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CONTENTS 警專入學考試 常用數學公式 01

數 ....................................................................... 001

02

數列級數 ........................................................... 009

03

平面直線方程式 ..................................................... 015

04

二次函數 .................................................................. 021

05

多項式 ...................................................................... 027

06

指數與對數 ............................................................. 033

07

三角函數 .................................................................. 041

08

平面向量 .................................................................. 059

09

空間向量 .................................................................. 073

10

圓 .............................................................................. 085

11

球 .............................................................................. 097

12

圓錐曲線 .................................................................. 103

13

排列組合 .................................................................. 119

14

機率 .......................................................................... 129

15

敘述統計 .................................................................. 141

16

初等微積分 ............................................................. 149

17

矩陣 .......................................................................... 159 ─1─


01 數 .數系 .倍數的判別 .因數個數 .除法原理 .輾轉相除法原理 .餘數定理 .複數 .複數 n 方根

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-002-


數系     正整數 N       有理數 Q 整數 Z 0  負整數 實數 R      分數、有限小數、循環小數     無理數   複數 C 實數:有理數與無理數總稱為實數。 有理數:有理數是一個整數 a 和一個非零整數 b 的比值,通則為 a ,有理數的小數部分有限或為循環。不是有理數的實數遂稱為 b

無理數。

倍數的判別 2 的倍數:個位數字為偶數(含 0) 3 的倍數:各個數字和為 3 的倍數 4 的倍數:末二位數為 4 的倍數 5 的倍數:個位數字為 5 或 0 8 的倍數:末三位數為 8 的倍數 9 的倍數:各個數字和為 9 的倍數 11 的倍數:奇數位數字和與偶數位數字和相差為 11 的倍數

01

003


因數個數 設 A  p a  qb  r c ,其中 p、q、r 為正質因數,a、b、c 為正整數,則:  A 之正因數個數=(a+1)(b+1)(c+1)  A 之因數個數=2(a+1)(b+1)(c+1)  A 之正因數總和= (1  p  p 2    p a )(1  q  q 2    q b )(1  r  r 2    r c )

 A 之正因數乘積=2 正因數個數 /2= 2( a 1) b 1)( c 1) / 2

除法原理 若 a、b 為整數,則可以找到整數 q 與 r 使得 a=bq+r 且 0  r  b , 此時我們稱 a 為被除數, b 為除數, q 為商, r 為餘數

輾轉相除法原理 a、b 為整數, b  0 ,如果 a=bq+r,q:a 除以 b 的商;r:a 除以 b 的餘數,則 (a,b)=(b,r)

餘數定理 設正整數 x、 y 除以 a 之餘數分別為 r1 、 r2 則:  x  y 除以 a 之餘數恰為 r1  r2 除以 a 之餘數  x  y 除以 a 之餘數恰為 r1  r2 除以 a 之餘數

004

警專入學考試-常用數學公式


複數  i 的週期性: i 2  1 , i 3  i , i 4  1 , …  複數的相等: a、 b、 c、 d  Q ,若 a  bi  c  di

a c;bd  z  a  bi ,則 z 的共軛複數 z  a  bi  複數的極式:將複數 z=x+iy 表示成 z  r (cos  i sin ) ; z  r  x2  y2  複數的乘法:設 z1 、 z2 之極式分別為 z1=r1(cos α +i sin α ) ,

z2=r2(cosβ +i sinβ ),則 z1  z2  r1  r2 [cos (   )  i sin(   )]  複數的除法:  若 z  0 , z  r (cos  i sin ) ,則  若 z1  0 ,則

1 1  [cos (  )  i sin(  )] z r

z1 r1  [cos (   )  i sin(   )] z2 r2

 棣美弗定理: n 為整數,若設 z  z (cos  i sin ) , n

則 z n = z (cosn +i sinn )

z  a 2  b2  R  設 z  a  bi (、b  R ) ,則 ,且不為負  設 z1 、 z2  C ,則 z1  z2  z1  z2 ; z1  z2  z1  z2

 設 z1 、 z2  C ,則 z1  z2  z1  z2 ; 01

005


z1 z  1 z2 z2 2

2

 z  z  z = z  z  1 ,則 z  z  1  z 

1 z

 z 0 z0  z1  x1  y1i , z2  x2  y2i ,則 z1  z2  ( x1  x2 ) 2  ( y1  y2 ) 2 表 z1 與 z2 之距離

複數 n 方根  設 n  N , n  2 ,則滿足 z n   (  為已知複數)之 z 叫  之 n 次方根,通常有 n 個解。  若 z n    r ( cos  i sin ) , r  0 而 z0 , z1 , z2 ,…, z x 1 為其

n 個方根,則 1

zn  r n ( cos

2   2    i sin ) ,   0 , 1, 2,…, n  1 n n

 若上面之 z0 , z1 , z2 ,…, zn 1 洽分布在一圓上,其圓心為原 1

點,半徑 r n ,則各點可將此圓 n 等分;連接各點則可得一正 n 邊形  若 n  2(n  N ) ,且   cos

2 2 ,則:  i sin n n

  為 x n  1 之虛根,而 1,  ,  2 ,,  n 1 為 x n  1 之解集合   n  1 : 1     2     n 1  0 006

警專入學考試-常用數學公式


 x n 1  x n  2    1  ( x   )( x   2 ) ( x   n 1 )  x n  a (a  C , n  N ) ,若已知有一根為  n ,則此方程式之解集 為  n , n , n 2 ,, n n 1  立方根  

1  3i 之性質: 2

 3  1  1   2  0   3 n  1(n  N )   2 n   n  1 or 2(n  N )  a 2  ab  b 2  (a  b 2 )(a 2  b )  x 2  x  1  ( x   )(a   2 )

01

007


008

警專入學考試-常用數學公式


02 數列級數 .等差數列 .等差級數 .等比數列 .等比級數 .無窮等比級數 .常用  公式 .無窮循環小數 .差比數列 Cn

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