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Actividad: Operatoria de números complejos Nombre:_________________________________________

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Palabras claves: Vector, plano complejo, número complejo, módulo, conjugado, opuesto, adición y substracción de complejos, multiplicación de complejos, representación binomial.

Recurso: Arithmetic Operations with Complex Numbers

Preguntas previas: Vectores y números complejos Utilizando un plano cartesiano es posible representar vectores con una determinada orientación, sentido y magnitud, lo cual está determinado por sus coordenadas. ¿De qué manera es posible sumar dos vectores? ¿Cómo se representa esto en el plano?

1.  Ubica los vectores u  2,3  y v  4, 1 en el plano cartesiano, de tal forma que ambos queden unidos por su origen.

2. ¿De qué manera se pueden sumar los dos vectores? ¿Cómo se puede representar en el plano cartesiano el resultado?

3.  Realiza la suma de u  2,3  y v  4, 1 , y luego la resta entre ellos. Encuentra el resultado en ambos casos y represéntalos en el plano cartesiano. Anota tus cálculos.

4.  Imagina ahora que tienes dos números complejos representados en el plano. ¿Podrías utilizar el procedimiento con vectores para sumar y restar los dos números complejos? ¿Cómo? Justifica tu respuesta.

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©MatemáticaAbreMundos2011 Explorando operaciones de complejos con el computador A continuación, mediante un recurso digital, podrás operar números complejos representados tanto en el plano complejo como algebraicamente en su expresión binomial (a + bi).

1.  Ingresa al recurso digital, selecciona la opción “Addition” (adición) y cambia de posición el vector de color rojo y el vector de color azul.

¿Qué sucede con los tres números complejos que aparecen en la parte inferior del recurso, en la forma binomial?

Superpone

Superpone el vector de color rojo en el eje imaginario y el vector de color azul sobre el eje real. ¿Cuáles son las coordenadas de ambos vectores? Explica por qué ocurre esa situación.

ahora el vector de color rojo sobre el eje imaginario positivo y el vector azul sobre el eje imaginario negativo (considera ambos vectores con igual longitud o módulo) ¿Cuáles son las coordenadas de ambos vectores? ¿Qué sucede con el resultado de la operación?

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©MatemáticaAbreMundos2011 2.  Mueve el vector de color azul y ubícalo en el plano complejo, donde desees.  ¿Existe algún vector rojo, de tal forma que la suma de ambos resulte ser cero? ¿Cuál es ese vector? Repite el procedimiento tres veces y registra tus observaciones en la siguiente tabla: Vector Rojo

Resultado de la adición

¿Qué relación tienen los vectores?

Sin mover de posición los vectores, selecciona la opción “Substraction” (sustracción). ¿Existe un vector rojo de tal forma que la resta entre ambos resulte cero? Registra tus observaciones y tres ejemplos en la siguiente tabla:

Vector Rojo

Vector Azul

Vector Azul

Resultado de la sustracción

¿Qué relación tienen los vectores?

Ubica en el plano un número complejo cualquiera utilizando el vector azul. Selecciona la opción “Multiplication” (multiplicación). ¿Existe un vector rojo de tal forma que su resultado sea cero? Repite el procedimiento tres veces con vectores diferentes y registra tus resultados en la siguiente tabla.

Vector Rojo

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Vector Azul

Resultado de la multiplicación

¿Qué relación tienen los vectores?

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©MatemáticaAbreMundos2011 Sumando y restando números complejos A continuación, mediante el recurso digital, podrás observar la adición y sustracción de números complejos y su representación en el plano complejo. Para ello selecciona la opción “Addition” que corresponde a la operación suma.

1.  Usa el recurso digital para representar los números z1 = 1 + 3i y z2 = -2 + i. Para ello mueve los extremos de cada vector de color, hasta llegar a los números pedidos.

En la parte inferior del plano en el recurso aparece la operación suma con su resultado. ¿Qué relación puedes establecer entre cada término de los números complejos con el resultado que ahí aparece?

Realiza

la suma algebraica de los números complejos seleccionados. ¿Qué ocurre con el resultado? Compara con lo que se muestra en el recurso.

2.  Representa en el plano complejo el número z1 = -2 + 2i utilizando el vector de color azul, luego ubica su conjugado con el vector de color rojo.

 ¿Qué ocurre con la suma entre ambos?

¿Ocurre siempre lo mismo si se suman un número complejo y su conjugado? Argumenta.

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Si realizas el mismo procedimiento con la resta utilizando la opción “Substraction” (sutracción), ¿existe un número complejo, tal que al restarle su conjugado el resultado sea cero? Argumenta.

Multiplicación de números complejos y propiedades Abre el recurso, selecciona la opción “Multiplication” y ubica en el plano complejo el número z1 = 1 + 3i utilizando el vector azul y el número z2 = -2 + i utilizando el vector rojo.

1. Expresa los números z1 y z2 como un producto. ¿Existe alguna propiedad de los números reales que puedas aplicar con estos números para obtener el resultado algebraicamente? ¿Cuál?

2. Aplica dicha propiedad y resuelve la multiplicación. Explica con tus palabras qué ocurre con la parte imaginaria del número complejo al multiplicar la unidad imaginaria por sí misma.

3. Observa en el recurso el punto de color negro. ¿Cuáles son sus coordenadas? ¿Tienen alguna relación con el resultado de la multiplicación que obtuviste?

4.  Explica geométricamente qué sucede con el vector resultado de la multiplicación a diferencia de la suma. ¿Podrías explicar el método que hay detrás?

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©MatemáticaAbreMundos2011 5. ¿Qué sucede cuando se multiplica un número complejo por la unidad imaginaria? ¿Y por el neutro multiplicativo? Explica

6. ¿Qué ocurre con la multiplicación entre un complejo y su conjugado? Explica.

Síntesis Las actividades que realizaste en esta guía tuvieron como propósito que usaras el computador para representar gráficamente distintas operaciones con números complejos. Ahora responde lo siguiente.

1. ¿Es posible utilizar el método de suma y resta de vectores en el contexto de los números complejos? Justifica.

2. ¿De qué manera se multiplican números complejos? ¿Cómo esto se puede representar en el plano?

3. ¿Cuál es el resultado de multiplicar dos números complejos, cuya parte real es nula? Explica.

4. ¿Qué propiedades de la suma y multiplicación para números reales puedes verificar para el caso de los números complejos? Comparte con tus compañeros tus procedimientos y den ejemplos de algunos de ellos si es necesario.

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Operatoria con complejos  

Actividad del estudiante

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