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1. Escalares e Vetores Algumas grandezas físicas ficam determinadas apenas pela sua magnitude ou seu valor numérico. A estas grandezas damos o nome de escalares. Por exemplo, a massa e o volume de um corpo são grandezas escalares; a temperatura também é escalar. Por outro lado, como já citado anteriormente, algumas grandezas exigem, para sua completa especificação, além do seu valor numérico, o conhecimento de uma direção orientada. Tais grandezas são chamadas vetores. O exemplo mais óbvio é o deslocamento de um corpo, que é determinado conjuntamente pela distância percorrida e pela direção orientada do deslocamento. Por exemplo, se uma partícula de desloca do ponto P até o ponto Q, como mostrado na figura 1, seu deslocamento é determinado pelo comprimento do segmento ⃗⃗⃗⃗⃗ e pelo ângulo () que o mesmo faz com o eixo de referência X .

Figura 2

A magnitude de um vetor ⃗ é também chamada de módulo de ⃗ , e denotada por ⃗ . Note-se que ⃗ é um escalar. De agora em diante, quando não houver perigo de confusão, denotaremos o módulo de ⃗ simplesmente por , para simplificar nossas expressões. 2. Operações Básicas com Vetores Passaremos agora a definir algumas operações algébricas com vetores e suas propriedades. 2.1 Multiplicação por um escalar Multiplicar um vetor por um escalar (k) significa obter outro vetor com mesma direção e magnitude igual a k vezes a do vetor original. Se k for menor que zero, o novo vetor terá mesma direção, porém sentido contrário ao primeiro. A fig. 3 mostra alguns exemplos.

Figura 1

Representaremos então o deslocamento da partícula pelo vetor ⃗⃗ , que tem comprimento igual a distância percorrida pela mesma e direção orientada dada pelo ângulo  . Generalizando, podemos dizer que um vetor pode ser representado graficamente por um segmento orientado, com comprimento, direção e sentido. Desta forma, dois vetores serão equivalentes (ou iguais) se tiverem mesmo comprimento, direção e sentido, independentemente de sua localização com relação a origem. Por exemplo, na figura 2, os vetores ⃗ ⃗⃗⃗ do plano x-y são, na verdade, o mesmo vetor.

Figura 3

Dessa forma, podemos dizer que dois vetores paralelos, mas com módulos diferentes, são múltiplos. Ou seja, um pode ser obtido a partir do outro pela multiplicação por um escalar. Um vetor unitário é um vetor cujo módulo é 1 . Qualquer vetor ⃗ pode ser expresso como o produto do seu módulo pelo vetor unitário ⃗ que tem a mesma direção orientada. Veja figura 4. 1


|⃗ | ⃗

Imaginemos que uma partícula sofreu dois deslocamentos sucessivos, representados por ⃗⃗⃗

e ⃗⃗⃗ respectivamente, como na figura 6. Vemos que sua posição final (C) poderia ser alcançada por um deslocamento único, representado pelo vetor ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ . Assim, este vetor é, por definição, a soma dos vetores ⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗ . Figura 4

Desta forma, podemos também definir o vetor oposto (ou negativo) a um dado vetor ⃗ da seguinte forma. Denotaremos o oposto de ⃗ por ⃗ . Assim: ⃗

|⃗ | ( ⃗ )

|⃗ | ⃗

Figura 6

Observações:

i.

⃗ é O módulo de | ⃗| |⃗ |

ii.

Se k =0 ou ⃗

⃗ , ou seja : ⃗

⃗ , teremos

iii. Da nossa definição de vetores múltiplos e de ii , podemos concluir que o vetor ⃗ é paralelo a qualquer vetor.

iv.

⃗ , podemos Dado qualquer vetor ⃗ obter o vetor unitário na direção de ⃗ , fazendo ⃗ ⃗

2.2 Soma de Vetores

Essa é a primeira técnica usada para somar dois vetores graficamente, que consiste em desenhálos de forma a posicionar a extremidade inicial do segundo junto à extremidade final do primeiro. Depois disso, basta juntar a extremidade inicial do primeiro à extremidade final do segundo. O vetor assim formado é o vetor soma. A segunda técnica usada para somar dois vetores é a chamada regra do paralelogramo. Ela consiste em desenhar os dois vetores partindo da mesma origem, e completar o paralelogramo cujos lados têm magnitudes iguais as dos vetores. O vetor soma, fica então determinado pela diagonal do paralelogramo, como mostra a figura 7.

Para melhor entender a operação de adição de vetores, vamos, mais uma vez, imaginar os mesmos como representantes do deslocamento de uma partícula. Suponhamos que queremos somar os dois vetores abaixo

Figura 7

Para determinarmos o módulo do vetor soma, a técnica do paralelogramo é mais adequada, como representada na figura 8. Figura 5

2


Para determinar o módulo do vetor diferença, vamos novamente usar as relações métricas dos triângulos retângulos conhecidas da geometria. Observe a figura 10. Nela podemos dizer que ̅̅̅̅= ⃗  sen  e ̅̅̅̅ = ⃗  cos  .

Figura 8

Nesta figura vemos os vetores ⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗ , dos quais queremos obter a soma. Após completarmos o paralelogramo, vamos baixar uma perpendicular de C até o prolongamento do lado inferior do paralelogramo, formando assim o triangulo retângulo ACH. Se chamarmos de  o ângulo formado pelos dois vetores ⃗⃗⃗ e ⃗⃗⃗ , podemos usar o teorema de Pitágoras no triângulo ACH para escrever: |⃗

⃗ |

(

)

(

)

donde : ⃗

Figura 10

Logo, no triângulo retângulo ACH, temos os ̅̅̅̅ ⃗ catetos medindo: e ̅̅̅̅ | ⃗ | ⃗ . Assim, aplicando Pitágoras nesse triângulo concluímos que: ⃗

A expressão acima é equivalente a Lei dos Cossenos em um triângulo qualquer da Geometria.

Note que usamos o triângulo retângulo CDH, cuja hipotenusa mede ⃗ , e relações geométricas conhecidas, para obter ̅̅̅̅ ⃗  cos  e ̅̅̅̅= ⃗  sen  .

2.4 Propriedades da Adição

2.3 Diferença entre Vetores

a) Cumutatividade:

Para determinar a diferença entre dois vetores, basta somar o primeiro ao oposto (ou negativo) do segundo, como mostrado na figura 9.

Para provar a cumutatividade basta observar que, não importa a ordem com que os dois deslocamentos sucessivos são aplicados à partícula, a posição final será sempre a mesma (C). Vide figura 11

A adição de vetores apresenta propriedades similares as da adição entre números reais. ⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

Figura 9

Ou seja: ⃗

( ⃗ )

Figura 11

3


b) Associatividade: ⃗

(⃗⃗⃗⃗

⃗⃗ )

(⃗

⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

⃗⃗

Figura 13

A figura 12 nos permite ver que ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ ⃗ . Assim temos: ⃗

( ⃗⃗⃗

(⃗ mas ⃗⃗⃗⃗ prova.

⃗⃗⃗ ) ⃗

⃗)

(⃗

(⃗⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗

Vemos que:

Figura 12

⃗⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗

⃗)

⃗⃗⃗⃗

⃗ , o que completa a

⃗⃗⃗⃗

(⃗⃗⃗⃗

⃗⃗⃗⃗ )

3. Componentes de um Vetor Como vimos anteriormente, se dois vetores são paralelos à mesma direção orientada e possuem o mesmo módulo, então eles são equivalentes. Assim, podemos afirmar que todo vetor tem um equivalente passando pela origem do plano cartesiano. Podemos usar este fato para exprimir qualquer vetor através de suas componentes paralelas aos eixos x-y.

c) Leis Distributivas (⃗

⃗⃗⃗⃗ )

⃗⃗⃗⃗

e )⃗

(

A prova das leis distributivas é deixada como exercício. d) Elemento Neutro:

e) Existência do Inverso Aditivo (ou Oposto) ⃗ f)

( ⃗)

⃗⃗⃗

Anticumutatividade da Diferença

Notemos que, diferentemente da soma, a diferença entre dois vetores não é comutativa. Pelo contrário, podemos mostra que ela é uma operação anticomutativa, ou seja, o vetor ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ é o oposto (ou negativo) do vetor ⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗ , como fica claro na figura 13.

Figura 14

O vetor ⃗ da figura 14 pode ser decomposto em dois vetores perpendiculares entre si e paralelos aos eixos coordenados. ⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

Esses vetores são denominados componentes ortogonais do vetor ⃗ . Podemos notar que, as componentes são também as projeções do próprio vetor sobre os eixos coordenados. Dadas as componentes de escrever: |⃗ |

√ ⃗⃗⃗

⃗ , podemos

⃗⃗⃗

4


Uma forma útil de expressar o vetor ⃗ é através dos vetores unitários nas direções dos eixos ⃗ coordenados. Chamemos de ⃗ os vetores unitários nas direções x e y, podemos então escrever: ⃗

|⃗ | ⃗

Portanto teremos ⃗

|⃗ | ⃗

4.1 Multiplicação por Escalar Para multiplicar um vetor por um escalar (k), basta multiplicar suas duas coordenadas por k.

Podemos também escrever ⃗

|⃗ |

|⃗ |

Com essa representação, as operações de multiplicação de um vetor por um escalar, soma de vetores e subtração de vetores, ficam reduzidas a operações algébricas com estas coordenadas. Por isso esta forma de representar um vetor é chamada Forma Algébrica.

(

)

ou ⃗

|⃗ | (

⃗ )

4. Forma Algébrica dos Vetores Uma forma alternativa de representar um vetor, bastante conveniente em certas aplicações, é usar um par ordenado cujas coordenadas sejam iguais à magnitude das componentes do vetor. Assim teremos: ⃗

(| ⃗ | | ⃗ |)

(| ⃗ |

Figura 16

4.2 Soma de Vetores )

Convém notar que isso corresponde a representar o vetor pelas coordenadas cartesianas de um ponto localizado na extremidade do mesmo.

Para somar dois vetores na forma algébrica, basta somar suas coordenadas. Desta forma: ⃗

⃗⃗⃗

(

)

Figura 17 Figura 15

Para simplificar a notação podemos chamar os módulos das projeções de | ⃗ | e ⃗ , respectivamente, denotando então o | | vetor por ⃗ ( ).

4.3 Subtração de Vetores Para subtrair dois vetores na forma algébrica, basta subtrair suas coordenadas, obtendo assim: ⃗ ⃗⃗⃗ ( )

5


Em notação algébrica teremos: ⃗

(

)

O módulo de um vetor ⃗ no espaço 3D, será dado por: |⃗ | Figura 18

√⃗

Ou, pela notação simplificada:

5. Vetores no Espaço Tridimensional Se pensarmos em vetores no espaço tridimensional, teremos as seguintes representações, análogas às apresentadas para vetores no plano.

|⃗ |

5.1 Ângulos Diretores Embora esta forma de caracterizar um vetor no espaço 3D seja mais elegante, por utilizar apenas dois ângulos, em certas ocasiões é conveniente utilizar outra forma, que utiliza os três ângulos que o vetor faz com os eixos cartesianos. Um deles é o próprio (entre o vetor e o eixo z), já usado na representação anterior. Vamos agora chamar de  e , os ângulos que o vetor faz com os eixos x e y respectivamente, como na figura 20.

Figura 19

A representação do vetor ⃗ através de suas componentes será ⃗

Onde: ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗ ⃗

Se utilizarmos os vetores unitários nas três direções para representar ⃗ , teremos ⃗

|⃗ | ⃗

|⃗ | ⃗

|⃗ | ⃗

Ou simplesmente ⃗

Figura 20

Podemos então exprimir as projeções do vetor ⃗ sobre os três eixos cartesianos como: ⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

⃗⃗⃗

6


Se substituirmos as três relações acima na expressão do módulo de ⃗ , teremos: |⃗ |

|⃗ |

Podemos verificar também facilmente, a partir da definição, que para qualquer escalar m, temos: ( ⃗ ) ⃗⃗

⃗ ( ⃗⃗ )

(⃗ ⃗⃗ )

Simplificando, temos:

Os ângulos ,  e , são chamados ângulos diretores do vetor ⃗ e as seus cossenos são ditos cossenos diretores do vetor.

Nesse caso, se ⃗

6. Produto Escalar O produto escalar entre dois vetores e ⃗, representado por ⃗ ⃗⃗ (leia-se “A escalar B”), é definido como a grandeza escalar obtida efetuando-se o produto do módulo de pelo módulo de ⃗ e pelo cosseno do ângulo formado pelos dois vetores. ⃗ ⃗⃗

Observação: Não vale a Lei do Corte para o ⃗ Produto Escalar. Ou seja, se , com ⃗ , não podemos afirmar que , como no caso da multiplicação entre escalares.

⃗⃗

⃗ , já que, Pela definição vemos que ⃗ ⃗ nesse caso  = 0, e cosseno de zero é igual a 1. O produto escalar pode ser usado para ⃗. determinar o ângulo entre dois vetores Para isso basta usar a definição e escrever: ⃗

, então teremos ⟹ . Ou (⃗ ) seja, como estamos supondo , o que ⃗ podemos afirmar é que: Ou , ou é ⃗ perpendicular a . 6.1 Projeção Ortogonal e Produto Escalar Na figura 21, o vetor ⃗ é delimitado pelo segmento ̅̅̅̅ . Mas, como sabemos da trigonometria, ⃗ é o comprimento da projeção ortogonal do segmento ̅̅̅̅ sobre a direção de . Então, podemos interpretar a expressão do Produto Escalar ⃗ ⃗⃗ (⃗ ⃗⃗ ), dizendo que trata-se do produto do módulo de pelo módulo da ⃗ projeção de na direção de .

⃗ ⃗ é o arco Logo, o ângulo entre os vetores cujo cosseno é dado pela expressão acima. Isso nos leva a outro fato importante. Dois vetores são perpendiculares ( = 900) se e só se ⃗ ⃗⃗ . Pela definição, podemos ver também que o produto escalar é comutativo, já que se trata do produto entre três escalares. Outra propriedade do produto escalar que será demonstrado adiante é a distributividade com relação a soma de vetores. Ou seja, podemos afirmar que ⃗ (⃗

⃗⃗ )

⃗ ⃗

⃗ ⃗⃗

Figura 21

Podemos usar a observação acima para provar a distributividade do produto escalar. Observemos a figura 22. Nela vemos que as ⃗ ⃗ sobre a projeções dos vetores ⃗ direção de são representadas, respectivamente pelos segmentos ̅̅̅̅ , ̅̅̅ e ̅̅̅̅.

7


Ou seja:

|

| |

̅̅̅̅

|⃗ |

̅̅̅

Como já visto anteriormente, por ser paralela a ⃗ , a componente ⃗ pode ser escrita como um ⃗, múltiplo escalar do mesmo. Logo, ⃗ para algum escalar c. A componente ⃗ pode ⃗ ⃗ . então ser escrita como ⃗

̅̅̅̅

⃗|

Ora, mas como já vimos, a condição para que ⃗ seja ortogonal a ⃗ é que tenhamos: (⃗

⃗) ⃗

Assim, podemos determinar o valor de c que torna ⃗ ortogonal a ⃗ , que é : ⃗ ⃗ ⃗

Figura 22

Teremos então:

Logo teremos (

⃗)

| | |

| | ̅̅̅̅

⃗|

(

⃗ ⃗ ⃗

mas ⃗

̅̅̅̅

| | | |

(

)⃗

⃗ ⃗

)⃗

e ⃗

̅̅̅

| | |⃗ |

então que (̅̅̅̅

⃗ | | (̅̅̅̅ ̅̅̅). Porem, vemos ̅̅̅) ̅̅̅̅, o que demonstra que (

⃗)

6.2 Decomposição de um Vetor Podemos decompor qualquer vetor em componentes ortogonais. Seja ⃗ um vetor qualquer, e ⃗ outro vetor que indica uma direção arbitrária, como mostra a figura 23-a.

Podemos chegar ao mesmo resultado usando o fato citado na seção 6.1. Primeiramente sabemos que o módulo o vetor ⃗ é dado por ⃗ , onde é o ângulo entre ⃗ e ⃗ . Mas sabemos também que ⃗ ⃗ ⃗ Logo podemos escrever: |⃗ |

(

|⃗ | |⃗ |

) |⃗ |

Figura 23-b

Queremos decompor ⃗ em duas componentes, respectivamente paralela e ortogonal a direção de ⃗ , como na figura 23-b.

(

|⃗ |

)

Mas se temos o módulo e a direção de um vetor, para determiná-lo basta multiplicar esse módulo pelo vetor unitário naquela direção. No caso a direção é a mesma de ⃗ , o que nos permite escrever o unitário nessa direção como: ⃗ ⃗

Figura 23-a

O que nos dá finalmente: ⃗

(

|⃗ |

)

⃗ ⃗

(

⃗ ⃗ ⃗

)⃗

8


Usando a forma algébrica podemos mostrar facilmente que as seguintes propriedades:

6.3 Forma Algébrica do Produto Escalar Vamos agora introduzir uma nova forma de expressar o produto escalar, denominada forma algébrica do produto escalar. Começaremos ⃗ em termos de exprimindo os vetores suas componentes ortogonais. Ou seja, vamos escrever: ⃗

e ⃗

Logo, se desenvolvermos a expressão do produto escalar, usando sua distributividade teremos: ⃗⃗ ⃗⃗

(

⃗ ) (

(i)

⃗⃗

(ii) |⃗⃗ |

⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗ ⃗⃗

√⃗⃗ ⃗⃗

⃗⃗

7. Produto Vetorial O produto vetorial entre dois vetores e ⃗, ⃗ ⃗⃗ representado por (leia-se “A vetorial B”), é definido como um vetor perpendicular ao plano determinado por e ⃗ , e cujo sentido corresponde ao avanço de um parafuso de rosca direita girando de para ⃗ . A figura 24 ilustra a definição.

⃗ )

(⃗

⃗ )

(⃗

⃗ )

(⃗

⃗ )

(⃗

⃗ )

(⃗

⃗ )

(⃗

⃗ )

(⃗

⃗ )

(⃗

⃗ )

(⃗

⃗ )

Nessa expressão os produtos entre parênteses são produtos escalares entre vetores unitários. Mas como os vetores unitários são perpendiculares entre si, teremos dois casos a considerar. ⃗

Assim, a soma acima se reduz a: ⃗ ⃗⃗

(

)

Que é o que denominaremos de forma algébrica do produto escalar. Se denominarmos o ângulo formado pelos dois vetores por  , usando a expressão apresentada anteriormente para o cosseno de  podemos escrever :

⃗⃗

Figura 24

A figura mostra a chamada regra da mão direita, usada para determinar o sentido do ⃗ . Esta regra consiste em produto vetorial posicionar a mão direita como mostrado na figura, como se fossemos girar uma chave de fenda para apertar um parafuso de rosca ⃗. O direita, com os dedos girando de ⃗ sentido do vetor é determinado pela posição do polegar. O módulo do produto vetorial é, por definição, dado por: ⃗

⃗⃗

⃗⃗

Pela definição vemos que ⃗ nesse caso  = 0.

(8.1) ⃗

⃗ , já que,

9


Convém notar que, como consequência da regra da mão direita, o produto vetorial é anticomutativo, ou seja: ⃗⃗

⃗⃗

Como mostrado na figura 25.

Figura 27

Ou seja:

Figura 25

| |

̅̅̅̅

|⃗ |

̅̅̅

A partir da definição, podemos também mostrar que o módulo de produto vetorial é igual a área do paralelogramo formado pelos dois vetores, como mostra a figura 26.

̅̅̅̅

⃗|

|

Como a direção dos três produtos vetoriais envolvidos na expressão (8.2) é perpendicular ⃗ ⃗, ao plano definido pelos vetores basta que provemos a validade da expressão para os módulos, ou seja, basta mostrar que |

⃗ )|

(

|

|

Usando as relações obtidas da figura 28, podemos escrever: ⃗)

(

| | ̅̅̅̅

⃗|

| | |

mas

Nessa figura vemos que a altura do ⃗ paralelogramo é . Logo a área do ⃗ paralelogramo é dada por , que equivale ao módulo do produto vetorial. O produto vetorial goza também da propriedade de distributividade com relação a soma de vetores, ou seja, podemos escrever: ⃗

(⃗

⃗⃗ )

̅̅̅̅

| | | |

Figura 26

⃗⃗

e ⃗ então | | (̅̅̅̅ ̅̅̅). Porem, ̅̅̅) ̅̅̅̅, o que demonstra

⃗ vemos que (̅̅̅̅ que |

(8.2)

Para demonstrar esta propriedade vamos observar a figura 27. Podemos notar que as ⃗ ⃗ sobre a projeções dos vetores ⃗ direção perpendicular a são representadas, respectivamente pelos segmentos ̅̅̅̅ , ̅̅̅ e ̅̅̅̅.

̅̅̅

| | |⃗ |

⃗ )|

(

|

|

É fácil mostrar que valem também as seguintes expressões para o Produto Vetorial: ⃗

( ⃗)

⃗)

i.

(

)

ii.

Se |

⃗ são perpendiculares, então ⃗| .

(

10


7.1 Forma Algébrica do Produto Vetorial

8.1 Volume do Paralelepípedo

⃗ em termos de Se exprimirmos os vetores suas componentes ortogonais obteremos: ⃗

Na figura 28 vemos um paralelepípedo cujos lados correspondem aos vetores ⃗ . Como vimos na seção 8, a área da base desse paralelepípedo é dada por . Por outro |⃗ | |⃗ | | | lado, a altura do paralelepípedo é dada por

e ⃗

Podemos então desenvolver a expressão do produto vetorial algebricamente, e, usando sua distributividade podemos escrever: ⃗⃗

⃗⃗

(

⃗ )

(⃗

⃗ )

(⃗

⃗ )

(⃗

⃗ )

(⃗

⃗ )

(⃗

⃗ )

(⃗

⃗ )

(⃗

⃗ )

(⃗

⃗ )

(⃗

⃗ )

(

⃗ )

Nessa expressão os produtos entre parênteses são produtos vetoriais entre vetores unitários. Mas como os vetores unitários são perpendiculares entre si, teremos os seguintes casos a considerar. ⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗ ⃗ ⃗ ⃗

⃗⃗

(

) ⃗

(

(

) ⃗ ) ⃗ )

Esta expressão pode ser representada de uma maneira mais compacta usando-se determinante ⃗

|

| | |

Do resultado acima resulta que, se os três vetores forem coplanares, teremos ⃗ ⃗ ⃗⃗ . Outro fato importante é que, se dois vetores quaisquer de um produto misto são iguais, então, o produto será igual a zero. Ou seja ⃗

⃗⃗

⃗⃗

⃗⃗

A primeira igualdade segue-se do fato que ⃗ é perpendicular a ⃗ , logo seu produto ⃗ escalar é igual a zero. Da mesma forma, a terceira igualdade segue da perpendicularidade ⃗ e ⃗ . Já a segunda entre os vetores ⃗⃗ ⃗⃗ igualdade vem do fato que ⃗⃗ .

|

8. Produto Misto O Produto Misto entre três vetores por definição, o escalar ⃗ (⃗⃗ ⃗ . simplesmente, ⃗ ⃗⃗

Assim, podemos escrever a expressão do volume do paralelepípedo como: |⃗

Substituindo essas relações na expressão acima, obteremos: ⃗⃗

Figura 28

⃗ , é, ⃗ ) , ou

Em um produto misto os dois operadores ⦁ e ⨯, podem ser intercambiados sem alterar o valor. ⃗ Ou seja, quaisquer que sejam , temos: ⃗

⃗⃗

⃗⃗

11


Exercícios: 1. A Desigualdade de estabelece que se quaisquer, teremos: |

⃗|

Cauchy-Schwartz ⃗ são vetores ⃗

Provar esta desigualdade 2. Mostrar a Desigualdade Triangular. Para ⃗ , vale: quaisquer vetores |

⃗|

6. Mostrar que, se tomarmos três vetores ⃗ arbitrários , pertencentes ao mesmo plano e não paralelos entre si, podemos sempre encontrar m e n escalares tais que: ⃗ Costuma-se expressar esse fato dizendo que pode ser expresso como uma ⃗. combinação linear entre

| |

3. Mostrar que a área do triângulo cujos lados ⃗ , é dada por são dois vetores ⃗ 4. Provar a Identidade de Lagrange. Para ⃗ quaisquer vetores |

⃗|

| | |⃗ |

(

⃗)

5. Aplicações à geometria. Tomemos um triângulo qualquer, como na figura abaixo.

Usando Vetores, mostrar que valem as:

i.

Lei dos Cossenos

ii.

Lei dos Senos

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Vetores e algebra vetorial  

Vetores, Soma de vetores, Produto Escalar, Produto Vetorial, Projeção Ortogonal