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UM LOUCO TRABALHO DIRIGIDO!!!!

Professor: Judson Santos Aluno(a): ____________________________________________________________________ nº _______________ Data: ________/________/2009

SUBSTITUIÇÕES TRIGONOMÉTRICAS A substituição trigonométrica é uma técnica muito utilizada nas integrações algébricas como também nas resoluções de equações e inequações algébricas no ensino médio. Ela se baseia no fato que as identidades trigonométricas muitas vezes possibilitam a substituição de uma função ou expressão algébrica por uma função trigonométrica, que levará a uma solução muito mas simples. Antes de resolvermos alguns problemas envolvendo substituição trigonométrica, é bom saber quais são as possíveis substituições adequadas. Uma maneira simples de descobrir tais substituições, consiste no uso das seguintes fórmulas abaixo.

Algumas propriedades trigonométricas úteis

1) sen2 x + cos2 x = 1 2)

tg 2 x + 1 = sec 2 x para x ≠

3) cot g 2 x + 1 = cos sec 2 x

2 cos 2 x − 1  4) cos 2 x = 1 − 2sen 2 x cos 2 x − sen 2 x 

π 2

+ kπ , k ∈ Z

para x ≠ kπ , k ∈ Z


5) cos 3x = 4 cos3 x − 3 cos x

6) tg 2 x =

2tgx 1 − tg 2 x

sen3x = 3senx − 4 sen3 x

e

tg 3x =

e

 x 2tg   2 7) senx = x 1 + tg 2   2

3tgx − tg 3 x 1 − 3tg 2 x

 x 1 − tg 2    2 cos x =  x 1 + tg 2   2

e

8)Se A, B e C são ângulos de um triângulo, então tan A + tan B + tan C = tan A ⋅ tan B ⋅ tan C ;

9)Se A, B e C são ângulos de um triângulo, então tan

A B B C C A tan + tan tan + tan ⋅ tan = 1 2 2 2 2 2 2

10)

.

− 1 ≤ senx ≤ 1

− 1 ≤ cos x ≤ 1

e

SESSÃO NÓ CEGO. Problema 01. Determine todas as soluções de

8x 3 − 6x − 1 = 0 .

Problema 02. (EUA) Determine todas as soluções reais de

(

6x + 8 1 − x 2 = 5 1+ x + 1 − x

).


Problema 03. (BALTIC WAY) Determine o menor valor da expressão: xy + x 1 − y 2 + y 1 − x 2 − (1 − x 2 )(1 − y 2 )

Problema 04. (ITA) Determine para quais valores de a a inequação

1− x2 ≥ a − x

admite solução.

Problema 05. (CANADA – ADAPTADA) Se a e b são números reais não nulos tais que a2 + b2 = a.b ≤ 2 − 1. 4. Então prove que a+b+2 Problema 06. (CANADA) Determine todas as soluções reais de

x2 +

x2

(x + 1)2

=3.

Problema 07. (EUA) Resolva o sistema

 1 1 1   3 x +  = 4 y +  = 5 z +  , xy + yz + zx = 1 . x y z   

Problema 08. (IME – 2009) Seja a uma constante real positiva. Resolva a equação

a . a + a 2 − x 2 + 3a . a − a 2 − x 2 = 2 2 .x , para x ∈ ℜ e 0 ≤ x ≤ a . a 3 2 Problema 09. RESP. : x =

(EUA) Defina f (x ) =

x 3 −1 x+ 3

. Determine g(x ) = f1of42 ofo... of (x ) . 43

Problema 10. Calcule o maior valor da expressão

2006 vezes

x −2 + 2 3− x .

RESP. : 5 Problema 11. (BULGARIA)A raiz real da equação 1 − x = 2 x 2 − 1 + 2 x. 1 − x 2 possui a forma

m+n p q

. Então o valor de m + n + p + q é igual a:

a) 13 RESP.: E

b) 14

c) 15

d) 16

Problema 12. (ROMENIA)Se 0 < x < 1 o valor máximo de x. 1 − x 2 é igual a:

e) 17


a )0

b)1

c)

1 2

d)

1 4

e)

1 8

RESP.: C

Problema 13. (MOLDAVIA)A diferença entre a maior e a menor raiz da equação 2+ x + 2−x 2 = é igual a: 2+ x − 2− x x a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 RESP.: D Problema 14.

(

e) 5

)

(Bielorrússia) O número de raízes da equação 9 − x 2 = 2.x 10 − x 2 − 1 é igual a: a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 d) 4 RESP.: D Problema 15. (AUSTRIA)Se x ∈ ℜ e 1 + mx = x + 1 − mx onde m é um parâmetro real, calcule os valores de m para os quais a equação admite solução não nula. RESP. : −1 ≤ m ≤ 1 Problema 16. (CANADA)O número de raízes reais da equação a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 RESP.: B

2 + 2 − 2 + x = x é igual a: e) 4

Problema 17. (MOLDÁVIA)Determine o valor máximo do produto x. y se os números reais x e y

(

)

(

)

satisfazem a relação: y. 1 + x 2 = x 1 − 4 y 2 − 1 .

Problema 18. (ARMÊNIA) Determine todas as soluções reais de RESP. :

1 x

2

+

(4 −

1 3x

)2

= 1.

2 3 2 3 , (1 − 2. cos 20°), 2 3 (1 + 2. cos 40°) e 2 3 (1 + 2. cos 80°) 3 3 3 3

Problema 19. Se 3x + 4y = 5, calcule o valor mínimo de x2 + y2 . RESP.: 01 Problema 20.


x 2 + y 2 = 1   3 1+ x 4 x − 3 x = 2 

Determine todas as soluções reais do sistema

Problema 21. Determine todas as soluções de 8x (2x 2 − 1)(8 x 4 − 8x 2 + 1) = 1 . Problema 22. Considere as seqüências definidas por x 1 = 2 , y 1 = 4 , z1 = 6 e 7

z n +1 =

2z n z n2 − 1

. Prove que, para todo n natural,

Problema 23. Dados x e y reais, prove que

.

x n +1 =

2x n x n2

−1

,

y n +1 =

2y n y n2 − 1

,

xn + y n + zn = x n y nzn .

1 (x + y )(1 − xy ) 1 ≤ ≤ . 2 1+ x2 1+ y 2 2

(

)(

)

Problema 24. (EUA) Se {xn } é uma seqüência que satisfaz a recorrência xn +1 =

3.xn − 1 , n ≥ 1. xn + 3

Prove que essa seqüência é periódica. Problema 25. (EUA) Resolva o sistema de equações nos reais. 1   x1 − x = 2 x2 1   1  x2 − x = 2 x3  2  x − 1 = 2x 4  3 x3  x − 1 = 2x 1  4 x4  kπ   2kπ   4kπ   8kπ  RESP. : x1 = cot g  , x2 = cot g  , x3 = cot g  , x4 = cot g   para k = 1 , 2 , .... , 14.  15   15   15   15  Problema 26. (EUA) Determine todas as soluções do sistema

 x 3 − 3x = y  . 3  y − 3y = z  3 z − 3z = x

Problema 27. 2 2 (CHINA)Se x e y são números reais que satisfazem a equação ( x + 5) + ( y − 12 ) = 142 , então o valor mínimo de x 2 + y 2 é igual a: a)2

b)1

c) 3

d) 2

e) 5


RESP.: B Problema 28. Determine todas as soluções reais de

2 x + x 2 y = y  2 2 y + y z = z  2 2z + z x = x

.

Problema 29. (BELGICA) Se x , y , z são números reais que satisfaz a equação x + y + z = x.y.z. Prove que x 1 − y 2 1 − z 2 + y 1 − z 2 1 − x 2 + z 1 − x 2 1 − y 2 = 4.x. y.z

(

)(

) (

)(

) (

Problema 30. (CANADA) Resolva a equação x 3 − 3 x =  4π  1 RESP. : x = 2 , 2 cos  , − 1+ 5 2  7 

(

)

)(

)

x + 2 nos reais.

Problema 31. (PERU)Se a , b , c ∈ [0 , 1] . Então o valor máximo da expressão:

a.b +

(1 − a )(1 − b )

a )1

é igual a: 1 b) 2

c)2

d)

1 3

e)

1 4

RESP.: A

Problema 32. (BULGARIA) Calcule o valor mínimo da função f ( x) =

x 2 − x + 1 + x 2 − 3. x + 1

RESP. : 2 Problema 33. (ARGENTINA)Calcule o valor máximo e mínimo de x + y tal que x 2 + y 2 = 1 . RESP.: MÁXIMO = 2

E

MINIMO = − 2

Problema 34 (ESPANHA)Prove que a desigualdade − 1 ≤

3.senx ≤ 1 é válida para qualquer x real. 2 + cos x

Problema 35. Qual o valor mínimo da função f ( x) = p. cos 2 x + q.senx. cos x + r.sen 2 x ?


1 a )  p + r + 2 1 b)  p + r − 2 1 c)  p − r + 2 1 d )  p + r + 2 1 e)  p + r + 2 RESP.: A

( p − r )2 + q 2  

( p + r )2 + q 2  

( p − r )2 + q 2  

( p + r )2 − q 2  

( p + r )2 − q 2  

Problema 36. Dois retângulos iguais, ambos inscrito na circunferência x 2 + y 2 = 1 , com seus eixos de simetria sobre os eixos x e y, respectivamente, sobrepões-se formando um quadrado ABCD, que é comum a ambos os retângulos. Se θ é o ângulo agudo formado entre uma diagonal e o eixo de simetria maior em cada retângulo, ache o valor de tgθ para que a área total dos quatros retângulos exteriores ao quadrado ABCD seja máxima. a )1

b) 2

c) 2 − 1

d)

2 −1

2 +1 2

e)

RESP.: C Problema 37. (EUA)O valor da expressão cos210º + cos250º + cos270º é igual a: 1 1 1 3 a) b) c) d) 4 2 8 4 RESP.: E

e)

3 2

Problema 38. (EUA)Sabendo que β é o valor da expressão 2 sen2° + 4 sen 4° + 6 sen6° + ......... + 178sen178° . Então o valor de β é igual a: cot g1° a) 1 b) 90 c) 178 d) 180 e) 0

RESP.: B Problema 39. Sabendo que L = cos3 1° + cos3 3° + cos3 5° + .... + cos 3 59° . Então  16  .sen1° .L é igual a:   3  a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 RESP.: C

o

valor

e) 5

de


Problema 40 n 3 1   4kπ  4  kπ O valor de H = ∑  + . cos  é igual a:  − sen  4  2n + 1    2n + 1  k =1  4 2n 6n − 5 5n − 5 n n a )3 − b) c) d) e) 5 32 16 16 16 RESP.: D


AULA N01 _Substituicoes trigonometricas