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Matematica Essencial: Medio: Relacoes e Funcoes

Alegria Financeira Fundamental Médio Geometria Trigonometria Superior Cálculos

Ensino Médio: Relações e Funções Aplicações de relações e funções O Plano Cartesiano Produto Cartesiano Relações no plano Cartesiano Domínio e Contradomínio Relações inversas Propriedades de Relações Relações de equivalência Funções no plano Cartesiano Relações que não são funções Funções afim e lineares Função identidade

Funções constantes Funções quadráticas Funções cúbicas Domínio, Contradomínio, Imagem Funções injetoras Funções sobrejetoras Funções bijetoras Funções pares e ímpares Funções crescentes Funções compostas e Inversas Operações com funções Funções polinomiais e Aplicações

Aplicações das relações e funções no cotidiano

Ao lermos um jornal ou uma revista, diariamente nos deparamos com gráficos, tabelas  e  ilustrações.  Estes,  são  instrumentos  muito  utilizados  nos  meios  de comunicação. Um texto com ilustrações, é muito mais interessante, chamativo, agradável  e  de  fácil  compreensão.  Não  é  só  nos  jornais  ou  revistas  que encontramos  gráficos.  Os  gráficos  estão  presentes  nos  exames  laboratoriais, nos rótulos de produtos alimentícios, nas informações de composição química de  cosméticos,  nas  bulas  de  remédios,  enfim  em  todos  os  lugares.  Ao interpretarmos  estes  gráficos,  verificamos  a  necessidade  dos  conceitos  de plano cartesiano. O  Sistema  ABO  dos  grupos  sangüíneos  é  explicado  pela  recombinação genética  dos  alelos  (a,b,o)  e  este  é  um  bom  exemplo  de  uma  aplicação  do conceito de produto cartesiano. Uma aplicação prática do conceito de relação é a discussão sobre a interação de neurônios (células nervosas do cérebro). Ao relacionarmos espaço em função do tempo, número do sapato em função do tamanho dos pés, intensidade da fotossíntese realizada por uma planta em função  da  intensidade  de  luz  a  que  ela  é  exposta  ou  pessoa  em  função  da impressão digital, percebemos quão importantes são os conceitos de funções para  compreendermos  as  relações  entre  os  fenômenos  físicos,  biológicos, sociais... Observamos então que as aplicações de plano cartesiano, produto cartesiano, relações e funções estão presentes no nosso cotidiano.

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Valores assumidos por uma ação numa Bolsa de Valores O Plano Cartesiano

Referência histórica:  Os  nomes  Plano  Cartesiano  e  Produto  Cartesiano  são homenagens  ao  seu  criador  René  Descartes  (1596­1650),  filósofo  e matemático francês. O nome de Descartes em Latim, era Cartesius, daí vem o nome cartesiano. O plano cartesiano ortogonal é constituído por dois eixos x e y perpendiculares entre  si  que  se  cruzam  na  origem.  O  eixo  horizontal  é  o  eixo  das  abscissas (eixo  OX)  e  o  eixo  vertical  é  o  eixo  das  ordenadas  (eixo  OY).  Associando  a cada  um  dos  eixos  o  conjunto  de  todos  os  números  reais,  obtém­se  o  plano cartesiano ortogonal.

Cada ponto  P=(a,b)  do  plano  cartesiano  é  formado  por  um  par  ordenado  de números,  indicados  entre  parênteses,  a  abscissa  e  a  ordenada respectivamente. Este par ordenado representa as coordenadas de um ponto. O primeiro número indica a medidada do deslocamento a partir da origem para a direita (se positivo) ou para a esquerda (se negativo). http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/funcoes.htm

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O segundo  número  indica  o  deslocamento  a  partir  da  origem  para  cima  (se positivo) ou para baixo (se negativo). Observe no desenho que: (a,b) (b,a) se a b. Os  dois  eixos  dividem  o  plano  em  quatro  regiões  denominadas  quadrantes sendo  que  tais  eixos  são  retas  concorrentes  na  origem  do  sistema  formando um ângulo reto (90 graus). Os nomes dos quadrantes são indicados no sentido anti­horário, conforme a figura, com as cores da bandeira do Brasil. Quadrante sinal de x sinal de y Ponto   não tem não tem (0,0) Primeiro + + (2,4) Segundo ­ + (­4,2) Terceiro Quarto Terceiro ­ ­ (­3,­7) quadrante quadrante  Quarto + ­ (7,­2) Segundo  Primeiro quadrante quadrante

Produto Cartesiano

Dados dois conjuntos A e B não vazios, definimos o produto cartesiano entre A e  B,  denotado  por  AxB,  como  o  conjunto  de  todos  os  pares  ordenados  da forma  (x,y)  onde  x  pertence  ao  primeiro  conjunto  A  e  y  pertence  ao  segundo conjunto B. AxB = { (x,y): x A e y B } Observe que AxB BxA, se A é não vazio ou B é não vazio. Se A=Ø ou B=Ø, por definição: AxØ=Ø=ØxB. Se  A  possui  m  elementos  e  B  possui  n  elementos,  então  AxB  possui  mxn elementos. Exemplo:  Dados  A={a,b,c,d}  e  B={1,2,3},  o  produto  cartesiano  AxB,  terá  12 pares ordenados e será dado por: AxB = {(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(c,2),(c,3),(d,1),(d,2),(d,3)}

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Relações no Plano Cartesiano

Sejam A  e  B  conjuntos  não  vazios.  Uma  relação  em  AxB  é  qualquer subconjunto R de AxB.

A relação mostrada na figura acima é: R = { (a,3), (b,3), (c,2), (c,3), (d,2), (d,3) } Uma relação R de A em B pode ser denotada por R:A B. Exemplo:  Se  A={1,2}  e  B={3,4},  o  produto  cartesiano  é  AxB={(1,3),(1,4),(2,3), (2,4)} e neste caso, temos algumas relações em AxB: 1. R1={(1,3),(1,4)} 2. R2={(1,3)} 3. R3={(2,3),(2,4)}

Domínio e Contradomínio de uma Relação

As relações  mais  importantes  são  aquelas  definidas  sobre  conjuntos  de números reais e nem sempre uma relação está definida sobre todo o conjunto dos números reais. Para evitar problemas como estes, costuma­se definir uma relação R:A B, onde A e B são subconjuntos de R, da seguinte forma: O  conjunto  A  é  o  domínio  da  relação  R,  denotado  por  Dom(R)  e  B  é  o contradomínio da relação, denotado por CoDom(R). http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/funcoes.htm

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Dom(R) = { x A: existe y em B tal que (x,y) R} Im(R)={y B: existe x A tal que (x,y) R}

Representações gráficas de relações em AxB: R1={(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(c,1),(d,1),(d,2),(d,3)}

R2={(a,1),(b,2),(c,3),(d,1)}

R3={(a,1),(b,1),(b,2),(c,3),(d,3)}

Relações Inversas http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/funcoes.htm

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Seja R  uma  relação  de  A  em  B.  A  relação  inversa  de  R,  denotada  por  R­1,  é definida de B em A por: R­1 = { (y,x) BxA: (x,y) R } Exemplo: Sejam A={a,b,c}, B={d,e,f} e R uma relação em AxB, definida por R = {(a,d),(a,e),(a,f),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c.e),(c,f)} Então: R­1 = {(d,a),(e,a),(f,a),(d,b),(e,b),(f,b),(d,c),(e,c),(f,c)} Observação: O gráfico da relação inversa R­1 é simétrico ao gráfico da relação R, em relação à reta y=x (identidade).

Propriedades de Relações

Reflexiva: Uma relação R é reflexiva se todo elemento de A está relacionado consigo mesmo, ou seja, para todo x A: (x,x) R, isto é, para todo x A: xRx. Exemplo: Uma relação reflexiva em A={a,b,c}, é dada por: R = {(a,a),(b,b),(c,c)} Simétrica: Uma relação R é simétrica se o fato que x está relacionado com y, implicar necessariamente que y está relacionado com x, ou seja: quaisquer que sejam x A e y A tal que (x,y) R, segue que (y,x) R. Exemplo: Uma relação simétrica em A={a,b,c}, é: R = {(a,a),(b,b),(a,b),(b,a)}

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Transitiva: Uma  relação  R  é  transitiva,  se  x  está  relacionado  com  y  e  y  está relacionado  com  z,  implicar  que  x  deve  estar  relacionado  com  z,  ou  seja: quaisquer que sejam x A, y A e z A, se (x,y) R e (y,z) R então (x,z) R. Exemplo: Uma relação transitiva em A={a,b,c}, é: R = {(a,a),(a,c),(c,b),(a,b)} Anti­simétrica: Sejam x A e y A. Uma relação R é anti­simétrica se (x,y) R e (y,x) R implica que x=y. Alternativamente, uma relação é anti­simétrica: Se x e y  são  elementos  distintos  do  conjunto  A  então  x  não  tem  relação  com  y  ou (exclusivo)  y  não  tem  relação  com  x,  o  que  significa  que  o  par  de  elementos distintos (x,y) do conjunto A poderá estar na relação desde que o par (y,x) não esteja. Exemplo: Uma relação anti­simétrica em A={a,b,c}, é: R = {(a,a),(b,b),(a,b),(a,c) } Relação de equivalência

Uma relação  R  sobre  um  conjunto  A  não  vazio  é  chamada  relação  de equivalência sobre A se, e somente se, R é reflexiva, simétrica e transitiva. Exemplo:  Se  A={a,b,c}  então  a  relação  R  em  AxA,  definida  abaixo,  é  de equivalência: R = {(a,a),(b,b),(c,c),(a,c),(c,a) } Funções no Plano Cartesiano

Referência histórica: Leonhard Euler (1707­1783), médico, teólogo, astrônomo e  matemático  suíço,  desenvolveu  trabalhos  em  quase  todos  os  ramos  da Matemática  Pura  e  Aplicada,  com  destaque  para  a  Análise  ­  estudo  dos processos  infinitos  ­  desenvolvendo  a  idéia  de  função.  Foi  o  responsável também pela adoção do símbolo f(x) para representar uma função de x. Hoje, função é uma das idéias essenciais em Matemática. Uma função f de A em B é uma relação em AxB, que associa a cada variável x em A, um único y em B. Uma das notações mais usadas para uma função de A em B, é: f:A B Quatro aspectos chamam a atenção na definição apresentada: O domínio A da relação. http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/funcoes.htm

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O contradomínio B da relação. Todo elemento de A deve ter correspondente em B. Cada  elemento  de  A  só  poderá  ter  no  máximo  um  correspondente  no contradomínio B. Estas  características  nos  informam  que  uma  função  pode  ser  vista geometricamente como uma linha no plano, contida em AxB, que só pode ser "cortada" uma única vez por uma reta vertical, qualquer que seja esta reta. Exemplo: A circunferência definida por R={(x,y) R²: x²+y²=a²} é  uma  relação  que  não  é  uma  função,  pois  tomando  a  reta  vertical  x=0, obtemos ordenadas diferentes para a mesma abscissa x.

Neste caso Dom(R)=[­a,a] e CoDom(R)=[­a,a]. Relações que não são funções

Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação R4 = { (a,1), (b,2), (c,3), (d,3), (a,3) } não  é  uma  função  em  AxB,  pois  associado  ao  mesmo  valor  a  existem  dois valores distintos que são 1 e 3.

Seja A={a,b,c,d} e B={1,2,3}. A relação http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/funcoes.htm

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R5 = { (a,1), (a,3), (b,2), (c,3) } não é uma função em AxB, pois nem todos os elementos do primeiro conjunto A estão associados a elementos do segundo conjunto B.

Na sequência, apresentaremos alguns exemplos importantes de funções reais Funções afim e lineares

Função afim: Sejam a e b números reais, sendo a não nulo. Uma função afim é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax+b.

Exemplos: 1. f(x)=­3x+1 2. f(x)=2x+7 3. f(x)=(1/2)x+4

Se b é diferente de zero, o gráfico da função afim é uma reta que não passa pela origem (0,0).

Função linear: Seja a um número real. Uma função linear é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax.

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Exemplos: 1. f(x)=­3x 2. f(x)=2x 3. f(x)=x/2

O gráfico da função linear é uma reta que sempre passa pela origem (0,0). Função Identidade

É uma  função  f:R R  que  para  cada  x  em  R,  associa  f(x)=x.  O  gráfico  da Identidade  é  uma  reta  que  divide  o  primeiro  quadrante  e  também  o  terceiro quadrante em duas partes iguais.

Funções constantes

Seja b um número real. A função constante associa a cada x R o valor f(x)=b.

Exemplos: 1. f(x)=1 http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/funcoes.htm

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2. f(x)=­7 3. f(x)=0

O gráfico de uma função constante é uma reta paralela ao eixo das abscissas (eixo horizontal). Funções quadráticas

Sejam a,  b  e  c  números  reais,  com  a  não  nulo.  A  função  quadrática  é  uma função f:R R que para cada x em R, f(x)=ax²+bx+c.

Exemplos: 1. f(x)=x² 2. f(x)=­4 x² 3. f(x)=x²­4x+3 4. f(x)=­x²+2x+7

O gráfico de uma função quadrática é uma curva denominada parábola. Funções cúbicas

Sejam a, b, c e d números reais, sendo a diferente de zero. A função cúbica é uma função f:R R que para cada x em R, associa f(x)=ax³+bx²+cx+d.

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Exemplos: 1. f(x)=x³ 2. f(x)=­4x³ 3. f(x)=2x³+x²­4x+3 4. f(x)=­7x³+x²+2x+7

O gráfico da função cúbica do item (a), se assemelha a uma parábola tanto no primeiro  como  no  terceiro  quadrante,  mas  no  primeiro  os  valores  de  f(x)  são positivos e no terceiro os valores de f(x) são negativos. Domínio, contradomínio e imagem de uma função

Como nem  toda  relação  é  uma  função,  às  vezes,  alguns  elementos  poderão não ter correspondentes associados para todos os números reais e para evitar problemas  como  estes,  costuma­se  definir  o  Domínio  de  uma  função  f, denotado por Dom(f), como o conjunto onde esta relação f tem significado. Consideremos  a  função  real  que  calcula  a  raiz  quadrada  de  um  número  real. Deve estar claro que a raiz quadrada de ­1 não é um número real, assim como não  são  reais  as  raízes  quadradas  de  quaisquer  números  negativos,  dessa forma  o  domínio  desta  função  só  poderá  ser  o  intervalo  [0, ),  onde  a  raiz quadrada tem sentido sobre os reais. Como  nem  todos  os  elementos  do  contradomínio  de  uma  função  f  estão relacionados, define­se a Imagem de f, denotada por Im(f), como o conjunto de todos  os  elementos  do  contradomínio  que  estão  relacionados  com  elementos do domínio de f, isto é: Im(f) = { y em B: existe x em A tal que y=f(x) } Observe que, se uma relação R é uma função de A em B, então A é o domínio e  B  é  o  contradomínio  da  função  e  se  x  é  um  elemento  do  domínio  de  uma função f, então a imagem de x é denotada por f(x).

Exemplos: Cada função abaixo, tem características distintas. 1. f:R

R definida por f(x)=x² Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0,

)

2. f:[0,2]

R definida por f(x)=x² Dom(f)=[0,2], CoDom(f)=R e Im(f)=[0,4]

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3. A 

função modular  é  definida  por  f:R R  tal  que  f(x)=|x|,  Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f)=[0, ) e seu gráfico é dado por:

4. Uma semi­circunferência é dada pela função real f:R

R, definida por

Dom(f)=[­2,2], CoDom(f)=R, Im(f)=[0,2] e seu gráfico é dado por:

Funções injetoras

Uma função  f:A B  é  injetora  se  quaisquer  dois  elementos  distintos  de  A, sempre possuem imagens distintas em B, isto é: x1 x2 implica que f(x1) f(x2) ou de forma equivalente f(x1)=f(x2) implica que x1=x2 Exemplos: 1. A 

função f:R R  definida  por  f(x)=3x+2  é  injetora,  pois  sempre  que tomamos  dois  valores  diferentes  para  x,  obtemos  dois  valores  diferentes para f(x).

2. A função f:R

R definida por f(x)=x²+5 não é injetora, pois para x=1 temos f(1)=6 e para x=­1 temos f(­1)=6.

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Funções sobrejetoras

Uma função  f:A B  é  sobrejetora  se  todo  elemento  de  B  é  a  imagem  de  pelo menos  um  elemento  de  A.  Isto  equivale  a  afirmar  que  a  imagem  da  função deve ser exatamente igual a B que é o contradomínio da função, ou seja, para todo y em B existe x em A tal que y=f(x). Exemplos: 1. A  função  f:R

R definida  por  f(x)=3x+2  é  sobrejetora,  pois  todo  elemento de R é imagem de um elemento de R pela função.

2. A função f:R

(0, pertecente a  (0, função.

) definida por f(x)=x² é sobrejetora, pois todo elemento )  é  imagem  de  pelo  menos  um  elemento  de  R  pela

R definida por f(x)=2x não é sobrejetora, pois o número ­1 é elemento  do  contradomínio  R  e  não  é  imagem  de  qualquer  elemento  do domínio.

3. A função f:R

Funções bijetoras

Uma função f:A B é bijetora se ela é ao mesmo tempo injetora e sobrejetora. Exemplo: A função f:R R dada por f(x)=2x é bijetora, pois é injetora e bijetora. Funções Pares e Ímpares

Função par:  Uma  função  real  f  é  par  se,  para  todo  x  do  domínio  de  f,  tem­se que  f(x)=f(­x).  Uma  função  par  possui  o  gráfico  simétrico  em  relação  ao  eixo vertical OY.

Exemplo: A  função  f(x)=x²  é  par,  pois  f(­x)=x²=f(x).  Observe  o  gráfico  de  f! Outra função par é g(x)=cos(x) pois g(­x)=cos(­x)=cos(x)=g(x). Função ímpar: Uma função real f é ímpar se, para todo x do domínio de f, tem­ se  que  f(­x)=­f(x).  Uma  função  ímpar  possui  o  gráfico  simétrico  em  relação  à http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/funcoes.htm

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origem do sistema cartesiano. Exemplo:  As  funções  reais  f(x)=5x  e  g(x)=sen(x)  são  ímpares,  pois:  f(­x)=5(­ x)=­5x=­f(x)  e  g(­x)=sen(­x)=­sen(x)=­g(x).  Veja  o  gráfico  para  observar  a simetria em relação à origem.

Funções crescentes e decrescentes

Função crescente: Uma função f é crescente, se quaisquer que sejam x e y no Domínio  de  f,  com  x<y,  tivermos  f(x)<f(y).  Isto  é,  conforme  o  valor  de  x aumenta, o valor da imagem de x pela função também aumenta. Exemplo: Seja a função f:R R definida por f(x)=8x+2. Para os valores: a=1 e b=2, obtemos f(a)=10 e f(b)=18. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)<f(b) então a função é crescente.

Função decrescente: Uma função f é decrescente, se para quaisquer x e y do Domínio  de  f,  com  x<y,  tivermos  f(x)>f(y).  Isto  é,  conforme  o  valores  de  x aumentam, os valores da imagem de x pela função f diminuem. Exemplo:  Seja  a  função  f:R R  definida  por  f(x)=­8x+2.  Para  a=1  e  b=2, obtemos f(a)=­6 e f(b)=­14. Como o gráfico de f é uma reta, a<b e f(a)>f(b), a função é decrescente. Funções Compostas http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/funcoes.htm

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Dadas as funções f:A B e g:B C, a composta de f com g, denotada por g©f, é a  função  definida  por  (g©f)(x)=g(f(x)).  gof  pode  ser  lida  como  "g  bola  f".  Para que a composição ocorra o CoDom(f)=Dom(g).

Exemplo: Sejam  as  funções  reais  definidas  por  f(u)=4u+2  e  g(x)=7x­4.  As composições fog e gof são possíveis e neste caso serão definidas por: (f©g)(x)=f(g(x))=g(7x­4)=4(7x­4)+2=28x­14 (g©f)(u)=g(f(u))=g(4u+2)=7(4u+2)­4=28u+10 Como a variável u não é importante no contexto, ela pode ser substituída por x e teremos: (g©f)(x)=g(f(x))=g(4x+2)=7(4x+2)­4=28x+10 Observação:Em geral, f©g é diferente de g©f. Exemplo: Consideremos as funções reais definidas por f(x)=x²+1 e g(x)=2x­4. Então: (f©g)(x)=f(g(x))=f(2x­4)=(2x­4)²+1=4x²­16x+17 (g©f)(x)=g(f(x))=g(x²+1)=2(x²+1)­4=2x²­2 Funções Inversas

Dada uma  função  bijetora  f:A B,  denomina­se  função  inversa  de  f  à  função g:B A tal que se f(a)=b, então g(b)=a, quaisquer que sejam a em A e b em B. Denotamos a função inversa de f por f­1. Observação  importante:  Se  g  é  a  inversa  de  f  e  f  é  a  inversa  de  g,  valem  as relações: g©f=IA     e    f©g=IB onde IA  e  IB  são,  respectivamente,  as  funções  identidades  nos  conjuntos  A  e B.  Esta  característica  algébrica  permite  afirmar  que  os  gráficos  de  f  e  de  sua inversa de g são simétricos em relação à função identidade (y=x). http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/funcoes.htm

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Exemplo: Sejam  A={1,2,3,4,5},  B={2,4,6,8,10}  e  a  função  f:A B  definida  por f(x)=2x e g:B A definida por g(x)=x/2. Observemos nos gráficos as situações das setas indicativas das ações das funções.

   Obtenção  da  inversa:  Seja  f:R R,  f(x)=x+3.  Tomando  y  no  lugar  de  f(x), teremos  y=x+3.  Trocando  x  por  y  e  y  por  x,  teremos  x=y+3  e  isolando  y obteremos  y=x­3.  Assim,  g(x)=x­3  é  a  função  inversa  de  f(x)=x+3.  Assim fog=gof=Identidade.  Com  o  gráfico  observamos  a  simetria  em  relação  à  reta identidade.

Operações com Funções

Dadas as funções f e g, podemos realizar algumas operações, entre as quais: (f+g)(x) = f(x)+g(x) (f­g)(x) = f(x)­g(x) (f.g)(x) = f(x).g(x) (f/g)(x) = f(x)/g(x), se g(x) 0. Funções Polinomiais

Uma função polinomial real tem a forma f(x) = anxn + an­1xn­1 + ... + a1x + ao http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/funcoes/funcoes.htm

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sendo Dom(f)=R, CoDom(f)=R e Im(f) dependente de f. Observação: A área de um quadrado pode ser representada pela função real f(x)=x² onde x é a medida do lado do quadrado e o volume de um cubo pode ser dado pela função real f(x)=x³ onde x é a medida da aresta do cubo. Esta é a razão pela qual associamos as palavras quadrado e cubo às funções com as potências 2 e 3. Aplicação:  As  funções  polinomiais  são  muito  úteis  na  vida.  Uma  aplicação simples pode ser realizada quando se pretende obter o volume de uma caixa (sem  tampa)  na  forma  de  paralelepípedo  que  se  pode  construir  com  uma chapa  metálica  quadrada  com  20  cm  de  lado,  com  a  retirada  de  pequenos quadrados  de  lado  igual  a  x  nos  quatro  cantos  da  chapa.  Concluímos  que V(x)=(20­2x)x²  e  com  esta  função  é  possível  obter  valores  ótimos  para construir a caixa.

Construída por Rossana M.M.Pereira e Ulysses Sodré. Atualizada em 24/mar/2005.

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