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Vector: Cantidad que está totalmente definida por su magnitud dirección y sentido. Se representa geométricamente es un segmento dirigido. Este segmento dirigido está delimitado por un punto inicial y uno final.

P

A

O


 Cualquier vector R se puede expresar como una combinación lineal única de tres vectores    dados no nulos, A, B y C , y no todos paralelos al mismo plano:     R = α A + β B + γC

donde α, β y γ son coeficientes escalares únicos.

γC

R

R

γC

βB

αA

βB

γC

βB →

αA


En particular, si los vectores Aˆ, Bˆ y Cˆ son unitarios, también se puede encontrar cualquier vector en el espacio  ˆ + βB ˆ + γCˆ R = αA

R

γC

βB ∧

αA


Sin pérdida de generalidad, tres vectores unitario pueden ser perpendiculares. Y pueden definir tres rectas mutuamente perpendiculares que se corten en un punto. z

k

i

y

j

x

Las rectas forman un sistema de coordenadas cartesiano tridimensional. Cuyos ejes están definidos por tres vectores unitarios que forman una base canónica.


Entonces, de manera semejante al caso bidimensional, para tres dimensiones se encuentra  que un vector en tres dimensiones r = xˆi + yˆj + zkˆ , tiene coordenadas rectangulares (x, y, z) z

 ˆ ˆ ˆ r = xi + yj + zk = ( x, y, z ) ∧

k

i

x

j

y


z

z →

r=xi+yj+zk=(x, y, z)

y y

x

rp=xi+yj=(x, y)

x


Ejemplo 1: Trazar el vector: A=3i+2j+5k

z

5 →

A=3i+2j+5k

2

3

y

Ap=3i+2j

x


Ejemplo 2: Trazar el vector: B=-5i-4j+3k

z

B=-5i-4j+3k →

Bp=-5i-4j

-5 3

y -4

x


∧ ∧ ∧

Ejemplo 3: Trazar el vector: C=-7i-6j-5k

z →

Cp=-5i-4j

-7

C

y -6

-5 x


∧ ∧ ∧

Ejemplo 4: Trazar el vector: D=-5i+4j-6k z

Dp=-5i+4j -5

4

y →

D

x

-6


z

z

Coordenadas Cilíndricas

r=(x, y, z)

=(rp, ϕ, z) =(r, θ , ϕ) Coordenadas Esféricas

θ y

y

ϕ x →

rp=(x, y)

=(rp, ϕ)

Coordenadas polares x


Relaciones entre las coordenadas rectangulares (x, y, z) y las cilíndricas (rp, ϕ,z) z

x = rp cos ϕ

z Rp

rp = x 2 + y 2

y = rp sen ϕ

 y ϕ = arctan  x

x = rp cos ϕ

rp = x 2 + y 2

y = rp sen ϕ

 y ϕ = arctan  x z=z

r z y

ϕ

rp

x

0 ≤ ϕ ≤ 2π x

y

z=z


∧ ∧ ∧

Ejemplo 4a: Trazar el vector: D=-5i+4j-6k z

rp = x 2 + y 2

 y ϕ = arctan  x z=z

Dp=-5i+4j -5

4 →

D=-5i ∧ ∧ ∧ +4j-6k

x

-6

y


Relaciones entre las coordenadas rectangulares (x, y, z) y las esféricas (r, θ , ϕ) z

z

x = rp cos ϕ

rp = x 2 + y 2

y = rp sen ϕ

 y ϕ = arctan  x

rp

z = r cos θ

θ

0≤θ≤π

rp = r sen θ

r y

ϕ

x = r sen θ cos ϕ 0 ≤ ϕ ≤ 2π

x

 rp θ = arctan  z

   

y

rp

x

r = rp2 + z 2

y = r sen θ sen ϕ z = r cos θ

r = x2 + y2 + z2  x2 + y2 θ = arctan z    y ϕ = arctan  x

   


z

( x, y , z )

z rp

x = rp cos ϕ

rp = x 2 + y 2

y = rp sen ϕ

 y ϕ = arctan  x z=z

z=z

θ

0≤θ≤π

r y

ϕ

y

( x, y , z )

( r, θ, ϕ)

r = x2 + y2 + z2

0 ≤ ϕ ≤ 2π

( x, y )

rp

x

x

( rp , ϕ, z )

x = r sen θ cos ϕ

( rp , ϕ)

x = rp cos ϕ

rp = x 2 + y 2

y = rp sen ϕ

 y ϕ = arctan  x

y = r sen θ sen ϕ z = r cos θ

 x2 + y2 θ = arctan z    y ϕ = arctan  x

   


Ejemplo 5: Encuentre las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas del vector →

A=3i+2j+5k Coordenadas cilíndricas A p = 32 + 2 2 = 13 = 3.6 2 ϕ = arctan  = 33.7º 3 z =5

 A = ( 3.6, 33.7º , 5)

Coordenadas esféricas A = 32 + 2 2 + 5 2 = 38 = 6.2  32 + 2 2   13     = 35.8º θ = arctan = arctan     5  5    2 ϕ = arctan  = 33.7º 3

 A = ( 6.2, 35.8º , 33.7 º )


Ejemplo 6: Encuentre las coordenadas cilíndricas y las coordenadas esféricas del vector →

B=-5i-4j+3k Coordenadas cilíndricas Bp =

( − 5) 2 + ( − 4 ) 2

= 41 = 6.4

−4 ϕ = arctan  = 218.7º − 5   z =3

 B = ( 6.4, 218.7º , 3)

Coordenadas esféricas B=

( − 5) 2 + ( − 4 ) 2 + 3 2

  θ = arctan  

= 50 = 7.1

( − 5) 2 + ( − 4 ) 2 3

−4 ϕ = arctan  = 218.7º − 5  

  41     = 64.9º = arctan   3    

 B = ( 7.1, 64.9º , 218.7 º )


Ángulos directores Un vector forma ángulos con los ejes del sistema de referencia, tanto en dos dimensiones. z

como en tres

y

r

r

β

α

γ

x

α

x

β

y


Cosenos directores (2D)

y →

r

y

β

α x

x

cos α =

x r

cos β =

y r

x2 y2 x2 + y2 r2 cos α + cos β = 2 + 2 = = 2 =1 2 r r r r 2

2


z

Cosenos directores (3D)

cos α =

x r

cos β =

y r

cos γ =

x2 y2 z 2 cos α + cos β + cos γ = 2 + 2 + 2 r r r x2 + y2 + z 2 = r2 r2 = 2 =1 r 2

2

z r

z →

r

2

γ α

β

y x

x

y


Ejemplo 7: Una fuerza de 500 N forma ángulos de 60°, 45° y 120° con los ejes x, y y z, respectivamente. Encuentre las componentes Fx, Fy y Fz. Respuesta: Los ángulos proporcionados son los directores, entonces, usando los cosenos directores, tenemos que

cos 60° =

cos 45° =

cos120° =

Fx ∴ Fx = ( 500 N ) cos 60° = ( 500 N ) 12 = 250 N 500 N Fy

500 N

∴ Fy = ( 500 N ) cos 45° = ( 500 N )

2 2

= 250 2 N

( )

Fz ∴ Fz = ( 500 N ) cos 120° = ( 500 N ) − 12 = −250 N 500 N


Ejemplo 8: Una fuerza F tiene las componentes Fx=20 lb, Fy=-30 lb y Fz=60 lb. Determine la magnitud F y los ángulos directores α, β y γ. Respuesta: La magnitud de la fuerza es F = Fx2 + Fy2 + Fz2 =

( 20 lb) 2 + ( − 30 lb) 2 + ( 60 lb) 2

= 4900 lb 2 = 70 lb

Usando los cosenos directores tenemos que

cos α =

cos β =

20 lb 2 ∴ α = arccos  ≈ 73.4° 70 lb 7

− 30 lb  −3 ∴ β = arccos  ≈ 115.4° 70 lb 7  

cos γ =

60 lb 6 ∴ γ = arccos  ≈ 31.0° 70 lb 7


Ejemplo 9 (Ejercicio 2.83): Una fuerza actúa en el origen de un sistema coordenado en la dirección definida por los ángulos θx=43.2° y θz=83.8°. Si la componente y de la fuerza es de -50 lb, determine a) el ángulo θy, b) las componentes restantes y la magnitud de la fuerza. Respuesta: Datos : θ x = 43.2°

θy = ?

θ z = 83.8°

Fx = ?

Fy = −50 lb

Fz = ?

F=?

a) Determinar el ángulo θy. cos 2 θ x + cos 2 θ y + cos 2 θ z = 1 ∴ cos θ y = ± 1 − cos 2 θ x − cos 2 θ z

cos θ y = − 1 − cos 2 43.2° − cos 2 83.8° ∴ θ y = arccos − 1 − cos 2 43.2° − cos 2 83.8°  ≈ 132.5°  


b) Determinar las componentes restantes y la magnitud de la fuerza. Primero se calcula la magnitud de la fuerza usando el ángulo θy: cos θ y =

Fy

∴ F=

F

Fy cos θ y

=

− 50 lb 2

2

− 1 − cos 43.2° − cos 83.8°

≈ 74.0 lb

Entonces, se calculan las componentes que faltan: cos θ x =

Fx F

∴ Fx = F cos θ x =

cos θ z =

50 lb 2

2

1 − cos 43.2° − cos 83.8°

cos 43.2° ≈ 53.9 lb

Fz F

∴ Fz = F cos θ z =

50 lb 2

2

1 − cos 43.2° − cos 83.8°

cos 83.8° ≈ 8.0 lb


Ejemplo 10 (Ejercicio 2.79): El ángulo entre el resorte AB y el poste DA es de 30°. Si la tensión resultante en el resorte es de 220 N, determine (a) las componentes x, y y z de la fuerza ejercida por este resorte sobre la placa, (b) los ángulos θx , θy y θz que forma la fuerza con los ejes coordenados.


Del diagrama de cuerpo libre podemos observar que →

y

F = ( 220 N, 145º , 30º )

A

Fz = ( 220 N ) sen 30º cos 145º ≈ −90.1067 N Fx = ( 220 N ) sen 30º sen 145º ≈ 63.0964 N Fy = ( 220 N ) cos 30º ≈ 190.5256 N

30º 30º

35º

D

x

35º C

z

B

35º

 63.0964  θ x = arccos  = 73.3342º 220    190.5256  θ y = arccos  = 30º 220    − 90.1967  θ z = arccos  = 114.1782º 220  


Ejemplo 11 (Ejercicio 2.73): Para estabilizar un árbol arrancado parcialmente durante una tormenta, se le amarran los cables AB y AC a la parte alta del tronco y después se fijan a barras de acero clavadas en el suelo. Si la tensión en el cable AB es de 950 lb, determine (a) las componentes de la fuerza ejercida por este cable sobre el árbol, (b) los ángulos θx , θy y θz que forma la fuerza en A con los ejes coordenados.


Del diagrama de cuerpo libre podemos observar que

y sen 40° = −

Ty

cos 40° = cos 40° =

∴ Ty = −T sen 40° = −610.6482 lb

T

Tx Tp

Tp

∴ Tp = T cos 40° = 727.7422 lb

T

∴ Tx = Tp cos 40° = T cos 40° cos 40° = 557.4829 lb

A  Ty

sen 40° =

∴ Tz = Tp sen 40° = T cos 40° sen 40° = 467.7837 lb

 T

C

 Tx

40º  Tp z

Tz Tp

 Tz B

40º

x

 557.4829  θ x = arccos  = 54.07º 950    − 610.6482  θ y = arccos  = 150º 950    467.7837  θ z = arccos  = 60.50º 950  


La dirección de un vector paralelo a una recta dada. z

L

M(x1, y1, z1)

MN = ( x 2 − x1 ) ˆi + ( y 2 − y1 ) ˆj + ( z 2 − z1 ) kˆ

N(x2, y2, z2)

→ MN →

MN =

( x 2 − x1 ) 2 + ( y 2 − y1 ) 2 + ( z 2 − z1 ) 2

L=LL y

L=

x

MN L= MN

( x 2 − x1 ) ˆi + ( y 2 − y1 ) ˆj + ( z 2 − z1 ) kˆ L

L

L

La dirección L de un vector L puede encontrarse usando las coordenadas de dos puntos M(x1, y1, z1) y N(x2, y2, z2), localizados la recta paralela a él.


Ejemplo 12: Una recta pasa por los puntos M(-1 cm, 3 cm, 2 cm) y N(2 cm, -5 cm, 7 cm), si la magnitud de un vector es 42 N y su dirección es paralela a está recta, ¿de qué vector se trata? →

MN = ( 2 cm − ( − 1 cm ) ) ˆi + ( − 5 cm − 3 cm ) ˆj + ( 7 cm − 2 cm ) kˆ = ( 3 cm ) ˆi − ( 8 cm ) ˆj + ( 5 cm ) kˆ

MN =

L=

( 3 cm ) 2 + ( − 8 cm ) 2 + ( 5 cm ) 2

= 98 cm = 7 2 cm

3 cm ˆ 8 cm ˆ 5 cm ˆ 3 2 ˆ 8 2 ˆ 5 2 ˆ i− j+ k= i− j+ k 14 14 14 7 2 cm 7 2 cm 7 2 cm

3 2  ˆi − 8 2 ˆj + 5 2 kˆ  = ( 42 N ) 3 2 ˆi − ( 42 N ) 8 2 ˆj + ( 42 N ) 5 2 kˆ L = ( 42 N )  14 14  14 14 14  14

(

) (

) (

)

L = 9 2 N ˆi − 24 2 N ˆj + 15 2 N kˆ


Fuerzas definidas en términos de su magnitud y dos punto sobre su línea de acción z

N(x2, y2, z2) →

M(x1, y1, z1)

F

L y

x → El → vector unitario que define la dirección de L=MN, también define la dirección de la fuerza F, entonces, →

^

F = FL


Ejemplo 13: El alambre de una torre está anclado en A por medio de un perno. La tensión en el alambre es de 2500 N. Determine (a) las componentes F x, Fy y Fz de la fuerza que actúa sobre el perno y (b) los ángulos θx, θy y θz que definen la dirección de la fuerza.


Respuesta: En este caso conocemos la magnitud de la fuerza, F=2500 N, pero no su dirección.

z

Para conocer la dirección de la fuerza, calculamos la dirección de su línea de acción.

L=AB

Por lo que fijamos un sistema de referencia. Entonces, ubicamos los extremos de este vector →

A = −( 30 m ) ˆi + ( 40 m ) ˆj →

B = ( 80 m ) kˆ

L = AB = B− A = 80 m kˆ − − ( 30 m ) ˆi + ( 40 m ) ˆj

(

) [

(

= ( 30 m ) ˆi − ( 40 m ) ˆj + 80 m kˆ

L=

y

)

]

( 30 m ) 2 + ( − 40 m ) 2 + ( 80 m ) 2 2

= 8900 m = 10 89 m

x

L ( 30 m ) ˆi − ( 40 m ) ˆj + (80 m kˆ ) = L 10 89 m

L= = ^

30 m 10 89 m

L=

3 89

ˆi −

ˆi −

40 m 10 89 m

4 89

ˆj +

ˆj +

8 89

80 m 10 89 m


^

L=

3 89

ˆi −

4 89

ˆj +

8 89

F = ( 2500 N )

Fx =

Fy = − Fz = ^

7500 N ≈ 795 N 89

10000 N ≈ −1060 N 89 20000 N ≈ 2120 N 89

F=

3 89

cos α =

3 89

∴ α = arccos

cos β = −

4 89

∴ β = arccos −

cos γ =

8 89

(

ˆi −

4 89

ˆj +

8 89

(

∴ γ = arccos

( ) ≈ 71.5° 3 89

4 89

) ≈ 115.1°

( ) ≈ 32.0° 8 89

3 89

ˆi −

4 89

ˆj +

8 89

)


Ejemplo 14 (Ejercicio 2.88): Una barra de acero se dobla para formar un anillo semicircular con 36 in de radio que est谩 sostenido parcialmente por los cables BD y BE, los cuales se unen al anillo en el punto B. Si la tensi贸n en el cable BE es de 60 lb, determine las componentes de la fuerza ejercida por el cable sobre el soporte colocado en E.


Método 1:

B = ( 36 in , 0, 0 )

y

E = ( 0, 45 in , − 48 in )

EB = B − E = ( 36 in , 0, 0 ) − ( 0, 45 in , − 48 in ) = ( 36 in , − 45 in , 48 in )

F

EB =

( 36 in ) 2 + ( − 45 in ) 2 + ( 48 in ) 2

= 75 in ∧

EB =

x

z ∧

( 36 in, − 45 in, 48 in ) 75 in

45 48   36 = ,− ,   75 75 75   12 15 16  ∧ =  , − ,  = F EB  25 25 25 

 12 15 16  F EB =  , − ,   25 25 25  →

 12 15 16  F EB = FEB F EB = ( 60 lb )  , − ,  = ( 28.8 lb, − 36.0 lb, 38.4 lb )  25 25 25 


Método 2:

EB = ( 36 in , − 45 in , 48 in )

y →

( 36 in ) 2 + ( − 45 in ) 2 + ( 48 in ) 2

EB =

F

= 75 in ∧

EB =

( 36 in, − 45 in, 48 in ) 75 in

45 48   36 = ,− ,   75 75 75   12 15 16  ∧ =  , − ,  = F EB  25 25 25 

x

z

 12 15 16  F EB =  , − ,   25 25 25  →

 12 15 16  F EB = FEB F EB = ( 60 lb )  , − ,  = ( 28.8 lb, − 36.0 lb, 38.4 lb )  25 25 25 


Operaciones vectoriales:   r1 = r2

x1 = x 2 ; y1 = y 2 ; z1 = z 2

  r1 + r2 = ( x1 + x 2 ) ˆi + ( y1 + y 2 ) ˆj + ( z1 + z 2 ) kˆ  − r = − x ˆi − y ˆj − z kˆ   r1 − r2 = ( x1 − x 2 ) ˆi + ( y1 − y 2 ) ˆj + ( z1 − z 2 ) kˆ  t r = t x ˆi + t y ˆj + t z kˆ  r rˆ = = r

xˆi + yˆj + zkˆ 2

2

x +y +z

2

=

x 2

2

x +y +z

2

ˆi +

y 2

2

x +y +z

2

ˆj +

z 2

2

x +y +z

2


Adición de fuerzas concurrentes en el espacio. Cuando un conjunto de fuerzas actúan en un mismo punto en el espacio se llaman fuerzas concurrentes. Dado que las fuerzas son vectores, la fuerza resultante se encuentra sumando las fuerzas concurrentes por alguno de los métodos estudiados. →

F=

→ → → → → F1 + F 2 + F 3 + F 4 +  + F n

=

n →

∑F

i

i =1

n

Fx = F1 x + F2 x + F3 x + F4 x +  + Fn x =

∑F

ix

i =1 n

Fy = F1 y + F2 y + F3 y + F4 y +  + Fn y =

∑F

iy

i =1 n

Fz = F1 z + F2 z + F3 z + F4 z +  + Fn z =

∑F

iz

i =1

F=

Fx2

+ Fy2

+ Fz3

 F2 + F2 y  x θ = arctan Fz  

    

 Fy ϕ = arctan  Fx

   


Ejemplo 15 (Ejercicio 2.58): Un bloque de peso W est谩 suspendido de una cuerda de 25 in de largo y de dos resortes cuyas longitudes sin estirar miden 22.5 in cada una. Si las constantes de los resortes son kAB=9 lb/in y kAD=3 lb/in, determine (a) la tensi贸n en la cuerda, (b) el peso del bloque.


y

x Ley de Hooke F = k ∆ = k (  − 0 ) FAB = k AB ∆AB = 9( AB − 22.5) AB =

( 22 in ) 2 + (16.5 in ) 2

( lb)

= 27.5 in

FAB = 9( 27.5 − 22.5) = 45 lb

FAD = k AD ∆AD = 3( AD − 22.5) AD =

( 30 in ) 2 + (16 in ) 2

( lb)

= 34 in

FAD = 3( 34 − 22.5) = 34.5 lb


y

x

 16.5 in   ≈ 143.13° θ AB = arctan  − 22 in  →

F AB = ( 45 lb, 143.1°)

 16 in   ≈ 28.07° θ AD = arctan  30 in  →

F AD = ( 34.5 lb, 28.1°)


y

x

tan θ AC = ∴ θ AC →

−24 in 24 = − 7 in 7

 24  = arctan  ≈ 73.8°  7 

F AC = ( FAC , 73.8°)

θ W = 270° →

W = ( W, 270°)


F AB = ( 45 lb, 143.1°) →

F AC = ( FAC , 73.8°)

F AD = ( 34.5 lb, 28.1°) →

W = ( W, 270°)

FAB cos θ AB + FAD cos θ AD + FAC cos θ AC + W cos θ W = 0 FAB sen θ AB + FAD sen θ AD + FAC sen θ AC + W sen θ W = 0

( 45 lb) cos(143.1°) + ( 34.5 lb) cos( 28.1°) + FAC cos( 73.8°) = 0 ( 45 lb) sen (143.1°) + ( 34.5 lb) sen ( 28.1°) + FAC sen ( 73.8°) − W = 0 ( 45 lb) cos(143.1°) + ( 34.5 lb) cos( 28.1°) ≈ 19.9 lb cos( 73.8°) W = ( 45 lb ) sen (143.1°) + ( 34.5 lb ) sen ( 28.1°) + FAC sen ( 73.8°) ≈ 62.4 lb

FAC = −


Ejemplo 16 (Ejemplo 2.8): Una secci贸n de una pared de concreto precolado se sostiene temporalmente por los cable mostrados. Se sabe que la tensi贸n es de 840 lb en el cable AB y 1200 lb en el calbe AC, determine la magnitud y la direcci贸n de la resultante de las fuerzas ejercidas por los cables AB y AC sobre la estaca A.


z Respuesta: En este caso conocemos la magnitud de las fuerzas, FAB=840 lb y FAC=1200 lb, pero no su dirección. Entonces primero encontramos los vectores unitarios que fijan su línea de acción.

Para lo cual fijamos un sistema de referencia x

y

Respecto al cual →

A = ( − 11 ft , 16 ft , 0 ) B = ( 0, 0, 8 ft ) C = ( − 27 ft , 0, 8 ft )

L AB = ( 0, 0, 8 ft ) − ( − 11 ft , 16 ft , 0 ) = 11 ft ˆi − 16 ft ˆj + 8 ft kˆ

L AC = ( − 27 ft, 0, 8 ft ) − ( − 11 ft , 16 ft , 0 ) = −16 ft ˆi − 16 ft ˆj + 8 ft kˆ


L AB = 11 ft ˆi − 16 ft ˆj + 8 ft kˆ

L AB =

L AC = −16 ft ˆi − 161 ft ˆj + 8 ft kˆ

(11 ft ) 2 + ( − 16 ft ) 2 + ( 8 ft ) 2

L AC =

441 ft 2 = 21 ft

^

L AB = =

11 ft 21 ft 11 21

ˆi −

16 ft 21 ft

= 576 ft 2 = 24 ft

ˆj +

8 ft 21 ft

^

16 ft 16 fl L AC = − 24 ft ˆi − 24 ft ˆj +

F AB = ( 840 lb )

(

(

11 21

ˆi −

16 21

ˆj +

8 ft 24 ft

= − 23 ˆi − 23 ˆj + 13 kˆ

ˆi − 16 ˆj + 8 kˆ 21 21

( − 16 ft ) 2 + ( − 16 ft ) 2 + ( 8 ft ) 2

8 21

)

)

= ( 40 lb ) 11 ˆi − 16 ˆj + 8 kˆ = 440 lb ˆi − 640 lb ˆj + 320 lb kˆ

(

F AC = (1200 lb ) − 23 ˆi − 23 ˆj + 13 kˆ

(

)

)

= ( 400 lb) − 2 ˆi − 2 ˆj + kˆ = −800 lb ˆi − 800 lb ˆj + 400 lb kˆ


F AB

= 440 lb ˆi − 640 lb ˆj + 320 lb kˆ →

F AC = −800 lb ˆi − 800 lb ˆj + 400 lb kˆ

F = F AB + F AC = 440 lb ˆi − 640 lb ˆj + 320 lb kˆ + − 800 lb ˆi − 800 lb ˆj + 400 lb kˆ = −360 lb ˆi − 1440 lb ˆj + 720 lb kˆ

(

F=

) (

( − 360 lb) 2 + ( − 1440 lb) 2 + ( 720 lb) 2

)

= 2721600 lb 2 ≈ 1650 lb

cos α =

 − 360  − 360 ∴ α = arccos  ≈ 102.6° 2721600  2721600 

cos β =

 − 1440  − 1440 ∴ β = arccos  ≈ 150.8° 2721600  2721600 

cos γ =

  720 720 ∴ γ = arccos  ≈ 64.1° 2721600  2721600 


Ejemplo 17 (Ejercicio 2.93): Determine la magnitud y la direcci贸n de la resultante de las dos fuerzas mostradas en la figura, si P=4 kips y Q=8 kips.


y

P = ( 4 kips, 20º , 30º )

Q

Px = ( 4 kips ) cos 30º sen 20º = 1.185 kips

15º 45º

Py = −( 4 kips ) sen 30º = −2.000 kips

Pz = ( 4 kips ) cos 30º cos 20º = 3.255 kips

Q = ( 8 kips, 45º , 15º )

z

30º

20º →

P

x

Q x = −( 8 kips ) cos 45º sen 15º = −1.464 kips Q y = ( 8 kips ) sen 45º = 5.657 kips

Q z = −( 8 kips ) cos 45º cos15º = −5.464 kips

R x = 1.185 kips − 1.464 kips = −0.279 kips R y = −2.000 kips + 5.657 kips = 3.657 kips R z = 3.255 kips − 5.464 kips = −2.209 kips


R x = 1.185 kips − 1.464 kips = −0.279 kips R y = −2.000 kips + 5.657 kips = 3.657 kips R z = 3.255 kips − 5.464 kips = −2.209 kips

R = R 2x + R 2y + R 2z = 4.281 kips R θ x = arccos x  R

  = 93.7 º 

 Ry θ y = arccos  R

  = 31.3º  

R  θ z = arccos z  = 121.1º  R 


Tema 5-Algebra vectorial 3d