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Universität Karlsruhe (TH) Institut für Fördertechnik und Logistiksysteme Prof. Dr.-Ing. K. Furmans

Studienarbeit

Schwingungsreduzierung an Regalbediengeräten durch Krafteinleitung am Mastkopf

cand. mach. Sven Steinbach

Februar 2009

Betreut von: Dr.-Ing. Frank Schönung


Studienarbeit Schwingungsreduzierung an Regalbediengeräten durch Krafteinleitung am Mastkopf Institut für Fördertechnik und Logistiksysteme Universität Karlsruhe (TH)


Universität Karlsruhe (TH) Institut fßr FÜrdertechnik und Logistiksysteme Prof. Dr.-Ing. K. Furmans

Studienarbeit Nr. 1107 fĂźr cand. mach. Sven Steinbach

Schwingungsreduzierung an Regalbediengeräten durch Krafteinleitung am Mastkopf Zum Lagern und Bereitstellen von Kleinteilen fßr die Kommissionierung in Produktion oder Distribution kommen heute häug sogenannte AKL (automatische Kleinteilelager) zum Einsatz. Kernkomponente dieser Systeme sind hochdynamische Regalbediengeräte zum Ein- und Auslagern von Kleinladungsträgern (KLT) oder Kartons. Die Forderung nach immer hÜheren Durchsätzen und geringen Zugriszeiten erfordern immer neue LÜsungen zur Steigerung der Dynamik der Bediengeräte. Einer der jßngeren Ansätze um dieses Ziel zu erreichen ist der Einsatz von zusätzlichen Fahrantrieben am Mastkopf der Geräte. Die Reglereinstellung der Kopfantriebe beruht auf den Erfahrungen der RBG-Hersteller. Wissenschaftliche Untersuchungen zu diesem Antriebskonzept liegen nicht vor. Ziel dieser Arbeit ist es ein mathematisches Modell fßr ein Regalbediengerät mit Kopfantrieb zu erstellen. Anhand dieses Modells soll der Kraftverlauf des Kopfantriebs fßr eine gefßhrte Bewegung ermittelt werden. Zu berßcksichtigen sind dabei ein rechteckiges und ein

sin2 -fĂśrmiges

Beschleunigungsprol. Weiterhin sollen die Mastauslenkungen ermittelt

werden. Die ermittelten Kraftverläufe sowie Mastauslenkungen sollen analysiert und interpretiert werden. Der Arbeit sind ein Passbild und eine Erklärung folgenden Wortlautes beizufßgen: Ich versichere hiermit wahrheitsgemäÿ, die Arbeit bis auf die dem Aufgabensteller bereits bekannte Hilfe selbständig angefertigt, alle benutzten Hilfsmittel vollständig und genau angegeben und alles kenntlich gemacht zu haben, was aus Arbeiten anderer unverändert oder mit Abänderung entnommen wurde. Drei Exemplare der Arbeit verbleiben am Lehrstuhl. Betreuer:

Dr.-Ing. Frank SchĂśnung

Beginn:

01. September 2008

Abgabe bis:

01. März 2009

...................................... Prof. Dr.-Ing. Kai Furmans

Fakultät fßr Maschinenbau


Sven Steinbach sven.steinbach@student.kit.edu

Eigenständigkeitserklärung Ich versichere hiermit wahrheitsgemäÿ, die Arbeit bis auf die dem Aufgabensteller bereits bekannte Hilfe selbständig angefertigt, alle benutzten Hilfsmittel vollständig und genau angegeben und alles kenntlich gemacht zu haben, was aus Arbeiten anderer unverändert oder mit Abänderung entnommen wurde.

Karlsruhe, den 10.02.2009

........................................ Sven Steinbach


Danksagung Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als Studienarbeiter am Institut für Fördertechnik und Logistiksysteme (IFL) der Universität Karlsruhe (TH).

Zunächst möchte ich meinem Betreuer Dr.-Ing. Frank Schönung für die gute Zusammenarbeit, das gewährte Vertrauen und die mir stets entgegengebrachte Diskussionsbereitschaft danken.

Weiterhin danke ich den Assistenten des Instituts für Technische Mechanik (ITM), insbesondere den Herren Dipl.-Ing. Christian Wetzel und Dipl.-Ing. Daniel Schwarzer, dass ich Ihre Sprechstunden in Anspruch nehmen konnte.

Bei meinen Kommilitonen Paolo Gerold und Mathias Braun bedanke ich mich für die Diskussionsbereitschaft und die zahlreichen Denkanstöÿe. Ebenso danke ich Veronika Thuma für die gewissenhafte Durchsicht der Arbeit.

Nicht zuletzt möchte ich mich bei meinen Eltern bedanken, welche mir durch Ihre Unterstützung und Förderung das Studium erst ermöglicht haben.

Karlsruhe, im Februar 2009 Sven Steinbach


Kurzfassung Schwingungsreduzierung an Regalbediengeräten durch Krafteinleitung am Mastkopf Regalbediengeräte (RBG) kÜnnen als Funktionsbestandteile einer Lageranlage angesehen werden, deren Ziel es ist mÜglichst wirtschaftlich Ein- und Auslagervorgänge durchzufßhren. Um ezient und zeitsparend zu arbeiten, setzt dies kurze Spielzeiten voraus, die ßber erhÜhte Beschleunigungen und Geschwindigkeiten erreicht werden mßssen. Demzufolge werden die verwendeten Bauteile von Regalbediengeräten, insbesondere der Mast, durch Schwingungsphänomene stärker belastet, was eine ausreichende Dimensionierung bedingt, die allerdings im Gegensatz zu wirtschaftlich sinnvoller Leichtbauweise steht. Bisherige Ansätze bedienen sich dem Beaufschlagen bestimmter Beschleunigungsprole und aktiven Regelungskonzepten, um auftretende transversale Mastschwingungen zu reduzieren. Ein weiteres Konzept besteht darin, den Mastkopf durch Krafteinleitung zu fßhren, was jedoch eine veränderte Dynamik zur Folge hat. Durch das in dieser Arbeit behandelte Aufstellen eines Kontinuummodells und der Verwendung geeigneter numerischer LÜsungsverfahren kÜnnen reale, die Dynamik charakterisierende Messwerte bezßglich transversaler Mastschwingungen gut approximiert werden. Weiterhin zeigt sich ßber eine Anpassung der Randbedingungen des Modells, dass sich durch einen gefßhrten Mastkopf das Schwingungsverhalten hin zu geringeren Mastauslenkungen reduziert. Neben Untersuchungen mit zwei unterschiedlichen Beschleunigungsprolen, werden abschlieÿend im Rahmen dieser Arbeit Abschätzungen der Antriebskraftverläufe fßr das Fahrwerk und die Mastkopßhrung ermittelt, die ihrerseits als Grundlage einer Antriebsdimensionierung dienen kÜnnen. Der LÜsungsansatz mittels Krafteinleitung am RBG-Mastkopf kann somit als weiteres Mittel zur Reduzierung transversaler Mastschwingungen angesehen werden.

I


II


Inhaltsverzeichnis Kurzfassung

I

Inhaltsverzeichnis

III

Abbildungsverzeichnis

V

Tabellenverzeichnis

VII

1 Einleitung

1

1.1

Einführung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

Stand der Technik

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2.1

Grundlegender Aufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2.2

Herstellerangaben

5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Problemstellung 2.1

2.2

1

7

Motivation und Ziele . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.1

Sicherheitsnachweis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.2

Schwingungsdämpfung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Führung des Mastkopfes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3 Modellbildung

17

3.1

Vorüberlegungen und Grundlagen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.2

Mechanisches Modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.2.1

Regalbediengeräte als Kontinuummodell . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.2.2

Balkentheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19

3.2.3

Modellvereinfachungen und Annahmen . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.2.4

Modellaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.3

Mathematisches Modell 3.3.1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kräfte- und Momentengleichgewicht

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

24 24

III


Inhaltsverzeichnis

3.4

3.5

3.3.2

Herleitung der Bewegungsgleichungen

3.3.3

Randbedingungen

Näherungsverfahren

. . . . . . . . . . . . . . . . .

29

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.4.1

Nachbarproblem des Biegebalkens ohne Schwerkraft und Zusatzmasse

32

3.4.2

Verfahren von Galerkin

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

35

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

39

Vergleichsmodell

4 Modell-Parameter

43

4.1

Geometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

4.2

Tragwerksquerschnitt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.3

Massen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

4.4

Antriebstechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

5 Modell-Verikation

49

5.1

Eigenkreisfrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49

5.2

Dynamische Mastkopfauslenkungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

6 MastkopĂźhrung

55

6.1

Eigenkreisfrequenzen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

55

6.2

Mastauslenkungen

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Rechteck-Beschleunigungsvorgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

6.2.1 6.2.2 6.3

2

sin

-Beschleunigungsvorgabe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

6.3.1

Rechteck-Beschleunigungsvorgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

61

6.3.2

sin2 -Beschleunigungsvorgabe

63

Kraftverläufe

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7 Zusammenfassung und Ausblick

67

Symbolverzeichnis

69

AbkĂźrzungsverzeichnis

71

Literaturverzeichnis

73

IV


Abbildungsverzeichnis 1.1

Einteilung der Unstetigförderer

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.2

Klassizierung von Regalbediengeräten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.3

Aufbau eines Einmast-Regalbediengerätes

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

2.1

Dynamik-Beiwerte am Regalbediengerät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

2.2

Dynamisches Ersatzmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.3

Diagramm dynamischer Schwingbeiwert

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.4

Überblick Schwingungsdämpfung am RBG . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.5

Dämpfungsvorrichtungen am Mastkopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.6

Beschleunigungs- und Geschwindigkeitsprol . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.7

Strukturbild eines geschlossenen Regelkreises

. . . . . . . . . . . . . . . . .

13

2.8

Konstruktive Maÿnahmen zur Führung des Mastkopfes . . . . . . . . . . . .

14

3.1

Schwingungsmodelle für Regalbediengeräte . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18

3.2

Skizzen zu Grundgleichungen der Balkenbiegung

. . . . . . . . . . . . . . .

20

3.3

Annahmen zur Balkenbiegung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

21

3.4

Modellskizze des RBG-Kontinuummodells

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.5

Kräfte- und Momentengleichgewicht am Mastelement . . . . . . . . . . . . .

25

3.6

Kräftegleichgewicht der RBG Traverse

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

3.7

Eigenschwingungsformen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

3.8

Eigenformen des Vergleichsmodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

4.1

Schwerelinienmodell des Regalbediengeräts . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

44

4.2

Mastquerschnitt des Regalbediengeräts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

45

5.1

Gemessene Eigenkreisfrequenz über der Hubwagenhöhe . . . . . . . . . . . .

50

5.2

Berechnete Eigenkreisfrequenz über der Hubwagenhöhe . . . . . . . . . . . .

50

5.3

sin2 -Beschleunigungsvorgabe .

51

5.4

Mastkopfauslenkung aus Punktmassenmodell

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

V


Abbildungsverzeichnis 5.5

Mastkopfauslenkung aus Kontinuummodell

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

52

5.6

Rechteck-Beschleunigungsvorgabe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

53

5.7

Mastkopfauslenkung Kontinuummodell bei Rechteckbeschleunigung . . . . .

53

6.1

Eigenkreisfrequenzen über der Hubwagenhöhe bei geführten RBG . . . . . .

55

6.2

Mastauslenkung RBG ungeführt bei

6.3

Mastauslenkung RBG geführt bei

6.4

Mastauslenkung RBG ungeführt bei

6.5

Mastauslenkung RBG geführt bei

6.6

Mastauslenkung RBG ungeführt bei

t = 5s 6.7

t t

mit Last . . . . . . . .

mit Last

über

über

t

. . . . . . . . .

ohne Last

6.9

Mastauslenkung RBG geführt bei

FAT

58

ohne Last . . . . . . . . .

58

über

t

h = 17 m

h = 17 m

über

über

t

t

mit Last . . . . . . . .

mit Last

. . . . . . . . .

t

RBG geführt mit Rechteck-Beschleunigung über

t

FAT

RBG geführt mit Rechteck-Beschleunigung über

6.13 Kraftverlauf

FAT

2

6.14 Kraftverlauf

FAMK

6.15 Kraftverlauf

FAT

RBG ungeführt mit RBG geführt mit

RBG geführt mit

sin

-Beschleunigung über

sin2 -Beschleunigung 2

sin

über

-Beschleunigung über

t

t t

t

59 60 60

mit 62

mit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.12 Kraftverlauf

59

mit Last. Abbruch bei

RBG ungeführt mit Rechteck-Beschleunigung über

FAMK

57

. . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.11 Kraftverlauf

57

h = 17 m über t mit Last. Abbruch bei

h = 17 m

Mastauslenkung RBG ungeführt bei

Last

h = 17 m

h = 17 m

6.8

Last

über

t

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.10 Kraftverlauf

VI

h = 17 m

über

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Mastauslenkung RBG geführt bei

t = 5s

h = 17 m

mit Last

mit Last . mit Last

mit Last

63 63 64

.

65

. .

65


Tabellenverzeichnis 1.1

Herstellerangaben zu Bauarten von Einmast-Regalbedienger채ten (1)

. . . .

6

1.2

Herstellerangaben zu Bauarten von Einmast-Regalbedienger채ten (2)

. . . .

6

4.1

Bauteilmassen des Regalbedienger채ts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46

4.2

Antriebskennwerte des Regalbedienger채ts

46

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

VII


Tabellenverzeichnis

VIII


1 Einleitung 1.1 Einführung In der heutigen Zeit sind Hochregallager als wichtiger Bestandteil der Logistik und Materialusstechnik nicht mehr wegzudenken. Insbesondere unter Berücksichtigung der Internationalisierung der Märkte und neuem Konsumverhalten (E-Commerce) [Küh01] kommt Ihnen eine entscheidende Rolle zu. Dabei ist es wichtig, einen hohen Durchsatz bei gleichzeitig möglichst optimaler Raumausnutzung zu erzielen, ohne jedoch wirtschaftliche und sicherheitstechnische Aspekte aus den Augen zu verlieren [Die99]. Um dies zu bewerkstelligen werden neben gut entwickelten Lagerstrategien kurze Spielzeiten und ein hoher Automatisierungsgrad der eingesetzten Regalbediengeräte (RBG) gefordert. Damit das logistische Ziel schnellerer Bewegungswechsel erreicht werden kann, müssen die Regalbediengeräte mit höheren Geschwindigkeiten beziehungsweise Beschleunigungen arbeiten, wodurch jedoch Probleme hinsichtlich der Positioniergenauigkeit und der dynamischen Beanspruchung auftreten. Folglich besteht, unter anderem an der Funktionseinheit Regalbediengerät nach wie vor Optimierungspotenzial, um das Gesamtsystem Hochregallager leistungsfähiger zu gestalten [Sch94].

1.2 Stand der Technik 1.2.1 Grundlegender Aufbau Regalbediengeräte werden derzeit in unterschiedlichster Art und Weise, je nach Einsatzgebiet hergestellt und betrieben. Eine grobe Einteilung ergibt die drei Gruppen [Bop93]:

Regalförderzeuge

Regalstapler

Sonstige Regalbediengeräte

1


1 Einleitung Unter Regalbediengeräten wie sie im Folgenden behandelt werden, sollen Regalförderzeuge verstanden werden, welche ausschlieÿlich schienengebunden verfahren. Die Schienen sind dabei an Hallenboden- und Decke angebracht. Regalstapler hingegen sind frei verfahrbar und nicht schienengebunden. Zu ihnen gehören zum Beispiel Gabelstapler. Beide Gruppen lassen sich aufgrund ihrer Arbeitscharakteristik als Unstetigförderer bezeichnen, jedoch unterscheiden sie sich durch die Hauptarbeitsbewegung ihrer Lastaufnahmemittel (LAM), wie Abbildung 1.1 zeigt. Die Arbeitsbewegung auf ebenen Flächen lässt

Abbildung 1.1: Einteilung der Unstetigförderer [Sch94]

dabei eine gute mathematische Beschreibung durch kartesische Koordinaten zu. Regalbediengeräte kommen in verschiedenen Varianten zum Einsatz. Abbildung 1.2 klassiziert durch die grau hinterlegten Felder die im weiteren untersuchten bodenverfahrenden, vollautomatischen Einmast-Regalbediengeräte mit geregelten, elektrischen Antrieb. Andere Ausführungen wie zum Beispiel in Zweimast-Bauweise sind für besonders schwere Ladeeinheiten gedacht, sodass Einmaster durch ihre kompakte und platzsparende Konstruktion vorherrschend sind [Sch94].

2


1.2 Stand der Technik

Abbildung 1.2: Klassizierung von Regalbediengeräten [Die99]

Ein Beispiel für den typischen Aufbau eines Einmast-Regalbediengerätes liefert Abbildung 1.3. Die Hauptbaugruppen sind dabei [Die99]:

Tragwerk, bestehend aus



Mast beziehungsweise Säule (10)



Fahrwerk beziehungsweise Traverse (8)



Hubwagen (6)

Fahrantrieb (9)

Hubwerk (1)

Lastaufnahmemittel (LAM) (7)

Eine Beschreibung dieser Bestandteile und ihrer Funktionsweise lässt sich wie folgt geben [Bop93]: Der Mast (10) ist eine senkrechte Vorrichtung in Vollwand oder aus Prolen zur Führung des Hubwagens (6). Er ist am Fahrwerk (8) befestigt, welches einen Rahmen mit Laufrollen (16) darstellt und den Fahrantrieb (9) zur Beschleunigung oder Verzögerung des RBG in Regallängsrichtung enthält. Das Fahrwerk ist an den Stirnächen mit einer Prallplatte

3


1 Einleitung

Abbildung 1.3: Aufbau eines Einmast-Regalbediengerätes [Aÿm97]

bestĂźckt, die aus SicherheitsgrĂźnden auf einen Puer am Gassenende laufen kann. Der Hubwagen (6) ist ebenfalls ein beweglicher Rahmen der entlang des Mastes verfahrend mit dem Lastaufnahmemittel (7) ausgestattet ist. Zudem kann er bei manuellen und halbautomatisch betriebenen Geräten einen Bedienstand (4) zum Ăœberwachen des Be- und Entladevorgangs besitzen. Das ganze Tragwerk ist dabei seitlich mittels SeitenfĂźhrungsrollen am Kopf und FuĂż zur Momentenaufnahme ausgestattet, sodass das komplette RBG nicht aus der Zeichenebene von Abbildung 1.3 herauskippen kann. Als Hubwerk (1) bezeichnet man eine Einrichtung zum Heben und Senken des Hubwagens mit Hilfe von Tragmitteln, wie Seilen (2) oder Ketten, die durch Umlenkrollen am Mastkopf (3) den Hubwagen anheben oder senken. Als direkte Schnittstelle zur Ladeeinheit (5) und zum Regal ndet man unterschiedlichste Erscheinungsformen des Lastaufnahmemittels (7). Es fĂźhrt als einzige Baugruppe eine seitliche Lastbewegung aus und ist beispielsweise im Palettenhochregallager als Teleskopgabel ausgeprägt. Anderen Anwendungen, wie im Behälterlager werden eher Greifer, Vakuumsauger, jedoch seltener Elektromagneten und Zangen gerecht. Um im Fehlbetrieb eine ausreichende Sicherheit zu liefern wird der Hubwagen aufgrund des Signals eines Drehzahlmessers mit Keilen oder Rollen in der FĂźhrungsschiene fest-

4


1.2 Stand der Technik geklemmt. Neben dieser Fangvorrichtung dient eine Kraftmessdose dem Überlastschutz. Auÿerdem wird eine optische Fachkontrolle des Regals angewendet, um sicherzustellen, dass die gewünschte Ladeeinheit auch tatsächlich eingelagert werden kann und sich das Regalfach in leerem Zustand bendet. Zur Ein- und Auslagerung wird das Verfahren der Fachpositionierung der Koordinatenpositionierung überlagert. Bei der Koordinatenpositionierung wird dabei die zu befahrene Strecke durch Markierungen am Regal in äquidistante, gleichgewichtete Teilstrecken unterteilt. Diese Inkremente können während des Verfahrens vom RBG optisch oder induktiv abgetastet werden. Eine Auswerteeinheit gibt anschlieÿend die Position an, deren Auösung allerdings durch die Länge einer Teilstrecke begrenzt ist. Die Unterteilung in Teilstrecken wird heute allerdings eher durch Winkelcodierer an der Welle eines Laufrades erreicht. Winkelcodierer ordnen dabei der Anzahl der Umdrehungen eine Strecke beziehungsweise eine Position zu. Dies hat den Vorteil, dass eine Umdrehung zudem in weitere gleichgroÿe Inkremente unterteilt werden kann und somit die Auösung steigt. Die Wegmessung wird dadurch nicht mehr inkremental, sondern absolut vollzogen. Die Fachpositionierung dient im Anschluss der Feinjustierung, um redundanter gegenüber Toleranzabweichungen zu sein. Ein Reexionslichttaster am Hubwagen ermittelt auf optischem Wege einen Reektor am Regalfach und kann so die gewünschte Position ein- beziehungsweise nachstellen. Die drei Hauptbewegungen eines Regalbediengerätes sind also [Bop93]

Fahren,

Heben,

Ein- und Auslagern,

welche durch im Allgemeinen getrennt ansteuerbare Antriebe umgesetzt werden. Diese werden meist durch Drehstrom-Asynchronmaschinen (ASM) mit frequenzregelbarer Drehzahl realisiert, jedoch kommen auch Gleichstromservomotoren und neuerdings bürstenlose Drehstromservomotoren zum Einsatz [Aÿm97]. Dies hat den Vorteil, dass neben geringer Wartung auch eine gute Regelbarkeit der einzelnen Antriebe erzielt werden kann.

1.2.2 Herstellerangaben Um mit möglichst wenigen Regalbediengeräten groÿe Hochregallager zu bedienen werden seitens der Hersteller auch kurvenfähige Geräte angeboten. So können Ladeeinheiten nicht nur in einer Gasse ein- und ausgelagert, sondern auch Gangwechsel mittels Umsetzeinrich-

5


1 Einleitung tungen, wie Weichen oder Drehvorrichtungen vollzogen werden [Kßh01]. Wie aus Herstellerangaben [VS09] [DL09] [ML09] zu entnehmen ist, wird sehr auf individuelle Kundenwßnsche eingegangen. Um exibel und wirtschaftlich zu sein wird auf modulare Bauweise mit Standardelementen gesetzt. Sowohl eine individuelle Steuerung auf PC- oder SPS-Basis, als auch variabel gestaltbare Lastaufnahmemittel spiegeln dies wieder. Um die Raumausnutzung zu erhÜhen werden ganggebundene Regalbediengeräte als puerlose Systeme am Gangende angeboten. Fßr kurze Spielzeiten werden die Geräte mit schwingungsoptimalen Fahrkurven angesteuert. Selbst fßr Spezialanwendungen, wie zum Beispiel Tiefkßhllager bieten Hersteller passende LÜsungen an. Tabelle 1.1 und Tabelle 1.2 zeigen zum Abschluss vergleichbare, technische Daten gängiger Einmast-Regalbediengeräte auf. Hersteller / Typ

Einsatzgebiet

Nutzlast /kg

HĂśhe /m

Viastore / Viaspeed

Kleinteilelager

300 bis 10000 Ăźber 4000 Ăźber 4000 bis 1000 bis 1200

20 bis 45 Ăźber 35 Ăźber 40 bis 30 bis 44

bis

Viastore / Viapal

Paletten-/ Behälterlager

Dambach / Multi

Gangwechsel RBG

Dambach / Mono

Ganggebundenes RBG

Mlog / Order

manuelles Palettenhandling

Mlog / Single

automatisches Palettenlager

bis

Tabelle 1.1: Herstellerangaben zu Bauarten von Einmast-Regalbediengeräten (1)

Hersteller / Typ

Fahrgeschwindigkeit / (m/min)

Viastore / Viaspeed

bis

Viastore / Viapal

bis

300 240

Horizontalbeschleunigung / bis bis

3 1

m/s2



Hubwagengeschwindigkeit / (m/min) bis bis

120 80

Dambach / Multi Dambach / Mono Mlog / Order

bis

Mlog / Single

bis

120 210

bis bis

30 80

Tabelle 1.2: Herstellerangaben zu Bauarten von Einmast-Regalbediengeräten (2)

6


2 Problemstellung 2.1 Motivation und Ziele 2.1.1 Sicherheitsnachweis Durch die Antriebs- und Lastkräfte (Nutzlast, Reibung, etc.), welche auf ein Regalbediengerät wirken, entstehen gewollte und ungewollte Bewegungen. Regalbediengeräte sind somit schwingungsfähige Maschinen, deren Beanspruchung sich aus einem statischen und dynamischen Teil zusammensetzt. Um die resultierenden Verformungen der Tragwerke und die sich daraus ergebenden Spannungen zwecks Sicherheitsnachweis ermitteln zu können, liefert DIN 15350 [DIN92] die erforderliche Berechnungsgrundlage. Ausgangspunkt ist dabei die Einteilung aller auf das Regalbediengerät einwirkenden Kräfte in

Hauptlast



Eigenlast: Gewichtskräfte aller Eigenlasten der beweglichen und festen Teile eines RBG mit Ausnahme der Hublasten



Hublast: Gewichtskräfte der Ladeeinheit, der Lastaufnahmemittel, Hubwagen, Tragmittel (Seile, Ketten, etc.) und eventuell Bedienpersonal



Massenkräfte aus betriebsmäÿigen Bewegungen: dynamische Lasten, Massenträgheitskräfte



statische Führungskräfte: Kräfte, welche auf Führungsrollen wirken, zum Beispiel bei Kurvenfahrt oder Ein- und Auslagerungen

Zusatzlast



Schräglauf (Spurführungsrollen und Spurkränzen), Lasten auf Laufstegen, Podesten, Geländern, Temperatureinwirkungen

7


2 Problemstellung •

Sonderlast



Puerkräfte, Prßasten, Fanglasten, Lasten aus Notbremsungen

Fßr den regulären Betrieb spielen dabei die Hauptlasten die wichtigste Rolle. Eigen- und Hublasten stellen hier die statische Beanspruchung dar, wohingegen die Massenträgheitskräfte aus Bewegungen die Dynamik beeinussen. Der daraus resultierenden Schwingbeanspruchung wird in DIN 15350 [DIN92] durch sogenannte Dynamik-Beiwerte Rechnung getragen. Die Dynamische Last ergibt sich dabei als Produkt aus Dynamik-Beiwert und

Abbildung 2.1: Dynamik-Beiwerte am Regalbediengerät [DIN92]

statischer beziehungsweise quasistatischer Last. Eine kurze Ăœbersicht liefert Abbildung 2.1. Die Beiwerte bezĂźglich vertikaler Schwingungen werden als

•

8

Eigenlastbeiwert

Ď•

und


2.1 Motivation und Ziele •

Hublastbeiwert

Ψ

bezeichnet. Horizontale Biegeschwingungen des Mastes berĂźcksichtigt der

•

dynamische Schwingbeiwert

Mittels Eigenlastbeiwert

Ď•

Sw .

kÜnnen nach DIN 15350 [DIN92] die dynamischen Kräfte be-

rechnet werden, welche das Gerät beim Ăœberrollen von Schienenunebenheiten am stärksten verformen. Die Zahlenwerte sind dabei in Abhängigkeit der Nennfahrgeschwindigkeit angegeben. FĂźr den Hublastbeiwert

Ψ

ergibt sich eine Abhängigkeit der mittleren Beschleu-

nigung beziehungsweise VerzÜgerung und der Nennhubgeschwindigkeit. Zudem werden dadurch Regalbediengeräte auch in verschiedene Hubklassen eingestuft. Er bezieht Schwingungen des Lastaufnahmemittels und Hubwagens beim Ausheben von Ladeeinheiten mit ein. Die Wirkung horizontaler Kräfte beim Anfahren und Bremsen wird durch den dynamischen Schwingbeiwert

Sw

berechnet. Er ermittelt sich Ăźber das Ersatzsystem des Ein-

massenschwingers, den Abbildung 2.2 zeigt. Dämpfungsphänomene werden per Annahme

Abbildung 2.2: Dynamisches Ersatzmodell [DIN92]

vernachlässigt. Es wird dabei von einer konstanten mittleren horizontalen Beschleunigung oder VerzÜgerung den Weg

sa

am

Ăźber der Zeit

ta

ausgegangen, welche das RBG-Ersatzmodell um

verfährt. Als quasistatische Belastung wird

mdyn ¡ am

angesetzt.

mdyn

muss

als reduzierte, dynamische, punktfĂśrmige Ersatzmasse am Mastkopf berechnet werden, die zusammen mit der Federkonstanten

c

des Tragwerks die gleichen Schwingungseigenschaf-

ten bewirkt, wie die reale, annähernd gleichverteilte Masse des Hubwagens, samt Last in oberster Stellung. Nach Aufstellen der Bewegungsgleichung und LÜsens dieser Dierential-

9


2 Problemstellung gleichung erhält man die dynamische Verformung als

y (t) |{z}

=

dynamische Verformung

mdyn · am c } | {z

· (cos ωt − 1), | {z } Sw statische Verformung

(2.1)

ω =

wobei in Gleichung (2.1) die Eigenkreisfrequenz des Einmassenschwingers ist. Der dynamische Schwingbeiwert mäÿig zwischen den Werten

0

und

Sw 2

q

c mdyn

bewegt sich aufgrund seiner Periodizität betrags-

(siehe Abbildung 2.3). Ohne genauere Berechnung

der Verformungen, Kräfte und Spannungen der Tragwerke müssen deren statische Anteile daher mit dem Wert

Sw,max = 2

vervielfacht werden, um eine ausreichende Sicherheit im

dynamischen Betrieb zu gewährleisten.

Abbildung 2.3: Diagramm dynamischer Schwingbeiwert [DIN92]

Die Berechnungsgrundlagen aus DIN 15350 [DIN92] dienen als Hilfe des Konstrukteurs, um zu überprüfen, ob ein Regalbediengerät den auftretenden Belastungen standhält und so kein Bauteilversagen eintritt. Aufgrund der Übernahme der Beiwerte

ϕ

und

Ψ

mit kleinen

Änderungen aus DIN 15018 [DIN84] für Krane ist eine strenge Analogie zum Regalbediengerät zu plausibel [Küh01]. Auÿerdem ist zu beachten, dass obwohl sich die Berechnungsgrundlagen für Regalbediengeräte in der Praxis bewährt haben, der Schwingbeiwert

10

Sw

aus


2.1 Motivation und Ziele einem Ersatzmodell ermittelt wird, welches ein reales Regalbediengerät nicht vollkommen abbilden kann. Es ist daher sinnvoller einen Ansatz zu wählen, der aktiv auf das Schwingungsverhalten eingreift und so die maximalen Dynamik-Beiwerte reduziert, wodurch einer Ăœberdimensionierung entgegenwirkt wird.

2.1.2 Schwingungsdämpfung Im Folgenden sollen MĂśglichkeiten betrachtet werden, wie transversale Mastauslenkungen reduziert werden kĂśnnen. Diese entstehen durch Trägheitskräfte beim VerzĂśgern und Beschleunigen des Regalbediengerätes und fĂźhren zu erhĂśhten Spielzeiten, ungenauerer Positionierfähigkeit und einer Beeinträchtigung der Betriebsfestigkeit. Um geeignete MaĂżnahmen zur Reduzierung der auftretenden Schwingungen zu treen, ist es sinnvoll sich einen Ăœberblick mĂśglicher Dämpfungsarten zu verschaen, welche Abbildung 2.4 zeigt. Innere Dämpfung umfasst Material- beziehungsweise Werkstodämpfung und die Struk-

Abbildung 2.4: Ăœberblick Schwingungsdämpfung am RBG [Die99]

turdämpfung. Die Materialdämpfung leistet einen eher geringen Dämpfungsbeitrag durch die Umwandlung mechanischer Energie in Wärme. Strukturdämpfung bezieht sich auf die Dämpfung an Fßgestellen, wie beispielsweise Nieten und Blechen und entsteht durch Reibung von KÜrpern oder durch Verformung von elastischen Zwischenschichten [Die99]. Bei

11


2 Problemstellung vorgegebener Konstruktion und Werkstoauswahl kann auf innere Dämpfung daher wenig Einuss genommen werden. Eektiver ist hier die äuÿere Dämpfung. Passive Maÿnahmen wie Tilger und Dämpfer bewirken eine Energieumwandlung in ßssigen beziehungsweise gasfÜrmigen Medien oder durch Kontaktreibung von FestkÜrpern. Obwohl die verschiedensten Ansätze in der Praxis, zum Beispiel als Kraftfahrzeugdämpfer, Anwendung nden, haben sie sich bei Regalbediengeräten (siehe Abbildung 2.5) nicht erfolgreich bewährt [Die99].

Abbildung 2.5: Dämpfungsvorrichtungen am Mastkopf [Die99]

Besonders aktive Schwingungsdämpfung ist in jßngster Zeit eine vielversprechende Methode Mastauslenkungen zu minimieren. Zunächst stellt man fest, dass Schwingungen des Mastes durch die Vorgabe eines geeigneten Beschleunigungsprols bis auf dynamische Schwingbeiwerte gegen

Sw = 1

laufen. Eine solche Beschleunigungsvorgabe kann bei-

spielsweise wie in Abbildung 2.6 als trapezfÜrmig mit quadratischem Geschwindigkeitsprol vorgegeben werden. Abhängig von der Eigenfrequenz der Mastschwingung gibt es Beschleunigungsänderungszeiten

tA ,

die das Anfahren und Bremsen mit weitgehend unterdrĂźckten

Mastauslenkungen ermÜglichen. Dies wird durch das Prinzip der schwingungsoptimalen Anfahrzeiten [Sch94] ausgedrßckt. Die Umschaltzeiten des Fahrantriebs werden dabei durch die Bedingung ermittelt, dass am Ende der Beschleunigungs- bzw. VerzÜgerungsphase die potentielle und kinetische Energie der Mastschwingungen sich zu Null ergibt. Diese MÜglichkeit der Vorgabe eines Beschleunigungsprols als FßhrungsgrÜÿe entspricht der Struktur einer Steuerung. Als EinussgrÜÿe zur optimalen Auslegung muss jedoch stets die Eigen-

12


2.1 Motivation und Ziele

Abbildung 2.6: Beschleunigungs- und Geschwindigkeitsprol [Die99]

frequenz betrachtet werden, die wiederum von der Last und Fahrzuständen, sprich der Hubwagenhöhe abhängt. Um von diesen Gröÿen möglichst unabhängig zu sein, bietet sich eine Regelung des Fahrantriebs an. Anhand Abbildung 2.7 wird am Beispiel der Spurregelung eines Kraftfahrzeugs die Rückführung der Ist-Gröÿe gezeigt. Die Analogie zum Regalbediengerät erfolgt, indem Sensoren die Mastschwingungen erfassen und mit Stellgliedern Kräfte in das Tragwerk einleiten, um auftretenden Schwingungen entgegenzuwirken [Die99]. Zur Beein-

Abbildung 2.7: Strukturbild eines geschlossenen Regelkreises [Sti06]

13


2 Problemstellung ussung des Schwingbeiwerts

Sw

ergibt sich also zum einen die FßhrungsgrÜÿe, welche

durch ein geeignetes Beschleunigungsprol repräsentiert wird und zum anderen die eigentliche Regelung. Als besonders gut geeignete Regelstrategie hat sich die Zustandsregelung ergeben. Sie steht zuweilen als ßbermathematisiert in der Kritik und ist weniger anschaulich als der in Abbildung 2.7 gezeigte Regelkreis [Sti06]. Im Unterschied zu anderen Regelstrategien werden hier jedoch alle ZustandsgrÜÿen auf den Stelleingang gewichtet aufgeschalten. Es werden somit sämtliche Informationen bezßglich des Systemzustandes zur Beeinussung der Dynamik genutzt [Die99]. Inwieweit der Mehraufwand durch Sensoren, Rechenleistung und Stellglieder dem tatsächlichen Nutzen der Schwingungsreduzierung des Regalbediengerätmastes gerecht wird, muss im Anwendungsfall auch unter wirtschaftlichen Aspekten geprßft werden.

2.2 Fßhrung des Mastkopfes In der Praxis wurden bisher recht wirkungsvolle Maÿnahmen ergrien, um transversale Mastschwingungen zu verringern. Das Ziel dabei ist es den Mastkopf eines Regalbediengerätes zu fßhren und so zumindest an der Mastspitze Amplituden zu unterdrßcken. Abbildung 2.8 zeigt zwei pragmatische LÜsungsansätze.

Abbildung 2.8: Konstruktive MaĂżnahmen zur FĂźhrung des Mastkopfes [Die99]

Bei der SeilfĂźhrung wird eine Scheibe umschlungen, wobei durch die Umschlingungsreibung zwischen Drahtseil und Scheibe nach

Euler

und

Eytelwein

hohe Kräfte ßbertrag-

bar sind [Die99]. Es ist zu beachten, dass die FĂźhrung allerdings nicht schluprei, dafĂźr

14


2.2 Führung des Mastkopfes aber vibrationsfrei ist. Ähnlich parallelgeführt, jedoch formschlüssig ist der Portalantrieb, der durch Anordnung von Fahrantrieben an beiden Mastenden das Regalbediengerät mittels Zahnstangen verfährt. Es ist auch möglich, durch eine entsprechend aufwändige Regelung auf eine mechanische Kopplung der beiden Antriebseinheiten zu verzichten [Die99]. Selbstverständlich sind noch andere konstruktive Ausführungsformen denkbar, um Kräfte am Mastkopf eines Regalbediengerätes einzuleiten. Bisherige Lösungsvarianten beruhen jedoch oft auf Empirie. Für eine optimale Regelung und Auslegung eines zusätzlichen Kopfantriebes ist es notwendig die einzuleitenden Kräfte zu bestimmen, was eine Systemanalyse hinsichtlich transversaler Mastschwingungen voraussetzt. Die Krafteinleitung am Mastkopf bringt demnach mittels Führung neue Randbedingungen für die Dynamik und das Schwingungsverhalten mit sich. Ziel ist es diese hinreichend genau zu untersuchen, um Rückschlüsse auf eine mögliche Reduzierung der Ausschwingzeiten und Schwingungsamplituden zu ziehen.

15


2 Problemstellung

16


3 Modellbildung 3.1 VorĂźberlegungen und Grundlagen Um in der Realität auftretende Phänomene besser beschreiben und untersuchen zu kĂśnnen, ist es in Ingenieurswissenschaften Ăźblich zunächst ein Modell aufzustellen. Ein solches Modell kann die Wirklichkeit nicht vollständig abbilden, da hierfĂźr groĂże Anstrengungen unternommen werden mĂźssten und der Aufwand nicht dem eigentlichen Nutzen Rechnung trägt. Aus diesem Grund werden bei der Modellbildung stets Vereinfachungen und Annahmen getroen. Wichtig dabei ist zum einen, die technische Hauptaussage im Auge zu behalten und dazu alle nĂśtigen Phänomene mit einieĂżen zu lassen. Andererseits ist darauf zu achten das Modell mĂśglichst einfach zu halten und so einen Vorteil hinsichtlich der Ăœbersichtlichkeit und Handhabung zu erzielen. Ob ein verwendetes Modell letztendlich richtig aufgestellt wurde, kann in der Praxis durch Versuche und Messreihen validiert werden. Weichen Modell- und Versuchsergebnisse zu stark voneinander ab mĂźssen neue Aspekte beziehungsweise EinĂźsse beim theoretischen Modell mitberĂźcksichtigt werden. Grundsätzlich kann man zwei Modellarten unterscheiden [Die99]:

•

strukturkontinuierliche Modelle mit verteilten Parametern (Ăœber das komplette Volumen mit Masse behaftete Bauteile)

•

strukturdiskrete Modelle mit konzentrierten Parametern (Hintereinanderschaltung von Feder-Masse-Elementen)

FÜrdertechnische Maschinen und insbesondere Regalbediengeräte eignen sich sehr gut um durch Elemente der Technischen Mechanik abgebildet zu werden. Wie Abbildung 3.1 zeigt, nden so beispielsweise diskrete Punktmassen, masselose Federn und geschwindigkeitsproportionale Dämpfer Verwendung. Es lassen sich selbst einfache, klassische Modelle wie der Einmassenschwinger (Abbildung 3.1 f ) wiedernden. Mit dem Hintergrundwissen, dass dieser aber in DIN 15350 [DIN92] Verwendung ndet, wird deutlich, dass einfache Modelle wichtige Kernaussagen treen kÜnnen. Komplexe Modelle, wie das MehrkÜrpermodell (Abbildung 3.1 b) kÜnnen zwar sehr aufschlussreiche und realitätsnahe Ergebnisse liefern,

17


3 Modellbildung

Abbildung 3.1: Schwingungsmodelle fßr Regalbediengeräte [Arn07]

verlieren jedoch stark an Ăœbersichtlichkeit, sodass zu deren Berechnung Methoden der niten Elemente (FEM) und des Computer Aided Engineering (CAE) angewendet werden mĂźssen. Aufgrund dieser Tatsache kann hier nur eine numerische Betrachtung erfolgen, wobei sämtliche Systemparameter dem Computer zu Ăźbergeben sind [Sch94]. Um noch eine, zumindest zu Beginn der Modellbildung, analytische Betrachtung zu erzielen und so die Systemparameter mĂśglichst variabel zu halten bietet sich das Kontinuummodell (Abbildung 3.1 c) an. Dieses wird im Weiteren zur Untersuchung der Mastschwingungen von Regalbediengeräten herangezogen.

3.2 Mechanisches Modell 3.2.1 Regalbediengeräte als Kontinuummodell Das Aufstellen eines mechanisch-physikalischen Modells hängt davon ab, auf welche Eigenschaften besonderes Augenmerk gerichtet werden soll. Um sich ein mÜglichst genaues Bild der Schwingungseigenschaften von realen Regalbediengeräten zu verschaen, bietet

18


3.2 Mechanisches Modell sich das Kontinuummodell trotz einer relativ aufwändigen mathematischen Beschreibung an, da es die Realität je nach Detailierungsgrad sehr gut abbildet. Dies liegt vor allem daran, dass die zur Schwingungsanalyse des Mastes interessierenden Eigenkreisfrequenzen gut mit der Wirklichkeit ßbereinstimmen [Arn07]. Zudem kÜnnen auch Oberschwingungen samt deren Eigenformen hÜherer Ordnung betrachtet werden. Aufgrund der Tatsache, dass es sich beim Kontinuummodell um ein System mit unendlich vielen Freiheitsgraden handelt, treten dementsprechend auch unendlich viele Eigenkreisfrequenzen und Eigenformen auf. Da nicht alle fßr technische Anwendungen relevant sind gilt es mit geeigneten mathematischen Näherungsverfahren eine systembeschreibende LÜsung zu nden. Es erßbrigt sich dabei ßber Energiebetrachtungen reduzierte, diskrete Punktmassen und Federsteigkeiten zu berechnen, wie dies beispielsweise beim Einmassen-Modell der Fall ist, da diese direkt in den Mast als strukturkontinuierliche Masse mit einieÿen. Ein Rßckgri auf Grundlagen der Elastostatik liefert beim Aufstellen des Modells auÿerdem eine groÿe Hilfe.

3.2.2 Balkentheorie Werden nur kleine Schwingungsauslenkungen betrachtet, kann die Vertikaldynamik des Regalbediengeräts, betreend Hubwagenbewegungen und Ăœberfahren von Schienenunebenheiten von der Horizontaldynamik der transversalen Mastschwingungen entkoppelt werden [KĂźh01]. Es liegt daher nahe, den Mast in der Modellbildung als Balken zu betrachten, da dieser als Bauteil ebenfalls senkrecht zu seiner Längsachse belastet wird. Ziel der Balkentheorie ist es, Gleichungen zur Berechnung der Spannungen und Deformationen bereitzustellen [GHSW09], auf deren Bedeutung nun kurz eingegangen werden soll. Dies ermĂśglicht ein besseres Verständnis der getroenen Vereinfachungen und Annahmen, die trotz elastostatischer Betrachtungsweise auch in der Dynamik Anwendung nden. Betrachtet wird ein Balken, der ausschlieĂżlich durch ein Moment und eine Querkraft belastet wird. Die Grundgleichungen (3.1)(3.4) der graden, einachsigen Balkenbiegung nden sich ohne hier durchgefĂźhrter Herleitung Ăźber Kräfte- und Momentengleichgewichte in LehrbĂźchern der Technischen Mechanik [GHSW09]. Man unterscheidet dabei zwischen statischen Gleichgewichtsbedingungen am Balkenelement (Abbildung 3.2 a)

dQ = −q, dx dM =Q dx

(3.1) (3.2)

und dem Elastizitätsgesetz fßr das Biegemoment, beziehungsweise fßr die Querkraft (Ab-

19


3 Modellbildung bildung 3.2 b, c)

M = EIĎˆ 0 ,

(3.3)

Q = ÎşGA w0 + Ďˆ  = GAS w0 + Ďˆ . 

EI

wird hierbei als Biegesteigkeit und

GAS

(3.4)

als Schubfestigkeit bezeichnet. Beim Aufstel-

len der Gleichungen und ihrer weiteren Verwendung werden in erster Näherung Annahmen getroen, die auf

Bernoulli

a) Die Verschiebung Querschnitts

A

w

zurĂźckgehen (vergleiche Abbildung 3.3 a) [GHSW09]:

ist unabhängig von

z,

w = w (x)

gilt. Alle Punkte eines

z -Richtung,

die BalkenhĂśhe bleibt

sodass

erfahren die gleiche Verschiebung in

unverändert. b) Querschnitte die vor der Deformation eben waren sind auch danach eben. Einem Querschnitt wird neben der Absenkung ßberlagert. Die Verschiebung

u

w

die reine Drehung um kleine Winkel

eines Punktes

P

wird daher in

x-Richtung

zu

Ďˆ = Ďˆ (x) u (x, z) =

Ďˆ (x) z . c) Der Balken ist schubstarr, wenn die Schubfestigkeit sehr groĂż ist. Mit

GAS → ∞ folgt

aus Gleichung (3.4) bei endlicher Querkraft

w0 + Ďˆ = 0.

(3.5)

Aus geometrischer Sicht bleiben Balkenquerschnitte, die vor der Deformation senkrecht auf der Längsachse standen, auch danach senkrecht auf der Längsachse. Diese

Bernoulli-Annahmen

entsprechen nicht dem tatsächlichen Deformationszustand

der VerwĂślbung, den Abbildung 3.3 b zeigt. Es wird daher in Gleichung (3.4) ein Korrektur-

Abbildung 3.2: Skizzen zu Grundgleichungen der Balkenbiegung [GHSW09]

20


3.2 Mechanisches Modell faktor

Îş eingefĂźhrt, um die Querkraftberechnung des verwĂślbten Deformationszustandes zu

ermĂśglichen. Experimente zeigen jedoch, dass die

Bernoulli-Annahmen

fĂźr ausreichend

schlanke Balken Gßltigkeit besitzen und fßr reine Biegung sogar exakt sind [GHSW09]. Dies ist sichergestellt, wenn die Balkenlänge grÜÿer als das fßnache der BalkenhÜhe ist.

Abbildung 3.3: Annahmen zur Balkenbiegung [GHSW09]

Diese Anforderung wird von Regalbediengeräten erfßllt und so kann der Einuss des Schubes vernachlässigt oder anders formuliert, der Mast eines RBG als schubstarr angenommen werden. Setzt man nun Gleichung (3.5) in (3.3) ein erhält man die Dierentialgleichung der Biegelinie

w00 = −

M . EI

(3.6)

Durch sie kann durch Integration mit bekannten Randbedingungen die Durchbiegung (Biegelinie)

w (x)

in Abhängigkeit von einem Moment

M

berechnet werden. Eine andere Dar-

stellungsform erhält man durch Dierenzieren von Gleichung (3.6) und Einsetzen in Gleichung (3.1) beziehungsweise (3.2) als

EIw0000 = q (x) , wenn man

EI = const.

(3.7)

als konstant annimmt, also keine Querschnittsänderungen auf-

treten. Dies ermĂśglicht analog durch Integration mit bekannten Randbedingungen, die Durchbiegung

w (x)

bei bekannter Streckenlast

q (x)

zu berechnen.

Besonders die Biegelinie gibt Aufschlßsse ßber das Verformungsverhalten eines Balkens, sodass sich durch sie in zeitlicher Abhängigkeit

w (x, t) die modellierten Mastschwingungen

eines Regalbediengeräts ergeben.

21


3 Modellbildung 3.2.3 Modellvereinfachungen und Annahmen Die BerĂźcksichtigung der

Bernoulli-Balkentheorie

aus der Elastostatik liefert bereits

einen ersten Schritt zur Modellvereinfachung. Weitere MÜglichkeiten bietet die Worst-Case Betrachtung. Man geht dabei von den schlechtesten Bedingungen aus und legt diese einer Dimensionierung zugrunde. Im Bereich des Kontinuummodells eines Regalbediengerätes bietet es sich an die Dämpfung zu vernachlässigen, da so die maximalen Mastauslenkungen ermittelt werden kÜnnen, welche die kritischste Bauteilbeanspruchung darstellen. Insbesondere ieÿen keine geschwindigkeitsproportionalen Dämpferelemente mit ein. Querschnittsänderungen des Mastes sollen ebenfalls unberßcksichtigt bleiben (Flächenträgheitsmoment 2. Ordnung

I = const.),

sodass lediglich die Schwingungsdämpfung durch Fßhrung des

Mastkopfes als konstruktive Maÿnahme eine Rolle spielt. Als weitere Vereinfachung wird eine genaue Betrachtung des Antriebsmodells vernachlässigt. Dies betrit zum Beispiel die Antriebsmassen von Motoren und Getriebestreigkeiten, deren rotatorische Dynamik zwar am realen Regalbediengerät nicht unwesentlich ist, jedoch hier zwecks rein translatorischer Betrachtungsweise das mathematische Modell stark verkomplizieren wßrde.

3.2.4 Modellaufbau Den prinzipiellen Aufbau des Kontinuummodells zeigt die Skizze in Abbildung 3.4. Neben der schon erwähnten konstanten Biegesteigkeit änderlichen Mastquerschnitt

A,

EI = const.,

soll die Masseverteilung

bedingt durch einen unver-

Âľ0 = Ď A = const.

in Längsrichtung ebenfalls unverändert bleiben. Da die Masse

mH

des Hubwagens samt

Lastaufnahmemittel und Last als diskrete Punktmasse bei der HubwagenhĂśhe tet werden soll, ergibt sich die Masseverteilung

Âľ (x)

des Mastes

h

betrach-

des gesamten Mastes mit Hilfe der

Delta-Distribution (Dirac-StoĂż)

 0 δ (x − x0 ) = ďŁłâˆž

, fĂźr

x 6= x0 ,

, fĂźr

x = x0

(3.8)

und deren Eigenschaft

+∞ Z   f (x) δ (x − x0 ) dx = f (x0 )

(3.9)

−∞ zu

Âľ (x) = Âľ0 + mH ¡ δ (x − h) .

22

(3.10)


3.2 Mechanisches Modell Zur Beschreibung im Raum werden zum einen ein intertiales (ξ, η, ζ )-Koordinatensystem und zum anderen ein körperfestes (x, y, z )-Koordinatensystem festgelegt (vergleiche Abbildung 3.4). Durch die ebene Betrachtungsweise kommt allerdings nur den (ξ, η )- und (x, y )-Koordinaten Bedeutung zu, wobei durch die Parallelverschiebung der stets

ξ =x

ξ - und x-Achse

gilt. Der Ort, die Geschwindigkeit und die Beschleunigung des Regalbedien-

geräts wird dementsprechend durch die

η -Koordinate

und deren zeitliche Ableitungen be-

stimmt. Die Mastauslenkungen aus der Ruhelage werden durch die Funktion

w (x, t)

par-

Abbildung 3.4: Modellskizze des RBG-Kontinuummodells

23


3 Modellbildung allel zur

y -Achse

beschrieben.

Am Mastfuÿ bendet sich das Fahrwerk (Traverse), dessen Masse mit

mT

konzentriert

im Schwerpunkt und Ursprung des (x, y, z )-Koordinatensystems angenommen werden soll. Kräfte, welche sich bedingt durch den Antrieb ergeben sind am Fahrwerk festen Einspannung des Mastes und am Mastkopf

FAMK

FAT ,

mit einer

als Reaktion eines Loslagers anzu-

nehmen. Da jedoch nur kleine Auslenkungen betrachtet werden sollen, kann die Lage des Loslagers bei

ξ = x = l = const.

als unveränderlich angenommen werden. Die Masthöhe

l

ist also ein fester Parameter. Abschlieÿend sei noch auf die Erdbeschleunigung

g

hingewiesen, die eine Berücksichti-

gung der Eigenlast des Regalbediengeräts mit einschlieÿt.

3.3 Mathematisches Modell 3.3.1 Kräfte- und Momentengleichgewicht In einem weiteren Schritt wird das mechanisch, physikalische Modell in ein mathematisches Modell überführt, um das Schwingungsverhalten des Regalbediengerätemastes mittels Bewegungsgleichungen zu berechnen. Grundsätzlich gibt es zwei Vorgehensweisen [Sch94]:

Verfahren nach

Lagrange

oder

Hamilton

Die Bewegungsgleichungen können hier mittels sehr formaler Vorgehensweise über Energiebilanzen hergeleitet werden. Dies ist selbst für komplexe Systeme möglich, allerdings leidet darunter die Anschaulichkeit.

Verfahren nach

dAlembert

Durch freischneiden einzelner Masseelemente und anbringen von Trägheits-, Zwangsund Kopplungskräften kann ein dynamisches Kräftegleichgewicht aufgestellt werden, aus dem sich schlieÿlich die Bewegungsgleichungen ergeben. Diese Methode ist sehr anschaulich, jedoch nur bedingt für komplizierte Systeme geeignet. Im Folgenden sollen nach dem Verfahren von

dAlembert

aufgrund seiner Anschaulich-

keit und dem vertretbaren mathematischen Aufwand die Bewegungsgleichungen des Regalbediengerätmodells aufgestellt werden. Unter der Berücksichtigung des Schwerkrafteinusses wird das Problem mittels der sogenannten Theorie 2. Ordnung beschrieben (Stabknickung), wobei das Kräftegleichgewicht nicht, wie sonst in der Statik üblich am unverformten, sondern am verformten Balkenelement aufgestellt wird [DD11]. Dies wird durch eine zusätzliche kleine Verschiebung

24


3.3 Mathematisches Modell

Abbildung 3.5: Kräfte- und Momentengleichgewicht am Mastelement

des Verdrehwinkels

Ďˆ + dĎˆ

am oberen rechten Schnittufer in Abbildung 3.5 ausgedrĂźckt.

Die auftretenden Kräfte- und Momentengleichgewichte der Gleichungen (3.13)(3.15) in

(x, y, z)-Richtung Balkenelementes

sind um den Schwerpunkt eines dierenziellen Mast- beziehungsweise

dm,

wie es Abbildung 3.5 zeigt aufzustellen [DD11]. Weitere mathema-

tische Umformungen erfolgen anschlieĂżend mittels der Additionstheoreme fĂźr Trigonometrische Funktionen, welche sich in LehrbĂźchern der HĂśheren Mathematik nden lassen [MW10]:

cos (Ďˆ + dĎˆ) = cos (Ďˆ) cos (dĎˆ) − sin (Ďˆ) sin (dĎˆ) ,

(3.11)

sin (Ďˆ + dĎˆ) = sin (Ďˆ) cos (dĎˆ) + cos (Ďˆ) sin (dĎˆ) .

(3.12)

25


3 Modellbildung X

   ∂Q dx dx ∂M dx − dJ ψ¨ − Q + dx −Q Mz = 0 = −M + M + ∂x ∂x 2 2 ∂M dx dx ∂Q 1 = −M + M + −Q dx − dJ ψ¨ − Q − dxdx {z } | ∂x 2 ∂x 2 2 ∗ 

≈0

∂M = dx − dJ ψ¨ − Qdx, ∂x

X

(3.13)

Fy = 0 = N sin (ψ) − Q cos (ψ) − dm (w ¨ + η¨)     ∂N ∂Q dx cos (ψ + dψ) − N + dx sin (ψ + dψ) + Q+ ∂x ∂x = N sin (ψ) − Q cos (ψ) − µ (x) (w ¨ + η¨) dx + Q cos (ψ) cos (dψ) − Q sin (ψ) sin (dψ) +

∂Q dx cos (ψ) cos (dψ) ∂x

∂Q dx sin (ψ) sin (dψ) − N sin (ψ) cos (dψ) − N cos (ψ) sin (dψ) ∂x ∂N ∂N − dx sin (ψ) cos (dψ) − dx cos (ψ) sin (dψ) , (3.14) ∂x ∂x

X

Fx = 0 = −N cos (ψ) − Q sin (ψ) − µ (x) gdx     ∂Q ∂N + Q+ dx sin (ψ + dψ) + N + dx cos (ψ + dψ) ∂x ∂x = −N cos (ψ) − Q sin (ψ) − µ (x) gdx + Q sin (ψ) cos (dψ) + Q cos (ψ) sin (dψ) +

∂Q dx sin (ψ) cos (dψ) ∂x

∂Q dx cos (ψ) sin (dψ) + N cos (ψ) cos (dψ) − N sin (ψ) sin (dψ) ∂x ∂N ∂N + dx cos (ψ) cos (dψ) − dx sin (ψ) sin (dψ) . (3.15) ∂x ∂x

+

Werden in einem weiteren Schritt nach der und dementsprechend

Bernoulli-Balkentheorie

nur kleine Winkel

ψ

ebenfalls innitesimal klein betrachtet, können die Trigonome-

trischen Funktionen linearisiert werden [DD11]:

sin (ψ) ≈ ψ,

26

klein von höherer Ordnung

sin (dψ) ≈ dψ,

cos (ψ) ≈ 1,

cos (dψ) ≈ 1.

(3.16)


3.3 Mathematisches Modell Auÿerdem kann die Drehträgheit

dJ

bei sehr kleinen Drehungen vernachlässigt werden.

Diese getroenen Annahmen werden allgemein als

Euler-Bernoulli-Balkentheorie

be-

zeichnet und liefern fĂźr technisch relevante niedrige Eigenkreisfrequenzen und Eigenformen befriedigende Ergebnisse [GHW11]. Mit (3.16) und

X

X

dJ ≈ 0 in (3.13), (3.14) und (3.15) wird:

∂M −Q ∂x dM = − Q, dx

Mz = 0 =

(3.17)

∂Q Fy = 0 = âˆ’Âľ (x) (w ¨ + Ρ¨) dx − Q ĎˆdĎˆ + dx |{z} ∂x ≈0â€

−

∂N ∂N ∂Q Ďˆ dxdĎˆ −N dĎˆ − dxĎˆ − dxdĎˆ , ∂x | {z } ∂x ∂x | {z } ≈0∗

X

(3.18)

≈0∗

∂Q dxĎˆ ∂x ∂Q ∂N ∂N + dxdĎˆ −N ĎˆdĎˆ + dx − Ďˆ dxdĎˆ . |{z} ∂x ∂x | {z } ∂x | {z }

Fx = 0 = âˆ’Âľ (x) gdx + QdĎˆ +

≈0∗

(3.19)

≈0∗

≈0â€

Mit Gleichung (3.17) und der Dierentialgleichung der Biegelinie (3.6) erfolgt ein direkter Zusammenhang der Mastauslenkung

w (x, t)

mit der Querkraft als

Q = −EIw000 .

Produk-

te der Querkraft und Querkraftableitung mit sehr kleinen Verschiebungsableitungen und

w00 ,

w0

welche sich aus (3.5) ergeben, dßrfen ebenfalls vernachlässigt werden (verglei-

che (3.19) und (3.22) nach Division durch

dx)[DD11].

Letztendlich ergeben sich aus den Kräfte- und Momentengleichgewichten folgende Beziehungen fßr den Mast:

dM − Q, Mz = 0 = dx X dQ d Fy = 0 = âˆ’Âľ (x) (w ¨ + Ρ¨) + − (N Ďˆ) , dx dx X dN . Fx = 0 = âˆ’Âľ (x) g + dx

X

∗ â€

(3.20) (3.21) (3.22)

klein von hĂśherer Ordnung klein von hĂśherer Ordnung, da

Ďˆ ≈ dĎˆ → 0

27


3 Modellbildung

Abbildung 3.6: Kräftegleichgewicht der RBG Traverse

Wird auf das Fahrwerk in analoger Vorgehensweise das Schnittprinzip von

Lagrange

angewendet, ergeben sich, wie Abbildung 3.6 zeigt die dynamischen Kräftegleichgewichtsbedingungen der Traverse. Es sei an dieser Stelle noch einmal darauf hingewiesen, dass die Traversenmasse vereinfachend auf den Schwerpunkt konzentriert (Punktmasse) angenommen wird. Auf die Darstellung der auftretenden Momente wurde verzichtet, da diese beim realen Regalbediengerät über die Laufrollen und deren Aufstandskräfte

NSchiene durch

die Fahrschiene aufgefangen werden. Demzufolge wird Gleichung (3.23) nachfolgend nicht weiter betrachtet. Als Schnittkräfte bezüglich des Mastes wirken die Normalkraftkomponente

NS

und die Querkraftkomponente

QS .

X

Mz T = 0 = MSchiene − MS , X FyT = 0 = −mT η¨ − QS + FAT , X FxT = 0 = −NS − mT g + NSchiene .

(3.23) (3.24) (3.25)

Diese Beziehungen liefern alle die das Modell beschreibenden Bewegungsgleichungen, die nun durch sukzessives Einsetzen ermittelt werden.

28


3.3 Mathematisches Modell 3.3.2 Herleitung der Bewegungsgleichungen Zunächst wird aus den Gleichungen (3.22) und (3.10) durch Integration der Normalkraftverlauf

N (x)

im Mast ermittelt.

Zx

Zx dN =

0



 Âľ (x) g dx

(3.26)

0

fĂźhrt auf

N (x) − N (0) = Âľ0 xg + mH g Ďƒ (x − h) , wobei

Ďƒ (x − h)

An der Stelle

die

x=0

Heaviside-Funktion

(3.27)

(Sprungfunktion) an der Stelle

x=h

darstellt.

muss nach Abbildung 3.6 oben

NS + N (0) = 0

(3.28)

sein, sodass

Zl N (0) = −NS = −



 Âľ (x) g dx = − (Âľ0 lg + mH g)

(3.29)

0 gilt und sich damit der Normalkraftverlauf zu

N (x) = Âľ0 g (x − l) + mH g Ďƒ (x − h) − 1



(3.30)

ergibt. Durch Ableiten und Einsetzen von (3.5) in (3.3) und erneutes Ableiten ergibt sich mit (3.20) eine Beziehung fĂźr

Q = −EIw000 . Dieser Ausdruck wird erneut nach

x

(3.31)

abgeleitet und zusammen mit (3.30), (3.5) und (3.10)

in Gleichung (3.21) eingesetzt, sodass man die Bewegungsdierentialgleichung

  ¨ + Ρ¨) + EIw0000 + Âľ0 g (l − x) w00 − w0 0 = Âľ0 + mH δ (x − h) (w {z } | =Âľ(x)

 + mH gw00 1 − Ďƒ (x − h) − mH gw0 δ (x − h)

(3.32)

des Mastes erhält. Unter Vernachlässigung der Vertikaldynamik und der Gewissheit, dass vertikale Ge-

29


3 Modellbildung wichtskräfte als Lagerreaktion

NSchiene

in Abbildung 3.6 durch die Fahrschiene des Re-

galbediengeräts aufgefangen werden, bedarf es fßr Gleichung (3.25) keiner weiteren Betrachtung. Um die Mastschwingungen in horizontaler Richtung, beschrieben durch (3.32) mit einer Antriebsdynamik zu koppeln muss allerdings (3.24) weiterhin berßcksichtigt werden. Fßr

QS

gilt analog wie bei der Normalkraft an der Stelle

x=0

nach Abbildung 3.6

oben:

QS + Q (0) = 0.

(3.33)

Die Integration von (3.21) ergibt

Zl 0

dQ = Q (l) −Q (0) = | {z } =0

Zl h

i Âľ (x) (w ¨ + Ρ¨) − N 0 (x) w0 − N (x) w00 dx,

(3.34)

0

wobei hier zunächst der Fall des nicht gefßhrten oder eingespannten Mastkopfes betrachtet werden soll, sodass

Q (l) = 0

gilt und der Mast vorerst an seiner Spitze querkraftfrei

ausschwingen kann. Die Querkraftkomponente der Schnittkraft lässt sich anschlieÿend mit Gleichung (3.33) und (3.30) als

Zl  QS =

Âľ (x) (w ¨ + Ρ¨) − w0 Âľ0 g + mH g δ (x − h)



0

−w

00



Âľ0 g (x − l) + mH g Ďƒ (x − h) − 1



 dx

(3.35)

angeben. Folglich ist die Bewegungsgleichung der Traverse mit Gleichung (3.24)

Zl   0 = −mT Ρ¨ + FAT − Âľ (x) (w ¨ + Ρ¨) − w0 Âľ0 g + mH g δ (x − h) 0

−w

00



Âľ0 g (x − l) + mH g Ďƒ (x − h) − 1



 dx.

(3.36)

Im Folgenden gilt es nun das partielle Dierentialgleichungssystem bestehend aus den Gleichungen (3.32) und (3.36) zu lĂśsen beziehungsweise zu approximieren.

3.3.3 Randbedingungen Neben den beiden Bewegungsgleichungen (3.32) und (3.36) kÜnnen aus der Anschauung aus Abbildung 3.4 noch Randbedingungen ermittelt werden, welche zur späteren LÜsungsn-

30


3.3 Mathematisches Modell dung der Mastauslenkung

w (x, t)

benötigt werden und somit weitere Informationen über

die Dynamik des Regalbediengerätmodells liefern. In Gleichung (3.34) wurde von einem an der Mastspitze querkraftfreien Regalbediengerät ausgegangen. Dies erleichterte die Herleitung der Bewegungsgleichung (3.36) für das Fahrwerk. In einem weiteren Schritt soll nun die Führungskraft

FAMK

am Mastkopf eingeleitet

werden, um dessen Schwingungsamplituden bei einer horizontalen Fahrt des Regalbediengeräts zu unterdrücken. An der Stelle

x=l

greift dann Gleichung (3.31) und es gilt

FAMK = Q (l) = −EIw000 (l) ⇔

w000 (l) = −

FAMK . EI

(3.37)

Diese inhomogene Randbedingung liefert jedoch eine ungenaue Aussage über die Mastauslenkung

w (x = l, t),

weil diese von der eingeleiteten Kraft

FAMK

abhängt und man

prinzipiell durch sie die Schwingungsamplituden sogar verstärken könnte, wenn sie in die falsche Richtung wirkend aufgeprägt wird. Vielmehr ist man daran interessiert, die Randbedingung

w (x = l) = 0 zu erzielen und dann anschlieÿend den Kraftverlauf Die Kraft

FAMK

soll zudem bei

x = l

(3.38)

FAMK (t)

über (3.37) zu berechnen.

durch ein Loslager eingeleitet werden, welches

keine Momente übertragen kann. Die Gleichung (3.6) liefert somit

M (l) = −EIw00 (l) = 0 ⇔

w00 (l) = 0.

Durch die feste Einspannung des Mastes an der Traverse bei

(3.39)

x=0

und die vorhandene

Geometrie können alle Randbedingungen abschlieÿend aus den vorangegangenen Überlegungen komplett durch

w (x = 0, t) = 0,

(3.40)

w (x = l, t) = 0,

(3.41)

w0 (x = 0, t) = 0,

(3.42)

w00 (x = l, t) = 0

(3.43)

angegeben werden. Aus der Forderung (3.41) ermittelt man die am Mastkopf einzuleitende

31


3 Modellbildung Kraft mit (3.37) als

FAMK = −EIw000 (x = l, t) .

(3.44)

3.4 Näherungsverfahren Eine geschlossene LÜsung der partiellen Dierentialgleichungen (PDGL) (3.32) und (3.36) ist aussichtslos. Aus diesem Grund gibt es verschiedene Näherungsverfahren, wobei hier aufgrund verhältnismäÿig geringer Computerunterstßtzung das Verfahren von

Galerkin

angewendet werden soll. Hierzu werden jedoch Ansatzfunktionen benÜtigt, die sämtliche Randbedingungen erfßllen mßssen. Da ein Polynom, das an die gegebenen Randbedingungen angeglichen wurde in der Regel jedoch zu keinen guten Ergebnissen fßhrt [Kßh01] ist es sinnvoller als Ansatzfunktion die LÜsung eines ähnlichen Problems zu wählen.

3.4.1 Nachbarproblem des Biegebalkens ohne Schwerkraft und Zusatzmasse Bevor nun im Detail die Methode von

Galerkin

angewendet wird soll zunächst die Her-

leitung einer geeigneten Ansatzfunktion aus dem ähnlichen Nachbarproblem des

Bernoulli-Balkens

Euler-

ohne BerĂźcksichtigung der Schwerkraft und der Hubwagenmasse

mH

erfolgen (Theorie 1. Ordnung). Ăœber ein Kräfte- und Momentengleichgewicht am unverformten Balkenelement (siehe Abbildung 3.2 a) erhält man in ähnlicher Weise wie beim Regalbediengerätmodell in Abbildung 3.5 durch die gleichen Vereinfachungen und Annahmen mit

q=0

die Bewegungsgleichung [GHW11]

w0000 + Es kann nun als Ansatzfunktion der

¾0 w ¨ = 0. EI

(3.45)

Bernoulli-Ansatz

w (x, t) = W (x) ¡ T (t) gewählt werden, da das Verhältnis der Balkenauslenkung an beliebiger Stelle

(3.46)

x

und

x=l

gleich und zeitunabhängig ist [Bop93]:

w (x, t) w (x) = = W (x) w (l, t) w (l) ⇔

w (x, t) = W (x) ¡ w (t, l) . | {z } =T (t)

32

(3.47)


3.4 Näherungsverfahren Einsetzen von (3.46) in (3.45) ergibt nach Umformung

EI W 0000 (x) T¨ (t) =− = const. = ω 2 , Âľ0 W (x) T (t) weil die rechte und linke Seite der Gleichung fĂźr alle

x

t

und

(3.48)

erfĂźllt sein muss [GHW11].

Gleichung (3.48) fĂźhrt auf zwei gewĂśhnliche Dierentialgleichungen (DGL), zum einen der Zeit

T¨ (t) + ω 2 T (t) = 0

(3.49)

T (t) = At sin (ωt) + Bt cos (ωt)

(3.50)

mit der LĂśsung

und zum anderen des Ortes

r W

0000

4

(x) − β W (x) = 0

, mit

β=

4

ω 2 ¾0 EI

(3.51)

mit der LĂśsung

W (x) = Ax sin (βx) + Bx cos (βx) + Cx sinh (βx) + Dx cosh (βx) , die man jeweils durch einen

eÎťx -Ansatz

(3.52)

erhält. Wird (3.52) nun an dieselben Randbedin-

gungen (3.40)(3.43) des eigentlichen Regalbediengerätemodells angepasst, ergibt sich das Gleichungssystem



1

0

1

0



Ax



     B  0 1 0 1    x     = 0,  sin (βl)   Cx  cos (βl) sinh (βl) cosh (βl)    Dx − sin (βl) − cos (βl) sinh (βl) cosh (βl) {z } |

(3.53)

A

welches nur nichttriviale LĂśsungen liefert, wenn die Determinante der Matrix

A

Null ist.

Somit erhält man die charakteristische Gleichung [GHW11]

det (A) = tan (βl) − tanh (βl) = 0.

(3.54)

Diese Gleichung besitzt unendlich viele Nullstellen, die als Eigenwerte bezeichnet werden. Technisch interessant sind nur kleine Eigenwerte, da sie niedrige Eigenkreisfrequenzen

ω

33


3 Modellbildung (vergleiche (3.51) rechts) repräsentieren. Durch die Beziehung

ω = 2π · f

Zusammenhang zur oft auch gebräuchlichen Frequenzdarstellung

f

ergibt sich der

von Schwingungen, wes-

wegen (3.54) in der Schwingungslehre auch als Frequenzgleichung bezeichnet wird [BS08]. In realen Systemen werden Schwingungen gedämpft. Die Dämpfung ist dabei umso gröÿer, je höher die Frequenz ist [GHW11]. Aufgrund einer hier durchgeführten Worst-Case Betrachtung sind dementsprechend nur niedrige Eigenkreisfrequenzen relevant. Beispielhaft können die Grundfrequenz und die erste Oberfrequenz mit den Zahlenwerten

s β1 l = 3,927

ω1 = 15,421 s

β2 l = 7,069

angegeben werden. Die Eigenkreisfrequenzen

ω2 = 49,971 ωk

EI , µ0 l 4

(3.55)

EI µ0 l 4

(3.56)

können nun in das homogene Gleichungs-

system (3.53) und die Lösung (3.52) eingesetzt werden, wodurch sich die Eigenschwingungsformen

Wk (x) 

Wk (x) = Ck ·

in Abhängigkeit einer unbestimmten Konstanten

Ck

zu

  sin (βk l) + sinh (βk l) cos (βk x) − cosh (βk x) − sin (βk x) + sinh (βk x) cos (βk l) + cosh (βk l) (3.57)

ergeben. Mit den Werten aus (3.55) und (3.56) wurden die erste (Grundschwingung) und die zweite Eigenschwingungsform (Oberschwingung) mit dem Computer-Algebra-System (CAS)

Maple

in Abbildung 3.7 gezeichnet. Dies sind spezielle Lösungen für jeweils eine

Abbildung 3.7: Eigenschwingungsformen

34


3.4 Näherungsverfahren spezische Eigenkreisfrequenz

ωk .

Da Gleichung (3.45) linear ist, ist die Summe aller spe-

ziellen Lösungen auch eine Lösung, die den Randbedingungen genügt [GHW11]. Durch Superposition ergibt sich die allgemeine Lösung von (3.45) mit (3.57), (3.50) und (3.46) zu

w (x, t) =

∞ X

Wk (x) · Tk (t) .

(3.58)

k=1 Diese Darstellung wird auch als gemischter tor

Ck

Ritz-Ansatz

aus (3.57) geht dabei in die Konstanten

bezeichnet [Wau08]. Der Fak-

At und Bt mit ein und kann daher zu Ck = 1

gesetzt werden. Diese können beispielsweise über Anfangsbedingungen der Zeit bezüglich des Ortes

w0 (x)

und der Anfangsgeschwindigkeit

v0 (x)

w (x, t = 0) = w0 (x) ,

(3.59)

w˙ (x, t = 0) = v0 (x)

(3.60)

berechnet werden. Als Ansatzfunktion für das Näherungsverfahren von mit Gleichung (3.58) dienen, wobei die Laufkoordinate bei

k

Galerkin kann so-

zweckmäÿigerweise im Folgenden

k = n als erste Näherung abgebrochen werden soll. Dies ist dadurch begründet, dass es

unmöglich ist alle unendlich vielen Eigenformen und Eigenkreisfrequenzen zu berücksichtigen, zumal diese mit steigender Höhe von technisch untergeordneter Bedeutung sind. Für nicht zu groÿe

n wird zudem der Rechenaufwand geringer, wobei die grundsätzliche Vorge-

hensweise unverändert bleibt. Die Ansatzfunktion bezieht sich auÿerdem vornehmlich nur auf die Ortsfunktion (3.57). Dies liegt daran, dass die Zeitfunktion quenzen

ωk

Tk

durch die Eigenfre-

des Nachbarproblems (Gleichungen (3.55) und (3.56)) bestimmt ist und sich

diese vom Regalbediengerätemodell unterscheiden. Somit bleibt die Zeitfunktion nächst ohne Einuss der Eigenkreisfrequenzen

ωk

Galerkinschen

zu-

des Nachbarproblems unbestimmt, dient

jedoch als Korrekturfaktor beziehungsweise bei unbestimmten Zeitpunkten turfunktion für die im

T (t)

t

als Korrek-

Verfahren approximierte Ortsfunktion

Wk .

Nach

diesen Überlegungen erhält man schlieÿlich den gewünschten Ansatz mit

w (x, t) =

n X

Wk (x) · Tk (t) .

(3.61)

k=1

3.4.2 Verfahren von Galerkin Das Verfahren von

Galerkin

basiert auf der Idee den Fehler

r zu minimieren, beziehungs-

weise verschwinden zu lassen, der beim Einsetzen einer Ansatzfunktion entsteht [GHW11].

35


3 Modellbildung Dieser Fehler wird als Residuum bezeichnet. Ein Vorteil der Ansatzfunktion (3.61) ist, dass sie dieselben Randbedingungen erfßllt, die auch (3.32) besitzt und genauso oft dierenziert werden kann, da beide Gleichungen (3.32) und (3.45) selber Ordnung sind. MÜchte man nun eine NäherungslÜsung des partiellen Dierentialgleichungssystems (3.32) und (3.36)

r

erhalten, so setzt man (3.61) in (3.32) und (3.36) ein, wodurch sich das Residuum

der

Mastdierentialgleichung zu

Âľ (x)

n X

! Wk T¨k + Ρ¨ + EI

k=1

n X

Wk0000 Tk + Âľ0 g (l − x)

k=1

n X

Wk00 Tk −

k=1

 + mH g 1 − Ďƒ (x − h)

n X

Wk00 Tk − mH g δ (x − h)

k=1

n X

! Wk0 Tk

k=1 n X

Wk0 Tk = r

(3.62)

k=1

ergibt, weil (3.61) nicht der exakten LĂśsung entspricht, sondern eben nur das Nachbarproblem beschreibt.

Zl " − mT Ρ¨ + FAT −

Âľ (x)

n X

! Wk T¨k + Ρ¨ −

+

Z l "X n 0

Wk0 Tk

#  Âľ0 g + mH g δ (x − h) dx

k=1

k=1

0

n X



Wk00 Tk Âľ0 g (x − l) + mH g Ďƒ (x − h) − 1



# dx = 0

(3.63)

k=1

repräsentiert die Traversendierentialgleichung mit eingesetzter Ansatzfunktion. Die Besonderheit beim

Galerkin-Verfahren

ist nun, dass das gewichtete Residuum im Ăśrtlichen

Mittel Ăźber dem Gebiet verschwinden soll (Methode der gewichteten Residuen) [GHW11]:

1 l

Zl x=0 Zl

⇔



 r ¡ γ dx = 0



 r ¡ γ dx = 0.

(3.64)

x=0 Dabei ist

Îł = Îł (x)

die Wichtungsfunktion. Sie setzt sich ebenfalls aus

k =n

linear un-

abhängigen Funktionen zusammen, wodurch ein gewÜhnliches Dierentialgleichungssystem bestehend aus

n

Gleichungen fĂźr die Unbekannten

Tk=1 (t) , Tk=2 (t) , . . . , Tk=n (t)

entsteht

[GHW11]. Zudem kommt noch die Traversengleichung (3.63), sodass insgesamt mit

n+1

Dierentialgleichungen und eingeleiteten Antriebs- beziehungsweise Fßhrungskräften

36

FAT


3.4 Näherungsverfahren und

FAMK

auch der StarrkĂśrperfreiheitsgrad

Îł

die Funktionen

des Fahrwerks ermittelt werden kann

Galerkin-Verfahren

[Wau08]. Die Besonderheit beim funktionen

Ρ (t)

ist nun, dass fĂźr die Gewichtungs-

Wk=1 (x) , Wk=2 (x) , . . . , Wk=n (x) des Ortes gewählt werden,

welche bereits auch in der Ansatzfunktion (3.61) benutzt wurden [GHW11]. Es ergeben sich somit aus (3.62) fĂźr beispielsweise

Zl "

2 X

Âľ (x)

! Wk T¨k + Ρ¨ + EI

k=1

x=0

n=2

2 X

die Beziehungen

Wk0000 Tk + Âľ0 g (l − x)

k=1

+ mH g 1 − Ďƒ (x − h)

2 X

2 X

Wk00 Tk −

k=1

Wk00 Tk − mH g δ (x − h)

k=1

2 X

2 X

! Wk0 Tk

k=1

! Wk0 Tk

# ¡ W1 dx = 0

(3.65)

k=1

und

Zl "

2 X

Âľ (x)

! Wk T¨k + Ρ¨ + EI

k=1

x=0

2 X

Wk0000 Tk + Âľ0 g (l − x)

2 X

Wk00 Tk −

Wk00 Tk − mH g δ (x − h)

2 X

! Wk0 Tk

2 X

! Wk0 Tk

k=1

k=1

k=1

+ mH g 1 − Ďƒ (x − h)

2 X

# ¡ W2 dx = 0.

(3.66)

k=1

k=1

Nach dem Auswerten der Integrale (3.65) und (3.66) erhält man anschlieÿend zusammen mit (3.63) das lineare, inhomogene Dierentialgleichungssystem mit den drei Gleichungen fßr

T1 (t), T2 (t)

und

Ρ (t)

der Gestalt



     T¨1 T1 0           ¨ M¡ T2  + S ¡ T2  =  0  . Ρ¨ Ρ FAT Fßr die Wahl

n=2

sind dabei

M

und

S 3 Ă— 3-Matrizen

(3.67)

und werden als Massenmatrix

beziehungsweise Steigkeitsmatrix bezeichnet [Hol07]. Die Darstellung erinnert an einen Dreimassenschwinger, dessen mathematische Beschreibung, bedingt durch drei Freiheitsgrade fßr drei diskrete Punktmassen, dieselbe Erscheinungsform besitzt wie (3.67). Ein solches System wird auch als Schwingerkette bezeichnet [Wit96]. Zur weiteren Vorgehensweise kÜnnen zwei unterschiedliche Fälle betrachtet werden.

•

Durch Vorgabe eines Beschleunigungsprols

T1 (t)

und

T2 (t)

Ρ¨ (t)

sind zunächst die Zeitfunktionen

ermittelbar. Zu Beginn kĂśnnen die Eigenkreisfrequenzen

ω

des Sys-

37


3 Modellbildung tems mit

 det S − ω 2 M = 0

(3.68)

als wichtige Information bestimmt werden [Wit96]. Um unendlich hohe Amplituden, die zum Schadensfall fĂźhren kĂśnnen zu vermeiden, sollten Erregerkreisfrequenzen nicht mit den Eigenkreisfrequenzen des Systems Ăźbereinstimmen [MPS08].

Ρ¨ (t)

Nach Einsetzen einer Beschleunigungsvorgabe

ergibt sich aus den ersten beiden

Zeilen von (3.67) ein Eigenwertproblem der Form

Mneu ¡ Mneu

und

Sneu

sind nun

T¨1 T¨2

! + Sneu ¡

2 Ă— 2-Matrizen

und

T1 T2

! =

p1 , p2

Ρ¨p1 Ρ¨p2

! .

(3.69)

Faktoren eines partikulären An-

teils. Auf dieses entstandene inhomogene Dierentialgleichungssystem kann ebenfalls Gleichung (3.68) angewendet werden, wodurch sich neue Kreisfrequenzen ergeben. Anschlieÿend werden diese in einen homogenen LÜsungsansatz eingesetzt, da sie aus mathematischer Sicht als Eigenwerte interpretierbar sind [MMS05]. Eine partikuläre LÜsung lässt sich je nach vorgegebenem Beschleunigungsprol durch einen Ansatz vom Typ der rechten Seite, mittels Variation der Konstanten oder durch die Eliminationsmethode erzielen [MW10] [Heu09]. Durch Addition der homogenen und partikulären LÜsung und anschlieÿender Anpassung an entsprechende Anfangsbedingungen (3.59) und (3.60) ergibt sich mit den beiden Zeitfunktionen schlieÿlich

w (x, t) =

P2

k=1 Wk

T1 (t)

und

T2 (t)

(x) ¡ Tk (t).

In einem weiteren Schritt kann dann der Verlauf der Antriebskraft

FAT (t) der Traver-

se mit der dritten Zeile aus (3.67) berechnet werden. MĂśchte man den notwendigen Kraftverlauf der einzuleitenden FĂźhrungskraft dass dort die Randbedingung

000 3. Ableitung w (x

•

= l, t)

FAMK

w (x = l, t) = 0

am Mastkopf bestimmen, so-

erfĂźllt ist, muss die nun bekannte

in (3.44) eingesetzt werden.

Vorgabe der Antriebskraft

FAT (t)

an der Traverse. Der LĂśsungsweg erfolgt analog

zu einem Schwinger mit hier als Beispiel gewählten drei Freiheitsgraden. Es handelt sich dabei ebenfalls um ein Eigenwertproblem dessen Eigenkreisfrequenzen

ω

sich als

Nullstellen der charakteristischen Gleichung (3.68) ergeben [Wit96] [MMS05]. Bevor an Anfangsbedingungen angepasst wird, muss eine Superposition der homogenen und partikulären LÜsung erfolgen [Wau08]. Als Ergebnis ndet man die Zeitverläufe

38

T1 (t), T2 (t)

und

Ρ (t),

woraus automatisch

w (x, t) =

P2

k=1 Wk

(x) ¡ Tk (t)

folgt.


3.5 Vergleichsmodell SchlieĂżlich kann damit Ăźber die 3. Ableitung triebskraftverlauf

FAMK (t)

w000 (x, t)

an der Stelle

x=l

der An-

berechnet werden.

Beiden Betrachtungsweisen liegt die Ermittlung der zeitlichen Mastauslenkung

w (x, t)

zugrunde, wodurch das dynamische Verhalten des Regalbediengerätemodells, wenn auch nur angenähert, beschrieben wird. Die Approximationsgßte des mehrgliedrigen Ansatz fßr

Galerkin-Verfahrens

n = 1, 2, 3, . . .

kann selbstverständlich durch einen

beliebig komplex erfolgen, wodurch sich aber kei-

ne grundlegende Veränderung der durchzufßhrenden Rechenschritte zur LÜsung des inhomogenen Dierentialgleichungssystems ergibt. Wie gut das ermittelte Ergebnis angenähert wird, hängt demnach lediglich von der Anzahl der in der Ansatzfunktion (3.61) mitberßcksichtigten Eigenformen

Wk (x) und deren zeitlichen Korrekturfunktionen Tk (t) ab. Da

jedoch bereits die Auswertung der Integrale (3.65) und (3.66) analytisch sehr unhandlich ist, empehlt sich eine numerische Behandlung mit geeigneten Parametern. Fßr das im Anschluss zu lÜsende Gleichungssystem (3.67) ist die Unterstßtzung eines Computers ebenfalls aufgrund seiner Komplexität sinnvoll. In der Praxis ist es ßblich nur den Fall der Beschleunigungsvorgabe

Ρ¨ (t)

zu untersu-

chen, da ein RBG verschiedene Regalfächer anfahren soll und dadurch stets die Information bezßglich eines zu verfahrenden Weges ßbermittelt wird. Als Ergebnis erhält man die notwendigen Kraftverläufe

FAT

und

FAMK ,

die als Grundlage einer Antriebsauslegung

dienen kÜnnen. Ein bedeutender Vorteil dabei ist, dass prinzipiell keine Einschränkungen in der Wahl der Beschleunigungsvorgabe

Ρ¨ (t)

vorhanden sind. So kĂśnnen auch unsteti-

ge Funktionen, wie zum Beispiel ein Sprung als wichtiges Eingangssignal der Mess- und Regelungstechnik aufgeschalten werden.

3.5 Vergleichsmodell Die vorangegangenen Ăœberlegungen gingen von einem am Mastkopf durch Krafteinleitung gefĂźhrten Regalbediengerät aus. Bisherige Untersuchungen aus der Literatur [Bop93] betrachten jedoch ungefĂźhrte Modelle, welche eine aktive Schwingungsreduzierung Ăźber eine Regelung des Fahrantriebs erzielen [Die99]. Um beide Ansätze vergleichen zu kĂśnnen, bietet es sich an das bereits erstellte Kontinuummodell dahingehend anzupassen, dass es Abbildung 3.1 c entspricht. Der Vorteil des Kontinuummodells besteht nun darin, dass die Herleitung der Bewegungsgleichungen (3.32) des Mastes und (3.36) des Fahrwerks ohne Ă„nderung Ăźbernommen werden kĂśnnen. Es muss lediglich eine Anpassung an geänderte

39


3 Modellbildung Randbedingungen erfolgen. Diese lauten nun

w (x = 0, t) = 0

(3.70)

w0 (x = 0, t) = 0

(3.71)

w00 (x = l, t) = 0

(3.72)

w000 (x = l, t) = 0.

(3.73)

Die vierte Randbedingung (3.73) resultiert aus Gleichung (3.31), da der Mast im jetzt betrachteten Fall an seiner Spitze querkraftfrei schwingt und somit die Bedingung

Q (l) = 0

gilt. Für das verwendete

Galerkin-Verfahren

muss auÿerdem die Ansatzfunktion

W (x) aus

Gleichung (3.52) an die nun geltenden Randbedingungen angepasst werden. Die nachfolgenden Berechnungen sind anschlieÿend aber analog, wie beim an der Mastspitze geführten Kontinuummodell, durchzuführen. Beide Modelle besitzen also die Gemeinsamkeit, dass die Ansatzfunktionen aus der Lösung eines Nachbarproblems resultieren. Die charakteristische Gleichung besitzt dementsprechend die Form [GHW11] (vergleiche (3.54))

det (A) = cosh (βl) cos (βl) + 1 = 0,

(3.74)

deren ersten beiden Nullstellen ebenfalls mit den Eigenkreisfrequenzen verknüpft sind [GHW11] (vergleiche (3.55) und (3.56)):

s

β1 l = 1,875

β2 l = 4,694

EI µ0 l 4 s EI ω2 = 22,034 . µ0 l 4

ω1 = 3,516

(3.75)

(3.76)

In Abbildung 3.8 wurden die ersten beiden Eigenformen gezeichnet. Sie ergeben sich in Abhängigkeit einer Konstanten

Ck

durch

   cos (βk l) + cosh (βk l) Wk (x) = Ck · − sin (βk x) − sinh (βk x) + cos (βk x) − cosh (βk x) , sin (βk l) + sinh (βk l) (3.77) nachdem die ersten beiden Nullstellen der charakteristischen Gleichung eingesetzt wurden [GHW11] (vergleiche (3.57)). Daraus sind somit auch für das veränderte, am Mastkopf kräftefreie Modell die erforderlichen Ansatzfunktionen bestimmt, welche zur Diskretisie-

40


3.5 Vergleichsmodell

Abbildung 3.8: Eigenformen des Vergleichsmodell [GHW11]

rung des Ortes für das

Galerkin-Verfahren

verwendet werden können.

Der Gütegrad des Näherungsverfahrens hängt hier ebenfalls von der Anzahl der mitberücksichtigten Eigenschwingungsformen ab, wobei erneut argumentiert werden darf, dass hohe Eigenfrequenzen und -formen von technisch untergeordneter Rolle sind. In den nachfolgenden Betrachtungen wurde sich daher nur auf die Verwendung der Grundschwingung und ersten Oberschwingung beschränkt. Ein numerischer Lösungsweg ist auch hier durch die erhöhte Komplexität einzuschlagen. Das Aufstellen dieses Vergleichsmodells hilft bei der Verikation bereits durchgeführter Messungen, vorausgesetzt es werden die gleichen Parameter in Theorie und Praxis verwendet. Wenn gegeben ist, dass Messung und Modellwerte hinreichend genau übereinstimmen, kann davon ausgegangen werden, dass das Modell die Realität im Rahmen der betrachteten Phänomene gut abbildet. Letztendlich lässt dies die Schlussfolgerung zu, dass auch das im eigentlichen Blickpunkt liegende RBG-Modell mit Krafteinleitung am Mastkopf eine ausreichende Beschreibung realer Verhältnisse liefern kann. Eine zufriedenstellende Gewissheit bleibt allerdings trotzdem den Messergebnissen eines Prüfstandes oder eines sich im Einsatz bendenden Regalbediengerätes vorbehalten.

41


3 Modellbildung

42


4 Modell-Parameter Die auftretenden Parameter des Regalbediengerätmodells, welche zur numerischen Behandlung der Mastschwingungen benÜtigt werden, sind zum einen geometrischer Natur, beziehen jedoch auch Materialeigenschaften der verbauten Bauteile, Lastmassen und Kennwerte der Antriebstechnik mit ein. Als Beispiel und zum Vergleich wurde auf Werte aus der Literatur zurßckgegrien, die ein Regalbediengerät charakterisieren, das zum Umschlag von Paletten eingesetzt wird [Bop93]. Obwohl das Prinzip der Schwingungsreduzierung durch Krafteinleitung am Mastkopf tendenziell an kleineren RBG konstruktiv einfacher zu realisieren erscheint, wurden hier Werte eines Gerätes grÜÿerer Bauart verwendet, da die Literatur hierfßr gute Vergleichsmessergebnisse liefert und weiter reichende Untersuchungen durchgefßhrt wurden [Bop93].

4.1 Geometrie

Die Geometrie des untersuchten Regalbediengeräts zeigt Abbildung 4.1 als Schwerelinienmodell. Die Linien wurden hier durch den Prolschwerpunkt des jeweiligen Tragwerkelements gelegt. Die wesentlichen geometrischen Abmessungen von Mast und Bodentraverse sind eingezeichnet. Die MasthÜhe gibt die HÜhe des Mastkopfschwerpunktes relativ zur Oberkante der Bodentraverse an. Darßber hinaus sind die Koordinatenschwerpunkte des Hubwerks (Hw), Hubwagens (Hu), Mastkopfs (Mk), Schalt- und Steuerschranks (Sc), Fahrantriebs (Fa) und der Ladeeinheit (L) angegeben. Die Horizontalkoordinaten sind relativ zum Prolschwerpunkt des Mastes dargestellt beziehungsweise zum Radaufstandspunkt der Laufrollen des Hubwagens. Als wichtige ParametergrÜÿe fßr die Modellbildung lässt sich somit die MasthÜhe mit

l = 28,492 m

angeben. Die HubwagenhĂśhe ist variabel, muss aber fĂźr Schwingungsbe-

rechnungen, zum Beispiel bei der Bestimmung von Eigenkreisfrequenzen fest vorgegeben werden.

43


4 Modell-Parameter

Abbildung 4.1: Schwerelinienmodell des Regalbediengeräts [Bop93]

4.2 Tragwerksquerschnitt Eine weitere wichtige geometrische Gröÿe sind die Tragwerksquerschnitte, da sie mitunter die Biegesteigkeit des Mastes bestimmen. Bei dem gewählten Regalbediengerät ist der Mastquerschnitt ein dünnwandig, geschlossenes Kastenprol, das aus zusammengeschweiÿten, rechteckförmigen Platten besteht (siehe Abbildung 4.2). Die lange Seite des Prols zeigt in

y -Fahrtrichtung,

weil das gröÿte Biegemoment, bedingt durch die transver-

salen Mastschwingungen, um die

z -Achse

aufgefangen werden muss. Als Führungsschiene

für den Hubwagen dienen Kranschienen. Diese sind am Ende des Prols angebracht, damit der Hubwagen den Mast nicht weit umgreifen muss. Der Mast des betrachteten RBG setzt sich aus zwei Sektoren zusammen. Der untere Sektor besteht aus

20 mm

dicken Platten und besitzt eine Länge von

Sektor erstreckt sich ab dort bis zum Mastkopf und besitzt

8 mm

0,8 m.

Der obere

dicke Platten. Folglich

ergibt sich durch die Geometrie des Querschnitts das Flächenträgheitsmoment 2. Grades

44


4.3 Massen

Abbildung 4.2: Mastquerschnitt des Regalbediengeräts [Bop93]

im unteren Sektor zu

Iunten = 418320 cm4

und im oberen Sektor zu

Ioben = 196920 cm4

[Bop93]. Da beim Kontinuummodell jedoch von einem unveränderlichen Mastquerschnitt ausgegangen wurde, ergibt sich nach Bildung des gewichteten arithmetischen Mittelwertes bezogen auf die jeweiligen Sektorlängen der beiden Flächenträgheitsmomente ein Wert von

I = 203137 cm4 ,

der als Modell-Parameter verwendet werden soll.

Mit einem Elastizitätsmodul (E-Modul) für Stahl von Biegesteigkeit des Mastes damit zu

EI =

E = 210 kN/mm2

ergibt sich die

426587700 Nm2 .

4.3 Massen Die betrachteten Massen werden in der Modellbildung bis auf die kontinuierlich verteile Mastmasse in ihrem Schwerpunkt konzentriert angenommen. Tabelle 4.1 [Bop93] schlüsselt die jeweiligen Bauteilmassen des Regalbediengeräts auf. Bei der Untersuchung der transversalen Mastschwingungen wirken sich Mastanbauten, wie das Hubwerk in einer Schwerpunktshöhe von

3,505 m

und die Masse des Mastkopfes

(vergleiche Abbildung 4.1) auch auf die Dynamik aus. Dies wurde bei der Modellbildung zugunsten geringerer Komplexität nicht berücksichtigt, könnte jedoch analog der Hubwagenmasse über Delta-Distributionen in die Masseverteilung des Mastes mit aufgenommen

45


4 Modell-Parameter Bauteil

Index

Bodentraverse

Bt

Fahrantrieb

Fa

Schaltschrank

Sc

Mast

Masse

2105 300 850 6900 1350 1340 410 1000 14255

M

Hubwerk

Hw

Hubwagen

Hu

Mastkopf

Mk

Last

L

Gesamtgewicht

m /kg

RBG

Tabelle 4.1: Bauteilmassen des Regalbediengeräts

werden. Die Masse des Hubwerks soll daher vereinfachend auf Traversenhöhe angebracht sein, da sie so zusammen mit den Massen des Fahrwerks und des Schaltschranks keinen Einuss auf die Eigenkreisfrequenzen des Mastes besitzt. Die für die Numerik benötigten Angaben ergeben sich letztendlich wie folgt:

mT = mBt + mFa + mSc + mHw = 4605 kg,

(4.1)

mH = mHu + mL = 2340 kg, mM = 242,17 kg/m. µ0 = l

(4.2) (4.3)

4.4 Antriebstechnik Das betrachtete Regalbediengerät wird zum Verfahren in Ganglängsrichtung mit einem Gleichstromnebenschlussmotor (GSN) betrieben. Tabelle 4.2 [Bop93] zeigt die Antriebs-

Geschwindigkeit

v / (m/s)

Beschleunigung

2,333

a / m/s2



Leistung

0,35

P /kW

14

Tabelle 4.2: Antriebskennwerte des Regalbediengeräts

kennwerte für die Bewegung in

y -Richtung

im Nennbetrieb. Folglich ergeben sich die rele-

vanten Geschwindigkeits- und Beschleunigungsangaben für die Modellparameter zu

46

η˙ = 2,33 m/s,

(4.4)

η¨ = 0,35 m/s2 .

(4.5)


4.4 Antriebstechnik Mit dem letzten Parameter, der Erdschwerebeschleunigung

g = 9,81 m/s2

sind damit al-

le benรถtigten Parameter bestimmt, sodass eine numerische Mastschwingungsberechnung erfolgen kann.

47


4 Modell-Parameter

48


5 Modell-Verikation 5.1 Eigenkreisfrequenzen Die eingesetzte Messtechnik der Literatur besteht aus Beschleunigungsaufnehmern und Dehnmessstreifen (DMS) [Bop93]. Mit deren Hilfe wurden die Frequenzen der am Ende einer Fachanfahrt auftretenden transversalen Mastschwingungen des Regalbediengeräts ermittelt, welche gleichzeitig die Eigenkreisfrequenzen des Systems darstellen, da hierbei eine freie, gedämpfte Schwingung vorliegt [Bop93]. Dies hat zur Folge, dass reale, gemessene Eigenkreisfrequenzen in der Regel niedriger ausfallen, als berechnete. Es liegt bei dem untersuchten Regalbediengerät jedoch ein recht schwach gedämpftes System vor und somit ist ein Vergleich gemessener und berechneter Werte, bei denen die Dämpfung von Anfang an nicht berücksichtigt wurde, durchaus vertretbar. Einen solchen Vergleich liefert Abbildung 5.1 und Abbildung 5.2. Es handelt sich dabei jeweils um die erste Eigenkreisfrequenz des Mastes in Abhängigkeit der Hubwagenhöhe und der Lastmasse. Für die gemessenen Werte wurde der Hubwagen auf drei Positionen, unten, mittig und oben gesetzt und mit der sich daraus ergebenden Schrittweite von

l/2

bei jeder dieser Hubwagenhöhen die Eigenkreisfrequenz ermittelt [Bop93].

Die berechneten Eigenkreisfrequenzen wurden mit Gleichung (3.68) gefunden, wobei die Stützstellen für die Hubwagenposition mit einer Schrittweite von

1 m ab Bodentraversenni-

veau gesetzt wurden. Zudem wurde für die Berechnung die Traversenbeschleunigung

η¨ = 0

angenommen, was den Zuständen am Ende einer Fachanfahrt entspricht. Generell besitzen beide Schaubilder ein von der Form her ähnliches Erscheinungsbild. In beiden Fällen treten bis zu einer Hubhöhe von circa

l/2 ≈ 13 m

keine erheblichen

Schwankungen auf. Die erste Eigenkreisfrequenz nimmt bei halber Masthöhe danach ab und verringert sich bis zur Spitze um einen Gesamtwert von ungefähr

1 s−1 .

Eine weitere

Gemeinsamkeit ist, dass sich in diesem Bereich die Eigenkreisfrequenzen des unter Last stehenden, transversal schwingenden Mastes als niedriger erweisen, als ohne Lastmasseneinuss. Gründe für die berechneten, höher ausfallenden Werte können neben der bereits ange-

49


5 Modell-Verikation sprochenen, vernachlässigten Dämpfung auch in einer geringeren Federsteigkeit des Mastes liegen [Bop93]. Im Modell wurde von einem an der Bodentraverse ideal, fest eingespannten Balken ausgegangen. Ein solches System verhält sich folglich steifer, als in der Realität, besitzt also durch eine höhere Federsteigkeit auch eine höhere Eigenkreisfrequenz.

Dies

Abbildung 5.1: Gemessene Eigenkreisfrequenz über der Hubwagenhöhe [Bop93]

Abbildung 5.2: Berechnete Eigenkreisfrequenz über der Hubwagenhöhe

erscheint plausibel, da in der Realität noch der Einuss der Traverse wirkt, die im Modell als Punktmasse angenommen wurde. Da die Traverse selbst als Feder betrachtet werden kann, ergibt sich durch sie eine zusätzliche Abnahme der Steigkeit des realen Systems und somit ein Absinken der Eigenkreisfrequenzen.

50


5.2 Dynamische Mastkopfauslenkungen Weiterhin berücksichtigt das Modell keine Mastanbauten, wie beispielsweise den Schaltschrank, das Hubwerk oder die Mastkopfmasse an ihrer tatsächlich angebrachten Position. Wie Abbildung 5.1 und Abbildung 5.2 zeigen, sinken die Eigenfrequenzen mit zunehmender Hubwagenhöhe. Dies gilt besonders im Fall mit Last. Da keine zusätzlichen Massen auÿer des Hubwagens und der Last auf den Modellmast einwirken, kann somit ein weiterer Grund gefunden werden, weshalb die Eigenkreisfrequenzen im Modell höher sind, als am realen RBG gemessen wurde. Generell zeigt der Vergleich beider Schaubilder jedoch eine gute Übereinkunft. Es kann daher davon ausgegangen werden, dass das Kontinuummodell ohne geführten Mastkopf die Realität hinsichtlich der Eigenfrequenzen und damit auch des Schwingungsverhaltens des untersuchten Regalbediengeräts angenähert gut abbildet.

5.2 Dynamische Mastkopfauslenkungen Neben Messungen der Eigenfrequenz liefert die Literatur [Bop93] auch Werte bezüglich der dynamischen Mastkopfauslenkung. Diese sind in Abbildung 5.4 aufgetragen, entstammen jedoch nicht einer Messungen, sondern aus einem diskreten Punktmassenmodell, wie es ähnlich in DIN 15350 [DIN92] zu nden ist. Beim Vergleich mit dem Kontinuummodell müssen einige Sachverhalte berücksichtigt werden. Zum einen wurde das Punktmassenmodell in [Bop93] unter Berücksichtigung von Dämpfung aufgestellt. Zum anderen liegt ihm eine trapezförmige Beschleunigungsvorgabe zugrunde (vergleiche Abbildung 2.6). Beim Kontinuummodell (Abbildung 5.5) wurde allerdings eine Beschleunigungsvorgabe für

2

η¨Nenn sin (Ωt)

vorgegeben, die nach Abbildung 5.3 einer

Abbildung 5.3:

2

sin

-Funktion folgt.

η¨ =

Für die Er-

sin2 -Beschleunigungsvorgabe

51


5 Modell-Verikation

Abbildung 5.4: Mastkopfauslenkung aus Punktmassenmodell [Bop93]

Abbildung 5.5: Mastkopfauslenkung aus Kontinuummodell

regerfrequenz wurde zusätzlich

Ď€ â„Ś = tUmschalt

gefordert mit hier beispielhaft

tUmschalt = 7 s.

Der Vorteil dieser Beschleunigungsvorgabe liegt darin, dass sie ein Trapez annähert, jedoch keine Unstetigkeitsstellen besitzt, was die Berechnung wesentlich vereinfacht. Auÿerdem entspricht der Verlauf einer realen Beschleunigungsvorgabe, da diese an Unstetigkeitsstellen im Allgemeinen einen Verschli besitzt und so ein vorgegebener Trapezverlauf geglättet wird. Der interessierende Zeitbereich liegt hier zwischen

t = 0 s bis tUmschalt = 7 s, weil dies

der Bereich ist, in dem das Regalbediengerät bis zu einer konstanten Geschwindigkeit bei der

Ρ¨ = 0

gilt, beschleunigt wurde. Vergleicht man die Amplituden der Mastspitze beider

Diagramme in diesem Zeitbereich, so stellt man fest, dass sie fĂźr die unterschiedlichen

52


5.2 Dynamische Mastkopfauslenkungen

Abbildung 5.6: Rechteck-Beschleunigungsvorgabe

HubwagenhÜhen ungefähr die gleichen quasistatischen Ruhelagen bei circa untere beziehungsweise mittige und

18 mm

fĂźr eine

30 mm fĂźr die obere Hubwagenposition aufweisen. Der

Grund, dass keine merklichen Schwingungen um die quasistatische Ruhelage beim Kontinuummodell auftreten, liegt an der Vorgabe des idealen Denn wird stattdessen eine Rechteckfunktion

sin2 -Beschleunigungsverlaufs.

Ρ¨ = Ρ¨Nenn − Ρ¨Nenn Ďƒ (t − tUmschalt )

nach Ab-

bildung 5.6 aufgeprägt, ergibt sich der Verlauf der dynamischen Mastkopfauslenkung in Abbildung 5.7. Aus GrĂźnden der Ăœbersichtlichkeit wurde dabei nur die obere Hubwagenposition berĂźcksichtigt. FĂźr eine Stellung in der Mitte und unten ergeben sich jedoch gleichwertig befriedigende Ergebnisse. Auallend ist auch hier eine quasistatische Ruhelage

Abbildung 5.7: Mastkopfauslenkung Kontinuummodell bei Rechteckbeschleunigung

53


5 Modell-Verikation von ungefähr

30 mm, allerdings sind nun die Amplituden um diese Lage aufgrund fehlender

Dämpfung und konstanter Rechteck-Beschleunigungsvorgabe weitaus gröÿer. Auÿerdem ist die Anzahl von vier Perioden bis

t = 7s

sowohl im Punktmassen-, als auch im Kontinu-

ummodell gleich. Diese Erkenntnisse lassen folglich den Schluss zu, dass das Kontinuummodell das Regalbediengerät hinsichtlich der dynamischen Mastkopfauslenkung ausreichend gut beschreibt. Besonders die Information über die Mastkopfauslenkung bietet eine entscheidende Hilfe bei Dimensionierungsaufgaben und lässt so eine Beurteilung der Säulenkonstruktion zu. Da die Literatur [Bop93] sonst keine weiteren Vergleichsmöglichkeiten bietet, wird das Kontinuummodell nun in seinen Randbedingungen geändert und so ein geführter Mastkopf erzwungen (vergleiche Abbildung 3.4). Im Blickpunkt nachfolgender Betrachtungen sollen nun der Verlauf und die Höhe der eingeleiteten Kräfte liegen, welche ihrerseits für eine mögliche Antriebsauslegung oder -konstruktion relevant sind.

54


6 Mastkopßhrung 6.1 Eigenkreisfrequenzen Durch einen mit Krafteinleitung gefßhrten Mastkopf eines Regalbdiengeräts wird sich, bedingt durch die geänderten Randbedingungen, das Schwingungsverhalten mehr oder minder stark ändern. Ein deutliches Indiz dafßr gibt Abbildung 6.1. Im Vergleich zum Konti-

Abbildung 6.1: Eigenkreisfrequenzen Ăźber der HubwagenhĂśhe bei gefĂźhrten RBG

nuummodell, dessen Mastkopf nicht gefĂźhrt wird (vergleiche Abbildung 5.2), erkennt man eine deutliche Steigerung der maximalen ersten Eigenkfreisfrequenz von

5,8 s−1

auf

25 s−1 .

Dieses Verhalten kann auf eine erhÜhte Systemsteigkeit zurßckgefßhrt werden, die das Regalbediengerät durch Krafteinleitung am Mastkopf erhält. Ein Minimum der Eigenkreisfrequenz bildet sich bei ungefähr

17 m

HubwagenhĂśhe aus, weil dort die Amplituden

der Mastauslenkung am grÜÿten auftreten kÜnnen und dann die Hubwagenmasse sich mit ihrer Trägheit stärker auf das Schwingungsverhalten auswirkt. Zur Mastspitze hin steigen die Eigenkreisfrequenzen erneut an, was auf das dortige Loslager zurßckzufßhren ist. Der

55


6 Mastkopßhrung Unterschied im Fall mit Last und ohne Last fällt dabei bei

17 m

mit ungefähr

3 s−1

leicht

stärker aus, als beim ungefßhrten RBG, trägt aber dennoch kein groÿes Gewicht. Die starke ErhÜhung der ersten Eigenkreisfrequenzen ßber der HubwagenhÜhe kann insgesamt insofern als Vorteil angesehen werden, als dass eine Zwangserregung, die zur Resonanzkatastrophe fßhrt, folglich ebenfalls erhÜht aufgeprägt werden mßsste. Dies ist jedoch eher unwahrscheinlich, da es tendenziell einfacher ist, niedere Frequenzbänder mit der verwendeten Antriebstechnik zu durchfahren.

6.2 Mastauslenkungen Wo und wie stark sich der Mast beim an der Mastspitze gefßhrten RBG-Modell auslenkt hängt von der jeweiligen Parameterkonguration ab. Besonders das aufgeprägte Beschleunigungsprol am Fahrwerk trägt dabei eine entscheidende Rolle. Um einen guten Vergleich zwischen dem ungefßhrten und gefßhrten Modell zu erhalten, wird daher im Folgenden zwischen den beiden Beschleunigungsverläufen aus Abbildung 5.6 und Abbildung 5.3 mit jeweils einem Beschleunigungsabbruch nach

7s

und anschlieĂżender Konstantfahrt die-

renziert. Als relevanter Punkt der Mastauslenkung soll der Ort des Hubwagens gewählt werden, da am Hubwagen und dessen Lastaufnahmemittel der Ein- und Auslagervorgang zum Regal stattndet. Um in beiden Fällen mÜglichst groÿe Amplituden zu erhalten, wurde bei beiden Modellen eine HubwagenhÜhe von

h = 17 m

und eine Lastmasse von

mL = 1000 kg

voreingestellt.

6.2.1 Rechteck-Beschleunigungsvorgabe Beim vorgegebenen Rechteck-Beschleunigungsprol ergeben sich die Mastauslenkungsverläufe bei der voreingestellten HubwagenhÜhe nach Abbildung 6.2 und Abbildung 6.3. Dabei fällt sofort der drastische Rßckgang der Amplituden ins Auge. Während im ungefßhrten Fall sich der Mast mehr als

2 cm auslenkt sind dies beim Regalbediengerät mit Krafteinlei-

tung am Mastkopf lediglich nur

2 mm.

Auch am Ende der Beschleunigungsphase sind die

Amplituden deutlich reduziert, allerdings schwingt der Hubwagen im gesamten Zeitbereich mit einer hÜheren Frequenz. Bedenkt man jedoch, dass im realen Fall Dämpfung auftritt, so ist davon auszugehen, dass die Schwingung bei erhÜhter Frequenz rasch abnehmen wird. Das Schwingungsverhalten in Bezug auf die auftretenden Amplituden wird bei beiden Modellen nur sehr bedingt durch die Lastmasse bestimmt. Abbildung 6.4 und Abbildung 6.5 zeigen, dass sich ohne Lastmasse die Mastauslenkungsamplituden nicht in hohem

56


6.2 Mastauslenkungen

Abbildung 6.2: Mastauslenkung RBG ungeführt bei

Abbildung 6.3: Mastauslenkung RBG geführt bei

h = 17 m

h = 17 m

Maÿe verringern. Beim Abbruch der Beschleunigungsphase nach

über

über

t

t = 7s

t

mit Last

mit Last

fällt jedoch auf,

dass sich die Amplituden im Vergleich zum Fall mit berücksichtigter Lastmasse beim ungeführten Modell verringert, beim geführten Modell aber vergröÿert haben. Dieses Verhalten kann sich bei geänderter Hubwagenhöhe erneut ändern, ebenso, wenn zum Beispiel nur die Hälfte der Lastmasse

mL /2 = 500 kg

beaufschlagt wird. Dies verdeutlicht, wie sehr

das Schwingungsverhalten im Detail von der jeweiligen Parameterkonguration abhängt. Da sich die Hubwagenhöhe bei einer Fachanfahrt genau wie die Masse unterschiedlicher Stückgüter ändert, bleibt einzig und allein nur die Antriebstechnik übrig um eine Schwingungsreduzierung zu erzielen.

Als Beispiel wird im Folgenden das in Abbildung 5.6 ver-

57


6 MastkopĂźhrung

Abbildung 6.4: Mastauslenkung RBG ungefĂźhrt bei

Abbildung 6.5: Mastauslenkung RBG gefĂźhrt bei

h = 17 m

h = 17 m

Ăźber

Ăźber

t

t

ohne Last

ohne Last

wendete Rechteck-Beschleunigungsprol dahingehend verändert, dass ein Abbruch nicht nach

t = 7 s, sondern bereits nach t = 5 s auftreten soll. Die nun entstehenden Amplituden

wurden in Abbildung 6.6 und Abbildung 6.7 erneut im Falle unter Lastmasseneinuss gezeichnet. Durch die Änderung der Beschleunigungszeit wurden die Mastauslenkungen im ungefßhrten Fall, nun unter verstärktem Oberschwingungseinuss deutlich reduziert (vergleiche Abbildung 6.2 und Abbildung 6.3). Positiv zu sehen ist, dass beim am Mastkopf gefßhrten Regalbediengerät die Amplituden nahezu verschwinden. Diese gemachten Beobachtungen bestätigen das Prinzip der schwingungsoptimalen Beschleunigungsänderungszeiten [Sch94] und zeigt, dass durch Veränderung des Beschleuni-

58


6.2 Mastauslenkungen gungsprols auch beim mastkopfgeführten Regalbediengerät eine Schwingungsreduzierung erfolgen kann. Ausschlaggebend für die Restauslenkungen ist dabei die Stellung in der sich der Mast beim Beschleunigungsabbruch gerade bendet.

Abbildung 6.6: Mastauslenkung RBG ungeführt bei Abbruch bei

Abbildung 6.7: Mastauslenkung RBG geführt bei Abbruch bei

6.2.2 Bei der

h = 17 m

t

über

mit Last.

t = 5s

h = 17 m

über

t

mit Last.

t = 5s

sin2 -Beschleunigungsvorgabe sin2 -Beschleunigungsvorgabe

nach Abbildung 5.3 lässt sich ein weiterer Vorteil für

die Schwingungsreduzierung erkennen. Wie Abbildung 6.8 und Abbildung 6.9 verdeutli-

59


6 Mastkopßhrung chen, treten während der Beschleunigungsphase keine Schwingungen auf, sondern lediglich ein einfaches Auslenken des Mastes. Dies ist auf nicht vorhandene Unstetigkeitsstellen während der Beschleunigungsphase zurßckzufßhren. Hier zeigt sich besonders der Vorteil einer

Abbildung 6.8: Mastauslenkung RBG ungefĂźhrt bei

Abbildung 6.9: Mastauslenkung RBG gefĂźhrt bei

h = 17 m

h = 17 m

Fßhrung des Mastkopfes, da die Mastauslenkung von ungefähr

Ăźber

Ăźber

t

t

mit Last

mit Last

1,2 cm auf weniger als 2 mm

gesenkt wurde. AuĂżerdem treten nach Beschleunigungsende praktisch keine Schwingungen mehr auf. Wegen der Schwierigkeit fĂźr die Antriebstechnik, ein ideales

sin2 -Beschleunigungsprol

vorzugeben, stellt das Trapezprol, wenn auch mit Unstetigkeitsstellen behaftet, einen guten Kompromiss zur Rechteck-Beschleunigung dar, zumal durch auftretenden Verschli

60


6.3 Kraftverläufe die Unstetigkeitsstellen geglättet und das

sin2 -Prol

angenähert wird. Durch die erhöh-

te Steigkeit des am Mastkopf geführten Regalbediengerätes kann aber generell von einer deutlichen Reduzierung der auftretenden Mastauslenkungen bei allen drei Beschleunigungsvorgaben ausgegangen werden. Somit wäre es auch denkbar, Mastkonstruktionen mit geringerem Querschnitt zu konstruieren, was einer möglichen Leichtbauweise zugute kommt.

6.3 Kraftverläufe Die an der Antriebstechnik entstehenden Kräfte bei vorgegebenem Beschleunigungsprol hängen wie die Mastamplituden ebenfalls von der jeweiligen Parameterkonguration ab. Um das am Mastkopf geführte Regalbediengerät mit dem ungeführten zu vergleichen, soll wieder beispielhaft eine Hubwagenhöhe von von

mL = 1000 kg

h = 17 m

angenommen und eine Lastmasse

beaufschlagt werden. Als Eingangsgröÿe des Systems dienen erneut die

Beschleunigungsverläufe aus Abbildung 5.6 und Abbildung 5.3.

6.3.1 Rechteck-Beschleunigungsvorgabe Der Antriebskraftverlauf

FAT

der Traverse ergibt sich bei vorgegebener Parameterkon-

guration und Rechteck-Beschleunigungsverlauf für das Vergleichsmodell mit ungeführtem Mastkopf, wie in Abbildung 6.10 gezeigt. Deutlich zu erkennen ist der Einuss der 1. Oberschwingung, welche die Grundschwingung leicht überlagert. Da in der Modellbildung nur die ersten beiden Eigenformen mitberücksichtigt wurden, ist es denkbar, dass sich der tatsächliche Kraftverlauf durch höhere Eigenformen unter Umständen sogar noch geglätteter darstellen lässt. Die Kraft am Fahrwerk, welche durch die quasistatische Ruhelage hervorgerufen wird, beträgt im hier betrachteten Beispiel ungefähr

5000 N.

Obwohl das

Modell während des Beschleunigungsvorgangs seinen Ausgangszustand ohne Mastauslenkung mehrmals erreicht (vergleiche Abbildung 6.2), liegt zu diesen Zeitpunkten dennoch eine Restkraft von etwas mehr als

2000 N

an der Traverse an. Sie kann als reine Träg-

heitskraft der Gesamtmassen angesehen werden, die unabhängig von der Mastauslenkung vorliegt. Eine Abschätzung mit den Gleichungen (4.1)(4.5) bestätigt dies, denn es gilt

FATmin = (mT + mH ) · η¨ = 2430,75 N,

(6.1)

wenn alle Massen diskret im Traversenschwerpunkt angenommen werden. Auÿerdem tritt im Gegensatz zur Mastauslenkung, bedingt durch den plötzlichen Beschleunigungsabbruch

61


6 MastkopĂźhrung bei

t = 7s

eine Unstetigkeitsstelle auf. Durch das Ăœberschwingen des Mastes bei Kon-

stantfahrt ergeben sich nach diesem Zeitpunkt folglich auch negative Kräfte bis ungefähr

−5000 N,

die entgegen der Fahrtrichtung an der Traverse wirken.

Abbildung 6.10: Kraftverlauf Ăźber

t

FAT

RBG ungefĂźhrt mit Rechteck-Beschleunigung

mit Last

Beim oben gefßhrten Modell mßssen stets die Kraftverläufe

FAMK am Mastkopf und FAT

an der Traverse zusammen betrachtet werden. Diese zeigen Abbildung 6.11 und Abbildung 6.12. Neben der schon aus den Mastauslenkungsverläufen bekannten hÜheren Frequenz ergibt sich fßr das Fahrwerk bezßglich der minimalen und maximalen Kraft kein Unterschied zum ungefßhrten Modell. Lediglich der Oberschwingungseinuss ist hier geringer. Auch stellt sich eine quasistatische Ruhelage bei circa

5000 N

ein und die Träg-

heitskraft bei verschwindender Mastauslenkung kann ebenfalls mit leicht mehr als

2000 N

angegeben werden. Dies liegt daran, dass die Trägheitskraft allein durch die Traverse aufgenommen wird und nicht ßber den Mastkopfantrieb. Dieser dient nur zu Fßhrungszwecken, weshalb, wie Abbildung 6.11 zeigt, merklich geringere Kräfte auftreten. Diese nehmen in derselben Frequenz wie die Traversenkräfte den Wert Null an, genau zu den Zeitpunkten, wenn der Mast seine Ausgangslage erreicht und somit an der Mastspitze keine Querkräfte auftreten. Aufgrund der Phasengleichheit beider Diagramme kann bestätigt werden, dass beide Kräfte

FAT

und

FAMK

voneinander abhängig sind.

Ein Vorteil der Mastkopßhrung zeigt sich nach Ende der Beschleunigungsphase, wenn der Mast anfängt ßberzuschwingen. Bei

62

t = 7s

tritt wie beim ungefĂźhrten Modell eine


6.3 Kraftverläufe

Abbildung 6.11: Kraftverlauf über

t

t

RBG geführt mit Rechteck-Beschleunigung

mit Last

Abbildung 6.12: Kraftverlauf über

FAMK

FAT

RBG geführt mit Rechteck-Beschleunigung

mit Last

Unstetigkeitsstelle des Kraftverlaufs an der Traverse auf, jedoch sind die Amplituden stark reduziert. Dies kann dadurch erklärt werden, dass die während der Konstantfahrt auftretenden Kräfte nun nicht mehr nur über das Fahrwerk aufgenommen werden, sondern sich auch über den Mastkopfantrieb aufteilen.

6.3.2

sin2 -Beschleunigungsvorgabe

Durch Vorgabe des

sin2 -Beschleunigungsprols

aus Abbildung 5.3 zeigt sich an der Tra-

verse, wie bei den Mastaulenkungsverläufen, ein ebenfalls stetiger Kraftverlauf. In Ab-

63


6 MastkopĂźhrung

Abbildung 6.13: Kraftverlauf

t

FAT

RBG ungefĂźhrt mit

sin2 -Beschleunigung

Ăźber

mit Last

bildung 6.13 wurde dieser fßr das ungefßhrte Regalbediengerät dargestellt. Während der Beschleunigungsphase treten, bis auf leichte Oberschwingungen keine transversalen Mastschwingungen auf, sondern lediglich ein einfaches Auslenken des Mastes (vergleiche Abbildung 6.8). Dies bewirkt am Fahrwerk nach

t = 3,5 s

eine Maximalkraft von circa

5000 N,

also gerade der Betrag bei dem sich bei der Rechteck-Beschleunigung in Abbildung 6.10 nur die quasistatische Ruhelage ausgebildet hat. Bei Beschleunigungsabbruch nach hier exemplarisch gewählten

t = 7s

ergibt sich eine sehr geringe Restauslenkungskraft, da die

kinetische und potentielle Energie des Mastes verschwindet und sich

Ekin = 0 und Epot = 0

einstellt. Diese Reduzierung der Maximalkraft, zusammen mit deutlich geringeren Kräften nach Beschleunigungsende ab

t = 7s

wirkt sich positiv auf die Bauteilbelastung aus.

Ähnlich geglättete Kraftverläufe beim am Mastkopf gefßhrten Regalbediengerät zeigen Abbildung 6.14 und 6.15. der Traverse und

FAMK

FAT

bezieht sich hierbei erneut auf den Antriebskraftverlauf

auf die Fßhrungskraft am Mastkopf. Dabei fällt auf, dass der

Oberschwingungseinuss noch geringer ausfällt als in Abbildung 6.13. Im Vergleich zum ungefßhrten Modell zeigen sich am Fahrwerk praktisch keine Unterschiede. Verschieden ist nur, dass nach Beschleunigungsende selbst kleine Kräfte nicht mehr auftreten und der Oberschwingungseinuss geringer ist beziehungsweise ganz verschwindet. Die HÜhe der Maximalkraft ist aber mit fast

5000 N

mit dem ungefĂźhrten Modell identisch, da ein GroĂżteil

der Trägheitskräfte durch die Traverse abgefangen werden und am Mastkopf nur Fßhrungs-

64


6.3 Kraftverläufe

Abbildung 6.14: Kraftverlauf

FAMK

RBG gefĂźhrt mit

sin2 -Beschleunigung Ăźber t

mit Last

Abbildung 6.15: Kraftverlauf

FAT

RBG gefĂźhrt mit

sin2 -Beschleunigung

Ăźber

t

mit Last

kräfte auftreten. Am Mastkopf ergibt sich durch die

sin2 -Beschleunigungsvorgabe

jedoch

im Vergleich zum Rechteck-Beschleunigungsprol eine leichte Reduktion der Maximalkraft auf

1500 N (vergleiche Abbildung 6.11). Hinzu kommt, dass nach Beschleunigungsende, wie

bei der Traverse keine Kräfte mehr an der Mastkopßhrung wirken. Diese Eigenschaften

65


6 Mastkopßhrung wirken sich ebenfalls positiv auf die Bauteilbeanspruchung aus, weswegen ein Regalbediengerät mit Fßhrung am Mastkopf, zusammen mit vorgegebenem

sin2 -Beschleunigungsprol

als Verbesserung hinsichtlich des Schwingungsverhaltens angesehen werden kann.

66


7 Zusammenfassung und Ausblick Nach einer Vorstellung gängiger Bauformen von Regalbediengeräten und deren Komponenten, wird anhand von DIN 15350 [DIN92] im Rahmen dieser Arbeit auch Bezug auf die Auslegung von Regalbediengeräten genommen. Es ergibt sich dabei die Aufgabe, Schwingungen an Regalbediengeräten, welche die verwendeten Bauteile kritisch belasten kÜnnen mÜglichst zu unterdrßcken. Besonders die Untersuchung transversaler Mastschwingungen liegt dabei im Blickpunkt des Interesses. Neben verschiedenen Maÿnahmen, wie der aktiven Regelung der Antriebstechnik wird zur Schwingungsdämpfung ein LÜsungsansatz ßber Krafteinleitung am Mastkopf des Regalbediengerätes angewendet. Zur Untersuchung wird mit dem Prinzip von

dAlembert

an dierentiellen Mastelementen ein Kontinuummodell

aufgestellt, welches durch Änderung der Randbedingungen auch die Untersuchung bereits in der Praxis verwendeter Einmast-Regalbediengeräte erlaubt. Eine LÜsung der sich fßr das Modell ergebenden partiellen Dierentialgleichungen ist aufgrund deren Komplexität analytisch nicht mÜglich, was die Verwendung des

Galerkin-Verfahrens

zu Approximations-

zwecken rechtfertigt. Das mathematische Modell wird mit dem Computer Algebra System (CAS)

Maple

anschlieĂżend am Computer erstellt. Dies erfordert die Vorgabe geeigneter

Parameter, welche aus bereits untersuchten Regalbediengeräten der Literatur [Bop93] entnommen werden. Die dortigen Ergebnisse aus Messreihen werden mit dem aufgestellten Kontinuummodell veriziert und Grßnde fßr Abweichungen dargelegt. Ein anschlieÿender Vergleich der Kontinuummodelle fßr am Mastkopf mittels Krafteinleitung gefßhrte und ungefßhrte Regalbediengeräte erfolgt hinsichtlich der auftretenden Eigenkreisfrequenzen, der Mastauslenkungen und der Antriebskraftverläufe. Als EingangsgrÜÿen des Systems werden an der Traverse zwei Beschleunigungsprole beaufschlagt, die einer Rechteck-Funktion und einer

sin2 -Funktion folgen. Dabei ergeben sich fĂźr ein gefĂźhr-

tes Regalbediengerät aufgrund der entstandenen Systemsteigkeit hÜhere Eigenkreisfrequenzen und geringere Mastauslenkungen. Hinsichtlich der Kraftverläufe wird gegenßber dem ungefßhrten Modell erst nach erfolgter Beschleunigung eine Reduzierung der Maximalkräfte festgestellt, was jedoch daran liegt, dass die Fßhrungskraft am Mastkopf keinen groÿen Anteil an Trägheitskräften besitzt. Gegenßber der Antriebskraft der Traverse fallen

67


7 Zusammenfassung und Ausblick die einzuleitenden Mastkopfkräfte dementsprechend niedriger aus, was einer konstruktiven Umsetzung entgegen kommt. Natßrlich liefert das aufgestellte Kontinuummodell keine tatsächlich in der Realität auftretenden Werte. Dies liegt zum einen an Vereinfachungen, wie unberßcksichtigter Dämpfung oder der Vernachlässigung des Momentes, welches durch die Exzentrizität des Hubwagens am Mast hervorgerufen wird. Aus mathematischen Grßnden wird auÿerdem durch Vorgabe der Randbedingungen ein ideal steifes System geschaen, welches sich in der Realität aufgrund von Federsteigkeiten am Mastkopf und Fahrwerk sicherlich weicher verhält. Eine Aussage ßber das transversale Schwingungsverhalten bei konstanter Dämpfung oder Krafteinleitung am nacheilenden Mast bedingt somit ein anderes Modell. Zudem kommt, dass beim

Galerkin-Näherungsverfahren

zur LĂśsung der Dierentialgleichungen ein zwei-

gliedriger Ansatz gewählt wird, dessen Gßte durch Hinzunahme weiterer Ansatzfunktionen erhÜht werden kÜnnte. Dabei wird ßber der kompletten Mastlänge gewichtet gemittelt. Durch Mittelung in mehreren Teilbereichen des Mastes ist die Approximationsgßte weiter steigerungsfähig, was einer Betrachtung im Sinne der niten Element Methode (FEM) entspricht [GHW11]. Da dies jedoch die benÜtigte Rechenleistung enorm steigern wßrde, kÜnnen die gewonnenen Ergebnisse durchaus zu einer ersten Abschätzung herangezogen werden. Obwohl ein Regalbediengerät mit Fßhrungskraft am Mastkopf besonders durch geringere Mastauslenkungen Vorteile mit sich bringt, besitzt die tatsächliche konstruktive Auslegung und Umsetzung eines Kopfantriebs, eventuell durch Träger an der Hallendecke in Verbindung mit einer entsprechenden Regelung weiteren Klärungsbedarf. Anhand erster Abschätzungen, welche diese Arbeit liefert, kann jedoch bestätigt werden, dass der LÜsungsansatz eines gefßhrten Mastkopfes als ein weiteres Werkzeug zur Schwingungsreduzierung von Regalbediengeräten angesehen werden kann.

68


Symbolverzeichnis Symbol

Beschreibung

Einheit

A am c δ E η η˙ η¨ F f FAMK FAT G g γ h I J κ l M M mdyn mH mL mT µ µ0 N NS ω ω0 P

Querschnittsäche

m2 m/s2 N/m

Mittlere horizontale Beschleunigung Federsteigkeit

Dirac-Stoÿ,

Delta-Distribution

E-Modul, E-Modul Stahl Weg in

η -Richtung

Geschwindigkeit in Beschleunigung in

η -Richtung η -Richtung

Kraft Frequenz Antriebskraft Mastkopf Antriebskraft Traverse Schubmodul Erdbeschleunigung

N/mm2 m m/s m/s2 N Hz N N N/mm2 m/s2

Wichtungsfunktion Hubwagenhöhe Flächenträgheitsmoment 2. Ordnung Drehträgheit

m mm4 kg m2

Schubkorrekturfaktor Masthöhe Moment

m Nm

Massenmatrix Reduzierte Ersatzmasse Hubwagenmasse (inklusive Lastmasse) Lastmasse Traversenmasse Masseverteilung Masseverteilung Mast Normalkraft Schnittkraft in Normalenrichtung Kreisfrequenz Eigenkreisfrequenz Leistung

kg kg kg kg kg/m kg/m N N s−1 s−1 W

69


Symbolverzeichnis

70

Symbol

Beschreibung

ϕ Ψ ψ Q q QS r ρ S σ Sw t tA u V w Wk x ξ y z ζ

Eigenlastbeiwert

Einheit

Hublastbeiwert Drehwinkel Balkenelement Querkraft Streckenlast Schnittkraft Querrichtung

rad N N/m N

Residuum

m/V

Dichte Steigkeitsmatrix

Heaviside-Funktion,

Sprung-Funktion

Dynamischer Schwingbeiwert Zeit Beschleunigungsänderungszeit Verformung Volumen Durchbiegung

k -te

Eigenschwingungsform

Weg in Weg in Weg in Weg in Weg in

x-Richtung ξ -Richtung y -Richtung z -Richtung ζ -Richtung

s s mm m3 m m m m m m m


AbkĂźrzungsverzeichnis AbkĂźrzung

Beschreibung

ASM

Asynchronmaschine.

Bt

Bodentraverse.

CAE

Computer-Aided Engineering. RechnergestĂźtzte Entwicklung.

CAS

Computer Algebra System.

DGL

Dierentialgleichung.

DMS

Dehnmessstreifen.

E-Commerce

Electronic Commerce. Elektronischer Geschäftsverkehr.

E-Modul

Elastizitätsmodul.

Fa

Fahrantrieb.

FEM

Finite Element Methode.

Fzg

Fahrzeug.

GSN

Gleichstromnebenschlussmotor.

Hu

Hubwagen.

Hw

Hubwerk.

L

Last.

LAM

Lastaufnahmemittel.

M

Mast.

Mk

Mastkopf.

PC

Personal Computer.

PDGL

Partielle Dierentialgleichung.

RBG

Regalbediengerät.

Rk

Radkranz.

Sc

Schaltschrank.

SPS

Speicherprogrammierbare Steuerung.

71


Abk端rzungsverzeichnis

72


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Literaturverzeichnis

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Ăœberarbeitete und aktualisierte Version  Karlsruhe, März 2012.

Schwingungsreduzierung an Regalbediengeräten durch Krafteinleitung am Mastkopf  

Studienarbeit - Download - http://tinyurl.com/studienarbeitonline0

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