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Cálculo de viscosidad de un fluido por medio de la ley de Stocks Francisco Corella, Alejandro Gracida, Guillermo J. Gracida, Joel A. Espinosa, Rubén A. López

 Abstracto— En este trabajo se presenta un método alternativo para determinar la velocidad límite, o terminal, de una esfera que desciende dentro de un fluido. Este método consiste en capturar en video el movimiento de la esfera dentro del fluido. El video digital se procesa con un software que permite obtener el tiempo y posición de la esfera en el medio. A partir del análisis de estas cantidades, es posible determinar la trayectoria de la esfera en el medio y el momento en que ésta alcanza la velocidad límite. Conociendo el valor de la velocidad terminal y haciendo un balance de las fuerzas que actúan sobre la esfera, se puede determinar la viscosidad del fluido. Índice de términos— Esfera descendente, velocidad terminal, viscosidad.

I. INTRODUCCIÓN

E

N este proyecto, parte de la asignatura de cálculo integral, Se requiere medir la viscosidad de un fluido, en particular aceite automotriz. Para calcular la viscosidad de dicho fluido se requiere saber ciertos conceptos. Uno de los conceptos es el de velocidad límite (o velocidad terminal) de un objeto que desciende dentro de un fluido. Esta velocidad tiene la característica de adquirir un valor constante en algún punto de la trayectoria del objeto. En este trabajo se presenta un método para calcular la velocidad terminal de una esfera que desciende dentro de un fluido para poder calcular la densidad.

x Fr

Fb

y

Fy

Fig. 1 Balance de Fuerzas que actúan sobre una esfera Sumergida en un fluido. La segunda ley de Newton declara que la sumatoria de fuerzas es igual a la masa por aceleración. ∑

=

(1)

Sustituyendo la ecuación por las fuerzas y la aceleración como derivada de la velocidad se obtiene: −

=

Sustituyendo las fuerzas: −6

=

(2)

II. MARCO TEÓRICO Si se considera un objeto que cae verticalmente en ausencia del aire, debido a la aceleración de la gravedad su velocidad se incrementaría con el tiempo. Sin embargo, las fuerzas de fricción o de resistencia del aire impiden que la velocidad aumente sin límite de tal manera que en algún momento el objeto alcanza una velocidad constante denominada velocidad terminal o límite.

Donde µ es viscosidad del fluido, v es velocidad terminal de la esfera, r es radio y ρ es densidad de la esfera.

Con la fórmula 2 se plantea un problema de valor inicial (P.I.V) con condición V (0) = 0 respecto a tiempo para encontrar la velocidad terminal. La velocidad terminal se obtiene con la fórmula:

Ahora, si el objeto es una esfera que desciende verticalmente en un fluido en reposo, su velocidad terminal se puede calcular haciendo un balance de las fuerzas que actúan sobre ella. En la figura 1 se presenta un esquema en el cual se representan las fuerzas que actúan sobre la esfera, éstas son el peso de la esfera, gravedad (Fy), fuerza boyante (Fb) y fuerza de resistencia (Fr) conocida como ley de Stocks

=

(

)

(3)

Despejando de la fórmula 3 se obtiene la viscosidad: =

(

)

(4)


2

Con estas fórmulas ya es posible calcular la densidad de cualquier fluido.

III. METODOLOGÍA Para el experimento se utilizaron los siguientes materiales: -

Manguera transparente de 2 pulgadas de diámetro interno. 2.5 litros de aceite automotriz SE40 1 esfera de cerámica de 1.6322 cm de diámetro y de 5.82 g de masa 1 esfera de cristal de 1.4326 cm de diámetro y de 6.63 g de masa.

Se sujetó la manguera a un poste y se le colocó un tapón en la aparte inferior para que se pudiera llenar de aceite la manguera. Junto a la manguera se pegó la cinta métrica para poder ver la distancia que recorrían las esferas con el transcurso del tiempo para poder calcular su velocidad terminal.

Fig. 3 Medición de las esferas con micrómetro

Posteriormente se realizó las pruebas dejando caer las esferas a la altura del fluido y se midió el tiempo en que tardó a llegar al fondo. Todo fue grabado con una cámara y procesado en un software de video para realizar la captura de fotogramas por segundo y ver en qué tiempo pasaban las esferas por un punto de la cinta métrica. Los datos que se obtuvieron se exportaron a Excel para aplicar las fórmulas correspondientes y poder obtener la viscosidad del aceite automotriz.

Fig. 2 Preparación de la manguera para realizar el experimento

Para medir el diámetro de las esferas se utilizó un micrómetro y una báscula para medir las masas respectivas.

Fig. 4 Procesamiento de datos en Excel

Las fórmulas que utilizamos son fiables por lo que demuestra que la medición y resultados son aproximados porque contienen errores sistemáticos como por ejemplo:


3

El compañero que sostenía la esfera antes de ser soltada escuchó la indicación de soltarla y tardo cierto tiempo en soltarla mientras que el compañero que tenía el cronómetro activó el cronómetro antes o después que el compañero soltara la esfera. También hubo errores precisión al pesar la masa del fluido vertido en la manguera porque pequeñas cantidades de aceite de adhirieron a las paredes por lo tanto la masa del fluido pesado podría no ser su valor real. Todo esto es tomado en cuenta por lo que se puede decir que la viscosidad del fluido es aproximado. Este método de medición de fluido no es tan preciso pero se asemeja al utilizado en laboratorios solo que a un costo menor.

IV. CONCLUSIÓN Se pudo utilizar un método de cálculo de viscosidad de un fluido de bajo costo a comparación de laboratorios preparados para este tipo de cuestiones. Queda claro que el uso de integrales y derivadas es muy necesario para poder resolver problemas de este tipo el cual, en este caso, era un Problema de Valor Inicial.

V. ANEXOS

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Proyecto de cálculo integral  
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