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TRABAJO PRÁCTICO SECUENCIA. 22/10/2013 Profesora a cargo: Tosoratto, Laura. Carrera: Profesorado de Matemática. Asignatura: Didáctica específica. Alumnos:     

Cena, Gonzalo. Ortiz, Andrés. San Martino, Marianela. Torres, Florencia. Zbrun, Estefanía.


Trabajo Practico Secuencia Cena, San Martino, Ortiz, Torres, Zbrun.

Tarea 1

Secuencia de enseñanza.

Es una serie de situaciones en las cuales el alumno emprende una sucesión de intercambios relativos a una misma cuestión que forma un obstáculo para él, y sobre las cuales va apropiarse, o construir, o construir un conocimiento nuevo. Es decir, situaciones en la cuales llegue a encostrar un equilibrio adecuado entre la lógica del saber matemático y la lógica de su propio desarrollo cognitivo.

Se define como una continuidad no aditiva sino interrelacionada, estructurada progresivamente de manera tal que una actividad complementa y amplia la actividad anterior y por la evaluación se proyecta a la siguiente, siempre orientada a la competencia a lograr, se representa generalmente por un espiral, conocimiento que avanza en extensión y profundidad, a diferencia de la secuencia lineal, participación, graduación y acumulación en un paradigma normativo (según Irma Menéndez).

Permite:   

Avanzar gradualmente en el conocimiento. Realizar sucesivas aproximaciones a un tema. Lograr un aumento progresivo en la complejidad de la tarea.

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Selección y orden. (no hay un único orden) hay un número limitado de ordenamientos posibles si se tienen en cuenta:    

Las ideas que se pretenden trabajar, Cierta lógica en la presentación de conocimientos (coherencia lógica de cada disciplina o tema). La organización que favorezca su aprehensión por parte de los alumnos ( capacidad psicológica) Los objetivos que guían la organización de la secuencia.

Para disponer la secuencia de enseñanza de un contenido disciplinar es necesario que el docente conozca:    

Estructura interna del contenido desdén la lógica disciplinaria, La estructura psicológica del grupo, La “estructura provisoria” del contenido en función de anteriores aproximaciones (nivel de construcción del sujeto que aprende), Entorno social del individuo.

Escuela francesa

Acción: a partir de la opinión se pone en juego la responsabilidad individual de cada alumno con el compromiso voluntario de resolución de la situación propuesta por el docente. Para que esto sea posible,

Jeannie Steele y Kurt Meredith, programa lectura y escritura para el pensamiento crítico.

Anticipación: es el momento en el que el docente se propone activar los conocimientos previos de los alumnos, comprometerlos en la situación, motivarlos. Construcción del conocimientos: relacionar los conocimientos previos con 2


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el docente debe activar los conocimientos previos que se recuperan de la memoria de largo y de corto plazo. Formulación: es la argumentación la que pone en juego la responsabilidad del alumno con sus pares desde sus conocimientos previos, ya sean acertados o erróneos. Para que este acto de compartir se dé, el docente debe haber generado un espacio de obstaculización epistemológica con una información que disloque esas creencias. Validación: es aquí donde se pone en juego la responsabilidad de todos los agentes educativos (los alumnos con sus maestros) usando la demostración para llegar a la síntesis y conceptualización del objeto matemático aprehender en esa clase. Institucionalización: esta es una tarea ineludible del docente, aquí es él, el que hace que los alumnos descontextualicen el conocimiento he identifiquen su producción con el saber que se realiza en la comunidad científica y cultural de su época. El mismo puede reconocer los saberes puestos en juego que forman parte del saber matemático, hace una síntesis de lo aprendido

nuevos conocimientos, revisar las ideas o la información construida hasta el momento, identificar los puntos más importantes del contenido que se está aprendiendo, realizar inferencias, establecer relaciones, etc. Consolidación: los alumnos reflexionan sobre lo que han aprendido a partir de algunas actividades como: el re-sumen de ideas principales, interpretación de ideas, intercambios de opiniones, etc. Su finalidad es afianzar sus conocimientos.

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utilizando un lenguaje lo más cercano posible al convencional disciplinar. Devolución: la devolución es el acto por el cual el docente hace que el alumno acepte la responsabilidad de una situación de aprendizaje y el mismo acepte las consecuencias de esas creencias por medio de buenas respuestas a la pregunta planteada por el alumno. Esta fase está presente en todas las anteriores y no implican una nueva situación aislada.

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Tarea 2

Secuencia de enseñanza estimación y aproximación. Autor: José Antonio Cajaraville Pegito.

Etapas de diseño, planificación y desarrollo. Tarea 1: Determinación del contenido académico.

En la curricula escolar se ha potenciado la visión de la matemática como la ciencia de la precisión y exactitud. La matemática constituye una manera de pensar caracterizada por procesos tales como la exploración, el descubrimiento y la construcción, la clasificación, la abstracción, la estimación, el cálculo, entre otras.  Qué es la estimación: es un juicio de valor del resultado de una operación numérica o de la medida de una cantidad de magnitud, en función de las circunstancias individuales del que lo emite. (Segovia)  La trasposición didáctica de la estimación a la institución escolar: la estimación constituye un apartado de la matemática escolar, que tradicionalmente ha sido olvidado o poco considerado. No puede considerarse un contenido a la manera tradicional, sino que debe impregnar todo el currículo de matemáticas.  Motivos para enseñar la estimación matemática: utilidad práctica en la vida real en la escuela como recurso de aprendizaje escolar. Valor formativo escolar, del conocimiento, del pensamiento.  Algunos contenidos básicos relacionados con la estimación matemática en la educación secundaria. Contenidos conceptuales: valor exacto de

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una medida, valor aproximado de una medida, error absoluto, error relativo, etc. Contenidos procedimentales relacionados.

Tarea 2: Determinación de la problemática de aprendizaje.

Podemos distinguir como causas más significativas: errores en la lectura y escritura, resolución de problemas que contienen datos erróneos o no reales, etc.

Tarea 3: Formulación, selección y secuencia de objetivos.

Debe ser consecuente con la integración del análisis científico y la problemática didáctica planteada anteriormente. Deben construir la guía para la selección y secuenciación de actividades que promuevan el aprendizaje de los contenidos conceptuales y procedimentales. Tarea 4

Selección de estrategias didácticas; planeamiento metodológico y secuencia de actividades.

La metodología de trabajo que proponemos está basada en las fases de exploración, indagación y aplicación.

Estrategias de instrucción y secuencia de actividades; para la selección y secuenciación de actividades hemos considerado las siguientes fases:

Fase de exploración inicial: valorando el conocimiento previo de los estudiantes sobre estimación y aproximación, intentando estimular la motivación por el tema y hacer emerger algunas destrezas que ya poseen los estudiantes o que son susceptibles de poner en juego. Fase de desarrollo de nociones y procedimientos (fase de indagación): que servirá para conceptualizar (con la intervención y la posterior ayuda del docente) las nociones fundamentales de la estimación en medida (errores, cálculos aproximados, etc.), así como para evidenciar o desarrollar estrategias y procedimientos de estimación y resolución matemática de problemas.

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Fase de aplicaciรณn: en esta fase se trata de aplicar los conceptos, procedimientos, destrezas y estrategias aprendidas relacionadas con la estimaciรณn y aproximaciรณn a situaciones problemรกticas mรกs complejas, relacionรกndolas con conocimientos matemรกticos diversos. En esta fase, la justificaciรณn y la argumentaciรณn resultara fundamentalmente para observar este entramado de relaciones que se establecen para resolver las situaciones, tanto en el proceso de estimaciรณn, como en el de determinaciรณn de un valor mรกs preciso de la soluciรณn mediante la aplicaciรณn de propiedades y algoritmos matemรกticos. Tarea 5: Selecciรณn de estrategias de evaluaciรณn. Nuestra propuesta de evaluaciรณn se basara en estrategias que consideran un doble aspecto.

โ€ข La evaluaciรณn del aprendizaje adquirido, mediante el desarrollo de la secuencia de aprendizaje. โ€ข La evaluaciรณn del mรฉtodo mediante la obtenciรณn de informaciรณn, derivada del seguimiento continuo de las respuestas, discusiones y argumentos de los estudiantes durante el desarrollo de las actividades propuestas, para determinar la adecuaciรณn de dichas actividades y de los materiales usados a los objetivos que pretendemos alcanzar con los estudiantes.

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Tarea 2´: Trasposición didáctica. El saber constituido se plantea bajo formas diversas, por ejemplo la forma de preguntas y respuestas. La presentación axiomática es una representación clásica de la matemática. Además de las virtudes científicas que se le conocen, parece maravillosamente adoptado para la enseñanza. Permite a cada instante definir los objetos que se estudian con la ayuda de nociones introducidas precedentemente, y así organizar la adquisición de nuevos conocimientos anteriores. Asegura entonces al estudiante y al profesor un instrumento para ordenar su actividad y acumular en un mínimo de tiempo un máximo de saberes bastante próximo al saber sabio. Debe completarse con ejemplos y problemas cuya solución exige su empleo. Para hacer más fácil la enseñanza, la presentación axiomática aísla algunas nociones y propiedades del tejido de actividades donde ellas han tomado su origen, su sentido, su motivación y su empleo. Los traspone al contexto escolar. Los epistemólogos llaman transposición didáctica a esta operación. Todo proyecto social de enseñanza y aprendizaje se constituye dialécticamente con la identificación y la designación de contenidos de saberes como contenidos a enseñar. Los saberes designados como “saberes a enseñar” en general preexisten al movimiento que lo designa como tales. Sin embargo, algunas veces son verdaderas creaciones didácticas. Un contenido al ser designado como “saber a enseñar”, sufre a partir de entonces un conjunto de transformaciones adaptativas que van a hacerlo apto para ocupar un lugar entre los objetos de enseñanza. El trabajo que transforma un objeto de saber a enseñar a un objeto de enseñanza se llama transposición didáctica. La teoría de la TD fue planteada por Yves Chevallard en el año 1985 y esencialmente trata de identificar las condiciones que permiten la entrada de objetos matemáticos en el sistema educativo, los procesos que explican sus

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posibles evoluciones dentro del sistema y los fenómenos didácticos que los acompañan. Chevallard acuñó el término Transposición didáctica para dar cuenta de los procesos de transposición didáctica para dar cuenta de los procesos de transposición del saber, de la institución de los matemáticos a las instituciones de enseñanza, planes de estudio, programas, manuales, y, finalmente, clases impartidas. En cada una de estas instituciones, el saber obedece a motivaciones y transformaciones, incluso a nivel de sus sentidos, transformaciones inevitables, necesarias, pero que es indispensable estudiar y controlar. Los estudios de la TD dieron lugar, en unos pocos años, a una perspectiva particular en la investigación en didáctica de la matemática, perspectiva que Chevallard ha llamado antropología didáctica. El concepto de transposición didáctica, en tanto remite el paso del saber sabio al saber enseñado, y por lo tanto, a la distancia eventual, obligatoria que los separa, de testimonio de ese cuestionamiento necesario al tiempo que se convierte en su primera herramienta. Niveles en que se produce la TD:

1- La simplificación de la complejidad del conocimiento científico. Es el nivel de textualización, pues implica la elaboración de un texto especialmente seleccionado y secuenciado con el objeto de ser transmitido en la escuela, temiendo en cuenta los diversos niveles en el sistema educativo, la selección de los textos que se utilizarán y la jerarquización de contenidos que correspondan a este nivel. 2- Las interpretaciones y elaboraciones que realiza el docente a los fines de la enseñanza, teniendo en cuenta la situación áulica en la que se desarrolla. Esto se hace evidente en el material que elabora, los ejemplos que utiliza, los problemas y las aplicaciones que propone. 3- Lo que aprende el alumno, las relaciones que establece entre los contenidos, los procedimientos que incorpora a los modos de operar racionalmente y su modo de entender y valorar el conocimiento aprendido.

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Objeto de saber y otros objetos Un objeto de saber solamente llega a la existencia como tal, en el campo de la conciencia de los agentes del sistema de enseĂąanza, cuando su inserciĂłn en el sistema de los “objetos a enseĂąarâ€? se presenta como Ăştil para la economĂ­a del sistema didĂĄctico. ÂżQuĂŠ es un objeto de saber? Para el profesor de matemĂĄtica, ciertamente hay que incluir dentro de esta categorĂ­a las nociones matemĂĄticas y las nociones paramatemĂĄticas. Nociones matemĂĄticas Ejemplo: nociones de grupo, de nĂşmero, etc. Son objetos de estudio y herramientas de estudio (en principio) Son en general construidas por definiciĂłn o construcciĂłn. Poseen propiedades y ocasiones de uso SĂłlo estas nociones son en sentido estricto “objetos de enseĂąanzaâ€? Son objetos de evaluaciĂłn directa

Nociones ParamatemĂĄticas Ejemplo: nociones de parĂĄmetro, de ecuaciĂłn, demostraciĂłn, etc. Son herramientas de la actividad matemĂĄtica Son generalmente preconstruĂ­das por mostraciĂłn

Deben ser aprendidas, no enseĂąadas. Son excluidas de la evaluaciĂłn directa.

Existe un estrado mĂĄs profundo de nociones movilizadas implĂ­citamente por el contrato didĂĄctico, son conocimientos auxiliares fuera del lenguaje matemĂĄtico (mĂĄs generales). Ejemplo: đ?‘Ž2 − đ?‘? 2 = đ?‘Ž + đ?‘? đ?‘Ž − đ?‘? Nociones paramatemĂĄticas: factorizaciĂłn y simplificaciĂłn. Nociones protomatemĂĄtcias: nociĂłn de patrĂłn, de simplicidad. Saberes escolarizables y preparaciĂłn didĂĄctica. La distinciĂłn entre las diferentes nociones, revelan que hay nociones que son aprendidas sin ser nunca especĂ­ficamente enseĂąadas. 10


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Ocurre que hay saberes enseñables (y enseñados) y saberes no enseñables o al menos no escolarizables. La puesta en texto del saber es un proceso de preparación didáctica que supone, según Michel Verret: 

La desincretización del saber: la textualización conduce primeramente a la delimitación del saber en saberes parciales, cada uno de los cuales se expresa en un discurso (ficticiamente) autónomo. 1. El proceso introduce una diferenciación entre las nociones matemáticas y paramatemáticas, que pertenecen al campo delimitado, y las nociones protomatemáticas, las que no se identifican formalmente con el campo delimitado. 2. Este proceso produce además una diferenciación entre las nociones matemáticas, el objeto del discurso, y las nociones paramatemáticas, lo necesario para la construcción del texto, saberes auxiliares.

La despersonalización del saber: implica la disociación entre el pensamiento y sus producciones discursivas, el sujeto está expulsado fuera de sus producciones. La despersonalización es llevada a cabo por la textualización en segundo lugar. La descontextualización del saber implica su desubicación de la res de problemáticas y problemas que le otorgan su sentido completo, la ruptura del juego intersectorial constitutiva del saber en su movimiento de creación y realización.

Publicidad del saber: la objetivación obtenida por la puesta en textos del saber es fuente evidente.

Control social de los aprendizajes: esta publicidad, a su vez, posibilita el control social de los aprendizajes.

Programabilidad en la adquisición del saber: el texto es una norma de progresión en el conocimiento. Un texto tiene un principio y un fin y opera por encadenamiento de razones. 11


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El texto del saber y la estructura del tiempo didáctico La producción de un sistema didáctico a partir de un proyecto social de enseñanza, supone la producción de un texto de saber, y esta puesta del saber engendra los efectos previos mencionados anteriormente, al tiempo que posibilita una relación específica con el tiempo didáctico (programabilidad en la adquisición de saberes) Esta relación Saber- Duración es el elemento fundamental del proceso didáctico. La puesta en texto del saber, previamente realizada, permite que se establezca esta relación. El proceso didáctico existe como interacción de un texto y una duración. La especificidad del funcionamiento didáctico: funcionamiento laico del saber correspondiente en la comunidad académica. En esta comunidad académica, el motor de avance en la construcción del saber, está constituido, en última instancia por los problemas que se encadenan y se reproducen, produciendo una historia intelectual de la comunidad académica en la que aparecen. Los problemas son el nervio del progreso científico. Con relación a esto el proceso de enseñanza difiere fundamentalmente del proceso de investigación: en el primero los problemas no son el motor de la progresión. Ésta está constituida por una cierta contradicción antiguo - nuevo. Podemos destacar la existencia de dos actitudes diferentes, de intenciones opuestas, que se originan ambas en el desconocimiento del rol principal de la contradicción antiguo – nuevo y del carácter secundario del rol que desempeñan los problemas del proceso didáctico. Por un lado nos encontramos con el olvido de los problemas: el curso se reduce a ser un simple discurso, hay un abandono de los problemas, en definitiva, de la praxis matemática. Por otro, tenemos las tentativas que procuran restituir un rol central a los problemas en la enseñanza de la matemática, hay una equivocación con respecto a las condiciones de posibilidad de una solución didáctica al problema

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de los problemas subordinada a la contradicción principal, motor del proceso de enseñanza. ¿Cómo funciona entonces la contradicción antiguo – nuevo en el proceso de enseñanza?  Para que un objeto de saber pueda integrarse como objeto de enseñanza en ese proceso, es preciso que su introducción, en un determinado momento de la duración didáctica, lo haga aparecer como un objeto con dos caras, contradictoria entre sí.  En un primer momento, debe aparecer como algo nuevo, que produce una apertura en las fronteras del universo de los conocimientos ya explorado.  Su novedad permite que se establezca al respecto entre enseñante y enseñado el contrato didáctico: puede constituirse en objeto de enseñanza y campo de aprendizaje.  Pero por otro lado, en un segundo momento de la dialéctica de la enseñanza, de aparecer como un objeto antiguo, es decir que posibilita una identificación (por parte de los alumnos) que lo inscribe en la perspectiva del universo de los conocimientos anteriores. El objeto de enseñanza produce un “equilibrio” contradictorio entre pasado y futuro: es un objeto transaccional entre pasado y futuro. El trabajo del profesor: o Es en cierta medida inversa al trabajo del investigador. o Debe producir una RECONTEXTUALIZACIÓN y una REPERSONALIZACIÓN de los conocimientos. o Estos conocimientos se van a convertir en el conocimiento de un alumno. o Es decir una respuesta bastante natural a condiciones relativamente particulares, condiciones indispensables para que tengan un sentido para el alumno. o Cada conocimiento debe nacer de la adaptación a una situación específica o Debe simular en su clase a una micro sociedad científica si quiere que los conocimientos sea formas económicas para plantear buenas preguntas y zanjar debates, si quiere que los lenguajes sean 13


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instrumentos para controlar situaciones de formulación y que las demostraciones sean pruebas. Los alumnos deben: o REDECONTEXTUALIZAR y REDESPERSONALIZAR su saber y esto de como tal que puedan identificar su producción con el saber que se desarrolla en la comunidad científica y cultural de su época... o Por supuesto, se trata de una simulación que no es la “verdadera” actividad científica como tampoco el saber presentado de manera axiomática constituye el “verdadero saber”. ¿Qué es un objeto? Un objeto es un conjunto de existentes del universo que uno quiere estudiar. Todo es objeto, a saber: las cosas materiales, las ideas, los conceptos, las personas y las instituciones. Según Chevallard (1991) un objeto matemático es “un emergente de un sistema de prácticas donde sin manipulados objetos materiales que se desglosan en diferentes registros semióticos: registro de lo oral, palabras o expresiones pronunciadas, registro de lo gestual, dominio de la inscripción, lo que se escribe o dibuja (grafismos, formulismos, cálculos, etc.), es decir registros de lo escrito” Este autor, siguiendo a Robert Lafont, llama Praxema a los “objetos materiales ligados a las prácticas” y define a un objeto como lo que proviene de un sistema de praxemas. Los objetos se clasifican de dos maneras distintas: 1. Los objetos ostensivos, los cuales son instrumentos del trabajo material. 2. Los objetos no ostensivos, llamados intensivos como ser las nociones, ideas y conceptos.

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Tarea 3: La teoría de las situaciones didácticas de Guy Brousseau. Pretende modelizar y contrastar empíricamente los fenómenos didácticos que surgen en ámbito de los sistemas didácticos a partir de la problematización y cuestionamiento de un conocimiento matemático enseñado.

La teoría de las situaciones didácticas

Situaciones matemáticas

La teoría toma la noción de situación matemática como primitiva exigiéndole que pueda ser modelizable mediante un juego formal. Se dice que una situación matemática es especifica de un conocimiento concreto si cumple con las condiciones siguientes: es comunicable sin utilizar dicho conocimiento; y la estrategia optima del juego formal asociado a la situación matemática se obtiene a partir de la estrategia de base (jugar al azar respetando las reglas de juego), utilizando el conocimiento en cuestión.

Situación adidáctica

Es una situación matemática específica de dicho conocimiento tal que permita o provoque un cambio de estrategia en el jugador. Este cambio debe ser (relativamente) estable en el tiempo y estable respecto a las variables de la situación. Se llaman variables de una situación matemática a aquellos elementos del juego formal que son susceptibles de tomar diferentes valores y que al tomarlos, provocan cambios tales en el juego que hacen variar la estrategia óptima.

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Aprender un conocimiento matemático significa adaptarse a una situación adidáctica, especifica de dicho conocimiento, lo que se manifiesta mediante un cambio de estrategia del jugador (alumno) que les lleva a poner en práctica la estrategia ganadora de manera estable en el tiempo y estable respecto de los diferentes valores de las variables de la situación adidáctica en cuestión. La teoría de las situaciones postula, en este punto, que cada conocimiento matemático concreto C, puede caracterizarse así por una o más situaciones adidáticas específica de C que proporcionan sus sentidos a C. Dado que el alumno no puede resolver en un momento dado cualquier situación adidáctica especifica de C, la tarea del profesor consiste en procurarle aquellas situaciones adidácticas.

Se llama SITUACIÓN FUNDAMENTAL (correspondiente a C) a un conjunto mínimo de situaciones adidácticas (específicas de C) que permiten engendrar, por manipulaciones de los valores de sus variables didácticas, un campo de problemas suficientemente extenso como para proporcionar una buena representación de C según que se allá reconstruido C en la institución didáctica en cuestión. Con la ayuda de la noción de situación fundamental definimos aprender un conocimiento: diremos que un alumno ha aprendido el conocimiento C si se ha adaptado a todas las situaciones adidácticas que constituyen una situación fundamental.

De la situación adidáctica a la situación didáctica.

La situación adidáctica es únicamente una parte de una situación más amplia que Brousseau llama situación didáctica. Esta comprende las relaciones establecidas explicita e implícitamente entre los alumnos un cierto medio y el profesor con el objetivo de que los alumnos aprendan el conocimiento matemático C. La noción de medio es esencial en la teorización de Brousseau. Se define como el objeto de interacción de los alumnos: es la tarea específica que deben llevar a cabo y las condiciones que deben realizarla (el ejercicio, el problema, el juego, incluyendo los materiales, lápiz, papel, etc.). La situación didáctica comprende una serie de intervenciones del profesor sobre el par alumno-medio destinadas a hacer funcionar las situaciones adidácticas y los aprendizajes que ella provoca. Estas intervenciones son:

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Devolución de una situación adidactica: el contrato didáctico; cosiste en no solo presentar al alumno las reglas del juego sino, además, en hacer que el alumno se sienta responsable (en el sentido de la responsabilidad matemática, no de la culpabilidad) del resultado que debe buscar. Esta devolución puede modelizarse como un proceso que se realiza dentro de la negociación de un contrato que se denomina contrato didáctico.

Institucionalización de los conocimientos matemáticos; origina una transformación completa de la situación. Se lleva a cabo mediante la elección de algunas cuestiones de entre las que se saben responder, colocándolas con otras cuestiones y saberes. Se trata de un trabajo cultural e histórico que difiere totalmente del que puede dejarse a cargo del alumno y es responsabilidad del profesor. Es el resultado de una adaptación del alumno que consiste en dar un estatuto cultural a las producciones de los alumnos: actividades, lenguajes, y conocimientos expresados en proposiciones.

Tipos de situaciones adidácticas Situación adidactica de acción; toda situación adidactica de acción propone al alumno un problema en unas condiciones tales que la mejor situación se obtiene mediante el conocimiento a enseñar, y de tal forma el alumno puede actuar sobre la situación y hacer elecciones durante esta acción. Una buena situación de acción debe permitir al alumno juzgar el resultado de sus acciones y ajustar esta acción, sin la intervención del profesor, gracias a la retroacción por parte del medio de la situación. Las informaciones que les devuelven la situación son percibidas por el alumno como sanciones o refuerzos a su acción. En una situación de acción se produce una dialogo entre el alumno y la situación. Situación adidactica de formulación; en una Situación adidactica de formulación el alumno intercambia información con una o varias personas. Comunica lo que ha encontrado al interlocutor, y se establece intercambios con esa información. El resultado de esta dialéctica permite crear un modelo implícito que puede ser formulado con ayuda de signos y reglas conocidas o nuevas.

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Situaciones adidactica de validación; para que el alumno construya una demostración y está tenga sentido para él es necesario que la construya en una situación, llamada de validación, en la que debe convencer alguna otra persona. Una situación adidactica de validación es la ocasión para que un alumno proponente (debe probar la exactitud y pertenencia de su modelo y proporcionar, si es posible un validación semántica y una validación sintáctica) de someter el mensaje matemática como una aseveración a su interlocutor “oponente” (el oponente puede pedir explicaciones suplementarias, rechazar las que no comprende o aquella con las que no está de acuerdo, justificando su desacuerdo). Las nociones que se utilizaran en una situación de validación, especialmente después de la institucionalización por parte del profesor, es el de las nociones matemáticas, esto es, objetos de conocimientos construidos, susceptibles de ser enseñados y utilizados en las aplicaciones práctica. Las nociones matemáticas son, por tanto, objetos de estudios en sí mismos, además de servir como instrumentos para el estudio de otros objetos. Una dialéctica de validación es en sí misma una dialéctica de formulación, en consecuencia una dialéctica de acción.

Análisis de la carrera del 20 Escena 1 ¿Cuál es el objetivo de esta escena? El objetivo de esta escena es presentar la situación adidáctica, explicar las reglas del juego e involucrar al alumno para que se sienta responsable. Una vez que se visualiza la comprensión de las reglas, el docente se retira para dar lugar a la actividad y el protagonismo es del alumno. (Situación adidáctica de acción) Escena 2 ¿Cuál es el medio con el que interactúa el alumno? El medio con el que interactúa el alumno es el juego, los compañeros, adversario, los materiales: la hoja, lápiz, pizarrón, tiza.

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¿Cuál es el procedimiento de base? El juego al azar, respetando la regla de juego. ¿Cuál es el desafío para el alumno? Lograr vencer al adversario. ¿Por qué se plantea varias partidas? Para poder encontrar la estrategia óptima, la ganadora. ¿Cuál puede ser el rol del docente? Observa y controla el cumplimiento de las reglas. (Situación adidáctica de formulación y de acción) Escena 3 Roles de alumnos: dos alumnos protagonistas que realizan la actividad, y los demás observan y controlan que las sumas se realicen correctamente. ¿Cuál es el desafío para los alumnos? Buscar y comunicar la estrategia ganadora. Desde la construcción del conocimiento y la crítica de los alumnos. ¿Por qué los representantes de los alumnos se eligen al azar? Para darle la posibilidad a todos los alumnos, conocer todas las estrategias y argumentos. ¿Por qué se deja un tiempo de discusión previa? Se deja un tiempo de discusión previa para que se elija por grupo la mejor estrategia e interactúan entre ellos. ¿De qué naturaleza son las propiedades de los alumnos en esta escena? La naturaleza de las propiedades de los alumnos son las nociones paramatemáticas: se utilizan para describir el objeto matemático (lo que se quiere enseñar), pero no se consideran como objetos de estudio en sí mismo. (Situación adidáctica de formulación y de acción)

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Escena 4 ¿De qué naturaleza son las propiedades de los alumnos en esta escena? La naturaleza de las propiedades de los alumnos son las nociones matemáticas, objetos de conocimientos construidos, susceptibles de ser enseñados y utilizados en las situaciones prácticas. ¿Cuál es el desafío para el alumno? Enunciar teoremas sin la intervención del profesor, comprobar su validez y producir las demostraciones. ¿Qué saber matemático provee un recurso de resolución económico y óptimo como los juegos de la carrera a n? El conocimiento matemático asociado a la carrera de n es la división Euclidia: se trata de buscar los números que tengan el mismo resto que al dividir 20 entre 3. (Números congruentes con 20 módulo 3). ¿Cuáles son las variables didácticas de la situación sobre las cuales habrá que actuar para lograr el aprendizaje de este saber matemático? La variable didáctica es la ampliación del rango de los números para poder transportarlos a nuevas situaciones. ¿Cómo juega el tiempo en la organización de la secuencia?¿conviene dejar mucho tiempo para que lleguen a la estrategia ganadora?¿O interrumpir antes?¿En función de qué se decide? Es fundamental pautar el tiempo de la actividad antes de ingresar a clases para mantener una coherencia de lo que se va a desarrollar con respecto al tiempo y al contenido. El tiempo se decide en función del contrato hipotético. (Situación adidáctica de validación, formulación y acción) Preguntas: ¿Cómo clasificaría cada una de las escenas? ¿De qué naturaleza matemática son las propiedades de los alumnos en esta escena? En las situaciones de acción las nociones son protomatemáticas, en las situaciones de formulación las nociones son paramatemáticas y en la de validación son nociones matemáticas.

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Tarea 5: La teoría de los campos conceptuales de Vergnaud. a) Características de la teoría de los campos conceptuales:  Conjuntos de situaciones cuyo tratamiento implican esquemas, conceptos, y teoremas en estrecha conexión, así como la representaciones del lenguaje y simbólicas susceptibles de ser utilizadas para la representación.  Apunta a una visión del desarrollo cognitivos en términos de formación de conceptos, en la relación de unos con otros.  Es un marco teórico propuesto para analizar la construcción por el individuo de las filiaciones conceptuales, sus sistemas y sus rupturas en un largo periodo y en las situaciones en que surgen y se emplean.  Existen 3 contenidos básicos de un campo conceptual: situaciones (o referentes), conocimiento (o significados) y representación simbólica. b) Las situaciones que se pueden distinguir son las siguientes: Clases de situaciones de situaciones para las cuales el individuo dispone de las competencias necesarias para tratarlas, en cuyo caso las conductas son automáticas, Clases de situaciones para las cuales no se dispone de las competencias necesarias, periodo de dudas y reflexiones, de sucesivos esquemas que se acomodan, descomponen y recomponen. c) Las situaciones se caracterizan por su variedad y su historia. La variedad de las situaciones le permite al individuo que las vive concebir el conjunto de posibilidades que se abren en cada caso y su clasificación. El segundo carácter de las situaciones es su historia, la misma orienta al niño hacia la búsqueda de referencias anteriores que lo ayuden a dar sentido a las situaciones nuevas, desconocidas. d) BUSCAR QUE SON LOS CONCEPTOS e) Un esquema cognitivo está compuesto de anticipaciones, reglas de acción e invariantes operatorias. f) Significado de los componentes del esquema cognitivo: 1. Anticipaciones: el funcionamiento cognitivo reposa en el repertorio de esquemas disponibles, anteriormente formados y se activa en

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función de las situaciones particular por enfrentar. El niño es impulsado a realizar exploraciones y tentativas que pueden resultar exitosas o fracasadas. 2. Reglas de acción: las exploraciones que el esquema genera para alcanzar un objetivo se rigen por regla de acción, que organizan las conductas que se han de seguir. 3. Invariantes operatorias: designan el conocimiento contenido en los esquemas. Vergnaud da a la noción de invariante un sentido más amplio, incluyendo en ellas 3 tipos: teoremas en acto, conceptos en acto y argumentos. 4. El relacionamiento de anticipaciones, reglas de acción y conocimientos en acto lleva al niño en cada situación determinada e inferencia o deducciones; en lenguaje matemático, al cálculo relacional entre los elementos en situación. g) Teoremas en acto: no es enteramente un teorema, ni un concepto en acto es enteramente un concepto, pero se corresponden con las categorías de conocimientos explícitos: proposiciones y funciones proporcionales. Los tenemos en acto como las proposiciones pueden ser verdaderas o falsas. Conceptos en acto: los conceptos en acto como las funciones proposicionales no son susceptibles de ser verdaderos o falsos si no que forman bloques conceptuales de proposiciones. Argumentos: exige la presencia de los soportes posibles de las relaciones descubiertas. Estos argumentos pueden ser objetos materiales, personajes, relaciones, etc.; en ellos se instancian las funciones proposicionales. h) Las representaciones consisten en: 1. De evocación: recuerdan esquema, tanto como los evocan las situaciones; 2. De designación: facilita de este modo la representación y la comunicación; 3. De apoyo al razonamiento y a la planificación de la acción.

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Tarea 6: Construcción de situaciones de aprendizaje. En la elaboración de una situación de aprendizaje debemos tener ciertos aspectos: a) Las opciones que se deben hacer en relación con el campo de conocimiento considerado. Cuando se ha fijado un objetivo de aprendizaje es importante en primera instancia, establecer los límites del mismo. Para ello habrá de analizar los programas de estudio y de manera especial: Los aspectos que se van a tratar, Los lazos que se establecerán con otras nociones, tanto anteriores como posteriores, Como insertar la noción en la progresión anual o plurianual, Cuales aspectos se podrán evaluar. El análisis de los programas de contenidos se debe acompañar de una reflexión didáctica que responde a las preguntas: 1. ¿Cuáles son los problemas para los que la noción considerada va a funcionar como herramienta idónea como resolución? 2. De los problemas anteriores, ¿Cuáles son accesibles a los alumnos? 3. ¿Cuáles son los diferentes contextos de utilización de la noción en cuestión? 4. ¿Cuáles son los diferentes recursos existentes para abordar la noción? 5. ¿Qué grado de dominio y disponibilidad del saber y el saber-hacer, se quiere lograr a corto, mediano o largo plazo por parte de los alumnos? ACTIVIDAD: Supongamos, por ejemplo, que ha decidido abordar el campo de las funciones numéricas. 1. ¿Qué funciones numéricas conoces? 2. Mencione 2 contextos diferentes para plantear problemas en los que dichas funciones sean herramientas eficaces de resolución. 3. Ejemplifique, proponiendo un problema para un tipo de función en uno de los contextos elegidos.

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b) Diferentes etapas en el aprendizaje, que se deben prever. Distintas tareas como las de:    

Diagnóstico, Para aprender, Para consolidar, Para controlar,

En función de esto, debemos prever etapas de:  Aproximación o apropiación de la situación: el objetivo es puntualizar los conocimientos disponibles y/o actualizar las concepciones iniciales de los alumnos.  Aprendizaje propiamente dicho: los nuevos conocimientos son construidos y reconocidos como medio eficaces de resolución, como respuestas adaptadas a un nuevo problema.  Institucionalización: en las que las nuevas adquisiciones serán formuladas, nombradas, reconocidas como saberes adquiridos y percibidas como eficaces para resolver una determinada clase de problemas. Familiarización: cuyo objetivo es que cada alumno se apropie de la nueva herramienta, la haga funcionar en la resolución de distintas.

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Tarea 4 y 7

Actividad 1

A.S.

A.P.

1º CONSIGNA: armar el puzzle sobre la hoja en blanco. Solicitar al profesor la pieza faltante, indicando que fracción de la hoja representa la misma

2º CONSIGNA: elegir tres de los seis puzzles y escribir en cada pieza que fracción representa (trabajo individual).

Situación acción Situación de formulación

Situación acción Situación de formulación

I.

Puesta en común: deben quedar claros razonamientos como: “es 1/8 porque 8 cubre el entero”, “es 1/8 porque es la mitad de ¼”.

Situación de formulación

Situación validación

F.

R.

3º CONSIGNA: inventar un puzzle y quitarle una pieza. Mandar a otro equipo para que lo arme y solicite la pieza faltante (trabajo en equipo)

Situación acción Situación de formulación

Validación a cargo del equipo que inventó el puzzle.

Situación validación

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I.

Se generaliza y se institucionaliza (se registran en la carpeta). La escritura 1/n designa la porción de la cual se necesitan n para cubrir el entero.

Situación Instituc.

F. TAREA: dibujar 5 enteros idénticos y buscar formas diferentes de partirlos en cuartos.

I.

Familiarización y Aplicación

I.

El profesor retoma la tarea en la clase siguiente Se institucionaliza “La forma no es una característica que permita determinar una fracción. La fracción está asociada al área y no a la forma”

Situación Instituc.

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Actividad 2 1º CONSIGNA: dibujar puzzles cuyas piezas sean:

A.S.

A.P.

Situación acción

1º- tercios, sextos y novenos 2º-medios, tercios y sextos 3º- cuartos, sextos y doceavos.

Cuando el docente observe que algunos han terminado, pedirá que lo dibujen en el pizarrón y expliquen los razonamientos seguidos. El objetivo es orientar a los equipos bloqueados y facilitar el trabajo posterior.

Situación de formulación

Cuando todos terminan, se reflexiona sobre las relaciones utilizadas en todos los puzzles dibujados, se desprenden de esta manera las equivalencias utilizadas.

Situación validación

Las mismas serán registradas en una cartulina que permanecerá en el aula para ser consultada en las otras actividades. Los alumnos la copiarán en sus carpetas.

Situación Instituc.

A.S.

2º CONSIGNA: expresar la parte sombreada de la figura realizada por el profesor en el pizarrón, mediante fracciones y operaciones entre fracciones (no está permitido hacer nuevas divisiones)

Situación acción 27


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Se dará tiempo que los equipos encuentren algunas expresiones. Si es necesario el profesor orientará el trabajo grupal.

A.P.

Situación de formulación

Cuando el profesor observe que lo realizado por los diferentes equipos es suficiente, pedirá a los alumnos que escriba y justifique en el pizarrón lo producido por el equipo para ser aceptado o rechazado por los demás. Las expresiones diferentes obtenidas por los otros equipos se consignarán también en el pizarrón. A partir de las justificaciones el profesor destacará las equivalencias utilizadas para expresar la zona sombreada y completará el listado de la cartulina.

Situación validación

I.

Además sintetizará lo hecho hasta el momento para dejar claro razonamientos como: “Una fracción se puede obtener a partir de dividir fracciones o bien de asociar fracciones”

Situación Instituc.

F.

3º CONSIGNA: Completar las siguientes expresiones de manera tal que se cumplan las igualdades (objetivo de que los alumnos utilicen las equivalencias obtenidas y descubran otras)

Familiarización y Aplicación

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F. TAREA: Completar las siguientes expresiones de manera tal que se verifiquen las siguientes igualdades.

R.

Familiarización y Aplicación

ACTIVIDAD 3 A.S.

1º CONSIGNA: en cada uno de los puzzles sombrear ¾ (sin hacer nuevas divisiones) y escribir las sumas de las fracciones que los forman.

Situación acción

A.P.

I.

Con la misma organización que en las actividades anteriores, la discusión y validación se efectúa entre los equipos en el pizarrón.

Situación de formulación

F.

R.

Situación validación

Situación Instituc.

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F.

2º CONSIGNA: analizar cuáles de las siguientes expresiones son mayores, menores o iguales que ¾

R.

Familiarización y Aplicación

A.P.

Con la misma organización que en las actividades anteriores, la discusión y validación se efectúa entre los equipos en el pizarrón.

I.

Si algún grupo obtiene el resultado de la suma utilizando la regla para sumar fracciones, el profesor lo acepta como válido y pedirá al grupo que razone independientemente de la regla.

El profesor hará notar que: “En el caso de sumas de ciertas fracciones pueden utilizar relaciones entre ellas o recursos gráficos para encontrar el resultado”

Situación Instituc.

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ACTIVIDAD 4 A.S.

1º CONSIGNA: de las siguientes operaciones cuáles pueden realizarse mentalmente y cuáles no. ½+3/4=……..

A.P.

Análisis individual de cada alumno, para ser comparadas en el equipo, para hacer las confrontaciones y discusiones.

Situación acción

Situación de formulación

Situación validación

I.

Debe quedar claro: algunas fracciones pueden sumarse mentalmente porque uno de los denominadores es múltiplo del otro.

Situación Instituc.

A.S.

2º CONSIGNA: encontrar un procedimiento para resolver las operaciones que no fueron resueltas anteriormente.

I.

En base a los razonamientos hechos por los alumnos, deberá formalizarse los criterios a seguir para sumar fracciones. “Se busca la relación existente entre los denominadores: a y b”

Situación acción

Situación de formulación

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En síntesis: Ciertas fracciones pueden sumarse mentalmente porque uno de los denominadores es múltiplo del otro y otras no para las cuales se busca un múltiplo común de ambos denominadores.

Situación validación

El profesor recuerda la existencia de la regla práctica para sumar fracciones y muestra que la misma se basa en la equivalencia de fracciones.

Situación Instituc.

F. Ejercitación Resolver las siguientes operaciones.

R.

Familiarización y Aplicación

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Tarea 8. ¿Cuándo decimos que un concepto funciona como una herramienta? Un concepto es herramienta cuando focalizamos nuestro interés en el uso que de él se hace para resolver un problema. Una misma herramienta puede adaptarse a varios problemas, varias herramientas pueden adaptarse a un mismo problema. En la secuencia didáctica el concepto que relaciona las fracciones y el área se utiliza luego como herramienta para obtener fracciones equivalentes, para operar con fracciones, para comparar fracciones estableciendo relaciones de menor, mayor o igual.

¿Cómo se entiende lo que Regine Douady identifica como juego de campos? Los juegos de campos son cambios de campos propuestos por el maestro cuando los alumnos deben resolver problemas convenientes para hacer avanzar las fases de la investigación. Los cambios de campo pueden ser espontáneos (por iniciativa del alumno), o provocados (interviene otro alumno o el docente). ¿Cómo relaciona Douady el juego de campos con la dialéctica herramienta objeto? Se pueden construir los conocimientos matemáticos haciendo jugar la dialéctica herramienta-objeto en el seno de juegos de campos apropiados, gracias a problemas que respondan a determinadas condiciones. ¿Qué permite un cambio de campos? Un cambio de campos (objetos, formulaciones diversas, imágenes mentales) es un medio para obtener diferentes formulaciones de un problema que permiten un nuevo acceso a las dificultades encontradas y la puesta en práctica de herramientas y técnicas que no se imponían en la primera formulación.

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Explique e identifique, ¿como un alumno puede recurrir a una herramienta de manera explícita e implícita? Un alumno en actividad matemática puede recurrir a una herramienta de manera implícita o explícita. Consideramos el siguiente problema: ¿Existe un cuadrado de 12 cm2 de área? Y la respuesta de un alumno es “para un cuadrado de 3 cm de lado el área es de 9 cm2, para un cuadrado de 4 cm de lado, el área es de 16 cm2, cuando el lado pasa de 3 cm a 4 cm existe un momento en que el área será de 12 cm2. En esta respuesta reconocemos la relación entre dimensión y área de un cuadrado como una herramienta explícita. ¿Cuándo se dice que el estudiante tiene conocimientos matemáticos, teniendo en cuenta la noción de herramientas explícita? Se dice que un alumno tiene conocimientos matemáticos si es capaz de provocar el funcionamiento de esos conocimientos como herramientas explícitas en problemas que deba resolver, si es capaz de adaptarlos cuando las condiciones habituales de empleo no son satisfechas en forma exacta, para interpretar los problemas o plantear preguntas sobre ellos. Identifique y ejemplifique las herramientas explícitas e implícitas. ¿Cuáles son las condiciones a los que deben responder los problemas? El enunciado (contexto y preguntas), tiene sentido para los alumnos teniendo en cuenta sus conocimientos, pueden comenzar un procedimiento de resolución pero no pueden resolverlo completamente. Los conocimientos a los que aspira mediante el aprendizaje, constituyen herramientas adaptadas al problema. Este puede formularse en dos campos diferentes. ¿Cómo se lograría que los alumnos adquieran conocimientos en el sentido expresado anteriormente? Para lograr que los alumnos en su conjunto adquieran conocimientos en el sentido expresado, la enseñanza debe integrar en su organización momentos donde la clase simule una sociedad de investigadores en actividad. Para

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construir una enseñanza orientada en este sentido, es necesario organizar la enseñanza sobre la base de tres puntos: •

la dialéctica herramienta-objeto

la dialéctica antiguo-nuevo

el juego de campos.

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Tarea 9

ROLAND CHARNAY: “Aprender por medio de la resolución de problemas”

Considera la resolución de problemas como fuente, lugar y criterio de la elaboración del saber, estableciendo las siguientes etapas o fases:

ACCIÓN

FORMULACIÓN VALIDACIÓN

Situación problema (el alumno busca un procedimiento de resolución).

Formulación-confrontación de los procedimientos, puesta a prueba. Nueva situación con diferentes obstáculos: nuevos procedimientos, etc.

Tarea ineludible del profesor. herramienta INSTITUCIONALIZACIÓN Nueva Ejercitación Síntesis, lenguaje convencional. Problemas: evaluación para el maestro, re significación para el alumno.

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Tarea 10 y 11 Fases de la DIALECTICAHERRAMIENTASOBJETO

Fase A: Antiguo

Fase B: búsqueda de lo nuevo implícito.

Clase 3 Una escalera para conceptos y procedimientos Objetivo: descubrir la relación entre los lados de un triángulo Profe: Debemos resolver el siguiente problema matemático (escribe en el pizarrón a medida que va hablando): Si es posible, indicar las medidas de los lados de todos los triángulos de perímetro igual a 9 cm y dibujarlos. Se organizan en grupos de 4 alumnos. Pónganse a trabajar. Los alumnos comienzan a trabajar y anotan las distintas medidas de los lados. Una característica general de los triángulos que proponen los alumnos es que la medida de sus lados está dada por números enteros. Por eso, aparecen sólo 7 triángulos posibles, a saber: (1,1,7);(1,2,6);(1,3,5); (1,4,4);(2,2,5);(2,3,4),(3,3,3).

FASES DE CHARNAY

Fase de ACCIÓN

Cuando deciden dibujarlos, se dan cuenta que sólo pueden hacerlo con tres de las siete ternas de datos (los dibujan, y verifican lo afirmado). 1 cm(c), 4 cm (b), 4 cm (a)  b+c>a 2 cm(c), 3 cm (b), 4 cm (a)  b>a-c

Profe: ¿Cuántos triángulos encontraron? Julián: Siete, pero sólo pudimos construir tres Profe: ¿Cómo hicieron?

Fase C: explicitación e institucionalización.

Distintos grupos explican sus procedimientos Carla: Si un lado es de 1 cm, fuimos viendo cuanto debían medir los otros. Belén: Nosotros empezamos con el equilátero, después los isósceles y por último los demás. Profe: ¿Cuáles dibujaron?

Fase de FORMULACIÓN, VALIDACIÓN Y CONFRONTACIÓN 37


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Fase C: explicitación e institucionalización.

Carla: (1, 4,4); (2, 3,4) y (3, 3,3) Profe: ¿Por qué no pudieron dibujar, por ejemplo el (1, 1,7) Julián: Es que primero dibujamos el lado de 7 cm y entonces los lados de 1 cm ya no llegaban. Belén: El de (2, 2,5) casi cerraba, pero tampoco. Profe: ¿Cómo sería la construcción? Profe: Cuando los triángulos se pueden construir, ¿Qué condición cumplen los lados b y c con respecto al lado, a? Julián: Para que cierre, los otros dos lados sumados deben ser….Si, la suma de b y c deben ser mayor que a. Víctor: Si a=7 cm, b+c= 2 cm que es menor que el lado a. Entonces ¡a tiene que ser menor que c+b! Profe: Partiendo de la misma desigualdad, ¿qué condición deberá cumplir b? Carla: b> a-c Profe: ¿Puede la suma de dos lados de un triángulo ser igual al tercer lado? Julián: No. Si la suma es igual al otro lado, se superponen sin formar un triángulo.

Fase de FORMULACIÓN, VALIDACIÓN Y CONFRONTACIÓN

El profesor plantea para discutir en una clase posterior, “¿Se puede dibujar otros triángulos de perímetro 9?”, re significando las nociones puestas en juego anteriormente.

Fase F: Complejización de la tarea o problema nuevo.

De esta forma, intenta que los alumnos busquen medidas enteras para los lados, por ejemplo: (4; 3.8; 1.2) o (2.55; 3; 3.45) Si la respuesta es afirmativa, continúa preguntando “¿Cuántos?” Si en cambio, la respuesta es negativa, pregunta “¿Por qué?”

Fase de INSTITUCIONALIZA CIÓN (solo se da RESIGNIFICACIÓN)

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Secuencia  

hola

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