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UNIDAD 9. OPERACIONES CON UNIDADES DE TIEMPO Y ÁNGULOS. A lo mejor te parece que el título de esta Unidad no tiene relación. ¿Por qué unir los ángulos con la medida del tiempo? ¿Por qué juntamos relojes con transportadores? ¿Tendrán algo que ver? Algo, no. Mucho. Aunque no lo parezca. Al final de la Unidad me darás la razón.

Es importante conocer el valor del tiempo, puesto que el tiempo es vida. Por ello no debemos malgastar nuestro tiempo en cosas que no sean de beneficio para nosotros, para nuestra familia, para la sociedad o para la humanidad en general. Si existe algo que debemos apreciar en nuestra vida es el tiempo. Apreciarlo, por su importancia y porque su mal empleo, puede influir negativamente en la toma de decisiones, en el trabajo realizado, en abordar nuevas o viejas relaciones y en definitiva, en la marcha de nuestra vida. El tiempo es inflexible, pasa y no se detiene, aunque a veces tengamos la sensación de todo lo contrario.. No podemos, alargarlo, estirarlo, comprarlo o detenerlo. Sin embargo, podemos llegar a controlarlo. En nuestra vida las actividades deben ordenarse de acuerdo a su nivel de importancia, en primer lugar debe ser realizado lo importante, en segundo lugar lo urgente. Si actuamos en el orden inverso nunca lo urgente nos permitirá realizar lo importante. Perder el tiempo es mucho más peligroso que malgastar el dinero, porque a diferencia del dinero el tiempo no puede ser compensado. Tener tiempo libre es una bendición a menudo pasada por alto, y no apreciada por mucha gente. Un viejo proverbio Sufi dice: “Hay dos favores de la providencia que son olvidados por muchos: la salud y el tiempo libre.” Esto indica lo importante que es hacer todo lo posible para hacer del tiempo el mejor uso posible y en cosas útiles.


La Unidad Internacional de medida del tiempo es el segundo, y resulta de dividir un día en 86400 partes iguales, o una hora en 3600 partes iguales. Por supuesto, estas definiciones no nos son útiles, pero sirven para darnos idea de lo pequeña que es esta unidad de medida. Si tendremos en cuenta algo que ya sabemos 1 hora (h) = 60 minutos (‘) (min) 1 minuto (‘)(min) = 60 segundos (‘’) (s) El sistema para transformar y operar con horas, minutos y segundos es sexagesimal. Tampoco hay que olvidar que 1 día = 24 horas

1 semana = 7 días

1 mes = 30 días

1 año = 12 meses= 365 días

Las mismas operaciones que hagamos con el tiempo se pueden hacer, de la misma manera, con las unidades de medida de ángulos , ya que: 1 grado = 60 minutos; 1 minuto = 60 segundos

Suma de tiempos

Supón que estás en casa, viendo la tele. Hay

dos

programas

seguidos.

El

primero

dura 2 h 35’ 40’’ y el segundo 1 h 50’ 45’’. ¿Cómo puedes calcular el tiempo total que duran los dos programas?

1 º P ar a su m a r t i e m p o s s e c o l o c a n l a s h o r a s d eb a j o d e l o s h o r a s , l o s m i n u t o s d e b a j o d e l o s m i n u t o s y l o s s e g u n d o s d eb a j o de l o s s e g u n d o s ; y se suman.

+

2 h

35’

40’’

1 h

50’

45’’

3h

85’

85’’

2º Si los segundos suman más de 60 , se divide dicho número entre 60; e l r e s t o s er á n l o s se g u n d o s y e l c o c i e n t e s e a ñ a dir á n a l os m i n u t o s . 8 5 : 6 0 = 1 r e s t o 2 5’ ’

E l c o c i e n t e ( 1) l o s u m a m o s a l o s m i n u t o s ( t o t a l 8 6 ’ )

3 º S e h a c e l o m is m o p a r a l o s m i n u t o s . 8 6 : 6 0 = 1 r e s t o 26 ’

E l c o c i e n t e ( 1) l o s u m a m o s a l a s h o r a s ( t o t a l 4 h)

E l t i e m p o t o t a l d e l o s d o s p r o g r a m a s s o n 4 h 2 6’ 2 5 ’’


Resta de tiempos Imagina que quieres grabar los programas del ejercicio anterior, en un DVD, que puede almacenar 6h 30’ de contenidos. ¿Cuánto tiempo te sobrará en ese DVD? Es fácil. Del tiempo de grabación del DVD, habrá que restar la duración de los programas. ¿Cómo lo hacemos?

1 º P ar a r e s t a r t ie m p o s s e c o l o c a n l a s h o r a s d e b a j o d e l a s h o r a s , l o s m i n u t o s d eb a j o d e l o s m i n u t o s y l o s s e g u n d o s d e b a j o d e lo s s e gu n d o s . 6h -

30’

4 h 36’

35’’

2 º S e r e s t a n l o s se g u n d o s . S i e l m i n u e n d o e s m e n o r q u e e l s u s t r a e n d o , convertimos un minuto del minuendo en 60 se gundos y se lo sumamos a los s e g u n d o s d e l m i nu e n d o . A c o n t i n ua c i ó n r e s t a m o s l o s s e gu nd o s .

-

6h

29’ 60’’

4h

36’

3 5’ ’

3 º H a c e m o s l o m i sm o c o n l o s m i nu t o s . 5h

89’

6 0’ ’

- 4h

36’

3 5’ ’

1h

5 3’

25’’

E n e l D V D , q u e d a n l i b r e s 1 h, 5 3 ’ y 25 ’ ’


Como los ángulos, minutos y segundos, también emplean un sistema sexagesimal, las operaciones de suma y resta, serán exactamente iguales

S u m a d e á n gu l o s L a s u m a d e d o s á n gu l o s e s o t r o á n g u l o c u y a a m p l i t ud e s la s u m a d e l as a m p l i t u d e s d e l o s d o s á n g u l o s i n i c ia l e s .

1 º P ar a s u m a r á n gu l o s s e c o l o c a n l o s g r a d o s d eb a j o d e lo s g r a d o s , l o s m i n u t o s d e b a j o d e l o s m i n u t o s y l o s s e g u n d o s d e b a j o d e lo s s e gu n d o s ; y s e suman.

2 º S i l o s s e g un d o s s u m a n m á s d e 60 , s e d iv i d e d i c h o nú m e r o e n t r e 6 0 ; e l r e s t o s er á n l o s se g u n d o s y e l c o c i e n t e s e a ñ a dir á n a l os m i n u t o s .

3 º S e h a c e l o m is m o p a r a l o s m i n u t o s .


Resta de ángulos L a r e s t a d e d o s á ng u l o s e s o t r o á n g u lo c u y a a m p l i t u d e s l a d i f e r e n c i a e n t r e l a a m p l i t u d d e l á n g u l o m a y o r y l a d e l á n g u l o m e no r .

1 º P a r a r e s t a r á n gu l o s s e c o l o c a n l o s g r a d o s d e b a j o d e lo s g r a d o s , l o s m i n u t o s d eb a j o d e l o s m i n u t o s y l o s s e g u n d o s d e b a j o d e lo s s e gu n d o s .

2 º S e r e s t a n l o s se g u n d o s . C a s o d e qu e n o s e a p o s ib l e , c o n v e r t i m o s u n minuto del minuendo en 60 segundos y se lo sumamos a los segundos del m i n u e n d o . A c o n t i nu a c i ó n r e s t a m o s l o s s e g u nd o s .

3 º H a c e m o s l o m i sm o c o n l o s m i nu t o s .


TEMA 9. EJERCICIOS 1. Suma y resta los siguientes tiempos. 3h 20’ 40 ‘’ + 2h 15’ 10’’

2h 54’ 10’’ + 5 h 5’ 49’’

8h 15’ 55’’ + 2h 42’ 7’’

1h 20’’ 32’’ + 2h 26’’

2h 24’ 36’’ + 2h 35’ 24’’

7h 43’’ 12’’ + 4h 24’ 42’’

5h 42’ 24’’ + 12h 15’ 40’’ + 6h 1’ 56’’

8h 34’ – 3h 23’

2h 54’ 43’’ – 1h 32’ 21’’

5h 43’ 12’’ – 3h 23’ 54’’

2h 34’ – 1 h 12’ 50’’

6h 10’ – 2h 56’ 23’’

7h 17’ 40’’ – 6h 50’ 50’’

1h – 23’’

2h – 1h 35’ 33’’

2. Una película de cine dura 1h 29’ 12’’ y, además se proyectan anuncios que duran 12’ 46’’. ¿Cuánto dura la proyección total? 3. En el intermedio de un programa de televisión, emiten cuatro anuncios que duran, respectivamente, 46’’, 1’ 3’’, 28’’ y 37’’. ¿Cuánto tiempo ha estado interrumpido el programa? 4.

Antonio ha perdido un avión. Ha llegado tarde, exactamente 4’ 23’’. Si llegó al

aeropuerto a las 15h 22’ 12’’, ¿a qué hora salió el avión? 5. A las 8h 54’ 40’’ ha pasado un metro. En el andén indica que el próximo llegará en 5’ 20’’. ¿A qué hora exacta llegará el próximo metro? 6.

Si me acuesto a las 12 en punto de la noche, después de ver una película durante

2h 15’, ¿a qué hora me puse a ver la tele?. Si ha habido 25’ 14’’ de anuncios, ¿cuánto dura exactamente la película? 7. Andrés sale de casa a las 8 h. 45 min. y llega al colegio a las 9 h. 28 min. 14 s. ¿Cuánto tiempo tardó en hacer el trayecto?


8. Mi reloj marca las 20 h. 42 min. Quiero coger un tren que sale a las 21 h. 23 min. Y tardo 35 min. en llegar a la estación. ¿Cuánto tiempo me falta o me sobra?

9. Un automovilista parte de una ciudad a las 7 h. 35 min., y llega a otra a las cuatro y cuarto de la tarde. Calcula la duración del viaje.

10. Faltan 3 horas, 2 minutos 35 segundos para el mediodía. ¿Qué hora es?

11. Una película dura 98 minutos. Otra es dos minutos, 30 segundos más corta. ¿Cuánto dura la película más corta? Da el resultado en horas, minutos y segundos.

12. Un viaje en autobús va a durar 6h 35’. Uno de los conductores estará al volante 2 h 15’; el segundo conductor, 2h 30’. ¿Cuánto tiempo conducirá el tercer conductor?

13. Tengo que entrar a trabajar a las 8h, en punto. Para llegar, tengo que hacer un viaje en metro de 22’ 55’’, uno en autobús de 27’ 45’’ y esperar en las paradas 9’ 30’’. Si salgo de casa a las 7 de la mañana, ¿llegaré puntual?

14. Si quiero llegar diez minutos antes al trabajo anterior, con esos viajes. ¿A qué hora exacta tendré que salir de casa?

15. Un partido de fútbol de hora y media sufre un 35% de pérdida, por diferentes interrupciones. ¿Cuánto tiempo están jugando?

16. Si un anuncio de televisión dura 28’’, ¿Cuántos se pueden emitir en cinco minutos y 36 segundos?


17. Realiza las siguientes operaciones de ángulos 23º + 58º 12º 13’ + 20º 36’

92º + 36º

147º + 236º

42º 40’ + 54º 10’

12º + 222º 10º 10’ + 25º 35’

320º 20’ 52’’ + 20º 12’ 7’’

41º 21’ 45’’ + 12º 13’ 12’’

45º 52’ 21’’ + 36º 47’ 58’’

74º 26’ 54’’ + 15º 36’ 26’’

73º - 58º

147º - 36º

72º 43’ - 20º 36’

92º- 36º

92º 40’ - 54º 10’

312º - 222º 100º 10’ - 25º 5’

320º 20’ 52’’ - 20º 12’ 7’’

41º 21’ 45’’ - 12º 13’ 12’’

45º 52’ 21’’ - 36º 47’ 58’’

74º 26’ 54’’ - 15º 36’ 26’’

18. Recuerda. Copia las siguientes frases y estúdialas: -

Los ángulos de cualquier triángulo siempre suman 180º

-

En un triángulo rectángulo siempre hay un ángulo de 90º

-

En un triángulo isósceles hay dos ángulos iguales.

-

En cualquier cuadrilátero, sus ángulos siempre suman 360º

-

En un paralelogramo, los ángulos opuestos son iguales.

-

En los paralelogramos, dos ángulos consecutivos son suplementarios (suman 180º)

-

Los ángulos complementarios suman 90º

-

Una circunferencia tiene 360º

19. Completa el siguiente párrafo: Los ángulos se miden en ________. Un grado es la _____________ parte de un ángulo recto. Un grado se divide en __________ minutos. Un minuto se divide en sesenta ___________. Un ángulo llano es igual que dos ángulos __________, y un ángulo completo es igual que _______ ángulos llanos.


20. Transforma las siguientes unidades. 23º =

minutos =

45º =

segundos

segundos

12º 3’ = ’’ 8º 56’ 26 ’’ = segundos 8562” =

º ´y ”

21.Calcula los ángulos complementarios y suplementarios de 25º

75º

54º

63º

22. Las paredes de una casa, se supone que tienen que formar un ángulo recto. Si un albañil monta una pared con un ángulo de 81º¿Cuánto ángulo hay que corregir para que esté bien? ¿Qué porcentaje de error comete? 23. Dibuja un círculo con el compás y divídelo en ocho ángulos iguales. ¿Cuánto mide cada ángulo? 24. Realiza el mismo ejercicio que antes, pero dividiéndolo en doce partes. 25. El ángulo de un triángulo equilátero mide 60º. ¿Cuánto miden la suma de todos los ángulos del triángulo? 26. ¿Cuánto suman todos los ángulos de un cuadrado? 27. Si un tiovivo gira 72000º ¿cuántas vueltas da? 28. Un terreno triangular tiene un ángulo de 37º 12’ y otro de 82º 36’. ¿Cuánto mide el tercer ángulo del terreno? 29. Un triángulo rectángulo tiene un ángulo de 29º 15’. ¿Cuánto miden los otros dos ángulos? 30. En un triángulo isósceles un ángulo 140º. ¿Cuánto miden los otros dos ángulos?. 31. Un parque tiene cuatro lados diferentes. El primer ángulo mide 98º 12’ 36’’; el segundo 43º 8’ 23’’; el tercero mide 100º. ¿Cuánto mide el cuarto ángulo?


32. En el rombo de abajo, uno de los ángulos pequeños mide 40º 15’. ¿Cuánto miden los otros ángulos?

33. Una escuadra es un triángulo rectángulo isósceles. Un cartabón es un triángulo escaleno, con un ángulo de 30º¿Cuánto miden los ángulos de la escuadra y el cartabón?

34. A un albañil algo chapucero le encargan la construcción de una habitación cuadrada. En el momento de finalizar, se da cuenta de que uno de los ángulos mide 91º 10’ 30’’. ¿Cuánto miden los otros tres ángulos de la habitación? 35. Un triángulo escaleno tiene un ángulo de 26º 44’ 10’’ y otro de 64º 15’ 50’’. ¿Qué tipo de triángulo es? 36. El trapecio de la imagen anterior tiene un ángulo de 110º 25’ 36’’. Averigua la medida de los otros tres ángulos.


37. Un cuadrilátero irregular tiene cuatro ángulos que miden 102º 36’ 20’’; 86º 54’ 45’’;55º 36’24’’ y 125º 33’ 31’’. ¿Es correcto?

38. Cada polígono tiene unos ángulos interiores, tantos como lados, cuya suma es fija y conocida, de acuerdo con la fórmula matemática (n-2) × 180°, donde n es el número de lados del polígono. Teniendo esto en cuenta, calcula cuánto suman los ángulos interiores de un pentágono y un hexágono

Figura

Lados

Suma de los ángulos interiores

Triángulo

3

180°

Cuadrilátero

4

360°

Pentágono

5

Hexágono

6

Forma

39. Un reloj de cuerda se para a las 19 h, 54’ 36’’ . Si la duración de la cuerda es de 12 h 45’ 30’’, ¿a qué hora di cuerda al reloj?

40. Un reloj marca esta hora. ¿Cuánto falta para el mediodía?

41. Un reloj malo adelanta en un año 1h 20’ 36’’. Si lo pongo en hora justo a las 0 horas del uno de enero. ¿A qué hora me dará las campanadas de NocheVieja?

42. Si afirmo que el reloj del problema anterior adelanta 403’’ mensuales, ¿digo o no digo la verdad? ¿Cuántos minutos y segundos son?


Mate 12-13. U9