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CapĂ­tulo 11

RESPOSTAS 11.1 CapĂ­tulo 1 [1]         "!# $%    &'( $ )+*-,.0/-(21 $438 5L   

621 '87 9:5  ;<:= % >?  A@<# $-B --B  DCE% )F5GH7 I7 :JK M   N0 7O(P8 7 I 7QR8P 7 I RS)  LM (T M8  UDVXW) Y7 87 0Z)% [  [2]   \]RE  (!$  &<V^/-_a`b G3<_c`dfehg i_j`d k6<_l`mon8 94<_l`b i_j`p; [3]  Falso _j`pq#`m e r `s> 8 Falso _T`h  qt`u . [4]  g ;01 g -vw!1 g ,x&' g ?'vw/y g T3 g z%]){ 6 g 1 1'v|9: g )} ,w=<; , @<1> g 1 [8] Os pontos situados sobre a reta _~ q`j; , por exemplo 1 $ , 5  [;' , etc. [10] As retas sĂŁo paralelas, &Â&#x20AC;`Â  . [11] )qt#_KÂ&#x201A;X`Â&#x192; G<qtÂ&#x20AC;y_Â&#x201E;hÂ&#x2026;`Â&#x192; G!,)q#_Â&#x201E;Â&#x20AC;) #`Â&#x2020; Â&#x2021;&<<_Â&#x2C6;jqÂ&#x20AC;`Â&#x192; Â&#x2030;/y<qtc)_taÂ&#x2026;` Â&#x160;3<qGÂ&#x2039;_c`p . [12] 1 q^jy_Â&#x2C6;Â&#x2039;;]`p , [13] yqG,y_c1X`p , [15] < &< parĂĄbola,  43\ @< hipĂŠrbole, ! 494 4C Jt N0 cĂ­rculo, /y =\ 6 elipse, FÂ&#x152; um ponto. [17] <kÂ&#x2026;1g ~Â?Â&#x20AC;CÂ?Â&#x2039;1<g < 4Co`le|1<g  , [18] Co` e HI , [19] !S)Â&#x17D; Â? kÂ&#x2026;Â&#x17D;/NÂ&#x2021;Â?Â? !$Â&#x17D;/! Â?Â? &<Â&#x17D;/NÂ&#x2021;Â?Â? /-!S)Â&#x17D;'Â?Â? 3kÂ&#x2026;Â&#x17D;/NÂ&#x2021;Â?Â? !S)Â&#x17D; Â&#x152;Â&#x2018;D [24]  7 8 M g Â&#x2019; HM g Â&#x2019;! HM &'D [25] <qAf_^1>`# Â&#x160;<qxo_M ~vÂ&#x201C;`Â&#x20AC;8 Â&#x2021;!<_k_4Â&#x201D;|M `# Â&#x2021;&<<qAfq)Â&#x201D;` /y1)qk` g 1Â?_08 3I <qk`_AKx6<qÂ&#x160; g 1y_` 9:<qt`Â&#x2022; [26] a) Â&#x2013; YXÂ&#x2014;cÂ&#x2DC;Â&#x2014; Y Â&#x2013; b) Iu Â&#x2039; C<{ Â&#x2014; _+n Â&#x2013; 8 Â&#x2039; C<{ e 8 Â&#x2013; # C{ Â&#x2014; _AÂ&#x2122; H Â&#x2013; Â&#x2039; C{ b) 7 7 8 Â&#x2013; Â&#x2014;lÂ&#x2DC;Â&#x2014; Y Â&#x2013; [27] a) Â&#x2013; H M I IÂ&#x2013; Â&#x161;C<{ Â&#x2014; _ Â&#x2013; 8 Â&#x201E;C<{ e Â&#x2013; 8 Â&#x161;C<{ Â&#x2014; _ I Â&#x2013; Â&#x201E;C<{ c) Â&#x2013; Y Â&#x161; C<{ Â&#x2014; _ Y Â&#x2013; Â&#x201E; C<{ e n Y Â&#x2013; Â&#x201E; C<{ Â&#x2014; _7[7Y Â&#x2013; Â&#x161; C<{ d) Â&#x2013; H Â&#x2014; _ Â&#x2014; H Â&#x2013; [28] Â&#x2013; H [29] H 7 [30] 1 g  milhas

11.2

CapĂ­tulo 2

8   HÂ&#x203A;$Â&#x153; !<_ I {&< 7 Â&#x201D; Â&#x203A;Â&#x153; I Â&#x2013; I Â&#x2013; [2] V+ A   0/y\ )UDV+ 0VX!V  *$;.' V] * .A&<   \ 05  $ /yV+ AE $<3(  Â? (   6 'Â&#x201E; 1  \ (  \]R94E \] ,     = % Â&#x2030; 1 \]    @<V+ A   F5VoT* 8 I .' VoT*$;.C# $% G \]   \]Jt ,  5,  \ VÂ&#x161;N0(Â&#x17E;% [ T  yÂ&#x152; V S)# [;'t5? \] (  K  <U:V+ 0V [3] V , 3xÂ&#x2021;`Â&#x; e 3x 8I Â&#x2021;`c . [4] VÂ&#x201E;Â&#x161;*' 8n . , 8 7O Â&#x203A; Â&#x203A; 8 Â&#x203A; Q0n Â&#x203A; [5] Q(n ÂĄ O7 7 O P Â&#x153; 8 @<"]¢ Â&#x203A; Q H8[ÂŁ M ¢ Y Â&#x203A; Â&#x203A;¤ Qw7 Y ÂŁ [6] <_+ Â&#x160;<_ 8 oy_"o;!_B&'"Â&#x2039;Â&#x203A; 7 /y3+ Â&#x203A; H Q Â&#x203A;ÂĄ 8 6_ 8 )_+,+9:+ Â&#x203A; ÂĄ Q8 I Â&#x203A; Â&#x203A; Â&#x153; Q(Â&#x2122; = P Â&#x153; Â&#x203A; QR Â&#x203A; n O(7 <_ |_ 8 t'_Â&#x2C6; 8 !_Â&#x2C6;"Â&#x2026;Â&#x2021;&<mÂĽ 7 Â&#x203A; /-23 ÂĽ Â&#x203A; ÂĄ Q Â&#x203A;$ÂĽ ÂĄ 6<_ 8 Â&#x2C6;'_  8 Â&#x2026;Â&#x160;9: Â&#x203A; ÂĄ Q ÂĽ ÂĽÂ&#x153; Â&#x203A;Â&#x203A; Â&#x153;Q ÂĽ ÂĄ = P Â&#x153; ÂĽ QRÂĽ 7O Â&#x203A; P Â&#x153; 7Q Â&#x203A; O ÂĄ ÂĄ @<k΢ Â&#x203A; Q ÂĽ ÂĽ ÂŁ ¤ ¢ Â&#x203A; Â&#x203A; ¤ Q ÂĽ ÂŁ [7] [1] <_

1.4

2

1.2

1 1.2

1.5

1

1

0.5

0.8

0.8 0.6

1

0.6



-1

-0.5

-1.5

0.5

1



-1

-0.5

0.5

0.4

0.4

0.5

0.2 0.5

1

1.5

2

!$

381

0.2

-2

-1.5

-1

-0.5

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-0.5

-1

1

1.5


CAPÍTULO 11. RESPOSTAS

382

1

2

2

2

0.75

1.75

0.5

1.5

1.5

1

1.25

0.25

1

1

-1

-0.5

0.5

1

-1

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2

3

0.75 0.5

0.5

-0.5

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1

3

-0.75 -1

6

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-2

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2

4

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2

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1

1

94

2

0.25 0.5

1

1.5

2

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3

1.5

1 0.8

1

0.6

0.5

1

-1

0.4

1

0.75

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0.2

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1

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2

3

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2

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0.5

-0.5

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1 1.5 1

0.5 0.5 -2

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-1

1

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Jt [8] Não,

-0.5

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-1.5 -2

-1

S-J„Œ3‡`V  * . [9] 2

2

1

1

1.75

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0.75

1.5

1.5

0.5

1.25

1.25

0.25

1

1

0.5 0.25 1



0.75

0.75

0.5

0.5



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-1

1

2

0.25 -2

-1

1

2

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2

3

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6

1

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-0.25

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-0.5

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2

3

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6

-0.75

 

-1



8 y_‰…_ 8 ] y_w5 _ 8  8 ›   1)_G] _~‹ 1 _‰] _o‹ ž 01 _‰]  _o › ¡Q 8 [10]  ‹)_^ _ :  ž I › › O 8 8 se _ `Ÿ%/y 7Q ›¤ › O(7›Q ¤ › 0 _ L 3 7Q › ›$œ \7 O › ›œ _R › 7 œ se _ ` 26 › 7 …_ 8 X_ I 0 › 7 X_ 8  Q _ I › › QR7 _ 7 ” _l- se _ ` ^94 7Q › › ¤ A7O › › ¤ ( ›$7 ¤ se _ ` [11]  _ 8  _ ! e¦_ 8  1 _G€,  I I œ Ž/N‡_D &< [12] k`€1 `h H ^`l21 "` 8

    





4 3.5 3 2.5 2 1.5 1

[13] 8 P › 7 O H i0;4   1 _Klvo g _ 8  ~! [14] 

0.5

› ¡ Q H <&   -vB‚z)_T h › ¡ Qw7  3x_D"`l_ 8 € 6D_:"`j_ H  3x_:`j_ 8 …  ? 6D_:"`j_ FN‡_: 6D_:Š` 6D_:w/y 3x_D‡` › 7 6D_:Š`/ › 3 3x_:‡` ›$7 ¡ 2

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6

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; _ 8 /y › 8 se _ ` f3 h>)_ [15] O7 8 O ! 3x_D"`h1)_k‹, <6D_:` g ¤ _o&' 3x_:` 6D_:‡`€FN‡_: [16] _k]1)No]1 [17]

1

6

1

4

0.75 4 0.5

0.5

2 2 -2

-1

1

2

-3

-2

-1

1

2

1 -6

-0.5



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-4

-2

-2



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3

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-4

2 -2

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2 0.6

-6

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2

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6 0.4

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-2

-1

1

-0.25

2

-0.5 -0.75 -1

2

3

4

5

6


11.2. CAPĂ?TULO 2

383

  

  



[18] :*_

jV y_ ` Â&#x2013; 8 N|{Â&#x2019; [N A.G(Â&#x17E;  A!$\ &<Vjj* ./y:*$_ cV x7Â&#x203A; ` 3E $)6EGH 7 <87 <9:VÂ&#x201E;=)@<E  CV~Â * .|Cg 1 g )<o5  g  'Â&#x2030;Â&#x152; g 1  Â&#x203A; Â&#x203A; @< HÂ&#x203A; O M  &<D+ g _^#+/-f A Â&#x203A; I 8 , 32 g AÂ&#x2026;_f6 94 8 Â&#x203A; Â&#x203A; Q 8 = Â&#x203A; I Â&#x203A; Q I , C  Â&#x203A; ÂĄ O  O 7 \ 7 O P 7O



2

2

2

2

1.75

1.75

1.75

1.75

1.5

1.5

1.5

1.5

1.25

1.25

1.25

1.25

1

1

1

1

0.75

0.75

0.75

0.75

0.5

0.5

0.5

0.5



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-0.5

0.5

1

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0.25 -1

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-0.5

0.5

1

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 NÂ&#x201C;{Â&#x2019; N +i_ ` . Â&#x2013;8 #  [19] "Â&#x203A; 7  Â&#x203A; O Â&#x203A; 8 ! g ¤ _ Â&#x203A; O(7 F5 ÂĽ ÂĄ QR7 7O ÂĽ ÂĄ O7 [23]

0.25 -1

-0.5

0.5

1

[25] 1

1

1

0.5

0.5

0.5

1 0.75 0.5 0.25

-2

-1.5

-1

-0.5

-2

-1

1

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2

1

1.5

2

0.5 -0.5



-0.5



-1

-0.5

!$

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1

1.5

2

-0.25 -0.5

1

1 0.8

0.5

0.6 -2

-1

1

2

0.4

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0.5

1

1.5

-0.5

3

0.2

2

-1

[27]  Â&#x2030; Â&#x2013; 8 Â&#x2013; I  [29] a) 'Z6Â&#x17D;/N09RÂ?_: ĂŠ a função inversa da função Â&#x17D;/N090_: ; q#`b'Z6Â&#x17D;/N09RÂ?_: se e 8 Â&#x2026;)/ _o ` -O 8 somente se _`cÂ&#x17D;$/N09RÂ?q ; entĂŁo: _` , que ĂŠ equivalente a: / equação quadrĂĄtica 8 ; entĂŁo / `Â&#x2039;_f g _ 8  e qk`Â&#x20AC;FÂ?NÂ&#x2021;_>]g _ 8  ; em / , cujas soluçþes sĂŁo: / `Â&#x2039;_fe g _  . Mas / analogamente obtem-se as outras funçþes hiperbĂłlicas inversas. Os respectivos grĂĄficos sĂŁo:



   



2



2

1.5 1





1.5

0.5



2

2

1.5

1.5

1

1

0.5

0.5

1 -3

-2

-1

1

2

3

-1

-0.5

-0.5



-1.5 -2

1

2

3

4

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1

-4

-2

2 -0.5

-1

-1

0.5

-1



0.5 -0.5

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-1.5 -2

4

-1.5 -2

3

3 2.5

2

2

1

1.5 -1 1

/y



-0.5

0.5

0.5

0.2

[30] 3 :3 ĂŠ a identidade [31] 3x_:Â&#x160;`Â&#x160;_Ri

0.4

0.6

0.8

1

3

-2

Â&#x203A;OO  Â&#x203A;ÂĽ

-3

<  [! nĂŁo. [32] 3 O7 Â?_:A`

3

2

1

-3

-2

-1

1

2

3

4

-1

-2

-3

[35] 3

2

1

-2

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-1

1 -1

-2

1

-1

2



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[34]



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S-JÂ&#x201E;Â&#x152;3Â&#x2021;`V+ JÂ&#x161;53Â&#x2021;`


CAPĂ?TULO 11. RESPOSTAS

384

8 ¢ Â&#x203A;$ÂŁ ! / Â&#x203A; Â&#x203A;  7  8 8 Â&#x203A;  ÂĄ ¢ Â&#x203A;ÂŁ [37]  5 -  Â?;4 ;'|! -H 7 oÂ&#x2122;L  [38] 3xÂ?_:Â&#x2026;` 2} _Â&#x2C6;Â&#x;z e  7 Q 8 8 6Â?_:`h)_ ]v-_^]; [41] E I y [42] 5  [?)Â&#x152;i 3x5? "`l [43] !Â&#x201C;` I [46] Sim, periĂłdica de periĂłdo  , `b . [52] -) Â&#x2019;JG6 [53] Aprox. $1 ; anos. [54]  G`s / 7 7O Â&#x201D; Â&#x201D; H Â&#x2122; , vy }x6 [55]  1 1 dias [66] $? 1 , anos [57] -,)1 z',8 )1 , , , )? } ? e , } ,)} z [58] a) vy1 ? ,  doentes, 1 z); ;v ,y; doentes, b)   1 dias. [60] z  , ,  -  $zÂ&#x201E;$ 7 [36] 





11.3 CapĂ­tulo 3 F5 [2] C~` Â&#x201D;M Y Ck`c 1Â&#x2021;!$C~`Â&#x20AC;vy Â&#x160;&'C^`Â&#x20AC; [1] >Â&#x201E;,2A!%&'2/yg %3;Â&#x2019;6B 7 Â&#x201D;[7 Â&#x201D; Â&#x201D; 9:<;2=?+@<D+C % 7 M [3]M  NĂŁo, os domĂ­nios sĂŁo diferentes.  Sim. [4] <;% 77[7 !Â&#x2019;&<DÂ&#x2021;/yT 3Â f6Â&#x2021;9: := (@<"G}Â&#x160;CD F5 Y JKÂ&#x160;H7 N0sM 7 Y S)yJ U:12W) Â&#x2019;Z)g #"Â&#x17D; d7 8 Â&#x160;7  [5] Â&#x201C;eXg Â&#x2019; nĂŁo existe !X  [6] a) nĂŁo P ÂĽ Â&#x2122;





 

8 M existe b) existe c) existe Â&#x2019;&' M 7 /y+ 7 I 3D-w6DR9:Â&#x2021;t(= ÂĽ @< [7]  Â&#x160;1A!$AI7 &< Â&#x2021;/yÂ&#x2021;I7 3+XI7 6 94 = "@'C Â&#x201C;F5 Jt+N0 S) (U: Â&#x201C;W) Z)D%Â&#x17D;- 1  x_: [8] \ 4 ! 43\ 49:R=\ 4C F5 )U: Z)>  u&<\ 4/- 6\ @<\ DJK\ N0 S)\ W)RB Â&#x17D;-RB RB   B [9] R 7 Y I  7[Y 7 !$ I7 &<DÂ&#x2021;/- 7 8 3<;A60|;A940   7 I [ L M 8 8 Y7 =G H @< Â&#x160;CDF5H Â&#x2019;JK Â&#x2019;N0 [10] 1Â&#x160; Â&#x2021;! H &< Â&#x2021;/yGj36 Â&#x160;94/ = g /4@</ CÂ&#x2021;F5 Â&#x2019;JKFNÂ&#x2021;5, N0f uS)(U: Â&#x160;W)DÂ&#x2021;Z)/ O Â&#x17D;/ O(7 [11] Ambos os limites sĂŁo iguais: \ 4 &';Â&#x160;!\ :3|Â&#x2026;^6 Â&#x160;/-A87 9:|K;Â&#x2021;=D4@< [15] a) 1 }); ; y; e ; -v  b) ; ? 1 ?); [16] a)  [17]





-1.5

-1

4

4

4

4

3

3

3

3

2

2

2

2

1

1

1

1

-0.5



0.5

1

1.5

-1.5

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-0.5

0.5

1

1.5

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

1.5

-1.5

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-0.5

0.5

-1

-1

-1

-1

-2

-2

-2

-2



-3 -4

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-3 -4

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-3 -4

1

1.5

-3 -4

1

4 0.75 0.5

2

0.25 -4

-2

2

-4

4

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2

4

-0.25

-2 -0.5

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3

-0.75 -1

H

I

/-Â&#x17D;$/NÂ&#x2021;Â&#x152;Â&#x17D;$/NÂ&#x2021;3<8 ¢ [18] tl> P M !/w&' Â&#x2013; Desenhos correspondentes: 4

8ÂŁ

-4

[19] \  !&<\ :94 contĂ­nuas /y\ 3 6 descontĂ­nuas.

1

1

1

0.75

3

0.8 0.5

0.5

2

0.25

1 -4

-2

2

4

-6

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2

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6

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0.6 1

2

0.4

-0.25

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-0.5



-3 -4

-0.5

!

-1

0.2

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-0.75 -1

8

-6

-4

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2

4

6

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20

6 4

1

10

2 0.5

1

1.5

2

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-1

1

2

3

-1

1

2

3

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-10

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-4 -6 -8

3

-20

6

-1

-2

 }2!\ 4/-0&'%3, . [22] \ 4\ ! /y\ 43 , g) nĂŁo d) sim [23] \ ! /yV^ , &'V  * . R 3# Â&#x2021; E   [24] \ :! /y3 sim. [25] 3x5 o`m . [26] 3x5 ~` Â&#x2013; 8 [27] 3x5 o` 87 3x5 ~` Â&#x2021;!3x |`  [28] 6 ĂŠ contĂ­nua pois 6Â?_D` _ [29] Por exemplo: Â&#x203A; 7 e Â&#x203A; ÂĄ Â&#x203A; O(7 [31] Sim, considere a função 6Â?_:A`3xÂ?_Dx nI [33]




11.4. CAPÍTULO 4

385

2

1 14 12

0.8 1.5

10 0.6 8

1







0.5

3`€3x 

-4

-2

2

4

6k`#6 

4

6

0.4

0.2

-4

-2

2



4

2 -4

-2

2

4

[35] Tome 6_:‡`c3x_Dx„_ e aplique o TVI a 6 . [36] Tome 9R_DŠ`c3x_:’ 6_D e aplique o TVI a 9 .

11.4 Capítulo 4 [1] <qf‹} _G€$ G`a >y_o

qfjk`a Š!<q~ ,)_~ ;t`a B&'y_tXq~]}G`a >/-qf _…`‚ Š3q~…; _X`¦ 6<; q‹_ #1]` o94)q~€_T#,X` ^=g 1)qy_TjT`d >@<<qo¦T`b ‰C<qG€)_jX` ~F5<q‹_  š`m ~Jtqol{_h`† ‰N01)q#_T1‹`ƒ oS)<; q‰c_T1‹`† BU: g -q‰c_T1‹`ƒ oW))qt#_K‚…`† Z)yqo€; _ˆ#,…` [2] `be|} . [3] qG‹} _€?…`p  qo} _c?š` . [4] _c`†;4 q‰‹; z _Kl)zš` 8 [5] <q^cy_ˆ#š`  yqG _tŸK`  <q‰‹/_ˆ‹ /ˆ`  /q^_ˆ‹/ ŸK`  !<qGcˆ`  _€`  &<<qAKy_| – 8 `  yq"o_|o{t`€ ‡/y)qAo_|ˆ%`€  qAK)_‰1`€ 23<qŠ{_‰{(FN‡{0‡`€  {q‰_tFN‡{0’` x6<qt_ˆ‚fFN‡5 t`m  qGc_T¦>€FN‡5 t`ƒ t94qcz)_ˆjz‹`s  z)q‰j_„h]`ƒ [6] Uma reta 8 MH passando pela origem é da forma qš` C+_ ; use o fato que8 _4q 8 qš` 8 .  $}'\  I <7 ™  0% [1);< . [7] q+k; _+ %`  qA^; _"o;>`€ . [8] 655 ‡`; . [9] 65_:Š`€3x_  )_ 3Œ_  . [10] <<655 ‡`Ÿ ‡Œ1'‡`€ z . 8 O  Q  ¡ ¢ ¡ O  £ [11]               7 ¡              c) [12] <('>_:'k,)_w‰$ )_  ”

¤ ¡ ¡ ; _ I c $_ H v-_ M ‡1)_ 8 5,)_ 8 ‹1 _ M  _ I c- 8 !$ Y ›œ Q0™I ›› Q H£ ¡ › O7 &< M › O L ›  O 8 7 › Q I › L ¡ › OI £ › ¡ O7 8 ›$œ Q(™ › O 8 › ¢ QR7 ¢ H O Y Y› I› ¡ H 8 I Y 8 [13] D, 51)_‰€,  ™ v)_ €1 ; _ #1 _Kc- !G#y;:}k 1 _: n &'1 )_w1)_ #;< /y ¢ H O Y O › Q I O › ¡ Q › œ £ ¡ 3_ 8  -_ I j)_:5_ 8  51)_ 8 j h; _R_ I ly_:[6$z)_ 8 _ I c}' 8 Ž$/-! 8 _ I c}' I  6_ I c}' I  ¡ ¡ ¤ 9: I › › Q I Y  ›› O:n8 R=  M Y 8 ¢ › I › O £8  £ @<> › ¡ 7Q› 8 › £ ¡ C ›  ¢ › › œ Qw7 I £ › ¢ › £QR 7 £œ $z'"  ,'v-_f]} 1 _ 8  y_ I   ? ? _ H ];-vy_ M  O O ¢ QR7 ¢ QR7 ¢ Q Q(n £   _ Y ‹$z)_ n X$_ L  [14] <, › O7 FN‡5, 0 7O 8 › , O 8 › FN‡$ '$ › ]- › ‹- 8 › ‹R! › 8 M £ &' 7Q <H ¢ £ ¤  <  ¢    ¢ /y › 7 › ¡ 3 690_:'6FN‡$ '09: › 7 ›£ =/ › !S)Ž'/ › :@< › 7 / › !S)Ž'FN‡_DRX_:Ž/N‡FN‡_D Q <¢ › Q H £ › ¢ › Q 8 £ ¢ 8 › ¡ Q 8 › O7 £ 3_ 8  › 5wFN‡_ 8  I› ¡ › 8 ›£ œ [15]  8 P › œ Q 8 D$z‡¢¢ › Q(n £  !_ O _4FN‡_:'G_%K-D&'"› 7 1 <¢ FN‡1'D/- ¢ 8 › QR7 £ ¡ ¡ › › 8 8 6<_ Qw7 A]FN‡_ x94_ O „FN‡_D0= Ž$/N O7 _:_4!S)Ž _:’]FN‡5Ž/N‡_D[Ž$/N‡_:  @<<_ O(7 / › :‰_4FN‡_:[C!S)Ž ¢ ›$£ O7 _:!S)Ž 8 _DFN‡!S)Ž'_D<oŽ/N 8 _:[F5+¢ <¢ ›£› £  :GFN‡FN‡_:[ [16] +  ¡ ¢ ›£  ¢ ›£  !  ¢ ›£  ¢ ›$£ ! Ž$/-!)Œy_D 65y_D(&< !  I ¢ œ £ g 7O  ¡ ¢ ›£ g 8 O !  ¡ ¢ ›£ ” /y!S 65)_:x…y_%!S)Ž$/-! 8 5)_:w3 7 I !S)Ž H  ›I [Ž/$N‡ ›I !S)Ž M  › I x -6D-y_Ž/-! I 5)_ 8  65)_ 8  ¡ 9:% ›  ¢ P › 7O¡ › ¡ £ =5!S 6D_::t!S)Ž/-!)5)_:5 !S 6DŒy_D!S)Ž/-!)5)_::t!S)Ž/-! 8 _::@< 8 7 › Ž/N‡5 g _(CŽ/-! 8 _: P P ¡ 7\O F5 8 !  ¡ ¢ £ JKk › 8 œ !S)Ž'A› 7 ¡ 0N0y_Ž/-!)_ 8 [Ž/! 8 5Ž/-!)_ 8  6_ 8  I   œ ¢ ¡[£ S)k › H œ Ž$/-! 8  ›7 ¡  6 ›7 ¡ U:k…y_!S)Ž/! 8 5Ž/-!)_ 8 [Ž/-!)_ 8  6D_ 8 0W) › ¥ 7 £ ›$£ Z) › 7 ›£ [18] <f ›¡ 7 QR7  ¢  ¢ <¢  ¥ "  <› ¢ ¡ ›£ ! › ¤ 8 › &'k › ¡ 7 QR7 QR7 P 7O /y › ¡ 7 3~ › M ¡ !S)Ž-90 ›M R6}5!S)Ž-9051)_DŽ/N09051)_:‡…!S)Ž'1)_DŽ/N‡1 _:Š94D})_w; _ 8 X1'Ž/-!9 8 ; _ 8 X1  8 w=^ 8 ¢ › ¡ OQR7 7 £ @<'Z6<!S)Ž9R_DxC H› F5 8 › JK 8 › ¥ "  !   ¢ › ¡ £ H O ›$¤ 7\O ›$¤ ¢ ›¡ Qw7 £›¡ P ›$¤ O(7 8 8 I› ¡ 8› 8 N0 › &< 8 › Q I › ¡ ¡ Q Y › œ Q I \¤ /y| œ¡ !S)Ž/-!9R P 7Q7 ›$¡ !S 690 P 7Q7 ›$¡  [19] |t_ q O 4| › ¡ Q Q 8 $!$“ › £ ¡ ¢ 7Q ¡ ¡ ¡ ¡ R3| › 6 7 9: 7QI 8 œ › QI › 8 › 8 £ =| › @< › ¢ 8 › 8 ›O ¡ 8 8 Oœ7 £ C › ! ! ¢ £› O £ !  ¢ › £££ F5 › JK“ˆ+ ¡ $› # N0| ¡ £  O O(7 ¡ ¢ Q O ¢  ¢ Q  <¢ ¡ Q 7Q › ¡ Q £ ¥%"  O £ 8 ¢ W) O  7 Q ¢ ¢ ) S  D U k   ) Z k       %   -\ 5  (   e    › › › 8› Q I ¡¢ £O › 7Q ›¡ › Q ¢ 7Q ¡£ ¥ "  ¢ ›£ [20] k`Ÿ ou ^`1 [23] q<_4”+X_q)”`c) . [24] q g œ _”+X_ g œ q ”` g œ _”q)” &4&B $'kŠ`l [21] L7 l7 7 Y  . [22] ” M    ›I  !$5!S)Ž'_ 8 cy_ 8 Ž/N‡_ 8 [&< Ž$/-! 8 _D5Ž/-! 8 _D2h 6 8 _D“/y’!S)Ž Œy_D%c!S)Ž'_: [26] I Y › (















 

 













   



       









            

           



    


386

CAPĂ?TULO 11. RESPOSTAS



IÂ&#x203A; = Â&#x203A; Â&#x153; 5Â&#x161;)_fÂ&#x2026;_ 8  7 6 Y Q Â&#x203A;$¤ HÂ&#x203A; 94 Â&#x203A;¢ ÂĄ O7 ÂŁ ÂĄ ¢ Â&#x203A; QR7 ÂŁ Â&#x153; ÂĄ ÂĄ @<kÂ&#x201E;!S)Â&#x17D; 8 Â?_D!S)Â&#x17D;'5Â&#x17D;/NÂ&#x2021;Â?_Dw]Â&#x17D;/NÂ&#x2021;Â?_DÂ&#x17D;/NÂ&#x2021;5Â&#x17D;/NÂ&#x2021;Â?_:[xCf Â&#x203A;$ <ÂĄ ¢  Â&#x203A;$ÂĄ ÂŁ QwÂ&#x203A;$7 ÂŁ >F5f   <¢ Â&#x203A;$ÂŁ ¢ 7Q 8 !  ÂĄ ¢ Â&#x203A;Â&#x203A;$ÂŁ ÂŁÂ?Q ÂŁÂĄ   ¢ Â&#x203A;ÂŁÂ?ÂŁ    7 Q  ¢ ¢  ¢ ¤ JK  ¢ P Â&#x153; Â&#x203A;ÂŁ  g _DÂ&#x17D;/! 8  g _Dx Â?6D g _D0 g _ Â?6 8  g _:[N0 8 ¢ 7\O I Â&#x203A; ÂŁ Â&#x153; HÂ&#x203A; ÂĄ Â&#x203A; ÂĄ ¢ Â&#x203A; ¤ O7 ÂŁ ÂĄ Â&#x2122;Â&#x203A; &< Â&#x203A; 8 H ÂŁ  /yz / 8 Â&#x203A; QR7 3 Â&#x203A; Y ¤ 6 7 Y Â&#x17D;/NÂ&#x2021; Â&#x203A;8 94# n !S)Â&#x17D; 5'_:<=t Â&#x203A; 8 Â&#x153; S) Â&#x203A; Y ÂĄ ¢ 8 8 Â&#x203A;Â&#x153; Â&#x203A;QwÂ&#x153; 7 ÂŁ ÂŁ ÂĄ [27]  ov Â&#x2019;!G I O Â&#x203A; ÂĄ ÂŁ ÂĄ 7 ¢ Q ¢ O7 ¢ ¤ QR7 Â&#x201D; Â&#x203A; ÂĄ QR7 ÂŁ ¤ Â&#x201D; ÂĄ H Â&#x203A; L M Â&#x203A; @<Â?_^ v / C Antes de derivar simplique a expressĂŁo. ¢ Â&#x203A; ÂĄ ÂŁ  FÂ&#x152;f  8 HÂ&#x203A; ¢ Â&#x203A; Â&#x203A; Q ÂĄ 8 Â&#x203A; ÂŁ  QR7 7 ÂŁ  ¢ O7 Â&#x201D; ¥¢ Q O(H 7 ¤ ÂŁ JK!S)Â&#x17D;-9 Y Â?_DÂ&#x17D;/N090_:Â&#x152;  ,)!S)Â&#x17D;-9 8 Â?_DR ,) ;'Â&#x17D;/N09 8 _:RN0 ¢ 7\O7  ¢ ÂĄ Qw7 ÂŁ ÂĄ S)kÂ&#x161;z Â&#x17D;/-!9 8 Â?_: Â?69RÂ?_DÂ&#x152; Â&#x17D;/-!9 8 Â?_Dx Â?69 8 _: U:Â&#x17D;$/N09RÂ?_D!S)Â&#x17D;-90_:!S)Â&#x17D;-9RÂ?_:!S)Â&#x17D;-905!S)Â&#x17D;-90_:Â&#x2019;]1 Â&#x17D;/N0905!S)Â&#x17D;-90_:[ ÂĄ W)k Â&#x203A; 8 ÂĄ 5Â&#x17D;/NÂ&#x2021;FÂ?NÂ&#x2021;_:[0X!S)Â&#x17D; 5FÂ?NÂ&#x2021;_:[<Z) 8 ¢ 8 !O !Â&#x153;  Â&#x203A;ÂŁ ¢ Â&#x203A;$ÂŁ [28] ; / 8 Â&#x203A; Â&#x152;355/ 8 Â&#x203A; RX/ 8 Â&#x203A; 3 55/ 8 Â&#x203A; [ . [32] Â&#x2DC; `ceÂ&#x201C;  ¢ I Â?_ 8 Â&#x2026;q 8 q 8 wf 7Q Y Q ÂĄ !k 8 ¢ Â&#x203A; ÂĄ O7 ÂŁ ÂĄ Q ¢ HÂ&#x203A; Q I ÂŁ Q ÂĄ ¢ 7Q Y ÂĄ ÂŁ &< Y Â&#x203A; ¢ 7\O Â&#x203A;ÂŁ O ÂĄ < k  Â&#x203A; H Â&#x153; Q I ÂĄ Q 8 ¢ Â&#x203A; ÂĄ O7 ÂŁ O(7 I Â&#x153; [34] Q Â&#x203A; ÂŁ ÂĄ ÂĄ $ Â&#x203A; ÂŁ Â&#x203A; ÂŁ ÂŁ Â&#x203A; ÂŁ ÂŁ 8 !

¢ O  O  Q 3!S)Â&#x17D;/-!)q5Â&#x17D;/NÂ&#x2021;Â?_D" !S)Â&#x17D; q q 8  [35] M 8[H M Â&#x2122; Y I [36]  I H 8Â&#x2122; [37] /yG ¢ O  ¢ Q !  ¢ ÂŁ Q <Â&#x203A; ¢ !  ¢ Â&#x203A; ÂŁ ¢ ¢ <_0 ) -!<_0 )&<g 1% P Y I _ , /yD"Â&#x161;)_0 3 Â&#x203A;I   6<_R y9:FNÂ&#x2021;5, Â&#x2026;_0 = _^  [38] < ,) 1  1 !  z<v-; &' 'v v) '/yD-, , )} ? <3<; ', , [40] $ 1 Â&#x2021;!J I [41] i) 2z O I  y; O H =Â?= A`l [42] Aprox. } Â&#x201D; )9 [43] z Â&#x2021;F -J [44] 6 \ 6 [45] )? ;Â&#x160;J Â&#x17D;$/$6 [46] "C^P 8 I !\J 8 )9 [47]  g x!\J )Â&#x17D;/$6 . [48] Aprox. } v),Â&#x2019;!J Â&#x17D;$/$6 . [49] 5 ,Â&#x2019;{0 O7 !J Â&#x17D;$/$6 [51]  v< , , ,)} ,  E- e $} [52]   J 9 3f













               















    

 



 











11.5 CapĂ­tulo 5 M08 P 7Â&#x2122; &< I Â&#x2013;H I      !  n < &  8 Â&#x2013;H H Â&#x2013; [2] I I [3] a) NĂŁo existe, b) 8 , c)  , d)  , e) , f) NĂŁo existe, g)  21 , h) Â&#x2013; 8 Â&#x2039;C<{ , i) ÂĽ C<{ , j) H Â&#x2013; Â&#x2039;C{ , k) , l) , m) I NĂŁo existe , n) NĂŁo existe. o) _G`h _`Â&#x; H 7 _G` L p) _t`# , _t`# e _G`  Q  I I [4] a) Cres. em  8 4Â&#x2C6;5 \] , decres. em  -K 8   , b) Cres. em   8 7 K 87 \] , decres. em  87 87  , c) Cres. em 5  \] , decres. em  [  , d) Cres. em     , decres. em  [ ' , e) Cres. em BP 7 \] , decres. em 5  oP 7  , f) Cres. em  [ ' , decres. em   \Â&#x161; , g) Cres. em V , h) 8 Decres. em V , i) Cres. em    , decres. em  - , j) Cres. em  % x  I   , decres. 8 nI <Â&#x201E; nI   , decres. em  nI nI  , l) Cres. em  8 I Â&#x2013; 8 I Â&#x2013;  , decres em % I  , k) Cres. em # $   8 I Â&#x2013; "Â&#x20AC; 8 I Â&#x2013;   m) Cres. em V , n) Dres. em V o) Cres. # $ , decres.  \] , p) Cres.  [ 'Â&#x201E;5 \] decres. 5  $Â&#x201E;   . I  , nĂŁo existe mĂ­n. c) MĂ­n.  . mĂĄx. v , d) MĂ­n , nĂŁo existe mĂĄx. e) [5] a) 8 MĂ­n. n , nĂŁo existe mĂĄx. b) MĂĄx H I  8 MĂĄx Y Â&#x2122; H , f) NĂŁo existem, g) MĂ­n. h) MĂ­n. % , mĂĄx  , i) NĂŁo existem, j) MĂ­n.  M , mĂĄx. % , k) MĂ­n. , mĂĄx M , l) MĂ­n. . m) MĂ­n. g |Â&#x2039; , mĂĄx g Â&#x201C;  , n) MĂ­n. , mĂĄx eBg  , o) MĂ­n. , mĂĄx ; p) MĂĄx  , nĂŁo existe mĂ­n. q) MĂ­n.  , nĂŁo existe mĂĄx. r) MĂ­n. ef , nĂŁo existe mĂĄx. M M M [6] a) Inf. I , cĂ´ncava para cima em # I  , cĂ´ncava para baixo em  I \] . b) Inf. I7  , cĂ´ncava para cima em  I7  05   , cĂ´ncava para baixo em 8 I7   . c) NĂŁo existem; cĂ´ncava para cima 8 em ;   , cĂ´ncava 8 para baixo em # $;' . d) Inf. I , cĂ´ncava para cima em  I   , cĂ´ncava para baixo em # $ I  . e) Inf. ef , cĂ´ncava para cima em  -x  \] , cĂ´ncava para baixo em  Â&#x161; \] . f) Inf. 2} , cĂ´ncava para cima em 2} $21 Â&#x201E;1   , cĂ´ncava para baixo em  2}' . g) Inf. e P 8 8 , concava para cima em # $ P 8 8 $Â&#x201C; P 8 8   ;cĂ´ncava para baixo em  P 8 8 P 8 8  h) Inf. 2} , cĂ´ncava para cima em 2} \] , cĂ´ncava para baixo em  2}  . i) NĂŁo possui pontos de I 8 , cĂ´ncava para cima inf. cĂ´ncava para cima em   \] , cĂ´ncava para baixo em #  . j) Inf. e e [1] 

n8

 H QRP n Y Y



!


11.5. CAPĂ?TULO 5

387

!

, cĂ´ncava para cima em 5 CB   C , cĂ´ncava para em   , cĂ´ncava para baixo em 5  $ . k) Inf. C Â&#x152; 

 D C 

 x C t         5   baixo em . l) Inf. e . cĂ´ncava para cima em para baixo em  [ '-B I  C ;7 cĂ´ncava M  C I  . 2 C  C 5   | C   Â&#x152; 

 | C  7 8 com 8 8 ; cĂ´ncava para baixo em 8 8 . m) Inf. , cĂ´ncava para cima em n) NĂŁo possui pontos de inf. cĂ´ncava para cima em todo V .

!

[7] -1.5

-1

-0.5

0.5

1

1

3

1.5

2

-2

4

0.5

1

3 -6

-4

-2

2

-4

4

6

-1

1

2

2

3

4

1

2

3

1

1.2

5

6

-2

-6



-3

!

-8

&<

-4 -5

1

0.4

0.8

0.3

0.6

0.2

-10

-5

5

6

10

-1

0.4

5 4

0.3

3 0.2

0.1

0.4

-0.5

1

2 -1

0.2

-0.5

0.5

0.1

1

1

-0.1

-6

-4

-2

@<

2

4

-1

6

-0.2

C

-0.2 -0.4

-0.5

0.5

FÂ&#x152;

-0.3 -0.4

1

N0

-0.1 -0.2

1.5

4

-2

-1

4

-1 -2

1

4

1.25

0.8

2

2

1

0.6 -2

-1

1

2

0.75

3

-4

-2

2

4

0.5

-2

U:

-2

W)

-4

Â&#x17D;

-4

2

0.25

-1.5

-1

-0.5

2 1.5

1.5

1

1

0.5 0.5

-4





-3

-2

-1

1

2

3



-0.5

-2



2

4

0.5

1

1.5



-1

0.4

0.2 0.175

0.3

0.15

0.25

0.125

0.2

0.1

0.15

0.075

-2

0.4

0.6

0.8

1.4

0.05

0.05 -3

0.2

0.35

0.1

|

-0.5

0.4 0.2

-1

1

2

3

_:

0.025 0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.2 0.2 1 0.8

0.1

0.6 -1

q



-0.5

0.5

0.4

1

0.2

r 

-0.1

-0.2

[8] C~`h21 , [9] a) _ Â&#x201D; `Â&#x; I ÂĽ .

0.5

1

1.5

2

-0.2

[11] 1

0.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1

-0.5

-1

Exercicios de Otimização

H I I 8  Â&#x153; Â&#x153; Y Â&#x153; , [3] ;  , [5] ` Â&#x2122;\Â&#x2013; P I [6]  [ ' , [7] P Â&#x2122; {Z , [8] Z>`j,xJ e 9G`j,xJ , [1] 1   , [2] Cubo de volume 8  [9] I g 1 , [10]  H 7 [ ' , [11] Quadrado de lados g , [12] Comprimento de cada cateto P 8 , [13] 9c`bZX`



7 8 H J , [14]  , [15] Â?6 Â&#x2DC; |` Â&#x2013; Q

P 8 8 , [16] Z`Â&#x2022;9Â&#x201E;`



 . [17]largura 8 ÂĽ I P I , altura 8 ÂĽ P I 8 [18] largura Y H I , altura P O(P


388

CAPÍTULO 11. RESPOSTAS



 





› ” › › › Y O 8P I 8¥¡ 8 ¡  › Q ¡ Q ›¡ ¡¡ ¡ Q Q Q Q ›¡   b) qG`b7I ™ ” . [23] Y OP I [19] $ e $ , [20] n H e v , [21] P ¥ ¡ Q ¡ e P ¥ ¡ Q ¡ [22] a) Jd`  ` ' . [24] Aprox. aos 20 anos. [25] _T` – 8 e Zo` 8 ¥ [26] a) FN‡1'’XFN‡ Œ  , b) a droga é completamente – eliminada. [27] $z  xJ



[28]

L’Hôpital: 1)  , 2) , 3)] , 4) , 5) , 6)  , 7)  , 8)  , 9) , 10) 8  , 11) , 12)  , 13) /  , 19) / 8 , 20) / O œ , 21) 87 , 22) , 23) , 24) % , 25)  I , 26) , 27) , 28) 

11.6

8

 / 8  , 18) ¡ ,Q 14) , 15) , 16) , 17) 8  .

Capítulo 6

¤ M 8 I 8 [2] a) L  _ -  ‹! b) 8 FN‡_ cx



! c) 8I _o,  ¡œ  ! d)  ¥8 g Šš'q>‹!yi `‚ e) H7 5 \q 8 ]'q H x‹! ¡ ›£ L H œ I f) I g _ Xz“ ! g) M O 7 I › ¡  ! h)  8 ¥ ¢ ŒQ 7 ¥ £ ¡  !yi `¦ i) Y 7 5>‹_  ¡  !yi4 `h j)  8 ¢ ‹ FN‡_DR ! k)  Y7 !S)Ž I 5)_:0 ! l) Ž/-! 8  ›8 0X! m) ¥8 ’ Ž/$N‡5'_:0]!yi `c n)  7 ›£ ]! o) 87 g AX_ H  ! p) I7 / ›œ  ! q)  <¢ ›£ › 8 H7 Zy!Ž/N qf! r)  H7 'Zy! 6; / O f! s)  8 ¢ !  ¢ 7  £ O M £ ¡ f! t)  87  › ¡ Q 7 Y › f! u) FN‡FN‡_:[f! v) / ¥%"  <¢ f! w) 2!S)Ž'FN‡_D G! x) ‡Ž/N‡ g _k$ G! y) 87 :‰_ Y  ¡œ ‰! z)  <¢ II £ £ G! [3] a)  g ’'Zy!Ž/-!) › 8  G! b) _2~FN‡/ ›   ¢ P )‰! c) 8I g _k _~ )‰! d)  g „_ 8 ‰! e) A g _:'~)FN‡ g _+ˆ)‰! f) 8M A…_ œ zxk; _ œ ‰1)_ œ¡ )‰! £ ! ££ ! › 8  ¢  <¢ – – ¡ QR7 O  ¢ – [4] a) / _%K- ! b) )_:Ž/N‡_Dˆ_ ‰ !S)Ž'_D ! c) 7Q › ! d) e) 87 _RŒŽ/$N‡5FN‡_: ¡  › £  › £  £ £ › I I – !S)Ž'FN‡_D‡#! f)  87 g „; _ 8  _%'Zy!!S)Ž'5)_:‡#! g) ¢  <¢ Q ! I  £¢ £¡  ¢ ‹! h) ¢ QR7 £ ¥ 8 "  ¢ ›$£  ›8 #! i) 7Q ¢ <¢ › 8 8  87 5Ž/-!)_D 6_: FN‡ Ž/-!)_: 6D_:  ! j) _4/ O  ! k) › _„ ! l)  I7 g „_ _   ˆ! . Sugestão: ›œ Y› 8 faça  `_ ¡ . m) _!S 6D_:„FN‡ Ž/¤ N‡_D ¡ „! n) _Ž/-!)_:0 FN‡ Ž/-!)_D: 6D_: š! o) !S)Ž'5,)_: 7 8[M  M D › › › › I I Y I I › H I I 8 Ž/N‡5,y_D 8 M  Y 8[M  G! p) Ž/N‡5y_D 8  8  H  G!S)Ž'Œy_:_  8  ‰! q) / _ ^; _  )_ o); _+y;< G! › M H I 8 8 r) 2/ O _ ‚,y_ u?)_ ‚, vy_ u ,)_ u , ¦! s) !S)Ž-9R_:(_ ¦ |l’_Ž/$N09R_D2h! t) 7 7 Y [f z)_ 8  Z6Ž/$N09R5)_:)>y_ g AX; _ 8 k! u) 2/ O › _ H f; _ I G-y_ 8 ^y; _x^);'$k! v) _AB'Z-!$Ž$/N‡_: g „_ 8 k! w) œ _ 6_D^FN‡!S)Ž'_:-^! x) _>FN I _: >1 FN 8 _:-^} FN‡_: >}'^! y) 8 › ¡ 1 FN‡_: f -^! z) 8 M _’- œ¡ 1 _Af ~! ™H 7 H H L 8 “`•_ H . c) [5] a) 87 _ g _ #%‹'Z6Ž/N09R_:[‡#! b) H 7 5Ž/N‡_ _   ’€y_ !S)Ž'_ [‡#! . Sugestão: use ¤ ¡ › 5!S)Ž'FN‡_:[ tŽ/N‡FN‡_:[ ! › ›  › ~_ 8 T ! 8 8 d)  / P  g _K- ! e) 5Ž/N‡ g _D g _4!S)Ž' g _:'! f) / .  $ › £

H  › £ ›   ¢ 8 !S)Ž 8 _:y I _:yo!  L H ” ¢ 51 ,)!S)Ž ; _D ^)z !S)Ž'5y_Dyo, v y~!  6 ~  ! %    ! ) S Ž   : _ $    D   7 I L

I 8 M [6] a)H b) c) d) 7 !S)Ž _DR ! e) !S)Ž'_:R]FN‡ !S)Ž$/-!)_:‡„!S 6_D R ! f) GY7 !S 6 I Œy_D0 ! g) GM7 !S 6 M _:wX! h) L 7 ¥ 51 '_o ™ 1 !S)Ž 5'_:Ž/N‡'_D+  Ž/N I 5 _D!S)Ž'5 _DŠ#!yi ` i)  !   ¢ £ 5Ž/N 8 qx 8M ’! j)   M ¢ ›£ [7] a) GP 7 Y › O ›$¡  n › 'Zy!Ž/$N‡ ›H k! b) P › L ¡ › OD¡ ™  M 7 H Zy! 6 › I ¡ k! c) GP M M O › › ¡ k! d) FN‡ _x g _ 8 Xv $k! e) M7 FN‡ M 8[M O › ¡ $k! f) 7 Q P OD™ P ¡   I8 Zy!Ž/N‡<_:$ 8 7 _(B1  g )_~T_ 8 ! g)  ¢ 7 Y LO:” ™ › ›  £ ¡ ! h) H › HO› 8 ›$¡ ! i) ›8 g _ 8  <FN‡ _0 g _ 8 ] \! j) P O P 8 8 Zy! 6 › P 8 ›¡ \! k) P H 8 FN‡ P 7Q ››¡¡ Q ›› P 88 \! l) P ›H¡ › O H B! m) nL 8 H› ›$¡ ¡ Q(™ ! n) 87 _ g A…_ 8 “_ 8 ˆ87 'Z-!$Ž$/N‡_:\ Q(™ P 7\O P P 7Q O P !  ¢ ›£ ! o)  g / ›  B! p) g _ 8   >FN‡ _R g _ 8   B! q) GP › H ¡ › Q H [8] a)  >! b)  H  ¢ ›$£ >! 8[M g 8[M O !  ¡ ¢ ›$£ g ¢ <¢ ›££¡ O H 8  <¢ ›£ Q g   ¡ ¢ ›£ Q H +c! `d'Zy!Ž/N090  <¢ ›$£ +j! 8 8 c) FN‡ [9] a) 87 'Zy!Ž/N‡5)_  +€! b) GI7 g 1 _ „_k| › £ I L I I › 8 I 8 8 8 P L FN‡ g 1)_ T_k2#g 1y_taP Y ’‹! c) H  › n ¡ ¢ I Q › H ]}'g vx'Zy! 6D Q ’‹! d) 'Z$6Ž/N090 › Q I ’‹! e) 7 ™ Q Q P n P 7[7 FN‡Œy_R-“ g _ 8 T_o  |! f) HM g ; _ 8 X1 _k ™ Y 'Z6Ž$=N090 L › Q I [|! g) 2 Zy!Ž/N‡5_: h)  g 12 y_kX_ 8  P n 8 › I I 87 › I 8 'Z6Ž/N‡ › O 8 7 2l! i) g ;š1)_fX_  8 'Z6Ž/N090 P O n h! j) g _ ]})_k]1);€'Z6Ž/N090 Q M h! [10] a) › 8£¡ › › O(7 x…)'Zy! 6D_:0 ! I 8 8 8 7 H FN‡ › ¢¡ O Q 8 › Q H 0 P 7 8 Zy! 6 P OI 7 0 ! b) FN‡ › QR c) 87 FN‡_ ] 0 ¢ › ¡ Q 7 8 £ ¡ ]! d) 87 FN‡_  7 A ›$¡ 7 #! e)  › 7  Zy! 6_DŠ#! f) FN‡ g _ 8 A 87 'Zy! 6D_:" 8 ›$¡ › £ #! g) FN‡ ›œ › O › ¡ £Q ¡ › + › I  QR7 QR7 ¢ QR7 ¢ Qw7









 























 

























 



















 















 



 
















11.7. CAPÍTULO 7

389









› I › 8 Zy! 6 8 › O7 )o! 8 I h)  8 ›7 ¡ ^FN‡_D) 87 FN‡_ ˆ)‰! i)  8 ¢ ›¡ Q Q H › Q M £ X87 'Zy! 6_AG )‰! j) _AoFN‡ P ›$¡ QR7 )‰! P I P › I › O 7n #-,)'Zy! 6DŒ“X_Dx‹FN‡Œ,“X; _~ _ 8 w ! I 8› k) 87  M O H › l) FN‡ P › ¡ QQR› 7 QR7 w P I 'Zy! 6D P QRI 7 w#! m)  M › 7   Q › ¡ M P I 'Zy! 6 8 › O(7 2¦! I 8 FN › O( 7  8 › 7 £¡ ¦! p) › 7  › O I › 7 œ  › 7 j'Zy! 6_D%h! n) 8 FN _ €_š  4 I I o) ¢ O7 › ¤ P ¡ H  › £ 8 M ¡ ¤ › 7 y~FN‡ › O7 -o! 8 o?  œ  7  8 Y 'Z-! 6D › y~! Q 7  F N _   _ 5  ) z " _  ¢ x  'Z !  D 6   › ¡ 8 £ ¡ -o! ^  , g  ¡ › H7 FN‡ › ¡ QR › 8 I L 8 q) r)  ™ › ¡ n › 7 › Q ¢ Q P 8 › 8 8 8 8 I 8 E  Q  F N P >  ! 7  F N Q R Q 7 E f  !  F ‡ N  _    7  F ‡ N  w _ k  ,    F ‡ N  x _ o   $  >  ! ” › ¡Q 8› Q M 8 ¢› ¡ Q 8 › Q 8 £ 8 s) t) L u) M v) FN‡ E_  ›¢ ¡ Q 8 › Q 8 £ ¤ 7 M I  g _ 8 € $k'Zy! 6_:k! [11]  Ž$/N‡_:5FN‡ŒŽ$/N‡_:)~k!  ¡ ¢ M £ _FN‡5, y~-$k! ! I7 !S)Ž'_ $   œ  › £ $ › £ _ I Ž/N‡_ I B! &<  I ¢ >! /- 87 5Ž/N‡_D  <¢ n B! 3  7 >! 6 'Z6Ž/N09R ›8 o>! I ¢ › ¡ Q H £ œ¡ n 9: 87 5/ g ?“š/ 8 o?‡'Zy!Ž/N‡ I  )‰! = I7 FN‡_ I o1 _ 8 o;')‰! @< 87 FN‡_ 8 Gy_Ao;'' H P I I 'Z-! 6D › QRI 7 ) P ! C › 8 ¡ ˆFN‡ ›¡ › <ˆ! FŒ g ,x Zy! 6P M M !S)Ž'_D4G!S)Ž'_:K! JK › 8  8 › 7 £¡ ˆFN‡ _%š K! QR7 QR7 ¢ Qw7 7 Y 5FN‡Œy_wB%FN‡Œy_(Bv)[ !:S) FN‡_D 87 FN‡_ 8 “1  8 P I I 'Z-! 6D-P I I _:“!4U: ’FN‡_wB 8 7 FN‡_ 8 k- N0 7 1‡'Zy! 6_:)‰!xW) 8 I ” 5)_ 8 ^1 _ 8 K- œ¡ o! Z)  g _~’'Zy! 6 g _:)‰! s) 8 7 M FN‡ 7 L L Q0n › › ¡ ¡ Q I I › › P M M P ›› ¡ ¡ Q H H )‰! 7 P O7 O:n Q P P Q 8  ›£ t) FN‡_^ -R„FN‡5y_^ Š]g _ ])_~š (…! u) 'Zy! 6D !  ¢ ›$£ <Q ¢  <¢ ›$£ (X! v) FN‡ _fXŽ/N‡_: R…! w) FN‡  Ž/N‡5y_D  G! x)  g x'Zy! 6P › 8 O7  G! [12] a) GP 8 8 FN‡ g  6_    g ( <~FN‡ g  6_  < g 0 [ G! ¡ £ 8 8 !  ¢ 8 ›$£ ]Ž/N‡_D0 y_k M H , [15] 8  ¥  ¥    ¥ ¢  ` 0 C . 8 c) P 8 'Zy! 6P 8 6D_ ) (]! . [14] qk`Ÿ















































 











 



 











   











    









11.7 Capítulo 7 [1] Método de substituição:

¡ 8 QR7 

8 Q  <¢ 8 £ €  ]/ O7 i) )/ 8   / j) ”7 k)  8 ¢ I £ l) 8 P 8   h) | 7 7 ;" FN‡5  m) HI n) !S)Ž'-4G!S)Ž'/y o) p) I7 /‡  q) HI 5, ¡œ  ¡œ  r) – L ¡ s) xGFN‡Œ [ t)   !S)Ž'5 4G!S)Ž'1' H M ¥œ u)  I v) FN‡ I  w) š!S)Ž'FN‡Œ [ x) I7 FN‡-7Qw8 P  8[Y a) I b) I7 c) F N‡5/ – c d) g > e) H 7 f) 87 FN‡



g)

[2] Método de integração por partes:

 / –  c) 2FN‡1' I QR¡ 7 I £  d) );>]}',)/  O 7 e) FN‡-)z ‡ I8 f) H7 {  ’FN‡5  g) 8I  I P L I a)   / O7 b) 7 7 I 51>

7  Q 8 I O(7    ¢ ;'FN‡5 ’ I   m)  n) ) / 8 o) }>  / p) ˆ {   q) 8 l) G87 / – c h) H 7 {#FN‡;< i) 8 € j) I –  FN‡-PP I Qw 7 k) 

H H š g 2 g yFN‡5z [ I 7  8 H7 {t„FN‡;< r) – 8   s) g 1“Ÿ87 FN‡PP I QR v) I – 8 w) I x)  7 M O7 t) u) ™ 8Q 8£ M M£O H M 8 [3] a) 8  P <8 ¢ h b) < ¢ ¡ ¢ M £ c)  I d) nI e) f) 8 7 H  P n M g) Z6Ž$=ŒN09R5 "'Z6Ž$=N090 h) H 7 ? {…‹;<g ^ ¡ $z 'Z-!$Ž=N‡ I7 [ i) FN‡ M 8 œ  j) HM FN‡ 8I ’ ML k) I8  )FN‡5 0šFN‡Œ,  l)  g ,y'Zy! 6D P M M  m)  ML XFN‡5  n) 7 Y FN‡ 8 n  7 7 7 I 8 M Œ (ˆ1 'Zy! 6D51 : 1 'Z-! 6DŒ  I I ” ” 8 8 ” 512 g œ ;' r)  – 8 s) n t)  u) P 8 v) M  v)FN‡5, D o) 87 FN‡1 :lP ™ { p) 8 FN‡ q) ? FN‡5 wh$} FN‡1' w) ¥ H ¡ {„   x) H – I {T Zy!!S)Ž v)[ [4] a) g œ _ 8  b) _Ž/N‡_D c) _%FN‡_: d) g _ H  e) P / › g AX/ 8 ›  g „_ 8 f) y_|Ž$/N‡_ H  g)  › _ 8 ‰1 h) I ›  ›  [5] ^`  3x_D‡`h [6] Pontos críticos: _G`N{ . P 7Q N par N{ é ponto de mínimo; se N ímpar N{ é ponto de máximo. [7] < 87  c) )FN‡Œ 0X d)  <8 ¢ 8 £ e) Se H 8  _ 8 [10] a) , b) , pois ambos os integrandos são funções ímpares. [12] {~ˆ f) /A  [8] Use ¡ <_ ] ¡ › › £ › ¡ £¡ – [14] Œy_‰j- O ¢ Qw7 X_ O ¢ Qw7 QR7 [15] 65_:` › 7 6Œ 87 |`  [16] Use o método de substituição. 





[18]

1

0.8

0.6

0.4

0.2

-4

-2

2

4






CAPĂ?TULO 11. RESPOSTAS

390

Ă reas 0.4

1

0.5

0.8

0.2

0.5

0.6

0.4

;

E

0.2

1

-1

1

1.5

2

-0.5 -1

-0.5

0.5

 y

1



-0.5

0.5



1

-0.2

1

 1)

-0.4

-1 -1.5



-2

1

1

0.8

0.8

0.6

0.6

0.1

0.05

-1

 ;) }

-0.5

0.5



1

0.4

0.4

0.2

0.2

-0.05

 ,-

-0.1



0.5

1

1.5

2

 })s{

2.5

1

2

6

3

4

5

6

3.5

15 3

5

12.5 2.5

4

10 2

3

7.5

2

 v

1 }

2

4

6

8

 $1 -

 zy

1

10

1.5

5

1

0.2

0.4

0.6

0.8

$  g v2 g )

 ?y

2.5 1

0.5 1

2

3

4

5

6

8

2

5

6

1.5

4 3

4

 yv g -v  - 

Â&#x17E; y

1

2

2

0.5

1

1.5

E 

2



Ey

1

-2

2

4

6



0.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

15

0.1 12.5 10

-1

-0.5

0.5

1

7.5

E$1y

5

, } 1

2.5

-1

1

2

3

E; 

; ,

-0.1

-0.2

Calcule a ĂĄrea das regiĂľes limitadas pelas curvas dadas:

HM H

I 8 I 8 8 M YH 87 [6] I [7] 7 Y [8] v) [9]  [10] 7 M [11] I [12] Y7 [13] $z [14] I7 [15] 'g %  [1] Â&#x2122;8 [2] I [3] Â&#x2122;8 [4] 7 Y [5] H I I  g 1>  Â&#x2013; Y [17] Y7 [18] j [19] Â&#x2122;8 [20] 1 ; [21] / ]/ O  [22] /Â&#x201C;X/ O7 [23] / H  , [24] 7 8[M L [25]  M Â&#x2013; } [29] ? [30] Â&#x2013; 8 # [31]  [32] {Â&#x2C6;]Â&#x2019;FÂ?NÂ&#x2021;Â&#x152;  [33] {Â&#x2C6;] [34] 7 I Y [35] 7 7 M [36]  87 /% / O7 ]  [27] 7 H [28] 7 Â&#x201D; /| I8 [38] I7 ; g B], R / O7 [39]  <¢ 7 ÂŁ Â&#x201D; OÂŁ 7 [40] 7 HI L [41] HI [42] 8 H n [43] 7 8 M L [44] LI [45] !B`a %X1 / O 8 7  <¢ 7 !2`

P 8 8 87 

Volumes 8 Y

8Â&#x201D;Y

P

7  [47] !2`/' 87 [48] 8 I Â&#x2013; 

8

M 8

[1] I { [2] 7 M { [3] I M { [4] Â&#x2013; 8 [5] 7 I Â&#x2013; [6] M ÂĄ 8[M Y I [13] z){ [14] 7 8 Â&#x2013; [15] M { [16] 8 Â&#x2013; [17] }); { ,)/ 8 X; /"]  [25] 8[8 H 7M Â&#x2013; [26] Â&#x2013; Y [27] L I Â&#x2013; [28]

Comprimento de Arco

P 8 I [49] - [50] {G I8 

ÂĄ 7 Â&#x201D; Â&#x2013; [7] M[M Y Â&#x2013; [8] M 8 Â&#x2013; L [9] Â&#x2013; 8 ÂĄ [10] Â&#x2013; ¢ H O7 ÂŁ [11] I[8 I Â&#x2013; [12] Â&#x2013; 8 / H ]  / O 8  Â&#x2122; 8 M Y M YH 8 H [18] z { [19] 7 M Â&#x2013; [20] P I Â&#x2013; [21] 7 P M Â&#x2013; [22] I Â&#x2013; [23] Â&#x2013; Y [24] Â&#x2013; 8  /  7 YM { [29] Y H P M 8 Â&#x2013; [30] Y H M L Â&#x2013; 7 7

H H I I[L 87 FÂ?NÂ&#x2021; 8  [5] 7 I [6]   [7] I [8] I [9] 7 I P 8 7 I O L [13] Â&#x2122; 8 [14] I Y 7 [15] FÂ?NÂ&#x2021;Â?g 1' [16] FÂ&#x2021; N 5Â&#x2021;Â&#x201E;g 1  [17] Â&#x2122;L [18] FNÂ&#x2021;Â&#x152;g n Â&#x2122; 8 Â?F NÂ&#x2021;5/+ g /  

M I [M I [1] ; g  } [2] Y [3] Y [4] 2

[16] [26] [37] [46]

7 I H [10] 8 P I 8 Â&#x152;, g ,BÂ&#x20AC; [11] Â&#x2019;Â&#x2026;- [19] g }+Â&#x2C6;  g Â&#x2019;Â FÂ?NÂ&#x2021;

7 I P 87 I n MQ 8P IQ 8P

O L [12] Y  8 [20]


11.8. CAPĂ?TULO 8

391

LogarĂ­tmos

7 `Â&#x;  8  [2] SugestĂŁo: Escreva -QR   7

Â&#x153; FÂ?NÂ&#x2021;  #  Ez  } e     Â&#x2014; ); . [7] _`l . Qw7 . [5]

Trabalho

7Â&#x2122;[8 n  y; ! 8 I Â&#x201D; &< I I 7 Â&#x201D; 7 /y {Â    3   6 87 |]/ O M Â&#x201D; Â&#x2013;  [2] ;  [3] M I Â&#x201D;  [4]  7  8 H $Â&#x203A;  ÂĄ ÂĄ entĂŁo  z X / Z6 [10] a)  87 M  b)  7[7 7I [6] [8] Da segunda lei de Coulomb 3xÂ?_:Â&#x201C;`   Â&#x2013; L  .

[1]   , 

 H Â&#x2122;  [5] 7 I c)

11.8 CapĂ­tulo 8 [1] a)  b) 7 Â&#x2013; 8 c) FÂ?NÂ&#x2021;Â&#x152;  d) 87 e)  f)  , diverge. g)  , diverge. h)  8  <7 ¢ M ÂŁ i)  , diverge. j)  , diverge. 8ÂŁ k) { l) 7Q Â&#x2013; ÂĄ m) 87 n) diverge o) Â&#x2013; 8 p)  <8 ¢ q) 87 r) H 7 s)  , diverge. t) L7 u) o limite nĂŁo existe. v) Â&#x2013; 8 w) Â&#x2013;  , diverge. x)  7 ¢ 8 ÂŁ

8 M  8 7 ÂĄ c) P Â&#x2013; 8 [3] a) ; b) 1 Â&#x17D;/NÂ&#x2021; c) Â&#x2013; 8 d) B ÂĄ e) nM FNÂ&#x2021;5 [  f) diverge. g) diverge. h) { i) I j) P H I k) Â&#x2013; 8 l) diverge. m) diverge. n) { o) M 7 p)  Â&#x2013; I q) diverge. r)  FÂ?NÂ&#x2021;Â&#x152;  s) o { X t) diverge. u) diverge. v) n diverge. ÂĄ ÂŁ 8 b) Para todo Â&#x17D; c) Â&#x17D;  d) Â&#x17D; e) Â&#x17D;  f) Â&#x17D;  g) SugestĂŁo: Faça 7\O !Â&#x203A;   ¢ Â&#x203A;ÂŁ ` Â&#x203A; ÂĄ  Â&#x203A;  ¢ ÂĄ ÂĄ . [4] a) Â&#x17D; Utilize limites fundamentais e o teorema de comparação de integrais imprĂłpias. Â&#x17D;BÂ? 1 . Â&#x203A; Â&#x203A; Â&#x203A; ÂĄ h) SugestĂŁo: Faça  Â&#x201D; Â&#x2013; ¢  <¢ Â&#x203A;$ÂŁÂ?ÂŁ  `  Â&#x201D; ¢  <¢ Â&#x203A;ÂŁÂ?ÂŁ    ÂĄ Â&#x2013; ¢  <¢ Â&#x203A;ÂŁÂ?ÂŁ  e na segunda integral faça _K`c{t . Utilize limites fundamentais para aplicar o teorema de comparação de integrais imprĂłpias. Â&#x17D;BÂ?c Q 3x_:& _ %`  ÂĽ

[6]¼ K` 7 7 L [7] Utilize que a função 3x %`Œ/  Ê par. CK` % [9]  �_ ,  �_X�l%` x 3   : _   & _

} ?

1 

[10] a) b)  O [2] a) Â&#x2013; 8 b) %






































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CAPÍTULO 11. RESPOSTAS

Apostila Matemática Cálculo CEFET Capítulo 11 Gabarito Respostas  
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