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PROFESOR: Leonardo Flórez PERMUTACIONES Factorial: el factorial se define como el producto de los primeros n números naturales, y se simboliza n!. Por definición 0! = 1! = 1 Ejemplos: a) 3! = 1x2x3 = 6 b) 5! = 1x2x3x4x5 = 120 Definición: Una permutación de varios objetos son los diferentes arreglos que pueden hacerse de estos, teniendo en cuenta que se permiten las repeticiones, es decir si se tiene (a, b) y (b, a), se cuentan ambas. Para encontrar el número de permutaciones de n objetos distinto, tomados en grupos de tamaño k, con 0 k n , se utiliza la expresión 

p ( n ,k )

n! (n k )!

Ejemplos: 1. 2. 3. 4.

¿De cuántas formas diferentes pueden organizarse las letras a, b, c, d en grupos de a dos? ¿De cuántas formas diferentes pueden organizarse 5 personas en una fila? ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden organizar con los dígitos del 1 al 6? En una competencia atlética, se premian los primeros 3 puestos. Si participan 10 deportistas, ¿de cuántas formas diferentes puede terminar la competencia? 5. ¿De cuántas formas puede un técnico organizar su equipo de microfútbol, si no cuenta con suplentes y los jugadores pueden jugar en cualquier posición?

COMBINACIONES Una combinación es un arreglo de elementos, en el cual no se admiten repeticiones, es decir si se tiene (a, b) y (b, a), solo se cuenta una de ellas. La combinación de n objetos distintos, tomados en grupos de tamaño k, con siguiente expresión 

C ( n,k )

0

k

n , se obtiene con la

n! k!(n k )!

Ejemplos: 1. ¿De cuántas formas puede un técnico organizar su equipo de microfútbol, si cuenta con 8 jugadores? 2. ¿De cuántas formas se puede organizar un comité de 3 personas si se cuenta con 5 candidatos? 3. Una urna contiene 5 bolas negras, 4 bolas blancas y 3 bolas rojas. Si se extraen 2 bolas al azar: a) Cuál es la probabilidad de que las 2 sean negras? (C 5,2/C12,2) b) Cuál es la probabilidad de que las 2 sean rojas? (C3,2/C12,2)


TALLER 1 5. ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar con los dígitos 1, 4, 7, 8? 6. Con 7 dígitos, ¿cuántos números de 4 cifras se pueden formar? 7. ¿De cuántas maneras se pueden ordenar las letras de la palabra “permutación”? 8. ¿Cuántos números diferentes de 3 cifras se pueden formar con los elementos del conjunto A = {0, 1, 2, 3}? 9. ¿Cuántos números de 3 cifras se pueden formar con los dígitos del 1 al 9? 10. ¿De cuántas formas se pueden hacer dos nombramientos de entre 8 candidatos? 11. ¿Cuántos equipos de baloncesto se pueden formar de entre 10 jugadores? 12. ¿Cuántos tríos se pueden integrar con doce músicos? 13. En un grupo de 15 personas hay 7 mujeres y 8 hombres. Se integran al azar comités de 3 personas y luego se seleccionará uno: a) ¿Cuál es la probabilidad de que el comité este integrado por 3 hombres? b) ¿Por tres mujeres?

TALLER 2 PROBABILIDADES 1. Un instituto ofrece cursos de nivelación de matemáticas y física. Se matriculan 40 estudiantes, discriminados de la siguiente manera:  18 estudiantes matriculados en matemáticas.  15 estudiantes matriculados en física  7 estudiantes matriculados en ambas materias. Del grupo de estudiantes se escoge uno al azar. Calcula la probabilidad de que el alumno es cogido: a) Esté matriculado en el curso de física. b) Esté matriculado en el curso de matemáticas exclusivamente. c) Esté matriculado en ambas materias. d) Esté matriculado en una materia. 2. Una encuesta a 200 personas reveló los siguientes datos acerca del consumo de tres productos A , B y C: 30 personas consumían A. 85 personas consumían B. 103 personas consumían C. 10 personas consumían A y C, pero no B. 13 personas consumían A y C. 18 personas consumían B y C. 5 personas consumían A y B, pero no C ¿Cuántas personas no consumían ninguno de los tres productos? ¿Cuántas personas consumían los tres productos? ¿Cuántas personas consumían A pero no B ni C? ¿Cuántas personas no consumían A? ¿Cuántas personas consumían por lo menos uno de los tres productos? 3. Se encuesta a 87 personas sobre preferencias de helados y los resultados fueron : 7 Personas consumen los 3 sabores de helados, 12 Personas consumen helado de fresa y vainilla 10 personas consumen helados de vainilla y chocolate 13 personas consumen helados de fresa y chocolate 36 personas consumen helados de fresa 30 personas consumen helados de vainilla 32 personas consumen helados de chocolate


4.

5. 6. 7. 8. 9.

10.

¿Cuántas personas consumen solo un determinado sabor de helado? ¿Cuántas personas consumen helado de fresa y vainilla a la vez? ¿Cuántas personas no consumen ninguno de los 3 helados' ¿Cuántas personas consumen helados ¿Cuántas personas consumen helados de vainilla y chocolate a la vez? ¿Cuántas personas consumen solo helados de vainilla y helados de fresa? Suponga que en un grupo de 468 estudiantes de último año de universidad se encuentra que 210 fuman, 260 consumen bebidas alcohólicas, 122 fuman y consumen bebidas alcohólicas. Si se selecciona al azar un miembro de ese grupo, encuentre la probabilidad de que el estudiante: Fume pero no consuma bebidas alcohólicas. ¿Es el suceso de fumar independiente el suceso de consumir bebidas alcohólicas? ¿Cuántos fumadores y bebedores esperaría usted que hubiera en este grupo de 468 personas, si el suceso e fumar fuera independiente de fumar. Se extrae una carta al azar de un mazo inglés normal de 52 cartas. Supongamos que definimos los eventos A: "sale 3" y B: "sale una figura”. Cuál es la probabilidad de que ocurra A ó B. En el mismo experimento anterior de sacar una carta, ¿Cuál es la probabilidad de que suceda el evento el evento A: "no sale rey"? Hallar la probabilidad del evento “sale par o primo”, en el lanzamiento de un dado de seis caras, Lanzamos un dado de seis caras dos veces. Hallar la probabilidad de que "salga par en el primero y un 3 en el segundo lanzamiento” En la extracción de una carta de un mazo inglés normal: ¿cuál es la probabilidad de que la carta extraída sea el as de corazones, sabiendo que la carta extraída es de corazones? Un cubo cuyas caras han sido coloreadas, se divide en 1.000 pequeños cubos de igual tamaño. Los cubos así obtenidos se colocan en una bolsa, la cual se agita para que queden mezclados. Hallemos la probabilidad de que al extraer – de la bolsa – un cubo al azar, tenga dos caras coloreadas.

11. Una compañía de microelectrónica tiene una máquina que produce componentes para utilizar teléfonos celulares. En cualquier instante la máquina puede estar en uno de los tres estados siguientes: Funcionando óptimamente ( F ), averiada ( A ) y funcionando a bajo rendimiento ( M ). De la experiencia con este tipo de máquinas, el ingeniero de control de calidad sabe que la probabilidad de que la máquina esté averiada es 0.03 y de que esté funcionando a bajo rendimiento es 0.045. Cuando la máquina está funcionando a bajo rendimiento o está averiada, debe contratarse un técnico para su reparación. ¿Cuál es la probabilidad de traer un técnico en cualquier instante? A menos que la máquina esté averiada, esta puede utilizarse para producir cinco componentes por unidad de tiempo a bajo rendimiento y diez componentes por unidad de tiempo a rendimiento óptimo. ¿Cuál es la probabilidad de que se puedan fabricar componentes? ¿ Cuál es la probabilidad de que ahora la máquina deba utilizarse para producir sólo cinco componentes? 12. De los 80 empleados de una compañía perforadora de pozos petroleros, 45 tienen problemas auditivos. Del total de empleados 50 son hombres, 30 de los cuales tienen problemas auditivos. Si se selecciona un empleado al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer, si de antemano se sabe que tiene problemas auditivos? ¿ Cuál es la probabilidad de que tenga problemas auditivos, si de antemano se sabe que es mujer? 13. Lanzamos un dado legal. Sea A = “aparece el número 5”. Encontremos la probabilidad condicionada del evento A, dada la ocurrencia de un evento B “aparece un número impar” 14. La probabilidad de que un individuo sea expuesto a un aviso publicitario de cierto producto a través de la Tv es de 4%. La probabilidad de que el consumidor sea expuesto a otro aviso publicitario de ese producto, mediante vallas es 6%. Asumimos que los 2 eventos son independientes ¿Cuál es la probabilidad de que el consumidor sea expuesto a ambos avisos publicitarios? ¿Cuál es la probabilidad de que el consumidor sea expuesto al menos a uno de los avisos publicitarios? 15. La probabilidad de que el precio de la mercancía X suba mañana (A), es 0.3 y la probabilidad de que el precio de la mercancía Y suba mañana (B) es 0.2. además, se sabe que el 6% de las veces el precio de ambas mercancías sube. ¿Son los precios de estas mercancías eventos independientes?


16. Supón que en un pueblo, la población total que ha reunido los requisitos para graduarse está clasificada en la siguiente tabla. Empleados Desempleados Total Hombre 460 40 500 Mujer 140 260 400 Total 600 300 900 Si se selecciona al azar a uno de los individuos para que realice un programa de tv. Si el elegido es una persona empleada, ¿Cuál es la probabilidad de que además sea hombre? Si el elegido es un hombre, ¿Cuál es la probabilidad de que además sea empleado?

TALLER 3 CÁLCULO DE PROBABILIDADES (Diagramas de Venn y diagramas de árbol) 1. En una encuesta realizada a 30 empresarios que asistieron a un foro internacional sobre nuevas tecnologías, se encontró que 15 de ellos hablaban español, 18 hablaban inglés, 8 hablaban español e ingles y el resto no hablaba ninguno de los dos idiomas. Todas las encuestas fueron ubicadas en una bolsa y será seleccionada una de ellas. La persona que haya diligenciado la encuesta elegida, recibirá una beca para un curso de actualización en el manejo de tecnología. a. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona becada hable español? b. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona becada hable solo inglés? c. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona becada hable español o inglés? d. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona becada no hable inglés? 2. Un maestro de economía acostumbra a iniciar la clase preguntándole a uno de sus estudiantes acerca de los cambios en los valores representativos del mercado, como el dólar, el petróleo y el café. Cada estudiante debe observar los noticieros, leer el periódico o consultar en internet y deducir que sectores de la economía se están beneficiando con estos cambios y cuáles no. Antes de iniciar la clase, se sabe de los 34 estudiantes, 19 vieron los noticieros; 16 consultaron el periódico y 11 investigaron en internet. Además, 6 vieron el noticiero y consultaron en internet , 7 vieron las noticias y consultaron el periódico, 5 leyeron el periódico y consultaron en internet, 2 investigaron en los 3 medios, y el resto no hicieron la investigación. Sean: N- el conjunto formado por los estudiantes que observaron los noticieros. P- el conjunto formado por los estudiantes que leyeron el periódico. I- el conjunto formado por los estudiantes que consultaron en internet. a. elaborar un diagrama de venn que represente el número de elementos de los conjuntos. Hallar la probabilidad de que el estudiante seleccionado: b. haya visto el noticiero. c. haya leído el periódico y consultado en internet. d. no haya consultada en internet. e. haya visto el noticiero o no haya consultado en internet. f. haya leído el periódico, pero no vio el noticiero. g. no haya hecho la investigación. h. elaborar un diagrama de venn con los % correspondientes. 3. Un centro comercial otorga premios navideños a las personas que seleccionen dos bolsas de una bolsa en forma acertada según un plan de premio. En la bolsa hay 7 bolas, 5 son blancas y 2 rojas. Las bolsas se seleccionan una tras otra, y la primera bola seleccionada no retorna a la bolsa.


La persona que seleccione las dos bolas rojas ganara un árbol de navidad, el que seleccione una blanca y una roja ganara un arreglo decorativo y el que seleccione las dos bolas blancas no ganara ningún premio. David tiene oportunidad de jugar: a. ¿Cuál es la probabilidad de que David no gane ninguno de los premios? b. ¿Qué probabilidad tiene David de ganar el arreglo decorativo? c. ¿Cuál es la probabilidad de que David gane el árbol de navidad? 4. El gerente de una empresa de productos alimenticios desea premiar a tres de sus mejores empleados con viajes turísticos a tres lugares del país. El decidió que la suerte elegiría a los ganadores. En una caja puso 8 bolas negras y 2 amarillas. Cada empleado selecciona la primera bola y la retorna a la caja antes de seleccionar la segunda. El que seleccione dos bolas amarillas ganara el premio. a. b. c. d. e.

representar las probabilidades de un diagrama de árbol. ¿qué probabilidad de ganar tiene un empleado? ¿Cuál es la probabilidad de que seleccione una bola de cada color? ¿cuál es la probabilidad de que seleccione, por lo menos, una bola amarilla? ¿cuál es la probabilidad de que no seleccione bolas amarillas?

5. En un casino existe un juego basado en los dados. El juego consiste en lanzar un par de dados y sumar ambos resultados. Si la suma obtenida es menor o igual a 3, o también mayor o igual a 10, el concursante gana 400 puntos. Si la suma obtenida es de 4 a 9 el concursante gana 300 puntos. El concursante gana el juego si en 3 lanzamientos consecutivos acumula 1.100 puntos o mas. Si Samuel participa en el juego, ¿Qué probabilidad tiene de ganarlo? ¿Es el juego justo o no? En el juego es admitida la repetición, ya que el resultado (5,3) podría darse en 3 ocasiones. 6. Con la finalidad de estimar la producción de 1500 vehículos para el año siguiente, una compañía automotriz realizó una encuesta a 200 personas de diferentes partes del país, con relación al vehículo de su preferencia. La empresa rifará un bono de descuento para la compre de un vehículo último modelo, entre los 200 participantes en la encuesta. Hallar la probabilidad de que: a. El ganador sea un hombre que le gusta el vehículo 4x4. b. El ganador sea mujer. c. El ganador sea una mujer que le gusta el vehículo coupé. d. El ganador sea un hombre que no le gusta el vehículo sedán. Si la empresa decide rifar 2 bonos, hallar la probabilidad de que los ganadores sean: a. Hombres a quienes les gusta al vehículo sedán. b. Mujeres a quienes les gusta el vehículo coupé. c. Persona a quienes les gusta el vehículo 4x4.


combinatoria