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Elementos básicos da lógica proposicional Contextualizando Como você viu no capítulo três, o juízo é a forma central de todo o pensamento e sua expressão verbal é a proposição. Julgar é uma prerrogativa própria do homem. Formulamos juízos como resultado de nossas atividades mentais. Para fundamentar nossos juízos utilizamos argumentos. Ou seja, apresentamos à pessoa a quem nos dirigimos as razões pelas quais nós próprios aceitamos o que dizemos. Os argumentos são constituídos por proposições. Tanto as premissas quanto a conclusão de um argumento são proposições. Segundo o professor de raciocínio lógico, Nelson Carnaval (2011), a Lógica das Proposições tem sido um assunto sempre exigido em concursos. É importante, portanto, um estudo mais aprofundado sobre essa temática. Ao final deste capítulo, esperamos que você possa: definir uma proposição; reconhecer a importância dos conectivos lógicos e as suas aplicações nas operações lógicas para a elaboração de proposições compostas; construir uma tabela de verdade.

Conhecendo a teoria Conhecendo as proposições Um dos ramos da lógica se dedica ao estudo das proposições. Vamos começar entendendo o que são proposições. No nosso dia a dia nos expressamos de diversas formas. Veja alguns exemplos: 1) Chove muito!

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2) Que dia é hoje? 3) Cinco mais dois. 4) Natal é a capital do Rio Grande do Norte. Os exemplos 1, 2 e 4 apresentam um significado pelo que está sendo expresso. Apenas o exemplo 3 não apresenta sentido completo. O exemplo 3, por não apresentar sentido completo, chamamos de expressão. Os exemplos 1, 2 e 4 chamamos de sentenças. Veja a definição de sentença a partir do que dissemos anteriormente. Conceito: Sentença é uma forma de se expressar que apresenta um sentido completo. As sentenças podem ser: Abertas – quando apresentam uma variável. Exemplo: 2 + x = 5; y é menor que 12. Fechadas – quando não apresentam variáveis. Exemplo: a poluição causa doenças respiratórias; 3 – 2 = 1. As sentenças fechadas são ainda aquelas que permitem julgamento verdadeiro ou falso. São essas sentenças que chamamos de proposições. Conceito:

Elementos básicos da lógica proposicional

Assim, “[...] proposição é uma sentença declarativa que admite um e somente um dos dois valores lógicos – V ou F” (FURTADO, 2010, p. 11).

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Ou seja, uma proposição terá como valor lógico verdade se a proposição é verdadeira e falsidade se a proposição é falsa. Representamos verdadeiro pela letra V ou 0 e falso pela letra F ou 1.

Valor lógico

Símbolo de designação

Verdade

V

Falsidade

F


Para simbolizar o valor lógico de uma proposição, em lógica matemática, adota-se uma notação específica. Assim, quando temos uma proposição simples verdadeira ela será simbolizada da seguinte forma: V(q) = V – traduzindo – o valor lógico da proposição q é verdadeiro. Por outro lado, se a proposição for falsa teremos: V(q) = F – traduzindo – o valor lógico da proposição q é falso. Toda proposição apresenta um sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo), um predicado (aquilo que se declara sobre o sujeito) e um verbo que se denomina cópula (elo). A proposição é a atribuição de um predicado a um sujeito: S é P. Veja o que estamos dizendo no exemplo a seguir: A praia de Ponta Negra

tem

muito assalto

Sujeito

Cópula

Predicado

Mesmo não apresentando variável, nem todas as sentenças exprimem uma proposição. De acordo com os estudos de Murcho (2011), não constituem proposições as seguintes sentenças: Exclamativas – aquelas que exteriorizam estado afetivo. Exemplo: Que dia lindo! Interrogativas – as que indicam perguntas. Exemplo: Qual a cor do seu automóvel? Imperativas – aquelas que expressam ordem, desejo, pedido, conselho. Exemplo: Ande depressa!

Compromissivas – expressam a intenção assumida de o locutor vir a praticar uma ação futura. Exemplo: Prometo que estudarei mais. As proposições se baseiam nas três leis do pensamento ou, como você viu no capítulo dois, nos princípios que a razão estabelece e garantem que a realidade seja racional.

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Prescritivas – contêm informação acerca do modo de realizar uma atividade: são instruções. Exemplo: Não ultrapasse no sinal vermelho.

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Assim, 1) Se qualquer proposição é verdadeira, então ela é verdadeira. (Princípio da identidade) 2) Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa, ao mesmo tempo, sob uma mesma condição. (Princípio da não contradição) 3) Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. (Princípio do terceiro excluído) (CARNAVAL, 2011).

Saiba que Algumas proposições quebram as leis do pensamento e cometem o que se denominan fração lógica; nesses casos, temos os paradoxos. Veja um exemplo do que estamos dizendo: “A frase que você está lendo é falsa.” Se você afirmar que a frase é verdadeira, é porque ela é falsa; e se é falsa, é porque é verdadeira. Existem ainda proposições que são incondicionalmente verdadeiras, independente do valor lógico das variáveis proposicionais. Por exemplo, a afirmação de que uma proposição ou é verdadeira ou falsa é sempre verdadeira.

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Na linguagem do dia a dia, a tautologia é um vício de linguagem. Veja alguns exemplos: elo de ligação; certeza absoluta; surpresa inesperada; fato real, entre outros.

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As proposições podem ser: 1) Proposições simples ou atômicas Simples ou Atômica – é a proposição que não contém nenhuma outra proposição como parte integrante de si mesma. As proposições simples são geralmente designadas por letras minúsculas p, q, r, s ..., chamadas letras proposicionais (GASPAR, 2011). Veja exemplos de proposições simples: Paulo gosta de estudar.


O curso que estou fazendo é de excelente qualidade. A lua é um satélite da Terra. 2) Proposições compostas ou moleculares Composta ou Molecular - é a proposição formada pela combinação de duas ou mais proposições. São habitualmente designadas por letras maiúsculas P, Q, R, S..., também denominadas letras proposicionais (GASPAR, 2011). Veja exemplos de proposições compostas: João é engenheiro e Marta é estudante. Se o aluno estudar durante o ano, então será aprovado. Pedro é estudioso e José é preguiçoso. Para ilustrar o que estamos dizendo, apresentaremos a proposição composta a seguir. “Tenho uma bicicleta e gosto de arroz” Você pode ver que ela é resultado da combinação de duas proposições, ou seja, ela pode ser dividida em duas proposições: “Tenho uma bicicleta e gosto de arroz”

e

“Gosto de arroz”

As proposições podem, ainda, ser classificadas quanto à: a) Quantidade – nesse caso podem ser universais, particulares e singulares. Universais: Quando o predicado se refere à extensão total do sujeito. Todo SéP

Singulares: Quando o predicado é atribuído a um único indivíduo. S é P b) Qualidade – as proposições podem ser afirmativas ou negativas. Afirmativas: Atribuem alguma coisa a um sujeito. Ex.: Os natalenses são brasileiros. Negativas: Separam o sujeito de alguma coisa. Ex.: Os portugueses não são simpáticos.

Elementos básicos da lógica proposicional

Particulares: Quando o predicado é atribuído a uma parte da extensão do sujeito. Algum S é P

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A linguagem proposicional Até aqui é possível concluir que as proposições são juízos sobre a realidade. Para Wittgenstein (apud SOUZA, 2011), “[...]a proposição é uma imagem da realidade. A proposição é um modelo da realidade tal como nós a pensamos”. É resultado de nossas percepções, expressas por meio da linguagem. Toda a realidade que nos cerca e está dentro de nós pode ser expressa pela linguagem. No entanto, a linguagem coloquial é passível de erros. É para evitar esses equívocos que a lógica propõe a transformação dos argumentos da linguagem coloquial em argumentos lógico-matemáticos. Estamos falando da linguagem proposicional, entre os elementos dessa linguagem destacam-se: Os símbolos proposicionais, também chamados variáveis proposicionais ou átomos – são letras latinas minúsculas p, q, r, s, ... para indicar as proposições (fórmulas atômicas). Os conectivos proposicionais – veja os exemplos a seguir: SE Pedro é médico, ENTÃO sabe biologia. NÃO vai chover hoje. Ana trabalha OU Carlos descansa. Podemos considerar como conectivos usuais da lógica: e, ou, não, se... então..., se e somente se. A cada um dos conectivos que possibilita a combinação de proposições corresponde um símbolo.

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Conectivos

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Símbolos

^

e

v

ou

se... então...

se e somente se

~

não

Conectivos

Símbolos

A lua é quadrada.

p

A lua é quadrada e a neve é branca.

p^Q

Maria estuda ou Pedro vai ao cinema.

pvQ

Se chover amanhã, então não saio.

p→Q

A lua é quadrada se e somente se a neve é branca.

p↔Q

A lua não é quadrada.

~p


Cada conectivo tem sua especificidade a seguir explicitada: 1) Com o conectivo “~” (não), obtemos, a partir de uma proposição p, uma segunda proposição ~p, chamada negação. O conectivo “~” age apenas sobre a proposição negada. Exemplo: p = A Terra é um planeta.

~p = A Terra não é um planeta.

2) Com o conectivo “^” (e), obtemos, a partir de duas proposições p, q, uma terceira proposição, “p ^ q”, chamada conjunção. Nesse caso, o conectivo “^” age sobre duas proposições. O símbolo mais utilizado para a conjunção, em eletrônica digital, é o ponto “.”. Exemplo: p = O Sol é uma estrela. q = A Terra é um planeta. p ^ q = O Sol é uma estrela e a Terra é um planeta.

3) Com o conectivo “v” (ou), obtemos, a partir de duas proposições p, q, uma terceira proposição “p v q”, chamada disjunção. Assim como o conectivo “^”, o conectivo “v” age sobre as duas proposições. O símbolo mais utilizado para a disjunção, em eletrônica digital, é o sinal “+”. Exemplo: p = O Sol é uma estrela. q = A Terra é um planeta.

4) Com o conectivo “→” (se..., então...), obtemos de duas proposições p, q, uma terceira proposição “p → q”, chamada condicional. Observe que esse conectivo também age sobre as duas proposições. Exemplo: p = O Sol é uma estrela. q = A Terra é um planeta. p→ q = Se o Sol é uma estrela, então a Terra é um planeta.

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p v q = O Sol é uma estrela ou a Terra é um planeta.

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5) Com o conectivo “↔ (se, e somente se), obtemos de duas proposições p, q, uma terceira proposição “p ↔ q”, chamada bicondicional. Observe que esse conectivo também age sobre as duas proposições. Exemplo: p = O Sol é uma estrela. q = A Terra é um planeta. p ↔ q= O Sol é uma estrela se, e somente se, a Terra é um planeta.

Os símbolos de pontuação: parênteses Ainda como símbolo auxiliar na transformação da linguagem coloquial, para linguagem matemática temos os parênteses ( ). Eles servem para denotar o alcance dos conectivos. Os parênteses serão usados segundo a seguinte ordem dos conectivos: ~ ^ v →↔

Veja um exemplo: a) A lua não é quadrada se, e somente se, a neve é branca. ((~p) ↔ q). b) Se a lua é quadrada e a neve é branca então a lua não é quadrada. ((p ^ q) → p).

Praticando

Elementos básicos da lógica proposicional

Agora é com você:

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1. Sendo p a proposição Paulo é paulista e q a proposição Ronaldo é carioca, traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: a) ~q b) p ^ q c) p v q d) p → q e) p → (~q)


f ) e) p ↔ q 2. Considere as proposições p: está frio e q: está chovendo. Traduza para a linguagem corrente as seguintes proposições: a) p v ~q b) p → q c) p ↔ q 3. Traduza para a linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Se a Terra é um planeta, então a Terra gira em torno do Sol. b) Não irei estudar. c) A Terra não é um planeta e não gira em torno do Sol. Você já sabe que por meio das letras proposicionais, dos conectivos e dos símbolos de pontuação é possível estabelecer a representação lógica das proposições. Vamos agora falar sobre seu valor lógico.

Tabela-verdade Como você viu anteriormente, de acordo com o princípio do terceiro excluído, uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. Assim, atribuir um valor lógico a uma proposição é indicar a sua validade considerando a possibilidade de esta ser verdadeira ou falsa. p V

Para estabelecermos o valor lógico de uma proposição composta é necessário sabermos os valores lógicos das proposições simples que a compõem. Os valores lógicos de uma proposição são expressos pela tabela-verdade ou tabela de verdade. Na tabela-verdade figuram todos os possíveis valores lógicos da proposição correspondentes a todas as possíveis atribuições de valores lógicos às proposições simples componentes.

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F

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Saiba que As tabelas-verdade surgem a partir dos trabalhos desenvolvidos por Gottlob Frege, Charles Peirce e outros da década de 1880. Assumiram a forma com a qual trabalhamos em 1922, com as contribuições de Emil Post e Ludwig Wittgenstein. Uma tabela-verdade é construída por linhas e colunas. Para sua construção é preciso que consideremos alguns pontos: 1) o número de proposições; 2) o número de linhas da tabela-verdade; 3) a variação dos valores lógicos. O número de colunas de uma tabela-verdade é igual ao número de proposições que a compõem. O número de linhas é dado pela fórmula 2n. Aqui, n corresponde ao número de proposições utilizadas. Vamos ver a construção da tabela-verdade nas linhas e colunas, considerando uma e duas proposições. 1) Para uma proposição número de linhas dado pela fórmula 2n (o n = 1 uma vez que temos apenas uma proposição) 21 = 2, no caso duas linhas. número de colunas = ao número de proposições, no caso uma coluna. p V

Elementos básicos da lógica proposicional

F

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2) Para duas proposições número de linhas dado pela fórmula 2n (o n = 2 uma vez que temos duas proposições) 22 = 4, no caso quatro linhas. número de colunas = ao número de proposições, no caso duas colunas. Uma vez construída a tabela é necessário acrescentar seus valores lógicos. Como você já sabe, os valores lógicos possíveis para cada variável são V (verdadeiro) ou F (falso), seu registro na tabela-verdade – uma vez definidas linhas e colunas – realiza-se considerando a seguinte distribuição:


p

q

Na primeira coluna, metade das linhas terá valor V e a outra metade valor F. Na segunda coluna, metade das linhas que possuem valor V na primeira coluna terá valor V e a outra metade valor F; e metade das linhas que possuem valor F na primeira coluna terá valor V e a outra metade valor F. Na terceira coluna, metade das linhas que possuem valor V na segunda coluna terá valor V e a outra metade valor F; e metade das linhas que possuem valor F na segunda coluna terá valor V e a outra metade valor F. Parece confuso, mas vamos à construção de uma tabela-verdade para que você veja que é algo simples. Vamos começar traduzindo para a linguagem simbólica a proposição a seguir: A Universidade a cada dia recebe mais alunos brilhantes e Paulo faz engenharia. Estamos diante de uma proposição composta, resultante da combinação de duas proposições simples, a saber: A Universidade a cada dia recebe mais alunos brilhantes

Paulo faz engenharia passamos a representar pela letra proposicional -q Essas proposições estão ligadas pelo conectivo e -^ Assim, teremos a seguinte representação: p ^ q Vamos tentar entender construindo uma tabela-verdade. p^q

Elementos básicos da lógica proposicional

passamos a representar pela letra proposicional -p

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temos duas proposições, portanto, duas linhas. para o número de colunas usamos a fórmula 2n – 2x2 = 4 p

q

V

V

V

F

F

V

F

F

Lembra como foram colocados os valores lógicos? Na primeira coluna, a metade das linhas é V e a outra metade é F; na segunda coluna, metade das linhas que possuem valor V na primeira coluna será F e metade das que foram F será V. Para que você não esqueça: Para construirmos as tabelas-verdade utilizamos o Principio Fundamental da Contagem (PFC): o número de linhas sempre depende do número de elementos combinados e, como uma proposição pode assumir os valores V ou F, o número de linhas de uma tabela-verdade é dado por 2n, Sendo: 1 elemento: 21 linhas = 2 linhas 2 elementos: 22 linhas = 4 linhas 3 elementos: 23 linhas = 8 linhas Viu como é fácil? Agora que você já aprendeu a construir uma tabela-verdade vai colocá-la em prática com as operações lógicas que serão desenvolvidas no capítulo seguinte.

Elementos básicos da lógica proposicional

Aplicando a teoria na prática

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Até aqui você pôde aprender que a lógica é uma ferramenta utilizada na formalização de nossos pensamentos. Quando a utilizamos é possível elaborar o pensamento de modo mais preciso, apresentar argumentos de forma mais exata e ponderada, portanto, cometer menos equívocos. Essa é uma afirmação corrente quando estudamos lógica. Como perceber, na prática, essa afirmação? Especificamente, qual a importância do estudo da lógica de proposições para nossa vida? Estudando a lógica das proposições trabalhamos com argumentos. Nossos argumentos sustentam nossos pontos de vista. Um argumento é um conjunto de proposições que utilizamos para justificar (provar, dar razão, suportar) algo. É exatamente o


estudo dos argumentos e das proposições o objeto de estudo da lógica das proposições. Interessa à lógica a validade desses argumentos. É muito comum, por exemplo, vermos situações em que a capacidade argumentativa é determinante para decidir os rumos de uma situação. Lembramos aqui que a verdade é uma propriedade das proposições e a validade é uma propriedade dos argumentos. Considerando a verdade das proposições, chegaremos à validade ou não de um argumento. Veja o caso do direito. Um advogado de defesa consegue muitas vezes diminuir a pena, ou até anulá-la, apenas pela capacidade argumentativa. Eis um exemplo que pode ser representado por meio da lógica de proposições: um indivíduo foi julgado por participação em um roubo. Na audiência, intervieram o juiz de acusação e o de defesa. O de acusação disse: “Se o réu é culpado, então teve um cúmplice”. O de defesa contra-argumentou: “Não é verdade!” e não podia ter dito coisa pior. Desse modo, não só reconheceu a culpabilidade do cliente, mas tornou-o totalmente responsável pelo delito, agravando a futura pena. O defensor equivocou-se porque não soube formular corretamente a sua ideia. Advogado de acusação disse “Se o réu é culpado, então teve um cúmplice”. Essa proposição pode ser assim representada: R = réu é culpado C = réu tem um cúmplice Assim teremos: R . C Sabemos que na condicional só teremos a negação dessa proposição se R (o réu é culpado) for verdadeira e C (o réu tem um cúmplice) for falsa. Nos demais casos a proposição será verdadeira, portanto o argumento é válido.

R → C onde: R é verdadeira e C é falsa. Assim, o argumento se configura como inválido.

Elementos básicos da lógica proposicional

O defensor afirmou que a proposição de que o réu tinha um cúmplice não era verdadeira. Com sua argumentação, ficamos com a seguinte situação:

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Para saber mais BARONETT, Stan. Lógica: uma introdução voltada para as ciências. Bookman, 2009. Nesse livro o autor apresenta uma discussão sobre conceitos básicos de lógica, matéria exigida em inúmeras disciplinas que exigem raciocínio lógico. Apresenta um texto escrito de forma clara e acessível, com exemplos que facilitam a compreensão do leitor. A forma de apresentação do livro o torna atraente pelo projeto gráfico, bem como pelo fato de o autor aproximar a lógica do cotidiano de todos nós.

Relembrando Neste capítulo você ficou sabendo que: Uma proposição é uma afirmação passível de assumir valor lógico verdadeiro ou falso. Apresenta um sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo), um predicado (aquilo que se declara sobre o sujeito) e um verbo que se denomina cópula (elo). De acordo com os estudos de Murcho (2011), não constituem proposições as seguintes sentenças: exclamativas, interrogativas, imperativas, prescritivas e compromissivas. As proposições se baseiam nos princípios que a razão estabelece e garantem que a realidade é racional: 1. Toda proposição é verdadeira ou falsa (princípio do terceiro excluído);

Elementos básicos da lógica proposicional

2. Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa (princípio da não contradição).

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Proposições compostas são conectadas através dos seguintes conectivos: “~” ou “!” (negação); “^” (conectivo “e”); “v” (conectivo “ou”); “→” (conectivo “implica”); “↔” (conectivo “se, e somente se”). Os valores lógicos de uma proposição composta são expressos pela tabela-verdade ou tabela de verdade. Para construir uma tabela-verdade é preciso considerar:


1. o número de proposições; 2. o número de linhas da tabela-verdade; 3. a variação dos valores lógicos. O número de colunas de uma tabela-verdade é igual ao número de proposições que a compõem. O número de linhas é dado pela fórmula 2n, onde n corresponde ao número de proposições utilizadas.

Testando seus conhecimentos 4. Sendo p a proposição Paulo é paulista e q a proposição Ronaldo é carioca, traduzir para a linguagem corrente as seguintes proposições: a) ~q b) p ^ q c) p v q d) p → q e) p → (~q) 5. Sendo p a proposição Roberto fala inglês e q a proposição Ricardo fala italiano, traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições: a) Roberto fala inglês e Ricardo fala italiano. b) Ou Roberto não fala inglês ou Ricardo fala italiano.

d) Roberto não fala inglês e Ricardo não fala italiano. 6. Escrever na forma simbólica, indicando as proposições simples: a) Ou a notícia foi publicada, ou o cofre foi aberto. b) Se o Sr. Wilson não estava dormindo, então já passava de meia-noite. c) A Sra. Wilson mentiu no caso de o Sr. Wilson ter saído da cidade e o caso foi arquivado.

Elementos básicos da lógica proposicional

c) Se Ricardo fala italiano, então Roberto fala inglês.

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d) A prova de recuperação estava bastante complexa. 7. Construa uma tabela-verdade para 3 elementos: p, q, r.

Referências CARNAVAL, N. Lógica Sentencial. Disponível em: <www.jusdecisum. com.br/sistema/ turma/arquivos/BB%20LOGICA%20E%20MATEMATICA.pdf>. Acesso em: 10 jun. 2011. FURTADO, E. M. Raciocínio Lógico para Concursos. Curitiba: IESDE Brasil Ltda, 2010. GASPAR, M. Introdução à Lógica Matemática. Disponível em: <http://mjgaspar.sites. uol.com.br/logica/logica#listapref>. Acesso em: 15 jun. 2011. MURCHO, D. Lógica. Disponível em: <http://dmurcho.com/docs/introlog.pdf>. Acesso em: 15 jun. 2011. SOUZA, M. A. A Lógica Representa uma Ordem, de fato a ordem a priori do mundo. Disponível em: <http://logicanet.wordpress.com/2007/11/25/18/>. Acesso em: 25 nov. 2011.

Elementos básicos da lógica proposicional

VELASCO, P. D. N. Educando para a Argumentação: contribuições do ensino da lógica. Belo Horizonte: Autêntica, 2010. (Coleção Ensino de Filosofia, 3).

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Operações lógicas e tabelas-verdade Contextualizando Estudando sobre as proposições, no capítulo anterior, você pôde ver que elas constituem a representação de nossos argumentos. Estes podem ser simples ou podem se apresentar de forma complexa, a partir do momento em que realizamos algumas operações sobre as proposições que os formam. Essas operações são chamadas operações lógicas ou operações do cálculo proposicional. Toda proposição, como você viu no capítulo cinco, tem um valor lógico. Neste capítulo, trabalharemos com as principais operações lógicas e suas respectivas tabelas-verdade. Quando o aluno tem o primeiro contato com as tabelasverdade, tem a impressão de que é necessário decorá-las para poder utilizá-las. Essa é uma impressão equivocada. Como você já pôde ver no capítulo anterior, existem elementos lógicos que possibilitam a construção e compreensão de uma tabelaverdade. Esperamos que ao final do capítulo você possa: analisar a estrutura de um argumento identificando sua validade ou falsidade; exercitar questões com operações lógicas que cada vez mais estão presentes nos concursos públicos. Bom estudo!

Conhecendo a teoria As operações lógicas e as tabelas-verdade A ação de combinar proposições é chamada de operação. Os conectivos que fazem a ligação entre as proposições são chamados de operadores e são representados por símbolos, como você estudou no capítulo cinco.

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Uma vez construída uma proposição, como determinar seu valor lógico? A resposta a essa pergunta implica a definição de algumas operações lógicas que você conhecerá a seguir. 1) Negação (símbolo ~) – significa: “ao contrário” – a negação inverte o valor de verdade de uma expressão. Veja o que estamos dizendo no exemplo a seguir:

Considerando a proposição

Maria foi ao cinema

Maria não foi ao cinema

p

Sua negação será É falso que Maria tenha q ido ao cinema

Definição:

Operações lógicas e tabelas-verdade

Chama-se negação de uma proposição “p”, a proposição representada por “não p”, cujo valor lógico é a verdade (V) quando p é falsa e a falsidade (F) quando p é verdadeira.

104

Na linguagem comum, para realizar uma negação, antepomos o advérbio “não” ao verbo da proposição dada. Se considerarmos o exemplo anterior, “Maria vai ao cinema”, de imediato a expressão “Maria não vai ao cinema” representa a forma mais utilizada para a sua negação. Outra maneira de efetuar a negação consiste em antepor à proposição dada expressões tais como “não é verdade que” ou “é falso que”. Ainda considerando o exemplo, teremos como sua negação: não é verdade que Maria foi ao cinema e é falso que Maria foi ao cinema.


Na linguagem lógica teremos: p (representando a expressão dada) e ~p (representando sua negação). Veja a seguir a tabela de verdade da negação. Verdade da negação p

~p

1

V

F

2

F

V

Até aqui falamos da negação de uma proposição simples. Veja agora a negação de proposições compostas e condicionais. Para isso, chamaremos “p e q” as proposições simples. a) Negação da conjunção – se a conjunção é p ^ q, a sua negação é a disjunção entre ~p e ~q. Assim teremos: ~(p ^ q) = ~p v ~q Agora compreenda através da tabela-verdade: Negação da conjunção P

q

p∨q

~(p^q)

V

V

V

V

V

F

F

F

F

V

F

V

F

F

F

F

b) Negação da disjunção – se a disjunção é p v q, a sua negação será: ~(p ∨ q) = ~p ^ ~q

Negação da disjunção

Negação da disjunção

p

q

p∨q

~(p∧q)

p

q

~p

~q

~p ∧~q

V

V

V

F

V

V

F

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

F

F

V

V

P

F

V

V

F

F

F

F

F

V

F

F

V

V

V

Operações lógicas e tabelas-verdade

Através da tabela-verdade é possível entender esse processo em que p v q e ~p ^ ~q apresentam resultados similares e, portanto, são equivalentes.

105


c) Negação da condicional – A negação de uma condicional não é outra proposição condicional, mas sim uma conjunção entre p ^ ~q. Assim: ~(p → q) = p ^ ~q Através de um exemplo fica mais fácil compreender o que estamos dizendo. Veja: “Se eu for ao cinema então vou comer pipoca” for uma proposição verdadeira, negando-a como “se eu não for ao cinema, então não como pipoca” continua sendo verdadeira. Como negá-la? Considere que “Se eu for ao cinema então vou comer pipoca” for verdadeira, em que condições teremos a falsidade? Resposta: “Se for ao cinema mas não comer pipoca”. Assim a negação correta será: Eu fui ao cinema e não comi pipoca” Ou seja, esta forma nega a frase de origem. Veja a equivalência através da tabela-verdade. Observe que ~(p → q) é equivalente a p ^ ~q. Negação da condicional P

q

~p

p→q

~(p → q)

~p ∧ ~q

V

V

F

V

F

F

V

F

V

F

V

V

F

V

F

V

F

F

F

F

V

V

F

F

d) Negação da bicondicional – a negação da bicondicional apresenta duas fórmulas. Considerando a primeira fórmula, temos que a negação da bicondicional é a disjunção exclusiva. Ou seja: ~(p ↔ q) = p ∨ q

Operações lógicas e tabelas-verdade

Agora veja as tabelas-verdade:

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Negação da bicondicional

Negação da bicondicional

p

q

p↔q

p

q

~(p↔q)

V

V

V

V

V

F

V

F

F

V

F

V

F

V

F

F

V

V

F

F

V

F

F

F


Considerando que a bicondicional na realidade é um conjunto entre duas condicionais p e q, teremos: (p ↔ q) = [(p → q) e (p → q)], então: ~(p ↔ q) = ~[(p → q) e (p → q)] substituindo nesse conjunto a negação da condicional, teremos a segunda fórmula: ~(p ↔ q) = ~= (p ^ ~q) v (p ^ ~q) A seguir as tabelas-verdade: Negação da bicondicional p

q

p↔q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

Negação da bicondicional p

q

~(p↔q)

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

e) Negação da disjunção exclusiva – como você viu que a disjunção exclusiva e a bicondicional são o inverso uma da outra vai entender que a negação da disjunção exclusiva é a bicondicional assim representada: Se ~(p ↔ q) = p ∨ q Então ~ (p ∨ q) = p ↔ q Parece confuso? Veja o exemplo a seguir. Por meio dele você pode perceber melhor todas essas informações. Considere a afirmação P onde P = A v B e A e B são as seguintes afirmações: A = Carlos é professor. B = Se Ênio é engenheiro, então João é pintor.

a) Carlos não é professor, Ênio não é engenheiro, João não é pintor. b) Carlos não é professor, Ênio é engenheiro, João não é pintor. c) Carlos não é professor, Ênio é engenheiro, João é pintor. d) Carlos é professor, Ênio não é engenheiro, João não é pintor. e) Carlos é professor, Ênio é engenheiro, João não é pintor.

Operações lógicas e tabelas-verdade

Ora, sabe-se que a afirmação P é falsa. Logo:

107


Os caminhos da resolução Passo 1 - a primeira coisa do enunciado a ser considerada é que P é falsa. Dizer que P é falsa é negar A v B. Estamos falando da negação de uma disjunção. Para negar uma disjunção, você viu que devemos negar A, negar B e substituir o “ou” (v) por “e” (^). Traduzindo: ~(A ∨ B) = ~A ∧ ~B Passo 2 – agora você deve negar A. Para negar A é fácil. Se A = Carlos é professor. ~A = Carlos não é professor. Passo 3 - Negar B é entender primeiro que B é uma sentença condicional, portanto, composta. É expressa por B = Se Ênio é engenheiro, então João é pintor. Vamos representar a proposição B por p e q, onde: p = Ênio é engenheiro. q = João é pintor. Pelo que você aprendeu anteriormente, para negar a condicional é preciso conservar o antecedente (no caso o “p”) e negar o consequente (no caso o q) e colocar a conjunção “e”. Assim teremos: ~B = p ∧ ~r. Traduzindo: p = Ênio é engenheiro. ~q = João não é pintor. Agora é só reunir todos os cálculos e teremos:

Operações lógicas e tabelas-verdade

Carlos não é professor, Ênio é engenheiro, João não é pintor.

108

Essa conclusão significa a letra “b”. 2) Conjunção (símbolo ∧) – é a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “e”. Dadas as proposições p e q, a expressão p ∧ q é chamada conjunção de p ∧ q. Cada uma das proposições é chamada de fator de expressão. Uma vez conhecido o valor de verdade de cada uma das proposições, o valor de verdade da conjunção p ∧ q é verdadeiro quando os dois fatores de expressão forem verdadeiros e é falso se pelo menos um dos fatores, ou os dois fatores, forem falsos.


A seguir um exemplo para que você consiga compreender melhor. Considere a expressão Maria estudou e João foi ao cinema ~p

q

se o fator de expressão Maria estudou for verdadeiro e se o fator de expressão João foi ao cinema for verdadeiro, então a conjunção será verdadeira; se o fator de expressão Maria estudou for falso e se o fator de expressão João foi ao cinema for falso, então a conjunção será falsa; se o fator de expressão Maria estudou for verdadeiro e se o fator de expressão João foi ao cinema for falso, então a conjunção será falsa; se o fator de expressão Maria estudou for falso e se o fator de expressão João foi ao cinema for verdadeiro, então a conjunção será falsa. Veja agora a tabela-verdade da conjunção: Verdade da conjunção p

q

p^q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

F

Considere a conjunção “A vida é maravilhosa e a felicidade é real”. a) Admitindo que a vida não é maravilhosa, a conjunção é verdadeira ou falsa? Por quê?

Operações lógicas e tabelas-verdade

Praticando

109


3) Disjunção (símbolo v) – é a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “ou”. A disjunção de duas proposições p e q é uma proposição representada por “p v q”, cujo valor lógico é verdadeiro (V) quando ao menos uma das proposições p ou q for verdadeira e é falso (F) quando as proposições p e q forem ambas falsas. Veja a tabela-verdade da disjunção: Verdade da disjunção p

q

p∨q

V

V

V

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Existe um tipo especial de disjunção chamada disjunção exclusiva. A disjunção exclusiva de duas proposições p e q é uma nova proposição que resulta da ligação de p e q por meio do símbolo “v”. O valor lógico da nova proposição é verdadeiro se p e q têm valores lógicos distintos e é falso quando p e q forem verdadeiras ou falsas. Veja a tabela-verdade correspondente:

Operações lógicas e tabelas-verdade

Disjunção exclusiva

110

p

q

p∨q

V

V

F

V

F

V

F

V

V

F

F

F

Considere o exemplo:

p

q

compro livros

compro apostilas


Utilizando a disjunção exclusiva teremos:

p v q - ou compro livros ou compro apostilas (Mas não ambas as coisas)

4) Condicional (símbolo →) – denomina-se condicional a proposição composta formada por duas proposições equivalentes. O conectivo da condicional significa “se p, então q”. Esse conectivo dá a ideia de condição para que a outra proposição exista:

“p” será condição suficiente para “q”

“q” será condição necessária para “p”

Essa é uma proposição composta que só admite valor lógico falso no caso em que a proposição p é verdadeira e a proposição q é falsa, sendo verdade nos demais casos. Veja a tabela-verdade da condicional: Verdade da condicional q

p→q

V

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

V

Operações lógicas e tabelas-verdade

p

111


5) Bicondicional (símbolo ↔) – é a proposição composta formada por duas proposições quaisquer que estejam ligadas pelo conectivo “se e somente se”. Esse conectivo funciona como um nó, amarrando os fatores de expressão. Assim, se o que estiver antes do “se e somente se” for verdadeiro, o que vem depois será verdadeiro; se o que vier antes do “se e somente se” for falso, o que vem depois será falso. Vamos à tabela-verdade da bicondicional: Verdade da bicondicional p

q

p↔q

V

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

A compreensão das operações lógicas até aqui apresentadas são fundamentais para que você esteja apto(a) a resolver muitas das questões de raciocínio lógico que compõem os concursos. Você pôde ver como se desenvolvem as operações lógicas. Agora, propomos que acompanhe o raciocínio que segue utilizando questões com as estruturas lógicas anteriormente apresentadas. Vamos trabalhar com a construção mais simples.

Operações lógicas e tabelas-verdade

Saiba que

112

Para que possamos resolver questões de lógica proposicional é preciso ter em mente que a lógica é argumentativa, nesse sentido está sempre ligada à formação de argumentos. Um argumento é constituído de premissas e conclusão. Uma premissa é uma proposição pressupostamente verdadeira. É uma frase que se acredita ser verdadeira, mesmo que não seja. só depois de resolvida chegaremos à verdade ou falsidade do argumento. Saiba que: Para a resolução de questões com proposições, os resultados das proposições sempre têm que ser verdadeiros.


Praticando Surfo ou estudo; durmo ou não surfo; viajo ou não estudo. Ora, não velejo. Caminhos para resolução O que se espera do candidato nesta questão é que chegue a algumas conclusões. Esse tipo de questão apresenta uma proposição simples. não velejo

Cada vez que você estiver diante de uma questão com essa característica, ou seja, uma questão que apresenta em seu enunciado uma proposição simples, você já sabe onde se localiza o ponto de partida da resolução da questão: a proposição simples. Essa proposição simples sempre será verdadeira. A partir dela será desenvolvido todo o raciocínio. Assim, seguindo a numeração em ordem crescente veja a resolução da questão. NÃO VIAJO

– o ponto de partida, a preposição simples será verdadeira.

1 V

SURFO

ESTUDO

2 V

OU

NÃO SURFO

DURMO

3 OU

NÃO ESTUDO

VIAJO

4 F

V

OU

V

– já sabemos que pela proposição 3,“surfo” é FALSO, logo “não surfo” será falso. Como em 2 e 3 a disjunção exige que pelo menos um dos fatores de expressão seja verdadeiro, logo, “durmo” será verdadeiro. – já sabemos que “não viajo” é verdadeiro, logo “viajo” será falso. Você já sabe que para que uma disjunção seja verdadeira, um dos fatores de expressão tem que ser verdadeiro. Se já temos um falso, o outro fator será verdadeiro.

Operações lógicas e tabelas-verdade

F

F

– como já sabemos que “não estudo” é verdadeira, “estudo” será falso. Mais uma vez, para que seja verdadeira a disjunção, um dos fatores tem que ser verdadeiro. Nesse caso, “surfo” será verdadeiro.

113


Assim, a resposta da questão deve apontar para uma estrutura que afirme “viajo”, “durmo” e “surfo”. Viu como fica fácil se tivermos o conhecimento das operações lógicas?

Aplicando a teoria na prática Como dissemos no início do capítulo, um dos nossos objetivos é prepará-lo para questões com operações lógicas presentes em vários concursos públicos. Assim, aproveitamos esse espaço para que você possa saber como são construídas as questões com operações lógicas. Vamos trabalhar com uma questão elaborada pela Fundação Carlos Chagas para o concurso do TRT 22ª Região - 2010. Veja a seguir a questão: Considere o argumento composto pelas seguintes premissas: Se a inflação não é controlada, então não há projetos de desenvolvimento. Se a inflação é controlada, então o povo vive melhor. O povo não vive melhor. Considerando que todas as três premissas são verdadeiras, então uma conclusão que tornaria o argumento válido é: a) A inflação é controlada. b) Não há projetos de desenvolvimento. c) A inflação é controlada ou há projetos de desenvolvimento. d) O povo vive melhor e a inflação não é controlada.

Operações lógicas e tabelas-verdade

e) Se a inflação não é controlada e não há projetos de desenvolvimento, então o povo vive melhor.

114

Vamos agora aos caminhos da resposta. O argumento apresentado é formado pelas seguintes premissas: P1 = Se a inflação não é controlada, então não há projetos de desenvolvimento. (V) P2 = Se a inflação é controlada, então o povo vive melhor. (V) P3 = O povo não vive melhor. (V) Conclusão - válida


Dessas premissas você deve tirar uma conclusão. No enunciado da questão fica afirmado que as premissas são verdadeiras e a conclusão também é verdadeira. Com a conclusão verdadeira, teremos uma situação em que a argumentação proposta será uma argumentação válida. Essa é justamente a questão do exercício, ele quer que o argumento seja válido. Como vamos encaminhar a solução? Temos no argumento uma proposição simples. Vimos anteriormente que ela é o ponto de partida para a resolução do problema. Vamos à resolução enumerando os passos em ordem crescente. P1 = Se a inflação não é controlada, então não há projetos de desenvolvimento.

V 4 (antecedente V, uma vez que em P2 vimos que “se a inflação é controlada é F”)

F 5 (para que o argumento seja verdadeiro o consequente terá que ser V, nunca F)

P2 = Se a inflação é controlada, então o povo vive melhor. F (uma vez que P3 é V) F 3 2 (para que a condicional seja verdadeira,sendo o consequente F, o antecedente tem que ser F) P3 = O povo não vive melhor. V Operações lógicas e tabelas-verdade

Assim, chegamos à análise final descobrindo que “não há projetos de desenvolvimento”. Voltando ao início da questão, você fica sabendo que a alternativa que responde à questão é a “b”, ou seja, “Não há projetos de desenvolvimento”.

115


Para saber mais ROCHA, Enrique. Raciocínio Lógico - Você consegue aprender. Campus, 2008. (Série Provas e Concursos). Com um conteúdo apresentado de forma clara, com uma linguagem descomplicada sem, no entanto, pecar pelo exagero, esse livro traz questões teóricas e exercícios propostos e resolvidos contemplando os principais tipos de problemas em raciocínio lógico (tabelas-verdade, argumentação, culpado-inocente, sequenciais, entre outros). MARIANO, Fabrício. Raciocínio Lógico para Concursos. Campus, 2009. (Série Provas e Concursos). O livro aborda os mais variados tipos de problemas envolvendo a lógica. Apresenta conteúdos já indicados nos Ensinos Fundamental e Médio que atualmente são cobrados nos novos editais de concursos públicos. Ao final do livro você encontrará uma série de exercícios e provas atuais dos mais variados examinadores.

Relembrando Entre os vários pontos trabalhados neste capítulo, veja de forma sintética os pontos importantes. 1) Síntese das tabelas-verdade das operações lógicas:

Operações lógicas e tabelas-verdade

Tabelas-verdade das operações lógicas

116

P

q

~p

p∧q

p∨q

p∨q

p → q)

p ↔q

V

V

F

V

V

F

V

V

V

F

F

F

V

V

F

F

F

V

V

F

V

V

V

F

F

F

V

F

F

F

V

V


2) Tabela-resumo para que uma proposição seja verdadeira: Proposições verdadeiras Proposição

Condição para que seja verdadeira

p^q

A única possibilidade de uma frase com o conectivo e (^) ser verdadeira é se as duas proposições forem verdadeiras.

p∨q

A condição para que uma frase com o conectivo ou (v) seja verdadeira é que as duas proposições não sejam falsas simultaneamente.

p→q

Em uma frase com o conectivo “se... então” (condicional), a única forma de a frase ser falsa é quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa. Em qualquer outra condição a frase é verdadeira.

p↔q

Para que a frase seja verdadeira em uma bicondicional, o conectivo“ se e somente se”(↔) exige que as duas proposições ou sejam verdadeiras ou falsas.

p∨q

Da mesma forma que na bicondicional, a disjunção exclusiva só será verdadeira se as duas proposições forem ou verdadeiras ou falsas.

3) Tabela final das negações: Negações Proposição

Condição Para Que Seja Verdadeira

Conjunção

~(p ∧ q) = ~p ∧~q.

Disjunção

~(p ∨ q) = ~p ∧ ~q

Condicional

~( p → q) = p ∧ ~q

Bicondicional

~( p ↔ q) = p ∨ q = (p ∧ ~q) v (q ∧ ~q)

Disjunção exclusiva

(p ∨ q) = p ↔ q

Testando seus conhecimentos

1. O enunciado a seguir reúne três estruturas lógicas: a disjunção, a condicional e a bicondicional. Vamos resolvê-lo? André é inocente ou Beto é inocente. Se Beto é inocente, então Caio é culpado. Caio é inocente se e somente se Denis é culpado. Ora, Denis é culpado.

Operações lógicas e tabelas-verdade

Agora que você se apropriou do conteúdo deste capítulo, teste seus conhecimentos sobre a temática. Vamos às questões.

117


2. Considere a proposição: “Paula estuda, mas não passa no concurso”. Nessa proposição o conectivo lógico é: a) Disjunção. b) Conjunção. c) Disjunção Exclusiva. d) Condicional. e) Bicondicional. 3. Construa a tabela-verdade: (p → s) v (q → s)

Referências CARNAVAL, N. Lógica Sentencial. Disponível em: <www.jusdecisum.com.br/sistema/ turma/arquivos/BB%20LOGICA%20E%20MATEMATICA.pdf>. Acesso em: 10 jun. 2011. FURTADO, E. M. Raciocínio Lógico para Concursos. Curitiba: IESDE Brasil Ltda., 2010. GASPAR, M. Introdução à Lógica Matemática. Disponível em: <http://mjgaspar.sites. uol.com.br/logica/logica#listapref>. Acesso em: 15 jun. 2011. MURCHO, D. Lógica. Disponível em: <http://dmurcho.com/docs/introlog.pdf>. Acesso em: 15 jun. 2011.

Operações lógicas e tabelas-verdade

NAVEGA, S. Pensamento Crítico e Argumentação Sólida. São Paulo: Publicações Intelliwise, 2005.

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VELASCO, P. D. N. Educando para a Argumentação: contribuições do ensino da lógica. Coleção Ensino de Filosofia 3. Belo Horizonte: Autêntica, 2010.


Lógica e argumentação - Unidade 3  
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