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EJERCICIOS

Ejemplo 4.12 Calcule y clasifique los puntos críticos de f ( x, y, z) = x2 − y2 − zy. Solución: Puntos críticos: Resolvemos el sistema   fx =      fy =       fz =

2x

= 0

−2y − z = 0 −y = 0

así, el único punto crítico es P = (0, 0, 0).

Ejemplo 4.12 (continuación). Test: Como tenemos una función de tres variables, calculamos D1 ( P), D2 ( P) y D3 ( P)     2 0 0 f xx ( P) f xy ( P) f xz ( P)             D3 ( P) = DET  f yx ( P) f yy ( P) f yz ( P)  = DET  0 −2 −1  = −2 < 0         0 −1 0 f zx ( P) f zy ( P) f zz ( P) 

2

0

D2 ( P) = DET 

 = −4 < 0, D1 ( P) = f x x ( P) = 2 > 0 0

4.7.4

−2

Clasificación de puntos críticos para problemas con restricciones.

Consideremos el problema “Optimizar la función objetivo: f ( x1 , x2 , ..., xn ) sujeta a la restricción: g( x1 , x2 , ..., xn ) = c ” La función lagrangiana será:

L( x1 , ..., xn , λ1 ) = f ( x1 , ..., xn ) − λ (c − g( x1 , ..., xn )) Así, los puntos críticos se obtienen resolviendo el sistema (condiciones de primer orden)

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Cálculo en varias variables  
Cálculo en varias variables  
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