Μαθηματικά Προσανατολισμού Β΄ Λυκείου
Γενικές Ασκήσεις
96. Σε αγώνα ποδοσφαίρου του ισπανικού πρωταθλήματος μεταξύ Barcelona και Real ύστερα από εκτέλεση κόρνερ του Alves η μπάλα ακολουθώντας παραβολική τροχιά στο επίπεδο του γηπέδου έφθασε στον Villa που βρισκόταν στο ημικύκλιο της μεγάλης περιοχής. Εάν τα σουτ του Villa δίνονται από την οικογένεια των ευθειών :( 1)x ( 1)y 5 3 , να βρείτε: α) Τη θέση του Villa στο γήπεδο. (Θεωρούμε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, όπου το σημείο του κόρνερ είναι το O (0,0) . β) Την εξίσωση που περιγράφει το κόρνερ που εκτέλεσε ο Alves. γ) Αν το τέρμα του Casillas βρίσκεται στον άξονα x΄x και έχει άκρα τα σημεία (2,0) και (3,0) , να βρείτε τις τιμές του , για τις οποίες ο Villa σημαδεύει το εσωτερικό του τέρματος. 13 δ) Αν ο Messi κινούμενος στην ευθεία y , βρίσκεται στο ύψος του πέναλτι, να βρείτε την 4 εξίσωση του «ημικυκλίου» της μεγάλης περιοχής, γνωρίζοντας ότι το σημείο του πέναλτι είναι το κέντρο του. ε) Στο 32΄ λεπτό του πρώτου ημιχρόνου, ύστερα από πάσσα του Villa στο Messi, το ευθύγραμμο σουτ του Messi κατέληξε στα χέρια του Casillias που βρισκόταν στο μέσο του τέρματος. Αν η πάσα του Villa και το σουτ του Messi είχαν κάθετες πορείες, να βρείτε τη θέση του Messi στο γήπεδο. (Όλα τα σουτ γίνονται στο επίπεδο του γηπέδου) (Δημ.Βρύσαλης)
y V y
Π
13 4
O
Γ
Μ
C Β
x
97. Τα σχέδια επέκτασης του υπογείου
metro της πόλης του ΠΕΚΙΝΟΥ, περιλαμβάνουν: i) Τη γραμμή 1 κάθε σημείο της οποίας σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων (στο χάρτη) είναι της μορφής ( 1,3 1) , . ii) τη γραμμή 2 που περνάει από το σταθμό (3,2) και είναι παράλληλη στο διάνυσμα u (10,5) . α) Βρείτε τις εξισώσεις των νέων γραμμών 1 και 2 . β) Στο σημείο O(0,0) στην αρχή των αξόνων κατασκευάζεται το στάδιο που θα φιλοξενήσει το αγώνισμα της Άρσης βαρών. Δεδομένου ότι το κόστος κατασκευής ανά μονάδα μήκους γραμμής είναι το ίδιο με ποια γραμμή από τις 1 και 2 συμφέρει να συνδεθεί το στάδιο της Άρσης Βαρών; γ) Αν το Ολυμπιακό χωριό βρίσκεται στο εσωτερικό του κύκλου με κέντρο το σημείο B(3,1) , ποια θα είναι η εξίσωση του κύκλου αυτού, ώστε να εφάπτεται της γραμμής 2 ; Ε 64 (2007)
98.Θεωρούμε έναν πληθυσμό από 1999 μυρμήγκια. Κάθε μυρμήγκι χαρακτηρίζεται από έναν αριθμό
n 1,2,3,...,1999 και κινείται επάνω στο καρτεσιανό επίπεδο Οxy διαγράφοντας μια τροχιά με εξίσωση
(x 1)2 y2 2n(x y 1) . Να δείξετε ότι: α) η τροχιά κάθε μυρμηγκιού είναι κύκλος και να βρεθούν οι συντεταγμένες του κέντρου του. β) κατά την κίνησή τους όλα τα μυρμήγκια διέρχονται από ένα σταθερό σημείο Α (που είναι η φωλιά τους). Ποιες είναι οι συντεταγμένες του σημείου Α;
75