Une généralisation d’une théorème de Carnot

FLORENTIN SMARANDACHE

Une généralisation d’une théorème de Carnot

In Florentin Smarandache: “Généralisations et Généralités”. Fès (Maroc): Édition Nouvelle, 1984.

21

UNE

D'un.' THEORE.:.lE

GENERi\LISA':cIOfT

DE

C1LillW'J:

Théorème de Carnot gSo:.t un point 1'1 sur 12;. diq;on2<-1e LC d'un qUé3,drilatère quolconque A3CD. P"r n on trace UllG droite qui coupe AB cm d et BC 8n f5 • Pui s on trêce Q.'le ?cutre droite, qui cou:pe CD en 1> et -"Ln 8:-1 cf • Alcrs on 2. g

=

l

," • Sur une cli~o~lLüe AIAl1.e P olYro"one . ';.. l •• 0-"'11 '-" de celui-ci on prend un point qui

CO'.l.1jc

n

p2,r lec;:.uel on tr2.ce

11-'10

droite d

los droites 1:"/1.29 ~·'-/i.3"" ,11c_/"k rc:spoctive82nt ::.ux

l

points Pl~P2J.o.9Pk_l ' et une autre droite d

qui coupo los :::.u2 A tres droites ;Lk_. k_ +l"" ,;~n- Ill.n ,A.n Al respectivement 2.UX points Pk' ••• ,p. l ,P • ;\lors on é), g ü-

n

11

j .

P.

lJ

l

'7

i=l Démonstration .'~

g

T\ f . .LJI, LÀ. •

.P .

J J

l

1 :. (. \

Soit l .

9 CL

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'\ j

, où

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est ln pernmtation n-l n \ .

fI\ 2 32 ...

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l

n

J

j ,/ k-l • Or. montre f::1Cilement que '\'

où D(.\,d) représontel::. distc,nce du point d \ - 9 1/ "'\.. IP, J+l J+ J \.' à la droite d 9 :puisque les trÏ<:lnglGs P ;'•. '~' ot P i. sont j j j j' j+l· j+l semblables. (On note .'~!. ot ·\j+l les projoctions dus points t~ . et J J ~j+l sur la droite dl" ) .,-,f " lJ.2c.

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et ."i.. ((. (h)? h

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DU'k9d2) D(L ,d ) l 2

1

h=k .!..l..

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l

.1.'1,

puisque les

22 triangles

et

sont semblQbles. De même, puisque les

Aï

triangles t'1AIAï et M.'\..kAk sont sŒablû-bles (on note et A~ les projections respectives do A et A sur l~ droite d ) , on 0, : 1 k 2 D(li ,d ) k 2 D(II. ,d ) l 2

=

1,~k M

i\M

Le produit de Iténonc6 est donc bien &gal à le Rem : si on remplace n par rème de Carnot.

4 dans ce théorème, on retrouvo le théo-