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COMANDO DA AERONÁUTICA DEPARTAMENTO DE ENSINO ESCOLA PREPARATÓRIA DE CADETES DO AR CONCURSO DE ADMISSÃO AO

3o ANO

DO CPCAR 2004

04 - Considere a semicircunferência C da figura abaixo e a função real f definida em A = ]–a, 0 [ N ] 0, a[ que associa a cada x0 ∈ A a área da região limitada pelos eixos coordenados, pela semicircunferência C e pela reta x = x0. Baseado nesses dados, pode-se afirmar que a imagem de f é igual a

PROVA DE MATEMÁTICA 12 de agosto de 2003 Transcreva estes dados para seu cartão de respostas.

VERSÃO: A

ANO: 3 A

ATENÇÃO! ESTA PROVA CONTÉM 30 QUESTÕES.

0

01 - Um conjunto M tem x elementos e p subconjuntos. Um conjunto N tem 3 elementos a menos do que o conjunto M. Se q é o número de subconjuntos de N, então 8 1 = p q d) q = p − q

a) q = 3p

c)

b) q = 8p

02 - Analise as proposições abaixo V ( verdadeira ) ou F ( falsa ). I)

classificando-as

em

 − πa 2 πa2  , c)   4   4

 πa2  b)  0,  4  

 − πa 2 πa2  , d)   2   2

05 - Seja k um número real negativo. Então, o conjunto dos números reais x tais que

Se A = {a g û* s a < 7} e 2 B = {(x, y) i A s mdc (x, y) = 2}, então, é correto afirmar que o número de elementos de B é igual a 4.

II)

Num conjunto de 30 pessoas onde 5 são altas e gordas, 11 são baixas e 13 são gordas, tem-se 14 pessoas altas e magras.

III)

Se M, N e P são conjuntos não vazios tais que M – N = P, então, P N (M O N) = M.

A seqüência correta é a) F – F – V b) V – V – F

 πa 2  a) 0,  4  

c) V – F – F d) F – V – V

03 - A função real definida de A em B por y =

x −1 2−x

a) b) c) d)

x + k2 x −k ≥1 e <k+2 é k k

vazio. formado por um único elemento. ]4, + ∞[ ]–4, 2[

06 - A função f(x) = x + 2 + x + x – 5, definida de þ em þ+, a) possui conjunto imagem Im = {y ∈ þ s y ≥ 7} b) é sobrejetora. c) possui um máximo que se localiza em cima do eixo das ordenadas. d) é decrescente para todo x do intervalo [5, + ∞[ 07 - Sejam os gráficos das funções f, g , h (g // h) definidas em þ.

está

representada corretamente no seguinte gráfico: y

a)

c)

y

0

0

b)

x

x

y

y

d)

0 x

Analise as interseções de regiões do plano xOy, e assinale a alternativa correta. 0

x

a) x ≥ 0 ⇒ f(x) < g(x)

c) ∃ x i þ tal que, h(x) ≥ g(x)

b) x ≤ 0 ⇒ g(x) ≤ h(x)

h( x ) > f ( x ) d)  ⇒2<x≤3 h( x ) ≤ 0

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CPCAR 2004

PROVA DE MATEMÁTICA – 3º ANO – VERSÃO “A”

08 - Num terreno em forma de um triângulo retângulo com catetos medindo 20 e 30 metros, deseja-se construir uma casa retangular de dimensões x e y, conforme figura abaixo. O perímetro da casa, em metros, tendo a mesma ocupado a maior área possível, é igual a

10 - Analise as proposições classificando-as em V (verdadeira) ou F (falsa). O

I)

produto

(

2 1 + log

x2

das

raízes 2

)

 1   é igual a 10 =   log x −1   

da

equação

1 10

Se 5n = 2 , então log2 100 = 2(1 + n−1)

II)

Observando o gráfico de f ( x ) = logn x abaixo pode-se afirmar que o valor de f(256) = n

III)

a) 100 b) 150

2

0

c) 50 d) 25

A seqüência correta é 09 - Leia atentamente as seguintes afirmações:

 

 

Em radioatividade, define-se atividade A de uma amostra radioativa como sendo a velocidade de desintegração de seus átomos. A constante de desintegração λ representa a probabilidade de que um átomo do elemento se desintegre na unidade de tempo. A0 é a atividade de uma amostra no instante t0 e A é a atividade da amostra no instante t. –λ t

A função A = f(t) é representada por A = A0 . e o tempo e e = 2,7182...

, onde t é

a) V – V – V b) V – F – F

c) F – V – V d) F – V – F

11 - A solução real da equação 3x −

15

+ 3x −3 −

23

= 0 é um 3 x −2 a número racional irredutível escrito na forma , então a+b é b igual a

a) 2 b) 4

3

x −1

c) 7 d) 8

O gráfico que MELHOR representa A em função de t é: x

a)

12 - Se f ( x) =

c)

e +4 2

e −x

2

, então o domínio de f ( x ) é

Obs.: e = 2,7182... a) b) c) d)

0 b)

{x i þ s x < – e ou x > e} {x i þ s – e < x < e} {x i þ s x < –1 ou x > 1} {x i þ s –2 < x < 2}

0 d)

10 − y + 1

= x . Ao determinar y em função de x, 10 − y + 2 obtém-se uma função cujo o domínio é

13 - Seja a relação

a) IR *+

1  b)  ,1  2  0

0

1  c)  − ∞, 2  d) þ – {1}

  ∪ ] 1, + ∞[ 

14 - Analise as sentenças abaixo:

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I)

II)

PROVA DE MATEMÁTICA – 3º ANO – VERSÃO “A”

 π Seja f : [0, 1] → 0,  a função  2 f ( x ) = arcsen x . Então pode-se g( x ) = cos(arcsen x ) é crescente;

definida

por

afirmar

que

Se x ∈ [0, 2 π] então, a igualdade 4cos2x.senx.cosx = 0 apresenta nove zeros no conjunto-solução;

18 - Com relação às matrizes A e B, quadradas de ordem n e não nulas, marque (V) para as afirmativas verdadeiras e (F) para as falsas.

I) II) III)

1− 2 sen x

III)

 1 Se f: IR → IR é tal que f ( x ) =   2 1 assumido por f é ; 8

então, o mínimo

correto afirmar que seu Im = {y i þ  –1 < y < 1}.

(sen x + cos x )2 − 1

1 − sen 2 x conjunto imagem

V–F–V F–V–V

c) F – V – F d) V – F – F

é é

Estão corretas apenas a) I e II b) II e III

Se A tem uma linha nula, então AB tem uma linha nula. Se B possui uma linha ou uma coluna nula então ela é inversível. Sejam A e B matrizes inversíveis, de mesma ordem. Neste caso o produto AB é também inversível.

A seqüência correta é a) b)

IV) Em relação à função dada por y =

3

c) II e IV d) III e IV

 4 5 A =  . Determine a expressão do  2 1 determinante da matriz (A – αI), onde α i þ e I a matriz identidade. A soma dos valores de α para os quais det (A – αI) = 0 é dada por

19 - Seja a matriz

a) b)

15 - Se a curva da figura abaixo representa o gráfico de um período da função y = a + b cos (cx ) , (a,b,c i þ), então, o valor da área hachurada é

5 6

c) –1 d) –5

1 1  9 1 –1 20 - Sejam as matrizes A =   e P a inversa de  , P = 1 − 4 4 6  P. Se a matriz B é tal que B = P–1 A P, tem-se que a) b)

det B = 0 det B = –50

c) B é a matriz diagonal d) B = A

21 - Existem três tipos de aviões em uma empresa de aviação civil, sendo que:

   1 π (1 + 3 ) 3 1 π (1 + 3 ) b) 2

c) 3π (1 + 3 )

a)

d) π (1 + 3 )

16 - São dadas: uma progressão aritmética de primeiro termo igual a 1 e razão positiva r; uma progressão geométrica de primeiro termo igual a –1 e razão negativa q. Somando-se os termos correspondentes das duas progressões, obtém-se a seqüência (0, 5, 1, 15, ...). O décimo primeiro termo dessa seqüência é a) –1003 b) –985

c) 843 d) 1185

9

3

são progressões aritmética e geométrica, respectivamente, então a diferença entre o décimo termo de an e o nono termo de bn é a) –756 b) –270

c) 702 d) 756

Um empresário necessita para o transporte de seus funcionários, 11 compartimentos de classe A, 9 de classe B, 20 de classe C e não quer compartimentos vazios nos aviões. Se o aluguel de cada avião do tipo I custa 60 mil reais, do tipo II, 10 mil reais, e do tipo III, também 10 mil reais, quantos aviões ele deverá alugar gastando exatamente 100 mil reais? a) b)

4 6

c) 7 d) 5

22 - Os valores de a, de modo que o seguinte sistema nas incógnitas x, y e z tenha mais de uma solução ou para que não tenha solução, são, respectivamente,

17 - Se an = (log 1; log 0,001; log 1 729 ; ...) e bn = ( − 1 ; − 1 ; − 1;... ) , 3

O avião do tipo I tem 1 compartimento de classe A, 3 de classe B e 4 de classe C. O avião do tipo II tem 2, 3 e 5 compartimentos respectivamente, de classes A, B e C. O avião III tem 3 compartimentos de classe A, 3 compartimentos de classe C e não contém compartimentos da classe B.

x + y − z = 1  2 x + 3 y + az = 3 x + ay + 3 z = 2 

a) b)

a ≠ 2; a ≠ –3 a = 2; a = –3

c) a = –3; a = 2 d) a ≠ –3; a = 2

23 - De quantos modos 3 casais podem sentar-se ao redor de uma mesa circular de tal forma que marido e mulher não fiquem juntos? a) b)

12 120

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c) 72 d) 32


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PROVA DE MATEMÁTICA – 3º ANO – VERSÃO “A”

24 - Considere as proposições: Sendo A um conjunto com 3 elementos e B um conjunto com 5 elementos, existem 125 funções injetoras de A em B. II) O número de anagramas da palavra CLARA em que as letras AR aparecem juntas e nesta ordem é igual a 48. III) De um baralho de 12 cartas, das quais 4 são ases distintos (A-A-A-A), retiram-se 3 cartas ao acaso. A probabilidade de haver pelo menos um ás (A) entre as 41 cartas retiradas é de . 55

I)

29 - Pediu-se para calcular o volume de um cone circular reto, sabendo que as dimensões da geratriz, do raio da base e da altura estão, nessa ordem, em progressão aritmética. Por engano, ao calcular o volume do cone, usou-se a fórmula do volume do cilindro circular reto de mesmo raio e de mesma 3 altura do cone. O erro obtido foi de 4π m . A altura H e o raio R do cone valem, respectivamente, a)

H=

1 1 meR= m 8 2

c) H = 2m e R =

b)

H=

3 m e R = 2m 2

d) H =

Analisando cada uma delas, pode-se afirmar que a) b)

todas são verdadeiras. todas são falsas.

c) apenas I é falsa. d) apenas III é verdadeira.

25 - Dois dados não viciados são lançados, registrando-se o resultado como (x1 , x2), onde xi é o resultado do i-ésimo dado, i = 1,2. Considerando-se os dois eventos seguintes: A = {(x1 , x2) s x1 + x2 = 10} e B = {(x1 , x2) s x1 > x2}, a probabilidade de ocorrer o evento A ∩ B é de a) b)

1 36 5 144

32π 2 cm ³; 24π cm 3

c) 10π cm ³; 40π cm

2

b)

256π 2 cm ³; 32π cm 3

d) 32π cm ³; 24π cm

2

3 6

26 - No desenvolvimento de (a + b) , segundo as potências decrescentes de a, a razão do coeficiente binomial de certo 4 termo para o termo seguinte é . Então, a posição do 3 primeiro desses termos é a) b)

a

1 a 2

a

c) 3 a d) 4

27 - Analise as afirmativas abaixo, classificando-as em (V) verdadeira ou (F) falsa. Se um plano é perpendicular a outro, então ele é perpendicular a qualquer reta desse outro. II) Duas retas reversas podem ser ambas perpendiculares a uma mesma reta t. III) Se dois planos distintos são paralelos entre si, então toda reta de um é paralela a toda reta do outro plano. IV) Se uma reta é perpendicular a um plano, então ela é perpendicular a qualquer reta do plano.

I)

A seqüência correta é a) V – F – F – V b) F – V – F – F

1 1 meR= m 2 8

a)

12 1

d)

3 m 2

30 - Dada uma cunha esférica de diedro 45° e raio 4 cm, tem-se que o volume da cunha e a área de sua superfície são, respectivamente,

1

c)

4

c) F – V – F – V d) V – F – V – F

28 - Seja P uma pirâmide cujo vértice é o centro de uma das faces de um cubo de aresta a e cuja base é a face oposta. Então, pode-se afirmar que a) a área total da pirâmide é igual a área lateral do cubo. b) o volume da pirâmide é a metade do volume do cubo. c) o volume da região interna ao cubo e externa a pirâmide é 2 do volume do cubo. 3 d) a razão entre as áreas lateral da pirâmide e total do cubo é a2.

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