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1. Um pouco de História Como já dito no artigo sobre medidas e unidades, medir uma grandeza física é fundamentalmente um ato de comparar um determinado valor desta grandeza, com outro valor escolhido como padrão unitário da mesma. Assim, quando se diz que um campo de futebol mede 90 metros, isso quer dizer que seu comprimento é igual a 90 vezes o da unidade padrão de comprimento, que é o metro. Desta forma, o desenvolvimento dos sistemas de unidades confunde-se com o próprio desenvolvimento das ciências e também do mercantilismo, já que as unidades também eram necessárias na efetivação das transações comerciais. As unidades de medida eram definidas de maneira arbitraria. As de comprimento, por exemplo, eram quase sempre derivadas das partes do corpo do rei de cada país: a jarda, o pé, a polegada e outras. Posteriormente, com o desenvolvimento das ciências e do comércio, este aspecto arbitrário e local passou a dificultar as transações comerciais e o intercâmbio científico entre os países. Em maio de 1875 um tratado internacional conhecido como Convention du Mètre (Convenção do Metro), foi assinado em Paris por 17 Estados. Entre outras decisões, este tratado criou o Bureau International des Poids et Mesures (BIPM), um laboratório permanente e centro mundial da metrologia cientifica, localizado em Sèvres na França, cujas atividades incluem o estabelecimento das normas de base e das escalas das quantidades e grandezas físicas e manutenção dos padrões internacionais. Foi também na segunda metade do séc. XVIII, que James Clerk Maxwell propôs a criação de um sistema coerente de grandezas físicas e suas respectivas unidades, no qual um pequeno número de grandezas ditas grandezas fundamentais seriam suficientes para expressar todas as

outras grandezas, então denominadas grandezas derivadas. Maxwell propôs então um sistema baseado em três grandezas (comprimento, massa e tempo), que logo se mostrou adequado para lidar com o estudo da mecânica, mas que não funcionava quando se tentava derivar dele as grandezas inerentes ao estudo dos campos eletromagnéticos. Então durante a primeira metade do século XX o BIPM, em cooperação com outras organizações internacionais, se encarregou de definir unidades de medida para: Carga elétrica, temperatura, intensidade luminosa e quantidade de metéria. Como resultado deste trabalho, em 1960, durante a 11ª Conferência Geral de Pesos e Medidas em Paris, foi estabelecido o Sistema Internacional de Unidades (SI). 2. O Sistema Internacional de Unidades O Sistema Internacional de Unidades conforme adotado hoje, foi concebido com base em sete grandezas fundamentais e usando a conveniência do sistema decimal. O sistema é adotado em quase todos os países do mundo tanto para padrões científicos como comerciais. Pela necessidade de acompanhar o avanço das ciências, o SI é reconhecidamente um sistema em aberto e, com base em novos acordos internacionais, é capaz de acomodar novas grandezas e suas respectivas unidades, além de alterações na definição dos atuais padrões, conforme a evolução da precisão de mensuração das grandezas. O quadro abaixo resume as grandezas básicas do SI e suas respectivas unidades: Grandeza Comprimento Massa Tempo Corrente Elétrica Temperatura Quantidade de matéria Intensidade luminosa

Unidade metro quilograma segundo ampére Kelvin Mol Candela

Símbolo m Kg s A K mol cd

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Todas as outras grandezas do SI (grandezas derivadas) podem ser expressas a partir dessas sete por multiplicação ou divisão. Existem também as grandezas múltiplas e sub múltiplas que são formadas a partir de suas originais pela adição de prefixos. O quadro abaixo mostra os prefixos utilizados no SI: Nome

Símbolo

Fator

yotta zetta exa peta tera giga mega Kilo heto deca unidade deci centi mili micro nano pico femto atto zepto yocto

Y Z E P T G M k h da d c m  n p f a z y

1024 1021 1018 1015 1012 109 106 103 102 101 100 10-1 10-2 10-3 10-6 10-9 10-12 10-15 10-18 10-21 10-24

3. Equações Dimensionais Como dissemos anteriormente as unidades do SI podem ser derivadas das unidades básicas através de operações de multiplicação e divisão. Por exemplo, a unidade de área é o metro quadrado (m2), e por ser esta unidade obtida pela multiplicação de comprimento por comprimento, dizemos que a mesma tem dimensão comprimento ao quadrado, e para simbolizar esse fato escreve-se L2. Equação dimensional ou Função dimensional, é uma função binária que associa a cada grandeza, sua dimensão física

ou expressão de unidades de medida, segundo uma lei de composição definida. Uma equação dimensional atribui (ou exibe) a unidade de medida de uma grandeza, num determinado sistema de unidades. 3.1 Definição Formal 

 

Seja S = ABC... , um sistema de unidades baseado em "n" grandezas básicas, sendo n um numero natural não nulo; Sejam α, β, γ, ...ω, números inteiros; Seja G uma grandeza a ser expressa em S;

Então, a dimensão de G em S, simbolizada por [G] é dada por: [G] = A B C ...Z onde: A, B, C, ..., Z são grandezas básicas ou fundamentais do sistema S; e α, β, γ, ..., ω são dimensões no domínio da grandeza G no sistema S. Exemplos :

Há no SI algumas grandezas derivadas que recebem nomes especiais, como por exemplo:  A unidade de Força, que tem dimensão Kg.m/s2, chama-se Newton, e tem o símbolo (N);  A unidade de Carga Elétrica, que tem dimensão Ampére  segundo, ou A  s, chama-se Coulomb, símbolo ( C );  A unidade de Energia, que tem dimensão Força  Comprimenro, ou N  m, chama-se Watt, símbolo ( W ).

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Segue-se uma tabela com as unidades do SI que recebem denominação e símbolo especiais Grandeza

Unidade

Símbolo

Ângulo plano Ângulo sólido Atividade catalítica Atividade Radioativa Carga Elétrica Força Frequência Capacitância Condutância Fluxo Magnético Densidade de Fluxo magnético Dose Absorvida Dose Equivalente Energia Fluxo Luminoso Indutância Luminosidade Potência Pressão Tensão Elétrica Resistência Elétrica

radiano esferoradiano Katal Becquerel Coulomb Newton Hertz Farad Siemens Weber Tesla Gray Sievert Joule Lumen Henry Lux Watt Pascal Volt Ohm

rad sr Kat Bq C N Hz F S Wb T Gy Sv J lm H lx W Pa V 

3.2 Aplicações das equações Dimensionais Equações dimensionais fornecem um poderoso instrumento analítico denominado Análise Dimensional. Exemplo: i.

Em um sistema no qual as unidades de comprimento, massa e tempo são respectivamente o centímetro o grama e o segundo, a unidade de força é denominada dyna. Pede-se: a. Qual a definição de 1 dyna ? Resposta: 1 dyna é a força que atuando em uma massa de 1g, irá acelerar esta massa a 1cm.s-2 . b. Dê a equação dimensional analítica do dyna ? Resposta: F = MLT-2 = g.cm.s-2 .

Dimensional Analítica 1 1 mol/s 1/s A.s Kg.m/s2 1/s 2 4 A .s /(Kg.m2) A2.s3/(Kg.m2) kg.m2/(s2.A) kg/(s2.A) m2/s2 m2/s2 kg.m2/s2 Cd kg.m2/(s2A2) Cd/m2 kg.m2/s3 Kg/(m.s2) Kg.m2/(s3.A) Kg.m2/(s3.A2)

Dimensional Sintética m/m m2/m2 A.s/V A/V V.s Wb/m2 J/kg J/kg N.m cd.sr Wb/A lm/m2 J/s N/m2 W/A V/A

c. Quantos dynas representam 1 N. Resposta: 1 N = 1 Kg.m.s-2 = 103.102.1 g.cm.s-2 1 N = 105 dyna 3.3 Princípio da Homogeneidade Este princípio diz que, em qualquer sistema de unidades, se escrevermos a equação de definição de uma grandeza como função de outras grandezas do mesmo sistema, temos que ter: Eq. Dimensional do 1º membro = Eq. Dimensional do 2º membro Exemplo: Em um experimento, verificou-se que a velocidade de propagação de ondas em uma corda ( ) é proporcional a tração (T) a qual a corda está submetida e a densidade linear () da corda. Qual a forma da equação que dá em função de T e  .

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Solução: Usando o princípio da homogeneidade podemos escrever:

Mas a densidade linear é dada por -1

,

0

ou seja, tem dimensão L MT e a tensão é uma força logo tem dimensão LMT-2. Note que não precisamos saber o sistema de unidades específico que estamos usando, pois o princípio vale para qualquer sistema. Assim, vamos escrever a equação dimensional em sua forma simbólica.  LM0T-1 = (LMT-2)(L-1MT0)  LM0T-1 = L-M+T-2 Daí temos : 

{

Ou seja,

O valor da constante pode ser determinado experimentalmente. Basta medir a velocidade de propagação de ondas em cordas de diferentes densidades e submetidas a diferentes tensões.

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Sistemas de Unidades  

Sistemas de Unidades

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