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Formas & Fórmulas Exposição no Museu Nacional de História Natural e da Ciência

Universidade de Lisboa 2012 / 2013


A matemática abre infinitos A matemática é arte, poesia, e transporta-nos para mundos que, sem ela, nos ficariam inacessíveis. No infinito da matemática ∞ criam-se as formas e as fórmulas que nos permitem ir mais longe na compreensão da vida, infinitamente pequena e infinitamente grande. Recordo a escrita de Carlos de Oliveira quando sublinha o cunho empírico, “selvagem”, da observação que representa o dia e a noite como duas metades redondas, de cor diferente, à semelhança do céu, e refere como é mágica a transformação dos círculos tangentes na sinusóide contínua: “Por duas razões. Uma óbvia: o círculo fechado sobre si mesmo (a serpente que morde a cauda, o mito de Migdar) liberta-se. Outra, menos aparente, que a forma de libertação contém. Sinusóide (do latim sinus, seio): o ondular dos seios, como se esta cosmogonia respirasse; o leite vital, o signo (signus) da Fecundidade, uma deusa criada aqui pela magia geométrica” O aprendiz de feiticeiro, 1971

A exposição Formas & Fórmulas abre-nos caminho pela beleza das linhas e revoluções, superfícies e construções, superfícies e complicações, imagens e visualizações. Da entrada à saída vivemos o ambiente de um concerto, que nos confirma a proximidade entre a matemática e a música. Como Pitágoras que, segundo a lenda, foi conduzido pela música ao raciocínio matemático. Para ele, como mais tarde para Platão, a matemática é um prolongamento dessa linguagem universal primeira que é a música.

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O sentido de universidade está por inteiro nesta exposição. Matemática/Música Música/Arte Arte/Ciência Ciência/Matemática A universidade é um espaço de ligação, de diálogo, de confronto. Nela, vivem todos os conhecimentos, todas as linguagens, todas as formas através das quais olhamos para vida e procuramos dar-lhe sentido. O teorema de Pitágoras, o cálculo infinitesimal desenvolvido por Isaac Newton e Gottfried Leibniz, a demonstração do teorema de Fermat são poderosas afirmações do espírito, diversas, mas tão magníficas quanto os mais admiráveis versos de Homero, de Camões ou de Milton - palavras ditas por José Pedro Serra no Doutoramento Honoris Causa de George Steiner na Universidade de Lisboa. A exposição Formas & Fórmulas é um magnífico exemplo da vida que deve existir dentro de uma universidade. A vida toda. Estão de parabéns os seus comissários – José Francisco Rodrigues, Oliver Labs e Suzana Nápoles – e as suas coordenadoras – Ana Maria Eiró e Cristina Luís – e todas as pessoas e instituições que a tornaram possível.

António Sampaio da Nóvoa Reitor, Universidade de Lisboa

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A Exposição Formas & Fórmulas foi produzida e inaugurada durante o período em que a direção do MUHNAC, Museu Nacional de História Natural e da Ciência, foi assegurada pelo Reitor da Universidade de Lisboa. Por este motivo, entendemos que o seu texto de abertura deste catálogo, “A matemática abre infinitos”, ocupa por direito próprio o lugar das palavras introdutórias da direção do Museu. Escrever mais seria um excesso, acrescentar seria inadequado. A atual direção do MUHNAC só tem que se congratular - agradecendo a todos os envolvidos - com a organização e sucesso da Exposição Formas & Fórmulas e com o facto de ela continuar viva e em permanente transformação e evolução. O Museu e as suas exposições são estruturas orgânicas, sistemas abertos e dinâmicos, em permanente interação simbiótica com a Universidade e a Sociedade, visando promover a curiosidade e a compreensão pública sobre a Natureza e a Ciência.

José Pedro Sousa Dias Presidente da Direção do MUHNAC, Museu Nacional de História Natural e da Ciência

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É com grande satisfação que a Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa - FCUL - se assume como parceiro nesta exposição no Museu Nacional de História Natural e da Ciência - MUHNAC, honrando a história e os espaços que foram o berço e o palco da FCUL durante quase um século. Com a exposição Formas & Fórmulas, o MUHNAC afirma-se como principal dinamizador de atividades de divulgação na área da matemática, na continuidade da missão clara assumida pelos anteriores espaços museológicos - Museu de Ciência da Universidade de Lisboa e Museu Nacional de História Natural. Motivar para a Ciência, em particular para a Matemática, a linguagem da natureza, é claramente um dos nossos objetivos enquanto escola de Ciência, vivendo o presente a olhar para o futuro, numa sociedade onde o conhecimento desempenha um papel determinante. Que esta colaboração perdure e se desenvolva, no presente e no futuro, encontrando o seu espaço no seio da nova Universidade de Lisboa.

José Manuel Pinto Paixão Diretor, Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa

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Bartolomeu Velho 1568

Sciencia nam eh outra cousa senão hum conhecimento habituado no entendimento: o qual se acquirio per demonstração: e demonstração he aquelle discurso que nos faz saber (...) Nem deue auer duuida no que nesta parte escreui: porque nenhua cousa he mais euidente: que ha demonstração mathematica: a que em nenhua maneyra se pode contrariar Pedro Nunes (1537)


Enquanto a Álgebra e a Geometria estiveram separadas, o seu progresso foi lento e o seu uso limitado; mas uma vez que estas ciências se uniram, elas deram uma à outra um apoio mútuo e rapidamente avançaram juntas para a perfeição

Joseph Louis Lagrange (1795)


A exposição Formas & Fórmulas mostra como imagens e conceitos da Geometria e da Álgebra interatuam e se completam, ligando fórmulas matemáticas com modelos geométricos, com objetos de uso comum e com formas de arquitetura. Se o seu objetivo central é mostrar que a matemática pode aproximar e traduzir em equações as formas naturais e as criadas pelo homem e, reciprocamente, permitir a visualização de formas geradas por equações, a exposição também cumpre a missão de introduzir alguns conceitos fundamentais da Matemática do Planeta Terra. Composta de quatro partes, inicia-se por uma evocação de Linhas e Revoluções, introduzindo curvas especiais, como as elipses, parábolas e hipérboles, cujas revoluções espaciais dão origem a superfícies com aplicações quotidianas, algumas com mais de dois milénios. Já Pedro Nunes escrevia no seu Tratado da Sphera, publicado em Lisboa em 1537, que “Sphera segundo Euclides he h~ u corpo que se causa pello mouim~ eto da circunfer~ ecia do meo circulo leuado per derredor ate tornar ao seu lugar: estando ho diametro quedo.” Nas duas partes centrais, Superfícies e Construções e Superfícies e Complicações, confrontam-se por um lado peças históricas únicas do século XIX, pertencentes à colecção do museu, com maquetas de arquitetura e formas naturais; exibem-se por outro lado modelos inéditos de conceção original, obtidos expressamente através de impressões tridimensionais de equações algébricas, mostrando formas misteriosas que, numa perspetiva já do século XXI, ilustram resultados matemáticos recentes e questionam a forma do espaço. Na parte final, as Imagens e Visualizações permitem uma intervenção lúdica do visitante através da manipulação interativa e instrutiva de formas e fórmulas, numa recriação expositiva do conceito IMAGINARY – through the eyes of mathematics. Esta quarta componente integra um filme sobre curvas elípticas e criptografia e, desde Maio de 2013, duas aplicações interativas e um filme criados no contexto da competição internacional MPE2013 (Mathematics of the Planet

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Earth). A Universidade de Lisboa associa-se, também deste modo, à iniciativa da Matemática do Planeta Terra 2013. Esta mostra, inaugurada em 31 de maio de 2012, é mais uma colaboração entre o Museu Nacional de História Natural e da Ciência e a Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa, através do Centro de Matemática e Aplicações Fundamentais, o qual, dando continuidade às iniciativas de divulgação da matemática desde o Ano Internacional da Matemática (WMY2000) com o projeto Matemática em Acção, tinha já promovido réplicas dos modelos oitocentistas de superfícies regradas da Escola Politécnica de Lisboa e uma recriação da exposição virtual de matemática, arte e computação gráfica Para Além da Terceira Dimensão, usando em particular parcerias internacionais. A exposição Formas & Fórmulas é o resultado de uma convergência rara de circunstâncias extraordinárias: uma ideia de conteúdo matemático ligando comunicação, património e inovação; a experiência museológica acumulada no anterior Museu de Ciência da Universidade de Lisboa; a competência e criatividade de arquitetura e design numa execução técnica de profissionais do mais alto nível; e parcerias nacionais e internacionais que estimularam uma equipa diversificada na procura de soluções adequadas e inovadoras para este desafio. Cabe referir as parcerias internacionais com o Mathematisches Forschungsinstitut Oberwolfach e o MO-Labs, e as colaborações nacionais com a Faculdade de Arquitetura da Universidade Técnica de Lisboa e o Museu da Ciência da Universidade de Coimbra. E, naturalmente, a exposição não teria sido possível sem os patrocínios e apoios financeiros da Agência Nacional para a Cultura Científica e Tecnológica - Ciência Viva, da Liberty Seguros, da Caixa Geral de Depósitos e da Fundação Calouste Gulbenkian.

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Linhas e revoluções “O céu deve ser necessariamente esférico, pois a esfera, sendo gerada pela rotação do círculo é, de todos os corpos, o mais perfeito” Aristóteles (384 AC – 322 AC)

Traçar retas e circunferências surge naturalmente quando uma criança faz as primeiras tentativas para representar a figura humana: retas para o corpo e membros, circunferências para a cabeça. Estes e outros exemplos tão comuns sugerem a associação empírica da circunferência a uma superfície esférica.

Geometricamente, estas superfícies resultam da revolução de circunferências em torno de um diâmetro. Mais geralmente, qualquer linha plana, direita ou curva, rodando em torno de uma reta do mesmo plano dá origem a uma superfície de revolução.

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As retas e as circunferências são as linhas geométricas mais fáceis de utilizar, pois os instrumentos necessários para as traçar são a régua e o compasso. Mas outras linhas foram descobertas ou inventadas pelos matemáticos gregos, à medida que surgiam problemas que não se resolviam utilizando apenas estes instrumentos.

Menaecmus, cerca de 340 AC, conseguiu duplicar o volume de um cubo através das intersecções de pares de curvas obtidas como secções planas de superfícies cónicas, nomeadamente parábolas, as quais em conjunto com as circunferências, elipses e hipérboles são designadas como cónicas.

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Segundo uma narração de Eratóstenes na obra “Platónico”, o problema da duplicação do cubo, um dos três problemas clássicos da geometria, terá tido origem numa recomendação do oráculo de Delfos para pôr fim a uma epidemia de peste que assolou Atenas no ano 430 AC. O oráculo recomendou a construção de um novo altar a Apolo, mantendo a forma cúbica, mas duplicando exatamente o seu volume.

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O problema da duplicação do cubo consiste em, conhecida a aresta de um cubo, construir com uma régua não graduada e um compasso a aresta de um outro cubo com o dobro do volume.

Designando por b a medida da aresta do cubo inicial e usando a geometria analítica — que surgiu no século XVII com Descartes e Fermat e permite associar números a pontos e equações a conjuntos de pontos — a medida k da aresta do cubo com o dobro do volume pode ser obtida como a abcissa do ponto de intersecção das parábolas de equação x2 = by e y2 = 2bx.

Se x2 = by, tem-se que y = x2/b, pelo que y2 = x4/b2. Como y2 = 2bx, resulta que x4/b2 = 2bx e assim x3 = 2b3. Fazendo x = k tem-se k3 = 2b3 , isto é, o cubo cuja aresta mede k tem o dobro do volume do cubo inicial.


Note-se que Menaecmus não resolveu o problema da duplicação do cubo tal como foi enunciado, isto é, com recurso apenas a régua não graduada e compasso. Recorreu a curvas que não se podem construir com estas ferramentas. Sabe-se hoje que, com essa condicionante, o problema não tem solução.

As cónicas e as superfícies de revolução que lhes estão associadas — o elipsoide de revolução por rotação de uma elipse, o paraboloide de revolução por rotação de uma parábola e o hiperboloide de uma ou duas folhas por rotação, consoante o eixo, de uma hipérbole — têm aplicações em contextos variados que as tornam presentes em diferentes civilizações ao longo de mais de dois milénios.

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Nas pontes verifica-se que arcos invertidos suportando cargas igualmente distribuídas têm a forma de parábolas. O arco, em forma de parábola, da Ponte da Arrábida, que liga o Porto a Vila Nova de Gaia, cobre um vão de 270 m, sendo, na data de conclusão da obra (1963), o maior arco em betão armado construído em qualquer ponte do mundo. A sua construção gerou, na época, muita polémica, questionando-se a segurança da estrutura. O seu autor, o engenheiro Edgar Cardoso, alvo de muitas críticas e incompreensões, afirmou:

“Toda a invenção, toda a inovação, é uma rutura contra os regulamentos”

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A forma assumida pelo cabo da ponte resulta do equilíbrio de três forças. A força TO, que não depende de x, a força TP e o peso W da secção do tabuleiro entre os pontos O e P. Este equilíbrio traduz-se por TP + TO = W. A força TP tem a direção da tangente ao cabo em P e a sua componente vertical tem módulo igual ao módulo de W, o qual é proporcional à abcissa x, no gráfico. Se k>0 denotar uma constante física característica da ponte, conclui-se que f’(x) = tg a(x) = kx, e o cabo assume a forma da parábola f(x) = kx2/2.


Normalmente associa-se a parábola à forma dos cabos de pontes de suspensão, como os que suportam o tabuleiro da ponte 25 de Abril em Lisboa, ou dos cabos elétricos suspensos nos cabos de alta tensão. Mas será que essa associação é verdadeira?

As aplicações modernas das cónicas surgiram no século XVII com trabalhos de Desargues, Kepler e Galileu. Desargues aprofundou o facto de todas as cónicas serem imagem em perspetiva de uma circunferência, Kepler enunciou em 1609 a lei das órbitas elípticas e Galileu mostrou que a trajetória de um projétil lançado obliquamente de baixo para cima é aproximadamente uma parábola. Galileu, pioneiro no estudo da física e da matemática das pontes, demonstrou que os cabos de uma ponte de suspensão assumem a forma de uma parábola.

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Em 1638 Galileu conjeturou que a forma adotada por uma corda ou cadeia inextensível suspensa a partir das suas extremidades e sujeita apenas à gravidade seria também a de uma parábola. Cerca de vinte anos mais tarde, Christiaan Huygens, então ainda muito jovem, demonstrou que isso não podia ser verdade. Numa carta a Leibniz, datada de Outubro de 1690, escreveu:

“Estou impaciente para ver os resultados que obteve no que respeita à forma de uma corda ou cadeia suspensa […] porque essa curva possui propriedades notáveis. Ocupei-me dela há muito tempo na minha juventude, quando tinha apenas 15 anos, e provei a Frei Mersenne que não se tratava de uma parábola.”

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Em 1691 Leibniz e Huygens verificaram tratar-se de uma curva que não pode ser descrita por uma equação do segundo grau, apesar da forma semelhante à de uma parábola. A sua identificação com a forma de uma cadeia (do latim catena) está na origem do seu nome, catenária, e será essa a razão pela qual os cabos elétricos suspensos em postes são designados por catenárias.

Enquanto as parábolas se exprimem através de polinómios do segundo grau, P(x) = ax2 + bx + c com a, b, c ∈IR, e são portanto curvas algébricas, as catenárias são curvas transcendentes e podem ser expressas como somas infinitas de monómios de grau par,

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Também a forma das pontes de corda, como a ponte Q’eshwachaka sobre o rio Apurimac, que data do Império Inca, se identifica com uma catenária. Esta ponte, feita exclusivamente usando uma corda tecida à mão com “ichu”, uma erva do planalto andino usada como forragem para gado, continua funcional, sendo todos os anos praticamente reconstruída pelas populações locais. A catenária invertida é, pela sua estabilidade, a curva ideal para construir arcos que suportem apenas o seu próprio peso. Esta característica, associada ao facto de se tratar de uma forma da natureza, levou a que Antoni Gaudí (1852-1926) a usasse repetidas vezes nas suas obras. Para construir os arcos catenários invertidos como, por exemplo, na Casa Milá, Gaudí usava moldes à escala. Para o efeito, suspendia uma corrente metálica pelas extremidades, copiava a sua forma e reproduzia-a ao contrário. Mas este arquiteto também recorreu a arcos parabólicos para suportar cargas igualmente distribuídas, como acontece nos arcos de entrada do Palácio Güell.

Catenária

Parábola

A utilização de sequências de arcos parabólicos por Santiago Calatrava para construir a estrutura de aço que sustenta a cobertura de vidro na galeria BCE Place, em Toronto (Canadá), transmite ao conjunto um certo revivalismo gótico conjugado com os materiais e as opções estruturais modernas, segundo uma tendência contemporânea da arquitetura: “Na arquitetura, não se pode ignorar a realidade dos fenómenos físicos, isto é, as leis da estática. A sua beleza baseia-se essencialmente na verdade, na racionalidade da estrutura.”

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Numa parábola, qualquer raio paralelo ao seu eixo reflete-se passando pelo foco, e qualquer raio emitido do foco reflete-se paralelamente ao eixo.

Embora sem confirmação histórica, conta-se que, durante o cerco de Siracusa, Arquimedes terá usado espelhos parabólicos concretizados pelos escudos dos soldados, em bronze ou cobre bem polidos, para refletir a luz do Sol de forma a concentrar os raios solares e incendiar os barcos sitiantes. Este episódio, a ser verdadeiro, coloca a descoberta da propriedade refletora da parábola pelo menos no século III AC. Esta propriedade continua presente na tecnologia contemporânea, como acontece nas antenas parabólicas para emissão e receção de sinal, nos faróis dos automóveis e nos fornos solares.

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As cónicas têm pontos especiais, os focos, que, além de permitirem defini-las geometricamente, lhes conferem propriedades refletoras. Estas propriedades são responsáveis pelas suas aplicações mais conhecidas, assim como das superfícies de revolução que lhes estão associadas. Numa elipse, qualquer raio emitido a partir de um foco reflete-se passando pelo outro foco.

A propriedade refletora da elipse é utilizada para a obtenção de boas condições acústicas, nomeadamente nas salas de espetáculo. A sala do Teatro Nacional de S. Carlos tem forma elíptica e foi concebida de modo a que os respetivos focos se situem na frente do palco e no lugar do rei.

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Numa hipérbole, qualquer raio emitido a partir de um foco reflete-se de modo a que o seu prolongamento passe pelo outro foco. A propriedade refletora da hipérbole é utilizada nos telescópios refletores.

O telescópio espacial Hubble, colocado em órbita em 1990 e ainda operacional, incorpora o design Ritchey-Chrétien, inventado em 1910, que consiste na utilização de dois espelhos hiperbólicos (associados ao hiperboloide de revolução com duas folhas). A construção dos espelhos iniciou-se em 1979 e prolongou-se até finais de 1981 pois é na precisão da sua modelação e polimento que reside a sua qualidade.

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As cónicas, enquanto conceito matemático, foram inventadas há mais de dois mil anos na procura de solução para um problema geométrico e foram estudadas enquanto objetos puramente matemáticos durante séculos. Com a criação do método da Geometria Analítica estabeleceu-se uma aliança da Geometria com a Álgebra através da associação de formas geométricas, as cónicas e as superfícies de revolução que elas geram, com as fórmulas que as descrevem. Com Kepler e Galileu surgiram ligações com o mundo físico na trajetória dos planetas, na modelação da trajetória de projéteis e na forma dos cabos das pontes de suspensão. O modo como o estudo destas formas foi evoluindo testemunha bem como a Geometria e a Álgebra interagem e se complementam.


Perspetiva Elipsoidal Uma nova perspetiva sobre a perspetiva A fotografia comum representa o espaço à nossa volta numa perspetiva geométrica retilínea, utilizando um plano como superfície de projeção. Mas existem variantes fotográficas que apresentam o espaço e os objetos de forma mais dinâmica e abrangente, através de distorções visuais, como na fotografia panorâmica ou na fotografia “olho de peixe”.

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O projeto NAADIR, da Faculdade de Arquitetura/UTL em colaboração com a Faculdade de Ciências/UL e o apoio da FCT, desenvolveu computacionalmente uma reformulação da perspetiva através do conceito de “sistema de perspetiva expandido”, utilizando uma superfície de projeção com geometria variável, fazendo variar de modo independente as suas duas curvaturas, deformando o plano em cilindros, elipsoides ou numa esfera. A Interface Interativa da exposição Formas & Fórmulas representa o espaço da Mãe de Água em Lisboa na nova perspetiva elipsoidal, permitindo variar as curvaturas horizontal e vertical, assim como a profundidade do campo visual.

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Linhas em revolução geram superfícies Se parábolas em rotação espacial em torno do seu eixo desenham paraboloides uma circunferência rodando em torno do seu centro fixo gera uma esfera. Analogamente, circunferências em revolução descentrada geram um toro, ou seja, a superfície de uma câmara de ar pode ser desenhada pela rotação de circunferências de raio fixo, mas menor que o da circunferência descrita pelos seus centros. Uma superfície regrada é gerada pelo movimento espacial de, pelo menos, uma reta e contém uma infinidade de retas. Um hiperboloide de uma folha é duplamente regrado, pois não só pode ser gerado por um segmento de reta inclinado em revolução, como em todo o ponto da sua superfície também se cruzam duas retas nela contidas.


Este pequeno filme da exposição mostra exemplos de superfícies de revolução e superfícies regradas a serem geradas por revoluções e/ou outras evoluções de retas no espaço, como uma superfície cúbica ou a célebre superfície de equação parametrizada no espaço (x,y,z) = (u, v3 + c v, uv + v5 + c v3), que dá origem a uma “torcida com ponto triplo” para valores negativos do parâmetro c.


Superfícies e Construções Visualizar superfícies regradas através de modelos geométricos, observar superfícies cilíndricas e helicoidais com modelos tridimensionais ilustrativos de coberturas e de escadas de caracol, é um meio eficaz para compreender as formas e as suas propriedades.

Muitas obras arquitetónicas, sobretudo as mais marcantes e inovadoras, são caraterizadas pela geometria do seu traço e das suas formas. A matemática das curvas e superfícies não só contribui para a compreensão e generalização de alguns elementos na arquitetura, como permite projetálos e recriá-los como novos objetos visuais.

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As superfícies regradas, tal como o hiperboloide de uma folha ou o paraboloide hiperbólico, são superfícies que apresentam vantagens estruturais utilizadas em obras de engenharia e na arquitetura desde o século XIX. Essas superfícies aparecem também em formas naturais, tal como no extraordinário caule da Welwitschia mirabilis ou na forma do dorso de um cavalo, em que assenta a sela. A Geometria Descritiva é um ramo da Geometria que tem como objetivo a representação bidimensional de objetos tridimensionais. Gaspard Monge (1746-1818), o introdutor desta geometria, construiu as suas bases na procura de soluções para problemas ligados à construção de fortificações. Ministrou os seus primeiros cursos na École Normale Supérieure e na École Polytechnique de Paris e construiu modelos estáticos para apoiar a sua lecionação. Théodore Olivier (1793-1853), um dos fundadores e professor da École Centrale des Arts et Manufactures, em Paris, foi aluno de Monge na École

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Polytechnique e inovador no ensino politécnico. Olivier privilegiou a visualização tridimensional das superfícies nas suas aulas de Geometria Descritiva, tendo ficado célebre pela criação de modelos de fios que permitem ao utilizador a modelação variável de superfícies, o que constituiu um notável contributo didático na época. A maioria destes modelos é formada por fios, com pesos nas extremidades, suspensos de braços metálicos móveis e montados sobre caixas de madeira. A sua manipulação, através do movimento dos fios, da análise do modo como as superfícies são geradas e dos seus cruzamentos, permite estudar as curvas que resultam de intersecções de superfícies.

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Em 1859 foi criada na Escola Politécnica de Lisboa a cadeira de Geometria Descritiva que teve um prestígio assinalável. No ano letivo 1860/61 o seu programa compreendia um estudo desenvolvido de superfícies, tais como cones, cilindros, conoides, paraboloides hiperbólicos e hiperboloides de uma folha.

Todas estas superfícies são regradas, ou seja, por qualquer um dos pontos de cada superfície passa pelo menos uma reta nela contida, pelo que estão bem ilustradas nas formas geradas pelos modelos de Théodore Olivier. Respondendo a uma solicitação do então regente da cadeira, Luiz Porfírio da Mota Pegado, a Escola Politécnica adquiriu uma coleção de vinte e dois destes modelos, representativos de várias superfícies regradas e suas intersecções. Esta coleção, que se encontra atualmente no Museu Nacional de História Natural e da Ciência da Universidade de Lisboa, tem peças muito raras e constitui uma das mais bem conservadas, mais antigas e completas coleções existentes no mundo.

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A utilização das superfícies regradas na arquitetura remonta aos primórdios da humanidade. Nos vestígios de castros existentes em Portugal é patente a planta circular das habitações. As casas tinham, na sua maioria, formato cilíndrico, com telhado cónico coberto de palha e suspenso por um pilar central de madeira. Além de facilitar a cobertura, este formato oferece maior estabilidade de construção e maior resistência a agressões. Do ponto-de-vista matemático, utilizar superfícies cilíndricas como paredes de um edifício permite otimizar o seu volume.

À introdução em obras arquitetónicas de outras superfícies regradas, como os hiperboloides de uma folha, os paraboloides hiperbólicos e os conoides, estáo associados os nomes de Vladimir Shukhov e Antoni Gaudí.

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O engenheiro e arquiteto russo Vladimir Shukhov (1853-1939), ao fazer o design de formas utilizando o mínimo de materiais, tempo e trabalho, deduziu matematicamente uma família de equações que correspondiam a superfícies com as características pretendidas: os hiperboloides de uma folha e os paraboloides hiperbólicos. Estas superfícies são duplamente regradas, isto é, por qualquer um dos seus pontos passam duas retas distintas nelas contidas. Podem assim ser construídas com malhas de vigas retilíneas, o que simplifica a sua concretização. Em 1896, por ocasião da Exposição de arte e indústria em Nizhny Novgorod, na Rússia, Shukhov construiu a primeira estrutura em forma de hiperboloide de uma folha: uma torre com 37 metros de altura formada por uma malha de aço e sustentando um reservatório no topo. Shukhov usou hiperboloides de uma folha noutras realizações notáveis, como a Torre Shabolovka, uma torre para transmissões radiofónicas, com 160 metros de altura, construída em Moscovo entre 1920 e 1922.

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Shukhov e Gaudí levaram a cabo experiências com este tipo de estruturas praticamente em simultâneo e de forma independente entre 1880 e 1895. É de realçar que também Gaudí (18521926) foi um estudioso de matemática, em especial de geometria. Na Sagrada Família, obra que assumiu em 1883, adotou soluções arquitetónicas inovadoras baseadas em superfícies regradas, nomeadamente nas abóbadas que são constituídas por hiperboloides entrelaçados. O hiperboloide de uma folha foi a forma escolhida por Óscar Niemeyer (1907-2012) para dar forma à Catedral de Brasília: “E mesmo não sendo católico eu me preocupei que quando a pessoa estivesse na nave visse o espaço infinito. Quer dizer, eu procurei uma ligação que para os católicos é importante, a ligação da nave, da terra com o céu.“

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Outra superfície regrada presente na obra de arquitetos célebres é o conoide. Trata-se de uma superfície regrada definida por um plano, uma reta (eixo do conoide) e uma curva, sendo formado por todas as retas paralelas ao plano que intersectam o eixo e a curva. Quando o eixo é perpendicular ao plano o conoide diz-se reto. Gaudí foi o primeiro arquiteto a usar conoides nas suas obras. A cobertura ondulada das Escolas da Sagrada Família, um dos edifícios anexos à Sagrada Família, inaugurado em 1909 e destinado a servir de escola aos filhos dos operários que trabalhavam na obra, é um conoide reto em que a curva definidora é uma curva de seno. Também as paredes laterais deste edifício usam a mesma forma, facto que contribuiu para uma considerável redução dos custos de construção. Santiago Calatrava (n. 1951) retomou a utilização desta superfície e associou-lhe movimento, criando uma escultura dinâmica, a onda, colocada em frente do museu Meadows em Dallas. Na cobertura das Bodegas Ysios em La Guardia (Espanha), Calatrava reproduz esta mesma superfície numa versão estática.

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Outro arquiteto espanhol, Felix Candela (1910-1997), privilegiou a utilização das superfícies regradas. É recordado pelas suas coberturas espetaculares em que usa paraboloides hiperbólicos. Estas coberturas são económicas do ponto de vista da matéria-prima (cimento armado), mas a concretização das cofragens em madeira, que traduzem afinal a sua estrutura regrada, exige grande quantidade de mão-de-obra. A primeira vez que Candela utilizou o paraboloide hiperbólico como solução para uma cobertura foi em 1951 no Pavilhão dos Raios Cósmicos. Este pavilhão, situado na Cidade Universitária, na cidade do México, tinha como fim albergar um laboratório que requeria uma cobertura

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cuja espessura não ultrapassasse 1,5 centímetros. Candela propôs a utilização de paraboloides hiperbólicos, argumentando que a forma geométrica desta superfície lhe conferia a rigidez necessária para permitir a construção de uma cobertura de espessura mínima. Foi a realização desta cobertura que deu ao seu autor fama internacional. Já no fim da vida deixou a sua marca no Oceanário da Cidade das Artes e das Ciências de Valência ao projetar as coberturas do edifício de acesso e do restaurante flutuante submarino recorrendo a paraboloides hiperbólicos. Mas a imaginação do arquiteto cria muitas vezes problemas estruturais difíceis de ultrapassar. Por exemplo, o Museu Guggenheim de Bilbao tem um design geométrico complexo formado por uma sequência de blocos que se interconectam. O seu autor, Frank Ghery (n. 1929), preocupouse mais com o efeito da forma do que com a sua concretização: ”A aleatoriedade das curvas destina-se a captar a luz”.

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Também nesse caso os progressos matemáticos, ao contribuirem decisivamente para o desenvolvimento de programas para cálculo computacional, têm permitido a concretização de formas complexas. No caso do Museu Guggenheim a solução adotada foi a construção e a justaposição de módulos parciais com estrutura regrada, para o que foi determinante a utilização de software especializado. O computador foi utilizado em todas as fases do projeto, tanto na vertente arquitetónica para a criação de modelos físicos, como na vertente de engenharia, para a análise estrutural dos módulos. Sem o computador e a matemática, que lhe serve de suporte, não teria sido possível construir a Torre de Cantão (Guangzhou), também ela com a forma de um hiperboloide, que tem 600 metros de altura desde 2010 e é, atualmente, a terceira estrutura mais alta construida pelo homem. Ver matemática na arquitetura não é apenas uma característica dos matemáticos, como testemunham as palavras de Santiago Calatrava, “Acredito que a geometria seja fundamental para entender a arquitetura”, pois, segundo a expressão do matemático alemão Rudolf Clebsch (1833-1872), “É a fruição da Forma que caracteriza o Geómetra”.

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Superfícies Curvas nas Construções do Homem As superfícies curvas estão presentes na arquitetura desde que o homem sentiu necessidade de construir um lugar para se resguardar das intempéries e se proteger dos inimigos. A concretização destas superfícies está em constante desenvolvimento, fruto da variedade dos materiais disponíveis e da crescente diversidade de opções estruturais que resultam da investigação nas áreas da matemática e da engenharia. O progresso científico nestas áreas, ao contribuir decisivamente para o desenvolvimento de programas de computador cada vez mais sofisticados, tem permitido a concretização das formas complexas que surgem na arquitetura contemporânea. É esta evolução que a sequência de imagens apresentada no filme “Superfícies curvas” pretende ilustrar.


Curvaturas, conexidades e deformações topológicas Deformando continuamente uma esfera, através da variação de uma das suas curvaturas positivas, obtém-se um elipsoide de revolução que degenera num cilindro quando essa curvatura se anula e dá lugar a um hiperboloide de uma folha quando ela se torna negativa, e vice-versa. Localmente uma superfície pode ser convexa (ou de curvatura positiva, ou elíptica) ou côncava (ou de curvatura negativa, ou hiperbólica), sendo a linha que eventualmente separa estas duas formas chamada linha parabólica (de curvatura nula). Neste caso, a linha parabólica está na intersecção da própria superfície com outra superfície, determinada pelo seu Hessiano, que traduz a sua curvatura no espaço.


Uma esfera é simplesmente conexa, porque qualquer laço sobre ela é sempre redutível a um ponto por uma deformação sem rotura, enquanto que o toro não o é, pois não tem esta propriedade e é apenas conexo. A matemática permite construir formas topológicas complexas como a garrafa de Klein (1882), que é uma superfície bidimensional, não orientável e sem fronteira, cuja imagem no nosso espaço se auto-intersecta. A animação computacional, através de projeções dinâmicas capazes de simular uma passagem do interior para o exterior de uma superfície em perspetiva de um toro espacial, permite imaginar o toro de dimensão quatro.


Superfícies e Complicações A complexidade das formas, as suas singularidades, a duas, três ou mais dimensões, suscitam temas de investigação matemática contemporânea. A representação bidimensional de objetos tridimensionais recorre a técnicas de perspetiva que alteram as medidas lineares e angulares, dificultando o reconhecimento espacial das propriedades geométricas.

Os modelos físicos de superfícies, obtidos através da impressão tridimensional feita a partir das suas fórmulas matemáticas, facilitam o seu estudo, têm utilizações no campo da arquitetura e do design e suscitam questões profundas sobre a forma do espaço.

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As superfícies algébricas, isto é, cujos pontos satisfazem uma fórmula polinomial, proporcionam um manancial de formas com forte componente estética. Quando Felix Klein apresentou, na Feira Mundial de Chicago, em 1893, modelos em gesso de superfícies algébricas, foram muitos os não matemáticos que ficaram fascinados com a sua beleza. As superfícies algébricas de segundo grau, as quádricas, têm equações do tipo a x2 + b y2 + c z2 + d x y + e x z + f y z + g x + h y + i z + j = 0, dependendo dos 10 coeficientes a, b, …, j. No entanto, as suas formas resumem-se a um pequeno número de formas-tipo (cilindro, cone, elipsoide, hiperboloides de uma e duas folhas, paraboloide e paraboloide hiperbólico), podendo todas as outras ser obtidas a partir destas por dilatações e contrações em diferentes direções.

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Já no caso das superfícies cúbicas, que constituem uma família de superfícies bem mais rica e complicada, estão em jogo 21 coeficientes, a, b, …, u, numa fórmula de terceiro grau do tipo a x3 + b y3 + c z3 + d x2 y + … + t z + u = 0, o que eleva consideravelmente a complexidade das suas formas. As superfícies cúbicas também podem ser regradas, mas as mais interessantes são as que não são regradas, pois podem ser completamente classificadas: existem essencialmente 45 tipos de formas e todas as outras se obtêm destas 45 por operações simples, tais como contrações e dilatações, entre outras. Este resultado apenas foi demonstrado por Knörrer e Miller em 1987, depois de mais de um século e meio de estudo das cúbicas, e foi, pela primeira vez, ilustrado de forma completa em modelos físicos em 2012, na galeria desta exposição.

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A variedade de formas das superfícies algébricas aumenta à medida que o seu grau aumenta, em particular com o aumento de pontos especiais, os pontos singulares ou singularidades, que limitam e mesmo inviabilizam a sua representação em modelos. Nas superfícies de segundo grau, apenas o duplo cone tem uma singularidade, que é exatamente o ponto comum aos dois cones. Mas, à medida que o grau aumenta, o número de singularidades também pode aumentar. Por exemplo, a Quintíca de Togliatti, superfície algébrica de grau 5 com a equação de W. Barth (1993)

(x 5 − 5x 4 z − 10x 3 y 2 − 10x 2 y 2 z+ 20x 2 z 3 + 5xy 4 −5y 4 z +20y 2 z 3 − 16z 5 ) /16 = = (−5/32)[x 2 + y 2 −((5−√5 )/20)+z−(1+√5 )z 2 ] 2

é uma superfície que apresenta 31 pontos singulares, o recorde máximo que o quinto grau admite. A presença destes pontos exige que, para que seja possível a sua visualização num modelo de impressão tridimensional, se faça uma versão “suavizada” da equação que “engrosse” os pontos singulares.

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Nestes casos o recorte a laser em blocos de vidro, também ele comandado computacionalmente pelas respetivas fórmulas matemáticas, permite uma visão mais realista das superfícies e das suas singularidades. Para cada grau, a obtenção de superfícies com um número máximo de singularidades é particularmente difícil. No século XIX, já eram bem conhecidas superfícies com o número máximo de singularidades até ao grau 4 (quárticas): máximo de 1 singularidade para as quádricas, 4 para as cúbicas e 16 para as quárticas. Mas só em 1980 e em 1996 é que se fixaram os recordes de grau 5 e 6, respetivamente com 31 e 65 singularidades. Para as superfícies de grau 7 existe um máximo teórico possível de 104 singularidades. No entanto, até hoje o recorde de singularidades da superfície de grau 7 é a Héptica de Labs, que tem 99 singularidades. A geometria do espaço local a que estamos habituados foi formulada por Euclides cerca de 300 AC. Tem o ponto, a reta e o plano como noções primitivas e apoia-se em postulados.

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O quinto postulado da geometria euclidiana, usualmente conhecido como postulado das paralelas, estabelece que por um ponto exterior a uma reta passa uma e uma só reta que não a interseta. Este postulado é equivalente à bem conhecida propriedade da soma dos ângulos internos de um triângulo construído sobre uma superfície plana totalizar 180º. Mas este postulado levantou dúvidas praticamente desde a sua formulação e, durante cerca de dois mil anos, muitos matemáticos tentaram demonstrar, sem êxito, que ele era uma consequência dos quatro primeiros. A sua independência só foi estabelecida no século XIX após os trabalhos de Gauss, Lobachevski, Bolyai e Riemann e conduziu à criação de novas geometrias aplicáveis a espaços “curvos”, nomeadamente à geometria elíptica e à geometria hiperbólica, das quais, respetivamente, a superfície da esfera e a sela constituem modelos. Imaginem-se sobre estas superfícies triângulos resultantes da união dos três vértices por curvas que correspondem, sobre essas superfícies, às linhas mais curtas entre cada par de vértices, a que continuaremos a chamar retas. A soma dos ângulos internos desses triângulos é, no caso da superfície esférica, superior a 180o e, no caso da sela, inferior a 180o. Por consequência, tanto a geometria elíptica como a hiperbólica não satisfazem o quinto postulado de Euclides e se, na primeira, por um ponto exterior a uma reta não passa nenhuma reta sem a intersetar, na segunda passa mais do que uma.

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Em conjunto com a geometria Euclidiana, também chamada parabólica, aquelas duas geometrias, denominadas não-Euclidianas, constituem os três únicos tipos de geometrias possíveis das superfícies, as quais são objetos matemáticos com duas dimensões.

Nas superfícies podemos definir localmente o sinal da sua curvatura intrínseca consoante o sinal do produto das duas curvaturas principais em cada ponto, i.e. a convexidade ou concavidade de duas linhas ortogonais nesse ponto: positiva, nula ou negativa. Estes três casos possíveis correspondem à soma dos ângulos internos dos seus respetivos triângulos ser maior, igual ou menor do que 180º. Nesta exposição os três tipos de superfícies são ilustrados, respetivamente, por um elipsoide, com as duas curvaturas principais do mesmo sinal e representando a geometria elíptica (ou esférica), por uma superfície desdobrável, com uma curvatura principal nula, representando a geometria parabólica (ou Euclidiana), e por uma sela (paraboloide hiperbólico), com uma curvatura principal positiva e outra negativa, representando a geometria hiperbólica.

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Se a duas dimensões podemos pensar em diferentes tipos de geometria definidos nas superfícies, coloca-se naturalmente a questão de saber se e como um espaço a três dimensões pode ser diferente do espaço euclidiano tridimensional habitual. Esta questão é muito mais rica e complexa, como mostra a simples comparação entre a superfície da esfera com a do toro, i.e. a forma de uma câmara de ar cheia, ou o exemplo do trifolioide que é uma superfície retorcida gerada por uma circunferência cujo centro descreve no espaço um trifólio, ou seja uma curva torsa e fechada que os matemáticos identificaram como o mais simples dos nós não triviais. Em matemática um nó é um objeto que consiste numa curva espacial fechada, que não se interseta e não se desfaz num laço simples sem roturas. Tem múltiplas aplicações na topologia, na geometria, na física e na química. O nó trifólio, também chamado nó de trevo, é obtido entrelaçando três vezes uma corda com duas revoluções através do buraco de um toro. É o primeiro nó não trivial e não é simétrico na reflexão num espelho. A superfície que envolve um nó trifólio, o trifoioide, e que resulta duma impressão tridimensional, tal como o toro que

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cobre um laço simples, apresenta uma parte com curvatura positiva e outra com curvatura negativa e contém duas linhas contínuas que as separam, onde a curvatura intrínseca (de Gauss) se anula, chamadas linhas parabólicas, as quais também são nós trifólios. A base matemática para tratar espaços geométricos, a duas ou mais dimensões, suscetíveis de serem deformados foi criada por Riemann em meados do século XIX. A partir de 1915, a teoria da relatividade geral de Einstein suscitou de novo a questão da geometria do espaço-tempo, em qualquer local no universo, relacionando-a em particular com a intensidade do campo gravítico. Na medida em que a geometria é concebida como a ciência das leis que regem as relações espaciais mútuas de corpos praticamente rígidos, pode ser considerada como o mais antigo ramo da física. (…) Já em meados do século passado, o génio de Riemann, solitário e incompreendido, tinha proposto um novo conceito de espaço, no qual o espaço perdia a sua rigidez, e admitia a possibilidade de participar em eventos físicos. (…) Albert Einstein (1934)

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Um dos resultados recentes e de maior impacto nas ciências matemáticas contemporâneas foi a demonstração em 2003, pelo matemático Grigory Perelman, de que, no essencial, os espaços só admitem oito tipos de geometrias possíveis, provando assim uma classificação conjeturada em 1982 por Thurston. A importância do resultado valeu em 2006 a medalha Fields (comparável ao prémio Nobel na matemática) a Perelman que, contudo, não a aceitou. Este triunfo da matemática foi o culminar de um notável programa de investigação em análise geométrica proposto por Richard Hamilton, em 1982, que teve como consequência a confirmação por Perelman da célebre Conjetura de Poincaré, o primeiro dos sete problemas do milénio a ser resolvido. Em 1904, este matemático francês havia conjeturado que se pode estabelecer uma correspondência contínua e biunívoca entre uma esfera tridimensional e qualquer espaço tridimensional fechado, em que todos os laços nele contidos podem ser contraídos até um ponto. A geometria esférica a três dimensões é a primeira das oito representações ilustradas por outras tantas impressões tridimensionais da exposição, a última das quais é uma fita de Möbius tripla, que representa a foliação “torcida” da geometria exótica batizada de “SOL” por Thurston. Quando se trata de pensar na forma do universo, os dados experimentais sugerem que, a uma escala suficientemente grande, o universo é homogéneo e isotrópico, isto é, todas as regiões do universo são semelhantes e as suas propriedades são semelhantes qualquer que seja a direção considerada.

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Com esta restrição apenas são admissíveis três das oito geometrias de Thurston (a elíptica, a euclidiana e a hiperbólica), mas ainda ficam em aberto várias possibilidades para a forma global do universo, incluindo a possibilidade de ter dimensões finitas ou infinitas. A escolha de qual das três geometrias será o modelo para o universo depende, no contexto da relatividade geral, da densidade de massa no universo. Curiosamente, consoante o modelo geométrico, a teoria prevê um destino a longo prazo: no modelo elíptico o universo acaba por colapsar por ação da gravidade, no modelo euclidiano expande-se sempre, mas com tendência a estabilizar, e no modelo hiperbólico expande-se indefinidamente. Qual será então a forma do universo? Qual será a sua geometria?

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O objeto da geometria é o estudo de um “grupo” particular, mas o conceito geral de grupo pré-existe no nosso espírito, pelo menos potencialmente. Impõe-se-nos, não como uma forma da nossa sensibilidade, mas como uma forma do nosso entendimento. Somente, de entre todos os grupos possíveis, temos de escolher aquele que será o padrão, por assim dizer, ao qual referiremos os fenómenos naturais.

Henri Poincaré (1902)


AnimaSurfer em 2012 Uma animação musical de superfícies algébricas Um limão aritmetizado pelo espaço sonoro abre caminho a um paraboloide hiperbólico que roda em liberdade sob o olhar da equação que o gera e introduz o Vis-à-Vis da álgebra com a geometria na música celestial. A quíntica, com os seus cones espaciais derivando de singularidades cósmicas, transporta cúbicas onde florescem ovaloides etéreos integrando rotações de hélices quárticas em movimentos harmónicos. Os vírus sexticos, a que sucedem folhas quínticas onde bate o coração do cosmos num tempo cronometrado por ampulhetas e confirmado pelas revoluções dos tetracones, estão na base das hépticas que flutuam pelo espaço-tempo numa sinfonia de formas regradas por fórmulas


Imagens e Visualizações Com a ajuda da imaginação visual podemos iluminar a variedade dos factos e dos problemas da geometria e, para além disso, é possível em muitos casos descrever os aspetos geométricos dos métodos de investigação e de demonstração, sem entrar necessariamente nos detalhes ligados às definições estritas dos conceitos e aos cálculos efetivos. David Hilbert (1932)

Esta observação, publicada no livro “Geometria e a Imaginação” em coautoria com H. Cohn-Vossen, é do célebre matemático David Hilbert e aparece na sequência de um curso de Geometria na Universidade de Göttingen, na Alemanha dos anos 1920’s. Ela constitui um significativo e complementar contraponto à publicação, dos “Fundamentos da Geometria”, também de Hilbert, em 1899, onde foi proposto um tratamento axiomático e completamente abstrato da Geometria, já após o aparecimento das geometrias não euclidianas, num âmbito mais geral dos fundamentos da própria matemática. A Imaginação aparece agora associada à Geometria, que, não sendo uma ciência experimental, fica deste modo enriquecida pela intuição e pela liberdade criativa.

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As atuais interfaces interativas permitem a visualização da forma e da sua relação direta com a respetiva fórmula que a gera e representa. É assim possível transmitir ao utilizador a expressão de certas fórmulas, para se obter uma determinada forma, e permitir a sua manipulação através da variação dos elementos que a compõem sem necessidade de previamente explicar conceitos ou realizar cálculos. A sua utilização abre novos horizontes à criação artística e arquitetónica, uma vez que torna visualmente acessíveis equações, superfícies e singularidades muito complexas. A sua base assenta no relacionamento, através de um sistema numérico de coordenadas, entre as relações geométricas, estudadas desde a antiguidade clássica, com a linguagem algébrica. Mas a semelhança das equações pode ser enganadora no que respeita à semelhança das formas. Por exemplo, as equações x2 + y2 + z2 = 1 e x2 + y2 - z2 = 1

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diferem apenas por uma troca de sinal e, no entanto, descrevem formas substancialmente distintas, a primeira uma superfície esférica e a segunda um hiperboloide de uma folha. Neste caso a explicação é simples, uma vez que ambas as superfícies são de revolução em torno do eixo dos z: a superfície esférica é gerada pela revolução da circunferência de equação y2 + z2 = 1 e o hiperboloide é gerado pela revolução da hipérbole de equação y2 - z2 = 1. A equação da ampulheta, uma vez que também resulta da revolução da curva plana de equação r2 = z4 – z6 , com z a variar entre -1 e 1, pode ser descrita pela superfície de equação x2 + y2 = z4 – z6 que também é de uma grande simplicidade.

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No entanto, as transformações podem ser bem mais imprevisíveis quando aumenta o grau de complexidade das formas, como se mostra através das imagens da galeria de quadros com superfícies matemáticas, iluminadas por trás, ou no quadro interativo com o programa SURFER, que permite ao utilizador gerar e manipular as superfícies algébricas através das suas fórmulas. O programa de utilização livre SURFER, desenvolvido para a exposição itinerante IMAGINARY, do Mathematischen Forchungsinstitut Oberwolfach, permite usufruir interativamente de uma nova experiência com a Geometria no que respeita às superfícies algébricas, proporcionando a criação de novas formas através da manipulação de fórmulas. http://www.imaginary.org A associação de equações a objetos concretos, como um limão ou um coração, em conjunto com a possibilidade de testar visualmente essas equações e as suas infinitas variantes, facilita a proximidade com a matemática e ajuda a estimular o interesse por esta ciência, desmistificando-a e ajudando a contrariar a visão habitual de algo unicamente abstrato e desligado da realidade.

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Um exemplo de uma recente aplicação da matemática abstrata, a teoria das curvas elípticas, é ilustrado num filme de arte e matemática sobre curvas algébricas e as suas aplicações à criptografia, como instrumento matemático para reforçar a segurança do comércio eletrónico e das comunicações digitais. O filme LPDJLQH D VHFUHW ilustra dinamicamente a beleza das interligações entre as formas e as formulas, através da animação computacional daquelas equações que geram belas evoluções de curvas e superfícies no espaço, as quais, associadas a uma sonoridade musical e original, estimulam a nossa imaginação e evocam a criatividade matemática. A Exposição Fórmulas & Fórmulas, que se iniciou em junho de 2012, prolonga-se este ano, incorporando três módulos da competição internacional MPE2013: um filme e dois módulos interativos sobre A Matemática do Planeta Terra, em relação direta com o tema da exposição. Estes foram selecionados para a respetiva exposição de fontes livres MPE Open Source Exhibition, a qual foi lançada a 5 de março de 2013 na UNESCO, em Paris e pode ser visitada virtualmente em http://imaginary.org/exhibition/mathematics-of-planet-earth

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Um filme de arte e matemática sobre curvas elípticas e criptografia Os triplos pitagóricos, por exemplo (3, 4, 5) ou (4961, 6480, 8161), eram já bem conhecidos na antiga Babilónia, cerca de 1600 AC, tal como a sua correspondência com o comprimento dos lados de um triângulo retângulo e o problema de partir um número quadrado na soma de dois quadrados. Apesar desses triplos terem sido estudados em detalhe no tempo de Euclides (300 AC), foi apenas em meados do século XVII que Pierre de Fermat observou: “Nenhum cubo se pode partir em dois cubos, nem nenhum biquadrado em dois biquadrados, nem, em geral, nenhuma potência maior que a segunda em duas outras do mesmo tipo”. Esta afirmação tornou-se no famoso “Último Teorema de Fermat”, estabelecendo que a equação AN + BN = CN não tem soluções inteiras não nulas quando N é maior que 2, e apenas foi completamente demonstrada em 1994, cerca de três séculos e meio mais tarde, usando a teoria das curvas elípticas do século XX ! As curvas elípticas são curvas planas do tipo y2 = x3 + a x + b que possuem propriedades belas e profundas, bem estudadas desde o século XIX. A essa equação corresponde a equação homogénea de grau três zy2 = x3 + a xz2 + b z3, a qual descreve no espaço uma família de superfícies algébricas com dois parâmetros a e b. A variação computacional desses parâmetros nessas equações gera belas animações que estimulam a nossa imaginação e evocam a nossa criatividade matemática. A criptografia trata de métodos seguros para transmitir e salvaguardar informação secreta e valiosa. Desde 1977 o sistema de chave pública RSA tem sido largamente usado e baseia-se na teoria dos números primos e na dificuldade de fatorização de números inteiros muito grandes. Com o impacto do método das curvas elípticas na fatorização de inteiros, os matemáticos inventaram, em 1985, um sistema de encriptação por curvas


elípticas, o ECC (Elliptic Curve Cryptography) e, desde então, a sofisticação matemática da criptografia foi elevada a um novo nível. A segurança dos algoritmos ECC é baseada no problema do logaritmo discreto na teoria das curvas elípticas, o qual é atualmente um problema muito mais difícil da aritmética em corpos finitos. Avanços matemáticos recentes implicam que um certo nível de segurança desejada pode ser atingida com chaves significativamente menores. Por exemplo, uma chave ECC de 160 bits fornece o mesmo nível de segurança que uma chave RSA de 1024 bits. A teoria das curvas elípticas ilustra a beleza das interligações entre a teoria dos números, a álgebra e a geometria, além de que fornece um poderoso instrumento matemático para reforçar a segurança do comércio eletrónico e das comunicações digitais. O velho e inseguro método de César para cifrar mensagens no alfabeto latino, que corresponde à simples operação aritmética d = c - 3 (mod 26), está ultrapassado, mas ainda nos dá a chave para decifrar o título deste filme.


Relógios de Sol, Matemática e Astronomia As ligações entre a matemática e a astronomia perdem-se no tempo com a observação das formas da esfera celeste. As fórmulas da trigonometria elementar permitiram determinar as distâncias relativas entre a Terra e o Sol e entre a Terra e a Lua, três séculos antes da era corrente. A variação da forma da sombra de um objeto ou de um comprimento de uma vara ao longo do dia e ao longo do ano, permitem os relógios de Sol medir o tempo. A fórmula do tempo, somando ou subtraindo 4 minutos por cada grau de longitude O ou E, permite estabelecer a relação entre o tempo solar e o tempo legal. O filme de 5 minutos sobre Relógios de Sol, Matemática e Astronomia conta algumas destas questões de Formas & Fórmulas nas relações entre a matemática e a astronomia.


Uma aplicação interativa sobre linhas de rumo e espirais Pedro Nunes, em 1537, foi pioneiro ao distinguir, na esfera terrestre, entre as linhas de rumo (as modernas loxodrómias) dos círculos máximos (ortodrómias), tendo usado uma roseta para as representar no plano. Enquanto que a loxodrómia é uma linha que cruza todos os meridianos segundo um ângulo (azimute) constante, a ortodrómia descreve a distância mais curta entre dois pontos numa superfície esférica. A aplicação interativa Loxodrómias e Espirais permite visualizar a diferença entre as loxodrómias e as ortodrómias, escolher um azimute e definir uma rota partindo de Lisboa, ou comparar as distâncias das rotas entre dois lugares da Terra segundo aquelas curvas. A projeção estereográfica, conhecida no tempo de Ptolomeu e dos matemáticos da antiguidade como projeção planisférica, projeta a superfície esférica a partir de um dos polos no plano tangente ao polo oposto. Esta projeção preserva os ângulos, i.e. é conforme, mas não mantém nem as distâncias entre pontos nem as áreas. As projeções planas das loxodrómias dependem da localização do foco C, correspondendo neste modulo interativo numa variação entre uma espiral logarítmica (com C no polo) e uma espiral de Poinsot (com C no infinito).


No seu “Tratado em defesam da carta de marear”, publicado em Lisboa, em 1537, Pedro Nunes representou a projeção de linhas de rumo num plano segundo azimutes de 45º e de 67,5º numa roseta. Este módulo, permite pela primeira vez confrontar as projeções das loxodrómias com aquela representação renascentista, lançando o desafio de descobrir o “foco”, ou ponto de perspetiva, do enigma da roseta de Pedro Nunes.


Uma aplicação interativa sobre distorções cartográficas A geometria da superfície terrestre não é euclidiana e não há forma de representar a esfera da Terra num plano sem deformar as distâncias, os ângulos ou as áreas. Com efeito, se planificarmos um triângulo esférico formado por segmentos de círculos máximos, cujos ângulos somam mais de 180º, os seus lados para continuarem a minimizar a distância entre os vértices correspondem a segmentos de reta e, assim, a soma dos ângulos do triângulo não se mantêm no plano, pois somam 180º. Uma primeira demonstração matemática utilizando análise infinitesimal de que não existem projeções cartográficas perfeitas foi publicada por Euler em 1778. As loxodrómias no globo terrestre são retas na projeção de Nunes-Mercator-Wright, a projeção conforme concebida por Pedro Nunes em 1566, realizada num mapa por Gerhard Mercator em 1569 e explicada matematicamente por Edward Wright em 1599. O módulo vencedor da competição internacional, A Esfera da Terra de Daniel Ramos, inclui uma aplicação interativa de visualizar as distorções da forma da Terra em seis projeções cartográficas: 1- cilíndrica equidistante (Plate Carrée, em que x é a longitude do meridiano central da projeção e y é a latitude); 2- cilíndrica conforme (dita


de Mercator, que preserva ângulos); 3- cilíndrica ortográfica (dita de Gall-Peters, que mantém áreas); 4- Azimutal equidistante (mantém distâncias relativamente a um ponto); 5- Gnomónica (cuja origem é o centro da Terra); 6- homalográfica (ou elíptica de Mollweide, que mantém áreas). Num mapa, as indicatrizes de Tissot são elipses que caraterizam as distorções que resultam de uma projeção cartográfica e servem para ilustrar as suas deformações. Nesta aplicação interativa, o utilizador descobre as diferentes deformações de seis projeções da Terra em qualquer dos seus pontos. Os círculos verdes dão lugar a elipses cujos eixos indicam as duas principais direções das variações de escala no mapa, ilustrando assim as distorções cartográficas.


Instrumentos manipuláveis Cone de Apolónio Autoria: F. Treceño, Tordesilhas 2012

Dispositivos para visualizar superfícies de revolução Dispositivo para ilustrar a propriedade refletora da parábola Dispositivo para desenhar elipses pelo “método do jardineiro” Autoria: Rui Abreu, Lisboa 2012

Modelo de paraboloide de revolução Autoria: Maquettree Studios, 2012

Modelo para gerar hiperboloides de uma folha Autoria: Maquettree Studios, 2012

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Instrumentos do acervo do MUHNAC Espelhos de Fizeau Museu Nacional de História Natural e da Ciência Universidade de Lisboa, MCUL 289

Elipsógrafo de Leonardo da Vinci Autor: Franz Reuleaux. Museu Nacional de História Natural e da Ciência Universidade de Lisboa, MCUL 3634

Modelos de arquitetura Rampa helicoidal aberta num volume cilíndrico Escada helicoidal Escada helicoidal aberta num volume cilíndrico Arco de volta perfeita de planta circular Moldura de vão Museu Nacional de História Natural e da Ciência Universidade de Lisboa

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MCUL 211

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Superfícies Regradas Modelos dinâmicos Autoria: Théodore Olivier, 1830 Fabricante: Fabre de Lagrange, Paris, 1861 Museu Nacional de História Natural e da Ciência Universidade de Lisboa

MCUL 1114

MCUL 1120

MCUL 1127

MCUL 1122

MCUL 1118

MCUL 1119


Caule de Welwitschia mirabilis Hook. f. Museu Nacional de História Natural e da Ciência Universidade de Lisboa, MUHNAC JB

Modelo Homotético /Ópera de Sidney (JørnUtzon) Autoria: Adriana Curado, Ana Rita Henriques, Sofia Neves FAUTL, 2012

Modelo Homotético / Pavilhão dos Raios Cósmicos (Felix Candela) Autoria: Adriana Sousa Duarte, Ana Catarina João, Cheila Cardim, Elodie Chouvet, Filipa Peralta e Tato FAUTL, 2012

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Modelos 3D Cúbica de Cayley, Quártica de Kummer Togliatti quintica, Sextica de Barth Recorte a laser em cubos de acrílico Design: O. Labs

45 superfícies cúbicas Modelos tridimensionais obtidos por impressão digital Design: O. Labs

Clebsch Cúbica , Vis-à-Vis, Cauda de Andorinha Tetraédrica, Togliatti Suave, Quártica Suave de Kummer Modelos tridimensionais obtidos por impressão digital Design: O. Labs

Trifolioide As 3 geometrias das superfícies bidimensionais As 8 geometrias dos espaços tridimensionais

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Multimédia

Elipses, Parábolas e Hiperboles Aplicação em GeoGebra Autor: Suzana Nápoles

M1 Linhas em revolução geram superfícies Conceito e coordenação: J.F. Rodrigues, O.Labs Filmes: O.Labs, T.Bantchoff, D.Cervone Edição: P. Mira Produção: CMAF/Universidade de Lisboa 2012 M2

Curvaturas, conexidades e deformações topológicas Conceito e coordenação: J.F. Rodrigues Filmes: O.Labs, T.Bantchoff, D.Cervone Edição: P. Mira Produção: CMAF/Universidade de Lisboa 2012 M3

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Perspetiva Elipsoidal Interface Interativa representando o espaço da Mãe de Água em Lisboa numa nova perspetiva do Projeto Naadir M4

FAUTL e FCUL; apoio: FCT http://naadir.fa.utl.pt

Superfícies Curvas Vídeo concebido no âmbito da exposição Formas & Fórmulas Conceito e sequência expositiva: Suzana Nápoles Projeto audiovisual: Pedro Mira M5

Maio de 2012 Produção: CMAF/Universidade de Lisboa 2012

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AnimaSurfer Filme de animação realizado a partir de formas geradas matematicamente com o programa “Surfer” Conceito de José Francisco Rodrigues M6

Imagem e vídeo: Armindo Moreira Banda sonora: Victor Fernandes Produção: CMAF/Universidade de Lisboa 2012

Superficies Algébricas Interativas Programa de utilização livre SURFER http://imaginary.org/program/surfer

M7

LPDJLQH D VHFUHW Um filme sobre arte e matemática sobre curvas elípticas e criptografia Conceção: J.F. Rodrigues, Armindo Monteiro, Victor Fernandes, Stephan Klaus Direção: Armindo Moreira, Victor Fernandes M8

Produção: Centro Internacional de Matemática 2010

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Módulos da Exposição Virtual MPE2013 Matemática do Planeta Terra

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Relógios de Sol, Matemática e Astronomia Conceito, textos e sequência do filme de 5 minutos: Suzana Nápoles e Margarida Oliveira Edição: P. Mira M8

Produção: FCUL/Universidade de Lisboa, 2012

Loxodrómias e Espirais Aplicação interativa em MatLab Equipa: José Francisco Rodrigues, Carlos Albuquerque, Bruno Almeida, Rui Lourenço e Sara Rodrigues Produção: CMAF/Universidade de Lisboa, 2012 M8 A Esfera da Terra Aplicação interativa em Python Autoria (programação e design): Daniel Ramos Produção: Museu de Matemàtiques de Catalunya, 2012 M8

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Ficha Técnica da Exposição ORGANIZAÇÃO Museu Nacional de História Natural e da Ciência Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa

COMISSÁRIOS José Francisco Rodrigues Oliver Labs Suzana Nápoles

ARQUITETURA Teresa Nunes da Ponte Karolinne Alves Matilde Cardoso

COORDENAÇÃO Ana Maria Eiró Cristina Luís

DESIGN GRÁFICO João Sotomayor

COLABORAÇÃO Ana Romão Andreas Matt Carlos Albuquerque Marta Lourenço Sofia Marçal

MULTIMÉDIA Armindo Moreira Pedro Ferreira Mira Victor Fernandes WEBSITE Sara Rodrigues Nelson Vassalo

APOIO INFORMÁTICO Sérgio Cláudio MODELOS Rui Abreu Maketree F. Treceño TRADUÇÕES Marta Soares Cardoso LUMINOTECNIA Vitor Vajão MONTAGEM E PRODUÇÃO GRÁFICA J. C. Sampaio

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O Museu Nacional de História Natural e da Ciência e a Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa agradecem a todos os que tornaram possível esta Exposição: Adriana Curado, Adriana Sousa Duarte, Alfonso Gonzalez, Ana Catarina João, Ana Guerreiro, Ana Paula Cláudio, Ana Rita Henriques, Augusto Melâneo, Auto Jagal, Beatriz Carmo, Carla Reis, Carlos Santos, Carlota Simões, Cheila Cardim, Christian Marques, Diogo Costa, Diogo Henriques, Elodie Chouvet, Eugénia Fronteira da Silva, Faculdade de Arquitetura da Universidade Técnica de Lisboa, Filipa Peralta e Tato, Filipe Paiva, Hugo Venade, João do Carmo Fialho, Joaquim Nabais, Joaquim Santos, José Luís Duarte, José Pedro Granadeiro, Luís Romão, Mafalda Madureira, Manuel Couceiro, Naadir Research Project, Orlando Neto, Paula Gualdrapa, Paulo Gama da Mota, Pedro Casaleiro, Pedro Martins, Rute Luís Coelho, Sandra Marques, Sara Garcia, Sofia Neves, Susana Ganhão, Teresa Chambel, Vítor Correia, Wilkinson Eyre Architects.

ISBN: 978-989-98300-1-1 Depósito Legal 1.000 exemplares

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Parceiros

Apoios

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Formas & Fórmulas — Catálogo da exposição  

Catálogo da exposição patente no Museu Nacional de História Natural e Ciência