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Diplomarbeit Einfluss von Kavitationsmodellen auf das Stabilit채tsverhalten gleitgelagerter Rotoren

cand. mach. Sven Steinbach Betreuer: Dr.-Ing. Hartmut Hetzler M채rz 2012


Diplomarbeit Einuss von Kavitationsmodellen auf das Stabilit채tsverhalten gleitgelagerter Rotoren

Titelbild: Glatter Druckverlauf im Schmierlm eines radialen Gleitlagers


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www.itm.kit.edu/dynamik

Diplomarbeit für cand. mach. Sven Steinbach

Einuss von Kavitationsmodellen auf das Stabilitätsverhalten gleitgelagerter Rotoren Gleitgelagerte Rotoren spielen in der technischen Anwendung aufgrund der günstigen Verschleiÿeigenschaften eine wichtige Rolle. In den meisten Fällen lässt sich die Druckverteilung in ölgeschmierten Gleitlagern mit Hilfe der Reynoldsgleichung berechnen, woraus letztlich die Lagerkraft durch Integration bestimmt wird. Hierbei wird die Druckberechnung - und damit letztlich auch die Lagerkraft - mitunter deutlich durch das verwendete Kavitationsmodell beeinusst. Da gleitgelagerte Rotoren zu selbsterregten Schwingungen neigen ist die Laufstabilität Gegenstand unzähliger Untersuchungen. Gleichwohl lässt sich feststellen, dass der Einuss der Kavitationsmodellierung auf das Stabilitätsverhalten bislang nur unzureichend untersucht ist. Im Rahmen dieser Arbeit soll zunächst die Reynoldsgleichung im Rahmen des FE-Paketes

COMSOL Multiphysics für ein zylindrisches Gleitlager modelliert und simuliert werden. Im Rahmen dieser Modellierung sind unterschiedliche Kavitationsmodelle zu implementieren. Die Lagerkräfte sind zu bestimmen und - nach Möglichkeit - in geeigneten Kennfeldern abzulegen. Die Eignung der Impedanzmethode für die verschiedenen Kavitationsmodelle soll hierbei diskutiert werden. Abschlieÿend sollen anhand eines einfachen Rotormodells der Einuss der Kavitationsmodellierung auf die Stabilität der Ruhelagen untersucht werden.

Karlsruhe, den

........................................

Prof. Dr.-Ing. Wolfgang Seemann

...............

........................................

Dr.-Ing. Hartmut Hetzler


Sven Steinbach sven.steinbach@student.kit.edu

Eigenständigkeitserklärung Ich erkläre hiermit, die vorliegende Arbeit selbständig verfasst zu haben. Es wurden keine unerlaubten Hilfsmittel und nur die im Literaturverzeichnis angegebenen Quellen verwendet. Ich versichere, keine unzulässige fremde Hilfe in Anspruch genommen zu haben.

Karlsruhe, den 07.03.2012 ........................................

Sven Steinbach


Danksagung Die vorliegende Arbeit entstand während meiner Tätigkeit als Diplomand am Institut für Technische Mechanik (ITM), Bereich Dynamik des Karlsruher Institut für Technologie (KIT), ehemals Universität Karlsruhe (TH).

Zunächst möchte ich mich bei Prof. Dr.-Ing. W. Seemann bedanken, dessen Vorlesungen bereits in einer frühen Phase des Studiums mein Interesse am Themengebiet der Technischen Mechanik geweckt haben.

Weiterhin danke ich meinem Betreuer Dr.-Ing. Hartmut Hetzler für die gewährte Selbständigkeit und das mir entgegengebrachte Vertrauen. Seine stete Diskussionsbereitschaft und die Fähigkeit auch komplizierte Zusammenhänge aus dem Stegreif zu erklären haben maÿgeblich zum Gelingen dieser Arbeit beigetragen.

Bei meinem Kommilitonen Mathias Braun bedanke ich mich für den regen Gedankenaustausch zum Thema Gleitlager. Auch möchte ich mich bei den Mitarbeitern sowie den Studenten am Institut für die gute Zusammenarbeit und die angenehme Arbeitsatmosphäre bedanken.

Nicht zuletzt bedanke ich mich für den ideellen Rückhalt bei meinen Eltern, welche mir durch Ihre Unterstützung und Förderung das Studium erst ermöglicht haben.

Karlsruhe, im März 2012 Sven Steinbach


Kurzfassung Einuss von Kavitationsmodellen auf das Stabilitätsverhalten gleitgelagerter Rotoren Sowohl unter technischen als auch wirtschaftlichen Gesichtspunkten ist man bemßht Reibungsverluste technischer Systeme zu minimieren. Insbesondere bei hochtourigen Rotorsystemen bieten sich Gleitlagerungen an, da hierbei im Idealfall nur Fluidreibung vorliegt. Bei hohen Drehzahlen und geringen Lasten kÜnnen jedoch selbsterregte Schwingungen auftreten. Da die vorliegenden physikalischen Eekte das Rotorverhalten maÿgeblich beeinussen, ist es sinnvoll diese bei der Simulation mÜglichst genau abzubilden. Hierzu werden in der vorliegenden Arbeit Kavitationseekte im Schmierlm radialer Gleitlager modelliert. Von Interesse ist dabei der Druckverlauf im Schmierspalt. Nach Einfßhrung in die beschreibende Reynoldsdierentialgleichung werden sowohl analytische als auch approximative LÜsungen mittels niter Elemente Methode aufgezeigt. Die dabei ermittelten Druckverläufe sagen auch negative Drßcke voraus, welche jedoch in der Realität aufgrund von Kavitation nicht auftreten. Hierzu werden die drei Kavitationsmodelle Halb-Sommerfeld-LÜsung, Reynolds Randbedingung und Elrod Kavitation aufgestellt und miteinander verglichen. Um eine mÜglichst eektive Simulation zu erhalten werden KennfeldlÜsungen mit der Impedanzmethode entwickelt. Durch sie kÜnnen zeitintensive Schmierlmberechnungen vor die dynamische Rotorsimulation gestellt werden. Dennoch hängt deren Anwendung vom verwendeten Kavitationsmodell ab. Somit werden auch Grenzen fßr die Modellierung beim Kavitationsalgorithmus nach Elrod aufgezeigt. Nach Einfßhrung in den Lyapunovschen Stabilitätsbegri werden Ruhelagen als stationäre Betriebspunkte fßr unterschiedliche Lagergeometrien unter Einuss der entwickelten Kavitationsmodelle untersucht. Es werden abschlieÿend Stabilitätskarten aufgezeigt, aus denen Bereiche stabilen und instabilen Rotorverhaltens abzulesen sind.

I


II


Inhaltsverzeichnis Kurzfassung

I

Inhaltsverzeichnis

III

Abbildungsverzeichnis

VII

Tabellenverzeichnis

XI

1 Einleitung 1.1

1

Motivation und Problemstellung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.1

Tribologie technischer Systeme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.1.2

Betrieb schnelllaufender Rotoren

2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

Zielsetzung

1.3

Aufbau der Arbeit

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2 Grundlagen zu Gleitlagern

2.2

2.3

Konstruktive AusfĂźhrung

5

7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.1.1

Bauarten

2.1.2

Hydrostatische Gleitlager

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

2.1.3

Hydrodynamische Gleitlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11

Charakterisierung von Radialgleitlagern

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2.1

Sommerfeldzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2.2

Geometrieklassizierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13

Kavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3.1

Physikalische Eekte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

2.3.2

Auswirkung auf Radialgleitlager

16

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Modellbildung radialer Gleitlager 3.1

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1.2

2.1

1

Reynoldsgleichung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

19 19

III


Inhaltsverzeichnis

3.2

Modellaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22

3.3

Lösungsmethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

3.3.1

Ocvirk Kurzlagerlösung

24

3.3.2

Sommerfeld Langlagerlösung

3.3.3

Numerische Approximation

3.4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

26

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

28

Mathematische Kavitationsmodelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

3.4.1

Gümbel Randbedingung und Halb-Sommerfeld-Lösung . . . . . . . .

32

3.4.2

Reynolds Randbedingung und Penaltymethode

. . . . . . . . . . . .

34

3.4.3

Elrod Kavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

4 Kennfeldlösungen 4.1

4.2

4.3

47

Impedanzmethode

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4.1.1

Modellbeschreibung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

47

4.1.2

Impedanzbeschreibung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

Impedanzkennfelder

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

4.2.1

Ocvirk Kurzlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

51

4.2.2

Halb-Sommerfeld-Lösung mit nitem Lager

. . . . . . . . . . . . . .

54

4.2.3

Penaltymethode mit nitem Lager

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56

Kraftkennfelder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.3.1

Nichtlinearität der Elrod Kavitation

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

4.3.2

Numerische Instabilität

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

60

5 Stabile Betriebspunkte eines Rotormodells 5.1

63

Rotormodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

5.1.1

Modellansatz mit Erregung durch Unwucht

. . . . . . . . . . . . . .

63

5.1.2

Vereinfachter Modellansatz ohne Erregung durch Unwucht . . . . . .

65

5.2

Verlagerungsbahn stationärer Gleichgewichtslagen . . . . . . . . . . . . . . .

66

5.3

Zeitlicher Verlauf des Wellenmittelpunktes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

69

5.4

Stabilität nach Lyapunov

72

5.5

Bifurkationspunkt und Grenzdrehzahl

5.6

Stabilitätskarten

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

75

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

78

6 Zusammenfassung und Ausblick

IV

47

83

6.1

Zusammenfassung

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

83

6.2

Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

85


Inhaltsverzeichnis

A Anhang

87

A.1

Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

A.2

Vergleich 체berlagerter Diagramme

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88

A.2.1

Verlagerungsbahn station채rer Gleichgewichtslagen . . . . . . . . . . .

88

A.2.2

Zeitlicher Verlauf des Wellenmittelpunktes . . . . . . . . . . . . . . .

90

A.2.3

Stabilit채tskarten

92

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Symbolverzeichnis

95

Abk체rzungsverzeichnis

99

Literaturverzeichnis

101

V


Inhaltsverzeichnis

VI


Abbildungsverzeichnis 1.1

Experimente zur Reibungskraft

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2

Ameise mit Mikrozahnrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3

Turbolader und Dampfturbine als Anwendung von Rotorsystemen . . . . . .

3

1.4

Wellenamplitude über Drehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

2.1

Axialdruckring mit eingearbeiteten Keilächen

. . . . . . . . . . . . . . . .

7

2.2

Exzentrische Wellenlage in Bohrung als Schmierkeil . . . . . . . . . . . . . .

8

2.3

Lagerbuchsen und Lagerschalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.4

Lagergeometrien

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

2.5

Gleitraumformen Mehrächengleitlager . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

2.6

Einussgröÿen Sommerfeldzahl

13

2.7

Kavitation und Ablauf des Vorgangs

2.8

Kavitation im Öllm eines Radiallagers

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

2.9

Trennung des Öllms durch Kavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

3.1

Skizze des Schmierlms eines Radialgleitlagers . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.2

Geometrische Beziehungen des Gleitlagermodells

. . . . . . . . . . . . . . .

23

3.3

Statischer Druckverlauf Ocvirk Kurzlager

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

25

3.4

Statischer Druckverlauf Sommerfeld Langlager . . . . . . . . . . . . . . . . .

27

3.5

Hütchenfunktion als Ansatzfunktionen der FEM . . . . . . . . . . . . . . . .

30

3.6

Statischer Druckverlauf nites Lager

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

31

3.7

Statischer Druckverlauf Ocvirk Kurzlager mit Gümbel Randbedingung . . .

32

3.8

Statischer Druckverlauf Sommerfeld Langlager mit Gümbel Randbedingung

33

3.9

Statischer Druckverlauf nites Lager mit Gümbel Randbedingung . . . . . .

33

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.10 Statischer Druckverlauf Sommerfeld Langlager mit Reynolds Randbedingung 36 3.11 Statischer Druckverlauf nites Lager mit Penaltyfaktor

kP = 10−10

3.12 Statischer Druckverlauf nites Lager mit Penaltyfaktor

kP = 10−7

3.13 Wichtungsfunktionen für Petrov-Galerkin-Verfahren

. . . . .

39

. . . . . .

39

. . . . . . . . . . . . .

43

VII


Abbildungsverzeichnis

3.14 Statischer Druckverlauf nites Lager mit Elrod Kavitation . . . . . . . . . .

44

4.1

Modellbeschreibung Gleitlagermodell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

48

4.2

Beschreibung Quetschgeschwindigkeit

4.3

Impedanzkennfeld Ocvirk Kurzlager

4.4

Impedanzkennfeld nites Lager, Halb-Sommerfeld-Lösung

B/D = 0,25

4.5

Impedanzkennfeld nites Lager, Halb-Sommerfeld-Lösung

B/D = 1

4.6

Impedanzkennfeld nites Lager, Halb-Sommerfeld-Lösung

B/D = 2,5

4.7

Impedanzkennfeld nites Lager, Penaltymethode

B/D = 0,25

4.8

Impedanzkennfeld nites Lager, Penaltymethode

B/D = 1

4.9

Impedanzkennfeld nites Lager, Penaltymethode

B/D = 2,5

vs

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B/D = 0,25

. . . . . . . . . . . . . . .

50 53

. . .

54

. . . . .

55

. . . .

56

. . . . . . . .

57

. . . . . . . . . .

58

. . . . . . . . .

58

4.10 Impedanzkomponenten

WR,T

über Quetschgeschwindigkeit

vs

. . . . . . . .

59

4.11 Impedanzkomponenten

WR,T

über Quetschgeschwindigkeit

vs

. . . . . . . .

60

5.1

Rotormodell mit Unwucht . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

5.2

Modellbeschreibung Rotormodell mit Unwucht

. . . . . . . . . . . . . . . .

64

5.3

Ruhelagen Ocvirk Kurzlager

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

66

5.4

Ruhelagen nites Lager

B/D = 0,25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

67

5.5

Ruhelagen nites Lager

B/D = 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

68

5.6

Ruhelagen nites Lager

B/D = 2,5

5.7

Zeitverlauf Wellenzapfen Ocvirk Kurzlager

5.8

Zeitverlauf Wellenzapfen nites Lager

B/D = 0,25

5.9

Zeitverlauf Wellenzapfen nites Lager

B/D = 1

B/D = 0,25

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

B/D = 0,25 .

. . . . . . . . . . .

69

. . . . . . . . . . . . . .

70

. . . . . . . . . . . . . . . .

71

B/D = 2,5

5.10 Zeitverlauf Wellenzapfen nites Lager

68

. . . . . . . . . . . . . . .

71

5.11 Stabiles und instabiles mechanisches System . . . . . . . . . . . . . . . . . .

73

5.12 Stabilitätsverhalten Ocvirk Kurzlager

B/D = 0,25

5.13 Zeitverlauf Wellenzapfen Ocvirk Kurzlager

B/D = 0,25

5.14 Stabilitätsverhalten nites Lager

B/D = 0,25

5.15 Stabilitätsverhalten nites Lager

B/D = 1

5.16 Stabilitätsverhalten nites Lager

B/D = 2,5

5.17 Stabilitätskarte Ocvirk Kurzlager

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

77

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

79

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

B/D = 1

5.20 Stabilitätskarte nites Lager

B/D = 2,5

VIII

76

78

5.19 Stabilitätskarte nites Lager

B/D = 0,25

76

. . . . . . . . . . . . . . . . .

B/D = 0,25

Ruhelagen nites Lager

(stabil und instabil).

75

. . . . . . . . . . . . . . . . .

B/D = 0,25

5.18 Stabilitätskarte nites Lager

A.1

. . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

80

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

88


Abbildungsverzeichnis

A.2

Ruhelagen nites Lager

B/D = 1

A.3

Ruhelagen nites Lager

B/D = 2,5

A.4

Zeitverlauf Wellenzapfen nites Lager

B/D = 0,25

A.5

Zeitverlauf Wellenzapfen nites Lager

B/D = 1

A.6

Zeitverlauf Wellenzapfen nites Lager

B/D = 2,5

A.7

Stabilit채tskarte nites Lager

B/D = 0,25

A.8

Stabilit채tskarte nites Lager

B/D = 1

A.9

Stabilit채tskarte nites Lager

B/D = 2,5

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

89 89

. . . . . . . . . . . . . .

90

. . . . . . . . . . . . . . . .

91

. . . . . . . . . . . . . . .

91

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

92

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

93

IX


Abbildungsverzeichnis

X


Tabellenverzeichnis 2.1

Bezeichnungen Sommerfeldzahl

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12

2.2

Klassizierung nach Lagergeometrie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

14

3.1

Werte f端r Kavitationsrand der Reynolds Randbedingung . . . . . . . . . . .

36

A.1

Parameterwerte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

87

XI


Tabellenverzeichnis

XII


1 Einleitung 1.1 Motivation und Problemstellung 1.1.1 Tribologie technischer Systeme Heutige technische Systeme kÜnnen eine Vielzahl von sich relativ zueinander bewegenden Oberächen und Kontaktstellen besitzen. Eben diese Oberächenpaarungen beeinussen jedoch durch ihre gegenseitige Wechselwirkung das dynamische Verhalten eines Systems häug maÿgeblich. Wie Abbildung 1.1 zeigt, ist es daher nicht verwunderlich, dass hierzu bereits in der Mitte des vergangenen Jahrtausends grundlegende Untersuchungen experimentell durchgefßhrt wurden.

Abbildung 1.1: Experimente von Leonardo da Vinci zur Unabhängigkeit der Reibungskraft von der Aufstelläche [Pop09]

Aktuelle Bemßhungen der Forschung liegen nach wie vor darin, ein tiefer gehendes Verständnis zu diesem umfangreichen, interdisziplinären Themengebiet zu erlangen. Hierbei kommt der Tribologie als Wissenschaft mit den Teilgebieten Reibung, Schmierung und Verschleiÿ eine besondere Bedeutung zu [WMJV09]. Unterschiedliche Ansätze aus der Chemie, Werkstowissenschaft, Physik und des Maschinenbaus erschlieÿen damit neue Technologien, wie dies jßngst mit der Nanotechnologie, selbst auf atomarer und mikroskopischer Ebene geschieht (Abbildung 1.2). Es spielen jedoch nicht nur technische und naturwissenschaftliche, sondern auch wirtschaftliche Aspekte eine wichtige Rolle [Bar10]. Durch tribologische Optimierung kann die Lebensdauer eines technischen Systems erhÜht werden, bei gleichzeitig sinkenden Instandhaltungskosten. Besonders der Wunsch nach Einsparung von Rohstoressourcen und

1


1 Einleitung

Abbildung 1.2: Ameise mit Mikrozahnrad

Steigerung der Ezienz bedingt eine Reduzierung von Reibungsverlusten. Damit beim Betrieb eines technischen Systems ein besserer Wirkungsgrad erzielt werden kann, ist es vorteilhaft bereits in einer frĂźhen Phase der Produktentwicklung eine Aussage Ăźber das spätere Betriebsverhalten treen zu kĂśnnen. Dabei gilt es kostenintensive Versuchsreihen zu minimieren. Nicht zuletzt durch die in den letzten Jahrzehnten stark angestiegene Rechenleistung sind numerische Simulationswerkzeuge des Computer-Aided Engineering (CAE) eine groĂże Bereicherung fĂźr den Entwicklungsprozess geworden. Aufgrund der komplexen Wechselwirkungen tribologischer Kontakte kann durch die Vielzahl von Einussparametern jedoch die Ăœbersichtlichkeit numerischer Simulationen leiden. Hinzu kommt, dass kommerzielle Simulationssoftware meist nicht auf eine bestimmte Fragestellung hin programmiert wurde, was eine eigenständige Umsetzung des Anwenders erfordert. Zur Plausibilitätskontrolle kann somit nicht gänzlich auf die DurchfĂźhrung von Versuchen verzichtet werden [Bar10]. Derzeitige Anforderungen an die Simulation zielen folglich darauf ab auch komplexe Wechselwirkungen in tribologischen Systemen mĂśglichst einfach abzubilden, ohne den Detaillierungsgrad zu sehr zu erhĂśhen. Das Entwicklungspotenial liegt darin relevante Einussfaktoren ausndig zu machen, um konstruktive Gestaltungshinweise zu liefern und sowohl leistungsfähige als auch eektive Simulationswerkzeuge bereitzustellen.

1.1.2 Betrieb schnelllaufender Rotoren Ein weit verbreitetes mechanisches System mit tribologischen Kontakten stellen Rotoren in Zusammenhang mit deren Lagerung dar. Ein einfacher Rotor besteht im Wesentlichen aus den Maschinenelementen Welle und Lager. Letztere kÜnnen als Wälzlager, Gleitlager und

2


1.1 Motivation und Problemstellung

Abbildung 1.3: Turbolader und Dampfturbine [Sig09]

in Spezialfällen auch als Magnetlager ausgeführt sein. Als Anwendung seien hier Turbomaschinen zur Energiewandlung genannt (Abbildung 1.3). Der Wunsch nach immer höherer Ezienz und besseren Wirkungsgraden erfordert je nach Anwendungsfall eine erhebliche Steigerung der Drehzahlen. Dem gegenüber steht das Konzept der Leichtbauweise. Die damit verbundene geringere Massenträgheit führt bei hochtourigen Rotoren zu einem nicht einfach zu überschauenden dynamischen Verhalten. In Abbildung 1.4 wird ein solches Verhalten phänomenologisch dargestellt [GNP06]. Es zeigt sich bei dem skizzierten Rotorsystem mit Unwucht und elastischer Welle, dass ab einer bestimmten Grenzdrehzahl

nGrenz

selbsterregte Schwingungen auftreten. Beim

Hochfahren verhält sich der Einscheibenrotor, wie ein klassischer Laval-Läufer mit einem unterkritischen und überkritischen Drehzahlbereich [PW09] [GNP06]. Die Wellenamplituden sind im überkritischen Bereich durch auftretende Selbstzentrierung moderat. Die

Abbildung 1.4: Wellenamplitude über Drehzahl [GNP06]

3


1 Einleitung

Resonanzstelle

nKrit ,

an der eigenfrequente Schwingungen auftreten, sollte dabei aufgrund

hoher Wellenamplituden trotz vorhandenem Dämpfungseinuss schnell durchfahren werden. Drehzahlen oberhalb der Grenzdrehzahl

nGrenz

sind ungĂźnstig, weil dabei die Stabili-

tätsgrenze ßberschritten wird. Zwar kÜnnen sich die dann auftretenden Biegeschwingungen mit sehr groÿen Amplituden unter Umständen in einem Grenzzykel fangen, jedoch ist eine instabil laufende Maschine auf Dauer nicht betriebsfähig [GNP06] [MPS08]. Von Interesse ist somit, ab welcher Drehzahl der Betrieb eines schnelllaufenden Rotors instabil wird. Da bei selbsterregten Schwingungen keine erzwungene Anregungsquelle ausndig zu machen ist, muss fßr eine vollständige Analyse das Gesamtsystem auch unter dem tribologischen Einuss der Lagerung untersucht werden. Dies erfordert zudem eine Betrachtung der auftretenden, meist gekoppelten physikalischen Phänomene (Multiphysics) [Het10].

1.2 Zielsetzung Eine Ursache fßr instabiles Verhalten von Rotoren bei hohen Drehzahlen kann die Verwendung von Gleitlagern sein. Die bei dieser Lagerungsart vorhandenen physikalischen Eekte beeinussen den Betrieb von Rotorsystemen maÿgeblich. Vor allem das Schmierstoverhalten mit sich ausbildender Kavitation hängt eng mit der Dynamik gleitgelagerter Rotoren zusammen. Die Zielsetzung kann daher in zwei Unterpunkte gegliedert werden.

•

Aufbau und Vergleich von Kavitationsmodellen zur Ermittlung des Druckverlaufs im Schmierlm. Dabei BerĂźcksichtigung unterschiedlicher Gleitlagergeometrien.

•

Zusammenfßhrung der verschiedenen Kavitationsmodelle mit einem einfachen mechanischen Rotormodell. Untersuchung des Einusses auf die Stabilitätsgrenze.

Der erste Punkt nähert sich dabei aus Richtung der StrÜmungsmechanik. Der zweite Punkt greift auf Themen der technischen Schwingungslehre zurßck. Beiden ist jedoch gemeinsam, dass bei der Modellierung Methoden der numerischen Approximation angewendet werden, um auftretende Dierentialgleichungen zu lÜsen. Zusammenfassend liegt das Hauptaugenmerk der vorliegenden Arbeit darin eine Aussage ßber den Detaillierungsgrad der Kavitationsmodelle treen zu kÜnnen. Mit dem Ziel eine mÜglichst leistungsfähige Simulation zu erhalten wird somit untersucht, welche Relevanz die verschiedenen Modellierungsstufen der Kavitation im Schmierlm auf die Grenzstabilität eines einfachen, hochtourigen Rotorsystems besitzen.

4


1.3 Aufbau der Arbeit

1.3 Aufbau der Arbeit Zum Aufbau der vorliegenden Arbeit lässt sich folgende Gliederung angeben.

Kapitel 2 geht auf Grundlagen zu Gleitlagern ein. Zunächst werden verschiedene Bauformen und deren Funktionsweise benannt. Dieser grobe Ăœberblick liefert bereits Tendenzen und Hinweise zu einer späteren Modellierung, dient aber hauptsächlich der genauen Einordnung der in dieser Arbeit behandelten hydrodynamischen radialen Gleitlager. Zudem wird kurz auf charakterisierende KenngrÜÿen eingegangen. AbschlieĂżend werden Grundlagen zu Kavitation sowohl aus allgemeiner, physikalischer Sicht betrachtet, als auch im konkreten Fall beim Auftreten in Gleitlagern.

Kapitel 3 beschäftigt sich mit der Modellbildung radialer Gleitlager. Dabei wird auf Dierentialgleichungen eingegangen, welche die Modelle mathematisch beschreiben. Ausgangspunkt ist die Reynoldsgleichung, die zum einen selbst in Ihrer Struktur den jeweiligen Kavitationsmodellen angepasst und deren LÜsung zum anderen durch unterschiedliche Randbedingungen verändert wird. Hierzu werden auch verschiedene LÜsungsmethoden vorgestellt und auf unterschiedliche Lagergeometrien angewendet.

Kapitel 4 beschreibt sogenannte KennfeldlÜsungen. Diese dienen dazu eine eektivere Simulation des Gleitlagerverhaltens in Verbindung mit einem einfachen Rotormodell zu generieren. Zeitintensive Schmierlmberechnungen werden dabei vor die Simulation des Rotorverhaltens gestellt und in Kennfeldern abgespeichert. Insbesondere wird auf die Impedanzmethode eingegangen, jedoch auch deren Grenzen aufgrund von Nichtlinearitäten des Elrod Kavitationsmodells aufgezeigt.

Kapitel 5 verknßpft die modellierten Gleitlagereekte bezßglich Kavitation mit einem einfachen, mechanischen Rotormodell. Nach einer Einfßhrung in den Stabilitätsbegri nach Lyapunov werden Untersuchungen zur Grenzdrehzahl des Rotormodells durchgefßhrt.

Dabei spielen mÜgliche Gleichgewichtslagen des Wellenmittelpunktes genau wie dessen zeitlicher Verlauf eine Rolle. Am Ende wird fßr verschiedene Gleitlagergeometrien die Abhängigkeit der Last von der Grenzdrehzahl in Stabilitätskarten dargestellt.

Abschlieÿend liefert Kapitel 6 eine Zusammenfassung der erhaltenen Ergebnisse und zeigt Ansätze weiterer ForschungsmÜglichkeiten auf.

5


1 Einleitung

6


2 Grundlagen zu Gleitlagern 2.1 Konstruktive Ausfßhrung 2.1.1 Bauarten Grundsätzlich lassen sich Gleitlager je nach Richtung der Kraftaufnahme in axialer und radialer Bauweise unterscheiden. Bei beiden wird eine Trennung der aneinander abgleitenden Oberächen durch einen Schmierlm angestrebt, sodass nur noch Fluidreibung und keine FestkÜrper- oder Mischreibung mehr vorliegt [HB11]. Als trennendes Medium kÜnnen neben Fluiden, wie Gasen, Ölen oder Wasser jedoch auch Fette oder Festschmierstoe zur Anwendung kommen [WMJV09]. Ein Beispiel fßr ein Axialgleitlager zeigt der in Abbildung 2.1 gezeigte Axialdruckring. Auallend sind die vorhandenen Keilächen, welche fßr das Wirkprinzip des Schmierkeils verantwortlich sind. Dabei wird erzielt, dass die StrÜmung des Schmiermittels durch einen sich verengenden Schmierspalt erfolgt. Der damit verbundene Druckaufbau hat zur Folge, dass sich eine Kraft ausbilden kann, welche die sich relativ zueinander bewegenden Schmierkeilächen voneinander trennt. Auch Radialgleitlagern liegt dieses Wirkprinzip zugrunde. In einfachster Ausfßhrung kann dieses Verhalten bereits an einer Welle verdeutlicht werden,

Abbildung 2.1: Axialdruckring mit eingearbeiteten Keilächen [HB11]

7


2 Grundlagen zu Gleitlagern

die sich in einer Bohrung bendet. Die Bohrung sei vollständig mit Schmiermittel gefüllt und die Welle kann frei mit der konstanten Winkelgeschwindigkeit dung 2.2 zeigt, liegen der Bohrungsmittelpunkt mit dem Abstand

e

MB

ω

rotieren. Wie Abbil-

und der Wellendurchstoÿpunkt

MW

zueinander.

Abbildung 2.2: Exzentrische Wellenlage in Bohrung als Schmierkeil [GNP06]

Durch diese auÿermittige, exzentrische Lage, entsteht in Umfangsrichtung ein sich verengender Schmierspalt. Das Schmiermittel wird aufgrund der Haftbedingung an der Welle in diesen Schmierspalt hineingezogen. Das Prinzip der Keilwirkung ist dafür verantwortlich, dass bei steigender Winkelgeschwindigkeit

ω

ist sich immer mehr dem Bohrungsmittelpunkt

MB

der Wellendurchstoÿpunkt

MW

bestrebt

anzunähern. Diesem Phänomen wirkt

jedoch häug eine Last entgegen, die beispielsweise durch das Eigengewicht der Welle erscheint. Es bildet sich somit ein Kräftegleichgewicht zwischen der Last und der Kraft durch den ansteigenden Druck

p

im Schmierkeil aus. Bei hohen Drehzahlen wird dieses Kräfte-

gleichgewicht jedoch gestört. Da die Welle bei hohen Drehzahlen fast ohne Exzentrizität in der Bohrung rotiert, liegt eine geringe Keilwirkung vor. Somit kann nur ein niedrigerer Druck im Schmiermittel aufgebaut werden. Aufgrund der anliegenden Last wird die Welle dann aus dieser fast zentrischen Lage bewegt, wodurch erneut die Keilwirkung einsetzt. Diese selbsterregten Schwingungen bei hohen Drehzahlen entstehen folglich durch das Wechselspiel zwischen der Bildung eines Schmierkeils und der anliegenden Last. Radialgleitlager sind konstruktiv als Lagerbuchsen oder Lagerschalen ausgeführt. Dabei liegt ein geringeres Radialspiel vor, als in Abbildung 2.2 übertrieben verwendet. Abbil-

8


2.1 Konstruktive AusfĂźhrung

dung 2.3 zeigt sowohl eingepresste Massivbuchsen, als auch eine geteilte Lagerschale. Da bei kreiszylindrischen Radialgleitlagern bei hohen Drehzahlen eine geringere Keilwirkung vorliegt und es so zu Instabilitäten kommen kann, wurden weitere Lagergeometrien entwickelt. Einige davon sind in Abbildung 2.4 dargestellt. Durch deren besondere Form

Abbildung 2.3: Lagerbuchsen und Lagerschalen a) Massivbuchse b) Massivbuchse mit einseitiger Axialgleitäche c) Lagerhalbschale mit Haltenase [WMJV09]

ist ein stabilerer Betrieb auch bei zentrischer Wellenlage mĂśglich, da stets die Ausbildung eines Schmierkeils begĂźnstigt wird. Als Spezialanwendung sei hier das Kippsegmentlager herausgegrien, bei dem sich die Lagergeometrie je nach Betriebssituation selbst einstellen kann. Es sei bei diesen Lagergeometrien jedoch darauf hingewiesen, dass die Fertigungskosten im Gegensatz zum kreizylindrischen Lager hĂśher ausfallen und deren Anwendung

Abbildung 2.4: Lagergeometrien a) Kreislager b) Zitronenlager c) Dreikeillager d) Kippsegmentlager [GNP06]

9


2 Grundlagen zu Gleitlagern

daher mit Bedacht zu wählen ist. Bei der Konstruktion von Gleitlagern ist zudem fßr eine ausreichende Versorgung mit Schmiermittel zu sorgen. Dies wird meist durch Schmiernuten und Bohrungen bewerkstelligt, die jedoch ihrerseits die Gleitächen und damit den Druckaufbau beeinussen kÜnnen. Dies gilt ebenso fßr Dichtungen, welche bei sehr hohen Drehzahlen oft berßhrungslos gestaltet, bei mittleren Gleitgeschwindigkeiten jedoch eher als Radialwellendichtringe ausgefßhrt werden [WMJV09]. Je nach Geometrie ist, wie Abbildung 2.5 zeigt, zudem eine bestimmte Drehrichtung der Welle einzuhalten, damit sich in den Stauräumen der Schmierkeile die Druckfelder

p

optimal aufbauen kĂśnnen.

Abbildung 2.5: Gleitraumformen a) Mehrächengleitlager fßr eine Drehrichtung b) Mehrächengleitlager fßr beide Drehrichtungen [WMJV09]

Abschlieÿend kÜnnen als Vorteile von den in dieser Arbeit weiter behandelten radialen, kreiszylindrischen Gleitlagern mit Ölschmierung (Abbildung 2.4 a) ihr einfacher Aufbau und die vielseitigen Anwendungsgebiete genannt werden. Hinzu kommen bei Vollschmierung sehr geringe Reibungsverluste. Zwar sollte ein relativ groÿer Aufwand zur Schmierstoversorgung und Oberächengßte der Gleitächen betrieben werden, jedoch ist auch bei Lagern mit geringeren Ansprßchen ein Betrieb im Mischreibungsgebiet mÜglich. Insbesondere sind Gleitlager infolge ihrer Schmiermittelschicht geräuschdämpfend und verschleiÿarm gegenßber StÜÿen und Erschßtterungen. Bei optimaler Auslegung sind sie ebenso fßr hohe Belastungen als auch Drehzahlen einsetzbar und besitzen eine nahezu unbegrenzte Lebensdauer. Dies ist vor allem auf die durch das Schmiermittel getrennten Oberächen zurßckzufßhren [HB11].

10


2.1 Konstruktive AusfĂźhrung

2.1.2 Hydrostatische Gleitlager Als hydrostatische Gleitlager werden Gleitlagertypen bezeichnet, die zum Druckaufbau im Schmiermittel eine externe Quelle besitzen. Der Druckaufbau im Schmiermittel wird dabei durch eine Pumpe vor dem Eintritt ins Lager erzeugt. Meist handelt es sich dabei um Ölpumpen. Bei der Berechnung des Wirkungsgrads ist jedoch darauf zu achten, dass neben der Lagerreibungsleistung auch die Pumpleistung berßcksichtigt wird [HB11]. Die Ausbildung eines Schmierkeils ist bei hydrostatischen Gleitlagern nicht zwingend erforderlich, um die sich relativ zueinander bewegenden Gleitächen zu trennen. Die Funktion der Lager hängt dann jedoch maÿgeblich von der Betriebssicherheit der Pumpe ab. Fallen besonders hohe Lasten an, so ist der Einsatz einer Hochdruck-Anfahrvorrichtung sinnvoll, um den kritischen Mischreibungsbereich zu ßberwinden [WMJV09]. Sobald das Gleitlager selbstständig einen ausreichenden Druck aufbauen kann bendet es sich im hydrodynamischen Betrieb. Eine unterstßtzende Pumpe kann dann abgeschaltet werden. Auch fßr die Modellbildung radialer Gleitlagern kann der hydrostatische Betrieb interessant sein. Durch die Vorgabe eines Drucks im Lager erhalten beispielsweise Randbedingungen zum LÜsen von Dierentialgleichungen einen praktischen Bezug. Dies gilt ebenso fßr Anfangsbedingungen, wenn die Welle trotz Lasteinwirkung in einem berßhrungslosen Zustand an fährt und nicht auf der Gleitäche des Lagers auiegt.

2.1.3 Hydrodynamische Gleitlager Hydrodynamische Gleitlager besitzen keine externe Quelle zum Druckaufbau im Schmiermittel. Der Druck wird somit selbstständig beim Betrieb aufgebaut. Die Voraussetzung dafßr muss durch das Vorhandensein eines Schmierkeils gegeben sein, der durch eine exzentrische Lage des Wellenzapfens in radialen Lagern entsteht. Aufgrund des Wegfalls einer externen Druckerzeugung ist der Aufbau verhältnismäÿig einfach. Wichtig ist aber zwingend fßr eine ausreichende Schmierstozufuhr zu sorgen, um nicht in den Mischreibungsbereich zu gelangen. Auÿerdem muss eine ausreichende Mindestdrehzahl vorhanden sein. Der Schwerpunkt dieser Arbeit liegt in der Betrachtung von hydrodynamischen Gleitlagern in radialer Bauweise. Als Schmiersto wird dabei Öl verwendet. Dieses muss die Gleitächen benetzen und an ihnen durch Adhäsion haften. Zudem muss es eine bestimmte dynamische Viskosität besitzen, es kann somit als Newtonsches Fluid angesehen werden [HB11]. Obwohl im Folgenden eine isotherme Betrachtung zugrunde liegt, soll hier die Funktion des Öls als Kßhlmittel nicht unerwähnt bleiben.

11


2 Grundlagen zu Gleitlagern

2.2 Charakterisierung von Radialgleitlagern 2.2.1 Sommerfeldzahl Das Betriebsverhalten von radialen Gleitlagern hängt von einer Vielzahl von Einussfaktoren ab. Dennoch kann ein ähnliches Verhalten beispielsweise auch bei unterschiedlichen Lagergeometrien festgestellt werden. Dies setzt jedoch auch eine veränderte Last oder Drehzahl voraus. Ein solcher Zusammenhang wird durch eine dimensionslose ÄhnlichkeitsgrÜÿe beschrieben. Sie ist als Sommerfeldzahl eingefßhrt und lässt sich durch

So =

W Ďˆ2 BD¾ω

(2.1)

ausdrßcken [GNP06]. Zur Bedeutung der verwendeten Parameter gelten die in Tabelle 2.1 aufgelisteten Bezeichnungen. Zudem setzt Abbildung 2.6 die EinussgrÜÿen in einen graschen Zusammenhang.

Bezeichnung

Formelzeichen

Last

W Ďˆ B D Âľ ω

relatives Radialspiel Lagerbreite Lagerdurchmesser dynamische Viskosität SchmierÜl Winkelgeschwindigkeit Welle

Tabelle 2.1: Bezeichnungen Sommerfeldzahl

Das relative Radialspiel lendurchmessers

DW

Ďˆ

bezieht die Dierenz des Lagerdurchmessers

R, RW

und des Wel-

auf den Lagerdurchmesser. Somit gilt, dass

Ďˆ= wobei

D

D − DW R − RW C = = , D R R

die Radien des Lagers und der Welle sind.

C

(2.2)

stellt die Dierenz dieser beiden

Radien dar. Durch die Sommerfeldzahl ist es mĂśglich Lager nach ihrem Verhalten zu charakterisieren. Trotz unterschiedlicher Geometrie besitzen zwei Lager bei einem identischen Wert fĂźr

So

das gleiche dynamische Verhalten.

In der angelsächsischen Literatur wird auch oft eine etwas abgewandelte LagerkenngrÜÿe

12


2.2 Charakterisierung von Radialgleitlagern

Abbildung 2.6: EinussgrÜÿen Sommerfeldzahl [GNP06]

verwendet [GNP06] [Sze05]. Sie ergibt sich mit dem Kehrwert der Sommerfeldzahl zu

1 BDÂľn So = = 2Ď€So W ∗

wobei die Drehzahl

n



R C

2 ,

(2.3)

Ăźber die Beziehung

ω = 2πn

(2.4)

mit der Winkelgeschwindigkeit verknĂźpft ist.

2.2.2 Geometrieklassizierung Bei der Dimensionierung von radialen Gleitlagern spielt die Geometrie eine wichtige Rolle. Dies gilt besonders, wenn bei der Auslegung auf den verfĂźgbaren Bauraum zu achten ist. Zudem wird durch die Geometrie auch das Betriebsverhalten beeinusst. Es bietet sich daher an, eine Klassizierung anhand der beiden Parameter Lagerbreite ser

D

B

und Durchmes-

vorzunehmen.

Wie Tabelle 2.2 zeigt, unterscheidet man je nach

B/D

Verhältnis zwischen den drei

Fällen Kurz-, Langlager und mittlerem Lager [Sze05]. Letzteres kann auch als nites Lager bezeichnet werden, da es endliche Abmessungen besitzt und dementsprechend sehr häug in der Praxis anzutreen ist. Kurz- und Langlager treten hingegen seltener auf. Da diese beiden Lagerarten unendlich schmal beziehungsweise unendlich breit ausfallen

13


2 Grundlagen zu Gleitlagern

kÜnnen, stellen sie akademische Sonderfälle dar. Dennoch bieten eben diese inniten Lager hilfreiche MÜglichkeiten zur Vereinfachung bei theoretischen Untersuchungen.

Lagerart Kurzlager nites Lager Langlager

Geometrie Verhältnis

B/D â&#x2030;¤ 0,25 0,25 < B/D â&#x2030;¤ 2 B/D > 2

Tabelle 2.2: Klassizierung nach Lagergeometrie [Sze05]

2.3 Kavitation 2.3.1 Physikalische Eekte Flßssigkeiten ändern ihren Aggregatzustand, wenn der zu ihrer Temperatur gehÜrende Dampfdruck erreicht oder unterschritten wird. Dies setzt eine Ürtliche Druckabsenkung voraus, welche in strÜmenden Flßssigkeiten meist durch eine erhÜhte Geschwindigkeit an Oberächenkrßmmungen hervorgerufen wird. Es tritt somit ein lokales Verdampfen der Flßssigkeit auf. Die in der Flßssigkeit entstehenden Dampfblasen werden dann aufgrund der StrÜmungsgeschwindigkeit mitgerissen und fallen an Orten, an denen der Dampfdruck wieder ßberschritten wird, implosionsartig zusammen (Abbildung 2.7). Dieser gesamte Vorgang wird als Kavitation bezeichnet [Sig09].

Abbildung 2.7: Kavitation und Ablauf des Vorgangs. A) Dampfblasenentstehung B) Implosion der Dampfblasen C) Werkstoangri und MaterialzerstĂśrung [Sig09]

Generell kann das Verdampfen einer Flßssigkeit durch Absenkung des Drucks oder ErhÜhung der Temperatur und dementsprechend Zufuhr von Wärme erreicht werden. Das Sieden setzt dann an sogenannten Verdampfungskeimen ein. Dies kÜnnen mikroskopisch kleine Luftbläschen, Wandrauigkeiten oder sonstige Verunreinigungen sein. Bei wenig vorhandenen Verdampfungskeimen wird die Dampfblasenentwicklung gehemmt. Es besteht

14


2.3 Kavitation

dann ein Siedeverzug, wobei entweder eine hĂśhere Ă&#x153;bertemperatur zum Verdampfen benĂśtigt wird, oder der Fluiddruck weiter unter den zugehĂśrigen Dampfdruck gesenkt werden muss. Verdampfungskeime benĂśtigen zu ihrer Ausbildung eine gewisse Zeit. Diese steht bei hohen StrĂśmungsgeschwindigkeiten jedoch nicht zur VerfĂźgung, was den Siedeverzug begĂźnstigen kann. FlĂźssigkeiten kĂśnnen aufgrund von Siedeverzug auch negative DrĂźcke, also Zugspannungen aufnehmen. Unter Laborbedingungen ist es so mĂśglich strĂśmendem, kaltem Wasser mit hoher chemischer Reinheit, Zugspannungen bis

250 bar

aufzuprägen.

Unter normalen Bedingungen zerreiÿt der Molekßlverband des Fluids jedoch in unmittelbarer Nähe des zur Temperatur gehÜrenden Dampfdrucks [Sig09]. Neben der Dampfkavitation spielt auch die Absorption von Gasen, meist Luft, in Flßssigkeiten eine Rolle. Dies entspricht nicht dem klassischen Kavitationsvorgang, weshalb man auch von Pseudo- oder Gaskavitation spricht [BE08]. Welche Menge Gas in einer Flßssigkeit bis zu ihrer Sättigung gelÜst werden kann hängt wiederum vom Druck und der Temperatur ab. Bei hohem Druck nimmt die absorbierbare Gasmenge zu, sie sinkt jedoch bei Temperaturanstieg. Das gelÜste Gas dehnt sich somit bei lokalem Druckabfall aus und es bilden sich Gasvolumina in der Flßssigkeit aus. Die Sättigungsgrenze wird bei abnehmendem Druck somit frßher erreicht [Sig09]. Bei Flßssigkeiten mit hohem Luftgehalt setzt die Ausscheidung von Blasen bei sinkendem Druck sehr oft schon vor der eigentlichen Dampfkavitation ein. Da entstehende Luftbläschen zusätzlich als Verdampfungskeime unterstßtzend wirken, wird die Ausbildung von Siedeverzug weitgehend kompensiert. Bei erneuter Druckzunahme lÜsen sich die Lufthohlräume jedoch nicht schlagartig in der Flßssigkeit, wie dies bei der Dampfkavitation durch implosionsartige Kondensation geschieht. Vielmehr setzt ein Dämpfungseekt ein, der zudem werkstoschonend sein kann. Reicht der Dämpfungseekt der Luftbläschen jedoch nicht aus, treten die fßr Kavitation charakteristischen Mikrojets auf [BE08]. Dies sind Flßssigkeitsstrahlen, die beim schlagartigen Zusammenfall der Dampfblasen in Wandnähe hohe Druckspitzen mit ßber

1000 bar

verursachen kĂśnnen (Abbildung 2.7 B). Dies hat

neben Geräuschen und Vibrationen auch Kavitationserosion und Wirkungsgradabfall an Maschinen zur Folge [Sig09]. Generell gilt Kavitation als komplexer Vorgang, bei dem Dampf- und Gaskavitation oftmals nicht klar voneinander trennbar sind. Mit ausschlaggebend ist der Gehalt von gelÜstem Gas und das Vorhandensein von Kavitationskeimen. Da deren Entstehung besonders an Strukturoberächen ausgeprägt ist, spielt die Wandrauigkeit eine bedeutende Rolle. Zu dem kommen auch die Berßcksichtigung der Oberächenspannung der Flßssigkeit und

15


2 Grundlagen zu Gleitlagern

deren Fähigkeit zur Wärmeleitung [BE08]. Kavitation ist demnach in hohem Maÿe vom betrachteten Fluid abhängig. Der zur jeweiligen Temperatur gehÜrende Dampfdruck von Flßssigkeiten kann Dampfdruckkurven entnommen werden. Diese liefern Hinweise, bei welchem lokalen Druck verstärkt mit Kavitation aufgrund Verdampfung zu rechnen ist. Fßr Wasser liegt beispielsweise bei

20 â&#x2014;Ś C

ein geringer Dampfdruck von

0,024 bar

vor [Sig09].

2.3.2 Auswirkung auf Radialgleitlager Das Auftreten von Kavitation im Schmiermittel von Radialgleitlagern kann sehr unterschiedlich ausfallen. Bei einer isothermen Betrachtungsweise spielen dabei Temperaturänderungen keine Rolle. In den Blickwinkel rĂźckt somit das lokale Absinken des Drucks bis der Dampfdruck bei jeweiliger Temperatur erreicht oder unterschritten wird. Der Schmierlm reiĂżt dabei auf und es entsteht eine Zwei-Phasen-StrĂśmung, wobei sich eektive StrĂśmungsquerschnitte verengen [BE08]. Die Tragfähigkeit des Schmierlms ist im Kavitationsgebiet dann nicht mehr vollständig gegeben. Abbildung 2.8 zeigt ein Radialgleitlager, mit durchsichtigen Gleitächen. Als Schmiermittel wurde dabei Ă&#x2013;l verwendet. Schwarze Flächen sind Kavitationsgebiete, an denen das Ă&#x2013;l vom unteren in den oberen Bereich des Bildes steifenfĂśrmig vorbei ieĂżt. Kavitation setzt nach dem Bereich der engsten Stelle des Schmierspalts ein. Aufgrund von Adhäsion haftet das Ă&#x2013;l sowohl an der Welle als auch an der Gleitäche. Somit liegt eine reine SchleppstrĂśmung vor, bei der der Ă&#x2013;llm nur Scherkräften ausgesetzt ist.

Abbildung 2.8: Kavitation im Ă&#x2013;llm eines Radiallagers [Tay63] [Weg78]

16


2.3 Kavitation

Abbildung 2.9: Trennung des Öllms durch Kavitation [DT79]

Eine andere experimentell nachgewiesene Ausprägung von Kavitation in Gleitlagern ist in Abbildung 2.9 schematisch dargestellt. Die Strömung reiÿt dabei so auf, dass das Schmiermittel nicht mehr mit den beiden begrenzenden Oberächen gleichzeitig in Berührung steht. Das Fluid haftet somit entweder an der Welle oder der Gleitäche des Lagers. Bei der Trennung des Öllms und des Kavitationsgebiets wird davon ausgegangen, dass die Oberächenspannung an der Grenze beider Gebiete zudem eine wichtige Rolle spielt. Dies kann bei Berücksichtigung in der Modellbildung zu einer genaueren Beschreibung führen [DT79]. Da in beiden Erscheinungsformen eine genaue Trennung von Kavitationsgebiet und Schmiermittel auszumachen ist, spricht man auch von einer inhomogenen Mehrphasenströmung. Eine solche strikte Trennung ist jedoch nicht immer möglich, was auch die Möglichkeit einer homogenen Mehrphasenströmung vermuten lässt [Bar10]. Es sei zudem erwähnt, dass auch bei radialen Gleitlagern die Möglichkeit von Kavitationserosion besteht [DT79]. Gefährdete Bereiche sind dabei Stellen, an denen sich erneut ein voller Schmierlm ausbildet. Generell kann Kavitation in Radialgleitlagern besonders im instationären Fall sehr komplexe Formen annehmen. Dies gestaltet die Modellbildung nicht immer einfach, sodass auf eine experimentelle Verikation nicht gänzlich verzichtet werden sollte.

17


2 Grundlagen zu Gleitlagern

18


3 Modellbildung radialer Gleitlager 3.1 Reynoldsgleichung Die Grundgleichung zur Modellierung des Schmierlms in radialen Gleitlagern bildet die Reynoldsgleichung. Sie ergibt sich aus den Navier-Stokes-Bewegungsgleichungen, de-

ren Herleitung über den Impulssatz an einem innitesimal kleinen Fluidelement erfolgt [ST08] [Sze05]. Für ein isothermes, inkompressibles Newton-Fluid, beispielsweise Wasser oder Schmieröl mit konstanter dynamischer Viskosität

µ,

können sie durch

  2  ∂u ∂u ∂u ∂p ∂ u ∂2u ∂2u ∂u +u +v +w =− +µ + 2 + 2 + ρfx , ρ ∂t ∂x ∂y ∂z ∂x ∂x2 ∂y ∂z    2  2 ∂v ∂v ∂v ∂p ∂ v ∂2v ∂v ∂ v ρ +u +v +w =− +µ + + + ρfy , ∂t ∂x ∂y ∂z ∂y ∂x2 ∂y 2 ∂z 2   2   ∂w ∂w ∂w ∂p ∂ w ∂2w ∂2w ∂w +u +v +w =− +µ + + + ρfz ρ ∂t ∂x ∂y ∂z ∂z ∂x2 ∂y 2 ∂z 2 

(3.1)

(3.2)

(3.3)

ausgedrückt werden. Die einzelnen Gleichungen stehen dabei für jeweils ein Kräftegleichgewicht in

ρ

x, y

und

z -Richtung

ist die Dichte des Fluids,

digkeitsvektors

v

in

x, y

eines rechtwinkligen Koordinatensystems (Abbildung 3.1).

u, v

und

und

w

sind die Komponenten eines Strömungsgeschwin-

z -Richtung.

Der Druck im Fluid ist mit

p

bezeichnet. Eine

äuÿere Feldkraft, zum Beispiel die Gravitation, wird mit den Komponenten

fx , fy

und

fz

berücksichtigt, welche die Kraft pro Masseeinheit darstellen. Eine kompaktere, vektorielle Schreibweise der Navier-Stokes-Bewegungsgleichungen ndet sich zudem oft als

 ∂v ρ + (v · ∇) v = −∇p + µ∇2 v + ρf , ∂t 

(3.4)

wobei stets für die vier unbekannten Gröÿen

p = p (x, y, z, t) ,

u = u (x, y, z, t) ,

v = v (x, y, z, t) ,

w = w (x, y, z, t)

(3.5)

gilt.

19


3 Modellbildung radialer Gleitlager

Abbildung 3.1: Skizze des Schmierlms eines Radialgleitlagers

Prinzipiell kann mit den Navier-Stokes-Gleichungen bereits eine Modellierung erfolgen, jedoch ist deren Lösung sehr komplex und nicht alle Terme haben gleich groÿen Einuss auf die Beschreibung des Schmierlms radialer Gleitlager. Geht man von einem sehr dünnen Schmierlm aus, welcher bei Radialgleitlagern in der Regel gegeben ist, weist eine Abschätzung der Reynoldszahl

Re auf die Ausprägung einer laminaren Strömung hin [Sze05]. Es

können damit die Trägheitsterme auf der linken Seite der Gleichungen (3.1)(3.3) vernachlässigt werden, da sie eher bei turbulenten Strömungen ins Gewicht fallen [Bar10] [GNP06]. Zudem sei die äuÿere Feldkraft vernachlässigbar. Es wird angenommen, dass sich die Welle nicht verkippen kann, sodass die Wellenoberäche in axialer Richtung immer parallel zur Gleitäche des Lagers ist [GNP06]. Abbildung 3.1 skizziert die geometrischen Zusammenhänge im Schmierlm. Da die Fluidlmhöhe

h = h (x, t)

ist davon auszugehen, dass Geschwindigkeitsgradienten in Gradienten in

y -Richtung

x

als klein angenommen wird und

z -Richtung

als klein ausfallen. Zudem sei die Druckänderung

die Änderung der kleinen Geschwindigkeitskomponente

v

in

gegenüber

∂p/∂y

und

y -Richtung zu vernachlässigen

[Bar10]. Es ergeben sich aus den Gleichungen (3.1)(3.3) die Vereinfachungen

∂2u ∂p = µ 2, ∂x ∂y ∂p = 0, ∂y ∂p ∂2w =µ 2. ∂z ∂y

(3.6)

(3.7)

(3.8)

Nach zweimaliger Integration von Gleichung (3.6) und (3.8) erhält man mit den Randbe-

20


3.1 Reynoldsgleichung

dingungen fĂźr die Geschwindigkeiten

u (y = 0) = 0,

w (y = 0) = 0,

(3.9)

u (y = h) = UW ,

w (y = h) = 0,

(3.10)

als Haftbedingung an festen Oberächen, die Ausdrßcke



1 â&#x2C6;&#x201A;p UW (y â&#x2C6;&#x2019; h) + 2Âľ â&#x2C6;&#x201A;x h 1 â&#x2C6;&#x201A;p w= (y â&#x2C6;&#x2019; h) y. 2Âľ â&#x2C6;&#x201A;z



u=

Die Randbedingung

UW

y,

(3.11)

(3.12)

stellt die Geschwindigkeit an der Wellenoberäche dar.

Neben den Navier-Stokes-Gleichungen wird auÿerdem die Kontinuitätsgleichung

â&#x2C6;&#x201A;u â&#x2C6;&#x201A;v â&#x2C6;&#x201A;w + + =0 â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;y â&#x2C6;&#x201A;z

(3.13)

zur weiteren Herleitung benÜtigt. Sie lässt sich in vektorieller Schreibweise auch durch

div v = 0

(3.14)

ausdrßcken. Die Kontinuitätsgleichung ergibt sich durch die Massenbilanz eines inkompressiblen Fluids (konstante Dichte

Ď )

und der Erkenntnis, dass dessen Masse innerhalb

festgelegter Systemgrenzen erhalten bleiben muss [Sze05]. Setzt man die Gleichungen (3.11) und (3.12) nach Ableiten in die Kontinuitätsgleichung (3.13) ein, kann anschlieÿend mit den Randbedingungen

v (y = 0) = 0, v (y = h) =

dh dt

(3.15) (3.16)

integriert werden [Sze05]. Die somit erhaltene Gleichung

â&#x2C6;&#x201A; â&#x2C6;&#x201A;x

    â&#x2C6;&#x201A; â&#x2C6;&#x201A;h dh 3 â&#x2C6;&#x201A;p 3 â&#x2C6;&#x201A;p h + h = â&#x2C6;&#x2019;6ÂľUW + 12Âľ â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;z â&#x2C6;&#x201A;z â&#x2C6;&#x201A;x dt

(3.17)

lässt sich mit Hilfe des totalen Dierentials

dh =

â&#x2C6;&#x201A;h â&#x2C6;&#x201A;h dt + dx â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;x

(3.18)

21


3 Modellbildung radialer Gleitlager

weiter auf die Form

â&#x2C6;&#x201A; â&#x2C6;&#x201A;x

    â&#x2C6;&#x201A; â&#x2C6;&#x201A;h â&#x2C6;&#x201A;h 3 â&#x2C6;&#x201A;p 3 â&#x2C6;&#x201A;p h + h = 6ÂľUW + 12Âľ â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;z â&#x2C6;&#x201A;z â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;t

(3.19)

bringen. Gleichung (3.19) wird als Reynoldssche Dierentialgleichung bezeichnet [Sze05]. Mit ihr ist es mĂśglich den Druckverlauf

p = p (x, z, t) im Schmierspalt radialer Gleitlager

zu bestimmen. Voraussetzung hierzu ist die Kenntnis der HĂśhenfunktion der Geschwindigkeit

UW ,

h = h (x, t)

und

die es im Folgenden weiter zu untersuchen gilt.

3.2 Modellaufbau Um die Berechnung des Druckverlaufs im Schmierspalt mit der Reynoldsgleichung (3.19) durchzufĂźhren, muss die HĂśhenfunktion

h = h (x, t)

bestimmt werden. Der Aufbau des

betrachteten Modells orientiert sich dabei stark an den in Abbildung 2.6 und Abbildung 3.1 eingefßhrten GrÜÿen. Die Krßmmung des Fluidlms sei entsprechend vernachlässigbar. Es sei an dieser Stelle noch einmal darauf hingewiesen, dass ein Verkippen der Welle hier nicht betrachtet wird. Die Wellenoberäche und die Gleitäche des Lagers seien ideal glatt, steif und in axialer Richtung stets parallel zueinander. In Abbildung 3.2 sind die geometrischen Beziehungen des Gleitlagermodells im Querschnitt stark ßberhÜht dargestellt. Der Ursprung eines inertialen fällt mit dem Lagermittelpunkt

MB

zusammen. Der Winkel

θ

X , Y -Koordinatensystems

als Laufkoordinate wird ab

der maximalen SpalthĂśhe gemessen. Die Position des Wellenmittelpunkts den Winkel

Îł

wird durch

R

lässt sich mit Glei-

(h + RW )2 = (C + RW )2 + e2 + 2 (C + RW ) e cos θ

(3.20)

und die Exzentrizität

chung (2.2) auch als

C + RW

e

MW

ausgedrĂźckt. Der Lagerradius

schreiben. Die Beziehung

folgt aus dem Kosinussatz [vdV01]. Multipliziert man Gleichung (3.20) zunächst aus und teilt dann durch

2 RW

erhält man fßr die HÜhenfunktion des Schmierspalts

h = C + e cos θ,

(3.21)

wenn alle Terme zweiter und hÜherer Ordnung vernachlässigt werden. Dies ist zulässig, da sie aufgrund der geringen tatsächlichen Abmessungen sehr klein ausfallen [vdV01]. Gleichung (3.21) lässt sich mit der auf das Spiel

22

C

bezogenen Exzentrizität

 = e/C

auch


3.2 Modellaufbau

Abbildung 3.2: Geometrische Beziehungen des Gleitlagermodells [vdV01]

als

h = C (1 +  cos θ) ausdrßcken. Da die Koordinate

θ

mit der

(3.22)

x-Koordinate

aus Gleichung (3.19) nach Abbil-

dung 3.2 Ăźber

x = Rθ zusammen hängt, kann die HÜhenfunktion als

(3.23)

h = h (θ, t)

und

h = h (x, t)

angesehen

werden. Man kann sich somit die Lagergleitäche auch als abgewickelt vorstellen, wobei dann keine Krßmmung mehr vorliegt. Es ergibt sich dann die partielle Ableitung von nach

x

h

zu

e â&#x2C6;&#x201A;h = â&#x2C6;&#x2019; sin θ. â&#x2C6;&#x201A;x R Der Winkel

Î&#x17E; = θ+Îł

sei ab der inertialen

Y -Achse

(3.24) gemessen [Sze05]. Damit ergibt sich

durch Einsetzen in Gleichung (3.21) fĂźr die SchmierspalthĂśhe

h = C + e cos (Î&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; Îł) ,

(3.25)

23


3 Modellbildung radialer Gleitlager

woraus nun die partielle Ableitung nach der Zeit

t

fĂźr einen festen Winkel

Î&#x17E;

â&#x2C6;&#x201A;h = eË&#x2122; cos (Î&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; Îł) + eÎłË&#x2122; sin (Î&#x17E; â&#x2C6;&#x2019; Îł) â&#x2C6;&#x201A;t = eË&#x2122; cos θ + eÎłË&#x2122; sin θ

durch

(3.26)

gebildet werden kann [Sze05]. Aufgrund des dĂźnnen Schmierlms gelte die Annahme

RW â&#x2030;&#x2C6; R,

da sich die beiden

Radien des Lagers und der Welle nur minimal unterscheiden [Sze05]. FĂźr die Geschwindigkeit

UW

der Wellenoberäche gelte mit Hilfe von Gleichung (3.23) somit in guter Näherung

UW â&#x2030;&#x2C6; RĎ&#x2030;.

(3.27)

Diese Vereinbarung ermĂśglicht auĂżerdem eine bequemere Betrachtung, die rein auf den Lagerradius

R

bezogen ist.

Setzt man die Gleichungen (3.24), (3.26) und (3.27) letztendlich in Gleichung (3.19) ein, erhält man die das Modell beschreibende Reynoldsgleichung fßr kreiszylindrische Lager ohne Verkippung

1 â&#x2C6;&#x201A; R2 â&#x2C6;&#x201A;θ

    â&#x2C6;&#x201A;p â&#x2C6;&#x201A; â&#x2C6;&#x201A;p h3 + h3 = â&#x2C6;&#x2019;6ÂľĎ&#x2030;e sin θ + 12Âľ (eË&#x2122; cos θ + eÎłË&#x2122; sin θ) . â&#x2C6;&#x201A;θ â&#x2C6;&#x201A;z â&#x2C6;&#x201A;z

(3.28)

Weitere Berechnungen zielen folglich auf eine LĂśsung der Reynoldsgleichung ab, um die Druckfunktion

p = p (θ, z, t)

im Schmierspalt zu erhalten. Zur Ermittlung der Druckkräfte

wird anschlieÿend ßber der Gleitlageräche integriert.

3.3 LÜsungsmethoden 3.3.1 Ocvirk KurzlagerlÜsung Die Reynoldsgleichung (3.28) ist eine partielle Dierentialgleichung deren allgemeine, geschlossene LÜsung nicht bekannt ist und daher meist numerisch erfolgt. Um jedoch auch auf analytischem Weg eine LÜsung zu erhalten, bietet sich die Ocvirk KurzlagerlÜsung an. Ihre Gßltigkeit kann fßr ein Verhältnis von

B/D â&#x2030;¤ 0,25

(siehe Tabelle 2.2) experimentell

bestätigt werden [Sze05]. Aus mathematischer Sicht wird ein innitesimal kurzes Lager betrachtet. Dies fßhrt in Umfangsrichtung zu geringeren Druckänderungen als in axialer Richtung. Die StrÜmung kann daher näherungsweise als SchleppstrÜmug angesehen werden [SA10]. Vernachlässigt man den Druckgradienten

24

â&#x2C6;&#x201A;p/â&#x2C6;&#x201A;θ = 0

in Umfangsrichtung schreibt


3.3 Lösungsmethoden

sich Gleichung (3.28) als

∂ ∂z Da

  3 ∂p h = −6µωe sin θ + 12µ (e˙ cos θ + eγ˙ sin θ) . ∂z

(3.29)

h nicht von z abhängt kann eine zweimalige Integration von p mit den Randbedingungen   B p z= = pUmg , 2   B = pUmg p z=− 2

(3.30)

(3.31)

leicht erfolgen. Die Randbedingung stellt den Umgebungsdruck

pUmg

an den beiden La-

gerenden dar. Unter Beachtung von Gleichung (3.23) ergibt sich für den Druckverlauf des Kurzlagers als Lösung der Reynoldsgleichung

  3µ  B2 2 p (θ, z, t) = 3 e sin θ (2γ˙ − ω) + 2e˙ cos θ z − + pUmg , h 4 die sich für den Sonderfall der Statik mit

e˙ = 0

und

γ˙ = 0

(3.32)

weiter zu

  3µeω B2 2 p (θ, z) = − 3 sin θ z − + pUmg h 4

(3.33)

vereinfachen lässt. Ein typischer Druckverlauf, der sich aus Gleichung (3.33) mit verschwindendem Umgebungsdruck

pUmg = 0

ergibt, ist in Abbildung 3.3 gezeigt.

Abbildung 3.3: Statischer Druckverlauf Ocvirk Kurzlager

Der Druckverlauf kann dabei als vom Lagerumfang abgewickelt verstanden werden. Man stellt fest, dass

p (θ, z)

in der Laufkoorinate

θ

über

periodisch ist. Im Intervall

[π, 2π]

25


3 Modellbildung radialer Gleitlager

nimmt der Druck aufgrund der Modellannahme eines stets vollen Schmierlms negative Werte an, es liegen also Zugspannungen in der Flßssigkeit vor. Dies ist in der Realität wegen auftretender Kavitation jedoch nicht in vollem Maÿe gegeben, was eine weitere Betrachtung erfordert. Abschlieÿend sei angemerkt, dass fßr einen hohen Umgebungsdruck

pUmg

der Druckver-

lauf parallel verschoben wird. Der kavitationsgefährdete Bereich wird dadurch geringer, da in einem kleineren Intervall von

θ

negativer DrĂźcke auftreten. Bei ausreichend hohem

Umgebungsdruck kann Kavitation sogar komplett vermieden werden.

3.3.2 Sommerfeld LanglagerlÜsung In Analogie zur Ocvirk KurzlagerlÜsung kann die Reynoldsgleichung (3.28) unter Vernachlässigung axialer Druckänderung mit

1 â&#x2C6;&#x201A; R2 â&#x2C6;&#x201A;θ

â&#x2C6;&#x201A;p/â&#x2C6;&#x201A;z = 0

als

  3 â&#x2C6;&#x201A;p h = â&#x2C6;&#x2019;6ÂľĎ&#x2030;e sin θ + 12Âľ (eË&#x2122; cos θ + eÎłË&#x2122; sin θ) â&#x2C6;&#x201A;θ

(3.34)

geschrieben werden. Dies entspricht einem langen Lager bei dem Druckgradienten in axialer Richtung weniger ins Gewicht fallen als in Umfangsrichtung. Nach Tabelle 2.2 kann fßr ein Verhältnis von

B/D > 2

die GĂźltigkeit auch hier experimentell nachgewiesen werden

[Sze05]. Tendenziell entstehen dabei im Schmierlm relativ hohe Drßcke. Es ist nun mÜglich, Gleichung (3.34) zweimal zu integrieren. Dies gestaltet sich allerdings aufgrund der Abhängigkeit der HÜhenfunktion

h

von

θ

als schwierig. Eine MĂśglichkeit

wurde jedoch von Sommerfeld Ăźber die Substitution

1 +  cos θ =

1 â&#x2C6;&#x2019; 2 1 â&#x2C6;&#x2019;  cos Ď&#x2018;

(3.35)

aufgezeigt [Sze05]. In der Literatur nden sich zudem zahlreiche Integraltafeln zur Auswertung des dynamischen Falls [Moe00]. Die auftretenden Terme sind jedoch nicht trivial und relativ unĂźbersichtlich, weshalb hier nur der statische Fall mit

eË&#x2122; = 0

und

ÎłË&#x2122; = 0

betrachtet

werden soll. Zur Ermittlung der beiden auftretenden Integrationskonstanten werden Randbedingungen benÜtigt. Diese hängen jedoch vom Umgebungsdruck

pUmg

ab. Er kann beispielsweise

in der Praxis durch eine axiale Schmiernut vorgeschrieben werden, in welcher der Druck

26


3.3 LĂśsungsmethoden

durch eine Ă&#x2013;lpumpe konstant gehalten wird [SA10]. FĂźr den Sonderfall

pUmg = 0

p (θ) = p (θ + 2Ď&#x20AC;) ,

werden

(3.36)

p (θ1 ) = p (θ1 + Ď&#x20AC;) = 0

(3.37)

als Randbedingungen gefordert [CMvL77]. Sie ergeben sich aus der Periodizität und der Bedingung, dass der Bereich positiven Drucks in einem Intervall der Breite koorinate

θ

liegt. Die GrÜÿe

statischen Fall zudem als

θ = θ1

θ1 = 0

Ď&#x20AC;

fĂźr die Lauf-

beschreibt den Beginn eines Druckbergs und kann im

gesetzt werden. Der Druckverlauf ergibt sich dementspre-

chend zu

p (θ, z) =

6ÂľĎ&#x2030; sin θ (2 +  cos θ) (2 + 2 ) (1 +  cos θ)2



R C

2 ,

(3.38)

wobei diese Gleichung nur fĂźr den statischen Sonderfall mit verschwindendem Umgebungsdruck gilt [Sze05]. In Abbildung 3.4 ist beispielhaft ein Druckverlauf dargestellt, der sich aus Gleichung (3.38) ergibt.

Abbildung 3.4: Statischer Druckverlauf Sommerfeld Langlager

Wie beim Ocvirk Kurzlager ist auch der Druckverlauf der Sommerfeld LanglagerlĂśsung in der Laufkoordinate erneut im Intervall

[Ď&#x20AC;, 2Ď&#x20AC;].

θ Ăźber 2Ď&#x20AC; periodisch. Ebenso liegt der Bereich negativen Drucks In diesem Bereich ist demnach mit Kavitation zu rechnen.

Zwar wird bei der Berechnung des Druckverlaufs mit den Randbedingungen (3.36) und (3.37) zunächst ein verschwindender Umgebungsdruck angenommen. Dennoch kann ein beliebiger Umgebungsdruck

pUmg

nachträglich durch ein additives Glied hinzugefßgt

werden. FĂźr den statischen Fall ergibt sich damit aus (3.38) der etwas allgemeinere Druck-

27


3 Modellbildung radialer Gleitlager

verlauf

6ÂľĎ&#x2030; sin θ (2 +  cos θ) p (θ, z) = (2 + 2 ) (1 +  cos θ)2



R C

2 + pUmg .

(3.39)

Dieser stellt analog zur Ocvirk KurzlagerlÜsung eine Parallelverschiebung dar [Sze05]. Der kavitationsgefährdete Bereich kann somit auch hier geringer ausfallen, da es mÜglich ist den Druck an jeder Stelle um

pUmg anzuheben. Dementsprechend lieĂże sich durch genĂźgend

hohe Umgebungsdrßcke auch bei der Sommerfeld LanglagerlÜsung Kavitation gänzlich vermeiden.

3.3.3 Numerische Approximation Da die Gßltigkeit der Ocvirk KurzlagerlÜsung und der Sommerfeld LanglagerlÜsung nicht fßr beliebige Gleitlagergeometrien experimentell nachweisbar ist, besteht der Wunsch auch eine LÜsung der vollständigen Reynoldsgleichung (3.28) als Druckverlauf

p (θ, z, t)

zu nden. Da es sich dabei um eine partielle Dierentialgleichung handelt, ergibt sich die MÜglichkeit eine LÜsung ßber numerische Verfahren anzunähern. Fßr Randwertprobleme bieten sich dazu die Methode der niten Dierenzen (FDM) und die Methode der niten Elemente (FEM) an.

LÜsungsmethoden Der Finiten Dierenzen Methode liegt die Idee zugrunde Dierentialquotienten durch Differenzenquotienten zu approximieren [GHW11]. Dazu wird die gesuchte Funktion in eine Taylorreihe entwickelt und Glieder hÜherer Ordnung vernachlässigt. Fßr die partiellen

Ableitungen des Drucks ergeben sich somit die zentralen Dierenzenquotienten

p (x + â&#x2C6;&#x2020;x, z, t) â&#x2C6;&#x2019; p (x â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2020;x, z, t) â&#x2C6;&#x201A;p (x, z, t) â&#x2030;&#x2C6; , â&#x2C6;&#x201A;x 2â&#x2C6;&#x2020;x â&#x2C6;&#x201A;p (x, z, t) p (x, z + â&#x2C6;&#x2020;z, t) â&#x2C6;&#x2019; p (x, z â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2020;z, t) â&#x2030;&#x2C6; . â&#x2C6;&#x201A;z 2â&#x2C6;&#x2020;z

(3.40) (3.41)

Das LÜsungsgebiet wird dabei in ein Raster eingeteilt, dessen Gitterpunkte durch die Abstände

â&#x2C6;&#x2020;x und â&#x2C6;&#x2020;z

gegeben sind. Die Gßte der erhaltenen LÜsung hängt zudem maÿgeblich

davon ab, wie fein das Gitter vernetzt ist. Nach Einsetzen von (3.40) und (3.41) in Gleichung (3.28) ergibt sich durch Auswertung an allen Gitterpunkten ein Gleichungssystem, das zusammen mit Randbedingungen den Druck an jedem dieser Punkte liefert. Um den Verlauf der Druckfunktion zu erhalten kann im Anschluss zwischen den LĂśsungen an den Gitterpunkten interpoliert werden.

28


3.3 LĂśsungsmethoden

Eine weitere LÜsungsmÜglichkeit mittels Approximation bietet die Finite Elemente Methode [GHW11]. Sie ist eng mit dem Verfahren von Galerkin und Ritz verwandt, welche zu den Methoden der gewichteten Residuen zählen. Die Grundidee basiert darauf eine NäherungslÜsung

p (x, z, t) â&#x2030;&#x2C6;

n X

ai ÎŚi (x, z, t)

(3.42)

i=1 in die beschreibende Dierentialgleichung (3.28) einzusetzen und den sich daraus ergebenden Fehler, das sogenannte Residuum

Râ&#x2C6;&#x2014; ,

zu minimieren. Die Koezienten

dabei zunächst beliebig. Die Ansatzfunktionen

â&#x201E;Śâ&#x2C6;&#x2014;

ÎŚi (x, z, t)

ai

seien

seien im betrachteten Gebiet

zunächst hinreichend stetig, linear unabhängig und sie erfßllen auf dem Rand

Î&#x201C;â&#x2C6;&#x2014;

alle

Bedingungen. Nun stellt man die Forderung

Z



 Râ&#x2C6;&#x2014; Ρ â&#x2C6;&#x2014; dâ&#x201E;Śâ&#x2C6;&#x2014; = 0,

(3.43)

â&#x201E;Śâ&#x2C6;&#x2014; wodurch das mit der Wichtungsfunktion

Ρâ&#x2C6;&#x2014;

gewichtete Residuum im Mittel des Gebiets

verschwindet. Die Wichtungsfunktion bestehe ebenfalls aus einem Satz linear unabhängiger Funktionen

â&#x2C6;&#x2014;

Ρ (x, z, t) =

n X

bj ÎŚj (x, z, t)

(3.44)

j=1 mit beliebigen Koezienten Gleichungen fĂźr

n

bj .

Aus diesen Eigenschaften folgen aus Gleichung (3.43)

unbekannte Koezienten

Z



ai

 Râ&#x2C6;&#x2014; ÎŚj (x, z, t) dâ&#x201E;Śâ&#x2C6;&#x2014; = 0,

n

des Ansatzes (3.42) zu

j = 1, . . . , n.

(3.45)

â&#x201E;Śâ&#x2C6;&#x2014; Es bietet sich dabei auch zur erleichterten Schreibweise an, wenn die Funktionen Ansatzfunktionen

ÎŚi

ÎŚj

den

entsprechen (Galerkin-Verfahren).

Die Anforderungen an die Ansatzfunktionen sind hoch: Sie mĂźssen zum einen alle Randbedingungen erfĂźllen und bei einer Dierentialgleichung

2m-ter

Ordnung

(2m â&#x2C6;&#x2019; 1)-mal

stetig dierenzierbar sein. Es ist jedoch mÜglich diese hohen Anforderungen durch partielle Integration herabzusetzen. Dies erfolgt unter Berßcksichtigung dynamischer Randbedingungen, beispielsweise Randkräfte oder Randmomente bei Untersuchungen im Themengebiet der Festigkeitslehre. Die somit erhaltenen Integrale werden auch beim Verfahren von Ritz ßber Energieprinzipien gefunden, wenn die dabei benutzten Variationsfunktionale einen Stationärwert erreichen. Man spricht dann auch von einer schwachen Formulie-

29


3 Modellbildung radialer Gleitlager

Abbildung 3.5: HĂźtchenfunktion als Ansatzfunktionen der FEM [GHW11]

rung [GHW11]. Nach dem Herabsetzen der Anforderungen an die Ansatzfunktionen ist es nun mĂśglich auch abschnittsweise denierte Funktionen zu verwenden, die jedoch nicht mehr so oft differenzierbar sein mĂźssen. Ein prominentes Beispiel fĂźr die Approximation eindimensionaler LĂśsungen stellen die in Abbildung 3.5 gezeigten HĂźtchenfunktionen dar. Das betrachtete Gebiet wird dabei in

n

Teilbereiche unterteilt, die als nite Elemente bezeichnet werden.

Bei partiellen Dierentialgleichungen werden hierzu in der Regel dreieckige Elementformen verwendet. Es ist zu beachten, dass aufgrund der bereichsweise denierten Ansatzfunktionen auszufßhrende Integrationen auch bereichsweise erfolgen [GHW11]. Die Gßte der LÜsung hängt dementsprechend von der Wahl geeigneter Ansatzfunktionen

ÎŚi

ab. Diese mĂźssen vorgegeben werden. Die LĂśsungsgĂźte kann durch den Parameter

n

verbessert werden, indem das betrachtete Gebiet folglich in mĂśglichst viele nite Elemente aufgeteilt wird. Der Berechnungsaufwand kann bei vielen niten Elementen mit hohen Werten fĂźr

n

jedoch beträchtlich ansteigen, sodass zudem die Leistung der verwendeten

Rechner in den Blickpunkt rĂźckt. Heutzutage liegt eine Vielzahl von kommerziellen Finite Elemente Softwarepaketen vor. Nach der Vorgabe der beschreibenden Dierentialgleichungen, der Randbedingungen und der Geometrie durch den Anwender, besitzen die Softwareprogramme in der Regel die MĂśglichkeit den Vernetzungsprozess (Meshing) in nite Elemente automatisch durchzufĂźhren. Es kĂśnnen zwar Ansatzfunktionen vorgegeben werden, die Umwandlung in die schwache Form und die LĂśsung des Gleichungssystems zur Ermittlung der Koezienten

ai

erfolgt jedoch nicht oen ersichtlich im Programmkern. Der praktische Umgang mit FEM Software kann daher oftmals mit dem Black Box Begri aus der Systemtheorie beschrieben werden.

30


3.3 LĂśsungsmethoden

AbschlieĂżend sei angemerkt, dass die in dieser Arbeit gemachten Untersuchungen mit der FEM Simulationssoftware nungsprogramm

MATLAB

COMSOL Multiphysics

durchgefĂźhrt und mit dem Berech-

aufbereitet wurden.

Anwendung auf nite Gleitlager Zur LÜsung der vollständigen Reynoldsgleichung (3.28) kann prinzipiell jede Lagergeometrie verwendet werden. Zur besseren Unterscheidung zwischen der Kurz- und LanglagerlÜsung wird im Folgenden nach Tabelle 2.2 jedoch beispielhaft ein Verhältnis von

B/D = 1

fĂźr ein nites Gleitlager betrachtet. Die Randbedingungen ergeben sich in axialer Richtung aus den Gleichungen (3.30) und (3.31). Der Umgebungsdruck

pUmg

wird zunächst zu

Null gesetzt, um in Umfangsrichtung die Randbedingungen (3.36) und (3.37) vorgeben zu kĂśnnen. Wie bei der LanglagerlĂśsung wird fĂźr den statischen Fall neben der Winkel

θ1 = 0

eË&#x2122; = 0

und

ÎłË&#x2122; = 0

gesetzt. Als Ergebnis der statischen nite Elemente Berechnung erhält

man als typische LĂśsung den in Abbildung 3.6 gezeigten Druckverlauf

p (θ, z).

Abbildung 3.6: Statischer Druckverlauf nites Lager

Es ist im Anschluss mĂśglich den Druckverlauf entlang der

p-Achse

in positive Rich-

tung zu verschieben, was der Aufprägung eines von Null verschiedenen Umgebungsdrucks entspricht. Auallend ist, dass auch die FE-LÜsung negative Drßcke liefert, da von einem vollen Schmierlm ausgegangen wird. Die LÜsung der Reynoldsgleichung (3.28) liefert somit mit den bisher getroenen Randbedingungen keine physikalisch befriedigenden Ergebnisse. Das Aufreiÿen des Schmierlms aufgrund von Kavitation wird dabei nicht berßcksichtigt und bedarf weiteren Untersuchungen.

31


3 Modellbildung radialer Gleitlager

3.4 Mathematische Kavitationsmodelle 3.4.1 Gümbel Randbedingung und Halb-Sommerfeld-Lösung In experimentellen Untersuchungen kann festgestellt werden, dass der Druck im Kavitationsgebiet

pKav

bei konstanter Belastung keinen gravierenden Veränderungen unterliegt

[SA10]. Es liegt daher nahe auch in der Modellbildung des Schmierlms einen konstanten Druck in Bereichen anzunehmen, in denen verstärkt Zugspannungen zu erwarten sind. Bei den Druckverläufen, die sich aus der Lösung der Reynoldsgleichung (3.28) ergeben,

Abbildung 3.7: Statischer Druckverlauf Ocvirk Kurzlager mit Gümbel Randbedingung

werden somit Drücke unterhalb eines bestimmten Niveaus vernachlässigt und als konstant gesetzt. Die Wahl dieser Druckniveaugrenze hängt vom Siedeverzug des Schmiermittels ab. Es sind dementsprechend in begrenztem Maÿe auch negative Drücke denkbar. Wird die Druckniveaugrenze zu

pKav = pUmg = 0

gesetzt, so erhält man die in den Abbildun-

gen 3.73.9 gezeigten Druckverläufe für die Kurz-, Langlagerlösung und die Lösung des niten Lagers. Vorausgesetzt wird hierzu eine stationäre Betrachtungsweise. Da der Bereich in dem positive Drücke auftreten nun im Intervall dinate

θ

[0, π]

der Laufkoor-

liegt, spricht man auch von der Halb-Sommerfeld-Lösung. Die Gümbel Rand-

bedingung an der Stelle

θ = θ2 = π

beschreibt den Kavitationsrand, also den Ort, an

dem Kavitation einsetzt und der das Ende eines Druckbergs markiert. Wird ein von Null verschiedener Umgebungsdruck

pUmg

aufgeprägt, der Druck im Kavitationsgebiet aber mit

pKav = 0 angenommen, so verschiebt sich wegen der Parallelverschiebung des Druckverlaufs auch der Kavitationsrand. Ein Nachteil der Halb-Sommerfeld-Lösung liegt darin, dass sie die Kontinuitätsglei-

32


3.4 Mathematische Kavitationsmodelle

Abbildung 3.8: Statischer Druckverlauf Sommerfeld Langlager mit Gümbel Randbedingung

chung und damit die Massenerhaltung verletzt. Trotz abgeschnittener negativer Drücke geht das Modell im gesamten Lösungsgebiet von einem vollständig mit Schmiermittel gefüllten Spalt aus. Dies liegt in der Realität jedoch nicht vor. Zudem ist der Übergang des Druckverlaufs am Kavitationsrand nicht mehr stetig [Bar10]. Der groÿe Vorteil dieser Methode liegt neben der einfachen Umsetzung jedoch darin, dass sie sowohl für den statischen, als auch den dynamischen Fall ohne Unterscheidung leicht angewendet werden kann.

Abbildung 3.9: Statischer Druckverlauf nites Lager mit Gümbel Randbedingung

Es zeigt sich, dass der Kavitationsrand in Abbildung 3.9 für Stelle

θ= π

z =0

nicht exakt an der

zu nden ist. Dies liegt am approximativen Charakter der FE-Lösung. Da die

Knoten des nite Elemente Gitters nicht exakt auf dem Kavitationsrand liegen entsteht ein geringer Versatz der Nullstelle des Druckverlaufs. Bei der Wahl eines feineren Netzes kann

33


3 Modellbildung radialer Gleitlager

jedoch gezeigt werden, dass der Kavitationsrand tatsächlich bei

θ=Ď&#x20AC;

liegt und damit die

GĂźmbel Randbedingung beim niten Lager identisch zur Kurz- und LanglagerlĂśsung ist.

3.4.2 Reynolds Randbedingung und Penaltymethode Um eine Verbesserung gegenĂźber der Halb-Sommerfeld-LĂśsung zu erzielen wird mittels Reynolds Randbedingungen versucht, einen glatten Ă&#x153;bergang des Druckverlaufs am Kavitationsrand zu erzwingen. Eine solche Annahme beschreibt hinsichtlich dynamischer Simulationen annähernd genau das experimentelle Verhalten der in Abbildung 2.8 gezeigten steifenfĂśrmigen Kavitation [DT79]. Da eine reine SchleppstrĂśmung vorliegt kann davon ausgegangen werden, dass die Annahme konstanten Drucks im Kavitationsgebiet zutreen ist. Zu beachten ist, dass auch bei der Reynolds Randbedingung nicht das AufreiĂżen des Schmierlms berĂźcksichtigt wird, wodurch im strengen Sinne die Massenkontinuität im Kavitationsgebiet verletzt ist [Bar10]. Die Beseitigung der Unstetigkeitsstelle im Druckverlauf stellt dennoch eine erhebliche Verbesserung dar. Eine allgemeine Formulierung der Reynolds Randbedingung kann als

â&#x2C6;&#x201A;p â&#x2C6;&#x201A;p = = 0, â&#x2C6;&#x201A;θ â&#x2C6;&#x201A;z

p = pKav

(3.46)

erfolgen [DT79]. Diese Randbedingungen sollen am Kavitationsrand

θ = θ2 (z)

gelten.

Dessen genaue Lage ist jedoch zunächst unbekannt: Es liegt ein freies Randwertproblem vor.

Anwendung auf Sommerfeld Langlager Bei niten Lagern gilt im allgemeinen Fall fĂźr den Kavitationsrand

θ2 = θ2 (z). Diese axia-

le Abhängigkeit entfällt beim Sommerfeld Langlager, was die Ermittlung des Druckverlaufs mit der Reynolds Randbedingung (3.46) vereinfacht [Sze05]. Ausgehend von Gleichung (3.34) werden zunächst zugunsten einer stationären Betrachtungsweise die Zeitableitungen

eË&#x2122; = 0

und

verschwindend mit

ÎłË&#x2122; = 0

gesetzt. AuĂżerdem sei der Umgebungs- und Kavitationsdruck

pUmg = 0

und

pKav = 0

angenommen.

Die geforderten Randbedingungen lassen sich zudem aus Gleichung (3.46) spezischer

34


3.4 Mathematische Kavitationsmodelle

durch

p (θ = θ1 ) = 0,

(3.47)

p (θ2 â&#x2030;¤ θ â&#x2030;¤ 2Ď&#x20AC;) = 0,

dp

=0 dθ

(3.48) (3.49)

θ=θ2

ausdrĂźcken [Sah05]. Aus der Annahme, dass der Beginn des Druckbergs an der breitesten Stelle des Schmierlms liegt ergibt sich im statischen Fall

θ1 = 0 .

Es kann auĂżerdem

experimentell gezeigt werden, dass diese Position des Druckberganfangs nicht kritisch in Bezug auf einen Versuchsabgleich ist [SA10]. FĂźr das Ende des Druckbergs und damit auch fĂźr den Kavitationsrand gilt

θ2 > Ď&#x20AC; .

Der genaue Ort

θ2

ist jedoch zu Beginn noch nicht

vorgegeben. Um den Druckverlauf

p (θ, z)

zu erhalten wird Gleichung (3.34) zweimal unter Zuhil-

fenahme der Sommerfeld Substitution (3.35) integriert. Die beiden auftretenden Integrationskonstanten werden Ăźber die Randbedingungen (3.47) und (3.49) bestimmt. Der Druckverlauf ergibt sich anschlieĂżend zu

p (θ, z) =

C 2 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 wobei

Ď&#x2018;2

!  2 + 2 Ď&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; 4 sin Ď&#x2018; + 2 sin Ď&#x2018; cos Ď&#x2018;  Ď&#x2018; â&#x2C6;&#x2019;  sin Ď&#x2018; â&#x2C6;&#x2019; , 2 1 +  cos (Ď&#x2018;2 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x20AC;)

6ÂľĎ&#x2030;R2 3

2

Ăźber die Substitution (3.35) dem Winkel

θ2

(3.50)

entspricht [Sah05]. Wird die Rand-

bedingung (3.48) in Gleichung (3.50) eingesetzt, ergibt sich

 (sin Ď&#x2018;2 cos Ď&#x2018;2 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2018;2 ) + 2 (sin Ď&#x2018;2 â&#x2C6;&#x2019; Ď&#x2018;2 cos Ď&#x2018;2 ) = 0 zur Bestimmung von

Ď&#x2018;2

in Abhängigkeit von der dimensionslosen Exzentrizität

[Sze05]. Tabelle 3.1 listet Werte fĂźr Damit ist der Druckverlauf

Ď&#x2018;2

und

θ2

(3.51)



bei unterschiedlicher Exzentrizität

[Sah05]



auf.

p (θ, z) bestimmt und kann nach Rßcksubstitution dargestellt

werden. Abbildung 3.10 zeigt beispielhaft fßr eine dimensionslose Exzentrizität

 = 0,5

einen Druckverlauf, der mit der Reynolds Randbedingung erstellt wurde. Es ist zu erkennen, dass an der Stelle

θ = θ2

nun ein glatter Ă&#x153;bergang des Druckverlaufs erscheint.

Zudem wird das Druckmaximum im Vergleich zur Halb-Sommerfeld-LĂśsung etwas angehoben. Das hier gezeigte Vorgehen stellt einen Sonderfall dar. Es kann nicht auf das Ocvirk Kurzlager angewendet werden, da in Gleichung (3.29) Ableitungen in Umfangsrichtung ver-

35


3 Modellbildung radialer Gleitlager

nachlässigt wurden. Es ist dann nicht mehr mÜglich Randbedingungen wie Gleichung (3.49) vorzugeben. Auch muss bei einem von Null verschiedenen Umgebungsdruck vitationsdruck

pKav

pUmg

und Ka-

eine Anpassung des oben aufgezeigten Verfahrens erfolgen. Dies gilt

ebenso fĂźr den dynamischen Fall, der jedoch aufgrund der auftretenden Integrale schwer zu handhaben ist.



Ď&#x2018;2 /rad

θ2 /rad

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9

4,44510 4,39769 4,35099 4,30484 4,25905 4,21346 4,16785 4,12203 4,07574

4,34974 4,21195 4,08021 3,95451 3,83438 3,71892 3,60645 3,49369 3,37195

Tabelle 3.1: Werte fĂźr Kavitationsrand der Reynolds Randbedingung [Sze05]

Abbildung 3.10: Statischer Druckverlauf Sommerfeld Langlager mit Reynolds Randbedingung

Anwendung auf nite Lager mittels Penaltymethode Da die Ermittlung des Druckverlaufs mittels Reynolds Randbedingung fßr das Sommerfeld Langlager an diverse Einschränkungen gebunden ist, bietet sich das Penaltyverfahren

an, um eine LĂśsung der Reynoldsgleichung (3.28) ohne Unstetigkeitsstelle am Kavitationsrand

36

θ = θ2 (z)

zu erhalten. Die Penaltymethode kann dabei fĂźr beliebige Geometrien


3.4 Mathematische Kavitationsmodelle

niter Lager angewendet werden und liefert auch im dynamischen Fall glatte Druckverläufe. Aus mathematischer Sicht unterliegt das Problem der Nebenbedingung, dass Drücke aus der Lösung der Reynoldsgleichung nicht unter ein bestimmtes Niveau fallen sollen. Um Unstetigkeitsstellen wie bei der Halb-Sommerfeld-Lösung zu vermeiden, wird nun durch eine sogenannte Regularisierung versucht die Nebenbedingungen abzuschwächen [Het08]. Die Nebenbedingungen stellen dabei eine Restriktion dar, werden jedoch durch die Regularisierung angenähert. Dadurch wird schlieÿlich die Reynolds Randbedingung approximiert [Dep09]. Die Grundlage für die Berechnung des Druckverlaufs im Schmierspalt niter Gleitlager bildet die Methode der niten Elemente. Um die Anforderungen der Ansatzfunktionen herabsenken zu können, ist die Berechnung einer schwachen Form erforderlich. Diese wird beispielsweise beim Verfahren von Ritz aus Variationsfunktionalen ermittelt. Sie stellen Potentiale dar, die sich aus Energieprinzipien ergeben [GHW11]. Zu diesen Potentialen wird nun die Potentialfunktion

Z 

Π =

 2 1 kP min (0, p) dΩ∗ 2

(3.52)

Ω∗ hinzugefügt [Bat02] [Het08]. Sie ähnelt dem Potential einer einseitigen Feder mit der Federsteigkeit

kP .

Dabei gilt

 0 min (0, p) = p

, für

p > 0,

, für

p ≤ 0.

(3.53)

Dies stellt sicher, dass die Potentialfunktion (3.52) nur Auswirkung auf negative Drücke hat. Auftretende negative Drücke werden somit bei geeigneter Wahl des Faktors

kP beliebig

angehoben. Der Name Penaltymethode erklärt sich aus der Addition des Strafterms. Nach Unterschreiten eines festgesetzten Niveaus werden durch ihn Drücke in Abhängigkeit des Penaltyfaktors

kP

bestraft, indem sie erhöht werden.

Anschaulicher wird das Verfahren, wenn man es auf das Themengebiet der Festigkeitslehre oder Kontaktmechanik überträgt. Eine physikalische Interpretation ergibt sich aus der Tatsache, dass sich Festkörper nicht durchdringen dürfen. Zwangskräfte werden dabei durch eine zusätzliche Potentialfunktion approximiert. Der Federcharakter lässt sich durch die Steigkeit der mikroskopischen Kontaktschicht interpretieren [Het08]. Da die schwache Form beim Verfahren von Ritz über den Stationärwert der auftretenden

37


3 Modellbildung radialer Gleitlager

Potentiale gefunden wird, muss auch Gleichung (3.52) nach dem Freiheitsgrad

p abgeleitet

werden [GHW11]. Die Ausgangsgleichung für die Lösung mittels Finiter Elemente lässt sich dementsprechend so formulieren, dass die Reynoldsgleichung (3.28) zu

1 ∂ R2 ∂θ

    ∂p ∂ ∂p h3 + h3 = kP min (0, p) − 6µωe sin θ + 12µ (e˙ cos θ + eγ˙ sin θ) ∂θ ∂z ∂z

(3.54)

umgeschrieben wird [Dep09]. Es zeigt sich die typische Eigenschaft, dass die Systemgleichung direkt vom Penaltyfaktor

p (θ, z, t)

kP

abhängt. Somit ist zu erwarten, dass auch die Lösung

von diesem Parameter abhängt [Het08].

Zunächst gilt Gleichung (3.54) jedoch nur für einen Kavitationsdruck Druckniveau kann jedoch durch geeignete Wahl von

kP

pKav = 0.

Dieses

unterschritten werden, wodurch

Siedeverzug berücksichtigt wird. Ausschlaggebend für die Güte der Lösung ist somit der Penaltyfaktor

kP .

Eine ungeschickte Wahl dieses Parameters kann bei der FEM zu nume-

rischen Schwierigkeiten führen [Bat02]. Es kann damit notwendig sein den Faktor an sich verändernde Parameterkongurationen anzupassen. Die Wahl der Randbedingungen in axialer Richtung erfolgt nach den Gleichungen (3.30) und (3.31). In Umfangsrichtung bleibt die Periodizität (3.36) für den Druckverlauf erhalten. Für den statischen Fall mit

e˙ = 0

Sommerfeld Langlager die Bedingung

und

γ˙ = 0

θ1 = 0 .

gelte zudem in analoger Weise zum

Es wird damit angenommen, dass der

Beginn des Druckbergs an der breitesten Schmierlmstelle liegt [SA10]. Somit können die Randbedingungen für den statischen Fall als

p (θ) = p (θ + 2π) ,

(3.55)

p (θ1 = 0) = pUmg

(3.56)

vorgegeben werden können. Für den dynamischen Fall, bei dem keine verschwindenden Geschwindigkeiten

e˙ 6= 0

und

γ˙ 6= 0

gegeben sind, liege anstelle Gleichung (3.56) die

periodische Randbedingung

∂p

∂p

= ∂θ θ=0 ∂θ θ=2π

(3.57)

vor. Dies geschieht in Anlehnung an das dynamische Verhalten des Ocvirk Kurzlagers. Zusätzlich folgt aus der Symmetrie, dass für die Ableitung

∂p/∂z = 0 bei z = 0 gilt [vdV01].

Als Beispiele zweier Druckverläufe eines niten Lagers mit

B/D = 1, welche mittels Pen-

altymethode gefunden wurden seien die Abbildungen 3.11 und 3.12 angeführt. Ihnen liegen eine statische Betrachtungsweise und verschwindende Drücke

38

pUmg = pKav = 0

zugrunde,


3.4 Mathematische Kavitationsmodelle

Abbildung 3.11: Statischer Druckverlauf nites Lager. Penaltyfaktor

einzig der Penaltyfaktor

kP

kP = 10−10 .

wurde unterschiedlich gewählt. In Abbildung 3.11 können ne-

gative Drücke physikalisch als Siedeverzug interpretiert werden. Eine Approximation der Reynolds Randbedingung zeigt sich hingegen in Abbildung 3.12. Zudem kann festgestellt

werden, dass das Druckmaximum beim Anheben negativer Drücke steigt und im Vergleich zum Halb-Sommerfeld-Lösung höher liegt. Der Vorteil der Penaltymethode liegt in der einfachen Implementierung zur Auswertung durch nite Elemente [Dep09]. Es ist möglich sowohl statische, als auch dynamische Druckverläufe zu berechnen. Hierbei konvergiert die Lösung mit der Penaltymethode für steigende

kP

gegen die Lösung für die Reynolds Randbedingung. Selbst Siedeverzug des

Schmiermittels kann berücksichtigt werden. Dennoch hängt das Gelingen der Methode stark von der Wahl des Penaltyfaktors

kP

ab. Es ist daher unabdingbar diesen Parameter

vor allem in dynamischen Simulationen zu überprüfen und gegebenenfalls anzupassen.

Abbildung 3.12: Statischer Druckverlauf nites Lager. Penaltyfaktor

kP = 10−7 .

39


3 Modellbildung radialer Gleitlager

3.4.3 Elrod Kavitation Um die Massenkontinuität im Kavitationsgebiet zu erfßllen, wurden von Coyne und Elrod Untersuchungen zur Trennung von Schmiermittel und Kavitationsgebiet durchgefßhrt.

Dabei spielt unter Anderem die Modellvorstellung aus Abbildung 2.9 eine Rolle. Sie fĂźhrt zu Randbedingungen, in denen die Oberächenspannung explizit als Parameter berĂźcksichtigt wird. Ă&#x201E;hnliche Untersuchungen gehen auch auf Floberg zurĂźck. Dabei wird gezeigt, dass der Druckverlauf im Schmiermittel einen gewissen Unterdruckbereich beinhaltet, was ebenfalls fĂźr eine mĂśgliche Relevanz der Oberächenspannung in Bezug auf Siedeverzug spricht [DT79]. Die erhaltenen Randbedingungen sind jedoch schwer in numerischen Berechnungen implementierbar [Sze05]. Aus diesem Grund wurde von Elrod ein Kavitationsalgorithmus entwickelt. Die StrĂśmung wird dabei als homogene ZweiphasenstrĂśmung angesehen. Sie besitzt eine homogene Mischdichte fĂźr Schmiersto, Gas und Dampf [Bar10]. Beim Elrod Kavitationsmodell wird die Annahme inkompressiblen Schmiermittels im Kavitationsgebiet fallen gelassen. Um die Massenerhaltung zu gewährleisten wird bei der Herleitung der Kontinuitätsgleichung Ăźber eine Massenbilanz die mittlere Dichte

Ď als ver-

änderlich berßcksichtigt. Somit ergibt sich aus Gleichung (3.13) die Kontinuitätsgleichung

â&#x2C6;&#x201A;Ď â&#x2C6;&#x201A; (Ď u) â&#x2C6;&#x201A; (Ď v) â&#x2C6;&#x201A; (Ď w) + + + =0 â&#x2C6;&#x201A;t â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;y â&#x2C6;&#x201A;z

(3.58)

fĂźr kompressible Fluide [Sze05]. In der Literatur ndet man sie auch oft in vektorieller Schreibweise

â&#x2C6;&#x201A;Ď + div (Ď v) = 0. â&#x2C6;&#x201A;t

(3.59)

Analog zu Abschnitt 3.1 ergibt sich damit aus den Navier-Stokes-Bewegungsgleichungen fĂźr radiale Gleitlager die Gleichung

â&#x2C6;&#x201A; â&#x2C6;&#x201A;x

    â&#x2C6;&#x201A; â&#x2C6;&#x201A; (Ď h) â&#x2C6;&#x201A; (Ď h) 3 â&#x2C6;&#x201A;p 3 â&#x2C6;&#x201A;p Ď h + Ď h = 6ÂľUW + 12Âľ . â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;z â&#x2C6;&#x201A;z â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;t

(3.60)

Sie wird als Reynoldsgleichung fßr kompressible Fluide bezeichnet [Sze05]. Dabei wurde wegen Gleichung (3.7) die Unabhängigkeit des Drucks berßcksichtigt. Dies gilt ebenso fßr die Dichte ßber den Kompressionsmodul

β

von der Koordinate

da der Druck

p

und die Dichte

y Ď

in Beziehung stehen. Er ist durch

β = â&#x2C6;&#x2019;V

40

Ď 6= Ď (y),

p 6= p (y)

dp dV

(3.61)


3.4 Mathematische Kavitationsmodelle

gegeben und bei Festkörpern eng mit dem Elastizitätsmodul und der Querkontraktionszahl verbunden [Dem08]. Durch ihn lässt sich ein Zusammenhang zwischen dem Druck Fluids und dessen Volumen onsmodul

β

V

p

eines

herstellen. In realen Flüssigkeiten besitzt der Kompressi-

keinen konstanten Wert und ist zudem von der Temperatur abhängig [Gro08].

Zugunsten einer isothermen Betrachtung soll hier jedoch nommen werden. Es sei angemerkt, dass

β

β

linearisiert als Konstante ange-

nicht mit dessen Kehrwert, der Kompressibilität

verwechselt werden darf [Dem08]. Nach Trennung der Veränderlichen ergibt sich aus Gleichung (3.61) schlieÿlich

 p = pKav + β ln als Beziehung zwischen dem Druck

pKav

ρ

 (3.62)

ρKav

p und der Dichte ρ des vollen Schmierlms. Dabei stellt

einen konstanten Druck im Kavitationsgebiet und

ρKav

eine konstante Referenzdichte

bei gerade einsetzender Kavitation dar. Im Folgenden wird die Substitution

φ=

ρ ρKav

(3.63)

als Dichteverhältnis verwendet. Durch sie ist die Kenntnis der Dichten selbst nicht mehr erforderlich. Im Kavitationsgebiet kann

φ zudem als Spaltfüllungsgrad interpretiert werden

[Sze05] [Bar10]. Da im Kavitationsgebiet ein konstanter Druck Druckänderungen

∂p/∂x = ∂p/∂z = 0

pKav

angenommen wird können hierbei

in Axial- und Umfangsrichtung vernachlässigt wer-

den. Im Kavitationsgebiet verändert sich Gleichung (3.60) daher zu

UW ∂ (ρh) ∂ (ρh) + = 0. 2 ∂x ∂t

(3.64)

Um die beiden Gleichungen (3.60) und (3.64) miteinander zu verknüpfen wird die Schalterfunktion

 1 g (φ) = 0

,

p ≥ pKav , φ ≥ 1

im vollen Schmierlm,

,

p = pKav , φ < 1

im Kavitationsgebiet

(3.65)

eingeführt. Mit ihr lässt sich Gleichung (3.62) als

p = pKav + g (φ) β ln φ

(3.66)

41


3 Modellbildung radialer Gleitlager

umschreiben. Letztendlich folgt aus Gleichung (3.60)

â&#x2C6;&#x201A; â&#x2C6;&#x201A;x



βh3 â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x2020; g (Ď&#x2020;) 12Âľ â&#x2C6;&#x201A;x



â&#x2C6;&#x201A; + â&#x2C6;&#x201A;z



βh3 â&#x2C6;&#x201A;Ď&#x2020; g (Ď&#x2020;) 12Âľ â&#x2C6;&#x201A;z

 =

UW â&#x2C6;&#x201A; (Ď&#x2020;h) â&#x2C6;&#x201A; (Ď&#x2020;h) + 2 â&#x2C6;&#x201A;x â&#x2C6;&#x201A;t

(3.67)

als massenerhaltende Reynoldsgleichung [Sze05] [Bar10]. Eine LĂśsung dieser Dierentialgleichung erfolgt somit nicht mehr nach dem Druck nis

Ď&#x2020;.

p,

sondern nach dem Dichteverhält-

Liegt eine LĂśsung vor, kann diese mittels Gleichung (3.66) in einen Druckverlauf

umgerechnet werden. Die modizierte Reynoldsgleichung (3.67) besitzt die gleiche Struktur, wie viele in der Wärme- und Stoßbertragung behandelte Dierentialgleichungen und wird auch als Konvektions-Diusionsgleichung bezeichnet. Auf der linken Seite der Gleichung liegen Diffusionsterme vor, auf der rechten bis auf instationäre Ableitungen Konvektionsterme. Bedingt durch die Schalterfunktion

g (Ď&#x2020;)

erhält die Gleichung im Kavitationsgebiet einen

rein konvektiven Charakter. Wenn insgesamt ein konvektionsdominiertes KonvektionsDiusionsproblem vorliegt, kann dies bei der LÜsung mittels FDM oder FEM zu numerischer Instabilität fßhren. Insbesondere Diskontinuitäten in der exakten LÜsung, sogenannte Schockfronten, kÜnnen bei der Approximation zu physikalisch unsinnigen Oszillationen fßhren [Pap98]. Um eine rechenintensive Netzverfeinerung zu umgehen bieten sich numerische Stabilisierungsverfahren an. Je nach Wahl hängen diese meist von der PÊclet-Zahl

P e = P e (hchar ) ab: Sie stellt zum

einen Konvektions- und Diusionskoezienten ins Verhältnis und hängt von einer charakteristischen Länge

hchar

ab. Diese Länge kann in der FDM beispielsweise der Abstand

â&#x2C6;&#x2020;x

der Gitterpunkte sein oder sich in der FEM auf den niten Elementdurchmesser beziehen. Somit ist die PÊclet-Zahl eine GrÜÿe, welche unter anderem eng mit der Netzfeinheit zusammenhängt. In der FDM ist das sogenannte Upwind-Dierencing ein ßbliches Schema zur numerischen Stabilisierung: statt zentralen Dierenzenquotienten werden dabei hintere Dierenzenquotienten verwendet. Dies lässt sich als Hinzufßgen kßnstlicher Diusion interpretieren [Dep09]. Auch fßr die Gleitlagermodellierung wurde dieses Verfahren erfolgreich entwickelt, wobei sogar mittels Schalterfunktion

g (Ď&#x2020;)

ein Wechsel zwischen zentralen und

hinteren Dierenzenquotienten mÜglich ist [Sze05]. Ebenso liegen unterschiedliche Stabilisierungsverfahren zum Einbringen kßnstlicher Diffusion fßr die FEM vor. Eine einfache Methode ist zusätzliche Diusionsterme zur Konvektionsgleichung (3.64) beizufßgen. Dadurch wird jedoch das Originalproblem gestÜrt und es

42


3.4 Mathematische Kavitationsmodelle

Abbildung 3.13: Wichtungsfunktionen fĂźr Petrov-Galerkin-Verfahren [Pap98] a) Galerkin-Verfahren b), c) Petrov-Galerkin-Verfahren

kĂśnnen Ăźberdiusive LĂśsungen entstehen, denen es an Konsistenz magelt [Pap98]. Daher sei die Methode der Schockaufname (Shock-Capturing) kurz beleuchtet. Sie basiert auf dem Petrov-Galerkin-Verfahren, bei dem Ansatz- und Wichtungsfunktionen unterschied-

lich ausfallen. Ă&#x201E;hnlich dem Upwind-Dierencing werden die Wichtungsfunktionen

ÎŚj

so

gewählt, dass sie stromaufwärts tendenziell im niten Element hÜhere Werte belegen. Abbildung 3.13 zeigt einige Beispiele (vergleiche Abbildung 3.5). Die Wichtungsfunktionen kÜnnen durch einen Faktor von der PÊclet-Zahl

Pe

δPG

angepasst werden, dessen optimale Wahl jedoch abhängig

getroen werden sollte. Weiter wird den Wichtungsfunktionen

ein zusätzlicher Diusiver Term hinzugefßgt, der jedoch vom Elementresiduum abhängig ist [Pap98]. Besonders im Bereich von Schockfronten, wie sie als Diskontinuität durch die Schalterfunktion

g (Ď&#x2020;)

bei der Elrod Kavitation auftritt, kann diese Methode numerisch

stabile Ergebnisse erzielen. Die kommerzielle FEM Simulationssoftware

COMSOL Multiphysics

besitzt eine FĂźl-

le weiterer, ähnlicher Stabilisationsverfahren, die insbesondere auf Konvektions-Diusions Probleme angewendet werden kÜnnen [COM08]. Ihre Wahl und Einstellung hängt jedoch stark von der Parameterkonguration des betrachteten Gleitlagers ab. Fßr die Numerik erschwerend kommt hinzu, dass Kennwerte des Kompressionsmoduls

β

in der GrÜÿenord-

9 nung 10 Pa liegen. Dies bedeutet, dass kleine Dichteschwankungen erhebliche Druckänderungen zur Folge haben. Zudem stellt die Schalterfunktion

g (Ď&#x2020;)

trotz Stabilisierungsme-

thoden eine nicht einfach zu handhabende Unstetigkeitsstelle dar. Physikalisch plausible Druckverläufe hängen somit maÿgeblich von der Wahl des Stabilisierungsparameters

δPG

ab. Eben diese Wahl gestaltet sich jedoch aufgrund des Black Box Charakters kommerzieller FEM Software als schwierig. FĂźr die numerische Berechnung des Druckverlaufs

p (x, y, z, t) aus Gleichung

(3.67) wer-

den die Randbedingungen analog zur Penaltymethode vorgegeben. Die Umrechnung des

43


3 Modellbildung radialer Gleitlager

Drucks

p in das Dichteverhältnis Ď&#x2020; erfolgt dabei Ăźber Gleichung (3.66). In axialer Richtung

werden Bedingungen nach Gleichung (3.30) und (3.31) gefordert. FĂźr den statischen Fall mit

eË&#x2122; = 0 und ÎłË&#x2122; = 0 sei der Beginn des Druckbergs an der breitesten Schmierlmstelle mit

θ1 = 0

[SA10]. Die Randbedingungen ergeben sich dann fĂźr den statischen Fall zu

p (θ) = p (θ + 2Ď&#x20AC;) ,

(3.68)

p (θ1 = 0) = pUmg . Wenn im dynamischen Fall

eË&#x2122; 6= 0

und

ÎłË&#x2122; 6= 0

(3.69)

gilt, so ist anstelle Gleichung (3.69) die

Randbedingung

â&#x2C6;&#x201A;p

â&#x2C6;&#x201A;p

= â&#x2C6;&#x201A;θ θ=0 â&#x2C6;&#x201A;θ θ=2Ď&#x20AC; gegeben. Die DrĂźcke

pUmg

und

pKav

(3.70)

sind frei an den Umgebungsdruck und den Siedeverzug

anpassbar.

Abbildung 3.14: Statischer Druckverlauf nites Lager mit Elrod Kavitation. Schockaufnahme Justierungsparameter

δPG = 105,8 (1 â&#x2C6;&#x2019; g).

Abbildung 3.14 zeigt als Beispiel einen mit dem Elrod Kavitationsalgorithmus ermittelten Druckverlauf im Schmierlm eines niten Gleitlagers mit mit der Software

COMSOL Multiphysics

B/D = 1.

Dieser wurde

ermittelt. Als numerisches Stabilisierungsverfah-

ren wurde kßnstliche Diusion durch Schockaufnahme gewählt. Es liegt zudem der rein statische Fall

0

eË&#x2122; = ÎłË&#x2122; = 0

vor. Der Umgebungs- und Kavitationsdruck

pUmg = pKav =

wurde als verschwindend vorgegeben. AuĂżerdem wurde die Schalterfunktion

Justierungsparameter

δPG =

105,8 (1

â&#x2C6;&#x2019; g)

g (Ď&#x2020;)

im

der Schockaufname verwendet. Dies hat zur

Folge, dass numerische Stabilisation nur bei reiner Konvektion erfolgt. Die modizierte Reynoldsgleichung (3.67) muss zudem fĂźr die Eingabemaske des Berechnungsprogramms

44


3.4 Mathematische Kavitationsmodelle

auf die Form

" â&#x2C6;&#x2021; â&#x2C6;&#x2019;

βh3 12¾

g (Ď&#x2020;) 0

0 βh3 12¾

#

g (Ď&#x2020;)

! â&#x2C6;&#x2021;Ď&#x2020;

 " RĎ&#x2030; #   h Ď&#x2030; sin θ â&#x2C6;&#x2019; 2 = â&#x2C6;&#x2019;Ď&#x2020; eË&#x2122; cos θ + e ÎłË&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; â&#x2C6;&#x2021;Ď&#x2020; 2 0

(3.71)

gebracht werden. Zur Umformung werden die Gleichungen (3.24), (3.26) und (3.27) benĂśtigt. Man stellt fest, dass der gezeigte Druckverlauf in guter Ă&#x153;bereinstimmung mit der Penaltymethode steht. Die Druckmaxima liegen dicht beieinander, fallen jedoch hĂśher aus als bei der Halb-Sommerfeld-LĂśsung. AbschlieĂżend sei erwähnt, dass weitere Modelle basierend auf dem Elrod Kavitationsalgorithmus entwickelt wurden [KB91]. Um deren Eektivität zu steigern wird sich oftmals iterativer Schemata bedient. Diese erfordern jedoch eine eigenständige Umsetzung des Anwenders. Inwieweit diese rechenintensiven Algorithmen beispielsweise fĂźr eine umfangreiche Parameteranalyse geeignet sind, bleibt im Einzelnen zu klären [Bar10].

45


3 Modellbildung radialer Gleitlager

46


4 Kennfeldlösungen 4.1 Impedanzmethode 4.1.1 Modellbeschreibung Der Druck im Schmierlm radialer Gleitlager hat eine Kraft

F

eines Rotors von der Lagergleitäche trennt und mit der Last

zur Folge, welche die Welle

W

im Gleichgewicht steht.

Diese Kraft gilt es im Folgenden zu ermitteln. In Abbildung 4.1 sind die mechanischen und geometrischen Beziehungen dargestellt.

F

Die Kraft rametern

hängt bei sonst konstanten Betriebs- und Lagergröÿen von den vier Pa-

e, e˙ , γ , γ˙

ab. Dies gilt jedoch nur bei einer Betrachtungsweise im inertialen

X , Y -Koordinatensystem. Abhängigkeit von

e, e˙

Für das

und

γ˙

x, z

vor, weil

und

γ

R, T -Koordinatensystem

den Verdrehwinkel zum

Dies zeigt sich auch im Druckverlauf des Schmierlms, da dieser im berechnet wird. Das Exzentrizität Die Kraft nung der

F

e

R, T -Koordinatensystem

liegt nur noch eine

X , Y -System

darstellt.

x, z -Koordinatensystem

gibt Richtungen radial und tangential zur

an.

ergibt sich durch Integration des Drucks

p über der Gleitäche. Die Umrech-

x in die θ-Koordinate erfolgt im Übrigen mit Gleichung (3.23). Die Komponenten

dieser Kraft berechnen sich dementsprechend im

R, T -Koordinatensystem

zu

B

B

 Z2 2πR Z  Z2 Z2πh i x p (x, z) cos dxdz = p (θ, z) R cos θ dθdz, FR = R −B 2

0

B

0 −B 2 B

 Z2 2πR Z  Z2 Z2πh i x FT = p (x, z) sin dxdz = p (θ, z) R sin θ dθdz. R −B 2

(4.1)

0

(4.2)

0 −B 2

Das numerische Auswerten der auftretenden Integrale kann beispielsweise über die Trapezoder Simpsonregel erfolgen. Eine Denition des Kehrwerts der Sommerfeldzahl aus Glei-

47


4 Kennfeldlösungen

Abbildung 4.1: Modellbeschreibung Gleitlagermodell [Sze05]

chung (2.3) lässt sich zudem als

So∗ =

BDµn W



R C

2

2

=  FR2 + FT2



angeben [Sze05]. Die Koordinatentransformation in das

(C/R) BDµn

!2 − 12 

(4.3)

X , Y -Inertialsystem erfolgt mittels

Rotationsmatrix über die Beziehung

FX

!

FY

" =

sin γ

cos γ

− cos γ

sin γ

#

FR FT

! .

Zur Druckkraftbestimmung werden die in Kapitel 3 ermittelten Druckverläufe ziehungsweise

p (θ, z)

(4.4)

p (x, z)

be-

in die Gleichungen (4.1) und (4.2) eingesetzt.

4.1.2 Impedanzbeschreibung Um die Druckkraft

F

des Schmierlms zu berechnen müssen die Integrale (4.1) und (4.2)

ausgewertet werden. Besonders in dynamischen Simulationen bei denen sich die Druckverhältnisse ständig ändern, ist dies sehr rechenintensiv. Die Impedanzmethode stellt zweck-

48


4.1 Impedanzmethode

mäÿig ein Werkzeug dar, welches es ermöglicht umfangreiche Berechnungen bezüglich der Druckkräfte in Kennfeldern abzuspeichern. Aus ihnen ist es im Anschluss möglich durch Interpolation sehr schnell die vorliegenden Druckkräfte des Schmierlms auszuwerten. Die Impedanzmethode kann daher als wirkungsvolles preprocessing verstanden werden. Zunächst wird die Reynoldsgleichung (3.28) zu

1 ∂ R2 ∂θ



3 ∂p

h



∂θ

∂ + ∂z

     ω 3 ∂p h = 12µ e˙ cos θ + e γ˙ − sin θ ∂z 2

(4.5)

umgeschrieben. Der Klammerausdruck der rechten Seite kann auch durch Überlagerung Trigonometrischer Funktionen als

 ω e˙ cos θ + e γ˙ − sin θ = vs cos (α + θ) 2 verstanden werden. Fast man den Geschwindigkeitsvektor lation und Rotation um die

z -Achse

(4.6)

als Überlagerung einer Trans-

mit der Winkelgeschwindigkeit

ω/2

auf, ergibt sich

  0    e˙ = vs +   0  × e.

(4.7)

ω 2

Wird diese Gleichung nach Abbildung 4.1 im man

R, T -Koordinatensystem

ausgewertet erhält

  ω  vs =  e γ˙ − 2  , 0 als rein translatorische Quetschgeschwindigkeit

|vs | = vs ,

vs

(4.8)

(squeeze velocity) [vdV01] [CMvL77].

Die geometrischen Zusammenhänge stellt Abbildung 4.2 dar. Die Orientierung von wird durch den Winkel

α

beschrieben und kann ebenfalls im

vs cos α

R, T -System

vs

durch

   vs =  −v sin α s   0

(4.9)

ausgedrückt werden. Setzt man die Komponenten aus Gleichung (4.8) und (4.9) gleich, ergibt sich nach Einsetzen in (4.6) die gezeigte Identität. Der Druckverlauf

p (θ, z, t)

als

49


4 Kennfeldlösungen

Abbildung 4.2: Beschreibung Quetschgeschwindigkeit

vs

[vdV01]

Lösung der Reynoldsgleichung

1 ∂ R2 ∂θ



h

hängt nun nicht mehr von Druckkräfte

FR

und

FT

3 ∂p



∂θ

e, e˙

∂ + ∂z

und

γ˙ ,



3 ∂p

h



∂z

= 12µ vs cos (α + θ)

sondern von

e , vs

und

α



(4.10)

ab. Dies gilt auch für die

der Gleichungen (4.1) und (4.2). Die Nulldurchgänge der Druck-

verläufe bleiben somit durch die Umformulierung erhalten. Bei deren Berechnung kann

vs

als linearer Faktor vor das Integral gezogen werden. Die Kraftkomponenten können somit als

 FR = −2µB  FT = −2µB formuliert werden [CMvL77]. Die Gröÿen

R C

3

R C

3

vs WR (e, α) ,

(4.11)

vs WT (e, α)

(4.12)

WR (e, α) und WT (e, α) werden als Komponenten

des sogenannten Impedanzvektors bezeichnet. Er kann für jeden Wert

e und α nach Betrag

und Richtung angegeben werden. Zudem liefert die Koordinatentransformation

Wξ Wη eine Darstellung im

50

!

" =

cos α − sin α sin α

cos α

#

WR WT

! .

(4.13)

ξ , η -Koordinatensystem (siehe Abbildung 4.2). Durch die dann auftre-


4.2 Impedanzkennfelder

tende Symmetrie der Impedanzkennfelder kann Rechenzeit eingespart werden. Zur numerischen Auswertung kann beispielsweise das nachfolgende Schema erstellt werden.

FR

1. Berechnung von vall

[0, C]

Intervall

und

α

und

mittels Gleichung (4.1) und (4.2). Dabei

e

im Inter-

im Intervall

[0, 2π]

WR

mittels Gleichung (4.11) und (4.12) nach Einsetzen von

oder bei Ausnutzung der Kennfeldsymmetrie im

[0, π].

2. Berechnung von

FR

FT

und

FT .

Da

vs

und

und

WT

α

unabhängig sind kann auch

3. Koordinatentransformation in Abspeichern von

und

vs = 1 m/s

ξ , η -Koordinatensystem

gesetzt werden.

mittels Gleichung (4.13) und

als Stützstelle des Impedanzkennfelds.

Durch Interpolation zwischen den Stützstellen des Impedanzkennfelds ist für beliebige und

α

e

Werte die Druckkraft durch (4.11) und (4.12) berechenbar.

Abschlieÿend seien unter Verwendung von Gleichung (4.8) und Abbildung 4.2 die hilfreichen Umformungen

r vs =

e˙ 2 + e2



 !

ω

−e γ ˙ − 2

α = ∗ arctan

ω 2 , γ˙ − 2

angegeben. Es ist dabei zu beachten, dass die Berechnung von vom Quadraten abhängig ist. Im Berechnungsprogramm

atan2

α

(4.14)

mittels Arkustangens

MATLAB ist hierbei die Funktion

hilfreich, welche eine automatische Fallunterscheidung beinhaltet.

4.2 Impedanzkennfelder 4.2.1 Ocvirk Kurzlager Für ein Verhältnis richtung

θ

B/D ≤ 0,25

der Reynoldsgleichung (4.10) vernachlässigt werden. Es ist somit möglich eine

analytische Lösung

p (θ, z, t)

aus

∂ ∂z ∗

können beim Ocvirk Kurzlager Ableitungen in Umfangs-



3 ∂p

h

∂z

 = 12µ vs cos (α + θ)



(4.15)

Gültig im ersten Quadranten.

51


4 KennfeldlĂśsungen

zu berechnen und die Komponenten

WR

und

WT

des Impedanzvektors geschlossen anzu-

geben. Die LĂśsung

3ÂľB 2 p (θ, z, t) = â&#x2C6;&#x2019; 2h3

 1â&#x2C6;&#x2019;

2z B

2 ! vs cos (ι + θ) + pUmg

(4.16)

kann mit den Randbedingungen (3.30) und (3.31) gefunden werden [CMvL77]. In den weiteren Betrachtungen wird ein verschwindender Umgebungsdruck

pUmg = 0

angenommen

und die Halb-Sommerfeld-LĂśsung benutzt. Dabei werden negative DrĂźcke zu

pKav = 0

gesetzt. Die Berechnung der Lagerkräfte aufgrund des Drucks im Schmierlm erfolgt mit den Gleichungen (4.1) und (4.2). Der Bereich positiver Drßcke liegt bei verschwindendem Umgebungsdruck zwischen den Winkeln

θ1 =

Ď&#x20AC; â&#x2C6;&#x2019; Îą, 2

θ2 =

3Ď&#x20AC; â&#x2C6;&#x2019; Îą. 2

(4.17)

Da negative Drßcke nach der Halb-Sommerfeld-LÜsung abgeschnitten werden, ist es freigestellt ob die Integration fßr Die Kräfte

FR

und

FT

θ zwischen den Grenzen [θ1 , θ2 ] oder [0, 2Ď&#x20AC;] erfolgt [CMvL77].

ergeben sich entsprechend den Gleichungen (4.11) und (4.12), wobei

fĂźr die Komponenten des Impedanzvektors

Zθ2  WR (e, ι) =

 B2C 3 cos (ι + θ) cos θ dθ, 2R2 h3

(4.18)

 B2C 3 cos (ι + θ) sin θ dθ 2R2 h3

(4.19)

θ1

Zθ2  WT (e, ι) = θ1 gilt. Sie kÜnnen mit

I100 =

arccos (â&#x2C6;&#x2019;ÎĽA) + arccos (â&#x2C6;&#x2019;ÎĽB) â&#x2C6;&#x161; 1 â&#x2C6;&#x2019; 2

(4.20)

und

A=

52

 + sin Îą , 1 +  sin Îą

B=

 â&#x2C6;&#x2019; sin Îą , 1 â&#x2C6;&#x2019;  sin Îą

 1 ÎĽ= â&#x2C6;&#x2019;1

, fĂźr

cos Îą â&#x2030;Ľ 0,

, fĂźr

cos Îą < 0,

(4.21)


4.2 Impedanzkennfelder

nach Einsetzen in

   2 sin2 Îą 2 cos Îą 3 + 2 â&#x2C6;&#x2019; 5  1  1 + 22 I100 +  = 2 2 2 2 (1 â&#x2C6;&#x2019;  ) 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 sin2 Îą 

I302

I311 = â&#x2C6;&#x2019;

2 sin3 Îą

(4.23)

2 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 sin2 Îą     2 sin2 Îą 2 cos Îą 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 â&#x2C6;&#x2019;  1 I100 +  = 2 2 (1 â&#x2C6;&#x2019; 2 ) 1 â&#x2C6;&#x2019; 2 sin2 Îą

I320

(4.22)

(4.24)

auch als

1 WR (e, Îą) = 2



1 WT (e, Îą) = 2



B R

2

B R

2

 I302 cos Îą â&#x2C6;&#x2019; I311 sin Îą ,

(4.25)

I311 cos Îą â&#x2C6;&#x2019; I320 sin Îą

(4.26)



angegeben werden [vdV01]. Nach Koordinatentransformation mittels Gleichung (4.13) ergibt sich das in Abbildung 4.3 gezeigte Impedanzkennfeld. Dabei wurde ein Verhältnis

B/D = 0,25

verwendet. Aufgetragen im

Ξ , Ρ -Koordinatensystem

Abbildung 4.3: Impedanzkennfeld Ocvirk Kurzlager

bilder den Impedanzvektor nach Richtung und Betrag fĂźr

Ξ

und

Ρ -Achsen

sind dabei auf die Radiendierenz

C

geben die beiden Schau-

B/D = 0,25

e, Îą-Wertepaare

wieder. Die

normiert. Deutlich ist die Symmetrie

53


4 KennfeldlĂśsungen

bezĂźglich der

Ξ -Achse

zu erkennen.

Die Berechnung der Druckkräfte

FR

und

FT

ist bei bekanntem Impedanzkennfeld durch

die Gleichungen (4.11) und (4.12) einfach durchfßhrbar. Dennoch hängt die Gßte von der Anzahl der Stßtzstellen ab. Generell kÜnnen mit einer Spline-Interpolation jedoch gute Ergebnisse erzielt werden.

4.2.2 Halb-Sommerfeld-LĂśsung mit nitem Lager FĂźr die nachfolgende Berechnung der Impedanzkennfelder niter Lager wird ein verschwindender Umgebungsdruck

pUmg = 0

angenommen. Zudem sei die Halb-Sommerfeld-

LĂśsung erneut betrachtet, wobei negative DrĂźcke nicht unter das Druckniveau

pKav = 0

sinken. Die Berechnung der Impedanzkennfelder erfolgt mit dem auf Seite 51 beschriebenen Schema unter Ausnutzung der Symmetrie. Wie bereits in Abbildung 4.3 zu erkennen ist, kann die Impedanz im Bereich hoher Exzentrizitäten

e

sehr stark ansteigen. Dies kann der

Interpolation bei unzureichenden Stßtzstellen jedoch erhebliche Schwierigkeiten bereiten. Aus diesem Grund wurden die Werte der Exzentrizität

e

im Intervall

[0, (0,9 C)]

gewählt.

Dieser Verlust an Information kann jedoch physikalisch begrĂźndet werden. Wenn man die Radiendierenz im Bereich ten

10 %

C = 20 Âľm

annimmt, so liegen die nun nicht berĂźcksichtig-

in der GrÜÿenordnung von Oberächenrauheiten. Eine Berßhrung von Welle und

Gleitäche ist dann nicht mehr vollends auszuschlieÿen, was die vernachlässigte Betrach-

Abbildung 4.4: Impedanzkennfeld nites Lager, Halb-Sommerfeld-LĂśsung

54

B/D = 0,25


4.2 Impedanzkennfelder

tung dieses Bereichs begrßndet. Die Abbildungen 4.44.6 zeigen Impedanzkennfelder fßr unterschiedliche Geometrieverhältnisse

B/D.

Dabei stellen sich bei steigenden

B/D

Werten auch tendenziell hĂśhere

Impedanzen ein. Dies erscheint plausibel, da hohe Impedanzwerte nach Gleichung (4.11) und (4.12) bei konstanter Quetschgeschwindigkeit

vs

auch hÜhere Druckkräfte verursachen.

Ein solches Verhalten ist charakteristisch je breiter ein Lager ausgelegt wird. Vergleicht man den Druckverlauf im Schmierlm von Lang- und Kurzlagern, so zeigt sich dies zudem in hĂśheren Maximalwerten.

Abbildung 4.5: Impedanzkennfeld nites Lager, Halb-Sommerfeld-LĂśsung

B/D = 1

Stellt man auĂżerdem Abbildung 4.4 mit Abbildung 4.3 gegenĂźber, so erkennt man eine gute Ă&#x153;bereinstimmung zwischen dem niten Kurzlager und dem Ocvirk Kurzlager. Dies gilt insbesondere bis zum Bereich mittlerer Exzentrizitäten

e.

Es kann somit anhand

der Impedanzkennfelder nachgewiesen werden, dass bei vereinfachten Berechnungen mit dem Ocvirk Kurzlager keine erheblichen Abweichungen von der niten Elemente LÜsung auftreten. Wie auch beim Ocvirk Kurzlager erfolgt schlieÿlich die Berechnung der Druckkräfte und

FT

FR

bei bekanntem Impedanzkennfeld Ăźber die Gleichungen (4.11) und (4.12). Da die

Berechnung der Impedanzkennfelder je nach verfĂźgbarer Rechenleistung sehr zeitintensiv ist, muss ein Kompromiss zwischen der Anzahl der StĂźtzstellen und der GĂźte der Interpolation getroen werden. Den hier dargestellten Impedanzkennfeldern liegen und

50

Werte fĂźr

Îą

(Intervall

[0, Ď&#x20AC;])

25

Werte fĂźr

e

zugrunde.

55


4 KennfeldlĂśsungen

Abbildung 4.6: Impedanzkennfeld nites Lager, Halb-Sommerfeld-LĂśsung

B/D = 2,5

4.2.3 Penaltymethode mit nitem Lager Es besteht die MÜglichkeit Impedanzkennfelder auch fßr nite Lager unter Berßcksichtigung der Reynolds Randbedingung zu erstellen. Dies geschieht unter Anwendung der Penaltymethode. Zunächst wird hierzu ein Umgebungsdruck dender Siedeverzug durch

pKav = 0

pUmg = 0

und ein verschwin-

vorgegeben. Analog zur Halb-Sommerfeld-LĂśsung

werden dabei zusätzlich negative Drßcke zu Null gesetzt. Dies ist nicht zwingend erforderlich, da verschwindender Siedeverzug auch ßber den Straaktor

kP

eingestellt werden kann

(vergleiche Abbildung 3.12). Dazu muss jedoch jeder berechnete Druckverlauf einzeln kontrolliert und

kP

entsprechend angepasst werden. Dies erscheint aufgrund der anfallenden

Menge an Daten nicht praktikabel. Dennoch kĂśnnen somit durch das Abschneiden negativer DrĂźcke, trotz Penaltymethode Unstetigkeitsstellen am Kavitationsrand entstehen. Da die numerisch stabile Anwendung der Penaltymethode sehr stark vom Straaktor

kP

abhängt, muss zusätzlich eine Anpassung des Penaltyfaktors während des Impedanzkennfeldaufbaus erfolgen. Die Berechnung der Impedanzkennfelder erfolgt ansonsten, wie bereits bei der Halb-Sommerfeld-LÜsung, nach dem auf Seite 51 beschriebenen Schema. Einzig das betrachtete Intervall der Exzentrizität

e

liege im Bereich

[0, (0,9 C)],

um Interpolati-

onsfehler in Oberächennähe zu vermeiden. Fßr das in Abbildung 4.7 gezeigte Kurzlagerkennfeld wurde fßr tor

kP = 10â&#x2C6;&#x2019;8

verwendet. Fßr Exzentrizitäten

e > 0,8 C

e â&#x2030;¤ 0,8 C

ein Straak-

liegt jedoch ein Faktor

kP = 10â&#x2C6;&#x2019;9

vor. Im Vergleich zu Abbildung 4.4 stellt man zudem keine bedeutenden Abweichungen

56


4.2 Impedanzkennfelder

Abbildung 4.7: Impedanzkennfeld nites Lager, Penaltymethode

B/D = 0,25

fest. Es kann daher von einem ähnlichen Schmierlm- und Rotorverhalten ausgegangen werden. Dem Kennfeld in Abbildung 4.8 liegt fßr

kP =

ein Penaltyfaktor

kP = 10â&#x2C6;&#x2019;10 ,

kP = 10â&#x2C6;&#x2019;9

zugrun-

Ď&#x20AC;/4 < Îą < Ď&#x20AC;/2

sogar

10â&#x2C6;&#x2019;12 gewählt. Vergleicht man Abbildung 4.8 mit Abbildung 4.5 stellt man fĂźr

Îą=Ď&#x20AC;

de. Fßr Exzentrizitäten

e > 0,6 C

e â&#x2030;¤ 0,6 C

wurde

im Bereich

einen leichten Anstieg der auftretenden Impedanzwerte fest. Dies kann durch Anheben der Druckverläufe, bedingt durch die angenäherte Reynolds Randbedingung, hervorgerufen werden. Nach den Gleichungen (4.11) und (4.12) kÜnnen bei hÜheren Druckkräften auch die Impedanzen steigen. Diese Plausibilitätskontrolle kann auch fßr einen Vergleich der Abbildungen 4.9 und 4.6 dienen. Durch die Reynolds Randbedingung ergibt sich somit insbesondere bei langen Lagern im Bereich von fßr

e > 0,8 C

und

Îą=Ď&#x20AC;

ein deutlicher Anstieg der Impedanzen. Im Kennfeldbereich

0 < Îą < 5Ď&#x20AC;/8

wurde

Kennfelds gilt fĂźr den Penaltyfaktor

kP = 10â&#x2C6;&#x2019;11

gewählt. Im restlichen Bereich des

kP = 10â&#x2C6;&#x2019;10 .

Bei der Implementierung im Berechnungsprogramm des Penaltyfaktors

kP

Ăźber

if-Abfragen.

MATLAB

erfolgt die Anpassung

Die Wahl des Straaktors besitzt jedoch einen

iterativen Charakter, da zuerst ein Impedanzkennfeld generiert werden muss, bevor im Anschluss entschieden werden kann, wo eine Anpassung von

kP

erforderlich ist. Aufgrund

der zeitintensiven Berechnung muss auch hier erneut ein Kompromiss zwischen der Anzahl der StĂźtzstellen und dem Vertrauen in die Spline-Interpolation erfolgen.

57


4 Kennfeldlรถsungen

Abbildung 4.8: Impedanzkennfeld nites Lager, Penaltymethode

Abbildung 4.9: Impedanzkennfeld nites Lager, Penaltymethode

58

B/D = 1

B/D = 2,5


4.3 Kraftkennfelder

4.3 Kraftkennfelder 4.3.1 Nichtlinearität der Elrod Kavitation Bei der Elrod Kavitationsmodellierung kann die Impedanzmethode nicht angewendet werden. Zwar lässt sich Gleichung (3.71) mit (4.6) auch als

" ∇ −

βh3 12µ

g (φ)

0 βh3 12µ

0

g (φ)

#

! ∇φ





"

= −φ vs cos (α + θ) −

#

Rω 2 h

0

∇φ

(4.27)

ausdrücken, allerdings ergibt sich bei der Berechnung der Impedanzkomponenten und

WT ,

dass diese nicht mehr von der Quetschgeschwindigkeit

vs

WR

unabhängig sind. Ab-

bildung 4.10 verdeutlicht diesen Umstand grasch. Berechnet man für unterschiedliche Modellierungsarten die Impedanzkomponenten und

WT

WR

mit den Gleichungen (4.11) und (4.12), so ergibt sich der gezeigte Verlauf in Ab-

hängigkeit von

vs . Deutlich zu erkennen ist, dass bei der Elrod Kavitation die Impedanz-

komponenten eine Funktion der Quetschgeschwindigkeit darstellen. Diese Funktion kann mittels hinreichender Anzahl von Stützstellen gut interpoliert werden. In Abbildung 4.10 sind diese durch schwarze Punkte gekennzeichnet. Diese interpolierte Funktion ist jedoch nur für ein bestimmtes Parameterpaar

e, α

gültig, wie Abbildung 4.11 im Vergleich zu

Abbildung 4.10 zeigt.

WR,T über e = 0,5 C , α = 0,25 π , kP = 10−9 .

Abbildung 4.10: Impedanzkomponenten

Quetschgeschwindigkeit

vs .

Da die Impedanzmethode für die Elrod Kavitationsmodellierung nicht gelingt, kann für dynamische Simulationen nur eine direkte FEM-Kopplung erfolgen. Dabei muss jedoch für jeden Zeitschritt stets erneut der Druckverlauf im Schmierlm berechnet werden. Da

59


4 KennfeldlĂśsungen

WR,T Ăźber e = 0,3 C , Îą = 0,75 Ď&#x20AC; , kP = 10â&#x2C6;&#x2019;8 .

Abbildung 4.11: Impedanzkomponenten

Quetschgeschwindigkeit

vs .

dies je nach Rechenleistung in sehr lang andauernden Simulationen mĂźndet, kĂśnnen auch hier KennfeldlĂśsungen hilfreich sein. Diese Kennfelder mĂźssen jedoch im Gegensatz zu Impedanzkennfeldern unter BerĂźcksichtigung der drei Parameter

vs , e

werden. Alternativ ist auch eine Betrachtung mit dem Parametertripel Fßr jede Kombination dieser Parameter werden die Druckkräfte

Îą

generiert

e, eË&#x2122; und ÎłË&#x2122;

denkbar.

FR

und

und

FT

berechnet

und in Kraftkennfeldern abgespeichert. Da die Druckkräfte von drei Parametern abhängen besitzen auch die Kraftkennfelder einen dreidimensionalen Charakter. Durch Interpolation innerhalb der Kraftkennfelder kÜnnen somit beliebige Druckkräfte berechnet werden. Voraussetzung fßr die dreidimensionale Kraftkennfeldgenerierung ist jedoch die numerische Stabilität des Elrod Kavitationsalgorithmus.

4.3.2 Numerische Instabilität Die FEM Simulation des Elrod Kavitationsmodells wird stark von den gewählten Stabilisierungsverfahren beeinusst. Diese zielen auf das Hinzufßgen kßnstlicher Diusion ab, was jedoch nicht immer zu konsistenten LÜsungen fßhrt [Pap98]. Die mit Hilfe der FEM Simulationssoftware

COMSOL Multiphysics

erzeugten Abbildungen 4.10 und 4.11 basie-

ren auf dem Hinzufßgen kßnstlicher, isotroper Diusion [COM08]. Im strengen Sinn wird durch die Hinzunahme zusätzlicher Diusionsterme das ursprßngliche Problem jedoch gestÜrt [Pap98]. Dennoch lieÿ sich fßr die gewählte Parameterkonguration

vs , e und Îą durch

die Wahl anderer Stabilisierungsverfahren, wie beispielsweise der Schockaufnahme, keine stabile LĂśsung generieren. Je nach vorliegendem Wert fĂźr meter der kĂźnstlichen Diusionsterme

60

δID =

108 (1

â&#x2C6;&#x2019; g)

vs

wurden dabei als Einstellpara-

beziehungsweise

δID = 109 (1 â&#x2C6;&#x2019; g)


4.3 Kraftkennfelder

gesetzt. Die Schalterfunktion

g (Ď&#x2020;)

garantiert dabei, dass kĂźnstliche Diusion nur im Ka-

vitationsgebiet hinzugefĂźgt wird. Um eine numerisch stabile LĂśsung zu erhalten muss die Wahl der Stabilisierungsparameter

δID

in Abhängigkeit des vorliegenden Parametertripels

vs , e

und

Îą

erfolgen. Dies

erinnert stark an die Penaltymethode, bei der eine numerisch stabile LĂśsung ebenfalls die Anpassung des Straaktors

kP

an die Parameterkonguration

e, Îą

erfordert.

Generell ist ein solcher Zusammenhang aufgrund des Black Box Charakters von

SOL Multiphysics

COM-

jedoch schwer durchschaubar. Da es jedoch fĂźr die Kraftkennfeldgene-

rierung mit dreidimensionalem Charakter nicht praktikabel ist

δID

an jeden berechneten

Druckverlauf manuell anzupassen, bedingt dies unter Umständen eine eigenständige Umsetzung des Elrod Kavitationsalgorithmus. Auÿerdem ist eine Umsetzung mittels niter Dierenzen Methode mÜglich, wie dies vielfach in der Literatur angedacht wird [Sze05].

61


4 Kennfeldlรถsungen

62


5 Stabile Betriebspunkte eines Rotormodells 5.1 Rotormodell 5.1.1 Modellansatz mit Erregung durch Unwucht Den folgenden Betrachtungen liegt ein einfaches Rotormodell zugrunde, wie es in Abbildung 5.1 in Seitenansicht dargestellt ist. Der Rotor besteht aus einem symmetrisch aufgebauten Läufer, dessen Schwerpunkt entfernt ist. Die gesamte Masse wichtskraft

Wges = mges g .

S

mges

mit dem Abstand

a vom Wellendurchstoÿpunkt MW

des Rotors führt unter Schwerkrafteinuss zur Ge-

Die Welle sei ideal starr angenommen, sodass keine Durchbie-

gung auftreten kann. Auÿerdem sei ein Verkippen des Rotors vernachlässigt, wodurch die Oberächen der Wellenzapfen stets parallel zur Lagergleitäche liegen. Beide Lager seien identisch und haben gleichen axialen Abstand zur Scheibenmitte. Aus den obigen Vereinbarungen ergibt sich, dass jedes Lager unter der Last steht. Dabei gelte

W = Wges /2

m = mges /2, sodass sich für die Lagerlast W = mg ergibt. Abbildung 5.2

liefert weitere geometrische Zusammenhänge in axialer Blickrichtung. Insbesondere sei hier auf die Zentrifugalkraft Schwerpunkts

S

FZentr = maω 2

hingewiesen, die aufgrund der Exzentrizität des

hervorgerufen wird.

Abbildung 5.1: Rotormodell mit Unwucht [GNP06]

63


5 Stabile Betriebspunkte eines Rotormodells

Abbildung 5.2: Modellbeschreibung Rotormodell mit Unwucht [vdV01]

Ă&#x153;ber Kräftegleichgewichte in

X

und

Y -Richtung

des Intertialsystems lassen sich die

beiden Bewegungsgleichungen

¨ â&#x2C6;&#x2019; WX â&#x2C6;&#x2019; FX = maĎ&#x2030; 2 cos (Ď&#x2030;t) , mX

(5.1)

mY¨ â&#x2C6;&#x2019; WY â&#x2C6;&#x2019; FY = maĎ&#x2030; 2 sin (Ď&#x2030;t)

(5.2)

nden. Durch Einsetzen der Lastvektorkomponenten

WX = 0

und

WY = â&#x2C6;&#x2019;mg

lassen sie

sich zu

¨ â&#x2C6;&#x2019; FX = maĎ&#x2030; 2 cos (Ď&#x2030;t) , mX

(5.3)

mY¨ â&#x2C6;&#x2019; FY + mg = maĎ&#x2030; 2 sin (Ď&#x2030;t) umschreiben [GNP06]. Die Druckkraftkomponenten

FX

und

(5.4)

FY

ergeben sich aus Glei-

chung (4.4). Durch die Terme auf der rechten Seite liegt eine Massenkrafterregung vor, die sich durch die exzentrische Schwerpunktslage begrĂźndet [PW09]. Somit sind die systembeschreibenden Dierentialgleichungen gegeben, deren dynamische LĂśsungen

64

X(t)

und

Y (t)

den zeitlichen Verlauf des Wellenmittelpunkts

MW

wiedergeben.


5.1 Rotormodell

5.1.2 Vereinfachter Modellansatz ohne Erregung durch Unwucht Um Gleitlagereekte auf die Dynamik des in Abbildung 5.1 gezeigten Rotorsystems ohne weitere inhomogene EinĂźsse untersuchen zu kĂśnnen, muss dieses von der Massenkrafterregung befreit werden. Zu diesem Zweck sei angenommen, dass der Schwerpunkt minimal vom WellendurchstoĂżpunkt

MW

abweicht und in guter Näherung

aâ&#x2030;&#x2C6;0

S

nur

gilt. Die

Bewegungsgleichungen (5.3) und (5.4) vereinfachen sich dann weiter zu

Die Druckkräfte und

ÎłË&#x2122;

FX

und

FY

ab. Diese mĂźssen im

¨ â&#x2C6;&#x2019; FX = 0, mX

(5.5)

mY¨ â&#x2C6;&#x2019; FY + mg = 0.

(5.6)

aus Gleichung (4.4) hängen von den vier Parametern

X , Y -Intertialsystem

e, eË&#x2122; , Îł

ausgedrĂźckt werden. Unter BerĂźcksichti-

gung von Abbildung 4.1 gelingt dies mittels der Koordinatentransformation

eË&#x2122;

!

" =

eÎłË&#x2122;

sin Îł

â&#x2C6;&#x2019; cos Îł

cos Îł

sin Îł

#

XË&#x2122; YË&#x2122;

! .

(5.7)

Es ergeben sich daraus die Beziehungen

p X 2 + Y 2, 

X Îł = â&#x2C6;&#x2014; arctan

â&#x2C6;&#x2019;Y

X XË&#x2122; + Y YË&#x2122; , eË&#x2122; = â&#x2C6;&#x161; X2 + Y 2 Ë&#x2122; X YË&#x2122; â&#x2C6;&#x2019; XY ÎłË&#x2122; = . 2 X +Y2

e=

Da die Bestimmung von

Îł



,

(5.8)

(5.9)

durch den Arkustangens vom Quadranten abhängig ist, bietet

sich im Berechnungsprogramm

MATLAB

die Funktion

atan2

mit integrierter Fallunter-

scheidung an. Weiter bietet es sich an die beiden Dierentialgleichungen (5.5) und (5.6) in Zustandsraumbeschreibung auszudrĂźcken [Sti06]. Dazu wird der Zustandsvektor

    q X    1  Y  q     2 q (t) =   =   XË&#x2122;  q3      q4 YË&#x2122; gebildet. Jede Dierentialgleichung â&#x2C6;&#x2014;

(5.10)

n-ter Ordnung kann in ein Dierentialgleichungssystem

GĂźltig im vierten Quadranten.

65


5 Stabile Betriebspunkte eines Rotormodells

erster Ordnung mit

n

Dierentialgleichungen transformiert werden [GHW11]. Die Ablei-

tung

      Ë&#x2122; q3 X qË&#x2122;    1    YË&#x2122;  qË&#x2122;    q4    2   qË&#x2122; (t) =   =   =   1 ¨    X  m FX   qË&#x2122;3    1 ¨ qË&#x2122;4 Y m (FY â&#x2C6;&#x2019; mg)

(5.11)

des Zustandsvektors fĂźhrt dementsprechend auf ein Dierentialgleichungssystem mit vier Gleichungen. Ein bedeutender Vorteil liegt nun darin, dass numerische Verfahren zur LĂśsung nur fĂźr Dierentialgleichungen erster Ordnung entwickelt werden mĂźssen [GHW11].

5.2 Verlagerungsbahn stationärer Gleichgewichtslagen Zur Berechnung stationärer Gleichgewichtslagen, werden jegliche Ableitungen nach der Zeit zu Null gesetzt. Gleichung (5.11) ergibt dann den Nullvektor

qË&#x2122; = 0.

Die beiden letzten

Komponenten fĂźhren damit auf das implizite Gleichungssystem

1 FX , m 1 0= (FY â&#x2C6;&#x2019; mg) , m

0=

welches fĂźr die beiden Unbekannten

X

und

Y

(5.13)

lĂśsbar ist. Diese werden als Ruhelagen

Abbildung 5.3: Ruhelagen Ocvirk Kurzlager

66

(5.12)

B/D = 0,25


5.2 Verlagerungsbahn stationärer Gleichgewichtslagen

Abbildung 5.4: Ruhelagen nites Lager

B/D = 0,25

bezeichnet [Sti06]. Zur numerischen LĂśsung des Gleichungssystems bestehend aus Gleichung (5.12) und (5.13) bietet sich das Newtonverfahren an (numerischen Nullstellensuche). Variiert man die Winkelgeschwindigkeit

Ď&#x2030;

und trägt alle erhaltenen Orte

X, Y

bezĂźglich

des inertialen Koordinatensystems aus Abbildung 5.2 auf, erhält man die Verlagerungsbahn der Ruhelagen. Fßr das Ocvirk Kurzlager zeigt Abbildung 5.3 die Verlagerunsbahn, wobei Längen auf die Radiendierenz

C

normiert sind. Zur Berechnung wurde die Impedanzmethode und

das Kennfeld aus Abbildung 4.3 verwendet, wobei analytische LÜsungen als Druckverläufe bekannt sind. Es zeigt sich, dass die Erscheinungsform der Verlagerungsbahn nicht exakt einem Halbkreis entspricht. Die Verlagerungsbahn der Ruhelagen lässt sich auch fßr nite Lager nden. In den Abbildungen 5.45.6 sind einige Beispiele fßr unterschiedliche Lagergeometrien dargestellt. Dabei wurden die gefundenen Impedanzkennfelder aus Abschnitt 4.2 verwendet. Die Berechnung ist dementsprechend nur fßr normierte Exzentrizitäten

 â&#x2030;¤ 0,9

sich, dass mit hĂśherer Lagerbreite die Verlagerungsbahn weiter in

mĂśglich. Es zeigt

X -Richtung

ausbeult.

Ein Vergleich des Ocvirk Kurzlagers mit dem niten Kurzlager aus der FE-Berechnung (Abbildung 5.3 und 5.4) zeigt keine starken Ă&#x201E;nderungen. Zusammenfassend gilt fĂźr alle betrachteten Geometrien niter Lager, dass die Verlagerungsbahnen fĂźr die Penaltymethode

67


5 Stabile Betriebspunkte eines Rotormodells

und die Halb-Sommderfeld-LĂśsung nicht stark voneinander abweichen. Allen Verlagerungsbahnen ist zudem gemeinsam, dass sich die Ruhelagen bei steigender Winkelgeschwindigkeit

Ď&#x2030;

dem Ursprung des

X , Y -Koordinatensystems

Abbildung 5.5: Ruhelagen nites Lager

Abbildung 5.6: Ruhelagen nites Lager

68

B/D = 1

B/D = 2,5

annähern.


5.3 Zeitlicher Verlauf des Wellenmittelpunktes

5.3 Zeitlicher Verlauf des Wellenmittelpunktes Um die LĂśsungen

X (t)

und

Y (t)

der Bewegungsdierentialgleichungen (5.5) und (5.6) zu

erhalten muss das gewĂśhnliche Dierentialgleichungssystem (5.11) gelĂśst werden. Aufgrund der Zustandsraumdarstellung gelingt dies numerisch beispielsweise mit dem Eulerschen Polygonzugverfahren oder dem Runge-Kutta-Verfahren [GHW11]. In klassischer AusfĂźhrung liegt beiden eine feste Schrittweite nungsprogramm

â&#x2C6;&#x2020;t

zugrunde. Im Berech-

MATLAB ist ein leicht abgeändertes Runge-Kutta-Verfahren durch den

ode45-solver (ordinary dierential equation) implementiert. Besonders bei steifen Anfangswertproblemen kann dies jedoch zu ineektiver Rechenzeit fßhren. Steife Anfangswertprobleme zeichnen sich zum Beispiel bei linearen Dierentialgleichungen dadurch aus, dass einzelne Summanden der LÜsungsbasis aufgrund betragsweise hoher negativer Eigenwerte sehr schnell abklingen. Sie tragen dann ab einem gewissen Zeitpunkt wenig zur gesamten LÜsungsbasis bei, sodass dann grÜÿere Zeitschritte verwendet werden kÜnnen. Eine solche Schrittweitensteuerung ist recht eektiv im

ode15s-solver

unter

MATLAB

realisiert. Er

wurde daher fĂźr die Generierung der hier aufgezeigten LĂśsungen verwendet.

Abbildung 5.7: Zeitverlauf Wellenzapfen Ocvirk Kurzlager Winkelgeschwindigkeit

Ă&#x153;berlagert man die LĂśsungen

X (t)

und

B/D = 0,25.

Ď&#x2030; = 400 rad/s. Y (t)

so erhält man den zeitlichen Verlauf des

Wellenzapfens im Lager. Alle im Folgenden gezeigten LĂśsungen sind fĂźr Zeitwerte tervall

[0 s, 5 s] generiert. Abstände X , Y

sind dabei auf das Spiel

C

t

im In-

vom Ursprung des intertialen Koordinatensystems

normiert. Alle LĂśsungen wurden mit der Impedanzmethode und

69


5 Stabile Betriebspunkte eines Rotormodells

Abbildung 5.8: Zeitverlauf

Wellenzapfen

Winkelgeschwindigkeit

nites

Lager

B/D = 0,25.

Ď&#x2030; = 400 rad/s.

den entsprechenden Kennfeldern aus Abschnitt 4.2 gefunden. Abbildung 5.7 zeigt zwei LĂśsungen fĂźr das Ocvirk Kurzlager mit den Anfangswerten

 T q (t = 0) = 0 â&#x2C6;&#x2019;0,99 C 0 0 ,  T q (t = 0) = 0 0 0 0 .

(5.14) (5.15)

Anfangsbedingung (5.14) kann als Anfahrvorgang interpretiert werden, sofern ein sprunghaftes Erreichen der Winkelgeschwindigkeit

Ď&#x2030;

erfolgt. Wird die Welle analog zur Betriebs-

weise eines hydrostatischen Gleitlagers ins Lagerzentrum gesetzt, so entspricht Anfangsbedingung (5.15) diesem Verhalten, wobei die externe Druckzufuhr zum Zeitpunkt

t=0

ausgesetzt wird. Deutlich zu erkennen ist, dass der Wellenmittelpunkt bei beiden LÜsungen in schneckenfÜrmiger Bahn der gleichen Ruhelage zustrebt. Fßr die in Abbildung 5.85.10 dargestellten LÜsungen niter Lager wird Anfangsbedingung (5.15) verwendet, da entsprechende Impedanzkenfelder nur bis zu einer Exzentrizität

 â&#x2030;¤ 0,9

vorliegen. Die Verläufe sind sowohl fßr die Halb-Sommerfeld-LÜsung als

auch fßr die Penaltymethode sehr ähnlich. Auch fßr das Ocvirk Kurzlager ist gegenßber dem niten Kurzlager keine bedeutende Abweichung festzustellen. Auallend bei sich verändernder Lagerbreite sind jedoch die Unterschiede in der Winkelgeschwindigkeit

70

Ď&#x2030;.

Um


5.3 Zeitlicher Verlauf des Wellenmittelpunktes

ungefähr den gleichen Ort der Ruhelagen anzufahren, muss bei steigender Lagerbreite eine weitaus geringere Winkelgeschwindigkeit

Abbildung 5.9: Zeitverlauf

ω

angesetzt werden.

Wellenzapfen

Winkelgeschwindigkeit

Abbildung 5.10: Zeitverlauf

Lager

B/D = 1.

ω = 10 rad/s.

Wellenzapfen

Winkelgeschwindigkeit

nites

nites

Lager

B/D = 2,5.

ω = 0,9 rad/s.

71


5 Stabile Betriebspunkte eines Rotormodells

5.4 Stabilität nach Lyapunov Die nichtlinearen Bewegungsgleichungen (5.5) und (5.6) sind vom Typ

q¨ + f (q, q) Ë&#x2122; = 0.

(5.16)

LĂśsungen dieses Typs kĂśnnen selbsterregte Schwingungen beschreiben [MPS08]. Da sie nicht explizit von der Zeit

t abhängen werden sie als autonom bezeichnet. Wie alle Schwin-

gungen zeichnen sich auch selbsterregte Schwingungen durch einen Wechsel zwischen potentieller und kinetischer Energie aus. Zudem kann von auÿen Energie zugefßhrt und durch Dämpfung Energie dissipiert werden. Ist die Dissipation grÜÿer als die Energiezufuhr, so klingt die Schwingung ab, andernfalls wird sie angefacht. Sind beide Energieanteile ßber eine Periode gleich, so spricht man auch vom Erreichen eines Grenzzykels [MPS08]. Zwar nähern sich LÜsungen aus den Abbildungen 5.75.10 abklingend Ruhelagen an, jedoch ist dieses Verhalten besonders bei hÜheren Winkelgeschwindigkeiten

Ď&#x2030;

nicht mehr

gegeben. Der Wellenmittelpunkt wird sich dann in Richtung Gleitlageräche bewegen, wobei dann kein abklingendes Schwingungsverhalten mehr vorliegt. Um genauere Aussagen ßber das Anfachen oder Abklingen selbsterregter Schwingungen zu machen ist es sinnvoll den Begri der Stabilität näher zu betrachten. Dazu sei zunächst ein Dierentialgleichungssystem

 qË&#x2122; = f q (t) wie aus (5.11) betrachtet. Eine LĂśsung

q (t = 0)

q (t)

(5.17)

hängt eindeutig von Anfangsbedingungen

ab, sodass

 q = q q (t = 0)

(5.18)

gilt (vergleiche (5.14) und (5.15)). Betrachtet man nun eine bestimmte LĂśsung deren Anfangsbedingungen durch

a (t = 0)

 q a (t = 0) ,

gegeben sind, so erhält man die nachfolgende,

auf Lyapunov zurßckzufßhrende Denition bezßglich des Stabilitätsbegris. Die LÜsung

 q a (t = 0)

existiert, sodass fĂźr alle

ist stabil, wenn zu jedem beliebig kleinen

S>0

ein

tâ&#x2030;Ľ0

 

q (t = 0) â&#x2C6;&#x2019; a (t = 0) < s (S) â&#x2021;&#x2019; q q (t = 0) , t â&#x2C6;&#x2019; q a (t = 0) , t < S gilt. Andernfalls ist die LĂśsung

72

s (S) > 0

(5.19)

 q a (t = 0) instabil [Hag78]. Als attraktiv bezeichnet man


5.4 Stabilität nach Lyapunov

Abbildung 5.11: Stabiles und instabiles mechanisches System [Sti06]

eine LĂśsung

 q a (t = 0) ,

wenn ein

S>0

existiert, sodass

 

q (t = 0) â&#x2C6;&#x2019; a (t = 0) < S â&#x2021;&#x2019; lim q q (t = 0) , t â&#x2C6;&#x2019; q a (t = 0) , t = 0 tâ&#x2020;&#x2019;â&#x2C6;&#x17E;

(5.20)

gilt. Ist eine LĂśsung stabil und attraktiv, so nennt man sie asymptotisch stabil [Hag78]. Diese mathematische Beschreibung lässt sich anschaulich anhand Abbildung 5.11 erläutern. Ein einfaches mechanisches System bestehe aus einer Kugel auf einer gekrĂźmmten Oberäche. Sowohl im stabilen als auch im instabilen Fall stellt die Ruhelage der Kugel eine LĂśsung der Bewegungsgleichung dar. Dabei wird als Anfangsbedingung eben diese Ruhelage gewählt. Eine beliebig kleine Ă&#x201E;nderung dieser Anfangsbedingungen hat im stabilen Fall eine begrenzte LĂśsung zur Folge. Der Abstand dieser LĂśsung zur Ruhelage kann beliebig durch die Anfangsbedingungen festgelegt werden. Asymptotische Stabilität liegt vor, wenn man Reibung mitberĂźcksichtigt. Im instabilen Fall ist es selbst bei kleinen Auslenkungen nicht mĂśglich LĂśsungen zu erhalten, die beliebig nahe an der Ruhelage liegen. Um die Stabilität einer LĂśsung StĂśrung

δq

q (t)

zu ĂźberprĂźfen wird nun eine innitesimal kleine

hinzugefĂźgt und der zeitliche Verlauf dieser StĂśrung betrachtet. Verschwindet

die StÜrung ßber der Zeit, so liegt asymptotische Stabilität vor [vdV01]. Aus dem Dierentialgleichungssystem (5.17) ergibt sich somit durch Einsetzen einer gestÜrten LÜsung

   d q (t) + δq (t) dq (t) d δq (t) = + = f q (t) + δq (t) . dt dt dt

(5.21)

Wird die rechte Seite in eine Taylorreihe entwickelt lässt sich Gleichung (5.21) mittels Gleichung (5.17) als

   d δq (t)  â&#x2C6;&#x201A;f q (t)  f q (t) + = f q (t) + δq (t) + r δq (t) dt â&#x2C6;&#x201A;q (t) ausdrĂźcken, wobei

(5.22)

 r δq (t) nichtlineare Restglieder von hÜherer Ordnung beschreiben. Es

73


5 Stabile Betriebspunkte eines Rotormodells

folgt somit in vereinfachter Schreibweise

  δ qË&#x2122; (t) = J q (t) δq (t) + r δq (t) . Dabei stellt

 J q (t)

(5.23)

die Jacobi-Matrix dar. Sie ist im Allgemeinen zeitabhängig, sofern

auch die zu untersuchende LĂśsung jedoch um eine Ruhelage

q (t)

q = const.

zeitabhängig ist. Wenn es sich bei dieser LÜsung

mit

q 6= q (t)

handelt, so ist auch die Jacobi-

Matrix zeitunabhängig. Dies vereinfacht die Stabilitätsßberprßfung der bereits ermittelten Ruhelagen aus Abschnitt 5.2. Vernachlässigt man zunächst die Restglieder

r δq (t)



aus Gleichung (5.23), so erhält

man das linearisierte Dierentialgleichungssystem

δ qË&#x2122; (t) = J (q) δq (t) .

(5.24)

Wie aus der Theorie Ăźber lineare Dierentialgleichungssysteme bekannt, klingen LĂśsungen

δq (t)

ab, wenn alle Eigenwerte der Matrix

J (q)

negativen Realteil besitzen [Hag78].

In diesem Fall besitzen die nun nachfolgend zu untersuchenden Ruhelagen die Eigenschaft asymptotischer Stabilität. Auÿerdem gilt dies ebenso fßr das nichtlineare System (5.23), da die Restglieder

 r δq (t)

schneller gegen

dieser Sachverhalt durch

0

streben als

δq (t).

 r δq (t) =0 lim |δq(t)|â&#x2020;&#x2019;0 |δq (t)|

Mathematisch lässt sich

(5.25)

ausdrßcken [Gau11]. Die Stabilität kann dann anhand der linearen Näherung (5.24) beschrieben werden. Besitzt mindestens ein Eigenwert der Matrix

J (q) einen positiven Real-

teil, so liegt Instabilität vor. Es sei zudem darauf hingewiesen, dass bei verschwindendem Realteil keine Stabilitätsaussage anhand des linearen Systems (5.24) mÜglich ist. Zur Beurteilung mßssen in diesem Fall die Restglieder

r δq (t)



hĂśherer Ordnung berĂźcksichtigt

werden [Het08]. Die Spalten

ji (q)

mit

i = 1, . . . , n

der Jacobi-Matrix

J (q)

kĂśnnen numerisch mit dem

vorderen Dierenzenquotienten

ji (q) â&#x2030;&#x2C6;

f (q + hâ&#x2C6;&#x2014; Ei ) â&#x2C6;&#x2019; f (q) hâ&#x2C6;&#x2014;

berechnet werden [vdV01]. Dabei stellen

Ei

(5.26)

die Spalten der Einheitsmatrix dar. Die kleine

â&#x2C6;&#x2014; Zahl h sollte dabei mit der Maschinengenauigkeit abgestimmt werden, um Rundungsfehler zu minimieren.

74


5.5 Bifurkationspunkt und Grenzdrehzahl

Die Stabilitätsßberprßfung anhand des linearen Systems (5.24) wird auch als erste oder indirekte Lyapunovsche Methode bezeichnet [Hag78].

5.5 Bifurkationspunkt und Grenzdrehzahl Um eine Stabilitätsaussage fßr die in Abschnitt 5.2 ermittelten Ruhelagen treen zu kÜnnen, mßssen fßr jede zugehÜrige Winkelgeschwindigkeit Matrix

J (q)

Ď&#x2030;

die Eigenwerte der Jacobi-

aus Gleichung (5.24) ermittelt werden. Man erhält dabei jeweils vier Eigen-

werte, wobei nur eine Ă&#x153;berprĂźfung der Realteile bei der Implementierung erforderlich ist. Zudem genĂźgt es den grÜÿten Realteil zu betrachten. Ist dieser Wert negativ, so ist die betrachtete Ruhelage asymptotisch stabil, andernfalls instabil. In Abbildung 5.12 wurde die normierte Exzentrizität

 Ăźber der Winkelgeschwindigkeit Ď&#x2030;

aufgetragen. Den Berechnungen liegt das Modell des Ocvirk Kurzlagers zugrunde. Die durchgezogene Linie bezieht sich auf asymptotisch stabile Ruhelagen. Der markierte Punkt mit den Koordinaten

(Ď&#x2030;Krit |Krit )

bezieht sich ebenfalls auf eine gerade noch asymptotisch

stabile Ruhelage. Wird die Winkelgeschwindigkeit jedoch nur minimal erhĂśht, so sind die Ruhelagen instabil, was durch den helleren Linienverlauf angedeutet ist.

Abbildung 5.12: Stabilitätsverhalten Ocvirk Kurzlager

B/D = 0,25

In diesem Fall sind Schwingungen in der Nähe der Ruhelage nicht mehr abklingend, kÜnnen jedoch in einen Grenzzykel mßnden [MPS08]. Dieser Grenzzykel kann zudem selbst wiederum stabiles oder instabiles Verhalten besitzen. Es existieren dann mehrere LÜsungsmÜglichkeiten nebeneinander, weshalb man auch von Verzweigung oder Bifurkation spricht. Die Winkelgeschwindigkeit

Ď&#x2030;

wird als Bifurkationsparameter bezeichnet. Als

75


5 Stabile Betriebspunkte eines Rotormodells

Abbildung 5.13: Zeitverlauf Wellenzapfen Ocvirk Kurzlager

B/D = 0,25.

Stabiles (links) und instabiles Verhalten (rechts) bei unterschiedlicher Drehzahl.

Hopf-Bifurkationspunkt wird der zur Winkelgeschwindigkeit gehörende Punkt genannt,

an dem die Eigenwerte der Jacobi-Matrix verschwindenden Realteil aufweisen [vdV01]. Der Bifurkationspunkt wird aufgrund der hier durchgeführten numerischen Berechnung von den Winkelgeschwindigkeiten

ωKrit = 1909,4 rad/s

und

ωKrit,instab = 1911,9 rad/s

begrenzt. Die zu diesen beiden Winkelgeschwindigkeiten gehörenden Lösungen mit der Anfangsbedingung (5.15) zeigt Abbildung 5.13. Deutlich zu erkennen ist, dass mit der Winkelgeschwindigkeit

ωKrit

ein asymptotisches Abklingen vorliegt und mit

Abbildung 5.14: Stabilitätsverhalten nites Lager

76

ωKrit,instab

B/D = 0,25

die


5.5 Bifurkationspunkt und Grenzdrehzahl

Amplituden des Wellenzapfens anwachsen. Demnach liegt der Verzweigungspunkt in unmittelbarer Nähe des Punktes mit den Koordinaten

(Ď&#x2030;Krit |Krit ). Sie sind jedoch nicht exakt

identisch. Mittels Impedanzmethode kÜnnen Stabilitätsuntersuchungen auch fßr nite Lager unterschiedlicher Geometrie durchgefßhrt werden. Die Abbildungen 5.145.16 zeigen dies, wobei die Halb-Sommerfeld-LÜsung der Penaltymethode gegenßbergestellt wird.

Abbildung 5.15: Stabilitätsverhalten nites Lager

Abbildung 5.16: Stabilitätsverhalten nites Lager

B/D = 1

B/D = 2,5

Ein Vergleich der Abbildungen 5.12 und 5.14 zeigt zwar einen ähnlichen Kurvenverlauf, allerdings sind die gerade noch stabilen Winkelgeschwindigkeiten

Ď&#x2030;Krit

des niten Lagers

niedriger, als beim Ocvirk Kurzlager. Auallend ist, dass mit zunehmender Lagerbreite, die Welle bereits bei weitaus niedrigeren Drehzahlen in der Nähe des Lagerzentrums stabil läuft. Eine Tendenz hinsichtlich

Ď&#x2030;Krit

ist jedoch schwer auszumachen, da die Winkelge-

77


5 Stabile Betriebspunkte eines Rotormodells

schwindigkeiten bei zunehmender Lagerbreite zunächst fallen, beim niten Langlager aber wieder ansteigen. Auch beim Vergleich zwischen Halb-Sommerfeld-Lösung und Penaltymethode ist es schwer einen Zusammenhang auszumachen. Für kurze und mittlere Lagerbreiten liegen die Werte für

ωKrit

bei Verwendung der Penaltymethode über denen der Halb-Sommerfeld-

Lösung. Die Ausnahme bildet das untersuchte nite Langlager, bei dem sich ein umgekehrtes Verhalten zeigt.

5.6 Stabilitätskarten Ob sich ein gleitgelagerter Rotor stabil oder instabil verhält hängt nicht allein von dessen Drehzahl ab. Vielmehr rückt das Wechselspiel zwischen Tragfähigkeit und Belastung in den Vordergrund. Dieser Zusammenhang lässt sich bereits anhand der Sommerfeldzahl aus Gleichung (2.1) erkennen. Neben der Winkelgeschwindigkeit

ω

fällt auch die Last

So W

bei der Charakterisierung des Betriebsverhaltens ins Gewicht.

Abbildung 5.17: Stabilitätskarte Ocvirk Kurzlager

B/D = 0,25

Von besonderem Interesse ist der Zusammenhang zwischen Drehzahl respektive Winkelgeschwindigkeit und der Last an der Grenze zwischen stabilem und instabilem Verhalten. Dabei werden für variierende Lagerlasten cobi-Matrix

J (q)

W

über eine Eigenwertanalyse der Ja-

aus Gleichung (5.24), Winkelgeschwindigkeiten

ω

gefunden, welche zu

verschwindenden Realteilen der Eigenwerte zugehörig sind. Abbildung 5.17 zeigt für das Ocvirk Kurzlager eine Stabilitätskarte, die den Zusammen-

78


5.6 Stabilitätskarten

Abbildung 5.18: Stabilitätskarte nites Lager

hang zwischen der Last

B/D = 0,25

WKrit und der Winkelgeschwindigkeit ωKrit an der Stabilitätsgrenze

beschreibt. Punkte auf dem dargestellten Grenzverlauf stehen für gerade noch asymptotisch stabile Ruhelagen, da die zu

ωKrit

gehörenden Eigenwerte negativen Realteil besitzen.

Die tatsächliche Stabilitätsgrenze mit verschwindenden Realteilen der Eigenwerte liegt somit in unmittelbarer Nähe. Nur minimal höhere davon abweichende Drehzahlen führen bereits zu einem instabilen Verhalten. Für gröÿere Lasten zeigt sich, dass durch erhöhte Drehzahlen ein stabiles Verhalten erreicht werden kann. Die Abbildungen 5.185.20 zeigen Stabilitätskarten niter Lager unterschiedlicher Geometrie. Zur ergänzenden Darstellung ndet sich eine Überlagerung der Diagramme in Anhang A.2.3. Sie wurden mit der Impedanzmethode und den zugehörigen Kennfeldern aus Abschnitt 4.2 gefunden. Erneut werden dabei die Ergebnisse aus Halb-SommerfeldLösung und Penaltymethode gegenübergestellt. Es sei zudem auf die unterschiedliche Skalierung der Koordinatenachsen hingewiesen, da davon auszugehen ist, dass breitere Lager höheren Belastungen ausgesetzt werden können. Zu beachten ist, dass dies jedoch auch einen starken Druckanstieg im Schmierlm zur Folge hat. Der praktischen Realisierbarkeit werden somit durch weitere Einüsse, wie beispielsweise dem Dichtungskonzept, Grenzen aufgezeigt. Ein Vergleich der Stabilitätskarten des Ocvirk Kurzlagers und des niten Lagers (Abbildung 5.17 und 5.18) führt zu einem ähnlichen Verlauf, allerdings ist dieser unter Verwendung der Penaltymethode für höhere Lasten

WKrit

etwas acher.

Bei ansteigender Lagerbreite nimmt die Steigung der Stabilitätsgrenze stark zu. Für Gleitlager mit einem Verhältnis

B/D = 1

lässt sich kein merklicher Unterschied zwischen

der Halb-Sommerfeld-Lösung und der Penaltymethode ausmachen.

79


5 Stabile Betriebspunkte eines Rotormodells

Auch ein Vergleich zum niten Langlager zeigt bei Betrachtung der Halb-SommerfeldLösung für hohe Lasten keine groÿen Unterschiede im Verlauf der Stabilitätsgrenze. Für nite Langlager verschiebt sich hingegen die Stabilitätsgrenze bei Verwendung der Penaltymethode hin zu niedrigeren Winkelgeschwindigkeiten

ωKrit ≈ 1500 rad/s. ωKrit

liegt für sehr niedrige Belastungen die Winkelgeschwindigkeit mit einem Verhältnis

B/D = 1.

Auÿerdem

höher als bei Lagern

Bei steigender Last nehmen die Winkelgeschwindigkei-

ten des niten Langlagers an der Stabilitätsgrenze schnell ab. Dennoch stellen sie sich im Anschluss als annähernd konstant ein.

Abbildung 5.19: Stabilitätskarte nites Lager

Abbildung 5.20: Stabilitätskarte nites Lager

B/D = 1

B/D = 2,5

Zusammenfassend lässt sich sagen, dass das Stabilitätsverhalten gleitgelagerter Rotoren von der Geometrie der Lager beeinusst wird. Besonders bei breiteren Lagern stellt sich für höhere Lasten die Stabilitätsgrenze bei einer nahezu konstanten Winkelgeschwindigkeit ein. Auch die gewählte Kavitationsmodellierung des Schmierlms beeinusst die

80


5.6 Stabilitätskarten

Stabilitätsgrenze. Dies hängt jedoch wiederum von der gewählten Lagergeometrie ab. Geht man davon aus, dass Kavitationserscheinungen im Schmierlm durch die Penaltymethode genauer beschrieben werden als durch die Halb-Sommerfeld-Lösung, so kann der relativ geringe Mehraufwand bei der Simulation vertretbar sein. Zudem stellt der Penaltyfaktor

kP

einen weiteren Einstellparameter dar, um Simulationen mit Versuchsergeb-

nissen abzugleichen.

81


5 Stabile Betriebspunkte eines Rotormodells

82


6 Zusammenfassung und Ausblick 6.1 Zusammenfassung Zunächst wird im Rahmen der vorliegenden Arbeit eine Einfßhrung in die Problemstellung selbsterregter Schwingungen bei hochtourigen Rotorsystemen geliefert. Dabei ist festzustellen, dass insbesondere bei gleitgelagerten Rotoren eine gänzliche Betrachtung der physikalischen Eekte angebracht ist, da diese die Dynamik maÿgeblich beeinussen kÜnnen. Nach dem Aufzeigen konstruktiver Ausfßhrungen und deren Betriebsweisen wird auf charakterisierende Kennzahlen wie die Sommerfeldzahl

So

eingegangen.

Eine wichtige Rolle beim Betrieb ßbernimmt der Druckverlauf im Schmierlm. Er ist eng mit der Tragfähigkeit des Gleitlagers verbunden, weshalb das Augenmerk zunächst auf dessen physikalisches Verhalten gerichtet wird. Von besonderem Interesse sind dabei Kavitationseekte. Hierbei verdampft Flßssigkeit und trägt nicht mehr zur Tragfähigkeit des Lagers bei. Anhand geometrischer und physikalischer Beziehungen wird die Reynoldsgleichung als partielle Dierentialgleichung fßr radiale Gleitlager hergeleitet. Ihre Gßltigkeit kann durch die Annahme eines sehr dßnnen Schmierlms begrßndet werden. Unter Vernachlässigung des partiellen Charakters werden zunächst die beiden analytischen LÜsungen nach Ocvirk und Sommerfeld angegeben. Im strengen Sinne sind sie jedoch nur fßr innitesimal kurze beziehungsweise lange Lager gßltig. Eine approximative LÜsung der vollständigen Reynoldsgleichung wird ßber die Methode der niten Elemente gefunden. Bei der Berechnung kommen die FEM Simulationssoftware

sics

und das Berechnungsprogramm

MATLAB

COMSOL Multiphy-

zum Einsatz.

Die erhaltenen Druckverläufe als LÜsungen der Reynoldsgleichung sagen auch negative Drßcke voraus, da von einem durchweg vollen Schmierlm ausgegangen wird. Dies tritt in der Realität jedoch nicht auf, da die Flßssigkeit aufgrund von Kavitation verdampft. Zur Modellierung dieses Eekts werden drei Kavitationsmodelle vorgestellt. Bei der Halb-Sommerfeld-LÜsung werden negative Drßcke abgeschnitten. Diese Methode ist einfach durchzufßhren, hat jedoch eine Unstetigkeitsstelle im Druckverlauf zur

83


6 Zusammenfassung und Ausblick

Folge. Eine Verbesserung stellt die Reynolds Randbedingung dar. Sie liefert einen glatten Ă&#x153;bergang am Kavitationsrand. Der Ort des Kavitationsrandes ist jedoch zunächst unbekannt. Bei Verwendung der Penaltymethode muss dieser Ort nicht explizit berechnet werden. Ihr liegt die Idee zugrunde durch EinfĂźhrung eines zusätzlichen Potentials negative DrĂźcke anzuheben. AuĂżerdem kann dies zusätzlich Ăźber den Penaltyfaktor

kP

gesteuert

werden. Eine weitere Kavitationsmodellierung nach Elrod geht von einer variablen Dichte im Kavitationsgebiet aus. Hierzu wird die Reynoldsgleichung unter Verwendung der unstetigen Schalterfunktion

g (Ď&#x2020;)

umformuliert. Dabei wird zwischen vollem Schmierlm und

Kavitationsgebiet umgeschaltet. Im Kavitationsgebiet erhält die beschreibende Dierentialgleichung jedoch einen rein konvektiven Charakter. Dies fĂźhrt zu numerischer Instabilität, was die EinfĂźhrung kĂźnstlicher Diusion, beispielsweise durch ein Petrov-GalerkinVerfahren erfordert. Dennoch ist ein Gelingen der Methode in hohem MaĂże von der betrachteten Lagergeometrie und Drucksituation abhängig. Es lässt sich jedoch eine gute Ă&#x153;bereinkunft beispielhaft berechneter Druckverläufe nach Elrod und der Penaltymethode nden. Im Sinne eines preprocessings wird die Impedanzmethode angewendet. Um bei dynamischen Simulationen nicht fĂźr jeden Zeitschritt Ăźber den Schmierlmdruck integrieren zu mĂźssen, ist es mĂśglich im Vorfeld Kennfelder aufzubauen, aus denen mittels Interpolation sehr schnell die Lagerkräfte ermittelt werden kĂśnnen. Impedanzkennfelder werden fĂźr unterschiedliche Lagergeometrien mit der Halb-Sommerfeld-LĂśsung und Penaltymethode aufgebaut. Dabei ist es notwendig den Penaltyfaktor

kP

je nach Kennfeldbereich

anzupassen. Die Impedanzmethode lässt sich bei der Elrod Kavitationsmodellierung aufgrund des nichtlinearen Charakters nicht anwenden. Es ist jedoch prinzipiell mÜglich Kraftkennfelder aufzubauen, sofern eine stabile Numerik mit geschickt gewählter kßnstlicher Diusion vorliegt. Die mit der Software

COMSOL Multiphysics

gefundenen LĂśsungen zeigen jedoch

hinsichtlich beliebiger Parameterkonguration ein nicht robustes Verhalten. Um den Einuss der vorgestellten Kavitationsmodellierungen zu untersuchen wird ein einfaches gleitgelagertes Rotormodell ohne Unwucht betrachtet und dessen Bewegungsgleichungen angegeben. Stationäre LÜsungen, sogenannte Ruhelagen, werden ßber die Vernachlässigung zeitabhängiger GrÜÿen fßr unterschiedliche Drehzahlen gefunden. Es zeigen sich dabei keine starken Abweichungen zwischen der Halb-Sommerfeld-LÜsung und der Penaltymethode.

84


6.2 Ausblick

Zeitabhängige LÜsungen werden mit dem in

MATLAB implementierten Runge-Kutta-

Verfahren gefunden. Nach einer Einfßhrung in den Stabilitätsbegri nach Lyapunov wird ßber eine Eigenwertanalyse die Stabilität der Ruhelagen ßberprßft. Fßr unterschiedliche Lagergeometrien werden dabei kritische Winkelgeschwindigkeiten

Ď&#x2030;Krit gefunden, die asym-

ptotisch stabile Ruhelagen von instabilen abgrenzen. Es ist festzustellen, dass der Einuss der verwendeten Kavitationsmodelle von der betrachteten Lagergeometrie abhängt. Dieses Verhalten zeigt sich auch bei ermittelten Stabilitätskarten, wobei die Last ßber der kritischen Winkelgeschwindigkeit

Ď&#x2030;Krit

aufgetragen wird.

Generell kann davon ausgegangen werden, dass die Kavitationsmodellierung mit der Penaltymethode eine Verbesserung gegenĂźber der Halb-Sommerfeld-LĂśsung darstellt. Bei geschickter Wahl des Penaltyfaktors

kP

mĂźssen dabei keine EinbuĂżen hinsichtlich der

Simulationsleistung hingenommen werden, da es mÜglich ist die Impedanzmethode zu verwenden. Zusätzlich stellt der Penaltyfaktor

kP

einen weiteren Einstellparameter bereit, mit

dem es mĂśglich ist Simulationen und Versuchsergebnisse abzugleichen.

6.2 Ausblick Als Ausgangspunkt weiterer Betrachtungen kÜnnen die in dieser Arbeit getroenen Annahmen dienen. So ist es beispielsweise mÜglich die Annahme isothermer Zustände mit konstanter dynamischer Viskosität

Âľ

des SchmierĂśls fallen zu lassen. Dies erĂśnet weitere

Fragestellungen seitens der Thermodynamik. Ein weiterer Ansatz bietet die eigenständige Umsetzung des Kavitationsmodells nach Elrod. Um einen robusteren Kavitationsalgorithmus zu erhalten lieÿe sich auch eine Um-

setzung mittels niter Dierenzen weiterverfolgen. Als numerisches Stabilisierungsverfahren kann dabei das Upwind-Dierencing Anwendung nden, um kĂźnstliche Diusion im rein kovektiven Bereich des Kavitationsgebiets hinzuzufĂźgen. Die Annahme eines idealen Rotors ohne Unwucht stellt einen akademischen Sonderfall dar, der fertigungsbedingt in der Realität praktisch nicht auftritt. Von Interesse kann daher die Ă&#x153;berlagerung einer Unwuchterregung mit selbsterregten Schwingungen sein. Um auftretende Schwingungen zu unterdrĂźcken kann konstruktiv auf die Lagergeometrie Einuss genommen werden. Ă&#x153;ber eine veränderte SpalthĂśhenfunktion

h (θ) lassen sich

beispielsweise Zitronenlager modellieren. In Verbindung mit den aufgezeigten Kavitationsmodellen lieÿen sich weitere Untersuchungen hinsichtlich des Stabilitätsverhaltens durchfßhren. Denkbar ist somit das Aunden einer optimierten Lagergeometrie, um in einem mÜglichst groÿen Drehzahlbereich ein stabiles Verhalten des Rotorsystems zu erzielen.

85


6 Zusammenfassung und Ausblick

86


A Anhang A.1 Parameter Sofern nicht anderweitig angegeben, sind in Tabelle A.1 die in dieser Arbeit verwendeten Parameter aufgefĂźhrt. Bezeichnung

Formelzeichen

Zahlenwert

Einheit

Lagerbreite (Kurzlager)

B B B C e g m Âľ Ď&#x2030; R

0,01 0,04 0,1 20 ¡ 10â&#x2C6;&#x2019;6 10 ¡ 10â&#x2C6;&#x2019;6 9,81 0,1 1 ¡ 10â&#x2C6;&#x2019;4 10 0,02

m m m m m m/s2 kg Ns/m2 rad/s m

Lagerbreite (nites Lager) Lagerbreite (Langlager) Radiendierenz Exzentrizität Erdbeschleunigung Lastmasse dynamische Viskosität SchmierÜl Winkelgeschwindigkeit Welle Lagerradius

Tabelle A.1: Parameterwerte

87


A Anhang

A.2 Vergleich überlagerter Diagramme A.2.1 Verlagerungsbahn stationärer Gleichgewichtslagen Zum Vergleich der Halb-Sommerfeld-Lösung mit der Penaltymethode zeigen die Abbildungen A.1A.3 eine überlagerte Darstellung der Abbildungen 5.45.6 aus Abschnitt 5.2.

Abbildung A.1: Ruhelagen nites Lager

88

B/D = 0,25


A.2 Vergleich 端berlagerter Diagramme

Abbildung A.2: Ruhelagen nites Lager

Abbildung A.3: Ruhelagen nites Lager

B/D = 1

B/D = 2,5

89


A Anhang

A.2.2 Zeitlicher Verlauf des Wellenmittelpunktes Zum Vergleich der Halb-Sommerfeld-Lösung mit der Penaltymethode zeigen die Abbildungen A.4A.6 eine überlagerte Darstellung der Abbildungen 5.85.10 aus Abschnitt 5.3.

Abbildung A.4: Zeitverlauf Wellenzapfen nites Lager Winkelgeschwindigkeit

90

ω = 400 rad/s.

B/D = 0,25.


A.2 Vergleich überlagerter Diagramme

Abbildung A.5: Zeitverlauf Wellenzapfen nites Lager Winkelgeschwindigkeit

ω = 10 rad/s.

Abbildung A.6: Zeitverlauf Wellenzapfen nites Lager Winkelgeschwindigkeit

B/D = 1.

B/D = 2,5.

ω = 0,9 rad/s.

91


A Anhang

A.2.3 Stabilitätskarten Zum Vergleich der Halb-Sommerfeld-Lösung mit der Penaltymethode zeigen die Abbildungen A.7A.9 eine überlagerte Darstellung der Abbildungen 5.185.20 aus Abschnitt 5.6.

Abbildung A.7: Stabilitätskarte nites Lager

92

B/D = 0,25


A.2 Vergleich 체berlagerter Diagramme

Abbildung A.8: Stabilit채tskarte nites Lager

Abbildung A.9: Stabilit채tskarte nites Lager

B/D = 1

B/D = 2,5

93


A Anhang

94


Symbolverzeichnis Symbol

Beschreibung

Einheit

a a ai Îą B β bj C D DW δID δPG E e  Krit Ρ Ρâ&#x2C6;&#x2014; F f FR FT FX FY fx,y,z FZentr g g Îł Î&#x201C;â&#x2C6;&#x2014; h hchar hâ&#x2C6;&#x2014;

Exzentrizität Schwerpunkt

S

m

Zustandsvektor Anfangsbedingungen Koezienten Ansatzfunktionen Winkel ab

Ξ -Achse

rad m Pa

Lagerbreite Kompressionsmodul Koezienten Wichtungsfunktionen

R â&#x2C6;&#x2019; RW 2R Wellendurchmesser 2RW

m m m

Radiendierenz

Lagerdurchmesser

Justierungsparameter Isotrope Diusion Justierungsparameter Petrov-Galerkin Einheitsmatrix

m

Exzentrizität Dimensionslose Exzentrizität

e/C

Kritische Exzentrizität Weg in

Ρ -Richtung

m

Wichtungsfunktion

N

Druckkraft Vektor äuÿere Feldkraft Kraftkomponente R-Richtung Kraftkomponente T-Richtung Kraftkomponente Kraftkomponente

X -Richtung Y -Richtung

Komponenten äuÿere Feldkraft Zentrifugalkraft Erdbeschleunigung

N N N N N/kg N m/s2

Schalterfunktion Winkel ab

Y -Achse

rad

Gebietsrand SpalthÜhe Fluidlm Charakteristische Länge

m m

Kleine Zahl Maschinengenauigkeit

95


Symbolverzeichnis

Symbol

J ji kP m MB mges µ MW n nGrenz nKrit ω ωKrit Ω∗ p Pe φ Φi Φj Π∗ pKav ψ pUmg q q1,2,3,4 R

96

Beschreibung

Einheit

Jacobi-Matrix

Spalten Jacobi-Matrix Penaltfaktor Masse

mges /2

kg

Lagermittelpunkt

kg Ns/m2

Rotorgesamtmasse Dynamische Viskosität Wellendurchstoÿpunkt Drehzahl Grenzdrehzahl Resonanzdrehzahl Winkelgeschwindigkeit Kristische Winkelgeschwindigkeit

1/s 1/s 1/s rad/s rad/s

Gebiet

Pa

Druck Péclet-Zahl

Dichteverhältnis

ρ/ρKav

Ansatzfunktionen Wichtungsfunktionen Potentialfunktion Druck Kavitationsgebiet Relatives Radialspiel

Pa

C/R Pa

Umgebungsdruck Zustandsvektor Komponenten Zustandsvektor

m m

Lagerradius

R

Weg in R-Richtung

r Re ρ ρKav R∗ RW S So So∗ t

Restglieder Reynoldszahl

kg/m3 kg/m3

Dichte Dichte Kavitationsrand Residuum

m

Wellenradius Schwerpunkt Sommerfeldzahl

Modizierte Sommerfeldzahl Zeit

T

Weg in T-Richtung

θ θ1 θ2 ϑ

Winkel

x/R

Winkel Druckberganfang Winkel Druckbergende Substitutionswinkel zu

θ

s m rad rad rad rad


Symbolverzeichnis

Symbol

Beschreibung

ϑ2 u UW v v V vs vs w W Wη Wges WKrit WR WT WX Wξ WY x X ξ Ξ y Y z (˙)

Substitutionswinkel zu Geschwindigkeit in

Einheit

θ2

x-Richtung

Geschwindigkeit Wellenoberäche Geschwindigkeit in

y -Richtung

rad m/s m/s m/s

Geschwindigkeitsvektor

m3 m/s

Volumen Quetschgeschwindigkeit Vektor Quetschgeschwindigkeit Geschwindigkeit in

z -Richtung

Last Impedanzkomponente in

m/s N

η -Richtung

Rotorgesamtlast Kritische Last

N N

Impedanzkomponente in R-Richtung Impedanzkomponente in T-Richtung

X -Richtung Impedanzkomponente in ξ -Richtung Lastkomponente in Y -Richtung Weg in x-Richtung Weg in X -Richtung Weg in ξ -Richtung Winkel ab Y -Achse θ + γ Weg in y -Richtung Weg in Y -Richtung Weg in z -Richtung d Zeitableitung dt ( ) Lastkomponente in

N N m m m rad m m m

97


Symbolverzeichnis

98


AbkĂźrzungsverzeichnis AbkĂźrzung

Beschreibung

CAE

Computer-Aided Engineering. RechnergestĂźtzte Entwicklung.

FDM

Finite Dierenzen Methode.

FEM

Finite Elemente Methode.

ODE

Ordinary dierential equation. GewĂśhnliche Dierentialgleichung.

99


Abk端rzungsverzeichnis

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Literaturverzeichnis

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Einfluss von Kavitationsmodellen auf das Stabilitätsverhalten gleitgelagerter Rotoren  

Diplomarbeit - Download - http://tinyurl.com/diplomarbeitonline0

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