Page 1

2 0

9

3 Код

2 3 2012 Розв’язати нерівність: ( x − 1) ⋅ ( x − 1) ⋅ ( x − 1)... ⋅ ( x − 1) ≤ 0 . Розв’язання Розв’яжемо цю нерівність, скориставшись методом інтервалів. Відповідь: x ∈ ( − ∞;−1] ∪ {1}

1.

У підприємця працюють 10 робітників. Щомісяця він підвищує зарплатню дев’ятьом з них (на свій вибір) на одну гривню. Чи зможе підприємець таким чином зрівняти зарплатню працівників, якщо спочатку зарплатня у всіх була різною і виражалася цілим числом у гривнях? Розв’язання Розв’яжемо цю задачу шляхом логічних міркувань. Відповідь: ні, не зможе. 2.

В коло з центром в точці О вписано прямокутний трикутник АВС з гіпотенузою АВ . Нехай К – середина дуги ВС, яка не містить точки А. N – середина відрізка АС, М-точка перетину променя KN з колом. В точках А і С проведені дотичні до кола, що перетинаються в точці Е. Встановити: а) геометричне місце точок М, К, Е, О; б) градусну міру кута ЕМК. 3.

3 3 Розв’язати в натуральних числах x, y рівняння: x − y = xy + 61 .

4.

2 На координатній площині Oxy побудували графік функції y = x . Потім вісі координат стерли – залишилась тільки парабола. Як за допомогою циркуля та лінійки відновити вісі координат та одиницю довжини?

5.

Яку найбільшу площу може мати трикутник, сторони якого a, b, c знаходяться в межах: 0 ≤ a ≤ 1 ≤ b ≤ 2 ≤ c ≤ 3 ? Розв’язання Площу трикутника, сторони якого a, b, c, можна знайти за формулою Герона: 6.

S=

p ( p − a )( p − b )( p − c ) .

Площа буде найбільша, якщо a = 1, b = 2, c = 3.

p=

1+ 2 + 3 =3 2 . Тоді S = 3( 3 − 1)( 3 − 2)( 3 − 3) = 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 6

Відповідь: 6


7.

b = 3a + 3a 2 + a 3  2 3 Розв’язати у невід’ємних числах систему: a = 3b − 3b + b .

Знайти всі такі функції f , які визначені на множині всіх дійсних чисел і мають дійсні значення ( f : R → R ) такі, що при будь-яких x ∈ R та y ∈ R виконується 2 2 2 2 рівність: f ( x + y ) + x + y = f ( x + y ) + x + y . 8.

F ( x) = x + c ,

( )

f ( 0 ) + 2t 2 = f 2t 2 . . x ≥ 0.

Розв’язання де с – довільне число. Покладемо x = −t , y = t. Одержимо: Звідси f ( x ) = x + c , для деякої константи с і будь-якого дійсного

Отже, f ( x + y ) + x + y + c + x + y для будь-яких дійсних х та у. Звідси одержуємо, що f ( x ) = x + c для всіх x ∈ R . Перевірка показує, що всі такі функції задовольняють умову задачі. Відповідь: f ( x ) = x + c . 2

2

Двоє гравців грають в таку гру: беруть куб та три краски . Перший обирає три ребра куба і фарбує їх у червоний колір. Його партнер обирає три ребра з тих, що ще не пофарбовані і фарбує їх у зелений. Після цього знов три ребра в червоний фарбує починаючий, а потім три ребра в зелений фарбує його партнер. Забороняється перефарбовувати ребро у інший колір або фарбувати двічі однаковою фарбою. Виграє той, хто першим зуміє пофарбувати своєю фарбою всі ребра будь-якої грані. Чи вірно, що при правильній грі завжди може виграти перший гравець? Розв’язання Розв’яжемо цю задачу шляхом логічних міркувань. Відповідь: так. 9.

2 p p + 3 p + 11 – також просте 10. Знайти найменше додатне просте число , для якого число. Розв’язання Розв’яжемо цю задачу підбором. 2 Найменше просте число p=2, тоді p + 3 p + 11 = 4+6+11=21 . Це складене

число.

2 Наступне просте число р=3, тоді p + 3 p + 11 = 9+9+11=29. Це просте число. Відповідь: р=3.

6719  
Read more
Read more
Similar to
Popular now
Just for you