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CURVAS PARA LA ARMONÍA

Cómo sabemos, una de las obligaciones de la ciencia es la de crear leyes matemáticas que permitan cuantificar un fenomeno natural. En algunas situaciones éso es lo más dificil de todo; a menudo el físico escribe ecuaciones que no se saben resolver, lo que nutre a la matemática de nuevos problemas. Pero en otras ocasiones el propio fenómeno nos dice cómo son las matemáticas que debemos utilizar al estudiarlo. Es el caso de los movimientos periódicos simples que dibujan maravillosas curvas.

por Lolita Brain

HOOKE UN MAESTRO

EL MOVIMIENTO ARMÓNICO

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ay un gran número de fenómenos relacionados con movimientos repetitivos que tienen una importancia vital para la mecánica y la física en general. Un ejemplo cotidiano es el comportamiento de un muelle que, una vez estirado por aplicación de una fuerza, recupera su longitud inicial una vez que la fuerza deja de ser aplicada. La elasticidad del muelle , proporciona una fuerza recuperadora que le hace oscilar a ambos lados de su punto de equilibrio. Podemos imaginar una situación especial en la que no hubiera rozamientos. En este caso el muelle oscilaría continuamente entre dos puntos de máxima longitud y de mínima compresión.

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os objetos más sencillos son valiosas herramientas en manos de un buen científico. O pueden ser causa de dolores de cabeza. El fascinante y controvertido Hooke, creador de un microscopio y eterno rival de Newtron, se interesó por la Mecánica que en su época ya comenzaba a ser moderna. Él determinó experimentalmente que la elongación de un muelle es proporcional a la fuerza que se ejerce sobre él para deformarlo. Y que el factor de ROBERT HOOKE (1635 -1703) proporcionalidad dependía de la elasticidad del muelle. Es la famosa Ley de Hooke.

SU MAJESTAD EL PÉNDULO

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AULA DE EL

MUNDO

l péndulo es otro grandioso instrumento que tiene un comportamiento análogo al del muelle. Separado de su posición de equilibrio, comienza a oscilar alrededor de la vertical, repitiendo a intervalos iguales el mismo desplazamiento. En este caso la fuerza recuperadora es la atracción gravitatoria de la Tierra. Idealmente suponemos que no hay rozamiento. Así el desplazamiento del mazillo del péndulo se realiza entre una amplitud máxima. Para describir adecuadamente un movimiento periódico necesitamos conocer algunos datos importantes de su modo de moverse. La AMPLITUD y la FRECUENCIA son fundamentales.

FUNCIONES PARA LA PERIODICIDAD

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stamos habituados a ver siempre representados los fenómenos armónicos, con curvas con forma de onda . ¿Qué relación guarda el movimiento del muelle o del péndulo con estas curvas? Es muy sencillo: enla figura se representan algunos momentos del muelle en oscilación sobre un papel milimetrado, El eje horizontal se ha trazado en la posición de equilibrio del muelle. Mediremos los instantes de tiempo en el eje horizontal. En el eje vertical mediremos el desplazamiento del muelle repecto de su equilibrio. Basta dejar oscilar al muelle y las sucesivas instantaneas de su posición nos dibujan las famosas curvas periódicas. Son conocidas como SINUSOIDES.

LA FRECUENCIA La FRECUENCIA mide la velocidad de la oscilación. Para ello se cuenta el número de veces que, por ejemplo en un segundo, el muelle adopta la misma elongación. Se mide en HERTZIOS. El PERIODO mide la cantidad de tiempo que necesita el muelle para volver a adoptar su posición inicial. El periodo multiplicado por la frecuencia vale 1.

LA AMPLITUD

La amplitud refleja el máximo desplazamiento que sufre el muelle o el mazo del péndulo de su posición de equilibrio. Para el mismo muelle, refleja la intensidad de la fuerza que se ha ejercido sobre él.

Las oscilaciones de estos gráficos tienen la misma frecuencia pero amplitudes distintas. www.lolitabrain.com


C U R VA S Y R E C TA S : UN ROMANCE

Cuando pensamos en superficies curvadas imaginamos, en general, figuras bien distintas de las rectas. Imaginamos láminas que se torsionan en el espacio y que dificilmente pueden parecerse a lo recto. En muchas ocasiones no es posible trazar ninguna recta sobre una superficie: el caso de la esfera es el más sencillo. Sin embargo, hay muchísimas superficies que están constituidas por infinitas rectas. Es decir, por cada punto de la superficie pasa al menos una recta que está contenida en ella. Veamos algo sobre este tema.

por Lolita Brain

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onge se ayudaba especialmente de la generación de las superficies. Así él habla de superficies cilíndricas, cónicas, regladas, desarrollables o de revolución. El cilindro por ejemplo, puede considerarse como el resultado de hacer mover una recta por una circunferencia, o también como una circunferencia que se mueve a lo largo de una recta. Observa que las GENERATRICES del cilindro, las rectas , están contenidas en el cilindro. Se dice que es una superficie REGLA DA CILÍNDRICA. Como además se puede obtener haciendo rotar la recta generatriz se dice que es de R E V O L U C I Ó N . Aún hay más: el plano tangente a lo largo de una generatriz no cambia y por eso se llama DESARROLLABLE.

l francés Monge matema- forma de geometría, estudia tizó el arte del dibujo geo- las superficies acercándose a métrico sisellas a través tematizando los del plano tanconocimientos gente a las que, de algún mismas. Las modo, se utilipropiedades zaban fundade la superfimentando la cie –en general las que se GEOMETRÍA DESderivan de su CRIPTIVA. La carcurvatura– se tografía y la estudian loconstrucción de calmente alrefortificaciones dedor de un fueron dos camGASPARD MONGE punto a través pos de aplica(1746- 1818) de la información. Además es uno de los padres de la ción proporcionada por su plano tangente. GEOMETRÍA DIFERENCIAL. Esta

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l genial arquitecto español, Fisac es autor de la recientemente desaparecida Pagoda. Un emblemático edificio de la arquitectura española de los años 60 que utilizó en esta particular obra como elemento estructural una superficie reglada que no es desarrollable: el HELICOIDE.

El hiperboloide de una hoja, cuya forma puedes reconocer en las papeleras de alambre o en las chimeneas de las centrales atómicas, es una superficie REGLADA (contiene infinitas rectas), de R E V O L U C I Ó N ( s e o b t i e n e haciendo girar una recta que se cruza con el eje). Pero NO ES DESARROLLABLE : el plano tangente a lo lar go de una generatriz (las rectas) cambia.

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AULA

DE EL

MIGUEL FISAC

MUNDO

Si miramos con atención la Pagoda, veremos que su estruc tura está formada por un prisma, por cada planta con la peculia ridad de que a cada planta se le propor -

ciona una torsión de 45º. De esta manera surge el perfil en estrella característico del edificio. Para enlazar cada dos plantas se utilizan las rectas generatrices de un helicoide.

Las superficies regladas son muy importantes en arquitectura ya que permiten crear estructuras curvas con rectas. Así las vigas de hierro que se utilizan en la construcción sólo deben colocarse en lugar de las rectas que generan la superficie. Se garantiza el equilibrio y se simplifica la estructura.

HELICOIDES os helicoides se generan también como superficies regladas. En el diagrama se aprecia una hélice en verde junto a su eje rojo. Si unimos cada punto de la hélice con otro del eje manteniendo la recta horizontal (rectas naranjas) la superficie genera da es una escalera de caracol ¡sin peldaños, claro! Así po demos apreciar que el heli coide es una superficie re glada, cuyas generatrices son

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las rectas así trazadas. Sin embargo no es desarrollable. Si observas la figura de la derecha. en ella se ha traza do una generatriz y sobre ella tres puntos. En cada uno de ellos el plano tangente gira haciéndose más verti cal cuanto más cerca está del eje. ¿Entiendes ahora por qué en una escalera de ca racol es más sencillo subir por la parte externa que por la interior?

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EL ANTIGUO OFICIO

Hacer matemáticas fue de siempre una tarea reservada a privilegiados. A las dificultades para acceder a sus contenidos se sumaban aquellas para poder vivir dedicándose a hacer matemáticas. Pero hubo una época en la que los poseedores de los secretos de tal arte, eran tan bien considerados, que su actividad pasó a formar parte de la vida de los hombres a través del arte, la contabilidad y el pensamiento. Fué el Renacimiento dónde mentes preclaras pudieron dar rienda suelta a sus ideas. A través de un cuadro nos asomamos al quehacer cotidiano del matemático del Renacimiento.

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O B J E T O S

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A U T O R E S

UCA PACIOLI, el protago-

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a GEOMETRÍA fue sin duda la gran redescubierta en el Renacimiento. La PERSPECTIVA nacida a finales del siglo XV, el NEOPLATONISMO y la traducción y difusión de textos griegos que ensalzaban la geometría impulsaron este interés. La teoría de las proporciones ocupó un lugar preponderante, pero fue sin duda el estudio de los poliedros regulares y los semirregulares una de las dedicaciones más recurrentes. Ensalzados por Platón y revestidos de un profundo misticismo, el estudio de los cinco cuerpos platónicos, como el de Luca Pacioli, mezcla el rigor formal de la geometría euclídea con consideraciones cosmológicas y divinas. De todos ellos el dodecaedro expresa en la simbología platónica el Universo y el Dodecaedro truncado su derivado estudiado por Arquímedes.

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nista del cuadro, fué un afortunado monje franciscano que pudo dedicarse toda su vida a las matemáticas. Su amistad, traducida habitualmente en intereses comunes, con artistas renovadores e influyentes en su época como PIERO DELLA FRANCESCA -uno de los primeros estudiosos de la Luca Pacioli da Borgo Sansepolcro perspectiva- enriqueció la (1445 -1518) teoría del arte y la estética y refleja un proceder de la época. A la misma vez, las matemáticas se inundaron de nuevas ideas y se interesaron por nuevos temas que preocupaban a los artistas. Nunca antes la conexión entre ambas disciplinas había sucedido en el mundo cristiano de un modo tan intenso. ALBETO DURERO, LEONARDO DA VINCI o ALBERTI O GHIRLANDAIO son sólo unos casos de lo que decimos.

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LAS HERRAMIENTAS

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Este cuadro fechado en 1595 es controvertido en su autoría pues sólo está firmado como Jaco. Bar. Viggenis. Se atribuye a Jacopo de Barbari o a Jacopo Barocci. E incluso a algún familiar de Pacioli, a cuya familia se la conocía como Barbaglia. El retrato es más que el de un sereno y concentrado Luca Pacioli demostrando un teorema de Euclides que lee de una traducción de los Elementos acompañado por su protector, sus herramientas de trabajo y sus símbolos más emblemáticos: dos poliedros. El cuadro es además un fiel retrato del oficio del matemático del Renacimiento.

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1494), a enseñar para el conde Octaviano Ubaldino, a trabajar contabilidades de comerciantes venecianos (estudió las contabilidades de doble entrada) o a impartir clases en las universidades de Pisa, Bolonia o Perugia. Pero el sueño de todo científico era resultar de interés en los círculos de príncipes y nobles que, sobre todo en Milán (los SFORZA) y en Florencia (los MEDICIS), competían por tener en sus cortes a los mejores científicos de la época dedicados al estudio, la disputa pública y el enriquecimiento del acervo científico. Así es como Luca Pacioli pudo escribir su Divina Proporcione (1497) por el placer de obsequiarlo al duque LUDOVICO SFORZA, el MORO.

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El compás aúreo permite trazar un segmento en proporción aúrea con otro. También es útil para dibujar pentágonos, dodecaedros y otros poliedros relacionados con el pentágono.

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UCLIDES y su monumental obra los Elementos, son los pilares sobre los que se basa la geometría de la época. Pacioli La pizarra lleva el nombre de Euclides edita una traducción de esta obra en 1509 cuando ya eratexto de culto entre los matemáticos. Su modo axiómatico, su rigor, Los dedos de Pacioli recorren los Elementos de Euclides. la precisión de sus teoremas y la completa revisión de la geometría y aritmética griegas hacen de él la génesis de las ideas www.lolitabrain.com geométricas que se estudian en el momento.

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se podían medir distancias y angulos y trazar rectas. De entre los compases los había de distintos tipos, siendo especialmente interesante el compás áureo diseñado para construir segmentos y rectángulos áureos, es decir, que se hallan en proporción áurea -o divina proporciónde la que ya te hemos hablado en varias ocasiones.

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oder dedicar una vida al estudio de las matemáticas no era tarea sencilla. El matemático trabajaba en las Universidades, pocas, en las escuelas de ábaco, una institución docente matemática que arranca en el siglo XIII, y sobre todo como instructor particular de la familia de los nobles y como ayuda a ricos comerciantes en sus contabilidades. Luca Pacioli disfrutó de buenas e influyentes amistades que le introdujeron en los mejores ambientes de Venecia, Roma, Florencia, Pisa, Siena o Milán y pudo dedicarse a escribir tratados de álgebra (Summa de Aritmeticae ,

Giudubaldo de Montefeltro, protector de Luca Pacioli.

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ratándose de la geometría las herramientas de las que disponía el geómetra, a excepción de las diseñadas especificamente para los astrónomos, eran los compases y las escuadras o gnomones. Rescatadas de la tradición geométrica griega, la construcción en geometría debía basarse sólo en la regla y el compás, esto es, sólo

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EL MUNDO

Viernes cultural. Lámina coleccionable

Una antena parabólica, el faro de un coche o la chimenea de una central nuclear. Todos estos objetos tienen formas muy características. Y no son fruto del capricho de los ingenieros. Muy al contrario, están perfectamente estudiados para que su funcionamiento sea

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el más eficiente. Estas superficies se denominan cuádricas y los científicos las conocen a la perfección. Poseen unas propiedades especiales que las convierten en candidatas perfectas para dar forma a objetos comunes. Comprobarás que estás rodeado de parabólides...

por Lolita Brain

EL ESQUELETO DE LAS COSAS

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upón que tienes un espejo con la forma de la superficie de la ilustración: todos los rayos que entran en la dirección del eje representado al reflejarse se concentran en un mismo punto que llamamos foco. Esto hace que los ingenieros hayan diseñado múltiples objetos con esta forma. Se llama paraboloide de revolución (un miembro de la familia de los paraboloides elípticos) porque se construye girando una parábola, la curva que describe el balón de fútbol cuando saca el portero.2 Los mate2 máticos lo representan con la ecuación: z = x + y (en su forma fácil). Gracias a ello, un ordenador puede dibujarla o se puede calcular cuánto pesará un radar o dónde se debe colocar la bombilla del faro de un coche.

LOS FAROS de los vehículos, tienen forma de parabólide, de modo que los rayos de luz emitidos por la bombilla se reflejan y se emiten concentrados, aumentando su intensidad luminosa. La bombilla se coloca en el foco.

LOS TELESCOPIOS reflectantes , como el inventado por Newton, tienen un espejo cóncavo cuya superficie es un paraboloide de revolución. Todos los rayos que partan de un cuerpo celeste y lleguen paralelos a su eje se concentran en un solo punto permitiendo ser observados con mayor precisión.

El nombre de antena parabólica proviene de la curva de la que se obtiene su forma: la parábola.

LOS PROGRAMAS DE ORDENADOR de animación en 3D modelan objetos utilizando las ecuaciones de estas superficies para generar imágenes de síntesis. Los programas de dibujo vectorial también. En la foto ves un paraboloide hiperbólico o silla de montar. Su ecuación es z = x2 - y 2. LOS RADARES y las antenas parabólicas están diseñados con la misma forma porque su fin es esencialmente el mismo: recoger las señales electromagnéticas. De ahí su forma de parabólide de revolución. Las ondas que reciben se reflejan en la superficie de la antena y se concentran en un mismo punto, que es el foco del parabólide. En ese preciso punto se coloca un sensor con el que se puede recoger la radiación recibida con mayor intensidad al haberse concentrado toda en un solo punto.

EN LA RED http://www.dailan.com/verenet/lolitabrain lolita brain@hotmail.com http://www.vitalsoft.org.mx/Prometeo/ejemplos/mja3D.html http://www.frontiernet.net/~~imagingquads.html/


EL HOMBRE MÁS FAMOSO

Pocas imágenes perduran tanto a lo largo de la historia como la que estudiamos hoy. La proporción en la figura humana influyó notablemente tanto en Arquitectura, con la finalidad de crear espacios para uso del hombre, como en Pintura y Escultura, para representar adecuadamente el cuerpo humano. La finalidad de tales normas es concretar todas las proporciones de una misma obra, resolviendo el problema de las relaciones entre las partes y el todo de los edificios. Vitrubio creó un modelo que consiste en considerar la altura como módulo y las otras partes del cuerpo como submúltiplos de esa unidad.

VITRUBIO, UN TEÓRICO DE LA ARQUITECTURA

EL CANON DE LEONARDO

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eonardo da Vinci (1452 - 1519) fue también un entusiasta de las proporciones y un magnífico geómetra. Adaptó las ideas de Vitrubio para crear una de las imágenes más famosas de la historia: El Hombre de Vitrubio, que dibujó en 1492 en Venecia. En él aparece una interpretación armónica del cuerpo humano basada en la proporción áurea. Es decir, el lado del cuadrado y el radio de la circunferencia de su dibujo se hallan en la relación de FI=1,618. O bien, el ombligo divide la altura de su hombre en proporción áurea: hay la misma razón entre la altura y el ombligo como entre éste y el resto del cuerpo.

arcus Vitruvius (h. 46 a.C. 30 d.C.) fue un genial arquitecto romano que en su obra Los diez libros de Arquitectura expresó sus hipótesis sobre la armonía y las proporciones que debían regir la arquitectura. En su opinión, el hombre debería ser el que proporcionara la armonía de todas las construcciones arquitectónicas. Desarrolló modelos para las proporciones de capiteles, columnas, basas, ventanas y paramentos, usando la proporción áurea.

EL CANON DE VITRUBIO

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DE EL

MUNDO

por Lolita Brain

n dicha obra, Vitrubio escribía las siguientes palabras que definen su hipótesis de la armonía del cuerpo humano: "... y también el ombligo es el punto central natural del cuerpo humano, ya que si un hombre se echa sobre la espalda, con las manos y los pies extendidos, y coloca la punta de un compás en su ombligo, los dedos de las manos y los de los pies tocarán la circunferencia del círculo que así trazamos".

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HALLA EL OMBLIGO CON COMPÁS Prolonga el lado izquierdo del cuadrado. (verde) Encuentra el punto medio de la altura (M). Traza la diagonal del rectángulo inferior en que ha quedado dividido el cuadrado. (azul) Con centro en el punto medio de la altura, traza un arco cuyo radio es la diagonal anterior. (azul) Este arco corta en Q al segmento prolongado. Con centro en B y radio hasta BQ, traza un arco (rojo) que corta al cuadrado en O.

Y continúa: "Y de la misma forma que el cuerpo humano nos da un círculo que lo rodea, también podemos hallar un cuadrado donde igualmente esté encerrado el cuerpo humano. Porque si medimos la distancia desde las plantas de los pies hasta la punta de la cabeza y luego aplicamos esta misma medida a los brazos extendidos, encontraremos que la anchura es igual a la longitud, como en el caso de superficies planas que son perfectamente cuadradas".

O estará a la altura del ombligo.

“Si abres las piernas hasta reducir tu altura en una decimocuarta parte, y si extiendes y levantas los brazos hasta que los dedos corazón lleguen al nivel de la cima de la cabeza verás que el centro de los miembros extendidos se halla en el ombligo, y que el espacio entre las piernas formará un triángulo equilátero". L EONARDO DA VINCI.

EL MODELO ARITMÉTICO DE LEONARDO

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ero el canon de Leonardo es también aritmético. Esto significa que toma una parte del cuerpo como unidad y las restantes se obtienen como múltiplos de ella. Él tomó como unidad la medida de la mano hasta la muñeca. Esta idea aritmética fue desarrollada por el arquitecto y escultor Alberti (1404-1472), quien en su tratado Sobre la pintura establece alternativamente el sistema armónico de Vitrubio y el aritmético. Alberti tomó como módulo en pintura la cabeza humana y en escultura, el pie.

La cara es tan amplia como la mano

LAS ÚLTIMAS INVESTIGACIONES

El ombligo es el centro del cuerpo

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ecientemente, el arquitecto C. Calvimonte, así como los estudiosos K. Schröer y K. Irle, sostienen la existencia de un círculo oculto en la imagen de Leonardo. Ese círculo viene dado por el punto en que el círculo corta al cuadrado (R) y su área es la misma que la del cuadrado de Leonardo. Proponen un mecanismo para aproximar la circulatura de un cuadrado.

Los genitales parten el cuerpo en dos mitades iguales

El cuerpo es tan alto como ocho manos. Esquema de módulos reflejado en el dibujo de Leonardo. La unidad es la mano. Los números indican las veces que las distintas medidas contienen a dicha unidad.

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EL MOLUSCO GEÓMETRA

Descubrir la presencia de las matemáticas en el mundo animal no deja de sorprendernos. Y si esta presencia se halla en un animal primitivo, cuyos ancestros dominaron los oceános en remotas eras geológicas, el asombro es mayor. Cuando al estudiar la morfología del nautilo camerado nos encontramos con una curva de propiedades maravillosas, la espiral equiangular, no podemos menos que imaginar que la Naturaleza sabe de matemáticas. Nada más lejos de la realidad: la evolución llevó a este molusco a adoptar una forma especialmente diseñada para favorecer su crecimiento.

por Lolita Brain

LA ESPIRAL EQUIANGULAR

EL CEFALÓPODO MATEMÁTICO

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l nautilo camerado, Nautilus macromphalus, es un molusco cefalópodo como el pulpo o la sepia. A diferencia de ellos, habita en una concha en forma de espiral equiangular. El nautilo construye su casa a medida que crece, creando una nueva cámara mayor que la anterior en la que habita.

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a espiral equiangular fue descubierta por Descartes en 1638. La propiedad fundamental de esta espiral es que la recta tangente por uno de sus puntos forma un ángulo constante con el radio de la espiral que une su centro y el punto. Esto lleva a una propiedad intuida por Descartes: todas las secciones de una espiral equiangular determinada por sus radios, que abarquen el mismo ángulo, tienen la misma forma. Esta es su grandeza. RENÉ DESCARTES

(1596 -1650)

TANGENTES

LAS

CÁMARAS TIENEN FORMAS ISO-

MÉTRICAS.

ESTO QUIERE DECIR QUE

POSEEN LA MISMA FORMA PERO DISTINTO TAMAÑO.

ESTO

PERMITE AL

NAUTILO CRECER MANTENIENDO A LO LARGO DE TODA SU VIDA LA MISMA FORMA.

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LAS CUATRO SECCIONES

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DE EL

CORRESPONDEN A UN ÁNGULO DE

90 . POR TANTO O

TIENEN FORMAS ISOMÉTRICAS: IGUALES EN

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FORMA PERO DE TAMAÑO DISTINTO.

LAS CUATRO SECCIONES COLOCADAS EN LA MISMA POSICIÓN.VEMOS COMO GUARDAN UNA RELACIÓN DE PROPORCIONALIDAD.

UNA CÁMARA SE OBTIENE DE LAS OTRAS POR HOMOTECIA.

LA ISOMETRÍA DE LA CONCHA

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el mismo modo que sucede con la curva de Descartes, en el nautilo, las distintas partes de su concha son isométricas, una se obtiene de la otra por ampliación o reducción. Las distintas partes coloreadas del la imagen muestran partes de un nautilo que son isométricas.

EL CRECIMIENTO DE UN ‘NAUTILUS’

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ntre dos cámaras consecutivas del nautilo, por tanto entre dos estadios de su crecimiento, existe una relación de isometría que es del 6%.Por tanto el animal puede crecer un 6% más al ocupar una nueva cámara, y exactamente con la misma forma.

LAS DISTINTAS PAREDES AUMENTAN SU GROSOR PROPORCIONALMENTE AL RADIO DE LA CONCHA. PERFORACIONES TUMULIFORMES

Y PARA NADAR ¿QUÉ? El nautilo necesita 18 cámaras para completar una vuelta completa. En este proceso el animal triplica su tamaño.

ENTRE LA CÁMARA AZUL Y LA VERDE, EL NAUTILO CRECE UN 6%. LAS DOS CÁMARAS TIENEN LA MISMA FORMA, PERO TAMAÑOS DISTINTOS.

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l nautilo desciende a profundidades enormes. Regula su profundidad a través de las perforaciones tumuliformes de sus cámaras. Llenándolas de gas o de fluido cambia su flotabilidad. Al sumergirse aumenta la presión hidrostática que llega a ser de 10 atmósferas, con grave riesgo de romperse o deformarse. Este peligro es mayor al aumentar el tamaño. Sin embargo, se ha demostrado que el riesgo de rotura es el mismo, independientemente del tamaño, siempre que el grosor de las paredes crezca proporcionalmente con la concha. Así sucede en el nautilo, que se siente seguro aun cuando aumenta www.lolitabrain.com su tamaño.


EL PADRE DEL ÁLGEBRA

Si por alguna razón la matemática es conocida, si existe algún concepto matemático que goce de general conocimiento y respeto, ése es el de ecuación. El término en sí recoje tantas y tan distintas acepciones que han cambiado a lo largo de la Historia que resulta imposible poder englobar todo lo que se dice y se ha dicho sobre las ecuaciones en una sóla definición. En el origen de su tratamiento sistemático se haya una palabra mágica: el álgebra. Símbolo de generalidad y abstracción y por ello, de utilidad.

por Lolita Brain

EL PADRE DEL ÁLGEBRA

¿QUÉ ES UNA ECUACIÓN?

l ÁLGEBRA es el corazón de la matemática. Salpìca todos sus rincones. En su origen, nace como respuesta a la necesidad de resolver ecuaciones sistematicamente. Es decir, cómo la búsqeuda de mecanismos que permitan solucionar problemas que aparecen una y otra vez bajo la misma forma, y a los que se debe proporcionar idénticas procedimientos de resolución. AlKhwarizmi fue un brillante astrónomo y bibliotecario de la Casa de la Sabiduria y del Observatorio Astronómico de Bagdad. Su brillantez reside en reconocer la similitud formal de múltiples fenómenos y dar solución común a ellos.

a definición de ecuación puede ser tan simple como una igualdad en la que algunos términos son desconocidos. Resolver la ecuación significa por tanto, encontrar los valores de esos términos desconocidos. Sin embargo hay tantos tipos de ecuaciones que esta definición no basta, aunque es perfectamente válida para la época de Al-Khwarizmi. Desde tiempos de los babilonios, el hombre se planteó problemas cotidianos en los que debía encontrarse algún valor númerico . El álgebra aparece cuando esos problemas particulares se estudian con una visión generalista. Hasta bien entrado el siglo XVI, las ecuaciones tenían un significado geométrico heredado de los griegos.

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ABU JA'FAR MUHAMMAD IBN MUSA AL-KHWARIZMI (HACIA 780 - 850)

OTRO CASO x2

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AULA DE EL

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La ecuación anterior se interpreta geometricamete del siguiente modo: un cuadrado de lado desconocido, x, tiene una superficie que mide x2. Un rectángulo que tul-Kwarizmi clasifica las ecuaciones de segundo grado en seis viera un lado como el del cuadrado, x, y el otro de 10 unidades tendría de área de tipos distintos. Estudia cada caso de modo separado. Aun- 10x. Así pues las áreas de esas dos figuras debe resultar igual a 39. El problema es que nosotros no las catalogamos de igual forma, se hizo así determinar el lado del cuadrado original. hasta el siglo XVI.

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x

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LA SOLUCIÓN

l-Kwarizmi utiliza hábiles métodos geometrícos para encontrar la solución. Cada forma de ecuación requiere una técnica distinta para su solución. No se consideran las cantidades negativas. Recuerda que los negativos no llegarán hasta muy avanzado el siglo XVI

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Partimo de la versión geométrica de la ecuación, distinta de la anterior.

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Dividimos el rectángulo 10x en dos partes iguales.

Obtenemos de una mitad el cuadrado amarillo x2. Formamos un cuadrado agregando el rectángulo azul y el cuadrado naranja a la otra mitad.

PASO 1 Dividimos el rectángulo en cuatro partes iguales manteniendo el lado de medida x. Se coloca alrededor del cuadrado cuyo lado desconocemos. La figura de la derecha debe tener por tanto un área de 39 unidades cuadradas (u2).

PASO 2 Si observamos la igualdad entre las áreas de las diferentes figuras en las que descompusimos el diagrama inicial, ya casi tenemos la solución.

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Podemos completar la figura anterior con cuatro cuadrados de lado 5/2. Así podemos poner: CUADRADO GRANDE = 39 U2+ 4 CUADRADOS PEQUEÑOS CUADRADO PEQUEÑO = (5/2) X (5/2) = 25 /4 U2. CUADRADO GRANDE = 39 U2+ 4 X 25/4 U2= 64 U2

Basta observar que el cuadrado naranja tiene de lado 5 -X ( 5 menos el valor buscado). Es sencillo ver que x ha de valer 1.

entonces ya hemos completado el cuadrado y LADO CUADRADO GRANDE = 8 (8 X8 =64) LADO CUADRADO GRANDE = X + 5/2 + 5/2 = X + 5. SOLUCIÓN: X = 3

AL-JABR Y AL-MUQABALA

AL-JABR proviene de jabr que significa restaurar, insertar. Los médicos que reparaban los huesos se llamaban algebristas. En las ecuaciones se corresponde con lo que nostros denominamos “pasar al otro miembro”. Nuestra palabra ÁLGEBRA proviene de éste término.

a principal obra de Al-Kwarizmi se titula AL-MUJTASAR FI HISAB AL-JABR WA’L-MUQABALA. Ambos términos son de dificil traducción y corresponden a los dos mecanismos que utiliza el autor para resolver las ecuaciones, y que se corresponden con las técnicas que hoy utilizamos nosotros. En sus páginas se estudian las soluciones de los seis tipos distintos de ecuaciones de segundo grado que él consideró.

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MUQABALA significa comparación y se relaciona con nuestra técnica de “agrupar términos semejantes”.

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AL-KHWARIZMI, AL-MUJTASAR AL-JABR WA’L-MUQABALA. FUE TRADUCIDO AL POR R OBERTO DE C HESTER EN T OLEDO EN

PÁGINA

DEL TEXTO DE

FI HISAB LATÍN

1145 www.lolitabrain.com


EL RECTÁNGULO DIVINO

La semana pasada te presentamos unos de esos números que “aparecen” sin cesar en el arte proporcionando armonía a las composisiciones. Pero no acaba ahí la presencia del NÚMERO DE ORO (FI). En el mundo natural podemos encontrar formas de seres o modelos de crecimiento que responden a un sistema armónico áureo. Detrás de ello se encuentra la presencia de la figura más simple que manifiesta esa armonía: el rectángulo áureo, módulo básico de construcción de arquitectos y pintores. Veamos algunas de sus propiedades.

por Lolita Brain CUANDO se trabaja con la proporción áurea siempre la construcción fundamental es la de un RECTÁNGULO ÁUREO . Es aquél en el que la relación entre el lado mayor ( AM ) y el menor ( AC ) es Fi=1,618.... Para construirlo geométricamente debes seguir tres pasos:

1.- Dibuja en primer lugar un cuadrado (ABCD) cuyo lado sea igual al menor de los lados del rec tángulo áureo que construiremos. 2.- Encuentra el punto medio del lado CD (O). 3.- Con un compás traza un arco con centro en O y radio OB.

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os figuras geométricas se denominan SEMEJANTES si son iguales aunque de distinto tamaño y posición. Así cuando haces una fotocopia reducida estás generando una figura semejante al original. Si no cambia la posición, sino sólo el tamaño, se llaman figuras HOMOTÉTICAS. Esto es muy importante en la arquitectura ya que a menudo las partes de una fachada reproducen proporciones de toda ella. La escultura, la música, la poesía y la pintura también usan este modelo de analogía armónica. El modelo del Partenón de la foto te ayudará a entender esto. El rectángulo de toda la fachada se descompone en rectángulos semejantes y cuadrados. Todos ellos tienen relación con el rectángulo áureo. Parte de la armonía que el edificio nos transmite descansa en esa regularidad, que inconscientemente percibimos.

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DE EL

MUNDO

El punto N donde el arco corta al lado CN una vez prolongado, es el vértice correspondiente al rectángulo áureo ACNM .

Una forma muy sencilla de construir un rectángu lo semejente a otro dado es la siguiente: 1.- Dibuja la diagonal ( AB ) del rectángulo de partida (ABCD ). 2.- Desde cualquiera de los otros vértices traza una perpendicular a ella que

d

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a

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e todos los rectángulos, el rectángulo áureo es el único que tiene una propiedad muy interesante. Su gnomon es un cuadrado. Por lo tanto, si sobre el lado mayor de un rectángulo áureo construimos un cuadrado, obtenemos otro rectángulo áureo. Además sus áreas están en la proporción FI2. En esta propiedad descansa una de las razones por las que aparece en la naturaleza como modelo de crecimiento la proporción áurea: caracolas, piñas, filotaxia, estrellas de mar...

C º 90

B

cortará en d al otro lado. 3.-El segmento paralelo al lado CB que pasa por d nos proporciona el rectángulo semejante al original (aBCd). Se divide así el rectángulo inicial en otros dos: uno semejante ( aBCd ) y otro (AadD ).

EL RECTÁNGULO RESTANTE SE LLAMA GNOMON ¿QUÉ SIGNIFICADO TIENE ? P UES ES LA SUPERFICIE MÍNIMA QUE AÑADIDA AL RECTÁNGULO RECÍPROCO PROPORCIONA UNA FIGURA SEMEJANTE. DEL RECTÁNGULO RECÍPROCO .

EL RECTÁNGULO INTERIOR Y SEMEJAN TE SE DENOMINA RECÍPROCO.

SEMEJANTES

Puedes averiguar muy facilmente si un rectángulo es un rectángulo áureo. Para ello basta con colocar dos copias del rectángulo en cuestión tal como indica la figura, trazar la diagonal AC y prolongarla. Si dicha diagonal pasa por N, tenemos un rectángulo áureo. ¿Has probado con una tarjeta de crédito o con el D.N.I.?

PASO 1

PASO 3

PASO 2

Estos diagramas muestran el modo de crecimiento gnomónico. A partir de un rectángul o á u r e o , ( P ASO 1 ) añadimos un cua drado y obtenemos un segundo rectáng u l o á u r e o ( P ASO 2). Procediendo de igual modo tantas veces como sea preciso obtenemos rectángulos cuyas áreas están en proporción geométri ca, obtenido como simple adición. ¿No te suena a los logaritmos?

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PASO 4

lberto Durero (1471 - 1528) utilizó la geometría en su arte. Inventor de la perspectiva, también creó la “ESPIRAL DE D URERO ”. A partir del diagrama anterior (Paso 4) uniendo los vértices alternos con arcos de circunferencia se forma una espiral, que no es exactamente la que algunos moluscos muestran. Pero casi. La espiral de los nautilus, suelen ser ESPIRALES LOGARÍTMICAS, una de las curvas más particulares que conocemos.

ALBERTO DURERO

lolitabrain@hotmail.com


ESE MISTERIOSO NÚMERO PI

Si hay un número que permanece unido a cada uno de nosotros desde la infancia es el misterioso tres catorce dieciséis que aprendimos a escribir de niños en nuestra primera fórmula auténtica: la que calculaba la longitud de la rueda de una bicicleta. El misterioso número estaba bautizado con una letra griega, quizá la primera de nuestra vida, equivalente a la p. Hablamos del número PI, uno de los más omnipresentes de toda la Matemática. Su relación con la circunferencia es la responsable de su ubicuidad, desde la Geometría hasta la Estadística.

por Lolita Brain

PERO ¿ QUÉ ES PI?

E

n la escuela aprendemos que la longitud de la curva más primitiva y regular que existe, la circunferencia, es la longitud de su diámetro multiplicada por PI; o que la superficie de un terreno circular contiene PI veces al cuadrado del radio. ¿Y todo esto qué significa? Sencillamente, que si trazas una circunferencia con radio 1 m., el área limitada mide PI m2. Semejante y poco intuitivo número ha sido

conocido desde siempre, ya que la circunferencia interesó y ha sido objeto de persecución a lo largo de los siglos.Y es que PI, para ser tan común, goza de atributos muy particulares: es irracional, lo que significa que tiene infinitas cifras decimales no periódicas, o dicho de otro modo, siempre será un desconocido; y además es trascendente, pero eso es otra historia muy compleja.

PI EN LA SAGRADA BIBLIA En el Libro de los Reyes (s. III a.C.) de la Biblia se recoge el pasaje:

ARQUÍMEDES Y PI

Reyes 1.7.23. Hizo asimismo un mar de fundición, de diez codos del uno al otro lado, redondo, y de cinco codos de alto, y ceñíalo en derredor un cordón de treinta codos. Si lo piensas bien, el valor que se utiliza para PI es de 3, seguramente de origen egipcio. En el Talmud judío se sigue considerando el mismo valor de PI, hecho asombroso si tenemos en cuenta que se escribió a partir del siglo III d.C., y por tanto varios siglos despues de Arquímedes.

LOS EGIPCIOS Y PI 8

AULA

DE EL

MUNDO

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PI EN CHINA

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ara los egipcios, la motivación del conocimiento del área del círculo era la construcción de silos de forma cilíndrica para guardar el grano. Eso les llevó inicialmente a estimar PI como 3, aunque se conocen mejores aproximaciones egipcias, como la tradicional de los e s c r i b a s PI=256/81=3’1605, bastante exacta. Otro valor más tardío es PI=3+1/7=3’1428. En el problema 48 del Papiro Rhind, en la imagen, el escriba Ahmes nos explica cómo calcular el área de un círculo con diámetro de nueve unidades. En su solución se usa 3’1405.

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n el ‘Chiu Chang Suan Ching’, ‘Nueve Capítulos sobre el Arte Matemático’, del siglo II a.C., se utiliza PI con el grosero valor de 3, que permaneció en uso mucho tiempo en China. Hay que remontarse al 130 d.C. para encontrar como valor de PI la Raíz de 10=3’1622. A mediados del siglo tercero, el astrónomo Wang Fan estimó PI como 157/50= 3’14 exacto, y acotó que PI estaba entre 3’141024 y 3’142704, acotación que, aunque muy buena, es peor que la que dio Arquímedes 500 años antes.

PI, PROTAGONISTA DEL CINE

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EL PI ANALÍTICO

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rquímedes de Siracusa (287 a.C.) marca un antes y un después tanto en la búsqueda de una aproximación del valor de PI como en la comprensión del significado de esta constante. Hacia el 215 a.C. escribió ‘Sobre la medida del círculo’, en la que utilizando la reducción al absurdo y el método de exhaución de Eudoxo llega a calcular ¡sin calculadora! una aproximación de un círculo por un polígono de nada menos que 96 lados, y concluye que PI está entre 6.336/2.017 y 29.376/9.347, es decir, entre 3’1412989 y 3’1428265, la mejor aproximación de su tiempo y una de las mejores de toda la historia.

on el desarrollo del álgebra francés y la aparición del ANÁLISIS a lo largo de los siglos XVII y XVIII, se encontraron fórmulas asombrosas con sumas o productos de infinitos números que proporcionan más y más decimales de PI conforme se usan más sumandos o factores.

l siempre inteligentísimo y brillante Mr. Spock, de la serie futurista ‘Star Trek’, consiguió salvar a la tripulación de la maldad de una diabólica computadora. Spock le ordenó que calculara el valor de PI y como PI es irracional la computadora se quedó presa de un proceso sin fin. Mientras ella calculaba... ellos escapaban.

FRANçOISE VIÈTE (1540-1603)

JOHN WALLIS (1616-1703)

GOTTFRIED LEIBNIZ (1646-1716)

La fórmula de Viète, aun siendo algo más difícil de calcular que sus compañeras, tiene el mérito de haber sido descubierta antes de las primeras ideas del análisis matemático de Wallis o de Leibniz.

La fórmula de Wallis es muy fácil de calcular. Se multiplican los números pares consecutivos y se divide por los impares, repetidos dos veces.

La fórmula de Leibniz es sencilla: basta con sumar y restar alternativamente fracciones con los impares en el denominador. Luego se multiplica por cuatro.

Con fórmulas similares a éstas y el uso de computadores fue posible calcular un número anteriormente inimaginable de cifras de PI. Sus primeros 100.265 decimales se obtuvieron en 1961 en un IBM 7090. William Shanks pasará a la historia como el más perseverante calculador de cifras de PI. Pasó 20 años calculando sus primeros 707 decimales. Pero en 1945 la computadora ENIAC descubrió que había cometido un error en el dígito 528 y... en todos los siguientes. En 1949 el ENIAC invirtió 70 horas de procesamiento para calcular las primeras 2.000 cifras de PI. www.lolitabrain.com


GALILEO, KING KONG Y EL ACERO

Mirando la naturaleza parece que el tamaño de las cosas que pueblan el mundo no puede aumentar sin límite. Aunque haya habido animales gigantescos y aún hoy el océano esté poblado de gigantescos mamíferos, parece que debe haber razones suficientes para pensar que un gorila del tamaño de King Kong no puede existir. El tamaño de los seres vivos se rige por muchos parámetros que son diferentes si hablamos de seres pequeños o grandes. El ser grande tiene muchas limitaciones para vivir.

por Lolita Brain

LAS ESCALAS Y LAS DIMENSIONES uando hablamos del tamaño de los seres debemos reflexionar sobre cómo afectan los cambios de dimensión en algunas de sus propiedades geométricas. Podriamos preguntarnos por las modificacióes que sufriría el tamaño de

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la piel de un elefante si duplicáramos su altura. O el peso que en ese caso tendría el elefante. Lo más importante es apreciar que los cambios en una dimensión, la longitud, afecta gravemente al área y al volumen que determina.

LONGITUD LADO=1 PERÍMETRO=4X1=4 ÁREA DE LA CARA= 12=1 VOLUMEN = 13=1 LONGITUD LADO=3 PERÍMETRO DE LA CARA=4X3=12 ÁREA DE LA CARA= 32=9 VOLUMEN = 33=27

LONGITUD LADO=2 PERÍMETRO DE LA CARA=4X2=8 ÁREA DE LA CARA= 22=4 VOLUMEN = 23=8

Los cubos grandes de la imagen se obtienen del primero al duplicar y triplicar su lado. Mientras el perímetro cambia igual que el factor de escala, el área de las caras aumenta con el cuadrado de ella y el volumen con ¡su cubo!

Y CON LA ESFERA ¿ QUÉ SUCEDE ? on las esferas sucede algo análogo pero en relación con su diámetro o su radio. Así la longitud de un círculo máximo es proporcional al diámetro, la superficie de su cubierta es proporcional al cuadrado del diámetro y su volumen cambia con el cubo del diámetro.

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AULA DE EL

MUNDO

Una pelota de baloncesto tiene un diámetro algo más de cuatro veces el de una de tenis. En cambio, se necesita dieciocho veces más material para confeccionarla . Y en su interior, infladas a la misma presión , cabría casi ochenta veces más aire.

GALILEO GALILEI

(1564 -1642)

GALILEO EL PIONERO Galileo, como en tantas otras ocasiones, fue el primero en pensar en los problemas que la escala traía consigo para los seres vivos. En su Diálogo acerca de dos nuevas ciencias razona que ha de haber un límite en el crecimiento de los seres. Límites resultantes de las fuerzas y resistencias de las estructuras de, por ejemplo, los huesos.

Dibujo de Galileo que muestra un hueso y otro tres veces más largo y proporcionado para que realice la misma función que el pequeño.

EL ACERO Y LA PRESIÓN uando los huesos soportan el peso de un animal se comportan de modo similar al acero. El peso de un cubo de acero se aguanta sobre su base ejerciendo sobre ella una presión que depende del área de la base y del peso del cubo. Cuando se aumenta la escala del cubo en un determinado factor, la presión ejercida lo hace en la misma relación. La capacidad de soporte de los huesos depende de su resistencia a la presión, y ésta del área de su sección.

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LONGITUD LADO=1 ÁREA DE LA BASE= 12=1 VOLUMEN = 13=1 PESO=8X1=8 KG PRESIÓN SOBRE LA BASE=8/1=8 KG POR CM2

LONGITUD LADO=3 ÁREA DE LA BASE= 32=9 VOLUMEN = 33=27 PESO=8X27=216 KG PRESIÓN SOBRE LA BASE= 216/9=27 KG POR CM2

LA MONTAÑA MÁS ALTA i aplicamos un método similar a las montañas podemos confirmar la idea de Galieo de que hasta las montañas están limitadas en su altura, principalmente por efecto de la gravedad que determina el peso de las pártículas que la forman. Para ello nos imaginaremos la cima del Everest, como un cono de 8.800 metros de altura, uniforme y de granito, roca muy común en las montañas. La base la imaginamos del mismo diámetro. Bajo estos supuestos la masa del monte sería de unas 700.000.000.000.000 toneladas. Esta masa ejerce sobre la hipotética base del monte, una presión de 9 millones de kilogramos por cada metro cuadrado. Y no se derrumba porque el granito tiene uns resistencia mayor. Si continuáramos calculando veríamos que una montaña que midiera el doble estaría en el límite de la resistencia del granito y se derrumbaría bajo su propio peso. Galileo tenía razón. Pero... ¡ En Marte no sucede lo mismo!

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¿PUEDE EXISTIR KING KONG? amentablemente King Kong no puede existir a menos que deje de ser un gorila. Los huesos del mono no podrían resitir el peso del gigantesco monstruo que quedaría aplastado por su propio peso. Al ser unas veinte veces mayor que un gorila normal, su peso se haría unas 203 =8000 veces mayor. En cambio, la sección de sus huesos solo crecería 202=400 veces.

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GEOMETRÍA DE CHICLE

Cuando hablamos de geometría enseguida nos vienen a la memoria cuerpos geométricos, medidas y cálculos sobre ellas. Se nos hace difícil poder imaginar una geometría en la que no se mida y en la que los números están prácticamente desterrados. Pero esa geometría existe, no es un ejercicio de imaginación. En realidad acabó siendo tan diferente a la geometría habitual que se denominó Topología, que viene a significar algo así como el estudio de los lugares. En ella no importa si dos figuras tienen o no el mismo tamaño o la misma forma para que sean estudiadas como una sola.

por Lolita Brain

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LEONARD EULER (1707-1783)

as primeras menciones históricas a una geometría sin medidas, procede de Leibnitz quien la llamó Analysis Situs (geometría de posición). Sin embargo quien realmente propuso topológicamente -y resolvió- el primer problema topológico de la historia fue el suizo Euler en un artículo de 1726. En él resolvió el famoso problema de Los puentes de Köninsgberg. Posteriormente encontró la valiosísima Fórmula de Euler entre otros resultados.

LOS PUENTES DE

Fórmula de Euler

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KÖNINSBERG

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AULA

DE EL

a ciudad alemana de Köningsberg es muy peculiar: tiene dos islas centrales sobre el río Pregel que se unen a tierra firme por siete puentes. El problema sugiere la siguiente pregunta: ¿Es posible recorrer los siete puentes sin pasar dos veces por el mismo puente? A pesar de que la pregunta parece trivial, no lo es en absoluto. Euler se dio cuenta de que aunque parece un problema de geometría, por ningún lado intervienen distancias, longitudes o medidas. Observó que lo importante era la relación existente entre los puntos y los caminos.

a famosísima FÓRMULA DE EULER, nació del estudio que realizó éste de los poliedros. Resulta curioso que habiendo sido estudiados casi al completo por Arquímedes, nadie hubiera caído en el resultado. La fórmula da una relación entre el número de vértices, aristas y caras de los poliedros. Después se demostró que sirve para muchos más cuerpos y que este valor depende del género topológico de la figura DODECAEDRO CARAS (12) + VÉRTICES (20)= ARISTAS (30)+2 partir de un esquema de los puentes, Euler estudió el gráfico adjunto, en el que los puentes son vértices de un NUDO, y los caminos son SEGMENTOS DE CUERDA. Así el a solución de Euler es negativa: NO es problema pasaposible cruzar los siete puentes sin paba a ser de sar alguna vez dos veces por el mismo puntos y puente. De hecho su solución es mucho segmenmás general, ya que afirma que en todo t o s . grafo en el que haya algún vértice en el Había que confluyan un número impar de ca nacido la minos, no podrá recorrerse sin pasar dos Teoría de veces por el mismo sitio. Grafos.

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no de los aspectos que estudia la topología es el INTERIOR y el EXTERIOR de los cuerpos. Por ejemplo, si trazas una circunferencia, ésta divide el plano en dos partes: una interior y otra exterior a la curva. Para pasar de un lado al otro, es necesario cruzar la circunferencia. Sin embargo en multitud de ocasiones la intuición nos engaña. Por ejemplo, todos diríamos que un chaleco está dentro de una chaqueta, y que sin quitarse la chaqueta, es imposible deshacerse del chaleco. ¿Seguro? Echa un vistazo a la secuencia de la izquierda. Como ves el hábil mago, demuestra lo que la topología ya sabía: que el chaleco nunca estuvo en el interior de la chaqueta.

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Una de las ideas fundamentales de la topología es la idea de figuras HOMEOMORFAS. La idea intuitiva es sencilla. Puesto que esta rama de las matemáticas estudia una geometría en la que lo importante son las posisiciones relativas entre los puntos de los cuerpos, es claro que si imaginamos los objetos geométricos fabricados con plastilina, las deformaciones que hagamos con ellos -por estiramiento o compactamiento pero sin rotura- generan nuevos cuerpos en los que los puntos que estaban próximos entre sí siguen estándolo. Para la topología esos cuerpos son iguales y se les denomina homeomorfos.

tro de los problemas que estudia la topología es el de la orientación de los espacios. La orientación topológica recoge la misma idea que tenemos todos: habla de izquierda y derecha o arriba y abajo. Pero en topología se estudian cuerpos asombrosos en los que la derecha puede convertirse en la izquierda: por ejemplo la Cinta de Möbius de la derecha es un espacio en el que una manopla diestra, tras recorrer la cinta completamente, se convierte en una manopla izquierda ¡sólo por cambiar de sitio en la cinta!. Asombroso. lolitabrain@hotmail.com


H A S TA E L I N F I N I T O Y MAS ALLA

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H I P Ó T E S I S

D E L

C O N T I N U O

Probablemente el más grande de los hallazgos de Cantor fue que los infinitos no son únicos. Los números reales eran más numerosos que los naturales, y a Cantor le asaltó la pregunta de si ¿habrá algún conjunto que teniendo más elementos que los naturales, sea menos numeroso que los puntos del plano? O dicho de otro modo, ¿será el infinito de los puntos de una recta el siguiente infinito al de los números de contar, o habrá entre ellos otro número infinito?, ¿será el CONTINUO el siguiente número a ALEF CERO? Cantor pensó que así era, que tras el menor de los infinitos que conocemos -ALEF CERO- venía el continuo, por lo que decidió llamarlo tambien ALEF UNO. Pero esto era sólo una hipótesis. Ni Cantor, ni nadie tras él, ha conseguido probar que las cosas sean así. Ni tampoco se ha probado lo contrario. La conjetura de Cantor se denomiHIPÓTESIS DEL CONTINUO”. na “H

Habíamos dejado en nuestra última lámina a Cantor y Dedeking explorando el infinito. Nos habían contado la diferencia esencial entre un conjunto infinito y otro finito. En los conjuntos infinitos, el todo no siempre es mayor que sus partes. Son conjuntos tales que, por lo menos, contienen un subconjunto con tantos elementos como él mismo. Además nos enseñaron un procedimiento para saber si dos conjuntos infinitos son o no iguales. Resultados asombrosos que rompen nuestra intuición: por ejemplo, todos sabemos que la mitad de los números son pares, y la otra mitad impares... Sin embargo, siendo infinitos son tan numerosos como todos los números juntos, pares e impares. Prepárate porque esto no ha hecho sino empezar. Abróchate el cinturón y sumérgete en el infinito...

por Lolita Brain

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l renombrado HOTEL A LEF C ERO , de NÚMEROLAND, llegaron para asistir a un congreso todos los habitantes de la ciudad SEGMENTO UNITARIO, los señores PUNTO. Pequeñísimos habitantes del segmento de longitud 1, el que va desde la marca 0 hasta la marca 1 de una regla. Eran unos respetables ciudadanos que se jactaban de existir casi desde siempre, aunque solían referirse a Euclides como el gran fundador de la cultura del segmento. Y por supuesto, eran infinitos. Eran tan numerosos, sociables y vivían tan unidos que les llamaban el CONTINUO. El gerente del hotel, el señor ORDINAL,

dispuso que se habilitara una habitación para cada uno de los señores PUNTO que iban a llegar. El señor ORDINAL estaba muy orgulloso de regentar un hotel con infinitas habitaciones. Aún recordaba cuando alojó a todos los señores ENTEROS, y más sonada fue la ocasión en la que, ante el estupor de todos, consiguió hospedar a todos los RACIONALES, aristócratas de NÚMEROLAND. El joven y osado botones del hotel, de nombre CANTOR, se acercó al SR. ORDINAL y le espetó: - Disculpe SR. ORDINAL, pero creo que no va a ser posible alojar a todos los señores PUNTO... - ¡Cómo que no! se apresuró a atajar el SR. ORDINAL. ¿Acaso no sabe us-

ted que nuestro hotel dispone de infinitas habitaciones? ¡Exactamente ALEF CERO! -recalcó. - Sí, ya se... pero las cosas no son tan simples... ¡no sabe usted cuán numerosos son los habitantes de la ciudad de SEGMENTO UNITARIO! Pero si me permite le convenceré de lo que digo. - Adelante, adelante... si así se queda usted satisfecho... le escucho. - Veamos -comenzó a decir Cantor con voz solemne y satisfecha- como usted bien sabe, cada habitante de la ciudad SEGMENTO UNITARIO tiene un número identificativo que se le asigna cuando nace y le diferencia de sus conciudadanos. - Así es en efecto... - ...Y usted también sabrá que, con lo raros y disciplinados que son los señores PUNTO, todos sus códigos de identificación siguen el mismo patrón, son de la forma 0,d1d2d3d4.... ya sabe, decimales del tipo “cero y coma” y una lista sin fin de decimales. - Sí, ya se, ellos le llaman su Nombre Decimal. - Pues bien, usted dice que puede alojarlos a todos ¿no es así? - ¡En efecto! - Bien, imaginemos que usted tiene razón y que ya tiene alojado a cada señor PUNTO en su habitación correspondiente... - ¡Ve cómo al final me da la razón!, replicó entusiasmado el SR. ORDINAL. - ¡No tan deprisa!.. Sólo he dicho imaginemos... En realidad le voy a demostrar que eso no es p o s i b l e . Estará conmigo en que, si encuentro el Número Decimal de algún señor Punto que no

puede estar hospedado en ninguna habitación... me dará la razón. - ¡Por supuesto! Pero estoy seguro de que no podrá probarme eso. - ¿Podría traer la lista de las habitaciones, para saber qué PUNTO está alojado en cada habitación? - Aquí la tengo. -Dígame el DNI del señor PUNTO alojado en la habitación 1. - Sí, déjeme mirar... es el 0.468211532.... - Vale, vale. Su primer dígito decimal es el 4. Dígame un número distinto del 4, por favor. El SR. ORDINAL le dijo el 6 y Cantor anotó en su libreta 0.6. - Ahora déme el DNI del huésped de la habitación 2. - Es el 0.1563315... - Su segundo dígito es el 5, SR. ORDINAL. Escoja un número distinto de 5. - El 4 por ejemplo. Y Cantor anotó ahora 0.64. - Ahora vayamos a la habitación nº 3. - Sí, ya se... Ahí se ha alojado el SR. PUNTO con número decimal 0.56847216.... Y su tercera cifra es el 8, que usted quiere que la cambie, por ejemplo por el 2... - En efecto. Veo que entiende por dónde voy -decía Cantor mientras anotaba 0.642... Estará usted conmigo que este procedimiento podemos realizarlo habitación tras habitación. Y en cada una de ellas cambiaremos en el DNI del correspondiente SR. PUNTO, el decimal que ocupa la misma posición que el número de la habitación en la que se encuentra... Pues ya he terminado. -¿Cómo que ya ha terminado? ¿Qué tiene esto que ver con mis huéspedes? -preguntó irritado el SR. ORDI-

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NAL. - Muy sencillo. Según lo visto, podemos fabricar el DNI de un SR. PUNTO 0.642... que no está en la habitación nº1 porque su primer decimal es distinto del huésped allí instalado. Tampoco puede ser el del SR. PUNTO que ocupa la habitación nº 2 porque son distintos en el segundo decimal, ni puede ser el Sr. de la habitación nº 3, ni el de la 4 por la misma razón, ni el de... ¡ninguna! El SR. PUNTO identificado con el 0.642... que fabricamos, no es ninguno de los huéspedes que usted tiene alojados, y en cambio, es ciertamente un SR. PUNTO de la ciudad del SEGMENTO UNITARIO. Por lo tanto HAY MÁS SEÑORES PUNTO QUE HABITACIONES TIENE SU HOTEL. - De modo que... - Sí, de modo, SR. ORDINAL, que por muy infinito que sea el número de habitaciones de su hotel, deberá en-

... < 2

viar un fax urgente al SEGMENTO UNIpara lamentar la imposibilidad de acomodarles a todos... - En mis ALEF-CERO habitaciones ¿por lo menos a la mitad? ¿podría alojar a la mitad de los SRS. PUNTO? - Imposible. Ni con dos, ni con tres hoteles iguales podría alojar a los habitantes de SEGMENTO UNITARIO... de tantos como son... - ¡Increíble! Y pensar en lo pequeña que es su ciudad, apenas un centímetro de una recta. TARIO

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DE EL

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PAG 8-MIERCOLES 30 ABRIL

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HISTORIAS DE BAGDAD

La barbarie contra la cultura ha recorrido desde siempre la Historia del hombre a lo largo del tiempo. Los libros nos hablan de famosos saqueos y expolios cuya única intención era aniquilar al enemigo y borrar toda huella de su existencia, incluida por supuesto la cultural. A diferencia de las restantes pérdidas, a excepción de las humanas, la devastación cultural es irreversible. Bajo las llamas el pasado de una civilización se desvanece para siempre. Pensábamos que esas historias pertenecían al pasado. La evolución de la civilización las hacían impensables. Hace escasos días presenciábamos, casi en directo, el saqueo del patrimonio cultural no ya de un pueblo, sino de toda la Humanidad...

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i buscas en la Historia de la Ciencia, te encontrarás de protagonista la región que ocupa el actual Irak en, al menos, dos ocasiones. Una al comienzo de la civilización Occidental, en la cuna de la escritura, la aritmética, la astronomía y el Derecho. Junto a los ríos Tigris y Éufrates, los sumerios construían hace unos 5.000 años, las primeras ciudades del Hombre, mientras escribían su historia en tablillas de arcilla. La otra ocasión es en los siglos VIII y IX bajo la dinastía bagdadí.

ABU JA'FAR MUHAMMAD IBN MUSA AL-KHWARIZMI (780-850)

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Basta con seguir el ejemplo: Zaida vente 7 manzanas por 1 di nar. Con sus 50 manzanas, obtiene 7 dinares y le sobra una manzana. Fátima, al venderlas al mismo precio, obtiene 4 di nares y le sobran 2 manzanas. Rachidia obtiene de este modo 1 dinar y le quedan 3 manzanas. Seguidamente Zaida decide vender la manzana que le sobra por 3 dinares con lo que su venta total es de 10 dinares por las 50 manzanas. Lo mismo hacen sus hermanas, obteniendo en esta segunda fase Fátima 6 di nares y Rachidia 9. En total cada hermana ha obtenido 10 dinares vendiendo todas las manzanas.

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l-Khwarizmi y sus colegas los Banu Musa, eran alumnos de la Casa de la Sabiduría. Sus tareas consistían en la traducción de textos científicos griegos y por lotanto ellos estudiaron y copiaron textos sobre algebra, geometría y astronomía. Al-Khwarizmi trabajó bajo el mecenazgo del califa Al-Mamun al que dedicó su tratado de álgebra y el de astronomía. Su tratado HISAB AL-JABR W'ALMUQABALA es su trabajo más importante. La palabra “álgebra” procede de su título y éste es el primer libro jamás escrito de álgebra, aunque sólo su primera parte la llamaríamos hoy así. El texto tenía que ser muy práctico y debería enseñar los métodos de cálculo necesarios para resolver problemas de la vida cotidiana del Imperio islámico.

(Lolita Brain) EL IMPERIO BABILÓNICO de sarrolló un sistema de escritura en tablillas de barro sobre las que hacían muescas con un palo: la escritura cunneiforme, de la que nos han llegado ingentes canti dades de tablillas en perfecto estado. Muchas de ellas registran desde operaciones numéri cas ordinarias a cálculos astronómicos. Los babilonios son los creadores de un sistema de representación de los números similar al nues CÓDIGO DE HAMMURABI (FRAGMENTO) tro: el sistema posicional. Se dieron cuenta de que el mismo símbolo que representara un número (1, 2, 3 etc.) podía tener distinto valor según el lugar que ocupara. Los números del 1 al 59 se representaban de modo similar a los egipcios: tenían un símbolo para el 1(una muesca vertical) y otro para el 10 ( una muesca como un paréntesis), y los repetían hasta obtener el número deseado. Para los restantes números (desde el 60), los descomponían en múltiplos de 60, de 602=3.600 y así sucesivamente. Los dígitos tenían un valor u otro según la posición en que estuvieran colocados. No conocían el cero y por tanto dos doses juntos podían re presentar 22 o 202 ambigua mente. Ésta fue su principal limitación.

UN PROBLEMA BAGDADÍ

HARUN AL -R ASHID fue el quinto Califa de la dinas tía abasí desde 786. Harum regió desde Bagdad el im perio que se extendía des de el Mediterráneo hasta la India. Trajo la cultura a su corte e intentó establecer el estudio de disciplinas que no eran comunes en el mundo árabe. Cuando murió sus hijos Amin y Al-mamun se disputaron el tro no en una cruenta lucha entre facciones.

DE LA ÉPOCA

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CARLOMAGNO contempla el presente con el que el califa HARUNAL-RASCHID le agasaja: un elefante (hacia 800).

l califa AL-MAMUN (786 - 833) fue el hijo de Harun al-Rashid. Fue el mayor mecenas de la filosofía y la ciencia árabes. Fomentó las disputas sobre temas teológicos, lógicos y legales. Creó en Bagdad la famosa BAYT AL -H IKMAH (Casa de la Sabiduría), que combinaba una biblioteca y una academia al modo Alejandrino al que intentaba emular. Fue el centro de traducciones más importante de su época y por tanto pieza fundamental para que el legado griego e Monedas de cobre del Califato Abasida, del hindú llegareinado de Al-Mamun ran a la Europa medieval

l mercader Aziz Neman tenía tres hijas: Zaida, Fátima y Rachidia. Un día las envió al zoco a vender manzanas recién llegadas de Damasco. En total les dio 90 manzanas, de las cuales Zaida, la mayor, debía vender exactamente 50, Fátima llevaría 30 y Rachidia, la menor, sólo 10. Y les puso una condición: si Zaida vende, por ejemplo, las manzanas a siete piezas por un dinar, las demás hermanas han de venderlas al mismo precio, esto es, siete manzanas por un dinar. Si Zaida decidiera venderlas a tres por un dinar, las restantes hermanas así harían también. Pero además Aziz, muy exigente con la aritmética, les puso otra condición: las tres hermanas debían obtener la misma cantidad de dinares por sus respectivas ventas. ¿Cómo podían realizar la venta Zaida, Fátima y Rachidia para complacer a su padre? lolitabrain@hotmail.com


LAS MATEMÁTICAS Y LA REALIDAD

A pesar de parecer una disciplina infalible e incluso dogmática, la matemática, su significado, su aplicabilidad al mundo real, su esencia y su origen han sido tema de debate intenso en todos los tiempos. Los grandes matemáticos han reflexionado siempre sobre lo que la matemática es y significa. Hemos seleccionado unas reflexiones de famosísimos matemáticos de todos los tiempos en las que trasmiten su preocupaciones y sus convencimientos sobre estos temas. Verás que en el debate aparece la pregunta de siempre de si el mundo es como es, o si es así sólo porque es como lo percibimos.

por Lolita Brain

“EN CUALQUIER TEORÍA PARTICULAR SÓLO HAY DE CIENCIA REAL LO QUE HAYA DE MATEMÁTICAS”. INMANUEL KANT (1724-1804) “Surge aquí un enigma que ha inquietado a los cien-

Descartes, a pesar de ser un hombre muy piadoso, aquí niega la idea de que Dios pueda intervenir constantemente en el funcionamiento del mundo, dotando de valor su premo la invariabilidad de las le yes naturales.

tíficos de todas las épocas. ¿Cómo es posible que las matemáticas, un producto del pensamiento humano que es independiente de la experiencia, se acomode tan extraordinariamente a los objetos de la realidad física? ¿Puede la razón humana, sin la experiencia, descubrir mediante el pensamiento puro propiedades de las cosas reales?” y añadía a continuación, en una de sus más célebres frases sobre la ciencia:

“EN

LA MEDIDA EN QUE LAS PROPOSICIONES DE LAS

MATEMÁTICAS DAN CUENTA DE LA REALIDAD, NO SON CIERTAS; Y EN LA MEDIDA EN QUE SON CIERTAS, NO DESCRIBEN LA REALIDAD... PERO ES CIERTO, POR OTRA PARTE, QUE LAS MATEMÁTICAS EN GENERAL, Y LA GEOMETRÍA EN PARTICULAR, DEBEN SU EXISTENCIA A NUESTRA NECESIDAD DE APRENDER COSAS ACERCA DE LAS PROPIEDADES DE LOS OBJETOS REALES”.

ALBERT EINSTEIN (1879 -1955) EN ASPECTOS DE LA RELATIVIDAD (1921).

“HAY

8

“NO

MUNDO

INHERENTE A LA

LA NATURALEZA DE LA MISMA FORMA QUE

DIOS

ESTABLECIÓ ESTAS LEYES EN

UN SOBERANO DICTA LEYES EN SU REINO.

QUE SE REFLEJA

Y

EN

TAD CUANTO MENOS CONOCIDO FAMI-

NUESTRAS

MENTES BAJO LA

ASÍ COMO UN REY TIENE MÁS MAJES-

LIARMENTE ES POR SUS SÚBDITOS, ASÍ

IMAGEN DE SIM-

NOSOTROS TAMBIÉN JUZGAMOS LA GRAN-

PLES LEYES MA-

DEZA DE

TEMÁTICAS.

DIOS COMO INCOMPRENSIBLE Y

NO PENSAMOS QUE CARECEMOS DE REY.

ÉSTA ES LA RA-

OS

ZÓN POR LA QUE

ESTAS VERDADES, PODRÍA CAMBIARLAS,

LOS FENÓMENOS

LO MISMO QUE UN REY CAMBIA SUS

DE LA NATURA LEZA SON PRE DECIBLES

ME -

DIANTE UNA COMBINACIÓN DE OBSERVACIONES Y ANÁLISIS MATEMÁTICO.

NEWTON

POR

WILLIAM BLAKE

“CUANDO ESCRIBÍ MI TRATADO SOBRE NUESTRO SISTEMA, TENÍA PUESTA LA ESPERANZA EN QUE TALES PRINCIPIOS AYUDARAN A LOS HOMBRES A CREER EN DIOS; Y NADA ME REGOCIJA MÁS QUE ENCONTRARLOS ÚTILES

TURALEZA HA CONSEGUIDO LOGROS MÁS ALLÁ DE

PARA ESTOS PROPÓSITOS”.

H E R M A N N W EYL

DIRÁN QUE, SI

DIOS

ESTABLECIÓ

LEYES; A LO QUE RESPONDERÉIS QUE,

UNA Y OTRA VEZ EN LA HISTORIA DE LA FÍSICA ESTA CONVICCIÓN, O DEBERÍA DECIR ESTE SUEÑO, DE ARMONÍA EN LA NANUESTRAS EXPECTATIVAS ”.

TEMA PROCLAMAR POR DOQUIER

QUE

NATURALEZA,

AULA

DE EL

UNA AR -

MONÍA OCULTA,

SIR ISAAC NEWTON (1643 1727) EN CARTA AL REVERENDO RICHARD BENTLEY.

EFECTIVAMENTE,

ES

POSIBLE

VOLUNTAD PUEDE CAMBIAR.

SI

PERO

SU YO

CONSIDERO ESAS VERDADES COMO ETERNAS E INMUTABLES LEYES”.

RENÉ DES(1596 - 1650) CARTA AL PADRE MARIN MERSENNE (1630)

CARTES

(1885 - 1955). “PODEMOS CONSIDERAR EL ESTADO

“CARECEMOS

EN NUESTRO

PRESENTE DEL UNIVERSO

DEBEMOS OLVIDAR JAMÁS QUE

[...]

VIMIENTO DE LOS GRANDES

CONOCIMIENTO DEL ESPACIO,

COMO EL EFECTO DE SU

DE LA COMPLETA CONVICCIÓN

PASADO Y LA CAUSA

DE LA NECESIDAD DE NUES-

DE SU FUTURO. UNA

TRA GEOMETRÍA (Y TAMBIÉN

INTELIGENCIA QUE

DE SU ABSOLUTA VERDAD ),

EN UN MOMENTO

ESTE TIPO NADA

QUE ES COMÚN A LAS MATE-

DADO CONOCIE-

PODRÍA SER IN -

MÁTICAS PURAS ; DEBEMOS

RA TODAS LAS

CIERTO, Y EL FU-

AÑADIR HUMILDEMENTE, QUE

FUERZAS QUE

TURO, EXACTA-

SI EL NÚMERO ES EXCLUSIVA-

ANIMAN

MENTE LO MIS-

MENTE UN PRODUCTO DE

NATURALEZA

MO

NUESTRA MENTE, EL ESPACIO

Y LAS POSI -

PASADO, ESTA-

TIENE UNA REALIDAD FUERA

CIONES MU -

RÍA PRESENTE

DE ELLA Y NO PODEMOS PRES-

TUAS DE LOS

ANTE

CRIBIR COMPLETAMENTE SUS

SERES QUE LA

OJOS”.

LA

LEYES”. C. FRIEDRICH GAUSS

COMPONEN. SI

( 1 7 7 7 - 1 8 5 5 ) DE U N A C A R TA AL FÍSICO BESSEL, 1830.

ESTA

INTELI -

GENCIA FUERA LO SUFICIENTE -

“NO

SAR EN UNA ÚNICA FÓRMULA EL MO-

TODAS LAS CONSTRUCCIONES

MATEMÁTICAS, NO SON MÁS QUE NUESTRAS PROPIAS CREACIONES”.

C. FRIEDRICH GAUSS (CARTA A BESSEL, 1811).

MENTE PODEROSA COMO PARA SOMETER TODOS LOS DATOS AL ANÁLISIS, PODRÍA CONDEN-

CUERPOS DEL UNIVERSO Y EL DE LOS MÁS LIGEROS ÁTOMOS : PARA UNA INTELIGENCIA DE

QUE

EL

SUS

PIERRESIMON LAPLACE (1749 -1827), padre de la química, y agnóstico, rechazaba cualquier creencia en Dios como matemático y arquitecto del universo. lolitabrain@hotmail.com


LAS PROPORCIONES EN EL HOMBRE

Volvemos hoy a un tema que hemos tratado varias veces en estos años, desde distintos puntos de vista. Se trata de las relaciones que existen entre las dimensiones de diferentes partes de nuestro cuerpo. El concepto de proporción, que pertenece a la Geometría más pura y que cultivaron los griegos en su época clásica, pasó al dominio de la arquitectura, de la pintura y de la escultura bajo el prisma de lo que podríamos llamar la ciencia artística o el arte geométrico. Esto sucedía en el Renacimiento. Pero sus premisas tenían mucho que ver con nuestro cuerpo.

por Lolita Brain

¿QUÉ SON LAS PROPORCIONES?

LOS DEDOS Y LA PROPORCIÓN ÁUREA

H

abitualmente hablamos en términos de “este cuerpo está bien proporcionado” o que “esta fachada mantiene unas proporciones hermosas”. ¿Qué queremos decir con ello? Sencillamente nos referimos a las relaciones que mantienen las dimensiones de las distintas partes. No se trata de las dimensiones en absoluto, sino a la correspondencia que existe entre ellas. Por ejemplo, una persona puede ser muy alta pero estar bien proporcionada o por el contrario tener unas piernas muy largas en relación con el cuerpo, aunque sea pequeña. Las proporciones se perciben con la vista y son en este sentido subjetivas, pero la geometría nos permite cuantificarlas.

¿QUÉ ES LA RAZÓN ÁUREA?

C

Los bebés están desproporcionados por el gran tamaño de su cabeza.

L

os griegos pensaron sobre cuál comparar la mayor de las porciones sería el modo más armónico de con la menor. De este modo, la sendividir un segmento cualquiera sación que obtendríamos al mirar el todo y la en dos partes desigua- A C B parte mayor sería la misles. Y estima que al maron que longitud AC comparar la mejor de longitud AB los dos seglas formas = longitud CB mentos. Y posibles longitud AC esta es la sería aquella en la que al comparar el segmen- razón áurea, cuyo valor es 1,618 y to completo con la mayor de las par- al que se le puso de nombre FI (la tes resultara el mismo valor que al letra f griega).

omo es obvio, las dimensiones de los dedos de cada persona son distintas. Unas personas tienen dedos largos y otras, cortos, incluso con independencia de su estatura. Pero en cambio, nuestros dedos, los de prácticamente todas las pesonas, obedecen a un patrón de proporciones muy similar. La longitud de las falanges se hallan en proporción áurea. ¿Qué quiere decir esto? Que si dividimos la longitud de la primera falange de cada dedo de nuestras manos entre la longitud de la segunda, nos resultará un valor muy parecido a 1,6. Y si hacemos lo mismo con el segundo y el tercer hueso sucede lo mismo.

8

AULA

DE EL

MUNDO

EL ANÁLISIS ARMÓNICO

E

l análisis armónico de un rostro es un estudio de las proporciones que existen entre distintas medidas de la cara de una persona. Para ello se toman como referencias algunos puntos importantes del rostro y se dividen las dimensiones correspondientes. Así es primordial comparar la longitud de una cara con su ancho, o la distancia que separa la nariz de la barbilla con la que hay entre ésta y los ojos. Las siguientes imágenes te proponen comparar una serie estándar de medidas que de siempre se han utilizado para estudiar la armonía de una cara. En este ejemplo, si tú mismo tomas la medidas sobre las imágenes, comprobarás que siempre resulta el valor de FI=1,6. Este retrato es modelo de un rostro en proporción áurea. Pero no todas las caras son tan armónicas.

Las medidas de la imagen se han tomado de una radiografía auténtica. Observa lo similares que son los cocientes al valor 1,6. (Medidas en centímetros)

ANALIZA TU ROSTR0

T Comparar el largo de la cara con su ancho. Valores superiores a 1,6 proporciona rostros alargados

Esta proporción determina el tamaño de la frente en relación con la parte superior de la cabeza.

Con esta comparación se establece la amplitud del segmento inferior del rostro.

Esta razón mide el tamaño de la nariz en contraste con la frente.

Aquí la nariz se compara con la parte central de la cara.

Por último relacionamos la mandíbula con el tercio inferior del rostro.

ú también puedes hacer un análisis armónico de tu rostro y saber si responde o no a la proporción áurea. Para ello necesitas sólo una cámara digital, una impresora y una regla. Procede como te indicamos a continuación: 1.- Realiza una foto de primer plano de tu cara con la cámara. Procura aparecer en posición recta respecto de la horizontal y en el mismo plano con la cámara. Toma de referencia las imágenes de esta lámina. 2.- Imprime la fotografía. 3.- Ayudándote de la regla, toma las medidas que se reflejan en las seis imágenes de la lámina con la mayor precisión que puedas. 4.- En cada imagen, divide la mayor de las longitudes entre la menor. Cuanto más se parezcan tus cocientes al valor de FI=1’618, mayor será el parecido de tu rostro a uno armónico. Por el contrario, si los valores son mayores o menores, querrá decir que tu rostro es alargado o ancho, que tu frente es amplia o que tu nariz es larga. Pero no lo olvides, no es una cuestión de belleza absoluta, sino sólo un canon de belleza de todos los posibles.

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LOS CENTROS DEL TRIÁNGULO LAS ALTURAS Y EL ORTOCENTRO

En Geometría, la figura más simple imaginable es el triángulo. Y como tal, es sin duda el rey de los polígonos. Casi todo es reducible a triángulos, de modo que es una de las herramientas más poderosas de la Geometría y, por tanto, conocerlos ha sido y sigue siendo muy interesante. Gracias a los triángulos pudimos medir la Tierra, calculamos la distancia a Marte o sencillamente, articulamos una grúa.

por Lolita Brain

LAS MEDIATRICES Y EL CIRCUNCENTRO

EL TRIÁNGULO ÓRTICO Si unimos los puntos RPQ, en los que las alturas cortan a cada uno de los lados, obtenemos otro triángulo. El triángulo órtico. Este polígono tiene una propiedad muy importante: es el menor camino para ir desde uno de los lados a los otros dos. Por ello, si el triángulo fuera especular, un rayo emitido desde R se reflejaría continuamente por el camino RPQ-RPQ-RPQ...

Las mediatrices pasan por el punto medio (T ) de cada lado (AB) y además son perpendiculares a él. Todos los puntos de una mediatriz están a la misma distancia de los vértices del lado correspondiente. Estas rectas se cortan en el circuncentro (O). Como O dista lo mismo de A que de B (está en la mediatriz de AB) y está a la misma distancia de A que de C (está en la mediatriz de AC) es el centro de la circunferencia circunscrita, que pasa por A, B y C, y contiene al triángulo.

Si trazamos una recta perpendicular a un lado de un triángulo (AB) que pase por el vértice opuesto (C), tenemos una altura. Mide la distancia que separa a un vértice del lado opuesto y será fundamental para calcular el área del triángulo. Trazadas las tres alturas de un triángulo, éstas se cortan en un punto denominado ortocentro, que no siempre está en su interior.

8

LAS MEDIANAS Y EL BARICENTRO

AULA

DE EL

MUNDO

Si trazamos rectas que unan cada vértice (A) con el PUNTO MEDIO de cada lado opuesto (X), obtenemos las medianas. Observa que si el triángulo es equilátero, sus tres medianas son sus ejes de simetría. Las tres medianas se cortan en un punto muy importante llamado baricentro o centroide (G).

EL BARICENTRO COMO CENTRO DE MASAS Cuando se trazan las medianas, el triángulo original queda dividido en cuatro triángulos menores y semejantes. El triángulo central se llama auxiliar. Sus medianas son las mismas que las del inicial. Este proceso se puede repetir infinitamente para crear una colección de triángulos semejantes encajados unos en otros. Todos tienen un único punto en común: el baricentro del primer triángulo.

El baricentro es el centro del triángulo. También se denomina centro de masas y tiene importancia en dinámica. Por ejemplo, un triángulo soportado sobre su baricentro permanece estable. Es su centro de equilibrio.

La razón es que una mediana divide en dos partes iguales a todas las rectas paralelas al lado correspondiente. Así, cada mediana es como una hoja de afeitar que diseccionara al triángulo. De este modo, el baricentro debe ser el punto de equilibrio.

LA CIRCUNFERENCIA DE LOS NUEVE PUNTOS En todo triángulo está definida una circunferencia muy especial. Pasa nada menos que por nueve puntos particulares:

LA RECTA DE EULER Algunas veces lo más sencillo permanece oculto durante siglos. Si bien el triángulo y sus centros se estudian desde que existe la matemática, fue el genial Leonard Euler (1713 -1789) el primero en darse cuenta de que el ortocentro, el baricentro y el circuncentro están en la misma recta: la recta de Euler.

Los tres vértices del triángulo auxiliar XYZ. Los tres vértices del triángulo órtico PQR. Los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro y los vértices (HA, HB y HC). Su centro N es el circuncentro del triángulo órtico. www.lolitabrain.com


MEDIDAS PARA LOS OFICIOS

Muchas tareas asociadas a trabajos poco matemáticos requieren de precisión geométrica. Hablamos, por ejemplo, de la construcción de edificios, una labor en la que la exactitud de las medidas es fundamental para que las viviendas no se vengan abajo. Los egipcios, magníficos constructores, inventaron algunos instrumentos que aún hoy en día utilizamos, o como la escuadra de 90 y la del albañil. Los leñadores también hacen uso de uno de los teoremas más maravillosos que se han descubierto nunca, para que su vida no corra peligro al talar un árbol.

por Lolita Brain

BUSCANDO LA PERPENDICULAR

L

o

a escuadra de 90 es uno de los instrumentos de medición más simple que existe. Tenemos constancia de ella desde el año 1100 a.C., en restos hallados en Tebas, la capital del imperio egipcio. Consiste en dos trozos de madera perfectamente ensamblados, formando un ángulo recto, y que nos permite comprobar si la pared y el techo de una edificación forman ese o mismo ángulo. Este ángulo, como sabes, mide 90 y determina cuándo distintos planos son o no perpendiculares. La perpendicularidad es fundamental en toda construcción ya que en caso contrario las casas y los muebles se desplomarían.

En cambio, si estos dos elementos constructivos están bien ensamblados, ambos lados de la escuadra coinciden con los perfiles de la pared y el techo.

Si el techo y la pared no forman un ángulo recto, al alinear un lado de la escuadra con la pared aparecerá un ángulo (en rojo) entre el instrumento y el techo.

TALES Y LOS LEÑADORES

E

8

AULA

DE EL

l maravilloso e imprescindible Teorema de Tales, siendo uno de los primeros jamás demostrado en Matemáticas, confirma su valía en todas las circunstancias. El leñador que ha de talar un árbol necesita conocer para su propia seguridad, con cierta precisión y bastante rapidez, la altura del tronco que se presta a derribar. Para ello le basta con apuntar con su hacha a la copa del pino y medir la distancia que le separa del pie del árbol. Con el Teorema de Tales, calcula entonces su altura del siguiente modo:

MUNDO

ALTURA=D* Hoja hacha Mango hacha H A=D* p Le basta con añadir a este valor calculado la altura a la que se encuentra su hacha (en azul).

EL NIVEL PARA LA VERTICALIDAD Si el techo es horizontal, la plomada coincidirá con la marca de uno de los lados. En caso contrario, la plomada se desplaza de la escuadra.

PAREDES VERTICALES

L

a escuadra del albañil, inventada por los egipcios y que aún hoy usan los constructores, consiste en una escuadra simple con sus pies cortados en paralelo para que pueda apoyarse en la horizontal. Además lleva sujeta una plomada que marcará siempre la vertical. En el centro de la escuadra hay una marca que se alinea con la plomada cuando está en la vertical. Tiene varios usos muy importantes: determina si los suelos o los techos son horizontales y es un buen complemento para la escuadra simple cuando queremos saber si pared y techo son perpendiculares.

E

ste otro invento egipcio es un nivel vertical. Un interesante instrumento que permite determinar si las paredes son o no verticales. Consta de un tablero con otros dos colocados perpendicularmente al mismo, por los que pasa la cuerda de una plomada. Colocada sobre una pared, la plomada señala la vertical, que coincidirá o no con la que marca la tabla. Si la pared no es vertical, la plomada no caerá de forma paralela a la tabla.

Apoyando la escuadra sobre un suelo horizontal la plomada se alinea con la marca central.

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Es hora de reconocer en nuestro uso diario de los números a uno muy especial, que aparece repetidamente en las conversaciones de matemáticas. Es el número de oro, Fi, también conocido como la proporción áurea. Es uno de los conceptos matemáticos que aparecen una y otra vez ligados a la naturaleza y el arte, compitiendo con PI en

popularidad y aplicaciones. Fi esta ligado al denominado rectángulo de oro y a la sucesión de Fibionacci. Aparece repetidamente en el estudio del crecimiento de las plantas, las piñas, la distribución de las hojas en un tallo, la formación de caracolas....y por supuesto en cualquier estudio armónico del arte. ¿Qué lo hace tan repetidamente recurrente?

por Lolita Brain

EL NÚMERO DE ORO

A

unque no fue hasta el siglo XX cuando el número de oro (conocido también como sección áurea, proporción áurea o razón áurea) recibió su símbolo, FI (la sexta letra del abacedario griego, nuestra efe), su descubrimiento data de la época de la grecia clásica (s. V a.C.), donde era perfectamente conocido y utilizado en los diseños arquitectónicos por ejémplo el Partenón, y escultóricos. Fue seguramente el estudio de las proporciones y de la media geo-

métrica de un segmento lo que llevó a los griegos a su descubrimiento. El valor numérico de FI es de 1,618.... FI es un número irracional como PI, es decir, un número decimal con infinitas cifras decimales sin que exista una secuencia de repetición que lo convierta en un número periódico. Es imposible conocer todas las cifras de dicho número (como nos pasa con PI) y nos contentamos con conocer unos cuantos dígitos suyos suficientes para la mayoria de sus aplicaciones.

EL PARTENÓN

de Atenas es la construcción arquitectónica por excelencia que utiliza el número de oro para organizar su estructura. El diagrama muestra el análisis armónico del mismo.

¿QUÉ MIDE EL NÚMERO DE ORO?

Supón que tienes un segmento y que lo quieres dividir en dos trozos de tamaños distintos. Esto puedes hacerlo de muchas formas, por ejemplo dividiéndolo de modo que la parte mayor sea doble que la menor, o cuatro veces la menor etc. Ahora bien, sólo existe una forma de dividir tal segmento, de modo que la relación (razón o ratio) que guardan el segmento completo y la mayor de las partes sea igual. Es decir, son iguales el segmento y el trozo mayor que las dos partes entre sí. Para ello basta con que dividas la longitud del segmento inicial entre Fi=1,618 y el resultado es la longitud del trozo mayor.

segmento mayor segmento menor

=

segmento total

SI MIDES UNA tarjeta de crédito cualquiera, comprobarás que la relación entre su largo y su ancho es aproximadamente de FI. Esto es asi porque de todos los rectángulos posibles es el más agradable a la percepción. Las dimensiones estándares de las fotos también suelen ser

segmento mayor

EL CRECIMIENTO DE LAS CARACOLAS también tiene relación con el número áureo. En el diagrama adjunto puedes ver como la curva que define una caracola, una espiral logarítmica, se puede construir a partir de un cuadrado áureo, colocando un cuadrado a continuación del rectángulo anterior. Al crecer con esta curva como esquema el caracol crece mucho (geométricamente) por simple adición (aritméticamente) manteniendo a la vez la misma proporción entre sus partes. LEONARDO DA VINCI realizó este dibujo para ilustrar el libro De Divina Proportione del matemático Luca Pacioli editado en 1509. En dicho libro se describen cuales han de ser las proporciones de las construcciones artísticas. En particu-

lar, Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintas partes de su cuerpo sean las del dibujo adjunto. Resulta que la relación entre la altura del hombre y la distancia desde el ombligo a la mano es el número áureo.

LA ESTRELLA PENTAGONAL era según la tradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban que el mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabida los números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo se encontrara un número raro: el irracional FI como puedes ver en la figura, donde QN, NP y QP estan en proporción áurea.

EN EL CUERPO HUMANO el número áureo aparece en muchas medidas: la relación entre las falanges de los dedos es el número áureo, la relación entre la longitud de la cabeza y su anchura es también


POESÍA, ÁLGEBRA Y ESPIONAJE

Visto desde el presente, la historia pasada se aparece a menudo caprichosa. También en la de la matemática. La historia de la solución de la ecuación de tercer grado, la CÚBICA, es una de las más apasionantes. A comienzos del siglo XVI los matemáticos se hallaban inmersos en un problema desde hacía ya siglos: si bien las ecuaciones de grado uno y dos estaban completamente resueltas desde Al-Khawarizmi, nadie era capaz de resolver la de grado tres. Hoy, la hazaña de aquellos matemáticos permanece en el olvido aunque sus fórmulas, que no se estudian en la escuela, son tan eficaces como entonces.

por Lolita Brain

EL POETA ALGREBRISTA ma vez más la memoria de las ecuaciones se remonta al Próximo Oriente, a la mítica ciudad de Samarcanda a la que Omar Khayan llega en 1070 procedente de Naishapur, al norte del actual Irán. Poeta, astrónomo y matemático, su obra Tratado sobre las demostraciones en álgebra estudia geometricamente las ecuaciones cúbicas proponiendo métodos para su resolución. Pero sus métodos necesitaban pra llegar a ser efectivos de herramientas matemáticas de las que desafortunadamante no se disponía entonces. En cualquier caso sus soluciones, además de correctas, son herederas de la más fascinante tradición geométrica de los griegos y aunan álgebra y geometría.

U

GHIYATH AL-DIN ABU'L-FATH UMAR IBN IBRAHIM AL-NISABURI AL-KHAYYAM (HACIA 1048 - 1131)

8

AULA DE EL

LOS DOS PROTAGONISTAS

N

uestra historia aconteció en la Italia renacentista del siglo XVI. Desde hacía casi tres siglos, las matemáticas se enseñan en las ESCUELAS DE ÁBACO , donde sobre todo se impartía ALGEBRA , y en espeNICCOLO FONTANA TARTAGLIA cial las técnicas GEROLAMO CARDANO (1499-1557) (1501-1576) para resolver ecuaciones. Aunque las ecuaciones de primer grado (como 3X =14 ) ya las resolvían los egipcios y los babilonios. Desde finales del siglo VIII ya se solucionaba la ecuación de segundo grado (como X2+2X=8). Sin embargo la ECUACIÓN CÚBICA (como X3+3X=14) se había resistido durante cientos de años a todos los matemáticos que la estudiaron. No será hasta 1.505 cuando DEL FERRO encuentre la solución. NICCOLA FONTANA ,TARTAGLIA el tartamudo, también la encontró independientemente en 1.535. CARDANO y su alumno LUDOVICO FERRARI (1.522- 1.565) profundizaron en las ecuaciones de tercer y cuarto grado. La famosa fórmula descubierta por Del Ferro y Tartaglia que resuelve la ecuación de tercer grado x3+ px = q es la siguiente. Observa que las soluciones aparecen como resultado de operaciones entre los coeficientes p y q.

LA FÓRMULA DE LA DISCORDIA

Como poeta Khayyam fue descubierto en Occidente en el siglo XIX por la traducción de Edward Fitzgerald de su texto Robaiyyat . Más tarde G. K. Chesterton daría un gran impulso a su labor literaria.

MUNDO

S

T

CIPIONE DEL FERRO, profesor de la Universidad de Bolonia, descubre hacia 1.505, la fórmula que aún hoy se emplea para solucionar una ecuación de tercer grado pero no comunicó a nadie su descubrimiento, sin duda para usarlo en las disputas públicas y asi ganar fama. Sólo en su lecho de muerte comunica su fórmula a su yerno ANNIBALE DELLA NAVE y a su alumno ANTONIO MARÍA DEL FIORE.

entado por la fórmula mágica, DEL FIORE reta a TARTAGLIA, reputado matemático veneciano a una disputa pública en la que cada uno debe solucionar los problemas que le propone el otro. DEL FIORE, conocedor del valor de su fórmula, propone a Tartaglia problemas que sólo se pueden resolver con una ecuación de tercer grado. TARTAGLIA la encuentra el 12 de febrero de 1535 , y derrota publicamente a DEL FIORE.

C

ardano, famosísimo matemático y doctor del norte de Italia, al saber que TARTAGLIA ha descubierto la fórmula, le pide que se la cuente en un encuentro el 25 de marzo de 1539. CARDANO en un solemne juramento, se compromete a no hacer públicos sus descubrimientos, a lo que TARTAGLIA accede comunicándole su método operativo en un poema. Estaba presente también el jovencísimo de 17 años, LUDOVICO FERRARI, ayudante de CARDANO. Nuestro sexto protagonista.

C

y FERRARI estudiaron la fórmula pero la mantuvieron en secreto. En 1542, casi en actitud detectivesca, deciden visitar a ANNIBALE DELLA NAVE y, revisando los papeles de DEL FERRO, encuentran ¡la fórmula que Tartaglia había descubierto!. CARDANO podría publicar en su Ars Magna la importantísima fórmula sin faltar al juramento hecho a Tartaglia. Así lo hizo, escribiendo ARDANO

“[...] mi amigo Niccolo Tartaglia resolvió el mismo caso [...] y movido por mis ruegos, me la confió a mí.”

T

ARTAGLIA, muy ofendido, escribe en 1546 Questi et inmventioni diverse, en la que relata su versión de los hechos y reproduce su correspondencia con CARDANO, dando comienzo un tenaz intercambio de cartas y carteles públicos entre TARTAGLIA y ¡FERRARI! que salió en defensa de su maestro CARDANO quién se mantuvo al margen de esta polémica. La historia termina el 10 de agosto de 1548 como comenzó: en una disputa pública en Milán, entre un tartamudo y cansado TARTAGLIA y FERRARI un jovén elocuente y brillante matemático que además jugaba en casa. La disputa no acabó. TARTAGLIA abandonó humillado perdiendo buena de su fama. CARDANO no asistió.

¿POR QUÉ LA INCOGNITA ES LA X?

Los árabes llamaban a la incognita SHAY (cosa). En muchas traducciones se escribía latinizada como XAY y de ahí, al abreviar quedó X. En Italia shay se tradujo como COSA y los que resolvian ecuaciones se les llamó C O S I S T A S quienes escribían la x como CO. www.lolitabrain.com


¿POR QUÉ SOLO ENTIENDEN DE

Estamos convencidos de que parte del momento histórico que nos toca vivir será reconocido como ERA DIGITAL. De hecho ya lo denominamos así. Un periodo con denominación matemática: digital, referente al dígito, al número. La era de la homogenización de la información. Todo se reduce a ceros y unos, es la frase más común en nuestros días. Pero ¿cómo es eso de que los ordenadores entienden de ceros y unos? Hay quién imagina la memoria del ordenador como una pizarra en la que un ser minúsculo escribiera las ristras de unos y ceros. No va mal encaminada la idea.

UNOS Y CEROS?

por Lolita Brain as razones útlimas del porqué los ordendores piensan con ceros y unos se halla en buena parte en los mecanismos que se utilizan para guardar la información. La interacción entre los fenómenos eléctricos y magnéticos puesta en evidencia a finales del siglo XIX y que cambiaron el mundo, son la esencia de su funcionamiento. La cuestió radica en que corrientes eléctricas generan campos magnéticos y viceversa. El modelo más sencillo de memoria física de un ordenador es también uno de los más antiguos. Pero nos ayuda a conocer la intimidad del registro de la información.

L

Los núcleos de material CERÁMICO FERROMAGNÉTICO tienen forma de toro (como una rosquilla) y están atravesados por un hilo eléctrico. Son las unidades de información. Los BITS. Inicialmente su estado magnético es neutro.

Una memoria de núcleos, está formada por núcleos ferromagnéticos organizados en una malla y atravesados por filamentos que pueden conducir una corriente eléctrica. Cada núcleo es una CELDILLA DE INFORMACIÓN.

Cuando una corriente de intensidad determinada a traviesa un núcleo, este queda magnetizado según una polaridad, digamos norte o sur.

Si el sentido de la corriente suminstrada es opuesto el campo magnético cambia su polaridad.

8

S

AU DE EL

Cuando desaparece la corriente eléctrica el núcleo mantiene su polaridad magnetica. Se escribe un 1 o un 0.

I S T E M A S

os sistemas binarios de representación de la información, son aquellos que disponen de un alfabeto formado por sólo dos símbolos.

B

I N A R I O S

L

MUNDO

ara que la polaridad magnética de un núcelo cambie, es necesario suministrar una corriente de intensidad de determinada, pongamos I. Cada filamaneto sólo conduce una correinte de la mitad de dicho valor, es decir I/2, de tal modo que sólo el núcleo ferromagnético en el que concurren las dos líneas de intensidad mitad, se consigue la intensidad necesaria para cambiar su magnetismo. De esta forma se puede modificar el estado del nucleo de polarizado norte a polarizado sur o viceversa, de cada una de las celdillas. ¡Ya podemos escribir unos y ceros!

P

Por ejemplo, nuestros ojos pueden estar abiertos o cerrados y con ellos podemos transmitir mensajes. Basta que proporcionemos un significado al “estado abierto” y al “estado cerrado”. Sólo podemos representar dos mensajes.Si utilizamos los dos ojos, dispondremos ya de cuatro de mensajes distintos. Sucede exactamnente igual con los nucleos de ferrita. Cada uno sólo tiene DOS ESTADOS que podemos detectar facilmente: polaridad norte o polaridad sur. Tradicionalmente y por razones que te descubriremos más adelante, estos mesajes se escriben como 10, 11, 00 y 01.

11 01 10 00 www.lolitabrain.com


¿QUE NO SON NATURALES? L

as formas de la naturaleza han sido fuente inagotable de inspiración para la investigación científica: ¿Por qué las gotas tienen esa forma? ¿Es la Naturaleza caprichosa al escoger una forma determinada o responde a algunas leyes? Gottfrig Leibnitz (16461716) aventuró en su LEY DE LA MÍNIMA ACCIÓN que un cambio en la Naturaleza se realiza de modo que la cantidad de acción necesaria sea la menor posible (lo que solemos llamar ley del mínimo esfuerzo). Por ejemplo las pompas de jabón no son más que una fina película de jabón que mantiene un equlibrio de presiones entre el aire exterior y el interior de la misma. La esfera es la forma más económica. Un

Siempre te lo decimos: la matemática se mete en todo. Es un lenguaje universal en el que la ciencia puede escribirse y con el que puede interpretarse la realidad ¡o al menos intentarlo! Los matemáticos se atreven a estudiar cualquier fenómeno a través de sus ecuaciones y teorías fuera del alcance de la mayoría de los mortales. Para que te convenzas, hemos buscado algunos fenómenos naturales que se estudian a través de las matemáticas, por díficil de creer que parezca. No siempre son soluciones fáciles, y en muchos casos sólo se están empezando a entender.

por Lolita Brain

D

caso más general sucede cuando sumerges un alambre con alguna forma en agua con jabón. Al sacarlo con cuidado se forma una finísima película de jabon con una forma determinada: se ha determinado que la forma del jabón es siempre la de mínima superficie, que además es como una silla de montar: por cada punto de la superficie hay d o s curvas c o n igual curvatura pero de distinta concavidad.

esde el descubrimiento de los rayos X a finales del siglo XIX hasta nuestras actuales radiografías denominadas TOMOGRAFÍAS COMPUTERIZADAS

(CT) los usos médicos de estas emisiones no han dejado de incrementarse. Lo que el médico observa en una placa radiológica corresponde a la densidad del tejido que los rayos han atravesado: cuanto mayor sea la densidad de una zona, más atenuada aparece en la placa. El problema que hubo de resolverse es el de determinar la densidad de un

tejido a partir de la atenuación observada en la foto radiológica. Este problema lo resolvió el austriaco Johann Radon en 1917 pero fuera del contexto de la Radiología con lo cual pasó desapercibido a esta ciencia. En 1963 el físico Alan M. Cormack desconocedor de las ideas de Radon, llegó a la misma solución que éste por caminos distintos. Incluso inventó un prototipo para usar su teoría. A pesar de ello hasta los años ochenta la compañía EMI no patentó un sistema de radiología CT.

EL MODELO DE STEFAN

U

n fenómeno harto complicado de estudiar es el deshielo de un cubito de hielo que flota en el agua. La teoría que mejor lo hace es la del austríaco JOSEF STEFAN (1835-1893). Para ello hay que imaginar en cada instante de tiempo dos dominios, uno el formado por el hielo y otro el del agua. Al derretirse el hielo, lo que cambia sustancialmente es la frontera de separación entre esos dos dominios. Es lo que se llama un problema de frontera libre, difícil donde los haya. Para que te hagas una idea en los últimos veinte años se han escrito más de 700 artículos sobre el problema de Stefan.

8

AULA DE EL

MUNDO

LAS

PIPAS DE

GIRASOL

E

l crecimiento en la Naturaleza obedece en multitud de casos a un orden muy especial determinado por la famosa serie de números 1, 2, 3, 5 ,8, 13, 21, 34... llamada Sucesión de Fibonacci, que se repite una y otra vez en conchas, conejos, piñas o girasoles. ¿Por qué esta sucesión? Porque permite un crecimiento continuo a la vez que se mantienen las proporciones. En el caso del girasol, el crecimiento se realiza con dos espirales entrelazadas de sentidos distintos en números no casuales: contando las espirales en un sentido y en otro aparecen los distintos números de Fibonacci.

P

or difícil de creer que parezca, la forma de las rayas del tigre o de los puntos de los leopardos no son tan aleatorios como nos podría parecer. Sus formas se estudian como un proceso de desarrollo en el tiempo en el que la forma viene dada por la acción, en palabras de Alan Turing, por la acción de los MORFOGENES, unas cuantas sustancias químicas cuya acción determina la progresión del fenómeno, permitiendo que cada man-

cha se genere independientemente de las otras bajo patrones similares pero permitiendo variaciones ligeras entre unas y otras. La herramienta matemática utilizada para describir estos fenómenos son las ecuaciones en derivadas parciales y en ellas, entre otras circunstacias, intervienen las cantidades de morfogenes presentes en cada etapa de la evolución de cada mota del leopardo.

RAYOS

Y

LAS CIGARRAS Y LOS NÚMEROS PRIMOS a cigarra septemdecim que habita en América del Norte produce larvas cuyos periodos de incubación son números primos, 13 o 17 años. Hay más especies cuyos periodos de incubación también son números primos. Esta circunstancia se está estudiando actualmente, pero está claro que estos periodos primos favorecen la no hibridación de especies y por tanto el mantenimiento del genotipo. Por otro lado aumentan la probabilidad de eludir a los depredarores y asegurar la supervivencia de una cantidad adecuada de reproductores

L

FRACTALES

a geometría fractal de la que ya te hemos hablado en ocasiones, es hasta la fecha el mejor modelo para estudiar algunos fenómenos aparentemente caóticos como es la forma de los rayos. Recordaremos que las figuras fractales son aquellas que reproducen la forma del todo en cada una de sus partes. Por mucho que amplie un área de un fractal, seguirá apareciendo la forma del todo. Por supuesto en la realidad no existen fractales perfectos, y el parecido de un trozo de rayo con el rayo completo no es exacto sino probabilístico.

L

lolitabrain@hotmail.com


TANTO CON TAN POCAS PALABRAS

Tal y como prometimos la pasada semana, dedicamos esta lámina a introducir y explicar el ‘Teorema del Índice’, el resultado más importante debido a Atiyah y Singer y por el que recibieron el pasado mes de mayo el Premio Abel. No es una tarea fácil. Como Singer decía en esas fechas en una entrevista, debemos hacer visible la matemática, ya que no podemos hacerla comprensible. Y no le falta razón. El teorema al que nos referimos tiene un nivel abstracto tal que hasta para los matemáticos no es sencillo entender toda su dimensión. Pero lo que sí podemos hacer es mostrar sobre qué versa y cuál es su influencia.

por Lolita Brain

EL TEOREMA DEL ÍNDICE

SIR MICHAEL ATIYAH (1929-)

Isadore M. Singer, del Instituto Tecnológico de Massachusetts, y Michael Atiyah, de la Universidad de Oxford, han sido galardonados en el presente año con el Premio Abel, no sólo por la contribución de toda una vida, mejor dos, dedicada a la matemática, sino por su demostración del ‘Teorema del Índice’, que enunciaron en 1963 y publicaron en 1968. Incomprensible en su expresión hasta para los iniciados, os mostramos cómo se enuncia un teorema de tal importancia. Veámoslo y si no te parece ininteligible, tu futuro está ya escrito.

COMPRENDER LA NATURALEZA

ISADORE M. SINGER (1924-)

ASÍ SE ESCRIBE UN TEOREMA SEA P(f)=0 UN SISTEMA DE ECUACIONES DIFERENCIALES. ENTONCES SE CUMPLE QUE: ÍNDICE ANALÍTICO (P) = ÍNDICE TOPOLÓGICO (P). Sí, así de simple puede llegar a ser un teorema fundamental de la matemática. Es más, en general, los grandes teoremas se escriben con muy pocas palabras. Palabras que tienen a veces siglos de discusión. Y es que en matemáticas las palabras suelen sobrar: con pocas se dice mucho.

La matemática moderna (desde el siglo XVII) se acerca a la Naturaleza proporcionando modelos matemáticos que explican los mecanismos que rigen el comportamiento de un determinado fenómeno físico, químico, biológico, etcétera. Explicar el campo eléctrico en un determinado lugar del espacio sujeto a una acción eléctrica o determinar cómo se enfría a lo largo del tiempo una barra de metal calentado son fenómenos que tienen explicación con modelos diferenciales. También pueden crearse modelos matemáticos para la distribución del impulso eléctrico que regula los latidos del corazón.

EL MODELO La forma de dicho modelo suele venir determinada por un conjunto de ecuaciones especiales, denominado sistema de ecuaciones diferenciales, que expresan el modo en el que varían las variables de las que depende el fenómeno.

NUDO SIMÉTRICO DE THISTLEHWAITE

EL ANÁLISIS ESTUDIA UN TODO

FAMOSA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE MAXWELL PARA EL CAMPO ELÉCTRICO

PARTIÉNDOLO EN PEQUEÑOS ELEMENTOS

TOPOLOGÍA VS GEOMETRÍA VS ANÁLISIS En topología se estudian cómo los objetos tienen una forma determinada o un aspecto espacial. El énfasis se pone en las propiedades globales de la forma más que en la apariencia local de una pequeña parte del objeto, que es la esencia del análisis. Cuando la forma se describe a través de distancias, estamos refiriéndonos en general a la geometría de la forma.

Una vez solucionado un sistema de ecuaciones se puede conocer el fenómeno. La imagen muestra con el mismo color las zonas cercanas al corazón con igual intensidad del campo eléctrico al comienzo de un latido.

LAS SOLUCIONES Para usar efectivamente el modelo, es preciso hallar las soluciones del sistema de ecuaciones diferenciales. Ésta es una tarea que en muchísimas ocasiones no es posible llevar a cabo por la dificultad del propio modelo. Muchas veces es suficiente saber si el modelo tiene alguna solución, ya que si no tuviera ninguna, el modelo no sería adecuado.

UNA SOLUCIÓN INTERMEDIA

SI HOMER FUERA TOPÓLOGO La topología, nacida en el siglo XVIII de manos de L. Euler, es la Geometría sin medidas. También nos referimos a ella como la “geometría de goma”, ya que las figuras que se pueden obtener por deformación y sin rotura -como si estuvieran fabricadas con plastilina- son iguales desde el punto de vista topológico. El género topológico se refiere a los agujeros de un objeto. Por ejemplo, una rosquilla y una taza tienen un agujero y además podemos deformar una para obtener la otra. Desde el punto de vista topológico son la misma cosa. Si Homer Simpson fuera topólogo, ¡dudaría entre morder la taza o la rosquilla!

Puede ser, por tanto, igualmente útil conocer la respuesta a la pregunta ¿Cuántas soluciones tiene el sistema de ecuaciones diferenciales?, aun cuando no se puedan encontrar explícitamente aquéllas. Además, no es necesario conocer las soluciones para saber cuántas hay y esta información puede ayudar a hallarlas.

LA RESPUESTA DE ATIYAH-SINGER Aquí es donde entra en juego el teorema de AtiyahSinger que relaciona las soluciones del modelo con la forma de la región en la que el modelo ocurre. Vincula la realidad topológica del modelo con las soluciones del mismo. En términos matemáticos, es lo que vienen a ser el índice topológico y el índice analítico al que se refiere el famoso teorema. www.lolitabrain.com


TRIÁNGULOS CON INGENIO

La geometría elemental unida al ingenio constituye una herramienta extremadamente útil, especialmente para poder tomar medidas. En los orígenes de la filosofía griega, Thales de Mileto ingenió un procedimiento sencillísimo para determinar la distancia de un barco a la costa sirviéndose de una escuadra, Eratóstenes de Cirene calculó el radio de la Tierra con poco más que un bastón y Euclides de Alejandría averiguaba la altura de las torres con un espejo. Es una cuestión de economía de medios e inteligencia.

por Lolita Brain

EUPALINOS, UN INGENIERO INTELIGENTE acia el año 550 a C. el tirano POLYCRATES regidor de la ciudad de Samos (al sur de la península italiana), encargó al ingeniero EUPALINOS la construcción de un tunel que atravesara el monte Kastron a cuyos pies se desplegaba la ciudad. El tunel conectaría con un manantial asegurando así el suministro de agua. Para acelerar su construcción POLYCRATES obligó a realizar la obra comenzando por las dos bocas simultaneramente, lo que suponía un serio reto. EUPALINOS construyó un tunel de 1.036 metros de longitud. Las dos ramas que debían juntarse en el centro se desviaron menos de 1%. Asombroso.

H

LA DISTANCIA DE UN BARCO A LA ORILLA

LA SOLUCIÓN DE EUPALINOS ERÓN, famoso matemático del siglo I, sugirió el siguiente procedimiento como el seguido por EUPALINOS. El problema de geometría consistía en, una vez fijados los puntos de las bocas A y B, determinar la dirección de excavado que viene determinada por la dirección de la recta que los une.

H

HALES DE MILETO (hacia 640 - 560 a. C.)es considerado uno de los primeros filósofos y matemáticos de Occidente. Su famoso Teorema de Thales fue siempre una herramienta prodigiosa. Con sólo una escuadra de madera y algunas medidas sencillas Thales era capaz de determinar la distancia a la que se encontraba un barco en la lejanía.

EUPALINOS unió los puntos A y B con una línea poligonal exterior APQRB trazada de modo que los ángulos en P, Q y R fueran rectos. Imaginó asimismo las paralelas por A y B a los lados PQ y RQ para obtener el punto T.

T

8

AULA

SE COLOCABA EN UNA Y

APUNTABA

CON

Por último prolongando el segmento AB hasta que corte a las rectas PQ y RQ obtuvo los puntos A1 y B1. Utilizando la semejanza de triángulos y midiendo los lados del perímetro externo dibujado, es muy fácil calcular las distancias x e y. Y conociéndolas situar sobre el terreno los puntos A1 y B1 es tarea sencilla. Problema resuelto.

LA

ESCUADRA A LA PROA DEL BARCO.

MUNDO

A

C

B C Los triángulos ABC y AQP son semejantes lo que permite calcular la longitud del lado QP que es la distancia buscada.

ALTURA A LA LINEA DE TIERRA

DE EL

THALES TORRE

LA

LÍNEA VISUAL DETERMINA EL

TRIÁNGULO DE VÉRTICES

ABC

SOBRE LA ESCUADRA.

P

Q

LÍNEA DE TIERRA

EUCLIDES, LOS ESPEJOS Y LAS ALTURAS LA

ALTURA DE LA TORRE SE CALCULA MULTIPLICANDO LA ALTURA DE LOS OJOS AB ) POR LA DISTANCIA DEL PIE DE LA (A TORRE AL REFLEJO DE LA CRUZ EN EL OC). DESPUÉS SE DIVIDE ENTRE ESPEJO (O LA DISTANCIA DEL REFLEJO AL PIE DE OB). EUCLIDES (O

Euclides de Alejandría ingenió un sencillo procedimiento para medir la altura de un objeto, como una torre, cuyo pie es accesible.

C OMO

EUCLIDES EL RAYO REFLEJADO Y EL

INCIDENTE

FORMAN

EL

ÁNGULO , LOS TRIÁNGULOS

MISMO

OCD

SE MOVÍA HASTA

VER LA CÚSPIDE DE LA TORRE EN EL ESPEJO.

Y

OAB SON SEMEJANTES.

SE

COLOCA UN ESPEJO ENTRE

LA TORRE Y EL OBSERVADOR

El cálculo final de Thales para hallar la distancia de la costa al barco es:

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10 . 12 . 99

EL MUNDO

Viernes cultural. Lámina coleccionable

Seguro que si te preguntaran cuál es el concepto matemático más simple, tú responderías que el número. Sin embargo, no es tan sencillo como parece. De hecho, el hombre tardó bastante en asimilarlo y los sistemas para simbolizar cantidades no fueron siempre los mismos que ahora.

AULA.7

Aunque no lo sepas, 2.000 años a.C. los babilonios inventaron un sistema de representación para los números similar al nuestro y... ¡al de los ordenadores! El cero por ejemplo, no se conoció hasta el siglo VI en La India. En esta página te contamos el porqué de cómo contamos

por Lolita Brain

LOS NUMEROS... ¡VAYA HISTORIA!

E

l sistema de numeración egipcio data de hace unos 5.000 años, es decir, alrededor del 3.000 a.C., y nos ha llegado a través de papiros como el de Ahmes -o de Rhind(Museo Británico de Londres) o el de Moscú. Este sistema estaba basado en el número 10 y en él se disponían de símbolos especiales para el 1, 10, 100, 1000... Estos símbolos se repetían tantas veces como indicaran las centenas, decenas, etc. Por supuesto, no conocían el cero, pues la nada no necesitaba símbolo. Los números se escribían de derecha a izquierda o al revés. Estaban acostumbrados a usar números grandes para su época, como atestigua una maza real conservada en Oxford de más de 5.000 años de antigüedad. En ella se recogen las cifras de 120.000 prisioneros y 1.422.000 cabras capturadas como parte del botín de una campaña militar. ¿COMO REPRESENTAMOS LOS NUMEROS? El sistema arábigo de numeración, que realmente era hindú y es el que utilizamos, es posicional como el de los babilonios pero decimal. Esto quiere decir tres cosas: 1.- Hay un símbolo especial para los 10 primeros números (0, 1, 2, 3,...9); 2.- Cada número tiene un valor determinado por el lugar que ocupa (cada 2 de 222 tiene un valor distinto: 2 ó 20 ó 200); 3.- El sistema numera en base al 10, es decir, cada posición representa 100 10 1 una potencia de 10 (decenas =10, 1 1 1 =1x100+1x10+1x1=111 centenas = 100, millares =1000, etc.) 4

2

EL IMPERIO BABILONICO, en el Oriente Medio, desarrolló un sistema de escritura en tablillas de barro sobre las que hacían muescas con un palo: la escritura cuneiforme. Muchas de ellas registran desde operaciones numéricas ordinarias a cálculos astronómicos. Los babilonios son los creadores de un sistema de representación de los números similar al nuestro: el posicional. Ellos se dieron cuenta de que el mismo símbolo que representaba un número (1, 2, 3, etc.) podía tener distinto valor según el lugar que ocupara. Los números del 1 al 59 se representaban de modo similar al que lo hacían los egipcios: tenían un símbolo para el 1 (una muesca vertical) y otro para el 10 ( una muesca como un paréntesis), y los repetían hasta obtener el número deseado. Los restantes dígitos

(desde el 60) los descomponían en múltiplos de 60, de 3.600 y así sucesivamente. Los números tenían un valor u otro según la posición en que estuvieran colocados. No conocían el cero y, por lo tanto, dos doses juntos podían representar 22 ó 202 ambiguamente. Esta fue su principal limitación.

2x60+6 100+20+6 BABILONICO. Cuneiforme. Posicional de base 60. Sin 0. Cada cifra pesa las potencias de 60. 600=1 601=10 602=3.600...

1

1 1 1 =1x4+1x2+1x1=7

EN LA TECNOLOGIA DIGITAL, los números se representan también en un sistema posicional, pero como en el ordenador (en la RAM o en el disco) sólo se distinguen dos estados (apagado y encendido o, lo que es lo mismo, on y off). El problema que surgió fue cómo poder representar los 10 primeros números cada uno de los cuales tiene un símbolo diferente, disponiendo de sólo dos estados. La solución fue simple: se utilizó un sistema binario en el que las distintas posiciones, lejos de valer 10, 100, 1.000, valen 2, 4, 8, 16, etc. Por supuesto, sólo existen dos dígitos: el 1 y el 0. Claro que así, los números son más largos de escribir.

EGIPCIO. Jeroglífico. Decimal iterativo no posicional. No conocian el 0.

1x100+2x10+6x1

126 La primera referencia a un sistema decimal posicional apareció en el Aryabhatiya (hacia 499), obra de Aryabhata, uno de los grandes matemáticos hindúes del siglo VI. Sin embargo, la primera cifra escrita en este sistema que nos ha llegado es una inscripción fechada en el año 595, en la que aparece escrito el año 346 en dicho sistema. Sólo 200 años después es cuando tenemos referencia del cero por primera vez. Fueron pues los hindúes los que, por un lado, asignaron un símbolo distinto a cada número del 1 al 9, y observaron que el valor de estos símbolos podía cambiar sólo por la posición relativa que ocuparan. Además fueron conscientes de la necesidad de asignar un símbolo al vacío (cunga), que así es como denominaron al cero. Había nacido el que, aún hoy, es nuestro sistema de numeración.

ARABIGO. Occidental. Posicional de base 10. (decimal). Con 0. Base 10: cada cifra pesa las potencias de 10. 100=1 101=10 102=100 103=1.000 104=10.000...

126

100+20+6

CXXVI ROMANO. Aditivo capitular. No usaban el cero.

1x64+1 1x32+1 1x16+1 1x8+1 1x4+1 1x2+0 0x1

1111110

BINARIO. Posicional de base 2 (binario): cada cifra pesa las potencias de 2. 20=1 21=2 22=4 23=8 24=16...

EL SISTEMA DE NUMERACION ROMANO otorga símbolos distintos a algunas cantidades especiales (1=I, 5=V, 10=X, 50=L, 100 =C, 500=D, 1.000=M) y representa los restantes números por adición (11=10 +1, XI=X+I) o sustracción (9=10-1; IX= X-I). Los cálculos con este sistema de numeración son especialmente complicados y dificultan el desarrollo de la aritmética. TUS PREGUNTAS POR LA RED:

www.dailan.com/verenet/lolitabrain CORREO ELECTRONICO : lolitabrain@hotmail.com

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