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ING. CECILIA IZURIETA P.

RAZONAMIENTO MATEMÁTICO


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RAZONES Y PROPORCIONES • RAZÓN.- Se llama razón entre dos (o más) cantidades, a la relación de

comparación que establecemos entre ellas. Podemos comparar cantidades mediante dos operaciones: MULTIPLICACIÓN y DIVISIÓN, por lo cual, aplicaremos RAZONES GEOMÉTRICAS. • La comparación se la realiza utilizando la notación de una fracción, donde el numerador y el denominador representan las cantidades a compararse. Por ejemplo: • - Anita tiene 20 años, Santi tiene 60 años. • Con estos datos podemos afirmar que Anita tiene la tercera parte de la edad de Santi o, en su defecto, que Santi tiene el triple de la edad de Anita. Todo esto se puede representar de la siguiente manera.


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• PROPORCIÓN.- Se llama proporción a la igualdad entre dos o más

razones de la misma naturaleza. Por ejemplo: • -A tiene $20 y B tiene $25; la razón que entre ellos se establece viene dada por:

• C tiene $36 y D tiene $45; la razón que entre ellos se establece viene

dada por:

• Las cantidades son distintas en cada razón, mas la relación de

comparación entre ellas es la misma, por lo cual podemos igualar de la siguiente manera:


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REGLA DE TRES: SIMPLE Y COMPUESTA • Cuando comparamos dos cantidades proporcionales y dependiendo

del resultado de esta comparación surgen los siguientes criterios: • Cantidades directamente proporcionales. Son cantidades que varían de la misma manera, es decir, si una aumenta la otra también lo hará; o si una de disminuye la otra también lo hará. Por ejemplo: A más personas más cantidad de alimento (ambas aumentan) A menos cantidad de trabajo menos días en realizarlo (ambas disminuyen). • -Cantidades inversamente proporcionales. Son cantidades que varían de manera contraria, es decir, si una aumenta la otra disminuye; o si una disminuye la otra aumenta. Por ejemplo: A más obreros menos días en realizar la obra (una aumenta mientras la otra disminuye) A menos eficiencia más tiempo en resolver un problema (una disminuye mientras la otra aumenta)


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• La REGLA DE TRES es una operación matemática que tiene por

objeto hallar el cuarto término de una proporción geométrica, cuando se conocen tres de ellos. • REGLA DE TRES SIMPLE: Cuando intervienen solo dos magnitudes. • Regla de tres simple directa: cuando las magnitudes son directamente

proporcionales. • Regla de tres simple inversa: cuando las magnitudes son inversamente proporcionales. • REGLA DE TRES COMPUESTA: Cuando intervienen más de dos

magnitudes. • Ejemplos: • Si 4 libros cuestan $8, ¿Cuánto costarán 15 libros?


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• En 18 días, 10 obreros han realizado las 2/3 partes de una

obra. Se retiran 7 obreros. ¿Cuántos días demorarán los obreros restantes para terminar la obra?

• Para resolver debemos, comparar las magnitudes de dos en

dos, pero siempre con respecto a la incógnita X. Veamos: Arriba de la X, siempre colocamos + (al 18) DÍAS-OBREROS: "con 10 obreros demoramos 18 días, se retiran 7 obreros, entonces menos obreros implican más días", por lo tanto menos por más = menos", signo que será colocado al 3 y el contrario, o sea +, será colocado al 10. • DÍAS-OBRA: "2/3 partes de la obra se realizaron en 18 días, para lo que falta que es 1/3 parte, es decir menos obra demoraremos menos días", por lo tanto "menos por menos = más", signo que será colocado a 1/3 y el contrario, o sea -, será colocado a 2/3.


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PLANTEO DE ECUACIONES LENGUAJE ESCRITO (enunciado del problema)

TRADUCCIÓN

LENGUAJE MATERMÁTICO (ecuación)

=

RESPUESTA

Recomendaciones: • Leer detenidamente el enunciado del problema hasta entender claramente de que se trata. • Seleccionar y relacionar datos, analizar la pregunta • Elegir la(s) variable(s) que representarán a aquello que no se conoce o se desea calcular, sin olvidar que el número de incógnitas es igual al número de ecuaciones. • Relacionar la(s) variable(s) mediante los datos y plantear la(s) ecuación(es), según la necesidad del mismo problema. • Resolver la(s) ecuación(es) y dar la respuesta a la pregunta específica.


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FRACCIONES • Fracción es una o varias partes de la unidad, la cual se ha dividido en

• • • •

• • • • •

una cierta cantidad de partes iguales. Presenta los términos: Numerador: Indica el número de partes que se toman de la unidad dividida. Denominador: Indica las partes iguales en que se ha dividido la unidad. Ejemplos: - Si apostando pierdo 2/5 de mi dinero, ¿cuánto me queda para volver a apostar? Mi dinero = 5/5 Perdí = 2/5 Me queda = 3/5


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PORCENTAJES • TANTO POR CIENTO: Caso especial de una fracción,

donde el entero se divide en cien partes, de las cuales se toman un cierto número de ellas, esto es

• Ejemplo:

De porcentaje a fracción: porcentaje:

De una fracción a


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CONSIDERACIONES GENERALES: • El valor total de una cantidad (valor inicial) o el número

sobre el cual estamos trabajando representa el 100%. • En toda variación porcentual (aumento o disminución en porcentaje) se compara el valor final con el 100%. • En transacciones mercantiles: PRECIO DE VENTA = PRECIO DE COMPRA O COSTO + GANANCIA

PV=PC+G Donde la ganancia se calcula sobre el precio de compra o costo (salvo otra indicación en el problema).


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Ejemplos: • Al comprar una T.V. en promoción, se obtiene un 18%

de descuento, ¿el valor final de la T.V. es? • Precio de venta: x (100%) • Descuento: 18% de x • Precio final: 82% de x • Calcular el 20% del 12% de 800


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REDUCCIÓN A LA UNIDAD • CONSIDERACIONES: • Si se invierte el tiempo total para hacer un trabajo, se obtiene la parte • •

• • • •

del trabajo que se realiza en la unidad de tiempo (valor unitario). El tiempo que se emplea para hacer un trabajo se obtiene invirtiendo el valor unitario. El tiempo que se emplea para hacer una parte se obtiene dividiendo la parte que falta entre el valor unitario. Ejemplos: • Un trabajo se hace en 12 días. En 1 día se hace 1/12 parte • Un caño llena un tanque en 3 horas. En 1 hora será llenado 1/3 parte de tanque • José en un día hace 1/6 de la obra. Toda la obra lo hace en 6 días


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ANÁLISIS COMBINATORIO • Principio Fundamental. Si una actividad puede hacerse de p

• • • • •

• • •

maneras distintas y si después de haber sido hecha de cualquiera de estas maneras, otra actividad puede hacerse de q maneras distintas, entonces ambas cosa pueden hacerse, en el orden indicado, de p*q maneras distintas. Este principio establece como ordenar los elementos de distintos conjuntos sin cumplir ninguna condición especial. Ejemplo: Un tiene 3 camisas y 2 corbatas, ¿de cuántas maneras distintas puede vestirse? Consideremos los posibles ordenamientos: Camisas: A,B,C Corbatas: 1,2 Formas de vestirse: A1, A2, B1, B2, C1, C2 TOTAL= 6 Aplicando el principio fundamental: p=3 q=2 p*q=6


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PERMUTACIONES • Es un arreglo u ordenación que se puede formar con todos los

• • • •

• • •

elementos disponibles de un mismo conjunto, donde si nos importa el orden de los elementos. Entonces en un conjunto de n elementos se podrán formar ordenamientos cuyo número viene dado por la siguiente expresión: Pn=n! Ejemplo: De cuántas maneras se puede sentar 3 personas en una banca? Tenemos los siguientes ordenamientos: ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, CBA --> TOTAL =6 Permutación de un conjunto de 3 elementos: P3 = 3! P3 = 1*2*3 = 6


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VARIACIONES • Es un arreglo u ordenación que se puede formar con una parte o con

•

•

• •

•

todos los elementos disponibles de un conjunto. Es decir, contabilizar los ordenamientos formados por r objetos seleccionados de un conjunto de n elementos en total, en donde si interesa el orden de los elementos. Entonces el nĂşmero de variaciones que se forman de un conjunto de n elementos tomados r de ellos viene dado por la siguiente fĂłrmula: đ?‘› đ?‘›! V = đ?‘›âˆ’đ?‘&#x; ! đ?‘&#x; Ejemplo: En el conjunto de 3 letras A, B,C, determinar cuantas parejas se pueden formar? De un conjunto de 3 elementos tomados 2 de ellos se puede formar las siguientes parejas: AB, AC, BC,BA, CA, CB Total =6 VariaciĂłn de un conjunto de 3 elementos tomados 2 de ellos đ?‘› 3! đ?&#x;?.đ?&#x;?.đ?&#x;‘ V = 3−2 != đ?&#x;? = 6 đ?‘&#x;


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COMBINACIONES • Es un arreglo u ordenación que se puede formar con una parte o con todos

los elementos disponibles de un conjunto. Es decir, contabilizar los ordenamientos formados por r objetos seleccionados de un conjunto de n elementos en total, en donde no interesa el orden de sus elementos. • Entonces el nĂşmero de combinaciones que se forman en un conjunto de n elementos tomados r de ellos viene dado por: đ?‘› C = đ?‘&#x;! . đ?‘&#x;

đ?‘›! đ?‘›âˆ’đ?‘&#x; !

đ?‘›

đ?‘› đ?‘‰đ?‘&#x; C = đ?‘ƒđ?‘&#x; đ?‘&#x;

• Ejemplo: • En el conjunto de 3 letras A, B,C, determinar cuantas combinaciones

se pueden formar? • De un conjunto de 3 elementos tomados 2 de ellos se puede formar las siguientes combinaciones: AB, AC, BC Total =3 • CombinaciĂłn de un conjunto de 3 elementos tomados 2 de ellos đ?‘› 3! đ?&#x;?.đ?&#x;?.đ?&#x;‘ C = 2! . 3−2 != đ?&#x;? = 3 đ?‘&#x;


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PROBABILIDADES • Es un modelo matemåtico que analiza fenómenos que no se

rigen a una regla uniforme y permite hacer observaciones de situaciones que no estamos seguros de lo que va a suceder, expresan caracterĂ­sticas de predicciĂłn, por lo tanto si tenemos un suceso o evento E de un total de n casos posibles, puede presentarse en h de los casos, entonces la probabilidad de đ?’‰ que ocurra el evento estarĂĄ dada por: p=P(E)= đ?’?Ăşđ?’Žđ?’†đ?’“đ?’? đ?’…đ?’† đ?’„đ?’‚đ?’”đ?’?đ?’” đ?’‡đ?’‚đ?’—đ?’?đ?’“đ?’‚đ?’ƒđ?’?đ?’†đ?’” P= đ?’?Ăşđ?’Žđ?’†đ?’“đ?’? đ?’…đ?’† đ?’„đ?’‚đ?’”đ?’?đ?’” đ?’‘đ?’?đ?’”đ?’Šđ?’ƒđ?’?đ?’†đ?’” đ?’? đ?’•đ?’?đ?’•đ?’‚đ?’? đ?’…đ?’† đ?’„đ?’‚đ?’”đ?’?đ?’”

đ?’?

• Ejemplos: • Encontrar la probabilidad que al lanzar un dado se

obtenga un valor par Total de casos: 6 (caras del dado) Casos favorables: 3 (caras con valor par)

P=

đ?&#x;‘ đ?&#x;”

đ?&#x;? đ?&#x;?

P= Ăł porcentualmente

đ?&#x;? đ?&#x;?

P= ∗ 100% = 50%


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PROBABILIDADES • De una caja que contiene 6 låpices negros y 4 låpices

rojos, se extrae uno9 de ellos al azar. Determinar la probabilidad de que el lĂĄpiz extraĂ­do sea de color rojo. Total de casos: 10 (lĂĄpices en la caja) Casos favorables: 4 (lĂĄpices de color rojo)

P=

đ?&#x;’ đ?&#x;?đ?&#x;Ž

đ?&#x;? đ?&#x;“

P= Ăł porcentualmente

đ?&#x;? đ?&#x;“

P= ∗ 100% = 40%

• Se tiene un juego de naipes y de ellos se extrae uno al

azar. Hallar la probabilidad de que el naipe extraĂ­do sea un as. Total de casos: 52 ( total de naipes) Casos favorables: 4 (naipes marcados con as)

P=

đ?&#x;’ đ?&#x;“đ?&#x;?

P=

đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;‘

Ăł porcentualmente

P=

đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;‘

∗ 100% = 7.7%


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CONTEO DE FIGURAS • Consiste en averiguar la cantidad exacta de figuras del

tipo que soliciten ( triángulos, cuadriláteros , cubos, etc.) que se encuentran en una figura dada. Método de conteo: • Método visual directo: requiere agudeza visual y sobre todo mucha práctica. • Ejemplo: Hallar el número de triángulos de la siguiente figura: Se observa directamente la figura y notamos que hay 4 triángulos interno y 1 externo que los contiene, en total son 5.


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CONTEO DE FIGURAS • Método visual directo: consiste en colocar números a

cada región de la figura, para luego enlistar todas las regiones que por si solas o combinadas con otras nos permiten obtener la figura deseada. • Ejemplo: • Hallar el número de triángulos de la siguiente figura: 1 región: 1,2,3 → 3 triángulos 2 regiones: 12,13,24,34 → 4 triángulos 4 regiones: 1234 → 1 triángulo 2 1 total = 8 3

4


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CONTEO DE FIGURAS • Conteo por inducción: se utiliza en casos donde la cantidad

de figuras a contar sea muy grande y consiste en analizar casos particulares para luego generalizar el concepto, no existen fórmulas generales, solo hay para casos aislados. • Ejemplo: • Hallar el número de bolas ubicadas en el triángulo de 24 fila fila1 = 1 bola fila2 = 2 bolas fila3 = 3 bolas

fila24 = 24 bolas


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