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2o ΚΕΦ ΑΛΑΙΟ

EΞΙΣΩΣΕΙΣ – ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

2.1 Η εξίσωση αx + β = 0 2.2 Εξισώσεις 2ου βαθμού 2.3 Προβλήματα εξισώσεων 2ου βαθμού 2.4 Κλασματικές εξισώσεις 2.5 Ανισότητες – Ανισώσεις με έναν άγνωστο Γενικές ασκήσεις 2ου κεφαλαίου Επανάληψη – Ανακεφαλαίωση


2.1

∏ Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0

Θυμάμαι πώς λύνονται οι εξισώσεις πρώτου βαθμού.

Αναγνωρίζω αν μια εξίσωση έχει μοναδική λύση ή είναι αδύνατη ή είναι ταυτότητα.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ŒÓ·˜ Ù·¯˘‰ÚfiÌÔ˜ ÍÂÎÈÓ¿ÂÈ ·fi ÙÔ ¯ˆÚÈfi ∞ Î·È ·ÊÔ‡ ÂÈÛÎÂÊı› ‰È·‰Ô¯Èο Ù· ¯ˆÚÈ¿ μ Î·È °, ÂÈÛÙÚ¤ÊÂÈ ÛÙÔ ¯ˆÚÈfi ∞. ∏ ‰È·‰ÚÔÌ‹ μ° Â›Ó·È 1 km ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙËÓ ∞μ Î·È Ë °∞ Â›Ó·È 1 km ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ·fi ÙË μ°. ∞ B ªÔÚ›Ù ӷ ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiÛÔ ·¤¯Ô˘Ó Ù· ¯ˆÚÈ¿ ÌÂٷ͇ ÙÔ˘˜, ·Ó ÁÓˆÚ›˙ÂÙ fiÙÈ Ë Û˘ÓÔÏÈ΋ ·fiÛÙ·ÛË Ô˘ ‰È‹Ó˘ÛÂ Ô Ù·¯˘‰ÚfiÌÔ˜ ‹Ù·Ó: ·) 15 km; ‚) ÙÔ ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ Ù˘ ÚÒÙ˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜; Á) ÙÔ ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ Ù˘ ‰Â‡ÙÂÚ˘ ‰È·‰ÚÔÌ‹˜; ° ™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË Ù¿ÍË Ì¿ı·Ì ӷ χÓÔ˘Ì ÂÍÈÛÒÛÂȘ, fiˆ˜ 3x = 12, – 4y + 11 = 0, Î.Ù.Ï. ™ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ·˘Ù¤˜ ˘¿Ú¯ÂÈ ¤Ó·˜ ¿ÁÓˆÛÙÔ˜ Î·È Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ÂÎı¤Ù˘ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 1. ™Â ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ϤÌ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì Â͛ۈÛË 1Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ (ÚˆÙÔ‚¿ıÌÈ· Â͛ۈÛË). ∏ Â͛ۈÛË 3x = 12, Ù˘ ÔÔ›·˜ Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ Â›Ó·È ‰È¿ÊÔÚÔ˜ ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜ Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· Ì›· ÌfiÓÔ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘, ÙËÓ x = 4. O ·ÚÈıÌfi˜ 4, Ô˘ Â·ÏËı‡ÂÈ ÙËÓ Â͛ۈÛË 3x = 12, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ï‡ÛË ‹ Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘. À¿Ú¯Ô˘Ó fï˜ Î·È ÂÍÈÛÒÛÂȘ, fiˆ˜ ÔÈ 0x = –3 ‹ 0x = 0, ÛÙȘ Ôԛ˜ Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó. ∏ Â͛ۈÛË 0x = –3 ‰ÂÓ Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· ηÌÈ¿ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x, ·ÊÔ‡ ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ 0x Â›Ó·È ¿ÓÙÔÙ ›ÛÔ Ì ÙÔ Ìˉ¤Ó Î·È ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì –3. ªÈ· Ù¤ÙÔÈ· Â͛ۈÛË, Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË, ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ·‰‡Ó·ÙË. ∏ Â͛ۈÛË fï˜, 0x = 0 Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ù·˘ÙfiÙËÙ· ‹ ·fiÚÈÛÙË. ∞fi Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ: ∏ Â͛ۈÛË fï˜, 0x = 0 Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· ÔÔÈ·‰‹ÔÙ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x ‚Î·È ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ñ ∞Ó · ≠ 0, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0 ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ x = – ⎯ · Ù·˘ÙfiÙËÙ· ‹ ·fiÚÈÛÙË. ñ ∞Ó · = 0, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0 ÁÚ¿ÊÂÙ·È 0x = –‚ Î·È ‚ ≠ 0, ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË), ÂÓÒ ∞fi– Ù··ÓÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ: – ·Ó ‚ = 0, οı ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘ (Ù·˘ÙfiÙËÙ· ‹ ·fiÚÈÛÙË).

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2.1 ∏ Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· Ï˘ı› Ë Â͛ۈÛË

x–1 2x + 1 – =x+1 2 6

Λύση x–1 2x + 1 – =x+1 2 6

ñ ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Ì ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ. ñ ∞·Ï›ÊÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜.

6

x–1 2x + 1 –6 =6x+61 2 6

ñ ∫¿ÓÔ˘Ì ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Î·È ‚Á¿˙Ô˘Ì ÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ.

3(x – 1) – (2x + 1) = 6x + 6 3x – 3 – 2x – 1 = 6x + 6 ñ Èڛ˙Ô˘Ì ÁÓˆÛÙÔ‡˜ ·fi ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜. 3x – 2x – 6x = 6 + 3 + 1 ñ ∫¿ÓÔ˘Ì ·Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ. –5x = 10 ñ ¢È·ÈÚÔ‡ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ –5x 10 = Ì ÙÔ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘. –5 –5 x =–2 ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ x = – 2

2

N· Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) 3(x + 2) – 3 = 3x + 5

‚) 2(x – 1) – x = x – 2

Λύση ·) 3(x + 2) – 3 = 3x + 5 3x + 6 – 3 = 3x + 5 3x – 3x = 5 – 6 + 3 0x = 2 H Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ‰ÂÓ Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· η̛· ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x, ÔfiÙÂ Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË.

‚) 2(x – 1) – x = x – 2 2x – 2 – x = x – 2 2x – x – x = 2 – 2 0x = 0 ∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· οı ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ x, ÔfiÙÂ Â›Ó·È Ù·˘ÙfiÙËÙ·.

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ·ÓÙÈÛÙÔȯ›ÛÂÙ Û οı Â͛ۈÛË Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ ∞ ÙÔ ÛˆÛÙfi Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË μ. ™Ù‹ÏË ∞ ·.

3x = 7

‚.

0x = 0

Á.

0x = 5

‰.

5x = 0

™Ù‹ÏË μ

·

Á

1. Œ¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË 2. ∂›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË 3. ∂›Ó·È Ù·˘ÙfiÙËÙ·

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M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

2

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. 1 ·) ∏ Â͛ۈÛË x= 2 ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÙËÓ x = 6. 3 ‚) Á) ‰) Â)

∏ ∏ ∏ ∏

Â͛ۈÛË Â͛ۈÛË Â͛ۈÛË Â͛ۈÛË

4x = 0 Â›Ó·È ·‰‡Ó·ÙË. 0x = 0 ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÔÔÈÔÓ‰‹ÔÙ ·ÚÈıÌfi. 0x = 6 ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÙËÓ x = 6. 5(x + 1) = 5x + 5 Â›Ó·È Ù·˘ÙfiÙËÙ·.

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

2

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) –3(x + 2) – 2(x – 1) = 8 + x Á) 5(–ˆ + 2) – 4 = 6 – 5ˆ ¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: x–1 x+3 1 ·) – =x– 2 6 3 Á)

2(ˆ – 1) ˆ + 1 ˆ–5 – = 3 2 6

‚) 4y – 2(y – 3) = 2y + 1 ‰) (2x + 1)2 + 5 = 4(x2 – 10)

‚)

y+5 y 3y – =1– 5 2 10

‰) 0,2(3x – 4) – 5(x – 0,4) = 0,4(1 – 10x)

3

To ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ ÂÓfi˜ ·ÚÈıÌÔ‡ ÂÏ·ÙÙÔ‡ÌÂÓÔ Î·Ù¿ 5 Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ ·ÚÈıÌÔ‡ ·˘ÍË̤ÓÔ Î·Ù¿ 10. ¶ÔÈÔ˜ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ ·˘Ùfi˜;

4

ƒÒÙËÛ·Ó Î¿ÔÈÔÓ fiÛ· ¢ÚÒ ¤¯ÂÈ ÛÙÔ ÔÚÙÔÊfiÏÈ ÙÔ˘ ÎÈ ÂΛÓÔ˜ ·¿ÓÙËÛÂ: «∞Ó Â›¯· fiÛ· ¤¯ˆ Î·È Ù· ÌÈÛ¿ ·ÎfiÌ· Î·È ‰¤Î· ·Ú·¿Óˆ, ı· ›¯· ÂηÙfi». ªÔÚ›, ¿Ú·ÁÂ, Ì ٷ ¯Ú‹Ì·Ù· ·˘Ù¿ Ó· ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ ¤Ó· ·ÓÙÂÏfiÓÈ Ô˘ ÎÔÛÙ›˙ÂÈ 65 C;

5

√ ηıËÁËÙ‹˜ ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ Â› ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘: – ™ÎÂÊÙ›Ù ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi Î·È ‰ÈÏ·ÛÈ¿ÛÙ ÙÔÓ. – ™ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ó· ÚÔÛı¤ÛÂÙ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 10. – ΔÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· Ô˘ ‚ڋηÙ ӷ ÙÔ ‰È·ÈÚ¤ÛÂÙ Ì ÙÔ 2 Î·È ·fi ÙÔ ËÏ›ÎÔ Ó· ·Ê·ÈÚ¤ÛÂÙ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ ÛÎÂÊًηÙ ·Ú¯Èο. – ∫¿ı ̷ıËÙ‹˜ Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ ‚ÚÂÈ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 5, ·ÓÂÍ¿ÚÙËÙ· ·fi ÔÈÔÓ ·ÚÈıÌfi ÛΤÊÙËΠ·Ú¯Èο. ªÔÚ›Ù ӷ ÂÍËÁ‹ÛÂÙ ÙÔÓ ÈÛ¯˘ÚÈÛÌfi ÙÔ˘ ηıËÁËÙ‹;

6

μ ŒÓ·˜ Ô‰ËÏ¿Ù˘ ÍÂÎÈÓ¿ ·fi ÙËÓ fiÏË ∞ Î·È ÎÈÓÂ›Ù·È ÚÔ˜ ÙËÓ fiÏË μ Ì ̤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· 16 km/h. ªÈ· ÒÚ· ·ÚÁfiÙÂÚ·, ÌÈ· Ê›ÏË ÙÔ˘ ÍÂÎÈÓ¿ ·fi ÙËÓ fiÏË μ Î·È Ì ̤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· 12 km/h ÎÈÓÂ›Ù·È ÚÔ˜ ÙËÓ fiÏË ∞ ÁÈ· Ó· ÙÔÓ Û˘Ó·ÓÙ‹ÛÂÈ. ∞Ó Ë ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ ‰‡Ô fiÏÂˆÓ Â›Ó·È 44 km, Û fiÛ˜ ÒÚ˜ ·fi ÙËÓ ÂÎΛÓËÛË ÙÔ˘ Ô‰ËÏ¿ÙË ı· Û˘Ó·ÓÙËıÔ‡Ó;

88


2.2

∂ÍÈÛÒÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

✔ Λύνω εξισώσεις δευτέρου βαθμού με ανάλυση σε γινόμενο παραγόντων. ✔ Βρίσκω το πλήθος των λύσεων μιας εξίσωσης δευτέρου βαθμού και υπολογίζω τις λύσεις της με τη βοήθεια τύπου. ✔ Μετατρέπω ένα τριώνυμο σε γινόμενο παραγόντων.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ŒÓ·˜ Ì˯·ÓÈÎfi˜ ۯ‰›·Û ÌÈ· ÔÈÎÔ‰ÔÌ‹ Î·È ÛÙËÓ ÚfiÛÔ„‹ Ù˘ ÚÔ¤‚Ï„ ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÌÈ·˜ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋˜ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜ Î·È ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Ì·ÏÎÔÓÈÔ‡ Ì ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ 9 m Î·È 1 m. ™ÙÔ Û¯¤‰ÈÔ Ô˘ ·ÚÔ˘Û›·Û ÛÙÔÓ È‰ÈÔÎÙ‹ÙË Ù˘ ÔÈÎÔ‰ÔÌ‹˜ Ë ‚ÂÚ¿ÓÙ· Î·È ÙÔ Ì·ÏÎfiÓÈ Â›¯·Ó ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fiÓ. ·) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiÛ· ̤ÙÚ· ‹Ù·Ó Ë ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜. 9m

1m

√ ȉÈÔÎÙ‹Ù˘ fï˜, ıÂÒÚËÛ ÛÙÂÓfi ÙÔ Ì·ÏÎfiÓÈ Î·È ˙‹ÙËÛ ·fi ÙÔ Ì˯·ÓÈÎfi Ó· ·˘Í‹ÛÂÈ ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ Ì·ÏÎÔÓÈÔ‡ Î·È Î¿ı ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜ ηٿ Ù· ›‰È· ̤ÙÚ·, ÒÛÙ ӷ ¤¯Ô˘Ó Î·È ¿ÏÈ ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fiÓ. ‚) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiÛ· ̤ÙÚ· ¤ÚÂ ӷ ·˘ÍËı› ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ Ì·ÏÎÔÓÈÔ‡ Î·È Î¿ı ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜. ªÂ ÙÔ ·›ÙËÌ· fï˜ ÙÔ˘ ȉÈÔÎÙ‹ÙË, ÙÔ Û˘ÓÔÏÈÎfi ÂÌ‚·‰fiÓ Ù˘ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜ Î·È ÙÔ˘ Ì·ÏÎÔÓÈÔ‡ ÍÂÂÚÓÔ‡Û ÙÔ fiÚÈÔ Ô˘ ηıÔÚ›˙ÂÙ·È ·fi ÙÔÓ ÔÏÂÔ‰ÔÌÈÎfi ηÓÔÓÈÛÌfi. ΔÂÏÈο, ·ÔÊ·Û›ÛÙËΠӷ ÌÂÁ·ÏÒÛÂÈ Ë ‚ÂÚ¿ÓÙ· Î·È ÙÔ Ì·ÏÎfiÓÈ, fiˆ˜ ÙÔ ˙‹ÙËÛÂ Ô È‰ÈÔÎÙ‹Ù˘, Ì ÙËÓ ÚÔ¸fiıÂÛË fï˜ Ó· ÌËÓ ¤¯Ô˘Ó È· ÙÔ ›‰ÈÔ ÂÌ‚·‰fiÓ, ·ÏÏ¿ Ó· ηχÙÔ˘Ó Û˘ÓÔÏÈο 34 m2. Á) ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ fiÛ· ̤ÙÚ· ·˘Í‹ıËΠÙÂÏÈο ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ Ì·ÏÎÔÓÈÔ‡ Î·È Î¿ı ÏÂ˘Ú¿ Ù˘ ‚ÂÚ¿ÓÙ·˜.

89


M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

À¿Ú¯Ô˘Ó ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ Ë Â›Ï˘Û‹ ÙÔ˘˜ Ô‰ËÁ› Û Â͛ۈÛË Ì’ ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ Î·È ÛÙËÓ ÔÔ›· Ô ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ÂÎı¤Ù˘ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 2.

x2 = 9, χ2 – 3χ = 0, χ2 + 15χ – 16 = 0

™Â ηıÂÌ›· ·fi ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ ϤÌ fiÙÈ ¤¯Ô˘Ì Â͛ۈÛË 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ (‰Â˘ÙÂÚÔ‚¿ıÌÈ· Â͛ۈÛË). ∞fi Ù· ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ· ·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ÚÔ·ÙÂÈ fiÙÈ Ë ÁÂÓÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¿ÁÓˆÛÙÔ x Â›Ó·È ·x 2 + ‚x + Á = 0 Ì ·  0 √È ·ÚÈıÌÔ› ·, ‚, Á ÛÙ·ıÂÚfi˜ fiÚÔ˜. OÈ x2 – 9 = 0 x2 – 3x = 0 x2 + 15x – 16 = 0

ϤÁÔÓÙ·È Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘. √ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ Á ϤÁÂÙ·È Î·È Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ¤˜ Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ›ӷÈ: : ·=1 ‚=0 Á = –9 : ·=1 ‚ = –3 Á=0 : ·=1 ‚ = 15 Á = –16

∂›Ï˘ÛË ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ·Ó¿Ï˘ÛË Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ

£˘ÌfiÌ·ÛÙ fiÙÈ :

∞Ó ·  ‚ = 0 ÙfiÙÂ · = 0 ‹ ‚ = 0

E›Ï˘ÛË Â͛ۈÛ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·x 2 + ‚x = 0 Ì ·  0 °È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 = 3x ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜: x2 = 3x x2 – 3x = 0 x(x – 3) = 0

ñ ªÂٷʤÚÔ˘Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ ÛÙÔ · ̤ÏÔ˜. ñ ∞Ó·Ï‡Ô˘Ì ÙÔ · ̤ÏÔ˜ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ. ñ °È· Ó· Â›Ó·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ x(x – 3) ›ÛÔ Ì ÙÔ Ìˉ¤Ó Ú¤ÂÈ x = 0 ‹ x – 3 = 0.

x=0 ‹ x–3=0 x=0 ‹ x=3 ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x = 0 Î·È x = 3

E›Ï˘ÛË Â͛ۈÛ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·x 2 + Á = 0 Ì ·  0 °È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 – 9 = 0, ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜: 1Ô˜ ÙÚfiÔ˜: ñ ΔÔ · ̤ÏÔ˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ Î·È ÙÔ ‚ ̤ÏÔ˜ Â›Ó·È Ìˉ¤Ó. ñ ∞Ó·Ï‡Ô˘Ì ÙÔ · ̤ÏÔ˜ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ. ñ °È· Ó· Â›Ó·È ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ (x – 3)(x + 3) ›ÛÔ Ì ÙÔ Ìˉ¤Ó Ú¤ÂÈ x – 3 = 0 ‹ x + 3 = 0

90

x2 – 9 x2 – 32 (x – 3) (x + 3)

= 0 = 0 = 0

x–3=0 ‹ x+3=0 x = 3 ‹ x = –3 ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x = 3 Î·È x = –3


2.2 EÍÈÛÒÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

2Ô˜ ÙÚfiÔ˜: ñ ŸÙ·Ó · Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜, Ë Â͛ۈÛË x2 = · ¤¯ÂÈ · Î·È x = – · ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x = 

x2 – 9 = 0 x2 = 9 9 ‹ x = – 9 x =  x = 3 ‹ x = –3

°È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 + 16 = 0, ·Ó ÂÚÁ·ÛÙԇ̠fiˆ˜ ÚÔËÁÔ˘Ì¤Óˆ˜, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ·˘Ù‹ ÁÚ¿ÊÂÙ·È x2 = –16. H Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË), ÁÈ·Ù› ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Î¿ı Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ‹ Ìˉ¤Ó Î·È ‰ÂÓ Â›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì –16. ∞Ó · Â›Ó·È ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË x2 = · ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË) ∏ Â͛ۈÛË x2 = 0 ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÙËÓ x = 0. H χÛË ·˘Ù‹ ϤÁÂÙ·È ‰ÈÏ‹, ÁÈ·Ù› Ë Â͛ۈÛË x2=0 ÁÚ¿ÊÂÙ·È x  x = 0, ÔfiÙ x = 0 ‹ x = 0 (‰ËÏ·‰‹ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ÊÔÚ¤˜ ÙËÓ ›‰È· χÛË).

E›Ï˘ÛË Â͛ۈÛ˘ Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·x 2 + ‚x + Á = 0 Ì ·  0 °È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË 9x2 – 6x + 1 = 0 ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜: ñ ΔÔ ÚÒÙÔ Ì¤ÏÔ˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Û‡Ìʈӷ Ì ÙËÓ Ù·˘ÙfiÙËÙ· ·2 – 2·‚ + ‚2 = (· – ‚)2 ñ °È· Ó· Â›Ó·È (3x – 1)2 = 0 Ú¤ÂÈ 3x – 1 = 0

9x2 – 6x + 1 = 0 (3x)2 – 2  3x  1 + 12 = 0 (3x – 1)2 = 0 1 3x – 1 = 0 ‹ x = 3 ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, ÙËÓ x =

1 3

°È· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 + 15x – 16 = 0 Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì ÛÙÔ · ̤ÏÔ˜ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÂÚÁ·˙fiÌÂÓÔÈ ˆ˜ ÂÍ‹˜: x 2 + 15x – 16 = 0 ñ ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ù˘ 4x 2 + 60x – 64 = 0 Â͛ۈÛ˘ Ì 4·, fiÔ˘ · Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ x2. (2x) 2 + 2  2x  15 = 64 ñ MÂٷʤÚÔ˘Ì ÛÙÔ ‚ ̤ÏÔ˜ ÙÔ ÛÙ·ıÂÚfi fiÚÔ 2 (2x) + 2  2x 15 + 152 = 64 + 152 Î·È ÛÙÔ · ̤ÏÔ˜ ‰ËÌÈÔ˘ÚÁԇ̠·Ú¿ÛÙ·ÛË (2x + 15) 2 = 289 Ù˘ ÌÔÚÊ‹˜ ·2 + 2·‚ ‹ ·2 – 2·‚. 289 ‹ 2x + 15 = – 289 2x + 15 = ñ °È· Ó· Û˘ÌÏËÚˆı› ÙÔ ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·2x + 15 = 17 ‹ 2x + 15 = –17 ÁÒÓÔ˘ ÚÔÛı¤ÙÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ̤ÏË ÙÔ ‚2. 2x = 2 ‹ 2x = –32 ñ ÃÚËÛÈÌÔÔÈԇ̛̠· ·fi ÙȘ Ù·˘ÙfiÙËÙ˜ x=1 ‹ x = –16 ·2 + 2·‚ + ‚2 = (· + ‚)2 ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ ·2 – 2·‚ + ‚2 = (· – ‚)2 x = 1 Î·È x = –16 ∏ ̤ıÔ‰Ô˜ Ì ÙËÓ ÔÔ›· χ۷Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 + 15x – 16 = 0 Â›Ó·È ÁÓˆÛÙ‹ ˆ˜ ̤ıÔ‰Ô˜ Û˘ÌÏ‹ÚˆÛ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘.

91


M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) 2x 2 = 7x

‚) 3x 2 – 75 = 0

Á) 2x 2 + 8 = 0

Λύση ·)

2x2 = 7x 2x2 – 7x = 0 x(2x – 7) = 0 x = 0 ‹ 2x – 7 = 0 7 x=0‹x = 2

2

3x2 – 75 = 0 3x2 = 75 x2 = 25

‚)

Á)

2x2 + 8 = 0 2x2 = – 8 x2 = – 4

x =  25 ‹ x = – 25

¢ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË

x=5

(·‰‡Ó·ÙË Â͛ۈÛË)

‹ x = –5

N· Ï˘ı› Ë Â͛ۈÛË x 2(2x – 1) – 6x(2x – 1) + 9(2x – 1) = 0

Λύση 2 ñ BÁ¿˙Ô˘Ì ÎÔÈÓfi ·Ú¿ÁÔÓÙ· ÙÔ 2x – 1. x (2x – 1) – 6x(2x – 1) + 9(2x – 1) = 0 (2x – 1)(x2 – 6x + 9) = 0 ñ O ‰Â‡ÙÂÚÔ˜ ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ (2x – 1)(x – 3)2 = 0 Â›Ó·È ·Ó¿Ù˘ÁÌ· ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘. 2x – 1 = 0 ‹ x–3=0 1 x= ‹ x = 3 (‰ÈÏ‹ χÛË) 2

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) √ ·ÚÈıÌfi˜ 0 Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 4x + 3 = 0. ‚) O ·ÚÈıÌfi˜ 3 Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 4x + 3 = 0. Á) OÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ (x – 2)(x + 1) = 0 Â›Ó·È x = 2 Î·È x = –1. ‰) ∏ Â͛ۈÛË x2 = 16 ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi x = 4. Â) H Â͛ۈÛË x2 = –9 ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË. ÛÙ) ∏ Â͛ۈÛË (x – 2)2 = 0 ¤¯ÂÈ ‰ÈÏ‹ χÛË ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi x = 2.

2

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) H Â͛ۈÛË 5x – 6 = x2 Â›Ó·È 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡. ‚) ∏ Â͛ۈÛË x2 + 3x + 8 = x(x + 2) Â›Ó·È 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡. Á) ∏ Â͛ۈÛË (Ï – 2)x2 + 5x + 3 = 0 Â›Ó·È i) 1o˘ ‚·ıÌÔ‡, fiÙ·Ó Ï = 2 ii) 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡, fiÙ·Ó Ï  2.

3

ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ χÓÔÓÙ·˜ ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 = 6x ·ÏÔÔ›ËÛ Ì ÙÔ x Î·È ‚ڋΠfiÙÈ ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙË x = 6. ¶·Ú·ÙËÚÒÓÙ·˜ fï˜ ÙËÓ Â͛ۈÛË ‰È·›ÛÙˆÛ fiÙÈ Â·ÏËı‡ÂÙ·È Î·È ÁÈ· x = 0. ¶Ô‡ ¤ÁÈÓ ÙÔ Ï¿ıÔ˜ Î·È ¯¿ıËÎÂ Ë Ï‡ÛË x = 0;

92


2.2 EÍÈÛÒÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

2

3

4 5

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) (x – 4)(x + 1) = 0

‚) y(y + 5) = 0

‰) 7x(x – 7) = 0

Â) 3y

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) x2 = 7x

‚) –y2 = 9y

‰) –2t2 – 18 = 0

Â) –0,2Ê2 + 3,2 = 0

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) (2x – 1)2 – 1 = 0 (x – 9)2 ‰) = 27 3

( 3y – 2) = 0

‚) 3(x + 2)2 = 12 Â) (3x – 1)2 – 4x2 = 0

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) (3x + 1)2 = 5(3x + 1)

‚) 0,5(1 – y)2 = 18

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) x(x – 4) = – 4 ‰) 2t2 – 7t + 6 = 0

‚) y2 + y – 12 = 0 Â) 3Ê2 + 1 = 4Ê

Á) (3 – ˆ)(2ˆ + 1) = 0 ÛÙ)

( 12 – ˆ)(2ˆ – 1) = 0

Á) 2ˆ2 – 72 = 0 z2 ÛÙ) – 0,5z = 0 6 Á) (x + 1)2 = 2x ÛÙ) (x +  3)2 – 3 = 0

Á) (2ˆ2 + 1)(ˆ2 – 16) = 0

Á) ˆ2 – 2ˆ – 15 = 0 ÛÙ) 5z2 – 3z – 8 = 0

6

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) 25x2 + 10x + 1 = 0 ‚) y2(y – 2) + 4y(y – 2) + 4y – 8 = 0 Á) ˆ2 + 2006ˆ – 2007 = 0

7

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) x2 – (· + ‚)x + ·‚ = 0

‚) x2 – (  3 – 1)x –  3=0

8 1 1 2 3 4

2

3

4

5

OÚÈ˙fiÓÙÈ·: 1. MË ÌˉÂÓÈ΋ Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 = 12x – ƒ›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 + 225 = 30x 2. °ÈÓfiÌÂÓÔ ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x(x + 4) + 8(x + 4) = 0 3. ÕıÚÔÈÛÌ· ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 10x + 9 = 0 4. ∏ ·fiÏ˘ÙË ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 = 25 – H ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 = 32x

∫¿ıÂÙ·: 1. ƒ›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 20x + 100 = 0 2. To ·Î¤Ú·ÈÔ ËÏ›ÎÔ ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x(x – 15) = x – 15 3. To ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ÚÈ˙ÒÓ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ (x – 5)2 – (x – 5) = 0 4. MË ·ÚÓËÙÈ΋ Ú›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 144 = 0 5. ƒ›˙· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2(x – 12) + 2007(x – 12) = 0

93


M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

B

∂›Ï˘ÛË ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· Ù‡Ô˘

™ÙËÓ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓË ÂÓfiÙËÙ· ÂÊ·ÚÌfiÛ·Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô «Û˘ÌÏ‹ÚˆÛ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘» ÁÈ· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x2 + 15x – 16 = 0. ΔË Ì¤ıÔ‰Ô ·˘Ù‹ ÌÔÚԇ̠ӷ ÙËÓ ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘ÌÂ Î·È ÁÈ· Ó· χÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ ÛÙË ÁÂÓÈ΋ Ù˘ ÌÔÚÊ‹, ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì ·  0. Œ¯Ô˘Ì ‰È·‰Ô¯Èο: ·x2 + ‚x + Á = 0 ñ ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì fiÏÔ˘˜ ÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ Ì 4·.

4·  ·x2 + 4·  ‚x + 4·  Á = 0

ñ ªÂٷʤÚÔ˘Ì ÙÔ ÛÙ·ıÂÚfi fiÚÔ ÛÙÔ ‚ ̤ÏÔ˜.

4· 2x2 + 4·‚x = –4·Á

ñ ™ÙÔ · ̤ÏÔ˜ ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô fiÚÔ˘˜ ÙÔ˘ ·Ó·Ù‡ÁÌ· (2·x) 2 + 2  2·x  ‚ = – 4·Á ÙÔ˜ (2·x + ‚)2. °È· Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÔ˘Ì ÙÔ (2·x) 2 + 2  2·x  ‚ + ‚ 2 = ‚ 2 – 4·Á ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ 2·x + ‚ ÚÔÛı¤ÙÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙ· (2·x + ‚) 2 = ‚ 2 – 4·Á ‰‡Ô ̤ÏË ÙÔ ‚2. ∞Ó Û˘Ì‚ÔÏ›ÛÔ˘Ì ÙËÓ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ‚2 – 4·Á Ì ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· ¢, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È (2·x + ‚)2 = ¢ Î·È ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙȘ ÂÍ‹˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ: ñ ∞Ó ¢ > 0, ÙfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: 2·x + ‚ = ± ¢ 2·x = –‚ ±  ¢ – ‚ ±  ¢ x= 2·

ñ ∞Ó ¢ = 0, ÙfiÙ ¤¯Ô˘ÌÂ: (2·x + ‚)2 = 0 2·x + ‚ = 0

2·x = – ‚ ‚

x = – 2· ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË,

ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ¿ÓÈÛ˜ χÛÂȘ, ÙȘ x =

– ‚ +  ¢ – ‚ –  ¢ Î·È x = 2· 2·

ÙËÓ x = – 2·

ñ ∞Ó ¢ < 0, ÙfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË). ∏ ·Ú¿ÛÙ·ÛË ‚2 – 4·Á, fiˆ˜ ›‰·ÌÂ, ·›˙ÂÈ ÛËÌ·ÓÙÈÎfi ÚfiÏÔ ÛÙËÓ Â›Ï˘ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì ·  0, ÁÈ·Ù› Ì·˜ ÂÈÙÚ¤ÂÈ Ó· ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Ï‡ÛÂÒÓ Ù˘. °È’ ·˘Ùfi ϤÁÂÙ·È ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È Ì ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· ¢, ‰ËÏ·‰‹ ¢ = ‚ 2 – 4·Á ™˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ fiÙÈ: ∏ Â͛ۈÛË ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì ·  0. – ‚ ± ¢ ñ ∞Ó ¢ > 0, ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ¿ÓÈÛ˜ χÛÂȘ ÙȘ x = 2· ñ ∞Ó ¢ = 0, ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË ÙËÓ x = – ñ ∞Ó ¢ < 0, ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË).

94

‚ 2·


2.2 EÍÈÛÒÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) 2x 2 + 5x + 3 = 0 ‚) 6x 2 – 5x + 2 = 0

Á) –16x 2 + 8x – 1 = 0

Λύση

·) ™ÙËÓ Â͛ۈÛË 2x2 + 5x + 3 = 0 Â›Ó·È · = 2, ‚ = 5, Á = 3, ÔfiÙÂ Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = 52 – 4  2  3 = 25 – 24 = 1 > 0. – ‚ ±  ¢ – 5 ±  1 –5 ± 1 ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x = = = , 2· 22 4 –5 + 1 –5 – 1 3 ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È x = = –1 ‹ x = =– 2 4 4

‚) ™ÙËÓ Â͛ۈÛË 6x2 – 5x + 2 = 0 Â›Ó·È · = 6, ‚ = –5, Á = 2, ÔfiÙÂ Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = (–5)2 – 4  6  2 = 25 – 48 = –23 < 0. ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË). Á) ™ÙËÓ Â͛ۈÛË –16x2 + 8x – 1 = 0 Â›Ó·È · = –16, ‚ = 8, Á = –1, ÔfiÙÂ Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = 82 – 4  (–16)  (–1) = 64 – 64 = 0. ‚ 8 1 ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, ÙËÓ x = – =– = 2· 2  (–16) 4

2

N· Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) 9x 2 – (5x – 1) 2 = 2x

‚)

x(x + 3) x–6 1 – = 3 6 2

Λύση ·) 9x2 – (5x – 1)2 = 2x 9x2 – (25x2 – 10x + 1) = 2x 9x2 – 25x2 + 10x – 1 – 2x = 0 –16x2 + 8x – 1 = 0 1 x= (‰ÈÏ‹ χÛË) 4 (¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1Á)

x(x + 3) x–6 1 – = 3 6 2

‚) 6

x(x + 3) x–6 1 – 6 =6 2 3 6

2x(x + 3) – (x – 6) = 3 2x2 + 6x – x + 6 – 3 = 0 2x2 + 5x + 3 = 0 3 x = –1 ‹ x = – (¶·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1·) 2

3

·) ¡· Ï˘ı› Ë Â͛ۈÛË 2x 2 – 8x + 6 = 0. ‚) ¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈËı› ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ 2x 2 – 8x + 6.

Λύση ·) ™ÙËÓ Â͛ۈÛË 2x2 – 8x + 6 = 0 Â›Ó·È · = 2, ‚ = –8, Á = 6, ÔfiÙÂ Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = (–8)2 – 4  2  6 = 64 – 48 = 16 > 0. 8±4 – ‚ ± ¢ – (–8) ± 16 , ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x = ‹ x= = 4 2· 22 ‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È x = 3 ‹ x = 1. ‚) 2x2 – 8x + 6 = 2(x2 – 4x + 3) = 2(x2 – 3x – x + 3) = 2 x(x – 3) – (x – 3) = = 2(x – 3)(x – 1) 95


M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ÙÚȈӇÌÔ˘ ™ÙÔ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ‰È·ÈÛÙÒÛ·Ì fiÙÈ: ñ √È Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ 2x2 – 8x + 6 = 0 Â›Ó·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 3 Î·È 1. ñ ΔÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ 2x2 – 8x + 6 ·Ó·Ï‡ÂÙ·È Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ ˆ˜ ÂÍ‹˜: 2x2 – 8x + 6 = 2(x – 3)(x – 1)

Γενικά ∞Ó Ú 1, Ú 2 Â›Ó·È ÔÈ Ï‡ÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ·x 2 + ‚x + Á = 0 Ì ·  0, ÙfiÙ ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ ·x 2 + ‚x + Á ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈÂ›Ù·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙÔÓ Ù‡Ô ·x 2 + ‚x + Á = ·(x – Ú 1)(x – Ú 2) °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, Ë Â͛ۈÛË 2x2 + 5x + 3 = 0 ¤¯ÂÈ Ï‡ÛÂȘ ÙȘ –1 Î·È –

3 (·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1·). 2

ÕÚ· ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ 2x2 + 5x + 3 ÁÚ¿ÊÂÙ·È

( 32 ) = 2(x + 1)(x + 32 )

2x2 + 5x + 3 = 2x – (–1) x – –

OÌÔ›ˆ˜ Ë Â͛ۈÛË –16x2 + 8x – 1 = 0 ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, ÙËÓ x =

1 (·Ú¿‰ÂÈÁÌ· 1Á). 4

ÕÚ· ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ –16x2 + 8x – 1 ÁÚ¿ÊÂÙ·È 1 1 1 –16x2 + 8x – 1 = –16 x – x– = –16 x – 4 4 4

(

)(

)

(

)

2

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

AÓ ¢ Â›Ó·È Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì ·  0, ÙfiÙ ӷ ·ÓÙÈÛÙÔȯ›ÛÂÙ Û οı ÂÚ›ÙˆÛË Ù˘ ÛÙ‹Ï˘ (∞) ÙÔ ÛˆÛÙfi Û˘Ì¤Ú·ÛÌ· ·fi ÙË ÛÙ‹ÏË (μ). ™Ù‹ÏË ∞

2

™Ù‹ÏË μ

·.

¢ > 0 1. ∏ Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ï‡ÛË.

‚.

¢ = 0 2. ∏ Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ¿ÓÈÛ˜ χÛÂȘ.

Á.

¢0

3. ∏ Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË.

‰.

¢<0

4. ∏ Â͛ۈÛË ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË.

·

Á

N· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) ∞Ó Ì›· Â͛ۈÛË 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ¤¯ÂÈ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· ıÂÙÈ΋, ÙfiÙ ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË. ‚) ∞Ó Ì›· Â͛ۈÛË 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ¤¯ÂÈ ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· ıÂÙÈ΋ ‹ Ìˉ¤Ó, ÙfiÙ ¤¯ÂÈ Ì›· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ï‡ÛË. Á) ∏ Â͛ۈÛË 2x2 + 4x – 6 = 0 ¤¯ÂÈ ˆ˜ χÛÂȘ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 1 Î·È –3, ÔfiÙ ÙÔ ÙÚÈÒÓ˘ÌÔ 2x2 + 4x – 6 ÁÚ¿ÊÂÙ·È 2x2 + 4x – 6 = (x – 1)(x + 3).

96


2.2 EÍÈÛÒÛÂȘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

3

N· ‚Ú›Ù ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Â›Ó·È ÚÔÙÈÌfiÙÂÚÔ Ó· Ï˘ıÔ‡Ó Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ Ù‡Ô˘ ·) 2x2 = 7x ‚) 3x2 – 2x + 8 = 0 Á) –2x2 + 50 = 0 ‰) 5x2 + x – 4 = 0

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

¡· ʤÚÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ù˘ ÚÒÙ˘ ÛÙ‹Ï˘ ÛÙË ÌÔÚÊ‹ ·x2 + ‚x + Á = 0 Î·È Ó· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ÙȘ ˘fiÏÔÈ˜ ÛًϘ ÙÔ˘ ›Ó·Î·. ·x 2 + ‚ x + Á = 0

E͛ۈÛË

·

Á

x (x – 1) = –2 2

3x + 4 = 2(x + 2) (x – 1)2 = 2(x2 – x)

2

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) x2 – x – 2 = 0 ‰) 2z2 – 3z + 1 = 0 ˙) 3x2 + 18x + 27 = 0

‚) 4y2 + 3y – 1 = 0 Â) –25t2 + 10t – 1 = 0 Ë) x2 – 4x = 5

Á) –2ˆ2 + ˆ + 6 = 0 ÛÙ) 4x2 – 12x + 9 = 0 ı) x2 – 3x + 7 = 0

3

‚) x2 – 16 = 0 ¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) x2 – 7x = 0 i) Ì ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙÔ˘ Ù‡Ô˘ ii) Ì ·Ó¿Ï˘ÛË Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ

4

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) 3x2 – 2(x – 1) = 2x + 1 Á) (2ˆ – 3)2 – (ˆ – 2)2 = 2ˆ2 – 11

5

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: x+3 x2 – 1 ·) – =x–2 5 3 Á) 0,5t2 – 0,4(t + 2) = 0,7(t – 2)

6

‚) (y + 2)2 + (y – 1)2 = 5(2y + 3) ‰) Ê(8 – Ê) – (3Ê + 1)(Ê + 2) = 1

‚)

6y + 1 y–2 y2 – = –2 4 6 3

‰)

ˆ (3ˆ – 7) = – 3 2

¡· ·Ú·ÁÔÓÙÔÔÈ‹ÛÂÙ ٷ ÙÚÈÒÓ˘Ì·: ·) x2 + 4x – 12 ‚) 3y2 – 8y + 5 ‰) x2 – 16x + 64 Â) 9y2 + 12y + 4

Á) –2ˆ2 + 5ˆ – 3 ÛÙ) –ˆ2 + 10ˆ – 25

7

∞Ó ·, ‚ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì ·  0, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÔÈ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ¤¯Ô˘Ó Ì›· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ Ï‡ÛË ·) ·x2 – x + 1 – · = 0 ‚) ·x2 + (· + ‚)x + ‚ = 0

8

¢›ÓÂÙ·È Ë Â͛ۈÛË (· + Á)x2 – 2‚x + (· – Á) = 0, fiÔ˘ ·, ‚, Á Â›Ó·È Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘ ∞μ°. ∞Ó Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ.

97


∂¡∞ £∂ª∞ ∞¶√ Δ∏¡ π™Δ√ƒπ∞ Δø¡ ª∞£∏ª∞Δπ∫ø¡ ™Â ÌÈ· ‚·‚˘ÏˆÓÈ΋ Ͽη (ÂÚ›Ô˘ 1650 .Ã.) ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ¯·Ú·Á̤ÓÔ Î·È Ï˘Ì¤ÓÔ ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Úfi‚ÏËÌ·(*): « ∞Ó ·fi ÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ·Ê·ÈÚ¤Ûˆ ÙËÓ ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘, ı· ‚Úˆ 870. ¡· ‚ÚÂı› Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘». ΔÔ˘˜ Ï·Ô‡˜ Ù˘ ªÂÛÔÔÙ·Ì›·˜ ‰ÂÓ ÙÔ˘˜ ··Û¯ÔÏÔ‡ÛÂ Ë ÁˆÌÂÙÚÈ΋ ¤ÓÓÔÈ· Ù˘ ÔÛfiÙËÙ·˜, ·ÏÏ¿ Ë ›‰È· ÔÛfiÙËÙ·, fiˆ˜ ·˘Ù‹ ÂÎÊÚ¿˙ÂÙ·È Ì ÙÔ˘˜ Û˘ÁÎÂÎÚÈ̤ÓÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ (°È’ ·˘Ùfi ÚfiÛıÂÙ·Ó Ì‹ÎÔ˜ Ì ÂÈÊ¿ÓÂÈ·). ∞Ó ¯ÚËÛÈÌÔÔÈ‹ÛÔ˘Ì ÛËÌÂÚÈÓfi Û˘Ì‚ÔÏÈÛÌfi Î·È ˘Ôı¤ÛÔ˘Ì fiÙÈ Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ Â›Ó·È x, ÙfiÙÂ Ë Ï‡ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ Ô‰ËÁ› ÛÙË Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – x = 870. O B·‚˘ÏÒÓÈÔ˜ Áڷʤ·˜ Ù˘ Ͽη˜ Ì·˜ ÚÔÙ›ÓÂÈ Ó· χÛÔ˘Ì ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ·˘Ùfi ·ÎÔÏÔ˘ıÒÓÙ·˜ Ù· ·Ú·Î¿Ùˆ ‚‹Ì·Ù·: ➤ ¶¿Ú ÙÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ 1 Ô˘ Â›Ó·È ÙÔ ➤ ¶ÔÏÏ·Ï·Û›·Û ÙÔ ➤ ¶ÚfiÛıÂÛ ÙÔ ➤ ΔÔ 870

1. 2

1 1 1 Ì ÙÔ , ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· . 2 2 4

1 1 ÛÙÔ 870 Î·È ı· ‚ÚÂȘ 870 . 4 4

1 1 , Â›Ó·È ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ ÙÔ˘ 29 . 4 2

➤ ¶ÚfiÛıÂÛÂ ÛÙÔ 29

Î·È ı· ‚ÚÂȘ 30.

1 1 ÙÔ (Ô˘ ‚ڋΘ ·Ú¯Èο) 2 2

ñ To 1 Â›Ó·È Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ ÙÔ˘ x. (√È μ·‚˘ÏÒÓÈÔÈ ‰Â ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡Û·Ó ·ÚÓËÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜).

ñ √È μ·‚˘ÏÒÓÈÔÈ ÁÈ· Ó· ‚Ú›ÛÎÔ˘Ó ÙËÓ ÙÂÙÚ·ÁˆÓÈ΋ Ú›˙· ·ÚÈıÌÒÓ Â›¯·Ó ηٷÛ΢¿ÛÂÈ ›Ó·Î˜ Ì ٷ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓ· ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ. ñ ŒÎ·Ó·Ó ÚfiÛıÂÛË, fiÙ·Ó ÛÙËÓ Â͛ۈÛË ˘‹Ú¯Â ·Ê·›ÚÂÛË (.¯. x2 – x) Î·È ·Ê·›ÚÂÛË, fiÙ·Ó ÛÙËÓ Â͛ۈÛË ˘‹Ú¯ÂÈ ÚfiÛıÂÛË (.¯. x2 + x)

➤ ∞˘Ù‹ Â›Ó·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘.

ñ N· χÛÂÙ ÙËÓ Â͛ۈÛË Ì ÙË Ì¤ıÔ‰Ô Ô˘ Ì¿ı·Ù ÛÙËÓ ÂÓfiÙËÙ· ·˘Ù‹ Î·È Ó· ÙË Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ Ì ÙËÓ Ú·ÎÙÈ΋ ̤ıÔ‰Ô Ì ÙËÓ ÔÔ›· ¤Ï˘Ó·Ó ÔÈ μ·‚˘ÏÒÓÈÔÈ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡. ΔÈ ·Ú·ÙËÚ›ÙÂ; ñ ∞ÎÔÏÔ˘ıÒÓÙ·˜ Ù· ‚‹Ì·Ù· ÙˆÓ μ·‚˘ÏˆÓ›ˆÓ Ó· χÛÂÙÂ Î·È ÙÔ ·Ú·Î¿Ùˆ Úfi‚ÏËÌ· Ô˘ Â›Ó·È ¯·Ú·Á̤ÓÔ ÛÙËÓ ›‰È· Ͽη. «∞Ó ÛÙËÓ ÂÈÊ¿ÓÂÈ· ÂÓfi˜ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÚÔÛı¤Ûˆ ÙËÓ 3 ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘, ı· ‚Úˆ . ¶ÔÈ· Â›Ó·È Ë ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘;» 4

(*)(∞fi ÙÔ ‚È‚Ï›Ô ÙÔ˘ £. ∂Í·Ú¯¿ÎÔ˘: πÛÙÔÚ›· ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ, Δ· ª·ıËÌ·ÙÈο ÙˆÓ μ·‚˘ÏˆÓ›ˆÓ Î·È ÙˆÓ ∞Ú¯·›ˆÓ ∞ÈÁ˘Ù›ˆÓ, ÙfiÌÔ˜ ∞, ∞ı‹Ó· 1997.

98


2. 3

¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡

ªÂ ÙË ‚Ô‹ıÂÈ· ÙˆÓ ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ ÌÔÚԇ̠ӷ χÛÔ˘Ì ÔÏÏ¿ ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ù˘ ηıËÌÂÚÈÓ‹˜ Ì·˜ ˙ˆ‹˜, Ù˘ √ÈÎÔÓÔÌ›·˜, Ù˘ º˘ÛÈ΋˜ Î.Ù.Ï.

Πρόβληìα 1 ο ΔÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÌÈ· ÎÔÏ˘Ì‚ËÙÈ΋˜ ÈÛ›Ó·˜ Â›Ó·È 400 m 2. N· ‚Ú›Ù ÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ Ù˘, ·Ó ·˘Ù¤˜ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 41 m.

Λύση ∞Ó Ë Ì›· ‰È¿ÛÙ·ÛË Ù˘ ÈÛ›Ó·˜ Â›Ó·È x, ÙfiÙÂ Ë ¿ÏÏË ı· Â›Ó·È 41 – x, ·ÊÔ‡ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È 41 m. ∂Âȉ‹ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Ù˘ ÈÛ›Ó·˜ Â›Ó·È 400 m2, ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË x(41 – x) = 400 ‹ 41x – x2 = 400 ‹ x2 – 41x + 400 = 0. ™ÙËÓ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ Â›Ó·È · = 1, ‚ = –41, Á = 400, ÔfiÙÂ Ë ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = (–41)2 – 4  1  400 = 1681 – 1600 = 81 > 0. ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x =

– ‚ ±  ¢ 41 ±  41 ± 9 81 , = = 2· 2 21

‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È x = 25 ‹ x = 16. AÓ x = 25, ÙfiÙ 41 – x = 41 – 25 = 16, ÂÓÒ ·Ó x = 16, ÙfiÙ 41 – x = 41 – 16 = 25. EÔ̤ӈ˜, Î·È ÛÙȘ ‰‡Ô ÂÚÈÙÒÛÂȘ ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ Ù˘ ÈÛ›Ó·˜ Â›Ó·È 25 m Î·È 16 m.

Πρόβληìα 2 ο ŒÓ·˜ ÔÈÎÔÓÔÌÔÏfiÁÔ˜ ˘ÔÏfiÁÈÛ fiÙÈ ÌÈ· ‚ÈÔÙ¯ӛ· ÚÔ‡¯ˆÓ ÁÈ· Ó· ηٷÛ΢¿ÛÂÈ x 1 2 Ô˘Î¿ÌÈÛ· Íԉ‡ÂÈ x + 20x + 500 ¢ÚÒ. ∞Ó Ë ‚ÈÔÙ¯ӛ· Ô˘Ï¿ÂÈ Î¿ı Ô˘Î¿ÌÈ10 ÛÔ 60 C, fiÛ· Ô˘Î¿ÌÈÛ· Ú¤ÂÈ Ó· Ô˘Ï‹ÛÂÈ, ÒÛÙ ӷ ÎÂÚ‰›ÛÂÈ 3500 C;

Λύση ∞Ó Ë ‚ÈÔÙ¯ӛ· Ô˘Ï‹ÛÂÈ x Ô˘Î¿ÌÈÛ·, ı· ÂÈÛÚ¿ÍÂÈ 60x C, ÔfiÙ ı· ÎÂÚ‰›ÛÂÈ 1 2 x + 20x + 500 C. 60x – 10 ∂Âȉ‹ ı¤ÏÔ˘Ì ÙÔ Î¤Ú‰Ô˜ Ó· Â›Ó·È 3500 C ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË 1 2 x + 20x + 500 = 3500 ‹ 60x – 10

(

)

(

)

1 2 x – 20x – 500 = 3500 10 600x – x2 – 200x – 5000 = 35000 x2 – 400x + 40000 = 0 60x –

99


M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

H ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = (– 400)2 – 4  1  40000 = 160000 – 160000 = 0. ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, ÙËÓ x =

–‚ 400 = = 200. 2· 21

∂Ô̤ӈ˜, ÁÈ· Ó· ÎÂÚ‰›ÛÂÈ Ë ‚ÈÔÙ¯ӛ· 3500 C, Ú¤ÂÈ Ó· Ô˘Ï‹ÛÂÈ 200 Ô˘Î¿ÌÈÛ·.

Πρόβληìα 3 ο ∞fi ¤Ó· ·Î›ÓËÙÔ ·ÂÚfiÛÙ·ÙÔ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û ‡„Ô˜ h ·Ê‹ÓÂÙ·È Ó· ¤ÛÂÈ ¤Ó·˜ Û¿ÎÔ˜ Ì ¿ÌÌÔ ÁÈ· Ó· ÂÏ·ÊÚ‡ÓÂÈ. Δ·˘Ùfi¯ÚÔÓ·, ÙÔ ·ÂÚfiÛÙ·ÙÔ ·Ú¯›˙ÂÈ Ó· ÎÈÓÂ›Ù·È Î·Ù·ÎfiÚ˘Ê· ÚÔ˜ Ù· ¿Óˆ Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË 0,5 m/sec 2. ΔË ÛÙÈÁÌ‹ Ô˘ Ô Û¿ÎÔ˜ ÊÙ¿ÓÂÈ ÛÙÔ ¤‰·ÊÔ˜, ÙÔ ·ÂÚfiÛÙ·ÙÔ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È Û ‡„Ô˜ 84 m. ¡· ‚ÚÂı› fiÛÔ ‰È‹ÚÎËÛÂ Ë ÙÒÛË ÙÔ˘ Û¿ÎÔ˘. ™ËÌ›ˆÛË: ∞fi ÙË º˘ÛÈ΋ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ: ñ ∞Ó ¤Ó· ÛÒÌ· ·Ê‹ÓÂÙ·È Ó· ¤ÛÂÈ ·fi ‡„Ô˜ h m, ÙfiÙ ı· ÊÙ¿ÛÂÈ ÛÙÔ ¤‰·ÊÔ˜ Û 1 ¯ÚfiÓÔ t sec, fiÔ˘ h = gt2 Î·È g = 10 m/sec2 ÂÚ›Ô˘. 2 ñ ∞Ó ¤Ó· ÛÒÌ· ·Ú¯›˙ÂÈ Ó· ÎÈÓÂ›Ù·È Ì ÛÙ·ıÂÚ‹ ÂÈÙ¿¯˘ÓÛË ·, ÙfiÙ Û ¯ÚfiÓÔ t ı· 1 ‰È·Ó‡ÛÂÈ ‰È¿ÛÙËÌ· s = ·t2. 2

Λύση ∞Ó Ë ÙÒÛË ÙÔ˘ Û¿ÎÔ˘ ‰È‹ÚÎËÛ t sec, ÙfiÙ ÛÙÔ ¯ÚfiÓÔ ·˘Ùfi Ô Û¿ÎÔ˜ ‰È‹Ó˘Û ·fiÛÙ·ÛË 1 1 h = gt2 = 10t2 = 5t2, ·ÊÔ‡ g = 10 m/sec2. 2 2 ™ÙÔÓ ›‰ÈÔ ¯ÚfiÓÔ ÙÔ ·ÂÚfiÛÙ·ÙÔ ·Ó¤‚ËΠηٿ ‡„Ô˜ 1 2 1 1  0,5  t2 = t2 , ·ÊÔ‡ · = 0,5 m/sec2. h = ·t = 2 2 4 EÂȉ‹ h + h = 84, ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË 1 5t2 + t2 = 84 ‹ 20t2 + t2 = 336 ‹ 21t2 = 336 4 2

‹ t = 16, ÔfiÙ t = 4 ‹ t = – 4. ∂Âȉ‹ ÙÔ t ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÈ ¯ÚfiÓÔ, Ú¤ÂÈ t > 0, ÔfiÙÂ Û˘ÌÂÚ·›ÓÔ˘Ì fiÙÈ Ë ‰È¿ÚÎÂÈ· Ù˘ ÙÒÛ˘ ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ ‹Ù·Ó t = 4 sec.

100

h 84 m h

h


2.3 ¶ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· ÂÍÈÛÒÛÂˆÓ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x Û ηıÂÌÈ¿ ·fi ÙȘ ÂÚÈÙÒÛÂȘ. ·)

‚)

‰)

‰ =

x

Á) 7

x

E = 20 m2

x

‰=

10 m

2 m

E = 314 m2

x+1

x+2

x

2

¡· ‚Ú›Ù ¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi, Ù¤ÙÔÈÔ ÒÛÙÂ: ·) ΔÔ ÌÈÛfi ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÙÔ˘ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì ÙÔ ‰ÈÏ¿ÛÈfi ÙÔ˘. ‚) ΔÔ ÁÈÓfiÌÂÓfi ÙÔ˘ Ì’ ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi, Ô˘ Â›Ó·È Î·Ù¿ 2 ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜, Ó· Â›Ó·È 24. Á) ΔÔ ‰ÈÏ¿ÛÈÔ ÙÔ˘ ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘ ÙÔ˘, Ó· Â›Ó·È Î·Ù¿ 3 ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ ÂÓÙ·Ï¿ÛÈfi ÙÔ˘.

3

∏ ¯ˆÚËÙÈÎfiÙËÙ· ÂÓfi˜ ‰Ô¯Â›Ô˘ Ï·‰ÈÔ‡ Â›Ó·È 10 Ï›ÙÚ·. ∞Ó ÙÔ ‰Ô¯Â›Ô ¤¯ÂÈ Û¯‹Ì· ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ·Ú·ÏÏËÏÂÈ¤‰Ô˘ Ì ‡„Ô˜ 2,5 dm Î·È ‚¿ÛË ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ, Ó· ‚Ú›Ù ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ Ù˘ ÏÂ˘Ú¿˜ Ù˘ ‚¿Û˘ ÙÔ˘. (1 Ï›ÙÚÔ = 1dm3)

4

ŒÓ· ÔÈÎfiÂ‰Ô ¤¯ÂÈ Û¯‹Ì· ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Ì ÂÌ‚·‰fiÓ 150 m2. ∞Ó ÙÔ Ì‹ÎÔ˜ ÙÔ˘ Â›Ó·È 5 m ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘, Ó· ‚Ú›Ù fiÛ· ̤ÙÚ· Û˘ÚÌ·ÙfiÏÂÁÌ· ¯ÚÂÈ¿˙ÔÓÙ·È ÁÈ· ÙËÓ ÂÚ›ÊÚ·Í‹ ÙÔ˘.

5

¡· ‚Ú›Ù ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈÎÔ‡˜ ÂÚÈÙÙÔ‡˜ ·ÎÂÚ·›Ô˘˜, Ô˘ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ÙÂÙÚ·ÁÒÓˆÓ ÙÔ˘˜ Ó· Â›Ó·È 74.

6

√ ηıËÁËÙ‹˜ ÙˆÓ ª·ıËÌ·ÙÈÎÒÓ ÚfiÙÂÈÓ ÛÙÔ˘˜ Ì·ıËÙ¤˜ ÙÔ˘ Ó· χÛÔ˘Ó ÔÚÈṲ̂Ó˜ ·Û΋ÛÂȘ ÁÈ· Ó· ÂÌ‰ÒÛÔ˘Ó ÙËÓ ÂÓfiÙËÙ· Ô˘ ‰È‰¿¯ÙËηÓ. ŸÙ·Ó ·˘ÙÔ› ÙÔÓ ÚÒÙËÛ·Ó Û ÔÈ· ÛÂÏ›‰· Â›Ó·È ÁÚ·Ì̤Ó˜ ÔÈ ·Û΋ÛÂȘ, ·˘Ùfi˜ ·¿ÓÙËÛÂ: «∞Ó ·ÓÔ›ÍÂÙ ÙÔ ‚È‚Ï›Ô Û·˜, ÙÔ ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ ÙˆÓ ‰‡Ô ·ÓÙÈÎÚ˘ÛÙÒÓ ÛÂÏ›‰ˆÓ ̤۷ ÛÙȘ Ôԛ˜ Â›Ó·È ÁÚ·Ì̤Ó˜ ÔÈ ·Û΋ÛÂȘ, Â›Ó·È 506». ªÔÚ›Ù ӷ ‚Ú›Ù Û ÔȘ ÛÂÏ›‰Â˜ Â›Ó·È ÁÚ·Ì̤Ó˜ ÔÈ ·Û΋ÛÂȘ;

7

™ÙÔ ÚˆÙ¿ıÏËÌ· Ô‰ÔÛÊ·›ÚÔ˘ ÌÈ·˜ ¯ÒÚ·˜ οı ÔÌ¿‰· ¤‰ˆÛ Ì fiϘ ÙȘ ˘fiÏÔÈ˜ ÔÌ¿‰Â˜ ‰‡Ô ·ÁÒÓ˜ (ÂÓÙfi˜ Î·È ÂÎÙfi˜ ¤‰Ú·˜). ∞Ó ¤ÁÈÓ·Ó Û˘ÓÔÏÈο 240 ·ÁÒÓ˜, fiÛ˜ ‹Ù·Ó ÔÈ ÔÌ¿‰Â˜ Ô˘ Û˘ÌÌÂÙ›¯·Ó ÛÙÔ ÚˆÙ¿ıÏËÌ·;

8

ŒÓ· ÙÚ›ÁˆÓÔ ¤¯ÂÈ Ï¢ڤ˜ 4 cm, 6 cm Î·È 8 cm. ∞Ó Î¿ı ÏÂ˘Ú¿ ÙÔ˘ ‹Ù·Ó ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË Î·Ù¿ x cm, ÙfiÙ ÙÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ı· ‹Ù·Ó ÔÚıÔÁÒÓÈÔ. ¡· ‚Ú›Ù ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi x.

101


M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

9

√È Ì·ıËÙ¤˜ ÌÈ·˜ Ù¿Í˘ ÚÒÙËÛ·Ó ÙÔÓ Î·ıËÁËÙ‹ ÙÔ˘˜ fiÛÔ ÂÙÒÓ Â›Ó·È Î·È ÔÈ· Â›Ó·È Ë ËÏÈΛ· ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ ÙÔ˘. ∂ΛÓÔ˜ ‰ÂÓ ¤¯·Û ÙËÓ Â˘Î·ÈÚ›· Î·È ÙÔ˘˜ ÚÔ‚ÏËÌ¿ÙÈÛ ÁÈ· ÌÈ· ·ÎfiÌË ÊÔÚ¿, ·ÊÔ‡ ÙÔ˘˜ ›Â: «∞Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÂÙ ÙËÓ ËÏÈΛ· Ô˘ ›¯· ÚÈÓ 5 ¯ÚfiÓÈ·, Ì ÙËÓ ËÏÈΛ· Ô˘ ı· ¤¯ˆ ÌÂÙ¿ ·fi 5 ¯ÚfiÓÈ· ı· ‚Ú›Ù 1200. ŸÛÔÓ ·ÊÔÚ¿ Ù· ‰‡Ô ·È‰È¿ ÌÔ˘, ·˘Ù¿ Â›Ó·È ‰›‰˘Ì· Î·È ·Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÂÙ ‹ ÚÔÛı¤ÛÂÙ ÙȘ ËÏÈ˘ ÙÔ˘˜ ‚Ú›ÛÎÂÙ ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi». ªÔÚ›Ù ӷ ‚Ú›Ù ÙËÓ ËÏÈΛ· ÙÔ˘ ηıËÁËÙ‹ Î·È ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ ÙÔ˘;

10

TÔ Ì‹ÎÔ˜ οı ʇÏÏÔ˘ ÂÓfi˜ ‚È‚Ï›Ô˘ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ ·fi ÙÔ Ï¿ÙÔ˜ ÙÔ˘ ηٿ 6 cm. AÓ ‰ÈÏÒÛÔ˘Ì ¤Ó· ʇÏÏÔ ∞μ°¢, ¤ÙÛÈ ÒÛÙÂ Ë ÏÂ˘Ú¿ °¢ Ó· ¤ÛÂÈ ¿Óˆ ÛÙËÓ ∞¢, ÙfiÙ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ʇÏÏÔ˘ ÌÂÈÒÓÂÙ·È Î·Ù¿ Ù· 3 ÙÔ˘ ·Ú¯ÈÎÔ‡ ÂÌ‚·‰Ô‡ ÙÔ˘. ¡· ‚Ú›Ù ÙȘ ‰È·ÛÙ¿8 ÛÂȘ οı ʇÏÏÔ˘ ÙÔ˘ ‚È‚Ï›Ô˘.

μ

°

°

¢

11

£¤ÏÔ˘Ì ӷ ηٷÛ΢¿ÛÔ˘Ì ¤Ó· ΢ÎÏÈÎfi Û˘ÓÙÚÈ‚¿ÓÈ Î·È Á‡Úˆ ·fi ·˘Ùfi Ó· ÛÙÚÒÛÔ˘Ì Ì ‚fiÙÛ·Ï· ¤Ó· ΢ÎÏÈÎfi ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ Ï¿ÙÔ˘˜ 3 m. ∞Ó Ô ‰·ÎÙ‡ÏÈÔ˜ Ú¤ÂÈ Ó· ¤¯ÂÈ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÚÈÏ¿ÛÈÔ ·fi ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ Ô˘ ηχÙÂÈ ÙÔ Û˘ÓÙÚÈ‚¿ÓÈ, Ó· ‚Ú›Ù ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· ÙÔ˘ Û˘ÓÙÚÈ‚·ÓÈÔ‡.

12

°È· ÙËÓ Î·Ù·Û΢‹ ÌÈ·˜ ÎÏÂÈÛÙ‹˜ ΢ÏÈÓ‰ÚÈ΋˜ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜ η˘Û›ÌˆÓ ‡„Ô˘˜ 6 m, ¯ÚÂÈ¿ÛÙËÎ·Ó 251,2 m2 Ï·Ì·Ú›Ó·˜. ¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙËÓ ·ÎÙ›Ó· Ù˘ ‚¿Û˘ Ù˘ ‰ÂÍ·ÌÂÓ‹˜.

13

¶·Ú·ÙËÚÒÓÙ·˜ ÙËÓ ÙÒÛË ÂÓfi˜ ÛÒÌ·ÙÔ˜, Ô˘ ·Ê¤ıËΠӷ ¤ÛÂÈ ·fi ÙËÓ ÎÔÚ˘Ê‹ ∫ ÂÓfi˜ Ô˘Ú·ÓÔ͇ÛÙË, ‰È·ÈÛÙÒÓÔ˘Ì fiÙÈ ÛÙ· ‰‡Ô ÙÂÏÂ˘Ù·›· ‰Â˘ÙÂÚfiÏÂÙ· Ù˘ ΛÓËÛ‹˜ ÙÔ˘ ‰È‹Ó˘Û ÌÈ· ·fiÛÙ·ÛË ¶∂ ›ÛË Ì ٷ 5 9 ÙÔ˘ ‡„Ô˘˜ ÙÔ˘ Ô˘Ú·ÓÔ͇ÛÙË. ¡· ‚Ú›Ù fiÛÔ ¯ÚfiÓÔ ‰È‹ÚÎËÛÂ Ë ÙÒÛË ÙÔ˘ ÛÒÌ·ÙÔ˜ Î·È ÔÈÔ ‹Ù·Ó ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ Ô˘Ú·ÓÔ͇ÛÙË (g = 10 m/sec 2).

K

¶ h

102


2. 4

∫Ï·ÛÌ·ÙÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ

Μαθαίνω να λύνω κλασματικές εξισώσεις, που μετασχηματίζονται σε εξισώσεις πρώτου ή δευτέρου βαθμού.

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ +8 1. ¡· χÛÂÙ ÙËÓ Â͛ۈÛË x + 4 = x 12 4 3

2. ¡· ‚Ú›Ù ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ x + 2, x, x2 + 2x Î·È Ó· χÛÂÙÂ Î·È ÙËÓ Â͛ۈÛË x 4 x+8 . + = 2 x+2 x x + 2x E·ÏËı‡ÂÙ·È Ë Â͛ۈÛË ·fi fiϘ ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ x Ô˘ ‚ڋηÙÂ; À¿Ú¯Ô˘Ó ÚÔ‚Ï‹Ì·Ù· Ô˘ Ë Â›Ï˘Û‹ ÙÔ˘˜ Ô‰ËÁ› Û Â͛ۈÛË, Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÎÏ¿ÛÌ· Ì ¿ÁÓˆÛÙÔ ÛÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ Î·È Ë ÔÔ›· ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋ Â͛ۈÛË.

χ 4 χ+8 , + = 4 χ 6 χ 4 χ+8 + = 2 x+2 χ x + 2x

°È· Ó· ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ fiÚÔÈ ÌÈ·˜ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘ Ú¤ÂÈ fiÏÔÈ ÔÈ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜ Ó· Â›Ó·È ‰È¿ÊÔÚÔÈ ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜. ΔȘ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÙȘ ÂÈÏ‡Ô˘Ì fiˆ˜ Î·È ÙȘ ˘fiÏÔÈ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ÁÓˆÛÙfi ·ÚÈıÌfi. °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ÂÈχÛÔ˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜:

x + 4 = x2 + 8 x+2 x x + 2x

∞Ó·Ï‡Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ.

x+8 x 4 + = x x (x + 2) x+2

¶ÚÔÛ‰ÈÔÚ›˙Ô˘Ì ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ ÁÈ· ÙȘ Ôԛ˜ fiÏÔÈ ÔÈ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜ Â›Ó·È ‰È¿ÊÔÚÔÈ ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜.

¶Ú¤ÂÈ x  0 Î·È x + 2  0 ‰ËÏ·‰‹ x  0 Î·È x  – 2

¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Ì ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ.

ΔÔ ∂∫¶ ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Â›Ó·È x(x + 2 )  0 Î·È Ë Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È: x(x+2)

x+8 x 4 + x(x+2) = x(x + 2 ) x x (x + 2) x+2

103


M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

∫¿ÓÔ˘Ì ··ÏÔÈÊ‹ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Î·È ÂÈÏ‡Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË Ô˘ ÚÔ·ÙÂÈ.

x 2 + 4(x + 2) = x + 8 x 2 + 4x + 8 = x + 8 ‹ x 2 + 3x = 0 ‹ x( x + 3 ) = 0 , ¿ Ú · x = 0 ‹ x = – 3 .

∞fi ÙȘ χÛÂȘ Ô˘ ‚ڋηÌÂ, ·ÔÚÚ›ÙÔ˘Ì ÂΛӘ Ô˘ ‰ÂÓ ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙÔ˘˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜.

∏ χÛË x = 0 ·ÔÚÚ›ÙÂÙ·È, ·ÊÔ‡ Ú¤ÂÈ x  0 Î·È x  – 2 , ÔfiÙÂ Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ x = – 3 .

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

N· Ï˘ıÔ‡Ó ÔÈ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·)

x 8 – =1 x+1 x

‚)

1 1 – = x–2 x

2 x2 – 2x

Λύση ·) °È· Ó· ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ fiÚÔÈ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Ú¤ÂÈ x  0 Î·È x  –1. To E.K.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Â›Ó·È x(x + 1)  0 Î·È Ë Â͛ۈÛË ÁÚ¿ÊÂÙ·È x 8 x(x + 1)  – x(x + 1)  = x(x + 1)  1 x+1 x 8 x2 – 8(x + 1) = x(x + 1) ‹ x2 – 8x – 8 = x2 + x ‹ –9x = 8 ‹ x = – 9 8 (ÈηÓÔÔÈ› ÙÔ˘˜ ÂÚÈÔÚÈÛÌÔ‡˜). ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË ÙËÓ x = – 9 ‚) ∞Ó·Ï‡Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜ Û ÁÈÓfiÌÂÓÔ ÚÒÙˆÓ ·Ú·ÁfiÓÙˆÓ Î·È Ë Â͛ۈ1 1 2 ÛË Á›ÓÂÙ·È – = (1). x–2 x x(x – 2) °È· Ó· ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÔÈ fiÚÔÈ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Ú¤ÂÈ x  0 Î·È x  2. ΔÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Â›Ó·È x(x – 2)  0 Î·È Ë Â͛ۈÛË (1) ÁÚ¿ÊÂÙ·È 1 1 2 x(x – 2) – x(x – 2) = x(x – 2) x–2 x x(x – 2) x – (x – 2) = 2 ‹ x – x = 2 – 2 ‹ 0x = 0. ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ˆ˜ χÛË ÔÔÈÔ‰‹ÔÙ ·ÚÈıÌfi, ÂÎÙfi˜ ·fi ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 0 Î·È 2.

2

ŒÓ·˜ Ì·Ú·ıˆÓÔ‰ÚfiÌÔ˜ ‰È‹Ó˘Û ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ 42 km Î·È ‰ÂÓ ÌfiÚÂÛ ӷ ÎÂÚ‰›ÛÂÈ Î¿ÔÈÔ ÌÂÙ¿ÏÏÈÔ. ŸÙ·Ó Ì ÙÔÓ ÚÔÔÓËÙ‹ ÙÔ˘ ·Ó¤Ï˘Û·Ó ÙËÓ ÚÔÛ¿ıÂÈ¿ ÙÔ˘, ‰È·›ÛÙˆÛ·Ó fiÙÈ, ·Ó Ë Ì¤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ¿ ÙÔ˘ ‹Ù·Ó 1 km/h ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË, ı· ÙÂÚÌ¿1 ÙÈ˙ Û Ù˘ ÒÚ·˜ ÓˆÚ›ÙÂÚ· Î·È ı· ¤·ÈÚÓ ÙÔ ¯Ú˘Ûfi ÌÂÙ¿ÏÏÈÔ. ¶ÔÈ· ‹Ù·Ó Ë Ì¤ÛË 10 Ù·¯‡ÙËÙ· Ì ÙËÓ ÔÔ›· ¤ÙÚÂÍÂ;

Λύση ∞Ó Ë Ì¤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· Ì ÙËÓ ÔÔ›· ¤ÙÚÂÍ ‹Ù·Ó x km/h, ÙfiÙ ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË ÙˆÓ 42 km

104


2.4 KÏ·ÛÌ·ÙÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ

ÙË ‰È‹Ó˘Û Û ¯ÚfiÓÔ

42 ÒÚ˜. ∞Ó Ë Ù·¯‡ÙËÙ¿ ÙÔ˘ ‹Ù·Ó 1 km/h ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË, ‰ËÏ·‰‹ x

(x + 1) km/h, ÙfiÙ ı· ¤Î·Ó ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓÔ Î·Ù¿

42 ÒÚ˜. √ ¯ÚfiÓÔ˜ ·˘Ùfi˜ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔÓ x+1

1 42 42 1 Ù˘ ÒÚ·˜, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì ÙËÓ Â͛ۈÛË = + (1). 10 x x+1 10

OÈ fiÚÔÈ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È, ·ÊÔ‡ x > 0. ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Ì ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Ô˘ Â›Ó·È 10x(x + 1)  0 Î·È Ë Â͛ۈÛË (1) ÁÚ¿ÊÂÙ·È 42 42 1 10x(x + 1)  = 10x(x + 1)  + 10x(x + 1)  x x+1 10 420(x + 1) = 420x + x(x + 1) ‹ 420x + 420 = 420x + x2 + x ‹ x2 + x – 420 = 0 H ‰È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· Â›Ó·È ¢ = ‚2 – 4·Á = 12 – 4  1  (– 420) = 1681 > 0. ÕÚ· Ë Â͛ۈÛË ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ, ÙȘ x =

– 1 ± 41 – ‚ ±  ¢ – 1 ±  1681 , + = 2 2· 21

‰ËÏ·‰‹ Â›Ó·È x = 20 ‹ x = –22. EÂȉ‹ x > 0, Ë Ì¤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· ÙÔ˘ Ì·Ú·ıˆÓÔ‰ÚfiÌÔ˘ ‹Ù·Ó 20 km/h.

3

™Â ¤Ó· ËÏÂÎÙÚÈÎfi ·Îψ̷ ‰‡Ô ·ÓÙÈÛٿ٘ Ô˘ Û˘Ó‰¤ÔÓÙ·È ·Ú¿ÏÏËÏ· ¤¯Ô˘Ó ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ ·ÓÙ›ÛÙÔȯ· 4ø Î·È 9ø ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚ˜ ·fi ÙËÓ ÔÏÈ΋ ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË. ¡· ‚ÚÂı› Ë ÔÏÈ΋ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ΢ÎÏÒÌ·ÙÔ˜. ™ËÌ›ˆÛË: ∞fi ÙË º˘ÛÈ΋ Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ, ·Ó ‰‡Ô ·ÓÙÈÛٿ٘ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ R1, R2 Û˘Ó‰ÂıÔ‡Ó ·Ú¿ÏÏËÏ·, ÙfiÙÂ Ë ÔÏÈ΋ ÙÔ˘˜ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË RÔÏ ‰›ÓÂÙ·È ·fi ÙÔÓ 1 1 1 Ù‡Ô = + . (x + 9) ø RÔÏ R1 R2

Λύση

∞Ó Ë ÔÏÈ΋ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË Â›Ó·È x ø, ÙfiÙ ÔÈ ‰‡Ô ·ÓÙÈÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ΢ÎÏÒÌ·ÙÔ˜ ı· Â›Ó·È (x + 4) ø Î·È (x + 9) ø.

(x + 4) ø

1 + 1 = 1 (1) ÕÚ· ÈÛ¯‡ÂÈ x+4 x+9 x ∂ OÈ fiÚÔÈ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ÔÚ›˙ÔÓÙ·È, ·ÊÔ‡ x > 0. ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ Ì ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ Ô˘ Â›Ó·È x(x + 4)(x + 9)  0 Î·È Ë Â͛ۈÛË (1) ÁÚ¿ÊÂÙ·È 1 + x(x + 4)(x + 9)  1 = x(x + 4)(x + 9)  1 x(x + 4)(x + 9)  x+4 x+9 x 2 2 2 x(x + 9) + x(x + 4) = (x + 4)(x + 9) ‹ x + 9x + x + 4x = x + 4x + 9x + 36 ‹ x2 = 36 ‹ x = ± 36. ÕÚ· x = 6 ‹ x = –6. Afi ÙȘ ‰‡Ô χÛÂȘ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ÌfiÓÔ Ë x = 6 Â›Ó·È Ï‡ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜. ÕÚ· Ë ÔÏÈ΋ ·ÓÙ›ÛÙ·ÛË ÙÔ˘ ΢ÎÏÒÌ·ÙÔ˜ Â›Ó·È 6 ø. 105


M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜, ‹ Ì (§) ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. 6 4 ·) √È fiÚÔÈ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ + = 8 ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ·Ó x  0 Î·È x  1. x–1 x ‚) √ ·ÚÈıÌfi˜ 0 Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘

1 x + = 2. x+1 x

Á) ∞Ó ··Ï›„Ô˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘

5 3 + 2 = 2, x x

ÙfiÙ ·˘Ù‹ ÁÚ¿ÊÂÙ·È 5x + 3 = 2. x3 ‰) √È fiÚÔÈ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ 2 = x ÔÚ›˙ÔÓÙ·È ÁÈ· οı Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi x +1 ·ÚÈıÌfi x Î·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 0 Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘.

2

AÓ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ¤Ó·Ó ·ÚÈıÌfi x Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi Ô˘ Â›Ó·È Î·Ù¿ 2 ÌÔÓ¿‰Â˜ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì 3 . ¶ÔÈ· ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÂÍÈÛÒÛÂȘ ÂÎÊÚ¿˙ÂÈ ÙËÓ ·Ú·¿Óˆ 4 ÚfiÙ·ÛË; ·) x = 3 ‚) x + 2 = 3 Á) x = 3 ‰) x = 3 2–x 4 x 4 x+2 4 x–2 4

3

H Â͛ۈÛË x + 2 + x + 4 = 6 ¤¯ÂÈ ˆ˜ χÛË ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi x–1 x+1 ·) x = 1

4

‚) x = –1

Á) x = 0

‰) x = 2

1 , ¤Î·Ó ··ÏÔÈÊ‹ ·ÚԌӷ˜ Ì·ıËÙ‹˜ ÁÈ· Ó· χÛÂÈ ÙËÓ Â͛ۈÛË 2x – 1 = x–1 x–1 ÓÔÌ·ÛÙÒÓ Î·È Ï‡ÓÔÓÙ·˜ ÙËÓ Â͛ۈÛË 2x – 1 = 1 Ô˘ ÚԤ΢„Â, ‚ڋΠˆ˜ χÛË ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi x = 1. H ·¿ÓÙËÛ‹ ÙÔ˘ Â›Ó·È ÛˆÛÙ‹;

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: 2 1 ·) ‚) = x–1 2 ‰)

106

7 3 2 + = 5· 10 ·

Â)

7 1 =– 2y – 3 3

Á)

4ˆ + 1 9 = ˆ–2 ˆ–2

2x + 1 7 =2– x–3 3–x

ÛÙ) 1 –

5 6–y = y–2 2–y


2.4 KÏ·ÛÌ·ÙÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ

2

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: 4 3 ·) ‚) – 2 =1 x x ‰)

3

5

6

ˆ+5 1 ˆ2 + 5 – = ˆ–1 ˆ ˆ2 – ˆ

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: 1 1 ·) 1 – – 2 =0 y y –y Á)

1 2x – 1 = 2 x2 – 4x + 4 x –4

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: 4 x ·) = 4 3 x– x ¡· χÛÂÙ ÙÔ˘˜ Ù‡Ô˘˜: m ·) p = ˆ˜ ÚÔ˜ V V Á) R = Ú

7

Á)

4 3 6 x+2 x+1 – = 1 Â) = + (· – 2)2 · – 2 x(x + 3) x x+3

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: x+5 3 ·) 2 = x – 25 x+5 Á)

4

5 4 + =2 y y–1

l

S

ˆ˜ ÚÔ˜ S

Â)

1 1 1 = + ˆ˜ ÚÔ˜ R R1 R2 R

˙)

1 1 1 = 2 + 2 ˆ˜ ÚÔ˜ ˘2· ˘2· ‚ Á

ÛÙ)

7 3 6 – = 2 ˆ ˆ+2 ˆ y–1 2 y+3 – = y y+1 y(y + 1)

‚)

y+1 1 – =0 y2 – y – 2 y–2

‰)

1 ·–1 · + = ·2 – 2· · ·–2

‚)

4 2ˆ2 =3– 2 ˆ+2 ˆ + 2ˆ 3· ·+4 = 2 ·–2 · – 3· + 2

‰) 1 +

‚)

1 3 1+ x

‚) ∂ = ‰) ÛÙ)

2 x–6 = 2 x–3 x –9

·‚Á ˆ˜ ÚÔ˜ R 4R

P1V1 PV = 2 2 ˆ˜ ÚÔ˜ T1 T1 T2 1 1 2 = · + Á ˆ˜ ÚÔ˜ · ‚

Ë) S =

· ˆ˜ ÚÔ˜ Ï 1–Ï

·) ¡· ‚Ú›Ù ‰‡Ô ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ¿ıÚÔÈÛÌ· 17 . 4 ‚) ¶ÔÈÔÓ ·ÚÈıÌfi Ú¤ÂÈ Ó· ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ÛÙÔ˘˜ fiÚÔ˘˜ ÙÔ˘ ÎÏ¿ÛÌ·ÙÔ˜ 3 ÁÈ· Ó· 5 ‚Úԇ̠ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 4 . 5 Á) ¡· ‚Ú›Ù ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈÎÔ‡˜ ¿ÚÙÈÔ˘˜ Ê˘ÛÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÏfiÁÔ 3 . 4

107


M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

8

Δ· ¤ÍÔ‰· ÂÓfi˜ Á‡̷ÙÔ˜ ‹Ù·Ó 84 C. ªÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÙfiÌˆÓ Ô˘ ÁÂ˘Ì¿ÙÈÛ·Ó ‹Ù·Ó Î·È 3 ·È‰È¿, ÔfiÙ ÔÈ ˘fiÏÔÈÔÈ ÂÓ‹ÏÈΘ Û˘ÌÊÒÓËÛ·Ó, ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ηχ„Ô˘Ó Ù· ¤ÍÔ‰· ÙˆÓ ·È‰ÈÒÓ, Ó· ÏËÚÒÛÂÈ Î·ı¤Ó·˜ 9 C ·Ú·¿Óˆ ·fi ·˘Ù¿ Ô˘ ¤ÚÂ ӷ ÏËÚÒÛÂÈ. ¶fiÛ· ‹Ù·Ó Ù· ¿ÙÔÌ· Ô˘ ÁÂ˘Ì¿ÙÈÛ·Ó;

9

√ ‰È·¯ÂÈÚÈÛÙ‹˜ ÌÈ·˜ ÔÏ˘Î·ÙÔÈΛ·˜ ·ÁfiÚ·Û ˘ÚÔÛ‚ÂÛÙ‹Ú˜ ÁÈ· ÙËÓ ˘Ú·ÛÊ¿ÏÂÈ· ÙÔ˘ ÎÙÈÚ›Ô˘ Î·È ¤‰ˆÛ 240 C. ¶ÚÈÓ ·fi Ï›Á· ¯ÚfiÓÈ·, Ô˘ Ë ÙÈÌ‹ οı ˘ÚÔÛ‚ÂÛÙ‹Ú· ‹Ù·Ó 4 C ÌÈÎÚfiÙÂÚË, Ì ٷ ›‰È· ¯Ú‹Ì·Ù· ı· ·ÁfiÚ·˙ 2 ˘ÚÔÛ‚ÂÛÙ‹Ú˜ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔ˘˜. ¡· ‚Ú›Ù fiÛÔ˘˜ ˘ÚÔÛ‚ÂÛÙ‹Ú˜ ·ÁfiÚ·ÛÂ.

10

∞Ó·ÌÂÈÁÓ‡Ô˘Ì 12 gr ÂÓfi˜ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ ∞ Ì 15 gr ÂÓfi˜ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ μ Î·È Û¯ËÌ·Ù›˙Ô˘Ì 25 cm3 ÂÓfi˜ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ °. ¡· ‚ÚÂı› Ë ˘ÎÓfiÙËÙ· ÙÔ˘ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ ∞, ·Ó Ë ˘ÎÓfiÙËÙ· ÙÔ˘ ‰È·Ï‡Ì·ÙÔ˜ μ Â›Ó·È 0,2 gr/cm3 ÌÈÎÚfiÙÂÚË.

11

OÈ ˘¿ÏÏËÏÔÈ ÌÈ·˜ ‚ÈÔÙ¯ӛ·˜ ¤ÚÂ ӷ Û˘Û΢¿ÛÔ˘Ó 120 ÚÔ˚fiÓÙ· ÌÈ·˜ ·Ú·ÁÁÂÏ›·˜. ∞Ô˘Û›·Û·Ó fï˜ 2 ˘¿ÏÏËÏÔÈ, ÔfiÙ ηı¤Ó·˜ ·fi ÙÔ˘˜ ˘fiÏÔÈÔ˘˜ ˘·ÏÏ‹ÏÔ˘˜ ˘Ô¯ÚÂÒıËΠӷ Û˘Û΢¿ÛÂÈ 3 ÚÔ˚fiÓÙ· ·Ú·¿Óˆ ÁÈ· Ó· Î·Ï˘Êı› Ë ·Ú·ÁÁÂÏ›·. ¡· ‚Ú›Ù fiÛÔÈ Â›Ó·È ÔÈ ˘¿ÏÏËÏÔÈ Ù˘ ‚ÈÔÙ¯ӛ·˜.

12

OÈ Ê›Ï·ıÏÔÈ ÌÈ·˜ ÔÌ¿‰·˜ Ù·Íȉ‡ÔÓÙ·˜ Ì ¤Ó· Ô‡ÏÌ·Ó ¤ÚÂ ӷ ‰È·Ó‡ÛÔ˘Ó ÌÈ· ·fiÛÙ·ÛË 210 km ÁÈ· Ó· ‰Ô˘Ó ÙËÓ ·Á·Ë̤ÓË ÙÔ˘˜ ÔÌ¿‰·. ÀÔÏfiÁÈ˙·Ó Ó· ÊÙ¿ÛÔ˘Ó ÛÙÔÓ ÚÔÔÚÈÛÌfi ÙÔ˘˜ ÌÈÛ‹ ÒÚ· ÚÈÓ ·fi ÙËÓ ¤Ó·ÚÍË ÙÔ˘ ·ÁÒÓ·. √ Ô‰ËÁfi˜ fï˜, ÏfiÁˆ ÔÏÈÛıËÚfiÙËÙ·˜ ÙÔ˘ ‰ÚfiÌÔ˘, Ì›ˆÛ ÙË Ì¤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· ηٿ 10 km/h Î·È ¤ÙÛÈ ¤ÊÙ·Û·Ó ÛÙÔ Á‹Â‰Ô ·ÎÚÈ‚Ò˜ ÙËÓ ÒÚ· Ô˘ ¿Ú¯È˙Â Ô ·ÁÒÓ·˜. ¡· ‚Ú›Ù ÙË Ì¤ÛË Ù·¯‡ÙËÙ· Ì ÙËÓ ÔÔ›· ‰È‹Ó˘Û·Ó ÙÂÏÈο ÙËÓ ·fiÛÙ·ÛË.

108


2.4 KÏ·ÛÌ·ÙÈΤ˜ ÂÍÈÛÒÛÂȘ

∂¡∞ £∂ª∞ ∞¶√ Δ∏¡ π™Δ√ƒπ∞ Δø¡ ª∞£∏ª∞Δπ∫ø¡ H ¯Ú˘Û‹ ÙÔÌ‹ ¶Ò˜ ÌÔÚԇ̠ӷ ¯ˆÚ›ÛÔ˘Ì ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· Û ‰‡Ô ¿ÓÈÛ· ̤ÚË, ¤ÙÛÈ ÒÛÙ ÙÔ ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Ô˘ ı· ÚÔ·„ÂÈ ·fi ·˘ÙfiÓ ÙÔÓ ¯ˆÚÈÛÌfi Ó· ‰ËÌÈÔ˘ÚÁ› ÌÈ· ·›ÛıËÛË ·ÚÌÔÓ›·˜; ∏ ηٷÛ΢‹ ÙˆÓ ‰‡Ô ‰È·˙ˆÌ¿ÙˆÓ ÛÙÔ ı¤·ÙÚÔ Ù˘ ∂ȉ·‡ÚÔ˘ (Ù¤ÏÔ˜ ÙÔ˘ 4Ô˘ ·ÈÒÓ· .Ã.) ‰Â›¯ÓÂÈ Ò˜ ¤Ï˘Û·Ó ÙÔ Úfi‚ÏËÌ· ·˘Ùfi ÔÈ ·Ú¯·›ÔÈ ŒÏÏËÓ˜. Δ· ÛηÏÈ¿ ÙÔ˘ ı¿ÙÚÔ˘ ¤¯Ô˘Ó ¯ˆÚÈÛÙ› Û ‰‡Ô ¿ÓÈÛ· ̤ÚË Ì ٤ÙÔÈÔ ÙÚfiÔ, Ô˘ ÙÔ ·ÈÛıËÙÈÎfi ·ÔÙ¤ÏÂÛÌ· Â›Ó·È Â˘¯¿ÚÈÛÙÔ ÛÙÔ Ì¿ÙÈ. °È· Ó· ηٷϿ‚ÂÙ Ì ÔÈÔÓ ÙÚfiÔ ÙÔ ¤Ù˘¯·Ó: ·) ÀÔÏÔÁ›ÛÙ ÙÔ˘˜ ÏfiÁÔ˘˜ ÙˆÓ ÛηÏÈÒÓ 34 + 21 Î·È 34 . 34 21 TÈ ·Ú·ÙËÚ›ÙÂ; √ ¯ˆÚÈÛÌfi˜ ¤¯ÂÈ Á›ÓÂÈ ÌÂ Ù˘¯·›Ô ÙÚfiÔ; ΔÔ ÚÔ‚ÏËÌ· ·˘Ùfi ‰È·Ù˘ÒÓÂÙ·È ˆ˜ ÂÍ‹˜: «¡· ¯ˆÚÈÛÙ› ¤Ó· ¢ı‡ÁÚ·ÌÌÔ ÙÌ‹Ì· AB = Ï Û ‰‡Ô ¿ÓÈÛ· ̤ÚË ∞Δ Î·È Δμ, ÒÛÙÂ Ô ÏfiÁÔ˜ ÔÏfiÎÏËÚÔ˘ ÚÔ˜ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ Ì¤ÚÔ˜ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ˜ Ì ÙÔ ÏfiÁÔ ÙÔ˘ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˘ ÚÔ˜ ÙÔ ˘fiÏÔÈÔ ÙÌ‹Ì·». ÏÈ¿ η Û 21

È¿ ·Ï Î Û 34

34 + 21 = 1,62 34

‚) ¡· ‰Â›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Ï‡ÛË ÙÔ˘ ÚÔ‚Ï‹Ì·ÙÔ˜ ·˘ÙÔ‡ ·Ó¿ÁÂÙ·È ÛÙËÓ Â›Ï˘ÛË Ù˘ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘ Ï = ¯ (1). ¯ Ï–¯ Á) ¡· χÛÂÙ ÙËÓ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋ Â͛ۈÛË (1) Î·È Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ x ˆ˜ Û˘Ó¿ÚÙËÛË ÙÔ˘ Ï.  5+1 ‰) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ô ÏfiÁÔ˜ Ê = Ï Â›Ó·È ›ÛÔ˜ ÌÂ Ê = ≈ 1,618... 2 ¯

√ ·ÚÈıÌfi˜ 1,618... ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È ÏfiÁÔ˜ Ù˘ ¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜ Î·È Û˘Ì‚ÔÏ›˙ÂÙ·È ‰ÈÂıÓÒ˜ Ì ÙÔ ÁÚ¿ÌÌ· Ê ÚÔ˜ ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ÁχÙË ºÂȉ›·. √È ·Ú¯·›ÔÈ ŒÏÏËÓ˜ ›¯·Ó ‰È·ÈÛÙÒÛÂÈ fiÙÈ, fiÔ˘ ÂÌÊ·Ó›˙ÂÙ·È Ô ÏfiÁÔ˜ Ù˘ ¯Ú˘Û‹˜ ÙÔÌ‹˜, ‰ËÌÈÔ˘ÚÁÂ›Ù·È ÌÈ· ·›ÛıËÛË ·ÚÌÔÓ›·˜. ΔÔ ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ¤¯Ô˘Ó ÏfiÁÔ Ê, ϤÁÂÙ·È «¯Ú˘Ûfi ÔÚıÔÁÒÓÈÔ» Î·È ÙÔ Û˘Ó·ÓÙ¿ÌÂ Û˘¯Ó¿ ÛÙËÓ ·Ú¯ÈÙÂÎÙÔÓÈ΋ Î·È ÙË ˙ˆÁÚ·ÊÈ΋. ÷ڷÎÙËÚÈÛÙÈÎfi ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ·ÔÙÂÏ› Ô ¶·ÚıÂÓÒÓ·˜, ÔÈ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÙÔ˘ ÔÔ›Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÏfiÁÔ · = Ê ‚ 109


2. 5

∞ÓÈÛfiÙËÙ˜ – ∞ÓÈÛÒÛÂȘ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ

✔ Θυμάμαι πώς ορίζεται η διάταξη μεταξύ πραγματικών αριθμών. ✔ Μαθαίνω να αποδεικνύω και να χρησιμοποιώ τις ιδιότητες της διάταξης. ✔ Θυμάμαι πώς λύνονται οι ανισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο.

¢È¿Ù·ÍË Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ

°ÓˆÚ›˙Ô˘Ì fiÙÈ Î¿ı Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ ·ÚÈÛÙ¿ÓÂÙ·È Ì ¤Ó· ÛËÌÂ›Ô ÂÓfi˜ ¿ÍÔÓ·. ∞Ó ÛÙÔÓ ¿ÍÔÓ· ¤¯Ô˘Ì ‰‡Ô ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, ÙfiÙ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ Â›Ó·È ÂΛÓÔ˜ Ô˘ ‚Ú›ÛÎÂÙ·È ‰ÂÍÈfiÙÂÚ· .¯. –2 > –4, –3 < 2,  >  2. 2 x

–4

–3

–2

–1

0

1

2

3

4

5

x

¢‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔÈ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ·Ú·ÛÙ·ı› Ì ÛËÌ›· ÂÓfi˜ ¿ÍÔÓ· Â›Ó·È ‰È·ÙÂÙ·Á̤ÓÔÈ, ÔfiÙ ÌÔÚԇ̠ӷ ÙÔ˘˜ Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘ÌÂ. ∂Ô̤ӈ˜: ñ ∫¿ı ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ Ìˉ¤Ó. ñ ∫¿ı ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ˜ ·fi ÙÔ Ìˉ¤Ó. ñ ∫¿ı ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ˜ ·fi οı ·ÚÓËÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi. ¶Ò˜ fï˜ ı· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ‰‡Ô ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ·Ú·ÛÙ·ı› Ì ÛËÌ›· ÂÓfi˜ ·ÍfiÓ·; ∞Ó ¿ÚÔ˘Ì ‰‡Ô ·ÚÈıÌÔ‡˜. .¯. ÙÔ˘˜ 5 Î·È 3, ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÈÛ¯‡ÂÈ 5 > 3, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚ¿ ¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi, ·ÊÔ‡ 5 – 3 = 2 > 0. √ÌÔ›ˆ˜, ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› –2 Î·È – 4, ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÈÛ¯‡ÂÈ –2 > – 4, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚ¿ ¤Ó· ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi, ·ÊÔ‡ (–2) – (– 4) = –2 + 4 = 2 > 0. ∞ÓÙ›ıÂÙ·, ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› 3 Î·È 5 ‹ – 4 Î·È –2, ÁÈ· ÙÔ˘˜ ÔÔ›Ô˘˜ ÈÛ¯‡ÂÈ 3 < 5 Î·È – 4 < – 2, ·Ú·ÙËÚԇ̠fiÙÈ ¤¯Ô˘Ó ‰È·ÊÔÚ¿ ¤Ó·Ó ·ÚÓËÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi, ·ÊÔ‡ 3 – 5 = – 2 < 0 Î·È (– 4) – (–2) = –4 + 2 = –2 < 0. °ÂÓÈο ÈÛ¯‡ÂÈ: ∞Ó · > ‚ ÙfiÙ · – ‚ > 0

ÂÓÒ

∞Ó · < ‚ ÙfiÙÂ · – ‚ < 0

°È· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÏÔÈfiÓ ‰‡Ô Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ · Î·È ‚, Ô˘ ‰ÂÓ ¤¯Ô˘Ó ·Ú·ÛÙ·ı› Ì ÛËÌ›· ÂÓfi˜ ¿ÍÔÓ·, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜ · – ‚ Î·È ÂÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ·Ó Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ ‹ ·ÚÓËÙÈ΋ ‹ Ìˉ¤Ó.

110

ñ ∞Ó · – ‚ > 0 ÙfiÙÂ · > ‚ ñ ∞Ó · – ‚ < 0 ÙfiÙÂ · < ‚ ñ ∞Ó · – ‚ = 0 ÙfiÙÂ · = ‚


2.5 AÓÈÛfiÙËÙ˜ – ∞ÓÈÛÒÛÂȘ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ

B

I‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

∞ÊÔ‡ ‰È·Ù¿ÍÂÙ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ 0, 8, –2, 4, –5, ÙfiÙÂ: 1. ¡· ‰È·Ù¿ÍÂÙÂ Î·È ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó, ·Ó Û ηı¤Ó·Ó ·fi ÙÔ˘˜ ·Ú·¿Óˆ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ÚÔÛı¤ÛÂÙ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 3 2. ¡· ‰È·Ù¿ÍÂÙÂ Î·È ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ Ô˘ ÚÔ·ÙÔ˘Ó, ·Ó i) ·Ê·ÈÚ¤ÛÂÙ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 3 ii) ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÂÙ Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi 2 iii) ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÂÙ Ì ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi –2 ™Â ÔÈ· ·fi ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ÂÚÈÙÒÛÂȘ Ë ÊÔÚ¿ ÙˆÓ ·ÓÈÛÔÙ‹ÙˆÓ ‰È·ÙËÚÂ›Ù·È Î·È Û ÔÈ· ·ÏÏ¿˙ÂÈ; O ÔÚÈÛÌfi˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ ÌÂٷ͇ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÂ›Ù·È Î·È ÁÈ· ÙËÓ ·fi‰ÂÈÍË ÙˆÓ È‰ÈÔÙ‹ÙˆÓ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘. √È È‰ÈfiÙËÙ˜ ·˘Ù¤˜ ›ӷÈ: ·) ∞Ó Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ̤ÏË ÌÈ·˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ‹ ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ ·ÓÈÛfiÙËÙ· Ì ÙËÓ ›‰È· ÊÔÚ¿. ¶.¯. Â›Ó·È 8 > 4, ÔfiÙ 8 + 3 > 4 + 3 Î·È 8 – 3 > 4 – 3. °ÂÓÈο ÈÛ¯‡ÂÈ:

Απόδειξη

∞Ó · > ‚ ÙfiÙ · + Á > ‚ + Á Î·È · – Á > ‚ – Á

ñ °È· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ · + Á Î·È ‚ + Á, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜ Î·È ÂÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ·Ó Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ ‹ ·ÚÓËÙÈ΋ ‹ Ìˉ¤Ó. ŒÙÛÈ ¤¯Ô˘ÌÂ: (· + Á) – (‚ + Á) = · + Á – ‚ – Á = · – ‚. ∂›Ó·È fï˜ · > ‚, ÔfiÙ · – ‚ > 0. ¢ËÏ·‰‹ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ (· + Á) – (‚ + Á) Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÔfiÙ · + Á > ‚ + Á. ñ ªÂ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘ÌÂ Î·È · – Á > ‚ – Á. ‚) ∞Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ‹ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË ÌÈ·˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ıÂÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ ·ÓÈÛfiÙËÙ· Ì ÙËÓ ›‰È· ÊÔÚ¿. ¶.¯. Â›Ó·È 8 > 4, ÔfiÙ 8  2 > 4  2 Î·È 8 > 4 . °ÂÓÈο ÈÛ¯‡ÂÈ: 2 2 ∞Ó · > ‚ Î·È Á > 0 ÙfiÙ ·Á > ‚Á ηÈ

· ‚ ⎯ > ⎯ Á Á

Απόδειξη ñ °È· Ó· Û˘ÁÎÚ›ÓÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·Á Î·È ‚Á, ‚Ú›ÛÎÔ˘Ì ÙË ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜ Î·È ÂÍÂÙ¿˙Ô˘Ì ·Ó Â›Ó·È ıÂÙÈ΋ ‹ ·ÚÓËÙÈ΋ ‹ Ìˉ¤Ó. ŒÙÛÈ ¤¯Ô˘Ì ·Á – ‚Á = Á(· – ‚) (1). ∂›Ó·È fï˜ Á > 0 Î·È · – ‚ > 0, ·ÊÔ‡ · > ‚. ÕÚ· ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› Á Î·È · – ‚ Â›Ó·È ıÂÙÈÎÔ›, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ó ÁÈÓfiÌÂÓÔ ıÂÙÈÎfi, ‰ËÏ·‰‹ Á(· – ‚) > 0. ∞fi ÙËÓ ÈÛfiÙËÙ· (1) ¤¯Ô˘Ì fiÙÈ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ·Á – ‚Á Â›Ó·È ıÂÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ÔfiÙ ·Á > ‚Á. ñ ªÂ ·Ó¿ÏÔÁÔ ÙÚfiÔ ·Ô‰ÂÈÎÓ‡Ô˘ÌÂ Î·È · > ‚ Á Á 111


M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

Á) ∞Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ‹ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË ÌÈ·˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ Ì ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÓËÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ ·ÓÈÛfiÙËÙ· Ì ·ÓÙ›ıÂÙË ÊÔÚ¿. 8 < 4 . °ÂÓÈο ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ: ¶.¯. Â›Ó·È 8 > 4, ÔfiÙ 8  (–2) < 4  (–2) Î·È –2 –2 ∞Ó · > ‚ Î·È Á < 0 ÙfiÙ ·Á < ‚Á

ηÈ

· ‚ ⎯ < ⎯ Á Á

‰) ∞Ó ÚÔÛı¤ÛÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÊÔÚ¿, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ ·ÓÈÛfiÙËÙ· Ì ÙËÓ ›‰È· ÊÔÚ¿. ¶.¯. Â›Ó·È 3 > 2 Î·È 7 > 4, ÔfiÙ 3 + 7 > 2 + 4. °ÂÓÈο ·Ô‰ÂÈÎÓ‡ÂÙ·È fiÙÈ: ∞Ó · > ‚ Î·È Á > ‰ ÙfiÙ · + Á > ‚ + ‰ ∞fi ÙȘ ÚÔËÁÔ‡ÌÂÓ˜ ȉÈfiÙËÙ˜ ÚÔ·ÙÂÈ Î·È Ë ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·: ∞Ó · > ‚ Î·È ‚ > Á ÙfiÙ · > Á ¶.¯. Â›Ó·È 3 > 1 Î·È 1 > –2,5 ÔfiÙ 3 > –2,5. Â) ∞Ó ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿ÛÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ‰‡Ô ‹ ÂÚÈÛÛfiÙÂÚ˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ Ô˘ ¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÊÔÚ¿ Î·È ıÂÙÈο ̤ÏË, ÙfiÙ ÚÔ·ÙÂÈ ·ÓÈÛfiÙËÙ· Ì ÙËÓ ›‰È· ÊÔÚ¿. ¶.¯. Â›Ó·È 3 > 2 > 0 Î·È 7 > 4 > 0, ÔfiÙ 3  7 > 2  4. °ÂÓÈο ÈÛ¯‡ÂÈ: ∞Ó ·, ‚, Á, ‰ ıÂÙÈÎÔ› Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì · > ‚ Î·È Á > ‰ ÙfiÙ ·Á > ‚‰

Απόδειξη E›Ó·È · > ‚ Î·È Á > 0, ÔfiÙ ۇÌʈӷ Ì ÙËÓ È‰ÈfiÙËÙ· (‚) ¤¯Ô˘Ì ·Á > ‚Á (1) E›Ó·È Á > ‰ Î·È ‚ > 0, ÔfiÙ ÁÈ· ÙÔÓ ›‰ÈÔ ÏfiÁÔ ¤¯Ô˘Ì ‚Á > ‚‰ (2) ∞fi ÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ (1), (2) Î·È Û‡Ìʈӷ Ì ÙË ÌÂÙ·‚·ÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ· ¤¯Ô˘Ì ·Á > ‚‰. ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ: 1) ÀÂÓı˘Ì›˙Ô˘Ì fiÙÈ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Î¿ı Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡ ·ÚÈıÌÔ‡ · Â›Ó·È ÌË ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜, ‰ËÏ·‰‹ ÈÛ¯‡ÂÈ

·2

≥0

∂Ô̤ӈ˜: ∞Ó ÁÈ· ÙÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·, ‚ ÈÛ¯‡ÂÈ · 2 + ‚ 2 = 0, ÙfiÙ · = 0 Î·È ‚ = 0. 2) ¢ÂÓ ÂÈÙÚ¤ÂÙ·È Ó· ·Ê·ÈÚԇ̠‹ Ó· ‰È·ÈÚԇ̠·ÓÈÛfiÙËÙ˜ ηٿ ̤ÏË, ÁÈ·Ù› Â›Ó·È ‰˘Ó·Ùfi Ó· Ô‰ËÁËıԇ̠۠ϷÓı·Ṳ̂ÓÔ Û˘Ì¤Ú·ÛÌ·. 6>4 ¶Ú¿ÁÌ·ÙÈ, ·Ó ·Ê·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ‹ ‰È·ÈÚ¤ÛÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ , ÙfiÙ 3>1 ηٷϋÁÔ˘Ì ÛÙȘ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ 3 > 3 ‹ 2 > 4, Ô˘ ‰ÂÓ ÈÛ¯‡Ô˘Ó.



112


2.5 AÓÈÛfiÙËÙ˜ – ∞ÓÈÛÒÛÂȘ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ

°

∞ÓÈÛÒÛÂȘ ÚÒÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì’ ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ

√È È‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÓÙ·È Î·È ÁÈ· ÙËÓ Â›Ï˘ÛË ·ÓÈÛÒÛˆÓ. 3x + 1 3 °È· ·Ú¿‰ÂÈÁÌ·, ·Ó ı¤ÏÔ˘Ì ӷ ÂÈχÛÔ˘Ì ÙËÓ ·Ó›ÛˆÛË x – > , Ô˘ Â›Ó·È 2 4 ÚÒÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ, ÂÚÁ·˙fiÌ·ÛÙ ˆ˜ ÂÍ‹˜: ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ Ì ÙÔ ∂.∫.¶. ÙˆÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙÒÓ. (™ÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· ¤¯Ô˘Ì ∂.∫.¶. = 4 > 0, ÔfiÙÂ Ë ÊÔÚ¿ Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ ‰ÂÓ ·ÏÏ¿˙ÂÈ, ȉÈfiÙËÙ· ‚), A·Ï›ÊÔ˘Ì ÙÔ˘˜ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ¤˜. ∫¿ÓÔ˘Ì ÙȘ Ú¿ÍÂȘ Î·È ‚Á¿˙Ô˘Ì ÙȘ ·ÚÂÓı¤ÛÂȘ Èڛ˙Ô˘Ì ÁÓˆÛÙÔ‡˜ ·fi ·ÁÓÒÛÙÔ˘˜ (ÚÔÛı¤ÙÔÓÙ·˜ Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ̤ÏË ÙÔÓ ›‰ÈÔ ·ÚÈıÌfi, ȉÈfiÙËÙ· ·).

x–

4x–4

3x + 1 3 > 4 2 3x + 1 3 > 4  2 4

4x – 2(3x + 1) > 3 4x – 6x – 2 > 3 4x – 6x > 3 + 2 – 2x > 5

∫¿ÓÔ˘Ì ·Ó·ÁˆÁ‹ ÔÌÔ›ˆÓ fiÚˆÓ. ¢È·ÈÚÔ‡ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ Ì ÙÔ Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘. (™ÙÔ ·Ú¿‰ÂÈÁÌ· Ô Û˘ÓÙÂÏÂÛÙ‹˜ Â›Ó·È –2 < 0 Î·È ÁÈ’ ·˘Ùfi ·ÏÏ¿˙ÂÈ Ë ÊÔÚ¿ Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘, ȉÈfiÙËÙ· Á).

–2x 5 < –2 –2

x <–

5 2

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ – ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ 1

¶ÔȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ Ú¤ÂÈ Ó· ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÛÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· · > 4 ÁÈ· Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ì ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜; ·) –3· + 2 < –10 ‚) 5· – 1 > 4 Á) –2(· + 2) < –12 4

Λύση ·)

·>4 –3· < –12 –3· + 2 < –12 + 2 –3· + 2 < –10

(ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ Ì –3) (ÚÔÛı¤ÙÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ ÙÔ 2)

113


M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

‚)

· >4

(ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·ÓÈÛfiÙËÙ·˜ ÌÂ

5 ) 4

5 5 ·> 4 4 4 5· > 5 (·Ê·ÈÚÔ‡ÌÂ Î·È ·fi Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ ÙÔ 1) 4 5· – 1 > 5 – 1, ÔfiÙ 5· – 1 > 4 4 4 Á)

2

· >4 (ÚÔÛı¤ÙÔ˘ÌÂ Î·È ÛÙ· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ ÙÔ 2) ·+2 >4+2 ·+2 >6 (ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘ÌÂ Î·È Ù· ‰‡Ô ̤ÏË Ù˘ ·Ó›ÛˆÛ˘ Ì ÙÔ –2) –2(· + 2) < –2  6 –2(· + 2) < –12

°È· ÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ·, ‚ ÂÓfi˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ ÈÛ¯‡Ô˘Ó Î·È 2,5  ‚  4,5. 4·6 ‚ ¶ÔȘ ÙÈ̤˜ ÌÔÚ› Ó· ¿ÚÂÈ ·) Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘; ‚) ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘;

·

Λύση ·) ∏ ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È ¶ = 2· + 2‚. ¶ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙Ô˘Ì ٷ ̤ÏË 4·6 8  2·  12 ÙˆÓ ·ÓÈÛÔÙ‹ÙˆÓ Ì ÙÔ 2, ÔfiÙ ¤¯Ô˘Ì 2,5  ‚  4,5 5  2‚  9 ¶ÚÔÛı¤ÙÔ˘Ì ηٿ ̤ÏË ÙȘ ÙÂÏÂ˘Ù·›Â˜ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ Î·È ¤¯Ô˘Ì 8 + 5  2· + 2‚  12 + 9 ‹ 13  2· + 2‚  21 ‹ 13  ¶  21. ÕÚ· ÔÈ ÙÈ̤˜ Ô˘ ÌÔÚ› Ó· ¿ÚÂÈ Ë ÂÚ›ÌÂÙÚÔ˜ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È ·fi 13 ¤ˆ˜ Î·È 21.



‚) ΔÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È ∂ = ·‚. √È ·ÓÈÛfiÙËÙ˜



6  2,54  ‚·  4,5

¤¯Ô˘Ó ÙËÓ ›‰È· ÊÔÚ¿ Î·È ıÂÙÈο ̤ÏË, ÔfiÙ ÔÏÏ·Ï·ÛÈ¿˙ÔÓÙ·˜ ηٿ ̤ÏË ¤¯Ô˘Ì 4  2,5  ·‚  6  4,5 ‹ 10  ·‚  27 ‹ 10  ∂  27. ÕÚ· ÔÈ ÙÈ̤˜ Ô˘ ÌÔÚ› Ó· ¿ÚÂÈ ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘ Â›Ó·È ·fi 10 ¤ˆ˜ Î·È 27.

3

°È· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ x, y, Ó· ·Ô‰ÂȯÙ› fiÙÈ ÈÛ¯‡ÂÈ x2 + y 2  2xy. ¶fiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ·;

Λύση °È· Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ x2 + y2  2xy, ·ÚΛ Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ì fiÙÈ Ë ‰È·ÊÔÚ¿ ÙÔ˘˜ Â›Ó·È ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚË ‹ ›ÛË ÙÔ˘ ÌˉÂÓfi˜, ‰ËÏ·‰‹ x2 + y2 – 2xy  0 ‹ (x – y)2  0. H ÙÂÏÂ˘Ù·›· Û¯¤ÛË Â›Ó·È ·ÏËı‹˜, ·ÊÔ‡ ÙÔ ÙÂÙÚ¿ÁˆÓÔ Î¿ı ·ÚÈıÌÔ‡ Â›Ó·È ÌË ·ÚÓËÙÈÎfi˜ ·ÚÈıÌfi˜. ∏ ÈÛfiÙËÙ· ÈÛ¯‡ÂÈ fiÙ·Ó (x – y)2 = 0, ÔfiÙ x – y = 0 ‰ËÏ·‰‹ x = y.

114


2.5 AÓÈÛfiÙËÙ˜ – ∞ÓÈÛÒÛÂȘ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ

4

OÈ Ì·ıËÙ¤˜ ÌÈ·˜ Ù¿Í˘ ÚÔÎÂÈ̤ÓÔ˘ Ó· ¿Ó ÌÈ· ÂΉÚÔÌ‹ ˙‹ÙËÛ·Ó ÚÔÛÊÔÚ¿ ·fi ‰‡Ô Ú·ÎÙÔÚ›·. – ΔÔ ÚÒÙÔ Ú·ÎÙÔÚÂ›Ô ˙‹ÙËÛ 15 ¢ÚÒ ÁÈ· οı ̷ıËÙ‹ Î·È ÂÊfiÛÔÓ ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ ‹Ù·Ó ¿Óˆ ·fi 25 ı· ¤Î·ÓÂ Î·È ¤ÎÙˆÛË 10%. – ΔÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ú·ÎÙÔÚÂ›Ô ˙‹ÙËÛ 12 ¢ÚÒ ÁÈ· οı ̷ıËÙ‹ Î·È 45 ¢ÚÒ ÁÈ· Ù· ‰È¿ÊÔÚ· ¤ÍÔ‰· (‰Èfi‰È·, Ó·‡Ï· ÊÂÚÈÌfiÙ Î.Ù.Ï.). ∞Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Ô˘ Û˘ÌÌÂÙ¤¯Ô˘Ó ÛÙËÓ ÂΉÚÔÌ‹ Â›Ó·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔÈ ·fi 25, ÔÈÔ Ú·ÎÙÔÚÂ›Ô ¤Î·Ó ÙËÓ Î·Ï‡ÙÂÚË ÚÔÛÊÔÚ¿;

Λύση ÀÔı¤ÙÔ˘Ì fiÙÈ ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Ô˘ ÙÂÏÈο Û˘ÌÌÂÙ¤¯Ô˘Ó ÛÙËÓ ÂΉÚÔÌ‹ Â›Ó·È x, fiÔ˘ x > 25. 10 3 ™ÙÔ ÚÒÙÔ Ú·ÎÙÔÚÂ›Ô Ú¤ÂÈ Ó· ÏËÚÒÛÔ˘Ó 15x – 15x = 15x – x ¢ÚÒ, 100 2 ÂÓÒ ÛÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ú·ÎÙÔÚÂ›Ô Ú¤ÂÈ Ó· ÏËÚÒÛÔ˘Ó 12x + 45 ¢ÚÒ. °È· Ó· Â›Ó·È Î·Ï‡ÙÂÚË Ë ÚÔÛÊÔÚ¿ ÙÔ˘ ÚÒÙÔ˘ Ú·ÎÙÔÚ›Ԣ, Ú¤ÂÈ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ 3 15x – x < 12x + 45 ‹ 30x – 3x – 24x < 90 ‹ 3x < 90 ‹ x < 30. 2 EÔ̤ӈ˜ ·Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Â›Ó·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔÈ ·fi 25 Î·È ÏÈÁfiÙÂÚÔÈ ·fi 30, ÙfiÙ ÙËÓ Î·Ï‡ÙÂÚË ÚÔÛÊÔÚ¿ ¤Î·Ó ÙÔ ÚÒÙÔ Ú·ÎÙÔÚ›Ô, ÂÓÒ ·Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Â›Ó·È ÂÚÈÛÛfiÙÂÚÔÈ ·fi 30, ÙËÓ Î·Ï‡ÙÂÚË ÚÔÛÊÔÚ¿ ¤Î·Ó ÙÔ ‰Â‡ÙÂÚÔ Ú·ÎÙÔÚ›Ô. ∞Ó ÔÈ Ì·ıËÙ¤˜ Â›Ó·È 30, ÙfiÙ ÔÈ ÚÔÛÊÔÚ¤˜ ÙˆÓ ‰‡Ô Ú·ÎÙÔÚ›ˆÓ Â›Ó·È ›‰È˜.

EΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ 1

¡· ¯·Ú·ÎÙËÚ›ÛÂÙ ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ÚÔÙ¿ÛÂȘ Ì (™), ·Ó Â›Ó·È ÛˆÛÙ¤˜ ‹ Ì (§), ·Ó Â›Ó·È Ï·Óı·Ṳ̂Ó˜. ·) ∞Ó · < 6, ÙfiÙ · – 6 < 0. ‚) ∞Ó · > ‚, ÙfiÙ –· < –‚. Á) ∞Ó · < 0, ÙfiÙ –· > 0. ‰) ∞Ó –3x > –12, ÙfiÙ x > 4. y x Â) ∞Ó > , ÙfiÙ x > y. –4 –4 ÛÙ) ∞Ó x > 0, ÙfiÙ x + 5 > 0. ˙) ∞Ó · > 6 Î·È ‚ > –4, ÙfiÙ · + ‚ > 2. Ë) ∞Ó x > 2 Î·È y > 3, ÙfiÙ xy > 6.

2

¡· Û˘ÌÏËÚÒÛÂÙ ٷ ÎÂÓ¿ Ì’ ¤Ó· ·fi Ù· ۇ̂ÔÏ· >, <,  , , ÒÛÙ ӷ ÚÔ·„Ô˘Ó ·ÏËı›˜ ÚÔÙ¿ÛÂȘ. ·) ∞Ó · > 3, ÙfiÙ · – 3 ... 0 ‚) ∞Ó · < ‚ Î·È ‚ < Á, ÙfiÙ · ... Á

115


M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

Á) ∞Ó · > 0 Î·È ‚ < 0, ÙfiÙÂ

· ... 0 ‚

Â) ∞Ó ·  0, ÙfiÙÂ ·2 ... 0

‰) ∞Ó Á < 0 Î·È ·Á  ‚Á, ÙfiÙ · ... ‚ ÛÙ) ∞Ó ·  0 Î·È ‚  0, ÙfiÙ · + ‚ ... 0

3

¶ÔȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ ¯ÚËÛÈÌÔÔÈÔ‡ÌÂ, ÒÛÙ ·fi ÙËÓ ·Ó›ÛˆÛË 3x – 4 < 7 11 ; Ó· ÁÚ¿„Ô˘Ì 3x < 7 + 4 Î·È ·fi ÙËÓ ·Ó›ÛˆÛË 3x < 11 Ó· ÁÚ¿„Ô˘Ì x < 3

4

ªÂ ÔȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ ·fi ÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· x > 3 ÚÔ·ÙÔ˘Ó ÔÈ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜; ·) x + 4 > 7 ‚) x – 2 > 1 Á) 5x > 15 ‰) –6x < –18

5

AÓ · > 12 Î·È ‚ > 3, ÙfiÙ ÔȘ ·fi ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜ ÚÔ·ÙÔ˘Ó ·fi ÙȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘; · ·) · + ‚ > 15 ‚) · – ‚ > 9 Á) ·‚ > 36 ‰) >4 ‚

6

ŒÓ·˜ Ì·ıËÙ‹˜ ÁÓˆÚ›˙ÂÈ fiÙÈ ÁÈ· Ó· ›ӷÈ

· Á = , ·ÚΛ Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ ·‰ = ‚Á. μ·ÛÈ˙fi‚ ‰ · Á ÌÂÓÔ˜ Û’ ·˘Ùfi ÛΤÊÙËΠfiÙÈ ÁÈ· Ó· ÈÛ¯‡ÂÈ > , ·ÚΛ Ó· ·ԉ›ÍÂÈ fiÙÈ ·‰ > ‚Á. ‚ ‰ ∏ ÛΤ„Ë Ô˘ ¤Î·ÓÂ Â›Ó·È ÛˆÛÙ‹;

ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ 1

AÓ ÈÛ¯‡ÂÈ 3(· – ‚) > 2(· + ‚), ÙfiÙ ӷ ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ · > 5‚.

2

¶ÔȘ ȉÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘ Ú¤ÂÈ Ó· ÂÊ·ÚÌfiÛÔ˘Ì ÛÙËÓ ·ÓÈÛfiÙËÙ· x > –6 ÁÈ· Ó· ·ԉ›ÍÔ˘Ì ÙȘ ·Ú·Î¿Ùˆ ·ÓÈÛfiÙËÙ˜; ·) –5x – 30 < 0

3

Á) 2(x + 4) > –4

AÓ 2 < · < 6, Ó· ‚Ú›Ù ÌÂٷ͇ ÔÈÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ ‚Ú›ÛÎÔÓÙ·È ÔÈ ·ÚÈıÌÔ› ·) · – 2

4

‚) 3x + 18 > 0

‚) 2· – 5

Á) 1 – 3·

AÓ · < ‚, ÙfiÙ ӷ ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ·) 5· – 3 < 5‚ – 3

‚) –2· + 4 > –2‚ + 4

Á) · <

·+‚ 2

‰)

5

AÓ 1 < x < 3 Î·È 2 < y < 5, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) 3 < x + y < 8 ‚) 4 < 2x + y < 11 Á) –4 < x – y < 1

6

AÓ x > 2 Î·È y > 3, ÙfiÙ ӷ ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) xy > 6

7

116

‚) (x – 2)(y – 3) > 0

Á) (x + 2)y > 12

AÓ ·, ‚ ıÂÙÈÎÔ› ·ÚÈıÌÔ› Ì · > ‚, ÙfiÙ ӷ ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ ·2 > ‚2.

·+‚ <‚ 2


2.5 AÓÈÛfiÙËÙ˜ – ∞ÓÈÛÒÛÂȘ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ

8

¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) ∞Ó · > 1, ÙfiÙ ·2 > ·

‚) ∞Ó x > 2, ÙfiÙÂ x3 > 2x2 1 1 < . · ‚

9

AÓ · > ‚ Î·È ·, ‚ ÔÌfiÛËÌÔÈ, ÙfiÙ ӷ ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ

10

AÓ x > 3 Î·È y < 2, ÙfiÙ ӷ ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) (x – 3)(y – 2) < 0 ‚) xy + 6 < 2x + 3y

11

°È· ÔÔÈÔ˘Û‰‹ÔÙ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ x, y, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) x2 + 1  2x ‚) (x + y)2  4xy Á) x2 + y2 + 1  2y ™Â οı ÂÚ›ÙˆÛË Ó· ‚Ú›Ù fiÙ ÈÛ¯‡ÂÈ Ë ÈÛfiÙËÙ·.

12

¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) ∞Ó x > 0, ÙfiÙ x + 1  2 x

13

¡· ‚Ú›Ù ÙÔ Ê˘ÛÈÎfi ·ÚÈıÌfi Ô˘ Â›Ó·È ÌÂٷ͇ ÙˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ 114 Î·È 135 Î·È Ô ÔÔ›Ô˜, fiÙ·Ó ‰È·ÈÚÂı› Ì ÙÔ 15, ‰›ÓÂÈ ˘fiÏÔÈÔ 6.

14

∏ ÙÈÌ‹ ÂÓfi˜ ·ÓÙÂÏÔÓÈÔ‡ Î˘Ì·›ÓÂÙ·È ·fi 30 ¤ˆ˜ 35 C Î·È ÌÈ·˜ ÌÏÔ‡˙·˜ ·fi 22 ¤ˆ˜ 25 C. ∞Ó Î¿ÔÈÔ˜ ı¤ÏÂÈ Ó’ ·ÁÔÚ¿ÛÂÈ 2 ·ÓÙÂÏfiÓÈ· Î·È 3 ÌÏÔ‡˙˜, ÙfiÙ ÌÂٷ͇ ÔÈˆÓ ÔÛÒÓ ı· Î˘Ì·›ÓÔÓÙ·È Ù· ¯Ú‹Ì·Ù· Ô˘ Ú¤ÂÈ Ó· ÏËÚÒÛÂÈ;

15

ª’ ¤Ó· Ô‡ÏÌ·Ó Ù·ÍÈ‰Â‡Ô˘Ó 51 ¿ÙÔÌ· (Ô Ô‰ËÁfi˜ Î·È 50 ÂÈ‚¿Ù˜). ∞Ó ÙÔ ‚¿ÚÔ˜ οı ·ÙfiÌÔ˘ Î˘Ì·›ÓÂÙ·È ÌÂٷ͇ 60 kg Î·È 100 kg, ÔÈ ·ÔÛ΢¤˜ οı ÂÈ‚¿ÙË ˙˘Á›˙Ô˘Ó ·fi 4 kg ¤ˆ˜ Î·È 15 kg Î·È ÙÔ Ô‡ÏÌ·Ó ¤¯ÂÈ ·fi‚·ÚÔ 13,25 t, ÙfiÙ ӷ ÂÎÙÈÌ‹ÛÂÙ ÙÔ Û˘ÓÔÏÈÎfi ‚¿ÚÔ˜ ÙÔ˘ Ô‡ÏÌ·Ó. ∂›Ó·È ‰˘Ó·ÙfiÓ ÙÔ Ô‡ÏÌ·Ó Ó· ‰È·Û¯›ÛÂÈ ÌÈ· Á¤Ê˘Ú· Â·Ú¯È·ÎÔ‡ ‰ÚfiÌÔ˘ Ô˘ ÙÔ ·ÓÒÙ·ÙÔ ÂÈÙÚÂfiÌÂÓÔ ‚¿ÚÔ˜ ‰È¤Ï¢Û˘ Â›Ó·È 20 t;

16

¡· χÛÂÙ ÙȘ ·ÓÈÛÒÛÂȘ: ·) 11 – 3x < 7x + 1 3 – 4x 3x 6–x ‰) – > 5 10 2

17

18

‚) ∞Ó x < 0, ÙfiÙÂ x + 1  –2 x

‚) 2x – 9 > 5x + 6 2x + 1 3 – 2x Â) –x< 6 3

¡· ‚Ú›Ù ÙȘ ÎÔÈÓ¤˜ χÛÂȘ ÙˆÓ ·ÓÈÛÒÛˆÓ: 7x – 1 < 8 + 6x 4x + 3 < 9 + 5x ·) ‚) 3x – 2 > x – 10 1 – x < 2x + 7





¡· ‚Ú›Ù ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ ·ÚÈıÌfi x, ÒÛÙÂ

Á)

Á) 4(3x – 5) > 3(4x + 5) 1 2 x+4 ÛÙ) 1 – x+ < 2 3 6

(



x 31 < x+1 40

2x + 5 <

)

x +2 2

x–1 1 +1>x+ 2 3

ηÈ

x+1 31 > x+2 40

117


M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

°∂¡π∫∂™ ∞™∫∏™∂π™ 2Ô˘ ∫∂º∞§∞π√À 1

AÓ ·  ‚, Ó· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ: ·) (x + ·)2 – (x + ‚)2 = ‚2 – ·2

‚)

x+· x+‚ · – = – 1. ‚ · ‚ ¢ 3y – 2

2

°

™ÙÔ ‰ÈÏ·Ófi Û¯‹Ì· Ù· ÙÚ›ÁˆÓ· ∞μ° Î·È μ°¢ Â›Ó·È ÔÚıÔÁÒÓÈ·. ¡· ‚Ú›Ù ÙȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ x, y.

x+2

x+1

x

+ 2y

2

μ

3

To ÁÈÓfiÌÂÓÔ ‰‡Ô ıÂÙÈÎÒÓ ‰È·‰Ô¯ÈÎÒÓ ·ÎÂÚ·›ˆÓ ·ÚÈıÌÒÓ, ·Ó ‰È·ÈÚÂı› Ì ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ¿ ÙÔ˘˜, ‰›ÓÂÈ ËÏ›ÎÔ 7 Î·È ˘fiÏÔÈÔ 23. ¡· ‚Ú›Ù ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜.

4

¡· χÛÂÙ ÙȘ ÂÍÈÛÒÛÂȘ, ÁÈ· ÙȘ ‰È¿ÊÔÚ˜ ÙÈ̤˜ ÙÔ˘ ·  0. x 2x 3· 1 6x 2·2 + = 2 + 2 = 2 ·) ‚) 2 2 x–· x+· x – ·x x + ·x x – ·2 x –·

5

∞Ó ÌÈ· χÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 + (Ï – 5)x + Ï = 0 Â›Ó·È Ô ·ÚÈıÌfi˜ 1, Ó· ‚Ú›Ù ÙËÓ ¿ÏÏË Ï‡ÛË.

6

¢›ÓÂÙ·È ÙÔ ÔÏ˘ÒÓ˘ÌÔ ƒ(x) = x3 + 3x2 – 13x – 15. N· χÛÂÙ ÙËÓ Â͛ۈÛË P(x) = 0, ·Ó Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ ÙÔ x – 3 Â›Ó·È ·Ú¿ÁÔÓÙ·˜ ÙÔ˘ ÔÏ˘ˆÓ‡ÌÔ˘ ƒ(x).

7

N· ‚Ú›Ù ‰‡Ô ‰È·‰Ô¯ÈÎÔ‡˜ ·Î¤Ú·ÈÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜, Ù¤ÙÔÈÔ˘˜ ÒÛÙ ÙÔ ¿ıÚÔÈÛÌ· ÙˆÓ ·ÓÙÈÛÙÚfiÊˆÓ ÙÔ˘˜ ·˘ÍË̤ÓÔ Î·Ù¿ ÙÔÓ ·ÓÙ›ÛÙÚÔÊÔ ÙÔ˘ ÁÈÓÔ̤ÓÔ˘ ÙÔ˘˜ Ó· Â›Ó·È ›ÛÔ Ì 1.

8

N· ‚Ú›Ù ÙȘ ‰È·ÛÙ¿ÛÂȘ ÂÓfi˜ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ Û¯‹Ì·ÙÔ˜ ÔÚıÔÁˆÓ›Ô˘, ·Ó Â›Ó·È ÁÓˆÛÙfi fiÙÈ ÔÈ Ï¢ڤ˜ ÙÔ˘ ‰È·Ê¤ÚÔ˘Ó Î·Ù¿ 2 m Î·È ÙÔ ÂÌ‚·‰fiÓ ÙÔ˘ ÔÈÎÔ¤‰Ô˘ Â›Ó·È 399 m2. °

9

3

¢›ÓÂÙ·È ÔÚıÔÁÒÓÈÔ ÙÚ›ÁˆÓÔ ∞μ° ( A = 90Æ) Î·È ÙÔ ‡„Ô˜ ÙÔ˘ ∞¢. ∞Ó Â›Ó·È ∞¢ = x, μ¢ = 2x + 9 Î·È °¢ = 3, Ó· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔÓ ·ÚÈıÌfi x.

¢

x

2x + 9

μ

10

N· Û˘ÁÎÚ›ÓÂÙ ÙÔ˘˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ (1 + ·)(1 + ‚) Î·È 1 + · + ‚.

11

·) ¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ (· – ‚)2 + (‚ – Á)2 + (Á – ·)2 = 2(·2 + ‚2 + Á2 – ·‚ – ‚Á – Á·). ‚) ∞Ó ÁÈ· ÙÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·, ‚, Á ÈÛ¯‡ÂÈ ·2 + ‚2 + Á2 = ·‚ + ‚Á + Á·, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ · = ‚ = Á.

118


2.5 AÓÈÛfiÙËÙ˜ – ∞ÓÈÛÒÛÂȘ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ

4 1 2 – > ÁÈ· οı ıÂÙÈÎfi ·Î¤Ú·ÈÔ Ó. Ó(Ó + 2) (Ó + 1)(Ó + 2) Ó(Ó + 1)

12

¡· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ

13

∞Ó ·, ‚, Á Â›Ó·È Ù· Ì‹ÎË ÙˆÓ Ï¢ÚÒÓ ÙÚÈÁÒÓÔ˘, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ: ·) ·2 + ‚2 > Á2 – 2·‚ ‚) ·2 + ‚2 < Á2 + 2·‚ Á) ·2 + ‚2 + Á2 < 2·‚ + 2‚Á + 2·Á

14

¡· ‰È·Ù¿ÍÂÙ ÙÔ˘˜ ıÂÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·, ‚, Á ·fi ÙÔ ÌÈÎÚfiÙÂÚÔ ÚÔ˜ ÙÔ ÌÂÁ·Ï‡ÙÂÚÔ, ·Ó ÈÛ¯‡ÂÈ 2007· = 2008‚ = 2009Á.

15

∞Ó · > 4, Ó· ·ԉ›ÍÂÙ fiÙÈ Ë Â͛ۈÛË (· + 1)x2 – (3· – 2)x + · + 1 = 0 ¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ ¿ÓÈÛ˜.

16

¡· ˘ÔÏÔÁ›ÛÂÙ ÙÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·, ‚, Á Ô˘ ÈηÓÔÔÈÔ‡Ó ÙË Û¯¤ÛË ·2 + ‚2 + Á2 – 2· – 4‚ – 6Á + 14 = 0. (¢È·ÁˆÓÈÛÌfi˜ ∂.ª.∂. 1995).

17

¡· ÚÔÛ‰ÈÔÚ›ÛÂÙ ÙËÓ ÂÏ¿¯ÈÛÙË ÙÈÌ‹ Ù˘ ·Ú¿ÛÙ·Û˘ ∞ = ·2 – 10·‚ + 27‚2 – 8‚ + 8. °È· ÔȘ ÙÈ̤˜ ÙˆÓ ·, ‚ Ë ·Ú¿ÛÙ·ÛË ∞ Á›ÓÂÙ·È ÂÏ¿¯ÈÛÙË; (¢È·ÁˆÓÈÛÌfi˜ ∂.ª.∂. 2001).

18

– √ ηıËÁËÙ‹˜: x – 19 x – 17 x – 15 x – 13 + + + = 4. ¡· χÛÂÙ ÙËÓ Â͛ۈÛË 2001 2003 2005 2007 – O Ì·ıËÙ‹˜: ∫‡ÚÈÂ, ·˘Ù‹ Ë Â͛ۈÛË Ô‡Ù ̤¯ÚÈ ÙÔ 2020 ‰Â χÓÂÙ·È. ∂Û›˜ ÌÔÚ›Ù ӷ ÙË Ï‡ÛÂÙÂ; Àfi‰ÂÈÍË: ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÙ fiÙÈ

19

N· χÛÂÙ ÙÔ ÛÙ·˘ÚfiÏÂÍÔ

➊ ➋

➋ ➌ ➍

➏ ➐

x – 19 x – 2020 + 2001 x – 2020 = + 1, Î.Ù.Ï. 2001 = 2001 2001

√ƒπ∑√¡Δπ∞ 2 ➍ ➏ 1. ∂›Ó·È Ë Â͛ۈÛË ·x + ‚x + Á = 0 Ì ·  0.. 2. √Ú›˙ÂÙ·È ÌÂٷ͇ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. 3. ∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ Â·ÏËı‡ÂÙ·È ÁÈ· οı ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘. 4. √ ·ÚÈıÌfi˜ 2 Â›Ó·È ................. Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x2 – 5x + 6 = 0. ➎ 5. ∂›Ó·È Ë Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ (x – 1)2 = 0. 6. H Â›Ï˘ÛË ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡ Á›ÓÂÙ·È Î·È Ì .......................... ÙÂÙÚ·ÁÒÓÔ˘. 7. ∏ Â͛ۈÛË ·˘Ù‹ ÂÚȤ¯ÂÈ ÎÏ¿ÛÌ· Ì ¿ÁÓˆÛÙÔ ÛÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹.

∫∞£∂Δ∞ 1. ΔÔ ÚfiÛËÌfi Ù˘ ηıÔÚ›˙ÂÈ ÙÔ Ï‹ıÔ˜ ÙˆÓ Ï‡ÛÂˆÓ ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ 2Ô˘ ‚·ıÌÔ‡. 2. ∏ Â͛ۈÛË ·x2 + ‚x + Á = 0, ·  0 Ì ‚2 – 4·Á > 0 ¤¯ÂÈ .................... χÛÂȘ. 3. π‰ÈfiÙËÙ· Ô˘ ÈÛ¯‡ÂÈ Î·È ÛÙË ‰È¿Ù·ÍË Ú·ÁÌ·ÙÈÎÒÓ ·ÚÈıÌÒÓ. 4. ∏ Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0 Ì ·  0 ¤¯ÂÈ .................... χÛË. 5. §¤ÁÂÙ·È Î·È Ú›˙· ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘. 6. ∂›Ó·È Ë Â͛ۈÛË 0x = 7. 119


M¤ÚÔ˜ ∞ - ∫ÂÊ¿Ï·ÈÔ 2Ô

E¶∞¡∞§∏æ∏ – ∞¡∞∫∂º∞§∞πø™∏ 2o˘ K∂º∞§∞π√À 1 . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ñ ∏ ÁÂÓÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ ÚÒÙÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ Â›Ó·È ·x + ‚ = 0 Ì ·  0, .¯. 3x + 18 = 0 ñ §‡ÛË ‹ Ú›˙· ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ Â›Ó·È Ë ÙÈÌ‹ ÙÔ˘ ·ÁÓÒÛÙÔ˘ Ô˘ ÙËÓ Â·ÏËı‡ÂÈ. ¶.¯. Ô ·ÚÈıÌfi˜ x = –6 Â›Ó·È Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ 3x + 18 = 0, ·ÊÔ‡ 3  (–6) + 18 = 0. ñ ∏ Â͛ۈÛË ·x + ‚ = 0 ™˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· ·fi ÙË Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ·x + ‚ = 0 ¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù· ‚ 3 4χ + 3 = 0 ή 4χ = –3 ή χ = – ⎯ ¤¯ÂÈ ÌÔÓ·‰È΋ χÛË ÙËÓ x = – ⎯ ·0 · 4 ·=0

‚0 ‚=0

‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË) ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË Î¿ı ·ÚÈıÌfi (Ù·˘ÙfiÙËÙ·)

0x = 2 (αδύνατη) 0χ = 0 (ταυτότητα)

2 . ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ – ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ñ ∏ ÁÂÓÈ΋ ÌÔÚÊ‹ ÌÈ·˜ Â͛ۈÛ˘ ‰Â˘Ù¤ÚÔ˘ ‚·ıÌÔ‡ Ì ¤Ó·Ó ¿ÁÓˆÛÙÔ Â›Ó·È ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì ·  0, .¯. 2x 2 – 5χ + 3 = 0 με α = 2, β = –5 και γ = 3 ñ ∏ Â͛ۈÛË x 2 = · ™˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· ·fi ÙË Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ x 2 = ·

¶·Ú·‰Â›ÁÌ·Ù·

·>0

¤¯ÂÈ ‰‡Ô χÛÂȘ ÙȘ x =  · Î·È x = – ·

x2 = 2 άρα x =  2 ή x = – 2

·<0

‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË)

x2 = –4 (αδύνατη)

·=0

¤¯ÂÈ Ì›· χÛË ÙË x = 0 (‰ÈÏ‹)

x2 = 0 άρα x = 0 (διπλή λύση)

¢È·ÎÚ›ÓÔ˘Û· ¢ = ‚ 2 – 4·Á

ñ ∏ Â͛ۈÛË ·x 2 + ‚x + Á = 0 Ì ·  0

¢>0 ¢=0 ¢<0

™˘ÌÂÚ¿ÛÌ·Ù· ·fi ÙË Ï‡ÛË Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ·x 2 + ‚x + Á = 0 Ì ·  0 –‚+ ¢ –‚ – ¢ ¤¯ÂÈ ‰‡Ô ¿ÓÈÛ˜ χÛÂȘ, ÙȘ x = ⎯ Î·È x = ⎯ 2· 2· ‚ ¤¯ÂÈ Ì›· ‰ÈÏ‹ χÛË, ÙËÓ x = – ⎯ 2· ‰ÂÓ ¤¯ÂÈ Ï‡ÛË (·‰‡Ó·ÙË)

ñ ¶·Ú·ÁÔÓÙÔÔ›ËÛË ÙÚȈӇÌÔ˘: ∞Ó Ú1, Ú2 Â›Ó·È ÔÈ Ú›˙˜ Ù˘ Â͛ۈÛ˘ ·x2 + ‚x + Á = 0 Ì ·  0, ÙfiÙ ·x2 + ‚x + Á = ·(x – Ú1)(x – Ú2)

3 . ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ñ ∫Ï·ÛÌ·ÙÈ΋ Â͛ۈÛË ÔÓÔÌ¿˙ÂÙ·È Ë Â͛ۈÛË Ô˘ ÂÚȤ¯ÂÈ ¤Ó· ÙÔ˘Ï¿¯ÈÛÙÔÓ ÎÏ¿ÛÌ· Ì ¿ÁÓˆÛÙÔ ÛÙÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹. ñ ŒÓ·˜ ·ÚÈıÌfi˜ Ô˘ ÌˉÂÓ›˙ÂÈ Î¿ÔÈÔÓ ·ÚÔÓÔÌ·ÛÙ‹ ÌÈ·˜ ÎÏ·ÛÌ·ÙÈ΋˜ Â͛ۈÛ˘ ‰ÂÓ ÌÔÚ› Ó· Â›Ó·È Ï‡ÛË (‹ Ú›˙·) Ù˘.

4 . ΑNIΣΟΤΗΤΕΣ – ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ √ÚÈÛÌfi˜ ‰È¿Ù·Í˘:

∞Ó ∞Ó ∞Ó π‰ÈfiÙËÙ˜ Ù˘ ‰È¿Ù·Í˘

· – ‚ > 0, ÙfiÙÂ · > · – ‚ < 0, ÙfiÙÂ · < · – ‚ = 0, ÙfiÙÂ · = ñ AÓ · > ‚, ÙfiÙÂ

‚ ‚ ‚ ·+Á>‚+Á

ηÈ

ñ AÓ · > ‚ Î·È Á > 0, ÙfiÙ ·Á > ‚Á Î·È ñ AÓ · > ‚ Î·È Á < 0, ÙfiÙ ·Á < ‚Á ηÈ

·–Á>‚–Á · ‚ ⎯ >⎯ Á Á · ‚ ⎯ <⎯ Á Á

ñ AÓ · > ‚ Î·È Á > ‰, ÙfiÙ · + Á > ‚ + ‰ ñ AÓ · > ‚ Î·È ‚ > Á, ÙfiÙ · > Á

(ªÂÙ·‚·ÙÈ΋ ȉÈfiÙËÙ·)

ñ AÓ · > ‚ > 0 Î·È Á > ‰ > 0, ÙfiÙ ·Á > ‚‰ ¶·Ú·ÙËÚ‹ÛÂȘ:

120

ñ °È· οı Ú·ÁÌ·ÙÈÎfi ·ÚÈıÌfi · ÈÛ¯‡ÂÈ ·2  0. ñ ∞Ó ÁÈ· ÙÔ˘˜ Ú·ÁÌ·ÙÈÎÔ‡˜ ·ÚÈıÌÔ‡˜ ·, ‚ ÈÛ¯‡ÂÈ ·2 + ‚2 = 0, ÙfiÙ · = ‚ = 0. ñ ¢ÂÓ ÂÈÙÚ¤ÂÙ·È Ó· ·Ê·ÈÚԇ̠‹ Ó· ‰È·ÈÚԇ̠·ÓÈÛfiÙËÙ˜ ηٿ ̤ÏË.

Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ  
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