OΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΑ ΚΑΛΛΙΘΕΑ 2013 issue

ΑΝΑΛΥΣΗ τόµος γ΄

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

Ανάλυση Τόμος Γ΄ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ & ΓΕΝΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Σελ.

6 Ολοκληρώματα 6.1 Αρχική συνάρτηση

1

6.2 Ορισμένο ολοκλήρωμα

15

6.3 Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού

30

6.4 Τεχνικές ολοκλήρωσης

58

6.5 Εμβαδόν επίπεδου χωρίου

105

7 Επανάληψη 7.1 Συναρτήσεις – Όρια – Συνέχεια - Ασύμπτωτες

123

7.2 Παράγωγοι

132

7.3 Ολοκληρώματα

139

Απαντήσεις – Υποδείξεις

155

6.1

Αρχική συνάρτηση

Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Ονομάζουμε αρχική συνάρτηση ή παράγουσα ή αντιπαράγωγο της f στο Δ, κάθε συνάρτηση F η οποία είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει: F(x)  f (x) , για κάθε x  Δ . π. χ Η συνάρτηση F(x)  x 2 είναι μια αρχική συνάρτηση της f(x) = 2x στο , γιατί (x 2 )  2x για κάθε x  .  Η συνάρτηση F(x) = ημx είναι μια αρχική συνάρτηση της f(x) = συνx στο , γιατί (ημx)  συνx για κάθε x  .

1 στο (0,  ) , γιατί  Η συνάρτηση F(x) = x είναι μια αρχική συνάρτηση της f(x) = 2 x 1 για κάθε x  (0,  ) . ( x )  2 x

Σχόλια α) Κάθε συνάρτηση f δεν έχει απαραίτητα αρχική συνάρτηση. 0, x  0 π. χ η συνάρτηση f (x)   η οποία ορίζεται στο 1, x  0 συνάρτηση που αν τη παραγωγίσουμε να μας δίνει την f.

δεν έχει αρχική. Δηλαδή δεν υπάρχει

β) Αποδεικνύεται ότι: Κάθε συνάρτηση συνεχής σε διάστημα Δ έχει αρχική συνάρτηση στο διάστημα αυτό. (Το αντίστροφο δεν ισχύει. Υπάρχουν δηλαδή συναρτήσεις που έχουν αρχική συνάρτηση, χωρίς να είναι συνεχείς)

γ) Μια συνάρτηση μπορεί να έχει αρχική. Αυτό δεν σημαίνει όμως, ότι μπορούμε να τη βρούμε. Δηλαδή

υπάρχουν συναρτήσεις των οποίων δεν είμαστε σε θέση να βρούμε μια αρχική της, παρόλο που x 2 e x x 1 ξέρουμε ότι υπάρχει. Τέτοιες είναι οι: e x , , , , , x2 , x 2 . x x x ln x

δ) Άμεση συνέπεια των κανόνων παραγώγισης είναι το εξής: Αν η συνάρτηση F είναι μια αρχική της f και η G είναι μια αρχική της g στο διάστημα Δ και α, β πραγματικοί αριθμοί, με α, β  0 , τότε η αF είναι μια αρχική της αf , η F + G είναι μια αρχική της f + g και η αF  βG μια αρχική της αf  βg στο Δ. π. χ Η συνάρτηση F(x) = 2συνx είναι μια αρχική της f(x) = –2ημx στο , γιατί (2συνx)  2ημx για κάθε x  .  Η ημx  x 2 είναι μια αρχική της συνx + 2x στο , γιατί (ημx  x 2 )  συνx  2x για κάθε x  .  Η x 3  x 2 είναι μια αρχική της 3x 2  2x στο , γιατί (x3  x 2 )  3x 2  2x για κάθε x  .  Η συνάρτηση 4ημx  3x 2 είναι μια αρχική της 4συνx  6x στο

.

ε) Αν η συνάρτηση F είναι μια αρχική της f σ’ ένα διάστημα Δ και α  0 , τότε η συνάρτηση 1 F(x   ) είναι μια αρχική της f (x  ) στο Δ. 

1 1 Πράγματι, [ F(x  )]   F(x  )  (x  )  f (x  ) για κάθε x  .  

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

7

 Εξετάζουμε πότε η F είναι συνεχής στο

.

Για x < 1 και για x > 1 είναι συνεχής. Έχουμε lim f (x)  lim(3x  c1 )  3  c1 και lim f (x)  lim(3x  c2 )  3  c2 . x 1

x 1

x 1

x 1

Πρέπει να είναι c  3  c1  3  c2 ή c1  c2  c  3 και η F γράφεται 3x  c  3, x  [0,1)  , c .

F(x)   c, x 1 3x  c  3, x  (1, 2]   Εξετάζουμε αν ισχύει F(x)  f (x) για κάθε x 

.

Για x < 1 και για x > 1 ισχύει F(x)  3  f (x) .

F(x)  F(1) 3x  c  3  c F(x)  F(1) Έχουμε ότι lim  lim  3 και lim  3 , οπότε F(1)  3 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Παρατηρούμε ότι F(1)  f (1) . Άρα F(x)  f (x) και επομένως η f δεν έχει αρχική συνάρτηση στο [0, 2].

6.1.1

Λυμένες ασκήσεις

1. Να υπολογίσετε τις αρχικές των παρακάτω συναρτήσεων:

x4 x 3  27 3 , β) f (x)  , γ) f (x)  x x , δ) f (x)  , x 1 x 3 (2x  3) 4 2xx στ) f (x)  , ζ) f (x)  x  ln(x) .

2  2 x

α) f (x) 

ε) f (x)  ex (1  e x )4 ,

Λύση α) Ο τύπος της συνάρτησης γράφεται f (x) 

(x  3)(x 2  3x  9)  x 2  3x  9 , οπότε όλες οι αρχικές x 3

x 3 3x 2   9x  c , c , 3 2 x 1 3 3 β) f (x)  και F(x)  x  3ln x  1  c , c ,  1 x 1 x 1 x 1 3 5 2 γ) f (x)  x 2 και F(x)  x 2  c , c , 5 3 3 (2x  3)3 1 δ) f (x)  3(2x  3)4  (2x  3)4 (2x  3) , οπότε F(x)   c  c , c 2 2 3 2(2x  3)3 1 ε) f (x)  (1  ex )(1  ex )4 και F(x)   (1  e x )5  c , c .

5 2 (2  ημ x) στ) f (x)  και F(x)  ln(2  ημ 2 x)  c , c .

2 2  ημ x ημx (συνx) ln(συνx)   ln(συνx)  (ln(συνx)) ln(συνx) , οπότε ζ) f (x)  συνx συνx (ln(συνx))2 F(x)    c , c .

2

είναι της μορφής F(x) 



2.

ημx, x  0 Να βρεθούν, εφόσον υπάρχουν, οι αρχικές της συνάρτησης f (x)   .  2x, x  0

Λύση

.

12

ΑΡΧΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

β) Είναι g(x) = c, οπότε η (2) για x = y = 1 δίνει F(1)  F(1)  c  f (1)  1 ή c = 1 – f(1). Η (1) για x = y = 1 δίνει f(1) = 1, οπότε c = 0 και g(x) = 0. Άρα από τη (2) έχουμε F(xy)  yF(x)  yx(f (y)  1) , που για x = 1 δίνει F(y) – yF(1) = yf(y) – y ή F(y) = yf(y) – y ή F(x) = xf(x) – x , x > 0. (3) xF(x)  F(x) 1 Επειδή F(x)  f (x) για κάθε x > 0, η (3) γράφεται: xF(x)  F(x)  x ή ή  x2 x F(x)  F(x)   ln x  c1 . Η τελευταία για x = 1 δίνει c1 = 0. Άρα F(x) = xlnx.    (ln x) ή x x   ln x Έχουμε lim F(x)  lim x ln x  lim  0 . Επομένως κ = 0.

1 x 0 x 0 x 0 x γ) Είναι F(x)  ln x  1 . Άρα f(x) = lnx + 1. Είναι γνωστό ότι ln x  x  1 για κάθε x > 0, οπότε και ln(x  2)  x  2  1 ή ln(x  2)  1  x  2 ή f (x  2)  2  x για κάθε x  2 .

6.1.2

Ασκήσεις

1. Να σημειώσετε το σωστό ή λάθος στα παρακάτω:

α) Η συνάρτηση F(x)  x ln x  x είναι μια παράγουσα της συνάρτησης f (x)  ln x . β) Κάθε συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα Δ έχει μόνο μια παράγουσα στο Δ. γ) Αν F1 , F2 είναι δύο παράγουσες μιας συνάρτησης f, τότε αυτές διαφέρουν κατά μία σταθερά c. δ) Αν η F είναι μια αρχική της f , τότε η F 2 είναι μια αρχική της f 2 . ε) Οι γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων F(x)  ex  c έχουν σε κάθε σημείο τους με τετμημένη x 0 εφαπτόμενες παράλληλες. στ) Αν F, G είναι αρχικές των f, g, τότε η F  G είναι αρχική της f  g . ζ) όλες οι παράγουσες της f  είναι της μορφής f  + c, όπου c πραγματικός αριθμός .

2. Να βρείτε τους τύπους των αρχικών των παρακάτω συναρτήσεων: x3 2 1 1 1 α) 5 , β) 5 x 2 , γ) , δ)  e x  2 , ε)  2  2x , στ) συνx  xημx , ζ) xex (2  x) , x x 2 x x ημ x

η)

e x (ημx  συνx) , ημ 2 x

θ)

1  ln x , x2

ι)

2x 4  3x 2  5 . x2

3. Να βρείτε τους τύπους των αρχικών των παρακάτω συναρτήσεων: β) (2x  3)ex

α) συν(2x  1) , στ)

4.

x 1 2

, ζ)

2

3x

,

γ) ημx  eσυνx ,

1 2 , η) 2 , 2x  3 x  2x  1

δ) 5(2x  3)(x 2  3x  5)4 , 1 x

θ) εφx , ι) (2x  )e x

x  2x  6 Να βρεθούν, εφόσον υπάρχουν, οι αρχικές των συναρτήσεων:

α) f (x)  4 x  2 ,

β) f (x)  x  1  2 ,

2

 ln x

ε)

1 , 1  e x

, c .

  x 4 , x  (,  1)  (1, ) . x [1,1]   1,

γ) f (x)  

5.

Να βρείτε τη συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού το διάστημα (0,  ) , για την οποία ισχύει 1 f (x)  1  και f (4)  5 . x 6. Να βρείτε τη συνάρτηση f, για την οποία ισχύει f (x)  12x 2  6x και η γραφική της παράσταση στο σημείο A(1,3) έχει κλίση - 1.

7. Αν για τη συνάρτηση

f:



ισχύει f (x)  f (x)  (1  x)e x , c

και f(0) = 1, να βρεθεί η f.

6.2 6.2.1

Ορισμένο ολοκλήρωμα Εμβαδόν επιπέδου χωρίου

 Μέχρι τώρα έχουμε μάθει να υπολογίζουμε το εμβαδόν γνωστών επιπέδων σχημάτων, όπως είναι το ορθογώνιο, το τρίγωνο, το κανονικό πολύγωνο, ο κύκλος, αλλά και το εμβαδόν κάθε επίπεδου σχήματος που μπορεί να χωριστεί σε τρίγωνα, χωρίς όμως, αν το καλοσκεφθούμε, να κατορθώσουμε να δώσουμε ένα γενικά αποδεκτό ορισμό του εμβαδού. Στα παρακάτω θα προσπαθήσουμε να ορίσουμε το εμβαδόν των επιφανειών εκείνων, όπως η σκιασμένη επιφάνεια του διπλανού σχήματος, οι οποίες ορίζονται από τον άξονα των x, τις ευθείες x  α και x  β και τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f με f (x)  0 . Σε αυτού του είδους τις επιφάνειες μπορούμε να συμπεριλάβουμε πολλά από τα μέχρι τώρα γνωστά μας επίπεδα σχήματα , όπως το τρίγωνο, το ορθογώνιο ….

Εμβαδόν παραβολικού χωρίου  Έστω ότι θέλουμε να υπολογίσουμε το εμβαδόν (Ε) του

επιπέδου χωρίου Ω (διπλανό σχήμα) που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)  x 2 , τον άξονα x΄x και τις ευθείες x  0 και x  1 (παραβολικό χωρίο). Ένας τρόπος να προσεγγίσουμε το ζητούμενο εμβαδόν είναι μια γενική μέθοδος, η οποία στηρίζεται στη λεγόμενη μέθοδο της εξάντλησης που αποδίδεται στον Εύδοξο (408 – 355 π. Χ) και χρησιμοποιήθηκε από τον Αρχιμήδη (287 – 212 π. Χ) για τον υπολογισμό του εμβαδού του κυκλικού δίσκου και του εμβαδού ενός παραβολικού χωρίου.

ν(ν  1)(2ν  1) 6 που μας χρειάζεται παρακάτω. Καλό είναι, σ’ αυτό το σημείο, να αποστηθίσουμε και τους τύπους: ν(ν  1) ν 2 (ν  1)2 S1  1  2  ...  ν  και S 3  13  23  ...  ν 3  S12  .

2 4

─ Πριν ξεκινήσουμε θα πρέπει να αποστηθίσουμε τον τύπο S2  12  22  ...  ν 2 

─ Χωρίζουμε το διάστημα [0,1] σε ν ισομήκη υποδιαστήματα, μήκους x 

1 , με άκρα τα σημεία: ν

20

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

6.2.3

Ιδιότητες του ορισμένου ολοκληρώματος

 Με τη βοήθεια του ορισμού του ορισμένου ολοκληρώματος αποδεικνύονται οι παρακάτω ιδιότητες.

(Η απόδειξη παραλείπεται)

1. Έστω f, g συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [α, β] και λ,μ  . Τότε ισχύουν: β

β

α)

α λf (x)dx  λ α f (x)dx

β)

α [f (x)  g(x)]dx  α f (x)dx  α g(x)dx

γ)

α [λf (x)  μg(x)]dx  λ α f (x)dx  μα g(x)dx .

β

β

β

β

β

και γενικά

β

Δίνουμε μερικά παραδείγματα.

i) Αν 0 < α < β, τότε

1

β

β

β

β

α ln x dx  α (ln1  ln x)dx  α (1)  ln xdx  α ln xdx . 

2 3 3 2x  7 7 3 3 dx  dx  [ 1 x 2  2 1 x 2  2 1 x 2  2  x 2  2 ]dx  2 2 3 2x  7  3 3 2(x  2) 3 dx  1 x 2  2 1 x 2  2 dx  1 2dx  2(3  1)  4 .

3 2x

ii)

2



iii) iv)

β

α (3x

2

β

β

β

α

α

 5x  7)dx  3 x 2dx  5 xdx   7dx . α

2

2

2

2

2

2 (2y  3x)dx  2 2ydx  2 3xdx  2y[2  (2)]  32 xdx  8y  32 xdx .

2. Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής σε διάστημα Δ και α,β, γ   , όχι κατ’ ανάγκη κατά σειρά β

γ

β

α f (x)dx  α f (x)dx  γ f (x)dx .

μεγέθους, τότε ισχύει: Δίνουμε δύο παραδείγματα.

  2x, x  0 είναι συνεχής στο διάστημα [- 1, 3], οπότε είναι 2  3x , x  0

i) Η συνάρτηση f (x)   3

0

3

0

3

2

0

3 2

1f (x)dx  1f (x)dx  0 f (x)dx  1 2xdx  0 3x dx  21 xdx  30 x dx . 

ii) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής στο 7

1

4 f (x)dx  4

,

1

7

f (x)dx  4 και

7

4

1

1

1

7

4

1f (x)dx  5 , τότε

f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx   f (x)dx  5  4  1 .

3. Έστω η συνάρτηση f συνεχής σε ένα διάστημα [α, β]. Αν f (x)  0 για κάθε x  [α,β] και η συνάρτηση f δεν είναι παντού μηδέν στο διάστημα αυτό, τότε ισχύει:

.

β

α f (x)dx  0 .

Δίνουμε δύο παραδείγματα π π 2 2

i) Για τη συνεχή συνάρτηση f(x) = συνx έχουμε f (x)  0 , για κάθε x [ , ] και δεν είναι παντού

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

21 π 2 συνxdx π  2



μηδέν στο διάστημα αυτό, π.χ f(0) = 1, οπότε

0.



ii) Να αποδείξετε ότι , αν  



, τότε

 2 0



1xdx   2  xdx .



0

Λύση  Για κάθε x  [0, ] ισχύει x  0 , οπότε  x  0 .

2  Ακόμη, για κάθε x  [0, ] ισχύει x  1 ή 1  x  0 και  x(1  x)  0 .

2 Παρατηρούμε ότι η παράσταση  x(1  x)  0 δεν είναι παντού μηδέν. 

Π. χ για x  Επομένως

  1 1  έχουμε  (1   )      0 .

6 6 2 2 6

 2  x(1  x)dx 0



0 ή

 2  xdx 0



 2 1xdx 0



 0 . Άρα

 2  xdx 0



 2 1xdx 0



.

Σχόλια α) Προφανώς, αν α < β και f (x)  0 για κάθε x  [α,β] , τότε έχουμε – f(x) > 0, οπότε

β

α [f (x)]dx  0

β

ή   f (x)dx  0 ή τέλος α

β

α f (x)dx  0 , γιατί από f(x) < 0 β

α f (x)dx  0 . β

β) ΠΡΟΣΟΧΗ!!! Το αντίστροφο της ιδιότητας δεν ισχύει. Δηλαδή, αν α < β και  f (x)dx  0 , α

τότε δεν είναι κατ’ ανάγκη f (x)  0 , για κάθε x  [α,β] . Σίγουρα, όμως, αποκλείεται να είναι f (x)  0 για κάθε x του [α, β], γιατί τότε θα είναι και β

α f (x)dx  0 . Δηλαδή καταλήγουμε σε άτοπο. γ) Απόρροια των προηγούμενων είναι και το εξής: Αν για μια συνεχή συνάρτηση ισχύει

β

α f (x)dx  0 ,

με α < β, τότε υπάρχει ένα τουλάχιστον

x0  [α,β] τέτοιο, ώστε f (x0 )  0 .

6.2.4

Βασικές προτάσεις

Θα αποδείξουμε παρακάτω μερικές προτάσεις, οι οποίες είναι δυνατόν να δοθούν ως ασκήσεις, αλλά και να χρησιμοποιηθούν στη λύση άλλων ασκήσεων, αφού πρώτα αποδειχθούν.

α) Αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς σ’ ένα διάστημα Δ και f (x)  g(x) για κάθε x  , τότε ισχύει

β

β

α f (x)dx  α g(x)dx , με την προϋπόθεση τα α, β να είναι στοιχεία του Δ και α < β .

Απόδειξη Θεωρούμε τη συνάρτηση h με h(x) = g(x) – f(x) για κάθε x [α, β] . Λόγω των δεδομένων, η h είναι συνεχής στο [α, β] και ισχύει h(x)  0 για κάθε x [α, β] . Επομένως β

α h(x)dx  0

ή

β

α [g(x)  f (x)]dx  0

ή

β

β

α g(x)dx  α f (x)dx  0

Π. χ Γνωρίζουμε ότι ισχύει ex  x  1 , για κάθε x 

. Άρα

ή

β x

β

β

α f (x)dx  α g(x)dx . β

α e dx  α (x  1)dx , για κάθε α < β.

ΟΡΙΣΜΕΝΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

27

Από την (1), χωρίς βλάβη της γενικότητας, ας δεχθούμε ότι α 1

α

Από

α 1

α

f (x)dx  0 και

α2

α1 f (x)dx  0 .

f (x)dx  0 συμπεραίνουμε ότι υπάρχει κ [α,α 1] ώστε f (κ)  0 , ειδάλλως, αν για κάθε

x [α,α 1] είναι f (x)  0 , τότε

α 1

α

f (x)dx  0 άτοπο.

Ομοίως υπάρχει λ [α  1, α  2] , ώστε f (λ)  0 . Συνεπώς στο [κ,λ]  [α,α  2] ισχύει το θ. Bolzano. Άρα η f (x)  0 έχει μια τουλάχιστον ρίζα στο (α,α  2) . 

5.







Για τη συνεχή συνάρτηση

f :[, ] 

f ()  32 . Να αποδείξετε ότι, αν

ισχύει

f (x)dx  3  3 , τότε η εξίσωση f (x)  3x 2  0 έχει τουλάχιστον μία λύση στο (α, β).

Λύση Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)  f (x)  3x 2 , η οποία είναι συνεχής στο [α, β]. Παρατηρούμε ότι g(β)  f (β)  3β2  0 . Από







f (x)dx  3  3 έχουμε 3







f (x)dx  3

3

3  3 .Αλλά, από εφαρμογή (1, β), ισχύει 3

     , οπότε  f (x)dx  3 x 2dx ή  [f (x)  3x 2 ]dx  0 . Αυτό σημαίνει ότι, υπάρχει ένα    3 τουλάχιστον γ στο [α, β) τέτοιο, ώστε να ισχύει f (γ)  3γ 2  0 ή g(γ) > 0. Επομένως στο διάστημα [γ, β]  [α, β] η g ικανοποιεί τις προϋποθέσεις του θεωρήματος Bolzano. Άρα η εξίσωση g(x) = 0 έχει μια τουλάχιστον λύση.

 2

 x dx 



6.

Έστω η συνάρτηση f, δυο φορές παραγωγίσιμη στο , με f (x)  0 , για κάθε x  ,  και    . Να αποδειχθεί ότι: i) f (x)  f ()  f ()(x  ) , για κάθε x [, ] .

. Έστω



ii) 2 f (x)dx  f ()(  )2  2f ()(  ) . Λύση i) Παρατηρούμε πως για την f ισχύει το Θεώρημα μέσης τιμής στο διάστημα [α, x], με x < β, οπότε

f (x)  f (α) . x α Επειδή f (x)  0 έπεται ότι η f  είναι γνησίως αύξουσα στο , άρα και στο [α, β]. f (x)  f (α)  f (β) ή Από α  ξ  x  β έχουμε: f (ξ)  f (β) ή x α f (x)  f (α)  f (β)(x  α) , για κάθε x [α,β] . Η ισότητα ισχύει για x = α. Άρα f (x)  f (α)  f (β)(x  α) . (1) Άλλος τρόπος: Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x)  f (x)  f (α)  f (β)(x  α) . Είναι g(x)  f (x)  f (β)  0 ……

υπάρχει ξ  (α, x) με f (ξ) 

ii) Από την (1) έχουμε β

β

β

β

α [f (x)  f (α)]dx  α f (β)(x  α)dx ή β

β

α f (x)dx  α f (α)dx  f (β)α xdx  f (β)α αdx



β

α

f (x)dx  f (α)(β  α)  f (β)

ή

β2  α2  αf (β)(β  α) , (εφαρμογή 1,α) ή 2

β

2 f (x)dx  2f (α)(β  α)  f (β)(β  α)(β  α)  2αf (β)(β  α) ή α

β

β

α

α

2 f (x)dx  2f (α)(β  α)  f (β)(β  α)(β  α  2α) ή τέλος 2 f (x)dx  2f (α)(β  α)  f (β)(β  α) 2 . 

6.3 6.3.1

Θεμελιώδες θεώρημα του ολοκληρωτικού λογισμού x

Η συνάρτηση F(x)   f (t)dt α

 Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα διάστημα Δ, τότε σίγουρα η f έχει παράγουσα και μάλιστα x

μια παράγουσά της είναι η συνάρτηση F(x)   f (t)dt . α

Το παρακάτω θεώρημα, που αναφέρουμε χωρίς απόδειξη, εξασφαλίζει την ύπαρξη μιας παράγουσας της f σε ένα διάστημα Δ. Αν μια συνάρτηση f είναι συνεχής σ’ ένα διάστημα Δ και α είναι ένα σημείο του Δ, τότε η x

συνάρτηση F(x)   f (t)dt , x  είναι μια παράγουσα της f στο Δ. α

 x f (t)dt   f (x) , για κάθε x  .  α   

Δηλαδή ισχύει:

x

Π. χ i) Η συνάρτηση F(x)   t 3συν 2 tdt είναι μια παράγουσα της συνάρτησης f (x)  x 3συν 2 x στο 0

. Δηλαδή

  t συν tdt   x συν x . x 3 0

2

3

ii) Η συνάρτηση G(x)  

x

1

2

ln t ln x στο (0,   ), οπότε dt είναι μια παράγουσα της g(x)  t x

 x ln t  ln x dt   .  1 t x   x

1. Πεδίο ορισμού της συνάρτησης F(x)  α f (t)dt . Για να βρούμε το πεδίο ορισμού της F, απαιτούμε από τα α και x να ανήκουν στο ίδιο διάστημα του πεδίου ορισμού της f , οπότε ως πεδίο ορισμού της F παίρνουμε το υποσύνολο του πεδίου ορισμού της f , που είναι ένα διάστημα στο οποίο ανήκουν τα α και x. Δίνουμε δύο παραδείγματα. x

i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x)  

4

t 2  4dt .

Λύση Η συνάρτηση f (t)  t 2  4 έχει πεδίο ορισμού το A  (,  2]  [2, ) , στο οποίο είναι συνεχής. Επειδή τα –4, x πρέπει να ανήκουν στο ίδιο διάστημα του πεδίου ορισμού της f, θα είναι Ag  (, 2] . 

ii) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης g(x)  

x 2 3

x 4

Λύση

ln(t 2  1)dt .

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

κάθε x 

*

. (1) α) Να βρείτε την f.

37

β) Να εξετάσετε, αν η f παραγωγίζεται στο

.

Λύση α) Παραγωγίζουμε την (1) και έχουμε: xf (x)  e2x  x  1 . Για x  0 είναι f (x) 

e2x  x  1 . Επειδή η f είναι συνεχής στο x

, ισχύει lim f (x)  f (0) . x 0

 e2x  x  1 e2x  x  1 2e2x  1 , x0  Είναι όμως, lim f (x)  lim .  lim  3  f (0) . Άρα f (x)   x x 0 x 0 x 0 x 1  3, x0  (2e2x  1)x  (e2x  x  1) (2x  1)e2x  1 β) Για x  0 είναι f (x)  .  x2 x2 e2x  x  1 3 f (x)  f (0) e 2x  2x  1 2e2x  2 4e2x x Ακόμη lim  lim  lim  lim  lim  2. x 0 x 0 x 0 x 0 x 0 2 x x 2x x2  (2x  1)e 2x  1 , x0  . Άρα f (x)   x2  2, x0  

9. Θεωρούμε τους αριθμούς

με 0     , τη συνεχή συνάρτηση f : (0, )  , για την οποία  1 x ισχύει  f (t)dt  0 και τη g(x)  2   f (t)dt , x  0 . Να αποδείξετε ότι, υπάρχει ένα τουλάχιστον  x  x 0  (, ) , ώστε: α) η εφαπτομένη της Cg στο (x 0 ,g(x 0 )) να είναι παράλληλη στον x΄x. β) g(x 0 )  2  f (x 0 ) . , 

Λύση α) Η g είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο [α,β] . Είναι g(α)  2 και g(β)  2 . Σύμφωνα με το θ. Rolle υπάρχει x 0  (α,β) , ώστε g(x 0 )  0 . Άρα η εφαπτομένη στο (x 0 ,g(x 0 )) είναι παράλληλη στον x΄x.

1 x0 1 1 x 1 β) Είναι g(x)   2  f (t)dt  f (x) και επειδή g(x 0 )  0 είναι 0   2  f (t)dt  f (x 0 ) α α x0 x x0 x 1 1 x0 1 1 1 0     f (t)dt  f (x 0 ) ή 0   (g(x 0 )  2)  f (x 0 ) ή g(x 0 )  2  f (x 0 ) . x0 x0 α x0 x0 x0  π 2 ημ(2x 0

10. Να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i)  iii)



2

1

2x  5 dx , (x 2  5x)3

ln 

iv) ln  e x e x dx , 2

Λύση

π ii)  )dx , 3 x 1 e v) 0 x dx , e 1

1

 (x

2

0

vi)

 x  5)3 (2x  1)dx , π 3(1  2ημ

0

2

x) dx . ημx  συνx

π

π 2 π π π  συν(2   ) συν(2  0  ) π  συν(2x  3 )  π 2 3  3  συν π  1 . i)  2 ημ(2x  )dx      0 2 3 2 2 2 3    0

─∙─ ii)

1

0

(x 2  x  5)3 (2x  1)dx 

1

54 54 1 2 2 3 2 4  (x  x  5) (x  x  5) dx  (x  x  5)    0. 0 4   0 4 4 1

─∙─

ή

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

45

x2  4x  c 2 , c2  .

2 Επειδή η F είναι παράγουσα της f θα είναι παραγωγίσιμη στο , με F(x)  f (x) για κάθε x  και συνεχής στο , επομένως και στο x = 2. x2 Είναι F(2)  2  8  c2  6  c2 , lim F(x)  lim(  4x  c2 )  6  c2 και x 2 2 x 2 

Αν x  2 , τότε F(x) 

lim F(x)  lim(

x 2 

x 2

, άρα

x2  c1 )  2  c1 .

2

 x2  c1 , x2    2 Πρέπει, λοιπόν, 6  c2  2  c1  c2  4  c1 , οπότε F(x)   .

2  x  4x  4  c , x  2 1  2

F(x)  F(2)  lim x2 x 2  x 2 

Είναι lim



x2  c1  c1  2 x 2  4 2  lim -2. x2 x 2  2(x  2)

x2  4x  4  c1  c1  2 F(x)  F(2) x 2  8x  12 (x  6)(x  2) lim  lim 2  lim  lim      x2 x2 2(x  2) 2(x  2) x 2 x 2 x 2 x 2 x 6  2 . Άρα F(2)  2  f (2) . lim  2 x 2 Ακόμη, για x < 2 έχουμε F(x)  x  f (x) , ενώ για x  2 έχουμε F(x)  x  4  f (x) . Άρα F(x)  f (x) , για κάθε x  . Επομένως η F είναι μια παράγουσα της f.

3 9 1 β) Από το (α) έχουμε  f (x)dx  F(3)  F(1)   12  4  c1   c1  3 .

1 2 2

Β΄ τρόπος: 

2

1

3

2

3

1 f (x)dx  1 f (x)dx  2 f (x)dx  2

3

 x2   x2  1 9 xdx   (x  4)dx        4x   (2  )  (  12  2  8)  3 .

2 2 2  2 1  2 2 3



7. Δίνεται η συνάρτηση

f : [0,  )  [0,  ) , παραγωγίσιμη στο [0,  ) με f(0) = 0 , για την οποία

x

ισχύει f (x)   f (t)dt  24x 2  f 2 (x) , για κάθε x  0 . Να προσδιορίσετε την f .

0

Λύση





 x x x  Έχουμε f (x)  f (t)dt  f 2 (x)  24x 2 , οπότε f (x)  f (t)dt  8x 3 και f (x)  f (t)dt  8x 3  c .

0

0

 

0

x

Για x  0 είναι c  0 , οπότε f (x)  f (t)dt  8x 3 . (1) 0

x

Θέτουμε g(x)   f (t)dt , οπότε η (1) γράφεται g(x)g(x)  8x 3  (g 2 (x))  (4x 4 )  0

g 2 (x)  4x 4  c1 , που για x  0 δίνει c1  0 και g 2 (x)  4x 4 . x

Επειδή f(x)  0 έχουμε g(x)   f (t)dt  0 για κάθε x  0 .

0

Συνεπώς g(x)  2x 2 για κάθε x  0 . Επομένως

x

0 f (t)dt  2x

2

και άρα f (x)  4x , x  0



8. Έστω η συνεχής συνάρτηση κάθε x 

. Να βρείτε το f(0).

f:



, η οποία ικανοποιεί τη σχέση

x

0 f (t)dt  x

2

 2ημ 2 3x , για

46

ΘΕΜΕΛΙΩΔΕΣ ΘΕΩΡΗΜΑ ΤΟΥ ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΥ ΛΟΓΙΣΜΟΥ

Λύση x

Θεωρούμε τη συνάρτηση F(x)   f (t)dt , x 

. Προφανώς F(0) = 0, F(x)  f (x) και F(0)  f (0) .

0

x

0 f (t)dt  x

Αρκεί να βρούμε το F(0) . Από

2

 2ημ 2 3x έχουμε

x

(x 2  2ημ 2 3x)   f (t)dt  x 2  2ημ 2 3x , για κάθε x  0

ή

(x 2  2ημ 2 3x)  F(x)  F(0)  x 2  2ημ 2 3x , για κάθε x 

. (1)

ημ 3x F(x)  F(0) ημ 2 3x . ) x2 x x 0 x ημ 2 3x ημ 2 3x ημ 2 3x )  0  lim (x  2 ) Είναι όμως, lim  0 , οπότε lim (x  2 x 0 x x x x 0  x 0  F(x)  F(0)  0 . (2) και lim Ομοίως, για x < 0 από την (1) έχουμε x x 0 

Για x > 0 από την (1) έχουμε (x  2

2

F(x)  F(0) ημ 2 3x F(x)  F(0) ημ 2 3x  0 . (3) , οπότε lim x2 ) x x x 0 x x 0  F(x)  F(0) Από τις (2) και (3) συμπεραίνουμε ότι lim  0. x 0 x Άρα F(0)  0 και επομένως f(0) = 0. (x  2



9. Έστω οι συνεχείς στο x

2 x

1 f (t)dt  1

συναρτήσεις f, g, με

2

1

1 f (x)dx  0 g(x)dx και

g(t)dt  x 2  3x  2 για κάθε x 

. (1)

α) Να αποδείξετε ότι g(1) – f(1) = f(2) – g(0). β) Να αποδείξετε ότι υπάρχει x 0  (1,2) τέτοιο ώστε f (x 0 )  g(2  x 0 ) .

Λύση x

α) Θεωρούμε τη συνάρτηση h(x)   f (t)dt   1

2 x

1

g(t)dt  x 2  3x  2 .

Παρατηρούμε ότι h(x)  h(1) , οπότε το h(1) είναι τοπικό μέγιστο. Ομοίως h(x)  h(2) , οπότε το h(2) είναι τοπικό μέγιστο. Άρα h(1)  h(2)  0 . Έχουμε h(x)  f (x)  g(2  x)  2x  3 , f(1) - g(1) + 1 = 0 και f(2) – g(0) – 1 = 0. Προσθέτοντας τις δύο τελευταίες παίρνουμε g(1) – f(1) = f(2) – g(0). x

β) Θεωρούμε τη συνάρτηση φ(x)   f (t)dt   1

2 x

1

g(t)dt , η οποία είναι συνεχής και παραγωγίσιμη στο

[1, 2] με φ(x)  f (x)  g(2  x) και φ(1) = φ(2) = 0, οπότε ισχύει το Θ.Rolle για τη φ στο [1, 2]. Επομένως υπάρχει x 0  (1,2) τέτοιο, ώστε φ(x 0 )  f (x 0 )  g(2  x 0 )  0 ή f (x 0 )  g(2  x 0 ) . 

10. Δίνεται η συνάρτηση

f (x) 

1 2

x 4

2. x 1

α) Να μελετηθεί η f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να βρεθεί το lim x f (t)dt . x 

Λύση α) Έχουμε f (x)  

x 2

2

. Είναι f (x)  0 , για κάθε x > 0. Άρα η f είναι γνησίως φθίνουσα

(x  4) x  4 στο [0,  ) και γνησίως αύξουσα στο (, 0] , οπότε παρουσιάζει μέγιστο για x = 0, το f (0)  2,5 . x

β) Έστω F(x)   f (t)dt , α  (0,  ) . Τότε F(x)  f (x) και α

x 1

x

f (t)dt  F(x  1)  F(x) για κάθε

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

73 

ii) Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I  2 ex 2x3xdx .  Λύση 2ημ2xημ3x = συν(2x – 3x) – συν(2x + 3x) =

Έχουμε 

συνx – συν5x, οπότε το Ι γράφεται:



I   ex xdx   ex 5xdx . 



λ

λ

λ

λ

λ

Ι1   ex συνxdx  ex συνx    ex ημxdx  ex συνx  ex ημx    e x συνxdx κ κ κ κ κ λ λ 1 Ι1  ex συνx  ex ημx   Ι1 ή Ι1  (e x συνx  e x ημx)  . κ κ 2 λ 1 Ομοίως Ι2  e x συν5x  5e x ημ5x  , οπότε: κ 26 λ λ 1 1 x e συν5x  5e x ημ5x   ... . Ι = ex συνx  e x ημx   κ κ 2 26

6.4.5

ή

Βασικές προτάσεις

 Θα αποδείξουμε παρακάτω μερικές προτάσεις, οι οποίες είναι δυνατόν να δοθούν ως ασκήσεις, αλλά και να χρησιμοποιηθούν στη λύση άλλων ασκήσεων, αφού πρώτα αποδειχθούν. α) Έστω η συνάρτηση f είναι συνεχής στο διάστημα [ - α, α], α > 0. i) Αν η f είναι άρτια, τότε ισχύει

α

α

α f (x)dx  20 f (x)dx .

ii) Αν η f είναι περιττή, τότε ισχύει

α

α f (x)dx  0 .

Απόδειξη i) Είναι

α

0

α

α f (x)dx  α f (x)dx  0 f (x)dx . (1)

Επειδή η f είναι άρτια ισχύει

0

0

α f (x)dx  α f (x)dx .

Θέτουμε t = – x, οπότε dt = – dx. Για x = – α έχουμε t = α, ενώ για x = 0 έχουμε t = 0, οπότε 0

0

0

α

α

α f (x)dx  α f (x)dx  α f (t)dt  0 f (t)dt  0 f (x)dx . Η (1) λόγω της (2) γράφεται

α

α

0

α

α

α f (x)dx  0 f (x)dx  0 f (x)dx  20 f (x)dx .

ii) Με την ίδια ακριβώς διαδικασία έχουμε α

(2)

α

α

─∙─ α

α f (x)dx  α f (x)dx  0 f (x)dx  0 f (x)dx  0 f (x)dx  0 . Π. χ

e x  e x e x  e x  dx 0 f (x)  , γιατί η είναι περιττή. 1 x 4  4 x4  4 1

β) Αν η συνάρτηση f είναι συνεχής και περιοδική συνάρτηση στο ισχύει

T

2T

0 f (x)dx  T

με περίοδο Τ, τότε θα

f (x)dx .

Απόδειξη Επειδή η f είναι περιοδική θα ισχύει f(x) = f(x + T) για κάθε x 

, οπότε έχουμε

ΤΕΧΝΙΚΕΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗΣ

28. α) Αν

83

1

I   x  e x dx ,  

*

0

, να υπολογίσετε το 1 .

1 e

β) Να δειχθεί ότι 1    (  1)  , για κάθε   1

*

και να βρείτε τα  2 και  3 .

γ) Να βρείτε το I   (x 3  2x 2  x)e x dx .

0

29. Να

αποδείξετε ότι, για κάθε φυσικό αριθμό ν > 2 ισχύει :   

 

0 x β

30. Αν α, β κατάλληλα να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i) α

xdx    (  1) 2 .

x dx , (2x  3) 4

ii) 

2x  3 dx , x  3x  4

β

2

α

3 2 1 5 5 x  2x  2x  11 3 3x  5 2x  5 , iv) , v) , vi) dx dx dx 4 x 2  4x  3 0 x 2  5x  8 4 x 2  4x  3 dx , α 5x 2  5 β β β x4 14 5 viii)  ix)*  vii)  2 dx , dx , dx . α (x  1)(x  2) α (x  x  6)(x  4) α x(x 2  4) 1 u 1 31. Να υπολογίσετε το ολοκλήρωμα I  0 du και στη συνέχεια τα ολοκληρώματα: (u  1)(u  2)

iii) 

β

1 (e x  1)e x (x  1)x dx . dx και I2   x 0 (e  1)(e x  2) 0 (x  1)(x  2)

I1  

1

8

32. Αν α, β κατάλληλα να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: i) 3 4 3x  8dx , 6

15

vii) 0

6

xdx

3

x2

iv) 

iii)  x x  3dx , 1

x 1 4 x 1 dx , 4 x 1

t 1

t

0 3

dx

(1  x)

2

,

x

ii) lim  e x 



xdx

1

viii) 0

33. Να υπολογίσετε τα όρια: i) lim 

ln(x  1) dx ,  (x  1)3

v) 

,

x4 x

vi)  

0 dt , iii) lim  xe x dx , 2 t t  t(ln t)



(2x  1)2 2x  1

x3



e 1

x2

12

4

ix) 

,

ii) 0

x2  4

iv) lim  x 0

x) 

dx ,

β

α

1 ln tdt

t

x

,

x ln(x 2  3)dx ,

dx ,

e3x dx . ex  2 2

xdx

t

x 1

v) lim  t 1

.



34. Να αποδείξετε ότι : 0 f (x)dx  0 f (  x)dx .

2  35. α) Αν f (2  x)  f (x) , τότε 0 f (x)dx  20 f (x)dx . β) Να αποδείξετε ότι:

2

0

γ) Αν f (2  x)  f (x) , τότε δ) Αν f (  x)  f (x) , τότε

36.





0

0

f (x)dx   f (x)dx   f (2  x)dx .

2

0



0

f (x)dx  0 . 

f (x)dx    f (x)dx ,   0

Να αποδείξετε ότι: α)

 2 f (x)dx 0



2

3

i)  (3x  1)συν(x  x  3)dx , α



v)  2 x 2 xdx ,





β) Να υπολογίσετε το    xf (x)dx .

0

 2 f (x)dx 0



38. Αν α, β κατάλληλα να υπολογίσετε τα ολοκληρώματα: β

.

  ln(x  e), x [0, 2 ) Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x)   .   ex , x  [ , ]  2

α) Να βρείτε, όπου ορίζεται, την f (x) .

37.

*

 2 0





iii)   xdx ,

3



2

vii)  4 3x7xdx , 

4



0 xf (x)dx  2 0 f (x)dx .  4 0

ii)   xdx ,

vi) 0 x3xdx ,

και β)

 4 0

iv)   2 xdx , 

viii)  2x6xdx ,

114

ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

β) Αν f(1) = - 3, να βρείτε τον τύπο της f. γ) Να αποδείξετε ότι, το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από την εφαπτομένη της Cf στο A(1,f (1)) , τη Cf και την ευθεία x = e, είναι E  2(e2  2e  1) τ.μ.

Λύση e2

e2

α) I   ln x  f (x)dx  ln x  f (x)1   1

e2

1

f (x) dx . x

dx f (x) . dx θέτουμε x  eu , οπότε u = lnx και du  x x e2 f (x) 2 Για x = 1 είναι u = 0, ενώ για x  e2 είναι u = 2 και  dx   f (eu )du .

1 0 x

Στο ολοκλήρωμα

e2

1

Από την (1) έχουμε

2

t

0 f (e )dt  2f (e

2

)  8 , οπότε:

e2

I  ln x  f (x)1  [2f (e2 )  8]  2f (e 2 )  2f (e 2 )  8  8 .

β) Παραγωγίζουμε την (1) και έχουμε: f (ex )  f (ex )  x[f (ex )]  4x ή [f (ex )]  (4x) ή f (ex )  4x  c ή για ex    0 έχουμε f ()  4ln   c ή τέλος f (x)  4ln x  3 , x > 0.

4 γ) Είναι f (x)  και η εφαπτόμενη στο Α έχει εξίσωση y  3  4(x  1) ή y  4x  7 . x 4 Επειδή f (x)   2  0 , η f στρέφει τα κοίλα κάτω, οπότε η εφαπτόμενη στο Α βρίσκεται πάνω από x τη γραφική παράσταση της f. Συνεπώς το εμβαδόν είναι: e

e

e

e

e

1

1

1

1

1

E   (y  f (x))dx   (4x  7  4ln x  3)dx  4 (x  ln x  1)dx  4 (x  1)dx  4 ln xdx  e

 x2  e 1 e2 1 e 4   x   4  x ln x 1  4 x  dx  4(  e   1)  4e  4(e  1)  2(e2  2e  1) τ.μ.

1 x 2 2 2 1 

11. Έστω

η συνάρτηση f (x)  x 5  x 3  x . α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα κοίλα και να αποδείξετε ότι, η f έχει αντίστροφη συνάρτηση . β) Να αποδείξετε ότι f (ex )  f (1  x) για κάθε x  . γ) Να αποδείξετε ότι, η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (0, 0) είναι ο άξονας συμμετρίας των γραφικών παραστάσεων των f και f  1 . δ) Να υπολογίσετε το εμβαδόν του χωρίου που περικλείεται από τη γραφική παράσταση της f  1 , τον άξονα των x και την ευθεία με εξίσωση x = 3 . (Θ)

Λύση α) f (x)  5x 4  3x 2  1  0 , για κάθε x  . Άρα η f είναι γν. αύξουσα στο

και συνεπώς «1-1»,

οπότε αντιστρέφεται. Είναι f (x)  20x 3  6x  2x(10x 2  3) . Για x  0 είναι f (x)  0 , οπότε η f στρέφει τα κοίλα κάτω στο (,0] , ενώ για x  0 είναι f (x)  0 και η f στρέφει τα κοίλα άνω στο [0,  ) .

β) Ξέρουμε ότι ex  x  1 , για κάθε x  .

Επειδή η f είναι γνησίως αύξουσα, έχουμε f (ex )  f (x  1) , για κάθε x  . γ) Είναι f (0)  0 και f (0)  1 , οπότε y  0  1(x  0) ή y  x είναι η εφαπτομένη της Cf στο (0,0) , η οποία είναι και άξονας συμμετρίας των Cf και C 1 . 1

f 3 1 f (x) 0

δ) Είναι f (0)  0 και f (0)  0 . Συνεπώς E  

dx .

3

Για x > 0 είναι f(x) > 0. Επομένως, για x > 0 είναι f 1 (x)  0 , οπότε E   f 1 (x)dx 0

κεφάλαιο

7

Επανάληψη

7.1 7.1.1

Συναρτήσεις – Όρια – Συνέχεια – Ασύμπτωτες

Ερωτήσεις θεωρίας

1. α) Δώστε τους ορισμούς: i) Σύνολο τιμών συνάρτησης, ii) Ίσες συναρτήσεις, iii) πηλίκο συναρτήσεων, iv) γραφική παράσταση συνάρτησης, v) εξίσωση γραφικής παράστασης, vi) Άρτια, vii) Περιοδική, viii) Σταθερή συνάρτηση. β) Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι πραγματική συνάρτηση πραγματικής μεταβλητής; γ) Τι παίρνουμε για πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης; δ) Μια σχέση είναι συνάρτηση όταν ισχύει η πρόταση: αν α = β, τότε f(α) = f(β) ή η πρόταση: αν f(α) = f(β), τότε α = β ; ε) Αν γνωρίζουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f πως θα σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση των: f (x) , f (x  c), f (x)  c , όπου c είναι ένας συγκεκριμένος πραγματικός αριθμός; στ) Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι ορισμένη; ζ) Όταν γράφουμε f (x)  2x 2  3 και f ()  22  3 εννοούμε την ίδια συνάρτηση ή διαφορετικές; η) Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μπορεί να τέμνει τον οριζόντιο άξονα σε τρία σημεία; θ) Πως βρίσκουμε τα σημεία που η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης τέμνει τους άξονες; ι) Πότε ορίζεται η συνάρτηση fog; ια) Τι κάνουμε για να βρούμε το πεδίο ορισμού της σύνθεσης gof; ιβ) Αν f (A)  Ag , τότε Afog  Af ; ιγ) Ποιες είναι οι απλές συναρτήσεις; ιδ) Σε μια πραγματική συνάρτηση το x είναι οπωσδήποτε πραγματικός αριθμός; ιε) Στη σύνθεση δυο συναρτήσεων ισχύει Af  Agof ;

2. α) Δώστε τους ορισμούς: i) γνησίως αύξουσα συνάρτηση, ii) μέγιστο συνάρτησης, iii) ακρότατα συνάρτησης, iv) συνάρτηση ‘1 – 1’.  β) Πότε η συνάρτηση f (x)  ,   0 είναι γνησίως φθίνουσα; x γ) Σε πόσα το πολύ σημεία τέμνει η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης τον οριζόντιο άξονα; δ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα, τότε η εξίσωση f(x) = 0 μπορεί να έχει 3 πραγματικές ρίζες διαφορετικές; ε) Τι ξέρετε για τη μονοτονία και τα ακρότατα της συνάρτησης f (x)  x 2  x  ,   0 ; στ) Αν μια συνάρτηση με πεδίο ορισμού το είναι άρτια και γνησίως φθίνουσα στο (, 0) , τι θα είναι στο (0,  ) ; ζ) Τι κάνουμε συνήθως για να βρούμε την αντίστροφη μιας συνάρτησης; η) Να αποδείξετε ότι, αν μια συνάρτηση είναι γνησίως μονότονη, τότε είναι ‘1 – 1’. Με ένα παράδειγμα δείξτε ότι το αντίστροφο δεν ισχύει. θ) Αν μια συνάρτηση δεν είναι ‘1 – 1’ υπάρχει περίπτωση να είναι γνησίως μονότονη; ι) Ποια είναι η βασική ισοδυναμία της αντιστροφής; ια) Τι ξέρετε για το σύνολο τιμών της αντίστροφης; ιβ) Για ποιες τιμές του x ισχύει η ισότητα f (f 1 (x))  x ;

ιγ) Πότε η εξίσωση f 1 (x)  f (x) έχει ίδιες λύσεις με την εξίσωση f (x)  x ; ιδ) Αν η συνάρτηση f αντιστρέφεται και είναι γνησίως αύξουσα, τι έχετε να πείτε για τη μονοτονία της αντίστροφής της;

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

139

7.3 7.3.1

Ολοκληρώματα

Ερωτήσεις θεωρίας

1. α)

Δώστε τους ορισμούς: i) Αρχική συνάρτηση, ii) Εμβαδόν επιπέδου χωρίου, iii) Ορισμένο ολοκλήρωμα.

1 1 1 1 β) Γράψτε τους τύπους των αρχικών συναρτήσεων των: x, x, x  , ex , x , ,  , , , x x x  2 x 1 , (x) .  2 x γ) Να αποδείξετε το θεώρημα: Έστω μια συνάρτηση f ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε  Όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x) = F(x) + c, c , είναι παράγουσες της f στο Δ και  Κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G(x) = F(x) + c, c . δ) Μια συνάρτηση έχει αρχική μόνο αν είναι συνεχής; ε) Δώστε μερικές συναρτήσεις που γνωρίζουμε ότι έχουν παράγουσες αλλά δεν μπορούμε να τις βρούμε. στ) Ο ορισμός της αρχικής μιας συνάρτησης αναφέρεται σε ένωση διαστημάτων;  2x, x  0  ζ) Πως θα βρούμε όλες αρχικές μιας συνάρτησης με δύο κλάδους; Π.χ της f (x)   2 ;  3x , x  0 η) Αν η F είναι μια αρχική της f , τότε η F 2 είναι μια αρχική της f 2 ; β

2. α) Αν α f (x)dx  0 , τότε

f (x)  0 ;

β) Αν f (x)  0 και α < β, τι μπορείτε να πείτε για το

β

α f (x)dx ;

β

α cdx ;

γ) Αν c > 0, τι εκφράζει το

δ) Έστω f, g συνεχείς συναρτήσεις στο διάστημα [α, β] και λ,μ  . Να συμπληρώσετε τις ισότητες: β

β

α λf (x)dx  ,

β

α [λf (x)  μg(x)]dx 

γ

α f (x)dx  α f (x)dx 

ε) Ποια ιδιότητα των ορισμένων ολοκληρωμάτων θα χρησιμοποιήσετε για να αποδείξετε ότι , αν 



, τότε

 2 0





1xdx   2  xdx ;

στ) Αν α < β και

0

β

α f (x)dx  0 , τότε υπάρχει περίπτωση να είναι f (x)  0 για κάθε x [α, β] ;

ζ) Να αποδείξετε ότι, αν για μια συνεχή συνάρτηση ισχύει

β

α f (x)dx  0 , με α < β, τότε υπάρχει ένα

τουλάχιστον x 0 [α, β] τέτοιο, ώστε f (x 0 )  0 . η) Να αποδείξετε ότι, αν οι συναρτήσεις f, g είναι συνεχείς σ’ ένα διάστημα Δ και f (x)  g(x) για κάθε x  , τότε ισχύει

β

β

α f (x)dx  α g(x)dx , με την προϋπόθεση τα α, β να είναι στοιχεία του Δ και α < β .

θ) Έστω μια συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α, β], m η ελάχιστη και Μ η μέγιστη τιμή της f στο β

[α, β]. Να αποδείξετε ότι ισχύει m(β  α)   f (x)dx  (β  α)M . α

ι) Έστω συνάρτηση f συνεχής στο διάστημα [α, β]. Να αποδείξετε ότι ισχύει ια) Αν α > β και f συνεχής, με f (x)  0 , τότε ισχύει





 f (x)dx   f (x) dx .

β

α f (x)dx  0 ;

ιβ) Αν f συνεχής στο [α, β] και για κάθε x στο [α, β] ισχύει f (x)  0 , τότε ισχύει ότι



 f (x)dx  0 ;

ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ

149

παραπάνω γεωμετρικούς τόπους. Β.3. Για τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z, w του ερωτήματος Β1 να αποδείξετε ότι z  w  10 και z  w  10 . Β.4. Από τους παραπάνω μιγαδικούς αριθμούς z του ερωτήματος Β1 να βρείτε εκείνους, για τους οποίους ισχύει 2z 2  3z  2zz  5 . (Θ) Υπόδειξη B1) Η εξίσωση έχει διπλή ρίζα την x  1 , οπότε 

w  4  3i β  1 και  1 και Δ = 0, δηλαδή 4 2α

2

B2) Επειδή ( )  (4  0)2  (3  0)2  5  1  2 οι κύκλοι εφάπτονται εξωτερικά και επομένως έχουν ένα μόνο κοινό σημείο.

B3) Ισχύει z  w  z  w , αλλά z  1 και w  (w  4  3i)  (4  3i)  4  5  9 . w  4  3i  16 z .

B4) 2z2  3z  2zz  5  z 2z  3  2z  5  2(z  z)  3  5  4yi  3  5  y2  1 , οπότε z1  0  i και z2  0  i .

2013 Α ΘΕΜΑ 1o A.1 Έστω f μια συνεχής συνάρτηση σε ένα διάστημα [, ] . Αν G είναι μια παράγουσα της f στο [, ] , τότε να αποδείξετε ότι:



 f (t)dt  G()  G() .

Μονάδες 7

Α.2 Να διατυπώσετε το Θεώρημα Μέσης Τιμής του Διαφορικού Λογισμού (ΘΜΤ) Μονάδες 4 Α.3. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα κλειστό διάστημα [, ] του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 4 Α.4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη. α. Η εξίσωση z  z0   ,   0 παριστάνει τον κύκλο με κέντρο το σημείο  (z0 ) και ακτίνα  2 , όπου z, z 0 μιγαδικοί αριθμοί. . β. Αν lim f (x)  0 , τότε f (x)  0 κοντά στο x 0 . x x 0

x  1  1. x 0 x ε. Μια συνεχής συνάρτηση f διατηρεί πρόσημο σε καθένα από τα διαστήματα στα οποία οι διαδοχικές ρίζες της f χωρίζουν το πεδίο ορισμού της. Μονάδες 10

γ. Ισχύει ότι x  x , για κάθε x 

δ. Ισχύει ότι lim

.

ΘΕΜΑ 2ο Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς z για τους οποίους ισχύει (z  2)(z  2)  z  2  2 . Β.1. Να αποδείξετε ότι ο γεωμετρικός τόπος των εικόνων των μιγαδικών z, είναι κύκλος με κέντρο K(2,0) και ακτίνα   1 (μονάδες 5). Στη συνέχεια, για κάθε μιγαδικό z που ανήκει στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο, να αποδείξετε ότι z  3 (μονάδες 3)

Μονάδες 8

Β.2. Αν οι μιγαδικοί αριθμοί z1 , z 2 που ανήκουν στον παραπάνω γεωμετρικό τόπο είναι ρίζες της εξίσωσης w 2  w    0 , με w μιγαδικό αριθμό, ,   και Im(z1 )  Im(z2 )  2 , τότε να αποδείξετε ότι:   4 και   5 . Μονάδες 9 Β.3. Θεωρούμε τους μιγαδικούς αριθμούς 0 , 1 , 2 οι οποίοι ανήκουν στο γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος Β1. Αν ο μιγαδικός αριθμός v ικανοποιεί τη σχέση v3  2 v2  1v  0  0 , αποδείξετε ότι v  4 . ΘΕΜΑ 3ο Θεωρούμε τις συναρτήσεις f ,g :

τότε

Μονάδες 8



(f (x)  x)(f (x)  1)  x , για κάθε x 

, με f παραγωγίσιμη τέτοιες ώστε: , f (0)  1 και g(x)  x 3 

Γ.1. Να αποδείξετε ότι f (x)  x 2  1  x , x 

.

3x 2 1 2 Μονάδες 9

να

Απαντήσεις Υποδείξεις

6. ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ

13. β) g(α)  g(β)  0  f (α)  α  0 και f (β)  β  0 , άρα f (α)f (β)  0  Bolzano ….

6.1 Συναρτήσεις – Όρια – Συνέχεια Ασύμπτωτες 6.1.2

14. R(t)  t 3  2t 2  c , R(10)  R(0)  1200 .

1. Σ, Λ, Σ, Λ, Σ, Λ, Σ.

1 5 1 2.  5  c , x 5 x 2  c , x 3 x  c , 7 7 2x

16. α) P(t)  P(0)eκt ,

180

ln x 5 ex , 2x 2  3x   c , c  . c, x x ημx

(x  3x  5)  c , ln(e  1)  c ,

x  2x  6  c , 2 1  c , ln συνx  c , ex ln x  c , ln 2x  3  c ,  x 1 c .

2  2x  2x  c, x  0 4. α) F(x)   2 , c ,   2x  2x  c, x  0 2

5

x

2

 x2    x  c, x  1  2 β) F(x)   2 , c ,  x  3x  1  c, x  1  2  x5 4    c, x  1  5 5 γ) F(x)   x  c,  1  x  1 .  5  x  4  c, x  1  5 5 5. f (x)  x  2 x  3 .

6. f (x)  x 4  x 3  2x  5 .

7. f (x)  (x 

x2 1  1)e x . 8. f (x)   x 3.

2 (x  3)2 x 2 3x

9. Έχουμε F(x)eF(x)  (x 2  3x)  e , F(1) = 4. και f(x) = 2x + 3.  f (x)  2 10. Για x  0 έχουμε    (4x  3x) , οπότε  x  2 f (x)   4x  3x  c1 , x  0  ή 2 x  4x  3x  c2 , x  0  4x 3  3x 2  c1x, x  0  f (x)   . Επειδή η f είναι 3 2  4x  3x  c2 x, x  0 παραγωγίσιμη στο , θα είναι c1  c2  2 . Άρα f (x)  4x3  3x 2  2x και F(x)  x 4  x3  x 2  c , c 

11. f (x) 

ln x  1  x ln x ex

.



x ln x  x ln x    x  και F(x)  x . (e ) e  e  12. Υπάρχουν α, β στο με F(α) = F(β), οπότε ισχύει για την F το Θ. Rolle στο [α, β]. (x ln x)  e x  x ln x  e x x 2

1 ln 2 , 70 18

ln 2

γ) P(2100)  P(1920)  e 70  5.000.000  2 7 17. Αν f(t) είναι η συνάρτηση που δίνει τον αριθμό των κατοίκων που έχει πληροφορηθεί την είδηση, τότε θα ισχύει f (t)  κ[A  f (t)] ή

2 1 ημ(2x  1)  c , ex 3x  c , eσυνx  c , 2

3.

T(t)  αe κt  T0 . β) P(1990)  P(1920)  e70κ  κ 

ln x  ex  2x  1 , 2 x  σφx  x 2  c , xσυνx  c , x 2e x  c ,

15. T(t)  καe κt  T(t)  αe κt  c και

f (t)  κf (t)  κΑ ή f (t)eκ t  κeκ t f (t)  κΑeκ t ή

f (t)  Α  ce κ t , c  .

18. β) lim f (x)  lim f (x 0  h)  f (x 0 ) x  x0

h 0

γ) Παραγωγίζουμε τη (2) ως προς x και έχουμε: f(x + y) = f(x) + 4y, οπότε είναι f(x) = 4x.

19. α) Η (1) γράφεται [(x 2  3x  4)F(x)]  (x 2  3x  4)F(x) ή

(x 2  3x  4)F(x)  cex και F(x) 

3e x 1 , x 2  3x  4

3(x 2  x  1)e x 1 . (x 2  3x  4)2 β) Η y = 0 είναι οριζόντια ασύμπτωτη στο   , F γν. αύξουσα και το σύνολο τιμών είναι το (0,  ) . οπότε f (x)  F(x) 

20. [(tx)  g(ty)]  t   t 1[(tx)  g(ty)] 

 (tx)  g(ty)      0  (tx)  g(ty)  c  t . . .. t   21. α) Η (1) γράφεται [F(x)  2e x ][F(x)  2e x ]  0 ή 2[F(x)  2e x ][F(x)  2e x ]  0 , οπότε [F(x)  2e x ]2  1 , δηλαδή F(x)  2e x  0 , και επειδή F(0)  2e0  1  0 είναι F(x)  1  2e x , β) F κυρτή στο , γ) Η εφαπτόμενη στο Α είναι y = 3 – 2x. Επειδή F κυρτή στο , F(x)  3  2x για κάθε x  .

22. α) Η (1) γράφεται F(x)F(x)  2e2x  2 . (2) Θέτουμε όπου x το - x και έχουμε F(x)F(x)  2e2x  2 . (3) Αφαιρούμε τις (2) και (3), οπότε F(x)F(x)  F(x)F(x)  2e2x  2e2x ή

[F(x)F(x)]  (e2x  e2x ) ή F(x)F(x)  e2x  e2x  c1 . (4) Από την (1) έχουμε f(0)F(0) = 4 , οπότε F(0) = 2 και F(x)F(x)  e2x  e2x  2 ή

(e2x  1)2 . (5) e2x β) Διαιρούμε τις (2) και (5), οπότε F(x)F(x) 

Ελ. Βενιζέλου 150, 176 76 Καλλιθέα τηλ.: 210 95 92 070 fax: 210 95 65 108 e-mail: zafirop@acci.gr

Μαντζαγριωτάκη 89, 176 72 Καλλιθέα τηλ. / fax: 210 95 33 254 e-mail: ster14@otenet.gr