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Cálculo 2 (EPE) CE14 Taller Presencial Nº 03 Ciclo 2014-0-B Profesores del taller: Joel Alanya, Carlos Loayza, Carlos Salazar, Miguel Torres, Willian Reyes. Coordinador: Juan Accostupa 1. Analice la veracidad de las siguientes proposiciones. Justifique sus respuestas a) El gradiente de la función f x; y   ln x 2  y en el punto 1;1 es 1;1 .

b) Las curvas de nivel de z  f x; y   x  y en el nivel z  k con k    0 son familias de hipérbolas. 2

2

2. Dada la función f definida por f ( x, y)  e x  xy  e y .

a) Hallar todos los vectores unitarios u  u1 ; u2  2 para los cuales Du f (1,1)  u1  u2 .

b) En el punto 1;1 ¿en qué dirección se da la mayor razón de cambio de f y cuál es su valor? 3. Encuentre los puntos críticos de la función f , y clasifíquelos como puntos de máximo relativo, mínimo relativo o puntos de ensilladura. f ( x, y)  2 y[ x 2   y  1 ] . 2

4. Una caja rectangular sin tapa deberá tener un volumen fijo de 32cm 3 . ¿Cómo deberá hacerse la caja para emplear en su manufactura la cantidad mínima de material? 5. Hallar

z z y determine su valor para , t s

s 1 2t  1 ,y t s  xy , x  s  t , y  ts

a. t  1 y s  1 si z  ln x 2  y 2 , x  b. t  1 y s  1 si z  e x y 6. a. Calcular la integral doble

 x

2

D

   y cos xy 2dxdy donde D  x; y   2 : 0  x  ,0  y  2 . 2   1 1

b. Es aplicable el Teorema de Fubini en la siguiente integral doble

x2 y 0 0 1  y 2 dxdy . Justifique

c. Miguel, entusiasta alumno del curso de Cálculo 2 afirma que la siguiente igualdad se cumple

 1 2  1 y  x2 y dxdy    x dx   dy  . Calcule por separado cada lado de la igualdad y concluya 2 2  1 y 0 0 0  0 1  y  1 1

que la afirmación de Miguel es cierta. d. Calcular

 xdxdy

donde D  x; y  2 : 0  y  2,0  x  4  y 2

 ¿Qué puede decir de

D

las siguientes integrales dobles

 xdxdy y  xdydx ? Justifique. D

D

UPC, Marzo del 2014


Respuesta: 1. a. Falso.

b. Verdadero

2.

a.

3.

4.

1   1 1  1 ; ;  ,    2 2  2 2 

b.

 1 1;  ,  2

5 4

1;0, 1;0, 0;1 son puntos sillas y  0; 1  mínimo relativo 

3

x  y  4cm ancho y largo y z  2cm alto.

5. a.

z z  8,  4. t s

b.

z z  0.26,  1. t s

6.  /2 2

a.

 x

2

y cos xy 2 dxdy  

0 0

 16

.

b. Verdadero. 1 1

1  1 y x2 y 2 dxdy  0.115 ,  x dx  0,3 ,  dy  0.346 . c.  1 y2 1 y2 0 0 0 0

2

d.



4 y 2

0 0

2



0 0

xdxdy 

4x 2

8 3

xdydx 

8 . 3

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