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Preparação para o teste intermédio de Matemática 8º ano Conteúdos

do 7º ano

Conteúdos

do 8º ano


Conteúdos do 8º Ano 

Teorema de Pitágoras

Funções

Semelhança de triângulos

Ainda os números

Lugares geométricos

Estatística


Conteúdos do 7º Ano 

Do Espaço ao Plano

Semelhança de Figuras ( está abordado nos conteúdos do 8º ano)

Conhecer melhor os números

Conjuntos e operações

Equações

Proporcionalidade directa

Estatística (está abordado nos conteúdos do 8º ano)


Teorema de Pitágoras Teorema:

Num triângulo rectângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 2 2 2

a

c

C = a +b

Determinação da hipotenusa h2

h 12 cm

5 cm

52

= +  h2 = 25 + 144  h2 = 169  h = 13 cm

b

Determinação de um cateto 15

122

c

15 cm

9 cm

   

= c2 + 92 225 = c2 + 81 225 - 81 = c2 C2 = 144 C = 12 2


Semelhança de triângulos Critérios de semelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se: 

Tiverem dois ângulos geometricamente iguais Tiverem os três lados correspondentes directamente proporcionais

Tiverem dois lados directamente proporcionais e o ângulo por eles formado for igual


Escola EB 2,3 Prof. Dr. Egas Moniz - Avanca

Semelhança de triângulos Aplicação dos critérios de semelhança de triângulos 1. Determina a altura da árvore. • Serão os triângulos [ABE] e [CDE] semelhantes? Sim, porque tem dois ângulos geometricamente iguais, o de 90º e o ângulo AEB.

• Determinação

da altura da árvore.

5,2 = h  h = 5,2 x 0,8 : 1,6 1,6

0,8

h = 5,2 x 0,8 : 1,6 h = 2,6 m A altura da árvore é de 2,6 metros.

3,6 + 1,6 = 5,2 m


Semelhança de triângulos Relação entre perímetros e áreas de figuras semelhantes Se dois polígonos A e B são semelhantes e a razão de semelhança de A para B é r, então: • A razão entre os perímetros de A e B é r. • A Razão entre as áreas de A e B é r2.

PB:PA= r AB:AA =r2


Funções Definição : Uma função é uma correspondência entre A e B

Formas de definir uma função: •Por um diagrama •Por uma tabela

•Por uma expressão analítica •Por um gráfico


Funções definidas por um diagrama Ex. Funções A 1 2 3

f

Ex. Não são funções B -1 -7 -2 -4 -3

Df = {1;2,3}

A – Conjunto de Partida

D’f = {-1;-2,-3}

B – Conjunto de chegada

Objectos: 1;2,3

f ( 2 ) = -2

Imagens: -1;-2;-3

f ( x ) = -x

1 2 3 4

1

2

-1 -2 -3

-1 2


Funções definidas por uma Tabela Seja a função f definida pela tabela seguinte

Lado de um quadrado (L)

1

2

3

4

Perímetro do quadrado (P) 4

8

12 16

Df = {1;2,3;4}

Variável independente: Lado do quadrado

D’f = {4;8;12;16}

Variável dependente: Perímetro do quadrado

Objectos: 1;2,3;4

f(2)=8

Imagens: 4;8;12;16

f ( x ) = 4x


Funções definidas por uma expressão analítica Seja a função f definida pela seguinte expressão analítica f(x ) = 2x -1 •Calcular a imagem sendo dado o objecto f(3) = 2 x 3 -1 f(3) = 5 •Calcular o objecto sendo dada a imagem f(x) = 15 2x – 1 = 15  2x = 15 + 1  2x = 16 x=8

(3;5) e (8;15) pertencem á recta que é gráfico da função f.


Funções definidas por um gráfico •Variável independente: Peso •Variável dependente: Custo •F( … ) = 12 •F(1) = ….. •Tipo de função: Linear •Expressão analítica: f(x) = 6x


Ainda os Números oMúltiplos e divisores

oPotências oNotação cientifica


Múltiplos e divisores ( m.m.c) Determina o m.m.c(12;30) 1º processo

M12 = {0;12;24;36;48;60…} M30 = {0;30;60…} m.m.c = {60}

2º processo 12 2 30 2 62 15 3 33 55 1 1 12 = 22 x 3

30 = 2 x 3 x 5

m.m.c = 22 x 3 x5 = 60

Produto dos factores primos comuns e não comuns elevados ao maior expoente


MĂşltiplos e divisores ( M.d.c) Determina o m.d.c(12;30) 1Âş processo

D12 = {1;2;3;4;6;12} D30 = {1;2;3;5;6;10;15;30} M.d.c = {6}

2Âş processo 12 2 30 2 62 15 3 33 55 1 1 12 = 22 x 3

30 = 2 x 3 x 5

M.d.c = 2 x 3 = 6

Produto dos factores primos comuns elevados ao menor expoente


Potências Regras operatórias das potências •Multiplicação

•Divisão

•Com a mesma base

•Com a mesma base

2-2 x 27 = 25

•Com o mesmo expoente (-2)3 x (-7)3 = 143

•Potencia de potência (23)5 = 215

2-2 : 27 = 2-9 = (2)3

•Com o mesmo expoente (-24)3 : (-6)3 = 43

Potencia de expoente nulo 50 = 1

•Potencia de expoente inteiro negativo 5-1 = 1 5


Notação Científica Definição: Diz-se que um número está escrito em notação

cientifica se está escrito na forma de um produto de um número a entre 1 e 10 e uma potência de base 10, e escreve-se: a x 10n , com 1≤a<10 Ex: Escreve os seguintes números em notação cientifica 253 x 10

-3

6769800

0,0000008

76,9 x 105

Operações com números escritos em notação científica •

Multiplicação

(2,1 x 10-3) x (2 x108) = (2,1 x2) x (10-3 x 108) = 4,2 x 105 • Divisão (8,04 x 10-7) : ( 4,02 x 105) = 2,02 x 10-12


Lugares geométricos Uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de um ponto fixo chamado centro da circunferência.

exterior de uma circunferência é o lugar geométrico dos pontos do plano que distam do centro da circunferência mais do que o seu raio.

O círculo é o lugar geométrico dos pontos pertencentes a uma circunferência ou ao seu interior.


Lugares geométricos Coroa circular: r2 r1

É o conjunto dos pontos do plano que se encontram a uma distancia maior ou igual a r1 ou menor ou igual a r2 de um ponto C.

Mediatriz de um segmento de recta É o lugar geométrico dos pontos do plano que estão á mesma distância dos extremos do segmento de recta [AB]


Lugares geométricos Bissectriz de um ângulo

A bissectriz é o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes dos lados de um ângulo.

•circuncentro – Ponto de intersecção das mediatrizes dos lados de um triangulo. •Incentro - Ponto de intersecção das bissectrizes dos lados de um triangulo.

•Baricentro – Ponto de intersecção das medianas de um triângulo


Lugares geométricos no espaço Superfície esférica e esfera Ao lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes de um ponto fixo chamado centro, dá-se o nome de superfície esférica.

A esfera é o lugar geométrico de todos os pontos do espaço que se encontram a igual ou menor distância de um ponto fixo chamado centro.


Lugares geométricos no espaço Plano mediador

O plano mediador de um segmento de recta é o lugar geométrico dos pontos do espaço equidistantes dos extremos do segmento de recta. O plano mediador é perpendicular ao segmento de recta e contém o ponto médio desse segmento de recta.


Estatística oRecolha de dados

oTabelas de frequências oGráficos

oMedidas de tendência CENTRAL


Estatística – Recolha de dados Tipo de dados Exemplos:

qualitativos

Representam a informação que não susceptível de ser medida, mas de ser classificação.

quantitativos

Representam a informação que pode ser medida, apresentando-se com diferentes intensidades, que podem ser de natureza discreta ou contínua. Exemplo

-Cor

dos olhos dos alunos de uma turma . Podem ser castanhos, azuis ou verdes.

Altura dos jogadores da equipa de futebol do FCP.

Exemplo

Notas de Matemática, do 7ºF, no final do 2º período.


Estatistica Que número calças? 37;41;38;39;42;37; 40;39;41;39;39;40; 39;39;40;39;38;36

Contagem dos dados 36

1

37

2

38 39

2 7

40

3

41

2

42

1

total

18


Estatística - Tabelas de frequências X 100%

36

Frequência absoluta (f)

1

Frequência relativa (fr)

1 : 18 = 0,06

Fr em percentagem

37

2

2 : 18 = 0,11

38 39

2 7

2 : 18 = 0,11

6% 11 % 11 %

40

7 : 18 = 0,39

39 %

3

3 : 18 = 0,16

16 %

41

2

42

1

2 : 18 = 0,11 1 : 18 = 0,06 1,00

11 % 6% 100 %

total

18


Estatística - Gráficos de barras

frequencia absoluta

Número do sapato dos alunos de uma turma 7

8 6 4 2

1

2

2

37

38

3

2

1

0 36

39 nº do sapato

40

41

42


Pictograma = 1 aluno Estatística - Pictograma Número do sapato dos alunos do 7º F 42 41 40 nº do sapato 39

38 37 36


Estatística 36

Frequência Graus absoluta (f)

1

20º

37

2

38 39

2 7

40º 40º

40

3

140º 60º

41

2

40º

42

1

20º

18

360º

total

Gráficos circulares

18 1 360  x  x  20 360 x 18 18 2 360x2 720   x  x  x  40 360 x 18 18 18 7 360x7 2520  x x   x  140 360 x 18 18 18 3 360x3 1080   x x  x  60 360 x 18 18


Estatística - Gráficos circulares Número do sapato dos alunos

11%

6% 6%

11% 11%

17% 38%

36 37 38 39 40 41 42


Estatística – Medidas de tendência central Média Frequência absoluta (f)

36

1

37

2

38

2

39

7

40

3

41

2

42

1

Total

18

36 1 +37  2 +38  2 +39  7 +40  3+42 1 18 36 +74 +76 +273 +120+82+42 X 18 X

703 X 18

X  39,1

A média do número do sapato dos alunos é 39,1


Estatística – Medidas de tendência central Frequência absoluta (f)

Moda -

É o valor que surge com mais frequência se os dados são discretos.

36

1

37

2

Neste caso a moda é 39.

38

2

39

7

40

3

41

2

Mediana - Ordenados os elementos, a mediana é o valor que a divide ao meio, isto é, 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais à mediana e os outros 50% são maiores ou iguais à mediana.

42

1

Total

18

(39 + 39) : 2 = 39

36;37;37;38;38;39;39;39;39;39;39;39;40;40;40;41;41;42


Equações EQUAÇÃO: é uma igualdade entre duas expressões onde, pelo menos numa delas, figura uma ou mais letras .

3x+5=2-x+4 Sou equação

3 x  2  3x  4  x 2 1º membro

2º membro

3+(5-2-4) = 3+1

Não sou equação 3 • termos: x ; -2 ; 3x ; - 4 ; - x 2

• incógnita: x • termos com incógnita: 3x ; - x ; 3 x

• termos independentes: -2 ; -4

2


Equações Solução de uma equação: é um número que colocado no lugar da incógnita transforma a equação numa igualdade numérica verdadeira

3x  18 3  6  18 proposição verdadeira SOLUÇÃO

6

x  7  12 5

SOLUÇÃO

20  x  15 5

Mesmo conjunto solução Equações equivalentes:

SOLUÇÃO

x  7  12  20  x  15


Equações sem parênteses e sem denominadores

5 x  6  3x  4

 5x   

 3x   6  4 

2 x  10

2 x 10  2 2 x5 Conjunto solução

 5 

•Resolver uma equação é determinar a sua solução.

•Numa equação podemos mudar termos de um membro para o outro, desde que lhes troquemos o sinal •Num dos membros ficam os termos com incógnita e no outro os termos independentes

•efectuamos as operações. •Dividimos ambos os membros pelo coeficiente da incógnita. •Determinamos a solução.


EQUAÇÕES COM PARÊNTESES

• simplificação de expressões com parênteses: •Sinal menos antes dos parênteses: Tiramos os parênteses trocando os sinais dos  2 x  2  3x  5   2 x  2  3x  5 termos que estão dentro

•Sinal mais antes dos parênteses: Tiramos os parênteses mantendo os sinais que   3x  2  5x  1  3x  2  5x  1 estão dentro. •Número antes dos parênteses: Tiramos os parênteses, aplicando a propriedade distributiva.

 2 3x  3  x 1  6x  6  2x  2


Como resolver uma equação com parênteses.

  2x  1  35x  2  6   x  8 

 2x 1 15x  6  6  x  8   2x 15x  x  1  6  6  8   12 x  3

 12 x  3 

 12

1 x 4

 12

1  C.S =   4

•Eliminar parênteses. •Agrupar os termos com incógnita. •Efectuar as operações

•Dividir ambos os membros pelo coeficiente da incógnita

•Determinar a solução, de forma simplificada.


EQUAÇÕES COM DENOMINADORES 1 2x 3 x    2 6 4 3 3 4

6 6 x 12  4 x    12 12 12  6  6x 12  4 x  12 12

 

 6  6x  12  4x   6x  4x  6  12   2 x  18  

18 x 9 2

•Começamos por reduzir todos os termos ao mesmo denominador.

•Duas fracções com o mesmo denominador são iguais se os numeradores forem iguais. •Podemos tirar os denominadores desde que sejam todos iguais.


Sinal menos antes de uma fracção

 3x  2  5 x  3 •O sinal menos que se encontra antes da  fracção afecta todos os termos do numerador. 2 Esta fracção pode ser apresentada da seguinte forma

3x 2 5 x 3    2 2 2 2

1  2x 1 x   8 3 2 1  2x 1 x   8   3 2 2 1 (2)

(6) (3)

(3)

•Começamos por “desdobrar” a fracção que tem o sinal menos antes.(atenção aos sinais!) •Reduzimos ao mesmo denominador e eliminamos os denominadores.

 

2  4 x  48  3  3x   4 x  3x  2  48  3 

43 43  7 x  43  x  x 7 7


EQUAÇÕES COM PARÊNTESES E DENOMINADORES •Devemos começar por eliminar os parênteses e depois os denominadores

2x  1  x 1  x  3    3  2  2

3x 3 x 2x 1       2(3) 2 2(3) 3(2) 3 (3)

(2)

 9x  9  3x  4x  2  9x  3x  4x  9  2   2x  11  11  C.S.=   2

11 x  2

11 x 2


Proporcionalidade directa •Razão Dados dois números a e b (com b  0 ), a razão entre a e b representa-se por:

a : b ou

Termos

a (ler: razão de a para b ). b

a  antecedente b  consequente


GRANDEZAS DIRECTAMENTE PROPORCIONAIS Exemplo 3 A tabela seguinte relaciona o número de iogurtes com o respectivo custo. Número de iogurtes Preço (em €)

1 0,50

2 1

3 1,50

4 2

... ...

Observa a variação destas duas grandezas. Verificas que quanto maior é o número de iogurtes comprados, maior é o seu custo; correspondendo ao dobro do número de iogurtes o dobro do custo, ao triplo do número de iogurtes o triplo do custo, etc.

3

2 Número de iogurtes Custo (em €)

1 0,50

2 1

3 1,50

4 2

... ...

2 3 Diz-se por isso, que o custo é directamente proporcional ao número de iogurtes.


PROPORCIONALIDADE DIRECTA E TABELAS. CONSTANTE DE PROPORCIONALIDADE Número de iogurtes Custo (em €)

1 0,50

2 1

3 1,50

4 2

... ...

Na prática, como reconhecer se uma tabela traduz uma situação de proporcionalidade directa? Observa a tabela e completa: 0,5  1

0,5 ;

1 1,5  0,5 ;  2 3

0,5 ;

2  0,5 ; ... 4

Logo,

Custo 0,5 1 1,5 2      ... = Número de iogurtes 1 2 3 4

0,5

ou seja, o quociente entre o custo e o número de iogurtes é constante, pois é sempre igual a 0,5 .


Sendo assim, diz-se que: O custo é directamente proporcional ao número de iogurtes. Ao quociente constante chama-se constante de proporcionalidade e representa o preço de 1 iogurte.

De um modo geral,

A grandeza y é directamente proporcional à grandeza x se existe um número k, de modo que:  

y  k ou y  kx ; x

se y é zero, x também é zero.

Ao número k chama-se constante de proporcionalidade.

Se numa tabela cada valor de uma linha se obtém multiplicando (ou dividindo) o valor correspondente da outra linha sempre pelo mesmo número, então as grandezas nela representadas são directamente proporcionais.


PROPORCIONALIDADE DIRECTA E GRÁFICOS CARTESIANOS Número de iogurtes Custo (em €)

1 0,50

2 1

3 1,50

4 2

... ...

Exercício 1 Com base na tabela, constrói um gráfico cartesiano que relacione o preço com a quantidade de iogurtes.

Preço (em €)

1,5 1 O,5 1

2

3

n.º iogurtes


Percentagens 

5 % de 120 chocolates são _______ 0,05 x 120 = 6

6 chocolates em 50 são ___% 50------- 100% x = 6 x 100 : 50 6 -------- x

150 acrescidos de 10% são ____ 150 + 10% = 150 +15 = 165

500 com um desconto de 20% ____ 500 - 20% = 500-100 = 400


Resolução de problemas envolvendo Percentagens 1- O preço de um sofá é de 300€, sem IVA. Sabendo que o IVA é 21%, quanto é o valor, em euros, do IVA deste sofá? Qual é o preço final do sofá? 21% de 300 = 300 x 21% = 63 300 + 63 = 363 O preço final do sofá é 363 euros. 2- Uma camisola custava 56 euros e a Ana que era amiga da dona da loja, comprou-a por 42 euros. Qual foi a percentagem de desconto? Euros % 56 -------------------------- 100 42 --------------------------- x x = 42 x 100 : 56 = 75% 100 – 75 % = 25 % O desconto foi de 25%.


Conjuntos numéricos IN - Conjunto dos números Naturais

6  9

-12

-4

IN = {1;2;3;4;5;6…} 

1 4

IN IN0 Z

IN0 ={0;1;2;3;4;5;6…} Z - Conjunto dos números Inteiros relativos

0 -3

IN0 - Conjunto dos números Inteiros

Z= {… -3;-2;-1;0;1;2;3;…}

-56 14  3

Q

Q- Conjunto dos números racionais Q = z U { números fraccionários}

Completa com os simbolos ; ; ;  -1 ….. N 4 …… Z-

1,4 ….. Z N…… Z

-3 …… Z2,3 …… Q

0 …… N 3 …… N

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