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CAHIERS DE L’ILB LES

N°3 JUILLET 2011

MIEUX COMPRENDRE LA RECHERCHE EN FINANCE Numéro spécial

Avec le concours de Aurélien Alfonsi Nicole El Karoui Emmanuel Gobet Julien Guyon Charles-Albert Lehalle Nizar Touzi Peter Tankov


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Promouvoir, partager et éclairer sur les enjeux de la recherche française en banque, finance et assurance Valorisation et diffusion de la recherche ■ Prix de la recherche en Finance en partenariat avec l’Institut Europlace de Finance (EIF). ■ “Les Cahiers de l’ILB” font découvrir quelques uns des travaux de recherche des chaires. Les chercheurs y présentent leurs résultats dans un langage accessible à un large public. Faire partager les enjeux de la recherche à tous ceux qui s’intéressent à la finance, tel est l’objectif des Cahiers de l’ILB. ■ Portail “Recherche en Finance” en partenariat avec l’AGEFI : celui-ci a pour vocation de diffuser et de vulgariser les travaux de chercheurs sous forme d’une interview de présentation et d’explication (http://www.agefi.fr/dossiers/recherche-finance. aspx). ■ Partenariats presse : L’Institut Louis Bachelier fournit régulièrement des articles au comité de rédaction de revues telles que Revue Banque, Revue Risques et Bank Market Investors (BMI).

■ Contribution et soutien à l’émergence de programmes de recherche en lien direct avec l’industrie financière : 25 chaires et initiatives de recherche ont été créées sous l’égide de l’Institut Europlace de Finance (EIF) et de la Fondation du Risque (FDR) depuis 2007. ■ Montage de projets de recherche multidisciplinaire : L'ILB mutualise son expertise en matière de partenariats publics/ privés au service des chaires et initiatives de recherche afin de faciliter la gestion des projets de recherche.

Espace de réflexion et de débats à l’échelle européenne ■ Le Forum International des Risques Financiers : cette manifestation a pour objectif de présenter, chaque année, les meilleurs travaux de recherche internationaux et de dialoguer, par le biais de débats et de tables rondes, sur les préoccupations des acteurs financiers.

■ Réseau communautaire en ligne de chercheurs pour l’industrie financière www.e-fern.org

■ Les Semestres Thématiques : organisés sous forme de conférences, de séminaires et de cours, les semestres thématiques visent à favoriser les échanges entre académiques et professionnels sur une problématique commune.

Création d’équipes scientifiques d’excellence

■ Les Ateliers Thématiques : répondent à la volonté de confronter les chaires de recherche à un questionnement de la profession.

■ Coopération avec des universités et centres de recherche européens, américains et asiatiques positionnant l’ILB comme un carrefour international pour la recherche en banque, finance et assurance.

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■ Le Job Market Européen de la recherche en finance : cette manifestation annuelle vise à mettre en relation les jeunes chercheurs doctorants, post-doctorants français et internationaux avec les universités et les professionnels français et européens.


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édito

Partenaires de la Chaire Risques Financiers

Risques financiers : un défi pour les mathématiciens Voilà au moins 40 ans que les mathématiciens s’associent avec l’industrie financière pour réfléchir aux modèles des fluctuations des cours de la bourse, afin de développer des méthodes de valorisation d’actifs et de contrôler les risques. Cependant, la crise récente des subprimes a montré que nous avons un long chemin à parcourir avant de comprendre le fonctionnement des marchés et les risques associés. Les modèles utilisés sont encore loin de la réalité, notamment en ce qui concerne la prise en compte du risque de liquidité et des interactions entre les agents.

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Exécution optimale d’ordres ET MANIPULATION DE PRIX Par Aurélien Alfonsi

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Formules rapides de valorisation d’options ET CALIBRATION TEMPS-RÉEL Par Emmanuel Gobet, Eric Benhamou et Mohammed Miri

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Le smile dans les modèles À VOLATILITÉ STOCHASTIQUE Par Julien Guyon

CONFÉRENCE DE LA CHAIRE RISQUES FINANCIERS Par Peter Tankov

UNE RATIONALISATION DE LA NÉGOCIATION SUR LES MARCHÉS Par Charles-Albert Lehalle

Bornes de non-arbitrage POUR LES OPTIONS LOOKBACH Par Pierre Henry-Labordère et Nizar Touzi

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Les sujets de recherche sur lesquels nous travaillons sont, entre autres :

Modeling and Managing Financial Risks

Le trading quantitatif

Le master “Probabilités et Finance” FÊTE SES VINGT ANS Par Nicole El Karoui

La chaire “Risques Financiers” de la Fondation du Risque a été créée peu avant la crise pour promouvoir une meilleure utilisation des mathématiques au sein des institutions financières. Portée par Nicole El Karoui, cette chaire réunit les équipes de recherche en mathématiques financières de l’Ecole Polytechnique et de l’Ecole des Ponts ParisTech avec l’équipe de recherche quantitative de la Société Générale, dirigée par Lorenzo Bergomi. Ces équipes sont à la pointe de la recherche en finance en région parisienne et, dans certains domaines, elles en sont les leaders mondiaux. L’objectif de la chaire est d’un côté de “passer à la vitesse supérieure” en termes de recherche, en augmentant notamment les collaborations internationales pour rendre la place parisienne plus attractive pour les chercheurs, et d’un autre côté de promouvoir les collaborations avec les praticiens, pour identifier les sujets de recherche pertinents et rapprocher la recherche universitaire des préoccupations des industriels. • Méthodes numériques efficaces pour les problèmes de valorisation et gestion des risques. • Modélisation du risque de liquidité, c’est-à-dire le risque lié à l’impossibilité de trouver rapidement un acheteur ou un vendeur pour une grande quantité d’actifs. • Problèmes non-linéaires, et notamment les questions liées à l’interaction entre les agents. • Modélisation de microstructure du marché et des carnets d’ordres ; traitement des données financières à très haute fréquence. • Méthodes mathématiques pour la résolution des problèmes d’optimisation en finance, utilisant notamment les équations différentielles stochastiques “rétrogrades”. La conférence “Modeling and Managing Financial Risks” a été pour nous l’occasion de faire un bilan préliminaire des 3 premières années de la chaire. Les équipes de recherche ont grossi, parce que la présence de la chaire a permis, d’une part, d’avoir un soutien des établissements et, d’autre part, de faire des excellents recrutements. Nous avons pu inviter un grand nombre de chercheurs étrangers de premier plan, et initier des collaborations permanentes avec certains d’entre eux. Des collaborations entre les universitaires et les chercheurs de la Société Générale sont également en cours. Des nombreuses avancées ont été faites dans les domaines de recherche de la chaire. Ce cahier présente la conférence “Modeling and Managing Financial Risks” en mettant un accent particulier sur les contributions des membres de la chaire, pour donner un panorama de leurs réalisations. Nicole El Karoui et Nizar Touzi Directeurs scientifiques de la Chaire Risques Financiers

Publication de l'Institut Louis Bachelier Palais Brongniart 28 place de la Bourse 75002 Paris Tél. : 01 49 27 56 40 www.institutlouisbachelier.org www.e-fern.org DIRECTEUR DE LA PUBLICATION Jean-Michel Beacco

CHEF DE PROJETS Cyril Armange RÉDACTEUR EN CHEF Medhi Ramdani

Correspondant chaire Peter Tankov Peter.Tankov@polytechnique.edu

CONTACT cyril.armange@institutlouisbachelier.org

CONCEPTION GRAPHIQUE Vega Conseil 45 rue Garibaldi 94100 Saint Maur Tél. : 01 48 85 92 01

CONTRIBUTEURS Chaire Risques Financiers http://www.cmap.polytechnique.fr/ financialrisks/

COUVERTURE Caléis 62 avenue de l’Europe 78140 Vélizy Tél. : 01 39 46 16 71

RÉALISATION Business Digest 19 rue Martel 75010 Paris Tél. : 01 56 03 55 91 IMPRIMEUR IRO : Z.I. rue Pasteur 17185 Périgny cedex Tél. : 05 46 30 29 29

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Exécution optimale d'ordres ET MANIPULATION DE PRIX Par Aurélien Alfonsi Ecole des Ponts ParisTech - Université Paris-Est Marne-la-Vallée

A RETENIR ■ Dans leur étude [AS], Aurélien Alfonsi et Alexander Schied proposent

une modélisation simple et intuitive de la dynamique des carnets d’ordres dans les marchés financiers. ■ Cela leur permet d'obtenir une stratégie optimale explicite pour

placer un ordre d'achat.

BIOGRAPHIE Aurélien Alfonsi

Aurélien Alfonsi est chercheur en probabilités et finance à l'Ecole des Ponts ParisTech, au CERMICS (Centre d'Enseignement et de Recherche en Mathématiques et Calcul Scientifique). Ses thèmes de recherche portent sur la modélisation des marchés financiers et les méthodes numériques. alfonsi@cermics.enpc.fr

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De façon usuelle, la valeur d'un actif coté sur un marché est résumée à un prix. Ce prix corr espond à la moyenne entr e la plus haute of fre d'achat et la plus basse of fre de vente en attente sur cet actif. Il ne contient pas toute l'information donnée par le mar ché. Celle-ci est décrite par le carnet d'ordres qui regroupe tous les ordres d'achat et de vente en attente sur l'actif.

Introduction Ces ordres, appelés ordres limites, ne peuvent être placés que sur une grille de prix déterminée par le marché. Lorsqu'un intervenant souhaite acquérir cet actif, il peut soit placer un ordre limite d'achat et attendre que celui-ci trouve preneur, soit acheter au meilleur offrant en consommant les ordres de vente les moins chers. La première solution a l'avantage de présenter un coût moins élevé, mais la réalisation et l'instant de la transaction sont incertains. La deuxième solution est plus chère mais immédiate. Dans notre étude [AS], nous considérons, pour simplifier, uniquement cette dernière possibilité. Lorsqu'un agent achète une petite quantité d'actifs sur le marché, il ne consommera que les offres les moins chères.

Le coût de la transaction sera alors proche du produit “quantité” × “prix coté”, et par conséquent l'information donnée par le carnet d'ordres est superflue. La situation est différente si l'intervenant achète une grande quantité d'actifs. Plus précisément, nous entendons ici que la quantité achetée est d'un ordre de grandeur comparable au nombre d'ordres limites de vente en attente dans le carnet d'ordres. Dans ce cas, l'agent consommera des ordres limites de vente à un prix bien supérieur au prix coté. La connaissance du carnet est alors nécessaire pour déterminer le coût de la transaction qui sera, de toute façon,supérieur au produit “quantité” × “prix coté”. En réalité dans ce cas, l'agent n'a pas intérêt à acheter tous les actifs en une seule transaction. Il est préférable pour lui de morceler son achat, afin que de nouveaux


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Le problème de l'exécution optimale d'ordres est étroitement lié à la question de la viabilité du marché. ordres limites de vente moins chers apparaissent entre ses ordres d'achat. Cela nous amène au problème d'exécution optimale que nous avons étudié : étant donné un horizon de temps (quelques heures ou quelques jours), comment découper de façon optimale l'ordre d'achat pour minimiser l'espérance du coût total de la transaction ? Méthodologie Pour apporter une réponse à cette question, nous avons proposé [AS] une modélisation très simple du carnet d'ordres et de sa dynamique. Le carnet d'ordres est représenté par une fonction de forme qui décrit le nombre d'ordres de vente en attente à un prix donné. Lorsque l'intervenant achète des actifs, il consomme les offres les moins chères en attente dans le carnet d'ordres. Cela a pour effet d'augmenter le prix de la meilleure offre de vente. Lorsque l'intervenant est inactif, de nouvelles offres de vente apparaissent dans le carnet d'ordres à une vitesse que nous supposons proportionnelle soit au volume, soit au déplacement du prix causé par l'intervenant. Dans les deux cas, nous obtenons une structure similaire de la stratégie optimale lorsque les transactions ont lieu sur une grille de temps homogène. Pour minimiser son coût, l'intervenant doit commencer par faire un premier achat de taille importante. Ensuite, aux instants intermédiaires, il doit effectuer des petits achats qui consomment exactement tous les nouveaux ordres apparus dans le carnet. A la dernière date, il doit acheter la quantité qui lui manque pour atteindre son objectif.

le carnet d'ordres. Sous un autre angle, plus la taille des ordres est grande, plus le coût marginal de l'actif est élevé. Ainsi, la stratégie optimale est un compromis entre réduire le coût des ordres et attirer de nouvelles offres de vente dans le carnet. En outre, notre étude donne une expression explicite de la stratégie optimale. Cela permet de connaître d'un point de vue quantitatif l'impact de la forme du carnet d'ordres et de la résilience du marché sur la stratégie optimale et son coût. Nous obtenons notamment que la stratégie optimale est relativement peu sensible à la forme du carnet d'ordres, ce qui est un bon indicateur quant à sa robustesse. Le problème de l'exécution optimale d'ordres est étroitement lié à la question de la viabilité du marché. Selon Huberman et Stanzl [HS], une manipulation de prix est une stratégie pour laquelle on dispose à la date finale du même nombre d'actifs risqués qu'à la date initiale, mais dont l'espérance du coût est négative. Un marché est viable s'il n'existe pas de telle stratégie. L'idée est que si ce type de stratégie existait, on pourrait gagner sûrement de l'argent en les répétant à l'infini, ce qui constituerait un arbitrage classique. De notre point de vue, une manipulation de prix est un cas particulier du problème d'exécution optimale lorsque l'on souhaite acheter zéro actif. S'il était possible de n'acheter aucun actif avec un coût moyen négatif, il y aurait des manipulations de prix. Dans notre modèle de carnet d'ordres, nous avons pu montrer que cela n'est pas réalisable si bien que le marché qu'il représente est viable.

Applications pour les acteurs concer nés ■ Résoudre le problème d'exécution op-

timale est non seulement intéressant pour les praticiens qui cherchent à réduire leur coût de transaction mais peut permettre également aux régula teurs d'identifier comment les mécanismes de cotations influent sur les stra tégies optimales et le comportement des agents du marché.

Pour aller p l us l oi n ■ [AS] Alfonsi, A., Schied, A. (2010), Optimal Trade Execution and Absence of Price Manipulations in Limit Order Book Models. SIAM J. Finan. Math., Vol. 1, pp. 490-522. ■ [HS] Huberman, G., Stanzl, W. (2004). Price manipulation and quasi-arbitra ge, Econometrica, Vol. 72, No. 4, pp. 12471275.

L'heuristique de ce résultat est très claire. Plus la taille du premier ordre d'achat est grande, plus cela permettra d'attirer de nouveaux ordres limites dans

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BIOGRAPHIE Emmanuel Gobet

Formules rapides de valorisation d’options ET CALIBRATION TEMPS-RÉEL Par Emmanuel Gobet, Ecole Polytechnique ; Eric Benhamou, Pricing Partners et Mohammed Miri, Pricing Partners

A RETENIR ■ Les exposés des auteurs (conférence plénière d'E. Gobet, Professeur de mathématiques appliquées à l'Ecole Polytechnique, Emmanuel Gobet a soutenu sa thèse en 1998 et son habilitation à diriger des recherches en 2003. Il a écrit une quarantaine d'articles scientifiques dans des revues internationales. Ses travaux portent principalement sur les méthodes numériques probabilistes, la statistique des processus et les mathématiques financières. Par ailleurs, il a de multiples collaborations industrielles avec les établissements financiers, d’assurances ou les énergéticiens.

contribution mini symposium de M. Miri) lors de la conférence, “Modeling and Managing Financial Risks” en janvier dernier apportent des solutions nouvelles et efficaces à certains problèmes de calcul en temps réel de prix d'options et de leur couverture. ■ Bien souvent, une formule approchée du prix peut être amplement

suffisante pour un objectif de calibration (détermination des paramètres du modèle) ou de valorisation de grands portefeuilles. ■ Si de plus, la formule est analytique et donc très rapide à évaluer

(comme peut l’être la fameuse formule de Black-Scholes), alors le procédé résultant se fait en temps réel et permet de répondre efficacement aux problématiques industrielles de calcul par millier de prix d‘options.

emmanuel.gobet@polytechnique.edu

Eric Benhamou

Depuis l'ouverture des mar chés d'options à Chicago en 1973 et les travaux fondateurs de Black-Scholes et Merton, l'ingénierie financièr e a connu un développement spectaculaire, à la fois dans le domaine des types de mar ché, dans celui des pr oduits financiers pr oposés, mais aussi dans celui des pr oblématiques : valorisation et couvertur e de produits, gestion de portefeuilles, détermination et gestion des risques... La finance de marché a besoin de calculs temps réel

PDG de Pricing Partners, Eric Benhamou a une longue expérience de la salle de marché ayant travaillé successivement chez Goldman Sachs et Natixis avant de fonder Pricing Partners, société indépendante qui fournit à la communauté financière un logiciel de valorisation et de gestion des risques reposant sur les modèles mathématiques de dernière génération. eric.benhamou@pricingpartners.com

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Cette expansion a été accompagnée et rendue possible par de nombreux progrès informatiques et un développement simultané des outils de mathématiques financières, en particulier en analyse mathématique et en calcul numérique. Alors qu'on pourrait croire que les progrès technologiques (via la fameuse loi de Moore) permettent maintenant d'évaluer de plus en plus rapidement les produits financiers et les risques associés, nous sommes toujours loin des calculs temps réel souhaités par tout opérationnel des

salles de marché. Les raisons en sont multiples : d'une part, les modèles ont tendance à s'enrichir sans cesse pour mieux capturer les phénomènes physiques des marchés financiers et ainsi mieux reproduire les données ou informations disponibles. Ce raffinement des modèles engendre inévitablement une inflation du temps-calcul. D'autre part, la gestion des risques est abordée de façon plus globale notamment dans le cadre des calculs des fonds règlementaires à travers la Value At Risk, ou encore celui des risques de contrepartie appelés Credit Valuation Adjustment.


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Mohammed Miri

Les modèles ont tendance à s’enrichir sans cesse.

Cela demande donc de faire des calculs sur de très larges portefeuilles et d'agréger les risques infinitésimaux de chaque option ou produit financier au niveau du portefeuille du trader, puis de la salle de marché, puis de la banque.

Méthodologie L'idée présentée lors de la conférence consiste à choisir un modèle approché dit proxy ou un contrat financier approché dit proxy, dans lequel des calculs explicites sont possibles. On s’appuie ensuite sur ce proxy pour approcher les quantités d'intérêt, en proposant éventuellement des termes correctifs à cette approximation. Le choix du proxy se fait au cas par cas. Mentionnons quelque situations où il a été possible d'obtenir des formules approchées précises et rapides d'évaluation. ■ Dans le modèle à volatilité stochastique de Heston (avec paramètres éventuellement dépendant du temps), un modèle proxy possible peut être le modèle de Black et Scholes en prenant la volatilité de la volatilité égale à 0. ■ Dans les modèles à volatilité locale, le modèle de Black et Scholes peut être un modèle proxy en figeant la fonction de la volatilité locale soit au spot, soit au strike. ■ Lorsque des sauts gaussiens sont ajoutés à la volatilité locale, le même type d'approximation mène au modèle de Merton.

Dans ces trois exemples, on peut calculer les prix d'options vanille de manière approchée comme somme du prix dans le modèle proxy plus des termes correctifs égaux à une combinaison de sensibilités (grecs) calculés dans le modèle proxy. Les tests numériques effectués montrent en général un gain impressionnant de l’ordre d’un facteur 100 sur le temps-calcul par rapport à la meilleure méthode numérique jusqu'alors disponible (FFT dans le cadre du modèle d’Heston, résolution de l’EDP duale pour le modèle à volatilité locale avec sauts). Un travail complémentaire permet aussi de déduire un développement sur les volatilités implicites, facilitant encore la calibration. Le cas d'options exotiques est aussi possible. Des travaux en cours de finalisation traitent des options sur moyenne (options asiatiques) ou des options sur panier. Incorporer des dividendes linéaires permet enfin d'obtenir de nouvelles approximations très précises et rapides. Bien que les formules d'approximation soient finalement simples et précises, leur dérivation mathématique est assez complexe et demande un détour par l'analyse stochastique (calcul de Malliavin) et les perturbations stochastiques, combinées à des paramétrisations astucieuses. En plus des formules, de fines estimations d'erreur sont établies, montrant bien le rôle des paramètres du modèle ou du payoff dans la précision des formules, et ainsi définissant le cadre d'application raisonnable de ces approximations en temps-réel. Loin d'être clos, le sujet est en pleine extension et promet donc de belles avancées.

Responsable de l’équipe de Recherche et Développement de Pricing Partners, ancien élève de l'Ensimag, il a soutenu en 2009 sa thèse de doctorat sur les méthodes d’approximation pour obtenir des calculs en temps réel. mohammed.miri@pricingpartners.com

Applications pour les acteurs concer nés ■ Les outils développés par E. Gobet et ses coauteurs permettent de calculer les prix et les indices de couverture d'options en temps réel dans les modèles relativement sophistiqués. Les établissements financiers pourront ainsi prendre en compte les facteurs de risque qui étaient auparavant écartés sous la pression des contraintes du temps de calcul. ■ D'autre part, a vec une meilleure prise en compte des effets non-linéaires dans les portefeuilles d'options, ces nouveaux algorithmes améliorent le calcul des indica teurs pour l'estimation du capital règlementaire ou des ajustements pour le risque de contrepartie et contribuent à une vision plus c laire du risque à l'échelle d’une banque.

Pour aller pl us l oi n ■ E. Gobet, A. Suleiman. New Approximations in Local Volatility Models. To appear in Marek Musiela Festschrift. Springer Verlag, 2011 ■ E. Benhamou, E. Gobet, M. Miri : Analytical formulas for local vola tility model with stochastic rates. Quantitative Finance, 2011 ■ E. Gobet, P. Etore. Stochastic expansion for the pricing of call options with discrete dividends. Preprint, 2010 ■ E. Benhamou, E. Gobet, M. Miri : Time dependent Heston model. SIAM Journal on Financial Mathematics, Vol.1, pp.289-325, 2010 ■ E. Benhamou, E. Gobet, M. Miri : Expansion formulas for European options in a local volatility model. Interna tional Journal of Theoretical and Applied Finance, Vol.13(4), pp.602-634, 2010 ■ E. Benhamou, E. Gobet, M. Miri : Smart expansion and fast calibra tion for jump diffusion. Finance and Stochastics, Vol.13(4), pp.563-589, 2009 LES CAHIERS DE L’ILB - 7


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Le smile dans les modèles À VOLATILITÉ STOCHASTIQUE Par Julien Guyon Société Générale, Global Markets Quantitative Research

A RETENIR ■ Julien Guyon et Lorenzo Bergomi s’intéressent aux modèles à

“volatilité stochastique”. De manière absolument générale, ils calculent un développement limité exact du smile de volatilité implicite à l'ordre 2 en la volatilité de la volatilité.

BIOGRAPHIE Julien Guyon

Louis Bachelier, en 1905, puis Francis Black et Myr on Scholes, en 1973, ont proposé les deux pr emières théories de l'évaluation des pr oduits dérivés, aussi appelés options. Dans ces deux modèles, le prix d'une option ne dépend que d'un paramètre, la volatilité. Par exemple, dans le modèle de Black-Scholes, qui est la référ ence de mar ché, le prix des options d'achat (call options) est donné par la célèbre formule de BlackScholes, et à chaque prix observé sur le mar ché, pour une maturité T et un prix d'exer cice K donnés, corr espond une et une seule volatilité constante σBS(T,K), appelée volatilité implicite, obtenue en inversant la formule.

Introduction

Julien Guyon travaille à Paris dans l'équipe de recherche quantitative de la Société Générale. Il est docteur en mathématiques appliquées de l'Ecole des Ponts ParisTech, avec une expertise particulière en probabilités et statistiques. Il est diplômé de l'Ecole Polytechnique (Paris), de l'Université Paris VI et de l'Ecole des Ponts ParisTech. Il est également professeur à l'Ecole des Ponts ParisTech. julien.guyon@sgcib.com

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Si le modèle de Black-Scholes parvenait à expliquer les prix observés sur le marché, toutes les volatilités implicites σBS(T,K) seraient égales, quels que soient la maturité et le prix d'exercice de l'option. Or, ce n'est pas ce qu'on observe. Typiquement, on constate que les volatilités implicites dépendent de la maturité T et, pour une maturité fixée, on observe un “smile” de volatilité, c'està-dire que la volatilité implicite dépend du prix d'exercice K. On parle de smile, car le graphe K → σBS(T,K) a souvent l'allure d'un sourire, i.e., est souvent convexe, décroissant puis croissant. La figure 1 montre un exemple de smile. Dans le cas des marchés actions, le smile est nettement décroissant dans la zone des prix d'exercice bas. Dans cette zone, les traders corrigent les prix produits par le modèle de Black-Scholes en

Figure 1 : Un smile observé sur le marché des swaptions 5 ans - 10 ans

augmentant les volatilités implicites, essentiellement pour deux raisons : d'abord, pour tenir compte de la possibilité d'un krach ou d'un grand mouvement à la baisse des prix, événements que le modèle de Black-Scholes souspondère (on observe par exemple que, typiquement, la volatilité historique d'une action est plus grande quand son cours est plus petit) ; ensuite, pour tenir compte du manque de liquidité des options loin


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de la monnaie, c'est-à-dire dont le prix d'exercice est loin de la valeur courante de l'actif. Ce deuxième motif explique qu'on observe aussi souvent le smile “remonter” pour les prix d'exercices très élevés. Méthodologie Pour tenir compte des observations, il est donc nécessaire de modifier le modèle de Black-Scholes afin de lui faire générer du smile. Une solution souvent utilisée consiste à remplacer la volatilité constante σ par un processus qui a luimême des fluctuations aléatoires. C'est à ces modèles à “volatilité stochastique” que nous nous sommes intéressés avec Lorenzo Bergomi, responsable de la recherche quantitative chez Société Générale. En utilisant des techniques de développement perturbatif, nous avons démontré qu'en fait il existe une formule tout à fait générale pour le smile des modèles à volatilité stochastique. Nous avons présenté nos résultats lors de la conférence “Modeling and Managing Financial Risks”, organisée par la chaire Risques Financiers à Paris du 10 au 13 janvier 2011. Notre principal résultat est le suivant. Tout comme les fluctuations du prix sont mesurées par la volatilité σ, les fluctuations de volatilité peuvent être mesurées par la “volatilité de volatilité” ω. De manière absolument générale, dans les modèles à volatilité stochastique, on peut calculer un développement limité exact du smile à l'ordre 2 en la volatilité de la volatilité ω. A cet ordre, le smile est décrit par une forme fonctionnelle très simple :

où FT est la valeur initiale du forward et les coefficients, IT ,ST et KT qui représentent respectivement la volatilité implicite “à la monnaie” (c’est-à-dire, pour la valeur du prix d’exercice égale au prix du sous-jacent), sa pente et sa courbure, s'expriment simplement à l'aide des paramètres du modèle. Quel que soit le modèle à volatilité stochastique considéré, on peut calculer ces trois nombres et en déduire le smile. L'expression du smile et les expressions des coefficients IT , ST et KT montrent que le smile des modèles à volatilité stochastique est structurellement contraint. ATM

ATM

Par exemple : ■ La pente à la monnaie est générée par la covariance entre le prix du sous-jacent et sa volatilité.

■ Le smile à la monnaie est convexe dans le cas où le prix du sous-jacent et sa volatilité sont décorrélés, mais ce n’est pas nécessairement vrai dans le cas général. ■ On sait écrire, pour les faibles maturités, comment la pente à la monnaie et la courbure du smile dépendent de la volatilité implicite à la monnaie. En particulier, nos travaux nous permettent de retrouver le développement limité du smile à l'ordre 2 en volatilité de la volatilité effectué par Alan Lewis [5] dans le cas du modèle d'Heston. Notre résultat est bien sûr beaucoup plus puissant, puisque nous ne supposons aucune forme particulière pour le modèle à volatilité stochastique. Nous obtenons ainsi le développement à l'ordre 2 en volatilité de la volatilité du modèle de Bergomi [1]. Le calcul exact du smile par MonteCarlo nous a permis de vérifier que le développement à l'ordre 2 est très précis pour un large spectre de volatilités de volatilité ω et pour une large gamme de maturités et de prix d'exercice.

Pour conclure, nous précisons que nos résultats peuvent être utilisés à des fins de calibration des paramètres, mais nous ne pensons pas qu'il soit toujours judicieux de calibrer les paramètres d'un modèle à volatilité stochastique sur le smile qu'il produit. En particulier, si l'on utilise le modèle pour évaluer des options exotiques dont les risques sont orthogonaux à ceux des options d'achat usuelles, une telle calibration n'offrirait qu'un confort psychologique infondé et peut avoir des conséquences néfastes (mispricing). Cependant, il arrive fréquemment que certaines options d'achat bien choisies permettent de réduire sensiblement le risque d'une option exotique. Dans ce cas, notre formule peut servir à choisir les paramètres du modèle afin que celui-ci évalue correctement le prix de ces instruments de couverture. Insistons enfin sur le fait que nos travaux permettent non seulement de quantifier précisément le smile produit par les modèles à volatilité stochastique, mais aussi et surtout de préciser les contraintes structurelles de ce smile. Ils ont ainsi selon nous une double valeur, quantitative et qualitative.

Applications pour les acteurs concer nés Figure 2 : Smile exact (MC) et notre formule du smile (order 2) dans le modèle de Bergomi

La figure 2 montre des smiles obtenus pour des valeurs typiques de volatilité de volatilité (ω=200%) et de corrélations entre spot et volatilités, pour trois maturités (1, 3 et 8 ans) : • d'une part le smile exact obtenu en utilisant une simulation Monte-Carlo (MC), • d'autre part le smile issu de notre nouvelle formule (order 2).

■ Les résultats obtenus ont une double valeur, quantitative et qualita tive. D’un côté, ils permettent de préciser les contraintes structurelles sur la volatilité implicite. ■ D’un autre côté, ils peuvent être utilisés à des fins de calibra tion de paramètres et permettent de réduire sensiblement le risque de modèle lié à la valorisa tion d’une option exotique.

L'approximation est très satisfaisante.

Pour aller plus loin ■ [1] Bergomi L., Smile Dynamics 2, Risk Magazine, pages 67-73, Octobre 2005 ■ [2] Hagan, P., Kumar, D., Lesniewski, A. et Woodward, D., Managing smile risk, Wilmott Magazine, pages 84-108, Septembre 2002 ■ [3] Heston, S., A Closed-Form Solution for Options with StochasticVolatility with Applications to Bond and Currency Options, Review of Financial Studies, Oxford University Press for Society for Financial Studies, 6(2):327-343, 1993 ■ [4] Hull, J. White, A., The pricing of options on assets with stochastic volatilities, Journal of Finance, 42:281-300, 1987 ■ [5] Lewis A., Option valuation under stochastic volatility, Finance Press, 2000 ■ [6] Renault, E. et Touzi, N., Option pricing and implied vola tilities in a stochastic vola tility model, Mathematical Finance, 6:279-302, 1996 LES CAHIERS DE L’ILB - 9


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MODELING AND MANAGING FINANCIAL RISKS une conférence de la chaire “Risques Financiers” Peter Tankov CMAP-Ecole Polytechnique

L

a conférence internationale ``Modeling

Quelques statistiques :

and Managing Financial Risks'' a été

66 exposés au total dont 12 par des praticiens, 25 par les orateurs venus de l’étranger, 9 par les membres de la chaire “Risques financiers”, 21 en session plénière. 219 participants inscrits dont 53 praticiens et 87 venus de l’étranger.

l’événement scientifique principal des

cinq premières années de la chaire “ Risques Financiers ”. Cette manifestation de 4 jours a été organisée en janvier 2011 par l’équipe de mathématiques financièr es du CMAP . Les exposés de la conférence, dédiés à différents aspects du risque financier ont eu lieu dans les amphithéâtres du Campus des Cordeliers. Situés à l’emplacement de l’ancien monastère des Cordeliers, ces locaux historiques appartiennent maintenant à l’Université Paris VI, et sont utilisés pour organiser des manifestations de prestige. Les conférences plénières ont été données par des orateurs de mar que invités par le comité scientifique, et les exposés des sessions parallèles ont été sélectionnés parmi les nombreuses contributions r eçues par le comité d’organisation. L’appel aux contributions a été dif fusé très largement en France et à l’étranger et un ef fort tout particulier a été fait pour attir chercheurs.

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er celles de jeunes

Parmi les orateurs en session plénièr e des trois premiers jours : ■ Ioannis Karatzas a parlé des modèles pour les

marchés d’actions de grande taille. Il étudie notamment le lien entre la taille d’une société cotée, c’està-dire la part de son titre dans le volume global, et son rendement, ainsi que les implications de ce lien sur l’optimisation de portefeuille à long terme. ■ Emmanuel Gobet a présenté une méthode pour le calcul de prix d’options en présence de dividendes. Il développe des approximations très précises pour la valorisation en temps réel (Contribution en page 6). ■ Nicole El Kar oui a fait un mini-cours de trois

séances sur les différents aspects d’interaction historique entre les mathématiques et les marchés financiers. Les deux principaux sujets abordés étaient d’un côté la gestion de portefeuille sous la contrainte de drawdown et son lien avec la théorie de martingales et de l’autre côté les équations différentielles stochastiques rétrogrades et leurs applications pour la mesure des risques.


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■ Xunyu Zhou a parlé du timing optimal pour acheter

ou vendre un actif, dans le cas ou l’acheteur / vendeur n’est pas complètement rationnel mais sous-estime ou surestime certaines probabilités. ■ Paul Embrechts a présenté ses réflexions sur le rôle

de l’ingénierie financière dans les crises financières et leur prévention. L’accent a notamment été mis sur le rôle social des mathématiques financières pour assurer la gestion des retraites. ■ Jean-Pierre Fouque

a présenté des nouvelles approximations pour les modèles à volatilité stochastique, c’est-à-dire les modèles où la variabilité des actifs peut elle-même changer de manière aléatoire d’un jour à l’autre. ■ Walter Schachermayer a présenté un travail nova-

teur sur les mesures de risque multidimensionnelles. L’objectif est de pouvoir agréger des risques de nature différente dans une unique mesure. ■ L’exposé de Nizar Touzi a été consacré aux bornes sur les prix en présence de contraintes de calibration. Il s’agit de calculer l’ensemble des valeurs possibles d’un actif sans faire d’hypothèse sur son comportement, mais en utilisant uniquement les prix des autres actifs disponibles sur le marché (Contribution en page 14).

Le dernier jour a été dédié plus spécifiquement à l’interaction entre universitaires et praticiens avec les exposés de Bruno Dupire, Julien Guyon, Lor enzo Bergomi, Salah Amraoui, Alex Lipton, Jean-Philippe Bouchaud, Charles-Albert Lehalle, Rama Cont et Frédéric Abergel. Cependant, la participation des praticiens a été forte pendant les quatre jours de la conférence. L’après-midi du 2e jour de la conférence a été l’occasion de célébrer le 20e anniversaire du master “Probabilités et Finance”. De nombreux anciens du master ont assisté à cet événement avec des exposés de Hélyette Geman, Nicole El Karoui, Shige Peng, Gilles Pagès, Jean Jacod et Bruno Dupire. Cette journée s’est achevée par un cocktail. De manière générale, la conférence a été un grand succès, à la fois en termes de qualité des présentations et en termes d’interaction entre les communautés universitaires et praticiens. Le programme de la conférence ainsi que les présentations sont disponibles sur le site web de l’événement à l’adresse suivante : w w w. c m a p . p o l y t e c h n i q u e . f r / f i n a n c i a l r i s k s / conference2011/

BIOGRAPHIE Peter Tankov est enseignant-chercheur en mathématiques financières à l’Ecole Polytechnique. Auteur du livre “Financial Modelling with Jump Processes”, ses travaux de recherche portent sur la modélisation du risque de

saut en finance et sur les processus stochastiques avec sauts. Avec C. Hillairet et J. Guyon, il était l’un des organisateurs de la conférence “Modeling and Managing Financial Risks”.

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Le trading quantitatif UNE RATIONALISATION DE LA NÉGOCIATION SUR LES MARCHÉS Par Charles-Albert Lehalle, Crédit Agricole Cheuvreux

A RETENIR ■ Le trading optimal est un domaine récent qui établit un lien entre

une stratégie d'investissement au sens large et l'état de l'offre et la demande sur un marché électronique. Il permet par ce biais une meilleure compréhension d'un type de risque jusque-là peu exploré, en conjuguant des résultats de mathématiques appliquées et de finance quantitative avec une forte expertise en modélisation de processus discrets sur de larges échantillons.

BIOGRAPHIE Charles-Albert Lehalle

■ C.-A. Lehalle et ses collaborateurs développent des outils numériques

puissants pour le trading optimal ainsi que pour l’optimisation géographique de l’envoi d’ordres.

Le trading quantitatif regroupe les techniques permettant de rationaliser l'implémentation sur les marchés des décisions d'investissement. Ces techniques sont nées autour de l'achat et la vente de grosses quantités d'actions sur les marchés électroniques. Si on achète ou que l'on vend trop rapidement, le prix sera dégradé (cet effet est appelé “market impact”) alors que si on achète ou vend très lentement pour éviter de perturber le processus de formation des prix, on court le risque que le prix change pendant l'implémentation de la décision, la rendant ainsi caduque. Charles-Albert Lehalle est responsable de l'équipe de recherche quantitative de Crédit Agricole Cheuvreux, en charge de l'optimisation de la négociation sur les marchés action. Il a publié de nombreux articles sur le contrôle optimal du trading, l'estimation du market impact et la mesure de l'efficacité d'un processus de négociation. Il donne le cours de “trading quantitatif” au Master de Probabilités et Finance de l'Université Paris VI et à l'ENSAE. clehalle@cheuvreux.com

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Afin de rationaliser cet équilibre (éviter trop d'impact en négociant lentement, éviter une trop forte exposition au risque de marché en négociant rapidement), il est tout d'abord nécessaire de modéliser la nature du market impact, et donc d'étudier la microstructure des marchés. Il est aussi important de mesurer correctement le risque couru dû à l'attente (la part d'aléa dans le processus de formation des prix) et donc de recourir à des résultats de statistique des processus. Une fois ces deux choses faites, on peut poser clairement un problème d'optimisation correspondant à une problématique de négociation et le résoudre.

La microstructure des marchés On appelle communément microstructure des marchés l'ensemble des règles et des comportements qui structurent les jeux d'enchères mis en place pour former des prix. Pour ce qui est des marchés tirés par les ordres, il y a principalement deux types de jeux d'enchères. Les enchères de fixing, qui débutent et clôturent habituellement les journées de cotation, et les enchères en continu, en vigueur le reste du temps de cotation. Les enchèr es de fixing ressemblent beaucoup aux mises aux enchères habituelles d'objets d'art, à l'exception


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près que les vendeurs y participent au même titre que les acheteurs. Cela est rendu possible grâce à la fongibilité des actions d'une même société cotée. Durant la phase de “mises aux enchères”, les acheteurs et les vendeurs déclarent leurs intérêts simultanément sous la forme de quantités et de prix. La somme des offres d'achat et de vente forment deux carnets d'ordres cumulés. Au moment du “fixing” un prix d'équilibre est calculé qui correspond à l'intersection des deux carnets d'ordres.

période de relaxation du carnet d'ordres (Bouchaud, Mezard, Potters, 2002 et Gatheral, 2010), ainsi qu’une modélisation jointe des volumes des ordres et des prix cotés (Cont, De Larrard 2011).

Les enchères continues se déroulent selon une autre logique ; les carnets d'ordres cumulés ne se recouvrent jamais : l'appariement des ordres d'achat et de vente se fait au fil de l'eau. Dès qu'un ordre d'achat se déclare à un prix plus élevé qu'un ordre de vente déjà présent dans le carnet (ou qu'un vendeur se déclare à un prix inférieur à celui d'un acheteur déjà présent), une transaction est générée qui “nettoie” en temps réel le carnet. Dans le cadre des enchères continues, il est utile de distinguer les apporteurs de liquidité, présents dans le carnet d'ordres, des consommateurs de liquidité, dont les ordres génèrent immédiatement des transactions en rencontrant les ordres des apporteurs de liquidité. Les apporteurs de liquidité sont patients, prêts à attendre avant de prendre part à une transaction ; les consommateurs de liquidité sont impatients, acceptent de “payer” la fourchette offre-demande en contrepartie de la certitude d'une transaction.

Une première partie de la rationalisation de la négociation consiste à en contrôler le risque. Plusieurs cadres formels équivalents ont été proposés en toute fin des années 90 par divers universitaires (Almgren, Chriss 2000). Le principe est d'écrire un critère à minimiser : ce fut initialement un équilibre moyenne – variance qui permet de retranscrire l'envie d'aller lentement (pour minimiser le coût de market impact qui est du côté de la moyenne) et d'aller vite (pour minimiser la variance du prix pendant la période de trading). Aujourd'hui on utilise communément des techniques plus sophistiquées (Bouchard, Dang, Lehalle 2011). Cela permet d'obtenir, via une optimisation numérique des “courbes optimales de trading” qui encadrent le nombre d'actions qu'il est judicieux d'acheter ou de vendre pour ne pas être trop fortement exposé aux différents risques.

Le processus de formation des prix provient donc de l'enchaînement des enchères de fixing et continues, et naît de la dynamique des carnets d'ordres. L'augmentation récente (continue en Europe depuis 2007) de la fréquence de modification des ordres par les divers intervenants conduit à qualifier aujourd'hui la plupart des modes de négociation sur les marchés électroniques de “trading haute fréquence”, par opposition avec les ordres passés par téléphone il y a encore quelques années. En 2011, une valeur liquide du CAC 40 génère environ 50.000 transactions en une journée, portées par quelques 600.000 mouvements des dix premiers prix du carnet d'ordres. La modélisation des processus d'arrivée des ordres en fonction du prix, de leur quantité, de l'état des carnets et du passé récent fait l'objet d'études nombreuses sans qu'une conclusion définitive n'ait pu émerger. Les règles des différents carnets d'ordres disponibles et les comportements des différents acteurs évoluant sans cesse, il est difficile de tirer des conclusions sur une “meilleure” modélisation du processus de formation des prix. Il faut noter néanmoins l'émergence de certaines propositions prometteuses telles que les processus ponctuels (Bacry et al. 2011), les modèles du mouvement de prix immédiat après une transaction suivie d'une

Méthodologie : La problématique de la négociation Une fois le problème bien posé en termes de jeux d'enchères, la problématique de l'achat ou la vente d'un grand nombre d'actions apparaît clairement.

Ensuite il s'agit de réellement acheter ou vendre ses actions en participant au jeu d'enchères, on utilise pour cela des robots de trading appelés aussi “liquidity seekers” (voir figure 1). Il ne faut pas négliger dans ce cadre l'importance d'une optimisation du choix des carnets d'ordres avec lesquels le robot de trading va interagir. En effet pour une même action cotée, des jeux d'enchères se déroulent en parallèle sur le marché “historique” (Nyse Euronext pour une valeur parisienne) mais aussi sur des places alternatives comme BATS, Chi-X, ou Turquoise, ainsi que dans des “Dark Pools” (carnets d'ordres anonymes). L'optimisation géographique de l'envoi d'ordres est prise en charge par ce qu'on appelle généralement un “Smart Order Router” (SOR). Des propositions de formalisation récentes de ces problématiques ont été proposées (Pagès, Laruelle, Lehalle 2009).

Applications pour les acteurs concer nés ■ L’optimisation des interactions a vec les carnets d'ordres des marchés électroniques, si elle peut paraître infinitésimale dans son implémentation (décider d'intervenir à quelques secondes près), est une véritable source d'économie pour une grande partie de l'activité des acteurs de la finance de marché tels que les market makers et les gestionnaires de fonds.

Pour aller pl us l oi n ■ (Bacry et al. 2011) Modeling microstructure noise with mutually exciting point processes, par E. Bacr y, S. Dela ttre, M. Hoffmann, J. F. Muzy (18 Jan 2011), prépublication arxiv ■ (Bouchaud, Mezard, Potters, 2002) Statistical properties of stock order books: empirical results and models, par J. P. Bouchaud, M. Mezard, M. Potters (18 Jun 2002) ; prépublication arxiv ■ (Gatheral, 2010) No-Dynamic-Arbitrage and Market Impact, par Jim Ga theral ; Social Science Research Network Working Paper Series (31 October 2008) ■ (Cont, Larrard 2011). Price Dynamics in a Markovian Limit Order Book Market, par Rama Cont, Adrien De Larrard ; Social Science Research Network Working Paper Series (07 January 2011) ■ (Bouchard, Dang, Lehalle 2011) Optimal control of trading algorithms: a general impulse control a pproach, par Bruno Bouchard, Ngoc-Minh Dang, Charles-Albert Lehalle, SIAM J. F inancial Ma thematics, (à paraître en 2011) ■ (Pagès, Laruelle, Lehalle 2009) Optimal split of orders across liquidity pools: a stochatic algorithm approach, par Gilles Pagès, Sophie Laruelle, Charles-Albert Lehalle (2009); prépublication arxiv ■ (Almgren, Chriss 2000) Optimal execution of portfolio transactions, par R. F. Almgren, N. Chriss in Journal of Risk, Vol. 3, No. 2. (2000), pp. 5-39

Figure 1 : Un exemple réel de la mise en œuvre d'un algorithme de négociation.

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Bornes de non-arbitrage POUR LES OPTIONS LOOKBACK Par Pierre Henry-Labordère, Société Générale et Nizar Touzi, Ecole Polytechnique, CMAP

BIOGRAPHIE Nizar Touzi

A RETENIR ■ Nizar Touzi et ses coauteurs ont développé une méthode générale

pour la recherche de bornes sur les prix des produits dérivés étant donnée l'information du marché à une date donnée. ■ Ces bornes doivent être robustes dans le sens où elles ne dépendent

pas d'un choix particulier de modélisation, mais sont fondées uniquement sur la seule loi fondamentale en finance de marché, à savoir le concept de non-arbitrage. ■ L'hypothèse supplémentaire de linéarité de la fonctionnelle d'évaluation

et de la continuité du processus de prix de l'actif sous-jacent est retenue. Nizar Touzi est professeur de mathématiques appliquées à l’Ecole Polytechnique. Ses thèmes de recherche portent sur les mathématiques financières, le contrôle stochastique et les méthodes

Nous nous intéresserons à l'évaluation à la date d'origine d'un pr oduit dérivé écrit sur un unique sous-jacent d’un pay-of f, payable à une maturité T, dépendant de l'ensemble de la trajectoir e de l'actif sousjacent.

de Monte Carlo. nizar.touzi@polytechnique.edu

Méthodologie

Pierre Henry-Labordère

Pierre Henry-Labordère est chercheur au département de recherche quantitative de la Société Générale. pierre.henry-labordere@sgcib.com

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Nous supposons que l'actif sous-jacent est disponible pour l'échange en temps continu sans contrainte sur les volumes de transaction. Nous nous plaçons par ailleurs dans le cadre d'un taux d'intérêt nul. Il est alors bien connu que l'absence d'arbitrage implique que le processus de prix de l’actif sous-jacent est une martingale sous une certaine mesure de probabilité, communément appelée probabilité neutre au risque. L'investisseur a aussi accès à un marché des options européennes et peut échanger des options d'achat européennes de maturité T pour tous les prix d'exercice

positifs. L’hypothèse de non-arbitrage ainsi que la linéarité de la fonctionnelle d’évaluation permettent alors d’identifier la distribution marginale du prix de l'actif sous-jacent à la date T sous la probabilité neutre au risque. Il s'agit d'une ancienne observation due à Breeden et Litzenberger. Avec les deux hypothèses ci-dessus, à savoir la linéarité de la fonction d’évaluation et l’absence d’arbitrage sur le marché de l’actif sous-jacent et celui des options d’achat européennes, nous avons ainsi deux conditions sur l’actif sous-jacent : sous la probabilité neutre au risque, il s’agit d’une martingale de distribution marginale en T donnée. La question abordée dans notre travail est de trouver


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La question abordée dans notre travail est de trouver les bornes sur le prix d’une option exotique sur cet actif sous-jacent sans autre hypothèse sur le modèle. les bornes sur le prix d’une option exotique sur cet actif sous-jacent sans autre hypothèse sur le modèle. Nous formulons ces bornes sous forme de problèmes de couverture robuste, c'est-à-dire que la couverture doit prémunir contre les risques quelque soit le modèle sous-jacent. Nous montrons que ces problèmes de couverture admettent une formulation duale qui se prête mieux aux méthodes de calcul numérique ou analytique, et qui rapproche notre problème à la fois : ■ d’un problème de transport optimal, de nature nouvelle par rapport aux problèmes regardés dans la littérature classique du fait de la condition de martingale qui nous est imposée par l’absence d’arbitrage, ■ et du célèbre problème d’embedding de Skorohod qui a engendré une large littérature dans la communauté probabiliste. David Hobson avait déjà remarqué le rapport avec le problème d’embedding de Skorohod depuis 1998. En particulier, Hobson et Klimmek (2011) ont montré que pour une classe d’options Lookback, la solution dite d’Azéma et Yor du problème d’embedding de Skorohod donne la borne supérieure optimale. Notre approche permet aussi d’obtenir ce résultat explicite. Une extension naturelle de notre problème consiste à supposer que l’investisseur a accès à la loi marginale du prix de l’actif sous-jacent à plusieurs dates avant la maturité. En particulier, le cas de deux marginales et d’une option Lookback dépendant uniquement du maximum a été complètement résolu par Brown, Hobson et Rogers (2001). Pour le cas à plusieurs marginales, Madan et Yor (2002) ont donné une solution explicite sous une condition de monotonie des fonctions de barycentres associés.

Avec notre approche, nous sommes en mesure d’obtenir une solution du problème dans le cas général, évitant la condition de Madan et Yor. Conclusion

Notre approche offre une méthodologie générale pour la formulation du problème des bornes de non-arbitrage. Ces bornes sont très utiles pour la pratique des marchés financiers puisqu'elles permettent de tester directement si un prix donné est consistant avec l'ensemble des prix disponibles sur le marché à une date donnée. Il est clair que ces bornes donnent en général un intervalle de prix admissibles assez large. Cependant, la taille de l'intervalle décroît avec la taille de l'information mise à disposition de l'investisseur. Plusieurs extensions de notre travail sont envisageables. Tout d'abord, il ne faut pas espérer obtenir des formules explicites pour des exemples généraux de produits structurés. La question importante est de concevoir des méthodes numériques efficaces pour l'approximation de la solution de notre problème. Ce travail est partiellement abordé dans la thèse de Xiaolu Tan à l'Ecole Polytechnique. Enfin, les voies du calcul explicite n'ont pas toutes été exploitées, même dans le cadre très spécifique des options Lookback. Que se passe-t-il pour un payoff général ne vérifiant pas les conditions de Hobson et Klimmek ? Que se passe-t-il si toutes les marginales sont connues ? Ce dernier point pourrait conduire à un cadre simplifié grâce à la puissance du calcul différentiel pour les variables continues.

Un exemple : Nous avons utilisé nos résultats analytiques pour déterminer la borne haute optimale d’une option call écrite sur le maximum de l’Eurostoxx entre 2 dates t1 = 1 an et t2 = 2 ans pour différents strikes. Pour comparaison, nous avons évalué ce produit en Monte-Carlo avec le modèle à volatilité locale introduit par Dupire (1993).

Strike

Borne Haute

Vol.Locale

80

41,24

33,15

90

32,10

24,78

100

23,49

17,17

110

15,77

10,73

120

9,40

5,86

130

4,83

2,75

Recommandations pour les acteurs concer nés ■ Les bornes sont très utiles pour la pra tique des marchés financiers puisqu'elles permettent de tester directement si un prix donné est consistant a vec l'ensemble des prix disponibles sur le marché à une date donnée. ■ L’intervalle des prix fourni par la méthode permet également aux banques de quantifier le risque de modèle associé à un produit exotique.

Pour aller pl us l oi n ■ [1] Galichon, A., Henr y-Labordère P . et Touzi, N. (2011), A stochastic control approach to no-arbitrage bounds given marginals, a pplication to Lookback options. Preprint ■ [2] Henry-Labordère P. et Touzi, N. (2011), No arbitrage bounds for Lookback options given multiple marginals. Preprint

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S ET FINANCE” É IT IL B A B O R P “ LE MASTER ANS FÊTE SES VINGT

BIOGRAPHIE

Nicole El Karoui est chercheuse au centre de mathématiques

20 ans de formation, 900 étudiants, 2 crises majeures ! L’enseignement des mathématiques financièr es en France est de très haut niveau et les jeunes diplômés de cette discipline sont très r echerchés sur le mar ché de l’emploi. Avec ses 900 diplômés, ses vingt ans d’existence, le Master “Probabilités et Finance” (UPMC/EP) a joué un rôle déterminant dans cette évolution, comme l’atteste un article du Wall Street Journal en 2006.

Polytechnique et professeur de mathématiques au Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires (LPMA) de l'Université Pierre et Marie Curie (Paris VI). Nicole El Karoui est également responsable du Master 2 “Probabilités et Finance” (cohabilité avec l'École Polytechnique). Directrice du bureau scientifique de l’Institut Louis Bachelier, elle dirige les chaires de recherche sur les risques financiers pour la Fondation du Risque et sur les dérivés du futur, en partenariat avec la Fédération Bancaire Française.

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L E M AST ER

appliquées (CMAP) de l'École

En Chiffres

Le Master a formé à ce jour 900 diplômés, pour la plupart des étudiants scientifiques dont la moitié est issue de Grandes Ecoles. Un fort pourcentage d’étudiants étrangers suivent la formation. Le métier de “quants” (ingénieur quantitatif) est de loin le métier dominant, devant le trading, le risk-management, puis les hedge funds. Un tiers des diplômés au moins est actuellement dans une des quatre grandes banques françaises, un autre tiers dans les banques étrangères à Londres ou au Japon. Depuis 5 ans, plus de la moitié des premiers emplois sont à Londres.

En Dates A la fin des années 1980, les premiers marchés financiers de produits à terme ouvrent à Paris (MATIF (1986), MONEP(1987)). Antoine Paye monte l’activité des produits optionnels à la Société Générale. Le Lundi Noir (Oct 1987) de la bourse de New York est dans tous les esprits. En 1990, Nicole El Karoui (Professeur à l'Université Pierre et Marie Curie Paris VI) et Helyette Geman (Professeur à l’ESSEC) créent une option Probabilités et Finance du DEA de Probabilités de l’Université Pierre et Marie Curie-Paris VI (Directeur Jean Jacod). Le DEA est cohabilité avec l’Ecole Polytechnique, l’ENPC et l’ESSEC. Il s’agit de la première formation de ce genre en milieu scientifique.


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L’objectif est de former des “quants” qui comprennent et utilisent les méthodologies mises en place aux Etats Unis depuis une quinzaine d’années, tout particulièrement dans le domaine des taux d’intérêt, pour lequel la demande est très forte. Le schéma de formation mis en place est encore d’actualité comme expliqué ci-dessous.

1990-2000 Un départ modeste, (6 diplômés la première année), mais à croissance rapide car la demande est grande. Deux difficultés spécifiques : faire connnaître la formation en dehors des salles de marchés, auprès des DRH notamment. Par ailleurs, les banques anglo-saxonnes à Londres n’ont pas l’habitude de prendre des stagiaires pour une longue durée (problème du secret professionnel entre autres). Il faudra attendre que de nombreux responsables soient français pour que cela change. Période très excitante tant pour nos étudiants que pour les équipes dans les banques, car tout se met en place à une vitesse hallucinante, en gros celle de la puissance de calcul des ordinateurs. Des outils qui paraissaient impossibles à utiliser sont complètement intégrés moins de

trois ans après. Il n’y a pas de problèmes de débouchés, les salaires sont élévés mais restent raisonnables, les bonus des “quants” sont loin d’être exorbitants. La recherche académique se développe parallèlement de manière très active, souvent en liaison avec les banques. Marc Yor, Professeur à Paris VI, Membre de l’Académie des Sciences, joue un rôle très important, ainsi que les autres enseignants du Master. Une nouvelle discipline de recherche, “les mathématiques financières” s’impose en Europe en particulier. Les mathématiciens ne voient pas toujours cela d’un “bon oeil”. Plusieurs crises, LTCM, la crise asiatique, ENRON, la Baring, (entre autres) viennent ponctuellement rappeler que ces marchés peuvent engendrer de très “grandes pertes”, et que la tentation de jouer avec d’énormes leviers est permanente. 1998 voit la demande du régulateur de produire une Value at Risk quotidienne sur les risques de marché, c’est à dire sur l’activité agrégée d’une salle de marché. Même si les ordinateurs ont beaucoup gagné en puissance et baissé en coût, c’est un vrai challenge. C’est un grand chantier pour les institutions financières, et pour les structures de formation qui fournissent les quants qui auront à mettre en place cette nouvelle mesure. Les échanges académiques avec le marché s’intensifient, notamment autour de la pertinence de la VaR comme mesure de risque. Les étudiants des Grandes Ecoles sont de plus en plus nombreux dans notre formation, et dans les autres qui se sont créées à l'Université Paris VII, à l'Université Paris-Dauphine, à l'Université Paris I, puis à l'Université Paris-Est Marne-La-Vallée et ensuite dans les dernières années de Grandes Ecoles.

Entre 1995 et 2000, Nicole El Karoui part à l’Ecole Polytechnique créer une équipe de recherche en mathématiques financières, mais reste très engagée dans la formation au titre de l’Ecole Polytechnique, Hélyette Geman prend la direction du DEA 203 de l’Université Paris-Dauphine et quitte la formation, Gilles Pagès arrive à Paris VI pour développer les probabilités numériques et participer à la direction du Master, avec Marc Yor.

2000-2008 Le passage à l’an 2000 voit exploser la bulle des valeurs Internet, ce qui va perturber le recrutement de nos étudiants pendant au moins un an et demi (2001-2002) mais pas la demande de formation. Les fusions entre banques se font plus nombreuses. Les premiers dérivés de crédit font leur apparition, et de nombreux stages portent sur leur modélisation. Le milieu académique est réservé sur les modèles proposés. Le label “DEA El Karoui” se vend bien et nos étudiants commencent à avoir une visibilité internationale, qui aboutira en 2006 à l’enquête du Wall Street Journal sur les 30% de “quants” français dans les marchés financiers, puis à celui du Monde peu après. Nous avons créé là un autre produit de luxe (les bonus ont atteint des niveaux astronomiques, surtout pour les traders) à exporter. La formation des “ingénieurs” à la française, avec des acquis solides en mathématiques et une grande capacité d’adaptation, complétée par une formation universitaire de haut niveau d’exigence est particulièrement bien adaptée à ce genre de métiers.

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2008-2010 La faillite de Lehman Brother en septembre 2008 touche le Master de plein fouet. Les mathématiques financières sont montrées du doigt, et accusées de bien des maux. Même si les critiques méthodologiques sont souvent très superficielles, la question de la place des scientifiques dans le monde réel se trouve posée avec acuité d’autant que la finance est loin d’avoir la “neutralité” supposée d’autres disciplines plus traditionnelles. La crise des subprimes avait peu touché l’activité de produits dérivés en dehors du crédit. Les candidatures au Master (Annuaire 2009) avaient atteint un niveau exceptionnel, ce qui tout en sélectionnant sévèrement nous avait amené à accepter beaucoup de candidats. L’année 2009 a été très difficile pour trouver des stages, presque moins pour des embauches. Cela a été très néfaste aux étudiants étrangers pour qui les problèmes de “papiers” se sont posés de manière cruciale et difficile. La crise a donné une image très négative des marchés financiers, qui a préoccupé un certain nombre d’étudiants. Par ailleurs, la crise de la Grèce a montré qu’il reste beaucoup d’incertitudes à lever. Sous les injonctions de la régulation, les structures de contrôle à l’intérieur des établissements se sont renforcées, et recrutent pour cela des ingénieurs quantitatifs. La situation à Londres est très différente, car à la suite de la crise de nombreuses équipes avaient été licenciées. L’activité reprenant, les

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équipes sont recréées et nos étudiants sont très demandés. Ces deux dernières années, les grandes banques de Londres (Anglo-saxones ou autres) ont recruté beaucoup plus de nos étudiants que les banques françaises. Depuis plusieurs années, les banques ou les hedge funds ont développé du trading haute fréquence pour compte propre ou autre. Devant l’ampleur de la demande, nous avons orienté une partie optionnelle de la formation dans cette direction, en l’associant à un large débat sur les risques. Cela représente finalement une très faible part de nos débouchés, mais une large part de notre réflexion.

(notamment étrangers) dans la formation. Cela s’est fait au détriment des étudiants d’Université, un peu rebutés par cette forte présence. Le nombre d’étudiants étrangers est très important, puisqu’il représente plus de 50% des étudiants bien que la formation soit toujours en français. Certains de ces étudiants font partie du Master joint entre l’Université de Fudan et l’Ecole Polytechnique. Retournés en Chine, et recrutés par des banques américaines, ils sont en train d’amorcer une filière d’avenir, car de nombreux signes montrent que le marché se déplace, plus vite que prévu, vers l’Asie et la Chine en particulier. Ce serait bien que cela profite aussi aux banques françaises.

Les étudiants Le nombre d’étudiants des Grandes Ecoles a beaucoup augmenté ces dernières années, notamment grâce à la médiatisation du Master. A l’Ecole Polytechnique, depuis 98 avec l’arrivée de Nicole El Karoui, la formation en mathématiques financières s’est structurée, l’équipe de recherche s’est renforcée et est devenue très visible ; cela a conduit à une forte représentation des Polytechniciens

Le cursus Le cursus de base des débuts du Master a peu évolué dans ses principes, fondamentalement, les mêmes que depuis vingt ans, avec un renforcement de l’enseignement sur la réglementation et la gestion des risques. Il y a d’abord une initiation au monde de la finance qui s’adresse à tous, indispensable pour comprendre le monde économique et de l’entreprise, et celui des marchés financiers. Mais il y a surtout des enseignements spécialisés, en finance de marché, dans le domaine des produits financiers dérivés. C’est un secteur ayant une forte composante de mathématiques appliquées, tant du point de vue probabiliste, que des méthodes de calcul : les problèmes ont trait à la modélisation des cours en vue du calcul du prix du produit vendu et de la couverture des risques qu’il génère, conduisant à des calculs en


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La question du risque est au centre de la formation, par nature puisque c’est le cœur de métier de l’ingénieur “quant”.

temps réel, mais nécessitant peu d’analyse financière. Après la crise, nous sensibilisons les étudiants aux problématiques de risques dans un cadre plus global par le biais de cours sur les risques donnés conjointement par des académiques et des professionnels et ainsi qu’un cours spécifique sur la régulation. L’une des clés du succès de ce master tient sans doute à l’esprit dans lequel il a été conçu par ses fondateurs (Nicole El Karoui, Helyette Geman) qui avaient passé, peu auparavant, une année dans une banque à décortiquer et à expliquer aux praticiens les premiers modèles stochastiques de taux d’intérêt. Cette expérience montrait clairement qu’il ne pouvait être question d’une botanique de modèles du moment (BlackScholes, Vasicek, HJM, etc.) à la Prévert, mais bien d’un socle de connaissances fondamentales à fournir aux étudiants pour leur donner les moyens d’une autonomie future, indispensable pour évoluer dans un secteur extrêmement dynamique sans cesse en quête d’innovations et de nouveaux territoires. Ceci est aussi indispensable pour résister à la pression du business (“le marché a toujours raison”) quand cela devient nécessaire. L’essentiel des enseignements théoriques est dispensé de manière relativement traditionnelle (hypothèses, théorèmes, démonstrations, etc.), l’épine dorsale de la formation est constituée par les cours de calcul stochastique, simulations numériques et de statistiques et de leur utilisation

dans le monde des produits dérivés. Les enseignements optionnels sont eux très souples (de la calibration au crédit, des options américaines aux marchés de matières premières et des dérivés climatiques, des produits d’assurance à la gestion haute fréquence,...). Ils permettent un parcours individualisé pour les uns et les autres. A cette occasion, académiques et professionnels interviennent à peu près à parité, avec le souci de rester toujours au plus près des problématiques émergentes de marché des modèles d’actualité et des sujets d’avenir, nécessité cruciale pour une formation telle que la nôtre. Dans un second temps de la formation, il est crucial que chaque étudiant fasse un stage au sein d’une cellule de recherche de banque (ou assimilée éditeur de logiciel spécialisé, énergéticien, etc.) afin d’appliquer dans un cadre opérationnel la palette des outils acquis au premier semestre, “en situation de combat”, pour reprendre la métaphore guerrière du responsable recherche Equity d’une grande banque de la place. C’est le seul moyen de mesurer en temps réel la complexité des marchés, leurs interactions, leur liquidité, les contraintes opérationnelles et réglementaires, et bien d’autres réalités. C’est la condition indispensable pour devenir un bon “quant” capable de mettre en place des modèles conduisant à des stratégies pertinentes de couverture des risques de marché des produits dérivés.

Le dynamisme du marché se traduit par des exigences de formation de niveau toujours plus élevé, dans un spectre de connaissances de plus en plus large ; nous offrons aussi l’opportunité à ceux qui le souhaitent de consacrer un trimestre à l’agrégation de toutes ces connaissances, en menant des études de cas supervisées par un binôme d’académiques et de professionnels, avant leur stage dans la banque. La question du risque est au centre de la formation par nature puisque c’est le cœur de métier de l’ingénieur “quant”, mais aussi parce qu’il n’est pas possible de traiter les risques séparément. Former des étudiants compétents techniquement, conscients des risques structurels des marchés financiers, et de leur responsabilité “sociale” est le challenge de notre formation.

LES RESPONSABLES DU MASTER POUR L'UNIVERSITÉ PARIS VI ■ Nicole El Karoui ■ Gilles Pagès ■ Marc Yor

POUR L’ECOLE POLYTECHNIQUE ■ Emmanuel Gobet ■ Nizar Touzi

LES CAHIERS DE L’ILB - 19


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4th EUROPEAN SUMMER SCHOOL IN FINANCIAL MATHEMATICS ETH Zürich & École Polytechnique Zürich, 5-9 September 2011 An EMS Applied Mathematics school The European Summer School in Financial Mathematics aims at br inging together the most talented y oung researchers in the field, looking at the v ery young who only just started their PhD studies . The Scientific Committee consists of European leaders and representatives of financial mathematics. We warmly thank them for their encouragement and for accepting to be part of this committee. Their first and main task is to identify the most promising candidates. The successful candidates will be sponsored for their travel and living expenses during the summer school. The fourth European Summer School is held at ETH Zurich for the first time. We gratefully acknowledge the suppor t of the F rench F ederation of Banks (Fédér ation Bancaire Française) and the ETH Foundation. The Summer School is centred around one or tw o advanced courses taught by widely recognised experts. We are par ticularly interested in a w ell-balanced combination of theoretical and practical input. We welcome suggestions for topics to cover in the courses. There will also be some students' seminars where the y oung par ticipants can get teaching experience and discuss their research. We hope that the Summer School leads to an activ e cooperation between the various European institutions. We also hope that the Summer School provides an opportunity to open doors for European students amongst diff erent research centres. Our ambition is also to put the f oundations for a more visible European network at the doctoral level in the field of financial mathematics. We very much count on the members of the Scientific Committee to help us make this wish a reality. This school belongs to the series of the EMS Applied Mathematics schools. Contact: summerschoolmathfi@cmap.polytechnique.fr

CMAP UMR 7641 École Polytechnique CNRS, Route de Saclay, 91128 Palaiseau Cedex France Tel : +33 1 69 33 46 00 Fax : +33 1 69 33 46 46 ETH Zürich, Rämistrasse 101, 8092 Zürich Switzerland Tel : +41 44 632 64 65 Fax : +41 44 632 14 74


Cahier Louis Bachelier n°3  

Chaire risques financiers

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