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Alfonso Rojas PuĂŠmape


© Derechos de autor reservados. Alfonso Rojas Puémape © Derechos de edición y artes gráficas reservados. 2012, Editorial Tercer Milenio S.A. 7300 North Kendall Drive, Suite 521 Miami, Florida 33156-7840. USA etm@grupo-etm.com Director Editorial: Antonio Sabogal Editora General: Marifé Vargas-Corbacho Editor de Matemática: Alfonso Rojas Puémape Especialistas del Área: Giovanna Rojas Jorge Chávez Johnny Leguía Eddy Chirinos Edson Tacanga Diseño de portada: Delfín Blanco Comunicaciones Composición de interiores: Jorge Huamaní, Iván Tejada, María Isabel Flores Ilustraciones: Jorge Huamaní, Giulianno Delgado Preprensa e impresión: QuadGraphics www.QG.com Impreso en Colombia - Printed in Colombia Impreso en papel bond con certificación FSC con cadena de custodia "Bosques Controlados". Reservados todos los derechos. No está permitida la reproducción total o parcial de esta obra didáctica, ni su tratamiento informático, ni la transmisión de ninguna forma o por cualquier medio, ya sea electrónico, mecánico, por fotocopia, por registro u otros métodos, sin el permiso previo por escrito de los titulares del copyright.


Desarrollar la inteligencia y aprender a pensar, para resolver dificultades decidiendo por las mejores alternativas de resolución y con alta velocidad de procesamiento mental son tareas pendientes en todos las instituciones escolares. Nuestra colección para la Educación Secundaria presenta una propuesta de razonamiento lógico - matemático por medio de la cual se pone al alcance de estudiantes y docentes, cientos de ejercicios, problemas, juegos, matemática recreativa y todo tipo de materiales relacionados con situaciones lógicas, búsqueda de regularidades y habilidad operativa, que permiten desarrollar las capacidades de observación, abstracción, generalización, comprensión, análisis y síntesis. Se aprende a pensar, pensando; se aprende a razonar, razonando, es decir afrontando muchas situaciones que permitan pasar del nivel literal a los niveles inferencial y/o crítico. En esta edición se ha diseñado en la parte final de cada unidad una sección denominada AUTOEVALUACIÓN, que ha sido dividida en cuatro niveles. De los cuales los tres primeros son acumulativos parciales, cuya temática cubre aleatoriamente los tres temas de la unidad correspondiente, mientras que el nivel IV es acumulativo total, cuya temática es todo el contenido desarrollado en el texto hasta esa posición. La colección de RAZONAMIENTO MATEMÁTICO de ETM ofrece diversos personajes y muñecos. Entre los primeros aparecen Skanito y sus amigos Maite, Dalma y Luchín, quienes realizan el papel de mediadores del aprendizaje. Entre los muñecos hemos dado vida a elementos tecnológicos como una laptop, un USB, un celular y una tableta, así como a materiales que los estudiantes emplean a diario en sus quehaceres escolares como una regla, un block, un clip; además, los acompaña una ilustración del planeta Tierra que promueve transversalmente su cuidado y conservación. De estas ilustraciones, algunas hacen el papel de direccionadores y otros de sintetizadores. Los primeros aparecen en tamaño pequeño e indican que alguna idea del contenido se aclarará en un cuadradito de margen. Esa aclaración se ve precedida por un sintetizador en tamaño más grande. Esperamos que este cuaderno de trabajo sea de mucha utilidad para la práctica del razonamiento lógico-matemático ya que lo consideramos un excelente material que permite un intenso entrenamiento para exámenes de admisión a cualquier centro superior de estudios.

Alfonso Rojas Puémape


E ST RU C TU RA DE U N I DA D

1

U NIDA D

MÓVILES Y RELOJES

INICIO DE UNIDAD

Si ambos mantienen sus velocidades, el verde logrará alcanzarlo.

• Nombre de unidad / km 80

50

km

• Problema motivador

h

/h

• Contenido (temas)

69

Pie

ECUACIONES Y EXPONENTES

CONTENIDO NTROS ► ALCANCES Y ENCUE S Y CALENDARIOS ► ADELANTOS, ATRASO MANECILLAS ► ÁNGULOS ENTRE

nso m

ientras

O J U E G ¡Siempre 100!

de signos dígitos iguales, además casos, usa los seis : En los siguientes ar el resultado indicado os para determin lugares adecuad

ticos en los

y / o símbolos matemá

Conjunto de situaciones lúdicas que permiten el desarrollo del pensamiento matemático.

100

=

0

0

0

0

0

0

1.°

1

1

1

100

1

=

1

1

2.°

2

2

2

100

2

=

2

2

3.°

3

3

3

100

4.°

3

=

3

3

4

4

4

4

=

4

4

5.°

5

5

5

100

5

=

5

5

6.°

100

7.°

6

6

8.°

7

7

9.°

8

10.°

9

100

6

6

6

=

7

7

7

7

=

100

8

8

8

8

=

100

8

9

9

9

9

=

100

9

6

Estrategia TEMAS

Conjunto de técnicas que nos guían en la resolución de problemas diversos.

Nombre deL tema

NúMERO DEL TEMA

127 126

ALFONSO ROJAS PUÉMAPE

triángulos y su extensión algunas propiedades básicas en

Recordemos así como en circunferencias.

3.

2.

1. β

Direccionadores

α

θ α

γ

x

M

x=α+β+θ

Estrategia a las • Elaboramos un gráfico de acuerdo condiciones indicadas. datos y for• Del gráfico, relacionamos los mamos igualdades.

α

α

A

m∠ABC =

C

AC MN // AC y MN = 2 o AC = 2MN

C

M

A

C

A

BM =

• Tenemos: AB = BC → β = 4α • En el AHC: α + β = 90°

x=

14.

¡IMPORTANTE!

O

m AB 2

relaciona En el gráfico de la circunferencia al valor que ángulos y arcos que involucren deseamos calcular.

B x

a una Ejemplo 5. Desde un punto P, exterior PA y circunferencia, se trazan las tangentes = {F} PB. Luego, AH ⊥ PB. Si AH ∩ AB y mAF = 70°, calcula mBF .

H

• ΔMPT, ángulo exterior: β = 33° + α … 1 • ΔMAP: α + 2β = 180°… 2

β

C

• Por la propiedad de la Fig.13: mAF 70° = 35° m∠FAP = 2 = 2 → m∠FAP

A α P β β 33° α

x

M N 1 en 2 : α + 2(33°+ α) = 180° → α = 38° • Finalmente, ΔNAT: x + α = 90° x + 38° = 90° ⇒ x = 52°

T

T son puntos Ejemplo 6. En la figura E, M y 9 cm de tangencia; AG = 8 cm, AM = y FG = 12 cm. Calcula FM.

B

• En el ΔAGC: AG = 2MN 24 + x = 2(2x)

• MN = ? • Si FG = x, entonces, en el ΔMBN: MN = 2FG ⇒ MN = 2x

x = 8 → MN = 2(8) A MN = 16 cm

x

N

F M

105°

Q C

= 180° m∠HLQ = 105° y m∠C + 105° m∠C = 75°

• En 1 : x = 2(75°) → x = 150° mAB = 150°

E

M F

C

A

AHP : m∠P = 90° − 35° m∠P = 55°

35°

• Finalmente:

70°

F x

P H

B

mAB + m∠P = 180° (70° + x) + 55° = 180° x = 55° ⇒ mBF = 55°

¡INTERESANTE! Demuestra que: T

• Por la propiedad de la Fig.14:

E

AT = AM → AT= 9 FE = FM → FE = x

• Luego: FM = 5 cm

8

9

G 12

OS STOS UEST OPUE PROP MÁ MÁSS PR

TOSS ELTO SUEL RESU MÁ MÁSS RE

¡ATENCIÓN! El dinero gastado por cada uno, es igual al producto del la precio unitario por cantidad de botellas.

án vino del mismo Pablo y Raúl comprar comprará 50 botePablo precio y calidad. Por cada botella que llas y Raúl 30 botellas. un impuesto, pero pagar adquieren deben el vino, dinero para pagar como solo tienen ose cada uno, quedánd dejan 10 botellas ¿Cuál respectivamente. ? con S/. 40 y S/. 120 botella, sin impuesto es el precio de cada Resolvemos: botella: m • Precio de cada 50 m ⇒ dinero de Pablo: 30 m dinero de Raúl: compran: • Pero en realidad 40 botella Pablo: 50 − 10 = 20 botella Raúl: 30 − 10 = o: n botella con impuest • Precio de cada 40 n ⇒ Pablo gastó: n Rául gastó: 20 ... 1 50 m − 40 n = 40 • Planteamos: ... 2 30 m − 20 n = 120 sistema: • Resolvemos el n = S/. 24 2

ANTE! ¡IMPORT Esto te permitirá aprovechar el dato 4 .

C

Ideas que resumen, subrayan o recuerdan conceptos que nos ayudan a resolver un problema.

M á S pr o pu es to s

PUÉMAP E ALFONS O ROJAS

1

B

A

CT = CE = p ΔABC p: semiperímetro

73

Conjunto de ejercicios y problemas resueltos diseñados para mostrar formas de resolución de una gran diversidad de situaciones que exigen razonamiento.

¡interesante!

x + α = 180°

L H

A

M á S RE SUE LTO S 72

x

α

B x

• Propiedad de la Fig.10: x = 2(m∠C) … 1

12 + x = 8 + 9 → x = 5

A

G

x

BM inEjemplo 3. En un ΔABC, la mediana F, tal que terseca a la ceviana AG en el punto AF = 24 cm, BF = FM. Si N∈ GC , MN// AF y calcula MN.

Demuestra que:

GE = GT 12 + FE = 8 + AT

T

24

β

• Relacionamos ángulos y arcos:

Estrategia

3α α

A

¡ATENCIÓN!

B

O

AB : diámetro m∠APB = 90°

OT⊥ L

PA = PB

:

α α + β = 90°

A

L

• Luego: α + 4α = 90° α = 18° • En el AHB: x + 3α = 90° x + 3(18°) = 90° x = 36°

Sintetizador

P

T P

α+β 2

• En el HLQC:

AC 2

2x

En todo

• m∠N = x = ? • Como M es punto medio de NT NT , entonces: AP = AM y AP = 2

β

x

x= 16.

B

• mBF = x = ? A, P es un Ejemplo 2. En un ΔNAT, recto en NT punto de AT , tal que AP = 2 . siendo M Si m∠PMT = 33°, calcula m∠N, punto medio de NT.

α−β 2

15.

A

B

está inscrito Ejemplo 4. El ΔABC, acutángulo, BH y AQ en una circunferencia; las alturas = 105°. se intersecan en el punto L y m∠ALB Calcula: mAB .

B

N

α

x

β

α

α B

α ó α = 2x 2

x=

A

Q

AB = BC ⇔ m∠A = m∠C 8.

B

θ

BC y AH es Ejemplo 1. En un ΔABC, AB = altura (H∈ BC). Calcula la m∠B, si m∠BAH = 3(m∠HAC).

y x+y=α+β

Imágenes que relacionan el contenido en un tema con un sintetizador.

7. β

α + β + θ + γ = 360°

β

x

x z

x + y + z = 360°

θ=α+β

6.

α

Demuestra que:

θ

α

θ

α

β

13. B

β

α + β + θ = 180° 5.

A x

α B

x=α

4.

y

12.

11.

10.

A O x

a cuadriláteros,

C

TRIÁNGULOS

¡ATENCIÓN!

9.

NCIAS TRIÁNGULOS Y CIRCUNFERE

1

TEMA

CIRCUNFERENCIAS

y Enzo Leo, Fabio, Renzo reCuatro amigos: do los siguientes se pesaron, obtenien sultados: pesan 126 kg. − Entre Leo y Fabio, Leo, pesan 106 kg. − Entre Renzo y kg. Enzo, pesan 83 − Entre Fabio y ¿cuánkg más que Enzo, Si Renzo pesa 9 to pesa Renzo? Resolvemos: plantemos: • Del enunciado 1 L + F = 126 ... 2 R + L = 106 ... 3 F + E = 83 ... ... 4 9 = E − R − 3 • Hacemos: 2 = 23 ⇒ L−F+R−E R − F + L − E = 23 9 L − F = 14 ... 5 L = 70 y F = 56 • De 1 y 5 : en 2 : R = 36 • Reemplazando 36 kg . ⇒ Renzo pesa

3

núS/. 2250 por cierto Un obrero recibió e retrabajo y su ayudant mero de días de o trabajado 3 días cibió S/.1296, habiend hubiese trabajado e menos. Si el ayudant tantos el obrero y este tantos días como e hubiese reayudant el aquel, días como lo que hubiese recibicibido los 9 / 10 de de lo fue la diferencia do el obrero. ¿Cuál nte? que ganan diariame Resolvemos: a días • El ayudante trabajó: (a + 3) días • El obrero trabajó: es: ⇒ Lo que ganan 1296 2250 Ayudante: a Obrero: a + 3 días y el e trabaja (a + 3) • Si el ayudant : albañil a días, recibirán 1296 2250 ayudante; (a + 3) a a Obrero; a + 3 • Del enunciado: 1296 (a + 3) a

=

9 a 2250 a+3 10

2 =0 ⇒ 3a − 32a − 48 a = − 4 /3 4 3a ⇒ a = 12 −12 a diariamente es: • Lo que ganan Ayudante: S/.108 Obrero: S/. 150 42 150 − 108 = S/.

4

es de vino que, Se tienen dos cantidadtotal de 150 l. Si un el mezclados hacen S/. 30 y S/. 40, calcula sus precios son o que calidad, sabiend volumen de mayor es S/. 36. el precio de la mezcla Resolvemos: calidad: m • Volumen de mayor calidad: n • Volumen de menor ... 1 ⇒ m + n = 150 30m + 40n = 36 do: m+n • Además, del enuncia 2 ... ⇒ 2n = 3m sistema: m = 60 • Resolviendo el n = 90 vino de mayor • Hay 60 l de

calidad.

1

2

larlar tiene 80 m de Un terreno rectangu Si el largo aumenta go y 50 m de ancho. disminuye x metros, x metros y el ancho 2 x. e en 504 m . Calcula el área disminuy Rpta.: 12 para la venta, cierto los Una ferretería tiene, Primero vende número de ladrillos. le hacen un pedi3 / 5 del total y después queda. Pero antes lo que do de los 7 / 8 de e que pedido, se descubr de cumplir este sos y enviando defectuo los 240 ladrillos son solo llegan a cubrir todos los demás, vendió s ladrillos 4 / 5 del pedido. ¿Cuánto Rpta.: 1760 la ferretería? un pedido de cierto almacén recibe nte 3 Un de arroz. Inicialme número de sacos hacer S/. 800, pero al se esperaba ganar 500. solo se ganó S/. una rebaja del 30%, real del pedido? ¿Cuál es el valor Rpta.: S/. 200 toEn ovejas. y una granja hay patos pa4 En 64 cabezas y 184 tal se ha contado hay en la granja? tas. ¿Cuántos ovejas Rpta.: 28 5

¿cuántas respues y obtuvo 240 puntos, una s, sabiendo que tas fueron correcta da no suma ni resta pregunta no contesta Rpta.: 60 puntos?

edad “Hace 5 años, mi Pilar le dice a Rita: pero la tuya, en 2 años, excedía al triple de cuarta tu edad será la dentro de 6 años de Rita? ¿Cuál es la edad parte de la mía”. Rpta.: 4 años

9

que la mitad de la edad el Cuando yo tenía de 6 años, él tenía , tú tendrás dentro que tú tienes. Además triple de la edad y la la suma de su edad dentro de 8 años edad y la suma de su tuya serán 50 años edad años. ¿Cuál es la 60 serán mía y la Rpta.: 28 años actual de él?

10

cierto 200 por trabajar Leo recibió S/. recibió y su ayudante Si número de días trabajar 4 días menos. S/. 90, pero por o tantos días como Leo hubiese trabajad a, el ayudante husu ayudante y vicevers de lo que recibió 5/4 biera recibido los gana e, que el ayudant Leo. ¿Cuánto más Rpta.: S/. 5 día? por Leo, isósceles, cuya altura de un triángulo con los 12 La ángulo de 53° base forma un y la 8 m. Si la base lados iguales, mide en en triángulo disminuy altura de dicho m2. disminuiría en 18 x metros, el área

PISTA 4 En lo posible utiliza una incógnita y plantea una ecuación.

Calcula x .

13

14

PISTA

Ejemplo: Dos números que sumen 20:

11

"El triple de mi edad, Joel le dice a Pedro: tuya, en 36 años". de la excede al doble ma" Mi edad, es 2 años Pedro contesta: son de la tuya". ¿Cuáles yor que la mitad Rpta.: 20 y 12 años las edades? tenía nació cuando yo hermano menor edanuestras 6 Mi de 12 años y el producto 64. ¿Cuál será la fue des, hace 5 años, de 9 edades, dentro suma de nuestras Rpta.: 48 años años? de un área el ta que represen 7 El número al número que represen círculo, excede 63π. dicho círculo, en de ta el perímetro de que expresa el radio Halla el número Rpta.: 9 dicho círculo. s, de 120 pregunta examen un favor, 8 Leo dio así: 5 puntos a el cual se calificó puntos ta correcta y 2 ta. por cada respues respuesta incorrec en contra, por cada examen solo los 3 / 4 del Si Leo contestó

Conjunto de ejercicios o problemas para desarrollar en clase.

x; (20 − x)

Rpta.: 2m

2 hijos. Todos deciden Luis y Carla tienen que: de hacerlo, se supo pesarse y luego hijo juntos, 142 kg; el Los padres pesan juntos 152 kg; Carmayor y Luis pesan juntos sus hijos, pesan la y el menor de más mayor pesa 26 kg 104 kg. Si el hijo el hijo mayor? pesa ¿cuánto que el menor, Rpta.: 70 kg 120 y clases recibió S/. Luis por dictar reci3 horas menos, César, quien dictó tantas hubiese dictado bió S/. 90. Si Luis y este tantas como de horas como César recibido el triple aquel, César hubiese Luis ¿Cuánto recibió lo que recibiría Luis. Rpta.: S/. 20 por hora?

PISTA 10 Elabora un cuadro de doble entrada para las filas (Yo, Tú, Él) y columnas (tiempo).

Una guía o ayuda que permite desarrollar el problema.


ontrol

PUÉMAP E ALFONS O ROJAS

136

CONTRO

o de la figura sombrea o Calcula el perímetr o ABCD tiene perímetr da, si el cuadrad son diámetros. k y todos los lados

1

4

14

L

B

//CD y En la figura, AB AB + BC = 12cm. o del Calcula el perímetr . exágono ABCDEF

7

lo de o de un rectángu Calcula el perímetr mela base mide 2 cm 8 cm de altura, si l. nos que la diagona

E α

T

COMPRUEBA C

D

F

C

B

C

α α

B

o, BC ABC es equiláter es es diámetro y AC punto tangente en el o E T. Calcula el perímetr de la región sombrea A cm. 24π = L da, si BCT

10

α

A

PISTA 7 Observa paralelogramos o triángulos rectángulos.

D

A ¡Resuelve aquí!

PISTA 1

o están triángulo equiláter Si Un cuadrado y un misma circunferencia. el inscritos en una cuadrado es P, calcula el perímetro del . perímetro del triángulo

ABCDEF es un exágoB 12 cm no regular de CD de lado. AB, BC, s, y EF son diámetro A y E F centro del AE Detercentro del FD. F o de mina el perímetr da. la región sombrea

Usa los triángulos rectángulos notables.

r1 O1

C A

O2

B O3 r3

Determina ángulos, radios y otros de segmentos, luego trazar líneas.

1

6

C

. o y AB es diámetro ABCD es un cuadrad punto D a AE , si del Calcula la distancia 106°. BE = AB = 30 cm y m

9

es de la circunferencia Si la longitud región el perímetro de la 12π cm, calcula sombreada. B

12

o del cuadrado inscrito Calcula el perímetr radio circunferencia (de en un cuarto de en el arco. R), si tiene dos vértices

C

B

E

D

D

A E

O

A

7) 6

2) 12

8) 42

3) 10

9) 3

4) 40

10) 2

5) 40

11) 7

6) 0

12) 6

COMPRUEBA

3 PISTA 5

reo del octógono Determina el perímetr L. el cuadrado de lado gular inscrito en

5

PISTA 11

4) 46 cm 5) 8L( 2 − 1) 6) 3π(2+ 2 )cm

2

r2

1) 9

1) πk / 2 2) 3 6 P / 8 3) 40π cm

Traza radios y calcula sus longitudes.

o Calcula el perímetr del triángulo equilátero, si cada circunferencia tiene radio de longitud r.

11

A, En la figura, B y C son punia, tos de tangenc y r1=14cm, r3=6cm mAB = 90°. o Indica el perímetr del O O2 O3 .

8

10) 3π(4+3 3 )cm 11) 6r(1+ 3 )cm 12) 4R 10 5

Conjunto de 12 ejercicios o problemas elaborados para evaluar parcialmente en aula los niveles de razonamiento del tema tratado.

7) 24 cm 8) 70 cm 9) 18 cm

c

Claves de respuestas

137

calma, busca Piensa con cierta … datos e incógnitas relaciones entre en un papel.

82

ALFONSO ROJAS PUÉMAPE

83

CÁLCULO RÁPIDO MULTIPLICACIÓN POR

1. Se realizó una encuesta a 2800 alumnos de diferentes colegios y se demostró que el 75% gustan de las matemáticas. ¿Cuántos alumnos gustan de la geometría, si son la mitad de dicho porcentaje?

c á l c u l o r á p id o

Practicar con frecuencia técnicas o artificios de cálculo, nos hace más hábiles con las operaciones.

75

8. Para el viaje de promoción de un grupo de chicos faltaban 10 días y aún tenían que reunir S/.1300. De manera cidieron vender 35 empanadas que depor día a S/.3,5 cada una. ¿Cuánto dinero les faltó?

= (28 − 7) × 100 = 2100 Finalmente: Como la mitad de ellos son los que gustan de la geometría, entonces: 2100 : 2 = (2000 + 100) : 2 = 1050 Respondemos: Los alumnos que gustan de la geometría son 1050 .

Alicia va al gimnasio todos los días. Si en una bicicleta estática se queman 7,5 calorías por minuto, ¿cuántas calorías quemará en 16 días si realiza dicho ejercicio 10 minutos al día?

Rosita recibe en su cumpleaños tres pulseras de plata. Si cada una de ellas tiene un valor de $75. ¿A cuánto equivalen los regalos?

4

Pepe lustra zapatos. Si en un mes lustró los zapatos a 2100 personas, ¿cuánto ganó en ese mes, si por lustrada cobró 0,75 céntimos?

3

Una fábrica de dulces produce 7500 dulces por hora. ¿Cuál sería su producción diaria, si trabajan 14 horas al día?

5

¡NOTA!

6

En un evento deportivo se han inscrito 750 personas. Si cada una pagó por inscripción, S/. 32, ¿cuánto se ha recaudado?

Se han comprado 48 decenas de botellas de gaseosa de 3 litros. Si cada botella cuesta S/. 7,5, ¿cuánto se ha gastado en la compra?

7

91

EN 5

Resolvemos: •

Para saber cuánto dinero pudieron recaudar, solo multiplicamos: 3,5 × 35 × 10 Eliminando decimales nos queda: (35) 2 Procesamos... mentalment e: • Las dos últimas cifras siempre son 25. • Multiplicamos la cifra de las decenas “como un número” por el valor de dichas cifras aumentando en 1, así: (35) 2 = 3 × (3 + 1) = 12, y ese resultado irá al lado izquierdo del 25. •

2

¡Puedes obtener la cuarta parte de un número, dividiéndolo; dos veces seguidas, por 2!

UN NÚMERO QUE TERMINA

= 28 − 28 × 100 4

75a = (100 − 25)a = 100 − 100 a 4 Factorizando: = 100a 1 − 1 4 = 100 a − a 4 “Para multiplicar 75 por a restamos de a su cuarta parte y al resultado le agregamos dos ceros”.

Procedimientos o artificios de cálculo basados en propiedades matemáticas elementales que nos permiten desarrollar cálculos mentalmente.

NOTITA Este artificio también se aplica para números de tres cifras. Ejemplo: (105)2 El resultado termina en 25 (... 25) y las cifras a la izquierda de 25 se calculan así:

Luego: (35) 2 = 1225

Respondemos: Recaudaron 1225 en 10 días y faltan: 1300 − 1225 = 1300 − 1200 − 25 = S/. 75

10 (10 + 1) = 110 Luego, el resultado será:

9

Un comerciante compró 6 decenas y media de camisas. Si por cada una paga S/. 65 y dispone de S/. 4500, ¿cuánto dinero le sobra luego de la compra?

11 Renzo solicita a un banco, un préstamo

de S/. 45 000 para pagarlo en un año, con un interés que equivale al 4,5% del monto prestado. ¿Cuánto pagó Renzo por interés al banco?

13 Por lavar un auto, una persona cobra $ 5,5.

Si durante quince días, logró lavar 25 autos, ¿cuánto dinero logró recaudar en esos días?

10 Un fabricante de vinos requiere llenar 75 toneles

(105) 2 = 11 025

para cumplir con el pedido de un importante cliente. ¿Cuántos litros de vino necesita producir, si cada tonel se llena con 75 litros?

12 Julia gana en su trabajo S/. 73 al día y la mitad

decide guardarla porque desea comprarse un auto de S/. 13 300. ¿Cuánto dinero tendrá ahorrado al cabo de un año? ¿Cuánto le sobraría si comprara el auto?

14 La fotocopia de una hoja, a color, tiene un costo

de S/. 0,85. Sabiendo que el lunes se imprimieron 37 hojas y el martes 48 hojas, ¿cuánto dinero se obtuvo por la impresión de hojas en estos días?

DESAFÍO Efectúa mentalmente:

• • • • • •

(65)2 = (85)2 = (125)2 = (265)2 = (395)2 = (535)2 =

PUÉMAP E ALFONS O ROJAS

REC REA TI VA

MA TEM ÁTI CA

OBTENER 100 RA FÁCIL DE 1. UNA MANE iguales a 100 usando 5 dígitos Debes obtener matemáticas. , y operaciones los que se indican

1 2 3

• Usando 1 • Usando 2 • Usando 3

OPERACIONES! 2. ¡CUATRO en 6 × 6 cuadrado dividido Se muestra un as por 2 o 3 regiones formad cuadraditos y y un símbolo llevan un número cuadraditos, que

16 +

2:

2:

1-

18

3:

72

1-

4+

2

3-

100

7+

mate má tica recreati va

TRIANGULAR 4. LA TORRE soldando a se ha construido Una estructura metálic en la figura, tal como se muestra barras pequeñas, los equiláteros. formando triángu número total de filas, ¿cuál es el Si se cuentan 50 ir esta estructura? constru para barras necesarias,

Fila 1 Fila 2

operacional. el producto de × significa que Por ejemplo: 18 rectangular, escribir en la región los números a ser 18. cuadraditos debe formada por dos s del 1 al 6, sin solo los número Se deben usar a. misma fila o column repetirlos en una s! ¡Escribe los número

2:

2-

... NO REVUELTOS 3. JUNTOS, PERO hotel, para se instalan en un Ocho científicos ión del ncia sobre protecc asistir a una confere medio ambiente. iones en habitac asigna les El administrador bajo la das del 1 al 8, numera piso, un mismo se les asigna ón: a los que siguiente condici ocupar utivos no deben tal o números consec vertical, horizon habitaciones vecinas cuya parte según el gráfico, , almente diagon irías? ¿Cómo los distribu central es un jardín.

Ejercicios de Matemática lúdica concebidos para desarrollar pensamiento creativo.

Fila 3

¡Resuelve aquí!

7+

a u to e v a l u a ci ó n 177

ALFONSO ROJAS PUÉMAPE

R

B

¿Tienes celular?

Sí Sí

No

No

10

e) 12

d) 9

Determina el mayor valor de x.

13

si:

x2

x2 −1 = 64

( x2 )

En una urna hay (2n + 1) tarjetitas verdes (3n + 2) tarjetitas azules, 4) tar(4n + 3) tarjetitas rojas y (6n + jetitas blancas. ¿Cuántas tarjetitas para como mínimo se deben extraer (n + 1) tener la seguridad de obtener de los tarjetitas del mismo color en 3 colores? (n ≥ 5) c) 9n + 6 a) 12n + 8 b) 5n + 4 9 + 7n e) d) 10n + 8

14

15

c) Susana b) Pablo a) María d) Profesora e) Falta información

en ¿Cuántos puntos de corte habrá la Fig. 30? fig. 1 a) 1858 d) 1658

una De cierto punto sale un auto con de velocidad de 120 km/h y después b

c 10

b 11

d 12

a 13

a 14

6

y Un electrodoméstico costó S/.m hacen al momento de venderlo se p% dos descuentos sucesivos del

Sí No

c) 8

b) 6

−1/3 a) 1/2 b) 2/3 c) 1/4 d) −1/9 e)

ellos La profesora sabe que uno de 2 vesiempre miente, otro miente ces y otro siempre dice la verdad. verazSi todos hubiesen contestado mente, hubiesen tenido las mismas el que respuestas. Averigua quién es miente dos veces.

9

5

a

24

8

x

e

6 A

90 − α b) 32/3 α −7 2c) S a) −6 P e) −19 d) 6 de AB. Determina el mayor valor entero que: a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 18 14 Sabiendo 8 ... 6 4 2 1376 + 3376 + 5376 + 7376 + x −1 2 3 3, n =, x que: Sabiendo ...abc ... = 5 + + 41376 2 calcula el3valor de x . halla el valor de (a − b + c) . c) 3 b) 3 3 a) 3 c) 216 b) 125 a) 64 e) 3 2 d) 2 2 e) 343 d) 27

a) 5

No

7

a 15

5

75

e) 25

13

¿Te gustan las caricaturas? ¿Estudias en vacaciones? ¿Haces deporte?

d

5

d) 9

7

2

29 cifras

determina el valor de: M = (ba − ab)(b − a)

c) 1420

sus Una profesora junta a tres de a alumnos y les hace 4 preguntas cada uno. María Pablo Susana

6

9 12 75

c) 5

5

b) 1400 e) 1405

a) 1440 d) 1450 9

Sabiendo que: ... ...ab = b + ab + bab + abab + + ... + baba ... bab ,

...

c

3

35

b) 24

tienen Cinco árboles A, B, C, D y E orden sus bases alineadas en el misma nombrado y distanciadas una la longitud. Todos se cortan desde de base, hasta que estén a punto hacia caer. Si se empujan A y E uno

M

Q

3

fig. 2

fig. 1

n cuaSe eliminan dos números m y el por 98 100 99 lesquiera y son 1reemplazados 3 2 así número (mn+m+n), quedando 600 c) 20 980 19rea989 b)de a) 18Después un número menos. ¿cuál 988 e) 20 899veces, d) 19199 lizar esta operación es el número que queda? PQRS es un trapecio. Del gráfico, 4 c) 200 d) 100 e) 201 =9 b) 199 a) 1 Además, AB // PS, AQ = AP, PQ y MR = 2. Halla el valor de x, en:

c) 3 días

b) 4 días e) 0 días

a) 2 días d) 5 días 12

... fig. 3

5

13

e) 41

d) 39

c) 43

b) 51

en ¿Cuántos puntos de corte habrá la figura 36?

c) Diana

En el siguiente conjunto de números: 1 ... 1 ; 1 1 1 1 ; ; ; ; ; 2 200 199 198 197

c

7

6

7

8

9

c) Diego

e) 24

d) 2

a 7

3 4

a) 4 9

c) 16

Identifica el valor de a, en:

4 −5

4

b) 10

a) 0

3 −5

fig. 2 b) 1760 e) 1208 d

24 ... +A180 =...ab c, 18 12 A6 +A +A +A + calcula el valor de (a + b)c.

8

2

4 −2

2

3

6 Si: A = ... 376 y además

7

b 10

e 11

b) César e) a o c

12

¿quién Si solo uno está mintiendo, rompió el retrovisor? c) Rosa b) Yuliana a) Julio d) Samuel e) No se puede determinar

4

3

a) 33 8

2

3

fig. 3 c) 1500

b

O

− El rockero es basquetbolista. ¿A quién le gusta el vóley?

c 12

a) Ramiro d) b o c

de Diana? b) Carlos a) Ana e) Bety d) Elías

c 13

b 14

a

...

saUna camioneta transportará 1500 cos de papas en 12 días, trabajando de 15 horas diarias a una velocidad se 60 km / h. Luego de 4 días, el auto por malogra por lo cual se reemplaza a una otro que trabaja 20 horas diarias velocidad de 30 km / h. ¿Con cuántos días de retraso se terminó el trabajo?

x

617

81

a su mefrentepalitos de fósforo se neceSi Diana se3 sienta ¿Cuántos a lalaizsienta siguiente figura? formar jor amigo, ¿quién sitansepara amigo quierda y al lado del mejor

km / h a) 25 km / h b) 30 km / h c) 40 d) 45 km / h e) 50 km / h

11

Halla el valor de x.

2

O

d) 128 e) 132

César y Diego tienen 3 Ramiro, de millar aficiones y gustos en la cifra de las decenas diferentes 18 Halla del resultado de: música (pop, rock y salsa); equipos y 2 de fútbol (Alianza, Cienciano 11 111 111 y Melgar); deportes (fútbol, vóley e) 8 d) 7 básquet) c) 6 y cursos (matemáticas, b) 5 a) 4 lenguaje y física). Si se sabe que: que sigue, es: 19 El número − A César no le gusta el rock. 1; 3; 4; 7; 11; 18; 29; ... el − Al que le gusta el pop le encanta 72 e) 63 d) a) 34 b) 47 c) 57 fútbol. es − El que en: gusta de las matemáticas el número que falta, 20 Encuentra hincha del Melgar. 12 (36) 34 − El salsero es hincha de Melgar. 24 (60) 52 hincha − Ramiro prefiere el pop y es 62 ( ) 31 del Cienciano. e) 30 lenguaje. de curso el a) 12 b) 24 c) 93 d) 36 − A Diego le gusta

c)

7

b

T

T O

d

O

a) 9672 b) 112 c) 20 e)

b

O

Yo no lo rompí − Julio: − Samuel: Fue Rosa Fue Yuliana − Rosa: − Yuliana: Rosa miente

con el segundo?

100m(n+100) d) 100(p+q)−pq

100(m + n) pq n(100+m) e) p+q−pq

4

e) b)15h 59min c) 12h c) a) 46h d) 6 b) 3 d) 11h 58min e) 13h una Seis amigos cenan alrededor de valor de m. Indica el además: mesa circular. 2 Sabemos 3 8 (4 6 ) − Las damas no están juntas. Diana y 4 − Fredy está a la izquierda1de ( 4 ) m frente a Bety. (12) 18 y a la − Ana está sentada frente a Elías 12 d) 10 e) 6 c) b) 2 a) 3 derecha de Carlos.

Miguel llega a su casa y encuentra roto el retrovisor de su auto. Cuando respreguntó a sus hijos al respecto,

6

I

1

3

mismo 20 minutos sale otro desde el punto, con igual dirección y sentido que el primero y a la misma velocidad. tercer ¿Cuál fue la velocidad de un otros auto que va al encuentro de los dos, si en cierto instante se encontró con el primero y luego de 15 minutos,

y q%, quedando aún una ganancia ¿Cuál de n% respecto al costo. dicho es el precio al que fue fijado electrodoméstico? 100n(m+100) b) m+n a) p+q 100(p+q)+pq

a) 5

11

Acumulativo total

Nivel IV

1

¿Cuántas empresas auspiciadoras están reunidas? e) 455 a) 430 b) 435 c) 440 d) 450

a

c

e) 360 a) 245 b) 230 c) 243 d) 343

e) 25

c

El número que falta, es: 5 (50) 2 4 (48) 3 7 ( ) 5

12

solo a 2 − Cada auspiciador patrocina clubes. un aus− Cada dos clubes tienen solo piciador en común.

b

e) 2

5

d

d) 5

c) 4

b) 1

emEn un salón están reunidas las clubes presas auspiciadoras de 30 de fútbol. Si se sabe que:

pondieron:

T

T

T O

e) −45

4

17

2

8

d) 63

56

b

20

5

3

5 a) 3

12

e

1 c 13

b 14

c 15

2 e 16

d

c

b) Raúl

¿Cuál es el número que falta? 10 4 2 3

c) 45

−17

5

c) −23 d) 9

By el otro, se observa que los árboles más D caen pero no C. Además B es de grande que D y C es el más alto más pequeño? 2 microorgalos cinco. ¿Cuál es el contiene 1 Un recipiente e) E D se triplican cada minuto. C d)que c) nismos a) A b) B llena en 6 horas. se recipiente Este x. recipiente cuya capacidad es el valor de Otro 10 Señala contiene 12 miel 5doble del primero x 4 ¿Cuánto tardará en croorganismos. 270 750 68 llenarse 3 el 5segundo3 recipiente?

3

11

e) 12

d) 15

c) 16

b) 14

a) 10

3b) Solo II 9c) Solo III 6a) Solo I e) I y III d) I y II 18 2 15 4 12 4 e) 55 ni a d) 65a Mario 52 junto Si Fabio b) 49 noc)está 5a) 45 su izGabriel, entonces junto y a quierda está: 3

d 17

b

a) Simón

Halla el número que sigue, en: 3; 6; 4; 8; 6; …

b

4

b 18

b 19

5 b 20

10 : 10 b) 101 c) 100 d) 110 e) 10

10

b) 93

24

9

x

N I

I

5

8

A N

N I

T

a) 60

A

A

O e) 36

d) 45

c) 60

b) 48

11

= 3 + 27

c 6

c 7

b 8

c 9

a) 11

a) 50

7

b) 51

a) 23

K

K

figura?

5

4 +

halla:

d) 24

c) 23

N

e

3

halla:

¿Cuántos triángulos hay en la

3 = 4 + 8,

¿cuál Si Raúl y Luis se sientan juntos, veres la afirmación que es siempre dadera? 72 d) 120 e) 96 a) 80 b) 90 c) a) Gabriel y Fabio se sientan juntos. se sientan juntos. Marioes: b) Gabriel queyfalta, 15 El número y Fabio se sientan juntos. c) Mario 60 87 juntos. 140 149 se 315 y Fabio sientan 425d) Raúl sientan juntos. e) 10Fabio y Luis3se 2 5 entonces −6 está6 junto3a Fabio, 5 4 Si Luis es(son) verdadera(s): 9 e) 3 a) 15 b) 24 c) 16 d)Simón. I. Raúl está frente a la derecha de Gaa es: falta, está que II. Mario 16 El número briel. 63 54 III. Simón no está frente a Fabio.

e) 18

c) B

Halla el valor de x, en:

4

arreglo, ¿de cuántas Indica el número que sigue. 2 En el siguiente podemos leer la palabra − 1; 0; 0; 0; 2; 9; ...maneras SKANITO? e) 25 S a) 27 b) 29 c) 31 d) 18

I

10

d) 36

c) 40

17

b) Z

d) Y a) e) 21C b) 22

2 =3+3

a

=2+8

1 =2+0

9

b) 27

=1+1

2

b) 42

Sabiendo que:

3

Sabiendo que: 1

a) 32 9

d

e) 22

Descubre el número que falta. 34 (30) 29 26 (27) 35 42 ( ) 52 a) 24

11

d) 20

16

e) 28

d) 36

c) 39

8

10

c) 18

b) 14

resulHalla la suma de las cifras del tado de la siguiente operación: 2 1000 … 005 18 cifras d) 15 e) 10 a) 12 b) 11 c) 9

12 6

4

7

3

e

a) 16 9

a) A

9

25 8

7

8

8

Acumulativo parcial

Nivel III

en:

Determina la letra que continúa, U; O; K; G; D; ...

b

e) 27

15

6

d) 35

¿Cuál es el número que falta? 34 27 16 28 36 19 42 53 …

e) 56

d) 65

c) 72

Halla el número que falta.

b

c) 29

b) 33

a) 31

b) 52

a) 60

5

no conversa con Gabriel, 1 Si Fabio ordenamientos son posi15 Fig.¿cuántos bles? e) 52 a) 59 b) 62 c) 68 d) 46 e) 5 d) 4 c) 3 b) 2 a) 1 es el número que falta? 13 ¿Cuál de los 7siguientes enunciados 5 4 2 ¿Cuál posible? no puede ser33 3 8 2 6 3 23 5 de SiI. Mario está3 a la derecha 2 2 món. Raúl. e) 30 frente d)a34 c) 42 II. Simón b) 27 está a) 36 III. Luis está a la izquierda de Fabio. figura? triángulos hay en la c) Solo III 14 ¿Cuántos b) Solo II a) Solo I e) II y III d) I y II

El número que sigue, es: 2; 5; 10; 13; 26; …

7

¿Cuál es el número que sigue? 12; 4; 16; 8; 64; ...

7

Fig.a4su derecha.

e) Z

e

d) N

e) 56

d) 16

c) 25

4

e 10

b 11

cual Para determinar el orden en el encuentran sentadas las 6 personas, es suficiente saber que: y frenI. Aldo se sienta junto a Nuria te a Inés. de II. Gaby se sienta a la derecha Inés. a) I es suficiente. b) II es suficiente. c) I y II conjuntamente. separado. por II d) I o e) Se necesitan más datos. a 12

d 13

a 14

d 15

4

c) S

b) T

a) R

b) 32

a) 36

a

juntos, Si Aldo y Nuria se sientan ¿cuántos posibles ordenamientos hay? e) 5 d) 4 c) 3 b) 2 a) 1

3

¿Cuál es la letra que sigue? D; N; O; S; …

6

6

Páginas con problemas variados de los tres temas que conforman la unidad, de los cuales los tres primeros son acumulativos parciales (nivel I, II y III) y el último es acumulativo total (nivel IV).

179

ALFONSO ROJAS PUÉMAPE

13

leer ¿De cuántas maneras se puede MANUEL? M A A N N N U U U U E E E E E L L L L L L

3

Aldo. c) Ramón y Gaby se sientan juntos. d) Nuria y Aldo se sientan juntos. e) Fausto se sienta frente a Inés.

ni con − Raúl no conversa con Simón Mario. 3 Fig. no conversa con Gabriel ni − Simón con Fabio. está − Luis conversa con Simón, quien

178

tal maUna bacteria se reproduce de 2 más nera que, en cada hora, hay inicialque en la hora anterior. Si 20 mente en un frasco se contaron de 2 bacterias, ¿cuántas habrá luego días? círculos del siguiente cuadraEn 1 c) 116los del 1 b) 120 a) 256 do se distribuyen los números que e) 236 al 9 excepto el 5, de tal manera d) 300 fila, la suma de los números en cada se em- o diagonal sea siempre 16. palitos de fósforocolumna ¿Cuántos 14 plearon en la siguiente figura? Determina la suma de los números ... cuaque deben ir en los vértices del drado. ... 28 29 30 4 3 1 2 e) 92 a) 86 b) 88 c) 72 d) 90 5

d) Simón o Luis c) Luis e) Luis o Raúl

c

y Si Aldo se sienta al frente de Gaby las sia la derecha de Nuria, ¿cuál de guientes afirmaciones es verdadera? de a) Fausto se sienta a la izquierda Nuria. de b) Fausto se sienta a la derecha

2

Aldo. de d) Gaby se sienta a la derecha Inés. e) Inés se sienta frente a Fausto.

1, 2, 3, Enunciado para las preguntas 4 y 5. figura ¿Cuántos triángulos hay en la se reúnen para hablar 15?Seis amigos Side fútbol. Sus nombres son: Raúl, Esmón, Mario, Fabio, Gabriel y Luis. 1 simétricamente sentados en una Fig.tán mesa circular y cada uno conversa junsolo con los que están sentados 2 él. Se sabe que: Fig.to a

2

que: Se puede afirmar con certeza I. Inés y Nuria se sientan juntas. de II. Aldo se sienta a la derecha Nuria. III. Inés y Aldo no se sientan juntos. c) Solo III b) Solo II a) Solo I e) Ninguna d) I y II

1

12

b

Enunciado 4 y 5. son: Seis personas cuyos nombres y Aldo, Fausto, Gaby, Inés, Nuria una Ramón, se sientan alrededor de dismesa circular con seis asientos sabe tribuidos simétricamente. Se que: − Aldo y Fausto se sientan juntos. juntas. sientan se Gaby y − Inés − Nuria se sienta frente a Ramón.

Todas las siguientes afirmaciones pueden ser verdaderas, excepto: a) Aldo se sienta frente a Gaby. y b) Gaby se sienta junto a Nuria Fausto. y c) Fausto se sienta junto a Nuria

5

2

Nivel II Acumulativo parcial

Nivel I para las preguntas 1, 2, 3,

Acumulativo parcial

1

CIÓ N

1

AU TOE VA LUA

b

176

c

a 16

90

ELEVANDO AL CUADRADO

Resolvemos: • Primero hallamos el 75% de los 2800 alumnos y luego lo dividimos por 2... solo que mentalmente. Procesamos: 75 × 2800 = 75 × 28 100

¡ATENCIÓN!


Í ndice panor á m ic o UNIDAD

1 Pág. 8

2

TíTULO

Móviles y relojes

Combinatorias y probabilidades

JUEGO

TEMA 1

TEMA 2

CáLCULO RáPIDO

¡Mueve solo uno!

Alcances y encuentros PR Y PP* Control 1

Adelantos, atrasos y calendarios PR Y PP* Control 2

• Multiplicación de números que empiezan en uno • Multiplicación de números que terminan en uno

Certezas - máximos y mínimos PR Y PP* Control 4

Variaciones , permutaciones y combinaciones PR Y PP* Control 5

• Multiplicación de números que terminan en 5

¡Buscando el menor!

Pág. 36

3 Pág. 68

4

Ecuaciones y exponentes

Regla de tres y porcentaje

¡Siempre 100!

¡Los puentes!

Pág. 96

5

Razonamiento geométrico

¡Corto, uno y calculo!

Pág. 124

6 Pág. 152

Razonamiento analítico

¡Ken ken!

Planteo de ecuaciones PR Y PP* Control 7

Leyes de exponentes • Multiplicación por 75 y ecuaciones • Elevando al cuadrado exponenciales un número que PR Y PP* termina en 5 Control 8

Regla de tres simple y compuesta PR Y PP* Control 10

Porcentaje I problemas comerciales PR Y PP* Control 11

• Multiplicando por 5/2 • Multiplicando por 7/2

Triángulos y circunferencias PR Y PP* Control 13

Distancias y perímetros PR Y PP* Control 14

• Multiplicando 2 números cuya diferencia es 2 • Cuadrado de números que comienzan en 5

Juegos lógicos PR Y PP* Control 16

Inducciones gráficas y numéricas PR Y PP* Control 17

• Multiplicando por 12 • Multiplicando por 1,5; 2,5; 3,5; etc.

7

Comparaciones cuantitativas

¡Rectángulos!

Comparaciones cuantitativas Control 19

• División por 4 • División por 8

8

Suficiencia de datos

¡A formar triángulos!

Suficiencia de datos Control 20

• Multiplicando por 3/4 • Multiplicando por 4/5

Pág. 180

Pág. 194

Anexo Pág. 208

o Problemas propuestos en concursos interescolares o Pruebas de evaluación


TEMA 3

MATEMáTICA RECREATIVA

AUTOEVALUACIóN Acumulativo parcial

Acumulativo total

Ángulos entre manecillas PR Y PP* Control 3

• ¡Productos interesantes! • Palitos numéricos • ¡Las porciones de pan! • Ciudades y carreteras

Nivel I (20 problemas) Nivel II (19 problemas) Nivel III (16 problemas)

Nivel IV (16 problemas de unidad 1)

Probabilidades PR Y PP* Control 6

• ¡Sumas para pensar! • ¡Equisumas! • Podemos alcanzar el infinito... • En equilibrio todo es mejor

Nivel I (22 problemas) Nivel II (22 problemas) Nivel III (17 problemas)

Nivel IV (16 problemas de unidad 1 y 2)

Logaritmos PR Y PP* Control 9

• Una manera fácil de obtener 100 • ¡Cuatro operaciones! • Juntos, pero no revueltos... • La torre triangular

Nivel I (21 problemas) Nivel II (23 problemas) Nivel III (22 problemas)

Nivel IV (20 problemas de unidad 1, 2 y 3)

Variaciones porcentuales y mezclas PR Y PP* Control 12

• ¡La ruleta mágica! • ¡Enteros y fracciones! • Las ecuaciones no mienten • Cliente muy inteligente

Nivel I (20 problemas) Nivel II (22 problemas) Nivel III (15 problemas)

Nivel IV (17 problemas de unidad 1, 2, 3 y 4)

• ¡Nueve son suficientes! • ¡Mayor y menor! • Ayudemos al granjero • El enano y el gigante

Nivel I (15 problemas) Nivel II (19 problemas) Nivel III (14 problemas)

Nivel IV (14 problemas de unidad 1, 2, 3, 4 y 5)

• ¡Todos a uno! • ¡Dos fracciones interesantes! • La culebrita numérica • El año más grande

Nivel I (16 problemas) Nivel II (20 problemas) Nivel III (14 problemas)

Nivel IV (15 problemas de unidades 1, 2, 3, 4, 5 y 6)

• ¡Solo potencias de 2! • ¡Potencias de 3! • Aparentemente absurdo • Los palitos y los números

Nivel I (24 problemas) Nivel II (23 problemas) Nivel III (18 problemas)

Nivel IV (19 problemas de unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7)

• ¡Puros ochos! • ¡Una pequeña equisuma! • El verdadero mentiroso • Cuestión de cálculo

Nivel I (19 problemas) Nivel II (20 problemas) Nivel III (17 problemas)

Nivel IV (15 problemas de unidades 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8)

Área de regiones sombreadas PR Y PP* Control 15 Sucesiones y analogías PR Y PP* Control 18

*PR: Problemas resueltos PP: Problemas propuestos


u nidad

1

Móviles y relojes Si ambos mantienen sus velocidades, el verde logrará alcanzarlo.

m/

k 80 m/

k 50

h

h

CONTENIDO ► ALCANCES Y ENCUENTROS ► ADELANTOS, ATRASOS Y CALENDARIOS ► áNGULOS ENTRE MANECILLAS


9

so Pien

mientras

J U E G O ¡Mueve solo uno!

Aquí te planteamos algunos desafíos. En cada caso, cambia de lugar un dígito para obtener una igualdad correcta:

1.°

2.°

3.°

4.°

5.°

3

73

12 + 1

2

11 + 11 12 1 + 23 × 4 33

1 + 2 × 3 + 45 - 6 55

2


10

Tema

Alfonso Rojas Puémape

1

Alcances y encuentros

MOVIMIENTO: Es el cambio de posición de un cuerpo (móvil) respecto de un punto fijo (referencia), en un tiempo determinado. Trayectoria Móvil

Posición inicial

¡IMPORTANTE!

VELOCIDAD (v): Es una cantidad cuya medida nos indica que tan rápido un móvil cambia de posición. En un movimiento rectilíneo a velocidad constante se cumple que: t

Posición final

• La trayectoria es la unión de todos los puntos por donde ha pasado el móvil; puede ser curvilínea o rectilínea. • En este tema solo trataremos los problemas en los que el movimiento es rectilíneo y la velocidad es constante (no varía).

d v= d t

Referencia

1 La casa de Rodrigo está a 72 km de su tra-

bajo. Si él tardó 2 horas en llegar, ¿cuál fue la velocidad que empleó?

• Del enunciado, planteamos: 2h

Estrategia

72 km

Identifica las cantidades que intervienen para luego usar la ecuación que relaciona d, t y v.

2 Un auto viajó a 40 km/h durante 2 h, luego

aumentó su velocidad a 50 km/h y así continuó durante 3 h. ¿Cuál fue la distancia que recorrió dicho auto al cabo de las 5 h?

• Ahora relacionamos: v = 72 km 2h • Luego, viaja a 36 km / h .

• Analizamos el problema por tramos: 2h

Estrategia ¡ATENCIÓN! Donde: d: distancia en metros (m). t: tiempo en segundos (s). Luego, la unidad de la velocidad es: m s Aunque en la vida cotidiana se usa, con mayor frecuencia: km h

De la ecuación: v = d , t se puede obtener: d = vt

3h

40 km/h

50 km/h

d1 • Ahora: d1 = (40)(2) y

t=

d v

En ocasiones será necesario expresar algunas magnitudes en unidades equivalentes. Recordemos algunas: • Longitud 1 m = 100 cm = 1000 mm 1 dam = 10 m 1 hm = 100 m 1 km = 1000 m • Tiempo 1 h = 60 min = 3600 s

d1 = 80 km

d2 y

d2 = (50)(3) d2 = 150 km

• Luego, recorrió: d1 + d2 = 230 km

Ejemplos: 3 Convierte 1,05 km a metros.

1,05 km . 1000 m = 1050 m 1 km 4 Convierte 4,2 h a segundos.

4,2 h . 60 min . 60 s = 15 120 s 1 min 1h


11

Ahora trataremos problemas relacionados a las velocidades y orientaciones de dos móviles. Veamos los siguientes casos:

Tiempo de encuentro (t e) Si dos móviles están separados una distancia d y parten al mismo tiempo, tal como se muestra: VA

te

te

Tiempo de alcance (t a) Si dos móviles están separados una distancia d y parten al mismo tiempo, en la misma dirección, tal como se muestra:

d se encontrarán luego de un tiempo igual a: d te = VA + VB

5 Dos móviles separados una distancia de 500 km parten, al mismo tiempo, al encuentro uno de otro con velocidades de 60 km/h y 40 km/h. ¿Cuántos minutos tardarán en encontrarse?

Estrategia Usamos la ecuación del caso correspondiente, luego expresamos el tiempo en minutos.

6 Dos móviles separados una distancia de

400 km parten al mismo tiempo y en la misma dirección con velocidades de 50 km/h y 30 km/h. ¿Cuál es la distancia que recorre el auto más lento antes de ser alcanzado?

7 Dos móviles parten al mismo tiempo y del

mismo punto en direcciones opuestas. Si sus velocidades son 40 km/h y 20 km/h, ¿luego de cuánto tiempo estarán separados 300 km?

ta

d el móvil A alcanzará al móvil B en un tiempo: d ta = VA - VB

• Del enunciado: VA = 60 km/h

te

te

VB = 40 km/h

¡ATENCIÓN!

Para que ocurra el alcance se debe cumplir que: VA > VB

500 km • Se encuentran: t e =

500 ⇒ t = 5 h e 60 + 40

• En minutos: 5 h . 60 min 1h • Tardarán en encontrarse 300 minutos .

• Analizamos: 50 km/h

Estrategia Determina el tiempo de alcance y luego calcula la distancia que recorre uno de los autos en ese tiempo.

VB

VA

VB

30 km/h

400 km

ta =

ta ta dx ¡OBservación!

400 ⇒ t = 20 h a 50 - 30

Este tiempo también es llamado tiempo de separación (t s) y se calcula como el t e.

• Luego: d x = 30 × 20 = 600 km

• Del enunciado: t 40 km/h 300 km ⇒ 40 t + 20 t = 300 ⇒ t = ⇒ Luego de 5 h .

t 20 km/h

300 40 + 20


12

Alfonso Rojas Puémape

MáS RESUELTOS encuentro del otro, con velocidades de 18 km/ h y 7 m/ s. ¿Luego de cuánto tiempo se encuentran?

1 Un auto recorre una distancia de 72 000 m

en 1 1/ 3 h. Determina la velocidad del auto en m/ s.

Resolvemos: • Nos piden la velocidad del auto en m/ s; para ello trasformamos el tiempo a segundos. 1 1 h = 4 h × 3600 s = 4800 s 3 1h 3 • Luego: v = 72 000 = 15 m / s 4800

2 Un motociclista recorre una distancia de

7,5 km en 12 minutos 30 segundos. ¿Cuál es la velocidad a la que viaja la moto?

Si se tiene la velocidad en km / h podemos convertirla a m / s multiplicándola por 5 . 18 v = 36 km × 5 h 18 ⇒ v = 10 m s

3 Convierte cada una de las velocidades a km/ h.

- 20 m/ s - 30 m/ s

Resolvemos:

30 min 72 km / h d

• Del gráfico: d = 90 t + 72 t ... 1 Pasamos el : t = 30min . 1h = 1 h • tiempo a horas 60 min 2 • Entonces: d = 90 1 + 72 1 2 2

a

- 30 m × 18 ⇒ 108 km s 5 h 18 m km - 15 × ⇒ 54 s 5 h 18 m km - 10 × ⇒ 36 s 5 h 4 Dos corredores parten de los extremos de una pista atlética de 480 m, uno al

d = 81 km

6 Del problema anterior, si los autos

hubieran seguido la misma dirección, ¿cuál sería la distancia de separación, en el mismo tiempo?

20 × 18 × km = 72 km/h 5 h • Entonces:

Resolvemos: 30 min 90 km / h

- 15 m/ s - 10 m/ s

• Para convertir la velocidad de m/ s km/ h, multiplicamos por 18/ 5. ⇒ 20 m × 3600 s × 1km s 1000 m 1h

⇒ Se encuentran luego de 40 s . del mismo punto, pero en direcciones opuestas. Si uno viaja a 90 km / h y el otro a 72 km / h, ¿cuál es la distancia que los separará luego de 30 minutos?

Resolvemos:

d = 7,5 km ⇒ d = 7500 m t = 12 min . 60 s + 30 s 1min t = 750 s • Finalmente: v = 7500 ⇒ v = 10 m / s 750

• Los atletas van al encuentro, entonces aplicamos la ecuación correspondiente, pero antes expresamos una de las velocidades en metros por segundo. • 18 × 5 = 5 m/ s 18 Ahora: te = 480 ⇒ te = 40s 5+7

5 Dos autos parten al mismo tiempo y

• Expresamos la distancia en metros y el tiempo en segundos: ¡ATENCIóN!

Resolvemos:

Resolvemos: 1h 2

d1

90 km / h 1h 2

72 km / h

d2

d

• La distancia: d = d2 - d1 d = 90 1 - 72 1 ⇒ d = 9 km 2 2


13

M á S p ro p uestos velocidad constante de 120 km/h. Si los delincuentes le llevaban una ventaja de 3 km a una patrulla y fueron atrapados luego de 6 minutos, ¿cuál es la velocidad a la que viajó la patrulla? Rpta.: 150 km/h

1 Dos móviles están separados 640 m y

parten al mismo tiempo y al encuentro con velocidades proporcionales a 3 y 5. Si el encuentro ocurrirá luego de 8 s, ¿cuál es la velocidad mayor?

Rpta.: 50 m / s

8 Mario y Juan son dos ciclistas y están se-

2 Dos móviles están separados 1000 m y

parten hacia el encuentro con velocidades de 60 m / s y 40 m / s. Si el más lento partió 10 s después, ¿cuál es la distancia que recorrió el auto más rápido hasta encontrarse con el otro auto? Rpta.: 840 m

3 Dos buses interprovinciales salen de las

ciudades A y B; distanciadas 1020 km, con velocidades de 110 km / h y 90 km/ h, respectivamente. Si el que sale de A parte a las 8:00 a.m. y el que sale de B lo hace a las 10:00 a.m., determina la hora a la que ocurre el encuentro. Rpta.: 2:00 p.m.

4 Dos ciudades, M y N, están conectadas

por una carretera recta de 1240 km. Una empresa de transporte tiene unidades en ambas ciudades y todos los días, a las 9:00 a.m., sale un auto de una ciudad con destino a la otra. Hoy, de la ciudad M, partió un auto con una velocidad de 80 km / h y el auto que salió de la otra ciudad partió 3 horas después a 120 km / h. ¿A cuántos kilómetros de la ciudad M ocurrió el encuentro? Rpta.: 640 km

5 Se observaron 3 móviles: A, B y C, con

velocidades de 72 km / h, 1,2 km/min y 20 m/s, respectivamente. Indica cuál de los tres móviles es el más veloz. Rpta.: Las velocidades son iguales.

6 Tres ciclistas: A, B y C, recorren 36 km, 36 000 m y 3 600 000 cm en 18 000 s, 300 min y 5 h, respectivamente. ¿Quién es el más veloz?

Rpta.: Tienen la misma velocidad. 7 Unos delincuentes fugaron en un auto a

parados una distancia de 300 m. Si Juan va a una velocidad de 10 m / s y Mario lo alcanza luego de 30 segundos, ¿cuál es la velocidad de Mario? Rpta.: 20 m/s

9 Una moto le lleva una ventaja de 500 m a

un taxi. Si la moto va a una velocidad de 15 m / s y el taxi a 20 m / s, ¿cuál es la distancia que recorre la moto antes de ser alcanzada? Rpta.: 1500 m 10 Dos automovilistas parten de un mismo punto con direcciones opuestas. Si sus velocidades suman 50 m / s, calcula la distancia que estarán separados luego de 2 minutos. Rpta.: 6 km

PISTA 2 Averigua la distancia que recorrió el primer auto durante los 10 s y luego analiza el tiempo de encuentro.

11 Un avión realizó un aterrizaje de emer-

gencia. Inmediatamente después de tocar tierra, una ambulancia partió a su alcance. Si la velocidad de la ambulancia fue 20 m / s mayor que la del avión y tardó 5 minutos en alcanzarlo, ¿a cuántos kilómetros de la ambulancia el avión tocó tierra? Rpta.: 6 km

12 Dos ciclistas están separados 200 m. Si

fuesen al encuentro uno del otro, tardarían 10 s en encontrarse; pero si el más veloz persiguiese al otro, lo alcanzaría en 20 s. Determina la velocidad del mayor. Rpta.: 15 m/s

13 En cierto instante, en una carrera el

corredor que va primero le lleva una ventaja de 30 m al segundo. Si ellos corren con velocidades de 6 y 8 m/s, respectivamente; y al que va primero solo le faltan 100 m para llegar a la meta, ¿logrará el corredor que va segundo remontar y ganar la carrera? ¿Con cuántos metros de ventaja lograría ganar? Rpta.: Sí; 2,5 m

PISTA 5 Para poder comparar las velocidades, deben estar en las mismas unidades.


14

Alfonso Rojas Puémape

control 1 Rodrigo, Carlos y Saúl viajan en sus au-

1

4 Dos atletas se encuentran en los extre-

tos a velocidades de 54 km / h, 12 m / s y 1,2 km / min, respectivamente. ¿Quién de los tres va más rápido?

mos de una pista de 4,8 km y parten al mismo tiempo uno al encuentro del otro. Si uno va a una velocidad de 13 m / s y el otro a 12 m / s, ¿luego de cuánto tiempo se encontrarán?

¡Resuelve aquí!

PISTA 1 Para poder comparar, expresa en las mismas unidades. 2 David, en su auto, puede recorrer 450 km

5 Dos autos parten al mismo tiempo de

en 5 horas; mientras que Roy puede recorrer 175 m en 7 segundos. Podemos asegurar, respecto de las velocidades de los automóviles, que:

PISTA 4 No olvides que la velocidad de los móviles es considerada constante.

I. Vd > Vr

II. Vd = Vr

III. Vd < Vr

bus interprovincial recorre, a velocidad constante, una carretera recta la cual tiene un letrero cada kilómetro. Si a las 10:00 a.m. pasó por un letrero y a las 11:30 a.m. ya había pasado por 61 letreros, ¿cuál es la velocidad a la que viaja el bus, en km / h?

dos ciudades, A y B, distantes 84 km. Si el que sale de A va a 15 km / h y el otro a 13 km / h, ¿cuál es la distancia que recorre el auto que sale de B hasta que se encuentra con el otro?

3 Un

6 Dos ciclistas parten al mismo tiempo y al

encuentro desde dos ciudades distantes 120 km. Si las velocidades de los ciclistas están en la relación de 3 a 2 y tardan 2 h en encontrarse, ¿cuál es la velocidad mayor?


15 Ante nuevos conceptos, lo recomendable es relacionarlos con lo que sabes.

7 Dos ciclistas están separados 900 m y

8 En una carrera, Roberto sale desde el

punto de partida cuando José le lleva 100 m de ventaja. Si Roberto es 4 m / s más rápido que José, ¿cuánto tiempo tardará en alcanzarlo?

en la misma dirección, pero uno de ellos se retrasa 15 minutos por fallas técnicas, mientras que el otro parte a 36 km / h. ¿Cuál es la velocidad a la que debe partir el auto retrasado para alcanzar al otro en los siguientes 15 minutos? Expresa tu respuesta en m / s.

11 Un delincuente fuga en una moto y le lle-

va una ventaja de 1200 m a una patrulla. Si la moto es atrapada luego de 5 minutos, ¿cuánto más rápida es la patrulla?

PISTA 8

No olvides que para determinar el tiempo de alcance no es necesario conocer cada una de las velocidades.

PISTA 9 Considera las longitudes de los trenes como el espacio de separación.

12) 12 km / h 11) 4 m / s 6) 36 km / h 5) 39 km 4) 192s 3) 40 km / h 2) II 1) Saúl COMPRUEBA

tardan 3 horas en encontrarse, pero si con la misma separación el más veloz pretendiese alcanzar al otro, necesitaría 6 horas. ¿Cuál es la velocidad del móvil más rápido? Expresa tu repuesta en km/h.

7) 4 min

12 Dos móviles están separados 48km y

8) 25s

tran en rieles paralelos y tardan 45 segundos en cruzarse completamente. Si sus velocidades son 54 km / h y 18 km / h, ¿cuál es la longitud de los trenes, en metros?

9) 450 m

9 Dos trenes de igual longitud se encuen-

10) 20 m / s

parten al mismo tiempo uno al encuentro del otro, con velocidades de 48 m / min y 52 m / min. ¿Al cabo de cuánto tiempo después de encontrarse, su separación será de 400 m? Expresa tu respuesta en minutos.

10 Dos autos deben partir del mismo punto y


Alfonso Rojas Puémape

2

Tema

16

Adelantos, atrasos y calendarios

EL TIEMPO: Es un parámetro de medida; según el sistema internacional de unidades (SI), su unidad es el segundo (s), pero también se puede utilizar : - El minuto - La hora - El día

1 ¿Cuánto resulta al sumar 3 h 39 min 20 s

con 5h 28min 45s?

¡RECUERDA!

Estrategia Se está usando el mismo criterio que empleamos al restar.

Coloca los sumandos en forma vertical, manteniendo el orden de las unidades y subunidades.

Además sabemos que: 1 minuto = 60 segundos 1 hora = 60 minutos 1 hora = 3600 segundos 1 día = 24 horas • Colocamos en forma vertical y de manera ordenada: • • •

3h 39min 20s + 5h 28min 45s 8h 67min 65s

Resulta: 8h 67min 65s. Ahora fíjate que: − 65s <> 60s + 5s ⇒ 1min 5s − 67min <> 60min + 7min ⇒ 1h 7min Entonces: 8h (1h 7min)(1min 5s) (8 + 1)h (7 + 1)min 5s

• Finalmente obtenemos:

2 ¿Cuánto resulta al restar 7h 40min 50s de

9h 20min 30s?

¡ATENCIÓN! Como: 1d = 24h Dividimos: 121h 24h 1h 5d

5d + 1h

• En la parte de minutos y segundos notamos que el minuendo es menor que el sustraendo.

Estrategia

• Procedemos así:

Procedemos de igual manera que en el caso anterior, pero esta vez consideraremos el criterio de prestar unidades a la unidad inmediata inferior.

• Ordenamos:

9h 7h

20min 40min

30s 50s

3 Expresa 436 236 s en unidades de minu-

tos, horas y días.

9h 8min 5s

1h <> 60min

1min <> 60s

9 h 20 min 20 s ⇒ 8h 79min 80s

• Ahora:

8h 7h 1h

79min 40min 39min

80s 50s 30s

• Luego, obtenemos: 1h 39min 30s

• Calculamos la cantidad de minutos dividiendo por 60 (1 min = 60s) 436 236 s 60 36 s 7270min

Estrategia

• Dividimos 7270 min por 60 ( 1 h = 60 min) 7270 min 60 10 min 121h

Recuerda las equivalencias y usa divisiones sucesivas.

• Finalmente:

121h 24 1h 5d

Entonces: 436 236s = 5d 1h 10min 36s


17

Ahora veremos algunos problemas de aplicación relativos a adelantos, atrasos y calendarios. 4 Un reloj se adelanta 3 minutos cada hora.

Si a las 10:00 a.m. marcaba la hora exacta, determina la hora que marcará a las 6:00 p.m.

Estrategia Encuentra el adelanto total que tendrá el reloj en el tiempo indicado.

• De las 10:00 a.m. a las 6:00 p.m. transcurren 8h. • Usamos una regla de tres simple para determinar el adelanto total: Adelanto Tiempo 1h 3min x 8h • En 8h se adelanta: x = 24min • Luego, marcará 6:24 p.m. ¡IMPORTANTE!

5 Un reloj se atrasa 2 minutos cada 4 horas.

Si a las 8:00 a.m. el reloj indica la hora exacta, ¿cuál es la hora que marcará a las 10:00 p.m.? ¡Vamos...! Inténtalo es muy fácil

6 Un reloj se adelanta 5 minutos cada 3

horas. Si a las 10:00 a.m. del 1 del agosto el reloj marcaba la hora exacta, ¿cuándo volverá a marcar la hora exacta?

Estrategia Para que un reloj que se adelanta vuelva a marcar la hora exacta, tendrá que adelantarse 12h.

7 Rodrigo nació en mayo del 2003. Si en el

2015 su cumpleaños será un martes, ¿cuál es el día de la semana en el que nació Rodrigo? Considera: • En dos años consecutivos, no bisiestos, la fecha aumenta un día. • Cada siete años el día sería el mismo, de no ser por los años bisiestos.

• De las 8:00 a.m. a las 10:00 p.m. transcurren 14 horas. • Entonces: Atraso Tiempo 4h 2min x 14h ⇒ x = 7 min • Luego, el reloj marcará: 10:00 - 7 min = 9:53 p.m.

Las 6:00 p.m. equivale a las 18:00 h, de esta manera es más rápido obtener el tiempo transcurrido.

• Calculamos: Adelanto Tiempo 3h 5min 12h = 12 × 60min x x = 432 h • Marcará la hora exacta dentro de 432 h o 18 días. • Luego, el 19 de agosto .

• Del 2003 al 2015 han transcurrido 12 años, entonces dividimos 12 por 7. 12 7 5 1

Coincide con el día martes. Días previos a la coincidencia.

⇒ juev. vier. sáb. dom. lun. mar. 5 4 3 2 1 • Resultaría jueves si no fuera porque cada año bisiesto implica un día menos y los años bisiestos son: 2004, 2008 y 2012 • Tres días menos: lun. mar. miér. juev.

3

2

• Luego, nació un lunes .

1

¡ATENCIóN! Para convertir unidades usamos: = 432 h × 1 día 24h = 18 días


18

Alfonso Rojas Puémape

MáS RESUELTOS

1 Determina el resultado de sumar

Resolvemos: • Ordenamos:

¡RECUERDA! Las 5:00 p.m. también se puede expresar como las 17:00 horas.

4 h 45 min 38 s con 7 h 35 min 50 s.

4h 7h 11 h • Ahora: 80 min < > 88 s < >

45 min 38 s + 35 min 50 s 80 min 88 s 1h < > 20 min 1min < > 28 s

• Finalmente: 11 h

80 min

88 s

(1h 20 min) (1min 28 s)

• Luego:

• De las 7 de la mañana a las 11 de la noche transcurren 16 horas. • Usamos una regla de tres simple para determinar el atraso total. Atraso Tiempo 7 min 4h x 16 h ⇒ x = 28 min • Luego, el reloj marcará:

Si hoy a las 10:00 a. m. el reloj marcaba la hora exacta, ¿dentro de cuántos días el reloj volverá a indicar la hora exacta?

de 9h 18min 11s?

Resolvemos: • Ordenamos:

1h

• Ahora:

8 h 77 min 71 s - 2 h 55 min 55 s 6 h 22 min 16 s

• Luego, resulta:

6 h 22min 16 s

¡ATENCIóN!

Un año bisiesto tiene 366 días y ocurre cada 4 años.

Adelanto

3 min x • Luego, marcará:

su cumpleaños fue un día martes, halla el día en el cual nació Raúl.

• De las 5 de la mañana a las 5 de la tarde han trascurrido 12 horas. • Usamos una regla de tres para determinar el adelanto total. Tiempo

tiempo

5 min 6h x 12 h < > 12 × 60 min x = 12 × 60 min × 6 h ⇒ x = 864 h 5 min • Ahora convertimos a días: 864 h × 1 día = 36 días 24 h

6 Raúl nació en el año 1995. Si en el 2010

horas. Si dicho reloj se sincroniza a las 5:00 a.m., ¿cuál es la hora que marcará a las 5:00 p.m.? Resolvemos:

Adelanto

• Finalmente, dentro de 36 días .

3 Un reloj se adelanta 3 minutos cada 3

Resolvemos: • Para que el reloj vuelva a marcar la hora exacta deberá adelantarse 12 h.

1min

9 h 18 min 11 s 2 h 55 min 55 s

11:00 - 28 min = 10:32 p.m. 5 Un reloj se adelanta 5 minutos cada 6 horas.

12 h 21min 28 s

2 ¿Cuánto se obtiene al restar 2h 55min 55s

Resolvemos:

Resolvemos: • Años transcurridos: 2010 - 1995 = 15 años

• Cada siete años debió caer martes: 15 7 2 1

3h 12 h ⇒ x = 12 min

• Hay que retroceder un día: lunes martes

5:12 p.m.

• Pero como entre 1995 y 2010 hay 4 años bisiestos, retrocedemos 4 días más:

4 Un reloj se atrasa 7 minutos cada 4 horas.

Si a las 7:00 a.m. el reloj marcó la hora exacta, ¿cuál es la hora que marcará a las 11:00 p.m.?

juev.

vier.

sab.

⇒ Nació un día jueves .

dom.

lun.


19

M á S p ro p uestos 1 Calcula el resultado de sumar:

3 h 51 min 17 s y 9 h 37 min 22 s

Rpta.: 13h 28min 39s 2 Determina el resultado de sumar:

4 h 18 min 25 s y 11h 35 min 52 s Rpta.: 15h 54min 17s 3 Si:

A = 10 h 22 min 15 s B = 4 h 45 min 38 s, calcula: A - B. Rpta.: 5h 36min 37s

4 Si:

A = 2 h 25 min 35 s B = 8 h 10 min 15 s C = 3 h 51 min 55 s, determina: A + B - C. Rpta.: 6h 43min 55s

5 Un reloj se adelanta 4 minutos cada 3

horas. Si a las 8:30 a.m. marcó la hora exacta, indica la hora que marcará a las 11:30 p.m. Rpta.: 11:50 p.m.

6 Compré un reloj a las 11:40 a.m. y luego

me di cuenta de que el reloj se adelanta 30s cada 1,5h. Si cuando lo compré marcaba la hora exacta, ¿cuál es la hora que marcará a las 8:40 p.m.? Rpta.: 8:43 p.m.

7 Un reloj se atrasa 2 minutos cada 4 horas.

¿cuándo volverá a indicar la hora exacta, nuevamente? Rpta.: 20 de mayo 11 Se tiene 2 relojes, uno se adelanta 5 mi-

nutos cada 3 horas y el otro se atrasa 4 minutos cada 3 horas. Si se sincronizan ambos relojes, ¿al cabo de cuántos días ambos relojes marcarán la misma hora? Rpta.: 10 días

12 Un reloj se atrasa 4 minutos por hora y

otro se adelanta 2 minutos por hora. Si hoy los dos relojes se sincronizan, ¿dentro de cuántos días los relojes marcarán la misma hora? Rpta.: 5 días

13 Moisés nació en el año 1981. Si en el 2012

su cumpleaños fue un día lunes, ¿cuál fue el día de la semana en el que nació?

14 Un reloj se atrasa 5 minutos cada 2 horas

y media. Si el reloj se sincroniza un lunes a las 10:00 a.m., ¿cuál es la hora que marcará el martes a las 9:00 p.m.? Rpta.: 7:50 p.m.

15 Un reloj se adelanta 3 minutos cada 2

horas. Si se sincronizó el 1 de mayo a las 8:00 a.m., ¿cuál es el día en el que volverá a marcar la hora correcta? Rpta.: 21 de mayo

16 Un reloj se atrasa 6 minutos cada 3 horas.

8 Un reloj se atrasa 3 minutos cada 2

Rpta.: Viernes a las 6:00 p.m.

9 Un reloj se atrasa 6 minutos cada 5 horas.

Si hoy a las 8:00 a.m. marcó la hora exacta, ¿dentro de cuántos días volverá a marcar la hora exacta? Rpta.: 25 días

10 Se tiene un reloj que se adelanta 5 mi-

nutos cada 3 horas. Si hoy, 2 de mayo, marcó la hora exacta a las 10:00 a.m.,

El adelanto: 30s cada 1,5h se puede expresar como: 1min cada 3h

Rpta.: Jueves

Si a las 6:30 a.m. el reloj marcó la hora exacta, ¿cuál es la hora que marcará a las 6:30 p.m.? Rpta.: 6:24 p.m.

horas. Si a las 5:00 a.m. marcó la hora correcta, ¿cuál es la hora que marcará a las 7:00 p.m.? Rpta.: 6:39 p.m.

PISTA 6

Si se sincronizó un jueves a las 6:00 p.m., ¿cuál será el día y la hora a la que volverá a marcar la hora correcta?

17 Simón tiene 26 años de casado y su ani-

versario en el 2011 fue el viernes 1 de mayo. ¿Cuál fue el día de la semana en el que se casó Simón? Rpta.: Lunes

18 Un futbolista decide retirarse, después

de haber jugado desde 1992, el mismo día en el que inicio su carrera. Si su último partido lo jugó el viernes 1 de junio del 2012, halla el día en el cual empezó su carrera. Rpta.: Lunes

PISTA 11 Para que ambos relojes marquen la misma hora, la diferencia de las horas que señalan debe ser 12.


20

Alfonso Rojas Puémape

control 1 Determina el resultado de sumar:

2

4 Carlos notó que su reloj se atrasa 3 min

cada 4 horas. Si a las 7:00 a.m. el reloj marcaba la hora exacta y él tiene que salir de su casa a las 7:00 p.m., pues tiene una cita con su médico, ¿a qué hora debería salir de su casa, según su reloj, para llegar puntualmente a la cita?

5h 34 min 32s y 8h 28 min 34s.

¡Resuelve aquí!

PISTA 1 Recuerda las equivalencias: 1 min < > 60s 1 h < > 60 min 1 h < > 3600s

2 Si: A = 10h 15 min 18s

5 Un reloj se adelanta 3 minutos cada 2

horas. Si hoy a las 11:00 a.m. el reloj marcó la hora exacta, ¿dentro de cuántos días volverá a marcar la hora exacta?

B = 7h 35 min 19s,

determina: A - B.

PISTA 5 Recuerda que para que vuelva a marcar la hora exacta debe adelantarse 12h.

3 Susana le compró un reloj a su novio

y no se percató de que este reloj se adelantaba 7 minutos cada 3 horas. Si hoy a las 6:00 a.m. sus relojes estaban sincronizados y quedaron en verse a las 9:00 p.m., ¿con cuántos minutos de adelanto, según su reloj, llegará el novio?

6 Lucía compró un reloj y luego notó que el

reloj se atrasaba 8 minutos cada media hora. Si hoy a las 5:00 a.m. el reloj marcó la hora exacta, ¿dentro de cuántas horas volverá a marcar la hora exacta?


21 Resolver problemas nos hace sentir bien y nos motiva a resolver nuevos problemas.

7 Un reloj se atrasa 5 minutos cada 3

horas. Si dicho reloj se sincroniza el 8 de diciembre a las 10:00 a.m., ¿en qué fecha volverá a marcar la hora exacta?

10 María tiene 2 relojes y ella sabe que uno

se atrasa 5 minutos cada 3 horas y el otro se adelanta 4 minutos cada 3 horas. Si ella los sincroniza el 4 de julio a las 12:00, ¿en qué fecha volverá a indicar la hora exacta?

PISTA 8 En un año bisiesto el mes de febrero tiene 29 días.

PISTA 11 8 Un reloj se adelanta 6 minutos cada 5

horas. Si dicho reloj se sincroniza un 25 de febrero a las 12:00, ¿en qué fecha volverá a marcar la hora exacta?

en el 2010 celebró su cumpleaños un día viernes, ¿qué día de la semana nació?

Considera un año bisiesto.

Cada 7 años, de no existir los años bisiestos, debería coincidir el mismo día de la semana con la fecha.

12) Domingo 11) Lunes 6) 45h 5) 20 días 4) 6:51 p.m. 3) 35min 2) 2h 39min 59s 1) 14h 3min 6s COMPRUEBA

ella nació un día lunes, ¿qué día de la semana festejó su cumpleaños en el 2012?

7) 26 de diciembre

12 Marlene nació el 8 de octubre de 1996. Si

8) 21 de marzo

tos cada 4 horas y el otro se adelanta 2 minutos cada 4 horas. Si hoy se sincronizaron, ¿dentro de cuántos días volverán a marcar la hora exacta?

9) 24 días

9 Se tiene 2 relojes, uno se atrasa 3 minu-

10) 14 de julio

11 Roberto nació el 24 de junio de 1990. Si


22

Alfonso Rojas Puémape

c á l c ulo r á p id o MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS QUE EMPIEZAN EN UNO

Multiplica 1a × 1b. Descomponiendo polinómicamente:

¡cuidado! Este artificio solo es para números de dos cifras.

(10 + a)(10 + b)

Operando y arreglando:

[ (10 + a) + b] 10 + ab

O también:

[ 1a + b] 10 + ab

Ejemplo:

17 × 18 = [17 + 8] 10 + 56 = 306

1. Un salón de clase tiene 19 metros de largo y 13 metros de ancho. Se desea colocar un tapizón que cuesta S/. 10 el metro cuadrado. ¿Cuánto dinero necesitamos para realizar tal operación?

Resolvemos: • Calculamos mentalmente el área de la región rectangular:

19 × 13 = [19 + 3] 10 + 27

= 247 m2 Respondemos: Para realizar el tapizado necesitamos: 247 × 10 =

¡ATENCIóN! Acabo de explicar aquí las razones del artificio que en forma práctica se aplica así: sumamos el primer número y la cifra de unidades del segundo número. Este resultado se multiplica por 10 (agregando un cero) y le agregamos finalmente el producto de las unidades de ambos números. ¡Es sencillo! ¡Compruébalo!

S/. 2470

2 Un

colegio tiene una capacidad determinada de alumnos de primaria y secundaria. Si se sabe que hay 18 aulas con 15 carpetas en cada una de ellas, ¿cuántos alumnos hay en primaria sabiendo que son la mitad del total?

3 Para colocar grama en un jardín de forma

4 Un vendedor de relojes gana $ 18

5 Una librería tiene en su almacén 17 ca-

6 En una pesquera procesan 160 toneladas

7 A los cines STU asisten diariamente 1300

diariamente. Si en 15 días obtuvo el dinero suficiente para comprar un televisor y aún sobraron $ 30, ¿cuánto le costó el televisor?

de pescado semanalmente. Si trabajaron durante 14 semanas, ¿cuántas toneladas se procesaron?

rectangular se cuentan con 180 metros cuadrados de grama. Si las dimensiones de dicho jardín son de 14 m de largo por 12 m de ancho, ¿cuántos metros cuadrados de grama sobrarán?

jas con 18 archivadores en cada una, los cuales se deben transportar a otro almacén en un camión, pero al subirlos solo se pudo contabilizar 270. ¿Cuántos archivadores se quedaron en el primer almacén?

personas. Si las entradas cuestan S/. 10, ¿cuánto recauda en 16 días?


23

Efectuar operaciones mentalmente desarrolla nuestras habilidades para el cálculo.

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS QUE TERMINAN EN UNO

8. Un comerciante compra, al por mayor, 81 camisas a S/. 31 cada una. Si al venderlas desea ganar S/. 1000, ¿cuál será el total a recaudar luego de vender todo el lote?

Resolvemos: • Para saber cuánto invirtió al comprar camisas, multiplicamos mentalmente 81 × 31, así: 1. Cifra de unidades del resultado: 1 2. Cifra de decenas del resultado: sumamos las decenas de los factores y escribimos solo la cifra de la izquierda (“llevamos” la de la derecha). 3. Cifras de centenas y/o millares: multiplicamos las decenas de los factores y le agregamos lo que “llevamos” en la operación anterior: 81 × 31 = S/. 2511. Respondemos: Como el comerciante desea ganar un total de S/. 1000, tendrá que recaudar:

¡Cuidado! Este artificio se aplica solo para números de dos cifras.

2511 + 1000 = S/. 3511

9 Un grupo de estudiantes recauda S/.5500

para su viaje de promoción. El gasto por persona es de S/. 61, destinados a los pasajes, comida y estadía. Si en total son 91 alumnos, ¿cuánto dinero les falta reunir?

10 Antonio y Carlos realizan una caminata

diaria por separado. El primero la realiza en 21 minutos y el ritmo de su corazón es de 91 latidos por minuto. El segundo la hace en 31 minutos y su corazón va a 81 latidos por minuto. ¿Quién tuvo el mayor número de latidos al finalizar la caminata?

11 Un banco realiza préstamos hipotecarios para financiar la adquisición de viviendas y paga el 91% del valor del inmueble. La vivienda que Carlos quiere comprar cuesta $ 8100. ¿Cuál será el monto del dinero prestado por el banco?

12 Una fábrica de chocolates reporta su pro-

13 Un distribuidor de artículos de vidrio ven-

14 Una botella contiene 1,1 litros de gaseo-

dió 41 cajas de copas que contienen 81 copas cada una. Si durante el transporte de dicha mercadería se rompieron 121 copas, ¿cuántas llegaron en buenas condiciones a su destino?

ducto en 21 tiendas de Lima. Si por tienda deja 41 cajas de chocolates y el resto de su producción va a provincias, ¿a cuánto equivale lo que se lleva a provincias, si su producción total es de 900 cajas de chocolates?

sa. En un camión se transportan 2100 de estas botellas. ¿Cuántos litros de gaseosa se transportan?

desafÍo

• • • • • • • • • • •

18 × 14 19 × 12 18 × 17 16 × 13 15 × 11 13 × 19 11 × 18 71 × 31 91 × 51 61 × 41 81 × 71


24

Alfonso Rojas Puémape

Tema

3

ángulos entre manecillas

En este tema estudiaremos la relación que hay entre las manecillas de un reloj (horario y minutero) con sus ángulos correspondientes. Analicemos el movimiento de las manecillas:

12

¡RECUERDA!

2 3

9

• El horario está representado por la manecilla más corta. • El minutero está representado por la manecilla más larga.

12

1

6

9

• El horario recorre un arco de 30° en cada hora, entonces recorre 30° / hora. • El minutero recorre 360° en cada hora, entonces recorre 360° / hora. En minutos: 30° / 60min = 1 °/min

- Horario: 1

2 30° 30° 30°

2

- Minutero: 360° / 60min = 6° / min 3

6

1 Determina el ángulo que formarán las manecillas del reloj a las 12:10.

• De lo anterior concluimos que: en un minuto el horario avanza 1 ° y el minutero avanza 6°. 2 ⇒ En x minutos la diferencia de grados será: (6x)° - 1 x ° = 11 x ° 2 2

• Representamos la hora en un gráfico y luego analizamos el ángulo de giro de cada manecilla:

Estrategia

10

Dibuja el reloj, representa la hora indicada y luego analiza el ángulo de giro en cada manecilla.

1 2

x ° 2

9

(6x)°

12

11

a

3 4

8 7

5

6

• Para 10 minutos, giraron: Minutero: 60° Horario: 5°

• Luego, forman: a = 60° - 5° ⇒ a = 55°

¡ATENCIóN! El arco recorrido por la manecilla del horario correspondiente a una hora mide 30°. 12

1 30°

2 Calcula el ángulo que formarán las manecillas del reloj a las 4 : 40.

• Representamos la hora:

Estrategia Debes tener en cuenta que el ángulo de giro del minutero se mide desde las 12, mientras que el ángulo de giro del horario se mide a partir de la hora indicada.

11

12

1

10

2 b

9 a 6

(6x)°

3 4

8 7

b = 30°(4) = 120°

5

x° 2

• Del gráfico: (6x)° = b + x ° + a 2 x = 40° ⇒ 240° = 120° + 20° + a

a = 100°


25

3 Entre las 7 y las 8, ¿a qué hora las manecillas del reloj formarán un ángulo de 34°?

Estrategia

• Determina el ángulo en la hora inicial, en este caso a las 7:00. 12

Tomamos como referencia una hora inicial y de ahí buscamos la hora pedida.

11 10

2

9

(6x)°

3

b

4

8 x° 7 2

¡Vamos ... ! Tú puedes

b = 30°(7) b = 210°

1

5

6

210° - (6x)°

• Ahora, de la condición: x ° + 210° - (6x)° = 34° 2 x = 32

¡RECUERDA!

• Formarán 34° a las 7:32 .

4 Entre las 4 y las 5, ¿a qué hora las manecillas del reloj formarán un ángulo de 90° por segunda vez?

• Un ángulo de 90° por segunda vez: 11

Se formará un ángulo por segunda vez cuando el minutero pase al horario.

2 120°

9

• Un ángulo de 90° por primera vez: 11 12

1

10

2 3

9

4

8 6

5

(6x)°

3

x° 2 5 6

8 7

7

1

10

Estrategia

12

El horario cada hora gira 30°, se deduce pues que a las 4:00 la medida del ángulo es: 4(30)° = 120°

4

• Del gráfico y la condición: (6x)° = 90° + x ° + 120° 2 2 min x = 38 11 • Luego, será a las 4:38 2 . 11 ¡IMPORTANTE!

5 Entre las 8 y las 9, ¿a qué hora las manecillas del reloj determinarán un ángulo de 180°?

• Del enunciado:

11

12

10

¡Qué fácil! … Procedemos como en los casos anteriores.

1

(6x)° 2

60°

x° 2

3

9 x° 2 8

4 7

6

5

• Del gráfico: (6x)° = 60° + x ° 2 x = 10 10 11 • Entonces, será a las 8:10 10 . 11

Dos ángulos opuestos por el vértice tienen la misma medida. a

a=b

b


26

Alfonso Rojas Puémape

MáS RESUELTOS 1 Determina el ángulo que forman las ma-

necillas del reloj a las 3:30.

Resolvemos:

¡OBservación! En cada hora, los ángulos que recorren el horario y el minutero están en la relación de 1 a 12, respectivamente.

11

x = 30 min:

10

° 180° = 90° + 30 + a 2

9

2 a

8 7

a = 75°

2 Calcula el ángulo que forman las manecillas del reloj a las 6:40 a.m.

cillas del reloj forman un ángulo de 75°?

Resolvemos: 11

• Del gráfico:

10

9

Resolvemos: 12

10 (6x)° = 180° + x ° + a 2

2

9

• Para: x = 40 min

180°

a 8

7 240° = 180° + 20° + a x °6 2 a = 40°

a = 90° + x ° 2 a = 90° + 15° a = 105°

2

9

3 (6x)° 4

240° 3

6

4 (6x)° 5

6 ¿A qué hora, entre las 6 y las 7, las mane-

cillas del reloj determinan un ángulo de 70° por segunda vez?

10

2 3 70°

8 7

5

Por 2.° vez:

11 12 1

9

4

• La medida del ángulo es 105° . Entre las 8 y las 9, ¿a qué hora las mane4 cillas del reloj determinan un ángulo de 86°?

Resolvemos: • Por 1.° vez:

3

6

2

x° 2

• Luego, será a las 8:30 .

a 7

1

75° = (240 - 6x)° + x ° ⇒ x = 30° 2

5

8

12

8 75° 7

1

• Luego, forman un ángulo de 40° . 3 ¿Cuál es la medida del ángulo que determinan las manecillas del reloj a las 9:30 p.m.? Resolvemos: 11 12 1 • Del enunciado: 10 2 x = 30 min x°

86° = x ° + (240 - 6x)° ⇒ x = 28 2 • Luego, a las 8:28 . 5 ¿A qué hora, entre las 8 y las 9, las mane-

11

4 5 6 (6x)°

5

6

2

4

• Del gráfico:

Las manecillas del reloj formarán 70° por segunda vez cuando el minutero pase al horario.

(6x)° 3 x°

• Luego, forman un ángulo de 75° .

¡CUIDADO!

1

240° 3 7

86° 12

2

9 x° 2 8

• Hacemos un gráfico para representar la hora y luego determinar el ángulo. • Del gráfico y para

1

10

Resolvemos:

12

11

• Del gráfico:

6

4 5

10

2 180° 3

9 70° 8

• Del 2.° gráfico:

11 12 1

(6x)° = 180° + x ° + 70° 2 x = 45 5 11 • Luego, a las 6:45 5 . 11

4 7

6 x °5 2

(6x)°


27

M á S p ro p uestos 1 ¿Cuál es la medida del ángulo que forman

las manecillas del reloj a las 8:20 a.m.?

Rpta.: 130° 2 Determina el ángulo que forman las ma-

necillas del reloj a las 12:24.

Rpta.: 132° 3 Calcula el ángulo que forman las manecillas del reloj a las 11:52. Rpta.: 44° 4 ¿Cuál es la medida del ángulo que for-

man las manecillas del reloj a las 8:12?

Rpta.: 174° 5 ¿A qué hora, entre las 2 y las 3, las mane-

cillas del reloj formarán un ángulo de 38°? Rpta.: 2:04

cillas del reloj formarán por primera vez un ángulo de 180°? Rpta.: 6:00

15 ¿A qué hora, entre las 3 y las 4, el menor

ángulo formado por las manecillas del reloj será la octava parte del mayor? 1 Rpta.: 3:9 11

16 Entre las 6 y las 7, ¿a qué hora la relación

cillas del reloj formarán un ángulo de 43°? Rpta.: 4:14

7 Entre las 6 y las 7, ¿a qué hora las mane-

17 Laura salió de su casa entre las 6 y las

cillas del reloj forman un ángulo de 15°? Rpta.: 6:30

cillas del reloj formarán un ángulo de 53° por segunda vez? Rpta.: 3:26 cillas del reloj forman un ángulo de 45° por segunda vez? Rpta.: 4:30

10 ¿A qué hora, entre las 8 y las 9, las ma-

14 Después de las 5, ¿a qué hora las mane-

6 ¿A qué hora, entre las 4 y las 5, las mane-

9 Entre las 4 y las 5, ¿a qué hora las mane-

necillas del reloj forman un ángulo de 180°? Rpta.: 9:16 4 11

entre el menor y el mayor ángulo formado por las manecillas del reloj será de 4 a 5? 7 Rpta.: 6:3 11

8 Entre las 3 y las 4, ¿a qué hora las mane-

13 Entre las 9 y las 10, ¿a qué hora las ma-

necillas del reloj forman un ángulo de 35° por segunda vez? Rpta.: 8:50

11 ¿A qué hora, entre las 10 y las 11, las ma-

necillas del reloj forman un ángulo de 19° por segunda vez? Rpta.: 10:58

12 Entre las 7 y las 8, ¿a qué hora las manecillas del reloj forman un ángulo de 90° por primera y segunda vez, respectivamente? Rpta.: 7:21 9 11

Rpta.: 7:54 6 11

7 de la noche, cuando las manecillas del reloj formaban un ángulo de 30°. Se supo que regresó entre las 10 y las 11 de la misma noche, cuando las manecillas formaban un ángulo recto. ¿Cuánto tiempo estuvo fuera de casa? 2 Rpta.: 3h 38 min 11

18 Mauricio sale a trabajar entre las 9 y 10 de la mañana, cuando las manecillas del reloj se encuentran superpuestas, y regresa entre las 8 y las 9 de la noche, cuando las manecillas del reloj se encuentran en prolongación. ¿Cuánto tiempo permanece Mauricio fuera de casa? 9 Rpta.: 10h 21 min 11

E!

¡IMPORTANT

Las manecillas del reloj siempre determinan 2 ángulos, pero se da como respuesta el menor, a menos que especifiquen y pidan el ángulo mayor.

PISTA 5 Cuando no se especifica la posición de las manecillas, se debe entender que es el ángulo formado por primera vez.

19 ¿A qué hora, entre las 5 y las 6 de la tar-

de, las manecillas del reloj se superponen? 3 Rpta.: 5:27 p.m. 11

20 ¿A qué hora, entre las 10 y las 11 de la

mañana, las manecillas del reloj están en prolongación? 9 Rpta.: 10:21 a.m. 11

PISTA 18 Las manecillas del reloj están en prolongación cuando forman un ángulo de 180°.


28

Alfonso Rojas Puémape

control 1 Determina la medida del ángulo que for-

3

4 Entre las 5 y las 6, ¿a qué hora las ma-

man las manecillas del reloj a las 5:20.

necillas del reloj formarán un ángulo de 84°?

PISTA 1 ¡Resuelve aquí!

En 1 hora, el horario gira un ángulo de 30° mientras que, en el mismo tiempo, el minutero gira un ángulo de 360°.

2 Halla la medida del ángulo que forman

5 ¿A qué hora, entre las 6 y las 7, las ma-

las manecillas del reloj a las 4:36.

necillas del reloj formarán un ángulo de 48°?

PISTA 4

3 Calcula la medida del ángulo que forman

6 ¿A qué hora, entre las 2 y las 3, las mane-

las manecillas del reloj a las 2:08.

Cuando no se especifica la posición de las manecillas, se entiende que es el ángulo que se forma por primera vez.

cillas del reloj formarán un ángulo de 5°?


29 Emplear con frecuencia lo aprendido fortalece nuestra memoria.

7 Entre las 6 y las 7, ¿a qué hora las mane-

cillas del reloj forman un ángulo de 40°, por segunda vez?

10 ¿A qué hora, entre las 11 y las 12, las ma-

necillas del reloj determinarán un ángulo recto?

PISTA 7 Cuando se forma un ángulo por 2.º vez, por lo general el minutero “pasa” al horario.

PISTA 12 8 ¿A qué hora, entre las 8 y las 9, las mane-

11 ¿A qué hora, entre las 6 y las 7, las mane-

9 Entre las 4 y las 5, ¿a qué hora las mane-

12 ¿A qué hora, entre las 4 y las 5, las ma-

cillas del reloj forman un ángulo de 13°, por segunda vez?

cillas del reloj formarán un ángulo de 90°, por segunda vez?

Si las manecillas indican sentidos opuestos, el ángulo que forman es de 180°.

12) 4:54 6 11 11) 6:49 1 11 8) 8:46 7) 6:40 6) 2:10 5) 6:24 4) 5:12 3) 16° 2) 78° 1) 40° COMPRUEBA

necillas del reloj estarán en sentidos opuestos?

9) 4:32 10) 11:43 7 11

cillas del reloj forman un ángulo de 56°, por segunda vez?


30

Alfonso Rojas Puémape

matemática recreati va 1. ¡PRODUCTOS INTERESANTES!

En cada caso, escribe el producto.

1 11 111 1111

1 11 × 111 × 1111

× ×

= = = =

¡Tantos unos!

111…1 × 111…1 = 9 cifras c/u

2. PALITOS numéricos

Cambia de lugar solo dos palitos para obtener una igualdad correcta.

¡Resuelve aquí!


31

3. ¡LAS PORCIONES DE PAN!

Skanito, Maite y Dalma fueron de excursión y el último día, Skanito se quedó sin provisiones, por lo que Maite aportó 3 panes y Dalma 5 panes, para que sean repartidos en partes iguales, entre los tres.

Si en compensación Skanito dio S/. 8 para que se repartieran Maite y Dalma, ¿cuánto le corresponde a cada una?

4. CIUDADES Y CARRETERAS

2

3 4

4

4

Cada círculo representa una ciudad y el número escrito en él, indica la cantidad de carreteras que de ahí salen. Las carreteras van solo en líneas rectas, horizontales o verticales, sin cruzarse.

2

2

1 4

3

5 2

4

4

¡Traza las carreteras!


32

Alfonso Rojas Puémape

a utoe v a lu a c ió n Acumulativo parcial

c) 24 días

c) 5:42

b) 10:36 p.m. d) 10:39 p.m.

b) 3:34 e) 3:48

c) 3:36

a) 8:40 p.m. c) 8:08 p.m. e) 8:52 p.m.

b) 8:44 p.m. d) 8:48 p.m.

20 ¿A qué hora, entre las 2 y las 3, las manecillas del reloj determinarán un ángulo de 138°?

c) 180 s

8

9

b) 175 s e) 200 s

7

10

a) 170 s d) 190 s

c

c 11

e 12

e

7 Dos móviles que se encuentran distantes 18 km, parten al mismo tiem-

c) 90s

19 Un reloj se adelanta 7 minutos cada 4 horas. Hace 16 horas se puso en funcionamiento y ahora marca las 9:16 p.m. ¿Cuál es la hora exacta?

13 Dos atletas se encuentran en los extremos de una pista recta de 3200 m. Parten al mismo tiempo, uno al encuentro del otro, con velocidades de 7 m / s y 9 m / s. ¿Al cabo de cuánto tiempo la distancia que los separa será de solo 400 m?

b) 4:42 8 / 11 d) 4:53 7 / 11

a) 3:32 d) 3:40

a) 2:30 d) 2:36

6

b) 5:41 e) 5:44

a) 10:30 p.m. c) 10:38 p.m. e) 10:41 p.m.

5

6 ¿A qué hora, entre las 4 y las 5, las manecillas del reloj determinarán un ángulo de 180°?

a) 5:40 d) 5:43

b) 85s e) 100s

b) 2:32 e) 2:40

4

a) 80s d) 95s

18 ¿A qué hora, entre las 3 y las 4, las manecillas del reloj determinarán un ángulo de 130°?

12 ¿A qué hora, entre las 5 y las 6, las manecillas del reloj determinarán un ángulo de 92°, por segunda vez?

a) Lunes b) Martes c) Miércoles d) Jueves e) Viernes

b 13

a) 4:36 4 / 11 c) 4:52 8 / 11 e) 4:54 6 / 11

a) 20 días b) 22 días d) 21 días e) 30 días

c) 4:28

17 Un reloj se atrasa 3 minutos cada 2 horas. Se sincroniza a las 9:00 a.m. ¿Qué hora marcará a las 11:00 p.m.?

a) 180 b) 190 c) 200 d) 220 e) 240

5 El 1 de mayo del año 2009 fue viernes. En el año 1991, ¿qué día de la semana coincidió con esta fecha?

11 Un reloj se adelanta 5 minutos cada 4 horas. ¿Al cabo de cuántos días el reloj marcará la hora exacta, luego de sincronizarlo?

a) 6h b) 7h c) 8h d) 9h e) 10h

b) 1:05 5 / 11 d) 1:24 6 / 11

3

b) 4:26 e) 4:40

c) 2:34

2

b) 9:11 9 / 11 d) 9:22 8 / 11

a) 4:20 d) 4:32

16 Dos atletas se encuentran en los extremos de una pista recta de 2800 m. Parten al mismo tiempo, uno al encuentro del otro, con velocidades de 18 m/s y 10 m/s. ¿Al cabo de cuántos segundos los atletas se encontrarán?

10 Dos atletas se encuentran en los extremos de una pista recta de 3600 m. Parten al mismo tiempo, en direcciones opuestas, con velocidades de 8 m / s y 12 m / s. ¿Al cabo de cuántos segundos la distancia entre los atletas será de 400 m, por segunda vez?

4 Dos móviles, distantes 10 km, se encuentran en una pista recta. Parten al mismo tiempo y en la misma dirección con velocidades de 20 y 18 km/h. ¿Al cabo de cuánto tiempo estarán separados 6 km, por segunda vez?

a) 1:18 2 / 11 c) 1:13 7 / 11 e) 1:21 9 / 11

c) 8:30

e

a) 9:13 7 / 11 c) 9:12 8 / 11 e) 9:16 4 / 11

9 ¿A qué hora, entre la 1 y las 2, las manecillas del reloj determinarán un ángulo recto?

3 ¿A qué hora, entre las 9 y las 10, las manecillas del reloj determinan un ángulo de 180°?

c) Domingo

c

b) 8:28 e) 8:40

a) Sábado b) Lunes d) Jueves e) Martes

1

e) 35 días

15 ¿A qué hora, entre las 4 y las 5, las manecillas del reloj determinarán un ángulo de 34°, por segunda vez?

e

b) 60 m / min d) 18 m / min

a) 45 días b) 32 días d) 36 días e) 40 días

c

a) 8:20 d) 8:36

8 El 1 de junio de 1996 fue sábado. ¿Qué día de la semana fue el 1 de junio del 2010?

2 ¿A qué hora, entre las 8 y las 9, las manecillas del reloj determinarán un ángulo de 75°?

a) 1h b) 2h c) 3h d) 4h e) 5h

c

14 Un reloj se adelanta 2 minutos cada 3 horas. Luego de sincronizarlo, ¿al cabo de cuántos días el reloj marcará la hora exacta?

e

a) 70 m / min c) 40 m / min e) 35 m / min

po, en la misma dirección, con velocidades de 30 km / h y 24 km / h. ¿Al cabo de cuánto tiempo el más veloz alcanzará al más lento?

c

1 Dos ciclistas se encuentran en los extremos de una pista recta de 1200m. Si partieran al mismo tiempo, en direcciones opuestas, se encontrarían en 15 minutos. Si partieran al mismo tiempo, en la misma dirección, el más veloz alcanzaría al otro en 20 minutos. ¿Cuál es la velocidad del ciclista más veloz?

a

Nivel I

a 14

c 15

e 16

d 17

d 18

d 19

d 20


33

Acumulativo parcial

12 ¿A qué hora, entre la 1 y las 2, las manecillas del reloj estarán en sentidos opuestos?

c) 36 días

6 ¿A qué hora, entre las 7 y las 8, las manecillas del reloj determinan un ángulo de 90°, por segunda vez?

a) 1:34 6 / 11 c) 1:42 8 / 11 e) 1:38 2 / 11

13 Dos móviles se encuentran separados 24km. Si partieran al mismo tiempo en direcciones opuestas, se encontrarían en 40 minutos. Si partieran en la misma dirección, el más veloz alcanzaría al otro en 2 horas. ¿Cuál es la velocidad del más veloz?

7

8

9

e 10

c 11

e 12

7 Un tirador dispara una bala y a los 4 s, este escucha el impacto de la

a

b) 7:45 1 / 11 d) 7:42 8 / 11

b) 7:52 p.m. d) 8:02 p.m.

a) Lunes b) Martes c) Miércoles d) Jueves e) Viernes 18 ¿Qué hora marca el reloj?

a) 2:33 b) 2:35 c) 2:32 d) 2:34 e) 2:31

a 3a

19 Un reloj se adelanta 6 minutos cada hora y cuarto, mientras que otro se atrasa 2 minutos cada cuarto de hora. Si ambos se sincronizan un martes a las 7:00 p.m., ¿qué día y a qué hora volverán a marcar la hora correcta?

b) 1:39 1 / 11 d) 1:28 2 / 11

e

a) 7:43 7 / 11 c) 7:48 2 / 11 e) 7:54 6 / 11

c) 11:12

d

a) 30 días b) 32 días d) 40 días e) 45 días

b) 9:58 e) 12:00

a) jueves 3:15 a.m. b) martes 3:20 a.m. c) jueves 3:15 p.m d) martes 3:20 p.m. e) viernes 3:15 a.m.

6

5 Un reloj se atrasa 5 minutos cada 6 horas. ¿Al cabo de cuántos días el reloj volverá a marcar la hora exacta luego de sincronizarlo?

a) 9:52 d) 11:10

a) 6:50 p.m. c) 7:42 p.m. e) 10:12 p.m.

5

c) 3s

17 En el año 2010, un empleado celebrará sus 14 años de labor en una empresa. Esta celebración la realizará el sábado 1 de julio del 2010. ¿Cuál fue el día de la semana en el cual inició sus labores?

c) 140 km

11 Hace 16 horas que está funcionando un reloj que se atrasa 5 minutos cada 2 horas. Si el reloj marca las 10:32, ¿cuál es la hora exacta?

a) 50 km / h b) 48 km / h c) 44 km / h d) 42 km / h e) 36 km / h

a) 100 km b) 120 km d) 160 km e) 180 km

4

b) 2s e) 5s

16 Un reloj malogrado se adelanta 7 minutos cada 3 horas. Si hace 2 días que se puso en funcionamiento y ahora marca las 8:42 p.m., ¿cuál es la hora exacta?

c) 15 días

10 Dos móviles se encuentran en un punto A. El primero parte a las 9:00 a.m. con una velocidad constante de 20 km/h y 3 horas después parte el otro a su alcance con una velocidad constante de 30km/h. ¿A qué distancia del punto A, el móvil más veloz alcanzará al otro?

b) 6:41 9 / 11 d) 6:47 3 / 11

4 Una embarcación con motor fuera de borda desarrolla una velocidad de 50 km / h en aguas tranquilas. Al realizar un viaje de ida y vuelta a lo largo de un río, cuyas aguas tienen una velocidad de 10 km / h, ¿cuál es la velocidad promedio del viaje de ida y vuelta?

a) 9 días b) 12 días d) 18 días e) 20 días

a) 1s d) 4s

3

2

b) 9:31 p.m. d) 9:20 p.m.

a) 6:42 5 / 11 c) 6:36 4 / 11 e) 6:49 1 / 11

b) 8:20 p.m. d) 8:35 p.m.

9 Un reloj se adelanta 10 minutos cada 3 horas. ¿Luego de cuántos días el reloj volverá a marcar la hora exacta?

3 ¿A qué hora, entre las 6 y las 7, las manecillas del reloj formarán un ángulo de 90°, por segunda vez?

a) 9:15 p.m. c) 7:35 p.m. e) 9:25 p.m.

15 Un avión desarrolla una velocidad en tierra aproximada de 144 km / h. ¿Al cabo de cuánto tiempo recorrerá 200 m?

1

a) Lunes b) Martes c) Jueves d) Sábado e) Domingo

e

a) 9:30 p.m. c) 9:39 p.m. e) 9:40 p.m.

c) 180 m

8 Un reloj se adelanta 5 minutos cada 3 horas. Si se sincroniza a las 6:00 a.m., ¿qué hora marcará a las 9:00 p.m.?

2 Un reloj se atrasa 3 minutos cada 2 horas. Si se sincroniza a las 8:00 a.m., ¿qué hora marcará el reloj cuando la hora exacta sea las 10:00 p.m.?

b) 144 m e) 288 m

c

b) 12 km / h d) 13 km / h

a) 112 m d) 204 m

14 Mariela nació el día 7 de abril del año 1977. Si el 7 de abril del año 2007 fue sábado, ¿qué día de la semana nació Mariela?

b

a) 20 km / h b) 22 km / h c) 24 km / h d) 28 km / h e) 30 km / h

e

a) 12,5 km / h c) 10 km / h e) 13,5 km / h

bala en el blanco. Si la velocidad de la bala es de 60 m / s y la velocidad del sonido es de 340 m/s, calcula la distancia desde el punto de disparo hasta el blanco.

c

1 Un ciclista pensaba: “Si mi velocidad fuera de 10 km / h llegaría a mi destino a las 13 horas, pero si mi velocidad fuera de 15 km / h llegaría a mi destino a las 11 horas”. ¿Cuál debe ser la velocidad del ciclista para que pueda llegar a su destino a las 12 horas?

b

Nivel II

c 13

c 14

e 15

a 16

c 17

c 18

a 19


34

Alfonso Rojas Puémape

Acumulativo parcial

e) 3 h 21 min 9 s 4 Dos autos parten de dos puntos A y B, separados 240 m, uno al encuentro del otro. La primera vez que se encuentran ocurre cuando el que partió de B ha recorrido 120 m más que el otro. Si cada vez que uno llega al otro extremo regresa y así sucesivamente, ¿a qué distancia de A ocurre el tercer encuentro? b) 120 m e) 200 m

d)12

e)13

a) 11° b) 12° c) 13,5° d) 13° e) 14°

a) 10s d) 25s

b) 15s e) 30s

c) 420 km

a) 8:23 a.m. c) 6:23 a.m. e) 7:23 a.m.

b) 8:23 p.m. d) 6:23 p.m.

15 Un automóvil pasa a través de un túnel subterráneo de 316 m en 5 minutos y 20 segundos. Si para pasar delante de un poste solo demora 4 segundos, determina la longitud del automóvil.

10 Dos perritos que se encuentran en las posiciones A y B, separados 180 m, parten simultáneamente al encuentro uno del otro, con velocidades de 10m/s y 8m/s, respectivamente. ¿Luego de cuánto tiempo, el perrito A dista de B lo mismo que el perrito B dista de A?

c) 150 m

5 Dos relojes se sincronizan a las 6 a.m. El primero de ellos se atrasa 30 segundos cada tres cuartos de hora, mientras que el segundo se adelanta 40 segundos cada media hora. ¿Cuál es la diferencia de tiempo entre estos relojes a las 9 p.m.?

b) 10 c)11

1 11

e) b y c

a) 450 km b) 510 km d) 480 km e) 440 km

9 Calcula el ángulo que forman las manecillas del reloj a las 4 h 24 min.

a) 2 m d) 4,5 m

b) 3,5 m e) 5 m

c) 4 m

16 Determina el valor de α: 12

11

1 2

10 9

3

α 4

8

c) 20s

7

11 Son más de las 5 p.m. sin ser las 6 p.m.; pero desde las 4 p.m. hasta

11

a) 100 m d) 180 m

a) 9

b

10

1 s 11

9

d) 3 h 20 min 4

8 El campanario de una iglesia emplea 20 segundos en tocar tantas campanadas como segundos transcurren entre campanada y campanada. En un minuto, ¿cuántas campanadas tocará?

8

c) 6:49

14 Maritza se compró un reloj, el cual estaba defectuoso pues se adelantaba 5 minutos cada 7horas. Si a las 7:23 p.m. señalaba las 7:48 p.m., ¿a qué hora empezó a adelantarse?

c) 40 s

7

1 c) 3 h 20 min s 11

6

1 s 11

b) 30 s e) 60 s

3 11

13 En una carrera de Fórmula 1, el piloto alemán parte con una velocidad de 280 km / h y luego de media hora parte el piloto español con una velocidad de 320 km / h. Determina cuánto habrá recorrido el alemán desde que partió hasta que fue alcanzado por el español.

6

5

a) 161° b) 160,5° d) 161,6° e) 162,5°

5

b) 3 h 21 min 9

a) 20 s d) 50 s

d) a y c

4

c

1 s 11

b

a) 3 h 20 min 8

e

b) 6:16

3

3 ¿A qué hora, inmediatamente después de las 3:00 p.m., las manecillas de un reloj forman un ángulo de 30°, por segunda vez?

a) 6:16

d) 2 h 44 min

7 Dos atletas A y B, con velocidades de 6 m / s y 9 m / s respectivamente, se encuentran separados 210 m (B delante de A). Ambos parten al mismo tiempo y en la misma dirección. Si 270 m más allá de donde se encontraba B inicialmente hay una banderilla, ¿después de cuánto tiempo A y B equidistarán de la banderilla?

b) 12 días d) 11 días 6h

4 11

c) 162,75°

2

5 e) 2 h 43 min 11

1 min 11

1

7 c) 2 h 44 min 11

b) 2 h 44

d

a) 12 días 8h c) 11 días 8h e) 15 días

a) 2 h 43

a) 5° b) 15° c) 10° d) 18° e) 20° 12 Entre las 6 y 7 horas, ¿a qué hora las manecillas del reloj forman un ángulo de 90°?

a

7 min 11

d

2 Dos relojes marcan la hora exacta a las 3 p.m. y a partir de ese instante, uno comienza a adelantarse a razón de un minuto cada media hora y el otro se atrasa dos minutos cada tres horas. ¿Luego de cuánto tiempo volverán a marcar simultáneamente la hora correcta?

hace 30 minutos ha pasado el mismo tiempo que faltará dentro de 30 minutos para las 7 p.m. Determina el ángulo que forman las agujas del reloj en este instante.

c) 40 min

6 Para llegar a tiempo a su trabajo, Javier salió de su casa entre las 7 y las 8 a.m., cuando las agujas del reloj se encontraban en sentidos opuestos. Si llegó entre las 9 y 10 a.m., cuando las agujas del reloj estaban superpuestas, ¿cuánto tiempo demoró en llegar a su trabajo?

a) 10 km / h b) 15 km / h c) 20 km / h d) 40 km / h e) 45 km / h

b) 20 min e) 50 min

d

a) 10 min d) 30 min

b

d

1 Un bus interprovincial recorre 200 km para ir de una ciudad a otra. Hoy salió con 2 horas de retraso, por lo cual debe viajar 5 km / h más rápido de lo habitual para llegar a tiempo. Determina la velocidad habitual del bus.

c

Nivel III

d 12

d 13

a 14

c 15

e 16


35

Acumulativo total

7 Dos trenes, uno de 80 m y otro de 60 m de longitud, van al encuentro, en rieles paralelos con velocidades de 60 m/s y 40 m/s, respectivamente. Si están distanciados 600 m, ¿dentro de cuánto tiempo se cruzarán totalmente?

8 Indica a qué hora después de las 2 se forma un ángulo de 90° por primera vez. 5 3 a) 2h 25 min b) 2h 25 min 11 11 5 3 c) 2h 27 min d) 2h 27 min 11 11 e) falta información

e) 5h 45 min 4 Determina el ángulo que forman las manecillas de un reloj a las 8:50. a) 25,5° d) 25°

b) 35° e) 30,5°

c) 27,5°

5 ¿A qué hora, entre las 9 y 10 a.m., las agujas de un reloj se superponen? 1 a.m. 11 3 c) 9:47 a.m. 11

a) 9:49

b) 9:48

2 a.m. 11

a)

X + YZ h 80

b) YZ + X h 80

c)

Y + XZ h 80

d) 4X + 3YZ h 240

e) 3X + 4YZ h 240

e) 9:49 a.m. 6 Un reloj se adelanta 1,5 minutos cada cuarto de hora. Si ahora está marcando las 3:45 p.m. siendo en verdad las 3:00 p.m., ¿a qué hora empezó a adelantarse?

a) 7 h 10 min

c) 7 h 20 min

e) 7 h 15 min

a) 30 m d) 60 m

b) 40 m e) 80 m

c) 50 m

ac 2

ac

b2c

bc 2

a 2c

a) a - b m b) a + b m c) a - b m

d) a - b m e) a - b m

a) 10 km/h b) 11 km/h c) 12 km/h d) 15 km/h e) 20 km/h

16 Son más de las 9 pero menos de las 10 de la mañana. Si hubieran pasado 15 minutos más, faltarían para las 11 a.m. los mismos minutos que pasaron desde las 9 a.m., hasta hace 5 minutos. Luego, la hora es:

2 min 3 1 d) 7h 8 min 6 b) 7 h 8

a) 9.55 a.m. b) 9:50 a.m. c) 9:45 a.m. d) 9:40 a.m. e) 9:30 a.m.

12 Ahora son más de la 1p.m. pero menos de las 2p.m. y las manecillas del

a) 7:20p.m. b) 7:25a.m. c) 7:30a.m. d) 7:30p.m. e) 7:45a.m. a 11

d 12

b 13

c 14

c 15

15 Dos ciclistas están separados 30 km. Si se desplazan en direcciones contrarias se encuentran en 1 hora, pero si lo hacen en la misma dirección, uno alcanza al otro en 5 horas. ¿Cuál es la velocidad de uno de ellos?

11 Determina a qué hora, entre las 7 y las 8, las manecillas de un reloj forman un ángulo de 155°.

d) 9:45 a.m.

300 m

14 Para ir de mi casa al colegio me demoro a minutos, pero si quisiera demorarme solo b minutos tendría que aumentar mi velocidad en c m/min. Si en la misma dirección se encuentra una iglesia que está a ac metros del colegio, ¿cuál es la distancia entre mi casa y la iglesia?

10 Un bus viaja de una ciudad M a otra ciudad N, distantes X kilómetros. Si en el trayecto hace Y paradas, las cuales demoran Z minutos cada una, determina el tiempo que tarda en realizar dicho viaje si avanza a 80 km/h.

10

59 min 143

5

9

d) 5h 47

6

8

c) 5h 46 min

7

4

7

8

3

α

6

59 min 143

3

En el instante mostrado, los tres móviles se están moviendo, pero cuando 1 alcanza a 2 , 3 se empieza a mover en dirección opuesta hasta que 1 lo alcanza. En este último instante, ¿cuántos metros dista 2 de 3 ?

5

b) 5h 46

9

8m/s

4

a) 5h 47 min

2

7 )° 11

2

80 m

5 min 7 6 b) 1 h 42 min 7 3 c) 1 h 43 min 7 4 d) 1 h 43 min 7 5 e) 1 h 42 min 7

10 )° c) 2250° 11

10 m/s 6m/s

1

a) 1 h 41

1

10

e

12

11

3 Estefani, al llegar a casa de su tía, observó en su reloj que el horario estaba entre el 5 y 6, y el minutero entre el 9 y 10. Cuando parte de regreso a su casa las manecillas habían intercambiado de posiciones, entonces Estefani llegó a casa de su tía a las:

e) (2345

9 Determina la hora que marca el reloj.

b

e) 75 s 103

103

d

d) 87 s 206

103

e

206

c) 86 s

d) 2280° 13

c

b) 85 s

a

a) 85 s

b) (420

3

2 Cuando un auto, que se dirige hacia un muro alto, se encuentra a 170 m de este, toca el claxon. Si su velocidad es de 72 m/s y la del sonido 340 m/s, ¿luego de cuánto tiempo el chofer oye el eco?

a) 6,5s b) 6,4s c) 6,8s d) 7s e) 7,4s

a) 2190°

2

1

b) 3:20 p.m. d) 3:25 p.m.

b

a) 3:19 p.m. c) 3:24 p.m. e) 3:30 p.m.

d

reloj forman 40°, ¿cuántos grados habrá recorrido la punta del minutero cuando sea más de las 7 y las agujas formen un ángulo de 30°, por primera vez?

b

1 Después de las 3 p.m., ¿a qué hora el número de minutos transcurridos desde las 3 p.m. es igual al número de grados que adelanta el minutero al horario?

b

Nivel IV

a 16


u nidad

2

COMBINATORIAS Y PROBABILIDADES ¡Cara!

¡Sello!

A ver, ¿qué eligen?

CONTENIDO ► cERTEZAS - MáXIMoS Y MíNIMOS ► VARIACIONES, PERMUTACIONES Y COMBINACIONES ► pROBABILIDADES


37

so Pien

mientras

J U E G O ¡Buscando el menor! Necesitamos tres dados. Pueden participar dos, tres o más jugadores.

Las reglas del juego son: 1.° Cada participante lanza los tres dados, cuando le toca jugar. 2.° Los números obtenidos en las caras superiores de los dados son distribuidos adecuadamente en los casilleros de la expresión, formando el menor resultado posible. ×

-

3.° Se anotan los resultados en la cartilla y al final se suman todos. 4.° Gana aquel que tiene la menor suma total.

NÚMERO DE JUEGO Jugador A B C D Total

1.°

2.°

3.°

4.°

5.°

6.°

7.°

8.°

9.°

10.°


Alfonso Rojas Puémape

Tema

38

1

CERTEZAS – MÁXIMOS Y MÍNIMOS

CERTEZAS Son todas aquellas situaciones en las cuales debemos determinar, con plena seguridad, la ejecución de un evento o suceso. Los problemas con estas características se deberán resolver partiendo del análisis de las diversas situaciones que se derivan de tal evento o suceso. 1 En una bolsa de papel hay 24 fichas de

¡IMPORTANTE! Una manera muy sencilla de analizar los enunciados, bajo ciertas condiciones, es ponernos en el peor de los casos, es decir, no obtener lo que describe el evento o suceso, sino lo contrario.

igual forma y tamaño, pero de tres colores diferentes (8 de cada color). Determina la menor cantidad de fichas que debo extraer, al azar, para tener la plena seguridad de obtener: I. 3 fichas de un mismo color. II. 2 fichas de cada color. III. 3 fichas de diferentes colores.

Estrategia • Analizamos el enunciado, partiendo del tipo de evento o suceso. • Nos ponemos en el caso donde tal evento o suceso no ocurre como deseamos.

• Para I: Lo ideal

Lo no ideal

(3 extracciones)

• Para II: Lo ideal

TOTAL: 7 extracciones Lo no ideal (8 extracciones) (8 extracciones) (2 extracciones)

(6 extracciones)

• Para III: Lo ideal

TOTAL: 18 extracciones Lo no ideal (8 extracciones)

(8 extracciones) (1 extracción)

(3 extracciones)

TOTAL: 17 extracciones

¡ATENCIÓN! 2 En un ánfora hay guantes de box, 6 pares Como los tres tipos de fichas se encuentran en igual cantidad, nos es indiferente el color de la primera ficha. Si las cantidades fuesen diferentes, el color de la primera ficha será el de aquella que se encuentre en mayor cantidad y así sucesivamente.

de guantes blancos (gb), 5 pares de guantes negros (gn) y 4 pares de guantes rojos (gr). ¿Cuántos pares de guantes debemos extraer al azar de tal ánfora, para tener la certeza de haber obtenido un par de guantes usables del mismo color?

Para que sean usables uno debe ser para la mano derecha (d) y otro para la izquierda (i).

• Nos ponemos en el peor de los casos: Extraemos guantes de una misma mano y de aquel color que se encuentre en mayor cantidad. 6 gb 5 gn

4 gr

• Con los guantes extraídos no hemos formado un par usable; pero con la siguiente extracción obtendremos necesariamente un guante derecho, que con cualquiera de los demás formará una pareja usable. ⇒ 6 + 5 + 4 + 1 = 16 extracciones


39

MÁXIMOS Y MÍNIMOS En estos problemas, debemos calcular un máximo o un mínimo valor dentro del conjunto de posibilidades de ocurrencia de un evento o suceso. 3 Para formar 5 filas de 4 alumnos cada una,

¿cuántos alumnos como mínimo se requieren?

• Ahora crucemos algunas filas: 13 alumnos

Estrategia Debes relacionar la mayor cantidad de filas con un mismo alumno.

• Pensando un poquito más: 1

• Si los formamos como en el colegio, se tendrían: 20 alumnos

4 Siendo a y b dos números reales, tales que

a + b = 5, determina el máximo valor de ab.

Estrategia Toma como referencia algunos números enteros para cada una de las letras y analiza el producto.

¡ATENCIÓN!

2 3 4 5

⇒ Según el gráfico, el mínimo número de alumnos será: 10 .

Un alumno podría pertenecer a dos o más filas.

• Analizando:

a + b = 5; a; b ∈ R – {0}

1 2 3 4

× × × ×

4 3 2 1

=4 =6 =6 =4

Observamos que, a menor diferencia entre ambos números, el producto se hace mayor.

• Ahora: a + b = 5 ⇒ 2,5 + 2,5 = 5 • Luego; el máximo valor de ab es: ab = (2,5)(2,5) = 6,25

5 Se tienen 12 bolas de igual tamaño y color,

pero una de ellas es menos pesada que las demás, que presentan igual peso. Si disponemos de una balanza de platillos, ¿cuántas pesadas, como mínimo, debes realizar, para tener la plena seguridad de encontrar dicha bola?

Estrategia

• Analizamos, formando dos grupos de 6 y luego tres grupos de dos:

; (1.° pesada)

NOTITA

; (2.° pesada)

(3.° pesada)

• Además, se pueden formar 3 grupos de 4 y luego dos grupos de 2, veamos:

Dividir la cantidad total de bolas en grupos que contengan la misma cantidad.

; (1.° pesada)

; (2.° pesada)

(3.° pesada)

⇒ En tres pesadas se encuentra la bola.

La menor diferencia que se puede dar entre dos números es cero, es decir cuando tales números sean iguales.


40

Alfonso Rojas Puémape

MáS RESUELTOS • Observa que un trozo de cadena (4 eslabones) es necesario para unir los trozos restantes, luego el gasto será:

1 En una caja hay 18 canicas: 7 amarillas,

5 marrones y el resto verdes. ¿Cuántas canicas debo extraer al azar como mínimo, para tener la seguridad de haber obtenido cuatro canicas del mismo color?

4 Sabemos que la suma de dos números

Resolvemos:

de cuatro cifras es 3281. Si uno de ellos es el menor número posible de 4 cifras diferentes, ¿cuánto suman las cifras del otro número?

• Considerando el peor de los casos, sacaremos: ¡Atención! Comienza con la peor situación, es decir, con la que no obtengas el resultado que quieres.

3 + 3 + 3 + 1 = 10 canicas

mismo modelo y talla, además 6 pares son negros, 8 pares son marrones y 4 pares son blancos. Si durante un apagón deseo conseguir 2 pares de zapatos usables de dicho estante, ¿cuántos zapatos debo extraer como mínimo?

Resolvemos:

• Considerando el peor de los casos, extraemos zapatos de un mismo pie: - 8 zapatos marrones izquierdos - 6 zapatos negros izquierdos - 4 zapatos blancos izquierdos

• Los 2 siguientes zapatos que se extraigan serán derechos y sean del color que sean, formarán 2 pares usables. • Entonces se deberán extraer: 8 + 6 + 4 + 1 + 1 = 20 zapatos 3 Una persona tiene 5 trozos de cadena de

4 eslabones cada uno. Por cortar y soldar un eslabón cobran S/. 8. Si se desea formar una cadena continua, ¿cuánto se gastará como mínimo?

Resolvemos: • Graficamos:

Resolvemos: • Determinamos el menor número posible de 4 cifras diferentes: 1023 • Calculamos el otro número:

3281 - 1023 = 2258 • Luego, sus cifras suman:

2 En un estante hay pares de zapatos del

¡CUIDADO! Con un eslabón, unimos dos trozos.

Esta bola será de cualquiera de los tres colores y formará las cuatro requeridas.

• Entonces se deberán extraer:

4 × 8 = S/. 32

2 + 2 + 5 + 8 = 17 5 Un kilogramo de huevos contiene de 15

a 20 huevos. Si un comerciante compra 5 docenas de huevos, ¿cuál es el menor peso que puede comprar?

Resolvemos: • Calculamos el número de huevos: 5 × 12 = 60 huevos • Si un kg de huevos contiene más huevos, el peso total será menor, entonces:

N.° de kg = 60 huevos = 3 kg 20 huevos / kg 6 Un minorista compra pulseras cuyos

precios varían desde S/. 25 hasta S/. 35 y luego las vende a precios que varían de S/. 45 a S/. 65. ¿Cuál es la mayor ganancia que puede obtener al comprar y vender 5 pulseras? Resolvemos:

• Para obtener la mayor ganancia se compra al menor precio posible y se vende al mayor precio: - costo = 5 × 25 = S/. 125 - venta = 5 × 65 = S/. 325 • Luego, la mayor ganancia será: 325 – 125 = S/. 200


41

M á S p ro p uestos 1 En una carretilla de helados hay 8 paletas

de helado de chocolate y 12 paletas de helado de vainilla. Si deseo comer un helado de chocolate y uno de vainilla, ¿cuántas paletas debo sacar como mínimo?

Rpta.: 13 paletas 2 Para una tómbola se han impreso 1200

boletos que tienen un costo de S/. 2 cada uno, además 650 de los boletos están premiados. Si una persona quiere obtener necesariamente uno de los premios, ¿cuánto dinero debe invertir?

8 En una bolsa hay 6 pares de guantes azu-

les, 7 pares de guantes marrones, 8 pares de guantes blancos y 5 pares de guantes negros. ¿Cuántos guantes se deben extraer al azar de la bolsa, como mínimo, para tener la plena seguridad de haber obtenido 3 pares útiles de un mismo color? Rpta.: 35 guantes

9 En el interior de una secadora de ropa

Rpta.: 41 naipes

hay 9 pares de medias celestes, 11 pares de medias verdes, 13 pares de medias negras y 15 pares de medias blancas. ¿Cuántas medias debo extraer, sin ver, para tener la seguridad de haber obtenido un par útil de medias? Rpta.: 5 medias

4 En una urna hay 9 bolas negras, 11 bo-

10 Se divide el número 1542 en dos números

Rpta.: S/. 1102 3 De un juego de naipes, ¿cuántos se de-

ben extraer al azar, como mínimo, para tener la seguridad de haber obtenido un par de espadas y un trébol?

tenido un par de zapatillas útiles de cada color? Rpta.: 53 zapatillas

las azules, 7 bolas rojas y 14 bolas blancas. ¿Cuántas bolas, como mínimo, se deben extraer de la urna, para tener la seguridad de haber obtenido 4 bolas de colores diferentes, si todas son del mismo tamaño? Rpta.: 35 bolas

5 En una bolsa hay 28 lapiceros de la mis-

ma marca, pero de diferentes colores; hay 8 azules, 11 negros y el resto rojos. ¿Cuántos lapiceros debo extraer sin ver, como mínimo, para tener la plena seguridad de haber obtenido cinco lapiceros de un solo color? Rpta.: 13 lapiceros

6 En un ánfora hay 32 caramelos con sa-

bor a fresa, 26 de naranja y 42 de limón. Si todos tienen la misma presentación, ¿cuántos, como mínimo, debo extraer del ánfora para tener la seguridad de haber obtenido 10 caramelos de cada sabor? Rpta.: 84 caramelos

7 En un cajón hay 12 pares de zapatillas blancas, 10 pares de zapatillas negras y 8 pares de zapatillas amarillas. ¿Cuántas zapatillas debo sacar al azar, como mínimo, para tener la seguridad de haber ob-

PISTA 2 El peor de los casos se da cuando compras un boleto y no recibes premio.

de 3 cifras cada uno. Si uno de ellos es el menor posible, determina la suma de sus cifras. Rpta.: 12

11 ¿Cuántas personas se requieren, como

mínimo, para formar 3 filas de 4 personas cada una? Rpta.: 9 personas

12 Si la suma de dos números reales es 7,

¿cuál será su máximo producto? Rpta.: 12,25

13 En una galería funcionan 8 tiendas y dan

trabajo a 40 personas. Si ninguna tienda tiene menos de 4 empleados, ¿cuál es el mayor número de empleados que podría tener una de las tiendas? Rpta.: 12 empleados

14 Si 15 duraznos pesan desde 1,8kg hasta

3kg, ¿cuál es el mínimo número de duraznos que puede haber en 9kg? Rpta.: 45 duraznos

15 Se compran relojes cuyos precios varían

desde 25 hasta S/. 40 y se venden a precios que varían de 42 a S/. 60. ¿Cuál es la mínima ganancia que se puede obtener en la venta de 12 relojes? Rpta.: S/. 24

PISTA 4 Recuerda que debemos empezar las extracciones por aquellos artículos que se encuentren en mayor cantidad.


42

Alfonso Rojas Puémape

c on t ro l PISTA 1

1 Al interior de una caja hay 15 bolas ro-

Consideramos el peor de los casos, extrayendo lo que no es útil.

jas, 17 bolas amarillas y 21 bolas verdes. ¿Cuántas debo extraer al azar, como mínimo, para tener la plena seguridad de haber obtenido 3 bolas de diferentes colores?

4

4 En una caja se guardan 4 pares de guan-

tes blancos, 6 pares de guantes azules y 5 pares de guantes verdes. ¿Cuántos debemos extraer al azar, para tener la seguridad de haber obtenido un par de guantes usables de cada color?

¡Resuelve aquí!

2 En una tacho hay 13 chapas de la mar-

5 ¿Cuántas personas como mínimo se ne-

3 Una caja grande contiene 24 pares de

6 Si se divide el número 159 en dos

ca A, 15 de Ia marca B, 9 de C y 6 de D. ¿Cuántas chapas debo extraer como mínimo del tacho, al azar, para tener la seguridad de haber obtenido 4 chapas de una misma marca?

PISTA 3

cesitan, para formar 7 filas de 6 personas cada una?

Podemos sacar primero todos los zapatos de un mismo pie.

PISTA 5 El mínimo número de personas se dará cuando una o más filas contengan a una misma persona. 1

2

3

zapatos marrones y 8 pares de zapatos negros. ¿Cuántos zapatos debo extraer como mínimo de la caja, sin verlos, para tener la seguridad de haber obtenido un par de zapatos útiles?

números de dos dígitos cada uno, siendo uno de ellos el menor posible, ¿cuánto suman las cifras de dicho número?


43 Forma patrones o busca regularidades como parte de la estrategia de solución de un problema.

PISTA 7 7 Se tienen 20 bolillas numeradas del 1 al

20. ¿Cuántas de estas bolillas se deberán extraer de un ánfora, al azar, para tener la plena seguridad de haber obtenido 3 bolillas con números pares?

10 El promedio de las edades de 4 amigos

es de 36 años. Si ninguno de ellos es mayor de 40 años, ¿cuál es la edad mínima que podría tener uno de ellos?

Consideramos el peor de los casos y extraemos inicialmente lo que no requerimos (números impares).

PISTA 9 8 De un juego de cartas, ¿cuántas se de-

ben extraer al azar, como mínimo, para tener la certeza de haber obtenido una J?

11 El señor Vásquez tiene 4 candados de

diferentes marcas y solo dos llaves. Sabiendo que cada llave abre solamente un candado, ¿cuál es el mínimo número de intentos que deberá realizar, tratando de abrir el candado correspondiente, para determinar con seguridad los candados que se abren con dichas llaves?

Si queremos la edad máxima de uno de ellos, los otros deberán tener la mínima edad posible.

12) 4 pesadas 8) 49 cartas 7) 13 bolas 6) 6 5) 21 personas 4) 27 guantes 3) 33 zapatos 2) 13 chapas 1) 39 bolas COMPRUEBA

mismo tamaño y forma, pero una de ellas con más peso. Con una balanza de dos platillos, ¿cuántas pesadas como mínimo serían necesarias para identificar dicha copa?

9) 33 años

12 En un estante hay 36 copas, todas del

10) 24 años

27 años. Si ninguno de ellos es menor de 24 años, ¿cuál es la edad máxima que podría tener uno de ellos?

11) 5 intentos

9 La edad promedio de tres hermanos es


44

Alfonso Rojas Puémape

Tema

2

variaciones, permutaciones y combinaciones

I. FACTORIAL DE UN NÚMERO (n! o n )

El factorial de un número entero positivo n está definido como el producto de los enteros consecutivos desde 1, hasta el mismo número n. Así:

n! = n = 1 × 2 × 3 × … × (n - 1) × n

Ejemplos:

• Aplicando propiedad: •

• 2! = 1 × 2 = 2

• 0! = 1

• 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24 • 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120 • 6! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 = 720 • 7! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 = 5040

• 0 =1

• 8! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 × 6 × 7 × 8 = 40 320

Propiedad:

n! = (n – 1)! × n

Para reducir expresiones que contengan factoriales, debemos descomponer un factorial empleando la propiedad 1 .

Descomponiendo un factorial: a! = a.(a -1)! b! = b.(b -1).(b - 2)!

=

( m + 9 )! ( m + 5 ) ( m + 4 )! 5 + ( m + 10 )( m + 9 ) ! ( m + 4 )! m + 10

=

5 m + 10 m+5 + = = 1 m + 10 m + 10 m + 10

Estrategia

q Principio de adición Si un evento A ocurre de m maneras diferentes y otro evento B ocurre de n maneras diferentes, entonces el evento A o el evento B ocurren de (m + n) maneras.

Es evidente que si viaja en microbús, no podrá viajar en colectivo, en consecuencia, son eventos excluyentes, es decir, si ocurre uno no ocurre el otro simultáneamente, entonces:

N.° de maneras = 4 + 3 = 7

microbuses colectivos

22 × 22 2 ×2 = = 1 4 × 11 × 11 4

Analizamos los eventos y observamos si son o no excluyentes, es decir, si se cumplen o no simultáneamente.

4 María va del trabajo a casa. Si puede viajar empleando 4 líneas de microbuses o 3 líneas de colectivo, ¿de cuántas maneras distintas puede efectuar el viaje?

E=

• Descomponiendo adecuadamente:

Ii. PRINCIPIOS FUNDAMENTALES DE CONTEO

¡importante!

20! × 21 × 22 + 20! × 21 + 20! 4 × 20! × 112 20! (21 × 22 + 21 + 1) Agrupando • : E= y simplificando 4 × 20! × 112 E=

( m + 9 )! ( m + 5 )! 5 3 Reduce: ( m + 4 )! ( m + 10 )! + m + 10

…1

Estrategia

Simplificando 26 × 25! × 12! = 2 : y efectuando 13 × 12! × 25!

• Descomponiendo en términos de 20!:

• 3! = 1 × 2 × 3 = 6

Se definen:

26 × 25! × 12! 13 × 12! × 25!

22! + 21! + 20! 2 Halla el valor de E, si: E = 4 × 20! × 112

• 1! = 1

¡IMPORTANTE!

26! × 12! 1 Reduce: 13! × 25!

5 Juan, se refresca tomando solo una bebida helada, luego de un partido de fulbito. Si tiene a disposición 5 tipos de gaseosas y 4 tipos de jugos, ¿de cuántas maneras se podrá refrescar?

Como toma solo una bebida, esta podría ser gaseosa o jugo, entonces:

N.° de maneras = 5 + 4 = 9

gaseosa jugo


45

Estrategia

q Principio de multiplicación Si un evento A puede ocurrir de m maneras diferentes y después de ocurrido dicho evento, otro evento B puede ocurrir de n maneras diferentes, entonces ambos eventos podrán ocurrir de m × n maneras.

• Analiza si los eventos son o no excluyentes. • Observa si uno puede ocurrir primero y luego el otro.

6 Para ir a una fiesta, dispongo de 4 camisas de diferentes colores y 3 pantalones de diferentes colores. ¿De cuántas maneras diferentes me podré vestir? • Una camisa se puede usar con cualquiera de los tres pantalones, luego con las 4 camisas me podré vestir de:

N.° de maneras = 4 × 3 = 12

7 Para ir del Rímac al Cercado, puedo emplear 5 rutas diferentes y para ir del Cercado a Jesús María puedo emplear 4 rutas diferentes. ¿De cuántas maneras diferentes podré ir del Rímac a Jesús María, pasando por el Cercado?

Camisas

1 2 3 4

a

• Si por cada camino para ir del Rímac al Cercado puedo tomar 5 caminos para ir a Jesús María, el total de maneras en que podré realizar el trayecto serán:

b c

Pantalones

IIi. VARIACIONES (V)

Son los diferentes grupos que se pueden formar con m elementos, tomados de n en n, de tal manera que cada grupo se diferencia de otro por lo menos en un elemento, o por el orden en el cual se han dispuesto dichos elementos. Sean los elementos a, b y c, las variaciones de estos elementos tomados de dos en dos, serán: • Considerando la diferencia de por lo menos un elemento: ab, ac, bc. • Considerando el orden de los elementos: ba, ca, cb. • Entonces el total de variaciones será 6. • Número de variaciones de m elementos tom mados de n en n: V n = m! (m - n)!

N.° de maneras: 5 × 4 = 20

IV. PERMUTACIONES (P)

Son los diferentes grupos que se pueden formar con todos los elementos que presenta cierto conjunto, de tal manera que cada grupo se diferencia de otro solamente en el orden en el que se ubican los elementos.

Sean los elementos a, b y c, las permutaciones de estos elementos serán: abc, acb, bac, bca, cab y cba.

Número de permutaciones de n elementos:

Sean los alumnos a, b, c, d y e; tenemos: 1.° a b c d e a

2.° b c d e a c

3.° c d e a b b

Pn = n! 9 ¿De cuántas maneras diferentes se podrán estacionar 4 automóviles en el borde de una acera, si están en el mismo sentido y uno a continuación del otro?

Estrategia • Observa si el orden de los elementos en los grupos genera nuevos grupos. Estrategia • Como solo se trata de 4 automóviles, el orden en el que se estacionen genera las diferentes posibilidades, es decir, solo intercambiando las posiciones de los automóviles generamos las diferentes maneras de estacionar, entonces estamos ante una permutación.

• Observa si el orden de los elementos 8 Cinco alumnos participan en una carrera. en los gruposmaneras genera nuevos ¿De cuántas podrángrupos. ocupar los tres primeros lugares? • Como el orden de ubicación de los tres alumnos que pueden llegar en los primeros lugares es importante, estamos ante una variación de 5 elementos tomados de 3 en 3. • Entonces: 5 5! = 5! = 5 × 4 × 3 × 2! = 60 V3 = 2! (5 - 3)! 2!

¡importante!

P4 = 4! = 1 × 2 × 3 × 4 = 24

NOTITA Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n. Son los diferentes grupos que pueden formarse con m elementos dados, tomados de n en n, en los que pueden aparecer elementos repetidos. m

VR n = m n


46

Alfonso Rojas Puémape

IV.1. PERMUTACIONES CIRCULARES (PC)

E!

¡IMPORTANT

Una forma muy sencilla para determinar las diferentes permutaciones es ubicar un elemento (cualesquiera) y un sentido alrededor del círculo y a partir de dicho elemento calculamos el número de permutaciones.

a

d

a

c

a

d

b

c

b

d

c

b

a

b

a

c

a

b

c

d

d

b

d

c

Entonces el total de permutaciones serán 6. Número de permutaciones circulares de n elementos: PC n = (n – 1)!

Son aquellos grupos formados por cierto número de elementos, entre los cuales algunos son iguales.

Sean los elementos a, que se repiten 3 veces, y b que se repiten 2 veces, las permutaciones serán: aaabb, aabab, aabba, abaab, ababa, abbaa, baaab, baaba, babaa, bbaaa

n

Como los autos son del mismo modelo, solo se diferencian en el color: 3 autos blancos, 4 autos negros.

10 ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar alrededor de una mesa redonda 5 miembros de una familia? • Como se trata de ubicar a las mismas personas alrededor de una mesa redonda, estamos ante una permutación circular.

PC 5 = (5 - 1)! = 4! = 24

11 ¿De cuántas maneras diferentes puedo ubicar, en el borde de una acera, 7 autos del mismo modelo, si 3 son blancos y el resto de color negro, y están estacionados en un mismo sentido y uno a continuación del otro? • Como se van a estacionar solo los 7 autos y algunos de estos son de igual color, estamos ante una permutación con repetición:

Número de permutaciones de n elementos, de los cuales algunos se repiten cierto número de veces (x, y, z, … veces). P x;y;z =

¡ATENCIóN!

Como se trata de un reordenamiento de los mismos elementos alrededor de una superficie circular, tomamos a uno de los elementos como punto de referencia.

Sean los elementos a, b, c y d, las permutaciones circulares de los mismos alrededor de un círculo serán:

IV.2. PERMUTACIONES CON REPETICIÓN

Estrategia

Son aquellos grupos formados sobre una línea cerrada, donde no hay primer ni último elemento.

7

7! = 7 × 6 × 5 × 4! 3! × 4! 1 × 2 × 3 × 4!

P 3;4 =

P 3;4 = 35

7

n! x! × y! × z!

IV.3. PERMUTACIONES CON ELEMENTOS FIJOS

Son aquellos grupos formados por cierto número de elementos, entre los cuales algunos ocupan lugares fijos.

Sean los elementos a, b, c, d y e, donde a y b ocupan lugares fijos, las permutaciones serán: abcde, abced, abecd abedc, abdac, abdca

Número de permutaciones de n elementos con k elementos fijos: PnFk = (n – k)!

12 ¿De cuántas maneras diferentes puedo ubicar en una fila a 6 alumnos, si los dos primeros deben ser respectivamente el delegado y el presidente del aula? • Como los dos primeros tendrán un lugar fijo, los que se pueden intercambiar son los restantes, así:

Fijos

Se pueden intercambiar

P6F2 = (6 - 2)! = 4! = 24


47

V. COMBINACIONES (C)

Son los diferentes grupos que se pueden formar con m elementos tomados de n en n, de tal manera que dos grupos se diferencien entre sí, al menos en un elemento. No se toma en cuenta el orden en el que están ubicados los elementos.

13 Clara debe hacer la tarea de historia referente a 3 temas diferentes. Si el profesor le da para escoger 5 temas, ¿de cuántas maneras podrá escoger dichos temas? • Observamos que solo se requiere determinar cuáles son los temas que se van a emplear, mas no el orden, entonces estamos ante una combinación:

Sean los elementos a, b y c, las combinaciones de estos elementos tomados de dos en dos serán: ab, ac, bc.

Entonces el total de combinaciones será 3.

Número de combinaciones de m elementos, tomados de n en n: m m! Cn = n!(m - n)!

VI. COMBINACIONES CON REPETICIÓN (CR)

Son los diferentes grupos que se pueden formar con m elementos, tomados de n en n, en los que pueden aparecer elementos repetidos, de modo que dos grupos se diferencien entre sí, cuando al menos un elemento sea diferente.

Sean los elementos a, b y c, las combinaciones con repetición de estos elementos tomados de dos en dos serán:

aa, ab, ac, bb, bc, cc.

Entonces, el total de combinaciones con repetición será 6.

Número de combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n:

5

5! 3!(5 - 3)!

5

5 × 4 × 3! = 10 3! × 1 × 2

C3 =

C3 =

¡importante! La combinación también se denomina NÚMERO COMBINATORIO.

14 ¿Cuántos productos diferentes, cada uno de tres factores, se podrán determinar con las cifras: 3; 4; 6 y 8?

m

Cn =

m n

Número combinatorio

• Como deben ser 3 factores donde algunos o todos ellos se podrán repetir y puesto que el orden de los factores no altera el producto, estamos ante una combinación con repetición: 4

4+3-1

6

CR 3 = C 3

= C3

• Efectuando:

6

C3 =

m+n-1

m

6

C3 =

6! 3!(6 - 3)! 6 × 5 × 4 × 3! = 20 3! × 1 × 2 × 3

CR n = C n

¡importante! VII. PROPIEDADES DE LAS COMBINACIONES m

m

m+1

• C n + C n + 1 = C n + 1 m

• C n =

m m-1 n Cn-1

m

m

m Cn

m Cp

=

…2 …3

⇒ n=p ∨ n+p=m …4

n

11 12 - 1 12 5 × × C 5-1 = C4 5 12

n

35

35

C 35 - 32 = C 3 = 6545 7

8

7

• Halla x, en: C x = C 5

8

8+1

Por propiedad 1 : C 4

9

= C 4 = 126

n

• C0 = 1 • Cn = 1

Por propiedad 3 :

• C1 = n n

• Efectúa: C 32

Ejemplos: • Efectúa: C 3 + C 4

Combinatorias notables:

35

• C n = C m-n •

…1

12 • Reduce: 5 C 5 12 Por propiedad 2 :

Por propiedad 4 : x =

5

o

2

x +5 = 7 ⇒ x =

• Cn - 1 = n


48

Alfonso Rojas Puémape

MáS RESUELTOS 12! 11! 1 Efectúa: 11! - 10! Resolvemos: • Expresamos los factoriales de los numeradores en términos del denominador: = 12 × 11! − 11 × 10! 11! 10! • Reducimos y efectuamos:

Resolvemos: • Como los cortes son diferentes, son eventos excluyentes, entonces aplicamos el principio de adición:

N.° de cortes = 2 + 3 + 4 + 5 = 14 cortes

Propiedad: n! = n.(n - 1)!

2 Halla n, en:

[(2n − 1)!]! = 720

Resolvemos: • Dando forma de factorial al número: [(2n − 1)!]! = 720 [(2n − 1)!]! = 6! • Entonces se cumple que: (2n − 1)! = 6 = 3! ⇒ 2n − 1 = 3 n=2 • Luego, el valor de n será: 2 . (a − 5)!(a + 4)! 3 Efectúa: (a + 3)!(a − 4)! - 1

a+4 -1= 8 a-4 a−4

Buzos:

Zapatillas:

da por un presidente, un secretario y un vocal. Si hay 8 personas para formar la directiva, ¿cuántas juntas directivas diferentes se podrán formar?

33! = 33 × 32! 33! = 33 × 32 × 31! 33! = 33 × 32 × 31× 30!

Resolvemos: • Dando forma a los factoriales y reduciendo: 7 × 10! × 20! × 7! × 33 × 32 × 31 × 30! 31 × 30! × 8 × 7! × 21 × 20! × 11 × 10! 7 × 33 × 32 = 4 8 × 21 × 11 5 Mi hermana visita cuatro peluquerías en las que realizan respectivamente 2, 3, 4 y 5 diferentes cortes de cabello. ¿De cuántas maneras distintas se podrá cortar el cabello mi hermana?

N.° de maneras = 5 × 7 × 2 = 70 7 Una junta directiva debe estar conforma-

× × × × 4 Reduce: 31 30! 8! 21! 11! × × × ×

Gorras:

7 10! 20! 7! 33!

Aplicando la propiedad del factorial, estos se pueden descomponer de manera sucesiva.

Resolvemos: • Con un modelo de buzo puede usar cualquiera de los pares de zapatillas que tiene y con un par de zapatillas puede usar cualquiera de las gorras, en consecuencia, el total de maneras de vestir se calculará aplicando el principio de multiplicación:

Resolvemos: • Empleando propiedad: (a − 5)!(a + 4)(a + 3)! - 1 (a + 3)!(a − 4)(a − 5)!

¡IMPORTANTE!

diferentes modelos, 7 pares de zapatillas de diferentes colores y 2 gorras de diferentes modelos. ¿De cuántas maneras se podrá vestir Raúl para ir de paseo?

= 12 − 11 = 1

¡RECUERDA!

6 Raúl tiene, para ir de paseo, 5 buzos de

Resolvemos: • Solo 3 personas pueden ocupar estos cargos, además el orden de las personas en cada grupo determina directivas diferentes, luego estamos ante una variación. • Calculando el número de variaciones de 8 elementos, tomados de 3 en 3: V 83 =

8! 8 7 6 5 = × × × ! = 336 (8 - 3)! 5!

8 Se disponen de 7 jugadores de básquet

para formar un equipo, ocupando 5 posiciones diferentes en el campo. ¿Cuántos equipos diferentes se podrán formar, si los 2 defensas son siempre los mismos, en dichas posiciones?


49

Resolvemos: • Como los dos defensas son los mismos, las demás posiciones solo podrán ser ocupadas por los demás jugadores, y como el orden o disposición en el campo determinan los diferentes equipos, estamos ante una variación con elementos fijos. • Calculando las variaciones de 7 elementos tomados de 5 en 5 con 2 elementos fijos, tenemos: V 75 F2 = V 75 -- 22 = V 53

• Efectuando: 5! 5 4 3 2 V 53 = = × × × ! = 60 (5 - 3)! 2! 9 ¿Cuántos numerales de tres cifras se pue-

den formar con los dígitos 1, 3, 4, 5 y 7?

Resolvemos: • El orden que ocupan las tres cifras determina los diferentes números, pero como estos se pueden repetir, estamos ante una variación con repetición. • Calculamos la variación con repetición de 5 elementos tomados de 3 en 3: VR 53 = 53 = 125 números

12 ¿De cuántas maneras diferentes puedo

ubicar en un estante 9 libros, uno a continuación de otro, si 4 son de matemáticas, 3 son de razonamiento matemático y 2 son de química?

Resolvemos: • Como todos los libros se colocarán uno a continuación del otro y algunos se repiten, estamos ante una permutación con repetición. • Calculando el número de permutaciones de 9 elementos con 4, 3 y 2 elementos repetidos: 9! 9 P 4;3;2 = 4! × 3! × 2! 9 8 7 6 5 4! = × × × × × 4! × 1 × 2 × 3 × 1 × 2 = 1260

P7 = 7! = 5040

PC6 = (6 - 1)! = 5! = 120

P6F2 = P(6 -2) = P4 = 4! = 24

14 Un campeonato de fulbito se realiza entre

6 equipos. ¿Cuántos partidos se deberán efectuar para que jueguen todos contra todos?

tar alrededor de una mesa circular los 6 miembros de una familia?

Resolvemos: • Ya que se trata de una mesa circular y los elementos son los mismos, estamos ante una permutación circular. • Calculando una permutación circular para 6 elementos:

Resolvemos: • Solo habrá un intercambio de posiciones, excepto en aquellas posiciones fijas para ciertos jugadores, entonces estamos ante una permutación con elementos fijos. • Calculando el número de permutaciones de los elementos, considerando 2 elementos fijos:

11 ¿De cuántas maneras se podrán sen-

V mn Fx = V mn -- xx

drán distribuir 6 jugadores en un campo de fulbito, si el arquero y el mediocampista son siempre los mismos?

nomía conformada por 7 miembros, se solicita hacer uso de la palabra. ¿De cuántas formas diferentes podrán hacer uso de la palabra todos los miembros de la comisión?

Resolvemos: • Como todos los miembros de la comisión deben hacer uso de la palabra, los grupos se diferencian solo en el orden en el que se presentan, luego estamos ante una Permutación. • Calculando la permutación de 7 elementos:

Variaciones con elementos fijos. Si en una variación de m elementos tomados de n en n, hay x elementos fijos, el número de variaciones será:

13 ¿De cuántas maneras diferentes se po-

10 En una reunión de la Comisión de Eco-

¡IMPORTANTE!

Resolvemos: • Como juegan todos contra todos, el orden no es importante para la formación de los partidos, además, en un partido solo participan 2 equipos, luego, estamos ante una COMBINACIÓN. • Calculando el número de combinaciones de 6 elementos tomados de 2 en 2: 6! 6 5 4 C 62 = = × × ! 1 2!(6 - 2)! × 2 × 4! • Entonces: C 62 =

30 = 15 2

¡RECUERDA!

Forma práctica Para determinar la cantidad de números que se pueden formar con cierta cantidad de cifras, tenemos: a b ↓ ↓ m m n n p p 5 q q 6 r r s ↓ ↓ 5 × 6 = 30 números


50

Alfonso Rojas Puémape

M á S p ro p uestos 18! + 25! 1 Efectúa: 24!

Rpta.: 43

15! - 14! 2 Efectúa:

Rpta.: 196

36! × 17! 3 Efectúa:

Rpta.: 2

17!

13!

18! × 35!

(2n + 7)!(3n - 7)! 4 Simplifica: ( ) (3n - 8)! 2n + 8 !

PISTA 1 n!=n(n- 1)!

5 Simplifica:

Rpta.: 3n - 7 2n + 8

90 × 4! × 11! × 29! 6! × 8! × 30! × 99

Rpta.: 1

(n + 1)!(n + 3)! 6 Simplifica: n

(n+8)!=(n+8)(n+7)!

7 Si: (3x + 1)! = 5040, halla x.

Rpta.: 2

8 Si: (x! + 1)! = 6, halla x.

Rpta.: 2

Rpta.: n + 1 n+4

9 Hay 4 empresas que me pueden llevar al

Cuzco y 5 empresas que me pueden llevar a Cajamarca. ¿De cuántas maneras podría efectuar un viaje, comprando un pasaje en estas empresas? Rpta.: 9

10 Sabiendo que hay 3 candidatos para director y 5 candidatos para subdirector, ¿de cuántas maneras se puede elegir estos cargos? Rpta.: 15 11 Una persona desea viajar a Trujillo y tiene a

disposición 4 líneas aéreas y 7 líneas terrestres. ¿De cuántas maneras podrá viajar dicha persona a Trujillo? Rpta.: 11

PISTA 15

m

Vn =

m! (m - n)!

o también m

V n = m(m-1)(m-2) ...(m-n+1)

¿De cuántas maneras diferentes podrán llegar los tres primeros a la meta, si no hay empates? Rpta.: 120

16 Se dispone de 9 jugadores de fulbito para

formar un equipo de 6 jugadores que ocupen diferentes posiciones en el campo. ¿Cuántos equipos diferentes se podrían formar? Rpta.: 60 480

17 Los códigos de unos libros de matemática

(n-3)!=(n-3)(n-4)!

(n + 4)! !

15 En una carrera participan 6 corredores.

12 Un estudiante desea comprar un libro de

razonamiento matemático, el que se vende solamente en tres distritos: en Ate hay 4 librerías, en Lince hay 8 librerías y en Breña hay 6 librerías. ¿De cuántas maneras podrá adquirir dicho libro? Rpta.: 18

13 ¿De cuántas maneras diferentes se puede

seleccionar una vocal y una consonante de las letras de la palabra MURCIÉLAGO? Rpta.: 25

14 Si se arrojan sobre una mesa dos dados

de colores diferentes, ¿cuántos puntos diferentes se podrán obtener? Rpta.: 36

están determinados por 5 letras. Si se dispone de las letras A, F, K, L, M y R, ¿cuántos códigos diferentes se podrían formar si las dos primeras letras deben ser siempre L y M, respectivamente? Rpta.: 24

18 Para una actuación se deben formar en

una fila 3 alumnos. Si se dispone de 8 alumnos para estas formaciones, donde el primero deberá ser siempre el delegado de dicho grupo, ¿cuántas posibles formaciones se podrán generar? Rpta.: 42

19 ¿Cuántos números de cuatro cifras se po-

drán formar con las cifras 1, 3, 5, 7 y 9? Rpta.: 625

20 ¿Cuántos números de cinco cifras se pue-

den formar con los digitos 0, 1, 2 y 5? Rpta.: 768

21 ¿Cuántos números pares de 5 cifras ma-

yores que 49 999, se pueden formar con los digitos 0, 3, 4, 6, 8 y 9? Rpta.: 2592

22 En una carrera de autos participan 8 au-

tos. ¿De cuántas maneras distintas podrán cruzar la meta, uno a continuación de otro? Rpta.: 40 320

23 En una reunión de directorio, se ubican

alrededor de una mesa circular, el presidente, el vicepresidente y 5 gerentes. ¿De cuántas maneras se podrán ubicar? Rpta.: 720

24 ¿De cuántas maneras distintas se podrán

colocar en una línea recta 3 chapas de gaseosa A, 4 de gaseosa B y 5 de gaseosa C? Rpta.: 27 720


51

25 ¿De cuántas maneras se podrán dibujar

en la pizarra, uno a continuación de otro, 8 cuadrados y 5 triángulos? Rpta.: 1287

37 En el estante de una bodega hay 6 bo-

tellas de aceite Prinor, 6 de aceite Chef y 6 de aceite Copri. Un cliente compró tres botellas de aceite. ¿De cuántas maneras diferentes pudo comprar las tres botellas? Rpta.: 1140

26 En una fila constituida por 9 soldados, el

primero es el sargento, el segundo es el cabo y el resto son soldados rasos. ¿De cuántas maneras se les podrán formar? Rpta.: 5040

38 Determina el valor de A, en: 7

27 En una fila de 6 butacas, en un cine, se

ubican 6 amigos. ¿De cuántas maneras diferentes se podrán ubicar? Rpta.: 720

28 ¿De cuántas maneras pueden ubicarse,

alrededor de una fogata, cuatro parejas de enamorados, de modo que cada pareja permanezca junta, intercalándose un hombre y una mujer? Rpta.: 6

29 Un edificio de 10 pisos va a ser ocupa-

do por 10 familias, una en cada piso. Si el primero, cuarto y sexto piso ya fueron adjudicados a tres de estas familias, ¿de cuántas maneras diferentes se ubicarán las demás? Rpta.: 5040

30 Con cinco pesas de 1; 2; 4; 8 y 16 gramos, ¿cuántos pesos diferentes se podrán determinar, tomándolas de 4 en 4? Rpta.: 5 31 En una juguería se dispone de seis frutas

diferentes. Si se toman tres frutas diferentes, ¿cuántos jugos se podrán preparar? Rpta.: 20

32 Un grupo de 12 obreros desea escoger,

entre ellos, un comité de 3 personas que los represente ante los dueños. ¿De cuántas formas distintas se podrá seleccionar dicho comité? Rpta.: 220

33 En un torneo de tenis, se clasificaron 8

jugadores. Si ahora juegan todos contra todos, ¿cuántos juegos se deberán realizar? Rpta.: 28

34 ¿Cuántas fichas tiene un juego de dominó?

Rpta.: 28

35 En una pastelería se venden 5 tipos diferen-

tes de pasteles. ¿De cuántas maneras se pueden escoger 3 pasteles? Rpta.: 35

36 ¿Cuántas sumas diferentes, de tres su-

mandos, se pueden obtener con los números 1; 2; 3; 4; 5; 6 y 7? Rpta.: 84

7

8

39 Halla el valor de B, en:

B=

15 C 12

+

15 C 13

+

m

16 C 14

+

17 C 15

18 C 16

+ Rpta.: 969

40 Calcula el valor de E, en: 28

PISTA 30

9

A = C3 + C4 + C5 + C6 Rpta.: 210

E=

28

29

o también m

Rpta.: 3

x

m(m - 1)...(m - n+1) 1.2.3...n

x

41 Halla el valor de x: 2C 6 = 3C 5

Rpta.: 14 x

x

x C4

x C3

C4 + C3

42 Determina el valor de x, en:

-

=4 3

Rpta.: 31

43 Halla la suma de los valores de x, en:

18

18

19

C x + C x+1 = C 9 2x

PISTA 34

Rpta.: 17 2x

44 Calcula el valor de x, si: C 5 + C 6 = C

m! (m-n)! . n!

Cn =

28

4C 25 + 5C 3 + 9C 26 3C 26

Cn =

2x+1 x

Rpta.: 6

45 Un club deportivo identifica a los socios

mediante un carnet, en el cual se indica una letra del abecedario y luego dos dígitos. ¿Cuántas personas podrían asociarse, como máximo, a dicho club? Rpta.: 2700 46 Cuatro amigas se ubican en una fila de 9 butacas vacías. ¿De cuántas maneras diferentes lo podrán hacer? Rpta.: 3024

Las fichas de dominó empiezan con y terminan en

47 Un estudiante rendirá un examen de 12

preguntas, de las cuales solo debe responder 10. Si las 5 primeras preguntas son de carácter obligatorio, ¿de cuántas maneras podrá elegir las demás preguntas? Rpta.: 21

48 En una fila se pueden ubicar a 4 mujeres

y 3 hombres, de tal manera que los hombres ocupen los lugares pares de tal fila. ¿De cuántas maneras se podrá formar dicha fila? Rpta.: 144

PISTA 38

n

n

n+ 1

Ca + Ca+ 1 = Ca + 1 n

n

Ca = Cn- a


52

Alfonso Rojas Puémape

control 1 Reduce:

5

4 Para una obra teatral se han presentado

80! × 39! + 29! × 60! 79! × 40! 30! × 59!

0,5

9 hombres y 8 mujeres, los que ocuparán los papeles principales (Rey y Reina) de la obra. ¿De cuántas maneras el director podrá escoger a dicha pareja?

PISTA 1 Recuerda que: a! = a(a - 1)!

¡Resuelve aquí!

2 Halla el valor de x, en:

x!(x! - 3) = 18 x! + 4

5 En una banca para 5 personas, ¿de cuán-

tas formas diferentes se podrán ubicar a 5 personas?

PISTA 4 Podemos aplicar el principio de multiplicación.

3 En una biblioteca hay 52 libros distintos

PISTA 6 Si de un grupo de elementos, podemos determinar distintos arreglos cambiando el orden de los mismos, estamos ante una variación.

de matemáticas y 48 libros distintos de razonamiento matemático. ¿De cuántas formas distintas un estudiante podrá escoger un libro de cualquiera de estas dos asignaturas?

6 ¿Cuántos números de cuatro cifras di-

ferentes se pueden formar con los dígitos 1, 3, 5, 6, 7 y 9?


53 Relacionando la teoría adecuada, con la información del problema, podremos elaborar procesos simples de solución.

7 ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden

formar con los dígitos 2, 3, 4, 5 y 8?

10 Al término de una reunión, hubo 28 estre-

chadas de mano. Suponiendo que cada uno de los participantes fue cortés con los demás, ¿cuál es el número de personas que asistió a dicha reunión?

PISTA 7 El orden genera los números, pero algunos elementos se pueden repetir.

8 ¿Cuántos equipos diferentes de balon-

cesto se pueden conformar con 9 estudiantes preseleccionados?

11 Sabiendo que el número de combinacio-

nes de n objetos, tomados de 3 en 3, es al número de variaciones de los mismos elementos, tomados de 2 en 2, como 1 es a 2, halla el valor de n.

PISTA 9 Observa que los 8 estudiantes pueden pedir lo mismo.

12 Para trabajar en un centro de investiga-

11) 5

5) 120

10) 8

4) 72

9) 330

3) 100

8) 126

2) 4

7) 625

1) 2

COMPRUEBA

ción se presentaron 5 físicos, 7 químicos y 6 matemáticos. Si dicho grupo debe estar conformado por 3 físicos, 4 químicos y 3 matemáticos, ¿de cuántas maneras diferentes se podría hacer dicha elección?

12) 7000

a la hora del recreo, donde cada uno puede escoger entre un pan con pollo, un pan con hot dog, una hamburguesa y un sándwich mixto. ¿Cuántos pedidos diferentes podrán hacer?

6) 360

9 Ocho alumnos se reúnen en la cafetería


54

Alfonso Rojas Puémape

c á l c ulo r á p id o MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS QUE TERMINAN EN 5 ... cuando la suma de las decenas es par

¡ATENCIÓN!

1. Se compraron 1132 losetas y al colocarlas en un piso de forma rectangular, se pueden contar 15 losetas a lo ancho y 75 a lo largo. ¿Cuántas losetas sobran?

Resolvemos: • Para saber cuántas losetas se colocaron, solo multiplicamos mentalmente así:

Solo para números de dos cifras.

7 ×1 = 7 7 5× 1 5

=

(7 + 1) : 2 = 4

1125 +

¡Compruébalo! Respondemos: Como se emplearon 1125 losetas y se compraron 1132, entonces sobran: 1132 – 1125 = 7 losetas Otro ejemplo: 35 × 75 = ...25 Con las decenas: 3 × 7 = 21 26 y (3 + 7) : 2 = 5

Luego: 35 × 75 = 2625

¡CUIDADO! Aquí la suma de las cifras de decenas es un número par.

2 Un comerciante compró 45 camisas a

3 En una fábrica de plásticos, una de las

4 Pablo solicitó un préstamo de S/. 2000 a

5 Juan compró un refrigerador a S/. 1200

6 Una secretaria demora 35 minutos en di-

7 En una pared, 25 azulejos cubren una su-

S/. 25 cada una y las vendió todas en un día, obteniendo como ganancia S/. 2000. ¿Cuál fue el total del dinero obtenido al final del día, por la venta?

un banco. La devolución del dinero se hacía en 35 meses y las cuotas eran de S/. 95 cada una. ¿Cuánto dinero pagó en total por intereses?

máquinas llamada molino o demoledora trabaja a 55 gramos por minuto. Si durante 35 minutos se fue la electricidad y ninguna máquina pudo continuar trabajando, ¿cuál es la cantidad que dejó de producir dicha máquina?

que pagó en cuotas de S/. 75 cada una durante 15 meses. Si hubiera pagado al contado, ¿cuánto habría ahorrado?

NOTITA En este tipo de multiplicaciones, el resultado siempre termina en: 25.

gitar un informe. Si cierto día debe digitar 15 informes y solo trabaja 8 horas diarias, ¿cuántos minutos de sobretiempo deberá emplear?

perficie de 1m2 de área. Si por colocar cada azulejo cobran S/.1, ¿cuánto cobrarán por colocar 65m2 de azulejos?


55

El cálculo rápido es un buen aliado cuando rendimos exámenes.

MULTIPLICACIÓN DE NÚMEROS QUE TERMINAN EN 5 ... cuando la suma de las decenas es impar

8. Un industrial compra como insumo un mineral, que se vende en bolsas de 65 kg cada una. Si compra 75 bolsas y cada kg le cuesta $ 10, ¿cuál es el costo de esta inversión?

Resolvemos: • Solo tenemos que multiplicar 75 bolsas por 65 kg que contiene cada una, así: 6 × 7 = 42

6 5× 7 5 (6 + 7) : 2 = 6,5 Parte entera:

¡CUIDADO!

= 4875 +

6

Solo para números de dos cifras.

Respondemos: El total de kg comprados es 4875 y como cada kg cuesta $ 10, entonces la inversión será: $ 48 750. 45 × 55 = ...75 4 × 5 = 20 24 y (4 + 5) : 2 = 4,5

Otro ejemplo: Con las decenas:

Luego: 45 × 55 = 2475

Tomamos: 4 ¡ATENCIÓN!

9 Un bote realiza paseos para turistas en

10 Un bus de la empresa Cruz del Este con-

11 Las entradas a un concierto costarán

12 Una empresa paga a los colaboradores

13 En un avión viajan 150 pasajeros y cada

14 Una botella de lubricante para auto con-

un lago. Si en un bote caben 25 personas y al final del día el bote hizo 35 paseos, ¿cuántas personas subieron al bote en el día?

S/. 25 cada una. Si asistieron 5500 personas y además por el alquiler de almohadas recaudaron S/. 600, ¿cuánto fue lo recaudado en total?

uno pagó $ 85. Si por impuestos pagan el 10% de la recaudación, ¿cuánto pagan de impuestos?

sume 45 galones de combustible cada mes. Si el precio de un galón es de S/. 15, ¿cuánto dinero se gasta en combustible para un bus durante 10 meses?

Aquí, la suma de las cifras de las decenas es impar.

S/. 35 por hora. Si trabajan 85 colaboradores en dicha empresa y se trabaja 10 horas al día, ¿cuánto dinero invirtió la empresa en el pago de dicho personal?

tiene 2,5 litros de aceite y tiene un costo de S/. 10 el litro. Si en un grifo se ha vendido 55 de estas botellas, ¿cuánto se ha recaudado?

NOTITA En este tipo de multiplicaciones el resultado siempre termina en 75.


Alfonso Rojas Puémape

3

Tema

56

Probabilidades

CONCEPTOS PREVIOS r Experimento aleatorio

Llamado también fenómeno casual o fortuito, es aquel que no obedece a leyes específicas, por el contrario, depende plenamente del azar.

Ejemplos: (1) El tipo de carta que resulta al extraer una, de una baraja. (2) Los puntos que se obtienen al lanzar un dado. (3) La superficie que se obtiene al lanzar una moneda.

¡ATENCIÓN! • Todo subconjunto de E que presenta un solo elemento se denomina suceso o evento elemental. • Cada posible resultado de un experimento aleatorio se denomina PUNTO MUESTRAL o MUESTRA.

r Espacio muestral (E)

Es el conjunto de todos los posibles resultados que presenta un determinado experimento aleatorio. Ejemplos: (1) Extraer una carta de una baraja. E = {13 espadas; 13 corazones; 13 tréboles; 13 diamantes}

r Suceso o evento (S)

Dado un experimento aleatorio, cuyo espacio muestral es E, cualquier subconjunto de E se denomina suceso o evento. Ejemplos: (1) Si extraemos una carta de una baraja, se puede obtener un 7 de espadas. • El espacio muestral será: E = {13 espadas; 13 corazones; 13 tréboles; 13 diamantes} • Suceso: S1 = {7 de espadas} ⇒ n(S1) = 1

r Sucesos compatibles e incompatibles

¡IMPORTANTE! • Un suceso que consta de todos los puntos muestrales de un espacio muestral se denomina SUCESO SEGURO. • Un suceso que no presenta puntos muestrales en un espacio muestral se denomina suceso IMPOSIBLE.

Dos sucesos se denominan compatibles cuando pueden suceder de manera simultánea, y se denominan incompatibles cuando no pueden suceder de manera simultánea. Ejemplo: Al extraer de una baraja una carta, el suceso S1 = {una J} y el suceso S2 = {una carta de

r Sucesos dependientes e independientes

Sean dos sucesos, si el primero no influye en el segundo, puesto que no altera las condiciones iniciales, dichos eventos se denominan independientes, mientras que si el primero influye en el otro, puesto que altera las condiciones iniciales, entonces estos sucesos se denominan dependientes. Ejemplo: En una bolsa hay 10 caramelos de diferentes sabores. Luego: S1 = {extraer un caramelo de manzana} S2 = {extraer un caramelo de menta}

⇒ n(E) = 52 donde: n(E): número de elementos del espacio muestral. (2) Lanzar un dado sobre una mesa: E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} ⇒ n(E) = 6 (3) Lanzar una moneda sobre una mesa: E = {cara, sello} ⇒ n(E) = 2 (2) Si lanzamos un dado sobre una mesa se puede obtener 4. • El espacio muestral será: E = {1; 2; 3; 4; 5; 6} • Suceso: S2 = {4} ⇒ n(S2) = 1 (3) Si lanzamos una moneda sobre una mesa, se puede obtener un sello. • El espacio muestral será: E = {cara; sello} • Suceso: S3 = {sello} ⇒ n(S3) = 1

corazones}, son compatibles, ya que el suceso elemental {una J} cumple con las dos condiciones de los sucesos simultáneamente. Si tomamos un suceso S3 = {un as}, este será incompatible con el suceso S1, puesto que de ninguna forma una carta podrá cumplir simultáneamente con ambas condiciones, y respecto al suceso S2 es compatible.

• Si luego del suceso S1 se extrae un caramelo, respecto al suceso S2 el espacio muestral ha variado (se ha reducido en un elemento), por lo tanto, S1 y S2 se denominan sucesos dependientes. • Si luego del suceso S1, se extrae un caramelo y luego se devuelve a la bolsa, respecto al suceso S2, el espacio muestral no ha variado, en consecuencia los sucesos S1 y S2 se denominan independientes.


57

PROBABILIDAD DE UN SUCESO

Dado un experimento aleatorio, la probabilidad de que un suceso S ocurra, se podrá considerar como el cociente entre el número de casos favorables (N.° de sucesos elementales) y el número de casos posibles (N.° de elementos del espacio muestral).

P(S) =

N.° de sucesos elementales de S N.° de elementos del espacio muestral

Según Pierre Laplace, se define la probabilidad: P(S) =

N.° de casos favorables N.° de casos posibles

Veamos algunos ejemplos:

1 Al arrojar una moneda sobre una mesa, ¿cuál

2 Al lanzar un dado al suelo, ¿cuál es la probabi-

es la probabilidad de obtener una cara?

lidad de obtener un puntaje que sea múltiplo de 3?

• Al arrojar la moneda podemos obtener una de sus dos superficies (cara o sello), entonces:

¡ATENCIÓN!

• Sabemos que un dado tiene 6 caras (6 puntajes diferentes), entonces: • Casos favorables: {3; 6} ⇒ n(CF) = 2

• Número de casos favorables: n(CF) • Número de casos posibles: n(CP)

• Casos favorables: {cara} ⇒ n(CF) = 1 • Casos posibles: {cara; sello} ⇒ n(CP) = 2 • Luego: P(S) =

• Casos posibles: {1; 2; 3; 4; 5; 6} ⇒ n(CP) = 6

1 2

• Luego: P(S) =

• Donde:

r Diagrama de árbol

Es un procedimiento que se usa para determinar todas las posibilidades lógicas de ocurrencia de un suceso. Ejemplo:

3 Al arrojar 3 monedas al suelo, ¿cuál es la probabilidad de que resulten 3 superficies iguales?

• Aplicamos el diagrama de árbol:

Cara: C

1 2 = 3 6

Sello: S

1.° moneda 2.° moneda 3.° moneda C (C, C, C) C S (C, C, S) C C (C, S, C) S S (C, S, S) C (S, C, C) C S (S, C, S) S C (S, S, C) S S (S, S, S)

E=

(C, C, C,); (C, C, S); (C, S, C); (C, S, S); (S, C, C); (S, C, S); (S, S, C); (S, S, S)

• Entonces:

Casos favorables: {(C, C, C) ; (S, S, S)} ⇒ n(CF) = 2

Casos posibles: E ⇒ n(CP) = 8 • Luego: P(S) =

1 2 = 4 8

¿A qué porcentaje representa la fracción que obtuvimos?

¡IMPORTANTE! La probabilidad también se puede expresar como un porcentaje, así: 1 2

×

100% = 50%


58

Alfonso Rojas Puémape

MáS RESUELTOS 1 Al arrojar 2 monedas sobre una mesa,

• Luego: P =

¿cuál es la probabilidad de obtener al menos un sello?

4 Al extraer una carta de un juego de nai-

¡ATENCIÓN!

Cuando se lanzan dos dados se pueden obtener los siguientes puntos: +

1

2

3

4

5

6

1

2

3

4

5

6

7

2

3

4

5

6

7

8

3

4

5

6

7

8

9

4

5

6

7

8

9 10

5

6

7

8

9 10 11

6

7

8

9 10 11 12

Resolvemos: • Como en cada resultado debe haber como mínimo un sello, esto significa que pueden haber más y cumplir con la condición. • Empleamos un diagrama de árbol: 1.° mon. 2.° mon. C S

C

(C, C)

S

(C, S)

C

(S, C)

S

(S, S)

• Luego: P(S) = 3

4

Resolvemos: • Se trata de dos sucesos incompatibles, pues la ocurrencia de uno excluye la del otro. • Calculamos la probabilidad para cada caso: 4 1 P(obtener J) = = 52 13 4 1 P(obtener Q) = = 52 13 1 1 • Luego: P = + = 2 13 13 13 5 Al extraer una carta de una baraja y al

casos favorables

=

casos posibles

-

casos no favorables

= 36 - 18 = 18 18 • Luego: P(S) = = 1 36 2

¡ATENCIÓN!

arrojar al suelo un dado, ¿cuál es la probabilidad de obtener una espada y un número impar en el dado?

Resolvemos: • Si el resultado no es par, entonces será impar. • Al analizar los resultados que se pueden obtener (36 posibilidades), tenemos: casos posibles = 36

Resolvemos: • Se trata de dos sucesos independientes, ya que la ocurrencia de uno no influye en la del siguiente. • Calculamos la probabilidad en cada caso: 13 1 P(obtener una espada) = = 52 4 3 1 P(obtener un N.° impar) = = 6 2 1 1 • Luego: P = × = 1 4 2 8 6 En el cajón de una cómoda hay 8 cami-

3 De una baraja se extrae una carta. ¿Cuál

sas blancas y 2 camisas azules. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una por una, dos camisas, ambas sean azules?

es la probabilidad de obtener un as o un corazón?

Por ser S1 y S2 sucesos incompatibles, además: S1 ∩ S2 = ∅ tenemos: P(S1 ∪ S2) = P(S1) + P(S2)

¿cuál es la probabilidad de que el puntaje obtenido no sea un número par?

Probabilidad de sucesos incompatibles.

pes, ¿cuál es la probabilidad de obtener una J o una Q?

2 Si se arrojan dos dados sobre una mesa,

Resolvemos: • Observamos que se trata de dos sucesos compatibles, que pueden ocurrir simultáneamente; es decir, al sacar un as este también puede ser a la vez un corazón. • Calculamos la probabilidad para cada caso: 1 4 = P(obtener un as) = 52 13 13 1 P(obtener un corazón) = = 52 4 1 P(obtener un as de corazones) = 52

1 1 1 + − = 4 13 4 52 13

• • •

Resolvemos: Nos damos cuenta de que son dos sucesos dependientes, ya que al sacar una camisa, el número de las que están en la cómoda disminuye; es decir, un suceso influye en el siguiente. Calculamos la probabilidad 2 1 para la primera camisa: P1 = = 10 5 Como, ahora quedan 1 en el cajón 9 camisas, tenemos: P2 = 9 1 1 Luego: P = × = 1 5 9 45


59

M á S p ro p uestos 1 En un salón estudian 30 alumnos, de los

cuales 12 tienen 16 años; 10 tienen 17 años y el resto 18. Si se escoge un alumno para representar al salón, ¿cuál es la probabilidad de que dicho estudiante sea mayor de edad? Rpta.: 4 / 15

2 Sobre una mesa se tienen las fichas de

un juego de dominó. ¿Cuál es la probabilidad de que al voltear una de tales fichas se obtenga un número de puntos mayor que 8 o que sea un múltiplo de 4? Rpta.: 3 / 7

3 De un juego de cartas se extrae una.

¿Cuál es la probabilidad de que sea una de tréboles? Rpta.: 1 / 4

4 En una carrera a campo traviesa participan

24 deportistas. Si solo los tres primeros recibirán medallas, ¿cuál es la probabilidad de que uno de los participantes pueda obtener medalla? Rpta.: 1 / 8

5 Se lanzan dos dados sobre una mesa,

¿cuál es la probabilidad de obtener un puntaje total de 9. Rpta.: 1 / 9

6 Para un partido de vóley se han reunido

18 alumnas. Si durante el partido se han realizado 3 cambios, ¿cuál es la probabilidad de que juegue una alumna en dicho partido? Rpta.: 1 / 2

cambiados durante dicho encuentro, ¿cuál es la probabilidad que tiene un seleccionado de no jugar? Rpta.: 7 / 20 12 Un alumno rinde un examen, cuya nota

es de 0 a 20. ¿Cuál es la probabilidad de que el alumno no obtenga una nota desaprobatoria? Rpta.: 10 / 21

13 En una caja hay 50 vasos. Si los rotos exce-

Probabilidad de sucesos compatibles.

14 Al arrojar dos dados sobre una mesa,

Aplicando el teorema de Morgan: Por ser S1 y S2 sucesos compatibles, además: S1 ∩ S 2 ≠ ∅

den a los que están en buen estado en 8, ¿cuál es la probabilidad de sacar de la caja un vaso que no esté en buen estado? Rpta.: 29 / 50

¿cuál es la probabilidad de que el puntaje obtenido sea 7 u 11? Rpta.: 2 / 9

15 En una caja hay 10 bolas amarillas, 4

bolas rojas y 6 bolas verdes. Al extraer una bola de la caja, ¿cuál es la probabilidad de obtener una bola roja o una bola amarilla? Rpta.:7 / 10

¿cuál es la probabilidad de que no se obtengan figuras iguales? Rpta.: 3 / 4

11 Si de 20 futbolistas seleccionados para

disputar un encuentro, dos de ellos son

- P(S1 ∩ S2)

es la probabilidad de obtener una K o un trébol? Rpta.: 4 / 13

19 Se arroja dos veces una misma moneda

10 Al arrojar tres monedas sobre una mesa,

P(S1) + P(S2)

17 Al extraer una carta de una baraja, ¿cuál

8 De 30 personas que viajan a Huaraz, 8 son

9 Al extraer una carta de una baraja, ¿cuál es la probabilidad de obtener una carta que no sea 10? Rpta.: 12 / 13

P(S1 ∪ S2) =

¿cuál es la probabilidad de obtener un puntaje impar o múltiplo de 5? Rpta.: 7 / 12

18 ¿Cuál es la probabilidad de obtener sello

de Ica, 10 son de Tacna y el resto de Lima. ¿Cuál es la probabilidad de que uno de los viajeros no sea de Tacna? Rpta.: 2 / 3

Tenemos:

16 Al arrojar dos dados sobre una mesa,

7 En una urna hay 40 bolas rojas y 20 bolas

negras. Si se extrae una, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea negra? Rpta.: 1 / 3

PISTA 15

y 6 en el lanzamiento simultáneo de una moneda y un dado? Rpta.: 1 / 12 sobre una mesa. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 veces cara? Rpta.: 1 / 4

20 Se extraen dos cartas de forma consecu-

tiva, de un juego de naipes. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas cartas sean tréboles? Rpta.: 1 / 17

21 En un recipiente hay 8 chocolates con

maní y 12 chocolates con pasas; si extraemos 2 de los chocolates, uno a continuación del otro, ¿cuál es la probabilidad de obtener uno de cada tipo? Rpta.: 24 / 95

PISTA 18 Probabilidad de sucesos independientes. P = P(S1) × P(S2)


60

Alfonso Rojas Puémape

control 1 Para un partido de fútbol se han convoca-

do a 18 jugadores. Si durante dicho partido se han realizado tres cambios, ¿cuál es la probabilidad de que uno de los convocados juegue en dicho partido?

6

4 ¿Cuál es la probabilidad de extraer una

carta de diamantes, de una baraja?

PISTA 1 En un equipo de fútbol juegan 11 jugadores.

¡Resuelve aquí!

2 Al lanzar una moneda tres veces en for-

5 Se lanzan simultáneamente un dado y

3 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar

6 ¿Cuál es la probabilidad de obtener 9 o 10

ma consecutiva, ¿cuál es la probabilidad de obtener dos caras?

una moneda. ¿Cuál es la probabilidad de obtener una cara y un número par?

PISTA 4

Una baraja contiene 52 cartas o naipes.

un dado sobre una mesa, resulte un número mayor que 2?

PISTA 6 Observamos que los sucesos indicados son incompatibles.

al arrojar dos dados simultáneamente?


61 Esfuerza el pensamiento, y obtendrás posibles formas de resolución de los problemas.

7 En una bolsa se han colocado 50 bolas

numeradas correlativamente desde el 1. ¿Cuál es la probabilidad de que al extraer una, esta represente un número par o múltiplo de 7?

10 En una urna hay 15 bolas y 25 dados.

¿Cuál es la probabilidad de que al extraer dos objetos, estos sean diferentes?

PISTA 7 Consideramos que algunos números múltiplos de 7 son pares.

8 Se extraen tres cartas de un juego de

naipes, en forma consecutiva. ¿Cuál es la probabilidad de que se obtengan solamente diamantes?

11 Al arrojar dos dados, uno negro y otro

blanco, ¿cuál es la probabilidad de obtener un número impar en el dado negro o un número par en el dado blanco?

PISTA 9 Utilizamos el diagrama de árbol para identificar los casos favorables. 12 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar

tres dados simultáneamente se obtengan puntos pares y diferentes?

12) 1/36 10) 25/52

4) 1/4

5) 1/4 3) 2/3 2) 1)

7/9 3/8

11) 3/4

9) 1/4

8) 11/850

7) 29/50

COMPRUEBA

¿Cuál es la probabilidad de que se obtengan 3 caras y un sello?

6) 7/36

9 Se arrojan cuatro monedas al suelo.


62

Alfonso Rojas Puémape

matemática recreati va 1. ¡SUMAS PARA PENSAR!

Escribe los números del 1 al 16, teniendo en cuenta que la suma de los números escritos en una horizontal, vertical o diagonal sumen 34.

= 34 = 34 = 34 = 34 = 34

= 34

= 34

= 34

= 34

= 34

2. ¡EQUISUMAS!

1+

+

Escribe los números del 1 al 9, en los círculos pequeños, de modo que la suma en cada diámetro del círculo mayor, sea la misma.

=? ¡Resuelve aquí!


63

3. Podemos alcanzar el infinito ...

¿Cuál es el valor de E?

Infinitos radicales

4. En equilibrio todo es mejor A comer frutas ...

En el mercado, el precio de las frutas se establece de acuerdo al peso. Dos naranjas pesan tanto como tres manzanas y dos manzanas pesan tanto como dos duraznos.

Si tengo para comprar cinco duraznos, con ese dinero, ¿cuántas naranjas podré comprar?


64

Alfonso Rojas Puémape

a utoe v a lu a c ió n Acumulativo parcial

a) 16 b) 18 c) 20 d) 21 e) 22

a) 60 b) 50 c) 66 d) 45 e) 55 22 ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener, al reemplazar los digitos {1; 2; 3; 4}, en:

a) 80 b) 90 c) 100 d) 110 e) 120

9

10

11

12

13

14

a) 13 b) 72 c) 48 d) 36 e) 18

a) 98 b) 96 c) 80 d) 64 e) 60

15 Rubén y Julia, en su aniversario, gustan de ir al cine, luego a cenar o a bailar, y luego a pasear a algún lugar romántico. Si en la ciudad hay 6 cib 15

b 16

b 17

c 18

b 19

d 20

e 21

a) 20 b) 30 c) 40 d) 50 e) 60 14 ¿Cuántos números de 3 cifras pueden formarse con los dígitos 0, 1, 3, 5 y 7?

e) 12

21 En una circunferencia se marcan 11 puntos. ¿Cuántos segmentos, que tengan por extremos dichos puntos, se pueden trazar?

de modo que en cada casillero solo haya una cifra?

8

7 Se debe formar una comisión de tres profesionales: un abogado, un ingeniero y un contador. ¿Cuántas posibilidades de formar dicha comisión hay, si se cuentan con 3 abogados, 4 ingenieros y 6 contadores?

a) 24 b) 36 c) 48 d) 54 e) 63

a) 12 b) 11 c) 10 d) 9

7

b) 15 c) 21 d) 9

20 ¿Cuántos numerales de 3 cifras significativas pueden formarse con los dígitos no impares del sistema decimal?

13 ¿Cuántos números de 3 cifras diferentes pueden formarse con los dígitos 2, 5, 6, 7 y 9?

a) 7

6

6 Un total de 153 estrechadas de mano se efectuaron al final de una fiesta. Si cada participante fue cortés con los demás, el número de personas eran:

5

b) 12 c) 16 d) 20 e) 24

4

c) 3 / 15

c

b) 1/ 15 e) 2 / 3

a) 8

19 Con tres banderas de diferente color, ¿cuántas señales se pueden realizar izándolas en un asta?

a) 128 b) 136 c) 142 d) 168 e) 172

e

a) 1/ 2 d) 1/ 3

12 En una playa hay cinco parejas de enamorados, ¿de cuántas maneras diferentes puede ubicarse, cada pareja, alrededor de una fogata, de modo que los hombres y mujeres queden alternados?

5 En una urna hay 10 bolas rojas y 5 bolas azules. Si se extrae una al azar, ¿cuál es la probabilidad de que esta sea azul?

c) 10 d) 12 e) 5

3

a) 40 b) 45 c) 42 d) 41 e) 43

b) 6

e) 8

2

c

11 ¿Cuántos números de tres cifras distintas, todas significativas, tienen un 7 en su escritura?

a) 3

18 ¿Cuántos números de dos digitos, pueden obtenerse con los números primos de una cifra?

a) 14 b) 56 c) 28 d) 64 e) 112

d

4 De un juego de naipes, ¿cuántos hay que extraer como mínimo, para tener la certeza de haber obtenido tres espadas y dos tréboles?

1

c

c) 48

10 En la expresión E = x + y, los valores de x e y solo pueden ser números primos menores que 20. ¿Cuántos resultados diferentes pueden obtenerse?

a) 28 b) 56 c) 72 d) 50 e) 29 17 Para ir al poblado de Conchán en Cajamarca, puedo utilizar un caballo, una moto o un camión que transporta ovejas. ¿De cuántas formas podré ir y regresar, si al volver debo hacerlo en un medio de transporte distinto al que utilicé en la ida?

a) 180 b) 185 c) 165 d) 175 e) 160

a

b) 24 e) 72

b

a) 120 d) 144

16 Un equipo de básquet está conformado por 5 jugadores. Si hay 8 jugadores, ¿cuántos equipos de básquet se podrán formar?

c) 5 / 16

b

b) 3 / 16 e) 2 / 16

9 Lorenzo tiene 7 pantalones, 6 camisas y 5 pares de zapatos, todos de diferentes colores entre sí. ¿De cuántas maneras puede vestirse, si la camisa blanca siempre la usa con el pantalón azul?

a) 41 b) 39 c) 42 d) 40 e) 38 3 ¿De cuántas maneras, 5 parejas de esposos se pueden ubicar en una mesa circular, si en ningún momento las parejas estarán separadas y se intercalan un hombre y una mujer?

a) 1/ 16 d) 7/ 16

b

a) 150 b) 162 c) 172 d) 182 e) 190

d

2 Un grupo de 235 personas van a elegir un representante. Si se presentan 6 candidatos para el puesto, ¿cuál es el menor número de votos que puede obtener uno de ellos y obtener así más que cualesquiera de los otros 5?

c

a) 35 b) 21 c) 70 d) 210 e) 215

b

nes, 4 buenos restaurantes, 5 discotecas y 3 lugares de paseo, ¿cuántas posibilidades de elección tienen?

8 Si tengo dos dados en forma de tetraedro (ambos con las caras numeradas a partir del 1), ¿cuál es la probabilidad de que la suma de las caras inferiores sea un número mayor que 6?

d

1 En una carrera participan 7 atletas. ¿De cuántas formas pueden ser ocupados los tres primeros lugares, si no hay empates?

d

Nivel I

d 22


65

Acumulativo parcial

a) 1000 d) 630

b) 900 e) 504

c) 720

14 ¿Cuántas palabras de 10 letras (con o sin significado) se pueden escribir utilizando solo las letras c y o?

c) 5 6

a) 10! d) 512

c) 9

d) 10 e) 11

a) 27 b) 30 c) 33 d) 24 e) 36

a) 128 d) 360

b) 132 e) 180

c) 140

21 ¿Cuántos numerales de la forma a(2a)b b , se pueden obtener, en el 3 sistema decimal?

a) 12 b) 20 c) 16 d) 24 e) 25 22 En una circunferencia se marcan los puntos A, B, C, D, E, F, G y H. ¿De cuántas formas se pueden obtener polígonos, cuyos vértices sean estos puntos?

b) 20 c) 1024 e) Falta información

15 ¿Cuántos números impares de cuatro cifras se pueden formar con las cifras 1; 2; 3; 5; 7; 8 y 9?

b) 8

20 Tengo 3 pares de zapatos de diferentes modelos, 4 pantalones, 5 camisas y 6 polos. Si todas las prendas son combinables, ¿de cuántas formas me puedo vestir?

a) 144 b) 72 c) 66 d) 132 e) 108 13 ¿Cuántos números de tres cifras diferentes se pueden formar con las cifras significativas del sistema decimal?

c) S/. 145

19 Una farmacia tiene 8 locales y 90 empleados trabajando en ellos. Si ningún local tiene menos de 9 empleados ni más de 12, ¿cuál es el menor número de empleados que pueden haber en 3 locales?

c) 288

12 En una bolsa hay 12 fichas numeradas del 1 al 12 y se van a extraer dos, una por una. ¿Cuántos resultados diferentes se pueden obtener?

a) 7

a) 219 d) 222

7

b) 3024 e) 729

b) S/. 150 e) S/. 130

18 El número 2575 se expresa como la suma de 3 números de 3 cifras diferentes cada uno. Si uno de ellos es el menor posible, halla la suma de sus cifras.

6

a) 9! d) 1260

a) S/. 155 d) S/. 140

b) 220 e) 223

5

b) 17 100 720 d) 30!

4

a) 120 c) 142 506 e) Faltan datos

8

e 9

c 10

d 11

d 12

e 13

c 14

c 15

c 16

c 17

a 18

b 19

b 20

c 21

d) 10 e) 13

c) 221

3

c) 1 4

b) 4 13 11 e) 52

c) 9

b

a) 5 12 d) 11 36

17 Clara le da a su hija Maite S/. 5 de propina, cada viernes, S/. 10 cada sábado y S/. 15 cada domingo. ¿Cuál es la máxima cantidad de dinero que podría recibir en un mes de 30 días?

11 ¿De cuántas maneras distintas pueden colocarse en una línea recta 4 bolas blancas, 3 amarillas y 2 azules?

7 ¿Cuál es la probabilidad de obtener al menos un 5, al arrojar dos dados sobre una mesa?

b) 8

a) 14 b) 29 c) 40 d) 51 e) 13

2

6 Considerando a una gestante, ¿cuál es la probabilidad de que el bebé nazca varón y mediante cesárea?

a) 6

10 En una clase de 30 alumnos se formará una comisión conformada por 5 de estos alumnos. ¿De cuántas maneras se podrá formar esta comisión?

5 ¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar dos dados sobre una mesa se obtengan puntajes diferentes y la suma de estos sea un número par? b) 2 c) 3 a) 1 5 10 3 2 5 e) d) 3 6

b) 2 3 1 e) 6

1

4 De un juego de naipes se extrae una carta. ¿Cuál es la probabilidad de que esta sea mayor que 7 y de color rojo? b) 5 c) 7 a) 3 26 52 13 e) 7 d) 4 26 13

a) 1 2 d) 3 4

c) 7 50

9 ¿De cuántas maneras diferentes pueden llegar a la meta 3 automóviles en una carrera de autos?

b) 19 c) 13 d) 17 e) 3

3 En una urna hay 8 bolas, 3 de color verde y 5 de color amarillo. Si se extraen dos al mismo tiempo, ¿cuál es la probabilidad de que haya una de cada color? b) 9 c) 7 a) 7 16 12 15 15 12 e) d) 28 25

b) 21 100 17 e) 75

d

a) 9

a) 21 50 d) 7 100

c

c) 1715

16 De un juego de cartas, ¿cuántas cartas se deben extraer al azar, como mínimo, para tener la seguridad de haber obtenido una carta de diamantes?

a

2 En un baúl hay 6 pares de zapatos negros, 8 pares de zapatos marrones y 4 pares de zapatos azules. ¿Cuántos zapatos se deben extraer del baúl, como mínimo, para tener la certeza de haber obtenido un par de zapatos usables del mismo color?

b) 2058 e) 1575

a

a) 45 b) 36 c) 27 d) 23 e) 19

a) 2401 d) 1372

e

b

8 En un accidente, el 38% de las personas resultó con heridas en las piernas, 56% con heridas en los brazos y 15% con heridas en ambos lugares. ¿Cuál es la probabilidad de elegir a una persona de dicho accidente, pero que esté ilesa?

1 ¿Cuántos alumnos, como mínimo, se requieren para formar 9 filas de 5 alumnos en cada fila?

e

Nivel II

a 22


66

Alfonso Rojas Puémape

Acumulativo parcial

7 Diego tiene en un baúl, 4 pares de zapatos, 5 pares de zapatillas y 3 pares de sandalias, entreverados. Si presta un par de zapatillas a su hermano, ¿cuántas extracciones, al azar, debe realizar como mínimo, para estar seguro de poder usar cualquier tipo de calzado, excepto sandalias?

10 Una esfera grande contiene 24 esferas medianas; a la vez, cada esfera mediana, o bien contiene 15 esferas pequeñas o está vacía. Si cada esfera pequeña está vacía y se han contado en total 19 esferas llenas, ¿cuántas están vacías?

a) 30 × 10!

b) 32 × 8!

d) 32 × 9!

e) 20 × 10!

5 Calcula el valor de a, si: 2 2 . 1! + 32. 2! + 4 2 . 3! + ... 4! ... + 25 2. 24! = a! 2 . 3!

b) 3 /2162 e) 7 /2124

c) 3 /5

6 Julio dispara al blanco y lo derriba 3 veces cada 7 tiros, mientras que Martín lo derriba 4 veces cada 9 tiros. Si ambos disparan al mismo tiempo, a sus respectivos blancos, calcula la

a) 16 b) 17 c) 18 d) 20 e) 21 17 Un club de fútbol está recibiendo jóvenes para las divisiones menores. A la prueba se presentaron 3 arqueros, 4 defensas, 5 volantes y 1 centro delantero. ¿De cuántas maneras se les podrá ordenar en una fila, de tal manera que los que jueguen en el mismo puesto, siempre estén juntos?

12 Una pareja de esposos van de campamento con sus 4 hijos (2 hombres y 2 mujeres), al anochecer encienden una fogata y se sientan alrededor de ella. Determina la probabilidad de que los hijos hombres se sienten junto a la madre.

a) 24 b) 25 c) 26 d) 27 e) 28

c) 30 × 7!

16 En una urna hay 9 bolas negras, 7 blancas y 6 rojas. Si Miguel le pide a su papá que saque 3 bolas de cada color y además 2 rojas más. Determina, cuántas extracciones al azar y sin reposición, debe realizar como mínimo el papá de Miguel, para estar seguro de satisfacer a su hijo.

b) 140 c) 158 d) 270 e) 276

a) 4 /2161 d) 2 /3

c) 1100

11 De una baraja de 48 naipes (no están los ases), se extraen 3 cartas al azar. ¿Cuál es la probabilidad de sacar 2 onces y un trece?

a) 34 b) 35 c) 36 d) 38 e) 39

a) 0,1 b) 0,2 c) 0,3 d) 0,4 e) 0,5 13 En uno de los extremos de un río se encuentran Saúl, su gato, un peque-

6

7

b 8

c 9

e 10

b 11

a) 6

b) 1260 e) 1015

a) 20 × 3!2 × 4!2

b) 3! × 4!2 × 5!

c) 10 × 3!

d) 4! × 5!

e) 3! × 5!

5

a) 1250 d) 1050

4

c) 53 / 105

e) 6

15 Un bus transportará 12 pasajeros. Este cuenta con 4 asientos individuales en el lado izquierdo y 5 asientos para dos en el lado derecho, siendo uno de los asientos para dos, reservado. Sabiendo que Jaime será ubicado en el lado izquierdo, y Edison y María se sentarán juntos en el lado derecho, ¿de cuántas maneras se puede ubicar a los pasajeros?

a) 1 / 5 b) 1 /7 c) 6 /7 d) 4 /5 e) 3 /5

4 En una caja hay 78 cubitos de madera del mismo color y tamaño; pero, de ellos, 3 son más pesados que los otros. Si se tiene una balanza que compara el peso de solo dos cubitos a la vez, determina el número mínimo de pesadas que se deben realizar, para encontrar uno de los cubitos más pesados.

a) 360 b) 300 c) 240 d) 100 e) 60

d

d) 55 / 104 e) 27 / 52

a

a) 51 / 105 b) 53 / 103

b) 10 c) 15 d) 19 e) 22

9 José, Leslie, Tania, Melissa, Yuli, Silvia y Noelia van al cine y se sientan en una fila para 7 personas. ¿Cuál es la probabilidad de que José, Melissa y Yuli no se sienten juntos?

3 En un salón de clases hay 9 hombres y 6 mujeres, de los cuales se van a escoger dos delegados. Si Edgardo y Zoila no se llevan bien, por lo cual no pueden ser delegados a la vez, ¿cuál es la probabilidad de que los delegados sean de sexos diferentes?

c) 10 d) 8

3

b) 7

14 En un salón estudian 7 hombres y 9 mujeres. El profesor desea formar un equipo que represente al salón y esté formado por 2 mujeres y 3 hombres. Si en el aula hay un grupo de trillizos (dos mujeres y un hombre) y en el equipo no puede haber parientes, ¿de cuántas maneras podrá el profesor formar el equipo?

8 ¿Cuántos números impares de 6 cifras existen, tal que el producto de sus cifras sea 210?

a) 13 b) 14 c) 15 d) 16 e) 17

a) 5

a) 5

2

1

c) 37! /33!

2 En una urna hay 6 bolitas numeradas del 1 al 6. Julián extrae las bolitas de 2 en 2, reponiéndolas y verificando que un mismo par de bolitas no salga más de una vez. ¿Cuántas extracciones diferentes, como mínimo, debe realizar Julián para tener la certeza de que con los números de las bolitas que extrae, se pueda formar un número mayor que 65?

c) 4 /63

c

b) 37! /34! e) 27! /10!

b) 7 /9 e) 55 /63

e

a) 37! d) 27!

a) 43 /63 d) 4 /21

c

ño ratón y un molde de queso grande. Saúl piensa cruzar en una canoa y además debe vigilar que el gato no se coma al ratón, ni este al queso. ¿Cuántos viajes como mínimo debe realizar Saúl, si él conduce siempre la canoa?

probabilidad de que un blanco haya sido derribado.

d

1 Melina olvidó la contraseña de su correo electrónico. Solo recuerda que está compuesta por 4 caracteres (dígitos y/o letras) diferentes. ¿Cuántos intentos, como máximo, debe realizar, para recuperar su contraseña? (Tener en cuenta que el abecedario consta de 27 letras).

c

Nivel III

a 12

b 13

e 14

d 15

e 16

a 17


67

Acumulativo total

7 Jesús tiene en su cajón 12 pares de medias nuevas, 7 pares blancas y el resto de pares negras. Si desea regalar a su hermano 3 pares de medias negras y 2 pares de medias blancas, ¿cuántas extracciones al azar, media por media, debe realizar Jesús, como mínimo, para estar seguro de haber formado su regalo? a) 12 b) 13 c) 14 d) 18 e) 20

12

11

c) 840 m

2 3

b 8

4 7

6 La clave de la caja fuerte del señor Rodríguez consta de 5 dígitos diferentes, donde el primer número no es cero. Si una persona desea abrirla, ¿cuántos intentos fallidos como máximo tendrá que realizar? 9! 9! a) b) 9 × -1 c) 4! × 9! -1 5! 5! 9! -1 d) 9! × 5! e) 9 × 4!

1

α

9

1 min 3 1 b) 6h 57 min 2 1 c) 6h 56 min 3 1 d) 6h 56 min 2 1 e) 6h 55 min 2

a) 6h 55

10

6

5

a) 18 km d) 27 km

b) 21 km e) 30 km

c) 24 km

15 La compañía de telefonía móvil “Celustar”, contrató un empleado para que active las líneas de celulares. ¿Cuántas líneas como máximo podrá activar el empleado, si el número de cada celular tiene 9 dígitos, donde el primero siempre es 9 y el segundo puede ser 1, 2, 6, 7 o 9?

10 Determina la hora que marca el reloj, si se sabe que α - b = 7,25°.

a) 5 × 108 b) 4 × 107 c) 5 × 107 d) 4 × 106 e) 6 × 108

16 Una urna contiene 15 bolillas numeradas del 1 al 15. Las seis primeras son rojas, las tres siguientes verdes y las restantes azules. Determina la probabilidad de que al extraer 3 bolillas al azar, salgan de distintos colores y la suma de los números sea par.

11 Luis, Juan, Diego y Federico desean escuchar una clase de electrónica que se dictará en los 3 locales de dicha facultad. Cada local tiene 6 aulas y cada aula 15 carpetas, para 6 personas cada una. ¿De cuántas

a) 1 /455 d) 54 /455

6

e 7

c 8

b 9

d 10

b) 900 m e) 720 m

( ) e) a + b d m a+c

b

a) 960 m d) 780 m

5

b)

4

5 Luis para ir de su casa al colegio camina a razón de 36 m/min y cuando regresa, a razón de 30 m/min. Si en ir y venir ha empleado 44 minutos, ¿cuál es la distancia que hay de su casa al colegio?

a)

c) 730

14 Roberto quiere llegar puntual al trabajo, así que sale de su casa a una velocidad de 36 km / h, pero cierto día, cuando aún le faltaban recorrer los 5 / 6 de su trayecto, duplica su velocidad llegando a su trabajo con una anticipación de 16 minutos 40 segundos. ¿Cuál es la distancia que hay de su casa al trabajo?

(a + c) d m a+b (a - d) c d) m b-a

(a + d) c m a+c ( ) c) a + b c m a+d

b) 732 e) 360

b) 27 /455 e) 72 /455

3

4 ¿A qué hora, entre las 4 y las 5, las manecillas de un reloj están superpuestas? 3 7 b) 4h 20 min a) 4h 19 min 11 11 7 9 c) 4h 21 min d) 4h 21 min 11 11 e) 4h 21min

a) 733 d) 365

c) 53 /455

2

a) 41 b) 42 c) 43 d) 50 e) 53

1

3 En una caja hay 13 cuadraditos, 5 triángulos, 8 círculos, 10 rectángulos, 4 trapecios y 7 rombos. ¿Cuál es el menor número de objetos que se deben sacar para tener la seguridad de haber extraído 3 grupos diferentes de 6 objetos del mismo tipo?

c) 3240

13 ¿Cuántas personas, como mínimo, deben reunirse, para asegurar que estén presentes un par y un trío de personas cuyos cumpleaños se celebran el mismo día?

c) 10912

9 Un bus parte de un punto A, con una velocidad de c m / s y la mantiene constante. En ese mismo instante, al interior del bus, desde sus extremos parten dos personas con velocidades a y b m / s respecto del bus. Si en el instante de la partida, el que se mueve con a m / s está a la altura del punto A, ¿ a qué distancia de A se encuentran las personas, si la longitud del bus es d metros?

a) 13 b) 15 c) 14 d) 17 e) 16

b) 10160 e) 11924

e

a)10120 d) 11912

b) 6420 e) 3500

a) 21 /4495 b) 20 /899 c) 4 /899 d) 19 /4495 e) 22 /4495

d

a) 6400 d) 6480

12 El primer día de cierto mes caerá lunes, además dicho mes tiene 31 días. Determina la probabilidad de que, al escoger 3 días de dicho mes, estos resulten ser consecutivos y de la misma semana.

8 De 20 relojes, 12 son defectuosos. ¿De cuántas maneras podemos elegir 5 relojes, de tal manera que, al menos hayan 3 defectuosos?

2 En una bolsa hay 19 papelitos enumerados del 1 al 19. De ellos, los 6 primeros son verdes y el resto, rojos. ¿Cuántas extracciones al azar, se deben realizar, para tener la seguridad de obtener 2 papelitos de diferente color, que sumen 19?

c

maneras pueden ubicarse juntos en una carpeta, de tal manera que Juan y Diego estén siempre en el medio?

c

1 En una urna hay m bolillas numeradas de 1 hasta m, donde las primeras son blancas y el resto negras. Si la tercera parte de las bolillas son blancas, determina la probabilidad de extraer 2 bolillas de distinto color, que sumen m + 1. m! 2m 3 a) 2(m+1) b) m(m-1) c) 3m! 2 3 d) 3(m-1) e) 2(m-1)

d

Nivel IV

c 11

a 12

a 13

c 14

c 15

d 16


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Razonamiento Matemático_secundaria_5  

Educación secundaria Editorial Tercer Milenio

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