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INICIACION AL CALCULO LIMITE DE UNA FUNCION EN UN PUNTO Cuando se inicia un trabajo de cálculo, es importante aclarar ,que históricamente a partir del siglo xviii y con los trabajos de Newton en Inglaterra y Leibniz en Alemania se dio inicio al cálculo infinitesimal, el trabajo sobre infinitésimos que por analogía lo podríamos entender como la aproximación del dedo índice sobre el dedo gordo o pulgar (hacer el ejercicio), todo lo que más podamos, sin que idealmente nunca se tocan pero sabemos que en la realidad esto no se cumple, también podríamos hacer analogía cuando nos acercamos en la recta real a un número cualquiera a través de puntos cercanos a a en la recta, idealmente nunca se tocan pero en la realidad la punta del lápiz llegara a sobrepasarla. La mejor interpretación de estos infinitésimos es escribir números x cercanos a a ,digamos a=2 pueden ser x=2.01,x=2,001,x= 2,0001, x= 2,00001, x=2,000001,x=2,0000001….no necesitamos seguir aproximándonos porque entenderemos claramente que siguiendo esta sucesión nunca llegaremos a dos. Lo mismo podemos hacer con números más pequeños que a=2 ……x=1,9, x= 1,99,x= 1,999, x= 1,9999 x=1,99999 ,x=1,999999,x=1,9999999,……. entendemos que en esta sucesión de número nunca llegaremos a 2 pero estamos tan cerca que en un momento aceptamos la aproximación como dos. Observación (no reemplazamos x por dos, si no que el valor es tan aproximado que admitimos que después de una sucesión de números tan próximos a dos, x toma el valor de dos). Es importante recordar el concepto de intervalo abierto notado (a, b)={xR/a x  bt} donde a y b no pertenecen al intervalo abierto

Hablaremos de entorno o de intervalo abierto de centro en a y radio r notado

Volviendo al concepto de infinitesimal cuando hablemos de un entorno de centro en a y radio r estamos pensando en todos los elementos x tal que | x-a|<r , lo


que es lo mismo -r<x-a<r donde r tiene medida lo más pequeña posible es decir r tiende a cero r→0 Vamos a presentar la idea de límite como un concepto puntual, es decir una operación aplicada a una función en un punto. Iniciaremos la clase con la idea intuitiva de límite.

Ejemplo 1: Consideramos la función definida por f(x)=x  1 con dominio en representación gráfica es la siguiente

. La

Tomemos valores de x muy proximos a=2 y la función se aproximará al valor de 3 veámoslos en forma gráfica


Tomamos un radio =1 y proyectamos sobre el eje x y vemos el radio  <1 y formamos un intervalo de radio la menor proyección que está a la derecha de 2 más adelante probaremos que <1 Veamos esto mismo utilizando una tabla de valores donde continuamos con la misma idea, nos interesa observar el comportamiento de la función para valores de cercanos a 2 pero no iguales a 2. Tabla (Valores de x menores que 2, pero muy próximos a 2).

Tabla (Valores de x mayores que ,2 pero muy próximos)

Puede observarse de ambas tablas que conforme x se aproxima más a 2, f(x) toma, cada vez, valores más próximos a 3, lo notaremos Si x→2

f(x)→3


En otras palabras, al restringir el dominio de la funciĂłn a valores cada vez "mĂĄs cercanos a 2", el conjunto de imĂĄgenes o sea, los valores que toma la funciĂłn, se "acercan cada vez mĂĄs a tres". En este caso se dice que cuando f(x) tiende a 3,. f(x)â&#x2020;&#x2019;3

tiende a 2, que se simboliza

, entonces

Esto puede escribirse utilizando la notaciĂłn de lĂ­mites lim â&#x2020;&#x2019;   3 que se lee: â&#x20AC;&#x153;el lĂ­mite de f(x) cuando x tiende a 2, es igual a 3â&#x20AC;?.

Ejemplo2.

Se puede observar que f(x) se aproxima a cuatro siempre que x se aproxima a dos esto lo notamos como lim  2  4

â&#x2020;&#x2019;

Lo otro que podemos observar es que para el radio â&#x2C6;&#x2C6;=1 tenemos el radio δ=1 y tambiĂŠn podemos introducir los siguientes elementos en el eje y |f(x)-4|<â&#x2C6;&#x2C6; que es lo mismo -â&#x2C6;&#x2C6;<f(x)-4<â&#x2C6;&#x2C6; o tambiĂŠn 4-â&#x2C6;&#x2C6;<f(x)< â&#x2C6;&#x2C6;+4


Y en el eje x tenemos 0<|x-2|<  que es lo mismo â&#x20AC;&#x201C;  <x-2<  o tambiĂŠn â&#x20AC;&#x201C;   2 <x< +2

Ejemplo 3

Se puede observar que f(x) se aproxima a cinco siempre que x se aproxima a dos esto lo notamos como lim2  1  5



'

Lo otro que podemos observar es que para el radio â&#x2C6;&#x2C6;=1 tenemos el radio δ= y 

tambiĂŠn podemos introducir los siguientes elementos en el eje y |f(x)-5|<â&#x2C6;&#x2C6; que es lo mismo -â&#x2C6;&#x2C6;<fx-5<â&#x2C6;&#x2C6; o tambiĂŠn 5-â&#x2C6;&#x2C6;<fx< â&#x2C6;&#x2C6;5 Y en el eje x tenemos 0<|x-2|<  que es lo mismo â&#x20AC;&#x201C;  <x-2<  o tambiĂŠn donde â&#x20AC;&#x201C;   2 <x< +2

() *'

Ejemplo 4 f(x)= (+'

Este ejemplo nos permitirĂĄ entender, que puede existir el lĂ­mite en un punto sin que la funciĂłn este definida en dicho punto en este caso a=-1


Vemos en la grĂĄfica que -1 no tiene imagen, sin embargo cuando xâ&#x2020;&#x2019;-1 F(x)â&#x2020;&#x2019;-2 es decir x  1  2

â&#x2020;&#x2019;*' x  1 lim

Ejemplo 5 Estudiemos la funciĂłn lĂ­mite en a=2

y revisemos el

Vemos que la imagen de 2 es cero f(2)=0 ÂżQue pasa cuando nos aproximamos a 2? Haga un recorrido con su lĂĄpiz aproximĂĄndolo a 2. SegĂşn por donde haga el recorrido puede observar que la funciĂłn se aproxima a 3 Se nota si x â&#x2020;&#x2019;2

fx) â&#x2020;&#x2019;3

diremos que la funciĂłn tiene lĂ­mite lim ()  3

â&#x2020;&#x2019;


Donde muy claramente f(2)â&#x2030; 3 De este ejemplo podemos conjeturar que al calcular el lĂ­mite de una funciĂłn no necesariamente el resultado es la imagen del punto Ejemplo 6

Estudiemos la funciĂłn

Observamos que cuando nos aproximamos por la derecha a 2 lo notamos xâ&#x2020;&#x2019;2, la funciĂłn se aproxima a cero lo notamos f(x)0 y si nos aproximamos por la izquierda a 2 lo notamos xâ&#x2020;&#x2019;2 la funciĂłn se aproxima a tres lo notamos F(x)â&#x2020;&#x2019;3. Resumiendo dirĂ­amos cuando xâ&#x2020;&#x2019;2

f(x)â&#x2020;&#x2019;0

xâ&#x2020;&#x2019;2

f(x)â&#x2020;&#x2019;3

Por lo anterior dirĂ­amos que la funciĂłn no tiene lĂ­mite en a=2 lim ( 89 :;<=:

â&#x2020;&#x2019;


Veamos el problema del límite en una forma más general Sea f una función definida para valores reales en los alrededores de un número b, aunque no necesariamente en b mismo, como se representa gráficamente a continuación:

Se observa que cuando lo que se escribe como:

x→b

entonces f(x) →L

Recordemos que al calcular no importa que la función f, esté o no definida en b;; lo que interesa es que f esté definida en las proximidades de b. Consideremos la siguiente representación gráfica de una función f cualquiera para la que : f(b)=p


Observe que aunque f(b) ≠ L, para valores de x próximos a b se tiene que f(x)→L, por lo que puede escribirse siempre

Observe ahora la siguiente representación gráfica de una función f.

En este caso, cuando x tiende a b por la derecha, que se escribe tiende a , pero cuando x tiende a b por la izquierda, (denotado valores de f(x) tienden a T.

, la función ) los

Así, la función f no tiende a un mismo valor cuando , x→b porr lo que se dice que el límite no existe


lim  89 :;<=:

â&#x2020;&#x2019;?

Veamos la formalizaciĂłn de la idea intuitiva de lĂ­mite vista en los ejemplos anteriores En el ejemplo 1 se analizĂł el comportamiento de la funciĂłn f con ecuaciĂłn f(x)= x 2 -1 en las proximidades de 2. Expresamos como lim â&#x2020;&#x2019;   3 Lo que hicimos en los ejemplos anteriores; acercamos los valores de la funciĂłn tanto como quisimos a 3, y para ello era suficiente acercar adecuadamente x al valor 2, donde nos aprovechamos de que xâ&#x2030; 2 . De otra forma, puede decirse que | f(x)-3 |es tan pequeĂąo como se quiera, siempre que |x-2| sea suficientemente pequeĂąo, aunque no igual a cero. Utilizaremos las letras griegas Îľ (epsilon) y δ (delta) para escribir en forma mĂĄs precisa lo anterior. Îľ (epsilon) y δ (delta) son nĂşmeros reales positivos que indican quĂŠ tan pequeĂąo queremos hacer el valor absoluto de la diferencia entre f(x) y 3, y el valor absoluto de la diferencia entre x y 2 respectivamente. Se dice entonces que | f(x)-3 | serĂĄ menor que Îľ, siempre que | x-2| sea menor que δ y |x-2|â&#x2030; 0. Luego, si para podo Îľ>0 puede encontrarse un δ>0 tal que |f(x)-3| Îľ siempre que 0 |x-2|  δ entonces se dice que


Observe que se establece la condición 0 |x-2| , ya que únicamente nos interesa saber como es f(x) para valores de x muy cercanos a 2, no en 2 mismo, en cuyo caso |x-2| sería igual a cero. Gráficamente tenemos:

Se tiene que, en el eje , los valores f(x) están entre 3-ε y 3-ε , siempre que los valores de x,, en el eje de , se localicen entre 2-δ,y 2+ δ o sea. |f(x)--3| ε siempre que 0< | x-2|< δ En general, el valor de ε es escogido arbitrariamente, pero la elección δ depende de la elección previa de ε. No se requiere que exista un número δ "apropiado" para todo ε,, si no que, para cada ε existe un δ específico que dependa de ε Entre ,más pequeño sea el valor que se escoja de ε,, más pequeño será el valor del correspondiente δ. Luego, para el ejemplo 1, diremos d que ,

pues para cada ε>0 , existe δ>0, tal que |f(x)-3|< ε , siempre que . 0< | x-2|< δ En general, para una función f cualquiera, el


significa que "la diferencia entre f(x) y puede hacerse tan pequeĂąa como se desee, haciendo simplemente que x estĂŠ suficientemente prĂłximo a b, xâ&#x2030; b. Ya estamos listo para la definiciĂłn de lĂ­mite

lim â&#x2020;&#x2019;C   D ( se lee la funciĂłn f tiende hacia el limite L cuando x tiende a a) DefiniciĂłn: La funciĂłn f tiende hacia el limite L cuando x tiende a a significa: para todo Îľ>0 existe algĂşn δ>0 tal que para todo x, si 0< | x-a|< δ, entonces |f(x)-L|< Îľ Otra manera de dar la definiciĂłn y que se encuentra en libros de matemĂĄticas lim(â&#x2020;&#x2019;H f(x)  L â&#x2021;&#x201D; para todo Îľ>0 existe δ>0 tal que |f(x)-L|< Îľ siempre que 0< | x-a|< δ No nos debemos sorprender , la hipĂłtesis sigue siendo 0< | x-a|< δ y la tesis |f(x)-L|< Îľ veamos como se aplica estĂĄ definiciĂłn: recordemos el ejemplo 2 lim( + 2)  4

â&#x2020;&#x2019;

Cuando realizamos su gråfica y desarrollamos la idea intuitiva de límite nos encontramos que para un ξ1 unidad encontrabamos un δ1 esto nos daba una conjetura δ ξ veamoslo formalmente Problema: Demostrar que lim( + 2)  4

â&#x2020;&#x2019;

Demostración Utilizando la definición podemos decir , que, esto se da si y solo Para todo ξ >0 existe δ>0 tal que , |f(x)-L|< ξ reemplazando (|x+2-4|< ξ) siempre que 0<|x-a|< δ reeplazando (0<|x-2|< δ).


Partamos de , |f(x)-L|= |(x+2)-4|=|x-2| Por hipótesis |x-2|< δ, entonces claramente podemos hacer δ= ξ Esto nos indica que dado cualquier valor muy peqeùo de ξ este mismo valor lo tomarå δ.

Recordemos el ejemplo 3 lim(2  1  5

â&#x2020;&#x2019;

En el estudio intuitivo vimos que para ξ =1 unidad δ1/2 La conjetura en ese momento fue que δ1/2 ξ Es decir que si escojemos cualquier ξ >0 pequeùo ya sabiamos el valor de δ Demostremolo formalmente: Demostar que lim(2  1  5

â&#x2020;&#x2019;

Por definiciĂłn de lĂ­mite lim(â&#x2020;&#x2019; 2x  1  5 â&#x2021;&#x201D; para todo Îľ>0 existe δ>0 tal que |(2x+1)-5|< Îľ siempre que 0< | x-2|< δ Partamos de |(2x+1)-5|=|2x-4|=|2(x-2)|=2|x-2| operaciones conocidas| Por hipĂłtesis |x-2|< δ y tenemos |(2x+1)-5|=|2x-4|=|2(x-2)|=2|x-2| Por lo tanto 2|x-2|<2 δ es decir |(2x+1)-5|=|2x-4|=|2(x-2)|=2|x-2|<2 δ de aquĂ­ podemos deducir que 2 δ Îľ

luego δ= ξ/2

Es decir que nuestra conjetura es vålida donde cada que escoja un ξ ya sabemos que δ= ξ/2 es decir la mitad ( ver gråfico ejemplo 3)



Apuntes de Clase