Issuu on Google+

1. Introdução

2. Posição e Deslocamento

Neste artigo estaremos estudando a forma mais simples de movimento: Um corpo se movendo ao longo de uma trajetória unidimensional. Antes de começar, vamos estabelecer algumas premissas e convenções que serão usadas ao longo do artigo.

Denotaremos por s(t) a posição do móvel em um instante t qualquer do movimento, e definiremos o deslocamento desse móvel como a distância ∆s, percorrida pelo mesmo ao longo da trajetória, como na figura 2.

Primeiramente, estaremos interessados em estudar características do movimento para as quais as dimensões do corpo em estudo não são importantes, e, portanto, podem ser ignoradas. Desta forma, salvo quando mencionado explicitamente em contrário, o móvel cujo movimento estaremos estudando será considerado como um ponto. Para descrever o movimento de um móvel em uma dimensão, precisamos localizar sua posição ao longo da trajetória por ele descrita. Para isso devemos, primeiramente, adotar duas convenções (fig. 1): i. Escolher, sobre a trajetória, um ponto O como origem; ii. Orientar a trajetória, ou seja, convencionar um sentido como positivo, a partir da origem.

Figura 2

2.1 Sinal do Deslocamento Consideremos um móvel movendo-se sobre uma trajetória. Suponhamos que no instante t1 o móvel esteja na posição s1 e no instante t2, posterior a t1 (t2 > t1), o mesmo se encontre na posição s2. O deslocamento do móvel será dado por: ∆s = s2 – s1 . Por essa definição o deslocamento pode ser positivo, negativo ou nulo, conforme tenhamos cada uma das 3 situações mostradas nas figuras 3a, 3b e 3c . Note-se que, nos casos a e b as distâncias estão expressas em metros. Já no caso c as mesmas estão expressas em quilômetros.

Figura 1

Uma vez adotadas essas premissas e convenções, podemos definir as grandezas físicas que serão usadas para descrever o Movimento de um móvel: Deslocamento, Velocidade e Aceleração.

Figura 3a

Neste caso temos: } ∆s = 5 – 2 = 3m

1


origem é 2m, porém medida no sentido negativo da trajetória. No instante t = 2s, por exemplo, o móvel encontra-se na posição s = 2m. Podemos dizer então, que o deslocamento total entre os instantes t = 0s e t = 2s foi de 4m. Figura 3b

Neste caso temos: } ∆s = 1 – 6 = -5m

Figura 3c

Neste caso temos: } ∆s = 10 – 10 = 0 2.2 Função Horária do Movimento Na figura 4, representamos as posições de um móvel ao longo de sua trajetória em diversos instantes. A cada instante t corresponde um valor de s, medido com relação à origem O. Os valores estão medidos em unidades do SI, ou seja, o tempo em segundos e a distância em metros.

Poderíamos usar a seguinte tabela de valores para descrever o movimento. t (s) 0 1 2 3

s(m) -2 0 2 4

Podemos também pensar em determinar uma função que relacione a posição do móvel com o tempo, a qual é denominada Função Horária do Movimento. No caso do exemplo da figura 4, é fácil ver que essa função seria dada por s(t) = -2 + 2t . 3. Velocidade Média e Velocidade Instantânea 3.1 Velocidade Escalar Média No estudo do movimento muitas vezes desejamos expressar a rapidez com que o móvel se deslocou. Para expressar essa noção de rapidez, somente o deslocamento do móvel não é suficiente. Por exemplo, se soubermos que duas pessoas correram 10Km, não poderemos determinar qual das duas foi mais rápida. Para isso, devemos saber em quanto tempo cada uma completou o percurso. Define-se a velocidade escalar média ( ) de um móvel em um dado intervalo de tempo, como a razão entre o seu deslocamento e o referido intervalo de tempo. Ou seja: ∆ ∆

Figura 4

Quando começamos a observação do movimento, ou seja, no instante t = 0s, o móvel se encontra em s = -2m, o que significa que a distância do móvel até a

Suponhamos, por exemplo, que um caminhão inicia sua viagem no marco 60Km de uma estrada e 3 horas depois ele se encontra no marco 210Km. Sua velocidade escalar média foi de ∆ ∆ 2


Notemos que, como ∆t é sempre positivo, a velocidade média pode ser positiva, negativa ou nula, conforme o sinal do ∆s. Uma velocidade média negativa significa que o deslocamento ocorreu no sentido negativo da trajetória, como na figura 3b acima. Já uma velocidade escalar média igual a zero, significa que a posição final do móvel é a mesma que a inicial (figura 3c), não significando, entretanto, que o mesmo tenha ficado parado. 3.2 Interpretação Geométrica da A figura 5 mostra o gráfico da função horária do movimento de um móvel. Notemos que os pontos P1 e P2 representam as posições do móvel nos instantes t1 e t2 respectivamente. Vemos assim, que o ∆ quociente ∆ representa o coeficiente angular (inclinação) da secante ao gráfico que passa por estes pontos.

Figura 6

Se tomarmos qualquer ponto fixo do trem, por exemplo, sua extremidade dianteira, vemos que a distância percorrida por esse ponto, desde o momento da entrada na ponte até que o trem complete a travessia da mesma, é dada por . Logo, como a velocidade média é , basta usar a definição de velocidade média para calcular o tempo necessário para a travessia: ∆

3.3 Velocidade Escalar Instantânea Olhando cuidadosamente a definição de velocidade média, percebemos que ela depende apenas dos estados inicial e final do movimento, não dando informações sobre o que ocorreu durante a ação.

Figura 5

Podemos então dizer que, a velocidade escalar média de um móvel entre os instantes t1 e t2 , é dada pelo coeficiente angular da secante que une os pontos (t1,s1) e (t2,s2) do gráfico da função horária do movimento. Exemplo 1: Quanto tempo um trem de comprimento , movendo-se a uma velocidade media , leva para atravessar totalmente uma ponte de comprimento . A situação é mostrada na figura 6.

Quando olhamos para o velocímetro do carro em um determinado instante, o que lemos não é a velocidade média, mas sim a velocidade do carro naquele exato momento, que é denominada velocidade escalar instantânea ( ). Para definir este conceito físico, teremos que utilizar o conceito de limite do cálculo matemático. Assim, para determinarmos a velocidade escalar instantânea de um móvel em um determinado instante (t0), o que faremos é tomar a velocidade média em intervalos de tempo cada vez menores, a partir de t0, como mostra a figura 7. Mas tomar a velocidade média em intervalos de tempo cada vez menores significa calcular o limite ∆ do quociente quando ∆t tende a zero. ∆

3


Exemplo 2: Um móvel que se movimenta com velocidade constante igual a 2,5 m/s encontra-se na posição s0 = 5m, no instante t = 0s. Represente graficamente este movimento. Ora, como a velocidade é constante, concluímos que a inclinação da curva é também constante, ou seja, trata-se de uma reta. Mas a reta que passa pelo ponto 5m quando t = 0 e tem inclinação igual a 2,5 m/s, é dada por s(t) = 5 + 2,5t.

Figura 7

Assim, podemos definir a velocidade escalar no instante t0 , como : ( )

∆ ∆

Mas, como sabemos também do cálculo matemático, este limite define a derivada da função s(t) no instante t0. Temos então ( )

|

3.4 Interpretação Geométrica da Analogamente ao que fizemos no caso da velocidade média, podemos dar uma interpretação geométrica ao conceito de velocidade instantânea. Basta notar que, ao tomarmos os intervalos de tempo cada vez menores, a inclinação da secante que une os pontos P e P´ tende à inclinação da tangente ao gráfico no ponto P. Ou seja, podemos dizer que a velocidade escalar em um instante t0 é igual ao coeficiente angular da tangente ao gráfico da função horária do movimento, no ponto (t0 ,s0) . A unidade de velocidade (média ou instantânea) no Sistema Internacional é metro por segundo (m/s). No entanto, outra unidade muito popular no nosso uso cotidiano é o quilômetro por hora (Km/h). A relação entre o Km/h e o m/s pode ser facilmente estabelecida:

Ou seja: 1m/s = 3,6 Km/h

4. Aceleração Média e Instantânea No exemplo 2, visto acima, a velocidade manteve-se constante ao longo do percurso do móvel. Porém isso nem sempre acontece. Quando um carro é acelerado a partir do repouso, por exemplo, a velocidade inicial é zero e vai aumentando a medida que o motorista pisa no acelerador. Por outro lado, quando deseja parar, o motorista pisa nos freios e a velocidade é reduzida até voltar a zero. Nestes casos, em que a velocidade não é constante, dizemos que o móvel está acelerado, e a curva que representa a função horária do movimento não será uma reta, pois só uma reta possui inclinação constante. Assim, a curva será mais parecida com a da figura 5. Definiremos como aceleração escalar media ( ) de um móvel em um dado intervalo de tempo, a razão entre a variação da sua velocidade e o próprio intervalo de tempo. ∆ ∆ 4


Suponhamos, por exemplo, que um carro se encontra parado num farol fechado. Quando o farol abre, o motorista pisa no acelerador e, após 10 s o velocímetro está marcando 72 Km/h. Vemos que, ao pisar no acelerador o motorista variou a velocidade do carro. Logo, de acordo com nossa definição, a aceleração escalar média neste intervalo de tempo foi de: ∆ ∆ Dizer que o carro apresentou uma aceleração média de 7,2 quilômetros por hora por segundo, significa que, em cada segundo a velocidade sofreu uma variação de 7,2 Km/h em média. Notemos que, como ∆t é sempre positivo, a aceleração escalar média pode ser positiva, negativa ou nula, conforme o sinal de ∆v. Uma aceleração escalar média negativa significa que houve uma redução da velocidade durante o intervalo de tempo em estudo, enquanto uma aceleração nula, quer dizer que a velocidade final era a mesma que a inicial, não significando, entretanto, que a mesma não tenha variado no decorrer do movimento. A unidade de aceleração apresentada no exemplo anterior não é muito utilizada. A unidade mais utilizada para a aceleração é a do Sistema Internacional, que é metro por segundo ao quadrado (m/s2). A relação entre o (Km/h)/s e o m/s2 pode ser facilmente estabelecida. Uma vez que sabemos que 1 m/s = 3,6 Km/h, teremos também 1 m/s2 = 3,6 (Km/h)/s . Analogamente ao que foi feito no caso da velocidade, definiremos a aceleração escalar instantânea ( ) em um determinado instante (t0), como o limite da aceleração escalar média quando tomamos intervalos de tempo cada vez menores a partir de t0. Ou seja : ∆ ( ) ∆ ∆

Mas, como já vimos, isto é o mesmo que tomar a derivada da função ( ) no instante t0. ( )

|

Assim, podemos afirmar que se a velocidade é constante ao longo de um intervalo de tempo, a aceleração durante este intervalo é zero. Analogamente ao que fizemos no caso da velocidade instantânea, podemos dar uma interpretação geométrica ao conceito de aceleração instantânea. Ou seja, podemos dizer que a aceleração escalar em um instante t0 , é igual ao coeficiente angular da tangente ao gráfico da função ( ) no ponto (t0 ,v0) . Vide figura 8.

Figura 8

Como vimos, a aceleração instantânea é a derivada da função velocidade instantânea. Porém, como a velocidade instantânea é também a derivada da função s(t), então, diz-se que a aceleração instantânea é a segunda derivada da função s(t). Denota-se: (

)

Exemplo 3: Um guepardo, um dos felinos mais velozes da natureza, é capaz de, partindo do repouso, atingir uma velocidade de 72Km/h em 2,0 segundos. Qual a aceleração escalar média que o guepardo consegue nesse movimento.

5


Primeiramente vamos converter a unidade da velocidade final do guepardo para m/s. Dividindo 72Km/h por 3,6 , teremos vf= 20m/s. Agora, para calcular a aceleração media, basta usar a definição e fazer: ∆ ∆ Exemplo 4: Um automóvel está a uma velocidade de 25m/s, quando o motorista avista uma placa que indica o limite de velocidade de 60Km/h. Então ele aciona imediatamente os freios, conseguindo reduzir a velocidade até o limite estabelecido em 10s. Qual foi a aceleração escalar média (em m/s2) do carro nesses 10 segundos. Primeiramente vamos converter a unidade da velocidade final desejada para m/s. Dividindo 60Km/h por 3,6 , teremos vf= 16,67m/s. Para calcular a aceleração, faremos: ∆ ∆ 5. Tipos de Movimento Em física costuma-se usar denominações para os movimentos para ressaltar algumas de suas características. Assim, podemos ter: 5.1 Progressivo ou Retrógrado Um movimento é dito progressivo, quando o móvel se desloca no sentido adotado como positivo ao longo da trajetória (∆ ). Analogamente, diz-se que o movimento é retrógrado se o móvel se desloca no sentido adotado como negativo ao longo da trajetória (∆ ).

Figura 9a

Figura 9b

É óbvio que um movimento pode ser composto de alguns períodos progressivos em outros retrógrados. 5.2 Acelerado ou Retardado Denomina-se movimento variado, àquele no qual a velocidade escalar varia no decorrer do tempo. Um movimento variado pode ser acelerado ou retardado, conforme o valor absoluto da velocidade aumente ou diminua no decorrer do tempo. Cuidado: A princípio poderia se pensar que movimento acelerado é aquele no qual a velocidade escalar aumenta e movimento retardado é aquele na qual a velocidade escalar diminui. Mas isso só seria verdade de a velocidade fosse sempre positiva. No entanto, sabemos que, quando o móvel se movimenta no sentido adotado como negativo para trajetória, as velocidades têm sinal negativo. Nesse caso, se a velocidade estiver se tornando mais negativa, o movimento é considerado acelerado. Por isso, é adotado o valor absoluto da velocidade na definição acima. Para entender melhor esta situação vejamos os exemplos a seguir.  Movimento Acelerado (caso 1) ∆ ∆

Figura 10a

6


 Movimento Acelerado (caso 2) ∆ ∆

(

)

Figura 10b

 Movimento Retardado (caso 1) ∆ ∆

6. Gráficos, Derivada e Anti-Derivada Como visto nas seções anteriores, a função v(t), que fornece a velocidade instantânea, pode ser obtida por derivação, a partir da função s(t), que dá a posição do móvel em cada instante do movimento. Por sua vez, a aceleração instantânea a(t) também pode ser obtida por derivação, a partir da função velocidade v(t). Sabemos ainda, que a interpretação geométrica da derivada de uma função em um dado ponto, está associada à inclinação do gráfico da função naquele ponto. Nesta seção vamos utilizar esses conceitos para obter a descrição de um movimento através da observação das suas funções: posição s(t), velocidade v(t) e aceleração a(t). O gráfico da figura 12 representa a posição de um móvel em função do tempo s(t). Observando as trocas de sinal da função e a inclinação do gráfico, que corresponde à velocidade em cada instante, podemos interpretar o que está acontecendo com o móvel.

Figura 11a

 Movimento Retardado (caso 2) ∆ ∆

(

)

Figura 11b

Analisando as quatro situações acima, concluímos que: O movimento será acelerado sempre que a velocidade e a aceleração tiverem o mesmo sinal e será retardado sempre que elas tiverem sinais contrários.

Figura 12

A figura 13 mostra a situação do móvel em cinco instantes típicos do movimento, representados no gráfico pelos pontos A,B,C,D e E.

7


 Em seguida vamos determinar a função aceleração a partir da função velocidade. Para isso temos que derivar a função v(t). (

( )

)

Vemos que se trata da equação de uma reta, cujo gráfico é mostrado na figura 15.

Figura 13

Em seguida veremos como analisar o movimento de um móvel a partir da sua função velocidade. Suponhamos um móvel cuja função velocidade é dada por ( ) em unidades do SI.  Primeiramente vamos desenhar o gráfico da função velocidade, que nesse caso é quadrática, ou seja, trata-se da equação de uma parábola. Como o coeficiente do termo de segundo grau é positivo, trata-se de uma parábola com abertura da concavidade voltada para cima. Além disso, resolvendo a equação de 2º grau correspondente, podemos determinar os dois momentos em que a velocidade se anula. São eles t = 1s e t = 5s. A figura 14 mostra o gráfico da função v(t).

Figura 15

É interessante nota que o instante em que a aceleração se anula (t = 3) é aquele no qual a velocidade atinge seu valor mínimo.  Como visto na seção 3.3, a função velocidade é a derivada da função posição. Mas como aprendemos no artigo sobre derivada e integral, para determinar uma função conhecendo-se sua derivada, basta integrar essa derivada. Dizemos assim, que a função posição é a antiderivada da função velocidade, e podemos determiná-la fazendo: ( )

∫ ( )

∫(

)

( ) O gráfico da função posição s(t) é apresentado na figura 16. Figura 14

8


 Como vimos no artigo sobre derivada e integral, o valor da integral definida de uma função, quando calculado entre dois pontos específicos, é igual à área delimitada pelo gráfico da função e os eixos coordenados. A figura 17 mostra a área sob a curva v(t) do nosso móvel.

Figura 16

Observando os três gráficos podemos contar a história completa do movimento:  Primeiramente, vemos que no instante t = 0 o móvel se encontra na origem, pois s(0) = 0, com velocidade v(0) = 5m/s. Mas nesse instante a velocidade está diminuindo, pois a aceleração é negativa a(0) = -6m/s2.  Quando a velocidade se anula, no instante t = 1s, vemos que a posição do móvel atinge seu valor máximo. A partir daí o móvel reverte o movimento, que passa a ser retrógrado (v < 0).  Até o instante t = 3s a aceleração era negativa, o que fazia a velocidade ficar cada vez mais negativa. A partir desse instante a aceleração torna-se positiva, o que faz com que a velocidade reverta essa tendência. Porém, como a velocidade ainda é negativa, a posição continua decrescendo.  Finalmente, em t = 5s a velocidade torna-se positiva, o que faz com que o movimento se reverta mais uma vez, passando a ser progressivo (v > 0), até que, eventualmente, o móvel cruza a origem movimentando-se na direção positiva e a posição continua a crescer indefinidamente, com velocidade cada vez maior.

Figura 17

Comparando essa figura com a figura 16, vemos que os períodos em que a curva s(t) é crescente correspondem àqueles em que a área sob a curva v(t) é positiva. Uma vez de posse das funções s(t), v(t) e a(t), podemos determinar as três grandezas que caracterizar o movimento do móvel (posição, velocidade e aceleração) em qualquer instante. Além de poder calcular a velocidade média (∆s/∆t) e a aceleração média (∆v/∆t) em qualquer período o movimento. Nas próximas três seções, analisaremos três tipos particulares de movimentos que encontram aplicações práticas importantes no mundo da física. 7. Movimento Uniforme (MU) O Movimento Uniforme é definido como aquele em que o móvel tem velocidade escalar constante.

9


Obviamente, se a velocidade é constante ao longo de todo o movimento, então a velocidade média é a mesma em qualquer intervalo de tempo, e seu valor coincide com o da velocidade instantânea. Movimento Uniforme (MU) v = vm = constante

Figura 18a

Figura 18b

Note-se que, para simplificar, no gráfico acima adotamos, sem perda de generalidade, t0 = 0.

7.1 Função Horária do MU Para deduzirmos a forma geral da função horária do MU, basta usar a definição. Vamos denominar t0 o instante inicial do movimento e s0 a posição inicial do móvel. Então podemos escrever:

Gráfico da Velocidade v(t) Como a velocidade é constante, novamente há duas possibilidades.

∆ ∆ Daí vem: Função Horária do MU (

)

Convém notar que o MU pode se progressivo, quando v > 0 ou retrógrado quando v < 0. Mas o MU nunca é um movimento variado, já que a aceleração é sempre nula.

Figura 19a

Figura 19b

Lembremos que a área sob a curva da função velocidade, neste caso um retângulo, mede a variação da posição do móvel. Logo teremos :

No MU temos sempre Figura 20a

7.2 Gráficos do MU Gráfico da Função Horária s(t) Como no MU a função horária s(t) é uma função do primeiro grau, então sabemos que seu gráfico será uma reta. Mas na seção 3.3, vimos que, em qualquer movimento, a velocidade instantânea mede a inclinação do gráfico de s(t). Logo, temos duas situações possíveis:

Figura 20b

Em qualquer caso vemos que: ∆s = v.∆t 8. Movimento Uniformemente Variado (MUV) Movimento Uniformemente Variado é aquele em que a velocidade escalar varia uniformemente no decorrer do tempo, ou seja, a uma taxa constante.

10


Dizer que a variação da velocidade se dá a uma taxa constante equivale a dizer que no ∆ MUV tem-se ∆ Mas isso significa que a aceleração escalar é constante. Então a aceleração média é a mesma em qualquer intervalo de tempo, e seu valor coincide com o da aceleração instantânea.

Novamente, para simplificar, no gráfico acima adotamos, sem perda de generalidade, t0 = 0. Mais uma vez vamos lembrar que a área sob a curva da função velocidade mede a variação da posição do móvel entre dois instantes quaisquer.

Movimento Uniformemente Variado (MUV) a = am = constante 8.1 Função Velocidade do MUV Para deduzirmos a forma geral da função velocidade do MUV, vamos usar a definição de aceleração média. Denominando por t0 o instante inicial do movimento e v0 a velocidade inicial do móvel, podemos escrever: ∆ ∆

Figura 22

8.3 Função Horária do MUV Para deduzir a expressão da função horária do MUV, partimos das duas expressões: ∆s = s – s0

Daí vem: Função Velocidade do MUV

e

v = v0 + a.∆t

Mas substituindo ∆s pela expressão da área sob a curva vista na seção anterior, teremos:

∆ ∆ 8.2 Gráfico da Função Velocidade do MUV Como no MUV a função velocidade v(t) é uma função do primeiro grau, então sabemos que seu gráfico será uma reta. Mas na seção 4, vimos que, em qualquer movimento, a aceleração escalar mede a inclinação do gráfico de v(t). Logo, temos duas situações possíveis:

Agora, substituindo v por v0 + a.∆t na expressão acima, vem: ∆

Desenvolvendo chegamos finalmente a Função Horária do MUV ∆

Lembremos que poderíamos chegar à mesma expressão apenas integrando a função velocidade. ∫ ( ) Figura 21a

∫(

)

Figura 21b

11


Na expressĂŁo acima, para adotamos t0 = 0. Assim, ď &#x201E;t = t.

simplificar,

8.4 Gråfico da Função Horåria do MUV

Mas no cĂĄlculo matemĂĄtico, essa inclinação ĂŠ dada pela tangente do ângulo đ?&#x153;˝, que a reta faz com a horizontal.

Sendo a função horåria do MUV uma função quadråtica, seu gråfico Ê representado por uma paråbola, cuja concavidade dependerå do sinal da aceleração, que nesse caso Ê constante ao longo do tempo. Temos então dois casos gerais: a>0

concavidade para cima

a<0

concavidade para baixo

Figura 24

Logo teremos: đ?&#x153;˝ Figura 23a

Figura 23b

Como sabemos, nos gråficos acima a inclinação da curva em cada ponto representa a velocidade escalar naquele instante correspondente. Podemos notar que no primeiro gråfico, por exemplo, a velocidade inicialmente Ê negativa, porÊm, como a aceleração Ê positiva, existe um primeiro trecho no qual o movimento Ê retardado, pois aceleração e velocidade têm sinais contrårios. Neste trecho o módulo da velocidade escalar irå diminuir, atÊ se anular (ponto mais baixo da curva). A partir daí a velocidade torna-se positiva, e, como a aceleração continua positiva, o movimento passa a ser acelerado e seu módulo começa a crescer. No segundo caso, onde a aceleração Ê negativa, ocorre o fenômeno inverso, com a velocidade começando positiva, porÊm decrescente, se anulando no ponto mais alto da curva e então tornandose negativa, mas com valor absoluto crescente. Consideremos o gråfico da figura 24, que representa a função horåria de um MUV. Se tomarmos um instante t1 qualquer, e traçarmos a tangente a curva no ponto A, correspondente a s(t1), como jå vimos na seção 3.3, a velocidade escalar no instante t1 corresponde à inclinação desta tangente.

8.5 Gråfico da Função aceleração do MUV Pela definição, no MUV a aceleração Ê constante ao longo de todo o movimento.

Figura 25a

Figura 25b

O gråfico resume-se então a uma reta horizontal, que intercepta o eixo das ordenadas acima ou abaixo da origem, conforme for o sinal da aceleração. Lembremos que a årea sob a curva da função aceleração, neste caso um retângulo, mede a variação da velocidade do móvel. Logo teremos :

Figura 26a

Figura 26b

12


Em qualquer caso vemos que: ∆v = a.∆t 9. Equação de Torricelli para o MUV Esta equação é muito útil na resolução de vários problemas da cinemática. A vantagem dessa equação é que ela permite relacionar a velocidade escalar em dois instantes quaisquer do movimento, usando uma expressão que não depende do tempo, mas apenas do deslocamento do móvel. Para deduzir a Equação de Torricelli, basta partir das duas equações fundamentais do MUV:

Figura 27

Vamos então deduzir as expressões para o tempo de queda (tq) e para a velocidade final com que o móvel chega ao chão (vf), em função apenas da altura inicial da queda (h) e de g. Primeiramente, usando a Torricelli, podemos escrever:

Usando a equação da velocidade, podemos escrever:

equação

de

Mas, como o móvel é simplesmente largado, então v0 = 0, o que fornece: √

Agora, para eliminar a variável tempo, basta substituir t pela expressão acima, na equação da posição. Ficando com: (

)

(

)

Para determinar o tempo de queda, basta agora usar a equação da velocidade do MUV.

Substituindo o valor de vf nessa equação, e novamente notando que v0 = 0, temos: √

Desenvolvendo chegamos a Equação de Torricelli para o MUV ∆ 10. Dois casos Particulares do MUV 10.1 Queda Livre Um objeto em queda livre está sujeito apenas à aceleração da gravidade (g) . Portanto, seu movimento é um MUV, com aceleração constante igual a g = 9,8 m/s2. As vezes, para simplificar, adota-se g = 10 m/s2 .

10.2 Lançamento vertical A diferença do lançamento vertical para a queda livre é que, no segundo, em vez de ser apenas largado, o móvel é lançado verticalmente para cima, com uma velocidade inicial (v0) , diferente de zero. Note-se que, neste caso, como a aceleração da gravidade age no sentido contrário ao do movimento, pela nossa convenção seu valor será igual a -g .

13


Figura 28

Desta forma, vamos exprimir a altura máxima alcançada pelo móvel (h) e o tempo que o objeto leva para atingir essa altura (th), em função de v0 e g. Nesse caso, usando a equação de Torricelli, podemos escrever:

Mas, quando o objeto atinge a altura máxima ele para de subir, ou seja, vf = 0. Assim, a equação acima nos dá:

Usando agora a equação da velocidade, temos:

Logo, como vf = 0, tempo de subida é dado por:

14


Movimentos Retilineos