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A CONSTRUÇÃO DOS NÚMEROS REAIS

1. Introdução

A3. Elemento Neutro:

Neste artigo iremos estabelecer as propriedades fundamentais dos números reais, as quais serão necessárias para construirmos todo o Cálculo Matemático. Dessas propriedades dependerão conceitos como: Funções, Limites, Continuidade de Funções, Derivação, Integração, etc. Todas essas propriedades, e os Teoremas que podem ser demonstrados a partir delas, decorrem do fato de o conjunto dos Números Reais (denota-se ℝ) ser um Corpo Ordenado e Completo. Vamos então, nas próximas seções, investigar o que vem a ser um Corpo Ordenado e Completo e entender quais são suas propriedades. É fato conhecido que se pode construir o conjunto dos números Reais, por extensões sucessivas, a partir dos Naturais, os quais, como já vimos em artigo anterior, podem ser definidos a partir dos Axiomas de Peano. A passagem crucial para chegar aos Reais, como veremos adiante, é a passagem dos racionais para os Reais, que foi magistralmente realizada por Cantor e Dedekind, independentemente, no final do séc. XIX, utilizando técnicas diferentes. 2. Corpos Um Corpo é um conjunto (K), munido de duas operações binárias, chamadas adição e multiplicação. A adição associa a cada par (x,y) de elementos de K, um elemento, também em K, denotado por x + y. A multiplicação associa a cada par (x,y) de elementos de K, um elemento, também em K, denotado por x  y. Essas duas operações satisfazem a um conjunto de condições, às quais denominaremos Axiomas de Corpo, descritos a seguir: Axiomas da Adição A1. Associatividade: Para quaisquer x, y e z ∊ K, tem-se (x+y)+z = x+(y+z) = x+y+z A2. Comutatividade: Quaisquer que sejam x e y ∊ K, tem-se x+y = y+x

Existe um elemento pertencente a K, denotado por 0, tal que x + 0 = x , para todo x ∊ K. Chamaremos esse elemento de “zero”. A4. Elementos Simétricos: Para todo elemento x ∊ K, existe outro elemento, denotado por –x, também pertencente a K, tal que x + (-x) = 0 Este elemento –x, é denominado o simétrico do x. Podemos ainda definir a diferença entre dois elementos x e y ∊ K, como x – y = x + (-y) A operação binária (x,y) ⟼ x – y é denominada subtração. A partir destes axiomas podemos demonstrar todas as regras usuais da operação de adição, tais como: O zero é único; o simétrico de qualquer x é único; x - y = z ⟺ x = y + z; -(-x) = x ; Lei do corte: x + z = y + z ⟺ x = y . Um conjunto onde está definida apenas uma operação, satisfazendo os axiomas A1 a A4, é denominado Grupo Abeliano. Por exemplo, o conjunto dos números Inteiros, munido da operação de adição usual entre inteiros é um Grupo Abeliano. Em linguagem matemática, diz-se que a estrutura algébrica (ℤ,+) é um Grupo Abeliano. Mas nem todo Grupo Abeliano é um Corpo, pois a multiplicação deve também satisfazer aos seguintes axiomas. Axiomas da Multiplicação M1. Associatividade: Para quaisquer x, y e z ∊ K, tem-se (xy)z = x(yz) = xyz M2. Comutatividade: Quaisquer que sejam x e y ∊ K, tem-se xy = yx

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M3. Elemento Neutro: Existe um elemento pertencente a K, denotado por 1, tal que x1 = x , para todo x ∊ K. Chamaremos esse elemento de “um”. M4. Inversos Multiplicativos: Para todo elemento x  0 ∊ K, existe outro elemento, denotado por 1/x ou x-1, e também pertencente a K, tal que Este elemento elemento x.

x-1,

xx-1 = 1 é denominado o inverso do

Podemos ver facilmente, que o conjunto K – {0}, munido de uma operação de multiplicação que satisfaça os axiomas M1 a M4, é um Grupo Abeliano. Basta tomarmos o 1 como elemento neutro e os elementos x-1 como simétricos. Da mesma forma que fizemos com a subtração, podemos definir a operação inversa da multiplicação, a qual denominamos divisão ou quociente. Dados x e y  K, com y  0 , definimos o quociente entre x e y, e denotamos x/y, como o produto xy-1. Em linguagem matemática a operação de divisão é definida como (x,y) ⟼ x/y. É muito importante notar que a divisão só está definida quando y  0, já que, pelo axioma M4, o inverso multiplicativo só é definido para elementos de K diferentes do zero. Ou seja, não podemos dividir por zero. Podemos provar propriedades análogas àquelas da adição para a multiplicação: O um é único; O inverso de qualquer x  0 é único; Se y  0, tem-se x/y = z ⟺ x = yz ; (x-1)-1 = x ; Lei do corte: Se x z = yz e z  0 ⟹ x = y . Notemos que a igualdade x z = yz, só nos permite deduzir que x = y, se soubermos, a priori, que z  0. Porém, para caracterizarmos todas as propriedades operacionais de um Corpo, precisamos de mais um axioma, que vai relacionar as operações de adição e multiplicação.

Axioma da Distributividade D1. Distributividade: Dados quaisquer x, y e z ∊ K, tem-se x(y+z) = xy + xz Usando a comutatividade, podemos escrever também (x+y)z = xz + yz . Resulta deste axioma que, para qualquer x ∊ K, teremos x0 = 0. Para provar esta igualdade basta escrever x0 = x(1+(-1)) = x(1-1) = x-x = 0 Por outro lado, dados x e y ∊ K com xy = 0, devemos ter x = 0 ou y = 0. A prova é simples. Basta admitir x  0, então podemos escrever xy = x0, e, pela lei do corte teremos y=0. Raciocínio análogo nos permite dizer que Se y  0 ⟹ x = 0. Podemos então afirmar que, num corpo K, Se x  0 e y  0 ⟹ xy  0. As “Regras dos sinais” da Álgebra elementar podem também ser deduzidas com o uso do Axioma da Distributividade. Basta ver, primeiramente, que (-x)y + xy = (-x+x)y = 0y = 0. Logo (-x)y = -(xy). Usando esse fato podemos escrever (-x)(-y) = -[x(-y)]. Mas usando a comutatividade, x(-y) também é igual a –(xy). Logo vem (-x)(-y) = -(-xy), donde (-x)(-y) = xy . Resumindo, um Corpo é uma Estrutura Algébrica (K,+,) formada por um conjunto K e duas operações binárias, definidas em K, denominadas adição e multiplicação, as quais satisfazem os axiomas A1 a A4, M1 a M4 e D1. Como vimos anteriormente (ℤ,+) é um Grupo Abeliano, porém (ℤ,+,) não é um Corpo, pois os inversos multiplicativos dos números inteiros não são inteiros. Assim, para que se pudesse capturar todas as ferramentas necessárias a construção do Cálculo Diferencial e Integral, surgiu a necessidade de fazermos uma extensão ao conjunto dos inteiros, introduzindo os números Racionais.

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Como jĂĄ visto no artigo Fundamentos de Teoria dos NĂşmeros, o conjunto dos NĂşmeros Racionais ĂŠ definido como: â„š = {đ?‘Ľ | đ?‘Ľ =

đ?‘? ,đ?‘? đ?‘ž

∈ ℤ đ?‘’ đ?‘ž ∈ ℤ − {0}}

Ou seja, diz-se que um número Ê racional, quando ele puder ser escrito como o quociente entre um inteiro e um inteiro não nulo. Exemplos de Corpos: Ex. 1: O conjunto dos Números Racionais (ℚ), munido das operaçþes de: Soma definida por:

đ?‘? đ?‘ž

+

đ?‘š đ?‘›

=

đ?‘?đ?‘›+đ?‘žđ?‘š đ?‘žđ?‘›

e đ?‘? đ?‘š đ?‘?đ?‘š Multiplicação definida por: đ?‘ž ∙ đ?‘› = đ?‘žđ?‘› ĂŠ um corpo Ex. 2: Se tomarmos o conjunto ℤ2 = {0,1} e nele definirmos as operaçþes de: Soma : 0+0 = 1+1 = 0; 0+1 = 1+0 = 1 e Multiplicação : 0ďƒ—0 = 0ďƒ—1 = 1ďƒ—0 = 0 e 1ďƒ—1 = 1 Podemos verificar que ℤ2 , munido dessas duas operaçþes ĂŠ tambĂŠm um corpo. 3. Corpos Ordenados A prĂłxima propriedade importante na construção do CĂĄlculo Diferencial e Integral ĂŠ a noção de ordem. Um Corpo Ordenado ĂŠ um corpo K, do qual se destaca um subconjunto, o qual denotaremos por P ďƒŒ K, chamado de conjunto dos elementos positivos de K, de tal forma que as seguintes condiçþes sejam satisfeitas: P1. A soma e o produto de elementos positivos sĂŁo positivos. Ou seja, Se x, y ďƒŽ P â&#x;š x+y ∊ P e xďƒ—y ∊ P. P2. Dado x ∊ P, exatamente uma das trĂŞs seguintes alternativas ocorre: x = 0, x ∊ P ou –x ∊ P. Podemos tambĂŠm indicar por –P o conjunto dos elementos da forma –x, onde x ∊ P. Os elementos de –P sĂŁo entĂŁo denominados negativos.

Ex.3: â&#x201E;&#x161; ĂŠ um Corpo Ordenado Ex. 4: O corpo â&#x201E;¤2 , conforme definido anteriormente nĂŁo pode ser ordenado, pois em um corpo ordenado, a soma de 1 + 1 deveria ser positiva. A partir da definição, passaremos a mostrar algumas propriedades importantes dos corpos ordenados. Em um corpo ordenado escrevemos x < y, e diremos que x ĂŠ menor que y, para significar que y â&#x20AC;&#x201C; x â&#x2C6;&#x160; P. Ou, de outra forma, podemos escrever y = x + z, para algum z â&#x2C6;&#x160; P. O mesmo fato pode ser denotado por y > x, e diremos que y ĂŠ maior que x. Em particular x > 0 significa que x â&#x2C6;&#x160; P, ou seja, x ĂŠ positivo. Ao passo que, x < 0 quer dizer que x ĂŠ negativo, ou seja, -x â&#x2C6;&#x160; P. Em um corpo ordenado, a ď&#x201A;š 0 â&#x;ş a2 > 0. Ă&#x2030; fĂĄcil ver que este fato ĂŠ verdadeiro. Basta notar que sendo a ď&#x201A;š 0, ele serĂĄ positivo ou negativo. Nos dois casos, pelas regras dos sinais da multiplicação, jĂĄ mostradas na seção anterior, teremos a2 > 0. O outro sentido da equivalĂŞncia ĂŠ facilmente mostrado por contradição. Em todo Corpo Ordenado podemos formar uma Relação de Ordem, fazendo xRy â&#x;ş x < y. Essa relação gozarĂĄ das seguintes propriedades: O1. Transitividade Se x < y e y < z â&#x;š x < z . O2. Tricotomia Dados x e y â&#x2C6;&#x160; K, exatamente uma das seguintes alternativas serĂĄ verdadeira: x = y ou x < y ou x > y . O3. Monotonicidade da Adição Se x < y, entĂŁo para todo z â&#x2C6;&#x160; K, teremos: x+z<y+z. O4. Monotonicidade da Multiplicação Se x < y, entĂŁo teremos: Para todo z > 0, xď&#x192;&#x2014;z < yď&#x192;&#x2014;z e para todo z < 0 , xď&#x192;&#x2014;z > yď&#x192;&#x2014;z As provas dessas propriedades sĂŁo deixadas como exercĂ­cio.

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Utilizando-se as propriedades acima podemos ainda mostrar que:  x < y ⟺ -x > -y. Basta multiplicar ambos os lados da desigualdade por -1 e usar O4.  Se x < y e x´< y´ ⟹ x+x´ < y+y´. Basta ver que, por O3 x < y ⟹ x + x´< y + x´. Mas se x´<y´, então y + x´ < y + y´. Usando agora a Transitividade chegamos ao resultado.  Se 0 < x < y e 0 < x´< y´ ⟹ x x´< yy´. Basta ver que, por O4 x < y ⟹ xx´< yx´. Mas se x´< y´, então yx´ < yy´. Usando agora a Transitividade chegamos ao resultado. Em um Corpo Ordenado, podemos escrever também x ≤ y, para significar que x < y ou x = y. Lê-se “x é menor ou igual a y”. Esta será uma Relação de Ordem Parcial definida em K, que, conforme vimos no artigo sobre Relações e Funções, goza das propriedades: O5. Reflexiva x ≤ x , para qualquer x ∊ K O6. Antissimétrica Dados x e y ∊ K, x ≤ y e y ≤ x ⟺ x = y Além dessas, a relação também goza das propriedades O1, O3 e O4. Não satisfazendo, no entanto, a Tricotomia. Uma propriedade importante dos Corpos Ordenados, demonstrável a partir das definições acima, é que Todo Corpo Ordenado é infinito. Ou seja, dado qualquer x ∊ K, teremos sempre um y ∊ K, tal que y > x. Isso decorre diretamente do fato, já visto anteriormente, que para qualquer z ∊ P, temos x + z > x. Diz-se que um conjunto é fechado com relação a uma operação, quando o resultado da aplicação dessa operação a qualquer par de elementos do conjunto, fornece um resultado que pertence ao conjunto. Por exemplo, ℕ é fechado com relação a soma, pois a soma de

dois naturais é ainda um natural. No entanto ℕ não é fechado com relação a subtração, pois a diferença entre dois naturais pode ser um número negativo, o qual não pertence a ℕ. Se tomarmos um Corpo qualquer (K,+,.), podemos definir um Subcorpo de K, como um subconjunto K´ K, fechado com relação as operações de adição e multiplicação de K. Vemos claramente que (K´,+,.) satisfaz os axiomas de corpo, pois as operações são as mesmas de K. Tomando-se agora, qualquer corpo K, todo subcorpo de K deve conter, pelo menos o 0 e o 1. Mas por adições sucessivas de 1, todo subcorpo de K deve também conter os Naturais (ℕ). Tomando-se os simétricos dos naturais, vemos que todo subcorpo de K deve conter também os Inteiros (ℤ). Finalmente, tomandose os quocientes entre inteiros, vemos que todo subcorpo de K, deve conter também os Racionais (ℚ). Concluímos assim, que, dado um Corpo K, munido das operações usuais de soma e multiplicação, podemos considerar de modo natural as inclusões ℕ  ℤ  ℚ  K. Mas desses conjuntos, sabemos que apenas ℚ é um corpo, pois somente nesse conjunto a multiplicação fica totalmente definida. Neste sentido, podemos afirmar que ℚ é o menor subcorpo de qualquer corpo K. Ou seja, ele é o menor conjunto numérico a possuir a estrutura de Corpo. EXERCÍCIO: Mostre que. Se K é um corpo ordenado. Para todo n ∊ ℕ e x > -1 ∊ K, vale a desigualdade: (1+x)n ≥ 1 + nx . Essa desigualdade é conhecida como Desigualdade de Bernoulli. (A prova é por indução em n) Em um corpo ordenado podemos ainda definir a noção de Intervalo, como se segue. Dados a e b ∊ K, tais que a < b, definimos: Intervalo fechado [a,b] = {x ∊ K | a ≤ x ≤ b}

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Intervalo aberto

Exemplos: |2|=2 , |-½| = ½ , |-5|=5.

(a,b) = {x â&#x2C6;&#x160; K | a < x < b} Notemos que a diferença entre um intervalo fechado e um intervalo aberto ĂŠ que o primeiro inclui as extremidades, enquanto o segundo nĂŁo. Podemos, a partir disso, definir tambĂŠm intervalos fechados Ă direita ou Ă  esquerda, que sĂŁo aqueles fechados em apenas uma das extremidades e intervalos ilimitados, que sĂŁo os que tĂŞm uma das extremidades no infinito. Vejamos como ficam as notaçþes: [a,b) = {x â&#x2C6;&#x160; K | a â&#x2030;¤ x < b} (a,b] = {x â&#x2C6;&#x160; K | a < x â&#x2030;¤ b} (-â&#x2C6;&#x17E;,b] = {x â&#x2C6;&#x160; K | x â&#x2030;¤ b} ou (-â&#x2C6;&#x17E;,b) = {x â&#x2C6;&#x160; K | x < b} [a,â&#x2C6;&#x17E;) = {x â&#x2C6;&#x160; K | x â&#x2030;Ľ a} ou (a, â&#x2C6;&#x17E;) = {x â&#x2C6;&#x160; K | x > a} (-â&#x2C6;&#x17E;,â&#x2C6;&#x17E;) = K Se um intervalo possui apenas um elemento, ele ĂŠ dito degenerado. Por exemplo, [a,a] ĂŠ um intervalo degenerado. Um fato muito importante a ser notado ĂŠ que todo intervalo nĂŁo degenerado ĂŠ um conjunto infinito. Basta notar que em um corpo ordenado K, se temos x < y, podemos sempre obter um terceiro elemento de K entre x e y, fazendo đ?&#x2018;Ľ+đ?&#x2018;Ś <đ?&#x2018;Ś 2 Assim, se I ĂŠ um intervalo contendo a e b, com a < b, repetindo o processo acima indefinidamente, pode-se obter uma infinidade de elementos em I.

A seguir mostraremos algumas propriedades do valor absoluto. Uma primeira conclusĂŁo que chegamos a partir da definição acima ĂŠ que: â&#x2C6;&#x20AC;x â&#x2C6;&#x160; K, |x|2 = x2 , pois x.x = (-x).(-x) = x2 . Pela definição, vemos tambĂŠm que |x| ĂŠ o maior valor entre x e â&#x20AC;&#x201C;x. Ou seja, podemos afirmar que |x| â&#x2030;Ľ x e |x| â&#x2030;Ľ -x. Multiplicando a segunda desigualdade por -1, obtemos: -|x| â&#x2030;¤ x â&#x2030;¤ |x| , â&#x2C6;&#x20AC; x â&#x2C6;&#x160; K Teorema 1: Sejam a e x elementos de um corpo ordenado K. As seguintes afirmaçþes sĂŁo equivalentes: i. â&#x20AC;&#x201C;a â&#x2030;¤ x â&#x2030;¤ a ii. x â&#x2030;¤ a e -x â&#x2030;¤ a iii. |x| â&#x2030;¤ a Prova: Para mostrar a equivalĂŞncia (i) â&#x;ş (ii), basta ver que â&#x20AC;&#x201C;a â&#x2030;¤ x â&#x2030;¤ a â&#x;ş â&#x20AC;&#x201C;a â&#x2030;¤ x e x â&#x2030;¤ a. Multiplicando a primeira desigualdade por (-1) vem â&#x20AC;&#x201C;a â&#x2030;¤ x â&#x2030;¤ a â&#x;ş a â&#x2030;Ľ -x e x â&#x2030;¤ a, o que completa a prova. Para mostrar que (ii) â&#x;ş (iii), temos que lembrar que |x| ĂŠ o maior valor entre x e â&#x20AC;&#x201C;x, logo x â&#x2030;¤ a e -x â&#x2030;¤ a â&#x;ş |x| â&#x2030;¤ a .

đ?&#x2018;Ľ<

Num corpo ordenado K podemos ainda definir outro conceito muito importante para o CĂĄlculo Diferencial e Integral. O valor absoluto (ou mĂłdulo) de um elemento qualquer x â&#x2C6;&#x160; K, ĂŠ igual a x, se x â&#x2030;Ľ 0 e â&#x20AC;&#x201C;x , se x < 0. Em notação matemĂĄtica: |đ?&#x2018;Ľ| = {

đ?&#x2018;Ľ, 0, â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;Ľ ,

đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ > 0 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ = 0 đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;Ľ < 0

CorolĂĄrio: Dados a, x e b â&#x2C6;&#x160; K, tem-se |x-a| â&#x2030;¤ b se, e somente se, a-b â&#x2030;¤ x â&#x2030;¤ a+b. A prova decorre diretamente da segunda equivalĂŞncia do Teorema 1, se usarmos |x-a| no lugar de |x|. Esse corolĂĄrio ĂŠ de extrema importância no desenvolvimento da teoria dos limites e da continuidade de funçþes. Como veremos nos artigos dedicados a esses assuntos, dado um đ?&#x153;&#x20AC; > 0, podemos escrever as seguintes equivalĂŞncias: x â&#x2C6;&#x160; (a-đ?&#x153;&#x20AC;, a+đ?&#x153;&#x20AC;) â&#x;ş a-đ?&#x153;&#x20AC; < x < a+đ?&#x153;&#x20AC; â&#x;ş |x-a| < đ?&#x153;&#x20AC;

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A interpretação geomĂŠtrica dessas equivalĂŞncias ĂŠ que o intervalo aberto (a-đ?&#x153;&#x20AC;, a+đ?&#x153;&#x20AC;), de centro em a e raio đ?&#x153;&#x20AC;, ĂŠ formado pelos pontos x, cuja distância atĂŠ o ponto a ĂŠ menor que đ?&#x153;&#x20AC;.

Multiplicando a segunda desigualdade por (-1), obtemos finalmente: -|x-y| â&#x2030;¤ |x|-|y| â&#x2030;¤ |x-y| O que, pelo Teorema 1, ĂŠ equivalente a ao resultado que procuramos ||x|-|y|| â&#x2030;¤ |x-y|. iv. Este item decorre diretamente do item (i), bastando escrever |x-z| = |(x-y)+(y-z)|

Teorema 2: Para elementos arbitrårios de um corpo ordenado K, as seguintes relaçþes são verdadeiras: i. ii. iii. iv.

|x+y| â&#x2030;¤ |x| + |y| |xď&#x192;&#x2014;y| = |x|ď&#x192;&#x2014;|y| |x|-|y| â&#x2030;¤ ||x|-|y|| â&#x2030;¤ |x-y| |x-z| â&#x2030;¤ |x-y| + |y-z|

Provas: i. Como sabemos, pela definição de valor absoluto, podemos escrever: -|x| â&#x2030;¤ x â&#x2030;¤|x| e -|y| â&#x2030;¤ y â&#x2030;¤ |y|. Somando-se estas desigualdades membro a membro, temos: -(|x|+|y|) â&#x2030;¤ (x+y) â&#x2030;¤ (|x|+|y|) Mas pelo Teorema 1, isso ĂŠ verdade se e sĂł se |x+y| â&#x2030;¤ |x|+|y|. ii. Para mostrar essa igualdade, vamos usar o fato conhecido que, para qualquer elemento arbitrĂĄrio a, temos |a|2 = a2. Assim, podemos escrever: |xď&#x192;&#x2014;y|2 = (xď&#x192;&#x2014;y)2 = x2ď&#x192;&#x2014;y2 = |x|2ď&#x192;&#x2014;|y|2 . Mas se |xď&#x192;&#x2014;y|2 =|x|2ď&#x192;&#x2014;|y|2 â&#x;š |x.y| = Âą |x|ď&#x192;&#x2014;|y|. Mas como ambos os lados dessa igualdade sĂŁo, por definição, positivos. Podemos dizer que |x.y| = |x|ď&#x192;&#x2014;|y| . iii. A desigualdade |x|-|y| â&#x2030;¤ ||x|-|y||, ĂŠ obvia, pois, como jĂĄ vimos todo nĂşmero ĂŠ menor ou igual ao seu valor absoluto. Para provar a segunda desigualdade basta notarmos que |x|=|(x-y)+y|. Mas entĂŁo, pelo (i) acima, podemos escrever: |x|=|(x-y)+y|â&#x2030;¤|x-y|+|y| o que implica |x|-|y|â&#x2030;¤|x-y| Usando raciocĂ­nio similar, podemos mostrar tambĂŠm que: |y|-|x|â&#x2030;¤|x-y|

Outra noção que podemos definir em um corpo ordenado ĂŠ a de subconjuntos limitados. Diz-se que um Subconjunto X de um corpo ordenado K ĂŠ limitado superiormente quando existe um b â&#x2C6;&#x160; K, tal que, x â&#x2030;¤ b para todo x â&#x2C6;&#x160; X. Analogamente, diz-se que X ĂŠ limitado inferiormente se existe um a â&#x2C6;&#x160; K, tal que, a â&#x2030;¤ x para todo x â&#x2C6;&#x160; X. Estes elementos a e b de K, sĂŁo denominados respectivamente cota inferior e cota superior de X. Note que a e b nĂŁo precisam pertencer a X. Observação: Um limite superior, que pertença ao conjunto, ĂŠ denominado elemento mĂĄximo do conjunto. Analogamente, um limite inferior que pertença ao conjunto, ĂŠ denominado elemento mĂ­nimo do conjunto. Se X for limitado inferior e superiormente, dizse que entĂŁo que X ĂŠ um subconjunto limitado de K. Ou seja, quando existem a e b â&#x2C6;&#x160; K, tais que X ď&#x192;&#x152; [a,b]. Exemplo: O conjunto â&#x201E;&#x2022;, dos nĂşmeros naturais, ĂŠ limitado inferiormente com relação ao corpo dos Racionais (â&#x201E;&#x161;), pois â&#x201E;&#x2022; ď&#x192;&#x152; [0,â&#x2C6;&#x17E;). Mas â&#x201E;&#x2022; nĂŁo ĂŠ limitado superiormente, com relação a â&#x201E;&#x161;, pois se tomarmos qualquer racional, p/q, vemos que |p| + 1 â&#x2C6;&#x160; â&#x201E;&#x2022; e ao mesmo tempo ĂŠ maior que p/q. Teorema 3: Num corpo ordenado K, as seguintes afirmaçþes sĂŁo equivalentes: i. â&#x201E;&#x2022; ĂŠ ilimitado superiormente; ii. Dados a e b â&#x2C6;&#x160; K, com a > 0, existe um n â&#x2C6;&#x160; â&#x201E;&#x2022;, tal que, nď&#x192;&#x2014;a > b; iii. Dado qualquer a > 0 â&#x2C6;&#x160; K, existe um 1 n â&#x2C6;&#x160; â&#x201E;&#x2022;, tal que, 0 < < đ?&#x2018;&#x17D; . đ?&#x2018;&#x203A;

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Prova: (i) â&#x;š (ii). Como â&#x201E;&#x2022; ĂŠ ilimitado superiormente. Dados quaisquer a e b â&#x2C6;&#x160; K, sempre poderemos đ?&#x2018;? tomar um natural n > đ?&#x2018;&#x17D; , o qual farĂĄ com que

2. Mas nem todo segmento contĂŠm o u um nĂşmero inteiro de vezes, como na seguinte figura.

nď&#x192;&#x2014;a > b. (ii) â&#x;š (iii). Dado qualquer a > 0 em K, pelo item (ii), existe um n â&#x2C6;&#x160; â&#x201E;&#x2022;, tal que, nď&#x192;&#x2014;a>1. Assim 1 teremos 0 < đ?&#x2018;&#x203A; < đ?&#x2018;&#x17D;. (iii) â&#x;š (i). Para mostrar que â&#x201E;&#x2022; ĂŠ ilimitado superiormente, ĂŠ necessĂĄrio provar que â&#x2C6;&#x20AC; b â&#x2C6;&#x160; K, existe sempre um natural maior que b. Tomemos entĂŁo um b qualquer em K. Caso b seja menor ou igual a zero, entĂŁo obviamente existe um natural n > b. Mas se b > 0, entĂŁo, 1 1 pelo item (iii), existe um n â&#x2C6;&#x160; â&#x201E;&#x2022;, tal que đ?&#x2018;&#x203A; < đ?&#x2018;? , o que implica que n > b. Corpos ordenados, para os quais valem as condiçþes do Teorema 3 sĂŁo denominados Corpos Arquimedianos. Assim, como vimos no exemplo anterior, â&#x201E;&#x161; ĂŠ arquimediano. Este fato serĂĄ de grande importância mais adiante, quando falarmos em limites de sequĂŞncias de nĂşmeros Racionais. 4. As DeficiĂŞncias dos Racionais 4.1 Os Racionais e a Geometria Os gregos, pais da Geometria, associavam os nĂşmeros racionais ao comprimento de segmentos. Uma vez definido um segmento u, cujo comprimento ĂŠ tomado como unitĂĄrio (u = 1), a associação ĂŠ feita da seguinte forma: 1. Aos segmentos que contĂŞm o u um nĂşmero inteiro (n) de vezes, atribui-se diretamente o comprimento n. Por exemplo, na figura abaixo, o segmento Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??´đ??ľ tem comprimento n.

Nesses casos, podemos procurar um segmento de comprimento menor, w, o qual esteja contido q vezes em u e p vezes Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;. Neste caso dizemos que w ĂŠ em đ??´đ??ľ submĂşltiplo comum de u e Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??´đ??ľ, e que os Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; sĂŁo comensurĂĄveis. segmentos u e đ??´đ??ľ Vide figura a seguir.

Vemos entĂŁo, pela definição, que o comprimento de w ĂŠ 1/q. E concluĂ­mos que o comprimento de Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??´đ??ľ ĂŠ p/q. Ou seja, neste caso o comprimento do segmento Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026;Ě&#x2026; đ??´đ??ľ ĂŠ um nĂşmero racional. Os gregos acreditavam que todos os segmentos eram comensurĂĄveis, atĂŠ que um geĂ´metra da escola de PitĂĄgoras, chamado Hipasus, fez uma descoberta histĂłrica para a MatemĂĄtica. Ele mostrou que havia segmentos incomensurĂĄveis, cujos comprimentos, portanto, nĂŁo eram expressos por nĂşmeros racionais. O que Hipasus fez foi desenhar um triângulo retângulo isĂłsceles, com cateto unitĂĄrio. A partir daĂ­, ele mostrou que a o comprimento da hipotenusa deste triângulo nĂŁo podia ser expressa por um nĂşmero raconal. Vejamos.

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A CONSTRUĂ&#x2021;Ă&#x192;O DOS NĂ&#x161;MEROS REAIS

A prova ĂŠ por contradição. Vamos admitir que o comprimento de d fosse dado por um nĂşmero racional. Ou seja, existiriam p e q, inteiros, tais đ?&#x2018;? que đ?&#x2018;&#x2018; = . Mas pelo teorema de PitĂĄgoras, jĂĄ

A condição I2 pode ser substituída por uma equivalente:

conhecido Ă ĂŠpoca, poderĂ­amos entĂŁo escrever đ?&#x2018;&#x2018;2 = 12 + 12 , ou seja:

De maneira anĂĄloga podemos escrever:

I2´. Dado um c > a, â&#x2C6;&#x192; x â&#x2C6;&#x160; X, tal que a < x < c.

đ?&#x2018;&#x17E;

đ?&#x2018;?2 = 2 , đ?&#x2018;?đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x2018;? đ?&#x2018;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17E; đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x203A;đ?&#x2018;Ąđ?&#x2018;&#x2019;đ?&#x2018;&#x2013;đ?&#x2018;&#x;đ?&#x2018;&#x153;đ?&#x2018; đ?&#x2018;&#x17E;2 O que resulta em p2 = 2ď&#x192;&#x2014;q2. Mas essa igualdade nos leva a uma contradição. Vejamos por que. Realmente, tanto p2 como q2 , por serem quadrados, possuem cada um de seus fatores primos um nĂşmero par de vezes. Isso nos leva a concluir que 2q2 tem o 2 como fator primo um nĂşmero Ă­mpar de vezes. Logo nĂŁo podemos ter p2 = 2q2 , jĂĄ que acabamos de falar que p2 possui cada um de seus fatores primos um nĂşmero par de vezes. Os gregos entĂŁo perceberam que, para poder expressar o comprimento de segmentos como o da diagonal do triângulo de Hipasus, havia a necessidade de um tipo de nĂşmero diferente dos racionais. Essa nova espĂŠcie de nĂşmeros foi mais tarde denominada de conjunto dos nĂşmeros irracionais, e sua construção, a partir dos racionais, ĂŠ a passagem crucial para chegarmos aos nĂşmeros Reais, que ĂŠ o objetivo principal deste artigo. 4.2 Os Racionais e a AnĂĄlise MatemĂĄtica Sejam K um corpo ordenado e X ď&#x192;&#x152; K um subconjunto de K, limitado inferiormente. Um elemento a â&#x2C6;&#x160; K diz-se Ă­nfimo de X, se a ĂŠ a maior das cotas inferiores de X. Analogamente, se X ĂŠ um limitado superiormente, um elemento b â&#x2C6;&#x160; K ĂŠ dito supremo de X, se b for a menor das cotas superiores de X. Podemos interpretar as definiçþes acima da seguinte forma: Um elemento a â&#x2C6;&#x160; K ĂŠ Ă­nfimo de X, se satisfizer as seguintes condiçþes: I1. â&#x2C6;&#x20AC; x â&#x2C6;&#x160; X, tem-se a â&#x2030;¤ x ; I2. Se c ĂŠ tal que para todo x â&#x2C6;&#x160; X, c â&#x2030;¤ x â&#x;š c â&#x2030;¤ a.

Um elemento b â&#x2C6;&#x160; K ĂŠ supremo de X, se satisfizer as seguintes condiçþes: S1. â&#x2C6;&#x20AC; x â&#x2C6;&#x160; X, tem-se x â&#x2030;¤ b ; S2. Se c ĂŠ tal que para todo x â&#x2C6;&#x160; X, x â&#x2030;¤ c â&#x;š c â&#x2030;Ľ b. A condição S2 pode ser substituĂ­da por uma equivalente: S2´. Dado um c < b, â&#x2C6;&#x192; x â&#x2C6;&#x160; X, tal que c < x < b. Observaçþes: i) ConvĂŠm notar que a definição nĂŁo exige que o Ă­nfimo (supremo) de um subconjunto X pertença a X. ii) Pode-se mostrar facilmente que, se dois elementos a e a´ satisfazem as condiçþes I1 e I2, entĂŁo teremos ao mesmo tempo, a´â&#x2030;¤ a e a â&#x2030;¤ a´ . Ou seja, a = a´. O que quer dizer que o Ă­nfimo de um conjunto, quando existe, ĂŠ Ăşnico. Propriedade anĂĄloga vale tambĂŠm para o supremo de um conjunto. iii) Se X = â&#x2C6;&#x2026; entĂŁo todo a â&#x2C6;&#x160; K ĂŠ cota inferior de X e tambĂŠm cota superior de X. Segue-se que o conjunto vazio nĂŁo possui Ă­nfimo nem supremo. iv) Se X possuir um elemento mĂ­nimo, este serĂĄ o seu Ă­nfimo. Se X possuir um elemento mĂĄximo, este serĂĄ o seu supremo. Reciprocamente, se sup X â&#x2C6;&#x160; X entĂŁo ele serĂĄ seu elemento mĂĄximo e, se inf X â&#x2C6;&#x160; X entĂŁo ele serĂĄ seu elemento mĂ­nimo. v) Como consequĂŞncia de (iv), todo subconjunto finito de um corpo ordenado K possui Ă­nfimo e supremo. Exemplo 1: Dados a < b pertencentes a K, seja X = (a,b) , o intervalo aberto com extremos a e b. Tem-se entĂŁo, a = inf X e b =sup X. Prova: Mostraremos somente que a = inf X, pois a prova de que b = sup X ĂŠ anĂĄloga.

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A CONSTRUĂ&#x2021;Ă&#x192;O DOS NĂ&#x161;MEROS REAIS

Ă&#x2030; fĂĄcil notar que a ĂŠ cota inferior de X, pela prĂłpria definição de intervalo, vista anteriormente. Resta-nos entĂŁo mostrar que a ĂŠ a maior cota inferior de X. Para isso vamos tomar arbitrariamente um a´â&#x2C6;&#x160; K, tal que a´ > a. đ?&#x2018;&#x17D;´+đ?&#x2018;&#x17D;

Nesse caso podemos fazer đ?&#x2018;Ľ = 2 , e teremos a < x < a´. Ou seja, x ĂŠ um elemento de X menor que a´, o que nos permite afirmar que a´ nĂŁo ĂŠ cota inferior de X. Isso mostra que nĂŁo hĂĄ nenhuma cota inferior de X maior que a. Exemplo 2: Seja Y ď&#x192;&#x152; â&#x201E;&#x161; o conjunto das fraçþes 1 do tipo đ?&#x2018;&#x203A; , onde n â&#x2C6;&#x160; â&#x201E;&#x2022;. Podemos mostrar que 2

1 2

inf Y = 0 e sup Y = . Prova: Com certeza 0 ĂŠ uma cota inferir de Y, jĂĄ 1 que o nĂşmero 2đ?&#x2018;&#x203A; ĂŠ sempre positivo. Resta-nos entĂŁo mostrar que nĂŁo existe nenhuma cota inferior maior que 0. Tomemos entĂŁo um nĂşmero arbitrĂĄrio đ?&#x153;&#x20AC; > 0. Como â&#x201E;&#x161; ĂŠ um corpo arquimediano, existe um m â&#x2C6;&#x160; â&#x201E;&#x2022; tal que 0 < 1 < đ?&#x153;&#x20AC;. Mas sempre podemos tomar um n â&#x2C6;&#x160; đ?&#x2018;&#x161;

1

quadrado seja maior que 2. Vemos claramente que X ď&#x192;&#x152; (-â&#x2C6;&#x17E;,2], portanto X ĂŠ limitado superiormente. AlĂŠm disso, Y ď&#x192;&#x152; [0,â&#x2C6;&#x17E;), logo Y ĂŠ limitado inferiormente. No entanto, podemos mostrar que nĂŁo existem sup X nem inf Y em â&#x201E;&#x161;. Prova: Para mostrar esses dois fatos, vamos primeiramente mostrar 3 lemas. Lema A: O conjunto X nĂŁo possui elemento mĂĄximo. Observemos primeiramente que se este elemento existisse ele seria nĂŁo negativo. Logo, para a prova, podemos descartar os elementos de X que sĂŁo < 0. Dado entĂŁo um x â&#x2030;Ľ 0 e tal que x2 < 2, podemos tomar um racional r < 1 e tal que, 0 < r < (2-x2)/(2x+1). Afirmamos que, x+r â&#x2C6;&#x160; X. De fato, da desigualdade acima temos r.(2x+1) < 2-x2 . Consequentemente, podemos escrever (x+r)2 = x2 + 2rx + r2 . Mas como r < 1, entĂŁo r2 < r, o que nos leva a (x+r)2 < x2 + 2rx + r = x2 + r.(2x+1) < x2 + 2 â&#x20AC;&#x201C; x2 = 2

Ou seja, x + r â&#x2030;Ľ 0 e (x+r)2 < 2 . Logo, dado um x â&#x2C6;&#x160; X, podemos sempre encontrar um x + r ainda em X, o que prova o Lema.

1

â&#x201E;&#x2022;, tal que 2n > m, o que nos darĂĄ 0 < đ?&#x2018;&#x203A; < < 2 đ?&#x2018;&#x161; đ?&#x153;&#x20AC; . Isso mostra que, para qualquer nĂşmero đ?&#x153;&#x20AC; > 0, podemos sempre encontrar um elemento de Y menor que đ?&#x153;&#x20AC;. Ou seja, nenhum nĂşmero positivo pode ser limite inferior de Y, o que completa a nossa prova. 1 1 1 Ă&#x2030; fĂĄcil ver tambĂŠm que sup Y = 2 , pois 2đ?&#x2018;&#x203A; â&#x2030;¤ 2 para todo n â&#x2C6;&#x160; â&#x201E;&#x2022;, valendo a igualdade quando 1 n = 1. Ou seja, 2 â&#x2C6;&#x160; Y, sendo tambĂŠm seu elemento mĂĄximo, o que, como vimos, implica 1 sup Y = 2 . Para efeito do CĂĄlculo Diferencial e Integral, a insuficiĂŞncia mais grave dos nĂşmeros racionais ĂŠ o fato de alguns conjuntos limitados de nĂşmeros racionais nĂŁo possuĂ­rem Ă­nfimo (ou supremo). Como veremos adiante, esta deficiĂŞncia estĂĄ relacionada com o fato de nĂŁo existir um nĂşmero racional cujo quadrado ĂŠ 2. Exemplo 3: Sejam X = {x â&#x2C6;&#x160; â&#x201E;&#x161; ; (x < 0) U (x â&#x2030;Ľ 0 â&#x2039;&#x20AC; x2 < 2)} e Y = {y â&#x2C6;&#x160; â&#x201E;&#x161; ; y > 0 e y2 >2}. Ou seja, X ĂŠ o conjunto formado por todos os nĂşmeros racionais negativos, mais os nĂŁo negativos cujo quadrado ĂŠ menor que 2. E Y ĂŠ o conjunto formado pelos nĂşmeros racionais positivos cujo

Lema B: O conjunto Y nĂŁo possui elemento mĂ­nimo. De fato, dado y > 0 e tal que y2 > 2, podemos escolher um racional r, tal que 0 < r < (y2-2)/2y. Mas isso significa que: i. r < y/2 â&#x20AC;&#x201C; 1/y â&#x;š y â&#x20AC;&#x201C; r > 0. ii. Da definição do r temos 2yr < y2-2 . Logo, (y-r)2 = y2 -2yr + r2 > y2 â&#x20AC;&#x201C; 2yr > y2 â&#x20AC;&#x201C; y2 +2 = 2 Ou seja, y - r > 0 e (y-r)2 > 2 . Logo, dado um y â&#x2C6;&#x160; Y, podemos sempre encontrar um y-r, ainda em Y, o que prova o Lema. Lema C: Se tomarmos x â&#x2C6;&#x160; X e y â&#x2C6;&#x160; Y, entĂŁo x < y. Este fato ĂŠ Ăłbvio, dado que, se x < 0, ele ĂŠ obviamente menor que qualquer y â&#x2C6;&#x160; Y. Por outro lado, se x e y forem positivos, entĂŁo x2 < 2 < y2 â&#x;š x2 < y2 â&#x;š x < y. Usando os lemas A,B e C, mostraremos agora que nĂŁo podem existir sup X e inf Y no corpo dos Racionais. Suponhamos primeiro que exista a = sup X. Claramente a > 0. Mas nĂŁo podemos ter a2 < 2, pois neste caso a â&#x2C6;&#x160; X e, sendo seu supremo, seria tambĂŠm seu elemento mĂĄximo, o que nĂŁo pode ser verdade pelo Lema A. TambĂŠm nĂŁo

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A CONSTRUÇÃO DOS NÚMEROS REAIS podemos ter a2 > 2, pois neste caso a ∊ Y. Mas, como pelo Lema B, Y não contém mínimo, existiria um y ∊ Y com y < a. Como pelo Lema C, ∀ x ∊ X, x < y. Esse y seria uma cota superior de X menor que a, contrariando o fato de ser a = sup X. Concluímos então que se existir um a = sup X, temos que ter a2 = 2. Mas então, pelo Lema de Hipasus, a ∉ ℚ . Ou seja, X não possui supremo no corpo dos Racionais. Um raciocínio análogo leva a conclusão que Y não possui ínfimo no corpo dos Racionais. Esses argumentos mostram também que, se existir um corpo ordenado no qual todo conjunto não vazio, limitado inferiormente (superiormente) possua um ínfimo (supremo), existirá nesse corpo um elemento a > 0 cujo quadrado é igual a 2. O que Dedekind e Cantor mostraram, usando caminhos diferentes, é que esse corpo existe. Nesse corpo, o elemento a, cujo quadrado é 2, é denotado a = √2 . Lê-se raíz de 2. 5. Os Números Reais Um Corpo Ordenado e Completo é um corpo ordenado no qual todos os subconjuntos não vazios e limitados inferiormente (superiormente) possuem um ínfimo (supremo). Pelo que vimos anteriormente, apesar de ser um corpo ordenado, o Conjunto dos Racionais não é um corpo ordenado e completo, pois lhe faltam alguns números. Exatamente aqueles que serviriam como supremos e ínfimos de alguns de seus subconjuntos, como mostrado no Exemplo 3. Os primeiros matemáticos a terem sucesso na tarefa de completar o conjunto dos racionais com os números que lhe faltam, de modo a obter um corpo ordenado e completo, foram Cantor e Dedekind. Não é parte do escopo deste artigo explicar detalhadamente os métodos utilizados para estender os racionais e chegar ao conjunto dos números Reais. Essa explicação pode ser encontrada em [Dedekind], [Landau], [Suppes] entre outras referências. Vamos então dar uma indicação dos caminhos usados por Dedekind e Cantor, e passaremos imediatamente as propriedades dos Reais que nos interessam para efeito do Cálculo Diferencial e Integral.

5.1 Os Cortes de Dedekind Para obter os números reais Dedekind inspirouse na ideia dos gregos, que associavam todos os números por eles conhecidos, inclusive os irracionais, como o descoberto por Hipasus, a comprimentos de segmentos de reta. O que Dedekind fez foi criar uma forma de por os números reais em correspondência biunívoca com os pontos de uma reta. Dedekind começou definindo cortes ou seções no conjunto dos racionais, que viriam mais tarde a ser chamados Cortes de Dedekind. Um corte é um par <A,B> de subconjuntos de ℚ, tais que: a. A e B são não vazios b. AUB=ℚ c. ∀ x ∊ A e y ∊ B, teremos x < y Existem várias formas de se obter tais cortes. Por exemplo, os conjuntos X e Y do Exemplo 3 formam um corte de Dedekind. Independente da maneira que se use para obter um corte, uma vez obtidos A e B satisfazendo as condições acima, uma das três seguintes possibilidades, mutuamente excludentes. vai ocorrer: i. A tem um elemento máximo, ao qual chamaremos a; ii. B tem um elemento mínimo, ao qual chamaremos b; iii. A não possui um elemento máximo nem B possui um elemento mínimo. Note-se que a possibilidade de haver, simultaneamente, um elemento máximo de A e um mínimo de B não pode ocorrer, pois nesse caso poderíamos obter um racional x = (a+b)/2, que não pertenceria a A nem a B. Dedekind associou então cada corte desse tipo a um Número Real, de tal forma que, as situações i e ii acima, quando ocorrem, definem números racionais, ao passo que a situação iii define números irracionais (como no exemplo 3).

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A CONSTRUĂ&#x2021;Ă&#x192;O DOS NĂ&#x161;MEROS REAIS

Assim, o conjunto dos nĂşmeros Reais ĂŠ formado pela uniĂŁo entre dois conjuntos disjuntos, os racionais (â&#x201E;&#x161;) e os Irracionais (đ?&#x153;¤). â&#x201E;?=â&#x201E;&#x161;Uđ?&#x153;¤ Usando apenas esses conceitos, Dedekind conseguiu mostrar que os nĂşmeros reais, assim definidos, satisfazem os axiomas de corpo, e que todos os seus subconjuntos nĂŁo vazios e limitados inferiormente (superiormente) possuem Ă­nfimo (supremo), completando sua construção. 5.2 As SequĂŞncias de Cantor Cantor utilizou uma estratĂŠgia completamente diferente da de Dedekind. Ele partiu da noção de sequĂŞncia de nĂşmeros racionais, mais especificamente sequĂŞncias de Cauchy. Uma sequĂŞncia ĂŠ simplesmente uma função de â&#x201E;&#x2022; em â&#x201E;&#x161;. Cada elemento (xn) da sequĂŞncia ĂŠ um nĂşmero racional, valor da função associado ao natural n. Uma sequĂŞncia ĂŠ dita de Cauchy se â&#x2C6;&#x20AC; đ?&#x153;&#x20AC; > 0, â&#x2C6;&#x192; N â&#x2C6;&#x160; â&#x201E;&#x2022;, tal que, para todo n e m maiores que N temos | xn â&#x20AC;&#x201C; xm| < đ?&#x153;&#x20AC; Cantor definiu que duas sequĂŞncias de Cauchy, digamos x e y, sĂŁo equivalentes (nota-se x â&#x2030;&#x192;y), se â&#x2C6;&#x20AC; đ?&#x153;&#x20AC; > 0, â&#x2C6;&#x192; N â&#x2C6;&#x160; â&#x201E;&#x2022;, tal que, para todo n > N temos | xn â&#x20AC;&#x201C; yn| < đ?&#x153;&#x20AC; Podemos entĂŁo dizer, que duas sequĂŞncias de Cauchy sĂŁo equivalentes se Ă medida que o n cresce seus elementos vĂŁo ficando cada vez mais prĂłximos. Pode-se provar que essa relação ĂŠ, de fato, uma relação de equivalĂŞncia definida no conjunto das sequĂŞncias de Cauchy de nĂşmeros racionais. Ou seja: Se x, y e z sĂŁo sequĂŞncias de Cauchy de nĂşmeros racionais, entĂŁo: i. xâ&#x2030;&#x192; x ii. Se x â&#x2030;&#x192; y â&#x;š y â&#x2030;&#x192; x iii. Se x â&#x2030;&#x192; y e y â&#x2030;&#x192; z â&#x;š x â&#x2030;&#x192; z Cantor definiu entĂŁo os nĂşmeros reais como sendo classes de equivalĂŞncia de sequĂŞncias de Cauchy de nĂşmeros racionais.

Usando apenas esses conceitos, Cantor conseguiu mostrar que os nĂşmeros reais, assim definidos, satisfazem os axiomas de corpo, e que todos os seus subconjuntos nĂŁo vazios e limitados inferiormente (superiormente) possuem Ă­nfimo (supremo), completando sua construção. O que Cantor e Dedekind fizeram, afinal, foi mostrar que existe um Corpo Ordenado e Completo. O conjunto dos nĂşmeros Reais (â&#x201E;?). 5.3 A distribuição dos Irracionais entre os Reais Pode-se demonstrar que os nĂşmeros irracionais encontram-se espalhados por toda parte ao longo da reta dos reais. Para tornar esta ideia mais precisa, começaremos com uma definição. Diz-se que um conjunto X ď&#x192;&#x152; â&#x201E;? ĂŠ denso em â&#x201E;?, quando todo intervalo aberto (a,b) de nĂşmeros reais contĂŠm algum ponto de X. Ou seja, dados dois nĂşmeros reais a < b, podemos sempre encontrar um x â&#x2C6;&#x160; X, tal que a < x < b. Teorema 4: O conjunto dos nĂşmeros racionais (â&#x201E;&#x161;) e o conjunto dos nĂşmeros Irracionais (đ?&#x153;¤ = â&#x201E;? - â&#x201E;&#x161;) sĂŁo ambos densos em â&#x201E;?. Prova: O que temos a fazer ĂŠ mostrar que, dados dois nĂşmeros reais a < b, podemos sempre exibir um nĂşmero racional e um nĂşmero irracional situado entre eles. 1. Se a e b â&#x2C6;&#x160; â&#x201E;?, com a < b, entĂŁo b-a > 0. Mas, assim como â&#x201E;&#x161;, â&#x201E;? ĂŠ um corpo arquimediano. Logo, existe um q â&#x2C6;&#x160; â&#x201E;&#x2022;, tal 1 que 0 < đ?&#x2018;&#x17E; < đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D;. Ora, entĂŁo teremos a situação da figura abaixo.

Vemos claramente que, como 1/q < b-a, entĂŁo, se replicarmos o segmento 1/q vĂĄrias vezes, eventualmente teremos um m â&#x2C6;&#x160; â&#x201E;&#x2022;, tal que o ponto m/q estarĂĄ entre a e b, ou seja, a < m/q < b. Isso mostra que existe um m/q â&#x2C6;&#x160; â&#x201E;&#x161; entre a e b, o que completa a prova de que â&#x201E;&#x161; ĂŠ denso em â&#x201E;?.

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A CONSTRUĂ&#x2021;Ă&#x192;O DOS NĂ&#x161;MEROS REAIS

2. Tomemos agora o nĂşmero irracional đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D; > 0. Novamente poderemos encontrar 2 â&#x2C6;&#x161;

1

um q â&#x2C6;&#x160; â&#x201E;&#x2022; , tal que 0 < đ?&#x2018;&#x17E; < implica que

â&#x2C6;&#x161;2 đ?&#x2018;&#x17E;

đ?&#x2018;?â&#x2C6;&#x2019;đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x161;2

. Mas isso

< đ?&#x2018;? â&#x2C6;&#x2019; đ?&#x2018;&#x17D; . Ou seja, temos

uma situação semelhante a do parågrafo anterior. A diferença agora Ê que o segmento que vamos replicar Ê medido pelo número irracional

â&#x2C6;&#x161;2 đ?&#x2018;&#x17E;

. Mas haverĂĄ

eventualmente um m â&#x2C6;&#x160; â&#x201E;&#x2022;, tal que o ponto đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x161;2 đ?&#x2018;&#x17E;

đ?&#x2018;&#x17D;<

estarĂĄ entre đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x161;2 đ?&#x2018;&#x17E;

a e b, ou seja,

< đ?&#x2018;?. Isso mostra que existe um

nĂşmero irracional

đ?&#x2018;&#x161;â&#x2C6;&#x161;2 đ?&#x2018;&#x17E;

entre a e b, o que

completa a prova de que đ?&#x153;¤ ĂŠ denso em â&#x201E;?. A seguir, mostraremos outros fatos importantes a respeito do conjunto dos Reais, os quais sĂŁo de fundamental importância na construção do CĂĄlculo Diferencial e Integral. Teorema 5: A interseção de uma sequĂŞncia decrescente de intervalos In = [an,bn] de nĂşmeros reais ĂŠ nĂŁo vazia, e essa interseção ĂŠ o intervalo [a,b], onde a = sup an e b = inf bn. Prova: Uma sequĂŞncia decrescente de intervalos, significa que temos I1 â&#x160;&#x192; I2â&#x160;&#x192; I3 ... â&#x160;&#x192; In ... , o que nos permite escrever: a1 â&#x2030;¤ a2 â&#x2030;¤ ...â&#x2030;¤ an â&#x2030;¤ ...â&#x2030;¤ bn â&#x2030;¤ ... â&#x2030;¤ b2 â&#x2030;¤ b1

Ou seja, [a,b] ď&#x192;? In para todo n , o que implica [đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?] ď&#x192;? â&#x2039;&#x201A;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=1 đ??źđ?&#x2018;&#x203A; . Para mostrar que nessa inclusĂŁo vale, na verdade, a igualdade, basta ver que nenhum x < a pode pertencer a todos os In. Mas isso decorre do fato de a = sup A, pois pela definição de supremo, dado x < a, devemos ter algum an em A, com x < an , e, portanto, x â&#x2C6;&#x2030; In . Analogamente, nenhum y > b pode pertencer a todos os In. Logo, podemos afirmar que [đ?&#x2018;&#x17D;, đ?&#x2018;?] = â&#x2039;&#x201A;â&#x2C6;&#x17E; đ?&#x2018;&#x203A;=1 đ??źđ?&#x2018;&#x203A; . O Teorema 5 tem relação direta com outra propriedade fundamental do corpo dos Reais. Como veremos no artigo sobre Topologia da reta dos Reais, toda sequĂŞncia convergente de nĂşmeros racionais, ou irracionais, tem limite nos reais. Essa propriedade foi usada por Cantor, ao definir os NĂşmeros Reais como classes de equivalĂŞncias de SequĂŞncias de Cauchy. Na verdade, o que Cantor observou ĂŠ que todo nĂşmero Real, seja ele racional ou irracional, ĂŠ o limite de alguma sequĂŞncia de Cauchy de nĂşmeros Racionais. Lema: O conjunto dos NĂşmeros Reais pode ser colocado em correspondĂŞncia biunĂ­voca com o intervalo (0,1). Basta pegar a função f:â&#x201E;? â&#x2020;&#x2019; (0,1) dada por 1 đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) = â&#x2C6;&#x2122; (1 + ) 2 1 + |đ?&#x2018;Ľ| Cujo grĂĄfico ĂŠ mostrado abaixo.

Se chamarmos A o conjunto dos an e B o conjunto dos bn, vemos que A ĂŠ limitado superiormente, pois qualquer bn ĂŠ cota superior de A e B ĂŠ limitado inferiormente, pois qualquer an ĂŠ cota inferior de B. Mas como â&#x201E;? ĂŠ um corpo completo, podemos afirmar que A terĂĄ um supremo, ao qual chamaremos a e B terĂĄ um Ă­nfimo, ao qual chamaremos b. Como cada bn ĂŠ cota superior de A, pela propriedade do supremo, temos que ter a â&#x2030;¤ bn, â&#x2C6;&#x20AC;n. Ou seja, a ĂŠ tambĂŠm cota inferior de B. Agora, usando a propriedade do Ă­nfimo, concluĂ­mos que a â&#x2030;¤ b. Assim, podemos finalmente escrever: a1 â&#x2030;¤a2 â&#x2030;¤ ...â&#x2030;¤ an â&#x2030;¤ ... â&#x2030;¤ a â&#x2030;¤ b â&#x2030;¤ ...â&#x2030;¤ bn â&#x2030;¤ ... â&#x2030;¤ b2 â&#x2030;¤b1

Vemos que a função Ê bijetiva, e, portanto, invertível. AlÊm disso, f leva a reta Real no intervalo (0,1).

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A CONSTRUĂ&#x2021;Ă&#x192;O DOS NĂ&#x161;MEROS REAIS

Teorema 6: O conjunto dos NĂşmeros Reais nĂŁo ĂŠ enumerĂĄvel. A prova deste teorema foi dada por Cantor e se encontra no nosso artigo sobre Fundamentos de Teoria dos NĂşmeros. CorolĂĄrio 1: Qualquer intervalo nĂŁo degenerado de nĂşmeros Reais ĂŠ nĂŁo enumerĂĄvel. Prova: Basta ver que qualquer intervalo nĂŁo degenerado pode ser colocado em correspondĂŞncia biunĂ­voca com o intervalo (0,1). A prova segue-se do Lema a do Teorema 6. CorolĂĄrio 2: O conjunto dos Irracionais ĂŠ nĂŁo enumerĂĄvel. Prova: Sabemos que o conjunto dos Racionais ĂŠ enumerĂĄvel. A prova deste fato, tambĂŠm dada por Cantor, encontra-se no nosso artigo sobre Fundamentos de Teoria dos NĂşmeros. Logo o conjunto dos Irracionais deve ser nĂŁo enumerĂĄvel, pois, caso contrĂĄrio, terĂ­amos â&#x201E;? = â&#x201E;&#x161; U đ?&#x153;¤ enumerĂĄvel, contrariando o Teorema 6.

ReferĂŞncias: 1. Cantor, G. â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x153;Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbersâ&#x20AC;?, New York, Dover, 1915. 2. Dedekind, R. â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x153;Essays on Theory of Numbersâ&#x20AC;?, tradução W.W. Beman, New York, Dover, 1963. 3. Landau E. â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x153;Foundations of Analysisâ&#x20AC;?. New York, Chelsea, 1951. 4. Lima, Elon Lages â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x153;Curso de AnĂĄlise Volume 1â&#x20AC;? , Projeto Euclides, IMPA-RJ, 1976. 5. Suppes, Patrick â&#x20AC;&#x201C; â&#x20AC;&#x153;Axiomatic Set Theoryâ&#x20AC;?, D. Van Nostrand Company Inc., NJ-USA, 1960.

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A construção dos reais  

Números Reais, Números Racionais, Intervalos

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