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MÁS SOBRE CÓNICAS

Ejemplo A.1 Consideremos la cónica 3x2 − 2xy + 5y2 − 10x − 10y − 4 = 0. Verifique que es una cónica central y calcule su centro (h, k). Aplicar el cambio de variable (A.1) para reducir la cónica. Solución: Como B2 − 4AC 6= 0, se trata de una cónica central. El centro es, según (A.3), (h, k) = (15/7, 10/7) . Aplicando el cambio de variable x = x 0 + h y y = x 0 + k, obtenemos 3x 02 − 2x 0 y0 + 5y02 − 153/7 = 0. Y

Y

Y’

X’ X

X

Rotación alrededor del origen. Sea P con coordenadas ( x, y) en el sistema estándar XY. Nos interesa las coordenadas de P en un nuevo sistema X 0 Y 0 que corresponden a una rotación, respecto al origen en el sistema XY. Si el ángulo de rotación es θ (contra-reloj), el punto P = ( x, y) tendrá coordenadas

Y

( x 0 , y0 ) = ( x cos θ + y sen θ, − x sen θ + y cos θ ) en el nuevo sistema. En la figura (A.2) se ve que OM = ON cos θ − NP sen θ (¿porqué?) y como x 0 = ON y y0 = NP, concluimos entonces que x = x 0 cos θ − y0 sen θ. De manera análoga, y = x 0 sen θ + y0 cos θ.

Figura A.2

La transformación de coordenadas, para pasar del sistema XY al sistema rotado (en un ángulo θ contra-reloj) X 0 Y 0 , es,  0 0  x = x cos θ − y sen θ 

(A.5)

y = x 0 sen θ + y0 cos θ

En forma matricial,    x cos θ = y sen θ

− sen θ cos θ

  0 x y0

Al sustituir x = x 0 cos θ − y0 sen θ e y = x 0 sen θ + y0 cos θ en la ecuación general A x2 + B xy + C y2 + D x + E y + F = 0, obtenemos la ecuación

Cálculo en varias variables  
Cálculo en varias variables  
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