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MÁS SOBRE CÓNICAS

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Ejemplo A.3 Consideremos la cónica (propia) 3x2 + 5y2 − 10x − 10y − 4 = 0. Para tener una primera idea de cómo afecta la aparición del término “Bxy”, vamos a agregar a esta ecuación este término de tal manera que B2 − 4AC sea negativo, positivo y nulo. Para esto, en la figura√(A.3) se muestra la gráfica de las cónicas 3x2 + 5y2 − 10x − 10y − 4 = 0, 3x2 −2xy + 5y2 − 10x − 10y − 4 = 0, 3x2 − 60xy + 5y2 − 10x − 10y − 4 = 0 y 3x2 −20xy + 5y2 − 10x − 10y − 4 = 0, en ese orden.

(a) B2 − 4AC < 0

(b) B2 − 4AC < 0

(c) B2 − 4AC = 0

(d) B2 − 4AC > 0

Figura A.3: En el caso de cónicas propias, el signo de B2 − 4AC nos indica que que tipo de cónica se trata.

Para estudiar la ecuación general hacemos un cambio de variable para convertir esta ecuación en una del tipo (A.10). La idea del cambio de variable es introducir un nuevo sistema X 0 Y 0 en el que la cónica quede en posición estándar, i.e., respecto a este sistema la cónica no presenta rotación. Si θ = α es el ángulo que anula el coeficiente del término “xy”, la ecuación general queda como A 0 x 02 + C 0 y 02 + D 0 x 0 + E 0 y 0 + F 0 = 0 donde A0 = A cos2 α + B sen α cos α + C sen2 α C 0 = C cos2 α − B sen α cos α + A sen2 α D 0 = D cos α + E sen α E0 = E cos α − D sen α F 0 = F. Como esta ecuación es del tipo (A.10), a) si A0 C 0 > 0 y

4A0 C 0 F 0 − C 0 D 02 − A0 E02 < 0, tenemos una elipse, 4C 0

b) si A0 C 0 < 0 y

4A0 C 0 F 0 − C 0 D 02 − A0 E02 ≷ 0, tenemos una hipérbola, 4A0 C 0

c) si C 0 = 0, A0 6= 0 y E0 6= 0, tenemos una parábola, d) si A0 = 0, C 0 6= 0 y D 0 6= 0, tenemos una parábola. Centro, focos y vértices de la cónica. Una vez que hemos eliminado el término “xy” de la ecuación general, podemos obtener la ecuación canónica, completando cuadrados. Si en el sistema X 0 Y 0 , el centro (o el vértice) de la

Cálculo en varias variables  
Cálculo en varias variables  
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