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1. Relações

1.2 Relações

1.1 Pares Ordenados Um par ordenado é, como o nome diz, um par contendo elementos de um ou mais conjuntos listados em uma determinada ordem. Por exemplo, dado o conjunto C = {a,b,c,d,e} , podemos formar o par ordenado (a,b) que tem a como primeira coordenada e b como segunda coordenada. É importante notar que, pela própria definição, teremos (a,b) ≠ (b,a) . Convém também notar que o par ordenado (a,b) não é igual ao conjunto {a,b}, já que na definição de conjunto a ordem não importa.

Uma relação entre elementos de dois conjuntos A e B, é simplesmente um subconjunto do produto cartesiano A x B. Ou seja, uma relação R, definida entre os elementos de A e B, é um conjunto de pares ordenados (a,b) nos quais a  A  b  B. Se R é uma relação, as vezes é conveniente expressar o fato de que (x,y)  R escrevendo simplesmente . Exemplos: i. Se tomarmos o Produto Cartesiano do exemplo anterior, podemos definir a seguinte relação R.

Dados dois conjunto A e B, podemos definir o conjunto de todos os pares ordenados (a,b), com a  A e b  B. Este conjunto é chamado Produto Cartesiano entre A e B, e representa-se da seguinte forma : A x B = {(a,b) | a  A  b  B} Exemplo: Suponhamos os conjuntos X = {a,b,c,d} e Y = {1,2,3}, teremos então : X x Y = {(a,1), (a,2), (a,3), (b,1), (b,2), (b,3), (c,1), (c,2), (c,3), (d,1), (d,2), (d,3)} Neste caso, poderíamos representar graficamente o produto cartesiano X x Y como na figura 1. Note-se que os círculos pretos na figura representam os pares ordenados de X x Y .

figura2

Ou seja, R = { (a,3), (b,2), (b3), (c,2) } ii. Seja A um conjunto qualquer, podemos definir R como o conjunto de todos os pares (x,y)  A x A, tais que x = y. Ou seja, R é a relação de igualdade entre elementos de A. iii. Seja A um conjunto e (A) o conjunto das partes de A. Podemos definir a relação R no produto cartesiano A x (A), como o conjunto de todos os pares ( ,Y) para os quais , onde Y é um subconjunto de A. Essa relação é a relação de pertinência entre os elementos de A e seus subconjuntos. Ou seja,  .

figura 1

Associados a toda relação R, existem dois conjuntos denominados de Projeções de R sobre a primeira e a segunda coordenadas, respectivamente.

1


Esses dois conjuntos são chamados de Domínio e Imagem da relação R, e são definidos como: Dom R = { | Im R = { |

de equivalência definidas em A, no sentido em que a relação de igualdade é o menor subconjunto de A X A, possuindo apenas os pares ordenados do tipo , enquanto que o produto cartesiano A X A é o maior subconjunto de si mesmo. Exemplo:

Se R é uma relação incluída no produto cartesiano A X B, então Dom R  A e ImR  B, e nesse caso dizemos que R é uma relação de A em B. Quando R é definida no produto cartesiano A X A, então usa-se dizer que R é uma relação em A. Se R for a relação definida no exemplo i acima, teremos Dom R = {a,b,c} e Im R = {2,3}. Se R for a relação de igualdade, definida em um conjunto A, como no exemplo ii, teremos Dom R = Im R = A. Já no exemplo iii teremos, Dom R = A e Im R = (A) – {}. 1.2.1 Relações de Equivalência Uma relação R, definida em um conjunto A é dita reflexiva se   A, ; ela será dita simétrica se ; e ela será dita transitiva se . Exemplos: Dado o conjunto A = {1,2,3,4}, classificar as seguintes relações definidas em A. i. R1={(1,2);(2,2);(2,3);(2,1);(3,2)} ii. R2={(1,1);(1,2);(2,3);(1,3)} iii. R3={(1,1);(2,2);(3,3);(4,4);(2,4)} Reflexiva

Simétrica

Transitiva

R1

Não

Sim

Não

R2

Não

Não

Sim

R3

Sim

Não

Sim

Uma relação definida em um conjunto A é uma relação de equivalência se a mesma for reflexiva, simétrica e transitiva. Os dois exemplos mais simples de relações de equivalência em um conjunto A são a relação de igualdade e o produto cartesiano A X A. É fácil ver também que essas são respectivamente, a menor e a maior relação

Seja A = {1,2,...,20} . Vamos definir a relação R entre elementos de A, de tal forma que xRy se e só se a diferença (x – y) for divisível por 3. Ou, formalmente: R = { (x,y) : (x-y) = k.3 ; k ∊ ℤ} i.

R é reflexiva, pois ∀ x ∊ A, temos (x-x) = 0.3, logo xRx ;

ii. R é simétrica, pois ∀ x,y ∊ A, se xRy teremos (x-y) = k.3, para algum k. Mas (x-y) = -(y-x), logo, se tomarmos o inteiro -k, teremos (y-x) = (-k).3, e portanto yRx. iii. R é transitiva, pois se xRy e yRz, então temos k1 e k2 ∊ ℤ tais que (x-y) = 3.k1 e (y-z) = 3k2. Logo, (x-z) = (x-y) + (y-z)= 3.k1 + 3.k2 = 3 (k1+k2), ou seja, se tomarmos o inteiro k=k1+k2 , teremos (x-z)= 3.k, e portanto, xRz. De i, ii e iii, concluímos que R é uma relação de equivalência. Existe uma conexão íntima entre as relações de equivalência definidas em um conjunto A e certas coleções de subconjuntos de A, denominadas partições de A. Uma partição de um conjunto A, é uma coleção de subconjuntos disjuntos e não vazios de A, cuja união é o próprio A.

Figura 3

2


A figura 3 representa graficamente a noção de partição de um conjunto A. Note que a coleção de subconjuntos é definida por

C = {A1,A2,...A7} e temos, como pede a definição: i.

Ak  ; k

ii.

Ai  Aj =  ;  i e j

iii.

Para provar a segunda parte, tomemos uma partição C de A, e vamos definir uma relação, que denominaremos A|C, tal que: A|C  pertencem ao mesmo conjunto da partição C .

Se R é uma relação de equivalência definida em um conjunto A, e é um elemento de A, então definimos a Classe de Equivalência de com respeito a R, como o conjunto de todos os elementos de A, tais que . Usualmente denota-se a classe equivalência de como | . Assim: |

{

de A, as quais chamaremos | , e | . Se existe | | , então e pela transitividade , ou seja, | | . Isso prova que se não podem haver elementos comuns a duas classes de equivalência distintas. Isso prova a primeira parte do teorema.

de

|

Iremos denotar por A|R o conjunto de todas as classes de equivalência definidas em A com respeito a R. Um teorema fundamental, que associa as partições de um conjunto A com as relações de equivalência definidas em A, é o seguinte. Teorema: Se R é uma relação de equivalência definida em um conjunto A, a coleção de todas as classes de equivalência de R define uma partição de A e, por outro lado, toda partição C de A, define uma relação de equivalência, cujas classes de equivalência são dadas pelos subconjuntos dessa partição. Prova: Comecemos tomando a relação R e um elemento qualquer . Como pertence a alguma classe de equivalência (nem que seja uma formada apenas pelo próprio ), então está claro que a união de todas as classes de equivalência é o próprio A. Resta provar que as classes de equivalência são disjuntas, mas isso é uma consequência direta da simetria e da transitividade de R. Tomemos as classes de equivalência de dois elementos distintos e

Exemplo: Na relação R = {(x,y) : (x-y) = k.3 ; k ∊ ℤ}, tomada no conjunto A = {1,2,3,...,20}, ficam definidas as seguintes classes de equivalência. 1|R = {1, 4, 7, 10, 13, 16, 19} 2|R = {2, 5, 8, 11, 14, 17, 20} 3|R = {3, 6, 9, 12, 15, 18} Notar que as três condições anteriormente citadas são válidas: i. 1|R, 2|R, 3|R são ≠ ∅ ii. 1|R

2|R = 1|R

3|R = 2|R

3|R = ∅

iii. 1|R ∪ 2|R ∪ 3|R = A 1.2.2 Relações de Ordem Uma relação R em um conjunto A é dita antissimétrica, se para quaisquer pertencentes a A , a ocorrência simultânea de e , implica na igualdade . Em notação matemática, teríamos. ∀ . Uma ⋀ relação definida em um conjunto A é dita uma relação de ordem parcial em A, se for ao mesmo tempo reflexiva, antissimétrica e transitiva. Exemplo: Tomemos um conjunto X. A relação de inclusão imprópria (), é uma ordem parcial definida no conjunto das partes de X ((X)).

3


Se para todo em A, tivermos  , ou seja, apenas uma das alternativas puder ser verdadeira, então a relação R será chamada uma relação de ordem total em A. Exemplo: A inclusão própria () é um exemplo de relação de ordem total, definida no conjunto das partes ((X)) de um conjunto X. Um conjunto parcialmente ordenado é um conjunto com uma relação de ordem parcial definida entres seus elementos. Como veremos em outro artigo, este conceito é fundamental na teoria dos números, principalmente para a formalização da noção de infinito e das propriedades fundamentais do conjunto dos números naturais.

Observando a figura 4, convém notar que: i.

A definição não exige que para todo exista algum tal que f(x) = y ;

ii.

Podem haver mais de um valor , associados pela função a um mesmo .

iii.

Mas cuidado, a situação apresentada na figura 5 não atende a definição de função, já que x2 é associado a dois valores diferentes em Y.

2. Funções 2.1 Definições Básicas Começaremos definindo o conceito de função a partir de conjuntos. Tomemos dois conjuntos X e Y. Uma função (f) definida em X e tomando valores em Y, ou simplesmente uma função de X em Y, é uma relação cujo domínio é o próprio X e tal que para todo , existe um, e apenas um, tal que . Notemos que as duas características chave que definem uma função são: i.

A função está definida ∀

ii.

Para todo , o valor de correspondente é definido de forma única. Ou seja: Se

figura 5

Usa-se a notação , para denotar o fato de que . Essa última forma é consagrada para funções, em vez da notação tradicional , usada para relações. Costuma-se dizer que é o valor da função f no ponto . Ou ainda, que a função f leva, ou transforma, em . A notação

;

.

A figura a seguir representa a noção de função.

é também usada para expressar o fato de que f é uma função de X em Y. O conjunto de todas as funções de X em Y é um subconjunto de (X x Y), e denota-se YX. Como, por definição, a função deve estar definida para todo , então X é o domínio da função. Por outro lado, o conjunto Y é dito contradomínio da função. Como já vimos, a definição não exige que, para todo exista tal que f(x)=y. Logo, podemos definir o conjunto dos valores de Y para os quais existe um , com f(x) = y. Este conjunto é dito imagem da função, e teremos Im f  Y.

Figura 4

4


Podemos ainda definir a imagem de um conjunto A  X pela função f (nota-se f(A)), como o conjunto de todos os valores f(x)Y que a função assume nos pontos . Ou seja f(A) = { f( ); 2.2 Funções Matemáticas

}={ Definidas

; y = f( ), por

Mais Exemplos: i.

A Organização Mundial de Saúde recomenda que cada cidade deve ter no mínimo 14m2 de área verde por habitante. Então, a função que fornece o total de área verde (V) de uma cidade, em função do seu número de habitantes (h) é: V = f(h) = 14h;

ii.

Um automóvel se desloca a uma velocidade de 50 km por hora. Logo, a função que fornece a distância (D), percorrida pelo automóvel, após (h) horas de viagem é : D = f(h) = 50h;

iii.

Uma firma de assistência técnica cobra uma taxa fixa de R$ 40,00 pela visita, mais um custo de R$ 20,00 por hora de mão-de-obra. Logo, a função que fornece o custo total (C) de um conserto em função do número de horas de mão-de-obra aplicados (h) será: C = f(h) = 40+20h.

}

Fórmulas

Existe outra maneira, mais operacional, de se estudar o conceito de função. Em grande parte dos problemas matemáticos, sobretudo nas aplicações a Física, a Engenharia, a Biologia e a Economia, uma função será encarada como uma regra ou lei matemática que relaciona inputs com outputs. Podemos descrever esta situação pela figura a seguir.

2.3 Gráfico de uma Função Denomina-se gráfico da função f:XY, o subconjunto G(f) do produto cartesiano X x Y, formado pelos pares ordenados do tipo (x , f(x)) . Ou seja: Figura 6

Nesses casos, existirá sempre uma fórmula matemática que faz a correspondência dos valores de X (domínio da função) com os valores de Y (contradomínio). Por exemplo:

G(f) = { (x,y)X x Y | y = f(x) } Exemplo:

a. f : ℝ ℝ que a cada número Real x associa o seu dobro. f(x) = 2x ou y = 2x ; b. f : ℝ ℝ que a cada número Real x associa o seu cubo. f(x) = x3 ou y = x3 ; c. f : ℝ ℝ que a cada número Real x associa o seu triplo somado a 1. f(x) = 3x+1 ou y = 3x+1; d. f : ℝ* ℝ que a cada número Real diferente de zero associa seu inverso. f(x) = ou y = ou ainda y = x-1 . Notese que nesse caso o domínio da função exclui o zero.

Figura 7

Observe os gráficos abaixo. Vemos que o gráfico da figura 8a, representa uma função, enquanto o gráfico da figura 8b não, pois um só valor de é associado a mais de um valor de .

5


Exemplos de funções sobrejetivas são as projeções 1: X x Y  X , definida por 1 (x,y) = x e 2: X x Y  Y , definida por 2 (x,y) = y .

figura 8a

figura 8b

2.4 Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva Uma função chama-se injetiva, se para todo , existe apenas um tal que y = f(x). Note que a função retratada na figura 7a não é injetiva, pois f(x1) = f(x2) = f(x3)=y . Outra forma para esta definição é dizer que: f é injetiva quando, dados x1 e x2 em X , f(x1) = f(x2) implica x1 = x2 . Ou ainda, x1  x2 implica f(x1)  f(x2). A figura 9 exemplifica uma função injetiva.

Uma função é dita bijetiva (bijeção ou correspondência biunívoca), quando é ao mesmo tempo injetiva e sobrejetiva, como a da figura 11. Note-se que as funções representadas nas figuras 9 e 10 não são bijetivas. A da figura 9 por não ser sobrejetiva e a da figura 10 por não ser injetiva.

Figura 11

A bijeção mais simples é a função identidade idX : X  X, definida por idX( ) = , para todo . Note que a identidade é um caso particular de inclusão quando X = Y .

Figura 9

O exemplo mais simples de função injetiva é a inclusão i : X  Y que é definida quando X  Y, pela regra i ( ) =

, para todo

.

Uma função chama-se sobrejetiva, se para todo , existe algum tal que f(x) = y. Note que a função retratada na figura 8 não é sobrejetiva, pois não existe tal que f(x) = y3 . A figura 10 exemplifica uma função sobrejetiva. Pela definição, vemos que f é sobrejetiva se e somente se Im f = Y .

Seja uma função f : X  Y e A  X. Há um modo natural de definir uma função g : A  Y, fazendo g( ) = f( ), para todo . A função g é denominada restrição da f ao conjunto A, e f é denominada extensão da g ao conjunto X. Costuma-se denotar g = f|A. Assim, f|A ( ) = f( ),  A. Observe que Im(f|A) = f(A). Convém também notar que a inclusão de um subconjunto A  X, é a restrição da função identidade idX àquele subconjunto A. Seja A  X. Podemos definir a função característica de A, como A : X  {0,1}, tal que A( ) = 1 ou 0 conforme ou . A função que a cada A  X, associa sua função característica A, é uma bijeção de (X) em 2X .

Figura 10

6


2.5 Composição de Funções Sejam f : X  Y e g : Y  Z , funções tais que o domínio da g é igual ao contradomínio da f. Neste caso, podemos definir a função composta gof : X  Z, que consiste em aplicar primeiro a f e depois a g. Mais precisamente, gof ( ) = g(f( )), para todo . Na verdade, a exigência de que o contradomínio da f seja igual ao domínio da g é muito forte. Para que a composta fique bem definida basta que a imagem f(X) da f esteja contida no domínio da g.

Em particular, a condição necessária e suficiente para que f seja bijetiva, é que a imagem inversa de cada elemento da imagem f(X) de f seja um conjunto não vazio e unitário, ou seja, com apenas um elemento. Se esta última condição for satisfeita, podemos então definir a função inversa da f (símbolo f -1), cujo domínio é o conjunto Im f = f(X), e cujo valor para cada y  Im f, é o único , para o qual f( ) = . Em outras palavras, para funções bijetivas podemos escrever f -1 ( ) = , se e somente se, f( )= . Assim, para obter a função inversa de uma função dada, digamos f(x), basta escrever a equação y = f(x) e algebricamente determinar x em função de y. Exemplos:

Figura 12

Exemplo:

a. Seja f : ℝ ℝ dada por f(x)=2x. Então fazemos y = 2x ⟹ x = y/2. Ou seja, -1 f (y) : y/2 .

Sejam f : ℝ ℝ+ definida por f(x)=x2 e g: ℝ+ ℝ, definida por g(x) = log(x). Então, como Im(f) = Dom(g), podemos definir a função h : ℝ ℝ, tal que h = gof(x) = log(x2).

b. Seja f : ℝ ℝ dada por f(x) = x2 . Note-se que aqui temos Im(f) = ℝ+ , portanto a inversa será uma função definida somente para números reais positivos. f -1 : ℝ+ ℝ, dada por f -1(y) = √ .

Dadas f : A B , g : BC e h : CD, vale a associatividade (hog)of = ho(gof) : A  D .

Não é difícil provar que, se f : X  Y, é uma bijeção, então a composta f -1 o f é a identidade em X, nota-se idX.

É fácil mostrar que, se f : A  B e g : B  C são injetivas, então fog : A  C é injetiva. A composta de funções sobrejetivas é também sobrejetiva. Como consequência dos fatos acima, podemos também afirmar que a composta de funções bijetivas é bijetiva.

2.6.1 Gráfico da Função Inversa Os gráficos de f e f -1 são simétricos com relação a bissetriz dos quadrantes ímpares (1º e 3º quadrantes). Veja figura 13.

2.6 Função Inversa Seja uma função f : X  Y . Comecemos definindo a imagem inversa de um subconjunto B  Y pela f, como : f -1 (B) = {

|

Não é difícil provar que a condição necessária e suficiente para que a função f seja sobrejetiva, é que a imagem inversa de qualquer subconjunto não vazio de Y seja um subconjunto não vazio de X.

Figura 13

7


2.7 Funções Pares e Funções Ímpares Diz-se que uma função f é par, quando tem-se: f(x) = f(-x) ; ∀ x ∊ Dom f . Exemplos: a. b.

| |

c. d. Decorre da definição acima, que uma função é par se, e somente se, seu gráfico é simétrico com relação ao eixo Oy. (fig. 14) Figura 15

2.8 Funções Periódicas Uma função f : X  Y é dita periódica se, e somente se, existir um p  ℝ , tal que f(x+p) = f(x) ,  x  X. Neste caso, o número p é denominado período da função. Da definição vemos que se f for periódica, na verdade teremos: Figura 14

f(x) = f(x+p) = f(x+2p) = f(x+3p) = …

Diz-se que uma função f é ímpar, quando tem-se: f(x) = -f(-x) ; ∀ x ∊ Dom f .

Exemplos de funções periódicas são as funções seno e cosseno da trigonometria. A figura 16 exibe um exemplo de função periódica.

Exemplos: a. b. c. d. Decorre da definição acima, que uma função é ímpar se, e somente se, seu gráfico for simétrico com relação à origem. (figura15)

Figura 16

2.9 Funções Monótonas (ou monotônicas) São funções que apresentam uma só tendência, ou seja, não têm ao mesmo tempo algumas porções crescentes e outras decrescentes.

8


A monotonicidade pode ser estrita ou não. Assim, as funções monótonas se dividem em quatro casos: a) Funções Estritamente Crescentes, são aquelas que:  x1 e x2  X, se x1 < x2

f(x1) < f(x2)

b) Funções Estritamente Decrescentes, são aquelas que:  x1 e x2  X, se x1 < x2

f(x1) > f(x2)

c) Funções Não-Decrescentes, são aquelas que:  x1 e x2  X, se x1 < x2

f(x1) ≤ f(x2)

d) Funções Não-Crescentes, são aquelas que:  x1 e x2  X, se x1 < x2

cujos elementos chamaremos índices e representaremos genericamente por i. Dado um conjunto X, uma família de elementos de X com índices em I é uma função x : I  X e o valor xi da função no índice i é chamado termo da família. Geralmente usa-se a notação uma família { em X, para se referir a uma família com índices i  I e tomando valores em X. Podemos nos referir, por exemplo, a uma família { de conjuntos, isto é, a cada i  I corresponde um conjunto Ai . Assim, pode-se definir: i. A união da família { , que é o conjunto formado pelos elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos Ai . ⋃

f(x1) ≥ f(x2)

2.10 Funções e Relações Seja R uma relação de equivalência definida em um conjunto X, e vamos definir uma função f : X  X|R , tal que f( ) = |R . Ou seja, cada elemento é associado pela função f a sua classe de equivalência, segundo R. Essa função é denominada função canônica de X em X|R. Reciprocamente, dada uma função sobrejetiva f : X  Y, existe uma maneira natural de definir uma relação de equivalência R em X; escrevendo aRb (para a e b em X) quando f(a) = f(b). Para cada elemento , seja g(y) o conjunto dos elementos de para os quais f(x) = y. A definição de R implica que, para todo g(y) é uma classe de equivalência de R. Em outras palavras, podemos definir uma função g: Y  X|R, que será bijetiva, pois, como sabemos, as classes de equivalência são subconjuntos disjuntos de X, cuja união é o próprio X.

{ |

ii. A interseção da família { , que é o conjunto formados pelos elementos que pertencem simultaneamente a todos os Ai . ⋂

{ |∀

2.12 Sequências Uma sequência é uma função cujo domínio é o conjunto dos Naturais positivos e cujo contra-domínio é o conjunto dos Reais. Ou seja, uma sequência (denota-se ) é uma função ℝ Exemplos: a. A sequência

corresponde a

b.

corresponde a sequência

c.

corresponde a sequência

2.11 Famílias Há situações em que a imagem da função é mais importante que a função em si. Nesses casos usaremos uma terminologia e uma simbologia diferentes. Seja I um conjunto 9


Relações e funcões