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INTEGRAL DE L´INEA. INTEGRAL DE SUPERFICIE.

Ejemplo 6.49 (continuación). b.) La superficie es S : z = 2 y la proyección es el círculo x2 + y2 = 4. El vector N se debe tomar de acuerdo a la (−z x , −zy , 1) regla de la mano derecha: N = = (0, 0, 1). Luego, rot F = ( x + z2 , 0, −3 − z), entonces, ||(−z x , −zy , 1)|| Z C

F · drr

ZZ

=

S

rot F · N dS =

ZZ

=

R xy

0

R xy

( x + z2 , 0, −3 − z) · (0, 0, 1) dA =

ZZ R xy

−3 − z dA

−5 dA, pues S : z = 2

Z 2π Z 2

=

ZZ

0

−5r dr dθ = −20π

Ejemplo 6.50 Utilice el teorema de Stokes para calcular F ( x, y, z) = 3yi − xzj + yz2 k

Z C

F · drr donde

y C es la curva de intersección entre el paraboloide 2z = x2 + y2 y el plano z = 2, tal y como se muestra en la figura. Solución: ¿Cuál superficie escoger, el paraboloide o el plano?. De acuerdo al Teorema de Stokes, se puede escoger cualquiera de las dos. La más simple es el plano z = 2. Si S : z − 2 = 0 entonces Z N = ±(0, ZZ0, 1). ¿Cuál signo se escoge?. Las integrales

C

F · drr y

S1

rot F · N dS tienen

el mismo valor si N se escoge de acuerdo a la regla de la mano derecha (sino, difieren en el signo), en este caso particular y de acuerdo a la orientación de C, el que se debe escoger es N = (0, 0, 1). Z C

F · drr

= = =

ZZ S1

rot F · N dS

ZZ R xy

(z2 + x, 0, −z − 3) · (0, 0, 1) dA,

Z 2π Z 2 0

0

(−z − 3)r dr dθ =

Z 2π Z 2 0

0

2π (−2 − 3)r dr dθ = −10 θ 0 = −20π.

Cálculo en varias variables  
Cálculo en varias variables  
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