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UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA DEPARTAMENTO DE MATEMATICAS PROFESOR FABIO VALENCIA M EJEMPLOS DE GRAFICAS


Graficar utilizando elementos de cálculo diferencial f(x)=      Solución: El dominio de la función son todos los números reales Las posibles raíces o cortes con el eje x los hallamos haciendo y=0 x     =0, tomando factor común      =0,     

Tenemos que x=0 es una raíz de multiplicidad dos y x=2 es la otra raíz. El campo de variación de la función f(x)=     

La función es negativa o está por debajo del eje x (-∞,2 ∞,2 La función es positiva y está por encima del eje x 2, +∞ +∞ Recuerden, la gráfica cortará el eje x en x=0 y por tener multiplicidad dos , allí parecerá que ella hace un rebote Y luego cortará el eje x en x=2 La función no tiene asíntotas verticales ni horizontales ¿Por qué? Hallemos los puntos críticos f´(x)=3   % la igualamos a cero f´(x)=0 % 

3   % factor común x(3x-4)=0, de donde x=0 y x= % 

Estos son los puntos críticos x=0 y x=

El campo de variación de la derivada es :

%

Nos indica que la función tiene derivada positiva (es creciente) en (-∞,0∪ ∞,0∪  , +∞ +∞ Y tiene derivada negativa decreciente en 0,

%  


En x=0 existe un máximo relativo porque la derivada calculada en puntos cercanos a 0 cambia de f¨(x)>0 a f¨(x)<0 %

%

En x= existe un mínimo relativo porque la derivada derivada calculada en puntos cercanos a  cambia

de f`(x)<0 a f`(x)>0

También podemos aplicar el criterio de la segunda derivada para hallar los máximos o mínimos relativos de f(x)=      . Su primera derivada es f`(x)=3   % % 

f´´(x)=6x-4 y calculamos la derivada en x=0 y x=

f``(0)=6(0)-4<0 en x=0 existe un máximo relativo %

%

%

f``( )= 2 34  %>0 luego en x= 56785 9: ;í:6;< =5>?86@< Hallemos la concavidad y los puntos de inflexión Hallamos la segunda derivada y la igualamos a cero %  2 

f``(x)=6x-4=0 de donde x= = 

Veamos si x= es un punto de inflexión, para ello estudiemos el campo de variación de la segunda derivada



La segunda derivada es negativa (cóncava hacia abajo) (-∞, ∞, ) 

La segunda derivada es positiva (cóncava hacia arriba) en ( ´,$∞) 

Como cambia la segunda derivada entonces x= es un punto de inflexión Grafiquemos la función estudiando los campos de variación de f, f`,f`` y calculando

F

F 

E 

E

f(0)= 0

E F

GE

f()= 34  2 34 = FH F F

L

L

f( )= 3 4  2 3 4 =  =    FH J

LKFE FH

=

KMG FH

F J

=

GEKJG FH

=

KF FH


punto máximo relativo punto de inflexión

mínimo relativo


Graficar utilizando elementos de cĂĄlculo diferencial

     

El dominio de la funciĂłn son todos los reales

Las raĂ­ces o cortes con el eje x, hacemos y=0

   



De donde x=0 es la Ăşnica raĂ­z Campo de variaciĂłn de la funciĂłn

     

La funciĂłn es negativa o estĂĄ por debajo del eje x en (-â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E;,o) y

La funciĂłn es positiva o estĂĄ por encima del eje x en (0, +â&#x2C6;&#x17E; â&#x2C6;&#x17E; AsĂ­ntotas verticales no tiene,

          Ăş   



No se tiene en x=a de su dominio, ninguno de estos lĂ­mites    â&#x2C6;&#x17E; 

AsĂ­ntotas horizontales, tomamos lĂ­mites al infinito      

     

Al dividir numerador y denominador por la mayor potencia de x en este caso es  

    

        $  

  !  "   #

 

 





 

        



%

    



%


Luego y=0 es una asíntota horizontal para valores muy grandes positivos como para valores muy grandes negativos Puntos críticos: Derivamos la función

Su derivada es:

     

(  ) *     * ,  *   *  *  `  '    + ' + ' + ' +            

igualamos la derivada a cero

de donde

*  *  ´  '  +

  *  *  

Luego   * =0, por lo tanto x = 1 los puntos críticos son x=1 y x=-1 Campo de variación de la derivada

La derivada es negativa (f es decreciente) (-∞, ∞,∞,-1 ∪ 1, ∞ La derivada es positiva  f es creciente en -1,1

En xx-1 existe un mínimo relativo la función cambia de decreciente a creciente

En x1 existe un máximo relativo, la función cambia de creciente a decreciente

Hallemos la concavidad y los puntos de inflexión inflexión

Necesitamos la segunda derivada ver donde es igual a cero y donde no existe


´  ' luego

*  *  +   

*,   *   *    ``  ' +    ``  '

*  M   * ,  * N +   

``  '

*M   * ,  * N +   O

``  '

*M   * ,  ,N +   O

*M*  N ``  ' +   O

la igualamos a cero

M  * N ``  ' +   O

``  '

X=0 y   *   de donde x= 3

M  * N +

  O

M  * N 

X=0 x=-3 y x=3 son los posibles puntos de inflexión Campo de variación de la segunda derivada

La segunda derivada es negativa (La función es cóncava hacia abajo )(-∞, ∞,3∪ 0,3 0,3 ∞,-3∪ La segunda derivada es positiva la función es cóncava hacia arriba -3,03, ∞ 3,03, ∞


Los puntos xx-3, x3 y x0 son puntos de inflexión, en puntos muy cercanos cambia el signo de la segunda derivada Hagamos la gráfica estudiando los campos de variación

Hallar f(-1), f(1), f(-3), f(0) ,f(3) f(-1)=-2; f(1)=2 ; f(-3)=-6/5 ; f(0)=0 ;f(3)=6/5 En la gráfica se debe leer lo mismo que está en los campos de variación


f(x)=4x/(x^2+1)

maximo absoluto

punto de inflexión f ` (x)>0

f ´ (x)<0

y=0 es una asintota horizontal

punto de inflexión f ´ (x)<0

mínimo absoluto

f ` (x)>0


Gráficas de funciones