Page 1

‫للعام الدراسي‬

‫طبعة جديدة‬ ‫ومنقحة‬

‫‪2017‬‬

‫أعداد األسـتاذ‬

‫‪ ‬شرح مفصل لجميع أمثلة وتمارين الفصل السادس ‪.‬‬ ‫‪ ‬حلول التمارين العامة وجميع األسئلة الوزارية للفصل السادس ‪.‬‬ ‫‪ ‬أسئلة أضافية محلولة ‪.‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل السادس‬ ‫الهندسة الفضائٌة‪SPACE GEOMETRY/‬‬ ‫مراجعة‪:‬‬ ‫‪ -1‬لكل مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحتوٌهما‪.‬‬ ‫‪ -2‬لكل مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحتوٌهما‪.‬‬ ‫‪ -3‬عبارة التوازي (إذا علم مستقٌم ونقطة ال تنتمً إلٌه فٌوجد مستقٌم وحٌد ٌمر من تلك النقطة وٌوازي‬ ‫المستقٌم المعلوم)‪.‬‬ ‫‪ -4‬فً المستوى الواحد المستقٌم العمودي على أحد مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر‪.‬‬ ‫‪ -5‬المستقٌم العمودي على أحد مستوٌٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر‪.‬‬ ‫‪ -6‬فً المستوى الواحد ٌمكن رسم مستقٌم واحد فقط عمودي على مستقٌم معلوم من نقطة معلومة ( تنتمً‬ ‫للمستقٌم أو ال تنتمً إلٌه)‪.‬‬ ‫‪ -7‬إذا توازى مستقٌمان فالمستوي الذي ٌحوي احدهما ونقطة من اآلخر فأنه ٌحتوٌهما‪.‬‬ ‫‪ -8‬المستوى العمودي على أحد مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر‪.‬‬ ‫‪ -9‬فً المستوى الواحد المستقٌمان العمودٌان على مستقٌم واحد متوازٌان‪.‬‬ ‫‪ - 10‬إذا توازى مستقٌمان فالمستوي الذي ٌحوي احدهما ٌوازي اآلخر‪.‬‬ ‫‪ - 11‬المستقٌم العمودي على مستقٌمٌن متقاطعٌن من نقطة تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على مستوٌهما‪.‬‬ ‫‪ - 12‬المستقٌم العمودي على مست ٍو ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المرسومة من أثره ضمن المستوي‪.‬‬ ‫‪ - 13‬إذا كان كل من مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوازٌان مستوي معلوم فأن مستوٌهما ٌوازي المستوي المعلوم‪.‬‬ ‫‪ - 14‬إذا وازى ضلعا زاوٌة ضلعً زاوٌة أخرى تساوت الزاوٌتان وتوازى مستوٌهما‪.‬‬ ‫‪ - 15‬قطعة المستقٌم الواصلة بٌن منتصفً ضلعً مثلث توازي الضلع الثالث وتساوي نصفه بالقٌاس‪.‬‬ ‫‪ - 16‬العمود النازل من رأس المثلث المتساوي الساقٌن على القاعدة ٌنصفها‪.‬‬ ‫‪ - 17‬إذا وازى مستقٌم مستوي فالمستقٌم المرسوم من أٌة نقطة من نقااط المساتوي موازٌاا ً للمساتقٌم المعلاوم‬ ‫ٌكون محتوى فً ذلك المستوي‪.‬‬ ‫‪ - 18‬المستقٌمان العمودٌان على مست ٍو واحد متوازٌان‪.‬‬ ‫‪ - 19‬المستقٌمان الموازٌان لمستقٌم ثالث فً الفراغ متوازٌان‪.‬‬ ‫‪ٌ - 20‬كون الشكل الرباعً متوازي أضالع إذا توازى كل ضلعٌن متقابلٌن فٌه‪.‬‬ ‫‪ٌ - 21‬كون الشكل الرباعً متوازي أضالع إذا توازى وتساوى ضلعٌن متقابلٌن فٌه‪.‬‬ ‫‪ - 22‬المستطٌل هو متوازي أضالع أحدى زواٌاه قائمة‪.‬‬ ‫‪ٌ - 23‬مكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو معلوم من نقطة معلومة‪.‬‬ ‫‪ٌ - 24‬تطابق المثلثان بضلعٌن وزاوٌة محددة بهما‪.‬‬ ‫‪ - 25‬العمود النازل من نقطة معلومة على مست ٍو هو أقصر مسافة بٌن النقطة المعلومة والمستوي‪.‬‬ ‫‪ - 26‬مبرهنة األعمدة الثالثة ونتٌجتها‪.‬‬

‫‪380‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الزاوٌة الزوجٌة والمستوٌات المتعامدة‬ ‫الزاوٌة الزوجٌة‪ :‬اتحاد نصفً مستوٌٌن لهما حافة (‪ )Edge‬مشتركة‪.‬‬ ‫وتسمى الحافة المشتركة بـ (حرف الزاوٌة الزوجٌة)‪.‬‬ ‫وٌسمى كل من نصفً المستوٌٌن بـ (وجه الزاوٌة الزوجٌة) كما فً الشكل‪:‬‬

‫⃡ هو حرف الزاوٌة الزوجٌة‬

‫حٌث‬

‫(‪ )X‬و (‪ )Y‬هما وجهاها‬ ‫وٌعبر عن الزاوٌة الزوجٌة بالتعبٌر‪:‬‬

‫–‬

‫⃡–‬

‫وقد ٌعبر عنها بحرف الزاوٌة الزوجٌة أن لم ٌكن مشتركا ً مع زاوٌة أخرى‪.‬‬ ‫مثالً‪:‬‬ ‫الزاوٌة الزوجٌة‪:‬‬ ‫–‬

‫⃡–‬

‫–‬

‫⃡–‬

‫–‬

‫⃡–‬

‫وال ٌمكن أن تكتب الزاوٌة الزوجٌة بشكل‬

‫⃡ فً هذا المثال ألن الحرف‬

‫مالحظة‪ :‬عندما تكون أربع نقاط لٌست فً مست ٍو واحد‬ ‫نكتب الزاوٌة الزوجٌة ‪– D‬‬

‫⃡ – ‪ A‬أو‬

‫الزاوٌة الزوجٌة بٌن المستوٌٌن )‪ (DBC‬و‬ ‫(‪ )ABC‬كما فً الشكل‪:‬‬

‫‪381‬‬

‫⃡ مشترك فً أكثر من زاوٌة زوجٌة‪.‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫وتقاس الزاوٌة الزوجٌة كاآلتً‪:‬‬ ‫⃡ ونرسم من ‪ D‬العمود‬

‫⃡ فً‬

‫نأخذ نقطة ‪ D‬على الحافة المشتركة‬ ‫⃡ فٌكون قٌاس الزاوٌة الزوجٌة بٌن المستوٌٌن هو قٌاس الزاوٌة‬ ‫للزاوٌة الزوجٌة‪ ,‬كما فً الشكل‪:‬‬

‫بعبارة أخرى لدٌنا الزاوٌة الزوجٌة‬

‫⃡‬

‫وتسمى الزاوٌة‬

‫الزاوٌة العائدة‬

‫⃡–‬

‫⃡‬

‫⃡‬

‫ولدٌنا‬

‫–‬

‫والعمود‬

‫⃡ فً‬

‫على الحرف‬

‫⃡‬

‫⃡‬

‫⃡‬

‫∢ هً الزاوٌة العائدة للزاوٌة الزوجٌة‬

‫⃡ أو‬

‫–‬

‫⃡–‬

‫الزاوٌة المستوٌة العائدة للزاوٌة الزوجٌة‪ :‬هً الزاوٌة التً ضلعاها عمودٌان على حرف الزاوٌة الزوجٌة من‬ ‫نقطة تنتمً إلٌه وكل منهما فً أحد وجهً الزاوٌة الزوجٌة‪.‬‬ ‫أو‪ :‬هً اتحاد شعاعٌن عمودٌٌن على حرف الزاوٌة الزوجٌة من نقطة تنتمً إلٌه وكل منهما فً أحد وجهً‬ ‫الزاوٌة الزوجٌة‪.‬‬ ‫ومن تعرٌف الزاوٌتٌن العائدة والزوجٌة ٌمكن استنتاج اآلتً‪:‬‬ ‫‪ -1‬قٌاس زاوٌة عائدة لزاوٌة زوجٌة ثابت‪.‬‬ ‫‪ -2‬قٌاس الزاوٌة الزوجٌة ٌساوي قٌاس الزاوٌة العائدة لها وبالعكس‪.‬‬ ‫إذا كانت الزاوٌة الزوجٌة قائمة فأن المستوٌٌن متعامدان وبالعكس‪.‬‬ ‫أي ‪ :‬أذا كان قٌاس ‪𝟗𝟎°‬‬

‫–‬

‫⃡–‬

‫فأن‬

‫‪382‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مبرهنة (‪( :)7‬وزاري ‪ /2011‬د‪ )1‬و (وزاري ‪ /2013‬د‪ )2‬و(وزاري ‪ /2015‬د‪: )3‬‬ ‫إذا تعامد مستوٌان فالمستقٌم المرسوم فً احدهما والعمودي على مستقٌم التقاطع ٌكون عمودٌا ً على المستوي اآلخر‪.‬‬

‫أي أنه‪:‬‬ ‫إذا كان‪:‬‬ ‫⃡‬ ‫⃡‬

‫⃡‬

‫⃡ في‬ ‫⃡‬

‫فأن‬

‫المعطٌات‪ :‬فً نقطة ‪, D‬‬

‫⃡‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬

‫⃡‬

‫⃡‬

‫⃡‬

‫⃡‬

‫البرهان‪:‬‬ ‫فً‬

‫⃡‬

‫نرسم‬

‫⃡ (فً المستوى الواحد ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مستقٌم فٌه من نقطة معلومة)‬

‫⃡‬

‫⃡‬

‫⃡ (معطى)‬

‫(تعرٌف الزاوٌة العائدة)‬ ‫– ⃡–‬ ‫∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة‬ ‫(قٌاس الزاوٌة الزوجٌة ٌساوي قٌاس الزاوٌة العائدة لها وبالعكس)‬ ‫∢‬ ‫𝟎𝟗‬ ‫⃡‬ ‫⃡ (إذا كان قٌاس الزاوٌة بٌن مستقٌمٌن 𝟎𝟗 فأن المستقٌمٌن متعامدان وبالعكس)‬ ‫⃡ (المستقٌم العمودي على مستقٌمٌن متقاطعٌن من نقطة تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على مستوٌهما)‬ ‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬ ‫نتٌجة مبرهنة (‪( :)7‬وزاري ‪ /2013‬د‪ )3‬و (وزاري ‪ /2015‬د‪:)2‬‬ ‫إذا تعامد مستوٌان فالمستقٌم المرسوم من نقطة فً احدهما عمودٌا ً على المستوى اآلخر ٌكون محتوى فٌه‪.‬‬ ‫⃡‬

‫المعطٌات‪:‬‬

‫⃡‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫البرهان‪ :‬لٌكن‬ ‫ان لم ٌكن‬

‫⃡‬ ‫⃡‬

‫⃡ وعمودي على‬ ‫نرسم‬ ‫(فً المستوى الواحد ٌوجد مستقٌم وحٌد عمودي على مستقٌم فٌه من نقطة معلومة)‬ ‫⃡‬

‫‪383‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫(معطى)‬ ‫⃡(مبرهنة ‪ ( )7‬إذا تعامد مستوٌان فالمستقٌم المرسوم فً احدهما العمودي على مستقٌم التقاطع ٌكون‬ ‫عمودٌا ً على المستوى اآلخر)‬ ‫⃡ (معطى)‬ ‫ولكن‬ ‫⃡‬ ‫⃡ (ٌوجد مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو معلوم من‬ ‫نقطة تنتمً أو ال تنتمً إلٌه)‬ ‫⃡‬ ‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬ ‫مبرهنة (‪( :)8‬وزاري ‪ /2011‬د‪ )1‬و (وزاري ‪ /2016‬د‪: )1‬‬ ‫كل مست ٍو مار بمستقٌم عمودي على مست ٍو آخر ٌكون عمودٌا ً على ذلك المستوي‬ ‫أو ‪ٌ :‬تعامد المستوٌان إذا احتوى أحدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر‪.‬‬ ‫أي أنه ‪:‬‬ ‫⃡‬ ‫𝑩𝑨‬ ‫𝒙‬ ‫𝑥‬

‫⇒‬

‫𝑦‬

‫𝒚‬ ‫⃡‬

‫المعطٌات‪:‬‬

‫‪,‬‬

‫𝑩𝑨⃡‬ ‫⃡⃡‬

‫المطلوب إثباته ‪:‬‬ ‫البرهان‪ :‬لٌكن‬

‫⃡‬ ‫⃡‬

‫فً‬

‫⃡‬

‫نرسم‬ ‫⃡ ( معطى)‬

‫(ٌتقاطع المستوٌان بخط مستقٌم)‬ ‫(مستقٌم التقاطع ٌحتوي على النقاط المشتركة)‬ ‫⃡ (فً المستوى الواحد ٌوجد مستقٌم وحٌد عمودي على مستقٌم فٌه من نقطة معلومة)‬

‫⃡‬ ‫⃡‬ ‫⃡ (المستقٌم العمودي على مستوى ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المحتوى فً‬ ‫المستوي والمارة من أثره)‬ ‫⃡ (معطى)‬ ‫∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة ⃡ (تعرٌف الزاوٌة العائدة)‬ ‫⃡‬ ‫ألن ⃡‬ ‫∢‬ ‫‪𝟗𝟎°‬‬ ‫(قٌاس الزاوٌة الزوجٌـــــة ٌســــاوي قٌاس الزاوٌة العائدة‬ ‫– ⃡–‬ ‫قٌاس الزاوٌة الزوجٌة ‪𝟗𝟎°‬‬ ‫لها وبالعكس)‬ ‫( إذا كان قٌاس الزاوٌة الزوجٌة ‪ 90 °‬فأن المستوٌٌن متعامدان وبالعكس )‬

‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪384‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مبرهنة (‪( :)9‬وزاري ‪ /2014‬د‪:)1‬‬ ‫من مستقٌم غٌر عمودي على مست ٍو معلوم ٌوجد مست ٍو وحٌد عمودي‬ ‫على المستوى المعلوم ‪.‬‬ ‫أي أنه‪:‬‬

‫⃡غٌر عمودي على‬ ‫⃡ وعمودي على‬

‫فٌوجد مستوي وحٌد ٌحتوي‬ ‫المعطٌات‪ ⃡ :‬غٌر عمودي على‬

‫المطلوب إثباته‪ :‬إٌجاد مست ٍو وحٌد ٌحتوي‬ ‫البرهان‪:‬‬ ‫من نقطة‬ ‫⃡‬

‫⃡ وعمودي على‬

‫⃡ (ٌوجد مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو معلوم من نقطة ال تنتمً إلٌه)‬

‫نرسم‬ ‫⃡ متقاطعان‬

‫ٌحوٌهما (لكل مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحوٌهما)‬

‫ٌوجد مست ٍو وحٌد مثل‬

‫(مبرهنة ‪ٌ( )8‬تعامد المستوٌان إذا احتوى أحدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر)‬ ‫ولبرهنة الوحدانٌة‪:‬‬ ‫لٌكن (‪ )Z‬مستوي آخر ٌحوي ⃡ وعمودي على‬ ‫⃡ (بالبرهان)‬ ‫⃡ (نتٌجة مبرهنة ‪)7‬‬ ‫(لكل مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحوٌهما)‬ ‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬ ‫نتٌجة مبرهنة (‪( :)9‬وزاري ‪ /2012‬د‪:)3‬‬ ‫إذا كان كل من مستوٌٌن متقاطعٌن عمودٌا ً على مست ٍو ثالث فأن مستقٌم تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على المستوى‬ ‫الثالث‪.‬‬ ‫المعطٌات‪:‬‬

‫⃡‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫البرهان‪ :‬إن لم ٌكن‬

‫⃡‬ ‫⃡ عمودٌا ً على‬

‫لما وجد أكثر من مستوي ٌحوي‬

‫⃡ وعمودي على‬

‫(مبرهنة ‪)9‬‬

‫⃡‬ ‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪385‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مثال (‪:)1‬‬ ‫فً ‪∆ ABC‬‬ ‫‪𝟑𝟎°‬‬

‫̅̅̅̅̅‬

‫∢‬ ‫𝟎𝟏‬

‫𝟓‬

‫– ̅̅̅̅ –‬

‫جد قٌاس الزاوٌة الزوجٌة‬

‫المعطٌات‪:‬‬ ‫𝟓‬

‫‪𝟑𝟎°‬‬

‫𝟎𝟏‬

‫المطلوب إثباته‪ :‬إٌجاد قٌاس الزاوٌة الزوجٌة‬

‫̅̅̅̅̅‬

‫∢‬

‫– ̅̅̅̅ –‬

‫البرهان‪:‬‬ ‫فً المستوى‬ ‫من نقطة معلومة)‬ ‫̅̅̅̅̅‬ ‫̅̅̅̅‬

‫نرسم ̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅ فً نقطة‬

‫(فً المستوى الواحد ٌوجد مستقٌم وحٌد عمودي على آخر‬

‫(معطى)‬

‫̅̅̅̅ (مبرهنة األعمدة الثالثة)‬ ‫∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة ̅̅̅̅ (تعرٌف الزاوٌة العائدة)‬

‫̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (المســـتقٌم العمودي على مستوي ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المحتواة فً المستوى‬ ‫والمارة من أثره)‬ ‫‪ ∆ DBE‬قائم الزاوٌة فً ‪B‬‬ ‫فً ‪ ∆ BEA‬القائم الزاوٌة فً ‪:E‬‬ ‫⇒‬

‫𝟓‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟎𝟑‬

‫⇒‬

‫فً ‪ ∆ DBE‬القائم الزاوٌة فً ‪:B‬‬ ‫𝟏‬ ‫قٌاس‪𝟒𝟓°‬‬

‫𝟓‬ ‫𝟓‬

‫∢‬

‫∢‬

‫قٌاس الزاوٌة الزوجٌة ‪𝟒𝟓°‬‬

‫– ̅̅̅̅ –‬

‫( قٌاس الزاوٌة الزوجٌة هو قٌاس الزاوٌة العائدة لها وبالعكس)‬

‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪386‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مثال (‪:)2‬‬ ‫لٌكن ‪ ABC‬مثلثا ً ولٌكن‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅‬

‫برهن أن‪:‬‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅‬ ‫المعطٌات‪:‬‬ ‫̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅‬

‫البرهان‪:‬‬ ‫̅̅̅̅ (معطى)‬ ‫(مبرهنة ‪ٌ( )8‬تعامد المستوٌان إذا احتوى احدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر)‬ ‫̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅ (معطى)‬ ‫̅̅̅̅ (مبرهنة ‪( )7‬إذا تعامد مستوٌان فالمستقٌم المرسوم فً احدهما والعمودي على مستقٌم التقاطع‬

‫ٌكون عمودٌا ً على اآلخر)‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅̅ (معطى)‬ ‫̅̅̅̅ (نتٌجة مبرهنة االعمدة الثالثة)‬

‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪387‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مثال (‪( :)3‬وزاري ‪ /2012‬د ‪)2‬‬ ‫مستوٌان متعامدان ‪,‬‬ ‫⃡ عمودٌان على‬

‫⃡‬

‫⃡ وٌقطعان‬

‫فً ‪ C, D‬على الترتٌب‬

‫⃡‬

‫برهن أن‪:‬‬

‫المعطٌات‪:‬‬ ‫إن )‬

‫⃡‬

‫‪,‬‬

‫⃡‬

‫⃡ عمودٌٌن على‬

‫⃡ وٌقطعان‬

‫فً ‪ C, D‬على الترتٌب‪.‬‬

‫⃡‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫البرهان‪:‬‬

‫مستوي المستقٌمٌن المتقاطعٌن‬

‫لٌكن‬

‫⃡‬

‫⃡‬

‫⃡‬

‫⃡ (لكل مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوجد مستوٌا ً وحٌداً ٌحوٌهما)‬

‫⃡ (معطى)‬

‫⃡ (المستقٌم العمودي على مستقٌمٌن متقاطعٌن من نقطة تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على مستوٌهما)‬ ‫⃡ (معطى)‬ ‫(ٌتعامد المستوٌان إذا احتوى احدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر)‬ ‫(معطى)‬ ‫ولما كان‬

‫⃡‬

‫(ألنه محتوى فً كل منهما)‬ ‫⃡ (إذا كان كل من مستوٌٌن متقاطعٌن عمودٌا ً على مست ٍو ثالث فأن مستقٌم تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً‬ ‫على المستوي الثالث)‬

‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪388‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫تمارين‬ ‫س‪ / 1‬برهن أن مستوي الزاوٌة العائدة لزاوٌة زوجٌة ٌكون عمودٌا ً على حرفها‪.‬‬

‫(وزاري ‪ / 2013‬د ‪)1‬‬

‫– ⃡–‬ ‫المعطٌات‪ :‬الزاوٌة الزوجٌة‬ ‫والزاوٌة ‪ CDE‬زاوٌة مستوٌة عائدة لها‪.‬‬ ‫⃡‬ ‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫البرهان‪:‬‬ ‫⃡–‬

‫الزاوٌة ‪ CDE‬زاوٌة عائدة للزاوٌة الزوجٌة‬ ‫⃡‬ ‫⃡‬ ‫(من تعرٌف الزاوٌة العائدة لزاوٌة زوجٌة)‬ ‫–‬

‫⃡‬

‫⃡‬

‫(معطى)‬

‫(هً الزاوٌة الناتجة من اتحاد شعاعٌن عمودٌٌن على حرف الزاوٌة الزوجٌة من نقطة تنتمً‬ ‫إلٌه وكل منهما فً احد وجهً الزاوٌة الزوجٌة)‬ ‫⃡ (المستقٌم العمودي على مستقٌمٌن متقاطعٌن من نقطة تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على مستوٌهما)‬

‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬ ‫(وزاري ‪/2014‬د‪)3‬‬ ‫س‪ / 2‬برهن أنه إذا وازى مستقٌم مستوٌا ً وكان عمودٌا ً على مست ٍو آخر فأن المستوٌٌن متعامدان‪.‬‬ ‫⃡‬

‫المعطٌات‪:‬‬ ‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫البرهان‪:‬‬ ‫ٌقطع‬ ‫أن لم ٌكن‬ ‫⃡ (معطى)‬

‫⃡‬

‫فأن‬

‫⃡ (المستقٌم العمودي على احد مستوٌٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر)‬ ‫يقطع‬ ‫ولكن هذا خالف المعطٌات‬ ‫ولٌكن ⃡‬ ‫(ٌتقاطع المستوٌان بخط مستقٌم)‬ ‫⃡‬

‫لتكن‬ ‫تنتمً إلٌه)‬

‫‪ ,‬ولتكن‬

‫⃡‬

‫⃡ (عبارة التوازي‪ٌ :‬وجد مستقٌم وحٌد ٌوازي مستقٌم معلوم من نقطة ال‬

‫⃡ (معطى)‬ ‫⃡ (إذا وازى مستقٌم مستوٌا ً فالمستقٌم المرسوم من أٌة نقطة من نقط المستوي موازٌا ً للمستقٌم‬ ‫المعلوم ٌكون محتوى فٌه)‬ ‫⃡‬ ‫⃡ (المستوي العمود على احد مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر)‬ ‫(ٌتعامد المستوٌان إذا احتوى احدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر) أو (كل مست ٍو مار بمستقٌم‬ ‫عمودي على مست ٍو ٌكون عمودي على المست ٍو اآلخر)‬ ‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪389‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫(وزاري ‪/ 2014‬د‪) 2‬‬ ‫س‪ / 3‬برهن أن المستوي العمودي على احد مستوٌٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر أٌضا‪ً.‬‬ ‫المعطٌات‪:‬‬ ‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫البرهان‪:‬‬ ‫لٌكن ⃡‬ ‫ٌتقاطع المستوٌان بخط مستقٌم‬ ‫⃡‬ ‫⃡‬ ‫ولتكن‬ ‫⃡ بحٌث ⃡‬ ‫⃡‬ ‫نرسم‬ ‫(ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مستقٌم معلوم من نقطة ال تنتمً إلٌه)‬

‫(معطى )‬ ‫⃡ (إذا تعامد مستوٌان فالمستقٌم المرســـوم فً احدهما والعمودي على مســــتقٌم التقاطع ٌكون‬ ‫عمودٌا ً على اآلخر)‬ ‫(معطى)‬ ‫ولكن‬ ‫⃡ (المستقٌم العمودي على احد مستوٌٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر)‬ ‫(ٌتعامد المستوٌان إذا احتوى احدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر)‬ ‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬ ‫س‪ A, B, C, D / 4‬أربع نقاط لٌست فً مست ٍو واحد بحٌث‬ ‫‪.‬‬ ‫عائدة للزاوٌة الزوجٌة – ̅̅̅̅ – برهن‬

‫و ̅̅̅̅‬

‫فإذا كانت‬

‫المعطٌات‪ A, B, C, D :‬أربع نقاط مختلفة لٌست فً مست ٍو واحد‬ ‫∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة‬

‫– ̅̅̅̅ –‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫البرهان‪:‬‬ ‫∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة – ̅̅̅̅ – (معطى)‬ ‫̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (الزاوٌة العائدة هً الزاوٌة الناتجة من اتحاد شعاعٌن عمودٌٌن على حرف الزاوٌة الزوجٌة‬ ‫̅̅̅̅ ̅̅̅̅‬ ‫من نقطة تنتمً إلٌه وكل منهما فً أحد وجهً الزاوٌة الزوجٌة)‬ ‫(معطى)‬ ‫فً المثلث ‪ABC‬‬ ‫(العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقٌن على القاعدة ٌنصفها)‬ ‫المثلثان ‪ DEB‬و ‪ DEC‬فٌهما‪:‬‬ ‫(قوائم)‬ ‫𝟏∢‬ ‫𝟐∢‬ ‫(ضلع مشترك)‬ ‫‪( CE = BE‬بالبرهان)‬ ‫ٌتطابق المثلثان بضلعٌن وزاوٌة محددة بهما‪.‬‬ ‫ومن التطابق ٌنتج‪:‬‬ ‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪390‬‬

‫∢‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫(وزاري ‪ / 2015‬د‪)1‬‬ ‫س‪ / 5‬برهن أنه إذا وازى كل من مستقٌمٌن متقاطعٌن مستوٌا ً معلوم وكانا عمودٌٌن على مستوٌٌن متقاطعٌن‬ ‫فأن مستقٌم تقاطع المستوٌٌن المتقاطعٌن ٌكون عمودٌا ً على المستوى المعلوم‪.‬‬

‫⃡‬

‫المعطٌات‪:‬‬ ‫⃡‬

‫⃡‬

‫⃡ يوازيان‬ ‫⃡‬ ‫⃡‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫البرهان‪:‬‬ ‫لٌكن‬

‫مستوي المستقٌمٌن المتقاطعٌن‬ ‫⃡‬

‫⃡‬

‫⃡ (لكل مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوجد مستوي وحٌد ٌحتوٌهما)‬

‫⃡ (معطى)‬ ‫(إذا كان كل من مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوازٌان مستوٌا ً معلوما ً فإن مستوٌهما ٌوازي المستوي المعلوم)‬

‫ولكن‬

‫⃡‬ ‫(معطى)‬ ‫⃡‬ ‫(ٌتعامد المستوٌان إذا احتوى أحدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر)‬ ‫(معطى)‬ ‫⃡ ( إذا كان كل من مستوٌٌن متقاطعٌن عمودٌا ً على مست ٍو ثالث فأن مستقٌم تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً‬

‫على المستوي الثالث)‬ ‫⃡ (المستقٌم العمودي على احد مستوٌٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر)‬ ‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪391‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س‪ / 6‬دائرة قطرها ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ عمودي على مســــتوٌها ‪ D ,‬نقطة تنتمً للدائرة برهن أن‬

‫عمودي‬

‫على‬ ‫المعطٌات‪:‬‬ ‫̅̅̅̅ قطر فً دائرة و ̅̅̅̅̅‬

‫مستوي الدائرة‪.‬‬

‫‪ D‬نقطة تنتمً للدائرة‪.‬‬ ‫المطلوب إثباته‪:‬‬

‫البرهان‪:‬‬ ‫∢‬ ‫‪𝟗𝟎°‬‬ ‫̅̅̅̅‬

‫زاوٌة محٌطٌة‬ ‫∢‬

‫(الزاوٌة المحٌطٌة المقابلة لنصف دائرة قائمة)‬

‫̅̅̅̅ (إذا كانت الزاوٌة بٌن مستقٌمٌن قائمة فأن المستقٌمٌن متعامدٌن)‬

‫̅̅̅̅ عمودي على مستوي الدائرة (معطى)‬ ‫̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅ (مبرهنة االعمدة الثالثة)‬

‫اصبح لدٌنا‪̅̅̅̅ ̅̅̅̅ :‬‬

‫̅̅̅̅̅ (بالبرهان)‬

‫̅̅̅̅̅ (المستقٌم العمودي على مستقٌمٌن متقاطعٌن من نقطة تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على مستوٌهما)‬ ‫ولكن‬

‫̅̅̅̅‬ ‫(ٌتعامد المستوٌان إذا احتوى أحدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر)‬ ‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪392‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫االسقاط العمودي على مست ٍو‬ ‫‪ -1‬مسقط نقطة على مست ٍو‪ :‬هو أثر العمود المرسوم من تلك النقطة على المستوي‪.‬‬ ‫‪ -2‬مسقط مجموعة نقط على مستوي‪ :‬لتكن ‪ L‬مجموعة من نقاط فً الفراغ فأن مسقطهما هو مجموعة كل اثار‬ ‫االعمدة المرسومة من نقاطه على المستوي‪.‬‬ ‫‪ -3‬مسقط قطعة مستقٌم غٌر عمودٌة على مست ٍو معلوم‪ :‬هو قطعة المستقٌم المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن‬ ‫من نهاٌتً القطعة على المستوي المعلوم‪.‬‬ ‫لٌكن ̅̅̅̅ غٌر عمودي على‬ ‫ولٌكن‬

‫̅̅̅̅‬

‫مسقط ‪ A‬على‬

‫هو‬

‫̅̅̅̅̅‬

‫مسقط ‪ B‬على‬

‫هو‬

‫هو ̅̅̅̅‬

‫مسقط ̅̅̅̅ على‬

‫̅̅̅̅ فأن‬

‫مالحظة‪ :‬إذا كان‬

‫‪ -4‬المستقٌم المائل على مست ٍو‪ :‬هو المستقٌم غٌر العمودي على المستوي وقاطع له‪.‬‬ ‫‪ -5‬زاوٌة المٌل‪ :‬هً الزاوٌة المحددة بالمائل ومسقطه على المستوي‪.‬‬ ‫فً‬ ‫لٌكن ⃡ مائالً على‬ ‫̅̅̅̅ فً‬

‫ولٌكن‬ ‫مسقط‬ ‫كذلك‬

‫على‬

‫حٌث‬

‫مسقط نفسها حٌث‬

‫̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ على‬ ‫أي أن ‪𝟗𝟎°‬‬ ‫‪𝟎 𝟗𝟎°‬‬

‫𝛉‬

‫𝟎‬

‫𝜽‬

‫‪ -6‬طول المسقط‪ :‬طول مسقط قطعة مستقٌم على مست ٍو = طول المائل‬

‫جٌب تمام زاوٌة المٌل‪.‬‬

‫فعندما تكون ̅̅̅̅ مائالً على‬

‫وزاوٌة مٌلة 𝜽 ومسقطه ̅̅̅̅ فأن 𝛉‬

‫‪ -7‬مسقط مستوي مائل على‬ ‫الزوجٌة بٌنهما‪.‬‬

‫‪ :‬زاوٌة مٌل مست ٍو على مست ٍو معلوم هو قٌاس الزاوٌة المستوٌة العائدة للزاوٌة‬

‫مساحة مسقط منطقة مائلة على مست ٍو معلوم = مساحة المنطقة المائلة‬ ‫مساحة المنطقة المائلة و‬

‫جٌب تمام زاوٌة المٌل‬

‫مساحة المسقط و 𝜽 قٌاس زاوٌة المٌل 𝛉‬

‫‪393‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مثال (‪( :)4‬وزاري ‪ /2013‬د ‪:)2‬‬ ‫إذا وازى أحد ضلعً زاوٌة قائمة مستوٌا ً معلوما ً فأن مسقطً ضلعٌهما على المستوي متعامدان‪.‬‬ ‫∢ قائمة فً ‪B‬‬ ‫المعطٌات‪:‬‬ ‫̅̅̅̅‬ ‫̅̅̅̅̅̅ هو مسقط ̅̅̅̅ على‬ ‫̅̅̅̅̅̅ هو مسقط ̅̅̅̅ على‬ ‫المطلوب إثباته‪A'B' ┴ B'C' :‬‬ ‫البرهان‪:‬‬ ‫̅̅̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅‬ ‫(معطى)‬ ‫̅̅̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅‬ ‫̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ (مسقط قطعة مستقٌم على مست ٍو معلوم هو القطعة المحددة بأثري العمودٌن‬ ‫المرسومٌن على المستوي من طرفً القطعة المستقٌمة)‬ ‫̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅‬ ‫̅̅̅̅̅‬ ‫̅̅̅̅̅ (المستقٌمان العمودٌان على مست ٍو واحد متوازٌان)‬ ‫نعٌن‬ ‫بالمستقٌمٌن المتوازٌٌن‬ ‫( لكل مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحتوٌهما )‬ ‫نعٌن‬ ‫بالمستقٌمٌن المتوازٌٌن‬ ‫يحتويهما‬ ‫̅̅̅̅ (معطى)‬ ‫لكن‬ ‫(ٌتقاطع المستوٌان بخط مستقٌم)‬ ‫̅̅̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅ (إذا وازى مستقٌم مستوٌا ً معلوما ً فأنه ٌوازي جمٌع المســــتقٌمات الناتجة من تقاطع هذا‬ ‫المستوي والمستوٌات التً تحوي المستقٌم)‬

‫كذلك ̅̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅̅ (المستقٌم العمودي على مستوي ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المرسومة من أثره‬ ‫ضمن ذلك المستوي)‬

‫̅̅̅̅̅‬ ‫لكن ̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅ ( فً المستوي الواحد‪ :‬المستقٌم العمودي على أحد مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر )‬ ‫̅̅̅̅ ( ألن 𝟎𝟗‬

‫∢‬

‫معطى)‬

‫̅̅̅̅̅̅ (المستوي العمودي على أحد مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر)‬ ‫̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅(المستقٌم العمودي على مستوي ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المرسومة من أثره‬ ‫ضمن ذلك المستوي)‪.‬‬ ‫(و‪ .‬هـــ ‪ .‬م)‬

‫‪394‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫مثال (‪:)5‬‬ ‫̅̅̅̅ والزاوٌة الزوجٌة بٌن مستوي المثلث‬

‫مثلث‪,‬‬ ‫𝟎𝟏‬ ‫‪ ∆ ABC‬على‬

‫‪.‬‬

‫المعطٌات‪:‬‬

‫̅̅̅̅‬

‫𝟑𝟏‬

‫قٌاس ‪𝟔𝟎°‬‬

‫علااى‬

‫ثاام جااد مساااحة مسااقط‬

‫⃡–‬

‫–‬

‫𝟎𝟏‬

‫والمستوي‬

‫جااد مسااقط المثلااث‬

‫قٌاسها ‪ 𝟔𝟎°‬فإذا كان‬

‫𝟑𝟏‬ ‫على‬

‫المطلوب إثباته‪ :‬إٌجاد مسقط‬ ‫على‬ ‫وإٌجاد مساحة مسقط‬ ‫البرهان‪:‬‬ ‫(ٌمكن رسم عمود على مستوي من نقطة معلومة)‬ ‫فً‬ ‫نرسم‬ ‫̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅̅‬ ‫(مسقط قطعة مستقٌم على مست ٍو معلوم هو القطعة المحددة بأثري العمودٌن‬ ‫̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅‬ ‫المرسومٌن على المستوي من طرفً القطعة المستقٌمة)‬ ‫̅̅̅̅ مسقط نفسه على‬ ‫على‬

‫مسقط‬

‫̅̅̅̅ فً‬

‫نرسم ̅̅̅̅‬

‫فً‬ ‫وبما أن‬

‫(فً المستوى الواحد ٌمكن رسم مستقٌم عمود على آخر من نقطة معلومة)‬

‫(معطى)‬ ‫(العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقٌن على القاعدة ٌنصفها)‬

‫𝟓‬

‫̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (نتٌجة مبرهنة االعمدة الثالثة)‬ ‫∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة ̅̅̅̅ (تعرٌف الزاوٌة العائدة)‬ ‫لكن قٌاس الزاوٌة الزوجٌة ̅̅̅̅‬ ‫فً‬

‫القائم فً ‪:‬‬

‫فً‬

‫‪:‬‬

‫القائم فً‬

‫‪( 𝟔𝟎°‬معطى)‬ ‫𝟐𝟏‬ ‫𝟔‬ ‫𝟐‬

‫𝟒𝟒𝟏√‬

‫⇒‬ ‫𝟎𝟑‬

‫(و‪ .‬هـ ‪.‬م)‬

‫‪395‬‬

‫𝟓𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟏‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟎𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫⇒‬

‫𝟗𝟔𝟏√‬ ‫𝟎𝟔‬

‫= مساحة المثلث ‪BCD‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫تمارين‬ ‫س‪ / 1‬برهن أن طول قطعة المســتقٌم الموازي لمســت ٍو معلوم ٌســـــاوي طول مســـقطه على المستوي المعلوم‬ ‫وٌوازٌه‪( .‬وزاري ‪ /2011‬د ‪ 1‬و ‪ /2014‬د ‪ 1‬و ‪ /2016‬د ‪) 1‬‬ ‫̅̅̅̅‬

‫المعطٌات‪:‬‬

‫̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ على‬ ‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫أوال ً ‪:‬‬

‫̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅‬

‫ثانٌا ً ‪:‬‬ ‫البرهان‪:‬‬

‫̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ على‬

‫(معطى)‬

‫̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ عمودان على‬

‫(مسقط قطعة مستقٌم على مست ٍو هو القطعة المحددة بأثري العمودٌن المرسـومٌن‬ ‫من طرفً القطعة على المستوي)‬

‫̅̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅ (المستقٌمان العمودٌان على مست ٍو واحد متوازٌان)‬

‫بالمستقٌمٌن المتوازٌٌن‬

‫نعٌن‬

‫(لكل مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحتوٌهما)‬

‫̅̅̅̅ (معطى)‬ ‫̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅ (مستقٌم تقاطع مستوٌٌن ٌوازي كل مستقٌم محتوى فً احدهما وٌوازي اآلخر)‬ ‫أو (إذا وازى مستقٌم مستوٌا ً معلوما ً فأنه ٌوازي جمٌع المستقٌمات الناتجة من تقاطع هذا المستوي‬ ‫مع المستوٌات التً تحوي هذا المستقٌم)‬ ‫(و‪ .‬هـ ‪ .‬م) (‪)1‬‬

‫الشكل‬

‫متوازي أضالع (ألن كل ضلعٌن متقابلٌن فٌه متوازٌٌن)‬ ‫خواص متوازي األضالع ( كل ضلعٌن متقابلٌن فٌه متساوٌٌن بالطول)‬ ‫(و‪ .‬هـ ‪ .‬م) (‪)2‬‬

‫‪396‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س‪ / 2‬برهن أنه إذا قطع مســـتوٌان متوازٌان بمستقٌم فأن مٌله على احدهما ٌساوي مٌل اآلخر علٌه‪.‬‬ ‫(وزاري ‪ /2012‬د ‪ )2‬و (وزاري ‪ /2015‬د ‪)3‬‬ ‫المعطٌات‪:‬‬ ‫⃡‬

‫} {‬

‫⃡‬

‫} {‬ ‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫⃡ على‬

‫مٌل‬

‫⃡ على‬

‫مٌل‬

‫البرهان‪:‬‬ ‫⃡ ( ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو معلوم من نقطة معلومة )‬

‫نرسم‬

‫(معطى)‬ ‫⃡ فً نقطة‬ ‫⃡ على‬

‫⃡ مسقط‬ ‫وكذلك‬

‫(المستقٌم العمودي على أحد مستوٌٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر)‬

‫⃡ مسقط‬

‫⃡ على‬

‫𝟏∢ هً زاوٌة مٌل‬

‫⃡ على‬

‫𝟐∢ هً زاوٌة مٌل‬

‫⃡ على‬

‫⃡‬ ‫𝟐∢‬ ‫مٌل‬

‫(مسقط قطعة مستقٌم غٌر عمودٌة على مست ٍو معلوم هو قطعة المستقٌم‬ ‫المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن من طرفً القطعة على المستوي)‬ ‫( زاوٌة مٌل مستقٌم مائل على مست ٍو معلوم هاً الزاوٌاة المحاددة‬ ‫بالمائل ومسقطه على ذلك المستوي )‬

‫⃡ ( خطأ تقاطع مستوٌٌن متوازٌٌن بمست ٍو ثالث متوازٌان )‬ ‫𝟏∢‬ ‫⃡ على‬

‫( إذا وازى ضلعا زاوٌة ضلعً زاوٌة أخرى تساوى قٌاسهما وتوازى مستوٌهما )‬ ‫مٌل‬

‫⃡ على‬

‫(و‪ .‬هـ ‪ .‬م)‬

‫‪397‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س‪ / 3‬برهن على أن للمستقٌمات المتوازٌة المائلة على مست ٍو المٌل نفسه‪.‬‬ ‫( وزاري ‪ /2011‬د ‪( )3‬وزاري ‪ /2013‬د ‪)3‬‬ ‫المعطٌات‪:‬‬ ‫⃡‬

‫⃡ وكل منهما مائل على‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫⃡ على‬

‫قٌاس زاوٌة مٌل‬

‫= قٌاس زاوٌة مٌل‬

‫⃡ على‬

‫البرهان‪:‬‬ ‫⃡ فً‬

‫لٌكن‬

‫( ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو معلوم من نقطة معلومة )‬

‫⃡ فً‬

‫ولٌكن‬ ‫⃡ مسقط‬

‫⃡ على‬

‫⃡ مسقط‬

‫⃡ على‬

‫( مسااقط قطعااة مسااتقٌم غٌاار عمودٌااة علااى مساات ٍو معلااوم هااو قطعااة المسااتقٌم‬ ‫المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن من طرفً القطعة على المستوي )‬

‫‪ ∢ 1‬هً زاوٌة مٌل‬

‫⃡ على‬

‫‪ ∢ 2‬هً زاوٌة مٌل‬

‫⃡ على‬

‫( زاوٌة مٌل مستقٌم مائل على مست ٍو معلوم هً الزاوٌة المحددة‬ ‫بالمائل ومسقطه على المستوي المعلوم )‬

‫⃡‬

‫⃡ ( معطى )‬

‫⃡‬

‫⃡ ( المستقٌمان العمودٌان على مست ٍو متوازٌان )‬

‫𝟒∢‬ ‫‪𝟗𝟎°‬‬

‫𝟑∢‬ ‫𝟔∢‬

‫( إذا وازى ضلعا زاوٌة ضلعً زاوٌة أخرى تساوى قٌاسهما وتوازي مستوٌهما )‬ ‫𝟓∢‬

‫( المســتقٌم العمودي على مســتوي ٌكون عمودٌا ً على جمـٌع المســــتقٌمات‬ ‫المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي )‬

‫‪) 𝟏𝟖𝟎°‬‬ ‫𝟏 ∢ ( مجموع قٌاسات زواٌا المثلث‬ ‫𝟐∢‬ ‫قٌاس زاوٌة مٌل ⃡ على‬ ‫قٌاس زاوٌة مٌل ⃡ على‬ ‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪398‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س‪ / 4‬برهن على أنه إذا رسم مائالن مختلفان فً الطول من نقطة ال تنتمً إلى مست ٍو معلوم فإن أطولهما زاوٌة‬ ‫مٌله على المستوي أصغر من زاوٌة مٌل اآلخر علٌه‪.‬‬ ‫المعطٌات‪:‬‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫زاوٌة مٌل ̅̅̅̅ على‬

‫زاوٌة مٌل ̅̅̅̅ على‬ ‫البرهان‪:‬‬

‫̅̅̅̅ ( ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو من نقطة ال تنتمً إلٌه )‬

‫لٌكن‬

‫⃡ مسقط‬

‫⃡ على‬

‫⃡ مسقط‬

‫⃡ على‬

‫( مسااقط قطعااة مسااتقٌم غٌاار عمودٌااة علااى مساات ٍو معلااوم هااو قطعااة المسااتقٌم‬ ‫المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن من طرفً القطعة على المستوي )‬

‫𝟏𝛉 ∢ هً زاوٌة مٌل‬

‫⃡ على‬

‫𝟐𝛉 ∢ هً زاوٌة مٌل‬

‫⃡ على‬

‫( زاوٌة مٌل مستقٌم مائل على مست ٍو معلوم هً الزاوٌة المحددة‬ ‫بالمائل ومسقطه على ذلك المستوي )‬

‫( معطى )‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫(خواص التراجح)‬

‫وبضرب طرفً المتراجحة بـ‬ ‫𝟐𝜽‬ ‫𝟐𝜽‬

‫𝟏𝜽‬

‫ٌنتج‪:‬‬

‫( وبرفع‬

‫الطرفٌن ألن دالة‬

‫𝟏𝛉‬

‫زاوٌة مٌل ̅̅̅̅ على‬

‫زاوٌة مٌل ̅̅̅̅ على‬

‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪399‬‬

‫دالة متزاٌدة)‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س‪ / 5‬برهن على أنه إذا رسم مائالن من نقطة ما إلى مست ٍو فأصغرهما مٌالً هو األطول‪.‬‬ ‫المعطٌات‪:‬‬ ‫̅̅̅̅ ̅̅̅̅ مائالن على‬ ‫زاوٌة مٌل̅̅̅̅ على‬

‫زاوٌة مٌل ̅̅̅̅ على‬

‫المطلوب إثباته‪:‬‬

‫البرهان‪:‬‬ ‫̅̅̅̅ ( ٌمكن رسم مستقٌم عمودي على مست ٍو من نقطة ال تنتمً إلٌه )‬

‫لٌكن‬

‫̅̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ على‬ ‫وكذلك ̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ على‬

‫( مسقط قطعة مستقٌم غٌار عمودٌاة علاى مسات ٍو معلاوم هاو قطعاة المساتقٌم‬ ‫المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن من طرفً القطعة على المستوي )‬

‫𝟏𝛉 ∢ هً زاوٌة مٌل ̅̅̅̅ على‬ ‫𝟐𝛉 ∢ هً زاوٌة مٌل ̅̅̅̅ على‬ ‫𝟐𝜽 ∢‬

‫𝟏𝛉 ∢‬

‫وبأخذ دالة الـ‬ ‫𝟐𝛉‬

‫( زاوٌة مٌل مستقٌم مائل على مست ٍو معلوم هً الزاوٌة المحددة‬ ‫بالمائل ومسقطه على المستوي المعلوم )‬

‫للطرفٌن‪:‬‬ ‫𝟏𝛉‬ ‫و بقسمة طرفً المتراجحة على ‪AD‬‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫وبقلب التراجح ٌنتج ‪:‬‬ ‫( خواص التراجح )‬

‫(و‪ .‬هـ ‪ .‬م)‬

‫‪400‬‬


‫أعداد‪ /‬األستاذ علً حمٌد‬

‫الفصل السادس‪ /‬الهندسة الفضائــــــــــــــــبة‬

‫𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫س‪ / 6‬برهن على أنه زاوٌة المٌل بٌن المستقٌم ومسقطه على مست ٍو أصغر من الزاوٌة المحصورة بٌن المستقٌم‬ ‫(وزاري ‪ /2012‬د‪)3‬‬ ‫نفسه وأي مستقٌم آخر مرسوم من موقعه ضمن ذلك المستوي‪.‬‬ ‫المعطٌات‪:‬‬ ‫‪ ̅̅̅̅ ,‬مسقط ̅̅̅̅ على‬

‫̅̅̅̅ مائل على‬

‫∢ محددة بـ ̅̅̅̅ و ̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅̅ ‪,‬‬

‫∢ محددة بـ ̅̅̅̅ و ̅̅̅̅̅‬ ‫المطلوب إثباته‪:‬‬ ‫∢‬

‫∢‬ ‫البرهان‪:‬‬

‫̅̅̅̅ (ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مستوي معلوم من نقطة ال تنتمً إلٌه)‬

‫نرسم‬ ‫ونرسم ̅̅̅̅̅‬

‫̅̅̅̅ (ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مستوي معلوم من نقطة ال تنتمً إلٌه)‬

‫لتكن 𝟏𝜽‬

‫𝟐𝜽‬

‫∢‬

‫̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ على‬ ‫‪AD‬‬

‫∢‬

‫(معطى)‬

‫‪( AC‬العمود النازل من نقطة على مستوي هو أقصر مسافة بٌن النقطة المعلومة والمستوي)‬

‫وبالقسمة على ‪AB‬‬ ‫(خواص التراجح)‬ ‫𝟏𝜽‬

‫𝟐𝜽‬ ‫𝟏𝜽‬

‫𝟐𝜽‬ ‫∢‬

‫∢‬

‫(و‪ .‬هـ‪ .‬م)‬

‫‪401‬‬

Profile for fadymath

ملزمة الرياضيات السادس العلمي الأحيائي الفصل السادس الهندسة الفضائية الأستاذ علي حميد  

ملزمة الرياضات السادس العلمي الأحيائي الفصل السادس الهندسة الفضائية 2017 طبعة جديدة ومنقحة للأستاذ المتميز علي حميد , شرح مفصل لجميع أمثل...

ملزمة الرياضيات السادس العلمي الأحيائي الفصل السادس الهندسة الفضائية الأستاذ علي حميد  

ملزمة الرياضات السادس العلمي الأحيائي الفصل السادس الهندسة الفضائية 2017 طبعة جديدة ومنقحة للأستاذ المتميز علي حميد , شرح مفصل لجميع أمثل...

Profile for fadymath
Advertisement