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Teorías de Juegos

2016 Autores: Aldana Scarlys C.I V-20.067.006 Albujas Alejandra C.I V-25.408.368 Valdez Moises C.I V-23.795.983 Medina Marelys C.I V-25.953.627

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SAN JOAQUÍN

DE

TURMERO


Un poco de historia La teoría de juegos como tal fue creada por el matemático húngaro John Von Neumann (1903-1957) y por Oskar Morgenstern (19021976) en 1944 gracias a la publicación de su libro habían anticipado ya ciertas ideas, a las que se sumaron otras posteriores de los matemáticos Borel y Zermelo que en uno de sus trabajos (1913) muestra que juegos como el ajedrez son resolubles. Sin embargo, no fue hasta la aparición del libro de Von Neumann y Morgenstern cuando se comprendió la importancia de la teoría de juegos para estudiar las relaciones humanas. Von Neumann y Morgenstern investigaron dos planteamientos distintos de la Teoría de Juegos. El primero de ellos el planteamiento estratégico o no cooperativo. Este planteamiento requiere especificar detalladamente lo que los jugadores pueden y no pueden hacer durante el juego, y después buscar cada jugador una estrategia óptima. En la segunda parte de su libro, Von Neumann y Morgenstern desarrollaron el planteamiento coalicional o cooperativo, en el que buscaron describir la conducta optima en juegos con muchos jugadores. Puesto que este es un problema mucho más difícil, sus resultados fueran mucho menos precisos que los alcanzados para el caso de suma cero y dos jugadores.

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John Nash

El matemático llamado John Forbes Nash, nacido el 13 de Junio de 1928 en Bluefield Estados Unidos, es toda una eminencia en lo que “Teoría de Juegos” se trata. Se dice que fue un muchacho solitario al que le gustaba leer, los temas que más le interesaban eran la ciencia, concretamente la química y la matemática. Esto es curioso porque en Junio del 1945 se había matriculado en la Universidad Carnegie Mellon para estudiar ingeniería química; pero fue su profesor quien, dándose cuenta de su habilidad para las matemáticas, lo convenció para que se especializara en estas, lo cual en 1948 aceptó una beca de la Universidad de Princeton para el doctorado de matemáticas. La carta de recomendación contenía una única frase: “Este hombre es un genio”. Y bueno su infancia parecía arrojar conclusiones similares: “Tuvo la infancia de un superdotado intelectual: aprendió a leer muy pronto, fue incapaz de prestar atención en clase, obtuvo siempre malas notas y demostró una aversión congénita a la disciplina.”. John Nash hizo importantísimas aportaciones a la teoría de juegos no cooperativos y a la teoría de la negociación. En dos artículos, Equilibirum Points in N-Person Games (1950) y Non-Cooperative Games (1951) Nash probó la existencia de un equilibrio estratégico en juegos no cooperativos (el ahora famoso “equilibrio de Nash”) y propuso el “programa de Nash”, donde sugería enfocar el estudio de juegos cooperativos mediante su reducción previa a la forma no cooperativa. En sus otro dos artículos, The Bargaining Problem (1950) y Two-Person Cooperative Games (1953) estableció los axiomas de la teoría de la negociación, probó la existencia de la solución al problema de la negociación y realizó una primera ejecución del “programa de Nash”. John Nash había entrado en Princeton en 1948, donde había Editorial UBA

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mostrado un gran interés por las matemáticas puras y aplicadas. Él mismo afirmaba que “no es bueno ir demasiado a clase, ya que borra la creatividad y encauza la mente dejándome sin nuevas ideas”, y de hecho se hizo famoso por afrontar numerosos problemas desde un punto de vista distinto. Milnor, un compañero suyo, decía literalmente: Nash solía estar siempre lleno de ideas matemáticas brillantes, no sólo en Teoría de Juegos, sino también relacionadas con la Geometría y la Topología. Recuerdo gratamente cómo jugábamos a muchos juegos en la sala común. Me enseñó a jugar al Go, al KriegSpiel (juego de guerra) y además inventó un juego topológico muy ingenioso que llamamos el “Nash”.

Trabajo para la RAND, una institución de la Fuerza Aérea de los Estados Unidos dedicada a la investigación estratégica y como profesor del MIT de Massachusets. En 1950, sin embargo, empezó una edad oscura en su vida. Comenzo un romance con una mujer no universitaria llamada Eleanor Stier. En el año 1953 tuvieron un hijo, al que llamaron John David Stier; no se sabe porque pero Nash se desentendió de el. Fue despedido como investigador de la Corporación RAND tras ser detenido por “escándalo público” en unos lavabos. Siguió en el MIT y conoció a Alicia Larde, una joven salvadoreña que asistía a sus clases. En 1957 se casaron. Justo antes de la boda, los padres de Nash supieron de la existencia del pequeño John David y rompieron relaciones con su hijo. Al poco tiempo de esto, Alicia quedó embarazada del segundo hijo de Nash: John David Stier.

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n los años 1957 fue diagnosticado con esquizofrenia paranoica lo que lo aparto un poco del

MIT y de sus trabajos científicos personales. El aspecto más llamativo de su enfermedad (en contraste con la época) era la creencia de que todos los hombres que usaban corbatas rojas formaban parte de un grupo de comunistas que conspiraban contra él; Nash enviaba cartas con cierta frecuencia a las embajadas en Washington, D.C., afirmando que ellos estaban estableciendo una especie de gobierno en el país. Aunque al principio parecía una excentricidad de un genio el problema degenero, salpicando en su vida matrimonial y profesional. En el discurso “Hipótesis de Riemann” dado en 1959 en la Sociedad Editorial UBA

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stadounidense de Matemática de la Universidad de Columbia; Nash se noto incomprensible y alterado

en sus palabras, dando a entender a sus colegas de la audiencia que algo estaba mal. Fue ingresado en abril de ese mismo año en el Hospital McLean donde se le diagnostico de manera “oficial” Equizofrenia Paranoide. Se separo de Alicia en 1962, ella le había pedido el divorcio debido a su comportamiento errático y a sus excentricidades. Aun así no efectuaron un divorcio como tal. Durante los siguientes años Nash fue sometido a tratamiento de fármacos y a terapias de shock; yendo de un psiquiátrico a otro; el más tarde afirmaría que detestaba todas esas terapias y además sentía que eran ineficientes, por lo que se propuso salir de alli. Comenzo a mentir sobre su recuperación, decía que ya no oía mas voces ni tenía más alucinaciones; Nash efectivamente no había mejorado en nada, simplemente se forzaba a sí mismo a tener una conducta “normal” en presencia de los demás e ignorar aquellas visiones que aquejaban su mente; todo esto le funciono muy bien! no solo porque ya no tenía que estar en el psiquiátrico sino también por el hecho de que a pesar de seguir viendo “cosas” estas últimas le afectaban cada vez menos, al punto de que Nash las ignorara en ocasiones por completo. Según Sylvia Nasar, Nash se recuperaron gradualmente de su enfermedad con el paso del tiempo no solo por su “estratégica actuación” sino además gracias al apoyo de su esposa Alicia. Nash lograría seguir trabajando gracias a su entorno comunitario en el cual eran aceptadas sus excentricidades. Alicia Larde diría de su esposo: "es solo cuestión de vivir una vida tranquila". En 1990 Nash regresa a las matemáticas totalmente y acepta un puesto en Princeton. En poco tiempo la importancia del trabajo de Nash fue reconocido con muchos honores: El premio VON NEUMANN, miembro en la Sociedad Econométrica y en la Academia Americana de Artes y Ciencias, miembro en la Academia Nacional de Ciencias de Estados Unidos, terminando con el Premio Nobel en 1994. Llama la atención que el premio Nobel se lo dan básicamente por su tesis doctoral y un artículo que escribió 45 años antes. Su vida y su obra han sido tan sorprendentes, que se empezaron a escribir varios libros, algunos sobre su vida y otros sobre su obra. Por ejemplo Sylvia Nasar logra un Best seller narrando esta historia basada en entrevistas con amigos, familiares, conocidos, y colegas. También describe detalladamente las deliberaciones, por la Medalla Fields 1958, en donde Nash fue un candidato, y las deliberaciones para el Premio Nobel 1994 en Ciencias Económicas, también da una vasta descripción de principio a fin de los lugares y personas quienes jugaron un papel importante en la vida de Nash. Editorial UBA

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ste es el nombre que recibe el grupo de modelos matemáticos y sus metodologías respectivas cuyo

propósito es estudiar, analizar y comprender las decisiones tomadas o que deberían tomar las personas, haciendo énfasis en que decisión sería más “lógica” y razonable, teniendo en cuenta los deseos personales y los deseos de otras personas involucradas. Su nombre hace referencia a su humilde origen, pues este tuvo lugar (aparentemente) en una carta escrita por James Waldegrave y enviada a Pierre-Remond de Montmort, en dicha carta James dio solución al problema de estrategia mixta “minimax”, basándose en una estrategia de equilibrio mixto centrada en un juego de cartas popular de la época “le Her”. Por lo tanto los modelos y teorías de la “teoría de los juegos” tienen sus raíces en el análisis de los juegos de azar y su posterior aplicación en otros contextos. A pesar de todo esto el término “juegos” es relativo y subjetivo, ya que estas teorías pueden ser usadas en contextos militares, como la famosa “Destrucción mutua asegurada” de la guerra fría, obviamente la guerra no es un juego tal y como lo entiende el hombre de a pie, pero esta presenta una similitud con cualquier juego: La interacción mutua de la personas y su deseo por ganar la “partida”. Y en esto último se basa en gran parte la teoría de juegos. Esta “Destrucción Mutua Asegurada” (MAD) es una doctrina militar que se basa en el principio de que si un país con capacidad nuclear ataca a otro país con armas nucleares, este ultimo para resarcise le pagara con la misma moneda a su atacante; el resultado final será la aniquilación nuclear para ambas naciones. Se basa en el “Equilibrio de Nach”, siendo creada y puesta en práctica en su máxima expresión en la guerra fría. En el estudio de estas teorías se presupone que los jugadores son agentes racionales, pero en muchos casos y otros contextos esto no es así. Una persona y una empresa son jugadores que se toman como agentes racionales, pero un programa de computadora o un animal a pesar de ser irracionales, pueden considerarse sin problemas “jugadores”. La Teoría de Juegos fue ideada para constituirse en un instrumento útil, no sólo en los casos en que el azar y las elecciones propias fuesen los únicos factores relevantes, sino para ayudar al proceso de toma de decisiones en circunstancias más complejas. Como un buen ejemplo seria el famoso Dilema del Prisionero:

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Cronología de Acontecimientos 1713 · James Waldegrave da la primera demostración matemática para un caso de dos jugadores en una carta. 1838 · Antoine Augustin Cournot publica “Researches into the Mathematical Principles of the Theory of Wealth”, donde discute y analiza el caso del duopolio y da una solución que es una versión particular del (posteriormente llamado) equilibrio de Nash, una solución teórica al caso de dos jugadores. 1881 · Un economista, Francis Edgeworth’s, publica “Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences” dandouna solución al problema de determinar el resultado de la negociación económica individual entre sujetos. 1913 · Ernst Friedrich Ferdinand Zermelo , mejor conocido simplemente como Zermelo, publica el “primer teorema” de la Teoría de Juegos, afirmando en el “el juego del ajedrez está estrictamente determinado”. 1921—1927 · Se publicaron 4 artículos sobre juegos de estrategia por Emile Borel, en ellos dio la primera formulación moderna de una estrategia mixta, y encontró la solución minimax para juegos de dos personas con tres o cinco estrategias posibles. 1928 · John von Neumann presenta una serie de artículos sobre el tema, como por ejemplo: “Zur Theorie der Gesellschaftspiele”, plantea que la Teoría de Juegos puede tener aplicaciones en la economía: “Cualquier acontecimiento, dadas las condiciones externas y los participantes de la situación, puede considerarse un juego de estrategia si se observa el efecto que tiene sobre los participantes”. 1944 ·John von Neumann junto con Oskar Morgenstern publican “Theory of Games and Economic Behavior”. Quedando ambos como los “padres” de esta teoría. 1945 · Aparece la primera prueba totalmente algebraica del teorema del minimax, basada en el libro “Theory of Games and Economic Behavior”, fue publicada por L. H. Loomis en un artículo titulado “On a Theorem of Von Neumann”. 1950 · Albert W. Tucker planteó formalmente "dilema del prisionero" (fundamental en la teoría de juegos). John Forbes Nash, bajo la dirección de Albert W. Tucker, se doctora con una tesis sobre juegos no cooperativos, que incluye lo que más tarde se denominó como el equilibrio de Nash. 1950—1953 · John Nash hizo importantísimas aportaciones a la teoría de juegos no cooperativos y a la teoría de la negociación. En dos artículos, “Equilibirum Points in N-Person Games (1950)” y “NonEditorial UBA

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Cooperative Games (1951)” Nash probó la existencia de un equilibrio estratégico en juegos no cooperativos (el ahora famoso “equilibrio de Nash”) y propuso el “programa de Nash”, donde sugería enfocar el estudio de juegos cooperativos mediante su reducción previa a la forma no cooperativa. En sus otro dos artículos, “The Bargaining Problem (1950)” y “Two-Person Cooperative Games (1953)” estableció los axiomas de la teoría de la negociación, probó la existencia de la solución al problema de la negociación y realizó una primera ejecución del “programa de Nash”. 1959 · Albert Tucker y Luce habían terminado su cuarto volumen de “Contributions to the Theory of Games”. Martin Shubik publicaba “Strategy and Market Structure: Competitions Oligopoly and the Theory of Games”, que fue uno de los primeros libros en presentar un enfoque no cooperativo de la modelización de los oligopolios. 1960 · Aumann y Peleg publican “Von Neumann and Morgenstern Solutions to Cooperative Games Without Side Payments”, artículo en el que se desarrollan los llamados juegos NTU (de utilidad no transferible) y que dio alas a la teoría de juegos cooperativos, aumentando aún más si cabe su rango de aplicación. 1961 · R. C. Lewontin da una primera aplicación explícita de la Teoría de Juegos a la Biología evolutiva en “Evolution and the Theory of Games”. 1965 · Reinhard Selten introdujo su concepto de solución de los equilibrios perfectos del subjuego, que más adelante refinó el equilibrio de Nash. En los futuros años la teoría de juegos conto con el apoyo de diversos matemáticos, economistas, científicos y muchos otros especialistas, los cuales mediante sus publicaciones defendían las aplicaciones y utilidades de estas teorías; además aportaban mas desarrollo a la teoría de juegos. Incluso Oskar Morgenstern (uno de sus padres) fundo la revista “International Journal of Game Theory”. 1967 · John Harsanyi desarrolló los conceptos de la información completa y de los juegos bayesianos. 1982 · En biología John Maynard Smith introduce el concepto de “estrategia evolutivamente estable”. 1994 · G. Baird, Robert H. Gertner y Randal C. Picker publican “Game Theory and the Law”, con aplicaciones directas a problemas legislativos. 1994

· John Harsanyi, John Forbes Nash y Reinhard Selten ganan el Premio Nobel de Economía.

2012 · Lloyd Stowell Shapley y Alvin E. Roth ganan el Premio Nobel de Economía. Y como dice Avinash Dixit, un economista de Princeton: “Los conceptos, terminología y modelos de la Teoría de Juegos han alcanzado una posición dominante en muchas áreas de la Economía. Finalmente, estamos asistiendo a la realización del auténtico potencial de la revolución emprendida por Von Neumann y Morgenstern”.

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Juegos Se denomina juego a la situación interactiva especificada por el conjunto de participantes, los posibles cursos de acción que puede seguir cada participante, y el conjunto de utilidades.

Estrategia

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uando un jugador tiene en cuenta las reacciones de otros jugadores para realizar su elección, se

dice que el jugador tiene una estrategia. Una estrategia es un plan de acciones completo que se lleva a cabo cuando se juega el juego. Se explicita antes de que comience el juego, y prescribe cada decisión que los agentes deben tomar durante el transcurso del juego, dada la información disponible para el agente. La estrategia puede incluir movimientos aleatorios.

Resultados de los juegos El resultado de un juego es una cierta asignación de utilidades finales. Se denomina resultado de equilibrio si ningún jugador puede mejorar su utilidad unilateralmente dado que los otros jugadores se mantienen en sus estrategias. Un equilibrio estratégico es aquel que se obtiene cuando, dado que cada jugador se mantiene en su estrategia, ningún jugador puede mejorar su utilidad cambiando de estrategia. Alternativamente, un perfil de estrategias conforma un equilibrio si las estrategias conforman la mejor respuesta a las otras.

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Estrategias y tipos de estrategias En teoría de juegos, la estrategia de un jugador es un plan de acción completo para cualquier situación que pueda ocurrir; determina completamente la conducta del jugador. La estrategia de un jugador determinará la acción que tomará el jugador en cualquier momento del juego, para cualquier secuencia de acontecimientos hasta ese punto. El concepto de estrategia se confunde (erróneamente) en ocasiones con el de movimiento. Un movimiento es una acción que toma un jugador en un determinado momento en el juego. Una estrategia, por otra parte, es un algoritmo completo para jugar al juego, enumerando implícitamente todos los movimientos de todos los jugadores para cada situación del juego. Las estrategias pueden ser de dos tipos: puras o aleatorizadas. 

Estrategia pura.

Una estrategia pura proporciona una definición completa para la forma en que un jugador puede jugar a un juego. En particular, define, para cada elección posible, la opción que toma el jugador. El espacio de estrategia de un jugador es el conjunto de estrategias puras disponible al jugador. 

Estrategia aleatorizada.

Una estrategia mezclada es una asignación de probabilidad a cada estrategia pura. Define una probabilidad sobre las estrategias y refleja que, en lugar de elegir una estrategia pura particular, el jugador elegirá al azar una estrategia pura en función de la distribución dada por la estrategia mezclada. Por supuesto, cada estrategia pura es una estrategia mezclada que elige esa estrategia pura con probabilidad p y cualquier otra con probabilidad q.

Juegos estrictamente determinados Un juego estrictamente es aquel en cual se le puede determinar directamnete su solución es decir, su valor de juego. Para determinar la solución de un juego que está estrictamente determinado se busca reducirlo por predominio y/o utilizar el criterio minimax. Cuando analizamos cualquier juego, hacemos los siguientes supuestos acerca de los dos jugadores: Cada jugador hace la acción mejor posible. Cada jugador sabe que su contrincante está también haciendo la acción mejor posible.

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Criterio Minimax

Un jugador quien usa el criterio minimax escoge una estrategia que, entre todas las estrategias posibles, minimiza el daño de la mejor contra-estrategia del otro jugador. Es decir, una estrategia óptima según el criterio minimax es una que minimiza el daño máximo que puede hacer el contrincante. 

Dominancia de estrategias

Una acción domina a otra si todos sus pagos son por lo menos tan provechoso al jugador que los pagos correspondientes de la otra. En términos de la matriz de pagos, podemos decirlo como sigue: a) Renglón r en la matriz de pagos domina a renglón s si cada pago en renglón r ≥ el pago correspondiente en renglón s. b) Columna r en la matriz de pagos domina a columna s si cada pago en columna r ≤ el pago correspondiente en columna s. Si dos renglones o columnas son iguales, cada uno domina al otro. Un renglón o columna domina estrictamente a un otro si el uno domina al otro y son desiguales. Siguiendo el primero principios de la teoría de juegos, la acción que corresponde a un renglón o columna estrictamente dominado nunca será jugado, y ambos jugadores son conscientes de esto por el segundo principio. Entonces cada jugador quien sigue los principios de la teoría de juegos eliminará repetidamente renglones y columnas dominadas como podría ser el caso. En el caso que son iguales dos renglones o columnas, no hay razón para elegir uno sobre el otro, entonces cualquiera de los dos puede ser eliminado. Este proceso se llama reducción por predominio.

Juegos con estrategias aleatorizadas Cuando un juego no está estrictamente determinado, para hallar su solución se debe hacer asignar probabilidades a cada estrategia, es decir crear estrategias aleatorizadas. Para resolver un juego con estrategias aleatorizadas, se hace uso de dos métodos: el gráfico, que se aplica solo a juegos que involucran matrices de pagos 2x2, es decir que tienen hasta dos estrategias por jugador, y el método simplex que se aplica de manera general a todos los juegos.

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Fuentes http://www.st2000.net/cdocencia/numero002/art00209.pdf https://es.wikipedia.org/wiki/Teor%C3%ADa_de_juegos https://es.wikipedia.org/wiki/John_Forbes_Nash

https://centinela66.com/2012/04/29/que-es-la-destruccion-mutua-asegurada/ http://induoperacionesdos.blogspot.com/p/teoria-de-juegos.html http://apuntesinvestigaciondeoperaciones.blogspot.com/p/teoria-de-juegos.html

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