãî íå áîÿñü. Ïî îòíîøåíèþ êî ìíå áûëà òàêàÿ ïîëèòèêà: æèâè, êàê õî÷åøü, íî â «äàëüíèé çàðóáåæ» íå ïîåäåøü. Âñå áûëî áåñêðèçèñíî, êðîìå òîãî ÷òî áûë íåâûåçäíîé. À ïîòîì ó ìåíÿ ñ Áóäêåðîì îòíîøåíèÿ ÷óòü-÷óòü èñïîðòèëèñü. Áåçóñëîâíî, îí î÷åíü ìíîãî â ìåíÿ âëîæèë, äàë ìíå âîçìîæíîñòü ðàáîòàòü è îäíîâðåìåííî ó÷èòüñÿ, âñå óñëîâèÿ ñîçäàë. Äàæå ïîçàáîòèëñÿ î òîì, ÷òîáû ìåíÿ â òþðüìó íå ïîñàäèëè.  1968 ãîäó, êîãäà íàøè âîéñêà â ×åõîñëîâàêèþ âîøëè, ýòî âïîëíå ìîãëî ïðîèçîéòè. Ìû ïîäïèñàëè ïèñüìî, òàê íàçûâàåìîå ïèñüìî 46-òè.  êàêîé-òî ìîìåíò ëþäè íà÷àëè ïðèõîäèòü è ãîâîðèòü, ÷òî áîÿòñÿ, ìíîãèå óæå æàëåþò î òîì, ÷òî ïîäïèñàëè, è ïîýòîìó íàäî âñå ýòî ïðåêðàòèòü. Îòêàò òàêîé ïîøåë. ß íà÷àë äóìàòü. Î÷åíü áûñòðî ïðîñ÷èòàë, ÷òî ïðîèçîéäåò äàëüøå. Ïèñüìî îïóáëèêóþò, êòî-òî çàÿâèò, ÷òî ïîäïèñàë ïîä äàâëåíèåì, áûë îáìàíóò. È êàê âûõîäèòü èç ïîëîæåíèÿ? Íàóòðî ìåíÿ âûçâàëè ê Áóäêåðó: «Âîëîäÿ, ÷òî òû äåëàåøü? Òû äåëó ïðèíîñèøü áîëüøîé âðåä è âîîáùå íàóêå. Êàê æå òàê!» ß ãîâîðþ: «Àíäðåé Ìèõàéëîâè÷, ïîçäíî, ïèñüìî óæå îòïðàâëåíî â Ìîñêâó». Ýòî áûëà íåïðàâäîé. Ïîòîì ÿ ñîáðàë ëþäåé è ïðåäëîæèë: «Ìû ñîææåì âñå ýòè ïîäïèñè è ñîáåðåì ïî íîâîé. Òîò ÷åëîâåê, êîòîðûé âòîðîé ðàç ïîäïèøåò, óæå íå îòêàæåòñÿ, îí óæå ïîíèìàåò, ÷òî äåëàåò ñâîé âûáîð». Âñå ñîãëàñèëèñü. Êðîìå îäíîãî, êîòîðûé áûë, ñîáñòâåííî, îðãàíèçàòîðîì âñåãî ýòîãî äåëà è àâòîðîì ïèñüìà. Íà ñëåäóþùèé äåíü ÿ ïîøåë ê Áóäêåðó, è îí ìíå çàäàë ñîâåðøåííî ôàíòàñòè÷åñêèé âîïðîñ: «Âîëîäÿ, à ñêîëüêî ïîäïèñåé áóäåò èç íàøåãî èíñòèòóòà?» ß åìó ãîâîðþ: «Âîñåìü èëè äåâÿòü ïîäïèñåé». Îí ñïðîñèë: «Ýòî áîëüøå, ÷åì â ëþáîì äðóãîì èíñòèòóòå?» ß ãîâîðþ: «Äà». Îí ãîâîðèò: «Ìîëîäåö». Âîò òàêàÿ ôàíòàñòè÷åñêàÿ èñòîðèÿ. Áûëè, ïî-âèäèìîìó, äàíû óêàçàíèÿ êàêèì-òî ëþäÿì, ïîòîìó ÷òî ó íàñ çàñåäàë ó÷åíûé ñîâåò êàæäûé äåíü. Îäèí èç ÷ëåíîâ ó÷åíîãî ñîâåòà ñêàçàë, ÷òî áóäåò òðåáîâàòü, ÷òîáû ìåíÿ âûãíàëè èç èíñòèòóòà. Íî Áóäêåð ñêàçàë – íåò, ýòî äàæå íå îáñóæäàåòñÿ. Ñïóñòÿ ìíîãî ëåò ÿ ïðèåõàë â Àìåðèêó, â Ìàññà÷óñåòññêèé òåõíîëîãè÷åñêèé èíñòèòóò. Îäèí î÷åíü èçâåñòíûé ïðîôåññîð, ôèçèê, êîòîðîãî ÿ çíàë äàâíî, ïðèãëàñèë ìåíÿ íà óæèí è ãîâîðèò: – Òû çíàåøü, ïî÷åìó òåáÿ íå ïîñàäèëè â 68-ì ãîäó? – Íåò. – ß â òî âðåìÿ áûë ïðåçèäåíòîì «Êîìèòåòà îáåñïîêîåííûõ ó÷åíûõ». Ìû ñîñòàâèëè ñïèñîê ó÷åíûõ, â ñëó÷àå àðåñòà êîòîðûõ ìîãëè áû áûòü äèïëîìàòè÷åñêèå

«ÄÅÒÑÊÈÕ»

ÂÎÏÐÎÑÎÂ

7

Êðóòûå áûëè âðåìåíà, Ê íèì ñêâåðíîå ïðèñòàíåò èìÿ, Íî ìû-òî áûëè ìîëîäûìè Â òå äîðîãèå âðåìåíà. Íà áðàòà áðàò áûëà âîéíà. Íî ñíåã ñêðèïåë, è ãóáû ïåëè, È çâåçäû ÿðêèå ãîðåëè, Âåäü â æèçíè ìîëîäîñòü – îäíà! Òåïåðü, êîãäà îíà, êàê ñòðàñòü, Ïðîøëà, è áûñòðî âðåìÿ ëüåòñÿ, Îäíî èç äâóõ íàì äîñòàåòñÿ – Äóøà âûñîêàÿ èëü âëàñòü, Îäíî èç äâóõ – äóøà èëü âëàñòü...

äåìàðøè. Íà ïåðâîì ìåñòå ñòîÿë Ñàõàðîâ, à òû – íà ïÿòîì èëè øåñòîì. Âñ¸ âìåñòå è, êîíå÷íî, ïîâåäåíèå Áóäêåðà ñûãðàëè ñâîþ ðîëü. Ìåíÿ îñòàâèëè â ïîêîå. Âïðî÷åì, îò äèññèäåíòñêîé äåÿòåëüíîñòè ÿ òîãäà óæå ñàì îòîøåë. Ýòî áûëî íå ñîâñåì òî, ÷åãî ìíå õîòåëîñü. Òàê âîò, Áóäêåð ïðåäëîæèë ìíå çàâåäîâàòü êðóïíûì ýêñïåðèìåíòàëüíûì îòäåëîì è äåëàòü ëàçåðû íà ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíàõ. Òî, ÷òî òåîðåòèêè ñòàðàþòñÿ âîçëîæèòü ýòî íà ýêñïåðèìåíòàòîðîâ, – íîðìàëüíûé ôàêò â ýòîì ìèðå. Ïîòîìó ÷òî ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî òåîðåòèê â ëþáîì ýêñïåðèìåíòàëüíîì äåëå ðàçáåðåòñÿ, à âîò ýêñïåðèìåíòàòîð â òåîðåòè÷åñêîì äåëå ìîæåò è íå ðàçîáðàòüñÿ. Ôàêòè÷åñêè îí ïðåäëîæèë ìíå çàíÿòüñÿ èçîáðåòåíèåì... Ó íåãî áûëà èäåÿ, êàê ñäåëàòü ëàçåð íà ñâîáîäíûõ ýëåêòðîíàõ. Ìíå ïðåäëàãàëîñü ýòó ðàáîòó âîçãëàâèòü, åñòåñòâåííî ïîä åãî ðóêîâîäñòâîì. À ÿ ê òîìó âðåìåíè óæå èìåë ñîáñòâåííóþ íàó÷íóþ øêîëó, ó ìåíÿ áûëî øåñòü êàíäèäàòîâ íàóê, è ÿ çàíèìàëñÿ ñîâåðøåííî äðóãèìè âîïðîñàìè.  ãîëîâå áûëè ñîáñòâåííûå èäåè, âñå áóðëèëî è òàê. Îí ïîíÿë, ÷òî ÿ íå õî÷ó, äàâèòü íå ñòàë, îí áûë áëàãîðîäíûé ÷åëîâåê, íî â îòíîøåíèÿõ âîçíèê õîëîä. Âñêîðå ìíå ïðåäëîæèëè ìåñòî çàâåäóþùåãî ñåêòîðîì ôèçèêè ïëàçìû â èíñòèòóòå Ëàíäàó, â ×åðíîãîëîâêå.4 È ÿ óåõàë...  áëèæàéøåì áóäóùåì ÿ áóäó ÷èòàòü â Àðèçîíñêîì óíèâåðñèòåòå êóðñ ïî îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè, îïðåäåëÿâøåé ðàçâèòèå ôèçè÷åñêîé íàóêè ïî÷òè ÷òî ñòîëåòèå. Íî ìåíÿ íå ïîêèäàåò îäíî ïðåä÷óâñòâèå, è ÿ ïîäåëþñü èì. Òå, êòî îñòàâÿò ñòóäåí÷åñêóþ ñêàìüþ â áëèæàéøèå ãîäû, ïîæàëóé, âñòðåòÿò óæå ïðèíöèïèàëüíî èíóþ êàðòèíó ìèðà è íåèçáåæíî âíîâü çàäàäóòñÿ ãëàâíûì âîïðîñîì (â ïåðâóþ î÷åðåäü, êîíå÷íî, ó÷åíûå-ôèçèêè): äåéñòâèòåëüíî ëè ìû ïîíèìàåì ãëóáèíû áûòèÿ, ò.å. ÷òó ìû ìîæåì âûâåñòè èç ïåðâûõ ïðèíöèïîâ? Âîîáùå, ïðîèñõîäÿò òàêèå êîëåáàíèÿ âðåìÿ îò âðåìåíè. Òàê, ïåðåä îòêðûòèåì êâàíòîâîé ìåõàíèêè, â êîíöå XIX âåêà, âñåì êàçàëîñü, ÷òî òåîðåòè÷åñêàÿ 4 Èíñòèòóò òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè èìåíè Ë.Ä.Ëàíäàó. (Ïðèì. ðåä.)


8

ÊÂÀÍT· 2006/¹5

ôèçèêà çàêîí÷åíà è âñåì âñå ïîíÿòíî: åñòü îáúåêòèâíàÿ òåîðèÿ, êîòîðàÿ äîëæíà âñå îáúÿñíèòü. Ëþäÿì íå ñîâåòîâàëè èäòè äåëàòü êàðüåðó â òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêå, ñ÷èòàÿ, ÷òî ýòî áåñïåðñïåêòèâíî. Íî áûë îäèí íåïîíÿòíûé âîïðîñ îòíîñèòåëüíî óëüòðàôèîëåòîâîé ðàñõîäèìîñòè: êàê îáúÿñíèòü ñïåêòð? Íåëüçÿ ïðèìåíèòü ñòàòèñòè÷åñêóþ ìåõàíèêó ê ôîòîíàì – ïîëó÷àåòñÿ î÷åíü íåõîðîøàÿ ðàñõîäèìîñòü. Ïîèñêîì çàíÿëñÿ Ïëàíê. Îí ïðèäóìàë ñâîé ïðèíöèï êâàíòîâàíèÿ, è ñ ýòîãî íà÷àëàñü àáñîëþòíî äðóãàÿ ýïîõà. ß òîæå ïîìíþ ìîìåíò, êîãäà êàçàëîñü, ÷òî âñåì âñå ïîíÿòíî. Êîãäà áûëà ñîçäàíà ñòàíäàðòíàÿ ìîäåëü òåîðèè ýëåìåíòàðíûõ ÷àñòèö, ñ÷èòàëîñü, ÷òî ñ åå ïîìîùüþ âñå-âñå ìîæíî îáúÿñíèòü, è êîñìîëîãèÿ â íåå òîæå âñÿ óêëàäûâàåòñÿ. Ñåãîäíÿ ñèòóàöèÿ ñîâåðøåííî ïðîòèâîïîëîæíàÿ – îïÿòü íè÷åãî íå ïîíÿòíî, ïîòîìó ÷òî äàííûå àñòðîíîìèè ÷åòêî ïîêàçûâàþò, ÷òî â ïðîñòðàíñòâå Âñåëåííîé åñòü òåìíàÿ ìàòåðèÿ, à âîò êàê îáúÿñíèòü äî êîíöà, ÷òî ýòî òàêîå, ÷òî îíà èç ñåáÿ ïðåäñòàâëÿåò è êàêóþ ðîëü èãðàåò ýòà ñêðûòàÿ ìàññà, íåâîçìîæíî. À åùå åñòü òåìíàÿ ýíåðãèÿ, êîòîðàÿ îïèñûâàåòñÿ òàê íàçûâàåìûì êîñìîëîãè÷åñêèì ñëàãàåìûì. Åãî ââåë â óðàâíåíèÿ ãðàâèòàöèè åùå Ýéíøòåéí, íî ìíîãèå äåñÿòèëåòèÿ èì âûñîêîìåðíî ïðåíåáðåãàëè. Åñòü ôèçè÷åñêîå îùóùåíèå, ÷òî âàêóóì, êîñìè÷åñêîå ïðîñòðàíñòâî, íàïîëíåíî íåêîé ìàòåðèåé, êîòîðîé âî ìíîãî ðàç áîëüøå, ÷åì âèäèìîé, òàê ÷òî âèäèìàÿ ìàòåðèÿ ñîñòàâëÿåò òîëüêî 4% ïî ñîâðåìåííûì îöåíêàì. È âîò ýòà ìàòåðèÿ ñêðûòà, íî ïðîÿâëÿåò ñåáÿ â ãðàâèòàöèîííûõ âçàèìîäåéñòâèÿõ. Åñëè, íàïðèìåð, èìååòñÿ ãðóïïà ãàëàêòèê, òî òóäà âòÿãèâàåòñÿ åùå è ýòà òåìíàÿ ìàòåðèÿ, è â ðåçóëüòàòå îáùàÿ ìàññà âñåãî ýòîãî êîìêà îêàçûâàåòñÿ íàìíîãî áîëüøå, ÷åì ìàññà îòäåëüíûõ ãàëàêòèê. Ýòî ìîæíî îáíàðóæèòü, ïîñêîëüêó åñëè åñòü äàëåêàÿ ãàëàêòèêà è îíà âðàùàåòñÿ âîêðóã îáùåãî ãðàâèòàöèîííîãî ïîëÿ, òî âèäíî, ÷òî îíà âðàùàåòñÿ íå òàê, êàê åñëè áû òàì áûëè òîëüêî ýòè ãàëàêòèêè, ò.å. òàì èìååòñÿ åùå ÷òî-òî. À ÷òî? Íèêòî íå çíàåò, ïîòîìó ÷òî ýòî ìîãóò áûòü òÿæåëûå ÷àñòèöû, êîòîðûå íå âçàèìîäåéñòâóþò íè ñ ÷åì, ëèáî íåéòðèíî (íî âðÿä ëè ýòî íåéòðèíî). Ýòî îòêðûòûé âîïðîñ, è ïîýòîìó óâåðåííîñòü, êîòîðàÿ áûëà, äîïóñòèì, åùå ëåò 10 íàçàä, ÷òî ìû îñíîâíûå çàêîíû ïðèðîäû íà ìèêðîñêîïè÷åñêîì óðîâíå óæå ïîíÿëè, ñåé÷àñ ÿâëÿåòñÿ ëèøü èëëþçèåé. Âñå ïîíèìàþò, ÷òî ýòî íå òàê, ïîòîìó ÷òî åñòü ôàêòû, êîòîðûõ ìû íå ìîæåì îáúÿñíèòü. Êàê îòäåëèòü òåìíóþ ìàòåðèþ îò òåìíîé ýíåðãèè, êîòîðàÿ åñòü êîñìîëîãè÷åñêàÿ ïîïðàâêà? ßâëÿåòñÿ ëè ýòà êîñìîëîãè÷åñêàÿ ïîïðàâêà ïîñòîÿííîé âåëè÷èíîé èëè îíà – ôóíêöèÿ âðåìåíè? Íåèçâåñòíî. Òåîðèÿ êâàíòîâîé ãðàâèòàöèè äî ñèõ ïîð âåäü íå ñîçäàíà. È âîçìîæíà ëè îíà? È ñîâñåì óæ áåçóìíûé, íî íà ñàìîì äåëå èìåþùèé ñìûñë, âîïðîñ: ñóùåñòâóþò ëè äðóãèå ìèðû, ñ êîòîðûìè ìû íå ñâÿçàíû, è âîçìîæíî ëè ñâÿçàòüñÿ ñ íèìè? 5 Åñòü âåäü è áåëûå äûðû, à ñ÷èòàåòñÿ âðîäå, ÷òî äåéñòâóåò ïðèíöèï òàê íàçûâàå5 Êðîìå òîãî, ÷òî âî Âñåëåííîé î÷åíü ìíîãî âîçìîæíûõ ìåñò äëÿ ñóùåñòâîâàíèÿ æèçíè, íà ñåãîäíÿøíèé äåíü ìàòåìàòè÷åñêè äîêàçàíî, ÷òî çà ïðåäåëàìè ôèçè÷åñêîãî ìèðà ñóùåñòâóåò åùå áîëåå ñëîæíî îðãàíèçîâàííûé âîëíîâîé ìèð.

ìîé êîñìè÷åñêîé öåíçóðû, êîòîðûé çàïðåùàåò òàêèå âåùè. Âîïðîñ î òåìíîé ìàññå îòíîñèòñÿ ê âîïðîñàì êîñìîëîãèè, ïðîèñõîæäåíèÿ Âñåëåííîé, ê âîïðîñàì î òîì, ÷òî ïðîèñõîäèò íà î÷åíü áîëüøèõ ðàññòîÿíèÿõ è áûëî î÷åíü äàâíî.  ñóùíîñòè, îí, êîíå÷íî, êðàéíå âîëíóþùèé, íî íå èìåþùèé îáûäåííîé öåííîñòè. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åñòü ìàññà âîïðîñîâ, îòíîñÿùèõñÿ ê íàøåìó ïîâñåäíåâíîìó ìèðó, êîòîðûå ìîæíî èçó÷àòü òî÷íûìè ìåòîäàìè, ìåòîäàìè òåîðåòè÷åñêîé ôèçèêè, è êîòîðûå ïðåæäå íå ñòàâèëèñü. Íàñêîëüêî ôèçèêà ìîæåò îáúÿñíÿòü ðàçëè÷íûå ÿâëåíèÿ èëè, äîïóñòèì, ìîäåëèðîâàòü êàêèå-òî æèâûå ñèñòåìû? Íó, íàïðèìåð, âîçüìåì ôîðìó öâåòêà, ôîðìó ëèñòüåâ. Ïî÷åìó âîçíèêàåò èìåííî òàêàÿ èëè èíàÿ ñòðóêòóðà? Âûÿñíÿåòñÿ, ÷òî ìîæíî ñòðîèòü äîâîëüíî ïðîñòûå ìîäåëè, êîòîðûå âîñïðîèçâîäÿò, ñêàæåì, ïðîöåññ îáðàçîâàíèÿ ðîçû. Êñòàòè, ìîé áëèçêèé äðóã, ïðîôåññîð Àðèçîíñêîãî óíèâåðñèòåòà, ýòèì çàíèìàåòñÿ. Íåäàâíî îí ìíå ïîäàðèë ñâîþ ðàáîòó, îíà íàçûâàåòñÿ òàê: «Òåîðèÿ ôîðìîîáðàçîâàíèÿ ðàñòåíèé ñ ìàòåìàòè÷åñêîé òî÷êè çðåíèÿ». ×ðåçâû÷àéíî çàáàâíî! Êàê âîçíèêàåò ýòîò óäèâèòåëüíîé êðàñîòû öâåòîê? Ýòî âñå îòíîñèòñÿ ê òàê íàçûâàåìîé òåîðèè îáðàçîâàíèÿ óçîðîâ (pattern formation). Îáðàçîâàíèå êàðòèí, òàêèõ êàê íà ïîâåðõíîñòè êîðû äåðåâà èëè íà ïîäóøå÷êàõ ïàëüöåâ, èëè, íàïðèìåð, ñòðóêòóðû, êîòîðûå âîçíèêàþò â îáëàêàõ, êîãäà ìû èõ íàáëþäàåì ñâåðõó, – âñå ýòî, îêàçûâàåòñÿ, ìîæíî èçó÷àòü ñ îáùåé òî÷êè çðåíèÿ. Èíûìè ñëîâàìè, íàø îáûäåííûé ìèð òîæå ìîæåò ñòàòü ïðåäìåòîì äëÿ íàó÷íîãî èçó÷åíèÿ. Åñòü ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ÿâëåíèé ìèðà íåîäóøåâëåííîãî. Êàê, ñêàæåì, îáðàçîâàíèå ôîðìû â ëàíäøàôòàõ. Òóò ãëàâíîå çàäàâàòü âîïðîñû è íå áîÿòüñÿ èõ êàæóùåéñÿ ãëóïîñòè. Ïðåäïîëîæèì, âû âîçüìåòå ïðîèçâîëüíóþ êó÷ó êàìíåé è ðàññîðòèðóåòå èõ ïî ìàññå. Ñïðàøèâàåòñÿ: ïî êàêîìó çàêîíó, ïðîèçâåäåíî ýòî ðàñïðåäåëåíèå? Îêàçûâàåòñÿ, ïî ñòåïåííîìó çàêîíó, è åñòü äîâîëüíî óíèâåðñàëüíàÿ ñòåïåíü. Ïðèìåðíî òàêîå æå ñîîòíîøåíèå ïîëó÷èòñÿ, åñëè ðàññìîòðåòü ðàñïðåäåëåíèå ìåòåîðèòîâ èëè ïëàíåò ïî ìàññå èëè æå ðàñïðåäåëåíèå êîñìè÷åñêèõ ëó÷åé ïî ýíåðãèè. Åñòü îïðåäåëåííûå çàêîíîìåðíîñòè â ïðèðîäå, êîòîðûå ìû åùå íå î÷åíü ïîíèìàåì. Ñåé÷àñ àêòèâíî ðàçâèâàåòñÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ áèîëîãèÿ, ðàçðàáàòûâàþòñÿ ìàòåìàòè÷åñêèå ìîäåëè ñîçíàíèÿ. Íî èçó÷èòü áû ñíà÷àëà ýëåìåíòû ñàìûå ïðîñòûå, õîòÿ áû, íàïðèìåð: êàê óñòðîåíî çðåíèå? ×åëîâåê ñìîòðèò è âèäèò òðåõìåðíîå èçîáðàæåíèå äàæå åñëè îí ïîâîðà÷èâàåò ãîëîâó. Çíà÷èò, òàì ñêðûò íåêèé àëãîðèòì âðàùåíèÿ òðåõìåðíîãî ïðîñòðàíñòâà, ïîçâîëÿþùèé ïðîèçâîäèòü ïåðåñ÷åò. Êàê ýòî óñòðîåíî? À ýòîò «êîìïüþòåðíûé» software, êîòîðûé çàëîæåí â íàñ äëÿ îáðàáîòêè çðèòåëüíûõ âïå÷àòëåíèé! Íàïðèìåð, ÷åëîâåê âèäèò ñòóë, èçîáðàæåíèå êîòîðîãî íà ñåò÷àòêå ïåðåâåðíóòîå, è ìîæåò ëåãêî ïðåäñòàâèòü ñåáå ñòóë, ñòîÿùèé íà ìåñòå. Ýòî âåäü òîæå ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé íåêîòîðîå ÷óäî. È ìîäåëü òîãî, êàê ýòî óñòðîåíî, áûëî áû êðàéíå èíòåðåñíî çíàòü. Èëè ìîäåëè ñîöèàëüíûõ ÿâëåíèé, êîòîðûå ïðèâëåêàþò ñåãîäíÿ íåîáû÷àéíî. Íåîáðàçîâàííîñòü ëþäåé â


ÍÅ

ÍÀÄÎ

ÁÎßÒÜÑß

Ïåñíÿ Ãîðÿùèå ñòóïåíè äíÿ, Ïå÷àëü çåìíàÿ, Îíè ëåãêî âåäóò ìåíÿ  ñòðàíó áåç êðàÿ. À òàì ëèëîâûå ïîëÿ È ëóã ìåäâÿíûé, Òåëåæêà åäåò, íå ïûëÿ, ×åðåç ïîëÿíû. Ïîâÿçàí áóáóíåö ïðîñòîé Êîíþ íà øåþ, À êòî â òåëåæêå åäåò òîé, Ñêàçàòü íå ñìåþ. À áûñòðîêðûëàÿ Çåìëÿ Ëåòèò â ýôèðå, Ùåáå÷óò ñ âåòðîì òîïîëÿ Î âå÷íîì ìèðå. È Âðåìÿ óëûáíóëîñü ìíå, Êàê ñûí ñïðîñîíîê, Îíî íå ñòàðåö â òîé ñòðàíå – Îíî ðåáåíîê. Åìó ëåãêî âåñòè ìåíÿ ×åðåç èñòîìó Ïî îãíåííûì ñòóïåíÿì äíÿ Ê ðîäíîìó äîìó. Ïî îïåðåíüÿì îáëàêîâ Çà îáëàê ìëå÷íûé, Ñíèìàÿ òÿæåñòü âñåõ îêîâ Ðó÷îíêîé âå÷íîé. ýòîì âîïðîñå ïîðàçèòåëüíà è î÷åíü ïå÷àëüíà, ïî÷òè ôàòàëüíà. Íàïðèìåð, ó íàñ îäíî âðåìÿ áûëà èäåÿ, ìîäíàÿ â ýïîõó íà÷àëà ïåðåñòðîéêè, ÷òî íå áóäåò áîëüøîé áåäû, åñëè, ñêàæåì, áîëüøàÿ ñòðàíà Ñîâåòñêèé Ñîþç ðàçîáüåòñÿ íà ìíîæåñòâî ìåëêèõ ãîñóäàðñòâ. Ëþäè íå çíàþò ðàáîòû Ðè÷àðäñîíà, êîòîðûé, â ÷àñòíîñòè, çàíèìàëñÿ ìîäåëèðîâàíèåì ïðîèñõîæäåíèÿ âîéí è âûâåë èíòåðåñíûé çàêîí íà îñíîâàíèè ìíîæåñòâà ñòàòèñòè÷åñêèõ äàííûõ èç èñòîðèè ÷åëîâå÷åñòâà: âåðîÿòíîñòü âîéíû ïðÿìî ïðîïîðöèîíàëüíà îáùåé äëèíå ãðàíèö. Ãîñóäàðñòâî ðàñêàëûâàåòñÿ íà äâà – âîçíèêàåò âåðîÿòíîñòü, ÷òî òàì ÷åðåç êàêîå-òî âðåìÿ áóäåò âîçìîæåí êîíôëèêò, îòòîãî ÷òî îíè ÷òî-òî íå ïîäåëÿò. Òàêèå îáùèå ìîäåëè ñëîæíûõ, íåëèíåéíûõ ñèñòåì ñåé÷àñ òîëüêî íà÷èíàþò ðàçâèâàòüñÿ. Áåçóìöàì, êîòîðûå ñîáèðàþòñÿ ïîñâÿòèòü ñâîþ æèçíü íàóêå, ñòîèò ïîæåëàòü äâå âåùè. Ïðåæäå âñåãî – íèêîãäà íå áîÿòüñÿ ëèøíåãî çíàíèÿ. ×åì áîëüøå ÷åëîâåê çíàåò, òåì ëó÷øå. Íèêîãäà íå äóìàòü, ÷òî ýòî ìíå íå íóæíî. ×åëîâå÷åñêèé ìîçã òàê óñòðîåí, ÷òî îí ìîæåò âìåñòèòü ñîâåðøåííî íåîáúÿòíîå êîëè÷åñòâî çíàíèé. Åñòü ëþäè, êîòîðûå âëàäåþò äåñÿòêàìè ÿçûêîâ. Ïàïà

«ÄÅÒÑÊÈÕ»

ÂÎÏÐÎÑÎÂ

9

ðèìñêèé Èîàíí Ïàâåë II çíàë, ïî-ìîåìó, 70 ÿçûêîâ. Ê íåìó ïðèøëè îäíàæäû äâà ýñòîíöà è ñòàëè ðàçãîâàðèâàòü ïðè íåì â äîâîëüíî âîëüíîì äóõå, è îí îòâåòèë èì ïî-ýñòîíñêè. Îíè áûëè àáñîëþòíî ïîòðÿñåíû. Ýòî ïåðâîå. Âòîðîå – ýòî òî, ÷òî íè÷åãî íåëüçÿ ñäåëàòü áåç îãðîìíîãî âëîæåíèÿ ñèë è î÷åíü áîëüøîãî òâîð÷åñêîãî òåìïåðàìåíòà. ×åëîâåê äîëæåí çàíèìàòüñÿ íàóêîé ñî ñòðàñòíîñòüþ, îí äîëæåí ðàáîòàòü, ðàáîòàòü è ðàáîòàòü. È ãëàâíîå – íå íóæíî áîÿòüñÿ çàäàâàòü ãëóïûõ «äåòñêèõ» âîïðîñîâ. ß âñåãäà â ïåðâóþ î÷åðåäü ïûòàþñü ïîíÿòü, óìååò ëè ÷åëîâåê çàäàâàòü âîïðîñû èëè íåò. Ýòî ìîùíûé ïîêàçàòåëü òîãî, ÷òî îí ïðåäðàñïîëîæåí ê çàíÿòèÿì íàóêîé. Ïðèðîäà, Âå÷íîñòü âñåãäà íåîõîòíî îòäàþò ñâîè òàéíû. Òàéíû Òâîðåíèÿ çàêðûòû íà çàìîê. Íî ÿ íå äóìàþ, ÷òî åñòü àáñîëþòíûå òàéíû. Ìåíÿ âñåãäà ïîðàæàåò íå òî, ÷òî ñóùåñòâóþò âîïðîñû, à òî, ÷òî ìû ìîæåì íàõîäèòü îòâåòû. Âîò ýòî ïîðàçèòåëüíî. Íà ñàìîì äåëå, ëþäè âñå âðåìÿ ïðèîáðåòàþò íîâûå çíàíèÿ î ïðåäìåòàõ, ñîâåðøåííî óäàëåííûõ âî âðåìåíè è òðóäíîäîñòóïíûõ, î òîì, ÷òî ïðîèñõîäèëî, äîïóñòèì, 14 ìèëëèàðäîâ ëåò íàçàä. ß äóìàþ, ÷åëîâåê â ïðèíöèïå ñïîñîáåí ïîçíàòü âñå íà ñâåòå. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðåáûâàòü â èëëþçèè, ÷òî óæå âñå ïîíÿòî, – íàèâíî è ñàìîóâåðåííî. Íüþòîí, îäèí èç âåëè÷àéøèõ ãåíèåâ, ïèñàë: «Íå çíàþ, êåì ÿ ìîãó êàçàòüñÿ ýòîìó ìèðó, íî ñàìîìó ñåáå ÿ êàæóñü ìàëü÷èêîì, èãðàþùèì íà ìîðñêîì áåðåãó. Âðåìÿ îò âðåìåíè ÿ... íàõîæó íà áåðåãó êàìåøêè è ðàêóøêè... â òî âðåìÿ êàê âåëèêèé îêåàí Èñòèíû îñòàåòñÿ äëÿ ìåíÿ ïîëíîñòüþ íåèññëåäîâàííûì». È êàæåòñÿ, ÷òî ÷åëîâå÷åñòâî âñåãäà áóäåò íàõîäèòüñÿ â òîé æå ñàìîé ñèòóàöèè, ÷óâñòâóÿ ñåáÿ ëèøü ðåáåíêîì, êîòîðûé ñîáèðàåò êàìíè, âûáðîøåííûå íà áåðåã îêåàíîì.


ÊÂÀÍT· 2006/¹5

10

Âîçðîæäåíèå «áåñïîëåçíûõ» ÷èñåë Ë.ØÈÁÀÑÎÂ

Â

ØÅÑÒÎÌ ÂÅÊÅ ÄÎ Í.Ý. ÃÐÅ×ÅÑÊÈÉ Ó×ÅÍÛÉ

Ïèôàãîð îñíîâàë íà þãå Èòàëèè íàó÷íóþ øêîëó, êîòîðàÿ îäíîâðåìåííî ñòàëà è ôèëîñîôñêèì áðàòñòâîì è ïîëèòè÷åñêèì ñîþçîì. Ìíîãî âíèìàíèÿ â ýòîé øêîëå óäåëÿëîñü èçó÷åíèþ ìàòåìàòèêè. Ïèôàãîðåéöû ñ÷èòàëè, ÷òî â îñíîâå ìèðîçäàíèÿ ëåæàò íàòóðàëüíûå ÷èñëà, è âñå ÿâëåíèÿ ïðèðîäû îáúÿñíÿëè èõ ñîîòíîøåíèÿìè. Òàêîé ïîäõîä ñïîñîáñòâîâàë ãëóáîêîìó èçó÷åíèþ ìíîæåñòâà íàòóðàëüíûõ ÷èñåë.  øêîëå Ïèôàãîðà áûëà ðàçðàáîòàíà òåîðèÿ ïðîïîðöèé, íàéäåíû ñâîéñòâà ðàçëè÷íûõ ñðåäíèõ, èçó÷àëèñü ÷èñëà ÷åòíûå è íå÷åòíûå, ïðîñòûå è ñîñòàâíûå, äðóæåñòâåííûå è ñîâåðøåííûå, ìíîãîóãîëüíûå è ïèðàìèäàëüíûå è ò.ï. Îñòàíîâèìñÿ íà îäíîì èç ýòèõ ðåçóëüòàòîâ. ×åòíûå ñîâåðøåííûå ÷èñëà Âîçüìåì íàòóðàëüíîå ÷èñëî è íàéäåì ñóììó âñåõ åãî ñîáñòâåííûõ, ò.å. ìåíüøèõ ñàìîãî ÷èñëà, íàòóðàëüíûõ äåëèòåëåé. Ýòà ñóììà ìîæåò îêàçàòüñÿ ìåíüøå èñõîäíîãî ÷èñëà, áîëüøå åãî èëè ðàâíà åìó. Íàïðèìåð, äëÿ ÷èñëà 10 ñóììà ñîáñòâåííûõ äåëèòåëåé 1 + 2 + 5 = 8 < < 10, äëÿ 12 èìååì 1 + 2 + 3 + 4 + 6 = 16 > 12, à äëÿ 6 ïîëó÷àåì 1 + 2 + 3 = 6. ×èñëà ïåðâîãî òèïà ïèôàãîðåéöû íàçûâàëè íåäîñòàòî÷íûìè, âòîðîãî òèïà – èçáûòî÷íûìè, à òðåòüåãî – ñîâåðøåííûìè. Èòàê, ÷èñëî 6 ñîâåðøåííîå. Ýòî íàèìåíüøåå èç ñîâåðøåííûõ ÷èñåë. Ñëåäóþùåå çà íèì – ÷èñëî 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + + 14, çàòåì – ÷èñëî 496. Ýòè òðè ñîâåðøåííûõ ÷èñëà çíàëè åùå â øêîëå Ïèôàãîðà.  I âåêå óæå íîâîé ýðû ãðå÷åñêèé ìàòåìàòèê Íèêîìàõ íàøåë ÷åòâåðòîå ñîâåðøåííîå ÷èñëî 8128 è, ñðàâíèâ èçâåñòíûå ñîâåðøåííûå ÷èñëà, çàêëþ÷èë, ÷òî: 1) ñóùåñòâóþò ëèøü ÷åòíûå ñîâåðøåííûå ÷èñëà; 2) ìíîæåñòâî òàêèõ ÷èñåë áåñêîíå÷íî; 3) âñå îíè ïîî÷åðåäíî îêàí÷èâàþòñÿ öèôðàìè 6 è 8. Ïåðâûå äâà ïðåäïîëîæåíèÿ Íèêîìàõà íå äîêàçàíû äî ñèõ ïîð; áîëüøå ïîâåçëî òðåòüåìó, è òî íàïîëîâèíó: ñ ÷åðåäîâàíèåì ïîñëåäíèõ öèôð îí îøèáñÿ. Ïÿòîå è øåñòîå ñîâåðøåííûå ÷èñëà îêàí÷èâàþòñÿ íà 6, íî ýòè ÷èñëà áûëè íàéäåíû â àðàáñêîì ìèðå ëèøü â XIII âåêå, à â Åâðîïå – äâóìÿ âåêàìè ïîçæå. Òåì íå ìåíåå, ñîîòâåòñòâóþùóþ çàêîíîìåðíîñòü äëÿ ÷åòíûõ ñîâåðøåííûõ ÷èñåë íàéòè ìîæíî, íî ñíà÷àëà âûÿñíèì èõ ñòðóêòóðó. Òåîðåìà. ×åòíîå ÷èñëî ñîâåðøåííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà îíî èìååò âèä n = 2k -1 2k - 1 , ãäå 2k - 1 – ïðîñòîå ÷èñëî.

(

)

(

)

Äîñòàòî÷íîñòü óñëîâèÿ òåîðåìû áûëà äîêàçàíà Åâêëèäîì â åãî çíàìåíèòûõ «Íà÷àëàõ» (3 â. äî í.ý.), à íåîáõîäèìîñòü – Ë.Ýéëåðîì (XVIII â.). Äîêàçàòåëüñòâî. Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà òåîðåìû ââåäåì ôóíêöèþ σ (n) , ðàâíóþ ñóììå âñåõ íàòóðàëüíûõ äåëèòåëåé ÷èñëà n, âêëþ÷àÿ è ñàìî n. Ëåãêî óáåäèòüñÿ â âåðíîñòè ñëåäóþùèõ ñâîéñòâ ôóíêöèè σ (n) : à) σ (n) ≥ n + 1 , ïðè÷åì ðàâåíñòâî èìååò ìåñòî ëèøü äëÿ ïðîñòîãî ÷èñëà n; á) åñëè ÷èñëà m è n âçàèìíî ïðîñòûå, òî σ (m ◊ n ) = σ (m ) ◊ σ ( n ) ; â) äëÿ ïðîñòîãî ð è íàòóðàëüíîãî k âûïîëíÿåòñÿ pk +1 - 1 ðàâåíñòâî σ pk = ; p -1 ã) ÷èñëî n ñîâåðøåííî òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà σ (n) = 2n . Íåîáõîäèìîñòü óñëîâèÿ òåîðåìû. Ïóñòü n – ÷åòíîå ñîâåðøåííîå ÷èñëî, òîãäà n = 2k -1 m , ãäå k – íàòóðàëüíîå ÷èñëî, k > 1, à m – íå÷åòíîå ÷èñëî, òîæå áîëüøåå åäèíèöû (ïðè m = 1 ÷èñëî n íåäîñòàòî÷íîå: σ 2k -1 = 2k - 1 < 2k = 2n ). Èç ðàâåíñòâ σ (n) =

( )

( ) è ïîëó÷àåì = (2 - 1) ◊ σ (m) σ ( n ) = 2n = 2 m (2 - 1) ◊ σ (m) = 2 m , îòêóäà σ (m) = 2 s , ãäå s – íå÷åòíîå ÷èñëî. Èòàê, m = (2 - 1) ◊ s . Åñëè s π 1 , òî σ (m) = σ ((2 - 1) s ) ≥ 1 + s + 2 - 1 + (2 - 1) s = k

k

k

k

k

k

k

k

k

= 2k s + 2k = σ (m) + 2k ,

÷åãî íå ìîæåò áûòü. Ñëåäîâàòåëüíî, s = 1, m = 2k - 1 è σ (m) = 2k = m + 1 , à çíà÷èò, m – ïðîñòîå ÷èñëî. Äîñòàòî÷íîñòü óñëîâèÿ. Òàê êàê n = 2k -1 2k - 1 = = 2k -1 p , òî σ (n) = 2k - 1 ( p + 1) = 2k - 1 2k = 2n . Òàêèì îáðàçîì, n – ñîâåðøåííîå ÷èñëî. Òåîðåìà äîêàçàíà. Òåïåðü ìû â ñîñòîÿíèè âûÿñíèòü çàêîíîìåðíîñòü ïîÿâëåíèÿ ïîñëåäíåé öèôðû â çàïèñè ÷åòíîãî ñîâåðøåííîãî ÷èñëà. Îòìåòèì, ÷òî ïîêàçàòåëü k ÷èñëà 2k - 1 íå ìîæåò áûòü ñîñòàâíûì: ïðè k = t ◊ s , t > 1, s > 1,

(

(

)

)(

(

)

(

)

)

÷èñëî 2ts - 1 = 2t - 1 2( s -1)t + 2( s - 2)t + … + 2t + 1 ñîñòàâíîå. Ïðàâäà, è â ñëó÷àå ïðîñòîãî ïîêàçàòåëÿ ÷èñëî 2k - 1 ìîæåò îêàçàòüñÿ ñîñòàâíûì; íàïðèìåð, 211 - 1 = 2047 = 23 ◊ 89 . Òàêèì îáðàçîì, ïîêàçàòåëü k ïðîáåãàåò ëèøü ÷àñòü ìíîæåñòâà ïðîñòûõ ÷èñåë. Åñëè èñêëþ÷èòü çíà÷åíèå k = 2, òî îñòàíóòñÿ íå÷åòíûå


ÂÎÇÐÎÆÄÅÍÈÅ

«ÁÅÑÏÎËÅÇÍÛÕ»

ïîêàçàòåëè, à îíè èìåþò âèä k = 4l ± 1 . Ïðè k = 4l +1 ïåðâûé ñîìíîæèòåëü ÷èñëà 24l 24l +1 - 1 îêàí÷èâàåòñÿ øåñòåðêîé, ïîñêîëüêó 24l = 16l , à âòîðîé ñîìíîæèòåëü – åäèíèöåé: 24l +1 - 1 = 2 ◊ 16l - 1 .  ñëó÷àå k = 4l – 1 èìååì 24l -2 24l -1 - 1 ; çäåñü 24l-1 îêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé 8, à 24l -2 – öèôðîé 4. Èòàê, ÷èñëî 24l 24l +1 - 1

(

(

)

)

(

(

)

)

çàêàí÷èâàåòñÿ öèôðîé 6, à 24l -2 24l -1 - 1 – öèôðîé 8.  èñêëþ÷åííîì ñëó÷àå (k = 2) ïîëó÷àåòñÿ ÷èñëî 6. Îáîçíà÷èì äëÿ óäîáñòâà ÷èñëà âèäà 2k -1 2k - 1 ÷åðåç Nk . Êàê ìû óáåäèëèñü, íàáëþäåíèå Íèêîìàõà î ÷åðåäîâàíèè ïîñëåäíèõ öèôð ïîäòâåðæäàåòñÿ èìåííî äëÿ ÷èñåë Nk ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè k ≥ 3 , íî... íå âñå îíè ÿâëÿþòñÿ ñîâåðøåííûìè. ×èñëà Nk (à çíà÷èò, è ñîâåðøåííûå) îáëàäàþò ìíîãèìè èíòåðåñíûìè ñâîéñòâàìè, â ÷àñòíîñòè, îíè ñâÿçàíû ñ òàê íàçûâàåìûìè ôèãóðíûìè ÷èñëàìè, õîðîøî èçâåñòíûìè åùå â øêîëå Ïèôàãîðà. ×èñëî íàçûâàåòñÿ ôèãóðíûì èëè q-óãîëüíûì, åñëè îíî ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç ñóìì ÷ëåíîâ àðèôìåòè÷åñêîé ïðîãðåññèè ñ ïåðâûì ÷ëåíîì, ðàâíûì 1, è ðàçíîñòüþ q – 2. Ýòî ÷èñëî âûðàæàåò êîëè÷åñòâî øàðîâ, èç êîòîðûõ ìîæíî âûëîæèòü íà ïëîñêîñòè ïðàâèëüíûé q-óãîëüíèê, ÷åì è îáúÿñíÿåòñÿ íàçâàíèå ÷èñëà. Ïîñòðîèì òðåóãîëüíûå ÷èñëà; äëÿ ýòîãî íà÷íåì óêëàäûâàòü øàðû íà ïëîñêîñòè â âèäå ïðàâèëüíûõ òðåóãîëüíèêîâ, ðàñòóùèõ èç îäíîé âåðøèíû. Äëÿ ïîñòðîåíèÿ òðåóãîëüíèêà, ñòîðîíà êîòîðîãî ñîäåðæèò 2k - 1 øàðîâ, áóäåò

(

(

)

(

)

)

èñïîëüçîâàíî 1 + 2 + … + 2k - 1 = 2k -1 2k - 1 = Nk øàðîâ. Îáúåäèíèâ â ýòîé ñóììå ïîïàðíî ñëàãàåìûå,

(

)

íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî, ïîëó÷èì 1 + 5 + 9 + … + 2k+1 - 3 – øåñòèóãîëüíîå ÷èñëî. Ñòîðîíà ñîîòâåòñòâóþùåãî 6-óãîëüíèêà ñîäåðæèò 2k-1 øàðîâ. Èòàê, èç Nk øàðîâ ìîæíî âûëîæèòü ïðàâèëüíûé òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé 2k - 1 è ïðàâèëüíûé øåñòèóãîëüíèê ñî ñòîðîíîé 2k-1 . Íà ðèñóíêå èçîáðàæåí ñëó÷àé k = 3. Óïðàæíåíèÿ 1. Äîêàæèòå, ÷òî ïðè ëþáîì k > 1 ÷èñëî Nk : à) íå ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì (4-óãîëüíûì ÷èñëîì); á) â äâîè÷íîé ñèñòåìå ñ÷èñëåíèÿ èìååò çàïèñü 11...100...0, ñíà÷àëà èäóò k åäèíèö, à çà íèìè (k – 1) íóëåé. 2. Äîêàæèòå, ÷òî ëþáîå ÷èñëî Nk ñ íå÷åòíûì èíäåêñîì k≥3: à) ïðè äåëåíèè íà 9 äàåò îñòàòîê, ðàâíûé 1; á) ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû êóáîâ ïîñëåäîâàòåëüíûõ k+1 2 íå÷åòíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îò åäèíèöû äî 2( ) - 1 .

×ÈÑÅË

11

Ïîèñê ïðîñòûõ ÷èñåë Ìåðñåííà Ìû óæå âèäåëè, ÷òî îòêðûòèå íîâûõ ÷åòíûõ ñîâåðøåííûõ ÷èñåë ñâÿçàíî ñ ïîèñêîì ïðîñòûõ ïîêàçàòåëåé k, äëÿ êîòîðûõ ÷èñëà Mk = 2k - 1 îêàçûâàþòñÿ ïðîñòûìè. ×èñëà Mk íàçûâàþò ÷èñëàìè Ìåðñåííà – ïî èìåíè èçó÷àâøåãî èõ â XVII âåêå ôðàíöóçñêîãî ó÷åíîãî.  «Ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèõ ðàçìûøëåíèÿõ» (1644) Ìåðñåíí óòâåðæäàë, ÷òî ÷èñëà 2k - 1 ÿâëÿþòñÿ ïðîñòûìè äëÿ k = 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67, 127, 257. Ýòîò ôàêò ïðîèçâåë ñèëüíîå âïå÷àòëåíèå íà åãî ñîâðåìåííèêîâ. Âåäü òîãäà íå áûëî âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè, è ïðîâåðèòü óòâåðæäåíèå áûëî äåëîì íåìûñëèìûì: íàïðèìåð, ÷èñëî M31 áîëüøå äâóõ ìèëëèàðäîâ (åãî ïðîñòîòó äîêàçàë ÷åðåç ñòî ëåò Ýéëåð). È õîòÿ, êàê âûÿñíèëîñü ïîçæå, â ýòîì ñïèñêå äâà ÷èñëà M67 è M257 ñîñòàâíûå, ìîæíî ëèøü ïîðàæàòüñÿ ãëóáèíå ïðîíèêíîâåíèÿ Ìåðñåííà â ñòðóêòóðó òàêèõ ÷èñåë. Êðèòåðèé ïðîñòîòû ÷èñåë Ìåðñåííà íàøåë (1878) ôðàíöóçñêèé ìàòåìàòèê Ô.Ëþêà. Ïðåæäå ÷åì ôîðìóëèðîâàòü åãî, ââåäåì ïîñëåäîâàòåëüíîñòü Ëþêà. Îíà îïðåäåëÿåòñÿ ðåêóððåíòíî: L1 = 4 , Ln = L2n -1 - 2 . Ïî ýòèì ôîðìóëàì ïîëó÷àåì L2 = 14 , L3 = 194 , L4 = 37634 è ò.ä. Êðèòåðèé Ëþêà, óñîâåðøåíñòâîâàííûé (1930) àìåðèêàíñêèì ìàòåìàòèêîì Ä.Ëåìåðîì, çâó÷èò òàê: ÷èñëî Mk ïðè ïðîñòîì íå÷åòíîì k òîãäà è òîëüêî òîãäà ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì, êîãäà Lk -1 äåëèòñÿ íà Mk . Ïðèâîäèòü äîêàçàòåëüñòâî ìû íå áóäåì, à îáðàòèìñÿ ê ïðèìåðàì. Ïðè k = 3 èìååì L2 = 14 , îíî äåëèòñÿ íà M3 = 7 , ÷èñëî 7 è íà ñàìîì äåëå ïðîñòîå; ïðè k = 5 ÷èñëî L4 = 37634 äåëèòñÿ íà M5 = 31 , è ÷èñëî 31 ïðîñòîå. Íî ïðè áîëüøèõ íîìåðàõ k ïðèìåíåíèå êðèòåðèÿ çàòðóäíèòåëüíî. Ïîäîéäåì ê ïîèñêó ïðîñòûõ ÷èñåë Ìåðñåííà ñ äðóãîé ñòîðîíû: íàéäåì âèä äåëèòåëåé ÷èñëà Mk ïðè óñëîâèè èõ ñóùåñòâîâàíèÿ. Ýòî ïîçâîëèò ñðàçó îòñåÿòü íåêîòîðûå èç Mk . Ðàññìîòðèì ïåðâûå ÷èñëà Ìåðñåííà ñ ïðîñòûìè íîìåðàìè: M2 = 3 , M3 = 2 ◊ 3 + 1 , M5 = 2 ◊ 3 ◊ 5 + 1, M7 = 2 ◊ 7 ◊ 9 + 1 , M11 = 2 ◊ 11 ◊ 93 + 1 . Åñëè èñêëþ÷èòü M2 , òî ÷èñëà Mp - 1 äåëÿòñÿ íà 2ð. Ïîäìå÷åííûé ôàêò èìååò ìåñòî äëÿ âñåõ ÷èñåë Ìåðñåííà ñ ïðîñòûìè íå÷åòíûìè íîìåðàìè. Îí ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì ìàëîé òåîðåìû Ôåðìà: åñëè ð ïðîñòîå ÷èñëî è à íå äåëèòñÿ íà ð, òî ðàçíîñòü a p -1 - 1 äåëèòñÿ íà ð. Ïî ýòîé òåîðåìå Mp - 1 = 2p - 2 = = 2 2 p-1 - 1 äåëèòñÿ íà 2ð. Íàäî ñêàçàòü, ÷òî Ôåðìà è îòêðûë ñâîþ ìàëóþ òåîðåìó, çàíèìàÿñü ñîâåðøåííûìè ÷èñëàìè. Îïèðàÿñü íà íåå, îí óñòàíîâèë, ÷òî íå òîëüêî ñàìè ÷èñëà Mp ïðè ïðîñòîì íå÷åòíîì ð, íî è âñå èõ äåëèòåëè èìåþò âèä 2pt + 1 (ýëåìåíòàðíîå äîêàçàòåëüñòâî èìååòñÿ, íàïðèìåð, â êíèãå Ë.Ï.Øèáàñîâà «Îò åäèíèöû äî áåñêîíå÷íîñòè» – Ì.: Äðîôà, 2006). Ýòî óòâåðæäåíèå Ôåðìà îáëåã÷àåò ïîèñê ïðîñòûõ äåëèòåëåé ÷èñåë Ìåðñåííà. Íàïðèìåð, â ñëó÷àå ð = 23 íàäî èñïûòàòü äåëèìîñòü M23 = 8388607 òîëüêî íà ÷èñëà 46 + 1, 46 ◊ 2 + 1 è ò.ä. Óæå ïåðâàÿ ïðîâåðêà äàåò ðåçóëüòàò: ÷èñëî M23 äåëèòñÿ íà 47. Ïîëó÷åííîå ÷àñòíîå 178481 òîæå ïðåäñòàâèìî â àíàëîãè÷íîì âèäå: 46 ◊ 3880 + 1 . Ïðè ð = 29, ïåðåáèðàÿ ïî ïîðÿäêó ÷èñëà 58t + 1, íàéäåì âñå

(

)


12

ÊÂÀÍT· 2006/¹5

ïðîñòûå äåëèòåëè ÷èñëà M29 : 58 ◊ 4 + 1 = 233 , 58 ◊ 19 + 1 = 1103 , 58 ◊ 36 + 1 = 2089 . Ýéëåð óñòàíîâèë, ÷òî âñå ïðîñòûå äåëèòåëè ÷èñåë m ± 1. Ìåðñåííà ñ íå÷åòíûìè íîìåðàìè èìåþò âèä 8m Åìó æå ïðèíàäëåæèò ñëåäóþùèé ïðèçíàê äåëèìîñòè ÷èñåë Mp : åñëè ð = 4m + 3 è q = 2ð + 1 îáà ïðîñòûå, òî Mp äåëèòñÿ íà q (äîêàçàòåëüñòâà ýòèõ ñâîéñòâ èìåþòñÿ â óïîìÿíóòîé êíèãå). Ïðèâåäåì ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ ïîñëåäíåãî ïðèçíàêà äåëèìîñòè (ó÷èòûâàÿ ëèøü ïðîñòûå ÷èñëà ð è q): 1) m = 0, p = 3, q = 7, M3 = 7 äåëèòñÿ íà 7; 2) m = 2, p = 11, q = 23, M11 = 23 ◊ 89 ; 3) m = 5, p = 23, q = 47, M23 = 47 ◊ 178481 ; 4) m = 20, p = 83, q = 167, M83 = = 167 ◊ 57912614113275649087721 . Ñëåäóþùèå ïðîñòûå p è q ïîÿâÿòñÿ ïðè m = 32, ñîîòâåòñòâóþùåå ÷èñëî M131 äåëèòñÿ íà 263 è ñîäåðæèò 40 öèôð, ìû åãî ïðèâîäèòü íå áóäåì. Èíòåðåñ ê ïðîñòûì ÷èñëàì Ìåðñåííà îáúÿñíÿåòñÿ íå òîëüêî èõ ñâÿçüþ ñ ñîâåðøåííûìè ÷èñëàìè, à åùå îäíèì îáñòîÿòåëüñòâîì. ×åëîâå÷åñòâî âñåãäà èíòåðåñîâàëîñü ÷èñëàìè-ãèãàíòàìè, â òîì ÷èñëå è íàèáîëüøèìè ïðîñòûìè ÷èñëàìè. Äîêàçàòåëüñòâî ïðîñòîòû áîëüøîãî ÷èñëà – òðóäîåìêîå çàíÿòèå äàæå ñåé÷àñ, êîãäà â ðàñïîðÿæåíèè ìàòåìàòèêîâ èìååòñÿ ñîâðåìåííàÿ âû÷èñëèòåëüíàÿ òåõíèêà. È çäåñü íà âûðó÷êó ïðèõîäÿò ðàçëè÷íûå ïðèçíàêè äåëèìîñòè, à ïîñêîëüêó äëÿ Mp íàéäåíî ìíîãî òàêèõ ïðèçíàêîâ äà ê òîìó æå èìååòñÿ êðèòåðèé ïðîñòîòû, òî ñðåäè íàèáîëüøèõ îòêðûòûõ íà äàííûé ìîìåíò ïðîñòûõ ÷èñåë ÷àñòî îêàçûâàþòñÿ ÷èñëà Ìåðñåííà. Ïîêà òàêèì ÷åìïèîíîì ÿâëÿåòñÿ 43-å ïî ñ÷åòó ïðîñòîå ÷èñëî M30402457 , ñîäåðæàùåå áîëåå 9 ìèëëèîíîâ öèôð. Îíî îáíàðóæåíî â äåêàáðå 2005 ãîäà ïîñëå ìíîãèõ ñóòîê íåïðåðûâíîé ðàáîòû ìîùíîãî êîìïüþòåðà. Âîçìîæíî, è ýòîò ðåêîðä áóäåò ïîáèò ê òîìó âðåìåíè, êîãäà âû ïðî÷òåòå ýòó ñòàòüþ. Äåëî â òîì, ÷òî ïðèìåíåíèå ÝÂÌ ñóùåñòâåííî îáëåã÷èëî ïîèñê. Äîñòàòî÷íî ñêàçàòü, ÷òî áîëüøàÿ ÷àñòü (31) èç âñåõ èçâåñòíûõ ïðîñòûõ ÷èñåë Ìåðñåííà íàéäåíà èìåííî ñ èõ ïîìîùüþ, ïðè÷åì ïîëîâèíå èç ýòèõ îòêðûòèé íåò è 20 ëåò. À òåïåðü ýòîò ïðîöåññ ïîéäåò ãîðàçäî áûñòðåå: ñîçäàí ìåæäóíàðîäíûé ïðîåêò «Ïîèñê áîëüøèõ ïðîñòûõ ÷èñåë Ìåðñåííà ñ èñïîëüçîâàíèåì Èíòåðíåòà», àíîíèìíûé ñïîíñîð îñíîâàë ôîíä íà ñóììó áîëåå ïîëóìèëëèîíà äîëëàðîâ äëÿ ÷åòûðåõ óäà÷íèêîâ, êîòîðûå ïåðâûìè íàéäóò ïðîñòûå ÷èñëà Ìåðñåííà ñ êîëè÷åñòâîì öèôð áîëåå 1 ìèëëèîíà, 10 ìèëëèîíîâ, 100 ìèëëèîíîâ è îäíîãî ìèëëèàðäà ñîîòâåòñòâåííî. Ïåðâûé èç ÷åòûðåõ äåíåæíûõ ïðèçîâ óæå âûïëà÷åí çà 38-e ÷èñëî Ìåðñåííà, ñîäåðæàùåå áîëåå äâóõ ìèëëèîíîâ öèôð. Ñîçäàíèþ ôîíäà, íåñîìíåííî, ñïîñîáñòâîâàëî òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî îãðîìíûå ïðîñòûå ÷èñëà ëåæàò â îñíîâå çàùèòû ýëåêòðîííîé êîììåðöèè è ýëåêòðîííîé ïî÷òû – â âîïðîñàõ, ñòàâøèõ àêòóàëüíûìè â ïîñëåäíåå âðåìÿ. Äåëî â òîì, ÷òî äëÿ øèôðà óäîáíî èñïîëüçîâàòü ïðîèçâåäåíèå äâóõ ïðîñòûõ ÷èñåë; ÷òîáû íàéòè êëþ÷ ê øèôðó, íàäî îïðåäåëèòü ýòè ñîìíîæèòåëè. Ïîñêîëüêó ñî âðåìåíåì âñå æå óäàåòñÿ èõ íàéòè, òî øèôðîâàëüùèêè ïîñòîÿííî îáíîâëÿþò àðñåíàë ïðîñòûõ ÷èñåë. Òàê

÷òî òåïåðü íå òîëüêî ïðîñòàÿ ëþáîçíàòåëüíîñòü è íàó÷íûé ïðåñòèæ áóäóò ñòèìóëèðîâàòü îõîòíèêîâ çà áîëüøèìè ïðîñòûìè ÷èñëàìè. À âåäü åùå â 1811 ãîäó àíãëèéñêèé ìàòåìàòèê Ï.Áàðëîó, ïðèâåäÿ â ñâîåé êíèãå «Òåîðèÿ ÷èñåë» âîñüìîå ñîâåðøåííîå ÷èñëî, ïèñàë: «Îíî íàâñåãäà îñòàíåòñÿ íàèáîëüøèì èç êîãäàëèáî îòêðûòûõ ñîâåðøåííûõ ÷èñåë, ïîñêîëüêó, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå èõ áåñïîëåçíîñòü, òðóäíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òîáû êòî-íèáóäü ñòàë çàòðà÷èâàòü óñèëèÿ íà ïîëó÷åíèå áîëüøèõ ñîâåðøåííûõ ÷èñåë». Êàê æå îí îøèáàëñÿ! Ïîõîæå, áîëüøèíñòâî ó÷åíûõ âåðèò â áåñêîíå÷íîñòü ìíîæåñòâà ïðîñòûõ ÷èñåë Ìåðñåííà.  êîíöå XIX âåêà áåëüãèéñêèé ìàòåìàòèê Ý.Êàòàëàí ïðåäïîëàãàë ýòî âûâåñòè èç ñëåäóþùåãî íàáëþäåíèÿ: åñëè âçÿòü ïðîñòûå ÷èñëà Ìåðñåííà 3, 7, 31, 127, òî M3 , M7 , M31 , M127 òîæå áóäóò ïðîñòûìè. Íî â 1953 ãîäó áûëî îáíàðóæåíî, ÷òî õîòÿ ÷èñëî M31 = 8191 ïðîñòîå, ÷èñëî M8191 ñîñòàâíîå. Î íå÷åòíûõ ñîâåðøåííûõ ÷èñëàõ Ó÷åíûå ñ äàâíèõ ïîð ïûòàëèñü îòûñêàòü íå÷åòíûå ñîâåðøåííûå ÷èñëà. Èõ ïîèñê íàïîìèíàåò îõîòó çà ïðèçðàêîì, êîòîðîãî íèêòî íèêîãäà íå âèäåë.  äëèòåëüíîì ïðîöåññå îõîòû íàéäåíî ìíîãî ñâîéñòâ, êîòîðûìè äîëæíû îáëàäàòü ýòè ÷èñëà ïðè óñëîâèè èõ ñóùåñòâîâàíèÿ. Íàïðèìåð, ëåãêî âèäåòü, ÷òî êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ äåëèòåëåé íå÷åòíîãî ñîâåðøåííîãî ÷èñëà áîëüøå äâóõ.  ñàìîì äåëå, ÷èñëî n = pa ◊ qb , ãäå p ≥ 3 , q ≥ 5 – ïðîñòûå ÷èñëà, à è b – íàòóðàëüíûå, íåäîñòàòî÷íîå, ïîñêîëüêó pa +1 - 1 qb +1 - 1 pa +1 qb +1 ◊ < ◊ = p -1 q -1 p -1 q -1 p 3 5 q ◊ £ n ◊ ◊ < 2n . = n◊ 2 4 p -1 q -1 Óñòàíîâëåíî, ÷òî êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ ïðîñòûõ äåëèòåëåé äîëæíî áûòü íå ìåíüøå 8. Ñëîæíåå îïðåäåëèòü âèä íå÷åòíîãî ñîâåðøåííîãî ÷èñëà n. Îáðàòèìñÿ ê åãî ðàçëîæåíèþ íà ïðîñòûå (íå÷åòíûå) ìíîæèòåëè: σ ( n) =

n = p0α0 ◊ p1α1 ◊ … ◊ psα s .

( ) ( )

( )

Òàê êàê σ (n) = σ p0 0 ◊ σ p1 1 ◊ … ◊ σ psα s , òî èç ðàâåíα

α

ñòâà 2n = σ (n) ïîëó÷àåì

2 p0α0 ◊ p1α1 ◊ … ◊ psαs =

(

)(

) (

)

α α α = 1 + p0 + … + p0 0 1 + p1 + … + p1 1 … 1 + ps + … + ps s . (1)

Ïîñêîëüêó ñóììà 1 + p + p2 + … + pα äåëèòñÿ íà 2 ëèøü ïðè íå÷åòíîì α , òî òîëüêî îäèí èç ïîêàçàòåëåé α 0 , α1, …, α s íå÷åòåí, îñòàëüíûå ÷åòíûå. Áóäåì ñ÷èòàòü α 0 = 2c + 1 , α1 = 2a1 , …, α s = 2as . Òîãäà â ïðàâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (1) ÷åòíûé ñîìíîæèòåëü âîçíèêàåò çà ñ÷åò ïåðâîé ñêîáêè. Ïðåîáðàçóåì åå òàê:

(

)

1 + p0 + … + p02c +1 = (1 + p0 ) 1 + p02 + … + p02c . Íå÷åòíîå ÷èñëî p0 èìååò âèä p0 = 4l - 1 èëè p0 = 4l + 1 .  ïåðâîì ñëó÷àå ïðàâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà (1) äåëèòñÿ íà


ÂÎÇÐÎÆÄÅÍÈÅ

«ÁÅÑÏÎËÅÇÍÛÕ»

4; ó÷èòûâàÿ, ÷òî ëåâàÿ ÷àñòü ðàâåíñòâà äåëèòñÿ òîëüêî íà 2, îñòàåòñÿ âòîðîé âàðèàíò. Àíàëîãè÷íî, ÷èñëî ñ íå

(

)

ìîæåò áûòü íå÷åòíûì, èíà÷å ñêîáêà 1 + p02 + … + p02c äåëèëàñü áû íà 2; çíà÷èò, ñ = 2b. Ïîëó÷àåì åùå îäèí ðåçóëüòàò Ýéëåðà: åñëè íå÷åòíîå ñîâåðøåííîå ÷èñëî ñóùåñòâóåò, òî îíî èìååò âèä n = ( 4l + 1)

4b +1

◊ p12a1 ◊ p22a2 ◊ … ◊ ps2as ,

ãäå 4l + 1, p1, …, ps – ðàçëè÷íûå íå÷åòíûå ïðîñòûå ÷èñëà. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî íå÷åòíîå ñîâåðøåííîå ÷èñëî íå ìîæåò áûòü êâàäðàòîì, ïîñêîëüêó ïåðâûé ñîìíîæè4b +1 òåëü (4l + 1) íå ÿâëÿåòñÿ èì. Îòêðûòî ìíîãî ñâîéñòâ íå÷åòíûõ ñîâåðøåííûõ ÷èñåë, íî â èõ ñóùåñòâîâàíèå âåðèòñÿ ñ òðóäîì: â ïðîìåæóòêå îò 1 äî 10300 èõ íå îáíàðóæåíî. Ìîæíî ïîïûòàòüñÿ äîêàçàòü îòñóòñòâèå íå÷åòíûõ ñîâåðøåííûõ ÷èñåë îò ïðîòèâíîãî. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òàêîå ÷èñëî n0 ñóùåñòâóåò: σ (n0 ) = 2n0 . Ðàññìîòðèì ÷èñëî n = 2n0 , äëÿ íåãî σ (n) = = σ (2) ◊ σ (n0 ) = 3 ◊ 2n0 = 3n . ×èñëà, äëÿ êîòîðûõ σ (n) = 3n , íàçûâàþò òðåõêðàòíûìè ñîâåðøåííûìè. Íàïðèìåð, ÷èñëî 120 = 23 ◊ 3 ◊ 5 ÿâëÿåòñÿ òðåõêðàòíûì ñîâåðøåííûì. Îñòàåòñÿ óáåäèòüñÿ, ÷òî ñðåäè òðåõêðàòíûõ ñîâåðøåííûõ íåò ÷èñåë âèäà n = 2n0 , ãäå n0 – íå÷åòíûé ñîìíîæèòåëü. Âîçìîæíî, èìåííî ýòè ñîîáðàæåíèÿ ñòèìóëèðîâàëè èíòåðåñ ó÷åíûõ XVII ñòîëåòèÿ ê òðåõêðàòíûì ñîâåðøåííûì ÷èñëàì. Ñåé÷àñ, íàðÿäó ñ òðåõêðàòíûìè, èçó÷àþò ìóëüòèñîâåðøåííûå, èëè r-êðàòíûå ñîâåðøåííûå ÷èñëà. Ýòî ÷èñëà, äëÿ êîòîðûõ σ (n) = r ◊ n . Óïðàæíåíèå 3. Äîêàæèòå, ÷òî ñóììà îáðàòíûõ âåëè÷èí âñåõ ñîáñòâåííûõ äåëèòåëåé r-êðàòíîãî ñîâåðøåííîãî ÷èñëà ðàâíà r – 1; â ÷àñòíîñòè, äëÿ ñîâåðøåííûõ ÷èñåë îíà ðàâíà 1.

 íàñòîÿùåå âðåìÿ îòêðûòî áîëåå 5 òûñÿ÷ ìóëüòèñîâåðøåííûõ ÷èñåë ðàçëè÷íîé êðàòíîñòè, âñå îíè ÷åòíûå, è, ÷òî óäèâèòåëüíî, òîëüêî 6 èç íèõ òðåõêðàòíûå, ïðè÷åì ýòè øåñòü ÷èñåë áûëè îáíàðóæåíû åùå â ïåðâîé ïîëîâèíå XVII âåêå. Îïèøåì ñïîñîá ïîëó÷åíèÿ ÷åòíûõ ìóëüòèñîâåðøåíûûõ ÷èñåë, èñõîäÿ íå èç èõ êðàòíîñòè, à èç ïîêàçàòåëÿ ñòåïåíè ÷èñëà 2. Ïðåäëîæåíèå: äëÿ ëþáîãî íàòóðàëüíîãî k íàéäåòñÿ ìóëüòèñîâåðøåííîå ÷èñëî n = 2k -1 m , ãäå ò — íå÷åòíûé ñîìíîæèòåëü. k -1 = 2k - 1 , òî íàäî ïî çàäàííîìó Ïîñêîëüêó σ 2 ïîêàçàòåëþ k íàéòè òàêèå ÷èñëà m è r, äëÿ êîòîðûõ âûïîëíÿåòñÿ ðàâåíñòâî

( )

(2

k

)

- 1 σ (m) = r ◊ 2k -1 m .

(2)

ßñíî, ÷òî σ (m) äîëæíî áûòü êðàòíûì 2k-1 . Ïîäáîð ÷èñëà m áóäåì âåñòè ïîýòàïíî. Íà ïåðâîì øàãå ïîëîæèì m = 2k - 1 . Åñëè ÷èñëî m îêàæåòñÿ ïðîñòûì, òî

(

)

öåëü äîñòèãíóòà: σ (m) = 2k , è ÷èñëî n = 2k -1 2k - 1 ñîâåðøåííîå. Òàê áóäåò äëÿ k = 2, 3, 5, 7, 13, 17. Ïðè ñîñòàâíîì m = 2k - 1 ðàçëîæèì åãî íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè p0α0 ◊ p1α1 ◊ … ◊ psα s . Åñëè ïîêàçàòåëü ïðîñòîãî

×ÈÑÅË

13

( )

÷èñëà p íå÷åòåí, òî σ pα = 2b q , ãäå íå÷åòíîå ÷èñëî q < pα (íà ñàìîì äåëå, ïðè p ≥ 3 èìååì pα +1 - 1 < 2 pα ( p - 1) , îòêóäà 2b q < 2pα ). Òàêèì îáðàçîì, ïðè íå÷åòíûõ ïîêàçàòåëÿõ ÷èñëî σ (m) = 2a q1 ◊ q2 ◊ … ◊ ql èìååò ìåíüøèå ïî ñðàâíåíèþ ñ m íå÷åòíûå ñîìíîæèòåëè. Åñëè a < k – 1, òî óâåëè÷èì m äî ÷èñëà 2k - 1 q1 ◊ … ◊ ql , ÷òî ïðèâåäåò ê óâåëè÷å-

(

)

( σ (p ) = r

)

íèþ ïîêàçàòåëÿ ñòåïåíè 2 ó ÷èñëà σ 2k -1 q1 ◊ … ◊ ql .  α

ñëó÷àå ÷åòíîãî ïîêàçàòåëÿ ÷èñëî íå÷åòíî; äîáàâèì åãî â êà÷åñòâå ñîìíîæèòåëÿ ê ÷èñëó m; åñëè ïðè ýòîì r âíîâü îêàæåòñÿ ÷åòíîé ñòåïåíüþ ïðîñòîãî íå÷åòíîãî ÷èñëà (íàïðèìåð, σ 34 = 112 , σ 112 = = 7 ◊ 19 ), òî äîáàâèì åùå ñîìíîæèòåëü σ (r ) . È òàê áóäåì ïîñòóïàòü äî òåõ ïîð, ïîêà â ëåâîé ÷àñòè ðàâåíñòâà (2) íå ïîÿâèòñÿ ìíîæèòåëü 2k-1 . Ýòî íà ñàìîì äåëå ïðîèçîéäåò, ïîñêîëüêó áåñêîíå÷íî óáûâàòü íå÷åòíûå ïðîñòûå ñîìíîæèòåëè íå ìîãóò è íà íåêîòîðîì øàãå ïîÿâÿòñÿ òàêèå ïðîñòûå ÷èñëà p, äëÿ êîòîðûõ σ ( p) = 2c . Íî åñëè p > 2d , òî σ ( p) = 2c > 2d , à òàê êàê σ (m) > 2k -1 , òî íóæíûé ïîêàçàòåëü äîñòèæèì. Ïðåäëîæåíèå äîêàçàíî. Ïðèâåäåì ïðèìåðû. 1) k = 4: èç ðàâåíñòâ σ 23 = 3 ◊ 5 , σ (3) = 22 , σ (5) = 2 ◊ 3 ïîëó÷àåì òðåõêðàòíîå ñîâåðøåííîå ÷èñëî n = 23 ◊ 3 ◊ 5 = 120 , íàéäåííîå Ìåðñåííîì. 2) k = 6: òàê êàê 26 - 1 = 32 ◊ 7 , òî âñëåä çà Ôåðìà ïðèõîäèì ê ÷èñëó n = 25 ◊ 3 ◊ 7 , äëÿ êîòîðîãî σ 25 ◊ 3 ◊ 7 = 32 ◊ 7 ◊ 22 ◊ 23 = 3n ; åñëè âìåñòî 3 âçÿòü 33 , òî ïðèäåì ê ÷èñëó n = 25 ◊ 33 ◊ 5 ◊ 7 , îáíàðóæåííîìó

( )

( )

( )

(

)

(

)(

)

Äåêàðòîì, äëÿ íåãî σ (n) = 32 ◊ 7 23 ◊ 5 (2 ◊ 3 ) 23 = 4n . Óïðàæíåíèå 4. Äëÿ ïîêàçàòåëåé k = 9, 10, 14, 15 íàéäèòå òðåõêðàòíûå ñîâåðøåííûå ÷èñëà è óáåäèòåñü, ÷òî ó íèõ íåò ïîâòîðÿþùèõñÿ íå÷åòíûõ ñîìíîæèòåëåé.

Èòàê, â ðàçëîæåíèÿõ íà ïðîñòûå ìíîæèòåëè âñåõ øåñòè èçâåñòíûõ íà ñåãîäíÿøíèé äåíü òðåõðàòíûõ ñîâåðøåííûõ ÷èñåë ìíîæèòåëü 2 èìååò ñòåïåíü âûøå ïåðâîé, à çíà÷èò, è íà ýòîì ïóòè îáíàðóæèòü íå÷åòíîå ñîâåðøåííîå ÷èñëî íå óäàëîñü. Ìîæåò áûòü, â ýòîì ïëàíå ïîâåçåò êîìó-ëèáî èç ÷èòàòåëåé. À òåïåðü ïðèâåäåì ïðèìåðû ìóëüòèñîâåðøåííûõ ÷èñåë, â ðàçëîæåíèè êîòîðûõ âñòðå÷àþòñÿ êðàòíûå íå÷åòíûå ïðîñòûå ñîìíîæèòåëè. Ïðè k = 8 èìååì σ 27 = 3 ◊ 5 ◊ 17 , σ 27 ◊ 3 ◊ 5 ◊ 17 =

( ) ( ) = (3 ◊ 5 ◊ 17) 2 (2 ◊ 3) (2 ◊ 3 ) , ïîÿâèëñÿ ñîìíîæèòåëü 3 ; ïîñêîëüêó σ (3 ) = 11 , σ (11 ) = 7 ◊ 19 , ïðèõîäèì ê 2

2

4

÷èñëó

2

4

2

n = 27 ◊ 3 4 ◊ 5 ◊ 7 ◊ 112 ◊ 17 ◊ 19 , äëÿ êîòîðîãî

σ (n) = 5n . Åãî íàøåë Äåêàðò. Ìîæíî áûëî íà âòîðîì ýòàïå âçÿòü ÷èñëî 27 ◊ 33 ◊ 5 ◊ 17 ; òàê êàê σ 33 = 23 ◊ 5 ,

( ) = 31 , òî ïîëó÷èëè áû ÷èñëî n = 2 2

σ 5

7

( )

3

◊ 3 ◊ 52 ◊ 17 ◊ 31 ,

äëÿ íåãî σ (n) = 4n .

Óïðàæíåíèå 5. Íàéäèòå ìóëüòèñîâåðøåíïûå ÷èñëà äëÿ ïîêàçàòåëåé k = 11, 12, 16.


Í Tз È 2 0È 0 6 /Í ¹ 5À Ó Ê È È Ç È ÊÑÂÒÀ Î

14

Óðáåí Ëåâåðüå À.ÂÀÑÈËÜÅÂ

È

ÇÂÅÑÒÍÛÉ ÔÐÀÍÖÓÇÑÊÈÉ ÀÑÒÐÎÍÎÌ ÓÐ-

áåí Æàí Æîçåô Ëåâåðüå (1811–1877) ðîäèëñÿ â ñåìüå ìåëêîãî ÷èíîâíèêà â Íîðìàíäèè. Îí ïîëó÷èë îáðàçîâàíèå â çíàìåíèòîé Ïîëèòåõíè÷åñêîé øêîëå Ïàðèæà, êîòîðóþ îêîí÷èë â 1833 ãîäó. Ïîñëå íåñêîëüêèõ ëåò ïîèñêîâ ñâîåãî íàó÷íîãî ïóòè Ëåâåðüå íàøåë ïðèçâàíèå â íåáåñíîé ìåõàíèêå. Îí áûë àâòîðîì ìíîãèõ ðàáîò â ýòîé îáëàñòè è çàâîåâàë àâòîðèòåò íåïðåâçîéäåííîãî âû÷èñëèòåëÿ èññëåäîâàíèÿìè âåêîâûõ èçìåíåíèé â äâèæåíèè áîëüøèõ ïëàíåò (âåêîâûìè èçìåíåíèÿìè íàçûâàþòñÿ ìîíîòîííî ðàñòóùèå ñî âðåìåíåì óêëîíåíèÿ îò êåïëåðîâñêîãî äâèæåíèÿ ïî îðáèòàì, çàìå÷åííûå ó Þïèòåðà è Ñàòóðíà, à ïîçäíåå è ó Ëóíû).  1845 ãîäó, ïî ñîâåòó äèðåêòîðà Ïàðèæñêîé îáñåðâàòîðèè Àðàãî, Ëåâåðüå çàíÿëñÿ çàäà÷åé ðàñ÷åòà äâèæåíèÿ Óðàíà – ñåäüìîé ïëàíåòû Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû. Åùå ñ êîíöà XVIII âåêà àñòðîíîìû ñòàëè çàìå÷àòü ñòðàííîñòè â ïîâåäåíèè Óðàíà. Çà 50 ëåò íàáëþäåíèé èì òðèæäû ïðèøëîñü óòî÷íÿòü òàáëèöû äâèæåíèÿ ýòîé ïëàíåòû, íî îíà óïðÿìî ñõîäèëà ñ ïóòè, ïðåäóñìîòðåííîãî íåáåñíîé ìåõàíèêîé Íüþòîíà.  40-å ãîäû XIX âåêà ðàñõîæäåíèå ìåæäó âû÷èñëåííûìè ïî òàáëèöàì è íàáëþäàåìûìè ïîëîæåíèÿìè Óðàíà äîñòèãàëî äåñÿòêîâ óãëîâûõ ñåêóíä, ÷òî ïî÷òè â 100 ðàç ïðåâûøàëî íàèìåíüøóþ âåëè÷èíó, êîòîðóþ ìîãëè óëàâëèâàòü è ñ òî÷íîñòüþ äî êîòîðîé èçìåðÿëè ïîëîæåíèå íåáåñíûõ òåë àñòðîíîìû. Ñðåäè âñåâîçìîæíûõ ãèïîòåç íåîäíîêðàòíî âûñêàçûâàëàñü äîãàäêà î ñóùåñòâîâàíèè äàëåêîé ïëàíåòû, êîòîðàÿ ñâîèì ïðèòÿæåíèåì âîçìóùàåò îðáèòó Óðàíà, íî äàëüøå äîãàäîê äåëî íå øëî. Ëåâåðüå ñ ýíòóçèàçìîì âçÿëñÿ çà ðåøåíèå ïðåäëîæåííîé Àðàãî çàäà÷è, è 10 ñåíòÿáðÿ 1845 ãîäà ïîÿâèëàñü åãî ïåðâàÿ ðàáîòà î äâèæåíèè Óðàíà, ãäå áûëî ïîêàçàíî, ÷òî íèêàêèìè èçâåñòíûìè ïðè÷èíàìè îáúÿñíèòü åãî «íåïðàâèëüíîå» ïîâåäåíèå íåëüçÿ. Çà íåé ïîñëåäîâàëà âòîðàÿ (1 èþíÿ 1846 ã.), à âñêîðå (31 àâãóñòà 1846 ã.) è òðåòüÿ ðàáîòà.  íèõ ñîîáùàëèñü íåîáõîäèìûå êîîðäèíàòû íîâîé ïëàíåòû, ìàññà è ýëåìåíòû îðáèòû. Çàâåðøèâ ñâîè âû÷èñëåíèÿ è ó÷èòûâàÿ îãðàíè÷åííûå âîçìîæíîñòè ôðàíöóçñêèõ íàáëþäàòåëåé, Ëåâåðüå 18 ñåíòÿáðÿ 1846 ãîäà íàïðàâèë ïèñüìî â Áåðëèí, ãäå ðåãóëÿðíî âûïóñêàëèñü ñàìûå òî÷íûå êàðòû çâåçä äî äåñÿòîé âåëè÷èíû. Ïîëó÷èâ ïèñüìî, àñòðîíîì Áåðëèíñêîé îáñåðâàòîðèè Ãàëëå â òîò æå âå÷åð íàïðàâèë ñâîé òåëåñêîï íà îòìå÷åííîå â ïèñüìå ìåñòî íåáà è îáíàðóæèë íåîáû÷íóþ çâåçäî÷êó âîñüìîé âåëè÷èíû ñ ÿâíî çàìåòíûì äèñêîì (èñòèííûå çâåçäû äàæå â êðóïíåéøèå ñîâðåìåííûå òåëåñêîïû ïðåäñòàâëÿþòñÿ òî÷êàìè). Ñðàâíèâ åå ïîëîæåíèå ñ óêàçàíèÿìè òî÷íûõ çâåçäíûõ êàðò, Ãàëëå óáåäèëñÿ, ÷òî ïèñüìî

Ëåâåðüå ñîäåðæèò âåëèêîå îòêðûòèå. Òàê â ñïèñêå áîëüøèõ ïëàíåò Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû ïðèáàâèëàñü åùå îäíà, âîñüìàÿ ïî ñ÷åòó, íàçâàííàÿ çàòåì Íåïòóíîì è óäàëåííàÿ îò Ñîëíöà íà 4,5 ìèëëèàðäà êèëîìåòðîâ. Íàäî ñêàçàòü, ÷òî çàãàäêîé Óðàíà åùå â 1841 ãîäó çàèíòåðåñîâàëñÿ ñòóäåíò Êåìáðèäæñêîãî êîëëåäæà Äæîí Àäàìñ. Çàêîí÷èâ êîëëåäæ, îí öåëèêîì ïîñâÿòèë ñåáÿ âû÷èñëåíèÿì. Ðåøàÿ ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé, Àäàìñ ñíà÷àëà ïðîâåë âñå âû÷èñëåíèÿ ïî 20 íàáëþäåíèÿì Óðàíà çà 1780–1840 ãîäû, à çàòåì, ïîëó÷èâ ðåçóëüòàòû íàáëþäåíèé Ãðèíâè÷ñêîé ëàáîðàòîðèè çà 1750–1830 ãîäû, ïîâòîðèë èõ çàíîâî. Ïîñëå äâóõ ëåò íàïðÿæåííîãî òðóäà Àäàìñ ðåøèë çàäà÷ó.  ñåíòÿáðå 1845 ãîäà îí ñîîáùèë ïðîôåññîðó àñòðîíîìèè ×àëëèñó ìàññó è ýëåìåíòû îðáèòû íîâîé, ñëåäóþùåé çà Óðàíîì ïëàíåòû, à òàêæå óêàçàë åå êîîðäèíàòû íà íåáåñíîé ñôåðå íà 30 ñåíòÿáðÿ 1845 ãîäà. Ê ñîæàëåíèþ, äèðåêòîð Ãðèíâè÷ñêîé îáñåðâàòîðèè Äæ.Ýðí ñ íåäîâåðèåì îòíåññÿ ê ýòèì ðàñ÷åòàì.  ðåçóëüòàòå â òå÷åíèå 9 ìåñÿöåâ ðàáîòà ëåæàëà áåç äâèæåíèÿ, è òîëüêî ïîñëå âûõîäà âòîðîé ðàáîòû Ëåâåðüå Ýðí ïîðó÷èë ×àëëèñó ïîèñêè íîâîé ïëàíåòû. Ê òîìó âðåìåíè îíà óæå áûëà îòêðûòà Ãàëëå. Ïîñëå ãîðÿ÷èõ ñïîðîâ Àíãëèè è Ôðàíöèè î ïðèîðèòåòå îòêðûòèÿ Íåïòóíà ó÷åíûé ìèð îöåíèë çàñëóãè îáîèõ àñòðîíîìîâ, ïðèçíàâ çà Àäàìñîì ïåðâåíñòâî â ìàòåìàòè÷åñêîì ðåøåíèè çàäà÷è, à çà Ëåâåðüå – çàñëóãó â äåëå îáíàðóæåíèÿ ïëàíåòû.  1846 ãîäó Ëåâåðüå âîçãëàâèë êàôåäðó íåáåñíîé ìåõàíèêè â Ïàðèæñêîì óíèâåðñèòåòå, à â 1854 ãîäó – åùå è Ïàðèæñêóþ îáñåðâàòîðèþ. Äàëüíåéøàÿ åãî íàó÷íàÿ äåÿòåëüíîñòü áûëà ïîñâÿùåíà óòî÷íåíèþ òåîðèè äâèæåíèÿ áîëüøèõ ïëàíåò Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû.  ðåçóëüòàòå ïî÷òè òðèäöàòèëåòíåé ðàáîòû Ëåâåðüå îñóùåñòâèë êàïèòàëüíóþ ðåâèçèþ òåîðèè äâèæåíèÿ Ñîëíöà è ïëàíåò. Åãî òàáëèöû, îñîáåííî ñîëíå÷íûå, äî íàñòîÿùåãî âðåìåíè èñïîëüçóþòñÿ â Ïàðèæñêîì áþðî äîëãîò ïðè ñîñòàâëåíèè àñòðîíîìè÷åñêèõ åæåãîäíèêîâ. Èçó÷åíèå äâèæåíèÿ ïëàíåò ïðèâåëî Ëåâåðüå ê îäíîìó èç èíòåðåñíåéøèõ îòêðûòèé íàóêè XIX âåêà. Èññëåäóÿ ñ 1843 ãîäà äâèæåíèå Ìåðêóðèÿ, Ëåâåðüå ïðèøåë ê âûâîäó, ÷òî âîçìóùåíèÿ åãî îðáèòû íå ñâÿçàíû ñ âëèÿíèåì èçâåñòíûõ òåë Ñîëíå÷íîé ñèñòåìû. Îí ïîïûòàëñÿ îáúÿñíèòü ýòî ÿâëåíèå äåéñòâèåì íåêîåé ãèïîòåòè÷åñêîé ïëàíåòû, íàõîäÿùåéñÿ áëèæå ê Ñîëíöó, ÷åì Ìåðêóðèé. Íà ñàìîì äåëå îáúÿñíåíèå íàáëþäåíèÿì Ëåâåðüå áûëî íàéäåíî ëèøü â íà÷àëå XX âåêà: àíîìàëèè â äâèæåíèè Ìåðêóðèÿ îêàçàëèñü ñëåäñòâèåì íîâîé, áîëåå îáùåé, ÷åì íüþòîíîâñêàÿ, òåîðèè òÿãîòåíèÿ – îáùåé òåîðèè îòíîñèòåëüíîñòè Ýéíøòåéíà.


ÇÀÄÀ×ÍÈÊ «ÊÂÀÍÒÀ»

Çàäà÷è ïî ìàòåìàòèêå è ôèçèêå Ýòîò ðàçäåë âåäåòñÿ ó íàñ èç íîìåðà â íîìåð ñ ìîìåíòà îñíîâàíèÿ æóðíàëà. Ïóáëèêóåìûå â íåì çàäà÷è íåñòàíäàðòíû, íî äëÿ èõ ðåøåíèÿ íå òðåáóåòñÿ çíàíèé, âûõîäÿùèõ çà ðàìêè øêîëüíîé ïðîãðàììû. Íàèáîëåå òðóäíûå çàäà÷è îòìå÷àþòñÿ çâåçäî÷êîé. Ïîñëå ôîðìóëèðîâêè çàäà÷è ìû îáû÷íî óêàçûâàåì, êòî íàì åå ïðåäëîæèë. Ðàçóìååòñÿ, íå âñå ýòè çàäà÷è ïóáëèêóþòñÿ âïåðâûå. Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ýòîãî íîìåðà ñëåäóåò îòïðàâëÿòü íå ïîçäíåå 1 äåêàáðÿ 2006 ãîäà ïî àäðåñó: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò». Ðåøåíèÿ çàäà÷ èç ðàçíûõ íîìåðîâ æóðíàëà èëè ïî ðàçíûì ïðåäìåòàì (ìàòåìàòèêå è ôèçèêå) ïðèñûëàéòå â ðàçíûõ êîíâåðòàõ. Íà êîíâåðòå â ãðàôå «Êîìó» íàïèøèòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà» ¹5–2006» è íîìåðà çàäà÷, ðåøåíèÿ êîòîðûõ Âû ïîñûëàåòå, íàïðèìåð «Ì2011» èëè «Ô2018».  ãðàôå «Îò êîãî» ôàìèëèþ è èìÿ ïðîñèì ïèñàòü ðàçáîð÷èâî.  ïèñüìî âëîæèòå êîíâåðò ñ íàïèñàííûì íà íåì Âàøèì àäðåñîì è íåîáõîäèìûé íàáîð ìàðîê (â ýòîì êîíâåðòå Âû ïîëó÷èòå ðåçóëüòàòû ïðîâåðêè ðåøåíèé). Óñëîâèÿ êàæäîé îðèãèíàëüíîé çàäà÷è, ïðåäëàãàåìîé äëÿ ïóáëèêàöèè, ïðèñûëàéòå â îòäåëüíîì êîíâåðòå â äâóõ ýêçåìïëÿðàõ âìåñòå ñ Âàøèì ðåøåíèåì ýòîé çàäà÷è (íà êîíâåðòå ïîìåòüòå: «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ôèçèêå» èëè «Çàäà÷íèê «Êâàíòà», íîâàÿ çàäà÷à ïî ìàòåìàòèêå»).  íà÷àëå êàæäîãî ïèñüìà ïðîñèì óêàçûâàòü íîìåð øêîëû è êëàññ, â êîòîðîì Âû ó÷èòåñü. Çàäà÷è Ì2011–Ì2013, Ì2015(á), Ì2016, Ì2018 ïðåäëàãàëèñü íà IV ýòàïå, çàäà÷è Ì2014, Ì2017(à), Ì2019, Ì2020 – íà V ýòàïå XXXII Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå.

Çàäà÷è Ì2011–Ì2020, Ô2018–Ô2027 M2011. Íàòóðàëüíûå ÷èñëà îò 1 äî 200 ðàçáèëè íà 50 ìíîæåñòâ. Äîêàæèòå, ÷òî â îäíîì èç íèõ íàéäóòñÿ òðè ÷èñëà, ÿâëÿþùèåñÿ äëèíàìè ñòîðîí íåêîòîðîãî òðåóãîëüíèêà. Ì.Ìóðàøêèí M2012.  òåòðàýäðå ABCD èç âåðøèíû A îïóñòèëè ïåðïåíäèêóëÿðû AB¢ , AC¢ , AD¢ íà ïëîñêîñòè, äåëÿùèå äâóãðàííûå óãëû ïðè ðåáðàõ CD, BD, BC ïîïîëàì. Äîêàæèòå, ÷òî ïëîñêîñòü B ¢C ¢D¢ ïàðàëëåëüíà ïëîñêîñòè BCD. À.Áàäçÿí M2013. Ïðè êàêèõ íàòóðàëüíûõ n íàéäóòñÿ òàêèå ïîëîæèòåëüíûå ðàöèîíàëüíûå, íî íå öåëûå ÷èñëà a è b, ÷òî îáà ÷èñëà a + b è a n + bn öåëûå? Â.Ñåíäåðîâ M2014. Íà äóãàõ AB è BC îêðóæíîñòè, îïèñàííîé îêîëî òðåóãîëüíèêà ABC, âûáðàíû òî÷êè K è L ñîîòâåòñòâåííî òàê, ÷òî ïðÿìûå KL è AC ïàðàëëåëüíû. Äîêàæèòå, ÷òî öåíòðû âïèñàííûõ îêðóæíîñòåé òðåóãîëüíèêîâ ABK è CBL ðàâíîóäàëåíû îò ñåðåäèíû äóãè ABC. Ñ.Áåðëîâ Ðèñ.1

M2015. Ìîæíî ëè ñïàÿòü ïðîâîëî÷íûé êàð-

êàñ êóáà 2 ´ 2 ´ 2 , ðàçáèòîãî íà êóáèêè 1 ´ 1 ´ 1 (ðèñ.1), èç âîñåìíàäöàòè äåòàëåé êîíñòðóêòîðà, â êîòîðîì êàæäàÿ äåòàëü èìååò âèä: à) ñêîáêè èç òðåõ ïîïàðíî ïåðïåíäèêóëÿðíûõ ñïèö äëèíû 1 (ðèñ.2);

Ðèñ.2

Ðèñ.3

á) ñêîáêè èç òðåõ ñïèö äëèíû 1 â âèäå áóêâû «Ï» (ðèñ.3)? Ë.Åìåëüÿíîâ M2016. Ó âûïóêëîãî ìíîãîãðàííèêà 2n ãðàíåé ( n ³ 3 ), è âñå ãðàíè ÿâëÿþòñÿ òðåóãîëüíèêàìè. Êàêîå íàèáîëüøåå ÷èñëî âåðøèí, â êîòîðûõ ñõîäèòñÿ ðîâíî 3 ðåáðà, ìîæåò áûòü ó òàêîãî ìíîãîãðàííèêà? À.Ãàðáåð M2017. Êâàäðàò 3000 ´ 3000 ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì ðàçáèò íà äîìèíîøêè (ò.å. íà ïðÿìîóãîëüíèêè 1 ´ 2 êëåòêè). à) Äîêàæèòå, ÷òî äîìèíîøêè ìîæíî ðàñêðàñèòü â 3 öâåòà òàê, ÷òîáû äîìèíîøåê êàæäîãî öâåòà áûëî ïîðîâíó è ó êàæäîé äîìèíîøêè áûëî íå áîëåå äâóõ ñîñåäåé åå öâåòà (äîìèíîøêè ñ÷èòàþòñÿ ñîñåäíèìè, åñëè îíè ñîäåðæàò êëåòêè, ñîñåäíèå ïî ñòîðîíå). á) Äîêàæèòå, ÷òî äîìèíîøêè ìîæíî ðàñêðàñèòü â 4


$

ÊÂÀÍT 2006/¹5

öâåòà òàê, ÷òîáû äîìèíîøåê êàæäîãî öâåòà áûëî ïîðîâíó è íè ó êàêîé äîìèíîøêè íå áûëî ñîñåäåé åå öâåòà. À.Ïàñòîð M2018. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè íàòóðàëüíîå ÷èñëî N ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñóììû òðåõ êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë, äåëÿùèõñÿ íà 3, òî îíî òàêæå ïðåäñòàâëÿåòñÿ â âèäå ñóììû òðåõ êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë, íå äåëÿùèõñÿ íà 3. Ï.Êîçëîâ M2019. Îêðóæíîñòü ω êàñàåòñÿ ðàâíûõ ñòîðîí AB è AC ðàâíîáåäðåííîãî òðåóãîëüíèêà ABC è ïåðåñåêàåò ñòîðîíó BC â òî÷êàõ K è L. Îòðåçîê AK ïåðåñåêàåò ω âòîðîé ðàç â òî÷êå M. Òî÷êè P è Q ñèììåòðè÷íû òî÷êå K îòíîñèòåëüíî òî÷åê B è C ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî îïèñàííàÿ îêðóæíîñòü òðåóãîëüíèêà PMQ êàñàåòñÿ îêðóæíîñòè ω . Â.Ôèëèìîíîâ * M2020 . Èçâåñòíî, ÷òî ìíîãî÷ëåí ( x + 1) - 1 äåëèòñÿ íà íåêîòîðûé ìíîãî÷ëåí P  x  = xk + ck -1xk -1 + + ck - 2 xk - 2 + K + c1x + c0 ÷åòíîé ñòåïåíè k, ó êîòîðîãî âñå êîýôôèöèåíòû c0 , c1, K, ck -1 – öåëûå íå÷åòíûå ÷èñëà. Äîêàæèòå, ÷òî n äåëèòñÿ íà k + 1. À.Ãàðáåð n

Ô2022. Ïîðöèÿ ðàçðåæåííîãî ãåëèÿ íàõîäèòñÿ â ñîñóäå ñ ïîðøíåì. Ñ ãåëèåì ïðîâîäÿò çàìêíóòûé òåïëîâîé öèêë, êîòîðûé ñîñòîèò èç ÷åòûðåõ ñòàäèé. Íà ïåðâîé ñòàäèè ãàç ðàñøèðÿåòñÿ âäâîå, ïðè ýòîì äàâëåíèå ãàçà âñå âðåìÿ ïðîïîðöèîíàëüíî åãî îáúåìó. Íà âòîðîé ñòàäèè ãàç ïðîäîëæàåò ðàñøèðÿòüñÿ – íî óæå ïðè íåèçìåííîì äàâëåíèè, îáúåì ãàçà íà ýòîé ñòàäèè óâåëè÷èâàåòñÿ åùå â 4 ðàçà. Ñëåäóþùàÿ ñòàäèÿ – äàâëåíèå ãàçà ñíîâà ïðîïîðöèîíàëüíî åãî îáúåìó, ãàç îõëàæäàåòñÿ, ïîêà åãî äàâëåíèå íå óïàäåò âäâîå. È, íàêîíåö, ÷åòâåðòàÿ ñòàäèÿ – îõëàæäåíèå ïðè íåèçìåííîì äàâëåíèè äî íà÷àëüíîãî ñîñòîÿíèÿ. Íàéäèòå òåðìîäèíàìè÷åñêèé ÊÏÄ ýòîãî öèêëà. Ð.Öèêëîâ Ô2023. Íà ãîðèçîíòàëüíî ðàñïîëîæåííîì íåïðîâîäÿùåì ñòåðæíå çàêðåïëåíû äâà ìàëåíüêèõ òåëà, çàðÿæåííûõ ïîëîæèòåëüíî (çàðÿäû íàì íåèçâåñòíû). Åùå îäíî ïîëîæèòåëüíî çàðÿæåííîå òåëî – ìàëåíüêàÿ áóñèíêà – ìîæåò äâèãàòüñÿ áåç òðåíèÿ âäîëü ñòåðæíÿ. Áóñèíêà ñîâåðøàåò ìàëûå êîëåáàíèÿ îêîëî ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ. Âî ñêîëüêî ðàç èçìåíèòñÿ ïåðèîä òàêèõ êîëåáàíèé, åñëè ðàññòîÿíèå ìåæäó íåïîäâèæíûìè çàðÿäàìè óìåíüøèòñÿ âäâîå (ðàçóìååòñÿ, èõ äëÿ ýòîãî ïðèäåòñÿ ñäåëàòü íà íåêîòîðîå âðåìÿ ïîäâèæíûìè)? À.Ïðîñòîâ

Ô2018. Òî÷êà äâèæåòñÿ âäîëü îñè X, ñêîðîñòü òî÷êè ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó åå êîîðäèíàòû. Ñðåäíÿÿ ñêîðîñòü òî÷êè íà ó÷àñòêå (1 ì; 2 ì) ñîñòàâèëà 1 ì/ñ. Íàéäèòå ñðåäíþþ ñêîðîñòü íà ó÷àñòêàõ (2 ì; 4 ì) è (1 ì; 4 ì). Ç.Ðàôàèëîâ

Ô2024. Ê îáû÷íîé ñåòè 220 Â, 50 Ãö ïîäêëþ÷åíû ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûå êîíäåíñàòîð åìêîñòüþ 1 ìêÔ è íàãðåâàòåëü – ðåçèñòîð. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ ìîùíîñòü òàêîãî íàãðåâàòåëÿ. Êñòàòè – çà÷åì òàì ïîíàäîáèëñÿ êîíäåíñàòîð? À.Çèëüáåðìàí

Ô2019. Íà òîíêîì è ëåãêîì æåñòêîì ñòåðæíå äëèíîé L çàêðåïëåíû äâà òåëà – ìàññîé Ì ïîñðåäèíå ñòåðæíÿ è ìàññîé 2Ì íà îäíîì èç åãî êîíöîâ. Äðóãîé êîíåö ñòåðæíÿ çàêðåïëåí øàðíèðíî. Ïîëó÷èâøèéñÿ ìàÿòíèê ðàñêà÷èâàåòñÿ â âåðòèêàëüíîé ïëîñêîñòè, ìàêñèìàëüíûé óãîë îòêëîíåíèÿ îò âåðòèêàëè ñîñòàâëÿåò 1o . Íàéäèòå ïåðèîä êîëåáàíèé ýòîãî ìàÿòíèêà è ìàêñèìàëüíóþ ðàçíîñòü íàòÿæåíèé ïîëîâèí ñòåðæíÿ ïðè äâèæåíèè. Ð.Ïðîñòîâ

Ô2025. Ê «ìîñòèêó» èç êîíäåíñàòîðîâ (ðèñ.4) ïîäêëþ÷èëè áàòàðåéêó íàïðÿæåíèåì U0 . Çàòåì åå îòêëþ÷èëè, à ìåæäó òî÷êàìè À è Á âêëþ÷èëè êàòóøêó èíäóêòèâíîñòüþ L. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíûé òîê ÷åðåç êàòóøêó. Íàéäèòå òàêæå ïîëíûé çàðÿä, ïðîòåêøèé ÷åðåç êàòóøêó, è âûäåëèâøååñÿ â íåé êîëè÷åñòâî òåïëîòû. Ñîïðîòèâëåíèå ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäîâ î÷åíü Ðèñ. 4 ìàëî, ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäà, êîòîðûì íàìîòàíà êàòóøêà, ñ÷èòàòü íåáîëüøèì. Ð.Ñòàðîâ

Ô2020. Êðûëî àèñòà èìååò ïîïåðå÷íóþ ïëîùàäü 2 ì 2 , îíî äâèæåòñÿ âíèç ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ 2 ì/ñ â òå÷åíèå èíòåðâàëà âðåìåíè 0,2 ñ è ñòîëüêî æå âðåìåíè – ââåðõ. Ìîæåò ëè àèñò ïðè ñîáñòâåííîé ìàññå 2 êã ëåòåòü íà ïîñòîÿííîé âûñîòå ñ ãðóçîì ìàññîé 3 êã? Äëÿ òåõ, êòî íå âèäåë àèñòà: ó íåãî ðîâíî äâà êðûëà. À.Ïòèöûí Ô2021.  ãëóáèíàõ êîñìîñà, âäàëè îò âñåõ äðóãèõ òåë, ëåòàåò æèäêàÿ ïëàíåòà èç ðòóòè – îãðîìíûé îäíîðîäíûé øàð. Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû ñîñòàâëÿåò 1000 ì ñ2 . Ñòàëüíîé øàðèê îáúåìîì 1 ñì3 íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè òðåòè ðàäèóñà ïëàíåòû îò åå öåíòðà. Íàéäèòå ïîëíóþ ñèëó, êîòîðàÿ äåéñòâóåò íà øàðèê. Ïëîòíîñòü ðòóòè 13,6 ã cì3 , ïëîòíîñòü ñòàëè 7,8 ã cì3 . Ç.Øàðèêîâ

Ô2026. Äëÿ çàäåðæêè âî âðåìåíè çâóêîâûõ ñèãíàëîâ â ïðåæíèå ãîäû ÷àñòî èñïîëüçîâàëè ìàññèâíóþ ïðóæèíó, âäîëü êîòîðîé ðàñïðîñòðàíÿëàñü óïðóãàÿ âîëíà. Èòàê, äëèííàÿ îäíîðîäíàÿ ïðóæèíà ëåæèò íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå. Çà îäèí êîíåö ïðóæèíó íà÷èíàþò ðàñòÿãèâàòü, ïðè ýòîì åå äëèíà óâåëè÷èâàåòñÿ çà 1 ñ íà 5 ñì. ×åðåç êàêîå âðåìÿ óïðóãàÿ âîëíà äîáåæèò äî âòîðîãî êîíöà ïðóæèíû? Äëèíà âñåé ïðóæèíû 5 ì, ïîëíàÿ åå ìàññà 2 êã, à æåñòêîñòü 100 Í/ì. Ð.Àëåêñàíäðîâ


ÇÀÄÀ×ÍÈÊ

Ô2027. Äíî î÷åíü óçêîãî è ãëóáîêîãî êîëîäöà êâàäðàòíîãî ñå÷åíèÿ îñâåùàþò ïîäâåøåííîé íà óðîâíå çåìëè ìàëåíüêîé ëàìïî÷êîé, ðàâíîóäàëåííîé îò åãî ñòåíîê. Ñòåíêè êîëîäöà çåðêàëüíûå, íî ïîêðûòû òîíêèì ðîâíûì ñëîåì ïûëè, òàê ÷òî îòðàæàåòñÿ òîëüêî 98% ýíåðãèè ïàäàþùåãî ñâåòà. Âî ñêîëüêî ðàç òåìíåå ñòàíåò â öåíòðå äíà êîëîäöà, êîãäà ïûëè ñî âðåìåíåì ñòàíåò â 2 ðàçà áîëüøå? Å.Àíòûøåâ

Ðåøåíèÿ çàäà÷ Ì1991 – Ì1995, Ô2003 – Ô2012 M1991. Èìååòñÿ 6 ìîíåò, îäíà èç êîòîðûõ ôàëüøèâàÿ (îíà îòëè÷àåòñÿ ïî âåñó îò íàñòîÿùåé, íî åå âåñ, êàê è âåñ íàñòîÿùåé ìîíåòû, íåèçâåñòåí). Êàê çà 3 âçâåøèâàíèÿ ñ ïîìîùüþ âåñîâ, ïîêàçûâàþùèõ îáùèé âåñ âçâåøèâàåìûõ ìîíåò, íàéòè ôàëüøèâóþ ìîíåòó? Ïðèâåäåì îäèí èç âîçìîæíûõ àëãîðèòìîâ. Îáîçíà÷èì âåñà ìîíåò a, b, c, d, e, f. Ïåðâûìè äâóìÿ âçâåøèâàíèÿìè âçâåñèì X = a + b è Y = c + d. Åñëè X = Y, òî ôàëüøèâàÿ ìîíåòà e èëè f. Âçâåøèâàåì e. Åñëè e = X/2, òî f – ôàëüøèâàÿ, èíà÷å – ôàëüøèâàÿ e. Åñëè X > Y, òî e è f íàñòîÿùèå. Âçâåøèâàåì Z = = a + c + e. Åñëè a ôàëüøèâàÿ, òî äîëæíî áûòü c+d Y = X + ; åñëè b ôàëüøèZ = a + b + c = ( a + b) + 2 2 3Y âàÿ, òî Z = 3c = ; åñëè c ôàëüøèâàÿ, òî 2 a+b X + ( c + d) = + Y ; åñëè d ôàëüZ=a+c+d= 2 2 3X øèâàÿ, òî Z = 3a = . 2 3X 3Y Y X Òàê êàê , òî äëÿ Z âûïîëíå>X+ > +Y > 2 2 2 2 3Y Y íî ðîâíî îäíî èç ðàâåíñòâ Z = X + , Z = , 2 2 X 3X +Y, Z = Z= . Ïî ýòîìó ðàâåíñòâó îäíîçíà÷íî 2 2 íàõîäèì ôàëüøèâóþ ìîíåòó. Ñëó÷àé X < Y àíàëîãè÷åí ðàññìîòðåííîìó. Ì.Ìàëêèí M1992. Íà ïëîñêîñòè ëåæàë êóá. Åãî ïåðåêàòèëè íåñêîëüêî ðàç ÷åðåç ðåáðà òàê, ÷òî êóá ñíîâà îêàçàëñÿ íà èñõîäíîì ìåñòå òîé æå ãðàíüþ ââåðõ. Ìîãëà ëè ïðè ýòîì âåðõíÿÿ ãðàíü ïîâåðíóòüñÿ íà 90° ãðàäóñîâ îòíîñèòåëüíî ñâîåãî íà÷àëüíîãî ïîëîæåíèÿ? Îòâåò: íåò. Ðàñêðàñèì âåðøèíû êóáà â êðàñíûé è ñèíèé öâåòà òàê, ÷òîáû ñîñåäíèå âåðøèíû èìåëè ðàçíûå öâåòà. Ðàçîáüåì ïëîñêîñòü íà êëåòêè òàê, ÷òîáû ãðàíü êóáà áûëà îäíîé èç êëåòîê. Çàòåì ðàñêðàñèì âñå âåðøèíû êëåòîê â øàõìàòíîì ïîðÿäêå – òàê, ÷òîáû âåðøèíû êóáà ñòîÿëè íà òî÷êàõ ïëîñêîñòè òåõ æå öâåòîâ (ñì. ðèñóíîê). Òîãäà ïðè ëþáîì ïåðåêàòûâàíèè êóáà âåðøèíû åãî íèæíåé ãðàíè

«ÊÂÀÍÒÀ»

%

áóäóò ñîâìåùàòüñÿ ñ òî÷êàìè òåõ æå öâåòîâ. Îäíàêî åñëè áû âåðõíÿÿ (à çíà÷èò, è íèæíÿÿ) ãðàíü ïîâåðíóëàñü íà 90°, òî êðàñíûå òî÷êè ñîâìåñòèëèñü áû ñ ñèíèìè – ïðîòèâîðå÷èå. È.Áîãäàíîâ Ì1993. Ïóñòü H – òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò òðåóãîëüíèêà ABC, à X – ïðîèçâîëüíàÿ òî÷êà, íå ëåæàùàÿ íà ïðÿìûõ AH, BH, CH. Îêðóæíîñòü ñ äèàìåòðîì XH âòîðè÷íî ïåðåñåêàåò ïðÿìûå AH, BH, CH â òî÷êàõ A1 , B1 , C1 , à ïðÿìûå AX, BX, CX – â òî÷êàõ A2 , B2 , C2 ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìûå A1 A2 , B1B2 , C1C2 ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå (èëè ïàðàëëåëüíû). Âîñïîëüçóåìñÿ ñëåäóþùèì ôàêòîì: åñëè îòðàçèòü ïðÿìûå AX, BX, CX ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî áèññåêòðèñ óãëîâ A, B, C ñîîòâåòñòâåííî, òî ïîëó÷åííûå ïðÿìûå AA¢ , BB¢ , CC¢ ïåðåñåêóòñÿ â îäíîé òî÷êå X ¢ èëè áóäóò ïàðàëëåëü- Ðèñ. 1 íû (ðèñ.1). (Ýòî ñëåäóåò, íàïðèìåð, èç òåîðåìû ×åâû, çàïèñàííîé â ñèíóñàõ; òî÷êè X è X¢ íàçûâàþòñÿ èçîãîíàëüíî ñîïðÿæåííûìè.) Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ñëó÷àé, êîãäà òî÷êè ðàñïîëîæåíû íà îêðóæíîñòè â ïîðÿäêå A1B2C1 A2 B1C2 (ðèñ. 2). (Äîêàçàòåëüñòâî äëÿ ëþáîãî ðàñïîëîæåíèÿ òî÷åê ïîëó÷àåòñÿ, åñëè ðàâåíñòâà óãëîâ çàìåíèòü íà ðàâåíñòâà îðèåíòèðîâàííûõ óãëîâ, ò.å. óãëîâ, îòñ÷èòûâàåìûõ îò ïðÿìîé äî ïðÿìîé ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè.) Èç ïåðïåíäèêóëÿðíîñòåé HA1 ^ BC è HC1 ^ AB è ñâîéñòâà âïèñàííûõ óãëîâ âûòåêàåò, ÷òî ÐCBA = ÐA1HC1 = = ÐA1B1C1 . ÀíàëîÐBAC = ãè÷íî, = ÐC1 A1B1 . Çíà÷èò, òðåóãîëüíèêè ABC è A1B1C1 ïîäîáíû (è ï ð î ò è â î ï î ë î æ í î Ðèñ. 2 îðèåíòèðîâàíû). Ïîñêîëüêó XH – äèàìåòð, òî HB2 ^ XB2 ; îòñþäà ÐB ¢BA = ÐCBX = ÐA1HB2 = ÐA1B1B2 . Ïîëó÷åííîå ðàâåíñòâî óãëîâ îçíà÷àåò, ÷òî ïðè ïðåîáðàçîâàíèè ïîäîáèÿ, ïåðåâîäÿùåì òðåóãîëüíèê ABC â òðåóãîëüíèê A1B1C1 , ïðÿìàÿ BB¢ ïåðåéäåò â ïðÿìóþ B1B2 . Àíàëîãè÷íîå óòâåðæäåíèå ñïðàâåäëèâî è äëÿ ïðÿìûõ


&

ÊÂÀÍT 2006/¹5

A1 A2 è C1C2 . Òàê êàê ïðÿìûå AA¢ , BB¢ è CC¢ ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå èëè ïàðàëëåëüíû, òî ïðÿìûå A1 A2 , B1B2 è C1C2 òàêæå ïåðåñåêàþòñÿ â îäíîé òî÷êå èëè ïàðàëëåëüíû. À.Çàñëàâñêèé, Ï.Êîæåâíèêîâ

M1994. à)  ìåøêå èçþìà ñîäåðæèòñÿ 2001 èçþìèíêà îáùèì âåñîì 1001 ã, ïðè÷åì íè îäíà èçþìèíêà íå âåñèò áîëüøå 1,001 ã. Äîêàæèòå, ÷òî âåñü èçþì ìîæíî ðàçëîæèòü íà äâå ÷àøè âåñîâ òàê, ÷òîáû âåñû ïîêàçàëè ðàçíîñòü, íå ïðåâîñõîäÿùóþ 1 ã. á)  ìåøêå èçþìà ñîäåðæèòñÿ 2001 èçþìèíêà îáùèì âåñîì 1001 ã, ïðè÷åì íè îäíà èçþìèíêà íå âåñèò áîëüøå (1 + x) ã. Ïðè êàêîì íàèáîëüøåì çíà÷åíèè x çàâåäîìî ìîæíî ðàçëîæèòü âåñü èçþì íà äâå ÷àøè âåñîâ òàê, ÷òîáû âåñû ïîêàçàëè ðàçíîñòü, íå ïðåâîñõîäÿùóþ 1 ã? Èç ïóíêòà á) âûòåêàåò ïóíêò à), ïîýòîìó äîñòàòî÷íî ðåøèòü á). á) Îòâåò: ïðè x = 0,002 ã. Ïóñòü x > 0,002 ã. Îáîçíà÷èì ÷åðåç ε ìåíüøåå èç ÷èñåë x è 0,002001. Ïóñòü â ìåøêå 999 èçþìèíîê âåñîì ( 1 + ε ) 㠖 íàçîâåì ýòè èçþìèíêè áîëüøèìè, à îñòàâøèéñÿ âåñ ðàñïðåäåëåí ìåæäó îñòàëüíûìè èçþìèíêàìè ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì (ñóììàðíûé âåñ áîëüøèõ èçþìèíîê íå áîëüøå ÷åì 1,002001 × 999 < 1001 ). Òîãäà ïðè ëþáîì ðàñïðåäåëåíèè èçþìà ïî ÷àøêàì íà îäíîé èç íèõ áóäåò õîòÿ áû 500 áîëüøèõ èçþìèíîê ñ ñóììàðíûì âåñîì 500 1 + ε ã > 500 × 1,002 ã = 501 ã . Òîãäà íà äðóãîé ÷àøå âåñ áóäåò ìåíüøå ÷åì 1001 㠖 501 ã = = 500 ã, è ðàçíîñòü âåñîâ áóäåò áîëüøå 1 ã. Òåïåðü äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî ïðè x = 0,002 ã òðåáóåìîå ðàñïðåäåëåíèå âåñîâ âîçìîæíî. Íàçîâåì èçþìèíêó âåñîìîé, åñëè îíà âåñèò áîëüøå 1 ã. Îñòàëüíûå èçþìèíêè íàçîâåì íåâåñîìûìè. Âîçìîæíû äâà ñëó÷àÿ. 1) Êîëè÷åñòâî âåñîìûõ èçþìèíîê n ÷åòíî: n = 2k. Òîãäà k £ 500 , èíà÷å îáùèé âåñ áûë áû íå ìåíüøå 1002 ã.  ýòîì ñëó÷àå ðàçëîæèì èõ íà ÷àøêè òàê, ÷òîáû íà êàæäîé ÷àøêå ëåæàëî ïî k âåñîìûõ èçþìèíîê. Òîãäà âåñ èçþìà íà êàæäîé ÷àøêå áóäåò íå ìåíüøå k ã è íå áîëüøå 1,002k ã = k + 0,002k ã £ k + 1 ã . Òàêèì îáðàçîì, ðàçíèöà âåñîâ íà ÷àøêàõ íà äàííûé ìîìåíò íå áîëüøå 1 ã. Áóäåì áðàòü ïî î÷åðåäè êàæäóþ èç îñòàëüíûõ èçþìèíîê è êëàñòü åå íà ÷àøêó, âåñ êîòîðîé íå áîëüøå âåñà äðóãîé. Òàê êàê íàøà èçþìèíêà íå òÿæåëåå 1 ã, òî ýòà ÷àøêà ëèáî íå ïåðåâåñèò (è ðàçíîñòü âåñîâ óìåíüøèòñÿ), ëèáî ñòàíåò òÿæåëåå äðóãîé íå áîëåå ÷åì íà 1 ã. Òàêèì îáðàçîì ìû ðàçëîæèì âñå îñòàëüíûå èçþìèíêè è ïîëó÷èì íóæíîå ðàñïðåäåëåíèå. 2) Êîëè÷åñòâî âåñîìûõ èçþìèíîê íå÷åòíî: n = 2k + 1.  ýòîì ñëó÷àå k £ 499 , èíà÷å âåñ èçþìà áîëüøå 1001 ã. Ïîýòîìó îáùèé âåñ âåñîìûõ èçþìèíîê íå áîëüøå 1,002 2k + 1 ã £ 1,002 × 999 ã = 1000,998 ã , ñëåäîâàòåëüíî, ñóììàðíûé âåñ îñòàëüíûõ íå ìåíüøå 0,002 ã. Îòëîæèì â ñòîðîíó îäíó íåâåñîìóþ èçþìèíêó. Åñëè åå âåñ ìåíüøå 0,002 ã, òî äîáàâèì ê íåé åùå îäíó íåâåñîìóþ. Áóäåì ïðîäîëæàòü ýòîò ïðîöåññ, ïîêà ñóììàðíûé âåñ îòëîæåííûõ íåâåñîìûõ èçþìèíîê ìåíüøå 0,002 ã.  ðåçóëüòàòå ñóììàðíûé âåñ îòëîæåííûõ áóäåò íå

ìåíüøå 0,002 ã è íå áîëüøå 1,002 ã. Òàêæå îòëîæèì â ñòîðîíó îäíó âåñîìóþ èçþìèíêó. Îñòàëüíûå èçþìèíêè ïî ïðåäûäóùåìó ïóíêòó ðàçëîæèì íà äâå ÷àøêè òàê, ÷òîáû ðàçíîñòü âåñîâ íà ÷àøêàõ íå ïðåâîñõîäèëà 1 ã. Òåïåðü ðàññìîòðèì äâå ãðóïïû èçþìèíîê: îòëîæåííóþ ãðóïïó íåâåñîìûõ è îäíó îòëîæåííóþ âåñîìóþ. Ðàçíîñòü âåñîâ ýòèõ ãðóïï íå áîëüøå 1 ã. Ïîëîæèì áîëåå òÿæåëóþ èç íèõ íà ëåãêóþ ÷àøêó âåñîâ, à áîëåå ëåãêóþ – íà òÿæåëóþ. Òîãäà ðàçíîñòü âåñîâ íà ÷àøêàõ îñòàëàñü íå áîëüøå 1 ã. È.Áîãäàíîâ M1995*. Äîêàæèòå, ÷òî óðàâíåíèå 2

n  n + 1  n + 2   n + 3 = m  m + 1 m + 2

3

 m + 3 4

íå èìååò ðåøåíèé â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ. Âíà÷àëå äîêàæåì ëåììó: Ïóñòü a – íàòóðàëüíîå ÷èñëî, áîëüøåå 1, à x – òàêîå öåëîå íåîòðèöàòåëüíîå ÷èñëî, ÷òî a2 - 1 x 2 + 1 ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì öåëîãî ÷èñëà. Òîãäà x ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } , êîòîðàÿ çàäàåòñÿ ïðàâèëîì: x0 = 0 , x1 = 1 , xk + 2 = 2axk +1 - xk ïðè k ³ 0 . Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü a2 - 1 x 2 + 1 = y2 äëÿ íàòó-









2

2

ðàëüíîãî y, x ³ 1 . Òàê êàê y = (ax ) - x2 + 1 £ (ax ) , òî ìîæíî ïîëîæèòü y = ax – t, ãäå t ³ 0 . Ïîñëå çàìåíû ïîëó÷àåì 2

x2 + t2 - 2axt - 1 = 0 .

(*)

Äîêàæåì, ÷òî åñëè ïàðà öåëûõ íåîòðèöàòåëüíûõ ÷èñåë x è t óäîâëåòâîðÿåò ( * ), òî x è t – ïîñëåäîâàòåëüíûå ÷ëåíû ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xn } . Ïóñòü ýòî íå òàê äëÿ íåêîòîðûõ x = p, t = q, ïðè÷åì p è q ñðåäè âñåõ òàêèõ ïàð âûáåðåì ñ ìèíèìàëüíîé ñóììîé p + q. Î÷åâèäíî, p ¹ q . Ïóñòü äëÿ îïðåäåëåííîñòè p > q. Åñëè q = 0, òî p = 1, òîãäà q = x0 è p = x1 – ïðîòèâîðå÷èå. Ñ÷èòàåì äàëåå, ÷òî q ³ 1 . Ïîëîæèì f ( x ) = x2 - 2aqx + q2 - 1 . Èìååì f  p = 0 ,

f q = 2q2 - 2aq2 - 1 < 0 , ïîýòîìó f ( x ) èìååò âòîðîé êîðåíü p1 òàêîé, ÷òî p1 < q < p . Èç òåîðåìû Âèåòà p + p1 = 2aq , îòêóäà p1 – öåëîå è pp1 = q2 - 1 , çíà÷èò, p1 íåîòðèöàòåëüíî. Ïàðà  p1, q óäîâëåòâîðÿåò ( * ), ïðè÷åì p1 + q < q + p , è ïî íàøåìó ïðåäïîëîæåíèþ íàéäåòñÿ òàêîé íîìåð l, ÷òî p1 = xl è q = xl +1 . Íî òîãäà p = 2aq - p1 = 2axl +1 - xl = xl +2 , ò.å. p è q – òîæå ïàðà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷ëåíîâ ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {xk } – ïðîòèâîðå÷èå. Ëåììà äîêàçàíà. Ïåðåéäåì ê ðåøåíèþ çàäà÷è. Äîïóñòèì, m è n óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèþ çàäà÷è. Èìååì n (n + 1)(n + 2) (n + 3) =





 



2

= n2 + 3n n2 + 3n + 2 = n2 + 3n + 1 - 1 , ïîýòîìó 2

3

4

m (m + 1) (m + 2) (m + 3) + 1 =



= m m + 2 m + 1  m + 2 m + 3

 +1=

2 2


ÇÀÄÀ×ÍÈÊ

=

(m + 1 - 1) (m + 1 m + 2 m + 3 )

2 2

2

+1

ÿâëÿåòñÿ òî÷íûì êâàäðàòîì. Ïîëîæèâ a = m + 1, èç 2 ëåììû ïîëó÷àåì, ÷òî ÷èñëî (m + 1) (m + 2)(m + 3) ÿâëÿåòñÿ ÷ëåíîì ïîñëåäîâàòåëüíîñòè x0 = 0 , x1 = 1 , xk +2 = (2m + 2) xk +1 - xk ïðè k ³ 0 . Ëåãêî ïðîâåðèòü ïî èíäóêöèè, ÷òî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè îñòàòêîâ ÷èñåë x0 , x1, x2 ,K ïðè äåëåíèè íà 2m + 1 è íà 2m + 3 ïåðèîäè÷íû ñ ïåðèîäàìè (0, 1, 1, 0, –1, –1) è (0, 1, –1, 0, 1, –1) ñîîòâåòñòâåííî. Ñëåäîâàòåëüíî, xk ìîæåò äàâàòü ïðè äåëåíèè íà 2m + 1 è íà 2m + 3 ëèøü îäèí èç îñòàòêîâ 0, ±1 . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íàéäåòñÿ òàêîé 2 íîìåð l, ÷òî xl = (m + 1) (m + 2)(m + 3) . Òîãäà 2

16 xl = (2m + 2)(2m + 4) (2m + 6) =

=

((2m + 1) + 1) ((2m + 1) + 3) ((2m + 1) + 5)2 = = (2m + 1) s + 3 × 52 = (2m + 1) s + 75

äîëæíî äàâàòü îäèí èç îñòàòêîâ 0, ±16 ïðè äåëåíèè íà 2m + 1. Ïîýòîìó îäíî èç ÷èñåë 75, 75 – 16 = 59, 75 + + 16 = 91 äîëæíî äåëèòüñÿ íà 2m + 1. Àíàëîãè÷íî, 2

16 xl = (2m + 2)(2m + 4) (2m + 6) =

=

((2m + 3) - 1) ((2m + 3) + 1) ((2m + 3) + 3)2 = = (2m + 3) s - 9 ,

ïîýòîìó ïîëó÷àåì, ÷òî îäíî èç ÷èñåë 9, 9 + 16 = 25, |9 – 16| = 7 äîëæíî äåëèòüñÿ íà 2m + 3. Äëÿ m îñòàþòñÿ 3 âîçìîæíîñòè: 1, 2, 3. Ïðè m = 1 èìååì (m + 1) (m + 2)(m + 3)2 = 96 , à ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xk } èìååò âèä x0 = 0 , x1 = 1 , x2 = 4 , x3 = 15 , x4 = 56 , xk > 96 ïðè k ³ 5 ; ïðè m = 2 èìååì (m + 1) (m + 2)(m + 3)2 = 300 , à ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xk } èìååò âèä x0 = 0 , x1 = 1 , x2 = 6 , x3 = 35 , x4 = 204 , xk > 300 ïðè k ³ 5 ;

ïðè m = 3 èìååì (m + 1) (m + 2)(m + 3)2 = 720 , à ñîîòâåòñòâóþùàÿ ïîñëåäîâàòåëüíîñòü {xk } èìååò âèä x0 = 0 , x1 = 1 , x2 = 8 , x3 = 63 , x4 = 496 , xk > 720 ïðè k ³ 5 . Çàìå÷àíèå. Îáðàòíîå óòâåðæäåíèå ëåììû òîæå âåðíî, ò.å. â ôîðìóëèðîâêå ëåììû îïèñûâàþòñÿ âñå ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ x2 a2 - 1 + 1 = y2 . Äðóãîå äîêàçàòåëüñòâî ëåììû ìîæíî ïîëó÷èòü, åñëè ðàññìàòðèâàòü ýòî óðàâíåíèå êàê óðàâíåíèå Ïåëëÿ è èñïîëüçîâàòü òîò ôàêò, ÷òî âñå åãî ðåøåíèÿ  x, y ÿâëÿþòñÿ ÷ëåíàìè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè öåëûõ  xk , yk  , çàäàâàåìûõ ðàâåíñòâîì



a

2



-1 +1

k



= xk a2 - 1 + yk , k ³ 0 .

À.Èâàíîâ

Ô2003. Òîíêîå âåëîñèïåäíîå êîëåñî ðàñêðóòèëè âîêðóã åãî îñè, óäåðæèâàÿ åå íåïîäâèæíîé. Ïðè ýòîì ïðèøëîñü ñîâåðøèòü ðàáîòó À è âñÿ ýòà ðàáîòà ïîøëà íà óâåëè÷åíèå ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè êîëåñà. Êîëåñî îñòîðîæíî ïîñòàâèëè íà ãîðèçîíòàëüíóþ ïîâåðõíîñòü òåëåæêè òàêîé æå ìàññû, êîòîðàÿ ìî-

'

«ÊÂÀÍÒÀ»

æåò ñâîáîäíî äâèãàòüñÿ ïî ãëàäêîìó ãîðèçîíòàëüíîìó ñòîëó. Êàêîå ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû ìîæåò âûäåëèòüñÿ â ñèñòåìå, ïîêà êîëåñî íå ïîêèíåò òåëåæêó? Êîëåñî âî âðåìÿ äâèæåíèÿ îñòàåòñÿ âåðòèêàëüíûì. Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ êîëåñà ïîñëå ñîâåðøåíèÿ ðàáîòû À ðàâíà 1 A = Mω20 R2 , 2 ãäå Ì ìàññà, ω0 – íà÷àëüíàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü, R – ðàäèóñ êîëåñà. Íà äîñòàòî÷íî äëèííîé òåëåæêå êîëåñî ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ áóäåò äâèãàòüñÿ áåç ïðîñêàëüçûâàíèÿ, è ñ ýòîãî ìîìåíòà âûäåëåíèå òåïëà ïðåêðàòèòñÿ. ßñíî, ÷òî ìàêñèìàëüíîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèòñÿ èìåííî â ýòîì ñëó÷àå. À äî ìîìåíòà ïðåêðàùåíèÿ ïðîñêàëüçûâàíèÿ íà êîëåñî äåéñòâóåò ñèëà òðåíèÿ Fòð = μMg ,

è äëÿ âðàùàþùåãîñÿ êîëåñà óðàâíåíèå äâèæåíèÿ âûãëÿäèò òàê (ñì. ðèñóíîê): μg Δω Δt . , èëè Δω = Fòð × R = - MR2 × R Δt Óñêîðåíèå îñè êîëåñà íàïðàâëåíî âïðàâî è ðàâíî a = μg , îòêóäà ïîëó÷àåì Δv = aΔt = μgΔt = - ΔωR .

Óñêîðåíèå òåëåæêè (ïðè ðàâåíñòâå ìàññ) òàêîå æå ïî âåëè÷èíå, íî íàïðàâëåíî âëåâî. Óñëîâèå ïðåêðàùåíèÿ ïðîñêàëüçûâàíèÿ çàïèøåì â âèäå Rω1 = 2v . Òîãäà ïîëó÷àåì 2 Rω1 = 2R  ω0 - ω1  , è ω1 = ω0 . 3  ýòîò ìîìåíò ñêîðîñòè òåëåæêè è îñè êîëåñà îäèíàêî1 âû è ðàâíû Rω0 . Çàïèøåì òåïåðü áàëàíñ ýíåðãèé: 3 2 2 M  Rω0 3 1 æ2 ö +Q, A = M ç ω0 ÷ R2 + 2 è3 ø 2 2 îòêóäà íàéäåì âûäåëèâøååñÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû:

Q=

1 A. 3

À.Ñëîæíîâ

Ô2004. Íà ãëàäêîì ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå íàõîäèòñÿ òåëåæêà ìàññîé 3 êã, íà åå ïîâåðõíîñòè ëåæèò î÷åíü ëåãêèé ëèñò áóìàãè, íà íåì – ãðóç ìàññîé 1 êã. Ëèñò áóìàãè òÿíóò â ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèè ñèëîé 10 Í. Ñ êàêèì óñêîðåíèåì äâèæåòñÿ ýòîò ëèñò, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó áóìàãîé è êàæäûì èç òåë ñîñòàâëÿåò 0,7? Íà òåëåæêó è íà ãðóç (ñì. ðèñóíîê) äåéñòâóþò âïðàâî ñèëû òðåíèÿ ñî ñòîðîíû ëèñòà áóìàãè. Îíè áûëè áû




ÊÂÀÍT 2006/¹5

îäèíàêîâû â ñëó÷àå, êîãäà ëèñò ïðîñêàëüçûâàåò îòíîñèòåëüíî îáîèõ òåë, íî â íàøåì ñëó÷àå ýòî íå òàê. Ðàç-

áåðåìñÿ ñ ïðîñêàëüçûâàíèåì. Ïðè ìàëîé âåëè÷èíå F òåëà åäóò âìåñòå, èõ óñêîðåíèÿ îäèíàêîâû è ðàâíû a =

F . M+m

Ïðè óâåëè÷åíèè ñèëû F áîëåå òÿæåëàÿ (Ì = 3m) òåëåæêà íà÷íåò îòñòàâàòü, åå ìàêñèìàëüíîå óñêîðåíèå ïîä äåéñòâèåì ñèëû òðåíèÿ Fòð = μmg ñîñòàâèò a0 =

μmg 1 = μg . M 3

Ýòî ïðîèçîéäåò ïðè âåëè÷èíå äåéñòâóþùåé ñèëû

1 28 F0 = ( M + m) × μg = H. 3 3 Ïðè F = 10 H > F0 òåëåæêà ïðîñêàëüçûâàåò, ñèëà òðåíèÿ ìåæäó ëèñòîì è òåëåæêîé ñîñòàâëÿåò 7 Í. Íî ëèñò ëåãêèé, ïîýòîìó ñóììà äåéñòâóþùèõ íà íåãî ñèë äîëæíà áûòü íóëåâîé. Çíà÷èò, íà ãðóç äåéñòâóåò ñèëà F1 = 10 H – 7 H = 3 Í, è åãî óñêîðåíèå ñîñòàâëÿåò a1 = 3 ì ñ2 . Ëèñò èìååò òàêîå æå óñêîðåíèå, ò.å. 3 ì ñ2 . Êñòàòè, åñëè çàäàòü â óñëîâèè F > 14 Í, òî íåëüçÿ áóäåò ñ÷èòàòü ìàññó ëèñòà íóëåâîé! À.Ñòàðîâ Ô2005. ×åðåç ëåãêèé áëîê, çàêðåïëåííûé íà áîëüøîé âûñîòå íàä ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòüþ çåìëè, ïåðåáðîøåíà ãèáêàÿ âåðåâêà. Êîíöû âåðåâêè ñëîæåíû âíèçó äâóìÿ «áóõòàìè», êîòîðûå íå ïðåïÿòñòâóþò äâèæåíèþ. Ñ îäíîé ñòîðîíû áëîêà çà âåðåâêó óõâàòèëñÿ ÷åëîâåê ìàññîé Ì = 60 êã, êîòîðûé áûñòðî ïåðåáèðàåò ðóêàìè, ñòàðàÿñü âèñåòü íà îäíîé âûñîòå íàä çåìëåé. Ïðè íåêîòîðîé óñòàíîâèâøåéñÿ ñêîðîñòè äâèæåíèÿ âåðåâêè ýòî åìó óäàåòñÿ. Íàéäèòå ýòó ñêîðîñòü. Ìàññà îäíîãî ìåòðà âåðåâêè ρ = 2 êã ì . Óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ ñ÷èòàòü ðàâíûì g = 10 ì ñ 2 . Òðåíèå â áëîêå îòñóòñòâóåò. Ñëåâà íà âåðåâêó (ñì. ðèñóíîê) äåéñòâóåò äîïîëíèòåëüíàÿ ñèëà F = Mg, èìåííî ýòà ñèëà «âîâëåêàåò» â äâèæåíèå âñå íîâûå êóñêè âåðåâêè. Ïðè óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå ìàññà âåðåâêè, âîâëå÷åííîé â äâèæåíèå çà âðåìÿ Δt , áóäåò ðàâíà Δm = ρvóñò Δt . Èçìåíåíèå èìïóëüñà çà ýòî âðåìÿ ñîñòàâèò Δmvóñò . Òîãäà çàïèøåì 2 MgΔt = Δmvóñò = ρvóñò Δt ,

îòêóäà è íàéäåì óñòàíîâèâøóþñÿ ñêîðîñòü: Mg » 17 ì ñ . vóñò = ρ À.Ïîâòîðîâ

Ô2006. Òåïëîèçîëèðîâàííûé ñîñóä, ñîäåðæàùèé ãåëèé ïðè òåìïåðàòóðå T0 = 30 Ê äâèæåòñÿ ñî ñêîðîñòüþ v = 1000 ì/ñ. Êàêîé ñòàíåò òåìïåðàòóðà ãàçà â ñîñóäå ÷åðåç íåêîòîðîå âðåìÿ ïîñëå ðåçêîé îñòàíîâêè ñîñóäà? Òåïëîîáìåíîì ãàçà ñî ñòåíêàìè ñîñóäà ïðåíåáðå÷ü. Ìîëü ãåëèÿ èìååò ìàññó m = 4 ã. Ïðîåêöèè ñêîðîñòåé ìîëåêóë ãàçà íà îñè êîîðäèíàò vx , vy , vz â ñèñòåìå îòñ÷åòà, ñâÿçàííîé ñ äâèæóùèìñÿ ñîñóäîì, ñîîòâåòñòâóþò òåìïåðàòóðå T0 . Ïîñëå îñòàíîâêè ñîñóäà íóæíî ðàññìîòðåòü äâèæåíèå ìîëåêóë â íîâîé, íåïîäâèæíîé, ñèñòåìå îòñ÷åòà: * vx* = v + vx , vy = vy , vz* = vz .

Ýíåðãèÿ îäíîé ìîëåêóëû ñîñòàâèò, â ñðåäíåì, m0 *2 m 2 vx + vy*2 + vz*2 = 0 æ v + vx  + vy2 + vz2 ö = ø 2 è 2





=





m0 2 m0 2 v + vx + vy2 + vz2 + m0vvx . 2 2

Ïîñëåäíåå ñëàãàåìîå ðàâíî íóëþ (vx = 0 ) , ïîýòîìó ñðåäíÿÿ êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ìîëåêóëû ñîñòàâèò ε=

m0v2 3 + kT0 . 2 2

Ïîñëå õàîòèçàöèè äâèæåíèÿ ÷àñòèö â ñîñóäå ìîæíî áóäåò ãîâîðèòü î òåìïåðàòóðå T1 òàêîé, ÷òî m v2 3 3 kT1 = 0 + kT0 . 2 2 2

Óäîáíî ðàññìîòðåòü îäèí ìîëü ãàçà, òîãäà ïîëó÷èì T1 = T0 +

1 Μ v2 » 190 Ê , 3 R

ãäå Μ = 4 ã ìîëü – ìîëÿðíàÿ ìàññà ãåëèÿ, R = 8,3 Äæ (ìîëü × Ê ) – óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ïîñòîÿííàÿ. À.Ñòàðîâ Ô2007.  öèëèíäðå ïîä ïîðøíåì íàõîäèòñÿ ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ ïîðöèÿ ãåëèÿ â êîëè÷åñòâå ν = 2 ìîëü . Åé ñîîáùàþò êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q = = 100 Äæ, ïðè ýòîì òåìïåðàòóðà ãåëèÿ óâåëè÷èâàåòñÿ íà ΔT = 10 Ê . Îöåíèòå èçìåíåíèå îáúåìà ãàçà, ñ÷èòàÿ åãî òåïëîåìêîñòü â ýòîì ïðîöåññå ïîñòîÿííîé.  óñëîâèè çàäà÷è ñêàçàíî ïðî ïîñòîÿííóþ òåïëîåìêîñòü – ýòî ñäåëàíî äëÿ òîãî, ÷òîáû èñêëþ÷èòü ýêçîòè÷åñêèå ïðîöåññû, â êîòîðûõ äàâëåíèå è òåìïåðàòóðà ïðè íåáîëüøèõ äîáàâêàõ ýíåðãèè ìîãóò î÷åíü ñèëüíî ìåíÿòüñÿ (âíà÷àëå â îäíó ñòîðîíó, ïîòîì â äðóãóþ). Ñ÷èòàÿ èçìåíåíèå óñëîâèé (äàâëåíèå, òåìïåðàòóðà) ìàëûìè – ìû ýòî åùå ïðîâåðèì, – ïîëó÷èì Q = pΔV + νCV ΔT ,

ãäå p = 105 Ïà – íîðìàëüíîå àòìîñôåðíîå äàâëåíèå, 3 CV = R – ìîëÿðíàÿ òåïëîåìêîñòü ãåëèÿ ïðè ïîñòîÿí2


ÇÀÄÀ×ÍÈÊ

íîì îáúåìå. Îòñþäà ïîëó÷àåì ΔV =

Q - νCV ΔT = -1,5 × 10 -3 ì3 . p

Èòàê, îáúåì óìåíüøàåòñÿ íà 1,5 ëèòðà. Ïî ñðàâíåíèþ ñ íà÷àëüíûì çíà÷åíèåì (ïðè íîðìàëüíûõ óñëîâèÿõ) 2 × 22,4 ë » 45 ë ýòî èçìåíåíèå è â ñàìîì äåëå íåâåëèêî. À.Ãàçîâ Ô2008. Çàêðåïëåííàÿ íåïîäâèæíî íåïðîâîäÿùàÿ òîíêîñòåííàÿ ñôåðà ìàññîé Ì ðàâíîìåðíî çàðÿæåíà ïî ïîâåðõíîñòè ïîëíûì çàðÿäîì Q. Èç íåå âûðåçàþò ìàëåíüêèé êóñî÷åê, ìàññà êîòîðîãî ðàâíà 1/10000 ìàññû ñôåðû, ñìèíàþò åãî â êðîøå÷íûé êîìî÷åê, ïîìåùàþò â öåíòð ñôåðû (çàðÿä êóñî÷êà ïðè ýòîì ñîõðàíÿåòñÿ) è îòïóñêàþò. Êàêàÿ ñêîðîñòü ó íåãî áóäåò íà áîëüøîì ðàññòîÿíèè îò ñôåðû? À êàêóþ ñêîðîñòü îí ïðèîáðåòåò ê ìîìåíòó âûëåòà èç ñôåðû? Ñèëû òÿæåñòè îòñóòñòâóþò. Êîìî÷åê ìîæíî ñ÷èòàòü òî÷å÷íûì çàðÿäîì q = = Q/10000 ñ ìàññîé m = M/10000. Åñëè êîìî÷åê îòïóñòèòü èç öåíòðà áåç íà÷àëüíîé ñêîðîñòè, îí íà÷íåò óñêîðÿòüñÿ êàê ðàç â ñòîðîíó äûðêè – ïîëå «èñïîð÷åííîé» ñôåðû âíóòðè óæå íå íóëåâîå. Ïðîùå âñåãî íàéòè ñêîðîñòü íà áåñêîíå÷íîñòè. Ïîòåíöèàë ïîëÿ ñôåðû, îáîçíà÷èì åå ðàäèóñ R, â öåíòðå ðàâåí ϕ=

Q-q , 4πε0 R

à ïîòåíöèàë íà áåñêîíå÷íîñòè – íóëåâîé. Òîãäà, ñîãëàñíî çàêîíó ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè, mv12 = qϕ1, 2

îòêóäà íàõîäèì ñêîðîñòü êîìî÷êà íà áåñêîíå÷íîñòè: v1 =

2qϕ » m

2 × Q × 10-4 × Q = 4πε0 R × M × 10-4

Q2 . 2πε0 RM

Ñëîæíåå îöåíèòü ñêîðîñòü ê ìîìåíòó âûëåòà èç ñôåðû. Âåðíåì íàçàä (ìûñëåííî!) âûðåçàííûé êóñî÷åê ïîâåðõíîñòè ñ çàðÿäîì q è îäíîâðåìåííî äîáàâèì òàêîé æå êóñî÷åê ñ çàðÿäîì –q. ßñíî, ÷òî ñèëû, äåéñòâóþùèå íà èíòåðåñóþùèé íàñ êîìî÷åê, îïðåäåëÿþòñÿ åãî âçàèìîäåéñòâèåì ñ äîáàâëåííûì êóñî÷êîì ñ çàðÿäîì –q. Âäàëè ýòîò êóñî÷åê íàïîìèíàåò òî÷å÷íûé çàðÿä –q, à ïðè ïîäëåòå ê íåìó îí ñòàíîâèòñÿ ïîõîæèì íà áåñêîíå÷íóþ çàðÿæåííóþ ïëîñêîñòü, ñîçäàþùóþ ïîëå σ Q = E1 = . 2ε0 8πε0 R2 Íà ãðàôèêå (ñì. ðèñóíîê) ïîêàçàíû ïîëå òî÷å÷íîãî çàðÿäà è ïîëå áåñêîíå÷íîé ïëîñêîñòè â çàâèñèìî-



«ÊÂÀÍÒÀ»

ñòè îò ðàññòîÿíèÿ x äî öåíòðà äûðêè. Áóäåì ñ÷èòàòü âçàèìîäåéñòâèå íà ó÷àñòêå îò R äî x1 ïî ïåðâîé èç çàâèñèìîñòåé, ò.å. ïî ìîäåëè òî÷å÷íîãî çàðÿäà, à íà ó÷àñòêå îò x1 äî íóëÿ – ïî ìîäåëè áåñêîíå÷íîé ïëîñêîñòè. Âíà÷àëå íàéäåì «òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ» x1 : Q × 10 -4 Q = , 2 4πε0 x1 8πε0 R2 îòêóäà x1 = 0,014 R .

Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ êîìî÷êà îïðåäåëÿåòñÿ ðàáîòîé ýëåêòðîñòàòè÷åñêèõ ñèë: mv22 = q Δϕ1 + Δϕ2  = 2 æ q ö q qQx1 q2 + E1x1 ÷ » + = qç . è 4πε0 x1 4πε0 R ø 4πε0 x1 8πε0 R2

Îòñþäà ïîëó÷àåì ñêîðîñòü êîìî÷êà íà âûëåòå èç ñôåðû: v2 »

v Q2 × 7 × 10-3 » 1 . 2πε0 RM 12

Âèäíî, ÷òî êîìî÷åê ñåðüåçíî íàáèðàåò ñêîðîñòü òîëüêî ïîñëå âûëåòà èç ñôåðû. È åùå – âàæíî, ÷òî ñôåðà íåïðîâîäÿùàÿ, èíà÷å ïðèøëîñü áû ó÷èòûâàòü ïåðåðàñïðåäåëåíèå çàðÿäîâ ïðè ïîäëåòå êîìî÷êà ê ïîâåðõíîñòè ñôåðû. Âïðî÷åì, íàëè÷èå äûðêè â ýòîì ìåñòå î÷åíü ñïîñîáñòâóåò óìåíüøåíèþ ýòîãî ýôôåêòà. À.Çèëüáåðìàí Ô2009. Ê èäåàëüíîé áàòàðåéêå ñ ÝÄÑ U0 = 1, 3   ïîäêëþ÷åíà ìîñòèêîâàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü, ñîáðàííàÿ èç òðåõ îäèíàêîâûõ âîëüòìåòðîâ è äâóõ îäèíàêîâûõ ìèëëèàìïåðìåòðîâ, ïðè÷åì îäèí èç ìèëëèàìïåðìåòðîâ âêëþ÷åí â äèàãîíàëü ìîñòèêà (ðèñ. 1). Èçâåñòíî, ÷òî ïîêàçàíèÿ ìèëëèàìïåðìåòðîâ îòëè÷àþòñÿ â 3 ðàçà. Îï- Ðèñ. 1 ðåäåëèòå ïîêàçàíèÿ êàæäîãî èç âîëüòìåòðîâ. Ñîïðîòèâëåíèå âîëüòìåòðà áîëüøå, ÷åì ó ìèëëèàìïåðìåòðà. Åñëè ñîïðîòèâëåíèå âîëüòìåòðà áîëüøå, ÷åì ñîïðîòèâëåíèå àìïåðìåòðà (ñëîâî «àìïåðìåò𻠖 êîðî÷å, ÷åì «ìèëëèàìïåðìåòð»), òî òîê ÷åðåç âåðõíèé àìïåðìåòð áîëüøå. Íà ðèñóíêå 2 ýòè òîêè îáîçíà÷åíû I è 3I. Ïóñòü ñîïðîòèâëåíèå àìïåðìåòðà r, à âîëüòìåòðà R. Íàïðÿæåíèÿ âîëüòìåòðîâ ñîñòàâëÿþò: âåðõíåãî U0 - r × 3I , íèæíåãî ñïðàâà r × 3I + I + r × I = 4rI , íèæíåãî ñëåâà U0 - 4rI . Òåïåðü çàïè- Ðèñ. 2


ÊÂÀÍT 2006/¹5

øåì ñîîòíîøåíèÿ äëÿ òîêîâ â âåðõíåì è íèæíåì óçëàõ: U0 - 3rI + I = 3I , R U0 - 4rI 4rI = I+ . R R

Îòñþäà ëåãêî âûðàçèòü âåëè÷èíó rI: rI =

U0 = 0,1 B . 13

Òîãäà ïîêàçàíèå âåðõíåãî âîëüòìåòðà áóäåò U1 = U0 - 3rI = 1 B ,

íèæíåãî ïðàâîãî –

òîð çà áîëüøîå âðåìÿ, è ñêîëüêî òåïëà âûäåëèòñÿ â ðåçèñòîðå? Óêàçàííûå ýëåìåíòû öåïè ñ÷èòàòü èäåàëüíûìè, íèêàêèõ äðóãèõ ýëåìåíòîâ â öåïè íåò. Òîêè ÷åðåç êàòóøêè èçìåíÿþòñÿ ñî âðåìåíåì òàê, ÷òî ÝÄÑ èíäóêöèè - â ëþáîé ìîìåíò îäèíàêîâû. Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî èçìåíåíèÿ òîêîâ êàòóøåê ñâÿçàíû ñîîòíîøåíèåì ΔI1 = 2ΔI2 . ×åðåç ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R ïðîòåêàåò òîê (ñì. ðèñóíîê) I = I1 + I2 . Ñïóñòÿ î÷åíü áîëüøîé èíòåðâàë âðåìåíè áóäåò äîñòèãíóòî óñëîâèå I1 + I2 = 0 . Òîãäà ìîæíî çàïèñàòü

 I0 - I1  = 2  I0 - I2 

U2 = 4rI = 0,4 B

è ïðè I1 = - I2 ïîëó÷èì

è íèæíåãî ëåâîãî – U3 = U0 - U2 = 0,9 B .

I1 = -

À.Ïðîñòîâ Ô2010. Äâå îäèíàêîâûå ëåãêèå ïðóæèíû ïðèêðåïëåíû ê ìàëåíüêîìó ìàññèâíîìó òåëó. Îäíà èç ïðóæèí äðóãèì êîíöîì ïðèêëååíà ê ïîëó, äðóãàÿ ïðóæèíà – ê ïîòîëêó. Ðàññìîòðèì äâà âàðèàíòà ìàëûõ êîëåáàíèé òåëà – â âåðòèêàëüíîì è ãîðèçîíòàëüíîì íàïðàâëåíèÿõ. Íàéäèòå îòíîøåíèå ïåðèîäîâ òàêèõ êîëåáàíèé. Ïðóæèíû â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ âåðòèêàëüíû. Íà÷àëüíûå äëèíû ïðóæèí ñ÷èòàòü ìàëûìè. Ñèëû íàòÿæåíèÿ ïðóæèí â ïîëîæåíèè ðàâíîâåñèÿ (ðèñ.1) ðàâíû T1 = kl1 è T2 = kl2 , ïðè÷åì T1 - T2 = Mg . Ñìåñòèì ãðóç ïî âåðòèêàëè âíèç íà ìàëóþ âåëè÷èíó õ, ïðè ýòîì âîçíèêíåò âîçâðàùàþùàÿ äîïîëíèòåëüíàÿ ñèëà F1 = 2kx . Çàïîìíèì ýòî çíà÷åíèå, à ñ÷èòàòü ïîêà íè÷åãî íå áóäåì. Òåïåðü ñìåñòèì ãðóç ïî ãîðèçîíòàëè âïðàâî íà òó æå ìàëóþ Ðèñ. 2 Ðèñ. 1 âåëè÷èíó õ. Äëèíû ïðóæèí ïðè ýòîì èçìåíÿþòñÿ ñîâñåì ìàëî, òîãäà è ñèëû íàòÿæåíèÿ îñòàþòñÿ ïðåæíèìè. Âîçâðàùàþùàÿ ñèëà âîçíèêàåò uur uur êàê ñóììà ïðîåêöèé ñèë T1 è T2 íà ãîðèçîíòàëüíîå íàïðàâëåíèå (ðèñ.2): x x F2 = T1 sin ϕ1 + T2 sin ϕ2 » kl1 + kl2 = 2kx . l1 l2 Âèäíî, ÷òî ïðè òîì æå ïî âåëè÷èíå ñìåùåíèè âîçíèêàþò îäèíàêîâûå âîçâðàùàþùèå ñèëû. Çíà÷èò, è ïåðèîäû êîëåáàíèé äîëæíû áûòü îäèíàêîâûìè. Ð.Àëåêñàíäðîâ Ô2011. Ïàðàëëåëüíî âêëþ÷åíû êàòóøêè ñ èíäóêòèâíîñòÿìè L è 2L è ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R.  äàííûé ìîìåíò òîêè ÷åðåç êàòóøêè îäèíàêîâû ïî âåëè÷èíå, òåêóò â îäíó ñòîðîíó è ñîñòàâëÿþò I0 êàæäûé. Êàêîé ïîëíûé çàðÿä ïðîòå÷åò ÷åðåç ðåçèñ-

1 1 I0 , I2 = I0 , 3 3

ò.å. òîê ÷åðåç êàòóøêó èíäóêòèâíîñòüþ L èçìåíèò íàïðàâëåíèå íà ïðîòèâîïîëîæíîå. Çàðÿä, ïðîòåêàþùèé ÷åðåç ðåçèñòîð çà ìàëûé èíòåðâàë âðåìåíè Δti , ðàâåí Δqi = i Δti . Ïîäñòàâèâ çíàR ΔI1i ÷åíèå - i = - L , ïîëó÷èì Δti L Δqi = - ΔI1i . R Ñóììàðíûé çàðÿä, ïðîøåäøèé ÷åðåç ðåçèñòîð, áóäåò Q=

Læ 1

L

ö

4 LI0 . R

å Δqi = - R å ΔI1i = - R çè - 3 I0 - I0 ÷ø = 3

Êîëè÷åñòâî òåïëîòû Wò , âûäåëèâøååñÿ â ðåçèñòîðå, íàéäåì èç áàëàíñà íà÷àëüíîé è êîíå÷íîé ýíåðãèé: 2

2

L  I0 3 2L  I0 3 LI02 2LI02 + = + + Wò , 2 2 2 2

îòêóäà Wò =

4 2 LI0 . 3

Ç.Ðàôàèëîâ Ô2012. Êàòóøêó èíäóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîð ñîåäèíèëè ïàðàëëåëüíî è ïîäêëþ÷èëè ê ñåòè ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ 220 Â, 50 Ãö ïîñëåäîâàòåëüíî ñ àìïåðìåòðîì ïåðåìåííîãî òîêà (ñîïðîòèâëåíèå àìïåðìåòðà î÷åíü ìàëî). Ïîêàçàíèÿ àìïåðìåòðà ñîñòàâèëè ïðè ýòîì 0,015 À. Òåïåðü êàòóøêó è êîíäåíñàòîð ñîåäèíèëè ïîñëåäîâàòåëüíî è âíîâü ïîäêëþ÷èëè ê ñåòè. Íàïðÿæåíèå, èçìåðåííîå íà êîíäåíñàòîðå âîëüòìåòðîì (åãî ñîïðîòèâëåíèå ìîæíî ñ÷èòàòü î÷åíü áîëüøèì), ñîñòàâèëî 300 Â, à íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ êàòóøêè îêàçàëîñü ðàâíûì 85 Â. Ñ÷èòàÿ ïîêàçàíèÿ ïðèáîðîâ òî÷íûìè, îïðåäåëèòå ïî ýòèì äàííûì åìêîñòü êîíäåíñàòîðà, èíäóêòèâíîñòü êàòóøêè è ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäà, êîòîðûì íàìîòàíà êàòóøêà. Êîíäåíñàòîð ìîæíî ñ÷èòàòü èäåàëüíûì, ïîòåðè


ÇÀÄÀ×ÍÈÊ

â ñåðäå÷íèêå êàòóøêè î÷åíü ìàëû – íåèäåàëüíîñòü êàòóøêè îïðåäåëÿåòñÿ ñîïðîòèâëåíèåì ïðîâîäà, êîòîðûì îíà íàìîòàíà. Íà÷íåì ñî âòîðîé ñõåìû – ïîñëåäîâàòåëüíîãî ñîåäèíåíèÿ êîíäåíñàòîðà è êàòóøêè Ðèñ. 1 (ðèñ.1). Âèäíî, ÷òî íàïðÿæåíèÿ 300  è 85  ïî÷òè ïðîòèâîôàçíû: 300 B - 85 B » 220 B . ßñíî, ÷òî äëÿ íà÷àëà ìîæíî ïðåíåáðå÷ü ñîïðîòèâëåíèåì ïðîâîäà, ñ÷èòàÿ êàòóøêó èäåàëüíîé. Òîãäà íåñëîæíî íàéòè èíäóêòèâíîñòü êàòóøêè L è åìêîñòü êîíäåíñàòîðà Ñ, à äàëüøå, îïèðàÿñü íà ïîëó÷åííûå çíà÷åíèÿ, ìîæíî íàéòè è ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîäà R. Èòàê, äëÿ ïîñëåäîâàòåëüíîãî âêëþ÷åíèÿ çàïèøåì 85 ωL 85 2 = , èëè ω LC = . 300 1 (ωC ) 300 Äëÿ ïàðàëëåëüíîãî âêëþ÷åíèÿ êîíäåíñàòîðà è êàòóøêè ìîæíî çàïèñàòü 220 220 = 0,015 , ωL 1 (ωC )

!

«ÊÂÀÍÒÀ»

èëè

1 - ω LC × 220 . 2

ωL =

0,015 Ïîäñòàâëÿÿ çíà÷åíèå 85 ω2 LC = ω= , äëÿ 300 -1 = 314 c ïîëó÷àåì L = 33, 5 Ãí ,

C = 0,09 × 10-6 Ô = 0,09 ìêÔ . Íàéäåì òåïåðü çíà÷åíèå R. Äëÿ ýòîãî îïðåäåëèì ñäâèã ôàç ìåæäó òîêîì â öåïè (ïîñëåäîâàòåëüíàÿ ñõåìà) è íàïðÿæåíèåì 85  íà íåèäåàëüÐèñ. 2 íîé êàòóøêå (ðèñ.2): sin ϕ = cos α =

Òîãäà

3002 + 852 - 2202 = 0, 957 . 2 × 300 × 85

ωL = 3,3 , è R = 3,5 êÎì . R Ïîãðåøíîñòü ïîëó÷àåòñÿ íåáîëüøîé – ñóäÿ ïî âåëè÷èíå sin ϕ » 0,96 , à óïðîùåíèå ðàñ÷åòîâ î÷åíü ñóùåñòâåííîå. À.Äëèííîâ tg ϕ =

Ïîáåäèòåëè êîíêóðñà èìåíè À.Ï. Ñàâèíà «Ìàòåìàòèêà 6–8» 2005/06 ó÷åáíîãî ãîäà Ëó÷øèõ ðåçóëüòàòîâ â êîíêóðñå äîáèëèñü ñëåäóþùèå øêîëüíèêè: Çëûäåíêî Îëå㠖 Áååð-Øåâà, Èçðàèëü, 8 êë., Ëåâèí Äîðîí – Áååð-Øåâà, Èçðàèëü, 8 êë., Ãàáèäóëèíà Íàäåæäà – Ñåâàñòîïîëü, ãèìíàçèÿ 1, 7 êë., Äóäêèí Àëåêñàíäð – Õàðüêîâ, ÔÌË 27, 7 êë., Êîëüöîâ Èâàí – ßðîñëàâëü, 8 êë., Ëûñàêåâè÷ Àíàñòàñèÿ – Õàðüêîâ, ÔÌË 27, 8 êë., Áàëêàøèí Àëåêñàíäð – Õàðüêîâ, ÔÌË 27, 7 êë., Èáðàèìîâà Àéæàíà – Áèøêåê, ÔÌØË 61, 7 êë., Ãàðàãàòûé Èãîðü – Õàðüêîâ, ÔÌË 27, 8 êë., Êàëàøíèê Âëàäèñëà⠖ Õàðüêîâ, ÔÌË 27, 8 êë. è êðóæêè: Ìàòåìàòè÷åñêîãî êëóáà ïðè Óíèâåðñèòåòå èì. Áåí-Ãóðèîíà â Íåãåâå, Áååð-Øåâà, Èçðàèëü, ðóêîâîäèòåëè Ï.Ñàìîâîë, É.Õåéôåö, ãèìíàçèè 127, Ñíåæèíñê, ðóêîâîäèòåëü À.À.Ìàëååâ, öåíòðà «Îëèìï», ßðîñëàâëü, ðóêîâîäèòåëü È.Ì.Èãíàòîâè÷, «Ýâðèêà» ïðè ÔÌË 27, Õàðüêîâ, ðóêîâîäèòåëè Å.Ë.Àðèíêèíà, À.Ë.Áåðøòåéí, Â.ß.Êðóï÷èöêèé, øêîëû èíäèâèäóàëüíîãî îáðàçîâàíèÿ îäàðåííûõ äåòåé, Ìàãíèòîãîðñê, ðóêîâîäèòåëü À.Â.Õðèñòåâà, ãèìíàçèè 1, Ñàìàðà, ðóêîâîäèòåëü À.À.Ãóñåâ, øêîëû 9 èì. À.Ñ. Ïóøêèíà, Ïåðìü, ðóêîâîäèòåëü Î.Í. Âÿçüìèíà,

øêîëû 622, Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ðóêîâîäèòåëü Í.À.Ïåòðîâñêàÿ, «Ýðóäèò» ÔÌØ 32, Àñòðàõàíü, ðóêîâîäèòåëü Ò.Ì.Ñåðãååâà, Ìàëîãî óíèâåðñèòåòà ïðè Õàðüêîâñêîì íàöèîíàëüíîì óíèâåðñèòåòå èì. Â.Í.Êàðàçèíà, ðóêîâîäèòåëè Ñ.À.Ëèôèö, À.Ñ.Ùåðáèíà, öåíòðà äîïîëíèòåëüíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ, Êóðãàí, ðóêîâîäèòåëü Î.È.Þæàêîâ. Æþðè êîíêóðñà îòìå÷àåò òàêæå õîðîøèå ðàáîòû ñëåäóþùèõ ó÷åíèêîâ: Êðàâ÷åíêî Àëåêñàíäðà – Õàðüêîâ, ÔÌË 27, 7 êë., Ôèëèìîíîâîé Êàðèíû – Õàðüêîâ, ÔÌË 27, 6 êë., Æåíèëåíêî Âÿ÷åñëàâà – Õàðüêîâ, ÔÌË 27, 7 êë., Äîðè÷åâîé Äàøè – ßðîñëàâëü, 8 êë., Õàðàäæèåâà Îëåãà – Íàáåðåæíûå ×åëíû, ãèìíàçèÿ 26, 7 êë., Ãîðåëûøåâà Ñåðãåÿ – Õàðüêîâ, ÔÌË 27, 6 êë., Ëèñè÷êèíà Âëàäèñëàâà – Õàðüêîâ, ãèìíàçèÿ 47, 8 êë., Áè÷óðèíà Èãîðÿ – Õàðüêîâ, ãèìíàçèÿ 55, 8 êë., Êîìîðèíîé Ãàëèíû – Êðàñíîäàð, øêîëà 42, 7 êë. è êðóæêîâ: ÔÌØË 61, Áèøêåê, ðóêîâîäèòåëü Ë.Ñ.Õîõëîâà, Ïîëèòåõíè÷åñêîé ãèìíàçèè, Íèæíèé Òàãèë, ðóêîâîäèòåëü Ò.Â.Ñàáóðîâà, øêîëû 10, Àíãàðñê, ðóêîâîäèòåëü Ë.Â.Øâàðåâà.


"

1.

ÊÂÀÍT 2006/¹5

Çàäà÷è

Ìîæåò ëè ïðîèçâåäåíèå òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë ðàâíÿòüñÿ ïðîèçâåäåíèþ òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ ÷åòíûõ ÷èñåë? Â. Ïðîèçâîëîâ

4. 2.

Íà ñòîðîíàõ ÀÂ è ÂÑ ïàðàëëåëîãðàììà ABCD, êàê íà îñíîâàíèÿõ, ïîñòðîåíû ðàâíîñòîðîííèå òðåóãîëüíèêè ÀÂÐ è BCQ. Äîêàæèòå, ÷òî òðåóãîëüíèê PQD ðàâíîñòîðîííèé. Â. Ïðîèçâîëîâ

Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî êëåòîê ìîæíî îòìåòèòü íà äîñêå & ´ & , ÷òîáû êàæäàÿ îòìå÷åííàÿ êëåòêà èìåëà îáùóþ ñòîðîíó íå áîëåå ÷åì ñ îäíîé îòìå÷åííîé êëåòêîé? È. Àêóëè÷

5.

3.

Íàòóðàëüíûå ÷èñëà îêðàøåíû â êðàñíûé è ñèíèé öâåòà òàê, ÷òî ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë ðàçíûõ öâåòî⠖ ÷èñëî âñåãäà êðàñíîãî öâåòà, à èõ ñóììà – âñåãäà ñèíåãî. Êàêîãî öâåòà ïðîèçâåäåíèå äâóõ êðàñíûõ ÷èñåë? Îëèìïèàäà «Îðàíæ-2006» , Èçðàèëü

Ýòè çàäà÷è ïðåäíàçíà÷åíû ïðåæäå âñåãî ó÷àùèìñÿ 6 – 8 êëàññîâ.

Èëëþñòðàöèè Ä.Ãðèøóêîâîé

Ìèëëèîíçíà÷íîå ÷èñëî íàçîâåì êîøà÷üèì, åñëè îíî äåëèòñÿ íà ïðîèçâåäåíèå ñâîèõ öèôð. Ñêîëüêî êîøà÷üèõ ÷èñåë ìîæåò ñòîÿòü ïîäðÿä ñðåäè ÷èñåë íàòóðàëüíîãî ðÿäà? Â.Ñåíäåðîâ


Ê

Ì

#

Ø

Êîíêóðñ èìåíè À.Ï.Ñàâèíà

«Ìàòåìàòèêà 6–8»

Ìû ïðîäîëæàåì î÷åðåäíîé êîíêóðñ ïî ðåøåíèþ ìàòåìàòè÷åñêèõ çàäà÷ äëÿ ó÷àùèõñÿ 6–8 êëàññîâ. Ðåøåíèÿ çàäà÷ âûñûëàéòå â òå÷åíèå ìåñÿöà ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ýòîãî íîìåðà æóðíàëà ïî àäðåñó: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò» (ñ ïîìåòêîé «Êîíêóðñ «Ìàòåìàòèêà 6–8»). Íå çàáóäüòå óêàçàòü èìÿ, êëàññ è äîìàøíèé àäðåñ. Êàê è ïðåæäå, ìû ïðèâåòñòâóåì ó÷àñòèå â êîíêóðñå íå òîëüêî îòäåëüíûõ øêîëüíèêîâ, íî è ìàòåìàòè÷åñêèõ êðóæêîâ. Ðóêîâîäèòåëåé êðóæêîâ ïðîñèì óêàçàòü ýëåêòðîííûé àäðåñ èëè êîíòàêòíûé òåëåôîí. Ïî òðàäèöèè, êðóæêè-ïîáåäèòåëè çàî÷íîãî êîíêóðñà ïðèãëàøàþòñÿ íà ôèíàëüíûé î÷íûé òóðíèð.

6. Ãèðüêè íàáîðà 1 ã, 2 ã, …, 100 ã ðàçëîæèëè ïî 50 øòóê íà 2 ÷àøêè âåñîâ òàê, ÷òî âåñû ïîêàçàëè ðàâíîâåñèå. Âåðíî ëè, ÷òî ñ êàæäîé ÷àøêè ìîæíî ñíÿòü ïî 2 ãèðüêè òàê, ÷òî ðàâíîâåñèå ñîõðàíèòñÿ? Â. Ïðîèçâîëîâ 7. Óêàæèòå äâå öåëî÷èñëåííûå àðèôìåòè÷åñêèå ïðîãðåññèè òàêèå, ÷òîáû â ïåðâîé áûëî ñêîëüêî óãîäíî êâàäðàòîâ öåëûõ ÷èñåë, íî íè îäíîãî êóáà, à âî âòîðîé – ñêîëüêî óãîäíî êóáîâ, íî íè îäíîãî êâàäðàòà. À. Çàé÷èê 8. Ìíîãîóãîëüíèê èìååò 400 óãëîâ, êàæäûé èç êîòîðûõ ðàâåí öåëîìó ÷èñëó ãðàäóñîâ. Äîêàæèòå,

÷òî ó ìíîãîóãîëüíèêà íàéäóòñÿ 3 ïàðàëëåëüíûå ñòîðîíû. Â. Ïðîèçâîëîâ 9. Íåîòðèöàòåëüíûå ÷èñëà õ, ó, z òàêîâû, ÷òî x + y + + z = 1. Äîêàæèòå, ÷òî    # + + ³ . + x + y + z Â.Øàðè÷, Â.Ñåíäåðîâ 10. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî øàõìàòíûõ êîíåé ìîæíî ðàññòàâèòü íà äîñêå  ´  êëåòîê òàê, ÷òîáû îíè íå áèëè äðóã äðóãà? Â.Áðàãèí (ó÷åíèê 8 êë.)

Äîïîëíÿé è âëàñòâóé Ï.ÑÀÌÎÂÎË, Ì.ÀÏÏÅËÜÁÀÓÌ, À.ÆÓÊÎÂ

Ï

ÐÈÍÖÈÏ «DIVIDE ET IMPERA», ÈËÈ «ÐÀÇÄÅËßÉ È

âëàñòâóé», ïðèïèñûâàþò Àëåêñàíäðó Ìàêåäîíñêîìó.  íàóêå îí òîæå íàõîäèò ñâîå ïðèìåíåíèå. Òàê, áîëüøóþ ïðîáëåìó áûâàåò ïîëåçíî ðàçëîæèòü íà ðÿä íåáîëüøèõ çàäà÷. Èíîãäà, îäíàêî, ïîìîãàåò è îáðàòíîå ïðåîáðàçîâàíèå, ò.å. äîïîëíåíèå «÷àñòè» äî «öåëîãî». Ýòî äîâîëüíî ÷àñòî ïðîèñõîäèò ïðè ðåøåíèè ãåîìåòðè÷åñêèõ çàäà÷, êîãäà äîïîëíèòåëüíûå ïîñòðîåíèÿ ïîìîãàþò ñïðàâèòüñÿ ñ çàäà÷åé áûñòðî è ýôôåêòèâíî.  àëãåáðå ïðèåì «äîïîëíÿé è âëàñòâóé» ìåíåå ïîïóëÿðåí. Íî íå ìåíåå ýôôåêòèâåí. Âîò ïðèìåðû. Çàäà÷à 1. Ðàçëîæèòå íà ìíîæèòåëè: 1) x 4 + 1 ;

2) x8 + x + 1 .

Ðåøåíèå. Â ïåðâîì ïðèìåðå äîïîëíèì âûðàæåíèå äî ïîëíîãî êâàäðàòà: x 4 + 1 = x 4 + 2 x 2 + 1 - 2x 2 =





2







2 2 = x2 + 1 - 2x2 = x + 1 - x 2 x + 1 + x 2 .

Âî âòîðîì ïðèìåðå äîïîëíåíèå âûñòðàèâàåòñÿ «ëå-

ñåíêîé»: x8 + x + 1 = = x 8 + x7 + x6 - x 7 + x6 + x 5 + x 5 + x 4 + x 3 -





4

 

 

 + x + x + 1 = =  x + x + 1 x - x + x 3

– x +x +x

2

2

2

6

5



3



- x2 + 1 .

Çàäà÷à 2. Äîêàæèòå ðàâåíñòâî 1 3 5 7 7 6 5 4 3 2 1 + + + = - + - + - + . 5 6 7 8 2 3 4 5 6 7 8 Ðåøåíèå. Êîíå÷íî, äåéñòâóÿ ñòàíäàðòíî, ìîæíî áûëî áû ïðèâåñòè äðîáè ê îäíîìó çíàìåíàòåëþ, íî ýòî äåëàòü êàê-òî íå õî÷åòñÿ… Äàâàéòå ïîïðîáóåì ïðèáàâèòü ê îáåèì ÷àñòÿì ðàâåíñòâà îäíó è òó æå ñóììó 7 6 5 4 3 2 1 + + + + + + è ïîñìîòðèì, ÷òî ïîëó÷èòñÿ. 2 3 4 5 6 7 8  ëåâîé ÷àñòè: æ 7 1 ö æ 5 2ö æ 3 3 ö æ 1 4ö 5 6 7 + + + + + + + + + + = èç 8 8 ø÷ èç 7 7 ø÷ èç 6 6 ø÷ èç 5 5 ø÷ 4 3 2 æ = 4 + ç1 + è

1ö æ ÷ + ç1 + 4ø è

3ö æ ÷ + ç1 + 3ø è

5ö ÷. 2ø


$

ÊÂÀÍT 2006/¹5

 ïðàâîé ÷àñòè: 5 3 1 æ 7 5 3 1ö 2ç + + + ÷ = 7+ + + è 2 4 6 8ø 2 3 4 – íî âåäü ýòî òî æå ñàìîå, ÷òî è â ëåâîé ÷àñòè! Óïðàæíåíèå 1. Äîêàæèòå ðàâåíñòâî

1 3 5 4n - 1 + + +K+ = 2n + 1 2n + 2 2n + 3 4n 4n - 1 4n - 2 4n - 3 2 1 + -K + = . 2 3 4 4n - 1 4n

Çàäà÷à 3. Óïðîñòèòå âûðàæåíèå 1 1 1 1 1 + + + +K+ . 1× 2 2 × 3 3 × 4 4 × 5 n × (n + 1)

Ðåøåíèå. Ýòà êëàññè÷åñêàÿ çàäà÷à äîïóñêàåò ìíîæåñòâî êðàñèâûõ ðåøåíèé. Íàèáîëåå èçâåñòíîå èç íèõ 1 òàêîå. Çàìåòèì, ÷òî äðîáü âèäà ìîæíî n × n + 1 «ðàñùåïèòü» íà àëãåáðàè÷åñêóþ ñóììó äðîáåé ïîïðî1 1 1 = ùå: . Åñëè ðàñïèñàòü òàêèì îáðàn × (n + 1) n n + 1 çîì êàæäîå ñëàãàåìîå â ñóììå, òî îáíàðóæèòñÿ, ÷òî â íîâîì âûðàæåíèè ïî÷òè âñå äðîáè ÷óäåñíûì îáðàçîì âçàèìíî óíè÷òîæàþòñÿ: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n - + - + - +K+ = 1= . 1 2 2 3 3 4 n n +1 n +1 n +1 Ðàññêàæåì åùå îá îäíîì, íå ìåíåå èçÿùíîì, ñïîñîáå ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è. Äîïîëíèì äàííîå âûðàæåíèå -n (ñïðàâà) è íà÷íåì ñêëàäûâàòü äðîáè «ñ äðîáüþ n +1 êîíöà»: 1 n 1 - n2 1 - n - (n - 1) = = = . n × (n + 1) n + 1 n × (n + 1) n n

Èëëþñòðàöèÿ Â.Èâàíþêà

Êàê âèäèì, ïîëó÷èëàñü äðîáü òàêîãî æå âèäà, ÷òî è -n , íî ñ óìåíüøåííûìè íà åäèíèöó ÷èñïðèáàâêà n +1 ëèòåëåì è çíàìåíàòåëåì. Çíà÷èò, ïðîäîëæàÿ ñêëàäûâàòü ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò ñ ïðåäûäóùåé äðîáüþ, ìû îò øàãà ê øàãó áóäåì «ñâîðà÷èâàòü» âñþ öåïî÷êó è «íà ôèíèøíîé ïðÿìîé» ïîëó÷èì 1 1 1 3 1 1 2 1 1 + - = - = 0. + + - = 1× 2 2 × 3 3 × 4 4 1× 2 2 × 3 3 1× 2 2 n Èòàê, èñõîäíàÿ ñóììà ðàâíà . n +1 Çàäà÷à 4. Âû÷èñëèòå 52 × 50 - 53 × 49 + 54 × 48 - 55 × 47 + K + 100 × 2 - 101 × 1 .

Ðåøåíèå. Äîïîëíèì âûðàæåíèå àëãåáðàè÷åñêèìè ñëàãàåìûìè, â ñóììå äàþùèìè íîëü (îíè ïîä÷åðêíóòû): 52 × 50 - 50 × 49 + 50 × 49 - 53 × 49 + + (54 × 48 - 48 × 47) + (48 × 47 - 55 × 47) + K + ...+ (100 × 2 - 2 × 1) + (2 × 1 - 101 × 1) = = (50 × 3 - 49 × 3) + (48 × 7 - 47 × 7) + K +

... + (2 × 99 - 1 × 99) = 3 + 7 + 11 + K + 99 = 3 + 99 × 25 = 1275 . = 2 Çàäà÷à 5. Äîêàæèòå, ÷òî êàæäûé ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè 16, 1156, 111556, … ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì öåëîãî ÷èñëà.


Ê

Ðåøåíèå. Ðàññìîòðèì n-é ÷ëåí ïîñëåäîâàòåëüíîñòè: K1 × 10n + 511 K1 + 1 , K155 K35 + 1 = 11 an = 11 { { { 12 n

n

n

n

n öèôð â ÷èñëå 11 K1 è n-ÿ ñòåïåíü äåñÿòêè ( 10n ) {

Ì

%

Ø

Ïðîäîëæàÿ ïîäîáíûì îáðàçîì «ïîåäàòü» ñëàãàåìûå è äàëüøå, â èòîãå ïðèäåì ê íà÷àëó ðÿäà: 20 20 × 18 20 × 18 × 16 20 × 18 × 16 + + + 14 × = 19 19 × 17 19 × 17 × 15 19 × 17 × 15

n

íàâîäÿò íà ìûñëü «äîïîëíèòü» åäèíèöû äî äåâÿòîê: 11 K1 = { n

1 1 × 99 K39 = × 10n - 1 . 9 12 9 n





À äàëüøå – îáû÷íàÿ òåõíèêà: an =

1 5 × 10n - 1 × 10n + × 10n - 1 + 1 = 9 9 1 5 2n n n = × 10 - 10 + 5 × 10 - + 1 = 9 9 2 æ 10n + 2 ö 1 2n n = × 10 + 4 × 10 + 4 = ç ÷ . 9 è 3 ø

















=

20 20 × 18 20 × 18 20 20 + + 16 × = + 18 × = 20 . 19 19 × 17 19 × 17 19 19

Èòàê, S1 + S2 = 20 . Ïîñêîëüêó â ñóììàõ S1 è S2 ðàâíîå êîëè÷åñòâî ñëàãàåìûõ, ïðè÷åì êàæäîå ñëàãàåìîå ñóììû S1 áîëüøå ñîîòâåòñòâóþùåãî ñëàãàåìîãî ñóììû S2 , òî S1 > S2 è, çíà÷èò, S1 > 10 . Çàäà÷à 7 (èç âñòóïèòåëüíîãî çàäàíèÿ íà Ìàëûé ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò ÌÃÓ, 1985). Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî 1

1

+

1+ 2

3+ 4

1

+

5+ 6

...+

n

(Ïîäóìàéòå, ïî÷åìó ÷èñëî 10 + 2 äåëèòñÿ íà 3.) Óïðàæíåíèå 2. à) Äîêàæèòå, ÷òî êàæäîå ÷èñëî ïîñëåäîâàòåëüíîñòè

107811 110778111 111077781111 , , ,K 3 3 3 ÿâëÿåòñÿ êóáîì öåëîãî ÷èñëà. á) (ïî ìîòèâàì çàäà÷è «Òóðíèðà ãîðîäîâ», 2006). Äîêàæèòå, ÷òî ìîæíî íàéòè áåñêîíå÷íî ìíîãî ïàð öåëûõ ÷èñåë òàêèõ, ÷òîáû â äåñÿòè÷íîé çàïèñè êàæäîãî ÷èñëà âñå öèôðû áûëè íå ìåíüøå 7 è ïðîèçâåäåíèå ÷èñåë êàæäîé ïàðû òîæå áûëî ÷èñëîì, âñå öèôðû êîòîðîãî íå ìåíüøå 7. (Ïîäñêàçêà: äîêàæèòå, ÷òî äëÿ ëþáîãî öåëîãî k ³ 0 ïàðà ÷èñåë m = 8 99 K37 óäîâëåòâîðÿåò óñëîK39 87 , n = 8 77 12 12 âèþ çàäà÷è.)

k

k +2

Çàäà÷à 6. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî

20 × 18 20 × 18 × 16 × 14 20 × 18 × 16 × 14 × K × 4 × 2 + +K + > 10 19 × 17 19 × 17 × 15 × 13 19 × 17 × 15 × 13 × K × 3 × 1 (â êàæäîé äðîáè ÷åòíîå êîëè÷åñòâî ìíîæèòåëåé â ÷èñëèòåëå è â çíàìåíàòåëå).

Ðåøåíèå. Ïðè ðàññìîòðåíèè ñóììû â ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà – îáîçíà÷èì åå S1 – íåâîëüíî âîçíèêàåò âïå÷àòëåíèå, ÷òî åå ìîæíî äîïîëíèòü ïðîìåæóòî÷íûìè ñëàãàåìûìè. Ïîïðîáóåì: äàâàéòå äîáàâèì ê íåé ñóììó

20 × 18 × 16 × K × 4 20 20 × 18 × 16 . + +K+ 19 × 17 × 15 × K × 3 19 19 × 17 × 15 Ñêëàäûâàÿ äðîáè â îáùåé ñóììå S1 + S2 «ñ êîíöà» (ò.å. íà÷èíàÿ ñ íàèáîëåå ãðîìîçäêèõ äðîáåé), ìû îáíàðóæèì, ÷òî âñÿ ñóììà âåëèêîëåïíûì îáðàçîì ñêëàäûâàåòñÿ – êàê òåëåñêîïè÷åñêàÿ àíòåííà. Äåéñòâèòåëüíî, ñóììà äâóõ ïîñëåäíèõ ñëàãàåìûõ ðàâíà

S2 =

20 × 18 × K × 6 20 × 18 × K × 6 20 × 18 × K × 8 + = 6× 4× . 19 × 17 × K × 5 19 × 17 × K × 5 19 × 17 × K × 7

1 77 + 78

+

1 79 + 80

> 4.

Ðåøåíèå. Ñíà÷àëà ñòàíäàðòíûì ñïîñîáîì èçáàâèìñÿ îò âñåõ èððàöèîíàëüíîñòåé â çíàìåíàòåëÿõ ëåâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà. Íàéäåì ñóììó

S1 = 2 - 1 + 4 - 3 + 6 –

5 + K + 78 - 77 + 80 - 79 .

Ñòðóêòóðà ýòîãî âûðàæåíèÿ «ïîäñêàçûâàåò» äîáàâèòü ê íåìó ÷èñëî S2 =

3- 2+ 5- 4+ 7-

–

6 + K + 79 - 78 + 81 - 80 .

Î÷åâèäíî, ïîñëå öåëîãî ðÿäà ñîêðàùåíèé ïîëó÷èì S1 + S2 = 81 - 1 = 8 . Äàëåå çàìå÷àåì, ÷òî äëÿ âñåõ íàòóðàëüíûõ k 1 > 2k - 2k - 1 = 2k + 2k - 1 1 = 2k + 1 - 2k , > 2k + 2k + 1 ïîýòîìó S1 > S2 è, ñëåäîâàòåëüíî, S1 > 4 . Óïðàæíåíèå 3 (îëèìïèàäà «Îðàíæ», 2005–2006, Èçðàèëü). à) Íàéäèòå 100 ïåðâûõ öèôð ÷èñëà

N =3+

4 5 6 7 + + + +K 9 9 × 11 9 × 11 × 13 9 × 11 × 13 × 15 K+

1002 1003 + . 9 × 11 × 13 × K × 2005 9 × 11 × 13 × K × 2007

á) Ðàñïîëîæèòå ÷èñëà A, B, C â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ:

A = 2,

20 × 18 × K × 4 20 × 18 × K × 4 × 2 20 × 18 × K × 6 + = 4× . 19 × 17 × K × 3 19 × 17 × K × 3 × 1 19 × 17 × K × 5

Ñëîæèì ýòîò ðåçóëüòàò ñ ïðåäûäóùèì ñëàãàåìûì:

+K +

B=

C=

3

8000 7997 7994 "  , × × ×K × × %''' %''$ %''! ! 

#%$ - #%# + #%3 - #% + K + 3 -

.


ØÊÎËÀ Â «ÊÂÀÍÒÅ»

Êàê Ñòóäåíò äóìàë Çåìëþ îñòàíîâèòü À.ÑÒÀÑÅÍÊÎ Áûâàåò, ÷òî óñåðäèå ïðåâîçìîãàåò è ðàññóäîê. Êîçüìà Ïðóòêîâ

Î

ÄÍÀÆÄÛ ÏÎÄ ÓÒÐÎ ÏÎÄÓÌÀËÎÑÜ ÑÒÓÄÅÍÒÓ: ÅÑÒÜ

æå íà Çåìëå òàêèå ñ÷àñòëèâûå ìåñòà, ãäå íî÷ü äëèòñÿ ïîëãîäà! È òóò ïðèøëà åìó â ãîëîâó Èäåÿ: îñòàíîâèòü âðàùåíèå Çåìëè – ÷òîáû óòðî âîîáùå íå íàñòóïèëî. Âåäü ïîâåðíóòà æå Ëóíà ê íàì òîëüêî îäíèì ñâîèì ïîëóøàðèåì. Ïîíÿòíî, ÷òî çàòîðìîçèòü âðàùåíèå ìîæíî, íàïðèìåð, ïðè ïîìîùè ðåàêòèâíîé ñèëû âûáðàñûâàåìîé ìàññû. Íî êàêóþ ìàññó äëÿ ýòîãî ïðèäåòñÿ âûáðîñèòü â êîñìîñ? Ñ êàêîé ñêîðîñòüþ? È âîò, ÷òîáû íå óòðóæäàòü ñåáÿ äåòàëÿìè, â «òîíêîì ïîëóñíå» Ñòóäåíò ñäåëàë ïðîñòûå ÷èñëåííûå îöåíêè. ßñíî, ÷òî èñêîìóþ ìàññó Δm íóæíî âûáðàñûâàòü ñèììåòðè÷íî îòíîñèòåëüíî îñè âðàùåíèÿ – ÷òîáû íå èçìåíèòü äâèæåíèå öåíòðà ìàññ Çåìëè. È, êîíå÷íî, ïðîòèâîïîëîæíî íàïðàâëåíèþ åå îêðóæíîé (ëèíåéíîé) ñêîðîñòè V0 . Íàïðèìåð, òàê, êàê èçîáðàæåíî íà ðèñóíêå 1, ãäå N – ñåâåðíûé ïîëþñ, à u – èñêîìàÿ ñêîðîñòü âûáðîñà îòíîñèòåëüíî Çåìëè.  ñèñòåìå íåïîäâèæíûõ çâåçä ñêîðîñòü âûáðîñà áóäåò ðàâíà u - V0 . Ðèñ. 1 Äëÿ òîãî ÷òîáû âûáðîøåííàÿ ìàññà íå âîçâðàòèëàñü, åå ñêîðîñòü íà áåñêîíå÷íîì óäàëåíèè îò Çåìëè äîëæíà ïî êðàéíåé ìåðå îáðàòèòüñÿ â íîëü. Çíà÷èò, òàì ðàâíà íóëþ åå êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ. Íî è ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ Ï òàì òîæå ðàâíà íóëþ – ñì. ðèñóíîê 2, ãäå - g0 R0 ýòî ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ åäèíèöû ìàññû íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè. Ñëåäîâàòåëüíî, çàêîí ñîõðàíåíèÿ ïîëíîé ìåõàíè÷åñêîé ýíåðãèè åäèíèöû ìàññû ìîæíî çàïèñàòü â âèäå (u - V0 )2 + - g R = 0 + 0. ( 0 0) 2 Îòñþäà íàõîäèì u = 2g0 R0 + V0 . «Êîíå÷íî, ýòî òîëüêî îöåíêà, – óñïîêîèë ñåáÿ Ñòóäåíò, – âåäü â ïðîöåññå

âûáðîñà áóäåò èçìåíÿòüñÿ è ìàññà Çåìëè, è åå ðàäèóñ, è, ñëåäîâàòåëüíî, óñêîðåíèå òÿãîòåíèÿ íà ïîâåðõíîñòè». (Ïîýòîìó âåëè÷èíû V, g, R è îòìå÷åíû èíäåêñîì «0» – ÷òîáû ïîä÷åðêíóòü, ÷òî äëÿ îöåíêè áåðóòñÿ èõ íà÷àëüíûå çíà÷åíèÿ.) Íî åñëè â ðåçóëüòàòå îêàæåòñÿ, ÷òî èñêîìàÿ ìàññà Δm ìíîãî ìåíüøå íà÷àëüíîé ìàññû Çåìëè M0 ( Δm = M0 ), òî ýòà îöåíêà âïîëíå ðàçóìíà è ìîæåò áûòü ïðèíÿòà â êà÷åñòâå «ïåðâîãî ïðèáëèæåíèÿ» – êàê ëþáÿò ãîâàðèâàòü ôèçèêè. Äàëåå, ÷òîáû íå óòðóæäàòü ñåáÿ òàêèìè ïîíÿòèÿìè, êàê ìîìåíò ñèëû è ìîìåíò èíåðöèè, Ñòóäåíò ñìåëî ïðèíÿë óïðîùåííóþ ìîäåëü Çåìëè. Îí ïðåäñòàâèë åå â âèäå îáðó÷à, âäîëü êîòîðîãî ðàñïðåäåëåíà âñÿ åå ìàññà. Òîãäà íà÷àëüíûé «âðàùàòåëüíûé» èìïóëüñ Çåìëè ðàâåí M0V0 º ( M0 -

- Δm) V0 + ΔmV0 (â ýòîì âûðàæåíèè óæå âûäåëåíà îòáðàñûâàåìàÿ ìàññà Δm ). Ñðàçó ïîñëå âûáðîñà âðàùåíèå îñòàâøåéñÿ ìàññû M0 - Δm , ïî ïðåäïîëîæåíèþ, ïðåêðàòèëîñü, à îòáðîøåííàÿ ìàññà ïðèîáðåëà ñêîðîñòü u - V0 . Òîãäà çàêîí ñîõðàíåíèÿ èìïóëüñà áóäåò âûãëÿäåòü òàê:

( M0 - Δm) V0 + ΔmV0

= ( M0 - Δm) × 0 + Δm (u - V0 ) ,

îòêóäà ïîëó÷àåì

Δm V0 V0 = = . M0 u - V0 2 g0 R0 Îñòàëîñü íàéòè ÷èñëåííûå çíà÷åíèÿ. Òóò âðåìÿ âñïîìíèòü, ÷òî ðàäèóñ Çåìëè R0 = 6, 4 × 106 ì , åå ìàññà M0 = 6 × 1024 êã , à ïåðèîä îáðàùåíèÿ âîêðóã ñâîåé îñè T0 = 24 ÷ . Òîãäà îêðóæíàÿ ñêîðîñòü íà ýêâàòîðå Çåìëè ðàâíà 2πR0 2 × 3,14 × 6, 4 × 106 ì = » 465 ì ñ ñ T0 3600 × 24 ÷ ÷ (áîëüøå ñêîðîñòè çâóêà â âîçäóõå!). Ñòîÿùåå â çíàìåíàòåëå V0 =

ïðåäûäóùåé ôîðìóëû âûðàæåíèå êîñìè÷åñêàÿ ñêîðîñòü vII , ðàâíàÿ vII = 2g0 R0 =

2g0 R0

– ýòî âòîðàÿ

2 × 10 ì ñ2 × 6, 4 × 106 ì » 11 êì ñ .

 èòîãå ïîëó÷àåì Δm 0, 46 = » 4% . 11 M0 «À åñëè ó÷åñòü, ÷òî Çåìëÿ – ýòî íå îáðó÷, à øàð, – ïîäóìàë Ñòóäåíò, – òî åå çàòîðìîçèòü ëåã÷å, ïîñêîëüêó íå âñÿ åå ìàññà íàõîäèòñÿ íà ðàññòîÿíèè R0 îò îñè âðàùåíèÿ». Äåéñòâèòåëüíî, íåñëó÷àéíî åñòü òàêîå ïîíÿòèå, êàê ìîìåíò èíåðöèè: 2 äëÿ øàðà îí ðàâåí M0 R02 , à äëÿ îáðó÷à M0 R02 . (Èíûìè 5 ñëîâàìè, Çåìëþ ìîæíî áûëî áû ïðåäñòàâèòü îáðó÷åì ðàäè2 óñîì R = R0 .) Çíà÷èò, ïîòðåáóåòñÿ âûáðîñèòü ìàññó åùå 5 2 ðàç ìåíüøóþ, ò.å. ïðèáëèçèòåëüíî â 5 Δm < 2% . M0 Èìåííî ñ òàêîé òî÷íîñòüþ âåðíî ïðèíÿòîå íàìè ïðåäïîëîæåíèå Δm = M0 . Íî ìíîãî ýòî èëè ìàëî? Ñðàâíèì, íàïðèìåð, ñ ìàññîé çåìíîé êîðû, ïëàâàþùåé íà áîëåå òÿæåëîé ìàãìå (òîé ñàìîé, êîòîðàÿ èíîãäà âûòåêàåò èç âóëêàíîâ). Çåìíàÿ êîðà ñëîæåíà, â îñíîâíîì, èç áàçàëüòîâ è ãðàíèòîâ, ïîêðûòûõ ìåíåå ïëîòíûì ñëîåì îñàäî÷íûõ ïîðîä. Ïîëîæèì äëÿ îöåíîê ñðåäíþþ òîëùèíó êîðû ðàâíîé h = 20 êì, à ïëîò-


ØÊÎËÀ 3

3

íîñòü – ïîðÿäêà ρ = 3 × 10 êã ì . Òîãäà ìàññà ýòîãî øàðîâîãî ñëîÿ áóäåò ïîðÿäêà mê = ρh × 4πR02 =



= 3 × 103 × 20 × 103 × 4π 6, 4 × 106



2

êã » 3 × 1022 êã .

À ìàññà îêåàíà åùå ìåíüøå: mîê » 1, 4 × 1021 êã . (Áîëåå òî÷íûå äàííûå ìîæíî íàéòè, íàïðèìåð, â êíèãå À.Â.Áÿëêî «Íàøà ïëàíåòà – Çåìëÿ» – Ì.: Íàóêà, Áèáëèîòå÷êà «Êâàíò», âûï.29.)  ñóììå ýòè ìàññû ñîñòàâëÿþò ïðèáëèçèòåëüíî 3 × 1022 = 5 × 10 -3 = 0,5% 6 × 1024 îò ìàññû Çåìëè. Òàêèì îáðàçîì, äàæå åñëè âûáðîñèòü â êîñìîñ âñå îêåàíû è âñþ çåìíóþ êîðó (âïëîòü äî áîëåå ïëîòíûõ ïîðîä, êóäà åùå íèêòî íå äîáèðàëñÿ), òî è ýòîãî íå õâàòèò, ÷òîáû îñòàíîâèòü âðàùåíèå Çåìëè.

Ýëåêòðè÷åñêèå ìàøèíû è âûáîð ðåæèìà Ã.ÁÀÊÓÍÈÍ

À

Â

'

«ÊÂÀÍÒÅ»

Íî ïóñòü äàæå õâàòèëî áû ìàññû. À êàêóþ íàèìåíüøóþ ýíåðãèþ íàäî áûëî áû çàòðàòèòü, ÷òîáû ñîîáùèòü âûáðàñûâàåìîé ìàññå âòîðóþ êîñìè÷åñêóþ ñêîðîñòü? Êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ ýòîé ìàññû ðàâíà



2

» 1031 Äæ .

Ñêîëüêî æå ïîòðåáîâàëîñü áû, íàïðèìåð, êåðîñèíà, ÷òîáû îáåñïå÷èòü òàêóþ ïîòðåáíîñòü â ýíåðãèè? Ïðè ñãîðàíèè îäíîãî êèëîãðàììà êåðîñèíà âûäåëÿåòñÿ ïðèìåðíî 4 × 107 Äæ òåïëà. Åñëè ïðåäïîëîæèòü, ÷òî âñå îíî èäåò â «äåëî» áåç ïîòåðü, òî íåîáõîäèìàÿ ìèíèìàëüíàÿ ìàññà ñãîðåâøåãî êåðîñèíà äîëæíà ñîñòàâèòü mêåð »

1031 Äæ » 2 × 1023 êã . 4 × 107 Äæ êã

Î, äà ýòî âåäü ñîòíÿ îêåàíîâ èç ÷èñòîãî êåðîñèíà! È Ñòóäåíòó ñòàëî æàëü è ìàññû, è ýíåðãèè Çåìëè. «Íåò óæ, – ïîäóìàë îí, – ëó÷øå âñòàòü è ïîéòè íà ëåêöèþ».

ñòâà â çàâèñèìîñòè îò âíåøíåé íàãðóçêè R1 èëè R2 . Áîëüøåìó çíà÷åíèþ R ïðè ýòîì ñîîòâåòñòâóåò ìåíüøåå çíà÷åíèå òîêà â öåïè. Òàêèì îáðàçîì, äàæå â ïðîñòåéøåé ýëåêòðè÷åñêîé ìàøèíå – ýëåêòðîíàãðåâàòåëüíîì ïðèáîðå – ñóùåñòâóåò âîçìîæíîñòü âûáîðà ðåæèìà ðàáîòû. Áîëåå ñëîæíîé îêàçûâàåòñÿ ñèòóàöèÿ â ñëó÷àå ýëåêòðè÷åñêîãî ìîòîðà ïîñòîÿííîãî òîêà. Çäåñü â öåïè ÿêîðÿ ãåíåðèðóåòñÿ èíäóêöèîííàÿ ÝÄÑ - i , è çàêîí Îìà çàïèñûâàåòñÿ â âèäå U - - i = IR , ãäå U – âíåøíåå íàïðÿæåíèå, à R – ñîïðîòèâëåíèå ÿêîðÿ. Åñòåñòâåííî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî èíäóöèðîâàííàÿ ÝÄÑ ïðîïîðöèîíàëüíà ÷àñòîòå âðàùåíèÿ ω ÿêîðÿ: - i = Φ 0ω ,

ÍÀËÎÃÈß – ÎÄÈÍ ÈÇ ÂÀÆÍÅÉØÈÕ ÈÍÑÒÐÓÌÅÍÒÎÂ

èññëåäîâàíèÿ. Ýòî íåîäíîêðàòíî ïîä÷åðêèâàëîñü êàê èçâåñòíûìè ó÷åíûìè, òàê è èñòîðèêàìè íàóêè. Âîñïîëüçóåìñÿ ýòèì èíñòðóìåíòîì è îáñóäèì ñõîäñòâî è ðàçëè÷èå «ìîùíîñòíûõ» õàðàêòåðèñòèê õîðîøî èçâåñòíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ óñòðîéñòâ. Ðàññìîòðèì ïðîñòåéøóþ ýëåêòðè÷åñêóþ öåïü – ìîäåëü ýëåêòðîíàãðåâàòåëÿ, ñîñòîÿùóþ èç èñòî÷íèêà, èìåþùåãî ÝÄÑ - è âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå r, è íàãðóçêè — ðåçèñòîðà ñîïðîòèâëåíèåì R (ðèñ.1). Âû÷èñëèì ïîëåçíóþ ìîùíîñòü òàêîãî óñòðîéñòâà, îïè-



2 0,02 × 6 × 1024 êã × 11 × 103 ì ñ ΔmvII » 2 2

ãäå Φ 0 – ðàçìåðíûé êîýôôèöèåíò, ðàâíûé ìàêñèìàëüíîìó ïîòîêó ìàãíèòíîé èíäóêöèè ÷åðåç ðàìêó ÿêîðÿ. Àíàëèç âûðàæåíèÿ äëÿ ïîëíîé ìîùíîñòè: UI = - i I + I2 R ïîêàçûâàåò, ÷òî ïîëåçíàÿ ìîùíîñòü ñâÿçàíà ñ ÷ëåíîì - i I , ãäå òîê ÿêîðÿ I çàâèñèò ëèíåéíî îò ÷àñòîòû âðàùåíèÿ ω : I = I ω =

U - - i ω U - Φ 0ω = . R R

Òàêèì îáðàçîì, çàâèñèìîñòü ïîëåçíîé ìîùíîñòè ýëåêòðè÷åñêîé ìàøèíû ïîñòîÿííîãî òîêà îò ÷àñòîòû âðàùåíèÿ ÿêîðÿ èìååò âèä Φ P  ω = - i  ω I  ω = 0 ω U - Φ 0 ω . R Ðèñ. 1

Ðèñ. 2

ðàÿñü íà çàêîí Îìà: -2 I= R. , P = I2 R = R+r  R + r 2 Ãðàôèê çàâèñèìîñòè P  R ïðèâåäåí íà ðèñóíêå 2. Íåñëîæíî çàìåòèòü, ÷òî ãðàôèê îáëàäàåò ìàêñèìóìîì, ò.å. èìåþòñÿ äâå âîçìîæíîñòè îáåñïå÷èòü ïîëåçíóþ ìîùíîñòü P0 óñòðîé-

Çäåñü, êàê è â ïðåäûäóùåì ñëó÷àå, âèäåí ìàêñèìóì ìîùíîñòè, îäíàêî òåïåðü âûáîð ðåæèìà çàâèñèò îò ÷àñòîòû (ðèñ.3). Çàìåòèì, ÷òî íàãðóçêà â äàííîé çàäà÷å ñâÿçàíà ñ âðàùàòåëüíûì ìîìåíòîì, êîòîðûé ñïîñîáåí ñîçäàòü ýëåêòðîìîòîð: P  ω Φ 0 = M  ω = U - Φ 0 ω . ω R Ñòàáèëüíàÿ ðàáîòà ìîòîðà îáåñïå÷èâàåòñÿ áàëàíñîì ýòîãî ìîìåíòà è ìîìåíòà M0 , ñîçäàâàåìîãî âíåøíåé íàãðóçêîé. Íàïðèìåð, åñëè ìîòîð ðàâíîìåðíî ïîäíèìàåò íà âåðåâêå


!

ÊÂÀÍT 2006/¹5

ãðóç, òî ìîìåíò íàãóçêè ðàâåí ïðîèçâåäåíèþ ñèëû íàòÿæåíèÿ âåðåâêè, êîòîðàÿ ðàâíà âåñó ãðóçà, íà ðàäèóñ âàëà. Õîëîñòîé õîä ýëåêòðè÷åñêîé ìàøèíû ñîîòâåòñòâóåò çíà÷åíèþ M0 = 0 .  ñëó÷àå íåíóÐèñ. 3 ëåâîé íàãðóçêè ÷àñòîòà âðàùåíèÿ ω* îïðåäåëÿåòñÿ áàëàíñîì ìîìåíòîâ (ðèñ.4): M ω*  = M0 . ×òî æå ïîëó÷àåòñÿ, ýëåêòðè÷åñêèé ìîòîð ñàì âûáèðàåò ïîíðàâèâøóþñÿ åìó ìîùíîñòü? Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ìîìåíò íàãðóçêè ìåíüøå ìîìåíòà, ñîçäàâàåìîãî ìîòîðîì, òî ðîòîð ðàñêðó÷èâàåòñÿ âñå ñèëüíåå è ñèëüíåå, ïîêà ÷àñòîòà íå äîñòèãíåò çíà÷åíèÿ ω* .  ïðîòèâîïîëîæíîì ñëó÷àå, êîãäà ìîìåíò íàãðóçêè áîëüøå ìîìåíòà, ñîçäàâàåìîãî ìîòîðîì, ðîòîð òîðìîçèòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà áàëàíñ ìîìåíòîâ íå âîññòàíîâèòñÿ. Èíûìè ñëîâàìè, çíà÷åíèå ω* ñîîòâåòñòâóåò

Ôîêóñ øàðà Ä.ÂÈÊÒÎÐÎÂ

Î

È äàëü ñâîáîäíîãî ðîìàíà ß ñêâîçü ìàãè÷åñêèé êðèñòàëë Åùå íå ÿñíî ðàçëè÷àë. À.Ñ.Ïóøêèí

ÄÍÀÆÄÛ Ó ÌÅÍß Â ÐÓÊÀÕ ÎÊÀÇÀËÑß ÎÏÒÈ×ÅÑÊÈÉ

ðàðèòåò – õðóñòàëüíûé øàð äèàìåòðîì 5,5 ñàíòèìåòðîâ, èçãîòîâëåííûé ïðåäïîëîæèòåëüíî â Âåëèêîáðèòàíèè. Ïðåäïîñëåäíèé âëàäåëåö èñïîëüçîâàë ýòîò ìàãè÷åñêèé êðèñòàëë â êîíöå XIX – íà÷àëå XX âåêà (òî÷íûé ãîä èçãîòîâëåíèÿ èçäåëèÿ íåèçâåñòåí). Ñêâîçü òîëùó ëåò ïðîáèâàþòñÿ ñòàðîàíãëèéñêèå ñëîâà, ïåðåâåäåííûå íà ðóññêèé ÿçûê: «...Íàáëþäàòåëü äîëæåí ñåñòü ñïèíîé ê ñâåòó, äåðæà øàð íà ëàäîíè ðóêè, êîòîðàÿ ìîæåò óäîáíî ïîêîèòüñÿ íà êîëåíÿõ, èëè øàð ìîæíî ïîìåñòèòü íà ñòîëå íà ïîäñòàâêå ïîä íèì è ïîñòàâèòü ñçàäè ýêðàí èç ÷åðíîãî áàðõàòà èëè òåìíîãî ìàòåðèàëà. Ïîñëåäíèé ôèçè÷åñêè ïîìîãàåò îòêëþ÷èòü áîêîâîé ñâåò è îòðàæåíèå. Ïîñòîÿííîå «ãëÿäåíèå» â ïîëíîé òèøèíå àáñîëþòíî íåîáõîäèìî, òàê êàê â îòëè÷èå îò äðóãèõ îêêóëüòíûõ ÿâëåíèé îòâëå÷åíèå âíèìàíèÿ èëè ïåðâè÷íîãî (îáû÷íîãî) ñîçíàíèÿ î÷åíü íåáëàãîïðèÿòíî. Óñïåõ îáíàðóæèâàåòñÿ, êîãäà ñôåðà, ïðåêðàùàÿ îòðàæàòü, ñòàíîâèòñÿ ìîëî÷íîé. Ïîÿâëÿåòñÿ òóìàííûé öâåò (îáû÷íî êðàñíûé è åãî äîïîëíèòåëüíûé – çåëåíûé), ïðåâðàùàÿñü â òåìíîòó, êîòîðàÿ îòêàòûâàåòñÿ ïðî÷ü, ïîäîáíî çàíàâåñó, êîòîðûé îòêðûâàåò âçãëÿäó íàáëþäàòåëÿ êàðòèíû, ñöåíû, ôèãóðû â äâèæåíèè, èíòåðåñíûå ñåíòåíöèè è ò.ä. Îæèâëåíèå ñêðûòîé ïàìÿòè èëè âîñïîìèíàíèé î áóäóùåì ÿâëÿåòñÿ îäíîé èç ãëàâíûõ îñîáåííîñòåé ýòîãî îïûòà». Ïðèçíàþñü, ÷òî ó ìåíÿ íå ïîëó÷èëîñü ðàçãëÿäåòü â øàðå ÷òî-ëèáî íåîáû÷íîå. Âèäèìî, ÿ îòíîøóñü ê òåì 25% ëþäåé, êîòîðûå «íè÷åãî íå ñìîãóò ñäåëàòü âîîáùå», êàê ãîâîðèòñÿ â îáðàùåíèè ê ÷èòàòåëþ (ïîêóïàòåëþ øàðà). Èç ýòîãî,

ïîëîæåíèþ óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, íåñìîòðÿ íà ôîðìàëüíóþ âîçìîæíîñòü âûáîðà ÷àñòîòû âðàùåíèÿ ðîòîðà äëÿ çàäàííîé âåëè÷èíû ïîëåçíîé ìîùíîñòè P0 , ðîòîð ðàñêðó÷èâàåòñÿ äî òåõ ïîð (äî òàêîé ÷àñòîòû ω* ), ïîêà íå âûïîëíèòñÿ óñëîâèå ðàâåíñòâà ìîìåíòîâ. Ìîùíîñòü â ýòîì ñëó÷àå îïðåäåëÿåòñÿ âíåøíåé íàãðóçêîé M0 :

Ðèñ. 4

æU RM0 ö M0 P* = M0 ω  M0  = M0 ç = Φ0 Φ 20 ø÷ è Φ0

æ ö R çèU - Φ M0 ÷ø . 0

Ýòîò ïðîñòîé ïðèìåð ïîêàçûâàåò, êàê íåïðîñòî íàâÿçàòü ñâîþ âîëþ ìàøèíàì, äàæå åñëè ýòî âñåãî ëèøü ýëåêòðè÷åñêèå ìàøèíû ïîñòîÿííîãî òîêà.

êîíå÷íî, íå ñëåäóåò, ÷òî íè ó êîãî íå ïîëó÷èòñÿ, õîòÿ èíñòðóêöèÿ, ñ ñîâðåìåííîé òî÷êè çðåíèÿ, è âûãëÿäèò âåñüìà ôàíòàñòè÷íî. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ìàãè÷åñêèå êðèñòàëëû âûïóñêàëèñü â XIX âåêå ÿâíî íå åäèíè÷íûìè ýêçåìïëÿðàìè. È åñëè áû â íèõ íè÷åãî è íèêîìó íåëüçÿ áûëî óâèäåòü, òî êòî áû èõ ñòàë ïðèîáðåòàòü?  ëþáîì ñëó÷àå, ïîñëåäíåå ñëîâî çà äîñòàòî÷íî ìàññîâûì ýêñïåðèìåíòîì...  ñîëíå÷íóþ ïîãîäó ëåãêî ýêñïåðèìåíòàëüíî óáåäèòüñÿ â òîì, ÷òî øàð ôîêóñèðóåò ñîëíå÷íûå ëó÷è, äåéñòâóÿ êàê ñîáèðàþùàÿ ëèíçà. Äàííûé øàð ñîáèðàåò ëó÷è íà ðàññòîÿíèè 5 ìì îò åãî ïîâåðõíîñòè. Èíòåðåñíî, ÷òî ìàëåíüêèå êàïåëüêè âîäû íà ëèñòüÿõ ðàñòåíèé èìåþò ïî÷òè ñôåðè÷åñêóþ ôîðìó (èç-çà çíà÷èòåëüíîãî ïðåîáëàäàíèÿ ñèë ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ íàä ñèëîé òÿæåñòè). Òàêèå êàïåëüêè, ôîêóñèðóÿ ñîëíå÷íûå ëó÷è íà ëèñòüÿõ, òî÷å÷íî îáæèãàþò èõ. Âîò ïî÷åìó ðàñòåíèÿ íå íàäî ïîëèâàòü â òî âðåìÿ, êîãäà îíè îñâåùåíû ñîëíöåì. Ðàññ÷èòàåì òåïåðü òåîðåòè÷åñêè ôîêóñíîå ðàññòîÿíèå øàðà F = OC (ðèñ.1). Ðàññìîòðèì ëó÷, èäóùèé âáëèçè îäíîé èç ãëàâíûõ îïòè÷åñêèõ îñåé øàðà ïàðàëëåëüíî åé. Ìåñòî ïåðåñå÷åíèÿ âûøåäøåãî èç øàðà ëó÷à è îñè – òî÷êà Ñ – è åñòü ôîêóñ «òîëñòîé» ëèíçû, ò.å. íàøåãî øàðà. Ïàðàêñèàëüíîñòü ëó÷åé ãàðàíòèðóåò íàì, ÷òî óãëû α, β, γ áóäóò ìàëûìè, ò.å. çíà÷èòåëüíî ìåíüøèìè îäíîãî ðàäèàíà. Ïî çàêîíó ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà â òî÷êàõ À è  èìååì ñîîòâåòñòâåííî sin α = n sin β , n sin β = sin γ , ãäå n – ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ìàòåðèàëà øàðà. Îòñþäà ïîëó÷àåì γ = α . Ïðèìåíèì ê òðåóãîëüíèêó ÎÂÑ òåîðåìó ñèíóñîâ: F R = , sin 180° - α  sin 2α - 2β îòêóäà ïîëó÷èì R sin α , sin 2α - 2β ãäå R – ðàäèóñ øàðà. Òàê êàê ñèíóñ ìàëîãî (â ðàäèàííîé ìåðå) óãëà ìîæíî (è íóæíî) çàìåíèòü ñàìèì óãëîì, òî îêîí÷àòåëüíî èìååì F=

F=

Rα Rn = . 2 α - β 2 n - 1

(1)


ØÊÎËÀ

!

«ÊÂÀÍÒÅ»

Ðèñ. 2

Ðèñ. 1

Ôàêò îòñóòñòâèÿ çäåñü âåëè÷èíû β ãîâîðèò î òîì, ÷òî âñå ïàðàêñèàëüíûå ëó÷è ñîáèðàþòñÿ â îäíîé òî÷êå Ñ, ò.å. ìû íàøëè äåéñòâèòåëüíî ôîêóñ. Ïîëó÷åííàÿ ôîðìóëà äàåò âîçìîæíîñòü, èñïîëüçóÿ ïðåäûäóùèå èçìåðåíèÿ, óçíàòü ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà, èç êîòîðîãî èçãîòîâëåí øàð: n=

Â

2F 4F 4 × 3,25 = = = 1,73 . 2F - R 4F - d 4 × 3,25 - 5,5

Âèäèì, ÷òî ìàãè÷åñêèé êðèñòàëë ñäåëàí èç êà÷åñòâåííîãî îïòè÷åñêè ïëîòíîãî ñòåêëà. Èç ôîðìóëû (1) äëÿ ôîêóñíîãî ðàññòîÿíèÿ ëåãêî âûâåñòè, ÷òî ïðè 1 < n < 2 F > R, ïðè n = 2

F = R,

ïðè n > 2

F < R.

ßñíî, ÷òî ðèñóíîê 1 è âûâåäåííàÿ íà åãî îñíîâå ôîðìóëà ñïðàâåäëèâû ïðè 1 < n < 2 . À äëÿ n > 2 ïðèäåòñÿ ñäåëàòü äðóãîé ðèñóíîê (ðèñ.2) è ïîëó÷èòü äðóãóþ ôîðìóëó ôîêóñà øàðà. Âû÷èñëåíèÿ âåñüìà ïîõîæè íà ïåðâûé ñëó÷àé, ïîýòîìó áóäåì êðàòêè: ïðèìåíèì òåîðåìó ñèíóñîâ ê òðåóãîëüíèêó ÀÎÑ è çàïèøåì çàêîí ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà â òî÷êå À. Ñèíóñû ìàëûõ óãëîâ ñðàçó çàìåíèì ñàìèìè óãëàìè. Òîãäà èç óðàâíåíèé F R = è α = nβ β α-β

«Íåïîñëóøíûå êîëþ÷êè» (Íà÷àëî ñì. íà 2-é ñ. îáë.) ×åìïèîíàòû ïî ðåøåíèþ çàíèìàòåëüíûõ çàäà÷-ãîëîâîëîìîê ïðîâîäÿòñÿ â íàøåé ñòðàíå ñ 1998 ãîäà. Îðãàíèçóåò èõ ìîñêîâñêèé êëóá «Äèîãåí», îáúåäèíÿþùèé ñîòíè ëþáèòåëåé ãîëîâîëîìîê èç ìíîãèõ ãîðîäîâ Ðîññèè è çàðóáåæíûõ ñòðàí. Ëåòîì 2006 ãîäà â Ìîñêâó ïðèåõàëè 34 ïðåòåíäåíòà íà çâàíèå ÷åìïèîíà Ðîññèè. Îíè çàâîåâàëè ýòî ïðàâî ïî èòîãàì çàî÷íûõ ñîðåâíîâàíèé, êîòîðûå ïðîâîäÿòñÿ êðóãëûé ãîä íà ñàéòå www.diogen.h1.ru. Èòîãîâîå ñîñòÿçàíèå â Ìîñêâå ïðîõîäèëî â íåñêîëüêî òóðîâ è äëèëîñü áîëåå øåñòè ÷àñîâ.  ðåçóëüòàòå ÷åòâåðòûé ãîä ïîäðÿä ÷åìïèîíîì ñòàë Àíäðåé Áîãäàíîâ èç ãîðîäà Æåëåçíîäîðîæíûé Ìîñêîâñêîé îáëàñòè. Íà ïîäîáíûõ ñîðåâíîâàíèÿõ, êàê ïðàâèëî, ïðåäëàãàþòñÿ çàäà÷è, äëÿ ðåøåíèÿ êîòîðûõ äîñòàòî÷íî èìåòü ëèñò áóìàãè è êàðàíäàø èëè ðó÷êó. Íî äëÿ íåêîòîðûõ çàäàíèé è ýòîãî íå ïîòðåáîâàëîñü. Ó÷àñòíèêàì ðàçäàëè ïðåäìåòíûå (ìåõàíè÷åñêèå) ãîëîâîëîìêè â ðàçîáðàííîì âèäå. Çàäà÷à ñîñòîÿëà â òîì, ÷òîáû ñîáðàòü èõ, ò.å. ðàñïîëîæèòü äåòàëè ãîëîâîëîìîê îïðåäåëåííûì îáðàçîì.

ñðàçó íàõîäèì R . (2) n -1 Îòìåòèì, ÷òî äëÿ n = 2 ïîäõîäÿò îáå ôîðìóëû ôîêóñíîãî ðàññòîÿíèÿ øàðà – (1) è (2). À áûâàåò ëè ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ñòåêëà áîëüøå äâóõ? Îáû÷íî â çàäà÷àõ âñòðå÷àþòñÿ ÷èñëà, ìåíüøèå äâóõ, íî â «Ñïðàâî÷íèêå ïî ôèçèêå» À.Ñ.Åíîõîâè÷à, íàïðèìåð, óêàçàí äèàïàçîí ïîêàçàòåëåé ïðåëîìëåíèÿ îïòè÷åñêîãî ñòåêëà îò 1,47 äî 2,04. Ìîæíî íàäåÿòüñÿ, ÷òî ïðè íåèçáåæíîì ñîâåðøåíñòâîâàíèè òåõíèêè è òåõíîëîãèè èçãîòîâëåíèÿ îïòè÷åñêîãî ñòåêëà óäàñòñÿ ïîëó÷èòü îáðàçöû è ñ áóëüøèìè ïîêàçàòåëÿìè ïðåëîìëåíèÿ.  çàêëþ÷åíèå ñðàâíèì «òîëñòóþ» è «òîíêóþ» ëèíçû. Åñëè äëÿ øàðà ìû ïîëó÷èëè äâå ðàçíûå ôîðìóëû ôîêóñíîãî ðàññòîÿíèÿ: îäíó äëÿ n £ 2 , äðóãóþ äëÿ n ³ 2 , òî äëÿ òîíêîé ëèíçû òàêàÿ ôîðìóëà, êàê èçâåñòíî, îäíà: F=

1 , æ 1 1ö n - 1 ç + ÷ è R1 R2 ø ãäå R1 è R2 – ðàäèóñû ñôåðè÷åñêèõ ïîâåðõíîñòåé, îãðàíè÷èâàþùèõ òîíêóþ ëèíçó.  ÷àñòíîñòè, ïðè R1 = R2 = R F=

F=

R . 2 n - 1

(3)

Âèäíî, ÷òî ôîðìóëà (3) îòëè÷àåòñÿ è îò ôîðìóëû (1), è îò ôîðìóëû (2).

Ãîëîâîëîìêó «Íåïîñëóøíûå êîëþ÷êè» âû ëåãêî ìîæåòå ñäåëàòü ñàìîñòîÿòåëüíî. Äëÿ ýòîãî ïåðåíåñèòå êîíòóðû ïëàñòèíû è êîëþ÷êè ñ îáëîæêè æóðíàëà íà ëèñò êëåò÷àòîé áóìàãè, à çàòåì âûðåæüòå êîïèþ ïëàñòèíû è ÷åòûðå îäèíàêîâûå êîëþ÷êè. Ïîíÿòíî, ÷òî ïåðâóþ è âòîðóþ êîëþ÷êè óëîæèòü âíóòðü øåñòèóãîëüíèêà î÷åíü ëåãêî. Ïðè óêëàäêå òðåòüåé äåòàëè âàì ïðèäåòñÿ èçðÿäíî ïîòðóäèòüñÿ. Íà ÷åìïèîíàòå áûñòðåå âñåõ ãîëîâîëîìêó ðåøèëà Íàòàëüÿ Íàëèìîâà èç Åêàòåðèíáóðãà, âòîðûì áûë Àíäðåé Áîãäàíîâ. Èì ïîíàäîáèëîñü äëÿ ýòîãî ìåíåå ïÿòè ìèíóò. Îðãàíèçàòîðû ñ÷èòàëè, çà 15 ìèíóò ãîëîâîëîìêó äîëæíû ðåøèòü âñå, íî çà ýòî âðåìÿ ñ íåé ñïðàâèëèñü òîëüêî 12 ÷åëîâåê. Ïîýòîìó îòêðîåì ñåêðåò, êîòîðîãî íå çíàëè ó÷àñòíèêè ÷åìïèîíàòà: óêëàäûâàòü â øåñòèóãîëüíèê ëåã÷å ñðàçó ÷åòûðå êîëþ÷êè, à íå òðè! Ïîäóìàéòå ñàìè: âñå äåòàëè îäèíàêîâû, à øåñòèóãîëüíèê ñèììåòðè÷åí, ñëåäîâàòåëüíî, ìîæíî çàðàíåå ïðåäïîëîæèòü, ÷òî èç êîëþ÷åê íàäî ñêëàäûâàòü êîìïàêòíóþ è ñèììåòðè÷íóþ ôèãóðó, ñîñòîÿùóþ èç äâóõ îäèíàêîâûõ ïîëîâèíîê. Åñëè äî ýòîãî äîãàäàòüñÿ, òî ðåøåíèå áóäåò íàéäåíî áûñòðî. À.Êàëèíèí


Ïîñìîòðè ñêâîçü ïåðèëà ìîñòà, è òû óâèäèøü, êàê ìîñò ïëûâåò ïî íåïîäâèæíîé âîäå. Êèòàéñêîå èçðå÷åíèå Çà Êèåâîì ïîêàçàëîñü âåëèêîå ÷óäî! Âäðóã ñòàëî âèäèìî äàëåêî âî âñå êîíöû ñâåòà. Âäàëè çàñèíåë Ëèìàí, çà Ëèìàíîì ðàçëèâàëîñü ×åðíîå ìîðå. Áûâàëûå ëþäè óçíàëè è Êðûì... Íèêîëàé Ãîãîëü

...Ïîçíàâàíèå ÿâëåíèé ïðèðîäû, âîñïðèíèìàåìûõ ÷åðåç çðåíèå, âûõîäèò çà ðàìêè ôèçèêè êàê òàêîâîé... Ñîâåðøåííî èçëèøíå ñðàâíèâàòü çðèòåëüíûå îùóùåíèÿ äâóõ ðàçíûõ ëþäåé, ñìîòðÿùèõ íà îäèí è òîò æå... ïðåäìåò. Ðè÷àðä Ôåéíìàí

?

À òàê ëè õîðîøî çíàêîìû âàì

çðèòåëüíûå èëëþçèè

Ñ ñàìèìè èëëþçèÿìè íàì ïðèõîäèòñÿ ñòàëêèâàòüñÿ ÷óòü ëè íå êàæäûé äåíü, íî âðÿä ëè ìû èõ âîîáùå çàìå÷àåì èëè ðàñöåíèâàåì êàê èëëþçèè. Äåéñòâèòåëüíî, ðàçâå ìû çàäóìûâàåìñÿ íàä òåì, ÷òî èçîáðàæåíèå íà ýêðàíå â êèíî ëèáî â òåëåâèçîðå ýòî ðÿä ñìåíÿþùèõñÿ êàäðîâ, ñëèâàþùèõñÿ â äâèæóùóþñÿ êàðòèíêó òîëüêî áëàãîäàðÿ îñîáåííîñòÿì íàøèõ ãëàç? Èëè, ãëÿäÿ â çåðêàëî, âñïîìèíàåì, ÷òî âèäèì â íåì ìíèìûå èçîáðàæåíèÿ ïðåäìåòîâ äà è ñàìèõ ñåáÿ? Îäíàêî åñëè âñå æå çàäóìàåìñÿ äà åùå è ïðèñëóøàåìñÿ ê ïîðîé ñêåïòè÷åñêèì çàìå÷àíèÿì îá îáìàíàõ çðåíèÿ, íà êîòîðûå íå ñêóïèëèñü è ó÷åíûå è ïèñàòåëè ñ äðåâíèõ âðåìåí äî íàøèõ äíåé, òî ìîæåì ïîñòàâèòü âîïðîñ: à íàñêîëüêî ýòî êàñàåòñÿ ôèçèêè? Âîçìîæíî, ðàçãàäêè îïòè÷åñêèõ èëëþçèé íàäî èñêàòü ôèçèîëîãàì è âðà÷àì èëè ïñèõîëîãàì è èñêóññòâîâåäàì? Íî, ñ äðóãîé ñòîðîíû, ðàçâå ìîæåò ôèçèêà îòêàçàòüñÿ îò äàëüíåéøèõ ïîïûòîê ïîíÿòü, êàêèì îáðàçîì ìû âîñïðèíèìàåì îêðóæàþùèé ìèð, åñëè â åå àðñåíàëå íàêîïëåí îãðîìíûé îïûò îïòè÷åñêèõ èññëåäîâàíèé, â òîì ÷èñëå è çðèòåëüíûõ èëëþçèé? Ñêîðåå, îáúåäèíåíèå óñèëèé ó÷åíûõ è ïðàêòèêîâ ñàìûõ ðàçíûõ íàïðàâëåíèé ïðèíåñåò óñïåõ – è íå òîëüêî â óäîâëåòâîðåíèè ëþáîïûòñòâà ïðè ðàñêðûòèè òàéí çðåíèÿ, íî è äëÿ ðåøåíèÿ ìåäèöèíñêèõ, òåõíè÷åñêèõ è äðóãèõ çàäà÷. Ýòî è ëå÷åíèå ãëàçíûõ áîëåçíåé, è ñîçäàíèå íîâûõ âèçóàëüíûõ ñðåäñòâ êîììóíèêàöèè, è ñíàáæåíèå ðîáîòîâ çðåíèåì... Ïîêà æå îãðàíè÷èì ñåáÿ âîïðîñàìè, òðåáóþùèìè çíàíèÿ ëèøü â îáúåìå øêîëüíîé îïòèêè. À îá èëëþçèÿõ, ñâÿçàííûõ ñ óñòðîéñòâîì ãëàçà èëè ñ àòìîñôåðíûìè ÿâëåíèÿìè, ìû íàäååìñÿ ïîãîâîðèòü ïîçæå. Âîïðîñû è çàäà÷è 1. Ïî÷åìó â ÿñíûé ñîëíå÷íûé äåíü ïðè ñáëèæåíèè äâóõ ïðåäìåòîâ, íàïðèìåð êàðàíäàøåé èëè ïàëüöåâ ðóê, èõ òåíè íà ýêðàíå òÿíóòñÿ äðóã ê äðóãó è «ñëèïàþòñÿ» ðàíüøå, ÷åì ñîïðèêàñàþòñÿ ñàìè ïðåäìåòû? 2. Ðàñïîëîæèâ ñïè÷êó ìåæäó ãëàçîì è êíèæíûì òåêñòîì, çàêðîåì åþ êàêóþ-íèáóäü ñòðîêó. Çàòåì ñäåëàåì òî æå ñàìîå, äåðæà ñïè÷êó íà ðàññòîÿíèè 1–2

ñàíòèìåòðà îò ãëàçà. Òåïåðü òåêñò áóäåò âèäåí «ñêâîçü» ñïè÷êó. Ïî÷åìó? 3. Íàáëþäàÿ äíåì ëóííûé ñåðï, ìûñëåííî ïðîâåäèòå ëèíèþ ïî åãî îñè ñèììåòðèè. Áóäåò ëè ýòà ëèíèÿ ïðîõîäèòü ÷åðåç Ñîëíöå? 4. Åñëè îòîéòè îò ñåò÷àòîé îãðàäû, îêðóæàþùåé òåííèñíûé êîðò, òî èãðàþùèõ ñòàíåò âèäíî ëó÷øå. Êàê ýòî îáúÿñíèòü? 5. Ñî âðåìåí Àðèñòîòåëÿ ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî ÿðêèå çâåçäû ìîæíî óâèäåòü è äíåì, åñëè ñìîòðåòü íà íåáî ÷åðåç äëèííóþ, íàïðèìåð ïå÷íóþ, òðóáó èëè èç ãëóáîêîãî êîëîäöà. Òàê ëè ýòî? 6.  ïëîñêîì çåðêàëå ïîëó÷åíî ìíèìîå èçîáðàæåíèå Ñîëíöà. Ìîæíî ëè ýòèì «ìíèìûì ñîëíöåì» ïðîæå÷ü áóìàãó ñ ïîìîùüþ ñîáèðàþùåé ëèíçû? 7. Âûïóêëûå çåðêàëà ñèëüíî èñêàæàþò ôîðìó ïðåäìåòîâ. Ïî÷åìó æå ðÿäîì ñ êàáèíàìè âîäèòåëåé àâòîìàøèí óñòàíàâëèâàþò èìåííî òàêèå çåðêàëà? 8. Ìîæíî ëè ïðîäåìîíñòðèðîâàòü êîìó-ëèáî, êàê ñâå÷à ãîðèò ïîä âîäîé? 9.  ëåòíèé ñîëíå÷íûé äåíü àñôàëüòîâîå øîññå êàæåòñÿ áëåñòÿùèì, åñëè ñìîòðåòü íà íåãî âäàëü. Ïî÷åìó? 10.  äîæäëèâûé äåíü äîì îòðàæàåòñÿ â ìîêðîì àñôàëüòå. Îò÷åãî â èçîáðàæåíèè äîìà, êàê âèäíî èç ðèñóíêà, âñå îêíà ñâåòëûå, õîòÿ íà ñàìîì äîìå îêíà íèæíèõ ýòàæåé òåìíûå? 11. ×åëîâåê ñòîèò ïî ïîÿñ â âîäå íà ãîðèçîíòàëüíîì äíå áàññåéíà. Ïî÷åìó åìó êàæåòñÿ, ÷òî îí ñòîèò â óãëóáëåíèè? 12. Ñ ïîãðóæåííîé ïîäâîäíîé ëîäêè îïðåäåëèëè ñêîðîñòü ïðîëåòàþùåãî íàä íåé ñàìîëåòà. Âî ñêîëüêî ðàç êàæóùàÿñÿ ñêîðîñòü ñàìîëåòà îòëè÷àåòñÿ îò èñòèííîé? 13. Ñòåêëÿííûé ïðÿìîóãîëüíûé àêâàðèóì ñ íåïðîç-


ðà÷íûìè ðåáðàìè ïðîñìàòðèâàåòñÿ ïî íàïðàâëåíèþ åãî äèàãîíàëè, ïðè ýòîì íàáëþäàåòñÿ óäâîåííîå èçîáðàæåíèå ðûáêè, åñëè îíà íàõîäèòñÿ âáëèçè ïðîòèâîïîëîæíîãî ðåáðà. Ïî÷åìó? 14. Åñëè ïîñìîòðåòü íà ìîíåòó, ëåæàùóþ íà äíå çàïîëíåííîé âîäîé áàíêè, ïîä îïðåäåëåííûì óãëîì, òî èçîáðàæåíèå ìîíåòû ìîæíî óâèäåòü íà ïîâåðõíîñòè âîäû. Íî åñëè ïðèëîæèòü ñ îáðàòíîé ñòîðîíû áàíêè ìîêðóþ ëàäîíü, òî èçîáðàæåíèå èñ÷åçíåò. ×åì ýòî ìîæíî îáúÿñíèòü? 15. Ïî÷åìó âîñõîäÿùåå èëè çàõîäÿùåå Ñîëíöå ÷àñòî êàæåòñÿ ñïëþñíóòûì? 16. Ñîëíöå èëè Ëóíà ïðèîáðåòàþò êðàñíûé îòòåíîê, åñëè íàõîäÿòñÿ íèçêî íàä ãîðèçîíòîì. ×åì ýòî îáúÿñíèòü? Ìèêðîîïûò Âçãëÿíèòå íà äâà ïðèâåäåííûõ ðèñóíêà. Ïîïðîáóéòå îöåíèòü íà ãëàç, âî ñêîëüêî ðàç îòëè÷àþòñÿ ðàçìåðû

áëèæíåãî è äàëüíåãî öèëèíäðîâ. Çàòåì ïðîâåðüòå âàøè ïðèêèäêè ñ ïîìîùüþ ëèíåéêè. Ëþáîïûòíî, ÷òî... ...íåñìîòðÿ íà òî ÷òî ãðåêàì åùå â òðåòüåì âåêå äî íîâîé ýðû áûëè èçâåñòíû íåêîòîðûå çàêîíû ãåîìåòðè÷åñêîé îïòèêè, åå íåðàçðûâíàÿ ñâÿçü ñ îñîáåííîñòÿìè ÷åëîâå÷åñêîãî âîñïðèÿòèÿ íå ïîäâåðãàëàñü ñîìíåíèþ. Ýòî îòðàçèëîñü äàæå â íàçâàíèè äèñöèïëèíû, èçó÷àâøåé ñâîéñòâà ñâåòà, – «çðèòåëüíîå èñêóññòâî». ...îäíî èç ðàííèõ îáúÿñíåíèé äåéñòâèÿ âîãíóòûõ çåðêàë áûëî äàíî â XIII âåêå Ðîäæåðîì Áýêîíîì. Âî âñÿêîì ñëó÷àå, ñ ïîìîùüþ òàêèõ çåðêàë åìó óäàâàëîñü ñîçäàâàòü «âèñÿùèå» â âîçäóõå ïðåäìåòû, ÷òî äàâàëî ïîâîä íåâåæåñòâåííûì ñîâðåìåííèêàì îáâèíÿòü åãî â âîëøåáñòâå. ...êîãäà â 1818 ãîäó Îãþñò Ôðåíåëü ïðåäñòàâèë â Ïàðèæñêóþ àêàäåìèþ íàóê ñâîé «Ìåìóàð î äèôðàêöèè ñâåòà», ðàñ÷åòû, ïðîäåëàííûå ïî åãî òåîðèè èçâåñòíûìè ôèçèêàìè, ïðèâîäèëè ê ïàðàäîêñàëüíûì ðåçóëüòàòàì. Íàïðèìåð, â öåíòðå òåíè îò øàðèêà íà ýêðàíå äîëæíî áûëî íàáëþäàòüñÿ ñâåòëîå ïÿòíî. Ó÷åíûå íå âåðèëè ñâîèì ãëàçàì, îáíàðóæèâ ýòî ïÿòíî â ýêñïåðèìåíòå, íî ýòî áûëà íå èëëþçèÿ, à ôàêò, ïîäòâåðæäàþùèé âîëíîâóþ ïðèðîäó ñâåòà. ...àòìîñôåðíàÿ ðåôðàêöèÿ ñîëíå÷íûõ ëó÷åé îáúÿñ-

íÿåò íå òîëüêî âîçíèêíîâåíèå îïòè÷åñêèõ ìèðàæåé; áëàãîäàðÿ åé íà íåñêîëüêî ìèíóò óäëèíÿåòñÿ ñâåòîâîé äåíü, à â âûñîêèõ øèðîòàõ ïîëÿðíàÿ íî÷ü îêàçûâàåòñÿ êîðî÷å ïîëÿðíîãî äíÿ. ...äåìîíñòðèðóÿ óâåëè÷åíèå èëè óìåíüøåíèå ëþäåé è ïðåäìåòîâ, èõ ìîëíèåíîñíîå ïîÿâëåíèå èëè èñ÷åçíîâåíèå, à òàêæå ñâîáîäíîå «ïàðåíèå» íàä çåìëåé, çíàìåíèòûå ÷àðîäåè è èëëþçèîíèñòû, íàïðèìåð Äýâèä Êîïïåðôèëä, âïîëíå ðàñ÷åòëèâî îïèðàþòñÿ íà çíàíèå ôèçè÷åñêèõ çàêîíîâ è çà÷àñòóþ ïðèìåíÿþò ñàìóþ ñîâðåìåííóþ îïòè÷åñêóþ òåõíèêó. ...ìîðÿêè, ïîáûâàâøèå â Èñëàíäèè, ïðèâîçèëè â Åâðîïó íåîáû÷íûå êðèñòàëëû, îáëàäàâøèå òåì çàáàâíûì ñâîéñòâîì, ÷òî ðàññìàòðèâàåìûå ñêâîçü íèõ ïðåäìåòû êàê áû äâîèëèñü. Îêàçàëîñü, ÷òî ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç òàêîé êðèñòàëë, íàçâàííûé èñëàíäñêèì øïàòîì, ëó÷ ñâåòà ðàñùåïëÿåòñÿ íà äâà: «îáûêíîâåííûé» ëó÷ ñîîòâåòñòâóåò çàêîíó ïðåëîìëåíèÿ, «íåîáûêíîâåííûé» æå ñëîâíî íàðóøàåò åãî. Èçó÷åíèå ýòîãî àíîìàëüíîãî ïðåëîìëåíèÿ ñûãðàëî âàæíóþ ðîëü â îòêðûòèè ïîëÿðèçàöèè ñâåòà. ...åùå ìåíåå ïîëóâåêà íàçàä ïîêàç íåîòëè÷èìûõ îò îðèãèíàëà îáúåìíûõ èçîáðàæåíèé, ïîëó÷åííûõ ñ ïîìîùüþ ãîëîãðàôèè, ïîðàæàë âîîáðàæåíèå ëþáîé àóäèòîðèè. Îäíàêî óæå äîâîëüíî ñêîðî áûë ñîçäàí ãîëîãðàôè÷åñêèé êèíîôèëüì, è íå çà ãîðàìè âðåìÿ, êîãäà îáúåìíûå êèíî è òåëåâèäåíèå ñòàíóò ïîâñåäíåâíîé ðåàëüíîñòüþ. ...íåñêîëüêî ëåò íàçàä áûëè ïîëó÷åíû êîìïîçèòíûå ìàòåðèàëû ñ íåîáû÷íûìè îïòè÷åñêèìè ñâîéñòâàìè. Ëó÷ ñâåòà, ïðåëîìëåííûé íà ãðàíèöå âîçäóõ – êîìïîçèò, îòêëîíÿëñÿ â ñòîðîíó, ïðîòèâîïîëîæíóþ îòêëîíåíèþ â ïðèâû÷íîì ñëó÷àå, èíûìè ñëîâàìè, ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ òàêîãî âåùåñòâà – îòðèöàòåëüíûé! ...îäíà èç ñàìûõ ãðàíäèîçíûõ îïòè÷åñêèõ èëëþçèé, ñîçäàííûõ ñàìîé ïðèðîäîé, ýòî ãðàâèòàöèîííàÿ ëèíçà. Èñêðèâëåíèå ñâåòîâûõ ëó÷åé òÿãîòåíèåì ïðè èõ ïðîõîæäåíèè âáëèçè ìàññèâíûõ çâåçä èëè ãàëàêòèê ïðèâîäèò ê ïîÿâëåíèþ êîñìè÷åñêîãî ìèðàæà – óìíîæåíèþ ÷èñëà èçîáðàæåíèé óäàëåííîãî ñâåòÿùåãîñÿ îáúåêòà. ×òî ÷èòàòü â «Êâàíòå» î çðèòåëüíûõ èëëþçèÿõ (ïóáëèêàöèè ïîñëåäíèõ ëåò)

1. «Íå âåðü ãëàçàì ñâîèì...» – 2002, Ïðèëîæåíèå ¹ 4, ñ. 8; 2. «Êàê óçðåòü ñâîé çàòûëîê âäàëè» – 2002, ¹ 5, ñ. 34; 3. «Âîëíû íà ïëÿæå, Ñîëíöå â íåáå è ìíîãîå äðóãîå» – 2004, Ïðèëîæåíèå ¹ 4, ñ. 101; 4. «Ôèçè÷åñêèé êàëåéäîñêîï» – 2004, Ïðèëîæåíèå ¹ 6, ñ. 78 – 96; 5. «Óãîë ïàäåíèÿ ðàâåí...» – 2005, ¹ 1, ñ. 31; 6. «Âîðîíà – õâîñòîì âïåðåä?» – 2005, ¹ 5, ñ. 28; 7. «Çàãàäêà» òåíè îò ïðîçðà÷íîé ïëàñòèíêè» – 2006, ¹ 1, ñ. 30; 8. «Ôîòîííûå êðèñòàëëû è äðóãèå ìåòàìàòåðèàëû» – 2006, Ïðèëîæåíèå ¹2; 9. «Ðàçãëÿäûâàÿ øàðèêîâóþ ðó÷êó» – 2006, ¹3, ñ. 31; 10. «Äåííèñ Ãàáî𻠖 2006, ¹4, ñ. 15.

Ìàòåðèàë ïîäãîòîâèë À.Ëåîíîâè÷


!"

T 2006/¹5 Ô È Ç È × Å ÑÊÊÂ ÀÈÍÉ ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ

Íà ëèôòå â... çàîáëà÷íûå äàëè Ï.ÁÅÍÎÌÀÐ, À.ÁÓÐÎÂ

Î

Á ÎÄÍÎÌ ÍÀÁËÞÄÀÒÅËÅ. ÆÈË ÄÀ ÁÛË ÍÀ ÝÊÂÀÒÎÐÅ

îäèí Íàáëþäàòåëü. È ëþáèë îí íàáëþäàòü çà íåáîì, âåðíåå çà ñïóòíèêàìè, ñîâåðøàþùèìè äâèæåíèå â ýêâàòîðèàëüíîé ïëîñêîñòè. Îñîáåííî íðàâèëèñü åìó òå ñïóòíèêè, êîòîðûå äâèãàëèñü ïî êðóãîâûì îðáèòàì ïî õîäó âðàùåíèÿ Çåìëè. Èç íèõ âûäåëÿëñÿ îäèí, ïîëîæåíèå êîòîðîãî íå ìåíÿëîñü, – îí êàê áû çàâèñàë íàä îäíîé òî÷êîé ýêâàòîðà è âèñåë òàì ñóòêè íàïðîëåò. Íàáëþäàòåëü çíàë, ÷òî èìåííî ïîýòîìó òàêîé ñïóòíèê íàçûâàåòñÿ ñóòî÷íûì – óãëîâàÿ ñêîðîñòü åãî îðáèòàëüíîãî äâèæåíèÿ ðàâíÿåòñÿ óãëîâîé ñêîðîñòè Ω âðàùåíèÿ Çåìëè. Èç ôèçèêè íàáëþäàòåëþ áûëî èçâåñòíî, ÷òî â òàêîì îòíîñèòåëüíîì ðàâíîâåñèè, ò.å. â ðàâíîâåñèè îòíîñèòåëüíî âðàùàþùåéñÿ Çåìëè, ñïóòíèê íàõîäèòñÿ ïîòîìó, ÷òî èìåííî íà ýòîé îðáèòå ðàäèóñîì R óðàâíîâåøèâàþòñÿ öåíòðîáåæíàÿ ñèëà èíåðöèè Fè = mΩ2 R , ñòðåìÿùàÿñÿ îòáðîñèòü ñïóòíèê ïîäàëüøå îò îñè âðàùåíèÿ GmM Çåìëè, è ñèëà çåìíîãî òÿãîòåíèÿ Fò = , ëàñêîâî ïðèR2 òÿãèâàþùàÿ åãî ê öåíòðó Çåìëè (çäåñü G – ãðàâèòàöèîííàÿ ïîñòîÿííàÿ, à Ì – ìàññà Çåìëè). Èç óðàâíåíèÿ GmM =0 R2 íàøåìó Íàáëþäàòåëþ óäàëîñü íàéòè, ÷òî ðàäèóñ îðáèòû ñóòî÷íîãî ñïóòíèêà, èíà÷å íàçûâàåìîé ãåîñòàöèîíàðíîé îðáèòîé, ðàâåí GM R=3 2 Ω è ñîñòàâëÿåò ïðèáëèçèòåëüíî 42000 êì. Ìíîãî ýòî èëè ìàëî – òðóäíî ñêàçàòü, íî íàø Íàáëþäàòåëü ïîíèìàë, ÷òî ñ óðàâíåíèåì äâèæåíèÿ òåñíî ñâÿçàí òðåòèé çàêîí Êåïëåðà mΩ2 R -

ω2r 3 = GM , ãäå ω è r – îðáèòàëüíàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü è ðàäèóñ îðáèòû ñïóòíèêà ñîîòâåòñòâåííî. È èìåííî ñîãëàñíî ýòîìó çàêîíó ñïóòíèêè, «îáãîíÿâøèå» Çåìëþ â åå âðàùåíèè, ëåòàëè ïî îðáèòàì áîëåå íèçêèì, ÷åì îðáèòà ñóòî÷íîãî ñïóòíèêà. Ñïóòíèêè æå, «îòñòàâàâøèå» îò âðàùåíèÿ Çåìëè, ëåòàëè ïî áîëåå âûñîêèì, ÷åì ãåîñòàöèîíàðíàÿ, îðáèòàì. Îá îäíîì Ìå÷òàòåëå. Ó íàøåãî Íàáëþäàòåëÿ áûë äðóã, Ìå÷òàòåëü, êîòîðûé áûë â êóðñå âñåõ ýòèõ íàáëþäåíèé. «Ýõ, – ãîâîðèë îí, – êàê-òî çðÿ âèñèò ýòîò ñàìûé ñóòî÷íûé ñïóòíèê. Ïðèñòàâèòü áû ê íåìó ëåñòíèöó äà è äîñòàâëÿòü ïî íåé â êîñìîñ âñÿêèå ãðóçû. È íèêàêèõ òåáå ðàêåò íå íàäî». «×òî òû! – îòâå÷àë åìó íàáëþäàòåëü. – Òû ïðåäñòàâü ñåáå, ñêîëüêî ýòà ëåñòíèöà áóäåò âåñèòü». «Íó, òàê íàäî ñäåëàòü åå ïîêîðî÷å», – íå óíèìàëñÿ Ìå÷òàòåëü. «Ñàì ïîñóäè, – îòâå÷àë åìó Íàáëþäàòåëü. – Ìûñëåííî ïîìåñòèì íàø ñïóòíèê ïîíèæå ãåîñòàöèîíàðíîé îðáèòû. Òîãäà ïðè çàäàííîé óãëîâîé ñêîðîñòè Ω öåíòðîáåæíàÿ ñèëà èíåðöèè óìåíüøèò-

ñÿ, òàê êàê îíà ïðîïîðöèîíàëüíà ðàññòîÿíèþ äî îñè âðàùåíèÿ, à ñèëà òÿãîòåíèÿ óâåëè÷èòñÿ, ïîñêîëüêó îíà îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó ðàññòîÿíèÿ äî öåíòðà Çåìëè. ×òîáû êîìïåíñèðîâàòü ýòó ðàçíèöó, ïðèäåòñÿ ïðèñòàâèòü ïîäïîðêó. Äà è áûëî óæå âñå ýòî – âñïîìíè Áèáëåéñêóþ èñòîðèþ ïðî Âàâèëîíñêóþ áàøíþ». «Ïîãîäè, ïîãîäè! Íó à òîãäà äàâàé ðàçìåñòèì íàø ñïóòíèê çà ãåîñòàöèîíàðíîé îðáèòîé. Âåäü òàì öåíòðîáåæíàÿ ñèëà èíåðöèè ïî òåì æå ïðè÷èíàì ïðåâîñõîäèò ñèëó ïðèòÿæåíèÿ Çåìëè, è, ÷òîáû ñêîìïåíñèðîâàòü èõ ðàçíèöó, áóäåò íóæíà íå ïîäïîðêà, à ðàñòÿæêà, êîòîðàÿ áóäåò òÿíóòü ñïóòíèê ê Çåìëå. Íàòÿíåì òàêîé òðîñ èëè íåñêîëüêî òàêèõ òðîñîâ, è ïóñòü ïî íèì ïîëçàþò ëèôòû, òàñêàþò ãðóçû òóäà è îáðàòíî. À ÷òî êàñàåòñÿ ìàòåðèàëîâ, òî ãîâîðÿò, ÷òî ñïåöèàëèñòû ïî íàíîòåõíîëîãèÿì ñîçäàëè èç óãëåðîäà àëìàçíóþ íèòü — ýòàêèé ãèáêèé áðèëëèàíò, óäèâèòåëüíî ëåãêèé è ïðî÷íûé. Îñòàëîñü íàó÷èòüñÿ ïëåñòè èç òàêèõ íèòîê âåðåâêè, è äåëî áóäåò ñäåëàíî!» È îáà óìîëêëè, ìûñëåííî ñîçåðöàÿ áëèñòàþùóþ áðèëëèàíòîâóþ äîðîãó, èäóùóþ â çàîáëà÷íûå âûñè. Îá îäíîì Ñêåïòèêå. «Íó âîò, ðàçìå÷òàëèñü òóò!» – ðàçäàëñÿ ãîëîñ òðåòüåãî. Ýòîò òðåòèé áûë õîðîøî èçâåñòåí è Íàáëþäàòåëþ è Ìå÷òàòåëþ ñâîèì ñêåïòè÷åñêèì âçãëÿäîì íà âåùè. «Ïîäóìàéòå ñàìè, âîò ïðîòÿíåòå âû âåðåâêó â êîñìîñ


ÔÈÇÈ×ÅÑÊÈÉ

çà ãåîñòàöèîíàðíóþ îðáèòó, ò.å. òûñÿ÷ íà ñîðîê êèëîìåòðîâ, à îíà, íå äàé Áîã, ïî êàêèì-íèáóäü ïðè÷èíàì îáìîòàåòñÿ âîêðóã çåìíîãî ýêâàòîðà äà íàì âñåì ãîëîâû è ñíåñåò. Âåäü äëèíà ýêâàòîðà – êàê ðàç ñîðîê òûñÿ÷ êèëîìåòðîâ. Äà è ñêîëüêî âðåìåíè ïîòðåáóåòñÿ, ÷òîáû ïîäíÿòü âàø ãðóç íà îðáèòó. Ïóñòü äàæå ëèôò áóäåò åõàòü ñî ñêîðîñòüþ 10 ìåòðîâ â ñåêóíäó. Íó è äîáåðåòåñü âû äî ñâîåãî êîñìîñà çà òûñÿ÷ó ñ ëèøíèì ÷àñîâ, ò.å., ñ÷èòàé, çà äâà ìåñÿöà. ß óæ íå ãîâîðþ î òîì, ÷òî äåëàòü, åñëè òàêîé ëèôò çàñòðÿíåò – âû îáà, âåðîÿòíî, â ëèôòàõ íèêîãäà íå çàñòðåâàëè. À òàê çàñòðÿíåøü íà âûñîòå, êóäà ñàìîëåòû óæå íå ëåòàþò, à ñïóòíèêè åùå íå ëåòàþò. È ÷òî äåëàòü?» «Ëàäíî òåáå! – íàêèíóëèñü íà íåãî Íàáëþäàòåëü è Ìå÷òàòåëü. – Äóìàòü íàäî, ÷òî äåëàòü, à íå ïàíèêîâàòü çàðàíåå». «Äóìàé – íå äóìàé, à ïðîòèâ ôèçèêè íå ïîïðåøü. Äàâàéòå ïîñ÷èòàåì, ÷òî áóäåò, åñëè íàøà êàáèíà ñ ãðóçîì ñîðâåòñÿ ñ òðîñà èëè, íå äàé Áîã, òðîñ ïîðâåòñÿ è ïåðåñòàíåò óäåðæèâàòü êîíå÷íóþ ñòàíöèþ. Âñþäó äàëåå áóäåì ñ÷èòàòü, ÷òî òðîñ íåâåñîì. Âîñïîëüçóåìñÿ çàêîíîì ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè 2 mv2 GMm mvîòð GMm = , 2 2 r rîòð

ãäå â ïðàâîé ÷àñòè çíà÷åíèÿ ñêîðîñòè è ðàäèóñà ðàññìàòðèâàþòñÿ â ìîìåíò îòðûâà. Åñëè âåëè÷èíà â ïðàâîé ÷àñòè ïîëîæèòåëüíà, òî ïðè r ® ¥ íàøà êàáèíà èëè êîíå÷íàÿ ñòàíöèÿ ñìîæåò óäàëèòüñÿ â áåñêîíå÷íîñòü ñ íåíóëåâîé ñêîðîñòüþ, ò.å. óëåòèò ïî ãèïåðáîëè÷åñêîé îðáèòå è áóäåò ïîòåðÿíà íàâñåãäà. Òàê êàê â íàøåì ñëó÷àå v = Ωr , òî óñëîâèå ïîëîæèòåëüíîñòè ïîñëå äåëåíèÿ íà ïîëîæèòåëüíóþ ìàññó m çàïèøåòñÿ â âèäå Ω2r 2 CM >0. 2 r Âûðàæàÿ îòñþäà êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå äëÿ ðàäèóñà, ïîëó÷èì Rêðèò =

3

2GM 3 = 2R , Ω2

à 3 2 » 1,259921050 – ýòî íå òàê è ìíîãî, ò.å. ïðîòÿãèâàòü òðîñ ïî÷òè çà 54000 êì îïàñíî èç-çà ðèñêà óëåòà â «ïðåêðàñíîå äàëåêî». Ïðè r > Rêðèò îðáèòà áóäåò ãèïåðáîëè÷åñêîé, ò.å. íàøà êàáèíà ïðèëåòèò íà áåñêîíå÷íîñòü ñ íåíóëåâîé ñêîðîñòüþ. Ïðè r = Rêðèò îðáèòà áóäåò ïàðàáîëè÷åñêîé, ò.å. íàøà êàáèíà ïðèáóäåò íà áåñêîíå÷íîñòü ñ íóëåâîé ñêîðîñòüþ. Ïðè R < r < Rêðèò îðáèòà îêàæåòñÿ ýëëèïòè÷åñêîé, ïðè÷åì òî÷êà ñðûâà áóäåò åå ïåðèãååì, ò.å. ñàìîé áëèæíåé ê Çåìëå òî÷êîé. Ïðè r < R îðáèòà òîæå áóäåò ýëëèïòè÷åñêîé, íî òî÷êà ñðûâà áóäåò àïîãååì, ò.å. íàèáîëåå óäàëåííîé îò Çåìëè òî÷êîé. È èìåííî ïî òàêîé îðáèòå áóäåò «ïàäàòü» êàáèíà ëèôòà, ñîðâàâøåãîñÿ ñ òðîñà íèæå ãåîñòàöèîíàðíîé îðáèòû. È âîò åùå êàêîå äåëî. Êîãäà ÿ ðîíÿþ ÷òî-íèáóäü èç ðóê, òî, êàê ïðàâèëî, ýòî ÷òî-òî ïàäàåò ìíå íà íîãè, íå äîñòàâëÿÿ áîëüøèõ õëîïîò îêðóæàþùèì. Ñïðàøèâàåòñÿ, ÷òî áóäåò ñ êàáèíîé, åñëè îíà âäðóã îòöåïèòñÿ îò òðîñà. Ïîíÿòíî, ÷òî åñëè âûñîòà, íà êîòîðîé îíà îòöåïèòñÿ, áóäåò íåâåëèêà, òî êàáèíà óïàäåò íà ãîëîâó íåçàäà÷ëèâîìó ðàçðàáîò÷èêó. Äëÿ áîëüøèõ âûñîò ýòî áóäåò íå òàê. Âñïîìíèì âòîðîé çàêîí Êåïëåðà, ñîãëàñíî êîòîðîìó çà ðàâíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè ðàäèóñ-âåêòîð ëåòÿùåãî òåëà çà ðàâíûå ïðîìåæóòêè âðåìåíè çàìåòàåò ðàâíûå ïëîùàäè, èëè ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ çàìåòàåìîé ïëîùàäè íå ìåíÿåòñÿ âî âðåìåíè: 2 r 2θ¢ = rîòð θ¢îòð ,

!#

ÔÀÊÓËÜÒÀÒÈÂ

ãäå θ¢ è θ¢îòð – ñîîòâåòñòâóþùèå óãëîâûå îðáèòàëüíûå ñêîðîñòè. Ïîïðîáóåì ñ ïîìîùüþ ýòîãî çàêîíà è çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè ïîíÿòü, êàê ïîëåòèò îòöåïèâøàÿñÿ êàáèíà. À ïîëåòèò îíà ïî ýëëèïñó, îòöåïèâøèñü â åãî àïîãåå. Äëÿ íàñ áûëî áû õîðîøî, åñëè áû â ïåðèãåå ýòîãî ýëëèïñà îíà íå çàäåëà Çåìëþ.  òî÷êàõ àïîãåÿ è ïåðèãåÿ âåêòîð ñêîðîñòè êàáèíû ïåðïåíäèêóëÿðåí åå ðàäèóñó-âåêòîðó, îò÷åãî â ýòèõ òî÷êàõ v = rθ¢ . Òîãäà åñëè ρ – ðàäèóñ Çåìëè, à ωa – îðáèòàëüíàÿ óãëîâàÿ ñêîðîñòü â àïîãåå, òî â ñèëó çàêîíà ñîõðàíåíèÿ ýíåðãèè è âòîðîãî çàêîíà Êåïëåðà äëÿ êðèòè÷åñêîãî ñëó÷àÿ êàñàíèÿ Çåìëè èìååì mω2a ρ2 GMm mΩ2r 2 GMm , = 2 2 ρ r ρ2ωa = r 2Ω . Âûðàæàÿ èç âòîðîãî ñîîòíîøåíèÿ ωa è ïîäñòàâëÿÿ â ïåðâîå, ïîñëå ñîêðàùåíèé ïîëó÷èì óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî r: Ω2r 4 GM Ω2r 2 GM = . 2 ρ r 2ρ2 Ýòî óðàâíåíèå ïðèâîäèòñÿ ê âèäó

r - ρ Ω2r 3 r + ρ - 2GMρ = 0 è ïîìèìî î÷åâèäíîãî ðåøåíèÿ r = ρ , ñîîòâåòñòâóþùåãî ïðîõîæäåíèþ ÷åðåç àïîãåé, èìååò è äðóãîå, ñîñòàâëÿþùåå â íàøåì ñëó÷àå âåëè÷èíó ïîðÿäêà 30000 êì. Èíûìè ñëîâàìè, ëèøü óäàëèâ êàáèíó îò öåíòðà Çåìëè íà òàêîå ðàññòîÿíèå, ìîæíî áûòü ñïîêîéíûì, ÷òî îíà, îòöåïèâøèñü, íå óïàäåò íà ãîëîâó êàêîìó-íèáóäü ýêâàòîðèàëüíîìó æèòåëþ, íàïðèìåð ñèíãàïóðöó». È äðóçüÿ âíîâü ïîãðóçèëèñü â ìîë÷àíèå. Âìåñòî ýïèëîãà. À ïîêà îíè ìîë÷àò, ìû âñïîìíèì, ÷òî âîñõîäÿùàÿ ê Öèîëêîâñêîìó èäåÿ îðáèòàëüíîãî ëèôòà ïîëó÷èëà ñâîå ïðîäîëæåíèå ïîñëå ïîÿâèâøåéñÿ íà çàðå êîñìè÷åñêîé ýïîõè ñòàòüè ëåíèíãðàäñêîãî èíæåíåðà Þ.Àðöóòàíîâà «Â êîñìîñ – íà ýëåêòðîâîçå» («Êîìñîìîëüñêàÿ ïðàâäà», 31 èþëÿ 1960 ã.).  åå ïîïóëÿðèçàöèè íåñîìíåííóþ ðîëü ñûãðàëè è «Ôîíòàíû ðàÿ» Àðòóðà Êëàðêà. Íî âñå ýòî òàê áû è îñòàâàëîñü íåñáûòî÷íîé ìå÷òîé, åñëè áû íå íàíîòåõíîëîãèè, ïîäàâøèå íàäåæäó íà ñîçäàíèå ñâåðõëåãêèõ è ñâåðõïðî÷íûõ ìàòåðèàëîâ. Ïîãîâàðèâàþò î òîì, ÷òî çà îêåàíîì íà÷àòî ôèíàíñèðîâàíèå òðèäöàòèëåòíåé ïðîãðàììû ïî ðàçâåðòûâàíèþ îðáèòàëüíîãî ëèôòà – ñì., íàïðèìåð, ñàéò: http://www.isr.us/spaceelevatorconference/. Íî, êàê áû òî íè áûëî, íå ñòîèò çàáûâàòü ïå÷àëüíîãî îïûòà ïðåäêîâ (Áûòèå, ãëàâà 11): «1 Íà âñåé çåìëå áûë îäèí ÿçûê è îäíî íàðå÷èå. 2 Äâèíóâøèñü ñ âîñòîêà, îíè íàøëè â çåìëå Ñåííààð ðàâíèíó è ïîñåëèëèñü òàì. 3 È ñêàçàëè äðóã äðóãó: íàäåëàåì êèðïè÷åé è îáîææåì îãíåì. È ñòàëè ó íèõ êèðïè÷è âìåñòî êàìíåé, à çåìëÿíàÿ ñìîëà âìåñòî èçâåñòè. 4 È ñêàçàëè îíè: ïîñòðîèì ñåáå ãîðîä è áàøíþ, âûñîòîþ äî íåáåñ, è ñäåëàåì ñåáå èìÿ, ïðåæäå íåæåëè ðàññååìñÿ ïî ëèöó âñåé çåìëè. 5 È ñîøåë Ãîñïîäü ïîñìîòðåòü ãîðîä è áàøíþ, êîòîðûå ñòðîèëè ñûíû ÷åëîâå÷åñêèå. 6 È ñêàçàë Ãîñïîäü: âîò, îäèí íàðîä, è îäèí ó âñåõ ÿçûê; è âîò ÷òî íà÷àëè îíè äåëàòü, è íå îòñòàíóò îíè îò òîãî, ÷òî çàäóìàëè äåëàòü; 7 ñîéäåì æå è ñìåøàåì òàì ÿçûê èõ, òàê ÷òîáû îäèí íå ïîíèìàë ðå÷è äðóãîãî. 8 È ðàññåÿë èõ Ãîñïîäü îòòóäà ïî âñåé çåìëå; è îíè ïåðåñòàëè ñòðîèòü ãîðîä. 9 Ïîñåìó äàíî åìó èìÿ: Âàâèëîí, èáî òàì ñìåøàë Ãîñïîäü ÿçûê âñåé çåìëè, è îòòóäà ðàññåÿë èõ Ãîñïîäü ïî âñåé çåìëå».


!$

Í T À2Á 0 0È 6 /Ò ¹Ó 5 Ð È Å Í Ò À Ï Ð À Ê Ò È ÊÊ ÂÓÀÌ

Çàêîí

ýëåêòðîìàãíèòíîé

èíäóêöèè

Φ = -Φ1 + Φ 2 = = - BS1 + BS2 =

Â.ÄÐÎÇÄÎÂ

Ç

ÀÊÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÉ ÈÍÄÓÊÖÈÈ ÔÀÐÀÄÅß ÃÎ-

âîðèò î òîì, ÷òî â ïðîâîäÿùåì êîíòóðå íàâîäèòñÿ ýëåêòðîäâèæóùàÿ ñèëà (ÝÄÑ) èíäóêöèè, ðàâíàÿ ñêîðîñòè èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà, ïðîíèçûâàþùåãî ýòîò êîíòóð: - i = -Φ ¢ .

(1)

Çíàê «ìèíóñ» çäåñü îòðàæàåò ïðàâèëî Ëåíöà: íàïðàâëåíèå èíäóêöèîííîãî òîêà òàêîâî, ÷òî åãî ìàãíèòíîå ïîëå ïðîòèâîäåéñòâóåò èçìåíåíèþ ìàãíèòíîãî ïîòîêà. Îäíàêî ïðè âû÷èñëåíèè ìîäóëÿ ÝÄÑ èíäóêöèè, ÷òî ïðèõîäèòñÿ äåëàòü ÷àùå âñåãî, ýòîò çíàê îáû÷íî îïóñêàåòñÿ. Ôîðìóëà (1) ÷àñòî çàïèñûâàåòñÿ â íåñêîëüêî èíîì âèäå: ΔΦ -i = . (2) Δt Ïîíÿòíî, ÷òî ôîðìóëû (1) è (2) ðàâíîñèëüíû ëèøü äëÿ ðàâíîìåðíîãî èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà.  îáùåì æå ñëó÷àå ôîðìóëà (1) äàåò ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ÝÄÑ èíäóêöèè, à ôîðìóëà (2) – åå ñðåäíåå çíà÷åíèå. Ïåðâóþ ôîðìóëó óäîáíî ïðèìåíÿòü, êîãäà ìàãíèòíûé ïîòîê ëåãêî çàïèñàòü êàê ôóíêöèþ âðåìåíè. Âòîðîé ôîðìóëîé íàäî ïîëüçîâàòüñÿ äëÿ òàêèõ áûñòðûõ ïðîöåññîâ èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà, êîãäà åãî íåâîçìîæíî âûðàçèòü ôóíêöèåé âðåìåíè, â ýòèõ ñëó÷àÿõ ñðåäíÿÿ ÝÄÑ ïðàêòè÷åñêè ñîâïàäàåò ñ ìãíîâåííîé. ur Åñëè ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé B â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè îäèíàêîâî â ëþáîé òî÷êå ïëîñêîãî êîíòóðà ïëîùàäüþ S, òî ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç ýòîò êîíòóð ðàâåí Φ = BS cos α , ur ãäå α – óãîë ìåæäó âåêòîðîì B è íîðìàëüþ ê êîíòóðó. Î÷åâèäíî, ÷òî ìàãíèòíûé ïîòîê ìîæåò ìåíÿòüñÿ ïðè èçìåíåíèè ëþáîé èç âåëè÷èí B, S, α , â ðåàëüíûõ æå çàäà÷àõ îáû÷íî ìåíÿåòñÿ ÷òî-òî îäíî èç òðåõ. Ïåðåõîäèì ê ðàññìîòðåíèþ êîíêðåòíûõ çàäà÷. Çàäà÷à 1 (ÌÃÓ, ôèçè÷åñêèé ôàêóëüòåò, 1972). Ïëîñêèé âèòîê èçîëèðîâàííîãî ïðîâîäà ïåðåãèáàþò, ïðèäàâàÿ åìó âèä «âîñüìåðêè», à çàòåì ïîìåùàþò â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ïåðïåíäèêóëÿðíî ëèíèÿì ìàãíèòíîé èíäóêöèè. Äëèíà âèòêà l = 120 ñì. Ïåòëè âîñüìåðêè ìîæíî ñ÷èòàòü îêðóæíîñòÿìè ñ îòíîøåíèåì ðàäèóñîì 1:2. Êàêîé òîê ïîòå÷åò ïî ïðîâîäó, åñëè ïîëå áóäåò óáûâàòü ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ ΔB Δt = 10–2 Òë/ñ? Ñîïðîòèâëåíèå âèòêà R = = 10 Îì. Ãåîìåòðè÷åñêè î÷åâèäíî íàõîæäåíèå ðàäèóñîâ ïåòåëü âîñüìåðêè è èõ ïëîùàäåé (ðèñ.1): r=

òàê, ÷òî åñëè ñìîòðåòü èç åãî êîíöà, òî òîê òå÷åò ïî êîíòóðó ïðîòèâ ÷àñîâîé ñòðåëêè. r r Çíà÷èò, íîðìàëè n1 è n2 àíòèïàðàëëåëüíû. Ñëåäîâàòåëüíî, ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç âîñüìåðêó ðàâåí

l2 l l2 l 2 , S1 = πr = , 2r = , S2 = 4 S1 = . 36π 3π 9π 6π

Îäíàêî â ýòîé, êàçàëîñü áû ïðîñòîé, çàäà÷å åñòü ôèçè÷åñêàÿ òîíêîñòü – âåêòîð íîðìàëè ê êàæäîìó êîíòóðó íàïðàâëåí

Bl2 . 12π

Ðèñ. 1

Òàê êàê â çàäà÷å óæå çàäàíà ñêîðîñòü èçìåíåíèÿ ìàãíèòíîãî ΔB , òî ïðèìåíÿåì ôîðìóëó (2): ïîëÿ Δt ΔΦ ΔB l 2 ΔB . S==-i = 12π Δt Δt Δt Òîãäà èñêîìûé òîê â ïðîâîäå ðàâåí I=

-i l2 ΔB = = 4 × 10 -3 A . 12πR Δt R

Ïðè ðåøåíèè ýòîé è äðóãèõ çàäà÷ ðàöèîíàëüíî èñïîëüçîâàòü î÷åâèäíûé ôàêò: ïîñòîÿííûé ìíîæèòåëü ìîæíî âûíîñèòü çà çíàê ïðèðàùåíèÿ Δ («äåëüòà»). Çàäà÷à 2. Ïðîâîäÿùàÿ ïåðåìû÷êà äëèíîé l è ìàññîé m ñêîëüçèò â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé  ïî ïðîâîäÿùèì ðåëüñàì, çàìêíóòûì íà ðåçèñòîð ñîïðîòèâëåíèåì R. Êàêóþ ñèëó F íóæíî ïðèëîæèòü ê ïåðåìû÷êå, ÷òîáû äâèãàòü åå ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v? Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ïåðåìû÷êè î ðåëüñû ðàâåí μ , ñîïðîòèâëåíèåì ïåðåìû÷êè è ðåëüñîâ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. r Òàê êàê ïðîâîäíèê äâèæåòñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v , H òî åãî óñêîðåíèå ðàâíî íóëþ: a = 0 . Òîãäà óðàâíåíèå äâèæåíèÿ ïåðåìû÷êè, ò.å. âòîðîé çàêîí Íüþòîíà, çàïèøåì â âèäå (ðèñ.2) ur ur ur r uur F + Fòð + FA + mg + N = 0 , ur ur r uur ãäå Fòð , FA , mg, N – ñèëû òðåíèÿ, Àìïåðà, òÿæåñòè è ðåàêöèè îïîðû ñîîòâåòñòâåííî.  ïðîåêöèÿõ íà ãîðèçîíòàëüíîå íàïðàâëåíèå èìååì F - Fòð - FA = 0 , à íà âåðòèêàëüíîå – N – mg = 0. Îòñþäà ïîëó÷àåì

Ðèñ. 2

F = Fòð + FA = μN + IBl = μmg + IBl , ãäå I – ñèëà òîêà â ïåðåìû÷êå. Ñèëó òîêà îïðåäåëèì, èñïîëüçóÿ çàêîí ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè. ÝÄÑ èíäóêöèè â çàìêíóòîì êîíòóðå ðàâíà - i = -Φ ¢ = - Φ 0 + Blvt¢ = - Blv ,

ur ãäå Φ 0 = B × KC × CD – ïîñòîÿííûé ïîòîê âåêòîðà B ÷åðåç êîíòóð AKCD. Ñèëà òîêà â êîíòóðå ðàâíà I=

-i Blv = . R R


ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ

Ñëåäîâàòåëüíî,

!%

ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ

Òîãäà òîê, òåêóùèé â êîëüöå, ðàâåí F = μmg +

2 2

Blv . R

Çàäà÷à 3 (ÌÔÒÈ, 1993). Êâàäðàòíóþ ïðîâîëî÷íóþ ðàìêó ñî ñòîðîíîé à è ñîïðîòèâëåíèåì R ïðîòÿãèâàþò ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v ÷åðåç çàçîð ýëåêòðîìàãíèòà (ðèñ.3). Ìàãíèòíîå ïîëå â çàçîðå îäíîðîäíîå, åãî èíäóêöèÿ ðàâíà  è ïåðïåíäèêóëÿðíà ïëîñêîñòè ðàìêè. Ïðåíåáðåãàÿ êðàåâûìè ýôôåêòàìè, îïðåäåëèòå, êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèòñÿ â ðàìêå. Ñòîðîíà ðàìêè ìåíüøå è ïðîäîëüíîãî ðàçìåðà çàçîðà b è åãî ïîïåÐèñ. 3 ðå÷íîãî ðàçìåðà l. Î÷åâèäíî, ÷òî òåïëî â ðàìêå áóäåò âûäåëÿòüñÿ âî âðåìÿ âîçíèêíîâåíèÿ â íåé ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà. À îí áóäåò òå÷ü, êîãäà ðàìêà áóäåò ÷àñòè÷íî íàõîäèòüñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå. Åñëè òàêîå ìãíîâåííîå «ïîãðóæåíèå» ðàâíî õ (x < a), òî ðàìêó ïðîíèçûâàåò ìàãíèòíûé ïîòîê Φ = Bax = Bavt . Çíà÷èò, â ðàìêå íàâîäèòñÿ ÝÄÑ èíäóêöèè - i = - Φ ¢ = - Bav . Òîãäà ÷åðåç íåå áóäåò òå÷ü ïîñòîÿííûé òîê I=

-i Bav = . R R

Ñëåäîâàòåëüíî, ïî çàêîíó Äæîóëÿ – Ëåíöà â ðàìêå âûäåëèòñÿ êîëè÷åñòâî òåïëîòû Q = 2I2 RT , a ãäå T = – âðåìÿ ÷àñòè÷íîãî íàõîæäåíèÿ êâàäðàòà â ïîëå,à v êîýôôèöèåíò «2» âûçâàí òåì, ÷òî ðàìêà è âõîäèò è âûõîäèò èç ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Îêîí÷àòåëüíî èìååì Q=2

B2a2v2 a 2B2a3v R = . v R R2

Çàäà÷à 4. Äâà ïðîâîëî÷íûõ êîëüöà ðàçíûõ äèàìåòðîâ ðàñïîëîæåíû â îäíîé ïëîñêîñòè â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå, èíäóêöèÿ êîòîðîãî ñ òå÷åíèåì âðåìåíè ðàâíîìåðíî âîçðàñòàåò.  êàêîì êîëüöå èíäóöèðóåòñÿ áîëüøèé òîê, åñëè ìàññû êîëåö îäèíàêîâû è èçãîòîâëåíû îíè èç îäíîãî è òîãî æå ìàòåðèàëà? Çäåñü áóäåò óäîáíî ðàññìîòðåòü îäíî êîëüöî ðàäèóñîì R, à íå ââîäèòü èíäåêñû «1» è «2». Ïî óñëîâèþ çàäà÷è, B = B0 + kt ,

ãäå B0 è k – íåêîòîðûå êîíñòàíòû. Åñëè α – ïîñòîÿííûé óãîë ìåæäó íîðìàëüþ ê êîëüöó è âåêòîðîì ìàãíèòíîé ur èíäóêöèè B , òî êîëüöî ïðîíèçûâàåò ìàãíèòíûé ïîòîê Φ = πR2 ( B0 + kt) cos α . Ïî çàêîíó ýëåêòðîìàãíèòíîé èíäóêöèè ÝÄÑ èíäóêöèè â êîëüöå ðàâíà - i = -Φ ¢ = - πR2k cos α .

I=

-i πR2k cos α = . r r

2πR – ñîïðîòèâëåíèå êîëüöà, ãäå ρ – óäåëüíîå S0 m ñîïðîòèâëåíèå ïðîâîëîêè, S0 = – ïëîùàäü ïîïåðå÷2πRD íîãî ñå÷åíèÿ ïðîâîëîêè, D è m – ïëîòíîñòü è ìàññà êîëüöà ñîîòâåòñòâåííî. Îêîí÷àòåëüíî,

Çäåñü r = ρ

r=

4π2 R2 Dρ km cos α ,è I= . m 4πDρ

Âèäíî, ÷òî âñå âåëè÷èíû, âõîäÿùèå â ïîñëåäíþþ ôîðìóëó, îäèíàêîâû äëÿ îáîèõ êîëåö. Ñëåäîâàòåëüíî, â íèõ èíäóöèðóþòñÿ ðàâíûå òîêè. Çàäà÷à 5 (ÌÃÓ, õèìè÷åñêèé ôàêóëüòåò). Ïðîâîëî÷íîå êîëüöî ðàäèóñîì r = 0,1 ì ëåæèò íà ñòîëå. Êàêîé çàðÿä ïðîòå÷åò ïî êîëüöó, åñëè åãî ïåðåâåðíóòü ñ îäíîé ñòîðîíû íà äðóãóþ? Ñîïðîòèâëåíèå êîëüöà R = 1 Îì, âåðòèêàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ Çåìëè B^ = 5 × 10–5 Òë. Íåîáõîäèìî ó÷åñòü, ÷òî âìåñòå ñ êîëüöîì ïåðåâîðà÷èâàåòr ñÿ è åãî íîðìàëü n (ðèñ.4), à òàêæå òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî äåòàëè ïðîöåññà ïîâîðîòà íàì íåèçâåñòíû. Ïîýòîìó áóäåì ñ÷èòàòü åãî âåñüìà áûñòðûì è ïðèìåíèì ôîðìóëó (2). Íà÷àëüíûé ìàãíèòíûé ïîòîê ðàâåí Φ1 = BS cos α = B^ S ,

ãäå S = πr 2 – ïëîùàäü êîëüöà. Êîíå÷íûé ìàãíèòíûé ïîòîê ñîñòàâëÿåò

Ðèñ. 4

Φ 2 = BS cos  π - α  = - B^ S . Çíà÷èò, â êîíòóðå âîçíèêàåò ÝÄÑ èíäóêöèè æ 2B S ö 2B^ S -i = - ç - ^ ÷ = , è Δt ø Δt ãäå Δt – ìàëîå âðåìÿ ïåðåâîðîòà êîëüöà. Òîê â êîëüöå ðàâåí I=

- i 2πr 2 B^ = , R RΔt

à èñêîìûé çàðÿä – 2πr 2 B^ q = I Δt = = 3,14 × 10 -6 Êë = 3,14 ìêÊë . R Çàäà÷à 6.  îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé  âðàùàåòñÿ êàòóøêà, ñîñòîÿùàÿ èç N âèòêîâ. Îñü âðàùåíèÿ êàòóøêè ïåðïåíäèêóëÿðíà åå îñè è íàïðàâëåíèþ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïåðèîä îáðàùåíèÿ êàòóøêè Ò, ïëîùàäü ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S. Íàéäèòå ìàêñèìàëüíóþ ÝÄÑ èíäóêöèè âî âðàùàþùåéñÿ êàòóøêå. Ìãíîâåííîå çíà÷åíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà, ïðîíèçûâàþùåãî N âèòêîâ êàòóøêè, ðàâíî Φ = NBS cos α , ãäå α = ωt – óãîë ìåæäó âåêòîðîì íîðìàëè ê âèòêàì êàòóøêè è âåêòîðîì èíäóêöèè ìàãíèòíîãî ïîëÿ (ðèñ.5). Ìãíîâåííóþ ÝÄÑ èíäóêöèè îïðåäåëÿåì ïî ôîðìóëå (1),


!&

ÊÂÀÍT 2006/¹5

ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñëîæíîé ôóíêöèè: - i = - NBS  cos ωt ¢ = NBSω sin ωt = =

2πNBS æ 2πt ö , sin ç è T ÷ø T

2π – óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàT ùåíèÿ êàòóøêè. ßñíî, ÷òî ìàêñè-

ãäå ω =

ìàëüíîå çíà÷åíèå ÝÄÑ èíäóêöèè ðàâíî

Ðèñ. 5

- im =

2πNBS . T

Çàäà÷à 7 (ÌÃÓ, ìåõàíèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ôàêóëüòåò, 1985). Ãèáêèé çàìêíóòûé ïðîâîäíèê ñîïðîòèâëåíèåì R = = 100 êÎì, îáðàçóþùèé êâàäðàò ñî ñòîðîíîé à = 0,1 ì, ïîìåùåí â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé  = 5 Òë. Ïëîñêîñòü êâàäðàòà ïåðïåíäèêóëÿðíà âåêòîðó ìàãíèòíîé èíäóêöèè. Êàêîé çàðÿä ïðîòå÷åò ïî ïðîâîäíèêó, åñëè èç êâàäðàòà ñäåëàòü ðàâíîñòîðîííèé òðåóãîëüíèê, íå ìåíÿÿ ïëîñêîñòè åãî ðàñïîëîæåíèÿ?  ýòîé çàäà÷å ìàãíèòíûé ïîòîê ÷åðåç êîíòóð ìåíÿåòñÿ çà ñ÷åò èçìåíåíèÿ åãî ïëîùàäè. Ïðèìåíÿåì ôîðìóëó (2), ñ÷èòàÿ ïðîöåññ òðàíñôîðìàöèè êâàäðàòà â òðåóãîëüíèê äîñòàòî÷íî áûñòðûì. Ñíà÷àëà íåìíîãî ãåîìåòðèè – îïðåäåëèì ïëîùàäü ðàâíî4 ñòîðîííåãî òðåóãîëüíèêà ñî ñòîðîíîé b = a : 3 1 2 4 3 2 SΔ = b sin 60° = a . 2 9 Èçìåíåíèå ìàãíèòíîãî ïîòîêà ÷åðåç êîíòóð ðàâíî æ 4 3 - 9ö 2 ΔΦ = BSΔ - BSW = ç ÷ a B. 9 è ø Çíà÷èò, â ïðîâîäíèêå âîçíèêàåò ÝÄÑ èíäóêöèÿ -i =

9 - 4 3  a B , 2

9

Δt

ãäå Δt – âðåìÿ èçìåíåíèÿ ôîðìû êîíòóðà. Èíäóêöèîííûé òîê â êîíòóðå ðàâåí 9 - 4 3 a2 B I= i = , 9 RΔt R





à èñêîìûé çàðÿä ñîñòàâëÿåò 9 - 4 3 a2 B q = I Δt = = 1,2 × 10-7 Êë . 9R





Çàäà÷à 8 (ÌÔÒÈ, 1995). Íà ãëàäêîé ãîðèçîíòàëüíîé ïîâåðõíîñòè ðàñïîëîæåíî òîíêîå íåïðîâîäÿùåå êîëüöî ìàññîé m, âäîëü êîòîðîãî ðàâíîìåðíî ðàñïðåäåëåí çàðÿä Q. Êîëüöî íàõîäèòñÿ âî âíåøíåì îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé, ðàâíîé B0 è íàïðàâëåííîé ïåðïåíäèêóëÿðíî ïëîñêîñòè êîëüöà. Âíåøíåå ìàãíèòíîå ïîëå âûêëþ÷àþò. Ïî êàêîé ïðè÷èíå (óêàæèòå ìåõàíèçì) êîëüöî íà÷íåò âðàùàòüñÿ? Íàéäèòå óãëîâóþ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ êîëüöà ïîñëå âûêëþ÷åíèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Ïóñòü ìàãíèòíîå ïîëå èñ÷åçàåò äî íóëÿ çà âðåìÿ t0 ïî ïðîñòåéøåìó ëèíåéíîìó çàêîíó (ðèñ.6). Î÷åâèäíà çàâèñèìîñòü B B t  = B0 - 0 t . t0

Ââåäåì ðàäèóñ êîëüöà R, ïîìíÿ, ÷òî îí íàì íå äàí, âïðî÷åì êàê è âåëè÷èíà t0 . Ìãíîâåííûé ìàãíèòíûé ïîòîê, ïðîíèçûâàþùèé êîëüöî, ðàâåí æ tö Φ = BS = πR2 B0 ç1 - ÷ . t0 ø è ÝÄÑ èíäóêöèè, â ñèëó ôîðìóëû (1), ðàâíà

Ðèñ. 6

πR2 B0 . t0 Ôèçè÷åñêàÿ ïðè÷èíà âðàùåíèÿ êîëüöà òàêîâà. Ïåðåìåííîå ìàãíèòíîå ïîëå ïîðîæäàåò âèõðåâîå ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå, ñèëîâûå ëèíèè êîòîðîãî â êàæäîé òî÷êå êîëüöà íàïðàâëåíû ïî êàñàòåëüíîé ê íåìó. Ýòî ïîëå è äåéñòâóåò íà çàðÿäû êîëüöà. Íàéäåì ìîäóëü íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ Å. Ïîñêîëüêó ïî ñîîáðàæåíèÿì ñèììåòðèè â ëþáîé òî÷êå êîëüöà Å = const, òî, ìûñëåííî ðàçðåçàâ êîëüöî, ìû âïðàâå ïðèìåíèòü ôîðìóëó Δϕ = Ed , ãäå Δϕ = - i – ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ ìåæäó òî÷êàìè ðàçðåçà, d = 2πR – äëèíà êîëüöà. Çíà÷èò, RB0 E= i = . 2πR 2t0 -i =

Ðàçîáüåì êîëüöî íà äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî n òîQ ÷å÷íûõ çàðÿäîâ ΔQ = ñ n m . Íà êàæäûé ìàññîé Δm = n òàêîé çàðÿä áóäåò äåéñòâîâàòü ñèëà (ðèñ.7)

Ðèñ. 7

B0Q R . 2 t0n Ïî âòîðîìó çàêîíó Íüþòîíà ìîäóëü ëèíåéíîãî óñêîðåíèÿ ëþáîãî ýëåìåíòà êîëüöà ðàâåí ΔF = EΔQ =

ΔF B0Q R = . 2m t0 Δm Ñîîòâåòñòâóþùåå óãëîâîå óñêîðåíèå, ðàâíîå BQ a ε= = 0 , R 2mt0 ïîñòîÿííî. Ñëåäîâàòåëüíî, óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ êîëüöà ðàâíà BQ ω = εt0 = 0 . 2m Êàê âèäèì, ââåäåííûå íåèçâåñòíûå âåëè÷èíû t0 è R, êîòîðûå íàì áûëè íåîáõîäèìû äëÿ ðåøåíèÿ, ñîêðàòèëèñü. a=

Óïðàæíåíèÿ 1 (ÌÃÓ, ìåõìàò, 1975). Êàòóøêà äèàìåòðîì d = 10 ñì ïîìåùåíà â ìàãíèòíîå ïîëå ñ èíäóêöèåé B = 1,256 × 10 -2 Òë òàê, ÷òî åå îñü ñîâïàäàåò ñ íàïðàâëåíèåì ëèíèé ìàãíèòíîé èíäóêöèè. Êàòóøêà ñîäåðæèò N = 500 âèòêîâ è èìååò ñîïðîòèâëåíèå R = 10 Îì. Íàéäèòå çàðÿä, êîòîðûé ïðîéäåò ÷åðåç îáìîòêó êàòóøêè, åñëè ìàãíèòíîå ïîëå ðàâíîìåðíî óïàäåò äî íóëÿ. 2 (ÌÃÓ, ìåõìàò, 1983). Èç ïðîâî-

Ðèñ. 8


ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ

äà äëèíîé l = 2 ì, îáëàäàþùåãî ñîïðîòèâëåíèåì R = 4 Îì, ñïàÿí êâàäðàò.  ñòîðîíû êâàäðàòà âêëþ÷åíû èñòî÷íèêè ñ ÝÄÑ -1 = 10 B è -2 = 8 B ñîãëàñíî ñõåìå, ïðèâåäåííîé íà ðèñóíêå 8. Öåïü ïîìåùåíà â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå ïëîñêîñòè êâàäðàòà, íàïðàâëåííîå çà ÷åðòåæ è âîçðàñòàþùåå âî âðåìåíè ïî çàêîíó B = kt, ãäå k = 16 Òë/ñ. Íàéäèòå ñèëó òîêà â öåïè. Âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì èñòî÷íèêîâ ïðåíåáðå÷ü. 3 (ÌÃÓ, ìåõìàò, 1988). Èç êóñêà îäíîðîäíîé ïðîâîëîêè äëèíîé l è ñîïðîòèâëåíèåì R ñïàÿíà ôèãóðà â âèäå êîëüöà ñ õîðäîé, ðàâíîé äèàìåòðó êîëüöà. Êîëüöî ïîìåùàþò â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå, âåêòîð èíäóêöèè êîòîðîãî ïåðïåíäèêóëÿðåí ïëîñêîñòè êîëüöà, à ìîäóëü ýòîãî âåêòîðà ìåíÿåòñÿ ñî âðåìåíåì ïî çàêîíó B = kt. Íàéäèòå âûäåëÿåìóþ â ïðîâîëîêå ìîùíîñòü. 4 (ÌÃÓ, ôàêóëüòåò âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè, 1996).  ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé, ðàâíîé  = 1 Òë è íàïðàâëåííîé âåðòèêàëüíî âíèç, ïî ãîðèçîíòàëüíûì ðåëüñàì ðàâíîìåðíî äâèæåòñÿ ïðîâîäÿùèé ñòåðæåíü äëèíîé l = 0,4 ì ñî ñêîðîñòüþ v = 5 ì/ñ (ðèñ. 9). Êîíöû ðåëüñîâ ïðèñîåäèíåíû ê áàòàðåå ñ ÝÄÑ - = 10,1 B è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì r = 0,1 Îì. Ðèñ. 9 Êàêîå êîëè÷åñòâî òåïëîòû âûäåëèòñÿ â ñòåðæíå çà âðåìÿ t = 10 ñ, åñëè åãî ñîïðîòèâëåíèå R = 10 Îì? Ñîïðîòèâëåíèåì ðåëüñîâ è ñîåäèíèòåëüíûõ ïðîâîäîâ ïðåíåáðå÷ü. 5 (ÐÃÓ íåôòè è ãàçà èì. È.Ì.Ãóáêèíà). Ïî Ï-îáðàçíîé ðàìêå, íàêëîíåííîé ïîä óãëîì 30° ê ãîðèçîíòó è ïîìåùåííîé â îäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå, ïåðïåíäèêóëÿðíîå ïëîñêîñòè ðàìêè, íà÷èíàåò ñîñêàëüçûâàòü áåç òðåíèÿ ïåðåìû÷êà ìàññîé 30 ã. Äëèíà ïåðåìû÷êè 10 ñì, åå ñîïðîòèâëåíèå 2 ìÎì, èíäóêöèÿ ïîëÿ 0,1 Òë. Íàéäèòå óñòàíîâèâøóþñÿ ñêîðîñòü äâèæåíèÿ ïåðåìû÷êè. Ñîïðîòèâëåíèåì ðàìêè ïðåíåáðå÷ü.

Ôóíêöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ è íåðàâåíñòâà Ã.ÔÀËÈÍ, À.ÔÀËÈÍ Ââåäåíèå

 ïîñëåäíèå ãîäû íà âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíàõ ïî ìàòåìàòèêå â ÌÃÓ èì. Ì.Â.Ëîìîíîñîâà ðåãóëÿðíî ïðåäëàãàþòñÿ çàäà÷è íà ðåøåíèå óðàâíåíèé, íåðàâåíñòâ è ñèñòåì, íåèçâåñòíûìè â êîòîðûõ ÿâëÿþòñÿ íå ÷èñëà, à ôóíêöèè. Çàäà÷è ýòè íåîáû÷íû êàê ïî âíåøíåé ôîðìå, òàê è ïî ìåòîäàì ðåøåíèÿ. Ïîýòîìó â íàñòîÿùåé ñòàòüå ìû ðåøèëè íà ïðèìåðàõ ðåàëüíûõ ýêçàìåíàöèîííûõ çàäà÷ ïîêàçàòü îñíîâíûå âèäû òàêèõ óðàâíåíèé è îñíîâíûå ìåòîäû èõ ðåøåíèÿ. Íåêîòîðûå çàäà÷è âñòóïèòåëüíûõ ýêçàìåíîâ ôîðìàëüíî

ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ

!'

6 (ÌÈÝÒ). Ýíåðãèÿ ìàãíèòíîãî ïîëÿ êàòóøêè ýëåêòðîìàãíèòà ñ èíäóêòèâíîñòüþ L = 0,2 Ãí ðàâíà W = 5 Äæ. Îïðåäåëèòå âåëè÷èíó ÝÄÑ ñàìîèíäóêöèè, âîçíèêàþùåé ê êàòóøêå ïðè ðàâíîìåðíîì óìåíüøåíèè ñèëû òîêà çà Ðèñ. 10 âðåìÿ t = 0,1 ñ. 7 (ÌÔÒÈ, 1996).  ïðîñòåéøåé ñõåìå ìàãíèòíîãî ãèäðîäèíàìè÷åñêîãî ãåíåðàòîðà ïëîñêèé êîíäåíñàòîð ñ ïëîùàäüþ ïëàñòèí S è ðàññòîÿíèåì ìåæäó íèìè d ïîìåùåí â ïîòîê ïðîâîäÿùåé æèäêîñòè ñ óäåëüíûì ñîïðîòèâëåíèåì ρ , äâèæóùåéñÿ ñ ïîñòîÿííîé ñêîðîñòüþ v ïàðàëëåëüíî ïëàñòèíàì (ðèñ.10). Êîíäåíñàòîð íàõîäèòñÿ â ìàãíèòíîì ïîëå ñ èíäóêöèåé, ðàâíîé Â, íàïðàâëåííîé âäîëü ïëàñòèí è ïåðïåíäèêóëÿðíîé ñêîðîñòè æèäêîñòè. Íàéäèòå ïîëåçíóþ ìîùíîñòü, âûäåëÿþùóþñÿ â âèäå òåïëà íà âíåøíåé íàãðóçêå ñîïðîòèâëåíèåì R. 8 (ÌÔÒÈ, 2002). Ìåòàëëè÷åñêèé ñòåðæåíü ÀÑ îäíèì êîíöîì (òî÷êà À) øàðíèðíî çàêðåïëåí íà âåðòèêàëüíîì äèýëåêòðè÷åñêîì ñòåðæíå ÀÎ (ðèñ.11). Äðóãîé êîíåö (òî÷êà Ñ) ñâÿçàí ñ âåðòèêàëüíûì ñòåðæíåì ñ ïîìîùüþ íåðàñòÿæèìîé íåïðîâîäÿùåé ãîðèçîíòàëüíîé íèòè ÎÑ äëèíîé l = 1 ì. Ñòåðæåíü ÀÑ âðàùàåòñÿ âîêðóã ñòðåæíÿ ÀÎ â îäíîðîäíîì ìàãíèòíîì ïîëå, èíäóêöèÿ êîòîðîãî âåðòèêàëüíà è ðàâíà B = 10 -2 Òë . Ðèñ. 11 Óãëîâàÿ ñêîðîñòü âðàùåíèÿ ñòåð-1 æíÿ ω = 60 c . Îïðåäåëèòå ðàçíîñòü ïîòåíöèàëîâ (ïî ìîäóëþ) ìåæäó òî÷êàìè À è Ñ.

íå ïðåäïîëàãàþò ðåøåíèÿ ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé, íî «ïðîñòûå» ðåøåíèÿ, êîòîðûå ïóáëèêóþòñÿ ïîñëå ýêçàìåíîâ â «îôèöèàëüíûõ» ñáîðíèêàõ, ÷àñòî âûãëÿäÿò èñêóññòâåííî, â òî âðåìÿ êàê áîëåå îáùèé âçãëÿä íà çàäà÷ó è èñïîëüçîâàíèå îòíîñèòåëüíî íåñëîæíûõ ïîíÿòèé è ìåòîäîâ òåîðèè ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ïîçâîëÿþò äàòü î÷åíü åñòåñòâåííîå ðåøåíèå, ïîêàçàòü âçàèìîñâÿçü ðàçëè÷íûõ çàäà÷, ïîâûñèòü ìàòåìàòè÷åñêóþ êóëüòóðó àáèòóðèåíòà. Çàäà÷è íà ðåøåíèå ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé è íåðàâåíñòâ ïîëåçíî ðàçîáðàòü è ïðè èçó÷åíèè îáùèõ ñâîéñòâ ôóíêöèé â êëàññàõ ñ óãëóáëåííûì èçó÷åíèåì ìàòåìàòèêè. Ïàðàìåòðèçóåìûå óðàâíåíèÿ

Ñàìûìè ïðîñòûìè ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ, â êîòîðûõ íåèçâåñòíàÿ ôóíêöèÿ îäíîçíà÷íî îïèñûâàåòñÿ îäíèì èëè íåñêîëüêèìè ÷èñëîâûìè ïàðàìåòðàìè (ïðîñòåéøèé è íàèáîëåå ðàñïðîñòðàíåííûé ïðèìåð ôóíêöèè òàêîãî ðîäà – ýòî ìíîãî÷ëåí).  ýòîì ñëó÷àå çàäà÷à íàõîæäåíèÿ ôóíêöèè ñâîäèòñÿ ê îïðåäåëåíèþ çíà÷åíèé ýòèõ ÷èñëîâûõ ïàðàìåòðîâ, ò.å. ê îáû÷íîé øêîëüíîé çàäà÷å (êàê ïðàâèëî, íà ðåøåíèå ñèñòåì óðàâíåíèé). Ðàññìîòðèì â êà÷åñòâå ïðèìåðà ñëåäóþùóþ çàäà÷ó, êîòîðàÿ ïðåäëàãàëàñü â 2001 ãîäó íà óñòíîì ýêçàìåíå ïî ìàòåìàòèêå íà ôàêóëüòåòå âû÷èñëèòåëüíîé ìàòåìàòèêè è êèáåðíåòèêè (ÂÌÊ). Çàäà÷à 1 (ÂÌÊ, óñòíûé ýêçàìåí, 2001). Ñóùåñòâóåò ëè ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ y = f(x), óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïðè âñåõ x


"

ÊÂÀÍT 2006/¹5

ñîîòíîøåíèþ 2f  x + 2  + f 4 - x  = 2x + 7 ?

(1)

Ïî îïðåäåëåíèþ, ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ – ýòî ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ ïðåäñòàâèìà â âèäå f  x  = kx + b . ×èñëîâûå ïàðàìåòðû k è b îäíîçíà÷íî õàðàêòåðèçóþò ëèíåéíóþ ôóíêöèþ, òàê êàê ðàâåíñòâî k1x + b1 = k2 x + b2 ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ ïåðåìåííîé õ ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâàì k1 = k2, b1 = b2 . Ýòîò ôàêò ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ñëåäóþùåãî âàæíîãî óòâåðæäåíèÿ, êîòîðîå ìû áóäåì íåîäíîêðàòíî èñïîëüçîâàòü: Äâà ìíîãî÷ëåíà òîæäåñòâåííî ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâíû êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ ïåðåìåííîé (â ÷àñòíîñòè, ñîâïàäàþò è ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíîâ). Ïîýòîìó íàøó çàäà÷ó ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: Ñóùåñòâóþò ëè ÷èñëà k è b òàêèå, ÷òî ïðè âñåõ x âåðíî ðàâåíñòâî 2× k  x + 2  + b  + k  4 - x  + b = 2x + 7 ?

(2)

Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè è ïðèâîäÿ ïîäîáíûå ÷ëåíû, ìû ïðèâåäåì óðàâíåíèå (2) ê âèäó kx + 8k + 3b = 2 x + 7 ïðè âñåõ õ. Ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ ïåðåìåííîé, ïðåîáðàçóåì çàäà÷ó: Ñóùåñòâóþò ëè ÷èñëà k è b òàêèå, ÷òî âåðíû ðàâåíñòâà ìk = 2, í î8k + 3b = 7 ?

(3)

 ýòîì âèäå çàäà÷à ïðîñòî ñâîäèòñÿ ê âîïðîñó î ñîâìåñòíîñòè ñèñòåìû (3). Ëåãêî âèäåòü, ÷òî ýòà ñèñòåìà èìååò è ïðèòîì åäèíñòâåííîå ðåøåíèå k = 2, b = –3. Èòàê, ñóùåñòâóåò è ïðèòîì åäèíñòâåííàÿ ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ f  x  = 2 x - 3 , óäîâëåòâîðÿþùàÿ èñõîäíîìó ôóíêöèîíàëüíîìó óðàâíåíèþ. Õîòÿ âñå ïðîäåëàííûå ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàâíîñèëüíû è ïðîâåðêà íå íóæíà, ìû ðåêîìåíäóåì ÷èòàòåëþ íåïîñðåäñòâåííîé ïðîâåðêîé óáåäèòüñÿ, ÷òî íàéäåííàÿ ôóíêöèÿ äåéñòâèòåëüíî óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ (1). Ýòî çàìå÷àíèå îòíîñèòñÿ è ê ïîñëåäóþùèì çàäà÷àì. Êàê è äëÿ îáû÷íûõ óðàâíåíèé, êîãäà íåèçâåñòíàÿ âåëè÷èíà ÿâëÿåòñÿ ÷èñëîì, âîçìîæíû ñëó÷àè, êîãäà ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå âîîáùå íå èìååò ðåøåíèé èëè èìååò áåñêîíå÷íîå ìíîæåñòâî ðåøåíèé. Ïðîèëëþñòðèðóåì ýòè ñèòóàöèè íà äâóõ ïðèìåðàõ. Çàäà÷à 2 (ÂÌÊ, óñòíûé ýêçàìåí, 1997/2001/2005). Ñóùåñòâóåò ëè ëèíåéíàÿ ôóíêöèÿ y = f(x), óäîâëåòâîðÿþùàÿ äëÿ âñåõ äåéñòâèòåëüíûõ x ñîîòíîøåíèþ f  x + 3 - f  2 - x  = 3x + 1 ?

(4)

Êàê è ïðè ðåøåíèè çàäà÷è 1, èñõîäíóþ çàäà÷ó ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: Ñóùåñòâóþò ëè ÷èñëà k è b òàêèå, ÷òî âåðíû ðàâåíñòâà ì 2k = 3, í îk = 1?

Ýòà ñèñòåìà, î÷åâèäíî, íåñîâìåñòíà. Ñîîòâåòñòâåííî, èñõîäíîå ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå íå èìååò ðåøåíèé â êëàññå ëèíåéíûõ ôóíêöèé. Çàäà÷à 3 (ÂÌÊ, óñòíûé ýêçàìåí, 1997). Íàéäèòå êâàäðàòè÷íóþ ôóíêöèþ y = f(x), óäîâëåòâîðÿþùóþ ïðè âñåõ x óðàâíåíèþ f 1 - x - f  2 - x = -2x + 7 . (5) Ïî îïðåäåëåíèþ, êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ – ýòî ôóíêöèÿ, êîòîðàÿ ïðåäñòàâèìà â âèäå f  x  = ax2 + bx + c , a ¹ 0 .

Ïîýòîìó íàøó çàäà÷ó ìîæíî ïåðåôîðìóëèðîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì: Íàéäèòå ÷èñëà a ¹ 0, b è c òàêèå, ÷òî ïðè âñåõ x âåðíî ðàâåíñòâî

a 1 - x

2

 



2

+ b 1 - x  + c - a  2 - x  + b  2 - x  + c = -2x + 7 c 2ax -  3a + b = -2x + 7.

Ïîñêîëüêó äâà ìíîãî÷ëåíà òîæäåñòâåííî ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâíû êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ ïåðåìåííîé, çàäà÷à ïðèìåò òàêîé âèä: Íàéäèòå ÷èñëà a ¹ 0, b è c òàêèå, ÷òî âåðíû ðàâåíñòâà ì 2a = -2, í (6) î-3a - b = 7. Èíà÷å ãîâîðÿ, íóæíî ðåøèòü ñèñòåìó (6). Åñëè ýòó ñèñòåìó ðàññìàòðèâàòü êàê ñèñòåìó ñ äâóìÿ íåèçâåñòíûìè a è b, òî îíà èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå a = = –1, b = –4. Îäíàêî ýòà ñèñòåìà íåÿâíî âêëþ÷àåò åùå îäíó íåèçâåñòíóþ – c. Ïîñêîëüêó íèêàêèõ îãðàíè÷åíèé íà c íå íàêëàäûâàåòñÿ, ýòà íåèçâåñòíàÿ ìîæåò ïðèíèìàòü ïðîèçâîëüíîå äåéñòâèòåëüíîå çíà÷åíèå. Òàêèì îáðàçîì, ñèñòåìà (6) èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé âèäà a; b; c  =  -1; -4; c  , ãäå c Î 4 – ïðîèçâîëüíî. Ñîîòâåòñòâåííî, èñõîäíîå ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå èìååò áåñêîíå÷íî ìíîãî ðåøåíèé â êëàññå êâàäðàòè÷íûõ ôóíêöèé. Âñå ýòè ðåøåíèÿ ìîãóò áûòü îïèñàíû ðàâåíñòâîì f  x  = - x2 - 4 x + c , ãäå c – ïðîèçâîëüíàÿ êîíñòàíòà.  ñëåäóþùåé çàäà÷å òàêæå òðåáóåòñÿ ðåøèòü ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå â îïðåäåëåííîì êëàññå ôóíêöèé (ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè n), íî ñàìî óðàâíåíèå ãîðàçäî ñëîæíåå òåõ, êîòîðûå îáñóæäàëèñü ðàíüøå. Çàäà÷à 4 (ÂÌÊ, óñòíûé ýêçàìåí, 2002/îëèìïèàäà Ðóìûíèè, 1980). Íàéäèòå âñå ìíîãî÷ëåíû P  x  = an x n + an -1x n -1 + K + a1x + a0 ñòåïåíè n, ò.å. ñ êîýôôèöèåíòîì an ¹ 0, óäîâëåòâîðÿþùèå òîæäåñòâó

 

P x2 º  P  x   , 2

x Î ( -¥; + ¥ ) .

(7)

×òîáû ðåøèòü ýòó çàäà÷ó, ïðåäñòàâèì P  x  â âèäå Q  x  + an x n , ãäå Q  x  = an -1x n -1 + K + a1x + a0 . Ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà Q  x  íàì íå èçâåñòíà, òàê êàê íåëüçÿ èñêëþ÷èòü, ÷òî íåêîòîðûå (èëè äàæå âñå) èç åãî êîýôôèöèåíòîâ ðàâíû 0. Íî ñîâåðøåííî òî÷íî ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà Q  x  íå ïðåâîñõîäèò n – 1. Îáîçíà÷èì ýòó ñòåïåíü ÷åðåç k; ïðè ýòîì ïðåäïîëîæèì, ÷òî õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà Q  x  íå ðàâåí 0. Òîãäà òîæäåñòâî (7) ïðèìåò âèä

 

Q x2 + an x2n = Q  x   + 2an x nQ  x  + an2 x 2n , 2

x Î  -¥; + ¥ . (8) Äâà ìíîãî÷ëåíà òîæäåñòâåííî ðàâíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà ðàâíû êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñòåïåíÿõ ïåðåìåííîé (â ÷àñòíîñòè, ñîâïàäàþò è ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíîâ).

 

Ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà Q x2

Q  x

2

ðàâíà 2k, ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà

ðàâíà 2k, ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà 2an x nQ  x  ðàâíà n + + k. Ñëåäîâàòåëüíî, ÷ëåíàìè ñòåïåíè 2n â óðàâíåíèè (8) áóäóò òîëüêî an x 2n (â ëåâîé ÷àñòè) è an2 x2n (â ïðàâîé ÷àñòè), è ïîýòîìó an = an2 . Ïîñêîëüêó an ¹ 0 , îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî


ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ

an = 1 . Ýòî ïîçâîëÿåò ïðåäñòàâèòü òîæäåñòâî (8) òàê:

  = Q  x 

Q x

2

2

+ 2x Q  x  , x Î ( -¥; + ¥ ) . n

 

Êàê ìû óæå îòìå÷àëè, ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà Q x 2 ðàâíà 2k, ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà Q  x  ðàâíà 2k, ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà 2

2an x nQ  x  ðàâíà n + k. Ïîñêîëüêó k < n, ñòåïåíü ìíîãî÷ëåíà â ïðàâîé ÷àñòè áîëüøå ñòåïåíè ìíîãî÷ëåíà â ëåâîé ÷àñòè è ðàâåíñòâî íåâîçìîæíî. Íî ýòè ðàññóæäåíèÿ áàçèðîâàëèñü íà ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî õîòÿ áû îäèí èç êîýôôèöèåíòîâ ìíîãî÷ëåíà Q  x  íå ðàâåí 0. Åñëè æå âñå êîýôôèöèåíòû ìíîãî÷ëåíà Q  x  ðàâíû 0, òî Q  x  º 0 . Òîãäà òîæäåñòâî (8) ïðèìåò âèä

an x 2n = an2 x 2n , x Î ( -¥; + ¥) , ÷òî ðàâíîñèëüíî ðàâåíñòâó an = 1 . Èòàê, åäèíñòâåííîå ðåøåíèå ôóíêöèîíàëüíîãî óðàâíåíèÿ (7) â êëàññå ìíîãî÷ëåíîâ ñòåïåíè n – ýòî P  x  = x n . Îáùèå ôóíêöèîíàëüíûå óðàâíåíèÿ

Ïî ïîâîäó çàäà÷è 1, ðåøåííîé â ïðåäûäóùåì ðàçäåëå, âîçíèêàåò åñòåñòâåííûé âîïðîñ, ñóùåñòâóþò ëè äðóãèå ôóíêöèè f  x  (íå îáÿçàòåëüíî ëèíåéíûå), óäîâëåòâîðÿþùèå èñõîäíîìó ôóíêöèîíàëüíîìó óðàâíåíèþ (1) â îáùåì âèäå. Äëÿ îòâåòà íà ýòîò âîïðîñ ðåøèì ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå (1) â îáùåì âèäå. Äëÿ ýòîãî ïðåæäå âñåãî çàìåíèì x íà x – 2 (ñ òåì, ÷òîáû â óðàâíåíèè ôèãóðèðîâàëî âûðàæåíèå f  x  ). Òîãäà óðàâíåíèå (1) ïðèìåò âèä 2f  x  + f 6 - x  = 2x + 3 ïðè âñåõ õ.

(9)

Ýòî ðàâåíñòâî ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê îáû÷íîå óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî äâóõ íåèçâåñòíûõ A = f  x  è B = f 6 - x  , ïåðåìåííàÿ x â ýòîì ñëó÷àå áóäåò èãðàòü ðîëü ïàðàìåòðà: 2 A + B = 2x + 3. Ïîñêîëüêó ó íàñ äâå íåèçâåñòíûå âåëè÷èíû, õîòåëîñü áû ïîëó÷èòü åùå îäíî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî A è B. Ñ ýòîé öåëüþ çàìåíèì â ðàâåíñòâå (9) x íà 6 – x (âåäü îíî âåðíî ïðè âñåõ çíà÷åíèÿõ x, ïîýòîìó âìåñòî x ìîæíî ñòàâèòü ëþáîå ÷èñëî èëè âûðàæåíèå): 2f 6 - x  + f  x  = -2x + 15 ïðè âñåõ x.  òåðìèíàõ ïåðåìåííûõ A = f  x  è B = f 6 - x  ýòî ðàâåíñòâî îçíà÷àåò, ÷òî 2B + A = –2x + 15. Èòàê, ñïðàâåäëèâà ñèñòåìà ì2 A + B = 2x + 3, í î2B + A = -2x + 15.

Èñêëþ÷àÿ èç ýòèõ ðàâåíñòâ B = f 6 - x  , ïîëó÷èì A º f  x  = 2x - 3 . Èçëîæåííûé ìåòîä ðåøåíèÿ ôóíêöèîíàëüíîãî óðàâíåíèÿ (9) èìååò áîëåå ãëóáîêèå êîðíè – îí ñâÿçàí ñ òåì, ÷òî íàáîð èç äâóõ ôóíêöèé ϕ0  x  = x , ϕ1  x  = 6 - x çàìêíóò îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè êîìïîçèöèè ôóíêöèé, ò.å. êîìïîçèöèÿ ëþáûõ äâóõ ôóíêöèé èç ýòîãî íàáîðà äàåò ôóíêöèþ èç ýòîãî íàáîðà. Äåéñòâèòåëüíî, íåòðóäíî ïðîâåðèòü, ÷òî ϕ0 ϕ0  x  = ϕ0  x  , ϕ0 ϕ1  x  = ϕ1  x  , ϕ1 ϕ0  x  = ϕ1  x  ,

ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ

"

ϕ1 ϕ1  x  = ϕ0  x  . Èñïîëüçóÿ ÿçûê ñîâðåìåííîé àëãåáðû, ìîæíî ñêàçàòü, ÷òî ôóíêöèè ϕ0  x  = x è ϕ1  x  = 6 - x îáðàçóþò ãðóïïó. Ïîíÿòèå ãðóïïû ÿâëÿåòñÿ îäíèì èç âàæíåéøèõ â ñîâðåìåííîé ìàòåìàòèêå è øèðîêî èñïîëüçóåòñÿ â ñàìûõ ðàçíîîáðàçíûõ ïðèëîæåíèÿõ. Àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî óðàâíåíèå (4) âîîáùå íå èìååò ðåøåíèé â êëàññå ôóíêöèé, îïðåäåëåííûõ íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Áîëåå òîãî, ýòè ðàññóæäåíèÿ ìîæíî ìîäèôèöèðîâàòü, ÷òîáû ïîëó÷èòü áîëåå ñèëüíûé ðåçóëüòàò: Íè îäíà ôóíêöèÿ f(x) íå ìîæåò óäîâëåòâîðÿòü óðàâíåíèþ (4) îäíîâðåìåííî äëÿ äâóõ ðàçëè÷íûõ ÷èñåë x1 è x2 , 1 ñèììåòðè÷íûõ îòíîñèòåëüíî òî÷êè - . 2 Äåéñòâèòåëüíî, ýòî óòâåðæäåíèå îçíà÷àåò íåñîâìåñòíîñòü ñèñòåìû ìï f ( x1 + 3) - f (2 - x1 ) = 3 x1 + 1, í ïî f ( x2 + 3) - f (2 - x2 ) = 3x2 + 1. 1 Ïîñêîëüêó ñèììåòðè÷íîñòü x1 è x2 îòíîñèòåëüíî òî÷êè 2 îçíà÷àåò, ÷òî x1 + x2 = -1 , ýòà ñèñòåìà ìîæåò áûòü ïåðåïèñàíà â âèäå ïì f ( x1 + 3) - f (2 - x1 ) = 3 x1 + 1, í ïî f (2 - x1 ) - f ( x1 + 3) = -3 x1 - 2. Ñêëàäûâàÿ óðàâíåíèÿ ñèñòåìû, ìû ïîëó÷èì, ÷òî 0 = –1. Áîëåå ñëîæíîé è èíòåðåñíîé ÿâëÿåòñÿ çàäà÷à ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ (5) áåç óñëîâèÿ, ÷òî f  x  – êâàäðàòè÷íàÿ ôóíêöèÿ. Åå ðåøåíèå èñïîëüçóåò íîâûå èäåè, ïîëåçíûå ïðè ðåøåíèè è äðóãèõ ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé, è ïîýòîìó ìû ïîäðîáíî èçëîæèì åãî. Êàê è ïðè ðåøåíèè ôóíêöèîíàëüíîãî óðàâíåíèÿ (1) â îáùåì âèäå, ïðåæäå âñåãî çàìåíèì 1 – x íà x (ñ òåì ÷òîáû â óðàâíåíèè ôèãóðèðîâàëî âûðàæåíèå f  x  ). Òîãäà óðàâíåíèå (5) ïðèìåò âèä f  x  - f  x + 1 = 2x + 5 ïðè âñåõ x Î 4 .

(10)

Ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå (10) ÿâëÿåòñÿ íåîäíîðîäíûì («ëèøíèì» ÿâëÿåòñÿ ÷ëåí 2x + 5 â ïðàâîé ÷àñòè).  ñîîòâåòñòâèè ñ îáùåé èäåîëîãèåé ðåøåíèÿ óðàâíåíèé ïðåâðàòèì åãî â îäíîðîäíîå. Äëÿ ýòîãî íàéäåì ÷àñòíîå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ. Ôàêòè÷åñêè ýòî óæå ñäåëàíî, òàê êàê ìû ðåøèëè óðàâíåíèå â êëàññå êâàäðàòè÷íûõ ôóíêöèé, òàê ÷òî, íàïðèìåð, f0  x  = - x2 - 4 x ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì. Òåïåðü ââåäåì íîâóþ íåèçâåñòíóþ ôóíêöèþ g  x  = = f  x  - f0  x  è çàïèøåì äëÿ íåå ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå (10): g  x  = g  x + 1 ïðè âñåõ x Î 4 . Ýòî ñîîòíîøåíèå ñîâïàäàåò ñ îïðåäåëåíèåì ïåðèîäè÷åñêîé ôóíêöèè, îïðåäåëåííîé íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé, ñ ïåðèîäîì T = 1. Ïîýòîìó åìó óäîâëåòâîðÿþò âñå òàêèå ôóíêöèè è òîëüêî îíè. Ñîîòâåòñòâåííî, îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (5) äàåòñÿ ôîðìóëîé f  x  = - x2 - 4 x + g  x  , ãäå g  x  – ïðîèçâîëüíàÿ ïåðèîäè÷åñêàÿ ôóíêöèÿ ñ ïåðèîäîì T = 1, îïðåäåëåííàÿ íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé. Áîëåå îáùèé âàðèàíò çàäà÷è 4 (ðåøèòü ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå (7) áåç òðåáîâàíèÿ, ÷òî P  x  – ìíîãî÷ëåí) âîîáùå íå èìååò îòâåòà â ñêîëüêî-íèáóäü ïðîñòûõ òåðìèíàõ: ýòîìó óðàâíåíèþ óäîâëåòâîðÿþò òàêèå ðàçíîðîäíûå ôóíêöèè, êàê |x|, 3 x , y = nf  x  – çíàê ÷èñëà (íàïîìíèì, ÷òî f  x  = 1, 0 èëè –1 â çàâèñèìîñòè îò òîãî, õ áîëüøå 0, ðàâåí 0 èëè ìåíüøå 0), è ìíîãî äðóãèõ. Ðàññóæäåíèÿ, àíàëîãè÷íûå ïðèâåäåííûì âûøå, ïðèìåíÿ-


"

ÊÂÀÍT 2006/¹5

þòñÿ ïðè ðåøåíèè ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé, êîãäà íåò íèêàêîé èíôîðìàöèè î âèäå íåèçâåñòíîé ôóíêöèè. Õîòÿ îáùàÿ ìåòîäèêà ðàññóæäåíèé íå ìåíÿåòñÿ, ïîÿâëÿþòñÿ âàæíûå ñïåöèôè÷åñêèå îñîáåííîñòè. Ìû ðàññìîòðèì èõ íà ïðèìåðå òàêîé çàäà÷è. Çàäà÷à 5 (ýêîíîìè÷åñêèé ôàêóëüòåò, 2000, èþëü). Ïðî ôóíêöèþ f(x) èçâåñòíî, ÷òî îíà îïðåäåëåíà íà îòðåçêå é1 ù êë 6 ; 6 úû è óäîâëåòâîðÿåò íà ýòîì ìíîæåñòâå ñèñòåìå ì 1 æ æ 1 ö ö 10 , - 12 cos ç 2f ç ÷ ÷ = ï 1 è è xøø x 2 ï cos f  x í 2 ï π ï0 £ f  x  £ . 4 î π Ðåøèòå íåðàâåíñòâî f  x £ . 8 Äëÿ ðåøåíèÿ çàäà÷è ïðåæäå âñåãî íåìíîãî óïðîñòèì óðàâíåíèå ñèñòåìû. Äëÿ ýòîãî ïîíèçèì ñòåïåíü âûðàæåíèÿ cos2 f  x  çà ñ÷åò óäâîåíèÿ àðãóìåíòà: æ æ 1 öö 5 1 é1 ù - 6 cos ç 2f ç ÷ ÷ = , x Î ê ; 6 ú . è ø è x ø x cos 2f  x  ë6 û

(11)

1 é1 ù Åñëè x Î ê ; 6 ú , òî òàêæå ìåíÿåòñÿ íà ýòîì îòðåçêå. x ë6 û 1 Ïîýòîìó â óðàâíåíèè (11) ìîæíî çàìåíèòü x íà : x 1 é1 ù - 6 cos 2 f  x  = 5 x , x Î ê ; 6 ú . (12) æ æ 1 öö ë6 û cos ç 2 f ç ÷ ÷ è è xøø Ñîîòíîøåíèÿ (11), (12) ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê ñèñòåìó äâóõ óðàâíåíèé ñ äâóìÿ ÷èñëîâûìè íåèçâåñòíûìè æ æ 1öö A = cos 2f  x  è B = cos ç 2 f ç ÷ ÷ , ïåðåìåííàÿ õ â ýòîì è è xøø ñëó÷àå èãðàåò ðîëü ïàðàìåòðà: 5 ì1 ïï A - 6 B = x , í ï 1 - 6 A = 5x. ïî B Ýòà ñèñòåìà ëåãêî ðåøàåòñÿ ìåòîäîì èñêëþ÷åíèÿ (ñ ó÷åòîì é1 ù óñëîâèÿ x Î ê ; 6 ú âñå íèæåñëåäóþùèå ïðåîáðàçîâàíèÿ ðàâë6 û íîñèëüíû): x - 5A ì ïï B = 6 Ax , í ï 1 - 6 A = 5x ïî B c x - 5A ì ïï B = 6 Ax , í ï 6 Ax - 6 A = 5x ïî x - 5 A c x - 5A ì , ïB = 6 Ax í ï6 A2 - 5 Ax - x2 = 0. î Âòîðîå óðàâíåíèå ïîñëåäíåé ñèñòåìû ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå  A + x 6 A - x = 0 . Ñëåäîâàòåëüíî, ïðè êàæäîì ôèê-

é1 ù ñèðîâàííîì x Î ê ; 6 ú ïåðåìåííàÿ A = A  x  ìîæåò ïðèíèë6 û x .  ñèëó ìàòü òîëüêî îäíî èç äâóõ çíà÷åíèé: –õ èëè 6 π óñëîâèÿ 0 £ f  x  £ ìîæíî ãàðàíòèðîâàòü, ÷òî 4 é1 ù A = cos 2f  x  ³ 0 . Ïîýòîìó ïðè x Î ê ; 6 ú âûðàæåíèå À + ë6 û x + õ ïîëîæèòåëüíî è, ñëåäîâàòåëüíî, A = A  x  = . Ñîîòâåò6 1 . ñòâóþùåå çíà÷åíèå B = B  x  ðàâíî 6x Òàêèì îáðàçîì, èñõîäíàÿ ñèñòåìà ðàâíîñèëüíà ñèñòåìå x ì é1 ù ïïcos 2f  x = 6 ïðè âñåõ x Î ê 6 ; 6 ú , ë û í π ï0 £ 2f  x  £ . ïî 2 x é1 ù Ïðè x Î ê ; 6 ú âåëè÷èíà ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ èç îòðåçêà 6 6 ë û é1 ù êë 36 ; 1úû , êîòîðûé ÿâëÿåòñÿ ïîäìíîæåñòâîì îòðåçêà [–1; 1]. Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå arccos a , ìû ïîëó÷èì, ÷òî f  x =

x 1 arccos . 2 6

Òåïåðü èñõîäíàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ îáû÷íîãî íåðàâåíñòâà ñ îáðàòíîé òðèãîíîìåòðè÷åñêîé ôóíêöèåé: x π arccos £ 6 4 1 íà ìíîæåñòâå £ x £ 6 . Ýòî íåðàâåíñòâî áåç òðóäà ðåøàåò6 ñÿ, ÷òî äàåò îêîí÷àòåëüíûé îòâåò çàäà÷è: 3 2 £ x £ 6 . Ðàçîáðàííàÿ çàäà÷à èíòåðåñíà åùå è ïîòîìó, ÷òî â íåé òðåáîâàëîñü ðåøèòü «îáû÷íóþ» çàäà÷ó (íåðàâåíñòâî), â êîòîðîé ôèãóðèðóåò ôóíêöèÿ, ïðî êîòîðóþ èçâåñòíî ëèøü òî, ÷òî îíà ÿâëÿåòñÿ ðåøåíèåì íåêîòîðîãî ôóíêöèîíàëüíîãî óðàâíåíèÿ.  îòíîñèòåëüíî ïðîñòûõ ñëó÷àÿõ ñ ïîìîùüþ èçëîæåííûõ ìåòîäîâ ìîæíî ðåøèòü ýòî ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå è îïðåäåëèòü ôóíêöèþ â ÿâíîì âèäå. Ïîñëå ýòîãî îñíîâíàÿ çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê îáû÷íîé çàäà÷å íà ðåøåíèå óðàâíåíèÿ (íåðàâåíñòâà, ñèñòåìû). Ñëåäóþùàÿ çàäà÷à òàêæå îòíîñèòñÿ ê ýòîìó òèïó, íî ðåøåíèå ñîîòâåòñòâóþùåãî ôóíêöèîíàëüíîãî óðàâíåíèÿ áóäåò íåìíîãî ñëîæíåå, ÷åì ðàíüøå. Çàäà÷à 6 (õèìè÷åñêèé ôàêóëüòåò, 2000, çàî÷íûé òóð). Íàéäèòå çíà÷åíèÿ x, ïðè êîòîðûõ ôóíêöèÿ f(x), óäîâëåòâîðÿþùàÿ ïðè âñåõ x ¹ 0; 1 óðàâíåíèþ æ 1 ö f  x + f ç = x, è 1 - x ÷ø

(13)

èìååò ýêñòðåìóìû. Íàéäèòå ýòó ôóíêöèþ. Êàê è ðàíüøå, áóäåì ðàññìàòðèâàòü ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå (13) êàê îáû÷íîå óðàâíåíèå ñ äâóìÿ ÷èñëîâûìè æ 1 ö íåèçâåñòíûìè A = f  x  è B = f ç , ïåðåìåííàÿ õ â è 1 - x ÷ø ýòîì ñëó÷àå èãðàåò ðîëü ïàðàìåòðà: A + B = x. ×òîáû ïîëó÷èòü åùå îäíî óðàâíåíèå, çàìåíèì â (13) x íà 1 : 1- x 1 1 æ 1 ö æ x - 1ö fç +fç = Û B+C = , è 1 - x ÷ø è x ÷ø 1 - x 1- x


ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ

"!

ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ

æ x - 1ö ãäå C = f ç . Ïîñêîëüêó íàðÿäó ñ ïåðåìåííûìè A è B è x ÷ø ïîÿâèëàñü òðåòüÿ âåëè÷èíà, C, íóæíî èìåòü åùå îäíî óðàâx -1 : íåíèå. Ñ ýòîé öåëüþ çàìåíèì â (13) x íà x x -1 x -1 æ x - 1ö fç + f  x = ÛC+ A= . è x ÷ø x x

(â íåé äîñòèãàåòñÿ ëîêàëüíûé ìàêñèìóì) è

Íà ýòîì øàãå íàø ïðîöåññ çàìêíóëñÿ, è ìû èìååì ñèñòåìó òðåõ óðàâíåíèé ñ òðåìÿ íåèçâåñòíûìè

Çàäà÷à 7 (ìåõìàò, 2001, îëèìïèàäà, 10 êëàññ). ×èñëîâàÿ ôóíêöèÿ f(x) ïðè êàæäîì äåéñòâèòåëüíîì x óäîâëåòâîðÿåò ðàâåíñòâó

ì ï A + B = x, ï 1 ï , íB + C = 1 x ï x -1 ï ïîC + A = x .

x3 - x + 1 x ¹ 0; 1 . 2x  x - 1 ,

(14)

x -1 1 è óìåñòåí òîò æå x 1- x êîììåíòàðèé, êîòîðûé ìû äàëè ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ (9): ýòè ôóíêöèè îáðàçóþò ãðóïïó òðåòüåãî ïîðÿäêà îòíîñèòåëüíî îïåðàöèè ñóïåðïîçèöèè ôóíêöèé. Òåïåðü ìîæíî çàíÿòüñÿ ïîèñêîì òî÷åê ýêñòðåìóìà ôóíêöèè (14). Åå ïðîèçâîäíàÿ äàåòñÿ ôîðìóëîé

Îòíîñèòåëüíî ôóíêöèé õ,

f ¢  x =

x 4 - 2x3 + x2 - 2x + 1 2

2x2  x - 1

f ( x1 ) = f ( x2 ) Þ x1 = x2

x - 1 + 2  x + 1× x - 1 - 2  x + 1 . 2

2

2

2x 2  x - 1





2 Êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí x - 1 + 2 x + 1 èìååò äâà äåéñòâè-

òåëüíûõ x2 =

êîðíÿ

x1 =

1+ 2 - 2 2 -1 Î 0; 1 2

è

1+ 2 + 2 2 -1 Î (1; + ¥) . Äèñêðèìèíàíò òðåõ÷ëåíà 2





x2 - 1 - 2 x + 1 îòðèöàòåëåí, òàê ÷òî ýòîò òðåõ÷ëåí ïîëîæèòåëåí ïðè âñåõ õ è íå âëèÿåò íà çíàê ïðîèçâîäíîé. Òåïåðü ìåòîäîì èíòåðâàëîâ ìû ìîæåì îïðåäåëèòü çíàêè ïðîèçâîäíîé è, ñîîòâåòñòâåííî, ïîâåäåíèå ôóíêöèè f  x  : íà ïðîìåæóòêå  -¥; 0] ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò; íà ïðîìåæóòêå [0; x1 ] ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò; íà ïðîìåæóòêå [ x1; 1] ôóíêöèÿ óáûâàåò; íà ïðîìåæóòêå [1; x2 ] ôóíêöèÿ óáûâàåò; íà ïðîìåæóòêå [ x2; + ¥) ôóíêöèÿ âîçðàñòàåò.

Òàêèì îáðàçîì, ôóíêöèÿ f  x  èìååò äâå òî÷êè ýêñòðåìóìà: x1 =

1+ 2 - 2 2 -1 Î 0; 1 2

(15)

Ðåøèòå óðàâíåíèå f f  x = 0 . Äëÿ ðåøåíèÿ ýòîé çàäà÷è ââåäåì ïîíÿòèå èíúåêòèâíîé ôóíêöèè: Îïðåäåëåíèå: ôóíêöèÿ f  x  íàçûâàåòñÿ èíúåêòèâíîé, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõ ÷èñåë x1, x2 èç åå îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ ðàâåíñòâî f  x1  = f  x2  âëå÷åò, ÷òî x1 = x2 . Íåòðóäíî âèäåòü, ÷òî åñëè ôóíêöèÿ ñòðîãî âîçðàñòàåò (óáûâàåò) íà âñåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ, òî îíà èíúåêòèâíà. Áîëåå òîãî, âî ìíîãèõ çàäà÷àõ (íàïðèìåð, ïðè ðåøåíèè óðàâíåíèé), ãäå èñïîëüçóåòñÿ ìîíîòîííîñòü òîé èëè èíîé ôóíêöèè, ÷àñòî íà ñàìîì äåëå íóæíà èìåííî èíúåêòèâíîñòü. Àíàëîãè÷íîå îïðåäåëåíèå ìîæíî äàòü äëÿ ïðîèçâîëüíîãî îòîáðàæåíèÿ; â ýòîì ñëó÷àå ãîâîðÿò îá èíúåêòèâíîì îòîáðàæåíèè. Íàðÿäó ñ òåðìèíîì èíúåêòèâíàÿ ôóíêöèÿ èñïîëüçóþòñÿ òåðìèíû èíúåêöèÿ è (íåñêîëüêî ñòàðîìîäíûé) âçàèìíî îäíîçíà÷íîå ñîîòâåòñòâèå. Ñîîòíîøåíèå

.

Ìíîãî÷ëåí â ÷èñëèòåëå ÿâëÿåòñÿ âîçâðàòíûì. Ïîýòîìó åãî ìîæíî ðàçëîæèòü íà ìíîæèòåëè ñ ïîìîùüþ íîâîé ïåðåìåí1 íîé t = x + : x f ¢  x =

Èñïîëüçîâàíèå áîëåå ñëîæíûõ ïîíÿòèé è ðåçóëüòàòîâ ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà

x + f  x  = f f  x  .

Îíà ëåãêî ðåøàåòñÿ. Ïîñêîëüêó íàñ èíòåðåñóåò òîëüêî A = f  x  , ñëîæèì âñå òðè óðàâíåíèÿ, ðàçäåëèì ñóììó íà 2 è âû÷òåì èç íåå âòîðîå óðàâíåíèå: A º f x =

1+ 2 + 2 2 -1 Î (1; + ¥) 2 (â íåé äîñòèãàåòñÿ ëîêàëüíûé ìèíèìóì). x2 =

ðàâíîñèëüíî ñîîòíîøåíèþ x1 ¹ x2 ( x1, x2 âõîäÿò â îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè) Þ

Þ f ( x1 ) ¹ f ( x2 ) . Ïîýòîìó èíúåêöèþ ìîæíî áûëî áû îïðåäåëèòü êàê îòîáðàæåíèå, êîòîðîå «íå ñêëåèâàåò» ýëåìåíòû. Âåðíåìñÿ òåïåðü ê íàøåé çàäà÷å è äîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ, î êîòîðîé èäåò ðå÷ü â çàäà÷å, ÿâëÿåòñÿ èíúåêöèåé. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè f ( x1 ) = f ( x2 ) , òî, ïåðåïèñûâàÿ óðàâíåíèå äëÿ f  x  â âèäå x = f f  x  - f  x  , ìû èìååì









x1 = f f  x1  - f  x1  = f f  x2  - f  x2  = x2 . Çàéìåìñÿ òåïåðü óðàâíåíèåì f f  x  = 0 . Ïðåæäå âñåãî âûÿñíèì, ñêîëüêî îíî ìîæåò èìåòü êîðíåé. Åñëè x1, x2 – êîðíè óðàâíåíèÿ f f  x  = 0 , òî f (f ( x1 )) = f (f ( x2 )) , à

òîãäà èç äîêàçàííîé èíúåêòèâíîñòè ôóíêöèè f  x  ñëåäóåò, ÷òî f ( x1 ) = f ( x2 ) . Ïðèìåíÿÿ ñâîéñòâî èíúåêòèâíîñòè åùå ðàç, ìû ïîëó÷èì x1 = x2 . Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèå f f  x  = 0 íå ìîæåò èìåòü áîëüøå îäíîãî êîðíÿ. Òåïåðü ïîäñòàâèì â èñõîäíîå ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå âìåñòî x ÷èñëî 0. Ýòî äàñò ñëåäóþùåå ðàâåíñòâî: f 0 = f f 0  .  ñèëó äîêàçàííîé èíúåêòèâíîñòè ôóíêöèè f  x  îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî 0 = f 0 , à òîãäà f f 0 = f 0 =

= 0, ò.å. ÷èñëî 0 ÿâëÿåòñÿ êîðíåì óðàâíåíèÿ f f  x  = 0 . Îòâåò: x = 0. Õîòÿ èç òåêñòà çàäà÷è 7 ñëåäóåò, ÷òî ñóùåñòâóþò ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå ôóíêöèîíàëüíîìó óðàâíåíèþ (15), áûëî


""

ÊÂÀÍT 2006/¹5

áû èíòåðåñíî íàéòè õîòÿ áû îäíó òàêóþ ôóíêöèþ.  îáùåì âèäå ðåøèòü ýòî óðàâíåíèå íå óäàåòñÿ, íî, èñïîëüçóÿ ìåòîäû, îïèñàííûå âûøå, ìîæíî, íàïðèìåð, äîêàçàòü, ÷òî â êëàññå ìíîãî÷ëåíîâ óðàâíåíèå (15) èìååò ðîâíî äâà ðåøåíèÿ: 1+ 5 1- 5 f1  x  = x , f2  x  = x. 2 2 Äåéñòâèòåëüíî, åñëè f  x  – ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n ³ 1 , òî â ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (15) ñòîèò ìíîãî÷ëåí ñòåïåíè n, à â ïðàâîé – ñòåïåíè n2 . Ýòî âîçìîæíî ëèøü â ñëó÷àå n = 1. Ïîýòîìó ìîæíî îãðàíè÷èòüñÿ ðàññìîòðåíèåì ëèíåéíûõ ôóíêöèé: f  x  = kx + b . Äëÿ íèõ óðàâíåíèå (15) ïðèìåò âèä x + kx + b = k kx + b  + b ïðè âñåõ õ, èëè, ÷òî òî æå ñàìîå,

k + 1 x + b = k2 x + kb + b

ïðè âñåõ õ.

Ýòî ñîîòíîøåíèå ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå 2 ïìk + 1 = k , í ïîb = kb + b,

êîòîðàÿ

èìååò

äâà

ðåøåíèÿ:

æ1 + 5 ö ; 0÷ , è 2 ø

k; b = ç

æ1 - 5 ö ; 0÷ . Èì ñîîòâåòñòâóþò ñëåäóþùèå äâå ëèè 2 ø íåéíûå ôóíêöèè, óäîâëåòâîðÿþùèå ôóíêöèîíàëüíîìó óðàâíåíèþ (15):

k; b = ç

f1  x  =

1+ 5 1- 5 x , f2  x  = x. 2 2

(16)

Ýòèìè äâóìÿ ôóíêöèÿìè íå èñ÷åðïûâàåòñÿ ìíîæåñòâî ðåøåíèé óðàâíåíèÿ (15). Íàïðèìåð, ôóíêöèÿ ì1 + 5 x, åñëè x = a + b 5 ï ïï 2 f  x = íäëÿ íåêîòîðûõ ðàöèîíàëüíûõ a, b, (17) ï ï1 - 5 x â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ïî 2 òàêæå óäîâëåòâîðÿåò ýòîìó óðàâíåíèþ. Ðàçîáðàííàÿ çàäà÷à èíòåðåñíà òåì, ÷òî õîòÿ ðåøèòü ôóíêöèîíàëüíîå óðàâíåíèå è òåì ñàìûì îïðåäåëèòü ÿâíûé âèä ôóíêöèè f  x  íåëüçÿ, îñíîâíàÿ çàäà÷à (ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

f f  x  = 0 ) âïîëíå ìîæåò áûòü ðåøåíà. Íà ïîíÿòèè èíúåêòèâíîé ôóíêöèè áàçèðóåòñÿ è ðåøåíèå ñëåäóþùåé çàäà÷è, êîòîðàÿ ïðåäëàãàëàñü â 2005 ãîäó íà îëèìïèàäå «Ïîêîðè Âîðîáüåâû ãîðû», ïðîâîäèìîé ÌÃÓ ñîâìåñòíî ñ ãàçåòîé «Ìîñêîâñêèé êîìñîìîëåö». Çàäà÷à 8 (ÌÊ-ÌÃÓ, 2005, I òóð). Ñóùåñòâóþò ëè ôóíêöèè f è g, îïðåäåëåííûå íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé è ïðè êàæäîì x óäîâëåòâîðÿþùèå ðàâåíñòâàì f g  x  = x2 , g f  x  = x 3 ?

(18)

Ïðåäïîëîæèì, ÷òî òàêèå ôóíêöèè ñóùåñòâóþò. Êàê è ïðè ðåøåíèè çàäà÷è 7, ïðåæäå âñåãî äîêàæåì, ÷òî ôóíêöèÿ f  x  – èíúåêöèÿ. Äîïóñòèì, ÷òî äëÿ íåêîòîðûõ ÷èñåë x1 è x2 âåðíî ðàâåíñòâî f ( x1 ) = f ( x2 ) . Ïîñêîëüêó ëþáàÿ ôóíêöèÿ îäíî-

çíà÷íà, îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî g (f ( x1 )) = g (f ( x2 )) .  ñèëó

âòîðîãî èç óðàâíåíèé (18) ýòî îçíà÷àåò, ÷òî x13 = x22 . Èçâëåêàÿ êîðåíü êóáè÷åñêèé èç îáåèõ ÷àñòåé ýòîãî ðàâåíñòâà, ìû ïîëó÷èì, ÷òî x1 = x2 (íà ñàìîì äåëå çäåñü ìû ïîëüçóåìñÿ èíúåêòèâíîñòüþ ôóíêöèè y = x 3 ).





Ðàññìîòðèì òåïåðü âûðàæåíèå f g f  x  . Ïîñêîëüêó

 

g f  x  = x 3 , îíî ðàâíî f x 3 . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, åãî

ìîæíî ðàññìàòðèâàòü êàê f g t , ãäå t = f  x  . Ïîýòîìó â ñèëó ïåðâîãî èç óðàâíåíèé (18) îíî ðàâíî f  x  . Èòàê, ìîæíî ãàðàíòèðîâàòü ñïðàâåäëèâîñòü ðàâåíñòâà 2

 

f x3 =  f  x  

2

ïðè âñåõ x Î 4 .

Çàìåíÿÿ çäåñü ïåðåìåííóþ x ÷èñëàìè 0, 1, –1, ìû ïîëó÷èì, ÷òî äëÿ ÷èñåë a = f 0 , b = f 1 , c = f  -1 ñïðàâåäëèâû ðàâåíñòâà a = a 2 , b = b2 , c = c2 . Èíà÷å ãîâîðÿ, ýòè ÷èñëà óäîâëåòâîðÿþò êâàäðàòíîìó óðàâíåíèþ t2 = t , ò.å. ÿâëÿþòñÿ åãî êîðíÿìè. Ïîñêîëüêó f – èíúåêöèÿ, ÷èñëà a = f 0 , b = f 1 , c = f  -1 ðàçëè÷íû, ò.å. êâàäðàòíîå óðàâíåíèå t2 = t èìååò òðè êîðíÿ, ÷åãî áûòü íå ìîæåò. Çíà÷èò, èñõîäíîå äîïóùåíèå, ÷òî ñóùåñòâóþò ôóíêöèè f è g, îïðåäåëåííûå íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé è ïðè êàæäîì x óäîâëåòâîðÿþùèå ðàâåíñòâàì (18), íåâåðíî. Ñëåäîâàòåëüíî, ôóíêöèè f è g, îïðåäåëåííûå íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé è ïðè êàæäîì x óäîâëåòâîðÿþùèå ðàâåíñòâàì (18), íå ñóùåñòâóþò. Ïðè ðåøåíèè ôóíêöèîíàëüíûõ óðàâíåíèé ïîëåçíû è äðóãèå îáùèå ïîíÿòèÿ è ðåçóëüòàòû ìàòåìàòè÷åñêîãî àíàëèçà, èçó÷àåìûå â êóðñå ñðåäíåé øêîëû, íàïðèìåð ïîíÿòèÿ ïðåäåëà è ïðîèçâîäíîé. Çàäà÷à 9 (ìåõìàò, 2003, çàî÷íûé òåñò). Íàéäèòå âñå ôóíêöèè f(x), îïðåäåëåííûå íà âñåé ÷èñëîâîé ïðÿìîé, äëÿ êîòîðûõ íåðàâåíñòâî f  y × cos  x - y £ f  x 

(19)

âûïîëíåíî ïðè ëþáûõ x è y. Íà÷íåì ðåøåíèå ñ òîãî, ÷òî ïîäñòàâèì â (19) âìåñòî y π âûðàæåíèå x - : 2 πö π æ f ç x - ÷ × cos £ f  x  Û f  x  ³ 0 . è 2ø 2 Òåïåðü ïîäñòàâèì â (19) âìåñòî y âûðàæåíèå x + t: f  x + t  × cos t £ f  x  . t2 (êîíå÷íî, ýòî íàäî äîêàçàòü!), à 2 ôóíêöèÿ f íåîòðèöàòåëüíà, òåì áîëåå âåðíî íåðàâåíñòâî

Ïîñêîëüêó cos t ³ 1 -

æ t2 ö f  x + t  × ç1 - ÷ £ f  x  . 2ø è

(20)

Îãðàíè÷èì âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ ïåðåìåííîé t èíòåðâàëîì t2 - 2; 2 . Òîãäà 1 > 0 , è íåðàâåíñòâî (20) ìîæíî 2 t2 ïî÷ëåííî ðàçäåëèòü íà 1 - : 2





f  x + t £

f x 1-

t2 2

.

(21)

Ïî àíàëîãèè ñ ïðåäûäóùèì øàãîì, ïîäñòàâèì â (20) âìåñòî x âûðàæåíèå x – t, à çàòåì âìåñòî t âûðàæåíèå –t: æ t2 ö f  x × ç1 - ÷ £ f  x + t . 2ø è

(22)


ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ

Âû÷èòàÿ èç îáåèõ ÷àñòåé íåðàâåíñòâ (21) è (22) âûðàæåíèå f  x  , ìû ïîëó÷èì, ÷òî -

t2 t2 f  x  £ f  x + t - f  x £ f  x  , t Î - 2; 2 . 2 2 - t2





Òåì áîëåå âåðíî íåðàâåíñòâî f x + t - f  x £ f x

t2 , t Î - 2; 2 . 2 - t2





Åñëè äîïîëíèòåëüíî ïðåäïîëîæèòü, ÷òî t ¹ 0 , òî ýòî íåðàâåíñòâî âëå÷åò, ÷òî f x + t - f x t £ f x , t Î - 2; 2 , t ¹ 0 . (23) t 2 - t2





Òåïåðü çàôèêñèðóåì õ è óñòðåìèì ïåðåìåííóþ t ê íóëþ. Ïîñêîëüêó ïðåäåë ïðè t ® 0 ôóíêöèè â ïðàâîé ÷àñòè íåðàâåíñòâà (23) ðàâåí íóëþ, â ñèëó òåîðåìû î çàæàòîé

"#

ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ

ïåðåìåííîé ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî ñóùåñòâóåò f  x + t - f x lim t®0 t è îí ðàâåí 0. Íî, ïî îïðåäåëåíèþ ïðîèçâîäíîé, ýòîò ïðåäåë – ýòî f ¢  x  . Èòàê, ìû äîêàçàëè, ÷òî ïðîèçâîäíàÿ èñêîìîé ôóíêöèè f  x  ðàâíà 0 ïðè âñåõ x. Èçâåñòíî, ÷òî òîãäà f  x  ÿâëÿåòñÿ êîíñòàíòîé, ïðè÷åì, êàê ñëåäóåò èç íåðàâåíñòâà f  x  ³ 0 , äîêàçàííîãî â ñàìîì íà÷àëå íàøåãî ðåøåíèÿ, ýòà êîíñòàíòà äîëæíà áûòü íåîòðèöàòåëüíîé: f  x º c , c ³ 0 .

(24)

Äëÿ çàâåðøåíèÿ ðåøåíèÿ íåîáõîäèìî ïðîâåðèòü, ÷òî ôóíêöèÿ âèäà (24) äåéñòâèòåëüíî óäîâëåòâîðÿåò ñîîòíîøåíèþ (19). Äëÿ ýòîãî íóæíî ïðîñòî óìíîæèòü íåðàâåíñòâî cos  x - y  £ 1 íà (íåîòðèöàòåëüíîå) ÷èñëî c. (Ïðîäîëæåíèå ñëåäóåò)

ÈÍÔÎÐÌÀÖÈß Ëåòíèå ôèçèêîìàòåìàòè÷åñêèå øêîëû â Ïîâîëæüå Âîò óæå 19 ëåò Èíñòèòóò ïðèêëàäíîé ôèçèêè (ÈÏÔ) Ðîññèéñêîé àêàäåìèè íàóê (ÐÀÍ) åæåãîäíî – â àâãóñòå, à ñ 2001 ãîäà è â èþíå – ïðîâîäèò Ëåòíèå ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèå øêîëû (ËÔÌØ) äëÿ îäàðåííûõ äåòåé Ïîâîëæüÿ. Ýòè øêîëû ÿâëÿþòñÿ âàæíîé ñîñòàâëÿþùåé ìíîãîóðîâíåâîé ñèñòåìû íåïðåðûâíîé ïîäãîòîâêè íàó÷íûõ êàäðîâ (îò ëèöåÿ äî àñïèðàíòóðû), äëÿ êîîðäèíàöèè êîòîðîé â ñîñòàâå ÈÏÔ ñîçäàí Íàó÷íî-îáðàçîâàòåëüíûé öåíòð (ÍÎÖ).  àâãóñòå äåòè ñúåçæàþòñÿ â äåòñêèé ëàãåðü èì. Òàëàëóøêèíà íåäàëåêî îò Íèæíåãî Íîâãîðîäà, à â èþíå – íà áàçó ñàíàòîðèÿ-ïðîôèëàêòîðèÿ ÈÏÔ «Âàðíàâèíî» íà áåðåãó ðåêè Âåòëóãè.  ýòîì ãîäó ËÔÌØ «Âàðíàâèíî» ïðîâîäèëàñü ñ 18 èþíÿ ïî 4 èþëÿ. Èç ÷èñëà ó÷àñòíèêî⠖ îêîëî 60 ÷åëîâåê – áûëî ñôîðìèðîâàíî 2 îòðÿäà, îäèí èç êîòîðûõ ïðåäñòàâëÿë ñáîðíóþ Ïîâîëæüÿ (Âàðíàâèíî–Äçåðæèíñê–Àâòîçàâîä–Ñàðàòîâ), à âòîðîé ñîñòîÿë èç øêîëüíèêîâ ëèöåÿ 40 Íèæíåãî Íîâãîðîäà. Çà ïîñëåäíèå 10 ëåò ýòîò ëèöåé áûë íåîäíîêðàòíî îòìå÷åí: ïðèçíàí «øêîëîé ãîäà» Ðîññèè, íàãðàæäåí ãðàíòàìè Ñîðîñà è ïðåçèäåíòà ÐÔ çà ðàáîòó ñ îäàðåííûìè äåòüìè, à åãî ëèöåèñòû çàâîåâàëè 9 çîëîòûõ, 3 ñåðåáðÿíûõ è 4 áðîíçîâûõ ìåäàëåé íà ìåæäóíàðîäíûõ îëèìïèàäàõ è íàãðàæäàëèñü ñòèïåíäèÿìè ïðåçèäåíòà ÐÔ. Çàíÿòèÿ â ôèçè÷åñêèõ êëàññàõ ëèöåÿ ïðîâîäÿòñÿ ïî ñïåöèàëüíûì ïðîãðàììàì ÍÎÖ, ñðåäè ïåäàãîãî⠖ äîêòîðà è êàíäèäàòû íàóê, ó÷èòåëÿ âûñøåé êàòåãîðèè. Âî âðåìÿ ëåòíèõ øêîë ïðåïîäàâàòåëè ïîëó÷àþò áåñöåííûé îïûò èñïîëüçîâàíèÿ òàêîé ôîðìû ó÷åáíîé ðàáîòû, êàê ñàìîñòîÿòåëüíûå èññëåäîâàòåëüñêèå ðàáîòû, êîòîðûå ðàçâèâàþò òâîð÷åñêèå ñïîñîáíîñòè ïîäðîñòêà è äàþò óâåðåííîñòü â ñîáñòâåííûõ ñèëàõ. Ýòè ðàáîòû âûïîëíÿþòñÿ çà äâå íåäåëè ëàãåðíîé ñìåíû, áåç èñïîëüçîâàíèÿ «äîìàøíèõ çàãîòîâîê», â ãðóïïàõ ïî 2–3 ÷åëîâåêà. Âîò íåêîòîðûå èç òåì Íàó÷íî-èññëåäîâàòåëüñêîãî èíñòèòóòà èçó÷åíèÿ âñåãî (ÍÈÈÈÂñåãî) 2006 ãîäà: êèíåìàòèêà áàñêåòáîëüíîãî áðîñêà (ïîä êàêèì óãëîì ñëåäóåò áðîñàòü

ìÿ÷, ÷òîáû îáåñïå÷èòü ìàêñèìàëüíóþ òî÷íîñòü áðîñêà); èññëåäîâàíèå äûõàíèÿ ðàñòåíèé, îêðóæàþùèõ ëàãåðü; ñðåäíåñòàòèñòè÷åñêèé ïîðòðåò ñëóøàòåëÿ ËÔÌØ; ïàðàìåòðè÷åñêèå êîëåáàíèÿ (ïî÷åìó è êàê ñëåäóåò âåñòè ñåáÿ íà êà÷åëÿõ, ÷òîáû ðàñêà÷àòüñÿ áåç ïîñòîðîííåé ïîìîùè); ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòè òå÷åíèÿ â ðåêå Âåòëóãå; äâóõðàêóðñíàÿ îïòè÷åñêàÿ ãîëîãðàôèÿ; öèôðîâàÿ ãîëîãðàôèÿ; èññëåäîâàíèå è ñðàâíåíèå õàðàêòåðèñòèê ïîëóïðîâîäíèêîâîãî ëàçåðà è ñâåòîäèîäà; èññëåäîâàíèå ñêîðîñòè ðåàêöèè â çàâèñèìîñòè îò ñîñòîÿíèÿ ÷åëîâåêà. Êðîìå òîãî, ó÷åáíûå ìåðîïðèÿòèÿ â ËÔÌØ âêëþ÷àþò â ñåáÿ ëåêöèè ïî ôèçèêå è ìàòåìàòèêå, ÷èòàåìûå êàê ïðèåçæàþùèìè ëåêòîðàìè, òàê è ïîñòîÿííî ïðèñóòñòâóþùèìè â ëàãåðå ïðåïîäàâàòåëÿìè; îëèìïèàäû ïî ôèçèêå, ìàòåìàòèêå, èíôîðìàòèêå, àñòðîíîìèè (è äàæå ïî ôèëîëîãèè!); çàíÿòèÿ â êîìïüþòåðíîì êëàññå; ñåìèíàðû, ïðîâîäèìûå øêîëüíèêàìè ñ öåëüþ ðàçâèòèÿ óìåíèÿ âûñòóïàòü ïåðåä àóäèòîðèåé, ñëóøàòü äîêëàä÷èêà, ôîðìóëèðîâàòü ñâîè ìûñëè, çàäàâàòü âîïðîñû, îòâå÷àòü íà íèõ è âåñòè äèñêóññèþ. Ïåðå÷èñëèì íåêîòîðûå òåìû ñåìèíàðîâ ËÔÌØ 2006 ãîäà: ðîññèéñêèå Íîáåëåâñêèå ëàóðåàòû â îáëàñòè ôèçèêè; Ìèøåëü äå Íîñòðàäàì; ïåðâàÿ Ãîñóäàðñòâåííàÿ äóìà; òàéíà Òóíãóññêîãî ìåòåîðèòà; áðîíçà, õóäîæåñòâåííîå ëèòüå, ïàòèíà; Áèòòëç è èõ ðîëü â ðàçâèòèè ìîëîäåæíîé ìóçûêàëüíîé êóëüòóðû; Ñïèëáåðã; êâàçàðû; äðóæáà (ñîöèàëüíàÿ ïñèõîëîãèÿ); æèðîìåð; ïîëÿðíûå ñèÿíèÿ; ýêîëîãè÷åñêèå ïðîáëåìû, ñâÿçàííûå ñ ïåðåðàáîòêîé íåôòè; îñàäíûå ìàøèíû Ñðåäíåâåêîâüÿ; ìàòåìàòèêà â ýêîíîìèêå; îáðÿä æåðòâîïðèíîøåíèÿ äðåâíèõ ñëàâÿí; çàãàäêè è ïàðàäîêñû â íàøåé æèçíè; êðèïòîãðàôèÿ; áåñòñåëëåð âñåõ âðåìåí è íàðîäîâ, èëè êîìó áûëà âûãîäíà Áèáëèÿ; ìàññàæ.  òå÷åíèå âñåé ñìåíû ïðîâîäèòñÿ ýêîíîìè÷åñêàÿ èãðà, ñóòü êîòîðîé çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî êàæäûé øêîëüíèê èìååò ñ÷åò â èãðîâîé âàëþòå â áàíêå ËÔÌØ. Ýòîò ñ÷åò ìîæíî ïîïîëíÿòü è ðàñõîäîâàòü. Ïðè ýòîì âñå îáùåñòâåííî-ïîëåçíîå îïëà÷èâàåòñÿ, âñå îáùåñòâåííî-âðåäíîå øòðàôóåòñÿ. Õî÷åòñÿ ïîæåëàòü ïðåïîäàâàòåëÿì ËÔÌØ, åãî äèðåêòîðó À.Î.Ïåðìèíîâó è çàâó÷ó À.Ì.Ðåéìàíó, à òàêæå ñîòðóäíèêàì ÍÎÖ ÈÏÔ óäà÷è â èõ ïîèñêàõ è âîñïèòàíèè òàëàíòëèâûõ äåòåé. Âñå âû áëåñòÿùèå ó÷èòåëÿ, è ó âàñ ïðåêðàñíûå ó÷åíèêè! Ê.Áîãäàíîâ


ÂÀ T Ï2 È 0 0 6À/ ¹ ÎÊË ÈÍÌ Ä 5Û

"$

XXXII Âñåðîññèéñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå Ñ 24 ïî 28 ìàðòà 2006 ãîäà â ñåìè ãîðîäàõ Ðîññèè ïðîøåë IV (ôåäåðàëüíûé îêðóæíîé) ýòàï Âñåðîññèéñêîé îëèìïèàäû øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå.  ýòîì ãîäó îëèìïèàäó ïðèíèìàëè ãîðîäà Ñàíêò-Ïåòåðáóðã (Ñåâåðî-Çàïàäíûé), ßðîñëàâëü (Öåíòðàëüíûé), Ýëèñòà (Þæíûé), ×åëÿáèíñê (Óðàëüñêèé), Ïåðìü (Ïðèâîëæñêèé), Íîâîñèáèðñê (Ñèáèðñêèé) è ßêóòñê (Äàëüíåâîñòî÷íûé ôåäåðàëüíûé îêðóã). Çàêëþ÷èòåëüíûé, V ýòàï îëèìïèàäû ïðîøåë ñ 21 ïî 26 àïðåëÿ â Ïñêîâå íà áàçå Öåíòðà îáðàçîâàíèÿ «Ïñêîâñêèé ïåäàãîãè÷åñêèé êîìïëåêñ».  îëèìïèàäå ïðèíÿëè ó÷àñòèå 199 ðîññèéñêèõ øêîëüíèêî⠖ äèïëîìàíòû IV ýòàïà, à òàêæå ïîáåäèòåëè Ìîñêîâñêîé è Ñàíêò-Ïåòåðáóðãñêîé îëèìïèàä. Òðàäèöèîííî, ãîñòÿìè îëèìïèàäû ñòàëè êîìàíäû Áîëãàðèè è Êèòàÿ. Ñ ýòèìè ñòðàíàìè íà ïðîòÿæåíèè ïîñëåäíèõ ëåò âåäåòñÿ îáìåí äåëåãàöèÿìè è ïëîäîòâîðíàÿ ñîâìåñòíàÿ ðàáîòà â îáëàñòè ìàòåìàòè÷åñêèõ ñîðåâíîâàíèé. Íàèáîëåå òðóäíîé íà çàêëþ÷èòåëüíîì ýòàïå îëèìïèàäû îêàçàëàñü çàäà÷à 7 â 11 êëàññå – åå ñìîãëè ðåøèòü ëèøü òðè ó÷àñòíèêà. À ñàìûìè êðàñèâûìè, ïî ìíåíèþ ó÷àñòíèêîâ îëèìïèàäû, áûëè ïðèçíàíû çàäà÷à 1 â 9 êëàññå, çàäà÷à 8 â 10 êëàññå è çàäà÷à 3 â 11 êëàññå. Íèæå ïðèâåäåíû óñëîâèÿ çàäà÷ IV è V ýòàïîâ è ñïèñîê ïðèçåðîâ V (çàêëþ÷èòåëüíîãî) ýòàïà îëèìïèàäû.

ÎÊÐÓÆÍÎÉ ÝÒÀÏ 8 êëàññ 1. Íàéäèòå êàêîå-íèáóäü äåâÿòèçíà÷íîå ÷èñëî N, ñîñòîÿùåå èç ðàçëè÷íûõ öèôð, òàêîå, ÷òî ñðåäè âñåõ ÷èñåë, ïîëó÷àþùèõñÿ èç N âû÷åðêèâàíèåì ñåìè öèôð, áûëî áû íå áîëåå îäíîãî ïðîñòîãî. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäåííîå ÷èñëî ïîäõîäèò. (Åñëè ïîëó÷åííîå âû÷åðêèâàíèåì öèôð ÷èñëî íà÷èíàåòñÿ íà íîëü, òî íîëü òîæå âû÷åðêèâàåòñÿ.) Î.Ïîäëèïñêèé 2. Äâîå èãðàþò â òàêóþ èãðó.  íà÷àëå ïî êðóãó ñòîÿò ÷èñëà 1, 2, 3, 4. Êàæäûì ñâîèì õîäîì ïåðâûé ïðèáàâëÿåò ê äâóì ñîñåäíèì ÷èñëàì ïî 1, à âòîðîé ìåíÿåò ëþáûå äâà ñîñåäíèõ ÷èñëà ìåñòàìè. Ïåðâûé âûèãðûâàåò, åñëè âñå ÷èñëà ñòàíóò ðàâíûìè. Ìîæåò ëè âòîðîé åìó ïîìåøàòü? Ï.Ìàðòûíîâ 3.  êðóãîâûõ àâòîãîíêàõ ó÷àñòâîâàëè ÷åòûðå ãîíùèêà. Èõ ìàøèíû ñòàðòîâàëè îäíîâðåìåííî èç îäíîé òî÷êè è äâèãàëèñü ñ ïîñòîÿííûìè ñêîðîñòÿìè. Èçâåñòíî, ÷òî ïîñëå íà÷àëà ãîíîê äëÿ ëþáûõ òðåõ ìàøèí íàøåëñÿ ìîìåíò, êîãäà îíè âñòðåòèëèñü. Äîêàæèòå, ÷òî ïîñëå íà÷àëà ãîíîê íàéäåòñÿ ìîìåíò, êîãäà âñòðåòÿòñÿ âñå 4 ìàøèíû. (Ãîíêè ñ÷èòàåì áåñêîíå÷íî äîëãèìè ïî âðåìåíè.) È.Áîãäàíîâ, Ï.Êîæåâíèêîâ, Î.Ïîäëèïñêèé, Ã.×åëíîêîâ 4. Ñì. çàäà÷ó Ì2015,á «Çàäà÷íèêà Êâàíòà». 5. Íà äîñêå çàïèñàíî ïðîèçâåäåíèå a1 × a2 × K × a100 , ãäå a1,K , a100 – íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Ðàññìîòðèì 99 âûðàæåíèé, êàæäîå èç êîòîðûõ ïîëó÷àåòñÿ çàìåíîé îäíîãî èç çíàêîâ óìíîæåíèÿ íà çíàê ñëîæåíèÿ. Èçâåñòíî, ÷òî çíà÷åíèÿ ðîâíî

32 èç ýòèõ âûðàæåíèé ÷åòíûå. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî ÷åòíûõ ÷èñåë ñðåäè a1, a2,K , a100 ìîãëî áûòü? Ð.Æåíîäàðîâ 6.  êëåò÷àòîì êâàäðàòå 101 ´ 101 êàæäàÿ êëåòêà âíóòðåííåãî êâàäðàòà 99 ´ 99 ïîêðàøåíà â îäèí èç äåñÿòè öâåòîâ (êëåòêè, ïðèìûêàþùèå ê ãðàíèöå êâàäðàòà, íå ïîêðàøåíû). Ìîæåò ëè îêàçàòüñÿ, ÷òî â êàæäîì êâàäðàòå 3 ´ 3 â öâåò öåíòðàëüíîé êëåòêè ïîêðàøåíà åùå ðîâíî îäíà êëåòêà? Í.Àãàõàíîâ 7. Ìåäèàíó AA0 òðåóãîëüíèêà ABC îòëîæèëè îò òî÷êè A0 ïåðïåíäèêóëÿðíî ñòîðîíå ÂÑ âî âíåøíþþ ñòîðîíó òðåóãîëüíèêà. Îáîçíà÷èì âòîðîé êîíåö ïîñòðîåííîãî îòðåçêà ÷åðåç A1 . Àíàëîãè÷íî ñòðîÿòñÿ òî÷êè B1 è C1 . Íàéäèòå óãëû òðåóãîëüíèêà A1B1C1 , åñëè óãëû òðåóãîëüíèêà ABC ðàâíû 30°, 30° è 120°. Ë.Åìåëüÿíîâ 8. Ïðè èçãîòîâëåíèè ïàðòèè èç N ³ 5 ìîíåò ðàáîòíèê ïî îøèáêå èçãîòîâèë äâå ìîíåòû èç äðóãîãî ìàòåðèàëà (âñå ìîíåòû âûãëÿäÿò îäèíàêîâî). Íà÷àëüíèê çíàåò, ÷òî òàêèõ ìîíåò ðîâíî äâå, ÷òî îíè âåñÿò îäèíàêîâî, íî îòëè÷àþòñÿ ïî âåñó îò îñòàëüíûõ. Ðàáîòíèê çíàåò, êàêèå ýòî ìîíåòû è ÷òî îíè ëåã÷å îñòàëüíûõ. Åìó íóæíî, ïðîâåäÿ äâà âçâåøèâàíèÿ íà ÷àøå÷íûõ âåñàõ áåç ãèðü, óáåäèòü íà÷àëüíèêà â òîì, ÷òî ôàëüøèâûå ìîíåòû ëåã÷å íàñòîÿùèõ, è â òîì, êàêèå èìåííî ìîíåòû ôàëüøèâûå. Ìîæåò ëè îí ýòî ñäåëàòü? Ê.Êíîï, Ë.Åìåëüÿíîâ

9 êëàññ 1. Ñì. çàäà÷ó 1 äëÿ 8 êëàññà. 2.  êàæäóþ êëåòêó áåñêîíå÷íîé êëåò÷àòîé ïëîñêîñòè çàïèñàíî îäíî èç ÷èñåë 1, 2, 3, 4 òàê, ÷òî êàæäîå ÷èñëî âñòðå÷àåòñÿ õîòÿ áû îäèí ðàç. Íàçîâåì êëåòêó ïðàâèëüíîé, åñëè êîëè÷åñòâî ðàçëè÷íûõ ÷èñåë, çàïèñàííûõ â ÷åòûðå ñîñåäíèå (ïî ñòîðîíå) ñ íåé êëåòêè, ðàâíî ÷èñëó, çàïèñàííîìó â ýòó êëåòêó. Ìîãóò ëè âñå êëåòêè ïëîñêîñòè îêàçàòüñÿ ïðàâèëüíûìè? Í.Àãàõàíîâ 3. Èçâåñòíî, ÷òî x12 + x22 + K + x62 = 6 è x1 + x2 + K + x6 = 0 . 1 Äîêàæèòå, ÷òî x1x2 K x6 £ . 2 À.Õðàáðîâ 4. Áèññåêòðèñû óãëîâ À è Ñ òðåóãîëüíèêà ABC ïåðåñåêàþò îïèñàííóþ îêðóæíîñòü ýòîãî òðåóãîëüíèêà â òî÷êàõ A0 è C0 ñîîòâåòñòâåííî. Ïðÿìàÿ, ïðîõîäÿùàÿ ÷åðåç öåíòð âïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC ïàðàëëåëüíî ñòîðîíå ÀÑ, ïåðåñåêàåòñÿ ñ ïðÿìîé A0C0 â òî÷êå Ð. Äîêàæèòå, ÷òî ïðÿìàÿ Рêàñàåòñÿ îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC. Ë.Åìåëüÿíîâ 5. Ñì. çàäà÷ó 5 äëÿ 8 êëàññà. 6.  îñòðîóãîëüíîì òðåóãîëüíèêå ABC ïðîâåäåíû áèññåêòðèñà AD è âûñîòà BE. Äîêàæèòå, ÷òî óãîë CED áîëüøå 45°. À.Ìóðàøêèí


"%

ÎËÈÌÏÈÀÄÛ

7. Ñì. çàäà÷ó 8 äëÿ 8 êëàññà. 8. ×èñëî N, íå äåëÿùååñÿ íà 81, ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ òðåõ öåëûõ ÷èñåë, äåëÿùèõñÿ íà 3. Äîêàæèòå, ÷òî îíî òàêæå ïðåäñòàâèìî â âèäå ñóììû êâàäðàòîâ òðåõ öåëûõ ÷èñåë, íå äåëÿùèõñÿ íà 3. Ï.Êîçëîâ

10 êëàññ 1. Ñì. çàäà÷ó Ì2011 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 2. Íàçîâåì ðàñêðàñêó äîñêè 8 ´ 8 â òðè öâåòà õîðîøåé, åñëè â ëþáîì óãîëêå èç ïÿòè êëåòîê ïðèñóòñòâóþò êëåòêè âñåõ òðåõ öâåòîâ. (Óãîëîê èç ïÿòè êëåòîê – ýòî ôèãóðà, ïîëó÷àþùàÿñÿ èç êâàäðàòà 3 ´ 3 âûðåçàíèåì êâàäðàòà 2 ´ 2 .) Äîêàæèòå, ÷òî êîëè÷åñòâî õîðîøèõ ðàñêðàñîê íå ìåíüøå ÷åì 68 . Î.Ïîäëèïñêèé 3. Ñì. çàäà÷ó 4 äëÿ 9 êëàññà. 4. Ñì. çàäà÷ó Ì2009 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 5. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ êàæäîãî õ òàêîãî, ÷òî sin x ¹ 0 , 3 íàéäåòñÿ òàêîå íàòóðàëüíîå n, ÷òî sin nx ³ . 2 È.Áîãäàíîâ, À.Õðàáðîâ 6. ×åðåç òî÷êó ïåðåñå÷åíèÿ âûñîò îñòðîóãîëüíîãî òðåóãîëüíèêà ABC ïðîõîäÿò òðè îêðóæíîñòè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ êàñàåòñÿ îäíîé èç ñòîðîí òðåóãîëüíèêà â îñíîâàíèè âûñîòû. Äîêàæèòå, ÷òî âòîðûå òî÷êè ïåðåñå÷åíèÿ îêðóæíîñòåé ÿâëÿþòñÿ âåðøèíàìè òðåóãîëüíèêà, ïîäîáíîãî èñõîäíîìó. Ë.Åìåëüÿíîâ 7. Ñì. çàäà÷ó Ì2013 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 8. Ñì. çàäà÷ó Ì2016 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».

11 êëàññ 1. Ñì. çàäà÷ó Ì2011 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 2. Ïðîèçâåäåíèå êâàäðàòíûõ òðåõ÷ëåíîâ x2 + a1x + b1 , 2 x + a2 x + b2 , …, x2 + an x + bn ðàâíî ìíîãî÷ëåíó P  x  = x 2n + c1x2n -1 + c2 x 2n - 2 + K + c2n -1x + c2n , ãäå êîýôôèöèåíòû c1, c2,K , c2n ïîëîæèòåëüíû. Äîêàæèòå, ÷òî äëÿ íåêîòîðîãî k ( 1 £ k £ n ) êîýôôèöèåíòû ak è bk ïîëîæèòåëüíû. B.Ñåíäåðîâ 3.  ãîíî÷íîì òóðíèðå 12 ýòàïîâ è n ó÷àñòíèêîâ. Ïîñëå êàæäîãî ýòàïà âñå ó÷àñòíèêè â çàâèñèìîñòè îò çàíÿòîãî ìåñòà k ïîëó÷àþò áàëëû ak (÷èñëà ak íàòóðàëüíû è a1 > a2 > K > an ). Ïðè êàêîì íàèìåíüøåì n óñòðîèòåëü òóðíèðà ìîæåò âûáðàòü ÷èñëà a1,K , an òàê, ÷òî ïîñëå ïðåäïîñëåäíåãî ýòàïà ïðè ëþáîì âîçìîæíîì ðàñïðåäåëåíèè ìåñò õîòÿ áû äâîå ó÷àñòíèêîâ èìåëè øàíñû çàíÿòü ïåðâîå ìåñòî? Ì.Ìóðàøêèí 4. Áèññåêòðèñû óãëîâ À è Ñ òðåóãîëüíèêà ABC ïåðåñåêàþò åãî ñòîðîíû â òî÷êàõ A1 è C1 , à îïèñàííóþ îêðóæíîñòü ýòîãî òðåóãîëüíèêà – â òî÷êàõ A0 è C0 ñîîòâåòñòâåííî. Ïðÿìûå A1C1 è A0C0 ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå Ð. Äîêàæèòå, ÷òî îòðåçîê, ñîåäèíÿþùèé Ð ñ öåíòðîì âïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC, ïàðàëëåëåí ÀÑ. Ë.Åìåëüÿíîâ 5. Ñì. çàäà÷ó 5 äëÿ 10 êëàññà. 6. Ñì. çàäà÷ó Ì2012 «Çàäà÷íèêà Êâàíòà». 7. Ñì. çàäà÷ó Ì2018 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 8. Êàêîå ìèíèìàëüíîå êîëè÷åñòâî êëåòîê ìîæíî çàêðàñèòü ÷åðíûì â áåëîì êâàäðàòå 300 ´ 300 , ÷òîáû íèêàêèå òðè

÷åðíûå êëåòêè íå îáðàçîâûâàëè óãîëîê, à ïîñëå çàêðàøèâàíèÿ ëþáîé áåëîé êëåòêè ýòî óñëîâèå íàðóøàëîñü? È.Áîãäàíîâ, Î.Ïîäëèïñêèé

ÇÀÊËÞ×ÈÒÅËÜÍÛÉ ÝÒÀÏ 9 êëàññ 1. Äàíà øàõìàòíàÿ äîñêà 15 ´ 15 . Íåêîòîðûå ïàðû öåíòðîâ ñîñåäíèõ ïî ñòîðîíå êëåòîê ñîåäèíèëè îòðåçêàìè òàê, ÷òî ïîëó÷èëàñü çàìêíóòàÿ íåñàìîïåðåñåêàþùàÿñÿ ëîìàíàÿ, ñèììåòðè÷íàÿ îòíîñèòåëüíî îäíîé èç äèàãîíàëåé äîñêè. Äîêàæèòå, ÷òî äëèíà ëîìàíîé íå áîëüøå 200. Ñ.Áåðëîâ, È.Áîãäàíîâ 2. Äîêàæèòå, ÷òî íàéäóòñÿ 4 òàêèõ öåëûõ ÷èñëà à, b, ñ, d, ïî ìîäóëþ áîëüøèõ 1000000, ÷òî 1 1 1 1 1 + + + = . a b c d abcd Ñ.Áåðëîâ 3. Ïåòÿ ðàñêðàøèâàåò 2006 òî÷åê, ðàñïîëîæåííûõ íà îêðóæíîñòè, â 17 öâåòîâ. Çàòåì Êîëÿ ïðîâîäèò õîðäû ñ êîíöàìè â îòìå÷åííûõ òî÷êàõ òàê, ÷òîáû êîíöû ëþáîé õîðäû áûëè îäíîöâåòíû è õîðäû íå èìåëè îáùèõ òî÷åê (â òîì ÷èñëå è îáùèõ êîíöîâ). Ïðè ýòîì Êîëÿ õî÷åò ïðîâåñòè êàê ìîæíî áîëüøå õîðä, à Ïåòÿ ñòàðàåòñÿ åìó ïîìåøàòü. Êàêîå íàèáîëüøåå êîëè÷åñòâî õîðä çàâåäîìî ñìîæåò ïðîâåñòè Êîëÿ? Ñ.Áåðëîâ 4. Äàí òðåóãîëüíèê ÀÂÑ. Îêðóæíîñòü ω êàñàåòñÿ îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ â òî÷êå À, ïåðåñåêàåò ñòîðîíó À â òî÷êå K, à òàêæå ïåðåñåêàåò ñòîðîíó ÂÑ. Êàñàòåëüíàÿ CL ê îêðóæíîñòè ω òàêîâà, ÷òî îòðåçîê KL ïåðåñåêàåò ñòîðîíó ÂÑ â òî÷êå Ò. Äîêàæèòå, ÷òî îòðåçîê ÂÒ ðàâåí ïî äëèíå êàñàòåëüíîé èç òî÷êè  ê ω . Ä.Ñêðîáîò 5. Ïóñòü a1, a2,K , a10 – íàòóðàëüíûå ÷èñëà, a1 < a2 < K K < a10 . Ïóñòü bk – íàèáîëüøèé äåëèòåëü ak òàêîé, ÷òî bk < ak . Îêàçàëîñü, ÷òî b1 > b2 > K > b10 . Äîêàæèòå, ÷òî a10 > 500 . Ì.Ìóðàøêèí 6. Íà ñòîðîíàõ ÀÂ, ÂÑ, ÑÀ òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ âûáðàíû òî÷êè Ð, Q, R ñîîòâåòñòâåííî òàêèì îáðàçîì, ÷òî ÀÐ = CQ è ÷åòûðåõóãîëüíèê RPBQ âïèñàííûé. Êàñàòåëüíûå ê îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ â òî÷êàõ À è Ñ ïåðåñåêàþò ïðÿìûå RP è RQ â òî÷êàõ Õ è Y ñîîòâåòñòâåííî. Äîêàæèòå, ÷òî RX = RY. Ñ.Áåðëîâ 7. Êëåò÷àòûé êâàäðàò 100 ´ 100 ðàçðåçàí íà äîìèíîøêè: ïðÿìîóãîëüíèêè 1 ´ 2 . Äâîå èãðàþò â èãðó. Êàæäûì õîäîì èãðîê ñêëåèâàåò äâå ñîñåäíèå ïî ñòîðîíå êëåòêè, ìåæäó êîòîðûìè áûë ïðîâåäåí ðàçðåç. Èãðîê ïðîèãðûâàåò, åñëè ïîñëå åãî õîäà ôèãóðà ïîëó÷èëàñü ñâÿçíîé, ò.å. âåñü êâàäðàò ìîæíî ïîäíÿòü ñî ñòîëà, äåðæà åãî çà îäíó êëåòêó. Êòî âûèãðàåò ïðè ïðàâèëüíîé èãðå – íà÷èíàþùèé èëè åãî ñîïåðíèê? È.Áîãäàíîâ 8. Äàí êâàäðàòíûé òðåõ÷ëåí f  x  = x2 + ax + b . Óðàâíåíèå f (f ( x )) = 0 èìååò ÷åòûðå ðàçëè÷íûõ äåéñòâèòåëüíûõ êîðíÿ, ñóììà äâóõ èç êîòîðûõ ðàâíà –1. Äîêàæèòå, ÷òî 1 b£- . 4 Ñ.Áåðëîâ


"&

ÊÂÀÍT 2006/¹5

10 êëàññ 1. Ñì. çàäà÷ó 1 äëÿ 9 êëàññà. 2. Ñóììà êóáîâ òðåõ ïîñëåäîâàòåëüíûõ íàòóðàëüíûõ ÷èñåë îêàçàëàñü êóáîì íàòóðàëüíîãî ÷èñëà. Äîêàæèòå, ÷òî ñðåäíåå èç ýòèõ òðåõ ÷èñåë äåëèòñÿ íà 4. Â.Ñåíäåðîâ 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Ñì. Ñì. Ñì. Ñì. Ñì. Ñì.

çàäà÷ó çàäà÷ó çàäà÷ó çàäà÷ó çàäà÷ó çàäà÷ó

3 äëÿ 9 êëàññà. Ì2019 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 5 äëÿ 9 êëàññà. Ì2014 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 8 äëÿ 9 êëàññà. Ì2017,à «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà».

11 êëàññ

π . 2 Â.Ñåíäåðîâ

1. Äîêàæèòå, ÷òî sin x < sin x ïðè 0 < x <

2. Ñóììà è ïðîèçâåäåíèå äâóõ ÷èñòî ïåðèîäè÷åñêèõ äåñÿòè÷íûõ äðîáåé – ÷èñòî ïåðèîäè÷åñêèå äðîáè ñ ïåðèîäîì Ò. Äîêàæèòå, ÷òî èñõîäíûå äðîáè èìåþò ïåðèîäû íå áîëüøå Ò. À.Ãîëîâàíîâ 3. Ó êëåò÷àòîãî ïðÿìîóãîëüíèêà 49 ´ 69 îòìå÷åíû âñå 50 × 70 âåðøèí êëåòîê. Äâîå èãðàþò â ñëåäóþùóþ èãðó: êàæäûì ñâîèì õîäîì êàæäûé èãðîê ñîåäèíÿåò äâå òî÷êè îòðåçêîì, ïðè ýòîì îäíà òî÷êà íå ìîæåò ÿâëÿòüñÿ êîíöîì äâóõ ïðîâåäåííûõ îòðåçêîâ. Îòðåçêè ìîãóò ñîäåðæàòü îáùèå òî÷êè. Îòðåçêè ïðîâîäÿòñÿ äî òåõ ïîð, ïîêà òî÷êè íå êîí÷àòñÿ. Åñëè ïîñëå ýòîãî ïåðâûé ìîæåò âûáðàòü íà âñåõ ïðîâåäåííûõ îòðåçêàõ íàïðàâëåíèÿ òàê, ÷òî ñóììà âñåõ ïîëó÷åííûõ âåêòîðîâ ðàâíà íóëåâîìó âåêòîðó, òî îí âûèãðû-

âàåò, èíà÷å âûèãðûâàåò âòîðîé. Êòî âûèãðûâàåò ïðè ïðàâèëüíîé èãðå? Î.Ïîäëèïñêèé 4. Áèññåêòðèñû BB1 è CC1 òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ ïåðåñåêàþòñÿ â òî÷êå I. Ïðÿìàÿ B1C1 ïåðåñåêàåò îïèñàííóþ îêðóæíîñòü òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ â òî÷êàõ Ì è N. Äîêàæèòå, ÷òî ðàäèóñ îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà MIN âäâîå áîëüøå ðàäèóñà îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ÀÂÑ. Ë.Åìåëüÿíîâ 5. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë  xn  è  yn  óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì xn +2 = xn + xn2+1 , yn +2 = yn + yn2 +1 ïðè âñåõ íàòóðàëüíûõ n. Äîêàæèòå, ÷òî åñëè âñå ÷èñëà x1, x2, y1, y2 áîëüøå 1, òî xn > yn ïðè êàêîì-íèáóäü íàòóðàëüíîì n. À.Ãîëîâàíîâ 6. Îêðóæíîñòü ñ öåíòðîì I, âïèñàííàÿ â ãðàíü ÀÂÑ òðåóãîëüíîé ïèðàìèäû SABC, êàñàåòñÿ îòðåçêîâ ÀÂ, ÂÑ, ÑÀ â òî÷êàõ D, E, F ñîîòâåòñòâåííî. Íà îòðåçêàõ SA, SB, SC îòìå÷åíû òî÷êè A¢, B¢, C ¢ ñîîòâåòñòâåííî òàê, ÷òî AA¢ = AD , BB¢ = BE , CC ¢ = CF ; S¢ – òî÷êà íà îïèñàííîé ñôåðå ïèðàìèäû, äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíàÿ òî÷êå S. Èçâåñòíî, ÷òî SI ÿâëÿåòñÿ âûñîòîé ïèðàìèäû. Äîêàæèòå, ÷òî òî÷êà S¢ ðàâíîóäàëåíà îò òî÷åê A ¢, B¢, C ¢ . Ô.Áàõàðåâ 7. Ñì. çàäà÷ó Ì2020 «Çàäà÷íèêà «Êâàíòà». 8.  ëàãåðü ïðèåõàëè íåñêîëüêî ïèîíåðîâ, êàæäûé èç íèõ èìååò îò 50 äî 100 çíàêîìûõ ñðåäè îñòàëüíûõ. Äîêàæèòå, ÷òî ïèîíåðàì ìîæíî âûäàòü ïèëîòêè, ïîêðàøåííûå â 1331 öâåò òàê, ÷òîáû ó çíàêîìûõ êàæäîãî ïèîíåðà áûëè ïèëîòêè õîòÿ áû 20 ðàçëè÷íûõ öâåòîâ. Ä.Êàðïîâ

Ïðèçåðû îëèìïèàäû Äèïëîìû I ñòåïåíè ïî 9 êëàññàì ïîëó÷èëè Êåâåð Ìèõàèë – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Êóäûê Íèêèòà – Îìñê, øêîëà 117, Âîëêîâ Âëàäèñëà⠖ Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Áîéêèé Ðîìàí – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239; ïî 10 êëàññàì – Èëþõèíà Ìàðèÿ – Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà», Ìèòðîôàíîâ Èâàí – Êîëîìíà, ãèìíàçèÿ 2, Àðóòþíîâ Âëàäèìèð – Ìîñêâà, ãèìíàçèÿ 1543, Ñàôèí Ñòàíèñëà⠖ Êðàñíîäàð, ëèöåé «ÈÑÒÝÊ», Ìàòâååâ Êîíñòàíòèí – Îìñê, ëèöåé 66, Øìàðîâ Âëàäèìèð – Ñàðîâ, ëèöåé 15; ïî 11 êëàññàì – Ìàãàçèíîâ Àëåêñàíäð – ßðîñëàâëü, øêîëà 33 èì. Ê.Ìàðêñà, Çàòèöêèé Ïàâåë – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Ãëàçìàí Àëåêñàíäð – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Äåâÿòîâ Ðîñòèñëà⠖Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà», Îáðàçöîâ Òèìîôåé – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239. Äèïëîìû II ñòåïåíè ïî 9 êëàññàì ïîëó÷èëè Àðäèíàðöåâ Íèêèòà – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Áàæîâ Èâàí – Åêàòåðèíáóðã, ãèìíàçèÿ 9, Ïåøíèí Àëåêñàíäð – Êèðîâ, ÔÌË, Ãîðèíîâ Åâãåíèé – Êèðîâ, ÔÌË,

Àðõèïîâ Äìèòðèé – ßðîñëàâëü, øêîëà 33 èì. Ê.Ìàðêñà, Õàðèòîíîâ Ìèõàèë – Ìîñêîâñêàÿ îáë., ï.Óäåëüíàÿ, Óäåëüíèíñêàÿ ãèìíàçèÿ, Ïîãëàçîâ Ïàâåë – Êèðîâ, ÔÌË, Ñàëèõîâ Êàìèëü – Êàçàíü, ãèìíàçèÿ 102, Âîðîáüåâ Èëüÿ – Ñûêòûâàð, ðåñïóáëèêàíñêèé ôèçèêî-ìàòåìàòè÷åñêèé ëèöåé-èíòåðíàò, Åðïûëåâ Àëåêñåé –Ìîñêîâñêàÿ îáë., ï.Áåëîîçåðñêèé, øêîëà 23, Ìàçóðèê Àëåêñàíäð – Àíàïà, øêîëà 7, Øàðàõîâ Ñåðãåé – Èæåâñê, ÝÌË 29, Ñëàñòåíèí Àëåêñàíäð – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, øêîëà 627, Íåíàøåâ Ãëåá – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Õàñàíîâ Òèìóð – Êàçàíü, ÔÌË 131; ïî 10 êëàññàì – Âîðîáüåâ Ñåðãåé – Êèðîâ, ÔÌË, Ìèõàéëîâñêèé Íèêèòà – ×åëÿáèíñê, ëèöåé 31, Ëèøàíñêèé Àíäðåé – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, ßðóøèí Äìèòðèé – ×åëÿáèíñê, ëèöåé 31, Ëûñîâ Ìèõàèë – Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà», Îìåëüÿíåíêî Âèêòîð – Áåëãîðîä, ëèöåé 38, 7 êë., Äðîçäîâ Ñåðãåé – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé «ÔÒØ» ÐÀÍ, ×óâàøîâ Ñåðãåé – Êèðîâ, ÔÌË, Õàáèáðàõìàíîâ Èñêàíäåð – Êàçàíü, ëèöåé-èíòåðíàò 2; ïî 11 êëàññàì – Êðàñèëüíèêîâ Àëåêñàíäð – Óëüÿíîâñê, ãèìíàçèÿ 79, Êàòûøåâ Àëåêñåé – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Áàðàíîâ Äìèòðèé – Æóêîâñêèé, ãèìíàçèÿ 1,


ÎËÈÌÏÈÀÄÛ

Åñèí Àëåêñåé – Êðàñíîäàðñêèé êð, ñò. Ñòàðîíèæåñòåáëèåâñêàÿ, øêîëà 55, Ãóñàðîâ Åâãåíèé – ßðîñëàâëü, ãèìíàçèÿ 3, Õðèñòîôîðîâ Ìèõàèë – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Äðóæèíèí Àíäðåé – Èðêóòñê, ëèöåé 2, Åðåìèí Àëåêñåé – Êðàñíîäàð, øêîëà 47. Äèïëîìû III ñòåïåíè ïî 9 êëàññàì ïîëó÷èëè Ôèëüêèí Åâãåíèé – Ìàéêîï, ãèìíàçèÿ 22, ßíóøåâè÷ Ëåîíèä – Ìîñêâà, øêîëà 1321 «Êîâ÷åã», Êîðá Äìèòðèé – Îìñê, øêîëà 117 , Ðàñïîïîâ Àëåêñåé – Ðîñòîâ-íà-Äîíó, ÔÌË 33, Ñåëèùåâ Âèòàëèé – Áàðíàóë, øêîëà 107 (ëèöåé «Ãðàíè»), Ñîêîëîâ Âÿ÷åñëà⠖ Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ãèìíàçèÿ 261, Òèòîâ Èâàí – Åêàòåðèíáóðã, ãèìíàçèÿ 9, Ãðèãîðüåâ Ñåðãåé – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé 533, Öàðüêîâ Îëå㠖 Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà», Êóñêîâ Äìèòðèé – Âëàäèìèð, ëèíãâèñòè÷åñêàÿ ãèìíàçèÿ 23 èì. À.Ã.Ñòîëåòîâà; ïî 10 êëàññàì – Ïîíîìàðåíêî Åêàòåðèíà – Ìàéêîï, ãèìíàçèÿ 22, Øàïöåâ Àëåêñåé – Ïåðìü, ãèìíàçèÿ 17, Áîðèñêèí Ïàâåë – Ñàðîâ, ëèöåé 3, Ìàõëèí Èãîðü – Ìîñêâà, ãèìíàçèÿ 1543, Øóëüöåâà Îëüãà – Êóðãàí, ãèìíàçèÿ 27, Ñèäîðîâ Àëåêñàíäð – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé «ÔÒØ» ÐÀÍ, Ïàñûíêîâ Ïàâåë – Êèðîâ, ÔÌË, Ñåïëÿðñêàÿ Àííà – ×åðíîãîëîâêà, øêîëà 82, Ëîêòåâ Ñåðãåé – Êðàñíîäàð, ëèöåé 90, Áàðàíîâ Ýäóàðä – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Îñòðîóìîâà Ëþäìèëà – ßðîñëàâëü, øêîëà 33 èì.Ê.Ìàðêñà,

"'

Ôåëüäìàí Ãðèãîðèé – Íîâîñèáèðñê, ãèìíàçèÿ 1, Ëîãóíîâ Àëåêñàíäð – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Àíàöêèé Àíàòîëèé – Ëåíñê, ëèöåé 2; ïî 11 êëàññàì – Êîçà÷îê Ìàðèíà – Äîëãîïðóäíûé, ÔÌØ 5, Ïðàñîëîâ Ìàêñèì – Íîâîñèáèðñê, ãèìíàçèÿ 1, ×åðíîâ Âàäèì – ×åëÿáèíñê, ëèöåé 31, Ñèòíèêîâ Àëåêñàíäð – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Ùè÷êî Àíòîí – ×åëÿáèíñê, ëèöåé 31, Ñòîëÿðîâ Äìèòðèé – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Èâàíîâ Ãðèãîðèé – Ðûáèíñê, ëèöåé 2, Êóïðèí Ñåðãåé – ×åëÿáèíñê, ëèöåé 31, Ìóçû÷êà Ñòåïàí – Æóêîâñêèé, øêîëà 8, Ïå÷åíêèí Íèêîëàé – Ìîñêâà, øêîëà 192, Áóôåòîâ Àëåêñåé – Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà», Áÿêîâ Ëåîíèä – Íèæíèé Òàãèë, ïîëèòåõíè÷åñêàÿ ãèìíàçèÿ, Ñìîòðîâ Äìèòðèé – ×åëÿáèíñê, ëèöåé 31, Ðÿá÷åíêî Àëåêñàíäð – Íîâîñèáèðñê, ÑÍÖ ÍÃÓ, Òðèôîíîâ Èâàí – Àíãàðñê, øêîëà 10.  ýòîì ãîäó æþðè îëèìïèàäû ïðèíÿëî ðåøåíèå îòìåòèòü ó÷àñòíèêîâ, íàáðàâøèõ íàèáîëüøåå ÷èñëî áàëëîâ â ñâîèõ ïàðàëëåëÿõ. Ñïåöèàëüíûå ïðèçû «Çà àáñîëþòíûé ðåçóëüòàò íà îëèìïèàäå» ïîëó÷èëè 11-êëàññíèê Àëåêñàíäð Ìàãàçèíîâ èç ßðîñëàâëÿ, 10-êëàññíèêè Íèêîëàé Áåëóõîâ èç Áîëãàðèè, Ìàðèÿ Èëþõèíà èç Ìîñêâû è Èâàí Ìèòðîôàíîâ èç Êîëîìíû, à ïðèç «Çà ëó÷øèé ðåçóëüòàò ïî 9 êëàññàì» áûë âðó÷åí Ìèõàèëó Êåâåðó èç Ñàíêò-Ïåòåðáóðãà. Îñîáî õî÷åòñÿ îòìåòèòü ðåçóëüòàò À. Ìàãàçèíîâà, íàáðàâøåãî ìàêñèìàëüíî âîçìîæíîå êîëè÷åñòâî áàëëîâ (56 èç 56 âîçìîæíûõ) ïðè ðåøåíèè ñëîæíîãî âàðèàíòà 11 êëàññà. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Í.Àãàõàíîâ, Ï.Êîæåâíèêîâ, Î.Ïîäëèïñêèé, Ä.Òåð¸øèí

XL Âñåðîññèéñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå  ýòîì ãîäó çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï î÷åðåäíîé Âñåðîññèéñêîé ôèçè÷åñêîé îëèìïèàäû ïðîøåë â ãîðîäå Ñíåæèíñêå.  îëèìïèàäå ïðèíÿëè ó÷àñòèå îêîëî 170 øêîëüíèêîâ 9 – 11 êëàññîâ â ñîñòàâå êîìàíä îò ôåäåðàëüíûõ îêðóãîâ Ðîññèè è ãîðîäîâ Ìîñêâû è Ñàíêò-Ïåòåðáóðãà. Íèæå ïðèâîäÿòñÿ óñëîâèÿ çàäà÷ òåîðåòè÷åñêîãî è ýêñïåðèìåíòàëüíîãî òóðîâ çàêëþ÷èòåëüíîãî ýòàïà è ñïèñîê ïðèçåðîâ îëèìïèàäû.

ÒÅÎÐÅÒÈ×ÅÑÊÈÉ ÒÓÐ 9 êëàññ Çàäà÷à 1. Ìàêñèìàëüíàÿ àìïëèòóäà Áðóñîê ìàññîé Ì, ïîêîÿùèéñÿ íà ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå, è ïðóæèííûé ìàÿòíèê, ñîñòîÿùèé èç ãðóçà ìàññîé m è ëåãêîé äëèííîé ïðóæèíû, ñâÿçàíû ëåãêîé íåðàñòÿæèìîé íèòüþ, ïåðåêèíóòîé ÷åðåç èäåàëüíûé íåïîäâèæíûé áëîê (ðèñ. 1). Êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ìåæäó îñíîâàíèåì áðóñêà è ïîâåðõíîñòüþ ñòîëà μ = 0,3 . Îòíîøåíèå ìàññû áðóñêà ê ìàññå ãðóçà M/m = 8. Ãðóç ñîâåðøàåò âåðòèêàëüíûå êîëåáàíèÿ ñ ïåðèîäîì Ò = 0,5 ñ. Êàêîâà ìàêñèìàëüíî âîçìîæíàÿ

àìïëèòóäà òàêèõ êîëåáàíèé, ïðè êîòîðûõ îíè îñòàþòñÿ ãàðìîíè÷åñêèìè? Â.Ãðèáîâ Çàäà÷à 2. Êóðñèðóþùèé êàòåð Ïî ðåêå, ñêîðîñòü òå÷åíèÿ êîòîðîé u, íàâñòðå÷ó äðóã äðóãó ïëûâóò äâà îäíîòèïíûõ òåïëîõîäà.  íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè, êîãäà îäèí Ðèñ. 1 èç òåïëîõîäîâ ïðîïëûâàë ìèìî ïóíêòà À, à äðóãîé – ìèìî ïóíêòà Â, èç À â  îòïëûë áûñòðîõîäíûé êàòåð, êîòîðûé ñòàë êóðñèðîâàòü ìåæäó òåïëîõîäàìè âïëîòü äî èõ âñòðå÷è. Êàêîé ïóòü îòíîñèòåëüíî áåðåãà ðåêè ïðîïëûë êàòåð? Ðàññòîÿíèå îò À äî  âäîëü ôàðâàòåðà ðåêè L.  ñòîÿ÷åé âîäå ñêîðîñòü òåïëîõîäîâ v, à êàòåðà V. Ïóíêò À íàõîäèòñÿ âûøå ïóíêòà  ïî òå÷åíèþ ðåêè. Êàê èçìåíèòñÿ îòâåò, åñëè êàòåð ñòàðòóåò èç ïóíêòà Â? Â.Ñëîáîäÿíèí


#

ÊÂÀÍT 2006/¹5

Çàäà÷à 3. Òåðìîðåçèñòîð Íà äíå êàëîðèìåòðà çàêðåïëåí òîíêèé ïëîñêèé íàãðåâàòåëüíûé ýëåìåíò, à íà íåêîòîðîì óðîâíå íàä íèì – òåðìîðåçèñòîð, ñîïðîòèâëåíèå R êîòîðîãî çàâèñèò îò òåìïåðàòóðû t, âûðàæåííîé â ° Ñ, ïî çàêîíó R = R0 1 + αt  , ãäå Ðèñ. 2 R0 è α íå çàâèñÿò îò òåìïåðàòóðû. Ïàðàìåòð α íàçûâàåòñÿ òåìïåðàòóðíûì êîýôôèöèåíòîì ñîïðîòèâëåíèÿ.  êàëîðèìåòðå íàõîäèòñÿ ëåä. Åãî óäåëüíàÿ òåïëîòà ïëàâëåíèÿ λ = 340 êÄæ êã . Óäåëüíàÿ òåïëîåìêîñòü âîäû c = 4,2 êÄæ êã × °Ñ . Åñëè ÷åðåç íàãðåâàòåëüíûé ýëåìåíò ïóñòèòü òîê ñèëîé I0 , ñîïðîòèâëåíèå R áóäåò èçìåíÿòüñÿ ñî âðåìåíåì τ òàê, êàê ïîêàçàíî íà ðèñóíêå 2. Íàéäèòå α . Èçîáðàçèòå ãðàôèê çàâèñèìîñòè R  τ , åñëè áû ÷åðåç òåðìîðåçèñòîð ïðîïóñêàëè òîê ñèëîé I = 1,41 I0 . Î.Øâåäîâ Çàäà÷à 4. Öåïü ñ äâóìÿ êëþ÷àìè Íà ðèñóíêå 3 èçîáðàæåíà öåïü, ñîäåðæàùàÿ èäåàëüíûé àìïåðìåòð À, ðåçèñòîðû ñîïðîòèâëåíèåì R è 2R, êëþ÷è K1 è K2 . Öåïü ïîäêëþ÷åíà ê èñòî÷íèêó ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ U. Êàêóþ ñèëó òîêà áóäåò ïîêàçûâàòü àìïåðìåòð ïðè ðàçëè÷íûõ êîìáèíàöèÿõ êëþ÷åé K1 è K2 (çàìêíóòî – ðàçîìêíóòî)? Êàêèìè áóäóò íàÐèñ. 3 ïðàâëåíèÿ òîêà íà ó÷àñòêå BD â ðàçëè÷íûõ ñëó÷àÿõ?  êàêîì ñëó÷àå ïîêàçàíèÿ àìïåðìåòðà îêàæóòñÿ ìàêñèìàëüíûìè? Ì.Ñîáîëåâ

10 êëàññ Çàäà÷à 1. Ýøåëîí Íà ãîðèçîíòàëüíîì ñòîëå îäèí íà äðóãîì ëåæàò N = 42 äëèííûõ áðóñêà ìàññàìè m, 2m, 3m, ..., 42m (ðèñ. 4). Îíè ñìàçàíû âÿçêèì ìàñëîì, òàê ÷òî ñèëà òðåíèÿ ìåæäó áðóñêàìè è ìåæäó íèæíèì áðóñêîì è ñòîëîì ïðîïîðöèîíàëüíà îòíîñèòåëüíîé ñêîðîñòè u ñîïðèêàñàþùèõñÿ ur r áðóñêîâ: F òð = - αu , Ðèñ. 4 ãäå α – íåêîòîðàÿ êîíñòàíòà. Ñíà÷àëà âñå áðóñêè íåïîäâèæíû, çàòåì âåðõíåìó áðóñêó ñîîáùàþò ãîðèçîíòàëüíóþ ñêîðîñòü v. Îïðåäåëèòå ñìåùåíèå n-ãî áðóñêà îòíîñèòåëüíî (n + 1)-ãî áðóñêà ïîñëå îñòàíîâêè áðóñêîâ. Êàêîé âèä ïðèìåò ñòîïà áðóñêîâ ïîñëå îñòàíîâêè? Ë.Ìåëüíèêîâñêèé

Çàäà÷à 2. Íåóñòîé÷èâîå ðàâíîâåñèå  ãîðèçîíòàëüíîì êîëåíå çàïàÿííîé òåïëîèçîëèðîâàííîé Ï-îáðàçíîé òðóáêè íåáîëüøîãî ïîñòîÿííîãî ïîïåðå÷íîãî ñå÷åíèÿ S ñ äëèíîé êîëåíà L ðàñïîëîæåíà æèäêîñòü ïëîòíîñòüþ ρ (ðèñ.5). Òåïëîåìêîñòü âñåé æèäêîñòè â òðóáêå ðàâíà Ñ.  âåðòèêàëüíûõ êîëåíàõ íàõîäèòñÿ ïî ν ìîëåé ãåëèÿ ïîä äàâëåíèåì p0 . Èççà ñëàáîãî òîë÷êà ðàâíîâåñèå íàðóøèëîñü. Ïðåíåáðåãàÿ òåïëîîáìåíîì ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé, íàéäèòå ðàññòîÿíèå, íà êîòîðîå ñìåñòèòñÿ ñòîëáèê Ðèñ. 5 æèäêîñòè ê ìîìåíòó óñòàíîâëåíèÿ òåðìîäèíàìè÷åñêîãî ðàâíîâåñèÿ. Ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå òðóáêè ñòîëü ìàëî, ÷òî ïóçûðüêè ãàçà íå «ïðîáóëüêèâàþò» ñêâîçü æèäêîñòü, ñìåñòèâøóþñÿ â âåðòèêàëüíîå êîëåíî. È.Âîðîáüåâ Çàäà÷à 3. Íàèáîëüøèé ÊÏÄ Ðàññìîòðèòå äâà öèêëà, ñîâåðøàåìûõ íàä èäåàëüíûì ãàçîì (ðèñ.6).  ïåðâîì èç íèõ ãàç àäèàáàòè÷åñêè ñæèìàþò èç ñîñòîÿíèÿ 1 äî ñîñòîÿíèÿ 2, çàòåì èçîòåðìè÷åñêè ðàñøèðÿþò äî ñîñòîÿíèÿ 3 è, íàêîíåö, èçîõîðè÷åñêè âîçâðàùàþò â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå 1. ÊÏÄ òàêîãî öèêëà îáîçíà÷èì ηV . Âî âòîðîì öèêëå ãàç àäèàáàòè÷åñêè ñæèìàþò èç ñîñòîÿíèÿ 1 äî Ðèñ. 6 ñîñòîÿíèÿ 2, çàòåì èçîòåðìè÷åñêè ðàñøèðÿþò äî ñîñòîÿíèÿ 4 è, íàêîíåö, èçîáàðè÷åñêè âîçâðàùàþò â èñõîäíîå ñîñòîÿíèå 1. ÊÏÄ òàêîãî öèêëà îáîçíà÷èì ηp . Ñðàâíèòå ηV è ηp . Ïðèìå÷àíèå.  àäèàáàòè÷åñêîì ïðîöåññå pV γ = const , ãäå γ = Cp CV . Ïðè èçîòåðìè÷åñêîì ðàñøèðåíèè èäåàëüíîãî ãàçà îò îáúåìà Va äî îáúåìà Vb èì ñîâåðøàåòñÿ ðàáîòà Aab = νRT ln Vb Va  . Â.Ñëîáîäÿíèí Çàäà÷à 4. Ïðèòÿæåíèå îäíîèìåííûõ çàðÿäîâ Ðàñïðîñòðàíåíî ìíåíèå, ÷òî òåëà ñ îäíîèìåííûìè çàðÿäàìè âñåãäà îòòàëêèâàþòñÿ äðóã îò äðóãà. Âîâñå íåò! Òàêîé ýôôåêò íàáëþäàåòñÿ äàëåêî íå âñåãäà. Ïðåäñòàâüòå ñåáå, ÷òî ñïëîøíîé ìåòàëëè÷åñêèé øàð ðàäèóñîì R ðàñïèëèëè ïîïîëàì, à ïîëó÷èâøèåñÿ ïîëîâèíû ñáëèçèëè ïëîñêèìè ñòîðîíàìè òàê, ÷òî çàçîð d ìåæäó íèìè îêàçàëñÿ ïðåäåëüíî ìàëûì ( d = R ). Íàéäèòå ñèëó ýëåêòðîñòàòè÷åñêîãî âçàèìîäåéñòâèÿ ïîëóøàðèé ñ îäíîèìåííûìè çàðÿäàìè q1 è q2 (ðèñ.7). Ïðè êàêîì îòíîøåíèè çàðÿäîâ ïîëóøàðèÿ áóäóò Ðèñ. 7 ïðèòÿãèâàòüñÿ? Ïðèìå÷àíèå. Ñèëà, äåéñòâóþùàÿ íà åäèíèöó ïîâåðõíîñòè çàðÿæåííîãî ïðîâîäíèêà ïðîèçâîëüíîé ôîðìû, ñâÿçàíà ñ íàïðÿæåííîñòüþ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âáëèçè ïîâåðõíîñòè òåì æå ñîîòíîøåíèåì, ÷òî è â ïëîñêîì êîíäåíñàòîðå. È.Âîðîáüåâ


ÎËÈÌÏÈÀÄÛ

Çàäà÷à 5. Ïîëóáåñêîíå÷íàÿ öåïî÷êà Íà ðèñóíêå 8 èçîáðàæåíà ïîëóáåñêîíå÷íàÿ öåïî÷êà, ñîñòîÿùàÿ èç îäèíàêîâûõ èñòî÷íèêîâ ïîñòîÿííîãî òîêà ñ ÝÄÑ

Ðèñ. 8

- = 1,2 B è âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì r = 2,0 Îì. Ê âõîäíûì êëåììàì öåïî÷êè ñ ïîìîùüþ ïåðåêèäíîãî êëþ÷à K ìîãóò áûòü ïîäêëþ÷åíû ëèáî èäåàëüíûé âîëüòìåòð V, ëèáî èäåàëüíûé àìïåðìåòð À. Îïðåäåëèòå ïîêàçàíèÿ ýòèõ ïðèáîðîâ. Ñ.Êîçåë

11 êëàññ Çàäà÷à 1. Ðàçîðâàâøèéñÿ ñíàðÿä Ïóøå÷íûé ñíàðÿä ìàññîé Ì = 100 êã ðàçîðâàëñÿ â íåêîòîðîé òî÷êå òðàåêòîðèè íà äâà îñêîëêà, ðàçëåòåâøèõñÿ ñ èìïóëüñàìè p1 = 3,6 × 104 êã × ì ñ è p2 = 2, 4 × 104 êã × ì ñ . Èìïóëüñû îñêîëêîâ íàïðàâëåíû ïîä óãëîì α = 60° äðóã ê äðóãó. Îïðåäåëèòå, ïðè êàêîì îòíîøåíèè ìàññ îñêîëêîâ âûäåëèâøàÿñÿ ïðè âçðûâå êèíåòè÷åñêàÿ ýíåðãèÿ áóäåò ìèíèìàëüíîé. Íàéäèòå ýòó ýíåðãèþ. À.×óäíîâñêèé Çàäà÷à 2. Øàéáà íà ïðèâÿçè Êðóãëûé âåðòèêàëüíûé öèëèíäð ðàäèóñîì R ïðèêðåïëåí ê ãîðèçîíòàëüíîé ïëîñêîñòè (ðèñ.9). Âíèçó ñ áîêîâîé ïîâåðõíîñòüþ öèëèíäðà ñîåäèíåíà íåðàñòÿæèìàÿ íèòü äëèíîé L, íàïðàâëåííàÿ ïî êàñàòåëüíîé ê ïîâåðõíîñòè öèëèíäðà. Íà äðóãîì êîíöå íèòè çàêðåïëåíà ìàëåíüêàÿ øàéáà. Øàéáå ñîîáùàþò ãîðèçîíòàëüíóþ ñêîðîñòü v0 , Ðèñ. 9 íàïðàâëåííóþ ïåðïåíäèêóëÿðíî íèòè, è øàéáà íà÷èíàåò ñêîëüçèòü ïî ïëîñêîñòè. 1) Ñêîëüêî âðåìåíè áóäåò ïðîäîëæàòüñÿ äâèæåíèå øàéáû (íàìàòûâàíèå íèòè íà öèëèíäð) â îòñóòñòâèå òðåíèÿ? 2) Ñêîëüêî âðåìåíè áóäåò ïðîäîëæàòüñÿ äâèæåíèå øàéáû ïðè íàëè÷èè òðåíèÿ ìåæäó øàéáîé è ïëîñêîñòüþ, åñëè êîýôôèöèåíò òðåíèÿ ðàâåí μ ? Å.Áóòèêîâ Çàäà÷à 3. Äâà òåðìîäèíàìè÷åñêèõ ïðîöåññà Íà ðèñóíêå 10 èçîáðàæåíà ñèñòåìà, ñîñòîÿùàÿ èç áàëëîíà îáúåìîì V0 = 0,2 ì 3 è öèëèíäðà ñ ïîðøíåì. Íà÷àëüíûé îáúåì áàëëîíà è öèëèíäðà V1 = kV0 , ãäå k = 2,72.  ñèñòåìå íàõîäèòñÿ âîçäóõ ïîä äàâëåíèåì p0 = 105 Ïà è ïðè òåìïåðàòóðå T0 = 300 K , Ðèñ. 10 ðàâíîé òåìïåðàòóðå íàðóæíîãî âîçäóõà. Ïåðåäâèãàÿ ïîðøåíü, âåñü âîçäóõ èç öèëèíäðà çàêà÷èâàþò â áàëëîí. Îïðåäåëèòå êîëè÷åñòâî òåïëîòû, êîòîðîå ïåðåäàåòñÿ îêðóæàþùåé ñðåäå â ñëåäóþùèõ äâóõ ñëó÷àÿõ. 1) Ïîðøåíü ïåðåäâèãàåòñÿ ìåäëåííî, òàê ÷òî â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè âñÿ ñèñòåìà íàõîäèòñÿ â òåïëîâîì ðàâíîâåñèè ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé.

#

2) Ïîðøåíü ïåðåäâèãàåòñÿ äîñòàòî÷íî áûñòðî, òàê ÷òî çà âðåìÿ åãî ïåðåìåùåíèÿ ìîæíî ïðåíåáðå÷ü òåïëîîáìåíîì ñ îêðóæàþùåé ñðåäîé, íî âîçäóõ âíóòðè ñèñòåìû â êàæäûé ìîìåíò âðåìåíè íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñíîì ñîñòîÿíèè. Ïîñëå çàâåðøåíèÿ ïðîöåññà ïåðåêà÷êè òåìïåðàòóðà âîçäóõà â áàëëîíå ïîñòåïåííî ñðàâíèâàåòñÿ ñ òåìïåðàòóðîé îêðóæàþùåãî âîçäóõà. Ïðèìå÷àíèå. Àäèàáàòè÷åñêèé ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì pV γ = const , ãäå γ = Cp CV . Ñ.Êîçåë Çàäà÷à 4. Èññëåäîâàíèå êîíäåíñàòîðà Äëÿ îïðåäåëåíèÿ åìêîñòè C2 è ñîïðîòèâëåíèÿ óòå÷êè r2 êîíäåíñàòîðà ñîáðàíà ìîñòîâàÿ ñõåìà (ðèñ.11), êîòîðàÿ ñáàëàíñèðîâàíà ïðè ïîäêëþ÷åíèè ãàðìîíè÷åñêîãî ïåðåìåííîãî íàïðÿæåíèÿ. Îêàçàëîñü, ÷òî áàëàíñ ìîñòà íå íàðóøàåòñÿ ïðè ëþáîì èçìåíåíèè ÷àñòîòû íàïðÿæåíèÿ. ×åìó ðàâíû ïàðàìåòðû C2 è r2 , åñëè èçâåñòíî, ÷òî r1 = 2500 Îì , Ðèñ. 11 r3 = 10 Îì , L3 = 1 Ãí , r4 = = 800 Îì ? Ãàëüâàíîìåòð èçìåðÿåò äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå ñèëû òîêà. Ì.Îãàðêîâ Çàäà÷à 5. Ó òîðöà ñîëåíîèäà Ó òîðöà âåðòèêàëüíî ðàñïîëîæåííîãî äëèííîãî ñîëåíîèäà íà òîíêîì íåìàãíèòíîì ëèñòå ëåæèò ñîîñíî ñ ñîëåíîèäîì êðóãëîå òîíêîå êîëüöî èç ñâåðõïðîâîäíèêà (ðèñ. 12).  íà÷àëüíîì ñîñòîÿíèè ñèëà òîêà â âèòêàõ ñîëåíîèäà è ñèëà òîêà â êîëüöå ðàâíû íóëþ. Ïðè ïðîòåêàíèè òîêà ïî âèòêàì ñîëåíîèäà âáëèçè òîðöà âîçíèêàåò íåîäíîðîäíîå ìàãíèòíîå ïîëå. Âåðòèêàëüíóþ Bz è ðàäèàëüíóþ Br ñîñòàâëÿþùèå âåêòîðà ìàãíèòíîé ur èíäóêöèè B ìîæíî â íå- Ðèñ. 12 êîòîðîé áëèæíåé îáëàñòè çàäàòü ñ ïîìîùüþ ñîîòíîøåíèé Bz » B0 1 - αz  , Br » B0βr , ãäå α è β – íåêîòîðûå êîíñòàíòû, à B0 îïðåäåëÿåòñÿ ñèëîé òîêà â ñîëåíîèäå. Ïî âèòêàì ñîëåíîèäà íà÷èíàþò ïðîïóñêàòü òîê ñèëîé I, ïîñòåïåííî óâåëè÷èâàÿ åãî çíà÷åíèå. Îïðåäåëèòå: 1) êðèòè÷åñêîå çíà÷åíèå ñèëû òîêà I0 â ñîëåíîèäå, ïðè êîòîðîì êîëüöî íà÷èíàåò ïîäíèìàòüñÿ íàä îïîðîé; 2) âûñîòó êîëüöà íàä îïîðîé ïðè I = 2I0 ; 3) ÷àñòîòó ìàëûõ êîëåáàíèé ñâåðõïðîâîäÿùåãî êîëüöà ïðè I = 2I0 . ×èñëîâûå äàííûå: êîíñòàíòû α = 36 ì -1 è β = 18 ì -1 , ìàññà êîëüöà m = 100 ìã, êîýôôèöèåíò ñàìîèíäóêöèè êîëüöà L = 1,8 × 10-8 Ãí , ïëîùàäü êîëüöà S = 1 ñì 2 , ìàãíèòíàÿ ïîñòîÿííàÿ μ0 = 1,257 × 10-6 Ãí ì , ïëîòíîñòü íàìîòêè ñîëåíîèäà n = 103 ì -1 .

Ñ.Êîçåë


#

ÊÂÀÍT 2006/¹5

ÝÊÑÏÅÐÈÌÅÍÒÀËÜÍÛÉ ÒÓÐ 9 êëàññ Çàäà÷à 1. Ìåõàíè÷åñêèé «÷åðíûé ÿùèê» Âíóòðè «÷åðíîãî ÿùèêà» íàõîäèòñÿ ñèñòåìà èç òðåõ ïðóæèí, ñîåäèíåííûõ äðóã ñ äðóãîì (ðèñ.13).  òî÷êå À äâå ïðóæèíû ïðèêðåïëåíû ê êîðïóñó «÷åðíîãî ÿùèêà». Óïîðû  è Ñ îãðàíè÷èâàþò ïåðåìåùåíèå êðþ÷êîâ. Íà÷àëüíûå äåôîðìàöèè ïðóæèí íåÐèñ. 13 èçâåñòíû. Îïðåäåëèòå æåñòêîñòè êàæäîé èç ïðóæèí ïðè ìàëûõ äåôîðìàöèÿõ. Îáîðóäîâàíèå: «÷åðíûé ÿùèê», äèíàìîìåòð, ëèíåéêà, ìèëëèìåòðîâêà, ëèïêàÿ ëåíòà. Å.Åëüêèíà, Ì.Êàðìàíîâ Çàäà÷à 2. Ýêñïåðèìåíòàòîð Ãëþê Ýêñïåðèìåíòàòîðó Ãëþêó íà äåíü ðîæäåíèÿ ïîäàðèëè «÷åðíûé ÿùèê», â êîòîðîì íàõîäèòñÿ èñòî÷íèê ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ ñ ïîñëåäîâàòåëüíî ïðèñîåäèíåííûì ê íåìó íåèçâåñòíûì ñîïðîòèâëåíèåì (ðèñ.14). Ãëþê çàõîòåë óçíàòü, êàêîé òîê ïîòå÷åò ÷åðåç èñòî÷íèê, åñëè ñîåäèíèòü ïðîâîäêè, òîð÷àùèå èç «÷åðíîãî ÿùèÐèñ. 14 êà». Ïîñêîëüêó ïîä ðóêîé ó ýêñïåðèìåíòàòîðà îêàçàëñÿ äàëåêî íå èäåàëüíûé àìïåðìåòð, ÷òî íå ïîçâîëèëî èçìåðèòü ýòîò òîê íàïðÿìóþ, îí îáðàòèëñÿ çà ïîìîùüþ ê âàì. Ïîìîãèòå Ãëþêó. Äëÿ ýòîãî: 1) èçó÷èòå çàâèñèìîñòü ìîùíîñòè, âûäåëÿþùåéñÿ íà âíåøíåé íàãðóçêå, îò ñèëû òîêà ÷åðåç èñòî÷íèê; 2) îïðåäåëèòå òîê êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ «÷åðíîãî ÿùèêà» ïðè ïîìîùè ýòîé çàâèñèìîñòè. Ïðèìå÷àíèå: âíåøíåé íàãðóçêîé íàçûâàåòñÿ âñå, ÷òî ïîäêëþ÷àåòñÿ ê âûâîäàì 1 è 2 «÷åðíîãî ÿùèêà». Îáîðóäîâàíèå: «÷åðíûé ÿùèê», ïåðåìåííîå ñîïðîòèâëåíèå, ìèëëèàìïåðìåòð (âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå óêàçàíî íà ïðèáîðå), âîëüòìåòð (âíóòðåííåå ñîïðîòèâëåíèå 700 Îì), ñîåäèíèòåëüíûå ïðîâîäà, ìèëëèìåòðîâàÿ áóìàãà. È.Èîãîëåâè÷

10 êëàññ Çàäà÷à 1. Øàðèê â òðóáêå Âíóòðè öèëèíäðè÷åñêîé òðóáêè ñîáðàíà êîíñòðóêöèÿ, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñóíêå 15. Òðóáêà ñ ïðîáêàìè ÿâëÿåòñÿ ñèììåòðè÷íîé (åå öåíòð ìàññ ðàñïîëîæåí ðîâíî ïîñåðåäèíå). Îïðåäåëèòå: ìàññó òðóáêè, ìàññó Ðèñ. 15 øàðèêà, æåñòêîñòü ïðóæèíû. Ìàññîé ïðóæèíû ìîæíî ïðåíåáðå÷ü. Ïðèìå÷àíèå: êîíåö òðóáêè, èç êîòîðîãî âûõîäèò íèòü, ïîãðóæàòü â âîäó çàïðåùàåòñÿ; ïëîòíîñòü âîäû 1000 êã ì3 . Îáîðóäîâàíèå: òðóáêà â ñáîðêå, ëèíåéêà, ñîñóä ñ âîäîé, ñïè÷êà. Ì.Êàðìàíîâ Çàäà÷à 2. Ýëåêòðè÷åñêèé «÷åðíûé ÿùèê» (1)  «÷åðíîì ÿùèêå» ñîáðàíà ñõåìà èç òðåõ ýëåìåíòîâ, ñîåäèíåííûõ «çâåçäîé» (ðèñ.16). Äâà ýëåìåíòà ÿâëÿþòñÿ ïîñòîÿííûìè ðåçèñòîðàìè, à òðåòèé ýëåìåíò èìååò íåëèíåé-

íóþ âîëüò-àìïåðíóþ õàðàêòåðèñòèêó. Îïðåäåëèòå: 1) ïðîâîä êàêîãî öâåòà ñîåäèíåí ñ íåëèíåéíûì ýëåìåíòîì; 2) çíà÷åíèÿ ñîïðîòèâëåíèé ðåçèñòîðîâ; 3) âîëüò-àìïåðíóþ õàðàêòåðèñòèêó íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà. Îáîðóäîâàíèå: «÷åðíûé ÿùèê», äâà ìóëüòèìåòðà, ðåãó- Ðèñ. 16 ëèðóåìûé èñòî÷íèê òîêà, ñîåäèíèòåëüíûå ïðîâîäà, ìèëëèìåòðîâàÿ áóìàãà. È.Èîãîëîåâè÷, Ì.Êàðìàíîâ

11 êëàññ Çàäà÷à 1. Äèôðàêöèÿ è äèñïåðñèÿ 1) Èñïîëüçóÿ äèôðàêöèîííóþ ðåøåòêó, îïðåäåëèòå ãðàíèöû — ìàêñèìàëüíóþ λ max è ìèíèìàëüíóþ λ min äëèíû âîëí – ñïåêòðà èçëó÷åíèÿ âûäàííîãî âàì èñòî÷íèêà â âèäèìîé îáëàñòè. 2) Ñ ïîìîùüþ ùåëè íàïðàâüòå óçêèé ïó÷îê ñâåòà íà îäíó èç ãðàíåé ïðèçìû (ðèñ.17). Ïîäáåðèòå óãîë ïàäåíèÿ ϕ1 òàê, ÷òîáû ïó÷îê ïðîõîäèë ñèììåòðè÷íî ÷åðåç ïðèçìó ( ϕ1 = ϕ2 äëÿ ñðåäíåé ÷àñòè ñïåêòðà). Ïîëó÷èòå íà ýêðàíå ñïåêòð èñòî÷íèêà è èçìåðüòå óãëû îòêëîíåíèÿ δ λ max  è δ λ min  äëÿ ãðàíèö ñïåêòðà èñòî÷íèêà. Ðàññ÷èòàéòå óãëîâóþ äèñïåðñèþ ïðèçìû Δδ Δλ ïðè ñèì- Ðèñ. 17 ìåòðè÷íîì õîäå ëó÷åé. 3) Ðàññìîòðèòå õîä ëó÷à ñ íåêîòîðîé äëèíîé âîëíû â ïðèçìå è âûðàçèòå ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ n ìàòåðèàëà ïðèçìû ÷åðåç óãëû α è δ ïðè ñèììåòðè÷íîì õîäå ëó÷åé. Ðàññ÷èòàéòå ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ ïðèçìû äëÿ ñðåäíåé ÷àñòè ñïåêòðà. 4) Îöåíèòå äèñïåðñèþ ïîêàçàòåëÿ ïðåëîìëåíèÿ Δn Δλ . Îáîðóäîâàíèå: èñòî÷íèê ñâåòà, ïðèçìà, äèôðàêöèîííàÿ ðåøåòêà (100 øòð./ìì), ïðèùåïêè, ýêðàí ñî ùåëüþ, ìèëëèìåòðîâàÿ áóìàãà. Þ.Ìàðôåíêîâ Çàäà÷à 2. Ýëåêòðè÷åñêèé «÷åðíûé ÿùèê» (2)  «÷åðíîì ÿùèêå» íàõîäÿòñÿ òðè ýëåìåíòà, ñîåäèíåííûå ïîñëåäîâàòåëüíî (âîçìîæíûå âàðèàíòû: êàòóøêà èíäóêòèâíîñòè, êîíäåíñàòîð, ðåçèñòîð). Åñòü òîëüêî äâà âûâîäà, ñîåäèíåííûå ñ êðàéíèìè òî÷êàìè öåïî÷êè èç òðåõ ýëåìåíòîâ. 1) Îïðåäåëèòå, êàêèå ýëåìåíòû íàõîäÿòñÿ â «÷åðíîì ÿùèêå». 2) Èçìåðüòå ïàðàìåòðû ýòèõ ýëåìåíòîâ. Îáîðóäîâàíèå: «÷åðíûé ÿùèê», ãåíåðàòîð ãàðìîíè÷åñêîãî ñèãíàëà ñ ðåãóëèðóåìîé ÷àñòîòîé, äâóõëó÷åâîé îñöèëëîãðàô, äîïîëíèòåëüíîå ñîïðîòèâëåíèå ñ èçâåñòíûì íîìèíàëîì R0 , ñîåäèíèòåëüíûå ïðîâîäà. È.Èîãîëåâè÷


ÎËÈÌÏÈÀÄÛ

Ïðèçåðû îëèìïèàäû Äèïëîìû I ñòåïåíè ïî 9 êëàññàì ïîëó÷èëè Ìèõàéëîâ Àëåêñàíäð – ×åëÿáèíñê, ëèöåé 31, Êîêøàðîâ Ãðèãîðèé – Ïåðìü, øêîëà 146, Ñàìîéëîâ Ëåîíèä – Ñàðàòîâ, ÔÒË 1, Áóñëàåâ Ïàâåë – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé «ÔÒØ» ÐÀÍ, Ìàêàðîâà Ìàðèÿ – Ìîñêâà, ëèöåé 1557; ïî 10 êëàññàì – Êóëèåâ Âèòàëèé – Êèðîâ, ÔÌË, Ìûëüíèêîâ Äìèòðèé – Ñàìàðà, øêîëà 27, Êîòîâ Àíäðåé – Ìîñêâà, Ìîñêîâñêàÿ ãîñóäàðñòâåííàÿ Ïÿòüäåñÿò ñåäüìàÿ øêîëà, Åôèìîâ Ñåðãåé – Áèéñê-2, Áèéñêèé ëèöåé Àëòàéñêîãî êðàÿ, Ñîêêî Àíàñòàñèÿ – Äîëãîïðóäíûé, ÔÌØ 5, Ñîëîâüåâà Êñåíèÿ – Ïåðìü, øêîëà 146; ïî 11 êëàññàì – Çîðêèí Ñåðãåé – Èðêóòñê, ëèöåé ÈÃÓ, Ìóðàâüåâ Àëåêñàíäð – Íèæíèé Íîâãîðîä, ëèöåé 40, Ìîñòîâûõ Ïàâåë – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, øêîëà 306, Êèñåëåâ Àëåêñàíäð – Ìîñêâà, øêîëà 1189 èì. È.Â.Êóð÷àòîâà. Äèïëîìû II ñòåïåíè ïî 9 êëàññàì ïîëó÷èëè Ôåéçõàíîâ Ðóñòåì – Ìîñêâà, ëèöåé 1557, Àëïååâ Àíäðåé – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ÔÌË 239, Çàõàðîâ Àëåêñåé – Ïåðìü, øêîëà 146, Òðèõèí Ïåòð – Äîëãîïðóäíûé, ÔÌØ 5, Òîëñòîâ Èâàí – Âîëîãäà, Âîëîãîäñêèé ìíîãîïðîôèëüíûé ëèöåé, ×åðíèêîâ Þðèé – Äóáíà, ëèöåé «Äóáíà», Äóáîâ Àëåêñàíäð – Âîëîãäà, Âîëîãîäñêèé ìíîãîïðîôèëüíûé ëèöåé, Ïàâëîâà Åëèçàâåòà – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé «ÔÒØ» ÐÀÍ, Øóëü÷åâñêèé Äìèòðèé – Ðÿçàíü, ëèöåé 52; ïî 10 êëàññàì – Ñóõàíîâ Èëüÿ – Ñàðîâ, ëèöåé 15, Ïåñòðåìåíêî Ìàêñèì – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé «ÔÒØ» ÐÀÍ, Àíäðååâ Àíäðåé – ×åáîêñàðû, ëèöåé 44, Äðîææèí Àëåêñàíäð – Ñàðàòîâ, ëèöåé ïðèêëàäíûõ íàóê, Êîíîíåíêî Äàíèèë – Íîâîñèáèðñê, ãèìíàçèÿ 1, Ïîòàøåâ Àëåêñàíäð – Ìîñêâà, ëèöåé «Âòîðàÿ øêîëà», Êóçèí Äåíèñ – ñ. Åëüíèêè (Ìîðäîâèÿ), ëèöåé 2, Äåðáûøåâ Àíäðåé – ßðîñëàâëü, ãèìíàçèÿ 2, Ðîãîæíèêîâ Àëåêñåé – Ìîñêâà, ëèöåé 1303, Ñèâöåâ Ïåòð – ßêóòñê, Ðåñïóáëèêàíñêèé ëèöåé-èíòåðíàò; ïî 11 êëàññàì – Áóäàðàãèí Äìèòðèé – Íèæíèé Íîâãîðîä, ëèöåé 40, Àðòàìîíîâ Ñåìåí – Êàçàíü, ëèöåé èì. Í.È.Ëîáà÷åâñêîãî ïðè ÊÃÓ, Ìàðòûíîâ Äåíèñ – Ñíåæèíñê, ãèìíàçèÿ 127, Òðóõàíîâ Íèêèòà — Îðåíáóðã, ãèìíàçèÿ 1, Áûëèíêèí Àëåêñàíäð – Ñíåæèíñê, ãèìíàçèÿ 127, Îáìîðîøåâ Áîðèñ – Ìîñêâà, Ìîñêîâñêàÿ ãîñóäàðñòâåííàÿ Ïÿòüäåñÿò ñåäüìàÿ øêîëà, Áûëèíêèí Àëåêñåé – Ñíåæèíñê, ãèìíàçèÿ 127, Ùåïåòèëüíèêîâ Àíòîí – Ñíåæèíñê, ãèìíàçèÿ 127,

#!

Ïîïîâ Àíòîí – ×åëÿáèíñê, ëèöåé 31, Ðûíäèí Ìàêñèì – Áåðåçíèêè, øêîëà 3. Äèïëîìû III ñòåïåíè ïî 9 êëàññàì ïîëó÷èëè Áàéäàñîâ Ìàðàò – Íèæíèé Íîâãîðîä, ëèöåé 40, Ñåìåíîâ Ñòàíèñëà⠖ Ñàðîâ, ëèöåé 15, Áóðìèñòðîâ Ìèõàèë – Òàìáîâ, ëèöåé 14, Ìàñëîâ ßðîñëà⠖ Íîâîêóçíåöê, ëèöåé 84, Àíþòèí Íèêîëàé – ï. Ðàäóãà, øêîëà 10, Ðåøåòíÿê Ñåìåí – Âëàäèâîñòîê, øêîëà 23, ×óïðàêîâ Äåíèñ – Êèðîâ, øêîëà 65, Ïóñåâà Äàðüÿ – Ðîñòîâ-íà-Äîíó, Êëàññè÷åñêèé ëèöåé 1 ïðè ÐÃÓ, Ñòåïàíîâ Ñåðãåé – ßêóòñê, Ðåñïóáëèêàíñêèé ëèöåé-èíòåðíàò, Çåëåíååâ Àíäðåé – Êèðîâ, ÔÌË, Êîíîíîâ Àðòåì – Ìàéêîï, øêîëà 7, Ìàòâååâ Õàðèòîí – Ìîñêâà, øêîëà 401, Ìåëüíèêîâ Èãîðü – Îçåðñê, øêîëà 32, Ïàâëîâ Àðòåì – Âîðêóòà, ëèöåé 1, Ïëåøàêîâ Ðóñëàí – Âëàäèâîñòîê, øêîëà 25, Ñàøóðèí Àëåêñàíäð – Ìîñêâà, øêîëà 179; ïî 10 êëàññàì – Àëåêñååâ Äìèòðèé – Ìîñêâà, øêîëà 444, Áåëüòþêîâ ßðîñëà⠖ Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé «ÔÒØ» ÐÀÍ, Åëîâèêîâ Àíäðåé – Áèéñê-2, Áèéñêèé ëèöåé Àëòàéñêîãî êðàÿ, Êîðøóíîâ Íèêîëàé – Âåëèêèé Íîâãîðîä, ãèìíàçèÿ 2, Ãóùèí Ãðèãîðèé – ßðîñëàâëü, øêîëà 33 èì. Ê.Ìàðêñà, Àíèñèìîâ Àíäðåé – Íîÿáðüñê, øêîëà 10, Ïðîñêóðèí Ìèõàèë – Íèæíåâàðòîâñê, ëèöåé, Áóäêèí Ãðèãîðèé – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé «ÔÒØ» ÐÀÍ, Âëàñîâ Âëàäèñëà⠖ Êðàñíîÿðñê, Êðàñíîÿðñêèé êàäåòñêèé êîðïóñ èì. À.È.Ëåáåäÿ, Ñìåòíåâ Äåíèñ – Ñàðîâ, ãèìíàçèÿ 2, Ëó÷íèêîâ Êîíñòàíòèí – Òàìáîâ, ëèöåé 14, Òàðàêàíîâ Àëåêñàíäð – Êóðãàí, ãèìíàçèÿ 47; ïî 11 êëàññàì – Êàïóí Åâãåíèé – ×åëÿáèíñê, ëèöåé 31, Ëèñîâ Äåíèñ – Ìîñêâà, ëèöåé 1525, Ôåäÿíèí Äìèòðèé – Ñàðàòîâ, ÔÒË 1, Àôàíàñüåâ Àëåêñàíäð – Âëàäèâîñòîê, ãèìíàçèÿ 1, Áîãåð Åâãåíèé – Êèðîâ, ÔÌË, Ëûêîâ Àíòîí – Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ, Ìàðêîâöåâ Âàäèì – Ñåðãèåâ Ïîñàä, ÔÌË, Ðàññêàçîâ Àëåêñàíäð – Àñòðàõàíü, òåõíè÷åñêèé ëèöåé, Êîðîëåâ Àëåêñåé – Åêàòåðèíáóðã, ÑÓÍÖ ÓðÃÓ, Ãîðáåíêî Âèêòîð – Ñàíêò-Ïåòåðáóðã, ëèöåé «ÔÒØ» ÐÀÍ, Ìàéîðîâ Äåíèñ – Ìîñêâà, ÑÓÍÖ ÌÃÓ, Ìóäëà Àëåêñåé – Íîÿáðüñê, øêîëà 10, Èâàíîâ Íèêîëàé – ×åáîêñàðû, ëèöåé 3, Øàðàôóòäèíîâ Àçàò – Êàçàíü, ëèöåé èì. Í.È.Ëîáà÷åâñêîãî ïðè ÊÃÓ. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Ñ.Êîçåë, Â.Ñëîáîäÿíèí


#"

ÊÂÀÍT 2006/¹5

XIII Âñåðîññèéñêàÿ çàî÷íàÿ ìàòåìàòè÷åñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ

Âñåðîññèéñêàÿ øêîëà ìàòåìàòèêè è ôèçèêè «ÀÂÀÍÃÀÐÄ» ïðè ó÷àñòèè æóðíàëà «Êâàíò» ïðîâîäèò î÷åðåäíóþ Âñåðîññèéñêóþ çàî÷íóþ ìàòåìàòè÷åñêóþ îëèìïèàäó äëÿ øêîëüíèêîâ 5–10 êëàññîâ. Ñðîê ïðîâåäåíèÿ îëèìïèàäû îêòÿáðü– äåêàáðü 2006 ãîäà. ×òîáû ïðèíÿòü ó÷àñòèå â îëèìïèàäå, íóæíî â òå÷åíèå íåäåëè ïîñëå ïîëó÷åíèÿ ýòîãî íîìåðà æóðíàëà ðåøèòü ïðåäëàãàåìûå íèæå çàäà÷è, àêêóðàòíî îôîðìèòü ðåøåíèÿ (êàæäóþ çàäà÷ó – íà îòäåëüíîì ëèñòî÷êå) è îòîñëàòü ïî àäðåñó: 115446 Ìîñêâà, à/ÿ 450, ÎÐÃÊÎÌÈÒÅÒ, «Ì-ÊÂÀÍÒ» – íîìåð êëàññà.  ïèñüìî âëîæèòå äâà ïóñòûõ ìàðêèðîâàííûõ êîíâåðòà ñ íàäïèñàííûì äîìàøíèì àäðåñîì. Çàìåòèì, ÷òî äëÿ ó÷àñòèÿ â îëèìïèàäå íåîáÿçàòåëüíî ðåøèòü âñå çàäà÷è – äîñòàòî÷íî õîòÿ áû îäíîé. Ïîáåäèòåëè îëèìïèàäû ïîëó÷àò ïðèçû, ñðåäè êîòîðûõ íåñêîëüêî áåñïëàòíûõ ïîäïèñîê íà æóðíàë «Êâàíò». (Îðãêîìèòåò ïðèëîæèò âñå óñèëèÿ ê òîìó, ÷òîáû ïîîùðåíèÿ è ïðèçû ïîëó÷èëè âñå, ïðèñëàâøèå õîòÿ áû îäíî ïðàâèëüíîå ðåøåíèå.) Âñå ó÷àùèåñÿ, ïðèñëàâøèå ñâîè ðàáîòû â Îðãêîìèòåò îëèìïèàäû, íåçàâèñèìî îò ðåçóëüòàòîâ èõ ïðîâåðêè ïîëó÷àò ïðèãëàøåíèå ó÷èòüñÿ íà çàî÷íîì îòäåëåíèè Âñåðîññèéñêîé øêîëû ìàòåìàòèêè è ôèçèêè «ÀÂÀÍÃÀÐÄ» â 2006/07 ó÷åáíîì ãîäó. Âíèìàíèþ ó÷èòåëåé ìàòåìàòèêè 5–10 êëàññîâ! Ïðèãëàñèòå ê ó÷àñòèþ â îëèìïèàäå ñâîèõ ó÷åíèêîâ!

Çàäà÷è îëèìïèàäû 5 êëàññ 1.  ìåøêå 24 êã ãâîçäåé. Êàê, èìåÿ òîëüêî ðû÷àæíûå âåñû áåç ãèðü, îòìåðèòü 9 êã ãâîçäåé? 2. ×åðâÿê ïîëçåò ïî ñòîëáó, íà÷àâ ïóòü îò åãî îñíîâàíèÿ. Çà êàæäûé äåíü îí ïðîïîëçàåò ââåðõ íà 3 ñì, à çà êàæäóþ íî÷ü ñïîëçàåò âíèç íà 1 ñì. Êîãäà îí äîñòèãíåò âåðõóøêè ñòîëáà, åñëè åãî âûñîòà 75 ñì? 3. Êàê ðàçëîæèòü ïî ñåìè êîøåëüêàì 127 ðóáëåâûõ ìîíåò òàê, ÷òîáû ëþáóþ ñóììó îò 1 äî 127 ðóáëåé ìîæíî áûëî âûäàòü, íå îòêðûâàÿ êîøåëüêîâ? 4. Êðóãëàÿ ïîëÿíà îáñàæåíà äåðåâüÿìè. Ìàëü÷èê è äåâî÷êà ïîøëè âîêðóã ïîëÿíû, ñ÷èòàÿ äåðåâüÿ. Îíè èäóò â îäíîì íàïðàâëåíèè, íî íà÷àëè ñ÷èòàòü â ðàçíûõ ìåñòàõ. Äåðåâî, êîòîðîå ó äåâî÷êè áûëî ñåäüìûì, ó ìàëü÷èêà áûëî äâàäöàòûì, à äåðåâî, êîòîðîå ó ìàëü÷èêà áûëî ñåäüìûì, ó äåâî÷êè áûëî äåâÿíîñòî òðåòüèì. Ñêîëüêî äåðåâüåâ ðàñòåò âîêðóã ïîëÿíû? Îòâåò îáúÿñíèòå. 5. Ìîæíî ëè ïðÿìîóãîëüíèê ðàçìåðîì 35 ´ 23 ðàçðåçàòü áåç îñòàòêà íà ïðÿìîóãîëüíèêè ðàçìåðîì 5 ´ 7 ? Åñëè ìîæíî, òî êàê? Åñëè íåëüçÿ, òî ïî÷åìó?

6 êëàññ 1. Äîêòîð Àéáîëèò ðàçäàë ÷åòûðåì çàáîëåâøèì çâåðÿì 2006 ÷óäîäåéñòâåííûõ òàáëåòîê. Íîñîðîã ïîëó÷èë íà îäíó

òàáëåòêó áîëüøå, ÷åì êðîêîäèë, áåãåìîò — íà îäíó áîëüøå, ÷åì íîñîðîã, à ñëîí – íà îäíó áîëüøå, ÷åì áåãåìîò. Ñêîëüêî òàáëåòîê ïðèäåòñÿ ñúåñòü ñëîíó? 2. Ñàøà ïðèãëàñèë Ïåòþ â ãîñòè, ñêàçàâ, ÷òî æèâåò â 10-ì ïîäúåçäå â êâàðòèðå 333, à ýòàæ ñêàçàòü çàáûë. Ïîäîéäÿ ê äîìó, Ïåòÿ îáíàðóæèë, ÷òî äîì äåâÿòèýòàæíûé. Íà êàêîé ýòàæ åìó ñëåäóåò ïîäíÿòüñÿ? (Íà êàæäîì ýòàæå ÷èñëî êâàðòèð îäíî è òî æå, íîìåðà êâàðòèð â äîìå íà÷èíàþòñÿ ñ åäèíèöû.) 3. Âîçüìèòå ëþáîå òðåõçíà÷íîå ÷èñëî. Óìíîæüòå åãî íà 7, ðåçóëüòàò óìíîæüòå íà 11, à íîâûé ðåçóëüòàò – íà 13. Ñðàâíèòå ïîëó÷åííîå ÷èñëî ñ èñõîäíûì, îïèøèòå îáíàðóæåííîå ÿâëåíèå è îáúÿñíèòå åãî ïðè÷èíó. 4. Ñòðàíèöû â êíèãå ïðîíóìåðîâàíû ïîäðÿä, îò ïåðâîé äî ïîñëåäíåé. Õóëèãàí Âàñÿ âûðâàë èç ðàçíûõ ìåñò êíèãè 25 ëèñòîâ è ñëîæèë íîìåðà âñåõ 50 âûðâàííûõ ñòðàíèö. Ó íåãî ïîëó÷èëîñü 2006. Äîêàæèòå, ÷òî ñëîæåíèå áûëî âûïîëíåíî íåïðàâèëüíî. 5. Ñðåäè âñåõ ïîëîæèòåëüíûõ ÷èñåë ñ ñóììîé öèôð, ðàâíîé 21, íàéäèòå íàèìåíüøåå è íàèáîëüøåå. Îòâåò îáîñíóéòå.

7 êëàññ 1. Ôðàçà Bekybekjwe – xezjxe j tvunemwe ctyd meuw, èìåþùàÿ ïðÿìîå îòíîøåíèå ê ìàòåìàòèêå, çàøèôðîâàíà ñëåäóþùèì îáðàçîì: ðóññêèå áóêâû çàìåíåíû íà ëàòèíñêèå, ïðè÷åì ãëàñíûå çàìåíåíû íà ãëàñíûå, à ñîãëàñíûå – íà ñîãëàñíûå. Ðàñøèôðóéòå ôðàçó. 2. Íàéäèòå ïîñëåäíþþ öèôðó ÷èñëà 20072006 . 3. Âûðàçèòå l èç ñîîòíîøåíèÿ 4l2 - k2 2l + k = . m + 2l 4. Èçîáðàçèòå íà êîîðäèíàòíîé ïëîñêîñòè 0xy ìíîæåñòâî òî÷åê, êîîðäèíàòû xè y êîòîðûõ óäîâëåòâîðÿþò óðàâíåíèþ x +x + y +y =0. 5. Î÷åíü ìîùíûé ïðîæåêòîð âûñâå÷èâàåò êîíóñ, óãîë ìåæäó äèàìåòðàëüíî ïðîòèâîïîëîæíûìè ëó÷àìè êîòîðîãî ðàâåí 90°. Êàêèì êîíå÷íûì ÷èñëîì òàêèõ ïðîæåêòîðîâ ìîæíî ãàðàíòèðîâàííî îñâåòèòü âñå ïðîñòðàíñòâî?

8 êëàññ 1. Ðåøèòå â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå

xy + x + y = 3. 2. Äàí òðåóãîëüíèê ñî ñòîðîíàìè 3 ñì, 4 ñì è 5 ñì. Íàéäèòå ïëîùàäü ôèãóðû, êàæäàÿ òî÷êà êîòîðîé óäàëåíà îò äàííîãî òðåóãîëüíèêà íå áîëüøå ÷åì íà 1 ñì. 3. Ñì. çàäà÷ó 2 äëÿ 7 êëàññà. 4. Ñì. çàäà÷ó 5 äëÿ 7 êëàññà. 5. Äîêàæèòå, ÷òî 1 1 1 + +K + < 1. 22 32 20062


##

ÎËÈÌÏÈÀÄÛ

9 êëàññ

2. Ñì. çàäà÷ó 5 äëÿ 7 êëàññà. 3. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî

1. Ðåøèòå â öåëûõ ÷èñëàõ óðàâíåíèå x2 + y2 y2 + z2 = 25 .







2. Äîêàæèòå íåðàâåíñòâî





cos 1° × cos 2° × cos 4° × K × cos 22006 ° £

sin 1° + sin 2° + K + sin 2006° £

2007

2

1 . sin 1°

3. Ñì. çàäà÷ó 5 äëÿ 7 êëàññà. 4. ×òî áîëüøå: 20062007 èëè 20072006 ? 5. Ðàöèîíàëüíûì èëè èððàöèîíàëüíûì ÿâëÿåòñÿ ÷èñëî sin 2007° ?

1 . sin 1 2 °

4. Ñì. çàäà÷ó 4 äëÿ 9 êëàññà. 5. Èçîáðàçèòå íà ïëîñêîñòè ïàðàìåòðîâ 0ab ìíîæåñòâî òî÷åê (a,b) òàêèõ, äëÿ êîòîðûõ óðàâíåíèå

ab + 1 x2 + a + b x + 1 = 0 îòíîñèòåëüíî ïåðåìåííîé x èìååò äåéñòâèòåëüíûå êîðíè, áîëüøèå åäèíèöû.

10 êëàññ 1. Ðåøèòå óðàâíåíèå x + 2006 - x =

2006 .

Ìåæäóíàðîäíûé òóðíèð «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà»

X Òóðíèð «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà»

ìàíäû ïîëó÷èëè çàäàíèå î÷íîãî òóðà è â òå÷åíèå ïîñëåäóþùèõ äâóõ äíåé ðåøàëè ïîñòàâëåííóþ çàäà÷ó. Íà çàùèòå î÷íîãî çàäàíèÿ îòëè÷èëàñü êîìàíäà ãèìíàçèè 56 èç Èæåâñêà, ïðåäñòàâèâøàÿ íàèáîëåå ðàçâåðíóòîå è ãëóáîêîå ðåøåíèå è ñòàâøàÿ ïîáåäèòåëåì ýòîãî òóðà. Îíà æå ñòàëà è àáñîëþòíûì ïîáåäèòåëåì òóðíèðà ïî èòîãàì äâóõ òóðîâ è ïîëó÷èëà ïåðåõîäÿùèé ïðèç «Õðóñòàëüíûé ãëîáóñ». Äèïëîìàìè I ñòåïåíè è ïàìÿòíûìè çíà÷êàìè áûëè íàãðàæäåíû êîìàíäà ãèìíàçèè 56 èç Èæåâñêà è êîìàíäà «ÌÈÔÈ-1» ëèöåÿ 1511 ïðè ÌÈÔÈ. Äèïëîìû II ñòåïåíè ïîëó÷èëè êîìàíäà Ñàìàðñêîãî àýðîêîñìè÷åñêîãî ëèöåÿ è êîìàíäà «ÌÈÔÈ-2» ëèöåÿ 1511 ïðè ÌÈÔÈ, à äèïëîì III ñòåïåíè çàâîåâàëà êîìàíäà ÔÌË 1580 ïðè Ìîñêîâñêîì ãîñóäàðñòâåííîì òåõíè÷åñêîì óíèâåðñèòåòå èì. Í.Ý.Áàóìàíà. Ó÷àñòíèêàì ñîðåâíîâàíèé áûëî âðó÷åíî ìíîæåñòâî ïðèçîâ îò ñïîíñîðîâ è îðãàíèçàòîðîâ òóðíèðà.

Òðàäèöèîííî, çàî÷íûé òóð ýòîãî òóðíèðà íà÷àëñÿ â ñåíòÿáðå 2005 ãîäà ðàññûëêîé çàäàíèÿ çàî÷íîãî òóðà «Êèíåòèêà ôàçîâûõ ïåðåõîäîâ» ïî çàÿâêàì â ëèöåè, øêîëû è ãèìíàçèè (ýòî çàäàíèå áûëî îïóáëèêîâàíî â æóðíàëå «Êâàíò» ¹5 çà 2005 ã.). Øåñòü ëó÷øèõ êîìàíä áûëè ïðèãëàøåíû íà ôèíàë – î÷íûé òóð ñîðåâíîâàíèé, êîòîðûé ïðîõîäèë ñ 29 ÿíâàðÿ ïî 5 ôåâðàëÿ 2006 ãîäà â ãîðîäå Ïðîòâèíî íà áàçå Ãîñóäàðñòâåííîãî íàó÷íîãî öåíòðà Èíñòèòóòà ôèçèêè âûñîêèõ ýíåðãèé.  ïðîâåäåíèè òóðíèðà ïðèíÿëè ó÷àñòèå Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé óíèâåðñèòåò èì. Ì.Â.Ëîìîíîñîâà è àäìèíèñòðàöèÿ ãîðîäà Ïðîòâèíî. Òóðíèð ïðîøåë ïðè ïîääåðæêå ôîíäà «Äèíàñòèÿ», êîìïàíèé «Êèðèëë è Ìåôîäèé», «Ôèçèêîí», «1Ñ» è æóðíàëà «Êâàíò». Ïðåæäå âñåãî ñîñòîÿëàñü çàùèòà çàî÷íûõ çàäàíèé. Êàæäîé êîìàíäå áûëî ïðåäëîæåíî âûñòóïèòü ñ äîêëàäîì íàó÷íûõ ðåçóëüòàòîâ ïåðåä êîìàíäàìè îïïîíåíòà è ðåöåíçåíòà. Íàó÷íàÿ äèñêóññèÿ çàâåðøèëàñü ïîáåäîé êîìàíäû «ÌÈÔÈ-1» ëèöåÿ 1511 ïðè Ìîñêîâñêîì èíæåíåðíî-ôèçè÷åñêîì èíñòèòóòå (ÌÈÔÈ). Ïîäãîòîâêà ê ñîðåâíîâàíèÿì î÷íîãî òóðà íà÷àëàñü ñ ëåêöèè ïðîôåññîðà ÌÃÓ À.Ì.Ïîïîâà î ôîòîýôôåêòå è åãî êëàññè÷åñêîé è êâàíòîâîé èíòåðïðåòàöèè, ïîñëå ÷åãî êî-

Ñîâðåìåííûå âçãëÿäû íà ïðîöåññ ôîòîèîíèçàöèè àòîìîâ âîñõîäÿò ê çíàìåíèòîé ðàáîòå À.Ýéíøòåéíà ïî ôîòîýôôåêòó, âûïîëíåííîé â 1905 ãîäó è ëåæàùåé â îñíîâå êâàíòîâîé òåîðèè. Ôîòîýôôåêò áûë îòêðûò Ã.Ãåðöåì â 1887 ãîäó è ïîçäíåå äåòàëüíî èññëåäîâàí À.Ã.Ñòîëåòîâûì. Îïûòû Ñòîëåòîâà ïî èçó÷åíèþ ôîòîýôôåêòà ñ ïîâåðõíîñòè ìåòàëëîâ ïðèâåëè ê óñòàíîâëåíèþ ðÿäà ôàêòîâ, íåîáúÿñíèìûõ ñ òî÷êè çðåíèÿ êëàññè÷åñêîé ôèçèêè. Òàê, îêàçàëîñü, ÷òî ýíåðãèÿ ôîòîýëåêòðîíîâ íå çàâèñèò îò èíòåíñèâíîñòè âîçäåéñòâóþùåãî èçëó÷åíèÿ è äëÿ äàííîãî ìàòåðèàëà îïðåäåëÿåòñÿ ëèøü åãî ÷àñòîòîé ω . Ïðè÷åì ñóùåñòâóåò ìèíèìàëüíîå çíà÷åíèå ÷àñòîòû èçëó÷åíèÿ ω* — òàê íàçûâàåìàÿ êðàñíàÿ ãðàíèöà ôîòîýôôåêòà, — âûçûâàþùåãî ôîòîýôôåêò; äëÿ çíà÷åíèé ω < ω* ôîòîýôôåêò íåâîçìîæåí. Ïðåîäîëåâàÿ òðóäíîñòè îáúÿñíåíèÿ çàêîíîìåðíîñòåé ôîòîýôôåêòà, Ýéíøòåéí âûñêàçàë ãèïîòåçó, ÷òî ñâåò ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïîòîê ÷àñòèö – êâàíòîâ ñâåòà, ôîòîíîâ, íåñóùèõ ýíåðãèþ hω ( h = 1,05 × 10 -34 Äæ × ñ – ïîñòîÿííàÿ Ïëàíêà). Ïðåäïîëîæåíèå î òîì, ÷òî ñâåò ðàñïðîñòðàíÿåòñÿ â ïðîñòðàíñòâå è ïîãëîùàåòñÿ âåùåñòâîì ïîðöèÿìè hω ,

Òóðíèð «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà» – ÷àñòü ïðîãðàììû Ìåæäóíàðîäíîãî èíòåëëåêò-êëóáà (ÌÈÊ) «ÃËÞÎÍ», ïðîâîäèìîé ñ öåëüþ ïîèñêà, îòáîðà è ïîääåðæêè èíòåëëåêòóàëüíî îäàðåííûõ äåòåé, ïðîÿâëÿþùèõ èíòåðåñ ê ìàòåìàòèêå, ôèçèêå è èíôîðìàòèêå. Óíèêàëüíîñòü ýòîãî òóðíèðà ñîñòîèò â òîì, ÷òî âñå çàäà÷è ïðåäïîëàãàåòñÿ ðåøàòü ñ ïîìîùüþ ÷èñëåííîãî ìîäåëèðîâàíèÿ íà êîìïüþòåðå. Äëÿ ó÷àñòèÿ â òóðíèðå ïðèãëàøàþòñÿ êîìàíäû øêîëüíèêîâ (5 ÷åëîâåê), îáëàäàþùèõ çíàíèÿìè ôèçèêè è íàâûêàìè ðàáîòû íà IBM PC. Òóðíèð ïðîâîäèòñÿ â âèäå èíòåëëåêòóàëüíîãî ñîðåâíîâàíèÿ ìåæäó êîìàíäàìè â äâà òóðà – çàî÷íûé è î÷íûé.

Î÷íûé òóð «Ôîòîýôôåêò»


#$

ÊÂÀÍT 2006/¹5

ïîçâîëÿåò ñðàçó æå îáúÿñíèòü ñóùåñòâîâàíèå êðàñíîé ãðàíèöû ôîòîýôôåêòà, çàãàäî÷íîé ñ òî÷êè çðåíèÿ êëàññè÷åñêîé ôèçèêè. Äåéñòâèòåëüíî, óðàâíåíèå Ýéíøòåéíà äëÿ êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ýëåêòðîíîâ, âûðûâàåìûõ èç àòîìîâ (ñ ïîâåðõíîñòè òâåðäîãî òåëà) ïîëåì ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû, èìååò âèä Ek = hω - I , ãäå I – ïîòåíöèàë èîíèçàöèè àòîìà (ðàáîòà âûõîäà À äëÿ òâåðäûõ òåë).  ñëó÷àå hω < I ýíåðãèè êâàíòà íåäîñòàòî÷íî äëÿ óäàëåíèÿ ýëåêòðîíà èç àòîìà, è ôîòîýôôåêò íåâîçìîæåí. Öåëü ïðåäëàãàåìîãî çàäàíèÿ – èññëåäîâàòü ÿâëåíèå ôîòîýôôåêòà è ïîíÿòü, ÷òî ìîæíî è ÷òî íåëüçÿ îáúÿñíèòü â ýòîì ÿâëåíèè, èñõîäÿ èç êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé. Ðàññìîòðèì ñëåäóþùóþ ìîäåëü âçàèìîäåéñòâèÿ ýëåêòðîííîãî ãàçà â ìåòàëëå ñ âíåøíèì ýëåêòðîìàãíèòíûì ïîëåì. Ýëåêòðîí â ìåòàëëå äâèæåòñÿ ïîä äåéñòâèåì ñèëû Fe = eE0  x cos ωt ñî ñòîðîíû ïîëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîë-

íû. Çäåñü E0  x – àìïëèòóäà ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âîëíû, êîòîðàÿ óáûâàåò ñ ãëóáèíîé ïðîíèêíîâåíèÿ â ìåòàëë ïî

çàêîíó E0  x = E × exp  - x δ , ãäå δ – ãëóáèíà ïðîíèêíîâåíèÿ ïîëÿ, Å – ýëåêòðè÷åñêîå ïîëå íà ïîâåðõíîñòè ìåòàëëà, ïðè ýòîì âåêòîð ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ íàïðàâëåí âäîëü ïîâåðõíîñòè ìåòàëëà. Êðîìå òîãî, ýëåêòðîí ñ íåêîòîðîé ÷àñòîòîé ν ðàññåèâàåòñÿ íà èîíàõ, íàõîäÿùèõñÿ â óçëàõ êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè.  ðåçóëüòàòå ýòîãî ðàññåÿíèÿ ñêîðîñòü ýëåêòðîíà ïðàêòè÷åñêè íå ìåíÿåòñÿ ïî âåëè÷èíå, îäíàêî ñëó÷àéíûì îáðàçîì ìåíÿåò ñâîå íàïðàâëåíèå. Òàêèì îáðàçîì, äâèæåíèå êîíêðåòíîãî ýëåêòðîíà íîñèò ñëó÷àéíûé õàðàêòåð, îäíàêî â ñðåäíåì ïî ìíîãèì ñòîëêíîâåíèÿì ýëåêòðîí íàáèðàåò ýíåðãèþ îò ïîëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû. Åñëè ýòà ýíåðãèÿ ïðåâûñèò ðàáîòó âûõîäà À, ýëåêòðîí ìîæåò âûëåòåòü ñ ïîâåðõíîñòè ìåòàëëà (ïðîèçîéäåò ôîòîýôôåêò). Ïðè ýòîì âåëè÷èíà ôîòîòîêà áóäåò ïðîïîðöèîíàëüíà ÷èñëó ïîêèíóâøèõ ìåòàëë ýëåêòðîíîâ. Çàäàíèå Ñ÷èòàÿ ýëåêòðîííûé ãàç â ìåòàëëå äâóìåðíûì, íàïèøèòå ïðîãðàììó, ìîäåëèðóþùóþ äâèæåíèå ýëåêòðîíîâ â ìåòàëëå ñ ó÷åòîì äåéñòâèÿ ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âîëíû è ñòîëêíîâåíèÿ ýëåêòðîíîâ ñ óçëàìè êðèñòàëëè÷åñêîé ðåøåòêè, è èññëåäóéòå: 1) çàâèñèìîñòü ôîòîòîêà îò èíòåíñèâíîñòè âîçäåéñòâóþùåãî íà ìåòàëë èçëó÷åíèÿ äëÿ ôèêñèðîâàííîé ÷àñòîòû èçëó÷åíèÿ; 2) çàâèñèìîñòü ôîòîòîêà îò ÷àñòîòû èçëó÷åíèÿ ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ; 3) ðàñïðåäåëåíèå ôîòîýëåêòðîíîâ ïî ýíåðãèÿì äëÿ ðàçëè÷íûõ ÷àñòîò âîçäåéñòâóþùåãî èçëó÷åíèÿ. Êàêèå èç ïîëó÷åííûõ çàâèñèìîñòåé ñîîòâåòñòâóþò ýêñïåðèìåíòàëüíûì äàííûì? Ïðè ïðîâåäåíèè ìîäåëèðîâàíèÿ ñ÷èòàéòå, ÷òî o δ = 30 - 300 A , ν = 5 × 1013 c-1 , À = 4 ýÂ. Èññëåäóéòå äèàïà15 16 -1 (îò èçëó÷åíèÿ Nd çîí ÷àñòîò ω = 1,8 × 10 - 1,8 × 10 ñ ëàçåðà äî âîäîðîäíîé ëàìïû). Ðàññåÿíèå ýëåêòðîíîâ íà óçëàõ ðåøåòêè ñ÷èòàéòå èçîòðîïíûì. Ðàçáîð çàäàíèÿ Ðàññìîòðèì êà÷åñòâåííóþ êàðòèíó ÿâëåíèÿ. Ìåæäó ñòîëêíîâåíèÿìè äâèæåíèå ýëåêòðîíà îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì r ur dv m = eE0 cos ωt dt r r ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì v t = ti  = vi , ãäå ti – ìîìåíò âðår ìåíè i-ãî ñòîëêíîâåíèÿ, vi – âåêòîð ñêîðîñòè ýëåêòðîíà ïîñëå i-ãî ñòîëêíîâåíèÿ. Ðåøåíèå ýòîãî óðàâíåíèÿ èìååò

âèä

ur r r eE v = vi + 0 sin ωt - sin ωti  . mω

Òàêèì îáðàçîì, ïîä äåéñòâèåì ïîëÿ ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ýëåêòðîí â ìåòàëëå ñîâåðøàåò êîëåáàòåëüíîå äâèæåíèå ñ àìïëèòóäîé êîëåáàíèé ñêîðîñòè ve = eE0 mω , à òàêæå ïðèîáðåòàåò äîïîëíèòåëüíóþ äðåéôîâóþ ñêîðîñòü vdr = - eE0 mω sin ωti , îïðåäåëÿåìóþ ôàçîé ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âîëíû â ìîìåíò ñòîëêíîâåíèÿ.  ðåçóëüòàòå â âûñîêî÷àñòîòíîì ñëó÷àå ω ? ν (à ýòîò ñëó÷àé âñåãäà âûïîëíåí â îïòè÷åñêîì äèàïàçîíå ÷àñòîò) â ñðåäíåì ïî áîëüøîìó ÷èñëó ñòîëêíîâåíèé ýëåêòðîí íàáèðàåò ýíåðãèþ ïîðöèÿìè ïîðÿäêà êîëåáàòåëüíîé ýíåðãèè ýëåêòðîíà â ïîëå ýëåêòðîìàãíèòíîé âîëíû ΔW :

e2 E02 . 4mω2

Îáû÷íî ýòà âåëè÷èíà ñóùåñòâåííî ìåíüøå ðàáîòû âûõîäà, ò.å. äëÿ òîãî ÷òîáû ýëåêòðîí íàáðàë ýíåðãèþ, äîñòàòî÷íóþ äëÿ âûõîäà ñ ïîâåðõíîñòè ìåòàëëà, äîëæíî ïðîèçîéòè ìíîãî àêòîâ ñòîëêíîâåíèÿ. Ïîñëåäíåå âûðàæåíèå ïîçâîëÿåò íà êà÷åñòâåííîì óðîâíå ïîíÿòü îñíîâíûå çàâèñèìîñòè, êîòîðûå äîëæíû îïèñûâàòü ÿâëåíèå ôîòîýôôåêòà ñ òî÷êè çðåíèÿ êëàññè÷åñêîé ôèçèêè. Âåðîÿòíîñòü âûõîäà ýëåêòðîíîâ ñ ïîâåðõíîñòè ìåòàëëà (ò.å. âåëè÷èíà ôîòîòîêà) äîëæíà áûòü, âî-ïåðâûõ, ïðîïîðöèîíàëüíà èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ (êâàäðàòó íàïðÿæåííîñòè ýëåêòðè÷åñêîãî ïîëÿ âîëíû), à âî-âòîðûõ, îáðàòíî ïðîïîðöèîíàëüíà êâàäðàòó ÷àñòîòû èçëó÷åíèÿ. Ðåçóëüòàòû êîìïüþòåðíîãî ìîäåëèðîâàíèÿ ïîëíîñòüþ ïîäòâåðæäàþò âûñêàçàííûå ïðåäïîëîæåíèÿ. Îòìåòèì, ÷òî ëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü âåëè÷èíû ôîòîòîêà îò èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ äåéñòâèòåëüíî íàáëþäàåòñÿ â ëàáîðàòîðíûõ ýêñïåðèìåíòàõ. ×òî êàñàåòñÿ çàâèñèìîñòè îò ÷àñòîòû èçëó÷åíèÿ, òî îíà íå ïîäòâåðæäàåòñÿ ýêñïåðèìåíòàëüíûìè äàííûìè. Ýêñïåðèìåíò ïîêàçûâàåò, ÷òî ñóùåñòâóåò êðàñíàÿ ãðàíèöà ôîòîýôôåêòà, ò.å. êðèòè÷åñêàÿ ÷àñòîòà èçëó÷åíèÿ, íèæå êîòîðîé ôîòîýôôåêò íåâîçìîæåí. Îáû÷íî çíà÷åíèå ýòîé ÷àñòîòû ëåæèò â óëüòðàôèîëåòîâîì äèàïàçîíå. Òåîðèÿ æå ïîäñêàçûâàåò, ÷òî ÷åì íèæå ÷àñòîòà èçëó÷åíèÿ, òåì áîëüøå áóäåò ôîòîòîê ñ ïîâåðõíîñòè, ïî êðàéíåé ìåðå ïîêà âûïîëíåíî óñëîâèå ω ? ν .


ÎËÈÌÏÈÀÄÛ

Ðàññ÷èòàííûå ñïåêòðû ôîòîýëåêòðîíîâ, âûëåòåâøèõ ñ ïîâåðõíîñòè ìåòàëëà (ïðè ðàçëè÷íûõ ÷àñòîòàõ âîçäåéñòâóþùåãî ïîëÿ), ïðèâåäåíû íà ðèñóíêå. Êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, â ðàìêàõ êëàññè÷åñêèõ ïðåäñòàâëåíèé íàáëþäàåòñÿ øèðîêîå ýíåðãåòè÷åñêîå ðàñïðåäåëåíèå, ïðè÷åì ñðåäíÿÿ ýíåðãèÿ ôîòîýëåêòðîíîâ âîçðàñòàåò ñ óâåëè÷åíèåì èíòåíñèâíîñòè èçëó÷åíèÿ è óìåíüøåíèåì åãî ÷àñòîòû. Ýêñïåðèìåíòû ïîêàçûâàþò, îäíàêî, ÷òî ýëåêòðîíû, ïîêèíóâøèå ïîâåðõíîñòü ìåòàëëà, õàðàêòåðèçóþòñÿ ïðàêòè÷åñêè îäíîé è òîé æå ýíåðãèåé, êîòîðàÿ ê òîìó æå íå çàâèñèò îò èíòåíñèâíîñòè. Óâåëè÷åíèå æå ÷àñòîòû èçëó÷åíèÿ ïðèâîäèò ê óâåëè÷åíèþ ýíåðãèè ôîòîýëåêòðîíîâ. Îáúÿñíèòü îòìå÷åííûå âûøå îñîáåííîñòè ôîòîýôôåêòà ñìîãëà òîëüêî êâàíòîâàÿ òåîðèÿ. Ðåøåíèå ýòîãî çàäàíèÿ ïðåäñòàâèëà êîìàíäà ãèìíàçèè 56 èç Èæåâñêà â ñîñòàâå: Ïàâëîâ Ñåðãåé, Ìîêðóøèí Àëåêñàíäð, Àíêóäèíîâ Âëàäèìèð, Ìàíîõèí Àëåêñàíäð.

XI Òóðíèð «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà» Ìåæäóíàðîäíûé èíòåëëåêò-êëóá «ÃËÞÎÍ» ïðèãëàøàåò ðåãèîíàëüíûå öåíòðû, ãèìíàçèè è øêîëû, ðàáîòàþùèå ñ îäàðåííûìè äåòüìè, ïðèíÿòü ó÷àñòèå â XI Òóðíèðå «Êîìïüþòåðíàÿ ôèçèêà», î÷íûé òóð êîòîðîãî ïðîéäåò â ÿíâàðå – ôåâðàëå 2007 ãîäà â ãîðîäå Ïóùèíî (Ìîñêîâñêàÿ îáë.). Çàÿâêè íà ó÷àñòèå ïðèñûëàéòå ïî àäðåñó: 115522 Ìîñêâà, Ïðîëåòàðñêèé ïð.,15/2, ÌÈÊ «ÃËÞÎÍ» Òåë.: (495)517-8014, ôàêñ.: (495)396-8227 E-mail: gluon@yandex.ru Ñàéò: www.informika.ru/text/goscom/gluon Çàî÷íûé òóð «Ïîâåðõíîñòíîå íàòÿæåíèå» Îäíà èç îñíîâíûõ çàäà÷ ôèçè÷åñêîé òåîðèè – îïèñàíèå ñâîéñòâ âåùåñòâà íà ìèêðîñêîïè÷åñêîì óðîâíå ñ öåëüþ îïðåäåëåíèÿ åãî ìàêðîñêîïè÷åñêèõ õàðàêòåðèñòèê. Äëÿ ýòîãî íåîáõîäèìî ïîñòðîåíèå ìîäåëåé, îïèñûâàþùèõ ñòðîåíèå âåùåñòâà íà àòîìíî-ìîëåêóëÿðíîì óðîâíå. Âñå ìàêðîñêîïè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêè âåùåñòâà (òàêèå êàê ïëîòíîñòü, òåïëîåìêîñòü, äèýëåêòðè÷åñêàÿ ïðîíèöàåìîñòü, ïðîâîäèìîñòü, êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ è äð.) ìîãóò áûòü ðàññ÷èòàíû â ðàìêàõ èçó÷åíèÿ àòîìíî-ìîëåêóëÿðíîé äèíàìèêè, ïîñêîëüêó, â êîíå÷íîì ñ÷åòå, îïðåäåëÿþòñÿ ôèçèêîé âçàèìîäåéñòâèÿ ÷àñòèö ìåæäó ñîáîé è ñ âíåøíèìè ýëåêòðîìàãíèòíûìè ïîëÿìè. Ïðåäëàãàåòñÿ íà ïðèìåðå ïðîñòîé ìèêðîñêîïè÷åñêîé ìîäåëè êîíäåíñèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ âåùåñòâà (æèäêîñòè) èçó÷èòü ýôôåêò âîçíèêíîâåíèÿ ïîâåðõíîñòíîé ýíåðãèè è ñâÿçàííîãî ñ íèì ÿâëåíèÿ ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ, à òàêæå îïðåäåëèòü êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ ïî çàäàííîìó ïîòåíöèàëó ìåæìîëåêóëÿðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ.  êà÷åñòâå ìîäåëè ñðåäû ðàññìîòðèì N ìîëåêóë, âçàèìîäåéñòâóþùèõ ìåæäó ñîáîé ïî çàêîíó (ïîòåíöèàë Ëåííàðòà– Äæîíñà) æ æ r ö 6 æ r ö 12 ö U r  = -U0 ç ç 0 ÷ - ç 0 ÷ ÷ , èrø ø èè r ø ãäå r – ðàññòîÿíèå ìåæäó ïàðîé àòîìîâ, r0 îïðåäåëÿåòñÿ o

àòîìíûì ðàçìåðîì è ñîñòàâëÿåò ïðèáëèçèòåëüíî 1 - 4 A , à U0 çàäàåò ãëóáèíó ïîòåíöèàëüíîé ÿìû — äëÿ àòîìîâ èíåðòíûõ ãàçîâ U0 » 0,005 - 0,02 ý . Ñîîòíîøåíèå õàðàêòåðíîé âåëè÷èíû êèíåòè÷åñêîé ýíåðãèè ìîëåêóë ( : kT ) è ãëóáèíû ïîòåíöèàëüíîé ÿìû îïðåäåëÿåò ôàçîâîå ñîñòîÿíèå

#%

âåùåñòâà.  ñëó÷àå åñëè ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ìîëåêóë ñóùåñòâåííî ïðåâûøàåò èõ êèíåòè÷åñêóþ ýíåðãèþ, ìîëåêóëû áóäóò óäåðæèâàòüñÿ ðÿäîì äðóã ñ äðóãîì ñèëàìè ìåæìîëåêóëÿðíîãî ïðèòÿæåíèÿ. Ïîëíàÿ ïîòåíöèàëüíàÿ ýíåðãèÿ âçàèìîäåéñòâèÿ ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà êàê ñóììà ïàðíûõ ýíåðãèé âçàèìîäåéñòâèÿ ìîëåêóë è çàâèñèò îò ãåîìåòðèè ñèñòåìû. Ñóùåñòâóåò íåêîòîðàÿ ïðîñòðàíñòâåííàÿ êîíôèãóðàöèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ìèíèìóìó ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ. Èçìåíåíèå ïðîñòðàíñòâåííîé êîíôèãóðàöèè ñ ñîõðàíåíèåì îáúåìà ñîïðîâîæäàåòñÿ èçìåíåíèåì ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè ðàññìàòðèâàåìîé ñèñòåìû, ïðè ýòîì ïðîèñõîäèò èçìåíåíèå ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âçàèìîäåéñòâèÿ. Îêàçûâàåòñÿ, ÷òî â ñëó÷àå êîðîòêîäåéñòâóþùåãî ïîòåíöèàëà, îïèñûâàþùåãî ìåæìîëåêóëÿðíîå âçàèìîäåéñòâèå, âåëè÷èíà èçìåíåíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ΔU ïðîïîðöèîíàëüíà óâåëè÷åíèþ ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè ΔS , ò.å. ΔU = σΔS , ãäå σ – êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ. Òàêèì îáðàçîì, ñ íàëè÷èåì ïîâåðõíîñòíîãî ñëîÿ æèäêîñòè ñâÿçàíî ñóùåñòâîâàíèå òàê íàçûâàåìîé ïîâåðõíîñòíîé ýíåðãèè U = σS , êîòîðàÿ òåì áîëüøå, ÷åì áîëüøå ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè. Ñòðåìëåíèå ñèñòåìû ê ìèíèìóìó ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè âåäåò ê âîçíèêíîâåíèþ ñèë ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ, âîçíèêàþùèõ ïðè äåôîðìàöèè ïîâåðõíîñòè îòíîñèòåëüíî ôîðìû, õàðàêòåðèçóþùåéñÿ ìèíèìàëüíîé ïëîùàäüþ ïîâåðõíîñòè. Ýòè ñèëû – ñèëû ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ – ñòðåìÿòñÿ ìèíèìèçèðîâàòü ïëîùàäü ïîâåðõíîñòè.  äàííîé çàäà÷å òðåáóåòñÿ ðàññìîòðåòü äâóìåðíóþ ìîäåëü êîíäåíñèðîâàííîãî ñîñòîÿíèÿ ñîâîêóïíîñòè N àòîìîâ (ìîëåêóë) è ïîêàçàòü, ÷òî ïðè ïðîèçâîëüíîé íà÷àëüíîé ãåîìåòðè÷åñêîé ôîðìå æèäêîñòè ïîä äåéñòâèåì ñèë ìåæìîëåêóëÿðíîãî âçàèìîäåéñòâèÿ äâóìåðíàÿ æèäêîñòü ñî âðåìåíåì ïðèîáðåòàåò ôîðìó êðóãà (â êà÷åñòâå ïîâåðõíîñòè äâóìåðíîé æèäêîñòè âûñòóïàåò ïåðèìåòð). Ìîäåëèðîâàíèå ñèñòåìû íà ýòàïå âû÷èñëåíèÿ ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè ìîæåò áûòü ïðîâåäåíî ïóòåì ÷èñëåííîãî èíòåãðèðîâàíèÿ óðàâíåíèé Íüþòîíà, îïèñûâàþùèõ äâèæåíèå îòäåëüíûõ àòîìîâ èëè ìîëåêóë. Íà÷àëüíûå êîîðäèíàòû è ñêîðîñòè ìîëåêóë ìîãóò áûòü âûáðàíû ñëó÷àéíûì îáðàçîì, íî òàê, ÷òîáû íà÷àëüíûé àíñàìáëü àòîìîâ (ìîëåêóë) ìîäåëèðîâàë êîíäåíñèðîâàííóþ ôàçó âåùåñòâà. Çàäàíèå 1. Óñòàíîâèòå ñâÿçü ìåæäó èçìåíåíèåì âåëè÷èíû ïîòåíöèàëüíîé ýíåðãèè àíñàìáëÿ àòîìîâ (ìîëåêóë) è èçìåíåíèåì ïëîùàäè ïîâåðõíîñòè. Îïðåäåëèòå êîýôôèöèåíò ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ. 2. Îïðåäåëèòå çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ îò ÷èñëà ìîëåêóë â æèäêîñòè (N èçìåíÿåòñÿ îò 100 äî 1000). 3. Îïðåäåëèòå çàâèñèìîñòü êîýôôèöèåíòà ïîâåðõíîñòíîãî íàòÿæåíèÿ îò òåìïåðàòóðû àíñàìáëÿ ÷àñòèö (â äèàïàçîíå òåìïåðàòóð, ñîîòâåòñòâóþùèõ ñóùåñòâîâàíèþ êîíäåíñèðîâàííîé ôàçû). o  êà÷åñòâå ïàðàìåòðîâ èñïîëüçóéòå r0 = 4 A è U0 k = 200 K – òàêèå ïàðàìåòðû ïðèáëèçèòåëüíî ñîîòâåòñòâóþò ïîòåíöèàëó âçàèìîäåéñòâèÿ ìåæäó àòîìàìè êñåíîíà, ìàññà àòîìà êñåíîíà ñîñòàâëÿåò 130 àòîìíûõ åäèíèö. Ïóáëèêàöèþ ïîäãîòîâèëè Â.Àëüìèíäåðîâ, À.Ïîïîâ, Î.Ïîïîâè÷åâà


#&

ÀÍT 2006/¹5 Î Ò Â Å Ò Û , ÓÊÊÂ À ÇÀÍÈß, ÐÅØÅÍÈß

ÊÌØ Çàäà÷è (ñì. «Êâàíò» ¹4) 1. Íå îáÿçàòåëüíî – ñì. ðèñ. 1.

4. Îáîçíà÷èì ÷åðåç À, Á, Â, à óòâåðæäåíèÿ Àíè, Áîðè, Âèòè, Ãåíû ñîîòâåòñòâåííî. Âåðíîìó óòâåðæäåíèþ ïðèïèøåì çíà÷åíèå È (èñòèíà), íåâåðíîìó – Ë (ëîæü). Ëîãè÷åñêîå ñëåäîâàíèå îáîçíà÷èì çíàêîì ⇒. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî êàæäîå èç òðåõ óòâåðæäåíèé È ⇒ È, Ë ⇒ È, Ë ⇒ Ë èñòèííî, à óòâåðæäåíèå È ⇒ Ë ëîæíî, ñîñòàâèì òàáëèöó èñòèííîñòè âñåâîçìîæíûõ âàðèàíòîâ óòâåðæäåíèé ðåáÿò:

Ðèñ. 1

2. Ïîêàæåì, ÷òî íàèìåíüøèé ïåðèìåòð ïðÿìîóãîëüíèêà ðàâåí 14. Ëåãêî ïðîâåðèòü, ÷òî íå ïîäõîäÿò ïðÿìîóãîëüíèêè ðàçìåðîì  ´ n , ãäå n £ 5 ; 2 ´ n , ãäå n £ " ; 3 ´ n , ãäå n £ 3 (ïðè äðóãèõ çíà÷åíèÿõ n ïðÿìîóãîëüíèê èìååò ïåðèìåòð, ïðåâûøàþùèé 1!). Ïðÿìîóãîëüíèê 3 ´ " ïîäõîäèò. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè Ìàëûø ïîñëåäîâàòåëüíî áóäåò ñòàâèòü êðåñòèêè â îòìå÷åííûå êëåòêè (ðèñ. ), òî îí âûèãðàåò, ïîñêîëüêó íà êàæäûé åãî õîä Êàðëñîí âûíóæäåí áóäåò îòâå÷àòü õîäîì íà òîé æå ãîðèçîíòàëè (åñëè îí ýòîãî íå ñäåëàåò, òî ó Ìàëûøà áóäåò âîçìîæíîñòü ïîñòàâèòü ! êðåñòèêà ïî ãîðèçîíòàëè). Ðèñ. 2 3. Èç âñåõ àðòèñòîâ, êðîìå Óäàâà, ìîæíî ñîñòàâèòü íå áîëåå ! ïàð äëÿ èñïîëíåíèÿ ïåñíè: Ìàðòûøêà + Ïîïóãàé, Ìàðòûøêà + Ñëîíåíîê è Ïîïóãàé + Ñëîíåíîê. Òàê êàê Óäàâ èñïîëíèë 1 ïåñíþ, òî âñåãî áûëî èñïîëíåíî íå áîëüøå 1 + ! = 4 ïåñåí. Êðîìå òîãî, èç âñåõ àðòèñòîâ, êðîìå Óäàâà, ìîæíî ñîñòàâèòü íå áîëåå 1 òðîéêè äëÿ èñïîëíåíèÿ òàíöà: Ìàðòûøêà + Ïîïóãàé + Ñëîíåíîê. Òàê êàê Óäàâ èñïîëíèë òàíöà, òî âñåãî áûëî èñïîëíåíî íå áîëüøå + 1 = ! òàíöåâ. Èòîãî, íà êîíöåðòå ìîãëî áûòü èñïîëíåíî íå áîëåå 4 + ! = 7 íîìåðîâ, à òàê êàê, ïî óñëîâèþ, èõ è áûëî ðîâíî 7, òî êîíöåðò ñîñòîÿë â òî÷íîñòè èç 4 ïåñåí è ! òàíöåâ. Èòàê, áûëè èñïîëíåíû ! ïåñíè ñëåäóþùèìè ñîñòàâàìè: Ìàðòûøêà + Ïîïóãàé, Ìàðòûøêà + Ñëîíåíîê è Ïîïóãàé + Ñëîíåíîê, à òàêæå åùå îäíà – ÷åòâåðòàÿ – ïåñíÿ, êîòîðóþ êòî-òî èç òðîéêè Ìàðòûøêà, Ñëîíåíîê è Ïîïóãàé èñïîëíèë âäâîåì ñ Óäàâîì. Ïîýòîìó èç íèõ òðîèõ êòî-òî èñïîëíèë ! ïåñíè, à îñòàëüíûå äâîå – ïî ïåñíè. Ïåðåéäåì ê òàíöàì. Îäèí òàíåö Ìàðòûøêà, Ñëîíåíîê è Ïîïóãàé èñïîëíèëè âòðîåì, è åùå òàíöà ïî äâîå èç íèõ èñïîëíèëè âìåñòå ñ Óäàâîì. Ïîýòîìó êòî-òî èç íèõ äâàæäû ó÷àñòâîâàë â ýòèõ äâóõ òàíöàõ, à îñòàëüíûå äâîå – ïî ðàçó. Òàêèì îáðàçîì, êòî-òî èç òðîéêè Ìàðòûøêà, Ñëîíåíîê è Ïîïóãàé èñïîëíèë ! òàíöà, à îñòàëüíûå äâîå – ïî òàíöà. Åñëè êòî-òî èç ýòîé òðîéêè èñïîëíèë ! + ! = 6 íîìåðîâ, òî îñòàëüíûå äâîå èñïîëíèë ïî +  = 4 íîìåðà. Ïî óñëîâèþ, Ìàðòûøêà èñïîëíèëà áîëüøå íîìåðîâ, ÷åì Ñëîíåíîê, ïîýòîìó â äàííîì ñëó÷àå Ñëîíåíîê ìîã èñïîëíèòü òîëüêî 4 íîìåðà. Åñëè æå äâîå èç òðîèõ èñïîëíèëè ïî ! +  =  + ! = # íîìåðîâ, òî îäèí èñïîëíèë +  = 4 íîìåðà. È îïÿòü æå, òàê êàê Ìàðòûøêà èñïîëíèëà áîëüøå íîìåðîâ, ÷åì Ñëîíåíîê, òî â äàííîì ñëó÷àå Ñëîíåíîê ìîã èñïîëíèòü òîëüêî 4 íîìåðà. Êàê âèäèì, âî âñåõ ñëó÷àÿõ Ñëîíåíîê èñïîëíèë 4 íîìåðà. Î Ìàðòûøêå è Ïîïóãàå íè÷åãî îïðåäåëåííîãî ñêàçàòü íåëüçÿ, íî ýòî è íå òðåáóåòñÿ.

Èç ýòîé òàáëèöû âèäíî, ÷òî óòâåðæäåíèå  ⇒ à âñåãäà èñòèííî, à óòâåðæäåíèå à ⇒  ìîæåò áûòü ëîæíûì. 5. Ïîêàæåì, êàê ìîæíî äîáèòüñÿ ðàâíîâåñèÿ. Äâå ãèðüêè íàçîâåì ïàðîé, åñëè ñóììà èõ ìàññ ðàâíà 01 ã. ßñíî, ÷òî #0 ïàð îáðàçóþò ïîëîâèíó îáùåé ìàññû âñåõ 00 ãèðåê. Äîáüåìñÿ òîãî, ÷òîáû íà ëåâîé ÷àøêå, òàê æå, êàê è íà ïðàâîé, ïðèñóòñòâîâàëè #0 ïàð. Åñëè íà ëåâîé ÷àøêå ìîæíî óêàçàòü #0 ãèðåê, ïàðíûå äëÿ êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ íà ïðàâîé ÷àøêå, òî îñòàâèì èõ íà ëåâîé ÷àøêå, à ñ ïðàâîé ÷àøêè ïåðåìåñòèì ê íèì ïàðíûå ãèðüêè (ïåðåìåñòèâ òàêæå äðóãèå #0 ãèðåê ñ ëåâîé ÷àøêè íà ïðàâóþ). Åñëè íà ëåâîé ÷àøêå ìîæíî óêàçàòü #0 ãèðåê, ïàðíûå äëÿ êîòîðûõ íàõîäÿòñÿ ñðåäè íèõ (ò.å. # ïàð), òî íà ïðàâîé òàêæå ñóùåñòâóåò íå ìåíüøå # ïàð. Îñòàâëÿÿ ýòè ãèðüêè íà ìåñòå, äîáàâèì ê íèì # ïàð ñ ïðàâîé ÷àøêè (òàêæå ïåðåìåñòèâ äðóãèå #0 ãèðåê ñ ëåâîé ÷àøêè íà ïðàâóþ). Ïîñêîëüêó îäèí èç ïåðå÷èñëåííûõ ñëó÷àåâ âñåãäà èìååò ìåñòî, òî ñ ïîìîùüþ óêàçàííûõ ïåðåêëàäûâàíèé ìîæíî äîáèòüñÿ ðàâíîâåñèÿ.

ÄÎÏÎËÍßÉ È ÂËÀÑÒÂÓÉ 1. Óêàçàíèå. Ïðèáàâüòå ê îáåèì ÷àñòÿì ïðåäïîëàãàåìîãî ðàâåíñòâà ñóììó

"n -  "n - 2 "n - 3 2  + + +K + + . 2 3 " "n -  "n 2. à) Ðàññìîòðèì îáùèé ÷ëåí äàííîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè:

3 × an =  K %% K3% 8 K =  K ×  { { { 12 n

n

n

n+

n

+

+ %% K3% × n + + 8 ×  n + +  K ×  +  = { 12 n

n

=

10n - 1 × 10 9

n+!

+

7 n -  × 10 n - 1 × 10 n + + 8 × n+ + ×  +  . 9 9





Òàêèì îáðàçîì,









2% × an = n -  × 2n + 3 + % × n -  × n + 2 +





n + + n -  ×  + 9 = + %2 ×  3n + 3 -2n + 3 + % × 2n + 2 -% × n + 2 + %2 ×  n + + n + -  = = 





3

= 3n + 3 - 3 × 2n + 2 + 3 × n + -  = n + -  . 3

3

æ ö æ n +  - ö = ç 33 K 3÷ . Ïîýòîìó an = ç 123 ÷ 3 è ø è n + ø


ÎÒÂÅÒÛ,

á) Çàìåòèì, ÷òî m = 8 9{ K 9 8% = 9 × 

k+2

ÓÊÀÇÀÍÈß,

- 3 ,

á) Ðàññìîòðèì ñëåäóþùèå äîïîëíåíèÿ: 7998 7995 7992 1005 1002 B1 = × × ×K × × , 7997 7994 7991 1004 1001

k

K % = 8 × k + 2 + %{ K % = 8 × k + 2 + n = 8 %{ k+2

k+2

B2 =

æ ö K % + 21K 22 + ÷ - 21K 23 222 3 - = + ç %{ è k+2 ø k+2 k+2 = 9 × 

k+2

k+2

- 21K 22 -  = 9 ×  23

-

k+2

2 %9 % × k + 2 -  -  = × k + 2 - . 9 9 9



–



7999 7996 7993 1006 1003 × × ×K × × . 7998 7995 7992 1005 1002

Ïîíÿòíî, ÷òî B × B × B2 = 8 . Î÷åâèäíî òàêæå, ÷òî B > > B > B2 . Ïîýòîìó 8 = B × B1 × B2 < B3 . Çíà÷èò, B > . Íî > òîãäà = A < B. Äîêàæåì òåïåðü, ÷òî C < A. Îáîçíà÷èì D = C3 =

Ïîýòîìó

576 - 575 + 573 - 572 +

+



m × n = 9 × 

k+2

%ö æ %9 - 3 × ç × k + 2 - ÷ = è 9 9ø



= %9 × 

2k + 4

= %9 ×  = %9 × 

k+"

- 

k+"

k+2

D1 = 575 - 574 + 572 - 571 + 569 -

æ %9 × 3 ö 9 ×ç + %÷ + = è 9 ø 9 k+

æ 9 ×  -ç 9 è

D2 = 574 - 573 + 571 - 570 +

- 9ö ÷ = ø

k+"

Âîïðîñû è çàäà÷è

 K -   1 4 24 3= k+

= %9 × k + 2 × k + 2 - 2 K  1 4 24 3. k+2

Î÷åâèäíî, âñå öèôðû ýòîé ðàçíîñòè íå ìåíüøå 7.  . 3. à) Äîïîëíèì ÷èñëî N äðîáüþ 2 × 9 ×  × 3 × K × 2% Ïîëó÷èì

" 5 6 3 + + +K + + 9 9 ×  9 ×  × 3 9 ×  × 3 × K × 25 × 2% +

568 - 567 K + 1 - 0 .

ÊÀËÅÉÄÎÑÊÎÏ «ÊÂÀÍÒÀ»

æ ö - ç2 × k + 2 +  K  1 4 24 3÷ = è ø k+2

= %9 × 

568 + K + 2 - 1 ,

Î÷åâèäíî, D < D < D2 . ßñíî òàêæå, ÷òî D + D + D2 = 24 . Ïîýòîìó D < 8, à çíà÷èò, C < . Èòàê, C < A < B.

æ 89 × k + ö k + -  -ç + - ÷ = 9 9 è ø

= %9 × 2k + 4

570 - 569 + K + 3 - 2 .

Èñïîëüçóåì èäåþ äîïîëíåíèÿ. Ñòðîèì âûðàæåíèÿ

æ ö = %9 × 2k + 4 - ç2 × k + 2 +  K  - ÷ = { è ø k+2

3+

#'

ÐÅØÅÍÈß

 . 2 × 9 ×  × 3 × K × 25 × 2%

1. Èç-çà êîíå÷íîãî óãëîâîãî ðàçìåðà Ñîëíöà êðàÿ òåíåé îò ïðåäìåòîâ ðàçìûòû.  êàæäóþ òî÷êó îòðåçêîâ AB è A2 B2 (ðèñ.!) ïîïàäàþò ëó÷è ëèøü îò ÷àñòè ñîëíå÷íîãî äèñêà. Ãðàíèöû ïîëóòåíåé – òî÷êè B è B2 – ñîâïàäóò ðàíüøå, ÷åì ñáëèçÿòñÿ ïðåäìåòû 1 è 2. 2. Åñëè ñïè÷êà íàõîäèòñÿ âáëèçè ñòðîêè S, òî íè îäèí ëó÷, âûõîäÿùèé èç ñòðîêè, íå ïîïàäåò â çðà÷îê (ðèñ.4,à). Åñëè æå ñïè÷êà ðàñïîëîæåíà ó ñàìîãî ãëàçà, òî íåêîòîðûå ëó÷è ïðîõîäÿò âíóòðü çðà÷êà Ðèñ. 3 (ðèñ.4,á). 3. «Ïðîâåäÿ» ýòó ëèíèþ ñ ïîìîùüþ äëèííîé ëèíåéêè èëè ðîâíîé ïàëêè, âû, êàê è ñëåäîâàëî îæèäàòü, ïîïàäåòå íà

Åñëè ñêëàäûâàòü äðîáè ñ êîíöà â íà÷àëî, òî âñå âûðàæåíèå «ñëîæèòñÿ», êàê òåëåñêîïè÷åñêàÿ àíòåííà: " 5 6 + +K 3+ + 9 9 ×  9 ×  × 3 ... + = 3+

2  + = 9 ×  × 3 × K × 25 2 × 9 ×  × 3 × K × 25

" 5 6  + + +K + =K 9 9 ×  9 ×  × 3 2 × 9 ×  × 3 × K × 23 ... = 3 +

" 5 6  + + + = 9 9 ×  9 ×  × 3 2 × 9 ×  × 3 = 3+

" 5  "  + + = 3+ + = 3,5 . 9 9 ×  2 × 9 ×  9 2×9

Ïîñêîëüêó 2 × 9 × 11 × 13 × K × 2007 > 10''% , òî 1 0< < 10-''7 è ïîëó÷àåì îòâåò: 2 × 9 × 11 × 13 × K × 2007

N = 3,5 -

1 = 3,4 99 K9 9K 123 2 × 9 × 11 × 13 × K × 200% 99

Ðèñ. 4

Ñîëíöå. Íî ëèíèÿ, ïðîâåäåííàÿ ëèøü ìûñëåííî, ìîæåò è «ïðîìàõíóòüñÿ». Ýòà èëëþçèÿ ñâÿçàíà ñ òåì, ÷òî íåáî ïðåäñòàâëÿåòñÿ íàì êóïîëîîáðàçíûì. 4. Âáëèçè ñåòêè-îãðàäû äàæå îòäåëüíûé åå ïðóò ìîæåò çàìåòíî ïåðåêðûòü ïîëå çðåíèÿ ãëàçà. Óäàëÿÿñü îò ñåòêè, ìû óâåëè÷èâàåì è ïîëå çðåíèÿ è ñâåòîâîé ïîòîê îò èãðîêîâ, ïðîõîäÿùèé ÷åðåç áîëüøåå ÷èñëî îòâåðñòèé. 5. Íåò. Íåáî âîêðóã çâåçäû êàê ÷åðåç òðóáó, òàê è áåç íåå âûãëÿäèò îäèíàêîâî ÿðêî, à ðàññåÿííûé àòìîñôåðîé ñîëíå÷íûé ñâåò çíà÷èòåëüíî ÿð÷å ñâåòà çâåçä. 6. Êîíå÷íî, ìîæíî. Îòðàæåííûå ëó÷è, èùóùèå îò çåðêàëà ê ëèíçå, íåîòëè÷èìû îò äåéñòâèòåëüíûõ ñîëíå÷íûõ ëó÷åé.


$

ÊÂÀÍT 2006/¹5

7. Âûïóêëûå çåðêàëà èìåþò áîëåå øèðîêóþ îáëàñòü îáçîðà, ÷åì ïëîñêèå. 8. Ìîæíî. Äëÿ ýòîãî íàäî çàêðûòü ñâå÷ó îò çðèòåëÿ ýêðàíîì è ïîëó÷èòü åå çåðêàëüíîå îòðàæåíèå îò ñòåêëÿííîé ïëàñòèíû (ðèñ.5). Ðèñ. 5 Çàòåì ñîâìåñòèòü èçîáðàæåíèå ñâå÷è ñ ñîñóäîì, íàïîëíåííûì âîäîé. 9. Êîýôôèöèåíò îòðàæåíèÿ ëó÷åé çàìåòíî âîçðàñòàåò ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ óãëà ïàäåíèÿ ê ïðÿìîìó. (Ýòîò ñëó÷àé íå ñâÿçàí ñ âîçíèêíîâåíèåì ìèðàæà èç-çà èñêðèâëåíèÿ ëó÷åé ó ïîâåðõíîñòè ðàçîãðåòîãî àñôàëüòà.) 10. Íàáëþäàòåëü Î (ðèñ.6), ñóäÿ ïî ðèñóíêó â òåêñòå, íàõîäèòñÿ íà óðîâíå âòîðîãî ýòàæà äîìà. Ãëÿäÿ íåïîñðåäñòâåííî íà äîì, â îêíàõ âåðõíèõ ýòàæåé îí âèäèò îòðàæåíèå ñâåòëîãî íåáà, à â íèæíèõ – îòðàæåíèå òåìíîé çåìëè (Ì) èëè ñâîåãî ìåñòà íàáëþäåíèÿ (N). Ãëÿäÿ æå íà ìîêðûé àñôàëüò, íàáëþäàòåëü Î âî âñåõ îêíàõ âèäèò íåáî – òî æå, ÷òî âèäåë áû çåðêàëüíûé åìó íàáëþäàÐèñ. 6 òåëü O¢ . 11. Èç-çà ïðåëîìëåíèÿ ñâåòà íà ãðàíèöå âîäà – âîçäóõ èçîáðàæåíèå äíà áóäåò êàçàòüñÿ íàêëîííûì ñ íàèáîëüøåé ãëóáèíîé ó íîã ÷åëîâåêà. 12. Êàæóùàÿñÿ ñêîðîñòü ìåíüøå èñòèííîé â n ðàç, ãäå n – ïîêàçàòåëü ïðåëîìëåíèÿ âîäû. 13.  ðåçóëüòàòå ïðåëîìëåíèÿ ëó÷åé íà ãðàíÿõ àêâàðèóìà (ñì. ðèñ.7 – âèä ñâåðõó) â ãëàç ïîïàäàþò äâà ïîòîêà ëó÷åé. 14. Èäóùèå îò ìîíåòû ëó÷è îòðàæàþòñÿ îò çàäíåé ñòåíêè áàíêè è, ïðåëîìèâøèñü íà ïîâåðõíîñòè âîäû, ïîïàäàþò â ãëàç. Îò ìîêðîé ëàäîíè, ïðèëîæåííîé ê çàäíåé ñòåíêå, îòðàæåíèÿ íå áóäåò – ëó÷è èëè ïîãëîòÿòñÿ èëè ðàññåþòñÿ. 15. Èç-çà ðåôðàêöèè – èñêðèâëåíèÿ ñâåòîâûõ ëó÷åé ïðè ïðîõîæäåíèè ÷åðåç àòìîñôåðó – óæå Ðèñ. 7 óøåäøèé çà ãîðèçîíò íèæíèé êðàé Ñîëíöà êàæåòñÿ íàì ïðèïîäíÿòûì. Âåðõíèé êðàé ñîëíå÷íîãî äèñêà ïðèïîäíèìàåòñÿ ðåôðàêöèåé ñëàáåå. Ïîýòîìó Ñîëíöå ó ãîðè-

çîíòà êàæåòñÿ íåìíîãî ñïëþñíóòûì ïî âåðòèêàëè. 16. Íà áîëåå äëèííîì ïóòè â àòìîñôåðå, êîòîðûé ïðîõîäèò ñâåò ê ãëàçó îò íèçêî ñòîÿùåãî ñâåòèëà, çàìåòíî ðàññåèâàþòñÿ ïðàêòè÷åñêè âñå ñîñòàâëÿþùèå ñâåòîâîãî ñïåêòðà, êðîìå ñàìûõ äëèííûõ âîëí – êðàñíûõ.

Ìèêðîîïûò Íà ëåâîì ðèñóíêå â òåêñòå áëèæíèé öèëèíäð êàæåòñÿ ïî êðàéíåé ìåðå ðàç â âîñåìü ìåíüøå, ÷åì äàëüíèé. Íà ïðàâîì ðèñóíêå âñå òðè öèëèíäðà êàæóòñÿ îäèíàêîâûìè. Ëèíåéêà, îäíàêî, óäîñòîâåðèò âàñ â òîì, ÷òî ìàëûé öèëèíäð â òðè ðàçà ìåíüøå áîëüøîãî. Âñå äåëî – â ýôôåêòå ïåðñïåêòèâû.

ÂÎÇÐÎÆÄÅÍÈÅ «ÁÅÑÏÎËÅÇÍÛÕ» ×ÈÑÅË 1. à) Ïðè ÷åòíîì k óòâåðæäåíèå î÷åâèäíî, äëÿ k = s + l èç ïðåäïîëîæåíèÿ, ÷òî Nk ÿâëÿåòñÿ êâàäðàòîì, âûòåêàåò



2



22 s +1 - 1 =  2m + 1 , îòêóäà 22 s = 2 m2 + m + 1 , ÷òî íåâîçìîæk

íî; á) 2 - 1 â äâîè÷íîé ñèñòåìå çàïèñûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ k åäèíèö. 2. à) Ïóñòü k = s + l, òîãäà

N2 s + -  = 24 s + - 22 s -  =

  +  = 2 +  2 -2





2

= 24 s - 2 23 + 1 - 24 s - 2 - 22 s - 1 = 9 × 24 s - 2 - 22 s - +  ,

à 22 s-

2s-2

2s-3

2

m

å 2t - 

3

2

3

2 m -

m -

t =

t =

å t3 - å 2t

=

t =



+ K - 2 +  äåëèòñÿ íà !;

m m +  á) èç ðàâåíñòâà å t = 4 t = m

3

ïîëó÷àåì

=





= 2m - 12 m2 - 2 m - 12 m2 = m2 m2 - 1 , îñòàåòñÿ ïîëîæèòü m2 = 2k - ïðè íå÷åòíîì k. 3. Èñêîìàÿ ñóììà ðàâíà σ n  - n n , à σ  n = rn.

 





8 8 3 4. Òàê êàê σ 2 = 7 × 73 , σ 2 × 7 × 73 = 7 × 73 × 2 × 2 × 37 ,

σ  37 = 2 × 19 , σ 19  = 2 × 5 , òî äëÿ ÷èñëà 2

n = 28 × 5 × 7 × 19 × 37 × 73 èìååì σ  n = 3n ; åñëè âçÿòü n = 28 × 3 × 5 × 7 × 19 × 37 × 73 , òî ïîëó÷èì σ  n = 4n . Ðàâåíñòâà σ 29 = 3 × 11 × 31 , σ 11 = 22 × 3 , σ  31 = 25 ïðèâîäÿò ê ÷èñëó

 

n = 29 × 3 × 11 × 31 , äëÿ êîòîðîãî σ  n = 3n . Ïîñêîëüêó

 

σ 23 = 3 × 43 × 27 , σ  43 = 22 × 11 , σ 127 = 27 , òî ïîëó÷àåì

3 ÷èñëî n = 2 × 3 ×  × 43 × 27 , äëÿ íåãî σ  n = 3n . Èç

 

3 σ 24 = 7 × 3 × 5 , σ 151 = 2 × 19 íàõîäèì

n = 24 × 5 × 7 × 9 × 3 × 5 è σ  n = 3n ; äîáàâèâ ñîìíîæèòåëü

!, ïîëó÷èì n = 24 × 3 × 5 × 7 × 9 × 3 × 5 è σ  n = 4n .

  × 5 , σ 5  = 31 ïðèâîäÿò ê ÷èñëó

5. Ðàâåíñòâà σ 2 = 23 × 89 , σ 23 = 23 × 3 , σ 89 = 2 × 32 × 5 ,

 =2

σ 3

3

3

2

n = 2 × 3 × 5 × 23 × 3 × 89 , äëÿ êîòîðîãî σ  n = 4n . Èç 

  σ 3  = 2

3

2





σ 2 = 32 × 5 × 7 × 3 , σ 2 × 32 × 5 × 7 × 3 = 25 × 33 × 5 × 72 × 32 ,

  = 31 , σ 7  = 3 × 19 σ 13  íå ðàññìàòðèâàåì: âòîðîé ñîìíîæèòåëü 1! ïîÿâèëñÿ çà ñ÷åò σ 3  ïî3

3

2

×5 , σ 5

2

2

2

ëó÷àåì n = 2 × 33 × 52 × 72 × 3 × 9 × 3 , äëÿ íåãî σ  n = 5n . Ïî-

 

ñêîëüêó σ 25 = 3 × 5 × 7 × 257 , σ 257 = 2 × 3 × 43 ,

 

 

σ  43 = 2 × 11 , σ 17 = 2 × 32 , σ 35 = 22 × 7 × 13 , σ 72 = 3 × 19 , 2

 

5 5 2 2 σ 52 = 31 , òî n = 2 × 3 × 5 × 7 ×  × 3 × 7 × 9 × 3 × 43 × 257 è

σ  n  = 6n .


ÎÒÂÅÒÛ,

ÓÊÀÇÀÍÈß,

ÇÀÊÎÍ ÝËÅÊÒÐÎÌÀÃÍÈÒÍÎÉ ÈÍÄÓÊÖÈÈ πd2 BN = 5 × 10 -3 Êë . 4R - - - + kl2 6 = 0,5 A . 2. I = 2 R

1. q =

3. P =

2

æ - - Bvl ö 4. Q = ç Rt = 64 Äæ . è R + r ÷ø 2WL = 14,1 B . t ωl 2 B = 0,3 B . 8. Δϕ = 2 6. - =

πk2l " 3

16  π + 1 R

.

5. v = ! ì/c. 2

æ Bvd ö R. 7. P = ç è R + ρd S ÷ø

XXXII ÂÑÅÐÎÑÑÈÉÑÊÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ ØÊÎËÜÍÈÊΠÏÎ ÌÀÒÅÌÀÒÈÊÅ Çàêëþ÷èòåëüíûé ýòàï 9 êëàññ 1. ßñíî, ÷òî ëîìàíàÿ ïåðåñåêàåò äèàãîíàëü. Ïóñòü À – îäíà èç âåðøèí ëîìàíîé, ëåæàùàÿ íà äèàãîíàëè. Áóäåì äâèãàòüñÿ ïî ëîìàíîé, ïîêà íå ïîïàäåì ïåðâûé ðàç ñíîâà â âåðøèíó Â, ëåæàùóþ íà äèàãîíàëè. Èç ñèììåòðèè, åñëè äâèãàòüñÿ ïî ëîìàíîé èç À â äðóãóþ ñòîðîíó, òî  òàêæå îêàæåòñÿ ïåðâîé âåðøèíîé íà äèàãîíàëè, â êîòîðóþ ìû ïîïàäåì. Ïðè ýòîì ëîìàíàÿ óæå çàìêíåòñÿ, ïîýòîìó ÷åðåç îñòàëüíûå 1! öåíòðîâ êëåòîê íà äèàãîíàëè ëîìàíàÿ íå ïðîõîäèò. Ðàñêðàñèì äîñêó â øàõìàòíîì ïîðÿäêå òàê, ÷òîáû äèàãîíàëü áûëà ÷åðíîé. Çàìåòèì, ÷òî íà íàøåé ëîìàíîé áåëûå è ÷åðíûå êëåòêè ÷åðåäóþòñÿ, ïîýòîìó èõ êîëè÷åñòâà ðàâíû.  èñõîäíîì æå êâàäðàòå ÷åðíûõ êëåòîê íà îäíó áîëüøå. Ïîñêîëüêó êëåòêè äèàãîíàëè ÷åðíûå è ëîìàíàÿ íå ïðîõîäèò ÷åðåç 1! èç íèõ, òî îíà íå ïðîõîäèò è ÷åðåç 1 áåëûõ êëåòîê. Èòîãî, äëèíà ëîìàíîé íå áîëåå 152 - 13 - 12 = 200. 2. Ðàññìîòðèì êàêîå-íèáóäü íàòóðàëüíîå ÷èñëî n > 1000000. Ïîêàæåì, ÷òî óñëîâèþ áóäåò óäîâëåòâîðÿòü ÷åòâåðêà ÷èñåë –n, n + 1, n  n + 1 + 1 , n  n + 1 n  n + 1 + 1 + 1 . Äåéñòâèòåëüíî, ïðèìåíèâ òðèæäû ñîîòíîøåíèå 1 1 1 = , a a + 1 a  a + 1 ïîëó÷àåì 1 1 1 1 + + + = -n n + 1 n  n + 1 + 1 n  n + 1 n n + 1 + 1 + 1 = -

1 1 1 + + = n  n + 1 n  n + 1 + 1 n  n + 1 n  n + 1 + 1

1 1 + = n  n + 1 n n + 1 + 1 n n + 1 n  n + 1 + 1 + 1 1 = , n  n + 1 n  n + 1 + 1 n  n + 1 n  n + 1 + 1 + 1 ÷òî è òðåáîâàëîñü. 3. 117. Çàìåòèì, ÷òî 2006 = 17 × 118 , ïîýòîìó íàéäóòñÿ öâåòà, â êîòîðûå ïîêðàøåíû â ñóììå íå ìåíåå 2 × 118 = 236 òî÷åê. Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî k, ÷òî ÷åðåç k – 1 òî÷êó äâóõ öâåòîâ âñåãäà ìîæíî ïðîâåñòè k – 1 íåïåðåñåêàþùóþñÿ õîðäó ñ îäíîöâåòíûìè êîíöàìè. Áàçà î÷åâèäíà. Ïóñòü k > . Òîãäà ñðåäè òî÷åê âîçüìåì äâå îäíîöâåòíûå, ñòîÿùèå ïîäðÿä. Ñîåäèíèì èõ õîðäîé, âûáðîñèì è ïðèìåíèì ïðåäïîëîæåíèå èíäóêöèè ê îñòàâøèìñÿ òî÷êàì. Âûáðàâ !5 òî÷åê äâóõ öâåòîâ è ïðèìåíèâ äàííîå óòâåðæäåíèå, ïîëó÷àåì, ÷òî 117 õîðä Êîëÿ ñìîæåò ïðîâåñòè âñåãäà. Îñòàëîñü ïðèâåñòè ïðèìåð, êîãäà áîëüøå õîðä ïðîâåñòè íåëüçÿ. = -





ÐÅØÅÍÈß

$

Äîïóñòèì, íà îêðóæíîñòè ñòîÿò 17k òî÷åê. Ïóñòü Ïåòÿ ïîêðàñèò êàæäóþ òî÷êó â öâåò, ñîîòâåòñòâóþùèé îñòàòêó îò äåëåíèÿ íà 17 åå íîìåðà. Äîêàæåì èíäóêöèåé ïî k, ÷òî ÷åðåç ýòè òî÷êè ìîæíî ïðîâåñòè íå áîëåå k – 1 õîðäû ñ âûïîëíåíèåì óñëîâèÿ. Áàçà î÷åâèäíà, äîêàæåì ïåðåõîä. Ïóñòü ïðîâåäåíî íåêîòîðîå êîëè÷åñòâî õîðä. Ðàññìîòðåâ äâå ñîåäèíåííûå òî÷êè À è  íà ìèíèìàëüíîì ðàññòîÿíèè äðóã îò äðóãà, ïîëó÷èì òàêóþ õîðäó ÀÂ, ÷òî íà îäíîé èç äóã, íà êîòîðûå îíà äåëèò îêðóæíîñòü, íåò êîíöîâ äðóãèõ ïðîâåäåííûõ õîðä. Òåïåðü ñîòðåì õîðäó À è óáåðåì ñ îêðóæíîñòè âñå òî÷êè ýòîé äóãè, âêëþ÷àÿ îäèí èç êîíöîâ õîðäû. Ìû ïîëó÷èì èñõîäíóþ ðàñêðàñêó 17l òî÷åê ïðè l < k. Îíè ñîåäèíåíû íå áîëåå ÷åì l – 1 õîðäîé, ïîýòîìó èçíà÷àëüíî õîðä áûëî íå áîëüøå l - 1 + 1 £ k - 1 , ÷òî è òðåáîâàëîñü. 4. Ïóñòü Ì – âòîðàÿ òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ω ñî ñòîðîíîé ÀÑ. Äîêàæåì, ÷òî ÷åòûðåõóãîëüíèê ATLC âïèñàííûé. Äåéñòâèòåëüíî, çàìåòèì, ÷òî ïðè ãîìîòåòèè ñ öåíòðîì À, ïåðåâîäÿùåé îêðóæíîñòü ω â îïèñàííóþ îêðóæíîñòü òðåóãîëüíèêà ABC, ïðÿìàÿ MK ïåðåõîäèò â ïðÿìóþ ÑÂ, à ñëåäîâàòåëüíî, îíè ïàðàëëåëüíû (ðèñ.8). Òîãäà ïîëó÷àåì, ÷òî ÐAMK = ÐACB = ÐACT , íî èç âïèñàííîñòè ÷åòûðåõóãîëüíèêà AMLK èìååì ÐAMK = ÐALK = ÐALT . Îòñþäà ÐACT = ÐALT , ò.å. ÷åòûðåõóãîëüíèê ATLC âïèñàííûé. Ñëåäîâàòåëüíî, ÐCTA = ÐCLA , íî ïî ñâîéñòâó êàñàòåëüíîé ÐCLA = ÐLKA , ò.å. ÐCTA = ÐTKA , è, çíà÷èò, ÐBTA = ÐBKT . Òîãäà òðå- Ðèñ. 8 óãîëüíèêè ÂÒA è ÂKÒ ïîäîáíû ïî äâóì óãëàì, îòêóäà BT 2 = BK × BA . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, ïðîèçâåäåíèå BK × BA ðàâíî êâàäðàòó êàñàòåëüíîé ê îêðóæíîñòè ω èç òî÷êè Â. ak , ãäå ck – íàèìåíüøèé ïðîñòîé äåëè5. Çàìåòèì, ÷òî bk = ck òåëü ak . Òàê êàê b9 > b , òî b9 > 1 è b9 ³ c9 . Îòñþäà

a10 > a9 ³ c92 . Íî èç íåðàâåíñòâ ai < ai +1 , bi > bi +1 ñëåäóåò, ÷òî ci < ci +1 , ò.å. c1 < c2 < K < c1 . Çíà÷èò, c9 ³ 23 , òàê êàê ! – äåâÿòîå ïî ñ÷åòó ïðîñòîå ÷èñëî. Ïîýòîìó a10 > c92 ³ ³ 529 > 5 . 6. Çàìåòèì, ÷òî òî÷êà X ëåæèò íà ëó÷å RP (ðèñ.'), òàê êàê ÐRAZ > ÐARP ( ÐRAZ = ÐABC = π - ÐPRQ = ÐARP + + ÐQRC ). Àíàëîãè÷íî, òî÷êà Y ëåæèò íà ëó÷å RQ. Òîãäà ÐACB = ÐXAB è ÐAPX = ÐRPB = ÐRQC , è òðåóãîëüíèêè ÀÐÕ è CQR ðàâíû ïî ñòîðîíå è äâóì óãëàì. Ñëåäîâàòåëüíî, ÐÕ = QR. Àíàëîãè÷íî, PR = QY, îòêóäà è ñëåäóåò óòâåðæäåíèå çàäà÷è. 7. Âûèãðûâàåò èãðîê, äåëàþùèé âòîðîé õîä. Ïðèâåäåì âûèãðûøíóþ ñòðàòåãèþ äëÿ âòîðîãî. Ïåðâûìè íåñêîëüêèìè õîäàìè îí ñêëåèâàåò êàæäóþ êëåòêó, ïðèìûêàþùóþ ê ãðàíèöå êâàäðàòà, ñî âñåìè åå ñîñåäÿìè. Íà ýòî ïîòðåáóåòñÿ íå áîëåå 8 × 99 õîäîâ, ò.å. ïîñëå ýòîãî áóäåò ñêëååíî âñåãî 16 × 99 ïàð ñòîðîí è, êàê ñëåäñòâèå, íå 10000 äîáîëåå 2 × 16 × 99 < Ðèñ. 9 2


$

ÊÂÀÍT 2006/¹5

ìèíîøåê îêàæóòñÿ ñêëååííûìè ñ ÷åì-íèáóäü åùå. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîñëå ýòîãî åùå îñòàíóòñÿ îòäåëüíûå äîìèíîøêè, è ôèãóðà íå áóäåò ñâÿçíîé. Äàëåå âòîðîé áóäåò äåéñòâîâàòü ïðîèçâîëüíûì îáðàçîì, ñëåäÿ òîëüêî çà òåì, ÷òîáû íå ïðîèãðàòü ïðÿìî íûíåøíèì õîäîì. Òîãäà âñå äîìèíîøêè ðàñïàäàþòñÿ íà äâå ñâÿçíûå ôèãóðû, ïðè÷åì âñå íåñêëååííûå îòðåçêè – ýòî ãðàíèöà ìåæäó ýòèìè ôèãóðàìè, òàê êàê ëþáîé äðóãîé îòðåçîê ìîæíî ñêëåèòü. Ïðè ýòîì îäíà èç ýòèõ ôèãóð ñîäåðæèò âñå ãðàíè÷íûå êëåòêè êâàäðàòà.  ãðàíèöå âíóòðåííåé ôèãóðû ÷åòíîå ÷èñëî îòðåçêîâ (åñëè ìû îáîéäåì ýòó ëîìàíóþ, òî îòðåçêîâ, ïî êîòîðûì ìû øëè ââåðõ è âíèç, áóäåò ïîðîâíó; òî æå ñ îòðåçêàìè âïðàâî è âëåâî). Ïîäñ÷èòàåì èçíà÷àëüíîå ÷èñëî ðàçðåçàííûõ ñòîðîí îòðåçêîâ. Îíî ðàâíî ñóììàðíîìó ïåðèìåòðó âñåõ äîìèíîøåê, óìåíüøåííîìó íà ïåðèìåòð êâàäðàòà è äåëåííîìó íà (òàê êàê êàæäûé èç îñòàëüíûõ îòðåçêîâ ñ÷èòàëñÿ ïî äâà ðàçà), 6 × 5000 - 400 ò.å. – ÷åòíîìó ÷èñëó. Çíà÷èò, ê äàííîìó ìîìåí2 òó ñòåðòî òàêæå ÷åòíîå ÷èñëî ñòîðîí, è õîäèòü äîëæåí ïåðâûé. Ïðîòèâîðå÷èå. 8. Îáîçíà÷èì ÷åðåç c1 è c2 êîðíè óðàâíåíèÿ f  x  = 0 , à ÷å-

ðåç x1 è x2 – êîðíè óðàâíåíèÿ f f  x  = 0 , ñóììà êîòîðûõ ðàâíà –1. Ìíîæåñòâî êîðíåé ïîñëåäíåãî óðàâíåíèÿ ñîâïàäàåò ñ îáúåäèíåíèåì ìíîæåñòâ êîðíåé óðàâíåíèé f  x  = c1 è

f  x  = c2 . Åñëè x1 è x2 ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè îäíîãî èç ïîñëåäíèõ äâóõ óðàâíåíèé, òî èõ ñóììà, ðàâíàÿ –1, áóäåò ïî òåîðåìå Âèåòà ðàâíà è –à, îòêóäà à = 1. Ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî c1 ³ c2 . Íî ïîñêîëüêó ïî òåîðåìå Âèåòà c1 + c2 = -1 , òî 1 c2 £ - . Èç óñëîâèÿ ñëåäóåò, ÷òî äèñêðèìèíàíò óðàâíåíèÿ 2 f  x  = c2 íåîòðèöàòåëåí, ïîýòîìó 1 - 4b + 4c2 ³ 0 , îòêóäà 1 b£- . 4  ïðîòèâíîì ñëó÷àå, íå óìàëÿÿ îáùíîñòè, ìîæíî çàïèñàòü, 2 ÷òî x1 + ax1 + b = c1 è x22 + ax2 + b = c2 . Ñêëàäûâàÿ ïîñëåäíèå äâà ðàâåíñòâà, ïîëó÷èì x12 + x22 + a  x1 + x2  + 2b = c1 + c2 . Ïîñêîëüêó c1 + c2 = - a ïî òåîðåìå Âèåòà, à x1 + x2 = -1 ïî óñëîâèþ, òî ïîñëåäíåå ðàâåíñòâî ïîñëå ñîêðàùåíèÿ ïåðåïè1 øåòñÿ òàê: x12 + x22 + 2b = 0 . Íî òîãäà b = - x12 + x22 £ 2 1 1 2 £ -  x1 + x2  = - . 4 4





10 êëàññ 2.  ðåøåíèè ëàòèíñêèìè áóêâàìè âåçäå îáîçíà÷åíû íàòóðàëüíûå ÷èñëà. 3

3





Ïî óñëîâèþ,  x - 1 + x 3 +  x + 1 = y 3 , èëè 3x x2 + 2 = y 3 .





2

3

Òîãäà ó äåëèòñÿ íà !, ó = !z è x x + 2 = 9 z . Î÷åâèäíî,





ÍÎÄ x, x2 + 2 £ 2 .





Äîêàæåì, ÷òî ñëó÷àé ÍÎÄ x, x2 + 2 = 1 íåâîçìîæåí. Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå ëèáî x = 9u 3 è x 2 + 2 = v 3 , ëèáî x = u3 è x 2 + 2 = 9v 3 ïðè íåêîòîðûõ íàòóðàëüíûõ u, v.  ïåðâîì ñëó÷àå ïîëó÷àåì 81u 6 + 2 = v 3 , ÷òî íåâîçìîæíî, òàê êàê êóá öåëîãî ÷èñëà ïðè äåëåíèè íà ' äàåò îñòàòîê 0 èëè ±1 . Àíàëîãè÷íî, âòîðîå ðàâåíñòâî âëå÷åò, ÷òî u 6 + 2 = 9v3 , ÷òî íåâîçìîæíî ïî òåì æå ïðè÷èíàì.









Èòàê, ÍÎÄ x, x2 + 2 = 2 , x x2 + 2 = 9 z3 . Òîãäà x (è, ñëåäî-





âàòåëüíî, z) ÷åòíî, ïîýòîìó x x2 + 2 äåëèòñÿ íà 8. Ïîñêîëüêó x 2 + 2 íå äåëèòñÿ íà 4, ïîëó÷àåì, ÷òî õ äåëèòñÿ íà 4, ÷òî è òðåáîâàëîñü.

Çàìå÷àíèå. Ìîæíî äîêàçàòü, ÷òî óðàâíåíèå çàäà÷è èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå â íàòóðàëüíûõ ÷èñëàõ: (4; 6). Îäíàêî ýëåìåíòàðíîå äîêàçàòåëüñòâî ýòîãî ôàêòà àâòîðó çàäà÷è íåèçâåñòíî.

11 êëàññ π . Îòñþäà sin x £ sin x . 2 Äàëåå, ïîñêîëüêó 0 < sin x < 1 , èìååì sin x < sin x . Ïóñòü

1. Ïðè x ³ 1 èìååì 1 £

x £x<

 

0 < x < 1. Ïåðåïèøåì íåðàâåíñòâî: sin2 t < sin t2

 

ïðè 0 <

< t < 1. Òàê êàê sin2 0 = sin 02 , òî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü ¢ ¢ sin 2 t < sin t2 , èëè 2 sin t cos t < 2t cos t2 . Ïîñêîëüêó π > t > t2 > 0 , òî cos t < cos t2 . Ïåðåìíîæèâ ýòî íåðàâåí2 2 ñòâî è íåðàâåíñòâî sin t < t , ïîëó÷èì sin t cos t < t cos t . 2. Çàìåòèì, ÷òî äðîáü ñ ïåðèîäîì Ò ïîñëå äîìíîæåíèÿ íà 10T - 1 ñòàíîâèòñÿ öåëûì ÷èñëîì. Äîìíîæèì íàøè äâå äðîáè



   

 

 

 

à è b íà ÷èñëî 10T - 1 = 99 K 9 . Ïîëó÷àòñÿ äâà íîâûõ ðàöèî123



T







T íàëüíûõ ÷èñëà A = 10T - 1 a è B = 10 - 1 b . ×èñëà









2

A + B = 10 - 1  a + b è AB = 10 - 1 ab öåëûå, òàê êàê à + b è ab – äðîáè ñ ïåðèîäîì Ò, ñòàíîâÿùèåñÿ öåëûìè ïðè T

T





2

äîìíîæåíèè íà 10T - 1 è òåì áîëåå íà 10T - 1 . Íî äâà ðàöèîíàëüíûõ ÷èñëà, ñóììà è ïðîèçâåäåíèå êîòîðûõ öåëûå, ÿâëÿþòñÿ êîðíÿìè ïðèâåäåííîãî êâàäðàòíîãî óðàâíåíèÿ ñ öåëûìè êîýôôèöèåíòàìè, ò. å. ñàìè ÿâëÿþòñÿ öåëûìè ÷èñëàìè. Çíà÷èò, à è b ìîãóò áûòü çàïèñàíû â âèäå îáûêíîâåííûõ äðîáåé ñî çíàìåíàòåëåì 10T - 1 , îòêóäà è ñëåäóåò óòâåðæäåíèå çàäà÷è. 3. Âûèãðûâàåò ïåðâûé. Ðàçîáüåì âñå îòìå÷åííûå òî÷êè íà ïàðû (ìíîæåñòâî îòðåçêîâ â êîíöàõ òî÷åê ïàðû – ãîðèçîíòàëüíûå îòðåçêè äëèíû 1). Îïèøåì âûèãðûøíóþ ñòðàòåãèþ ïåðâîãî èãðîêà. Ïóñòü ïåðâûì õîäîì îí ñîåäèíèò òî÷êè èç êàêîé-íèáóäü ïàðû. Åñëè âòîðîé ñîåäèíÿåò îòðåçêîì äâå òî÷êè êàêîé-íèáóäü ïàðû, òî ïåðâûé äîëæåí ñîåäèíèòü îòðåçêîì äâå òî÷êè äðóãîé ïàðû – íàçîâåì ýòè äâà îòðåçêà äâîéêîé ïåðâîãî òèïà. Åñëè æå âòîðîé ñîåäèíèò îòðåçêîì äâå òî÷êè èç ðàçíûõ ïàð, òî ïåðâûé äîëæåí ñîåäèíèòü îòðåçîì äâå îñòàâøèåñÿ òî÷êè èõ ýòèõ ïàð – íàçîâåì ýòè äâà îòðåçêà äâîéêîé âòîðîãî òèïà. Çàìåòèì, ÷òî êîëè÷åñòâî òî÷åê äåëèòñÿ íà 4, ïîýòîìó ïîñëåäíèé õîä ñäåëàåò âòîðîé. Ïåðâûé áóäåò äåëàòü îòâåòíûå õîäû äî òåõ ïîð, ïîêà íå îñòàíåòñÿ îäíà ïàðà – ýòè äâå îñòàâøèåñÿ òî÷êè ñîåäèíèò îòðåçêîì âòîðîé èãðîê. Çàìåòèì, ÷òî â äâîéêå ïåðâîãî òèïà ìîæíî âûáðàòü íàïðàâëåíèå òàê, ÷òîáû ñóììà äâóõ âåêòîðîâ ðàâíÿëàñü íóëåâîìó âåêòîðó, à â äâîéêå âòîðîãî òèïà – òàê, ÷òîáû ñóììà äâóõ âåêòîðîâ ðàâíÿëàñü ãîðèçîíòàëüíîìó âåêòîðó äëèíû (ëþáîãî èç äâóõ íàïðàâëåíèé). Òåïåðü ïåðâîìó íóæíî âûáðàòü íàïðàâëåíèÿ â äâîéêàõ âòîðîãî òèïà, ÷òîáû ñóììàðíàÿ äëèíà âñåõ âåêòîðîâ â ýòèõ äâîéêàõ ðàâíÿëàñü ëèáî íóëåâîìó âåêòîðó, ëèáî ãîðèçîíòàëüíîìó âåêòîðó äëèíû . Ïîñëå ýòîãî îñòàíóòñÿ òîëüêî äâà îòðåçêà äëèíû 1 (ïåðâûé õîä ïåðâîãî èãðîêà è ïîñëåäíèé õîä âòîðîãî), íà êîòîðûõ ïåðâîìó èãðîêó íóæíî âûáðàòü íàïðàâëåíèÿ òàê, ÷òîáû ñóììà âñåõ âåêòîðîâ ðàâíÿëàñü íóëåâîìó âåêòîðó. 4. Ïóñòü áèññåêòðèñû AI, BI, CI ïåðåñåêàþò îïèñàííóþ îêðóæíîñòü â òî÷êàõ A , B è C ñîîòâåòñòâåííî. Òî÷êè B è C ÿâëÿþòñÿ ñåðåäèíàìè äóã ÀÑ è À ñîîòâåòñòâåííî. Ïðîâåäåì ÷åðåç À ïðÿìóþ, ïàðàëëåëüíóþ BC , ïåðåñåêàþùóþ áèññåêòðèñû â òî÷êàõ IB è IC (ðèñ.10). Èìååì ÐAIB = ÐABI + ÐBAI =

= ÐABB + ÐBAA = ÐB BC + ÐCAA = ÐB AI ,


ÎÒÂÅÒÛ,

ÓÊÀÇÀÍÈß,

$!

ÐÅØÅÍÈß

Àíàëîãè÷íî âû÷èñëÿÿ S ¢B¢ è S ¢C ¢ , ïîëó÷àåì, ÷òî

S ¢A¢ = S ¢B¢ = S ¢C ¢ =

Ðèñ. 10

ïîýòîìó òðåóãîëüíèê B AI ðàâíîáåäðåííûé ( B A = BI ). Àíàëîãè÷íî, C A = CI . Ïîýòîìó òðåóãîëüíèêè B AC è B IC ðàâíû. Äàëåå, îòðåçîê BC ÿâëÿåòñÿ ñåðåäèííûì ïåðïåíäèêóëÿðîì ê AI, a AI – âûñîòà â òðåóãîëüíèêå IIB IC . Îòñþäà ñëåäóåò, ÷òî BC – ñðåäíÿÿ ëèíèÿ òðåóãîëüíèêà IB IIC . Ïîëó÷àåì ñëåäóþùèå ðàâåíñòâà äëÿ ðàäèóñîâ îïèñàííûõ îêðóæíîñòåé:

R  IB IIC  = 2R  B IC  = 2 R  B AC  = 2 R  ABC . Òåïåðü äîñòàòî÷íî äîêàçàòü, ÷òî òî÷êè Ì è N ëåæàò íà îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà IB IIC . Çàìåòèì, ÷òî ÐAIB I = ÐC B I = Ð C B A = Ð C CA = Ð ICA , çíà÷èò, òî÷êè À, I, Ñ, IB ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè, îòñþäà B1 A × B1C = B1 I × B1 IB . Ñ äðóãîé ñòîðîíû, B1 A × B1C = = B1M × B1N , òàê êàê òî÷êè À, Ì, Ñ, N ëåæàò íà îäíîé îêðóæíîñòè. Ñëåäîâàòåëüíî, B1M × B1 N = B1 I × B1 IB , è òî÷êà IB ëåæèò íà îïèñàííîé îêðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà IMN. Àíàëîãè÷íî, íà íåé ëåæèò òî÷êà IC , ÷òî è òðåáîâàëîñü. 5. Î÷åâèäíî, ÷òî, íà÷èíàÿ ñî âòîðîãî ÷ëåíà, íàøè ïîñëåäîâàòåëüíîñòè âîçðàñòàþò: xn + 2 > xn2 +1 > xn +1 , yn + 2 > yn +1 . Òàê êàê x3 > 1 + 12 = 2 , y3 > 12 + 1 = 2 , âñå ÷ëåíû êàæäîé èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòåé, íà÷èíàÿ ñ òðåòüåãî, áîëüøå . Àíàëîãè÷íî, ïðè n > ! ïîëó÷èì xn > 3 , yn > 3 . Çàìåòèì òåïåðü, ÷òî xn + 2 > xn2 +1 > xn4 ïðè n > 1. Ñ äðóãîé ñòîðîíû, yn + 2 = yn2 + yn +1 = yn2 + yn + yn2 -1 < 3yn2 < yn3 ïðè n > !. Èòàê, ïðè n > ! èìååì k -1

lg xn + 2 4 lg xn lg x2k æ 4 ö lg x2 > >ç ÷ , à . lg yn + 2 3 lg yn lg y2k è 3 ø lg y2 Ïðè äîñòàòî÷íî áîëüøîì k ïðàâàÿ ÷àñòü ïîñëåäíåãî íåðàâåíñòâà áîëüøå 1, à çíà÷èò, x2k > y2k , ÷òî è òðåáîâàëîñü äîêàçàòü. 6. Èç òåîðåìû î òðåõ ïåðïåíäèêóëÿðàõ ñëåäóåò, ÷òî SD – âûñîòà â ãðàíè SAB. Òàê êàê SS¢ – äèàìåòð îêðóæíîñòè, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç S, S¢ è À, òî ÐSAS ¢ = 90° (ðèñ.11). Îáîçíà÷èâ ÷åðåç R è r ðàäèóñû îïèñàííîé ñôåðû ïèðàìèäû è âïèñàííîé îêÐèñ. 11 ðóæíîñòè òðåóãîëüíèêà ABC ñîîòâåòñòâåííî, èìååì

 -  SA

 - AD  = SS ¢ - SD = SS ¢ -  SI + ID  =  2 R

S ¢A¢2 = S ¢A2 + AA¢2 = SS ¢2 - SA2 + AD2 = 2 = SS ¢

2

=

2

2

2

2

2

2

2

- SI2 - r 2 .

2R2 - SI2 - r 2

.

8.  ðåøåíèè áóäåì ïîëüçîâàòüñÿ ñëåäóþùåé èçâåñòíîé òåîðåìîé. Òåîðåìà Õîëëà. Ïóñòü äàí äâóäîëüíûé ãðàô G, ò.å. åãî âåðøèíû ðàçáèòû íà äâà ïîäìíîæåñòâà À è  òàêèõ, ÷òî ëþáîå ðåáðî ñîåäèíÿåò âåðøèíû èç ðàçíûõ ïîäìíîæåñòâ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî äëÿ ëþáîãî ïîäìíîæåñòâà âåðøèí A1 Í A êîëè÷åñòâî âåðøèí â A1 íå áîëüøå, ÷åì êîëè÷åñòâî âåðøèí, ñîåäèíåííûõ õîòÿ áû ñ îäíîé âåðøèíîé èç A1 . Òîãäà â ãðàôå íàéäåòñÿ ïàðîñî÷åòàíèå (ò.å. íàáîð ðåáåð ñ ðàçëè÷íûìè êîíöàìè), ñîäåðæàùåå âñå âåðøèíû ìíîæåñòâà À. Ïåðåéäåì ê ðåøåíèþ çàäà÷è. Ïîñòðîèì ãðàô, âåðøèíû êîòîðîãî ñîîòâåòñòâóþò ïèîíåðàì, à ðåáðà – çíàêîìñòâàì. Ñòåïåíè âåðøèí ýòîãî ãðàôà íå ìåíåå 50 è íå áîëåå 100. Äîêàæåì âñïîìîãàòåëüíîå óòâåðæäåíèå. Ëåììà 1. Ïóñòü k £ n £ m – íàòóðàëüíûå ÷èñëà. Òîãäà èç ãðàôà, ñòåïåíè âåðøèí êîòîðîãî íå ìåíåå ï è íå áîëåå ò, ìîæíî óäàëèòü íåñêîëüêî ðåáåð òàê, ÷òîáû ñòåïåíè âñåõ âåðøèí ñòàëè íå ìåíåå n – k è íå áîëåå m – k. Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîíÿòíî, ÷òî äîñòàòî÷íî äîêàçàòü óòâåðæäåíèå ëåììû äëÿ k = 1. Äî òåõ ïîð ïîêà åñòü ðåáðà, ñîåäèíÿþùèå ïàðû âåðøèí ñòåïåíè m, áóäåì óäàëÿòü òàêèå ðåáðà. Ïóñòü òàêèõ ðåáåð áîëüøå íåò, îáîçíà÷èì ÷åðåç À ìíîæåñòâî âñåõ âåðøèí ñòåïåíè m â ïîëó÷åííîì ïîñëå óäàëåíèÿ ðåáåð ãðàôå G, à ÷åðåç  – ìíîæåñòâî âñåõ îñòàëüíûõ âåðøèí. Ðàññìîòðèì äâóäîëüíûé ãðàô G¢ íà òåõ æå âåðøèíàõ, â êîòîðîì îñòàíóòñÿ ëèøü ðåáðà ìåæäó À è Â. Ïðîâåðèì âûïîëíåíèå óñëîâèÿ òåîðåìû Õîëëà äëÿ ýòîãî ãðàôà. Ðàññìîòðèì ìíîæåñòâî A1 Ì A , ïóñòü B1 – ìíîæåñòâî âåðøèí, ñìåæíûõ ñ âåðøèíàìè èç A1 . Èç A1 âûõîäèò íå ìåíåå m A1 ðåáåð ê âåðøèíàì ìíîæåñòâà B1 , à â êàæäóþ âåðøèíó èç B1 âõîäèò ìåíåå m ðåáåð, ñëåäîâàòåëüíî, B1 ³ A1 (÷åðåç |Õ| ìû, êàê îáû÷íî, îáîçíà÷àåì êîëè÷åñòâî ýëåìåíòîâ â ìíîæåñòâå X). Òàêèì îáðàçîì, ïî òåîðåìå Õîëëà ñóùåñòâóåò ïàðîñî÷åòàíèå, ñîäåðæàùåå âñå âåðøèíû èç À. Óäàëèâ èç ãðàôà G ðåáðà ýòîãî ïàðîñî÷åòàíèÿ, ìû ïîëó÷èì ãðàô G1 , ñòåïåíè âåðøèí êîòîðîãî íå ìåíåå n – 1 è íå áîëåå m – 1. Ëåììà 1 äîêàçàíà. Âåðíåìñÿ ê ðåøåíèþ çàäà÷è. Ïðèìåíèâ ëåììó 1 äëÿ èñõîäíîãî ãðàôà è k = !0, ìû ïîëó÷èì ãðàô Í, ñòåïåíè âåðøèí êîòîðîãî íå ìåíåå 0 è íå áîëåå 70. Ñäåëàåì åãî ðåáðà êðàñíûìè. Äëÿ êàæäîé âåðøèíû ýòîãî ãðàôà îòìåòèì 0 âåðøèí ñðåäè åå ñîñåäåé è ïîïàðíî ñîåäèíèì ýòè 0 âåðøèí çåëåíûìè ðåáðàìè. Òàê êàê èç êàæäîé âåðøèíû âûõîäèò íå áîëåå 70 êðàñíûõ ðåáåð, òî èç íåå âûõîäèò íå áîëåå ÷åì 70 × 19 = 1330 çåëåíûõ ðåáåð. Ðàññìîòðèì ãðàô H¢ ñ çåëåíûìè ðåáðàìè íà âåðøèíàõ ãðàôà Í. Íåñëîæíî ïî î÷åðåäè ïîêðàñèòü ýòè âåðøèíû â 1!!1 öâåò òàê, ÷òîáû ñîñåäíèå âåðøèíû áûëè ðàçíîöâåòíûìè: ðàññìàòðèâàÿ êàæäóþ ñëåäóþùóþ âåðøèíó, ïîêðàñèì åå â ëþáîé íåçàäåéñòâîâàííûé ñðåäè åå ñîñåäåé öâåò. Òåïåðü îïÿòü ðàññìîòðèì ãðàô Í ñ êðàñíûìè ðåáðàìè. Ñðåäè ñîñåäåé êàæäîé åãî âåðøèíû åñòü 0 âûäåëåííûõ, è âñå îíè ïîêðàøåíû â ðàçíûå öâåòà. Çàìå÷àíèå. Ìîæíî ïîêðàñèòü ïèëîòêè ïèîíåðîâ âñåãî â 761 öâåò (ýòî íàáëþäåíèå ïðèíàäëåæèò È.Áîãäàíîâó). Äëÿ äîêàçàòåëüñòâà ýòîãî ôàêòà íàäî çàìåíèòü ëåììó 1 íà áîëåå ñèëüíóþ ëåììó , äîêàçàòåëüñòâî êîòîðîé ïðåäîñòàâëÿåòñÿ ÷èòàòåëþ. Ëåììà 2. Ïóñòü k £ n – íàòóðàëüíûå ÷èñëà.  ãðàôå G ñòåïåíè âñåõ âåðøèí íå ìåíåå n è íå áîëåå 2n. Òîãäà ìîæíî óäàëèòü íåñêîëüêî ðåáåð òàê, ÷òîáû ñòåïåíè âñåõ âåðøèí ñòàëè íå ìåíåå k è íå áîëåå 2k.


$"

ÊÂÀÍT 2006/¹5

XL ÂÑÅÐÎÑÑÈÉÑÊÀß ÎËÈÌÏÈÀÄÀ ØÊÎËÜÍÈÊΠÏÎ ÔÈÇÈÊÅ Òåîðåòè÷åñêèé òóð 9 êëàññ gT 2 = 6,3 ñì . 1. xm = 4 π2 2 V + uv V 2 - uv 2. l1 = L ; l2 = L . 2vV 2vV ΔR c τïë ΔR -1 3. α = = ,21 °C  , ãäå = ,68 , τïë = 600 c R λ Δτ R è Δτ = 24 c (âñå ýòè äàííûå ïîëó÷åíû èç ãðàôèêà); ñì. ðèñóíîê 1 .

5 p0kV0 k γ -1 - 1 = 6,69 × 10" Äæ . 2 rr L 4. C2 = 3 = 0,5 ìêÔ ; r2 = 1 4 = 200 êÎì . r3 r1r"



) Q=

5. 1) I = ) z=



mgL 2 = 11,1 A ; 2β μ nS

3 = 2,08 ñì ; 4α

!) f =

αg = 6 Ãö . π

Èíôîðìàöèþ î æóðíàëå «Êâàíò» è íåêîòîðûå ìàòåðèàëû èç æóðíàëà ìîæíî íàéòè â ÈÍÒÅÐÍÅÒÅ ïî àäðåñàì: Ðåäàêöèÿ æóðíàëà «Êâàíò» kvant.info Ìîñêîâñêèé öåíòð íåïðåðûâíîãî ìàòåìàòè÷åñêîãî îáðàçîâàíèÿ kvant. mccme.ru Ìîñêîâñêèé äåòñêèé êëóá «Êîìïüþòåð» math.child.ru Êîñòðîìñêîé öåíòð äîïîëíèòåëüíîãî îáðàçîâàíèÿ «Ýâðèêà» ceemat.ru

Ðèñ. 12

4. Åñëè êëþ÷ K1 çàìêíóò, à êëþ÷ K2 ðàçîìêíóò, òî I = 0; åñëè K1 è K2 ðàçîìêíóòû, òî òîê òå÷åò îò D è B è ðàâåí U I= ; åñëè K2 çàìêíóò, à ïîëîæåíèå K1 ïðîèçâîëüíîå, òî 8R 2U . òîê òå÷åò îò  è D è ðàâåí I = 5R

10 êëàññ mv 1. x = ; ïîñëå îñòàíîâêè ñèñòåìà áóäåò èìåòü âèä «ëåñåíα êè» ñ øàãîì õ. 3νR + C æ 2p ö L -  ÷ L , ãäå R – óíèâåðñàëüíàÿ ãàçîâàÿ ρg ø 4νR + C çè ïîñòîÿííàÿ; èñõîäíîå ïîëîæåíèå æèäêîñòè â òðóáêå óñòîé÷èâî. 3. ηp = ηV . 2. x =

4.

3q2 - q1 3q1 - q2  ; çàðÿäû äîëæíû îòëè÷àòüñÿ áîëåå F=

÷åì âòðîå. 5. UV = -

32πε R2

42» -0,74 B ; IA = 1+ 5 1+ 5





2

r

» -0,23 A .

11 êëàññ m2 2 p p 1 - cos α = 4,32 × 10 6 Äæ . 1. m = 3 ; Wmin = 1 2 1 M 2. 1) t =

L2 μg v = v* , òî t =  ; ; ) åñëè v0 £ L 2 Rv R μg

v æ μgL2 ö åñëè v0 ³ v* , òî t =  ç1 - 1 - 2 ÷ . μg çè v R ÷ø 3. 1) Q = p kV ln k = ,54 × 15 Äæ ;

©

ÍÎÌÅÐ ÏÎÄÃÎÒÎÂÈËÈ À.À.Åãîðîâ, Ñ.Ï.Êîíîâàëîâ, À.Þ.Êîòîâà, Â.À.Òèõîìèðîâà, À.È.×åðíîóöàí

ÍÎÌÅÐ ÎÔÎÐÌÈËÈ Â.Í.Âëàñîâ, Ä.Í.Ãðèøóêîâà, Â.Â.Èâàíþê, À.Å.Ïàöõâåðèÿ, Ç.Ì.Ñóðîâà

ÕÓÄÎÆÅÑÒÂÅÍÍÛÉ ÐÅÄÀÊÒÎÐ Å.Â.Ìîðîçîâà

ÊÎÌÏÜÞÒÅÐÍÀß ÃÐÓÏÏÀ Å.À.Ìèò÷åíêî, Ë.Â.Êàëèíè÷åâà Æóðíàë «Êâàíò» çàðåãèñòðèðîâàí â Êîìèòåòå ÐÔ ïî ïå÷àòè. Ðåã. ñâ-âî ¹0110473 Àäðåñ ðåäàêöèè: 119296 Ìîñêâà, Ëåíèíñêèé ïðîñïåêò, 64-À, «Êâàíò» Òåë.: 930-56-48 Å-mail: admin@kvant.info, math@kvant.info, phys@kvant.info Îòïå÷àòàíî â ÎÀÎ îðäåíà Òðóäîâîãî Êðàñíîãî Çíàìåíè «×åõîâñêèé ïîëèãðàôè÷åñêèé êîìáèíàò» 142300 ã.×åõîâ Ìîñêîâñêîé îáëàñòè Òåë./ôàêñ: (501) 443-92-17, (272) 6-25-36 E-mail: marketing@chpk.ru

2006_05  

ÏÐÀÊÒÈÊÓÌ ÀÁÈÒÓÐÈÅÍÒÀ 46 XXXII Âñåðîññèéñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ ïî ìàòåìàòèêå 49 XL Âñåðîññèéñêàÿ îëèìïèàäà øêîëüíèêîâ ïî ôèçèêå 54 XIII Â...

Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you