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Geometría Analítica Prof. María Elena Oaxaca Legarreta


Integra los elementos de una recta como Lugar Geométrico.  2.1. Ecuaciones y propiedades de la recta  2.1.1. Forma punto –pendiente  2.1.2 Forma pendiente ordenada al origen  2.1.3. Forma simétrica  2.1.4. Forma general de la ecuación de la recta  2.1.5 Forma normal de la ecuación de la recta.


2.1.1. Forma punto –pendiente • La pendiente: Expresa la razón de crecimiento constante o promedio de sus puntos. Este crecimiento puede ser positivo: La recta asciende a la derecha, siguiente figura:


2.1.1. Forma punto –pendiente  También puede ser negativo: La recta desciende a la derecha, observa la siguiente figura.


2.1.1. Forma punto –pendiente  Conocidos dos puntos de una recta A (x1, y1) y B (x2, y2), la pendiente m de una recta se obtiene mediante la razĂłn de incremento (Δđ?‘Ś =y2- y1) de los valores de “yâ€? con respecto del incremento en “xâ€? (Δx = đ?‘Ľ 2- x1)

Δy �= Δx


2.1.1. Forma punto –pendiente La pendiente indica geométricamente una relación entre desplazamientos verticales (sobre el eje Y) y desplazamientos horizontales (sobre el eje X).


2.1.1. Forma punto –pendiente La pendiente de esta recta es igual a 3/1, por lo tanto es de 3. Los puntos se mueven un lugar horizontalmente y tres lugares verticalmente.


2.1.1. Forma punto –pendiente  La pendiente de una recta horizontal, como la de la siguiente figura es igual a cero.


2.1.1. Forma punto –pendiente  Nota: Debes tener cuidado en tomar

como primer término de cada resta las coordenadas del mismo punto. Si no lo haces alterarás el signo de la pendiente y ésta no corresponderá a la de la recta. Cuando la recta es vertical la pendiente no se puede calcular, es decir no tienen pendiente.


2.1.1. Forma punto –pendiente  El ángulo de inclinación de la recta nos da la pendiente, por lo tanto utilizando la función trigonométrica de la tangente la obtienes, es decir la tangente del ángulo de inclinación es igual a la pendiente


2.1.1. Forma punto –pendiente  tg de 37º = 0.75, por lo tanto la pendiente de una recta que tiene un ángulo de inclinación de 37º es igual a 0.75 en fracción decimal, que puedes transformar a fracción común y sería una pendiente de ¾, con desplazamientos geométricos sobre el eje Y de 3 unidades y sobre X de 4 unidades.


2.1.1. Forma punto –pendiente  Si la pendiente es negativa, los desplazamientos sobre el eje Y serían hacia abajo cuando te desplaces a la derecha. Si la pendiente es positiva, los desplazamientos sobre Y serían hacia arriba cuando te desplaces a la derecha.


2.1.1. Forma punto –pendiente  Algebraicamente, esto significa que: a) En las rectas con pendiente positiva, al aumentar el valor de x, aumenta el valor de y. b) En las rectas con pendiente negativa, cuando x aumenta, y disminuye.


Pendientes de rectas paralelas  Rectas paralelas tienen siempre el mismo ángulo de inclinación. Por esta razón sus pendientes resultan ser iguales, como se muestra en la siguiente figura. L1

L2

m1=m2


Pendientes de rectas perpendiculares  Rectas perpendiculares tienen pendientes recíprocas y de signos contrario, como el caso que se muestra en la siguiente figura L1

L2

m1= - 1/m2


Ejemplos.- Primer caso rectas paralelas  Dos rectas AB y CD son paralelas la pendiente de AB=2 y la pendiente de CD deberá ser entonces igual a 2, porque AB y CD son paralelas y sus pendientes son iguales.

 Si L1 es paralela de L2 y L1 tiene pendiente de 3/2, entonces L2 también tiene pendiente de 3/2.


Ejemplos.- Segundo caso rectas perpendiculares  Dos rectas AB y CD son perpendiculares entre sí, la pendiente de AB es de 2, entonces el reciproco inverso de este valor será la pendiente de CD, es decir – ½.

 Si L1 es perpendicular de L2 y L1 tiene pendiente de 3/2, entonces L2 tiene pendiente de - 2/3. 


La recta como lugar geométrico  Un lugar geométrico puede pensarse como la figura generada por un punto móvil. Una recta es el lugar geométrico de los puntos que tienen entre sí la misma pendiente, que es una propiedad con la que cumplen.


La recta como lugar geométrico  Esta propiedad geométrica que caracteriza a una recta es que sus puntos no cambian de dirección. Esto significa que la pendiente entre dos cualesquiera de ellos es siempre la misma.


La recta como lugar geométrico  Si conocemos la pendiente m de la recta, y un punto de ella P1 (x1, y1), podemos interpretar algebraicamente esta condición de la siguiente manera: Para cualquier otro punto P (x, y) de la recta, la pendiente entre P y P1 debe ser igual a :

m = (y – y1) / (x – x1)


La recta como lugar geométrico  La ecuación de la recta de la forma punto-pendiente, que pasa por el punto P1 (x1, y1) tiene como ecuación:

y – y1 = m(x – x1)


2.1.2 Forma pendiente ordenada al origen  Para obtener la ecuación de una recta deberás obtener siempre su pendiente. Después de las rectas horizontales y verticales, la recta que pasa por el origen tiene la ecuación más simple.


La ecuación de la recta que pasa por el origen tiene la forma y = mx y su gráfica es

 En el modelo lineal pendiente – ordenada al origen es uno de los más simples y prácticos para describir una recta y dibujar su gráfica.


Intersección de una recta con el eje y Ecuación de una recta dada su pendiente y su intersección con el eje y.

 Con la pendiente m y la intersección – y (conocido como la ordenada al origen) de una recta, se obtiene su ecuación:

y = mx + b


Ejemplo  La recta con pendiente m = 3, y ordenada al origen b = 5, tiene por ecuación y = 3x + 5 y su gráfica es:


Ecuación pendiente-ordenada al origen  La ordenada al origen b, que en la ecuación es el valor numérico, es el punto de la recta, que al moverse sobre el eje y, genera una ecuación distinta  Se dice que las rectas paralelas con la misma inclinación (misma pendiente) forman una familia de rectas.


Ecuación pendiente-ordenada al origen  La recta representante de cada familia es la que pasa por el origen porque a partir de ella, sumando o restando la ordenada al origen, se obtienen las demås.


Ecuación pendiente-ordenada al origen  Si b es igual a cero, la recta pasa por el origen, si b es positivo dicha recta se desplaza hacia arriba sobre el eje y, si b es negativo la recta se desplaza hacia abajo. Manteniendo la recta la misma inclinación.


Ecuación pendiente-ordenada al origen En el ejemplo anterior las ecuaciones de las rectas serían:  La ecuación de la recta azul es: y = 3x + 5  La ecuación de la recta morada es: y = 3x  La ecuación de la recta amarilla es: y = 3x – 5


2.1.3. Forma simÊtrica  La ecuación de la recta en forma simÊtrica representa a las intersecciones con los ejes en su ecuación.

đ?’™ đ?’‚

đ?’š đ?’ƒ

+ = đ?&#x;? donde a, b ≠ 0


2.1.3. Forma simétrica Intersecciones de una recta con los ejes coordenados  En la siguiente imagen la abscisa al origen, es el cruce con el eje X, con coordenadas (4, 0) donde la recta intersecta al eje X y en la ecuación de la recta en la forma simétrica es el denominador de la variable X.


2.1.3. Forma simétrica Intersecciones de una recta con los ejes coordenados  La ordenada al origen, es el cruce con el eje Y, con coordenadas (0, 8) donde la recta intersecta al eje Y y en la ecuación de la recta en la forma simétrica es el denominador de la variable Y. como se muestra en la imagen


2.1.3. Forma simĂŠtrica


2.1.3. Forma simétrica  En este tipo de ecuación ni a, ni b pueden valer 0, es decir el origen está excluido de la forma simétrica de la ecuación de la recta.  Esto significa que para las rectas que pasan por el origen no existe la forma simétrica de su ecuación.


2.1.3. Forma simétrica Si se conocen las intersecciones de la recta en X y Y, su ecuación se obtiene sólo sustituyendo estos valores en la forma de la ecuación simétrica.


Ejemplos Las intersecciones de la recta son (- 10, 0) y (0, -5) đ?‘Ľ đ?‘Ž

đ?‘Ś đ?‘?

+ = 1, por lo tanto la ecuaciĂłn

sustituyendo las intersecciones serĂ­a: đ?‘Ľ đ?‘Ś + −10 −5

= 1 , es decir la ecuaciĂłn quedarĂ­a:

đ?’™ đ?’š − − =đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;“


2.1.4. Forma general de la ecuación de la recta  La ecuación de cualquier recta puede

escribirse como una ecuación de primer grado con dos variables.  En la forma general de la recta los términos con las variables quedan al lado izquierdo de la ecuación, como se muestra en la siguiente imagen y el término constante queda solo en el lado derecho del signo igual.


2.1.4. Forma general de la ecuaci贸n de la recta


2.1.4. Forma general de la ecuación de la recta  La forma general de la recta recibe este nombre por dos razones: a) Sin excepción alguna todas las ecuaciones de las rectas pueden escribirse de esta forma. b) Una vez simplificadas y escritas de este modo, las distintas formas de la ecuación de una misma recta coinciden.


2.1.4. Forma general de la ecuaciĂłn de la recta c) Dependiendo del acomodo de la ecuaciĂłn su nombre puede variar:  đ?‘¨đ?’™ + đ?‘Šđ?’š = đ?‘Ş se le conoce como forma estĂĄndar  đ?‘¨đ?’™ + đ?‘Šđ?’š + đ?‘Ş = đ?&#x;Ž se conoce como forma general


Conversión de la ecuación de una recta a la forma general y viceversa  Si la ecuación de la recta tiene todos los términos, la gráfica de esta cortará a los dos ejes del plano cartesiano. Si a la ecuación de la recta le falta el término constante (es decir el valor numérico, que representa a la ordenada al origen), la recta pasa por el origen del plano cartesiano.


Falta el tĂŠrmino constante (el valor numĂŠrico)


2.1.4. Forma general de la ecuación de la recta  Si a la ecuación de la recta le falta una de las dos variables, la gráfica de ésta será paralela a uno de los ejes.  Si falta la variable X, será paralela a este mismo eje.


2.1.4. Forma general de la ecuación de la recta Falta la variable y  Si falta la variable Y, será paralela a este mismo eje.


Para transformar cualquier ecuación lineal en la forma general la técnica consiste en: 1) Aislar términos con las variables y el término independiente. 2) Pasar del lado derecho del símbolo de igual, junto con la variable independiente (es decir el número), la variable x y la variable y. Recuerda que si cambias de lugar los términos, es decir al otro lado del símbolo de igual a la derecha deberás cambiar el signo de cada término que muevas.


Para transformar cualquier ecuaci贸n lineal en la forma general la t茅cnica consiste en:

3) Al final deben quedar todos los t茅rminos de la ecuaci贸n del lado derecho e igualar todo a cero.


2.1.6 Forma normal de la ecuaciĂłn de la recta.  Esta forma de la ecuaciĂłn permite saber a quĂŠ distancia del origen se encuentra una recta del origen.  La forma de la ecuaciĂłn de la recta se obtiene al dividir Ax + By = C entre Âą đ??´2 + đ??ľ2 , con igual signo que C.


2.1.6 Forma normal de la ecuación de la recta.  4x + 3y = 10, sustituyendo en el radical + 42 + 32 , tomando al radical positivo, porque C es positivo (es 10). El resultado del radical es 5.


2.1.6 Forma normal de la ecuación de la recta.  Por lo tanto la forma normal de la ecuación serå:

đ?&#x;’đ?’™ đ?&#x;‘đ?’š + =đ?&#x;? đ?&#x;“ đ?&#x;“  En la forma normal, los coeficientes y el tĂŠrmino constante proporcionan informaciĂłn relevante.


2.1.6 Forma normal de la ecuación de la recta. 1) El valor de 2, representa la distancia del origen a la recta y los valores 4/5 y 3/5 son el coseno y el seno del ángulo que forma esta distancia con la dirección positiva del eje x.

Así d = 2, cos α = 4/5, sen α = 3/5


2.1.6 Forma normal de la ecuación de la recta.

2) El radical ± 𝐴2 + 𝐵2 se llama módulo y se toma con el mismo signo de C para que la distancia resulte positiva.


2.1.6 Forma normal de la ecuación de la recta. 3) Con esta interpretación geométrica

la ecuación normal equivale a

x cos α + y sen α = d 4) La distancia d siempre se considera positiva.


Presentacindelarecta 100910192938 phpapp01