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SUPERFICIES Y SÓLIDOS.

Ejemplo 2.6 2x + 3 . Su dominio máximo es D f = {( x, y) ∈ R2 tq y > x + 2.}. La y−x−2 representación gráfica de este dominio corresponde a la región que está por encima de la recta y = x + 2.

Consideremos la función f ( x, y) = p

3

Y

2

1

0

X -1 -3

2.3

-2

-1

0

1

2

3

Superficies en R3

A veces se define una superficie de manera local. Una superficie S es un subconjunto de R3 que en un entorno de cualquiera de sus puntos, luce como un “parche” de R2 , es decir, para cada p ∈ S existe un entorno abierto U ⊆ R2 y un entorno W ⊆ R3 que contiene a p tal que se puede establecer una biyección continua (homeomorfismo) r p : U → S ∩ W. A cada homeomorfismo r p se le llama “parche” o parametrización del conjunto abierto S ∩ W. Una colección de tales parches que cubren S se llama un atlas de S.

X

Si una superficie S tiene ecuación z = f ( x, y) con ( x, y) ∈ D ⊆ R2 , entonces la superficie sería de un solo “parche”, y una parametrización sería r ( x, y) = x bı + y b + f ( x, y) b k con ( x, y) ∈ D. Más adelante veremos más ejemplos de superficies y parametrizaciones. Nos interesan las superficies de ecuación z = f ( x, y) , es decir, las superficies formadas por los puntos ( x, y, z) que satisfacen la ecuación z = f ( x, y) o también en la forma F ( x, y, z) = 0. A veces decimos “superficie de ecuación (explícita) z = f ( x, y) ” o “superficie de ecuación (implícita) F ( x, y, z) = 0 ”. Como sugiere el ejemplo 2.5, un bosquejo de una superficie se puede hacer con un conjunto de curvas; a estas curvas se les llama ‘trazas’ o ‘cortes verticales y horizontales’. En esta sección vamos a ocuparnos con superficies

Y

Cálculo en varias variables  
Cálculo en varias variables  
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